Numero 05 - Setembro de 2005

Transcrição

FAMAT em Revista
www.famat.ufu.br
Revista Científica Eletrônica da
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG
f
Número 05 - Setembro de 2005
e-mail: [email protected]
Comitê Editorial: Edson Agustini - Famat/Ufu
Valdair Bonfim - Famat/Ufu
Antônio Carlos Nogueira - Famat/Ufu
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira - Petmat - Famat/Ufu
Maísa Gonçalves da Silva - Damat - Famat/Ufu
FAMAT em Revista
ISSN 1806-1958
www.famat.ufu.br
e-mail
[email protected]
Revista Cientı́fica Eletrônica Semestral da
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG
Comitê Editorial:
Edson Agustini - Famat/Ufu
Valdair Bonfim - Famat/Ufu
Antônio Carlos Nogueira - Famat/Ufu
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira - Petmat - Famat/Ufu
Maı́sa Gonçalves da Silva - Damat - Famat/Ufu
Número 05
Setembro de 2005
(GLWRULDO
2 FRPLWr HGLWRULDO GD )$0$7 HP 5HYLVWD FRP PXLWD VDWLVIDomR YHP GLVSRQLELOL]DU j
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HVWXGDQWHVGHPDWHPiWLFD
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QD)$0$7QRSHUtRGRGHPDLRGHDVHWHPEURGH
)LQDOPHQWH HVSHUDPRV TXH QRVVRV OHLWRUHV DSUHFLHP RV WUDEDOKRV DTXL SXEOLFDGRV H
OHPEUDPRVTXHFUtWLFDVHVXJHVW}HVSURGXWLYDVVmRVHPSUHEHPYLQGDV
&RPLWr(GLWRULDO
Índice de Seções
Seção 1: Trabalhos Completos de Iniciação Cientı́fica
7
Seção 2: Problemas e Soluções
235
Seção 3: Eventos
243
Seção 4: Reflexões sobre o Curso de Matemática
249
Seção 5: Em Sala de Aula
259
Seção 6: Iniciação Cientı́fica em Números
299
Seção 7: E o meu Futuro Profissional?
307
Seção 8: Merece Registro
315
FAMAT em Revista
www.famat.ufu.br
Trabalhos Completos de
Iniciação Científica
PBIIC-FAPEMIG-UFU - Programa de Bolsas Institucionais de Iniciação Científica da
Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais
PETMAT-UFU - Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática
PIBIC-CNPq-UFU - Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica do
Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico
PROMAT-UFU - Programa Institucional de Iniciação Científica e Monitoria da Faculdade de Matemática
IM-AGIMB - Instituto do Milênio - Avanço Global e Integrado da Matemática Brasileira
Comitê Editorial da Seção
Trabalhos Completos de Iniciação Científica
do Número 05 da FAMAT EM REVISTA:
Edson Agustini (coordenador da seção)
Valdair Bonfim
Antônio Carlos Nogueira
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira
Instruções para submissão de Trabalhos
A Seção de Trabalhos de Iniciação Cientı́fica visa divulgar trabalhos que estejam associados a projetos cadastrados na(o) PBIIC-FAPEMIG / PETMAT / PIBIC-CNPq /
PROMAT ou IM-AGIMB e orientados por docentes da FAMAT.
Trabalhos completos em nı́vel de iniciação cientı́fica dos programas acima listados
submetidos para publicação na Revista Eletrônica “Famat em Revista” estarão sujeitos
a apreciação pelo Comitê Editorial responsável por essa seção de artigos e, se for o caso,
por consultores ad hoc ligados à área ou subárea do trabalho. Caso se faça necessário,
sugestões para o aperfeiçoamento do trabalho serão dirigidas aos interessados pelo Comitê
Editorial.
Além da redação clara e concisa que todo trabalho submetido à boa qualidade deve
possuir, pede-se evitar o estilo árido e extremamente técnico caracterı́stico de algumas
publicações matemáticas, não perdendo de vista que o público-alvo ao qual se destina a
revista é constituı́do por alunos de graduação.
Os trabalhos submetidos até o final de um semestre letivo serão publicados na edição
da revista lançada no inı́cio do semestre letivo subseqüente.
Quanto às normas técnicas para submissão dos trabalhos:
1) Formato do arquivo: PDF
2) Tamalho da Folha: A4
3) Margens: 2,5 cm (portanto, área impressa: 16 cm x 24,7 cm)
4) Tamanho de fonte (letra): 12 pontos (exceto tı́tulos, subtı́tulos, notas
de rodapé, etc, que ficam submetidos ao bom senso)
5) Espaçamento entre linhas: Simples
6) Orientador(es), tipo de programa e orgão de fomento (se houver)
devem constar no trabalho.
Envio:
Por e-mail: [email protected]
Índice de Trabalhos
Um estudo comparativo entre a Análise de Fourier e Análise Wavelet
13
Arnaldo José Pereira R. Junior e José Eduardo Castilho
O Modelo van Hiele de Ensino de Geometria aplicado à 5a.
e 6a. séries do Ensino Fundamental
21
Gisliane Alves Pereira; Sandreane Poliana Silva e Walter dos Santos Motta Jr.
Uma Introdução à Mecânica Clássica:
Força Central e Movimento Planetário
51
Neilon José de Oliveira e Márcio José Horta Dantas
Modelagem Fuzzi na Saúde
85
Wanda Aparecida Lopes e Rosana Sueli da Motta Jafelice
Algumas Aplicações e Teoria Qualitativa das
Equações Diferenciais Ordinárias
127
Juliana Lázara Curcino dos Santos e Lúcia Resende Pereira Bonfim
Leis de Kepler para o movimento planetário e a
lei da gravitação universal de Newton
147
Eder Lucio da Fonseca e Jocelino Sato
Modelagem de Problemas de Matemática Financeira e suas Resoluções
Utilizando Técnicas Matemáticas e Computacionais
167
Leone Alves Leite e César Guilherme de Almeida
Álgebra Linear e Formação de Imagens:
a Tomografia Computadorizada
193
Franciella Marques da Costa e Edson Agustini
Aplicação da Estatı́stica na Manutenção Preditiva
211
Raquel Maria Gondim e Marcus Antonio Viana Duarte
O Problema do Cabo Suspenso
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira, Laı́s Bássame Rodrigues e Edson Agustini
225
Um estudo comparativo entre a
Análise de Fourier e Análise Wavelet
Arnaldo José Pereira R. Junior 1
José Eduardo Castilho 2
Resumo
Fenômenos Físicos podem ser tanto de natureza estacionária, quanta nãoestacionária. Sendo assim podem ser utilizadas duas ferramentas para
estudar tais fenômenos: Transformada de Fourier (mais eficaz em fenômenos
físicos de natureza estacionária), e a transformada Wavelet (usada tanto para
fenômenos físicos de natureza estacionária, quanta não estacionária). Logo
ao fazer o estudo de ambas as teorias, serão mostradas as limitações da
teoria da Análise de Fourier, quando aplicada a regimes não-estacionários, e
a grande eficiência da teoria da Análise Wavelet nestes tipos de fenômenos.
1 Introdução
De maneira geral, existem muitas semelhanças entre a Análise de Fourier e a Análise
Wavelet. Em ambos os casos sinais são analisados por expansões em termos de funções
básicas. A base de Fourier é formada por ondas puras, com as freqüências variando sobre todo
o espectro. Neste sentido, os coeficientes de Fourier medem puramente o conteúdo
frequencial do sinal sem identificar quando tal freqüência ocorre. Já em Análise Wavelet, as
bases são localizadas tanto no domínio das freqüências, quanto no domínio temporal. Devido
a esta propriedade de dupla localização, há um equilíbrio nas resoluções em cada um dos
domínios. Ou seja, o ganho de resolução temporal é compensado com uma perda de resolução
frequencial (Castilho [1]).
Aproximação usando superposição de funções tem existido desde aproximadamente 1800,
quando Joseph Fourier descobriu que se pode superpor senos e co-senos para representar
outras funções. Entretanto, em Análise Wavelet, a escala que se usa para analisar determinada
informação é que desempenha um importante papel. Os algoritmos wavelets processam a
informação em diferentes escalas ou resoluções. Fazendo uma analogia, para um melhor
entendimento da importância da escala pode-se ter em mente o seguinte: imagine que
possamos visualizar a região da Amazônia em uma “grande janela”, dessa forma perceberá
uma vasta visualização de uma floresta que se tem em tal região (menor escala), porém se
dividíssemos aquela “grande janela” em outras menores, e fizermos novamente a
visualização, presenciaremos detalhes da floresta e não uma visão geral dela (aumento da
escala), já que com uma janela menor consigo fazer uma melhor localização de um
determinado ponto. Ou seja, com a Análise Wavelet consigo obter uma imagem ou um sinal
de forma geral e os seus detalhes (Graps [3] ).
1
2
Bolsista; Acadêmico do Curso de Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Uberlândia
Orientador; Professor da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia
Há muitas décadas cientistas têm procurado funções mais apropriadas do que as senóides
e co-senóides que compõem as bases da Análise de Fourier, a fim de aproximar sinais com
descontinuidades. Funções senos e co-senos fazem um fraco trabalho quanto à aproximação
de “topos de funções agudos” (singularidade de primeira ordem), ou seja, esse problema que
ocorre com Fourier é o que se chama de ocorrência do fenômeno de Gibbs, fato que não
ocorre com as aproximações usando as wavelets, a não ser que tenhamos uma singularidade
de segunda ordem (a função apresenta saltos), dessa forma Gibbs pode ocorrer com wavelet
também.
1.1 Funções básicas
Todo vetor de duas dimensões (x,y) é uma combinação linear dos vetores (1,0) e (0,1).
Estes dois vetores formam a base do conjunto de vetores (x,y), já que x multiplicado por (1,0)
é o vetor (x,0), e y multiplicado pelo vetor (0,1) é o vetor (0,y). A soma é (x,y). Para um
conjunto de funções o conceito é o mesmo. Imagine que f(x) representa um tom musical,
particularmente uma nota, a qual chamaremos de A Podemos construir A adicionando senos e
co-senos com diferentes amplitudes e freqüências. Neste exemplo, os senos e co-senos são as
funções básicas, que compõe a base de representação de f(x). Com as senóides e co-senóides
escolhidas, pode-se indicar um requerimento adicional propondo que elas sejam ortogonais.
Isto pode ser feito escolhendo uma combinação apropriada de termos de função seno e coseno, cujo produto interno seja zero.
1.2 Funções básicas de escala variante
As funções bases de escala variante são aquelas que geram o espaço de aproximação na
resolução desejada. No caso dos senos e co-senos só conseguimos resoluções diferentes na
freqüência sen(x) cos(x), sen(2x), cos(2x). Imagine, por exemplo, que se tenha um sinal no
domínio de 0 à 1. Pode-se dividir o sinal o sinal com dois níveis de resolução que padronizam
de 0 à ½ e de ½ à 1. Dividindo o sinal novamente para quatro níveis de resolução tem-se o
mesmo padronizado da seguinte forma: de 0 à ¼, de ¼ à ½, de ½ à ¾, e de ¾ à 1. Dessa forma
pode-se dividir o sinal em vários níveis de resolução, ou seja, cada representação codifica o
sinal original com uma resolução ou escala particular.
2
Análise de Fourier
Em seu trabalho "Theory Analytique de la chaleur”, Jean Baptist Josph Fourier
afirmou que qualquer função f(x), de variável real, definida no intervalo [-l,l], podia ser
representada, neste intervalo, por uma série infinita de funções senos e co-senos, onde essa
representação seria:
f ( x) =
a0 ∞ ⎡
⎛ kπx ⎞
⎛ kπx ⎞⎤
+ ∑ ⎢a k cos⎜
⎟ + bk sen⎜
⎟⎥
2 k =1 ⎣
⎝ l ⎠⎦
⎝ l ⎠
(1)
onde a k e bk são coeficientes reais e seus cálculos são efetuados pelas expressões a seguir:
l
a0 =
1
f ( x)dx
l −∫l
ak =
1
⎛ kπx ⎞
f ( x) cos⎜
⎟ dx
∫
l −l
⎝ l ⎠
k = 1,2,Κ
bk =
1
⎛ kπx ⎞
f ( x) sen⎜
⎟dx
∫
l −l
⎝ l ⎠
k = 1,2,Κ
l
l
Com a finalidade de facilitar os cálculos, normalizemos o intervalo [−l , l ] para [-π , π ]. Isto
gera a seguinte transformação:
⎛l
x = ⎜⎜
⎝π
⎞
⎟⎟t
⎠
de tal forma que
⎛l
dx = ⎜⎜
⎝π
além disso
⎞
⎟⎟dt
⎠
t = ±π quando x = ±l
Assim teremos a seguinte equação:
f ( x) =
a0 ∞ ⎡
⎛ kπx ⎞
⎛ kπx ⎞⎤
+ ∑ ⎢a k cos⎜
⎟ + bk sen⎜
⎟⎥
2 k =1 ⎣
⎝ l ⎠
⎝ l ⎠⎦
(2)
com:
a0 =
π
1
f (t )dt
π −∫π
π
1
a k = ∫ f ( x) cos(kt )dt
π −π
bk =
π
1
f ( x) sen (kt )dt
π −∫π
k = 1,2,Κ
k = 1,2,Κ
2.1 Transformada de Fourier
É comum o estudo de sinais que são de natureza não-periódica, usando as técnicas de
Fourier. Um dos métodos mais conhecidos para esta aplicação é a chamada transformada de
Fourier (FT). A transformada de Fourier F (ω ) de um sinal contínuo no tempo f (t ) é dada
pela equação (3)
F (ω ) =
∞
∫ f (t )e
− jω t
dt
(3)
−∞
onde Ȧ = 2ʌf e e − jȦȦ = cos Ȧ t + j sen Ȧ t .
F (ω ) constitui-se numa representação de f (t ) no domínio da freqüência. Ela é obtida através
da soma de um número infinito de exponenciais complexas de freqüências diferentes. Ou seja,
a transformada trabalha em princípio transladando a função no domínio do tempo para uma
função no domínio em freqüência. O sinal pode então ser analisado pelo conteúdo da
freqüência, já que os coeficientes de Fourier da função transformada representam a
contribuição de cada função seno e co-seno a cada freqüência. Resolvendo a equação (3),
tem-se que quanto maior for o resultado da integração, maior será a amplitude do componente
em freqüência correspondente. A freqüência dominante contida no sinal corresponde àquela
que produz o máximo valor da integral. Caso o valor da integral seja nulo para uma
determinada freqüência, então o sinal em análise não contém tal freqüência no seu espectro.
Percebe-se que o método não define a localização das freqüências no tempo. Esta
característica não tem grande importância quando o sinal é do tipo estacionário (Neto [4]).
Uma transformada inversa de Fourier faria justamente o esperado, ou seja, transforma a
informação no domínio em freqüência para o domínio temporal.
2.2 Transformada de Fourier discreta
Existem sinais que não representam sinais contínuos no tempo, mas sim amostras do
sinal (esse sinal é limitado no tempo, ou seja, é um sinal finito). Essas amostras podem ser
definidas como sinais discretos ou sinais amostrados. Para se determinar a transformada de
Fourier F (ω ) de sinais amostrados e limitados no tempo, utiliza-se a transformada de Fourier
discreta (DFT).
3
Análise Wavelet
As wavelets foram desenvolvidas independentemente, por exemplo, nos campos de:
Matemática, Física Quântica, Engenharia Elétrica e Geologia Sísmica. Para maior facilidade
do entendimento das wavelets, vamos fazer uso de um método denominado codificação por
sub-banda. Um modo de codificar um sinal discreto por sub-banda é através de filtragem
digital. Filtrar um sinal nada mais é que eliminar determinadas freqüências, ou bandas de
freqüências, do mesmo. Em outra linguagem, isto implica em realizar uma convolução do
sinal com a resposta a impulso do filtro (Graps [3]).
3.1 Determinação dos coeficientes wavelets
Um sinal discreto, originalmente descrito no domínio do tempo, pode ser representado
no domínio wavelet através dos coeficientes wavelets. Esses coeficientes podem ser
determinados através da decomposição do sinal estudado em diferentes níveis de resolução no
tempo e em freqüência. Para se decompor o sinal será utilizado o processo da codificação por
sub-banda. Mostrado na Figura 1.
Figura 1. Algoritmo da decomposição utilizando o método
da codificação por sub-banda
Inicialmente, o sinal original, no domínio do tempo, f(n), é inserido em um filtro passa-alta de
meia banda de decomposição gd(n), (elimina freqüências menores que a metade da mais alta
freqüência presente no sinal), e em outra passa-baixa de meia banda de decomposição hd(n),
(elimina freqüências maiores que a metade da mais alta freqüência presente no sinal, ver Neto
[4]). Estes filtros são determinados por dois tipos de funções:
•
Função de escalonamento, (função contínua com suporte compacto), escolhida para
análise do sinal e satisfaz a relação de escala, equação (4).
φ (t ) = 2 ∑ hd (n)φ (2t − n)
(4)
n∈Z
onde os hd(n) são os coeficientes do filtro. Os coeficientes hd(n) do filtro devem satisfazer
certas condições gerais para garantir a existência da função de escalonamento ( Daubechies
[2]):
∑h
d
( n) = 1
n∈Z
•
Os filtros são determinados também pela função wavelet mãe, ou simplesmente função
wavelet, equação (5).
ψ (t ) = 2 ∑ g d (n)φ (2t − n)
n∈ Z
Onde g d (n) é representado pela equação (6):
(5)
g d (n) = ( − 1 ) n hd (n)( 1 − n)
(6)
O cálculo da decomposição wavelet do sinal consiste em eliminar metade do número de
amostras dos sinais resultantes nas saídas dos filtros passa-baixa e passa-alta (Subamostragem
na Figura 1. Os elementos resultantes
de dois, a qual está caracterizada pelo símbolo
dessa subamostragem de dois podem ser chamados de coeficientes da aproximação de nível 1,
cAj(n), (resultante da saída do filtro passa-baixa), e coeficientes wavelet de nível 1, cDj(n),
(resultante da saída do filtro passa-alta, e que representam os detalhes do sinal original). Tais
coeficientes são definidos como mostrados nas equações (7) e (8).
cA j (n) = ∑ f ( s )hd (− s + 2k )
(7)
cD j (n) = ∑ f ( s ) g d (− s + 2k )
(8)
s
s
onde hd e gd, correspondem, aos filtros passa-baixa e passa-alta, de meia banda, de
decomposição do sinal f(s). O índice j representa o número de níveis de decomposição. Os
coeficientes do nível 2, serão denominados de cAj-(n), (coeficientes de aproximação) e cDj(n), (coeficientes wavelets). E são expressos pelas equações (9) e (10), respectivamente.
cA j −1 (n) = ∑ cA j ( s )hd (− s + 2k )
(9)
cD j −1 (n) = ∑ cA j ( s ) g d (− s + 2k )
(10)
s
s
Observa-se que os coeficientes do nível 2, são obtidos a partir dos coeficientes de
aproximação de nível 1. Analogamente, os coeficientes do nível 3, cAj-2(n) e cDj-2(n), serão
obtidos a partir dos coeficientes de aproximação do nível 2.
4
Fourier & Wavelet
Neste tópico apresentaremos exemplos da Análise de Fourier e Wavelet. As ferramentas
utilizadas foram: Um programa de análise e síntese em C++ bem como o software MATLAB
(versão 6.0.0.88 Release 2) para análise dos valores obtidos e plotagem dos gráficos. Dessa
forma apresentaremos dois sinais, ambos não-estacionários, de tensão em relação ao tempo,
com a finalidade de demonstrar as vantagens das wavelets e limitações da transformada de
Fourier. Observe que no sinal representado pela Figura 2 a máxima tensão é mantida
constante ao longo do tempo, porém a freqüência varia em diferentes intervalos de tempo. Já
o sinal representado pela Figura 3 mostra uma onda bastante oscilatória.
Figura 2-Sinal apresentando variação de freqüências
diferentes intervalos de tempo
Figura 3-Sinal apresentando variação de freqüências
durante todo o tempo
Fazendo uso da Análise Wavelet, podem ser detectadas as transições do sinal da Figura 2,
(mostrado na Figura 4), e visualizar a localização de mudanças de freqüência durante todo o
tempo do sinal da Figura 3, (mostrado na Figura 5).Isto é feito coletando os coeficientes
wavelets. Nos testes realizados os coeficientes wavelets são do 1° nível. Também podem ser
observados, principalmente na Figura 4, os efeitos dos filtros passa-baixa e passa-alta quando
a onda de freqüência mais alta é removida do sinal, sendo transferida para a componente
wavelet.
Figura 4-Detalhes do sinal da Figura 2, com os
coeficientes wavelets do nível 1
Figura 5-Detalhes do sinal da Figura 3, com os
coeficientes wavelets do nível 1
Agora se analisarmos as Figuras 6 e 7, visualizaremos os gráficos após ser aplicado a
transformada de Fourier nos sinais. Perceba que as freqüências mais significativas assumem
valores de: 10 20 e 40 Hz, em ambos os gráficos, embora os sinais no domínio do tempo não
sejam nem próximos um do outro. Esta análise mostrou dois sinais no tempo inteiramente
diferentes, porém apresentando espectros em freqüência semelhantes. Do que é mostrado nas
Figuras 6 e 7 pode ser observado que, toda a informação a respeito do tempo foi perdida.
Figura 6-Espectro de freqüências encontradas no sinal
da Figura 2
5
Figura 7-Espectro de freqüências encontradas no sinal
da Figura 3
Conclusão
Pode-se concluir diante do trabalho realizado, a grande eficiência dos coeficientes
wavelets de detectarem regiões de transições. A transformada de Fourier não é capaz de
reconhecer essas regiões. Nela apenas a presença das freqüências envolvidas é detectada, sem
nenhuma informação sobre a localização espacial dessas freqüências. Além disso, diante da
detecção de singularidades, o leque de aplicações usando wavelets é bastante vasto,
lembrando que elas podem ser aplicadas não somente a sinais, mas também em imagens,
como por exemplo, na compactação, determinação de detalhes, e como filtros na eliminação
de ruídos.
Referências
[1]
CASTILHO, J. E. Aplicação do conceito de Análise de Multirresolução Biortogonal na
Solução Numérica de Equações Diferenciais. Tese de Doutorado, Universidade
Estadual de Campinas, 2001.
[2]
DAUBECHIES, I.; Ten Lectures on Wavelets,
Lecture Notes, 61).
[3]
GRAPS A.; An Introduction To Wavelets. Institute of Electrical and Electronics
Engineers (IEEE) Computational Science and Engineering, summer 1995, vol.2, num.2
[4]
NETO, J. J. F., Uma Técnica de Detecção e Localização de Faltas em Linhas de
Transmissão Utilizando a Transformada Wavelet. Dissertação, Universidade Federal de
Uberlândia, 2003.
Philadelphia: SIAM, 1992 (CBMS
O Modelo van Hiele de Ensino de
Geometria aplicado à 5a e 6a séries do
Ensino Fundamental
Gisliane A. Pereira∗ Sandreane P. Silva† Walter dos Santos Motta Jr.‡
Faculdade de Matemática - Famat
Universidade Federal de Uberlândia - Ufu - MG
Setembro de 2005
Resumo
Este trabalho teve como fundamento o modelo de desenvolvimento do pensamento geométrico de van Hiele. Foram investigadas algumas atividades geométricas
desenvolvidas junto a alunos do Ensino Fundamental, os quais constituiram os grupos experimental e de controle. Os mesmos foram submetidos ao pré-teste, intervenção pedagógica e pós-teste. Após análises estatı́sticas dos resultados obtidos,
pudemos observar a eficácia da intervenção pedagógica, concebida segundo o modelo de van Hiele. Tais fatos apontam para a efetiva possibilidade em se transmitir de
forma satisfatória conceitos geométricos, para tanto é fundamental que a proposta
de trabalho pedagógico seja condizente ao nı́vel cognitivo dos educandos.
Introdução
A Geometria é parte intrı́nseca do universo fı́sico e também parte relevante da
Matemática. Ela está no currı́culo das escolas de todo o mundo. A análise do ensino/aprendizagem da Geometria insere-se num quadro global que por vezes transcende o
próprio campo da Matemática e tem atraı́do inúmeros estudiosos com focos de abordagem
apresentando diferentes ângulos de estudo.
Dificilmente um professor de ensino fundamental ou médio deixa de defrontar-se
com as dificuldades do ensino da Matemática, e neste âmbito, verifica-se que grande parte
dessas dificuldades deve-se ao ensino da Geometria.
Na verdade, o ensino da Matemática vem enfrentando problemas já a algumas
décadas. Muitos professores definem seu trabalho escolar, tomando por base o conteúdo
do livro didático, sem levar em conta até mesmo as diretrizes presentes nos PCNs. Sendo
assim, o livro didático adotado, passa então a constituir-se no próprio currı́culo e, as
∗
[email protected] Orientanda do Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática
(PETMAT) de Fev/04 a Abr/05.
†
[email protected] Orientanda do Programa de Educação Tutorial da Faculdade de
Matemática (PETMAT) de Fev/04 a Abr/05.
‡
[email protected] Professor orientador.
aulas de Matemática são efetivadas, por exemplo, a partir de ordens dadas pelo professor:
“abram o livro em tal página e resolvam tais exercı́cios”. No caso da Geometria, por
exemplo, muitos professores da pré-escola ensinam conceitos de figuras geométricas como o
quadrado, o triângulo e o cı́rculo, da mesma forma mecânica que ensinam leitura e escrita.
Tais professores transformam seu papel de educador em roteirista de um simples guia de
atividades prontas, mantendo seus alunos dentro da sua visão desarticulada do mundo.
Todavia, para a efetividade de uma educação de qualidade, este quadro, inevitavelmente,
deve ser mudado, pois se de fato pretende-se que o ensino da Matemática corresponda
de modo satisfatório às expectativas e necessidades da sociedade, devem-se estabelecer
uma integração entre uma sólida formação, a vivência escolar, as aplicações do saber
matemático e a integração do mesmo com o dia-a-dia. Para que isso ocorra é necessário
o uso de diferentes linhas metodológicas de trabalho que evidenciem a importância da
construção de conceitos matemáticos pelos alunos que se tornam sujeitos ativos da própria
aprendizagem.
Na tentativa de enfrentar problemas de ensino/aprendizagem de Geometria como
os citados anteriormente, faz-se necessário desenvolver e testar novas metodologias. Neste
sentido, este presente trabalho objetiva apresentar uma visão geral sobre uma metodologia especı́fica elaborada pelo casal de pesquisadores holandeses van Hiele. A teoria desenvolvida pelos educadores van Hiele possui uma forte base estruturalista e apóia-se nas
contribuições de Piaget sobre o desenvolvimento cognitivo do ser humano, sem deixar de
lado a didática da Matemática.
O presente trabalho divide-se em quatro partes. Na primeira parte, desenvolvemos
uma abordagem descritiva do modelo de ensino de geometria concebido pelos van Hiele.
Descrevemos e analisamos suas principais caracterı́sticas. Em seqüência, na segunda parte,
apresentamos genericamente a metodologia utilizada, descrevemos os procedimentos e
materiais utilizados durante as sessões de intervenção pedagógica no desenvolvimento do
exemplo-modelo desenvolvido por nós segundo a metodologia do modelo van Hiele. A
terceira parte destina-se à apresentação dos resultados, à descrição de testes estatı́sticos e
à análise dos dados obtidos. Na quarta parte, foram apresentadas as considerações finais
e as conclusões obtidas por nós quando do desenvolvimento deste exemplo-modelo.
1
1.1
Uma visão geral do modelo de van Hiele
A teoria de van Hiele
O modelo de desenvolvimento do pensamento geométrico desenvolvido pelo casal
van Hiele originou-se dos trabalhos de doutorado dos mesmos. Este casal holandês, Dina
van Hiele e Pierre Marie van Hiele, em meados da década de 50, desenvolveram seus
estudos na Universidade de Utrecht, sob a orientação de Hans Freudenthal, idealizando
uma nova forma de enfocar o desenvolvimento do raciocı́nio em Geometria. Tal teoria
foi produzida no meio de mudanças no campo da Educação Matemática em que a comunidade internacional estava a discutir novos métodos de ensino e novos tópicos curriculares
(Matos, 1985).
O casal desenvolveu o seu trabalho/modelo no contexto de um currı́culo que encarava a Geometria como instrumento para exercitar as capacidades lógicas da mente.
Por outro lado, o seu ponto de vista pedagógico incorpora uma perspectiva muito con-
temporânea, o que se torna visı́vel na preocupação de Pierre pelo insight e na ênfase que
Dina coloca na manipulação das figuras, no uso do geoplano e nos desenhos feitos pelos
alunos com régua e compasso (Matos, 1992).
O insight é, para Pierre van Hiele, um mecanismo chave que permite aos estudantes visualizar diferentes campos, o qual lhes permite construir conceitos mais complexos. Ele usa a idéia gestaltista de que o insight deve ser compreendido como o resultado
da percepção de uma estrutura.
O desenvolvimento do insight deve focar-se no desenvolvimento da capacidade
dos estudantes verem estruturas como parte de estruturas mais finas, ou como parte de
estruturas mais inclusivas.
Gestalt é o termo intraduzı́vel do alemão, utilizado para abarcar a teoria da
percepção visual baseada na psicologia da forma.
Aproximadamente a partir de 1870 alguns pesquisadores alemães começaram a
estudar os fenômenos perceptuais humanos, especialmente a visão. Seus estudos procuravam entender como se davam os fenômenos perceptuais, tendo se utilizado em grande
parte deles, de obras de arte. Queriam entender o que ocorria para que determinado recurso pictórico resultasse em tal e tal efeito. A estes estudos convencionou-se denominar
de Psicologia da Gestalt ou Psicologia da Boa Forma. Seus expoentes mais conhecidos
foram Kurt Koffka, Wolfgang Köhler e Max Werteimer. Criaram as Leis da Gestalt
relativas à percepção humana, que até hoje se mantêm válidas.
Um exemplo da Psicologia da Gestalt é a observação da figura abaixo:
Observando a figura acima da direita para esquerda vê-se um coelho, e da esquerda
para a direita um pato.
Destaca-se ainda a existência de uma forte base estruturalista no modelo idealizado pelo casal, em que a influência da Psicologia da Gestalt fornece uma base para
análise da percepção e interpretação cognitiva destas estruturas. Para van Hiele, assim
como na Psicologia da Gestalt, não há objetos isolados nem conceitos por si, mas todas
as entidades existem num contexto (Matos, 1992).
Pierre van Hiele não mostra uma definição de estruturas, mas explica algumas das
suas propriedades e dá alguns exemplos propondo que há várias espécies de estruturas:
a) as estruturas do mundo onde vivemos – Mundo 1;
b) as estruturas na nossa mente – Mundo 2;
c) as estruturas no mundo do conhecimento humano comum – Mundo 3.
Ele insiste que, em cognição, é muito importante que a estrutura possa ser vista como
uma totalidade porque a estrutura é mais do que a soma dos seus elementos. Há quatro
propriedades das estruturas que Pierre van Hiele recolheu da Psicologia da Gestalt:
1) estruturas podem ser estendidas;
2) cada estrutura pode ser vista como uma parte de uma estrutura mais fina;
3) uma estrutura pode ser vista como uma parte de uma estrutura mais inclusiva;
4) uma estrutura dada pode ser isomorfa a outra estrutura.
As estruturas de van Hiele são todas baseadas nas estruturas do Mundo 1 que
podem ser percepcionadas como um gestalt. Com base nas estruturas do Mundo 1, são
constituı́das as estruturas mentais existentes no Mundo 2, a qual afirma que o desenvolvimento mental progride à medida em que as estruturas dos alunos se transformam
gradualmente ou se substitui uma estrutura por outra. Van Hiele utiliza este raciocı́nio
quando descreve seu modelo segundo nı́veis de desenvolvimento da aprendizagem.
Além disso, a influência dos trabalhos de Piaget quanto ao desenvolvimento das
estruturas de inteligência em estágios muito contribuı́ram no embasamento teórico do
modelo de van Hiele.
Vejamos a seguir a classificação de Piaget do desenvolvimento das estruturas de
inteligência em estágios:
1 - Estágio Sensório Motor: Compreende desde o nascimento até os 2 anos de
idade. Ações baseadas em percepções sensoriais e esquemas motores concluı́dos a partir
de reflexos inatos, como o da sucção, por exemplo. Os esquemas vão sendo modificados
com experiência, tornando-se assim mais complexos, até dar origem à capacidade de
representar eventos futuros.
2 - Estágio Pré-operatório: Compreende dos 2 aos 7 anos. Uso da linguagem
oral, enriquecendo as relações interindividuais. Inteligência capaz de ações interiorizadas,
isto é, ações mentais, diferentes do pensamento adulto, pois nesta fase uma caracterı́stica
marcante é o egocentrismo.
3 - Estágio Operatório concreto: Compreende dos 7 aos 11 ou 12 anos. Predominância do pensamento lógico e objetivo. O egocentrismo cede lugar a um pensamento mais compatı́vel com a realidade. O real e o fantástico não se misturam mais na
percepção da criança. Mais raciocı́nio, menos percepção. A criança já realiza operações
lógico-matemático concretas.
4 - Estágio Operatório Formal: A partir dos 12 anos. Raciocı́nio mais formal e
abstrato. O adolescente pensa e trabalha com a realidade possı́vel utilizando hipóteses.
A partir daı́, pode-se perceber que Piaget fornece elementos preciosos que poderão
auxiliar educadores na elaboração de problemas de ensino de Geometria, como também
sugere metodologias adequadas às atividades geométricas das séries iniciais.
1.2
Descrição do modelo
Van Hiele propõe que “a aprendizagem é um processo recursivo que progride recursivamente através de nı́veis de pensamento descontı́nuos – saltos na curva de aprendizagem”
(van Hiele e van Hiele – Geldof, 1958, p. 75), que pode ser melhorado por um procedimento didático adequado. Ele pressupõe que há diversos nı́veis de aprendizagem da
Geometria e que a passagem de um nı́vel para o próximo deve ocorrer através de uma
seqüência de fases de ensino.
O modelo de van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico pode ser
usado para orientar a formação assim como para avaliar as habilidades dos alunos.
Segue-se abaixo uma caracterização dos nı́veis de van Hiele bem como suas propriedades:
Nı́vel 0 : Visualização: Neste nı́vel os alunos vêem o espaço apenas como algo
que existe em torno deles. Reconhecem as figuras geométricas apenas pela sua forma
(aparência fı́sica), não conseguindo identificar suas partes ou propriedades. São capazes
de reproduzir figuras dadas e aprender um vocabulário geométrico básico.
Nı́vel 1: Análise: É onde começa a análise dos conceitos geométricos. Nesta fase o
aluno começa a discernir as caracterı́sticas e propriedades das figuras, mas não consegue
ainda estabelecer relações entre essas propriedades e nem entende as definições ou vê
inter-relações entre figuras.
Nı́vel 2: Dedução Informal: Aqui o aluno começa a estabelecer inter-relações
de propriedades dentro de figuras e entre figuras, deduzindo propriedades e reconhecendo
classes de figuras. Agora, a definição já tem significado, todavia o aluno ainda não entende
o significado da dedução como um todo ou o papel dos axiomas nas provas formais.
Nı́vel 3: Dedução: Neste estágio o aluno analisa e compreende o processo dedutivo
e as demonstrações com o processo axiomático associado, agora, ele já consegue construir
demonstrações e desenvolvê-las de mais de uma maneira, também faz distinções entre
uma afirmação e sua recı́proca.
Nı́vel 4: Rigor: Agora o aluno já é capaz de trabalhar em diferentes sistemas
axiomáticos; analisa e compreende geometrias não euclidianas. A geometria é entendida
sob um ponto de vista abstrato.
Caracterı́sticas Gerais do Modelo
1 - Seqüencial: O aluno deve necessariamente passar por todos os nı́veis, uma vez
que não é possı́vel atingir um nı́vel posterior sem dominar os anteriores.
2 - Avanço: A progressão ou não de um nı́vel para outro depende mais dos métodos
de ensino e do conteúdo do que da idade ou maturação biológica. Nenhum método de
ensino permite ao aluno pular um nı́vel, alguns acentuam o progresso, mas há alguns que
retardam.
3 - Intrı́nseco e Extrı́nseco: Os objetivos implı́citos num nı́vel tornam-se explı́citos
no nı́vel seguinte.
4 - Lingüı́stica: Cada nı́vel tem sua própria linguagem e um conjunto de relações
interligando-os. Assim, uma relação que é “correta” em um certo nı́vel, pode se modificar
em outro nı́vel.
5 - Combinação inadequada: O professor e o aluno precisam estar raciocinando em
um mesmo nı́vel, caso contrário, o aprendizado não ocorre. Ou seja, professor, material
didático, conteúdo e vocabulário devem estar compatı́veis com o nı́vel do aluno.
Van Hiele propõe que “a transição de um nı́vel para o seguinte não é um processo
natural, ela acontece sob a influência de um programa de ensino-aprendizagem” (van
Hiele, 1986, p. 50). Este programa de ensino-aprendizagem inclui uma seqüência didática
de cinco fases de aprendizado. São elas:
Fase 1: Interrogação informada
Professor e aluno conversam e desenvolvem atividades sobre os objetos do estudo do respectivo nı́vel. Aqui se introduz o vocabulário especı́fico do nı́vel, são feitas
observações e várias perguntas. É uma fase preparatória para estudos posteriores.
Fase 2: Orientação dirigida
Atividades são desenvolvidas para explorar as caracterı́sticas de um nı́vel e isto
deve ser feito através do uso de material selecionado e preparado pelo professor.
Fase 3: Explicação
Agora o papel do professor é de somente orientar o aluno no uso de uma linguagem precisa e adequada. Baseando-se em experiências anteriores os alunos revelam
seus pensamentos e modificam seus pontos de vista sobre as estruturas trabalhadas e
observadas.
Fase 4: Orientação livre
Diante de tarefas mais complexas, os alunos procuram soluções próprias que podem ser concluı́das de maneiras diferentes. Assim, eles ganham experiência ao descobrir
sua própria maneira de resolver tarefas.
Fase 5: Integração
Nesta fase o aluno relê e resume o que foi aprendido, com o objetivo de formar
uma visão geral da nova rede de objetos e relações, assim, o aluno alcança um novo nı́vel
de pensamento.
1.3
Limitações do modelo
Apesar da teoria de van Hiele ser eficiente no processo de ensino-aprendizagem ela
possui algumas limitações nas áreas do desenvolvimento cognitivo, dos objetos da aprendizagem, da geometria, da importância das diferenças individuais e na autonomia dos
estudantes no processo de aprendizagem.
A teoria de van Hiele não possui uma perspectiva psicológica autônoma. Como
já foi dito, ela se apoia na teoria da Gestalt, deixando de fora algumas áreas tais como
a imagética, isso ocorre, por exemplo, na idéia de que “no nı́vel 3 já não é possı́vel usar
estruturas visuais para clarificar idéias” (van Hiele, 1986, p. 141) o que nega o papel que
as imagens mentais desempenham no pensamento de tipo superior.
Do ponto de vista pedagógico, a teoria assume implicitamente que o ensino e a
aprendizagem da Geometria deve seguir um modelo que privilegia a dedução. A teoria não
abrange áreas como medições, trigonometria, ou geometria analı́tica, que são importantes
nas abordagens curriculares contemporâneas.
Um outro problema verificado é que a teoria não produz explicações satisfatórias
na área das diferenças individuais. Nela os alunos são sempre considerados como um grupo
homogêneo e não existem estudantes individuais, com estilos cognitivos diferenciados e
distintas preferências de aprendizagem.
A teoria não aceita que os alunos possam desenvolver um conhecimento matemático
autônomo, e uma das principais contribuições para que isso aconteça é o papel sugerido
pelo professor. “Durante toda a discussão das fases de aprendizagem o professor é considerado como a fonte de conhecimento na sala de aula” (Matos, 1992). Sendo assim, não se
espera que os alunos contribuam com o seu próprio conhecimento ou experiências, nem se
espera que eles desenvolvam produções matemáticas alternativas. Ou seja, a teoria não
permite uma construção do conhecimento, apenas desenvolve o raciocı́nio geométrico.
Apesar de suas limitações a teoria de van Hiele conseguiu sucesso na descrição da
situação na sala de aula e no desenvolvimento curricular. Mas há dois tipos de mudanças
necessárias: mudanças na teoria cognitiva implı́cita e mudanças na caracterização dos
nı́veis.
“Uma primeira mudança necessária consiste no abandono do pressuposto sobre
as “estruturas espontâneas do material”. Esta idéia coloca dificuldades tremendas na
compreensão quer da Matemática sob um ponto de vista cultural e social, quer do processo de produção das idéias matemáticas pelos alunos. Uma segunda mudança, que é
uma conseqüência natural da primeira é a aceitação de que o processo através do qual
modelamos o nosso conhecimento matemático é construtivo. Uma terceira mudança é o
abandono da idéia das descontinuidades na passagem de uns nı́veis para os outros que
deve ser entendida de uma forma contı́nua. A quarta tem a ver com a caracterização
dos nı́veis 3 e 4, exigindo que a compreensão das definições passe para o nı́vel 4” (Matos
1992).
2
2.1
Descrição dos testes e materiais
Modelagem
Para comprovar a eficiência do modelo de van Hiele é necessário se fazer um trabalho
de intervenção pedagógica, através da confecção de atividades com materiais concretos
e/ou jogos e/ou problemas que envolvam situações do cotidiano do aluno, fundamentado
no modelo geométrico de van Hiele e com o apoio da teoria de Piaget.
Ao realizar este trabalho é preciso que o pesquisador estruture dois grupos de
alunos. Como ele não pode escolher aleatoriamente o grupo que receberá a intervenção
pedagógica, pois nesse caso tem-se a obtenção de dados não confiáveis, é fundamental que
a escolha destes grupos seja realizada seguindo o modelo 10 (delineamento com grupo de
controle não-equivalente) de Campbell e Stanley [1]. É importante salientar que existem
outros tipos de modelos para delineamentos, mas o modelo 10 é o que melhor se adapta
a esta situação devido às suas caracterı́sticas.
O delineamento com grupo de controle não - equivalente é um dos mais divulgados
planos experimentais em pesquisa educacional envolvendo um grupo experimental e um
grupo de controle, ambos submetidos a um pré e pós-teste, mas em que o grupo de
controle e o grupo experimental não possuem equivalência amostral pré-experimental.
Pelo contrário, os grupos constituem coletivos naturalmente reunidos, tais como classes
escolares, tão semelhantes quanto a situação o permitir, mas, de qualquer forma, não tão
semelhantes que justifiquem a dispensa do pré-teste.
O modelo 10 é um dos modelos utilizados para garantir a validade de um determinado delineamento experimental. Tal validade é dividida em duas partes:
1 - Validade interna: Aqui existem 8 “agentes influenciadores” no processo de
análise da validação dos efeitos de um estı́mulo experimental num determinado delineamento. Estes agentes devem ser considerados/controlados para a eficiência do processo
interpretativo do delineamento experimental, são eles: história, maturação, testagem,
instrumentação, regressão estatı́stica, vieses causadores de seleção, mortalidade experimental, interação seleção-maturação.
2 - Validade externa: Nesta parte existem 4 “fatores influenciadores” no processo de análise da generalização dos efeitos observados num dado delineamento à outras
situações modelo, são eles: efeito de interação entre testagem e a variável (evento) experimental, efeito de interação de condições experimentais, interferência de tratamentos
múltiplos, interação entre vieses decorrentes da seleção e a variável experimental.
No delineamento 10 os grupos são coletivos compostos de sujeitos reunidos de
forma natural (sem qualquer tipo de similaridade ou equivalência amostral) que serão
reestruturados em dois grupos, segundo opção do experimentador, de forma tal que se
busque similaridade (observada através dos escores no pré-teste) dos mesmos quando do
recrutamento.
Delineamento 10
O1 X O2 grupo experimental
—————
O2 grupo de controle
O1
onde:
O1 : pré-teste
X : intervenção pedagógica
O2 : pós-teste
Segundo este modelo de delineamento, é possı́vel estruturar um grupo experimental e um grupo de controle. Ambos os grupos para serem analisados, em relação a
eficiência ou não do modelo de van Hiele, serão submetidos ao pré-teste e ao pós-teste e
o grupo experimental, a um trabalho de intervenção de ensino.
Os dados desta pesquisa foram colhidos no perı́odo de 25/08/2004 a 01/10/2004.
2.2
Sujeitos
Visando utilizar o método de van Hiele e verificar a sua influência no ensino de
Geometria, foi escolhida a Escola Estadual Maria Conceição de Souza Barbosa, situada
em Uberlândia.
Os sujeitos envolvidos são 55 estudantes de ambos os sexos com em média 11 anos
de idade, cursando a 5a série do 1◦ grau, e 52 crianças de ambos os sexos entre 10 e 12
anos de idade, cursando a 6◦ série do 1◦ grau desta escola.
Após a aplicação do pré-teste a esses alunos, verificou-se que os 28 alunos da 5a /1
e os 26 alunos da 6◦ /1.fariam parte de distintos grupos de controle. Os outros 27 alunos
da 5a /2 e os 26 da 6◦ /2 formaram grupos experimentais.distintos.
2.3
Procedimentos e material
Para a elaboração das questões do pré-teste e do pós-teste, assim como a seleção
de conceitos e objetivos a serem trabalhados na intervenção pedagógica foram considerados o conteúdo de Geometria da proposta curricular para o ensino de Matemática para a
5a e 6a séries do 1◦ grau (2004) oferecido pela escola e os parâmetros curriculares nacionais
relativos a estas séries.
2.3.1
Procedimentos para o pré-teste e para o pós-teste
Para o pré-teste foram elaboradas 10 questões que foram distribuı́das aos alunos
em papel sulfite. As instruções para a resolução das questões foram dadas pelo pesquisador
em voz alta. Tomou-se o cuidado de dar tempo suficiente para os alunos resolverem as
questões.
O pós-teste foi composto pelas mesmas questões do pré-teste.
2.3.2
Intervenção Pedagógica
Tendo por embasamento teórico o modelo de van Hiele e o apoio da Psicologia de
Piaget, tomando por base o conteúdo e os objetivos do ensino de conteúdo de Geometria
da proposta curricular para o ensino de Matemática para a 5a e 6a séries do 1◦ grau (2004),
foram elaboradas diversas atividades destinadas às crianças do grupo experimental que
caracterizam as sessões de intervenção pedagógica, todas realizadas pelo pesquisador.
Foram realizadas 10 sessões que duraram em média 50 minutos cada, para tais
atividades utilizou-se material concreto, problemas que envolviam situações do cotidiano e
outros tipos de exercı́cios. Todas as sessões foram desenvolvidas nos dois primeiros nı́veis
(visualização e análise) do modelo de van Hiele usando suas fases seqüenciais.
2.4
Material
Os materiais utilizados para a execução das atividades foram canudinhos, cartolinas, folhas de jornais, régua, tesoura, papel sulfite, lápis de cor, papel dobra-cor e
também elementos encontrados na sala de aula. Teve-se a preocupação de se utilizar
materiais que pudessem ser facilmente adquiridos pelos alunos.
2.5
Algumas das atividades desenvolvidas nas sessões de intervenção pedagógica
Atividades aplicadas à 5a série:
• Assunto: Perı́metro de um polı́gono
- Seguindo a fase 1 de aprendizado do modelo de van Hiele, começou-se a aula
questionando os alunos sobre o que é perı́metro.
Após esta discussão, foi descrita a situação abaixo, antes de passar para a definição
de perı́metro.
Um terreno de 36 m de frente por 23 m de fundo (lateral), será cercado com um fio
de arame. Quantos metros de fio são necessários para cercar todo o terreno?
Solução: Esse terreno tem a forma de um retângulo. Para calcular quantos metros de
arame são necessários para cercá-lo, fazemos:
36m + 23m + 36m + 23m = 118m
Logo, são necessários 118 m de fio para cercar o terreno.
Agora podemos definir o que é perı́metro.
Perı́metro de um polı́gono é a soma das medidas dos lados desse polı́gono.
Para calcular o perı́metro de qualquer polı́gono basta somar as medidas de seus lados,
utilizando sempre a mesma unidade de medida.
- Construa dois triângulos que possuam o mesmo perı́metro.
- Desenhe um polı́gono que possua 44 cm de perı́metro, usando os canudinhos
como sendo os lados desse polı́gono.
- Num retângulo, a medida da base é 10,4 cm. Sabendo-se que a medida de sua
altura é metade da medida do comprimento, qual é o perı́metro desse retângulo?
• Assunto: Área de figuras
- Seguindo a fase 1 de aprendizado do modelo de van Hiele, começou-se a aula
questionando os alunos sobre o que é área de uma figura. Algumas das respostas dadas
foram: área é um espaço; área é um lugar; área é um terreno.
Após esta discussão partiu-se para a definição de área:
Área de uma figura plana é o número que expressa a medida da superfı́cie dessa figura,
numa certa unidade.
, a área destacada da
- Considerando como unidade de medida o quadradinho
figura abaixo corresponde a quantos quadradinhos?
- Complete o quadro, escrevendo para cada caso a unidade de medida mais adequada, dentre as medidas: centı́metro quadrado, metro quadrado e quilômetro quadrado.
Grandeza a ser medida
a superfı́cie de uma sala
a superfı́cie de um paı́s
a superfı́cie da folha de um livro
a superfı́cie do quadro-negro
a superfı́cie do seu municı́pio
a superfı́cie de um terreno
Unidade de medida mais adequada
- Complete com a unidade de medida mais adequada, usando os sı́mbolos: cm2 ,
m ou km2 .
2
.
a) A medida da superfı́cie terrestre brasileira é 8 511 965
b) A medida da superfı́cie de um terreno é 600
c) A medida da superfı́cie da capa de um livro é 588
.
.
- Construir o metro quadrado utilizando jornal, revista, cartolina ou outro tipo
de material. Lembre-se que para representar 1 m2 você pode construir um quadrado de
1 metro de lado.
como unidade de medida, diga qual é a relação
- Usando o quadradinho
existente entre as áreas das duas figuras seguintes:
- Pinte na tela abaixo três figuras que tenham a mesma área e perı́metros diferentes.
Após a resolução das atividades pelos alunos, discutiu-se as diferentes soluções
encontradas para cada atividade.
Atividades aplicadas à 6a série:
-
Brincadeira do robô;
Procura ao tesouro;
Identificação de ângulos em objetos cotidianos;
Formando ângulos com os ponteiros do relógio;
Classificação de ângulos segundo medidas e propriedades;
Como montar seu próprio transferidor (dobradura);
Como construir a bissetriz brincando (dobradura);
Atividades para fixação de conceitos, entre outras.
Dentre essas atividades, uma que teve participação efetiva dos alunos, a qual
também se mostrou eficaz foi a brincadeira do robô. Tal atividade se desenvolveu da
seguinte forma:
• cada aluno formou sua dupla, segundo afinidades;
• cada dupla brincou uma vez, sendo que as outras crianças permaneceram em silêncio
durante a brincadeira, dando apenas alguns palpites;
• em cada uma das duplas escolheu-se quem seria o robô e quem seria o comandante;
• o robô teve os olhos vendados;
• o comandante escondia um chocolate levado pelo pesquisador, onde quisesse, desde
que respeitasse os limites da sala de aula;
• em seguida o comandante indicava o caminho a ser percorrido pelo robô;
• os comandos eram do tipo: “siga em frente”, “vire à direita”, “vire à esquerda”,
“vire de costas”, “gire segundo um ângulo de 90o ”, “dê uma volta de 180o ”, entre outros.
• A brincadeira só terminava quando o robô encontrava seu “prêmio”.
Tal atividade foi desenvolvida com o intuito de desenvolver uma melhor noção de
ângulos nos alunos, fazendo com que eles percebessem que o ângulo não é só uma região
desenhada no papel, mas que qualquer movimento do corpo pode representar um ângulo.
Os comandos que especificavam medida de ângulo foram usadas no sentido de se observar
até que pontos os alunos tinham noção do “tamanho” de um ângulo.
3
3.1
Análise estatı́stica
Análise dos dados obtidos na 5a série
Os dados a serem analisados foram adquiridos através da aplicação de um préteste e de um pós-teste para os 55 alunos distribuı́dos nos grupos de controle e experimental.
Às 10 questões presentes tanto no pré-teste quanto no pós-teste foram atribuı́dos
1 ponto para os acertos e 0 ponto para os erros.
As questões presentes no pré/pós teste foram, em suma, as seguintes:
1a ) Dê dois exemplos de retângulos que tenham o mesmo perı́metro.
2a ) Determinar o perı́metro de um polı́gono.
3a ) Calcular quantos metros de corda são necessários para contornar um certo triângulo.
4a ) Calcular a área de uma figura (seta) utilizando o quadradinho como unidade de
medida.
5a ) Responder qual parede possui maior área e qual possui menor área.
6a ) Enumerar a segunda coluna de acordo com a primeira em relação a unidade de área.
7a ) Utilizando o quadradinho como unidade de medida, relacionar duas figuras.
8a ) Calcular a área de uma figura (retângulo) utilizando o quadradinho como unidade de
medida.
9a ) Analisar a área do corredor da escola.
10a ) Relacionar perı́metro e área desenhando duas figuras.
Segue-se, a relação do número de acertos e erros, no pré-teste, por questão, encontrada na tabela 1 e a relação do número de acertos e erros, no pós-teste, por questão,
encontrada na tabela 2.
TABELA 1 NÚMERO TOTAL DE ACERTOS DOS SUJEITOS NOS GRUPOS DE CONTROLE (G.C.) E EXPERIMENTAL (G.E.), NO PRÉ-TESTE,
POR QUESTÃO
Questão
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
G.C.
G.E.
Soma pontos % Erros % Acertos Soma pontos % Erros % Acertos
12
57,14
42,86
13
51,85
48,15
13
53,57
46,43
10
62,96
37,04
21
25,00
75,00
22
18,52
81,48
8
71,43
28,57
5
81,48
18,52
18
35,71
64,29
24
11,11
88,89
23
17,86
82,14
19
29,63
70,37
5
82,14
17,86
3
88,89
11,11
19
32,14
67,86
18
33,33
66,67
0
100
0
0
100
0
1
96,43
3,57
0
100
0
TABELA 2 NÚMERO TOTAL DE ACERTOS DOS SUJEITOS NOS GRUPOS DE CONTROLE (G.C.) E EXPERIMENTAL (G.E.), NO PÓS-TESTE,
POR QUESTÃO
Questão
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
G.C.
G.E.
Soma pontos % Erros % Acertos Soma pontos % Erros % Acertos
10
64,29
35,71
17
37,04
62,96
19
32,14
67,86
21
22,22
77,78
22
21,43
78,57
16
40,74
59,26
10
64,29
35,71
23
14,82
85,18
21
25,00
75,00
26
3,7
96,30
23
17,86
82,14
25
7,41
92,59
4
85,71
14,29
13
51,85
48,15
19
32,14
67,86
24
11,11
88,89
0
100
0
1
96,30
3,7
3
89,29
10,71
3
88,89
11,11
Agora, com o objetivo de verificar se a intervenção pedagógica foi eficiente, analisaremos, quantitativamente, os resultados obtidos através das atividades propostas. Para
tal análise, utilizou-se as provas de Wilcoxon e de Mann-Whitney, as quais fazem parte da
estatı́stica não-paramétrica. Tal tipo de estatı́stica é usada, neste caso, pois as técnicas
para obtenção dos dados não são tão rigorosas na especificação de condições acerca dos
parâmetros da população da qual a amostra foi obtida.
O teste T de Wilcoxon é utilizado para comprovar se houve diferença significativa
de resultados dentro dos grupos de controle e experimental no pré e pós-teste.
Já o teste U de Mann-Whitney é usado para verificar se houve diferença significativa dentro dos dois grupos independentes (pré-teste e pós-teste), e comprovar se há
evidências para acreditar que valores de um grupo A são superiores aos valores de um
grupo B.
O número de acertos obtidos pelos sujeitos nos grupos de controle e experimental,
no pré e pós-teste está apresentado na tabela a seguir:
TABELA 3. NÚMERO DE ACERTOS DOS SUJEITOS NOS GRUPOS
DE CONTROLE E EXPERIMENTAL, NO PRÉ E PÓS-TESTE
Sujeito
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
G.C.
Pré-teste
3
7
6
7
2
3
4
4
5
5
6
5
3
6
3
2
4
5
4
5
3
6
3
6
3
3
3
4
Pós-teste
4
7
4
8
4
3
5
2
6
6
7
5
4
6
2
1
6
8
6
3
6
4
4
9
2
4
1
4
G.E.
Pré-teste Pós-teste
4
7
3
5
6
6
3
6
4
5
2
4
6
7
6
7
6
8
3
7
3
6
3
6
6
7
5
6
2
5
5
5
3
6
5
7
2
7
6
8
4
7
2
5
6
5
7
9
3
7
3
4
6
7
-
Analisando, na tabela, os dados obtidos no pré e pós-teste entre o grupo experimental e o de controle, constata-se um aumento considerável de acertos por sujeitos do
grupo experimental. E no grupo de controle, percebe-se que alguns sujeitos apresentam
um maior número de erros no pós-teste.
A análise estatı́stica feita através do teste T de Wilcoxon, que é utilizado para
comparar duas amostras relacionadas, comprova a diferença de resultados existente entre
os grupos controle e experimental no pré e pós-teste.
Segue-se abaixo uma pequena explicação sobre a prova de Wilcoxon.
Este teste é aplicado em dados pareados, considerando o sinal e o valor das
diferenças entre os pares. Neste teste utiliza-se ranks, pois ele atribui postos ao ordenar
as diferenças entre os pares. No caso deste trabalho, o par (Xi , Yi ) é tal que Xi = número
de acertos de cada sujeito no grupo de controle ou no experimental no pós-teste, e Yi =
número de acertos de cada sujeito no grupo de controle ou no experimental no pré-teste.
Método
Considere as diferenças d,i s onde di = Xi − Yi . Deve-se ordenar os d,i s, porém sem
considerar o sinal da diferença (em módulo).
• Grandes Amostras (N > 25)
Considere T sendo a menor soma dos postos de mesmo sinal. No caso de grandes
amostras T tem distribuição aproximadamente Normal e pode-se usar a aproximação
considerando:
μT =
N (N + 1)
e σT =
4
⎧
⎨ N = número de observações
N (N + 1)(2N + 1)
μT = média
, onde
⎩
24
σT = variância
Calcula-se assim a estatı́stica z =
distribuição de Z (Normal Padrão).
T −μT
σT
e compara-se com os valores tabelados da
• Empates
Consideremos duas situações:
a) Quando Xi = Yi , ou seja, a informação pré equivale a informação pós para um mesmo
indivı́duo, descarta-se este par da análise e redefine-se N como sendo o número de
pares tais que Xi = Yi , para i = 1, 2, 3, ..., N.
b) Quando duas ou mais d,i s tem o mesmo valor atribui-se como posto a média dos postos
que seriam atribuı́dos a eles caso não ocorresse empate.
Aplicação do teste T de Wilcoxon com os dados relativos aos grupos experimental e de controle.
TABELA 4. DADOS REFERENTES AO GRUPO DE CONTROLE NO
PRÉ E PÓS-TESTE
Pré-teste
3
6
7
2
4
4
5
5
6
3
3
2
4
5
4
5
3
6
3
6
3
3
3
Pós-teste
4
4
8
4
5
2
6
6
7
4
2
1
6
8
6
3
6
4
4
9
2
4
1
No de acertos do grupo de controle
di
di (em rank) Posto de di
1
-1
-6,5
-2
-1
-6,5
1
-1
-6,5
2
1
6,5
1
1
6,5
-2
1
6,5
1
1
6,5
1
1
6,5
1
1
6,5
1
1
6,5
-1
1
6,5
-1
1
6,5
2
-2
-16,5
3
-2
-16,5
2
-2
-16,5
-2
-2
-16,5
3
-2
-16,5
-2
2
16,5
1
2
16,5
3
2
16,5
-1
3
22
1
3
22
-2
3
22
Soma dos postos de sinal positivo = 174
Soma dos postos de sinal negativo = 102
Como T é a menor soma dos postos de mesmo sinal, logo T = 102.
Agora, deve-se calcular os valores de μT e σT para obter o valor de ”Z” da normal.
23 ∗ 24
μT =
= 138 e σT =
4
102 − 138
= −1, 0949
Logo, z =
32, 8786
23 ∗ 24 ∗ 47
= 32, 8786
24
Consultando a Tábua A, referente às probabilidades associadas aos valores observados
de z na Distribuição Normal, tem-se que P = 2∗0, 1379 = 0, 2758, pois a prova é bilateral.
Agora apliquemos o teste T no grupo experimental.
TABELA 5. DADOS REFERENTES AO GRUPO EXPERIMENTAL NO
PRÉ E PÓS-TESTE
Pré-teste
4
3
3
4
2
6
6
6
3
3
3
6
5
2
3
5
2
6
4
2
6
7
3
3
6
Pós-teste
7
5
6
5
4
7
7
8
7
6
6
7
6
5
6
7
7
8
7
5
5
9
7
4
7
No de acertos do grupo exp.
di
di (em rank) Posto de di
3
-1
-4,5
2
1
4,5
3
1
4,5
1
1
4,5
2
1
4,5
1
1
4,5
1
1
4,5
2
1
4,5
4
2
11,5
3
2
11,5
3
2
11,5
1
2
11,5
1
2
11,5
3
2
11,5
3
3
18,5
2
3
18,5
5
3
18,5
2
3
18,5
3
3
18,5
3
3
18,5
-1
3
18,5
2
3
18,5
4
4
23,5
1
4
23,5
1
5
25
Soma dos postos de sinal positivo = 320, 5
Soma dos postos de sinal negativo = 4, 5
Como T é a menor soma dos postos de mesmo sinal, logo T = 4, 5.
25 ∗ 26
= 162, 5 e σT =
μT =
4
4, 5 − 162, 5
= −4, 2513
Logo, z =
37, 1652
25 ∗ 26 ∗ 51
= 37, 1652
24
Consultando a Tábua A, referente às probabilidades associadas aos valores observados
de z na Distribuição Normal, tem-se que P = 2 ∗ 0, 00003 = 0, 00006, pois a prova é
bilateral.
Na tabela abaixo, encontra-se um resumo da aplicação do teste T nos grupos controle
e experimental.
TABELA 6. PROVA DE WILCOXON PARA DUAS AMOSTRAS RELACIONADAS (PRÉ E PÓS-TESTE)
Amostras relacionadas
Controle pré e cont. pós
Exp. pré e exp. pós
No de sujeitos ”T ”de Wilcoxon ”Z”da normal Nı́vel P
23
102
1,0949
0,2758
25
4,5
4,2513
0,00006
Através do testeT de Wilcoxon e analisando o nı́vel de probabilidade a uma significância de 0, 05 (5%), pode-se afirmar que houve, no grupo experimental, diferença
significativa entre os dados obtidos no pré e pós-teste, pois 0, 00006 está na região de
rejeição da hipótese H0 (resultados do grupo no pré e pós-teste são iguais), logo a intervenção provocou mudanças nos resultados obtidos por este grupo. E analisando o teste
T no grupo de controle, pode-se dizer que não existe, neste grupo, diferença significativa
entre os dados obtidos no pré e pós-teste, pois 0, 2758 está na região de aceitação da
hipótese H0 (resultados do grupo no pré e pós-teste são iguais).
Para comparar os dados obtidos entre os grupos experimental e controle, utilizouse o teste U de Mann-Whitney.
Método do teste U
Primeiramente ordenam-se os valores misturados dos dois grupos, em ordem crescente indicando sempre a que grupo cada valor pertence. Em seguida, fixando-se os valores
referentes ao menor dos grupos, conta-se o número de vezes que um valor de um grupo
precede um valor do outro grupo.
Para saber qual dos grupos deve ser fixado para o cálculo da estatı́stica U , calculase o valor U para cada grupo. Onde U será o menor dos valores e U´será o maior.
• Grandes Amostras (n > 20)
Utiliza-se neste caso a aproximação Normal dada por:
n1 n2
μU =
2
σU =
n1 n2 (n1 + n2 + 1)
12
z=
U − μU
σU
Aplicação do teste U de Mann-Whitney com os dados relativos aos
grupos experimental e de controle.
- Para o pré-teste:
No acertos
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
dos grupos Posto dos dados No acertos dos grupos Posto dos dados
E
3,5
3C
15
E
3,5
3C
15
E
3,5
3C
15
E
3,5
3C
15
C
3,5
4E
27,5
C
3,5
4E
27,5
E
15
4E
27,5
E
15
4C
27,5
E
15
4C
27,5
E
15
4C
27,5
E
15
4C
27,5
E
15
4C
27,5
E
15
5E
35,5
E
15
5E
35,5
C
15
5E
35,5
C
15
5C
35,5
C
15
5C
35,5
C
15
5C
35,5
C
15
5C
35,5
No acertos
5
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
7
7
7
dos grupos Posto dos dados
C
35,5
E
46
E
46
E
46
E
46
E
46
E
46
E
46
E
46
C
46
C
46
C
46
C
46
C
46
E
54
C
54
C
54
Soma de postos do grupo de controle = 795
Soma de postos do grupo experimental = 745
U´(n◦ de E que precede C) = 2 ∗ 4 + 9 ∗ 12 + 5 ∗ 15 + 5 ∗ 18 + 5 ∗ 26 + 2 ∗ 27 = 465
U (n◦ de C que precede E) = 8 ∗ 2 + 3 ∗ 11 + 3 ∗ 16 + 8 ∗ 21 + 26 = 291
μU =
27 ∗ 28
= 378 σU = 59, 3970 z = −1, 4647
2
- Para o pós-teste:
No acertos
1
1
2
2
2
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
dos grupos Posto dos dados No acertos dos grupos Posto dos dados
C
1,5
5E
21,5
C
1,5
5E
21,5
C
4
5E
21,5
C
4
5E
21,5
C
4
5C
21,5
C
6,5
5C
21,5
C
6,5
6E
31,5
E
12,5
6E
31,5
E
12,5
6E
31,5
C
12,5
6E
31,5
C
12,5
6E
31,5
C
12,5
6E
31,5
C
12,5
6C
31,5
C
12,5
6C
31,5
C
12,5
6C
31,5
C
12,5
6C
31,5
C
12,5
6C
31,5
E
21,5
6C
31,5
E
21,5
7E
43,5
No acertos
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
9
9
dos grupos Posto dos dados
E
43,5
E
43,5
E
43,5
E
43,5
E
43,5
E
43,5
E
43,5
E
43,5
E
43,5
C
43,5
C
43,5
E
51,5
E
51,5
C
51,5
C
51,5
E
54,5
C
54,5
Soma de postos do grupo de controle = 604, 5
Soma de postos do grupo experimental = 935, 5
U (n◦ de E que precede C) = 8 ∗ 2 + 2 ∗ 8 + 6 ∗ 14 + 2 ∗ 24 + 2 ∗ 26 + 27 = 243
U´(n◦ de C que precede E) = 2 ∗ 7 + 6 ∗ 15 + 6 ∗ 17 + 10 ∗ 23 + 2 ∗ 25 + 27 = 513
μU =
27 ∗ 28
= 378 σU = 59, 3970 z = −2, 2728
2
TABELA 7. PROVA DE MANN-WHITNEY APLICADA AO
PÓS-TESTE
Amostras
postos cont.
postos exp. ”U ” de M-W ”Z” da normal
Pré
795
745
291
-1,4647
Pós
604,5
935,5
243
-2,2728
PRÉ E
Nı́vel p
0,1442
0,0232
Analisando o teste U de Mann-Whitney e observando o nı́vel de probabilidade a
uma significância de 0, 05 (5%), pode-se afirmar que não houve, em relação ao pré-teste,
diferença significativa entre os dados obtidos no grupo de controle e experimental, pois
0, 1442 está na região de aceitação da hipótese H0 (resultados do pré-teste nos grupos de
controle e experimental são iguais). E através da aplicação do teste U no pós-teste, podese dizer que existe, diferença significativa entre os dados obtidos no grupo de controle
e experimental, pois 0, 0232 está na região de rejeição da hipótese H0 (resultados do
pós-teste nos grupos de controle e experimental são iguais).
Observa-se, através da soma dos postos, que no pré-teste o grupo de controle teve
um número de acertos maior que o grupo experimental. Pode-se notar também, através
da soma dos postos, que no pós-teste o grupo experimental teve um número de acertos
maior que o grupo de controle.
Através do resultado do teste pode-se concluir que o grupo experimental teve um
maior desempenho após a intervenção.
TABELA 8. MÉDIA DO NÚMERO DE ACERTOS DOS SUJEITOS DOS
GRUPOS DE CONTROLE E EXPERIMENTAL, NO PRÉ E PÓS-TESTE
Grupo
Controle
Experimental
3.2
Teste
Pré
Pós
Pré
Pós
Média do no de acertos
5,2857
4,6786
4,2222
6,2593
Análise dos dados obtidos na 6a série
Os dados a serem analisados foram adquiridos através da aplicação de um préteste e de um pós-teste para os 52 alunos distribuı́dos nos grupos de controle (6◦ 1) e
experimental (6◦ 2).
Às 10 questões presentes tanto no pré-teste quanto no pós-teste foram atribuı́dos
1 ponto para os acertos e 0 ponto para os erros.
Os objetivos de cada uma das questões eram:
Questão 1: identificação das partes de um ângulo;
Questão 2: conceituação de ângulo agudo, reto e obtuso;
Questão 3: relação de ângulos com objetos do cotidiano;
Questão 4: diferenciação entre ângulos maiores e menores que um ângulo reto;
Questão 5: diferenciação dos vários tipos de ângulos;
Questão 6: relação de ângulos na circunferência (informalmente);
Questão 7: ângulo entre os ponteiros de um relógio;
Questão 8: uso do transferidor:
Questão 9: definição de bissetriz;
Questão 10: operações com ângulos.
Segue abaixo, a relação do número de acertos e erros, no pré-teste, por questão.
TABELA 9: PORCENTAGEM DE ERROS NAS 10 QUESTÕES DO PRÉTESTE PARA 26 ALUNOS DE CADA GRUPO
N◦ de acertos
Questão
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
G C.
pontos % erros
23
12%
13
50%
4
85%
8
65%
6
77%
5
81%
5
81%
18
31%
5
81%
2
92,3%
% acertos
88%
50%
15%
35%
23%
19%
19%
69%
19%
7,7%
G E.
pontos % erros % acertos
12
54%
46%
6
77%
23%
0
100%
0%
7
73%
27%
3
89%
11%
0
100%
0%
1
96,2%
3,8%
15
42,1%
57,9%
9
65,4%
34,6%
0
100%
0%
TABELA 10: PORCENTAGEM DE ERROS NAS 10 QUESTÕES DO
PÓS- TESTE PARA 26 ALUNOS DE CADA GRUPO
N◦ de acertos
Questão
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
G C.
pontos % erros
18
38,8%
9
65,4%
7
73%
10
61,5%
3
88,5%
6
77%
2
92,3%
18
30,8%
3
88,5%
2
92,3%
% acertos
69,2%
34,6%
27%
38,5%
11,5%
23%
7,7%
69,2%
11,5%
7,7%
G E.
pontos % erros % acertos
14
46,2%
53,8%
17
34,7%
65,3%
17
34,7%
65,3%
16
38,5%
61,5%
15
42,1%
57,9%
14
46,2%
53,8%
9
65,4%
34,6%
23
11,5%
88,5%
15
34,8%
65,2%
2
92,5%
7,7%
TABELA 11. PONTUAÇÃO DOS SUJEITOS NOS GRUPOS DE CONTROLE E EXPERIMENTAL, NO PRÉ E PÓS-TESTE
N◦ de acertos
Sujeito G.C.(6◦ 1)
Pré
01
10
02
8
03
4
04
3
05
4
06
9
07
5
08
0
09
2
10
1
11
0
12
2
13
1
14
1
15
3
16
2
17
3
18
2
19
1
20
5
21
2
22
2
23
6
24
6
25
4
26
2
Pós
7
9
3
4
4
9
5
1
3
3
2
4
2
1
2
1
3
4
0
2
2
0
5
4
2
2
G.E.(6◦ 2)
Pré
Pós
3
7
3
6
1
7
2
1
2
9
1
8
5
10
2
5
0
2
0
2
2
6
4
10
2
4
2
7
1
2
1
3
1
6
0
1
1
2
3
7
4
5
3
4
3
8
2
5
4
8
4
9
Analisando, na tabela, os dados obtidos no pré e pós-teste entre o grupo experimental e o de controle, constata-se um aumento considerável de acertos por sujeitos do
grupo experimental. E no grupo de controle, percebe-se que alguns sujeitos apresentam
um maior número de erros no pós-teste.
A análise estatı́stica feita através do teste T de Wilcoxon, que é utilizado para
comparar duas amostras relacionadas, comprova a diferença de resultados existente entre
os grupos controle e experimental no pré e pós-teste.
TABELA 12: DADOS REFERENTES AO GRUPO DE CONTROLE NO
PRÉ E PÓS TESTE
di
-3
1
-1
1
0
0
0
1
1
2
2
2
1
0
-1
-1
0
2
-1
-3
0
-2
-1
-2
-2
0
Posto de di
-5,5
-5,5
-5,5
-5,5
-5,5
5,5
5,5
5,5
5,5
5,5
-14
-14
-14
14
14
14
14
-18,5
-18,5
Ranking
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
-2
-2
-2
2
2
2
2
-3
-3
Soma de postos de sinal +: 83, 5
Soma de postos de sinal -: 106, 5
Como T é a menor soma dos postos de mesmo sinal, logo T = 83, 5
19 ∗ 20 ∗ 39
19 ∗ 20
μT =
= 95 e σT =
= 24, 84954
4
24
83, 5 − 95
= −0, 462785
Logo, z =
24, 84954
Consultando a Tábua A, referente às probabilidades associadas aos valores observados de z na Distribuição Normal, tem-se que P = 2 ∗ 0, 3228 = 0, 6456, pois a prova é
bilateral.
H0: não houve diferença significativa
Para o nı́vel de significância de 0, 05 (5%) no nı́vel P , se P < 0, 05 rejeita-se H0. Se
P > 0, 05aceita-se H0. Assim, como P = 0, 6456 > 0, 05, aceita-se H0, ou seja, não
houve diferença significativa entre os testes.
TABELA 13: DADOS REFERENTES AO GRUPO EXPERIMENTAL NO
PRÉ E PÓS TESTE
di
4
3
6
-1
7
7
5
3
2
3
4
6
2
5
1
2
5
1
1
4
1
1
5
3
4
5
Posto de di
-3,5
3,5
3,5
3,5
3,5
3,5
8
8
8
11,5
11,5
11,5
11,5
15,5
15,5
15,5
15,5
20
20
20
20
20
23,5
23,5
25,5
25,5
Ranking
-1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
7
7
Soma de postos de sinal +: 347, 5
Soma de postos de sinal -: 3, 5
Como T é a menor soma dos postos de mesmo sinal, logo T = 3, 5
26 ∗ 27
= 175, 5 e σT =
μT =
4
3, 5 − 175, 5
= −4, 3684
Logo, z =
39, 3732
26 ∗ 27 ∗ 53
= 39, 3732
24
Consultando a Tábua A, referente às probabilidades associadas aos valores observados de z na Distribuição Normal, tem-se que P = 2 ∗ 0, 00003 = 0, 00006, pois a prova
é bilateral.
H0: não houve diferença significativa
Para o nı́vel de significância de 0, 05 (5%) no nı́vel P , se P < 0, 05 rejeita-se H0. Se
P > 0, 05 aceita-se H0. Assim, como P = 0, 00006 < 0, 05, rejeita-se H0, ou seja,
houve diferença significativa entre os testes.
TABELA 14. PROVA DE WILCOXON PARA DUAS AMOSTRAS RELACIONADAS (PRÉ E PÓS-TESTE)
Amostras
N◦ de sujeitos
Cont. pré e pós
19
Exp. pré e pós
26
”T”de Wilcoxon ”Z”da normal Nı́vel P
83,5
0,4627
0,6456
3,5
4,3684
0,00006
Agora, iremos aplicar o teste ”U ”de Mann-Whitney que faz uma comparação entre os grupos.
TABELA 15. DADOS REFERENTES AOS GRUPOS EXPERIMENTAL
E DE CONTROLE NO PRÉ-TESTE
N◦ de acertos Postos N◦ de acertos Postos
0E
3
2C
22,5
0E
3
2C
22,5
0E
3
2C
22,5
0C
3
3E
33,5
0C
3
3E
33,5
1E
10,5
3E
33,5
1E
10,5
3E
33,5
1E
10,5
3E
33,5
1E
10,5
3C
33,5
1E
10,5
3C
33,5
1E
10,5
3C
33,5
1C
10,5
4E
41
1C
10,5
4E
41
1C
10,5
4E
41
1C
10,5
4E
41
2E
22,5
4C
41
2E
22,5
4C
41
2E
22,5
4C
41
2E
22,5
5E
46
2E
22,5
5C
46
2E
22,5
5C
46
2E
22,5
6C
48,5
2C
22,5
6C
48,5
2C
22,5
8C
50
2C
22,5
9C
51
2C
22,5
10C
52
Soma
Soma
U’(n◦
U (n◦
de postos do grupo de controle = 771
de postos do grupo experimental = 607
de E que precede C) = 2 ∗ 3 + 4 ∗ 9 + 7 ∗ 16 + 21 ∗ 3 + 25 ∗ 3 + 26 ∗ 7 = 474
de C que precede E) = 2 ∗ 6 + 6 ∗ 7 + 13 ∗ 5 + 16 ∗ 4 + 19 ∗ 1 = 202
μU = 338 σU = 54, 64 z = −2, 49
TABELA 16. DADOS REFERENTES AOS GRUPOS EXPERIMENTAL
E DE CONTROLE NO PÓS-TESTE
N◦ de acertos Postos N◦ de acertos Postos
0C
1,5
4C
27
0C
1,5
4C
27
1C
5
4E
27
1C
5
4E
27
1C
5
5C
33
1E
5
5C
33
1E
5
5E
33
2C
12,5
5E
33
2C
12,5
5E
33
2C
12,5
6E
37
2C
12,5
6E
37
2C
12,5
6E
37
2C
12,5
7C
41
2C
12,5
7E
41
2E
12,5
7E
41
2E
12,5
7E
41
2E
12,5
7E
41
3C
19,5
8E
45
3C
19,5
8E
45
3C
19,5
8E
45
3C
19,5
9C
48,5
3E
19,5
9C
48,5
3E
19,5
9E
48,5
4C
27
9E
48,5
4C
27
10E
51,5
4C
27
10E
51,5
Soma de postos do grupo de controle = 522, 5
Soma de postos do grupo experimental = 849, 5
U (n◦ de E que precede C) = 124
U’ (n◦ de C que precede E) = 530
μU = 338 σU = 54, 64 z = −3, 91
TABELA 17. PROVA DE MANN-WHITNEY APLICADA AO PRÉ E
PÓS-TESTE
Amostras
postos C Soma postos E ”U”de M.W. ”Z”da normal Nı́vel p
Pré
771
607
202
-2,49
0,0064
Pós
522,5
855,5
124
-3,91
0,00005
Análise: H0: Não houve diferença significativa
Se p < 0, 0003 rejeita-se H0
Se p > 0, 0003 aceita-se H0
Observa-se que no pré-teste, o grupo de controle (6◦ 1) teve um número de acertos
maior que o do grupo experimental (6◦ 2), entretanto, esta diferença não foi significativa,
o que fica comprovado pelo teste T de Mann Whitney, com Z = −2, 49 e p = 0, 0064 >
0, 0003.
Pode-se notar também que no pós-teste, o grupo experimental (6◦ 2), teve um
número de acertos maior que o do grupo de controle (6◦ 1), e que esta diferença foi significativa, o que fica comprovado pelo teste T de Mann Whitney, com Z = −3, 91 e
p = 0, 00005 < 0, 0003.
Em outras palavras, os resultados obtidos nos dois testes estatı́sticos comprovam
que a teoria de van Hiele foi eficiente no ensino de Geometria para a 6◦ série do ensino
fundamental.
TABELA 18. MÉDIA DO NÚMERO DE ACERTOS DOS SUJEITOS DOS
GRUPOS DE CONTROLE E EXPERIMENTAL, NO PRÉ E PÓS-TESTE
Grupo
Controle
Experimental
4
Teste
Pré
Pós
Pré
Pós
Média do n◦ de acertos
3,42
3,23
2,11
5,57
Considerações Finais
O presente trabalho foi desenvolvido com base no modelo de desenvolvimento
do pensamento geométrico segundo a teoria de van Hiele e também, nas contribuições da
Psicologia Genética Piagetiana.
Ressalta-se que o modelo de van Hiele fundamenta-se na teoria de que o desenvolvimento mental está ligado às mudanças cognitivas dos alunos e em experiências
educacionais, e, está baseado em três elementos: a influência da Psicologia da Gestalt,
uma forte base estruturalista e a preocupação com a didática da Matemática.
Para comprovar a eficiência do modelo de van Hiele foi necessária a escolha de
dois grupos de alunos para cada série, sendo um de controle e o outro experimental. Para
selecionar os alunos que iriam compor tais grupos, levou-se em consideração o resultado do
pré-teste e foi intencionalmente escolhida a classe que apresentou menor ı́ndice de acertos
no pré-teste para compor o grupo experimental, o qual sofreu a intervenção pedagógica.
Fundamentando-se no modelo geométrico de van Hiele e com o apoio da teoria de Piaget, foram elaboradas, para as sessões de intervenção, atividades geométricas
explorando-se material concreto, e observando-se a evolução do desenvolvimento do pensamento geométrico dos sujeitos desta pesquisa, segundo os nı́veis 0 (visualização) e 1
(análise), identificados por van Hiele.
A análise dos resultados mostrou que ao final do processo de intervenção os alunos
do grupo experimental apresentaram modificações nı́tidas em relação aos nı́veis de van
Hiele, enquanto que os alunos do grupo de controle não apresentaram evolução significativa
nas questões do pós-teste e alguns até apresentaram desempenho inferior ao verificado no
pré-teste, indicando assim a vantagem da intervenção baseada na teoria de van Hiele.
Verificou-se, através dos dados obtidos, que o processo de intervenção não atingiu
igualmente todos os sujeitos, pois o processo educativo é de grande complexidade, envolvendo inúmeras variáveis dentre as quais o nı́vel cognitivo dos alunos, suas experiências
anteriores e também as condições sócio-econômicas em que vivem.
A análise de dados coletados para este trabalho representa uma contribuição para
a ampliação dos conhecimentos existentes sobre o processo ensino – aprendizagem de
Geometria e possı́veis implicações pedagógicas que possam advir a nı́vel da Educação
Matemática.
Os dados indicam, também, que é importante um maior investimento em pesquisas
em relação ao ensino de Geometria, levando em conta a comprovação da eficiência do
modelo de van Hiele, especialmente no primeiro grau. Este trabalho também mostra que
existem possibilidades interessantes em atividades semelhantes às desenvolvidas nesta
pesquisa que podem melhorar o ensino de Geometria no 1◦ grau.
Essas considerações mostram que um educador interessado na evolução cognitiva
de seus alunos, não pode apenas restringir-se ao conhecimento do conteúdo a ser desenvolvido em sala de aula. Ao invés de transmitir o conhecimento pronto é necessário
buscar estratégias de ensino que favoreçam o interesse e a motivação dos alunos. O professor deve criar situações de encorajamento em sala de aula, que leve os estudantes a buscar
respostas para suas perguntas. Como esse tipo de atitude requer muita habilidade por
parte do docente, muitos deles ensinam Geometria somente seguindo o livro didático, o
que implica no desinteresse em aprender por parte dos alunos, gerando assim, uma espécie
de caos no ensino em geral.
Portanto, é sempre importante que o profissional em educação busque formas
eficazes que melhorem a qualidade do processo ensino – aprendizagem, como por exemplo,
o modelo de van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico.
5
Referências Bibliográficas
[1] CAMPBELL, D.T. e STANLEY, J.C. Delineamentos experimentais e quaseexperimentais de pesquisa. E.P.U. Edusp, 1979.
[2] CROWLEY, M. L. O modelo de desenvolvimento do pensamento geométrico. In
Aprendendo e ensinando geometria. Lindquist, Mary Montgomery e Shulte, Albert P.
(org), trad. De Hygino H. Domingues, São Paulo, Atual 1994.
[3] GUIMARÃES, P.R.B. Estatı́stica não-paramétrica. Universidade Federal do Paraná,
Departamento de Estatı́stica, outubro 2002.
[4] LUJAN, M.L; A Geometria na 1o série do 1o grau: Um trabalho na perspectiva de
van Hiele. Tese de Mestrado-Universidade Estadual de Campinas – Unicamp/Campinas/SP,
1997.
[5] MATOS, J.M. Acomodando a teoria de van Hiele a modelos cognitivos idealizados.
In Quadrante I, (pág.93-112), 1992.
[6] NASSER, L. A teoria de van Hiele: pesquisa e aplicação. Trabalho apresentado no
1 Seminário Internacional de Educação Matemática. UFRJ, 1993.
o
[7] SIEGEL, S. Estatı́stica não paramétrica para as ciências do comportamento. McGRAWHILL, 1975.
[8] MATOS, J.M. Cronologia recente do ensino da Matemática [recente chronology of
mathematics teaching]. Lisbon: Associação de Professores de Matemática,1985.
[9] MATOS, J.M. Cognitive models in geometry. In J.P. Ponte, D. Fernandes, J.F.
Matos, & J.M. Matos (Eds.), Mathematical problem solving and information technologies:
Research in contexts of practice (Berlim: Springer).
[10] VAN HIELE, P.M. Structure and Insight. Academic Press – 1986.
[11] VAN HIELE-GELDOF, DINA. “Dissertation of Dina van Hiele-Geldof Entitled:
The Ditactic of Geometry in the lowest Class of Secondary School”. Em English Translation of Selected Wrintings of Dina van Hiele-Geldof and Pierrre M. van Hiele, editado
por por Dorothy G., David F. e Rosamond T. como parte do projeto de pesquisa “An
investigation of the van Hiele model od thinking in geometry among adolescents”, Research in Sciense Education (RISE), Program of the National Science Foundation, Grant
no 7920640. Washington, D.C.:NSF 1984a. (Trabalho original publicado em 1957).
[12] http://www.gestaltsp.com.br/gestalt.htm.
UMA INTRODUÇÃO À MECÂNICA CLÁSSICA:
FORÇA CENTRAL E MOVIMENTO PLANETÁRIO
Neilon José de Oliveira*
Márcio José Horta Dantas†
Faculdade de Matemática - Famat
Universidade Federal de Uberlândia - UFU- MG
Julho de 2005
Resumo
Partindo dos princípios da Mecânica Clássica que são as Leis de Newton, dadas como
postulados da Mecânica, definimos Força Central. A partir disto reescrevemos as equações do
movimento de uma partícula sobre a ação desta força em coordenadas polares. Através delas
mostramos que o movimento de uma partícula em um campo de força central ocorre em um
plano fixo. Mostramos que o momento angular e a energia de uma partícula que se move em tal
campo são conservados, e também as três leis de Kepler para o movimento planetário. Um
outro resultado obtido, é que dada uma força central, é possível determinar a órbita (ou
trajetória) da partícula, que pode ser uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola. E também
resolvemos o problema inverso, ou seja, se for conhecida a órbita da partícula, então podemos
calcular a força central correspondente.
1
INTRODUÇÃO
A Física é um ramo da ciência que tem contribuído significativamente para facilitar
nossa vida. As conquistas associadas a elas impulsionaram e aperfeiçoaram diversas áreas do
conhecimento humano: a engenharia, a agricultura, a astronomia, etc.
Telescópios, microscópios, rádios, televisores, geladeiras, computadores, telefones,
lâmpadas e automóveis são exemplos da capacidade criativa dos seres humanos associados à
Física, cujo campo de criação se estende desde o conhecimento das galáxias até às partículas
elementares da matéria.
Um dos assuntos mais importantes da Física é o estudo do movimento. A parte da
Física que estuda este assunto é a mecânica, que por sua vez divide-se em duas outras partes,
de acordo com o tipo de movimento que aborda. Uma dessas partes é a cinemática, que estuda
os movimentos sem se preocupar com as causas que os produzem. É como se você estivesse
andando de carro e prestasse atenção apenas ao caminho que ele percorre, ao tempo que ele
gasta para percorrer este caminho, a sua velocidade e aceleração. A força exercida pelo motor,
a resistência do ar, a ação dos freios, a potência deste motor, dentre outros, são estudadas em
dinâmica, que é a outra parte da mecânica que estuda o movimento do ponto de vista de suas
causas.
*
[email protected] Orientando do Curso de Pós Graduação da Faculdade de Matemática (Famat)
de jan/04 a jul/05
†
Mas quando estudamos as causas de um movimento surge a necessidade de saber
outros conceitos. Por exemplo, uma maneira de descrever a atuação de uma força sobre um
corpo é relacionar esta força com o deslocamento ao longo do qual ela age. Esta descrição
leva ao conceito de trabalho de uma força. Por outro lado, quando analisamos a ação da
força ao longo de determinado intervalo de tempo, somos conduzidos ao conceito de impulso
de uma força (momentum). Da definição de trabalho de uma força decorre um conceito
importante em nosso cotidiano. É o conceito de energia. Fontes de energia e o seu
aproveitamento são temas que sempre estiveram presentes na história da civilização. Por outro
lado, da definição de impulso de uma força, temos o conceito de quantidade de movimento,
grandeza chave para o entendimento das interações.
No entanto, a Física se baseia em medições. Assim ao tentar explicar o movimento de
um corpo, há uma necessidade também de quantificar as grandezas e descrever sua trajetória.
Para isto vários conceitos matemáticos foram desenvolvidos como vetores e operações
vetoriais, derivada, integral, funções e suas propriedades, etc.
Durante séculos, vários cientistas no mundo inteiro se preocuparam em desenvolver
algoritmos, operadores, métodos geométricos, para resolver problemas do cotidiano, em que
um deles era explicar o movimento dos planetas, estrelas e galáxias.
Olhando para o céu e acompanhando o movimento do sol, e da Lua, o dos outros
planetas e as demais estrelas, temos a nítida impressão de que tudo se movimenta ao redor da
Terra. Com base nessas “evidências”, a humanidade aceitou, durante 2000 anos
aproximadamente, a teoria geocêntrica, acreditando que a terra fosse o centro do Universo.
Assim também nos parece evidente que a existência de um movimento está intimamente
ligado, a existência de uma força. Mas, às vezes aquilo que parece ser evidente acaba se
revelando falso após uma verificação acurada, através de medições e cálculos, e é nesta parte
que entra a ajuda tão importante do matemático-físico.
Ao longo da história, tais observações imprecisas têm contribuído para vários
equívocos a respeito da relação entre força e movimento, que são os temas abordados neste
trabalho, Forças Centrais e o Movimento Planetário. Nesta monografia apresentamos o
comportamento de uma partícula sob ação de um campo de força central e as três leis de
Kepler, as quais constituem a cinemática do movimento planetário. E também foi abordado,
como Newton, baseando-se nos trabalhos de Kepler, desenvolveu a Dinâmica do movimento
dos planetas e descobriu uma das leis fundamentais da natureza: a lei da Gravitação
Universal.
2
UM BREVE HISTÓRICO – ORIGEM DA FÍSICA
A física originou-se na Antiguidade, onde se acreditava que fenômenos da natureza
como chuva, trovão, nascimento, morte, dia, noite, etc. eram acontecimentos provenientes
dos deuses, onde para o homem era tudo sagrado. Dentro destes fenômenos destacava a
beleza esplêndida do arco-íris, que para a Bíblia, significava que era uma manifestação da
tolerância divina perante a insensatez humana.
Antes de o homem criar a linguagem escrita, marco do inicio da civilização, o homem
já estava em contato com as formas de seres e objetos existentes no mundo. Para sobreviver, o
homem criou nos tempos primitivos, centenas de objetos com as suas variadas formas, como
utensílios domésticos, armas de caça, armas de defesa, calçados, roupas, etc. Os seres
humanos da antiguidade já retratavam em suas pinturas e esculturas, as formas de animais,
paisagens e objetos com os quais mantinham contatos.
Chineses, egípcios, assírios, babilônios e especialmente gregos deram grandes
contribuições ao estudo das formas, veja [T] . A natureza sempre cercou os seres humanos de
uma rica variada de configurações geométricas. Teses sobre curvas, superfícies e volumes
devem ter surgido na mente humana após uma observação de seu meio ambiente. Por
exemplo: o arco-íris no céu sugere uma curva de bolhas de água que tem a forma de um
hemisfério e os troncos das árvores de cilindros. Admiravelmente, o homem pré-histórico foi
capaz de transformar o conhecimento sobre o espaço sobre a sua volta numa espécie de
geometria rudimentar prática da qual ele de alguma forma se utilizou para construir moradia,
tecer, confeccionar vasos, etc...
Ao contemplar o firmamento, o homem havia percebido que corpos celestes
descreviam movimentos cíclicos, como se todos estivessem incrustados dentro de uma esfera
gigante a esfera celeste. “A duração de dia e de noite foram as primeiras aplicações da ciência
visando a melhoria da ciência na sua vida cotidiana”. Os formuladores desta “física” eram
sacerdotes, profetas, magos, pessoas que muitas vezes em meio a rituais e invocações
místicas, faziam recomendações, profecias, previsões, elaboravam remédios e porções
mágicas. Não se podia dizer que esses sacerdotes e magos eram cientistas nem o que faziam
pudesse ser chamado de ciência, pois abordavam muito misticismo e magia.
Mais tarde, foram possíveis estabelecer propriedades gerais a partir da observação de
situações geométricas semelhantes. Com o desenvolvimento da linguagem e com o uso da
palavra, tal percepção quantitativa, aumentou tanto e chegou a tal nível de sofisticação que
permitiu as determinadas culturas definir as grandezas das coisas através de um sistema de
numeração que eram acompanhados por alguns símbolos (palavras, pictogramas e sinais
gráficos), no qual estrutura-se em dois princípios: o 1º principio de ordenamento ou
disposição que permitiu distinguir o primeiro símbolo (um) do segundo (dois), e outro se
refere ao agrupamento, que estabeleceu a expansão das idéias, com a combinação de
resultados, veja [T].
A astronomia egípcia conseguiu sua hegemonia, ou seja, seu espaço e objetivos. Os
egípcios adotaram um instrumento muito preciso na verificação do tempo, o relógio de sol,
que constituía basicamente de uma haste fincada ao solo. O homem nessas remotas épocas
verificou a variação do comprimento de uma sombra ao longo do dia. Sendo que com o passar
do tempo, ele conseguiu verificar que a sombra era bastante comprida ao nascer do sol, que
ela ia diminuindo até atingir seu mínimo ao meio dia, e depois crescer ao pôr-do-sol. Há dois
milênios, civilizações antigas tinham descoberto que o intervalo de tempo entre dois
comprimentos iguais da sombra do meio dia é 365 dias, que corresponderia a um ano solar.
Neste mesmo período, deu-se a definição de ângulos e de medidas de ângulos, que estavam
ligados a unidade de tempo. Sendo assim criaram um instrumento para a medição de ângulos
pelo qual eles chamaram de quadrante, útil para determinar a distância que uma embarcação
se encontrava da terra.
Passados alguns séculos, surgem na Grécia, grandes pensadores filosóficos. Dentre
seus principais objetivos estava o de achar o princípio de todas as coisas, saber o motivo da
existência do universo e do homem. Foi daí que surgiu a divisão desse mundo chamado
ciência em subdivisões importantes como: a biologia, a ecologia, a geologia, a química, a
física, a matemática e muitas outras.
Entre estes pensadores podemos citar:
Tales de Mileto (624-548 a.C). Foi considerado um dos sete sábios da antiguidade. Fala-se
que Tales havia previsto o eclipse solar de 585 a.C, mas sobre isto não há relatos precisos para
essa afirmação, visto que não haveria tabelas astronômicas nesta época. Tales causou grande
admiração ao medir a altura da grande pirâmide. Pitágoras (572 a. C.), que fundou em
Crotona na Itália uma escola, onde fez grandes contribuições à matemática. Eudóxio, Platão,
Arquimedes, Aristóteles, Euclides, todos estes grandes filósofos e matemáticos, e outros mais,
contribuíram muito para o desenvolvimento da ciência atual, veja [T].
Podemos observar que a astronomia é uma das mais antigas das ciências. A quantidade
e a precisão dos dados astronômicos, conseguidos desde épocas remotas, são realmente
surpreendentes. Isto se deve, provavelmente, à influência que os fenômenos celestes exerciam
sobre os povos mais antigos. Assim, a necessidade de se estabelecer épocas de plantio e
colheita e sua relação com as posições do Sol, da Lua e das estrelas, levou os astrônomos da
Antiguidade a coletar um grande número de dados sobre os movimentos destes astros.
As primeiras tentativas para explicar o movimento dos corpos celestes são devidas aos
gregos, no século IV a. C. Tentando reproduzir os movimentos destes corpos, os gregos
estabeleceram um modelo no qual a Terra era situada no centro do Universo (teoria
geocêntrica) e os planetas, bem como o Sol, a Lua e as estrelas estariam incrustadas em
esferas que giravam em torno da Terra. Com este modelo consegui-se descrever, com
aproximação razoável, os movimentos dos corpos no céu. Na tentativa de melhor ajustar o
modelo aos fatos observados, os gregos tiveram que lançar mão de um grande número de
esferas para explicar o movimento de um único planeta. Isto tornou o universo grego muito
complicado e, durante muitos anos, várias tentativas foram feitas para se conseguir um
modelo mais simples, veja [A].
As relações entre força e movimento sempre foram objeto de estudo desde a
Antiguidade. O filósofo Aristóteles (384 – 322 a. C.), por exemplo, analisando estas relações,
acreditava que um corpo só poderia permanecer em movimento se existisse uma força
atuando sobre ele. Então, se um corpo estivesse em repouso e nenhuma força atuasse sobre
ele, este corpo permaneceria em repouso. Quando uma força agisse sobre o corpo, ele se poria
em movimento mas, cessando a ação da força, o corpo voltaria ao repouso. Por outro lado
Aristóteles também acreditava que abandonando corpos leves e pesados de uma mesma altura,
seus tempos de queda não seriam iguais. Aristóteles também acreditava na teoria geocêntrica.
Nas tentativas de simplificação do modelo grego, aquela que obteve maior êxito foi a
teoria geocêntrica do grande astrônomo Ptolomeu, que viveu em Alexandria, no século II a.
C. Ptolomeu supunha que os planetas moviam-se em círculos, cujos centros giravam em torno
da Terra. Com isto, além de apresentar um modelo mais simples do que os dos gregos ele
conseguiu um melhor ajustamento aos movimentos observados no céu. Em virtude da
razoável precisão das previsões feitas com o sistema de Ptolomeu e, além disso, como a sua
teoria, supondo a Terra no centro do Universo, se adaptasse muito bem à filosofia religiosa da
Idade Média as idéias de Ptolomeu perduraram durante praticamente 13 séculos.
O astrônomo polonês, Nicolau Copérnico (1473 – 1543), apresentou um modelo mais
simples, onde o Sol estaria em repouso e os planetas, inclusive a Terra giravam em torno dele
em órbitas circulares (teoria heliocêntrica). Com sua teoria heliocêntrica, Copérnico
conseguiu uma descrição dos movimentos dos corpos celestes tão satisfatória quanto aquela
obtida através do sistema de Ptolomeu, com a vantagem de ser um modelo mais simples do
que o geocêntrico. Entretanto, um sistema em que o Sol era considerado imóvel e a Terra
passava a ser um planeta em movimento era fundamentalmente contra as convicções
religiosas da época. Em virtude disto Copérnico relutou muito em publicar suas idéias. O livro
no qual Copérnico apresentava a sua teoria causou grandes polêmicas e terminou sendo
colocado na lista dos livros proibidos pela igreja.
Galileu Galilei, físico e astrônomo italiano.
Figura 1
Introduzindo o método experimental para o estudo dos fenômenos físicos, Galileu
Galilei (1564 – 1642) realizou uma série de experiências que o levaram a conclusões
diferentes daquelas de Aristóteles, ou seja, que um corpo podia estar em movimento sem a
ação de uma força que o empurrasse e que abandonando de uma mesma altura, um corpo leve,
e um corpo pesado caem simultaneamente, atingindo o chão no mesmo instante. Galileu é
considerado o introdutor do método experimental na Física, acreditando que qualquer
afirmativa relacionada com um fenômeno deveria estar fundamentada em experiência e em
observações cuidadosas. Este método de estudos dos fenômenos da natureza não era adotado
até então e, por isso mesmo, várias conclusões de Galileu entraram em choque com os
ensinamentos de Aristóteles. As experiências de Galileu o levaram a atribuir a todos os corpos
uma propriedade, denominada inércia, pela qual um corpo tende a permanecer em seu estado
de repouso ou de movimento.
Além de seus trabalhos no campo da Mecânica, Galileu deu também enorme
contribuição para o desenvolvimento da Astronomia. Em virtude de sua grande habilidade
experimental, ele conseguiu construir o primeiro telescópio pra uso em observações
astronômicas. Com este instrumento, realizou uma série de descobertas, quase todas
contrariando as crenças filosóficas e religiosas da época, as quais eram baseadas nos
ensinamentos de Aristóteles. A partir destas descobertas, Galileu passou a defender e a
divulgar a teoria de que a Terra, assim como os demais planetas, se movem em torno do Sol,
como afirmava o astrônomo Copérnico em sua teoria heliocêntrica. Estas idéias foram
apresentadas em sua obra “Diálogos sobre os Dois Grandes Sistemas do Mundo” publicada
em 1632. A obra foi condenada pela igreja e Galileu foi taxado de herético, preso e submetido
a julgamento pela Inquisição em 1633. Para evitar que fosse condenado à morte Galileu se viu
obrigado a renegar suas idéias através de uma “confissão”, lida em voz alta perante o Santo
Conselho da Igreja, veja [T].
Alguns anos depois, o astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, começou a desenvolver
um importante trabalho no sentido de obter medidas mais precisas das posições dos corpos
celestes. Em seu observatório, muito bem equipado para a época, Tycho Brahe realizou,
durante cerca de 20 anos, rigorosas observações planetárias, verificando que o sistema de
Copérnico não se adaptava satisfatoriamente a essas observações.
Os dados colhidos por Tycho Brahe, cuidadosamente tabelados, constituíram a base do
trabalho que foi desenvolvido, após sua morte, por seu discípulo, o astrônomo alemão
Johannes Kepler (1571 – 1630). Entusiasmado pela simplicidade do sistema de Copérnico,
Kepler acreditava que seria possível realizar alguma correção neste modelo, de modo a tornálo mais ajustado aos movimentos dos corpos celestes realmente observados. Desenvolveu seu
trabalho analisando cuidadosamente, com grande habilidade matemática, durante cerca de 17
anos, a grande quantidade de dados coletados por Tycho Brahe.
Johannes Kepler, astrônomo alemão.
Figura 2
O trabalho de Kepler foi coroado de êxito, tendo conseguido descobrir as três leis
sobre o movimento dos planetas, que deram origem ao nascimento da Mecânica Celeste.
No dia de Natal de 1642, ano da morte de Galileu, nascia em uma pequena cidade da
Inglaterra, Isaac Newton (1642 – 1727), o grande físico e matemático que formulou as leis
básicas da Mecânica. Ao estruturar os princípios da Mecânica, Newton se baseou em estudos
de grandes físicos que o precederam. Assim, a 1ª lei de Newton não é nada mais do que uma
síntese das idéias de Galileu relativas à inércia. Em 1686, Newton apresentava pronta para ser
impressa a 1ª edição de sua famosa obra Princípios Matemáticos da Filosofia Natural, onde
foram publicadas as três leis que recebem seu nome. A publicação desta obra em pouco tempo
consagrou Newton como um dos maiores gênios da história.
Com o trabalho de Kepler, a leis básicas dos movimentos dos planetas haviam sido
descobertas e as bases da Mecânica celeste estavam lançadas. Entretanto, o que Kepler fez foi
descrever estes movimentos sem se preocupar com suas causas; em outras palavras, as leis de
Kepler constituem a Cinemática do movimento planetário. Daí, vem o passo mais audacioso
do trabalho de Newton, que demonstra sua capacidade de extrapolação e sua grande intuição.
Analisando o movimento da lua em torno da Terra, e baseando-se em suas leis do movimento
e nos estudos de Kepler, Newton percebeu que deveria existir uma força de atração da Terra
sobre a Lua, do mesmo modo que o Sol atrai os planetas. Segundo consta, ao observar uma
maçã se desprender da árvore, ele concebeu a idéia de que a queda da maçã seria também
causada pela atração da Terra. Reunindo estas idéias, Newton conseguiu chegar à expressão
matemática da força de atração entre o Sol e um planeta.
Isaac Newton, físico e matemático inglês.
Figura 3
A grandiosidade da obra de Newton não o impediu de reconhecer o mérito dos
trabalhos de cientistas que o precederam, como Galileu, Kepler, Copérnico, etc. Com a
modéstia própria de muitos sábios, Newton afirmava que ele conseguiu enxergar mais longe
do que outros colegas porque se apoiou em “ombros de gigantes”, veja [T].
As aplicações da Mecânica Newtoniana, coroadas de êxitos no estudo de um grande
número de fenômenos, fizeram com que as leis básicas lançadas por Newton prevalecessem
por mais de 200 anos.
3
FORÇA E AS LEIS DE NEWTON
Ao tentar explicar os movimentos dos corpos, como o movimento do Sol, dos
planetas, de um corpo em queda livre, os cientistas no passado sempre procuravam responder
perguntas, como:
• O que provoca o movimento?
• Há necessidade de algo para manter um movimento?
• Por que a velocidade de um corpo varia?
• Quais são as causas das variações observadas em um movimento?
• O que mantém o movimento dos planetas em torno do Sol?
Aproximadamente há três séculos, o famoso físico e matemático inglês Isaac Newton
(1642 – 1727), baseando em observações suas e de outros cientistas, formulou três princípios
que são fundamentais para responder a estas questões e na solução de outros problemas
relacionados com os movimentos, que foram chamados de Leis do movimento, e são
considerados como os axiomas da Mecânica;
1.
Uma partícula P permanece em estado de repouso ou em movimento retilíneo uniforme,
a menos que seja compelida a mudar este estado por forças a ela aplicadas, em outras
palavras, se a força resultante aplicada sobre uma partícula é nula, é possível encontrar
referenciais nos quais esta partícula não tenha aceleração.
2.
3.
G
Se F é a força aplicada em uma partícula de massa m, a qual como conseqüência se
G
move com velocidade v , então
G d G
G d
G
F = (mv )
F = ( p)
ou
dt
dt
G
onde p é o momento linear sobre a partícula, veja [H]. Logo podemos dizer que a força
G
G
resultante F sobre uma partícula de massa m está relacionada com a sua aceleração a
G
G
G
G G
G
por: F = ma que pode ser escrita em suas componentes escalares: Fx = ma x , Fy = ma y
G d G
G
G
G
G
e Fz = ma z . As relações F = ( p ) e F = ma , para uma partícula isolada, são
dt
completamente equivalentes na mecânica Newtoniana ou Mecânica Clássica, como é
comumente conhecida.
G
Se um partícula A exerce uma força FAB sobre uma partícula B, então B deve exercer
G
G
G
uma força FBA sobre o corpo A, sendo que as forças FAB e FBA tem magnitudes iguais,
direções iguais e sentidos contrários. Em outras palavras, a cada ação corresponde uma
reação igual, em mesma direção e de sentido oposto. Veja [H].
Em unidades para o Sistema internacional, a segunda lei de Newton indica que: 1 N = 1
kg m / s2.
4
FORÇA CENTRAL
4.1
Definição de Força Central.
G
Considere que uma força F atuante sobre uma partícula de massa m, como está
representado na figura 4, é tal que:
a) ela é sempre dirigida de m para um ponto fixo O ou em sentido contrário.
b) seu módulo depende somente da distância r de m a O.
z
G
r
O
G
G
F = f (r )r1
m
y
x
Figura 4
Representação da força central atuando sobre a partícula de massa m.
Uma força assim é chamada de força central ou campo de força central, em que O é o centro
de força. Logo é uma força central se, e somente se,
G
G
G
r
F = f (r ) r1 = f (r ) ,
(1)
r
G
G r
K
onde r1 = é o vetor unitário na direção r . Se f (r ) > 0 a força central é de repulsão, isto é,
r
no sentido de O para m. Se f (r ) < 0 a força central é de atração, isto é, no sentido de m para
O, veja [S].
4.2 Movimento de uma partícula em um Campo de Força Central.
G
G
G G G
G
G G
Seja F = f (r ) r1 , o campo de força central. Então: r × F = r × f (r ) r1 = f (r ) r × r1 = 0
Logo:
G G
r × F = 0.
(2)
G
G G
G
G
De fato, F tem mesma direção de r e r × F = r.F . sen 0º = 0 , ou por r1 ser um vetor
G
G
G
dv
unitário na direção do vetor posição r . Como F = m , a equação (2) pode ser escrita
dt
G
G
G
G dv
dv
=0r×
= 0 ou
r ×m
dt
dt
d G G
(r × v ) = 0
(3)
dt
G
G
G
G
G
d G G G dv dr G G dv G G G dv
Pois,
(r × v ) = r × + × v = r × + v × v = r × + 0 = rG × dv , veja [S].
dt
dt dt
dt
dt
dt
Integrando (3), temos:
G G G
r ×v = h
(4)
G
onde h é um vetor constante.
G
G G G G G
Fazendo o produto escalar de ambos os lados de (4) por r , temos: r • (r × v ) = r • h
G G G
G G G
Como r • (r × v ) = (r × r ) • v = 0 , veja [R], temos:
G G
r •h = 0
(5)
G
G
Assim r é um vetor perpendicular a h , logo o movimento pertence a um plano.
Portanto, se uma partícula move-se em um campo de força central, esta partícula
move-se em um plano fixo perpendicular ao vetor constante.
4.3 Momento angular de uma partícula em um Campo de Força Central.
G
G
Consideremos uma partícula P de massa m e momento linear p , em uma posição r ,
G
relativa à origem de um referencial inercial. O momento angular Ω da partícula P, em relação
G G G
G
G
à origem O, é definido como sendo o produto vetorial entre r e p , ou seja: Ω = r × p , veja
G
G G
[H]. Assim o momento angular é um vetor cujo módulo é dado por Ω = r p sen θ , onde θ é
G
G
G
o ângulo formado entre r e p . Sua direção é perpendicular ao plano determinado por r e
G
p , e o sentido é dado pela regra da mão direita, isto é, com os dedos da mão direita curvados,
G
G
giramos r para p através do menor ângulo entre eles; o polegar direito estendido apontará o
G
sentido de Ω . O momento angular é também comumente chamado de momento do momento
linear ou momento da quantidade de movimento.
G
G G
Tomemos a equação (4). Multiplicando pela massa m, obtemos: m(r × v ) = mh ou
G
G
G
r × mv = mh .
G
G G G
G
G
G
G G
Sabendo que p = mv (onde p é o momentum) , temos: r × p = mh . Mas Ω = r × p é
G
G G G
o momento angular, logo: Ω = r × p = mh .
G
Portanto, o momento angular Ω sobre uma partícula em um campo de força central é
G
G
conservado, pois m e h são constantes, logo Ω é sempre constante, em magnitude e direção.
5
EQUAÇÕES DO MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA
EM UM CAMPO DE FORÇA CENTRAL
A posição de uma partícula P no espaço pode ser definida por um vetor posição
G
G G G
P com origem no centro O de coordenadas retangulares xyz e cujos vetores i , j e k são os
vetores unitários na direção dos eixos x, y e z, respectivamente, como mostra a figura 5.
Uma partícula P qualquer pode descrever uma trajetória no espaço e esta trajetória
pode ser determinada se conhecemos o campo de força que atua sobre ela.
Figura 5
Posição de uma partícula P no espaço.
Sabemos que o movimento de uma partícula P de massa m em um campo de força
central ocorre em um plano, conforme foi demonstrado na seção 3.2. Para facilitar os cálculos
e sem perda de generalidade, escolhemos este como o plano xy. Portanto sejam:
- ( r, θ ) as coordenadas polares para descrever a posição desta partícula;
G
G
r1 um vetor unitário na direção do vetor r ;
G
- θ 1 um vetor unitário na direção de θ crescente.
G
Se r é o vetor posição da partícula em um instante qualquer t , como mostra a figura 6,
y
G
θ1
G
r
G
j
G
r1
r sen θ
θ
G
i
x
r cos θ
Figura 6
Vetores unitários retangulares e polares.
G
G
∂r
é um vetor tangente à curva θ constante, isto é, vetor na direção de r (r
∂r
variando). Um vetor unitário nesta direção é assim dado por:
então
G
∂r
G
r1 = ∂rG
∂r
∂r
(6)
K G
G
Assim, sendo r = xi + yj temos:
G
G
G
r = r cos θ i + r sen θ j ,
(7)
G
G
G
G
∂r
∂r
= cos θ i + sen θ j
e
=1
∂r
∂r
tal que:
G
∂r
G
G
G
G
G ∂r cosθ i + sen θ j
r1 = G =
= cosθ i + sen θ j ou
∂r
1
∂r
G
G
G
r1 = cos θ i + sen θ j
(8)
G
∂r
Igualmente,
é um vetor tangente à curva r = constante. Um vetor unitário nesta direção
∂θ
é, assim, dado por:
G
∂r
G
θ1 = ∂θG
(9)
∂r
∂θ
G
G
G
G
∂r
∂r
De fato, de (7) temos
= − r sen θ i + r cosθ j e
= r . Então de acordo com
∂θ
∂θ
(8), temos:
G
G
G
θ1 = − sen θ i + cos θ j
(10)
Assim:
G
G
G
°r1 = cos θ i + sen θ j
G
G
®G
°̄θ1 = − sen θ i + cos θ j
Multiplicando ambos os lados da equação (7) por sen θ e da equação (10) por cos θ ,
obtemos:
G
G
°sen θ rG1 = sen θ cos θ i + ( sen θ )2 j
®
G
G
G
°̄cos θ θ1 = − cos θ sen θ i + ( cos θ )2 j
Logo:
G
G
G
j = sen θ r1 + cosθ θ1
(11)
Por outro lado, multiplicando ambos os lados da equação (7) por cos θ e da equação
(10) por − sen θ , obtemos:
G
G
G
°cos θ r1 = (cos θ )2 i + sen θ cos θ j
G
G
G
®
°̄− sen θ θ1 = (sen θ )2 i + − sen θ cos θ j
Logo:
G
G
G
i = − sen θ θ 1+ cos θ r 1
(12)
Portanto, (8) e (10) são os vetores unitários polares em função dos vetores unitários
retangulares e (11) e (12) são os vetores unitários retangulares em função dos vetores
unitários polares.
Agora vamos obter os vetores velocidade e aceleração em coordenadas polares.
G
G G
G
G
G
G
G dr1 ∂r1 dr ∂r1 dθ
Assim, sendo r1 = cos θ i + sen θ j , temos: r1 =
, veja [AG].
=
+
∂r dt ∂θ dt
dt
G
G
G
G
G G dθ
∂r1
dr G ∂r1
Mas, como
= 0,
=r,
= − sen θ i + cosθ j = θ1 e
= θ , então:
∂r
dt
∂θ
dt
G
G dr1
G G
r1 =
= (0)r + θ1θ ou
dt
G
G
r1 = θ θ1
(13)
G
G
G
G
G
G
G
dθ
∂θ dr ∂θ1 dθ
+
.
E também sendo θ1 = − sen θ i + cos θ j , temos θ 1 = 1 = 1
dt
∂r dt
∂θ dt
G
G
G
G
G
dθ
∂θ1
dr G ∂θ1
G
= 0,
=r,
= − cos θ i − sen θ j = − r 1 e
= θ , então:
Mas, como
∂
θ
dt
∂r
dt
G
G
G
G
θ = (0 ) r + (− cosθ i − sen θ j ) θ ou
G
()
G
G
θ 1 = −θ r1
Assim, como a velocidade vetorial é dada por:
G
G dr
G
G
v=
e
r = rr1
dt
G
G
G d (rr1 ) dr G
d (r )
v=
r1 + r 1
=
dt
dt
dt
G
G
G
v = r r1 + r r1
G
G
G
v = r r + r θθ
1
1
(14)
(15)
E também, usando (13) e (14) temos que a aceleração vetorial é dada por:
G
G
G dv d G
a=
=
r r1 + rθθ1
dt dt
G
G
G
G
G
= §¨ rr1 + r r1 + rθθ1 + rθθ1 + rθθ1 ·¸
©
¹
G
G
G
G
G
= r r 1 + r θ θ 1 + r θ θ 1 + r θ θ 1 + r θ − θ r 1
G
G
G
G
= r r1 + 2r θθ1 + rθθ1 − rθ 2 r1
G
G
= r − rθ 2 r1 + rθ + 2r θ θ1
Portanto, a aceleração vetorial é:
G
G
G
a = r− rθ 2 r1 + rθ + 2rθ θ1
(16)
Onde:
a r = r − rθ 2 é a aceleração radial e
a = r θ + 2rθ é a aceleração normal, veja [SY].
(
(
(
(
( )
(
)
)
) (
)
) (
)
(
)
(
))
N
Agora, pela segunda lei de Newton, temos:
Força resultante = (massa) (aceleração)
G
G
G
f (r ) r1 = m r − rθ 2 r1 + rθ + 2 rθ θ1 .
Portanto, as equações do movimento de uma partícula P de massa m em um campo de
força central são:
m r − rθ 2 = f (r )
(17)
m r θ + 2rθ = 0
(18)
[(
(
(
6
)
(
) ]
)
)
LEI DAS ÁREAS
Se uma partícula P se move em um campo de força central com O como centro, então
o vetor raio, desenhado de O à partícula, gera áreas iguais em tempos iguais, isto é, a
G 1 G G
velocidade areolar definida como A = r × v é constante. Para que possamos verificar a
2
veracidade dessa lei, tomamos as equações (17) e (18) do movimento de uma partícula em um
campo de força central.
De (18) segue que: r 2θ + 2 rrθ = 0
Como:
d r 2θ
dθ dr 2 = r2
+
θ = r 2θ + 2rrθ ,
dt
dt
dt
temos:
d r 2θ
= 0.
dt
Assim, r 2θ é uma constante. Tomemos esta constante como sendo h , e temos:
dθ
h
= 2
(19)
r 2θ = h ou
dt r
Agora consideremos que no tempo Δt , a partícula mova-se de M a N, como mostra a
figura 7.
( )
( )
z
G 1 G G
A = r ×v
2
O
Área = ΔA
y
G
r
P
G
Δr
N
M
x
Figura 7
G
G
1 G
ΔA =
r × Δr ≅ área desenhada pelo vetor r quando P desloca de M para N.
2
A área gerada por este vetor neste tempo é aproximadamente, metade da área de um
G G
paralelogramo de lados r e Δr , pois dados dois vetores quaisquer a e b , como representado
na figura 8, temos:
G
a
c
θ
G
b
Figura 8
G
Área de um paralelogramo de lados a
Área do paralelogramo
=
c b
=
a
G
e b .
sen θ b
=
a× b .
Então:
ΔA =
G
1 G
r ×Δr .
2
(20)
G
ΔA 1 G Δr
.
Dividindo-se por Δt , ambos os membros da equação (20) temos:
=
r×
Δt 2
Δt
G
dA 1 G G
ΔA Fazendo Δ t → 0 + , obtemos: lim
=
r ×v = A .
= A ou A =
dt 2
Δt → 0 + Δt
G
G
G
G
G
Mas r = r r 1 e v = r r1 + r θθ1 . Então:
G
G G
G
G
r × v = ( r r 1 ) × r r1 + r θ θ 1
G
G
G
G
= r r r 1 × r 1 + r 2 θ r 1 × θ 1 .
(21)
G
G
G
G
Como r 1 × r 1 = 0 e
r 1 × θ 1 = 1 , temos:
G G
G G
r × v = r 2 θ , logo
r × v = r 2 θ . Então
(
dA 1 G G
1 2
= A=
r ×v =
r θ
dt
2
2
r 2θ = 2 A .
)
ou
(22)
Como o movimento de uma partícula em um campo de força central ocorre em um
G G
plano que pode ser o plano xy, que foi demonstrado no seção 3.2, então, r e v estão contidos
G
G
no plano xy. Logo o vetor A é um vetor perpendicular ao plano xy, ou seja, na direção de k
G 1 G G
e seu sentido é dado pela regra da mão direita, pois A = r × v . Assim a velocidade areolar
2
G
G
G 1
G
1
r 2θ k
e
A = (h ) k
é: A =
2
2
G 1G
ou A = h ,
(23)
2
que é um vetor constante.
Este resultado nos mostra que uma partícula que se move em um campo de força
central, move-se de tal modo que o vetor posição ou vetor raio entre O e a partícula gera áreas
iguais em tempos iguais, veja [S]. Em outras palavras a mudança de área pelo tempo é
constante. Este resultado é conhecido como Lei das Áreas.
7
ENERGIA CINÉTICA E ENERGIA POTENCIAL EM UM
CAMPO DE FORÇA CENTRAL
7.1
Trabalho de uma força
G
Seja F um campo vetorial cuja derivadas parciais existem e sejam contínuas (campo
vetorial de classe C1) , seja Ω ⊂ R n aberto, seja C uma curva em Ω parametrizada por γ e
seja γ : [a, b] → Ω , γ derivável, sendo γ (t ) = ( γ 1 (t ), γ 2 (t ), γ 3 (t ) ) . A integral de linha de
G
F ao longo de C é definida como:
F1 ( γ 1 (t ), γ 2 (t ), γ 3 (t ) )γ ' 1 (t ) º
b ª
G G
»
«
F .dr =
(24)
« + F2 ( γ 1 (t ), γ 2 (t ), γ 3 (t ) )γ ' 2 (t ) » dt
a «
¬ + F3 ( γ 1 (t ), γ 2 (t ), γ 3 (t ) )γ ' 3 (t ) »¼
G
Interpretamos F como um campo de força. Considere uma partícula P sob a ação
deste campo, e façamos o deslocamento desta partícula ao longo de um caminho C, sendo que
no instante inicial a a partícula está no ponto A, e no instante b, sendo a < b, a partícula está
no ponto B, como está representado na figura 9.
³
³
z
.
A
G
r
C
G
dr
G
G
r + dr
.B
y
O
x
Figura 9
Trajetória descrita por uma partícula P em um campo de força.
Então definimos o trabalho realizado para deslocar a partícula de A até B sob a ação do
G
campo de força F , veja [GA], como sendo:
W=
³
G G
F ⋅ dr
(25)
C
7.2
Energia Cinética
Consideremos que uma partícula P, com massa m constante mova-se no espaço sob
G
G
G dr
influência de um campo de força F , e que nos tempos t1 e t2, as velocidades sejam v1 = 1 e
dt
G
G
dr2
, respectivamente. Então, o trabalho total realizado no movimento da partícula de P1
v2 =
dt
G
t2
G G P2 G G r2 G G
G drG
a P2 é dado por W = ³ F ⋅ dr = ³ F ⋅ dr = ³ F ⋅ dr ou também por W = ³ F ⋅ dt . Assim:
K
dt
t1
C
P1
r1
t2
G
G
dv G
W = m ⋅ v dt . Sendo v = (v x (t ), v y (t ), v z (t )) , temos:
dt
t
³
1
§ dv (t ) dv y (t ) dv z (t ) ·
¸ ⋅ (v x (t ), v y (t ), v z (t )) dt =
W = m¨¨ x ,
,
dt
dt ¸¹
© dt
t1
t2
³
dv y (t )
§ dv (t )
·
dv (t )
= m ¨¨ x v x (t ),
v y (t ), z v z (t )¸¸ dt
dt
dt
dt
¹
t1 ©
t2
³
Como
³ g ( x)
(26)
dg ( x )
g 2 (x )
dx =
+ c temos:
dx
2
t =t 2
ª v x 2 (t ) v y 2 (t ) v 2 (t ) º
+
+ z
W = m«
» =
2
2 ¼»
¬« 2
t =t1
ª§ v 2 (t ) v y 2 (t 2 ) v 2 (t ) · § v 2 (t ) v y 2 (t1 ) v 2 (t ) ·º
= m «¨ x 2 +
+ z 2 ¸−¨ x 1 +
+ z 1 ¸» =
¨
¸
¨
2
2
2
2
2
2 ¸¹»
«¬©
¹ ©
¼
m
2
2
2
2
2
2
=
=
v x (t 2 ) + v y (t 2 ) + v z (t 2 ) − v x (t1 ) + v y (t1 ) + v z (t1 )
2
G
G
2
2
m v (t 2 )
m v (t1 )
G
m G
2
2
=
−
.
(27)
v (t 2 ) − v (t1 )
2
2
2
A expressão
G
2
m v (t )
T=
(28)
2
é denominada energia cinética da partícula. Assim o trabalho total realizado pela força
G
F sobre a partícula P de P1 a P2 ao longo de C é
G
G
2
2
m v (t 2 )
m v (t1 )
(29)
W=
−
= T2 − T1
2
2
[(
[
) (
]
)]
sendo T1 =
G
m v (t1 )
2
G
m v (t 2 )
2
a energia cinética em t1 e T2 =
a energia cinética em t2 .
2
2
G
Em outras palavras, o trabalho total realizado pela força F é igual a variação da energia
cinética. Note que, se a velocidade da partícula for constante, não haverá variação da energia
G
cinética e o trabalho da força F será nulo, veja [C].
7.3
Princípio da conservação da energia
G
Muitas vezes várias forças agem numa partícula; a resultante F dessas forças é sua
G G G
G
soma vetorial, isto é, F = F1 + F2 + ... + Fn , supondo que seja n as forças atuantes. O trabalho
G
realizado pela força resultante F é a soma algébrica do trabalho realizado pelas forças
individuais, ou seja, W = W1 + W2 + ... + Wn . Portanto temos W = W1 + W2 + ... + Wn = T2 − T1 .
Assim interpretamos a energia cinética de uma partícula como a capacidade que ele possui de
realizar trabalho em virtude de seu movimento.
As n forças que agem numa partícula podem ser classificadas em dois tipos, as
conservativas e as não conservativas. Se ao fim de um percurso fechado a capacidade da
partícula de realizar trabalho permanece a mesma (foi conservada) dizemos que as forças
atuantes na partícula são conservativas, e se a partícula, sob a ação de uma ou mais forças,
retorna à sua posição inicial com energia cinética maior ou menor que à original, isso
significa que, em um percurso fechado, sua capacidade de realizar trabalho foi modificada.
Neste caso pelo menos uma das forças atuantes é não conservativa. Assim, podemos dizer que
uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela sobre uma partícula que se move
entre dois pontos depende somente destes pontos e não da trajetória percorrida. Uma força é
não conservativa se o trabalho realizado por ela sobre uma partícula que se desloca entre dois
pontos depende da trajetória seguida entre os pontos, veja [H].
7.4
Potencial ou Energia Potencial
G
G
Seja F : Ω → R 3 um campo vetorial. Dizemos que F é um campo potencial se existe
uma função G : Ω → R , de classe C1, tal que:
G
F = −∇G
(30)
G
A função G é denominada de um potencial de F . Podemos observar facilmente que
G
G
F pode ter vários potenciais, pois F (r ) é um campo potencial se existe G ( x, y, z ) tal que
G
F (r ) = −∇G . Então, se tomarmos G1 = G + C teremos ∇G1 = ∇(G + C ) = ∇G , pois:
∂ (G + C ) G ∂ (G + C ) G ∂(G + C ) G
k = −∇G .
j−
i−
− ∇G1 = −∇(G + C ) = −
∂z
∂y
∂x
Portando, variando G ( x, y, z ) de uma constante aditiva, isto não modifica a força calculada na
equação (30), o que significa que a escolha de um ponto de referência para a energia potencial
é irrelevante, pois o que interessa é calcular a diferença de energia potencial, não o valor
absoluto que ela possa ter em qualquer ponto, veja [H].
7.5
Teorema da Conservação da Energia Mecânica
G
Se F é um campo potencial com um potencial G, então para uma partícula de massa m
percorrendo uma trajetória qualquer C temos:
G+T=E
(31)
onde T é a energia cinética da partícula em um instante t, e E uma constante.
G
De fato, dado o vetor posição x (t ) = ( x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ) ) , pela 2ª lei de Newton,
G
G
G
d 2 x (t )
temos que F = m
,
e
pela
equação
(30)
,
temos
F
= −∇G . Logo:
dt 2
G
d 2 x (t )
(32)
m
= −∇G .
dt 2
G
dx (t )
com ambos os membros de (32), obtemos:
Fazendo o produto escalar de
dt
G
G
G
dx (t ) d 2 x (t )
dx (t )
•
= −∇G •
,
(33)
m
dt
dt 2
dt
daí:
G
G
G
G
G
G
§ dx1 (t ) d 2 x1 (t ) dx 2 (t ) d 2 x 2 (t ) dx3 (t ) d 2 x3 (t ) ·
¸=
m¨¨
+
+
dt 2
dt
dt 2
dt
dt 2 ¸¹
© dt
.
(34)
G
G
G
§ ∂G dx1 (t ) ∂G dx 2 (t ) ∂G dx3 (t ) ·
¸
− ¨¨
+
+
∂y dt
∂z dt ¸¹
© ∂x dt
Integrando para um intervalo de tempo de t1 a t2, temos:
G
G
G
G
G
2G
t § dx (t ) d x (t )
dx 2 (t ) d 2 x 2 (t ) dx3 (t ) d 2 x3 (t ) ·
1
1
¸dt =
+
+
m ³ t ¨¨
dt 2
dt
dt 2
dt
dt 2 ¸¹
© dt
2
1
t2
− ³t
1
§ ∂G
¨
(x1 (t ), x2 (t ), x3 (t )) + ·¸
¨ ∂x
¸
¨ ∂G
¸
(x1 (t ), x2 (t ), x3 (t )) + ¸ dt
¨
¨ ∂y
¸
¨ ∂G
¸
(x1 (t ), x2 (t ), x3 (t )) ¸
¨
© ∂z
¹
df ( x) d 2 f ( x) [df ( x)]
Como
=
+ C , veja [G], temos:
dx
dx
2
G
G
G
2
t2
t2
2
2
m
d ª ª dx1 (t ) º
d
ª dx3 (t ) º º
ª dx 2 (t ) º
««
»
+
+
dt
=
−
G[x1 (t ), x2 (t ), x3 (t )] dt
«
»
« dt »
2 t1 dt « ¬ dt »¼
dt ¼ »
dt
¬
¼
¬
t1
¬
¼
G
G
G
m§ G
2
2
¨ v (t 2 ) − v (t1 ) ·¸ = −[ G ( x (t 2 ) ) − G ( x (t1 ) ) ] o que resulta em:
¹
2©
G
G
m G
m G
2
v (t 2 ) 2 + G ( x (t 2 ) ) = v (t1 ) + G ( x (t1 ) ) ou
2
2
E (t 2 ) = E (t1 )
(35)
Podemos dizer que qualquer variação na energia cinética T da partícula é compensada
por uma variação igual e oposta na sua energia potencial G, de maneira que a soma de ambas
permanece constante durante todo movimento.
Assim, a energia potencial de um sistema representa uma forma de energia
armazenada que pode ser completamente recuperada e convertida em energia cinética, o que
pode ser considerado somente para forças conservativas. Comumente, em lugar de dizermos
que a partícula se move, preferencialmente dizemos que a configuração do sistema está
variando. Assim podemos dizer que a energia potencial é uma energia que está ligada à
configuração do sistema.
³
³
2
³
A equação (30) só terá significado se soubermos calcular G em função da mudança de
posição da partícula (ou mudança da configuração do sistema). Considerando a equação (29),
G
temos que W = ΔT , sendo W o trabalho realizado pela resultante F das forças que agem na
partícula quando ela se move de um ponto P1 da trajetória a um ponto P2. Assim, temos:
W = ΔT = −ΔG , o que pode ser escrito na forma:
ΔG = −
³
P2
F (r ).dr
(36)
p1
em que ΔG é a variação de energia potencial do sistema quando a partícula se move do ponto
G
G
P1 ao ponto P2 cujo vetor posição é r e F (r ) = F ( x, y, z ) .
G
G
1 G G
1 G G
Na forma vetorial a equação (35) pode ser escrita como mv2 ⋅ v2 + G (r2 ) = mv1 ⋅ v1 + G (r1 ) ,
2
2
G G
G G
2
2
2
2
2
2
sendo v2 ⋅ v2 = v2 x + v2 y + v2 z e v1 ⋅ v1 = v1 x + v1 y + v1 z . Logo, a equação (35) transforma-se
em:
1 2
mv + G ( x, y, z ) = E
(37)
2
sendo E a energia mecânica total constante, veja [S].
Agora, vamos mostrar que
G
G
G
r
2
2
2 §r ·
(38)
F ( x, y, z ) = f ( x + y + z )¨ ¸ = f (r )
r
©r¹
é um campo de força conservativo, onde r =
x2 + y2 + z2 .
G
Para que F (r ) seja conservativa deve existir uma função G ( x, y, z ) , tal que
G
F (r ) = −∇G . Seja g ( s ) =
³
s
f (t ) dt . Então, tomemos G ( x, y, z ) = − g §¨ x 2 + y 2 + z 2 ·¸ .
©
¹
0
G
∂G ∂G
∂G G ∂G G ∂G G
Queremos mostrar que ∇G =
i+
j+
k = − F (r ) , então calculemos:
,
e
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂G
, que são:
∂z
§
·
∂¨ x 2 + y 2 + z 2 ¸
∂G
x
x
§
·
¹ = − g ' (r )
= −g' ¨ x2 + y2 + z 2 ¸ ©
= − g ' (r ) ,
∂x
∂x
r
§ 2
©
¹
2
2·
¨ x +y +z ¸
©
¹
§
·
∂¨ x 2 + y 2 + z 2 ¸
∂G
y
y
§
·
¹ = − g ' (r )
= −g' ¨ x2 + y2 + z 2 ¸ ©
= − g ' (r ) e
∂y
∂y
r
§ 2
©
¹
2
2·
¨ x +y +z ¸
©
¹
§
·
∂¨ x 2 + y 2 + z 2 ¸
∂G
z
z
§
·
¹ = − g ' (r )
= −g' ¨ x2 + y2 + z 2 ¸ ©
= − g ' (r ) .
∂z
∂z
r
§ 2
©
¹
2
2·
¨ x +y +z ¸
©
¹
Portanto:
∂G G ∂G G ∂G G
x
y
z
x
y
z·
§
∇G =
i+
j+
k = − g ' (r ) − g ' (r ) − g ' (r ) = −¨ g ' (r ) + g ' (r ) + g ' (r ) ¸ .
∂x
∂y
∂z
r
r¹
r
r
r
r
©
G
G
r
Como g ' ( s ) = f (s ) , temos ∇G = − f (r ) ou ∇G = − F ( x, y, z ) . Este resultado nos mostra
r
G
G
r
que um campo de força F ( x, y, z ) = f (r ) é conservativo. Portanto, toda força central é
r
conservativa, veja [H].
8
DETERMINAÇÃO DA ÓRBITA A PARTIR DA FORÇA
CENTRAL E DETERMINAÇÃO DA FORÇA CENTRAL A
PARTIR DA ÓRBITA
8.1
Equações derivadas das equações do movimento
Considere uma partícula P movendo-se em um campo de força central dada por
G
G
F = f (r )r1 .
Através das equações (17) e (18) do movimento de uma partícula, é possível obter as
equações:
I
-
II
-
r −
h2
r3
d 2u
dθ 2
=
f (r )
m
+u = −
§1·
f¨ ¸
mh 2u 2 © u ¹
1
d 2 r 2 § dr ·
r 4 f (r )
− ¨
¸ −r =
dθ 2 r © dθ ¹
mh 2
2
III
-
Demonstração de I
h
§
· f (r )
Da equação(17), temos: ¨ r − rθ 2 ¸ =
e da equação (18) θ = 2 , então:
m
r
©
¹
2
§
§ h · ·¸ f (r )
¨ ¨¨ ¸¸ =
r
r
−
,
ou
¨¨
¸¸
2
m
r
©
¹
©
¹
§
h 2 · f (r )
¨¨ r − 3 ¸¸ =
.
(39)
r ¹
m
©
Demonstração de II
1
h
Por meio da substituição de r = na equação (19) temos θ = 2 = hu 2 . Substituindo
u
r
§
·
na equação (17), obtemos: m¨ r − r h 2u 4 ¸ = f (r ) .
©
¹
§1·
d¨ ¸
dr
du
du
dr dr dθ dr dr h
u
=
=
, veja [G], e
= © ¹ = −u − 2
= −r 2
θ=
Como r =
2
dθ
dt
dθ
dθ
dt dθ dt dθ
dθ r
Daí,
(
)
r = − r 2
du
du h
= −h
2
dθ
dθ r
(40)
Então:
dr d §
du ·
= ¨− h
¸
dt dt ©
dθ ¹
Pela regra da derivada de uma função composta, podemos escrever:
d§
du · d §
du · dθ
r = ¨ − h
¸=
¨− h
¸
dt ©
dθ ¹ dθ ©
dθ ¹ dt
Pela derivada do produto, obtemos:
d §
du · d (− h ) du
d 2u
d 2u
+ (− h ) 2 = (− h ) 2
¨− h
¸=
dθ ©
dθ ¹
dθ dθ
dθ
dθ
pois h é uma constante.
Assim
d 2 u dθ
d 2u h
h 2 d 2u
r = − h 2
.
= −h 2 2 = − 2
r dθ 2
dθ dt
dθ r
1
Mas r = , daí:
u
d 2u
r = −h 2 u 2
dθ 2
§
h 2 · f (r )
Logo podemos escrever a equação (17) como ¨¨ r − 3 ¸¸ =
, ou ainda:
m
r ¹
©
r =
§1·
f¨ ¸
2
·
§
¨ − h 2u 2 d u − h 2u 3 ¸ = © u ¹
¸
¨
m
dθ 2
¹
©
§1·
· f ¨© u ¸¹
§ d 2u
− h 2u 2 ¨
+ u¸ =
¸
¨ dθ 2
m
¹
©
d 2u
1
§1·
+ u = − 2 2 f ¨ ¸.
2
dθ
mh u © u ¹
(41)
(42)
(43)
(44)
Demonstração de III
f (r )
§
·
De (17) temos: m¨ r − rθ 2 ¸ = f (r ) ou r − rθ 2 =
.
m
©
¹
§
h 2 · f (r )
¨¨ r − 3 ¸¸ =
.
m
r ¹
©
Mas de (42) temos:
§ h 2 d 2u
h 2 · f (r )
¨¨ − 2
¸=
−
2
r 3 ¸¹
m
© r dθ
h
Como θ = 2 , obtemos:
r
(45)
§1·
d¨ ¸
du
1 dr
dr
r
Como
=−
= © ¹ = −r − 2
dθ
dt
dθ
r 2 dθ
d 2u
d § du · d § 1 dr ·
=
¨−
¸
¨
¸=
2
dθ © dθ ¹ dθ ¨© r 2 dθ ¸¹
dθ
Pela derivada do produto, temos:
d § 1 dr · § 2 dr · dr § 1 · d 2 r
+ ¨− ¸
¨−
¸=¨
¸
dθ ¨© r 2 dθ ¸¹ ¨© r 3 dθ ¸¹ dθ ¨© r 2 ¸¹ dθ 2
d 2u
dθ 2
=
d
dθ
§ 1 dr · 2 § dr · 2 1 d 2 r
¸¸ =
¨¨ −
¨
¸ −
r 2 dθ 2
© r 2 dθ ¹ r 3 © dθ ¹
(46)
Substituindo em (46) em (45), temos:
§ h 2 § 2 § dr · 2 1 d 2 r ·
h 2 ·¸ f (r )
¨− ¨ ¨
¸
− 3 =
¸ −
¨ r 2 ¨ r 3 © dθ ¹ r 2 dθ 2 ¸
m
r ¸¹
©
¹
©
2h 2
− 5
r
2
h2 d 2r
h2
f(r )
§ dr ·
−
=
¨
¸ + 4
2
3
m
r dθ
r
© dθ ¹
§ r4 ·
¨¨ 2 ¸¸ obtemos:
©h ¹
r 4 f (r )
.
−r =
2
h m
Multiplicando ambos os membros por
d 2 r 2 § dr · 2
− ¨
¸
2
θ
r
d
©
¹
dθ
8.2
(47)
Determinação da Órbita a partir da Força Central
Dada uma força central, é possível determinar a órbita (ou trajetória) da partícula. Esta
órbita, pode ser obtida nas formas:
• r = r (θ ) ;
• r = r (t ) e θ = θ (t ) .
Como exemplo, considere uma partícula P movendo-se em um campo de força central
G
G
dada por F = f (r )r1 sendo
G
1 G
F = − K 2 r1 ,
(48)
r
com K > 0. Vamos determinar a trajetória desta partícula.
1
§1·
e temos: f ¨ ¸ = − Ku 2 . Substituindo em (II) da seção 6.1.,
Tomemos r =
u
©u¹
obtemos:
d 2u
dθ 2
+u = −
1
mh 2u 2
(− ku 2 ) = mhK2
Esta equação diferencial tem uma solução geral dada por, veja [AG]:
K
u = A cosθ + B sen θ +
.
mh 2
(49)
(50)
Mas podemos escrever
§
·
A
B
A cosθ + B sen θ = A2 + B 2 ¨¨
cosθ +
sen θ ¸¸ .
2
2
A2 + B 2
© A +B
¹
A
B
= cos φ
e
= sen φ , obtemos:
Fazendo
A2 + B 2
A2 + B 2
A cos θ + B sen θ =
A 2 + B 2 (cos φ cos θ + sen φ sen θ ) .
Daí, A cosθ + B sen θ = A 2 + B 2 cos(θ − φ ) .
A 2 + B 2 , temos: A cos θ + B sen θ = C cos(θ − φ ) Logo:
K
u=
+ C cos(θ − φ ) .
(51)
mh 2
Mas como é sempre possível escolher os eixos tais que φ = 0 , veja [S], temos:
k
u=
+ C cos θ
ou
mh 2
1
r=
,
(52)
K
+ C cos θ
mh 2
que é a equação da trajetória da partícula r = r (θ ) e representa a equação de uma cônica,
conforme pode ser visto no Anexo I, pois
p
1
r=
=
(53)
1 ε
1 + ε cos θ
+ cos θ
p p
1
ε
K
com
e
=
C= .
2
p mh
p
Podemos ainda determinar que tipo de cônica esta equação representa, o que vai
depender da constante C. Assim vamos expressar C em termos da energia total E.
Da equação (15), temos:
G G
v ⋅v = v2
G G
v ⋅ v = r 2 + r 2θ 2
Logo: v 2 = r 2 + r 2θ 2 .
dr
du
1
dθ
h
= −h
Como
= 2
e
,
temos:
r= ,
dt r
u
dt
dθ
2
2
2
ª
º
du · § 1 ·
§
2
2 § du ·
2
2 2
v2 = ¨ − h
+
(
hu
)
ou
v
=
h
(54)
«
¸ ¨ ¸
¨
¸ +u ».
dθ ¹ © u ¹
©
«¬© dθ ¹
»¼
Pelo Teorema da Conservação da Energia Mecânica, visto na seção 6.5. temos:
1 2
mv + V = E , onde V é a energia potencial. Assim, podemos escrever:
2
2
º·
1 §¨ 2 ª§ du ·
2
m h «¨
¸ + u »¸ = E −V
2 ¨© «¬© dθ ¹
»¼ ¸¹
Tomando C =
2(E − V )
§ du ·
2
¨
¸ +u =
mh 2
© dθ ¹
2
(55)
A energia potencial é V = −
³
f (r ) dr , e como f (r ) =
Mas para limV = 0 , logo c1 = 0 . Assim para r =
r →∞
Voltando na equação (52), temos
−K
k
−K
+ c1 .
, obtemos: V = ³ 2 dr =
2
r
r
r
1
, temos:
u
V = − Ku
(56)
du
= −C sen θ e substituindo em (55), obtemos:
dθ
2
§ K
·
2
(C sen θ ) + ¨¨ 2 + C cosθ ¸¸ = 2 E2 − 2V2
mh
mh
© mh
¹
2
(C sen θ )2 + K2 4 + 2 K2 C cosθ + C 2 cos 2 θ = 2 E2 − 2V2 . Como V = − Ku ,
m h
mh
mh
mh
2
K
K
2K
2E
2 Ku
. Mas u =
+ C cos θ
C2 +
+
C cos θ =
+
2
4
2
2
2
2
mh
m h
mh
mh
mh
C2 +
C2 +
C2 =
k2
2k
2E
2k § k
·
+
C cos θ =
+
+ C cos θ ¸
2 4
2
2
2 ¨
2
mh
mh
mh
mh © mh
¹
K2
m 2h 4
+
2K
mh 2
C cos θ =
2E
K2
+
mh 2 m 2 h 4
ou
2E
mh 2
C=
+
2K 2
m 2h 4
+
2K
mh 2
C cos θ
2E
K2
+
mh 2 m 2 h 4
(57)
considerando C > 0.
K
K
K2
1
2E
+ C cos θ =
+
+
cos θ
Assim a equação da cônica fica: u = =
r mh 2
mh 2
mh 2 m 2 h 4
§
·
2mEh 2 ¸
K ¨
1
1
u=
+
+
¨¨
¸¸ cos θ .
2
2
mh ©
K
¹
Comparando com a equação de uma cônica r =
como:
1 1 ε cos θ
= +
r p
p
p
, veja [J], que pode ser escrita
1 + ε cos θ
1 1
= (1 + ε cos θ
r p
§
·
1
2mEh 2 ¸
K ¨
1
1
cos θ
=
+
+
2 ¸¸
r mh 2 ¨¨
K
©
¹
)
e
(58)
2 Emh 2
mh 2
e
ε = 1+
.
K2
k
Para que a cônica (58) seja uma elipse (veja Anexo I) temos que ter ε < 1 , ou seja,
Assim temos
•
ou
ou
1+
2 Emh 2
K2
p=
<1
2 Emh 2
2 Emh 2
>
0

