Sobre Hipersuperfícies Completas em Produtos Riemannianos

Transcrição

Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Curso de Mestrado em Matemática
Sobre Hipersuperfícies Completas em
Produtos Riemannianos
por
Arlandson Matheus Silva Oliveira
†
sob orientação do
Prof. Dr. Henrique Fernandes de Lima
Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa
de Pós-Graduação em Matemática - CCT - UFCG, como
requisito parcial para obtenção do título de Mestre em
Matemática.
†
Este trabalho contou com apoio nanceiro da CAPES
Sobre Hipersuperfícies Completas em
Produtos Riemannianos
por
Arlandson Matheus Silva Oliveira
Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em
Matemática - CCT - UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre
em Matemática.
Área de Concentração: Geometria Diferencial
Aprovada por:
Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Curso de Mestrado em Matemática
02/2015
ii
Resumo
No começo do século passado, S. Bernstein provou seu celebrado teorema, o qual
assevera serem os planos os únicos grácos inteiros e mínimos em
R3 .
Desde então,
um dos tópicos de pesquisa de grande importância na teoria de imersões isométricas
são as possíveis extensões desse teorema para dimensões maiores ou para outros espaços ambiente. Os esforços consignados por escrito nesta dissertação são devotados
à segunda vertente. Vamos considerar hipersuperfícies completas, conexas, orientáveis
e com curvatura média constante,
produto Riemanniano da forma
M
ψ : Σn # M
n+1
n+1
= R × M n,
, isometricamente imersas em um
em que
Mn
é uma variedade Rie-
manniana conexa e completa, para as quais sempre escolheremos um campo de vetores
suave, normal e unitário
a geometria de uma tal
N,
Σn ,
relacionadas a ela, a saber:
η := hN, ∂t i,
em que
∂t
globalmente denido em
Σn .
Com o propósito de estudar
lançaremos mão da análise de duas funções naturalmente
a função altura vertical
h := (πI )Σ
e a função ângulo
representa o vetor unitário que determina em
lheação de codimensão 1 por slices totalmente geodésicos
M
n+1
Mtn := {t} × M n .
uma foA partir
de restrições apropriadas sobre essas funções e suas derivadas, aliadas a exigências
bastante razoáveis sobre a geometria de
M
iii
e sobre os autovalores do endomorsmo
iv
de Weingarten associado à orientação
N,
empregaremos métodos analíticos (essencial-
mente, os princípios do máximo devidos ao Omori e ao Yau) para assegurar que
(isométrica a) um slice. No caso particular em que
i.e.,
Σn = Σn (u) = {(u(x), x) ∈ M
n+1
: x ∈ M n },
Σ
é um gráco inteiro sobre
para alguma função
mostraremos que um controle adequado da norma do gradiente de
para que tenhamos
u ≡ t0
Palavras-chave:
do máximo.
ou, equivalentemente,
Σn
Σn = Mtn0 ,
seja
M n,
u ∈ C ∞ (M ),
u em M n é suciente
para algum
t0 ∈ R.
Problemas tipo-Bernstein, produtos riemannianos, princípios
Abstract
In the beginning of past century, S. Bernstein proved his celebrated theorem
which asserts that the planes are the only entire minimal graphs in
R3 .
Since then, one
of research topics of greatest interest into the theory of Isometric Immersions are the
possibles extensions of this theorem either to higher dimensions or to other ambient
spaces. The eorts registered in writing in this dissertation are devoted to the second
perspective. We will consider complete connected orientable constant mean curvature
hypersurfaces
of the form
M
ψ : Σn # M
n+1
n+1
isometrically immersed in a Riemannian product space
= R × M n (M n
being a complete connected Riemannian manifold),
for which we will always chose a smooth normal unitary vector eld
in
Σn .
With the purpose of studying the geometry of such a
Σn ,
N
we will analyze two
functions naturally related to it, namely, the vertical height function
the angle function
mines in
M
n+1
η := hN, ∂t i
(here
∂t
globally dened
h := (πI )Σ
and
stands for the unitary vector eld which deter-
a codimension-one foliation by totally geodesic slices
Mtn := {t} × M n .
After imposing appropriated restrictions on these functions, combined with very reasonable requirements on the geometry of
Mn
e on the eigenvalues of the Weingarten
endomorphism associated to the orientation given by
v
N,
we will apply analytic techni-
vi
ques (essentially, the maximum principles due to Omori and Yau) to ensure that
(isometric to) a slice. In the particular case in which
M n,
i.e.
Σn = Σn (u) = {(u(x), x) ∈ M
n+1
Σn
: x ∈ M n },
u ≡ t0
Keywords:
ples.
or, equivalently,
Σn = Mtn0 ,
for some function
for some
is
is an entire graph dened on
we will show that an adequate control over the norm of the gradient of
ensure that
Σn
u
u ∈ C ∞ (M ),
is enough to
t0 ∈ R.
Bernstein-type problems, Riemannian products, maximum princi-
Agradecimentos
Ao professor Cláudio Dias, de alguma maneira ponto zero maquínico deste texto.
Ao professor Rubens Leão de Andrade, por me haver ensinado os rudimentos de
Topologia.
Ao professor Ronaldo Freire de Lima, por haver me inspirado o desejo de constar
n'O Livro.
Ao professor Henrique Fernandes de Lima, pela conança e pela orientação.
Ao professor Marco Antônio, pelo zelo e pela coorientação.
Ao professor Antônio Brandão, com quem aprendi que Matemática é, antes de
mais, criação e empenho.
Ao professor Marco Aurélio, por ter me ensinado a integrar e a ser pontual
µ-a.e.
Ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Campina Grande.
Aos professores e funcionários dos departamentos de Matemática da Universidades Federais do Rio Grande do Norte e de Campina Grande, em particular aos
professores Marcelo e Viviane, a Andrezza e a Aninha.
À CAPES, pelo suporte nanceiro.
Ao Hugo Romero (in memorian), pelos morangos mofados.
Aos amigos com quem partilhei as mais diversas alegrias e agruras desde que
cheguei em Campina Grande, em especial, ao Ailton, ao Fábio, à Débora e à Manu.
Last, but not least, à minha família, particularmente à minha mãe (sine qua non),
à minha irmã, ao meu pai e às minhas tias Lívia e Dagmar, por mais de duas décadas
de incentivo, cuidado e amor.
vii
Dedicatória
Ao Bernstein, ao Yau, aos meus
pais (Sandra e Antenor) e à minha irmã Camila.
viii
I modi in cui ignoriamo qualcosa sono altrettanto e forse più importanti dei modi in
cui lo conosciamo. Vi sono modi del non sapere sbadataggini, disattenzioni,
dimenticanze che producono goaggine e bruttura; ma di altri la svagatezza del
giovinetto di Kleist, la spezzatura incantata di un bambino non ci stanchiamo mai
di ammirare la compiutezza.
[. . .]
Vi sono, dunque, modi riusciti di ignorarsi e la
bellezza è uno di questi. É possibile, anzi, che sia proprio il modo in cui riusciamo a
ignorare a denire il rango di ciò che riusciamo a conoscere e che l'articolazione di
una zona di non conoscenza sia la condizione e, insieme, la pietra di paragone di
ogni nostro sapere.
[. . .]
Epistemologia e scienza del metodo indagano e ssano le
condizioni, i paradigmi e gli statuti del sapere, ma per come sia possibile articolare
una zona di non conoscenza non vi sono ricette. Articolare una zona di non
conoscenza non signica, infatti, semplicemente non sapere, non si tratta soltanto di
una mancanza o un difetto. Signica, al contrario, tenersi nella giusta relazione con
un'ignoranza, lasciare che un'inconoscenza guidi e accompagni i nostri gesti, che un
mutismo risponda limpidamente per le nostre parole. O, per usare un vocabolario
desueto, che ciò che ci è più intimo e nutriente abbia la forma non della scienza e del
dogma, ma della grazia e della testimonianza. L'arte di vivere è, in questo senso, la
capacità di tenersi in armonica relazione con ciò che ci sfugge. Anche il sapere si
tiene, in ultima analisi, in rapporto con un'ignoranza. Ma lo fa nel modo della
rimozione o in quello, più ecace e potente, della presupposizione. Il non sapere è ciò
che il sapere presuppone come il paese inesplorato che si tratta di conquistare,
l'inconscio è la tenebra in cui la coscienza dovrà portare la sua luce. In entrambi i
casi qualcosa viene separato, per poi essere compenetrato e raggiunto. La relazione
con una zona di non conoscenza veglia, al contrario, a che essa resti tale. E non per
esaltarne l'oscurità, come fa la mistica, né per gloricarne l'arcano, come fa la
liturgia. E nemmeno per riempirla di fantasmi, come fa la psicanalisi. Non si tratta
di una dottrina segreta o di una scienza più alta, né di un sapere che non si sa. É
possibile, anzi, che la zona di non conoscenza non contenga proprio nulla di speciale,
che, se si potesse guardarvi dentro, s'intravedrebbe soltanto ma non è certo un
vecchio slittino abbandonato, soltanto ma non è chiaro il cenno scontroso di una
ix
x
bambina che ci invita a giocare. Forse non esiste nemmeno una zona di non
conoscenza, esistono soltanto i suoi gesti. Come Kleist aveva capito così bene, la
relazione con una zona di non conoscenza è una danza.
Giorgio Agamben, Nudità.
Nosotros (la indivisa divinidad que opera en nosotros) hemos soñado el mundo. Lo
hemos soñado resistente, misterioso, visible, ubicuo en el espacio y rme en el tiempo;
pero hemos consentido en su arquitectura tenues y eternos intersticios de sinrazón
para saber que es falso.
J. L. Borges, Avatares de la tortuga.
As luzes do casario, aos poucos se apagaram.
Somente no alto de um sótão brilha uma lâmpada;
E, através da janela, se vê um jovem estudante,
Cabelos despenteados, caídos sobre a testa;
Está lendo: estuda um teorema de geometria.
Joaquim Cardozo, Visão do último trem subindo ao céu.
Conteúdo
Introdução .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Brevíssima excursão pela Análise Geométrica
6
10
1.1
Produtos warped semi-riemannianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2
Hipersuperfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3
A análise do laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.3.1
O princípio do máximo de Omori-Yau . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.3.2
O princípio do máximo de Hopf-Calabi . . . . . . . . . . . . . .
38
1.3.3
A fórmula de Bochner
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.3.4
O laplaciano das funções altura e suporte . . . . . . . . . . . . .
48
Os tensores de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.4
2 Resultados principais
61
2.1
Resultados de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.2
Aplicações no espaço hiperbólico
75
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Grácos verticais inteiros
R×M
83
3.1
Grácos em
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
3.2
Um resultado de integrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
3.3
Um pouco de heurística
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
3.4
Resultados tipo-Moser
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
3.5
Coda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
Bibliograa
101
Introdução
No começo do século passado, S. Bernstein [11] provou seu celebrado teorema
(modicado por E. Hopf [41]), o qual assevera serem os planos os únicos grácos inteiros
e mínimos em
R3 .1
Desde então, um dos tópicos de pesquisa de grande importância na
teoria de imersões isométricas são as possíveis extensões desse teorema para dimensões
maiores ou para outros espaços-ambiente. Nos anos subsequentes, houve um crescente
interesse no estudo de hipersuperfícies imersas em um produto warped
R ×f M n , o que
corresponde à segunda vertente oriunda do resultado de Bernstein.
Neste contexto,
assinalamos o artigo seminal de U. Abresch e H. Rosenberg [1] que generaliza o teorema
de Hopf para produtos riemannianos (nos quais
f ≡ constante)
homogêneos. No que
tange às superfícies mínimas nestes espaços produto, esse artigo é de grande relevância,
1 J.
Simons [64] provou um resultado que, combinado com alguns teoremas de E. de Giorgi [37] e
W. H. Fleming [31], fornece uma prova da extensão do teorema de Bernstein para Rn , com n ≤ 7. No
entanto, E. Bombieri, E. de Giorgi e E. Giusti [13] surpreendentemente mostraram que esse teorema
não vale para n ≥ 8. Desde então, um interessante tópico de pesquisa em Análise Geométria têm
sido as possíveis extensões do resultado de Bernstein para dimensões maiores ou para outros espaçosambiente. Uma contribuição notável foi dada por J. Moser [48], que mostrou que os hiperplanos são
os únicos grácos inteiros e mínimos de Rn tais que o gradiente da função correspondente tem norma
limitada. Mais surpreendentemente ainda, D. T. Hieu e T. L. Nam [39] mostraram que o teorema de
Bernstein é verdadeiro para G × R, que é Rn+1 com a densidade mista euclidiana e gaussiana. De
forma precisa, eles provaram o seguite: O gráco Σ de uma função u(x1 , . . . , xn ) = xn+1 sobre Gn
é Hf −mínimo se, e somente se, ele é um hiperplano xn+1 = a, i.e., u é constante. (Aqui, Gn é o
|x|2
espaço Euclidiano Rn com a densidade probabilística gaussiana e−f = (2π)− 2 e− 2 , conhecido como
espaço de Gauss, e Hf −mínimo quer dizer que a curvatura média ponderada Hf := H + h∇f, N i é
identicamente nula, em que N é o campo unitário normal a Σ.) Para uma demonstração bastante
n
elegante do teorema de Bernstein em R3 , veja [23]. Para uma não menos elegante do teorema de
Bernstein-Calabi (uma versão Lorentziana do resultado de Bernstein), veja [55]. Veja também [2].
Introdução
7
se levarmos em consideração o trabalho anterior de H. Rosenberg [56], que mostrou
que, quando
M2
é uma superfície completa com curvatura Gaussiana não negativa, um
gráco inteiro e mínimo em
R × M2
gráco é um slice horizontal ou
M2
é totalmente geodésico. Portanto, neste caso, o
é um
R2
plano e o gráco é um plano inclinado.
Algum tempo depois, L. J. Alías, M. Dajczer e J. Ripoll [5] generalizaram o
resultado de H. Rosenberg [56] para grácos inteiros de curvatura média constante
imersos num espaço riemanniano munido de um campo de Killing.
A seguir, J. M.
Espinar e H. Rosenberg [29] classicaram as superfícies de curvatura média constante
em
R × M2
segundo o ínmo de suas projeções horizontais. C. P. Aquino e H. F. de
Lima [6] aplicaram o conhecido princípio do máximo de H. Omori [50] e S. T. Yau
[66] para obter resultados de rigidez concernentes a grácos verticais completos em um
produto riemanniano
R × M n , cuja bra M n
é ou isométrica a
Sn
ou é plana.
H. F. de Lima e U. Parente obtiveram um teorema tipo-Bernstein em
2
Em [45],
R × Hn .
Como
aplicação de seu resultado, eles estudaram a unicidade de grácos verticais completos
com curvatura média constante em tal espaço. H. Rosenberg, F. Schulze e J. Spruck
[58] mostraram que um gráco inteiro mínimo com função altura não negativa em um
produto riemanniano
R × M n,
cuja bra
Mn
é completa com curvatura de Ricci não
negativa e curvatura seccional limitada inferiormente, deve ser um slice. Em [43], H.
F. de Lima, usando uma extensão do teorema de Stokes-Yau devida a A. Caminha,
provou que em um produto
R×M n
cuja bra
Mn
tem curvatura de Ricci não negativa,
os grácos inteiros que têm segunda curvatura média limitada inferiormente e norma
do gradiente da função correlacionada integrável à Lebesgue em
geodésicos; em particular, se a curvatura de Ricci de
Mn
Mn
são totalmente
é positiva, então tais grácos
são slices. C. P. Aquino, H. F. de Lima e E. A. Lima Jr. [7] zeram uso do referido
princípio do máximo generalizado de Omori-Yau e da fórmula de Bochner a m de obter
resultados de rigidez em em produto riemanniano
R×Mn
e apresentaram um exemplo
não trivial de um gráco vertical com curvatura média constante em
R × H2 .
Mais
recentemente, H. F. de Lima, E. A. Lima Jr. and U. L. Parente [44] trabalharam com
hipersuperfícies completas e two-sided imersas em um produto riemanniano
2 No
M
n+1
=
Teorema 2.7 desta dissertação, apresentamos um resultado um pouco mais geral, obtido a
partir deste de Aquino e de Lima.
Introdução
R × M n,
8
cuja bra
Mn
tem curvatura seccional limitada inferiormente, e mostraram
que controles adequados na norma do gradiente da função altura e no comportamento
da função ângulo, aliados a certas condições geométricas (quais sejam, a curvatura
média não mudar de sinal em particular, ser constante e segunda curvatura média
limitada inferiormente), são sucientes para assegurar que hipersuperfícies imersas em
M
n+1
são slices.
Dillen et al.
estudaram superfícies de ângulo constante imersas em um espaço
R × M 2,
especicamente aquelas superfícies para as quais o campo unitário
produto
normal faz um ângulo constante com a direção tangente a
R
(veja, por exemplo, [25],
[26] e [27]). Estendendo tais estudos, E. Garnica, O. Palmas e G. Ruiz-Hernández [36]
estabeleceram que hipersuperfícies completas, com ângulo e curvatura média constantes, imersas em um produto
R×M n , cuja bra M n tem curvatura de Ricci não negativa,
devem ser ou totalmente geodésicas ou parte de um cilindro sobre uma hipersuperfície
de curvatura média constante imersa em
M n.
Os esforços consignados por escrito nesta dissertação são devotados à segunda
vertente. Vamos considerar hipersuperfícies conexas, completas, two-sided e com curvatura média constante,
riemanniano da forma
ψ : Σn # M
M
n+1
n+1
= R × M n,
, isometricamente imersas em um produto
em que
Mn
é uma variedade riemanniana
conexa e completa, para as quais sempre escolheremos um campo de vetores suave,
normal e unitário
N,
geometria de uma tal
Σn ,
em que
∂t
Com o propósito de estudar a
lançaremos mão da análise de duas funções naturalmente
relacionadas a ela, a saber:
η := hN, ∂t i,
Σn .
a função altura vertical
h := (πI )Σ
e a função ângulo
lheação de codimensão 1 por slices totalmente geodésicos
M
n+1
Mtn := {t} × M n .
uma foA partir
de restrições apropriadas sobre essas funções e suas derivadas, aliadas a exigências
bastante razoáveis sobre a geometria de
de Weingarten associado à orientação
N,
Mn
e sobre os autovalores do endomorsmo
empregaremos métodos analíticos (essencial-
mente, os princípios do máximo devidos ao Omori e ao Yau) para assegurar que
(isométrica a) um slice. No caso particular em que
i.e.,
Σn = Σn (u) = {(u(x), x) ∈ M
n+1
: x ∈ M n },
Σn
é um gráco inteiro sobre
Σn
é
M n,
u ∈ C ∞ (M ),
Introdução
9
mostraremos que um controle adequado da norma do gradiente de
para que tenhamos
u ≡ t0
ou, equivalentemente,
Σ = Mtn0 ,
O texto está organizado da seguinte maneira.
No
u em M n é suciente
para algum
t0 ∈ R.
Capítulo 1
Brevíssima
excursão pela Análise Geométrica, estabeleceremos o arcabouço analítico que será utilizado na obtenção dos resultados dos demais capítulos. No
Capítulo 2 Resultados
principais, baseado em [6, 7, 44], vamos nos dedicar ao estudo de hipersuperfícies
isometricamente imersas em um produto warped
R×f M n .
Finalmente, no
Σn
Capítulo 3
Grácos verticais inteiros, tecido a partir dos resultados de [6, 7, 43, 44, 49], lidaremos
com grácos verticais inteiros em produtos riemannianos.
Capítulo 1
Brevíssima excursão pela Análise
Geométrica
1.1 Produtos warped semi-riemannianos
Nesta seção, introduziremos o conceito de produto warped semi-riemanniano e
estabeleceremos alguns resultados concernentes às curvaturas seccional e de Ricci desse
ambiente.
R ×f M n
O estudo da geometria de espaços da forma
é particularmente
profícuo e relevante em decorrência do fato de esses espaços possuírem naturalmente,
f ∂t .
como veremos, um campo conforme e fechado o campo
Recordamos que um tensor métrico sobre uma variedade suave
−tensor
ponto
covariante e simétrico
p ∈ M.
g
sobre
M,
tal que
gp
g = h·, ·i
1
é um tensor métrico de índice
produto warped
M = M ×f N
f : M → R
é a variedade produto
2−
em que
Sejam
M
é uma
M.
(M, gM )
e
(N, gN )
uma função suave e positiva.
M ×N
g = π ∗ (gM ) + (f ◦ π)2 σ ∗ (gN ),
1 Sejam
(M, g),
constante sobre
Denição 1.1 (Produto warped semi-riemanniano)
variedades semi-Riemannianas e seja
é um
é não-degenerado para todo
Uma variedade semi-riemanniana é um par
variedade suave e
M
X um espaço vetorial real e β uma forma bilinear sobre
é, por denição, a maior dimensão dos subespaços Y ≤ X tais que
O
munida do tensor métrico
(1.1)
X . Recordamos que o índice de β
β Y ×Y é negativa-denida.
Capítulo 1. Produtos warped semi-riemannianos
11
π e σ são as projeções sobre M e N , nesta ordem. Explicitamente, denotando
M
N
por h·, ·i
e h·, ·i
as métricas de M e N , respectivamente, se v e w são tangentes a
M × N em r = (p, q), então
em que
2
N
hv, wir = hdπr (v), dπr (w)iM
p + f (p)hdσr (v), dσr (w)iq .
A variedade
Se
M
f ≡ 1,
é dita a base de
então
M ×f N
expressar a geometria de
M
M = M ×f N
e a variedade
N,
a bra.
é simplesmente a variedade produto. Nosso objetivo é
em termos da função warping
f
e das geometrias de
M
e
N.
Observação 1.1
Assim como no caso de uma variedade produto, as bras
π −1 (p)
M × {q} = σ −1 (q)
e as folhas
são subvariedades
{p} × N =
semi-riemannianas de M , e a
métrica warped é tal que se vericam as seguintes condições:
π M ×{q} é uma isometria sobre M .
Para cada ponto p ∈ M , a aplicação σ é uma homotetia positiva sobre N ,
{p}×N
com fator de homotetia 1/f (p).
(i) Para cada ponto
(ii)
(iii) Para cada ponto
em
q ∈ N,
a aplicação
(p, q) ∈ M ,
a folha
M × {q}
e a bra
{p} × N
são ortogonais
(p, q).
Com efeito, para cada ponto
q ∈ N,
a aplicação
um difeomorsmo. Além disso, para cada ponto
x, y ∈ Tr (M × {q}) ≤ Tr M ,
Πq := π M ×{q} : M × {q} → M é
r = (p, q) ∈ M × {q} e para todos
temos
2
N
hx, yir = hdπr (x), dπr (y)iM
p + f (p)hdσr (x), dσr (y)iq
= hd(Πq )p (x), d(Πq )p (y)iM
p ,
pois
d(Πq )p = dπr Tr (M ×{q}) e σ é constante na folha M ×{q}, logo induz em Tr (M ×{q})
a aplicação linear nula. Isso prova (i). De maneira análoga, podemos demonstrar (ii):
basta considerarmos, para cada
p ∈ M,
o difeomorsmo
A condição (iii) é consequência imediata da denição
(1.1).
Σp := σ {p}×N : {p} × N → N .
do tensor métrico g dada em
12
Vetores tangentes às folhas serão ditos horizontais; vetores tangentes às bras
serão ditos verticais. Denotaremos por
M,
sobre seu subespaço horizontal
a projeção ortogonal de
Tr (M × {q}) ∼
= Tp M
Tr ({p} × N ) ∼
= Tq N .
subespaço vertical
nor
e por
tan
Tr M , r = (p, q) ∈
a projeção sobre o
Pelo item (iii) da Observação 1.1, temos
(Tr ({p} × N ))⊥ = Tr (M × {q}).
Portanto, para campos de vetores verticais
V, W
em
M,
a fórmula
α(V, W ) = nor ∇V W,
∇
em que
denota a conexão de Levi-Civita de
M,
fornece o tensor de forma de todas
as bras.
O espaço dos campos de
(respectivamente,
L (M )
é um
CN∞ (M )
2
que são levantamento
de campos de
N ) será denotado por L (M ) (respectivamente, L (N )).
∞
CM
(M )módulo,
levantamento de funções
que
M = M ×f N
em que
C ∞ (M ).
é o anel das funções
∞
CM
(M )
é o anel das funções
De modo similar,
C ∞ (M )
L (N )
é um
C ∞ (M )
M
turno, geralmente envolve a função warping
é o
que são
CN∞ (M )módulo,
em
C ∞ (N ).
é quase tão simples quanto
no caso especial do produto semi-riemanniano; a relação para com a bra
Lema 1.1
É claro que
que são levantamento de funções
A relação do produto warped para com a base
M
N,
por seu
f.
h ∈ C ∞ (M ). Então o gradiente do levantamento h◦π em M = M ×f N
levantamento para M do gradiente de h em M .
Seja
Demonstração.
dπ(v)(h) = 0,
horizontal
x,
pois
Dado um vetor vertical
dπ(v) = 0.
Logo, grad(h
v , temos que hgrad(h◦π), vi = v(h◦π) =
◦ π)
é horizontal. Agora, dado um vetor
temos
hdπ(grad(h ◦ π)), dπ(x)i = hgrad(h ◦ π), xi = x(h ◦ π) = dπ(x)h = hgrad h, dπ(x)i.
Assim, em cada ponto de
a grad h em
M.
Proposição 1.2
2 Veja,
M , dπ(grad(h ◦ π)) = grad h, i.e., grad(h ◦ π) é π relacionado
Se
X, Y ∈ L (M )
por exemplo, [52], p. 2425.
e
V, W ∈ L (N ),
então:
(i)
(ii)
∇X Y
é o levantamento de
∇M
XY
em
13
M;
∇X V = ∇V X = (X(f ◦ π)/f ◦ π)V ;
(iii)
nor ∇V W = α(V, W ) = −(hV, W i/f ◦ π)grad(f ◦ π);
(iv)
tan ∇V W ∈ L (N )
∇N
VW
em
N.
Demonstração.
(i) A fórmula de Koszul
3
2h∇X Y, V i
para
se reduz a
−V hX, Y i + hV, [X, Y ]i,
uma vez que
M , hX, Y i
[X, Y ]
(ii)
[X, V ] = [Y, V ] = 0.
é constante nas bras. Sendo
é tangente às folhas, logo
todo
V ∈ L (N ),
cada
Πq
donde
∇X Y
e
Y
V
vertical, temos
hV, [X, Y ]i = 0.
são levantamentos a partir de
Portanto
V hX, Y i = 0.
Mas
h∇X Y, V i = 0,
para
é horizontal. O resultado segue, então, do fato de
pois
[X, V ] = 0.
Esses campos de vetores são verticais, pois, por
h∇X V, Y i = −hV, ∇X Y i = 0.
2h∇X V, W i
warped,
X
ser uma isometria.
∇X V = ∇V X ,
(i),
Como
Todos os termos na fórmula de Koszul para
se anulam, à exceção de
XhV, W i.
hV, W i(p,q) = f (p)2 hVq , Wq iM .
hV, W i = f 2 (hV, W iM ◦σ).
Pela denição do tensor métrico
Escrevendo
f
em lugar de
f ◦ π,
temos
A expressão entre parênteses no lado direito da última
igualdade é constante nas folhas, às quais
X
é tangente. Assim,
XhV, W i = X f 2 (hV, W iM ◦ σ)
= 2f Xf (hV, W iM ◦ σ)
= 2(Xf /f )hV, W i.
Portanto,
∇X V = (Xf /f )V .
