Volume por Fatiamento e Rotaç˜ao em torno de um Eixo

Volume por Fatiamento e Rotação em torno de um
Eixo
Luiza Amalia Pinto Cantão
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
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Volume por Fatiamento
Objetivo: Determinar o volume de um sólido usando fatiamento: a
secção transversal do sólido em cada ponto x no intervalo [a, b] é
uma região R(x) cuja área será A(x).
Volume por fatiamento: Idéia e Definição
Idéia: Se A(x) for uma função contı́nua de x, podemos usá-la para calcular o volume do sólido.
Procedimento:
• dividir o intervalo [a, b] em subintervalos de comprimento ∆x;
• fatiar o sólido em cada ponto determinado pelos subintervalos;
• cada fatia cilı́ndrica tem volume aproximado de:
Vk = área da base × altura = A(xk ) × ∆x
• o volume total será: VSol. ∼
=
n
X
A(xk ) · ∆x
k=1
Tomando n → ∞, temos:
Definição: O volume de um sólido compreendido entre os planos x = a
e x = b, cuja área da secção transversal por x é dada por A(x):
Z b
V =
A(x) dx
a
Volume por fatiamento: Exemplo
Exemplo (1): Determine o volume do sólido que situa-se entre os planos
perpendiculares ao eixo x em x = 0, e x = 4. As secções transversais
perpendiculares ao eixo x são discos circulares cujas diagonais vão da
parábola y = x2 à parábola y = 2 − x2.
Volume por fatiamento: Exemplo (2)
Teorema de Cavalieri: Sólidos com mesma altura e com área de
secções transversais iguais em cada altura têm o mesmo volume.
Exemplo (2): Uma cunha curva foi obtida por meio do corte de um
cilindro de raio 3 por dois planos. Um deles é perpendicular ao eixo
do cilindro. O segundo cruza o primeiro formando um ângulo de 45◦
no centro do cilindro. Determine o volume da cunha.
Sólidos de Revolução
Conceito: São obtidos pela revolução de curvas planas em torno de um
eixo. Neste caso, A(x) será uma circunferência:
2
A(x) = π (R(x))
√
Exemplo (3): Girando a curva y = x, com x ∈ [0, 4], em torno do
eixo-x, temos:
Sólidos de Revolução – Em torno da reta y
Exemplo (4): Determine o volume do sólido obtido com
√ a rotação, em
torno da reta y = 1 da região limitada por y = x e pelas retas
y = 1 e x = 4.
Sólidos de Revolução – Em torno do eixo y
Exemplo (5): Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em
torno do eixo y, da região compreendida entre o eixo y e a curva
2
x = , 1 ≤ y ≤ 4.
y
Sólidos de Revolução – Eixo vertical
Exemplo (6): Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em
torno da reta x = 3, da região compreendida entre a parábola x =
y 2 + 1 e a reta x = 3.
Sólidos de Revolução – Secções Transversais em
Forma de Arruela (em torno do eixo x)
Idéia: Rotação de uma região limitada entre duas curvas: R(x) – raio
externos e r(x) – raio interno. Assim:
2
2
2
2
A(x) = π [R(x)] − π [r(x)] = π [R(x)] − [r(x)]
Exemplo (7): A região limitada pela curva y = x2 + 1 e pela reta
y = −x + 3 gira em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine
o volume do sólido.
Sólidos de Revolução – Secções Transversais em
Forma de Arruela (em torno do eixo x)
Sólidos de Revolução – Secções Transversais em
Forma de Arruela (em torno do eixo y)
Exemplo (8): A região compreendida entre a parábola y = x2 e pela
reta y = 2x no primeiro quadrante gira em torno do eixo y para gerar
um sólido. Determine o volume do sólido.
Exercı́cios Propostos
Thomas: Páginas 405 à 410, exercı́cios de 1 à 58.