> −1
K2
K2
−K2
<E<0
2mh 2
E < 0 e 1+
E>
−K2
2mh 2
, logo:
(59)
•
Para que (58) seja uma parábola ε = 1 , logo:
2 Emh 2
K2
•
E=0
(60)
E, para que (58) seja uma hipérbole ε > 1 , logo:
2 Emh 2
K2
8.3
=0
>0
E >0
(61)
Determinação da Força Central a partir da Órbita
Se for conhecida a órbita (ou trajetória) da partícula, então podemos calcular a força
central correspondente. Se a órbita é dada por r = r ( θ ) ,
a
força central pode ser
calculada através das equações:
du 2
1
§1·
II
+u = − 2 2 f ¨ ¸
2
dθ
mh u © u ¹
d 2 r 2 § dr ·
r 4 f (r )
, já demonstradas na seção 8.1.
−
−
r
=
¨
¸
mh 2
dθ 2 r © dθ ¹
2
III
Assim:
2
2
º
·
mh 2 ª d 2 r 2 § dr ·
§1·
2 2 § du
f ¨ ¸ = − mh u ¨¨ 2 + u ¸¸ ou f (r ) = 4 « 2 − ¨
(62)
¸ − r» .
r «¬ dθ
r © dθ ¹
©u¹
»¼
© dθ
¹
Como exemplo, vamos calcular a força central que atua sobre um planeta que gira em
torno do Sol, em uma trajetória elíptica com o Sol em um dos seus focos.
Tomando as equações (17) e (18) do movimento de uma partícula, e como:
1
• r= ;
u
§1·
d¨ ¸
du
dr
du
u
;
= © ¹ = −u − 2
= −r 2
•
dθ
dt
dθ
dθ
dθ
h
• da equação (19) temos
= 2 ;
dt r
dr dr dθ dr dr h
• r =
=
=
,
θ=
dt dθ dt dθ
dθ r 2
e de (42) a equação (17) pode ser escrita na forma:
§
d2 u
1 2 4 ·¸
§1·
ou
m ¨ − h 2u 2
−
h u
= f ¨ ¸
2
¸
¨
u
©u ¹
dθ
¹
©
·
·
§
§ 2
d 2u
§1·
2 3¸
2 2 ¨ d u
¸
f ¨ ¸ = m¨ − h 2 u 2
−
h
u
=
−
m
h
u
+
u
2
2
¸
¸
¨
¨
©u¹
dθ
¹
¹
©
© dθ
Como a trajetória é uma elipse, com o Sol em um dos focos, então a distância r até o
Sol, conforme mostrado no Anexo I, é dada por:
p
r=
1+ ε cos θ
1
Assim, sendo r = , temos:
u
u=
E, como
d2 u
dθ
2
=
1 + ε cos θ 1 ε cos θ
= +
p
p
p
− ε cos θ
§1·
, teremos: f ¨ ¸ = −mh 2 u 2
p
©u¹
§ ε cos θ 1 ε cos θ ·
¨¨ −
¸
+ +
p
p
p ¸¹
©
§1·
− mh 2 § 1 ·
§1·
¨ ¸
f ¨ ¸ = − mh 2u 2 ¨¨ ¸¸ ou f (r ) =
p ¨© r 2 ¸¹
©u¹
© p¹
ou ainda fazendo
(63)
§ 1 ·
− mh 2
= K , temos f (r ) = K ¨¨ ¸¸ .
p
© r2 ¹
Logo:
G
§ 1 ·G
(64)
F = K ¨¨ ¸¸r1 .
© r2 ¹
Portanto, a força central necessária, para que um planeta gire em torno do Sol, de
modo que sua trajetória seja uma elipse com o Sol em um dos focos, varia inversamente ao
quadrado da distância do Sol ao planeta, veja [S].
9 AS LEIS DE KEPLER E A LEI UNIVERSAL DE NEWTON
PARA A GRAVITAÇÃO
9.1
As leis de Kepler
Antes de Newton ter enunciado suas famosas leis do movimento, usando inúmeros
dados acumulados por Tycho Brahe, Kepler formulou suas três leis concernentes ao
movimento dos planetas em torno do Sol.
A primeira lei está relacionada com o que foi demonstrado nas seções 7.2. e 7.3. , em que
cada planeta se move em uma órbita, que é uma elipse, com o sol em um dos focos.
A segunda lei é comumente conhecida como Lei das Áreas, que já foi demonstrada no
cap.V, em que o vetor raio do Sol a um planeta qualquer, descreve áreas iguais em tempos
iguais.
A terceira lei é o que vamos demonstrar agora, em que o quadrado do período de
rotação de um planeta é proporcional ao cubo do comprimento do semi-eixo maior de suas
órbitas.
Consideremos então, um ponto fixo O (centro) e uma linha fixa AB (diretriz) distante d de O,
como é mostrado abaixo (figura 10). Tomamos um ponto P no plano de O e AB que se move
de modo que a razão de sua distância do ponto O pela sua distância da linha AB é sempre
igual a uma constante positiva ε (excentricidade). Se ε < 1 (veja Anexo – Seções cônicas) o
ponto P descreve uma elipse.
y
A
W
P
r
U
.
O’
C
.
c
S
θ
E
O
x
V
d
2b
B
2a
Figura 10
Elipse de centro (0, 0) e semi-eixos maior e menor medindo a e b.
Se a e b são os comprimentos dos semi-eixos maior e menor respectivamente, então a área
G 1 G G
da elipse é π ab ( veja Anexo II). Como a velocidade areolar definida por A = r × v tem
2
h
magnitude , o tempo gasto (período) para descrever uma área π ab , é:
2
π a b 2π ab
=
(65)
T=
h
h
2
Consideremos a elipse da figura 10. Quando θ = 0 , r = OV e quando θ = π , r = OU .
p
Assim, a partir da equação r =
(veja Anexo I) , temos:
1+ ε cos θ
p
p
OV =
e
OU =
.
1+ ε
1− ε
Mas, como 2a é o comprimento do eixo maior,
OV + OU = 2a
ou
p
p
+
= 2a .
1+ ε 1− ε
Logo
(
p = a 1− ε 2
(
)
(66)
)
p
a 1− ε 2
OV =
=
= a(1 − ε )
Daí,
1+ ε
1+ ε
Temos também que c = aε (onde c é a distância do centro ao foco O), pois:
c = CO = CV − OV = a − a(1 − ε ) = aε ,
e por definição:
OV
CV − CO
a − c
a−c

