Matemática Aplicada

Transcrição

Matemática Aplicada

APOSTILA
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
UTFPR
Lauro César Galvão
ii
Índices
1
SISTEMATIZAÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS...............................................1-1
1.1
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.1.5
1.2
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.2.6
1.3
1.3.1
2
CONJUNTOS NUMÉRICOS................................................................................................................1-1
Conjunto dos números naturais...................................................................................................1-1
Conjunto dos números inteiros....................................................................................................1-1
Conjunto dos números racionais.................................................................................................1-1
Conjunto dos números irracionais..............................................................................................1-3
Conjunto dos números reais.........................................................................................................1-4
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS.......................................................................................................1-4
Noções primitivas...........................................................................................................................1-4
Igualdade de conjuntos.................................................................................................................1-5
Subconjuntos...................................................................................................................................1-5
União de conjuntos........................................................................................................................1-5
Intersecção de conjuntos...............................................................................................................1-6
Diferença de conjuntos..................................................................................................................1-6
INTERVALOS ....................................................................................................................................1-7
Operações com intervalos............................................................................................................1-8
FUNÇÕES ................................................................................................................................... 2-10
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.6.1
3
CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO ........................................................................................2-10
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO................................................................................................................2-11
NOTAÇÃO DE FUNÇÃO..................................................................................................................2-13
DOMÍNIO , CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO.......................................................2-13
FUNÇÃO COMPOSTA......................................................................................................................2-14
FUNÇÃO INVERSA ..........................................................................................................................2-16
Determinação da função inversa.............................................................................................. 2-16
FUNÇÃO POLINOMIAL ...................................................................................................... 3-18
3.1
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.1.5
3.2
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.3
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.3.4
3.3.5
3.3.6
3.4
3.4.1
3.4.2
3.4.3
4
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O GRAU .............................................................................................3-18
Função linear............................................................................................................................... 3-18
Gráfico de uma função polinomial do 1 o grau....................................................................... 3-18
Determinação de uma função a partir do gráfico................................................................. 3-19
Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1o grau................................ 3-20
Estudo do sinal da função polinomial do 1o grau ................................................................. 3-21
INEQUAÇÕES DO 1O GRAU ............................................................................................................3-22
Resolução de inequações do 1o grau ....................................................................................... 3-23
Sistemas de inequações do 1o grau.......................................................................................... 3-23
Inequação-produto e inequação-quociente ............................................................................ 3-24
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2O GRAU .............................................................................................3-26
Gráfico de uma função quadrática .......................................................................................... 3-26
Concavidade................................................................................................................................. 3-26
Zeros de uma função quadrática.............................................................................................. 3-27
Vértice da parábola .................................................................................................................... 3-27
Gráfico de uma parábola........................................................................................................... 3-28
Estudo do sinal da função quadrática..................................................................................... 3-28
INEQUAÇÕES DO 2O GRAU ............................................................................................................3-29
Resolução de inequações do 2o grau ....................................................................................... 3-29
Sistemas de inequações do 2o grau.......................................................................................... 3-30
Inequação-produto e inequação-quociente ............................................................................ 3-31
FUNÇÃO EXPONENCIAL................................................................................................... 4-34
4.1
4.1.1
4.1.2
4.1.3
4.1.4
4.2
4.2.1
4.2.2
4.3
REVISÃO DE POTENCIAÇÃO .........................................................................................................4-34
Potências com expoente natural............................................................................................... 4-34
Potências com expoente inteiro................................................................................................ 4-34
Potências com expoente racional............................................................................................. 4-34
Potências com expoente real..................................................................................................... 4-34
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS...........................................................................................................4-35
Resolução de equações exponenciais...................................................................................... 4-36
Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios............................................. 4-37
FUNÇÃO EXPONENCIAL................................................................................................................4-37
iii
4.3.1
4.3.2
4.4
4.4.1
5
Gráfico da função exponencial no plano cartesiano............................................................ 4-38
Características da função exponencial ................................................................................... 4-39
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS .......................................................................................................4-39
Resolução de inequações exponenciais................................................................................... 4-39
FUNÇÃO LOGARÍTMICA................................................................................................... 5-41
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.6.1
5.7
6
DEFINIÇÃO DE LOGARITMO .........................................................................................................5-41
CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO.................................................................................................5-41
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS..............................................................................................5-42
COLOGARITMO..............................................................................................................................5-42
M UDANÇA DE BASE ......................................................................................................................5-43
FUNÇÃO LOGARÍTMICA................................................................................................................5-44
Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano............................................................. 5-44
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS ......................................................................................................5-45
TRIGONOMETRIA ................................................................................................................ 6-47
6.1
6.2
6.3
6.4
6.4.1
6.4.2
6.4.3
6.5
6.6
6.6.1
6.6.2
6.6.3
6.6.4
6.7
6.7.1
6.7.2
6.7.3
6.8
6.8.1
6.8.2
6.8.3
6.9
6.9.1
6.9.2
6.9.3
6.10
6.10.1
6.10.2
6.10.3
6.11
6.11.1
6.11.2
6.12
6.12.1
7
TRIÂNGULO RETÂNGULO.............................................................................................................6-47
RELAÇÕES MÉTRICAS NO T RIÂNGULO RETÂNGULO .................................................................6-47
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO .....................................................6-49
CONSEQÜÊNCIAS DAS DEFINIÇÕES.............................................................................................6-50
Ângulos complementares........................................................................................................... 6-51
Divisão.......................................................................................................................................... 6-51
Aplicando o teorema de Pitágoras........................................................................................... 6-51
Â NGULOS NOTÁVEIS.....................................................................................................................6-52
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA OU CICLO TRIGONOMÉTRICO ......................................6-54
Arco de circunferência............................................................................................................... 6-54
Medidas de arcos........................................................................................................................ 6-54
Ciclo trigonométrico................................................................................................................... 6-56
Arcos côngruos............................................................................................................................ 6-57
SENO E COSSENO DE UM ARCO....................................................................................................6-59
Conseqüências............................................................................................................................. 6-59
Função seno e função cosseno.................................................................................................. 6-59
Gráfico das funções seno e cosseno......................................................................................... 6-60
TANGENTE DE UM ARCO ..............................................................................................................6-62
Conseqüências............................................................................................................................. 6-62
Função tangente.......................................................................................................................... 6-62
Gráfico da função tangente....................................................................................................... 6-62
COTANGENTE DE UM ARCO .........................................................................................................6-63
Conseqüências............................................................................................................................. 6-64
Função cotangente...................................................................................................................... 6-64
Gráfico da função cotangente................................................................................................... 6-64
SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO.......................................................................................6-64
Função secante e cossecante..................................................................................................... 6-65
Gráfico da função secante......................................................................................................... 6-65
Gráfico da função cossecante................................................................................................... 6-66
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS...................................................................................................6-67
Usando o teorema de Pitágoras............................................................................................... 6-67
Usando semelhança entre triângulos...................................................................................... 6-68
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS..............................................................................................6-69
Processo para demonstrar identidades................................................................................... 6-69
MATRIZES ................................................................................................................................ 7-72
7.1
7.1.1
7.2
7.2.1
7.2.2
7.2.3
7.3
7.3.1
7.4
7.4.1
7.4.2
CONCEITO DE MATRIZ ..................................................................................................................7-72
Algumas matrizes especiais....................................................................................................... 7-73
M ATRIZ QUADRADA .....................................................................................................................7-73
Matriz identidade........................................................................................................................ 7-73
Matriz diagonal ........................................................................................................................... 7-74
Matriz oposta ............................................................................................................................... 7-74
IGUALDADE DE MATRIZES ...........................................................................................................7-74
Matriz transposta ........................................................................................................................ 7-75
OPERAÇÕES COM MATRIZES........................................................................................................7-75
Adição de matrizes...................................................................................................................... 7-75
Subtração de matrizes................................................................................................................ 7-75
iv
7.4.3
7.4.4
7.4.5
8
Produto de um número real por uma matriz.......................................................................... 7-76
Produto de matrizes.................................................................................................................... 7-77
Matriz inversa.............................................................................................................................. 7-78
DETERMINANTES ................................................................................................................. 8-80
8.1
8.2
8.3
8.3.1
8.4
8.4.1
8.4.2
8.4.3
8.4.4
8.4.5
8.4.6
9
DETERMINANTE DE 1A ORDEM ....................................................................................................8-80
Regra de Sarrus........................................................................................................................... 8-81
DETERMINANTE DE ORDEM MAIOR QUE 3.................................................................................8-82
Menor complementar.................................................................................................................. 8-82
Cofator ou complemento algébrico.......................................................................................... 8-82
Conclusões ................................................................................................................................... 8-83
Teorema de Laplace ................................................................................................................... 8-84
Teorema de Binet ........................................................................................................................ 8-86
Determinante da matriz inversa ............................................................................................... 8-86
SISTEMAS LINEARES .......................................................................................................... 9-88
9.1
9.1.1
9.2
9.2.1
9.3
9.4
9.4.1
9.5
9.6
10
EQUAÇÃO LINEAR .........................................................................................................................9-88
Solução de uma equação linear................................................................................................ 9-88
SISTEMA LINEAR ...........................................................................................................................9-89
Sistemas lineares equivalentes.................................................................................................. 9-90
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ..................................................................................9-91
M ATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR.......................................................................9-91
Forma matricial do sistema linear........................................................................................... 9-91
REGRA DE CRAMER......................................................................................................................9-92
RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR ESCALONAMENTO................................................9-94
GEOMETRIA ..........................................................................................................................10-99
10.1
10.1.1
10.1.2
10.1.3
10.1.4
10.1.5
10.1.6
10.1.7
10.1.8
10.1.9
10.2
10.2.1
10.2.2
10.2.3
10.2.4
10.2.5
10.2.6
10.2.7
10.2.8
10.2.9
11
POLÍGONOS ..................................................................................................................................10-99
Polígonos regulares..................................................................................................................10-99
Área do triângulo......................................................................................................................10-99
Área do paralelogramo..........................................................................................................10-103
Área dos paralelogramos notáveis.......................................................................................10-103
Área do trapézio......................................................................................................................10-104
Área e comprimento de um círculo......................................................................................10-106
Área da coroa circular...........................................................................................................10-106
