Lista VII – Correlação e Regressão Linear

Lista VII –
Correlação e
Regressão Linear
Professor Salvatore – Estatística I
19/12/2011
Lista VII – Correlação e Regressão Linear
1. Uma empresa de transportes de cargas internacionais por via marítima suspeita
que os custos com a armazenagem de suas cargas vêm aumentando fora do padrão
desejado. Antes de proceder a análises projetivas, a empresa deseja confirmar se
realmente a elevação desses custos têm alguma relação com o tempo de
armazenagem. Para isto fez um levantamento de 15 armazenagens escolhidas
aleatoriamente:
Dias
Custo $
3
23
7
34
12
28
15
43
6
20
16
38
17
34
19
32
21
39
5
25
9
31
4
15
6
17
9
23
18
29
Pede-se:
a.
b.
c.
d.
Resposta: rxy
Faça um gráfico de dispersão XY desse levantamento com ajuda do Excel
Calcule o coeficiente de correlação pelo método tabular
Confirme esse valor pelo método do desvio-padrão
Confirme esse valor com a ajuda do Excel e do programa estatístico
0,741227636 ;
Estatística II – Professor Salvatore
Página 2
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Obs.
X
Y
X Y
X2
Y2
X
X Y
1
rx , y
2
X
3
2
X
n
Y
n
2
Y
2
Y
n
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Totais
Estatística II – Professor Salvatore
Página 3
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Mês = X
Y
Reta
Variação
Explicada
Y’
Y' Y
2
X.Y
X
2
Variação
Total
Y Y
2
JAN
Somas
Função
Equação Literal
RETA
Y' c bx
Ajustamento
Y
X .Y
n c
c
(b
X
X)
b
X2
Coeficiente de determinação R 2 VariaçãoExplicada
VariaçãoTotal
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Página 4
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Obs.
X
Y
X Y
X
2
Y ' b0
b1 . X
Variação
Total
Y Y
2
Variação
Explicada
Y' Y
2
Variação
não-explicada
Y
Y'
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Totais
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Página 5
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2. A tabela abaixo contém o levantamento do Índice Dow Jones. A variável
independente representa a variação desse índice nos primeiros cinco dias de cada
mês. A variável dependente representa a variação mensal total ao longo do
período estudado.
Y
X
dez
14,9
1,5
a.
b.
c.
d.
Resposta: rxy
jan
-9,2
0,2
fev
19,6
-0,1
mar
20,3
2,8
abr
-3,7
2,2
mai
27,7
-1,6
jun
22,6
-1,3
jul
2,3
5,6
ago
11,9
-1,4
set
27
1
out
-4,3
1,5
nov
20,3
-4,7
dez
4,2
1,1
Faça um gráfico de dispersão XY desse levantamento com ajuda do Excel
Calcule o coeficiente de correlação pelo método tabular
Confirme esse valor pelo método do desvio-padrão
Confirme esse valor com a ajuda do Excel e do programa estatístico
0, 4066 ;
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Página 6
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Obs.
X
Y
X Y
X2
Y2
X
X Y
1
rx , y
2
X
3
2
X
n
Y
n
2
Y
2
Y
n
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Totais
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Mês = X
Y
Reta
Variação
Explicada
Y’
Y' Y
2
X.Y
X
2
Variação
Total
Y Y
2
JAN
Somas
Função
Equação Literal
RETA
Y' c bx
Ajustamento
Y
X .Y
n c
c
(b
X
X)
b
X2
Coeficiente de determinação R 2 VariaçãoExplicada
VariaçãoTotal
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Página 8
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Obs.
X
Y
X Y
X
2
Y ' b0
b1 . X
Variação
Total
Y Y
2
Variação
Explicada
Y' Y
2
Variação
não-explicada
Y
Y'
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Totais
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3. Uma instituição de ensino superior quer verificar a relação entre a avaliação que
as turmas fazem de um professor (escala de 1 a 5) e as notas dessas turmas (escala
de 0 a 4).
Avaliação
Instrutor
Médias das
turmas
a.
b.
c.
d.
