Noções da estática clássica

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Noções da estática clássica
ESTÁTICA – DEC 3674
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2 Noções da estática clássica1
2.1 Princípios e conceitos fundamentais
Embora o estudo da Mecânica se tenha iniciado no tempo de Aristóteles (364-322 A. C.) e
Arquimedes (287-212 A. C.), ela teve que esperar até Newton (1642-1727) para encontrar
uma formulação satisfatória de seus princípios fundamentais e sua validade permaneceu
imutável até Einstein (1905). Apesar de suas limitações terem sido reconhecidas, a mecânica
newtoniana ainda permanece sendo a base das ciências atuais de Engenharia.
Mecânica pode ser definida como a ciência que descreve e prediz as condições de repouso ou
movimento de corpos sob a ação de forças. E dividida em três partes: mecânica dos corpos
rígidos, mecânica dos corpos deformáveis e mecânica dos fluidos.
A Mecânica dos corpos rígidos é subdividida em Estática e Dinâmica; a primeira se refere a
corpos em repouso e a segunda, a corpos em movimento. Neste curso, os corpos são
considerados perfeitamente rígidos (pequenas deformações não influenciam apreciavelmente
as condições de equilíbrio ou de movimento da estrutura considerada). A Resistência dos
Materiais é a parte da mecânica dos corpos deformáveis.
Os conceitos básicos usados na Mecânica são os de espaço, tempo, massa e força:
•
O conceito de espaço é associado à noção de posição de um ponto P. A posição de um
ponto pode ser definida por três comprimentos medidos a partir de um ponto de
referência, ou de origem, segundo três direções dadas. Esses comprimentos são
conhecidos como as coordenadas de P.
•
O tempo ou instante em que o evento ocorre, também deve ser dado. Para definir um
evento não é suficiente definir sua posição no espaço.
•
O conceito de massa é usado para caracterizar e comparar os corpos com base em
certas experiências mecânicas fundamentais. Dois corpos de mesma massa, por
exemplo, serão atraídos pela terra da mesma maneira; eles oferecerão também a mesma
resistência a uma variação do movimento de translação.
1
Mecânica vetorial para engenheiros - Ferdinand P. Beer e E. Russell Johnston, Jr.; McGraw-Hill, 1976
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•
A força representa a ação de um corpo sobre outro. Pode ser exercida por contato ou à
distância (caso de forças gravitacionais ou magnéticas). Uma força é representada por
um vetor e caracterizada pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido.
Na mecânica newtoniana, espaço, tempo e massa são conceitos absolutos, independentes um
do outro. Por outro lado a força resultante que atua sobre um corpo depende da massa do
corpo e da maneira como sua velocidade varia com o tempo.
Por partícula entendemos uma pequena porção da matéria que pode ser considerada como se
ocupasse um ponto no espaço. Um corpo rígido é uma combinação de um grande número de
partículas que ocupam posições fixas, relativamente uma à outra.
O estudo da mecânica elementar repousa em seis princípios fundamentais baseados na
demonstração experimental.
A Lei do Paralelogramo para a Adição de Forças. Estabelece que duas forças atuantes
sobre uma partícula possam ser substituídas por uma única força, chamada resultante, obtida
pela diagonal do paralelogramo cujos lados são iguais às forças dadas.
O Princípio da Transmissibilidade. Estabelece que as condições de equilíbrio ou de
movimento de um corpo rígido permanecerão inalteradas se uma força que atua num dado
ponto do corpo rígido é substituída por outra de mesma intensidade, direção e sentido, mas
atuante num ponto diferente, desde que as duas forças tenham a mesma linha de ação.
Primeira lei de Newton. Se a força resultante que atua sobre uma partícula é zero, a partícula
permanecerá em repouso (se estava originalmente em repouso) ou mover-se-á com velocidade
constante e em linha reta (se estava originalmente em movimento).