Área do setor circular............................................................................................................10-107
Área do segmento circular....................................................................................................10-107
GEOMETRIA ESPACIAL............................................................................................................. 10-109
Poliedros...................................................................................................................................10-109
Poliedros regulares.................................................................................................................10-111
Prismas .....................................................................................................................................10-114
Pirâmides..................................................................................................................................10-121
Tronco de pirâmide.................................................................................................................10-123
Cilindros...................................................................................................................................10-128
Cones.........................................................................................................................................10-131
Tronco de cone ........................................................................................................................10-133
Esferas.......................................................................................................................................10-137
GEOMETRIA ANALÍTICA: PONTO E RETAS .......................................................11-143
11.1
11.2
11.2.1
11.3
11.3.1
11.3.2
11.4
11.4.1
11.4.2
11.4.3
11.5
11.5.1
SEGMENTO DE RETA ................................................................................................................ 11-143
SEGMENTO ORIENTADO........................................................................................................... 11-143
Eixo............................................................................................................................................11-143
M EDIDA ALGÉBRICA DE UM SEGMENTO ORIENTADO.......................................................... 11-143
Abscissa de um ponto.............................................................................................................11-144
Ponto médio .............................................................................................................................11-145
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS ......................................................................... 11-145
Distância entre dois pontos...................................................................................................11-147
Área de um triângulo..............................................................................................................11-147
Condição de alinhamento de três pontos............................................................................11-149
ESTUDO DA RETA ..................................................................................................................... 11-150
Equação geral da reta............................................................................................................11-150
v
11.5.2
11.5.3
11.5.4
11.5.5
11.5.6
11.5.7
12
Retas particulares...................................................................................................................11-151
Posições relativas entre duas retas......................................................................................11-153
Coeficiente angular ou declividade de uma reta...............................................................11-154
Equação reduzida da reta......................................................................................................11-156
Equação da reta, dados um ponto e a direção...................................................................11-157
Paralelismo entre retas..........................................................................................................11-157
GEOMETRIA ANALÍTICA: CIRCUNFERÊNCIA..................................................12-158
12.1
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA ............................................................................................ 12-158
12.1.1 Equação reduzida da circunferência...................................................................................12-158
12.1.2 Equação geral da circunferência.........................................................................................12-159
vi
Índices de Figuras
[FIG. 1]:
[FIG. 2]:
[FIG. 3]:
[FIG. 4]:
[FIG. 5]:
[FIG. 6]:
[FIG. 7]:
[FIG. 8]:
[FIG. 9]:
[FIG. 10]:
[FIG. 11]:
[FIG. 12]:
[FIG. 13]:
[FIG. 14]:
[FIG. 15]:
[FIG. 16]:
[FIG. 17]:
[FIG. 18]:
[FIG. 19]:
[FIG. 20]:
[FIG. 21]:
[FIG. 22]:
[FIG. 23]:
[FIG. 24]:
[FIG. 25]:
[FIG. 26]:
[FIG. 27]:
[FIG. 28]:
[FIG. 29]:
[FIG. 30]:
[FIG. 31]:
[FIG. 32]:
[FIG. 33]:
[FIG. 34]:
[FIG. 35]:
[FIG. 36]:
[FIG. 37]:
[FIG. 38]:
[FIG. 39]:
[FIG. 40]:
[FIG. 41]:
[FIG. 42]:
[FIG. 43]:
[FIG. 44]:
[FIG. 45]:
[FIG. 46]:
[FIG. 47]:
[FIG. 48]:
[FIG. 49]:
[FIG. 50]:
[FIG. 51]:
[FIG. 52]:
[FIG. 53]:
[FIG. 54]:
[FIG. 55]:
[FIG. 56]:
[FIG. 57]:
[FIG. 58]:
RETA REAL R .................................................................................................................................1-4
DIAGRAMA DOS CONJUNTOS A E B ..........................................................................................1-5
DIAGRAMA DOS CONJUNTOS A , B E C (SUBCONJUNTOS)...................................................1-6
DIAGRAMA DOS CONJUNTOS A , B E C (UNIÃO / INTERSECÇÃO / DIFERENÇA). ...............1-7
GRÁFICO DO INTERVALO ]−2,3]....................................................................................................1-7
REPRESENTAÇÃO DA RELAÇÃO POR DIAGRAMA......................................................................2-10
REPRESENTAÇÃO DA RELAÇÃO POR SISTEMA CART ESIANO...................................................2-11
FUNÇÃO COMPOSTA......................................................................................................................2-14
CONCAVIDADE DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA. ......................................................................3-26
VÉRTICE DE PARÁBOLAS (∆>0 PARA AS DUAS). .......................................................................3-27
GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL ( a >1)................................................5-44
GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL (0< a <1). ..........................................5-45
ELEMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO.................................................................................6-47
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO.....................................................6-49
TRIÂNGULO A B C QUE DEFINE AS RAZÕES.........................................................................6-49
TRIÂNGULO A B C , CONSEQÜÊNCIAS DAS DEFINIÇÕES. ....................................................6-51
A RCO DE CIRCUNFERÊNCIA.........................................................................................................6-54
CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO r . ....................................................................................................6-55
QUADRANTES NO CICLO TRIGONOMÉTRICO..............................................................................6-56
M EDIA DE ARCOS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO........................................................................6-56
A RCO α PARA O CONCEITO DE SENO E COSSENO......................................................................6-59
GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO.........................................................................................................6-60
GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO..................................................................................................6-61
A RCO α PARA O CONCEITO DE TANGENTE. ...............................................................................6-62
GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE...............................................................................................6-63
A RCO α PARA O CONCEITO DE COTANGENTE............................................................................6-63
GRÁFICO DA FUNÇÃO COTANGENTE..........................................................................................6-64
A RCO α PARA O CONCEITO DE SECANTE E COSSECANTE.........................................................6-65
GRÁFICO DA FUNÇÃO SECANTE..................................................................................................6-65
GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSECANTE...........................................................................................6-66
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CICLO....................................................................................6-67
FUNÇÕES ADAPTADAS NO CICLO................................................................................................6-67
TRIÂNGULOS SEMELHANTES.......................................................................................................6-67
TABELA DE NOTAS........................................................................................................................7-72
DIAGONAIS DE UMA MATRIZ.......................................................................................................7-73
DETERMINANTE PELA REGRA DE SARRUS.................................................................................8-81
POLÍGONO CONVEXO E POLÍGONO CÔNCAVO . ........................................................................10-99
HEXÁGONO REGULAR: 6 LADOS CONGRUENTES E 6 ÂNGULOS CONGRUENTES. ................10-99
Á REA 1 DO TRI ÂNGULO ........................................................................................................... 10-100
Á REA 2 DO TRIÂNGULO ........................................................................................................... 10-100
Á REA 3 DO TRIÂNGULO ........................................................................................................... 10-101
RAIO DA CIRCUNFERÊNCI A INSCRITA.................................................................................... 10-102
RAIO DA CIRCUNFERÊNCI A CIRCUNSCRITA.......................................................................... 10-102
Á REA DO PARALELOGRAMO................................................................................................... 10-103
RETÂNGULO.............................................................................................................................. 10-103
LOSANGO . ................................................................................................................................. 10-103
QUADRADO............................................................................................................................... 10-104
TRAPÉZIO .................................................................................................................................. 10-104
CÍRCULO.................................................................................................................................... 10-106
COROA CIRCULAR.................................................................................................................... 10-106
SETOR CIRCULAR..................................................................................................................... 10-107
SEGMENTO CIRCULAR............................................................................................................. 10-107
Á REA DO SEGMENTO CIRCULAR QUE NÃO CONTÉM O CENTRO ......................................... 10-108
Á REA DO SEGMENTO CIRCULAR QUE CONTÉM O CENTRO.................................................. 10-108
POLIEDRO.................................................................................................................................. 10-109
POLIEDROS CONVEXOS............................................................................................................ 10-109
POLIEDRO NÃO-CONVEXO...................................................................................................... 10-109
TEOREMA DE EULER................................................................................................................ 10-110
vii
[FIG. 59]:
[FIG. 60]:
[FIG. 61]:
[FIG. 62]:
[FIG. 63]:
[FIG. 64]:
[FIG. 65]:
[FIG. 66]:
[FIG. 67]:
[FIG. 68]:
[FIG. 69]:
[FIG. 70]:
[FIG. 71]:
[FIG. 72]:
[FIG. 73]:
[FIG. 74]:
[FIG. 75]:
[FIG. 76]:
[FIG. 77]:
[FIG. 78]:
[FIG. 79]:
[FIG. 80]:
[FIG. 81]:
[FIG. 82]:
[FIG. 83]:
[FIG. 84]:
[FIG. 85]:
[FIG. 86]:
[FIG. 87]:
[FIG. 88]:
[FIG. 89]:
[FIG. 90]:
[FIG. 91]:
[FIG. 92]:
[FIG. 93]:
[FIG. 94]:
[FIG. 95]:
[FIG. 96]:
[FIG. 97]:
[FIG. 98]:
[FIG. 99]:
[FIG. 100]:
[FIG. 101]:
[FIG. 102]:
[FIG. 103]:
[FIG. 104]:
[FIG. 105]:
[FIG. 106]:
[FIG. 107]:
[FIG. 108]:
[FIG. 109]:
[FIG. 110]:
[FIG. 111]:
[FIG. 112]:
[FIG. 113]:
[FIG. 114]:
[FIG. 115]:
TETRAEDRO REGULAR............................................................................................................. 10-112
HEXAEDRO REGULAR.............................................................................................................. 10-112
OCTAEDRO REGULAR.............................................................................................................. 10-112
DODECAEDRO REGULAR......................................................................................................... 10-113
ICOSAEDRO REGULAR.............................................................................................................. 10-113
PRISMAS. ................................................................................................................................... 10-114
PRISMA RETO E PRISMA OBLÍQUO.......................................................................................... 10-115
PRISMA RETO PENTAGONAL E PLANIFICAÇÃO ..................................................................... 10-115
VOLUME DE UM PRISMA.......................................................................................................... 10-119
PIRÂMIDE .................................................................................................................................. 10-121
PIRÂMIDE REGULAR................................................................................................................. 10-121
PIRÂMIDE REGULAR QUADRANGULAR E SUA PLANIFICAÇÃO............................................ 10-122
VOLUME DA PIRÂMIDE............................................................................................................ 10-123
SECÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE .......................................................................... 10-123
TRONCO DE PIRÂMIDE............................................................................................................. 10-124
VOLUME DO TRONCO DE PIRÂMIDE ....................................................................................... 10-124
CILINDROS. ............................................................................................................................... 10-128
CILINDRO CIRCULAR RETO (DE REVOLUÇÃO)...................................................................... 10-128
CILINDRO EQÜILÁTERO........................................................................................................... 10-129
CILINDRO RETO E PLANIFICAÇÃO .......................................................................................... 10-129
VOLUME DO CILINDRO............................................................................................................ 10-130
CONE.......................................................................................................................................... 10-131
CONE REGULAR........................................................................................................................ 10-131
CONE REGULAR........................................................................................................................ 10-132
CONE REGULAR E SUA PLANIFICAÇÃO.................................................................................. 10-132
VOLUME DO CONE . .................................................................................................................. 10-133
SECÇÃO TRANSVERSAL DE UM CONE .................................................................................... 10-133
TRONCO DE CONE ..................................................................................................................... 10-134
PLANIFICAÇÃO DO TRONCO DE CONE.................................................................................... 10-134
VOLUME DO TRONCO DE CONE.............................................................................................. 10-135
ESFERA E SUPERFÍCIE ESFÉRICA. ........................................................................................... 10-137
PLANO TANGENTE A UMA ESFERA......................................................................................... 10-137
SECÇÃO ESFÉRICA.................................................................................................................... 10-138
COROA CIRCULAR.................................................................................................................... 10-138
SÓLIDO REFERENTE À SECÇÃO ESFÉRICA............................................................................. 10-139
CUNHA ESFÉRICA..................................................................................................................... 10-141
SEGMENTO DE RETA................................................................................................................ 11-143
M EDIDA DE UM SEGMENTO DE RETA..................................................................................... 11-143
EIXO OU RETA ORIENTADA..................................................................................................... 11-143
M EDIDA DO SEGMENTO ORIENTADO..................................................................................... 11-144
PONTO MÉDIO........................................................................................................................... 11-145
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS. ........................................................................ 11-146
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS............................................................................................ 11-147
Á REA DE UM TRIÂNGULO........................................................................................................ 11-148
EQUAÇÃO GERAL DA RETA..................................................................................................... 11-150
RETA PARALELA AO EIXO y . ................................................................................................ 11-151
RETA PARALELA AO EIXO x .................................................................................................. 11-152
RETA QUE PASSA PELA ORIGEM (0,0).................................................................................... 11-152
EQUAÇÃO SEGMENTARIA........................................................................................................ 11-152
POSIÇÕES ENTRE DUAS RETAS................................................................................................ 11-153
TANGENTE DE UM ÂNGULO, NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ................................................. 11-154
COEFICIENTE ANGULAR.......................................................................................................... 11-155
OBTENÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR................................................................................ 11-155
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA............................................................................................... 11-156
RETAS PARALELAS................................................................................................................... 11-157
CIRCUNFERÊNCIA . ................................................................................................................... 12-158
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA............................................................................................ 12-158
Sistematização dos conjuntos numéricos
1-1
1 Sistematização dos conjuntos numéricos
1.1 Conjuntos numéricos
O conceito de números é um dos mais fundamentais e primitivos na Matemática.
