(CS4) Estradas para estação

geometria
e medidas
Guia do professor
Experimento
Estradas para estação
Objetivos da unidade
1. Interpretar problemas de natureza geométrica;
2. Estudar relações entre pontos e retas experimental
e analiticamente.
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Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Guia do professor
Estradas
para estação
Sinopse
Este experimento trata de um problema de otimização que envolve a escolha da localização de uma estação ferroviária e a construção de estradas.
As questões serão apresentadas aos alunos, que deverão discutir e chegar
a um consenso sobre suas soluções. Após a discussão, os alunos resolverão os problemas experimentalmente, descobrindo, posteriormente, como
encontrar as mesmas soluções de forma analítica.
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Conteúdos
Geometria Analítica: Estudo do Ponto, Reta e Circunferência;
Geometria Plana: Problemas de Otimização no Plano.
Objetivos
1. Interpretar problemas de natureza geométrica;
2. Estudar relações entre pontos e retas experimental e analiticamente.
Duração
Uma aula dupla.
Introdução
A otimização está sempre presente no nosso dia-a-dia, até mesmo em
questões simples como escolher um caminho para ir ao mercado. Porém,
na maioria dos problemas do cotidiano, existem muitas variáveis a serem
otimizadas, por exemplo: é melhor ir pelo caminho mais curto ou pelo
mais seguro?
Neste experimento apresentamos a seguinte situação: numa linha de
trem, onde a estação deve ser construída de modo que se gaste a menor
quantidade possível de material em duas estradas que liguem a estação
e duas cidades A e B, isto é, o objetivo é obter o traçado das estradas de
forma que o comprimento total seja o menor possível.
Em seguida, de outra forma, almejamos que duas estradas de mesma
extensão liguem as cidades à estação. Esta situação não é a ideal para
uma construção real, mas permite estudos matemáticos e discussões
interessantes.
As resoluções desses problemas serão desenvolvidas em três níveis,
experimental, geométrica e analiticamente.
Motivação
Este experimento aborda tanto a Geometria Euclidiana quanto a Geometria
Analítica através de um problema de otimização. Nos dois casos em que ele
é dividido, podemos mostrar aos alunos as relações que essas duas geometrias possuem. No Experimento, já abordamos passo a passo as demonstrações necessárias, sendo que este Guia retomará rapidamente as etapas
do experimento e se aprofundará numa das variações possíveis dele.
Estradas para estação
O experimento
Etapa 1 Material mínimo
Para encontrar qual o menor gasto possível com material na construção
das estradas, a estação de trem deve ser colocada num local onde a soma
das distâncias dela às cidades seja a menor possível.
Resolução Geométrica
Na resolução geométrica proposta pelo experimento, fizemos uma reflexão
de uma das cidades em relação à reta que representa o trilho do trem:
B’
Reflexão da cidade B
β = 90°
Trilho do Trem
E
T
Estação
α = 90°
Cidade B
Cidade A
fig. 1
Chamamos a cidade B de B, sua reflexão de B’ , a cidade A de A e
a estação de E. Vamos mostrar que o o segmento BE é congruente ao
segmento EB’, representados na figura 1.
Quando refletimos o ponto B com relação ao trilho do trem, o segmento
BB’ forma um ângulo de 90° com o trilho e os segmentos BT e T B’ são
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congruentes. Portanto, pelo caso de congruência LAL, os triângulos BT E
e B’T E são congruentes, implicando a congruência dos lados BE e B’E.
Como queremos a menor soma, basta traçar um segmento de A a B’
(a menor distância entre dois pontos é um segmento de reta) e onde esse
segmento interceptar o trilho do trem deve ser o local da estação.
Resolução Analítica
A resolução analítica está bem desenvolvida no Experimento e não é
necessário seu aprofundamento neste Guia.
Etapa 2 Distâncias iguais
Nesta etapa, queremos construir a estação de maneira que ela fique à
mesma distância das cidades da etapa 1.
Resolução Geométrica
Para construir a estação, vamos verificar o seguinte enunciado: dado um
segmento AB, qualquer ponto C na mediatriz de AB forma um triângulo
isósceles ABC de base AB.
C
α = 90°
A
B
D
fig. 2
Estradas para estação
Como, por definição a mediatriz de um segmento AB é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e de B, temos que o triângulo ABC é
isósceles de base AB. Portanto, para resolver o problema da estação de
trem, basta traçar a mediatriz do segmento que liga as cidades A e B, e
então a estação ficará na intersecção da mediatriz com a linha do trem:
Trilho do Trem
Estação
Cidade B
Cidade A
fig. 3
Pelo resultado anterior, temos que AE = BE e, portanto, as distâncias
das cidades à estação são as mesmas.
Resolução Analítica
A resolução analítica desta etapa está bem desenvolvida no Experimento
e não é necessário seu aprofundamento neste Guia.
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Fechamento
Além do Fechamento proposto no Experimento, uma ótima conclusão seria
utilizar a variação proposta abaixo para que os alunos percebam que as
soluções obtidas podem ser ampliadas para um número maior de cidades,
do qual pode ser obtido um algoritmo para n cidades.
Variações
E se, ao invés de duas cidades, fossem três? Como ficaria a resolução da
questão para encontrar o menor comprimento de estrada que devemos
fazer?
Perceba que, se refletirmos duas das cidades na reta que representa
o trilho, como fizemos durante o experimento usando o espelho, não
obteremos a solução ótima, já que dessa maneira não ligaremos uma das
cidades à estação. Então, vamos supor que as cidades estejam nos pontos
B, C e D da figura 4. Seguem alguns passos para resolver essa questão:
1. Realizamos o mesmo procedimento utilizado no experimento – perceba
que obtemos dois pontos: um ligando C à reflexão de B e outro ligando
D à reflexão de B. Note que o ponto que procuramos deve estar entre os
pontos E e F já que se formos para a esquerda de E ou para a direita de F
o valor de todas as estradas aumenta.
Estradas para estação
B’
E
F
Trilho do Trem
D
B
C
fig. 4
2. Vamos realizar a mesma operação refletindo agora a cidade C. O segmento
BC ’ também cruza o trilho no ponto E , e o segmento DC ’ determina o
ponto G. Perceba que o ponto que queremos está no segmento EG, mas,
como queremos que ele também esteja em EF, ele continua restrito a esse
segmento.
C’
E
F
G
Trilho do Trem
D
B
fig. 5
C
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3. Realizemos o mesmo procedimento refletindo a cidade D.
D’
E
F
G
Trilho do Trem
D
B
fig. 6
C
O segmento BD’ também cruza o trilho no ponto F, e o segmento CD’
no ponto G. Perceba que o ponto que queremos deve estar agora FG, mas
pelos itens anteriores, concluímos que ele deve estar em EF, e o único
ponto que satisfaz essas duas condições é o ponto F.
Por meio de um raciocínio análogo a este, é possível encontrar o ponto
em que a estação deve ser construída levando em considerando 4 ou mais
cidades.
Estradas para estação
Bibliografia
Lima, E.L. Et al;. A Matemática do ensino médio, volume 1. Rio de Janeiro:
Sociedade Brasileira da Matemática, 2003
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Ficha técnica
Autor
Kauan Pastini Paula Leite
Revisores
Matemática
Antônio Carlos Patrocínio
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Projeto gráfico
e ilustrações técnicas
Preface Design
Fotógrafo
Augusto Fidalgo Yamamoto
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
Fernando Ferreira Costa
Vice-Reitor
Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação
Euclides de Mesquita Neto
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
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