Momentos de 2.a ordem das superficie plana

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Momentos de 2.a ordem das superficie plana
Momentos de 2.a ordem das superficie plana
Dtfinições. - Variação dos momentos pela
translação dos eixos. - Variação dos momento
pela rotação dos eixos. - Ellipses de inercia.
Applicaçõts : determinação
- Antipolos. dos momentos de inercia, ellipse de inercia e
nucleo central.
1-
Definições.
São momentos de 2.a ordem o momento de inercia e o
momento centrifugo.
Momento de inercia de uma superfície S em relação
a um eixo x, é a somma dos
productos de cada um dos elementos dS da superfície pelo
quadrado da distancia x d'este
elemento ao eixo considerado;
lx
== ~~2dS
Momento centrifugo ou momento de
inercia composto de
uma superfície plana
em relação a 2 eixos
x, y é a somma dos
productos de cada um
dos elementos da superfície pelas distancias delle aos eixos
considerados:
lxy
==/ xydS
-
134 -
sendo . x e y as distancias do elemento dS respectivamente
aos eixos.
E' de vantagem em muitas applicações graphicas da
Resistencia, considerar momentos de inercia obliquos, isto é,
momentos em que os comprimentos x não são normaes ao
eixo, mas parallelos a uma direcção qualquer. Vejamos a
relação que liga os 2 generos de momentos de inercia.
== Jx'2dS
==
x2 dS
logo I ,x == f -cos
1
OU I'x == - -f x2dS
cos rx
I'x
,/
.,-:r
-'
I
X
1
X COS IX
2 1X
2
••• I'x
1
== -cos -rx
2
fx
D'ahi concluimos que, uma vez obtido o momento de
inercia em relação a um eixo, facil é deduzir-se o momento
de inercia obliquo em relação ao mesmo eixo.
Tambem podemos considerar momentos centrifugas obli-
quos, em que os comprimentos x e y são avaliados
lamente a 2 direcções quaesquer.
par~lle­
- 135 -
==f x'y'dS
l'xy
Vejamos a relação que liga os dois generos de momen;
tos centrifugas.
x
y
I'
== x' cos a
== y ' cos fJ
_·
xy -
1
co sacos fJ
lxy
2 - Variação dos momentos de 2.a ordem pela translação dos eixos.
A)
Momento de inercia.
Seja x um etxo em relação ao qual o momento de
inercia é
Supponhamos agora um etxo x1 parallelo a x,_ e delle
distante de z; temos:
d5
Gl
I
o
f
:
±
I
I
1
1 ,:X:O I
o
lx
1
I
==f (x-f.z)2dS ==f x2dS + 2 f xzdS +f z dS
2
lx 1
== lx + 2z j
xd S
+ z2 S
-
j xdS é
136 -
o momento estatico da figura em ·relação ao
eixo x; temos então:
j xdS == Sxo
representando a distancia do centro de gravidade
ao eixo x; substituindo vem:
X0
Vejamos qu~l o valor a attribuir a z pa'ra que a expressão do movimento de inercia seja a menor possivel.
••• z
•
== --
X0
Este resultado mostra que o valor menor do momento
de inercia para os eixos parallelos a uma direcção qualquer
corresponde ao que passa pelo centr<? de gravidade da figura. Para este eixo temos:
IXo
== lx lx
0
-::=:
2x 0 2S
lx -
+ x 0 2S
x0 2 S
Esta expressão mostra que o momento de inercia de
uma superficie plana em relação a um eixo qualquer, é egual
ao momento de inercia da mesma superficie em relação .ao
eixo parallelo, passando pelo seu centro ~e gràvidade, augmentado do producto da mesma area, pelo quadrado da distanci~ entre os 2 eixos. A simples observação d'esta ultima expressão, nos mostra mais uma ve?Ja que .o momento
de inercia minimo corresponde ao valor
Xo
o.
137
B)
Momento centrifugo.
Sejam xx e yy dois eixos quaesquer no plano de uma
figura
Chamando x, y respectivamente as distancias de
um elemento dS de superfície aos eixos xx e yy, temos que
o momento centrifugo da superficie em relação aos eixos é:
lxy
==f xydS
Supponhamos agora, que os 2 eixos, se desloquem parallelamente, sendo a e b as distancias das novas posições
ás antigas; temos:
lx1y1
==f (x +a) (y+b) dS ==I (xy + ay + ab + bx) d S
==f xyd s + a I ydS + b xdS + ab s
r
lxlyl
lx y == lxy
1 1
+ aSyo +
bS:xo
+
abS
sendo ( x0 ,. Yo) as distancias
dos centros de gravidade aos
eixos na posição primitiva.
Si os novos eixos tiverem
para origem o centro de gravidade, temos:
IXoYo
== lxy- XoYoS
: • lxy == lxoYo+ XoYoS
y,
.(;----.~'~-----~---'--:r .
~
Esta expressão mostra que o momento centrifugo de
uma superfície plana em relação a 2 eixos orthogonaes
quaesquer, é egual ao momento centrifugo relativo, aos eixos
parallelos que passam pelo centro de gravidade, augmentado
do producto de area da figura pelas distancias do centro
cte graYidade, aos eixos na posição primitiva:
-138 -
3 - Vaiiação dos momentos de 2.a ordem pela rotação
dos eixos.
A) Momento de inercia.
Supponhamos a superfície S
em relação a um eixo aa, é
Ia==
fa
2
CUJO
momento de inercia
d S
Façamos o eixo aa gyrar em
torno de um dos seus pontos O.