Segunda lei de Newton. Se a força resultante que atua sobre uma partícula não é zero, a
partícula terá uma aceleração proporcional à intensidade da resultante e na direção desta. Esta
lei pode ser expressa como F = ma, onde “F”, “m” e “a” representam respectivamente, a força
resultante que atua sobre a partícula, sua massa e sua aceleração.
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Terceira lei de Newton. As forças de ação e reação entre corpos em contato têm a mesma
intensidade, mesma linha de ação e sentidos opostos.
Lei da Gravitação de Newton. Enuncia que duas partículas de massas M e m são
mutuamente atraídas com forças iguais e opostas F e -F de intensidade F dada pela fórmula:
F =G
Mm
r2
onde r é a distância entre as partículas e G é a constante de gravitação.
Um caso particular de grande importância é o da atração da Terra sobre uma partícula
localizada na sua superfície. A força F exercida pela Terra sobre a partícula é então definida
como o peso P da partícula. Sendo M a massa da Terra, m a massa da partícula e r o raio R da
Terra, e introduzindo a constante g:
g=
GM
, a intensidade P do peso de uma partícula pode ser expressa como: P = mg
R2
Observa-se que o valor de g varia com a posição do ponto considerado. Depende da altura do
ponto considerado e também de sua latitude, pois a Terra não é esférica. Na maioria dos
cálculos de engenharia é suficientemente preciso supor g = 9,81 m/s2.
2.2 Sistema Internacional de Unidades
Histórico
Em 1948 a 9° Conferência Geral de pesos e Medidas (CGM) iniciou estudos para o
estabelecimento de um "Sistema pratico de Medidas a ser adotado por todos os países
signatários da Convenção do Metro". A 10° CGPM (1954) adotou como unidades de base
deste "Sistema Prático de Unidades" as unidades das seis grandezas seguintes:
comprimento
massa
tempo
intensidade de corrente elétrica
temperatura termodinâmica
intensidade luminosa
metro
quilograma
segundo
ampère
kelvin
candela
m
kg
s
A
K
cd
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A 11° CGPM (1960) adotou o nome "Sistema Internacional de Unidades" com abreviação
internacional "SI" e estabeleceu regras para os prefixos, para as unidades derivadas e as
unidades suplementares e a 14° CGPM (1969) introduziu a "Unidade de Quantidade de
Matéria como a sétima unidade de base do Sistema Internacional de Unidades.
quantidade de matéria
mol
mol
Unidades Derivadas
As unidades derivadas são constituídas, a partir das unidades de base, por expressões
algébricas. Muitas dentre essas unidades derivadas receberam nome especial e símbolo
particular, que podem ser utilizados por sua vez, para expressar outras unidades derivadas. A
seguir são apresentadas algumas das Unidades Derivadas mais comuns na engenharia civil.
Unidades Derivadas expressas a partir das Unidades de Base
superfície
volume
velocidade
aceleração
massa específica
metro quadrado
metro cúbico
metro por segundo
metro por segundo ao quadrado
quilograma por metro cúbico
m2
m3
m/s
m/s2
kg/m3
Unidades Derivadas possuidoras de nomes especiais
força
pressão
newton
pascal
N
Pa
m kg s-2
m-1 kg s-2
Unidades Derivadas expressas com emprego de nomes especiais
momento de uma força
tensão superficial
metro newton
newton / metro
N.m
N/m
m2 kg s-2
kg s-2
Unidades Suplementares
As unidades suplementares são aquelas que, a critério do usuário, podem ser consideradas
como unidades de base ou derivadas. Esta categoria comporta apenas duas unidades: a de
ângulo plano e a de ângulo sólido.
angulo plano
radiano
rad
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Múltiplos e submúltiplos decimais das unidades SI
1012
109
106
103
102
101
tera
giga
mega
quilo
hecto
deca
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
T
G
M
k
h
da
deci
centi
mili
micro
nano
pico
d
c
m
µ
n
p
Unidades não pertencentes ao Sistema Internacional
minuto
hora
dia
grau
minuto
segundo
litro
tonelada
min
h
d
°
'
"
A
t
(em uso com o Sistema Internacional)
1 min
= 60 s
1h
= 60 min
=
1d
= 24 h
=
= ( π/180 ) rad
1°
1'
= (1/60)°
=
1"
= (1/60)'
=
=
= 1 dm3
1A
1t
= 103 kg
3600 s
86400 s
( π/10800) rad
( π/648000 ) rad
10-3 m3
No Brasil o sistema de unidades MKS (metro, kilograma-força, segundo) foi reconhecido
como sistema oficial até a adoção do Sistema Internacional de Unidades SI. A principal
diferença entre estes sistemas se dá nas grandezas que empregam a unidade de medida Força.