VE =
ε=
=
ε
VE
VE
VE
ou
(67)
OW

CE
que: OW = a . Então:
ε =
ª § a − c ·º
OW = ε CE = ε (CV + VE ) = ε «a + ¨
¸» e por
¬ © ε ¹¼
(OW )2 = (OC )2 + (CW )2
a 2 = b 2 + c 2 = b 2 + (aε )2

b = a 1− ε 2 .
(
1
k
=
(veja seção 7.2.) temos:
p mh 2
Então de (65) e (66) podemos ter:
T=
2π a b 2π a a 1 − ε
=
h
h
=
2π a a
h
temos
ou
(68)
)
p = a 1− ε 2 =
Sabendo que
2
(67)
3
1
mh 2
2
ka = 2 π a m 2
1
mh 2
1− ε 2 =
k
mh 2
.
ka
ou
k2
a3 m
T 2 4π 2 m
ou também
=
.
(69)
k
k
a3
Assim, podemos dizer que os quadrados dos períodos dos vários planetas são proporcionais
aos cubos dos seus semi-eixos maiores correspondentes, sendo este resultado a terceira lei de
Kepler, veja [S].
T2 =
9.2
4π
2
Lei Universal de Newton para a Gravitação
Usando a primeira lei de Kepler e as equações II e III da seção 7.1., Newton foi
capaz de deduzir sua famosa lei da gravitação entre o Sol e os planetas, veja [S], que ele
postulou como válidas para qualquer objeto no universo (veja seção 7.3.).
Lei de Newton para a gravitação
Duas partículas quaisquer de massas m1 e m2 e distantes entre si de r atraem –se mutuamente
com uma força
G Gm1 m2 G
r1
F=
r2
onde G é uma constante universal chamada constante universal.
(70)
Comparando o resultado obtido na seção 8.3. e com a lei de Newton para a gravitação temos:
Gm1m2 = K .
(71)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[A]
ALVARENGA, Beatriz. Fundamentos da Física. São Paulo, Harbra Ltda, 1993.
[AG] ÁVILA, Geraldo. Cálculo 1, 2 e 3. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos,
1995.
[B]
BONJORNO, José Roberto. Física: história & Cotidiano. São Paulo, FTD, 2003.
[C]
CARRON, Wilson & GUIMARÃES, Osvaldo. As faces da Física. São Paulo,
Moderna, 1997.
[G]
GRANVILLE, W. A. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Rio de Janeiro,
Livros Técnicos e Científicos, 1961.
[H]
HALLIDAY, David & RESNICK, Robert. Fundamentos da Física. Rio de Janeiro,
Livros Técnicos e Científicos, 1994.
[J]
JUDICE, Edson Durão. Elementos de geometria analítica. Belo Horizonte, Vega S.A.,
1971.
[R]
RIGHETTO, Armando. Vetores e Geometria analítica. Belo Horizonte, Livraria e
Importadora Científica, 1976.
[S]
SPIEGEL, Murray R. Mecânica Racional. Belo Horizonte, McGraw-Hill do Brasil
Ltda, 1973.
[SY] SYMON, KEITH R. Mecânica. Rio de Janeiro, Campus, 1982.
[T]
THUILLIER, Pierre. De Arquimedes a Einstein. Rio de Janeiro, Jorge Zahar, 1994.
10
ANEXO I – Seções Cônicas
Dados uma reta fixa (diretriz) e um ponto fixo (foco) não pertencente à reta, a elipse, a
hipérbole e a parábola podem ser definidas como o lugar geométrico dos pontos cuja razão
das distâncias a esse ponto e a essa reta é uma constante. Essa constante é chamada de
excentricidade da cônica e a representaremos por ε .
Tomando o ponto fixo O como pólo, e a perpendicular à reta fixa (diretriz) como eixo
polar, figura 1, vamos obter a equação polar das cônicas.
Q
P
y
p
d
.
r
θ
x
O
q
Figura 1
Cônicas
r
r
= ε ou d = .
d
ε
p
Para o ponto Q, temos: = ε
q
Por definição
Mas
q = d + r cos θ =
Logo
p =ε q =ε
Então
Portanto:
•
ou p = ε q .
r
ε
r
ε
(1 + ε
+ r cos θ =
r
ε
(1 + ε
)
cos θ ) = r ( 1 + ε cos θ )
p = r (1 + ε cos θ )
p
r=
.
(1 + ε cos θ )
No caso de ε = 0 a equação polar r =
cos θ
p
(1 + ε cos θ
(1)
)
resulta em
r=p
(2)
que é a equação polar de uma circunferência, veja [J], que está representada na figura 2.
Elevando ao quadrado ambos os membros de (2) temos:
r 2 = p2
x2 + y2 = p2
(3)
que, em coordenadas cartesianas é a equação da circunferência de centro em O (origem) e raio
p.
Q
P
y
r=p
d
.
r
θ
x
O
q
Figura 10
Circunferência de centro na origem O e raio p.
Para o caso em que ε = 1 calculemos a equação cartesiana do lugar geométrico e
mostremos que ela é do 2° grau nas variáveis x e y.
De (1) obtemos p = r + r ε cos θ .
•
Como, em coordenadas cartesianas temos r =
x
2
+ y
2
e x = r cosθ assim:
x2 + y2 + x ε = p
x2 + y2 = p − x ε
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
x2 + y2 = p2 − 2 p x ε + ε 2 x2
(1 − ε )x
2
Fazendo ε = 1 , a equação (4) fica:
2
+ y2 + 2 p xε − p2 = 0
(4)
y2 + 2 p x − p2 = 0
que é a parábola representada na figura 3 abaixo, veja [J], de foco na origem e vértice
§p ·
V ¨ ,0 ¸ .
y
©2 ¹
d
F=O
x
V
Figura 3
Parábola de foco na origem O e vértice V §¨
p
©2
·
,0 ¸ .
¹
Para analisar os casos 0 < ε < 1 e ε > 1 , façamos uma translação dos eixos, tal que:
x = X +m e y =Y +n
Substituindo em (4), temos:
•
(1 − ε 2 )(X + m)2 + (Y + n)2 + 2 p ε (X + m) − p 2 = 0
(1 − ε )(X + 2mX + m )+ (Y + 2nY + n ) + 2 p ε X + 2 p ε m − p = 0
(1 − ε ) X + (1 − ε )2 m X + (1 − ε )m + Y + 2nY + n + 2 p ε X + 2 p ε m − p
2
2
2
2
(1−ε )
2
2
2
2
2
[(
2
]
)
2
2
[ (
X + Y + 1− ε 2 m + 2 p ε X + 2 nY + n + 1− ε
Para eliminarmos os termos lineares, devemos ter:
2
2
2
2
2
2
2
)m + 2 pε
2
]
m− p = 0
2
2
=0
(5)
(1 − ε 2 ) 2 m + 2 p ε = 0
e
m=
Logo:
2n=0
− pε
1− ε 2
Desse modo a equação (5) ficará:
(1−ε )
2
n=0.
e
2
ª
§ − pε ·
§ − pε · 2 º
2
2
«
¨
¸
¸− p » =0
X + Y + 0 + 1− ε
+ 2 pε ¨
¨1− ε 2 ¸
¨1− ε 2 ¸
«
»
©
¹
©
¹
«¬
¼»
2
(
2
)
(1−ε 2 )X 2+Y 2 + ª«1p−εε 2 − 21p−εε 2 − p2 º» = 0
2
2
2
2
¬«
¼»
2 2
2 2
2
2 2
(1−ε 2 )X 2 + Y 2 + ª«1p−εε 2 − 21p−εε2 + − p1−+εp2 ε º» = 0
¬
¼
(
)
ª p2ε 2 2 p2ε 2
p2ε
p2
−
−
+
1− ε X + Y + «
«¬1− ε 2 1− ε 2 1− ε 2 1− ε
2
2
(1−ε )X
2
(1−ε )X
2
2
2
2
2
+Y −
2
+Y =
p2
1− ε 2
p2
1− ε 2
2º
2
» =0
»¼
=0
(6)
Logo,
• se 0 < ε < 1 , o coeficiente de X 2 e o 2º membro são positivos e a equação (6) é a
equação de uma elipse, veja [R];
se ε > 1 , os coeficientes de X 2 e de Y 2 têm sinais contrários, pois 1 − ε 2 < 0 e a
equação (6) representa uma hipérbole.
A equação (6) pode ser escrita ainda de outra forma, dividindo ambos os membros por
p2
.Assim, obtemos:
1− ε 2
•
X2
p2
(1− ε )
+
2 2
Y2
p2
1− ε
Agora fazendo
= 1.
2
(
p2
)
2
1− ε 2
= A2
e
p2
1− ε 2
X2 Y2
+
= 1,
A2 B 2
= B 2 , temos:
(7)
onde podemos observar se:
• 0 < ε < 1 teremos: A2 > 0 e B 2 > 0 , então (7) é equação de uma
elipse.
B 2 < 0 , então (7) é equação de uma
• ε > 1 teremos: A2 > 0 e
hipérbole.
Figura 4
Cônicas
Na figura 4 acima, está representado as três seções cônicas ( elipse, hipérbole e
parábola ), veja [R], onde e = ε é a excentricidade da cônica.
11
ANEXO II – Área de uma elipse
A equação de uma elipse em coordenadas cartesianas é
2
2
§ y·
§x·
¨ ¸ + ¨ ¸ =1,
©a¹
©b¹
(1)
sendo a e b os semi-eixos maior e menor respectivamente.
y
B
A’
O
2b
x
A
B’
2a
FIGURA 5
2
§ § x ·2 ·
§x·
Assim podemos escrever y 2 = b 2 ¨1 − ¨ ¸ ¸ em que y = ±b 1 − ¨ ¸ . Então a equação
¨ ©a¹ ¸
©a¹
©
¹
2
§x·
y = b 1 − ¨ ¸ , na qual se toma o radical com sinal positivo, representa a semi-elipse ABA’
©a¹
(figura acima) situada acima do eixo Ox. Calculemos a área do quadrante OAB, veja [AV],
por:
A=
Fazendo x = a sen θ
A=b
Como cos 2 θ =
³
a
2
§x·
b 1− ¨ ¸ .
©a¹
0
e dx = a cos θ dθ , temos:
π
³
1 − (sen θ
2
) 2 a cosθ
dθ = ab
0
(2)
³
π
2
( cosθ )2 dθ
.
0
1
(1 + cos 2θ ) , temos:
2
1
A = ab
2
³
π
2
0
π
( 1 + cos 2θ ) dθ = 1 ab
2
sen 2θ º 2 1
ª
«θ + 2
» = 4 π ab .
¬
¼0
Logo, a área da elipse é o quádruplo dessa área, isto é,
Aelipse = π a b .
(3)
Modelagem Fuzzy na Saúde
Wanda Aparecida Lopes∗
Rosana Sueli da Motta Jafelice†
Universidade Federal de Uberlândia - UFU
38408-100, Uberlândia - MG
agosto de 2005
Resumo
Este trabalho apresenta modelos de aplicações da teoria dos conjuntos fuzzy
na área da saúde. Apresentamos diagnóstico médico fuzzy de doenças das vias
aéreas superiores e inferiores, com as informações da especialista e a partir dos
sinais e sintomas apresentados pelos pacientes, simulamos a atuação de um médico
no diagnóstico de seus pacientes. Representamos através de gráficos a diferença de
custo do tratamento da pneumonia com antibióticos administrados via oral e via
intravenosa, em seguida, consideramos um indivı́duo com pneumonia grave sendo
necessário sua internação e uso de aparelho de respiração mecânica, em que a compensação das trocas gasosas do indivı́duo é tratada como uma variável lingüı́stica
fuzzy que depende da fração inspirada de oxigênio do aparelho, e da saturação parcial de oxigênio do indivı́duo, onde inclusive obtemos um indicativo quanto a possibilidade de retirar o indivı́duo do aparelho de respiração mecânica. Além disso,
apresentamos um modelo matemático que descreve como cai a concentração de um
fármaco no sangue de um indivı́duo. Tal modelo é dado por uma equação diferencial
ordinária, na qual a concentração de um fármaco no compartimento decai a uma
velocidade que é proporcional, em cada instante, à sua própria concentração, onde a
constante de velocidade de eliminação é considerada como um parâmetro fuzzy, que
depende da função renal do indivı́duo. A modelagem da velocidade de eliminação é
determinada utilizando informações de especialista da área.
Palavras-chaves: Conjuntos Fuzzy; Diagnóstico Médico; Eliminação de Fármacos.
∗
†
Orientanda do VII Curso de Especialização em Matemática. E-mail: [email protected]
Professora orientadora. E-mail: [email protected]
1
Introdução
1.1
Motivação
Entre as ciências biológicas, a farmacologia1 ocupa lugar sem limites, possui raı́zes profundas nas ciências básicas, ramifica-se em todas as especialidades médicas. É uma ciência
multidisciplinar logo não existiria sem as outras ciências. Seu nascimento só se tornou
possı́vel a partir do fim do século XVII, com o desenvolvimento da fisiologia experimental
e da quı́mica. Nos dias atuais, a farmacologia, que era uma fisiologia2 aplicada, passou a
utilizar técnicas de várias ciências entre as quais a da matemática. Apesar de utilizar-se
largamente das outras ciências, possui o seu método próprio de ciência autônoma [5].
Nos últimos 25 anos, a farmacologia evoluiu muito mais rapidamente do que em toda a
história prévia da ciência. Uma área que teve considerável evolução foi a famacocinética.
Esta é uma área da farmacologia em que se estuda o destino do fármaco3 no organismo.
O principal objetivo dos estudos cinéticos podem ser descritos por modelos matemáticos,
em que a movimentação dos fármacos de um compartimento para outro modifica sua concentração nesses compartimentos. Através de modelos e cálculos matemáticos, pode-se
quantificar a absorção, a distribuição e a eliminação de fármacos. Apesar de constituir
um meio prático pelo qual se pode ter controle da dose a ser administrada e de uma previsão matemática do inı́cio e duração de seus efeitos terapêuticos ou tóxicos, os modelos
farmacocinéticos são artificiais e incompletos para representar a complexidade do organismo [17].
É fato perfeitamente conhecido que a resposta do organismo aos fármacos é extremamente variável. Pesquisas feitas no homem mostram que existe uma variação relativamente grande da capacidade de metabolizar fármacos de indivı́duo para indivı́duo, alguns
metabolizam mais rápidos outros mais lentos. Tais variações dependem de muitos fatores
como dose, gravidade, severidade da doença, composição orgânica do indivı́duo, idade, o
estado clı́nico, alterações nas funções cardı́acas, hepática e renal, velocidade de biotransformação e excreção e outros fatores farmacocinéticos [17].
Na última década, a literatura matemática que trata de fenômenos imprecisos tem
crescido consideravelmente, de modo especial no tocante à teoria de modelagem e controle, utilizada com sucesso nas áreas de Engenharia. As primeiras aplicações desta teoria em
Biomatemática foi em diagnóstico médico [13] e [14], em que se concentra a maioria das
aplicações da teoria de conjuntos fuzzy na medicina. Mais recentemente outros autores
têm utilizado esta abordagem em problemas de epidemiologia [12], [7].
É possı́vel elaborar inumeráveis conjuntos fuzzy em medicina, como por exemplo o
conjunto fuzzy de febre alta, tosse intensa, progressão clı́nica rápida, e assim por diante. Os termos alta, intensa e rápida são variáveis lingüı́sticas para os conjuntos febre,
tosse e progressão clı́nica, respectivamente. É importante perceber, no entanto, que essas
variáveis lingüı́sticas precisam ser expressas numericamente, o que em geral pode ser realizado por um especialista [11].
Nosso principal interesse, nesta área, está relacionado com o estudo de fenômenos
biológicos que exibem incertezas graduais e que possam ser modelados pela teoria de conjuntos fuzzy, introduzida por [16]. Devido o seu grande potencial de aplicação e caráter
1
farmacologia é a ciência que estuda os medicamentos sob todos os aspectos, isto é, a fonte, a absorção,
o destino no organismo, o mecanismo de ação e os seus efeitos.
2
fisiologia é a parte da biologia que investiga as funções orgânicas e processos ou atividades vitais.
3
fármaco é toda substância de estrutura quı́mica definida utilizada para modificar ou explorar sistema
fisiológico ou estados patológicos, para o benefı́cio do organismo receptor.
de interdisciplinaridade, tal teoria pode facilitar o trabalho do modelador e de um especialista da área e possivelmente acrescentar ’novas’ informações, facilitando a análise
e compreensão de algumas situações reais [7]. Esse é o caso de eliminação de fármacos
e de diagnóstico médico, pois as informações que os médicos dispõem de seus pacientes
em geral são caracterizadas pela imprecisão; o médico durante horas de trabalho enfrenta
casos caracterizados por dados imprecisos e, em alguns casos de natureza contraditória
nos sintomas relatados pelo paciente.
Devido às caracterı́sticas individuais e à imprecisão que caracteriza a biomedicina,
em especı́fico, diagnóstico médico e farmacocinética em que relacionamos a modelagem
matemática com a teoria dos conjuntos fuzzy.
1.2
Modelagem Matemática
Modelagem Matemática é um processo dinâmico utilizado para obtenção e validação de
modelos matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com a finalidade de
previsão de tendências. A modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar
situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas
na linguagem usual [2]. A modelagem eficiente permite fazer previsões, tomar decisões,
explicar e entender; enfim participar do mundo real com capacidade de influenciar em suas
mudanças. Salientamos mais uma vez que a aplicabilidade de um modelo depende substancialmente do contexto em que ele é desenvolvido. Um modelo pode ser ’bom’ para um
biólogo e não para um matemático e vice-versa. A modelagem matemática, atualmente
usada em toda ciência, tem contribuı́do sobremaneira para a evolução do conhecimento
humano, com a pretensão de conquistar o universo.
A complexidade dos fenômenos biológicos que poderia ser a causa do desinteresse de
matematização desta ciência, ao contrário tem cada vez mais adeptos, mesmo porque a
Biomatemática se tornou uma fonte fértil para o desenvolvimento da própria Matemática [2].
Nas últimas décadas a Biomatemática vem tendo um desenvolvimento fortemente encorajado pelo aparecimento de novas teorias matemáticas entre as quais a Teoria Fuzzy, usada
no decorrer deste trabalho.
1.3
Diagnóstico Médico
O ser humano, há séculos, sofre e sente dores. O diagnóstico médico pode ser uma tarefa
complicada, de certa forma, é um exercı́cio de comparação: o médico precisa confrontar os
dados que reuniu (através da anamnese4 , do exame fı́sico e dos exames complementares)
com as informações disponı́veis a respeito das diversas doenças existentes. É como ter de
verificar, em meio a uma multidão, em quem serve uma determinada camisa... Para dar
uma pequena idéia da dificuldade enfrentada pelo médico, eis uma breve lista das causas
mais comuns de tosse no aparelho respiratório: Rinites, Sinusites, Faringites, Amigdalites,
Laringites, Traqueobronquites, Pneumonias, Pleurites, Tuberculose pulmonar, Corpo estranho nas vias aéreas, sem contar, naturalmente, as doenças muito raras.
Com as informações citadas acima verifica-se que o diagnóstico de doenças envolve
vários nı́veis de impricisão e incerteza. Um único sintoma pode ser indicativo de várias
doenças distintas. Além disso uma única doença pode se manifestar de forma totalmente
4
anamnese é a conversa realizada entre o médico e o paciente durante a consulta, é um questionário
que irá verificar detalhes do passado e presente do inivı́duo, referente ao estilo de vida, doenças, acidentes,
cirurgias, ou seja, é a história da doença relatada pelo paciente.
diversa em diferentes pacientes, com vários graus de severidade, e a presença de outras
doenças em um mesmo indivı́duo pode alterar completamente o padrão sintomático esperado para qualquer uma delas [4].
1.4
Excreção de Fármacos
Depois de absorvidos e distribuı́dos no organismo, os fármacos são eliminados. Atualmente o termo eliminação não significa apenas excreção, mas também inclui processos
metabólicos que inativam o fármaco. Os fármacos inalterados ou seus metabólitos são
eliminados por diferentes vias, conforme suas propriedades fı́sico-quı́micas. Entre as vias
de excreção destacam-se por sua importância a renal, a biliar, enquanto as outras são
consideradas secundárias. A via renal constitui a principal via de excreção de fármacos,
por isso que havendo patologia renal, a excreção renal dos fármacos é profundamente
modificada [15].
1.5
Objetivos e Organização
O objetivo deste trabalho é estudar modelos usando a aplicação da teoria dos conjuntos
fuzzy na área da saúde, neste sentido concentramos este estudo em diagnóstico médico,
monitoramento do tratamento da pneumonia e eliminação de fármacos.
O principal interesse é buscar maneiras de realizar uma junção efetiva dessa teoria
com a área da saúde. Para este propósito utilizamos informações de especialistas, tanto
para simular um sistema fuzzy que atua como um diagnóstico médico, como para o monitoramento do tratamento da pneumonia e para calcularmos a constante de velocidade
de eliminação de um determinado fármaco.
O trabalho é organizado da seguinte forma. A seção 2 apresenta definições básicas da
teoria dos conjuntos fuzzy e de sistemas baseados em regras fuzzy que são utilizadas no
trabalho. A seção 3, em um primeiro momento, apresenta uma aplicação dos conjuntos
fuzzy em diagnóstico médico no qual propomos um sistema que simula a atuação do
médico no diagnóstico de doenças das vias áereas superiores e inferiores, a partir dos
sinais e sintomas apresentados pelo indivı́duo; em seguida fazemos representações gráficas
do custo de antibióticos usados no tratamento da pneumonia, além disso consideramos um
indivı́duo com pneumonia grave que necessita de internação e faz uso de um aparelho de
respiração mecânica, em que a compensação das trocas gasosas do indivı́duo foi considerada como uma variável lingüı́stica fuzzy que depende da fração inspirada de oxigênio do
respirador e da saturação parcial de oxigênio do paciente. Inclusive, através do sistema
baseado em regras fuzzy, podemos ter um indicativo quanto a possibilidade de retirar
o indivı́duo da respiração mecânica. A seção 4 apresenta um modelo matemático que
descreve como cai a concentração de um fármaco no sangue de um paciente. O modelo
supõe que a concentração de um fármaco decai a uma velocidade que é proporcional, em
cada instante, à sua própria concentração, em que consideramos a constante de velocidade
de eliminação como um parâmetro fuzzy que depende do volume urinário, do clearance
de creatinina5 e do pH sérico6 do paciente. A modelagem da velocidade de eliminação, é
determinada utilizando informações de um especialista da área.
5
o teste de clearance de creatinina determina a eficiência com que os rins eliminam a creatinina do
sangue.
6
pH sérico é o pH do sangue.
2
2.1
Conjuntos Fuzzy
Introdução
Durante aproximadamente 300 anos a modelagem da imprecisão e incerteza nas ciências
tem sido tratada pelos modelos estatı́sticos. Atualmente, incerteza e imprecisão são
tratadas também pela teoria de conjuntos fuzzy. Esta teoria tem demonstrado possuir
grande capacidade de aplicação em problemas de diversas áreas, inclusive em problemas
da biomedicina, dado o tipo de incerteza envolvido nos procedimentos médicos, biológicos
e epidemiológicos. De fato, a aplicação dessa teoria na área médica, embora recente,
já tem demonstrado a sua capacidade para aprimorar e desenvolver tanto equipamentos
quanto modelos nas mais diversas atividades hospitalares e de pesquisa [11].
A teoria fuzzy foi apresentada em 1965 por Lotfi A. Zadeh, professor no departamento
de engenharia elétrica e ciências da computação da Universidade da Califórnia, em Berkeley, quando ele trabalhava com problemas de classificações de conjuntos que não possuı́am
fronteiras bem definidas, sua principal intenção era de dar um tratamento matemático
a certos termos lingüı́sticos subjetivos, como ’aproximadamente ’, ’em torno de’ dentre
outros.
Em muitos problemas de fı́sica e matemática não temos dificuldade em classificar elementos como pertencentes ou não a um dado conjunto clássico. Dessa forma, dado um
conjunto A e um elemento x do conjunto universo U conseguimos muitas vezes dizer se
x ∈ A ou se x ∈
/ A. Afirmamos, por exemplo, sem receio que o número 5 pertence ao conjunto dos números naturais e que o número −5 não pertence a este mesmo conjunto. No
entanto, podemos discordar quanto ao fato do número 4, 5 pertencer ou não ao conjunto
dos números aproximadamente iguais a 5. Neste caso a resposta não é única e objetiva,
pertencer ou não pode depender do tipo de problema que estamos analisando. Pensamos,
por exemplo, que 4, 5 é a média de provas de um aluno extremamente aplicado que está
passando por sérios problemas de saúde e que, em razão disso, apresenta dificuldades para
realizar as últimas provas. O professor nesta situação pode ponderar sobre a capacidade
do aluno, sua dedicação durante o curso e sua realidade optando por aprová-lo, ainda que
a média necessária seja 5. Neste caso, o número 4, 5 pode ser visto como pertencente ao
conjunto dos números aproximadamente iguais a 5.
Existem inúmeras situações em que a relação de pertinência não é bem definida, e
nestes casos, não sabemos dizer se o elemento pertence ou não a um dado conjunto. A
intensão de Zadeh foi flexibilizar a pertinência de elementos aos conjuntos criando a idéia
de grau de pertinência. Dessa forma, um elemento pode pertencer parcialmente a um
dado conjunto.
A idéia de grau de pertinência da lógica fuzzy nos possibilita agrupar os elementos de
maneira diferente da aplicada na lógica clássica, o que nos permite reinterpretar antigos
conceitos, elaborados segundo esta lógica. Não é necessário muito esforço para percebermos que poucos são os casos no cotidiano real em que temos total certeza sobre as coisas
e os fatos, e que faz parte da atividade humana tomar decisões considerando a verdade
parcial existente. É neste sentido que a lógica fuzzy difere da lógica convencional, pois ela
nos permite assumir afirmações com valores entre falso e verdadeiro, nos possibilitando
inclusive trabalhar com variáveis lingüı́sticas. Ela pode ser considerada uma das ferramentas matemáticas mais poderosas para lidar com incertezas, imprecisões e verdades
parciais [11].
O termo fuzzy, de origem inglesa, significa incerto, impreciso, subjetivo, nebuloso, difuso, e se refere ao fato de, em muitos casos, não conhecermos completamente os sistemas
que estamos analisando. Como podemos apurar até agora, nenhuma dessas traduções é
tão fiel ao sentido amplo dado pela palavra fuzzy em inglês. Além disso, temos observado
que todos os paı́ses têm usado a palavra fuzzy, sem traduzir este termo para a lı́ngua
pátria, com exceção da França, que traduziu-a por nelule. Essas têm sido as justificativas
para não traduzirmos esta palavra para o português [8].
2.2
Conjunto Fuzzy
Um subconjunto fuzzy do conjunto universo U é definido em termos de uma função
de pertinência u que a cada elemento x de U associa um número u(x), entre zero e um,
chamado de grau de pertinência de x a . Assim, o conjunto fuzzy é simbolicamente
indicado por sua função de pertinência
u : U → [0, 1] .
Os valores u(x) = 1 e u(x) = 0 indicam, respectivamente, a pertinência plena e a
não pertinência do elemento x a .
É interessante notar que um subconjunto clássico A de U é um particular conjunto
fuzzy para o qual a função de pertinência é a função caracterı́stica de A, dada por:
1, se x ∈ A
uA : U → {0, 1}; uA (x) =
0, se x ∈
/ A.
Um conjunto fuzzy é normal se sua função de pertinência atinge o valor 1 (um), isto
é, existe x ∈ U tal que uU (x) = 1. Um conjunto fuzzy A em R é convexo se sua função de
pertinência é tal que
uA [ξx1 + (1 − ξ)x2 ] ≥ min[uA (x1 ), uA (x2 )]
(1)
para quaisquer x1 , x2 ∈ R, e ξ ∈ [0, 1].
Exemplo 2.1 Considere o suconjunto fuzzy F dos números naturais ’pequenos’ [1]:
F = {n ∈ N : n é pequeno} .
O número 0 pertence a esse conjunto? E o número 1000? Dentro do espı́rito da teoria
fuzzy, podemos dizer que ambos pertencem a F porém com diferentes graus de pertinência,
de acordo com a propriedade que o caracteriza. Ou seja, a função de pertinência de F deve
ser ’construı́da’ de forma coerente com o termo ’pequeno’ que caracteriza seus elementos
no conjunto universo dos números naturais. Uma possibilidde para a função de pertinência
de F é
1
(2)
uF (n) =
n+1
Se esse for o caso, poderiamos dizer que o número 0 pertence a F com grau de pertinência uF (0) = 1, enquanto 1000 pertence a F com grau uF (1000) = 0, 0011, veja
Figura 1.
1
uF(n)
0,0011
0
1000
Figura 1: Conjunto fuzzy dos números naturais ‘pequenos’.
Notemos que a escolha da função uF neste caso foi escolhida de maneira totalmente
arbitrária, levando em conta apenas o significado da palavra ’pequeno’. Portanto, existem
infinitas maneiras de modelar matematicamente o conceito de ’número natural pequeno’.
Outra maneira possı́vel é
(3)
uF (n) = e−n .
Claro que a escolha dessas funções para representar o conjunto fuzzy em questão depende de como tais funções estão relacionadas com o contexto do problema a ser estudado.
Do ponto de vista apenas da teoria de conjuntos fuzzy, qualquer uma das duas funções de
pertinência (2.2) ou (2.3), pode ser representante do nosso conjunto fuzzy F . Porém, o
que deve ser notado é que cada uma destas funções produz conjuntos fuzzy distintos. Finalmente, está implı́cito que dois conjuntos fuzzy A e B são iguais quando uA (x) = uB (x),
para todo x ∈ U.
Apresentamos a seguir as operações entre conjuntos fuzzy.
2.3
Operações entre Conjuntos Fuzzy
Sejam A e B subconjuntos clássicos de U representados pelas funções caracterı́sticas uA
e uB , respectivamente. Os conjuntos
A ∪ B = {x ∈ U; x ∈ A ou x ∈ B},
A ∩ B = {x ∈ U ; x ∈ A e x ∈ B},
A = {x ∈ U; x ∈ A}
têm, respectivamente, as seguintes funções caracterı́sticas,
uA∪B (x) = max{uA (x), uB (x)},
uA∩B (x) = min{uA (x), uB (x)},
uA (x) = 1 − uA (x),
para todo x em U.
Pensando novamente em conjuntos fuzzy como sendo caracterizados pelas funções de pertinências que são extensões de funções caracterı́sticas, podemos definir união, intersecção
e complementar de conjuntos fuzzy.
Definição 2.1 Sejam A e B conjuntos fuzzy. As funções de pertinências que representam
os conjuntos fuzzy união (Figura 2), intersecção (Figura 3) e complementar (Figura 4)
de conjuntos fuzzy são dadas por, ∀x ∈ U,
uA∪B (x) = max{uA (x), uB (x)},
uA∩B (x) = min{uA (x), uB (x)},
uA (x) = 1 − uA (x).
As Figuras 2 e 3 representam, em azul pontilhado a função de pertinênica uA (x), em
vermelho a função de pertinência uB (x) e na linha vermelha sólida representa a função
de pertinência uA∪B (x) e uA∩B (x), respectivamente. A figura 4 representa, em preto a
função de pertinência uA (x) e na linha vermelha sólida representa a função uA (x).
Figura 2: União dos conjuntos fuzzy [8].
Particularmente, se A e B forem conjuntos clássicos, então as funções caracterı́sticas das respectivas operações, acima definidas, sastifazem estas igualdades, mostrando a
coerência destas definições. Por exemplo, se A é um subconjunto (clássico) de U , então a
função caracterı́stica, do seu complementar é tal que uA (x) = 0 se uA (x) = 1 (i.é.x ∈ A)
/ A ). Neste caso, x ∈ A ou x ∈
/ A. Na teoria fuzzy não
e uA (x) = 1 se uA (x) = 0 (i.é.x ∈
temos necessariamente essa dicotomia, nem sempre é verdade que A ∩ A = ∅ assim como
não é verdade que A ∪ A = U . O exemplo a seguir ilustra tais fatos.
Figura 3: Intersecção dos conjuntos fuzzy [8].
Figura 4: Complementar dos conjuntos fuzzy [8].
Exemplo 2.2 Suponha que o conjunto universo U seja composto pelos paciente de uma
clı́nica, identificados pelos números 1, 2, 3, 4 e 5. Sejam A e B os conjuntos fuzzy que
representam os pacientes com febre e dor, respectivamente. A Tabela abaixo ilustra a
união, intersecção e o complemento [1].
P aciente
1
2
3
4
5
F ebre(uA ) Dor(uB ) uA∪B
0.7
0.6
0.7
1.0
1.0
1.0
0.4
0.2
0.4
0.5
0.5
0.5
1.0
0.2
1.0
uA∩B
0.6
1.0
0.2
0.5
0.2
uA
0.3
0.0
0.6
0.5
0.0
uA∩A
0.3
0.0
0.4
0.5
0.0
Os valores das colunas, exceto os da primeira, indicam os graus com que cada paciente
pertence aos conjuntos fuzzy A, B, A ∩ B, A ∪ B, A , A ∩ A , respectivamente onde
A e B são supostamente dados. Na última coluna (A ∩ A ), o valor 0.3 indica que o
paciente 1 está tanto no grupo dos febris como dos não febris. Como sabemos, este é um
fato inadmissı́vel na teoria clássica de conjuntos na qual temos a lei do terceiro excluı́do
(A ∩ A = ∅).
2.4
Normas Triangulares
As normas triangulares são generalizações dos operadores união e intersecção [8]. Formalmente são definidas abaixo:
Definição 2.2 Uma co-norma triangular (s−norma) é uma operação binária
s : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] satisfazendo as seguintes condições:
• Comutatividade: xsy = ysx
• Associatividade: xs(ysz) = (xsy)sz
• Monotonicidade: Se x ≤ y e w ≤ z então xsw ≤ ysz
• Condições de fronteira: xs0 = x, xs1 = 1
Claramente, o operador max é uma s−norma.
Exemplos:
1. União Padrão: xsy = max(x, y)
2. Soma Algébrica: xsy = x + y − xy
s−norma "união padrão"
s−norma "soma algebrica"
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
1
0
1
0.8
0.8
1
0.6
1
0.6
0.8
0.6
0.4
0.8
0.6
0.4
0.4
0.2
0.4
0.2
0.2
0
0.2
0
0
0
3. Soma Limitada: xsy = min(1, x + y)
⎧
⎨ x se y = 0
y se x = 0
xsy =
⎩
1 caso contrário
4. União Drástica:
s−norma "soma limitada"
s−norma "uniao drástica"
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
1
0
1
0.8
1
0.6
0.8
0.8
1
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0.8
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
Definição 2.3 Uma norma triangular (t−norma) é uma operação binária
t : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] satisfazendo as seguintes condições:
• Comutatividade: xty = ytx
• Associatividade: xt(ytz) = (xty)tz
• Monotonicidade: Se x ≤ y e w ≤ z então xtw ≤ ytz
• Condições de fronteira: 0tx = 0, 1tx = x
O operador min é uma t−norma.
Exemplos:
1. Intersecção Padrão: xty = min(x, y)
2. Produto Algébrico: xty = xy
t−norma "interseção padrão"
t−norma "produto algébrico"
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
1
0
1
0.8
0.8
1
0.6
1
0.6
0.8
0.6
0.4
0.8
0.6
0.4
0.4
0.2
0.4
0.2
0.2
0
0.2
0
0
0
3. Diferença Limitada: xty = max(0, x + y − 1)
4. Intersecção Drástica:
⎧
⎨ x se y = 1
y se x = 1
xty =
⎩
0 caso contrário
t−norma "diferença limitada"
t−norma "interseção drástica"
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
1
0
1
0.8
1
0.6
0.8
0.6
0.4
1
0.6
0.8
0.2
0
0.6
0.4
0.4
0.2
2.5
0.8
0.4
0.2
0.2
0
0
0
Nı́veis de Conjuntos Fuzzy
Definição 2.4 Sejam A um conjunto fuzzy e α ∈ [0, 1]. Definimos como
α-nı́vel de A o conjunto
[A]α = {x ∈ U; uA (x) ≥ α}
Definição 2.5 Suporte de um conjunto fuzzy A são todos elementos de U que tem grau
de pertinência diferente de zero em A e denotamos por supp(A).
supp(A) = {x ∈ U ; uA (x) > 0}
Indicamos por F(U) o conjunto de todos os conjuntos fuzzy de U.
2.6
Relações Fuzzy
Estudos de associações, relações ou interações, entre os elementos de diversas classes
é de grande interesse na análise e compreensão de muitos fenômenos do mundo real.
Matematicamente, o conceito de relação é formalizado a partir da teoria de conjuntos.
Desta forma, intuitivamente pode-se dizer que a relação será fuzzy quando optamos pela
teoria dos conjuntos fuzzy e será clássica quando optamos pela teoria clássica de conjuntos
para conceituar a relação em estudo. Qual dos modelos adotar, entre estes dois, depende
muito do fenômeno estudado. Porém, a opção pela teoria de conjuntos fuzzy sempre tem
maior robustez no sentido de que esta inclui a teoria clássica de conjuntos. Definimos a
seguir relações fuzzy.
Definição 2.6 Uma relação fuzzy R, sobre U 1 × U 2 × ...× U n , é qualquer subconjunto
fuzzy do produto cartesiano U 1 × U 2 × ...× U n . Se o produto cartesiano é formado por
apenas dois conjuntos, U 1 × U 2 , a relação é chamada de fuzzy binária sobre U 1 × U 2 .
A principal vantagem na opção pela relação fuzzy, é que a relação clássica indica apenas
se há ou não relação entre dois objetos, enquanto uma relação fuzzy além de indicar se
existe ou não relação, indica também o grau desta relação.
Uma noção que será muito importante para o nosso trabalho, é o produto cartesiano
entre conjuntos.
Definição 2.7 O produto cartesiano R(x1 , x2 , ..., xn ) dos subconjuntos fuzzy A1 , A2 , ...An
de U 1 , U 2 , ... U n , é a relação fuzzy
R(x1 , x2 , ..., xn ) = uA1 (x1 ) ∧ uA2 (x2 ) ∧ ... ∧ uAn (xn )
(4)
onde ∧ é a t-norma min.
A noção e utilização de produto cartesiano fuzzy ficará mais clara quando introduzirmos
o conceito de sistemas baseados em regras fuzzy, que são sistemas compostos de regras da
forma ’Se...então’, pois estas regras podem ser interpretadas como produtos cartesianos
de conjuntos fuzzy.
2.7
Composição de Relações Fuzzy
Considere R e S duas relações fuzzy binárias em U1 × U2 e U2 × U3 , respectivamente.
Definição 2.8 A composição RoS é uma relação fuzzy binária em U1 × U3 tal que
uRoS (x1 , x3 ) = max [min(uR (x1 , x2 ), uS (x2 , x3 ))].
x2 ∈U2
(5)
Quando os conjuntos U1 , U2 e U3 são finitos, então a forma matricial da relação RoS, dada
pela composição max-min, é obtida como uma multiplicação de matrizes, substituindo-se
o produto pelo mı́nimo e a soma pelo máximo.
Definiremos um caso especial da composição max-min, que será utilizada na Seção 3,
em uma importante aplicação, diagnóstico médico.
Definição 2.9 Sejam U1 e U2 dois conjuntos, F(U1 ) e F(U2 ), as classes dos conjuntos
fuzzy de U1 e U2 , respectivamente, e R uma relação binária sobre U1 × U2 . Então a
relação R define um funcional de F(U1 ) em F(U2 ) que a cada elemento A1 ∈ F(U1 ) faz
corresponder o elemento A2 ∈ F(U2 ) tal que a sua função de pertinência é dada por:
uA2 (x2 ) = max [min(uA1 (x1 ), uR (x1 , x2 ))] uR(A1 ) (x2 )
x1 ∈U1
(6)
2.8
Variáveis Lingüı́sticas
Uma variável lingüı́stica fuzzy é uma variável cujo valor é expresso qualitativamente por
um termo lingüı́stico (que fornece um nome ou um conceito à variável) e quantitativamente pela sua função de pertinência. A variável lingüı́stica é composta por uma variável
simbólica e por um valor numérico. Por exemplo, a variável lingüı́stica ”muito quente”,
que expressa um conceito que pode depender do contexto, possui um sı́mbolo da nossa
lı́ngua natural muito quente e pode possuir um valor numério de temperatura, T > 28o C,
por exemplo. Note que cotidianamente utilizamos variáveis lingüı́sticas para nos expressar: ”o dia está muito quente”, ”o ônibus está muito cheio”, ”o preço está alto”, ”a criança
está com muita tosse”, ”eu estou com muita dor”etc. Os termos lingüı́sticos são usados
para expressar conceitos e conhecimentos na comunicação humana, e em muitas áreas são
a forma mais importante de quantificar e qualificar os dados (informações).
Nas áreas médicas o uso de variáveis lingüı́sticas para expressar valores é extremamente
comum. De fato, muitos são os exames clı́nicos em que os valores observados somente
podem ser expressos em termos de variáveis lingüı́sticas, seguindo algum padrão que o
médico desenvolve durante sua formação e que é aperfeiçoado com a sua prática [11].
Variável Lingüística
Temperatura
Termos Lingüísticos
Baixa
Média
Alta
Figura 5: Variáveis Lingüı́sticas [8].
2.9
Sistemas Baseados em Regras Fuzzy
Sistemas baseados em regras fuzzy (SBRF) contêm quatro componentes: um processador
de entrada que realiza a fuzzificação dos dados de entrada, uma coleção de regras nebulosas
chamada base de regras, uma máquina de inferência fuzzy e um processador de saı́da que
fornece um número real como saı́da [7]. Estes componentes estão conectados conforme
indicado na Figura 6.
Uma vez estabelecida uma base de regras, isto é, como relacionamos os conjuntos fuzzy
pela forma Se...então..., um SBRF pode ser visto como um mapeamento entre a entrada
e a saı́da da forma y = f (x), x ∈ Rn e y ∈ Rm (trajetória em negrito na Figura 6).
Esta classe de sistema é amplamente utilizada em problemas de modelagem, controle e
classificação. Os componentes do SBRF são descritos a seguir:
Figura 6: Sistemas Baseados em Regras Fuzzy [7].
• Processador de Entrada (Fuzzificação)
Neste componente as entradas do sistema são traduzidas em conjuntos fuzzy em
seus respectivos domı́nios. A atuação de um especialista na área do fenômeno a ser
modelado é de fundamental importância para colaborar na construção das funções
de pertinências para a descrição das entradas.
• Base de Regras
Este componente, juntamente com a máquina de inferência, pode ser considerado
o núcleo dos sistemas baseados em regras fuzzy. Ele é composto por uma coleção
de proposições fuzzy na forma Se...então.... Cada uma destas proposições pode,
por exemplo, ser descrita lingüisticamente de acordo com o conhecimento de um
especialista. A base de regras descreve relações entre as variáveis lingüı́sticas, para
serem utilizadas na máquina de inferência fuzzy que descrevemos no próximo item.
• Máquina de Inferência Fuzzy
É neste componente que cada proposição fuzzy é traduzida matematicamente por
meio das técnicas de raciocı́nio aproximado. Os operadores matemáticos serão selecionados para definir a relação fuzzy que modela a base de regras. Desta forma, a
máquina de inferência fuzzy é de fundamental importância para o sucesso do sistema
fuzzy, já que fornece a saı́da a partir de cada entrada fuzzy e da relação definida
pela base de regras. Apresentamos aqui um dos métodos particulares de Inferência
Fuzzy: o Método de Mamdani.
– Método de Mamdani
Uma regra Se (antecedente) então (conseqüente) é definida pelo produto cartesiano fuzzy dos conjuntos fuzzy que compõem o antecedente e o conseqüente
da regra. O método de Mamdani agrega as regras através do operador lógico
OU, que é modelado pelo operador máximo e, em cada regra, o operador lógico
E é modelado pelo operador mı́nimo. Veja as regras a seguir:
Regra 1: Se (x é A1 e y é B1 ) então (z é C1 ).
Regra 2: Se (x é A2 e y é B2 ) então (z é C2 ).
A Figura 7 ilustra como uma saı́da real z de um sistema de inferência tipo
Mamdani é gerada a partir das entradas x e y reais e a regra de composição
max-min. A saı́da z ∈ R é obtida pela defuzzificação do conjunto fuzzy de
saı́da C = C1 ∪ C2 da Figura 7.
Figura 7: Método de Mamdani com composição max-min.
• Processador de Saı́da (Defuzzificação)
Na teoria dos conjuntos fuzzy pode-se dizer que a defuzzificação é um processo de
se representar um conjunto fuzzy por um número real. Em sistemas fuzzy, em geral,
a saı́da é um conjunto fuzzy. Assim, devemos escolher um método para defuzzificar
a saı́da e obter um número real que a represente. A seguir, relacionamos o método
mais comum de defuzzificação.
– Centro de gravidade
Este método de defuzzificação é semelhante à média ponderada para distribuição
de dados, com a diferença que os pesos são os valores C(zi ) que indicam o grau
de compatibilidade do valor zi com o conceito modelado pelo conjunto fuzzy C.
Para um domı́nio discreto tem-se
n
zi C(zi )
G(C) = i=0
n
i=0 C(zi )
(7)
Para um domı́nio contı́nuo tem-se
uC(u)du
G(C) = R
C(u)du
R
(8)
onde R é a região de integração.
2.10
Resumo
Nesta seção, apresentamos algumas definições básicas da teoria de conjuntos fuzzy que
vamos utilizar nas próximas seções deste trabalho.
Na próxima seção vamos mostrar o diagnóstico médico fuzzy de doenças das vias
aéreas superiores e inferiores, seguido do monitoramento do tratamento da pneumonia.
3
Diagnóstico Médico Fuzzy e Monitoramento do Tratamento da Pneumonia
3.1
Diagnóstico Médico Fuzzy
3.1.1
Introdução
Diagnóstico Médico Fuzzy é uma aplicação da teoria dos conjuntos fuzzy que é feita com
a ajuda de um especialista médico. O objetivo desta aplicação é propor um sistema fuzzy
que imite a atuação de um médico no diagnóstico de seus pacientes, a partir de sinais
e sintomas que estes apresentam, com o intuito de ajudar o médico a tomar decisões e
optar por exames laboratoriais mais detalhados [1].
Neste trabalho optamos por diagnosticar doenças das vias aéreas superiores e inferiores. Com as informações da especialista Dra. Alda Valéria Toffoli Rodrigues, médica
pediatra da Secretaria Municipal de Saúde de Uberlândia, foi possı́vel relacionar os sinais
e sintomas de alguns pacientes com as doenças em questão.
3.1.2
Base de Conhecimentos
A idéia básica é relacionar os sinais e sintomas dos pacientes com as possı́veis doenças das
vias aéreas superiores e inferiores, de acordo com os conhecimentos médicos da especialista.
Considere os seguintes conjuntos universais:
• U = conjunto dos pacientes;
• V = conjunto de sinais e sintomas;
• W = conjunto de doenças.
Neste caso, trata-se de doenças das vias aéreas superiores e inferiores das quais tem-se
conhecimento de sete pacientes P1 , P2 , P3 , P4 ,P5 , P6 , P7 , com os sinais e sintomas s1 , s2 ,
s3 , s4 ,s5 , s6 , s7 , s8 , s9 , s10 s11 ,s12 , s13 , s14 , que apresentaram os diagnósticos d1 , d2 , d3 ,
d4 , d5 , d6 , d7 onde:
• s1 = febre
• s8 = irritação de garganta
• s2 = tosse produtiva
• s9 = rouquidão
• s3 = tosse seca
• s10 = coriza
• s4 = cefaléia
• s11 = espirros
• s5 = dor torácica
• s12 = dispnéia
• s6 = dores musculares
• s13 = sudorese
• s7 = mal-estar geral
• s14 = calafrios
• d1 = pneumonia
• d2 = bronquite
• d5 = gripe
• d3 = rinite
• d6 = laringite
• d4 = sinusite
• d7 = amigdalite
Esses dados vão compor a base de conhecimentos que são expressos por meio de
relações fuzzy. Solicitamos à especialista que estabelecesse o grau de relação fuzzy, R,
apresentada na Tabela 1, em que as colunas são as doenças consideradas, as linhas são os
sintomas e os valores que compõe a matriz são os graus com que os sintomas se relacionam
com as doenças:
HH
HH d
s
HH
s1
s2
s3
s4
s5
s6
s7
s8
s9
s10
s11
s12
s13
s14
d1
d2
d3
d4
1.0
0.8
0.8
0.3
0.8
0.4
0.9
0.1
0.0
0.2
0.2
0.8
0.7
0.8
0.1
0.3
0.9
0.2
0.4
0.0
0.3
0.1
0.3
0.2
0.2
1.0
0.6
0.0
0.0
0.2
0.8
0.2
0.1
0.4
0.2
0.3
0.2
0.9
1.0
0.3
0.0
0.1
0.6
0.7
0.5
0.9
0.1
0.2
0.7
0.4
0.1
0.8
0.2
0.2
0.1
0.4
d5
d6
0.5
0.5
0.5
0.8
0.2
0.9
0.8
0.8
0.3
0.5
0.6
0.5
0.4
0.6
0.2
0.4
0.4
0.1
0.1
0.3
0.3
0.5
1.0
0.2
0.1
0.3
0.0
0.2
Tabela 1: Relação fuzzy sintomas x doenças.
d7
0.9
0.1
0.2
0.3
0.0
0.6
0.9
1.0
0.4
0.1
0.0
0.2
0.1
0.5
HH
HH s
P
HH
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
s1
s2
s3
s4
s5
s6
s7
s8
s9
s10
s11
0.0
0.8
0.0
1.0
0.0
0.3
0.8
0.0
0.0
0.0
0.7
0.0
0.5
1.0
0.9
0.1
1.0
0.4
0.4
0.0
0.0
0.3
0.2
0.3
0.5
0.3
1.0
0.5
0.0
0.0
0.4
0.6
0.0
0.0
0.2
0.0
0.0
0.0
0.6
0.0
0.0
0.9
0.1
0.6
0.0
0.8
0.2
0.3
0.6
0.6
1.0
0.0
0.1
0.2
0.1
0.2
1.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.2
0.0
0.0
0.0
0.8
0.4
0.3
0.0
0.0
0.3
0.0
0.9
0.3
0.5
s12 s13
0.1
0.0
1.0
0.5
0.0
0.2
0.1
0.0
0.5
0.8
0.3
0.1
0.0
0.8
s14
0.0
0.2
0.0
0.3
0.1
0.0
0.5
Tabela 2: Relação fuzzy pacientes x sintomas.
Por exemplo, o diagnóstico médico do paciente P1 , via relação fuzzy R, é facilmente
obtido através da equação (6). Assim, de acordo com os sinais e sintomas apresentados,
o paciente P1 pode ter uma das doenças di , i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, com os respectivos graus
de possibilidades:
uR(P1 ) (d1 ) = max [min[uR (d1 , si ), uP1 (si )]] = 0.8
1≤i≤14
pois,
uR(P1 ) (d1 ) = max[min[(1.0, 0.0); (0.8, 0.0); (0.8, 0.9); (0.3, 0.3); (0.8, 0.0); (0.4, 0.0); (0.9, 0.1);
(0.1, 0.6); (0.0, 1.0); (0.2, 0.2); (0.2, 0.0); (0.8, 0.1); (0.7, 0.0); (0.8, 0.0)]]
uR(P1 ) (d1 ) = max[0.0, 0.0, 0.8, 0.3, 0.0, 0.0, 0.1, 0.1, 0.0, 0.2, 0.0, 0.1, 0.0, 0.0]
uR(P1 ) (d1 ) = 0.8
1≤i≤14
1≤i≤14
1≤i≤14
1≤i≤14
1≤i≤14
1≤i≤14
Assim, de acordo com os sintomas apresentados, o paciente P4 pode ter também uma
das doenças di , i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, com os respectivos graus de possibilidades:
1≤i≤14
1≤i≤14
1≤i≤14
1≤i≤14
1≤i≤14
1≤i≤14
1≤i≤14
Desta forma, obtém-se os diagnósticos para todos os pacientes:
• uR(P1 ) = (0.8; 0.9; 0.8; 0.5; 0.6; 1.0; 0.6)
• uR(P2 ) = (0.8; 0.5; 0.3; 0.6; 0.8; 0.5; 1.0)
• uR(P3 ) = (0.8; 1.0; 0.8; 0.5; 0.5; 0.4; 0.3)
• uR(P4 ) = (1.0; 0.5; 0.4; 0.7; 0.8; 0.4; 0.9)
• uR(P5 ) = (0.4; 0.4; 0.9; 0.8; 0.6; 0.4; 0.3)
• uR(P6 ) = (0.5; 0.3; 0.4; 0.9; 0.8; 0.4; 0.3)
• uR(P7 ) = (0.8; 0.6; 0.5; 0.7; 0.9; 0.4; 0.8)
A possibilidade do paciente P1 ter pneumonia, bronquite, rinite, sinusite, gripe, laringite, amigdalite é 0.8, 0.9, 0.8, 0.5, 0.6, 1.0 e 0.6 respectivamente.
E a possibilidade do paciente P4 ter pneumonia, bronquite, rinite, sinusite, gripe, laringite, amigdalite é 1.0, 0.5, 0.4, 0.7, 0.8, 0.4 e 0.9 respectivamente. Portanto, nota-se que
o paciente P1 , pela teoria aplicada, tem maior possibilidade de estar com laringite; e o
paciente P4 de estar com pneumonia. Segundo a especialista os pacientes P1 e P4 foram
diagnosticados com laringite e pneumonia, respectivamente.
Notemos que a resposta da composição é também um conjunto fuzzy, ou seja, a composição nem sempre responde qual doença o paciente possui. Mas fornece a distribuição
de possibilidades do paciente no conjunto de doenças dado que ele apresenta uma certa
distribuição de possibilidades no conjunto de sinais e sintomas [11].
Outra propriedade importante da relação fuzzy é que após ter diagnósticos de novos
pacientes, estes podem ser incluı́dos na base de conhecimentos e assim aumentar a capacidade de se obter mais diagnósticos por meio da relação fuzzy R, tal como faz o médico.
A seguir, consideramos um indivı́duo com o diagnóstico do paciente P4 , apresentamos
a diferença de custo do tratamento com antibióticos via oral e via intravenosa, em seguida
consideramos um indivı́duo com uma pneumonia grave que necessitou de internação, e
uso de aparelho de repiração mecânica.
3.2
Monitoramento do Tratamento da Pneumonia
3.2.1
Introdução
Consideramos um indivı́duo que tem o mesmo diagnóstico do paciente P4 , isto é, um
indivı́duo que esteja com pneumonia bacteriana. Na primeira parte daremos algumas
informações sobre a pneumonia e o uso de antibióticos, em seguida faremos representações gráficas do custo do tratamento com possı́veis antibióticos administrados via oral e
via intravenosa usados no tratamento da pneumonia. Na segunda parte consideramos um
indivı́duo com uma pneumonia bacteriana grave que além de antibióticos, necessitou de
um tratamento em uma UTI (Unidade de Terapia Intensiva) tendo a necessidade do uso
de um aparelho de respiração mecânica, em que relacionamos parâmetros do indivı́duo;
fração inspirada de oxigênio do respirador e a saturação parcial de oxigênio do paciente
como variáveis lingüı́sticas que influenciam a compensação das trocas gasosas, através de
um sistema baseado em regras fuzzy. A partir, da compensação das trocas gasosas como
antecedente de um outro sistema baseado em regras fuzzy, determinamos se a respiração
mecânica é fraca ou forte. Desta forma, podemos dar um indicativo para o especialista,
se o indivı́duo tem condições de respirar espontaneamente.
3.2.2
Informações sobre a Pneumonia
A pneumonia é uma infecção ou inflamação nos pulmões. É muito freqüente e afeta
pessoas de todas as idades. Apresenta como principais sintomas: tosse, febre > 37.8,
dor torácica, dispnéia. É uma doença que pode ser causada por vários microorganismos
diferentes, incluindo vı́rus, bactérias, parasitas ou fungos. A metade de todos os casos de
pneumonia é causada por bactérias. As bactérias estão presentes na garganta de algumas
pessoas normais. Quando as defesas do organismo se enfraquecem as bactérias podem ser
aspiradas e causar pneumonia. Pessoas debilitadas e indivı́duo em pós-operatório podem
ter diferentes tipos de bactérias na garganta, e maior risco de pneumonia. A gravidade da
pneumonia depende da saúde geral do indivı́duo e do tipo de pneumonia. Se o indivı́duo
é saudável, a pneumonia em geral será curada sem complicações. Mas se tem doença
cardı́aca ou pulmonar prévia, a cura da pneumonia torna-se mais difı́cil. As chances de
ter complicações são também maiores.
O tempo de tratamento das pneumonias agudas é de 14 a 21 dias. O tratamento
imediato com antibióticos pode curar quase todos os tipos de pneumonia. Se as defesas
do organismo são fracas ou são vencidas por uma pneumonia extensa, mesmo antibióticos
adequados podem não vencer a infecção, que se torna fatal [6]. Após o uso de um antibiótico adequado, a febre deve ceder em 2 ou 3 dias, mas o tratamento deve prosseguir
sob pena de recaı́da. Além dos antibióticos, pode haver necessidade de medicação para
aliviar a dor no tórax e a tosse, quando seca e intensa. Caso não haja melhora após
48 ou 72 horas de tratamento, é necessário consultar um especialista para verificar se a
prescrição do antibiótico é adequada. Prescrição incorreta de antibiótico é a causa mais
comum de falha no tratamento.
Em caso de pneumonia grave muitas vezes é preciso internação em hospital para ser
tratado com antibióticos intravenosos e para receber oxigênio. Em geral a necessidade de
internação é curta, de 3 ou 4 dias, na ausência de complicações. Em caso de pneumonia grave e complicada, além da internação e uso de antibióticos intravenosos, pode ser
necessário a indicação de UTI e o uso de um aparelho de respiração mecânica.
3.2.3
Informações sobre o uso de Antibióticos
A indicação de escolhas de agentes especı́ficos para o tratamento de várias infecções inevitavelmente provoca discussões e controvérsias devido à diferença nos pontos de vista e das
experiências clı́nicas pessoais. Além disso, pode haver vários agentes igualmente eficazes
para a escolha, tornando-a por vezes, um tanto arbitrária. A localização da infecção pode,
em grande parte determinar a escolha do fármaco e a via de administração. Infelizmente, a
decisão sobre o uso de antibióticos é quase sempre tomada superficialmente sem considerar
o possı́vel microorganismo infectante ou as caracterı́sticas farmacológicas do medicamento.
A escolha deve ser verificada ao testar o isolado etiológico quanto a sua sensibilidade a
antibióticos, assim deve-se instituir a terapia antimicrobiana definitiva que tenha menor
potencial de produzir toxicidade ou reações alérgicas no indivı́duo que está sendo tratado.
Se as bactérias são submetidas a um medicamento incapaz de combatê-las e destruı́-las,
passam a ser resistentes ao antibiótico, e a resposta esperada pela exposição à substância
não ocorre. Isso significa que usar antibióticos demais ou não especı́ficos (amplo espectro
de ação), pode desencadear um processo de adaptação das bactérias à substância tóxica, de
tal forma que a ação letal da substância (antibiótico) ao organismo indesejável (bactéria),
não acontece, deixando-as mais resistentes ao fármaco utilizado e eventualmente, a outros
antibióticos. Para evitar a proliferação de bactérias resistentes é fundamental respeitar
a prescrição médica. Quando utilizado de maneira correta, o antibiótico é capaz de
eliminar praticamente todas as bactérias causadoras de doenças (patogênicas) ou abaixar
sua resistência, de modo que possam ser combatidas pelo nosso sistema imunológico.
Como o processo de duplicação das bactérias é muito rápido, geralmente ocorrem em
intervalos de 15 a 30 minutos, se o antibiótico é administrado em doses insuficientes ou
em intervalos desregulados, destrói apenas as bactérias mais fracas, sobrando um número
razoável de bactérias que se fortalecem e multiplicam rapidamente. Isso também acontece
quando o indivı́duo, após iniciado o tratamento e sentindo-se melhor, resolve suspender
a ingestão do antibiótico. Os sintomas da doença acabam porque o remédio diminui a
quantidade de bactérias patogências, porém isso não significa que todas são destruı́das.
As mais resistentes continuam no organismo e a doença reaparece [5].
Resumidamente, para que o antibiótico seja eficaz, ele tem de estar no local correto
da infecção em concentração adequada e pelo perı́odo de tempo necessário à eficácia
bacteriológica. O objetivo do tratamento com antibióticos é atingir a erradicação máxima
dos microorganismos causadores da infecção, a partir do local de sua ocorrência [5].
3.2.4
Representação Gráfica do Custo do Tratamento da Pneumonia com
Antibióticos
Apresentamos aqui, representações gráficas do custo de alguns antibióticos administrado
via oral e via intravenosa que podem ser usados no tratamento da pneumonia. É preciso
ressaltar que a representação consiste apenas em uma sugestão de uso, levando-se em
conta apenas o custo do medicamento e não em uma prescrição, até mesmo porque o
tópico anterior deixa bem claro que para iniciar o uso de anbióticos é necessário uma série
de exames, e a escolha depende do teste do isolado etiológico quanto a sua sensibilidade
a antibióticos, além das condições fı́sicas e clı́nicas do indivı́duo. Para construı́rmos os
gráficos a seguir foi necessário consultar o Guia farmacêutico Brası́ndice, bulas e conhecimentos de especialistas.
A Figura 8, representa o custo de 14 dias de cinco opções de antibióticos via oral que
podem ser usados no tratamento da pneumonia. A Figura 9 representa o custo de 14
dias de cinco opções de antibióticos intravenoso que podem ser usados no tratamento da
pneumonia, geralmente em caso de internação.
Verificamos que o custo dos antibióticos via oral são bem mais acessı́veis aos indivı́duos,
porém não é apenas o custo que deve ser levado em consideração quando se inicia o
tratamento da pneumonia, em caso grave, é necessário o uso de medicações intravenosas
em que a resposta ao tratamento é mais eficiente e a cura quando possı́vel é mais rápida.
Verificamos que o maior custo do tratamento via oral, é aproximadamente igual ao menor
custo do tratamento intravenoso, e que dependendo do antibiótico, o tratamento em caso
de uso intravenoso pode chegar a quase dois mil reais.
Custo do Tratamento da Pneumonia em 14 dias com Antibioticos (VO)
120
Claritromicina(7.5mg/Kg/dia)
Azitromicina(10mg/Kg/dia)
Amoxicilina(40mg/Kg/dia)
Levofloxacina(16mg/Kg/dia)
Eritromicina(35mg/Kg/dia)
100
Preço(reais)
80
60
40
20
0
0
5
10
15
Peso (Kg)
20
25
30
Figura 8: Custo do Tratamento com Antibióticos Via Oral.
Custo da Pneumonia em 14 dias com Antibioticos (IV)
2000
Vancomicina (65mg/Kg/dia)
Ceftriaxona(60mg/Kg/dia)
Cepime(50mg/Kg/dia)
Clindamicina(25mg/Kg/dia)
Ciprofloxacina(15mg/Kg/dia)
1800
1600
1400
Preço(reais)
1200
1000
800
600
400
200
0
0
5
10
15
Peso (Kg)
20
25
30
Figura 9: Custo do Tratamento com Antibióticos Via Intravenosa.
3.2.5
Indivı́duos com Pneumonia que fez uso de UTI
Consideramos o paciente P4 com uma pneumonia grave, que não é possı́vel ser tratada a
nı́vel ambulatorial, sendo necessário internação e além disso devido complicação pulmonar
e respiratória fez uso de uma UTI, necessitando do uso de aparelho de respiração mecânica,
ou seja, o paciente passou um tempo respirando com ajuda de um aparelho até que seu
estado clı́nico melhorasse. Este paciente foi submetido a um tratamento com várias medicações, inclusive fortes antibióticos. Após alguns dias de tratamento este paciente,
está com uma gasometria arterial dentro da normalidade, sem nenhuma complicação e
praticamente curado da pneumonia [10].
Indivı́duos usando aparelho de respiração mecânica são avaliados com freqüência, de
uma em uma hora, pela equipe médica, quando são considerados vários parâmetros, entre
os quais a compensação das trocas gasosas do indivı́duo (CGT ), que depende da fração
inspirada de oxigênio do respirador (F iO2 ) e da saturação parcial de oxigênio do indivı́duo
(SpO2 ). Estamos relacionando apenas F iO2 do aparelho de respiração mecânica e SpO2
do indivı́duo.
Os indivı́duos usando aparelho de respiração mecânica começam com uma F iO2 de
100%, sendo reduzida gradativamente, observando alguns parâmetros, entre eles, a SpO2
do indivı́duo. Diminui-se a F iO2 do aparelho se o indivı́duo satura bem, ou seja, se SpO2
é alta. Desta maneira, temos a seguinte proposição: Se F iO2 é baixa e SpO2 é alta então
a CGT é boa.
Assim, vamos considerar as variáveis F iO2 e SpO2 , como variáveis lingüı́sticas que influenciam na CGT do indivı́duo e temos um sistema baseado em regras fuzzy, Figura 10.
Em seguida, como a compensação das trocas gasosas infuencia na retirada do indivı́duo
do aparelho de respiração mecânica através de outro sistema baseado em regras fuzzy,
conforme Figura 11.
Adotamos a base de regras fuzzy assumindo como antecedentes a fração inspirada de
oxigênio (F iO2 ), considerando um domı́nio de [21, 100], representando as faixas < 40,
[40, 80], > 80 pelos termos lingüı́sticos {baixa, média, alta}; e a saturação parcial de
oxigênio (SpO2 ), considerando um domı́nio de [60, 100], representando as faixas < 80,
[80, 91], > 91 pelos termos lingüı́sticos {ruim, média, boa}.
FiO2
MAMDANI
SBRF
CGT
SpO2
Figura 10: Primeiro esquema do Sistema Baseado em Regras Fuzzy.
CGT
RM
MAMDANI
SBRF
Figura 11: Segundo esquema do Sistema Baseado em Regras Fuzzy.
Como conseqüente adotamos a compensação das trocas gasosas (CGT ), considerando
domı́nio [0, 10], representando as faixas < 5, [5, 7.5], > 7.5 pelos termos lingüı́sticos
{ruim, média e boa}, respectivamente.
O modelo é desenvolvido via SBRF (Sistema Baseado em Regras Fuzzy) e utilizamos
o Método de Mandani para obter o comportamento de CGT , ou seja, determinamos os
valores de CGT , onde os valores assumidos estão traduzidos pelas funções de pertinência
como mostram as Figuras 12, 13, 14. A base de regras obtida está na Tabela 3.
XXX
XXX (SpO2 )
XXX
XX
(F iO2 )
alta
média
baixa
boa
média
ruim
média
média
boa
ruim
ruim
média
ruim
ruim
ruim
Tabela 3: Regras fuzzy para F iO2 e SpO2 .
Para os valores do domı́nio de F iO2 e SpO2 , de um indivı́duo que usa aparelho de
respiração mecânica, determinamos os valores de CGT , utilizando o SBRF e obtemos a
superfı́cie mostrada na Figura 15.
A partir dos valores da compensação das trocas gasosas, obtemos os valores para
respiração mecânica, onde podemos concluir se o indivı́duo pode ou não sair do aparelho.
Consideramos assim, a compensação das trocas gasosas (CGT ) como antencedente, e
a respiração mecânica (RM ) como conseqüente no segundo SBRF. Os termos lingüı́sticos
para CT G permanecem os mesmos {ruim, média, boa}. Para RM , consideramos um
domı́nio de [0,1] pelos termos lingüı́sticos {fraca, forte}, com as funções de pertinência
ilustradas na Figura 16. A base de regras é dada por:
• Se CT G é ruim então RM é forte.
• Se CT G é média então RM é forte.
• Se CT G é boa então RM é fraca.
Assim, se a RM é forte o indivı́duo permanece no aparelho e se a RM é fraca então
o indivı́duo sai do aparelho e está em condições de respirar espontaneamente.
baixa
1,0
média
alta
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
40
60
80
100
FiO2
Figura 12: Funções de pertinência de F iO2 .
ruim
1,0
média
boa
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
60
70
80
90
100
SpO2
Figura 13: Funções de pertinência de SpO2 .
média
ruim
1,0
boa
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
2
4
CGT
6
8
10
Figura 14: Funções de pertinência de CGT .
9
8
C.T.G
7
6
5
4
3
100
90
80
70
60
SpO2
30
40
60
50
70
80
90
FiO2
Figura 15: Valores de CGT defuzzificados.
fraca
forte
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
respiração mecânica
Figura 16: Funções de pertinência de RM .
100
A Tabela 4 mostra os parâmetros do paciente 4, (paciente com pneumonia que necessitou de internação em UTI e fez uso de aparelho de respiração mecânica) fornecidos
pelo Hospital de Clı́nicas da Universidade Federal de Uberlândia, e as Figuras 17 e 18
mostram os valores da CGT e da RM em função do tempo, respectivamente. Assim, determinamos quando o paciente P4 pode ser retirado do aparelho de respiração mecânica,
que está compatı́vel com o quadro clı́nico do paciente.
Tempo
Primeiras 12 horas
3 horas seguintes
96 horas seguintes
12 horas seguintes
F i02
100 %
60 %
40 %
21 %
Sp02
97 %
98 %
98 %
98 %
CGT
6.5
6.5
6.5
9.1
RM
1
1
1
0
Tabela 4: Parâmetros do paciente 4.
9.5
Primeiras 12
12−15
15−117
117−129
9
8.5
CGT
8
7.5
7
6.5
6
0
20
40
60
80
Tempo(horas)
100
120
140
Figura 17: Comportamento da CGT em função do tempo.
1.5
RM
1
Primeiras 12
12−15
15−117
117−129
0.5
0
−0.5
0
20
40
60
80
Tempo(horas)
100
120
140
Figura 18: Comportamento da RM em função do tempo.
Desta forma, através da teoria dos conjuntos fuzzy, podemos realizar um possı́vel monitoramento do tratamento da pneumonia de indivı́duos que estejam na UTI e necessitem
de respiração mecânica.
3.3
Resumo
Nesta seção apresentamos diagnóstico médico fuzzy de doenças das vias aéreas superiores
e inferiores, esta ferramenta matemática não responde qual doença o indivı́duo possui,
apenas fornece as possibilidades com maior ou menor grau do indivı́duo estar com uma
ou outra doença. Em seguida, através de representações gráficas e sem usar a teoria dos
conjuntos fuzzy verificamos a diferença do custo do tratamento da pneumonia com antibióticos administrados via oral e via intravenosa, em que percebemos diferenças de custo
muito grande usando antibiótico intravenoso. Por último consideramos um indivı́duo com
pneumonia grave que faz uso de UTI, sendo necessário o uso de aparelho de respiração
mecânica, em que relacionamos parâmetros observados do indivı́duo com a teoria dos
conjuntos fuzzy, sendo possı́vel indicar quando o indivı́duo pode sair do aparelho de respiração mecânica passando a respirar espontaneamente.
Na próxima seção apresentamos um modelo matemático que descreve como cai a
concentração de um fármaco no sangue de um indivı́duo. O modelo supõe que a concentração de um fármaco decai a uma velocidade que é proporcional, em cada instante, a
sua própria concentração, em que consideramos a constante de velocidade de eliminação
como um parâmetro fuzzy que depende da função renal do indivı́duo.
4
Eliminação de Fármacos do Organismo
4.1
Introdução
O objetivo desta seção é o estudo da concentração de fármacos na corrente sanguı́nea.
Nosso interesse principal é modelar a velocidade de eliminação de fármacos no organismo
do indivı́duo, segundo as informações fornecidas pelo especialista, consideramos que a velocidade de eliminação depende fortemente da função renal e ao mesmo tempo, como um
parâmetro fuzzy que depende das variáveis volume urinário (v), clearance de creatinina
(clcr) e pH sérico (p). A principal diferença do modelo fuzzy e o clássico é que a velocidade de eliminação (k) é considerada um parâmetro fuzzy. Esta constante pode variar
de um indivı́duo para outro pois os fármacos que são excretados pelo rim, sem serem
transformados metabolicamente, como por exemplo, a digoxina 7 e muitos antibióticos,
dependem do estado funcional desse órgão [5]. Então, a mesma dose de medicamento pode
produzir as mais diferentes constantes de eliminação. Essas diferenças também resultam
em diferentes respostas terapêuticas a uma mesma dose de medicamento.
4.2
Modelo Farmacocinético Clássico
4.2.1
Introdução
Nos estudos farmacocinéticos, a movimentação dos fármacos de um compartimento para
outro modifica sua concentração nesses compartimentos. Tais modificações podem ser
descritas por modelos matemáticos, os quais constituem, enfim, o principal objetivo dos
estudos cinéticos. Apesar de artificiais e incompletos para representarem a complexidade
do organismo, os modelos farmacocinéticos têm utilidade na interpretação dos processos
de transporte e metabolismo dos fármacos [17].
4.2.2
Modelo Clássico
Um problema fundamental em Farmacologia é saber como cai a concentração de um
fármaco no sangue de um indivı́duo. O conhecimento deste fato permite estabelecer qual
a dosagem a ser inserida e o intervalo de tempo que cada aplicação deve ser feita. O modelo mais simples para descrever a eliminação do fármaco de um certo compartimento é
obtido quando supomos que a concentração (y) de um fármaco decai a uma velocidade que
é proporcional, em cada instante, a sua própria concentração [3]. Em termos matemáticos
isto é:
dy
= −ky
(9)
dt
• k é a constante de velocidade de eliminação do fármaco;
Suponhamos que seja dada ao indivı́duo uma dose inicial y0 , absorvida pelo sangue instantaneamente, no instante t = 0. (O tempo de absorção do fármaco é geralmente muito
pequeno, quando comparado com o tempo entre as aplicações das doses). A solução geral
da equação (9) é dada por:
(10)
y = y0 e−kt
pois,
dy
= −ky
dt
⇒
dy
=
y
−kdt
⇒
ln y = −kt + q
⇒
y = eq e−kt ,
como y(0) = y0 , então eq = y0 .
7
digoxina é um medicamento cardiotônico (substâncias que reforçam a energia do coração), e antiarrı́tmico (que controla os batimentos do coração).
Suponhamos que depois de um tempo T uma segunda dose da mesma quantidade y0
seja administrada. Temos então
y(T− ) = y0 e−kT− (quantidade de fármaco no sangue antes da segunda dose)
y(T+ ) = y0 e−kT+ + y0 (quantidade do fármaco logo após a aplicação da segunda dose)
e portanto y(t) = y0 (1 + e−kT )e−k(t−T ) nos dá a quantidade de fármaco no sangue no
instante t T .
Continuando o tratamento, pela injeção da quantidade y0 no final de cada intervalo
de tempo igual a T , obtemos
y(2T− ) = y0 (1 + e−kT )e−kT ,
y(2T+ ) = y0 (1 + e−kT )e−kT + y0
y(2T+ ) = y0 (1 + e−kT + e−2kT )
portanto
y(t) = y0 (1 + e−kT + e−2kT )e−k(t−2T )
(11)
para t 2T .
Genericamente, depois da n-ésima aplicação, a quantidade de fármaco no sangue será
y(nT+ ) = y0 (1 + e−kT + e−2kT + ... + e−nkT ), n = 1, 2, ...
(12)
Ora, como 1 + e−kT + e−2kT + ... + e−nkT é a soma de uma P.G. de (n + 1) termos, com
o primeiro termo a1 = 1 e razão q = e−kT ; assim temos a soma
S = 1 + e−kT + e−2kT + ... + e−nkT
(13)
qS = q(1 + e−kT + e−2kT + ... + e−nkT ), fazendo q = e−kT temos;
e−kT S = e−kT + e−2kT + e−3kT + ... + e−(n+1)kT
S − e−kT S = 1 − e−(n+1)kT
s=
1 − e−(n+1)kT
1 − e−kT
(14)
Portanto, temos
y(nT+ ) = y0
1 − e−(n+1)kT
1 − e−kT
(15)
Então, quando n cresce, e−(n+1)kT → 0 e, portanto, y(nT+ ) tende a
ys =
y0
1 − e−kT
• k é a constante de velocidade de eliminação do fármaco;
(16)
• y0 é uma dose inicial do fármaco;
• T é o intervalo entre as doses administradas;
• ys é a concentração máxima de fármaco tolerada pelo organismo, na qual se atinge
nı́veis de equilı́brio, ou seja, é a saturação máxima do fármaco no organismo.
Através da Figura 19 verificamos que após a administração de quatro doses de certo
fármaco é possı́vel atingir a concentração máxima do fármaco tolerada pelo organismo, e
que a partir da quinta dose, temos uma estabilidade da concentração máxima atingida.
y
ys
y0
2T
T
3T
t
Figura 19: Curva de concentração de um fármaco.
4.2.3
Tempo de Meia-Vida (t 1 ) de um Fármaco
2
O tempo de meia vida é o tempo necessário para que a concentração plasmática de determinado fármaco seja reduzido pela metade. A meia vida plasmática dos fármacos é um
dos ı́ndices básicos da farmacocinética, originando dados importantes para interpretação
dos efeitos terapêuticos ou tóxicos dos fármacos, da duração do efeito farmacológico e
do regime posológico adequado. O conhecimento da meia vida é útil para se conseguir a
concentração máxima plasmática média constante. Esse platô da concentração constante
é mantido pela repetição das doses com finalidade de substituir a parte do fármaco que é
eliminada.
Alguns aspectos práticos, do conceito de meia vida biólogica dos fármacos devem ser
lembrados; a meia vida biólogica varia de um indivı́duo para outro; após o tempo de 3 a 6
meias vidas, o fármaco praticamente atinge sua conentração plasmática máxima; quanto
mais curta a meia vida, mais flutuará a concentração plasmática entre as doses; quando
a meia vida é prolongada acima do valor normal como acontece com os digitálicos8 , o
tempo é maior para se alcançar a concentração plasmática máxima constante. Isto pode
levar as concentrações sangüı́neas muito mais elevadas que as normais, podendo atingir
nı́veis tóxicos. A dose nesse caso deve ser diminuı́da ou os intervalos entre as doses prolongado [15].
8
digitálicos são fármacos cujas propriedades são capazes de suprir a deficiência básica da insuficiência
cardı́aca.
Partindo da equação (10) vamos verificar qual a relação entre o tempo de meia vida e
a constante de velocidade de eliminação (k) de um fármaco:
y = y0 e−kt
ln y = ln y0 − kt
(17)
y0
, assim substituindo
2
ln y0 − ln 2 = ln kt 1 .
Portanto,
Quando t = t 1 (tempo de meia-vida dos fármacos) então y =
2
em (17) temos: ln( y20 ) = ln y0 − kt 1
2
⇒
t1 =
2
2
0, 693
k
(18)
A seguir estudamos o modelo farmacocinético usando a teoria dos conjuntos fuzzy.
4.3
Modelo Farmacocinético Fuzzy
4.3.1
Introdução
Na última década a literatura matemática da imprecisão e incerteza tem crescido consideravelmente. Uma maneira de modelar problemas ligados à realidade biológica, em que
tanto as variáveis de estado como os parâmetros são empregados de subjetividade, vem
ganhando terreno na área de biomatemática com resultados significativos e animadores [8].
Os modelos clássicos são artificiais e incompletos para representar a complexidade do
organismo na eliminação de fármacos do organismo. Nesta secão estudamos um modelo
farmacocinético usando a teoria dos conjuntos fuzzy em que pretendemos representar
melhor o processo de metabolismo dos fármacos.
4.3.2
Informações Médicas sobre Excreção
Depois de absorvidos e distribuı́dos segundo as informações médicas, os fármacos são eliminados por diferentes vias, conforme suas propriedades fı́sico-quı́micas. O sistema renal
é responsável pela principal via de excreção de fármacos. Neste trabalho consideramos
a velocidade de eliminação dependendo do sistema renal. Com as informações do especialista na área, Dr. Heleno Batista Oliveira, médico nefrologista do Hospital de Clı́nicas
da Universidade Federal de Uberlândia, consideramos algumas variáveis que influenciam
a velocidade de eliminação de um fármaco:
1. Volume Urinário: Consideramos como sendo a produção de urina em um indivı́duo a cada 24 hs, classificado da seguinte maneira dependendo da quantidade;
• anúria: é um volume entre 0 e 100 ml.
• oligúria: é um volume entre 100 e 300 ml.
• diurese normal: é um volume entre 300 e 1500 ml.
• poliúria: é um volume > 1500 ml, consideramos entre 1500 e 3000 ml .
2. Clearance de Creatinina: o teste de clearance de creatinina9 determina a eficiência
com que os rins eliminam a creatinina do sangue. A taxa de clearance é expressa em
termos de volume de sangue (medido em mililitros) que pode ser limpo de creatinina em 1 minuto. Os nı́veis de creatinina tornam-se anormais quando mais de 50%
dos néfrons10 tenham sido danificados. O clearance de creatinina foi classificado da
seguinte maneira dependendo da quantidade;
• muito baixo: entre 0 e 10 ml/min.
• baixo: entre 10 e 50 ml/min.
• médio baixo: entre 50 e 90 ml/min.
• normal: entre 90 e 120 ml/min.
• alto: > 120 ml/min, consideramos entre 120 e 200 ml/min
3. pH Sérico: É o pH do sangue, classificado da seguinte maneira;
• básico: < 7.35
• normal: entre 7.35 e 7.45
• ácido: > 7.45
4. Velocidade de Eliminação: Está entre 0 e 0.693, a partir da equação 18 e considerando o menor tempo de meia-vida do fármaco igual a uma hora, obtemos
k = 0.693 h−1
4.4
Modelo Fuzzy
No modelo clássico observamos que a concentração (y) de um fármaco no compartimento
decai a uma velocidade que é proporcional, em cada instante, à sua própria concentração,
representado pela equação (9), cuja solução é (10).
Mas precisamente neste modelo estimamos a velocidade de eliminação do fármaco (k)
como um parâmetro fuzzy que depende das variáveis volume urinário (v), clearance de
creatinina (clcr) e pH sérico (p). Assim o modelo (9) é dado por [9]:
dy
= −k(v, clcr, p)y
dt
Assim a solução da equação (19) é dada por:
y = y0 e−k(v,clcr,p)t ,
(19)
t > 0.
(20)
A principal diferença entre o modelo (19) e o modelo (9) é que em (19) o parâmetro
(k) é função do volume urinário (v), do clearance de creatinina (clcr) e do pH sérico (p),
permitindo incorporar as informações médicas, citadas em (4.3.2).
Na seção seguinte, faremos um estudo considerando o conhecimento do especialista
e a constante de velocidade de eliminação (k) dependendo do volume urinário (v), do
clearance de creatinina (clcr) e do pH sérico (p).
9
a creatinina é um produto final do metabolismo da creatina (creatina é um composto produzido
naturalmente pelo nosso organismo para fornecer a energia necessária aos nossos músculos. Creatina é
produzida pelo fı́gado e em seguida é levada pelo sangue para as células dos músculos) que aparece no
soro em quantidades proporcionais à massa muscular corpórea.
10
os néfrons são unidades filtrantes dos rins; cada rim contém 1 milhão de néfrons o que torna esse
órgão capaz de filtrar as excretas que circulam no sangue.
4.4.1
Variáveis Lingüı́sticas e Base de Regras
Adotamos a base de regras fuzzy assumindo como antecedentes o volume urinário (v),
clearance de creatinina (clcr) e pH sérico (p), e a velocidade de eliminação (k) como conseqüente. Os termos lingüı́sticos para v são; {anúria, oligúria, diurese normal, poliúria},
para o clcr são; {muito baixo, baixo, médio baixo, normal, alto} e para p; {básico, normal, ácido}. Para a velocidade de eliminação k os termos lingüı́sticos são; {muito baixa,
baixa, normal}.
O modelo foi desenvolvido via SBRF utilizamos o método de inferência de Mamdani
para obter o comportamento de k, ou seja simulamos alguns valores para v, clcr, p, e
determinamos os valores de k, onde os valores assumidos são traduzidos pelas funções
de pertinência como mostram as Figuras 20, 21, 22, 23. As funções de pertinência são
trapezoidais para as variáveis antecedentes e triangular para a conseqüente. Nesta fase
os especialistas têm fundamental importância, na definição dos termos e no número de
termos de cada variável lingüı́stica.
As Tabelas 5, 6, 8 e 7 fornecem a base de regras quando o volume urinário está classificado em anúria, oligúria, diurese normal e poliúria, respectivamente, estas regras foram
feitas com as informações do especialista na área, Dr. Heleno Batista Oliveira.
PP
PP
(clcr )
PP
(p)
PP
P
muito baixa
baixa
média baixa
normal
alta
ácido
normal
básico
muito baixa
muito baixa
muito baixa
normal
normal
muito baixa
baixa
baixa
normal
normal
muito baixa
baixa
baixa
normal
normal
Tabela 5: Regras fuzzy quando o volume urinário v é anúria.
PP
PP
(clcr )
PP
(p)
PP
P
muito baixa
baixa
média baixa
normal
alta
ácido
normal
básico
muito baixa
muito baixa
baixa
baixa
normal
muito baixa
baixa
normal
normal
normal
muito baixa
baixa
normal
normal
normal
Tabela 6: Regras fuzzy quando o volume urinário v é oligúria.
PP
PP
(clcr )
PP
(p)
PP
P
muito baixa
baixa
média baixa
normal
alta
ácido
normal
básico
muito baixa
normal
normal
normal
normal
muito baixa
baixa
normal
normal
normal
muito baixa
baixa
normal
normal
normal
Tabela 7: Regras fuzzy quando o volume urinário v é diurese normal.
PP
PP
(clcr )
PP
(p)
PP
P
muito baixa
baixa
média baixa
normal
alta
ácido
normal
básico
muito baixa
normal
normal
normal
normal
muito baixa
baixa
normal
normal
normal
muito baixa
baixa
normal
normal
normal
Tabela 8: Regras fuzzy quando o volume urinário v é poliúria.
anúria
1,0
oligúria
normal
poliúria
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
volume urinário
Figura 20: Funções de pertinência de volume urinário.
mto baixa baixa md.baixa
1,0
normal
alta
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
clearance de creatinina
Figura 21: Funções de pertinência de clearance de creatinina.
Dado a base de regras anteriores e usando o método de inferência de Mamdani com a
defuzzificação pelo centro de gravidade, podemos determinar k = k(v, clcr, p).
Com esse modelo é possı́vel obter a concentração de fármacos no organismo de cada
indivı́duo, podendo assim fornecer informações ao especialista.
ácido
1,0
normal
básico
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
6,6
6,8
7,0
7,2
7,4
7,6
7,8
8,0
pH sérico
Figura 22: Funções de pertinência de pH sérico.
1,0
baixa
mto baixa
normal
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
velocidade de eliminação
Figura 23: Funções de pertinência de velocidade de eliminação.
4.4.2
Insuficiência Renal e a Eliminação de Fármacos
Sendo um fármaco administrado em determinado indivı́duo em intervalos de 8 horas,
sabemos que parte deste fármaco será absorvida e parte será eliminada. Utilizamos o
Sistema Baseado em Regras Fuzzy para analisar como o volume urinário (v), clearance de
creatinina (clcr) e pH sérico (p) influênciam na velocidade de elimanação (k) do fármaco.
Exemplo: Considerando uma prescrição de 500 mg de um certo fármaco (de eliminação renal) de oito em oito horas para alguns indivı́duos. Obtemos a velocidade de
eliminação do fármaco para cada indivı́duo, Tabela 9.
Indivı́duo 1 (I1 )
v
clcr
1500ml diário 100 ml/min
100 ml diário 10 ml/min
300 ml diário 35 ml/min
p
k
7.4 0.6032
7.35 0.0860
7.25 0.2308
Tabela 9: Velocidade de eliminação do fármaco para cada indivı́duo.
Através das Figuras 24 e 25 visualizamos como estão o nı́vel de saturação e a eliminação
do fármaco dos indivı́duos 1, 2 e 3. O nı́vel de saturação do indivı́duo 1 que está com
função renal normal é em torno de 500 mg, o nı́vel de saturação do indivı́duo 2 que está
com função renal compremetida é em torno de 1000 mg. O indivı́duo 3 também tem
função renal comprometida porém o nı́vel de saturação do fármaco é mais baixo e se
encontra em torno de 600 mg. Assim percebemos que é necessário mudar a prescrição do
indivı́duo 2 e do indivı́duo 3, pois devido estarem com a função renal comprometida estão
eliminando pouco fármaco e provavelmente terão uma intoxicação medicamentosa.
A Figura 26, mostra a representação do indivı́duo 1 e 2, ambos, com a mesma dose de
500 mg de fármaco. Para o individuo 2 mudamos o intervalo entre as doses, cada dose
está sendo administrada a cada 24 horas, no qual resultou em uma saturação em torno de
600 mg, mais próxima da saturação do indivı́duo cuja função renal é normal. A Figura
27, é também uma representação do indivı́duo 1 e 2, porém mantemos o intervalo de 8
horas entre as doses e mudamos a dose administrada do fármaco do indivı́duo 2 para 250
mg, o resultado mostrou a mesma saturação de 500 mg para os dois indivı́duos.
De acordo com o especialista este resultado condiz com a realidade de seus pacientes
que estão com função renal comprometida, indicando realmente para uma mudança na
prescrição do fármaco.
Neste trabalho a velocidade de eliminação está sendo considerada como um parâmetro
fuzzy que depende apenas da função renal do indivı́duo. Assim, modelamos a velocidade
de eliminação dos fármacos com a teoria dos conjuntos fuzzy, pois desta forma podemos
obter este parâmetro variando de indivı́duo para indivı́duo como a bibliografia da área
afirma [17].
Indivíduo estavel ys = 504.042
1200
y
s
1000
I2
800
600
y
s
I1
400
200
0
0
5
10
15
20
25
30
35
intervalo entre as doses
Figura 24: Representação dos indivı́duos 1 e 2 mantendo a prescrição.
Individuo estavel y = 504.042
s
y
s
600
I3
ys
500
I1
400
300
200
100
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Figura 25: Representação dos indivı́duos 1 e 3 mantendo a prescrição.
Indivíduo estável y = 504.042
s
600
y
I2
s
ys
500
I1
400
300
200
100
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Figura 26: Representação dos indivı́duos 1 e 2 alterando o intervalo entre as doses.
Indivíduo 1 e Indivíduo 2 com Ys = 504.042
600
500
400
300
200
100
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Figura 27: Representação dos indivı́duos 1 e 2 alterando a dose prescrita.
4.5
Resumo
Nesta seção apresentamos modelos envolvendo a eliminação de fármacos do organismo,
em que devido as particularidades de cada indivı́duo, além de apresentarmos um modelo
clássico, exploramos a teoria dos conjuntos fuzzy para modelar a constante de velocidade de eliminação (k), onde consideramos esta constante como um parâmetro fuzzy, que
depende da função renal do indivı́duo. Incorporando os conhecimentos do especialista,
obtemos este parâmetro variando de indivı́duo para indivı́duo. Assim consideramos uma
prescrição de certo fármaco para alguns indivı́duos e através de representações gráficas
mostramos a variação desta constante de velocidade de eliminação, onde verificamos que
o melhor resultado é quando a dose prescrita é diminuı́da, o qual poderá colaborar com o
especialista para evitar qualquer risco de intoxicação medicamentosa.
Referências
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de Biomatemática.
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Contexto.
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[4] Doenças Respiratórias e Cardı́acas (2005). http://iatreion.warj.med.br/diagnostico.asp.