Geometria Diferencial, prova-se o seguinte resultado: Seja (M, h·, ·i) uma variedade
riemanniana. Então existe uma única conexão ∇ em M , dita a conexão de Levi-Civita de M ,
simétrica e compatível com h·, ·i. Essa conexão é caracterizada pela fórmula de Koszul,
3 Em
2h∇V W, Xi = V hW, Xi + W hX, V i − XhV, W i − hV, [W, X]i + hW, [X, V ]i + hX, [V, W ]i,
para todos X, V, W ∈ T M . Veja, por exemplo, o Teorema 11 à página 61 de [52].
semique é
14
(iii) Por (ii),
h∇V W, Xi = −hW, ∇V Xi
= −hW, (Xf /f )V i
= (Xf /f )hV, W i.
Xf = hgrad f, Xi,
Pelo Lema 1.1,
em
M
como em
M.
Assim, para todo
X,
h∇V W, Xi = −h(hV, W i/f )grad f, Xi.
(iv) Como
V
e
W
são tangentes a todas as bras, em uma dada bra
a derivada covariante aplicada às restrições de
tan ∇V W
e
∇N
VW
serem
σ−relacionados
V
e
W
tan ∇V W
é
àquela bra. O fato de
segue, então, do fato de as homotetias
preservarem as conexões de Levi-Civita.
Corolário 1.3
M × {q}
{p} × N são
As folhas
geodésicas e as bras
Observação 1.2
de um produto warped
M = M ×f N
são totalmente
totalmente umbílicas.
Em virtude do Lema 1.1, não deverá haver confusão, se simpli-
carmos a notação escrevendo
h
e grad h em lugar de
h◦π
e grad(h
◦ π),
respectiva-
mente. Igualmente com o intento de simplicar a notação (e levando em consideração
X para designar tanto um campo de vetores
X ∈ L (M ), assim como denotaremos por V
a Proposição 1.2), doravante escreveremos
X ∈ X(M ) quanto seu levantamento
tanto V ∈ X(M ) quanto V ∈ L (M ).
Exemplo 1
(i) Uma superfície de revolução é um produto warped, as folhas sendo as diferentes
posições da curva rotacionada e as bras os círculos de revolução. Explicitamente,
M é obtida pela rotação
f : C → R+ dá a distância
se
(ii)
R3 \ {0} como
3
de R \ {0} é
C em torno de um
M = C ×f S1 (1).
de uma curva plana
a esse eixo, então
eixo em
R3
e
um produto warped: em coordenadas esféricas, o elemento de linha
ds2 = dr2 + r2 (dϑ2 + sin2 ϑdϕ2 ).
15
r = 1, obtemos o elemento de linha da esfera unitária S2 . Evidentemente
R3 \ {0} é difeomorfo a R+ × S2 sob a aplicação natural (t, p) ↔ tp. Assim, a
2
3
fórmula para ds mostra que R \ {0} pode ser identicado com o produto warped
R+ ×r S2 . Em R3 \ {0}, as folhas são os raios partindo da origem e as bras são
2
n
as esferas S (r), r > 0. Mais geralmente, R \ {0} é naturalmente isométrico a
R+ ×r Sn−1 .
Fazendo
(iii) Os modelos de espaço-tempo standard do universo são produtos warped, bem como
os modelos mais simples de vizinhanças de estrelas e buracos negros. (Veja, por
exemplo, os capítulos
12
e
13
de [52].)
Hn+1 é isométrico aos produtos warped R×et Rn e R×cosh t Hn .
n+1
n
4.3 de [46]. Uma isometria explícita entre H
e R ×et R pode
(iv) O espaço hiperbólico
(Veja o Exemplo
ser encontrada em [4].)
O problema é expressar a curvatura de um produto warped
termos de sua função warping
f
e das curvaturas de
Para um tensor covariante
π ∗ (A)
mente seu pullback
A
em
A(v1 , . . . , vs )
e
RM
Como a projeção
e
π
RN
os levantamentos para
M
é simples-
(1, s)−tensor
r
cuja projeção em
de-
Tp M
é
RN ,
N.
dos tensores curvatura de
é uma isometria em cada folha,
A asserção correspondente vale para
RM
RM
M
N.
e
dá a curvatura de cada folha.
uma vez que a projeção
Como as folhas são totalmente geodésicas,
M
M
Essas denições não envolvem nenhuma geometria, logo con-
tinuam válidas, mutatis mutandis, para levantamentos de
Sejam
para
No caso de um
como sendo o vetor horizontal em
A(dπ(v1 ), . . . , dπ(vs )).
A
v1 , . . . , vs ∈ Tr M , r = (p, q) ∈ M
se
em
N.
seu levantamento
π : M → M.
sob a projeção
A : X(M ) × · · · × X(M ) → X(M ),
nimos
M,
M
M = M ×f N
σ
é uma homotetia.
coincide com o tensor curvatura
em vetores horizontais. A asserção correspondente para
RN
e
R,
R
de
contudo, falha,
pois as bras são, em geral, apenas umbílicas.
Se
h ∈ C ∞ (M ),
o levantamento para
concorda com o hessiano do levantamento
M
h◦π
de
Hess h
será denotado por
H h.
Ele
geralmente apenas em vetores horizon-
tais.
Proposição 1.4
Seja
um produto warped com tensor curvatura
X, Y, Z ∈ L (M )
e
então:
M = M ×f N
U, V, W ∈ L (N ),
R.
Se
Capítulo 1. Hipersuperfícies
(i)
R(X, Y )Z ∈ L (M )
16
(ii)
R(V, X)Y = (H f (X, Y )/f )V ,
(iii)
R(X, Y )V = R(V, W )X = 0;
(iv)
R(X, V )W = (hV, W i/f )∇X grad f ;
(v)
em que
Hf
Veja a Proposição
42
Agora, considere a curvatura de Ricci
para
para o levantamento (pullback por
(i)
(ii)
(iii)
M;
é o Hessiano de
f;
às páginas 210211 de [52].
Ric
de um produto warped, escrevendo
π ) da curvatura de Ricci de M , e similarmente
RicN .
Corolário 1.5
X, Y
em
R(V, W )U = RN (V, W )U − (h∇f, ∇f i/f 2 ){hV, U iW − hW, U iV }.
Demonstração.
RicM
RM (X, Y )Z
Em um produto warped
horizontais e
V, W
M = M ×f N ,
com
d := dim N > 1,
sejam
verticais. Então:
Ric(X, Y ) = RicM (X, Y ) − (d/f )H f (X, Y );
Ric(X, V ) = 0;
Ric(V, W ) = RicN (V, W ) − hV, W if # ,
f# =
e
∆f
é o laplaciano em
Demonstração.
em que
∆f
h∇f, ∇f i
+ (d − 1)
f
f2
M.
Veja [52], p. 211.
1.2 Hipersuperfícies
Comecemos por recordar a seguinte
Denição 1.6
n+p
, g) uma variedade
uma variedade riemanniana e (M
n+p
n
semi-riemanniana. Uma imersão isométrica ψ : M → M
é uma imersão (i.e., ψ
Sejam
(M n , g)
x ∈ M ) que satisfaz
tensores métricos de M e M pelo mesmo
uma hipersuperfície se p = 1, i.e., se a
é uma aplicação suave e sua diferencial é injetiva em todo ponto
∗
ψ g = g . Por
símbolo h·, ·i.
simplicidade, denotaremos os
Diremos que
codimensão da imersão
ψ
ψ(M ) ⊂ M
for igual a 1.
é
Capítulo 1. Hipersuperfícies
17
Seja uma imersão isométrica
ψ : Σn → M
n+1
.
Sempre podemos considerar
localmente um campo suave de vetores normais e unitários, i.e., um campo suave de
vetores
todo
ξ ∈ T Σ⊥
y ∈ U .4
Y ∈ T Σ,
denido numa vizinhança
U
de cada
x ∈ Σn
hξy , ξy i = 1
tal que
ξ .)
(De fato, existem apenas duas possíveis escolhas para
Se
X ∈ Tx Σ
Aξ : T Σ ←-
outro lado, como
para todo
ξ
(1.2)
é o endomorsmo de Weingarten (ou o operador de forma). Por
é um vetor normal unitário, temos
X ∈ T M.
h∇X ξ, ξi = 0,
donde
∇⊥
Xξ = 0
Logo, a fórmula de Weingarten é dada por
∇X ξ = −Aξ X, ∀X ∈ T Σ.
Observação 1.3
M
n+1
e
então a fórmula de Gauss é dada por
∇X Y = ∇X Y + hAξ X, Y iξ,
em que
para
(1.3)
Doravante, nesta dissertação, todas as hipersuperfícies
ψ : Σn →
com as quais lidaremos serão supostas conexas e orientáveis. Ademais, supore-
mos que foi xada uma orientação
mente denido em
n
Σ
N
(i.e., um campo suave normal e unitário, global-
) e denotaremos simplesmente por
A = AN
o endomorsmo de
n+1
n
n
Weingarten associado a N . Identicando Σ com sua imagem por ψ , ψ(Σ ) ⊆ M
,
vamos nos referir à hipersuperfície
Σn .
H :=
R
O tensor curvatura
Assim, a curvatura média
H
de
Σn
é dada por
1
traço(A).
n
de uma hipersuperfície
ψ : Σn → M
n+1
é dado por
R(X, Y )Z = ∇[X,Y ] Z − [∇X , ∇Y ] Z,
em que
[·, ·]
é o colchete de Lie e
o tensor curvatura
curvatura
R
R
de
do ambiente
Σn
M
X, Y, Z ∈ T Σ.
A equação de Gauss, que descreve
em termos do endomorsmo de Weingarten e do tensor
n+1
, é dada por
R(X, Y )Z = (R(X, Y )Z)> + hAX, ZiAY − hAY, ZiAX, ∀X, Y, Z ∈ T Σ.
4 Aqui,
(1.4)
como de praxe nos textos de Geometria Diferencial, T Σ e T Σ⊥ denotam, respectivamente,
os brados tangente e normal de Σn . As quantidades com ⊥ sobrescrito dirão respeito aos elementos
de T Σ⊥ . Para denições e detalhes, sugerimos ao leitor que veja [18], [24] ou [42].
Capítulo 1. A análise do laplaciano
18
1.3 A análise do laplaciano
Estamos, nalmente, em condições de descrever nosso objeto de interesse, a saber:
hipersuperfícies
ψ : Σn # M
M
ano da forma
n+1
n+1
isometricamente imersas em um produto Riemanni-
= R × M n,
em que a bra
Diremos que uma tal hipersuperfície
Σn
Mn
é uma variedade riemanniana.
é two-sided se seu brado normal for trivial,
o que, neste caso, é equivalente à existência de um campo suave normal e unitário
N,
Σn
(e está em concordância com a delimitação que ze-
mos na seção precedente acerca das hipersuperfícies com as quais trabalharemos; cf.
Observação 1.3).
Com o propósito de estudar a geometria de uma tal
análise de duas funções naturalmente relacionadas a
a função ângulo
M
n+1
(cf.
η := hN, ∂t i,
em que
∂t
Σn :
Σn ,
lançaremos mão da
a função altura
e
uma folheação de codimensão 1 por slices totalmente geodésicos
Corolário 1.3).
h := (πI )Σ
Mtn := {t} × M
Em suma, procuraremos respostas satisfatórias para a seguinte
questão: Sob que restrições sobre as funções altura e ângulo (e sobre as geometrias de
Σn
e de
M n ),
uma hipersuperfície completa
ψ : Σn # M
n+1
deve, necessariamente,
ser um slice?
Nesta seção, estabeleceremos os resultados analíticos que empregaremos no estudo
das funções altura e ângulo.
1.3.1
O princípio do máximo de Omori-Yau
Em 1967, H. Omori [50], estudando imersões em espaços euclidianos, provou o
seguinte resultado:
Seja
M
uma variedade riemanniana completa e conexa, com curvatura sec-
f é uma função suave sobre M limitada
> 0, existe um ponto p ∈ M , tal que:
cional limitada inferiormente. Se
superiormente, então, para todo
sup f − f (p) < ,
|∇f (p)| < Capítulo 1. A análise do laplaciano
19
e
Hess f (p)(X, X) < , ∀X ∈ Tp M, |X| = 1.
A abordagem de Omori, no entanto, é assaz complicada e tem o incoveniente de
envolver apenas o hessiano. Em 1975, S. T. Yau [66], obteve um princípio de máximo
mais simples, envolvendo o operador de Laplace-Beltrami, para variedades completas
com curvatura de Ricci limitada inferiormente. Mais precisamente, Yau provou este
teorema:
Sejam
M
uma variedade riemanniana completa e
superiormente. Então, para todo
(pk )k∈N ⊂ M ,
p ∈ M,
f ∈ C 2 (M )
limitada
existe uma sequência de pontos
tal que:
lim f (pk ) = sup f,
k
|∇f (pk )| =
M
2(f (pk ) − f (p) + 1)ρp (pk )
k(ρp (pk )2 + 2) ln(ρp (pk )2 + 2)
e
2(f (pk ) − f (p) + 1)(ρp (pk )K(pk ) + 1)
k(ρp (pk )2 + 2) ln(ρp (pk )2 + 2)
4(f (pk ) − f (p) + 1)ρp (pk )
+ 2
,
k (ρp (pk )2 + 2)2 [ln(ρp (pk )2 + 2)]2
∆f (pk ) ≤
ρp (x) = d(p, x)
em que
é a distância a partir de
p.
Nesta seção, apresentaremos uma demonstração desse teorema e obteremos, como
corolário, o seguinte resultado, a que nos referiremos como o princípio do máximo
generalizado de Omori-Yau e que será fundamental para provarmos os resultados do
próximo capítulo:
Seja
M
uma variedade riemanniana completa cuja curvatura de Ricci é
limitada inferiormente.
superiormente em
M,
Se
f
C 2 (M ), limitada
pontos (pk )k∈N ⊂ M ,
é uma função de classe
então existe uma sequência de
tal que:
k
M
lim |∇f (pk )| = 0
k
e
lim sup ∆f (pk ) ≤ 0.
k
20
O cut locus
Precisaremos do conceito de cut locus, introduzido para superfícies sob o nome ligne de
partage por H. Poincaré em 1905 e para variedades Riemannianas por J.H. Whitehead
em 1935.
Sejam
M
uma variedade riemanniana completa,
γ(0) = p.
d(γ(0), γ(τ )) = τ , i.e., γ [0,τ ] é
geodésica normalizada com
Sabemos que se
então
uma geodésica
não é minimizante, o mesmo acontece para todo
dos números
τ >0
para os quais
p∈M
γ : [0, +∞) → M
uma
τ > 0 é sucientemente pequeno,
minimizante. Ademais, se γ [0,τ0 ]
τ > τ0 .
d(γ(0), γ(τ )) = τ
e
Por continuidade, o conjunto
é da forma
[0, τ0 ]
ou
[0, +∞).
Isso
motiva a seguinte
Denição 1.7 (ponto de mínimo & cut locus)
niana completa e
p ∈ M.
Denotemos por
G
UM
Sejam
M
uma variedade rieman-
o brado tangente unitário de
M,
Up M,
p∈M
Up M = {u ∈ Tp M : |u| = 1}. Dado u ∈ Up M ,
geodésico normalizado, γu (t) = expp (tu). Se
em que
τ (u) := sup{t : γu [0,t] é
seja
γu : [0, +∞) → M
uma geodésica minimizante}
o raio
< +∞,
γu (τ (u)) é o ponto mínimo de p na direção u. O cut locus de p, que
denotaremos por Cut(p), é o conjunto de todos os pontos de mínimo de p, em todas as
direções u ∈ Up M .
então diremos que
Observação 1.4
Cut(p) 6= ∅ para todo p. [Com efeito,
dado p ∈ M , seja ρp a função distância a partir de p. Sendo imagem contínua de M , o
conjunto ρp (M ) ⊂ R é compacto e, portanto, limitado. Seja u ∈ Up M . Se não existisse
ponto mínimo na direção u, então ρp ◦ γu : [0, +∞) → R seria tal que ρp ◦ γu (t) = t
para todo t ∈ [0, +∞). Assim, esta seria uma função ilimitada com imagem contida
no compacto ρp (M ). Absurdo.] A recíproca é verdadeira.
Se
M
é compacta, então
Exemplo 2
(i) Em
Rn
e
Hn
(cada um munido de sua métrica canônica), existe uma única geodé-
sica normal minimizante ligando dois quaisquer pontos dados. Logo
para todo
p.
Cut(p) = ∅,
(ii) Se
M
21
é completa, simplesmente conexa e tem curvatura seccional não-positiva,
M é uma vizinhança normal de cada um de
Por conseguinte, se p ∈ M e u ∈ Up M , então γu (t) = expp (tu) é
em [0, +∞), donde inferimos que Cut(p) = ∅, para todo p ∈ M .
segue do teorema de Hadamard que
seus pontos.
minimizante
S1 × R munido
(ei(ϑ0 +π) , z) : z ∈ R é
(iii) Para o cilindro
Cut p =
p = (eiϑ0 , z0 ), então
a p. Note que p não
da métrica canônica, se
a linha vertical oposta
tem pontos conjugados.
(iv) Para
Sn
antípoda de
Observação 1.5
todo ponto
Cut(p) = {p},
com a métrica euclidiana,
p.
Note que
p
é também o primeiro ponto
Uma variedade riemanniana compacta
p∈M
p = −p é
conjugado de p.
em que
M
o ponto
para a qual o cut locus de
se reduz a um único ponto é chamada uma variedade Wiedersehen.
Um resultado devido a L. Green assevera que as superfícies (dim M
= 2)
Wiedersehen
5
são isométricas às esferas. Esse resultado foi generalizado por M. Berger e J. Kazdan
para o caso em que
Proposição 1.8
dim M
Suponhamos que
geodésica normalizada
(i) ou
γ(τ0 )
é par e por C.T. Yang
γ.
L(·)
Corolário 1.9
τ
Se
em
q,
de
p
a
(0, τ0 ],
tal que
p
ao longo de
γ(τ0 ),
γ(τ )
Se
então
tal que
γ;
L(σ) = L(γ).
q
é conjugado a
não ocorre depois de
ponto de mínimo de
q
é o ponto mínimo de
p
(i)
ou
ao longo
(ii) se
de γ .
q é o ponto mínimo de p ao longo de γ , então γ é minimizante
L(σ) = L(γ) = d(p, q).
−γ
ao longo da
p ∈ Cut(q).
Segue que a geodésica oposta
tal que
ao longo de
p = γ(0)
é ímpar.
Veja a Proposição 2.2 às páginas 296-297 de [18].
Proposição precedente, ou
a
σ 6= γ ,
q ∈ Cut(p),
Demonstração.
p
dim M
denota o comprimento de uma curva.) Reciprocamente, se
Demonstração.
p e q.
é o primeiro ponto conjugado de
verica, então existe
entre
para o caso em que
Então:
(ii) ou existe uma geodésica
(Aqui,
γ(τ0 )
6
ao longo de
p.
−γ
p,
é também minimizante entre
ou existe uma geodésica
q
e
σ 6= γ ,
p.
Pela
ligando
Em ambos os casos, o ponto de mínimo de
Como
L(−γ) = d(p, q),
concluímos que
p
q
é o
−γ .
An isoperimetric inequality and wiedersehen manifolds. In: S. T. Yau (ed.),
Seminar on Dierential Geometry, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1982, pp. 143
5 Veja
157.
6 Veja
J. L. Kazdan,
C. T. Yang,
(1980), 9196.
Odd-dimensional wiedersehen manifolds are spheres, J. Di. Geometry,
15
Corolário 1.10
p
a
Se
q∈
/ Cut(p),
então existe uma única geodésica minimizante ligando
q.
Demonstração.
γ : [0, τ ] → M
zante
σ 6= γ
γ(τ )
ligando
p a q,
Pelo teorema de Hopf e Rinow, existe uma geodésica minimi-
γ(0) = p e γ(τ ) = q .
com
γ
p
ao longo de
não seria minimizante em
Observação 1.6
Se existisse outra geodésica minimizante
então, pela recíproca da Proposição 1.8, existiria
então,
[0, τ ].
γ.
τ (p, u) =
τ0 ,
+∞,
se
se
q∈
/ Cut(p),
Como
teríamos
τ < τ.
τ : U M → R ∪ {+∞},
γp,u (τ0 ) = expp (τ0 u) ∈ Cut(p),
p não tem ponto de mínimo na
é contínua. Um corolário disso é que
τ ∈ [0, τ ] tal que
Mas,
Contradição.
É possível mostrar que a função
(
em
22
Cut(p)
direção
denida por
u,
é um subconjunto fechado de medida zero
M.
Fixemos um ponto
p ∈ M.
O cut locus está profundamente relacionado à suavi-
dade da função distância a partir de
p,
ρp : M → R
x 7→ ρp (x) = d(p, x).
Sabemos que
em
M.
ρp
De fato,
é uma função contínua. Contudo, não é difícil ver que
ρp
nunca é suave em
p!
ρp
não é suave
Neste contexto, temos a seguinte
Proposição 1.11
(i)
ρp é de classe C ∞ em M \ (Cut(p) ∪ {p}),
Cut(p) ∪ {p}) é dado por
e seu gradiente
∇ρp (q)
em
q∈M\
0
∇ρp (q) = γpq
(ρ(q)),
em que
γpq
denota a única geodésica minimizante de
comprimento de arco. Em particular,
p
a
q
parametrizada pelo
|∇ρp (q)| = 1.
(ii) Suponha que existem pelo menos duas geodésicas minimizantes normalizadas ligando
p
a
q.
Então
ρp
não é diferenciável em
q.
Demonstração.
23
Veja a Proposição 4.8 às páginas 108109 de [59].
Observação 1.7
(i) O conjunto dos pontos
Cut(p)
q
satisfazendo a hipótese de (ii) é denso em
é um subconjunto fechado de
M,
Cut(p).
Como
isso fornece a seguinte caracterização do
Cut(p) é o fecho do conjunto de todos os pontos de M que podem ser
ligados a p por pelo menos duas geodésicas minimizantes. Pode-se provar que se
q pode ser ligado a p por pelo menos duas geodésicas minimizantes, então ρ2p não
possui derivada direcional em q para vetores na direção dessas duas geodésicas.
cut locus:
Esses dois fatos, combinados, implicam o seguinte resultado (Teorema 2 de [65]):
M
Seja
n.
uma variedade riemanniana completa de dimensão
Assuma
2
que existe um ponto p ∈ M tal que ρp possui derivadas direcionais em
n
toda a M . Então M é difeomorfa a R .
(ii) Usando a fórmula da segunda variação, é possível calcular o hessiano de
M \ (Cut(p) ∪ {p}).
ρp
em
Em particular, podemos provar o seguinte (veja [59], p.
109110):
Se
γ : [0, τ ] −→ M
é uma geodésica normalizada partindo de
Cut(p).
que não intersecta
0
γ (τ0 ),
Se
τ0 ∈ (0, τ ]
e
X ∈ Tγ(τ0 ) M
γ(0) = p
é ortogonal a
então
˙ Jiγ(τ ) ,
(Hess ρp )γ(τ0 ) (X, X) = hJ,
0
J é
J(τ0 ) = X .
em que
Se
o único campo de Jacobi ao longo de
γ : [0, τ ] → M
γ
é uma geodésica normalizada ligando
J(0) = 0
tal que
p
a
x,
e
denimos (veja
[66])
Kγ (x) := min
t∈[0,τ ]
Esta quantidade
1
(τ − t)2
donde
Z
t
τ
Kγ (x)
1
n−1
−
τ −t
(τ − t)2
Z
τ
2
0
(ζ − t) Ric(γ (ζ))dζ .
t
é bem-denida, uma vez que
1
(ζ − t) Ric(γ (ζ))dζ ≤
sup Ric(γ 0 (ζ))
2
(τ − t) ζ∈[0,τ ]
τ −t
=
sup Ric(γ 0 (ζ)),
3 ζ∈[0,τ ]
2
0
Z
t
τ
(ζ − t)2 dζ
(
Kγ (x) ≥ min
t∈[0,τ ]
n−1
−
τ −t
24
τ −t
3
)
sup Ric(γ 0 (ζ)) .
ζ∈[0,τ ]
O mínimo no lado direito da última desigualdade existe, pois a expressão entre chaves
é uma função
Caso
nimos
g(t),
[0, τ )
contínua em
x ∈ M \ Cut(p),
K(x) := Kγ (x).
seja
γ
limt→τ − g(t) = +∞.
e tal que
a única geodésica minimizante ligando
Caso contrário, pomos
K(x) := inf γ Kγ (x),
tomado sobre todas as geodésicas minimizantes
γ
ligando
p
a
p
a
x.
De-
em que o ínmo é
x.
O próximo lema coleciona alguns fatos sobre a quantidade
K
que acabamos de
denir.
Lema 1.2
(i) Para todo
x ∈ M \ Cut(p),
(ii) Se a curvatura de Ricci de
temos que
M
∆ρp (x) ≤ K(x);
é limitada inferiormente, então
sup K(x) < ∞.
x∈M
Demonstração.
(i) Sejam
γ : [0, ρp (x)] −→ M
a geodésica minimizante ligando
os únicos campos de Jacobi ao longo de
γ
Ji (ρp (x)) = ei (ρp (x)), i = 1, . . . , n − 1,
em que
temos
γ.
Observação 1.7−(ii).
x
e
J1 , . . . , Jn−1
γ(0)
e tais que
{e1 , . . . , en−1 , en = γ 0 }
Como
7
(Hess ρp )x (Ji , Ji ) = hJi0 , Ji ix ,
7 Cf.
a
que se anulam em
referencial ortonormal e paralelo ao longo de
i = 1, . . . , n − 1,
p
Ji (0) = 0
e
é um
hJi , γ 0 ix = 0,
25
donde
∆ρp (x) =
n
X
h∇ei ∇ρp , ei ix
i=1
=
n−1
X
h∇ei ∇ρp , ei ix
i=1
=
=
=
n−1
X
i=1
n−1
X
i=1
n−1
X
(Hess ρp )x (ei , ei )
(Hess ρp )x (Ji , Ji )
hJi0 , Ji ix .
i=1
Por outro lado, pela equação de Jacobi,
hJi00 , Ji i = −hR(γ 0 , Ji )γ 0 , Ji i.
Assim,
Z
ρp (x)
{hJi0 , Ji0 i − hR(γ 0 , Ji )γ 0 , Ji i}dt
Iρp (x) (Ji , Ji ) =
0
Z
ρp (x)
{hJi0 , Ji0 i + hJi00 , Ji i}dt
=
0
Z
ρp (x)
=
hJi0 , Ji i0 dt
0
= hJi0 , Ji ix .
Logo,
∆ρp (x) =
n−1
X
Iρp (x) (Ji , Ji ).
i=1
Fixado
τ0 ∈ [0, ρp (x)),
f : [0, ρp (x)] −→ R é dada por

 0,
se 0 ≤ t ≤ τ0 ,
f (t) =
 t−τ0 , se τ ≤ t ≤ ρ (x),
se
ρp (x)−τ0
então
f
é seccionalmente suave e tal que
0, Vi := f ei
0
p
f (0) = 0 e f (ρp (x)) = 1.
Como
hJi , γ 0 i =
é um campo de vetores seccionalmente suave ao longo de
γ,
com
hVi , γ 0 i = 0, Ji (0) = Vi (0) = 0
e
26
Ji (ρp (x)) = Vi (ρp (x)) = ei (ρp (x)).
Aplicando o
lema do índice, é fácil ver que
n−1
1
∆ρp (x) ≤
−
ρp (x) − τ0 (ρp (x) − τ0 )2
RicM ≥ C ,
posteriormente. Se
(ζ − τ0 )2 Ric(γ 0 (ζ))dζ.
τ0
C <0
em que
γ : [0, τ ] → M
ρp (x)
τ0 ∈ [0, ρp (x)) , τ0 → ρp (x)− .
