Parâmetros de Resistência Critério Tensorial Resistance

Parâmetros de Resistência Critério Tensorial
Resistance Parameters Tensor Criterion
Marcio Vinicius Marini
Departamento de
Estruturas
Faculdade de Engenharia
Civil, Arquitetura e
Urbanismo
Universidade Estadual de
Campinas-UNICAMP
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Resumo
O critério de resistência tem como finalidade estabelecer leis,
pelas quais pode-se, pelo comportamento do material nos
ensaios de tração e compressão simples, prever condição
ruptura sob qualquer tipo de combinação de tensões. Os
primeiros critérios de resistência foram desenvolvidos para
materiais isotrópicos com simetria de resistência, ao longo do
tempo surgiram diversos critérios de resistência, cada um
específico para determinado material, sendo os mais
conhecidos são os critérios de: Rankine, Tresca, Von Misses,
Mohr-Coulomb. Com o avanço dos materiais anisotrópicos na
engenharia principalmente os materiais compósitos, os
critério tradicionais possuem restrições devido à
complexidade dos materiais anisotrópicos, surgiu o método
empírico da fórmula de Hankison e posteriormente a TsaiWu. Este trabalho tem por objetivos apresentar teoria geral de
resistência dos materiais anisotrópicos Tsai-Wu, apresentando
as vantagens da utilização do critério.
Palavras-chave: Critério de Resistência.
Anisotrópicos. Materiais Compósitos.
Isotrópicos.
Abstract
The criterion of resistance is to lay down laws, by which one
can, by the behavior of the material in the tensile and
compressive, predict rupture condition under any combination
of stresses. The first resistance criteria were developed for
isotropic materials with symmetry of resistance, over time
various strength criteria have emerged , each specific to
particular material , the most known are the criteria : Rankine
Tresca, Von Misses, Mohr - Coulomb . With the advancement
of anisotropic materials in engineering mainly composite
materials, the criteria have restrictions due to the complexity
of anisotropic materials , emerged from the empirical formula
method Hankison and later the Tsai - Wu . This study aims to
present general theory of strength of anisotropic materials
Tsai - Wu , presenting the advantages of the use of discretion.
Keywords: Failure
Composite Materials
Criterion.
Isotropic.
Anisotropic.
Introdução
O critério de resistência visa fornecer
parâmetros para se poder estimar quando um
estrutura, constituída de determinado material é
submetida a complexas situações de carregamento,
entrará em ruptura, ou seja, um critério de
resistência pretende interpretar os casos de
solicitações combinadas, partindo apenas de um
número de parâmetro do material.
Identificação do fenômeno responsável pela
ruptura.
Especificar um número restrito de
parâmetros do material.
Estabelecer relações entre as tensões para
prever a condição de ruptura sob qualquer
espécie de combinação de tensões:
Estado duplo ou Triplo de tensões
Verificação do veracidade do critério em
comparação com o comportamento real da
estrutura.
invariante;
b) Os componentes de resistência
são expressos em um tensor
suas relações de transformação
e os invariantes associados são
bem definidos;
c) As propriedades de simetria do
tensor e o número de
componentes
nulos
e
independente
podem
ser
rigorosamente determinados.
Outra vantagem do critério de resistência
Tsai e Wu é sua aplicabilidade a diversos
materiais com materiais transversalmente
isotrópicos,
materiais
isotrópicos
assimétricos (concreto armado), materiais
isotrópicos simétricos (aço), materiais
anisotrópicos (madeira e compósitos).
Teoria geral de resistência para
Os primeiros critérios foram desenvolvidos para materiais anisotrópicos (Critério
materiais isotrópicos com simetria de resistência; de Tsai-Wu)
com o tempo surgiu a necessidade de utilização de
critérios que avaliassem a resistência de material
isotrópicos assimétricos, ortotrópicos e por fim
material os materiais anisotrópicos. Ao longo dos
séculos surgiram diversos critérios de resistência,
cada um especifico para cada material, sendo os
mais conhecidos Rankine (1820-1872), Tresca
(1814-1885), Von Mises, Mohr (1835-1918)Coulomb (1736-1806) entre outros menos
conhecidos Hill (1950), Tsai-Hill, Norris, Marin,
Gol’s Denblat e Kopnov, Hoffman e Tsai e Hill.