Resposta: rxy
2,8
3,7
4,4
3,6
4,7
3,5
4,1
3,2
4,9
4,2
3,8
3,3
2,6
2,9
3,3
3,2
3,1
2,8
2,7
2,4
3,5
3,0
3,4
2,5
Faça um gráfico de dispersão XY desse levantamento com ajuda do Excel
Calcule o coeficiente de correlação pelo método tabular
Confirme esse valor pelo método do desvio-padrão
Confirme esse valor com a ajuda do Excel e do programa estatístico
0,721705239 ;
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Página 10
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Obs.
X
Y
X Y
X2
Y2
X
X Y
1
rx , y
2
X
3
2
X
n
Y
n
2
Y
2
Y
n
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Totais
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Mês = X
Y
Reta
Variação
Explicada
Y’
Y' Y
2
X.Y
X
2
Variação
Total
Y Y
2
JAN
Somas
Função
Equação Literal
RETA
Y' c bx
Ajustamento
Y
X .Y
n c
c
(b
X
X)
b
X2
Coeficiente de determinação R 2 VariaçãoExplicada
VariaçãoTotal
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Obs.
X
Y
X Y
X
2
Y ' b0
b1 . X
Variação
Total
Y Y
2
Variação
Explicada
Y' Y
2
Variação
não-explicada
Y
Y'
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Totais
Estatística II – Professor Salvatore
Página 13
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4. Uma empresa de publicidade e propaganda mediu duas variáveis: X = Custo da
publicidade / Número de chamadas recebidas e Y = Receita por chamada recebida
/ Número de Chamadas recebidas. Os valores estão abaixo:
X
Y
X
Y
7,7
141,77
2,97
200,23
a.
b.
c.
d.
Resposta: rxy
4,17
96,97
0,98
120,49
1,52
163,92
4,18
95,8
10,04
154,7
3,09
275,97
6,02
151,61
3,08
289,59
4,81
147,82
1,57
98,61
3,63
179,2
1,57
125,19
4,65
171,81
1,76
105,71
Faça um gráfico de dispersão XY desse levantamento com ajuda do Excel
Calcule o coeficiente de correlação pelo método tabular
Confirme esse valor pelo método do desvio-padrão
Confirme esse valor com a ajuda do Excel e do SPSS
0,0574 ;
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Página 14
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Obs.
X
Y
X Y
X2
Y2
X
X Y
1
rx , y
2
X
3
2
X
n
Y
n
2
Y
2
Y
n
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Totais
Estatística II – Professor Salvatore
Página 15
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Mês = X
Y
Reta
Variação
Explicada
Y’
Y' Y
2
X.Y
X
2
Variação
Total
Y Y
2
JAN
Somas
Função
Equação Literal
RETA
Y' c bx
Ajustamento
Y
X .Y
n c
c
(b
X
X)
b
X2
Coeficiente de determinação R 2 VariaçãoExplicada
VariaçãoTotal
Estatística II – Professor Salvatore
Página 16
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Obs.
X
Y
X Y
X
2
Y ' b0
b1 . X
Variação
Total
Y Y
2
Variação
Explicada
Y' Y
2
Variação
não-explicada
Y
Y'
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Totais
Estatística II – Professor Salvatore
Página 17
Lista VII – Correlação e Regressão Linear
5. Uma empresa de transportes rodoviários afirma que por contrato os custos de seus
fretes são inversamente proporcionais à distância das entregas. Um cliente dessa
transportadora, interessado em verificar se essa regra é aplicada aos seus
contratos, quer estudar a correlação entre custo e distância e para isto colhe uma
amostra relacionada abaixo.
Distância X
Custo Y
a.
b.
c.
d.
r
Resposta: xy
3
25
7
36
14
30
12
44
6
19
16
38
17
34
19
29
21
43
18
41
25
28
6
13
6
19
18
38
Faça um gráfico de dispersão XY desse levantamento com ajuda do Excel
Calcule o coeficiente de correlação pelo método tabular
Confirme esse valor pelo método do desvio-padrão
Confirme esse valor com a ajuda do Excel e do SPSS
0,55541 ;
Estatística II – Professor Salvatore
Página 18
Lista VII – Correlação e Regressão Linear
Obs.