Basta, por m, tomarmos o mínimo em
(ii) Podemos supor que
Z
é uma constante a ser escolhida
é uma geodésica normalizada ligando
p
a
x,
então
Z τ
C
n−1
2
−
(ζ − t) dζ
Kγ (x) ≤ min
t∈[0,τ ]
τ −t
(τ − t)2 t
n − 1 C(τ − t)
= min
−
.
t∈[0,τ ]
τ −t
3
(1.5)
(1.6)
Estudemos a função
f : t 7→ f (t) =
Derivando, obtemos
f 0 (t) =
n−1
(τ −t)2
n − 1 C(τ − t)
−
, t 6= τ.
τ −t
3
+ C3 .
Assim, os pontos críticos de
r
t1 = τ −
e
−
r
t2 = τ +
−
f
são
3(n − 1)
C
3(n − 1)
.
C
É fácil ver que
f 0 (t) < 0 ⇐⇒ t ∈ (−∞, t1 ) ∪ (t2 , +∞)
e que
f 0 (t) > 0 ⇐⇒ t ∈ (t1 , t2 ), t 6= τ.
Portanto,
t1
é um mínimo global para
grande, temos
f (t1 ).
0 ≤ t1 < τ .
Como
f (−∞,τ ) .
Tomando
|C|
sucientemente
limt→τ − f (t) = +∞, segue de (1.5) que Kγ (x) ≤
Lema 1.3
Seja
γ : [0, τ ] → M
27
uma geodésica minimizante, tal que
γ(0) = p
M \ Cut(p). Então existe um aberto U contendo Γ := γ([0, τ ]) tal que,
x ∈ U , há em U no máximo uma geodésica minimizante ligando x a p.
Demonstração.
nenhum tal
q
é ligado a
com
U
Podemos supor que
existir, para todo
j ∈ N,
γ
e
γ(τ ) ∈
para todo
esteja normalizada. Por contradição, se
xj ∈ M ,
existiria
tal que
limj d(xj , Γ) = 0 e xj
por pelo menos duas geodésicas minimizantes distintas, digamos
αj
e
βj ,
|αj0 (0)| = |βj0 (0)| = 1.
Passando a uma subsequência, se necessário, podemos supor que existem
(0, τ ]
e
v, w ∈ Up M ,
τ0 ∈
tais que
lim xj = γ(τ0 ), lim αj0 (0) = v, lim βj0 (0) = w.
Pela continuidade da função distância, para
e
γw (t) = expp (tw)
t ∈ [0, τ0 ], temos que γv (t) = expp (tv)
são geodésicas minimizantes ligando
p
a
γ(τ0 ).
Há dois casos a considerar.
I Caso:
v 6= γ 0 (0)
v 6= γ 0 (0).
Então
w 6= γ 0 (0).
ou
γ(τ0 )
é ligado a
Logo, pela Proposição 1.8, existe
longo de
γ,
p
Suponhamos, sem perda de generalidade, que
pelas geodésicas minimizantes distintas
τ ∈ (0, τ0 ]
tal que
γ(τ )
γ
e
γv .
p
ao
contradizendo nossas hipóteses.
II Caso: v = w = γ 0(0)
. Então
lim expp (τ0 αj0 (0)) = expp (τ0 γ 0 (0)) = lim expp (τ0 βj0 (0)).
j
Como
que
γ
j
é minimizante e
γ(τ0 )
crítico de
γ(τ ) ∈ M \ Cut(p),
não é conjugado a
expp .
Logo
expp
p
ao longo de
novamente pela Proposição 1.8, temos
γ
e, portanto,
é injetiva numa vizinhança de
sucientemente grande, teremos
τ0 αj0 (0) = τ0 βj0 (0).
τ0 γ 0 (0)
τ0 γ 0 (0),
Contradição.
não é um ponto
de modo que, para
j
28
O teorema de Yau e seus corolários
Teorema 1.12 (Yau [66])
2
C (M )
pontos
limitada superiormente.
(pk )k∈N ⊂ M
M
Sejam
uma variedade riemanniana completa e
p ∈ M,
Então, para todo
f ∈
existe uma sequência de
tal que
k
|∇f (pk )| =
(1.7)
M
2(f (pk ) − f (p) + 1)ρp (pk )
k(ρp (pk )2 + 2) ln(ρp (pk )2 + 2)
(1.8)
e
∆f (pk ) ≤
em que
ρp (x) = d(p, x)
Demonstração.
2(f (pk ) − f (p) + 1)(ρp (pk )K(pk ) + 1)
k(ρp (pk )2 + 2) ln(ρp (pk )2 + 2)
4(f (pk ) − f (p) + 1)ρp (pk )
+ 2
,
k (ρp (pk )2 + 2)2 [ln(ρp (pk )2 + 2)]2
é a distância a partir de
k ∈ N,
Para
gk
é contínua e, se
p.
denimos
gk (x) :=
Obviamente,
(1.9)
f (x) − f (p) + 1
1
[ln(ρp (x)2 + 2)] k
f (x) ≤ C
gk (x) ≤
para todo
.
x ∈ M,
C − f (p) + 1
1
[ln(ρp (x)2 + 2)] k
então
,
de maneira que
lim sup gk (x) ≤ 0.
(1.10)
ρp (x)→+∞
Afirmação. gk
Com efeito, como
gk (x) < gk (p).
gk (p) > 0,
Como
e Rinow garante que
pk ∈ M .
assume seu máximo (absoluto) em algum
BR (p)
BR (p)
segue de (1.10) que existe
é limitado e fechado e
é compacto.
tal que
ρp (x) > R ⇒
é completa, o teorema de Hopf
Por continuidade,
pk ∈ BR (p), o qual é, portanto, um máximo global.
Agora, há dois casos a considerar.
M
R>0
gk
Em particular,
assume um máximo
f (pk )−f (p)+1 > 0.
I Caso: pk ∈ M \ Cut(p)
. Se
obtemos, em
Como
v ∈ Tx M ,
29
como (omitindo
x
por simplicidade)
2(f − f (p) + 1)ρp v(ρp )
v(f )
v(gk ) = k1 − 1 +1 ,
ln(ρ2p + 2)
k(ρ2p + 2) ln(ρ2p + 2) k
(1.11)
∇f
2(f − f (p) + 1)ρp ∇ρp
0 = ∇gk = k1 − 1 +1 .
ln(ρ2p + 2)
k(ρ2p + 2) ln(ρ2p + 2) k
(1.12)
pk ,
|∇ρp (pk )| = 1,
obtemos (1.8).
Para o cálculo do laplaciano, a equação (1.11) nos dá
v(v(f ))
2ρp v(f )v(ρp )
v(v(gk )) = k1 −
1 +1
ln(ρ2p + 2)
k(ρ2p + 2) ln(ρ2p + 2) k
2{ρp v(f )v(ρp ) + (f − f (p) + 1) [v(ρp )2 + ρp v(v(ρp ))]}
1 +1
k(ρ2p + 2) ln(ρ2p + 2) k
4(f − f (p) + 1)ρ2p v(ρp )2
1
2
+
1 +2 k + 1 + ln(ρp + 2) .
k(ρ2p + 2)2 ln(ρ2p + 2) k
−
Portanto, em
(1.13)
pk ,
4ρp h∇f, ∇ρp i
1 +1
k(ρ2p + 2) ln(ρ2p + 2) k
ln(ρ2p + 2)
2(f − f (p) + 1)(1 + ρp ∆ρp )
−
1 +1
k(ρ2p + 2) ln(ρ2p + 2) k
4(f − f (p) + 1)ρ2p
1
2
+
k1 +2 k + 1 + ln(ρp + 2) .
2
2
2
k(ρp + 2) ln(ρp + 2)
∆f
0 ≥ ∆gk = Novamente usando que
k1 −
|∇ρp (pk )| = 1,
h∇f, ∇ρp i =
segue de (1.12) que, em
(1.14)
pk ,
2(f − f (p) + 1)ρp
.
k(ρ2p + 2) ln(ρ2p + 2)
Substituindo essa expressão em (1.14) e usando o Lema 1.2(i), obtemos a desigualdade
(1.9).
II Caso:
pk ∈ Cut(p).
Então
p ∈ Cut(pk ).
pk
ao longo de
γ
é uma geodésica minimizante
p
é o ponto de
γ , então q ∈
/ Cut(pk ) para todo q ∈ Γ, q 6= p, pk .
Fixando um
parametrizada pelo comprimento de arco ligando
mínimo de
Se
pk = γ(0)
a
p,
tal que
tal
30
q = γ(τ0 ), pelo Lema 1.3, podemos tomar um aberto U ⊃ Γ̃, em que Γ̃ = γ([0, τ0 ]),
tal que, para todo
x∈U,
Denotemos por
numa vizinhança de
que
ρ̃q (x) ≥ ρq (x),
Denimos
há no máximo uma geodésica minimizante ligando
ρ̃q
a função distância a
pk ,
pois
g̃k (x) =
Afirmação. g̃k
De fato, como
gk
na variedade
pk ∈
/ Cut(q) ∪ {q}.
para todo
g̃k : U → R
q
U.
Temos que
ρ̃q
q
a
x.
é suave
Da denição de distância, inferimos
x∈U.
por
f (x) − f (p) + 1
1
{ln [(ρ̃q (x) + ρp (q))2 + 2]} k
atinge seu máximo em
assume seu máximo em
g̃k (pk ) =
pk ,
,x∈U.
pk .
temos, para todo
x∈U,
que
f (pk ) − f (p) + 1
1
{ln [(ρ̃q (pk ) + ρp (q))2 + 2]} k
f (pk ) − f (p) + 1
=
1 = gk (pk )
[ln(ρp (pk )2 + 2)] k
f (x) − f (p) + 1
≥ gk (x) =
1
[ln(ρp (x)2 + 2)] k
f (x) − f (p) + 1
≥
1 = g̃k (x).
{ln [(ρ̃q (x) + ρp (q))2 + 2]} k
(Na última desigualdade, usamos que
∇g̃k (pk ) = 0
e
ρ̃q (x) + ρp (q) ≥ ρq (x) + ρp (q) ≥ ρp (x).)
∆g̃k (pk ) ≤ 0.
Note que a diferença entre as expressões de
ρp (q).
Como
ρp (q)
v(g̃k ) =
pk ,
gk
e
g̃k
é a troca de
ρp (x) por ρ̃q (x) +
é constante, um cálculo semelhante àquele que nos conduziu à
expressão (1.11) mostra que, para
Assim, em
Logo,
v ∈ Tx U ,
e omitindo
x
por clareza, temos
v(f )
1
{ln [ρ̃q + ρp (q)] + 2} k
2(f − f (p) + 1)(ρ̃q + ρp (q))∇ρ̃q
−
.
1
k [(ρ̃q + ρp (q))2 + 2] {ln [ρ̃q + ρp (q) + 2]} k +1
v(f )
0 = v(g̃k ) =
Como
|∇ρ̃q | = 1,
ρ̃q (pk ) = ρq (pk )
q → p,
1
{ln [ρ̃q + ρp (q)] + 2} k
2(f − f (p) + 1)(ρ̃q (pk ) + ρp (q))∇ρ̃q (pk )
−
.
1
k [(ρ̃q (pk ) + ρp (q))2 + 2] {ln [ρ̃q (pk ) + ρp (q) + 2]} k +1
obtemos
|∇f (pk )| =
De
31
2(f (pk ) − f (p) + 1)(ρ̃q (pk ) + ρp (q))
,
k [(ρ̃q (pk ) + ρp (q))2 + 2] ln [(ρ̃q (pk ) + ρp (q))2 + 2]
e da continuidade da função distância
d : M × M → R,
fazendo
seque que
|∇f (pk )| =
2(f (pk ) − f (p) + 1)ρ(pk )
k(ρp (pk )2 + 2) ln(ρp (pk )2 + 2)
que é precisamente (1.8). De maneira similar, obtém-se (1.9).
Para provar (1.7), é suciente mostrarmos que
não fosse verdade, então existiriam
δ>0
e
x ∈ M,
lim sup f (pk ) = supM f .
Se isso
tais que
f (x) > lim sup f (pk ) + δ,
donde
f (x) > f (pk ) + δ/2,
para todo
Se
k
suentemente grande.
ρp (pk ) → ∞,
quando
gk (x) =
quando
(1.15)
ρp (pk ) > ρp (x).
k → ∞,
f (x) − f (p) + 1
[ln(ρp (x)2 + 2)]
1
k
>
f (pk ) − f (p) + 1
1
[ln(ρp (pk )2 + 2)] k
Isso contradiria a denição de
Se, para alguma subsequência de
(1.15), teríamos
então
= gk (pk ),
pk .
k , (pk ) convergisse para um ponto x0 ,
então, de
32
f (x) ≥ f (x0 ) + δ/2.
(1.16)
Como
f (x) − f (p) + 1
1
→ f (x) − f (p) + 1,
[ln(ρp (x)2 + 2)] k
k → ∞,
quando
temos
f (x) − f (p) + 1
1
> f (x) − f (p) + 1 − δ/4,
[ln(ρp (x)2 + 2)] k
para
j
(1.17)
sucientemente grande. De
f (pk ) − f (p) + 1
1
[ln(ρp (pk )2 + 2)] k
→ f (x0 ) − f (p) + 1,
quando
k → ∞,
segue que
f (x0 ) − f (p) + 1 >
f (pk ) − f (p) + 1
1
− δ/4.
[ln(ρp (pk )2 + 2)] k
De (1.16), (1.17) e (1.18), decorre que
f (x) − f (p) + 1
1
+ δ/4 > f (x) − f (p) + 1
[ln(ρp (x)2 + 2)] k
> f (x0 ) − f (p) + 1 + δ/2
f (pk ) − f (p) + 1
>
1 + δ/4,
[ln(ρp (pk )2 + 2)] k
i.e.
f (x) − f (p) + 1
[ln(ρp (x)2 + 2)]
novamente uma contradição.
1
k
>
f (pk ) − f (p) + 1
1
[ln(ρp (pk )2 + 2)] k
,
(1.18)
33
Teorema 1.13 (Princípio do máximo de Omori-Yau)
Seja
M
uma variedade ri-
f ∈ C 2 (M )
(pk )k∈N ⊂ M
emanniana completa cuja curvatura de Ricci é limitada inferiormente. Se
é limitada superiormente em
M,
então existe uma sequência de pontos
tal que
lim |∇f (pk )| = 0
k
k
M
Demonstração.
Caso
f
e
k
atinja máximo em
M
pacta), o resultado é trivial: de fato, basta tomarmos
e
pk = p,
para todo
k ∈ N.
Caso contrário, xemos
(em particular, se
p∗ ∈ M
p ∈ M,
tal que
e seja
M
for com-
f (p∗ ) = supM f
(pk )k∈N ⊂ M
uma
sequência satisfazendo (1.7), (1.8) e (1.9), cuja existência é assegurada pelo Teorema
1.12. Então, pondo
C1 := sup f ,
de (1.8), segue que
ρp (pk )
1
2(C1 − f (p) + 1)
·
·
2
k
ρp (pk ) + 2 ln(ρp (pk )2 + 2)
2(C1 − f (p) + 1) 1
1
≤
·√ ·
,
k
2 ln 2
|∇f (pk )| ≤
donde
lim |∇f (pk )| = 0.
k
Como a curvatura de Ricci de
uma constante (positiva)
C2 ,
M
tal que
é limitada inferiormente, existe, pelo Lema 1.2,
K(pk ) ≤ C2 ,
para todo
k ∈ N.
Daí e de (1.9),
inferimos que
2(C1 − f (p) + 1) C2 ρp (pk ) + 1
1
·
·
2
k
ρp (pk ) + 2 ln(ρp (pk )2 + 2)
2
ρp (pk )
1
4(C1 − f (p) + 1)
+
·
·
2
2
k
ρp (pk ) + 2
ln(ρp (pk )2 + 2)
2(C1 − f (p) + 1)C3 C1 − f (p) + 1
≤
+
,
k ln 2
2k 2 ln2 2
∆f (pk ) ≤
em que
C3
é uma constante positiva, de modo que
k
No caso em que
Teorema 1.13 à função
f ∈ C 2 (M )
−f ,
é uma função limitada inferiormente, aplicando o
obtemos o seguinte
Corolário 1.14
Seja
M
34
uma variedade riemanniana completa cuja curvatura de Ricci
f ∈ C 2 (M ) é limitada
(pk )k∈N ⊂ M tal que
é limitada inferiormente. Se
uma sequência de pontos
lim f (pk ) = inf f,
M
k
lim |∇f (pk )| = 0
k
Corolário 1.15 (Cheng-Yau [21])
Seja
M
inferiormente em
negativa de classe
(em particular, se
então existe
lim inf ∆f (pk ) ≥ 0.
e
k
uma variedade Riemanniana completa,
com curvatura de Ricci limitada inferiormente. Se
2
M,
β
f : M → R
C , tal que ∆f ≥ αf para algum
f for subharmônica), então f ≡ 0.
é uma função não-
par de números
α>0
e
β >1
Antes de passarmos à demonstração do Corolário 1.15, recordamos as seguintes
expressões para o gradiente e o laplaciano de uma função
e
ϕ:S⊆R→R
F = ϕ◦f , em que f ∈ C ∞ (M )
é uma função suave:
∇F = ϕ0 (f )∇f,
∆F = ϕ0 (f )∆f + ϕ00 (f )|∇f |2 .
(1.19)
Demonstração do Corolário 1.15.
Denimos
F := ϕ ◦ f ,
em que
ϕ : t ∈ R∗+ 7→
1
∈ R∗+ ,
(1 + t)λ
Usando as fórmulas em (1.19) e o fato de que
∆F = ϕ0 (f )∆f +
λ :=
ϕ(t) > 0,
β−1
> 0.
2
para todo
ϕ00 (f )
|∇f |2 ,
0
2
ϕ (f )
de modo que
−
ϕ00 (f )
|∇f |2 + ∆F = ϕ0 (f )∆f.
ϕ0 (f )2
Agora, é fácil ver que
0
ϕ (t) = −λϕ(t)
Assim,
λ+1
λ
,
ϕ00 (f )
=
ϕ0 (f )2
λ+1
λ
1
.
ϕ(t)
t ∈ R+ ,
obtemos
λ+1
λ
35
|∇f |2 − f ∆f = λϕ(f )
2λ+1
λ
∆f
fβ
≥ αλ
(1 + f )2λ+1
β
f
;
= αλ
1+f
em suma,
Como
F
2
|∇f | − f ∆f ≥ αλ
é, claramente, limitada inferiormente (F
F
cia minimizante para
Corolário 1.14.
k → ∞,
λ+1
λ
β
.
(1.20)
≥ 0), seja (pk )k∈N ⊂ M
uma sequên-
no sentido de Omori-Yau, cuja existência é assegurada pelo
Avaliando ambos os lados da deseigualdade (1.20) em
pk
e fazendo
vemos que
"
lim αλ
k
donde
f
1+f
limk f (pk ) = 0.
limk f (pk ) = supM f .
Ora, como
f (pk )
1 + f (pk )
β #
= 0,
limk F (pk ) = inf M F
e
ϕ
é estritamente decrescente,
O resultado segue.
Inspirados na prova do Corolário 1.15, se acrescentarmos às hipóteses deste corolário a hipótese de
para o caso em que
Corolário 1.16
f
ser limitada superiormente, então podemos estender o resultado
β = 1.
Seja M uma variedade riemanniana completa cuja curvatura de Ricci
f é uma função de classe C 2 , não-negativa,
∆f ≥ cf , para alguma constante c > 0, então f ≡ 0.
é limitada inferiormente.
superiormente e tal que
Demonstração.
tal que
Mais precisamente, temos o seguinte
f (x) ≤ A,
Se
Denimos
para todo
Ademais, note que
F : M → R∗+
x ∈ M,
por
p
F (x) = 1/ 1 + f (x).
então
1
1
0< √
= F ≤ 1.
≤√
1+f
1+A
√
F = ϕ(f ), em que ϕ : t 7→ 1/ 1 + t.
∇F = ϕ0 (f )∇f =
−∇f
−F 3 ∇f
=
,
2(1 + f )3/2
2
Então
Se
limitada
A>0
é
36
i.e.,
∇f =
−2
∇F.
F3
Por outro lado,
∆F = ϕ0 (f )∆f + ϕ00 (f )|∇f |2 =
−∆f
3|∇F |2
+
,
2(1 + f )3/2 (1 + f )3/5 F 6
i.e.,
F ∆F =
−1 4
F ∆f + 3|∇F |2 ,
2
ou ainda,
F 4 ∆f = 6|∇F |2 − 2F ∆F.
Seja
(pk )k∈N ⊂ M
uma sequência minimizante para
F
avaliando ambos os membros da última igualdade em
consideração que
segue que
F
é limitada, obtemos
limk ∆f (pk ) = 0.
Daí e de
no sentido de Omori-Yau. Então,
pk , fazendo k → ∞ e levando em
limk [F (pk )4 ∆f (pk )] = 0.
∆f ≥ cf ,
decorre que
Como
F (pk ) 6→ 0,
lim f (pk ) = 0.
Ora,
lim f (xk ) = sup f .
Observação 1.8
Seja
M
uma variedade riemanniana completa. Diremos que o prin-
cípio do máximo (forte) de Omori-Yau vale para M se, para qualquer função
f ∈
2
C (M ) limitada superiormente (respectivamente, inferiormente), for possível obter uma
sequência de pontos de M satisfazendo as três condições do Teorema 1.13 (respectivamente, Corolário 1.14). Um tal sequência será dita uma sequência maximizante (respectivamente, sequência minimizante) para
f.
Note que o Teorema 1.13 estabelece uma
condição suciente para a validade do Omori-Yau, qual seja, a de que a curvatura de
Ricci de
M
seja limitada inferiormente. Em seu belo opúsculo [54], S. Pigola, M. Ri-
goli e A.G. Setti provaram que a validade do Omori-Yau depende menos da curvatura
de Ricci (e mesmo da geometria) de
M
do que os resultados apresentados nesta seção
nos levariam a crer. Mais precisamente, eles provaram o seguinte
(M, h·, ·i) uma variedade riemanniana e suponha que existe uma função
C 2 não-negativa ν satisfazendo as exigências a seguir:
Seja
ν(x) → +∞
∃A > 0
∃B > 0
em que
G
tal que
tal que
quando
|∇ν| ≤ Aν 1/2
x → ∞,
fora de um compacto,
∆ν ≤ Bν 1/2 G(ν 1/2 )1/2
é uma função suave em
[0, +∞)
satisfazendo:
(G1)
G(0) > 0;
(G2)
G0 (t) ≥ 0
(G3)
G(t)−1/2 ∈
/ L1 (+∞);
(G4)
lim supt→+∞
[0, +∞);
em
tG(t1/2 )
G(t)
< +∞.
u ∈ C 2 (M )
Então, dada qualquer função
uma sequência
(xk )k∈N ⊂ M
(OY1)
u(xk ) > u∗ −
(OY2)
|∇u(xk )| <
(OY3)
∆u(xk ) <
para cada
∃B > 0
37
com
u∗ = supM u < +∞,
existe
com as seguintes propriedades:
1
;
k
1
;
k
1
k
k ∈ N.
tal que
Se substituirmos a última exigência sobre a função
Hess ν ≤ Bν 1/2 G(ν 1/2 )1/2 h·, ·i
ν
por
no sentido de formas quadráticas, obteremos, em lugar de
(OY3), a seguinte
conclusão mais forte
Hess u(xk ) <
1
h·, ·i.
k
Exemplos especialmente signicativos de funções satisfazendo
(G1) − (G4)
são dados por
2
G(t) = t
N Y
2
ln (t) ,
(j)
t 1,
j=1
em que
ln(j)
denota o
j ésimo
iterado da função logaritmo. As duas pri-
meiras condições sobre a função
Exemplo 3
ν
implicam que
(M, h·, ·i)
é completa.
M o
plano R com a métrica g = dr +h (r)dθ , em que h ∈ C ([0, +∞)) é tal que h(r) > 0
para r > 0 e
(
r,
se 0 5 r 5 1,
h(r) =
2 r3
3r e , se r = 3.
Uma variedade na qual não vale o princípio de Omori-Yau. Seja
2
A métrica
2
g
2
2
∞
f : M → R por
Z t
1
h(s)ds dt.
h(t) 0
é suave e completa. Denimos
Z
f (x) =
0
2
r(x)
f ∈ C (M ), supM f < +∞ e ∆f ≡ 1. Em particular, não existe nenhuma
sequência (pk ) em M tal que lim supk ∆f (pk ) 5 0. Para r > 3, a curvatura gaussiana
de M é dada por
h00 (r)
2
2
K(r) = −
= − 9r + 18r + 2 ,
h(r)
r
donde K(r) → −∞ quando r → +∞.
Então
1.3.2
38
O princípio do máximo de Hopf-Calabi
Lema 1.4
para todo
f, g : (M, g) −→ R
x próximo de p, então
Se
são funções
C2
tais que
f (p) = g(p)
e
f (x) ≥ g(x),
∇f (p) = ∇g(p),
Hess f (p) ≥ Hess g(p),
∆f (p) ≥ ∆g(p).
Demonstração.
Se
(M, g) ⊂ (R, can),
geral, tomando uma geodésica
observação para
f ◦α
e
g ◦ α,
então o resultado é simples cálculo. Em
α : (−, ) → M
com
α(0) = p,
podemos usar essa
a m de ver que
df (α0 (0)) = dg(α0 (0))
Hess f (α0 (0), α0 (0)) ≥ Hess g(α0 (0), α0 (0)).
Claramente, isso implica o lema, se zermos
Desse lema decorre que uma função
em que
f :M →R
B é uma aplicação bilinear simétrica em Tp M
se, existe uma função
(i)
f (p) = f (p);
(ii)
f (x) ≥ f (x)
(iii)
v = α̇(0)
f (x),
percorrer todos os
de classe
(ou
Hess f (p) ≥ B − · gp
(ou
tem
Hess f (p) ≥ B ,
∆f (p) ≥ a ∈ R) se, e somente
denida numa vizinhança de
em alguma vizinhança de
C2
v ∈ Tp M .
p,
tal que
p;
∆f (p) ≥ a − ).
As próximas denições visam dar sentido a esses fatos (reproduzi-los, se assim podemos
dizer) quando
f
é apenas uma função contínua.
Denição 1.17 (Função-suporte)
suporte para uma função contínua
C 2,
f
denida em uma vizinhança de
Seja
M
uma variedade riemanniana. Uma função-
x0 ∈ M é uma função g de classe
g(x0 ) = f (x0 ) e g(x) ≤ f (x) nessa
em um ponto
x0 ,
tal que
vizinhança.
Denição 1.18 (Sub/superhamonicidade no sentido de funções-suporte)
Sejam
M
uma variedade riemanniana e
f ∈ C 0 (M ).
Seja
a ∈ R.
Diremos que
∆f ≥ a
x0 no sentido de
˜
f = fx0 , de f em x0
em
39
funções-suporte se, para todo
> 0,
existir uma função-suporte
tal que
∆f˜ ≥ a − ,
∆
em que, nesta última ocorrência,
∆f ≥ a em todo x ∈ M . Uma função contínua f com ∆f ≥ 0
(respectivamente, ∆f ≤ 0) será dita subharmônica (respectivamente, superharmônica).
que
∆f ≥ a
denota o operador de Laplace-Beltrami. Diremos
se
Teorema 1.19 (Princípio do máximo de Hopf-Calabi [14, 40])
variedade riemanniana conexa de dimensão
(no sentido de funções-suporte). Então
f
n
e
f ∈ C 0 (M )
M n uma
Sejam
uma função subharmônica
M n,
não atinge máximo em
a menos que
f
seja constante.
A demonstração que apresentaremos é devida a J. Eschenburg e E. Heintze [28].
(Veja também [19, 20, 59].)
Demonstração.
todo
x
próximo de
p.
