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Física 1 – Capítulo 2 – Dinâmica E Estática
Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori Curso:

Movimento Retilíneo.

Velocidade média:
Automação industrial
 Observações:
n
 t dt 
s
t
s2  s1
vm 
t2  t1
vm 

 cos tdt  sent  C
 sentdt   cos t  C
 e dt  e  C
t
Velocidade instantânea:
ds
dt
s
v  t   lim
t 0 t
t
1
v t  

t n1
 C  n  1
n 1
 t dt  ln t  C

1
Lançamento Oblíquo
Aceleração média:
v
t
v v
am  2 1
t2  t1
am 

g
Aceleração instantânea:
dv
dt
v
a  t   lim
t 0 t
a t  
 Eixo Ox: Movimento uniforme. MU
 Eixo Oy: Movimento uniformemente variado.
MUV.
x  x0  v0x  t
 Observações:
y  y0  v0 y  t 
 
d n
t  n  t n 1
dt
d
 sent   cos t
dt
d
 cos   sent
dt
d t
e  et
dt
d
1
 ln t  
dt
t
s  t  t   s  t 
s
v  t   lim
 lim
t 0 t
t 0
t
vy 
 


Velocidade instantânea:
dv
a t  
 dv  a  t  dt
dt
v  t    a  t  dt
2
Decomposição da velocidade:
v0x  v0  cos 
v0 y  v0  sen
v0  v02x  v02y
v t  

dy
 v y  v0 y  g  t
dt
x  x0
t
v0x
 x  x0  g  x  x0 
y  y0  v0 y  
  

 v0  2  v0 
x
x




Função posição:
ds
 ds  v  t  dt
dt
s  t    v  t  dt
g 2
t
2
v  vx2  v y2
y  y0 
v0 y
v0x
  x  x0  
g
2
  x  x0 
2
2  v0x


4
 45
2
y  y0 
v0  sen
g
2
  x  x0  
 x  x0 
2 
v0  cos 
2  v0  cos  
g
y  y0  tg   x  x0  
 x  x0 
2 
2  v0  cos  
 Tempo de subida ou de descida:
R
2
g  v0
h  v0 y 
  y
g 2  g
v0 y
vy  0  0  v0 y  g  t
ts 

v0 y

h
g
Tempo total:
tt  2 
v02
sen2
g



2
v02y
2g
v0 y
g
Alcance:
x  v0x  t
x  v0x  2 
x
x
v0 y
g
2  v0x  v0 y
g
2   v0  cos     v0  sen 
g
2  v cos   sen
x
g
sen2  2  sen  cos
v2
x  0 sen2
g
2
0

Observação: Alcance máximo:
sen2  1  2 

2

1.
Exemplos
Suponha que a velocidade de um carro seja
dada por:
v  t   60  0.5  t 2  SI 
(a) Encontre a aceleração média entre os instantes
t1 = 1.0 s e t2 = 3.0 s.
(b) Encontre a aceleração instantânea nos instantes
t1 = 1.0 s e t2 = 3.0 s.
 Solução:
(a) aceleração média entre os instantes t1 = 1.0 s e
t2 = 3.0 s.
am 
v v
v
 am  2 1
t
t2  t1
m
s
m
v2  t2  3  60  0.5  32  v2  64.5
s
64.5  60.5
m
am 
 am  2 2
3 1
s
dv
(b) a 
 a  t   0  0.5  2  t 21
dt
a t   t
v1  t1  1  60  0.5 12  v1  60.5
m
m
a1  t1  1  1  a1  1 2  a2  t2  3  3  a2  3 2
s
s
2. Um motociclista se dirige para o leste e acelera
a moto depois de passar pela placa que indica os limites
da cidade. Sua aceleração é constante e igual a 4.0 m/s2.
No instante t = 0 ele está a 5m a leste do sinal,
movendo-se para leste a 15 m/s.
(a) Determine sua posição e velocidade no instante
t1 = 2.0 s.
(b) Onde está o motociclista quando sua velocidade
é 25m/s?
 Solução: t = 0s
a = 4m/s²
(b)
v  t   15  4  t  25
4  t  25  15
10
t
 t  2.5s
4
x  t  2.5  5  15  2.5  2  2.52
x  t  2.5  55m
3. Uma moeda é largada da Torre de Pisa. Ela
parte do repouso e move-se em queda livre. Calcule sua
posição e velocidade nos instante 1.0, 2.0 e 3.0 s.
v0 = 0
0
50
x(m)
v0 = 15m/s
0
x0= 5
s(m)
a
x  x0  v0  t   t 2
2
4
x  t   5  15  t   t 2
2
4
x  t1  2   5  15  2   22
2
x  t1  2   43m
x  t   5  15  t  2  t 2
dx
v t  
 v  t   0  15 1  2  2t 21
dt
v  t   15  4  t
v1  t1  2   15  4  2
m
v1  23
s
t = 2s
a = 4m/s²
v1 = 23m/s
0
x= 43m
x(m)
4. Um motociclista doido se projeta para fora da
borda de um penhasco. No ponto exato da borda, sua
velocidade é horizontal e possui módulo 9.0 m/s. Ache
a posição, a distância da borda e a velocidade depois de
0.5 s.
3

Movimento em 2 e 3 dimensões
Vetor deslocamento r :
r  rf  t f   ri  ti 
4

Vetor velocidade instantânea v :
r
t 0 t
dr
v
dt
v  lim

Vetor aceleração média
am 


Vetor velocidade média
vm 
r
t
vm
:
v
 am 
t
am :
v f  vi
t
Vetor aceleração instantânea a :
v
t 0 t
dv
a
dt
a  lim
5

Solução:
(a)
r  t   x  t   iˆ  y  t   ˆj
 Exemplo 1: Lançamento oblíquo:
(a) Encontre o vetor posição
velocidade instantânea
r  t  , o vetor
v  t  e o vetor aceleração
a  t  para um corpo em lançamento
oblíquo com velocidade v0  v0  iˆ  v0  ˆj
instantânea
x
y
(b) Um homem lança um objeto a 20 m/s a 30°
com a horizontal do alto de um edifício de 45 m.
Encontre a posição x horizontal que o objeto irá cair.
1


r  t   v0x  t   iˆ  v0 y  t  g  t 2   ˆj
2


dr  t 
v t  
dt
d
d 
1

v  t   v0x  t   iˆ  v0 y  t  g  t 2   ˆj
dt
dt 
2

v  t   v0x  iˆ  v0 y  g  t   ˆj


(vetor velocidade instantânea no lançamento oblíquo)
a t  
dv  t 
dt
d
d
a t  
v0x  iˆ  v0 y  g  t   ˆj

dt
dt 
a  t   0  iˆ  0  g 1  ˆj
 
a  t    g  ˆj
 Exemplo 2: Dado o vetor posição
r  t  de um
objeto que se move em relação a um sistema de
coordenadas:
r  t   2  3t 2   iˆ  4t  5t 3   ˆj  1  t   kˆ
(SI)
Determine:
(a) o vetor velocidade instantânea
v t  .
(b) o vetor aceleração instantânea
a t  .
(c) O vetor velocidade média entre os instantes
t1 = 0s e t2 = 2s.
(d) O vetor aceleração média entre os instantes
t1 = 0s e t2 = 2s.

Respostas:


(a) v  t    6t   iˆ  4  15t 2  ˆj  kˆ
(b) a  t   6  iˆ 
30  t   ˆj
m
 6  iˆ  10  ˆj  kˆ  
s
m
(b) am  6  iˆ  11 ˆj  2 
s 
6
(c) vm
 Exemplo 3: Um esquiador sai de uma
plataforma a 25m/s na direção horizontal, conforme a
figura que se segue. Encontre d, x e y.
 Exemplo 5: Estime o vetor posição e o
velocidade média entre os instantes:
(a) t0 =0 s e t1 = 1 s.
(b) t1 = 1s e t2 = 2 s.
Encontre a expressão geral para o vetor
velocidade instantânea e calcule a velocidade
instantânea em t = 2 s e seu módulo.
As componentes são dadas por:
x  2  0.25  t 2
y  t  0.025  t 3
(SI)
 Exemplo 4: Calcule a que distância cairá o
suprimento lançado de um avião a 40m/s e a 200m de
altura.

Solução:
(a) t0 e t1.
r0  2  iˆ  0  ˆj  m 
r1  1.75  iˆ  1 ˆj  m 
r2  0.8  iˆ  2.25  ˆj  m 
r
t
r1  r0
vm 
t1  t0
1.75  iˆ  1025  ˆj   2  iˆ  0  ˆj 
vm 
1 0
m
vm  0.25  iˆ  1.025  ˆj  
s
(b) v  t   vx  iˆ  v y  ˆj
vm 
dx
dy
v  t    iˆ   ˆj
dt
dt
d
d
v  t    2  0.25  t 2   iˆ  t  0.025  t 3   ˆj
dt
dt
21
ˆ
v  t   0  0.25  2  t   i  1 t11  0.025  3  t 31   ˆj
v  t    0.5  t   iˆ  1  0.075  t 2   ˆj
v  t   vx2  v y2
Exemplo 6: Calcule os componentes do vetor
aceleração média no intervalo de tempo entre t0 = 0 s e
t1 = 2 s. Ache a aceleração instantâmea para t1 = 2 s e
encontre seu módulo.
y  t  0.025  t 3
r  t   x  t   iˆ  y  t   ˆj
r  t   2  0.25  t 2   iˆ  t  0.025  t 3   ˆj
v t  
dr  t 
dt
v  t   vx  iˆ  v y  ˆj
dx ˆ dy ˆ
i   j
dt
dt
7
d
d
2
3
v  t    2  0.25  t   iˆ  t  0.025  t   ˆj
dt
dt
21
ˆ
v  t   0  0.25  2  t   i  1 t11  0.025  3  t 31   ˆj
v t  
v  t    0.5  t   iˆ  1  0.075  t 2   ˆj
t0 = 0 s:
v  t  0    0.5  0  iˆ  1  0.075  02   ˆj
v0  v0x  iˆ  v0 y  ˆj
v0  0  iˆ  1 ˆj
t1 = 2 s:
v  t  2    0.5  2  iˆ  1  0.075  22   ˆj
v1  1 iˆ  1.3  ˆj
v v
v
am 
 am  1 0
t
t
ˆ
ˆ
1 i  1.3  j  0  iˆ  1 ˆj 
am 
20
am  0.5  iˆ  0.15  ˆj m s 2 
a t  
dv  t 
dt
a  t   ax  iˆ  a y  ˆj
a t  
dvx ˆ dv y ˆ
i 
j
dt
dt
d
d
 0.5  t   iˆ  1  0.075  t 2   ˆj
dt
dt
a  t   0.5  iˆ  0.15  t  ˆj m s 2 
a t  
a  t  2   0.5  iˆ  0.3  ˆj m s 2 
a  t   ax2  a y2
 Solução:
Do exemplo 5:
a t  2 
x  2  0.25  t 2
 0.5
2
  0.3
a  t  2   0.58 m s 2
2
 Exemplo 7: Num mesmo instante, dois objetos
iniciam seus movimentos da seguinte forma: um é
lançado de um canhão a uma velocidade vi e ângulo i
com a horizontal e outro é abandonado a uma distância
xT do lançamento. Encontre o tempo de encontro e a
altura do choque entre os dois objetos.
8
 Exemplo 8: Num mesmo instante, dois objetos
caem de formas diferentes: um em queda livre e outro
segundo uma velocidade vo horizontal. Mostre que
ambos chegam no mesmo instante no chão.
 Exemplo 9: Num mesmo instante, um caçador
ao mirar sobre um macaco numa árvore atira e o
macaco salto. O tiro atingirá o macaco? Explique.
 Componentes da aceleração e direção da
velocidade
a  t   a  a
9
ĵ
iˆ
10
a  t   a  a  a  t   aT  aN
Podemos definir os versores r̂ e ˆ dependentes
do tempo da figura acima como os versores que
apontam na direção normal e tangencial ao círculo a
cada instante. Assim, observando a figura vemos que:
iˆ  cos  rˆ  sen ˆ
ˆj  sen  rˆ  cos  ˆ
Ou:
rˆ  cos   iˆ  sen  ˆj
ˆ  sen  iˆ  cos  ˆj



Observe que:
dˆ
dˆ
   cos   iˆ  sen  ˆj  
   rˆ
dt
dt
Observe que:
v  vx  iˆ  vy  ˆj
v  vx  cos   rˆ  sen ˆ   v y   sen  rˆ  cos   ˆ 
Veja que:
drˆ
d ˆ
d ˆ
  sen 
 i  cos  
j
dt
dt
dt
É costume escrever:
d
 
dt
v  vx  cos   vy  sen   rˆ  vx  sen  v y  cos   ˆ
v  vr  rˆ  v ˆ
A aceleração será:
a
drˆ
  sen   iˆ  cos     ˆj
dt
drˆ d
drˆ

  sen  iˆ  cos   ˆj 
  ˆ
dt dt
dt

dˆ
d
dˆ

 cos   iˆ  sen  ˆj 
   rˆ
dt
dt
dt


drˆ
  ˆ
dt
ˆ
d
d ˆ
d ˆ
  cos  
 i  sen 
j
dt
dt
dt
dˆ
  cos    iˆ  sen   ˆj
dt
dv
dt
d 
vr  rˆ  v ˆ 
dt 
dv
drˆ dv
dˆ
a  r  rˆ  vr     ˆ  v 
dt
dt dt
dt
a  v  rˆ  v  rˆ  v ˆ  v  ˆ
a
r

r

dr
drˆ
drˆ

r
 rˆ 
   ˆ 
   ˆ

dt
dt
dt

ˆ
ˆ
  d    ˆ  d    rˆ  d    rˆ

dt
dt
dt
ˆ
ˆ
a  v  rˆ  v     v   v    rˆ
r
r






a  vr  v    rˆ  vr    v  ˆ
Aqui: v  r 
vr  r
v 
dv dr
d
   r 
dt
dt
dt
v  r   r 


a  vr  v    rˆ  vr    r   r   ˆ
 r 

a  vr  v    rˆ  r   r   r   ˆ
11
a  r  r  2   rˆ  2  r   r   ˆ
Vamos analisar o caso em que o módulo da
velocidade é constante. Como o vetor velocidade é
sempre tangente à trajetória, podemos escrever:
v  v
v  v ˆ   
vr  0
Nesse caso, o vetor aceleração será:
a  0  v     rˆ  0    0 ˆ
a  v    rˆ
v
v2
a  v   rˆ  a    rˆ
r
r
Movimento Circular uniforme
Quando uma partícula se move sobre uma curva, a
direção da velocidade varia. Se o módulo da velocidade
for constante, não haverá aceleração tangencial. Assim:
a  t   a
a 0
Como o módulo da velocidade é constante:
dˆ
dt
a  v   rˆ
a  v
Ou seja, a aceleração é dirigida para o centro
da circunferência.
Chamamos  de velocidade angular, e no
MCU ela é constante, nas unidades radiano por
segundo: rad/s.
a  v    rˆ
Veja que em uma oscilação completa, teremos:
v
2  r
T

t
2

T
  2  f

f 
v  t1   vx  t1   iˆ  vy  t1   ˆj
1
T
v  t1   v  sen  iˆ  v  cos   ˆj
f é a freqüência nas unidades Hertz: 1Hz=1/s
ou ainda rpm (rotações por minuto): 1 rpm = 1Hz/60
Podemos reparar que:
v  t2   vx  t2   iˆ  v y  t2   ˆj
v  t2   v  sen  iˆ  v  cos   ˆj
2
v
r  v   r
T
Assim:
v
a  v   rˆ
r
2
v
a    rˆ
r
2
a    r  rˆ
v
t
a
a

v  sen  iˆ  v  cos   ˆj  v  sen  iˆ  v  cos   ˆj
a
Aceleração normal ou centrípeta do MCU:

t
ˆ

v

sen


v

sen


i

  v  cos  v  cos   ˆj
t
2v  cos  ˆ
a
j
t
s
s
v
 t 
t
v
s  R    s  R    2 
t 
R    2 
v
2v  cos  ˆ
a
j
R    2 
v
2v 2  cos  ˆ
a
j
R    2 
v2
v2
aN 
 acp 
r
r
a  2
a  2
v 2 cos  ˆ
j
R   2 
v2
cos  ˆ
lim
j
R     2 
2
    2

    0
2


Outra forma de demonstração:
θ
v(t1)
v(t2)
θ
θ

2

2
  
cos   
2 2

  




cos   
cos  cos  sin  sin
2 2

2
2
2
2
lim
 lim
 0


 0



cos   
sin
2 2

2
lim
 lim

 0

  
cos   
 2 2   lim sin   1  lim sin   1 1  1
lim
 0
 0 2

2  0 
2
2


v2
v2
aN 
 acp 
r
r
2
cos 
lim
 lim
   2
 0

 0
α

2
a  2
v2
cos  ˆ
lim
j
R     2 
2
12

v2 1 ˆ
j
R 2
v2
a   ˆj
R
a  2
Solução:
  R   a   2  R
v2
  arad 
rad
R
R
2
arad
4
 2 
arad  
  R  arad  2  R
T
 T 
2
4
arad  2  5  arad  12 m s 2
4
2
 Exemplo
curvilíneos:
de
situações
de
movimentos
2
Os movimentos circulares são muito freqüentes no
cotidiano. Eles se encontram nas bicicletas, nos
veículos automotores, em fábricas, em equipamentos
em geral, etc.
Ao falar de movimento circular é necessário a
introdução de propriedades angulares como a
aceleração angular, deslocamento angular e velocidade
angular. No caso de movimentos circulares existe ainda
a definição de período, que é uma propriedade utilizada
no estudo de movimentos periódicos.
Movimento Circular não uniforme
Movimento circular uniformemente variado.
Nesse movimento, a velocidade variará em direção e
valor. Haverá a aceleração tangencial e a aceleração
centrípeta.
 Exemplo 10 – Uma BMW Z3 pode possuir
uma “ aceleração lateral” de 0.87 g, o que equivale a
8.5 m/s². Isso representa a aceleração centrípeta máxima
sem que o carro deslize para fora de uma trajetória
circular. Se o carro se desloca a uma velocidade de 40
m/s = 40/3.6 =144 km/h, qual é o raio mínimo da curva
que ele pode aceitar ? (Suponha que a curva não possua
inclinação lateral).

