Matemática - Instituto Luciano Barreto Júnior

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Matemática - Instituto Luciano Barreto Júnior
INSTITUTO LUCIANO BARRETO JÚNIOR
Caderno de Apoio – Projeto Conectando Com a Vida
Presidente do Conselho Curador
Luciano Franco Barreto
Presidente do ILBJ
Maria Celi Teixeira Barreto
Gerente
Coordenadora Pedagógica
Valéria Pinto Freire
FICHA TÉCNICA
Organização
Valéria Pinto Freire
Revisão Ortográfica
Gleide Selma Moraes da Silva Barros
Capa
Sandra Pinto Freire
Autores de Matemática
Romário Nunes Lima
Patrícia Santana Santos
Carlos Eduardo Melo Cruz
Editoração e Diagramação
Marcelo Santos Leite da Silva
ÍNDICE – MATEMÁTICA
Capitulo 01 – Raciocínio Lógico ...................................................................................... 4
Capitulo 02 – Sistemas de Numeração ........................................................................... 16
Capitulo 03 – Os Números Naturais ............................................................................... 20
Capitulo 04 – Os Números Inteiros ................................................................................ 28
Capitulo 05 – Os Números Racionais............................................................................. 50
Capitulo 06 – Sistema decimal de medidas .................................................................... 73
Capitulo 07 – Razão e proporcionalidade....................................................................... 92
Capitulo 08 – Matemática financeira............................................................................ 102
1
VAMOS PENSAR UM POUCO...
Qual o número seguinte nessa seqüência 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,...?
(FCC-2006) Os números no interior do círculo representado na figura abaixo foram colocados a
partir do número 2 e no sentido horário, obedecendo a um determinado critério.
Segundo o critério estabelecido, qual o número
que deverá substituir o ponto de interrogação?
?
2
6
30
20
12
 O professor Thiago preencheu a tabela abaixo com 55 linhas e 105 colunas de acordo com o
padrão conforme indicado a seguir:
Como ele preencheu a casa com o
símbolo
?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
com a letra “I”
com a letra “B”
com o número “3”
com o símbolo
com o numero “2”
com o símbolo
com o numero “0”
4
Albert Einstein
1. RACIOCÍNIO LÓGICO
-Capacitar o aluno com
conhecimentos gerais sobre
raciocínio lógico facilitando o
desenvolvimento
do
seu
raciocínio frente à resolução de
situações problemas;
-Desenvolver a capacidade de
compreensão e a prática da
lógica na resolução de
problemas.
A utilização do Raciocínio lógico, em meio a grandes
informações, é muito importante e necessário para o desenvolvimento da
pessoa que a utiliza, como também, de toda a sociedade. Criando assim
conhecimentos e habilidades matemáticas na análise de informações, na
resolução de problemas, no desenvolvimento criativo e intelectual e
auxiliando na formação de cidadãos conscientes.
Pois bem, vamos partir para a prática. Os exercícios seguintes vão
necessitar para sua resolução este pensamento rápido, criativo e objetivo.
Exige apenas que você pense e analise, sem a necessidade de praticar
cálculos.
1.1 ATIVIDADE COM NÚMEROS E SEQUÊNCIAS
1. Qual o número seguinte nessa seqüência 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,... ?
a)
b)
c)
d)
e)
9
10
11
12
13
2. Qual o número seguinte nessa seqüência 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24,...?
a)
b)
c)
d)
e)
44
45
46
47
48
3. (FCC) Assinale a alternativa que completa a série seguinte: 9, 16, 25, 36,...
a)
b)
c)
d)
e)
45
49
61
63
72
4. (FCC) No retângulo abaixo, cada um dos quatro símbolos diferentes representa um número
natural. Os números indicados fora do retângulo representam as respectivas somas dos símbolos
na linha 2 e nas colunas 2 e 4:
5
Conclui-se das informações que o símbolo X representa o número:
a)
b)
c)
d)
e)
3
5
7
8
9
5. (FCC) Observe atentamente a tabela.
De acordo com o padrão estabelecido, o espaço em branco na última coluna da tabela deve ser
preenchido com o número:
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
4
5
6
6. (Enem 2008) O Jogo-da-Velha é um jogo popular, originado na Inglaterra. O nome "velha"
surgiu do fato desse jogo ser praticado, à época em que foi criado, por senhoras idosas que
tinham dificuldades de visão e não conseguiam mais bordar. Esse jogo consiste na disputa de
dois adversários que, em um tabuleiro 3 × 3 devem conseguir alinhar verticalmente,
horizontalmente ou na diagonal 3 peças de formato idêntico. Cada jogador, após escolher o
formato da peça com a qual irá jogar, coloca uma peça por vez, em qualquer casa do tabuleiro e
passa a vez para o adversário. Vence o primeiro que alinhar 3 peças.
No tabuleiro representado na figura estão registradas as jogadas de
dois adversários em um dado momento. Observe que uma das peças
tem formato de círculo e a outra tem a forma de um xis. Considere as
regras do Jogo-da-Velha e o fato de que, neste momento, é a vez do
jogador que utiliza os círculos. Para garantir a vitória na sua próxima
jogada, esse jogador pode posicionar a peça no tabuleiro de:
a)
b)
c)
d)
e)
uma só maneira.
duas maneiras distintas.
três maneiras distintas.
quatro maneiras distintas.
cinco maneiras distintas.
7. (FCC) Do conhecido “Jogo da Velha” participam duas pessoas que devem, alternadamente,
assinalar suas respectivas marcas nas casas de um esquema formado por linhas paralelas, duas
horizontais e duas verticais. O vencedor será aquele que primeiro conseguir assinalar sua marca
em três casas de uma mesma linha, coluna ou diagonal do esquema. Considere que, após três
jogadas sucessivas, tem-se o seguinte
esquema:
6
Dos esquemas seguintes, o único que NÃO apresenta jogadas equivalentes à do esquema acima é:
b)
a)
c)
d)
e)
8. (Uel 2007) O "Sudoku" é um jogo de desafio lógico inventado pelo Matemático Leonhard
Euler (1707- 1783). Na década de 70, este jogo foi redescoberto pelos japoneses que o
rebatizaram como Sudoku, palavra com o significado "número sozinho". É jogado em um
quadro com 9 por 9 quadrados que é subdividido em 9 submalhas de 3 por 3 quadrados,
denominados quadrantes. O jogador deve preencher o quadro maior de forma que todos os
espaços em branco contenham números de 1 a 9. Os algarismos não podem se repetir na mesma
coluna, linha ou quadrante.
Fonte: LEÃO, S. Lógica e estratégia. Folha de Londrina, Especial 14, 17 de setembro de 2006.
Com base nessas informações, o algarismo a ser colocado na casa marcada com O no quadro a
seguir é:
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
5
7
9
9. (FCC)Observe a figura seguinte:
Considerando que o alfabeto oficial exclui as letras K, Y e W então, para que o padrão seja
mantido, a figura que deve substituir aquela que tem os pontos de interrogação é:
10. Observe as seguintes sequências de números:
7
(1,0,0,1) – (4,3,3,4) – (5,4,4,5) – (6,7,7,6) – (9,8,8,9)
A seqüência que NÃO apresenta as mesmas características das demais é
a)
b)
c)
d)
e)
(1,0,0,1)
(4,3,3,4)
(5,4,4,5)
(6,7,7,6)
(9,8,8,9)
11. Os números no interior do círculo representado na figura abaixo foram colocados a partir do
número 2 e no sentido horário obedecendo a um determinado critério.
Segundo o critério estabelecido, o número que deverá substituir o ponto de interrogação é:
a)
b)
c)
d)
e)
42
44
46
50
52
12. As pedras de dominó abaixo foram, sucessivamente colocadas da esquerda para a direita de
modo que, tanto a sua parte superior como a inferior, seguem determinados padrões.
A pedra de dominó que substitui a que tem os pontos de interrogação é:
13. Das cinco palavras seguintes, quatro estão ligadas por uma relação, ou seja, pertencem a
uma mesma classe.
MANIFESTO – LEI – DECRETO – CONSTITUIÇÃO – REGULAMENTO
A palavra que NÃO pertence à mesma classe das demais é:
a) REGULAMENTO
b) LEI
c) DECRETO
8
d) CONSTITUIÇÃO
e) MANIFESTO
14. O triângulo abaixo é composto de letras do alfabeto dispostas segundo determinado critério.
Considerando que no alfabeto usado não entram as letras K, W e Y, então, segundo o critério
utilizado na disposição das letras do triângulo, a letra que deverá ser colocada no lugar do ponto
de interrogação é:
a)
b)
c)
d)
e)
C
I
O
P
R
15. Os números no interior dos setores do círculo abaixo foram marcados sucessivamente, no
sentido horário, obedecendo a uma lei de formação.
Segundo essa lei, o número que deve substituir o ponto de interrogação é:
a)
b)
c)
d)
e)
210
206
200
196
188
16. (FCC) Na sucessão de triângulos seguintes, o número no interior de cada um é resultado de
operações efetuadas com os números que se encontram em sua parte externa.
Se a seqüência de operações é a mesma para os números dos três triângulos, então o número X é:
a) 13
9
b)
c)
d)
e)
7
10
6
9
1.2 ATIVIDADE COM DESENHO OU FIGURAS
1. (FCC) As pedras do jogo “dominó”, mostradas abaixo, foram escolhidas e dispostas
sucessivamente no sentido horário obedecendo a determinado critério.
Segundo esse critério, a pedra que substituiria corretamente aquela que tem os pontos de
interrogação corresponde a:
2. (FCC) As pedras de dominó mostradas abaixo foram dispostas, sucessivamente e no sentido
horário, de modo que os pontos marcados obedeçam a um determinado critério.
Com base nesse critério, a pedra de dominó que completa corretamente a sucessão é
3. (FCC) A seqüência de figuras abaixo foi construída obedecendo a determinado padrão.
10
Segundo esse padrão, a figura que completa a seqüência é
4. (FCC) Observe que a sequência de figuras seguinte está incompleta. A figura que está
faltando à direita deve ter com aquela que a antecede a mesma relação que a segunda tem com a
primeira. Assim,
5. Abaixo tem-se uma sucessão de quadrados e no seu interior outros menores, dos quais as
letras foram colocadas obedecendo a um determinado padrão.
Segundo esse padrão, o quadrado que completa a sucessão é:
6. (FCC) Movendo-se palito(s) de fósforo da figura I, é possível transformá-la na figura II.
11
O menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal transformação é:
a)
b)
c)
d)
e)
1
2
3
5
6
7. Observe que há uma relação entre as duas primeiras figuras representadas abaixo. A mesma
relação deve existir entre a terceira figura e a quarta que está faltando.
A quarta figura é:
8. Observe a figura abaixo.
Se ela pudesse ser deslizada sobre esta folha de papel, com qual das figuras seguintes ela
coincidiria?
1.3 ATIVIDADES DIVERSAS
1. (OBMEP) Em um dado, a soma dos números de duas faces opostas é sempre 7. Dois dados
iguais foram colados como na figura abaixo. Qual é a soma dos números que estão nas faces
coladas?
a)
b)
c)
d)
e)
8
9
10
11
12
12
2. (OBMEP) Com as figuras mostradas abaixo, podemos montar cinco dados diferentes. Com
qual delas podemos montar um dado no qual a soma do número de pontos em quaisquer duas
faces opostas é 7?
3. (FCC) O esquema abaixo representa, da esquerda para a direita, uma sucessão de jogadas
feitas por Alice e Eunice numa disputa do “Jogo da Velha”.
Para que com certeza, a partida termine com uma vitória de Eunice, constata-se então, ao fazer a
sua terceira jogada, em qual posição ela deverá assinalar a sua marca?
a)
b)
c)
d)
e)
Somente em (2).
Somente em (3).
Em (3) ou em (5).
Em (1) ou em (2).
Em (2) ou em (4).
4. Temos nove moedas de 10 centavos, iguais na aparência e no peso, exceto por uma que,
sendo falsa, pesa menos que as outras oito. Como podemos descobrir a moeda falsa utilizando
uma balança de precisão, de dois pratos, realizando duas pesagens apenas?
5. E se, em lugar de 9 moedas de 10 centavos, tivermos 27, apenas uma falsa, e pudermos
fazer três pesagens?
6. Temos 10 sacos de moedas, numerados de 1 a 10, cada um contendo vinte moedas de 10
centavos. Em um dos sacos, cada moeda pesa 9g; e nos demais sacos cada moeda pesa 10g.
Todas as moedas tem a mesma aparência. É oferecido um prêmio à pessoa que, usando uma
balança, com um único prato de pesagem, e realizando uma única pesagem, descobrir o saco das
moedas mais leves. Como podemos ganhar o prêmio?
13
7. Três garrafas tem capacidades de 8, 5 e 3 litros. A de 8 litros está cheia de vinho e as outras
duas estão vazias. Utilizando apenas os três vasilhames, como podemos separar duas porções de
vinho de 4 litros cada?
8. (OBMEP) O Código Secreto. O código secreto de um grupo de alunos é um número de 3
algarismos distintos diferentes de 0 . Descubra o código com as seguintes informações:
1 2 3 Nenhum algarismo correto
4 5 6 Um só algarismo correto na posição certa
6 1 2 Um só algarismo correto, mas na posição errada
5 4 7 Um só algarismo correto, mas na posição errada
8 4 3 Um só algarismo correto na posição certa
9. Partindo da letra “S", vá em direção a outra letra seguindo as linhas e sem nunca passar
novamente pela mesma letra. Você, ao final, descobrirá uma palavra de 16 letras.
10. Distribua os números de 1 a 9 nos círculos de tal maneira que cada lado some 17.
14
(OBMEP) César tem cinco peças de madeira feitas de quadradinhos iguais: quatro peças com
dois quadradinhos cada e uma com um único quadradinho.
Em cada quadradinho ele escreveu um número e, em seguida, montou
com as peças o quadrado ao lado. O número que César escreveu na
peça de um único quadradinho foi :
(A) um número maior que 9.
(B) um número menor que 11.
(C) um número ímpar maior que 27.
(D) um número par menor que 10.
(E) um número maior que 21 e menor que 24.
ELABORAR UMA QUESTÃO DE RACIOCÍNIO LÓGICO E EM SEGUIDA DESAFIAR UMA EQUIPE A
SOLUCIONAR O DESAFIO.
15
2
VAMOS PENSAR UM POUCO...
O que são e para que servem os números?
O que é sistema de numeração?
Você sabe por que os números surgiram e como isso aconteceu?
Onde podemos utilizar os números no nosso dia-a-dia?
Qual a importância dos números no nosso cotidiano?
Por que somar, subtrair, multiplicar e dividir é tão importante?
Pitágoras
16
OS NÚMEROS
Fonte: blfranco.blogspot.com
A necessidade de obter rapidamente certas informações sobre um produto levou ao
desenvolvimento de um importante recurso utilizado nos caixas de supermercados e
lojas, nas distribuidoras, e que você certamente já viu estampado em uma embalagem: o
código de barras.
As barras pretas e os espaços que compõem o código de barras servem para que um
aparelho óptico possa transmitir as informações para o computador. A sequência
numérica que fica abaixo das barras pode ser considerada RG do produto, não havendo
dois produtos diferentes com a mesma numeração. Os algarismos dessa sequência
servem para identificar o país que em que o produto foi registrado, o fabricante e o
produto (no Brasil, os três primeiros são 789). O ultimo algarismo verifica se o código
de barras foi lido corretamente. O computador faz um cálculo utilizando os algarismos
anteriores e, se a leitura estiver certa, o resultado corresponde ao último. No caso de
falha no leitor óptico, a sequência numérica pode ser digitada manualmente.
Texto retirado do livro Projeto Radix, 6º ano. Ribeiro (2009), p.10
1. Em sua opinião, qual a importância dos códigos de barras?
2. Para que serve a sequência numérica abaixo das barras?
2 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
-Conhecer outros sistemas de
numeração;
-Conhecer a origem do sistema
de numeração indo-arábico;
-Compreender o sistema de
numeral decimal, identificando o
conjunto de regras e símbolos
que o caracterizam.
O desenvolvimento das civilizações a linguagem utilizada
para contar e medir teve três fases principais: a enumeração, a
numeração e o número.
A enumeração é a forma mais primitiva usada para contar.
Entendemos, como uma correspondência de um para um entre objetos
que desejamos contar e objetos usados como marcadores. Por exemplo,
imaginemos a seguinte situação: ao final do dia, um pastor recolhe seu
rebanho de ovelha e deseja saber se está completo. Através da
enumeração este problema é resolvido associando a cada animal um
17
objeto concreto. O pastor poderia, por exemplo, manter um recipiente contendo uma
pedra para cada animal de seu rebanho e efetuar no final do dia a correspondência entre
pedras e animais.
Na maior parte das civilizações estudadas, ainda na sua forma mais
primitiva, os objetos concretos utilizados como marcadores eram uma seqüência
ordenada de partes do corpo humano, impondo restrições na quantidade a ser contada,
como os dedos das mãos.
A numeração, uma evolução da enumeração, pois, com a criação de um
vocabulário, era natural que tais palavras fossem usadas no processo de enumeração.
Esta mudança marca a transição para numeração, com o surgimento de “palavras
números”. Essa evolução possibilitou a contagem usando apenas as “palavras número”,
sem a necessidade de percorrer partes do corpo humano para fazer a associação.
Finalmente, os números, que são entes abstratos desenvolvidos pelo homem
como modelos que permitem contar, medir, ordenar e codificar.
Hoje em dia somos cercados de números, basta olhar ao nosso redor e
percebemos a presença deles em tudo. No nascimento de um bebê temos registros de
data, hora, peso, tamanho, número de identificação de berçário etc.
Você poderia mostrar outras situações diversas em que os números estão presentes?
2.1 UM POUCO DA HISTÓRIA DOS NÚMEROS.
Então, vamos conhecer agora um pouco da história dos números...
Desde a época das cavernas, há mais de 30.000 anos, o
homem já sentia a necessidade de contar e foi descoberta tempos
depois, marcações nas paredes das cavernas e entalhes nos ossos
mostrando essa necessidade.
Fonte: DANTE, Luiz Roberto.
Matemática 1º ano. Ed. Ática, São
Paulo, 2008.
A ideia de número apareceu de forma espontânea:
2.1.1
SISTEMA DE NUMERAÇÃO COM PEDRINHAS
Os pastores de ovelha ao sair para o campo precisavam conferir a
quantidade das ovelhas ao retornarem e para isso eles usavam pedrinhas.
Você sabia?
Logo pensando em quantidades grandes de ovelhas, começou a
surgir a ideia de agrupamento, daí surgiram os conjuntos.
A palavra cálculo vem do
Latim calculus, “estimativa,
contagem”, originalmente
“pedrinha usada para fazer
contas”. Deriva de calx,
“pedra calcárea”, do Grego
khalix,
“seixo,
pedra
pequena”.
18
Fonte: DANTE, Luiz Roberto. Matemática 1º ano. Ed. Ática, São Paulo, 2008.
Por exemplo: Uma pedrinha preta corresponde a cinco pedrinhas amarelas, uma
pedrinha branca corresponde a dez pedrinhas amarelas ou duas pedrinhas pretas.
Outro recurso também utilizado eram os nós em cordas, muito usados pelos
incas, gregos, árabes, etc. para marcar tempo e distâncias.
Fonte: DANTE, Luiz Roberto. Matemática 1º ano. Ed. Ática, São Paulo, 2008.
Se pararmos e analisarmos bem o nosso corpo veremos que possuímos
instrumentos de cálculos que são os dedos das mãos e dos pés.
Fonte: corteparacabelo.com.br
2.1.2
SISTEMA DE NUMERAÇÃO MESOPOTÂMICO
Partindo do aumento das quantidades e das variedades de objetos para
contar as pedrinhas já não eram mais suficientes. Foi descoberto através de placas de
barro (argila cozida) que os sumérios utilizavam dois sinais diferentes em formas de
cunhas para representar o sistema de numeração, daí o mesmo receber o nome de
cuneiforme. Os mesopotâmicos adotaram um sistema de numeração posicional de base
60. Os símbolos que utilizavam para representar os números eram:
19