•
MKS: denomina-se quilograma-força (kgf) ou quiloponde (kp) a força que produz, na
massa de um quilograma, a aceleração da gravidade (g = 9,8 m/s),
•
SI: denomina-se Newton (N) a força que produz, na massa de um quilograma, a
aceleração de 1,0 m/s.
Conversões
1 kgf (kp)
1N
= 9,8 N
= 0,102 kgf (kp)
1 Pa
1 Kgf/cm2
= 1 N/m2
= 0,102 MPa
=
1 MPa
1 MPa
1 MPa
1 MPa
1 MPa
= 1 N/mm2
0,1 KN/cm2
10,2 kgf/cm2
0,1 KN/cm2
= 1 MN/m2
Obs.: usualmente se trabalha com a aceleração da gravidade g = 10,0 m/s
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2.2.1 Precisão Numérica
A precisão do resultado de um problema depende de dois fatores: a precisão dos dados
fornecidos e a dos cálculos realizados. A precisão do resultado não pode superar a destes dois
fatores. Por exemplo, se a carga de uma ponte é de 750 kN com um possível erro de 1 kN, o
erro relativo que mede o grau de precisão do dado é 1 / 750 = 0,0013 = 0,13 %
Em problemas de engenharia, raramente os dados são conhecidos com uma precisão maior
que 0,2%. Portanto é desnecessário realizar os cálculos com precisão maior.
2.3 Noções de cálculo vetorial – Forças coplanares.
Uma força representa a ação de um corpo sobre outro. Ela é caracterizada por seu ponto de
aplicação, sua intensidade, direção e sentido. A intensidade de uma força é dada por um
número (em N ou kN), a sua direção é definida pela reta ao longo
da qual a força atua e caracterizada pelo ângulo que forma com
algum eixo fixo e, finalmente, o sentido da força é indicado por
10 kN
A
30º
uma seta.
Os vetores são definidos como entes matemáticos que possuem intensidade, direção e sentido.
Um vetor usado para representar uma força que atua em uma dada partícula tem bem definido
o seu ponto de aplicação e, esse vetor é dito fixo e não pode ser deslocado sem modificar as
condições do problema. Independentemente de terem ou não o mesmo ponto de aplicação,
dois vetores de mesma intensidade, direção e sentido são ditos iguais e, podem ser indicados
pela mesma letra.
As forças, como vetores, se adicionam de acordo com a lei do paralelogramo. Outras
entidades também seguem a lei de adição do paralelogramo: os deslocamentos, as
velocidades, as acelerações e os momentos, são outros exemplos de quantidades físicas que
possuem intensidade e direção e que são adicionadas de acordo com a lei do paralelogramo.
Todas estas grandezas podem ser representadas matematicamente por vetores, enquanto
aquelas que não possuem direção, tais como volume, massa ou energia, são representadas por
números ordinários ou escalares.
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Lei do paralelogramo para a adição de duas forças
Duas forças P e Q, atuantes sobre uma partícula A podem ser substituídas por uma única força
R que tem o mesmo efeito sobre a partícula. Esta força é chamada de resultante das forças P e
Q e pode ser obtida pela construção de um paralelogramo, usando P e Q como lados do
paralelogramo. A diagonal que passa por A representa a resultante.