1.1.1 Conjunto dos números naturais
N ={0, 1, 2, 3, …};
N ∗ ={1, 2, 3, …}.
1.1.2 Conjunto dos números inteiros
É a ampliação dos números naturais para que a subtração faça sentido.
Z ={…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …};
Z ∗ ={…, −3, −2, −1, 1, 2, 3, …};
Z + ={0, 1, 2, 3, …}, (inteiros não negativos);
Z − ={…, −3, −2, −1, 0}, Inteiros não positivos).
1.1.3 Conjunto dos números racionais
É qualquer fração envolvendo números inteiros.
Q ={ x / x =
p
, p ∈ Z e q ∈ Z ∗}
q
Todo número racional pode ser representado na forma decimal e podemos ter dois
casos:
• (a) A representação decimal finita:
Exercício 1
3
4
Resolução:
3
= ........................................
4
Exercício 2
3
5
Resolução:
3
= ........................................
5
• (b) A representação decimal infinita periódica:
Exercício 3
1
3
Resolução:
1
= ........................................
3
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)
Lauro
47
Exercício 4
90
Resolução:
47
= ........................................
90
Para se obter representações decimais de um número racional
p
, basta dividir p por
q
q . As representações da forma (b) são chamadas dízimas periódicas.
Reciprocamente, podemos representar um número decimal racional na forma
p
.
q
Seja x um número racional. Nos exercícios seguintes, determine x na forma
p
.
q
Exercício 5
x =1,25
Resolução:
x = ........................................
Exercício 6
x =0,666…
Resolução:
x = ........................................
Exercício 7
x =0,5222…
Resolução:
x = ........................................
Exercício 8
1-2
x =0,141414…
Resolução:
Lauro
x = ........................................
Exercício 9
x =2,171717…
Resolução:
x = ........................................
Exercício 10
x =0,003777…
Resolução:
x = ........................................
Exercício 11
x =0, 3515151…
Resolução:
x = ........................................
1.1.4 Conjunto dos números irracionais
I ={ x / x é um número decimal ilimitado não periódico}
• Nos exercícios abaixo, alguns exemplos de números irracionais:
Exercício 12
2
Resolução:
2 = ........................................
Exercício 13
π
Resolução:
π= ........................................
Lauro
1-3
Exercício 14
e
Resolução:
e = ........................................
1-4
1.1.5 Conjunto dos números reais
R =Q∪I
Existe uma correspondência biunívoca entre todos os números reais e os pontos de
uma reta.
-
3
-4 -3 -2 -1
[Fig. 1]: Reta real
0
1
2
3
4
R.
Mostre que
Exercício 15
e π
3
2 ∉Q.
Resolução:
1.2 Operações com conjuntos
1.2.1 Noções primitivas
Conjunto, elemento, pertinência entre elementos e conjunto.
Considerando-se os conjuntos A ={ a , b , c }, B ={ m , n } e C =∅ ( C é o
conjunto vazio), verifique a pertinência ou não dos elementos abaixo aos conjuntos.
Exercício 16
Resolução:
• a
...........
A;
• n
...........
A;
• h
...........
C;
• m
...........
B;
• c
...........
C;
• b
...........
B;
• c
...........
A.
Lauro
1-5
1.2.2 Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos A e B são considerados iguais se, e somente se, todo elemento
de A pertencer a B e vice-versa.
Definição 1
A = B ⇔ ∀ x , ( x ∈ A ⇔ x ∈ B ).
Considerando-se os conjuntos
A ={ a , b , c },
B ={ m , n },
C =∅,
D ={ b , c , a }, E ={} e F ={ n , m , n }, verifique a igualdade ou não dos conjuntos abaixo.
Exercício 17
• D ........... A ;
• B
...........
F;
• D ........... A ;
• A ........... F ;
• C
...........
E.
1.2.3 Subconjuntos
Um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando qualquer elemento
de A também pertence a B .
Definição 2
Consideremos os conjuntos A e B , representados também por diagrama:
A ={1,3,7}
B ={1,2,3,5,6,7,8}
B
6
A
1
2
7
[Fig. 2]: Diagrama dos conjuntos
8
3
5
A e B.
Note que qualquer elemento de A também pertence a B . Nesse caso, dizemos que A
é subconjunto de B .
Indica-se: A ⊂ B ; lê-se: A está contido em B .
Podemos dizer também que B contém A . Indica-se: B ⊃ A ; lê-se: B contém A .
OBS. 1:
Se A ⊂ B e B ⊂ A , então A = B .
OBS. 2:
Os símbolos ⊂, ⊃ e ⊄ são utilizados para relacionar conjuntos.
OBS. 3:
Para todo conjunto A , tem-se A ⊂ A .
OBS. 4:
Para todo conjunto A , tem-se ∅⊂ A , onde ∅ representa o conjunto vazio.
1.2.4 União de conjuntos
Lauro
1-6
Definição 3
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os
elementos que pertencem a A ou a B .
Designamos a união de A e B por: A ∪ B ; lê-se: A união B .
A ∪ B = { x / x ∈ A ou x ∈ B }.
1.2.5 Intersecção de conjuntos
A intersecção de dois conjuntos, A e B , é o conjunto formado pelos
elementos que são comuns a A e a B , isto é, pelos elementos que pertencem a A e também
pertencem a B .
Definição 4
Designamos a intersecção de A e B por: A ∩ B ; lê-se: A inter B .
A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B }.
1.2.6 Diferença de conjuntos
A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que
pertencem a A , mas que não pertencem a B .
Definição 5
Designamos a diferença de A e B por: A − B ; lê-se: A menos B .
A − B = { x / x ∈ A e x ∉ B }.
No diagrama seguinte, A , B e C são três conjuntos não vazios. Associe V ou
F a cada uma das seguintes sentenças, conforme ela seja verdadeira ou falsa:
Exercício 18
B
A
C
A , B e C (subconjuntos).
Resolução:
• a) A ⊂ B
( ........... )
• b) C ⊂ B
( ........... )
• c) B ⊂ A
( ........... )
• d) A ⊂ C
( ........... )
• e) B ⊄ A
( ........... )
• f) A ⊄ C
( ........... )
• g) B ⊃ A
( ........... )
Exercício 19
Considere o seguinte diagrama:
Lauro
1-7
A
7
9
1
B
2
3
6
4
8
5
C
A , B e C (união / intersecção / diferença).
Resolução:
• a) A ∪ B = { ...................................................................................... }
• b) A ∪ C = { ...................................................................................... }
• c) B ∪ C = { ...................................................................................... }
• d) A ∪ B ∪ C = { ...................................................................................... }
• e) A ∩ B = { ...................................................................................... }
• f) A ∩ C = { ...................................................................................... }
• g) B ∩ C = { ...................................................................................... }
• h) A ∩ B ∩ C = { ...................................................................................... }
• i) A − B = { ...................................................................................... }
• j) A − C = { ...................................................................................... }
• k) B − C = { ...................................................................................... }
• l) ( A − B )− C = { ...................................................................................... }
1.3 Intervalos
O conjunto dos números naturais, dos números inteiros, dos números racionais e dos
números irracionais são subconjuntos dos números reais R .
Existem, ainda, outros subconjuntos de R que são determinados por desigualdades.
Esses subconjuntos são chamados de intervalos.
Conjunto dos números reais maiores que −2 e menores ou iguais a 3:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
[Fig. 5]: Gráfico do intervalo ]−2,3].
Este intervalo contém todos os números reais compreendidos entre os extremos −2 e 3,
incluso.
A bola vazia
indica que o extremo −2 não pertence ao intervalo e a bola
que o extremo 3 pertence ao intervalo. Este é um intervalo semi-aberto à esquerda.
indica
Lauro
Representação: { x ∈ R / −2< x ≤3} ou ]−2,3].
Sendo a um número real, pode-se considerar intervalos como o que segue:
-2
{ x ∈ R / −2< x <+∞} ou ]−2,+∞[ ⇒
OBS. 5:
1.3.1 Operações com intervalos
Serão consideradas operações do tipo: união (∪), intersecção (∩) e subtração (−).
Exercício 20
Se A ={ x ∈ R / 2< x <5} e B ={ x ∈ R / 3≤ x <8}, determine A ∩ B .
Resolução:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
B
A∩B
A ∩ B = ...................................................................................... .
Exercício 21
Se A ={ x ∈ R / −2≤ x ≤0} e B ={ x ∈ R / 2≤ x <3}, determine A ∩ B .
Resolução:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
B
A∩B
A ∩ B = ...................................................................................... .
Exercício 22
Se A ={ x ∈ R / −2≤ x ≤3} e B ={ x ∈ R / 1< x ≤4}, determine A ∪ B .
Resolução:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
B
A∪B
A ∪ B = ...................................................................................... .
Exercício 23
Se A ={ x ∈ R / −3< x ≤4} e B ={ x ∈ R / 1< x <7}, determine A − B .
Resolução:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
B
A−B
A − B = ...................................................................................... .
Lauro
1-8
Exercício 24
Dados A =[2,7], B =[−1,5] e E =[3,9[, calcule:
a) A − B ; b) B − A ; c) A − E ; d) E − B .
Resolução:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
B
E
A−B
B−A
A−E
E−B
a) A − B = ........................................... ;
b) B − A = ........................................... ;
c) A − E = ........................................... ;
d) E − B = ........................................... .
Dados A =[−1,6[, B =]−4,2] e E =]−2,4[, calcule:
a) ( B ∪ E )− A ; b) E −( A ∩ B ).
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Exercício 25
A
B
E
B∪ E
(B ∪ E) − A
A∩ B
E − (A ∩ B)
a) ( B ∪ E )− A = ........................................... ;
b) E −( A ∩ B )= ........................................... .
Lauro
1-9
Funções
2-10
2 Funções
2.1 Conceito matemático de função
Definição 6
Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável
independente.
Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da
variável dependente.
Definição 7
Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são
conjuntos numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática
utilizando a linguagem da teoria dos conjuntos.
Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre
dois conjuntos.
Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B , denomina-se
produto cartesiano (indica-se: A × B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados
nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B .
Definição 8
(Eq.1)
A × B ={( x , y )/ x ∈ A e y ∈ B }.
Relação: Dados dois conjuntos A e B , dá-se o nome de relação r de A em B
a qualquer subconjunto de A × B .
Definição 9
(Eq.2)
r é relação de A em B ⇔ r ⊂ A × B .
Sejam os conjuntos A ={0,1,2,3}, B ={0,2,4,6,8,10} e a relação r de A em
B , tal que y =2 x , x ∈ A e y ∈ B . Escrever os elementos dessa relação r .
Exercício 26
Resolução:
Como x ∈ A :
x =0 ⇒ ...................................................................................... ;
x =1 ⇒ ...................................................................................... ;
x =2 ⇒ ...................................................................................... ;
x =3 ⇒ ...................................................................................... .
Então, { ...................................................................................... ...................................................................................... }.
A
r
0
1
2
3
0 B
2
4
6
8
10
[Fig. 6]: Representação da relação por diagrama.
Lauro
Funções
2-11
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3
x
[Fig. 7]: Representação da relação por sistema cartesiano.
Podemos observar que, numa relação r de A em B , o conjunto r é formado
pelos pares ( x , y ) em que o elemento x ∈ A é associado ao elemento y ∈ B mediante uma
lei de associação (no caso, y =2 x ).
OBS. 6:
2.2 Definição de função
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B . Essa
relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está
associado um e apenas um elemento y do conjunto B .
