Estudando Funções com Auxílio do Software Graphmática

Transcrição

DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO/GERÊNCIA DE PESQUISA
PROJETO: TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE
MATEMÁTICA
Gilmara Teixeira Barcelos
Silvia Cristina Freitas Batista
Campos dos Goytacazes
2006
2
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO/GERÊNCIA DE PESQUISA
PROJETO: TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO NO PROCESSO DE ENSINO E
APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA
Software Graphmática
\.
(Graphmática não é um programa gratuito, mas seus responsáveis disponibilizam uma versão
avaliativa, totalmente funcional. Em http://www107.pair.com/cammsoft/graphmatica.html é possível
obter diversas informações sobre esse software, assim como fazer o download do mesmo.)
1ª Parte – Conhecendo o Graphmática
Esta parte da apostila contém informações, extraídas do ajuda do próprio software
(versão 2003 p).
Todas as ações podem ser feitas a partir do Menu, o qual possui sub-menus.
Menu
Porém, através da Barra de botões é possível realizar os comandos mais comuns de
forma mais rápida.
Barra de botões
A Caixa da Lista de Funções tem duas funções: aceitar a entrada de novas
equações e recuperar equações da Lista.
Caixa da Lista de funções
Para solicitar o gráfico de uma equação, deve-se digitar a fórmula no campo de edição
da Caixa da Lista de Funções e clicar em Enter ou em
. Para recuperar uma equação
já introduzida, clique na setinha no canto direito da Caixa da Lista de Funções e selecione
a equação.
No rodapé da janela principal existe a linha de informação, que mostra mensagens
de ajuda dos menus, o resultado da última ação realizada pelo programa, etc.
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• Operadores
Operador
Significado
+
adição
-
subtração
*
multiplicação
/
divisão
^
exponenciação
( ) ou [ ]
o programa não faz distinção entre colchetes e parênteses. Usa-se
um ou outro de forma equivalente.
; (ponto e vírgula)
‘ ' (aspas simples)
{m, n}
separa as partes independentes de uma equação paramétrica.
o que for digitado entre as aspas simples fica como comentário,
não fazendo parte da equação.
especifica o domínio, m é o início do domínio e n é o fim. É
possível colocar somente um deles, mas deve-se manter as
chaves e a vírgula.
• Funções
Abaixo listamos algumas funções do Graphmática e sua correspondência com as
funções matemáticas. A listagem completa das funções pode ser encontrada no ajuda
do software.
Funções
abs
valor absoluto
sec
secante
ln
log
logaritmo de base e
logaritmo de base 10
sin
seno
cos
cosseno
tan
tangente
cot
cotangente
csc
cossecante
exp ou e^x
sqrt
int
potência na base e
raiz quadrada
o maior número inteiro
• Variáveis
Abaixo apresentamos algumas variáveis e suas respectivas utilizações. A
listagem completa de variáveis pode ser encontrada no ajuda do software.
Variáveis
Utilização
x, y
coordenadas retangulares
r, t
r e θ nas coordenadas polares
x, y, t
a, b, c
x e y como funções de t nas funções paramétricas
variáveis livres parametrizáveis
• Constantes
Constante
Valor ou Propósito
e
Número de Nepper = 2.718...
pi (ou p)
p = 3.14159...
4
• Gráficos de Famílias de Funções
Podemos especificar para a variável livre parametrizável “a” uma gama de
possíveis valores. Isto permite desenhar o gráfico de famílias de funções. Por exemplo,
y = a*cos(x) desenha o gráfico da função cosseno com várias amplitudes; x^2+y^2 = a
desenha uma classe de curvas de superfície f(x,y) = x^2+y^2.
O Graphmática acrescenta às equações valores para o “a”. Estes valores
pertencem ao intervalo especificado no Painel de Variáveis (menu VER). O primeiro
valor no Painel de Variáveis é para o início do intervalo, o segundo, para o fim do
intervalo, e o terceiro é o incremento. O programa começa a desenhar os gráficos com o
valor do início do intervalo, e depois incrementa o valor e desenha outro gráfico até
exceder o fim do seu intervalo.
Por exemplo, digitando y = a*cos(x) e apertando “enter” aparecerá na linha de
comando, por exemplo, {a: 1, 3, 1} (1 é o valor inicial intervalo no qual o “a” irá variar, 3 é
o valor final e 1 é o incremento). Na tela aparecerão os gráficos das seguintes funções: y