(prego) indica 1 ou 60(dependendo do posicionamento),
pode ser repetido até nove vezes;
(viga) indica 10, pode ser repetido até 5 vezes.
Vejamos agora as regras para a utilização desses símbolos:

Você sabia?
Ate hoje utilizamos a base
60
quando
queremos
contar o tempo.
1hora = 60minutos
1 minuto = 60 segundos
Para números escritos de 1 a 59.
A escrita é feita de forma aditiva, ou seja, basta somar os valores de cada
símbolo. Veja exemplos abaixo:
Numeração mesopotâmica
Numeração indo arábica
5
16
31
59

A
Para números acima de 59.
notação
é
posicional,
assim
quando
escrevemos
, o primeiro conjunto, da direita para a esquerda,
representa as três unidades; o segundo 3 x 60; e o terceiro 3x(60)² e assim
sucessivamente. Veja exemplos abaixo:
Numeração mesopotâmica
Numeração indo arábica
60
20
61
143
3672
Os mesopotâmicos não tinham um símbolo para representar o “nada” ou
melhor o zero, sendo assim, eles deixavam um espaço entre os símbolos para diferenciar
as posições de agrupamentos.
2.1.3
SISTEMA DE NUMERAÇÃO EGÍPCIO
Os egípcios criaram um sistema de numeração hieroglífica não
posicional, baseado em agrupamentos de base 10 (há troca de símbolo a cada
grupo de 10), utilizavam símbolos especiais da fauna e flora retirados quase
todos do Rio Nilo para representá-los. Esse sistema era constituído por sete
símbolos e não utilizava o zero. Veja o quadro abaixo:
Fonte: Contando a Historia dos números:
a invenção do números. Oscar Guelli.
2006
Descrição
Bastão
Calcanhar
Rolo de
pergaminho
1
10
100
Flor
de
lótus
Dedo
encurvado
Peixe
ou
girino
Homem
ajoelhado
1.000
10.000
100.000
1.000.000
Numeração
Egípcia
Numeração
indo
arábica
A representação de qualquer número era limitada a repetição de nove vezes
do símbolo (hieróglifo) de cada classe decimal, com isso cada símbolo era trocado por
outro de um agrupamento superior, os números poderiam ser escritos em qualquer
ordem, pois esse sistema baseava-se no processo aditivo simples, ou seja, para saber o
valor de um número escrito bastava somar todo o valor correspondente a cada símbolo.
Vejamos alguns exemplos no quadro abaixo:
21
Numeração egípcia
Numeração indo-arábica
232
3234
2.1.4
SISTEMA DE NUMERAÇÃO MAIA
Dentre as grandes criações dessa civilização pode-se destacar o
desenvolvimento de um sistema de numeração de base 20 e um símbolo especial para
representar: o zero, o nada, a ausência e o vazio, que é o grande responsável pelo
sucesso do nosso sistema numérico atual.
Os maias utilizavam apenas três símbolos para representar qualquer número
do seu sistema de numeração:
A concha
O ponto
, que representava o número 0;
, que representava o número 1;
A barra
, que representava o número 5;
Na representação dos números entre 0 e 19, eles utilizavam como regra a
substituição de cinco pontos por uma barra, uma combinação entre pontos e barras com
princípio aditivo, vejamos:
Para representar os valores acima de 19, os mesmos utilizavam o princípio
posicional ou multiplicativo dos números, os mesmos são escritos na posição vertical de
baixo pra cima; na parte inferior fica as unidades; o número acima representa múltiplos
de 20, na 3ª posição representa múltiplo de 360; nas posições superiores volta a potência
de 20, ou seja a multiplicação. Vejamos os exemplos:
Numeração
20
166
4398
122412
Indo-arábica
4ª posição
x 20² x 18 = 7200
22
3ª posição
x 20¹ x 18 = 360
2ª posição
x 20¹ = 20
1ª posição
x 200 = 1
A escrita numérica dessa civilização pode ser encontrada no Codex de
Dresden, um tratado de astronomia e de astrologia.
Fonte: http://en.wikipedia.org
2.1.5
SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANA
Utilizavam sete letras para representar os números do seu sistema, a ordem
dos símbolos mudavam o valor. É um sistema ordenado posicional. Por exemplo,
alterando a posição do símbolo I altera-se a leitura, utilizava também agrupamentos de
10 (base 10). Veja os símbolos utilizados no quadro abaixo:
Numeração
I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000
romana
Numeração
Indo arábico
Os demais números eram escritos através da combinação dos símbolos que
aparecem no quadro. Vejamos agora as regras para a utilização desses símbolos:
23

Os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos seguidamente até 3
vezes; já V, L e D não podem ser repetidos,
Veja os exemplos:
Numeração romana
III
XX
XXX
XXXIII
CC
MM
Numeração Indo arábico
3
20
30
33
200
2000

Os símbolos I, II e III se à direita de V ou X são somados, se I à
esquerda é subtraído,
Veja os exemplos:

Numeração romana
IV
VI
IX
XII
Numeração Indo arábico
4
6
9
12
O símbolo X (somente pode escrever) à esquerda de L ou C é
subtraído; C(somente pode escrever) à esquerda de D ou M é
subtraído.
Veja os exemplos:

Numeração romana
XC
XL
CD
CM
Numeração Indo arábico
90
40
400
900
Os símbolos que aparecem com um traço sobre a letra deve ser
multiplicado por 1.000, dois traços por 1.000.000
Veja os exemplos:
Numeração romana
__
_____
_____
V
VII
XII
Numeração Indo arábico
5.000
7.000
12.000
XXXI
21.000.000
Vejamos nos dias atuais onde podemos encontrar a numeração romana:

Relógio;

Representação de séculos;

Capítulos de livros;
24

2.1.6
Na religião católica indica a geração de um Papa etc.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO
O sistema de numeração indo-arábico recebe esse nome devido aos hindus, que
o inventaram e aos árabes, que o aperfeiçoaram e divulgaram para a Europa Ocidental.
Para representar o sistema indo-arábico são utilizado 10 símbolos (0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9) que juntos e agrupados de 10 em 10 (daí Base 10), formam
Você sabia?
a base desse sistema, também chamado, Sistema de Numeração
Decimal. Verifica-se nesse sistema que, não é necessario criar infinitos
O nome do matematico
arabe que auxiliou no
símbolos para representar cada número desejado, podem-se agrupar
aperfeiçoamento
e
valores e simplificar sua representação.
divulgação do sistema de
Os símbolos dos algarismos indo-arábico sofreram ao longo dos
numeração
Hindus
é
Mohammed Al-Khowarizmi,
anos modificações para chegar ao que utilizamos atualmente. Vejamos
é por isso que nossos
essa evolução na escrita no quadro abaixo:
simbolos são denominados
algarismos.
Fonte: Contando a Historia dos números: a invenção do números.
Oscar Guelli. 2006
Vamos agora conhecer as características do sistema de numeração indo-arábico:
Símbolos – tem apenas 10 símbolos que podemos escrever qualquer outro número.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
Base – é constituído por base 10, ou seja, a cada agrupamento de 10 em 10.
Posicional – o mesmo símbolo pode representar valores diferentes, em virtude de sua
posição o número.
Zero – para a posição vazia utilizamos o símbolo 0.
Aditivo – o valor do número é obtido pelo principio aditivo simples da soma dos
valores posicionais que cada símbolo ocupa.
25
Multiplicativo – é um sistema multiplicativo, pois o símbolo que está escrito à
esquerda do outro vale 10 vezes mais o valor posicional que estivesse ocupado à outra
casa.
"TODO ALGARISMO ESCRITO A ESQUERDA DE OUTRO, DEVERÁ SER
MULTIPLICADO PELO PRODUTO DA BASE UTILIZADA, PELO VALOR DO
QUE O ALGARISMO DA DIREITA REPRESENTA" (Conceição, 2010)
26
ORIGEM DO ZERO
Embora a grande invenção prática do zero seja atribuída aos hindus, desenvolvimentos
parciais ou limitados do conceito de zero são evidentes em vários outros sistemas de numeração pelo
menos tão antigos quanto o sistema hindu, se não mais. Porém o efeito real de qualquer um desses passos
mais antigos sobre o desenvolvimento pleno do conceito de zero - se é que de fato tiveram algum efeito não está claro.
O sistema sexagesimal babilônico usado nos textos matemáticos e astronômicos era
essencialmente um sistema posicional, ainda que o conceito de zero não estivesse plenamente
desenvolvido. Muitas das tábuas babilônicas indicam apenas um espaço entre grupos de símbolos quando
uma potência particular de 60 não era necessária, de maneira que as potências exatas de 60 envolvidas
devem ser determinadas, em parte, pelo contexto. Nas tábuas babilônicas mais tardias (aquelas dos últimos
três séculos a.C.) usava-se um símbolo para indicar uma potência ausente, mas isto só ocorria no interior
de um grupo numérico e não no final. Quando os gregos prosseguiram o desenvolvimento de tabelas
astronômicas, escolheram explicitamente o sistema sexagesimal babilônico para expressar suas frações, e
não o sistema egípcio de frações unitárias. A subdivisão repetida de uma parte em 60 partes menores
precisava que às vezes “nem uma parte” de uma unidade fosse envolvida, de modo que as tabelas de
Ptolomeu no Almagesto (c.150 d.C.) incluem o símbolo
ou 0 para indicar isto. Bem mais tarde,
aproximadamente no ano 500, textos gregos usavam o ômicron, que é a primeira letra palavra grega oudem
(“nada”). Anteriormente, o ômicron, restringia a representar o número 70, seu valor no arranjo alfabético
regular.
Talvez o uso sistemático mais antigo de um símbolo para zero num sistema de valor relativo
se encontre na matemática dos maias das Américas Central e do Sul. O símbolo maia do zero era usado
para indicar a ausência de quaisquer unidades das várias ordens do sistema de base vinte modificado. Esse
sistema era muito mais usado, provavelmente, para registrar o tempo em calendários do que para
propósitos computacionais.
É possível que o mais antigo símbolo hindu para zero tenha sido o ponto negrito, que aparece
no manuscrito Bakhshali, cujo conteúdo talvez remonte do século III ou IV d.C., embora alguns
historiadores o localize até no século XII. Qualquer associação do pequeno círculo dos hindus, mais
comuns, com o símbolo usado pelos gregos seria apenas uma conjectura.
Como a mais antiga forma do símbolo hindu era comumente usado em inscrições e
manuscritos para assinalar um espaço em branco, era chamado sunya, significando “lacuna” ou “vazio”.
Essa palavra entrou para o árabe como sifr, que significa “vago”. Ela foi transliterada para o latim como
zephirum ou zephyrum por volta do ano 1200, mantendo-se seu som mas não seu sentido. Mudanças
sucessivas dessas formas, passando inclusive por zeuero, zepiro e cifre, levaram as nossas palavras
“cifra” e “zero”. O significado duplo da palavra “cifra” hoje - tanto pode se referir ao símbolo do zero
como a qualquer dígito - não ocorria no original hindu.
Fonte. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula; números e numerais, de Bernard GUNDLACH.
27
Projeto em equipe
Elaborar um sistema de numeração, que apresente as seguintes características:
- Símbolos;
- Base;
- Principio posicional;
- Zero;
- Principio Multiplicativo;
- Principio Aditivo.
28
3
VAMOS PENSAR UM POUCO...
Exemplos de situações em que os números são usados.
Você sabe com fazer a leitura de um número?
Você sabe o que um Ábaco?
O que são os números naturais?