Solução:
R
v2
402
R
 R  190m
arad
8.5
 Exemplo 11 – Em um brinquedo de um parque
de diversões, os passageiros viajam com uma
velocidade constante em um círculo de raio 5 m. Eles
fazem uma volta completa no círculo em 4.0 s. Qual é a
aceleração deles ?
13
Quando a aceleração tangencial aT é constante,
chamamos esse movimento de Movimento Circular
Uniformemente variado (MCUV). Nesse caso, valem as
relações:
  t   0    t

Aceleração angular:



t
Unidade: rad/s²
Função horária angular:
  t   0  0  t   
t2
2
 2  02  2    
v t   R   t 

Aceleração tangencial:

Aceleração centrípeta:
aT  t   R    t 
acp  t  

v2 t 
R
Aceleração resultante:
a  acp2  t   aT2  t 
Pode-se classificar o MCUV como retardado ou
acelerado, dependendo se a velocidade angular diminui
com o tempo ou aumenta, respectivamente.
O movimento circular ocorre quando em diversas
situações que podem ser tomadas como exemplo:
 Satélites artificiais descrevem uma trajetória
aproximadamente circular em volta do nosso planeta.

Uma pedra fixada a um barbante e colocada a girar
por uma pessoa descreverá um movimento circular
uniforme.
 Discos de vinil rodam nas vitrolas a uma frequência
de 33 ou 45 rotações por minuto, em MCU.
 Engrenagens de um relógio de ponteiros devem
rodar em MCU com grande precisão, a fim de que não
se atrase ou adiante o horário mostrado.
 A translação da lua em torno do planeta Terra.
 Uma ventoinha em movimento.
Leis de Newton

Introdução:
A dinâmica estuda a relação entre os
movimentos e suas causas, as forças que o
produzem. Estudamos a cinemática para descrever
o movimento. A dinâmica estudará como e porquê
os corpos se movem.
Força, na linguagem cotidiana, significa
empuxar ou empurrar. Para entendermos a força,
precisamos visualizá-la como um vetor, que é
exercido por uma agente sobre outro, aplicado em
um ponto denominado ponto de aplicação.

Leis de Newton
 Primeira Lei de Newton – Lei da Inércia.
Quando a força resultante sobre um corpo é
igual a zero ele se move com velocidade constante (que
pode ser nula) e aceleração nula.
Inércia de repouso: Propriedade de um corpo
de não alterar seu estado de repouso.
Inércia de Movimento: Propriedade de um
corpo de manter seu estado de movimento.
 Segunda Lei de Newton
Quando a força resultante externa atua sobre um
corpo, sele se acelera. A aceleração possui a mesma
direção e sentido da força resultante. O vetor força
resultante é igual ao produto da massa do corpo pelo
vetor aceleração resultante do corpo.
n
 F  ma
i 1

i
R
Unidade de força:
Newton: 1 N = 1kg. 1m/s²
1 dyn = 10-5N
1 lb =4.4484 N
 Terceira Lei de Newton
Quando um corpo A exerce uma força sobre um
corpo B (uma “ ação”), então o corpo B exerce uma
força sobre o corpo A (uma “reação”). Essas duas
forças possuem o mesmo módulo e direção, mas
possuem sentidos contrários. Essas forças atuam em
corpos diferentes.
Referimos a essas forças como um par ação-reação.
14
 Exemplos: Aplicação de forças em objetos:
15

Força de contato: Força Normal.
 Força resultante
 Força de tração ou tensão.
 Ação e Reação

Decomposição das forças:
 Exemplo 2 – Discuta as forças que atuam em
cada exemplo: quem exerce e quem sofre a ação da
força, sua reação e o ponto de aplicação de cada uma.
(a)
16
 Exemplo 1 – Encontre a força resultante e a
aceleração resultante sobre o disco de massa 0.3 kg.
(b)
F1  F1  cos 20 iˆ  F1  s en20 ˆj
F1  5  0.94  iˆ  5  0.34  ˆj  F1  4.7  iˆ  1.7  ˆj  N 
F2  F2  cos 60 iˆ  F2  sen60 ˆj
(c)
F2  8  0.5  iˆ  8  0.86  ˆj  F2  4  iˆ  6.93  ˆj  N 
FR  F1  F2
FR  4.7  iˆ  1.7  ˆj  4  iˆ  6.93  ˆj
FR  8.69  iˆ  5.21 ˆj
  arctg
FRy
FRx
   arctg
5.21
8.69
  30.94
FR  FR2x  FR2y
(d)
FR  8.692  5.212  FR  10.13N
aR 
aR 
FR
m
 aR  33.8
m
s2
FR
m
 aR  29  iˆ  17.4  ˆj  2 
m
s 
8.69
5.21
0.3
0.3

(e)
Solução:

T1  cos 37  T2  cos 53  0

  Fxi  0
 i 1

 T1  sen37  T2  sen53  T3  0
n
 F  0 
T3  P 125 N
yi

i 1
n
T2
T1
37°
90°
T3=P
17
53°
Lei
dos
sen37 sen53 sen90


T1
T2
125
senos:
T1  125  sen37  T1  75.1N
T2  125  sen53  T2  99.9 N
(f)
 Exemplo 4 – Encontre a aceleração do corpo
no plano inclinado, supondo que não há atrito.

Solução:

  Fxi  0
 m  a  m  g  sen
 i 1

n
 N  m  g  cos   0
 F  ma
yi

i 1
a  g  sen
n
 Exemplo 3 – Encontre cada tensão aplicada.
O peso do semáforo é 125N
 Exemplo 5 – Ache a aceleração do sistema e a
força trocada entre os corpos:
(a)
F
FR   m1  m2   a  F  a 
m1  m2
m2
F12  m2  a  F  F12 
F
m1  m2
F
FR1  m1  a  F  F21  F21  F  m1 
m1  m2
F21
 m  m2   F  m1  F
 1
m1  m2
FR   m1  m2   a  P2  sen  P1
 m  sen  m1 
a 2
 g
 m1  m2

FR1  m1  a  T  P1  T  m1  a  m1  g
 m  sen  m1 
T  m1   2
  g  m1  g
 m1  m2

T
m2
 F21 
F
m1  m2
(b) Máquina de Atwood.

Exemplo 6
(a)
(b)
FR   m1  m2   a  P2  P1
 m  m1 
a 2
 g
 m1  m2 
FR1  m1  a  T  P1  T  m1  a  m1  g
 m  m1 
T  m1   2
  g  m1  g
 m1  m2 
T
m1  m2
 1  sen   g
m1  m2
2m1  m2
g
m1  m2
(c)
(c)
18
(d)
19

Força de atrito
Material
e
c
Aço em aço
Alumínio em aço
Cobre em aço
Borracha em concreto
Madeira em madeira
Vidro no vidro
Gelo no gelo
Madeira na neve
(úmida)
0.74
0.61
0.53
1
0.57
0.47
0.36
0.8
0.2
0.4
0.03
Observe que
0.25 – 0.5
0.94
0.1
e > c .
O coeficiente de atrito é independente da área
de contato das superfícies.

Força de atrito estática:
Fae  F

Força de atrito de destaque:
Fad  e  N
(Máximo valor da força de atrito estática).
e : coeficiente de atrito estático.

Força de atrito dinâmica ou cinética:
Fac  c  N
c : coeficiente de atrito cinético.
20
 Exemplo 7 – No plano inclinado da figura, o
coeficiente de atrito estático é
e e
o coeficiente de
atrito cinético entre as duas superfícies é c . Aplique a
2ª Lei de Newton nos casos:
(a) Sistema em repouso.
(b) Sistema em movimento.
 Exemplo 8 – Na figura, o coeficiente de atrito
cinético entre as duas superfícies é c . Aplique a 2ª Lei
de Newton e mostre que a aceleração é:
a
F   cos   c  sen   g   m2  c  m1 
m1  m2
21

Solução:
(a)
 n
  Fxi  0
 m  g  sen  f  0
 i 1

 n
 N  m  g  cos   0
 F 0

yi
 i 1
 f  m  g  sen

 N  m  g  cos 
f  e  N  m  g  sen  e  m  g  cos
e  tg
n
 Fxi  m  a
m  a  m  g  sen  f
i 1
(b) 

 n
 N  m  g  cos   0

Fyi  0

 i 1
m  a  m  g  sen  f

 N  m  g  cos 
f  c  N  f  c  m  g  cos
m  a  m  g  sen  c  m  g  cos
a  g   sen  c  cos 
 Exemplo 9 – Encontre as tensões indicadas na
sustentação do motor do automóvel:
 Exemplo 10 – Relacione as forças no reboque
indicado:
(ii)
22

Exemplo 11 – Diagrama de corpo livre:
(i)
(iii)
 Lei de Hooke
Em 1660 o físico inglês R. Hooke (16351703), observando o comportamento mecânico de uma
mola, descobriu que as deformações elásticas obedecem
a uma lei muito simples. Hooke descobriu que quanto
maior fosse o peso de um corpo suspenso a uma das
extremidades de uma mola (cuja outra extremidade era
presa a um suporte fixo) maior era a deformação (no
caso: aumento de comprimento) sofrida pela mola.
Analisando outros sistemas elásticos, Hooke verificou
que existia sempre proporcionalidade entre força
deformantes e deformação elástica produzida. Pôde
então enunciar o resultado das suas observações sob
forma de uma lei geral. Tal lei, que é conhecida
atualmente como lei de Hooke, e que foi publicada por
Hooke em 1676, é a seguinte: “As forças deformantes
são proporcionais às deformações elásticas produzidas.”
Estando uma mola no seu estado relaxado e sendo
uma extremidade mantida fixa, aplicamos uma força(F)
à sua extremidade livre, observando certa
deformação.Ao observar esse fato, Hooke estabeleceu
uma lei, a Lei de Hooke, relacionando Força
Elástica(Fel), reação da força aplicada, e deformação da
mola
F  k  x
x  L  L0

Sistema ABS
Adaptado de:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Freio_ABS
http://carros.hsw.uol.com.br/freios-abs.htm
O freio ABS (acrônimo para a expressão
alemã
Antiblockier-Bremssystem,
embora
mais
frequentemente traduzido para a inglesa Anti-lock
Braking System) é um sistema de frenagem (travagem)
que evita que a roda bloqueie (quando o pedal de freio é
pisado fortemente) e entre em derrapagem, deixando o
automóvel sem aderência à pista. Assim, evita-se o
descontrole do veículo (permitindo que obstáculos
sejam desviados enquanto se freia) e aproveita-se mais
o atrito estático, que é maior que o atrito cinético (de
deslizamento). A derrapagem é uma das maiores causas
ou agravantes de acidentes; na Alemanha, por exemplo,
40% dos acidentes são causados por derrapagens.
 História
Os
primeiros
sistemas
ABS
foram
desenvolvidos inicialmente para aeronaves. Um sistema
primitivo foi o sistema Maxaret de Dunlop, introduzido
na década de 1950 e ainda utilizado em alguns modelos
de aeronaves. Era um sistema totalmente mecânico.
O freio ABS atual foi criado pela empresa alemã Bosch,
tornando-se disponível para uso em 1978, com o nome
"Antiblockiersystem". A versão atual do sistema (8.0) é
eletrônica e pesa menos que 1,5 kg, comparado com os
6,3 kg da versão 2.0, de 1978.
No Brasil apenas 13% dos carros são
equipados com ABS, enquanto na Europa e nos Estados
Unidos o freio ABS faz parte, respectivamente, de
100% e 74% dos carros produzidos anualmente.
Um dos motivos desses índices é o fato de o
freio ABS ser um item opcional caro no Brasil. O item é
importado, elevando o preço do automóvel em cerca de
R$ 3 mil. O desconhecimento dos brasileiros sobre o
sistema ABS e suas vantagens à segurança do motorista
faz com que haja uma pouca valorização do item no
preço de revenda do automóvel que o possui.
Porém a empresa Bosch anunciou que
começou a produzir o equipamento na cidade paulista
de Campinas. Boa parte das peças ainda é importada,
mas a empresa garante que o processo já é suficiente
para baratear o equipamento no mercado brasileiro
 Funcionamento
O ABS atual é um sistema eletrônico que,
utilizando sensores, monitora a rotação de cada roda e a
compara com a velocidade do carro. Em situações de
frenagem cotidianas, o sistema ABS não é ativado.
Quando a velocidade da roda cai muito em relação à do
carro, ou seja, na iminência do travamento, o sistema
envia sinais para válvulas e bombas no sistema de óleo
do freio, aliviando a pressão. Essa operação causa uma
vibração quando se "pisa fundo" no pedal do freio, o
23
que deve ser considerado pelo motorista como operação
normal do sistema (leia mais em Efetividade do ABS).
 A física da derrapagem
A vantagem do freio ABS: quando as rodas
ainda estão em movimento, elas sofrem com a
superfície na qual deslizam uma força de atrito estático.
Quando derrapam, elas sofrem uma força de atrito
cinético. Como a força máxima de atrito estático tem
sempre um valor maior do que a força máxima de atrito
cinético, é mais vantajoso para a frenagem que a roda
diminua sua rotação em movimento do que
simplesmente travar. (Leia mais no artigo sobre o
atrito).
Entender a teoria dos freios antitravamento é simples.
Uma roda que desliza (a área da pegada do pneu
escorrega em relação à estrada) tem menos aderência
que uma roda que não está deslizando. Se você já ficou
imobilizado no gelo ou na lama, sabe que se as rodas
estão girando em falso, você não tem tração, o carro não
sai do lugar. Isso acontece porque a área de contato está
deslizando em relação ao solo. Ao evitar o
deslizamento das rodas durante a frenagem, os freios
antitravamento beneficiam você de duas maneiras: você
irá parar mais rápido e será capaz de mudar a trajetória
do carro enquanto freia.
Existem quatro componentes principais em um sistema
ABS:
o sensores de velocidade
o bomba
o válvulas
o unidade controladora
o Sensores de rotação: O sistema de
frenagem antitravamento precisa saber, de alguma
maneira, quando uma roda está prestes a travar. Os
sensores de rotação, que estão localizados em cada roda
ou, em alguns casos, no diferencial fornecem essa
informação.
o Válvulas: Existe uma válvula na tubulação
de cada freio controlado pelo ABS. Em alguns sistemas,
as válvulas têm três posições:

a posição um, a válvula está aberta; a
pressão do cilindro-mestre é passada direto até o
freio;

na posição dois, a válvula bloqueia o
tubo, isolando o freio do cilindro-mestre. Isso
previne que a pressão suba mais caso o motorista
pressione o pedal do freio com mais força;

na posição três, a válvula libera um pouco
da pressão do freio.
o Bomba: Uma vez que a válvula libera a
pressão dos freios, deve haver uma maneira de repor
aquela pressão. É isso que a bomba faz: quando a
válvula reduz a pressão num tubo, a bomba repõe a
pressão.
o Unidade controladora: A unidade
controladora é um computador no automóvel. Ela
monitora os sensores de rotação e controla as válvulas.
ABS
em
ação
Existem muitas variações e algoritmos de controle para
sistemas ABS. Veremos aqui como funciona um dos
sistemas mais simples.
A unidade controladora monitora os sensores de rotação
o tempo todo. Ela procura por desacelerações das rodas
que não são comuns. Logo antes de uma roda travar,
ela passa por uma rápida desaceleração. Se a unidade
controladora não percebesse essa desaceleração, a roda
poderia parar de girar muito mais rapidamente do que
qualquer carro pararia. Levaria cinco segundos para um
carro parar, sob condições ideais a uma velocidade de
100 km/h, mas quando uma roda trava, ela pode parar
de girar em menos de um segundo.
A unidade controladora do ABS sabe que uma
aceleração tão rápida é impossível, por isso, ela reduz a
pressão naquele freio até que perceba uma aceleração,
então aumenta a pressão até que veja uma nova
desaceleração. Isto pode acontecer bem rapidamente,
antes que o pneu possa mudar de rotação de forma
significativa. O resultado disso é que aquele pneu
desacelera na mesma relação com o carro e os freios
mantêm os pneus muito próximos do ponto onde
eles começam a travar. Isso oferece ao sistema o
máximo poder de frenagem.
Quando o sistema ABS estiver em operação você
sentirá uma pulsação no pedal de freio; isso se deve à
rápida abertura e fechamento das válvulas. Alguns
sistemas ABS podem operar em períodos de até 15
ciclos por segundo.
 Tipos de freios antitravamento:
Os sistemas de frenagem antitravamento
usam diferentes métodos, dependendo do tipo de freios
em uso. Iremos nos referir a eles pelo número de canais
- isto é, quantas válvulas são individualmente
controladas - e o número de sensores de velocidade.

Quatro canais, quatro sensores ABS - este
é o melhor método. Há um sensor em todas as rodas
e uma válvula separada para cada uma. Com essa
configuração, a unidade controladora monitora cada
roda individualmente para assegurar a máxima
potência de frenagem.