= cosx (a = 1) ; y = 2cosx (a = 1 + 1) e y = 3cosx (a = 2 + 1).
Você poderá alterar os valores utilizados para o “a” no Painel de Variáveis. Trocar
os valores no referido painel e clicar em “actualizar” provoca mudança em todos os
gráficos que foram construídos utilizando o “a”. Se quiser alterar esses valores apenas
para um gráfico específico, acrescente {a: iniciar, fim, incremento} após a equação do
gráfico, digitada na linha de comandos, substituindo “iniciar”, “fim” e “incremento” por
números específicos.
O programa não estabelece qualquer limite para o número de curvas da "família",
porém, desenhar um número excessivo de funções irá requerer do computador muita
memória. De qualquer forma, a tela poderá ficar muito confusa se forem desenhadas
mais de dez funções. Considere isso ao especificar os limites do intervalo e o
incremento.
É possível ainda fazer uso das variáveis livres parametrizáveis “b” e “c”. Por
exemplo, podemos solicitar o gráfico da função y = a*cos(x + b) + c . Se não
especificarmos valores para “a”, “b” e “c”, o programa trabalhará com os valores que
estão no Painel de Variáveis. Se desejarmos, poderemos especificar, na linha de
comandos, os valores para “a”, “b” e “c”, por exemplo:
y = a*cos(x + b) + c { a: -1, 2, 1} {b: 2} {c: 1}
5
2ª Parte – Atividades
A segunda parte desta apostila contém atividades, elaboradas por Gilmara Teixeira
Barcelos e Silvia Cristina Freitas Batista, com a finalidade de mostrar algumas das inúmeras
formas de aplicação do software Graphmática como recurso didático.
Atividades sobre Funções
1. No Graphmática, solicite o gráfico da equação x 2 + y 2 = 4 . Para tanto, na Caixa da
lista de funções, digite a fórmula da equação e clique em Enter.
O gráfico traçado representa uma função A = { x ∈ IR / − 2 ≤ x ≤ 2 } em IR? Justifique
sua resposta.
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
2. Apague o gráfico do item anterior (clique em
) e solicite a reta x = 3 . Para tanto, na
Caixa da lista de funções, digite a fórmula da equação e clique em Enter.
A reta traçada representa uma função de IR em IR? Justifique sua resposta.
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
3. Apague o gráfico do item anterior e solicite as retas y = 3 e y = 3 x + 1 , traçadas no
mesmo plano cartesiano. Para tanto, na Caixa da lista de funções, digite a fórmula de
uma das equações e clique em Enter. Repita o procedimento para a outra equação. As
retas traçadas representam funções de IR em IR? Justifique sua resposta.
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Comentário:
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
4. Apague os gráficos do item anterior e solicite o gráfico de equação y = x 2 . Esse gráfico
representa uma função de IR em IR? Justifique sua resposta.
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
5. Apague o gráfico do item anterior e solicite o gráfico de equação x = y 2 . O gráfico
traçado representa uma função de IR em IR? Justifique sua resposta.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
6
Comentário:
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
6. Apague o gráfico da questão anterior e solicite o gráfico de equação y = log x . O gráfico
traçado representa uma função de:
a) IR em IR? Justifique sua resposta.
_____________________________________________________________________
b) IR+ em IR? Justifique sua resposta.
___________________________________________________________________
c) IR*+ em IR? Justifique sua resposta.
____________________________________________________________________
7.
Apague o gráfico da questão anterior e solicite o gráfico das funções definidas por
f ( x) =
x2 − 4
e g ( x ) = x − 2 , traçados num mesmo plano cartesiano.
x+2
a) Observando os dois gráficos, você afirmaria que essas duas funções são iguais?
b) No entanto, pensando matematicamente, essas duas funções são, de fato, iguais?
Justifique sua resposta.
_____________________________________________________________________
Comentário:
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
8. Existem funções cujas leis são definidas por várias sentenças. Considere a função
 x 2 , se x ≤ −2