29
OS NÚMEROS NATURAIS
Fonte: www.ultradownloads.com.br
Quando compramos um ingresso para ir ao teatro, ao cinema, ao estádio de futebol,
podemos observar que, em geral, ele apresenta alguns números. Dentre esses números,
há aqueles que indicam a fileira e a poltrona que a pessoa vai se sentar, garantindo a
organização do público. Há lugares, por exemplo, que garantem ao espectador uma
posição melhor na plateia. Nesse caso, o ingresso tem um preço um pouco maior.
Outro número que aparece é aquele que indica a quantidade de pessoas que poderão
estar presentes no estabelecimento, garantindo aos organizadores do evento não vender
uma quantidade além da permitida, além de saber a quantidade de pessoas que
compraram os ingressos.
Texto retirado do livro Projeto Radix, 6º ano. Ribeiro (2009), p.42
1 Você já foi a algum lugar em que as poltronas eram enumeradas? Se a
resposta for afirmativa, conte aos colegas que lugar é esse.
2 Na fotografia acima, podemos observar que as poltronas estão numeradas
obedecendo a uma sequência numérica que se inicia em cada uma das fileiras. Quais são
os três números que vem antes e depois das próximas poltronas da fileira que aparece
em primeiro plano?
3 OS NÚMEROS E USO
-Compreender a estrutura do
sistema de numeração decimal
e a organização dos algarismos
em ordens e classes;
-Reconhecer a sequência dos
números naturais;
-Realizar
operações
números naturais;
Atualmente vivemos em um mundo de números. Como
vimos no capítulo anterior, foram necessários vários séculos para o
aperfeiçoamento do atual sistema de numeração.
Os números são empregados em diversas situações no
cotidiano, vejamos os exemplos abaixo:
 Contar: Exemplo, quantos alunos estão matriculados no ILBJ.
com
-Ler e interpretar textos com
dados numéricos.
30
 Codificar: Exemplo, O Código de barras é uma representação gráfica de dados
numéricos ou alfanuméricos. É usado para identificar produtos através de leitura
de scanner.
 Medir: Exemplo, Velocidade máxima permitida.
 Ordenar: Exemplo, classificação em um resultado de concurso, campeonato.
Você poderia mostrar outras situações diversas em que os números estão presentes?
4 ORDENS E CLASSES DE UM NÚMERO
Para facilitar a leitura e escrita dos números no sistema de numeração indoarábico separamos da direita para a esquerda os números em grupo de três. Cada grupo
de três algarismos representa uma classe, cada posição de um algarismo dentro da classe
recebe o nome da ordem. Em cada classe há três ordens: unidades, dezenas e centenas.
Vejamos as quatro primeiras classes e suas ordens.
Classes
4ª (bilhões)
3ª (milhões)
2ª (milhares)
1ª(unidades simples)
ordens
12ª
ordem
11ª
ordem
10ª
ordem
9ª
ordem
8ª
ordem
7ª
ordem
6ª
ordem
5ª
ordem
4ª
ordem
3ª
ordem
2ª
ordem
1ª
ordem
leitura
Centenas
de
bilhoes
Dezenas
de
bilhoes
Unidades
de
bilhoes
Centenas
de
milhoes
Dezenas
de
milhoes
Unidades
de
milhoes
Centenas
de
milhares
Dezenas
de
milhares
Unidades
de
milhares
centenas
dezenas
unidades
Para lermos qualquer número devemos agrupá-los em ordens e classes.
Vejamos a representação e leitura do número 5 792 641, primeiro devemos
agrupá-lo da direita para a esquerda, conforme quadro abaixo:
31
5 792 641
Ordem
Valor de cada
algarismo
1ª ordem
1 unidade
2ª ordem
4 dezenas
3ª ordem
6 centenas
4ª ordem
2 unidades de milhar
5ª ordem
9 dezenas de milhar
6ª ordem
7 centenas de milhar
7ª ordem
5 unidades de milhão
Classe
1ª classe
2ª classe
3ª classe
Observe que ele tem 3 classes e 7 ordens.
Lê-se: Cinco milhões, setecentos e noventa e dois mil, seiscentos e quarenta e um.
5 OS NÚMEROS NATURAIS
Desde épocas mais antigas, a ideia de números acompanha a humanidade, e
sempre o homem utilizou-se de símbolos, como marcações em paredes de cavernas, em
ossos, para registrar sua ideia de quantidade. Com o tempo, foram aparecendo outras
maneiras de se registrar a quantidade de determinados objetos.
Demorou muito para chegarmos à escrita numérica que usamos atualmente.
Os povos foram substituindo as antigas marcações por símbolos e regras utilizados para
representar os números. Esse ajuste de símbolos e regras é chamado de sistema de
numeração. O sistema de numeração mais utilizado atualmente é o decimal, cujos
símbolos são: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
O conjunto representado pela letra N é chamado de conjunto dos Números Naturais.
Representação: {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}exceto o zero.
Propriedades:
 Todo número natural tem um sucessor. O sucessor de um número natural é a
soma desse número com o número 1;
 O antecessor de um número natural é a subtração desse número com 1;
 O zero (0) é o único natural que não tem antecessor;
 O zero é o menor número natural;
32
 Dois ou mais números naturais em sequência são chamados números
consecutivos.
Podemos escrever os números em uma seqüência numérica crescente, que se
denomina conjunto dos números naturais, vejamos a representação:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
Os números naturais, exceto o zero, possuem um antecessor e um
sucessor.
 Antecessor: é o número que está imediatamente antes dele na sequência;
 Sucessor: é o número que está imediatamente depois dele na sequência.
Veja o exemplo do antecessor e o sucessor do número 5, no quadro abaixo:
-1
+1
4
5
Antecessor
6
Sucessor
Para determinar o sucessor de um número basta somar 1 a este número.
5.1 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NUMEROS NATURAIS
5.1.1 Adição
A adição de números naturais tem por finalidade reunir em um único
número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos
indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o
auxílio de pedras ou por meio de ábacos.
De fato o que seria a adição: está ligada a ideia de unir, acrescentar, juntar.
Exemplo:
(UNICANTO) Nos jogos poliesportivos anuais do Distrito Federal (DF), foram
distribuídas 216 medalhas de ouro, 115 medalhas de prata e 292 medalhas de bronze.
Qual o total de medalhas distribuídas nesses jogos?
216
+ 115
292
623
parcela
parcela
parcela
Soma ou total
33
5.1.2 Subtração
A subtração está ligada a idéia de reduzir, tirar. Veja a situação abaixo:
(UNICANTO) Os elefantes correm o perigo de ser mais uma das espécies em extinção.
O responsável por isso é o grande comércio de marfim. Há dez anos, cerca de 1 300 000
elefantes habitavam a África. Hoje existem aproximadamente 625 000. Para calcular a
quantidade de elefantes existentes na África, fazemos:
1300000
minuendo
- 625000
subtraendo
675000
diferença
5.1.3 Multiplicação
A multiplicação é uma soma de uma ou várias parcelas iguais.
Exemplo:
4 x 5 = 20
 O número 4 chamamos de multiplicador;
 O número 5 é chamado de multiplicando;
 O número 20 chamamos de produto.
4 x 5 na verdade, é a soma de 4 com ele mesmo cinco vezes:
4 x 5 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.
5.1.4 Divisão
Quando nos deparamos com dois números naturais, às vezes necessitamos
saber quantas vezes o segundo cabe no primeiro. O primeiro número que é o maior e
recebe o nome de dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da
divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o
dividendo, ou seja, a multiplicação e a divisão são operações inversas uma da outra,
assim como acontece com a soma e a subtração.
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem
sempre se consegue dividir um número natural por outro número natural e quando isso
acontece dizemos que a divisão não é exata.
34
Relações essenciais numa divisão de números naturais
 Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o
dividendo.
Exemplo: 45: 9 = 5
 Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor
pelo quociente.
Exemplo: 45 = 5 x 9
 A divisão de um número natural n por zero não é possível, pois se admitíssemos
que o quociente fosse q, então poderíamos escrever:
Exemplo: n : 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto!
Não existe divisão por zero.
Numa divisão, como por exemplo, 45 : 9 = 5, o 45 chamamos de dividendo, o número 9
chama-se divisor, já o número 5 quociente e o resto será 0, pois a divisão é exata.
35
História da Calculadora
Se realizar certos cálculos complexos com o auxílio das calculadoras já não é algo tão
simples, imagine como seria a vida dos matemáticos e engenheiros sem o dispositivo. Felizmente, os
instrumentos de cálculos facilitam a vida do homem desde a Idade Antiga.
Podemos dizer que o ábaco foi a primeira calculadora da história. Este instrumento, criado
pelos chineses no século 6 antes de Cristo, dispunha de fios paralelos e arruelas deslizantes que eram
capazes de realizar contas de adição e subtração. Embora fosse um instrumento bastante limitado, o ábaco
acabou sendo o principal mecanismo de cálculo durante os 24 séculos seguintes.
Em 1642, a calculadora, ou melhor, o ábaco, sofreu uma grande evolução, por meio do francês
Blaise Pascal. Filho de um cobrador de impostos, Pascal idealizou uma máquina automática de cálculos
para ajudar seu pai em sua profissão. A invenção de Pascal foi importante pelo fato de a mesma realizar os
cálculos de forma rápida, algo bem diferente do que se via na utilização do ábaco.
Mesmo assim, a máquina de Pascal também realizava apenas operações de adição e subtração.
Foi só em 1671 que o filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm Von Leibniz desenvolveu um
mecanismo capaz de realizar as outras operações: a “roda graduada”.
No fim do século XIX e início do século XX, as calculadoras eram objetos de uso bastante
restrito. Foi nos anos seguintes, com a criação de máquinas cada vez menores e mais baratas, que a
calculadora se transformou no popular instrumento que conhecemos atualmente.
Fonte: http://www.historiadetudo.com
36
Desafio
Somente os dígitos (ou algarismos) 2, 3, 4, 5, 6 e 7 foram utilizados na multiplicação, sendo
que cada letra representa um dígito diferente.
Qual o valor de A + B + C + D?
AB
x6
DEF
Projeto em equipe
Cada grupo deverá elaborar quatro problemas cotidianos que evolvam as quatro operações
estudadas acima, logo após deverão trocá-las entre os grupos e depois resolver os problemas os
quais estão. Por fim, após resolvê-los cada equipe deverá apresentar a maneira da resolução e
discutir entre grupos as diversas formas de respostas.
37
4
VAMOS PENSAR UM POUCO...
 Exemplos de situações em que os números positivos e negativos são
utilizados.
Você sabe qual a diferença entre um número positivo e um número
negativo e sua utilização?
Você representa perda e ganho, erros e acertos, débito e crédito etc.?
O que são os números naturais?