Definição 10
Nos exercícios a seguir, verifique se as relações representam função de A em B .
Juntifique sua resposta e apresente o diagrama da relação.
Dados os conjuntos A ={0,5,15} e B ={0,5,10,15,20,25}, seja a relação de A
em B expressa pela fórmula y = x +5, com x ∈ A e y ∈ B .
Exercício 27
Resolução:
A
0
5
15
0 B
5
10
15
20
25
x =0 ⇒ ...................................................................................... ;
x =5 ⇒ ...................................................................................... ;
x =15 ⇒ ...................................................................................... .
• Todos os elementos de A
• A cada elemento de A
......................................................................................
B.
...................................................................................... .............................................
Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y = x +5
B.
............................................. .
Dados os conjuntos A ={−2,0,2,5} e B ={0,2,5,10,20}, seja a relação de A em
B expressa pela fórmula y = x , com x ∈ A e y ∈ B .
Exercício 28
Lauro
Funções
2-12
Resolução:
A
B
-2
0
2
5
x =0 ⇒
x =2 ⇒
...................................................................................... ;
x =5 ⇒
...................................................................................... .
0
2
5
10
20
...................................................................................... ;
Neste caso, a relação de A em B
...................................................................................... ............................................. .
Dados os conjuntos A ={−3,−1,1,3} e B ={1,3,6,9}, seja a relação de A em B
expressa pela fórmula y = x 2 , com x ∈ A e y ∈ B .
Exercício 29
Resolução:
A
B
-3
-1
1
3
1
3
6
9
x =−3 ⇒ ...................................................................................... ;
x =−1 ⇒ ...................................................................................... ;
x =1 ⇒ ...................................................................................... ;
x =3 ⇒ ...................................................................................... .
...................................................................................... ............................................. .
Dados os conjuntos A ={16,81} e B ={−2,2,3}, seja a relação de A em B
expressa pela fórmula y 4 = x , com x ∈ A e y ∈ B .
Exercício 30
Resolução:
A
16
-2
B
2
81
x =16 ⇒
x =81 ⇒
3
...................................................................................... ...................................................................................... ;
...................................................................................... ...................................................................................... .
Lauro
2-13
Funções
...................................................................................... ............................................. .
2.3 Notação de função
Quando temos uma função de A em B , podemos representá- la da seguinte forma:
f : A → B (lê-se: função de A em B )
x a y (lê-se: a cada valor de x ∈ A associa-se um só valor y ∈ B )
A letra f , em geral, dá o nome às funções, mas podemos ter também a função g , h ,
etc.
Numa função g : R → R , dada pela fórmula y = x 2 −8, podemos também escrever
g ( x )= x 2 −8. Neste caso, g ( 2 ) significa o valor de y quando x = 2 , ou g ( 2 )=−6.
2.4 Domínio, contradomínio e imagem de uma
função
Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por:
f : A → B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B )
x a y = f ( x ) (a cada elemento x ∈ A corresponde um único y ∈ B )
O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D . O domínio
da função também chamado campo de definição ou campo de existência da função, serve para
definir em que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável x .
O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD . É no
contradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio.
Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse
valor de y damos o nome de imagem de x pela função f . O conjunto de todos os valores de
y que são imagens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que indicaremos
por Im . Note que o conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio da
mesma.
f : A→ B
x a y = f (x)
D = A , CD = B , Im ={ y ∈ CD / y é correspondente de algum valor de x }.
Dados os conjuntos A ={−3,−1,0,2} e B ={−1,0,1,2,3,4}, determinar o
conjunto imagem da função f : A → B definida por f ( x )= x +2.
Exercício 31
Resolução:
Lauro
Funções
A
2-14
-1 B
0
1
2
3
4
-3
-1
0
2
Im ={ ...................................................................................... }
Dada a função f : R → R definida por f ( x )= a x + b , com a , b ∈ R , calcular
a e b , sabendo que f (1)=4 e f (−1)=−2.
Exercício 32
Resolução:
a = .............. e b = .............. ⇒ f ( x )= ............................................. .
2.5 Função composta
Tome as funções f : A → B , definida por f ( x )=2 x , e g : B → C , definida por
g ( x )= x 2 . Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da função g .
f : A → B : a cada x ∈ A associa-se um único y ∈ B , tal que y =2 x .
g : B → C : a cada y ∈ B associa-se um único z ∈ C , tal que z = y 2 .
Neste caso, podemos considerar uma terceira função, h : A → C , que faz a composição
entre as funções f e g :
A
B
f
x
C
g
y
z
h
[Fig. 8]: Função composta
h : A → C : a cada x ∈ A associa-se um único z ∈ C , tal que z = y 2 = ( 2 x ) 2 =4 x 2 .
Essa função h de A em C , dada por h ( x )=4 x 2 , é denominada função composta de
g e f .
Lauro
Funções 2-15
De um modo geral, para indicar como o elemento z ∈ C é determinado de modo único
pelo elemento x ∈ A , escrevemos:
z = g ( y )= g ( f ( x ))
Notação:
A função composta de g e f será indicada por g o f (lê-se: g círculo f )
(Eq.3)
( g o f )( x )= g ( f ( x ))
Exercício 33
Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por f ( x )= x +1 e
g ( x )=2 x −3. Determine:
2
• a) f ( g ( x )).
Resolução:
f ( g ( x ))= ............................................. .
• b) g ( f ( x )).
Resolução:
• g ( f ( x ))= ............................................. .
c) Os valores de x para que se tenha f ( g ( x ))= g ( f ( x )).
Resolução:
x = ............................................. .
Exercício 34
Sendo f ( x )=3 x −1 e f ( g ( x ))=6 x +8, determine g ( x ).
Resolução:
g ( x )= ............................................. .
Lauro
Funções
2-16
2.6 Função inversa
Função bijetora: A função f é denominada BIJETORA, se satisfaz as duas
condições abaixo:
Definição 11
• 1. O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do
contradomínio é correspondente de algum elemento do domínio.
• 2.
Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio.
Definição 12
Diz-se que uma função f possui inversa f
−1
se for bijetora.
2.6.1 Determinação da função inversa
Caso a função seja bijetora, possuindo portanto inversa, é possível determinar a sua
inversa. Para isso “trocamos” a variável x por y na lei que define a função e em seguida
“isolamos” o y , obtendo a lei que define a função inversa.
É preciso apenas tomar certo cuidado com o domínio da nova função obtida.
Exercício 35
Obter a lei da função inversa f
−1
da função f dada por y = x +2.
Resolução:
Logo:
f ( x )= ............................................. e f
−1
( x )= .............................................
Construir os gráficos das funções f e f
sistema de coordenadas.
Exercício 36
−1
do exercício anterior, num mesmo
Resolução:
x
f (x)
x
f
−1
(x)
Note que os gráficos das funções f e f −1 são
simétricos em relação à reta que contém as bissetrizes
do 1o e 3 o quadrantes.
4
3
2
1
y
-2 -1 -1 0 1 2 3 4
-2
x
Lauro
Exercício 37
Determinar a função inversa g − 1 da função g ( x )=
 3
D= R −  .
 2
Funções
2-17
x+5
, cujo domínio é
2x −3
Resolução:
Logo, g − 1 : ............................................. → ............................................. dada por y = ............................................. é a
função inversa procurada.
Lauro
Função Polinomial
3-18
3 Função Polinomial
Função polinomial com uma variável ou simplesmente função polinomial é
aquela cuja formulação matemática é expressa por um polinômio.
Definição 13
3.1 Função polinomial do 1o grau
A função polinomial do 1o grau é a que tem sua representação matemática por um
polinômio de grau 1.
Representação da função polinomial do 1o grau:
f ( x )= a x + b , com a , b ∈ R ( a ≠0). a e b são os coeficientes e x a variável independente.
Exercício 38
Em uma função polinomial do 1o grau, y = f ( x ), sabe-se que f (1)=4 e
 1
f (−2)=10. Escreva a função f e calcule f  −  .
 2
Resolução:
 1
A função é f ( x )= ............................................. e f  −  = ............ .
 2
3.1.1 Função linear
Seja a função polinomial do 1o grau f ( x )= a x + b . No caso de b =0, temos
f ( x )= a x , e ela recebe o nome especial de função linear.
Se, em uma função linear tivermos a =1, teremos f ( x )= x ou y = x , que se dá
o nome de função identidade.
OBS. 7:
3.1.2 Gráfico de uma função polinomial do 1 o grau
Para construir o gráfico de uma função polinomial do 1o grau, atribuímos valores do
domínio à variável x e calculamos as respectivas imagens.
Lauro
Função Polinomial
Exercício 39
Construir o gráfico da função real f dada por y =2 x −1.
3-19
Resolução:
x
Par
ordenado
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
y
−2
−1
0
1
2
3
5
4
3
2
1
y
-2 -1 -1 0 1 2 3 4
-2
-3
-4
-5
x
O gráfico da função linear y = a x ( a ≠0) é sempre uma reta que passa pela
origem do sistema cartesiano.
Definição 14
O gráfico da função polinomial do 1o grau y = a x + b ( a ≠0) intercepta o eixo
das ordenadas no ponto (0, b ).
Definição 15
3.1.3 Determinação de uma função a partir do gráfico
Nos exercícios abaixo, determine a lei de formação da função f ( x )= a x + b .
Exercício 40
Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:
5
4
3
2
1
y
-2 -1 -1 0 1 2 3 4
-2
-3
-4
-5
Resolução:
x
Sabendo-se que y = a x + b , do gráfico, temos que:
Lauro
Função Polinomial
3-20
Logo:
A função é f ( x )= ............................................. .
Exercício 41
Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:
5
4
3
2
1
y
-2 -1 -1 0 1 2 3 4
-2
-3
-4
-5
Resolução:
x
Sabendo-se que y = a x + b , do gráfico, temos que:
Logo:
A função é f ( x )= ............................................. .
3.1.4 Crescimento e decrescimento
polinomial do 1o grau
de
uma
função
Seja f a função polinomial do 1o grau definida por f ( x )= a x + b .
Podemos determinar que:
• i) A função f é crescente se o coeficiente a >0;
• ii) A função f é decrescente se o coeficiente a <0.
Construir os gráficos das funções f e g do 1o grau a seguir:
i) f ( x )=2 x +1
ii) g ( x )=−2 x +1
Exercício 42
Resolução:
Lauro
5
4
3
2
1
Função Polinomial
y
5
4
3
2
1
-2 -1 -1 0 1 2 3 4
-2
-3
-4
-5
x
y
-2 -1 -1 0 1 2 3 4
-2
-3
-4
-5
i) Aumentando os valores atribuídos a x ,
aumentam também os valores
correspondentes da imagem f ( x ).
3-21
x
ii) Aumentando os valores atribuídos a x ,
diminuem os valores correspondentes da
imagem g ( x ).
3.1.5 Estudo do sinal da função polinomial do 1o grau
Estudar o sinal de uma função f significa determinar para que valores de x
temos f ( x )>0, f ( x )<0 ou f ( x )=0.
Definição 16
3.1.5.1 Zero de uma função polinomial do 1 o grau
Denomina-se zero ou raiz da função f ( x )= a x + b o valor de x que anula a
função, isto é, torna f ( x )=0.
Definição 17
Geometricamente, o zero da função polinomial do 1o grau f ( x )= a x + b ,
a ≠0, é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x .
Definição 18
Dada a lei de formação da função y =−2 x −4, construir o gráfico e determinar
os valores reais de x para os quais: a) y =0; b) y >0 e c) y <0.
Exercício 43
Resolução:
5
4
3
2
1
y
-5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4
-5
Podemos notar que a função é decrescente, pois a <0.
