a modelagem matemática na construção de telhados com

A MODELAGEM MATEMÁTICA NA CONSTRUÇÃO DE
TELHADOS COM DIFERENTES TIPOS DE TELHAS
Guilherme Liziero Ruggio Silva¹ Vanessa Sales2, Jéssica Fidencio2, Camila Estevão2, Gabriela de
Matos2, Aline do Prado2 Diego Hilario2
1- Mestrando em Engenharia de Materiais – REDEMAT/UFOP - Instituto Federal de Minas Gerais – Campus Ouro Preto. Rua Pandiá
Calógeras, 898, Morro do Cruzeiro CEP: 35400-000, Ouro Preto – MG - [email protected]
2- Estudantes Curso Técnico Integrado de Edificações D3EDI1 – IFMG –OP
INTRODUÇÃO
Em relação à construção de telhados, as tesouras (treliças isostáticas) que servem para a
sustentação da cobertura, possuem barras dispostas de maneira a compor uma rede de triângulos, tornando
o sistema estrutural indeslocável. O modelo de tesoura que mais se emprega no Brasil, para estruturas
de madeira dos telhados residenciais é a tesoura inglesa ou howe1. Esse modelo é indicado para casas
de até 18,00 metros de vão, sendo que para casas com largura entre 10 e 18 metros, faz-se necessário
confeccionar as tesouras com peças duplas. Além desta dimensão de vão, a estrutura passa a ser onerosa
e alta, razão pela qual deve-se optar por outros modelos de estruturas.
A superfície de telhado pode ser formada por um ou mais planos (uma água, duas águas, quatro
águas ou múltiplas águas) ou por uma ou mais superfície curvas (arco, cúpula ou arcos múltiplos). A
cobertura pode ser de telhas cerâmicas, telhas de concreto (planas ou capa e canal) ou de chapas onduladas
de cimento-amianto, aço zincado, madeira aluminizada, PVC e fiber-glass. As telhas de ardósia e chapas
de cobre, foram praticamente banidas da nossa arquitetura. O ponto do telhado é a relação entre sua
altura e a largura ou vão, que varia entre os limites de 1/2 a 1/8, ou seja, de 100% a 25% de declividade. De
acordo com o tipo de telhas empregado, faz-se necessário adequar o grau de inclinação do telhado. As
coberturas executadas em chapas onduladas de cimento-amianto, apresentam vantagem econômica,
pois necessitam de menor inclinação do telhado, além de dispensar o emprego de ripas e caibros, pois
apóiam-se diretamente sobre as terças, permitindo ainda maior distanciamento entre as terças2.
Os modelos matemáticos deste trabalho foram baseados em um telhado plano em duas águas,
para casas de 6 a 10 metros de largura, com a utilização de telhas cerâmicas (francesa e colonial paulista)
e chapas onduladas de cimento-amianto, e como já havíamos dito anteriormente, iremos nos ater apenas
aos cálculos relativos às tesouras.
OBJETIVOS
Com os modelos matemáticos que iremos desenvolver a seguir, procuramos saber qual a quantidade
de madeira e o respectivo custo para a construção de uma tesoura simples, utilizada em casas
residenciais, cuja largura varia de 6 a 10 metros.
METODOLOGIA
Em primeiro lugar, criamos um modelo de cálculo da altura da tesoura (H) em função da inclinação do
telhado (I) e da largura da casa, já acrescida do beiral (L). Lembramos que a inclinação desejada varia
de acordo com o tipo de telha a utilizar. Deste modo tem-se:
altura
largura (base)
I
1
H
a
Aplicando a regra de três:
H.1=I.a
.: H = I . a
onde:
a = largura dividida por 2, ou seja: L/2;
H = altura da tesoura
I = inclinação do telhado (em decimais)
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Em seguida, criamos um modelo para cálculo do ângulo de inclinação do telhado ( á ), conforme Figura 1.
Figura 1 – Cálculo do ângulo de inclinação
Aplicando noções de trigonometria, temos: onde
H=I.a
O próximo passo é a criação de um modelo de cálculo do comprimento do banzo superior (B) da
tesoura, vide Figura 2.
Figura 2 – cálculo do Banzo superior
Isto posto, o comprimento das verticais e diagonais da tesoura, mostradas na Figura 3 são dados por:
Figura 3 – Parte da tesoura, com a simbologia utilizada
nos cálculos.
Enfim, para calcular a metragem total de madeira (M) necessária para a construção de uma tesoura,
basta somar a base com a altura, o banzo superior, as verticais e as diagonais encontradas anteriormente:
M = H + 2(a + B + v1 + v2 + d1 + d2)
Tentaremos, agora, resumir um pouco mais as fórmulas encontradas, em um novo modelo matemático
que engloba todos os outros já citados.
onde:
= inclinação (em decimais);
= largura da guia;
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Multiplicando-se a metragem encontrada pelo preço do metro de guia (R), obteremos o Custo da
Madeira de uma tesoura (C).
C=M.R
Para facilitar na simulação do modelo matemático, a partir de dados numéricos, permitindo
comparativos entre alguns tipos de telhas empregados nas construções residenciais, e suas respectivas
variações de inclinação, utilizamos o aplicativo MATLAB.
RESULTADOS
Com o auxílio do programa, MATLAB fizemos, então, algumas simulações. Quanto à inclinação
ideal para cada tipo de telha, vimos que existem muitas discrepâncias, especialmente nos dados fornecidos
por fabricantes de telhas. Optamos em considerar em nossos cálculos, a inclinação mínima sugerida por
Moliterno3, e apresentamos, a seguir, alguns dados obtidos.
Tabela 1 – Comparativo dos valores quanto ao tipo de telha
Largura da Casa
Tipo de Telha
Colonial
Francesa
Cimento Amianto
6m
Metragem
21,47
22,87
19,59
Custo
69,36
73,86
63,27
8m
Metragem
28,40
30,24
25,91
Custo
91,73
97,67
83,69
10m
Metragem Custo
35,32
114,10
37,61
121,49
32,23 C
104,11
CONCLUSÃO
Pelos resultados obtidos, podemos observar que a inclinação do telhado implica na quantidade de
madeira a ser utilizada para a construção das tesouras, bem como respectivo custo. Cada tipo de telha a
ser escolhido, em função de sua característica, tem uma recomendação específica no que diz respeito à
declividade da estrutura.
BIBLIOGRAFIA
BARBOSA, Jonêi Cerqeira. O que pensam os professores sobre a Modelagem Matemática? Zetetiké –
CEMPEM – FE/UNICAMP. v.7, n. 11. Jan/Jun, 1999.
BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem Matemática e Implicação no Ensino e Aprendizagem de
Matemática. Blumenau: FURB, 1999.134p.
MOLITERNO, Antonio. Caderno de projetos de telhados em estruturas de madeira. São Paulo: Edgard
Blücher, 2 ed., 1999. 461p.
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