KCM ucr

75
3. Convecção Forçada no Interior de Dutos
Neste item serão considerados escoamento internos em dutos e canais com
convecção térmica forçada. Os escoamentos podem ser laminares ou turbulentos e
podem ocorrer as seguintes combinações: 1) escoamento laminar hidrodinâmica e
termicamente desenvolvidos; 2) escoamento laminar hidrodinamicamente desenvolvido
e termicamente em desenvolvimento; 3) escoamento laminar com desenvolvimento
simultâneo e 4) escoamentos turbulentos
3.1 Escoamento laminar num tubo com simetria axial
Considere o problema ilustrado na Figura 3.1. Um fluido com velocidade U e
temperatura T0 entra num tubo de raio rw , de comprimento L, cuja temperatura de
parede é mantida à temperatura Tw . O escoamento se desenvolve hidrodinamicamente e
se a temperatura de parede for diferente da temperatura do fluido haverá troca de calor e
o desenvolvimento do perfil de temperatura.
Figura 3.1 Escoamento laminar num tubo.
76
Em coordenadas cilíndricas, sob hipótese de regime permanente, propriedades
constantes e simetria axial, este escoamento pode ser modelado pelo conjunto de
equações a seguir, já simplificadas:
1) Equação de Continuidade
∂u 1 ∂ (rv )
+
=0
∂z r ∂r
(3.1)
2) Equações e Quantidade de Movimento em z e r
z: u
⎛ ∂ 2 u 1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ ⎞
∂u
1 ∂p
∂u
+v
=−
+ ν ⎜⎜ 2 +
⎜ r ⎟ ⎟ + Fz ;
∂z
∂r
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ ⎟⎠
ρ ∂z
⎝ ∂z
(3.2)
r: u
⎛ ∂ 2 v ∂ 2 v 1 ∂v v ⎞
1 ∂p
∂v
∂v
+ ν ⎜⎜ 2 + 2 +
− ⎟ + Fr
+v
=−
ρ ∂r
r ∂r r 2 ⎟⎠
∂z
∂r
∂r
⎝ ∂z
(3.3)
3) Conservação de Energia Térmica
u
⎛ ∂ 2T 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎞
∂T
∂T
+v
= α ⎜⎜ 2 +
⎜r
⎟ ⎟ + q ′′′
∂z
∂r
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ ⎟⎠
⎝ ∂z
(3.4)
As condições de escoamento completamente desenvolvido podem ser expressas
por:
v=0
u = u (r )
(3.5)
p = p( z )
Desta forma a Eq. (3.2) pode ser simplificada resultando
⎛ d 2 u 1 du ⎞
dp
⎟.
= μ ⎜⎜ 2 +
dz
r dr ⎟⎠
⎝ dr
(3.6)
77
A Eq. (3.6) implica que ambos os lados devem ser iguais a uma constante, ou
seja,
⎛ d 2 u 1 du ⎞
dp
⎟
= cons tan te = μ ⎜⎜ 2 +
dz
r dr ⎟⎠
⎝ dr
(3.7)
Se o comprimento de desenvolvimento for muito menor do que o comprimento do tubo,
Le << L , pode-se aproximar o gradiente de pressão como
p − pL
ΔP
dp
=−
=− 0
dz
L
L
(3.8)
As condições de contorno para solução da Eq. (3.7) são:
u = 0; r = rw
(3.9)
du
= 0; r = 0
dr
Portanto, a solução da Eq. 3.7 é da forma:
2
rw2 ⎛ dp ⎞ ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤
u=
⎜ − ⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥
4 μ ⎝ dz ⎠ ⎢ ⎜⎝ rw ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
(3.10)
A velocidade média é definida
∫
1
1
U=
u (r )dA = 2
A A
πrw
∫
rw
0
2
rw2 ⎛ dp ⎞ ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤
⎜ − ⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ 2πrdr
4 μ ⎝ dz ⎠ ⎢ ⎜⎝ rw ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
(3.11)
Efetuando a integral na Eq. (3.11), resulta
U=
rw2 ⎛ dp ⎞
⎜− ⎟
8μ ⎝ dz ⎠
(3.12)
78
Substituindo a Eq. (3.12) na Eq. (3.10) obtém o perfil de velocidade do escoamento
completamente desenvolvido, na forma:
⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤
u
= 2 ⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
U
⎢⎣ ⎝ rw ⎠ ⎥⎦
(3.13)
3.2 Escoamento laminar em um canal de placas paralelas
Um canal de placas paralelas possui a largura muito maior do que o espaçamento
entre as placas. Uma análise similar a que foi para o tubo leva ao seguinte resultado para
o perfil de velocidade
2
u 3⎡ ⎛ y⎞ ⎤
= ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥
U 2 ⎢⎣ ⎝ h ⎠ ⎦⎥
(3.14)
em que a velocidade média é dada por
2
(
2h ) ⎛ dp ⎞
U=
−
⎜
⎟
12μ ⎝ dx ⎠
(3.15)
e h é metade do espaçamento entre as placas.