f ( x) =  4 , se − 2 < x < 2 .
− x + 3, se x ≥ 2

a) Apague os gráficos da questão anterior e solicite o gráfico dessa função.
b) Determine, sem utilizar os recursos do software:
f (−2) =______
f (2) =________
f (−3) =______
f (2,5) =________
f (0) =______
f (15) = _______
f ( 2 ) =________
 7
f  −  =________
 2
f (−2,1) =________
7
c) Confira seus resultados utilizando os recursos do software. Para tanto, em
Ferramentas/Calcular, selecione a sentença adequada da função. Digite o valor de
x desejado em A resolver para y. Introduza o val e clique em calcular.
9. Crie a lei de uma função g, g:IR →IR, definida por duas sentenças.
a) Apague o gráfico da questão anterior e solicite o gráfico dessa função.
b) Determine, sem utilizar os recursos do software:
g (0) =______
g (− 3 ) =______
g (1) =________
1
g   =________
 3
g (2,8) =________
g (6) =___________
c) Confira seus resultados utilizando os recursos do software. Para tanto, em
Ferramentas/Calcular, selecione a sentença adequada da função. Digite o valor de
x desejado em A resolver para y. Introduza o val e clique em calcular.
Atividades sobre Função do 1º Grau
Posições Relativas de Duas Retas no Plano
1. Construa, no mesmo plano cartesiano, os gráficos das duas funções do 1º grau de cada
item. A lei de cada função será determinada por você, de acordo com os critérios
apresentados. Observando as retas construídas em cada item, determine a posição
relativa das mesmas.
•
No item a, as duas funções deverão ter coeficientes angulares iguais e coeficientes
lineares distintos. Repita essa mesma condição para as funções do item b.
•
No item c, as duas funções deverão ter coeficientes angulares iguais e, também,
coeficientes lineares iguais.
•
No item d, as funções deverão ter coeficientes angulares diferentes e coeficientes
lineares quaisquer (iguais ou diferentes). Repita essa mesma condição para as
funções do item e.
•
No item f, o coeficiente angular de uma das funções deverá ser o oposto do inverso
do coeficiente angular da outra. Em ambas funções o coeficiente linear poderá ser
qualquer número real. Repita essa mesma condição para as funções do item g.
a) f1 ( x) =
g1 ( x) =
Posição relativa das retas: _____________________________
b) f 2 ( x) =
g 2 ( x) =
8
c) f 3 ( x) =
g 3 ( x) =
Posição relativa das retas:______________________________
d) f 4 ( x) =
g 4 ( x) =
Posição relativa das retas:______________________________
e) f 5 ( x) =
g 5 ( x) =
f) f 6 ( x) =
g 6 ( x) =
Posição relativa das retas: ___________________________________
g) f 7 ( x) =
g 7 ( x) =
Posição relativa das retas: ___________________________________
2. É possível provar que o que foi observado na questão 1, para alguns exemplos, vale
de maneira geral. Assim, os gráficos de duas funções do 1º grau serão retas:
a) paralelas quando ______________________________________________
b) coincidentes quando ___________________________________________
c) concorrentes quando ____________________________________________
d) concorrentes perpendiculares quando _______________________________
____________________________________________________________________
3. Escreva a equação da reta que é paralela a y = 4 x + 3 e passa pelo ponto (1, 5)
(verifique sua resposta utilizando o software).
4. Escreva a equação da reta que é perpendicular a y = − 2 x + 1 e passa pelo ponto
(2, 4) (verifique sua resposta utilizando o software).
9
Atividades envolvendo Funções Compostas com a Função Modular
Transformações Gráficas
Comparação da função y = x com as funções do tipo y = x + a , sendo
a ∈ IR*+
1.
Considerando as funções da forma y = x + a , com a ∈ IR*+ , atribua, nos itens 1.2,
1.3 e 1.4, um valor a a (valores distintos em cada item). Utilizando o Graphmática,
solicite o gráfico de cada função, em um mesmo plano cartesiano.
1.1 y = x
1.2 y =
2.
1.3
y=
1.4 y =
Observando os gráficos, determine o conjunto imagem das funções da questão 1.
1.1____________________________ 1.3 ________________________________