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D., Hauser, D., e Longo, D. (1998). Medicina Interna. volume 2. Editora McGraw-Hill,
14a edição.
[7] Jafelice, R. (2003). Modelagem Fuzzy para Dinâmica de Transferência de Soropositivo para HIV em Doença Plenamente Manifesta. Tese de Doutorado, Universidade
Estadual de Campinas, Campinas, Brasil.
[8] Jafelice, R. (2004). Aplicações da Teoria dos Conjuntos Fuzzy. Minicurso, Uberlândia,
Brasil.
[9] Lopes, W. e Jafelice, R. (2005). Fuzzy Modeling in the Elimination of Drugs. BIOMAT
2005 - Second International Symposium on Mathematical and Computational Biology - Fifth Brazilian Symposium on Mathematical and Computational Biology (submetido).
[10] Lopes, W., Jafelice, R., e Barros, L. (2005). Modelagem Fuzzy de Diagnóstico Médico
e Monitoramento do Tratamento da Pneumonia. Uma Publicação do Grupo de Biomatemática IMECC - UNICAMP, 15:77–96.
[11] Massad, E., Menezes, R., Silveira, P., e Ortega, N. (2004). Métodos Quantitativos em
Medicina. Editora Manole.
[12] Ortega, N. (2001). Aplicação da Teoria de Lógica Fuzzy a Problemas da Biomedicina.
Tese de Doutorado, Universidade de São Paulo, São Paulo, Brasil.
[13] Sanchez, E. (1977). Solutions in Composite Fuzzy Relation Equations: Application
to Medical Diagnosis in Brouwerian Logic. Fuzzy Automata and Decision Processes
M.M. Gupta, North-Holland, Amsterdam.
[14] Sanchez, E. e Bartolin, R. (1990). Fuzzy Inference and Medical Diagnosis, a Case
Study. Int. J. Biom. Fuzzy Systems Ass.
[15] Silva, P. (1998). Farmacologia. Editora Guanabara Koogan S.A, 5a edição.
[16] Zadeh, L. (1965). Fuzzy Sets. Information and Control, 8:338–353.
[17] Zanini, A. e Olga, S. (1994). Farmacologia Aplicada. Editora Atheneu, 5a edição.
Algumas Aplicações e Teoria Qualitativa das Equações
Diferenciais Ordinárias
Juliana Lázara Curcino dos Santos1
Lúcia Resende Pereira Bonfim2
Faculdade de Matemática – FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia – UFU
38408 -100, Uberlândia
Setembro de 2005
Resumo
Equações diferenciais são o suporte matemático para muitas áreas da ciência, da
engenharia, entre outros.
Pretendemos apresentar alguns temas que geralmente não são abordados nos
cursos tradicionais de graduação em matemática, tais como: modelagem
matemática e teoria qualitativa das equações diferenciais.
Palavras chaves: Sistemas lineares, estabilidade, ponto crítico, modelos
matemáticos.
Introdução
As Equações diferenciais surgem a partir da tentativa de formular, ou descrever, certos
sistemas físicos em termos matemáticos, ou seja, fazer uma modelagem matemática do
problema.
Em virtude disso, encontra-se neste trabalho desde aplicações desse tipo de equações
em oscilações não-lineares: A Esfera Rolante (aplicações de Equações Diferenciais Ordinárias
na Física) até aplicações na Biologia, como por exemplo, o modelo Predador-Presa de Lotka
Volterra, os quais serão tratados mais adiante. Em alguns casos, uma única equação
diferencial pode servir como um modelo matemático para muitos fenômenos diferentes. A
equação diferencial linear de 2º ordem ay ,, (t ) + by , (t ) + cy (t ) = f (t ) , por exemplo, aparece na
análise do problema na Física, Engenharia, Química e Biologia.
Além disso, como em diversos problemas da matemática aplicada, por exemplo, o
pêndulo não-linear, as equações matemáticas que descrevem o seu comportamento são
equações diferenciais ordinárias não lineares, por isso se faz necessário o estudo da teoria
qualitativa das equações diferenciais, da qual a ênfase é dada não em obtenção de expressões
exatas para as soluções dos problemas, mas em se obter propriedades das soluções, retirandoas através de uma análise das equações.
A seguir dividiremos o nosso trabalho em duas seções: Estudo da teoria qualitativa das
equações diferenciais e algumas aplicações dessas equações.
1
2
Orientando de Iniciação Científica PROMAT – E-mail: [email protected]
Professora Orientadora. E-mail: [email protected]
1 Teoria qualitativa das Equações Diferenciais
§ x1 (t ) ·
¨
¸
¨ x 2 (t ) ¸
Se X, A(t) e F(t) denotam, respectivamente, as matrizes X = ¨
¸,
#
¨
¸
¨ x (t ) ¸
© n ¹
§ a11 (t ) a12 (t ) ... a1n (t ) ·
§ f1 (t ) ·
¨
¸
¨
¸
¨ a 21 (t ) a 22 (t ) ... a 2 n (t ) ¸
¨ f 2 (t ) ¸
A(t) = ¨
, F(t) = ¨
#
# ¸
# ¸
¨
¸
¨
¸
¨ a (t ) a (t ) ... a (t ) ¸
¨ f (t ) ¸
n
1
n
2
nn
n
©
¹
©
¹
então o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem
dx1
= a11 (t ) x1 + a12 (t ) x 2 + ... + a1n (t ) x n + f 1 (t )
dt
dx 2
= a 21 (t ) x1 + a 22 (t ) x 2 + ... + a 2 n (t ) x n + f 2 (t )
dt
#
dx n
= a n1 (t ) x1 + a n 2 (t ) x 2 + ... + a nn (t ) x n + f n (t )
dt
dX
Pode ser escrito como
= A(t)X+F(t).
dt
No entanto, quando o sistema de equações diferenciais não é linear, em geral não é
possível achar soluções em termos de funções elementares. Mas é possível obter informações
valiosas sobre a natureza geométrica das soluções, analisando inicialmente soluções
constantes especiais chamadas pontos críticos e procurando soluções periódicas. Essas
soluções especiais são, por seu turno, classificadas como estáveis ou instáveis, conforme o
comportamento das soluções nas vizinhanças.
dx
°° dt = P ( x, y )
Para essa análise consideremos sistemas da forma ®
(*), os quais são
° dy = Q( x, y )
°¯ dt
chamados de sistemas autônomos planos, pois P e Q não dependem explicitamente da
variável (tempo) t. O vetor V(x, y) = ( P ( x, y ), Q ( x, y )) define um campo vetorial em uma
região do plano, e uma solução do sistema pode ser interpretada como a trajetória resultante
de uma partícula que se move nessa região segundo o campo V(x,y). Desse modo, como serão
os tipos de soluções no caso em que se trabalha com sistemas autônomos planos?
Se
P ( x, y ), Q ( x, y )
e as derivadas parciais de primeira ordem
∂P / ∂x, ∂P / ∂y, ∂Q / ∂x e ∂Q / ∂y são contínuas em uma região R do plano, então as soluções
de (*) são de três tipos básicos:
(i)
Uma solução constante x(t) = x0, y(t) = y0, as quais são precisamente os zeros do
P ( x, y ) = 0
. Uma solução constante é chamada ponto crítico ou
sistema ®
¯Q ( x, y ) = 0
estacionário.
Uma solução x = x(t), y = y(t) que define um arco, uma curva plana que não se
(ii)
intercepta.
(iii)
Uma solução periódica x = x(t), y = y(t). Uma solução periódica é chamada um
ciclo.
Portanto, se X0 é um ponto crítico, a partícula permanece estacionária. Entretanto, se
X0 é colocado próximo a um ponto crítico X1, pergunta-se: a partícula voltará ao ponto crítico
ou permanece próxima ao ponto crítico ou se afasta do ponto crítico?
Se é verdade que lim t →∞ X (t ) = X 1 ou que a partícula permanece próxima do ponto
crítico, então tal ponto é chamado localmente estável. No entanto, se a partícula se afastar do
ponto crítico então tal ponto é chamado instável.
Desse modo, podemos definir ponto crítico estável e instável do seguinte modo:
Pontos Críticos Estáveis: Seja X1 um ponto crítico de um sistema autônomo, e denotemos
X0 ≠ X1. Diz-se
por X = X(t) a solução que satisfaz a condição inicial X(0) = X0, com
que X1 é um ponto crítico estável se, dado um raio arbitrário ρ >0, existe um raio
correspondente r>0 tal que, se a posição inicial X0 satisfaz X 0 − X 1 < r, então a solução X(t)
correspondente
verifica
lim t →∞ X (t ) = X 1 sempre
X (t ) − X 1
que
<
X 0 − X1 <
ρ
para
r,
X1
todo
é
t>0.
chamado
Se,
um
além
disso,
ponto
crítico
assintoticamente estável.
Pontos Críticos Instáveis: Seja X1 um ponto crítico de um sistema autônomo, e denotemos
por X = X(t) a solução que satisfaz a condição inicial X(0) = X0, onde
X0 ≠ X1. Dizemos
que X1 é um ponto crítico instável quando existe um disco de raio ρ > 0 com a propriedade
de que, para qualquer r > 0, existe uma posição inicial X0 que verifica X 0 − X 1 < r e, não
obstante, a solução correspondente X(t) satisfaz X (t ) − X 1 ≥ ρ para ao menos um t > 0.
1.1 – Análise da Estabilidade de Sistemas Lineares
Para uma melhor investigação dessas duas questões de estabilidades para sistemas
autônomos planos lineares utilizaremos o sistema linear
° x , = ax + by
(1),
® ,
°̄ y = cx + dy
onde será feito uma análise geométrica das soluções de (1) em termos de autovalores e
§a b·
¸¸ .
autovetores da matriz dos coeficientes A = ¨¨
©c d ¹
Suponhamos que a origem seja uma singularidade isolada do sistema (1), ou seja, o
determinante Δ = ad − bc ≠ 0. De(1), podemos escrever:
§ x´ · § a b ·§ x ·
¸¸¨¨ ¸¸ , ou seja, X ' = AX (2).
¨¨ ¸¸ = ¨¨
y
´
c
d
¹© y ¹
© ¹ ©
Isso nos lembra o caso da equação diferencial x’ = ax, cuja solução geral é x(t) = Keat;
a,k:constantes. Tentemos soluções da forma
° x(t ) = c1e λt
λt
λt § c1 ·
¸
¨
.
X (t ) = Ce ⇔ X (t ) = e ¨ ¸ ⇔ ®
λt
c
°̄
y
(
t
)
=
c
e
© 2¹
2
λt
Se X (t ) = Ce , segue de (2) que:
§ c1 ·
§c ·
§ c · §0·
¸¸ = Ae λt ¨¨ 1 ¸¸ ⇔ (λI − A)¨¨ 1 ¸¸ = ¨¨ ¸¸ (3).
© c2 ¹
© c2 ¹
© c2 ¹ © 0 ¹
Como estamos interessados em soluções não triviais, segue-se que
a−λ
b
det ( A − λI ) = 0 ⇔
= 0 ⇔ λ2 − (a + d )λ + ad − bc = 0 ⇔ p (λ ) = λ2 − τλ + det A = 0
c
d −λ
chamado polinômio característico, cujas raízes são os autovalores de A e τ = a + d é o traço3
da matriz A.
Obtidos os autovalores, voltamos ao sistema (3) e determina-se os autovetores
§ c1 ·
¨¨ ¸¸ correspondentes e poderemos escrever a solução de (1) na forma X (t ) = Ce λt . Note que
© c2 ¹
λe kt ¨¨
os autovalores de A serão da forma: λ =
τ ± τ 2 − 4Δ
, e teremos os três casos usuais dessas
2
raízes conforme o discriminante seja positivo, negativo ou zero.
A seguir, uma análise quanto a estabilidade será feita em cada caso onde também
apresentaremos exemplos que procurem exibir uma coleção típica de curvas solução em torno
da origem, as quais foram conseguidas com o aplicativo Maple.
Caso 1 – Autovalores Reais Distintos (τ 2 − 4Δ > 0) A solução geral de (1) é dada
por
X (t ) = c1 K 1e λ1t + c 2 K 2 e λ2t ,
onde λ1 e λ 2 são os autovalores e K 1 e K 2 são os autovetores correspondentes.
Note que X(t) também pode ser escrito como
X (t ) = e λ1t [c1 K 1 + c 2 K 2 e ( λ2 −λ1 ) t ]
(4)
Veja[ 7 ].
(5)
(a) Ambos os autovalores negativos ( (τ 2 − 4Δ > 0), τ < 0 e Δ > 0)
Nó estável. De (4) decorre que lim t →∞ X (t ) = 0. Se admitimos λ 2 < λ1 , então
λ 2 − λ1 < 0 e poderemos concluir de (5) que X (t ) ≈ c1 K 1e λ t para grandes valores de t.
1
3
Em geral, se A é uma matriz n x n, o traço de A é a soma dos elementos da diagonal principal.
Quando c1 ≠ 0 , X(t) tende para 0 segundo uma das duas direções determinadas pelo autovetor
K 1 correspondente a λ1 . Se c1 = 0 , X (t ) = c 2 K 2 e λ2t e X(t) tende para 0 ao longo da reta
determinada pelo autovetor K 2 . Um ponto crítico é chamado nó estável quando ambos os
autovalores são negativos.
Exemplo 1: Sejam λ1 = − 1 e λ 2 = − 2 . Assim, p (λ ) = λ2 + 3λ + 2 .
§ 0 − 1·
¸¸ , teremos de X ' = AX as curvas solução cujo esboço
Podemos tomar A = ¨¨
© 2 − 3¹
segue abaixo:
> DEplot([D(x)(t)=0*x(t)-1*y(t),D(y)(t)=2*x(t)3*y(t)],[x(t),y(t)],t=0..2,[[x(0)=1,y(0)=-1],[x(0)=1,y(0)=2],[x(0)=-1,y(0)=1],[x(0)=-1,y(0)=2],[x(0)=0.4,y(0)=0.8],[x(0)=0.2,y(0)=-0.4],[x(0)=-2,y(0)=1],[x(0)=5,y(0)=2],[x(0)=1,y(0)=2],[x(0)=2,y(0)=2],[x(0)=4,y(0)=2],[x(0
)=2,y(0)=-1],[x(0)=-1,y(0)=2]],stepsize=.005,method=classical[foreuler]);
(b) Ambos os autovalores positivos (τ 2 − 4Δ > 0, τ > 0 e Δ > 0)
Nó instável. A análise desse caso é análoga ao caso (a). Novamente, por (4) , X(t)
torna-se arbitrariamente grande quando t cresce, em uma das direções determinadas pelo
autovetor K 1 (quando c1 ≠ 0) ou ao longo da reta determinada pelo autovetor K 2 (quando
c1 = 0 ) . Esse tipo de ponto crítico, correspondente ao caso em que ambos os autovalores são
positivos, é chamado nó instável.
Exemplo 2: Sejam λ1 = 2 e λ 2 = 3 . Assim, p (λ ) = λ2 − 5λ + 6 .
§ 1 − 1·
¸¸ , obtém-se
Tomando-se A = ¨¨
©2 4 ¹
> DEplot([D(x)(t)=1*x(t)1*y(t),D(y)(t)=2*x(t)+4*y(t)],[x(t),y(t)],t=0..1,[[x(0)=1,y(0)
=-1],[x(0)=1,y(0)=-2],[x(0)=-0.5,y(0)=0.5],[x(0)=0.5,y(0)=1],[x(0)=-2,y(0)=-0.5],[x(0)=1,y(0)=0.5],[x(0)=2,y(0)=1],[x(0)=-5,y(0)=1],[x(0)=-2,y(0)=2],[x(0)=8,y(0)=2],[x(0)=4,y(0)=2]],stepsize=.005,method=classical[fore
uler]);
(c) Autovalores com sinais opostos (τ 2 − 4Δ > 0 e Δ < 0)
Ponto de sela. A análise das soluções é idêntica à do caso (b), com uma exceção.
Quando c1 = 0 , X (t ) = c 2 K 2 e λ2t e, como λ 2 < 0 , X(t) tenderá para 0 ao longo da reta
determinada pelo autovetor K 2 . Se X(0) não está sobre a reta determinada por K 2 , a reta
determinada por K 1 é uma assíntota de X(t). Esse ponto crítico instável é chamado ponto de
sela.
Exemplo 3: Com λ1 = 1 e λ 2 = −2 , tem-se p (λ ) = λ2 + λ − 2 .
§0 1 ·
¸¸ , obtendo-se:
Podemos tomar A = ¨¨
© 2 − 1¹
> DEplot([D(x)(t)=0*x(t)+1*y(t),D(y)(t)=2*x(t)1*y(t)],[x(t),y(t)],t=0..1.8,[[x(0)=1,y(0)=1],[x(0)=5,y(0)=10],[x(0)=2,y(0)=-16],[x(0)=4,y(0)=14],[x(0)=1,y(0)=0.5],[x(0)=-5,y(0)=10],[x(0)=8,y(0)=4],[x(0)=5,y(0)=-5],[x(0)=-8,y(0)=8],[x(0)=8,y(0)=2],[x(0)=2,y(0)=10],[x(0)=0,y(0)=14]],stepsize=.005,met
hod=classical[foreuler]);
Caso II - Um autovalor Real Repetido (τ 2 − 4Δ = 0)
Nós degenerados. A solução geral toma uma de duas formas diferentes, conforme
possamos achar, para o autovalor repetido λ1 , um ou dois autovalores linearmente
independentes.
(a) Dois autovetores linearmente independentes. Se K 1 e K 2 são dois autovetores
linearmente independentes correspondentes a λ 1 , então a solução geral é dada por
X (t ) = c1 K 1e λ1 t + c 2 K 2 e λ1t = (c1 K 1 + c 2 K 2 )e λ1t , veja[ 7 ].
Se λ1 < 0 , X(t) tende para 0 ao longo da reta determinada pelo vetor c1 K 1 + c 2 K 2 , o ponto
crítico é chamado nó estável degenerado.
Exemplo 4: Para λ1 = − 1 , tem-se p (λ ) = (λ + 1) 2 . Como estamos interessados
em obter dois autovetores linearmente independentes correspondentes a λ 1 , basta que a
matriz A seja diagonalizável, ou ainda, que o polinômio mínimo m( λ ) seja um produto de
fatores lineares distintos, donde m( λ ) = λ + 1 e A = (-1) I ,sendo I a matriz identidade.
§−1 0 ·
¸¸ e tem-se a figura:
Assim A = ¨¨
© 0 − 1¹
> DEplot([D(x)(t)=-1*x(t)+0*y(t),D(y)(t)=0*x(t)1*y(t)],[x(t),y(t)],t=0..2,[[x(0)=1,y(0)=0.5],[x(0)=1,y(0)=2],[x(0)=2,y(0)=3],[x(0)=2,y(0)=1],[x(0)=-3,y(0)=-1],[x(0)=-1,y(0)=2],[x(0)=3,y(0)=2],[x(0)=3,y(0)=0],[x(0)=1,y(0)=2],[x(0)=2,y(0)=-3],[x(0)=-6,y(0)=2],[x(0)=-6,y(0)=3],[x(0)=2,y(0)=2]],stepsize=.005,method=classical[foreuler]);
No caso em que λ1 > 0 , com o objetivo de obter dois autovetores linearmente
§2 0·
¸¸ obtendo-se
independentes correspondentes ao autovalor λ 1 = 2, tomemos A = 2.I = ¨¨
© 0 2¹
assim um nó instável degenerado, conforme figura:
>
DEplot([D(x)(t)=2*x(t)+0*y(t),D(y)(t)=0*x(t)+2*y(t)],[x(t),y(t
)],t=0..1,[[x(0)=-1,y(0)=0.5],[x(0)=1,y(0)=2],[x(0)=2,y(0)=3],[x(0)=2,y(0)=1],[x(0)=-3,y(0)=-1],[x(0)=-1,y(0)=2],[x(0)=3,y(0)=2],[x(0)=3,y(0)=0],[x(0)=1,y(0)=2],[x(0)=2,y(0)=-3],[x(0)=-6,y(0)=2],[x(0)=-6,y(0)=3],[x(0)=2,y(0)=2]],stepsize=.005,method=classical[foreuler]);
(b) Um único autovetor linearmente independente. Quando existe um único autovetor
linearmente independente K 1 , a solução geral é dada por
X (t ) = c1 K 1e λ1t + c 2 ( K 1te λ1t + Pe λ1t ) ,
onde (A- λ1 I)P = K 1 , veja [ 7 ]. A solução pode ser posta na forma
c
c
X (t ) = te λ1t [c 2 K 1 + 1 K 1 + 2 P ] .
t
t
λ1t
Se λ1 < 0 , limt →∞ te = 0 , decorrendo que X(t) tende para 0 segundo uma das direções
determinadas pelo vetor K 1 . O ponto crítico é novamente chamado nó estável degenerado.
Quando λ1 > 0 , as soluções se apresentam como as da figura abaixo com as setas invertidas.
A reta determinada por K 1 é uma assíntota para todas as soluções. O ponto crítico é chamado
nó instável degenerado.
§0 −1·
¸¸ , segue a figura:
Exemplo 5: Escolhendo-se λ1 = −2 e A = ¨¨
© 4 − 4¹
> DEplot([D(x)(t)=0*x(t)-1*y(t),D(y)(t)=4*x(t)4*y(t)],[x(t),y(t)],t=0..2,[[x(0)=2,y(0)=4],[x(0)=1,y(0)=2],[x(0)=-0.5,y(0)=0.5],[x(0)=-0.5,y(0)=1],[x(0)=-2,y(0)=0.5],[x(0)=-2,y(0)=1],[x(0)=-5,y(0)=1],[x(0)=5,y(0)=2],[x(0)=2,y(0)=-4],[x(0)=-8,y(0)=2],[x(0)=4,y(0)=1],[x(0)=3,y(0)=1]],stepsize=.005,method=classical[foreuler]);
Caso III – Autovalores Complexos (τ 2 − 4Δ < 0) . Se λ1 = α + iβ e λ1 = α − iβ são
os autovalores complexos e K 1 = B1 + iB2 é um autovetor complexo correspondente a λ1 ,
então a solução geral pode ser na forma X (t ) = c1 X 1 (t ) + c 2 X 2 (t ) , onde
X 1 (t ) = ( B1 cos βt − B2 sen βt )eαt
e
X 2 (t ) = ( B2 cos βt + B1 sen βt )eαt
Veja[ 7 ] . Tem-se então uma solução na forma
x(t ) = eαt (c11 cos βt + c12 sen βt )
e quando α = 0 , temos
y (t ) = eαt (c 21 cos βt + c 22 sen βt )
x(t ) = c11 cos βt + c12 sen βt
y (t ) = c 21 cos βt + c 22 sen βt
(6)
(7)
(a) Raízes imaginárias puras (τ 2 − 4Δ < 0, τ = 0)
Centro. Quando α = 0 , os autovalores são imaginários puros e, por (7), todas as soluções são
periódicas com período p = 2π / β . Note que, se c12 e c 21 fossem simultaneamente zero,
então (7) se reduziria a
x(t ) = c11 cos βt
y (t ) = c 22 sen βt
que é a representação paramétrica de uma elipse. Resolvendo o sistema de equações (7) em
relação a cos βt e sen βt e utilizando a identidade sen 2 βt + cos 2 βt = 1 , é possível mostrar
que todas as soluções são elipses com centro na origem. O ponto crítico (0,0) é chamado de
centro.
§ 0 − 1·
¸¸ , e a figura mostra
Exemplo 6: Tomemos por exemplo λ1 = i e λ 2 = − i e A = ¨¨
©1 0 ¹
uma coleção típica de curvas solução:
> DEplot([D(x)(t)=0*x(t)1*y(t),D(y)(t)=1*x(t)+0*y(t)],[x(t),y(t)],t=0..6.3,[[x(0)=1,y(0)=1],[x(0)=-1,y(0)=2],[x(0)=0.2,y(0)=0.2],[x(0)=2,y(0)=1],[x(0)=2,y(0)=1],[x(0)=4,y(0)=2],[x(0)=3,y(0)=0]],stepsize=.005,metho
d=classical[foreuler]);
(b) Parte real não nula (τ 2 − 4Δ < 0, τ ≠ 0)
Pontos espirais. Quando α < 0 , eαt → 0 e as soluções semelhantes a elipses circulam em
torno da origem, cada vez mais próximas dela. O ponto crítico é chamado ponto espiral
estável. Quando α > 0 , o efeito é oposto. Uma solução semelhante a uma elipse é afastada
cada vez mais da origem, e o ponto crítico é chamado ponto espiral instável.
§ − 1 − 3·
¸¸ , veja figura:
Exemplo 7: Tomando-se λ1 = −1 + 3i , λ 2 = − 1 − 3i e A = ¨¨
© 3 − 1¹
> DEplot([D(x)(t)=-1*x(t)-3*y(t),D(y)(t)=3*x(t)1*y(t)],[x(t),y(t)],t=0..2,[[x(0)=1,y(0)=-2],[x(0)=0.5,y(0)=1],[x(0)=-2,y(0)=-0.5],[x(0)=-2,y(0)=1],[x(0)=5,y(0)=1],[x(0)=5,y(0)=2],[x(0)=-2,y(0)=-4],[x(0)=8,y(0)=2],[x(0)=4,y(0)=1],[x(0)=3,y(0)=1]],stepsize=.005,method=classical[foreuler]);
§ 2 3·
¸¸ , obtendo-se:
Exemplo 8: Para α > 0 , considere λ1 = 2 + 3i , λ 2 = 2 − 3i e A = ¨¨
© − 3 2¹
> DEplot([D(x)(t)=2*x(t)+3*y(t),D(y)(t)=3*x(t)+2*y(t)],[x(t),y(t)],t=0..2,[[x(0)=1,y(0)=-2],[x(0)=0.5,y(0)=1],[x(0)=-2,y(0)=-0.5],[x(0)=-2,y(0)=1],[x(0)=5,y(0)=1],[x(0)=5,y(0)=2],[x(0)=-2,y(0)=-4],[x(0)=8,y(0)=2],[x(0)=4,y(0)=1],[x(0)=3,y(0)=1]],stepsize=.005,method=classical[foreuler]);
A figura abaixo resume de uma forma conveniente os resultados dessa seção. A natureza
geométrica geral dessas soluções pode ser determinada calculando-se o traço e o determinante
de A. Na prática, os gráficos das soluções são obtidos mais facilmente não pela construção
explícita de soluções autovalor – autovetor, mas pela geração numérica das soluções por um
método como o de Runge – Kutta para sistemas de primeira ordem.
1.2 - Linearização
Vimos que enquanto o sistema linear X ' = AX tinha apenas um ponto crítico quando
det A ≠ 0, um sistema não – linear pode ter muitos pontos críticos. Raramente é possível
determinar a estabilidade de um ponto crítico de um sistema não – linear por meio de soluções
explícitas.
Em
lugar
disso,
dx1
substituímos
o
termo
g(X)
do
sistema
° dt = g1 ( x1 , x2 ,..., xn )
autônomo:
°
dx
°° 2 = g ( x , x ,..., x )
2
1
2
n
® dt
°#
°
° dx n = g ( x , x ,..., x )
n
1
2
n
°¯ dt
por um termo linear A(X-X1) que melhor aproxime g(X) em uma vizinhança de X1. Esse
processo de substituição, chamado de linearização, será ilustrado para a equação diferencial
de primeira ordem x ' = g ( x) .
Uma equação tangente à curva y = g(x) em x = x1 é
y = g ( x1 ) + g ' ( x1 )( x − x1 )
E se x1 é um ponto crítico de x ' = g ( x) , temos
x ' = g ( x) ≈ g ' ( x1 )( x − x1 ) .
Para a equação diferencial linear x ' = g ' ( x1 )( x − x1 ) obtém-se como solução geral
x = x1 + ce λ1t , onde λ1 = g ' ( x1 ) e assim, se g ' ( x1 ) <0, x(t) tende para x1 , donde x1 é um ponto
crítico assintoticamente estável .
O mesmo comportamento se verifica na equação diferencial original desde que x(0) =
x0 seja escolhido suficientemente próximo de x1 .
Pode-se fazer uma análise análoga para um sistema autônomo plano. Neste caso,
temos que
∂g
∂g
z = g ( x1 , y1 ) +
( x − x1 ) +
( y − y1 )
∂x ( x1 , y1 )
∂y ( x1 , y1 )
é uma equação do plano tangente à superfície z = g(x,y) em X1 = ( x1 , y1 ) e g(x,y) pode ser
aproximada por seu plano tangente em uma vizinhança de X1. Quando X1 é ponto crítico de
um sistema autônomo plano, P( x1 , y1 ) = Q( x1 , y1 ) = 0 e tem-se
x ' = P ( x, y ) ≈
∂P
∂P
( x − x1 ) +
( y − y1 )
∂x (x 1 , y1 )
∂y ( x1 , y1 )
y ' = Q ( x, y ) ≈
∂Q
∂Q
( x − x1 ) +
( y − y1 ) .
∂x ( x1 , y1 )
∂y ( x1 , y1 )
O sistema original
X ' = g ( X ) pode ser aproximado em uma vizinhança do ponto
crítico X1 pelo sistema linear X ' = A( X − X 1 ) , onde
§ ∂P
¨
¨ ∂x ( x1 , y1 )
A=¨
∂Q
¨
¨ ∂x ( x , y )
1
1
©
·
∂P
¸
∂y ( x1 , y1 ) ¸
¸
∂Q
¸
∂y ( x1 , y1 ) ¸¹
Essa matriz é chamada matriz jacobiana em X1 e se denota por g ' ( X 1 ). E tem-se o
seguinte resultado:
TEOREMA Critérios de Estabilidade para Sistemas Autônomos Planos
Seja X1 um ponto crítico isolado do sistema autônomo plano X ' = g ( X ), onde P(x, y) e Q(x,
y) têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um vizinhança de X1.
(a) Se os autovalores de A = g ' ( X 1 ) têm partes reais negativas, então X1 é um ponto crítico
assintoticamente estável de X ' = g ( X ) .
(b) Se A = g ' ( X 1 ) tem um autovalor com parte real positiva, então X1 é um ponto crítico
instável de X ' = g ( X ) .
Comentário: O método de linearização, quando aplicável, pode dar informações
úteis sobre o comportamento local de soluções nas proximidades de pontos críticos. No
entanto, às vezes não é possível determinar a natureza das soluções em uma vizinhança do
ponto crítico. Para solucionar este problema, é utilizado o método do plano de fases, o qual
se baseia no fato de que
dy dy dt Q( x, y )
=
=
dx dx dt P ( x, y )
e procura determinar y como função de x utilizando um dos diversos métodos de resolução de
equações diferenciais de primeira ordem.
2 Algumas aplicações das Equações Diferenciais
2.1 Modelo Predador-Presa de Lotka-Volterra
Ocorre uma interação do tipo predador-presa entre duas espécies quando uma
espécie (predador) se alimenta de uma segunda espécie (presa). Um exemplo são as raposas e
os coelhos numa floresta fechada, as raposas caçam os coelhos, os coelhos vivem da
vegetação da floresta.
Há muitos modelos predador-presa que levam a sistemas autônomos planos com ao
menos uma solução periódica. O primeiro desses modelos foi construído independentemente
pelos pioneiros na biomatemática A. Lotka (1925) e V. Volterra(1926). Se P(t) denota o
número de predadores e H(t) o número de presas, respectivamente, no tempo t, então o
modelo de Lotka-Volterra toma a forma
dH
°° dt = aH − αHP = H (a − αP )
(*)
®
° dP = −cP + γHP = P(−c + γH )
°¯ dt
onde a, c, α e γ são constantes positivas; a e c são a taxa de crescimento das presas e a taxa
de mortalidade dos predadores, respectivamente, e α e γ são medidas do efeito da interação
entre as duas espécies.
Os pontos críticos de (*) são as soluções de
H (a − αP ) = 0
®
¯ P (−c + γH ) = 0
Estas soluções são
H = 0, P = 0
e
H = c/ γ , P = a/ α .
O ponto crítico (0,0) é um ponto de sela. A entrada no ponto em sela se faz ao longo
da linha P = 0; todas as outras trajetórias se afastam do ponto crítico.
Para estudar o ponto crítico (c/ γ , a/ α ), fazemos
H = c/ γ + u, P = a/ α + v.
Substituindo H e P em (*), obtemos
c
du
°° dt = −α γ v − αuv
®
° dv = γ a u + γuv
°¯ dt
α
Este é um sistema quase linear, o sistema linear correspondente é :
c
du
°° dt = −α γ v
(**)
®
dv
a
° =γ u
°¯ dt
α
A equação característica é r² + ac = 0 de modo que r = ±i ac .
Como as raízes da equação característica são imaginários puros, o ponto crítico é um
centro (estável) do sistema linear. As trajetórias do sistema linear são curvas fechadas
correspondentes a soluções que são periódicas no tempo. Elas nem se aproximam nem se
afastam do ponto crítico. Em particular, pode-se mostrar que as trajetórias são elipses do
seguinte modo. De (**) temos que
dv
(γa / α )u
γa
αc
γa
αc
=−
udu + vdv = 0 u 2 + v 2 = C , onde C é uma constante
du
(αc / γ )v
α
γ
α
γ
arbitrária não – negativa de integração.
Enquanto o ponto crítico é um centro estável para o sistema linear, precisamos saber
sua característica para o sistema quase linear. Para isso, tentaremos resolver as equações nãolineares de (*) e ver o que acontece. Com o auxílio do método do plano de fases, ou seja,
dividindo a segunda das equações de (*) pela primeira equação, obtemos
dP P(−c + γH )
=
dH
H ( a − αP )
Separando as variáveis na equação anterior, temos
a − αP
− c + γH
dP =
dH ,
P
H
da qual segue-se que
a ln P − αP = −c ln H + γH + ln C , onde C é uma constante de integração. Não podemos
resolver a equação anterior explicitamente para P em termos de H ou de H em termos de P,
mas o gráfico desta equação para um valor fixo de C é uma curva fechada que engloba o
ponto crítico (c/ γ , a/ α ). Deste modo, os predadores e as presas têm variações cíclicas em
torno do ponto crítico.
2.2 O Pêndulo Não – linear
O ângulo de deslocamento θ de um pêndulo satisfaz a equação diferencial não –
linear de segunda ordem
d 2θ g
+ senθ = 0
l
dt 2
'
Quando fazemos x = θ e y = θ , essa equação diferencial pode ser escrita como o
sistema autônomo plano
x ' = y
°
® ' −g
senx
°y =
l
¯
−g
Fazendo P(x, y) = y = 0 e Q(x, y) =
senx = 0, temos que os pontos críticos são
l
( ± kπ ,0) . Além disso, a Matriz Jacobiana associada ao sistema autônomo acima em ( ± kπ ,0)
é
0
1·
§
¸
g ' ((± kπ ,0) = ¨
k +1 g
0¸
¨ (−1)
l
¹
©
Observa-se que se k = 2n + 1, então Δ < 0 , assim todos os pontos críticos
( (±(2n + 1)π ,0) são selas. Em particular o ponto em (π ,0) é instável, conforme
esperado.Quando k = 2n, os autovalores são imaginários puros e, assim, a natureza desses
pontos críticos permanece em dúvida. Para solucionar este problema, utilizaremos o método
do plano de fase
dy dy dt − g senx
,
=
=
dx dx dt
l
y
o qual decorre que
2g
y2 =
cos x + c
l
Se X(0) = ( x0 ,0) , então
2g
y2 =
(cox − cos x0 ) .
l
Note que y = 0 quando x = − x0 , e ( 2 g l )(cox − cos x0 ) > 0 para x < x0 < π . Assim,
cada um desses x tem dois valores correspondentes de y; a solução X = X(t) que satisfaz X(0)
= ( x0 ,0) é, pois, periódica. Podemos concluir que (0, 0) é um centro. O que era de se esperar,
visto que estamos supondo que não há forças amortecedoras atuando sobre o pêndulo. A
figura abaixo exibe uma família de curvas solução.
2.3 A Esfera Rolante
Suponha que uma pequena esfera de massa m role ao longo de um arame delgado cuja
forma é dada pela função z = f(x). Pode-se obter uma ampla variedade de oscilações nãolineares, modificando-se a forma do arame e fazendo-se diferentes hipóteses sobre as forças
que atuam na esfera.
A força tangencial F devida ao peso W = mg tem módulo mg sen θ e, assim, a
componente x de F é Fx = −mgsenθ cos θ . Como tg θ = f ' ( x) , usando a identidade 1 +
tg 2θ = sec 2 θ obtemos
1
senθ
f ' ( x)
cos 2 θ = − mgtgθ
.
=
−
mg
cos θ
1 + tg 2θ
1 + [ f ' ( x)] 2
Supondo que uma força amortecedora D, atuando na direção oposta ao movimento,
seja um múltiplo constante da velocidade da esfera. A componente x de D será
dx
Dx = − β .
dt
Ignorando-se a força de atrito entre o fio e a esfera e admitindo que não haja quaisquer
outras forças externas atuando no sistema, segue-se da segunda lei de Newton que
f ' ( x)
mx " = − mg
− βx '
'
2
1 + [ f ( x)]
e o sistema autônomo correspondente é
x ' = y
°
® '
f ' ( x)
β
y
g
=
−
− y.
°
'
2
m
1 + [ f ( x)]
¯
Se ( x1 , y1 ) é um ponto crítico do sistema, então y1 = 0 e, portanto, f ' ( x1 ) = 0. Quando
f é duas vezes diferenciável, a matriz jacobiana em X1 é
Fx = −mgsenθ cos θ = − mg
0
1 ·
§
¸
g ' (X1) = ¨
−
β
"
¨ − gf ( x1 )
¸
m¹
©
2
e assim τ = − β ,
Δ = gf " ( x1 ) e τ 2 − 4Δ = − β
− 4 gf " ( x1 ). De acordo com os
m
m2
resultados apresentados na seção 1.1, chegamos às seguintes conclusões:
(i) f " ( x1 ) < 0
Ocorre um máximo relativo em x = x1 e, como Δ < 0, temos um ponto de sela
instável em X1 = ( x1 , 0).
(ii) f " ( x1 ) > 0 e β > 0
Ocorre um mínimo relativo em x = x1 e, como τ < 0 e Δ > 0, X1 = ( x1 , 0) é um ponto
crítico estável. Se β 2 > 4 gm 2 f " ( x1 ) , o sistema é superamortecido e o ponto crítico é
um nó estável. Se β 2 < 4 gm 2 f " ( x1 ) , o sistema é subamortecido e o ponto crítico é
um ponto espiral estável. A natureza exata do ponto crítico estável ainda permanece
em dúvida se β 2 = 4 gm 2 f " ( x1 ) .
(iii) f " ( x1 ) > 0 e o sistema é não-amortecido ( β = 0)
Nesse caso os autovalores são imaginários puros, mas utilizando o método do plano de
fases conclui-se que o ponto crítico é um centro. Por conseguinte, as soluções com
X(0) = x(0), x ' (0) na vizinhança de X1 = ( x1 , 0) são periódicas.
(
)
Bibliografia
[ 1 ] Amann, H. Ordinary Differential Equations with Aplications and Historical Notes Mc
Graw –Hill, 1972.
[ 2 ] Boyce, W. E. e Diprima, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de
Contorno. Editora Guanabara Koogan S. A, Rio de Janeiro, 1985.
[ 3 ] Braun, M. Differential Equations and Their Applications. Springer – Verlag, 1975.
[ 4 ] Hirsch, M. e Smale, S. Differential; Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra.
Academic Press, 1974.
[ 5 ] Neves, A. J.F. e Figueiredo, D. G. Equações Diferenciais Aplicadas – Coleção
Matemática Universitária – IMPA – RJ.
[ 6 ] Simmons, G. Ordinary Differential Equations with Aplications and Historical Notes, Mc
Graw – Hill, 1972.
[ 7 ] Zill, Dennis G. E Cullen, Michael R. Equações Diferencias – Volumes 1 e 2. Editora
Makron Books, São Paulo,2001.
Leis de Kepler para o movimento planetário
e a lei da gravitação universal de Newton
Eder Lucio da Fonseca∗
Prof. Dr. Jocelino Sato†
Universidade Federal de Uberlândia - UFU
38408-100, Uberlândia - MG
setembro de 2005
Resumo
Neste trabalho, utilizando o conceito de elipse e alguns fatos básicos do cálculo
vetorial pudemos fazer a formulação das leis de Kepler do movimento planetário e
sua dedução através das três leis do movimento e da lei da Gravitação Universal
de Newton (o caminho cronológico inverso). Posteriormente, usando as três leis do
movimento de Newton e as leis de Kepler, fizemos a dedução da lei da Gravitação
Universal de Newton (lei do quadrado inverso da força gravitacional).
1
Introdução
Apolônio de Perga (± 262−190 a.C.) foi o matemático que mais estudou e desenvolveu
as seções cônicas na antiguidade. Elas tiveram forte influência nos estudos de Kepler. O
interesse de Kepler pelas cônicas surgiu devido às suas aplicações à óptica e à construção
de espelhos parabólicos. Em 1609, Kepler edita a Astronomia Nova, onde apresenta a
principal lei da astronomia: ”os planetas descrevem órbitas elı́pticas em torno do Sol,
com o Sol ocupando um dos focos”. A propósito, a palavra foco é devida a Kepler e
provém da forma latinizada foccus, cujo significado é fogo, lareira.
O modelo heliocêntrico já era aceito na época de Sir Isaac Newton. Pela primeira lei de
Kepler, sabia-se que as órbitas planetárias eram elı́pticas. Alguns cientistas desconfiavam
que a força gravitacional, que mantém um planeta em órbita, variava com o inverso do
quadrado da distância com relação ao Sol. As leis de Kepler proporcionaram evidências
que possibilitaram Newton formular e confirmar sua famosa lei da Gravitação Universal
do movimento. Coube a ele provar que se a força de atração gravitacional variasse com
o inverso do quadrado da distância com relação ao Sol, então a curva descrita por um
planeta era uma elipse.
Neste trabalho, utilizando o conceito de elipse e alguns fatos básicos do cálculo vetorial
pudemos fazer a formulação das leis de Kepler do movimento planetário e sua dedução
∗
Orientando de Iniciação Cientı́fica: Programa Institucional de Iniciação Cientı́fica e Monitoria da
FAMAT – UFU. E-mail:[email protected]
†
Professor Orientador - E-mail: [email protected]
através das três leis do movimento e da lei da Gravitação Universal de Newton (o caminho
cronológico inverso). Posteriormente, usando as três leis do movimento de Newton e as leis
de Kepler, fizemos a dedução da lei da Gravitação Universal de Newton (lei do quadrado
inverso da força gravitacional).
2
Aspectos Históricos
Graças ao rei Frederico II, o dinamarquês Tycho Brahe (1646 − 1601) conseguiu
montar em Uraniborg um grande observatório astronômico.
Todas as observações eram feitas a olho nu (não haviam telescópios), mas com instrumentos de grandes proporções, cuidadosamente calibrados e utilizando dotes incrı́veis
de observação. Tycho dedicou toda a sua vida à coleta de dados sobre o movimento dos
planetas, conseguindo atingir uma precisão pelo menos duas vezes superior à das melhores
observações da antiguidade.
Tycho propôs um modelo intermediário entre os de Ptolomeu e Copérnico, em que
todos os planetas com exceção da Terra se moveriam em torno do Sol, mas o Sol se moveria
em redor da Terra. Tycho não percebeu que seu modelo só diferia do de Copérnico por
uma mudança trivial do sistema de referência.
Johannes Kepler (1571 − 1630) foi assistente de Tycho e seu sucessor no observatório.
Kepler foi uma personalidade extremamente curiosa, motivado por uma firme convicção
de tipo plenetônico-pitagórico de que o universo é construı́do de acordo com um plano
matemático, cuja estrutura pode ser deduzida por argumentos de perfeição e da ”harmonia das esferas. Entretanto, ele aliava a essa atitude um grande respeito pelos dados
experimentais, não se satisfazendo com qualquer modelo enquanto não levasse a uma concordância praticamente perfeita com a experiência. Desde o inı́cio de sua carreira, Kepler
foi guiado por uma idéia fantástica, de que os raios das órbitas planetárias deviam ter
alguma explicação geométrica-mı́stica em termos de figuras perfeitas. Entre os 6 planetas
então conhecidos (Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno) havia 5 distâncias
a explicar, número igual ao dos sólidos regulares ou ”perfeitos”, os sólidos platônicos:
tetraedo, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Figura 1: Modelo heliocêntrico
Em sua obra ”Mysterium Cosmographicum”(1597), Kepler construiu um modelo
de sistema planetário utilizando os 5 sólidos regulares inscritos em esferas, procurando
mostrar que as proporções assim obtidas seriam as mesmas que aquelas entre os raios
das órbitas planetárias obtidas por Copérnico. Entretanto, a concordância não era das
melhores.
Figura 2: Modelo Planetônico-Pitagórico de Kepler
Para tentar salvar o seu modelo dos sólidos regulares, Kepler se perguntou então se o
centro das órbitas planetárias seria realmente o centro da órbita da Terra em torno do Sol,
este ocupando uma posição excêntrica, ou se o centro estaria no Sol. Foi para resolver
esta questão que ele resolveu tornar-se assistente de Brahe, a fim de obter dados mais
precisos sobre a órbita da Terra e dos demais planetas.
Tycho Brahe morreu depois de apenas um ano de colaboração, deixando a Kepler o
legado de suas observações e a incumbência de corrigir a teoria relativa à órbita de Marte.
Após quatro anos de árduo trabalho, Kepler conseguiu mostrar que, corrigindo a teoria
de Copérnico no sentido de dar ao Sol a posição central, obtinha-se melhor acordo com a
experiência.
Para a órbita de Marte, porém, persistia um desvio de 8 minutos de arco. Embora
muito pequenos, e compatı́vel com a precisão das observações utilizadas por Copérnico,
esse desvio estava em desacordo com a extraordinária precisão das observações de Tycho
Brahe. Kepler então decide construir sua teoria baseado na discrepância de 8 minutos de
arco. Para isto, resolveu abandonar qualquer idéia preconcebida - inclusive o programa
platônico de explicar tudo em termos de movimentos circulares uniformes - e redeterminar
a órbita de Marte. Depois de mais de dois anos de trabalho, o resultado foi uma órbita oval
em lugar de circular, com o Sol no eixo, mas não no centro. Após inúmeras tentativas de
identificação da curva, Kepler acabou descobrindo que a órbita de Marte era uma elipse,
com o Sol situado num dos focos - e que o mesmo valia para os demais planetas.
Em 1665, a peste bubônica que causou a morte de mais de 15% da população de
Londres, forçou o fechamento das universidades inglesas. Sir Isaac Newton (1643 − 1727)
que, em abril, recebera o tı́tulo de bacharel na Universidade de Cambridge, foi obrigado
a retornar para sua casa, uma fazenda em Lincolnshire, no interior da Inglaterra, onde
ficou até 1667.
Em 1672, Newton publicou seu primeiro trabalho sobre a decomposição espectral
da luz branca, sendo duramente criticado por R. Hooke (1638 − 1703), que defendia a
existência de apenas duas cores básicas: o azul e o vermelho.
Newton sustentava a existência de uma infinidade de cores, e que cada cor não era
modificada por refrações embora cada uma se refratasse com um ângulo diferente. Aparentemente esta controvérsia levou Newton a perder o interesse e a vontade de publicar
seus demais trabalhos.
O modelo heliocêntrico já era aceito na época de Newton. Pela primeira lei de Kepler,
sabia-se que as órbitas planetárias eram elı́pticas. Alguns cientistas desconfiavam que a
força gravitacional, que mantém um planeta em órbita, variava com o inverso do quadrado
da distância com relação ao Sol. Dentre estes cientistas, estavam E. Halley (1656 − 1742)
e Hooke.
Num dia de 1684, Halley foi visitar Newton e lhe perguntou, sem explicar seus motivos, ”qual seria a curva descrita por um planeta, se a força de atração (gravitacional)
variasse com o inverso do quadrado da distância com relação ao Sol? ” Newton respondeu rapidamente: ”uma elipse”.Halley perguntou: ”por que?”, e Newton retrucou: ”eu
calculei!”.
Durante a conversa com Newton, Halley quis ver a prova matemática de que planetas
descrevem órbitas elı́pticas. Newton prometeu que lhe enviaria os cálculos. E assim o
fez. Alguns meses depois, Newton mandou um artigo de 9 páginas para Halley, no qual
demonstrava as leis de Kepler. Halley o convenceu a escrever uma versão para ser apresentada na Royal Society for the Improventment of Natural Knowledgement, em Londres.
Desde o desentendimento com Hooke, Newton temia expor suas idéias em público. Por
isso, a fim de se prevenir contra eventuais crı́ticas, ele preferiu fazer um trabalho completo
sobre Mecânica. Assim, Newton acabou escrevendo o livro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (”Princı́pios Matemáticos da Filosofia Natural”) que apresentavam
contribuições cientı́ficas que incluı́am o cálculo diferencial, as leis do movimento planetário
e a maior formulação matemática conseguida até então: a lei da Gravitação Universal,
bem como a matemática necessária à sua demonstração. Tão impressionado ficou Halley
com a qualidade do livro que o fez imprimir às suas custas. Publicado em 1687, a primeira edição do Principia teve uma tiragem inicial de 400 exemplares tendo Halley como
revisor e editor. Logo, seu livro de 511 páginas, em três volumes, foi considerado a maior
contribuição à ciência feita por um só homem.
3
Equações cartesiana e polar da elipse
Podemos mostrar que uma cônica é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja
razão entre as distâncias a um ponto F e uma reta fixa d é igual a uma constante não
negativa e. O ponto fixo é denominado foco, a reta fixa de diretriz e a razão constante
de excentricidade da cônica. No caso da elipse também podemos defini-la como sendo
o lugar geométrico dos pontos P de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos
fixos F1 e F2 , do mesmo plano, é constante e igual a 2a > F1 F2 = 2c. A partir desta
definição deduzimos facilmente a equação cartesiana canônica da elipse. Se o sistema o
coordenadas cartesianas retangulares é tal que os focos estão sobre o eixo x e o eixo y
passa pelo ponto médio do segmento F1 F2 , então as coordenadas do foco são F1 (−c, 0) e
F2 (c, 0) e a equação cartesiana da elipse é
x2 y 2
+ 2 = 1,
b
a2
(1)
onde b2 = a2 − c2 , a > c. De fato, um ponto P (x, y) está na elipse se, e somente se,
(x + c)2 + y 2 ) + (x2 − c) + y 2 = 2a.
Racionalizando essa expressão podemos escrever:
(x + c)2 + y 2 = (x − c)2 + y 2 − 4a (x − c)2 + y 2 + 4a2
a (x − c)2 + y 2 = a2 − cx
a2 x2 − 2a2 cx + a2 c2 + a2 y 2 = a4 − 2a2 xc + c2 x2
2
a − c2 x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ).
Como a > c, fazendo a2 − c2 = b2 na igualdade acima e dividindo membro a membro
por a2 b2 , tem-se a equação reduzida da elipse com focos sobre o eixo x. Neste caso, a
excentricidade satisfaz e = ac < 1.
P
A1
F1
B2
O
F2
A2
d1
A1 A2 = 2a
F 1 F 2 = 2c
B1
Figura 3: Foco e diretriz da Elipse
Sabemos que o sistema cartesiano de coordenadas não é a única forma de se colocar
coordenadas em um plano. Assim deduziremos utilizando um sistema de coordenadas polares a equação polar da elipse, que terá grande importância para a formulação e dedução
das leis de Kepler.
Para determinar a posição de um ponto nesse sistema toma-se como referência um
ponto fixo O, denominado pólo, e sua semi-reta fixa Ox, denominada eixo polar.
As coordenadas polares de um ponto P são: o raio vetor, que é a distância OP = ρ
do pólo ao ponto P , e o ângulo θ formado pelo eixo polar com OP .
Dados dois números reais θ e ρ a este par de números corresponde um ponto P , que
fica univocamente determinado no plano polar e se representa por P (θ, ρ).
Adotando um sistema de coordenadas cartesianas retangulares xy com origem em
O e eixo dos x contendo o eixo polar obtemos relações entre as coordenadas polares e
cartesianas:
y 2 = ρ2
x2 +
x = ρ cos θ
⇐⇒
y = ρsenθ
ρ = ± x2 + y 2
Mediante apresentação do sistema de coordenadas polares, vamos nos ater ao mais importante: a dedução da equação polar de uma cônica.
Admitamos que o pólo coincida com o foco F e o eixo polar com o eixo focal da cônica
(eixo horizontal), ou seja, com a perpendicular de F à diretriz. A equação da cônica será
deduzida admitindo-se a diretriz vertical e à esquerda do pólo. Seja D a interseção do eixo
P
N
D
F=O
M
Figura 4: Equação polar da Elipse
focal com a diretriz e façamos DF = d. Se P (θ, ρ) é um ponto da cônica então F P = ρ
e, de acordo com a Figura (4), N P = DM = d + F M = d + ρ cos θ.
ρ
FP
= e.
=
d + ρ cos θ
NP
Desenvolvendo essa igualdade e isolando a variável ρ obtemos a equação polar de uma
cônica de excentricidade e
ed
.
(2)
ρ=
1 − e cos θ
Esta equação representa a elipse se e < 1. Ver [1].
4
Cálculo Vetorial: Produto interno, Produto Vetorial e Regras de derivação
Para acompanharmos uma partı́cula movendo-se no espaço traçamos um vetor r da
origem à partı́cula, e estudamos a variação em r. Se as coordenadas do vetor posição
são funções do tempo t,duas vezes diferenciáveis, então r e r também são e podemos
encontrar os vetores velocidade e aceleração da partı́cula em qualquer instante, derivando
r com relação a t. Inversamente, se conhecemos o vetor velocidade ou vetor aceleração
como uma função contı́nua do tempo e se temos informações suficientes sobre a velocidade
inicial e a posição da partı́cula, podemos encontrar r como uma função do tempo por
integração.
Além disso, o estudo dos produtos interno e vetorial dessas funções vetoriais fornece
interpretações geométricas importantes para dedução das leis de Kepler.
A seguir faremos um breve comentário sobre o produto interno, o produto vetorial e
sobre as regras de derivação de funções vetoriais e de produtos de funções vetoriais.
−
−
Dados os vetores →
u = (u1 , u2 , u3 ) e →
v = (v1 , v2 , v3 ) em R3 a igualdade
→
→
−
u ,−
v = u1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ,
define o produto interno canônico em R3 . Sendo um produto interno ele goza das seguintes
propriedades:
−
→
→
→
→
→
→
−
→
→
1. →
u +−
v ,−
w = −
u ,−
w + −
v ,−
w , ∀→
u ,−
v ,−
w ∈ R3 ;
→
→
→
→
→
→
−
→
2. α−
u ,−
v = −
u , α−
v = α −
u ,−
v , ∀→
u ,−
v ∈ R3 e α ∈ R;
−
→
→
→
−
→
3. →
u ,−
v = −
v ,−
u , ∀→
u ,−
v ∈ R3 ;
−
→
→
−
→
→
4. →
u ,−
u > 0, ∀−
u = 0 e →
u ,−
u = 0 ⇐⇒ −
u = ∅.
−
Associada a esse produto interno temos a norma euclidiana de um vetor →
u em R3 :
→
−
−
→
→
−
u = u , u = u21 + u22 + u23 .
Segue diretamente das propriedades do produto interno a seguinte relação:
2
2
2
→
→
→
→
→
→
u − 2 −
u ,−
v + −
v .
−
u −−
v = −
(3)
→
→
Agora, aplicando a lei dos cossenos ao triângulo determinado pelos vetores −
u e−
v obtemos
C
v
q
A
u-v
u
B
Figura 5: Lei dos cossenos
2
2
2
→
→
→
→
→
→
−
u −−
v = −
u + −
v − 2 −
u −
v cos θ,
(4)
−
−
onde θ é o ângulo entre os vetores →
u e →
v . Das igualdades (3) e (4) segue-se a forma
geométrica do produto interno:
→
→
→
→
−
u ,−
v = −
u −
v cos θ.
(5)
→
→
Dados os vetores −
u = (u1 , u2 , u3 ) e −
v = (v1 , v2 , v3 ) associamos a eles um terceiro
→
→
vetor, perpendicular a ambos os vetores e chamado produto vetorial dos vetores −
u e−
v,
dado por
−
→
→
u ×−
v = (u2 v3 − u3 v2 , −u1 v3 + u3 v1 , u1 v2 − u2 v1 )
→
−
→
−
→
−
= [u2 v3 − u3 v2 ] i + [−u1 v3 + u3 v1 ] j + [u1 v2 − u2 v1 ] k
→
→ −
−
→ −
onde, i , j , k são os vetores da base canônica de
usando o determinante:
−
−
→
→
i j
→
−
→
u ×−
v = u1 u2
v v
1
2
R3 . Esse produto pode ser calculado
→
−
k
(6)
u3 .
v3
Usando as propriedades do determinante concluı́mos que o produto vetorial possui as
propriedades:
−
→
→
→
→
→
→
−
→
→
1. (→
u +−
v)×−
w =−
u ×−
w +−
v ×−
w , ∀→
u ,−
v ,−
w ∈ R3 ;
→
→
→
→
→
→
−
→
2. (α−
u)×−
v = α (−
u ×−
v)=−
u × (α−
v ) , ∀→
u ,−
v ∈ R3 e α ∈ R;
−
→
→
→
−
→
3. →
u ×−
v = −−
v ×−
u , ∀→
u ,−
v ∈ R3 ;
−
→
→
→
−
−
4. →
u ×−
v = ∅ ⇐⇒ −
u ×−
v = 0 se, e somente se, →
u e →
v forem linearmente
→
−
dependentes. Isto é, existe λ com u = λv.
Além disso, um cálculo direto (usando as coordenadas dos vetores) fornece a chamada
identidade de Lagrange
−
→
→
→
→
u ,−
z −
u ,−
w →
−
→
−
→
−
→
−
u × v , z × w = −
.
(7)
→
→
→
→
v ,−
z −
v ,−
w →
→
→
→
→
→
v são vetores linearmente independentes, então {−
u ,−
v ,−
u ×−
v}
Proposição 4.1 Se −
u e−
→
−
→
−
→
−
→
−
3
é uma base ordenada de R , onde u × v é perpendicular a ambos os vetores u e v .
→
→
Além disso, −
u ×−
v é numericamente igual à área do paralelogramo determinado pelos
→
−
→
−
vetores u e v .
→
→
Demonstração: A igualdade (6) mostra que o vetor −
u ×−
v é perpendicular a ambos
→
−
→
−
→
−
−
→
→
→
os vetores linearmente independentes u e v . Assim, { u , v , −
u ×−
v } é um conjunto
3
linearmente independente e, portanto, uma base de R . Da identidade do paralelogramo
(7) obtemos
−
→
→
→
→
u ,−
u −
u ,−
v →
−
→
−
−
→
→
−
→
−
2
u × z = u × v , u × v = −
→
→
→
→
v ,−
u −
v ,−
v →
→
→
→
v 2 − [−
u ,−
v ]2 =
= −
u 2 −
→
→
→
→
= −
u 2 −
v 2 − [−
u 2 −
v 2 cos2 θ] =
→
→
= −
u 2 · −
v 2 · sen 2 θ,
−
−
onde θ (0 ≤ θ ≤ π) é o ângulos entre os vetores →
u e→
v . Portanto,
→
→
→
→
−
u ×−
v = −
u −
v senθ.
(8)
→
→
Dessa expressão e da forma para área do paralelogramo concluı́mos que −
u ×−
v é nu→
−
→
−
mericamente igual à área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v .
→
Sejam −
u = (u1 , u2 , u3 ) uma função vetorial com funções coordenadas deriváveis ui (t),
→
t ∈ I ⊆ R, −
v = (v1 , v2 , v3 ) uma função vetorial com funções coordenadas deriváveis vi (t),
t ∈ I ⊆ R, C um vetor constante e f qualquer função escalar derivável em I. Usando
as regras de derivação de produtos de funções escalares e as definições acima obtemos as
seguintes regras de derivação:
1. Regra da soma e diferença:
→
→
d[−
v (t) ± −
u (t)] −
→
=→
v (t) ± −
u (t)
dt
2. Regra do produto por um escalar:
→
d[f (t) −
u (t)]
→
→
u (t) + f (t) −
u (t) .
= f (t) −
dt
Em particular, se f ≡ C temos
d(Cu(t))
dt
= Cu (t) .
3. Regra do produto interno:
→
→
d[−
u (t) , −
v (t)]
→
→
→
→
= −
u (t) , −
v (t) + −
u (t) , −
v (t) .
dt
4. Regra do produto vetorial:
→
→
d[−
u (t) × −
v (t)] −
→
→
→
=→
u (t) × −
v (t) + −
u (t) × −
v (t) .
dt
−
5. Derivada da norma de uma função vetorial →
u (t) = ∅:
→
−
→
u (t)
→
u (t) , −
d (−
u (t))
.
=
→
−
dt
u (t)
5
Leis de Kepler para o movimento planetário e a lei
da gravitação universal
O formato elı́ptico das órbitas planetárias foi descoberto por Johannes Kepler (1546−
1630), através da análise cuidadosa das observações de Tycho Brahe (1546 − 1601). É
difı́cil apreciar inteiramente a magnitude da realização de Kepler. Ele não somente teve
que calcular as órbitas planetárias valendo-se dos dados coletados por Brahe, mas teve
que corrigir o fato de que as observações de Brahe foram feitas sobre uma plataforma
movente (a Terra) que também viajava sobre uma trajetória desconhecida. E ele fez todo
o seu trabalho em uma época em que a maioria dos astrônomos acreditava que a Terra
estava fixa no centro do universo, com todos os outros corpos descrevendo complexos
movimentos ao redor dela.
As Leis de Kepler
Lei das órbitas elı́pticas O planeta Terra viaja em uma órbita elı́ptica com um foco
no centro de massa do sistema formado pelo planeta e pelo Sol.
Lei das áreas O raio vetor do Sol até o planeta varre áreas iguais em tempos iguais.
Figura 6: Lei das áreas
Lei harmônica O cubo do perı́odo da órbita (que é o cubo da duração de um ano
planetário) é proporcional ao quadrado do comprimento do eixo maior da órbita
elı́ptica. Ou simplesmente, o perı́odo T e o semi-eixo principal a da órbita estão
relacionados pela equação:
(9)
T 2 = Ca3 ,
onde C é uma constante.
Mais geralmente, algum objeto que órbita o Sol viaja em uma órbita que tem o formato
de uma seção cônica com um foco próximo do Sol. Objetos que seguem órbitas fechadas
viajam em elipses; objetos que viajam rápido o bastante para escapar da órbita solar
viajam sob hipérboles e parábolas.
PLANET
A
SOL
e>1
e=1
e<1
Figura 7: Órbitas dos Copos Celestes
O movimento dos astros do sistema solar estão baseados nas leis de Newton, cujas
raı́zes encontram-se nos trabalhos de Galileu. As leis de movimento elaboradas por Newton sustentaram a aceitação das idéias de Galileu:
Leis de Newton para o movimento.
Princı́pio da inércia O centro de massa de um corpo permanece no seu estado de repouso ou de movimento retilı́neo e uniforme, a menos que forças externas atuem
sobre ele.
Princı́pio da dinâmica A força sobre um corpo é igual ao produto entre a massa do
corpo e sua aceleração.
→
−
→
F = m−
a.
(10)
Princı́pio da ação e reação A toda ação corresponde uma reação de magnitude igual
e sentido oposto. Assim quando dois corpos exercem forças sobre si mutuamente,
as forças são sempre iguais em magnitude, mas com direções opostas.
Com base nestas leis, Newton conseguiu substituir a formulação geométrica das leis de
Kepler para o movimento planetário pela formulação fı́sica de sua famosa lei da Gravitação
Universal do movimento.Com o trabalho de Kepler passou-se a saber como os planetas se
movimentavam ao redor do Sol. Mas ainda restava uma pergunta básica: por quê? Foi
só com a Teoria da Gravitação Universal que isso foi respondido. A teoria da gravitação
mostra que os corpos se atraem mutuamente, isto é, um corpo cria em torno de si um
campo gravitacional que é sentido por todos os outros corpos. Esse campo gravitacional
é mais intenso quanto maior a massa do corpo, sendo proporcionalmente ao quadrado da
distância. Essa é a razão porque a Terra está ligada ao Sol.
→
Lei da Gravitação Universal de Newton Se −
u é o raio vetor do centro de um ”Sol”de
→
−
massa M até o centro de um planeta de massa m, então a força F da atração gravitacional com que o planeta é atraı́do pelo sol é:
−
−
→
u
GmM →
.
F =− −
→
2 −
→
u u
(11)
Aqui G é a constante chamada de constante de gravitação universal e vale 6.67259 ×
10−11 m3 kg−1 s−2 no sistema MKS de unidades.
Essa lei é considerada universal porque explica o movimento de um planeta em torno
do Sol, da Lua em torno da Terra ou a queda de uma maçã.
Implı́cito nas leis de Newton, está o fato de que o movimento de um corpo é medido
em um sistema de coordenadas desacelerado ou ”inercial ”, com eixos x, y e z. O corpo
pode se mover através do espaço, mas sua aceleração é nula.
Uma das observações fundamentais da fı́sica Newtoniana é o fato de que as propriedades fı́sicas dos objetos são as mesmas quando são medidas em um sistema de coordenadas
inercial.
5.1
Confirmação das leis de Kepler
Nesta seção, mostraremos a ordem histórica inversa dos eventos e derivaremos as leis
de Kepler das leis de Newton. Faremos depois um desenvolvimento obedecendo a ordem
histórica dos eventos, derivando a lei da Gravitação Universal através das leis de Kepler
e das leis do movimento de Newton.
Considere um sistema isolado com duas massas, m e M , viajando livremente pelo
espaço, não afetadas por força alguma, exceto por suas forças gravitacionais e denotemos
por:
→
−
r : o raio vetor da origem (O) ao centro da massa m.
→
−
f : o campo de força gravitacional que M exerce sobre m.
→
−
R : o raio do vetor da origem ao centro da massa M .
→
−
F : o campo de força gravitacional
que
m exerce
sobre
M.
−
→
→
→
−
−
→
−
E sejam r = r , f = f , R = R e F = F as magnitudes desses vetores.
O centro de massa de um corpo corresponde ao centro geométrico de sua distribuição
de massa. É o ponto onde toda a massa do corpo pode ser concentrada para efeito
cinemático. O conceito de centro de massa pode ser aplicado para qualquer distribuição
de matéria, inclusive para dois corpos. Sua localização depende das caracterı́sticas da
distribuição de massa (forma geométrica e densidade de matéria). Com a notação acima
o centro de massa de um sistema de dois corpos m e M é dado pela igualdade
−−→
→
−
→
CM = m−
r + M R.
(12)
Além disso, a segunda lei de Newton fornece:
−
→
−
→
→
−
→
f = m−
r (t) e F = M R (t) ,
(13)
onde, pela terceira lei de Newton, tem-se a igualdade
→
−
→
−
→
−
−
→
→
F = − f ⇐⇒ m−
r (t) + M R (t) = ∅ .
(14)
Assim, concluı́mos que o centro de massa não é acelerado. Por isso, para simplificarmos
nossos cálculos, iremos adotar um sistema de coordenadas adequado em que a origem é
localizada no centro de massa.
Nestas novas coordenadas vale a igualdade
→
−
→
−
→
m−
r (t) + M R (t) = ∅
(15)
−
→
m
m→
r.
r (t) =⇒ R =
R (t) = − −
M
M
(16)
que fornece as equações:
Agora, a força gravitacional entre dois corpos é sempre atrativa na direção que une seus
centros de massa. A força gravitacional exercida pelo primeiro sobre o segundo é igual,
em magnitude e direção, àquela exercida pelo segundo sobre o primeiro, porém atuam em
sentidos opostos (princı́pio da ação e reação). A intensidade da força gravitacional é dada
pela lei da gravitação universal. Assim, das igualdades (11) e (16) temos:
f =F =
1 GmM
GmM
GmM
=
=
m 2,
m
)
r2 (1 + M
(r + M r)2
(r + R)2
(17)
→
−
onde a força gravitacional f agindo sobre o planeta m aponta para a direção M e,
−
portanto, na direção oposta de →
r.
A dedução da primeira lei de Kepler usa a segunda lei. Assim, estabeleceremos e
provaremos primeiro a segunda lei. Para deduzir a segunda lei de Kepler, consideremos a
→
área varrida pelo vetor −
r (t) em função de t, com intervalo Δt infinitesimalmente pequeno.
→
A área infinitesimal ΔA (t) varrida por −
r (t) durante o intervalo de tempo é aproxi→
→
→
→
madamente igual à área do triângulo de lados −
r (t) e Δ−
r (t) = −
r (t + t) − −
r (t), ou
→
−
→
seja, igual à metade da área do paralelogramo cujos lados adjacentes são r (t)e Δ−
r (t).
Da Proposição 4.1, obtemos:
ΔA ∼
=
1 −
→
→
r (t) × Δ−
r (t) .
2
(18)
→
→
Por outro lado, se Δt é muito pequeno, da definição de limite, temos: −
r (t) ∼
r (t) Δt,
=−
→
→
r (t) × −
r (t) Δt, com a igualdade
que substituindo na expressão (18) fornece ΔA ∼
= 12 −
no limite com Δt → 0.
→
Assim, a área A (t) varrida pelo vetor −
r (t) modifica a razão:
1 →
ΔA
dA
→
r (t) × −
r (t) .
= −
= lim
Δt→0
2
Δt
dt
(19)
é constante. Para provar isso, usamos as proprieA segunda lei de Kepler afirma que dA
dt
dades do produto vetorial e a derivada do produto vetorial para obter:
→
→
d(−
r (t) × −
r (t)) −
→
→
→
r (t) + −
r (t) × −
r (t)
=→
r (t) × −
dt
→
−
f
→
−
→
−
→
−
= r (t) × r (t) = r (t) × ,
m
onde na última igualdade usamos (13).
→
−
→
→
→
Temos que f tem mesma direção e sentido oposto ao de −
r e, desde que −
r (t)×−
r (t) =
→
−
∅ , segue-se que:
→
→
d(−
r (t) × −
r (t))
= ∅.
(20)
dt
→
→
→
→
r (t) × −
r (t)
Portanto, −
r (t)×−
r (t) é um vetor constante e, conseqüentemente, dA = 1 −
dt
2
é constante. O que demonstra a segunda lei de Kepler.
Para provar a primeira lei vamos precisar de várias informações. Começamos observando que o centro de massa de m está no plano que passa pela origem e é perpendicular
ao vetor (ver Figura (8))
→ −
−
→
(21)
N =→
r (t) × −
r (t) .
→
−
Desde que N seja constante, o plano não se modifica com o tempo, e portanto, o plano
contém a órbita de m. Podemos adotar um sistema de coordenadas de modo que o plano
→
→ −
−
→ −
→ −
−
→
que contém a órbita de m seja o plano x,y. Sejam i , j e k = i × j os vetores
diretores desse sistema cartesiano. O vetor r (t) é da forma
→
−
→
−
→
−
r (t) = r (t) cos θ (t) i + senθ (t) j ,
(22)
−
onde θ = θ (t) é o ângulo entre o vetor →
r e o eixo x no instante t.
Z
SOL
q
r
PLANETA
x
Y
Figura 8: Lei das órbitas
No que se segue, omitiremos o parâmetro t nas derivadas que estaremos calculando.
Usando as regras de derivação e a regra da cadeia temos:
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
r (t) = r cos θ i + senθ j + rθ −senθ i + cos θ j
→
−
→
−
(23)
= [r (t) cos θ − r (t) θ senθ] i + [r (t) senθ + r (t) θ cos θ] j .
→
−
→
−
→
−
→
−
2
→
−
cos θ i + senθ j + (2r θ + rθ ) −senθ i + cos θ j . (24)
r (t) = r − r (θ )
Substituindo as equações (22) e (23) na equação (21) obtemos:
→
−
N = r (t) (cos θi + senθj̃ )] × [r (t) cos θ − r (t) θ senθ] i
→
−
+ [r (t) senθ + r (t) θ cos θ] j
−
→ −
→
N = ∅ + r (t) cos θ [(r (t) senθ + r (t) θ cos θ)] i × j
−
→ −
→
+ r (t) senθ [(r (t) cos θ − r (t) θ senθ)] j × i
N = (r (t) cos θ) (r (t) senθ + r (t) θ cos θ) k
+ (r (t) senθ) (r (t) cos θ − r (t) θ senθ) (−k)
2
2
N = r (t) r (t) senθ cos θ + r (t) θ cos θ k
+ r (t) r (t) senθ cos θ − r 2 (t) θ sen 2 θ (−k) .
Fazendo todas as simplificações, temos:
N = r2 (t) θ cos2 θ + sen 2 θ k = r2 (t) θ k.
(25)
O que tomando a norma nos dá a igualdade:
−
→
→
→
2
2
−
−
a = N = r (t) θ k = r (t) θ k .
Em particular, a = r2 θ é constante e vale
θ (t) =
a
> 0.
r2 (t)
(26)
Diferenciando ambos os membros da igualdade a = r2 θ obtemos após simplificação
2r (t) θ (t) = −r (t) θ (t) .
(27)
A igualdade (27), junto com a equação (24), fornece:
→
−
r (t)
2
2
−
→
,
r = r − r (θ ) (cos θi + senθj̃ ) = r − r (θ )
→
−
r (t)
(28)
onde r −r (θ )2 < 0. Substituindo a expressão (28) na segunda lei de Newton e combinando
com a equação (17) temos:
1 GmM
2
.
(29)
=
−f
=
m
r
−
r
(θ
)
− 2
m 2
)
r (1 + M
Para resolver esta equação usamos a regra da cadeia e a igualdade (26) para substituir
derivadas em função de t por funções de θ. Então:
d dr a
d dr dθ
d dr
d2 r
=
=
=
dt dθ r2
dt dθ dt
dt dt
dt2
dr d a d dr a
+
=
dt dθ r2 dθ dt r2
dr −2a dr
dθ d dr a
+
=
r3 dθ
dt dθ dθ r2 dθ
2
dr −2a dr dθ
d2 r a2
.
+
= 2
r3 dθ dt
dθ
r2
dθ
Assim,
d2 r
r = 2
dθ
a2
r4
−2
dr
dθ
2
a2
.
r5
(30)
Logo, das equação (29), (30) e (26) temos:
2 2
2
2
2
a
a
dr
a
r
d
1 GM m
2
− 3 .
−2
=m
− 2
m 2 = m r − r (θ )
r
r5
dθ
dθ2 r4
)
r (1 + M
2
Portanto, multiplicando ambos os membros dessa igualdade por rma(t)2 , obtemos a seguinte
equação diferencial de segunda ordem em r = r (θ (t)), governando a órbita de m :
2 2
1 GM
r2
a2
a
dr
r2 d2 r a2
,
− 3 = 2 − 2
−2
m 2
)
r (1 + M
a
r
r5
dθ
a2 dθ2 r4
ou seja,
2
1 d2 r
− 2 2+ 3
r
r dθ
dr
dθ
2
+
GM
1
= 2
m 2.
)
a (1 + M
r
Tal equação pode ainda ser reescrita da seguinte forma:
GM
1
d2 1
+ = 2
m 2.
2
)
a (1 + M
r
r
dθ
(31)
(32)
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem em 1r = 1r (θ), com coeficientes
constantes e equação caracterı́stica x2 + 1 = 0. Sua solução geral é da forma:
GM
1
= 2
m 2 + a cos(θ) + bsen(θ).
)
a (1 + M
r
E tomando B 2 = a2 + b2 temos que existe θ0 ∈ 0, π2 tal que a = Bsen(θ) e b = B cos(θ).
GM
Donde concluı́mos que 1r = a2 (1+
m 2 + B cos(θ − θ0 ), onde B e θ0 = θ0 (B) são constantes.
)
M
Logo, a solução pode ser escrita na forma:
p
1 − e cos (θ − θ0 )
1
,
⇐⇒ r =
=
1 − e cos (θ − θ0 )
p
r
(33)
onde p e e são as constantes
m 2
a2 1 + M
p=
GM
e = pB.
(34a)
(34b)
Comparando a equação (33) com a fórmula em coordenadas polares (ver equação 2):
ρ=
de
,
1 − e cos θ
que representa uma cônica com foco na origem, parâmetro p = de, excentricidade e e
diretriz r : x ≡ −d paralela ao eixo y, concluı́mos que a equação (33) também descreve
uma cônica no plano (x, y) com o foco na origem. Nela, a constante adicional θ0 indica
que a diretriz da cônica está rotacionada por um ângulo θ0 relativo ao eixo y. Assim
provamos a primeira lei de Kepler.
Finalmente provaremos a terceira lei de Kepler.
Se escrevermos t em função de θ, então, como θ percorre o intervalo a para b, sua
mudança será assim definida:
b
dt
dθ.
(35)
Δt =
a dθ
2
dt
= ra , então, o tempo para fazer uma revolução comUsando a equação (27) obtemos dθ
pleta, isto é, o perı́odo T da órbita é:
2π 2
1 2π 2
r
r dθ,
(36)
dθ =
T =
a 0
a
0
caso a órbita seja fechada. Pela fórmula em coordenadas polares, a área A limitada pela
órbita é:
1 2π 2
r dθ,
A=
2 0
então o perı́odo de órbita é:
2
(37)
T = A.
a
Por outro lado, sabemos que a área dentro da elipse é: A = π4 L1 L2 , onde L1 é o comprimento do eixo maior e L2 é o comprimento do eixo menor. Os comprimentos do maior
e menor eixos da elipse com excentricidade e e parâmetro p são facilmente obtidos da
fórmula ρ = 1−epcos θ , com p = de, usando o fato de que os pontos finais do eixo maior
ocorrem quando θ é igual a 0 ou π, e o pontos finais do eixo menor ocorrem quando
psenθ
assume um valor máximo ou mı́nimo, o que corresponde a
y (θ) = ρ (θ) senθ = 1 −e
cos θ
cos θ0 = e . Logo, temos:
2p
p
p
=
+
1 − e2
1 − e 1 +√e
2p
2p 1 − e2
2psenθ0
.
=√
=
L2 = 2y (θ0 ) =
2
1−e
1 − e cos θ0
1 − e2
L1 = ρ (0) + ρ (π) =
(38)
(39)
Então, a área A no interior da órbita elı́ptica é:
A=π
p2
(1 − e2 )
3
2
= πp2
L1
2p
32
3
1
3
= 2− 2 πp 2 L12 .
Portanto, usando as equações (34a), (34b) e (37) concluı́mos que o perı́odo T da órbita é:
m
p 12 3
1
+
3
2
− 12
M
L2 .
T = A = 2 π 2 L12 = π √
a
a
2GM
O que fornece a igualdade:
3
m 1+ M
L1
,
T = 8π √
2
2GM
2
provando a terceira lei de Kepler.
5.2
As leis de Kepler confirmam a lei da Gravitação Universal
de Newton!
Os vários resultados experimentais de Galileu sobre os movimentos dos corpos ajudaram Newton a compor a base de seu trabalho. Newton mostrou como obter modelos
matemáticos para descrever processos fı́sicos, que são, em essência, conseqüências de um
conjunto de leis. Ele admitia não conhecer a natureza da gravidade, entretanto, foi capaz de deduzir a lei que rege o comportamento dos corpos sob sua ação. E, com base
nesta lei, explicou a órbita dos cometas, que podem ser elipses, parábolas ou hipérboles
(dependendo da velocidade do cometa), com o Sol num foco.
A seguir, obedecendo a ordem histórica dos eventos, derivaremos a lei da Gravitação
Universal através das leis de Kepler e das leis do movimento de Newton. Isso foi feito
originalmente por Newton, num trabalho completo sobre Mecânica que apareceu no livro
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (”Princı́pios Matemáticos da Filosofia
Natural”).
Em toda seção usaremos as notações da seção anterior. Retornemos ao sistema isolado
com duas massas: m e M , viajando livremente pelo espaço, não afetadas por força alguma,
exceto por suas gravidades. A lei das órbitas de Kepler (primeira lei) diz que a órbita C
(traço de uma função vetorial r (t)) é uma cônica estando, portanto, contida num plano
fixo Π passando pela origem (foco da cônica). Logo, o produto vetorial r (t) × r (t) é um
vetor perpendicular a Π e, sendo uma cônica uma curva ”convexa”, o ângulo β entre r (t)
e r (t) satisfaz:
π
(40)
0≤β< .
2
Pela lei das áreas de Kepler (segunda lei) temos que a variação da área varrida pelo vetor
→
−
é constante. Assim, de (19) concluı́mos r (t) × r (t) é um vetor
r (t), em função de t, dA
dt
constante N0 = r (t) × r (t). Derivando ambos os membros dessa igualdade obtemos:
→
→
d(−
r (t) × −
r (t)) −
→
→
→
r (t) + −
r (t) × −
r (t)
=→
r (t) × −
dt
→
→
=−
r (t) × −
r (t) = 0.
(41)
−
→
f
,
m
→
que
Do princı́pio da dinâmica do movimento de Newton (segunda lei) temos −
r (t) =
junto com (41) nos dá:
→
−
f (t)
→
−
→
−
→
−
.
0 = r (t) × r (t) = r (t) ×
m
→
−
→
Ou seja, −
r (t) e f (t) são linearmente dependentes. Usando (40) podemos afirmar que
→
−
→
f (t) aponta na direção oposta da direção do vetor −
r (t) e, portanto, diretamente para
a massa M . Das igualdades (28) e (29) obtemos:
−
→
→
−
r (t)
2
,
f (t) = r − r (θ )
→
−
r (t)
2
f = −m r − r (θ ) ,
(42)
(43)
onde, ( ) denota a derivada com relação ao tempo t. Além disso, a constante a = N0 satisfaz a igualdade (ver equação (26)):
a
(44)
θ (t) = 2 .
r (t)
Agora, da lei das órbitas de Kepler (primeira lei) temos que as órbitas são cônicas de
equação polar
r−p
p
,
(45)
⇐⇒ e cos θ =
r = r (t) =
r
1 − e cos θ (t)
para alguma constante p = de, onde a constante e é sua excentricidade. Derivando (45),
usando a regra da cadeia e a equação (44) obtemos:
−ae
−r2 esenθ a
−epsenθ
senθ.
=
θ
=
r =
2
2
p
r
p
(1 − e cos θ)
Derivando novamente e usando (45) temos:
a2 r
ar−p a
−ae
−1 .
=− 3
cos θθ = −
r =
r p
p r r2
p
Logo, de (44) podemos escrever:
a2 1
a2 r
.
−1+1 =−
r − r [θ ] = − 3
p r2
r p
2
Dessa equação e das igualdades (43) e (42) concluı́mos a veracidade da lei da gravitação
universal de Newton.
Referências
[1] Gonçalves, Z. M ., Geometria Analı́tica: Um Tratamento Vetorial Volumes 1 e 2,
Livros Técnicos e Cientı́ficos, Rio de Janeiro, 1.978.
[2] Jennings, G. A., Modern Geometry with applications, Springer-Verlag, New York.
[3] Monteiro, L. H. A., Sistemas Dinâmicos, Editora Livraria da Fı́sica, São Paulo, 2002.
[4] Tenenblat, K., Introdução à Geometria Diferencial, Editora da Unb, Brası́lia 1990.
Modelagem de Problemas de Matemática Financeira e
suas Resoluções Utilizando Técnicas Matemáticas e
Computacionais
Leone Alves Leite1
César Guilherme de Almeida2
FAMAT - Faculdade de Matemática
UFU - Universidade Federal de Uberlândia – MG
Setembro de 2005
Resumo
Modelos matemáticos relacionados à área de finanças foram construídos a partir de
teorias matemáticas simples, envolvendo basicamente somas de progressões geométricas.
Como alguns problemas modelados necessitaram de uma abordagem numérica para
serem resolvidos, foi preciso fazer uma pequena introdução ao estudo de métodos
numéricos aplicados a equações não lineares do tipo f(x) = 0: métodos da Bissecção e de
Newton-Raphson.
Os códigos computacionais e os gráficos exibidos neste trabalho foram implementados
utilizando-se o software Octave3.
Palavras Chave: Matemática Financeira, Métodos Numéricos, Ensino de Matemática,
Modelagem Matemática.
1. INTRODUÇÃO
Algumas pessoas tentam ignorar o mundo financeiro, por acharem que se trata de um
universo à parte e bem diferente daquele cotidiano no qual estão inseridas. Mas, não tem
como ignorá-lo ao se deparar, por exemplo, com as famigeradas compras a prazo e suas taxas
de juros, não raro, crudelíssimas.
Este universo também se faz presente em outras situações corriqueiras, que envolvem
tomadas de decisões; tais como: na hora de assinar o contrato com uma escola particular,
saber fazer a opção pela proposta mais adequada – uma de pagamento à vista e a outra de
pagamento de mensalidades (12 ou 13, dependendo da escola) – e, quando for realizar aquele
curso superior – há muito cobiçado – saber decidir qual é a melhor opção entre diferentes
planos de empréstimo estudantil. Em ambos os casos, uma análise cuidadosa da situação
deverá ser realizada antes da tomada de decisão. Nesta análise, não pode faltar o cálculo da
taxa de juros praticada nas diferentes formas de pagamento.
Não tendo como ignorar o mundo das finanças, então, o melhor é tentar compreendê-lo.
Esta tarefa não é impossível, já que as idéias que estão por trás da teoria envolvida em
Matemática Financeira são simples e podem ser formalizadas matematicamente, sem muitas
dificuldades. Para isto, basta utilizar um embasamento mínimo de matemática elementar,
acrescido de informações extras – que devem ser facilmente justificáveis. Desta forma, os
fundamentos da Matemática Financeira podem ser apresentados a um grande número de
pessoas, mesmo àquelas que pensam não estar suficientemente preparadas para o
entendimento do mundo financeiro.
1
Orientanda do VII Curso de Especialização em Matemática da Universidade Federal de Uberlândia – MG.
Professor orientador.
3
Software livre que pode ser encontrado em www.sourceforge.net/projects/octave
2
2. JUSTIFICATIVA
A importância da Matemática Financeira na vida das pessoas e das empresas é
indiscutível. Embora pareça estar ligada somente à área de finanças ou tesouraria, sabe-se que
ela é vital nas decisões que norteiam as políticas de investimento e de compras e vendas,
atingindo, portanto, todos os segmentos de qualquer empresa.
De uma forma simplificada, levando-se em conta o valor monetário ao longo do tempo,
pode-se dizer que a Matemática Financeira é o ramo da Matemática Aplicada que estuda a
variação do valor de uma moeda corrente, com o objetivo de quantificar as transações que
ocorrem no universo financeiro. As principais variáveis envolvidas no processo de
quantificação financeira são: a taxa de juros, o capital e o tempo.
A idéia de desenvolver um trabalho relacionado a este tema surgiu logo depois que
comecei a trabalhar em uma instituição financeira. Na verdade, foi a partir daí que comecei a
vivenciar alguns dos problemas aqui propostos. Então resolvi aproveitar a oportunidade para
conhecer mais e melhor este ramo da matemática que é tão presente na vida de todos.
3. OBJETIVOS
O objetivo principal deste trabalho é a construção de modelos matemáticos relacionados
à área de finanças, utilizando-se teorias matemáticas simples – envolvendo basicamente
somas de progressões geométricas. Com a divulgação destes modelos, espera-se que haja um
aumento no número de pessoas interessadas em compreender a matemática financeira
utilizada no cotidiano.
É importante mencionar que muitos problemas simples, que aparecem com freqüência
no dia-a-dia dos cidadãos e que seriam ótimos problemas motivadores, deixam de ser
apresentados aos alunos do ensino fundamental e médio. Isto ocorre devido ao fato de eles
exigirem uma técnica diferente daquela usual, onde toda equação proveniente de um problema
formulado pelo professor, ou exibido em um livro didático, possui uma solução que é obtida
após um número finito de operações algébricas. Parece que é proibido falar para os alunos que
existem outros caminhos para se resolver problemas e que a Matemática, mesmo sendo uma
ciência exata, às vezes, é incapaz, utilizando apenas teorias clássicas, de apresentar soluções
analíticas para todos os problemas. Mesmo problemas aparentemente simples, como a
obtenção da raiz de um polinômio, exigem que a teoria clássica seja acrescida de técnicas de
análise numérica.
Com a abordagem numérica de certos problemas, o que se quer evitar é a ocorrência da
seguinte situação, não rara, na prática escolar: o aluno estuda intensamente a teoria sobre
polinômios e aprende técnicas de resolução de equações polinomiais; sabe utilizar o algoritmo
de Briot-Ruffini e as relações de Girard; porém, fica frustrado diante da incapacidade de
aplicar estas técnicas à equação do tipo f(x) = Kxn+1 – (K + 1)xn + 1 = 0, proveniente de um
problema real, que calcula a taxa de juros de um financiamento, pago em n parcelas.
Com base nos argumentos anteriores, outro objetivo deste trabalho é incentivar o uso de
recursos computacionais e técnicas de aproximações numéricas, quando não existir a
possibilidade de obtenção de soluções analíticas dos problemas propostos. Portanto, alguns
dos problemas modelados necessitarão de uma abordagem numérica em suas resoluções e,
oportunamente, serão exibidos os códigos computacionais, implementados com o auxílio do
software Octave, desenvolvidos especificamente para estes problemas. Por este motivo será
apresentada, em uma das seções posteriores, uma pequena introdução ao estudo de métodos
numéricos aplicados a equações não lineares do tipo f(x) = 0: métodos da Bissecção e de
Newton-Raphson.
4. UM PROBLEMA MOTIVADOR
Esta seção exibirá um problema motivador, com o intuito de apresentar aos leitores as
idéias matemáticas que serão utilizadas nas resoluções dos problemas propostos neste
trabalho. Espera-se que os leitores fiquem instigados a seguirem adiante e descobrirem, nas
próximas seções, a aplicabilidade da matemática em problemas corriqueiros.
Para mais informações a respeito dos procedimentos numéricos utilizados nesta seção
consulte Barroso, et alli (1987).
4.1 Apresentação do problema
Uma loja de eletrodomésticos oferece dois planos de financiamento para um produto
cujo preço à vista é R$ 1.300,00 (quem sabe, aquela geladeira duplex ou, talvez, aquela TV de
tela plana e cristal líquido).
•
•
Plano A: entrada de R$ 200,00 + 7 prestações mensais de R$ 250,00.
Plano B: entrada de R$ 200,00 + 10 prestações mensais de R$ 195,00.
Qual dos dois planos é melhor para o consumidor?
4.2 Modelo matemático
Para escolher o melhor plano, deve-se saber qual financiamento apresentará a menor
taxa de juros. Então, a primeira coisa a fazer é relacionar, em uma mesma equação, o preço à
vista (PAV) do produto; a entrada (E) oferecida pelo cliente, ou estabelecida pela loja; o valor
financiado (VF), que é o preço à vista menos a entrada (VF = PAV - E); a taxa mensal de
juros (j) do financiamento; o valor da prestação mensal (PM) e o número de prestações (n)
utilizadas para o pagamento do financiamento.
A equação que relaciona todas estas variáveis é a seguinte:
[1 - (1 + j)-n] / j = VF/PM.
(4.1)
Constantemente, recorrem a esta fórmula, aqueles vendedores que ficam fazendo contas
mirabolantes na calculadora antes de anunciar um novo plano, na medida do orçamento do
freguês, com prestações mínimas (uns brincam, dizendo que comprar à vista é o ideal, mas,
não tendo jeito, o melhor é comprar “a perder de vista”) e pagam sem sofrimento – pelo
menos, segundo os vendedores, que dominam a arte da psicologia e da filosofia, ao modo
deles, permitindo que conheçam, como poucos, o comportamento humano, o que garante a
eles a comissão no final do mês –.
Para se deduzir a equação (4.1), é preciso que se entenda, inicialmente, uma regra
fundamental da Matemática Financeira. Observe que o valor resgatado ao final de uma
aplicação envolvendo um capital c, a uma taxa de juro mensal j (j %), por um período de n
meses, será igual a c(1+j)n – que é a famosa regra de juros sobre juros –. De fato, se n = 1,
então, após um mês, a aplicação renderá j% sobre o capital inicial (que, neste caso, não tem
nada a ver com Pop-Rock!). Assim, o capital passará de c para c + cj = c(1+j). Se n = 2,
então, no primeiro mês após a aplicação, o novo capital será igual a c(1+j), conforme já foi
mostrado. Utilizando-se o mesmo raciocínio anterior, nota-se que, no segundo mês, ocorrerá
um rendimento de j% sobre o capital do mês anterior, que era de c(1+j); logo, o capital
passará de c(1+j) para c(1+j) + c(1+j)j = c(1+j)(1+j) = c(1+j)2. Agora ficou fácil!
Continuando este procedimento, suponha que, depois de m-1 meses, o capital seja c(1+j)m-1,
então, pode-se concluir que, após m meses de aplicação, o capital final será igual a c(1+j)m,
com efeito
c(1+j)m-1 + [c(1+j)m-1]j = c(1+j)m-1(1+j) = c(1+j)m.
Este tipo de demonstração é denominado demonstração por indução finita. Observe que
foi mostrada a validade da afirmação para n = 1; depois, mostrou-se que a afirmação também
era válida para n = m, utilizando a hipótese (de indução) de que a afirmação era válida para
n = m - 1. Como m é arbitrário, então a afirmação é verdadeira para todos os números
naturais, ou seja, ∀ n∈ N.
Agora falta pouco para se deduzir (4.1). Porém, antes de ir adiante, um aviso. Cuidado
ao se comparar um valor a prazo com um valor à vista! É ilusão acreditar que simplesmente
somando os valores das prestações mensais obter-se-á o valor a prazo. O problema é um
pouco mais complexo, pois, em Matemática Financeira, não é adequado somar valores
provenientes de datas distintas. Você acha que o “mico-leão-dourado” de hoje terá o mesmo
valor de compra depois de um mês? Que mico, hein?
Para se comparar o valor à vista com o valor a prazo de um certo produto, considerandose prestações mensais PM fixas e uma entrada E, todos os valores das prestações devem ser
transportados para a mesma data em que foi efetuada a entrada. É a soma de todos os valores
transportados que deverá ser comparada com o valor à vista.
Note que o valor da primeira parcela PM é equivalente a PM/(1+j), no mês inicial onde
se efetuou a entrada, levando-se em conta uma taxa de juros mensal igual a j%. Nenhuma
novidade! Apenas foi usada a fórmula do capital inicial: c(1+j) = PM, logo, c = PM/(1+j), ou
seja, se o capital c = PM/(1+j) for aplicado por um mês a uma taxa de juros igual a j%, então
o valor resgatado será igual a PM. Agora que você já conhece demonstração por indução
finita fica fácil entender porquê o valor da parcela de número n (n meses após a entrada) será,
no mês inicial, equivalente a PM/(1+j)n, pois c(1+j)n = PM.
Chame de S a soma de todos os valores das parcelas transportados para a mesma data da
entrada. Seja q = 1/(1+j) = (1+j)-1. Então, S = PM(q + q2 + q3 + ... + qn-1 + qn). Multiplique
q por S e obtenha qS = PM(q2 + q3 + ... + qn + qn+1). Note que
S(1 - q) = S – qS = PM(q + q2 + q3 + ... + qn-1 + qn) - PM(q2 + q3 + ... + qn + qn+1) .
Coloque PM em evidência e perceba que várias parcelas irão se cancelar. Daí, conclua que:
S(1 - q) = PM(q - q(n+1)) S = PM(q - q(n+1))/(1 - q) S = PM q(1 – qn)/(1 - q).
Ainda, q = (1+j)-1 1 - q = 1 - 1/(j+1) = (j + 1-1)/(j+1) = j/(j+1) 1/(1 - q) = (j + 1)/j.
Desta forma, S = PM [1 - (1 + j)-n] / j. Portanto, S + E é igual ao valor à vista. Usando a
notação do início desta seção, segue-se que S = VF (valor financiado). Agora, retorne à
equação (4.1) e veja se tudo ficou mais claro.
Agora, o objetivo é transformar (4.1) em uma equação polinomial. Para isto, considere
x = 1 + j e K = VF/PM. Desta forma, (4.1) torna-se equivalente a [1 - x-n]/[x - 1] = K.
Multiplique os dois lados da igualdade anterior por xn e obtenha [xn - 1]/[x – 1] = K xn, que é
equivalente a xn – 1 = K xn (x-1) ⇔ xn – 1 = K xn+1 - Kxn. Assim, conclui-se facilmente que
(4.1) é equivalente à equação polinomial de grau n + 1:
f(x) = Kxn+1 – (K + 1)xn + 1 = 0.
(4.2)
Note que x = 1 é raiz da equação anterior; porém, tal raiz implicaria que a taxa de juros
seria j = 0 (pois x = j + 1) – não condizente com a realidade –. Então, o objetivo é encontrar o
valor de x ≠ 1 tal que f(x) = 0. No caso de valor elevado de n, a utilização do algoritmo da
divisão não ajudaria no cálculo das demais raízes do polinômio, pois conduziria a uma
equação polinomial mais complicada: Kxn - xn-1 - xn-2 - ... - x - 1 = 0.
4.3 Solução numérica
PLANO A
As seguintes variáveis serão úteis: PAV = 1300; E = 200; VF = 1300 – 200 = 1100;
PM = 250; n = 7 e K = VF/PM = 1100/250 = 4.4. Portanto, a equação (4.2) é dada por:
fA(x) = Kxn+1 – (K + 1)xn + 1 = 0
fA(x) = 4.4x8 – 5.4x7 + 1 = 0.
Procedimento Gráfico para o Isolamento da Raiz
y = 4.4x8 – 5.4x7 +1
° °
Figura 1: Gráfico da função polinomial associada ao plano A do problema
motivador. Observe que uma das raízes é 1 e a outra está no intervalo (1, 1.5],
conforme os pontos em destaque.
Observando a Figura 1, que corresponde ao gráfico da função fA, dois fatos merecem
destaque: o gráfico não é preciso em torno da origem – existe um intervalo fechado, contido
em [-½, ½], onde a função assume o valor constante um –, esta deformação é conseqüência da
imprecisão em relação às escalas utilizadas em softwares que fazem gráficos (neste caso, o
Octave foi utilizado); portanto é imprescindível o conhecimento das técnicas existentes para o
esboço de gráficos de funções reais: um dos objetos de estudo da disciplina Cálculo
Diferencial. O esboço do gráfico sugere que a raiz procurada (raiz maior do que 1) está
isolada (é única) no intervalo (1, 1.5], conforme indica o ponto em destaque na figura. De
agora em diante, a raiz procurada será denotada por ξ.
Refinamento de Intervalo
A seguir, com o objetivo de refinar o intervalo que contém a raiz ξ, será exibido um
novo gráfico da função fA(x) (veja Fig. 2), com x variando em torno da raiz desejada; no caso,
o intervalo considerado é [0.9, 1.25].
y = 4.4x8 – 5.4x7 + 1
°
Figura 2: Gráfico de fA(x), com x variando nas proximidades da raiz procurada
(ponto em destaque).
De acordo com a Figura 2, a raiz ξ está contida no intervalo fechado I = [1.1, 1.15].
Observe que fA(1.1) < 0 e fA(1.15) > 0. Graficamente, não é difícil perceber o seguinte
resultado: dado um intervalo fechado [a, b] ⊂ I = [1.1, 1.15], tem-se que
fA(a). fA(b) < 0