3.3 Fator de atrito de Fanning e Queda de Pressão
A tensão na parede é definida por, no caso do escoamento laminar no tubo,
como
U
⎛ du ⎞
= 4μ
⎟
rw
⎝ dr ⎠ r = rw
τ w = μ⎜ −
O fator de atrito de Fanning é definido por
(3.16)
79
f =
com Re D =
τw
=
1
ρU 2
2
4 μU
1
16
16
=
=
ρUD Re D
rw 1
ρU 2
μ
2
(3.17)
ρUD
. Na literatura também aparece o fator de atrito de Darcy-Weisbach
μ
f * = 4f =
64
Re D
(3.18)
Em dutos de seção não circular define-se o diâmetro hidráulico na forma
Dh =
4A
P
⎧ A = área da seção transversal
⎨
⎩P = perímetro molhado
(3.19)
Alguns casos de dutos de seções não circulares são:
a) duto de seção quadrada; Dh = a (onde a é o lado do quadrado)
b) duto de seção retangular a × 4a ; Dh =
8
a (onde a é o comprimento do menor
5
lado)
c) canal de placas paralelas; Dh = 2a (onde a é o espaçamento entre as placas)
d) triângulo equilátero; Dh =
a
3
( onde a é o lado do triângulo)
A queda de pressão no duto ou tubo pode ser calculada a partir de um balanço de
forças
ΔpA = τ w PL
Δp = f
L 1
ρU 2
A/ P 2
Δp = 4 f
L 1
ρU 2
Dh 2
(3.20)
80
Em geral o fator de atrito pode ser definido na forma:
C
Re Dh
f =
(3.21)
na qual C depende da forma da seção transversal do duto. Re Dh = UDh / ν . Na
literatura encontram-se correlações do tipo
C ≅ 16 exp(0,294 B 2 + 0,068B − 0,318)
com B =
πDh2 / 4
A
(3.22)
.
Ex. 3.1 Calcule ΔP / L para escoamento de água a 20oC num tubo de D=2,7 cm e
U = 6 cm/s. Determine também p comprimento da região de entrada. Compare com o
comprimento adotado na prática ( Le = 0,05D Re D ).
3.3 Transferencia de Calor em Escoamento Laminar - Entrada Térmica
No caso de escoamentos internos define-se a temperatura média de mistura na
forma
Tm =
1
ρ c p uTdA
ρ c pUA ∫A
(3.23)
O coeficiente de transferência de calor pode então ser definido como
h=
q ′w′
Tw − Tm
(3.24)
No caso de escoamento completamente desenvolvido termicamente num tubo
tem-se
81
∂T
∂r
≈
r = rw
Tw − Tm
rw
(3.25)
Um balanço de energia num elemento de fluido de comprimento dz resulta
∫ ρu(i
z + dz
− i z )dA = q ′w′ Pdz
A
∫ ρuc dTdA = q′′ Pdz
p
w
A
d
( ∫ ρ c uTdA) = q′′ Pdz
A
p
w
dTm P q ′w′
=
dz
A ρc pU
(3.26)
No caso de tubo resulta
dTm
hπD(Tw − Tm )
2 q ′w′
=
=
dz
rw ρc pU
m c p
A
equação
de
energia
em
(3.27)
escoamento
completamente
desenvolvido
hidrodinâmica e termicamente é:
ρc p u (r )
∂T
1 ∂ ⎛ ∂T ⎞
=k
⎜r
⎟
r ∂r ⎝ ∂r ⎠
∂z
(3.28)
Uma análise de ordem de grandeza dos termos nesta equação mostra que
ρc pU
k
1 q ′w′
ΔT
≈ k 2 ou h ≈
(constante)
rw ρc pU
rw
rw
(3.29)
82
Como o número de Nusselt é definido por Nu Dh =
hDh
, então, Nu D ≈ O (1) .
