Phi-Bonacci
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Phi-Bonacci
Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Phi-Bonacci Prof.Carlos A. Gomes Departamento de Matemática,CCET - UFRN [email protected] Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro ϕ. Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro ϕ. Leonardo de Pisa (Fibonacci). Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro ϕ. Leonardo de Pisa (Fibonacci). A sequência de Fibonacci Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro ϕ. Leonardo de Pisa (Fibonacci). A sequência de Fibonacci ϕ−Bonacci. Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro ϕ. Leonardo de Pisa (Fibonacci). A sequência de Fibonacci ϕ−Bonacci. ϕ−Bonacci e a natureza. Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro ϕ. Leonardo de Pisa (Fibonacci). A sequência de Fibonacci ϕ−Bonacci. ϕ−Bonacci e a natureza. Belos problemas e resultados interessantes · · · Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro ϕ. Leonardo de Pisa (Fibonacci). A sequência de Fibonacci ϕ−Bonacci. ϕ−Bonacci e a natureza. Belos problemas e resultados interessantes · · · Tendo lecionado Matemática e Física a estudantes de nível universitário durante trianta anos, acho-me ainda diante da dificuldade didática com que me defrontei quando comecei a lecionar, qual seja, como introduzir nas mentes adolescentes o melhor e talvez o único motivo permanente para se estudar Matemática, que em minha opinião, é o motivo estético. (H. E. Huntley - A Divina Proporção - Um ensaio sobre a Beleza na Matemática). Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes “O matemático não estuda a Matemática pura porque ela seja útil; ele a estuda porque deleita-se com ela, e deleita-se com ela porque ela é bela (H. Poincaré)". Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes “O matemático não estuda a Matemática pura porque ela seja útil; ele a estuda porque deleita-se com ela, e deleita-se com ela porque ela é bela (H. Poincaré)". “Nenhum matemático pode ser um matemático completo a menos que tenha também algo de Poeta"(K. Weirstrass). Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes 1 Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. 2 A sequência de Fibonacci 3 Belos problemas e resultados interessantes Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Divisão de um segmento em “média e extrema razão". Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Divisão de um segmento em “média e extrema razão". Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Divisão de um segmento em “média e extrema razão". x 1 = = ϕ (Razão áurea) 1−x x Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Divisão de um segmento em “média e extrema razão". x 1 = = ϕ (Razão áurea) 1−x x √ x 1 5−1 2 = ⇒x +x −1=0⇒x = 1−x x 2 Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Divisão de um segmento em “média e extrema razão". x 1 = = ϕ (Razão áurea) 1−x x √ x 1 5−1 2 = ⇒x +x −1=0⇒x = 1−x x 2 √ 5−1 x= (Número de ouro da geometria clássica) 2 Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Qual o valor de ϕ? ϕ2 = 1 x 1 1−x +x x = = =1+ =1+ϕ x 1−x 1−x 1−x 1−x Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Qual o valor de ϕ? ϕ2 = 1 x 1 1−x +x x = = =1+ =1+ϕ x 1−x 1−x 1−x 1−x √ ϕ −ϕ−1=0⇒ϕ= 2 Prof.Carlos A. Gomes 5+1 (Razão áurea) 2 Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Qual o valor de ϕ? ϕ2 = 1 x 1 1−x +x x = = =1+ =1+ϕ x 1−x 1−x 1−x 1−x √ ϕ −ϕ−1=0⇒ϕ= 2 5+1 (Razão áurea) 2 Outras relações interessantes envolvendo o número ϕ. Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Qual o valor de ϕ? ϕ2 = 1 x 1 1−x +x x = = =1+ =1+ϕ x 1−x 1−x 1−x 1−x √ ϕ −ϕ−1=0⇒ϕ= 2 5+1 (Razão áurea) 2 Outras relações interessantes envolvendo o número ϕ. ϕ2 − ϕ = 1 ⇒ ϕ (ϕ − 1) = 1 ⇒ ϕ = 1 + Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci 1 ϕ Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Qual o valor de ϕ? ϕ2 = 1 x 1 1−x +x x = = =1+ =1+ϕ x 1−x 1−x 1−x 1−x √ ϕ −ϕ−1=0⇒ϕ= 2 5+1 (Razão áurea) 2 Outras relações interessantes envolvendo o número ϕ. ϕ2 − ϕ = 1 ⇒ ϕ (ϕ − 1) = 1 ⇒ ϕ = 1 + Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci 1 ϕ Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes ϕ2 = ϕ + 1 ⇒ ϕ = Prof.Carlos A. Gomes √ Phi-Bonacci 1+ϕ Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes ϕ2 = ϕ + 1 ⇒ ϕ = ϕ= √ √ 1+ϕ Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci 1+ϕ Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes ϕ2 = ϕ + 1 ⇒ ϕ = √ √ 1+ϕ p √ = 1+ 1+ϕ ϕ= Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci 1+ϕ Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes ϕ2 = ϕ + 1 ⇒ ϕ = √ √ 1+ϕ 1+ϕ p √ = 1+ 1+ϕ q p √ = 1+ 1+ 1+ϕ ϕ= Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes ϕ2 = ϕ + 1 ⇒ ϕ = √ √ 1+ϕ 1+ϕ p √ = 1+ 1+ϕ q p √ = 1+ 1+ 1+ϕ r q p √ = 1+ 1+ 1+ 1+ϕ ϕ= Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes ϕ2 = ϕ + 1 ⇒ ϕ = √ √ 1+ϕ 1+ϕ p √ = 1+ 1+ϕ q p √ = 1+ 1+ 1+ϕ r q p √ = 1+ 1+ 1+ 1+ϕ ϕ= .. . Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes ϕ2 = ϕ + 1 ⇒ ϕ = √ 1+ϕ √ 1+ϕ p √ = 1+ 1+ϕ q p √ = 1+ 1+ 1+ϕ r q p √ = 1+ 1+ 1+ 1+ϕ ϕ= .. . r = q p √ 1 + 1 + 1 + 1 + ··· Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Lembrando que ϕ=1+ Prof.Carlos A. Gomes 1 ϕ Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Lembrando que ϕ=1+ ϕ= 1+ Prof.Carlos A. Gomes 1 ϕ 1 ϕ Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Lembrando que ϕ=1+ ϕ= 1+ = 1+ Prof.Carlos A. Gomes 1 ϕ 1 ϕ 1 1 1+ ϕ Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Lembrando que ϕ=1+ ϕ= 1+ = 1+ = 1+ Prof.Carlos A. Gomes 1 ϕ 1 ϕ 1 1 1+ ϕ 1 1+ 1 1 1+ ϕ Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Lembrando que ϕ=1+ ϕ= 1+ = 1+ = 1+ 1 ϕ 1 ϕ 1 1 1+ ϕ 1 1+ 1 1 1+ ϕ .. . Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Lembrando que ϕ=1+ ϕ= 1+ = 1+ = 1+ .. . = 1+ Prof.Carlos A. Gomes 1 ϕ 1 ϕ 1 1 1+ ϕ 1 1+ 1 1 1+ ϕ 1 1+ 1+ 1 1 1 1+ +··· Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Como dividir um segmento dado em razão áurea? Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Como dividir um segmento dado em razão áurea? Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Retângulo áureo Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Retângulo áureo Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Como construir um retângulo áureo Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Como construir um retângulo áureo Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Uma propriedade interessante do retângulo áureo Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Uma propriedade interessante do retângulo áureo “Quando de um retângulo áureo você retira um quadrado cujo lado é o menor dos lados do retângulo original, o retângulo que resta ainda é um retângulo áureo. Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes De fato, a = ϕ ⇒ a = bϕ b Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes De fato, a = ϕ ⇒ a = bϕ b Assim, b b b 1 ϕ = = = = 2 =ϕ a−b bϕ − b b (ϕ − 1) ϕ−1 − ϕ} |ϕ {z =1 Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes De fato, a = ϕ ⇒ a = bϕ b Assim, b b b 1 ϕ = = = = 2 =ϕ a−b bϕ − b b (ϕ − 1) ϕ−1 − ϕ} |ϕ {z =1 Ora, como áureo. b a−b = ϕ, segue que o retângulo menor também é Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Repretindo o mesmo processo com o novo retângulo áureo podemos obter um novo retângulo áureo e assim sucessivamente, conforme ilustra a figura a seguir: Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Se ligarmos os vértices diametralmente opostos dos quadrados que foram construídos a partir de cortes apropriados (como foi sugerigo no slide anterior) um retângulo âureo por arcos de circunferência, obtermos a famosa figura (que é a logomarca oficial da SBM - Sociedade Brasileira de Matemática) Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Vale a pena comentar que a espiral apresentada na figura anterior não é de fato uma espiral logarítmica “honesta", ou seja, uma curva cuja a equação em coordenadas polares (ρ, θ), seja dada por: ρ = beaθ , a, b ∈ R+ cuja representação gráfica é mostrada a seguir (e não é a justaposição de arcos de circunferências!) Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Vale a pena comentar que a espiral apresentada na figura anterior não é de fato uma espiral logarítmica “honesta", ou seja, uma curva cuja a equação em coordenadas polares (ρ, θ), seja dada por: ρ = beaθ , a, b ∈ R+ cuja representação gráfica é mostrada a seguir (e não é a justaposição de arcos de circunferências!) Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Uma outra propriedade do retângulo áureo: Um diagonal do retângulo áureo original e uma diagonal do novo retângulo formado, quando do retângulo original retiramos um quadrado, são perpendiculares, conforme a ilusta a figura a seguir (por quê?) Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Uma outra propriedade do retângulo áureo: Um diagonal do retângulo áureo original e uma diagonal do novo retângulo formado, quando do retângulo original retiramos um quadrado, são perpendiculares, conforme a ilusta a figura a seguir (por quê?) Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Uma outra propriedade do retângulo áureo: Um diagonal do retângulo áureo original e uma diagonal do novo retângulo formado, quando do retângulo original retiramos um quadrado, são perpendiculares, conforme a ilusta a figura a seguir (por quê?) O ponto de interseção dessas diagonais é conhecido como “umbigo do mundo"ou “olho de Deus". Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Retângulos áureos espalhados pelo mundo. Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Retângulos áureos espalhados pelo mundo. Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes 1 Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. 2 A sequência de Fibonacci 3 Belos problemas e resultados interessantes Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Nasceu em Pisa (Itália) - 1175. Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Nasceu em Pisa (Itália) - 1175. Leonardo Fibonacci (diminutivo de fillius de Bonacci). Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Nasceu em Pisa (Itália) - 1175. Leonardo Fibonacci (diminutivo de fillius de Bonacci). Leonardo Bigollo (o viajante). Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Nasceu em Pisa (Itália) - 1175. Leonardo Fibonacci (diminutivo de fillius de Bonacci). Leonardo Bigollo (o viajante). Primeiros estudos de Matemática - Professores islâmicos. Retorna para a Itália em 1200 e escreve o seu primeiro livro. Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Principais obras: Líber Abacci (livro de cálculo) - 1202: Foi revisto em 1228. Foi neste livro que Fibonacci falou pela primeira vez do problema dos coelhos. Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Principais obras: Líber Abacci (livro de cálculo) - 1202: Foi revisto em 1228. Foi neste livro que Fibonacci falou pela primeira vez do problema dos coelhos. Pratica Geometricae - 1220: Onde descreve seus conhecimentos sobre Geometria e Trigonometria. Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Principais obras: Líber Abacci (livro de cálculo) - 1202: Foi revisto em 1228. Foi neste livro que Fibonacci falou pela primeira vez do problema dos coelhos. Pratica Geometricae - 1220: Onde descreve seus conhecimentos sobre Geometria e Trigonometria. Flos - 1225: Neste Manuscrito Fibonacci apresenta as soluções de três problemas que lhe tinham sido colocados por João de Palermo, um membro da corte do Imperador Frederico II. Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Principais obras: Líber Abacci (livro de cálculo) - 1202: Foi revisto em 1228. Foi neste livro que Fibonacci falou pela primeira vez do problema dos coelhos. Pratica Geometricae - 1220: Onde descreve seus conhecimentos sobre Geometria e Trigonometria. Flos - 1225: Neste Manuscrito Fibonacci apresenta as soluções de três problemas que lhe tinham sido colocados por João de Palermo, um membro da corte do Imperador Frederico II. Liber quadratorum - 1225: É o maior livro que Fibonacci escreveu, no qual aproxima raízes cúbicas, obtendo uma aproximação correta até a nona casa decimal. Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes O PROBLEMA DA REPRODUÇÃO DOS COELHOS: Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes O PROBLEMA DA REPRODUÇÃO DOS COELHOS: Um homem pôs um par de coelhos num lugar cercado por todos os lados por um muro. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir desse par em um ano se, supostamente, todo mês cada par dá à luz um novo par, que é fértil a partir do segundo mês e nenhum coelho morre durante o processo? Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes O PROBLEMA DA REPRODUÇÃO DOS COELHOS: Um homem pôs um par de coelhos num lugar cercado por todos os lados por um muro. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir desse par em um ano se, supostamente, todo mês cada par dá à luz um novo par, que é fértil a partir do segundo mês e nenhum coelho morre durante o processo? Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes A sequência de Fibonacci: Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes A sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, · · · Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Definição A sequência (fn )n∈N , tal que f1 = 1, f2 = 1 e fn+1 = fn + fn−1 , ∀n ∈ N, n > 1 é chamada de sequência de Fibonacci. Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Definição A sequência (fn )n∈N , tal que f1 = 1, f2 = 1 e fn+1 = fn + fn−1 , ∀n ∈ N, n > 1 é chamada de sequência de Fibonacci. Teorema O n−ésimo termo da sequência de Fibonacci é dado por " √ !n # √ !n 1 1+ 5 1− 5 fn = √ − 2 2 5 Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Demonstração: Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Demonstração: Sejam ϕ e ϕ 0 as raízes da equação x 2 − x − 1 = 0. Assim, Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Demonstração: Sejam ϕ e ϕ 0 as raízes da equação x 2 − x − 1 = 0. Assim, ϕ2 = ϕ + 1 e ϕ 02 = ϕ 0 + 1 Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Demonstração: Sejam ϕ e ϕ 0 as raízes da equação x 2 − x − 1 = 0. Assim, ϕ2 = ϕ + 1 e ϕ 02 = ϕ 0 + 1 Multiplicando-se as igualdades acima por ϕn e ϕ 0n , segue que: Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Demonstração: Sejam ϕ e ϕ 0 as raízes da equação x 2 − x − 1 = 0. Assim, ϕ2 = ϕ + 1 e ϕ 02 = ϕ 0 + 1 Multiplicando-se as igualdades acima por ϕn e ϕ 0n , segue que: ϕn+2 = ϕn+1 + ϕn e ϕ 0n+2 = ϕ 0n+1 + ϕ 0n Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Demonstração: Sejam ϕ e ϕ 0 as raízes da equação x 2 − x − 1 = 0. Assim, ϕ2 = ϕ + 1 e ϕ 02 = ϕ 0 + 1 Multiplicando-se as igualdades acima por ϕn e ϕ 0n , segue que: ϕn+2 = ϕn+1 + ϕn e ϕ 0n+2 = ϕ 0n+1 + ϕ 0n ϕn+2 − ϕ 0n+2 ϕn+1 − ϕ 0n+1 ϕn − ϕ 0n = + ϕ − ϕ0 ϕ − ϕ0 ϕ − ϕ0 Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Definindo xn = ϕn −ϕ 0n ϕ−ϕ 0 , Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Definindo xn = ϕn −ϕ 0n ϕ−ϕ 0 , ϕn+2 − ϕ 0n+2 ϕn+1 − ϕ 0n+1 ϕn − ϕ 0n = + ϕ − ϕ0 ϕ − ϕ0 ϕ − ϕ0 Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Definindo xn = ϕn −ϕ 0n ϕ−ϕ 0 , ϕn+2 − ϕ 0n+2 ϕn+1 − ϕ 0n+1 ϕn − ϕ 0n = + ϕ − ϕ0 ϕ − ϕ0 ϕ − ϕ0 xn+2 = xn+1 + xn Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Definindo xn = ϕn −ϕ 0n ϕ−ϕ 0 , ϕn+2 − ϕ 0n+2 ϕn+1 − ϕ 0n+1 ϕn − ϕ 0n = + ϕ − ϕ0 ϕ − ϕ0 ϕ − ϕ0 xn+2 = xn+1 + xn Mas, ϕ + ϕ 0 = 1 , ϕ.ϕ 0 = −1 e ϕ − ϕ 0 = Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci √ 5 Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Definindo xn = ϕn −ϕ 0n ϕ−ϕ 0 , ϕn+2 − ϕ 0n+2 ϕn+1 − ϕ 0n+1 ϕn − ϕ 0n = + ϕ − ϕ0 ϕ − ϕ0 ϕ − ϕ0 xn+2 = xn+1 + xn Mas, ϕ + ϕ 0 = 1 , ϕ.ϕ 0 = −1 e ϕ − ϕ 0 = √ 5 Portanto, x1 = ϕ1 − ϕ 01 ϕ2 − ϕ 02 = 1 e x = =1 2 ϕ − ϕ0 ϕ − ϕ0 Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Portanto a sequência (xn )n∈N é a sequência de Fibonacci. Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Portanto a sequência (xn )n∈N é a sequência de Fibonacci. Assim, para todo n natural, Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Portanto a sequência (xn )n∈N é a sequência de Fibonacci. Assim, para todo n natural, fn = xn = ϕn − ϕ 0n (Fórmula de Binet). ϕ − ϕ0 Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Portanto a sequência (xn )n∈N é a sequência de Fibonacci. Assim, para todo n natural, fn = xn = ϕn − ϕ 0n (Fórmula de Binet). ϕ − ϕ0 Como ϕ e ϕ 0 são as raízes da equação x 2 − x − 1 = 0, segue que: Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Portanto a sequência (xn )n∈N é a sequência de Fibonacci. Assim, para todo n natural, fn = xn = ϕn − ϕ 0n (Fórmula de Binet). ϕ − ϕ0 Como ϕ e ϕ 0 são as raízes da equação x 2 − x − 1 = 0, segue que: √ √ √ 1− 5 1+ 5 0 , ϕ = e ϕ − ϕ0 = 5 ϕ= 2 2 Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Portanto a sequência (xn )n∈N é a sequência de Fibonacci. Assim, para todo n natural, fn = xn = ϕn − ϕ 0n (Fórmula de Binet). ϕ − ϕ0 Como ϕ e ϕ 0 são as raízes da equação x 2 − x − 1 = 0, segue que: √ √ √ 1− 5 1+ 5 0 , ϕ = e ϕ − ϕ0 = 5 ϕ= 2 2 Portanto, " √ !n √ !n # 1 1+ 5 1− 5 fn = √ − 2 2 5 Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Uma revista especializada em números de Fibonacci... Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes 1 Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. 2 A sequência de Fibonacci 3 Belos problemas e resultados interessantes Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes 1)Na figura abaixo o triângulo ABC é equilátero e está inscrito no círculo Γ . Se M e N são pontos médios dos lados AB e AC e P é a interseção do prolongamento do segmento MN com o círculo Γ , mostre que o ponto N divide o segmento MP em razão áurea. Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes 2)Determine as posições dos pontos E e F sobre os lados AB e BC do retângulo ABCD para que os triângulos ADE, BEF e CDF possuam áreas iguais. Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes 3)(OMRN-2013)Um retângulo √ de ouro é um retângulo de dimensões 1 × ϕ, onde ϕ = 5+1 é a conhecida razão auréa. 2 Este tipo de retângulo goza da propriedade de que ele pode ser dividido num quadrado e num retângulo semelhante ao retângulo original. Este processo continua infinitamente conforme ilustra a figura a abaixo: Diante do exposto, mostre que: 1+ 1 1 1 + 4 + 6 + ··· = ϕ 2 ϕ ϕ ϕ Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes 4)Mostre que o comprimento da diagonal de um pentágono de lado 1 mede ϕ. Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes 5)Na figura abaixo o triângulo ABC é isósceles tal que BC = 1, AB = AC e ∠BAC = 36◦ , mostre que: AB = AC = ϕ Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes 6)Sendo ϕ a razão áurea, mostre que: sen54◦ = cos36◦ = 1 ϕ 2 sen18◦ = cos72◦ = 1 2ϕ Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes 7)Sendo (f1 , f2 , f3 , · · · , fn , fn+1 , · · · ) a sequência de Fibonacci, e ϕ a razão áurea, mostre que: ϕn = fn .ϕ + fn−1 Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes 8)Sendo (f1 , f2 , f3 , · · · , fn , fn+1 , · · · ) a sequência de Fibonacci, e ϕ a razão áurea, mostre que: fn+1 =ϕ n→∞ fn lim Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes 9)A sequência de Fibonacci (fn )n∈N∪{0} é definida por 0, se n = 0 fn = 1, se n = 1 os primeiros termos dessa fn−2 + fn−1 se n > 1 sequência são, portanto, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, · · · 1 1 Considerando a matriz A = . 1 0 Mostre que An = fn+1 fn fn fn−1 Prof.Carlos A. Gomes , para todo n natural. Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes 10)Para todo inteiro n ≥ 1, demonstre a identidade de Cassini para números de Fibonacci: fn+1 .fn−1 − fn2 = (−1)n Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes 11)Determine o número inteiro a para que o polinômio d(x) = x 2 − x − 1 seja um fator do polinômio p(x) = ax 17 + bx 16 + 1. Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes 12)Na faixa 1 × 10, mostrada na seguir, cada quadrado é pintado ou de azul ou de vermelho, mas dois quadrado adjacentes não podem ser pintados de azul. De quantas maneiras distintas podemos realizar a pintura? Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro. A sequência de Fibonacci Belos problemas e resultados interessantes Obrigado! Prof.Carlos A. Gomes Phi-Bonacci