Três canais, três sensores ABS - este
método, comumente encontrado em caminhonetes
com ABS nas quatro rodas, tem um sensor de
velocidade e uma válvula para cada roda dianteira,
com uma válvula e um sensor para as duas rodas
traseiras. O sensor de rotação para as rodas traseiras
está localizado no eixo traseiro.
Este sistema fornece controle individual das
rodas dianteiras, assim ambas podem alcançar a
potência máxima de frenagem. As rodas traseiras,
entretanto,
são
monitoradas
juntas;
elas
24
precisam começar a travar antes que o ABS seja
ativado na traseira. Com este sistema, é possível que
uma das rodas traseiras trave durante uma parada,
reduzindo a eficiência da freada.

Um canal, um sensor ABS - este sistema
é bastante comum em caminhonetes com ABS nas
rodas traseiras. Possui apenas uma válvula, a qual
controla ambas as rodas traseiras, e um sensor
de rotação situado no eixo traseiro.
Este sistema opera na parte traseira da mesma
maneira que um sistema de três canais. As rodas
traseiras são monitoradas juntas e ambas precisam
começar a travar para poder ativar o sistema ABS.
Neste sistema também é possível que uma das rodas
traseiras trave, reduzindo a eficiência da freada.
Este sistema é fácil de identificar. Geralmente há uma
tubulação de freio correndo ao longo de uma peça em
"T" ajustada para ambas as rodas traseiras. Você pode
localizar o sensor de rotação procurando por uma
conexão elétrica próxima ao diferencial na carcaça do
eixo traseiro.
reduzir significativamente as chances de derrapagem e
uma subseqüente perda de controle.
Em pedregulhos e neve forte, o ABS tende a
aumentar a distância de frenagem. Nessas superfícies,
as rodas travadas escavam o solo e param o veículo
mais rapidamente. O ABS impede que isso ocorra.
Algumas calibragens de ABS reduzem esse problema
por diminuir o tempo de ciclagem, deixando as rodas
rapidamente travar e destravar. O benefício primário do
ABS nessas superfícies é aumentar a capacidade do
motorista em manter o controle do carro em vez de
derrapar, embora a perda de controle seja por vezes
melhor em superfícies mais suaves como pedregulhos e
deslizantes como neve ou gelo. Em uma superfície
muito deslizante como gelo ou pedregulhos é possível
que se trave todas as rodas imediatamente, e isso pode
ser melhor que o ABS (que depende da detecção da
derrapagem de cada roda individualmente). A
existência do ABS não deve intimidar os motoristas a
aprender a técnica do threshold breaking.
Distância de frenagem de 80 a 0 km/h
Situação
da
superfície
Seca
Neve
gelo
 Efetividade do ABS
Em superfícies como asfalto e concreto, tanto
secas quando molhadas, a maioria dos carros equipados
com ABS são capazes de atingir distâncias de frenagem
melhores (menores) do que aqueles que não o possuem.
Um motorista experiente sem ABS pode ser
capaz de quase reproduzir ou até atingir, através de
técnicas como o threshold breaking, o efeito e a
performance do carro que possui ABS. Entretanto, para
a maioria dos motoristas, o ABS reduz muito a força do
impacto ou as chances de se sofrer impactos. A técnica
recomendada para motoristas não experientes que
possuem um carro com ABS, em uma situação de
frenagem completa de emergência, é pressionar o pedal
de freio o mais forte possível e, quando necessário,
desviar dos obstáculos. Com freios normais, o motorista
não pode desviar de obstáculos enquanto freia, já que as
rodas estarão travadas. Dessa maneira, o ABS irá
Rodas travadas
(m)
ABS
(m)
60
68
270
47
79
419
Note, entretanto, que essa comparação é de
certa forma simplista. Um bom motorista com um
sistema de frenagem bem projetado, feito para
minimizar as possibilidades de travagem acidental das
rodas durante uma parada imediata, se sairá melhor do
que o apresentado.
Quando ativado, o ABS faz com que o pedal
de freio pulse notavelmente. Como a maioria dos
motoristas raramente ou nunca freiou forte o suficiente
para causar a travagem das rodas, e um número
significante raramente se importa em ler o manual do
carro, essa característica pode ser descoberta só no
momento da emergência. Quando os motoristas se
defrontam com a emergência que faz com que freiem
forte e conseqüêntemente enfrentam a pulsação do
pedal pela primeira vez, muitos estranham e diminuem
a pressão do pedal, conseqüêntemente aumentando as
distâncias de frenagem, contribuindo muitas vezes para
um número de acidentes maior do que a habilidade
especial do ABS seria capaz de reduzir. Alguns
fabricantes implementaram então sistemas de avaliação
de frenagem que determinam se o motorista está
tentando fazer uma frenagem de emergência e mantêm
a força nesta situação. Apesar de tudo, o ABS pode
significativamente melhorar a segurança e o controle
dos motoristas sobre o carro em situações de trânsito se
25
eles souberem que não devem soltar o pedal quando o
sentir pulsar, graças ao ABS.
Bomba do freio antitravamento e válvulas

QUESTÕES PARA DISCUSSÃO
Q4.1 Pode um corpo permanecer em equilíbrio
quando somente uma força atua sobre ele? Explique.
Q4.2 Uma bola lançada verticalmente de baixo
para cima possui velocidade nula em seu ponto mais
elevado. A bola está em equilíbrio nesse ponto? Por que
sim ou por que não?
Q4.3 Um balão cheio de hélio fica suspenso no ar.
nem subindo nem descendo. Ele está em equilíbrio?
Quais as torças que aluam sobre ele'.'
Q4.4 Quando você voa de avião numa noite com ar
calmo, não tem a sensação de estar em movimento,
embora o avião possa estar se deslocando a 800 km/h.
Como você explica isso?
Q4.5 Quando as duas extremidades de uma corda
são puxadas com forças de mesmo módulo mas de
sentidos contrários, por que a tensão na corda não e
igual a zero?
Q4.6 Você amarra um tijolo na extremidade de
uma corda e o faz girarem torno de você em um círculo
horizontal. Descreva a trajetória do tijolo quando você
larga repentinamente a corda.
Q4.7 Quando um carro pára repentinamente, os
passageiros tendem a se mover para a frente em relação
aos seus assentos. Por quê?
Q4.8 Algumas pessoas dizecm que, quando um
carro pára repentinamente, os passageiros são
empurrados para a frente por uma "força de inércia" (ou
uma "força de momento linear"). O que existe de errado
nessa explicação?
Q4.9 Um passageiro no interior de um ônibus sem
janela em movimento observa que uma bola que estava
em repouso no meio do ônihus começa a se mover para
a traseira do ônibus. Imagine dois modos diferentes de
explicar o que ocorreu e descubra um método para
decidir qual dos dois está correio.
Q4.10 Suponha que as unidades SI fundamentais
sejam força, comprimento e tempo, em vez de massa,
comprimento e tempo. Quais seriam as unidades de
massa em termos dessas unidades fundamentais?
Q4.11 A inércia não é uma força que mantém um
corpo em repouso ou em movimento. Como sabemos
disso?
26
Q4.12 Por que a Terra c considerada um sistema de
referência
inercial apenas aproximado?
Q4.13 A segunda lei de Newton é válida para
um observador no interior de um veículo que está
acelerando, parando ou fazendo uma curva? Explique.
Q4.14 Alguns estudantes dizem que a
grandeza ma e a "força da aceleração". E correto dizer
que essa grandeza é uma força? Caso sim, onde essa
força e exercida? Caso não, qual é a melhor descrição
para essa grandeza?
Q4.15 A aceleração de um corpo em queda
livre é medida no interior de um elevador que esta
subindo com velocidade constante de 9,8 m/s. Que
resultado é obtido?
Q4.16 Você pode brincar de segurar uma bola
lançada por outra pessoa em um ônihus que se move
com velocidade constante em uma estrada retilínea, do
mesmo modo como se o ônibus estivesse em repouso. É
isso possível quando o ônibus se move com velocidade
constante em uma curva? Explique por que sim ou por
que não.
Q4.17 A partícula do Exemplo 4.1 eslá em
equilíbrio'.' Explique.
Q4.18 A cabeça de um martelo começa a se
soltar do cabo. Como você deve bater o cabo em um
bloco de concreto para que a cabeça fique firme
novamente? Por que isso funciona?
Q4.19 Por que um chute em uma rocha grande
pode machucar mais o seu pé do que o chute em uma
pedra pequena? A rocha grande deve sempre machucar
mais? Explique.
Q4.20 "Não e a queda que machuca você; é a
brusca parada embaixo." Traduza isso usando a
linguagem das leis de Newton do movimento.
Q4.21 Uma pessoa pode mergulhar na água
pulando de uma altura de 10 m sem se machucar, mas
quando ela pula de uma altura de 10m e cai sobre um
piso de concreto sofre sérias lesões. Qual é a razão
dessa diferença?
Q4.22 Por que, por motivo de segurança, um
carro é projetado para sofrer esmagamento na frente e
na traseira? Por que não para colisões laterais e
capotagens?
Q4.23 Quando uma bala é disparada de uma
arma, qual é a origem da força que acelera a bala?
Q4.24 Quando um peso grande é suspenso por
um fio no limite de sua elasticidade, puxando-se o fio
suavemente o peso pode ser levantado; porém, se você
puxar bruscamente, o fio se rompe. Explique isso
usando as leis de Newton do movimento.
Q4.25 Um engradado grande é suspenso pela
extremidade de uma corda vertical. A tensão na corda é
maior quando o engradado esta em repouso ou quando
ele se move com velocidade constante? Quando o
engradado se move na vertical, a tensão na corda é
maior quando o engradado está sendo acelerado ou
quando sua velocidade diminui? Explique cada caso
usando as leis de Newton do movimento.
Q4.26 Um engenheiro de automóveis, ao
discutir o movimento de um automóvel, chama a taxa
de variação da aceleração de "arrancada". Por que essa
grandeza seria útil para caracterizar as qualidades da
condução de automóvel?
Q4.27 Por que não é correto dizer que l kg é
ígual a 9,8 N?
Q4.28 Um cavalo puxa uma carroça. Uma vêz
que a carroça puxa o cavalo para trás com uma força
igual e contrária à torça exercida pelo cavalo sobre a
carroça, por que a carroça não permanece em equilíbrio,
independentemente da intensidade da força com a qual
o cavalo puxa a carroça?
Q4.29 Uma garota de 450 N andando de norte
para o sul dá um bofetão em um rapaz de 800 N
andando do sul para o norte. Seus dedos exercem uma
força de 30 N sobre sua bochecha no sentido de leste
para oeste. Podem existir outras reações, mas, de acordo
com a terceira lei de Ncwlon, qual a força do bofetão?
Q4.30 Um caminhão grande e um automóvel
compacto colidem frontalmente. Durante a colisão, o
caminhão exerce uma força F sobre o automóvel, e o
automóvel exerce uma força F sobre o caminhão. As
duas torças possuem o mesmo módulo, ou uma delas é
maior do que a outra? Sua resposta depende do valor da
velocidade de cada veiculo antes da colisão? Por que ?
sim ou por que não?
Q4.31 Se você perguntar a diversas pessoas
que força faz um carro se acelerar para a frente, elas
dirão "a força do motor". Porém, qual é a força
diretamente responsável pela aceleração do carro?
Q4.32 Um carro pequeno está puxando uma
caminhonete que eslava enguiçada, e eles se movem ao
27
longo de uma estrada com a mesma velocidade e a
mesma aceleração. Quando o carro está acelerando, a
força que ele exerce sobre a caminhonete possui
módulo maior que, menor que, ou igual à força que a
caminhonete exerce sobre o carro? A maior força
resultante atua sobre o carro ou sobre a caminhonete, ou
as duas forças resultantes possuem o mesmo módulo?
Explique.
Q4.33 Em um caho-de-guerra duas pessoas
puxam as extremidades de uma corda em sentidos
opostos. Pela terceira lei de Newton, a força que A
exerce sobre K possui módulo igual ao da força que B
exerce sobre A. Então, o que determina qual é o
encedor? (Sugestão: desenhe um diagrama do corpo
livre para cada pessoa.)
Q4.34 Na Lua, g = l .62 m/s2. Lá, se um tijolo
de 2 kg caísse de uma altura de 2 m sobre o seu pé,
causaria uma lesão maior. menor ou igual à que
causaria se o mesmo fato acontecesse aqui na Terra?
Explique. Se na Lua o tijolo lesse lançado
horizontalmente e atingisse você com uma velocidade
de 6 m/s, causaria uma lesão maior, menor ou igual do
que a lesão causada nas mesmas circunstâncias na
Terra? Explique. (Na Lua. Suponha que você esteja
dentro de uma cabina pressurizada. sem estar dentro da
roupa especial usada pêlos astronautas.)
Q4.35 Um manual para aprendiz de piloto
contém a seguinte passagem: "Quando o avião voa em
uma altitude constante, sem subir nem descer, a força
de sustentação que atua de baixo para cima sobre suas
asas é igual ao peso do avião. Quando o avião está
subindo com aceleração constante, a força de
sustentação que atua de baixo para cima sobre suas asas
é menor do que o peso do avião". Essas afirmações
estão corretas? Explique.