k
Para satisfazer a condição de h constante o perfil de temperatura deve ser da
forma:
⎛ r ⎞
T (r , z ) = Tw ( z ) − [Tw ( z ) − Tm ( z )]φ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ rw ⎠
(3.30)
na qual φ é uma função apenas de r. No caso de parede com fluxo de calor uniforme
resulta
dTw dTm
=
dz
dz
(3.31)
∂T dTw dTm
=
=
dz
dz
∂z
(3.32)
e
Neste caso, pode-se obter
u (r ) q ′w′
1 d ⎛ dφ ⎞
=−
⎜r
⎟
U krw ΔT
r dr ⎝ dr ⎠
(3.33)
Com
⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤
u
= 2 ⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ e
U
⎢⎣ ⎝ rw ⎠ ⎥⎦
φ (rw ) = 0
φ ′(0) = 0 ( simetria)
(3.34)
83
resulta a solução da Eq. (3.33) na forma
q ′′ r
φ (r ) = w w
kΔT
⎡ 3 ⎛ r ⎞2 1 ⎛ r ⎞4 ⎤
⎢ − ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
4 ⎝ rw ⎠ ⎥
⎢⎣ 4 ⎝ rw ⎠
⎦
(3.35)
Assim com fluxo de calor constante na parede resulta o número de Nusselt
Nu D = 48 / 11 = 4,364 (q ′w′ = cte )
(3.36)
Churchill & Ozoe propuseram uma expressão válida tanto para o comprimento
de entrada quanto para a região completamente desenvolvida:
[
Nu D
4,364 1 + (Gz / 29,6 )
]
2 1/ 6
⎧ ⎡
Gz / 19,04
⎪
= ⎨1 + ⎢
2 / 3 1/ 2
2
1 + (Gz / 29,6 )
⎪⎩ ⎢⎣ 1 + (Pr/ 0,0207 )
[
] [
⎤
⎥
1/ 3
⎥⎦
]
3/ 2
1/ 3
⎫
⎪
⎬
⎪⎭
(3.37)
na qual Gz é o número de Graetz definido como
πD 2U π ⎛ z / D ⎞
⎟
Gz =
= ⎜⎜
4αz
4 ⎝ Re D Pr ⎟⎠
−1
(3.38)
Para parede isotérmica o fluxo de calor é calculado como
q ′w′ = h(Tw − Tm (z ) )
(3.39)
e o gradiente da temperatura média de mistura será:
dTm
2h
=
[Tw − Tm ( z )]
dz
rw ρc pU
Integrando a Eq. (3.40) de z1 onde Tm = Tm ,1 , obtém-se
(3.40)
84
⎡ 2h( z − z1 ) ⎤
Tw − Tm ( z )
= exp ⎢−
⎥
Tw − Tm,1
⎣⎢ rw ρc pU ⎦⎥
(3.41)
No caso de temperatura uniforme na parede do tubo, o número de Nusselt do
escoamento completamente desenvolvido será
Nu D = 3,66
(3.42)
e o fluxo de calor na parede pode ser calculado como
qw′′ = 3, 66
⎡ 3, 66α ( z − z1 ) ⎤
k
Tw − Tm ,1 ) exp ⎢ −
(
⎥
D
rw2U
⎣
⎦
(3.43)
Ex. 3.2 Uma corrente de água à temperatura ambiente é aquecida quando escoa através
de um tubo com fluxo de calor uniforme na parede q ′w′ = 0,1
W
. O escoamento é
cm 2
completamente desenvolvido hidrodinâmica e termicamente. A vazão mássica é
m = 10 g / s e o raio do tubo é rw = 1 cm . As propriedades da água na temperatura são
μ = 0,01
g
W
. Calcule a) a velocidade média U; b) o número de
e k = 0,006
cm ⋅ s
cm ⋅ K
Reynolds baseado no diâmetro; c) o coeficiente de troca de calor h e d) a diferença entre
a temperatura local de parede e a temperatura média local.