Seja
p
um máximo local, de tal maneira que
Tomemos uma pequena bola coordenada normal
supor que exista um ponto
z ∈ ∂Bδ (p)
tal que
f (p) > f (z).
f (p) > f (z 0 ) para z 0 ∈ ∂Bδ (p) sucientemente próximo de z .
de coordenadas normal
d((x2 )2 + · · · + (xn )2 ),
f (p),
então
φ(y) < 0.
{xi }ni=1
em que
d
tal que
grande,
Então
Se
f˜ = fq,
Ademais,
ψ(p) = 0.
f + µψ
δ (p)
Assim, para
< f (p),
φ(x) := x1 −
y ∈ ∂Bδ (p)
e
f (y) =
µ>0
Logo, para
Como
f + µψ
f + µψ
em
sucientemente pequeno,
f
q.
em
q
Para
com
q ∈ Bδ (p).
∆f˜ ≥ −,
então
f˜ + µψ
é
sucientemente pequeno, temos
tem um máximo local em
f˜ + µψ < f + µψ,
a sucientemente
(f + µψ)(p) = f (p).
é uma função-suporte para
∆(f˜ + µψ) > 0.
Ponhamos
tem um máximo interior em algum ponto
também uma função-suporte para
que
Consideremos um sistema
∂
− · · · 6= 0.
∂x1
∆ψ = (a2 |∇φ|2 + a∆φ)eaφ .
(f + µψ)∂B
Por conseguinte,
e vamos
Note que
ψ := eaφ − 1.
∆ψ > 0.
z = (δ, 0, . . . , 0).
Bδ (p),
para
Então, por continuidade,
é um número tão grande que, se
∇φ =
Seja
f (p) ≥ f (x)
q
e
(f˜ + µψ)(q) = (f + µψ)(q),
segue que
f˜ + µψ
40
tem um máximo local em
q.
Isso é uma contradição, uma vez que
o Hessiano de uma função em um ponto de máximo é negativo semi-denido, logo seu
traço é
≤ 0.
Portanto, o conjunto de pontos nos quais
f
atinge um máximo é aberto e fechado
e, por hipótese, coincide com toda a variedade.
1.3.3
A fórmula de Bochner
Teorema 1.20 (Bochner [10, 12])
são
n
e seja
f ∈ C 2 (M ).
Seja
M n uma variedade Riemanniana de dimen-
Então
1
∆|∇f |2 = Ric(∇f, ∇f ) + h∇f, ∇(∆f )i + |Hess f |2 .
2
Demonstração.
uma vizinhança
Fixemos
U ⊂M
de
p,
p ∈ M,
e seja
geodésico em
p.
{Ei }ni=1
(1.21)
um referencial ortonormal em
Então, em
p,
temos
1
1X
∆|∇f |2 =
(Hess |∇f |2 )(Ei , Ei )
2
2 i
X
1X
=
Ei (Ei h∇f, ∇f i) =
Ei (h∇Ei ∇f, ∇f i)
2 i
i
X
X
=
h∇Ei ∇Ei ∇f, ∇f i +
|∇Ei ∇f |2
i
(1.22)
i
X
=
h∇Ei ∇Ei ∇f, ∇f i + |Hess f |2 .
i
Agora, para
X
X ∈ T M,
temos que
hR(Ei , X)∇f, Ei i =
i
X
h∇X ∇Ei ∇f − ∇Ei ∇X ∇f + ∇[Ei ,X] ∇f, Ei , Ei i.
(1.23)
i
Como o referencial é geodésico em
p,
temos que
∇X Ei (p) = 0
e, daí, em
p,
X
X
h∇X ∇Ei ∇f, Ei i =
Xh∇Ei ∇f, Ei i = X(∆f ) = hX, ∇(∆f )i.
i
(1.24)
i
Novamente em virtude de o referencial ser geodésico em
p,
junto com o fato de Hessf
41
ser um operador linear auto-adjunto, obtemos, em
p,
h∇Ei ∇X ∇f − ∇[Ei ,X] ∇f, Ei i = Ei h∇X ∇f, Ei i − h∇X ∇f, ∇Ei Ei i
− h∇Ei ∇f, [Ei , X]i
= Ei h∇Ei ∇f, Xi
− h∇Ei ∇f, ∇Ei X − ∇X Ei i
(1.25)
= h∇Ei ∇Ei ∇f, Xi + h∇Ei ∇f, ∇Ei Xi
− h∇Ei ∇f, ∇Ei Xi
= h∇Ei ∇Ei ∇f, Xi.
Substituindo (1.24) e (1.25) em (1.23), obtemos
X
X
hR(Ei , X)∇f, Ei i = hX, ∇(∆f )i −
h∇Ei ∇Ei ∇f, Xi
i
i
ou, ainda,
X
h∇Ei ∇Ei ∇f, Xi = Ric(X, ∇f ) + hX, ∇(∆f )i.
i
Basta tomar
X = ∇f
Observação 1.9
para
1-formas
na última relação e substituir o resultado em (1.22).
Em [34], a fórmula de Bochner é deduzida da seguinte identidade
diferenciais:
((DX DY − DY DX )α)(Z) = α(R(X, Y )Z),
quaisquer que sejam os campos
fórmula a
α = df ,
X, Y, Z
em
(M, g)
e a
1−forma α.
obtemos
DDdf (X, Y, Z) − DDdf (Y, X, Z) = df (R(X, Y )Z).
Tomando traços com respeito a
X
e a
Z
e observando que
DDdf (X, Y, Z) = DDdf (X, Z, Y )
(pois
df
é fechada), vemos que
tr12 DDdf (Y
Por outro lado,
) = −d∆f (Y ) + Ric(∇f, Y ).
DX |df |2 = 2g(DX df, df ),
donde
2
DX,Y
|df |2 = 2g(DX df, DY df ) + 2g(DX DY df, df ).
Aplicando essa
42
Tomando o traço, obtemos
1
− ∆|df |2 = |Ddf |2 + tr12 DDdf (∇f ).
2
A fórmula desejada segue, bastando para isso eliminar o termo
DDdf (∇f ).
Combinaremos o princípio do máximo de Omori e Yau (1.13) e a fórmula de
Bochner (1.20) para obter a seguinte extensão do teorema de Liouville, devida ao S.
T. Yau ([66]).
Proposição 1.21
Seja
Mn
uma variedade riemanniana completa, com curvatura de
Ricci não negativa. As únicas funções harmônicas limitadas inferiormente em
Mn
são
as constantes.
Demonstração.
Para
a > 0,
Sem perda de generalidade, podemos supor que
denimos uma função
g:M →R
g(x) = p
Da denição de
g
por
f (x)
|∇f (x)|2 + a
.
(1.26)
e das propriedades do grandiente, segue que
∇g = p
Usando div(hX)
inf M f > 0.
∇f
|∇f |2 + a
= h∇h, Xi + hdivX
−
f ∇|∇f |2
.
2(|∇f |2 + a)3/2
(1.27)
e a fórmula de Bochner (1.21), obtemos que
∆f
3f |∇|∇f |2 |2
h∇|∇f |2 , ∇f i
p
+
+
|∇f |2 + a)3/2
|∇f |2 + a 4(|∇f |2 + a)5/2
f
−
{|Hessf |2 + h∇∆f, ∇f i + Ric(∇f, ∇f )}.
2
|∇f | + a)3/2
∆g = −
Como, por hipótese,
∆g ≤ −
∆f = 0
e
RicM ≥ 0,
segue que
3f |∇|∇f |2 |2
f
h∇|∇f |2 , ∇f i
+
−
|Hessf |2 .
2
3/2
2
5/2
2
3/2
|∇f | + a)
4(|∇f | + a)
|∇f | + a)
Tomando o produto interno de (1.27) com
Schwarz, obtemos
(1.28)
∇f
(1.29)
e usando a desigualdade de Cauchy-
h∇|∇f |2 , ∇f i
2
−
≤
2
3/2
|∇f | + a)
f
43
(
|∇f |2
)
|∇g||∇f | − p
|∇f |2 + a
.
(1.30)
De (1.27), vem também que
p
2
3 |∇f |2 + a f ∇|∇f |2 3f |∇|∇f |2 |2
=
2(|∇f |2 + a)3/2 4(|∇f |2 + a)5/2
f
"
#2
p
3 |∇f |2 + a
|∇f |
p
+ |∇g| .
≤
f
|∇f |2 + a
Multiplicando ambos os lados de (1.29) por
g
(1.31)
e usando (1.26), (1.30) e (1.31),
obtemos
g∆g ≤ 2
|∇f |2
|∇g||∇f |
p
−
|∇f |2 + a |∇f |2 + a
!
+3
!2
|∇f |
p
+ |∇g|
|∇f |2 + a
(1.32)
f2
−
|Hessf |2 .
|∇f |2 + a)3/2
Portanto,
p
|∇f |
f |∇f ||Hessf |
≤
.
8|∇g| + 1 + 3|∇g|2 − g∆g p
2
3/2
(|∇f | + a)
|∇f |2 + a
Agora, dado
de
Tx M
tal que
obtemos, em
n
escolhemos uma base ortonormal {ei }i=1
2
P
P
k
≤ k ki=1 c2i ,
∇f (x)/|∇f (x)|. Usando a desigualdade
1=1 ci
x∈M
e1 =
(1.33)
com
∇f (x) 6= 0,
x,
|Hessf |2 =
n
X
i,j=1
fij2 ≥
n
X
i=1
2
fii2 = f11
+
n
X
i=2
1
2
fii2 ≥ f11
+
n−1
n
X
!2
fii
i=2
1
f2
n
2
2
= f11
+
(∆f − f11 ) = f11
+ 11 =
f2 .
n−1
n−1
n − 1 11
Tomando o produto interno de (1.27) com
e1 ,
temos
f h∇e1 ∇f, ∇f i
f |∇f |f11
|∇f |
|∇f |
h∇g, e1 i = p
−
=p
−
2
3/2
(|∇f | + a)
|∇f |2 + a
|∇f |2 + a (|∇f |2 + a)3/2
(1.34)
44
e, daí,
|∇f |
f |∇f ||f11 |
|∇f |
p
p
−
|h∇g,
e
i|
≥
− |∇g|.
≥
1
(|∇f |2 + a)3/2
|∇f |2 + a
|∇f |2 + a
(1.35)
Combinando (1.34) e (1.35), obtemos
f |∇f ||Hessf |
≥
(|∇f |2 + a)3/2
r
n
n−1
|∇f |
!
r
|∇f |
p
− |∇g| .
|∇f |2 + a
(1.36)
De (1.33) e (1.36), temos
p
|∇f |
8|∇g| + 1 + 3|∇g|2 − g∆g p
≥
|∇f |2 + a
n
n−1
!
p
− |∇g| ,
|∇f |2 + a
que implica
r
n
|∇g| ≥
n−1
r
|∇f |
p
|∇f |2 + a
Seja, agora,
Yau. Dado
> 0,
(pk ) ⊂ M
existe
p
n
− 8|∇g| + 1 + 3|∇g|2 − g∆g .
n−1
k0 ∈ N
g
no sentido do Omori-
tal que
|∇g(pk )| < ,
−g(pk )∆g(pk ) < ,
∀k = k0 .
Daí e de (1.37), temos
r
n
|∇f |
> p
(pk )
n−1
|∇f |2 + a
r
√
n
2
− 1 + 9 + 3 ,
n−1
implicando
n
√n−1
lim sup p
(pk ) ≤ p n
.
2
−
1
+
9
+
3
k
|∇f |2 + a
n−1
p
|∇f |
Fazendo
→ 0+
na desigualdade precedente, encontramos que
lim sup p
k
|∇f |
|∇f |2 + a
(pk ) = 0.
(1.37)
Portanto, existe
k1 ∈ N
45
tal que
√
|∇f |
2
p
(pk ) <
,
2
2
|∇f | + a
e, assim,
|∇f (pk )|2 < a, ∀k ≥ k1 .
∀k ≥ k1
Ora,
f (pk )
f (pk )
inf f
g(pk ) = p
> √
≥ √ ,
2
2a
2a
|∇f (pk )| + a
Como
g(pk ) → inf g ,
|∇f (p)|
<
f (p)
Fazendo
a → 0+ ,
Exemplo 4
segue que
inf g ≥
∀k = k1 .
inf
√ f . Portanto,
2a
p
√
|∇f (p)|2 + a
1
1
2a
=
≤
≤
,
f (p)
g(p)
inf g
inf f
obtemos que
|∇f (p)| = 0,
para todo
∀p ∈ M, a > 0.
p ∈ M.
Com o auxílio do princípio do máximo de Hopf-Calabi e da Fórmula de
Bochner estabeleceremos o seguinte resultado, devido a Myers e a Cheng:
Seja
(M, g)
uma variedade riemanniana completa cuja curvatura de Ricci
satisfaz RicM
dade vale se,
√
≥ (n − 1)κ = RicSn (κ) . Então diam(M ) ≤ π/ κ,
n
e somente se, (M, g) é isométrica a S (κ).
e a igual-
Necessitaremos desta
Proposição 1.22 (
Comparação do laplaciano) Sejam M
r(x) := d(p, x), x ∈ M , a função distância a partir de p.
(n − 1)κ, para todo v ∈ U M , então, em M \ (Cut(p) ∪ {p}), temos

√
√

se κ > 0,
 (n − 1) κ cot( κr),
κ
∆r ≤ ∆ r =
(n − 1)/r,
se κ = 0,

√
√

(n − 1) −κ coth( −κr), se κ < 0.
Denote por
Aqui
∆κ
Se
(1.38)
denota o operador de Laplace-Beltrami na variedade Riemanniana simples-
mente conexa
M (κ)
com curvatura seccional constante
Demonstração da Proposição 1.22.
(1.21) à função
f (x) = r(x)
em
obtemos
|Hess r|2 +
Sejam
p ∈ M.
Ric(v, v) ≥
completa e
λ1 , . . . , λ n
os auto-valores
κ.
Aplicando a fórmula de Bochner
M \ (Cut(p) ∪ {p}),
onde
r
é suave e
∂ ∂
∂
(∆r) + Ric( , ) = 0.
∂r
∂r ∂r
de Hess r , i.e., os autovalores
auto-adjunta
v 7→ ∇v ∇r.
|∇r| = 1,
da aplicação linear
Como
x,
∇r(x) =
0
,
= γr(x)
∂
∂r x
em que
46
γ
é a única geodésica normalizada ligando
p
a
temos
∇∇r ∇r = 0.
Segue que um dos auto-valores, digamos
dá
Como
λ1 ,
é zero. A desigualdade de Cauchy-Schwarz
(traço(Hess r))2
(λ2 + · · · + λn )2
(∆r)2
=
=
≤ λ22 + · · · λ2n = |Hessr|2 .
n−1
n−1
n−1
Ric(∇r, ∇r) ≥ (n − 1)κ, obtemos a desigualdade de Riccati
(∆r)2
∂
+
+ (n − 1)κ ≤ 0.
n − 1 ∂r
Denimos
snκ (t)
:=





√1
κ
√
sin( κt),
t,
√1
−κ
√
sinh( −κt),
ctκ (t)
:=
se
κ > 0,
se
κ = 0,
κ < 0,
se
(1.39)
0
snκ (t)
snκ (t)
e
ψκ (t) := (n − 1)ctκ (t).
Note que
ψκ
satisfaz a
equação de Riccati,
ψκ0 +
ψκ2
+ (n − 1)κ = 0.
n−1
x ∈ M \(Cut(p)∪{p}), γ a única geodésica minimizante ligando p a x, v := γ 0 (0)
ϕ(t) = ∆r(γ(t)). Observe que ϕ satisfaz
Sejam
e
ϕ0 +
ϕ2
+ (n − 1)κ ≤ 0.
n−1
Por outro lado, como
i.e.,
ϕ(t) =
n−1
t
+ O(t),
∆r =
n−1
+ O(r),
r
existe
r0 ≤ d(v)
quando
r → 0,
tal que
ϕ(t)2
+ (n − 1)κ > 0,
n−1
∀t ∈ (0, r0 ).
Assim, levando em consideração a desigualdade (1.39), obtemos
−ϕ0
ϕ2
n−1
(1.40)
+ (n − 1)κ
≥1
em
(0, r0 ).
(1.41)
47
Por integração, obtemos
Z
0
t
−ϕ0
ϕ2
n−1
+ (n − 1)κ
donde
arc ctκ
ϕ(t)
n−1
ds ≥ t,
∀t ∈ (0, r0 ] ,
≥ t,
∀t ∈ (0, r0 ] .
(Aqui arc ctκ denota a função inversa de ctκ .) Daí,
ϕ(t) ≤ (n − 1)ctκ (t) = ψκ (t),
t ∈ (0, r0 ] .
Pomos
t0 := sup{0 < t < τ (v) : ϕ ≤ ψκ
Se
t0 = τ (v),
obtemos (1.38). Se
t0 < τ (v),
então
em
(0, t)}.
ϕ(t0 ) = ψκ (t0 )
e, assim,
ψκ (t0 )2
ψ(t0 )2
+ (n − 1)κ =
+ (n − 1)κ > 0.
n−1
n−1
Mas, então, (1.41) vale em
(0, t0 + )
para algum
>0
de t0 .
t ∈ (0, t0 + ), o que contradiz a denição
t ∈ (0, τ (v)). Em M (κ), a desigualdade (1.39) é,
∆κ r satisfaz (1.40), temos ∆κ (x) = ψκ (x).
todo
ϕ(t) ≤ ψκ (t),
ϕ(t) ≤ ψκ (t), para
e, portanto,
para
Logo,
todo
na verdade, uma igualdade. Como
Passemos ao resultado prometido:
Demonstração do resultado de Myers e Cheng.
A primeira parte do
teorema é já bastante conhecida. Provaremos a parte da rigidez. Podemos supor que
p, q ∈ M tais que d(p, q) = π . Denote por r e r̃ as funções distância a
partir de p e q , respectivamente. Pela desigualdade triangular, temos r + r̃ ≥ π , e a
igualdade vale para qualquer x ∈ M \ {p, q} que pertença a uma segmento ligando p e q .
Dena f := r+r̃−π . Então f ≥ 0. Como r̃ ≥ π−r , temos cot r̃ ≤ cot(π−r) = − cot r .
κ = 1.
Sejam
Segue daí e da Proposição 1.22 que
∆f ≤ (n − 1)(cot r + cot r̃) ≤ 0.
M . O Teorema
1.19, aplicado à função −f , garante que f ≡ 0. Consequentemente, r + r̃ = π , e
qualquer geodésica normalizada partindo de p encontra q a uma distância π . Logo,
Cut(p) = {q} e Cut(q) = {p}. Em particular, r e r̃ são suaves em M \ {p, q}. A
2
2
partir daí, é possível provar que Hess r = cot(r)dsn−1 em M \ {p, q} e que g = dr +
sin(r)ds2n−1 . Ora, esta última condição implica que M deve ser (isométrica a) Sn (veja,
Assim,
f
é uma função super-harmônica que atinge seu mínimo em
por exemplo, [53], p. 136137, 270272 e 284285).
1.3.4
O laplaciano das funções altura e suporte
Seja
índice
48
M
n+1
g = h·, ·i
uma variedade semi-riemanniana conexa com métrica
ν ≤ 1 e conexão semi-riemanniana ∇.
Para um campo de vetores
de
X ∈ T M , seja
(X) = hX, Xi.
Um campo de vetores
V
em
M
n+1
é dito conforme se
LV h·, ·i = 2ϕh·, ·i,
M.
A função
Como
V ∈ TM
φ
ϕ∈
∞
C (M ), em que
L
denota a derivada de Lie da métrica de
é chamada de fator conforme de
V.
LV (X) = [X, X] para todo X ∈ T M , segue do caráter tensorial de LV
que
é conforme se, e somente se,
h∇X V, Y i + hX, ∇Y V i = 2ϕhX, Y i,
para todos
somente se,
X, Y ∈ T M .
Em particular,
V
é campo de Killing relativamente a
se, e
φ ≡ 0.
No que segue, consideraremos imersões riemannianas
imersões de uma variedade suave
que a métrica induzida
de Levi-Civita
unitário
g
∇.
n−dimensional, orientável e conexa, Σn
g = ψ ∗ (g)
Orientamos
ψ : Σn → M
faz de
Σn
Σn
n+1
em
, ou seja,
M
n+1
, tal
uma variedade riemanniana, com conexão
pela escolha de um campo de vetores normal e
N , e sejam A o endomorsmo de Weingarten e H = (traço(A))/n a curvatura
média correspondentes.
O resultado a seguir apareceu pela primeira vez em [60], no contexto riemanniano.
Em [9], A. Barros, A. Brasil e A. Caminha generalizaram-no para o contexto
lorentziano. Apresentamos aqui a versão unicada que pode ser encontrada em [17].
Teorema 1.23 (Proposição 2.1 de [17])
φ∈C
M
uma variedade semi-riemanniana
que admite um campo de vetores conforme V , com fator conforme
n+1
(M ), e seja ψ : Σn → M
uma imersão riemanniana. Se η := hV, N i, então
de dimensão
∞
Seja
n+1
∆η = −nhV, ∇Hi − η{Ric(N, N ) + |A|2 } − n{Hϕ + N (ϕ)},
em que = (N ), ∇H é o gradiente de H na métrica de
n+1
de M
e |A| é a norma de Hilbert-Schmidt de A.
Σn , Ric
(1.42)
é o tensor de Ricci
Demonstração.
uma vizinhança de
1, . . . , n
{Ei p }
(i.e.,
com autovalores
∇N Ei (p) = 0.
p ∈ Σn ,
Fixemos
p em Σn ,
49
e seja
geodésico em
p,
{Ei }ni=1
e tal que, também em
é uma base ortonormal de
{λi }).
Estendemos
Ei
um referencial ortonormal em
Tp M
p, AEi = λi Ei , i =
formada por autovetores de
a uma vizinhança de
p
em
M
A,
de tal forma que
Podemos escrever
V =
X
αi Ei + ηN.
i
Então
η = hN, V i =⇒ Ei (η) = h∇Ei N, V i + hN, ∇Ei V i
= −hAEi , V i + hN, ∇Ei V i,
donde
∆η =
X
Ei (Ei (η)) = −
X
i
Ei hAEi , V i +
X
i
Ei hN, ∇Ei V i
i
X
X
X
=−
h∇Ei AEi , V i − 2
hAEi , ∇Ei V i +
hN, ∇Ei ∇Ei V i.
i
Agora, derivando
X
i
AEi =
P
hij Ej
j
i
com relação a
h∇Ei AEi , V i =
X
=
X
i,j
i,j
=
X
X
i
obtemos em
p
i,j
X
αj Ei (hij ) + h∇Ei Ej , N ihV, N i
αj Ei (hij ) + i,j
=
Ei ,
X
h∇Ei Ej , V i
Ei (hij )hEj , V i +
i,j
X
(1.43)
(1.44)
h2ij η
i,j
αj Ei (hij ) + η|A|2 .
i,j
Usando que
X
i
AEi = λi Ei
p,
temos que, em
X
λi hEi , ∇Ei V i =
em
hAEi , ∇Ei V i =
i
p,
X
λi ϕ = nHϕ.
(1.45)
i
A m de computar o último somatório de (1.43), note que a conformidade de
dá
h∇N V, Ei i + hN, ∇Ei V i = 0
V
para todo
k.
Derivando a relação precedente na direção de
50
Ei ,
temos
h∇Ei ∇N V, Ei i + h∇N V, ∇Ei Ei i + h∇Ei N, ∇Ei V i + hN, ∇Ei ∇Ei V i = 0.
Contudo, em
p,
temos
h∇N V, ∇Ei Ei i = h∇N V, h∇Ei Ei , N iN i = h∇N V, λi N i
= λi ϕhN, N i = λi ϕ.
e
h∇Ei N, ∇Ei V i = −λi hEi , ∇Ei V i = −λi ϕ,
donde
h∇Ei ∇N V, Ei i + hN, ∇Ei ∇Ei V i = 0.
(1.46)
[N, Ei ] (p) = ∇N Ei (p) − ∇Ei N (p) = λi Ei (p),
segue de (1.46) que
hR(N, Ei )V, Ei ip = h∇Ei ∇N V − ∇N ∇Ei V + ∇[N,Ei ] V, Ei ip
= −hN, ∇Ei ∇Ei V ip − N h∇Ei V, Ei ip + h∇λi Ei V, Ei ip
= −hN, ∇Ei ∇Ei V ip − N (ϕ) + λi ϕ,
e, portanto,
X
hN, ∇Ei ∇Ei V ip = −nN (ϕ) + nHϕ − Ric(N, V )p .
i
Finalmente,
Ric(N, V ) =
X
αj Ric(N, ej ) + ηRic(N, N )
j
=
X
hR(Ei , Ej )Ei , N i + ηRic(N, N )
i,j
e
hR(Ei , Ej )Ei , N ip = h∇Ej ∇Ei Ei − ∇Ei ∇Ej Ei , N ip .
(1.47)
51
Daí,
Ric(N, V )p =
X
αj Ej (hii ) −
X
i,j
αj Ei (hij ) + ηRic(N, N )p .
i,j
Segue de (1.49) que
X
hN, ∇Ei ∇Ei V ip =− nN (ϕ) + nHϕ − V > (nH)
i
+
X
(1.48)
αj Ei (hi,j ) − ηRic(N, N ).
i,j
Substituindo (1.44), (1.46) e (1.48) em (1.43), obtemos a desejada fórmula (1.42).
Exemplo 5 (Corolário 1 de [32])
(n +
mensão
Seja
M
n+1
uma variedade Riemanniana de din+1
1), admitindo um campo de Killing K . Seja ψ : Σn # M
uma hi-
persuperfície compacta e orientável, com campo normal unitário
constante
H.
N
e curvatura média
Suponha que
Ric(V, V ) = −nH 2 ,
∀V ∈ U M .
n
n
não muda de sinal em Σ , então Σ é invariante
n+1
n
pelo grupo de isometrias a um parâmetro de M
determinado por K ou Σ é umbílica
n+1
2
e M
tem curvatura de Ricci não positiva Ric(N, N ) = −nH na N −direção.
Se a função ângulo
η = hN, Ki
Demonstração.
que
de
ψ
Não há perda de generalidade em supormos que
hK, ∇Hi ≡ 0, ϕ ≡ 0
η ≥ 0.
Note
e, por (1.42),
Ric(N, N ) + |A|2 ≥ Ric(N, N ) + nH 2 ≥ 0.
∆η ≤ 0. Como M é compacta, decorre do teorema de Hopf
2
que η = constante e, assim, ∆η ≡ 0. Logo, η ≡ 0 ou Ric(N, N ) + |A| ≡ 0. No
n
n
primeiro caso, concluímos que K é um campo vetorial em Σ , donde Σ é invariante
pelo grupo de isometrias a um parâmetro determinado por K . No segundo caso, teremos
|A|2 = nH 2 = −Ric(N, N ), e a igualdade |A|2 = nH 2 implica que Σn é umbílica.
Segue do Teorema 1.23 que
Exemplo 6 (Corolário 2 de [32])
são 3. Seja
M
Seja
M
3
uma variedade Riemanniana de dimen-
2
uma superfície completa, conexa, simplesmente conexa e de curvatura
3
média constante H imersa em M , tal que
Ric(V, V ) ≥ −2H 2 ,
Seja
K
um campo de Killing em
sinal em
M
2
. Se
M
3
∀V ∈ U M .
e suponha que a função
η = hN, Ki
não muda de
52
(i)
M2
tem o tipo conforme do disco ou da esfera, ou
(ii)
M2
tem o tipo conforme do plano e
então
M
por
na
|K|
é limitado em
M 2,
3
é invariante pelo grupo de isometrias a um parâmetro de M determinado
3
2
2
ou M é umbílica e M tem curvatura de Ricci não positiva Ric(N, N ) = −2H
K
N −direção.
