AULA 10 – REGRA DE TRÊS 1. Sabendo
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AULA 10 – REGRA DE TRÊS 1. Sabendo
AULA 10 – REGRA DE TRÊS 1. Sabendo-se que x + y + z = 18 e que x/2 = y/3 = z/4, calcule x. Se x/2 = y/3 = z/4, temos: x y z = = , como desejamos saber o valor de x, vamos isolar: 2 3 4 y em função de x: x y y x 3x = ⇒ = ⇒y= 2 3 3 2 2 z em função de x: x z z x 4x = ⇒ = ⇒z= ⇒ z = 2x 2 4 4 2 2 Agora que conhecemos y e z em função de x, vamos substituí-los em: x + y + z = 18 ⇒ x + 3x 2x 3 x 4 x 36 + 2x = 18 ⇒ + + = ⇒ 2 2 2 2 2 2x + 3x + 4x = 36 ⇒ 9x = 36 ⇒ x = 4 FIM!!! 2. Três números são proporcionais a 1, 3 e 5. Calcule sua soma, sabendo-se que o seu produto é igual a 960. Vamos por partes... PRIMEIRA ETAPA: Três números são proporcionais a 1, 3 e 5. Sendo assim, vamos chamar de x, x y y z z e , ou seja, x, e . Como são y e z e montar as proporções: , 1 3 3 5 5 y z proporcionais, temos: x = = 3 5 Observação: perceba que esse exercício começa a ser parecido com o exercício 1. SEGUNDA ETAPA: Calcule sua soma. Por enquanto, essa parte não é possível resolver. Vamos deixar para depois. TERCEIRA ETAPA: Como o exercício anterior, temos nesse exercício: x= y z = , como desejamos saber o valor de x, vamos isolar: 3 5 y em função de x: x = y ⇒ y = 3x 3 z em função de x: x = z ⇒ z = 5x 5 QUARTA ETAPA: Do enunciado: “Sabendo-se que o seu produto é igual a 960”. Agora que conhecemos y e z em função de x, vamos substituí-los em: x.y.z = 960 ⇒ x.3 x.5 x = 960 ⇒ 15 x 3 = 960 ⇒ x 3 = 960 ⇒ x 3 = 64 ⇒ x = 3 64 ⇒ 15 x = 3 4 . 4 .4 ⇒ x = 3 4 3 ⇒ x = 4 QUINTA ETAPA: Uma vez determinado x, vamos encontrar y e z. Sabemos que: y = 3x, assim com x = 4, temos: y = 3.4 ⇒ y = 12 z = 5x, assim com x = 4, temos: z = 5.4 ⇒ z = 20 SEXTA ETAPA: Voltando a segunda etapa: Calcule sua soma. Vamos somar x, y e z. Assim: x + y + z = 4 + 12 + 20 = 36 FIM!!! 3. Humberto, Aline e Junior possuem uma livraria cujo investimento foi de 9 mil reais. Humberto entrou com 2 mil reais, Aline com 3 mil reais e Nilson com 4 mil reais. O lucro da livraria é dividido em partes proporcionais ao investimento de cada um deles. O lucro do mês de maio foi de 1.800 reais. Calcule quanto cada um vai receber nesse mês. Novamente outro exercício semelhante ao exercício 1, porém que exige interpretação e transcodificação para linguagem matemática. Assim, temos que: Humberto = x Aline = y Humberto R$ 2.000,00 Aline R$ 3.000,00 Junior = z Nilson R$ 4.000,00 Vamos resolver diferente, onde essa maneira pode ser resolvida no exercício anterior. Vamos somar o total que todos aplicaram: x + y + z = 2000 + 3000 + 4000 = 9000 Agora vamos ver a proporção do lucro de 1800 sobre 9000 ⇒ 1800 1 = 9000 5 Assim, temos a proporção de um quinto para cada pessoa (chamado de consciente de proporção), na qual: Humberto = x = 2000. Aline = y = 3000. 1 2000 = = 400 reais 5 5 1 3000 = = 600 reais 5 5 Júnior = z = 4000. 1 4000 = = 800 reais 5 5 FIM!!! PROVA REAL (Não precisa fazer) Se o lucro foi de R$ 1.800,00, Humberto entrou R$ 400,00, Aline entrou com R$ 600,00 e Júnior com R$ 800,00 temos que: 400 + 600 + 800 = 1800 Acertamos!!! 