Para definição de modelo matemático, de um
critério de ruptura, é necessário a identificação dos
estímulos mecânicos que induzem a ruptura e a
identificação da resposta do material. Atualmente o
método Tsai e Wu (1971) apresenta vantagens em
relação as inúmeras outras teorias existente.
a) Equação escalar e automaticamente
Um critério de falha (ruptura) pode ser
estabelecido com ou sem a ajuda de um
modelo matemático, segundo WU (1974).
Se
forem
realizados
ensaios
experimentais em todas as componentes
do espaço de tensões, a necessidade de
um modelo teórico torna-se secundário.
No entanto, a determinação experimental
necessita de tempo e apresenta custo
elevado. Um modelo matemático pode
complementar a caracterização da falha
através da redução do número de ensaios
necessários, pelo fornecimento de bases
de comparação do desempenho do
material, pela redução dos dados e por
aperfeiçoar
a
adaptabilidade
nas
aplicações de análise estrutural. Um
modelo matemático tem como função
facilitar a interpolação, a correlação e as
observações experimentais, mas não tem a função
de interpretar o mecanismo de falha (ruptura). Um
modelo matemático de critério de ruptura começa
com a identificação dos estímulos mecânicos que
induzem a ruptura e com a identificação da
resposta do material e este estímulo. Os estímulos
Figura 1 –Estado de tensão
mecânicos são as tensões aplicadas no material, e
na ausência de outros estímulos externos
(químicos,térmicos e outros) o critérios de ruptura A simetria do tensor de tensões permite
pode ser expresso como:
que o estado de tensões possa ser
representado pela matriz coluna.
Onde F, G e H são parâmetros do material.
A falha de um determinado material é interpretada
com a ocorrência de qualquer descontinuidade na
resposta do material aos estímulos mecânicos.
Algumas das descontinuidades de interesse são: o
início da não linearidade na relação tensão x
deformação, a ocorrência de deformação
irreversíveis e a ruptura do material. Para
determinar a causa de falha é necessário analisar o
estado de tensão que o material está submetido. De
um modo geral, o estado de tensões no entorno de
um ponto é caracterizado pelo tensor de 2ª ordem
σ ij , cujas componentes podem ser expressas pela
matriz.
Considerando
materiais
totalmente
anisotrópicos, deve-se admitir que os
modos de ruptura sejam condicionados
tanto pelas tensões normais quanto pelas
tensões tangenciais, uma vez que as
fraturas podem ocorrer em virtude de
diferentes conjuntos de tensões que agem
sobre o elemento. Tendo em vista levar
em conta não somente a anisotropia, mas
também assimetria da resistência do
material, a condição geral de ruptura pode
ser colocada sob a forma:
(1.1)
Onde cada coluna representa a tensão resultante,
que atua na face de referência cuja normal tem a Com i,j,k,l=1,2,3 onde
são
Rij
direção do eixo j (1,2,3), Figura 1
coeficientes de termos lineares de
resistência, referentes à ação individual
das tensões σ ij e Rijkl são os coeficientes de termos
quadráticos de resistência, referentes a ação
conjunta das tensões σ ij e σ kl .
As componentes dos tensores de resistência Rij e
Rijkl são expressas pelas matrizes:
Considerando o tensor Rijkl , a componente
R1111 corresponde à ação isolada da
tensão σ 11 e a componente R1122
corresponde à ação simultânea das
tensões σ 11 e σ 12 . Neste caso, os
elementos
da
diagonal
principal
correspondem à ação isolada das
respectivas tensões e os elementos
simétricos em relação a essa diagonal são
iguais entre si pois se referem à
resistência sob a ação do mesmo par de
tensões.