“A matemática é a honra do espírito humano.”
38
OS NÚMEROS POSITIVOS E NEGATIVOS
Fonte: www.nutricionismobiblico.blogspot.com
Para não comprometermos nossa saúde por meio da ingestão de alimentos estragados,
uma condição essencial é sua conservação. A refrigeração é uma das formas mais
utilizadas para manter os alimentos perecíveis conservados por mais tempo. As
geladeiras utilizadas em residências, por exemplo, mantêm os alimentos a uma
temperatura entre 4ºC e 10ºC. A temperatura do freezer (ou congelador), por sua vez,
depende da disposição das portas presentes nos modelos de geladeiras: nos de 2 portas,
varia entre 14ºC e 18ºC abaixo de zero; nos de uma porta, entre 4ºC e 6ºC abaixo de
zero.
No entanto, a refrigeração era impossível antes da descoberta da energia elétrica, e
assim, o homem criou outra forma de conservar os alimentos, utilizada até hoje na carne
de sol, no bacalhau e em frutas cristalizadas: a desidratação. Essa técnica consiste na
adição de grande quantidade de sal ou açúcar ao alimento que faz com que seque e dure
por mais tempo.
Texto retirado do livro Projeto Radix, 7º ano. Ribeiro (2009), p.90
1. Cite alguns alimentos cuja conservação depende da geladeira ou freezer.
2. Como você faria para escrever as temperaturas abaixo de zero citadas no
texto?
3. Qual a variação entre a maior temperatura que a geladeira pode atingir e a
menor temperatura do freezer?
39
6 ENCONTRANDO OS INTEIROS
-Identificar situações cotidianas
que apresentem os números
inteiros;
-Introduzir o conceito
números inteiros negativos;
de
-Identificar e compreender o uso
dos números inteiros em
situações do cotidiano;
-Solucionar situações-problema
que
envolvam
números
negativos, utilizando-se de
diferentes
estratégias
de
resolução.
o
o
o
o
Em algumas situações do nosso dia a dia, utilizamos por
necessidade outros números que não são os naturais.
Em mapas, por exemplo, estão indicadas temperaturas em
graus Celsius (°C). Podemos identificar temperaturas abaixo de zero
utilizando um número negativo e acima de zero, um número positivo.
Você sabia que os números negativos são aqueles que vem
acompanhados do sinal -? Eles são menores que zero e precisam vim
com este sinal antes?
Você sabia também que os números positivos são aqueles
que vem acompanhados do sinal +? E que estes podem ser escritos sem
este sinal e continuam sendo positivos?
Exemplos de utilização de números inteiros:
o Medir temperaturas;
Representação de saldos bancários (débitos e créditos);
Representação de pontos perdidos e pontos ganhos;
Representação de lucro e prejuízo;
Representação de vitória e derrota em uma partida esportiva, entre
outros.
Você poderia mostrar outras situações diversas em que os números positivos e
negativos estão presentes?
7 COMPARANDO NÚMEROS POSITIVOS E NEGATIVOS
Você sabia que:
 Os números à esquerda de um número qualquer são menores que
esse número?
 Os números à direita de um número qualquer são maiores que esse
número?
Exemplos:
-11< -10 ou -10 > -11
4 < 5 ou 5 > 4
-1 < 0 ou 0 > -1
40
VALE À PENA SABER:
 Números opostos – são números que ao juntá-los se anulam, ou seja, tornam-se
zero.
São ainda o mesmo número com sinais diferentes.
Exemplo 01:
-1 e +1 são opostos
-1001 e + 1001 são opostos
-1 +1 = 0
-1001 + 1001 = 0
Exemplo 02:
Bruno tem um saldo devedor em uma mercearia de R$ 130,00, ou seja – 130.
Ao fazer um pagamento de R$ 130,00 (+130), Bruno zerou sua dívida. Com
isso conclui-se que – 130 + 130 = 0.
8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS
8.1 Adição e Subtração de números positivos e negativos
A adição e subtração de números inteiros tem por finalidade reunir ou
reduzir em um único número, todas as unidades de dois ou mais números.
Exemplo 01:
Movimentação
Em uma movimentação bancária mostrada ao lado, o saldo
anterior era de R$ 350,00, foi descontado o valor de R$137,00
de um cheque e outro valor de R$ 63,00, em seguida foi realizado um depósito no valor de R$ 50,00. Qual será o saldo atual?
Saldo anterior
+ 350,00
Cheque compensado
- 137,00
Resolução:
Compras
- 63,00
350 – 137 – 63 + 50 = 200
Depósito
+ 50,00
Saldo atual
?
Logo o saldo atual será de R$ 200,00.
41
Exemplo 02:
Em uma fatura de cartão de crédito representada abaixo, Guilherme fez diversas
compras e ao final do mês esses valores vieram descritos na fatura constando como
dívida a ser paga.
O saldo devedor de Guilherme era de R$ 1 126,75, ou seja, - 1 126,75.
Obs.: Toda dívida pode ser representada como um valor negativo ( - ) e todo pagamento
pode ser representado como um valor positivo ( + ).
Dessa forma, Guilherme decidiu fazer um pagamento de R$ 1 400,00. Daí ele zerou sua
dívida e ainda obteve R$ 273,25 de troco.
O cálculo feito dessa transação financeira foi o seguinte:
 - 1 126,75 (dívida) + 1 400,00 (pagamento) = 273,25 (troco), portanto saldo
positivo.
Fonte: thefutureneedsabigkiss.wordpress.com
42
Exemplo 03:
Na fatura de cartão de crédito representada acima, Ana Carolina almoçou em um
restaurante e gastou o valor referente à R$ 17,30. Logo após, fez uma compra nas Lojas
Americanas e gastou o valor de R$ 32,98.
Os dois valores gastos são algo negativo, portanto podemos representar como – 17,30 e
– 32,98. Com isso a soma dessas dívidas é - 17,30 + (- 32,98) = - 50,28.
Conclui-se então: Ana Carolina tem uma dívida total no valor de R$ 50,28, devido ao
acúmulo de dívidas feitas por ela.
Exemplo 04:
Na fatura de cartão de crédito representada acima, Ana Carolina almoçou em um
restaurante e gastou o valor referente à R$ 17,30. Logo após, fez uma compra nas Lojas
Americanas e gastou o valor de R$ 32,98.
O total da dívida de Ana Carolina, como vimos no exemplo anterior, é de R$ 50,28.
Se ela decide pagar do valor dessa dívida apenas R$ 30,00. O que acontece?
Ana Carolina ficará devendo ainda R$ 20,28
 -50,28 (dívida) + 30,00 (pagamento) = - 20,28 (ainda com saldo devedor)
8.2 Multiplicação de números positivos e negativos
A multiplicação de números positivos e negativos se dá semelhante a multiplicação de
números naturais. Há apenas uma diferença que se encontra na realização de jogo de
sinais.
JOGO DE SINAIS
+ com + = +
- com - = +
+ com - = - com + = Conclusão:
Se os sinais forem iguais, o resultado
será sempre positivo (+).
Se os sinais forem diferentes, o
resultado será sempre negativo (-).
43
Exemplo:
Num jogo cada jogador deve responder a 20 questões. A cada resposta correta ganha 3
pontos e a cada resposta incorreta perde 3 pontos.
a) Com quantos pontos Marcela terminou o jogo, se ela acertou 11 questões?
 Resposta correta: 11 acertos x 3 pontos ganhos = 33 pontos
 Resposta errada: 9 erros x (-3) pontos perdidos = - 27 pontos
Conclusão: 33 -27 = 06 pontos no total
b) Beatriz acertou uma questão a menos que Marcela. Com quantos pontos ela
terminou o jogo?
 Resposta correta: 11 (Marcela) – 1 = 10 acertos (Beatriz) x 3 pontos ganhos = 30
pontos
 Resposta errada: 10 erros x (-3) pontos perdidos = - 30 pontos
Conclusão: 30 - 30 = 0 pontos no total
Lembrando: No total, incluindo acertos e erros, são 20 questões.
8.3 Divisão de números positivos e negativos
A divisão de números positivos e negativos se dá semelhante a divisão de números
naturais. Há apenas uma diferença que se encontra na realização de jogo de sinais.
JOGO DE SINAIS
+ com + = +
- com - = +
+ com - = - com + = Conclusão:
Se os sinais forem iguais, o resultado
será sempre positivo (+).
Se os sinais forem diferentes, o
resultado será sempre negativo (-).
44
Exemplo:
Três amigos foram a um show e compraram 3 ingressos num mesmo cartão de crédito
que acarretou em uma dívida total de R$ 93,00.
Pergunta-se:
Quanto cada um dos 3 amigos ficará devendo no cartão de crédito?
 - 93,00 (dívida): 3 = - 31,00
Conclusão: Cada amigo ficará com a dívida de R$ 31,00 que foi o valor de cada
ingresso.
45
UM POUCO DA HISTÓRIA DOS NÚMEROS POSITIVOS E
NEGATIVOS
Fonte: portoalegre.musicblog.com.br
A noção de números negativos que temos hoje é relativamente recente se comparada com a
história da Matemática. Pensar em quantidade negativa era algo “estranho” para as civilizações antigas.
No entanto, os chineses já conheciam os números negativos e tinham o domínio de algumas
de suas propriedades há aproximadamente três séculos a.C.
Para realizar cálculos com os números positivos e negativos, os chineses utilizavam duas
coleções de barras vermelhas e pretas. As barras vermelhas indicavam os números positivos e as pretas,
os negativos. Entretanto, os chineses não aceitavam a ideia de um número negativo como solução de
uma equação.
Por volta de 200 a.C., os chineses já conheciam os números negativos e tinham certo
domínio sobre eles. Os símbolos “+” e “-“ que conhecemos hoje foram introduzidos aproximadamente
em 1489 por um professor alemão chamado Johann Widman (nascido por volta de 1460) em um livro de
aritmética comercial. Nesse livro, o símbolo “+” representava excesso e o “-“, deficiência, em medidas
nos armazéns. Nesse caso, tais símbolos não tinham significados de adição e subtração de hoje, pois, até
então, essas operações eram indicadas pelas letras p (de piu, “mais”) e m (de meno, “menos”).
Em 1544, no livro Arithmetica integra, o alemão Michel Stifel (cerca de 1487-1567) também
contribuiu para difundir os símbolos “+” e “-“ para representar números positivos e negativos. Nesse
livro, considerado o mais importante de todas as álgebras alemãs do século XVI, Stifel demonstra muito
conhecimento acerca dos números negativos, mesmo referindo-se a eles como “números absurdos”.
Fonte: Livro Projeto Radix, 7º ano. Ribeiro (2009), p.117
46
Desafio
Jonas fez um depósito em sua conta bancária e ainda ficou com um saldo negativo de – R$
74,00. Sabendo que Jonas devia 4 vezes o saldo atual, quantos reais ele depositou?
Projeto em equipe
Os materiais necessários são cartas de dois baralhos com cores diferentes, lousa e giz. As cartas
pretas do baralho corresponderão a pontos ganhos e as cartas vermelhas a pontos perdidos. Cada
carta do baralho do 2 até o 10 representa sua respectiva pontuação, o Ás vale 1, o Valete 11, a
Dama vale 12 e o Rei vale 13. O sinal do número depende de sua cor: será positivo se forem pontos
ganhos (cartas pretas) e negativo se forem pontos perdidos (cartas vermelhas).
Os alunos se dividirão em duas equipes (Equipe A e equipe B). Cada grupo deverá escolher um
aluno como representante em uma jogada e este será o responsável pelo registro de sua equipe na
lousa. O aluno poderá escolher a forma de registro que quiser para marcar os pontos ganhos e
perdidos, sem interferência do professor. Convém fazer uma tabela na lousa como a exposta a
seguir para organizar a atividade:
Equipe A
Equipe B
1ª carta retirada
2ª carta retirada
3ª carta retirada
4ª carta retirada
5ª carta retirada
6ª carta retirada
7ª carta retirada
8ª carta retirada
9ª carta retirada
10ª carta retirada
Total de pontos
47
Projeto em equipe
Sorteia-se uma das equipes para começar o jogo. O professor fica de posse do baralho e um
aluno de cada turma retira alternadamente uma carta, mostrando-se à sala e ao seu
representante para que este faça o registro na lousa, anotando o valor de cada carta retirada
pelos alunos de sua equipe na tabela. Cada rodada de 10 sorteios de cartas para cada turma e as
retiradas de cartas são feitas alternadamente.
O ideal é fazer três rodadas, mudando o representante e tentando fazer com que todos
participem. Ao final de uma rodada, os alunos anotam os resultados obtidos por sua equipe e
ajudam o representante a encontrar o total de pontos daquela rodada. Um aluno da outra equipe
confere o resultado.
Os resultados finais das três rodadas devem ser anotadas em uma outra tabela, como a
sugerida:
Total de pontos da
equipe A
Total de pontos da
equipe B
1ª rodada
2ª rodada
3ª rodada
Somatório Final
Vencerá o jogo a equipe que fizer o maior número de pontos na somatória dos totais das três
jogadas realizadas. Ao final os alunos deverão relatar as novidades ou dificuldades que
tiveram.
48
Projeto em equipe
Neste jogo podem participar 2 ou 3 alunos. O jogo consiste de um peão para cada jogador, um
dado comum e um tabuleiro ilustrado na figura seguinte.
Cada equipe deverá sortear quem começará a caminhada pela trilha e estabelecer qual dos peões
representará cada um deles durante a partida. Os alunos devem combinar que cada um deles
começará com 30 pontos, os quais deverão ser usados pelos mesmos, quando estes julgarem
necessário. O primeiro jogador lança o dado e anda o número no lançamento do mesmo. Observe
que existem três possibilidades:
1. Se o peão cair em uma casa sem marcação, ele permanecerá aí até sua próxima vez de
jogar;
2. Se o peão cair em alguma casa com uma multiplicação por um número negativo, então ele
deverá voltar o número de casas que será determinado pelo resultado da multiplicação
indicada na casinha que o peão se encontra, pelo número indicado no lançamento do
dado;
3. Se o peão cair em alguma casa com uma multiplicação por um número positivo, então
este deverá avançar o número de casas que será determinado pelo resultado da
multiplicação indicada na casinha em que o peão se encontra, pelo número indicado no
lançamento do dado.
Vence o jogo quem obter maior número de pontos e não quem atingir a chegada primeiro!
49
5
VAMOS PENSAR UM POUCO...
Cite exemplos de situações do seu dia a dia em que possível notar a
utilização de frações e números decimais.
Você sabe qual a importância dos números racionais para o nosso
cotidiano?
Qual a relação que existe entre as frações e os números decimais?
“A ciência pelo caminho da exatidão, só tem dois
olhos: A matemática e a lógica.”
50
ESTUDANDO AS FRAÇÕES
Fonte: www.bipolarbrasil.net
Mau humor, falta de concentração, ansiedade, bocejos de cinco em cinco minutos são
sintomas típicos de uma noite mal dormida. Basta ficar acordado por um período maior que o
habitual, que logo sentimos a importância das indispensáveis horas de sono para repor nossas
energias.
A idade é um dos fatores que interferem no período de sono. Os recém–nascidos, por
exemplo, dormem cerca de 18h por dia; enquanto os adultos, 8h. Já os idosos, dormem em
média 1/3 do tempo dos bebês e, em geral, têm o sono mais superficial, com múltiplos
despertares.
Apesar da necessidade de sono ser particular e sofrer influência de vários fatores, é certo que
sua qualidade é mais importante do que a quantidade, ou seja, dormir em sono profundo e
sem interrupções é melhor do que dormir por muitas horas com sono superficial e
fragmentado.
Texto retirado do livro Projeto Radix, 7º ano. Ribeiro (2009), p.20
1 Em média, quantas horas você dorme por dia?
2 Escreva, na forma irredutível, a fração
do dia que recém-nascidos, adultos e
idosos passam dormindo.
3 Considerando o tempo de sono de um adulto, calcule o tempo médio que uma
pessoa de 81 anos passou acordada em toda sua vida.
51
1 ENTENDENDO AS FRAÇÕES
O que são frações?
-Representar frações
parte de um todo;
como
-Usar a ideia de fração ou
divisão na resolução de
problemas;
-Reconhecer as partes de uma
fração;
-Fazer uma relação do todo com
as partes e as partes entre si;
-Comparar frações.
 Fração é a parte de um inteiro. As mesmas são representadas
por uma divisão e podem ser positivas ou negativas.
Exemplo:
Se Bruna decide comer 3 pedaços iguais de uma barra de chocolate que
contem 5 pedaços ao todo, ela comeu uma fração da barra, ou seja, ela
não comeu a barra inteira.
1.1 Representação geométrica de uma fração
Fonte:somatematica.com.br
Fonte: galerado4ano.blogspot.com
Fonte: turminhacocdelta.blogspot.com
Fonte:nossavamoscolorirdesenhos.blogspot.com
A representação geométrica se dá através dos desenhos representados acima.
Na composição da fração o número que deverá ser escrito em cima refere-se à parte
colorida, já o número que deverá ser escrito embaixo refere-se ao todo (total de partes).
Ao interpretar os 3 pedaços da barra de chocolate, que tinha 5 pedaços, por Bruna
dizemos que de 5 pedaços ela comeu 3. Portanto, o número que aparecerá em cima será
o 3 e embaixo o 5.
Logo Bruna comeu
do chocolate.
 O número que vem em cima de uma fração chamamos de NUMERADOR.
 O número que vem embaixo na fração recebe o nome de DENOMINADOR.
52
1.2 Como se lê uma fração
O numerador é lido cardinalmente, já o denominador é lido ordinalmente
com algumas variações.






Denominador 2 lemos como “meio”;
Denominador 3 lemos como “terço”;
Denominador 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 lemos como “quarto, quinto, sexto,
sétimo, oitavo, nono e décimo”;
Denominador a partir do 11 lemos como: cardinalmente com o
acréscimo da palavra “avos”.
Denominador 100 lemos como “centésimo”;
Denominador 1000 lemos como “milésimo”.
Exemplos:
lê-se como sete nonos;
lê-se como quinze vinte e quatro avos;
Obs.: Você poderá fazer a leitura como de
costume, pois dessa maneira também é
correto.
Exemplo:
lê-se como um sobre cinco.
lê-se como dez meios;
lê-se como treze sobre cem.
lê-se como um terço.
1.3 Frações mistas
Observe a receita a seguir:
53
Fonte: cotidianosantanaemfoco.wordpress.com
Note que a quantidade de farinha de trigo é expressa por 4
, o que
representa quatro xícaras inteiras e mais um quarto de uma xícara de farinha de trigo.
O número que representa a quantidade de farinha de trigo é chamado de
número na forma mista e lê-se como quatro inteiros e um quarto.
Podemos ainda representar:
Obs.:
4
4
1.4 Equivalência de frações
O que entendemos por algo equivalente?
54
Quando existe uma igualdade de valores ou um equilíbrio de valores.
Exemplo 01:
Se João pesa 48 kg e tem uma cama que pesa também 48 kg, podemos dizer que ele e a
cama têm pesos equivalentes, ou que João tem um peso equivalente ao da cama.
 Com as frações acontece da seguinte maneira:
Dizemos que
e
são equivalentes, pois se multiplicarmos o numerador e o
denominador pelo mesmo número que nesse caso será 4, teremos exatamente uma
fração equivalente que é
. E se dividirmos 16 e 32 por 4, teremos a fração anterior.
Daí você encontra infinitas frações equivalentes.
Exemplo 02:
=
=
=
=
=
=
= ...
= ...
Exemplo 03:
Mônica resolveu dividir de três maneiras diferentes três tiras de papel de mesmo
tamanho. Depois ela coloriu essas tiras da seguinte maneira:
55
Observe que todas as partes pintadas representam o mesmo pedaço do todo. Com isso
podemos afirmar que:

,
e
são equivalentes.
1.5 Simplificando frações
Para obter uma fração irredutível é necessário simplificá-la, ou seja, dividir
o numerador e denominador pelo mesmo número até tornar essa fração irredutível.
Exemplos:
Vale à pena lembrar que toda fração é uma divisão e por isso antes de ver se
é possível simplificar uma fração, podemos tentar dividir o numerador pelo
denominador e ver se consegue encontrar um resultado exato. Mas se optar em fazer a
simplificação obterá um resultado também correto.
Se possível, todas as frações devem ser simplificadas até ficarem irredutível.
1.6 Comparando frações
Ao analisar duas ou mais frações podemos compará-las para saber qual a
menor e qual a maior fração. Para isso, podemos proceder da seguinte forma:

Se os denominadores forem iguais, a maior fração será a de maior
numerador;
Exemplo:
56

Se os denominadores forem diferentes, é necessário igualá-los e para
isso utilizaremos o M.M.C. (mínimo múltiplo comum).
Exemplo:
Em uma corrida de atletismo Jorge percorreu
e Sérgio
. Qual dos
dois obteve a maior distância?
Solução:
Executando o m.m.c.
4, 14 2
2, 7 2
X
1, 7 7
1, 1
28
Logo, m.m.c. (4, 14) = 28
Lembre-se que o
m.m.c. se faz a partir
de uma
decomposição
utilizando números
primos, que são
aqueles divisíveis por
1 e por ele mesmo.
Então teremos:
=
=
2 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
2.1 Adição e Subtração de frações
Exemplo 01:
57
Douglas comeu 3 fatias de uma pizza, do total de 8 fatias.
Ao fazer a representação da quantidade de pizza que Douglas
comeu temos:
Ao fazer a representação da quantidade de pizza que sobrou temos:
Juntando a quantidade de pizza que Douglas comeu e a quantidade de pizza que sobrou
obtemos uma soma, como veremos a seguir:
+ = = 1 pizza inteira
Também podemos observar que:
- =
 Quando se trabalha com adição e subtração de frações devemos observar dois
casos distintos:
1° caso: Se os denominadores forem iguais, eles serão apenas repetidos
Exemplo 01:
(OBM) Nas olímpiadas de 1896 a 2008, o Brasil conquistou, ao todo, 91 medalhas.
Dessas medalhas,
são de ouro,
de prata e o restante de bronze. De acordo com
essas informações, vejamos:

O total de medalhas de ouro e prata conquistadas pelo Brasil:
+

=
O total de medalhas de bronze:
-
=
Exemplo 02:
Um carro está com problema no tanque de combustível e vazando gasolina, no 1º dia
vazou
da gasolina, no 2º dia vazou
e no 3º dia vazou
.
Quanto de gasolina
vazou do carro ao fim dos três dias?
58
-
-
=
=
Exemplo 03:
2° caso: Se os denominadores forem diferentes há a necessidade de calcular o
m.m.c. e igualá-los.
Exemplo 01:
(OBM) Bianca realizou uma viagem de carro à praia. No início da viagem o marcador
de combustível indicava
e, ao término,
.
Como poderíamos calcular a fração de capacidade total do tanque que o carro de Bianca
consumiu de combustível nessa viagem?
Informação:
Quando se tem um número
inteiro acrescenta-se o
denominador 1.
Exemplo 02:
-
2.2 Multiplicação de frações
A multiplicação de frações acontece primeiramente executando o jogo de
sinais e logo após multiplica numerador com numerador e denominador com
denominador.
Exemplo:
(OBM) Em certo dia, foram produzidos no sítio de Armando 135 L de leite. Ele dividiu
dessa produção em três recipientes: A, B e C. No recipiente A ele colocou
quantidade, no recipiente B ele colocou
dessa
e no recipiente C a mesma quantidade do
recipiente A.
Podemos retirar dessas informações:

A quantidade de litros de leite que Armando colocou nos três
recipientes.
59
Podemos responder a essa pergunta calculando
de 135
=
de 135.
= 90
Armando colocou 90 L de leite nos três recipientes.

A fração da produção repartida representada na quantidade de leite
colocada nos recipientes A e C.
Como os recipientes A e C ficaram com a mesma quantidade de leite, podemos
responder a essa pergunta determinando o resultado de 2 .
2.
Os recipientes A e C ficaram com

.
=
da produção repartida.
A fração que representa a quantidade colocada no recipiente A em
relação ao total de leite produzido.
Para responder a essa pergunta, podemos calcular
de
, ou seja, . .
. =
Armando colocou no recipiente A
da quantidade de leite produzido.
2.3 Divisão de frações
A divisão de frações se dá na multiplicação em forma de X, ou seja,
multiplica a primeira fração pelo inverso da segunda.
Exemplo 01:
60
Exemplo 02:
(ACERVO) Luíza e quatro amigos vão repartir
de um bolo em 5 pedaços iguais. Que
parte do bolo cada um vai comer?
Resolveremos fazendo
Cada um irá comer
:5=
do bolo.
Fonte: receitasprezunic.com.br
ESTUDANDO OS NÚMEROS DECIMAIS
Fonte: www.google.com.br
Tantos atletas de elite, nas competições, quanto pessoas comuns, em suas tarefas domésticas,
estão realizando atividade física. Por trás de cada simples movimento de nosso corpo, existe
uma complexa coordenação entre vários órgãos, comandada pelo sistema nervoso e
envolvendo diversos hormônios. Além disso, como acontece com toda máquina, precisamos
61
de certa quantidade de energia extra nesses momentos, e esta deve ser fornecida
prontamente, ou não conseguiremos realizar o trabalho desejado [...]
Costumamos dizer que estamos praticando exercício quando o objetivo da atividade física é o
esporte, a promoção da saúde [...]. Na verdade, praticamos atividade física o tempo inteiro –
mesmo dormindo ou repousando gastamos energia para continuar vivos [...]. Já a realização de
movimentos determinados, visando alcançar um índice específico [...] pode ser definida como
“performance” (ou desempenho). No entanto, a busca obsessiva pelo melhor resultado muitas
vezes ultrapassa os limites do funcionamento do corpo, prejudicando a saúde. O mesmo
ocorre quando a atividade física é realizada em busca de uma identidade corporal, como no
caso das pessoas que querem emagrecer rápido ou ficar muito musculosas e exageram nos
recursos utilizados.
Gasto de energia em relação ao estado de repouso para algumas atividades físicas do dia a
dia e para alguns esportes (o gasto equivale a 1 em repouso e os números abaixo são
múltiplos dessa taxa básica em outras atividades).