4. Divida 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6. Dica: faça esse exercício comparando com o terceiro exercício! Vamos lá... Inversamente proporcional de 3, 4 e 6 é o mesmo que: Vamos somar 1 1 1 , e 3 4 6 1 1 1 , e , assim temos: 3 4 6 3 2 9 1 1 1 4 + + = + + = 3 4 6 12 12 12 12 Não se assuste! Como o exercício 3, nós somamos, porém aqui está em 9 fração. Temos como consciente de proporção o 12 Agora vamos ver a proporção de 45 sobre 9 12 540 45 ⇒ = 45. = = 60 9 12 9 9 12 Assim, temos como consciente de proporção o 60. 1 1 1 e , e o consciente de proporção 60, 6 3 4 podemos determinar para cada número a sua divisão proporcional. Assim: Como temos as proporções 60 1 .60 = = 20 3 3 60 1 .60 = = 15 4 4 60 1 .60 = = 10 6 6 FIM!!! 5. Uma lavoura de grãos com 100 km2 de área plantada fornece uma produção de 5 toneladas por hectare. Sabe-se que as máquinas usadas colheram 2.000 toneladas por dia. Qual o tempo gasto para se fazer a colheita dessa lavoura? Nesse exercício será necessário converter quilômetro quadrado em hectare. Não vamos entrar no detalhe da conversão, pois geralmente esse tipo de valor é dado em exercício ou adquirido em diversas calculadoras na internet que realizam conversões de uniddades. Por exemplo, visite: http://www.calculoexato.com.br/parprima.aspx?codMenu=ConvArea Assim sendo, dado que 1 km2 = 100 hectares, vamos resolver esse exercício. Se 1 km2 está para 100 hectares, então 100 km2 estará para x. Assim, pela regra de três simples, temos que: x = 100 . 100 ⇒ x = 10 000 hectares Como cada hectare proporciona 5 toneladas, então 10 000 hectares proporcionará 50 000 toneladas por hectare, pois 5 toneladas x 10 000 hectares é igual a 50 000 toneladas. Como as máquinas colhem 20 000 toneladas por dia, e temos a quantidade total de toneladas por hectare, sendo 50 000, temos que: Tempo = 50000 toneladas 50000 toneladas ⇒ Tempo = ⇒ toneladas 2000 toneladas 2000 dia dia Tempo = 50000 dia 50 ⇒ Tempo = toneladas. dia ⇒ Tempo = 25 dias 2000 toneladas 2 FIM!!! 6. Um trem, com velocidade de 48 km/h, gasta 1 hora e 20 minutos para percorrer certa distância. Para fazer o mesmo percurso a 60 km/h, quanto tempo o trem gastaria? Perceba que temos a unidade km/h e 1h 20min. Temos que transformar 20min em horas para que todas as unidades sejam idênticas. Pela regra três: se 1 hora vale 60 minutos, então Quantas horas (x) valerá 20 minutos 1 20 ⇒ x = hora. 3 60 De fato, 20 minutos equivale a um terço da hora. 20min + 20min +20min = 60min = 1h Assim: 60x = 1 . 20 ⇒ 60x = 20 ⇒ x = Obs.: Daqui por diante, se desejar, pode utilizar decimal, onde x = 0,333... Assim, 1 hora mais 1 1 3 1 4 de hora = 1 + = + = , ou 1,333... 3 3 3 3 3 Voltando ao exercício, utilizando a fração... Um trem, com velocidade de 48 km/h, gasta 1 hora e 20 minutos para percorrer certa distância. Para fazer o mesmo percurso a 60 km/h, quanto tempo o trem gastaria? Pela regra de três simples e inversamente proporcional, pois: quanto maior minha velocidade, menor será meu tempo, temos: Velocidade (km/h) 48 60 Tempo (horas) 4 3 t Invertendo uma das duas grandezas, pois é inversamente proporcional: Velocidade (km/h) 60 48 Tempo (horas) 4 3 t Assim: 60t = 48 . 4 64 192 ⇒ 60t = 64 ⇒ t = ⇒ t = 1,0666... ⇒ 60t = 3 60 3 t = 1,0666... não significa 1h6min!!! Vamos converter 0,0666... em minutos, pois temos 1hora + 0,0666... hora Se 1 hora vale 60 minutos, então 0,0666... hora vale z minutos. Assim, temos: 1z = 0,0666. 