ξ ∈ [a, b].
A propriedade anterior permite que o intervalo que contém a raiz seja refinado tantas
vezes quantas forem necessárias para que se consiga uma boa aproximação para ξ. O objetivo
é, após uma seqüência de refinamentos, reduzir consideravelmente o comprimento do
intervalo que contém a raiz; desta forma, uma aproximação para ξ poderá ser obtida tomandose qualquer valor do intervalo refinado; por exemplo, o ponto médio deste intervalo.
O Método da Bissecção, que será detalhado na próxima seção, é utilizado com o intuito
de, em cada refinamento, diminuir pela metade o comprimento do intervalo que contém a raiz,
ξ, da equação fA(x) = 4.4x8 – 5.4x7 + 1 = 0. O procedimento para se realizar quatro
refinamentos do intervalo I = [1.1, 1.15], que contém a raiz isolada ξ, será dado a seguir e os
resultados pertinentes serão exibidos na Tabela 1.
1º) Considere o intervalo inicial I0 = [a0, b0] = [1.1, 1.15], onde a função fA troca de sinal:
fA(a0). fA(b0) < 0.
2º) Calcule o ponto médio do intervalo inicial: ξ0 = (a0+b0)/2.
3º) Se fA(a0). fA(ξ0) < 0, então o intervalo que conterá ξ será I1 = [a1, b1] = [a0, ξ0]; caso
contrário I1 = [a1, b1] = [ξ0, b0]. Observe que a raiz estará contida no intervalo onde a função
mudar de sinal.
4º) Repetindo os passos anteriores, até atingir os quatro refinamentos, obter-se-á uma
aproximação de ξ: o ponto médio do último intervalo.
Tabela 1: O Método da Bissecção aplicado à equação fA(x) = 4.4x8 – 5.4x7 + 1
= 0 – quatro refinamentos do intervalo I = [1.1, 1.15] –.
Ii = [ai, bi]
ξi = (ai+bi)/2
fA(ai)
fA(ξi)
I0 = [1.1,1.15]
I1 = [1.125, 1.15]
I2 = [1.125, 1.1375]
I3 = [1.13125, 1.1375]
I4 = [1.13125,1.134375 ]
ξ0 = 1.125
ξ1 = 1.1375
ξ2 = 1.13125
ξ3 = 1.134375
ξ4 = 1.1328125
≈ -0.0913
≈ -0.0263
≈ -0.0263
≈ -0.0017
≈ -0.0263
≈ 0.0267
≈ -0.0017
≈ 0.01201
≈ 0.00503
Sinal de
fA(ai). fA(ξi)
+
+
-
Conclui-se que ξ4 = 1.1328125 é uma aproximação de ξ, com pelo menos duas casas
decimais, já que o comprimento de I4 é igual a (b0 – a0)/24 = 0.003125 < 0.5 × 10-2. (Lembrese de que o comprimento do intervalo que contém a raiz é dividido ao meio, durante o
processo de refinamento.) Além disto, fA(ξ4) ≈ 0.005.
Lembrando-se de que x = j + 1, na equação (4.2), então a taxa de juros referente ao
Plano A é dada por j = ξ - 1; portanto, j ≈ 0.13 (ou 13% ao mês).
PLANO B
As seguintes variáveis serão úteis: PAV = 1300; E = 200; VF = 1300 – 200 = 1100;
PM = 195; n = 10 e K = VF/PM = 1100/195. Portanto, a equação (4.2) é dada por:
fB(x) = Kxn+1 – (K + 1)xn + 1 = 0
fB(x) = (1100/195)x11 – (1295/195)x10 + 1 = 0.
O procedimento para o cálculo da taxa de juros do Plano B é completamente análogo ao
do Plano A. Como o procedimento já foi bastante detalhado, então a solução da equação
anterior será obtida através de dois códigos computacionais, implementados em Octave.
O primeiro código (veja Código 1, na subseção 4.4) exibe um esboço do gráfico da
função polinomial fB(x) = 0, com o intuito de isolar a raiz desta equação, em um determinado
intervalo fechado.
O segundo código (veja Código 2, na subseção 4.4) consiste em refinar o intervalo
encontrado no primeiro código, ou seja, após o isolamento da raiz, inicia-se o processo de
refinamento com o Método da Bissecção.
Utilizando o Código 1, detectou-se que a raiz está contida no intervalo I = [a, b], onde
a = 1.1 e b = 1.15. Neste intervalo a função fB muda de sinal. O Código 2 executa o
refinamento do intervalo I, através do Método da Bissecção. Os resultados fornecidos por este
código, após quatro refinamentos, foram os seguintes:
•
•
•
aproximação da raiz (ponto médio do intervalo refinado): ξ4 = 1.1203125000;
comprimento do intervalo refinado: 0.0031250000;
valor da função fB na raiz aproximada: fB(ξ4) = -0.000740795089.
A taxa de juros para o Plano B é j = 1 - ξ, ou seja, j ≈ 0.12. Portanto, este plano é o que
oferece a menor taxa de juros: 12% ao mês, contra 13% do Plano A; embora, à primeira vista,
o Plano A seja mais atrativo para o consumidor, que tem a ilusão de pagar uma quantia menor
pelo produto: o valor da soma de todas as prestações, no Plano A, é igual a R$ 1.750,00,
menor do que R$ 1.950,00, comparando-se ao valor do outro plano.
4.4 Códigos em Octave
Nos códigos exibidos a seguir, os textos que vem após o símbolo de porcentagem, %,
são comentários introduzidos para facilitar a compreensão da rotina computacional e não
interferem na compilação do programa.
Código 1. Gráfico útil para isolar a raiz de fB(x) = (1100/195)x11 – (1295/195)x10 + 1 = 0.
%análise gráfica de f(x) = 0, onde f(x) = (1100/195)*t^11 - (1295/195)*t^10 + 1.0.
%criação de dois vetores t e y = f(t);
%t conterá pontos igualmente espaçados compreendidos entre 1.1 a 1.15;
%o espaçamento entre os pontos será 0.01 e a notação utilizada é t = 1.1:0.01:1.15;
%o gráfico de y = f(t) será exibido no intervalo [1.1, 1.15].
t = 1.1:0.01:1.15;
y = (1100/195)*t.^11 - (1295/195)*t.^10 + 1.0;
plot(t,y,'-g;y = (1100/195)*t^11 - (1295/195)*t^10 + 1.0;'); %comando que gera o gráfico
grid; %cria uma malha retangular (quadriculado) no gráfico exibido.
xlabel('eixo x') %legenda exibida no eixo horizontal
ylabel('eixo y') %legenda exibida no eixo vertical
title('PLANO B') %título do gráfico
%O gráfico pode ser colocado no formato postscript,
% bastando retirar o símbolo % das duas próximas linhas.
%gset term postscript
%gset output "graf1.ps"
replot
Código 2. O Método da Bissecção – Refinamento de intervalo.
%O metodo da bisseccao
%Cálculo da raiz da equação f(x) = k.x^(p+1) - (1+k).x^p + 1 =0, x em [a, b].
clear
%Entrada de dados
iii = input('Entre com a opccao de funccao polinomial 1(Plano A) ou 2 (Plano B)=');
a = input('De o extremo inferior do intervalo que contem a raiz da funccao polinomial =');
b = input('De o extremo superior do intervalo que contem a raiz da funccao polinomial =');
%Definição de variáveis
pm = (a+b)/2; %ponto médio do intervalo [a,b]
comp = b-a;
%comprimento do intevalo [a,b]
cont = 0; %variável que conta o número de iterações
eps = 0.5*10^(-2); %tolerância usada no teste de parada
%Neste código, f(x) é representada por f_leon (veja Código 3);
fa = f_leon(a,iii);
%cálculo de f(a)
fpm = f_leon(pm,iii); %cálculo de f(pm)
%Início do Método da Bissecção
if(fpm ==0)
fprintf('A raiz procurada eh dada por pm =%12.8f\n',pm);
else
%Para limitar o número de refinamentos, por exemplo, em 4, deve-se trocar o
%comando abaixo pelo seguinte: while((comp > eps) & (abs(fpm) > eps) & cont < 4 )
while((comp > eps) & (abs(fpm) > eps) )
%Procedimento utilizado no Refinamento do Intervalo [a, b]
if(fa*fpm<0)
b=pm;
else
a=pm;
fa=fpm;
end
pm=(a+b)/2;
fpm=f_leon(pm,iii);
cont = cont+1;
comp = b-a;
end
end
fprintf('\n'); %deixa uma linha em branco
%Saída de dados
fprintf('A raiz aproximada por bissecao eh dada por pm =%12.10f\n',pm);
fprintf('O numero de refinamentos do intervalo inicial foi cont = %d\n',cont);
fprintf('A tolerancia usada foi eps = %12.10f\n',eps);
fprintf('Comprimento do intervalo refinado: = %12.10f\n',comp);
fprintf('O valor de f(pm) eh dado por fpm =%12.12f\n',fpm);
Código 3. Definição da função utilizada no Método da Bissecção.
%este arquivo tem que ser salvo com o mesmo nome da função
%utilizada após o sinal de igual, no comando abaixo. No caso,
%o nome deste arquivo será f_leon.m.
function g = f_leon(t,k)
if(k==1)
%plano A
g = 4.4*t^8 - 5.4*t^7 + 1.0;
else
%plano B
if (k == 2)
g = (1100/195)*t^11 - (1295/195)*t^10 + 1.0;
else
%Taxa de retorno
g = 125.*t^5 - t^4 - t^3 - t^2 - t - 150;
end
end
5 - FERRAMENTAS MATEMÁTICAS E NUMÉRICAS
Nesta seção serão apresentados alguns resultados teóricos que, além de formalizar as
técnicas utilizadas no problema motivador, darão suporte para a modelagem e resolução dos
demais problemas propostos neste trabalho.
Para mais informações teóricas dos assuntos abordados nesta seção consulte Figueiredo
(1996) e Lima (2002).
5.1 A série Geométrica
A série geométrica é dada pela soma infinita de uma progressão geométrica de razão q:
∞
q0 + q1 + q2 + ...+ qn + .... Esta soma infinita é representada pela seguinte notação: ¦ qn.
n=0
Para dar sentido a esta soma infinita, isto é, para que esta soma infinita seja um número real,
será preciso introduzir a noção de limite de uma seqüência de números reais. No caso, a
seqüência das somas parciais da série geométrica: (Sn)n∈N, onde o termo geral é dado por Sn =
Σ0≤k≤n qk. Assim, S0 = q0 = 1, S1 = 1 + q, S2 = 1 + q + q2, etc.
Teorema 5.1 Seja Sn o termo geral da seqüência das somas parciais da série geométrica de
razão q ≠ 1. Então, Sn = (1 - qn+1)/(1 - q) = (1/(1-q)) – (qn+1/(1 - q)).
Demonstração:
Sn = 1 + q1 + q2 + ...+ qn q Sn = q (1 + q1 + q2 + ...+ qn) = q + q2 + ...+ qn + qn+1.
Assim,
Sn - q Sn = 1 - qn+1 Sn(1 – q) = 1 - qn+1 Sn =(1/(1-q)) – (qn+1/(1 - q)).

A tarefa, agora, é tentar mostrar que Sn “está próximo” do número real 1/(1-q), se n for
um número muito grande e se |q| < 1 (isto é, -1 < q < 1). Rigorosamente, o que deve ser
mostrado é que o limite de Sn é igual a 1/(1-q), quando n tende ao infinito, cuja notação é
limn→∞ (Sn) = 1/(1-q).
Antes, porém, será considerada uma outra seqüência, cujo termo geral é dado por
an = (-1)n/n, para exemplificar o conceito de limite. Primeiramente, observe que o décimo
termo da seqüência é a10 = 0.1, o centésimo é a100 = 0.01, passando-se para o milionésimo
termo, que é a1000000 = 0.000001, dá para perceber que os termos da seqüência estão cada vez
mais próximos de zero. Se os índices n forem ímpares, os termos da seqüência serão negativos
e estarão próximos de zero, também; por exemplo, a1000001 = -1/1000001≈ -0.000000999.
A demonstração de que limn→∞ (an) = 0 dependerá do teorema enunciado a seguir.
Teorema 5.2 (Propriedade Arquimediana) Dados dois números reais quaisquer ε e ξ, ε > 0,
existe um número natural m tal que m.ε > ξ. Portanto, os números naturais são ilimitados em
ℜ (conjunto dos números reais).
Demonstração:
Por absurdo, suponha que m.ε ≤ ξ, ∀ m ∈ N. Então, o conjunto D = { m.ε | m ∈ N } ⊂
ℜ é limitado superiormente, sendo ξ uma cota superior. Sabe-se que todo subconjunto de
números reais, limitado superiormente, possui supremo, ou seja, possui uma cota que é a
menor entre todas as cotas superiores. Seja s o supremo, então m.ε ≤ s, ∀ m ∈ N. Assim,
(m+1).ε ≤ s, implicando que m.ε ≤ s- ε < s, ∀ m ∈ N; o que contraria o fato de s ser a menor
cota superior do conjunto D. Portanto, existe m ∈ N tal que m.ε > ξ. Sendo assim, dado um
número real qualquer, ξ ∈ ℜ, existe m ∈ N tal que m > ξ (basta considerar ε = 1 no
enunciado do teorema).

Voltando ao exemplo da seqüência (an)n∈N, a idéia de estar próximo pode ser melhor
entendida com o auxílio de dois conceitos matemáticos simples: intervalo aberto e distância
entre dois números reais.
Veja o esquema a seguir:
(-1/n), n ímpar
-ε
0
ε
(1/n), n par
Figura 3: Esquema de convergência da seqüência an = (-1)n/n.
Dizer que os termos da seqüência estão se aproximando de zero é análogo a dizer que
todos os termos da seqüência, a partir de um determinado índice n0, estão em um dado
intervalo aberto centrado em zero: ℑ = (-ε, ε), ou seja an ∈ ℑ, sempre que n > n0, que é
equivalente a dizer que a distância de an até o centro do intervalo (que é o ponto 0) deve ser
menor do que o raio do intervalo (que é ε > 0), ou ainda: |an| < ε, sempre que n > n0.
Para exemplificar, suponha que o raio do intervalo seja ε =½. O objetivo é encontrar n0
∈ N, tal que |an| < ½, sempre que n > n0. Como |an| = |(-1)n/n| = 1/n, então:
|an| < ½ ⇔ 1/n < ½ ⇔ n > 2.
Portanto, dado ε =½, existe n0 = 2 tal que n > n0 |an| < ε. Como os números naturais
não são limitados superiormente em ℜ (dado um número real qualquer, sempre existirá um
número natural maior do que ele) , então, dado ε > 0, existe um natural n0 > 1/ε, que depende
somente de ε (n0 = n0(ε)), tal que: n > n0 1/n < 1/ n0 < ε |an| = |(-1)n/n| = 1/n < ε. De
acordo com a análise anterior e levando-se em conta a definição dada a seguir, conclui-se que
limn→∞ (an) = 0.
Definição 5.1 Uma seqüência de números reais (an)n∈N converge para o número real a se, e
somente se, dado ε > 0, existir n0 = n0(ε) ∈ N tal que |an – a| < ε, sempre que n > n0. Neste
caso, usa-se a notação: limn→∞ (an) = a.
O teorema do confronto, dado a seguir, garantirá a convergência da seqüência das somas
parciais da série geométrica.
xn ∈ (c-ε, c+ε), n > n0x
c-ε
yn ∈ (c-ε, c+ε),
c
c+ε
n > max{n0x, n0z}.
zn ∈ (c-ε, c+ε), n > n0z
Figura 4: Esquema do teorema do confronto.
Teorema 5.3 (Teorema do Confronto). Sejam (xn)n∈N, (yn)n∈N e (zn)n∈N três seqüências de
números reais tais que xn ≤ yn ≤ zn , ∀ n ∈ N e limn→∞ (xn) = limn→∞ (zn) = c. Então,
limn→∞ (yn) = c.
Demonstração:
Dado ε > 0, existem números naturais n0x e n0z tais que | xn – c | < ε e | zn – c | < ε,
sempre que n > n0x e n > n0z. Assim, xn, zn ∈ (c - ε, c + ε), sempre que n > max {n0x, n0z}
(veja o esquema exibido na Figura 4).
Portanto,
c - ε < xn < yn < zn < c + ε |yn – c| < ε, sempre que n > n0 = max {n0x, n0z}.
Então, pela definição 5.1, limn→∞ (yn) = c.

Teorema 5.4 Seja Sn o termo geral da seqüência das somas parciais da série geométrica de
razão q ≠ 1. Então, limn→∞ Sn = 1/(1-q), se |q| < 1.
Demonstração:
Se |q| < 1, então 1/|q| > 1. Definindo-se H = (1/|q|) - 1 > 0, obtém-se que 1/|q| = 1 + H.
Utilizando apenas a segunda parcela (k = 1) do binômio
(1 + H)n =
n
n!
(1)n-k Hk,
k = 0 (n − k )! k!
¦
percebe-se que (1/|q|)n = (1 + H)n > nH; daí, 0 < |q|n < 1/(nH). Sendo H uma constante não
nula e limn→∞ (1/n) = 0, então limn→∞ (1/nH) = 0 (Dado ε > 0, tome n0 > 1/(ε.H)).
Assim, pelo teorema do confronto (Teorema 5.3), limn→∞ (|q|n) = 0 = limn→∞ (|qn|).
Conseqüentemente, limn→∞ (qn) = 0 (basta usar a definição 5.1). Lembrando que
Sn =1/(1-q) - qn+1/(1 - q) (Teorema 5.1), segue que limn→∞ Sn = 1/(1-q).

Observe que se o termo geral de uma progressão geométrica for multiplicado por uma
constante, então esta nova série será convergente e o seu limite será dado pelo limite da série
geométrica original multiplicado pela constante considerada.
5.2 O Método da Bissecção
O Método da Bissecção é útil para resolver equações do tipo f(x) = 0, onde f é uma
função real contínua definida em um intervalo I = [a, b], a < b, f: I ⊂ ℜ → ℜ, tal que
f(a).f(b) < 0. Se ξ ∈ I é tal que f(ξ) = 0, então ξ é denominado zero de f, ou raiz da equação
f(x) = 0.
O conceito de função contínua não é difícil de ser entendido, agora que já foi
introduzido o conceito de limite de seqüência. Primeiramente, uma informação elucidativa:
toda função contínua definida em um intervalo fechado possui gráfico semelhante ao gráfico
exibido em
Fig. 2; não apresenta saltos nem “explosões” para o infinito (a função é
limitada). Observe, a seguir, os gráficos de duas funções descontínuas: i) g(x) = 1, se x < 1, e
g(x) = -1, se x ≥ 1; ii) h(x) = 1/x, x ∈ (0, 3], e h(0) = 0.
y = g(x)
i) A função g é
descontínua em x = 1,
pois possui um salto
neste ponto.
1
1
x
-1
y = h(x)
ii) A função h(x) = 1/x é
descontínua em x = 0, pois
tende ao infinito quando x
se aproxima de zero.
1/3
0
3
x
Definição 5.2 Uma função f: I ⊂ ℜ → ℜ é contínua no ponto a ∈ I se, e somente se, para
toda seqüência (xn)n∈N, com limn→∞ xn = a, tenha-se limn→∞ f(xn) = f(a).
A título de ilustração, considere a função g do exemplo (i) anterior. Note que a
seqüência com termo geral xn = 1 – 1/n < 1 converge para 1; como g(xn) = 1, para todo
natural n, segue que limn→∞ g(xn) = 1 ≠ g(1) = -1, contrariando a definição de continuidade
de g no ponto x = 1. Em relação à função do exemplo (ii), é fácil verificar que h(x) cresce
ilimitadamente próximo do ponto x = 0. Pense em um número bem grande ... 10 bilhões está
bom? Não!? Pegue então,
M = 1010 + 1. Existem infinitos números reais, x, próximos de
zero, tais que h(x) > M. Note que: 0 < x < 1/M h(x) = 1/x > M. Logo, h(x) tende ao
infinito quando x se aproxima de zero; no entanto, foi estabelecido que h(0) = 0, contrariando,
portanto, a continuidade de h no ponto x = 0, conforme a definição 5.2.
Explicado o conceito de função contínua, já se pode falar do teorema que garante a
convergência do Método da Bissecção: “O Teorema do Valor Intermediário”:
Teorema 5.5 (Teorema do Valor Intermediário) Seja f: [a, b] → ℜ uma função contínua. Se
f(a).f(b) < 0 ( f(a) < 0 < f(b) ou f(b) < 0 < f(a) ), então existe ξ ∈ (a,b) tal que f(ξ) = 0.
Antes da demonstração do teorema, lembre-se de que o Método da Bissecção é baseado
na construção de uma seqüência de intervalos In = [an, bn], sendo I0 = [a, b], nos quais a
função troca de sinal, ou seja, f(an).f(bn) < 0, ∀ n ∈ N. A obtenção destes intervalos dá-se
através do seguinte procedimento:
1) dado In = [an, bn], onde f(an). f(bn) < 0, considere ξn = (an + bn)/2;
2) se f(an).f(ξn) < 0, então bn+1 = ξn;
3) se f(ξn) = 0, então o zero de f é ξn e o processo é interrompido;
4) caso contrário an+1 = ξn;
5) troque n por n+1 e repita o procedimento iniciado no passo 1.
Observe que In+1 = [an+1, bn+1] = [an, ξn] ou In+1 = [an+1, bn+1] = [ξn, bn].
Assim:
(bn+1 - an+1) = {(an + bn)/2} - an
ou
(bn+1 - an+1) = bn - (an + bn)/2,
ou seja,
(bn+1 - an+1)= (bn - an)/2.
Demonstração do Teorema 5.5 (apenas uma idéia):
Considere a construção de três seqüências (an)n∈N, (ξn)n∈N e (bn)n∈N, correspondentes
ao extremo inferior, ponto médio e extremo superior, respectivamente, do n-ésimo intervalo
refinado, In = [an, bn], através do Método da Bissecção. Então:
ξn = (an + bn)/2, (bn - an) = (b – a)/2n (por indução finita) e f(an). f(bn) < 0, ∀ n ∈ N.
Pelo procedimento exibido anteriormente (itens de 1 a 5), a seqüência (an)n∈N é nãodecrescente e limitada superiormente por b, isto é, an ≤ an+1 < b, ∀ n ∈ N; a seqüência (bn)n∈N
é não-crescente e limitada inferiormente por a, isto é, a < bn+1 ≤ bn, ∀ n ∈ N. Desta forma, o
conjunto A = {an, n ∈ N}⊂ ℜ é limitado superiormente, sendo b uma cota superior e B = {bn,
n ∈ N}⊂ ℜ é limitado inferiormente, sendo a uma cota inferior. Então, existem números reais
sup(A) e inf(B), supremo de A e ínfimo de B, que representam a menor cota superior de A e a
maior cota inferior de B, respectivamente. Pode-se demonstrar que:
limn→∞ an = sup(A) e
limn→∞ bn = inf(B).
Como limn→∞ (1/2)n = 0 (demonstração do Teorema 5.4), então limn→∞ (bn - an) = 0.
Portanto, limn→∞ bn = limn→∞ an; seja ξ este limite. Como f é contínua, então
limn→∞ f(bn) = f(ξ) = limn→∞ f(an). Lembrando que f(an).f(bn) < 0, ∀ n ∈ N, então:
limn→∞ {f(an). f(bn)} = {limn→∞ f(an)}. {limn→∞ f(bn)} ≤ 0 0 ≤ {f(ξ)}2 ≤ 0 f(ξ) = 0.
Observe que an < ξn < bn, ∀ n ∈ N, assim, pelo Teorema do Confronto (5.3), limn→∞ ξn = ξ.
5.3 O Método de Newton-Raphson
Assim como o Método da Bissecção, o Método de Newton-Raphson também é útil para
se obter zeros de funções; só que, neste método, as condições sobre a função são mais
restritivas. Além da continuidade da função, exige-se, também, a sua derivabilidade. O
conceito envolvido agora é o de reta tangente ao gráfico de uma função f, passando por um
ponto (x0, f(x0)) e com coeficiente angular m = m(x0) (todos se lembram da equação da reta,
não é?):
y – f(x0) = m.(x – x0).
O problema é que nem sempre existe o tal coeficiente angular. Quando ele existe, é
chamado de derivada de f no ponto x0 e a notação usada é m(x0) = f’(x0). Assim, a
derivabilidade de f em um intervalo aberto I = (a, b) nada mais é do que a garantia de f
possuir derivada (possuir reta tangente) em todos os pontos deste intervalo (diz-se que f é
derivável em I).
Para se obter o tal coeficiente angular é utilizado um processo limite envolvendo retas
secantes, ou seja, retas que passam por dois pontos (x0, f(x0)) e (x, f(x)) pertencentes ao gráfico
de f. A idéia é fazer o ponto x aproximar-se do ponto x0 e verificar se existe o coeficiente
angular limite dado por:
m = lim x→ x0 m( x)
onde m(x) = [f(x) – f(x0)]/[x – x0], x ∈ I, são os coeficientes angulares das retas secantes.
Como exemplo, considere a função modular f(x) = |x|: f(x) = x, se x ≥ 0, e f(x) = - x, se
x < 0. Veja o gráfico dado na Figura 5.
y
1
-1
1
x
Figura 5: Gráfico da função f(x) = |x|.
Considere x0 = 0. Calculando-se os coeficientes angulares m(x) = [f(x) - f(x0)]/[x - x0],
com x > 0 e com x < 0, obtém-se m(x) = [x - 0]/[x - 0] = 1, se x > 0, e m(x) = [-x - 0]/[x 0] = -1, se x < 0. Observe que dadas duas seqüências convergindo para zero, (xn)n∈N e
(ξn)n∈N, com xn > 0 e ξn < 0, ∀ n ∈ N, ter-se-á que m(xn) = 1 e m(ξn) = -1, o que vai
contrariar a existência do seguinte limite: limx→ 0 m(x). Portanto, não existe o coeficiente
angular limite, em x0 = 0, conseqüentemente, não existe reta tangente passando pelo ponto
(0,0). Neste caso a função não é derivável no ponto zero. Fato análogo ocorre com todas as
funções que possuem quinas (“bicos”) em seus gráficos, semelhantes àquela exibida em
Figura 5.
Já a parábola, f(x) = x2, conhecida de todos, possui derivada em qualquer ponto do
intervalo aberto I = (- ∞, + ∞), ou seja, em qualquer ponto da reta que representa os números
reais. De fato, dado x0 ∈ ℜ,
m(x) = [f(x) - f(x0)]/[x - x0] = [x2 - (x0)2]/(x - x0) m(x) =( x - x0)(x + x0)/(x - x0) = (x + x0).
Logo:
lim x → x0 m( x) = lim x → x0 ( x + x 0 ) = 2 x 0
pois, se (ξn)n∈N for uma seqüência qualquer que converge para x0, como m(ξn) = ξn + x0, então
limn→ ∞ m(ξn) = x0 + x0 = 2.x0. Portanto, f’(x) = 2.x, ∀ x ∈ ℜ.
Analogamente, toda função polinomial da forma f(x) = xk, ∀ k ∈ N, é derivável em
qualquer número real e f’(x) = k.xk-1 , se k ≥ 1, e f’(x) = 0, se k = 0.
k −1
Este resultado segue da fatoração: [xk – (x0)k] = (x – x0) ¦ xk-1-j (x0)j, que pode ser
j =0
demonstrada por indução finita, após você perceber que o resultado é válido para n = 2 (veja
o exemplo da parábola) e após você se convencer de que esta fatoração é procedente do
algoritmo da divisão entre dois polinômios específicos: [xk – (x0)k] ÷ [x – x0].
Por exemplo, no caso onde k =3, tem-se que :
x3 – (x0)3
- x3 + x2x0
x – x0
x + xx0 + (x0)2
2
x2x0 - (x0)3
- x2x0 + x(x0)2
x(x0)2 - (x0)3
- x(x0)2 + (x0)3
0
Interpretação Geométrica do Método de Newton-Raphson
y = x2
x
Figura 6: Interpretação Geométrica do Método de Newton-Raphson.
A partir do gráfico exibido na Figura 6, será feita a dedução do Método de NewtonRaphson. A idéia é construir uma seqüência de números reais que converge para a raiz da
equação f(x) = 0. Esta construção levará em consideração as retas tangentes ao gráfico de f,
mais precisamente, a interseção da reta tangente com o eixo horizontal (eixo x). Dado o ponto
(x0, f(x0)) = (1, 1), a reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 é dada por yt -1 = m (x -1), onde m é
o coeficiente angular – igual à derivada de f no ponto x = 1 –. Lembre-se de que f’(x) = 2x,
conforme as contas apresentadas anteriormente. Logo, m = f’(1) = 2 e a reta tangente possui
equação yt = 2x -1. O próximo ponto da seqüência será x1, obtido da intersecção do eixo das
abscissas com a reta tangente ao gráfico da função no ponto (x0, f(x0)). Então, nesta interseção
o valor de yt deve ser igual a zero, ou seja, 0 = 2x1 - 1 x1 = ½.
Os próximos pontos da seqüência são obtidos de forma análoga, isto é, dado (xn-1, f(xn-1))
constrói-se a equação da reta tangente:
yt = f(xn-1) + f’(xn-1) (x –xn-1),
então o valor de x correspondente a yt = 0, xn, será o n-ésimo termo da seqüência; portanto, os
seus termos obedecem a seguinte expressão:
xn = xn-1 – f(xn-1)/f’(xn-1),
(5.1)
que é a fórmula do Método de Newton-Raphson.
A convergência do processo iterativo descrito anteriormente depende de algumas
condições, chamadas de suficientes, ou seja, se as condições forem satisfeitas, então o
processo será convergente. São elas:
i) Existe um intervalo I = [a, b], contendo a raiz x = ξ de f(x) = 0, onde f, f’ e f’’ (derivada
segunda de f, ou seja, derivada da função f’) são funções contínuas;
ii) f’(x) ≠ 0, ∀ x ∈ I, pois, na fórmula (5.1), a derivada de f aparece no denominador (Na
verdade, teoricamente, esta condição pode ser trocada por f’(ξ) ≠ 0).
Se as condições i e ii forem satisfeitas, pode-se demonstrar (veja Ruggiero e Lopes
(1996)) que existe um intervalo J = [ξ - ε, ξ + ε] ⊂ I, centrado na raiz ξ, tal que, se x0 ∈ J, a
seqüência gerada pelo Método de Newton-Raphson convergirá para a raiz da equação f(x) = 0.
Apesar das condições sobre a função f serem mais exigentes no Método de NewtonRaphson do que no Método da Bissecção, não se exige que ela troque de sinal no intervalo
que contém a raiz de f(x) = 0. Observando a Figura 6, percebe-se que o Método da Bissecção
não poderia ser utilizado para obter a raiz de f(x) = x2 = 0 (que é ξ = 0). Porém, utilizando o
Método de Newton-Raphson: xn = xn-1 – (xn-1)2/2xn-1 = 0.5xn-1, com x0 = 1, obtém-se:
x1 = 0.5, x2 = 0.25, x3 = 0.125, x4 = 0.0625, x5 =0.03125, x5 = 0.015625, x6 = 0.0078125, ...,
que claramente está convergindo para ξ = 0.
6. PROBLEMAS ABORDADOS
Nesta seção serão propostos problemas de Matemática Financeira que serão resolvidos
utilizando-se a teoria apresentada anteriormente. Alguns destes problemas foram formulados
levando-se em consideração o livro de Goldstein, Lay e Schneider (2000).
Taxa de retorno
Se um investimento de P reais produz retornos R1, R2, R3, ..., Rn , onde Rn é o retorno no
término do n-ésimo período da aplicação, então a taxa de retorno interno, j (taxa de juros
mensal), é calculada de modo que a soma dos valores presentes dos retornos seja igual ao
valor presente do investimento inicial, onde o valor presente de um capital, c, aplicado há n
meses é igual a c(1+j)n (lembre-se da fórmula do “capital inicial” – juros sobre juros – da
seção 4.2). Supondo que Ri ≥ ; (i ≥ 1) e que R1 + R2 + R3 + ... + Rn ≥ P, então a taxa de
retorno j é obtida resolvendo-se:
P(1 + j)n = R1(1 + j)n-1 + R2(1 + j)n-2 + ... + Rn-1(1 + j) + Rn.
Colocando-se x = (1 + j), o problema se reduz ao cálculo da raiz positiva da equação
polinomial:
Pxn - R1xn-1 - R2xn-2 - ... - Rn-1x - Rn = 0.
Problema modelo
Um advogado comprou uma casa no valor de R$ 50.000,00 e pagou à vista. Após a
compra, ele resolveu alugar o imóvel e recebia, do seu inquilino, R$ 400,00 por mês. Mas, ao
final de 5 meses recebeu uma proposta de compra de sua casa no valor de R$ 60.000,00 e
acabou fechando o negócio. Determine a taxa de retorno interno deste investimento.
Resolução
Dados:
− Valor do investimento: R$ 50.000,00 (P);
− Retorno no final dos primeiros meses: R$ 400,00 (R1 = R2 = R3 =R4 = 400);
− Retorno no final do quinto mês: R$ 60.000,00 (R5 = 60000);
− n = 5 meses;
− x = (1+j), onde j = taxa de retorno.
Agora, basta obter a raiz positiva da seguinte equação polinomial:
50000x5 - 400x4 - 400x3 - 400x2 - 400x - 60000 = 0 ⇔ f(x) = 125x5 - x4 - x3 - x2 - x - 150 = 0.
É fácil verificar que f(x) < 0, se 0 ≤ x ≤ 1, e que f(x) > 0, se x ≥ 1.1. Então, a raiz
positiva pode ser obtida de maneira mais eficiente se forem utilizados, conjuntamente, os
Métodos da Bissecção e de Newton-Raphson. O primeiro refina o intervalo [1, 1.1], que
contém a raiz de f(x) = 0, e determina uma aproximação inicial para o segundo método, o
qual produz aproximações mais precisas com poucas iterações.
O Método da Bissecção determinou o seguinte valor inicial para o Método de NewtonRaphson: x0 = 1.0431640625, que é o ponto médio do intervalo obtido após oito refinamentos
do intervalo inicial [1, 1.1]. Com apenas duas iterações, o Método de Newton-Raphson
produziu a seguinte aproximação para a raiz: ξ = 1.043220972873 e f(ξ) = -0.000000099045.
Portanto a taxa de retorno interno é j = ξ - 1 = 0.043220972873 j ≈ 4.3%.
Códigos Utilizados
Código 1. Gráfico da função polinomial
%análise gráfica de f(x) = 0, onde
%f(x) = 125x5 - x4 - x3 - x2 - x - 150 = 0
t=1.:0.01:1.1;
y=125.*t.^5 - t.^4 - t.^3 - t.^2 - t - 150;
plot(t,y,'-g;y=125t^5 - t^4 - t^3 - t^2 - t - 150;');
grid;
xlabel('eixo x')
ylabel('eixo y')
title('Zero de funcao')
replot
Código 2. Método de Newton-Raphson com refinamento de intervalo por Bissecção
%Método de Newton_Raphson
clear
%Cálculo da raiz de uma equação do tipo f(x) = 0
fprintf('Entre com a opccao de funccao polinomial\n');
fprintf('1(Plano A), 2 (Plano B), 3 (Taxa de Retorno)\n');
iii = input('Entre com a opccao 1, 2 ou 3 =');
fprintf('\n');
fprintf('Entre com o extremo inferior do intervalo\n');
fprintf('que contem a raiz da funccao polinomial \n');
a = input('Entre com o extremo inferior do intervalo =');
fprintf('\n');
fprintf('Entre com o extremo superior do intervalo\n');
fprintf('que contem a raiz da funccao polinomial \n');
b = input('Entre com o extremo superior do intervalo =');
pm = (a+b)/2; %ponto medio do intervalo [a,b]
comp = b-a;
%comprimento do intevalo [a,b]
cont = 0; %variavel que conta o numero de iteraccoes
eps = 0.5*10^(-3); %tolerancia usada no teste de parada
fa = f_leon(a,iii);
%calculo de f(a)
fpm = f_leon(pm,iii); %calculo de f(pm)
if(fpm ==0)
fprintf('A raiz procurada eh dada por pm =%12.8f\n',pm);
else
%Para limitar o número de refinamentos, por exemplo, em 4,
% deve-se trocar o comando abaixo pelo seguinte:
% while((comp > eps) & (abs(fpm) > eps) & cont < 4 )
while((comp > eps) & (abs(fpm) > eps) )
if(fa*fpm<0)
b=pm;
else
a=pm;
fa=fpm;
end
pm=(a+b)/2;
fpm=f_leon(pm,iii);
cont = cont+1;
comp=b-a;
end
end
fprintf('\n');
fprintf('A raiz aproximada por bissecao eh dada por pm =%12.10f\n',pm);
fprintf('O numero de refinamentos do intervalo inicial foi cont = %d\n',cont);
fprintf('A tolerancia usada foi eps = %12.10f\n',eps);
fprintf('Comprimento do intervalo refinado: = %12.10f\n',comp);
fprintf('O valor de f(pm) eh dado por fpm =%12.12f\n',fpm);
x0 = pm;
dif = 1;
%Método de Newton_Raphson
s = 5;
cont = 0;
tol = 0.5*10^(-s);
while(dif > tol)
cont = cont+1;
x = x0 - (f_leon(x0,iii)/df_leon(x0,iii));
dif = abs((x-x0)/(x));
x0 = x;
end
fx = f_leon(x,iii);
fprintf("O n. de iteraccoes do N-R eh cont = %i \n",cont);
fprintf("O erro relativo da aproximaccao da raiz eh dif = %12.12f\n",dif);
fprintf("O valor da raiz procurada eh x = %12.12f\n",x);
fprintf("f(x) = %12.12f\n",fx);
Código 3. Funções utilizadas no Método de Newton-Raphson.
Função 1. Função associada à equação f(x) = 0. Já foi dada na seção 4.4 (Código 3).
Função 2. Função correspondente à derivada de f(x), da equação f(x) = 0.
%este arquivo tem que ser salvo com o mesmo nome da função
%utilizada após o sinal de igual, no comando abaixo. No caso,
%o nome deste arquivo será df_leon.m.
function g = df_leon(t,k)
if(k==1)
g = 52.78*t^9 - 6.278*9*t^8;
else
if(k == 2)
g = 6.50497*13*t^12 - 7.50497*12*t^11;
else
g = 5*125.*t^4 - 4*t^3 - 3*t^2 - 2*t^ - 1;
end
end
Problemas envolvendo séries geométricas
A teoria sobre séries geométricas, apresentada na seção 5.1, será utilizada na resolução
dos próximos três problemas.
Reincidência de impostos
Uma empresa paga à sua diretora-presidente um bônus de R$ 1.000,00 além de uma
quantia que cobre todos os gastos referentes aos impostos que reincidem sobre os gastos
extras desta funcionária. Se o imposto a ser pago é de 39,6 % sobre qualquer quantia extra,
calcule o montante recebido pela funcionária.
Resolução:
Bônus e gastos extras
Imposto sobre o bônus e gastos extras
1000
1000 . (0,396)1
1000 . (0,396)1
1000 . (0,396).(0,396) = 1000 (0,396)2
2
1000 . (0,396)
3
1000 (0,396)
(1)
2
3
1000 . (0,396) .(0,396) = 1000 (0,396)
3
4
1000 (0,396) .(0,396) = 1000 (0,396)
...
(2)
(3)
(4)
...
n-1
1000 (0,396)
n-1
1000 (0,396) .(0,396) = 1000 (0,396)n
(n)
Observando a tabela acima, o montante pago à diretora será dado pela soma do bônus
com todos os gastos extras referentes a pagamento de impostos:
M = 1000 + 1000.(0,396)1 + 1000.(0,396)2 + ... + 1000.(0,396)n-1 + ...,
∞
que é uma soma infinita; no caso, a série geométrica M = 1000 ¦ (0.396)k. Conforme a
k =0
teoria da seção 5.1, M = 1000.[1/(1 - 0.396)] ≈ 1655.629. Portanto, o montante recebido pela
diretora é de R$ 1.655,63 reais.
Montantes em empréstimos bancários
Suponha que o Banco Central introduza 100 milhões de reais na economia e que os
bancos emprestem 85% de todo dinheiro que recebem. Suponha também que, de cada
empréstimo, apenas 80% são depositados novamente no sistema bancário. Calcule o montante
total de empréstimos (teórico) que seriam tomados no sistema bancário.
Resolução:
Dados:
- governo introduz: 100 milhões.
- bancos emprestam: 85% do dinheiro depositado.
- hipótese: apenas 80% de cada empréstimo são depositados novamente em bancos.
(1) Valor inicial emprestado ( Vi ): 85% de 100 milhões = 0.85 × 100.
(2) Valor que volta a ser depositado: 80% de Vi = 0.80 × 0.85 × 100.
(3) Valor emprestado pelos bancos: 85% do valor obtido no passo anterior (2)
= 0.85 × 0.80 × 0.85 × 100 = 0.80.(0.85)2.100.
(4) Do valor anterior (3), somente 80% serão depositados novamente: 0.80.[0.80.(0.85)2.100]
= (0.80)2.(0.85)2.100.
(5) Os bancos emprestam novamente 85% de (4): 0.85.[(0.80)2.(0.85)2.100] =
0.80)2.(0.85)3.100.
E assim por diante...
Assim, o montante (M) total de empréstimos que seriam tomados no sistema bancário é
dado pela série geométrica:
M = 0,85.100 + 0.80.(0.85)2.100 + (0.80)2.(0.85)3.100 + ... + (0.80)k-1.(0.85)k.100 + ...
∞
M = ¦ (0.8)k-1(0.85)k.100 = (100/0.8) Σ1≤k≤∞ (0.8×0.85)k = 125 Σ1≤k≤∞ (0.68)k
k =1
M = 125 [-1 + 1/(1-0.68)] = 125 [0.68/(1-0.68)] = 265.625. (Observe que Σ0≤k≤∞ (a)k =
1 + Σ1≤k≤∞ (a)k 1/(1-a) = 1 + Σ1≤k≤∞ (a)k Σ1≤k≤∞ (a)k = [1/(1-a)] -1 = a/(1-a).)
Conclui-se que o montante de empréstimos que seriam tomados no sistema bancário é
igual a R$265.265.000,00.
Efeito multiplicativo e gasto adicional em atividades econômicas
Calcule o total de novos gastos em atividades econômicas gerados pelo corte de 10
bilhões de reais na arrecadação de Imposto de Renda. Suponha que a propensão ao consumo
marginal seja de 95% (todas as pessoas que receberem alguma quantia referente aos gastos
gerados pela redução no imposto gastarão 95% da mesma; os 5% restantes serão poupados).
Resolução:
Inicialmente, serão introduzidos na economia gastos adicionais referentes aos 10 bilhões
de reais que o governo deixou de arrecadar com o Imposto de Renda; como a propensão ao
consumo é de 95%, então os gastos adicionais serão iguais a 95% de 10 bilhões, ou seja,
0.95×10. Todas as pessoas que receberem alguma quantia proveniente deste montante
gastarão 95% da mesma, o que gerará gastos adicionais no valor de (0.95)2.10. Seguindo este
raciocínio, a seguinte série geométrica é obtida:
M = Σ1≤k≤∞ (0.95)k.10 =10. [0.95/(1-0.95)] =190.
Conclui-se que os gastos adicionais em atividades econômicas chegam a 190 bilhões de
reais
Equações de Diferenças
Considere a seguinte equação de diferenças: yk = Ayk-1 + B, ∀ k ∈ N, k ≥ 1 e y0 um valor
dado qualquer.
Observe que :
y1 = Ay0 + B; y2 = Ay1 + B = A.(Ay0 + B) + B y2 = A2 y0 + B.(1 + A); y3 = Ay2 + B
= A.(A2y0 + B.(1 + A)) + B y3 = A3 y0 + B.(1 + A + A2); continuando este procedimento
pode-se mostrar que yk = Ak y0 + B.(1 + A + A2 + … + Ak-1),∀ k ∈ N, k ≥ 1.
De fato, basta utilizar indução finita: note que a igualdade é válida para k =1; supondo
que a igualdade seja válida para k = m, mostra-se que:
ym+1 = Aym + B = A.(Am y0 + B.(1 + A + A2 + … + Am-1) + B
ym+1 = Am+1y0 + A.B.(1 + A + A2 + ... + Am-1) + B

ym+1 = Am+1y0 + B.(1 + A + A2 + ... + Am).
Utilizando os resultados vistos na seção 5.1 (séries geométricas – Teorema 5.1), a
equação de diferenças yk = Ayk-1 + B possui a seguinte solução:
yk = Ak y0 + B(1-Ak)/(1 - A), se A ≠ 1, e yk = y0 + k.B, se A = 1.
(6.1)
Observação: Uma equação de diferenças do tipo yk = Ayk-1 + B, com k ≥ m + 1, onde m
é um número natural qualquer, possui solução:
yk = Ak-m ym + B(1-Ak-m)/(1 - A), se A ≠ 1, e
yk = ym + (k-m).B, se A = 1.
(6.2)
De fato, a partir da equação dada constrói-se uma nova equação de diferenças dada por
z0 = ym e zk = ym+k, ∀ k ∈ N, k ≥ 1; desta forma, zk = Aym+k-1 + B = A zk-1 + B. Utilizando a
fórmula anterior (6.1), para a equação de diferenças na variável z, obtém-se:
zn = An z0 + B(1-An)/(1 - A), se A ≠ 1, e zn = z0 + n.B, se A = 1.
Considerando n = k - m, onde k é um número natural qualquer maior do que m + 1,
conclui-se que yk = ym+(k-m) = zk-m. Para obter a solução desejada (6.2) basta lembrar que z0 =
ym.
Empréstimo Estudantil
P reais são tomados por empréstimo, com taxa anual de juros de R% (com capitalização
mensal). O empréstimo deve ser pago em T anos, em prestações mensais iguais de x reais.
Qual o valor da prestação mensal?
Resolução:
Primeiramente, será calculado o juro devido pelo empréstimo. Para isto, considere a taxa
mensal igual a j = R/12 (taxa proporcional)
Seja In o juro devido no pagamento do n-ésimo mês. Então:
I1 = j.P é o juro devido no pagamento do 1º mês;
I2 = j.[P - (x - I1)] = I1 – j.(x – I1) = (1 + j)I1 - j.x é o juro devido no pagamento do 2º mês,
pois o valor devido no segundo pagamento é (P + I1) - x = P - (x - I1);
I3 = j.[P - (x - I1) - (x - I2)] = I2 - j.(x - I2) = (1 + j)I2 - j.x é o juro devido no pagamento do 3º
mês, pois o valor devido no terceiro pagamento é (P + I1 + I2) - 2.x = P - (x - I1) - (x - I2).
Analogamente, Ik+1 = j.[P - (x - I1) - (x - I2) - ... - (x - Ik-1) - (x - Ik)] =
j.[ P - (x - I1) - (x - I2) - ... - (x - Ik-1)] - j.(x - Ik) = Ik - j.(x – Ik) = (1 + j).Ik - j.x.
Portanto, Ik = A. Ik-1 + B, para todo k ≥ 2, onde A = (1 + j) > 1 e B = -jx. Assim, da Eq.
(6.2) (com m =1), segue que:
Ik = Ak-1 I1 + B.(1 - Ak-1) / (1 - A) Ik =(1 + j)k-1jP + (-jx).[1 - (1 + j)k-1] / [1 - (1 + j)]
Ik =jP.(1+j)k-1 + x.[1 – (1+j)k-1].
Portanto,
Ik =(1+j)k-1[jP - x] + x.
(6.3)
12T
Desta forma, a quantidade de juros paga no empréstimo é igual a I, onde I = ¦ I i ,
i =1
(lembre-se de que o empréstimo deve ser pago em T anos, ou seja, 12T meses). Por outro
lado, ao final do pagamento de todas as parcelas, ter-se-á I = x.12T - P.
Considere as seguintes variáveis: c = (jP - x); N = 12T; J = (1 + j). Então, utilizando
Eq. (6.3), I = c Σ1≤i≤N Ji-1 + Nx = c.(1-JN)/(1 - J) + 12T.x.
Portanto,
c.(1-JN)/(1 - J) + 12T.x = x.12T - P
-P = (jP - x).[1 - (1 + j)N]/(-j)
jP(1 + j)12T = x.[(1 + j)N - 1].