Demonstração.
Consideremos que
M
2
Se
M2
é a esfera, então este exemplo se reduz ao anterior.
é do tipo conforme do disco. Suponhamos que
η ≤ 0.
Então
∆η = −(Ric(N, N ) + |A|2 )η ≥ −(Ric(N, N ) + 2H 2 )η ≥ 0;
logo
η
é subharmônica.
pelo princípio do máximo e, daí,
η<0
η = 0
Portanto, se
M2
em algum ponto de
é invariante por
K.
não pode ocorrer. Por contradição, suponhamos que
M 2,
então
η ≡ 0
Vamos provar que o caso
η<0
em
M 2.
Temos, pela
equação de Gauss,
|A|2 = 4H 2 − 2(K − K),
em que
K
é a curvatura gaussiana de
expressão para o laplaciano de
η
M2
e
K
é a curvatura seccional de
M
{E1 , E2 }
. Da
fornecida pelo Teorema 1.23, obtemos
∆η − 2Kη + (Ric(N, N ) + 2K + 4H 2 )η = 0.
Considerando
3
um referencial ortonormal local em
T M,
(1.49)
obtemos
Ric(N, N ) + 2K = hR(N, E1 )N, E1 i + hR(N, E2 )N, E2 i + 2hR(E1 , E2 )E1 , E2 i
= hR(N, E1 )N, E1 i + hR(E1 , E2 )E1 , E2 i
+hR(N, E2 )N, E2 i + hR(E2 , E1 )E2 , E1 i
= Ric(E1 ) + Ric(E2 ).
Então
Ric(N, N ) + 2K + 4H 2 ≥ 0.
Contudo, (1.49) contradiz o Corolário 3 de [30], que estabelece que quando
K
é a
curvatura gaussiana de uma métrica completa e conforme no disco unitário, não existe
Ric(N, N ) + 2K + 4H 2 ≥ 0.
2
2
Finalmente, vamos supor que M = R (conformemente) e que |K| é limitada
2
2
em M . Então η é limitada e subharmônica em R . Decorre que η = constante.
2
Então ∆η ≡ 0, donde (Ric(N, N ) + |A| )η ≡ 0. A conclusão segue como no exemplo
solução não positiva de (1.49) se
precedente.
Sejam, agora,
nexa,
I ⊆R
Mn
uma variedade riemanniana
um intervalo e
produto warped
M
n+1
53
f :I →R
= I ×f M n
n−dimensional,
orientável e co-
uma função suave positiva. Consideremos o
munido da métrica
hv, wip = h(dπI (v), dπI (w)i + (f ◦ πI )(p)2 h(dπM (v), dπM (w)i,
em que
= −1 ou = 1 para todo p ∈ M
as projeções sobre
I
e
M,
e para todos
v, w ∈ Tp M , e πI
e
πM
denotam
respectivamente. O campo de vetores
V := (f ◦ πI )∂t
1−forma
é conforme e fechado (no sentido de que sua
conforme
Se
ϕ = f 0,
dual é fechada), com fator
em que a linha denota derivação com respeito a
ψ : Σn → M
n+1
Σn
orientada pelo campo
= (∂t ) = (N ).
A proposição seguinte
é uma imersão riemanniana, com
de vetores normais e unitários
N,
temos que
t ∈ I.
restabelece o Teorema 1.23 nesse contexto.
Proposição 1.24 (Proposição 3.1 de [17])
do Teorema 1.23, se
Σ
n
Seja
M
n+1
tem curvatura média constante
= I ×f M n .
H,
Nas notações
então
∆η = −η RicM (N > , N > ) + (n − 1)(ln f )00 (1 − hN, ∂t i2 ) + |A|2 − nHf 0 ,
em que
RicM
denota o tensor de Ricci de
Demonstração.
Antes de mais,
Mn
e
(1.50)
N > = dπM (N ).
η = hV, N i = f hN, ∂t i
e segue de (1.42) que
∆η = −η{Ric(N, N ) + |A|2 } − n{Hf 0 + N (f 0 )}.
Agora,
N (f 0 ) = f 00 hN, ∂t i = (f 00 /f )η .
N = N > + hN, ∂t i∂t ,
segue do Corolário 1.5 que
Ric(N, N ) = Ric(N > , N > ) + hN, ∂t i2 Ric(∂t , ∂t )
00
f
(f 0 )2
nf 00
>
>
>
>
= Ric(N , N ) − hN , N i
+ (n − 1)
−
hN, ∂t i2
f
f
f
00
0 0
0 2
f
(f )
f
= Ric(N > , N > ) −
+ (n − 1)
− (n − 1)
hN, ∂t i2
f
f
f
(usamos que
hN > , N > i
na última igualdade). Assim,
54
0 0
00
(f 0 )2
f
f
2
>
>
+ (n − 1)
− (n − 1)
hN, ∂t i
∆η = −η Ric(N , N ) −
f
f
f
f 00
2
0
−η|A| − n Hf + η
f
= −η RicM (N > , N > ) + (n − 1)(ln f )00 (1 − hN, ∂t i2 ) + |A|2 − nHf 0 .
Proposição 1.25 (Proposição 3.2 de [17])
Na notação precedente,
∆h = (ln f )0 (h){n − |∇h|2 } + nHhN, ∂t i,
H
em que
denota a curvatura média de
Demonstração.
Como
h = π I Σ ,
Σn
com relação a
(1.51)
N.
temos
∇h = ∇(πI Σ ) = (∇πI )> = ∂t>
= ∂t − hN, ∂t iN,
em que
∇
denota o gradiente com relação à métrica do espaço-ambiente e
a componente tangencial de um campo de
seja
A
TM
em
o endomorsmo de Weingarten associado a
em que
w ∈ Tp M
é tangente à bra de
M
n+1
Σn .
N.
Agora xe
Escrevemos
passando em
p.
denota
p ∈ M, v ∈ Tp M
e
v = w + hv, ∂t i∂t ,
Por repetidos usos da
Proposição 1.2, obtemos
∇v ∂t = ∇w ∂t + hv, ∂t i∇∂t ∂t = ∇w ∂t
= (ln f )0 w = (ln f )0 (v − hv, ∂t i∂t ),
donde
(·)>
Capítulo 1. Os tensores de Newton
55
∇v ∇h = ∇v ∇h − hAv, ∇hiN
= ∇v (∂t − hN, ∂t iN ) − hAv, ∇hiN
= (ln f )0 w − v(hN, ∂t i)N + hN, ∂t iAv − hAv, ∇hiN
= (ln f )0 w + (hAv, ∂t i − hN, ∇v ∂t i)N + hN, ∂t iAv − hAv, ∇hiN
= (ln f )0 w + (hAv, ∂t> i − hN, (ln f )0 wi)N + hN, ∂t iAv − hAv, ∇hiN
= (ln f )0 w + (ln f )0 hv, ∂t ihN, ∂t iN + hN, ∂t iAv
= (ln f )0 {v − hv, ∂t i(∂t − hN, ∂t iN )} + hN, ∂t iAv
= (ln f )0 (v − hv, ∂t> i∇h) + hN, ∂t iAv
= (ln f )0 (v − hv, ∇hi∇h) + hN, ∂t iAv.
Agora, xando
p ∈ Σn
∆h =
e uma base ortonormal
tr(∇
2
h) =
{ei }
de
Tp Σ,
obtemos
n
X
h∇ei ∇h, ei i
i=1
=
n
X
h(ln f )0 (ei − hei , ∇hi∇h) + hN, ∂t iAei , ei i
i=1
= (ln f )0 {n − |∇h|2 } + hN, ∂t itr(A)
= (ln f )0 {n − |∇h|2 } + nHhN, ∂t i.
1.4 Os tensores de Newton
Nesta seção, vamos denir as curvaturas médias de ordem superior de uma hipersuperfície, bem como os tensores de Newton e os operadores diferenciais lineares de
segunda a eles associados. Daremos destaque ao operador quadrado de Cheng-Yau, que
desempenhará um papel fundamental na demonstração do resultado de integrabilidade
contido na Seção 3.2.
Dada uma imersão isométrica
ψ : Σn # M
n+1
, seja
garten associado à escolha de um campo normal unitário
A
o endomorsmo de Wein-
N ∈ T Σ⊥
que determina a
orientação de
Σn .
Associados a
A,
56
temos os
dados pelas igualdades
det(tI − A) =
n
X
n
invariantes algébricos
S r , 1 ≤ r ≤ n,
(−1)r Sr tn−r ,
r=0
S0 = 1 por denição.
em que
de
Ap ,
Quando
{ek } é uma base de Tp Σ formada por autovetores
com autovalores (ou curvaturas principais) correspondentes
{λk },
temos
Sr = σr (λ1 , . . . , λn ),
em que
σr ∈ R [X1 , . . . , Xn ]
minadas
X1 , . . . , X n ,
é o
r−ésimo
polinômio simétrico elementar nas
n
indeter-
i.e.,
Sr =
X
λi1 · · · λir .
i1 <...<ir
Para cada
0 ≤ r ≤ n,
Em particular, quando
a
r−ésima curvatura média Hr
n
Hr = Sr .
r
de
Σn
é denida por
r = 1,
n
1X
H1 =
λi = H
n i=1
é a curvatura média de
Σn
e, quando
r = n,
Hn = λ1 · · · λn
é a curvatura de Gauss-Kronecker.
Observação 1.10
As curvaturas médias de ordem superior cumprem
Hj2 ≥ Hj−1 Hj+1 ,
1 ≤ j ≤ n − 1. Ademais, caso ocorra a igualdade para r = 1 ou algum
1 < r < n com Hr+1 6= 0, temos λ1 = · · · = λn . Essas desigualdades são conhecidas
para todo
como desigualdades de Newton. Veja, por exemplo, a Proposição 1 de [15] e o Teorema
51 de [38].
Usando restrições apropriadas sobre as
r−curvaturas,
muitos autores têm obtidos
interessantes resultados de rigidez. Por exemplo, L. J. Alías, A. G. Colares e A. Brasil
Jr. [3] provaram que uma hipersuperfície tipo-espaço e fechado imersa numa variedade
n+1
(c), de curvatura seccional constante c, e que possua
conformemente estacionária M
curvaturas
Hr
Hr+1
e
57
constantes (não nulas), para algum
1 ≤ r ≤ n − 1,
deve ser
totalmente umbílica. No caso Riemanniano, o trabalho de S. Montiel e A. Ros [47]
nos oferece uma bela caracterização de esferas totalmente umbílicas como as únicas
Hn+1 , Rn+1
hipersuperfícies fechadas mergulhadas em
n+1
S
e que possuem alguma curvatura
Hr
ou num hemisfério aberto de
constante.
Vamos restringir nossa atenção ao contexto riemanniano (o que já se apercebe
da ausência de
Para cada
na denição de
0 ≤ r ≤ n,
Hr ).
denimos os tensores de Newton
Pr : T Σ ←pondo
P0 = I
e, para
1 ≤ r ≤ n,
Pr = Sr I − APr−1 ,
onde
I : T Σ ←-
é o operador identidade.
diferencial linear de segunda ordem
Associado a cada
Lr : C ∞ (Σ) ←-,
Lr (u) = traço(Pr ◦ Hess u),
Em particular,
Pr ,
temos o operador
dado por
∈ C ∞ (Σ).
L0 (u) = traço(Hess u) = ∆u.
Uma indução trivial mostra que
Pr =
r
X
(−1)j Sr−j Aj ,
j=0
de modo que o teorema de Cayley-Hamilton assegura que
Pr
é um polinômio em
com
A,
para todo
r.
A para cada r, cada Pr
Logo, se
B
também diagonaliza
i,
e denotarmos por
Ai
Pr
em
B = {ei }
p.
Pn = 0.
é um operador auto-adjunto que comuta
é uma base que diagonaliza
Note ainda que, se escrevermos
a restrição de
A
det(tI − Ai ) =
ao subespaço span{ei }
n−1
X
(−1)k Sk (Ai )tn−1−k ,
k=0
em que
Sk (Ai ) =
Ademais, como cada
X
1≤j1 <···<jm ≤n
j1 ,...,jm 6=i
λj 1 · · · λj m .
⊥
A
em
p ∈ Σ,
Aei = λi ei ,
≤ Tp Σ,
então
para todo
então
58
Com essas notações é fácil ver que
Pr ei = Sr (Ai )ei
e, daí (cf. Lema 2.1 de [8]),
em que





traço(Pr )




2
traço(A Pr )
= (n − r)Sr = br Hr ;
traço(APr )
n
r+1
M
n+1
br
= S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 = n r+1
HHr+1 − br+1 Hr+2 ,
br = (r + 1)
Quando
= (r + 1)Sr+1 = br Hr+1 ;
= (n − r)
n
.
r
é uma variedade riemanniana com curvatura seccional constante,
H. Rosenberg [57] provou que
Lr (u) = Div(Pr ∇u),
em que
Div
denota a divergência de um campo vetorial sobre
Voltemos nossa atenção para o tensor
P1 .
Σn .
Note que
P1 = nHI − A.
(1.52)
O operador diferencial linear de segunda ordem naturalmente associado a
P1
é
chamado de operador quadrado de Cheng-Yau [22] e é dado por
: C ∞ (Σ) ←-
(1.53)
f 7→ f = traço(P1 ◦ ∇2 f ),
em que
∇2 f : T Σ ←-
ao Hessiano de
f
denota o operador linear auto-adjunto metricamente equivalente
e é denido por
h∇2 f (X), Y i = h∇X (∇f ), Y i,
Considerando em
segue que
Σn
X, Y ∈ T Σ.
um referencial ortonormal local
{E1 , · · · , En },
de (1.53)
f =
=
n
X
i=1
n
X
59
hP1 (∇Ei ∇f ), Ei i =
n
X
h∇Ei ∇f, P1 (Ei )i
i=1
h∇P1 (Ei ) ∇f, Ei i = traço(∇2 f ◦ P1 ).
i=1
Ademais,
div(P1 (∇f ))
=
n
X
n
X
h(∇Ei P1 )(∇f ), Ei i +
hP1 (∇Ei ∇f ), Ei i
i=1
i=1
= hDiv P1 , ∇f i + f,
em que
n
X
Div P1 := traço(∇P1 ) =
(∇Ei P1 )(Ei ).
i=1
Por outro lado, de (1.52) temos
(∇X P1 )Y = nh∇H, XiY − (∇X A)Y,
Assim, tomando um referencial ortonormal local
Div P1 = n∇H +
∀X, Y ∈ T Σ.
{E1 , . . . , En }
em
Σn ,
obtemos
n
X
(∇Ei A)Ei .
i=1
Usando a equação de Codazzi, para
X ∈ T Σ,
obtemos
h(∇Ei A)Ei , Xi = h(∇Ei A)Ei , Xi
= h(∇X A)Ei , Ei i + hR(X, Ei )Ei , N i
= h(∇X A)Ei , Ei i − hR(N, Ei )X, Ei i.
Daí,
hDiv P1 , Xi = nh∇H, Xi −
n
X
h(∇E1 A)Ei , Xi
i=1
= nh∇H, Xi −
n
X
i=1
h(∇X AEi , Ei i +
n
X
hR(N, Ei )X, Ei i
i=1
= nh∇H, Xi − traço(∇X A) + Ric(N, X).
60
Temos, ainda,
traço(∇X A)
= nh∇H, Xi.
Portanto,
hDiv P1 , Xi = Ric(N, X).
Capítulo 2
Resultados principais
Comecemos por registrar dois lemas cujas conclusões, uma vez estabelicidas, serão
tratadas como argumentos canônicos e empregadas tacitamente a partir de então.
Lema 2.1
M, N variedades
M = N.
Sejam
completa, então
Demonstração.
dN
riemannianas,
conexa, com
Consideremos os espaços métricos
M ⊆ N.
(M, dM ) ⊆ (N, dN ),
é a distância riemanniana induzida pela métrica Riemanniana em
distância riemanniana induzida por
Rinow,
de
N
N.
dN
em
M.
(M, dM ) é um espaço métrico completo.
M
Armamos que
conexidade de
N.
uma sequência
(pn ) ⊂ M ,
Se
M
N.
não fosse fechado, existiria
tal que
pn → p0
e
M
é
em que
dM
é a
Em virtude do teorema de Hopf e
Temos que
é, também, fechado em
N
Se
M
é um subconjuto aberto
A conclusão decorrerá, então, da
p0 ∈
Bd M
segundo a distância
\ M.
dN .
Assim, existiria
Contradição.
O próximo lema contém as restrições que faremos sobre as geometrias da bra
Mn
de um produto
Lema 2.2
tais que
n+1
= R × Mn
e da hipersuperfície
M n uma variedade riemanniana cujas
≥ −K0 , para alguma constante K0 > 0.
Seja
KM
M
Σn # M
n+1
.
KM são
ψ : Σn # R × M n uma
curvaturas seccionais
Seja
hipersuperfície two-sided completa, com curvatura média constante e segunda curvatura
média limitada inferiormente. Então a curvatura de Ricci de
mente.
Σn
é limitada inferior-
Capítulo 2.
62
Demonstração.
Denotemos por
RicΣ
a curvatura de Ricci de
Σn .
Para conve-
niência do leitor, recordamos que a equação de Gauss, por intermédio da qual podemos
descrever o tensor curvatura de
Σ
em termos do tensor curvatura
R
de
R × M,
é dada
por
R(X, Y )Z = (R(X, Y )Z)> + hAX, ZiAY − hAY, ZiAX,
Consideremos um campo vetorial
{E1 , . . . , En } ⊂ T Σ.
X ∈ TΣ
X, Y, Z ∈ T Σ.
(2.1)
e um referencial ortonormal local
Segue da equação (2.1) que
n
X
RicΣ (X, X) =
hR(X, Ei )X, Ei i + nHhAX, Xi − hAX, AXi.
(2.2)
i=1
Por outro lado, em virtude do Corolário 1.5, temos
hR(X, Ei )X, Ei i = hRM (X ∗ , Ei∗ )X ∗ , Ei∗ iM
= KM (X
em que
M
e
de
M.
X ∗ = X − hX, ∂t i∂t
RM
e
KM
e
(2.3)
, Ei∗ )(hX ∗ , X ∗ iM hEi∗ , Ei∗ iM
Ei∗ = Ei − hEi∗ , ∂t i∂t
− hX
∗
, Ei∗ i2M ),
são as projeções de
X
e
Ei
sobre
denotam, respectivamente, o tensor curvatura e a curvatura seccional
Como estamos supondo que
a relação (2.3) em
X
∗
i = 1, . . . , n,
KM ≥ −K0 , para alguma constante K0 > 0, somando
obtemos
hR(X, Ei )X, Ei i ≥ −K0 ((n − 1)|X|2 − |∇h|2 |X|2 − (n − 2)hX, ∇hi2 )
i
(2.4)
≥ (n − 1)K0 (1 − |∇h|2 )|X|2
≥ −K0 (n − 1)|X|2 ,
para todo
X ∈ T Σ.
De (2.2) e (2.4), vemos que a curvatura de Ricci de
Σ satisfaz a seguinte estimativa
2
nH n2 H 2
RicΣ (X, X) ≥ {(n − 1)K0 (1 − |∇h| ) − AX −
X +
|X|2 ,
2
4
2
(2.5)
Capítulo 2. Resultados de rigidez
63
Fazendo, agora, uso da seguinte relação algébrica
|A|2 = n2 H 2 − n(n − 1)H2 ,
de (2.2) inferimos que nossas restrições sobre
Ricci de
Σn
H
e
H2
(2.6)
asseguram que a curvatura de
2.1 Resultados de rigidez
Seja
constante
ψ : Σn # R × M n
H.
Σn → [0, π]
uma hipersuperfície two-sided, com curvatura média
Denimos a função argumento de
Σn
θ :
como sendo a função suave
dada por
θ = arccos η.
Recordamos que o gradiente e o laplaciano da função altura
h = πR Σ
de
Σn
são
dados por
∇h = (∇πR )> = ∂t> = ∂t − ηN.
(2.7)
∆h = nHη,
(2.8)
e
em que
unitário
η = hN, ∂t i
N
é a função ângulo de
que dá a orientação de
Σn .
Σn ,
denida com relação ao campo normal e
O laplaciano de
η
é dado por
∆η = −(RicM (N ∗ , N ∗ ) + |A|2 )η,
em que
RicM
TM
sobre
e
é o tensor de Ricci da bra
|A|
M n, N ∗
(2.9)
é a projeção do campo vetorial
N
é a norma do endomorsmo de Weingarten.
O teorema a seguir é a pedra fundamental desta dissertação.
Teorema 2.1 (Teorema 1 de [7])
cujas curvaturas seccionais
KM
M n uma variedade riemanniana completa
que KM ≥ K0 , para alguma constante K0 ∈
Sejam
são tais
ψ : Σn # R × M n uma hipersuperfície completa e two-sided, com curvatura
média constante H e segunda curvatura média H2 limitada inferiormente. Se a função
n
n
argumento de ψ é tal que 0 ≤ θ ≤ π/4 ou 3π/4 ≤ θ ≤ π , então Σ é um slice {t0 }×M .
R+ ,
e
Demonstração.
64
Pela fórmula de Bochner (cf. Teorema 1.20), temos
1
∆|∇h|2 = |∇2 h|2 + Ric(∇h, ∇h) + h∇∆h, ∇hi,
2
em que
∇2 h : T Σ ←-
ao Hessiano de
h,
(2.10)
denota o operador linear auto-adjunto, metricamente equivalente
dado por
h∇2 h(X), Y i = h∇X (∇h), Y i,
X, Y ∈ T Σ.
Segue de (2.2) e (2.4) que
Ric(∇h, ∇h) ≥ (n − 1)K0 (1 − |∇h|2 )|∇h|2 + nHhA(∇h), ∇hi
− hA(∇h), A(∇h)i
(2.11)
≥ (n − 1)K0 (1 − |∇h|2 )|∇h|2 + nHhA(∇h), ∇hi
− |A|2 |∇h|2 .
H
é constante, por (2.7) temos
∇∆h = nH∇η.
(2.12)
Agora, veja que
X(η) = XhN, ∂t i = h∇X N, ∂t i + hN, ∇X ∂t i
= −hA(X), ∂t i = −hA(X), ∂t> i
= −hX, A(∂t> )i = −hX, A(∇h)i,
para todo
X ∈ T Σ.
Note que usamos que
∇X ∂t = 0, para todo X ∈ T Σ (cf.
Proposição
1.2). Daí,
∇η = −A(∇h).
Consequentemente, de (2.12) e (2.13), obtemos
(2.13)
65
∇∆h = −nHA(∇h).
(2.14)
Temos, ainda, que
0 = ∇X ∂t = ∇X (∂t> + ηN )
= ∇X ∂t> + ∇X ηN
= ∇X ∂t + hA(X), ∂t> iN + η∇X N + XhN, ∂t iN,
qualquer que seja
X ∈ TΣ
hA(X), ∂t> i = XhN, ∂t i,
(zemos uso da fórmula de Gauss).
Como, claramente,
concluímos que
∇X (∇h) = ∇X (∂t> ) = ηA(X).1
(2.15)
|∇2 h|2 = |A|2 η 2 .
(2.16)
|∇h|2 = 1 − η 2 ,
(2.17)
Daí, temos
Usando, nalmente, que
podemos rescrever (2.16) da seguinte forma
|∇2 h|2 = |A|2 − |∇h|2 |A|2 .
(2.18)
Substituindo (2.11), (2.14) e (2.18) em (2.10), obtemos
1
∆|∇h|2 ≥ (n − 1)K0 (1 − |∇h|2 )|∇h|2 + |A|2 (1 − 2|∇h|2 ).
2
Levando em consideração nossa hipótese sobre a função ângulo,
θ,
de
ψ,
(2.19)
de (2.17) e de
(2.19) vem que
1 Note
que, a partir dessa relação, podemos obter diretamente (i.e., sem o auxílio da Proposição
1.25) a expressão (2.8) para o laplaciano de h.
66
1
∆|∇h|2 ≥ (n − 1)K0 (1 − |∇h|2 )|∇h|2 .
2
Seja
(pk )k∈N ⊂ Σ
(2.20)
uma sequência de pontos, tal que
lim |∇h|2 (pk ) = sup |∇h|2
k
e
lim sup ∆|∇h|2 (pk ) ≤ 0.
Σ
k
Note que é de fato possível escolher uma tal sequência, uma vez que o tensor de Ricci
de
Σ
é limitado inferiormente e que
os lados da desigualdade (2.20) em
|∇h|2 ≤ 1/2.
pk
Avaliando as aplicações em ambos
lim sup
e tomando o
em
k,
obtemos
0 ≥ lim sup ∆|∇h|2 (pk ) ≥ (n − 1)K0 (1 − sup |∇h|2 ) sup |∇h|2 ≥ 0.
Σ
k
Novamente em virtude de nossa hipótese sobre
0.
Logo,
h
é constante
Observação 2.1
KM ≥ K0 > 0,
Seja
Σ
e, assim,
Mn
ψ(Σ)
θ, inferimos de (2.21) que supΣ |∇h|2 =
é um slice
segue do teorema de Bonnet que
hipótese de compacidade de
{t} × M n ,
como no Teorema 2.1.
n
Σ
(2.21)
Σ
Mn
Como
para algum
Mn
t ∈ R.
é completa e tal que
é compacta. Se acrescentarmos a
(fato que será constatado a posteriori), podemos oferecer
outra demonstração do Teorema 2.1. Na verdade, sob essa hipótese adicional, podemos
provar um pouco mais, a saber:
Seja
Mn
uma variedade riemanniana completa cujas curvaturas seccionais
são limitadas inferiormente por uma constante
R×M n
K0 ∈ R + .
Seja
uma hipersuperfície completa, compacta e two-sided. Suponha que a
curvatura média e que a função ângulo não mudam de sinal em
Σ
ψ : Σn #
n
é um slice mergulhado Mt0 , para algum
Σn .
Então
t0 ∈ R.
h é dado por ∆h = nHη . Como
H e η não mudam de sinal em Σ , o mesmo acontece com ∆h. Aplicando o teorema
de Hopf à função h, concluímos que h ≡ t0 , para algum t0 ∈ R.
Com efeito, sabemos que o laplaciano da função altura
n
Seja
Mn
uma variedade riemanniana completa,
ψ : Σn # R × M n uma hipersuperfície
completa e two-sided, com segunda curvatura H2 limitada inferiormente. Se a função
n
argumento de ψ está longe de π/2, então ψ(Σ ) é mínima.
com curvaturas seccionais não negativas. Seja
Demonstração.
67
Substituindo (2.2), (2.11), (2.14) e (2.18) em (2.10) e levando
em consideração que a bra
Mn
tem curvatura seccional não negativa, obtemos
1
∆|∇h|2 ≥ |A|2 (1 − |∇h|2 ) − hA(∇h), A(∇h)i.
2
(2.22)
Assim como na demonstração do Teorema 2.1, nossas restrições sobre
junto com a hipótese de que
Mn
tem curvaturas seccionais
o princípio do máximo de Omori e Yau (cf. 1.13) à função
uma sequência maximizante para
|∇h|2
≥ 0,
H
e
H2 ,
nos permitem aplicar
|∇h|2 .
Seja
(pk )k∈N ⊂ Σn
no sentido do Omori-Yau. Temos
lim |∇|∇h|2 (pk )| = 0.
(2.23)
k
De (2.13), (2.17) e (2.23), obtemos
lim |η(pk )A(∇h)(pk )| = 0.
(2.24)
k
Ora, nossa hipótese sobre o ângulo,
δ,
tal que
η ≥ δ.
θ
de
ψ
garante que existe uma constante positiva
Assim, de (2.24) vem que
lim |A(∇h)(pk )| = 0.