F1
F1
A
R
R
A
F2
A
F2
Como o paralelogramo construído com os vetores P e Q não depende da ordem segundo a
qual P e Q são tomados, concluímos que a adição de dois vetores é comutativa e escrevemos:
PQ = QP
Da lei do paralelogramo, tem-se um método conhecido como a regra do triângulo: como o
lado do paralelogramo oposto a Q é igual a Q em magnitude e direção, pode-se desenhar
apenas a metade do paralelogramo. A soma dos dois vetores pode ser então determinada pelo
reposicionamento de P e Q, de modo que a origem de um vetor esteja sobre a extremidade do
outro, e unindo a origem de P com a extremidade de Q, ou seja, a adição vetorial é comutativa
A
B
B
R
Regra do triângulo
R
A
O vetor negativo de um dado vetor P é definido como sendo um vetor que tem a mesma
intensidade e direção de P e sentido oposto ao de P. O vetor negativo de P é representado por
-P. Os vetores P e -P são comumente referidos como vetores iguais e opostos.
A subtração de um vetor é definida como a adição do correspondente vetor negativo. Então, o
vetor P - Q, que representa a diferença entre os vetores P e Q é obtida pela adição do vetor P
ao vetor -Q. Escrevemos
A soma de três vetores P, Q e S será, por definição, obtida pela adição inicial dos vetores P e
Q e adicionando o vetor S ao vetor P+Q. Analogamente, a soma de quatro vetores será obtida
pela adição do quarto vetor à soma dos três primeiros. Este raciocínio é válido para a soma de
n vetores.
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A soma de n vetores pode ser feita pelo método da regra do triângulo, fazendo com que a
origem de um vetor coincida com a extremidade do anterior e unindo a origem do primeiro
vetor com a extremidade do último. Isso é conhecido como a regra do polígono para a adição
dos vetores.
A
B
C
Regra do polígono
R
D
E
R=A+B+C+D+E+F
F
Fundamentos de trigonometria
c
B
Dado um triângulo de lados A, B e C
A
b
Lei dos senos:
A
B
C
=
=
sen a sen b sen c
Lei dos co-senos:
C = A2 + B 2 − 2. A.B.cos c
cos a =
B 2 + C 2 − A2
2.B.C
C
a
A = B.cos c + C.cos b
Exemplo 01. Determinar a resultante do sistema de forças.
F2
10º
10º
A
F1 = 150 N
F2 = 100 N
F1
R
θ
F1
15º
15º
β
R
α
F2
10º
γ
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Lei dos co-senos:
10º F1
65º
15º F2
∴
C = A2 + B 2 − 2. A.B.cos c
R = 1002 + 1502 − 2.100.150.cos115º
θ = 15+90+10=115º
Lei dos senos:
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R = 205,607 N
A
B
=
sen a sen b
R
F1
sen 115º.F1 0,90631× 150
=
→ sen β =
=
= 0,90631 β = 39,76º
sen 115º sen β
R
212,55
γ = β + 15º = 54,76º ∴
A força resultante é de 205,61 N, 54,76º com a horizontal.
Exemplo 02.
y
y'
F = 200 N
Decompor a força de 200 N em componentes nas direções dos eixos
ortogonais xy e x’y’ e nas direções x’ e y.
40º
A
30º
x
x'
y'
F = 200 N
y
F = 200 N
β
Fy'
Fy
40º
A
40º
Fx
Eixo
xy
x
Fx'
30º
a)
α
x'
30º
Eixo x’y’
α = 30º
b)
β = 20º
Eixo xy
Eixo x’y’
cos 40º = Fx / F ∴ Fx = 153,21 N
cos 70º = Fx’ / F ∴ Fx = 187,94 N
cos 50º = Fx / F ∴ Fx = 128,56 N
cos 20º = Fx’ / F ∴ Fx = 68,40 N
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Eixos y e x’
y
60º
60º
Fx’
70º
Fy
70º
50º
F = 200
50º
40º
30º
60º
30º
Lei dos senos:
A
B
C
=
=
sen a sen b sen c
x'
Fx '
200
sen 50
=
∴ Fx ' = 200
= 176,91 N
sen 50 sen 60
sen 60
Fy
200
sen 70
=
∴ Fy = 200
= 217,01 N
sen 70 sen 60
sen 60
Exemplo 03. Decompor a força F de 500 N em duas componentes nas direções das barras AB
e AC de modo que a componente na direção AC fique dirigida
B
de A para C e tenha módulo de 400 N. Determinar o ângulo θ.