X
Y
X Y
X2
Y2
X
X Y
1
rx , y
2
X
3
2
X
n
Y
n
2
Y
2
Y
n
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Totais
Estatística II – Professor Salvatore
Página 19
Lista VII – Correlação e Regressão Linear
Mês = X
Y
Reta
Variação
Explicada
Y’
Y' Y
2
X.Y
X
2
Variação
Total
Y Y
2
JAN
Somas
Função
Equação Literal
RETA
Y' c bx
Ajustamento
Y
X .Y
n c
c
(b
X
X)
b
X2
Coeficiente de determinação R 2 VariaçãoExplicada
VariaçãoTotal
Estatística II – Professor Salvatore
Página 20
Lista VII – Correlação e Regressão Linear
Obs.
X
Y
X Y
X
2
Y ' b0
b1 . X
Variação
Total
Y Y
2
Variação
Explicada
Y' Y
2
Variação
não-explicada
Y
Y'
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Totais
Estatística II – Professor Salvatore
Página 21
Lista VII – Correlação e Regressão Linear
6. Associe o valor da correlação ao seu respectivo gráfico de dispersão
Estatística II – Professor Salvatore
Página 22
Lista VII – Correlação e Regressão Linear
Regressão Linear
1.
Determine através de cálculos empíricos a equação linear para ajuste para a seguinte
série temporal.
Dia
vendas
1
12
2
8
3
7
4
10
5
13
6
8
7
16
8
9
9
12
10
15
Resposta: y = 0,2364x + 11;
Mês = X
Y
X.Y
2
X
Reta
Variação
Explicada
Y’
Y' Y
Variação
Total
2
Y Y
JAN
Somas
Função
Equação Literal
RETA
Y' c bx
Ajustamento
Y
X .Y
n c
c
(b
X
X)
b
X2
Coeficiente de determinação R 2 VariaçãoExplicada
VariaçãoTotal
Estatística II – Professor Salvatore
Página 23
2
Lista VII – Correlação e Regressão Linear
2.
Determine através de cálculos empíricos a equação polinomial de segundo grau para
ajuste da seguinte série temporal.
Dia
faltas
1
10
2
8
3
9
4
10
5
12
6
7
7
15
8
13
9
14
Resposta: y = 0,6667x + 10,889
Mês = X
Y
X.Y
2
X
Reta
Variação
Explicada
Y’
Y' Y
Variação
Total
2
Y Y
JAN
Somas
Função
Equação Literal
RETA
Y' c bx
Ajustamento
Y
X .Y
n c
c
(b
X
X)
b
X2
Coeficiente de determinação R 2 VariaçãoExplicada
VariaçãoTotal
Estatística II – Professor Salvatore
Página 24
2
Lista VII – Correlação e Regressão Linear
3.
Determine através de cálculos empíricos a equação exponencial para ajuste da seguinte
série temporal.
Dia
estoque
1
14
2
12
3
19
4
26
5
12
6
15
7
12
8
19
9
24
Resposta: y = 0,6x + 17
Mês = X
Y
X.Y
2
X
Reta
Variação
Explicada
Y’
Y' Y
Variação
Total
2
Y Y
JAN
Somas
Função
Equação Literal
RETA
Y' c bx
Ajustamento
Y
X .Y
n c
c
(b
X
X)
b
X2
Coeficiente de determinação R 2 VariaçãoExplicada
VariaçãoTotal
Estatística II – Professor Salvatore
Página 25
2
Lista VII – Correlação e Regressão Linear
4.
Determine para os exercícios 1,2 e 3 as variações explicadas, não explicadas e totais.
Resposta:
Exercício
1
2
3
Mês = X
Variação
Explicada
18,43
26,6
21,6
Y
Variação
Não-Explicada
67,56
34,2
204,4
X.Y
2
X
Variação Total
86
60,8
226
Reta
Variação
Explicada
Y’
Y' Y
Variação
Total
2
Y Y
JAN
Somas
Função
Equação Literal
RETA
Y' c bx
Ajustamento
Y
X .Y
n c
c
(b
X
X)
b
X2
Coeficiente de determinação R 2 VariaçãoExplicada
VariaçãoTotal
Estatística II – Professor Salvatore
Página 26
2
Lista VII – Correlação e Regressão Linear
5.