(2.25)
k
Combinando (2.17), (2.23) e (2.24), obtemos
1
0 ≥ lim sup ∆|∇h|2 (pk ) ≥ lim |A|2 (pk )(1 − |∇h|2 (pk )) ≥ lim |A|2 (pk )δ 2 .
k
k
2
k
Como
|A|2 ≥ nH 2 ,
(2.26)
segue de (2.26) que
1
0 ≥ lim sup ∆|∇h|2 (pk ) ≥ nH 2 δ 2 ≥ 0,
2
k
donde
H = 0,
i.e.,
Corolário 2.3
(i) se
h
slice
ψ
é mínima.
Sob as hipóteses do Teorema 2.2, temos:
atinge máximo em
{t0 } × M
n
;
Σn
(em particular, se
Σn
é compacta), então
Σn
é um
(ii) se
h
é limitada inferiormente em
então
n
Σ
é slice
{t0 } × M
Demonstração.
n
68
Σn
e se o tensor de Ricci de
Σn
é não negativo,
.
ψ
Sabemos que, sob as hipóteses do Teorema 2.2,
∆h = nHη .
Sabemos, igualmente, que
Assim,
∆h = 0,
i.e.,
h
é mínima.
é harmônica em
Σn .
Os
itens (i) e (ii) seguem, então, nesta ordem, do princípio do máximo de Hopf-Calabi (cf.
Teorema 1.19) e do resultado de Liouville-Yau (cf. Proposição 1.21).
Seja
n+1
= R × M n um produto riemanniano,
tais que KM ≥ −K0 , para alguma cons-
M
M n tem curvaturas seccionais KM
n+1
n
tante K0 ∈ R+ , e seja ψ : Σ # M
uma hipersuperfície completa e two-sided,
H constante e H2 limitada inferiormente. Suponha que a função ângulo η de Σn
longe de zero e que sua função altura h satisfaz uma das seguintes condições:
cuja bra
|∇h|2 ≤
para alguma constante
0 < α < 1;
Σn
é um slice de
Demonstração.
M
n+1
α
|A|2 ,
(n − 1)K0
(2.27)
n
H 2.
(n − 1)K0
(2.28)
.
Podemos supor que
inf η > 0.
O laplaciano de
η
é dado por
∆η = −(RicM (N ∗ , N ∗ ) + |A|2 )η.
Como, por hipótese, as curvaturas seccionais
está
ou
|∇h|2 ≤
Então
com
K0 ∈ R+ ,
KM
da bra
Mn
(2.29)
são tais que
KM ≥ −K0 ,
é fácil ver que
RicM (N ∗ , N ∗ ) ≥ −(n − 1)K0 |N ∗ |2 = −(n − 1)K0 (1 − η 2 ) = −(n − 1)K0 |∇h|2 .
Assim,
∆η ≤ −(|A|2 − (n − 1)K0 |∇h|2 )η.
Se a função altura de
(2.41) segue que
Σn
(2.30)
satisfaz a condição (2.27), então dessa condição e de
69
∆η ≤ −(n − 1)|A|2 η.
Seja
(pk )k∈N ⊂ Σn
(2.31)
η
no sentido do Omori-Yau.
Por conseguinte, como estamos supondo que o operador de Weingarten
A
é limitado,
de (2.42), passando a uma subsequência se necessário, obtemos
0 ≤ lim inf ∆η(pk ) ≤ −(1 − α) lim |A|2 (pk ) inf η ≤ 0,
k
donde
limk |A|2 (pk ) = 0
Σ
k
e, consequentemente, por (2.27),
de (2.17) concluímos que
inf Σ η = 1,
logo
limk |∇h|(pk ) = 0.
Portanto,
η ≡ 1.
Recorde que
|A|2 = n2 H 2 − n(n − 1)H2 = nH 2 + n(n − 1)(H 2 − H2 ).
Se supusermos agora que a função altura de
Σn
(2.32)
satisfaz a condição (2.28), então, de
(2.41) e (2.32), obtemos
∆η ≤ −n(n − 1)(H 2 − H2 )η.
Seja
(pk )k∈N ⊂ Σn
η
(2.33)
no sentido do Omori-Yau. Então
0 ≤ lim inf ∆η(pk ) ≤ −n(n − 1) lim inf(H 2 − H2 )(pk ) inf η ≤ 0.
Σ
k
Daí, passando a uma subsequência se necessário, temos que
Ademais, como
H
limk (H 2 − H2 )(pk ) = 0.
é constante, de (2.32) vem que
lim |A|2 (pk ) = nH 2 .
(2.34)
k
Como
|A|2 =
P
i
λ2i ,
em que
λi
são os autovalores de
subsequência se necessário, para todo
alguns
λ∗i ∈ R.
1 ≤ i ≤ n,
A,
novamente passando a uma
temos que
Motivados por isso, pomos
X
n(n − 1)
H2 =
λ∗i λ∗j .
2
i<j
lim λi (pk ) = λ∗i ,
para
H = 1/n
Note que
P
i
λ∗i .
Portanto,
70
H2 = H2
e
λ∗i = H ,
para todo
1 ≤ i ≤ n.
Seja
{Ei } um referencial ortonormal local de autovetores, associado aos autovalores {λi } de
P
A. Podemos escrever ∇h = i hi Ei , em que cada hi é uma função suave em Σn . Uma
vez que
∇η = −A(∇h),
temos que
0 = lim |∇η|2 (pk ) = lim |A(∇h)|2 (pk ) =
k
k
X
=
i
(λ∗i )2 lim h2i (pk ) = H 2
Σn
é um slice de
limk λi (pk ) = 0,
donde
M
n+1
.
Se
Se
H 2 > 0,
limk |∇h|(pk ) = 0.
lim(λ2i h2i )(pk )
k
lim h2i (pk ),
k
i
passando a uma subsucessão, se preciso.
que
X
k
i
X
H = 0,
segue imediatamente de (2.28)
então, para todo
1 ≤ i ≤ n,
temos que
Ora, por (2.17),
inf η = lim η(pk ) = 1.
Σ
Logo
η≡1
em
Σn
e, assim,
Σn
k
é um slice.
Corolário 2.5 (Corolário 2 de [44])
sided
de
n+1
R
Seja
S
, então
n
Σ
two −
Σn
está contido num hemisfério aberto de
é mínima.
Observação 2.2
2.2.
uma hipersuperfície completa e
, com curvatura média constante e curvatura escalar limitada inferior-
mente. Se o fecho da aplicação de Gauss de
n
Σn
Apresentaremos outra demonstração da primeira parte do Teorema
supΣ η < 0. Denimos ξ : Σn → R
n
limitada em Σ . Temos que
Podemos supor que
Obviamente, tal
ξ
é
por
∆ξ = 2|∇η|2 + 2(1 + η)∆η
= 2|∇η|2 − 2(1 + η){RicM (N ∗ , N ∗ ) + |A|2 }η
≥ −2η (1 + η) RicM (N ∗ , N ∗ ) −2η(1 + η)|A|2
|{z} | {z } |
{z
}
>0
≥0
≥−(n−1)K0 |∇h|2
≥ −2η(1 + η)(−α|A|2 ) − 2η(1 + η)|A|2
= 2η(1 + η)(α − 1)|A|2
≥ 0.
ξ = (1 + η)2 .
Seja
(pk )k∈N ⊂ Σn
71
ξ
no sentido do Omori-Yau. Pelas
estimativas precedentes, temos, passando a uma subsucessão se necessário, que
0 ≥ lim sup ∆ξ(pk ) ≥ lim(2(α − 1)η(1 + η)|A|2 )(pk ) ≥ 0.
k
k
limk |A|2 (pk ) = 0 ou limk (1 + η)(pk ) = 0. O primeiro caso reduz-se ao segundo,
2
2
pois limk |A| (pk ) = 0 implica, levando em consideração (2.27), limk |∇h| (pk ) = 0,
2
n
donde lim η (pk ) = 1. Como η < 0 em Σ , segue que limk (1 + η)(pk ) = 0. Assim, esta
Daí,
última condição deve necessariamente valer. Ora,
lim(1 + η)(pk ) = 0 =⇒ 0 = lim(1 + η)2 (pk ) = lim ξ(pk ) = sup ξ.
k
Uma vez que
k
ξ ≥ 0,
inferimos que
ξ≡0
k
em
Σn ,
i.e.,
Σ
η ≡ −1.
Logo
Σn
é um slice.
Neste ponto, convém observarmos que a condição de a função ângulo
hipersuperfície
Σn
não mudar de sinal é mais fraca que a condição de
Σn
η
de uma
ser localmente
um gráco. Assim, no que segue, suporemos a primeira condição, em virtude da qual
podemos sempre supor que
η ≤ 0,
e é isso que faremos, salvo mênção explícita em
contrário.
Por bem da heurística, passaremos pelo próximo resultado antes de chegarmos
ao Teorema 2.7, no qual ofeceremos uma melhoria no controle imposto sobre a função
ângulo no Teorema 5.1 de [6].
Teorema 2.6
Seja
intervalo e a bra
n+1
M
Mn
= I × Mn
I ⊆ R é um
n+1
ψ : Σn # M
uma
um produto riemanniano, em que
é isométrica a
Sn
ou é plana.
Seja
hipersuperfície, com segunda forma fundamental limitada e curvatura média constante.
Se a função ângulo de
Σn
está longe de zero e, além disso, satisfaz a seguinte estimativa
η ≤ |A|2 − 1,
então
Σn
(2.35)
é um slice.
Demonstração.
função ângulo satisfaça
de zero, teremos
Podemos escolher a orientação de
−1 ≤ η < 0.
supΣ η < 0.
Σn
de tal maneira que sua
Desse modo, como por hipótese
Denimos uma função
ξ = (1 + η)2 .
ξ : Σn → R
por
η
é limitada longe
Claramente, tal
ξ
é limitada em
Σn .
72
Temos
∆ξ = 2|∇η|2 + 2(1 + η)∆η
= 2|∇η|2 − 2(1 + η){RicSn (N ∗ , N ∗ ) + |A|2 }η.
Note que
RicSn (N ∗ , N ∗ ) = (n − 1)|N ∗ |2 = (n − 1)|∇|2 .
Assim,
∆ξ = 2|∇η|2 − 2(1 + η){RicSn (N ∗ , N ∗ ) + |A|2 }η
= 2|∇η|2 − 2(1 + η){(n − 1)|∇h|2 + |A|2 }η
= 2|∇η|2 + {(n − 1)|∇h|2 + |A|2 }(|∇h|2 − ξ).
Veja que
|∇h|2 − ξ = (1 − η 2 ) − (1 + η)2 = (1 − η 2 ) − (1 + 2η + η 2 )
(2.36)
= −2η (1 + η) .
|{z} | {z }
>0
≥0
Por conseguinte, temos
∆ξ ≥ {(n − 1)|∇h|2 + |A|2 }(|∇h|2 − ξ).
Seja, agora,
(pk )k∈N ⊂ Σn
Omori-Yau. Avaliando ambos os lados de (2.37) em
pk
e fazendo
lim ((n − 1)|∇h|2 + |A|2 )(|∇h|2 − ξ) (pk ) = 0.
k
Daí,
lim((n − 1)|∇h|2 + |A|2 )(pk ) = 0
k
ou
lim(|∇h|2 − ξ)(pk ) = 0.
k
(2.37)
ξ
no sentido do
k → ∞,
obtemos
No primeiro caso, concluímos que
73
limk |A|2 (pk ) = 0, donde, por (2.39), limk η(pk ) = −1.
No segundo, recorremos a (2.36) para concluir que
casos, inferimos que
limk ξ(pk ) = 0.
Ora,
negativa, devemos necessariamente ter
limk (1 + η)(pk ) = 0.
limk ξ(pk ) = supΣ ξ .
ξ ≡ 0,
o que implica
ξ
Sendo
Em ambos os
uma função não
η ≡ −1.
Uma análise cuidadosa da demonstração precedente nos conduz imediatamente à
seguinte extensão do Teorema 2.6:
Teorema 2.7
n+1
M
= I × M n um produto riemanniano, em que I ⊆ R é um
n+1
M n tem curvatura de Ricci não negativa. Seja ψ : Σn # M
uma
Seja
intervalo e a bra
hipersuperfície, com segunda forma fundamental limitada e curvatura média constante.
Se a função ângulo de
Σn
está longe de zero e, além disso, satisfaz a seguinte estimativa
η ≤ |A|2 − 1,
Σn
então
é um slice.
Corolário 2.8
tante
H
(2.38)
Seja
e curvatura
ψ : Σn # Rn+1 uma hipersuperfície,
escalar R limitada inferiormente. Se
com curvatura média consa função ângulo de
Σn
está
longe de zero e, além disso, satisfaz a seguinte estimativa
η ≤ −1 − n(n − 1)R,
Σn
então
(2.39)
é um hiperplano.
Observação 2.3
Quando a curvatura
H
não é necessariamente constante, mas apenas
limitada e com sinal denido, então é possível mostrar que
H
não pode estar global-
mente longe do zero. Mais precisamente, temos o seguinte resultado, cuja demonstração
será apresentada no próximo capítulo:
n+1
M n tem
n+1
n
vaturas seccionais limitadas inferiormente, e seja ψ : Σ # M
hipersuperfície two − sided e completa, contida num slab,
Seja
M
= R × Mn
um produto riemanniano, cuja bra
[t1 , t2 ] × M n ,
de
Se
n+1
M
H2
então
inf Σ H = 0.
H
Σn
está longe de
1
H
é constante, então
Σn
−1.
n
em Σ ,
ou de
é limitada e não muda de sinal
Em particular, se
uma
t1 , t2 ∈ R,
. Suponha que a função ângulo de
é limitada inferiormente e
cur-
é mínima.
Averiguemos o que acontece quando uma hipersuperfície faz um ângulo constante
com a
R−direção.
74
M n uma variedade riemanniana com
n
n
curvatura de Ricci não negativa e ψ : Σ # R × M uma hipersuperfície imersa que
n
faz um ângulo constante com o campo vetorial ∂t tangente à R−direção. Se Σ tem
n
curvatura média constante, então Σ é totalmente geodésica ou é parte de um cilindro
n
sobre uma hipersuperfície de curvatura média constante imersa em M .
Demonstração.
∂t
então
geodésicas em
Por hipótese, o ângulo
Σn ,
é tangente a
R × M n.
i.e.,
Σn
Σn
η
entre
Σn
e
∂t
é constante. Se
é folheada pelas linhas integrais de
Σn .
Como
∂t
Σn
Σn
que são
Mtn0
é globalmente tangente a
Σn ,
a partir dessa interseção e seguindo o uxo de
cilindo referido no enunciado do teorema. Como
∂t ,
η = 0,
com um slice
Por transversalidade, a interseção de
é (isométrica a) um hipersuperfície de
podemos reconstruir
Sejam
∂t ,
obtendo o
tem curvatura média constante, o
mesmo deverá acontecer com esse cilindro.
Se
η 6= 0,
Σn
então
é localmente o gráco de uma função
O Teorema 2.3 de [35] estabelece que
curvatura média
H
do gráco de
f
Σn
segue que
uma constante.
!
∇f
p
1 + |∇f |2M
.
tem curvatura média constante e o gradiente de
∆f = div∇f
Por outro lado, a
é dada por
H = div
Como
|∇f | = c,
f : U ⊂ M → R.
f
tem norma constante,
é uma função constante. Pela fórmula de Bochner,
1
∆|∇f |2 = h∇f, ∇∆f i − Ric(∇f, ∇f ) − |Hessf |2 ,
2
e pela hipótese sobre a curvatura de Ricci de
identicamente. Como Hessf (X, Y
em
M n,
) = h∇X ∇f, Y i,
concluímos que Hessf se anula
temos que
∇f
é um campo paralelo
M n.
Lt = f −1 (t)
Isso implica que as hipersuperfícies de nível
geodésicas em
de
f
são totalmente
M n ; logo {t}×Lt é totalmente geodésica em R×M n (pois cada {t}×M n é
totalmente geodésico em
totalmente geodésicas
R×M n ).
Concluímos que
Σn é folheada pelas hipersuperfícies
{t} × Lt .
Por outro lado, sabemos que o campo vetorial
1
N=p
(∂t − ∇f )
1 + |∇f |2M
Capítulo 2. Aplicações no espaço hiperbólico
dá uma orientação para o gráco de
podemos escrever
N = λ∂t − λ∇f ,
f
η > 0).
(na qual
em que
75
Como
|∇f |
λ = (1 + |∇f |2M )−1/2 .
paralelo, por ser a soma de dois campos paralelos e, portanto, que
é constante,
Segue que
Σn
N
é
é totalmente
geodésica.
2.2 Aplicações no espaço hiperbólico
O propósito desta seção é estabelecer o resultado a seguir e, a partir dele, derivar
algumas aplicações no espaço hiperbólico.
Teorema 2.10 (Teorema 3.4 de [6])
Seja
M
n+1
= I ×f M n ,
em que
I ⊆R
é um
intervalo, um produto warped, que satisfaz a seguinte condição de convergência
KM ≥ sup(f˙2 − f f¨)
(2.40)
I
e cuja bra
Mn
tem curvatura seccionais não negativas. Seja
hipersuperfície completa e
ψ : Σn # M
n+1
uma
two − sided,
com segunda forma fundamental limitada e
n+1
n
curvatura média constante. Suponha que Σ está contida num slab de M
e que
0 ≤ H ≤ inf
Σ
Σn
f0
.
f
(2.41)
satisfaz
β
f0
|∇h| ≤ α inf − H ,
Σ f
2
para algumas constantes positivas
α
e
β,
então
Σn
(2.42)
é um slice.
Precisaremos de um resultado análogo ao Lema 2.2.
Lema 2.3
Seja
M
n+1
= I ×f M n ,
em que
I⊆R
é um intervalo, um produto warped
que a satisfaz a seguinte condição de convergência (2.40), em que KM denota a curn+1
n
n
vatura seccional da bra M . Seja ψ : Σ # M
uma hipersuperfície completa, com
curvatura média e segunda forma fundamental limitadas. Se a função
em
Σ
n
, então a curvatura de Ricci de
Demonstração.
n
Σ
Denotemos por
f 00 /f
é limitada
RicΣ
o tensor de Ricci de
X ∈ T Σ e um referencial ortonormal local {E1 , . . . , En } de T Σ.
feitos na demonstração do Lema 2.2, temos que
Σn
e consideremos
Revisitando os cálculos
76
n
X
2
n2 H 2
nH
RicΣ (X, X) ≥
hR(X, Ei )X, Ei i − AX −
X +
|X|2
2
4
i=1
Assim, como por hipótese
H
e
inferiormente se, e somente se,
A são limitadas, vemos que RicΣ (X, X)
P
i hR(X, Ei )X, Ei i o for.
será limitada
Lançando mão das propriedades do tensor curvatura, obtemos
R(X, Ei )X = R(X ∗ , Ei∗ )X ∗ + hX, ∂t iR(X ∗ , Ei∗ )∂t + hEi , ∂t iR(X ∗ , ∂t )X ∗
+ hX, ∂t ihEi , ∂t iR(X ∗ , ∂t )∂t + hX, ∂t iR(∂t , Ei∗ )X ∗
+ hX, ∂t i2 R(∂t , Ei∗ )∂t + hX, ∂t ihEi , ∂t iR(∂t , ∂t )X ∗
+ hX, ∂t i2 hEi , ∂t iR(∂t , ∂t )∂t ,
em que
vetores
X ∗ = X − hX, ∂t i∂t
X
e
Ei ,
Ei∗ = Ei − hEi , ∂t i∂t
e
respectivamente, sobre a bra
são as projeções dos campos de
M.
A Proposição 1.4 nos fornece
(i)
(ii)
R(X ∗ , Ei∗ )∂t = 0;
00
00
R(X ∗ , ∂t )X ∗ = −R(∂t , X ∗ )X ∗ = −|X ∗ |2 ff ∂t = −(|X|2 − hX, ∂t i2 ) ff ∂t ;
¨
¨
(iii)
R(X ∗ , ∂t )∂t = ff X ∗ = ff (X − hX, ∂t i∂t );
(iv)
R(∂t , Ei∗ )X ∗ = hEi∗ , X ∗ i ff ∂t = (hX, Ei i − hX, ∂t ihEi , ∂t i) ff ∂t ;
(v)
R(∂t , Ei∗ )∂t = −R(Ei∗ , ∂t )∂t = − ff Ei∗ = − ff (Ei − hEi , ∂t i∂t );
(vi)
00
00
00
00
R(∂t , ∂t ) = 0.
Ademais, temos
X
X
f f 00
hR(X, Ei )X, Ei i =
hRM (X ∗ , Ei∗ )X ∗ , Ei∗ i − 2 |X|2
f
i
i
(f 0 )2
(|∇h|2 − (n − 1))|X|2
f2
0 2
(f ) − f f 00
+(n − 2)
hX, ∇hi2 .
f2
+
Desse modo, usando também que
R(X
∗
, Ei∗ )X ∗
∗
77
∇h = ∂t> = ∂t − hN, ∂t iN ,
, Ei∗ )X ∗
f0
f
temos que
2
= RM (X
−
|X|2 Ei − hX, Ei iX
0 2
0 2
f
f
2
+
|X| hEi , ∂t i∂t +
hX, ∂t i2 Ei
f
f
0 2
0 2
f
f
hX, Ei ihX, ∂t i∂t −
hEi , ∂t ihX, ∂t iX.
−
f
f
Um cálculo simples mostra que
1 X
∗
∗
2
2
2
K
(X
,
E
)
|X|
−
h∇h,
E
i
|X|
M
i
i
f2 i
1 X
− 2
KM (X ∗ , Ei∗ ) hX, Ei i2 + hX, ∇hi2
f i
2 X
+ 2
KM (X ∗ , Ei∗ )hX, ∇hihX, Ei ih∇h, Ei i.
f i
X
hRM (X ∗ , Ei∗ )X ∗ , Ei∗ i =
i
Logo, usando a condição de convergência (2.40), e através de outro cálculo simples, obtemos
X
hR(X, Ei )X, Ei i = −
i
donde se infere que
RicΣ
f 00
|f 00 |
(n − |∇h|2 )|X|2 = −(n − 1)
|X|2 ,
f
f
é limitada inferiormente, como armado.
Demonstração do Teorema 2.10.
Denimos a seguinte aplicação
g:Σ → R
p 7→ g(p) = f (1 + hN, ∂t i)(p).
Como estamos a supor que
positiva
C
tal que
g≤C
Σ
em
está contida num slab de
I ×f M ,
existe uma constante
Σ.
Calculando o laplaciano de
g
com o auxílio das Proposições 1.24 e 1.25, obtemos
78
(f 0 )2 − f f 00
∗
∗
2
∆g = −
RicM (N , N ) − (n − 1)
|∇h| f hN, ∂t i
f2
00
f f − (f 0 )2
(f 0 )2
+
|∇h|2 + n
− nHf 0
f
f
+ (nHf 0 − f |A|2 )hN, ∂t i.
Por outro lado, graças à condição de convergência (2.40), um cálculo direto nos fornece
a seguinte estimativa
RicM (N ∗ , N ∗ ) ≥
Logo, como
hN, ∂t i < 0,
∆g ≥
(n − 1)
sup((f 0 )2 − f f 00 )|∇h|2 .
f2
I
obtemos
f f 00 − (f 0 )2
f
|∇h|2 + n
(f 0 )2
− nHf 0 + (nHf 0 − f |A|2 )hN, ∂t i.
f
Consequentemente, como por hipótese
∆g ≥ n
Sabemos que
KM ≤ 0,
segue que
(f 0 )2
− nHf 0 + (nHf 0 − f |A|2 )hN, ∂t i.
f
|A|2 ≥ nH 2 .
Daí e da estimativa precedente, por intermédio de um
cálculo simples, obtemos
∆g ≥ n
f0
− H (f 0 + Hf hN, ∂t i).
f
Suponhamos agora, a partir de (2.41), e por contradição, que
f0
∆g ≥ n inf
Σ f
H < inf Σ (f 0 /f ).
Assim,
f0
n
f0
f0
inf − H g ≥ inf
inf − H g 2 .
Σ f
Σ f
C Σ f
Pelo Corolário 1.15, devemos ter
um slice. Contudo, um slice
Mtn
g ≡ 0.
Logo,
hN, ∂t i ≡ −1,
o que implica que
tem curvatura média constante igual a
nos dá uma contradição. Dessa maneira,
H = inf Σ (f 0 /f )
e, por (2.42),
(f 0 /f )(t).
Σn
Σn
é
Isso
é um slice.
Observação 2.4
79
O Teorema 2.10 pode ser visto como uma extensão do Teorema 3 de
[46].
Em [46], S. Montiel provou os resultados que colecionamos na proposição a seguir.
Proposição 2.11
Seja
M n+1 , n ≥ 1,
uma variedade Riemanniana completa munida
de um campo fechado, conforme e não-trivial
1. O conjunto
Então:
Z(X) formado pelos pontos de M n+1
2. O campo unitário
Z(X)
X.
N = X/|X|
X
se anula é discreto.
denido no conjunto aberto e denso
satisfaz
∇N N = 0,
4. A distribuição de dimensão
nos quais
nD
∇u N =
ϕ
u
|X|
denida em
se
M0
M 0 = M n+1 \
hu, N i = 0.
por
p ∈ M 0 7→ D(p) = {v ∈ Tp M n+1 : hX(p), vi = 0}
F(X) de codimensão um que é orientada por
N . Ademais, as funções |X|, Div X e Xϕ são constantes nas folhas conexas de
F(X) e cada folha tem curvatura média constante H = − Div X/(n + 1)|X|.
determina uma folheação umbílica
5.
X
tem no máximo dois zeros e as alternativas a seguir são as únicas possíveis,
correspondendo respectivamente aos casos em que
zero em
(i)
M
n+1
X
tem um, dois ou nenhum
:
M n+1 é um espaço euclidiano com uma métrica rotacionalmente invariante,
n+1
i.e., M
= Rn+1 e a métrica, em termos de coordenadas polares (x = rp)
n+1
em R
\ {0} = R+ × Sn , é, a menos de homotetias,
dr2 + f (r)2dσn2 ,
Sn e f é
0
a restrição positiva a R+ de uma função suava ímpar com f (0) = 1. Além
n
n+1
disso, o campo X é dado por X(r, p) = f (r)p para r ∈ R+ e p ∈ S ⊂ R
e as folhas da folheação F(X) são as esferas centradas na origem r = r0 .
em que
(ii)
dσn2
é a métrica de curvatura constante e igual a um 1 em
M n+1 é uma esfera com uma métrica rotacionalmente invariante, i.e., M n+1 =
Sn+1 e a métrica, em termos das coordenadas polares (x = a cos θ + p sin θ)
n+1
em S
\ {a, −a} = (0, π) × Sn , em que a ∈ Sn+1 é arbitrário e Sn é o
equador ortogonal a a, é dada, a menos de homotetias, por
dθ2 + f (θ)dσn2 ,
80
f é a restrição a (0, π) de uma função periódica ímpar, de período
2π , com f 0 (0) = 1 e sem zeros em (0, π). Ademais, o campo X é dado por
X(θ, p) = f (θ)(a sin θ − p cos θ), para cada θ ∈ (0, π) e p ∈ Sn ⊂ Sn+1 .
n+1
Neste caso, as folhas de F(X) são as pequenas esferas de S
paralelas ao
n
equador S .
em que
(iii) O recobrimento riemanniano simplesmente conexo de
warped
R ×f P
n
, em que
P
n
M n+1
é um produto
é uma variedade Riemanniana completa e
simplesmente conexa, de dimensão
n,
e
f
é uma função positiva denida
R. Ademais, o grupo Γ de automorsmos isométricos é um subgrupo de
n
Iso(R) × Iso(P ). Neste caso, a função f é invariante pelas translações na
projeção de Γ em Iso(R), o campo X é determinado como sendo a projeção
n
de f (s)∂s(s,p) , para todo s ∈ R e todo p ∈ P , e a folheação F(X) consiste
n
nas projeções dos slices {s} × P , s ∈ R.
em
Os espaços hiperbólicos
Hn+1
podem ser pensados como uma classe de hipersu-
perfícies no espaço de Minkowski. De fato, denotando por
Lorentz de índice
1
em
Rn+2 ,
h·, ·i
a métrica canônica de
temos que cada componente conexa da hiperquádrica
{p ∈ Rn+2 : hp, pi = −1},
munida da métrica induzida, é uma variedade riemanniana completa e simplesmente
conexa com curvatura seccional constante e igual a
Hn+1 ,
−1.