30º
AC = 400 N
60º
θ
30º
A
C
60º
θ
F = 500 N
Lei dos senos:
120-θ
F = 500 N
500
400
400
=
∴ sen (120-θ ) =
sen 60º
sen 60º sen (120-θ )
500
sen (120-θ) = 0,866 x 0,8 = 0,68928
→
120-θ = 43,85 →
θ = 76,15º
Exemplo 04.
o suporte da figura abaixo está submetido a duas forças F1 e F2.
A
Considerando que a resultante deve ser vertical e de módulo FR =
θ
1000 N, Determinar:
20º
a) os módulos de F1 e F2 quando θ = 30º;
b) os módulos de F1 e F2 quando F2 é mínimo.
F2
F1
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a)
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b)
F2
F2
30º 20º F1
70º
20º
F1
FR = 1000 N
F1 = 652,7 N e F2 = 446,5 N
FR = 1000 N
F1 = 342 N e F2 = 939,7 N
A menor distância do ponto A ao lado do
paralelogramo é quando F1 e F2 são
perpendiculares
2.4 Equilíbrio de uma Partícula
Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre uma partícula é zero, esta partícula
está em equilíbrio. Uma partícula submetida à ação de duas forças
F1
= 100 N
A
estará em equilíbrio quando essas duas forças tiverem a mesma
intensidade a mesma linha de ação e sentidos opostos, pois, neste
F2
= 100 N
caso, a resultante das duas forças é zero.
Determine a intensidade de T3 e sua direção para que o sistema
esteja em equilíbrio.
T2
T3
150 N
T1
60 N
60º
A
θ
F = 250 N
T1
30º
T2
Observe o polígono das forças a esquerda.
F
T3
θ
Para a condição de equilíbrio, o polígono de forças precisa ser fechado, i.é:
Primeira Lei do Movimento de Newton.
Se a força resultante que atua sobre uma partícula é zero, esta partícula permanece em
repouso (se estava originalmente em repouso) ou se move ao longo de uma reta com
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velocidade constante (se originalmente, estava em movimento). Desta lei e da definição de
equilíbrio conclui-se que uma partícula em equilíbrio está em repouso ou movimenta-se sobre
uma reta com velocidade constante.
Quando efeito global das forças sobre uma partícula é zero a partícula é dita em equilíbrio.
O polígono fechado é uma expressão gráfica do equilíbrio de A. Para exprimir algebricamente
as condições de equilíbrio de uma partícula, escrevemos
R = ΣF = 0
Decompondo cada força F em componentes retangulares, temos
Σ ( Fx i + Fy i ) = 0
ou
Σ ( Fx ) i + Σ ( Fy ) j = 0
Concluindo-se que a condição necessária e suficiente para o equilíbrio de uma partícula é:
ΣFx = 0 e ΣFy = 0
Solução:
1) ΣFx = 0
T 3 . cos θ = T 2 . cos 60º +T 1
2) ΣFy = 0
F = T 3 . sen θ + T 2 . sen 60º e dividindo a segunda pela primeira
tg θ =
F − T 2 . sen 60º
= 0,8896
T 2 . cos 60º +T 1
θ = 41, 656º
e
T 3 = 180, 688 N
2.4.1 Diagrama de corpo livre.
Um grande número de problemas que envolvem estruturas reais pode ser reduzido, no
entanto, a problemas referentes ao equilíbrio de uma partícula. Isto é feito escolhendo-se uma
partícula conveniente e esquematizando-se em um diagrama separado, todas as forças que
sobre ela são exercidas. Tal diagrama é chamado diagrama de corpo livre.