EXERCÍCIOS
SEÇÃO 4.2
FORÇA E INTERAÇÕES
4.1 Duas forças possuem o mesmo módulo. Qual é
o ângulo entre os dois vetores quando a soma vetorial
possui o módulo igual a
(a) 2F?
(b) 2F
(c) 0? Faça um desenho dos três vetores em cada
caso.
4.2 Em vez de usar os eixos Ox e 0y da Figura 4.5
para analisar a situação do Exemplo 4. l, use um sistema
de eixos girados de 30,0° no sentido anti-horário, de
modo que o eixo Ox seja paralelo á força de 200 N.
(a) Para esses eixos ache os componentes x e y da
força resultante que atua sobre a partícula, (b) Partindo
dos componentes calculados cm (a), calcule o módulo,
adireção e o sentido da força resultante. Compare seus
resultados com o Exemplo 4. l.
4.3 Um trabalhador de um armazém empurra
uma caixa ao longo de um piso como indicado na
Figura 4. l h, aplicando uma força de 10 N de cima para
baixo, formando um ângulo de 450 abaixo da horizontal.
Ache os componentes horizontais e verticais da força.
4.4 Um homem está puxando uma mala para
cima ao longo de uma rampa de carga de um caminhão
de mudanças. A rampa possui um ângulo de 20,00 e o
homem exerce uma força F para cima cuja direção
forma um ângulo de 30.00 com a rampa (Figura 4.26).
(a) Qual deve ser o módulo da força F
necessária para que o componente F, paralelo à rampa
possua módulo igual a 60,0 N?
b) Qual deve ser o módulo do componente F
nesse caso?
FIGURA 4.26 - Exercício 4.4.
4.5 Dois cachorros puxam horizontalmente
cordas amarradas a um poste: o ângulo entre as cordas é
igual a 60.00. Se o cachorro A exerce uma força de 270
N e o cachorro B exerce uma força de 300 N. ache o
módulo da força resultante e o ângulo que ela fará com
a corda do cachorro A.
4.6 Duas forças,
ponto. O módulo de ,
F1 e F2 atuam sobre um
F1 é igual a 9.00 N e sua direção
forma um ângulo de 60.00 acima do eixo Ox no segundo
quadrante. O módulo de
F2 , é igual a 6.00 N e sua
direção forma um ângulo de 53. l" abaixo do eixo Ox no
terceiro quadrante,
(a) Quais são os componentes x e y da força
resultante?
28
(b) Qual o módulo da força resultante?
SEÇÃO 4.4 – SEGUNDA LEI DE NEWTON
4.7 Se uma força resultante horizontal de 132
N é aplicada a uma pessoa com massa de 60 kg em
repouso na beira de uma piscina. Qual é a aceleração
produzida?
4.8 Qual o módulo da força necessária para
imprimir uma aceleração de l .40 m/s2 em uma
geladeira com massa de 135 kg?
4.9 Uma caixa está em repouso sobre um lago
congelado, que e uma superfície horizontal sem atrito.
Se um pescador aplica uma força horizontal de módulo
48,0 N sobre a caixa, produzindo uma aceleração de
3.00 m/s2, qual e a massa da caixa?
4.10 Um portuário aplica uma força horizontal
constante de 80,0 N em um bloco de gelo sobre uma
superfície horizontal lisa. A força de atrito é
desprezível. O bloco parte do repouso e se move 11.0 m
em 5.00 s.
(a) Qual e a massa do bloco de gelo?
(b) Se o portuário parar de empurrar o bloco
depois de 5.00 s. qual será a distância percorrida pelo
bloco nos 5.00 s posteriores?
4.11 Um disco de hóquei com massa de 0,160
kg está em repouso na origem (x = 0) em uma
superfície horizontal sem atrito da pista. No instante t =
0, um jogador aplica sobre o disco uma força de 0.250
N paralela ao eixo 0x ele continua a aplicar a força até t
= 2.0 s.
(a) Qual é a posição e a velocidade do disco no
instante t = 2.0 s?
(b) Sc a mesma força for aplicada novamente
no instante t = 5.0 s, qual será a posição e a velocidade
do disco no instante t = 7.0 s?
4.12 Uma força resultante horizontal de 140 N
c aplicada a uma caixa com massa de 32.5 kg que está
inicialmente em repouso sobre o piso de um armazém,
(a) Qual é a aceleração produzida?
(b) Qual a distância percorrida em 10 s?
(c) Qual é a velocidade dela pós 10.0 s?
4.13 Um disco de hóquei se move de um ponto
A a um ponto B com velocidade constante enquanto está
submetido a diversas forças,
(a) O que você pode falar sobre essas forças?
(b) Faça um gráfico da trajetória do disco de
hóquei de A a B.
(c) Sobre o gráfico, prossiga a trajetória até um
ponto C se uma nova força constante for aplicada ao
disco no ponto B, sabendo que a nova força é
perpendicular à velocidade do disco no ponto B.
(d) Continue a traçar no gráfico a trajetória até
um ponto D se no ponto C a força constante aplicada no
ponto B for substituída por uma força de módulo
constante, porém com direção sempre perpendicular à
trajetória do disco.
4.14 Um elétron (massa = 9.11.10-31 kg deixa
a extremidade de um tubo luminoso de TV com
velocidade inicial zero e se desloca em linha rela até a
grade de aceleração que está a uma distância de l .80
cm. Ele a atinge a 3.00 x 10'' m/s. Se a força que o
acelera for constante, calcule
(a) a aceleração; (b) o tempo para atingir a
grade: (c) a força resultante, em newtons. (A força
gravitacional sobre o clétron é desprezível.)
SEÇÃO 45 - MASSA E PESO
4.15 O Super-homem lança uma rocha de 2400
N sobre seu adversário. Qual é a força horizontal que o
Super-homem deve aplicar sobre a rocha para que ela se
desloque com uma aceleração horizontal igual a 12,0
m/s?
4.16 Uma bola de boliche pesa 71,2 N. O
jogador aplica sobre ela uma força horizontal de 160 N.
Qual o módulo da aceleração horizontal da bola?
4.17 Na superfície de Io, uma das luas de
Júpiter, a aceleração da gravidade é g = 1.81 m/s2. Uma
melancia pesa 44.0 N na superfície da Terra,
(a) Qual sua massa na superfície da Terra?
(b) Qual sua massa c o seu peso na superfície de
Io?
4.18 (a) Qual é a massa de um livro que pesa
3,20 N em um local onde g = 9,80 m/s2
(b) Neste mesmo local, qual é o peso de um
cachorro cuja massa é 14,0 kg?
SEÇÃO 4.6 - TERCEIRA LEI DE NEWTON
4.19 Uma velocista de competição mundial que pesa
55 kg pode se acelerar a partir do bloco de partida com
uma aceleração aproximadamente horizontal cujo
módulo é igual a 15 m/s2. Que força horizontal deve a
velocista exercer sobre o bloco de partida para produzir
essa aceleração? Qual é o corpo que exerce a força que
impulsiona a velocista: o bloco ou a própria velocista?
29
4.20 Imagine que você esteja sustentando um livro de
4 N em repouso sobre a palma da sua mão. Complete as
seguintes sentenças:
(a) Uma força de cima para baixo de módulo igual a 4
N é exercida sobre o livro pela _______.
(b) Uma força de baixo para cima de módulo
_______é exercida sobre _______pela palma da sua
mão.
(c) E a força de baixo para cima do item (b) a reação
da força de cima para baixo do item (a)?
(d) A reação da força do item (a) é a força de módulo
_______ exercida sobre _______ pelo _______. Seu
sentido é _______.
(e) A reação da força do item (b) é a força de módulo
______exercida sobre _______ pelo _______.
(f) As forças dos itens (a) e (b) são iguais e opostas
em virtude da lei de Newton.
(g) As forças dos itens (b) e (e) são iguais e opostas
em virtude da _______ lei de Newton. Suponha agora
que você exerça sobre o livro uma força de baixo para
cima de módulo igual a 5 N.
(h) O livro permanece em equilíbrio?
(i) É a força exercida sobre o livro pela sua mão igual
e oposta à força exercida sobre o livro pela Terra?
(j) E a força exercida sobre o livro pela Terra igual e
oposta à força exercida sobre a Terra pelo livro?
(k) E a força exercida sobre o livro pela sua mão igual
e oposta à força exercida sobre sua mão pelo livro?
Finalmente, suponha que você retire subitamente sua
mão enquanto o livro se move para cima.
( l) Quantas forças atuam agora sobre o livro?
(m) O livro está em equilíbrio?
4.21 Uma garrafa é empurrada sobre uma mesa e
escorrega para tora da extremidade da mesa. Não
despreze a resistência do ar.
(a) Quais forças atuam sobre a garrafa enquanto ela
cai da mesa ate o chão?
(b) Quais são as reações dessas forças; ou seja, sobre
quais corpos e por quais corpos as reações são
exercidas?
4.22 O piso de um elevador exerce uma força normal
de 620 N de baixo para cima sobre um passageiro que
pesa 650 N. Quais são as reações dessas duas forças? O
passageiro está sendo acelerado? Em caso afirmativo,
determine o modulo, a direção e o sentido da
aceleração.
4.23 Uma estudante com massa de 45 kg pula de um
trampolim elevado. Considerando a massa da Terra
como 6.01024 kg, qual é a aceleração da Terra no
sentido da estudante quando ela se acelera no sentido da
Terra com 9,8 m/s2? Suponha que a força resultante
sobre a Terra seja a força gravitacional que ela exerce
sobre a Terra.
SEÇÃO 4.7 USO DAS LEIS DE NEWTON
4.24 Uma astronauta está ligada por um cabo forte a
uma nave espacial. A astronauta junto com sua roupa e
equipamentos possui massa total de 105 kg, enquanto a
massa do cabo é desprezível. A massa da espaçonave é
igual a 9,05.104 kg. A espaçonave está longe de
qualquer corpo celeste, de modo que as forças
gravitacionais externas sobre ela e sobre a astronauta
são desprezíveis. Supomos também que a astronauta e a
espaçonave estejam em repouso inicialmente em um
sistema de referencia inercial. A astronauta puxa o cabo
com uma força de 80,0 N.
(a) Qual é a força que o cabo exerce sobre a
astronauta?
N
(b) Visto que
 F  m  a como pode um "cabo
i 1
i
sem massa" (m = 0) exercer uma força?
(c) Qual é a aceleração da astronauta?
(d) Qual é a força que o cabo exerce sobre a
espaçonave?
(e) Qual é a aceleração da espaçonave?
4.25 Um balde com água pesando 4,80 kg é acelerado
de baixo para cima por uma corda de massa desprezível
cuja tensão de ruptura é igual a 75,0 N. Calcule a
aceleração máxima de baixo para cima que o balde
pode ler sem que a corda se rompa.
4.26 Um elevador de massa m está se deslocando de
baixo para cima com uma aceleração de módulo d A
massa do cabo de suporte e desprezível. Qual é a tensão
no cabo de suporte
(a) se o elevador aumenta de velocidade enquanto
sobe?
(b) se o elevador diminui de velocidade enquanto
sobe?
4.27 Duas caixas, uma de massa de 4,00 kg e outra de
6.00 kg. estão em repouso sobre a superfície sem atrito
de um lago congelado, ligadas por uma corda leve
(Figura 4.27). Uma mulher usando um tênis áspero (de
modo que ela possa exercer tração sobre o solo) puxa
horizontalmente a caixa de 6.00 kg com uma força F
que produz, uma aceleração de 2,50 m/s2,
(a) Qual é o módulo da força F?
(b) Qual é a tensão T' na corda que conecta as
duas caixas?
30
6,0 kg
4,0 kg
F
T
4.33 Dois cavalos puxam horizontalmente
cordas amarradas a um tronco de árvore. As duas forças
F1 e F2 que eles exercem sobre o tronco são tais que a
força resultante R possui módulo igual ao de
um ângulo de 900 com
FIGURA 1.27 Exercícios 4.27 e 4.28.
F1 , e faz
F1 (Figura 4.28). Seja F1 =
1300 N e R = 1300 N. Determine o módulo, a direção
4.28 Considere a Figura 4.27, As caixas estão
sobre uma superfície horizontal sem atrito. A mulher
(ainda usando tênis especiais para tração) aplica uma
torça horizontal F = 50.0 N sobre a caixa de 6.00 kg. As
massas das cordas são desprezíveis.
(a) Faça um diagrama do corpo livre para a
caixa de 4.00 kg. Um diagrama do corpo livre para a
caixa de 6.00 kg e um diagrama do corpo livre para a
mulher. Para cada força, indique qual é o corpo que a
exerce,
(b) Qual é o módulo da aceleração da caixa
de 6,00 kg?
(c) Qual é a tensão T na corda que conecta as
duas caixas?
4.29 Uma pára-quedista confia na resistência
do ar (principalmente por causa do seu pára-quedas)
para diminuir sua velocidade durante a queda. Sabendo
que sua massa, incluindo a do pára-quedas é igual a
55,0 kg e que a resistência do ar exerce uma força de
baixo para cima de 620 N sobre ela e seu pára-quedas,
qual e sua aceleração?
4.30 A posição de um helicóptero de
treinamento de 2.75.105 N é dada por:
r  0.02t 3  iˆ  2.2t  ˆj  0.06t 2  kˆ
e o sentido de
F2 .
4.34 Uma pescadora orgulhosa suspende seu
peixe em umabalança de molas presa no teto de um
elevador,
(a) Se o elevador possui uma aceleração de
baixo para cima igual a 2,45 m/s2 e oponteiro da
balança indica 50,0 N. qual é o peso verdadeiro do
peixe?
(a) Em que circunstâncias o ponteiro da
balança indicará 30,0 N?
(c) Qual será a leitura da balança se o cabo do
elevador se romper?
4.35 Dois adultos e uma criança desejam
empurrar uma caixa apoiada sobre rodas no sentido
indicado na Figura 4.29. Os dois adultos empurram com
forças
F1 e F2 conforme mostra a figura.
(a) Determine o módulo, a direção e o sentido
da menor força que a criança deve exercer. A força de
atrito é desprezável.
(b) Se a criança exerce a menor força
mencionada no item (a), a caixa se acelera a 2.0 m/s2 no
sentido +Ox, qual e o peso da caixa?
Ache a força resultante sobre o helicóptero
para t = 5.0 s.
4.31 Um ohjeto com massa m se move ao
longo do eixo Oxt. Sua posição em função do tempo é
dada por x(t) = At — Bt3 onde A e B são constantes.
Calcule a força resultante sobre o objeto em função do
tempo.
FIGURA 4.28 - Problema4.33.
PROBLEMAS
4.32 Uma bala de um rifle 22, se deslocando a
350 m/s, atinge um bloco de madeira, no qual ela
penetra até uma profundidade de 0,130 m. A massa da
bala é de l,80 g. Suponha uma força retardadora
constante,
(a) Qual é o tempo necessário para a bala
parar?
(b) Qual é a torça, em newtons, que a madeira
exerce sobre a bala?
31
FIGURA 4.29 Problema 4.35.
4.36 Os motores de um petroleiro enguiçaram
e um vento com velocidade constante de 1.5 m/s está
soprando sobre o petroleiro no sentido de um recife
(Figura 4.30). Quando o petroleiro está a 500 m do
recife, o vento cessa no mesmo instante em une o
engenheiro consegue consertar os motores. O timoneiro
fica espantado, de modo que a única escolha é acelerar
no sentido contrário ao do recife. A massa total do
petroleiro é de 3.6.107 kg e, devido à açáo dos motores,
uma força resultante horizontal de 8,0.104 N é exercida
sobre o petroleiro. O petroleiro colidirá contra o recife?
Em caso afirmativo, verifique se o óleo será derramado.
O casco do petroleiro resiste a um impacto com
velocidade máxima de 0.2 m/s. Despre/e a força de
resistência da água sobre o casco do petroleiro.
F = 8.104N
v = 1.5 m/s
3.6.107kg
500m
FIGURA 4.30 – Problema 4.36.
4.37 Um salto vertical recorde. O jogador de
basquete Darrell Griffilh estabeleceu um recorde de
salto vertical com um pulo de 1.2 m. (Isso significa que
ele se moveu de baixo para cima l .2 m depois que seus
pés abandonaram o solo.) Se o peso de Griffith era de
90 N e o tempo do salto antes de seus pés abandonarem
o solo foi de 0.300 s. qual foi a força media que ele
exerceu sobre o solo?
4.38 Um anúncio afirma que um dado tipo de
carro pode "parar em uma distância de 10 centavos".
Qual seria a força resultante efetiva necessária para
fazer parar um carro de 850 kg que se desloca
inicialmente a 45.0 km/h em uma distância igual ao
diâmetro de uma moeda de 10 centavos, que é igual a
l.8 cm?
4.39 Para estudar os danos causados por
colisões de aviões com pássaros, você projeta uma arma
de teste que acelera objelos do tamanho de uma galinha
de modo que o deslocamento do projelil ao longo do
eixo do cano da arma é dado por x = (9,0.103 m/s2)t3(8.0.104 m/s3).t3 . O objeto deixa a extremidade do cano
no instante t = 0,025 s.
(a) Qual o comprimento do cano da arma?
(b) Qual é a velocidade do objeto quando ele
deixa a extremidade do cano da arma?
(c) Qual a força resultante sobre um ohjeto
de massa de 1.50 kg para
(i) t = 0s?
(ii) t = 0.025 s?
4.40 Uma espaçonave desce verticalmente nas
proximidades da superfície de um planeta X. Uma força
de propulsão de 25.0 kN de baixo para cima exercida
pêlos motores da espaçonave faz sua velocidade
diminuir a uma taxa de l .20 m/s , porem ele aumenta de
velocidade a uma taxa de 0.80 m/s2 com uma propulsão
vertical de 10,0 kN. Qual é o peso da espaçonave nas
proximidades da superfície do planeta X?
4.41 Um trem (a locomotiva mais quatro
vagões) está aumentando de velocidade hori/onialmente
com uma aceleração de módulo a. Se cada vagão possui
massa m e atrito desprezível, qual é
(a) a força da locomotiva sobre o primeiro
vagão?
(b) a força do primeiro vagão sobre o segundo
vagão?
(c) a força do segundo vagão sobre o terceiro
vagão?
(d) a força do terceiro vagão sobre o quarto
vagão?
(e) Quais seriam as quatro forças anteriores se
o trem estivesse diminuindo de velocidade com uma
aceleração de módulo |a|? Sua resposta aos itens
anteriores deve ser acompanhada de diagramas do
corpo livre com dísticos claros.
4.42 Um ginasta de massa ni está subindo em
uma corda vertical presa ao teto. O peso da corda pode
ser desprezado. Calcule a tensão na corda quando o
ginasta está
(a) subindo com velocidade constante;
(b) suspenso em repouso na corda;
(c) subindo e aumentando de velocidade com
uma aceleração de modulo
a;
(d) descendo e aumentando de velocidade com
uma aceleração de módulo
a.
4.43 Um elevador de carga com o cabo muito
usado possui massa total de 2200 kg e o cabo pode
suportar uma tensão máxima de 28.000 N.
(a) Qual a aceleração máxima do elevador
de baixo para cima que o cabo pode suportar sem se
romper?
(b) Qual seria a resposta do item (a) se o
elevador estivesse na Lua, onde g = l ,62 m/s2?
4.44 Caindo no solo. Urn homem de 75,0 kg
pula de uma plataforma de 3,10 m de altura acima do
solo. Ele mantém suas pernas esticadas à medida que
cai, mas no momento em que seus pés tocam o solo,
seus joelhos começam a se encurvar, e, considerando-o
uma partícula, ele se move 0,60 m antes de parar.
32
(a) Qual é sua velocidade no momento em que
seus pés tocam o solo?
(b) Qual é sua aceleração quando ele diminui
de velocidade? Supondo uma aceleração constante e
considerando-o uma partícula?
(c) Qual a torça que ele exerce sobre o solo
quando diminui de velocidade? Expresse essa força em
newtons e como múltiplo de seu peso.
4.45 A cabeça de um martelo de 4.9 N que se
desloca de cima para baixo com velocidade de 3,2 m/s
pára fazendo um prego penetrar 0.45 cm em uma placa
de pinho. Além de seu peso, existe uma força de 15 N
aplicada de cima para baixo sobre o martelo por uma
pessoa que o está usando. Suponha que a aceleração da
cabeça do martelo seja constante durante o contato com
o prego,
(a) Faça um diagrama do corpo livre para a
cabeça do martelo. Identifique a força de reação a cada
uma das forças incluídas no diagrama,
(b) Determine a força F de cima para baixo
exercida pela cabeça do martelo durante o contato com
o prego.
(c) Suponha que o prego esteja em contato com
madeira dura e que a cabeça do martelo só se desloque
0,12 cm até parar. A força aplicada sobre o martelo é a
mesma do item (b).
Qual será então a força F de cima para baixo
exercida pela cabeça do martelo durante o contato com
o prego?
4.46 Um cabo uniforme de peso w é pendurado
verticalmente de cima para baixo, equilibrado por uma
força w de baixo para cima aplicada em sua
extremidade superior. Qual é a tensão no cabo
(a) em sua extremidade superior?
(b) em sua extremidade inferior?
(c) em seu ponto médio? Sua resposta para
cada parte deve incluir um diagrama do corpo livre.
(Sugestão: Para cada questão, isole a seção ou o ponto
do cabo que você analisará.)
(d) Faça um gráfico da tensão no cabo em
função da distância à sua extremidade superior.
4.48 Uma bola de 0,0900 kg é lançada
verticalmente de baixo para cima no vácuo, portanto
sem nenhuma força de arraste sobre ela, atingindo uma
altura de 5,0 m. Quando a bola é lançada verticalmente
de baixo para cima no ar. em vez do vácuo, sua altura
máxima é de 3.8 m. Qual é a torça média exercida pelo
ar sobre a bola em seu movimento de baixo para cima?
4.49 Um objeto de massa m inicialmente em
repouso é submetido a uma força dada por:
F  k1  iˆ  k2  t 3  ˆj onde k1 e k2 são
constantes. Determine a velocidade v(t) do objeto em
função do tempo.
F = 200N
6,00 kg
4,00 kg
5,00 kg
PROBLEMAS DESAFIADORES
*4.50 Conhecendo-se F(t), a força em função
do tempo, para um movimento retilíneo, a segunda lei
de Newton fornece a(t) a aceleração em função do
tempo. Podemos então integrar a(t) para obter v(t) e
x(t). Contudo, suponha que em vez disso você conheça
F(v).
(a) A força resultante sobre um corpo que se
move ao longo do eixo Ox é igual a –Cv2. Use a
segunda lei de Newton escrita como
n
dv
 F  m  dt e faça duas integrações para
i 1
i
mostrar que:
x  x0 
m  v0 
 ln  
C v
(b) Mostre que a segunda lei de Newton pode
4.47 Os dois blocos indicados na Figura 4.31
estão ligados por uma corda uniforme pesada com
massa de 4,00 kg. Uma força de 200 N é aplicada de
baixo para cima conforme indicado,
(a) Desenhe três diagramas do corpo livre, um
para o bloco de 6.00 kg, um para a corda de 4,00 kg e
outro para o bloco de 5,00 kg. Para cada força, indique
qual é o corpo que exerce a referida força.
(b) Qual c a aceleração do sistema?
(c) Qual é a tensão no topo da corda pesada?
(d) Qual é a tensão no meio da corda pesada?
n
ser escrita como
dv
 F  mv  dx . Deduza a mesma
i 1
i
expressão obtida na parte (a) usando essa forma da
segunda lei de Newton fazendo uma integração.
4.51 Um objeto de massa m está inicialmente
em repouso na origem. No instante t = 0 aplica-se uma
nova força F(t) cujos componentes são:
Fx  t   k1  k2  y
33
Fy  t   k3  t .
onde k1, k2, e k3, são constantes. Determine em função
do tempo o vetor posição
r  t  e o vetor velocidade
v t  .
CAPÍTULO 5
APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON

QUESTÕES PARA DISCUSSÃO
Q5.1 Um homem esta sentado em um assento
suspenso por uma corda. A corda passa por uma polia
presa ao teto, e o homem segura a outra extremidade da
corda em suas mãos. Qual é a tensão na corda e que
torça o assento exerce sobre o homem?
Desenhe um diagrama do corpo livre para o
homem.
Q5.2 “Em geral, a torça normal não é igual ao
peso.” Dê um exemplo em que os módulos dessas duas
forças são iguais e pelo menos dois exemplos em que os
módulos dessas duas forças não são iguais.
Q5.3 Uma corda para secar roupas é amarrada cm
dois postes. Por mais que você estique a corda e aperte
o nó em torno dos postes, a corda ficaa sempre com
uma concavidade em seu centro.
Explique.
Q5.4 Um carro se desloca com velocidade
constante subindo montanha íngreme. Discuta as
forças que atuam sobre o carro. O que empurra o
carro para cima da montanha'.'
Q5.5 Quando você aperta uma porca em um
parafuso, como você está aumentando a torça de
atrito? Como funciona uma arruela de aperto?
Q5.6 Quando você empurra uma caixa para
cima de uma rampa, a força que você exerce
empurrando horizontalmente é maior ou menor do que a
força que você exerce empurrando paralelamente ao
plano da rampa? Por quê?
horizontal é menor do que a força que você exerce
empurrando a caixa com um ângulo O abaixo da
horizontal?
Q5.9 Para fazer um carro parar em uma estrada
com gelo e melhor pisar forte no pedal do freio para
"bloquear" as rodas e tazê-las deslizar ou pisar
lentamente no pedal de modo que as rodas continuem a
rolar? Por quê?
Q5.10 Pode uma força de atrito cinético
aluando sobre um objeto fazer esse objeto aumentar de
velocidade. Caso não possa, explique por quê. Caso
possa, forneça pelo menos um exemplo. Repita o
raciocínio para o caso de uma força de atrito estático.
Q5.11 Quando você está descalço em pê sobre
uma banheira úmida, apoiar-se parece ser seguro,
embora o risco de escorregar seja grande. Explique isso
em termos do coeficiente de atrito estático e do
coeficiente de atrito cinético.
Q5.12 Por razões medicas, ê importante que
um astronauta determine sua massa em intervalos de
tempo regulares. Descreva um modo de medir massas
em um ambiente com peso aparente igual a zero.
Q5.13 Ao deixar cair sua bolsa em um
elevador, a mulher nota que a bolsa não atinge o piso do
elevador. Como o elevador está se movendo?
Q5.14 As balanças para pesar objetos são
classilicadas como as que usam molas e as que usam
massas padrão para equilibrarem as massas
desconhecidas. Qual o tipo de balança que fornece
medidas mais precisas em um elevador acelerado? E
sobre a superfície da Lua? Existe diferença entre a
determinação do peso e da massa nesses locais?
Q5.15 Um batedor de bola de beisebol pode
fazer a bola adquirir uma velocidade maior do que a sua
velocidade terminal de 43 m/s. Explique como isso ê
possível?
Q5.7 Um bloco está em repouso sobre um
plano inclinado que possui atrito suficiente para impedir
seu deslizamento para baixo. Para lazer o bloco se
mover, é mais fácil empurrá-lo para cima do plano, para
baixo do plano ou em uma direção lateral? Por quê?
Q5.16 Por causa da resistência do ar, dois
corpos com massas diferentes não caem precisamente
com a mesma aceleração. Se dois corpos com massas
diferentes, porem com a mesma forma, são largados da
mesma altura, qual dos dois atinge o solo primeiro?
Explique.
Q5.8 Uma caixa com livros está em repouso
sobre um piso plano. Você deseja movê-la ao longo do
piso com velocidade constante. Por que a torça que
você exerce puxando a caixa com um ângulo θ acima da
Q5.17 Uma bola de ténis ê largada do alto de
um tubo cilíndrico sem ar: em outra experiência, ela ê
largada do alto do tubo cilíndrico com ar. Você examina
fotografias de múltipla exposição (como as indicadas na
34
Figura 2.18) obtidas nas duas experiências. Das fotos
ohlidas, como você poderia identificar as duas quedas,
ou você não pode?
Q5.18 Considere o movimento cm uma
montanha-russa grande e com muitas voltas. Se você se
deslocasse com velocidade constante, em que pontos a
força normal seria maior e menor? Por que não seria
necessário fazer compensação da inclinação lateral das
curvas no topo das subidas?
Q5.19 Uma revista de automóveis chama uma
curva com raio decrescente de “a desgraça do motorista
inexperiente”. Explique.
Q5.20 Se você pendurou um dado no seu
espelho retrovisor e está fazendo uma curva com
inclinação lateral, como você pode saber se a sua
velocidade ê maior, menor ou igual ao valor da
velocidade usado no cálculo do ângulo de inclinação
lateral da curva?
Q5.26 Para manter dentro de certos limites as
forças que atuam sobre os passageiros de uma
montanha-russa uma curva projetada para dar uma volta
completa (loop-the-loop) deve possuir, em vêz de ser
um circulo vertical perfeito, um raio de curvatura na
base maior do que o raio de curvatura no topo.
Explique.
Q5.27 Você joga uma bola de beisebol
diretamente de baixo para cima. Se a resistência do ar
não for desprezada, como se compara o tempo que a
bola leva para subir do ponto de onde ela foi lançada ale
sua altura máxima e o tempo que ela leva para descer
da sua altura máxima ale o ponto onde ela foi
lançada?Explique sua resposta.
Q5.28 A torça de atrito sobre uma bola de
beisebol é sempre oposta a sua velocidade mesmo
quando um vento está soprando? Explique.
Q5.21 Se existe uma força resultante aluando
sobre uma partícula que descreve um movimento
circular uniforme, por que a velocidade escalar da
partícula permanece constante?
Q5.29 Quando pode uma bola de beisebol ter
um componente da aceleração de baixo para cima?
Explique em termos das forças sobre a bola e em termos
dos componentes da velocidade em comparação com a
velocidade terminal. A resistência do ar nãodeve ser
desprezada.
Q5.22 O ângulo de inclinação lateral de uma
curva foi calculado para uma velocidade de 80 km/h.
Contudo, a estrada está coberta de gelo e você deseja se
mover lentamente a 20 km/h ao longo da parte mais
elevada da curva. O que ocorrerá com seu carro ? Por
quê?
Q5.30 Quando uma bola de beisebol se move
com arraste do ar, ela leva mais tempo para subir até a
altura máxima de sua trajetória ou para descer da altura
máxima até o solo? Ou esse tempo é igual nos dois
casos? Explique em termos das forças que atuam sobre
a bola.
Q5.23 Se você faz uma bola girar na
extremidade de um fio leve descrevendo uma trajetória
circular com velocidade constante, o fio nunca
permanece exatamente ao longo do raio vetor do centro
do círculo até o local da bola. O fio fica acima ou baixo
do plano horizontal? Em relação ao sentido do
movimento da bola, o fio fica antes ou depois do raio
vetor? Use um diagrama do corpo livre da bola para
explicar suas respostas. (Note que a resistência do ar
pode ser um fator.)
Q5.31 Quando uma bola de beisebol se move
com arraste do ar percorre uma distância horizontal
maior quando ela sobe até a altura máxima de sua
trajetória ou quando desce da altura máxima até o solo?
Ou essa distância é igual nos dois casos? Explique em
lermos das torças que aluam sobre a bola.
Q5.24 A força centrífuga não foi incluída
nos diagramas indicados nas Figuras. 5.28b e 5.29b.
Implique por que.
Q5.25 Um prolessor faz
uma rolha de
borracha girar naextremidade de um fio em um plano
horizontal na sala de aula. Aproxima-se de Carolina,
que está sentada na primeira fila e diz que irá largar o
fio quando a rolha estiver passando em frente do seu
rosto. Carolina deve se preocupar?
Q5.32 “Uma bola é lançada da extremidade de
uma montanha elevada. Independentemente do ângulo
de lançamento, devido àresistência do ar, ela por fim
acabará caindo verticalmente de cima para baixo.”
Justifique essa afirmação.




EXERCÍCIOS
SECAO 5.2
USO DA PRIMEIRA LEI DE NEWTON:
PARTÍCULAS EM EQUILÍBRIO
5.1 Dois pesos de 25,0 N estão suspensos nas
extremidades opostas de uma corda que passa sobre
uma polia leve e sem atrito. O centro da polia está
ligado a uma corrente presa ao teto.
35
(a) Qual a tensão na corda?
(b) Qual a tensão na corrente?
5.2 Na Figura 5.35 cada bloco suspenso possui
peso w. As polias não possuem atrito e as cordas
possuem peso dcsprezível. Calcule em cada caso a
tensão T na corda em termos do peso w. Para cada caso
inclua um diagrama do corpo livre ou diagramas
necessários para obter sua resposta.
5.5 Resolva o problema do Exemplo 5.3
usando um sistema em que o eixo OX seja horizontal e
o eixo Oy seja vertical. Você encontra a mesma resposta
usando esse conjunto diferente de eixos?
5.6 Uma rua de São Paulo possui uma
inclinação de 17.50 com a horizonlal. Qual é a força
paralela à rua necessária para impedir que um carro de
1390 kg desça a ladeira dessa rua?
5.7 Uma bola grande de um guindaste de
demolição é mantida em equilíbrio por dois cabos de
aço leves (Figura 5.37). Se a massa m da bola for igual
a 4090 kg. qual é
(a) a tensão T, no cabo que faz um ângulo de
400 com a vertical?
(b) a tensão T no cabo horizontal?
FIGURA 5.35 Exercício 5.2.
5.3 Um arqueólogo aventureiro passa de um
rochedo para outro se deslocando lentamente com as
mãos por meio de uma corda esticada entre os rochedos.
Ele pára e fica em repouso no meio da corda (Figura
5.36). A corda se romperá se a tensão for maior do que
2.50.104 se a massa do nosso herói for de 90 kg.
(a) Se θ = 10,00 qual é a tensão na corda?
(b) Qual deve ser o menor valor de θ para a
corda não se romper?
5.4 Um quadro está suspenso em uma parede
por dois lios ligados em seus cantos superiores. Se os
dois fios fazem o mesmo ângulo com a vertical, qual
deve ser o ângulo se a tensão em cada fio lor igual a
0,75 do peso do quadro? (Despreze o atrito entre a
parede e o quadro.)
5.8 Ache a tensão em cada corda na Figura
5.38. sabendo que o peso suspenso é w.
5.9 Quando você está dirigindo da sua casa à
faculdade, seu carro de massa igual a 1600 kg viaja a
uma velocidade constante igual a 72 km/h sem nenhum
vento. O exame de um mapa topográfico mostra que na
auto-esirada por onde você passou a altura diminuía de
200 m a cada 6000 m de percurso. Qual e a força
resistiva total (atrito mais resistência do ar) que estava
aluando sobre o carro quando ele se deslocava a 72
km/h?
36
5.10 Um homem empurra um piano de 180 kg
de modo que ele desliza com velocidade constante para
baixo de uma rampa inclinada de 11,00 acima da
horitontal. Despreze o atrito que atua sobre o piano. Se
a força aplicada pelo homem for paralela ao plano
inclinado, ache o módulo dessa força.
FIGURA 5 40 - Exercício 5.13.
5.11 Na Figura 5.39 o peso suspenso é igual a
60,0 N.
(a) Qual é a tensão na corda diagonal?
(b) Ache os módulos das forças horizontais F,
e F, que devem ser exercidas para manter em equilíbrio
esse sistema?
900
F1
450
F2
900
w
5.12 Uma bola está presa por um fio em um
suporte vertical (Figura 5.40). Se o tio no qual a bola
esta amarrada possui comprimento de l,40 m e a bola
possui raio de 0.l l0 m e massa de 0.270 kg, qual é a
tensão na corda e a torça que o suporte exerce sobre a
bola? Despreze o atrito entre o suporte e a bola. (O fio
está amarrado de tal forma que a linha rela ao longo do
fio passa pelo centro da bola.)

37
FIGURA 5 41 - Exercício 5.13.
5.14 Um avião voa em um plano horizontal
com velocidade constante. Existem quatro forças
atuando sobre ele: seu peso w = mg , uma força
orientada para a frente fornecida pelo motor (força de
arraste) a resistência do ar, ou força de arraste f que
atua em sentido contrario ao do movimento, e uma
força de sustentação L oriunda das asas e que atua
ortogonalmente a direçao do vôo. A força de arraste é
proporcional ao quadrado da velocidade,
(a) Mostre que F = f e que w = L.
(b) Suponha que o piloto empurre a alavanca
para a frente fazendo dobrar a propulsãoF enquanto
mantém a altitude constante. O avião finalmente atinge
uma outra velocidade constante de módulo mais
elevado. Para essa nova velocidade constante, como o
novo valor de f se relaciona com o antigo valor?
(c) Qual é a razão entre o novo valor da
velocidade e o valor anterior?



5.13 Dois blocos, cada um com peso w, são
mantidos em equilíbrio em um plano inclinado sem
atrito (Figura 5.41). Em termos de w e do ângulo «do
plano inclinado, determine a tensão:
(a) na corda que conecta os dois blocos.
(b) na corda que conecta o bloco A à parede.
(c) Calcule o módulo da força que o plano
inclinado exerce sobre cada bloco.
(d) Interprete suas respostas para os casos 
= 0 e  = 900.
SEÇAO 5.3
USO DA SEGUNDA LEI DE NEWTON
DINÂMICA DAS PARTÍCULAS
5.15 Máquina de atwood. Uma carga de
tijolos com 15,0 kg é suspensa pela extremidade de uma
corda que passa sobre uma pequena polia sem atrito.
Um contrapeso de 28,0 kg está preso na outra
extremidade da corda, conforme mostra a Figura 5.42.
O sistema é libertado a partir do repouso,
(a) Desenhe um diagrama do corpo livre para a
carga de tijolos e outro para o contrapeso.
(b) Qual é o módulo da aceleração de baixo
para cima da carga de tijolos?
(c) Qual é a tensão na corda durante o
movimento da carga?
Como essa tensão é relacionada com a carga?
Como essa tensão e relacionada com o
contrapeso?
5.16 Um bloco de gelo de 8,00 kg é libertado a
partir do repouso no topo de uma rampa sem atrito de
comprimento igual a 1.50 m e deslizado para baixo
atingindo uma velocidade de 2,50 m/s na base da
rampa. Qual e o ângulo entre a rampa e a horizontal?
28 kg
elevador. Quando o elevador esta parando, a leitura da
balança indica 450 N.
(a) Calcule a aceleração do elevador (módulo,
direção e sentido).
(b) Determine o módulo, a direção e o sentido
da aceleração quando a leitura da balança indicar 670
N.
(c) Quando a leitura da balança indicar peso
zero, o estudante deve ficar preocupado? Explique.
5.20 Uma estudante de física está jogando um
disco de hóquei em uma mesa de ar (uma superfície
sem atrito) e verifica que se ela lançar o disco com
velocidade de 3.8 m/s ao longo do comprimento da
mesa (de l .75 m) em uma extremidade da cabeceira, o
disco vai atingir a outra cabeceira com um
deslocamento lateral de 2.50 cm para a direita, mas
ainda possuindo um componente da velocidade ao
longo do comprimento com módulo de 3.8 m/s. Ela
conclui corrctamente que a mesa não está situada em
um plano horizonlal e calcula sua inclinação mediante
os dados acima. Qual é o ângulo de inclinação?
15,0 kg
5.17 Uma corda leve está amarrada a um bloco
de massa 4,00 kg que repousa sobre uma superfície
horizontal sem atrito. A corda horizontal passa sobre
uma polia sem massa e sem atrito, e um bloco de massa
m é suspenso pela outra extremidade da corda.
Depois que os blocos são libertados, a tensão
na corda e igual a 10.0 N.
(a) Desenhe um diagrama do corpo livre para o
bloco de 4.00 kg e outro para o bloco de massa m.
(b) Qual e a aceleração de cada bloco?
(c) Qual e a massa m do bloco suspenso?
(d) Como a tensão na corda e relacionada com
o peso do bloco suspenso?
5.18 Um avião de transporte levanta voo de
uma pista plana rebocando dois planadores, um atrás do
outro. A massa de cada planador é de 700 kg. e a
resistência total (atrito com a pista mais o arraste do ar)
sobre cada um deles pode ser considerada constante e
igual a 2500 N. A tensão na corda entre o avião e o
primeiro planador não pode ser maior do que 12.000 N.
(a) Se uma velocidade de 40 m/s é necessária
para a decolagem, qual deve ser o comprimento mínimo
necessário para a pista de decolagem?
b) Qual é a tensão na corda entre os dois
planadores durante a aceleração para a decolagem?
5.19 Um estudante de física de 550 N está
sobre uma balança portátil apoiada no piso de um
5.21 (a) Qual será a deflexão do acelerômetro
da Figura 5.14 se o carro estiver em repouso sobre um
plano inclinado?
(b) Suponha agora que o carro esteja sobre
uma rampa de uma montanha com gelo (portanto, sem
atrito). Depois de empurrado, o carro sobe a rampa,
diminui de velocidade, pára e retorna para a base da
rampa. Qual será o sentido da deflexão do acelerómelro
em cada etapa do movimento? Explique suas respostas.
5.22 Verifique qual será a deflexão do
acelerómetro da Figura 5.14 nas seguintes condições:
(a) O carro está se movendo para a esquerda e
sua velocidade está aumentando,
(b) O carro está se movendo para a esquerda e
sua velocidade está diminuindo.
(c) O carro está se movendo para a direita e sua
velocidade está aumentando. Explique suas respostas.