3.4 Escoamentos Turbulentos
A maioria dos escoamentos ocorrendo na natureza e em aplicações industriais
são turbulentos. No caso de escoamento em tubo de seção circular a transição de
escoamento laminar para turbulento ocorre para número de Reynolds em na faixa de
2000 a 2300. Geralmente, considera-se
85
⎧ até ≅ 2000 (laminar)
⎪
Re D = ⎨2000 a 2300 (transição)
⎪> 2300 (turbulento)
⎩
As equações para análise de escoamentos turbulentos são as equações médias de
Reynolds, que no caso do escoamento no tubo são:
1) Equação de Continuidade
∂u 1 ∂ (rv )
+
=0
∂z r ∂r
(3.44)
2) Equações e Quantidade de Movimento em z e r
z: u
∂u
∂u
1 ∂p 1 ∂ ⎡
(ν + ν t )r ∂u ⎤⎥ + ∂ ⎡⎢(ν + ν t ) ∂u ⎤⎥ + Fz ;
+v
=−
+
⎢
∂z
∂r
∂r ⎦ ∂z ⎣
∂z ⎦
ρ ∂z r ∂r ⎣
r: u
∂v
∂v
∂v ⎤
∂ ⎡
∂v ⎤
v
1 ∂p 1 ∂ ⎡
(
)
(
)
(
)
+v
=−
+
+
−
+
+
+
+ Fr
r
ν
ν
ν
ν
ν
ν
t
t
t
2
∂z
∂r
∂r ⎥⎦
∂z ⎢⎣
∂z ⎥⎦
ρ ∂r r ∂r ⎢⎣
r
(3.45)
(3.46)
3) Conservação de Energia Térmica
u
∂T 1 ∂ ⎡
∂T
(α + α t )r ∂T
+v
=
⎢
∂z
∂r r ∂r ⎣
∂r
⎤ ∂ ⎡
∂T ⎤
⎥ + ∂z ⎢(α + α t ) ∂z ⎥
⎦
⎣
⎦
(3.47)
No caso de considerar o conceito de camada limite, pode-se definir a tensão e o
fluxo de calor aparentes como
τ ap = − μ
∂u
∂u
− ρν t
∂r
∂r
(3.48)
q ap = −k
∂T
∂T
− ρc pα t
∂r
∂r
(3.49)
86
O perfil de velocidade e a tensão aparente são ilustradas na Figura 3.2
Figura 3.2. Perfil de velocidade turbulento e tensão aparente.
No
caso
do
escoamento
turbulento
ser
completamente
desenvolvido
hidrodinâmica e termicamente tem-se
v =0
u = u (r )
p = p( z)
(3.50)
As equações de quantidade de movimento e energia ficam na forma simplificada
1 dp 1 ∂ (rτ ap )
−
ρ dz ρr ∂r
0=−
u
[ ]
∂T
1 ∂
=
rq ap
∂z ρc p r ∂r
Integrando a Eq. (3.51) obtém-se
0=
∫
rw
0
∫
rw
dp
rdr + d (rτ ap )
dz
0
(3.51)
(3.52)
87
dp rw2
+ rwτ w = 0
dz 2
−
dp 2τ w
=
dz
rw
(3.53)
Substituindo a Eq. (3.53) em (3.51) e integrando até um r genérico resulta
τ ap
r
=
τ w rw
(3.54)
Bem próximo da parede, τ ap ≅ τ w e com as coordenadas de parede, u + = u / (τ w / ρ )
1/ 2
y+ =
y
ν
(τ w / ρ )1 / 2
,
resulta
⎧ y + se ν >> ν t
⎪
u+ = ⎨1
+
⎪ ln( y ) + B se vt >> ν
⎩k
(3.55)
ou
( )
u + = 8,7 y +
1/ 7
(3.56)
Para calcular o fator de atrito e a queda de pressão no tubo, pode-se, por
exemplo, integrar a Eq. (3.56). A velocidade média no, caso será
U=
1
πrw2
2π
∫ ∫
rw
dθ u rdr
0
(3.57)
0
A velocidade no centro do tubo ( r = 0 ) é u = u c . Assim obtém-se
uc
(τ w / ρ )1 / 2
⎡r
= 8,7 ⎢ w
⎢⎣ ν
⎛τ w ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ρ ⎠
1/ 2
⎤
⎥
⎥⎦
1/ 7
(3.58)
88
Da definição do fator de atrito, f =
⎛τ w ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ρ ⎠
1/ 2
⎛f⎞
= U⎜ ⎟
⎝2⎠
τw
1
ρU 2
2
resulta
1/ 2
(3.59)
Combinando as Eqs. (3.58) e (3.59) pode-se mostrar que
f ≅
0,079
(Re D )
1/ 4
; 2 x10 3 < Re D < 2 x10 4
(3.60)
Existem na literatura várias correlações para cálculo do fator de atrito. Para
tubos lisos e altos números de Reynolds tem-se
f ≅
0,046
(Re D )
1/ 5
; 2 x10 4 < Re D < 2 x10 6
(3.61)
A correlação de Karman-Nikuradse é do tipo
1
f
1/ 2
= 1, 737 ln( f 1/ 2 Re D ) − 0,396
(3.62)
Para tubos rugosos e altos números de Reynolds tem-se
f =
1
⎡
⎤
⎛D⎞
⎢1,74 ln⎜⎜ ⎟⎟ + 2,28⎥
⎝ ks ⎠
⎣
⎦
2
na qual k s é a rugosidade da parede do tubo.