O zero da função é: −2 x −4=0 ⇒ −2 x =4 ⇒ 2 x =−4 ⇒ x =−2.
Logo, a reta intercepta o eixo x no ponto de abscissa x =−2.
A solução do problema é:
Lauro
• a) f ( x )=0 ⇒ {.................................................................................... };
3-22
Função Polinomial
• b) f ( x )>0 ⇒ {.................................................................................... };
• c) f ( x )<0 ⇒ {.................................................................................... }.
3.1.5.2 Quadro de sinais da função polinomial do 1o grau
Exercício 44
Preencher o quadro abaixo:
Resolução:
f ( x )= a x + b , a ≠0
Zero da função: a x + b =0 ⇒ x =
..............................................
a >0
b
a <0
x
a
f(x) <0
b
f(x ) >0
b
a
f(x) >0
x
f ( x )= 0 ⇒ x
x
a
f(x ) <0
b
a
x
f ( x )= 0 ⇒ x
..............................................
f ( x )> 0 ⇒ x
..............................................
f ( x )> 0 ⇒ x
..............................................
f ( x )< 0 ⇒ x
..............................................
f ( x )< 0 ⇒ x
..............................................
..............................................
3.2 Inequações do 1 o grau
Denomina-se inequação do 1o grau na variável x toda desigualdade que pode
ser reduzida a uma das formas:
Definição 19
• a x + b ≥0;
• a x + b >0;
• a x + b ≤0;
• a x + b <0.
com a , b ∈ R e a ≠0.
Exercício 45
Verificar se 4( x −1)− x 2 ≥3 x − x ( x +1) é uma inequação do 1o grau.
Resolução:
Lauro
Função Polinomial
3-23
Logo,.................................................................................................................................................................................................
3.2.1 Resolução de inequações do 1o grau
Para se resolver uma inequação do 1o grau, são utilizadas as propriedades das
desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).
Definição 20
Resolver a inequação seguinte: 4( x −1)− x 2 ≥3 x − x ( x +1). Represente a
solução na reta real.
Exercício 46
Resolução:
S={.................................................................................... }
x
Exercício 47
Resolver a inequação seguinte:
x −1 4(1 − x ) x 2 − x
+
> +
. Represente a
3
2
4
6
solução na reta real.
Resolução:
S={.................................................................................... }
x
3.2.2 Sistemas de inequações do 1o grau
O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela
intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.
Definição 21
Lauro
Função Polinomial 3-24
Exercício 48
Resolver a inequação −1<2 x −3≤ x . Apresente o conjunto solução S e
represente na reta real.
Resolução:
Na verdade, resolver essa inequação simultânea é equivalente a resolver o sistema:
(i)
x
(ii)
x
(i) ∩ (ii)
x
S={....................................................................................................................}
3.2.3 Inequação-produto e inequação-quociente
Uma inequação do 2o grau do tipo x 2 +2 x −8≥0 pode ser expressa por um produto de
inequações do 1o grau, fatorando o 1o membro da desigualdade:
x 2 +2 x −8≥0 ⇒ ( x −2)⋅( x +4)≥0.
RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou um inequaçãoquociente, fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais do 1o grau envolvidas. A
seguir, determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de
sinais do produto e do quociente de números reais.
Definição 22
Exercício 49
Resolução:
f(x) =
g(x) =
h(x) =
Resolver a inequação ( x 2 + x −2)⋅(− x +2)≤0.
( x 2 + x −2)⋅(− x +2)≤0 ⇒ ...............................................................................................
a
0
⇒ f(x) = 0 ⇒ x =
a
0
⇒ g(x) = 0 ⇒ x =
a
0
⇒ h(x) = 0 ⇒ x =
f (x)
g(x)
h(x)
f (x) g(x ) h(x)
S={........................................................................................................................................................}
Exercício 50
Resolver a inequação
− 3x + 1
≥0.
x−2
Resolução:
f(x) =
g(x) =
⇒ f(x) = 0 ⇒
⇒ g(x) = 0 ⇒
x
x
=
=
a
a
0
0
Lauro
Função Polinomial
3-25
f (x)
g(x)
f (x)
g(x)
S={.........................................................................................}
Exercício 51
Resolução:
f(x) =
g(x) =
h(x) =
x2 −9
≤0.
x−2
x2 −9
≤0 ⇒ ..............................................................................................
x−2
a
0
⇒ f(x) = 0 ⇒ x =
a
0
⇒ g(x) = 0 ⇒ x =
a
0
⇒ h(x) = 0 ⇒ x =
f (x)
g(x)
h(x)
f (x ) g(x)
h(x)
S={........................................................................................................................................................}
Exercício 52
Determine o domínio da função y =
Resolução:
......................................................
f(x) =
g(x) =
h(x) =
x 2 + 2x − 3
.
x−5
⇒ ..............................................................................................
f(x)
0
a
0
⇒
=
⇒ x =
a
0
⇒ g(x) = 0 ⇒ x =
a
0
⇒ h(x) = 0 ⇒ x =
f (x)
g(x)
h(x)
f (x ) g(x)
h(x)
D={........................................................................................................................................................}
Lauro
Função Polinomial
3-26
3.3 Função polinomial do 2o grau
A função f : R → R dada por f ( x )= a x 2 + b x + c , com a , b e c reais e
a ≠0, denomina-se função polinomial do 2o grau ou função quadrática. Os números
representados por a , b e c são os coeficientes da função. Note que se a =0 temos uma
função do 1o grau ou uma função constante.
Definição 23
Considere a função f do 2o grau, em que f (0)=5, f (1)=3 e f (−1)=1.
Escreva a lei de formação dessa função e calcule f (5).
Exercício 53
Tome f ( x )= a x 2 + b x + c , com a ≠0.
f (0) = 5 ⇒
f (1) = 3 ⇒
f (−1) = 1 ⇒
Resolução:
A lei de formação da função será f ( x )=...................................................................................
f (5)=..........................
3.3.1 Gráfico de uma função quadrática
O gráfico de uma função polinomial do 2o grau ou quadrática é uma curva aberta
chamada parábola.
Para evitar a determinação de um número muito grande de pontos e obter uma boa
representação gráfica, vamos destacar três importantes características do gráfico da função
quadrática:
(i)
(ii)
(iii)
Concavidade
Posição em relação ao eixo x
Localização do seu vértice
3.3.2 Concavidade
A concavidade de uma parábola que representa uma
f ( x )= a x 2 + b x + c do 2o grau depende do sinal do coeficiente a :
a >0: concavidade para CIMA
função
quadrática
a <0: concavidade para BAIXO
[Fig. 9]: Concavidade de uma função quadrática.
Lauro
Função Polinomial
3-27
3.3.3 Zeros de uma função quadrática
Definição 24
Os zeros ou raízes da função quadrática f ( x )= a x 2 + b x + c são as raízer da
equação do 2o grau a x 2 + b x + c =0, ou seja:
Raízes: x =
− b ± b 2 − 4 ac
.
2a
Considerando ∆= b 2 −4 a c , pode-se ocorrer três situações:
• i)
∆>0 ⇒ as duas raízes são reais e diferentes: x1 =
−b+ ∆
−b − ∆
e x2 =
.
2a
2a
• ii) ∆=0 ⇒ as duas raízes são reais e iguais (raiz dupla): x1 = x 2 =−
b
.
2a
• iii) ∆<0 ⇒ não há raízes reais.
Em uma equação do 2o grau a x 2 + b x + c =0, a soma das raízes é S e o
b
c
produto é P tal que: S= x1 + x 2 =− e P= x1 ⋅ x 2 = .
a
a
OBS. 8:
Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do 2o grau são
as abscissa dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x .
Definição 25
3.3.4 Vértice da parábola
Considere as parábolas abaixo e observe o vértice V ( xV , yV ) em cada uma:
Eixo de simetria
y
y
V( xV , yV )
x1
x1
x2 x
x2
x
V( xV , yV )
[Fig. 10]: Vértice de parábolas (∆>0 para as duas).
Uma forma de se obter o vértice V ( xV , yV ) é:
• xV =
x1 + x2
, já que o vértice encontra-se no eixo de simetria da parábola;
2
• yV = a xV2 + b xV + c , já que o xV foi obtido acima.
Outra forma de se obter o vértice V ( xV , yV ) é aplicando as fórmulas:
• xV =−
b
∆
e yV =− .
2a
4a
Lauro
3-28
Função Polinomial
3.3.5 Gráfico de uma parábola
Com o conhecimento das principais características de uma parábola, podemos esboçar
com mais facilidade o gráfico de uma função quadrática.
Construir o gráfico da função y = x 2 +2 x , determinando sua imagem.
Exercício 54
Resolução:
a ............................. ⇒ concavidade voltada para ..............................
5
4
3
2
1
Zeros da função:
Ponto onde a
parábola corta o
eixo y :
Vértice da
parábola:
y
⇒ (..........,.......... )
-5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2
-2
xV =
-3
-4
-5
⇒ V (..........,.......... )
yV =
3 4 5 x
Im ={ y ∈ R ; ...................................}
Imagem:
Construir o gráfico da função y =− x 2 +4 x −5, determinando sua imagem.
Exercício 55
Resolução:
a ............................. ⇒ concavidade voltada para ..............................
5
4
3
2
1
Zeros da função:
Ponto onde a
parábola corta o
eixo y :
Vértice da
parábola:
y
⇒ (..........,.......... )
-5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2
-2
xV =
-3
-4
-5
⇒ V (..........,.......... )
yV =
3 4 5 x
Im ={ y ∈ R ; ...................................}
Imagem:
3.3.6 Estudo do sinal da função quadrática
Os valores reais de x que tornam a função quadrática positiva, negativa ou nula,
podem ser dados considerando-se os casos, relacionados na tabela abaixo.
f ( x )= a x 2 + b x + c com ( a , b e c ∈ R e a ≠0)
a >0
a <0
x1
x2
x
x1
x2
x
f ( x )>0 para x < x1 ou x > x 2
f ( x )<0 para x < x1 ou x > x 2
f ( x )<0 para x1 < x < x 2
f ( x )>0 para x1 < x < x 2
Lauro
3-29
Função Polinomial
f ( x )=0 para x = x1 ou x = x 2
f ( x )=0 para x = x1 ou x = x 2
x1
x2
x
x1
x2
x
f ( x )>0 para x ≠ x1
f ( x )<0 para x ≠ x1
f ( x )<0 ∃/ x real
f ( x )>0 ∃/ x real
f ( x )=0 para x = x1 = x 2
f ( x )=0 para x = x1 = x 2
x
x
f ( x )>0 ∀ x real
f ( x )<0 ∀ x real
f ( x )<0 ∃/ x real
f ( x )>0 ∃/ x real
f ( x )=0 ∃/ x real
f ( x )=0 ∃/ x real
3.4 Inequações do 2 o grau
Denomina-se inequação do 2o grau na variável x toda desigualdade que pode
ser reduzida a uma das formas:
Definição 26
• a x 2 + b x + c ≥0;
• a x 2 + b x + c >0;
• a x 2 + b x + c ≤0;
• a x 2 + b x + c <0.
com a , b , c ∈ R e a ≠0.
3.4.1 Resolução de inequações do 2o grau
Para se resolver uma inequação do 2o grau, são utilizadas as propriedades das
desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).
Definição 27
Exercício 56
Resolução:
Resolver a inequação x 2 −3 x +2>0.
Estudar a variação do sinal da função f ( x )= x 2 −3 x +2.
⇒ Concavidade para................................
a .................
x −3 x +2=0
∆................. ⇒
2
.......................................................................... .
x
x=
S=.......................................................................................................
Lauro
Exercício 57
Função Polinomial
3-30
Resolver a inequação x 2 −10 x +25≥0.