SEÇÃO 5.4 FORÇAS DE ATRITO
5.23 Diagramas do corpo livre. As duas
etapas iniciais para aplicar a segunda lei de Newton
para resolver um problema são isolar um corpo para
análise e a seguir um diagrama do corpo livre para
indicar as forças que atuam sobre o corpo escolhido.
Desenhe diagramas do corpo livre para as seguintes
situaçóes:
(a) um bloco de massa M deslizando para
baixo ao longo de um plano inclinado sem atrito
formando um ângulo a com a horizontal;
38
(b) um bloco de massa M deslizando para cima
ao longo de um plano inclinado sem atrito formando um
ângulo  com a horizontal;
(c) um bloco de massa M deslizando para cima
ao longo de um plano inclinado com atrito cinético,
formando um ângulo  com a horizontal;
(d) blocos de massas M e m deslizando para
baixo ao longo de um plano inclinado com atrito, como
indicado na Figura 5.43a. Nesse caso, flaça diagramas
do corpo livre para os dois blocos separadamente.
Identifique as forças que são pares de ação e reação.
(e) Desenhe diagramas do corpo livre para os
blocos de massas M e m indicados na Figura 5.43b.
Identifique as forças que são pares de ação e reação.
Existe uma força de atrito entre todas as superfícies em
contato. A polia não possui massa nem atrito. Em todos
os casos, certi fique-se de que usou os sentidos correios
das forças e de que ficou completamente claro em seu
diagrama do corpo livre sobre quais objetos as forças
estão atuando.
m M
( A)
FIGURA 513
( B)
Exercício 5.23.
5.24 (a) Uma rocha grande repousa sobre uma
superfície horizontal rugosa. Um trator empurra a rocha
com uma força horizontal que cresce lentamente,
começando de zero. Em um gráfico, lance T no eixo Ox
e a força de atrito f no eixo Oy, começando de T = 0 e
mostre a região em que não ocorre nenhum movimento,
o ponto no qual a rocha está na iminência de se mover,
e a região em que a rocha está em movimento, h) Um
corpo de peso w está em repouso sobre uma prancha
horizontal rugosa. O ângulo θ de inclinação da prancha
e aumentado gradualmente ate que o bloco começa a
escorregar. Desenhe dois gráficos, ambos com o ângulo
θ no eixo Ox Em um dos gráficos, mostre a razão entre
a força normal e o peso /w. cm função de θ. No
segundo gráfico, mostre a razão entre a força de atrito e
o peso w, em função de θ.
Indique a região em que não ocorre nenhum
movimento, o ponto no qual o bloco está na iminência
de se mover, e a região em que o bloco esta em
movimento.
 CAPÍTULO 5
 APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON
5.25 Um trabalhador empurra uma caixa com
massa de l l ,2 kg sobre uma superfície horizontal com
velocidade constante igual a 3.50 m/s. O coeficiente de
atrito cinético entre a caixa e a superfície é igual a 0.20.
(a) Que força horizontal deve ser aplicada pelo
trabalhador para manter o movimento?
(b) Se a força calculada em (a) fosse removida,
qual seria a distância percorrida pela caixa ate ela entrar
em repouso?
5.26 Uma caixa com bananas pesando 40,0 N esta
em repouso sobre uma superfície horizontal. O
coeficiente de atrito estático entre a caixa e a superfície
e igual a 0,40, e o coeficiente de atrito cinético entre a
caixa e a superfície é igual a 0,20.
(a) Se nenhuma força horizontal for aplicada sobre
a caixa, quando ela estiver em repouso, qual será o
valor da força de atrito exercida sobre a caixa?
(b) Se um macaco aplicar uma força horizontal de
6.0 N sobre a caixa, quando ela estiver em repouso,
qual será o valor da força de atrito exercida sobre a
caixa?
(c) Qual a força horizontal mínima que o macaco
deve aplicar sobre a caixa para que ela comece a se
mover?
(d) Qual a força horizontal mínima que o macaco
deve aplicar sobre a caixa para que ela, depois de
começar a se mover, possa se manter em movimento
com velocidade constante?
(e) Se o macaco aplicar sobre a caixa uma força
horizontal de 18,0 N. qual será o valor da força de atrito
exercida sobre a caixa?
5.27 Em um laboratório de física, uma caixa com
6.00 kg é empurrada através de uma mesa larga por
uma força horizontal
(a) Se a caixa se move com velocidade constante
igual a 0,350 m/s e o coeficiente de atrito cinético entre
a caixa e a superfície e igual a 0,12, qual é o módulo de
F?
(b) Qual e o módulo de F quando a caixa
aumenta de velocidade com uma aceleração constante
de 0.180 m/s ?
(c) Quais seriam as mudanças das respostas dos
itens (a) e (b) se essas experiências fossem realizadas
na Lua, onde , gL = l .62 m/s?
39
5.28 Uma caixa de laranjas de 85 N está sendo
empurrada ao longo de um piso horizontal. À medida
que ela se move sua velocidade diminui a uma taxa
constante de 0.90 m/s a cada segundo. A força aplicada
possui componente hori/.ontal de 20 N e um
componente vertical de 25 N de cima para baixo.
Calcule o coeficiente de atrito cinético entre a caixa e
piso.
5.29 Um cofre de 260 kg deve descer com
velocidade constante de uma rampa de 20,0 in de
comprimento do alto de um caminhão de 2,00 m de
altura,
(a) Se o coeficiente de atrito cinético entre o cofre
e a rampa for igual a 0.25. deve o cofre ser empurrado
para cima ou para baixo?
(b) Qual seria a torça paralela necessária à rampa?
5.33 Duas caixas estão ligadas por uma corda
sobre uma superfície horizontal (Figura 5.45). A caixa
A possui massa mA e a caixa B possui massa mB. O
coeficiente de atrito cinético entre cada caixa e a
superfície é C. As caixas sáo empurradas para a direita
com velocidade constante por uma força horizontal F .
Em termos de mA de mB e de C, calcule
(a) o módulo da força F .
(b) a tensão na corda que conecta os blocos.
Inclua um diagrama do corpo livre ou os diagramas que
você usou para achar suas respostas.
A
B
F
FIGURA 5.45 - Exercício 5.33.
5.30 (a) Se o coeficiente de atrito cinético entre os
pneus e um pavimento seco for de 0.80, qual é a menor
distância para fazer um carro parar bloqueando as rodas
com o freio quando o carro se desloca a 28,7 m/s?
(b) Sobre um pavimento molhado, o coeficiente de
atrito cinético se reduz a 0.25. A que velocidade você
poderia dirigir no pavimento molhado para que o carro
parasse na mesma distância calculada em (a)?
(Nota: Bloquear os freios não é a melhor
maneira de parar.)
5.31 Uma arruela polida de latão desliza ao
longo de uma superfície de aço até parar. Usando os
valores da Tabela 5.1. qual a distância a mais que ela
poderia deslizar com a mesma velocidade inicial se a
arruela fosse revestida de Teflon?
5.32 Considere o sistema indicado na Figura
5.44. O bloco A possui peso w, e o bloco B possui peso
w. Suponha que o bloco B desça com velocidade
constante, a) Ache o coeficiente de atrito cinético entre
o bloco A e o topo da mesa.
(b) Suponha que um gato, também com peso w
caia no sono sobre o bloco A. Se o bloco B agora se
move livremente, qual é sua aceleração (módulo,
direçao e sentido)?
FIGURA 5.44 Exercício 5.32, Exercício 5.35
e Problema 5.36.
5.34 Duas rodas de bicicleta são lançadas
rolando com a mesma velocidade inicial de 3,50 m/s ao
longo de uma estrada retilinea. Medimos então a
distancia percorrida por cada uma até o momento em
que a velocidade se reduziu á metade do valor inicial. O
pneu de uma está inflado com uma pressão de 1,6 atm
(l atm = 1,013.105 N/m2) e percorreu uma distância de
18,0 m. O da outra está inflado com uma pressão de 4
atm e percorreu uma distância de 92,0 m. Calcule o
coeficiente de atrito de rolamento para cada roda.
Suponha que a força horizontal resultante seja devida
apenas ao atrito de rolamento.
5.35 Como indicado na Figura 5.44, o bloco A
(massa de 2.25 kg) está em repouso sobre o topo de
uma mesa. Ele é ligado a um bloco B (massa de l.30 kg)
por uma corda horizontal que passa sobre uma polia
leve e sem atrito. O coeficiente de atrito cinético entre o
bloco A e o topo da mesa é de 0,450. Depois que os
blocos são libertados, ache
(a) a velocidade de cada bloco depois que eles
se movem 3.00 cm;
(b) a tensão na corda. Inclua um diagrama do
corpo livre ou os diagramas que você usou para achar
suas respostas.
5.36 Uma caixa de livros de 25.0 kg está em
repouso sobre uma rampa que faz um ângulo  com a
horizontal. O coeficiente de atrito cinético é de 0,25 e o
coeficiente de atrito estático é de 0,35.
(a) A medida que o ângulo  aumenta, qual é o
ângulo mínimo no qual a caixa começa a
deslizar?
(b) Para esse ângulo, ache a aceleração depois
que a caixa começa a deslizar.
40
(c) Para esse ângulo, ache a velocidade da
caixa depois que ela percorreu 5.0 m ao longo do plano
inclinado.
5.37 Um engradado grande de massa m está
em repouso sobre um piso horizontal. Os coeficientes
de atrito entre o piso e o engradado
são C e S. Uma mulher o empurra para baixo
exercendo uma força F
abaixo da horizontal.
formando um ângulo θ
(a) Ache o módulo da força F necessária
para manter o engradado se movendo com velocidade
constante,
(b) Se S for maior do que um valor limite, a
mulher não conseguirá mover o engradado por maior
que seja a força que ela faça. Calcule esse valor crítico
de S.
B
A
36.90
C
5.38 Uma caixa de massa m arrastada ao longo
de um assoalho horizontal que possui um coeficiente de
atrito cinético C, por uma corda que puxa para cima
formando um ângulo θ acima da horizontal com uma
força de módulo F.
(a) Ache o módulo da força necessária para
manter a caixa se movendo com velocidade constante
em termos de m, de C, de θ e de g.
(b) Sabendo que você está estudando física, um
instrutor pergunta-lhe qual seria a força necessária para
fazer deslizar um paciente de 90.0 kg puxando-o com
uma força que forma um ângulo de 25 0 acima da
horizontal. Arrastando pesos amarrados a um par de
sapatos velhos sobre o piso e usando um dinamômelro
você calculou C = 0.35. Use esse valor e o resultado
da parte (a) para responder á pergunta feita pelo
instrutor.
5.39 Os blocos A, B e C são dispostos como
indicado na Figura 5.46 e ligados por cordas de massas
desprezíveis. O peso de A é de 25,0 N e o peso de B
lambem e de 25,0 N. O coeficiente de atrito cinético
entre cada bloco e a superfície e igual 0.35. O bloco C
desce com velocidade constante,
(a) Desenhe dois diagramas do corpo livre
separados mostrando as forças que atuam sobre A e
sobre B.
(b) Ache a tensão na corda que liga o bloco A
ao B.
(c) Qual é o peso do bloco C'?
(d) Se a corda que liga o bloco A ao B fosse
cortada, qual seria a aceleração do bloco C ?
5.40 Partindo da Equação (5.10). deduza as
Equações (5. l l ) e (5.12).
5.41 (a) No Exemplo 5.1°, qual seria o valor de
D necessário para curva com uma velocidade de 25.0
m/s. Qual é o coeficiente de atrito mínimo capaz, de
impedir o deslizamento do carro?
5.42 Uma bola de beisebol é atirada
verticalmente para cima. A força de arraste é
proporcional a v2. Em termos de g, qual é o componente
v da aceleração quando a velocidade e igual à metade da
velocidade terminal, supondo que
(a) ela se move para cima?
(b) ela se move de volta para baixo?
 SEÇAO 5.5

DINÂMICA
DO
MOVIMENTO
CIRCULAR
5.43 Uma pedra de massa 0.80 kg está presa à
extremidade de um fio de 0.90 m de comprimento. O
fio se romperá quando a tensão superar 600 N. (Isso se
denomina tensão de ruptura do fio.) A pedra e
arremessada em um círculo horizontal sobre o topo de
uma mesa sem atrito, mantendo-se a outra extremidade
do fio lixa. Calcule a velocidade máxima que a pedra
pode lei sem que o fio se rompa.
5.44 Uma curva plana (não compensada com
inclinação lateral) de uma estrada possui raio igual a
220 m. Um carro contorna a curva com velocidade de
25.0 m/s. Qual é o coeficiente de atrito mínimo capaz
de impedir o deslizamento do carro?
5.45 Um avião sofre a açâo de uma força de
sustentação (devida ao ar) que é ortogonal ao plano das
asas. Um avião leve e projetado de modo que suas asas
possibilitam uma força de sustentação igual a 3 vezes o
peso do avião. Uma força maior pode destruir a
estrutura da asa. (Caças a jato e aviões de acrobacia são
projetados com limites muito maiores.)
(a) Qual é o ângulo de inclinação máximo que
um piloto pode manter em uma curva plana sem que
41
haja ameaça á segurança do avião (e à sua própria
segurança)?
(b) A resposta do item (a) depende da
velocidade do avião? Explique sua resposta positiva ou
negativa.
5.46 Um "balanço gigante" de um parque de
diversões consiste em um eixo vertical central com
diversos braços horizontais ligados em sua extremidade
superior (Figura 5.47). Cada braço suspende um assenio
por meio de um cabo de 5.00 m de comprimento, e a
extremidade superior do cabo está presa ao braço a uma
distância de 3.00 m do eixo central,
(a) Calcule o tempo para uma revolução do
balanço quando o cabo que suporta o assento faz um
ângulo de 30.00 com a vertical.
(b) O ângulo depende do passageiro para uma
dada taxa de revolução?
5.00 m
3.00 m
30.00
5.47 Um avião sofre a açáo de uma força de
sustentação (devida ao ar) que e ortogonal ao plano das
asas. Um avião leve está voando com velocidade
constante de 240 km/h. Qual e o ângulo de inclinação
com a horizonlal que as asas do avião devem ter para
realizar uma curva plana do leste para o norte com um
raio de l 200 m?
5.48 Um pequeno botão sobre uma plataforma
girante horizontal com diâmetro de 0,320 m gira junto
com a plataforma com 40,0 rev/min. desde que o botão
não esteja a uma distância maior do que 0.150 m do
eixo.
(a) Qual é o coeUciente de atrito estático entre
o botão e a plataforma?
(b) Qual e a distância máxima ao eixo da
plataforma que o botão pode ser colocado sem que ele
deslize se a plataforma gira com 60.0 rev/min?
5.49 Estação espacial girando. Um problema
para a vida humana no espaço exterior e o peso aparente
igual a zero. Um modo de contornar o problema seria
la/er a estação espacial girar em torno do centro com
uma taxa constante. Isso criaria uma "gravidade
artificial" na borda externa da estação espacial,
(a) Se o diâmetro da estação espacial for igual
a 800 m, quantas revoluções por minuto seriam
necessárias a fim de que a aceleração da "gravidade
artificial" fosse igual a 9.81 m/s2?
(b) Se a estação espacial for projetada para
viajantes que querem ir a Marte seria desejável simular
a aceleração da gravidade na superfície de Marte (3.7
m/s2 ). Quantas revoluções por minuto seriam
necessárias nesse caso?
5.50 Uma roda-gigante no Japão possui um
diâmetro de 100 m. Ela faz uma revolução a cada 60
segundos.
(a) Calcule a velocidade de um passageiro
quando a roda-gigante gira a essa taxa.
(b) Um passageiro pesa 882 N em uma balança
no solo. Qual e seu peso aparente no ponto mais alto e o
ponto mais baixo da roda-gigante?
(c) Qual deveria ser o tempo de uma revolução
para que o peso aparente no ponto mais alto fosse igual
a zero?
(d) Qual deveria ser nesse caso o peso aparente
no ponto mais baixo?
5.51 Um avião faz uma volta circular em um
plano vertical (um loop com um raio de 150 m). A
cabeça do piloto sempre aponta para o centro do
círculo. A velocidade do avião não e constante; o avião
vai mais devagar no topo do circulo e tem velocidade
maior na base do circulo.
(a) No topo do círculo, o piloto possui peso
aparente igual a zero. Qual e a velocidade do avião
nesse ponto?
(b) Na base do círculo, a velocidade do avião e
de 280 km/h. Qual e o peso aparente do piloto nesse
ponto? O peso real do pi loto e de 700 N.
5.52 Uma mulher de 50.0 kg pilota um avião
mergulhando verticalmente para baixo e muda o curso
para cima, de modo que o avião passa a descrever um
círculo vertical,
(a) Se a velocidade do avião na base do círculo
é igual a 95,0 m/s, qual será o raio mínimo do círculo
para que a aceleração neste ponto não supere 4.00g?
(b) Qual e seu peso aparente nesse ponto?
5.53 Uma corda e amarrada em um balde de
água e o balde gira em um círculo vertical de raio 0,600
m. Qual deve ser a velocidade mínima do balde no
ponto mais elevado do círculo para que a água não seja
expelida do balde?
5.54 Uma bola de boliche de 71.2 N está presa
ao teto por uma corda de 3,80 m. A bola e empurrada
para um lado e libertada; ela então oscila para a frente e
para trás como um pêndulo. Quando a corda passa pela
vertical, a velocidade da bola e igual a 4.20 m/s.
42
(a) Qual c o módulo, a direção e o sentido da
aceleração da bola nesse instante?
(b) Qual e a tensão na corda nesse instante?
 SECÃO 5.7