A eq. (3.52) também pode ser integrada resultando
(3.63)
89
2π
∫
r
ρc p u
0
∂T
rdr = 2πrq ap
∂z
(3.64)
Para r = rw , resulta
∫
rw
ρc p u
0
∂T
rdr = rw q ′w′
∂z
(3.65)
Combinando as Eqs. (3.64) e (3.65) resulta
q ap
q ′w′
=M
r
rw
(3.66)
em que
1
2
M = r
1
rw2
∂T
rdr
∂z
0
rw
∂T
u
rdr
∂z
0
∫
∫
r
u
Se q ′w′ é independente de z,
1
2
M = r
1
rw2
(3.67)
∂T
é independente de r, a Eq. (3.67) fica então na forma
∂z
∫ u rdr
∫ u rdr
r
0
rw
(3.68)
0
O perfil de velocidade u (r ) é quase plano, desta forma, M ≅ 1 , obtendo-se a
relação do calor aparente para o calor da parede
q ap
q ′w′
≅
r
rw
(3.69)
90
Para r ≤ rw , q ap = cte = q ′w′ . O coeficiente de troca de calor pode ser calculado pela
analogia entre transferência de quantidade de movimento e transferência de calor.
Sabe-se o número de Stanton e definido como
St =
h
1
= f / Pr 2 / 3 ; Pr ≥ 0,5
ρc pU 2
(3.70)
Para tubos lisos resulta a correlação para cálculo do coeficiente de transferência
de calor
Nu D =
hD
= 0,023 Re 4D/ 5 Pr 1 / 3 ; 2 x10 4 < Re D < 10 6
k
(3.71)
Uma correlação muito utilizada é a de Dittus-Boelter:
⎧2500 < Re D < 1,24 x10 5
⎪
⎪0,7 < Pr < 120
hD
⎪
Nu D =
= 0,023 Re 4D/ 5 Pr n ; ⎨ L / D > 60
k
⎪n = 0,4 se T > T
w
m
⎪
⎪⎩n = 0,3 se Tw < Tm
(3.72)
Na correlação de Dittus-Boelter, as propriedades são avaliadas a Tm . Para aplicações em
que a influência da temperatura sobre as propriedades é significante, Sieder & Tate
propuseram
0, 4
⎧Re D > 10 4
hD
4/5
1/ 3 ⎛ μ ⎞
⎟
⎜
Nu D =
= 0,027 Re D Pr ⎜
⎟ ; ⎨0,7 < Pr < 16700
k
⎝ μw ⎠
⎩
(3.73)
com as propriedades avaliadas a Tm , exceto μ w que é avaliada na temperatura de
parede Tw .
A correlação mais acurada é de Gnielinski (1976) na forma:
91
(
)
6
(
f / 2) Re D − 10 3 Pr
hD
⎪⎧2300 < Re D < 5 x10
=
; ⎨
Nu D =
1/ 2
k
⎪⎩0,5 < Pr < 10 6
1 + 12,7( f / 2) Pr 2 / 3 − 1
(
)
(3.74)
Na Eq. (3.74) o fator de atrito é obtido do Diagrama de Moody, Figura 3.3
Figura 3.3. Fator de atrito para escoamento laminar e turbulento completamente
desenvolvido em um tubo.