1 a 1,4: ver tv, ler, escrever.
1,5 a 1,8: lavar louça, passar roupa.
1,9 a 2,4: limpar a casa, cozinhar.
2,5 a 3,3: vestir-se e despir-se, fazer a cama, caminhar lentamente.
3,4 a 4,4: lavar janelas, jogar golfe, trabalhar em carpintaria.
4,5 a 5,9: jogar vôlei, andar rápido, dançar, cavar.
6 a 7,9: subir escadas, andar de bicicleta, jogar futebol, esquiar.
1 Dentre as atividades citadas, quais você pratica diariamente? Calcule quanto,
aproximadamente, você gasta de energia com estas atividades em relação à taxa em repouso?
2 Uma pessoa que anda de bicicleta, lava louças, lê e escreve todos os dias, gasta,
aproximadamente, quanto de energia por dia em relação à taxa em repouso?
Texto retirado do livro Projeto Radix, 7º ano. Ribeiro (2009), p.63
3 ENTENDENDO OS NÚMEROS DECIMAIS
-Relacionar composições e
decomposições de quantidades
de dinheiro utilizando diferentes
moedas
e
estabelecendo
equivalências entre elas;
O que são números decimais?
 Indicam o número que não é inteiro. Usa-se uma vírgula e
contêm casas decimais após a vírgula. Como vimos no texto
anterior;
-Relacionar
representações
fracionárias e decimais.
62
 Frações com denominador igual a 10, 100 e 1 000 (frações decimais).
3.1 Representação geométrica de números decimais
Fonte: www.google.com.br
3.2 Como se lê um número decimal
O número que vem antes da vírgula representa a parte inteira, já os números
que vem após a vírgula representam a parte decimal.
A parte decimal varia de acordo com a quantidade de números. Vejamos;
 Um número após a vírgula lê-se como décimos;
 Dois números após a vírgula lê-se como centésimos;
 Três números após a vírgula lê-se como milésimos.
Exemplos:
 15,28 lê-se como quinze inteiros e vinte e oito centésimos.
 145,2 lê-se como cento e quarenta e cinco inteiros e dois décimos.
 0,195 cento e noventa e cinco milésimos.
Obs.: Você poderá fazer a leitura como de
costume, pois dessa maneira também é
correto.
Exemplo:
2,15 lê-se como dois vírgula
quinze.
23,125 lê-se como vinte e três vírgula cento e
vinte e cinco.
63
3.3 Comparando números decimais
 0,8 = 0,80 = 0,800 ...

15,24 = 15,240 = 15,2400 ...
Ao acrescentar o número 0 à direita do número decimal, não altera o valor desse número
decimal.
Associe a dinheiro: Se você tem 2,4 em reais você deverá entender como R$ 2,40 (dois
reais e quarenta centavos), já se você tiver 2,04 você deverá entender como R$ 2,04
(dois reais e quatro centavos).
Vejamos como podemos comparar dois números decimais:

A parte inteira: 6,25 e 4,18
6 > 4, logo 6,25 > 4,18;

Os décimos, se a parte inteira estiver igual: 52,30 e 52,25
0,2, logo 52,30 > 52,25;

Os centésimos, se a parte inteira e os décimos forem iguais: 4,87 e
4,83
0,07 > 0,03, logo 4,87 > 4,83;

Os milésimos, se a parte inteira, os décimos e os centésimos estiverem
iguais: 5,326 e 5,329
0,006 < 0,009, logo 5,326 < 5,329.
0,3 >
4 OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS
4.1 Adição e Subtração de números decimais
Exemplo 01:
Uma loja de produtos de informática está com produtos em promoção se forem pagos à
vista:
MONITOR
IMPRESSORA
R$ 695,40 ou R$ 605,30 à vista
R$ 280,10 ou R$ 199,99 à vista
64
TECLADO
R$ 32,85 ou R$ 29,58 à vista
Qual seria o desconto oferecido pela loja no pagamento à vista?
Monitor: 695,40 – 605,30 = 90,10 Desconto de R$ 90,10
Impressora: 280,10 – 199,99 = 80,11 Desconto de R$ 80,11
Teclado: 32,85 – 29,58 = 3,27 Desconto de R$ 3,27

Quando se faz adição e subtração de números decimais precisa-se
obrigatoriamente que as vírgulas estejam abaixo uma da outra.
Exemplo: 148,54 + 12,3
148,54
+ 12,3
160,84
4.2 Multiplicação de números decimais
4.2.1
Multiplicação por 10, 100 e 1 000
Quando se multiplica
qualquer número por
10, a vírgula desloca-se
uma casa para direita.
Quando se multiplica
qualquer número por
100, a vírgula deslocase duas casas para
direita.
Quando se multiplica
qualquer número por
10, a vírgula desloca-se
três casas para direita.
65
4.2.2
Multiplicação de um decimal por um número
natural e por um número decimal
Exemplo 01:
Mariana comprou um liquidificador para sua casa e parcelou o valor em 6 prestações
iguais no valor de R$ 18,23. Por qual valor Mariana comprou esse liquidificador?
18,23 (valor de cada prestação) x 6 (quantidade de parcelas) = 109,38
O liquidificador custou R$ 109,38.
18,23
X
6
109,38
Na multiplicação, a vírgula só é
colocada no final, de acordo com
a quantidade total de casas
decimais.
2 casas decimais
Exemplo 02:
Diogo abasteceu seu carro com 33,5 L de gasolina, sendo que cada litro custava R$
2,69. Qual foi o total pago por Diogo?
33,5 (total de litros) x 2,69 (valor de custo de cada litro) = 90,115
Diogo pagou R$ 90,115
33,5
X 2,69
3015
2010
670
90,115 3 casas decimais
4.3 Divisão de números decimais
4.3.1
Divisão por 10, 100 e 1 000
Quando se divide
qualquer número por
10, a vírgula desloca-se
uma casa para
esquerda.
Quando se divide
qualquer número por
100, a vírgula deslocase duas casas para
esquerda.
Quando se divide
qualquer número por 1
000, a vírgula deslocase três casas para
66
4.3.2
Divisão de um decimal por um número natural e
por um decimal
Exemplo 01:
Em um supermercado, tinha uma mesma marca de arroz em embalagens de diversas
quantidades. Uma pesava 1 kg, a outra 2 kg e a última 5 kg. O preço estava indicado em
cada embalagem.
Fonte: www.urbano.com.br
1 kg
2 kg
R$ 3,48
R$ 5,68
5 kg
R$ 11,89
Qual das embalagens é mais viável comprar levando em consideração o peso e o valor?
1 kg custa R$ 3,48
 Dividindo R$ 5,68 por 2 kg saberemos quanto custa um kg dessa embalagem:
5,68
2
= 568 200
- 400 2,84
1680
Na divisão, a vírgula é retirada de
qualquer das partes e equilibrase a quantidade de algarismos,
de ambos os lados,
67
acrescentando zero.
- 1600
00800
- 800
00000
5,68 : 2 = R$ 2,84
 Dividindo R$ 11,89 por 5 kg saberemos quanto custa um kg dessa embalagem:
11,89 5
= 1189 500
- 1000 2,378
01890
- 1500
03900
- 3500
004000
- 4000
000000
11,89 : 5 = R$ 2,378
Conclui-se que é mais vantagem comprar o arroz com 5 kg.
Exemplo 02:
Joana produz desinfetante e vende em garrafas de 2,5 L. Ela produziu 97,65 L de
desinfetante. Quantas garrafas de 2,5 L ela vai precisar para colocar essa quantidade de
desifetante?
Dividindo 97,65 por 2,5 teremos:
97,65
2,5
= 9765 250
- 750 39,06
2265
- 2250
001500
- 1500
000000
Logo, Joana vai precisar de 39 garrafas.
5 TRANSFORMAÇÕES DE FRAÇÕES E NÚMEROS
DECIMAIS
Toda fração pode ser transformada em número decimal e vice-versa. As transformações
se dão da seguinte forma:
68


De fração para decimal:
Basta dividir o numerador pelo denominador.
Exemplos:
= 1,4
7 5
- 5 1,4
20
- 20
00
= 0,25