Uma empresa fabricante de aparelhos eletrônicos quer estudar a tendências de suas
vendas totais. Para isto fez um levantamento do faturamento dos últimos nove meses
cujo resultado está tabulado abaixo.
mês
Venda bruta $
a.
b.
c.
d.
e.
f.
jan
420
fev
380
mar
370
abr
400
Mai
440
jun
390
jul
460
ago
340
set
430
Faça um gráfico de dispersão XY desse levantamento com ajuda do Excel
Calcule a equação linear de regressão manualmente.
Calcule o Coeficiente de Determinação para a equação linear de regressão.
Olhe para o coeficiente angular b1. Faz sentido sua interpretação neste caso?
Calcule a projeção das vendas (mais prováveis) para o mês de outubro
utilizando aquela que em sua opinião é a melhor equação de ajuste.
Confirme os valores encontrados com a ajuda do Excel e do STATISTICA.
Resposta: y = 1,5x + 403,33 ; d) quando a variável independente é temporal, não há
sentido interpretar o coeficiente angular. No nosso caso dizer que a cada 1 unidade de
variação de X acrescenta-se 1,5 em Y não faz sentido pois X irá variar de 1 em 1 mês e
portanto esse coeficiente angular reflete apenas a tendência das vendas que, obviamente
não ocorrem devido à mudança de mês.
Mês = X
Y
X.Y
2
X
Reta
Variação
Explicada
Y’
Y' Y
Variação
Total
2
Y Y
JAN
Somas
Função
Equação Literal
RETA
Y' c bx
Ajustamento
Y
X .Y
n c
c
(b
X
X)
b
X2
Coeficiente de determinação R 2 VariaçãoExplicada
VariaçãoTotal
Estatística II – Professor Salvatore
Página 27
2
Lista VII – Correlação e Regressão Linear
6.
Por não conseguir saldar suas dívidas com fornecedores dentro do prazo, como de
costume, o gerente financeiro de uma empresa metalúrgica desconfia que seus custos
com estoques venham aumentando. Solicita a seus colaboradores que façam um
levantamento do valor das peças (classificadas como de alto custo) remanescentes no
estoque ao fecharem as operações diárias. Os dados levantados foram tabulados abaixo.
Quantidade
$ Estoque
33
190
42
245
30
230
32
220
45
255
36
270
37
210
28
260
39
230
45
285
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Faça um gráfico de dispersão XY desse levantamento com ajuda do Excel
Calcule as equações de regressão linear manualmente.
Calcule o Coeficiente de Determinação
Interprete os coeficientes da equação.
Confirme esses valores com a ajuda do Excel e do SPSS
Calcule a projeção dos custos para o próximo período caso existam em estoque
53 peças.
Resposta: y = 1,9613x + 167,52; os custos com estoques vem aumentando pois o
coeficiente angular b1 é positivo; a cada nova peça no estoque há um acréscimo de $ 1,9
unidades monetárias ao valor de intersecção $ 167,52; coeficiente de determinação 0,1666.
A projeção para 53 peças é Y = 1,9613 .(53) + 167,52 = 271,47.
Mês = X
Y
X.Y
2
X
Reta
Variação
Explicada
Y’
Y' Y
Variação
Total
2
Y Y
JAN
Somas
Função
Equação Literal
RETA
Y' c bx
Ajustamento
Y
X .Y
n c
c
(b
X
X)
b
X2
Coeficiente de determinação R 2 VariaçãoExplicada
VariaçãoTotal
Estatística II – Professor Salvatore
Página 28
2
Lista VII – Correlação e Regressão Linear
7.