Estudar a variação do sinal da função f ( x )= x 2 −10 x +25.
a ................. ⇒ Concavidade para................................
2
x −10 x +25=0
∆................. ⇒ .......................................................................... .
Resolução:
x
x=
S=.......................................................................................................
Exercício 58
Resolver a inequação −2 x 2 +5 x −6>0.
Estudar a variação do sinal da função f ( x )=−2 x 2 +5 x −6.
2
−2 x +5 x −6=0
∆................. ⇒ .......................................................................... .
Resolução:
x
x=
S=.......................................................................................................
3.4.2 Sistemas de inequações do 2o grau
O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela
intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.
Definição 28
Exercício 59
2x2 + 8 ≥ x 2 − 6x
Resolver o sistema de inequações 
.
x
+
5
<
0

Resolução:
(i) ⇒ 2 x 2 +8≥ x 2 −6 x .
(ii) ⇒ x +5<0.
Resolução de (i):
........................................
∆................. ⇒
.......................................................................... .
x
x=
x
S(i)= ................................................................ . Reta real:
Resolução de (ii):
S(ii)= .............................................................. . Reta real:
Intersecção entre (i) e (ii) ⇒ (i)∩(ii):
x
(i)
x
(ii)
x
(i) ∩ (ii)
x
S............................................................................................ .
Lauro
3-31
Função Polinomial
Resolver a inequação x −4< x 2 −4≤ x +2.
Exercício 60
Resolução:
(i) ⇒ x −4< x 2 −4.
(ii) ⇒ x 2 −4≤ x +2.
Resolução de (i):
........................................
∆................. ⇒
.......................................................................... .
x
x=
x
S(i)= ................................................................ . Reta real:
Resolução de (ii):
........................................
∆................. ⇒
.......................................................................... .
x
x=
S(ii)= ................................................................. Reta real:
Intersecção entre (i) e (ii) ⇒ (i)∩(ii):
(i)
x
x
(ii)
x
(i) ∩ (ii)
x
S............................................................................................ .
3.4.3 Inequação-produto e inequação-quociente
RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequaçãoquociente, fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais envolvidas. A seguir,
determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais
do produto e do quociente de números reais.
Definição 29
Exercício 61
Resolver a inequação ( x 2 −2 x −3)⋅(− x 2 −3 x +4)>0.
Resolução:
f(x) = x 2 −2 x −3
⇒ a
2
g(x) = − x −3 x +4 ⇒ a
0 ⇒ ∆=
0 ⇒ ∆=
f(x)
⇒
⇒
x1
x1
e
e
x2
x2
g(x)
x
x
Lauro
3-32
Função Polinomial
f (x )
g(x )
f (x) g(x )
S=..................................................................................................................................................
Exercício 62
x2 − 5x + 6
≥0.
x 2 −16
Resolução:
f(x) = x 2 −5 x +6
g(x) = − x 2 −16
⇒ a
⇒ a
0 ⇒ ∆=
0 ⇒ ∆=
⇒
⇒
x1
x1
f(x)
e
e
x2
x2
g(x)
x
x
f (x )
g(x )
f (x )
g(x )
S=..................................................................................................................................................
Exercício 63
Determine o domínio da função f ( x )=
x 2 − 3x − 10
.
x−6
x 2 − 3 x −10
Resolução:
f só representa um número real se
...............................
x−6
f(x) = x 2 −3 x −10 ⇒ a
0 ⇒ ∆=
⇒ x1
e
g(x) = x −6
⇒ a
0 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x
f(x)
x2
g(x)
x
x
Lauro
Função Polinomial
3-33
f (x )
g(x )
f (x )
g(x )
D =..................................................................................................................................................
Lauro
Função Exponencial
4-34
4 Função Exponencial
4.1 Revisão de potenciação
4.1.1 Potências com expoente natural
Sendo a um número real e n um número natural, com n ≥2, definimos:
a n = a1⋅ 42
a ⋅ a ⋅43
K⋅ a .
(Eq.4)
n fatores
Para n =1 e n =0 são definidos:
(Eq.5)
a1 = a .
(Eq.6)
a 0 =1 ( a ≠0).
4.1.2 Potências com expoente inteiro
Se a é um número real não-nulo ( a ≠0) e n um número inteiro e positivo, definimos:
a−n =
(Eq.7)
1
.
an
4.1.3 Potências com expoente racional
Se a é um número real positivo e
m
um número racional, com n inteiro positivo,
n
definimos:
m
a n = n am .
(Eq.8)
4.1.4 Potências com expoente real
Podemos considerar que as potências com expoente real têm significado no conjunto
dos números reais. Temos, por exemplo: 10
2
=25,954553519470080977981828375983.
4.1.4.1 Propriedades
Para as potências com expoente real são válidas as seguintes propriedades operatórias:
• am ⋅ an = am+n .
• a m : a n = a m − n ( a ≠0).
• ( a m )n = a m ⋅n .
• ( a ⋅ b) n = a n ⋅ b n .
n
n
a a
•   = n ( b ≠0).
b b
Lauro
Exercício 64
Dê o resultado mais simples de ( 53 ⋅ 5 6 ): 510 .
Resolução:
Usando as propriedades, temos:
4-35
( 53 ⋅ 5 6 ): 510 =............................................................................................................................................... .
−2
3
2
1
Calcule o valor da expressão   +   − 6 0 .
3
2
Exercício 65
Resolução:
−2
3
2
1
  +   − 6 0 =................................................................................................................................................
3
2
Simplifique
Exercício 66
2 x +5 − 2 x+ 2
.
2x
Resolução:
2 x +5 − 2 x+ 2
=............................................................................................................................................... .
2x
4
Calcule 8 3 .
Exercício 67
Resolução:
Determine o valor de 810,7 : 810, 2 .
Exercício 68
Resolução:
810,7 : 810, 2 =................................................................................................................................................
Qual o valor de (10
Exercício 69
2
)
2
: ( 0,1) 5 ?
Resolução:
(10
2
)
2
: ( 0,1) 5 =................................................................................................................................................
4.2 Equações exponenciais
Definição 30
Chama-se equação exponencial toda equação que contém incógnita no
expoente.
Exemplo:
• 2 x =16.
• 3 x+1 + 3 x− 2 =9.
• 3 x−1 =27.
• 10⋅ 2 2 x −5⋅ 2 2 x −1=0.
Lauro
4-36
4.2.1 Resolução de equações exponenciais
Para resolver uma equação exponencial, devemos transformá-la de modo a obter
potências de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação utilizando as
definições e propriedades da potenciação. Além disso, usaremos o seguinte fato:
Definição 31
Se a >0, a ≠1 e x é a incógnita, a solução da equação a x = a p é x = p .
Exercício 70
Resolver a equação 4 x =512.
Usando as propriedades das potências, vamos transformar o 1o e 2o membros
da equação em potências de mesma base:
Resolução:
S=..............................................
Uma empresa produziu, num certo ano, 8000 unidades de determinado
produto. Projetando um aumento anual de produção de 50%, pergunta-se:
Exercício 71
• a) Qual a produção P dessa empresa t anos depois?
• b) Após quantos anos a produção anual da empresa será de 40500 unidades?
Resolução:
• a) Obs: 50%=
50
=0,5
100
• b) Fazendo P=40500, na fórmula anterior, obtemos a equação:
Desse modo, a produção anual da empresa será de 40500 unidades após .................. anos.
Exercício 72
Determine o conjunto solução da equação 81x+ 2 =1 no universo dos números
reais.
Lauro
4-37
Resolução:
S=.................................................... .
4.2.2 Resolução de equações exponenciais com o uso de
artifícios
Para se resolver determinadas equações exponenciais, são necessárias algumas
transformações e artifícios.
Exercício 73
Resolver a equação 4 x −5⋅ 2 x +4=0.
Usando as propriedades da potenciação, vamos fazer uma transformação na
equação dada:
Resolução:
S=...........................................
Exercício 74
Determine o conjunto solução da equação 5 x − 5 2− x =24.
Resolução:
Preparando a equação, temos:
S=...........................................
4.3 Função exponencial
A função f : R → R dada por f ( x )= a x (com a >0 e a ≠1) é denominada
função exponencial de base a .
Definição 32
Lauro
4-38
4.3.1 Gráfico da função exponencial no plano cartesiano
Dada a função f : R → R , definida por f ( x )= a x (com a >0 e a ≠1), temos dois
casos para traçar seu gráfico: (i) a >1 e (ii) 0< a <1.
• (i)
a >1.
Exercício 75
Traçar o gráfico de f ( x )= 2 x .
Resolução:
y
f ( x )= 2 x
x
8
7
6
5
4
3
2
1
−2
−1
0
1
2
3
-4 -3 -2 -1 0
1 2 3 4
x
Quanto maior o expoente x , maior é a potência a x , ou seja, se a >1 a função
f ( x )= a x é crescente.
OBS. 9:
• (ii) 0< a <1.
x
Exercício 76
1
Traçar o gráfico de f ( x )=   .
2
Resolução:
x
−3
−2
−1
0
1
f ( x )=  
2
x
y
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
-4 -3 -2 -1 0
1 2 3 4
x
Quanto maior o expoente x , menor é a potência a x , ou seja, se 0< a <1 a
função f ( x )= a x é decrescente.
OBS. 10:
Com base no gráfico, podem-se tirar algumas considerações:
Lauro
4-39
4.3.2 Características da função exponencial
Seja f : R → R , definida por f ( x )= a x (com a >0 e a ≠1).
• Domínio da função f são todos os números reais ⇒ D = R .
• Imagem da função f são os números reais positivos ⇒ Im = R+∗ .
• A curva da função passa pelo ponto (0,1).
• A função é crescente para a base a >1.
• A função é decrescente para a base 0< a <1.
4.4 Inequações exponenciais
Definição 33
São inequações exponenciais aquelas que aparecem incógnitas no expoente.
4.4.1 Resolução de inequações exponenciais
Para resolver inequações exponenciais, devemos observar dois passos importantes:
• 1) Redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;
• 2) Verificar a base da exponencial, a >1 ou 0< a <1, aplicando as propriedades abaixo.
Caso (i): a >1
Caso (ii): 0< a <1
a m > a n ⇒ m >n
a m > a n ⇒ m <n
As desigualdades têm mesmo sentido
As desigualdades têm sentidos diferentes
Exercício 77
Resolva a inequação 2 x >32.
Resolução:
S=............................................................................... .
Exercício 78
Resolva a inequação ( 3 ) 3 x
2
+2 x
≥1.
Resolução:
S=...............................................................................................................
Lauro
Exercício 79
1
Resolva a inequação  
2
x +3
1
< 
2
4-40
2 x−7
.
Resolução:
S=...............................................................................................................
Lauro
Função Logarítmica
5-41
5 Função Logarítmica
5.1 Definição de logaritmo
Dados dois números reais positivos, a e b , com a ≠1, existe um único número
real x de modo que a x = b . Este número x é chamado de logaritmo de b na base a e indicase log a b .
Definição 34
Podemos então, escrever:
a x = b ⇔ x = log a b (1≠ a >0 e b >0).
(Eq.9)
Na igualdade x = log a b , temos:
• a é a base do logaritmo;
• b é o logaritmando ou antilogaritmo;
• x é o logaritmo.
Calcular o valor de x nos exercícios seguintes:
Exercício 80
log 2 32 = x .
Resolução:
x =................... .
Exercício 81
log 4 16 = x .
Resolução:
x =................... .
Exercício 82
log 8 x =1.
Resolução:
x =................... .
Exercício 83
log 3 81 = x .
Resolução:
x =................... .
Exercício 84
log 5 1 = x .
Resolução:
x =................... .
OBS. 11:
log b ⇒ significa log 10 b . Quando não se indica a base, fica subentendido que
a base é 10.