(1.2)
(1.3)
Assim, considerando o tensor Rij , a componenete
A simetria do tensor de 4ª ordem Rijkl
permite que ele seja tratado como se fosse
R11 é o coeficiente de resistência correspondente à um tensor de 2ª ordem representado pela
ação isolada de σ 11 e o coeficiente R12 matriz simétrica:
corresponde à ação isolada da tensão σ 12 . Todavia
como
as
tensões
σ 12 = σ 21
aparecem
R12 = R21
simultaneamente, os coeficientes
referem-se à ação simultânea dessas duas
componentes do tensor das tensões.
(1.5)
O tensor simétrico Rij pode então ser representado
de modo mais simples pela matriz simétrica:
Com as alterações feitas na representação
dos tensores Rij e Rijkl , a condição de
(1.4)
resistência equação (1.1), pode então ser
posta sob a forma:
ou pela matriz coluna
(1.6)
A expressão 1.6 elaborada por TSAI e WU (1971),
representa a teoria geral de resistência para
materiais anisotrópicos. Na forma expandida a
expressão 1.6 toma a seguinte forma:
(1.7)
A equação 1.7 é também conhecida como critério
de resistência ou como tensor polimonial de
resistência para materiais anisotrópicos.
Para um material anisotrópico existem 6 elementos
independentes do tensor Fi e 21 elementos
independentes do tensor Fij . Os termos lineares da
teoria geral de ruptura para materiais anisotrópicos
levam em conta as diferenças entre as tensões de
tração e compressão, ou seja, considera-se a
assimetria de resistência dos materiais. Os termos
quadráticos definem, para materiais no estado
plano de tensões, uma elipsóide no espaço das
tensões. Na hipótese básica, TSAI e WU (1971)
ignoraram termos de ordem superior à quadrática
no critério de resistência por não serem praticáveis
do ponto de vista operacional, pois o número de
componentes de um tensor de 6ª ordem aumenta
significativamente se comparada a um tensor de 4ª
ordem. Os termos cúbicos, tornam a superfície de
ruptura não fechada.
As várias características do critérios de resistência
proposta por TSAI e WU (1971) são:
expressos em um tensor, suas
relações de transformação e os
invariantes associados são bem
estabelecidos.
3) As propriedades de simetria do
tensor de resistência e o número
de
componentes
nulos
e
independentes
podem
ser
rigorosamente determinados, da
mesma
forma
que
outras
propriedades
dos
materiais
anisotrópico
4) Conhecendo as relações de
transformação, pode-se facilmente
rotacionar os eixos do material de
Fi para Fi ’ e de Fij para Fij ’ na
equação 1.6 que descreve o tensor
polinomial, ou equivalentemente
mudar as tensões aplicadas de σ i
para σ i ’ quando se quer estudar
as propriedades fora dos eixos
principais
ou
propriedades
transformadas. A maioria dos
critérios existentes é limitada para
materiais ortotrópicos, e pode
somente
ser
aplicado
por
transformação
das
tensões
externas para os eixos dos
materiais; a rotação dos eixos do
material não pode ser feita porque
as transformações do critério de
resistência não são conhecidas.
5) Sendo invariante, o critério de
resistência é valido para todos os
sistemas de coordenadas.
Embora muitas superfícies podem ser
1) Uma equação escalar e automaticamente representadas por um polinômio na forma
invariante. As interações entre todos os da equação 1.8 nem todas as superfícies
componentes de tensões são independentes de ruptura admissíveis.
das propriedades do materialo.
2) Os componentes de resistência são
(1.8)
A superfície não pode ser imaginária nem ser uma As direções principais e as restrições dos
superfície aberta. Para satisfazer essas condições coeficientes Fi Fij das duas superfícies
algumas restrições para os coeficientes Fi Fij são podem ser obtidas das duas matrizes
características da equação 1.9.
necessárias.