Suponha que você seja o presidente do Banco Central do Brasil e junto com sua equipe
econômica esteja encarregado de decidir a respeito da quantidade de dinheiro que deve
ser posta em circulação anualmente. O Modelo adotado até agora por essa instituição
levou em conta a relação entre a Renda Nacional Bruta e a Quantidade de Moeda em
Circulação (em Bilhões de Reais). Suponha que você e sua equipe decidam continuar com
esse modelo considerando os dados históricos disponíveis no banco de dados da
instituição. (adaptado de Pindyck & Rubinfeld Econometric Models and Economic
Forecasts McGraw-Hill)
Ano
1987
1988
1989
1990
1991
Quantidade de
Dinheiro
2,0
2,5
3,2
3,6
3,3
Renda
Nacional Bruta
5,0
5,5
6,0
7,0
7,2
Ano
1992
1993
1994
1995
1996
Quantidade de
Dinheiro
4,0
4,2
4,6
4,8
5,0
Renda
Nacional Bruta
7,7
8,4
9,0
9,7
10,0
a) Escolha qual das duas variáveis é a Dependente e a Independente.
b) Construa um gráfico de dispersão considerando essas variáveis para o período 19871996.
c) Estime a equação de regressão (cálculos manuais e com ajuda do Excel e SPSS).
d) Interprete o coeficiente angular e o intercepto da equação encontrada.
e) Suponha que a meta da Renda Nacional Bruta a ser atingida em 1997 seja 12,0
pergunta-se qual quantidade de Dinheiro você autorizaria que fosse colocado em
circulação?
Respostas:
a. Variável Dependente Y = Renda Nacional Bruta ; X = quantidade de dinheiro em circulação.
b. Gráfico
c. Equação de regressão y = 1,7156x + 1,1681
d. Coeficiente b1 : Para cada 1 ( milhão) em dinheiro colocado em circulação a renda nacional
bruta aumentará em 1,17156 vezes. Coeficiente b0 : quando a quantidade de dinheiro em
circulação for Zero (X=0) o ponto onde a reta de regressão intercepta com o eixo Y será
1,1681, ou seja, haverá uma renda nacional bruta de 1,1681 milhões.
e. 12 = 1,7156 . (X) + 1,1681 então X=6,31 milhões
Estatística II – Professor Salvatore
Página 29
Lista VII – Correlação e Regressão Linear
Obs.
X
Y
X Y
X
2
Y ' b0
b1 . X
Variação
Total
Y Y
2
Variação
Explicada
Y' Y
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Totais
Estatística II – Professor Salvatore
Página 30
Variação
não-explicada
Y
Y'
2
Lista VII – Correlação e Regressão Linear
Mês = X
Y
2
X.Y
X
Reta
Variação
Explicada
Y’
Y' Y
Variação
Total
2
Y Y
JAN
Somas
Função
RETA
Equação Literal
Y' c bx
Ajustamento
Y
X .Y
n c
c
(b
X
X)
b
X2
Coeficiente de determinação R 2 VariaçãoExplicada
VariaçãoTotal
Estatística II – Professor Salvatore
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2
Lista VII – Correlação e Regressão Linear
8.
Uma empresa de transportes de cargas internacionais por via marítima suspeita que os
custos com a armazenagem de suas cargas vêm aumentando fora do padrão desejado.
Antes de proceder a análises projetivas, a empresa deseja confirmar se realmente a
elevação desses custos têm alguma relação com o tempo de armazenagem. Para isto fez
um levantamento de 15 armazenagens escolhidas aleatoriamente:
nº Dias
Custo $
3
23
7
34
12
28
15
43
6
20
16
38
17
34
19
32
21
39
5
25
9
31
4
15
6
17
9
23
18
29
Pede-se:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Faça um gráfico de dispersão XY desse levantamento com ajuda do Excel
Calcule o coeficiente de correlação de Pearson.
Determine qual é a variável independente e a dependente.
Calcule a equação linear de regressão manualmente.
Calcule o Coeficiente de Determinação e o R-quadrado ajustado.
Interprete os coeficientes da equação.
Confirme esses valores com a ajuda do Excel e do SPSS
Calcule a projeção dos custos supondo que para o próximo período ocorra uma
armazenagem de 23 dias.