Outras correlações alternativas, propostas por Gnielinski, a Eq. (3.74) aparecem
na literatura, são elas:
⎧10 4 ≤ Re D ≤ 5 x10 6
hD
0 ,8
0, 4
= 0,0214 Re D − 100 Pr ; ⎨
Nu D =
k
⎩0,5 ≤ Pr ≤ 1,5
(
Nu D =
)
⎧3 x10 3 ≤ Re D ≤ 10 6
hD
= 0,012(Re 0D,8 − 280)Pr 0, 4 ; ⎨
k
⎩1,5 ≤ Pr ≤ 500
Para metais líquidos são recomendadas as correlações, Notter & Sleicher (1972):
(3.75)
(3.76)
92
0 ,85
0 , 93
hD ⎪⎧6,3 + 0,0167 Re D Pr ; (q ′w′ = cte ) ⎧0,004 < Pr < 01
; ⎨
Nu D =
=⎨
k
⎪⎩4,8 + 0,0156 Re 0D,85 Pr 0,93 ; (Tw = cte ) ⎩10 4 < Re D < 10 6
(3.77)
com as propriedades avaliadas a Tm .
3.5 Variação da temperatura média de mistura
A variação da temperatura média de mistura para parede isotérmica e fluxo e
fluxo de calor uniforme na parede é ilustrada na Figura 3.4
Figura 3.4. Variação da temperatura média de mistura: esquerda, Tw = cte ; direita,
q ′w′ =cte.
Para calcular as propriedades é recomendável fazer Tm = (Te + Ts ) / 2 , em que Te = Tm ,e
e Ts = Tm , s
Ex. 3.3 O tubo interno de um trocador de calor coaxial usado para extração de energia
geotérmica tem diâmetro de 16 cm. O material do tubo é aço comercial. Numa certa
localidade ao longo do tubo, a temperatura média da corrente de água é 80oC. O fluxo
de água é de 100 ton/h. Calcule a queda de pressão por unidade de comprimento.
3.6 Taxa total de transferência de calor
Bejan propõe calcular a taxa total de transferência de calor na forma:
93
q = hAw ΔTlm
(3.78)
Para escoamento turbulento completamente desenvolvido com parede isotérmica,
ΔT = Tw − Tm decresce exponencialmente na direção jusante, entre um certo valor na
entrada do tubo e o menor valor na saída do tubo. Se ΔTe = Tw − Te e ΔTs = Tw − Ts ,
ΔTlm está entre ΔTe e ΔTs . Também a taxa de calor pode ser calculada como
q = m c p (Ts − Te ) = m c p [(Tw − Te ) − (Tw − Ts )] = m c p (ΔTe − ΔTs )
(3.79)
O fluxo de calor na parede pode ser estimado como
q ′w′ = h(Tw − Tm )
como
(3.80)
dTm P q ′w′
=
, obtém-se
dz
A ρc pU
dTm
P h
=
dz
Tw − Tm A ρc pU
(3.81)
a qual integrada entre z = 0; (Tm = Te ) e z = L; (Tm = Ts ) resulta
⎛ T − Te ⎞
hPL
⎟⎟ =
ou
ln⎜⎜ w
⎝ Tw − Ts ⎠ ρUAc p
⎛ ΔT ⎞ hA
ln⎜⎜ e ⎟⎟ = w
⎝ ΔTs ⎠ m c p
(3.82)
Comparando as Eqs. (3.79) e (3.82) pode-se concluir que
ΔTlm =
ΔTe − ΔT
⎛ ΔT ⎞
ln⎜⎜ e ⎟⎟
⎝ ΔTs ⎠
(3.83)
94
que é denominada de diferença média logarítmica de temperatura. Alternativamente a
taxa total de transferência de calor pode ser calculada como
⎡
⎛ − hAw ⎞⎤
⎟⎥
q = m c p ΔTe ⎢1 − exp⎜
⎟
⎜
m
c
⎢⎣
p ⎠⎥
⎝
⎦
(3.84)
∫
Se o coeficiente h = h(z ) , então h = h( z )dz / L .
L
Pode-se verificar imediatamente que no caso de fluxo de calor uniforme na
parede:
ΔTlm = ΔTe = ΔTs
que é um caso especial da Eq. (3.83) quando
(3.85)
ΔTe
→ 1.
ΔTs
95
3.7 Experimento 01: Convecção Forçada em Dutos
O objetivo nesta primeira experiência é determinar o coeficiente de transferência
de calor por convecção forçada, h, o número de Reynolds e uma correlação para o
número de Nusselt, Nu = f (Re, Pr) , para escoamento no interior de dutos.