5.2 Conseqüências da definição
Tome 1≠ a >0, b >0 e m um número real qualquer. Da definição de logaritmos, podese verificar que:
Lauro
• 1) O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero.
5-42
log a 1 =0, pois a 0 =1.
• 2) O logaritmo da própria base é igual a 1.
log a a =1, pois a 1 = a .
• 3) O logaritmo de uma potência da base é igual ao expoente.
log a a m = m , pois a m = a m .
• 4) O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual devemos elevar a para obter b .
a loga b = b , pois a x = b ⇔ x = log a b .
5.3 Propriedades dos logaritmos
• 1) Logaritmo de produto
log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y (1≠ a >0, x >0 e y >0).
• 2) Logaritmo de quociente

log a 

x
 = log a x − log a y (1≠ a >0, x >0 e y >0).
y 
• 3) Logaritmo de potência
log a x m = m ⋅ log a x (1≠ a >0, x >0 e m ∈ R ).
5.4 Cologaritmo
Cologaritmo de um número positivo b numa base a (1≠ a >0) é o logaritmo do
inverso desse número b na base a .
(Eq.10)
 1
co log a b = log a   ⇒ co log a b =− log a b (1≠ a >0 e b >0).
b 
Exercício 85
Sabendo que log 3= a e log 5= b , calcule os logaritmos abaixo, em função de
a e b.
• a)
log 15
Resolução:
• b)
log 675
Resolução:
• c)
log 2
Resolução:
Lauro
5-43
5.5 Mudança de base
As propriedades logarítmicas são válidas para logaritmos numa mesma base, por isso,
em muitos casos, é conveniente fazer a conversão de logaritmos de bases diferentes para uma
única base.
A seguir, será apresentada a fórmula de mudança de base.
Seja:
log a b = x ⇒ a x = b .
Aplicando o logaritmo na base c em ambos os membros, obtemos:
log c a x = log c b ⇒ x ⋅ log c a = log c b ⇒ x =
log c b
, mas x = log a b .
log c a
Então:
(Eq.11)
log a b =
Exercício 86
log c b
(1≠ a >0, 1≠ c >0 e b >0).
log c a
Sendo log 2=0,3 e log 3=0,4, calcule log 2 6 .
Resolução:
Exercício 87
Resolva a equação log 2 x + log 4 x + log 16 x =7.
Resolução:
A condição de existência é x >0.
Logo, o conjunto solução é:
S={.................. }.
Exercício 88
Resolva a equação log 2 ( x +2)+ log 2 ( x −2)=5.
Resolução:
Condições de existência são: x +2>0 e x −2>0 ⇒ x >−2 e x >2. Então: x >2.
Lauro
5-44
Logo, o conjunto solução é:
S={.................. }.
5.6 Função logarítmica
A função exponencial g : R → R+∗ definida por g ( x )= a x (com 1≠ a >0) é bijetora.
Nesse caso, podemos determinar a sua função inversa. É a função logarítmica definida abaixo.
A função f : R+∗ → R definida por f ( x )= log a x (com 1≠ a >0) é chamada
função logarítmica de base a .
Definição 35
5.6.1 Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano
Como os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz dos
quadrantes ímpares, o gráfico da função logarítmica é de imediata construção, uma vez que já
vimos o gráfico da função exponencial.
Seja f : R+∗ → R , tal que y = log a x e f
e f
−1
−1
: R → R+∗ , tal que y = a x . Os gráficos de f
serão plotados no mesmo plano cartesiano ortogonal.
• (i) a >1.
y
y=x
8
7
6
5
4
3
2
1
y= ax
-4 -3 -2 -1 0
y = loga x
1 2 3 4
x
[Fig. 11]: Gráfico da função logarítmica e exponencial ( a >1).
• (ii) 0< a <1.
Lauro
5-45
y
y=x
8
7
6
5
4
3
2
1
y= ax
-4 -3 -2 -1
0
x
1 2 3 4
y = loga x
[Fig. 12]: Gráfico da função logarítmica e exponencial (0< a <1).
5.7 Inequações logarítmicas
Chamamos de inequação logarítmica toda inequação que envolve logaritmos com a
incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.
Exercício 89
Resolva a inequação log 1 ( x −3)≥ log 1 4.
2
2
Resolução:
Condição de existência:
(i)
x
(ii)
x
(i) ∩ (ii)
x
S={.........................................................................................}.
Exercício 90
Resolva a inequação log 4 ( x 2 − x )≥ log 4 (2 x +10).
Resolução:
A solução da inequação deve satisfazer as três condições:
Lauro
(i)
x
(ii)
x
(iii)
x
(i) ∩ (ii) ∩ (iii)
x
5-46
S={.........................................................................................}.
Suponha que o preço de um carro sofra uma desvalorização de 20% ao ano.
Depois de quanto tempo, aproximadamente, seu preço cairá para cerca da metade do preço de
um carro novo? (Use log 10 2=0,3)
Exercício 91
Resolução:
p = p 0 (1−0,2) t
O preço do carro cairá para a metade do preço do carro novo depois de ................ anos.
Lauro
Trigonometria
6-47
6 Trigonometria
Trigonometria é o ramo da Matemática que tem por objetivo a resolução completa dos
triângulos, ou seja, a determinação da medida de seus lados e seus ângulos internos,
enriquecendo o estudo da Geometria Plana.
Seu significado original: (tri) três, (gonos) ângulo, (metria) medida.
6.1 Triângulo retângulo
Triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo interno reto. O lado oposto ao
ângulo reto é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são cha mados de catetos.
A
c
b
h
m
B
n
a H
C
[Fig. 13]: Elementos do triângulo retângulo
Na figura, temos que:
• a = BC é a hipotenusa;
• b = AC e c = AB são os catetos;
• h = AH é a altura relativa à hipotenusa;
• m = BH é a projeção ortogonal do cateto AB sobre a hipotenusa;
• n = CH é a projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipotenusa;
• Â , B̂ e Ĉ são os ângulos internos.
6.2 Relações métricas no triângulo retângulo
Com base na figura anterior, as seguintes relações métricas são válidas:
a 2 = b 2 + c 2 (Teorema de Pitágoras) → o quadrado da hipotenusa é a soma dos
quadrados dos catetos;
h 2 = m ⋅ n → o quadrado da altura é o produto das projeções dos catetos;
c 2 = m ⋅ a e b 2 = n ⋅ a → o quadrado do cateto é o produto de sua projeção pela
hipotenusa;
b ⋅ c = a ⋅ h → o produto dos catetos é o produto da hipotenusa pela altura.
Exercício 92
Observando a figura, calcule a , h , m e n .
Lauro
Trigonometria
6-48
A
c =20
m
B
b =15
h
n
C
a H
Resolução:
Logo, a =................... , h =..................., m =................... e n =....................
Exercício 93
Num triângulo retângulo os lados têm medidas x −1, x e x +1. Determine
essas medidas.
A
x
B
x 1
x 1
C
Resolução:
Num triângulo qualquer, a medida do maior lado é sempre menor que a soma das medidas
dos outros dois, portanto, devemos ter x +1< x + x −1 para que exista o triângulo.
Logo:
Aplicando o teorema de Pitágoras ao ∆ A B C , temos:
Então, x =.................... .
As medidas dos lados são ...................., .................... e .................... unidades de comprimento.
Lauro
Trigonometria
6-49
6.3 Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Consideremos o ângulo de medida α da figura seguinte, de vértice B e lados BA e
BC .
C4
C3
C2
C1
C
a
b
α
B
c
A
A1
A2
A3
A4
[Fig. 14]: Razões trigonométricas no triângulo retângulo.
Os triângulos B A C , B A1 C1 , B A2 C 2 , B A3 C 3 , B A4 C 4 , … são todos
semelhantes. Logo, existem razões entre estes triângulos. Iremos nomear estas razões por: k1 ,
k 2 e k3 .
Desenvolvendo as razões, temos:
k1 =
AC A1C1 A2C 2 A3C 3 A4C 4
=
=
=
=
=…
BC BC 1 BC 2
BC 3
BC 4
k2 =
BA BA1 BA 2 BA 3 BA 4
=
=
=
=
=…
BC BC 1 BC 2 BC 3 BC 4
k3 =
AC A1C1 A2C 2 A3C 3 A4C 4
=
=
=
=
=…
BA BA1
BA 2
BA3
BA 4
As razões k1 , k 2 e k3 dependem somente da medida do ângulo considerado. Daí,
pode-se simplificar a figura anterior a apenas um triângulo A B C seguinte.
C
a
α
B
[Fig. 15]: Triângulo
c
b
A
A B C que define as razões.
Estas razões podem ser escritas, considerando-se como base o ângulo α, através da
hipotenusa a , o cateto oposto b e o cateto adjacente c :
(Eq.12)
sen α= k1 =
AC b Cateto oposto
Cateto oposto
= =
⇒ sen α=
BC a
Hipotenusa
Hipotenusa
Lauro
Trigonometria
BA c Cateto adjacente
Cateto adjacente
(Eq.13) cos α= k 2 =
= =
⇒ cos α=
BC a
Hipotenusa
Hipotenusa
(Eq.14)
tan α= k3 =
Exercício 94
6-50
AC b
Cateto oposto
Cateto oposto
= =
⇒ tan α=
BA c Cateto adjacente
Cateto adjacente
Determine sen B̂ , cos B̂ e tan B̂ no triângulo retângulo A B C .
C
a =5
B
b =3
c =4
A
Resolução:
sen B̂ =............................... .
cos B̂ =............................... .
tan B̂ =............................... .
Um garoto está empinando pipa, e o fio forma com a horizontal um ângulo de
30 . Calcule a que altura do solo se achará a pipa quando estiver na vertical que passa por uma
árvore situada a 300 metros do garoto. Sabe-se que tan 30o =0,57.
Exercício 95
o
fio
h
30o
300 metros
Resolução:
h =............................. metros.
6.4 Conseqüências das definições
Dado o triângulo retângulo abaixo, podemos chegar a algumas conclusões, com base
nas definições dadas.
Lauro
Trigonometria
6-51
C
a
β
α
B
[Fig. 16]: Triângulo
c
b
A
A B C , conseqüências das definições.
6.4.1 Ângulos complementares
α+β=90o
O seno de um ângulo agudo é igual ao co-seno de seu complemento.
(Eq.15)
sen α=
b
b
e cos β= ⇒ sen α= cos β.
a
a
(Eq.16)
sen β=
c
c
e cos α= ⇒ sen β= cos α.
a
a
A tangente de um ângulo agudo é igual ao inverso da tangente de seu complemento.
(Eq.17)
tan α=
b
c
1
e tan β= ⇒ tan α=
.
c
b
tan β
6.4.2 Divisão
senα
=
cos α
b
a
c
a
=
b
senα
= tan α ⇒ tan α=
.
c
cos α
6.4.3 Aplicando o teorema de Pitágoras
sen 2α=
b2
c2
b2 c2
b2 + c2
2
2
2
2
2
e
cos
α=
⇒
sen
α+
cos
α=
+
⇒
sen
α+
cos
α=
a2
a2
a2 a2
a2
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo A B C , temos que a 2 = b 2 + c 2 . Logo:
b2 + c2
a2
2
2
2
2
sen α+ cos α=
⇒ sen α+ cos α= 2 ⇒ sen 2 α+ cos 2α=1.
2
a
a
Então:
(Eq.18)
sen 2α+ cos 2 α=1.
Exercício 96
1
Sendo sen 30o = , calcular cos 30o , tan 30o , sen 60o , cos 60o e tan 60o .
2
Resolução:
Lauro
Exercício 97
6-52
Trigonometria
Sendo sen 45o =
2
, calcular cos 45o e tan 45o .