:c
Para estudar a variação dos a
momentos de inercia, vamos
considerar os eixos rectangulares Ox e Oy, passando
por O. Para uma posição Oa do eixo, fazendo o angulo
(X com Ox, temos:
Projectando o contorno OPR sobre Oa, terrios:
O Q == x cos
(X
+y
sen
(X
temos então:
Ia ==
f[
x2
==f (x + y
==f[(1 - cos
2
: : -: r(x
.;
2
x 2 cos 2
2 -
sen 2 a
+ y2 --
2
(X)
+y
x2
( x c os
2 COS 2
Ia == lx cos 2
y 2 sen 2
(X -
+ (1
(X
+ y sen
(X
-
a -
sen 2
X
y2
y sen 2
+ ly sen
2
(X
-
)2] d S
2 x y sen
(X -
(X)
(X
-
(X)
(X
cos
x y sen 2
(X)
(X]
dS
dS
dS
lxy sen 2 a
Como caso particular, teremos para um eixo Ob normal
a Oa
-139 -
Vejamos agora qual o angulo a., que corresponde ao la
maximo ou mínimo.
~:;
2 I y sen a: cos a. -- 2 lx sen a. cos a. -
(ly -
lx ) sen 2 a.
tg 2 a.
==
2 lxy cos 2 a.
== o
== 2 I xy sen 2 a.
2 I xy
ly - fx
Temos assim 2 angulos entre Oo e 180o differindo entre
si de um angulo recto. A derivada segunda é positiva para
um e negativa para outro; logo um delles corresponde ao la
mínimo e outro ao la maximo.
Em qualquer ponto O, existe, pois sempre, 2 eixos normaes entre si, para os quaes o momento de inercia da superfície é respectivamente maximo e minimo, comparado com
os momentos de inercia, tomados em relação aos outros
eixos, passando pelo mesmo ponto. Esses eixos, recebem
a denominação especial de eixos principaes de inercia da superfície plana no ponto em questão.
Escolhidos para eixos coordenados, de modo a terem
a os valores O e 90o, da formula:
tg 2 a:
==
tem-se:
lxy
==
O
O momento centrifugo em relação aos eixos principaes
o para
é pois nullo. A reciproca é verdadeira. Si Ixy
2 eixos orthogonaes, elles são eixos principaes de inercia.
Com effeito, a formula anterior, deixa ver, que para I xy
o,
tg 2 a. assume o valor zero e portanto
==
==
e
-
B)
140
Momento centrifugo.
Vejamos agora a alteração do momento centrifugo em
relação a um systema de 2 eixos pela rotação deste systema
em torno da intersecção dos 2
eixos. Como o caso mais commum é de um systema de 2 eixos orthogonaes, este será o
unico que vamos considerar.
==f abdS
b == x cos ex + y sen ex
a == y cos ex - x sen ex
Iab
'
Iab
== { (y cos ex -
== j (yx cos
= (cos
2
ex -
2
x sen ex) (x cos ex
+y
sen ex) dS
x2 sen ex cos ex + y2 sen ex cos ex - xy sen 2 ex) dS
ex -
+
sen 2 ex) Ixy
sen ex cos ex (lx - Iy)
lx - ly
I
sen 2 ex
Iab
xy cos 2 ex
2
+
==
Ellipses de inercia.
Ellipse de inercia da superficie em relação a um ponto
é uma representação graphica da variação do momento de ·
inercia, em relação a um eixo que gyra em torno do ponto.
Tomemos 2 eixos coordenados rectangulares passando
por um ponto qualquer O da superficie considerada.
fazendo um eixo Oa que passa pela origem, assumir
todas as posições poss'iveis em torno de O, sabemos que
a formula que dá a variação do momento de inercia é:
4 -
Ia
== Ix
cos 2 ex·
+ Iy
sen 2 ex -
I xy sen 2 ex
Antes de continuar observemos que os momentos de
2.a ordem, (mesmo os obliquos) são a somma dos productos
.de areas por productos de 2 distancias.
Nestas circumstancias podemos sempre considerar o quociente de um momento de inercia pela area da ·superficie
-
14t -
dada pelo quadrado de um certo comprimento i que chamaremos raio de gyração. Tambem é sempre possível representar o quociente do momento centrifugo, pela area da
superfície considerada, como sendo egual a uma area C que
chamaremos superfície centrífuga.
Temos então:
lx
_.
-lx 2
-
s
lx
== Six
fxy
== C
lxy
== S C
s
2
Podemos então escrever a equação de la da seguinte
forma:
ia
ix 2 cos 2 a.
iy 2 sen 2 a. - C sen 2 a.
==
ia == + fix
+
2
cos 2 a.
+ iy
2
C Sén ~
sen2 a. -
y==PQ-RQ
ia== PQ sen (90- a.)
:. PQ
==
cos a.
Si para cada posição do
eixo Oa, lhe traçarmos paraiia , estas
leias a distancias
parallelas envolverão uma ellipse, chamada ellipse de inercia do ponto O.
Com effeito, a equação dessas parallelas é:
+
y==
~~ cos a.
+
X
tg a.
Substituindo i a pelo seu valor, vem:
1
(ix 2 cos 2 a.
+i
2
sen 2 a - C sen 2 a.)
142-
Com auxilio da primeira derivada dessa equação podemos eliminar o parametro variavel tg a e assim obteremos
a equação dos pontos da curva envolvida por aquella serie
de parallelas.
-
2 (y ou - 2 y x
+
2 C
2 if 2 tg a
tg a == - 2 C + 2 iy 2 tg a
Íy 2 ) == xy - C
xy- C
tg a) x == -
X
+ 2 x2
tg a (x 2 :. tg a
==
----=--X
2
.