Respostas:
a.
b.
c.
Gráfico com ajuda do Excel
Coeficiente de correlação de Pearson = 0,7412.
Variável independente é o número de dias de estocagem e a dependente é o
custo da estocagem.
d. Calcule a equação linear de regressão manualmente: Y = 1,0073.X + 17,51.
e. Coeficiente de Determinação = 0,5494 e o R-quadrado ajustado= 0,5147.
f. Interprete os coeficientes da equação: só há sentido em interpretar o coeficiente
angular: para cada dia de estocagem, o custo total será acrescido em 1,0073 .(1) +
17,51 = 18,51
g. Confirmação pela função análise de dados do Excel e função Regressão do SPSS
h. Calcule a projeção dos custos supondo que para o próximo período ocorra uma
armazenagem de 23 dias. Y = 1,0073.(23) + 17,51 = 40,677.
Estatística II – Professor Salvatore
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Lista VII – Correlação e Regressão Linear
Obs.
X
Y
X Y
X
Y ' b0
2
Variação
Total
b1 . X
Y Y
Variação
Explicada
2
Y' Y
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Totais
Função
RETA
Equação Literal
Y' c bx
Ajustamento
Y
X .Y
n c
c
(b
X
X)
b
X2
Coeficiente de determinação R 2 VariaçãoExplicada
VariaçãoTotal
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Variação
não-explicada
Y
Y'
2
Lista VII – Correlação e Regressão Linear
9.
A tabela abaixo contém o levantamento do Índice Dow Jones. A variável independente
representa a variação desse índice nos primeiros cinco dias de cada mês. A variável
dependente representa a variação mensal pelo resto do mês para todo o período
estudado.(Adaptado de: Newbold P. et alii. Statistics for Business and Economics; New
Jersey, Prentice Hall 2002).
Dez00
Jan01
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
Dez01
Y
14,9
-9,2
19,6
20,3
-3,7
27,7
22,6
2,3
11,9
27
-4,3
20,3
4,2
X
1,5
0,2
-0,1
2,8
2,2
-1,6
-1,3
5,6
-1,4
1
1,5
-4,7
1,1
a.
Formule o modelo de regressão linear que possibilite prever a variação mensal
desse indicador com base nas variações verificadas nos primeiros cinco dias do
respectivo mês.
b. Quantifique as variações explicada, não-explicada e a total.
c. Calcule o Coeficiente de Determinação R2 e R2-ajustado.
d. Interprete o coeficiente b1 da equação.
e. Confirme esses valores com a ajuda do Excel e do SPSS
f. Calcule a projeção da variação mensal para janeiro do ano 02 caso nos primeiros
dias desse mês a variação do indicador em questão seja 1,95.
g. Formule o modelo ANOVA para os dados da variável independente. Analise
esses resultados em conjunto com aqueles obtidos no item “c”. Em sua opinião
esses resultados ratificam o poder de ajuste do modelo. Justifique com suas
palavras.
Resposta:
a.
b.
c.
d.
f.
g.
Y’= 12,93 – 2,1287. X
Variação explicada = 342,33 ; não-explicada 1561,57 e total 1903,91.
R2 = SQReg/SQT = 0,1798 ; R2-ajustado = 1- ((SQRes/n-2) /(SQT/n -1)) = 0,1052.
Cada ponto percentual de variação nos primeiros cinco dias úteis do Índice Dow
Jones acarretará uma variação de – 2,12 pontos percentuais ao longo do mês.
Note-se entretanto que o coeficiente e de correlação R- múltiplo não é negativo e
sim próximo de 0,5 (0,4240) e o R-quadrado 0,1798 que demonstra baixo poder de
explicação ou baixa aderência do modelo aos dados apresentados.
Y’= 12,93 – 2,1287.(1,95) = 8,78
O modelo ANOVA ratifica a baixa aderência do modelo aos dados pelos
seguintes indicadores: a variação não explicada é muito alta demonstrada pelos
quadrados das diferenças entre os valores de regressão e aqueles projetados pelo
modelo; este fato leva a um valor de F-significação maior que 0,05, portanto não
se pode rejeitar H0 de que o modelo tenha baixa aderência aos dados.