Como exemplo, consideremos que um caixote entre dois prédios, pesando 70 N, está sendo
colocado sobre um caminhão, que o removerá. O caixote é sustentado por um cabo vertical
ligado a duas cordas que passam por polias fixadas nos prédios. Qual a força de tração em
cada uma das cordas AB e AC.
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B
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50º
a)
b)
C
50º
A
c)
d)
50º
TAB
TAB
TAC
30º
RAB
RAC
50º
30º
A
70 N
30º
TAC
30º
Para resolver este problema, é necessário o traçado de um diagrama de corpo livre, que mostre
a partícula em equilíbrio e, neste caso o ponto A é adequado para servir como corpo livre para
este problema e o diagrama de corpo livre é mostrado na figura b).
Na figura c) mostra-se a os segmentos de reta RAB e RAC construídos, respectivamente, a
partir do final e da origem do vetor da força. A intersecção dos dois segmentos de reta define
a construção do polígono de forças (figura d) fechado, ou seja, em equilíbrio.
TAC
70
TAB
=
=
sen 60º sen 40º sen 80º
Solução pela Lei dos senos:
TAB = 70 x sen 60º/sen 80º = 61,56 N
TAC = 70 x sen 40º/sen 80º = 45,69 N
Solução algébrica:
ΣFx = 0
⇒
TAB cos 50º = TAC cos 30º
ΣFy = 0
⇒
TAB sen 50º + TAC sen 30º = 70
TAC = 45,689 N
e
⇒
TAB = TAC
⇒
cos 30º
= 1,3473 TAC
cos 50º
1,3473 TAC . 0,766 + TAC 0,5 = 70
TAB = 1,3473 TAC = 61,557 N
Exercício 01 - Numa operação de descarga de navio, um automóvel de 1750 kgf é suportado
por um cabo. Uma corda é amarrada ao cabo em A e puxada a fim de que o automóvel seja
centralizado na posição desejada. O ângulo entre o cabo e a vertical é de 2°, enquanto o
ângulo entre a corda e a horizontal é de 30°. Qual é a tração nesta corda?
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Exercício 02 - Determinar a intensidade, a direção e sentido da menor força F que manterá a
caixa em equilíbrio. Observar que a força exercida pelos roletes sobre a caixa é perpendicular
ao plano inclinado.
Exercício 03 - Um pequeno barco está ancorado por três cordas amarradas a pilastras às
margens do rio. A corrente exerce uma força de arrasto sobre o barco no sentido da jusante.
As trações nas cordas A e B são medidas e encontrados os valores A = 120 kgf e B = 80 kgf.
Determinar a intensidade da força exercida pela corrente e a tração na corda C.
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Exercício 04 - Um parafuso é utilizado para escorar três cabos de sustentação como está
indicado. É dada a tensão em cada cabo. Determinar a intensidade, direção e sentido da força
exercida pela fundação sobre o parafuso.
Exercício 05 - Duas forças P = 1000 kgf e Q = 1200 kgf são
aplicadas a esta conexão de avião. Sabendo que a conexão
está em equilíbrio, determinar os esforços T1 e T2.
Exercício 06 - Duas forças P e Q são aplicadas à conexão do
avião. Em certo instante, quando a conexão está em equilíbrio,
é medido que T1 = 560 kgf e T2 = 120 kgf. Determinar os
valores correspondentes de P e Q,
Exercício 07 - Uma partícula A está em equilíbrio sob a ação
das quatro forças indicadas. Determinar a intensidade, direção
e sentido de Q.
Exercício 08 - Uma caixa de 600 kgf é suportada por vários
arranjos de corda e roldanas, como mostra a figura.
Determinar, para cada arranjo, a tensão na corda. (A tensão na corda é a mesma em cada lado
da roldana).
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Exercício 09 - Resolver as partes b e d deste exercício supondo que a extremidade da corda
está fixada à caixa.
Exercício 10 - Um caixote de 750 kgf é levantado
por um cabo de guindaste CD. Uma alça A CB de
1,5 m de comprimento é afixada ao caixote de cada
uma das maneiras mostradas. Determinar a tensão
na alça em cada caso.