-
ly
2
Substituindo este valor na equação das parallelas, vem:
[Y -
X
xy X
2
2- .
- - 1x
ly
2
2
y -
1
C
• 2
-
xy -
xy
X
2
•
C
-1 y
2
2
2
xy- C
-
·
2 [ xy X
2
+.
C
ly
•
2 [xy _X
C ]2 -
-1y
+ i 2 (xy
x2 Y
ly
l.
2
-
C
Iy 2
2
~
i Y2) (y2 -
+
2
-
.
ly
Íx 2) -
+ ix2iy2-
i y2 y2 -
2Cxy -
Cl2
. 2
2
-
]2
•
2C
+
2
ix 2) - 2 (xy- C) 2
x2y2- x2jx2- y2iy2
ix 2 x 2
X
•
-- ly
lx
xy- C
2xy + x 2
•
== .
x2- Iy 2
+i 2 xy- C
iy 2) (y 2 (x2
X
2
(y 2 - ix2) -
y
(x 2 -
X
+
- 2C xy - C
x2 - iy 2
x2- i y
2C xy -
-
+ (xy- C)2 =o
(xy -
C) 2 =
o
x2y2
+ 2Cxy- Cl = O
ix 2 i l
+
C2 =
o
-
143 -
que é a equação de uma ellipse referida a um systema de
coordenadas rectangulares cuja origem é o centro da ellipse.
Esta ellipse, chamada ellipse de inercia da superfície
em relação a O, é uma representação graphica dos momentos de inercia relativos aos eixos que passam por O.
Com effeito, para se achar o momento de inercia em
relação a um eixo que passa por O, basta determinar a
distancia que vae d'elle á tangente a ellipse que lhe é paraileia, elevai-a ao quadrado e multiplicar pela area S da figura:
lx
== S ix
2
A representação graphica dos momentos de inercia oblíquos dos eixos que gyram em torno de O é ainda a mesma
ellipse.
Com effeito, supponhamos que os comprimentos sejam
tomados parallelamente a Oy, e considerem um eixo qualquer Oa; sabemos que
_- /f':1., a e + .la
+
-1s -
- l/f:-s _
v
+ ia =
COS IX
-
-
--
i' a
a
I' cos
s
2
IX _
- - COSa IX
t/l'a
s
Ora, a figura nos mostra que Q R = ia = Q P cos IX
Q P _:_ i'a portanto a ellipse de inercia é a mesma quer .se
considerem os momentos obliquos ou não, sendo que no Lo
caso os raios de gy"ração são obHquos e
no 2.o perpendiculares aos eixos consia.
derados.
I
Si o ponto O fôr
o centro da gravidade, a conica recebe o
nome particular de
Ellipse Central de
lnercia.
-
144 -
Quando os etxos coordenados se confundem com os
que chamamos eixos principaes de inercia, vimos que
lxy -=-
O
A equação de ellipse se reduz então a
x2
-. -2
ly
y2
+ -:--;=
lx
1
que é a equação de uma ellipse referida a diametros conjugados.
Como os eixos considerados são rectangulares, concluimos que os eixos p-rincipaes de inercia são os eixos da ellipse
de inercia.
Vejamos agora uma representação graphica da superfície centrifuga C.
Considerando a equação:
( x2 -
iy
2 ) ( y2 -
y
ix
C)2 = o
2 ) -- (xy -
vemos que fazendo
X =
y
y
+
iy
= +
ix
A.y
X
resulta
•
X
y-
c
y
c
X
c
X =-
y
+
--
+~
ly
c
lx
que são as coordenadas dos pontos de tangencia dos pares
de parallelas aos eixos coordenados, traçados pelas extremidades dos ra10~ de gyração.
145Traçando- e os diametro d'e e pontos de tangencia
verifica-se que os triangulos hachurados tem para areas a
expressão
c
2
Si os etxos coordenados se confundem com o "' etxo
principaes concluiremos, mai uma vez, pela imples obsero, isto é, que o
vação da figura que C
o e portanto I_y
momento centrifugo em relação aos eixos principaes da ellipse de inercia é nullo.
Vamos demonstrar agora que o momento centrifugo em
relação a 2 diametros conjugados da ellipse de inercia tambem é nullo.
Sejam Ox e Oy os 2 eixos principaes e Ox 11 Oy1 os 2 diametros conjugados. Chamemos x, y respectivamente as distancias de um elemento dS de superfície aos eixos Ox e
Oy; Xt , Yt respectivamente as distancias aos eixos Ox, e
Oyl.
As equações dos eixos Oy1 a ÜX 1 são respectivamente:
b2
x --- m Y sendo mm'
x - m'y
x- m y
yI
y 1 + m2
-
:. m' -
x - m'y
;
Xt
- i1+
m '2
m y) (x - m'y) _
-K
m x y - m' x y + y2 m m'
K
(x -
Xt Yt -= - -
x2
-
(x
1
y1 d S
~
fx -=- b 2 S
ly= a2 S '
= ~
(1, -
m lxy- m'lxy
+ m m'ly)
· -
-146 Si os comprimentos forem tomados obliquamente, temos:
Xt
=
y1 =
X) ,
cosa.
y 1 ' cos~
I
x1Y1
=
f ,,
x 1 y 1 cosa.cos{J === o;
f
x 1 'y •' =
o
isto é, o theorema tambem se verifica para o caso de momentos centrifugas obliquos.
Construcção.