O aparato experimental consiste de um tubo com aquecimento por resistência
elétrica (efeito Joule) equipado com um medidor de vazão do tipo placa de orifício e
doze termopares: um para medir a temperatura na entrada do tubo, outro parta medir a
temperatura na saída do tubo e dez termopares para medir as temperaturas em dez
pontos na superfície do tubo. A resistência é enrolada em torno do tubo e o conjunto é
isolado termicamente do meio externo. O tubo possui um comprimento de 2002 mm e a
resistência elétrica possui comprimento de 1830 mm. Os diâmetros interno e externo do
tubo são 32 e 38 mm respectivamente. A razão entre as áreas do furo da placa de
orifício e área da seção transversal do tubo é Ad / Ast = 0, 45 . A Figura 3.5 ilustra o
aparato experimental.
Figura 3.5 – Aparato experimental para medida de h em escoamento de ar. (por mvtn)
No caso, a taxa de transferência de calor constante para ar escoando dentro do
tubo é dada por
q = E⋅I
(3.86)
96
Na qual E é a tensão elétrica e I a corrente passando pela resistência.
Consequentemente, o fluxo de calor será
q′′ =
E⋅I
π DL
(3.87)
Da definição do coeficiente de transferência de calor
h=
q′′
Tw, z − Tm , z
(3.88)
na qual Tw, z é a temperatura da parede na posição z e Tm, z pode ser obtida diretamente
da integração da equação (3.89)
dTm P q ′w′
=
dz
A ρc p U
(3.89)
resultando, no presente caso, de fluxo de calor constante, a equação
Tm, z = Tm,e +
Per qw′′
z
c p m
(3.90)
A vazão mássica de ar é determinada como m = ρ arUAst . Pelo uso da placa de
orifício, mede-se a diferença de pressão através da placa de orifício e determina-se a
velocidade no orifício, a partir da Equação de Bernoulli e de conservação da massa, por
ud =
2Δp
1
ρ ar
⎡1 − ( Ad / Ast )2 ⎤
⎣
⎦
=
1
2Δp
1− β 4
ρ ar
; β =d/D
(3.91)
A vazão mássica teórica é determinada como m t = ρ ar ud Ad , ou seja
m t = Ad
ρ ar
1− β
2Δp
4
ρ ar
=
Ad
1− β 4
2 ρ ar Δp
(3.92)
97
Pode-se demonstrar também que a diferença de pressão está relacionada com diferença
de coluna do fluido manométrico
Δp = p1 − p2 = g ρ agua ΔH
(3.93)
Para se calcular a vazão mássica real, multiplica-se a vazão mássica teórica pelo
coeficiente de descarga
m = Cd m t =
Cd Ad
1− β 4
2 ρ ar Δp = Cq Ad 2 ρ ar Δp
(3.94)
A velocidade média do escoamento será
U = Cq
Ad
Ast
2Δp
ρ ar
= Cq 0, 45
2 g ρ agua ΔH
(3.95)
ρ ar
O número de Reynolds do escoamento é calculado como
Re D =
ρ arUD ρ ar DCq 0, 45 2 g ρ agua ΔH
=
μ
μ
ρ ar
(3.96)
O coeficiente de vazão da placa de orifício é função do Reynolds, por sua vez o
número de Reynolds depende de Cq , desta foram o cálculo de Cq é feito de forma
iterativa, resolvendo a equação, por exemplo, pelo método de Newton-Raphson:
Re D −
ρ ar DCq ( Re D ) 0, 45 2 g ρ agua ΔH
=0
μ
ρ ar
(3.97)
Calculado o número de Reynolds, determina-se a vazão mássica por
m =
π Dμ Re D
(3.98)
4
Portanto, a sequência de cálculo e de medidas é:
1) Calcula-se Re D : Re D −
ρ ar DCq ( Re D ) 0, 45 2 g ρ agua ΔH
= 0 ; após medir ΔH e
μ
ρ ar
⎛ 60000 − Re ⎞
estimar o coeficiente de vazão: Cq ( Re ) = 0, 67522 + 0, 01164 exp ⎜
⎟
⎝ 30806,98 ⎠
2) Calcula-se m =
π Dμ Re D
4
3) Calcula-se a temperatura média de mistura Tm, z = Tm,e +
q′′ =
E⋅I
com E e I medidos
π DL
Per qw′′
z após calcular
c p m
98
4) Mede-se a temperatura Tw, z nas posições: z [m] = 0,06; 0,14; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0; 1,2;
1,4; 1,6 1,8
5) Calcula-se h: h =
q′′
Tw, z − Tm , z
6) Calcula-se o número de Nusselt local, para cada vazão medida: Nu, z =
hD
kar
N
7) Calcula-se o número de Nusselt médio, para cada vazão medida: Nu =
∑ Nu,
i =1
z
N
8) Obtenha uma correlação Nu = Nu ( Re Pr )
9) Compare o Nu experimental com o Nu da literatura.