Com essa representação para
não é difícil acreditar que
X(p) = a + ha, pi,
a ∈ Rn+2
para um vetor
p ∈ Hn+1 ,
xado, provê campos conformes e exatos que são qualitativa-
mente distintos, de acordo com o caráter causal do vetor
folheação
quando
a
F(X) de Hn+1
por esferas, quando
a.
Assim, cada
origina uma
a é um vetor tipo-tempo; por horoesferas,
é tipo-luz; e por hiperplanos hiperbólicos totalmente geodésicos, quando
é tipo-espaço.
f (r) = sinh r.
a
A primeiro situação corresponde a um caso particular da Proposição
2.11−5(i), em que se tem a métrica rotacionalmente invariante
dr2 + f (r)2 dσn2 ,
com
A segunda situação é um caso particular da Proposição 2.11−5(iii), por-
que, desse ponto de vista,
com
X
f (t) = et
para cada
Hn+1
pode ser considerado como o produto warped
t ∈ R.
R ×f Rn
A terceira situação corresponde à da Proposição
2.11−5(ii) e descreve
Hn+1
como
R ×f Rn , com f (t) = cosh t para cada t ∈ R.
Uma iso-
Hn+1
R ×et Rn
metria explícita entre o modelo do semi-espaço para
é dada como segue. Seja
perfícies
Mt := {t} × M
M
n+1
81
= R ×f M n
e o produto warped
um produto warped. A família de hipersu-
constitui uma folheação de
M
por folhas totalmente umbílicas
de curvatura média constante
H(t) = (ln f )0 (t) = (f 0 /f )(t).
Seja
s:R→J
s(t) = s(0) =
a aplicação dada por
Então a variedade produto warped
R ×f M n
Rt
0
f −1 (u)du,
em que
J = s(R).
é isométrica à variedade produto
J × M n,
munida da métrica conforme
h·, ·i = λ2 (s)(ds2 + h·, ·iM ),
τ (t, p) = (s(t), p)
por meio da isometria
orientação na direção do campo
isometria entre
R ×et Rn
e
Hn
∂t .
λ(s) = f (t(s)),
com
que reverte a orientação, já que reverte a
Temos que
Hn+1 = R ×et Rn , uma vez que τ
é uma
no modelo do semi-espaço.
Neste contexto, do Teorema 2.10 obtemos a seguinte extensão do Teorema 5.2 de
[17].
Corolário 2.12 (Corolário 4.1 de [6])
orientável, com campo normal unitário
Seja
N,
ψ : Σn # Hn+1
uma hipersuperfície
segunda forma fundamental limitada e cur-
0 ≤ H ≤ 1. Suponha que a função Σn 3 p 7→ hN, ∂t i(p) tem
n
Se Σ está contida entre duas horoesferas e sua função altura
vatura média constante
sinal denido em
Σn .
satisfaz
|∇h|2 ≤ α(1 − H β ),
α
e
β,
então
Σn
é uma horoesfera.
O corolário precedente é mais exatamente um escólio da demonstração do Teorema 2.10. De fato, é suciente notar que, sob as hipóteses desse corolário, os cálculos
feitos na referida demonstração, nos permitem concluir que
|∇h|2 ≤ α(1 − H β ),
segue
Σn
H β = 1, logo H = 1, e como
é uma horoesfera. Convém enfatizarmos que, para não
sermos conduzidos a uma longa digressão sobre o espaço hiperbólico, por horoesfera,
entedemos simplesmente um slice
Para a representação
{t} × Rn
R ×cosh t Rn
de
da representação
Hn+1 ,
R ×et Rn .
obtemos o seguinte
entável, com campo normal unitário
tura média constante
em
Σ
n
H.
N,
ψ : Σ # Hn+1
Seja
. Suponha, ainda, que
Σ
uma hipersuperfície ori-
segunda forma fundamental limitada e curva-
Σn 3 p 7→ hN, ∂t i(p)
Suponha que a função
n
82
tem sinal denido
está contida entre duas hiperesferas e que
0 ≤ H ≤ inf (tanh t).
Σ
Σn
satisfaz
|∇h|2 ≤ α(inf (tanh t) − H)β ,
Σ
α e β , então Σn é uma hiperesfera. (Aqui, por
{t} × Rn da representação R ×cosh t Rn de Hn+1 .)
hiperesfera, entendemos um slice
Fazendo uma análise da demonstração do Teorema 2.10, vemos que a hipótese de
Σn
f 00
estar entre dois slices é uma condição suciente para garantir que tanto
são limitadas em
Σn .
Como nos modelos warped de
garantirmos que a função warping
uma vez
Hn+1 = R ×et Rn ,
f
Σn .
f = f 00 , é suciente
obtemos a seguinte extensão do Teorema 5.1 de [17].
orientável, com campo normal unitário
sinal denido em
temos
quanto
é limitada. Consequentemente, considerando mais
vatura média constante
Hn+1
f
0 ≤ H ≤ 1.
N,
ψ : Σn # Hn+1
Seja
segunda forma fundamental limitada e cur-
Suponha que a função
Σn
Σn 3 p 7→ hN, ∂t i(p)
tem
é tal que
h ≤ C − ln(1 + hN, ∂t i),
β,
então
Σ
+∞
e
|∇h|2 ≤ α(1 − H β ),
α
e
é uma horoesfera.
Observação 2.5
como
C,
quando
No Corolário 2.14, o termo
hN, ∂t i = −1.
− ln(1 + hN, ∂t i)
deve ser interpretado
Capítulo 3
Grácos verticais inteiros
O estudo da geometria de hipersuperfícies imersas em um espaço riemanniano
constitui um clássico e profícuo tema na Teoria de Imersões Isométricas.
Um dos
mais celebrados resultados desse ramo é, sem dúvida, o teorema de Bernstein [11]
(modicado por Hopf [41]), o qual estabelece que os únicos grácos inteiros e mínimos
em
R3
são os planos.
Algum tempo depois, J. Simons [64] provou um resultado que, combinado com
alguns teoremas de E. de Giorgi [37] e W. H. Fleming [31], fornece uma prova da
extensão do teorema de Bernstein para
Rn ,
para
n ≤ 7.
No entanto, E. Bombieri, E.
de Giorgi e E. Giusti [13] surpreendentemente mostraram que esse teorema não vale
para
n ≥ 8.
Desde então, um interessante tópico de pesquisa em Análise Geométria
têm sido as possíveis extensões do resultado de Bernstein para dimensões maiores ou
para outros espaços-ambiente. Uma contribuição notável foi dada por J. Moser [48],
que mostrou que os hiperplanos são os únicos grácos inteiros e mínimos de
Rn
tais
que o gradiente da função correspondente tem norma limitada.
Este capítulo é devotado ao estudo de grácos inteiros
Σn (u) := {(u(x), x) : x ∈ M n } ⊂ R × M n ,
u ∈ C ∞ (M ).
Essencialmente, empregaremos o princípio do máximo de H. Omori [50] e S. T. Yau
[66] e a expressão dada pela Proposição 1.24 para o laplaciano da função ângulo de uma
Capítulo 3. Grácos em R × M
hipersuperfície
Σn
84
isometricamente imersa em
para os referidos grácos.
R×Mn
para obter resultados de rigidez
Averiguaremos o que acontece quando a curvatura não é
necessariamente constante e discutiremos um resultado de integrabilidade (é bastante
natural nos voltarmos para
L1 (M )
quando queremos obter, via métodos analíticos,
informações sobre a geometria de uma variedade riemanniana não compacta
M n ).
Finalmente, apresentaremos dois resultados do tipo-Moser, o segundo dos quais é, em
certo sentido, uma extensão do resultado original de Moser.
3.1 Grácos em R × M
Consideremos
C ∞ (Ω)
Ω ⊆ Mn
um domínio (i.e., um aberto conexo). Toda função
determina um gráco sobre
Ω
u∈
dado por
Σn (u) = {(u(x), x) : x ∈ Ω} ⊂ R × M n .
Dizemos que o gráco é inteiro quando
Seja
Ω = M n.
Σn (u) = {(u(x), x) : x ∈ M n } ⊂ R × M n
um gráco inteiro.
g : (t, x) ∈ R × M n 7→ g(t, x) = t − u(x) ∈ R é tal que Σn (u) = g −1 (0).
Dado
v ∈ Tp Σn (u),
α0 (0) = v .
tomemos uma curva suave
α : (−, ) → Σn (u)
Seja
tal que
A função
p ∈ Σn (u).
α(0) = p
e
Temos
d
v(g) = (g ◦ α)(t) = 0.
dt
t=0
Como
v(g) = hv, ∇gi, inferimos que ∇g(p) ⊥ v , para todo v ∈ Tp Σn (u).
praxe nesta dissertação, objetos assinalados por
R × M n .)
Por outro lado, se escrevermos
(·)
(Aqui, como de
dizem respeito ao espaço-ambiente
v = (λ∂t , w),
em que
então
v(g) = λ∂t (g) + w(g)
= λ + w(u)
= h∂t , vi − hDu, wi
= h∂t − Du, vi,
w ∈ Tq M n , q = πM (p),
em que
Du
denota o gradiente de
u
85
em
M n.
Portanto, como
∇g(u(x), x) = ∂t (u(x),x) − Du(x),
p ∈ Σn (u)
é arbitrário,
∀x ∈ M n ,
e o campo de vetores unitários
1
N (x) = p
(∂
− Du(x)),
t
(u(x),x)
1 + |Du|2M
dá uma orientação para
Σn (u)
na qual temos
η > 0.
x ∈ M n,
(3.1)
Daí e da relação
η 2 = 1 − |∇h|2 ,
segue que
|∇h|2 =
|Du|2M
.
1 + |Du|2M
(3.2)
Apesar de ser corriqueira em Geometria Diferencial a identicação de um objeto
com sua imagem por uma imersão suave
−
e, de fato, foi isso que até agora zemos
e continuaremos a fazer sistematicamente
−,
em certas ocasiões é essencial ser preciso
com a notação empregada.
Γu : Ω → R × M n
Todo gráco pode ser visto como a imagem da imersão
dada por
Γu (x) = (u(x), x),
Dados
x∈Ω
e
v ∈ Tx M ,
x ∈ Ω.
temos por denição que
d
dΓu (v) = Γu (α(t)) ,
dt
t=0
para qualquer curva diferenciável
α : (−, ) → M n
com
α(0) = x
e
α0 (0) = v .
d
dΓu (v) = (u(α(t)), α(t)) = (v, dux (v)) = v + hDu(x), viM ∂t (u(x),x) .
dt
t=0
A partir da expressão obtida para
Então
(3.3)
dΓu , comprovamos imediatamente que Γu é, em
verdade, uma imersão. Por outro lado, também a partir daí podemos obter a expressão
geral da métrica induzida em
Ω
por
Σn (u).
Para
v, w ∈ Tx M ,
temos
hv, wi = hdΓu (v), dΓu (w)i = hv, wiM + hDu(x), viM hDu(x), wiM ,
i.e., a métrica induzida sobre
via
Σn (u)
Ω
86
da métrica Riemanniana do espaço ambiente
R × Mn
é dada por
h·, ·i = h·, ·iM + du2 .
É imediato, então, que um gráco inteiro é completo, se
M
o for, pois
hX, Xi = hX, XiM + hDu, Xi2M ≥ hX, XiM ,
e, assim, curvas divergentes na métrica original de
Vamos empregar a imersão
Γu
M n também o serão na nova métrica.
para calcular o operador de forma de
de Weingarten estabelece que, dado qualquer campo vetorial
Σn (u).
X ∈ T M,
temos
∇dΓu (X) N = −dΓu (AX).
Calculemos
∇dΓu (X) N .
Civita e denotando
A fórmula
(3.4)
Tendo em conta as propriedades básicas da conexão de Levi-
ξ := ∂t − Du,
temos
∇dΓu (X) N = ∇dΓu (X)
1
ξ
|ξ|
1
=
∇dΓu (X) ξ + dΓu (X)
|ξ|
1
ξ.
ξ
(3.5)
Por um lado, também temos
∇dΓu (X) ξ = ∇(X+hDu,Xi∂t ) (∂t − Du) = −DX Du,
em que
D
denota a conexão de Levi-Civita de
dΓu (X)
1
|ξ|
=X
M
e, por outro lado,
!
1
p
1 + |Du|2M
=−
hDX Du, DuiM
(1 + |Du|2M )3/2
Substituindo as duas últimas expressões em (3.5), obtemos
∇dΓu (X) N = − p
DX Du
1+
|Du|2M
−
hDX Du, DuiM
(∂t − Du).
(1 + |Du|2M )3/2
(3.6)
Da equação 3.3, deduzimos que
dΓu (AX) = AX + hDu, AXiM ∂t .
(3.7)
Substituindo (3.6) e (3.7) na identidade (3.4) e identicando as partes tangentes, nalmente obtemos que
Capítulo 3. Um resultado de integrabilidade
87
1
hDX Du, DuiM
AX = p
DX Du −
Du,
2
(1 + |Du|2M )3/2
1 + |Du|M
para qualquer campo vetorial tangente
{E1 , . . . , En }
Seja, agora,
métrica
h·, ·iM ).
X
sobre
(3.8)
Ω.
um referencial ortonormal local de
TM
(com relação à
Tomando traços relativamente a esse referencial na expressão (3.8),
obtemos que a função curvatura média
Hu
Σn (u)
de um gráco
é dada por
nHu (1 + |Du|2M )3/2 = (1 + |Du|2M )∆M u − |Du|2M D2 u(Du, Du),
em que
bre
∆M
e
D2
(M n , h·, ·iM ).
representam, nesta ordem, os operadores laplaciano e hessiano soEsta última expressão pode ser reescrita de modo mais condensado
usando o operador divergência. Assim, a curvatura média de
Σn (u) é dada pela seguinte
equação
nHu = Div
em que
Div
denota o divergente na bra
Du
p
1 + |Du|2M
!
,
(3.9)
M n.
3.2 Um resultado de integrabilidade
Em 1976, S. T. Yau [67] obteve a seguinte extensão do teorema de Hopf:
Proposição 3.1
Sejam
Mn
uma variedade riemanniana de dimensão
n,
completa e
u : M → R uma função suave. Se u é subharmônica (ou superharmônica)
1
e |∇u| ∈ L (M ), então u é harmônica. Aqui, L (M ) denota o conjunto de todas as
funções f : M → R que são integráveis no sentido de Lebesgue.
orientada, e
1
A ferramenta essencial para a demonstração do supracitado resultado é a seguinte extensão do Teorema de Stokes para variedades Riemannianas e não compactas,
1
também devida a S. T. Yau[67] :
1 Esboço
da demonstração. Seja r a função Lipschitziana denida em M n que a cada ponto faz
corresponder a distância a partir de um ponto xado p. Para cada R > 0, seja B(R) a bola de raio R
centrada em p. Aproximando a função r, podemos encontrar uma função suave não negativa gR tal que:
−1
(1) Exceto, possivelvemente, para um número nito de t < R, gR
(t) é uma hipersuperfície regular e
−1
−1
compacta; (2) |dgR | ≤ 3/2 em gR
([0, R]); (3) gR
(t) ⊂ B(t + 1) \ B(t − 1) para t ≤ R. Por outro lado,
Seja
Mn
88
uma variedade riemanniana de dimensão
pacta. Se
n,
completa e não com-
n−1
ω∈Ω
então existe uma
M = ∪i Bi
(M ) é uma (n−1)−forma diferencial integrável em M n ,
n
sequência (Bi )i∈N de domínios em M , tal que Bi ⊂ Bi+1 ,
e
Z
lim
dω = 0.
i
ω = ι∇u dΣ,
Com efeito, fazendo
direção do gradiente de
u
Bi
e
dΣ
em que
u ∈ C ∞ (Σ), ι∇u
é o elemento de volume de
Σ,
é a contração na
obtemos imediatamente
a Proposição 3.1.
Seguindo as ideias desenvolvidas por Yau, A. Caminha [16] mostrou a seguinte
Proposição 3.2
Seja
X
um campo suave denido numa Riemanniana
M n , completa, não compacta e orientada. Suponha
M n e que |X| ∈ L1 (M ). Então Div X ≡ 0.
Demonstração.
M n.
de
Seja
dM
ω
a
Div X
que
n−dimensional
não muda de sinal em
Podemos supor, sem perda de generalidade, que
(n − 1)−forma
diferencial em
na direção do campo vetorial
ortonormal em um aberto
U ⊂ M,
M
dada por
X ∈ T M.
Se
com formas duais
ιX dM ,
i.e.,
{E1 , . . . , En }
{ω1 , . . . , ωn },
ω
Div X ≥ 0 em
é a contração
é um referencial
então
n
X
ιX dM =
(−1)i−1 hX, Ei iω1 ∧ · · · ∧ ω
b i ∧ · · · ∧ ωn .
i=1
Uma vez que as
(n − 1)−formas ω1 ∧ · · · ∧ ω
bi ∧ · · · ∧ ωn
temos
são ortonormais em
Ωn−1 (M ),
n
X
|ω| =
hX, Ei i2 = |X|2 ,
2
i=1
donde
1
|ω| ∈ L (M ).
sequência de domínios
Ademais,
Bi ⊂ M
Z
dω = d(ιX dM ) = (Div X)dM .
M = ∪i Bi , Bi ⊂ Bi+1
Z
i
(divX)dM =
dω −→ 0.
tal que
Bi
temos que
R
−1
gR
([0,R])
|dgR ||ω| =
R R R
0
Existe, pois, uma
e
Bi
−1
gR
(t)
|ω| dt. Segue de (2) que
R R R
0
−1
gR
(t)
R
|ω| dt ≤ 3/2 M |ω|.
−1
Assim, para algum R/2 ≤ tR ≤ R em que gR
(tR ) é uma hipersuperfície regular e compacta, temos
R
R
que g−1 (tR ) |ω| ≤ 3/R M |ω|. Do teorema standard de Stokes e da última desigualdade, inferimos
R R
R
R
que g−1 ([0,tR ]) dω ≤ g−1 (tR ) |ω| ≤ 3/R M |ω|. Da propriedade (3) de gR , concluímos, então, que
R
R
R
M n = ∪i gi−1 ([0, ti ]) e que limi g−1 ([0,ti ]) dω = 0. Q.E.D.
i
Como
Div X ≥ 0
em
M,
concluímos que
89
Div X ≡ 0.
Nesta seção, seguindo o espírito dos resultados de integrabilidade discutidos até
aqui, estabeleceremos o seguinte
Teorema 3.3 (Teorema 1.1 de [43])
vertical inteiro em
R × M n,
Seja
Σn (u) = {(u(x), x) : x ∈ M n } um gráco
com curvatura média limitada.
Suponha que uma das
seguintes condições é satisfeita:
(i)
Mn
tem curvatura de Ricci negativa e
(ii)
Mn
tem curvatura de Ricci positiva e
em
Se
H2
H2
é não negativa em
Σn (u);
é não positiva e limitada inferiormente
n
Σ (u).
|Du| ∈ L1 (M ),
então
Σn (u)
é um slice
{t0 } × M n .
Antes, contudo, de passarmos à prova deste teorema, precisamos de uma expressão apropriada para o operador quadrado de Cheng-Yau (cf.
Seção 1.4) da função
altura. Essa expressão será crucial para a prova.
Recordamos que
∇X ∇h = ηAX,
∀X ∈ T Σ.
(3.10)
Levando em consideração que
traço(A
em que
H2 =
◦ P1 ) = n(n − 1)H2 ,
2
S denota o valor médio da segunda função simétrica elementar
n(n−1) 2
dos valores do operador de forma de
Σn ,
S2
da expressão para o operador quadrado de
Cheng-Yau dada em (1.53) e de (3.10), obtemos
h = n(n − 1)H2 hN, ∂t i.
que se
(3.11)
Suponhamos que (i) é satisfeita. Observe
A é a segunda forma fundamental da imersão, então seus autovalores são funções
contínuas em
que a norma
Σn (u).
|A|
Segue da denição de
for limitada em
Σn (u).
P1
que
|P1 |
Portanto, como
|A|2 = n2 H 2 − n(n − 1)H2 ,
é limitada em
Σn (u),
sempre
90
das hipóteses de que a curvatura média é limitada e de que
que existe uma constante
C > 0,
tal que
|P1 | ≤ C
em
H2 é não negativa, inferimos
Σn (u).
Daí,
|P1 (∇h)| ≤ |P1 ||∇h| ≤ C|∇h|.
(3.12)
Consequentemente, de
|Du|2M
|∇h| =
1 + |Du|2M
2
e de (3.12), vemos que a hipótese
|Du| ∈ L1 (M )
Por outro lado, em virtude das equações
X ∈ TΣ
(cf. Seção 1.4), e
∇h = ∂t − ηN ,
assegura que
|P1 (∇h)| ∈ L1 (Σ).
hDiv P1 , Xi = Ric(N, X),
para todo
temos
hDiv P1 , ∇hi = Ric(N, ∇h)
= Ric(N, ∂t ) − hN, ∂t iRic(N, N ),
em que
Ric
denota o tensor de Ricci de
R × M n.
Assim, levando em consideração que
R(X, Y )Z = RM (X ∗ , Y ∗ )Z ∗ ,
para quaisquer campos vetoriais
curvatura da bra
Mn
Mn
e
X, Y, Z
R × M n,
em
X ∗ = X − hX, ∂t i∂t
RM
em que
denota o tensor
é a projeção do campo vetorial
X
sobre
(cf. Corolário 1.5), obtemos
hDiv P1 , ∇hi = −hN, ∂t i RicM (N ∗ , N ∗ ),
em que
RicM
é o tensor de Ricci da bra
Portanto, das equações
(3.13)
M n.
Div P1 (∇f ) = hDiv P1 , ∇f i + f ,
para toda
f ∈ C ∞ (Σ)
(cf. Seção 1.4), (3.11) e (3.13), obtemos
Div P1 = hDiv P1 , ∇hi + h
(3.14)
= hN, ∂t i(n(n − 1)H2 − RicM (N ∗ , N ∗ )).
Agora, como a função ângulo
a curvatura de Ricci da bra
hN, ∂t i tem sinal estrito em Σn (u), nossas hipóteses sobre
Mn
e sobre o sinal de
H2
garantem que divP1 (∇h) não
Capítulo 3. Um pouco de heurística
91
muda de sinal. (Note que se (ii) for satisfeita, ainda se pode dizer o mesmo sobre a
invariância de sinal.)
Div P1 ≡ 0 em Σn (u).
Podemos aplicar a Proposição 3.2 para concluir que
nemos a (3.14). Como o sinal de
lidar), inferimos que
RicM
Retor-
é estrito (negativo, no caso com que estamos a
N ∗ é identicamente zero em Σn (u), i.e., Σn (u) é um slice {t0 }×M n .
Para o caso de grácos inteiros mínimos, da prova do Teorema 3.3 obtemos a
seguinte extensão fraca do teorema de Bernstein clássico:
Corolário 3.4 (da demonstração do Teorema 3.3)
tical inteiro e mínimo em
Suponha que
M
n
R×M
n
é um slice
Σn (u)
um gráco ver-
, com segunda curvatura média limitada inferiormente.
|Du| ∈ L1 (M ), então Σn (u)
n
Ricci de M é positiva, então
tem curvatura de Ricci não negativa. Se
é totalmente geodésica. Em particular, se a curvatura de
Σn (u)
Seja
{t0 } × M n .
Quando o espaço ambiente é o espaço euclidiano
Rn+1 ,
o Corolário 3.4 assume a
seguinte conguração:
Corolário 3.5
Σn (u)
|Du| ∈ L1 (Rn ), são
Os únicos grácos inteiros e mínimos
escalar limitada inferiormente e tais que
Observação 3.1
Um gráco vertical inteiro
em
Rn+1 ,
com curvatura
os hiperplanos.
Σn (u) # R × M n ,
com curvatura média
1
|Du| ∈ L (M ), é necessariamente mínimo. Com efeito, temos
n
que o laplaciano da função altura de Σ (u) é dado por ∆h = nHη . Escolhendo para
Σn (u) a orientação dada em (3.1), com respeito à qual η > 0, vemos que ∆h não
n
1
muda de sinal em Σ (u). Em virtude de (3.2), temos que |Du| ∈ L (M ) implica
|∇h| ∈ L1 (Σ(u)). Podemos, então, aplicar a extensão do Teorema de Hopf com a qual
n
iniciamos esta seção para concluir que h é harmônica em Σ (u). Retornando à relação
∆h = nHη , inferimos que H = 0.
constante
H
e tal que
3.3 Um pouco de heurística
Os dois resultados a seguir (Teoremas 3 e 4 de [7]), achamos por bem incluí-los
a m de deixar transparecer o processo heurístico que nos conduziu aos teoremas da
próxima seção.
Teorema 3.6
92
M n uma variedade riemanniana compacta com curvaturas seccin
n
n
onais positivas. Seja Σ (u) # R × M um gráco inteiro sobre M , com curvatura
média constante e segunda curvatura média limitada inferiormente. Se |Du|M ≤ 1,
então u ≡ t0 , para algum t0 ∈ R.
Seja
Demonstração.
Considere
Σn (u)
com a orientação dada por (3.1).
Sabemos
que
|∇h|2 =
Assim,
|Du|M ≤ 1
implica
|∇h|2 ≤
|Du|2M
.
1 + |Du|2M
1
. Como
2
Teorema 2.1, o qual nos permite concluir que
Teorema 3.7
Σn (u)
u ≡ t0 ,
é completo, podemos invocar o
para algum
t0 ∈ R.
M n uma variedade riemanniana compacta com curvaturas seccin
n
n
onais positivas. Seja Σ (u) # R × M um gráco inteiro sobre M , com curvatura
média constante e segunda curvatura média limitada inferiormente. Se |Du|M é limin
tada, então Σ (u) é mínimo. Ademais, se u ≥ 0, então u ≡ t0 , para algum t0 ≥ 0.
Seja
Precisaremos do seguinte
Lema 3.1 (Teorema 1.3 de [58])
Seja
Mn
uma variedade riemanniana completa
Kπ ≥ −K0 , para alguma
constante não negativa K0 . Seja S um gráco inteiro e mínimo em M × R com função
2
altura u ≥ 0. Então S = M × {c}, para alguma constante c ≥ 0.
com curvatura de Ricci não negativa e curvaturas seccionais
|∇h|2 =
vemos que a hipótese de
de
|Du|M
Das relações
|∇h|2 = 1 − η 2
|Du|2M
,
1 + |Du|2M
ser limitada implica que o ângulo de
1 (equivalentemente, o argumento de Σn (u) está longe de
2 Esboço
e
Σn (u)
está longe
π
. Então, podemos aplicar
2
da demonstração. Seja S um gráco inteiro e mínimo com função altura u ≥ 0. Seja
(x1 , . . . , xn ) um sistema de coordenadas locais para M com métrica correspondente σij . A métrica
induzida em S é então gij = hXi , Xj i = σij + ui uj . De acordo com o Corolário 4.4 de [58], |Du| ≤
C1 globalmente em M (Du denota o Laplaciano de u em M ). Portanto, a métrica induzida gij é
√
uniformemente elíptica e o laplaciano ∆S em S , dado por ∆S = divS (DS ·) = √1g Di ( gg ij Dj ·) =
g ij Di Dj , em que D denota a derivada covariante em M , g = det(gij ) e (g ij ) é a inversa de (gij ), é
um operador uniformemente elíptico em forma de divergência. Por translação, podemos supor que
inf M u = 0. Assim, dado > 0, existe um ponto p ∈ M com u(p) ≤ . Aplicando a desigualdade
de Harnack (Teorema 7.4 de [63]), para todo R temos que supBR (p) u ≤ C inf BR (p) u ≤ C, para uma
constante uniforme C independente de R. Fazendo R → ∞ e então → 0, vemos que u ≡ 0. Q.E.D.
o Teorema 2.2 para concluir que
3.1, devemos ter
u ≡ t0 ,
93
Σn (u) é mínimo.
para algum
Ademais, se
u ≥ 0, então, pelo Lema
t0 ≥ 0.