-P = c.(1-JN)/(1 - J)

0 = -jP(1 + j)12T - x.[1 - (1 + j)N]

Portanto, o valor da prestação mensal é dado por:
x = jP(1+j)12T/[(1 + j)12T - 1].
7. OUTRO PROBLEMA MOTIVADOR
Comprei recentemente, no lojão dos móveis, um sofá e um rack para som e tv. O
vendedor me informou que o preço à vista das mercadorias era R$518,00; (R$399,00 o sofá e
R$119,00 o rack). Disse-me também que iria fazer um “negoção” para mim. Apresentou-me a
seguinte proposta de pagamento:
Entrada de R$103,60 + 04 pagamentos de R$103,60.
Certamente, eu poderia ter dado uma contra proposta de pagamento à vista, com um
bom desconto (aquela famosa chorada), mas em tempo de dinheiro curto, sabe como é, né?
Acabei aceitando o plano de pagamento.
Agora, o que quero saber é o seguinte: Quanto eu poderia ter pedido de desconto para
pagamento à vista mesmo, sem juro embutido?
Sugestão: Suponha que a financeira trabalha com uma taxa de juros de 3,5% ao mês.
Considere que a poupança dê rendimentos de 1% ao mês. Faça os cálculos com ambas as
taxas e considere a média aritmética dos descontos.
Resolução:
Dados:
Preço a vista: PAV = R$ 518,00
Entrada: E = R$ 103,60
Valor Financiado: VF = PAV – E VF = R$ 414,40
Valor da Prestação Mensal: PM = R$ 103,60
Número de Prestações: n = 4
Taxa mensal de juros Financeira: jF = 3,5 %
Taxa mensal de juros Poupança: jP = 1,0 %
Na demonstração do problema modelo inicial, temos em (4.1) : [1 - (1 + j)-n] / j =
VF/PM. Substituindo os dados:
•
•
p/ jF = 3,5 % VFF = ( 1- ( 1 + 0,0350 )-4 ).103,60 / 0,0350 VFF = R$ 380,48
p/ jP = 1,0 % VFP = ( 1- ( 1 + 0,01 )-4 ).103,60 / 0,01 VFP = R$ 408,03
Utilizando novamente a fórmula: VF = PAV – E, podemos saber quais são os valores exatos
que eu pagaria, considerando os juros dados no problema:
PAVREAL = R$ 518,00 (valor cobrado)
PAVF = R$ 380,53 + R$ 103,60 ≈ R$ 484,13 - diferença de R$ 33,87 do valor real
PAVP = R$ 404,24 + R$ 103,60 ≈ R$ 507,84 - diferença de R$ 10,16 do valor real
Fazendo uma média aritmética das diferenças, concluímos que o vendedor ainda poderia
tirar aproximadamente R$ 22,00 do preço á vista (ou pelo menos R$ 6,00 já que se eu
aplicasse o valor a ser pago - R$ 484,13 - em poupança com rendimento mensal de 1% ilusão hein!? - não chegaria ao valor cobrado ao final das 4 parcelas).
8. CONCLUSÃO
Com a modelagem dos problemas matemáticos apresentados, a compreensão da parte
financeira fica mais nítida. Se este método for mais explorado em escolas, com certeza, os
alunos terão um campo maior de aprendizagem envolvendo desde a matemática tradicional
(Aplicada) até a própria financeira. A aprendizagem pode ser mais atrativa se forem utilizados
alguns recursos computacionais para motivar e solucionar os problemas abordados.
O desconhecimento ao se fazer crediários de uma maneira geral, pode se constituir numa
armadilha capaz de corroer o patrimônio e a credibilidade de tomadores e de financiadores (é
o que está acontecendo com os atuais “famosos” empréstimos do INSS), daí a necessidade de
conhecer alguns mecanismos de cálculo que envolvam os contratos que estão sendo firmados.
Tive um crescimento muito grande com esta monografia, tanto pessoal como profissional e
além do mais despertou minha curiosidade e interesse pela área de financiamentos (que é o
que faço todos os dias).
9. REFERÊNCIAS
BARROSO, Leônidas C.; BARROSO, Magali M. A; FILHO, Frederico F. C.; CARVALHO,
Marcio L. B.; MAIA, Miriam L. Cálculo numérico com aplicações – 2ª edição –. São
Paulo: Editora Harbra. 1987. 397 p.
GOLDSTEIN, Larry J., LAY, David C., SCHNEIDER, David I. Matemática aplicada:
economia, administração e contabilidade – tradução de Henrique von Dreifus – 8ª
edição. Porto Alegre: Bookman, 2000. 484 p.
LIMA, E. L.; Curso de Análise - 10 ed (2ª impressão) - Rio de Janeiro: IMPA (Projeto
Euclides), 2002. 344p.
FIGUEIREDO, D. G. de; Análise 1 – 2ª edição – Rio de Janeiro: LTC, 1996. 256 p.
Álgebra Linear e Formação de Imagens: a
Tomografia Computadorizada
Franciella Marques da Costa∗
Edson Agustini†
Setembro de
2005
Resumo
Neste trabalho apresentamos um algoritmo utilizado em aparelhos de tomografia
computadorizada que permite elaborar, a partir de uma série de medições de densidades de Raios X, imagens de seções transversais do corpo humano. Além do
algoritmo exemplificado, é feita uma pequena introdução sobre o princı́pio de funcionamento de um tomógrafo e são tecidos alguns comentários sobre os problemas
do excesso de radiação ao qual um paciente está submetido em sessões de tomografia
de corpo inteiro.
Palavras-chave: tomografia computadorizada, sistemas lineares sobredeterminados, algoritmos de Técnicas de Reconstrução Algébrica.
1
Introdução
Em 1971, Godfrey Hounsfield, um programador britânico, trabalhando junto com um
neurorradiologista, conseguiu mostrar as partes internas de um cérebro humano. Foram
esses dois que batizaram o processo que acabavam de inventar com o nome pomposo de
tomografia computadorizada axial transversa. Vem a ser uma técnica para reconstruir
imagens bidimensionais de seções transversais de pacientes a partir de um conjunto de
fluxos de Raios X unidimensionais. As vantagens de tal facilidade são óbvias: ao invés de
examinar vagas sombras em um fotograma (chapa) de Raios X convencional, os médicos
podem examinar alterações patológicas na anatomia com o mesmo grau de claridade que
teriam se tivessem cortado o paciente em duas partes.
Para construir cada imagem, são emitidos feixes de Raios X que ultrapassam o corpo
do paciente e são captados por detectores. A fração de fótons da radiação que não é
absorvida ou desviada pelo corpo é captada por detectores dotados de um “cristal cintilador ” ou um “fotomultiplicador ” que converte a energia incidente em corrente elétrica,
∗
[email protected] Orientanda do Promat - Programa Institucional de Iniciação
Cientı́fica e Monitoria da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia - MG de
jan/2005 a dez/2005.
†
proporcional à potência dos Raios X originais, que por sua vez é convertida em sinais
eletrônicos que são enviados a um computador, que constrói as imagens.
Figura 1: Tomógrafo.
Figura 2: Uma imagem da base de um crânio obtida por tomografia computadorizada.
A construção de uma imagem requer encontrar soluções aproximadas de sistemas muito
grandes de equações lineares. Neste trabalho apresentamos o modo como são montadas essas equações e apresentamos um algoritmo que se enquadra na chamada classe de Técnicas
de Reconstrução Algébrica (TRA), que é utilizado para encontrar soluções aproximadas
desses sistemas lineares, soluções essas, que são úteis na construção das imagens das seções
transversais do corpo em formato digital.
Existem dois modos de “escanear” a seção transversal: o modo paralelo e o modo leque,
conforme as Figuras 3 e 4.
Figura 3: “Escaneamento” por meio de Raios X em modo paralelo.
Figura 4: “Escaneamento” por meio de Raios X em modo leque.
No modo paralelo, a fonte de Raios X emite feixes de raios paralelos que ultrapassam
o paciente e a radiação que não foi absorvida ou desviada é captada pelos detectores de
Raios X. Em seguida, o par fonte-detector é girado de um pequeno ângulo e é feito um
novo conjunto de medidas. Esse processo é repetido até ser obtido o número de medidas
desejado. Analogamente, no modo leque, a fonte de Raios X gera um leque de raios e o
que não foi absorvido ou desviado pelo paciente é captado pelo detector de Raios X. A
fonte e o detector são girados e são feitas novas medidas. Esse processo é repetido até
que o número de medidas seja o suficiente. A Figura 5 mostra um dos feixes de Raios
X transpassando um paciente. Na mesma figura temos, ao fundo, os pixels da imagem
da seção transversal desejada. Os pixels são pequenos quadrados monocromáticos que
formam a imagem, ou seja, são os “elementos básicos” da imagem. Na tomografia, a cada
pixel é atribuida uma tonalidade de cinza.
Detector
de raio x
1º pixel
Fonte de
raio x
i-ésimo feixe
N-ésimo
pixel
Figura 5: Um dos feixes de Raios X transpassando o paciente.
2
Montando um Sistema de Equações Lineares
Consideremos a Figura 5 para ver como a secção transversal é reconstruida a partir das
medidas dos feixes de Raios X. Nesta figura, o campo de visão foi dividido em pixels
numerados de 1 a N. Para compreender melhor o processo de construção da imagem,
imaginemos que a secção transversal fı́sica do paciente seja a própria imagem dividida em
pixels. Como o paciente é bombardeado inúmeras vezes por feixes de Raios X, cada pixel
será “igualmente bombardeado” por feixes de Raios X, em diversas direções, à medida
que o tomógrafo gira.
Nosso objetivo é determinar a densidade de Raios X em cada pixel. A cada densidade
de Raios X em cada pixel é associada uma tonalidade de cinza. Como cada tecido humano
absorve ou desvia densidades diferentes de Raios X, a imagem distingue os diversos tecidos
e órgãos.
A densidade de Raios X absorvida pelo j-ésimo pixel é denotada por xj e é definida
por:
número de fótons entrando no j -ésimo pixel
.
xj = ln
número de fótons saindo do j -ésimo pixel
Usando a propriedade logarı́tmica ln (a/b) = − ln (b/a) , temos
xj = − ln (fração de fótons que passa pelo j -ésimo pixel sem ser absorvida) .
As Figuras 6 e 7 representam fótons entrando e saindo de um e de uma fileira de pixels,
respectivamente.
Figura 6: Fótons entrando e saindo de um pixel.
Figura 7: Fótons entrando e saindo em uma fileira de pixels.
Conforme a Figura 7, um feixe de Raios X passa por uma fileira inteira de pixels de
tal modo que o número de fótons saindo de um pixel é igual ao número de fótons entrando
no próximo pixel. Se esses pixels são númerados 1, 2, ..., n, pela propriedade aditiva da
função logarı́tmica temos:
número de fótons entrando no primeiro pixel
x1 + x2 + ... + xn = ln
número de fótons saindo do n-ésimo pixel
= − ln (fração de fótons que passa pela linha de n pixels sem ser absorvida) .
(1)
Assim, para determinar a densidade de Raios X de uma fileira, basta somar as densidades dos pixels individuais. A densidade do i-ésimo feixe de um “escaneamento” é
denotada por bi e é dada por:
⎛
⎞
números de fótons do i-ésimo feixe entrando no detector
⎜
⎟
sem ter a seção transversal no campo de visão
⎟
bi = ln ⎜
⎝ número de fótons do i-ésimo feixe entrando no detector ⎠
com a seção transversal no campo de visão
= − ln (fração de fótons do i-ésimo feixe que passa pela seção transversal sem ser absorvida) .
(2)
Para cada feixe que passa por uma fileira horizontal ou vertical de pixels devemos ter:
fração de fótons do feixe que passa
fração de fótons do feixe que passa
=
.
pela fileira de pixels sem ser absorvida
pela seção transversal sem ser absorvida
Assim, se o i-ésimo feixe passa por uma fileira horizontal ou vertical de pixels, então
das equações (1) e (2) temos:
x1 + x2 + ... + xn = bi .
Nesta equação, a densidade bi é possı́vel de ser medida no aparelho de tomografia e
x1 , x2 , ..., xn são densidades desconhecidas que devem ser determinadas.
De modo análogo ao “caso horizontal ou vertical”, se o i-ésimo feixe passa por um
conjunto de pixels que numeramos j1 , j2 , ..., ji , então temos:
xj1 + xj2 + ... + xji = bi .
Se definirmos
aij =
1, se j = j1 , j2 , ..., ji
,
0, caso contrário
podemos escrever a equação como:
ai1 x1 + ai2 x2 + ... + aiN xN = bi .
(3)
A equação (3) é chamada de i-ésima equação de feixe.
Olhando para a Figura 5, observamos que os feixes de Raios X não passam necessariamente verticais ou horizontais por cada pixel. Há pixels que são bombardeados apenas
minimamente pelo feixe. Logo, não seria muito preciso atribuir aij = 1 para um feixe
totalmente bombardeado ou parcialmente bombardeado por um feixe de Raios X, como
estamos fazendo acima. Dependendo da capacidade computacional do tomógrafo, pode-se
definir os aij de modo diferente. Na Figura 8, mostramos três maneiras de definir os aij
da equação (3). O método do centro do pixel é o que estamos adotando. Embora não seja
o mais preciso, é o que apresenta menor dificuldade computacional.
O Método do Centro do Pixel
a Ij =
{
I-ésimo feixe
1 se o i-ésimo feixe passa
pelo cent ro do j-ésimo pixel
0 caso contrário
J-ésimo pixel
O Método da Reta Central
(
aIj =
Comprimento da
reta central
)
Comprimento da reta
central do i-ésimo feixe
que fica no j-ésimo pixel
_________________________
largura do j-ésimo pixel
Largura do
pixel
O Método da Área
(
a =
Ij
)
Área do i-ésimo feixe pixel
________________________
área do i-ésimo feixe que
ficaria no j-ésimo pixel se
o i-ésimo feixe atravessasse
o pixel paralelamente
Àrea no
numerador de a
Ij
Área no
denominador de a
Ij
Figura 8: Métodos para determinação dos coeficientes das densidades de pixel.
Supondo que para construir uma imagem foram emitidos M feixes de Raios X no
total, podemos escrever as M equações de feixe de um “escaneamento” completo como:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1N xN = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2N xN = b2
..
.
⎪
⎪
⎪
⎩ a x + a x + ... + a x = b
M1 1
M2 2
MN N
M
(4)
Assim, teremos um sistema linear de M equações (as M equações do feixe) e N
incógnitas (as N densidades de de cada pixel ).
Dependendo do número de feixes e de pixels usados, podemos ter M > N, M = N
ou M < N. Vamos considerar o caso sobredeterminado em que M > N, que é o caso
que ocorre nos tomógrafos. Esse sistema não terá uma solução matemática exata, devido
aos erros experimentais e de modelagem inerentes ao problema. No entanto, existe um
algoritmo simples que permite achar uma solução aproximada para o sistema linear (4).
É importante ressaltar que, para a geração de uma imagem padrão moderna de 512 ×
512 pixels de 1 mm2 , temos N = 262.144 e M maior ainda!
3
O Algoritmo
Foram desenvolvidos vários algoritmos para achar uma solução para um sistema linear
sobredeterminado muito grande. (4). O algoritmo que vamos descrever pertence a uma
classe de Técnicas de Reconstrução Algébrica (TRA). Esse método vem sendo utilizado
desde a primeira máquina comercializada de tomografia computadorizada.
Para introduzir essa técnica usamos como exemplo o seguinte sistema linear de três
equações (M = 3) e duas incógnitas (N = 2):
⎧
⎨ L1 : x 1 + x 2 = 2
L2 : x1 − 2x2 = −2
⎩
L3 : 3x1 − x2 = 3
(5)
As retas L1 , L2 e L3 determinadas por estas equações estão esboçadas no plano x1 x2 .
Essas três retas não tem uma intersecção comum, como mostra Figura 9:
Figura 9: As retas L1 , L2 e L3 .
Isto significa que esse sistema linear não tem uma solução exata. Contudo, os pontos
(x1 , x2 ) do triângulo determinado por L1 , L2 e L3 podem ser considerados soluções aproximadas do sistema, pois estão situados “perto” dessas três retas. O seguinte procedimento
interativo descreve uma construção geométrica para gerar pontos na fronteira dessa região
triangular:
3.1
O Algoritmo no Caso Bidimensional
Passo 1: Escolha um ponto inicial x0 arbitrário no plano x1 x2 .
(1)
Passo 2: Projete x0 ortogonalmente sobre a primeira reta L1 e chame a projeção de x1 .
O sobrescrito (1) indica que esta é a primeira de uma sucessão de rodadas do algoritmo.
(1)
Passo 3: Projete x1 ortogonalmente sobre a segunda reta L2 e chame a projeção de
(1)
x2 .
(1)
(1)
Passo 4: Projete x2 ortogonalmente sobre a terceira reta L3 e chame a projeção de x3 .
(1)
Passo 5: Tome x3 como o novo valor de x0 repita a rodada de passos de 2 a 4. Na
(2)
(2)
(2)
segunda rodada, chame os pontos projetados de x1 , x2 e x3 ; na terceira rodada chame
(3)
(3)
(3)
os pontos projetados de x1 , x2 e x3 e assim por diante (Figura 10):
Figura 10: Os primeiros passos do algoritmo.
Este algoritmo gera três seqüências de pontos:
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
x1 , x1 , x1 ...
x2 , x2 , x2 ...
x3 , x3 , x3 ...
que estão nas três retas L1 , L2 e L3 , respectivamente. Pode ser mostrado que, sempre
que as três retas não são paralelas, a primeira sequência converge a um ponto x∗1 de L1 ,
a segunda converge a um ponto x∗2 de L2 e a terceira a um ponto x∗3 de L3 (Figura 11).
Estes três pontos limites formam o que se chama um ciclo-limite do processo interativo.
Pode ser mostrado que o ciclo-limite independe do ponto inicial x0 .
Figura 11: Ciclo limite.
A seguir estudamos as fórmulas especı́ficas necessárias para aplicar a projeção ortogonal do algoritmo acima. Primeiro expressamos a equação:
a1 x1 + a2 x2 = b
da reta no espaço x1 x2 em forma vetorial por:
at x = b,
sendo:
a=
a1
a2
ex=
x1
x2
.
O teorema a seguir fornece a expressão da projeção.
Teorema 3.1 (fórmula da projeção ortogonal) Sejam L uma reta em R2 de equação
at x = b e x∗ um ponto qualquer de R2 (Figura 12). Então a projeção ortogonal xp de x∗
sobre L é dada por
(b − at x∗ )
xp = x∗ +
a.
at a
Figura 12: A projeção ortogonal de um ponto em uma reta.
Demonstração
Antes de demonstrarmos o teorema, convém estabelecer uma expressão para a projeção
ortogonal de um vetor na direção de outro. Para tanto, consideremos a projeção ortogonal
de u na direção de v :
u
proj u
v
v
Figura 13: Projeção ortogonal de um vetor na direção de outro.
Seja αv a projeção ortogonal de u na direção de v . Definimos w
como sendo (Figura
14):
w
= u − αv .
(6)
u
w
v
a v ; a¹0
Figura 14: O produto escalar de w
por v é nulo.
Assim, temos que w
e v são ortogonais. Logo, o produto escalar de w
por αv é nulo,
ou seja:
w.
(αv ) = 0.
(7)
Logo, de (6) e (7) temos:
(u − αv ).(αv ) = 0 ⇒
u.(αv ) − (αv ). (αv ) = 0 ⇒
α(u.v ) − α2 (v .v ) = 0 ⇒
u.v − α (v .v ) = 0 ⇒
u.v = α (v .v ) ⇒
u.v
α=
v .v
Mas αv = projv u, o que implica:
u.v
v
v .v
Vamos à demonstração do teorema propriamente dita.
Sejam:
x1
a1
ex=
,
a=
a2
x2
projv u =
logo, a equação geral a1 x1 + a2 x2 = b de uma reta no plano pode ser escrita na forma
x1
t
=b
a x = b ⇒ a1 a2 .
x2
O vetor ãt = (a1 , a2 ) é ortogonal à reta at x = b.
Sejam x̃∗ um vetor qualquer do plano cartesiano e x̃p sua projeção ortogonal na reta
L de equação vetorial at x = b.
Assim, utilizando projeções, (Figura 15):
x2
proj
a
*
TX
aT
proj
aT
X
X*
p
X
p
X*
-
X
p
L: a T . x=b
Figura 15: Projeções ortogonais.
x1
podemos escrever:
x̃∗ − x̃p = projãt x̃∗ − projãt x̃p
x̃∗ .ãt
x̃p .ãt
= t t ãt − t t ãt
ã .ã
ã .ã
Na notação matricial, podemos escrever a equação vetorial acima como a equação
matricial abaixo:
at xp
a t x∗
a
−
a
ta
ta
a
a
t ∗
at xp
ax
− t
a
=
at a
aa
x∗ − xp =
Mas xp pertence à reta L, logo, xp satisfaz a equação da reta L: at xp = b. Assim:
t ∗
b
ax
∗
− t
a⇒
x − xp =
at a
aa
b − a t x∗
∗
xp = x +
a,
at a
como querı́amos.
3.2
Um Exemplo
Podemos utilizar o algoritmo no caso bidimensional para obter uma solução aproximada
do sistema linear sobredeterminado:
⎧
⎨ L 1 : x1 + x2 = 2
L2 : x1 − 2x2 = −2 .
⎩
L3 : 3x1 − x2 = 3
Escrevendo as equações das três retas na forma vetorial:
L1 : at1 x = b1
L2 : at2 x = b2
L3 : at3 x = b3
sendo:
x=
x1
x2
, a1 =
1
1
, a2 =
1
−2
e a3 =
3
−1
,
obtemos pelo Teorema 3.1 a expressão:
(p)
xk
=
(p)
xk−1
(p)
bk − atk xk−1
+
ak ; k = 1, 2, 3
atk ak
para o esquema iterativo do algoritmo acima, sendo p = 1 para a primeira rodada de
iteração, p = 2 para a segunda rodada de iteração e assim por diante. Ao fim de cada
(p)
ciclo de iterações, ou seja, depois de calcular x3 , iniciamos o ciclo seguinte com x0 tomado
(p)
como x3 .
(1)
Comecemos com x0 = x0 = (1, 3).
Logo, utilizando a expressão acima temos:
(1)
x1
(1)
x2
(1)
x3
=
1
3
2−
+
1 1
1 1
1
1
1
3
0
2
1
1
=
0
2
1 −2
1
0, 4
=
=
+
−2
1, 2
1
1 −2
−2
0, 4
3 − 3 −1
1, 2
3
1, 3
0, 4
=
=
+
3
−1
0, 9
1, 2
3 −1
−1
0
2
−2 −
Prosseguindo, temos os dados da Tabela 1:
x0
(1)
x1
x2
1,00000 3,00000
x1
(1)
x2
(1)
x3
0,00000 2,00000
0,40000 1,20000
1,30000 0,90000
x1
(2)
x2
(2)
x3
1,20000 0,80000
0,88000 1,44000
1,42000 1,26000
x1
(3)
x2
(3)
x3
1,08000 0,92000
0,83200 1,41600
1,40800 1,22400
x1
(4)
x2
(4)
x3
1,09200 0,90800
0,83680 1,41840
1,40920 1,22760
x1
(5)
x2
(5)
x3
1,09080 0,90920
0,83632 1,41816
1,40908 1,22724
x1
(6)
x2
(6)
x3
1,09092 0,90908
0,83637 1,41818
1,40909 1,22728
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
É possı́vel mostrar, usando técnicas de Análise, que a seqüência de pontos em L1 , L2
e L3 converge para os vértices do ciclo limite cujas coordenadas possuem os seguintes
valores exatos:
12 10
,
= (1, 0909..., 0, 90909...)
=
11 11
46 78
,
= (0, 83636..., 1, 41818...)
x∗2 =
55 55
31 27
∗
,
x3 =
= (1, 40909..., 1, 22727...)
22 22
x∗1
Pode ser observado que na sexta rodada do algoritmo obtemos uma excelente aprox(6)
(6)
(6)
imação do ciclo limite. Portanto, uma das três iteradas x1 , x2 ou x3 (ou qualquer
ponto no interior do triângulo com esses vértices) pode ser usada como uma solução
aproximada do sistema linear.
3.3
O Algoritmo Generalizado
Para generalizar o algoritmo do caso bidimensional de tal modo que se aplique a sistemas
sobredeterminados quaisquer:
⎧
⎪
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
⎪
⎪
⎨ a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
(8)
..
⎪
.
⎪
⎪
⎩ a x + a x + ... + a x = b
M1 1
M2 2
MN
N
M
de M equações e N incógnitas, introduzimos as matrizes coluna x e ai como seguem:
⎡
⎡
⎤
⎤
x1
ai1
⎢ x2 ⎥
⎢ ai2 ⎥
⎢
⎢
⎥
⎥
x = ⎢ .. ⎥ ,
ai = ⎢ .. ⎥ ,
i = 1, 2, ..., M.
⎣ . ⎦
⎣ . ⎦
xn
ain
Com estas matrizes, as M equações que constituem o nosso sistema linear (8) podem
ser escritas em formato matricial como:
ati x = bi ;
i = 1, 2, ..., M.
Cada uma dessas M equações define o que é chamado um hiperplano no espaço euclidiano N -dimensional, Rn . Em geral, estes hiperplanos não têm intersecção comum e assim
procuramos um ponto que esteja “razoavelmente” próximo de todos os hiperplanos. Um
tal ponto será uma solução aproximada do sistema linear e suas N entradas determinarão
densidades de pixel aproximadas com as quais formamos a imagem da seção transversal
desejada.
Como no caso bidimensional, introduzimos um processo iterativo que gera ciclos de
sucessivas projeções ortogonais sobre os M hiperplanos a partir de um ponto arbitrário
do Rn . Denotamos estas sucessivas iteradas por:
A iterada pertence ao k -ésimo hiperplano
(p)
xk =
gerado durante o p-ésimo ciclo de iterações
Os resultados que vimo no caso bidimensional valem para o caso N -dimensional e o
algoritmo é como segue:
Passo 1: Escolha um ponto x0 arbitrário do Rn .
Passo 2: Para a primeira rodada, tome p = 1.
Passo 3: Para k = 1, 2, ..., M, calcule:
(p)
xk
=
(p)
xk−1
(p+1)
Passo 4: Denote x0
(p)
bk − atk xk−1
+
ak .
atk ak
(p)
= xm .
Passo 5: Aumente o número da rodada p por 1 e retorne ao passo 3.
(p)
(p)
No passo 3, a iterada xk é chamada a projeção ortogonal de xk−1 sobre o hiperplano
t
ak x = bk . Conseqüentemente, como no caso bidimensional, este algoritmo determina uma
seqüência de projeções ortogonais de um hiperplano sobre o seguinte até chegar ao último,
quando então retornamos, cada vez, voltando a projetar sobre o primeiro.
(1)
(2)
(3)
Pode ser mostrado que se os vetores ã1 , ã2 , ..., ãn geram o Rn , então a iteradas xk , xk , xk , ...
no k-ésimo hiperplano convergem a um ponto x∗k naquele hiperplano, que não depende
da escolha do ponto inicial x0 .
(p)
Na tomografia computadorizada é escolhida uma das iteradas xk , com p suficientemente grande, como uma solução aproximada do sistema linear para as densidades de
pixel.
Observe que para o método do centro de pixel, a quantidade escalar atk ak que aparece
na equação do passo 3 do algoritmo é simplesmente o número de pixels nos quais o k(p)
ésimo feixe passa pelo centro. Analogamente, note que a quantidade escalar bk − atk xk−1
naquela mesma equação pode ser interpretada como o excesso de densidade que resulta
do k-ésimo feixe se as densidades de pixel são tomadas como sendo iguais às entradas
(p)
de xk−1 . Isto fornece a seguinte interpretação do nosso esquema de iteração do tipo TRA
para o método do centro de pixel : Gere a densidade de pixel de cada iterada distribuindo o
excesso de densidade de feixe de sucessivos feixes do “escaneamento” de maneira uniforme
entre aqueles pixels nos quais o feixe passa pelo centro. Quando for alcançado o último
feixe do “escaneamento”, retorne ao primeiro feixe e continue.
3.4
Mais um Exemplo
Podemos usar o algoritmo generalizado para obter as densidades de pixel desconhecidas
dos nove pixels que estão dispostos na Figura 16. Estes nove pixels (N = 9) são “escaneados”, usando o modo paralelo, com doze feixes (M = 12) cujas densidades de feixe são
medidas e indicadas na Figura 16:
b6 =3,81
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1 2 3
4 5 6
7 8 9
b3 =8,00
b2 =15,00
b1 =13,00
b5 =14,31
b4 =14,79
b8 =12,00
b9 =6,00
b7 =18,00
1 2 3
4 5 6
7 8 9
b11 =16,13
b12 =7,04
b10 =10,51
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Figura 16: Os feixes de raios X e suas medidas no detector.
Escolhemos o método do centro de pixel para montar as doze equações. Como pode
ser conferido, as equações de feixe são:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x7 + x 8 + x 9
x4 + x5 + x6
x1 + x2 + x3
x6 + x8 + x9
x3 + x5 + x7
x1 + x2 + x4
x3 + x6 + x9
x2 + x5 + x8
x1 + x4 + x7
x2 + x3 + x3
x1 + x5 + x9
x4 + x7 + x8
= 13, 00
= 15, 00
= 8, 00
= 14, 79
= 14, 31
= 3, 81
= 18, 00
= 12, 00
= 6, 00
= 10, 51
= 16, 13
= 7, 04
Utilizando a fórmula proposta pelo algoritmo generalizado:
(p)
(p)
xk = xk−1 +
(p)
bk − atk xk−1
ak ,
atk ak
montamos a seguinte tabela:
x0
(1)
x1
(1)
x2
(1)
x3
(1)
x4
(1)
x5
(1)
x6
(1)
x7
(1)
x8
(1)
x9
(1)
x10
(1)
x11
(1)
x12
x1
0,00
0,00
0,00
2,67
2,67
2,67
0,49
0,49
0,49
-0,31
-0,31
1,06
1,06
x2
0,00
0,00
0,00
2,67
2,67
2,67
0,49
0,49
0,84
0,84
0,13
0,13
0,13
x12
2,03
0,69 4,42 1,34 7,49 5,39 2,65 3,04 6,61
1,78
0,51 4,52 1,26 7,49 5,48 2,56 3,22 6,86
1,82
0,52 4,62 1,37 7,49 5,37 2,45 3,22 6,82
1,79
0,49 4,71 1,43 7,49 5,31 2,37 3,25 6,85
1,68
0,44 5,03 1,70 7,49 5,03 2,04 3,29 6,96
1,49
0,48 5,29 2,00 7,49 4,73 1,79 3,25 7,15
1,38
0,55 5,34 2,11 7,49 4,62 1,74 3,19 7,26
1,33
0,59 5,33 2,14 7,49 4,59 1,75 3,15 7,31
1,32
0,60 5,32 2.15 7,49 4,59 1,76 3,14 7,32
(2)
(3)
x12
(4)
x12
(5)
x12
(10)
x12
(20)
x12
(30)
x12
(40)
x12
(45)
x12
x3
0,00
0,00
0,00
2,67
2,67
3,34
3,34
4,93
4,93
4,93
4,22
4,22
4,22
x4
0,00
0,00
5,00
5,00
5,00
5,00
2,83
2,83
2,83
2,02
2,02
2,02
0,58
x5
0,00
0,00
5,00
5,00
5,00
5,77
5,77
5,77
6,11
6,11
6,11
7,49
7,49
x6
0,00
0,00
5,00
5,00
5,37
5,37
5,37
6,87
6,87
6,87
6,16
6,16
6,16
x7
0,00
4,33
4,33
4,33
4,33
5,10
5,10
5,10
5,10
4,30
4,30
4,30
2,85
x8
0,00
4,33
4,33
4,33
4,71
4,71
4,71
4,71
5,05
5,05
5,05
5,05
3,61
x9
0,00
4,33
4,33
4,33
4,71
4,71
4,71
6,20
6,20
6,20
6,20
7,58
7,58
A tabela acima ilustra os resultados do esquema iterativo começando com uma iterada
inicial x0 = 0. A tabela fornece os valores de cada uma das iteradas da primeira rodada,
(1)
(1)
(p)
x1 até x12 , mas depois disto fornece as iteradas somente de x12 para alguns valores de p.
(p)
As iteradas x12 começam a se repetir até duas casas decimais para p ≥ 45, de modo que
(45)
tomamos as entradas de x12 como um valor aproximado das nove densidades de pixel.
A área de tomografia computadorizada é, atualmente, uma área de pesquisa bastante
ativa. Na verdade, o esquema de TRA discutido aqui já foi substituı́do, nos sistemas
comerciais, por técnicas mais sofisticadas que são mais rápidas e fornecem uma visão mais
acurada da secção transversal. Contudo, todas as novas técnicas remontam ao mesmo
problema matemático básico: encontrar uma boa solução aproximada de um sistema
sobredeterminado e inconsistente constituı́do de uma grande quantidade de equações lineares.
4
O Problema da Exposição Excessiva à Radiação na
Tomografia Computadorizada
Embora esse assunto final não seja de cunho matemático, encerramos esse trabalho com
algumas palavras sobre a questão do excesso de radiação ao qual um paciente está exposto em sessões de tomografia computadorizada. Obviamente não se discute a utilidade
que a tomogafia computadorizada representa na medicina moderna (tanto que Godfrey
Hounsfield ganhou o prêmio Nobel de Medicina em 1979), no entanto, há um lado negativo
nessa tecnologia.
Em 1o . de setembro de 2004 a agência inglesa de notı́cias BBC (www.bbc.co.uk) tráz
uma reportagem intitulada “Tomografia computadorizada pode causar câncer”,
cujo conteúdo segue abaixo:
Tomografias computadorizadas do corpo inteiro expõem pacientes a nı́veis de radiação
semelhantes aos das bombas atômicas lançadas sobre Hiroshima na Segunda Guerra Mundial, afirmam cientistas da Universidade de Columbia, nos Estados Unidos. O exame
usa uma forma de radiação que pode detectar sinais de câncer e outras doenças. Mas ela
também pode causar câncer, segundo a pesquisa da Universidade de Columbia publicada
no jornal especializado Radiation.
Os cientistas pedem para que pessoas saudáveis não se submetam ao exame como parte
de seus check-ups rotineiros, mas afirmam que para quem tem sintomas de alguma doença,
os benefı́cios da tomografia computadorizada compensam de longe os riscos de exposição à
radiação. Nos Estados Unidos, e em menor escala no Reino Unido, mais e mais pessoas
saudáveis e sem nenhum sintoma se submetem ao exame - algumas vezes anualmente como prevenção.
O médico David Brenner e seus colegas estimaram os riscos de repetidas tomografias
usando dados sobre as vı́timas de radiação depois do lançamento de bombas atômicas em
Hiroshima e Nagasaki, em 1945. A dose de radiação estimada no estômago e nos pulmões
em uma tomografia de corpo inteiro é próxima à recebida por alguns dos sobreviventes dos
bombardeios, que foram expostos à radiação mı́nima durante as explosões atômicas. Sabese que, por causa da radiação, esses sobreviventes sofrem maior risco de câncer, o que,
para os cientistas, sugere que um risco semelhante advém das tomografias de corpo inteiro.
”Nossa pesquisa prova definitivamente que o risco de radiação está associado à tomografia de corpo inteiro”, disse Brenner. Eles estimam que se uma pessoa de 45 anos fizer
uma tomografia, o risco de desenvolver câncer como resultado seria uma chance em 1,2
mil. Mas se a mesma pessoa passar pelo exame todos os anos, durante 30 anos, este risco
sobre para uma chance a cada 50.
Referências
[1] Anton, H & Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações. 8a. ed. Porto Alegre:
Bookman. 2001.
[2] Boldrini, J. L. et alli. Álgebra Linear. 3a. ed. Rio de Janeiro: Harbra. 1986.
[3] Boulos, P. & Camargo, I. Geometria Analı́tica: um tratamento vetorial. 2a. ed.
São Paulo: McGraw-Hill. 1987.
APLICAÇÃO DA ESTATÍSTICA NA MANUTENÇÃO PREDITIVA
Raquel Maria Gondim *
Marcus Antonio Viana Duarte **
Faculdade de Engenharia Mecânica
Pós-graduação em Engenharia Mecânica
Universidade Federal de Uberlândia – UFU
38400-100, Uberlândia -MG
Outubro 2005
Resumo: A manutenção tem como objetivo garantir a disponibilidade da
função dos equipamentos e instalações para atender a um processo de produção ou
de serviço com confiabilidade.
Neste trabalho daremos ênfase à manutenção preditiva, que visa prevenir as falhas
em equipamentos ou sistemas sem que haja a paralisação dos mesmos. Para esta
análise apresentaremos algumas distribuições estatísticas e suas aplicações dentro
da manutenção. Sendo o estudo da distribuição de Weibull o nosso objetivo, a
análise de Weibull é um método estatístico que correlaciona dados específicos de
falha com uma distribuição particular, podendo indicar o tipo de falha, prematuro,
randômico ou desgaste.
1. Confiabilidade
O termo confiabilidade é muito usado na manutenção, e teve origem na
década de 50 nos Estados Unidos para análise de falha em equipamentos
eletrônicos de uso militar.
Confiabilidade é a probabilidade que um item possa desempenhar sua
função, por um intervalo de tempo [0, t], sob condições definidas de uso. O valor t
não pode ser previsto a partir de um modelo determinístico, isto é, componentes
“idênticos” sujeitos a “idênticos” esforços falharão em diferentes e imprevistos
instantes. Deste modo o emprego de um modelo probabilístico, considerando t uma
variável aleatória, constitui-se no único tratamento realista do assunto.
Sendo R(t) a função de confiabilidade de um sistema ou componente na
época t, definida como R(t) = P(T>t), onde T é a duração de vida.
f
A função densidade de probabilidade (fdp) de T, f é R(t)= ³ f ( s )ds .
t
Em termos da função densidade (fd) de T, F é R(t)= 1-P(T d t) = 1- F(t).
Além da função de confiabilidade, temos outra função importante em manutenção,
que é a taxa de falhas Z(t) dada por:
Z(t)= n° de falha/ n° total de horas de op.
Ou
Z(t)= n° de falha/unidade testadas x n° de horas de teste.
* Mestranda da Pós-Graduação da Engenharia Mecânica / CNPq
E-mail: [email protected]
** Professor orientador
E-mail: [email protected]
Matematicamente podemos escrever:
f (t )
f (t )
, ou seja,
para F(t)<1
Z (t )
Z (t )
1 F (t )
R (t )
Como a taxa de falhas e a confiabilidade estão diretamente ligadas, podemos citar
um interessante teorema:
Se T, a duração até falhar, for uma variável aleatória continua, com fdp f e se
F(0)=0, onde F é a fd de T, então f poderá ser expressa em termos da taxa
de falhas Z, da forma:
t
³
Z (s)ds
f(t)=Z(t).
e0
(1)
Este teorema nos mostra que a taxa de falhas Z determina univocamente a fdp f,
valendo também a recíproca.
Os conceitos de confiabilidade e taxa de falhas, estão entre as mais importantes
ferramentas necessárias para um estudo profundo dos “modelos de falhas” a partir
destes chegamos a seguintes questões:
x Qual modelo matemático é adequado para a descrição de um fenômeno
observável?
x Que “Lei de Falhas” subjacentes será razoável admitir? (Isto é, que forma a
fdp de T deve ter? )
Para responder estas questões, podemos usar o ponto de vista estritamente
matemático e assumir qualquer fdp para T, e depois, simplesmente estudar as
conseqüências dessa hipótese, contudo estamos interessados em ter um modelo
que represente os dados de falhas disponíveis. Então analisaremos a partir de
agora os mais importantes tipos de distribuições e leis de falhas, e a aplicação de
cada uma.
2. Tipos de Distribuições
Verificamos que, na construção de modelos não-determinísticos para
fenômenos observáveis, algumas distribuições de probabilidade são mais usadas
que outras, veremos algumas destas distribuições e suas aplicações.
2.1 Distribuições Aleatórias Discretas
2.1.1 Distribuição de Poisson
Def.:Seja X uma variável aleatória discreta (VAD), tomando os seguintes
exp(D ).D k
valores 0,1,...n..., . Se a função de densidade de for dada por P(X=k)=
,
k!
onde k=0,1,2,...,n,..., então X tem a distribuição de Poisson, com parâmetro D ! 0 .
Com E(X)= D e a variância V(X)= D
Aplicações:
x Modelar eventos aleatórios que ocorrem com uma determinada
freqüência, onde a média D é conhecida e constante intervalo entre os
eventos.
2.1.2 Distribuição Binomial
Def.: Seja X VA definida como o número de vezes que o evento A tenha
ocorrido, então X é uma VA Binomial com parâmetro n e p, com P(A)=p (constante)
e n= número de repetições.Logo sendo X uma VA Binomial, baseada em n
§n·
nk
repetições com a sua função densidade P(X=k)= ¨¨ ¸¸ p k 1 p , K=0,1,...,n, então
k
© ¹
temos a distribuição binomial.
A média será E(X)=np e a variância V(X)=np(1-p)
Aplicações:
x Amostragem com reposição
x Número de sucesso em n tentativas independentes.
x Número de itens defeituosos num conjunto de tamanho n.
2.1.3 Distribuição Geométrica
Def.: Sendo [ um experimento e estamos interessados na ocorrência ou nãoocorrência de algum evento A; repetimos o experimento até ocorrer A pela primeira
vez, sendo as repetições independentes e que cada repetição tenha P(A)=p e
P( A )= 1-p=q sempre os mesmos.
Temos X o número de repetições necessárias para obter a primeira
ocorrência de A, X terá sua função densidade dada por: P(X=k)= q k 1 p , k=1,2,...
regida pela distribuição geométrica.
A média será E(X)=1/p e a variância V(X)= q / p 2
Aplicações:
x Número de insucessos antes do primeiro sucesso em n amostragens.
x Número de amostragens necessárias até obter um sucesso.
x Número de itens retirados até encontrar um defeituoso.
2.1.4 Distribuição Hipergeométrica
Def.:Suponha que tenhamos um lote de N peças, com r peças defeituosas e
(N-r) não defeituosas. Se escolhermos ao acaso n peças deste lote sem reposição,e
X o número de peças defeituosas encontradas. Sua função de densidade dado por:
§ r ·§ N r ·
¨¨ ¸¸¨¨
¸
k ¹© n k ¸¹
©
P(X=k)=
, k=0,1,2,..., então temos a distribuição hipergeométrica.
§N·
¨¨ ¸¸
©n ¹
N n
, onde p=r/N e q=1-p
A média será E(X)=np e a variância V(X)= npq
N 1
Aplicações:
x Amostragem sem reposição
x Número de sucesso em n tentativas independentes.
x Número de itens defeituosos num conjunto de tamanho n.
2.2. Distribuições Aleatórias Contínuas
2.2.1 Distribuição Normal
Def.: Seja X variável aleatória, que tome os valores reais f x f , e sua
função densidade de probabilidade dada por:
§ (x P)2 ·
1
¸¸ , temos uma distribuição normal N( P , V 2 ).
f(x)=
exp¨¨ 2
2
2V
2SV
¹
©
A média será E(X)= P e a variância V(X)= V 2 .
Aplicações:
x Erros de diversos tipos,ruídos.
x Valores que são a soma de grande número de outros valores
x Desgaste.
2.2.2 Distribuição Exponencial
Def.: Seja X variável aleatória, que tome todos os valores não negativos.
e sua função densidade de probabilidade dada por:
f ( x) D exp(Dx) , x t 0, temos uma distribuição exponencial, com parâmetro D >0.
1
1
A média será E(X)= e a variância V(X)= 2 .
D
D
Aplicações:
x É utilizada normalmente para representar a duração de um
determinado serviço.
x Intervalo de tempo até a falha de uma peça de um equipamento.
x Fadiga
2.2.3 Distribuição Gama
Def.: Seja X VAC, que tome somente valores não negativo, com função
densidade de probabilidade: f ( x)
D
*( r )
(Dx) r 1 e Dx ,
x>0, e os parâmetros r t 1 e
D ! 0.
Sendo *(r ) a função Gama definida como:
f
*( p )
³x
p 1 x
e dx , p>0
0
Para r=1 a fdp da distribuição Gama fica idêntica à distribuição exponencial.
f ( x) D exp(Dx)
Para r = a fdp da distribuição Gama pode ser generalizada dada pela forma
f ( x)
D
Dx r 1 e Dx , a partir desta função podemos usar a fd F(x)=1-P(X>x) e
r 1!
mostrarmos que a fd da distribuição Gama é igual à fd da distribuição de Poisson.
r
r
A média será E(X)= e a variância V(X)= 2 .
D
Aplicações:
x Tempo para realizar uma tarefa.
D
3. Leis de Falhas
3.1 Lei de Falhas Normal
A lei de falhas normal representa um modelo apropriado para componentes
nos quais a falha seja devida a algum efeito de ‘desgaste’.
A sua fdp será dada por:
§ 1 § t P ·2 ·
1
¸,
Tt 0
exp¨ ¨
f (t )
¨ 2 © V ¸¹ ¸
2SV
©
¹
Onde: P média até falhar
V desvio padrão
De acordo com a fdp normal, temos que a maioria das peças falham em torno da
duração média. A função de confiabilidade para este caso pode ser expressa em
termos da fdp:
t
§ 1 § t P ·2 ·
1
R(t)=1-P(T d t) =1exp
¸ ¸dx
³ ¨ ¨
2SV f ¨© 2 © V ¹ ¸¹
3.2 Lei de Falhas Exponencial
É a lei mais importante, pode ser caracterizada de muitas maneiras, mas a
maneira mais simples é supor que a taxa de falhas seja constante, isto é, Z(t)= D .
Esta hipótese pode significar que depois que a peça estiver em uso, sua
probabilidade de falhar não se altera, ou seja, não existe o desgaste.
Em conseqüência desta hipótese e aplicando a equação (1) a sua fdp fica:
f (t ) D exp(Dt ) , t>0
E a confiabilidade:
R(t)= 1- F(t) = exp(Dt )
Há muitas situações encontradas nos estudos de falhas, para os quais a
hipótese básica que levam à distribuição exponencial não será satisfeita, isto porque
uma peça que não tenha falhado é tão boa quanto à peça nova, então devemos
considerar t como o tempo de operação (até falhar), sem se importar com o histórico
da peça.
4. Distribuição de Weibull
Expressão semi-empírica desenvolvida por Ernest H. W. Weibull, físico sueco,
que em 1939 apresentou o modelo de planejamento estatístico sobre fadiga de
material. Adequada para leis de falhas em equipamentos sempre que o sistema for
composto de vários componentes e a falha seja essencialmente devida a “mais
grave” imperfeição, dentre um grande número de “imperfeições”, onde a taxa de
falha não precisa ser constante. Esta distribuição nos permite:
x representar falhas típicas de partida (mortalidade infantil), falhas
aleatórias e falhas devido ao desgaste.
x obter parâmetros significativos da configuração das falhas.
x representação gráfica simples.
Principais expressões matemáticas:
f (t )
EK
E
§ t t0
(t t 0 ) exp ¨¨
© K
ª §t t
0
F (t ) 1 exp « ¨¨
K
¬« ©
R(t ) 1 F (t )
Z (t )
TMEF
V
§ E
¨¨ E
©K
·
¸¸
¹
E
E
· º
¸¸ » , probabilidade de um item falhar num intervalo t.
¹ »¼
ª §t t
0
exp « ¨¨
«¬ © K
·
¸¸
¹
E
º
» , confiabilidade.
»¼
·
¸¸t t 0 E 1 , taxa de falha.
¹
t 0 K*(1 E 1 ) , tempo médio entre falhas.
K >*1 2E 1 * 2 1 E 1 @ 2 , desvio padrão
E (t )
1
·
1 §1
*¨¨ 1¸¸
K ©E ¹
Onde:
t 0 Vida mínima, intervalo de tempo que o equipamento não apresenta
falhas.
K Vida Característica, intervalo de tempo entre t0 e t no qual ocorrem 63,2%
das falhas.
E Fator de Forma, indica a forma da curva e a características das falhas.
Quando:
E <1, mortalidade infantil
E =1, falhas aleatórias
E >1, falhas por desgaste
Uma das particularidades mais interessantes decorre do fato de que alterando
o valor de E , a função densidade de probabilidade de Weibull toma formas de
outras distribuições, dependendo do valor de E à distribuição de Weibull pode ser
igual ou se aproximar de varias outras distribuições.
Exemplo: Uma centena de bombas idênticas opera continuamente até falhar.
Temos o tempo de falha de cada uma, dada na tabela abaixo:
Tempo de Falha
(horas)
Freq.
Obs.
1000 => 1100
1100 => 1200
1200 => 1300
1300 => 1400
1400 => 1500
1500 => 1600
1600 => 1700
1700 => 1800
1800 => 1900
Total:
2
6
16
14
26
22
7
6
1
100
Freq.
Freq.
Simples Acumul.
Obs
Obs
0.02
0.06
0.16
0.14
0.26
0.22
0.07
0.06
0.01
1.00
0.02
0.08
0.24
0.38
0.64
0.86
0.93
0.99
1.00
---
Temos que:
I. Determinar t0 :
II. Encontrar K e E :
I. Determinar t0 :
Para determinar t0 , temos três métodos, por tentativas, pela utilização de papel
gráfico e por meio de programas. Encontraremos t0 através de programa baseado
na tentativa para encontrar o menor erro, no MATLAB.
to=900
II. Encontrar K e E :
Fazendo a transformação linear da forma da distribuição de Weibull, podemos
obter estes coeficientes:
ª § t t ·E º
ª § t t ·E º
0
0
¸¸ »
¸¸ » F (t ) 1 exp « ¨¨
F (t ) 1 exp « ¨¨
K
K
¹ »¼
«¬ ©
«¬ ©
¹ »¼
E
§
ª § t t ·E º·
§ t t0 ·
0
¨
¸
¸ » ln( F (t ) 1) ¨¨
ln( F (t ) 1) ln exp « ¨¨
¸
¨
K ¸¹ ¼» ¸
K ¸¹
«
©
©
¬
©
¹
ln(ln(F (t ) 1)) E ln(t t 0 ) E ln(K )
Y a. X b
Temos a seguinte tabela:
t
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
F(t) Y=Ln{-Ln[1-F(t)]}
0.02
0.08
0.24
0.38
0.64
0.86
0.93
0.99
1.00
-3.9019
-2.4843
-1.2930
-0.7381
0.0214
0.6761
0.9780
1.5272
------
X=Ln(t-to)
to=900 h
5.2983
5.7038
5.9915
6.2146
6.3969
6.5511
6.6846
6.8024
------
K = 594,28
E = 3,5831
5. Distribuição de Weibull na Manutenção Preditiva
Em muitas máquinas o controle das vibrações só é possível quando a
máquina esta em funcionamento, se nós observarmos os sintomas das vibrações
para um grupo de máquinas e aplicarmos aos resultados o processo de Weibull
podemos calcular a curva da vida dos sintomas, o valor de alarme e de pane.
No monitoramento das condições das vibrações (VCM), temos duas questões
fundamentais:
1) Encontrar o sintoma da vibração S, que mostra como descobrir a falha da
máquina.
2) Estimar o valor limite S L para o sintoma.
Fazemos à estimação dos valores limites S L ,onde temos S a o valor de alerta e
S b o valor de pane.
S a é descoberto por meios de passos da fase da vida da máquina em uso.
S b é determinado com a paralisação da máquina.
Estes valores são muitos importantes para o controle contínuo da máquina, mas a
sua determinação não é simples.
A observação dos sintomas S no controle contínuo da máquina é realizado
através de um processo aleatório de operação da máquina que depende do tempo
de vida T , e de diferentes parâmetros Y i até então desconhecidos, então a curvavida dos sintomas da máquina [ S S (T ,Y 1 ,...)] fica completa quando encontramos
estes valores , ou temos um método natural dando somente um nível de incerteza
para os valores S a e S b .
Para uma grande amostra de máquina, os valores observados dos sintomas
S, e as propriedades de T e dos parâmetros Y i é eficiente. Têm-se os resultados
dos sintomas para um experimento e os termos para a função de densidade de
Weibull, combinamos estes coma técnica de Neyman-Pearson podemos determinar
com precisão os valores limites e uma boa média de S (T ) (curva do tempo de
vida).A vantagem deste método é que podemos usar cada ensaio e adaptar os
resultados para ensaios operacionais particulares e condições de manutenção.
Ordenamos as diferenças entre alguns tipos de controles da qualidade de um
experimento, dados pelos seguintes parâmetros:
Y 1 - desvio na fabricação
Y 2 - nível de interação dinâmica (instalação)
Y 3 - diferença entre a carga da máquina em operação
Y 4 - qualidade da manutenção
Então encontramos a curva-vida dos sintomas na realização de um processo
S (T , Y 1 , Y 2 , Y 3 , Y 4 )
estatístico do controle: S
Para N novas máquinas em operação temos Y 4 constante, logo o
experimento fica idêntico à teoria da confiabilidade.
Para 1 máquina com um número suficiente de ciclos na operação-renovável, Y 1 e
Y 2 são constantes e escolhemos N leituras diferentes dos indícios dos sintomas (ou
seja z T n ).
Para o caso do diagnóstico do experimento passivo todos os parâmetros
podem ser diferentes. Procuramos um procedimento para a média dos sintomas
representando por:
S (T ) EW [ S (T ,Y 1 ,Y 2 ,Y 3 ,Y 4 )]
Onde EW [ S (T ,Y 1 ,Y 2 ,Y 3 ,Y 4 )] é a média dos desvios operacionais dos parâmetros Y i
possíveis no ensaio.
Fazendo uma notação discreta dos seguintes valores: S ni S n (T i ) com
T bn
O
, onde T bn é o tempo de pane de N máquinas. Como T bn não é
20 20
exatamente conhecido, fazemos T bn O , com O sendo a média do tempo de pane
do grupo de máquina.
Podemos ordenar os resultados do nosso experimento com a média da curvavida dos sintomas com diferentes densidades de probabilidades:
'T i
p(S) a densidade de probabilidade dos sintomas em controle.
p( T b ) a densidade de probabilidade do valor do tempo de pane.
p( S b ) p[T b ( S b )] a densidade de probabilidade do valor do sintoma de pane.
Podemos dizer que p(S) e p ( S b ) tem a forma da distribuição de Weibull, assim
assumindo os 3 parâmetros da distribuição de Weibull, chegamos em:
p (T b )
k
O T g
p(S )
k
S0 Sn
§ T b T g
¨
¨ O T
g
©
k 1
·
¸
¸
¹
§ S Sn
¨¨
© S0 Sn
·
¸¸
¹
§ T b T g
exp ¨
¨ O T
g
©
k 1
k
·
¸ ; k>0 e T b t T g
¸
¹
§ S Sn
exp ¨¨
© S0 Sn
(1)
k
·
¸¸ ; k>0 e S t S n
¹
(2)
Onde:
k –fator forma
O - média do tempo de pane
T g - garante a vida da máquina
S n - determina o valor mínimo do sintoma (qualidade da manutenção)
S 0 - valor característico do sintoma.
Podemos então obter p(S) e p (T b ) , ajustando a amostra com a média dos
sintomas da curva-vida S (T )
S , com este procedimento podemos usar a fórmula
da transformada da densidade de probabilidade, abaixo:
1
dS
p ( S )dS p (T )
, onde p (T ) é a função densidade de
dT
probabilidade de S (T ) da amostra. Assumindo a uniformidade da função de
densidade para o tempo médio e para a pane O em um grupo de maquinas
observados, e que os incrementos sejam positivos (ds, d T > 0 ,isto é, a curva da vida
é monótona) chegamos ao domínio da equação diferencial:
dT
1
p ( S )dS
p (T )
(3)
O
O
Substituindo a equação (2) em (3), temos:
kdS
S0 Sn
§ S Sn
¨¨
© S0 Sn
·
¸¸
¹
k 1
§ S Sn
exp ¨¨
© S0 Sn
·
¸¸
¹
k
dT
O
Fazendo a integração por substituição:
S n ( S 0 S n ) k ln c S
T
O
Quando exigimos uma condição inicial T 0 e um ponto abaixo de S n no gráfico 2, a
constante de integração c=1. Assim podemos encontrar o resultado para o nosso
experimento, a curva-vida para a média dos sintomas.
S
S n ( S 0 S n ) k ln 1 T
O
(4)
5.1. Teoria da Decisão de Neymann-Pearson
Baseado no teste de hipótese, onde teremos Ho a hipótese nula e H1 a
hipótese alternativa.
Procedimento Geral
x Pelo contexto do problema identificar o parâmetro de interesse.
x Especificar a hipótese nula.
x Escolher um nível de significância. (0.05 e 0.01)
x Decidir sobre a rejeição ou não de Ho.
Erro tipo I: Rejeitar Ho quando Ho for verdadeira
Erro tipo II: Aceitar Ho quando Ho for falsa
A probabilidade de escolhermos Ho quando for falsa e denotada por D :
f
D
PFA
³ f l / H dl
l
o
v
Para estimar os valores S a e S b , faremos o uso da Teoria da decisão de
Neymann-Pearson, com isso poderemos minimizar os números de panes e perceber
os reparos desnecessários A, pois podemos escrever um valor apropriado para S b .
Temos:
f
A
Pg ³ p ( S )dS
(5)
Sb
onde Pg
§ te
¨¨
© te tr
· § Ne
¸¸ # ¨¨
¹ © Ne Nr
·
¸¸
¹
Pg o eficiência dos índices para um grupo de máquinas
te o tempo total de controle
t r o tempo total de reparo
N e , N r o número apropriado de máquinas.
Como assumimos a densidade de probabilidade de Weibull para p(S) na equação
(2) e Neymann-Pearson na equação (5), podemos obter E a razão de pane:
A
Pg
E
f
§ S Sn
exp ¨¨ b
© S 0 S n
³ p(S )ds
Sb
Sb Sn
S 0 S n
k
ln
·
¸¸
¹
k
A
Pg
Para encontrar S a , podemos usar o mesmo raciocínio que desenvolvemos para
estimar S b . Então podemos mudar os limites de integração na equação (5), para
chegarmos à razão de alerta D :
Sb
A
Pg ³ p ( S )dS
(6)
Sa
ª § S S ·k º
ª § S S ·k º
a
n
b
n
³S p(S )ds exp«« ¨¨© S 0 S n ¸¸¹ »» exp«« ¨¨© S 0 S n ¸¸¹ »»
b
¬
¬
¼
¼
k
k
ª §S S · º A
§ Sa Sn ·
A
2A
a
n
¨
¸
¨
¸

ln
¨
exp « ¨
¸ »
¸
Pg
Pg
«¬ © S 0 S n ¹ »¼ Pg
© S 0 S n ¹
A
Pg
Sb
A
ln
Dividindo por
Pg
D{
Temos:
§ S Sn
¨¨ b
© S 0 S n
Sa Sn
Sb Sn
·
¸¸
¹
k
2A
Pg
d1
A
ln
Pg
ln
k
A distribuição de Weibull apresenta uma interessante relação do coeficiente k com o
coeficiente de variação:
§ 2·
*¨1 ¸
© k ¹ 1 # 1 k S Sn
VS
S Sn
k
§ 1·
*¨1 ¸
© k¹
Então o valor característico S 0 pode ser determinado:
VS
S 0 S n ( S S n )* 1 (1 1 / k )
Deste modo S n , S 0 e k podem ser encontrados; conseqüentemente E , D e a curva
da vida dos sintomas podem ser calculados.
Tendo os valores limites S a e S b , qual a relação destes com a curva da vida dos
sintomas?
Para responder esta pergunta utilizaremos a equação (4) substituiremos S S b e
T Tb :
S
S n ( S 0 S n ) k ln 1 § S Sn ·
T
¸¸
ln 1 b exp ¨¨ b
O
© S0 Sn ¹
T
T
A
1 b b 1
O
O
Pg
Sb Sn
S0 Sn
A
Pg
S Sn
T