Os dados medidos podem ser organizados numa tabela como a ilustrada a seguir
med E[V] I[A]
ΔH [m] T1
1
0,144
2
0,135
3
0,124
4
0,113
5
0,104
6
0,094
7
0,084
8
0,075
9
0,064
10
0,053
T2
T3
T4
A curva de calibração dos termopares é da forma
T ⎡⎣ o C ⎤⎦ = 22,819 E [ mV ] + 4, 229
T5
T6
T7
T8
T9
T10 T11 T12
99
3.8 Experimento 02: Trocador de Calor Duplo Tubo
O objetivo nesta experiência é calcular o coeficiente global de transferência de
calor U em um trocador de calor duplo tubo e verificar o princípio de conservação de
energia.
O experimento consiste em medir as temperaturas de entrada e de saída dos
fluidos quente e frio em um trocador de calor de tubos concêntricos, denominado
trocador duplo tubo. O fluido quente escoa no tubo interno e o fluido frio no tubo
externo, podendo o escoamento ser paralelo (mesmo sentido) ou em contra corrente
(sentidos opostos). O aparato experimental é ilustrado na Figura 3.6.
Figura 3.6 – Aparato experimental para medir o coeficiente global de transferência de
calor. (por mvtn)
As dimensões do trocador de calor são: L = 5,2m;
Di , q = 0, 0415m ;
De ,q = 0, 048m ; De, f = 0, 089m ; Di , f = 0, 079m
O cálculo do coeficiente global baseia-se na expressão
q = UAΔTlm
na qual a diferença média logarítmica de temperatura é estimada como
(3.99)
100
ΔTlm =
ΔT1 − ΔT2
ln ( ΔT1 / ΔT2 )
(3.100)
e
ΔT1 = Tq ,e − T f ,e ; ΔT2 = Tq , s − T f , s para o trocador de correntes paralelas;
ΔT1 = Tq ,e − T f , s ; ΔT2 = Tq , s − T f ,e para o trocador de correntes opostas.
Na expressão de cálculo de U, a taxa de calor pode ser estimada como
q=
q f + qq
2
na qual
q f = m f c p , f (T f , s − T f ,e ) ; qq = m q c p ,q (Tq ,e − Tq , s ) .
(3.101)
O coeficiente global pode ser baseado ou na área interna ou externa da parede
q = U i Ai ΔTlm = U e Ae ΔTlm
(3.102)
Desta forma
Ue =
q
; Ae = π De ,q L .
Ae ΔTlm
(3.103)
Pela literatura, U pode ser calculado na forma
Ue =
1
A ln ( De / Di ) 1
Ae
+ e
+
2π kw L
hi Ai
he
(3.104)
em que os coeficientes hi e he podem ser estimados pelas correlações de Petukov
(1970) ou Gnielinski (1976).
101
( f / 2 ) ( Re D − 103 ) Pr ⎪⎧0,5 ≤ Pr ≤ 106
; ⎨
Nu D =
1/ 2
1 + 12, 7 ( f / 2 ) ( Pr 2 / 3 − 1) ⎪⎩2300 ≤ Re D ≤ 5 x106
(3.105)
com f obtido do Diagrama de Moody. Duas correlações alternativas são:
⎧0,5 ≤ Pr ≤ 1,5
0,4
NuD = 0, 0214 ( Re0,8
; ⎨ 4
D − 100 ) Pr
6
⎩10 ≤ Re D ≤ 5 x10
(3.106)
⎧1,5 ≤ Pr ≤ 500
0,4
NuD = 0, 012 ( Re0,87
−
280
Pr
;
)
⎨
D
3
6
⎩3 x10 ≤ Re D ≤ 10
(3.107)
As medidas podem ser organizadas na forma
m q [l/h]
m f [l/h]
800
800
800
700
800
600
800
500
800
400
800
300
T f ,e [K]
T f , s [K]
Tq ,e [K]
Tq , s [K]