Para se construir as ellipses de iner.. cia o unico processo realmente pratico é,
determinadas as direcções dos eixos principaes e respectivos momentos de inercia,
deduzir os raios de gyração, isto é, os semieixos maior e menor, e com elles traçar
a curva por pontos.
Quanto á determinação dos eixos principaes e respectivos momentos de inercia,
veremos quando tratarmos das Applicações
os processos mais praticas.
Uma vez traçada a ellipse de inercia, si se quizer obter
o raio de gyração em relação a um eixo qualquer que passa
pelo centro da curva, basta achar a distancia d'elle á tangente a ellipse que lhe é parallela; no caso de momentos
obliquos, o comprimento é tomado parallelamente á direcção considerada.
Uma vez achado o raio de gyração, eleva-se ao quadrado, multiplica-se pela area e obtem-se o momento de
.
.
mercta.
~·
I
Ix =
S.lx 2
e I'x =
s··lx 2
Ainda num caso particular dos momentos obliquos
ha uma construcção que nos dá immediatamente o raio de
gyração sem necessitllr o traçado das tangentes.
Sabemos que
147 -
Ia
-=
cos 2 a
Ix
+ ly fg
2
a.-
fxy tg a.
ou
pOIS
lxy --=
O
Pela extremidade do semi eixo de comprimento ty levanto uma normal até encontrar Üa e faço ST -= ix. O triangulo RST nos dá:
RT 2
=
=
Íy
2
RS 2
tg2 a.
:. RT
=
+ ST
+ Íx
2
2
y
i'a
quando se toma
Oy para direcção do
momento obliquo.
Temos então RT,
o raio de gyração relativamente á direcção
Oy, correspondente ao
eixo Oa.
a.
Si qmzermos agora o momento de inercia, vem
Ia = I'a cos 2 a. = S.RT2 • cos 2 a.
Circulo de inercia.
Ha pontos para os quaes os momentos de inercia da
superfície em relação a um eixo que gyra em torno de cada
um d'elles são constantes. A ellipse transforma-se então
num circulo, chamado circulo de inercia.
Vejamos quantos pontos desse genero existem e como
determinai-os.
A variação dos momentos de inercia pela rotação de um
eixo em torno do centro de gravidade é expressa por:
-
148 -
Como consideramos para eixos Ox e Oy os eixos principaes da ellipse, temos:
Para um eixo a parallelo a0 temos:
ora
ao
= c D ·= c E - D E = y cos
Ia = Ia0
logo
+ S (y cos a:
a; -
-
X
X
sen
a;
sen a:) 2
+ Sy ·z cos a: - 2 Sxy sen a: cos a + Sx sen a
Ia -= lx cos a + ly sen a + Sy cos a - 2Sxy sen a cos a +
Ia =
Iao
2
2
2
=
( Six 2
2
+ Sy
c os 2 a
2)
+ Sx
2
2
2
2
2
_sen a
+ (Si + Sx
y2
cos 2a =
2)
sen 2 a - 2xyS sen
2
2
cos 2 a - sen 2 a:
1
= cos 2 a:
sen 2 ex
1 + cos2ex = 2cos 2 ex
ou 1 - cos2ex = 2sen 2 ex
+
1 + cos2o:
.cos 2 ex =- - - - 2
1 - cos2ex
sen 2 a: == - -- 2
.
••
Ia = S(ix 2
+y
2)
1
+ cos2ex + S(iy + x) _1~_c_os_2_ex
2
2
· sen2ex
- 2xy S
.
I, =
~
2
2
[ix + y + (ix + y cos2cx +i, + x'- (i + x cos 2ex - 2xy sen 2cx ]
2
2
y
2
2
2
)
2
)
2
a
-149-
r. ~ ~ [Íx 2 + i .. + x2 + y2 +
(ix 2
-
i1 2
x2
-
+y
2
)
2xy sen 2a.]
cos 2cx -
Esta é a expressão para o momento de inercia da superfície em relação a um eixo parallelo a ao que faz o angulo ex com o eixo x e que passa pelo centro de gravidade.
Seu valor será sempre positivo quaesquer que sejam
as inclinações ex e a distància entre os eixos a e a o.
Vejamos agora um ponto tal que, todos os eixos que
passam por elle têm um momento de inercia constante. Para
que isto se dê é necessario que o valor I a seja independente
de ex, logo é prec1so que
{
Íx 2 -
j/
-
+y
X2
2
=
xy =
o
-t
+ I+ y
0
e teremos
la =
_§_ (i X 2
2
iy 2
x2
2)
As equações de condição representam duas conicas cujas
intersecções determinam os pontos do plano para os quaes
os momentos de inercía em relação aos eixos que gyram em
torno d'elles são constantes. Para estes pontos as ellipses
de inercía se transformam em círculos, chamados círculos
de inercia. Si
xy =
o
a equação
fornece
para x =
o
para y =
o
Concluímos então que 2 d' estes pontos são imaginados
e que os 2 reaes se encontram no eixo menor da ellipse
--
150 -
-centra-l, distante do centro, de um
tancia. focal e
comprim~nto
egual á dis-
~
si iy
> ix
isto é sendo Ox o eixo maior.
Estes pontos são por isso designados pelo nome de
anti focos.
Para eixos que passam por estes pontos teremos:
I =- const
~
2
[·lx 2
+ .ly + (,J·
r ly
portanto
eu
2
.
2 - - lx
• 2
)2
l
-=
s iy
2
1.2 --- 1•y 2
.
I -= ly
O que mostra que o raio do circulo de inercia é sempre
egual ao semi-eixo maior da ellipse central de inercia.