O próximo teorema, o último desta secção, talvez tenha seu lugar de direito entre
os resultados do capítulo precedente. No entanto, por causa dos interessantes corolários
que dele decorrem para o estudo de grácos, decidimos alocá-lo aqui.
Seja
M
n+1
= R × Mn
um produto riemanniano
n+1
n
cuja bra M tem curvaturas seccionais limitadas inferiormente, e seja ψ : Σ # M
n+1
.
um hipersuperfície completa e two-sided que está contida entre dois slices de M
R
n
Suponha que ±1 ∈
/ {η(p) : p ∈ Σ } . Se H2 é limitada inferiormente e H é limitada e
n
não muda de sinal em
Σn
Σn ,
então
inf Σ H = 0.
H
Em particular, se
é constante, então
é mínima.
Demonstração.
Antes de mais, note que estamos sob as hipóteses do Lema 2.2,
o que nos assegura que a curvatura de Ricci de
Agora, suponhamos por exemplo que
Considere
(pk ) ⊂ Σn
Σn
H ≥0
em
Σn .
Recorde que
∆h = nHη .
tal que
0 ≥ lim sup ∆h(pk ) = n lim sup(Hη)(pk ).
k
k
Também temos
0 = lim |∇h(pk )|2 = 1 − lim η 2 (pk ).
k
k
Logo, se supusermos por exemplo que
obtemos
limk η(pk ) = 1.
−1
não pertence ao fecho da imagem de
η,
Consequentemente,
0 ≥ lim sup ∆h(pk ) = n lim sup H(pk ) ≥ 0,
k
k
e, assim, concluímos que
lim sup H(pk ) = 0.
k
(Se
1
η,
então
limk η(pk ) = −1
lim supk ∆h(pk ) = −n lim supk H(pk ) = n lim inf k H(pk ) ≥ 0.)
Se
H ≤ 0,
então seja
(qk )
uma sequência de pontos de
Σn
0 ≤ lim inf ∆h(qk ) = n lim inf (Hη)(qk ).
k
k
tal que
e, assim,
0 ≥
Supondo novamente que
−1
94
η,
obtemos
0 ≤ lim inf ∆h(qk ) = n lim inf H(qk ) ≤ 0.
k
(Se
1
k
η,
então
limk η(pk ) = −1
lim inf k ∆h(qk ) = −n lim inf k H(qk ) = n lim supk H(qk ) ≤ 0.)
caso concluíremos que
e, daí,
0 ≤
Portanto, também neste
inf Σ H = 0.
Em 1959, R. Osserman [51] respondeu uma conjectura de Nirenberg, mostrando
que se uma superfície mínima e completa
da aplicação normal de Gauss de
Σ2
Σ2
em
R3
não é um plano, então a imagem
é densa na esfera unitária
S2 .
Mais geralmente,
H. Fujimoto [33] provou que se a imagem da aplicação de Gauss de uma superfície
deixa de conter mais que quatro pontos, então essa superfície é um plano. Graças ao
resultado de Osserman, decorre do Teorema 3.8 o seguinte
As únicas superfícies de
R3 completas, two−sided
e de curvatura média constante, com curvatura Gaussiana limitada inferiormente, contidas entre dois planos e tais que ambos os pólos de
planos
−
S2 −
que são ortogonais àqueles
não estão no fecho da imagem da aplicação de Gauss, são os planos de
Por outro lado, o exemplo da Seção 3.5 mostrará que a hipótese de
contida entre dois slices de
R × Mn
que a curvatura média de
Σn
não pode estar globalmente longe de zero.
C ⊂ R3
ao fecho da imagem da aplicação de Gauss
N
Ademais,
satisfaz quase todas as hipóteses do
Corolário 3.9, exceto a que exige que nenhum dos pólos de
N
estar
é necessária no Teorema 3.8, a m de concluirmos
observe que o cilindro circular horizontal
todas as direções nas quais
Σn
R3 .
de
C.
S2 , ortogonais a C , pertença
Na verdade,
C
é ilimitado em
é isolada.
Em virtude do Lema 3.1, o Teorema 3.8 também fornece este
Seja
Mn
uma variedade riemanniana com-
pleta com curvatura de Ricci não negativa e curvatura seccional limitada inferior-
Σn (u) # R × M n um gráco inteiro de uma função suave e não negativa
u ∈ C ∞ (M ), com H constante e H2 limitada inferiormente. Se u é limitada, então
u ≡ t0 , para algum t0 ∈ R.
mente. Seja
95
3
Ainda do Teorema 3.8, desta vez combinado com o Teorema 1.2 de [58] , obtemos
o seguinte
Seja
Mn
uma variedade riemanniana com-
pleta e recorrente, com curvatura de Ricci não negativa e curvatura seccional limitada
inferiormente. Seja
H constante
algum t0 ∈ R.
Σn (u) ⊂ R × M n o gráco
H2 limitada inferiormente.
u
com
e
Observação 3.2
I. Salavessa [62] provou que quando a bra
compacta, um gráco inteiro
n
Σ (u)
mínimo, se a constante de Cheeger
D
D
V (D)
e
calculados na métrica de
A(∂D)
M n.
Mn
é completa e não
média constante
H
é
Recordamos que
A(∂D)
,
V (D)
percorre todas as subvariedades abertas de
e bordo suave, e
é limitada,
R × M com curvatura
h(M ) da bra M n se anula.
h(M ) = inf
em que
Se
n
em
u ∈ C ∞ (M ),
então u ≡ t0 , para
inteiro de uma função
são o volume de
D
Mn
com fecho compacto em
e a área de
∂D,
Mn
respectivamente,
Retornando ao contexto do Teorema 2.4, observamos que a condição de o ângulo
η
da hipersuperfície
gráco
n
Σ (u)
Σn
estar longe de zero assegura que
de alguma função
∞
u ∈ C (M ).
Σn
é, de fato, (localmente) o
Se (2.28) vale, de (3.2) e (3.9) vemos
que o argumento de Salavessa nos permite obter que
∇u
Z
Z
!
p
dV
1 + |∇u|2
+
I *
r
∇u
n
p
=
, ν dA ≤
HA(∂D),
(n − 1)K0
1 + |∇u|2
∂D
nHdV =
nHV (D) =
D
em que
ν
div
D
é o vetor unitário normal que aponta para fora de
estimativa para a constante de Cheeger da bra
M
n
∂D.
Isso fornece a seguinte
:
p
n(n − 1)K0 ≤ h(M ).
que uma variedade M n tem a propriedade do semi-espaço se os slices M n × {t} são as
únicas hipersuperfícies mínimas propriamente imersas em M n × R+ . M n é dita recorrente se para
qualquer aberto limitado ∅ =
6 U j M n , toda função harmônica limitada em M n \ U é determinada
por seus valores de fronteira. O Teorema 1.2 de [58] estabelece o seguinte: Seja M n uma variedade
riemanniana completa e recorrente, com curvaturas seccionais limitadas |Kπ | ≤ K0 , para alguma
constante K0 . Então M n tem a propriedade do semi-espaço.
3 Dizemos
Capítulo 3. Resultados tipo-Moser
96
L = −∆ − Ric(N, N ) − |A|2 ,
constante H é dita estável se
Ademais, recordando o operador de estabilidade
Σn
com curvatura média
Z
(L f )f ≥ 0,
∀f ∈ C02 (Σ).
Σ
Note que, sob a referida hipótese do Teorema 2.4, a hipersuperfície é um slice e, portanto,
Ric(∂t , ∂t ) = 0
e
|A|2 = 0.
Logo, neste caso, vemos que a hipersuperfície mínima
é estável.
3.4 Resultados tipo-Moser
Os resultados desta seção compõem o paper [49].
Teorema 3.12
Sejam
Teorema 3.13
Sejam
M n uma variedade riemanniana compacta com curvaturas secn
n
n
cionais positivas e Σ (u) # R × M um gráco inteiro sobre M , com curvatura média
H constante e segunda curvatura média H2 limitada inferiormente. Se |Du|M ≤ C ,
para alguma constante C > 0, então u ≡ t0 , para algum t0 ∈ R.
M n uma variedade Riemanniana completa com curvatura de
n
n
n
Ricci não negativa e Σ (u) # R × M um gráco inteiro sobre M , com curvatura
média H constante e segunda curvatura média H2 limitada inferiormente. Se |Du|M ≤
α|A|, para alguma constante α > 0, então u ≡ t0 , para algum t0 ∈ R.
Demonstração dos Teoremas 3.12 e 3.13.
Sabemos que
Σn (u)
é uma
variedade completa e que o campo unitário
1
(∂t − Du)
N=p
1 + |Du|2M
dá uma orientação para
Σ(u) com relação à qual temos 0 < η ≤ 1.
com essa orientação, denimos uma função limitada e suave
Considerando
g : Σn (u) → R
g = −eη .
Temos
∇g = −eη ∇η
e, usando a Proposição 1.24,
∆g = eη {−|∇η|2 + (RicM (N ∗ , N ∗ ) + |A|2 )η}.
por
Σn (u)
Capítulo 3. Resultados tipo-Moser
É imediato que
N ∗> = η∇u
deração que a função altura
em
Σ(u).
e
h
97
|∇u|2 = hN ∗ , N ∗ iM .
de
Σ(u)
Da expressão para o campo
Aqui, estamos levando em consi-
não é senão a função
N,
|∇u|2 =
u
vista como uma função
obtemos
|Du|2M
.
1 + |Du|2M
A norma do endomorsmo de Weingarten
(3.15)
A de Σ(u) satisfaz a seguinte identidade
algébrica
|A|2 = n2 H 2 − n(n − 1)H2 ,
donde inferimos, uma vez que por hipótese
que
H
é constante e
H2 é limitada inferiormente,
supp∈Σ(u) |A(p)|2 < +∞.
Como existe uma constante positiva
Teorema 3.13, podemos tomar
C
tal que
C = α supp∈Σ(u) |A(p)|2 ),
|Du|M ≤ C
de
(no contexto do
η 2 = 1 − |∇u|2
e de (3.15),
vem que
1
η≥√
> 0.
1 + C2
(3.16)
Note que estamos sob as hipóteses do Lema 2.2, o qual assegura que a curvatura
de Ricci de
Σn (u)
(pk )k∈N ⊂ Σn (u),
0.
tal que
Existe, pois, uma sequência de pontos
limk g(pk ) = supΣ(u) g , limk |∇g(pk )| = 0
e
lim supk ∆g(pk ) ≤
Consequentemente, temos
0 ≥ lim sup ∆g(pk ) = lim eη(pk ) (RicM (N ∗ , N ∗ )|A|2 )η(pk )
k
k
≥ einf p∈Σ(u) η(p) · lim(RicM (N ∗ , N ∗ )|A|2 )(pk ) · inf η(p)
k
(3.17)
p∈Σ(u)
≥ 0.
Agora, suponha que as curvaturas seccionais de
tante positiva
β.
M
são limitadas por uma cons-
Então, neste caso,
RicM (N ∗ , N ∗ ) ≥ β|∇u|2 .
Consequentemente, como (3.16) garante que
inf p∈Σ(u) η(p) > 0,
lim |∇u(pk )|2 = 0.
k
concluímos que
Capítulo 3. Coda
Daí e de
98
η 2 = 1 − |∇u|2 ,
segue que
Finalmente, supondo que
que
limk |A(pk )| = 0.
|Du|M ≤ α|A|,
u ≡ t0 ,
temos
Mn
η ≡ 1,
i.e.,
u ≡ t0 ,
para algum
t0 ∈ R.
tem curvatura de Ricci não negativa, de (3.17) vem
Logo, como por hipótese existe uma constante positiva
de (3.15) inferimos que
para algum
limk |∇u(pk )|2 = 0.
α
tal
Assim, também neste caso,
t0 ∈ R.
3.5 Coda
Finalizemos com um exemplo. No que segue, consideraremos o modelo do semiespaço para o espaço hiperbólico de dimensão 2, i.e.,
munido da métrica
H2 = {(x, y) ∈ R2 : y > 0}
h·, ·iH2 = (dx2 + dy 2 )/y 2 .
Neste ambiente, estudemos a função suave
para uma constante não nula
a ∈ R.
u : H2 → R dada por u(x, y) = a · ln y ,
Seu gráco é
Σ2 (u) = {(a · ln y, x, y) : y > 0} # R × H2 .
Temos
Σ2 (u)
Du(x, y) = (0, ay)
e, portanto,
|Du|2H2 = a2 .
Ademais, a função altura
h
de
satisfaz
|Du|2H2
a2
|∇h| =
=
.
1 + |Du|2H2
1 + a2
2
Logo, a função ângulo
η
de
Σn (u)
com relação à orientação (3.1) é dada por
1
η=√
.
1 + a2
Em particular,
Σn (u)
tem argumento constante
θ = arccos
Armamos que
efeito, note que
1
√
1 + a2
Div = Div0 − y2 dy , em que Div0
{y∂x , y∂y }
.
denota a divergência em
é um referencial ortonormal global em
Temos
Div X = h∇y∂x X, y∂x i + h∇y∂y X, y∂y i
= y 2 (h∇∂x X, ∂x i + h∇∂y X, ∂y i).
H2 .
Seja
R2 .
Com
X ∈ T H2 .
Capítulo 3. Coda
99
Pela fórmula de Koszul, temos
2h∇∂x X, ∂x i = ∂x hX, ∂x i + Xh∂x , ∂x i − ∂x h∂x , Xi
−h∂x , [X, ∂x ]i + hX, [∂x , ∂x ]i + h∂x , [∂x , X]i
2
1
+
h∂x , [∂x , X]i0 .
= X
y2
y2
Logo
1
X
h∇∂x X, ∂x i = 2 h∇0∂x X, ∂x i0 +
y
2
1
y2
.
Analogamente, obtemos
X
1
h∇∂y X, ∂y i = 2 h∇0∂y X, ∂y i0 +
y
2
1
y2
1
y2
.
Portanto,
2
Div(X) = Div0 (X) + y X
2
= Div0 (X) − Xy
y
2
= Div0 (X) − dy(X),
y
donde
2
Div = Div0 − dy.
y
Dessa identidade que relaciona as divergências em
H2
e
R2
e de (3.9), seque que
2Hr3 = r2 y 2 ∆0 u − y 3 (yQ(u) + uy |D0 u|20 ),
em que as quantidades com o zero subscrito dizem respeito a
q
√
r = 1 + |Du|2H2 = 1 + a2
(R2 , h·, ·ican ),
Capítulo 3. Coda
100
e
Q(u) = u2x uxx + 2ux uy uxy + u2y uyy .
Substituindo
u(x, y) = a · ln y ,
obtemos
a
H= √
2 1 + a2
e, como
η
é constante,
0 = ∆η = −(|A|2 − |∇h|2 )η
e, assim,
|A|2 =
|A|2 = n2 H 2 − n(n − 1)H2 ,
Ademais, da identidade algébrica
Σ2 (u).
Mas
λ2 = 0
e usando que
H2 = λ1 λ2 ,
Observação 3.3
função
n
em que
H=
λ1 +λ2
2
a2
.
1 + a2
λ1 , λ2
=
são os autovalores de
λ1
, obtemos
2
λ1 =
A.
H2 = 0
em
Assim, considerando
√ a
.
1+a2
Em [61], I. Salavessa provou que para cada
u:H →R
vemos que
c
com
|c| ∈ [0, n − 1],
a
dada por
Z
u(x) =
0
c
(sinh r)n−1
r(x)
r
1−
Rr
0
(sinh t)n−1 dt
2 dr,
Rr
c
(sinh t)n−1 dt
(sinh r)n−1 0
em que
r(x) = ln
é suave em
Hn ,
e
Em particular, se
1 + |x|
1 − |x|
,
Σn (u) ⊂ Hn × R tem curvatura média constante
n = 2 e c = 1, u pode ser escrita como
Z r(x) r
1
u(x) =
(cosh r − 1)dr.
2
0
dada por
|H| =
|c|
.
n
Bibliograa
[1] U. Abresch and H. Rosenberg, A Hopf dierential for constant mean curvature
surfaces in
S2 × R
and
H2 × R,
Acta Math.
193 (2004), 141174.
[2] A. L. Albujer and L. J. Alías, Calabi-Bernstein results for maximal surfaces in
Lorentzian product spaces, J. Geom. Phys.
59, 620631, 2009.
[3] L. J. Alías, A. G. Colares e A. Brasil Jr., Integral formulae for spacelike hyper-
surfaces in conformally stationary spacetimes and applications, Proc. Edinb.
Math. Soc.
46 (2003), 465488.
[4] L. J. Alías and M. Dajczer, Uniqueness of constant mean curvature surfaces pro-
perly immersed in a slab, Comment. Math. Helv.
81 (2006), 653663.
[5] L. J. Alías, M. Dajczer and J. Ripoll, A Bernstein-type theorem for Riemannian
manifolds with a Killing eld, Ann. Glob. Anal. Geom.
31 (2007), 363373.
[6] C. P. de Aquino and H. F. de Lima, On the rigidity of constant mean curvature
complete vertical graphs in warped products, Di. Geom. Appl.
29 (2011), 590
596.
[7] C. P. de Aquino, H. F. de Lima and E. A. Lima Jr., On the angle of complete CMC
hypersurfaces in Riemannian product spaces, Di. Geom. Appl.
33 (2014), 139
148.
[8] J. L. M. Barbosa and A. G. Colares, Stability of hypersurfaces with constant
mean curvature, Ann. Global Anal. Geom.
15 (1997), 277297.
r-
Bibliograa
102
[9] A. Barros, A. Brasil and A. Caminha, Stability of spacelike hypersurfaces in foliated
space-times, Di. Geom. and Its Applications
26 (2008).
[10] M. Berger, P. Gauduchon et E. Mazet, Le spectre d'une variété Riemannienne,
Lectures Notes in Mathematics, Vol.
194, Springer, Berlin, 1971.
[11] S. Bernstein, Sur un théorème de géométrie et ses applications aux équations aux
dérivées partielles du type elliptique, Comm. de la Soc. Math. de Kharkov
(2éme sér.)
15 (1915-1917), 3845. Tradução ao alemão:
Über ein geometris-
ches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Dierentialgleichungen
vom elliptischen Typus, Math. Z.
26 (1927), 551-558.
[12] S. Bochner, Vector elds and Ricci curvature, Bull. American Math. Soc.
52
(1946), 776797.
[13] E. Bombieri, E. de Giorgi and E. Giusti, Minimal cones and the Bernstein problem,
Invent. Math.
7 (1969), 243268.
[14] E. Calabi, An extension of E. Hopf 's maximum principle with an application to
Riemannian geometry, Duke Math. J.
25 (1957), 4556.
[15] A. Caminha, On spacelike hypersurfaces of constant sectional curvature Lorentz
manifolds, J. Geom. and Phys.
56 (2006), 11441174.
[16] A. Caminha, The geometry of closed conformal vector elds on Riemannian spaces,
Bull. Braz. Math. Soc.
42 (2011), 277300.
[17] A. Caminha and H. F. de Lima, Complete vertical graphs with constant mean
curvature in semi-Riemannian warped products, Bull. Belgian Math. Soc.
16
(2009), 91105.
[18] M. P. do Carmo, Geometria Riemanniana, quinta edição, IMPA, Rio de Janeiro,
2011.
[19] J. Cheeger, Critical Points of Distance Functions and Applications to Geometry.
[20] J. Cheeger and D. Ebin, Comparison theorems in Riemannian Geoemtry, NorthHolland, Amsterdam, and Elsevier, New York, 1975.
Bibliograa
103
[21] S. Y. Cheng and S. T. Yau, Maximal spacelike hypersurfaces in the Lorentz-
Minkowski spaces, Ann. of Math. (2),
104(3), 407419, 1976.
[22] S. Y. Cheng and S. T. Yau, Hypersurfaces with constant scalar curvature, Math.
Ann.
225 (1977), no. 3, 195204.
[23] S. Chern, Simple proofs of two theorems on minimal surfaces, L'Enseignement
Math.
15 (1969), 5361.
[24] M. Dajczer et al., Submanifolds and isometric immersions, Math. Lect. Ser.,
13,
Publish or Peris, Inc., Houston, Texas, 1990.
[25] F. Dillen, J. Fastenakels, J. Van der Veken and L. Vrancken, Constant angle
surfaces in
S2 × R,
Monaths. Math.
152 (2007), 8996.
[26] F. Dillen and D. Kowalczyk, Constant angle surfaces in product spaces, J. Geom.
Phys.
62 (2012), 14141432.
[27] F. Dillen and M. I. Munteanu, Constant angle surfaces in
Math. Soc.
H2 × R ,
Bull. Brazilian
40 (2009), 8597.
[28] J. Eschenburg and E. Heintze, An elementary proof of the Cheeger-Gromoll split-
ting theorem, Ann. Glob. Anal. and Geom.
2 (1984), 141151.
[29] J. M. Espinar and H. Rosenberg, Complete constant mean curvature surfaces and
Bernstein type theorems in
M 2 × R,
J. Di. Geom.
82 (2009), 611628.
[30] D. Fischer-Colbrie and R. Schoen, The structure of complete stable minimal surfa-
ces in 3-manifolds of nonnegative scalar curvature, Comm. Pure Appl. Math.
33(1980), 199211.
[31] W. H. Fleming, On the oriented Plateau problem, Rend. Circ. Mat. Palermo
11
(1962), 6990.
[32] S. Fornari and J. Ripoll, Killing elds, mean curvature, translation maps, Illinois
J. of Math.
48:4 (2004), 13851403.
[33] H. Fujimoto, On the number of exceptional values of the Gauss map of minimal
surfaces, J. Math. Soc. Japan
40:2 (1988), 235247.
Bibliograa
104
[34] S. Gallot, D. Hulin and J. Lafontaine, Riemannian geometry, 3rd. edition, Universitext, Springer-Verlag, Berlin, 2004.
[35] E. Garnica, O. Palmas and G. Ruiz-Hernández, Classication of constant angle
hypersurfaces in warped products via eikonal functions.
[36] E. Garnica, O. Palmas and G. Ruiz-Hernández, Hypersurfaces with a canonical
principal direction, Di. Geom. Appl.
30 (2012), 382391.
[37] E. de Giorgi, Una estensione del teorema di Bernstein, Ann. Scuola Norm. Sup.
Pisa
19 (1965), 7985.
[38] G. Hardy, J. E. Littlewood and G. Pólya, Inequalities. Cambridge, Cambridge
Mathematical Library, 1989.
[39] D. T. Hieu e T. L. Nam, Bernstein type theorem for entire weighted minimal graphs
in
Gn × R,
J. Geom. Phys.
81 (2014), 8791.
[40] E. Hopf, Elementare Bemerkungen über die Lösungen partieller Dierentialglei-
chungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus, Sb. Preuss. Akad. Wiss.
19
(1927), 147152.
[41] E. Hopf, On S. Bernstein's theorem on surfaces
Proc. Amer. Math. Soc.
z(x, y)
of nonpositive curvature,
1 (1950), 8085.
[42] J. M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, volume 218 of Graduate Texts in
Mathematics, second edition, Springer-Verlag, New York, 2013.
[43] H. F. de Lima, Entire vertical graphs in Riemannian product spaces, to appear in
Quaest. Math.
[44] H. F. de Lima, E. A. Lima Jr. and U. L. Parente, Hypersurfaces with prescribed
angle function, Pacic J. of Math.
269, (2014), 393406.
[45] H. F. de Lima and U. L. Parente, A Bernstein type theorem in
Brazilian Math. Soc.
R × Hn ,
Bull.
43 (2012), 1726.
[46] S. Montiel, Unicity of constant mean curvature hypersurfaces in some Riemannian
manifolds, Indiana Univ. Math. J.
48 (1999), 711748.
Bibliograa
105
[47] S. Montiel and A. Ros, Compact hypersurfaces: The Alexandrov theorem for higher
order mean curvatures, Di. Geom.
52 (1991), 279296.
[48] J. Moser, On Harnack's theorem for elliptic dierential equations, Comm. Pure
Appl. Math.
14 (1961), 577591.
[49] A. M. S. Oliveira and H. F. de Lima, Moser type results in Riemannian product
spaces (2014) (submitted).
[50] H. Omori, Isometric immersions of Riemannian manifolds, J. Math. Soc. Japan
19 (1967), 205214.
[51] R. Osserman, Proof of a conjecture of Nirenberg, Comm. Pure Appl. Math.
12
(1959), 229232.
[52] B. O'Neill, Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity, Academic
Press, London, 1983.
[53] P. Petersen, Riemannian Geometry, 2nd. edition, Graduate Texts in Mathematics,
Springer-Verlag, New York, 2006.
[54] S. Pigola, M. Rigoli and A. Setti, Maximum Principles on Riemannian Manifolds
an Applications, Mem. Amer. Math. Soc., v. 174, n. 822, 2005.
[55] A. Romero, Simple proof of Calabi-Bernstein's Theorem on maximal surfaces,
Proc. Amer. Math. Soc.
124 (1996), 13151317.
[56] H. Rosenberg, Minimal surfaces in
M 2 ×R, Illinois J. Math. 46 (2002), 11771195.
[57] H. Rosenberg, Hypersurfaces of constant curvature in space forms, Bull. Sci. Math.
117 (1993) 217239.
[58] H. Rosenberg, F. Schulze and J. Spruck, The half-space property and entire positive
minimal graphs in
M × R,
J. Di. Geom.
95 (2013), 321336.
[59] T. Sakai, Riemannian Geometry, Translations of Mathematical Monographs, Volume
149, AMS, Providence, 1996.
[60] P. A. A. Souza, O Laplaciano de uma função tipo suporte e aplicações, Universidade Federal do Ceará, Dissertação de Mestrado, 2004.
Bibliograa
106
[61] I. M. C. Salavessa, Graphs with parallel mean curvature and a variational problem
in conformal geometry. University of Warnick, Ph.D. Thesis, 1987.
[62] I. M. C. Salavessa, Graphs with parallel mean curvature, Proc. Amer. Math. Soc.
107:2 (1989), 449458.
[63] L. Salo-Coste, Uniformly elliptic operators on Riemannian manifolds, J. Di.
Geom.
36 (1992), no. 2, 417450.
[64] J. Simons, Minimal varieties in Riemannian manifolds, Ann. of Math.
88 (1968),
62105.
[65] F. E. Wolter, Distance function and cut loci on a complete Riemannian manifold,
Arch. Math. (Basel)
32 (1979), 9296.
[66] S. T. Yau, Harmonic functions on complete Riemannian manifolds, Comm. Pure
Appl. Math.
28 (1975), 201228.
[67] S. T. Yau, Some function-theoretic properties of complete Riemannian manifolds
and their applications to geometry, Indiana Univ. Math. J.
25 (1976), 659670.

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