60 ⇒ z = 3,999... ou seja, z = 4 minutos Resposta: Tempo de 1 hora e 04 minutos FIM!!! 7. Numa fábrica, 12 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 864 caixas de papelão. Quantas caixas serão feitas por 15 operários que trabalham 10 horas por dia? As grandezas são: operários, horas e caixas. Assim, temos uma regra de três composta, sendo estruturada da seguinte forma: Operários Horas Caixa 12 8 864 15 10 x Fixando a grandeza que possui a incógnita, vamos realizar as perguntas para saber se temos diretamente ou inversamente proporcional. Quanto mais horas trabalhar, mais caixas serão produzidas. Diretamente proporcional. Assim: Operários Horas Caixa 12 8 864 15 10 x Agora a relação entre caixa e operários: Quanto mais operários, mais caixas serão produzidas. Diretamente proporcional. Assim: Operários Horas Caixa 12 8 864 15 10 x Dessa forma, não será necessário inverter as proporções, podendo ser colocado na estrutura operatória, na qual a proporção com a incógnita será posta antes do sinal de igual e as demais proporções serão multiplicadas, após o sinal de igual. Veja: 864 12 8 864 96 = . ⇒ = ⇒ 96 x = 864.150 ⇒ x 15 10 x 150 96 x = 129600 ⇒ x = 129600 ⇒ x = 1350 96 Assim, serão feitas 1350 caixas. 8. Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para fazer um trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para executar o mesmo serviço se trabalharem 20 horas por dia, durante 12 dias? Grandezas: máquinas, horas por dia e dias Máquinas Horas por dia Dias 20 16 6 x 20 12 Quanto mais máquinas, menos horas por dia serão necessários. Inversamente proporcional. Assim: Máquinas Horas por dia Dias 20 16 6 x 20 12 Agora a relação entre máquinas e dias: Quanto mais máquinas, menos dias serão necessários. Inversamente proporcional. Assim: Máquinas Horas por dia Dias 20 16 6 x 20 12 Vamos converter as proporções inversas para diretas, invertendo as proporções horas por dia e dias e mantendo máquinas. Poderia ser a inversão de máquina, desde que não invertesse horas por dia e dias. Máquinas Horas por dia Dias 20 20 12 x 16 6 Estruturando: 20 20 12 20 240 . = ⇒ = ⇒ 240 x = 20.96 ⇒ x 16 6 x 96 240 x = 1920 ⇒ x = 1920 ⇒x=8 240 Assim, serão necessárias 8 máquinas. FIM!!! 9. Numa indústria têxtil, 8 alfaiates fazem 360 camisas em 3 dias. Quantos alfaiates serão necessários para que sejam feitas 1.080 camisas em 12 dias? Grandezas: alfaiates, camisas e dias Alfaiates Camisas Dias 8 360 3 x 1080 12 Quanto mais alfaiates, mais camisas serão produzidas. Diretamente proporcional. Assim: Alfaiates Camisas Dias 8 360 3 x 1080 12 Agora a relação entre alfaiates e dias: Quanto mais alfaiates, menos dias serão necessários. Inversamente proporcional. Assim: Alfaiates Camisas Dias 8 360 3 x 1080 12 Vamos converter as proporções inversas para diretas. Alfaiates Camisas Dias 8 360 12 x 1080 3 Estruturando: 8 360 12 8 4320 = . ⇒ = ⇒ 4320 x = 8.3240 ⇒ x 1080 3 x 3240 4320 x = 25920 ⇒ x = 25920 ⇒x=6 4320 Assim, serão necessários 6 alfaiates. FIM!!! 10. Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 m3? Ver a resolução na própria folha de questão. 11. Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? Ver a resolução na própria folha de questão.