5 -- Antipolos.
Supponhamos uma superfície plana S com a respectiva
ellipse central de inercia.
Chama-se antipolo
X de um eixo x qualquer do plano, o ponto symetrico em relação ao centro de gravidade do polo do eixo x, relativamente a
ellipse central.
Nucleo central é o
logar geometrico dos
antipolos X dos eixos
x que envo,vem a
superficie dada ·sem cortai-a.
Para os pontos que estiverem dentro do nucleo central,
as anti-polares respectivas não cortam a superfície, o contrario se dando para os pontos que estiverem fora.
151
Sendo de grande utilidade o conhecimento da · posição
d'esse ponto em um grande numero de construcções graphicas, vamos ver alguns processos para a sua determinação.
a) Seja O o centro de gravidade com a respectiva ellipse de inercia e x um eixo qualquer cujo antipolo se
procura.
A partir de O tomemos Ox 0 um comprimento egual a
ix0 , unamos o ponto f ao ponto E e por f levantemos uma
normal a Ef, que cortará OE em P. Este ponto P distará
de um comprimento
PE
=-
X0
+ OP
Os triangulos EFO e
OPf dão
o.
Of
OP
Of
:.OP =
R
OE
T
.
lxo
Of2
OE
~----+-----~----~~­ XQ
2
Xo
logo
PE -=
Xo
+
•
2
~
H
E
Xo
Por P tracemos uma parallela a x até encontrar o diametro da ellipse conjugado a x 0 • A intersecção X é o antipolo de x.
Para que isto se dê é necessario que o ponto X' symetrico de X em relação a O, seja o polo, isto é, que se verifique a equação.
(HX' B' B) - - 1
ou
HB'
X' B'
HB
X' B
1
152-
Ofa - ~-- ·
~
HB':
HB
-ER'
·.· ER .:.
X'B'
- X'B
P'R'
P'R
ER =
Xo . +
P'R --=-
-
ix 0
+ OP'
=
ER'
lx 0
=
X0 -
+ OP =
i'x0
ix 0
•.• .io.l'·· .....
P'R' --
HB'
HB
X'B'
XB
•
lxo-
'
Xo
"2)
) ( +~
(
. 2)
+
X
~
) (
(
•
X0
.
lx 0
:
lx 0
Xo lx0
--
lxo
1 x0
•·
-
'
- - 1x0 X
-
.- 2
lx 0
-
+ lx
-
lxo
-.
0
3
1xo
2
--
Xo
---~--------~----- -----
+.
i'xo
·X o
-
•
'
+
2
.
lxo-
Xo
lx 0
1
2
lxo -
X o-
o que prova que a construcção feita, nos conduz ao antipolo.
Si se quizer evitar a construcção basta tomar no eixo
conjugado a x um ponto X que delle diste de
.
Xx
=
Xo
+
2
lxo
- - Xx
Xo
Vejamos a distancia do antipolo X a um eixo y normal
a x e cuja distancia ao centro de gravidade seja y0 .
153
QX
QP
+ PX
TO+ PX =
PX
RB
Yo
_L
'
PX
OP
OR
• 2
~
PX
Xo
--=--
c
lxo
PX = ~
Xo
.
.. QX
= Yx
=
Yo
+ X-co
b) O segundo processo para a determinação do antipolo de um eixo, basea-se na propriedade muito importante dos antipolos, que vamos demonstrar de uma maneira
extremamente simples. (*) Si nos elementos dS da superfície S, applicarmos na me~ma direcção e sentido, forças dF
proporcionaes as areas dos elementos e calcularmos o mo ..
menta estatico de cada força em relação ao eixo x, obtemos
productos proporcionaes aos momentos estaticos dos elementos de area, relativamente ao eixo x:
df =
KdS
xdf= xKdS
Appliquemos agora nos elementos de area forças proporcionaes aos respectivos momentos estaticos, já calculados.
A resultante d'essas forças, tem o seguinte valor algebrico:
K' fxdf =
K' fKxdS
=
KK' fxdS =
À fxdS
isto é, uma quantidade proporcional ao momento estatico da
area, em relação ao eixo.
«0 ponto de applicação da resultante d'essas for~s
que exprimen grandezas proporcionaes aos momentos esta(•) Esta demonstração não encontramos em nenhum tratado.
-
154 -
ticos dos elementos de superfície, em relação a x é o antipolo X de x.»
Com effeito, uma vez applicadas aos elementos de superfície dS, forças K' xdF proporcionaes aos momentos estaticos, em relação a x podemos calcular os momentos estaticos d'essas forças relativamente ao mesmo eixo x e obtemos valores proporcionaes, aos momentos de inercia dos elementos de superfície em relação a x:
(K'xdF)x =
=
K'x 2 df
KK'x 2 dS =
Ãx 2 dS
Por outro lado sabemos que para um systema qualquer de forças, o moment0 estahco da resultante é egual
á somma dos momentos estaticos das componentes, portanto:
Ãfx 2 dS =
(ÀjxdS) q
sendo q a distancia do ponto de applicação da resultante
ao eixo x.
A equação acima póde ser escripta da seguinte fórma:
lx
=
qfxdS
• ••
Temos tambem
+ Xo 2 S
+ Xo S
+ x,2) = sx.(x• + i::
fx = lx0
lx = Six02
=
S(ix.