O
S0 Sn
k
ln 1 k
k
Empregando o mesmo raciocínio para S
Concluímos, que o tempo de pane
1
T
O
Tb
O
Sa e T
T a , chegamos em
Ta
O
1
2A
.
Pg
T
e o tempo de alerta não dependem dos
O
parâmetros da distribuição de Weibull, o mesmo acontece com a curva da vida.
Portanto, estes dependem somente da eficiência dos índices Pg e da manutenção
apropriada A. Assim o fator de decisão para o modelo é o fator forma k e a correta
A
manutenção dada pela razão
.
Pg
6. Conclusão
As distribuições aqui apresentadas com suas respectivas aplicações são
todas importantes, mas algumas são mais usadas que outras devido à abrangência
de casos a serem usadas.
A distribuição de Weibull se mostra mais eficiente na manutenção preditiva,
pois dependendo do valor do fator de forma E , ela engloba os casos mais
importantes de distribuições, constituindo–se, assim, numa poderosa ferramenta de
análise e controle estatístico.
7. Referências Bibliográficas
x Cempel, Czeslaw – Passive Diagnostics and Reliability Experiment:
Application in Machine Condition Monitoring. Vol. 111 Janeiro 1989.
x Kardec, Alan; Nascif Júlio – Manutenção - Função Estratégica. Edição nº 2 –
Rio de Janeiro 2001.
x Meyer, Paul L. - Probabilidade: aplicações à estatística / tradução Ruy de C.
B. Lourenço Filho. Edição nº 1, Rio de Janeiro 1969.
x Ross, Sheldon M. - Introduction to probability and statistics for engineers and
scientists, 1987. Cap. 10.
x Spiegel, Murray R. - Estatística / tradução de Pedro Consentino.
Edição nº 2, 1971.
x Wormit, Michael - Detection Neyman-Pearson Theory.
www.klimt.iwr.uni-heidelberg.de/mip/adaptive_filters
O Problema do Cabo Suspenso
Flaviano Bahia P. Vieira∗
Laı́s Bássame Rodrigues†
Edson Agustini‡
Resumo
Neste trabalho deduzimos a função real cujo gráfico é uma curva chamada
catenária. Esta curva possui o formato de um cabo homogêneo suspenso sustentado
por suas extremidades e submetido apenas à ação da gravidade. O aspecto histórico
é introduzido na primeira seção, bem como algumas curiosidades e aplicações dessa
curva.
Palavras-chave: Catenária. Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem Não Lineares.
1
Introdução
À primeira leitura, a palavra catenária parece estranha. Vejamos sua etimologia. Catenária
vem do latim catena, que quer dizer “cadeia”. A catenária é um dispositivo que serve para
sustentar os cabos da uma rede elétrica de uma via férrea, ou de uma linha de troles, por
exemplo. Como o cabo condutor da corrente tem de permanecer sempre paralelo ao chão,
para não perder o contato com o pantógrafo (armação que está na cobertura das locomotivas e dos bondes, para captar a eletricidade), precisa ficar preso a um outro cabo, de aço,
preso em postes intervalados. O cabo condutor é preso ao cabo de aço por fios verticais,
chamados pêndulos. Para fixar os cabos aos postes, as catenárias têm também ligamentos
laterais, que evitam as oscilações ou balanços, têm suportes de sustentação e isoladores
para os cabos. De tantos em tantos metros, são colocados contrapesos, que mantêm convenientemente esticados os tensores, levando em conta as variações de comprimento devidas
a dilatações provocadas pelo calor. As catenárias utilizam cabo flexı́vel, e adaptam-se a
quaisquer condições de instalação. A distância entre dois postes, normalmente, é de 63
metros, mas em curvas, esta distância diminui. A catenária foi primeiramente utilizada
como dispositivo de segurança, a fim de evitar a ruptura de linhas de transporte de corrente de alta tensão. Mais tarde, começou a ser usada também nas redes elétricas de
ferrovias.
∗
[email protected] Orientando do Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática
(PetMat) de jan/04 a dez/04.
†
[email protected] Orientanda do Programa de Educação Tutorial da Faculdade de
Matemática (PetMat) de jan/04 a dez/04.
‡
Figura 1: As catenárias servem de suporte para o cabo de energia que deve ficar
paralelo ao chão em linhas férreas.
Figura 2: Aspecto de cabos supensos por postes.
O problema de saber qual a curva descrita por uma corda flexivel, não elástica e homogênea suspensa em suas extremidades, sob a ação do seu proprio peso é bastante antigo.
Galileu Galilei foi um dos primeiros cientistas a esboçar um modelo para esta curva em seu
livro “As Duas Novas Ciências” em 1638. Galileu supôs que a curva seria uma parábola.
Mas em 1647 um jovem com 17 anos, Christiaan Huygens, provou com argumentos fı́sicos
que essa hipótese era falsa, sem, contudo descobrir a expressão analı́tica da curva. Huygens foi um matemático e fı́sico holandês (1629-1695), construtor do primeiro relógio de
pêndulo. Huygens retomou mais tarde o estudo da catenária e publicou, já com mais
de 60 anos, a solução do problema. Simultaneamente surgiram trabalhos independentes,
sobre a catenária, dos irmãos Jacob e Johann Bernoulli (Basiléia-Suiça) e de Gotfried
Leibniz (Hanover-Prússia).
Galileu Galilei 1564-1642
Christiaan Huygens 1629-1695
Jacob Bernoulli 1654-1705
Johann Bernoulli 1667-1748
Gottfried Leibniz 1646-1716
Figura 4: Importantes personagens da história da Matemática estudaram o “Problema
da Corda Suspensa”.
2
O Problema
Qual é a função
f : [a, b] ⊂ R −→
R
x
−→ y = f (x)
cujo gráfico possui o aspecto de um cabo homogêneo, flexı́vel e não elástico suspenso por
suas extremidades sob a ação apenas da força gravitacional?
Figura 5: Qual a função real cujo gráfico possui esse aspecto?
3
Modelando o Problema
Suponhamos um cabo flexı́vel, homogêneo e não elástico suspenso em suas extremidades
e sob a ação do seu próprio peso. Tomemos um sistema de coordenadas cartesianas onde
o ponto mais baixo deste cabo esteja na sua origem. (Figura 6).
Figura 6: O sistema de coordenadas cartesianas ortogonais possui origem na parte
mais baixa do cabo.
Suponhamos P o módulo da força peso do cabo por unidade de comprimento e s o
comprimento total do cabo. Assim, o módulo da força peso total do cabo será P s.
Seja Q um ponto qualquer da corda. Temos as seguintes forças atuando neste ponto
Q do cabo. (Figura 7):
Figura 7: As forças que atuam.
Como o cabo está em repouso, temos:
− −
→ −
→ −
→
→ →
−
→ −
t1 + t2 + h1 + h2 + P = 0
sendo:
−
→ −
→
(i) t1 e t2 são forças que atuam tangentes à curva no ponto Q.
−
→ −
→
(ii) h1 e h2 são forças que atuam na horizontal.
→
−
(iii) P é a força peso no ponto Q.
− −
→
−
→ −
→ →
→ −
→ −
Chamando T = t1 + t2 e H = h1 + h2 temos (Figura 8):
−
→ →
− −
→ →
−
T +H+P = 0
Figura 8: Simplificando o esquema de forças.
Supondo que toda massa do cabo esteja concentrada no ponto Q, temos:
=⇒
Figura 10
Figura 9
→
−
Sabemos que T é tangente à curva y = f (x) que queremos encontrar e, daı́, temos
tan α = f (x) .
Mas pela Figura 10 temos
Ps
Ps
⇒ f (x) =
.
H
H
Como s é comprimento da curva e, tomando A = (x0 , y0 ) e B = (x1 , y1 ) , pontos
extremos da curva, podemos calcular s da seguinte forma:
x1 1 + f (x)2 dx.
s=
tan α =
x0
Assim, o comprimento da curva do ponto A até o ponto Q = (x, y) é dado pela função
s = s (x) abaixo:
x
s (x) =
1 + f (x)2 dx.
x0
Logo,
s =
1 + f (x)2 .
Lembrando que
P
s (x)
H
P
f (x) = s (x)
H
P
f (x) =
1 + f (x)2
H
f (x) =
P
de k, que é denomida de constante do cabo, a curva procurada
e chamando a constante
H
será obtida pela resolução da equação diferencial ordinária de 2a . ordem incompleta:
f (x) = k 1 + f (x)2 .
4
Resolvendo a EDO de 2a Ordem Incompleta
Como o cabo suspenso tem seu ponto de mı́nimo posicionado na origem, temos que
f (0) = 0 e f (0) = 0.
Daı́, façamos a seguinte mudança de variáveis:
u = y ⇒ u = y .
Logo,
√
u = k 1 + u2
√
du
= k 1 + u2
dx
du
= kdx
1 + u2 x
1
√
du =
kdx.
1 + u2
0
√
0
Fazendo u = tan θ, com −
u
π
π
< θ < , temos:
2
2
du
= sec2 θ
dθ
e
u2 = tan2 θ ⇒
√
1 + u2 = sec θ.
Logo,
0
u
1
√
du =
1 + u2
arctan(u)
sec θdθ
0
arctan(tan θ)
sec θdθ
=
0
θ
sec θdθ
=
0
= ln |tan θ + sec θ|
Assim,
x
1
√
du =
kdx
1 + u2
0
0
ln |tan θ + sec θ| = kx
u
|tan θ + sec θ| = ekx
tan2 θ + 2 sec θ tan θ + sec2 θ = e2kx
tan2 θ + 2 sec θ tan θ + 1 + tan2 θ = e2kx
e2kx − 1
tan (θ) + tan (θ) sec (θ) =
2
e2kx − 1
.
(tan θ) (tan θ + sec θ) =
2
2
Lembrando que |tan θ + sec θ| = ekx e
tan θ + sec θ =
para −
1 + sen θ
≥0
cos θ
π
π
< θ < , temos:
2
2
e2kx − 1
2ekx
e2kx − 1
u=
2ekx
kx
e−kx
e
−
y =
2x kx2
y
e−kx
e
−
dx
y dy =
2
2
0
0
ekx e−kx 1
+
−
y=
2k
2k
k kx
−kx
1 e +e
−1
f (x) =
k
2
1
f (x) = (cosh (kx) − 1)
k
tan θ =
que é a expressão procurada. Como comentado no inı́cio do trabalho, a curva que o cabo
descreve e possui a expressão acima recebe o nome de catenária.
5
Um Problema Prático
Naturalmente, ao fazer um projeto de implementação de rede elétrica urbana é altamente
desejável saber com boa precisão qual a quantidade de cabos elétricos a serem utilizados.
Consultando alguns dos manuais disponı́veis no site da Cemig (Companhia Energética
de Minas Gerais), encontramos os seguintes dados padrão para a implementação de rede
elétrica em um determinado local: postes de mesma altura a uma distância de 15 metros
e cabos (de determinado diâmetro) que formam uma flecha (“barriga”) onde o ponto mais
baixo do cabo está a uma distância de 0,41 metros da altura do poste e 5,5 metros do
chão. Como calcular o comprimento do cabo de um poste ao outro?
Precisamos de uma expressão analı́tica que “descreva o formato” do cabo. Essa expressão é a que encontramos acima. Como os dois postes são de mesma altura, o ponto
mais baixo do cabo estará exatamente no meio deste, e como a função do cabo é
f (x) =
1
(cosh (kx) − 1) ,
k
devemos descobrir qual o valor da constante k do cabo.
Temos que no meio do cabo a flecha é de 0,41 metros. Adotando o meio do cabo como
a origem de um sistema de coordenadas temos f (−7, 5) = f (7, 5) = 0, 41 e f (0) = 0.
Logo,
1
(cosh (7, 5k) − 1) .
k
0, 41 =
Utilizando o software de cálculo numérico e simbólico Maple para resolver numéricamente
a equação acima, temos
k = 0, 014563.
Daı́ a curva procurada será gráfico da função f cuja expressão é
f (x) =
1
(cosh (0, 014563x) − 1) + 5, 5
0, 014563
e cujo gráfico é ilustrado abaixo mantendo-se as proporções:
y
6.25
5
3.75
2.5
1.25
0
-7.5
-5
-2.5
0
2.5
5
7.5
x
Figura 11: O aspecto do cabo suspenso do problema.
O comprimento do cabo de um poste ao outro é dado por
2
7.5
1
d
(cosh (0, 014563x) − 1) + 5, 5
1+
dx
dx 0, 014563
−7.5
7.5 1 + (sinh 0, 014563x)2 dx
=
−7.5
7.5 (cosh 0, 014563x)2 dx
=
−7.5
7.5
=
cosh 0, 014563xdx
−7.5
7,5
1
=
sinh 0, 014563x
0, 014563
−7,5
2
sinh (0, 014563 (7, 5))
=
0, 014563
= 15, 03.
ou seja, o cabo possui apenas 3 cm a mais que a distância entre os postes.
Referências
[1] Braun, M. Equações Diferenciais e suas Aplicações. Rio de Janeiro: Editora Campus. 1980.
[2] Figueiredo, D. G. Equações Diferenciais Aplicadas. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática - SBM. 1999.
[3] Ruffino, P. O Problema da Catenária. Revista Matemática Unviversitária. Número
29. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática - SBM. 2000.
[4] Site www.cemig.com.br
[5] Site www.macthutor.org.uk
FAMAT em Revista
Î¥
Þ
Problemas e Soluções
www.famat.ufu.br
&RPLWr(GLWRULDOGD6HomR
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GR1~PHURGD)$0$7(05(9,67$
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Problemas e Soluções
A revista eletrônica FAMAT em Revista publica regularmente uma seção de problemas com o tı́tulo Problemas e Soluções. Todos os interessados podem participar dessa
seção apresentando soluções para os problemas já publicados ou propondo novos problemas. Serão publicados problemas de matemática básica ou superior, assim como enigmas
de natureza lógica que desafiem nossos leitores e lhes proporcionem bom treinamento na
resolução de problemas. O comitê editorial selecionará, dentre os problemas propostos, os
que mais se destacarem por sua beleza, relevância e originalidade. Problemas propostos
em um número da revista terão suas soluções publicadas no número seguinte. Quando
da publicação de problemas ou resoluções enviados por leitor, serão citados o(s) proponente(s) e o(s) autor(es) das soluções recebidas. Ao propor um problema, o leitor deverá
encaminhar sua solução juntamente com o enunciado e citar a fonte de onde ele foi tirado,
se for o caso.
Todo participante dessa seção deverá identificar-se mencionando seu nome e endereço
completos (inclusive e-mail). Para fazer contato com a revista, os participantes poderão
utilizar o endereço eletrônico
[email protected]
ou encaminhar correspondência para:
FAMAT em Revista
Faculdade de Matemática
Universidade Federal de Uberlândia
Av. João Naves de Ávila, 2121, Santa Mônica
CEP 38408-100 - Uberlândia - MG
Nesse número, além de quatro novos desafios, publicamos a resolução dos quatro do
número anterior.
ATENÇÃO: Estaremos dando continuidade à promoção do número anterior. Para os
leitores que nos enviarem soluções corretas, de pelo menos dois dos problemas propostos,
estaremos sorteando em Abril de 2006 alguns exemplares do livro:
MOREIRA, C. et. alli. (orgs.) Olimpı́adas Brasileiras de Matemática. 9 a . a
16 a . Problemas e resoluções. Rio de Janeiro: Publicação da Sociedade Brasileira de
Matemática, 2003.
“A filosofia está escrita nesse grande livro - ou seja, o Universo que se encontra aberto continuamente ante os nossos olhos, mas ele
não pode ser entendido a menos que se aprenda, primeiro, a ler sua
linguagem e interpretar as letras com as quais o compuseram. Ele foi
escrito no idioma da matemática e seus sı́mbolos são triângulos,
cı́rculos e outras figuras geométricas, sem as quais é humanamente
impossı́vel entender uma única palavra de seu texto.”
Galileu Galilei, Il Saggiatore (1623)
Problemas Propostos
17.
Na figura abaixo, qual é a soma das medidas dos cinco ângulos indicados?
Justifique sua resposta.
18.
Escolha 101 números dentre os elementos do conjunto {1, 2, 3, ..., 200}, ao acaso.
Mostre que, dentre os números escolhidos, há dois números tais que um é múltiplo do
outro.
19.
Qual é o último algarismo do perı́odo na representação decimal de
1
?
2003
20.
Seja a um número irracional. Mostre que o conjunto de todos os números da
forma pa − q, onde p e q são inteiros, é denso no conjunto dos números reais.
Resolução dos Problemas Propostos do Número
Anterior
13.
Dispondo de 100 reais, quais são as quantias que se podem gastar comprando
selos de 5 reais e de 7 reais?
Extraı́do de:
HEFEZ, A. – Elementos de Aritmética – Sociedade Brasileira de Matemática – 2005
Resolução
Chamemos x e y as quantidades de selos de 5 e 7 reais, respectivamente, adquiridos
em uma compra cujo valor total é c. Assim, o problema consiste em determinar para que
valores da constante inteira positiva c a equação diofantina linear
5x + 7y = c
(*)
tem soluções naturais x e y, onde 5 ≤ c ≤ 100.
Como mdc(5, 7) = 1 e 1 é divisor de c, a equação (*) tem solução, qualquer que seja
o valor de c, com x, y ∈ Z. Vamos, agora, determinar a solução geral de (*). Como
5 × 3 + 7 × (−2) = 1, segue que 5 × (3c) + 7 × (−2c) = c, isto é, x = 3c e y = −2c são
inteiros que satisfazem (*). Portanto, a solução geral de (*) é dada por
x = 3c + 7k
y = −2c − 5k
com k ∈ Z.
Agora, de acordo com as condições do problema, somente nos interessam as soluções
tais que x ≥ 0 e y ≥ 0. Observemos que,
x ≥ 0 ⇔ 3c + 7k ≥ 0 ⇔ k ≥
−3c
7
e
y ≥ 0 ⇔ −2c − 5k ≥ 0 ⇔ k ≤
−2c
.
5
Neste ponto, o problema pode ser reformulado da seguinte maneira: dado um inteiro
−2c
−3c
≤k≤
? Passamos, então,
c, com 5 ≤ c ≤ 100,existe um inteiro k de modo que
7
5
a responder esta indagação.
Se c for múltiplo de 5 ou de 7, a resposta é claramente afirmativa. Além disso, como
−2c −3c
c
a diferença entre
e
é igual a
, sempre que c > 35, teremos a existência de
5
7
35
c
−2c −3c
e
(pois, nesse caso,
> 1). Para concluirmos o problema,
um inteiro entre
5
7
35
resta-nos responder a última questão no caso de c não ser múltiplo de 5 e nem de 7 e,
ainda, c ser menor do que 35. Para tal, basta notarmos que os valores de c que devem ser
excluı́dos são aqueles satisfazendo a igualdade
2c
3c
=
,
7
5
(onde [t] é o maior inteiro que não supera t). Estes são 23, 18, 16, 13, 11, 9, 8 e 6.
Resposta: as possı́veis quantias que se podem gastar, dispondo de 100 reais, comprando
selos de 5 e 7 reais são 5, 7, 10, 12, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 24, 25, ..., 99 e 100 reais.
14.
Seja W um conjunto finito de pontos do plano tal que, se tomarmos três pontos
quaisquer A, B e C em W, então a área do triângulo ABC é menor do que 1. Mostre
que todos os pontos de W pertencem a um triângulo de área menor do que 4 ou ao seu
interior.
Resolução
A solução aqui apresentada utiliza uma heurı́stica conhecida como o Princı́pio do
Extremo.
Seja ABC o triângulo de área máxima dentre todos os triângulos que têm vértices em
W . Considere o triângulo XY Z que tenha A como ponto médio de XY, B como ponto
médio de Y Z e C como ponto médio de ZX (ver figura abaixo).
Assim, área(XY Z) = 4 × área(ABC) < 4.
Afirmamos que XY Z é o triângulo procurado. De fato, se P é um ponto no exterior
de XY Z, considere um triângulo que tenha um vértice em P e os outros dois vértices
em vértices de ABC (na figura, o triângulo P CA). Ora, este último triângulo tem área
maior do que a de ABC. Portanto, P não pertence ao conjunto W.
15.
Seja C um conjunto constituı́do de dez números naturais distintos, todos eles
formados por dois algarismos (no sistema decimal). Mostre que é possı́vel dividir C em
dois subconjuntos disjuntos de modo que as somas dos elementos de cada um deles sejam
iguais.
Resolução
A solução deste problema emprega o conhecido Princı́pio da Casa dos Pombos.
A soma mı́nima possı́vel dos elementos de um subconjunto de C é 10 enquanto a
máxima é 99+98+...+90 = 945. Portanto, o número possı́vel de somas é 945−9 = 936. Por
outro lado, o número de subconjuntos de C é 210 = 1024. Como 1024 > 936, existem mais
“pombos” (os subconjuntos de C) do que “buracos” (as somas). Assim, pelo Princı́pio da
Casa dos Pombos, existem dois subconjuntos A e B de C tais que a soma dos elementos
de A seja igual a soma dos elementos de B. Caso A e B sejam disjuntos, nada mais
temos a fazer. Caso contrário, retire de A e de B todos os elementos comuns a estes
dois conjuntos, obtendo novos conjuntos A e B que, nesse caso, serão os conjuntos que
satisfarão as condições do problema.
16.
Encontre todos os quadrados perfeitos (no sistema decimal) cujos três últimos
algarismos são iguais a 4.
Resolução
Observemos que o primeiro natural candidato a satisfazer a condição do problema é
444; todavia, como 212 = 441 < 444 < 484 = 222 , tal número não é um quadrado perfeito.
O candidato seguinte é 1444 e este é satisfatório, pois 1444 = 382 .
Para um natural N = 1000 k + x, onde k e x são inteiros e 0 ≤ x < 1000, temos N 2 =
1000(1000 k 2 +2kx)+x2 , isto é, os três últimos algarismos de N 2 somente dependem de x2 .
Agora, se os três últimos algarismos de N 2 são todos iguais a 4, então N 2 ≡ 382 (mod 1000).
Daı́, N 2 − 382 ≡ 0(mod 1000), 1000 | N 2 − 382 e, assim, 1000 | (N − 38)(N + 38). No
entanto, mdc(N − 38, N + 38) = mdc(N − 38, N + 38 − N + 38) = mdc(N − 38, 76). Daı́,
mdc(N − 38, N + 38) é divisor de 76 = 22 × 19. Como 23 × 53 = 1000 | (N − 38)(N + 38),
segue que 53 | N − 38 ou 53 | N + 38. Como N − 38 e N + 38 são ambos divisı́veis por
4, concluı́mos que, se N 2 finaliza em “444”, então pelo menos um dos inteiros N − 38 ou
N + 38 é divisı́vel por 4 × 53 = 500. Logo, N = 500k ± 38, para algum inteiro positivo k.
Em contrapartida, é fácil verificar que, se N = 500k ± 38, para algum inteiro positivo
k, então os três últimos algarismos de N 2 são iguais a 4.
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Reflexões Sobre o
Curso de Matemática
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6(*3$PDVTXHWDPEpPpGLVSHQVDGRHPHVWDEHOHFLPHQWRVHVSHFtILFRVHVSHFLDOPHQWHGD
6D~GH(VWHHQVLQREHQHILFLDFHUFDGHGDVFULDQoDVGHXPDJHUDomRHYLVDDFRQGX]LODVD
XPQtYHOPtQLPRGHTXDOLILFDomRRFHUWLILFDGRGHDSWLGmRSURILVVLRQDO&$3
2V HVWDEHOHFLPHQWRV FRQWURODGRV SHOR 0LQLVWpULR GD (GXFDomR 1DFLRQDO SRGHP VHU
S~EOLFRV RX SULYDGRV 2 HQVLQR SULYDGR FRPSUHHQGH FHUFD GH GRV DOXQRV QR SULPHLUR
JUDX H QR VHJXQGR JUDX SHUFHQWXDLV TXH VH PDQWLYHUDP HVWiYHLV DR ORQJR GD ~OWLPD
GpFDGD 2 HVVHQFLDO GR HQVLQR SULYDGR p FRQVWLWXtGR GH HVWDEHOHFLPHQWRV FDWyOLFRV VRE
FRQWUDWRGHDVVRFLDomRFRPR(VWDGRTXHUHPXQHUDVHXSHVVRDO2VHWRUSULYDGRVREFRQWUDWR
FRQJUHJD PHQRV GH DOXQRV FRQWDQGR FRP XPD IRUWH SDUWLFLSDomR ILQDQFHLUD GDV
IDPtOLDV
$GLYLVmRGDVFRPSHWrQFLDV
3DtV GH PDUFDGD WUDGLomR FHQWUDOL]DGD UHS~EOLFD TXH FRQVWUXLX H FRQVROLGRX VXD
LGHQWLGDGHDWUDYpVGHXPDHVFRODLQFXPELGDGHIRUPDURVIXWXURVFLGDGmRVD)UDQoDFRQVHUYD
XP VLVWHPD GH HQVLQR VXEPHWLGR DR FRQWUROH GRPLQDQWH GR (VWDGR (OH SUHVHUYD DWULEXLo}HV
IXQGDPHQWDLVQDGHILQLomRHQDDSOLFDomRGDSROtWLFDHGXFDFLRQDOHGRVSURJUDPDVQDFLRQDLV
GH HQVLQR ,QFXPEHVH GR UHFUXWDPHQWR GD IRUPDomR H GD UHPXQHUDomR GRV SURIHVVRUHV D
PDLRULD GRV TXDLV VmR IXQFLRQiULRV IRUPDGRV QRV LQVWLWXWRV XQLYHUVLWiULRV GH IRUPDomR GRV
PHVWUHV,8)0(VWHVLQVWLWXWRVFULDGRVHPUHFHEHPWDQWRRVFDQGLGDWRVDRHQVLQRGH
SULPHLUR JUDX SURIHVVRUHV GDV HVFRODV TXDQWR RV IXWXURV SURIHVVRUHV GH VHJXQGR JUDX
FHUWLILFDGRV H DJUHJDGRV TXH DFXPXODP DR ILP GH VXD IRUPDomR FLQFR DQRV GH HVWXGRV
SRVWHULRUHV DR ³EDFFDODXUpDW´ 'HVGH R VtPEROR GR GLSORPD QDFLRQDO DQ{QLPR p R
³EDFFDODXUpDW´TXHDRPHVPRWHPSRDUUHPDWDRVHVWXGRVVHFXQGiULRVHIRUQHFHRSDVVDSRUWH
GH HQWUDGD QR HQVLQR VXSHULRU 'HVGH R LQtFLR GR VpFXOR D SUySULD IRUPDomR SURILVVLRQDO
GHVHQYROYHXVH VRE R FRQWUROH GR (VWDGR TXH RSWRX SRU ³HVFRODUL]DU RV DSUHQGL]DGRV´ DV
TXDOLILFDo}HVDGTXLULGDVVmRDWHVWDGDVSHORVSULPHLURVGLSORPDVTXHYrPDVHURFHUWLILFDGRGH
DSWLGmRSURILVVLRQDO&$3HRGLSORPDEUHYHWGHHVWXGRVSURILVVLRQDLV%(3
2(VWDGRpRPDLRUILQDQFLDGRUGRVJDVWRVGHHGXFDomRFHUFDGHGRLVWHUoRVGRWRWDO
GH ELOK}HV GH IUDQFRV UHSUHVHQWDQGR VREUHWXGR GHVSHVDV GH SHVVRDO (OH FRQWULEXL
LJXDOPHQWHFRPDMXGDVILQDQFHLUDVGLYHUVDVVREDIRUPDGHEROVDVVXEYHQo}HVHWF«
$VUHJL}HVGLVS}HPGHPDLRUHVSRGHUHV
+i GH] DQRV HQWUHWDQWR D )UDQoD HPSHQKRXVH QXP GXSOR PRYLPHQWR GH
GHVFRQFHQWUDomR H GHVFHQWUDOL]DomR 1R TXH GL] UHVSHLWR j HGXFDomR HVWH PRYLPHQWR
SURSRUFLRQRX PDLRU GLYHUVLGDGH H IOH[LELOLGDGH RUJDQL]DFLRQDO D XP VLVWHPD GH HQVLQR SRU
GHPDLVXQLIRUPHHPHVPRPRQROtWLFR
$ GHVFRQFHQWUDomR FRQVLVWH HP FRQFHGHU PDLRUHV SRGHUHV jV DXWRULGDGHV
DGPLQLVWUDWLYDVUHJLRQDLVRXORFDLVVXEPHWLGDVjDXWRULGDGHGRPLQLVWUR1HPWXGRMiDJRUDp
GHFLGLGRHP3DULVRXQRVJDELQHWHVPLQLVWHULDLV2VUHLWRUHVLQFXPELGRVGRIXQFLRQDPHQWRGD
HVFRODHPFDGDXPDGDV]RQDVJHRJUiILFDVVREVXDUHVSRQVDELOLGDGHDFDGHPLDVUHFHEHP
DQXDOPHQWH GD DGPLQLVWUDomR FHQWUDO DV YHUEDV RUoDPHQWiULDV JOREDLV FXMD GHVWLQDomR DRV
GLIHUHQWHVHVWDEHOHFLPHQWRVpSURYLGHQFLDGDSRUHOHVPHVPRVQDIRUPDGHGRWDo}HVKRUiULDV
JOREDLV 'HVGH D ³GHVFRQFHQWUDomR GR PRYLPHQWR GRV SURIHVVRUHV´ UHGXQGRX QD
DWULEXLomRDRVUHLWRUHVGDUHVSRQVDELOLGDGHQRYDHLPSRUWDQWHGHDVVHJXUDUDVWUDQVIRUPDo}HV
HPXGDQoDVGHDWULEXLo}HVLQWHUQDVDVXDDFDGHPLD
1R SODQR ORFDO HVWH PRYLPHQWR WDPEpP UHGXQGRX HP PDLRU OLEHUGDGH H PDLRU
PDUJHPGHPDQREUDSDUDRV³DWRUHVORFDLV´HVSHFLDOPHQWHRVGLUHWRUHVGHHVWDEHOHFLPHQWRV
$RFRQWUiULRGDVHVFRODVRVFROpJLRVHOLFHXVWRUQDUDPVHHVWDEHOHFLPHQWRVS~EOLFRVORFDLVGH
HQVLQR (3/( GRWDGRV GH SHUVRQDOLGDGH PRUDO H DXWRQRPLD ILQDQFHLUD 7DPEpP IRUDP
SURJUHVVLYDPHQWH DGTXLULQGR DXWRQRPLD SHGDJyJLFD TXH VH WUDGX] QD IRUPD GH ³SURMHWR GH
HVWDEHOHFLPHQWR´ GHILQLQGR DV PRGDOLGDGHV HVSHFLDLV GH GHVHQYROYLPHQWR GRV REMHWLYRV H
SURJUDPDV QDFLRQDLV TXH OKHV SHUPLWHP DGDSWDUVH j SRSXODomR HVFRODU TXH RV SURFXUD H
PHOKRUDWHQGHUDVXDVQHFHVVLGDGHVHVSHFtILFDV
$V OHLV GH GHVFHQWUDOL]DomR GH H FRQWULEXtUDP DOpP GLVVR SDUD UHIRUoDU
VHQVLYHOPHQWHRSDSHOGDVFROHWLYLGDGHVWHUULWRULDLVHOHLWDVRXVHMDGDVDVVHPEOpLDVUHJLRQDLV
GHSDUWDPHQWDLV H FRPXQDLV TXH GLVS}HP GH RUoDPHQWRV SUySULRV FRQVLGHUiYHLV (ODV
SDUWLFLSDPDWXDOPHQWHGRILQDQFLDPHQWRGHGDVGHVSHVDVWRWDLVGHHGXFDomR
&DGD FROHWLYLGDGH p LQFXPELGD GH XP QtYHO GH HQVLQR $V FRPXQDV WrP D
UHVSRQVDELOLGDGHGDFULDomRGDVHVFRODVPDWHUQDLVHSULPiULDVHGHVXDJHVWmRRUoDPHQWiULD
LQFXPELQGRVH GH UHPXQHUDU VHX SHVVRDO QmR GRFHQWH 2V GHSDUWDPHQWRV VmR UHVSRQViYHLV
SHOD PDQXWHQomR H D FRQVWUXomR GRV FROpJLRV ILQDQFLDQGR R WUDQVSRUWH HVFRODU $V UHJL}HV
H[HUFHP DV PHVPDV FRPSHWrQFLDV QR TXH GL] UHVSHLWR DRV OLFHXV SDUWLFLSDQGR GR
SODQHMDPHQWRHVFRODUSODQRUHJLRQDOGHIRUPDo}HVSURJUDPDGHSUHYLVmRGHLQYHVWLPHQWRV
$VSULQFLSDLVWHQGrQFLDVHPXGDQoDV
1DV ~OWLPDV GpFDGDV R VLVWHPD HGXFDWLYR IUDQFrV SDVVRX SRU SURIXQGDV PXGDQoDV
TXDQWLWDWLYDV1RVDQRVYHULILFRXVHDJHQHUDOL]DomREUXWDOGRDFHVVRGRVDOXQRVDRHQVLQR
VHFXQGiULR TXH SURYRFDULD XPD DXWrQWLFD ³H[SORVmR´ GRV HIHWLYRV FROHJLDLV (P R
DQ~QFLRGDPHWDGHFRQGX]LUGRVMRYHQVDRQtYHOGR³EDFFDODXUpDW´DWpRILPGRVpFXOR
UHDILUPDGR QD OHL GH RULHQWDomR GH MXOKR GH SURYRFRX XP VHJXQGR DEDOR 2V OLFHXV H
GHSRLVGHOHVRHQVLQRVXSHULRUDEULUDPVHjPDLRULD
+RMHVmRFHUFDGHRVMRYHQVTXHFKHJDPDRILPGRHQVLQRVHFXQGiULRVHMDQRV
HVWDEHOHFLPHQWRV GH HGXFDomR QDFLRQDO VHMD QRV OLFHXV DJUtFRODV RX GHQWUR GR HVWDWXWR GH
DSUHQGL] (VWD SURSRUomR TXDVH GREURX QXP SHUtRGR GH DQRV FRP HVSHFLDO
GHVHQYROYLPHQWRGRVFXUVRVWHFQROyJLFRVHSURILVVLRQDOL]DQWHVTXHUH~QHPUHVSHFWLYDPHQWH
H GRV IRUPDQGRV GD FODVVH GR ³EDFFDODXUpDW´ GRV TXDLV DGPLWLGRV HP
VpULHVJHUDLV
-iSUHYLVWRQDOHLGHRULHQWDomRXPRXWURJUDQGHREMHWLYRWDPEpPIRLLQFOXtGRQDOHL
TLQTHQDOGHGH]HPEURGHUHODWLYDDRWUDEDOKRDRHPSUHJRHjIRUPDomRSURILVVLRQDO
(OD HVWDEHOHFLD FRPR SULQFtSLR TXH ³WRGR MRYHP GHYH UHFHEHU DQWHV GH GHL[DU R VLVWHPD
HGXFDWLYRHTXDOTXHUTXHVHMDRQtYHOGHHQVLQRDWLQJLGRXPDIRUPDomRSURILVVLRQD´
$VHVWDWtVWLFDVDQXDLVVREUHRQ~PHURGHMRYHQVTXHFRQFOXHPVHXVHVWXGRVHVREUHVXD
UHSDUWLomR VHJXQGR R QtYHO GH IRUPDomR DOFDQoDGR PRVWUDP R DOFDQFH GRV SURJUHVVRV
UHDOL]DGRVQHVWHWHUUHQR$SURSRUomRGRVIRUPDQGRVVHPQHQKXPDTXDOLILFDomRUHFRQKHFLGD
RXVHMDVHPWHUSHORPHQRVFKHJDGRDRDQRILQDOGHXPDIRUPDomRSURILVVLRQDOFXUWDSDVVRX
GHDSUR[LPDGDPHQWHXPWHUoRQDGpFDGDGHDPHQRVGHQDGH
'HSRLV GH GH] DQRV GH HQVLQR REULJDWyULR D HVFROD GHYH KRMH DVVHJXUDU D WRGRV D
DTXLVLomRGHFRPSHWrQFLDVQmRDSHQDVHVFRODUHVPDVWDPEpPSURILVVLRQDLVVHPSHUPLWLUTXH
XPD IUDomR GH MRYHQV DLQGD TXH UHGX]LGD ILTXH GHVSUHSDUDGD SDUD VXD IXWXUD YLGD DGXOWD H
DWLYD
2QtYHOGHIRUPDomRGRVMRYHQVpFDGDYH]PDLVHOHYDGR
$ GpFDGD GH SHUILODVH DVVLP FRP XPD GXSOD FDUDFWHUtVWLFD (OD DVVLVWH DR
DGYHQWRGHXPHQVLQRGHPDVVDTXHSHUPLWLXHOHYDUFRQVLGHUDYHOPHQWHRQtYHOGHIRUPDomR
GDVMRYHQVJHUDo}HVHSRUWDQWRGRFRQMXQWRGDSRSXODomR8PDFULDQoDTXHHQWUDKRMHSDUDR
PDWHUQDOWHPDH[SHFWDWLYDGHIUHTHQWDUDHVFRODHPPpGLDGXUDQWHDQRVRXDQRVPDLV
TXH VHXV SUySULRV SDLV $ SURSRUomR GH EDFKDUpLV QXPD JHUDomR FKHJD DWXDOPHQWH D FRQWUDDSHQDVKiXPTXDUWRGHVpFXOR(QRHQVLQRVXSHULRUDRTXDOWHPDFHVVRMiDJRUD
PDLV GD PHWDGH GRV MRYHQV IUDQFHVHV R Q~PHUR GH HVWXGDQWHV IRL PXOWLSOLFDGR SRU VHWH QR
HVSDoRGHWUrVGpFDGDVGHDPLOK}HV
(VWD HVFRODUL]DomR TXH WHQGH D HVWDELOL]DUVH QXP QtYHO DOWR p DFRPSDQKDGD GH XP
VHQVtYHO GHFUpVFLPR GHPRJUiILFR HP UD]mR GD TXHGD GH QDVFLPHQWRV UHJLVWUDGD D SDUWLU GR
PHDGRGDGpFDGDGH(ODDFDUUHWDSRUWDQWRHpHVWHXPRXWURIDWRPDUFDQWHXPUHFXR
JHQHUDOL]DGRGRVHIHWLYRVHVFRODUHVMiDQWLJRQRHQVLQRIXQGDPHQWDOHPDLVUHFHQWHQRPpGLR
HQRVXSHULRU
(VWD WUpJXD GHPRJUiILFD FRQMXJDGD j SUHVHUYDomR H PHVPR DR UHIRUoR GRV PHLRV
HGXFDWLYRV HVSHFLDOPHQWH HP PDWpULD GH Q~PHUR GH SURIHVVRUHV SHUPLWLX PHOKRUDU DV
FRQGLo}HV GH DGPLVVmR GRV DOXQRV H VHX tQGLFH GH DSURYHLWDPHQWR 2 SURJUHVVR p
SDUWLFXODUPHQWHYLVtYHOQRSULPHLURJUDXEHQHILFLDGRFRPXPD UHGXomR UHJXODU GR WDPDQKR
GDVFODVVHVTXHWrPKRMHHPPpGLDDOXQRVQRPDWHUQDOHQRIXQGDPHQWDOFRQWUDH
UHVSHFWLYDPHQWHQDGpFDGDGH
2VSUREOHPDVDWXDLV
2V DYDQoRV GD HVFRODUL]DomR DEULUDP DV SRUWDV GRV FROpJLRV H GRV OLFHXV j PDLRULD
3HUPLWLUDP D QRYDV FDWHJRULDV GH FULDQoDV SURYHQLHQWHV HP HVSHFLDO GH PHLRV VRFLDLV
GHVIDYRUHFLGRV DOFDQoDU QtYHLV GH IRUPDomR GRV TXDLV HQFRQWUDYDPVH DQWHULRUPHQWH
DIDVWDGDV0DVSDUDJDUDQWLUXPHQVLQRFRPXPHDVPHVPDVRSRUWXQLGDGHVGHr[LWRHVFRODUD
WRGRVRVMRYHQVTXDOTXHUTXHVHMDRPHLRHPTXHYLYDPHVWHPRYLPHQWRGHGHPRFUDWL]DomR
FULD QRYDV GLILFXOGDGHV $ DPSOLWXGH GRV SURJUHVVRV TXDQWLWDWLYRV QmR GHYH RFXOWDU D
SHUVLVWrQFLDGHXP³Q~FOHRGXUR´GHIUDFDVVRHVFRODUQmRUDURHYLGHQFLDGRMiQRVSULPHLURV
DQRVGHHVFRODULGDGHHTXHWUDGLFLRQDOPHQWHp³VDQFLRQDGR´QRVLVWHPDHGXFDWLYRDWUDYpVGH
UHSHWLo}HV H DWUDVRV HVFRODUHV VHP TXH VHMDP HQFRQWUDGRV VHPSUH RV PHLRV GH FRUULJLOR
(VVDVGLILFXOGDGHVSUHFRFHVIRUDPHQIDWL]DGDVQXPDSHVTXLVDDSURIXQGDGDIHLWDHPFRP
DOXQRVGDVpULHUHYHODUDPVHPDXVOHLWRUHVFKHJDQGRGHOHVLQFOXVLYHDVLWXDo}HV
SUy[LPDV GR DQDOIDEHWLVPR $ PDLRULD GHVVDV FULDQoDV WHUi GLILFXOGDGH GH VXSHUDU HVWD
GHILFLrQFLD $OJXQV DQRV GHSRLV HVWDUmR HQWUH RV MRYHQV TXH VH IRUPDUmR VHP TXDOLILFDomR
YROWDQGRDPDQLIHVWDUSRUYROWDGRVRXDQRVJUDYHVODFXQDVHPWHVWHVUHDOL]DGRVGXUDQWH
DV-RUQDGDVGH&RQYRFDomRj3UHSDUDomRSDUDD'HIHVD-$3'
2 HVWDEHOHFLPHQWR Ki PDLV GH GH] DQRV GH SURYDV QDFLRQDLV GH DYDOLDomR GRV
SURJUHVVRVHVFRODUHVHPIUDQFrVHPDWHPiWLFDSDUDWRGDVDVFULDQoDVGDVFODVVHVGH&(
DQRV H GH VpULH DQRV YLVD SUHFLVDPHQWH LGHQWLILFDU HVVHV MRYHQV GHIURQWDGRV FRP R
IUDFDVVR HVFRODU 3DUD JDUDQWLU XPD YHUGDGHLUD LJXDOGDGH GH RSRUWXQLGDGHV QmR DSHQDV QR
DFHVVRjHVFRODFRPRHPPDWpULDGHr[LWRHVFRODUpQHFHVViULRLQWHQVLILFDURHVWDEHOHFLPHQWR
GHGLVSRVLWLYRVGHDSRLRDRVDOXQRVHPGLILFXOGDGHVSDUDQmRGHL[iORV³j
EHLUDGRFDPLQKR´
$EXVFDGHXPHQVLQRDGDSWDGRjGLYHUVLGDGHGRVDOXQRV
1R SULPHLUR JUDX TXH GHYH SULYLOHJLDU R GRPtQLR GDV OLQJXDJHQV D RUJDQL]DomR HP
FLFORVSOXULDQXDLVSURSRUFLRQRXPDLRUIOH[LELOLGDGHSHGDJyJLFD(ODSHUPLWHOHYDUHPFRQWDD
GLYHUVLGDGHGRVULWPRVGHDSUHQGL]DJHP8PFUpGLWRGHGXDVKRUDVVHPDQDLVpUHVHUYDGRDRV
HVWXGRVGLULJLGRVjDVVLVWrQFLDLQGLYLGXDOL]DGD5HGHVGHDVVLVWrQFLDHVSHFLDOL]DGDDRVDOXQRV
HPGLILFXOGDGHV5$6('WRPDPDVHXFDUJRDVFULDQoDVTXHFRUUHPPDLRUULVFR
$QWHV GD GLYHUVLILFDomR GRV SHUFXUVRV HVFRODUHV QRV OLFHXV R FROpJLR HVWi KRMH HP
EXVFDGHXPDVtQWHVHHQWUHXPHQVLQRSDUDWRGRVTXHpXPDH[LJrQFLDFRPXPHDQHFHVViULD
DGDSWDomR D S~EOLFRV IRUWHPHQWH KHWHURJrQHRV QR PtQLPR SRU VHX SDVVDGR HVFRODU 2
SULQFtSLRGHXPHQVLQRXQLIRUPHVLPSOHVVXFHVVmRGHFXUVRVPDJLVWUDLVDGPLQLVWUDGRVDQWHR
PHVPRJUXSRFODVVHMiQmRVHVXVWHQWD$GRWDomRGHYHUEDVSDUDRVHVWDEHOHFLPHQWRVSUHYr
SHORPHQRVGXDVKRUDVVHPDQDLVSDUDRQLYHODPHQWRGRVDOXQRVTXHHQWUDPSDUDDVpULHRX
HQWmRHVWXGRVGLULJLGRVRXDFRPSDQKDGRVQDHQDVpULHV0HGLDQWHPpWRGRVFDSD]HVGH
GHVSHUWDU R LQWHUHVVH GRV FROHJLDLV H GDU PDLV VHQWLGR D VHXV HVWXGRV SURFXUDVH QRV
SHUFXUVRVGLYHUVLILFDGRVHWUDEDOKRVFUX]DGRVDWHQGHUjVGLILFXOGDGHVTXHYHQKDPDHQIUHQWDU
DQWH XP HQVLQR GLVFLSOLQDU UHODWLYDPHQWH FRPSDUWLPHQWDOL]DGR 'D PHVPD IRUPD QR HQVLQR
PpGLRDDVVLVWrQFLDLQGLYLGXDOL]DGDFRQWDGXDVKRUDVVHPDQDLVHPIUDQFrVHPDWHPiWLFD2
HQVLQR PRGXODUHRVWUDEDOKRVSHVVRDLV DFRPSDQKDGRV73( HVWDEHOHFLGRVQDVVpULHV JHUDLV
GRSULPHLURFLFORHPYLVDPDGHVHQYROYHURDSUHQGL]DGRGDDXWRQRPLD
3DUDDMXGDURVPDLVGHVSURYLGRVGHPDQHLUDPDLVJHUDORSWRXVHSRUGHVHQYROYHUQR
VLVWHPD HGXFDWLYR XPD SROtWLFD GH ³GLVFULPLQDomR SRVLWLYD´ FRQFUHWL]DGD QD GRWDomR GH
UHFXUVRVVXSOHPHQWDUHVDRVHVWDEHOHFLPHQWRVDIHWRVj³HGXFDomRSULRULWiULD´TXHFRQJUHJDP
GRVHVFRODUHVHGRVFROHJLDLV
$OpP GRV FRQKHFLPHQWRV IXQGDPHQWDLV QHFHVViULRV D WRGR DGXOWR RX FLGDGmR
UHVSRQViYHO H DXW{QRPR D HVFROD WDPEpP GHYH SUHSDUDU RV MRYHQV SDUD R VXFHVVR QD YLGD
SURILVVLRQDO2GLSORPDFRQWLQXDVHQGRQD)UDQoDXPVtPERORIRUWHHSURFXUDGRFRQWLQXDD
FRQWULEXLU HP JUDQGH PHGLGD SDUD HYLWDU R GHVHPSUHJR H FRQVWLWXL XP WUXQIR GHFLVLYR SDUD
DFHGHUUDSLGDPHQWHDXPHPSUHJRHVWiYHOHHYROXLUSURILVVLRQDOPHQWH
$OLJDomRHQWUHGLSORPDHHPSUHJR
2V MRYHQV TXH GHL[DUDP D HVFROD VHP GLSORPD IRUDP RV SULQFLSDLV DIHWDGRV QRV
~OWLPRV DQRV SHOR DXPHQWR GR GHVHPSUHJR 0DV RV PDLV GLSORPDGRV UHODWLYDPHQWH
SRXSDGRV DWp HQWmR YLUDP GHJUDGDUVH VHQVLYHOPHQWH VXD VLWXDomR YDQWDMRVD QR PHDGR GD
GpFDGDGH'HVGHVmRHOHVTXHPDLVVHEHQHILFLDPGDPHOKRUDJHUDOGDVFRQGLo}HV
GHLQVHUomRSURILVVLRQDO
$VIXWXUDVKLHUDUTXLDVVRFLDLVEDVHLDPVHHPJUDQGHPHGLGDQDVKLHUDUTXLDVHVFRODUHV
&LQFR DQRV DSyV R ILP GRV HVWXGRV R Q~PHUR GH GLSORPDGRV GR HQVLQR VXSHULRU H[HUFHQGR
XPD SURILVVmR VXSHULRU RX LQWHUPHGLiULD p FLQFR YH]HV PDLRU TXH R GH GLSORPDGRV GR
VHFXQGiULR ( R DFHVVR DRV HPSUHJRV GH SURILVVLRQDO GH QtYHO VXSHULRU HQJHQKHLUR RX
SURILVVLRQDO OLEHUDO HVWi PDLV DR DOFDQFH GRV GLSORPDGRV GDV JUDQGHV HVFRODV H GR WHUFHLUR
FLFORXQLYHUVLWiULR
6H SRU XP ODGR SDUHFH WUDQTLOL]DGRUD QR TXH GL] UHVSHLWR DR YDORU UHFRQKHFLGR GRV
FHUWLILFDGRVGHHVFRODUL]DomRHVWDFRQVWDWDomRWDPEpPpPRWLYRGHSUHRFXSDomRQDPHGLGD
HP TXH DV GHVLJXDOGDGHV QmR UDUR SHUFHELGDV PXLWR FHGR DLQGD QD HVFROD H GLILFLOPHQWH
VXSHUDGDV GHL[DP PDUFDV GXUDGRXUDV QR GHVWLQR SURILVVLRQDO GRV LQGLYtGXRV $ IRUPDomR
FRQWtQXDLQGLVSHQViYHOjUHQRYDomRGRVFRQKHFLPHQWRVDRORQJRGDYLGDWHPVLGRHQFDUDGD
FRPRXPDHVFRODGDVHJXQGDFKDQFHTXHDWHQXDRXFRUULJHRDOFDQFHGDVGLIHUHQoDVOHJDGDV
SHODIRUPDomRLQLFLDO0DVVyPXLWRLPSHUIHLWDPHQWHHODGHVHPSHQKDHVWHSDSHO'DPHVPD
IRUPDWDPEpPJDQKDWHUUHQRDLGpLDGHTXHDSUiWLFDSURILVVLRQDOFRQVWLWXLXPDGDVIRUPDV
SRVVtYHLV GH DSUHQGL]DGR OHYDQGR D XPD FHUWLILFDomR HTXLYDOHQWH jV IRUPDo}HV HVFRODUHV H
VXSHULRUHV 0DV RV SURFHGLPHQWRV GH YDOLGDomR GDV FRQTXLVWDV SURILVVLRQDLV HVWDEHOHFLGRV
SHODVOHLVGHHDLQGDVHGHSDUDPFRPVpULRVREVWiFXORV(PDSHQDV
SHVVRDV FRQVHJXLUDP YDOLGDU VXD H[SHULrQFLD SURILVVLRQDO SULQFLSDOPHQWH QR HQVLQR
XQLYHUVLWiULR $WXDOPHQWH R SURMHWR GH OHL GH PRGHUQL]DomR VRFLDO GHVWLQDVH D FRPSOHWDU H
VXSHUDU R DWXDO HVTXHPD GH PDQHLUD D SURSRUFLRQDU XPD DXWrQWLFD VHJXQGD FKDQFH jTXHOHV
TXHQmRWLYHUDPVXDVFRPSHWrQFLDVLGHQWLILFDGDVSHODHVFROD
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FAMAT em Revista
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Em Sala de Aula
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Índice de Trabalhos
Identificando Curvas Cônicas Utilizando Autovalores
263
Rafael Siqueira Cavalcanti
Franciella Marques da Costa
Daniel Vinicius Pinto Maia
Lucas Altamirando Rocha
Edson Agustini
Malthus Volta à Aula de Matemática
277
Clóvis Antonio da Silva
Trabalhos do Concurso
“Matemática é Boa Temática”
Segundo Semestre de 2004
Matemática, Filosofia e Lógica: Um Labirinto de Idéias
283
Uziel Paulo da Silva
A Informática Auxiliando no Ensino da Matemática
289
Rafael Siqueira Cavalcanti
Trabalhando com o Software Modellus
Edinei Leandro dos Reis
293
Identificando Curvas Cônicas Utilizando
Autovalores
Rafael Siqueira Cavalcanti∗
Franciella Marques da Costa†
Daniel Vinicius Pinto Maia
Lucas Altamirando Rocha
Edson Agustini‡
Universidade Federal de Uberlândia - Ufu- Mg
1
Introdução
Logo nos primeiros meses de ingresso no ensino superior em um curso de Matemática, os
alunos são apresentados ao estudo analı́tico de curvas cônicas e superfı́cies quádricas na
disciplina Geometria Analı́tica. Em seguida, em um primeiro curso de Álgebra Linear as
noções de autovalor de autovetor de um operador linear são apresentadas e algumas de
suas aplicações são mencionadas. Dentre as vastas aplicações de autovalores e autovetores
de operadores lineares está o reconhecimento de curvas cônicas ou superfı́cies quádricas a
partir de uma equação do segundo grau em duas ou três variáveis.
Este pequeno trabalho desenvolvido junto ao Programa Institucional de Bolsas de
Ensino de Graduação - PIBEG - no curso de Licenciatura e Bacharelado em Matemática
da UFU no inı́cio de 2005 tem por objetivo fazer a identificação de curvas cônicas a partir
da equação do segundo grau em duas variáveis utilizando autovalores.
2
A Equação do Segundo Grau em Duas Variáveis
Seja a equação do segundo grau em duas variáveis:
f (x, y) = a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a1 x + 2a2 y + a = 0,
sendo a211 + a212 + a222 = 0.
Consideremos as matrizes
a11 a12
A=
a12 a22
x
X=
.
y
e
∗
(1)
[email protected] Orientando do Programa Institucional de Bolsas de Ensino de Graduação
- Pibeg - de março/04 a fevereiro/05.
†
[email protected]
‡
Assim, a equação (1) pode ser reescrita na “forma matricial”:
f (x, y) = X t AX + 2 a1 a2 X + a = 0.
(2)
Como a matriz A é simétrica, sabemos da Álgebra Linear que A é ortogonalmente
diagonalizável, ou seja, existe uma matriz ortogonal P (cujas colunas são autovetores
linearmente independentes de A) tal que
λ1 0
t
,
P AP =
0 λ2
sendo λ1 e λ2 autovalores da matriz A. (ver [1], página 251 e seguintes).
Observemos que λ1 e λ2 não podem ser simultaneamente nulos pois, caso contrário, A
seria uma matriz nula, contrariando a211 + a212 + a222 = 0.
Como P é ortogonal, significa que P está associada a uma rotação no plano com
centro na origem. Logo, P transforma base do R2 em base do R2 , ou seja, P pode ser
vista como uma matriz de mudança de bases de R2 . Assim, considerando a mudança de
bases determinada por P, cuja equação é
X = P Y,
x1
, sendo x1 e y1 as coordenadas de um vetor genérico do R2 em relação à
y1
nova base, temos que a equação (2) fica da seguinte forma:
f (x1 , y1 ) = (P Y )t A(P Y ) + 2 a1 a2 P Y + a = 0 ⇒
f (x1 , y1 ) = Y t (P t AP )Y + 2 a1 a2 P Y + a = 0 ⇒
λ1 0
x1
f (x1 , y1 ) = x1 y1
+ 2 a1 a2 P Y + a = 0 ⇒
y1
0 λ2
com Y =
⇒ λ1 x21 + λ2 y12 + 2b1 x1 + 2b2 y1 + a = 0,
(3)
ressaltando que b1 e b2 estão em função de a1 e a2 e das entradas de P.
Na próxima seção, analisamos três casos:
(i) λ1 λ2 > 0
(ii) λ1 λ2 < 0
(iii) λ1 λ2 = 0
Em (i) e (ii) podemos reescrever a equação (3), completando quadrados, da seguinte
maneira:
2
2
b1
b2
+ λ2 y1 +
+ b = 0,
λ1 x1 +
λ1
λ2
b21
b2
− 2.
λ1 λ2
b1
b2
Chamando x1 +
= x2 e y 1 +
= y2 (ou seja, aplicando uma translação ao sistema
λ1
λ2
de coordenadas x1 y1 ), temos:
(4)
λ1 x22 + λ2 y22 + b = 0.
sendo b = a −
Voltando à equação (1) e à matriz A, temos que o polinômio caracterı́stico de A, dado
por PA (t) = det[t Id −A], é:
PA (t) = det
a12
a11 − t
a12
a22 − t
= t2 − (a11 + a22 ) + (a11 a22 − a212 ).
Chamando
a11 + a22 = s,
que é a soma dos autovalores de A, (λ1 + λ2 ), e
a11 a22 −
a212
= det
a11 a12
a12 a22
= δ,
que é o produto dos autovalores de A, (λ1 λ2 ), temos:
PA (t) = t2 − st + δ.
Consideremos o determinante de terceira ordem associado à equação (1):
⎤
a11 a12 a1
Δ = det ⎣ a12 a22 a2 ⎦ .
a1 a2 a
⎡
Temos que s, δ e Δ são invariantes por movimentos rı́gidos, ou seja, os valores de s, δ e
Δ são os mesmos independentemente de utilizarmos a equação (1) ou (4) para calculá-los.
Assim, temos da equação (4) que Δ pode ser calculado por:
⎡
⎤
λ1 0 0
Δ = det ⎣ 0 λ2 0 ⎦ = bλ1 λ2 = bδ.
0 0 b
Logo, podemos reescrever a equação (4) como segue:
λ1 x22 + λ2 y22 +
Δ
=0.
δ
(5)
Finalmente, notemos que a curva cuja equação é dada por (1) é mesma daquela cuja
equação é dada por (5) . De fato, o procedimento gométrico empregado foi aplicar à
primeira curva uma rotação seguida de uma translação ou, equivalentemente, rotacionar
e transladar o sistema de coordenadas original de modo que sua nova posição no plano
torne a equação original (1) em uma mais simples (5) .
3
Classificação de Curvas
Analisemos os seguintes casos:
3.1
Caso 1: O produto dos autovalores é positivo: δ > 0
Neste caso, temos os autovalores λ1 e λ2 com mesmo sinal.
(i) Se Δ = 0, a equação (5) fica:
λ1 x22 = −λ2 y22 ,
cuja solução ocorre somente quando x2 = y2 = 0, ou seja, coordenadas de apenas um
ponto. Conseqüentemente, a equação (5) representa um ponto.
Δ
e Δ com mesmo sinal. Além disso, sendo δ = λ1 λ2 > 0, os sinais
(ii) Se Δ = 0, temos
δ
de λ1 e λ2 são iguais, o que implica em s = λ1 + λ2 ter o mesmo sinal de λ1 .
Δ
e λ1 tem mesmo sinal, equivale a dizer que Δ e s tem mesmo
Logo, dizer que
δ
Δ
e λ1 têm sinais contrários se, e somente se, Δ e s têm sinais
sinal. Conseqüentemente,
δ
contrários.
Conclusão:
Δ
(ii-a) Se sΔ > 0, então λ1 > 0 e a equação (5) escrita como
δ
λ1 x22 + λ2 y22 = −
Δ
δ
possui primeiro e segundo membros com sinais opostos, ou seja, a equação (5) representa
o vazio.
Δ
(ii-b) Se sΔ < 0, então λ1 < 0 e a equação (5) escrita como acima possui primeiro
δ
e segundo membros com mesmos sinais, ou seja, a equação (5) representa uma elipse ou
uma circunferência, se λ1 = λ2 .
3.2
Caso 2: O produto dos autovalores é negativo: δ < 0
Neste caso, temos os autovalores λ1 e λ2 com sinais opostos.
(i) Se Δ = 0, então a equação (5) pode ser escrita como
λ1 x22 = −λ2 y22 .
Como λ1 e λ2 possuem sinais opostos, a equação acima possui primeiro e segundo
membros com mesmo sinal, ou seja, a equação (5) representa um par de retas concorrentes.
(ii) Se Δ = 0 e, como λ1 e λ2 possuem sinais opostos, a equação (5) escrita como
λ1 x22 + λ2 y22 = −
Δ
δ
é tal que os termos quadráticos possuem sinais opostos, ou seja, a equação (5) representa
uma hipérbole. (se λ1 = λ2 , temos uma hipérbole equilátera)
3.3
Caso 3: O produto dos autovalores é nulo: δ = 0
Neste caso, temos um dos autovalores, λ1 ou λ2 , nulo (vimos na seção anterior que os dois
não podem ser simultaneamente nulos).
Como visto na seção anterior, não podemos partir da equação (5). Analisemos este
caso a partir da equação (3).
(i) Se λ1 = 0, λ2 = 0 e Δ = 0, podemos escrever a equação (3) como sendo λ2 y12 + 2b1 x1 +
2b2 y1 + a = 0 e, nesse caso,
⎤
0 0 b1
Δ = det ⎣ 0 λ2 b2 ⎦ = −b21 λ2 ,
b1 b2 a
⎡
0.
ou seja, b1 =
Assim, a equação (3) pode ser escrita como
x1 = −
λ2 2 b2
a
y1 − y1 −
,
2b1
b1
2b1
que representa uma parábola.
(ii) Se λ1 = 0, λ2 = 0 e Δ = 0, procedimento totalmente análogo ao acima, permite
concluir que (3) representa uma parábola.
(iii) Se λ1 = 0, λ2 = 0 e Δ = 0, temos
⎤
0 0 b1
Δ = det ⎣ 0 λ2 b2 ⎦ = −b21 λ2 ,
b1 b2 a
⎡
que implica em b1 = 0, já que λ2 = 0. Logo, a equação (3) pode ser escrita como
λ2 y12 + 2b2 y1 + a = 0 ⇒
y1 =
−b2 ±
b22 − λ2 a
λ2
que é um par de retas paralelas (b22 − λ2 a > 0) , coincidentes (b22 − λ2 a = 0) ou vazio
(b22 − λ2 a < 0).
(iv) Se λ1 = 0, λ2 = 0 e Δ = 0, procedimento totalmente análogo ao acima, permite
concluir que (3) também representa um par de retas paralelas, coincidentes ou vazio.
Resumindo todos os resultados possı́veis, temos a seguinte tabela:
δ>0
⎧
⎧
⎨ sΔ < 0: elipse (se λ1 = λ2 , temos uma circunferência)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ Δ = 0
⎩
sΔ > 0: vazio
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
Δ = 0: um ponto
⎧
⎨ Δ = 0: hipérbole (se λ1 = λ2 , temos uma hipérbole equilátera)
δ<0
⎩
Δ = 0: duas retas concorrentes
⎧
⎨ Δ = 0: parábola
δ=0
4
⎩
Δ = 0: duas retas paralelas, duas retas coincidentes ou vazio
Exemplos
Analisemos os seguintes exemplos :
(1) Seja a equação do segundo grau em duas variáveis:
3x2 + 4xy + y 2 − 2x − 1 = 0.
Seguindo os passos da classificação acima temos:
δ = det
e
3 2
2 1
= −4 + 3 = −1
⎡
⎤
3
2 −1
1 0 ⎦ = −3 − 1 + 4 = 0.
Δ = det ⎣ 2
−1 0 −1
Como δ < 0 e Δ = 0 temos que a equação representa um par de retas concorrentes.
Vamos visualizar o conjunto solução da equação utilizando o software de cálculo
numérico e simbólico Maple. Para esta visualização utilizamos os seguintes comandos:
with(plots):
implicitplot(3*x^2+4*x*y+y^2-2*x-1=0,x=-5..5,y=-5..5);
A visualização é a seguinte:
Figura 1: Par de retas concorrentes.
x2 − 6xy − 7y 2 + 10x − 30y + 23 = 0
Seguindo os passos da classificação acima:
δ = det
1
−3
−3 −7
= −9 − 7 = −16
e
⎡
⎤
1 −3
5
Δ = det ⎣ −3 −7 −15 ⎦ = −161 + 225 + 225 + 175 − 225 − 207 = 32
5 −15 23
Como δ < 0 e Δ = 0 temos que a equação representa uma hipérbole.
Utilizando os mesmo comandos no Maple, temos a seguinte visualização:
Figura 2: Hipérbole.
5x2 + 4xy + y 2 − 6x − 2y + 2 = 0.
Temos:
δ = det
5 2
2 1
= −4 + 5 = 1
e
⎡
⎤
5
2 −3
1 −1 ⎦ = −9 − 5 − 8 + 10 + 6 + 6 = 0.
Δ = det ⎣ 2
−3 −1 2
Como δ > 0 e Δ = 0 temos que a equação representa um ponto.
Visualização:
Figura 3: Ponto.
4x2 − 4xy + 7y 2 + 12x + 6y − 9 = 0.
Temos:
δ = det
e
4 −2
−2 7
= 24
⎡
⎤
4 −2 6
3 ⎦ = −576.
Δ = det ⎣ −2 7
6
3 −9
Seja
A=
4 −2
−2 7
.
Encontremos agora os autovalores desta matriz:
4 − t −2
= (4 − t)(7 − t) − 4 = t2 − 11t + 24.
PA (t) = det
−2 7 − t
Logo, s = 11.
Como δ > 0, Δ = 0 e sΔ < 0, temos que a equação representa uma elipse.
Novamente com auxı́lio do Maple temos:
Figura 4: Elipse.
x2 − 2xy + y 2 − 2x − 2y + 1 = 0.
Temos:
δ = det
1 −1
−1 1
=0
e
⎡
⎤
1 −1 −1
Δ = det ⎣ −1 1 −1 ⎦ = −4.
−1 −1 1
Como δ = 0 e Δ = 0 temos que a equação representa uma parábola.
Visualizando com o auxı́lio do Maple:
Figura 5: Parábola.
x2 − 4xy + 4y 2 − 6x + 12y + 8 = 0.
Temos:
δ = det
1 −2
−2 4
=0
e
⎡
⎤
1 −2 −3
6 ⎦ = 0.
Δ = det ⎣ −2 4
−3 6
8
Como δ = 0 e Δ = 0, temos que a equação pode representar um par de retas paralelas,
um par de retas coincidentes ou o vazio. Neste caso, temos um par de retas paralelas.
No Maple temos:
Figura 6: Par de retas paralelas.
4x2 − 4xy + 7y 2 + 12x + 6y + 16 = 0.
Temos:
δ = det
e
4 −2
−2 7
= 24
⎡
⎤
4 −2 6
Δ = det ⎣ −2 7 3 ⎦ = 24.
6
3 16
Seja
A=
4 −2
−2 7
.
Encontremos agora os autovalores desta matriz:
PA (t) = det
4 − t −2
−2 7 − t
= (4 − t)(7 − t) − 4 = t2 − 11t + 24.
Logo, s = 11.
Como δ > 0, Δ = 0 e sΔ > 0, temos que a equação representa o vazio.
Referências
[1] Anton, H & Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações. 8a. ed. Porto Alegre:
Bookman. 2001.
[2] Boldrini, J. L. et alli. Álgebra Linear. 3a. ed. Rio de Janeiro: Harbra. 1986.
[3] Boulos, P. & Camargo, I. Geometria Analı́tica: um tratamento vetorial. 2a. ed.
São Paulo: McGraw-Hill. 1987.
[4] Callioli, C. A., Domingues, H. H. & Costa, R. F. Álgebra Linear e Aplicações.
6a. ed. São Paulo: Atual Editora. 1993.
0DOWKXVYROWDjDXODGHPDWHPiWLFD
&ORYLV$QWRQLRGD6LOYD
5HVXPR2REMHWLYRGHVWHDUWLJRpLQFHQWLYDURVSURIHVVRUHVGHPDWHPiWLFDGR(QVLQR0pGLR
DXWLOL]DUHPFRQKHFLPHQWRVGHRXWUDViUHDVGRFRQKHFLPHQWRSDUDWRUQDURFRQWH~GRGDVDXODV
GHPDWHPiWLFDPDLVLQWHUHVVDQWHSDUDRDOXQR1RSUHVHQWHWUDEDOKRpDSUHVHQWDGRR0RGHOR
GH 0DOWKXV SDUD FUHVFLPHQWR SRSXODFLRQDO TXH DOpP GD 0DWHPiWLFD SRGH VHU WUDEDOKDGR
WDPEpPHPRXWUDVGLVFLSOLQDVWDLVFRPR*HRJUDILD%LRORJLDH+LVWyULDHPXPSURMHWRLQWHU
PXOWLRXWUDQVGLVFLSOLQDU3DUDDSOLFDomRGHVWHSURMHWRHPVDODGHDXODpUHTXHULGRGRDOXQR
FRQKHFLPHQWREiVLFRGHVHTrQFLDVQXPpULFDVUHODo}HVGHUHFRUUrQFLDHSURJUHVV}HV
,QWURGXomR
2 UiSLGR FUHVFLPHQWR GDV FLGDGHV HXURSpLDV GHSRLV GH GHYLGR j FRQFHQWUDomR
XUEDQD GH SRSXODo}HV SREUHV IRUQHFHX XPD IRUoD GH WUDEDOKR SRWHQFLDO GH GLPHQV}HV
VXEVWDQFLDLV GHSRLV GH $V SHTXHQDV PDQXIDWXUDV TXH H[LVWLDP QHVVDV FLGDGHV GHVGH D
,GDGH 0pGLD WLQKDP DJRUD PmRGHREUD EDUDWD HP DEXQGkQFLD GR TXH VH DSURYHLWDUDP RV
SURSULHWiULRVGHPXLWDVGHODVSDUDH[SDQGLUVHXVQHJyFLRV(PERUDDMRUQDGDGHWUDEDOKRGRV
RSHUiULRV DWLQJLVVH RLWHQWD KRUDV VHPDQDLV RV VDOiULRV HUDP PXLWR EDL[RV (PSUHJDYDPVH
PXOKHUHV H FULDQoDV SRUTXH HODV SRGLDP ID]HU R PHVPR WUDEDOKR TXH RV KRPHQV PDV
UHFHELDP VDOiULR PXLWR LQIHULRU $V FRQGLo}HV GH WUDEDOKR HUDP KRUUtYHLV H DFLGHQWHV VpULRV
HUDP FRPXQV 2V WUDEDOKDGRUHV YLYLDP HP JXHWRV LPXQGRV LQVDOXEUHV PXLWDV YH]HV HP
IDPtOLDVJUDQGHVTXHVHFRPSULPLDPHPKDELWDo}HVPLQ~VFXODVHVHPDTXHFLPHQWR
$OpP GH XPD IRUoD GH WUDEDOKR GLVSRQtYHO D LQGXVWULDOL]DomR UHTXHULD XPD FODVVH
HPSUHHQGHGRUD FRP DFHVVR D FDSLWDLV H LQYHVWLGD GH DXWRULGDGH $ EXUJXHVLD HPHUJLX SDUD
HVVHSDSHOQRILPGRVpFXOR;9,,,
7RGRV RV IDWRUHV FLWDGRV DQWHULRUPHQWH IRUDP IDYRUiYHLV j 5HYROXomR ,QGXVWULDO TXH
LQLFLRX QD ,QJODWHUUD SRU YROWD GH H VH GLIXQGLX SRU RXWUDV SDUWHV GD (XURSD H SHOD
$PpULFD
)RL QHVVHPRPHQWRKLVWyULFRTXH 0DOWKXVYLYHXHGHVHQYROYHXRVHXHVWXGRVREUH R
FUHVFLPHQWRGHPRJUiILFR
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7KRPDV 5REHUW 0DOWKXV QDVFHX QR DQR GH SHUWR GH 'RUNLQJ QR FRQGDGR GH
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FRPXP 3HUWHQFLD j PpGLD DULVWRFUDFLD UXUDO LQJOHVD H HVWDQGR OLYUH GH SUHRFXSDo}HV
PDWHULDLV S{GH GHGLFDUVH j OHLWXUD GRV FOiVVLFRV GD OLWHUDWXUD H GD ILORVRILD EHP FRPR j
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0DOWKXVVHIRUPRXHPPDWHPiWLFDQR-HVXV&ROOHJHGD8QLYHUVLGDGHGH&DPEULGJH
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PXQGLDO
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3RSXODWLRQ DV LW $IIHFWV WKH )XWXUH ,PSURYHPHQW RI 6RFLHW\ FXMD SULPHLUD HGLomR IRL
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PHLRV GH VXEVLVWrQFLD ± D SURGXomR GH DOLPHQWRV 0DOWKXV HQ[HUJD XPD OHL QDWXUDO D GR
FUHVFLPHQWRGDSRSXODomRQXPULWPRJHRPpWULFRHDGRVSURGXWRVGHVXEVLVWrQFLDQXPULWPR
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$WXDOPHQWHHPGLQkPLFDSRSXODFLRQDORTXHVHFRQYHQFLRQRXFKDPDUGHPRGHORGH
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(QWmR SDUD HQWHQGHU R PRGHOR GH 0DOWKXV ID]VH QHFHVViULR DOJXQV FRQFHLWRV VREUH
SURJUHVV}HV
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FRQVWDQWHDGLIHUHQoDHQWUHFDGDWHUPRDQHRVHXDQWHFHGHQWHDQ(VVDGLIHUHQoDFRQVWDQWHp
FKDPDGD GH UD]mR H VHUi UHSUHVHQWDGD SRU U $VVLP HP XPD SURJUHVVmR DULWPpWLFD DQ GH
UD]mRUDQ DQUSDUDWRGRQLQWHLURHSRVLWLYR
$WD[DGHFUHVFLPHQWRUHODWLYRGHXPDJUDQGH]DpGDGDSHODUD]mRHQWUHRVHXDXPHQWR
H VHX YDORU LQLFLDO $VVLP XPD JUDQGH]D TXH SDVVD GR YDORU D SDUD R YDORU E WHP WD[D GH
FUHVFLPHQWRUHODWLYRLJXDODEDD
8PDSURJUHVVmRJHRPpWULFDpXPDVHTrQFLDGHQ~PHURVJJJJQQDTXDO
p FRQVWDQWH R TXRFLHQWH GD GLYLVmR HQWUH FDGD WHUPR JQ H R VHX DQWHFHGHQWH JQ (VVH
TXRFLHQWHpFKDPDGRGHUD]mRHVHUiUHSUHVHQWDGRSRUT2XVHMDXPDSURJUHVVmRJHRPpWULFD
p XPD VHTrQFLD QD TXDO D WD[D GH FUHVFLPHQWR UHODWLYR GH FDGD WHUPR SDUD R VHJXLQWH p
VHPSUH D PHVPD T α RQGH α p D WD[D GH FUHVFLPHQWR UHODWLYR $VVLP HP XPD
SURJUHVVmRJHRPpWULFDJQGHUD]mRTJQ DTQ
$RXWLOL]DUDLQWHUSUHWDomRJHRPpWULFDGHXPDSURJUHVVmRDULWPpWLFDRXJHRPpWULFDp
FRQYHQLHQWHFRPHoDUDHQXPHUDomRGRVWHUPRVSRUDDVVLPRWHUPRJHUDOpDQ DQUSDUD
3$HJQ JTQSDUD3*
$VVLPSRGHVHSHQVDUHPXPDSURJUHVVmRDULWPpWLFDFRPRXPDIXQomRTXHDVVRFLDD
FDGDQ~PHURQDWXUDOQRYDORUDQGDGRSRUDQ DQU(VVDIXQomRpDUHVWULomRDRVQ~PHURV
QDWXUDLVGDIXQomRDILPD[ DU[2JUiILFRGHVVDIXQomRpIRUPDGRSRUXPDVHTrQFLD
GHSRQWRVFROLQHDUHVQRSODQRDDDDQDQ
)LJXUDSRQWRVFROLQHDUHVUHSUHVHQWDQGRXPDSURJUHVVmRDULWPpWLFDGHUD]mR
3RUWDQWR SRGHVH FDUDFWHUL]DU XPD SURJUHVVmR DULWPpWLFD REVHUYDQGR TXH XPD
VHTrQFLD DQ p XPD SURJUHVVmR DULWPpWLFD VH H VRPHQWH VH RV SRQWRV GR SODQR TXH WrP
FRRUGHQDGDVDDDDHWFHVWmRHPOLQKDUHWD
7DPEpP SRGHVH SHQVDU HP XPD SURJUHVVmR JHRPpWULFD FRPR XPD IXQomR TXH
DVVRFLD D FDGD Q~PHUR QDWXUDO Q R YDORU GDGR SRU JQ JTQ (VVD IXQomR p D UHVWULomR DRV
Q~PHURV QDWXUDLVGD IXQomRH[SRQHQFLDOJ[ JT[2JUiILFRGHVVDIXQomRpIRUPDGRSRU
XPDVHTrQFLDGHSRQWRVSHUWHQFHQWHVDRJUiILFRGHXPDIXQomRH[SRQHQFLDO
)LJXUDVHTrQFLDGHSRQWRVUHSUHVHQWDQGRXPDSURJUHVVmRJHRPpWULFDGHUD]mR
8PDERDOHLWXUDFRPSOHPHQWDUVREUHSURJUHVV}HVSRGHVHUIHLWDQROLYUR3URJUHVV}HV
H0DWHPiWLFD)LQDQFHLUDSXEOLFDGRSHOD6RFLHGDGH%UDVLOHLUDGH0DWHPiWLFD>@
,QWHUSUHWDomRPDWHPiWLFDGRPRGHORGH0DOWKXV
&RQVLGHUH3WRQ~PHURGHLQGLYtGXRVHPXPDSRSXODomRHPXPGDGRDQR$GPLWD
TXH D SURSRUomR GH LQGLYtGXRV UHSURGXWRUHV SHUPDQHFH FRQVWDQWH GXUDQWH R FUHVFLPHQWR GD
SRSXODomRHWDPEpPTXHDVWD[DVGHQDWDOLGDGHQHGHPRUWDOLGDGHPVHMDPFRQVWDQWHV
7rPVHTXHα Q±PFRHILFLHQWHGHQDWDOLGDGHPHQRVRGHPRUWDOLGDGHpDWD[DGH
FUHVFLPHQWRHVSHFtILFRGDSRSXODomR3WDTXLFRQVLGHUDGDFRQVWDQWH$VVLP
3W±3W3W Q±P α
(VWD IRUPXODomR PDWHPiWLFD LQGLFD TXH R FUHVFLPHQWR UHODWLYR GD SRSXODomR p
FRQVWDQWH RX HP RXWUDV SDODYUDV TXH R FUHVFLPHQWR GD SRSXODomR p SURSRUFLRQDO j SUySULD
SRSXODomRHPFDGDSHUtRGRGHWHPSR$VVLP
3W±3W α3WRXVHMD3W α3W
&RQVLGHUDQGRGDGDDSRSXODomRLQLFLDO3 3
3 3T
3 3T 3TT 3T
3 3T 3TT 3T
3W 3WT 3TW
RXVHMD
3W 3TW
TXH p XPD SURJUHVVmR JHRPpWULFD GH UD]mR T p D H[SUHVVmR PDWHPiWLFD GR PRGHOR GH
0DOWKXVRQGH
T α
$JRUDREVHUYHXPWUHFKRGRFDStWXORGROLYURGH0DOWKXV>@
³$SRSXODomRGDLOKDHVWiFDOFXODGDHPFHUFDGHVHWHPLOK}HVHVXSRUHPRVDSURGXomRDWXDO
LJXDO DR VXVWHQWR GHVVH Q~PHUR 1RV SULPHLURV YLQWH H FLQFR DQRV D SRSXODomR DWLQJLULD RV
FDWRU]HPLOK}HVHFRPRDTXDQWLGDGHGHFRPLGDWDPEpPGXSOLFDULDRVPHLRVGHVXEVLVWrQFLD
VHULDP LJXDLV D HVVH DXPHQWR 1RV YLQWH H FLQFR DQRV LPHGLDWRV D SRSXODomR DWLQJLULD R
Q~PHURGHYLQWHHRLWRPLOK}HVHRVPHLRVGHVXEVLVWrQFLDFKHJDULDPDSHQDVSDUDDOLPHQWDU
YLQWHHXPPLOK}HV1RSHUtRGRVHJXLQWHDSRSXODomRDOFDQoDULDRVFLQTHQWDHVHLVPLOK}HV
H RV PHLRV GH VXEVLVWrQFLD Vy VHULDP VXILFLHQWHV SDUD PHWDGH GHVVH Q~PHUR ( QR ILQDO GR
SULPHLURVpFXORDSRSXODomRFLIUDUVHLDHPFHQWRHGR]HPLOK}HVHRVPHLRVGHVXEVLVWrQFLD
QmR DOLPHQWDULDP PDLV GH WULQWD H FLQFR PLOK}HV R TXH GHL[DULD VHWHQWD H VHWH PLOK}HV GH
DOPDVVHPDOLPHQWR´
$SOLFDQGRDH[SUHVVmRPDWHPiWLFDDFLPDHFRPRDX[tOLRGHXPDFDOFXODGRUDSRGH
VHHQFRQWUDUDWD[DGHFUHVFLPHQWRGHPRJUiILFRDQXDOSURSRVWDSRU0DOWKXV
3 3 3α α
FRPR3 WHPRVα RXVHMD
α≅
RXVHMDDWD[DGHFUHVFLPHQWRGHPRJUiILFRpGHDRDQR
0DOWKXV DLQGD IDOD TXH FRQVLGHUDQGR D SRSXODomR PXQGLDO HP PLO PLOK}HV SRU
H[HPSOR HP GRLV PLO DQRV D GLIHUHQoD HQWUH D SRSXODomR H RV PHLRV GH VXEVLVWrQFLD VHULD
TXDVH LQFDOFXOiYHO ³HPERUD D SURGXomR QHVVD DOWXUD WLYHVVH DXPHQWDGR QXPD H[WHQVmR