Exercício 11 - Uma arca móvel e seu conteúdo pesam 370
kgf. Determinar a menor braçadeira ACB que pode ser usada
para erguer a arca carregada, se a tensão na braçadeira não
pode exceder a 450 kgf.
2.5 Equilíbrio de corpos rígidos
Um corpo rígido é composto por inúmeras partículas, assim, estará em equilíbrio quando
todas suas partículas estiverem. Em outras palavras, um corpo rígido sob a ação de uma ou
mais forças, estará em equilíbrio quando as forças externas atuantes sobre ele formam um
sistema de forças equivalentes a zero, isto é, quando as forças externas podem ser reduzidas a
uma força nula e um conjugado nulo. As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio
de um corpo rígido são:
Σ Fx = 0,
Σ Fy = 0 e
Σ M(i) = 0
Observe que em um corpo rígido em duas dimensões as forças, as reações dos apoios e as
conexões da uma Estrutura estão contidas no plano da figura.
Quando o sentido de uma força ou de um conjugado desconhecido não é previsível, devemos
tomá-lo arbitrariamente; o sinal da resposta obtida indicará, então, se o sentido adotado é
correto ou não.
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Exemplo 01 - Para a viga abaixo, traçar o diagrama de corpo livre e determinar as reações de
apoio sabendo-se que a viga tem uma massa de 17 N por metro linear.
400 N
P1
P2
HA
MA
A
VA
6,0 m
B
2,0 m
3,0 m
B
P1 = 400 . 6 . 1/2 = 1200 N
aplicada no centro do triângulo = 1/3 da base
P2 = pv . 6 = (17 . 10) . 6 = 1020 N
aplicada no centro da viga
Σ Fx = 0
(não tem forças horizontais aplicadas)
Σ Fy = 0
P1 + P2 = VA
Σ M(A) = 0
P1 . 2,0 + P2 . 3,0 = M(A)
HA = 0
VA = 1200 + 1020 = 2220 N
M(A) = 2400 + 3060 = 5460 N.m
Veja que Σ M(i) = 0, ou seja, a somatória de momentos em qualquer ponto é nula.
Exemplo 02 – Determinar as reações de apoio da viga representada pela figura abaixo,
desprezando o peso próprio da viga no cálculo.
F2 = 100 N
40º
C
A
2,0 m
D
3,0 m
F2
F1 sen 40º
F1 = 600 N
RHA F1 cos 40º
B
D
C
RVB
RVA
2,0 m
Solução:
Σ Fx = 0
RHA + F1 cos 40º = 0
Σ Fy = 0
RVA + RVB = F1 sem 40º + F2
Σ M(A) = 0
F1 . sen 40º . 2,0 + F2 . 5,0 = RVB . 7,0
RHA + 459,63 = 0
→
RHA = - 459,63 N
RVB = - RVA + 385,67 + 100
RVB = (385,67 . 2 + 100 . 5) / 7
RVB = 181,62 N
ESTÁTICA – DEC 3674
26
RVA = - RVB + 385,67 + 100 →
RVA = 304,05 N
Veja que foi obtido um valor negativo para RHA, ou seja, sentido contrário ao disposto.
Exemplo 03 – Determinar as reações de apoio da estrutura representada pela figura abaixo.
F1 = 700 N
1,0 m
F1 = 700 N
1,0 m
F2 = 800 N
2,0 m
2,0 m
F2 = 800 N
RHA
A
0,25 m
RVA
A
0,25 m
B
RVB
B
Σ Fx = 0
RHA + F2 = 0
RHA + 800,0 = 0
RHA = - 800,0 N
Σ Fy = 0
RVA + RVB = 700,0
→
RVB = - RVA + 700
Σ M(A) = 0
RVB . 1,0 - F2 . 2,0 = 0.
→
RVB = (800 . 2)
RVB = 1600,0 N
RVA = 700 - RVB
→
RVA = - 900,0 N
Veja que foram obtidos valores negativos para RHA e RVA, ou seja, sentidos contrários ao
disposto.

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