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Lista VII – Correlação e Regressão Linear
Obs.
X
Y
X Y
X
Y ' b0
2
Variação
Total
b1 . X
Y Y
Variação
Explicada
2
Y' Y
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Totais
Função
RETA
Equação Literal
Y' c bx
Ajustamento
Y
X .Y
n c
c
(b
X
X)
b
X2
Coeficiente de determinação R 2 VariaçãoExplicada
VariaçãoTotal
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Variação
não-explicada
Y
Y'
2
Lista VII – Correlação e Regressão Linear
10. A maioria dos investimentos financeiros possui um indicador chamado de Beta que
quantifica o risco sistemático (possível de ser gerenciado e modificado) daquele ativo ou
carteira. Algumas consultorias do mercado de capitais associam os Betas aos seus
respectivos ativos de forma mensal, trimestral, anual ou até períodos mais longos. No
Financial Analisys Journal (Mar-Apr 1984) o professor H. Levy investigou a relação entre
o intervalo de publicação ao qual se refere o Beta de um ativo e o Beta médio de três tipos
ou grupos de ativos. Os grupos totalizaram 144 ativos divididos em: 38 com Betas
agressivos (muito superiores a 1), 38 com Betas conservadores (inferiores a 1) e 68 ativos
com Betas moderados (ou neutros , valores muito próximos a 1). A tabela abaixo exibe os
valores do prazo de publicação e os betas médios para cada tipo desses ativos. (Adaptado
de Sincich T.; Business Statistics by Example; Prentice Hall, New Jersey 1995)
Prazo em meses
1
3
6
9
12
15
18
24
30
Betas para ativos
agressivos
1,37
1,42
1,53
1,69
1,83
1,67
1,78
1,86
1,83
Betas para ativos
conservadores
0,50
0,44
0,41
0,39
0,40
0,38
0,39
0,35
0,33
Betas para ativos
moderados
0,98
0,95
0,94
1,00
0,98
1,00
1,02
1,14
1,22
a.
Utilize o prazo em meses como a variável independente e encontre as três
equações de regressão linear em relação aos Betas: agressivos, conservadores e
moderados.
b. Quais ativos possuem Betas com tendência a diminuírem linearmente na medida
em que o prazo de medição aumenta? Quais ativos possuem valores de Betas que
aumentam linearmente na medida em que o prazo de medição aumenta?
c. Para cada tipo de Betas teste a hipótese que o prazo em meses seja um bom
preditor para o respectivo Beta utilizando o nível de significância de 5%.
d. Construa intervalos de confiança com 95% de certeza para cada tipo de Betas.
Resposta:
a.
Agressivos: Y’= 1,45 + 0,01629 . X ; Conservadores: Y’= 0,4594 – 0,004618 . X ;
Moderados: Y’= 0,9111 + 0,0087 . X ;
b. Por exibirem coeficientes angulares (Betas) positivos, os ativos agressivos e
moderados demonstram tendência ao aumento dos Betas (risco) enquanto que os
ativos conservadores, por terem o coeficiente angular negativo, exibem a
tendência de diminuição de seus Betas.
c. Agressivos: t teste = 4,37 ; Conservadores: t teste = -5,48 ; Moderados: t teste =
5,672. Rejeita-se H0 para os três tipos de Ativos, portanto o prazo dos Betas é um
bom preditor.
d. Agressivos: IC [0,007492 ; 0,025104] ; Conservadores: IC [-0,006608 ; - 0,00263] ;
Moderados: IC [0,0050879 ; 0,012363].
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Obs.
X
Y
X Y
X
Y ' b0
2
Variação
Total
b1 . X
Y Y
Variação
Explicada
2
Y' Y
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Totais
Função
RETA
Equação Literal
Y' c bx
Ajustamento
Y
X .Y
n c
c
(b
X
X)
b
X2
Coeficiente de determinação R 2 VariaçãoExplicada
VariaçãoTotal
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Variação
não-explicada
Y
Y'
2