MOVIMENTO DE UM PROJETIL

COM RESISTÊNCIA DO AR:
 UM ESTUDO ANALISADO COM O
COMPUTADOR
5.55 (a) Implemente o algoritmo da Seção 5.7
usando um computador e reproduza o gráfico com o
dístico "com arraste ' na Figura 5.34.
(b) Para um campo de beisebol em Denver (Estados
Unidos) em altitude elevada,  = 1,0 kg/m3 . Considere:
m = 0.145 kg. r = 0.0366 m e C = 0,5. Nesse local, a
bola vai mais longe do que ao nível do mar com  = l ,2
kg/m3 . Calcule essa diferença de distâncias para v0 = 50
m/s e 0 = 350.
5.56 Uma bola de beisebol possui m = 0.145
kg, r = 0.0366 m e C = 0,5. Para que angulo ela deve
ser lançada para atingir o alcance máximo? Suponha v0
= 50 m/s e  = l .2 kg/m3 .
obter sua resposta. Despreze os pesos das polias, das
correntes e da corda.
5.61 Um homem está empurrando um
refrigerador ao longo de uma rampa com velocidade
constante. A rampa possui um ângulo de inclinação 
acima da horizontal, porém o homem aplica uma força
F . Determine o módulo de F em lermos de a e da
massa m do refrigerador.
5.62 Uma corda com massa. Em quase todos
os problemas deste livro, as massas dos cabos, cordas e
fios são tão pequenas em comparação com os outros
corpos que podemos desprezá-las. Porém, quando a
corda é o único objcto do problema, ela claramente não
pode ser desprezada. Por exemplo, suponha que você
amarre as extremidades de uma corda em dois suportes
verticais para secar roupas (Figura 5.49). A corda
possui massa M e cada extremidade faz um ângulo θ
com a horizontal. Determine
(a) a tensão nas extremidades da corda;
(b) a tensão em seu ponto inferior.
(c) Por que θ não pode ser igual a zero?
(Veja o item Q5.3 das questões).
5.57 Bo Jackson lançou uma bola de beisebol
com um alcance aproximado de 91 m. Considerando 0
= 400, com que velocidade a bola foi lançada? Use m =
0,145 kg, r = 0.0366 m, C = 0.5 e  = 1,2 kg/m3.
5.58 No jogo de tênis, 160 km/h e uma
velocidade grande. Qual e a velocidade da bola quando
ela passa pelo limite do campo oposto (a uma distância
de 24 m)? Use m = 0,055 kg, r = 0.031 m, C = 0.75 e 
= 1,2 kg/m3 . A bola deixa a raquete honzontalmente e
só atinge o solo depois que passa do limite do campo
oposto.
5.59 Estime qual e a distância máxima que um
homem pode lançar uma bola de pingue-pongue. Use os
dados: m = 0,0024 kg, r = 0,019 m, C = 0.5 e  = 1.2
kg/m3. A velocidade máxima de lançamento e da ordem
de 160 km/h. Por que o alcance de uma bola de beisebol
e maior do que o alcance de uma bola de pinguepongue?
 PROBLEMAS
5.60 Na Figura 5.48 um trabalhador levanta
um peso w puxando uma corda para baixo com uma
força F . A polia superior está presa ao teto por meio
de uma corrente, e a polia interior está presa ao peso por
meio de outra corrente. Ache em termos de w a tensão
em cada corrente e o modulo da força F quando o peso
e levantado com velocidade constante. Inclua um
diagrama do corpo livre ou diagramas necessários para
F
w
F1GURA 5.48 Problema 5.60.
A corda para secar roupa ou qualquer cabo
flexível preso em suas extremidades sob açâo do
próprio peso adquire a forma de uma catenária. Para
um tratamento mais avançado dessa curva, veja
SYMON. K. R. Mccimnics. 3. ed. Addison-Wesley.
Reading. MA. 1971. p. 237-241.
5.63 Um bloco de massa M e amarrado na
extremidade interior de uma corda de massa m e
comprimento L. Uma força F constante e aplicada de
baixo para cima na extremidade superior da corda,
fazendo com que o bloco e a corda sejam acelerados
43
para cima. Ache a tensão na corda a uma distancia x da
sua extremidade superior, onde x pode ter qualquer
valor entre 0 e L.
θ
(b) a força normal exercida pela janela sobre a
escova.
θ
5.64 Um bloco de massa m1, esta sobre um
plano inclinado com um ângulo de inclinação  e está
ligado por uma corda que passa sobre uma polia
pequena a um segundo bloco suspenso de massa m2,
(Figura 5.50). O coeficiente de atrito cinético é C e o
coeficiente de atrito estático é S.
(a) Ache a massa m2, para a qual o bloco de
massa m1 sobe o plano com velocidade constante depois
que ele entra cm movimento,
(b) Ache a massa m2 , para a qual o bloco de
massa m1 desce o plano com velocidade constante
depois que ele entra em movimento,
(c) Para que valores de m2 , os blocos
permanecem em repouso depois de eles serem
libertados a partir do repouso?
44
w
5.66 O bloco A da Figura 5.52 pesa l.20 N e o
bloco B pesa 3.60 N. O coeficiente de atrito cinético
entre todas as superfícies é 0.300. Determine o módulo
da força horizontal F necessária para arrastar o bloco
B para a esquerda com velocidade constante, quando
(a) o bloco A está sobre o bloco B e se move
com ele (Figura 5.52 (a));
(b) o bloco A e mantido em repouso (Figura
5.52 (b)).
A
A
B
F
B
F
(a)
(b)
5.65 (a) O bloco A da Figura 5.51 pesa 60,0 N.
O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a
superfície sobre a qual ele se apóia é de 0.25. O peso w
é igual a 12.0 N, e o sistema está em equilíbrio. Calcule
a força de atrito exercida sobre o bloco A.
(b) Ache o peso w máximo que permite ao
sistema ficar em equilíbrio.
5.67 Um lavador de vidraças empurra sua
escova com velocidade constante para cima de uma
janela vertical aplicando uma força F como indicado
na Figura 5.53. A escova pesa 12.0 N e o coeficiente de
atrito cinético é C = 0.150. Ache:
(a) o módulo da força F .
5.68 No sistema indicado na Figura 5.44. o
bloco A possui massa mA, e o bloco B possui massa mB
e a corda que liga os blocos possui massa diferente de
zero mcorda. A corda possui comprimento total L, e a
polia possui raio muito pequeno. Ignore qualquer
concavidade na parte horizontal da corda,
(a) Se náo existe atrito entre o bloco A e o topo
da mesa. ache a aceleração dos blocos no instante em
que um comprimento d da corda fica suspenso
verticalmente entre a polia e o bloco B. À medida que o
bloco B cai. o módulo da aceleração cresce, diminui ou
permanece constante? Explique.
(b) Considere mA = 2.00 kg, mB = 0.400 kg,
mcorda = 0.160kg e L = 1.00 m. Se existe atrito entre o
bloco A e o topo da mesa com C = 0.200 e S = 0.250.
calcule o valor da distância mínima d tal que os blocos
comecem a se mover se eles inicialmente estavam em
repouso,
(c) Repita a parte (b) para o caso mcorda = 0.040
kg. Os blocos se moverão nesse caso?
F
53.10
5.69 Se o coeliciente de atrito estático entre a
superfície de uma mesa e uma corda com massa grande
é S, qual e a fração da corda que pode ficar suspensa
abaixo da extremidade da mesa sem que a corda deslize
para baixo?
5.70 Uma mulher tenta empurrar uma caixa
cheia de livros com massa m para o alto de um plano
inclinado com um ângulo de inclinação  acima da
horizontal. Os coeficientes de atrito entre o plano
inclinado e a caixa são S e C . A força F aplicada
pela mulher é horizontal.
(a) Se S for maior do que um certo valor
crítico, a mulher não consegue fazer a caixa se mover
por maior que seja a força que ela realiza. Calcule esse
valor crítico de S.
(b) Suponha que o valor de S seja menor do
que esse valor crítico. Qual é o módulo da força
aplicada pela mulher para fazer a caixa se deslocar para
cima do plano inclinado com velocidade constante?
5.71 Uma caixa com 30.0 kg está inicialmente
em repouso sobre o piso de uma caminhonete de 1500
kg. O coeficiente de atrito estático entre a caixa e o piso
da caminhonete é 0,30 e o coeficiente de atrito cinético
é 0.20. Antes de cada aceleração fornecida abaixo, a
caminhonete eslava se deslocando do sul para o norte
com velocidade constante. Ache o módulo o a direção
da força de atrito que atua sobre a caixa
(a) quando a caminhonete possuía aceleração
de 2,20 m/s do sul para o norte:
(b) quando a caminhonete possuía aceleração
de 3.40 m/s do norte para o sul.
5.72 A caminhonete do Problema 5.71 se
desloca com velocidade constante em uma estrada cujo
limite de velocidade e de 72 krn/h. Vendo um sinal de
parar mais adiante, o motorista pisa no freio e para
depois de percorrer 47,0 m. Sem nenhum aviso, um
policia] escondido em um arbusto surge e aplica uma
multa no motorista. Ao protestar que ele não havia
superado o limite de velocidade da estrada, o policial
disse "Eu vi a caixa se deslocar da traseira para a treme
da área de carga da caminhonete. Para deslizar desse
modo, você deve ler pisado no freio com muita força, o
que significa que antes você estava aumentando
develocidade". O argumento do policial prevaleceria na
corte que julga ações do trânsito? (Suponha que o juiz
como você, saiba física.)
5.73 Troy usa uma corda desgastada para
puxar uma caixa ao longo de um piso plano. A tensão
máxima que a corda pode suportar é Tmax e o coeficiente
de atrito cinético é C.
(a) Mostre que o peso máximo que pode ser
puxado com velocidade constante e dado por
Tmax
, onde   arctg C é o angulo da
sen
corda acima da horizontal.
(b) A resposta do item (a) sugere que Troy
poderia puxar um peso que tende ao infinito até com um
fio de uma teia de aranha quando o coeficiente de atrito
cinético tende a zero. Explique.
5.74 O motor do avião do Exercício 5.14 pára
de funcionar (de modo que F = 0) e o avião plana com
velocidade constante para uma aterrissagem segura. A
direção do vôo para aterrissagem e dada por um ângulo
 constante (denominado ângula doplanador) abaixo
da horizontal (Figura 5.54).
(a) Ache o módulo da força de sustentação L
(que atua perpendicularmente à direção do vôo) e a
força de arraste f em termos de w e de .
(b) Mostre que
f
  arctg  
L
(c) Um Cessna 182 (um avião monomotor)
com carga completa pesa 12.900 N e possui um arraste
de 1300 N para uma velocidade de 130 km/h. Se o
motor deste avião talhar a uma altitude de 2500 m. qual
é distância horizontal máxima sobre o solo para que ele
possa planar enquanto procura um lugar seguro para
aterrissar?
(d) Justifique a frase "é o arraste, não a
gravidade, que faz o avião cair".
]
FIGURA 5.54
Problema 5.74.
45
5.75 O piloto do avião Cessna 182 da parte (c)
do Problema 5.74 consegue reativar o motor enguiçado.
Ele uliliza a força de propulsão máxima, e o avião sobe
ao longo de uma linha reta formando um ângulo acima
da horizontal. O avião está voando com uma velocidade
constante de 130 krn/h, pesa 12.900 N epossui um
arraste de 1300 N. O indicador de taxa de elevação do
painel de instrumentos mostra que ele está ganhando
altura com uma taxa constante de 5,00 m/s. Determine o
módulo da força de propulsão (a força para a frente
exercida pelo motor). (Sugestão: A força de propulsão
atua no mesmo sentido da velocidade do avião.)
5.76 Uma caixa de 12,0 kg está em repouso
sobre o piso plano de um caminhão. O coeficiente de
atrito estático entre a caixa e o piso do caminhão é S =
0.19 e C = 0,15. Depois de o caminhão parar em um
sinal ele começa a se mover com aceleração de 2,20
m/s2. Se a caixa está a uma distância de l,80 m da
extremidade traseira do caminhão, quanto tempo
decorre até que a caixa caia para fora do caminhão?
Qual foi a distância percorrida pelo caminhão nesse
intervalo de tempo?
(a) Determine a massa do bloco C sabendo que
o bloco R esta se movendo para direita e aumenta de
velocidade com uma aceleração igual a 2.00 m/s2 .
(b) Qual é a tensão em cada corda quando o
bloco R possui essa aceleração?
B
a
46
A
C
5.80 Dois blocos são conectados por uma
corda que passa sobre uma polia lixa sem atrito e
repousam sobre planos inclinados (Figura 5.57).
(a) Como os blocos devem se mover quando
eles forem libertados a partir do repouso?
(b) Qual é a aceleração de cada bloco?
(c) Qual é a tensão na corda?
5.77 O bloco A da Figura 5.55 pesa l.40 N e o
bloco B pesa 4,20 N. O coeficiente de atrito cinético
entre todas as superfícies é 0.30. Determine o módulo
da força horizonlal F necessária para arrastar o bloco
B para a esquerda com velocidade constante se A é
conectado ao bloco K através de uma corda leve e
flexível que passa sobre uma polia fixa sem atrito.
A
B
F
5.78 Uma caixa de 30.0 kg e largada de um
avião que se desloca de oeste para leste a uma altitude
de 1200 m com uma velocidade de 70.0 m/s em relação
ao solo. O vento aplica uma força constante de180 N
sobre a caixa dirigida hori/ontalmente em sentido posto
ao do deslocamento do avião. Em que local e quando
(em relação ao local e ao instante da queda) a caixa
chega ao solo?
5.79 O bloco A da Figura 5.56 possui massa de
4,00 kg e o bloco B possui massa de 12,00 kg. e
coeficiente de atrito cinético entre o bloco B e a
superfície horizontal é 0,25.
FIGURA5.57 Problema 5.80.
5.81 Determine a aceleração de cada bloco da
Figura 5.58 em função de m1 de m2 e de g. Não existe
nenhum atrito em nenhuma parte do sistema.
5.86 Dois blocos de massas 4,00 kg e 8,00 kg
estão ligados por um fio e desli/am para baixo de um
plano inclinado de 30.00 (Figura 5.61). O coeficiente de
atrito cinético entre o bloco de 4.00 kg e o plano é igual
a 0,25; e o coeficiente entre o bloco de 8,00 kg e o
plano é igual a 0,35.
(a) Qual é a aceleração de cada bloco?
(b) Qual é a tensão na corda?
(c) O que ocorreria se as posições dos blocos
fossem invertidas, isto é. se o bloco de 4.00 kg estivesse
acima do bloco de 8.00 kg?
5.85 Qual deve ser a aceleração do carrinho da
Figura 5.60 para que o bloco A não caia? O coeficiente
de atrito estático entre o bloco e o carrinho ê S. Como
seria o comportamento do bloco descrito por um
bservador no carrinho?
B
A
C
5.82 Um bloco B de massa mB está sobre um
bloco de massa mA que por sua vêz esta sobre o topo de
uma mesa horizontal (Figura 5.59). O coeficiente de
atrito cinético entre o bloco A e o topo da mesa é C e o
coeficiente de atrito estático entre o bloco A e o bloco B
é A. Um fio leve ligado ao bloco A passa sobre uma
polia fixa sem atrito e o bloco C está suspenso na outra
extremidade do fio. Qual deve ser o maior valor da
massa mC que o bloco C deve possuir para que os blocos
A e B deslizem juntos quando o sistema for libertado a
partir do repouso?
47
C
5.87 Um bloco A com peso 3w desliza sobre
um plano inclinado S com inclinação de 36.90 a uma
velocidade constante, enquanto a prancha B, com peso
w. está em repouso sobre A. A prancha está ligada por
uma corda no topo do plano (Figura 5.62).
(a) Faça um diagrama de todas as forças que
atuam sobre A.
(b) Se o coeficiente de atrito cinético entre A e
K for igual ao coeficiente de atrito cinético entre S e A
calcule o seu valor.
5.83 Dois objetos com massas de 5.00 kg e
2.00 kg estão suspensos a 0.600 m acima do solo presos
nas extremidades de uma corda de 6.00 m que passa
sobre uma polia fixa sem atrito. Os dois objetos partem
do repouso. Calcule a altura máxima atingida pelo
ohjeto de 2.00 kg.
5.84 Atrito em um elevador. Você está dentro
de um elevador que sobe para o decimo oitavo andar do
seu apartamento. O elevador sobe com uma aceleração
a = l .90 m/s2. Ao seu lado está uma caixa contendo seu
computador novo: a massa total da caixa com o
conteúdo e de 28.0 kg. Enquanto o elevador está
acelerando para cima. você empurra hori/.ontalmente a
caixa com velocidade constante para a porta do
elevador. Se o coeficiente de atrito cinético entre a
caixa e o piso do elevador e C = 0.32, qual é o modulo
da força que você deve aplicar?
5.88 Um homem com massa de 70.0 kg está
em pé sobre uma plataforma com massa de 25.0 kg. Ele
puxa a extremidade livre de uma corda que passa por
uma polia no teto e que tem a outra extremidade
amarrada na plataforma. As massas da corda e da polia
são desprezíveis e a polia não possui atrito. A corda é
vertical nos dois lados da polia,
(a) Com que força ele deve puxar para que ele
e a plataforma possuam uma aceleração para cima igual
a l.80 m/s2?
(b) Qual é a aceleração da corda em relação a
ele?
um coeficiente de atrito cinético de 0,25 entre os pneus
e a estrada. O raio da curva é R = 50 m.
(a) Se o ângulo de inclinação lateral for  =
250, qual é a velocidade máxima que um carro pode ter
antes que ele deslize para cima do plano inclinado?
(b) Qual a velocidade mínima que um carro
pode ler antes que ele deslize para baixo do plano
inclinado?
5.89 Dois blocos de massas m1 e m2 estão
apoiados como indicado na Figura 5.63 e colocados
sobre uma superfície horizontal sem atrito. Existe atrito
entre os dois blocos. Uma força externa de módulo F
atua sobre o bloco superior formando um angulo 
abaixo da horizontal.
(a) Se os dois blocos se movem unidos, calcule
a aceleração comum,
(b) Mostre que os dois blocos se movem
unidos somente quando:
F
s m1  m1  m2 
m2 cos   s  m1  m2  sen
onde s é o coeficiente de atrito estático entre os dois
blocos.
F