2
fx =
•••
2
Sx 0 xx
Q = Xx
2
)
(1)
Por um ponto qualquer de x, levantemos uma normal
y. Os momentos estaticos em relação a y das forças proporcionaes aos momentos estaticos dos elementos de are~
em relação a x, têm por som ma:
f K'xdfy ====- f KK'xydS =
À lxy
-
155 -
Por outro lado temos que o momento estatico da resultante é egual á somma dos momentos estaticos das componentes:
). lxy .::= ().
f xdS) p
lxy
== p f xdS == Sx
0
p
sendo p a distancia do ponto de applicação da resultante
ao eixo y.
já vimos anteriormente que:
lxy
=
lxyo
+ x0 y0 S
=
(C+x0 y0 ) S
~ Sy
0 [
x0 +
~] =
lr + Xoc]
- Sxo Yo
lxy -= SXoYx
SyoXy
•••
p -= Yx
(2)
As egualdades (1) e (2) provam que o ponto de applicação da resultante dos momentos estaticos confunde-se com
o anti-polo.
Vejamos agora a construcção graphica do antipolo X
de um eixo x, baseada nesta importante propriedade dos
antipolos.
Divide-se a figura dada, em outras menores cujas ellipses centraes de inercia. se saibam construir. Pelo primeiro
processo ou pelo terceiro que veremos determinam-se os
antipolos do eixo x em relação a cada uma das ellipses.
No centro de gravidade de cada uma das figuras parciaes,
applicamos forças proporcionaes ás areas respectivas; pelos
processos da grapho-estatica determinam-se os momentos estaticos d'essas forças que devem ser applicadas nos antipolos.
Oraphicamente determinam-se as direcções das resultantes d'essas novas forças, primeiro considerando-as paraileias ao eixo e depois normaes.
A intersecção nos dará o ponto de applicação das forças momentos estaticos, isto é, o antipolo de x.
c) O terceiro processo baseia-se. nas seguintes considerações: vimos que
Xo
Yx = Yo Xy
156Admittamos por um momento que x e y são differentes
de zero, isto é, que nem o eixo x nem o eixo y passam
pelo centro de gravidade. Si
Xy =
O
isto é, si o etxo x contem o centro y, vamos tambem que
Yx
=
O
isto é, que o eixo y contem o centro X; logo: Si o antipolo
de um eixo cahe sobre um outro eixo, o antipolo d'este ultimo cahe sobre o primeiro.
Vejamos agora a construcção
.
do antipolo de um eixo, baseada
/.
\
nesta propriedade e _para a qual,
apenas é necessari? o conhecimento de dois diametros conjugados.
·.
Das intersecções E e F do
' eixo dado x com os diametros
o
OP e OQ se constroem as antipolares. O antipolo correspondente ao eixo x, devendo se
encontrar nas 2 antipolares só póde se achar na sua intersecção.
Para construir a antipolar do ponto E por exemplo,
determinam-se os antipolos R e S dos dois eixos EO e EQ
(pelo l.o processo, agora simplificado, pela escolha que fizemos dos eixos) . A recta que une R a S é ·a antipolar
do ponto E, visto que contem os antipolos de dois eixos que
se cortam em E.
6 - Applicações.
Determinação dás momentos de inercia, ellipse de inercla e nucleo central de superfícies planas.
a) Vejamos primeiramente o caso que mais frequentemente se apresenta na pratica e de facil resolução. Supponhamos uma superfície da qual se conheçam dois ou um
-- 157 -
eixo de
aos dois
segunda
dade, se
equação.
symetria, e cujos momentos de inercia em relação
eixos na primeira hypothese ou ao eixo unico na
e a normal á elle levantada pelo centro de gravisaibam determinar analyticamente com auxilio da
lx
=f
x2 d S
Ora, cada eixo de symetria é um eixo principal de inercia. Com effeito, tal recta passa evidentemente pelo centro
de gravidade e si a escolhermos para eixo dos x, a normal
no mesmo ponto sendo eixo dos y, a cada x correspondem
dois y eguaes e contrarios, o que acarreta
lxy =
Jxy dS
=
O
Visto isto, tell'\OS exactamente os momentos principaes
de inercia, deduzimos d'elles os raios principaes de gyração
que são os semi-eixos e facil então se torna a construcção
da ellipse centraJ de inercia por pontos.
Para se construir o nucleo central determinam-se os
antipolos das rectas que envolvem a superfície pelo primeiro ou terceiro processos já estudados.
b) Caso geral.
Seja uma superfície plana qualquer e supponhamos que
se queira obter o momento de inercia dessa superfície em
relação a um eixo qualquer do plano, a ellipse de inercia
relativa á um ponto qualquer do mesmo plano e o nucleo
central.
Divide-se a superfície em figuras simples das quaes se
saiba determinar as ellipses centraes de inercia, isto é, em
figuras que correspondam ao caso particular que acabamos
de analysar.
Momento de inercia.
Supponhamos primeiro que se queira calcular o momento de inercia em relação a um eixo qualquer do plano.
Pelos primeiros processos que vamos estudar obtem-se os
-
158 -
momentos de inercia de cada figura parcial em ~elação ao
eixo dado. O momento de inercia da figura total é a somma.
Os ultimos processos nos dão directamente o momento total.
A) A equação
I
nos dá o v_a lor do momento de inercia da superfície em relação a um eixo qualquer, quando se conhece um eixo parallelo áquelle passando pelo centro da gravidade.
Podemos escrever essa expressão da seguinte fórma:
Da figura tiramos
+ ~ RT
: . lx == S X RT
Íx 0
2
Xo
2
2
2
...
- . .......
o
a
-
R.
R
Supponhamos momentos obliquos (direcção aa)
l'x
==
_ Ix_
cos 2 a
==
s (~~ +
2
cos a
I'x
==
2
Xo_ - )
2
cos a
s X Rf
2
==
s (i' +
Xo2
x 'o 2 )
-
159
B) Determinação pelos antipolos.