1.2____________________________ 1.4 ________________________________
3. Compare o gráfico das funções da forma y = x + a (a ∈ IR*+) com o gráfico da função
y = x . Que transformação o parâmetro a causa sobre o gráfico da função y = x ?
__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
4. Utilizando o Graphmática, solicite o gráfico dessa família de funções. Explicite o intervalo
escolhido para o parâmetro e o incremento.
Comparação da função y = x com as funções da forma y = x + a , sendo
a ∈ IR*- .
1. Considerando as funções da forma y = x + a , com a ∈ IR*- , atribua, nos itens 1.2, 1.3
e 1.4, um valor a a (valores distintos em cada item). Utilizando o Graphmática, solicite o
gráfico de cada função, em um mesmo plano cartesiano.
1.1 y = x
1.3
1.2 y =
1.4
y=
y=
2. Observando os gráficos, determine o conjunto imagem das funções da questão 1.
1.1____________________________ 1.3 ________________________________
1.2____________________________ 1.4 ________________________________
3. Compare o gráfico das funções da forma y = x + a (a ∈ IR*-) com o gráfico da função
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
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a ∈ IR*+.
1. Considerando as funções da forma y = x + a , com a ∈ IR*+ , atribua, nos itens 1.2,
1.3 e 1.4, um valor a a (valores distintos em cada item). Utilizando o Graphmática,
solicite o gráfico de cada função, em um mesmo plano cartesiano.
1.1 y = x
1.3
1.2 y =
1.4
y=
y=
1.1____________________________ 1.3 ________________________________
1.2____________________________ 1.4 ________________________________
3. Compare o gráfico das funções da forma y = x + a (a ∈ IR*+) com o gráfico da função
y = x . Que transformação a parâmetro a causa sobre o gráfico da função y = x ?
__________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
a ∈ IR*- .
1. Considerando as funções da forma y = x + a , com a ∈ IR*- , atribua, nos itens 1.2, 1.3
e 1.4, um valor a a (valores distintos em cada item). Utilizando o Graphmática, solicite o
gráfico de cada função, em um mesmo plano cartesiano.
1.1 y = x
1.3
1.2 y =
1.4
y=
y=
1.1____________________________ 1.3 ________________________________
1.2____________________________ 1.4 ________________________________
3. Compare o gráfico das funções da forma y = x + a (a ∈ IR*-) com o gráfico da função
y = x . Que transformação a parâmetro a causa sobre o gráfico da função y = x ?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
11
Comparação da função y = x com as funções do tipo y = a x , sendo a ∈ IR*+.
1. Considerando as funções da forma y = a x , com a ∈ IR*+ , atribua a a, nos itens 1.2 e
1.3, um valor entre 0 e 1. Nos itens 1.4 e 1.5, atribua um valor maior que 1. Utilizando o
Graphmática, solicite o gráfico de cada função, em um mesmo plano cartesiano.
1.1
y= x
1.2 y =
1.3
y=
1.4
y=
1.5 y =
1.1____________________________ 1.4. ________________________________
1.2____________________________ 1.5 ________________________________
1.3____________________________
3. Compare o gráfico das funções da forma y = a x (a ∈ IR*+) com o gráfico da função
_________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
Comparação da função y = x com as funções do tipo y = a x , sendo a ∈ IR*-
.
1. Considerando as funções da forma y = a x , com a ∈ IR*- , atribua a a, nos itens 1.2 e
1.3, um valor entre -1 e 0. Nos itens 1.4 e 1.5, atribua um valor menor que -1. Utilizando
o Graphmática, solicite o gráfico de cada função, em um mesmo plano cartesiano.
1.1 y = x
1.3
y=
1.2 y =
1.4
y=
1.5 y =
1.1____________________________ 1.4. ________________________________
1.2____________________________ 1.5 ________________________________
1.3____________________________
3. Compare o gráfico das funções da forma y = a x (a ∈ IR*-) com o gráfico da função
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________

Estudando Funções com Auxílio do Software Graphmática

Transcrição

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