De decimal para fração:
O numerador será o número decimal sem a vírgula e o denominador será sempre o
número 1 seguido pela quantidade de zero de acordo com a quantidade de casas
decimais presentes no número decimal.
Exemplos:
Não esqueça de simplificar!
1,4 =
0,25 =
=
=
=
Para os seguintes conhecimentos envolvendo frações junto com números decimais:
 Comparar números decimais com frações;
 Equivalência com frações e decimais;
 Operações com frações e decimais;
Deve-se optar pela transformação. Escolher a fração e transformar em decimal 69
para
que todos fiquem na forma de decimal, ou escolher o decimal e transformá-lo em
fração para que todos fiquem como fração.
70
MATEMÁTICA E MÚSICA?
Fonte: www.google.com.br
É isso mesmo, a matemática e a música estão relacionadas, e de maneira muito forte. Alguns
matemáticos, como Boécio (425 – 524), Pitágoras (586 – 500 a.C.), Platão (427 – 347 a.C.) e Nicômaco
(por volta do ano 100), deram contribuições para a música. Pitágoras, por exemplo, descobriu as regras
que relacionavam o comprimento de corda esticada à altura da nota que ela emitia ao ser tocada.
Herança para um pianista
Pitágoras verificou que havia uma conexão entre a harmonia musical e os números inteiros 1, 2, 3, 4, 5
etc. Ao tocarmos uma corda esticada, ela produz determinado som. Se tocarmos outra corda esticada,
porém com o dobro do tamanho da anterior, o som produzido será exatamente uma oitava abaixo do
primeiro som.
De maneira semelhante, é possível obter as notas dó, si, lá, sol, fá, mi, ré, aumentando o comprimento de
uma corda segundo frações simples. Por exemplo:
16/15 da corda dó corresponde à nota si
6/5 da corda dó correspondem à nota lá
4/3 da corda lá correspondem à nota sol
3/2 da corda dó correspondem à nota fá
8/5 da corda dó correspondem à nota mi
Ao descobrir as relações entre as notas musicais e as frações de números inteiros, Pitágoras se convenceu
de que a harmonia, a beleza e a natureza podem ser expressas por meio da relação entre números
inteiros.
Fonte: Livro Projeto Radix, 7º ano. Ribeiro (2009), p.37
71
Desafio
Isabel tem um cofre em que há algumas moedas de R$ 1,00, 25 medas de R$ 0,50 e 11 de R$
0,25, totalizando R$ 22,50. Descubra a quantidade de moedas de R$ 1,00 que estão no cofre.
Projeto em equipe
A atividade consiste em um jogo de cartas com números decimais positivos e negativos.
A atividade pode ser executada em equipe de 04 pessoas. Cada participante deve escolher uma
carta, abrir e mostrar a todo o grupo. A pessoa que obtiver a carta com o maior número da rodada
ficará com as cartas que estão na mesa de todos da equipe. Ganha o jogador que conseguir o
maior número de ponto após 10 rodadas no total.
72
6
VAMOS PENSAR UM POUCO...
 Você já se atentou ao fato de quanto a matemática está presente em
nosso cotidiano?
Onde é possível utilizar medidas?
Você sabe por que o sistema de medidas é padronizado?
Será que você é capaz de comer uma arroba de carne por mês?
Qual o tamanho de uma fazenda com três alqueires de extensão?
“A matemática apresenta invenções tão sutis que
poderão servir não só para satisfazer os curiosos como
também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos
homens.”
73
MEDINDO TUDO
Fonte: model-moda.blogspot.com
Apesar de os jogos olímpicos dos Tempos Modernos terem sidos realizados pela
primeira vez em 1896, em Atenas, Grécia, a primeira participação de mulheres
brasileiras se deu apenas em 1948, após a 2ª Guerra Mundial, em Londres, Inglaterra,
nas provas de atletismo.
Mas foi apenas em 2008, nos Jogos Olímpicos de Pequim, que Maurrem Maggi veio a
se tornar a 1ª mulher brasileira a conquistar uma medalha de ouro individual em jogos
olímpicos e a 1ª medalhista do Brasil no Atletismo. Campeã da prova de salto em
distância, Maurrem saltou em sua melhor marca nessa prova, 7,04 m, ficando à frente de
Tayana Lebedeva e Blessin Okagbac, que saltaram, respectivamente, 7,03 m, e 6,91 m,
completando o pódio.
Texto retirado do livro Projeto Radix, 6º ano. Ribeiro (2009), p.80
1 A 3ª colocada saltou quantos centímetros abaixo de 7 m?
2 Converse com seus colegas e escrevam outras provas de atletismo que
envolvem medidas de comprimento.
74
6 ENCONTRANDO AS MEDIDAS
Ainda não encontrou relação entre a matemática e sua
vida?
-Destacar a importância do ato
de medir e transformar as
unidades de medida mostrando
a relação destas em seu
cotidiano;
Olhe agora:
-Representar resultados de
medições,
utilizado
a
terminologia convencional para
as unidades mais usuais dos
sistemas de medidas;
-Comparar com estimativas
prévias e estabelecer relações
diferentes de unidades de
medidas.
Fonte: www.heimjovem.blogspot.com
Fonte: lemondropsartscrafts.blogspot.com
Fonte: www.casamiga.com.br
7 MEDINDO COMPRIMENTOS
7.1 Entendendo o comprimento
Para medir comprimentos diversos, como por exemplo: terreno, alturas de
pessoas e outros utilizamos o METRO como unidade padrão. Antigamente o metro não
existia e eram utilizados parte do corpo humano como referência.
Vejamos alguns exemplos do corpo humano:
75
Fonte: mundoeducacao.com.br
Fonte: mapasbiblicos.blogspot.com
As civilizações antigas usavam essas medidas principalmente no comércio.
 Representamos o metro através da letra m.
Daí, foram surgindo unidades maiores e menores que um metro de acordo com a
necessidade dos seres humanos.
Imagine quanto tempo você levaria para medir a distância da cidade de Aracaju - Se até
a cidade de Salvador - Ba em metros? É bem inviável.
 Medidas que surgiram a partir do metro:
Quilômetro (km)
Hectômetro (hm)
Decâmetro (dam)
Decímetro (dm)
Centímetro (cm)
Milímetro (mm)
Exemplos de instrumentos que
podemos utilizar para medir:
Micrômetro
Paquímetro
Fita métrica Metro articulado
Trena
76
Múltiplos
Base
Submúltiplos
Unidade
Quilômetro
Hectômetro
Decâmetro
Metro
Decímetro
Centímetro
Milímetro
Notação
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
Valor
1 000 m
100 m
10 m
1m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
Lembrem-se que PERÍMETRO é a soma de todos os lados!
7.2 Transformações
Quando nos deparamos com unidades de medidas diferentes entre si, é necessário
transformá-las para que todas fiquem com mesma unidade e assim seja possível efetuar
o cálculo necessário.
Para transformar as medidas de comprimento de uma unidade em outra, usamos a
seguinte regra prática:
:10
:10
:10 :10 :10 :10
km hm dam m dm cm mm
x10
x10
x10 x10
x10 x10
Fonte: www. cursinhopreenem.com.br
 Para transformar unidades maiores em unidades menores, multiplicamos por 10.
 Para transformar unidades menores em unidades maiores, dividimos por 10.
Exemplo de utilização das medidas de comprimento:
Jonatas, Cléber e Carol estão indo para a escola pelo mesmo caminho. Jonatas já
caminhou 0,7 km, Cléber caminhou 15 000 cm e Carol, 600 m.
 Qual criança andou mais?
 Quantos metros faltam para a última criança alcançar a que andou mais?
 Se a escola fica a 900 m da casa das crianças, quantos metros faltam para cada
criança chegar à escola?
Vamos solucionar o problema:
77
 Jonatas 0,7 km = 700 m Cléber 15 000 cm = 150 m
Carol 600 m = 600 m,
logo a criança que mais andou foi Jonatas;
 700 m – 150 m = 550 m, logo para Cléber acompanhar Jonatas faltam 550 m;
 Jonatas falta 200 m (900 m – 700 m), Cléber falta 750 m (900 m – 150 m) e
Carol falta 300 m (900 m – 600 m).
8 MEDINDO SUPERFÍCIES
8.1 Entendendo a superfície
Para medir áreas diversas de superfícies, como por exemplo: terreno, casa,
sala etc. Utilizamos o METRO QUADRADO como unidade padrão.
Vejamos alguns exemplos de cálculo de áreas:
Fonte: www.somatematica.com.br
 Representamos o metro quadrado através da letra m².
78
Existem unidades maiores e menores que um metro quadrado de acordo com a
necessidade dos seres humanos.
 Medidas que surgiram a partir do metro quadrado:
Quilômetro quadrado (km²)
Hectômetro quadrado (hm²)
Decâmetro quadrado (dam²)
Decímetro quadrado (dm²)
Centímetro quadrado (cm²)
Milímetro quadrado (mm²)
Múltiplos
Unidade
Base
Submúltiplos
Quilômetro
Hectômetro
Decâmetro
Metro
Decímetro
Centímetro
Milímetro
quadrado
quadrado
quadrado
quadrado
quadrado
quadrado
quadrado
Notação
km²
hm²
dam²
m²
dm²
cm²
mm²
Valor
1 000 000
m²
10 000 m²
100 m²
1 m²
0,01 m²
0,0001 m²
0,000001
m²
8.2 Transformações
Comparando à transformação de unidades da medida de comprimento, faremos para a
medida de área, porém devemos multiplicar ou dividir por 102 e não por 10.
Exemplos:
a) 5 m2 = 5 x 102 dm2 = 500 dm2
b) 3 km2 = 3 x 106 m2 = 3 000 000 m2
c) 20 000 m2 = 20 000 x 10-6 km2 = 0,02 km2
Obs. Quando queremos medir grandes porções de terra (como sítios,
fazendas etc.) usamos uma unidade agrária chamada hectare (ha).
 O hectare é a medida de superfície de um quadrado de 100 m de
lado.
 1 hectare (ha) = 1 hm2 = 10 000 m2
 Em alguns estados do Brasil, utiliza-se também uma unidade não
legal chamada alqueire.
 1 alqueire mineiro é equivalente a 48 400 m2.
79
Exemplo:
Gustavo irá reformar o piso da sala de sua casa. A sala tem formato quadrado, de lado
medindo 5 m. Se ele pretende utilizar lajotas quadradas de lado medindo 0,5 m, quantas
lajotas serão necessárias para cobrir todo o piso da sala?
 Medida da área da sala: 5 m x 5 m = 25 m²
 Medida da área da lajota: 0,5 m x 0,5 m = 0,25 m²
Logo: 25 m²: 0,25 m² = 100 lajotas
Resposta: 100 lajotas
9 MEDINDO CAPACIDADES
9.1 Entendendo a capacidade
Para medir a capacidade de um sólido, como por exemplo: chaleiras,
garrafas, piscinas etc. Utilizamos o LITRO como unidade padrão. Conforme O Comitê
Internacional de Pesos e Medidas, o LITRO equivale a um decímetro cúbico.
Fonte: www.comodoropresentes.com.br
80
 Representamos o litro através da letra l.
 Medidas que surgiram a partir do metro:
IMPORTANTE
1 litro = 1 dm3
Quilolitro (kl)
Hectolitro (hl)
Decalitro (dal)
Decilitro (dl)
Centilitro (cl)
Mililitro (ml)
Múltiplos
Base
Submúltiplos
Unidade
Quilolitro
Hectolitro
Decalitro
Litro
Decilitro
Centilitro
Mililitro
Notação
kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
Valor
1 000 l
100 l
10 l
1l
0,1 l
0,01 l
0,001 l
OSERVAÇÕES
1) Não é usado o quilolitro.
2) Além do litro, a unidade mais usada é o mililitro (ml), principalmente para medir
pequenos volumes, como por exemplo, a quantidade de líquido de uma garrafa, de uma
lata ou de uma ampola de injeção.
9.2 Transformações
Quando nos deparamos com unidades de medidas diferentes entre si, é necessário
transformá-las para que todas fiquem com mesma unidade e assim seja possível efetuar
o cálculo necessário.
Para transformar as medidas de comprimento de uma unidade em outra, usamos a
seguinte regra prática:
:10
:10
:10 :10 :10 :10
81
kl hl dal l dl cl ml
x10
x10
x10 x10
x10 x10
 Para transformar unidades maiores em unidades menores, multiplicamos por 10.
 Para transformar unidades menores em unidades maiores, dividimos por 10.
Vale saber a tabela de volume, pois lembre-se 1 l = 1 dm³:
Múltiplos
Base
Submúltiplos
Unidade
Quilômetro
Hectômetro
Decâmetro
Metro
Decímetro
Centímetro
Milímetro
Notação
km³
hm³
dam³
m³
dm³
cm³
mm³
Valor
1 000 000
000 m³
1 000 000 m³
1 000 m³
1 m³
0,001 m³
0,000001
m³
0,00000001
m³
Comparando a transformação de unidades da medida de superfícies, faremos para a
medida de capacidade, porém devemos multiplicar ou dividir por 103 e não por 102.
Exemplos de utilização das medidas de capacidade:
 Na leitura do hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último
mês foi de 39 m3. Quantos litros de água foram consumidos?
Solução: 39 m3 = 39 000 dm3 = 39 000 litros
 Uma indústria farmacêutica fabrica 1 400 litros de uma vacina que devem ser
colocados em ampolas de 35 cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com
essa quantidade de vacina?
Solução: 1 400 litros = 1 400 dm3 = 1 400 000 cm3
(1 400 000 cm3) : (35 cm3) = 40 000 ampolas.
82
10 MEDINDO TEMPO
10.1 Entendendo o tempo
10.1.1
Dia, hora, minutos e segundos
Fonte: www.ojovemeomundo.com
Fonte: www.maesnapratica.blogspot.com
 Um dia é um intervalo de tempo longo, neste período você pode dormir, se
alimentar, estudar, namorar, se divertir e muitas outras coisas;
 Muitas pessoas se divertem assistindo um bom filme, porém se os filmes
tivessem a duração de um dia, eles não seriam uma diversão, mas sim uma
tortura;
 Se dividirmos em 24 partes iguais o intervalo de tempo relativo a um dia, cada
uma destas frações de tempo corresponderá a exatamente uma hora, portanto
concluímos que um dia equivale a 24 horas;
 Uma ou duas horas é um bom tempo para se assistir um filme, mas para se tomar
um banho é um tempo demasiadamente grande;
 Se dividirmos em 60 partes iguais o intervalo de tempo correspondente a uma
hora, cada uma destas 60 partes terá a duração exata de um minuto, o que nos
leva a concluir que uma hora equivale a 60 minutos;
 Dez ou quinze minutos é um tempo mais do que suficiente para tomarmos um
bom banho, mas para atravessarmos a rua este tempo é um verdadeiro convite a
um atropelamento;
 Se dividirmos em 60 partes iguais o intervalo de tempo relativo a um minuto,
cada uma destas partes terá a duração exata de um segundo, com isto concluímos
que um minuto equivale a 60 segundos.
Todo mundo está cansado de saber que um dia possui 24 horas e que um minuto possui
60 segundos, mas muitos se confundem quando querem passar de uma unidade para
outra, não sabem se dividem ou se multiplicam.
83
Vamos raciocinar um pouco em cima disto:
Como nós sabemos, um dia é maior que uma hora, que é maior que um minuto, que
é maior que um segundo. Para realizarmos a conversão de uma unidade de tempo
maior para uma unidade de tempo menor, devemos realizar uma multiplicação.
Logo, para transformarmos de uma unidade menor para uma unidade maior,
devemos realizar a operação inversa, ou seja, devemos realizar uma divisão.
10.1.2
Frações de segundo
Em diversas situações do cotidiano o segundo mesmo parecendo uma
unidade de tempo bem pequena, ainda é considerada grande, como por exemplo em
alguns esportes. Daí, são utilizados décimos, centésimos e milésimos de segundo.
 Podemos escrever um décimo de segundo como 0,1 s;
 Podemos escrever um centésimo de segundo como 0,01 s;
 Podemos escrever um milésimo de segundo como 0,001 s.
10.1.3 Semana, quinzena, mês, ano, década, século e
milênio
Vamos relembrar:
Semana
7 dias
Quinzena
15 dias
Mês
30 dias
Bimestre
2 meses
Trimestre
3 meses
O mês comercial que é
usado em cálculos
financeiros é considerado
que tem 30 dias.
84
Quadrimestre
4 meses
Semestre
6 meses
Ano
12 meses
Década
10 anos
Século
100 anos
Milênio
1000 anos
Sabemos que o mês pode ter 28, 29, 30 ou 31 dias dependendo do mês e se o ano é
bissexto ou não.
Exemplos de utilização das medidas de tempo:
1. Faltam 8 semanas e 8 dias para Carine completar 11 anos. Quantos dias faltam
para o aniversário de Carine?
Uma semana tem 7 dias.
8 x 7 = 56 dias + 8 dias = 64 dias
Logo, faltam 64 dias para Carine completar 11 anos.
2. Um show teve início às 21h40min. Sabendo que esse show durou 115 minutos,
qual é esse tempo do show em horas?
60 min = 1h, daí 115 min – 60 min = 55 min.
Logo, o show durou 1h e 55 min.
3. Para uma temporada curta, chegou a cidade o circo Esplendor, com palhaços,
mágicos e acrobatas. O circo abrirá suas portas ao público às 8 horas e ficará
aberto durante 7 horas e meia. A que horas o circo fechará?
8 h + 7 h 30 min = 15 h 30 min.
Fechará às 15h 30 min.
85
11 MEDINDO MASSA
11.1 Entendendo a massa
Observe a diferença entre MASSA e PESO:
MASSA: Segundo o Dicionário Infopédia, é a quantidade de matéria de um corpo, e é
constante em qualquer lugar da terra ou fora.
PESO: Segundo o Dicionário Infopédia, o peso é resultante das ações da gravidade
sobre os corpos (peso absoluto).
Para medir massa, como por exemplo, comida, pessoa etc. Utilizamos o
GRAMA como unidade padrão.
Vejamos alguns exemplos:
Fonte: www.balancas.emp.br
Fonte: www.monicajolmania.blogspot.com
Fonte: www.chicletedecarnemoida.blogspot.com
Fonte: www.wscom.com.br
86
 Representamos o metro através da letra g.
Foram surgindo ainda unidades maiores e menores que um grama de acordo com a
necessidade dos seres humanos.
Imagine medir 1 kg de feijão utilizando o mg? É bem inviável.
 Medidas que surgiram a partir do grama:
Quilograma (kg)
Hectograma (hg)
Decagrama (dag)
Decigrama (dg)
Centigrama (cg)
Miligrama (mg)
Instrumento que podemos
utilizar para medir:
Balança
Múltiplos
Base
Submúltiplos
Unidade
Quilograma
Hectograma
Decagrama
Grama
Decigrama
Centigrama
Miligrama
Notação
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
Valor
1 000 g
100 g
10 g
1g
0,1 g
0,01 g
0,001 g
11.2 Transformações
Quando nos deparamos com unidades de medidas diferentes entre si, é necessário
transformá-las para que todas fiquem com mesma unidade e assim seja possível efetuar
o cálculo necessário.
Para transformar as medidas de comprimento de uma unidade em outra, usamos a
seguinte regra prática:
:10
:10
:10 :10 :10 :10
kg hg dag g dg cg mg
x10
x10
x10 x10
x10 x10
87
 Para transformar unidades maiores em unidades menores, multiplicamos por 10.
 Para transformar unidades menores em unidades maiores, dividimos por 10.
Exemplos de utilização das medidas de massa
 Três irmãos foram pesar-se. Um pesava 46 kg e 500g, outro pesava 58 kg e 800
g e o outro 72 kg.
O Alberto diz: - Peso menos do que o Márcio, mas peso mais do que o Willian.