Sabemos que
== S
IX
sen do
Xo Xx
Xx
== S _2(~
cos
a;
==
+
Xo
a;
.,
sendo
x 'x
== x 'o + I
2
Xo
== s x 'o
Xx
cos
.
~
X
X
2
Xn
x 'o
Em vez de calcular Xx por esta ultima formula é mais
pratico determinar graphicamente a posição de X pelo 1.0
ou pelo 3.o processo de determinação de antipolos.
Mede-se em seguida a distancia de X ao eixo x, que é
justamente Xx ou o comprimento x 'x .
C). Determinação pelo circulo de inercia.
Sabemos que
Ia,
Ia
1
a.
\
\
\
\
== Ia + 2za S + z S
== iy S + Sz(z + 2a
0
2
2
0)
-160•
b2
Baixando-se pots dos antifocos 8 1 e B2 as .normaes bt e
sobre o eixo a1 e observando-se que z
b 1 , vem:
==
b2
== b + 2a
1
0
=-:
z
+ 2a
0
Momentos obliquos
O)
Determinação pêlo processo Culmann. Temos:
IX== S XoXx;:== az XoXx == a b z Xx == a b cz
-r>
I
11
11/
No centro da gravidade de cada uma das figuras componentes applicam-se forças z' parallelas ao eixo x e proporcionaes ás areas respectivas. Determinam-se em seguida
graphicamente os momentos estaticos (*) das diversas areas em
relação a x e applicam-se nos antipolos de x em relação ás
diversas ellipses, fo_rças z" parallelas ao eixo e propo~cionaes
aos momentos estaticos achados. Os antipolos s~o determinados por qualquer dos processos atraz indicados.
Novamente e da mesma maneira determinam-se os momentos estaticos dessas ultimas forças, cuja somma é proporcional ao momento de inercia da area total.
Supponhamos uma figura da qual o momento de inercia em relação ao eixo x se quer determinar. Divide-se a
figura em rectangulos, cujas areas se reduzem a uma base
arbitraria a e com os segmentos proporcionaes z' fórma-se a
recta das forças na direcção parallela a x, projectando-as em
seguida do polo P, situado a uma distancia arbitraria b.
Applicando nos centros de gravidade dos rectangulos
fqrças z horizontaes, com o auxilio do polygono funicular
determinam-se segmentos z" com as intersecções dos lados
Estes segmentos i"
do polygono funicular com o eixo a.
são proporcionaes aos momentos estaticos, de accordo com
o que se sabe de grapho-estatica.
Consideram-se agora estes segmentos, como novas forças, projectamos em seguida a de um novo polo P', a uma
\
I
(*) Para a determinação graphica dos momentos estaticos vide Guidi,
Scienze delle Costruzioni, l.o volume.
-
161
distancia arbit~aria c; applicando agora as forças parallelamente a x nos antipolos que se determinam por qualquer
um dos processos já vistos.
Os lados extremos do segundo polygono funicular interceptam sobre o eixo x o segmento ~ z'"
Teremos então
lx =
Momentos )' ==== lx
=
obliquos
x
cos 2 a
abc~z'"
a
__!:: __c _ ~z'" -= ab'c'~z'"
cosa cosa
Nota
Muitas vezes,. como no caso em que x passa pelos centros de gravidade das figuras parciaes, temos necessidade
de empregar uma outra construcção.
Sabemo_s que
designando )x o momento de inercia de uma das figuras
parctaes. Reduzindo S a uma base a, temos
+
Applico a uma distancia yx0 2
ix/ do eixo x uma força
parallela a x e egual a F. Com o polygono funicular obtenho
o producto F 0 2
ix02 representado por bz". Applicando no
yx +
mesmo ponto força agora egual a z", isto é, F
2
Vx +
obtenho com novo polygono funicular o producto F
02
ixo
b
(x2+i
2)
0
b
xo
representado por cz'"
Jx == S (V
X0
2
-_ abz ,r, x0 2
+ Íx
2
0
-1- ,·x 2
0
2
)
== a F
--
abcz'"
l'
X0
2
+ ix
2
0
VX0 2 + ix/ ==
J - abc"z'"
I x-~x- "
...J
- 162
Obtem-se facilmente
,/
y Xo2
+.
l xo
pela seguinte construc-
2
. ção:
· Tomo sobre O X 0 a partir de O um comprimento
uno a extremidade a P e tenho J·ustamente ,/r x O 2 + 1•Xo2
1x 0 ;
,
I
I
'
I
----------~----------x
Momentos obliquos
J'x ==a [f -v x'o2
+ i'xo2] -v x'o 2 + i'xo2 == a b' [ z" -v x'o 2 + i'xo2
== a b' c' z'"
+ i'xo2 se obtem analogamente.
l'x ==a b' c' ~ z"' sendo que vx 'o 2
E) Determinação pelo processo Land-Mohr.
Vamos suppor a figura dada dividida em faixas de alturas pequeníssimas de fórma que se possa escrever
.
Jx == SxoXx == Sx
0 (
Xo
+
• 2
1
:
0
)
== Sx
2
0
0
fazendo
S == a z' vem
Jx == a z x0 2 == a z ' x0 x0
I
lx
== a b ~ z"
X0
== a b z
'f
== 2 a b ~ _!_ z" Xo
2
x0
163
~
1
é a area S' comprehendida
z X0
2
entre o polygono funicular e o eixo x.
