Mecânica Clássica - Departamento de Física da UBI

.
Mecânica Clássica
(Séries de Problemas)
Paulo Vargas Moniz
Universidade da Beira Interior
Departamento de Fisica
1
1a Serie
1. Considera um bloco B de massa m deslizando sobre um plano inclinado
PI o qual tem massa M. Não há atrito. O PI está sobre uma superficie plana,
sobre a qual se pode mover. Escolhe variaveis dinamicas (generalizadas) e
determina a energia cinética de B.
2. Mostra que no caso de constragimentos holonómicos se pode obter
→
−
= ∂∂ ~dr , onde d é uma variavel generalizada qualquer.
∂ ṙ
∂ d˙
3. Usando o principio de D’Alembert, encontra as equações do movimento
para o sistema descrito na pergunta 1.
4. Para os exemplos seguintes indica o número de graus de liberdade dos
respectivos sistemas
a) Uma massa pontual livre
b) Duas massas pontuais livres
c) Duas massas pontuais ligadas por um fio recto (negligivel)
d) Três massas pontuais, onde duas estão ligadas por um fio recto (negligivel)
e) Três massas pontuais, onde cada uma está ligada por um fio recto
(negligivel) a outras duas.
5. Para o caso de forças conservativas, obtem as equações de EulerLagrange baseando-te no principio de D’Alembert
6. Obtem as equações de Euler-Lagrange através do principio variacional
(principio de Hamilton)
7. Obtem a equação que relaciona as forças de constragimento generalizadas com multiplicadores de Lagrange no caso de um sistema mecânico
com constragimentos holonómicos.
8. Mostra que se o Lagrangeano não depende explicitamente do tempo
então a função Hamiltoneano é conservada e pode (em certos casos) corresponder à energia.
9. Considera o movimento de uma bola (massa pontual) lançada para
cima a partir de um elevador (subindo ou descendo). Obtem o Lagrangeano
que é associado ao ponto de vista de um observador no elevador.
2
10. Considera uma massa pontual (e.g., uma pequena esfera) deslizando
sem atrito sobre uma esfera muito maior (e.g., uma bola de futebol). Determina as equações do movimento e apartir destas quando é que a massa
pontual atinge o solo (plano horizontal) onde está a esfera grande assente.
11. Usando o calculo variacional determina num plano a curva que minimiza a distância entre dois pontos. Se fôr numa superficie curva que ”novo”
ingrediente terás que incluir?
12. Considera o movimento de um pendulo simples com um corpo de
massa m, suspenso por um fio rigido e negligivel de comprimento ` , oscilando
em torno da posição de equilibrio. Determina
a) As equações do movimento para o caso de variaveis x e y usando
multiplicadores de Lagrange
b) As equações do movimento com auxilio de uma coordenada generalizada, encontrando a forma analitica das soluções para pequenas variações
13. Considera um sistema descrito por um Lagrangeano que possui invariancia sob acção de transformações de translação. Mostra que existe e
determina qual é a quantidade conservada associada.
14. Considera o caso do pendulo duplo. Determina o Lagrangeano do
sistema para pequenas deslocações
3
2a Serie
1. Determina as equações de Hamilton do movimento para um projectil
de massa m.
2. Determina o Hamiltoneano no caso de um sistema de duas particulas
de massas m1 e m2 interactuando através de uma força mutua central.
3. Considera o caso do pendulo duplo da pergunta 14 da 1a série. Determina o Hamiltoneano e equações do movimento quando as massas e fios
dos pendulos são iguais.
4. Determina o Hamiltoneano e respectivas equações do movimento no
caso de um oscilador harmonico simples
5. Considera uma particula com carga electrica e e massa m movendose numa zona do espaço sob acção de um campo electrico e tambem de
um campo magnetico. Determina o Hamiltoneano correspondente. Se o
campo magentico for uniforme, determina o Hamiltoneano num referencial
com rotação uniforme tal que não haja termos lineares no campo magnetico.
6. Considera um fisico numa nave espacial sem janelas que se move no
espaço inter-estelar. Como pode ele determinar se a nave está a ser acelerada
por uma força misteriosa, usando principio de Hamilton?
7. Obtem as equações de Hamilton do movimento e mostra que a acção
é invariante para variações infinitesimais associadas de q e p.
8. Considera um pendulo com um corpo de massa m, que tem uma
extremidade fixa no centro de uma esfera e com comprimento do fio R. O
pendulo pode oscilar em qualquer direcção. Determina o Hamiltoneano e as
equações do movimento.
4
3a Serie
1. Considera a transformação canonica F = qQ. Determina o Hamiltoneano nestas coordenadas assim como as equações de Hamilton.
2. Considera o Hamiltoneano de um oscilador harmonico e emprega a
transformação canonica F (q, Q) = 12 ωq 2 cot 2πQ. Determina o Hamiltoneano
resultante e as equações do movimento, tal como as suas soluções.
3. Considera a função geradora F1 (q, Q) = 21 ωq 2 cot 2πQ empregue para
o caso do oscilador harmonico. Constroi F3 (p, Q) = F1 − qp. Determina F3
explicitamente assim como a relação entre q, p e Q, P.
4. Considera a função geradora F1 (q, Q) = 21 ωq 2 cot 2πQ empregue para
o caso do oscilador harmonico. Determina o parentisis de Poisson de [q, p]Q,P .
³
´
5. Considera o Lagrangeano L = eγt 12 mq̇ 2 − 12 kq 2 onde γ, m, k são
constantes. Qual é a equação do movimento? Há constantes do movimento?
Como se descreve este movimento? Supõe que se faz uma transformação
do tipo S = eγt/2 q. Qual é a forma do novo Lagrangeano? E a equação do
movimento? Há constantes do movimento? Como se relacionam as duas
soluções?
³
´
³
´
6. Considera as transformações Q = ln 1 + q 1/2 cos P e P = 2 1 + q 1/2 cos P q 1/2 sin p.
Mostrta que Q, P são coordenadas canonicas se q, p o forem. ³Mostra
tambem
´2
Q−1
que a função geradora de trasformação entre elas é F3 = − e
tan p.
7. Resolve a equação de Hamilton-Jacobi, determina a função geradora
S, no caso de uma particula que tem um Hamiltoneano H = 12 p2 . Determina
a transformação canonica q = q(β, α) e p = p(β, α), onde β, α são a coordenada e momento transformados, respectivamente. Se tomarmos tambem uma
perturbação para o Hamiltonenao H 0 = 12 q 2 , determina o novo Hamiltoneano
e determina as equações do movimento assim como as suas soluções.
5
4a Serie
1. Considera a velocidade angular de um corpo expressa em termos de
angulos de Euler: θ, ψ, φ. Analisa se ω
~ é uma função integravel ou não, i.e.,
~
dΛ(θ,ψ,φ)
se ω
~ =
. Qual é a interpretação fisica da tua analise?
dt
2. Considera a suspensão de um objecto de uma altura de 50m e analisa
a sua dinâmica do ponto de vista do referencial em rotação que é a Terra.
3. Considera agora a queda de um objecto de uma altura de 50m nas
condições do probelama anterior. Analisa a sua dinâmica do ponto de vista
do referencial em rotação que é a Terra.
4. Porque é que nos furações a direcção do vento roda?
5. Analisa o ponto de vista do referencial em rotação que é a Terra o
movimento de um pendulo e extrai as conclusões decorrentes da experiencia
de Foucault.
6. Calcula o momento de inercia do objecto formado por duas esferas
homogeneas de massas M1 e M2 , com raios a e b e ligadas entre si por uma
linha rigida sem massa nos seus centros.
6