Quem pesa 46 kg e 500 g?
Quem pesa 58 kg e 800 g?
Quem pesa 72 kg?
Que diferença de peso existe entre o menino mais pesado e o menos pesado?
Vamos solucionar o problema:
 O peso do meio é de Alberto = 58 kg e 800 g;
 Se Alberto pesa mais do que Willian, daí o peso de Willian é 46 kg e
500 g;
 Logo o peso maior é de Márcio = 72 kg;
 O mais pesado é Márcio e o menos pesado é Willian, então temos:
72 kg – 46 kg e 500 g = 72 000 g (Márcio) – 46 000 g + 500 g (Willian)
= 72 000 g – 46 500 g = 25 500 g = 25 kg e 500 g
 Para fazer uma receita, Lorena precisa de 1 kg de carne. Ao tirar o pacote de
carne da geladeira, vê que ele tem apenas 425 gramas. De quantos gramas de
carne ela ainda precisa para fazer a receita?
 1 kg – 425 g = 1 000 g – 425 g = 575 g.
Portanto, ela irá precisar de 575 g.
88
89
DO INSTANTÂNEO AO ETERNO
Fonte: www.osmais.com
As unidades de tempo vão do infinitesimalmente curto ao interminavelmente longo. As descrições que damos a seguir
procuram tirar um sentido desses intervalos.
[...] Décimo de segundo
O tempo que dura o piscar de olhos. O ouvido humano precisa desse período para separar um eco do som original.
Nesse tempo, a Voyager-1, uma nave não tripulada que se afasta do sistema solar, percorre cerca de dois quilômetros.
Um beija-flor bate as asas sete vezes. Um diapasão vibra quatro vezes.
Um segundo
Tempo aproximado da batida do coração de uma pessoa saudável. A Terra percorre 30 quilômetros em sua órbita em
torno do sol. O sol cobre 274 quilômetros em seu deslocamento na Galáxia. Esse tempo não chega para que a luz
refletida pela lua chegue a Terra (ela leva 1,3 segundo). [...]
Um minuto
O cérebro de uma criança recém-nascida aumenta entre um ou dois miligramas nesse espaço de tempo. O coração de
um camundongo bate mil vezes. Uma pessoa normal pode pronunciar 150 palavras ou ler 250 palavras. A luz do sol
chega a Terra em cerca de 8 minutos. Quando Marte está mais próximo da Terra, a luz solar refletida na superfície
chega a Terra em cerca de 4 minutos.
Uma hora
Células em reprodução precisam normalmente desse espaço de tempo para se dividirem em duas. O intervalo médio
entre as erupção do gêiser Old Faithful, no Parque Nacional de Yellowstone, nos Estados Unidos, é de 1 hora e 16
minutos. A luz vinda de plutão [...] chega a Terra em 5 horas e 20 minutos.
Um dia
Duração da rotação da Terra, talvez a unidade de tempo mais natural para um ser humano. A rotação da Terra está
diminuindo de forma constante, devido a ação da gravidade da Lua e outras influências. Atualmente dura 23 horas e
56 minutos e 4,1 segundos. O coração humano bate cerca de 100 mil vezes por dia. Nesse período, os pulmões
aspiram cerca de 14 mil litros de ar. Num dia, um bebê de baleia-azul aumenta seu peso em 90 quilos. [...
Fonte: Livro Projeto Radix, 6º ano. Ribeiro (2009), p.113
90
Desafio
Quanto tempo um trem de 1 km de comprimento leva para atravessar uma ponte de 1 km
de comprimento se andar 1 km por minuto?
91
Os alunos serão divididos em duplas, em que cada um vai pegar material diferente para fazer
as medições das alturas dos colegas escolhidos, preferencialmente os que têm alturas bem
diferentes. Depois de terem feito as medições, preenchem uma tabela, da atividade em anexo,
fazendo relações e discutindo em sala se é necessário uma unidade padrão para que haja maior
precisão nos resultados obtidos. Pode-se fazer essa prática também medindo as carteiras, a
sala, o quadro-negro e outras coisas mais.
Serão utilizados para essa atividade: * Barbantes de três medidas diferentes, caneta, corda,
grampo de roupa, canudos, régua; Xérox da tabela; * Tesoura e canetas coloridas.
Cada dupla de alunos peguem um material (barbante, corda, caneta, grampo de roupa, canudos
e régua), escolham quatro pessoas de alturas diferentes, tirem a medida e preenchem a seguinte
tabela:
NOME DA MEDIDA DE ALTURA
BARBANTE BARBANTE
GRANDE
PEQUENO
CANETA
CORDA
GRAMPO
RÉGUA
Responda as perguntas:
Das pessoas medidas, qual delas é a mais alta?
E qual é a mais baixa?
Qual dos recursos usados dá maior precisão? Por quê?
Somos todos iguais?
O que influencia o fato de uma pessoa ser mais baixa ou mais alta do que as outras?
92
7
VAMOS PENSAR UM POUCO...
 O que você entende por razão?
 O que você entende por algo proporcional?
 Em que momento a razão e a proporção se relacionam?
 Cite exemplos do seu dia a dia em que essa relação está presente.
“A matemática não é uma ciência, mas a ciência”.
93
PROPORÇÃO ÁUREA OU DIVINA PROPORÇÃO
Fonte: www.blogs.odiario.com
Muitos artistas ao longo da história apresentaram, em suas obras, estreitas relações com a
Matemática. Um exemplo disso pode ser verificado nas proporções utilizadas em diversas
pinturas esculturas.
Na obra Mona Lisa (imagem acima), de Leonardo Da Vinci, o artista fez uso da “proporção
áurea” ou “divina proporção”, como ficou conhecida. Isso significa que, se construirmos um
retângulo em torno do rosto da Mona Lisa, a divisão do comprimento pela largura resultará
em um valor próximo do número 1,6. Ao dividirmos esse retângulo por um segmento que
passa sobre os olhos, obteremos outro retângulo cuja razão entre comprimento e a largura
será novamente um valor próximo de 1,6. Esse número é uma aproximação de 1,61803...,
conhecido como “número de ouro”.
A proporção geométrica desta pintura é conhecida por ser visualmente equilibrada e
harmoniosa.
1 Construa um retângulo cuja razão do comprimento pela altura é um valor
próximo do número de ouro.
2 Cite em que outros lugares podemos encontrar a “divina proporção”.
Texto retirado do livro Projeto Radix, 7º ano. Ribeiro (2009), p.170
94
9 ENCONTRANDO AS PROPORÇÕES
-Definir razões e proporções
matematicamente;
-Identificar a aplicação desses
conceitos nas atividades do dia
a dia;
-Representar situações reais,
com razões e proporções.
Fonte: www. nadaaconteceporacaso.blogger.com.br
Quais as semelhanças e diferenças existentes entre os dois animais?
Para entender o significado e aplicação de uma proporção precisamos
primeiramente saber o que é uma razão.
Vejamos alguns exemplos:
Se você comparar o números de mãos com o números de dedos que você tem
acontecerá da seguinte maneira.
Fonte: www.garotosintelectuais.blogspot.com
Se temos uma mão para cinco dedos, então lemos: 1 para 5.
Se temos duas mãos e dez dedos, então lemos: 2 para 10.
Daí poderíamos ter 3 para 15, 4 para 20 e assim por diante.
Portanto, podemos fazer igualdades com essas razões:
95
Agora podemos definir o conceito de proporção.
PROPORÇÃO é uma igualdade entre duas ou mais razões e pode ser escrita também
1 : 5 = 2 : 10
Os números 1, 5, 2, 10 são os termos da proporção sendo que 1 e 10 são extremos e 5 e
2 são os meios.
1 : 5 = 2 : 10
meios
extremos
Para que duas razões formem de fato uma proporção o produto dos meios deve ser
igual ao produto dos extremos.
Exemplo:
Numa turma de 42 alunos há 18 homens e 24 mulheres.
A razão entre o número de homens e o número de mulheres é 18/24 = ¾. Ou seja, “a
cada 3 rapazes há 4 moças”.
Por outro lado, a razão entre o número de rapazes e o total de alunos é dada por 18/42 =
3/7, o que equivale a dizer que “de cada 7 alunos na classe, 3 são rapazes.”
10 REGRA DE TRÊS E GRANDEZAS DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS
Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contado. Exemplo: peso em g, preço em
R$, altura em m, distância em km, líquido em ml e outros.
96
Exemplo:
Fábio comprou um pedaço de queijo com 450g e pagou R$ 6,00. Quantos gramas desse
mesmo queijo ele consegue comprar com R$ 30,00?
Vejamos:
Quantidade (em g)
450
X
Temos:
=
Multiplicando em forma de x temos:
=
450 . 30 = 6 . x
13 500 = 6x
Valor pago (em R$)
6
30
Obs.: À medida que aumenta o
valor a pagar, a quantidade de
queijo
também
aumenta.
Conclui-se que, se um aumenta
e o outro também aumenta ou
se um diminui e o outro
também diminui, as grandezas
são diretamente proporcionais.
6x = 13 500
x = 2 250 g ou seja 2 kg e 250 g
Logo, com R$ 30,00 Fábio consegue comprar 2 kg e 250 g.
11 REGRA DE TRÊS E GRANDEZAS INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS
Exemplo:
Lorena tem uma fábrica de short. Com 4 funcionários trabalhando em uma encomenda,
é possível terminá-la em 25 dias. Se Lorena contratasse mais 6 funcionários, mantendo
o mesmo ritmo de trabalho, eles terminariam essa encomenda em quantos dias?
97
Vejamos:
Quantidade (de funcionários)
4
6
Temos:
=
Como as grandezas são inversamente proporcionais,
deve-se escolher uma das duas frações e invertê-la.
Lembre-se, inverter apenas UMA.
Invertendo a primeira fração temos:
=
Multiplicando em forma de x temos:
=
6 . x = 4 . 25
Tempo (em dias)
25
X
Obs.: À medida que aumenta a
quantidade de funcionários, a
quantidade de dias diminui, pois
mais funcionários terminam a
encomenda mais rápido.
Conclui-se
que,
se
um
aumenta e o outro diminui, ou
se um diminui e o outro
aumenta, as grandezas são
inversamente proporcionais.
6x = 100
6x = 100
x = 16,6666666...., aproximadamente 16,7, ou seja 16 dias e 7 horas.
Logo, com 6 funcionários a encomenda ficará pronta em 16 dias e 7h.
98
99
MAPAS
Fonte: www.destino-alternativo.blogspot.com
O mapa é uma representação gráfica, em uma superfície plana, referente a um espaço real. Utilizando o
mapa adequado, podemos conhecer a localização de qualquer lugar na superfície do nosso planeta.
Na confecção de um mapa, é utilizada uma escala de redução de modo que as medidas do espaço real
fiquem reduzidas proporcionalmente. Essa escala indica quantas vezes a representação gráfica é menor
que o espaço real representando o mapa.
O conjunto das técnicas e métodos desenvolvidos para a elaboração de um mapa é chamado cartografia.
Devido aos avanços tecnológicos, a cartografia alcançou alta precisão.
As informações utilizadas na elaboração de mapas são obtidas por meio de imagens de satélites e
fotografias aéreas.
Fonte: Livro Projeto Radix, 7º ano. Ribeiro (2009), p.186
100
Desafio
Dona Elbênia lava roupa para fora. Ela cobra R$ 16,30 a dúzia. Numa semana ela lavou 11
dúzias. Quanto ela ganhou nessa semana? Mantendo essa média, quanto ela ganhará em 8
meses.
Em equipe, os alunos deverão montar em 20 min 04 situações que contenham o uso das
grandezas diretamente e inversamente proporcionais e depois encená-las para toda a turma.
As situações deverão acontecer em:




Uma feira livre;
Um show;
Uma praia;
Um restaurante.
Ao final das apresentações a turma inteira discutirá todo o processo desde a elaboração da
atividade até a apresentação, expondo os pontos positivos, negativos e as dificuldades
encontradas.
101
8
VAMOS PENSAR UM POUCO...
 Você sabia que a matemática financeira está presente em nossas vidas
diariamente?
 Descreva situações em que sempre utilizamos matemática financeira.
 Você saberia dizer como a matemática financeira influencia positiva ou
negativamente as nossas vidas?
“Os números são o degrau mais alto do conhecimento,
são o conhecimento em si.”
102
PORCENTAGEM
Fonte: www.einstein.br
É comum ouvirmos que gordura faz mal, e que é uma vilã para nossa saúde. No entanto,
essas afirmações não são totalmente verdadeiras. A gordura constitui uma fonte de
energia essencial para nosso corpo e, além disso, cumpre funções importantes para o
organismo, como manter a temperatura corporal, proteger os órgãos contra lesões e
ajudar na absorção de algumas vitaminas.
A taxa de gordura no corpo está relacionada a diversos fatores, como alimentação,
genética, prática de exercícios físicos, idade e sexo. Nas mulheres, por exemplo, com
idade entre 18 e 25 anos, a média do percentual de gordura em relação a sua massa deve
variar entre 23% a 25%, enquanto que, nos homens com mesma idade, de 14% a 16%.
Taxas de gordura muito acima ou abaixo da ideal para cada pessoa podem causar
problemas de saúde. Por isso, é importante buscar uma alimentação balanceada e a
prática regular de atividades físicas.
Texto retirado do livro Projeto Radix, 7º ano. Ribeiro (2009), p.187
1 Cite alguns alimentos que você acredita serem ricos em gordura. Você tem
hábitos de consumir esses alimentos? Com que frequência?
2 Você e sua família tem hábito de praticar atividades físicas?
103
12 REGRA DE SOCIEDADE
Você sabe o que é regra de sociedade?
- Mobilizar os alunos a utilizarem
os conteúdos abordados para
solucionar problemas cotidianos
voltados
para
questão
financeira;
- Compreender maneiras de
economizar gastos;
- Mostrar como acontecem as
taxas e preenchimento de nota
fiscal.
Fonte: www.maevedux.com.br
Talvez você já tenha ouvido falar que alguma empresa é administrada por
uma sociedade ou já ouviu alguém dizer que vai fazer uma sociedade?
Mas, o que é SOCIEDADE na matemática?
A regra de sociedade está diretamente ligada aos investimentos e aos
lucros que cada pessoa investe em uma determinada sociedade. Ou seja, a pessoa que
investe em uma determinada empresa deve receber o lucro ou prejuízo proporcional ao
seu investimento.
Exemplo:
Três amigos resolvem abrir um loja de lingerie. Para isso, eles precisaram de R$ 60 000.
Cada um deles teve que investir conforme suas condições. Ricardo entrou com R$ 10
000, Lucas contribuiu com R$ 20 000 e Mariane com R$ 30 000. Ao longo de um ano
eles obtiveram um lucro de R$ 600 000 que deve ser distribuído proporcionalmente ao
investimento de cada sócio.
 Quanto cada sócio irá receber desse lucro?
Para solucionar esse problema devemos nos atentar a algumas observações:
Vamos solucionar o problema:

Achando a razão:
104

Achando o lucro de cada investidor:
=
Ricardo:
Multiplicando em forma de x teremos: 1 . R = 10 000 . 10
R = 100 000
Portanto Ricardo receberá R$ 100 000.
=
Lucas:
1 . L = 20 000 . 10
L = 200 000
Portanto Lucas receberá R$ 200 000.
=
Mariane:
1 . M = 30 000 . 10
L = 300 000
Portanto Mariane receberá R$ 300 000.
13 PORCENTAGEM
Porcentagem é uma fração cujo denominador será sempre igual a 100.
O próprio nome já mostra, por cem.
O símbolo que representamos a porcentagem é % e é lido como
“por cento”.
Como calcular porcentagem de algum valor?
Vejamos:
Exemplo 01:
Fonte: www.feranoexcel.com
Um determinado posto de gasolina da capital sergipana Aracaju, vendia
105
álcool por R$ 2,29 L e sofreu um reajuste de 12 %. Quanto passou a custar
o litro desse álcool?
12% =
Então teremos
de 2,29 daí surge
.
=
= 0,2748
Ou seja, o álcool sofrerá um aumento de R$ 0,2748 e passará a custar R$ 2,5648.
Outro caso de cálculo de porcentagem:
Exemplo 02:
Em uma vitrine de uma loja de roupas havia um cartaz informando uma promoção em
uma calça.
PROMOÇÃO
De: R$ 120,00
Por: R$ 85,00
Qual foi o desconto em porcentagem que essa loja deu sobre o produto?
Valor (em R$)
120
35 (desconto em reais)
Porcentagem (%)
100%
x
Temos:
multiplicando em forma de x ficará 120 . x = 35 . 100
120x = 3 500
106
x=
x = 29, 166666... ou 29,17
Conclui-se então que a calça teve um desconto de 29,17%.
14 LUCRO E PREJUÍZO
Fonte: www.convictosoualienados.blogspot.com
É comum que ao trabalhar com matemática financeira nos depararemos com LUCRO e
PREJUÍZO.
De fato o que se entende por lucro é o ganho que se obtém na venda de um produto e
prejuízo é exatamente a perda na venda de um produto, ou seja,
 Lucro (L) = Preço de venda (V) – Preço de custo (C)
 Prejuízo (P) = Preço de custo (C) – Preço de venda (V)
Exemplo:
Imagine que um produto custou R$ 50,00 para ser produzido, e depois ele é vendido
por R$ 75,00. Houve aí um lucro ou prejuízo? De quanto?
Vejamos:
Houve lucro, pois foi vendido por um preço maior do que o preço de custo.
L = 75 – 50 = 25, ou seja, houve um lucro de R$ 25,00
107
15 DESCONTO E ACRÉSCIMO
 O desconto é algo que significa a retirada de um percentual.
Exemplo:
Um restaurante está oferecendo um desconto de 10% no pagamento à vista e a conta de
um cliente teve o saldo de R$ 23,00. Então, ele vai pagar R$ 23,00 – 10% desse valor.
 O acréscimo podemos entender como algo que soma, ou seja, a soma de um
percentual.
Exemplo:
Em uma loja de lingerie, se o cliente leva peças à prazo ele pagará um acrescimento de
12%. Um cliente fez uma compra à prazo no valor de R$ 83, 50, então ele pagará R$
83,50 + 12% desse valor.
16 JUROS SIMPLES
Entendemos por juros a ideia de um rendimento em uma aplicação financeira como
também um valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação. Hoje em dia, o
sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por que se torna mais viável em
relação ao lucro. Os juros simples são mais utilizados nas situações de curto prazo.
Veremos como se dá o processo dos juros simples:
Temos como fórmula base
.
J = juros (em R$)
C = capital (em R$)
I = taxa percentual (%)
T = tempo
108
Obs.: A taxa percentual e o tempo precisam estar iguais, ou seja, na mesma unidade de
tempo.
Ex: dia, mês, ano e outros.
Exemplo:
Joana fez uma aplicação em sua poupança de R$ 1 500,00 e recebeu 4% de juro ao mês
à taxa de juros simples. Qual o montante recebido ao final de 02 bimestres?
Resolvendo o problema:
J=?
C = 1 500
I = 4 % ao mês
T = 02 bimestres = 04 meses
Fonte: www.economia.culturamix.com
Logo, o valor aplicado rende R$ 240,00 ao final dos 04 meses.
 Cálculo do montante:
M=c+j
M = montante
C = capital
J = juros
109
M=c+j
M = 1 500 + 240
M = 1 740
Portanto, ao final dos 04 meses ela terá um total de R$ 1 740,00.
17 APLICAÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
Fonte: www.lollaredcat.blogspot.com
17.1 Contracheque
110
Entendam quais são os principais créditos e os descontos feitos todos os meses no
seu salário
Uns gostam de chamar de demonstrativo de resultados da pessoa física,
outros de prestação de contas da empresa ao trabalhador assalariado, mas todos
concordam que o contracheque é um documento que deve ser acompanhado com
atenção e muito bem entendido. "O funcionário e a empresa fecham um contrato de
trabalho por um determinado valor, mas quase sempre a quantia recebida é menor ou
maior e é o contracheque que explica o porquê", diz Luiz Fernando Nóbrega, vicepresidente de administração e finanças do Sindicato dos Contabilistas de São Paulo.
Além da função de informar os detalhes das receitas recebidas no mês e das
despesas, é um documento comprobatório oficial de renda e de vínculo empregatício. O
documento deve ser disponibilizado pela empresa, no máximo, até o dia do pagamento.
COMPOSIÇÃO
CABEÇALHO – APRESENTA OS DADOS RELEVANTES DO PROFISSIONAL,
COMO NOME COMPLETO, CARGO, DATA DE ADMISSÃO E, EM ALGUNS
CASOS, NÚMEROS DO PIS/PASEP E DA CARTEIRA DE TRABALHO. DEVE
INFORMAR A QUE PERÍODO SE REFERE O PAGAMENTO DO FUNCIONÁRIO.
CORPO DO HOLERITE – MOSTRA, EM CINCO COLUNAS, O NÚMERO DE
DIAS TRABALHADOS, VALORES A RECEBER, O TOTAL DE HORAS EXTRAS
E DESCONTOS DECORRENTES DE IMPOSTOS.
RODAPÉ – MOSTRA OS VALORES DO SALÁRIO BASE, MONTANTE PARA
CALCULAR A CONTRIBUIÇÃO AO INSTITUTO NACIONAL DO SEGURO
SOCIAL (INSS), BASE PARA O FUNDO DE GARANTIA DO TEMPO DE
SERVIÇO (FGTS) E PARA O IMPOSTO DE RENDA (IR).
VENCIMENTOS
Salário contratual: É o salário acertado no contrato com a empresa, livre de
111
vencimentos adicionais e descontos previstos em lei ou convenção trabalhista da
categoria. É proporcional aos dias trabalhados no mês.
Horas extras – O valor é composto pelo montante da hora normal de trabalho acrescido
de um percentual (muitas vezes chega a 100%) definido pelo acordo coletivo da
categoria. É acrescentada à hora extra uma parcela atrelada ao valor do Desconto
Semanal Remunerado (DSR), calculada pela fórmula: valor das horas extras a receber
dividido pelo número de dias úteis do mês (incluído o sábado) e multiplicado pelo
número de domingos e feriados.
Comissões, bônus, gratificações – Remunerações adicionais, geralmente atreladas a
um desempenho ou a uma meta. Bônus e gratificações podem ser esporádicos e, às
vezes, são surpresas ao funcionário.
Ajuda de custo – Valor pago a título de indenização, com a finalidade de ressarcir
despesas do empregado em decorrência da natureza do trabalho desenvolvido. É o caso,
por exemplo, de uma verba destinada a cobrir gastos com o uso de transporte próprio.
Adicional noturno – Se o trabalho é realizado a noite, em horário compreendido entre
22 horas de um dia e 5 horas do dia seguinte, o servidor tem direito de receber uma
compensação,
tanto
em
horas
como
em
salário,
pelo
seu
trabalho.
Hora noturna: a hora normal tem a duração de 60 minutos e a hora noturna, por
disposição legal, é computada como sendo de 52 minutos e 30 segundos. Assim sendo,
considerando o horário das 22h às 5h da manhã, temos 7 horas-relógio que
correspondem a 8 horas de trabalho noturno. Valor da hora trabalhada: acréscimo
(chamado adicional noturno) de 50% sobre as horas trabalhadas.
Adicional de insalubridade – Insalubridade em termos laborais significa "o ambiente
de trabalho hostil à saúde, pela presença de agente agressivos ao organismo do
trabalhador, acima dos limites de tolerância permitidos pelas normas técnicas. "Serão
consideradas atividades ou operações insalubres aquelas que, por sua natureza,
condições ou métodos de trabalho, exponham os empregados a agentes nocivos à saúde,
acima dos limites de tolerância fixados em razão da natureza e da intensidade do agente
e o tempo de exposição aos seus efeitos". A Norma Regulamentadora NR-15 da Portaria
nº 3214, de 08 de junho de 1978. do Ministério do Trabalho, estabelecer os agentes
112
nocivos, bem como os critérios qualificados e quantitativos para caracterização das
condições de insalubridade.
Ruído Contínuo e Intermitente; Ruído de Impacto; Calor; Iluminação *; Radiações
Ionizantes; Trabalho
sob Condições Hiperbáricas; Radiações Não-Ionizantes;
Vibrações; Frio; Umidade; Gases e Vapores; Poeira Minerais; Agentes Químicos;
Agentes Biológicos.
O Exercício do Trabalhador em condições de insalubridade assegura ao trabalhador a
percepção de adicional incidente, sobre o salário mínimo da região, de acordo com o
grau da insalubridade do agente nocivo, conforme dispõe o item 15.2 da NR-15 Portaria 3214/78:

Grau Máximo: 40%

Grau Médio: 20%

Grau Mínimo: 10%
Adicional de periculosidade – O adicional de periculosidade é um valor devido ao
empregado exposto as atividades periculosas, conforme algumas condições préestabelecidas pelo Ministério do Trabalho. São periculosas as atividades ou operações,
onde a natureza ou os seus métodos de trabalhos configure um contato com substâncias
inflamáveis ou explosivos, substâncias radioativas, ou radiação ionizante, ou energia
elétrica, em condição de risco acentuado. A periculosidade é caracterizada por perícia a
cargo de Engenheiro do Trabalho ou Médico do Trabalho, registrados no Ministério do
Trabalho (MTE). O valor do adicional de periculosidade será o salário do empregado
acrescido de 30%, sem os acréscimos resultantes de gratificações, prêmios ou
participações nos lucros da empresa. Tem direito a este adicional trabalhador nas
instalações elétricas e radiação ionizante e substâncias radioativas.
DESCONTOS
Adiantamento – É o pagamento antecipado de parte do salário base. O mais comum é
que seja feito nos dias 15 ou 20 do mês e o percentual corresponde a 40% ou 50% do
valor bruto do salário base.
113
Contribuição sindical – É descontada só uma vez por ano e está prevista na legislação
federal pela Consolidação das Leis do Trabalho (CLT). Trata-se do valor
correspondente a um dia de salário (3,33% do valor do salário bruto), que é entregue ao
sindicato da categoria ao qual o profissional está vinculado. É descontado mesmo
daqueles que não são sindicalizados.
Convênio médico – Desconto de uma parcela ou valor integral da mensalidade do
convênio. Há empresas que mudam a política de acordo com as faixas salariais ou a
categoria do plano que o empregado adere.
Alimentação – Há empresas que entregam ao funcionário vale-refeição correspondente
aos dias úteis do mês e descontam somente uma parte do valor total dos tíquetes do
salário. Outras possuem refeitórios com preços subsidiados de acordo com a faixa
salarial e o pagamento é feito somente ao final do mês, por meio do desconto no salário
indicado no holerite.
Vale-transporte – O desconto máximo é de 6% do valor do salário. Se o valor do
transporte for menor ou igual a 6% do salário do funcionário, o desconto é integral. Se
for superior a 6% do salário, a empresa arca com o restante da despesa.
Previdência privada – O funcionário pode optar por participar ou não do plano de
previdência privada. Na maioria dos casos, ele contribui com uma parcela, acordada no
momento da adesão, e a empresa paga outra parte equivalente. A parcela da empresa
não aparece no holerite, que mostra somente a contribuição do empregado.
Imposto de Renda – Corresponde a um percentual da remuneração líquida, que é o
valor efetivamente recebido pelo trabalhador menos a contribuição para o INSS e um
valor fixo para cada dependente. Atualmente são isentos de IR os trabalhadores com
remuneração líquida de até 1 637,11 reais ao mês.
De 1 637,12 até 2 453,50 = 7,5% = R$ 122,78
De 2 453,51 até 3 271,38 = 15% = R$ 306,80
De 3 271,39 até 4 087,65 = 22,5% = R$ 552,15
Acima de 4 087,65 = 27,5% = R$ 756,53
INSS – A alíquota varia de 8% a 11% de acordo com o valor do salário. Pagam 8%
aqueles com salário até 1 174,86 reais. Para quem está na faixa de 1 174,87 a 1 958,10
reais, a taxa é de 9%. Os que ganham de 1 958,11 a 3 916,20 reais pagam 11%. Para
114
salários iguais ou superiores a 3 916,21 reais a contribuição é fixa de 430,78 reais, no
momento.
Fundo de Garantia do Tempo de Serviço (FGTS) – O desconto é equivalente a 8%
do total de rendimentos, e não ao salário.
PIS/PASEP - É um benefício pago anualmente ao trabalhador que se adeque ao
programa no valor do salário mínimo atual no momento do pagamento do abono salário
como é conhecido também. Para receber o seu PIS o trabalhador precisa se encaixar no
perfil estabelecido pelo programa: Ter mais de cinco anos cadastrados no PIS; Ter
trabalhado pelo menos trinta dias no ano anterior ao do pagamento; Ter recebido em
médio até dois salários mínimos no ano;
Fonte: Ana Brandão ([email protected])
17.2 Orçamento familiar
Fonte: www.arrazze.com.br
Segundo Benigno Ares, economista , orçamento familiar não é apenas "Anotar as
despesas realizadas". O orçamento envolve: planejar, eleger prioridades, controlar seu
fluxo de caixa. O orçamento irá ajudá-lo a entender seus hábitos de consumo.
A elaboração do orçamento familiar não é uma tarefa fácil, porém, é necessária para
quem tem planos para o seu futuro e o de sua família.
115
Estabelecer objetivos comuns e conversar francamente sobre as finanças com a família é
o caminho para que cada um esteja comprometido e faça sua parte. É a forma de
garantir a estabilidade das finanças no presente, visando prevenir o futuro.
Planilha de orçamento familiar mensal
Mês
Receitas
Salários
Aluguel
Receitas extraordinárias
Outros
Receita total
Despesas
Moradia
Aluguel
Condomínio
Prestação da casa
Conta de luz
Conta de água
Gás
Impostos
Telefone
Consertos/manutenção
Outros
Alimentação
Supermercado
Feira/sacolão
Outros
Transporte
Prestação do carro
Seguro
Combustível
Estacionamentos
Impostos
Ônibus/metrô/trem
Outros
Saúde
Plano de saúde
Médicos/dentistas
Farmácia
Outros
Educação
Prevista
(R$)
Recebida
(R$)
Prevista
(R$)
Gasto (R$)
116
Mensalidades escolares
Cursos extras idiomas/computação
Vestuário
Outros
Lazer/informação
Academia
Jornais/revistas
TV por assinatura
Internet
Programas culturais
Outros
Outros gastos
Reserva para gastos
futuros
Impostos
Escola
Viagem
Outros
Despesa total
Investimentos
Resultado do mês
Saldo no mês
17.3 Nota fiscal
Para facilitar a emissão de Notas Fiscais de Serviços, apresentamos abaixo roteiro
básico de preenchimento dos diversos campos que compõe os modelos padrão de notas
de serviços.
1 – Tomador do Serviço
Deve ser preenchido com o nome do tomador do serviço, se pessoa física, ou com a
razão social, se pessoa jurídica.
2 - Endereço
Deve ser informado além da rua ou avenida, o complemento, como nº. do
estabelecimento, Bairro ou Distrito.
3 - Cidade
Informar a cidade do tomador do serviço.
117
4 - Estado
Informar o estado do tomador do serviço.
5 - CNPJ/CPF
Preencher corretamente com o número do CNPJ, se pessoa jurídica, ou com o número
do CPF, se pessoa física.
6 - Inscrição Municipal
Deverá ser informado neste campo o número da Inscrição Municipal do Tomador do
Serviço.
7 - Data de Emissão
Preencher com o DIA, MÊS e ANO correspondentes à emissão da nota fiscal.
8 - Quantidade
Se o serviço for prestado usando-se como forma de medição a quantidade, este campo
de deverá ser utilizado para informar a quantidade do serviço prestado.
9 - Unidade
Habitualmente este campo não é preenchido, já que em casos de serviços que são
calculados por hora, este dado vem especificado no próximo campo “Discriminação do
Serviço”, porém, em caso de necessidade deve ser informada a unidade de medida
(horas, metros, quilômetros, etc.).
10 - Descrição dos Serviços
Quadro destinado à descrição do serviço, permitindo uma perfeita identificação do
mesmo, sempre de acordo com o Contrato firmado entre prestador e Tomador dos
serviços. (Veja ainda observação no final desta orientação).
11 - Preço Unitário
Deverá ser informado o preço de venda unitário do serviço, caso haja esta condição.
12 - Total
Deverá ser informado o valor total, ou seja, o valor unitário multiplicado pela
quantidade.
13 - Valor Total dos Serviços
Será preenchido com a soma de todos os totais dos serviços prestados.
14 - Retenção de ISS na Fonte
118
Vários serviços estão sujeitos ao ISS na Fonte, cabendo ao tomador do serviço a
retenção e recolhimento do valor devido. Para preenchimento deste campo é necessário
consultar a legislação vigente, além do Contrato de Prestação de Serviços onde deverá
constar expressamente a obrigatoriedade ou não da referida retenção.
15 - Outras Retenções
Deverá ser informado neste campo o somatório das outras retenções que o serviço está
sujeito, tais como IRRF (1,0% ou 1,5%), PIS/COFINS/CSLL (4,65%), Cauções,
IRPJ/CSLL/PIS/COFINS no caso de Órgão Público, etc.
Caso haja retenção do INSS, o valor do mesmo deverá ser informado no corpo da nota
fiscal, abaixo da Descrição dos Serviços.
16 - Valor a Pagar I – (II + III)
Deverá ser informado o valor líquido da Nota Fiscal de Serviço.
Observação:
- Devem ser observadas as legislações que tratam destas retenções (RIR/99 / Lei
10.833/2003, art. 30 / Lei 9.430/96, art. 64 / Lei 10.833/2003, art. 34 / Instrução
Normativa nº. 03 INSS / Códigos Tributários Municipais),
Importante:
Ao emitir a Nota Fiscal deve-se
antes de tudo, acessar o
site www.sintegra.gov.br e
verificar a situação cadastral do
cliente junto a Receita
Estadual. Caso o mesmo esteja
em situação irregular, a
operação não poderá ser
realizada.
Texto retirado do site: http://www.sitecontabil.com.br/consultas/emissao-servicos.html
Segundo a Lei 10.833 de 2003 e suas respectivas alíquotas, foram os seguintes :
CSLL - Contribuição Social sobre o Lucro Líquido 1,00%
COFINS - Contribuição para o Financiamento da Seguridade Social 3,00%
PIS - Contribuição para o Programa de Integração Social 0,65%
119
ISS – 5%
INSS – 11%
TOTAL - 4,65%
Com relação ao Imposto de Renda na Fonte, as empresas deverão observar a alíquota
correspondente, discriminada no Decreto nº 3000/1999, que deverá ser:
Um e meio por cento - 1,5%, nas seguintes atividades:
1. administração de bens ou negócios em geral (exceto consórcios ou fundos mútuos
para aquisição de bens);
2. advocacia;
3. análise clínica laboratorial;
4. análises técnicas;
5. arquitetura;
6. assessoria e consultoria técnica (exceto o serviço de assistência técnica prestado a
terceiros e concernente a ramo de indústria ou comércio explorado pelo prestador do
serviço);
7. assistência social;
8. auditoria;
9. avaliação e perícia;
10. biologia e biomedicina;
11. cálculo em geral;
12. consultoria;
13. contabilidade;
14. desenho técnico;
15. economia;
16. elaboração de projetos;
17. engenharia (exceto construção de estradas, pontes, prédios e obras assemelhadas);
18. ensino e treinamento;
120
19. estatística;
20. fisioterapia;
21. fonoaudiologia;
22. geologia;
23. leilão;
24. medicina (exceto a prestada por ambulatório, banco de sangue, casa de saúde, casa
de recuperação ou repouso sob orientação médica, hospital e pronto-socorro);
25. nutricionismo e dietética;
26. odontologia;
27. organização de feiras de amostras, congressos, seminários, simpósios e congêneres;
28. pesquisa em geral;
29. planejamento;
30. programação;
31. prótese;
32. psicologia e psicanálise;
33. química;
34. radiologia e radioterapia;
35. relações públicas;
36. serviço de despachante;
37. terapêutica ocupacional;
38. tradução ou interpretação comercial;
39. urbanismo;
40. veterinária.
Um por cento - 1,0%, nas atividades de :
1. limpeza;
2. conservação;
121
3. segurança;
4. vigilância;
5. locação de Mão-de-Obra.
Modelo de nota fiscal:
122
COMPRAR A PRAZO
Fonte: www.clicapicos.com
Nos dias atuais, muitas pessoas são seduzidas por anúncios de promoções vinculadas pelas lojas,
em geral, em encartes de jornais, na TV e na internet. Essas promoções propõem prazos
facilitados e ausência de juros, ou seja, você poderá saldar sua divida em prazo prolongado, sem
precisar pagar a mais por isso.
Apesar da sedutora proposta, é preciso tomar cuidado, pois, em muitos casos, na compra a prazo
você pode estar pagando muito mais pelo produto, acrescido de juros e outros custos adicionais;
dentre eles, o custo da inadimplência.
Algumas consumidoras acabaram não saldando suas prestações, e aquele que compra a prazo terá
que pagar por esses maus pagadores – geralmente de 3% a 8% não terminam de pagar suas
dívidas e os bons pagadores acabam arcando com o custo no preço final pago por todos. Sem
contar com os devedores que pagam suas prestações atrasadas, ocasionando outros custos:
cobradores, advogados, cartas de aviso, entre outros. Quem paga novamente estes custos são os
bom pagadores.
Se todo mês é depositada uma quantia igual ao valor de cada prestação numa aplicação de renda
fixa, depois de 18 meses pode-se obter até 100% de rendimento, de acordo com as taxas de juros
no momento.
Assim, economizando e comprando à vista é possível ficar livre de uma série de despesas,
evitando pagar vários custos adicionais, além dos juros obtendo-se muitas vezes desconto na
compra do produto.
Fonte: Livro Projeto Radix, 9º ano. Ribeiro (2009), p.248
123
Desafio
Tiago comprou uma televisão em 10 parcelas, sem entrada, de R$ 116,16, a uma taxa de
juros simples a 2% ao mês. Quanto Tiago pagaria por essa televisão se ele comprasse à
vista?
A turma será dividida em equipes que deverão criar uma empresa com sócios, onde instituirão
a regra de sociedade na divisão do lucro ou do prejuízo, e um produto inovador para o
mercado. Em seguida confeccionarão uma tabela com os custos informando o lucro, esta, deve
conter os preços dos artigos utilizados para a composição dos produtos, bem como o preço de
venda com base nas despesas. Para que não haja prejuízo, também será preciso fazer uma
margem de perda do produto e de promoção.
Ao final, deve-se analisar se a empresa obteve lucro ou prejuízo e de quanto foi em dinheiro e
em percentual. A atividade será finalizada com a exposição dos resultados para toda a turma.
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Bibliografia
RIBEIRO, Jackson da Silva. Projeto Radix: Matemática, 6º ao 9º ano. São Paulo:
Scipione, 2009.
Autores
Erivanaldo Florêncio Xavier da Costa
Halina França da Cruz
Romário Nunes Lima
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