A sommatoria
lx == 2 a b S'
lx
-==a~
ou fazendo
.
z' S'
...
mas
fx
b ==
a~
~ 2: z'
2
z' ==S
== SS
Na realidade para se empregar este processo deveria
dividir a figura em faixas de altura minima; póde-se porém
evitar esta complicação observando que a curva em que degenera o polygono funicular quando as faixas se tornam de
altura infinitesimal, é inscripta no polygono. Este facto nos
fornece um meio de traçar com sufficiente approximação a
curva, ainda que esteja a figura dada dividida em faixas de
grande altura.
Ellipse de inercia.
Vejamos agora a construcção da ellipse de inercia em
relação a um ponto qualquer que podemos suppor ser o
centro da gravidade.
Achamos pelos processos vistos os momentos de inercia
em relação a 2 eixos orthogonaes passando pelo centro. Ao
mesmo tempo determinamos o momento centrifugo da superfície em relação aos 2 eixos. Para isto podemos em pregar
(no caso em que os 2 eixos são parallelos aos eixos principaes de todas as ellipses de inercia das figuras parciaes),
a equação
sendo
pots
C0
==o
para cada uma das figuras parciaes e sommar os resultados.
Tambem podemos empregar o processo dos polygonos
164 funicularep. Supponhamos 2 eixos x e y em relação aos
quaes se quer o momento centrifugo da figura.
Admittamos em cada figura parcial applicada no centro
de gravidade uma força proporcional a aerea.
O momento estatico da area parcial será
a z x 0 ==a b z .
1/
I
consideremos agora a grandeza z'' como uma nova força applicada no mesmo ponto e depois de tel-a disposto parallelamente ao eixo construimos com um segundo polygono funicula,r o momento estatico
z" y0 ==c z"'
-
temos então
a z x0 y 0 == a b c z fff
I
Para todo o systema de forças
~
em que ~z'"
extremos do
Obtidos
da superficie
mula
a z' x0 y0 == a b c ~ z"'
é o segmento interceptado sobre y pelos lados
2.o polygono funicular.
assim os momentos de inercia e centrifugos
em relação aos 2 ei:~os orthogonaes, pela foríg 2
(X
== 2 I xy
ly- lx
deduzimos a situação
dos eixos principaes e os raios de gy,
ração principaes, d'onde traçamos a ellipse por pontos.
Póde-se obter o mesmo resultado graphicamente pelo
processo do circulo de Land-Mohr.
Vejamos os fundamentos theoricos d' essa construcção de
Land-Mohr.
Si imprimirmos ao systema OXY um movimento de rotação, os momentos de inercia relativos a nova posição
dos eixos são dados, como já vimos, pelas equações.
165
~
fx
1
IY1
== ~x -1 1L
-
[
Jy--; lx
== --lx +2 ly + [ fy -2
COS
2>:
+ lxy Sen 2>:
fx cos 2a
l
l
+ fxy sen 2a
Vamos suppor que os novos eixos OX 1 e OY1 são os
principaes de inercia; nestas circumstancias
tg 2a
==
'2 fxy
fy- fx
ou
lx
+ ly
logo
lx 1
I Yl
fy- fx
2
fxy
sen2a
2
fx
+
2
ly
fxy
tg2a
+
lxy
sen 2 a
Appliquemos em OD numa escala conveniente uma grandeza igual a lx e .em seguida, na mesma escala OT uma grandeza egual a lxy . Com o diametro OC construamos um
circulo de raio:
lx
+
ly
2
Em D appliquemos
normalmente a x o
segmento DT egual a
lxy . a direita si fôr
positivo e a esquerda
em caso contrario. O
ponto T assim determinado recebe o nome de centro de inercia ou ponto principal
de inercia. Unindose este ponto ao cen-
,,
,/ ,
B
,,,"
,'
,,
-
166 -
tro do circulo por uma recta e prolongando-a até encontrar a
circujllferencia obtemos o~ pon~9s E e ~· Os_segmentos. TE
e TF representam na escala adoptada os momentos .de iner_cia
principaes procurados e ao mesmo tempo OE e OF serão
os eixos principaes de inercia.
Com effeito, em virtude d' essa · construcção realisada
temos
~- 2y
y== 90 -
~
tg p == tg (180 - 2q:>)
==
DT
- tg2~ == --
0M
tg (:J
== -
OM - - CD
tg 2~ ==
- Iy
tg 2 ~
_
2 I xy _ 2 Ixy
-1X - ly
ly - lx. '
- ---- -
o que prova que OE e OF são .os eixos principaes de inercia.
· Por outro lado
r == lx
+ ly
2
lxy == MT sen
TE == r -
TF
MT ==
MT == ___hL
~
sen2~
lx + ly _ -~ __ IA
2
sen2cp
--=-
== r + MT == lx + ly +
2
I xy sen2cp
IB
167
de accordo com o que já foi visto anteriormente, sendo OA
o eixo principal inclinado de cp sobre o eixo OX e OB o
outro eixo principal.
Determinados assim os eixos pripcipaes da ellipse de
inercia facil é construir a ellipse.
Nucleo central.
Para se determinar o nucleo central, obtem-se pelos
processos estudados (l.o e 3.o), os antipolos das rectas que
envolvem a figura e unem-se os em seguida.
ARY TORRES.
Bibliographia :
Paula Souza - Resistencia dos Materiaes. C. Ouidi
- Scienze delle Costruzioni. A. Foppl - Résistance des Matériaux.
Culman - Statique graphique. Levy - La Statique .graphique. Beljord
Roxo - Resistencia dos Materiaes.

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