LPHQVD´>@
6HQGR DVVLP SRGHVH GLVFXWLU FRP RV DOXQRV VH KRMH HP GLD R PRGHOR GH 0DOWKXV
SRGH DLQGD VHU DSOLFDGR SDUD D SUHYLVmR GD SRSXODomR PXQGLDO 8P ERP FRPHoR p GLVFXWLU
VREUH RV HOHYDGRV Q~PHURV GH FUHVFLPHQWR SRSXODFLRQDO TXH WRUQDULD D 7HUUD XP SODQHWD
VXSHUORWDGRHLQDELWiYHOHDUHYROXomRDJUtFRODRFRUULGDQRVpFXOR;;
3DUD LVVR SRGHVH XWLOL]DU GDGRV WDEHODGRV FRQIRUPH IRL IHLWR QR OLYUR (QVLQR
$SUHQGL]DJHPFRP0RGHODJHP0DWHPiWLFDGH5RGQH\%DVVDQH]]L>@
&RQFOXVmR
2 PRGHOR GH 0DOWKXV SRGH VHU DSUHVHQWDGR DRV DOXQRV D SDUWLU GH WHPDV FRPR SRU
H[HPSOR SHVFD FUHVFLPHQWR GH XPD SRSXODomR SDUD SUHYHU VH XPD WHPSRUDGD VHUi ERD
JDIDQKRWRV SUHSDUR SUHYHQWLYR SDUD XPD LQYDVmR YtUXV H EDFWpULDV FUHVFLPHQWR GH XPD
FXOWXUDLVRODGD(HQWmRDSOLFDUSURFHGLPHQWRDQiORJRDRIHLWRQHVWHDUWLJR
$VVLPFRPDYROWDGH0DOWKXVjDXODGHPDWHPiWLFDDVDXODVSRGHPILFDUPXLWRPDLV
LQWHUHVVDQWHV&RPFHUWH]D
5HIHUrQFLDV%LEOLRJUiILFDV
>@'$0,$1,$PpOLD/XLVD3RSXODomRH*HRJUDILDHG6mR3DXOR&RQWH[WR
>@0$/7+867KRPDV5REHUW(QVDLRVREUHR3ULQFtSLRGD3RSXODomRWUDGXomRGH(GXDUGR
6DOy&ROHomROLYURVGHEROVROE0LUD6LQWUD(XURSD$PpULFD
>@6=05(&6È1<,7DPiVRUJDQL]DGRU0DOWKXV(FRQRPLD6mR3DXORÈWLFD
>@%$66$1(==,5(QVLQR$SUHQGL]DGRFRP0RGHODJHP0DWHPiWLFD6mR3DXOR(GLWRUD
&RQWH[WR
>@025*$'2$&:$*1(5(=$1,6&3URJUHVV}HVH0DWHPiWLFD)LQDQFHLUD
DHG5LRGH-DQHLUR6RFLHGDGH%UDVLOHLUDGH0DWHPiWLFD
3URMHWR,QWHUGLVFLSOLQDU
0DWHPiWLFDp%RD7HPiWLFD
0DWHPiWLFD)LORVRILDH/yJLFD8P/DELULQWRGH,GpLDV
8]LHO3DXORGD6LOYD
,QWURGXomR
'HVGHDDQWLJXLGDGHDPDWHPiWLFDWHPFRQWULEXtGRSDUDRGHVHQYROYLPHQWRLQWHOHFWXDOH
WHFQROyJLFRGDVRFLHGDGH$WHFQRORJLDTXHH[LVWHKRMHpTXDVHTXHLPSUHVFLQGtYHOPDVQR
HQWDQWRVyIRLSRVVtYHOGHVHUDOFDQoDGDFRPRGHVHQYROYLPHQWRGDPDWHPiWLFD3RUWDQWRp
ODPHQWiYHOTXHKRMHHPSOHQRVpFXOR;;,DLQGDH[LVWDPSHVVRDVTXHDFKDPGHVQHFHVViULRD
DSUHQGL]DJHP PDWHPiWLFD RX TXH GHWHVWDP PDWHPiWLFD 3RU RXWUR ODGR ID]HQGR MXVWLoD D
HVVDV SHVVRDV D PDWHPiWLFD HVWXGDGD KRMH QRV FLFORV EiVLFRV GH HQVLQR p SHGDQWH H
GHVHVWLPXODTXDOTXHUDOXQR
2V DVSHFWRV ILORVyILFRV H KLVWyULFRV GD PDWHPiWLFD QHP VHTXHU VmR PHQFLRQDGRV 2
SURFHVVR SHGDJyJLFR SUDWLFDGR WDQWR QD UHGH S~EOLFD TXDQWR SDUWLFXODU FRQVWLWXLVH GH XP
IRUPDOLVPRUHSHWLWLYRWRUQDQGRDDSUHQGL]DJHPWRWDOPHQWHPHFkQLFDQmRYLVDjFLUFXODomRGH
LGpLDVQmRHVWLPXODRHVWXGRHPXLWRPHQRVjSHVTXLVDHDFXULRVLGDGHLQWHOHFWXDO
1HVWH FRQWH[WR HVWH WUDEDOKR SURS}H XP SURWyWLSR GH DXOD LQWHUGLVFLSOLQDU QD TXDO DV
GHILFLrQFLDVVXSUDFLWDGDVVHMDPPLQLPL]DGDV8WLOL]DQGRILORVRILDKLVWyULDHOyJLFDSUHWHQGH
VHHQVLQDUDWUDYpVGHDSOLFDo}HVSUiWLFDVJHRPHWULDSODQDHSURJUHVVmRJHRPpWULFDVHQGRTXH
DSULQFLSDOPHWDpPRVWUDUTXHDWHRULDGHFRQMXQWRVpXPDIRQWHGHSDUDGR[RVTXHHVWLPXODP
DFRPSUHHQVmRGHSUREOHPDVHPJHRPHWULD
(VWH WUDEDOKR SURS}H XPD DXOD H[SRVLWLYD PDV QmR PHFkQLFD YLVDQGR D LQWHUDomR
SURIHVVRUDOXQRHVHJXLQGRDVLGpLDVGH'DYLG$XVXEHO>@HDOpPGHHVWLPXODURUDFLRFtQLRH
(VWHSURMHWRIRLXPGRVYHQFHGRUHVGRFRQFXUVR³0DWHPiWLFDp%RD7HPiWLFD´HODERUDGRSHOR3(70$7QR
VHPHVWUHGH
DFULDWLYLGDGHSURSRUFLRQDUSUREOHPDVTXHJHUHPXPGLVW~UELRQDVHVWUXWXUDVFRJQLWLYDVGRV
DOXQRV D ILPGHDOFDQoDUXPDOWRQtYHOGHDSUHQGL]DJHP3RUILPWDPEpPpREMHWLYRGHVWH
WUDEDOKR XVDU ILORVRILD EDVLFDPHQWH SDUDGR[RV IDPRVRV QD KLVWyULD GD FLrQFLD SDUD UHVROYHU
LQGDJDo}HVPDWHPiWLFDVXVDQGROyJLFDHWHRULDGHFRQMXQWRV
&RPRQRVVDPHWDpHVWLPXODUR DOXQR j FXULRVLGDGHLQWHOHFWXDOQDGD PDLV QDWXUDO TXH
HVWDDXODVHMD³FRQVWUXWLYLVWD´SRLVDVVLPDDSUHQGL]DJHPVHUiVLJQLILFDWLYD
$XODGH*HRPHWULD
1RUPDOPHQWH RV SURIHVVRUHV GH PDWHPiWLFD DR LQWURGX]LUHP R WHPD JHRPHWULD SODQD
LQLFLDP VXD DXOD FRP RV SRVWXODGRV GH (XFOLGHV H HP VHJXLGD HQXQFLD DV GHILQLo}HV
SURSRVLo}HVHWHRUHPDV 6HRREMHWLYRGRSURIHVVRUpDSHQDVWUDQVPLWLU FRQKHFLPHQWR HQWmR
VXD DXOD HVWi yWLPD 3RUpP VH R REMHWLYR GR SURIHVVRU p FRQVWUXLU RV FRQFHLWRV JHRPpWULFRV
FRPRVDOXQRVGHIRUPDVLJQLILFDWLYDHSURGX]LUQRYRVFRQKHFLPHQWRVHQWmRLQLFLDOPHQWHHOH
GHYHHVWLPXODURVDOXQRVHFRQYHQFrRVGHTXHDSUHQGHUPDWHPiWLFDpDOJRSUD]HURVRRTXHp
LPSRVVtYHODSHQDVFRPXPDDXODH[SRVLWLYDHIRUPDO
1HVWDDXODGHJHRPHWULDTXHHVWDPRVSURSRQGRYDPRVHVWLPXODURVDOXQRVUHVROYHQGR
SUREOHPDVJHUDGRVSRUSDUDGR[RVXWLOL]DQGRSDUDLVVRDVLPSOLFDo}HVGDTXLQWDQRomRFRPXP
GH (XFOLGHV QD WHRULD GRV FRQMXQWRV H PRVWUDUHPRV TXH R SRQWR ³QmR WHP PHGLGD DOJXPD´
FRQVWUXLQGR DVVLP R FRQFHLWR GH SRQWR $V QRo}HV FRPXQV VmR GLIHUHQWHV GRV FLQFR
SRVWXODGRVTXHVHUmRHQXQFLDGRVDEDL[RHSRUWDQWRDTXLQWDQRomRQmRSRGHVHUFRQIXQGLGD
FRPRIDPRVRTXLQWRSRVWXODGRGH(XFOLGHV
1Ro}HV&RPXQVGH(XFOLGHV
'XDVFRLVDVLJXDLVDXPDWHUFHLUDVmRLJXDLVHQWUHVL
6HSDUFHODVLJXDLVIRUHPDGLFLRQDGDVDTXDQWLDVLJXDLVRVUHVXOWDGRVILFDUmRVHQGRLJXDLV
6HTXDQWLDVLJXDLVIRUHPVXEWUDtGDVGDVPHVPDVTXDQWLDVRVUHVWRVVHUmRLJXDLV
&RLVDVTXHFRLQFLGHPXPDFRPDRXWUDVmRLJXDLV
2WRGRpPDLRUGRTXHDVSDUWHV
3RVWXODGRVGH(XFOLGHV
3RGHVHWUDoDUXPDOLQKDUHWDVHJPHQWRGHTXDOTXHUSRQWRSDUDTXDOTXHUSRQWR
4XDOTXHUVHJPHQWRGHUHWDSRGHVHUSURORQJDGRLQGHILQLGDPHQWHSDUDFRQVWLWXLUXPDUHWD
'DGRVXPSRQWRTXDOTXHUHXPDGLVWkQFLDTXDOTXHUSRGHVHWUDoDUXPFtUFXORGHFHQWUR
QDTXHOHSRQWRHUDLRLJXDOjGDGDGLVWkQFLD
7RGRVRVkQJXORVUHWRVVmRLJXDLVHQWUHVL
6HXPDUHWDFRUWDUGXDVRXWUDVUHWDVGHPRGRTXHDVRPDGRVGRLVkQJXORVLQWHULRUHVGHXP
PHVPRODGRVHMDPHQRUTXHGRLVkQJXORVUHWRVHQWmRDVGXDVRXWUDVUHWDVVHFUX]DPTXDQGR
VXILFLHQWHPHQWHSURORQJDGDV
$TXLQWDQRomRFRPXPGH(XFOLGHVDILUPDTXHRWRGRpPDLRUTXHDVSDUWHVRTXHQHP
VHPSUH p YHUGDGH GHSHQGHQGR GR FRQWH[WR HP VH HVWi WUDEDOKDQGR 9HMDPRV R VHJXLQWH
H[HPSOR
$UHWDpIRUPDGDSRUSRQWRVVHHODIRUGLYLGLGDHPYiULRVVHJPHQWRVRXLQWHUYDORVHVH
FRQVLGHUDUPRVDPHGLGDHPVLDUHWDWRGDpPDLRUTXHFDGDVHJPHQWRPDVVHFRQVLGHUDUPRV
D UHWD FRPR XP FRQMXQWR GH LQILQLWRV SRQWRV SRGHPRV REVHUYDU TXH D UHWD WRGD FRQWpP R
PHVPR Q~PHUR GH SRQWRV GH FDGD LQWHUYDOR ,VWR p SRVVtYHO VRPHQWH SRUTXH RV SRQWRV VmR
DGLPHQVLRQDLV VH R SRQWR WLYHVVH GLPHQVmR LVWR QmR VHULD SRVVtYHO ([SOLFDUHPRV LVVR
GHWDOKDGDPHQWHPDLVDGLDQWH
2SURIHVVRUGHYHHVWLPXODURVDOXQRVDUHVROYHUSUREOHPDVDJXoDQGROKHVDFXULRVLGDGH3RU
H[HPSORDSyVHQXQFLDUDVQRo}HVFRPXQVHRVSRVWXODGRVGH(XFOLGHVSRGHID]HUDVHJXLQWH
SHUJXQWDDRVDOXQRV³&RPRpSRVVtYHORSRQWR³QmRSRVVXLUGLPHQVmR´HDLQGDJHUDUXPD
UHWDXQLGLPHQVLRQDO"´'HRQGHYHLRWDOGLPHQVmR"
3HUJXQWDV FRPR HVVD JHUD XP GHVHTXLOtEULR QD HVWUXWXUD FRJQLWLYD GR DOXQR VHJXQGR
3LDJHW >@ DVVLP R SURFHVVR GH UHHTXLOtEULR RFRUUH QD WHQWDWLYD GR DOXQR HP UHVROYHU R
SUREOHPD
$VQRo}HVFRPXQVHSRVWXODGRVGDGRVDQWHULRUPHQWHVmRRVRUJDQL]DGRUHVSUpYLRVTXH
IRUPDUmRRVVXEVXQVRUHVTXHVHUYLUmRGHDQFRUDGRXURSDUDTXHDQRYDLGpLDVHMDFRPSUHHQGLD
LVWRpGHRQGHVXUJLXDGLPHQVmRGDUHWDHRXRTXHpHVWDGLPHQVmR
$SyV XP GHWHUPLQDGR WHPSR QR TXDO RV DOXQRV FULDUmR PRGHORV SDUD UHVROYHU R
SUREOHPD R SURIHVVRU GHYH LQGDJiORV H RXYLU DV MXVWLILFDWLYDV GH FDGD DOXQR HRX RV
DUJXPHQWRV TXH XWLOL]DUDP VHP ID]HU DYDOLDomR QRUPDWLYD 'Dt HOH SRGH XVDU +LVWyULD GD
0DWHPiWLFD H PRVWUDU XP FDPLQKR SDUD D UHVROXomR GD SULPHLUD SDUWH GR SUREOHPD LVWR p
FRPR R SRQWR QmR SRVVXL GLPHQVmR" (OH SRGH H[SOLFDU TXH VH R SRQWR WLYHVVH GLPHQVmR
UHVXOWDULD HP XPD IDOWD GH DGHTXDomR OyJLFD FRP R 7HRUHPD GH 3LWiJRUDV TXH H[SOLFDPRV
DEDL[R,VWRH[FLWDUiRVDOXQRVDFRQKHFHUHVWHWHRUHPDHVDEHURSRUTXrGHVWDFRQWUDGLomR
0DV TXH FRQWUDGLomR p HVWD" 3DUD PRVWUDUPRV HVVD FRQWUDGLomR FRQVLGHUH D VHJXLQWH
KLSyWHVH
+,327(6($UHWDpIRUPDGDSRUSRQWRVGLPHQVLRQDLVLVWRpHODpIRUPDGDSRUSRQWRVFRP
PHGLGDVGLIHUHQWHVGH]HUR
6HMDRVHJPHQWRGHUHWD$%IRUPDGRGHXPDLQILQLGDGHGHSRQWRVGH³PHGLGDG´
³'LYLGD R VHJPHQWR GH UHWD $% GLFRWRPLFDPHQWH DVVLP $& UHSUHVHQWD VXD PHWDGH &' D
PHWDGH GH &% DVVLP FRQWLQXDQGR PHQWDOPHQWH &RQVLGHUDQGR D KLSyWHVH HVWD RSHUDomR
WHUPLQDUiTXDQGRRVHJPHQWR$%SXGHUVHUFRORFDGRFRPRUHXQLmRGHSRQWRVGH³PHGLGDG´
GHWDOPRGRTXHRWDPDQKRGH$%pLJXDODXPP~OWLSORGHG$VVLPPHG$% PGVHQGR
PXPQ~PHURQDWXUDO
&RQVLGHUDQGR RXWUR VHJPHQWR *( SRGHPRV HVFUHYHU PHG*( QG VHQGR Q XP Q~PHUR
QDWXUDO
P
P
/RJR PHG $% = PHG *( = EDVWDFRQVLGHUDU*(FRPRXQLWiULR
Q
Q
3RUWDQWR SRGHPRV FRQFOXLU TXH WRGD PHGLGD GH VHJPHQWR UHVXOWD VHU XP Q~PHUR UDFLRQDO
'Dt VH FRQVLGHUDUPRV $% FRPR GLDJRQDO GH XP TXDGUDGR GH ODGR XQLWiULR WHUHPRV
DSOLFDQGR R 7HRUHPD GH 3LWiJRUDV TXH PHG$% XP Q~PHUR LUUDFLRQDO $EVXUGR
SRLV DFDEDPRV GH FRQFOXLU TXH $% p UDFLRQDO 3RUWDQWR Ki XPD IDOWD GH DGHTXDomR OyJLFD
HQWUHDKLSyWHVHHR7HRUHPDGH3LWiJRUDV(HVVDLQFRPSDWLELOLGDGHOyJLFDOHYDjUHMHLomRGD
KLSyWHVHHjDFHLWDomRGHTXHRVSRQWRVVHMDPDGLPHQVLRQDLV´
1RVVD KLSyWHVH DILUPD TXH WRGR VHJPHQWR p FRPHQVXUiYHO H R 7HRUHPD GH 3LWiJRUDV
HVWLOKDoDDKLSyWHVHPRVWUDQGRDH[LVWrQFLDGHVHJPHQWRVLQFRPHQVXUiYHLVLVWRpVHJPHQWRV
VHPXPVXEP~OWLSORFRPXP
PHG$% PHGLGDGH$%
'RLVVHJPHQWRVVmRFRPHQVXUiYHLVVHH[LVWLUXPDXQLGDGHGHPHGLGDFRPXPDRVGRLVVHJPHQWRV&DVR
FRQWUiULRRVVHJPHQWRVVmRLQFRPHQVXUiYHLV
$VHJXQGDSDUWHGRSUREOHPDp³GHRQGHYHLRjGLPHQVmRGDUHWD´
(VWDTXHVWmRpQDWXUDOPHQWHILORVyILFD3DUD³PRVWUDU´TXHDUHWDQmRpDSHQDVIRUPDGDV
SRU³VRPD´GHSRQWRVLUHPRVUHFRUUHUjVSURSULHGDGHVTXHDVUHWDVSRVVXHPHTXHRVSRQWRV
QmR 3RGHPRV UHFRUUHU jV FRUUHQWHV ILORVyILFDV GD *UpFLD $QWLJD 6HQGR TXH XPD DILUPDYD
TXH D UHDOLGDGH HVWi HP SHUHQH PRYLPHQWR QDGD VH HQFRQWUD SDUDGR SRLV WXGR p PXGDQoD
+HUiFOLWR D& -i D RXWUD FRUUHQWH SRVWXODYD TXH ³D UHDOLGDGH p D SHUPDQrQFLD
DTXLOR TXH QmR PXGD SRUTXH R PRYLPHQWR p FRQWUDGLWyULR H MDPDLV VHUi DOFDQoDGR SHOD
FRPSUHHQVmR´3DUPrQLGHV3DUPrQLGHVDILUPDYDTXH³RVHUpRQmRVHUQmRp´SULQFtSLR
FRQKHFLGRKRMHHPOyJLFDFRPR35,1&Ë3,2'$,'(17,'$'(
0DVFRPRHVWDVFRUUHQWHVILORVyILFDVUHVROYHPRSUREOHPDGDGLPHQVmRGDUHWD"
2 SURIHVVRU H[SOLFDUi TXH H[LVWLX XP ILOyVRIR FKDPDGR =HQmR GH (OpD GLVFtSXOR GH
3DUPrQLGHVTXHIRUPXORXRVHJXLQWHSDUDGR[R³7XGRTXHVHPRYHGHYHDWLQJLUPHWDGHGR
SHUFXUVRDQWHVGHFKHJDUDRILPHDLQGDDQWHVGRPHLRGHYHDWLQJLUXPTXDUWRHDQWHVGH
XPTXDUWRXPRLWDYRHDVVLPVXFHVVLYDPHQWHVHPQXQFDDFDEDU /RJRRPRYLPHQWRQmR
FKHJDDUHDOL]DUVHFRQWUDULDQGRRVHQVRFRPXP´
(VWHSRVWXODGRRFXSRXDPHQWHGRVPDLVLOXVWUHVViELRVGXUDQWHPDLVGHGRLVPLODQRVH
Vy IRL FRPSUHHQGLGR MXQWDPHQWH FRP RXWURV SDUDGR[RV GH =HQmR D SDUWLU GR VpF ;,;
TXDQGRRVPDWHPiWLFRVFULDUDPRVFRQFHLWRVGH)81d29$5,È9(/&217,18,'$'(
(/,0,7(
2SURIHVVRUGHYHVXJHVWLRQDURVDOXQRVDFRPSUHHQGHURSDUDGR[RGH=HQmRHUHVROYHU
FRPHOHVRXWURVHPHOKDQWHRIDPRVR³3DUDGR[RGH$TXLOHVHD7DUWDUXJD´FXMDUHVROXomRXVD
RVFRQFHLWRVGH352*5(662*(20e75,&$SRLVDVROXomRpDVRPDGRVLQILQLWRVWHUPRV
GHXPD3*GHUD]mRLJXDOD 6 = + + + = $OpPGHSURJUHVV}HVRSDUDGR[RGH$TXLOHVVHUiUHVROYLGRXVDQGROyJLFD2SDUDGR[R
GH$TXLOHV3$pRVHJXLQWH
³$TXLOHVFRUUHSDUDDSDQKDUXPDWDUWDUXJDTXHVHDIDVWDGHOHPDVTXDQGRHOHFKHJD
QR OXJDU RQGH HVWDYD D WDUWDUXJD HVWD QmR PDLV VH HQFRQWUD Oi $ GLVWDQFLD TXH DJRUD RV
VHSDUD p PHQRU TXH D DQWHULRU PDV HQTXDQWR $TXLOHV D SHUFRUUH WDPEpP D WDUWDUXJD VH
GHVORFD H DVVLP VXFHVVLYDPHQWH DR LQILQLWR /RJR $TXLOHV HPERUD FRUUHQGR EHP PDLV
GHSUHVVDQXQFDDOFDQoDDWDUWDUXJDFRQWUDULDQGRPDLVXPDYH]RVHQVRFRPXP´
6DEHPRVTXH$TXLOHVQmRDSHQDVDOFDQoDUiDWDUWDUXJDFRPRDGHL[DUiTXLO{PHWURVSDUD
WUiVPDVFRPRSURYDULVVR"
&RPRGLVVHPRVDQWHULRUPHQWHDUHWDpIRUPDGDSRUSRQWRVHTXDLVTXHUGRLVVHJPHQWRV
LQGHSHQGHQWHGHVXDVPHGLGDVSRVVXHPDPHVPD³TXDQWLGDGH´GHSRQWRV(LVWRVypSRVVtYHO
SRUTXHDUHWDpFRQVWLWXtGDGHLQILQLWRVSRQWRVDGLPHQVLRQDLV
0DVFRPRLVVRUHVROYHRSDUDGR[RGH$TXLOHV"
&RQVLGHUHDUHSUHVHQWDomR
3DUDGR[RpXPFRQFHLWRFRQWUiULRDRVHQVRFRPXP
6HRSRQWRGHHQFRQWURGH$TXLOHVHDWDUWDUXJDIRU%HQWmR$TXLOHVGHYHUiSHUFRUUHU
DWpDGLVWDQFLD$7HPDLV7%2UDHOHSDVVDUiSRULQILQLWRVSRQWRVGH$DWp%HDWDUWDUXJD
SDVVDUiSRULQILQLWRVSRQWRVGH7DWp%
&RPRKiXPDHTXLYDOrQFLDLVWRpFDGDSRQWRGRVHJPHQWR$%FRUUHVSRQGHDXPSRQWR
GRVHJPHQWR7%HYLFHYHUVDHQWmRDRVHHQFRQWUDUHPQRSRQWR%JDVWDUDPRPHVPRWHPSR
(VWHHQFRQWURGH$TXLOHVFRPDWDUWDUXJDPRVWUD
4XH R SRQWR p DGLPHQVLRQDO SRUTXH QmR R VHQGR $TXLOHV MDPDLV DOFDQoDULD D
WDUWDUXJD
([LVWHXPDPHVPDTXDQWLGDGHGHSRQWRVQRVHJPHQWR$%H7%
2WRGR$%pHTXLYDOHQWHDXPDGHVXDVSDUWHV7%
0HGLGDGH$%pGLIHUHQWHGDPHGLGDGH7%
$V LQGDJDo}HV GH =HQmR VHULDP LPSHFiYHLV DGPLWLQGR D TXLQWD QRomR FRPXP GH
(XFOLGHVTXHDILUPDTXHRWRGRpVHPSUHPDLRUTXHXPDGHVXDVSDUWHVPDVTXHSURYDPRV
VHUYiOLGRVRPHQWHSDUDFRQMXQWRVILQLWRV4XDQGRVHWUDWDGHFRQMXQWRVLQILQLWRVRWRGRQmRp
PDLRUTXHXPDGHVXDVSDUWHVSUySULDV
&RQFOXVmR
$ LGpLD FHQWUDO GHVWD DXOD p DJXoDU D FXULRVLGDGH LQWHOHFWXDO GR DOXQR H R GHVHMR GH
DSUHQGHU 3RLV VRPHQWH DVVLP R DOXQR VHUi LQWHOHFWXDOPHQWH LQGHSHQGHQWH H GH IDWR XP
FLGDGmR FUtWLFR FDSD] GH VROXFLRQDU VHXV SUySULRV SUREOHPDV 'HYHPRV PRVWUDU TXH D
PDWHPiWLFD QmR p XPD FLrQFLD LVRODGD H VXDV SUySULDV GLYLV}HV VmR DSHQDV SDUD IDFLOLWDU R
SURFHVVRGHHQVLQRXPDYH]TXHWRGDVVXDSDUWHVVHLQWHUUHODFLRQDP3RUH[HPSORXVDPRV
WHRULDGRVFRQMXQWRVSDUDVROXFLRQDUXPSUREOHPDGHJHRPHWULD
$OpPGLVVRIL]HPRVXPDLQWHUDomRHQWUHPDWHPiWLFDHDILORVRILDXPDYH]TXHXVDPRV
SDUDGR[RVLQWULJDQWHVTXHVHJXQGRDOyJLFDGRVHQVRFRPXPFKHJDUtDPRVDXPDEVXUGRLVWR
p$TXLOHVMDPDLVDOFDQoDULDDWDUWDUXJDHRXDQmRH[LVWrQFLDGRPRYLPHQWR3RUpPFRPDV
IHUUDPHQWDV GD PDWHPiWLFD UHVROYHPRV RV SUREOHPDV GH PRGR OyJLFR DFHLWiYHO VLPSOHV H
HOHJDQWH
0RVWUDPRV TXH VH XP SRQWR WLYHVVH GLPHQVmR LVWR p VH FRQVLGHUiVVHPRV XP SRQWR
FRPRXPFRUS~VFXORGHWDPDQKRGLIHUHQWHGH]HURDFDUUHWDULDYiULRVSUREOHPDVQDHVWUXWXUD
GDPDWHPiWLFDSUHFLVDPHQWHQRQDVUHODo}HVPpWULFDVHQR7HRUHPDGH3LWiJRUDV
2XVRGHILORVRILDHOyJLFDSDUDHVFODUHFHULQGDJDo}HVPDWHPiWLFDVSRGHPRVWUDUSDUDRV
DOXQRV D LPSRUWkQFLD GH DOJXQV FRQFHLWRV TXH TXDVH VHPSUH VmR FRQVLGHUDGRV LUUHOHYDQWHV
FRPRDLGpLDGHGLPHQVmRPDVTXHQDYHUGDGHUHVROYHPSUREOHPDVVXUSUHHQGHQWHV
%LEOLRJUDILD
>@ $=(1+$ 0DULD GD *UDoD &RQVWUXWLYLVPR GH 3LDJHW D (PLOLD )HUUHLUR HG 6mR
3DXORÈWLFD
>@025(,5$0DUFR$0$6,1,(OFLH)6DO]DQR $SUHQGL]DJHPVLJQLILFDWLYDDWHRULD
GH'DYLG$XVXEHO6mR3DXOR0RUDHV
>@8QLYHUVLGDGH(VWDGXDOGH)HLUDGH6DQWDQD)ROKHWLPGHHGXFDomRPDWHPiWLFD$QRQ
VH0DUH$EULO
$,QIRUPiWLFD$X[LOLDQGRQR(QVLQRGD0DWHPiWLFD
5DIDHO6LTXHLUD&DYDOFDQWL
2EMHWLYR*HUDO
2 REMHWLYR GHVWH SODQR GH DXOD QmR p SURSRU GHPRQVWUDU DR DOXQR WHRUHPDV RX
SURSRVLo}HVFRQKHFLGDVQRPXQGRGRVQ~PHURVFRPSOH[RV1HVWDSURSRVWDYDPRVWRPDULVWR
FRPRGHFRQKHFLPHQWRGRDOXQRHLUHPRVXWLOL]DUUHFXUVRVFRPSXWDFLRQDLVFRPRIHUUDPHQWD
GLGiWLFRSHGDJyJLFDSDUDFRPSOHPHQWDURDSUHQGL]DGRGRVDOXQRVGRHQVLQRPpGLRQRHVWXGR
GH Q~PHURV FRPSOH[RV9DPRVWDPEpP PRVWUDU FRPRTXH DOJXQVUHVXOWDGRVFRQKHFLGRVQR
FDPSR GRV Q~PHURVFRPSOH[RVSRGHPVHUIDFLOPHQWH DVVLPLODGRV SHORV DOXQRV GH PDQHLUD
VLPSOHVHH[DWDFRPRDX[tOLRGRFRPSXWDGRU3DUDWDOHVWXGRXWLOL]DUHPRVRVRIWZDUH&DEUL
*pRPqWUH,,
+LVWyULDGRVQ~PHURVFRPSOH[RV
(VVD p XPD KLVWyULD ORQJD GH UHVLVWrQFLD SRU SDUWH GH H[FHOHQWHV PDWHPiWLFRV D
DGPLWLUHP D H[LVWrQFLD GRV Q~PHURV FRPSOH[RV PHVPR TXDQGR R XVDYDP 2V Q~PHURV
FRPSOH[RV FRPHoDUDP D DSDUHFHU VLVWHPDWLFDPHQWH HP 0DWHPiWLFD QR VpFXOR ;9, FRP RV
DOJHEULVWDVLWDOLDQRV$WpRVpFXOR;,;TXDQGR*DXVVGLYXOJRXDLQWHUSUHWDomRJHRPpWULFDGRV
Q~PHURV FRPSOH[RV DLQGD KDYLDP PDWHPiWLFRV TXH GLVFXWLDP VH RV Q~PHURV QHJDWLYRV
H[LVWLDPRXQmR
(P&DUGDQRSXEOLFRXROLYUR$UV0DJQDTXHSURSXQKDHQWUHRXWUDV
FRLVDV R PpWRGR SDUD UHVROYHU HTXDo}HV GR WHUFHLUR JUDX 1HVWH OLYUR &DUGDQR UHVROYH R
SUREOHPDGHGLYLGLUHPGXDVSDUWHVFXMRSURGXWRp(VWHSUREOHPDUHGX]VHDUHVROYHUD
HTXDomR GR VHJXQGR JUDX [ [ 5HVROYHQGR D HTXDomR SRU FRPSOHWDPHQWR GH
TXDGUDGRVFKHJDPRVTXH[ − HUHDOPHQWHRSURGXWR − − HDVRPD − − 'H TXDOTXHU PDQHLUD R HQFRQWUR GRV PDWHPiWLFRV FRP RV Q~PHURV FRPSOH[RV QR
HVWXGRGDHTXDomRGRVHJXQGRJUDXHUDLQHYLWiYHO
1RVpFXOR;9,RVPDWHPiWLFRVFRPHoDUDPDXVDURVQ~PHURVFRPSOH[RVDSOLFDQGR
OKHV DV UHJUDVXVXDLVGRFiOFXORFRPQ~PHURVUHDLVRTXHOHYRXSRUYH]HVDHQJDQRVFRPR
(XOHUTXHDILUPRXSRUH[HPSORTXH − − SRUDQDORJLDjUHJUD
D E DE YiOLGDSDUDRVQ~PHURVUHDLVSRVLWLYRV
2 HVWXGR GRV Q~PHURV FRPSOH[RV DWLQJLUDP RXWUR SDWDPDU TXDQGR (XOHU HP PRVWURXTXHVHD − pUDL]GHXPDHTXDomRSROLQRPLDOFRPFRHILFLHQWHVUHDLVHQWmR D
− WDPEpP R p 'HPRQVWURX HP VHJXLGD TXH WRGDV DV UDt]HV QmR UHDLV GH XPD HTXDomR
SROLQRPLDO VmR GD IRUPD D E − 3DUD LVVR IRL QHFHVViULR HVWXGDU FXLGDGRVDPHQWH DV
RSHUDo}HVFRPQ~PHURVFRPSOH[RVLQFOXLQGRSRWrQFLDVLPDJLQiULDVORJDULWPRVGHQ~PHURV
FRPSOH[RV IXQo}HV WULJRQRPpWULFDV GH DUJXPHQWR FRPSOH[R HWF 3RGHVH GL]HU TXH FRP
(XOHUDiOJHEUDGRVQ~PHURVFRPSOH[RVDWLQJLXVXDIRUPDDWXDO
6tQWHVH7HyULFDGRV1~PHURV&RPSOH[RV
$TXLIDUHPRVXPEUHYHUHVXPRVREUHQ~PHURVFRPSOH[RVXPDYH]VXSRVWRTXHHVWH
WHPDpGHFRQKHFLPHQWRGHWRGRVRVDOXQRV
2VQ~PHURVFRPSOH[RVVmRDTXHOHVTXHVHHVFUHYHPQDIRUPD ] D ELRQGH DH E
VmRQ~PHURVUHDLVVHQGRDDSDUWHUHDOGH]HEDSDUWHLPDJLQiULDGH]HL − pD³XQLGDGH
LPDJLQiULD´'HILQLPRVVREUHRFRQMXQWRGRVQ~PHURVFRPSOH[RVDVGXDVRSHUDo}HV
DELFGL DFEGLDGLomR
DELFGL DF±EGDGEFLPXOWLSOLFDomR
2EVL LL ± ±
2 Q~PHUR FRPSOH[R ] D EL SRGH VHU SHQVDGR FRPR XP SRQWR GR SODQR GH
FRRUGHQDGDVDERXFRPRXPYHWRU2]GHRULJHP2HH[WUHPLGDGHDE
'HILQLPRVRPyGXORGHXPQ~PHURFRPSOH[R ] D ELFRPSULPHQWRGRYHWRU2]
SRU D + E HRGHQRWDPRVSRU_]_TXHQDGDPDLVpTXHDGLVWkQFLDGHDEjRULJHP
7RPHPRV U _]_ D + E RFRPSULPHQWRGH2]RTXDOVXSRUHPRVVHUGLIHUHQWHGR
YHWRUQXORH θ RkQJXORSRVLWLYRDUJXPHQWRIRUPDGRSRU2]HRHL[R[$VVLPWHPRV
D
E
FRV θ VHQ θ U
U
$JRUDUHHVFUHYHPRV]GDVHJXLQWHIRUPD
] UFRV θ LUVHQ θ UFRV θ LVHQ θ TXHFKDPDPRVGHIRUPDWULJRQRPpWULFDGRQ~PHURFRPSOH[R]
6HMD] DEL'HILQLPRVRFRQMXJDGRGH]FRPRVHQGR ] = D − EL 6HJXLQGRQRVVRUHVXPRVREUHQ~PHURVFRPSOH[RVDSUHVHQWDPRVDTXLXPDIHUUDPHQWD
PXLWR~WLOSDUDHQFRQWUDUPRVUDt]HVQpVLPDVGHXPQ~PHURFRPSOH[RDIyUPXODGH0RLYUH
]Q ρ Q FRV Qθ LVHQ Qθ ,QWURGX]LQGRRFRPSXWDGRU
9DPRVDJRUDFRPRDX[tOLRGRFRPSXWDGRUFRQVWUXLUXPLFRViJRQRUHJXODUXWLOL]DQGR
Q~PHURVFRPSOH[RV
2 SUREOHPD GH FRQVWUXomR GH SROtJRQRV UHJXODUHV FRP D PHWRGRORJLD GD UpJXD H
FRPSDVVRHVWiIXQGDPHQWDOPHQWHOLJDGRDRSUREOHPDGHUHVROYHUDHTXDomRFRPSOH[D]Q 8P Q~PHUR FRPSOH[R Z _Z_FRVDUJZ LVHQDUJZ p XPD UDL] GD HTXDomR ] TXDQGR _Z_ H DUJZ π (QWmR DV YLQWH VROXo}HV GD HTXDomR ] HVWmR
UHJXODUPHQWH GLVWULEXtGDV VREUH XP FtUFXOR GH UDLR U H QRVVR WUDEDOKR VH UHVXPH HP
GLYLGLU HVWH FtUFXOR HP YLQWH SDUWHV LJXDLV UHSUHVHQWDQGR FDGD UDL] FRPR XP YpUWLFH GH XP
LFRViJRQRUHJXODU&RPRDX[tOLRGRVRIWZDUH&DEUL*pRPqWUH,,VHJXLQGRRVSDVVRVDGLDQWH
YDPRVHIHWXDUHVWDWDUHID
3ULPHLUDPHQWHGLYLGLUHPRVDFLUFXQIHUrQFLDGHUDLRHPYLQWHVHFo}HVLJXDLV7HPRV
TXHFDGDVHFomRWHUiXPkQJXORDJXGRGH L1RGpFLPRSULPHLURERWmRVHOHFLRQHDIHUUDPHQWD0RVWUDUHL[RV
LL&RQVWUXDFRPDIHUUDPHQWD&LUFXQIHUrQFLDGRTXDUWRERWmRGDEDUUDGHIHUUDPHQWDVXPD
FLUFXQIHUrQFLDGHUDLRFHQWUDGDQDRULJHP
LLL $UUDVWH D XQLGDGH GR HL[R [ SDUD D GLUHLWD GH PRGR D ³DXPHQWDU´ D FLUFXQIHUrQFLD
FRQVWUXtGDYHMDD)LJXUD(VVHSDVVRpDSHQDVSDUDDXPHQWDUDVSURSRUo}HVGRGHVHQKR
LY (P VHJXLGD FRP D IHUUDPHQWD (GLomR 1XPpULFD VLWXDGD QR GpFLPR ERWmR GD EDUUD GH
IHUUDPHQWDVGR&DEULHGLWDPRVRQ~PHUR
Y &RP D IHUUDPHQWD 6HPLUHWD WHUFHLUR ERWmR GD EDUUD GH IHUUDPHQWDV FRQVWUXtPRV XPD
VHPLUHWDFRPRULJHPHPHSDVVDQGRSHORSRQWR
YL&RPDIHUUDPHQWD5RWDomRVH[WRERWmRGDEDUUDGHIHUUDPHQWDVDFLRQDGDFOLFDPRVXPD
YH]VREHRYDORUHGLWDGRDQWHULRUPHQWHXPDYH]VREUHDVHPLUHWDGRLWHPDQWHULRUHRXWUD
VREUHDRULJHP)D]HQGRLVWRREWHPRVXPDVHPLUHWDTXHID]XPkQJXORGHFRPRHL[R
GDVDEVFLVVDV
)LJXUD&RQVWUXLQGRRLFRViJRQR
YLL5HSHWLQGRRLWHPYLWRPDQGRFRPREDVHDVHPLUHWDURWDFLRQDGDGHREWHPRVXPD
VHPLUHWD TXH ID] XP kQJXOR GH FRP R HL[R GDV DEVFLVVDV 5HSHWLPRV R SURFHVVR
VXFHVVLYDVYH]HVDWp³IHFKDUPRVDFLUFXQIHUrQFLD´)LJXUD
YLLL&RPDIHUUDPHQWD6HJPHQWRGRWHUFHLURERWmRGDEDUUDGHIHUUDPHQWDVYDPRVIHFKDUR
SROtJRQRIRUPDGRSHODLQWHUVHFomRGDVVHPLUHWDVREWLGDVFRPDFLUFXQIHUrQFLDRULJLQDO
L[ 3DUD XPD PHOKRU YLVXDOL]DomR GR SROtJRQR REWLGR YDPRV HVFRQGHU DV VHPLUHWDV H R
FtUFXORXWLOL]DGRVQDQRVVDFRQVWUXomR3DUDLVVRXWLOL]HPRVDIHUUDPHQWD(VFRQGHUVLWXDGDQR
GpFLPRERWmRGDEDUUDGHIHUUDPHQWDV
2EWHPRV DVVLP R UHVXOWDGR VHJXLQWH TXH p R QRVVR LFRViJRQR LQVFULWR QXPD
FLUFXQIHUrQFLDGHUDLR
)LJXUD,FRViJRQR5HJXODU
&DGDYpUWLFHGRLFRViJRQRSHQVDGRFRPRQ~PHURFRPSOH[RpXPDUDL]GDHTXDomR
SROLQRPLDO] &RQFOXVmR
2V UHFXUVRV FRPSXWDFLRQDLV SRGHP VHU HPSUHJDGRV WDQWR SHORV DOXQRV GR HQVLQR
VXSHULRUTXDQWRGRHQVLQRPpGLRSDUDPRWLYDURHVWXGRGRVPHVPRVXPDYH]TXHSRGHPRV
³IXJLU´GRDPELHQWHGHVDODGHDXODTXHjVYH]HVSRGHVHWRUQDUXPWDQWRTXDQWRPRQyWRQRH
XWLOL]DUXPDIRUWHHHILFLHQWHIHUUDPHQWDGLGiWLFRSHGDJyJLFDSDUDDDSUHQGL]DJHPGHGLYHUVRV
FRQWH~GRV
%LEOLRJUDILD
%$/',1 < < 9,/$*5$ * $ / $WLYLGDGHV FRP &DEUL*pRPqWUH ,, 6mR &DUORV
(G8)6&DU
&$502 0 3 025*$'2 $ & :$*1(5 (7ULJRQRPHWULD1~PHURV&RPSOH[RV5LRGH
-DQHLUR6RFLHGDGH%UDVLOHLUDGH0DWHPiWLFD&ROHomRGR3URIHVVRUGH0DWHPiWLFD
7UDEDOKDQGRFRPRVRIWZDUH0RGHOOXV
(GLQHL/HDQGURGRV5HLV
,QWURGXomR
9LVDPRV FRP HVWH WUDEDOKR SURSRUFLRQDU XPD PDQHLUD GLYHUWLGD H LQWHUDWLYD GH
WUDEDOKDUFRQFHLWRVUHODFLRQDGRVjPDWHPiWLFDHjItVLFDXWLOL]DQGRRVRIWZDUHGHPRGHODJHP
±0RGHOOXV
2EMHWLYRV
(VSHUDVH TXH DR ILQDO GD DWLYLGDGH R DOXQR VHMD FDSD] GH XWLOL]DU RV FRQFHLWRV
H[SORUDGRVFRPRVRIWZDUHHDOpPGLVVRFULDUQRYRVPRGHORVDSDUWLUGHQRYRVGDGRV
8WLOL]DUFRQFHLWRVGDPDWHPiWLFDHGDItVLFDSDUDJHUDUJUiILFRVHDQLPDo}HV
5HFXUVRV'LGiWLFRVH5HTXLVLWRV1HFHVViULRV
/DERUDWyULRGHLQIRUPiWLFDFRPRVRIWZDUHLQVWDODGR
2DOXQRGHYHHVWDUIDPLOLDUL]DGRFRPFRQFHLWRVGHWULJRQRPHWULD
7HPSR1HFHVViULR
'H D DXODV GHSHQGHQGR GD IDPLOLDULGDGH GD WXUPD FRP DV GLVFLSOLQDV H R
FRPSXWDGRU
$SUHVHQWDomRGR6RIWZDUH
,QLFLDOPHQWHRVRIWZDUHPRVWUDDRXVXiULRTXDWURMDQHODV0RGHOR1RWDV&RQWUROHH
&RQGLo}HV ,QLFLDLV )LJXUD 1R PHQX -DQHOD WHPRV DFHVVR D WUrV QRYDV MDQHODV GR
VRIWZDUH*UiILFR$QLPDomRH7DEHOD$EDL[RVHJXHDGHVFULomRGHFDGDXPDGDVMDQHODV
0RGHOR SULQFLSDO MDQHOD GR VRIWZDUH ± p RQGH R XVXiULR HQWUD FRP DV IyUPXODV
TXHLQWHUSUHWDPRPRGHORHVWXGDGR
1RWDV QHVVD iUHD R DOXQR SRGHUi ID]HU DOJXPD DQRWDomR TXH DFKDU QHFHVViULD SDUD
SRVWHULRUFRQVXOWDDRPRGHOR
&RQWUROHQHVWDMDQHODVHHQFRQWUDPRVERW}HVTXHFRQWURODPDDQLPDomRRJUiILFRH
DVWDEHODVJHUDGDVSHORPRGHOR
&RQGLo}HV,QLFLDLVYDORUHVLQLFLDVGHDOJXPDYDULiYHOGRPRGHOR
*UiILFRDSUHVHQWDRJUiILFRGDIXQomRXWLOL]DGD
$QLPDomRDSUHVHQWDYiULRVUHFXUVRVSDUDLQWHUDomRFRPRPRGHORLQWHUSUHWDGR
HGLQHLOHDQGUR#SRSFRPEU
7DEHODPRVWUDXPDWDEHODGHYDORUHVGDVYDULiYHLVGRPRGHOR
)LJXUD±7HOD,QLFLDOGR6RIWZDUH0RGHOOXV
'HVHQYROYLPHQWRGD$WLYLGDGH
$DWLYLGDGHTXHUHDOL]DUHPRVDERUGDUiFRQFHLWRVUHODFLRQDGRVjWULJRQRPHWULDFRPR
kQJXORV IXQo}HV WULJRQRPpWULFDV DPSOLWXGH H SHUtRGR GH XPD IXQomR WULJRQRPpWULFD H
FRQFHLWRVUHODFLRQDGRVjPHFkQLFDFRPRYHWRUHVHYHORFLGDGH
,QLFLDOPHQWH WUDEDOKDUHPRV FRP D MDQHOD 0RGHOR SDUD LQWHUSUHWDU DV IXQo}HV TXH
LUHPRVXWLOL]DU$SyVVHOHFLRQDUDMDQHODSHGHVHDRVDOXQRVTXHFRORTXHPDVIyUPXODVTXH
LUHPRVXWLOL]DU
[ YHORFLGDGHW
H
\ (VWHVGRLVYDORUHVVHUmRDVFRPSRQHQWHVLQLFLDLVGHXPYHWRUTXHLUHPRVXWLOL]DUQD
DQLPDomR GR PRGHOR $V FRPSRQHQWHV GD RXWUD H[WUHPLGDGH GR YHWRU VmR JHUDGDV SHODV
IyUPXODV
D WDPDQKR
H
E DPSOLWXGHVLQSHULRGRW
1HVWD KRUD R SURIHVVRU SRGHUi H[SORUDU FRP VHXV DOXQRV RV FRQFHLWRV GH YDULiYHO
GHSHQGHQWH H LQGHSHQGHQWH 2EVHUYDPRV SRU H[HPSOR TXH D YDULiYHO E GHSHQGHUi GRV
YDORUHVGRVSDUkPHWURVDPSOLWXGHSHUtRGRHGDYDULiYHOLQGHSHQGHQWHW
$SyV LQVHULU HVWDV IyUPXODV QD MDQHOD 0RGHOR R DOXQR GHYHUi FOLFDU QR ERWmR
,QWHUSUHWDUSDUDTXHRPRGHORVHMDYDOLGDGR6HKRXYHUDOJXPHUURGHGLJLWDomRRXHVSDoR
HPEUDQFRHQWUHDVYDULiYHLVHRVVLQDLVVHUiQHFHVViULRTXHVHFRUULMDDQWHVGHSURVVHJXLU
'HSRLV GH YDOLGDU R PRGHOR GHYHUHPRV LU SDUD D MDQHOD &RQGLo}HV ,QLFLDLV RQGH
LQVHULPRV RV YDORUHV GRV SDUkPHWURV TXH XWLOL]DPRV QDV IyUPXODV YHORFLGDGH WDPDQKR
DPSOLWXGHHSHUtRGR
2SUy[LPRSDVVRpYHULILFDUDVRSo}HVGHYDULiYHOLQGHSHQGHQWHQDMDQHOD&RQWUROH
XWLOL]DQGRRERWmR2So}HV1HODLUHPRVGHILQLUDYDULiYHOLQGHSHQGHQWHLJXDOjW'HILQLPRV
WDPEpP R SDVVR GD DQLPDomR RX VHMD D YHORFLGDGH TXH VHUmR H[LELGRV RV TXDGURV GD
DQLPDomRDOpPGRVOLPLWHVPtQLPRHPi[LPRGHWHPSRGHH[HFXomR
7RGRVHVWHVSDVVRVHVWmRPDUFDGRVQD)LJXUD
'HSRLVGHUHDOL]DGDHVWDSDUWHGHLQWHUSUHWDomRHRUJDQL]DomRGRVGDGRVGRPRGHORp
KRUDGHDSOLFDUHVWHVFRQFHLWRV3DUDLVVRLUHPRVXWLOL]DUDMDQHOD$QLPDomR3DUDLQVHULUHVWD
MDQHODGHYHPRVLUDRPHQX-DQHOD1RYD$QLPDomR
1HVWD MDQHOD WHPRV YiULDV RSo}HV GH IHUUDPHQWDV SDUD UHDOL]DU D DQLPDomR GR
PRGHOR2SULPHLURFRPSRQHQWHTXHLUHPRVXWLOL]DUpR9HWRU%DVWDGDUXPFOLTXHVREUHHOH
HHPVHJXLGDFOLFDUQRHVSDoRHPEUDQFRGHVVDMDQHOD$SDUHFHUiXPDWHODRQGHLQIRUPDPRV
RVYDORUHVGDVH[WUHPLGDGHVGR9HWRU$2ULJHPGRYHWRUVHUiDVGDGDSHODVYDULiYHLV[H\
GHILQLGDV QR PRGHOR $ RXWUD H[WUHPLGDGH GR YHWRU VHUi GDGD SHODV YDULiYHLV D H E 1D
SURSULHGDGH (VFDODV LUHPRV GHILQLU R WDPDQKR GR 3L[HO GD DQLPDomR LJXDO D (P
$WULEXWRV PDUFDPRV DSHQDV D RSomR 5DVWUR FRP SDVVR LJXDO D $ UHSUHVHQWDomR TXH
XWLOL]DUHPRVVHUiGDGDSHODUHVXOWDQWHGRYHWRU
)LJXUD±-DQHODVXWLOL]DGDVSDUDLQVHULURPRGHOR
&RPSOHPHQWDQGR D DQLPDomR LUHPRV FRORFDU XP UHIHUHQFLDO QD H[WUHPLGDGH GR
YHWRU &OLFDQGRQDRSomR3DUWtFXOD H GHSRLV QDWHOD GH DQLPDomR DSDUHFHUi RXWUD MDQHODGH
SURSULHGDGHV1HVVHQRYRFRPSRQHQWHLUHPRVGHILQLUDSHQDVR5DVWURFRPSDVVRLJXDODH
PRGLILFDUVXDFRU2VRXWURVDWULEXWRVVHUmRGHVPDUFDGRV$RWHUPLQDUDVDOWHUDo}HVRDOXQR
GHYHUi DUUDVWDU HVWD SDUWtFXOD SDUD FLPD GR YHWRU TXH HVWi QD iUHD GH WUDEDOKR 4XDQGR
DSDUHFHU XP ODoR VREUH D ILJXUD VROWH D SDUWtFXOD 'HSRLV p Vy FRQILUPDU D OLJDomR GRV
FRPSRQHQWHV
'HSRLVGHILQDOL]DGRRPRGHORpKRUDGHWHVWDUHREVHUYDURVUHVXOWDGRV1DMDQHOD
&RQWUROH)LJXUDGHILQLPRVRSDVVRGDDQLPDomRLJXDODHOLPLWHVGHWHPSRLJXDODH
UHVSHFWLYDPHQWH
3DUD WHVWDU D DQLPDomR EDVWD FOLFDU QR ERWmR 3OD\ GD MDQHOD &RQWUROH (VWD MDQHOD
RIHUHFHYiULRVFRPDQGRVSDUDLQWHUDJLUFRPDDQLPDomRHPPRGRGHH[HFXomR$SyVWRGRV
HVWHVSDVVRVGHYHUHPRVWHUXPDILJXUDJHUDGDGDIRUPDFRPRVHDSUHVHQWDQD)LJXUD(VWD
MDQHODWDPEpPFRQWURODRXWUDVMDQHODVTXHSRGHPVHUXWLOL]DGDVQRVRIWZDUHFRPRDMDQHOD
7DEHODHDMDQHOD*UiILFR
)LJXUD±-DQHODGH&RQWUROHGDDQLPDomR
)LJXUD±$QLPDomRREWLGDDSDUWLUGRPRGHORLQWHUSUHWDGR
$YDOLDomR
2 SURIHVVRU SRGH SHGLU FRPR WUDEDOKR DYDOLDWLYR R GHVHQYROYLPHQWR GH QRYRV
PRGHORV SDUD VHUHP GHVHQYROYLGRV SHORV DOXQRV $OpP GLVVR SRGH SHGLU FRPR DWLYLGDGH
FRPSOHPHQWDUTXHRVDOXQRVIDoDPXPDGHVFULomRGHVWDDWLYLGDGHGHVHQYROYLGD
&RQFOXVmR
$SDUWLUGHVWDDWLYLGDGHUHDOL]DGDHVSHUDVHTXHRDOXQRWHQKDDSURIXQGDGRXPSRXFR
VHX FRQKHFLPHQWR VREUH RV FRQFHLWRV WUDEDOKDGRV 2 SURIHVVRU GHYH WDPEpP DOWHUDU R
PRGHORFRPQRYDVIXQo}HVHREVHUYDUFRPVHXVDOXQRVDVPRGLILFDo}HVTXHRFRUUHUDPQR
UHVXOWDGRILQDOGRWUDEDOKR
5HIHUrQFLDV%LEOLRJUiILFDV
0È;,02$QW{QLR$/9$5(1*$%HDWUL])tVLFD6mR3DXOR(GLWRUD6FLSLRQH9ROXPH
~QLFR
*,29$11,-RVp5X\ %21-2512-RVp5REHUWR 0DWHPiWLFD6mR3DXOR(GLWRUD)7'
9ROXPH
KWWSSKRHQL[VFHIFWXQOSWPRGHOOXV3iJLQD2ILFLDOGRVRIWZDUH0RGHOOXV
FAMAT em Revista
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Iniciação Científica
em Números
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,QLFLDomR&LHQWtILFDHP1~PHURV
GR1~PHURGD)$0$7(05(9,67$
)ODYLDQR%DKLD3DXOLQHOOL9LHLUDFRRUGHQDGRUGDVHomR
(GVRQ$JXVWLQL
,QLFLDomR&LHQWtILFDHP1~PHURV
6HJXLQGR D PHVPD OLQKD DQWHULRU LQHUHQWH D HVWD VHVVmR REMHWLYDPRV GHVFUHYHU DV
DWLYLGDGHV GH LQLFLDomR FLHQWLILFD HRX DWLYLGDGHV WpFQLFDV FRPSOHPHQWDUHV j IRUPDomR
DFDGrPLFDGHVHQYROYLGDVQRkPELWRGD)$0$78)8HGLUHFLRQDGDVDRVGLVFHQWHVGR&XUVR
GH/LFHQFLDWXUDH%DFKDUHODGRHP0DWHPiWLFD'HVWDFDPRVLQLFLDOPHQWHDH[LVWrQFLDGHVHLV
SURJUDPDV UHJXODUHV TXH RIHUHFHP DWLYLGDGHV LQFOXVDV HP XPD GDV GXDV FDWHJRULDV DFLPD
PHQFLRQDGDVVmRHOHV
3URJUDPDGH(GXFDomR7XWRULDOGD)DFXOGDGHGH0DWHPiWLFD3(70$7
3URJUDPD,QVWLWXFLRQDOGH%ROVDVGH,QLFLDomR&LHQWtILFDGR&13T3,%,&&13T
3URJUDPD GH %ROVDV ,QVWLWXFLRQDLV GH ,QLFLDomR &LHQWtILFD GD )$3(0,* 3%,,&
)$3(0,*
3URJUDPD,QVWLWXFLRQDOGH%ROVDVGH(QVLQRGH*UDGXDomRGD8)83,%(*8)8
,QVWLWXWRGR0LOrQLRSDUDR$YDQoR*OREDOH,QWHJUDGRGD0DWHPiWLFD%UDVLOHLUDGR&13T
,0$*,0%&13T
3URJUDPD ,QVWLWXFLRQDO GH ,QLFLDomR &LHQWtILFD H 0RQLWRULD GD )DFXOGDGH GH 0DWHPiWLFD
3520$7)$0$78)8
'HVWHV DSHQDV R ~OWLPR QmR DSUHVHQWD TXDOTXHU WLSR GH UHPXQHUDomR DRV GLVFHQWHV
HQYROYLGRV $OpP GLVVR RFRUUHP HVSRUDGLFDPHQWH RULHQWDo}HV GH LQLFLDomR FLHQWtILFD RX
HQVLQR YLQFXODGDV D SURMHWRV SHVVRDLV GH SHVTXLVD RX HQVLQR ILQDQFLDGRV SHOR &13T
)$3(0,*RXRXWURV$EDL[RGHVFUHYHPRVXPDUHODomRGHWRGRVRVSURMHWRVDJUHJDGRVDXP
GRVSURJUDPDVDFLPDPHQFLRQDGRVTXHHVWmRDWXDOPHQWHHPGHVHQYROYLPHQWRQD)$0$7H
TXHVmRH[FOXVLYDPHQWHGHVHQYROYLGRVSRUDOXQRVGR&XUVRGH/LFHQFLDWXUDH%DFKDUHODGRHP
0DWHPiWLFD
9DOH UHVVDOWDU DLQGD TXH H[LVWHP RXWURV SURMHWRV GH LQLFLDomR FLHQWtILFD HP
GHVHQYROYLPHQWRQRkPELWRGD)$0$7 WRGDYLDRVPHVPRVHQYROYHPDOXQRVGH&XUVRV GH
*UDGXDomRGD8)8GLVWLQWRVGR&XUVRGH0DWHPiWLFDHSRULVVRQmRVHUmRDTXLUHODFLRQDGRV
3URMHWRVGH,QLFLDomR&LHQWtILFD±3(70$7
3URIHVVRU0DUFRV&kPDUD
3URMHWR&yGLJRV&RUUHWRUHVGH(UURV
$OXQR)ODYLDQR%DKLD3DXOLQHOOL9LHLUD
3HUtRGR3ULPHLURHVHJXQGRVHPHVWUHVGH
3URIHVVRU0DUFRV$QW{QLRGD&kPDUD
3URMHWR3UREOHPDGH7UDQVSRUWHFRP3URJUDPDomR/LQHDU
$OXQD/DtV%iVVDPH5RGULJXHV
3URIHVVRU0DUFRV&kPDUD
3URMHWR(TXDo}HVGH&RQJUXrQFLDGH*UDX0DLRUTXH8P
$OXQD3DWUtFLD%RUJHVGRV6DQWRV
3URIHVVRU-RFHOLQR6DWR
3URMHWR(VWXGRGH6XSHUItFLHYLD7ULHGR0yYHO
$OXQR/HDQGUR&UXYLQHO/HPHV
3URIHVVRU&tFHUR)HUQDQGHV&DUYDOKR
3URMHWR,QWURGXomRj*HRPHWULD$OJpEULFD
$OXQR-DLUR0HQH]HVH6RX]D
3URIHVVRU/XL]$OEHUWR'XUDQ6DORPmR
3URMHWR,QLFLDomRj7HRULDGRV1~PHURV
$OXQR0DNVXHO$QGUDGH&RVWD
3URIHVVRU(GVRQ$JXVWLQL
3URMHWR)LJXUDV(TXLYDOHQWHVH(TXLFRPSRVWDV
$OXQD)DELDQD$OYHV&DOD]DQV
3URMHWR,QWURGXomRj7HRULDGD,QIRUPDomRH&RGLILFDomR
$OXQD6DQGUHDQH3ROLDQDGD6LOYD
3URIHVVRUD'XOFH0DU\GH$OPHLGD
3URMHWR23UREOHPDGD7ULVHFomRGRÆQJXORH$OJXPDV6ROXo}HVQD*UpFLD$QWLJD
$OXQD)OiYLD&ULVWLQD0DUWLQV4XHLUR]H0DULDQD)HUQDQGHVGRV6DQWRV9LOOHOD
3URIHVVRU(GQDOGR&DUYDOKR*XLPDUmHV
3URMHWR$QiOLVHGR&RPSRUWDPHQWRGH6HPLYDULRJUDPDV(VIpULFRVVRE'LIHUHQWHV7LSRVGH
7HQGrQFLDVQRV'DGRV
$OXQD$OHVVDQGUD5LEHLURGD6LOYD
3URIHVVRU&tFHUR)HUQDQGHVGH&DUYDOKR
3URMHWR$ÈOJHEUD&RPXWDWLYDGD*HRPHWULD$OJpEULFD
$OXQR(UQDQL0DJQRGH)UHLWDV-~QLRU
3HUtRGR6HJXQGRVHPHVWUHGH
3URMHWR,QWURGXomRjÈOJHEUD&RPXWDWLYD&RPSXWDFLRQDO
$OXQD.DUOD%DUERVDGH)UHLWDVH6WHOD=XPHUOH6RDUHV
3HUtRGR6HJXQGR6HPHVWUHGH
3URMHWRVGH,QLFLDomR&LHQWLILFD&13T)$3(0,*
3URIHVVRU0iUFLR-RVp+RUWD'DQWDV
3URMHWR8PD,QWURGXomRj0HFkQLFD$QDOtWLFDHj'LQkPLFDQmR/LQHDUHR3UREOHPD0RWRU
PDQLYHODPDVVDPROD
$OXQR&DUORV+HQULTXH7RJQRQ
ÏUJmR)LQDQFLDGRU3,%,&&13T
3HUtRGRGR3URMHWRD
3URIHVVRU5RVDQD6XHOLGD0RWWD-DIHOLFH
3URMHWR(VWXGRGH3DUkPHWURV)X]]\QRV0RGHORVGH(YROXomRGD$,'6FRP7UDWDPHQWR
$OXQReGHU/~FLRGD)RQVHFD
3HUtRGRGR3URMHWRD
3URIHVVRU(GQDOGR&DUYDOKR*XLPDUmHV
3URMHWR&RPSRUWDPHQWRGD3UHFLSLWDomR0HQVDOGH8EHUOkQGLD0*$QiOLVHGD
'HSHQGrQFLD(VSDoR7HPSRUDO
$OXQD*DEULHOODGH)UHLWDV$OYHV
3HUtRGRGR3URMHWRD
3URIHVVRUD6H]LPiULDGH)36DUDPDJR
3URMHWR(VWXGRGH$OJXQV$OJRULWPRV(YROXWLYRV
$OXQR-DLU5RFKDGR3UDGR
ÏUJmR)LQDQFLDGRU3%,,&)$3(0,*
3HUtRGRGR3URMHWR
3URIHVVRU0DUFHOR7DYDUHV
3URMHWR$YDOLDomRGDVUHODo}HVGHDWULEXWRVItVLFRVHTXtPLFRVGHXPVRORHPGLIHUHQWHV
FRQGLo}HVGHPDQHMRFRPDSURGXWLYLGDGHGDVRMDSRUPHLRGHWpFQLFDVPXOWLYDULDGDV
$OXQD)HUQDQGD%RQXWL
ÏUJmRILQDQFLDGRU3%,,&)$3(0,*8)8
3HUtRGRGR3URMHWRD
3URMHWRVGHVHQYROYLGRVMXQWRDR3,%(*)$0$7
3URMHWR,QWHUGLVFLSOLQDULGDGHH,QWHUDomR&RQVWUXWLYDXPDH[SHULrQFLDjOX]GDVQRYDV
GLUHWUL]HVFXUULFXODUHV
3URIHVVRU$QW{QLR&DUORV1RJXHLUD
$OXQD-XOLDQD0DULDGH2OLYHLUD
3URIHVVRUD'XOFH0DU\GH$OPHLGD
$OXQR7KLDJR5RGULJXHVGD6LOYD
3URIHVVRU$/XL]$OEHUWR'XUDQ6DORPmR
$OXQD0DULDQD5DPRV5HLV
3URIHVVRU9DOGDLU%RQILP
$OXQR'DQLOR$GULDQ0DUTXHV
3HUtRGRD
3URMHWR7UDEDOKRGH3URMHWRVH(GXFDomR(VWDWtVWLFDQD8QLYHUVLGDGH
3URIHVVRUHV(GPLOVRQ5RGULJXHV3LQWRH$UOLQGR-RVpGH6RX]D-~QLRU
$OXQR*XLOKHUPH*RQoDOYHV)HOL]DUGR
3HUtRGRD
3URMHWR$ORFDomRGH&RQWH~GRSDUD'LVFLSOLQDVHPXPD3ODWDIRUPD&RPSXWDFLRQDOGH
$SRLRDR(QVLQR3UHVHQFLDO
3URIHVVRU$UOLQGR-RVpGH6RX]D-~QLRU
$OXQR(GLQHL/HDQGURGRV5HLV
3HUtRGRD
3URMHWRVGH,QLFLDomR&LHQWLILFD±3520$7
3URMHWR6XSHUItFLHVFRP&XUYDWXUD*DXVVLDQD&RQVWDQWH
$OXQR%UXQR1XQHVGH6RX]D
3HUtRGRD
3URMHWR6XSHUItFLHV5HJUDGDV
$OXQR&OiXGLD+HOHQD9LHLUD)UHLWDV
3HUtRGRD
3URMHWR0RGHORV0DWHPiWLFRV$SOLFDGRV¬$QDWRPLD+XPDQD
$OXQR)UDQFLHOOD0DUTXHVGD&RVWD
3HUtRGRD
3URMHWR,QWURGXomRjÈOJHEUD&RPXWDWLYD&RPSXWDFLRQDO
$OXQRVDV:DUOLVVRQ,QiFLRGH0LUDQGD
3HUtRGRD
3URMHWR$ÈOJHEUD&RPXWDWLYDGD*HRPHWULD$OJpEULFD
$OXQR'LRJR$QW{QLR&DUGRVR
3HUtRGRD
3URIHVVRU0DXUtFLR5RPHUR6LFUH
3URMHWR ,PSOHPHQWDomR (ILFLHQWH GD 0pWRGRV SDUD 5HVROXomR GH 6LVWHPDV GH
(TXDo}HV/LQHDUHV
$OXQD%iUEDUD(X]pELR5RVD
3HUtRGRD
3URIHVVRU(UFtOLR&DUYDOKRGD6LOYD
3URMHWR,QIRUPDomRH&RGLILFDomR
$OXQRVDV0DUFHOR+HQULTXH'LQL]GH$UD~MRH,VDEHOOH&HFtOLDGH$QGUDGH
3HUtRGRD
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E o Meu Futuro Profissional?
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(R0HX)XWXUR3URILVVLRQDO"
GR1~PHURGD)$0$7(05(9,67$
0DtVD*RQoDOYHVGD6LOYDFRRUGHQDGRUDGDVHomR
$OH[&DUYDOKRFRODERUDGRU
eOLWRQ0HLUHOOHVFRODERUDGRU
(GVRQ$JXVWLQL
'RFrQFLDQR(QVLQR)XQGDPHQWDOH0pGLR
(QWUHYLVWDFRPDSURIHVVRUD
0iUFLD$XJXVWD&URVDUD
)$0$78)8
1HVWH Q~PHUR GH )$0$7 HP 5HYLVWD D VHomR ³( R 0HX )XWXUR
3URILVVLRQDO"´ p GHGLFDGD jTXHOHV TXH GHVHMDP DWXDU QR (QVLQR
)XQGDPHQWDO H 0pGLR 7UD]HPRV HP IRUPD GH HQWUHYLVWD XP
SRXFR GD H[SHULrQFLD GD SURIHVVRUD 0iUFLD $XJXVWD &URVDUD
$WXDOPHQWH D SURIHVVRUD 0iUFLD p DSRVHQWDGD GD )DFXOGDGH GH
0DWHPiWLFD GD 8QLYHUVLGDGH )HGHUDO GH 8EHUOkQGLD 6HX
DIDVWDPHQWR GDV VDODV GH DXOD GD 8)8 RFRUUHX UHFHQWHPHQWH HP
DJRVWRGH1RHQWDQWRVXDHQRUPHFDUUHLUDGRFHQWHGHDQRV
ERDSDUWHGHGLFDGDjIRUPDomRGHIXWXURVSURIHVVRUHVDWRUQDXPD
FRQVHOKHLUD HILFLHQWH H XPD ULFD UHIHUrQFLD TXDQGR R DVVXQWR p
GRFrQFLDHP0DWHPiWLFD
)$0$7 HP 5HYLVWD 3URIHVVRUD 0iUFLD SHQVDQGR HP VXD H[SHULrQFLD HQTXDQWR GRFHQWH
H[SHULrQFLDDGTXLULGDGXUDQWHYiULRVDQRVGHSURILVVmRDVHQKRUDGHYHWHUYLYLGRGLIHUHQWHV
UHIRUPDVSHGDJyJLFDV$VHQKRUDSRGHULDQRVFRQWDUXPSRXFRVREUHHVVDVPXGDQoDVGHVGH
RLQtFLRGHVXDFDUUHLUDDWpKRMH"
3URID 0iUFLD e XP SRXFR GLItFLO IDODU VREUH HVVDV PXGDQoDV SRUTXH FRPR YRFr PHVPR
GLVVH p PXLWR WHPSR (X OHFLRQHL GXUDQWH DQRV e OyJLFR TXH YLYHQFLHL HP PLQKD YLGD
SURILVVLRQDO XPD VpULH GH PXGDQoDV VH EHP TXH DV PXGDQoDV GR PXQGR RFRUUHP PXLWR
UDSLGDPHQWHLQWHQVLYDPHQWHHQRHQVLQRQmRVHGmRQDPHVPDYHORFLGDGHTXDQWLWDWLYDSHOR
PHQRV QmR FRPR JRVWDUtDPRV TXH IRVVHP HODV VH GmR PDLV GHYDJDU 0DV PXGDQoDV
RFRUUHUDP SRU H[HPSOR R HYHQWR GD PDWHPiWLFD PRGHUQD 1D pSRFD GH VHX DGYHQWR QD
GpFDGDGHIRLXPDJUDQGHWUDQVLomRRVSURIHVVRUHVQmRHVWDYDPSUHSDUDGRVSDUDRDVVXQWR
HWLYHUDPTXHVHDGDSWDUDHOD8QVQmRVHLPSRUWDYDPHIL]HUDPDWUDQVLomRGHTXDOTXHUMHLWR
RXWURVWUDEDOKDUDPHVWXGDUDPIRUPDVGHHPSUHHQGrOD)RLXPDYHUGDGHLUDOXWDSDUDVXSHUDU
DTXHOH PRPHQWR GH HPEDWH GH XPD PXGDQoD TXH QRV DWLQJLX UHSHQWLQDPHQWH H TXH FRPR
TXDVHWRGDPXGDQoDTXHVHGiSRUOHLDWLQJHRSURIHVVRUDGRUHSHQWLQDPHQWH1mRVHSUHSDUDR
SURIHVVRU SDUD DFHLWiOD H UHFHErOD QHP OKH p GDGR WHPSR KiELO SDUD VH SUHSDUDU H DVVLP
SURFHGHQGR WHU FRQGLo}HV GH FRORFiOD HP SUiWLFD HIHWLYDPHQWH (P UHODomR j PDWHPiWLFD
PRGHUQDHXYLYHQFLHLHVVDSUREOHPiWLFDFRPPXLWDIRUoD+RXYHRXWUDVPXGDQoDVPDVWRGDV
HODV VH GHUDP GD PHVPD IRUPD VHP TXH R SURIHVVRU IRVVH SUHSDUDGR SDUD HODV VHP D
LQWHQomRVHPRFXLGDGRSHORPHQRVGHVHSUHSDUDURSURIHVVRUSDUDDFHLWiODVHSDUDFRORFi
ODVHPSUiWLFD(LVVROyJLFRWHYHFRQVHTrQFLDVQRHQVLQR
)$0$7HP5HYLVWDeFRQVHQVRHPQRVVDVRFLHGDGHTXHDTXDOLGDGHGRHQVLQRIXQGDPHQWDO
H PpGLR YHP GHFDLQGR QDV ~OWLPDV GpFDGDV &RQVHTHQWHPHQWH R LQJUHVVDQWH QD
XQLYHUVLGDGHFKHJDDHODPDOSUHSDUDGR&RPRDVHQKRUDYrHVVDTXHVWmR"
3URID0iUFLD(VVDpXPDUHDOLGDGHLQIHOL]PHQWHPDVRVIDWRUHVHQYROYLGRVVmRWDQWRVTXH
VH WRUQD GLItFLO FRORFDU HVVD TXHVWmR GHVVD IRUPD SRUTXH DQWLJDPHQWH RV DOXQRV GR HQVLQR
IXQGDPHQWDOHPpGLRHUDPHGXFDGRVSDUDVHFRPSRUWDUHPGHXPDGHWHUPLQDGDPDQHLUDHUDP
HGXFDGRV GHQWUR GH XP SDGUmR GH XPD HVFDOD GH YDORUHV HWF (QWmR RV DOXQRV LDP SDUD D
HVFROD SUHSDUDGRV SDUD DVVLVWLUHP j DXOD SDUD UHVSHLWDUHP R SURIHVVRU H SDUD RXYLU R TXr R
SURIHVVRU WLQKD D GL]HU $OpP GLVVR QmR KDYLD WDQWR FKDPDPHQWR GH FRLVDV FRPR Ki KRMH H
TXHWLUDPDDWHQomRHRLQWHUHVVHGRDOXQRGHDSUHQGHU(QWmRRDOXQRLDSDUDDHVFRODFRP
PXLWDFXULRVLGDGHGHDSUHQGHUHLVVRID]LDXPDJUDQGHGLIHUHQoD+RMHRDOXQRQmRDSUHQGH
DSHQDV QD HVFROD HOH DSUHQGH FRP D WHOHYLVmR FRP DV UHYLVWDV FRP R FRPSXWDGRU FRP RV
FROHJDV H HVVHV RXWURV OXJDUHV GH DSUHQGL]DJHP PXLWDV YH]HV VH OKH DSUHVHQWDP PDLV
DWUDWLYRV
2XWURIDWRULQWHUYHQLHQWHQDTXHVWmRHWDPEpPPXLWRLPSRUWDQWHpDRFRUUrQFLDGHXP
FHUWR HVIDFHODPHQWR GD IDPtOLD VH SRGHPRV DVVLP GL]HU &RP D QHFHVVLGDGH GH D PXOKHU
LQJUHVVDUQRPHUFDGRGHWUDEDOKRHDGHFRUUHQWHQHFHVVLGDGHGHGHL[DUXPSRXTXLQKRRVVHXV
FXLGDGRVFRPRVILOKRVIH]FRPTXHDTXHODHVFDODGHYDORUHVTXHHUDYLYHQFLDGDGHQWURGR
ODUFRPRFDVDOGHL[DVVHGHVHUXPDUHDOLGDGHXPDFRQVWDQWHSHORPHQRV1RHQWDQWRRVHU
KXPDQRSUHFLVDGHXPDHVFDODGHYDORUHVSDUDWHUHPTXHVHSDXWDU4XDQGRHOHQmRWHPHP
TXH VH SDXWDU VXDV Do}HV VH WRUQDP GLVSHUVDV H SRGHP HVFDSDU DRV SDGU}HV VRFLDLV GH
FRPSRUWDPHQWRRVHUKXPDQRVHSHUGHHQmRDJHQWDSHUPDQHFHUVHPSDGU}HV2EYLDPHQWH
HOHLUiSURFXUiODHPRXWURVOXJDUHV(VVHpXPIDWRUTXHSUHMXGLFRXEDVWDQWHRHQVLQRHPERUD
KDMD RXWUDV FDXVDV 1mR VH WUDWD SRUWDQWR GH SHQVDU TXH R DOXQR GH DQWLJDPHQWH HUD PDLV
LQWHOLJHQWHHTXHRGHKRMHpPHQRVFDSD]$TXHOHHVWDYDSUHSDUDGRSDUDDVDODGHDXODRGH
KRMHQmRHVWi3ULQFLSDOPHQWHSRUTXHKRMHKiHVVDTXHVWmRIDPLOLDUGHDPXOKHUWHULQJUHVVDGR
QRPHUFDGRGHWUDEDOKRPDVWDPEpPSRUTXHDFULDQoDGHVGHDJHVWDomRUHFHEHHVWtPXORVGH
GLIHUHQWHVQDWXUH]D$PXOKHUSUDWLFDHVSRUWHWUDEDOKDSDVVHLDHWF3RUWDQWRpXPDFULDQoD
TXHHVWiVHQGRSUHSDUDGDSDUDDYLGDGHPRGR³VXSHUHVWLPXODGR´HPWRGRVRVVHQWLGRVYLVXDO
VRQRUR HPRFLRQDO HWF $QWLJDPHQWH QmR HUD WDQWR DVVLP D PXOKHU JUiYLGD VH SUHVHUYDYD
PDLVKRMHHODGHL[RXVXDYLGDSDFDWDSHODWXUEXOrQFLDGHFRQFLOLDUYLGDSURILVVLRQDODIHWLYD
SHVVRDO IDPLOLDUHWF9DLjEDODGDj SUDLD H DFULDQoD HPVHXYHQWUHYLYHQFLDMXQWDPHQWH
FRP HOD WRGDV HVVDV H[SHULrQFLDV R TXH QmR VLJQLILFD GL]HU TXH LVVR VHMD FHUWR RX HUUDGR
7DQWRDVVLPTXHFRQVLGHURLPSRUWDQWHWDQWRSDUDDPmHTXDQWRSDUDDFULDQoDTXHSUHFLVDGH
HQHUJLDVRODUHLUjSUDLD(VWRXFKDPDQGRDDWHQomRDSHQDVSDUDPXGDQoDVTXHVHGHUDPHP
QRVVDVRFLHGDGHHSDUDRIDWRGHTXHSUHFLVDPRVDGHTXDUDHGXFDomRDHVVDVPXGDQoDVXPD
YH]TXHDFULDQoDGHVGHDJHVWDomRUHFHEHXPYROXPHPXLWRVLJQLILFDWLYRGHLQIRUPDo}HVGH
HVWtPXORV H TXDQGR HOD QDVFH D FULDQoD FUHVFH HP XPD QHFHVVLGDGH GH PRYLPHQWDomR VHP
OLPLWHV HP UHODomR jTXHOD FULDQoD GH DQWLJDPHQWH (QWmR HVVD FULDQoD QmR p FDSD] GH WHU D
DWHQomR TXH DTXHOD WLQKD SDUD D VDOD GH DXOD D FULDQoD GH DQWLJDPHQWH HUD iYLGD GH
FRQKHFLPHQWRHHUDQDVDODGHDXODTXHHODEXVFDYDHVVHFRQKHFLPHQWR$FULDQoDGHKRMHp
iYLGD GH FRQKHFLPHQWR SRUTXH LVVR p GD QDWXUH]D KXPDQD QR HQWDQWR HOD R SURFXUD HP
TXDOTXHU OXJDU 3RUWDQWR QmR VH SRGH FXOSDU D FULDQoD SRU LQFDSDFLGDGH RX SRU EDL[R
UHQGLPHQWR HVFRODU HP UHODomR j FULDQoD GH DQWLJDPHQWH D IRFDOL]DomR GH VXD FDSDFLGDGH p
TXHPXGRX3RUH[HPSORSHJXHXPDFULDQoDGHFLQFRVHLVDQRVKRMHHOKHGrXPFHOXODUQD
PmR (P SRXFR WHPSR HOD p FDSD] GH GHVFREULU RV MRJRV D HQYLDU XP ³WRUSHGR]LQKR´ D
HVFUHYHUXPDPHQVDJHPHWF(ODGRPLQDDPiTXLQDHPSRXFRVPLQXWRVHQTXDQWRRDGXOWR
GHPRQVWUDGLILFXOGDGHSDUDOLGDUFRP DWHFQRORJLDFRPRGHVHQYROYLPHQWRWHFQROyJLFRTXH
IRL LPHQVR QR VpFXOR SDVVDGR H TXH FRQWLQXD QHVWH 3ULQFLSDOPHQWH HP UHODomR j
FRPXQLFDomR$FULDQoDWHPPDLVIDFLOLGDGHGRTXHXPDGXOWRSDUDDSUHQGHUDOLGDUFRPXP
FRPSXWDGRUSRUH[HPSOR(ODOLGDFRPDWHFQRORJLD QRUPDOPHQWH FRPR SDUWH GH VXD YLGD
FRPLQWHUHVVHHFXULRVLGDGHHPDSUHQGHU3RUWDQWRRTXHPRGLILFRXFRPRWHPSRQmRIRLD
FDSDFLGDGHGDFULDQoDSDUDDSUHQGHUPDVDVFRQGLo}HVHPTXHDFULDQoDYLYH1HVVHVHQWLGR
DDXODKRMHHVWiPHLRXOWUDSDVVDGDSDUDRVSDGU}HVGDFULDQoDQmRDDFRPSDQKDQGRVHXULWPR
SRUWDQWR p D HVFROD TXH QmR HVWi SURQWD SDUD UHFHEHU HVVD FULDQoD 1mR HVWi SUHSDUDGD SDUD
UHFHEHU HVVD FULDQoD TXH UHFHEH GHVGH R YHQWUH P~OWLSORV HVWtPXORV (VVH p PDLV XP IDWRU
LPSRUWDQWH $FKR TXH D HVFROD HVWi DWUDVDGD H D OLFHQFLDWXUD GHL[RX GH ODGR XP SRXFR HVVH
DWXDOL]DUVHHPUHODomRDHVVDUHDOLGDGHRXWUD,VVRHVWiDtJULWDQWHSDUDWRGRPXQGRYHUQmRp
QHQKXPDQRYLGDGHRTXHHVWRXGL]HQGR3RUWDQWRHVWRXDSHQDVUHODWDQGRRTXHWRGRPXQGR
SRGHREVHUYDUSRUVLPHVPR
)$0$7HP5HYLVWD(PUHODomRjPDWHPiWLFDHVVDVLWXDomRVHDJUDYDRXQmR"
3URID 0iUFLD(PUHODomRDWRGRVRV VHWRUHV GR FRQKHFLPHQWRLVVRDWUDSDOKDSRUTXHVHD
FULDQoD HVWi DFRVWXPDGD D XP ULWPR H HOD FKHJD j HVFROD H DOL R ULWPR p RXWUR HOD VH
GHVLQWHUHVVD QmR Vy SHOD PDWHPiWLFD PDV WDPEpP SHOR SRUWXJXrV SHOD JHRJUDILD SHOD
KLVWyULD HWF $ SHUJXQWD FRWLGLDQD H UHSHWLWLYD 3DUD TXr HX HVWRX DSUHQGHQGR LVVR" ( HVVD
SHUJXQWDpUHSHWLGDFRPPXLWDrQIDVHSRUTXHQmRYrRSRUTXrGHHODHVWDUHVWXGDQGRDTXLOR
(QWmRDHVFRODGHL[RXGHIRUQHFHUOKHRVPRWLYRV0RWLYDomRRTXHVLJQLILFD"'DUPRWLYRV
SDUDGHWHUPLQDGDDomRGHXPDJHQWH(QWmRQmRHVWDPRVIRUQHFHQGRPRWLYRVUD]RiYHLVSDUD
DV FULDQoDV PRWLYRV TXH VHMDP FDSD]HV GH OHYiODV D VHJXLU H D DFRPSDQKDU DTXLOR TXH
JRVWDUtDPRVTXHHODVHVWLYHVVHPDSUHQGHQGR1mRTXHDPDWHPiWLFDRSRUWXJXrVDKLVWyULDH
DJHRJUDILDTXHHVWiVHQGRHQVLQDGDKRMHVHMDREVROHWDeOyJLFRTXHQyVJRVWDUtDPRVTXHLVVR
WDPEpP VRIUHVVH DOJXPD WUDQVIRUPDomR PDV SULQFLSDOPHQWH RV PHLRV TXH HVWDPRV XVDQGR
SDUDHIHWLYDULVVROHYDULVVRSDUDDVDODGHDXOD1mRFXOSRRVSURIHVVRUHVSRULVVRQmRHVWDU
DFRQWHFHQGR HOHV HVWmR ID]HQGR R Pi[LPR SRVVtYHO e TXH HOHV QmR HVWmR VHQGR SUHSDUDGRV
FRPDWHFQRORJLDTXHHVWiGLVSRQtYHO(OHVQmRHVWmRVHQGRSUHSDUDGRVQRVDYDQoRVFLHQWtILFRV
DUHVSHLWRGRFRQKHFLPHQWRGRGHVHQYROYLPHQWRFHUHEUDOHGHFRPRDWLYDUHVVDVPXGDQoDVH
Do}HVQRLQGLYtGXR(QmRVmRDSHQDVDVPXGDQoDV$QWLJDPHQWHHVWiYDPRVSUHRFXSDGRVFRP
RDVSHFWRH[WHUQRGDFULDQoDERDVD~GHOHYiODDRPpGLFRDRGHQWLVWD+RMHDYLGDUHFODPD
DOJR PDLRU SRLV D SDUWH VHQWLPHQWDO PRYH PXLWR PDLV R LQGLYtGXR GR TXH R SUySULR FRUSR
9RFr Yr SHVVRDV SRUWDGRUDV GH QHFHVVLGDGHV HVSHFLDLV FXMR FpUHEUR HPRomR VHQWLPHQWR H
YRQWDGHHVWmRPXLWRDYDQoDGRVHQyVHVWDPRVDSHQDVSUHRFXSDGRVFRPDVD~GHGRFRUSR1mR
TXH LVVR QmR VHMD LPSRUWDQWH PDV QmR p Vy $V XQLYHUVLGDGHV GHYHULDP VH SUHRFXSDU XP
SRXFR PDLV FRP HVVHV DYDQoRV FLHQWtILFRV H WRUQiORV DFHVVtYHLV DRV IXWXURV SURIHVVRUHV
SULQFLSDOPHQWH SDUD DTXHOHV TXH HVWmR VH SUHSDUDQGR SDUD OLGDU FRP FULDQoDV H MRYHQV 2V
OLFHQFLDQGRV GHYHULDP HVWDU VHQGR PXQLGRV GHVVD WHFQRORJLD GHVVH DYDQoR FLHQWtILFR H QyV
YHPRVTXHDXQLYHUVLGDGHHVWiGHL[DQGRLVVRXPSRXFRGHODGR&DQVHLGHYHUSURJUDPDVGH
WHOHYLVmRLQ~WHLVTXHOHYDPPXLWDVXMHLUDHGHPRGRUHSHWLWLYRSDUDGHQWURGRVODUHV&REUHP
SUREOHPDV VRFLDLV UHODWLYDPHQWH JUDYHV GH PRGR OHYLDQR GHVYLDQGR QRVVD DWHQomR GDV
YHUGDGHLUDVFDXVDV)DODPGHPDLVQRVGHYHUHVTXHRVSDLVSRVVXHPHIDODPSRXFRGRVGLUHLWRV
TXHWHPRV$FKRTXHDWHOHYLVmRHVWiGHVYLUWXDQGRGHPDLVDYHUGDGHLUDVLWXDomRHOHYDQWDQGR
REVWiFXORVGLILFXOWDQGRGHPDLVRWUDEDOKRGRSURIHVVRU
)$0$7HP5HYLVWD9ROWDQGRXPSRXFRDRSDVVDQGRTXDQGRHUDHVWXGDQWHDVHQKRUDWHYH
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3URID0iUFLD(XIXLPXLWRDEHQoRDGDHPWHUPRVGHGLILFXOGDGHV7LYHXPDIDPtOLDTXHPH
FRPSUHHQGLDPXLWREHPDMXGDYDHPPLQKDVDQVLHGDGHVDFHLWDYDPLQKDYRFDomRHPHWROKLD
GHOD0HSHUPLWLXTXHHXHVWXGDVVHIRUDXPDYH]TXHDTXLQmRH[LVWLDXQLYHUVLGDGHDLQGD2
&LHQWtILFRKRMH(QVLQR0pGLRPHIRLSHUPLWLGRTXHIL]HVVHIRUDWDPEpPSRUTXHHXDFKDYD
VHULD PHOKRU SUHSDUDGD SDUD LQJUHVVDU QD XQLYHUVLGDGH ( IXL IHOL] HP PLQKD HVFROKD IL] R
FXUVR &LHQWtILFR PXLWR EHP H SDVVHL GLUHWR QR YHVWLEXODU )L] XP FXUVR GH EDFKDUHODGR H
GHSRLV FRQYHUVDQGR FRP DV FROHJDV IL] WDPEpP XP FXUVR GH OLFHQFLDWXUD SDUD SRGHU
UHJXODUL]DUQRVVDVDWLYLGDGHVGHPDJLVWpULR&RQVHJXLID]HUDVGXDVPRGDOLGDGHVOLFHQFLDWXUD
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)$0$7HP5HYLVWD)DODQGRGHSUD]RTXDOVXDRSLQLmRVREUHRQ~PHURGHHVWXGDQWHVTXH
FRQFOXHPRFXUVRIRUDGRSUD]R2TXHHVWDULDRFRUUHQGRRSUD]RpSHTXHQR"
3URID 0iUFLD 1mR 1mR p R SUD]R TXH p SHTXHQR &UHLR TXH HP JHUDO DV GLILFXOGDGHV
HFRQ{PLFDVGRDOXQRVmRPXLWRJUDQGHVHHOHQmRSRGHVHGHGLFDUDRHVWXGRFRPRHXSXGH
(OH WHP TXH WUDEDOKDU SDUD VREUHYLYHU H LVVR WLUD WHPSR GH HVWXGR (OH VH GHVJDVWD PXLWR
ILVLFDPHQWH1yVQRWDPRVDOXQRVGHQWURGHVDODGHDXODTXHFKHJDDFRFKLODUHQmRpSRUFDXVD
GD DXOD $ % RX & e SRU FDQVDoR PHVPR IDOWD GH FRQGLomR ItVLFD GH SRGHU DFRPSDQKDU
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ILQDQFHLUDTXHRREULJDDHVWLFDUHVVHSUD]RGHLQWHJUDOL]DomRGRFXUVR
)$0$7HP5HYLVWD2TXHDVHQKRUDDFKDTXHSRGHULDHVWDUVHQGRIHLWRSHOD)DFXOGDGHRX
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3URID 0iUFLD e GLItFLOUHVROYHU HVVH SUREOHPD &RPR HX QmR SDVVHL SRU HVVD VLWXDomR QmR
WHQKR PXLWRDDFUHVFHQWDURXVXJHVWLRQDU7XGRTXHHXIDODUVHUiPHUR ³DFKLVPR´TXHSRGH
VHUGLItFLOGHVHULPSOHPHQWDGR3UHILURGHL[DUHVVDTXHVWmRSDUDTXHPUHDOPHQWHSRVVDID]HU
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)$0$7HP5HYLVWD0XLWDVSHVVRDVSHQVDPTXHRVSURIHVVRUHVVyDSUHQGHUmRPDWHPiWLFD
GH YHUGDGH DSyV FRQFOXtUHP D JUDGXDomR H LQLFLDUHP D GRFrQFLD 2 TXH D VHQKRUD SHQVD
GLVVR
3URID0iUFLD(XDFUHGLWRTXHQyVDSUHQGHPRVDVFRLVDVID]HQGRDVVLPFRPRVHDSUHQGHD
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FRQWH~GREiVLFRSDUDFRPHoDUDOHFLRQDU6HHOHHVWiQDXQLYHUVLGDGHHYDLOHFLRQDUQRHQVLQR
EiVLFR HOHMiYLXHVVHFRQWH~GRH pPHOKRU HOH HVWDU VHQWLGR DV SULPHLUDV GLILFXOGDGHV Mi QD
JUDGXDomRHHVWDUGLVFXWLQGRFRPRSURIHVVRUHHVWDUWUD]HQGRVXDVH[SHULrQFLDSDUDGHQWURGD
XQLYHUVLGDGHSDUDVHUHPGLVFXWLGDV
)$0$7HP5HYLVWD3HQVDQGRQRSURMHWRHGXFDFLRQDOGDSURJUHVVmRFRQWLQXDGDQRHQVLQR
IXQGDPHQWDOHPpGLRDVHQKRUDDFKDTXHHOHSRGHWHUVLGRXPIDWRUGHWHUPLQDQWHSDUDHVVD
VLWXDomRGHGHFOtQLRGDTXDOLGDGHGHHQVLQRRXVHWUDWDDSHQDVGHPDLVXPIDWRUDJUDYDQWH"
3URID 0iUFLD e PDLV XP IDWRU DJUDYDQWH 1mR DFUHGLWR TXH VHMD R ~QLFR H Mi FRPHQWDPRV
YiULRVPRWLYRVPDVVDEHPRVTXHDSURJUHVVmRFRQWLQXDGDHVWiLQIOXHQFLDQGRGHPRGRSHVDGR
RGHFOtQLRGDTXDOLGDGHGHHQVLQR
)$0$7HP5HYLVWD4XDOVHULD HPVXDRSLQLmRRSHUILO DGHTXDGR SDUD R ERP SURIHVVRU GH
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3URID 0iUFLD 2 SHUILO DGHTXDGR SDUD R ERP SURIHVVRU p DTXHOH TXH UHDOPHQWH SXGHVVH
H[HUFHUDSURILVVmRFRPDPRU4XHHOHWLYHVVHDWUDQTLOLGDGHHVXVWHQWDomRSDUDOHFLRQDUFRP
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DXODVQRGLDDGLD/yJLFRTXHDLQIUDHVWUXWXUDHRDFHVVRDUHFXUVRVWHFQROyJLFRVHGLGiWLFRV
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DPRUDOpPGRODGRSURILVVLRQDOHFRQKHFHGRUGHVHXVGLUHLWRVHGHYHUHV7RGDDVXDIRUPDomR
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SURIHVVRUéSUHFLVRDPRUVHPDPRUHVWHSHUILOHVWiLQFRPSOHWR
)$0$7 HP 5HYLVWD 3DUD ILQDOL]DU VREUH D SRVVLELOLGDGH GH DEHUWXUD GR FXUVR GH
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3URID0iUFLD(XQmRVHLDRSLQLmRGHVVDJHVWmRHQHPGDVSUy[LPDVDUHVSHLWRGLVVR0DVR
FXUVR GH OLFHQFLDWXUD HP 0DWHPiWLFD QR QRWXUQR VHULD PXLWR EHP YLQGR (OH Mi KRXYH QD
XQLYHUVLGDGHHIRLPXLWRWULVWHYrORH[WLQJXLU(OHHUDSDUDQyVWmRHILFLHQWHTXDQWRRGLXUQR
+DYLDRVTXHTXHULDPTXHRQRWXUQRIRVVHFRPRRGLXUQRPDVHOHVWrPTXHVHUGLIHUHQFLDGRV
$V SHVVRDVTXHIUHTHQWDPRFXUVRQRWXUQR VmRGLIHUHQFLDGDVGDVTXHIUHTHQWDP R GLXUQR
(ODVWrPDGLILFXOGDGHGHVHPDQWHUHQmRWHPPXLWRWHPSRSDUDHVWXGDU$VVLPRFXUUtFXOR
SRGHULDVHUGLVWULEXtGRHPXPFXUVRPDLVORQJRGHWDOPRGRTXHHODYLVVHWRGRRFRQWH~GRGR
FXUVR GLXUQR 3DUD D MXYHQWXGH TXH WUDEDOKD LVVR VHULD PDUDYLOKRVR EDVWD YHU D FULDomR GH
GLYHUVDVXQLYHUVLGDGHVHP8EHUOkQGLDTXHSUROLIHUDPFDGDGLDPDLVHHVWmRORWDGDVMXVWDPHQWH
SHODRSomRGRQRWXUQR1mRVHLFRPRHVWiDTXDOLGDGHHPFDGDXPDGHODVPHVPRSRUTXHHX
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SUHVHQoDWmRPDFLoDGHMRYHQVQHVVDVXQLYHUVLGDGHVLVVRLQGLFDTXHD8)8QmRGHYHULDILFDUj
SDUWHGHVVDQHFHVVLGDGHHHODSRGHRIHUHFHUXPFXUVRGHERDTXDOLGDGHHVWLFDQGRXPSRXFRR
SUD]R7DOYH]HVVHSUD]RPDLVORQJRQmRVHULDDWUDWLYRSDUDPXLWRVPDVFUHLRTXHXPHQVLQR
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)$0$7 HP 5HYLVWD 3URIHVVRUD 0iUFLD FRPR DOXQR GD 8)8 FROHJD GH SURILVVmR H
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HQWUHYLVWDHSDFLrQFLDDQyVGLVSHQVDGD
3URID0iUFLD(XSHoRGHVFXOSDVSHODVPLQKDVOLPLWDo}HVTXHDOLiVFRPWRGRVHUKXPDQR
DV SRVVXR 1mR PH FRQVLGHUR FRQKHFHGRUD SURIXQGD GRV DVVXQWRV DERUGDGRV DSHVDU GH WHU
WUDEDOKDGRWDQWRWHPSRQHVVDSURILVVmR0DVXPDFRLVDSRVVRDILUPDUWXGRTXHIL]IL]FRP
PXLWRDPRU2EULJDGD
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FAMAT em Revista
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Merece Registro
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0HUHFH5HJLVWUR
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(VSHFLDOL]DomR HP (VWDWtVWLFD VRE D FRRUGHQDomR GR 3URI 5RJpULR GH 0HOR &RVWD
3LQWR
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0DWHPiWLFD )RUDP UHDOL]DGDV FRPR UHTXLVLWR SDUFLDO SDUD D REWHQomR GR WtWXOR GH
(VSHFLDOLVWDHP0DWHPiWLFDDVVHJXLQWHVGHIHVDVGHPRQRJUDILDV
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%DQFD
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8PHVWXGRVREUHDOJRULWPR
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6LGQH\7DGHX6DQWLDJR
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0DXUtFLR5RPHUR6LFUH
&RVWD
5RVDQD6XOHLGD0RWWD-DIHOLFH
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2ULHQWDGRU
5LFDUGR0DJQR&DUYDOKR &RPSDUDomRHQWUHDVLQWHJUDLV
GH5LHPDQQHGH/HEHVJXH
0DUFRV$QWRQLRGD&kPDUD
GH0HOR
/~FLD5HVHQGH3HUHLUD%RQILP
0iUFLR-RVp+RUWD'DQWDV
8PDLQWURGXomRj0HFkQLFD
2ULHQWDGRU
&OiVVLFD)RUoDFHQWUDOHR
1HLORQ-RVpGH2OLYHLUD
6H]LPiULDGH)3HUHLUD6DUDPDJR
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9DOGDLU%RQILP
0DUFRV$QWRQLRGD&kPDUD
&yGLJRVFRUUHWRUHVGHHUURV
2ULHQWDGRU
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/XLV$OEHUWR'XUDQ6DORPmR
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9DOGDLU%RQILP
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2ULHQWDGRU
.DWL~FLD0HQGHVGRV
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6DQWRV
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2ULHQWDGRU
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$QD7KDtV3HUHLUD
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0DUFRV$QW{QLRGD&kPDUD
5RVDQD6XOHLGD0RWWD-DIHOLFH
2ULHQWDGRUD
0RGHODJHPIX]]\QDVD~GH
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2ULHQWDGRU
/XL]*DPERJL
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:DOWHUGRV6DQWRV0RWWD-~QLRU
2ULHQWDGRU
'HERUDK3DWUtFLD6DQWRVGR 8PDJHQHUDOL]DomRGRWHRUHPD
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7DW\DQD0DHVWULGH%DUURV
6RDUHV
8VRGHSDUyGLDVPXVLFDLVQDV
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$VF{QLFDVHDHTXDomRJHUDOGR
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-XOLDQD6RX]D*XLPDUmHV
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,QYHVWLJDQGRDWUDMHWyULDGHXPD
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6DQWRV
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2ULHQWDGRU
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0iULR/XL]GH0HQGRQoD)DULD
2ULHQWDGRU
(GVRQ$JXVWLQL
2ULHQWDGRU
0DUFHOR7DYDUHV
(GVRQ$JXVWLQL
2ULHQWDGRU
5RVDQD6XHOLGD0RWWD-DIHOLFH
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2ULHQWDGRU
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2ULHQWDGRU
2ULHQWDGRUD
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9DOGDLU%RQILP
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2ULHQWDGRU
0DUFHOR7DYDUHV
&pVDU*XLOKHUPHGH$OPHLGD
2ULHQWDGRU
(GVRQ$JXVWLQL
0DUFRV$QW{QLRGD&kPDUD
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QRVVRVGRFHQWHVHPFRQJUHVVRVQDFLRQDLVHLQWHUQDFLRQDLV
• 23URI*HUDOGR0iUFLRGH$]HYHGR%RWHOKRSDUWLFLSRXQRSHUtRGRGHD
GH 0DLR GH GR 6HPLQiULR %UDVLOHLUR GH $QiOLVH HP 6mR -RmR GHO
5H\ RQGH DSUHVHQWRX RV VHJXLQWHV WUDEDOKRV 7ZR QHZ FODVVHV RI LGHDOV RI
SRO\QRPLDOV DQG DSSOLFDWLRQV H &RLQFLGHQFH SUHVHUYLQJ DEVROXWHO\ VXPPLQJ
QRQOLQHDUPDSSLQJV
• 23URI0iUFLR-RVp+RUWD'DQWDVSDUWLFLSRXQRSHUtRGRGHDGH0DLR
GHGR6HPLQiULR%UDVLOHLURGH$QiOLVHHP6mR-RmRGHO5H\RQGH
DSUHVHQWRX R VHJXLQWH WUDEDOKR $ VWDELOLW\ UHVXOW RI 2'( ZLWK SHULRGLF
FRHIILFLHQWV3DUW,$QLOSRWHQWFDVH
• $3URID'XOFH0DU\GH$OPHLGDSDUWLFLSRXGHDGH$JRVWRGHGR
3ULPHLUR (QFRQWUR GH *HRPHWULD 'LIHUHQFLDO GD 8)5- RQGH DSUHVHQWRX R
WUDEDOKR$SOLFDomRGH*DXVVGHVXSHUItFLHVGH5LHPDQQHP+H+
• 23URI0DXUtFLR5RPHUR6LFUHSDUWLFLSRXQRSHUtRGRGHDGH-XOKRGH
GR &ROyTXLR %UDVLOHLUR GH 0DWHPiWLFD QR 5LR GH -DQHLUR H GR 9,
%UD]LOLDQ :RUNVKRS RQ &RQWLQXRXV 2SWLPL]DWLRQ HP *RLkQLD QR SHUtRGR GH
DGH-XOKRGHDSUHVHQWDQGRRWUDEDOKR$QK\EULGLQWHULRUSUR[LPDO
SRLQWPHWKRGIRUWKHPRQRWRQHFRPSOHPHQWDULW\SUREOHP
• 2 3URI (GQDOGR &DUYDOKR *XLPDUmHV SDUWLFLSRX QR SHUtRGR GH D GH
$JRVWR GH GD ;9,, 5HXQLmR GH 3HVTXLVD GD 6RMD GD 5HJLmR GR %UDVLO
&HQWUDO HP &RUQpOLR 3URFySLR RQGH DSUHVHQWRX R WUDEDOKR 5HSURGXomR GH
QHPDWyLGHVGDVJDOKDVHPFXOWLYDUHVGHVRMDGD8)8
• $3URID5RVDQD6XHOLGD0RWWD-DIHOLFHSDUWLFLSRXQRSHUtRGRGHDGH
6HWHPEURGHHP6mR3DXORGR;;9,,,&10$&RQGHPLQLVWURXRPLQL
FXUVR7HRULDGRVFRQMXQWRVIX]]\FRPDSOLFDo}HV
• $3URID6H]LPiULDGH)iWLPD3HUHLUD6DUDPDJRSDUWLFLSRXQRSHUtRGRGHD
GH6HWHPEURGHHP6mR3DXORGR;;9,,,&10$&RQGHDSUHVHQWRX
R WUDEDOKR 7UDMHWyULD yWLPD GH XPD HVWUXWXUD SDUDOHOD SDUD GLIHUHQWHV
FRPELQDo}HVGRVkQJXORVGHHQWUDGD
• $3URID6H]LPiULDGH)iWLPD3HUHLUD6DUDPDJRSDUWLFLSRXQRSHUtRGRGHD
GH 6HWHPEUR GH HP 6mR /XL] GR 0DUDQKmR GR 6%$,,(((/$56
RQGH DSUHVHQWRX R WUDEDOKR (YROXomR GLIHUHQFLDO DSOLFDGD j RWLPL]DomR GR
YROXPHGRHVSDoRGHWUDEDOKRGHXPPDQLSXODGRUUREyWLFR
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)RL SXEOLFDGR R DUWLJR GD 3URID 5RVDQD 6XHOL GD 0RWWD -DIHOLFH LQWLWXODGR
0HWKRGRORJ\WRGHWHUPLQHWKHHYROXWLRQRGDV\PSWRPDWLF+,9SRSXODWLRQXVLQJ)X]]L
VHW WKHRU\ QR ,QWHUQDWLRQDO -RXUQDO RI 8QFHUWDLQW\ )X]]LQHVV DQG .QRZOHGH%DVHG
6\VWHPVYRO1
( 2OLPStDGDGH0DWHPiWLFD
)RL UHDOL]DGD QR ~WOWLPR GLD GH 2XWXEUR GH D IDVH GD 2OLPStDGD
%UDVLOHLUD GH 0DWHPiWLFD GDV (VFRODV 3~EOLFDV ± 210(3 3DUWLFLSDUDP GR
HYHQWR FHUFD GH DOXQRV GRV HQVLQRV IXQGDPHQWDO D VpULHV H PpGLR GH
WRGRR%UDVLO$)$0$7IRLUHVSRQViYHOSHODRUJDQL]DomRGD2%0(3HPFLGDGHV
GD UHJLRQDO 0* 7ULkQJXOR PLQHLUR $OWR 3DUDQDtED H 1RURHVWH GH 0LQDV
HQYROYHQGR FHUFD GH DOXQRV 1D FLGDGH GH 8EHUOkQGLD DOXQRV IL]HUDP DV
SURYDVTXHIRUDPDSOLFDGDVQR&DPSXV6DQWD0{QLFD
(PFDGDXPDGDVGHPDLVFLGDGHVGDUHJLRQDOIRLGHILQLGRXP&HQWURGH$SOLFDomRGH
3URYDV 3DUD FDGD XPD GHVWDV FLGDGHV IRL HQYLDGD XPD SHVVRD VHOHFLRQDGD HQWUH
SURIHVVRUHVGD)$0$7IXQFLRQiULRVGD8)8HDOXQRVGHJUDGXDomRHSyVJUDGXDomR
TXH VH HQFDUUHJRX GH WUDQVSRUWDU DV SURYDV H FRRUGHQDU D DSOLFDomR GDV PHVPDV QD
UHVSHFWLYD FLGDGH )RUDP UHFUXWDGDV DR WRGR FHUFD GH SHVVRDV DOpP GRV
FRRUGHQDGRUHV VHOHFLRQDGRV QD 8)8 IRUDP DLQGD UHFUXWDGRV SHVVRDO ORFDO HP FDGD
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