m1
m2
5.90 Uma curva com raio R = 120 m em uma
estrada plana possui uma inclinação lateral correta para
unia velocidade de 20 m/s. Caso um carro contorne essa
curva com 30 m/s, qual deve ser o coeficiente de atrito
estático mínimo entre os pneus e a estrada para que o
carro não derrape?
5.91 Considere uma estrada molhada com
inclinação laleral como no Exemplo 5.23 (Seção 5.5),
no qual ha um coeficiente de atrito estático de 0.30 e
48
5.92 Você está viajando em um ônibus escolar.
Quando o ônibus contorna uma curva plana com
velocidade constante, uma lancheira com massa de
0,500 kg suspensa no teto do ônibus por um Fio de l.80
m de comprimento permanece em repouso em relação
ao ônibus quando o fio faz um ângulo de 30,00 com a
vertical. Nessa posição, a lancheira está a 50,0 m de
distancia do centro das curva. Qual é a velocidade v do
ônibus?
5.93 O problema do macaco e das bananas.
Um macaco de 20 kg segura firmemente uma corda que
passa sobre uma polia sem atrito e está amarrada a um
cacho de bananas com 20 kg l Figura 5.64. O macaco
olha para cima, vê as bananas e começa a subir pela
corda para alcançá-las,
(a) A medida que o macaco sobe, o cacho de
bananas permanece em repouso, sobe ou desce?
(b) A medida que o macaco sobe, a distância
entre ele e o cacho de bananas permanece a mesma,
aumenta ou diminui?
(c) O macaco larga a corda. O que acontece
com a distância entre o macaco e o cacho de bananas
durante a queda?
(d) Antes de chegar ao chão, o macaco agarra a
corda para impedir a queda do cacho de bananas. O que
ocorre com o cacho de bananas?
5.94 Uma pedra e lançada para baixo sobre a
água com velocidade igual a 3mg/k, onde k é o
coeficiente da Equação (5.7). Supondo que a relação
entre a resistência do fluido e a velocidade seja dada
pela Equação (5.7) ache a velocidade da pedra em
função do tempo.
5.95 Um pedaço de rocha com massa de 3,00
kg cai a partir do repouso em um meio viscoso. Sobre a
rocha atua uma força resultante de cima para baixo de
módulo igual a 18.0 N (uma combinação entre o peso e
a força de empuxo exercida pelo meio)e uma força de
resistência do fluido f = kv, onde v é a velocidade em
m/s e k = 2.20 Ns/m. (Veja a Seção 5.4.)
(a) Ache a aceleração inicial a0.
(b) Ache a aceleração quando a velocidade e
de 3,00 m/s.
(c) Ache a velocidade quando a aceleração é de
0.1a0.
(d) Ache a velocidade terminal vt.
(e) Ache a posição, a velocidade e a aceleração
2,00 s depois do movimento começar.
(f) Ache o tempo necessário para que a
velocidade seja de 0.9vt.
5.96 O bloco de 4,00 kg da Figura 5.65 está
preso a um eixo vertical por meio de dois lios. Quando
o sistema gira em torno desse eixo, os fios ficam
dispostos como indicado no diagrama e a tensão no fio
superior é de 80.0 N.
(a) Qual é a tensão no fio interior?
(b) Quantas revoluções por minuto o sistema
executa?
(c) Ache o número de revoluções por minuto
para que o fio interior comece a ficar frouxo.
(d) Explique o que ocorre quando o número de
revoluções por minuto for menor do que o calculado no
item (c).
1.25 m
2.00 m
4.00 kg
1.25 m
5.97 Duas irmãs gêmeas. Margarida e
Madalena estão brincando em um carrossel (um disco
paralelo ao solo com um eixo de rotação central) no
parquinho da escola. Cada gémea possui massa de 30.0
kg. Uma camada de gelo faz o carrossel ficar sem atrito.
O carrossel gira com uma taxa constante enquanto as
gêmeas estão sobre ele. Margarida, a uma distância de
l,80 m do centro do carrossel, deve segurar um dos
postes verticais do carrossel com uma força horizontal
de 60,0 N para impedir seu deslizamento. Madalena
está na periferia do carrossel a uma distância de 3,60 m
do centro:
(a) Qual deve ser a força horizontal exercida
por Madalena para impedir seu deslizamento?
(b) Caso Madalena deslize, qual será sua
velocidade horizontal ao sair do carrossel?
5.98 Considere um passageiro em uma rodagigante tal como aquela do Exemplo 5.24.
(a) Qual será o peso aparente do passageiro
quando sua velocidade for vertical e no sentido +y e –y?
(b) Em que ponto da rotação o módulo do peso
aparente e igual ao módulo do peso real?
5.99 No "rotor" de um parque de diversões, as
pessoas ficam em pé contra uma parede interna de um
cilindro oco vertical com raio de 2,5 m. O cilindro
começa a girar, e quando ele atinge uma rotação de 0.60
rcv/s. o piso onde as pessoas se apoiam desce cerca de
0.5 m. As pessoas ficam presas contra a parede.
(a) Faça um diagrama de forças para um
passageiro, depois que o piso abaixou.
(b) Qual deve ser o coeficiente de atrito
estático mínimo necessário para que o passageiro não
escorregue para baixo na nova posição do piso?
(c) A sua resposta do item (b) depende da
massa do passageiro? (Nota: Quando a viagem termina,
o cilindro volta lenlamente para o repouso. Quando ele
diminui de velocidade as pessoas escorregam para
baixo ate o piso.)
49
5.100 Um veterano de física está trabalhando
em um parque de diversões para pagar a mensalidade da
faculdade. Ele guia uma moto no interior de uma esfera
de plástico transparente. Depois de ganhar uma
velocidade suficiente, ele descreve um círculo vertical
com raio igual a 13.0 m. O veterano possui massa de
10.0 kg e sua moto possui massa de 40,0 kg.
(a) Qual é sua velocidade mínima no topo do
círculo para que os pneus da moto não percam o contato
com a esfera?
(b) Na base do círculo sua velocidade e igual à
metade do valor encontrado em (a).
Qual é o módulo da força normal exercida pela
esfera sobre a moto nesse ponto?
5.101 Você está dirigindo uma Ambassador
clássica com uma amiga que esta sentada do lado do
passageiro no banco dianteiro. A Ambassador possui
assentos muito largos. Você gostaria que sua amiga
sentasse mais perto de você c decide usar a física para
atingir seu ohjctivo romântico fazendo uma volta
rápida.
(a) Para que lado (esquerdo ou direito) você
deve lazer o carro girar para que a sua amiga se
desloque para perto de você?
(b) Se o coeficiente de atrito estático entre o
assento e sua amiga for igual a 0.35 e você mantiver
uma velocidade constante de 20 m/s. qual deve ser o
raio máximo da curva que você pode fazer para que sua
amiga ainda deslize para o seu lado?
5.102 Um pequeno bloco de massa m repousa
sobre o topo de uma mesa horizontal sem atrito a uma
distância r de um buraco situado no centro da mesa
(Figura 5.66). Um fio ligado ao bloco pequeno passa
através do buraco c tem um bloco maior de massa M
ligado em sua outra extremidade. O pequeno bloco
descreve um movimento circular uniforme com raio ré
velocidade v. Qual deve ser o valor de V para que o
bloco grande permaneça imóvel quando libertado?
5.103 Uma pequena conta pode deslizar sem
atrito ao longo de um aro circular situado cm um plano
vertical com raio igual a 0.100 m. O aro gira com uma
laxa constante de 4,00 rev/s em torno de um diâmetro
vertical (Figura 5.67).
(a) Ache o angulo  para o qual a conta está
em equilíbrio vertical. (É claro que ela possui uma
aceleração radial orientada para o eixo da rotação.)
(b) Verifique se é possível a conta "subir" até
uma altura igual ao centro do aro.
(c) O que ocorreria se o aro girasse com l .00
rev/s?
5.104 Um aeromodelo de massa 2,20 kg se
move no plano x-y de tal modo que suas coordenadas x
e y v variam com o tempo de acordo com:
x t       t 3
y  t     t    t 2 onde = l.50 m,  =
0.120 m/s3;  = 3.00 m/s e  = l .00 m/s2 .
(a) Ache os componentes .v e v da força
resultante sobre o plano em função do tempo.
(b) Faça um esboço da trajetória do avião entre
t = 0 e t = 3.00 s e desenhe sobre seu esboço vetores
indicando a força resultante para t = 0, t = l,00 s, t =
2,00 s e t = 3,00 s. Para cada um desses tempos,
relacione a dircção da força resultante com a direção em
que o avião está fazendo a volta, e verifique se o avião
está aumentando de velocidade, diminuindo de
velocidade (ou nenhuma das hipóteses).
(c) Qual o módulo e a direção da força
resultante para t = 3.00 s?

0.1m
A
B
C
D
F
E
50
5.105 Uma partícula se move sobre uma
superfície sem atrito ao longo da trajetória indicada na
Figura 5.68. (A figura mostra uma vista de topo sobre a
superfície.) A partícula está inicialmente em repouso no
ponto A. a seguir ela começa a se mover ale o ponto K à
medida que ganha velocidade com uma taxa constante.
De B até C a partícula se move ao longo de uma
trajetória circular com velocidade constante. A
velocidade permanece constante ao longo do trecho
rctilíneo de C ate D. De D até E a partícula se move ao
longo de uma trajctória circular, mas agora sua
velocidade está diminuindo com uma taxa constante. A
velocidade continua a diminuir com uma taxa constante
enquanto a partícula se move de E ate F a partícula
entra em repouso no ponto F. (Os intervalos de tempo
entre os pontos marcados não são iguais.) Para cada
ponto marcado por ponto cm negrito, desenhe flechas
para indicar a velocidade, a aceleração c a lorça
resultante sobre a partícula. Use flechas maiores ou
menores para representar os vetores que possuem
módulos maiores ou menores.
5.106 Um pequeno carro guiado por controle
remoto possui massa de l.60 kg e se move com
velocidade constante v = 12,0 m/s em um círculo
vertical no interior de um cilindro metálico oco de raio
igual a 5.00 m (Figura 5.69). Qual é o módulo da força
normal exercida pela parede do cilindro sobre o carro
(a) no ponto A (na base do círculo vertical)?
(b) E no ponto R (no topo do círculo vertical)?
B
v = 12m/s
m

h
PROBLEMAS DESAFIADORES
5.108 Uma cunha de massa M repousa sobre o
topo horizontal de uma mesa sem atrito. Um bloco de
massa m é colocado sobre a cunha (Figura 5.71a). Não
existe nenhum atrito entre o bloco e a cunha. O sistema
é libertado a partir do repouso.
(a) Ache a aceleração da cunha e os
componentes hori/.ontais e verticais da aceleração do
bloco.
(b) Suas respostas ao item (a) se reduzem ao
valor esperado quando M for muito grande?
(c) Em relação a um observador estacionário,
qual é forma da trajetória do bloco?
r = 5m
A

F
v=12m/s
(a)
(b)
Problemas desafiadores 5.108 e 5.109.
FIGURA 5.71
5.107 Um pequeno bloco de massa «i e
eoloeado no interior de um cone invertido que gira em
torno do eixo vertical de modo que o tempo para uma
revolução é igual a T (Figura 5.70). As paredes do cone
fazem um ângulo ficam a vertical. O coeficiente de
atrito estático entre o bloco e o cone é S. Para que o
bloco permaneça a uma altura h do vértice do cone,
qual deve ser o valor máximo e mínimo de T?
5.109 Uma cunha de massa M repousa sobre o
topo horizontal de uma mesa sem atrito. Um bloco de
massa m e colocado sobre a cunha, e uma força
horizontal F é aplicada sobre a cunha (Figura 5.71 (a)).
Qual deve ser o módulo de F para que o bloco
permaneça a uma altura constante cm relação ao topo
da mesa?
5.110 Uma caixa de peso w é acelerada para
cima de uma rampa por uma corda que exerce uma
tensão T. A rampa faz um ângulo  com a horizontal e a
corda faz um angulo O acima da rampa. O coeficiente
de atrito cinético entre a caixa e a rampa é C. Mostre
51
que para qualquer valor de , a aceleração é máxima
quando
  arctg C
(desde que a caixa permaneça
em contalo com a rampa).
5.111 Uma caixa de peso w é puxada com
velocidade constante ao longo de um piso plano por
uma força F que faz um ângulo θ acima da horizontal.
O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e piso é C.
(a) Ache F em termos de θ, de C, e de w.
(b) Para w = 400 N e C = 0.25, ache F para θ
variando de 00 a 900 em incrementos de 100. Faça um
gráfico de F'contra θ.
(c) Com base na expressão geral obtida em (a),
calcule o valor de θ para o qual o valor de F é o mínimo
necessário para manter o movimento com velocidade
constante. (Sugestão: Em um ponto onde uma função
passa por um mínimo, como se comportam a primeira e
a segunda derivada da função? Aqui F é uma função de
θ). Para o caso especial w = 400 N e C = 0,25, avalie o
valor de θ ótimo e compare seu resultado com o gráfico
construído na parte (b).
5.112 Uma bola de beisebol e lançada do
telhado de um edifício muito alto. À medida que a bola
cai, o ar exerce uma força de arraste proporcional ao
quadrado da velocidade da bola ( f = Dv2).
(a) Em um diagrama, mostre a direção e o
sentido do movimento e indique com a ajuda de vetores
todas as forças que aluam sobre a bola.
(b) Aplique a segunda lei de Newton e, com
base na equação resultante, descreva as propriedades
gerais do movimento.
(c) Mostre que a bola atinge uma velocidade
terminal dada pela Equação (5.13).
(d) Deduza a expressão da velocidade em
função do tempo.
(Nota:
a
2
(b) a aceleração da polia B?
(c) a aceleração do bloco m1?
(d) a aceleração do bloco w?
(e) a tensão na corda A?
(f) a tensão na corda C?
(g) O que suas expressões fornecem para m1 =
m2 e m3,= m1+m2? O resultado era esperado?
52
FIGURA 5.72 Problema Desafiador 5.113.
FIGURA5.73 Problema Desafiador 5.114.
dx
1
x
 arc tanh  
2
x
a
a
tanh  x  
e x  e x e2 x  1

e x  e x e2 x  1
define a tangente hiperbólica.)
5.113 Máquina de atwood dupla. Na
Figura 5.72, as massas m1 e m2, estão conectadas por
um fio leve A que passa sobre uma polia leve e sem
atrito B. O eixo da polia B é conectado por um segundo
fio leve C que passa sobre uma segunda polia leve e
sem atrito D a uma massa m3. A polia D está fixa ao
teto através do seu eixo. O sistema é libertado a partir
do repouso. Em termos de m1, de m2, de m3,e de g qual é
:
(a) a aceleração do bloco m3?
5.115 Uma bola é mantida em repouso na
posição A indicada na Figura 5.74 por meio de dois fios
leves. O tio horizontal é cortado, c a bola começa a
oscilar como um pêndulo. O ponto S é o ponto mais
afastado do lado direito da trajetória das oscilações.
Qual e razão entre a tensão do fio na posição B e a
tensão do fio na posição A antes de o fio horizontal ser
cortado?
5.114 As massas dos blocos A c B da Figura
5.73 são 20.0 kg e 10.0 kg, respectivamente. Os blocos
estão inicialmente em repouso sobre o solo e são
conectados por um tio leve que passa sobre uma polia
leve e sem atrito. Uma torça de baixo para cima F é
aplicada sobre a polia. Ache a aceleração a, do bloco .4
e a aceleração a, do bloco B quando P é:
(a) 124 N; (b) 294 N (c) 424 N.
FIGURA 5.74 Problema Desafiador 5.1 15.

A

B
53

( ) ( )t

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