Para o estado plano de tensões, observa-se que a
superfície de ruptura é tri-dimensional, pois há três
componentes de tensões independentes, σ 1 σ 2 σ 4 .
A equação 1.9, na forma expandida, tem a seguinte
forma:
(1.9)
Segundo WU (1974), a natureza da superfície,
representa pela equação quadrática 1.9, pode ser
examinada pela redução da equação para a forma
canônica. Através da translação e rotação das
coordenadas a equação 1.9, pode ser expressa em
termos de uma das 17 formas canônicas. Das 17
diferentes superfícies que podem ser representadas
pela equação 1.9, as superfícies admissíveis são as
que possuem somente uma raiz real para qualquer
carregamento.
Somente
duas
superfícies
admissíveis satisfazem as condições: elipsóide real
e parabolóide elíptico. As duas superfícies
admissíveis podem ser observadas na Figura 2.
Onde IeI e IEI são os determinantes das
matrizes.
As direções principais l,m,n no espaço
plano de tensões (σ 1 , σ 2 eσ 4 )
Podem ser obtidas dos autovalores λ tais
que:
(1.10)
O polinômio característico da equação
1.10, pode ser escrito da seguinte forma:
(1.11)
Figura 2 –Superfície de ruptura para o estado plano
de tensões.
Fonte: WU (1974). p.358
(1.12)
As raízes da equação 1.11 são λ1 , λ 2 eλ 4 .
Através da geometria analítica, pode se
determinar que para a equação 1.9 ser uma pela inequalçao 1.15. Geometricamente
superfície de ruptura admissível, tem que esta inequação assegura que a superfície
apresentar as seguintes características:
de ruptura interceptará cada um dos eixos
coordenados de tensões. A forma da
superfície será um elipsóide, no estado
plano de tensões. Se a inequação 1.15 no
(1.13) for respeitada, a superfície de ruptura se
torna aberta.
Considerando o estado plano de tensões
(plano 1-2), a inequação 1.15 se divide
(1.14) em três condições, de acordo com TSAI e
HAHN (1980)
A condição de estabilidade, necessária e suficiente,
para o cirtério de ruptura para um material de
resistência finita é representada pelas condições
1.13 enquanto que para um critério de ruptura com
Das várias características apresentadas,
resistência infinita em uma direção de tensão é
pode-se constatar que a teoria geral de
representado dela condição 1.14.
resistência de TSAI-WU possui ampla
A condição de estabilidade necessária mais simples utilização na estimativa de resistência
pode ser obtida em um plano onde uma das tensões para os mais diversos materiais, sejam
eles
isotrópicos,
ortotrópicos
ou
é zero ( (σ i = 0)
anisotrópicos, com ou sem simetria de
resistência. Como se trata de uma
Para
formulação tensorial, a relação de
transformação dos elementos do tensor é
facilmente determinada.
De um modo geral:
(1.15)
onde Fii
representa os termos da diagonal
principal. Para ter significado físico, todos os
termos da diagonal principal devem ser positivos;
os termos de fora da diagonal principal podem ser
negativos ou positivos dependendo da naturesa de
interação, mas suas magnitudes são restringidas
Referências
NICOLAS, E. A. Estudo de Critérios de
Resistência
de
Materiais
Anisotrópicos
Aplicados à Madeira, 2006. 257f Tese (Doutorado
em Estruturas ) – Faculdade de Engenharia Civil e
Arquitetura, Universidade Estadual de Campinas
UNICAMP, p.42-51.
WU, E. M. Optimal experimental measurements of
anisotropic failure tensors. Journal of Composite
Material, n.4, v.6, p.472-489. Oct. 1972.
WU, E. M. Phenomenological anisotropic failure
criterion. Mechanis of Composite Materials, v.2,
p.353-431. 1974.