2
Resolução:
6.5 Ângulos notáveis
Os valores da tabela seguinte aparecem com freqüência, por isso os ângulos nela
contidos são chamados notáveis.
0o
30o
45o
60o
90o
sen
0
1
2
2
2
3
2
1
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
tan
0
3
3
1
3
∃/
Lauro
6-53
Trigonometria
Exercício 98
(PUC-RS) De um ponto A, no solo, visam-se a base B e o topo C de um bastão
colocado verticalmente no alto de uma colina, sob ângulos de 30o e 45o , respectivamente. Se o
bastão mede 4 metros de comprimento, a altura da colina, em metros, é igual a:
C
4m
B
h
45o
30o
A
Resolução:
A altura da colina é de .......................................... metros.
(UFOP-MG) Um homem deseja determinar a largura de um rio. Então, de um
ponto da margem, mede o ângulo de elevação do topo de um poste situado na margem oposta,
obtendo 11o . Afastando-se 15 metros, ele obtém o novo ângulo de 9o . Calcule a largura do rio.
Tome como base os dados seguintes: tan 9o =0,158 e tan 11o =0,194.
Exercício 99
9o
y
o
11
Rio
15 m
x
Resolução:
Lauro
Trigonometria
6-54
A largura do rio é de ................................ metros.
6.6 Circunferência trigonométrica ou ciclo
trigonométrico
6.6.1 Arco de circunferência
Considerando dois pontos A e B de uma circunferência:
B
O
A B
A
O
[Fig. 17]: Arco de circunferência.
Chamamos de arco AB a qualquer uma das partes dessa circunferência, compreendida
entre os pontos A e B, o qual indicaremos por AB ou BA. Os pontos A e B são as
extremidades do arco AB e pertencem a ele.
Quando A≡B, dizemos que uma das partes é o arco nulo e a outra é o arco de uma
volta.
6.6.2 Medidas de arcos
Definição 36
Grau: um grau (1o ) é o arco unitário que corresponde a
1
da circunferência.
360
Radiano: um radiano (1 rad) é o arco que tem o mesmo comprimento do raio
da circunferência que o contém.
Definição 37
Conseqüentemente, radiano (1 rad) é o arco unitário que corresponde a
1
da
2π
circunferência.
Na circunferência abaixo, o raio r tem o mesmo comprimento do arco AB.
B
r
O
r
A
Lauro
Trigonometria
6-55
[Fig. 18]: Circunferência de raio r .
m( AB )=m( AO )=1 rad.
Por outro lado, a medida do comprimento da circunferência se calcula através da
fórmula:
C =2π r .
Mas, pelo fato de termos considerado o raio r e o arco AB com a mesma medida (1
rad), então:
(Eq.19)
C =2π rad.
Daí pode-se tirar medidas parciais da circunferência em radianos.
C
=π rad;
2
C π
= rad;
4 2
C π
= rad.
8 4
Relações entre graus e radianos:
arco
Exercício 100
grau
Radiano
360o
2π rad
180o
π rad
90o
π
rad
2
45o
π
rad
4
Converter em radianos a medida do arco de 30o .
Como sabemos que 180o =π rad, podemos fazer uma regra de três simples
diretamente proporcional:
Resolução:
Lauro
Trigonometria
6-56
Logo, 30o correspondem a ................... rad, ou 30o =................... rad.
Exercício 101
Converter em graus a medida do arco de
3π
rad.
2
De forma semelhante ao exercício anterior, usa-se a relação π rad=180o .
Substitui-se no arco dado e efetuam-se as operações:
Resolução:
Logo,
3π
3π
rad correspondem a ....................... , ou
rad =........................
2
2
6.6.3 Ciclo trigonométrico
Considere a figura abaixo:
y
II quadrante
I quadrante
O r =1
III quadrante
x
IV quadrante
[Fig. 19]: Quadrantes no ciclo trigonométrico.
• O centro da circunferência coincide com a origem de um sistema de coordenadas
cartesianas;
• O raio da circunferência corresponde a uma unidade de medida dos eixos perpendiculares.
Ciclo trigonométrico é uma circunferência à qual se associa um sistema de
coordenadas ortogonais com origem no centro, tendo como raio a unidade de medida dos
eixos.
Definição 38
A medida de um arco num ciclo trigonométrico é feita através das seguintes
convenções:
y
O r =1
anti-horário
A(1,0)
x
horário
[Fig. 20]: Media de arcos no ciclo trigonométrico.
Os arcos trigonométricos têm:
• Origem no ponto A (1,0);
Lauro
6-57
Trigonometria
• Medidas algébricas positivas, se marcados no sentido anti- horário, e negativas, se
marcados no sentido horário.
6.6.4 Arcos côngruos
Os arcos que têm mesma extremidade e diferem apenas pelo número de voltas
inteiras são chamados de arcos côngruos.
Definição 39
Exercício 102
Com base no arco da figura abaixo, preencher a tabela a seguir:
P
60o A
P
π rad
3
A
ou
O
O
Resolução:
ARCOS CÔNGRUOS
GRAUS
RADIANOS
60o =60o +0⋅360o
60o =60o +0⋅360o
420o =60o +1⋅360o
−300o =60o −1⋅360o
780o =...............................
−1020o =...............................
1860o =...............................
−2460o =...............................
M
M
Definição 40
π π
= +0⋅2π
3 3
7π
=...............................
3
19π
=...............................
3
37π
=...............................
3
M
π π
= +0⋅2π
3 3
5π π
−
= −1⋅2π
3 3
23π
−
=...............................
3
47π
−
=...............................
3
M
Se um arco mede α graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é:
α+ k ⋅360o , com k ∈ Z ( Z são os números inteiros).
Definição 41
Se um arco mede α radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é:
α+2 k π, com k ∈ Z .
6.6.4.1 Regra para se obter arcos côngruos
Seja α um arco dado em graus ou radianos. (Obs: uma volta é 360o ou 2π rad)
• Dividir α por uma volta;
• Multiplicar o resultado por uma volta;
• Se α é negativo, somar e subtrair uma volta.
Exercício 103
Obter arcos côngruos a 750o .
Resolução:
• Dividir α por 360o :
1
30 o
750o ×
=
+2
360 o 360 o
Lauro
• Multiplicar o resultado por 360o :
30o +2×360o .
Arcos côngruos a 750o = 30o + k ⋅360o .
Exercício 104
Trigonometria
6-58
Obter arcos côngruos a −1050o .
Resolução:
• Dividir α por 360o :
1
330 o
−1050o ×
=
−
−2
360 o
360 o
• Multiplicar o resultado por 360o :
−330o −2×360o .
• Somar e subtrair 360o :
−330o −2×360o +360o −360o .
30o −3×360o .
Arcos côngruos a −1050o = 30o + k ⋅360o .
Exercício 105
37π
.
6
Obter arcos côngruos a
Resolução:
• Dividir α por 2π:
37π 1 37 1
×
=
=
+3
6
2π 12 12
• Multiplicar o resultado por 2π:
π
+3⋅2π.
6
37π π
Arcos côngruos a
= +2 k π.
6
6
Exercício 106
Obter arcos côngruos a −
47π
.
6
Resolução:
• Dividir α por 2π:
47π 1
47
11
−
×
= − = − −3
6
2π
12
12
• Multiplicar o resultado por 2π:
11π
−
−3⋅2π.
6
• Somar e subtrair 2π:
11π
−
−3⋅2π+2π−2π.
6
π
−4⋅2π.
6
Lauro
Arcos côngruos a −
Trigonometria
6-59
47π
π
= +2 k π.
6
6
Um móvel, partindo do ponto A (figura acima), percorreu um arco de 1690o na
circunferência trigonométrica. O móvel deu quantas voltas completas e em que quadrante
parou?
Exercício 107
Resolução:
1690
360
Expressão geral ⇒ 1690o =.......................................................................
Número de voltas ⇒ .................
O arco de 1690o tem a mesma extremidade que o arco de .........................
O móvel deu ............ voltas completas no sentido anti-horário.
Como ..................o <.................. o<.................. o , o móvel parou no ............. quadrante.
6.7 Seno e cosseno de um arco
Tome o arco α dado na figura abaixo:
N
O
P
α
MA
[Fig. 21]: Arco α para o conceito de seno e cosseno.
Seno de um arco é a ordenada do ponto P.
(Eq.20)
sen α= ON = MP .
Cosseno de um arco é a abscissa do ponto P.
(Eq.21)
cos α= OM = NP .
6.7.1 Conseqüências
Para qualquer ponto da circunferência, a ordenada e a abscissa nunca são menores que
−1 nem maiores que +1. Por isso dizemos que seno e cosseno são números compreendidos
entre −1 e +1, o que nos permite concluir:
(Eq.22)
−1 ≤ sen α ≤ 1 e −1 ≤ cos α ≤ 1
6.7.2 Função seno e função cosseno
Função seno é a função que associa a cada arco x ∈ R o número sen x ∈ R , ou
y = sen x .
Função cosseno é a função que associa a cada arco x ∈ R o número cos x ∈ R , ou
y = cos x .
Lauro
6-60
Trigonometria
6.7.3 Gráfico das funções seno e cosseno
Para estudar a função seno ( y = sen x ) e a função cosseno ( y = cos x ) vamos variar x
no intervalo [0,2π].
6.7.3.1 Função seno
y = sen x
1
O
A
y
O
π π π π
6 4 3 2
π
3π
2
2π
x
1
[Fig. 22]: Gráfico da função seno.
6.7.3.2 Conclusões
• O domínio da função y = sen x é o conjunto dos números reais, isto é, D = R .
• A imagem da função y = sen x é o intervalo [−1,+1], isto é, −1≤ sen x ≤+1.
• Toda vez que somamos 2π a um determinado valor de x , a função seno assume o mesmo
valor. Como 2π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função
y = sen x é p =2π.
Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde
marcamos o arco x .
Quando adicionamos 2 k π ao arco x , obtemos sempre o mesmo valor para o seno,
pois a função seno é periódica de período 2π.
(Eq.23)
sen x = sen ( x +2 k π), k ∈ Z (Inteiros).
6.7.3.3 Seno é função ímpar
No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e − x têm imagens
simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que as ordenadas desses pontos têm o
mesmo valor absoluto, porém, sinais opostos. Então, sen (− x )=− sen x .
Quando uma função f é tal que
dizemos que f é uma função ímpar.
f (− x )=− f ( x ), para todo x do seu domínio,
Como sen (− x )=− sen x , para todo x real, podemos afirmar que a função seno é
ímpar.
6.7.3.4 Função cosseno
y = cos x
Lauro
1
O
6-61
Trigonometria
A
O
y
π π π π
6 4 3 2
π
3π
2
2π
x
1
[Fig. 23]: Gráfico da função cosseno.
6.7.3.5 Conclusões
• O domínio da função y = cos x é o conjunto dos números reais, isto é, D = R .
• A imagem da função y = cos x é o intervalo [−1,+1], isto é, −1≤ cos x ≤+1.
• O período da função y = cos x é p =2π.
Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde
marcamos o arco x .
Quando adicionamos 2 k π ao arco x , obtemos sempre o mesmo valor para o cosseno,
pois a função cosseno é periódica de período 2π.
cos x = cos ( x +2 k π), k ∈ Z (Inteiros).
(Eq.24)
6.7.3.6 Cosseno é função par
No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e − x têm imagens
simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que esses pontos têm a mesma
abscissa. Então, cos (− x )= cos x .
Quando uma função f é tal que
dizemos que f é uma função par.
f (− x )= f ( x ), para todo x do seu domínio,
Como cos (− x )= cos x , para todo x real, podemos afirmar que a função cosseno é
par.
Exercício 108
Construa o gráfico da função y =2 sen x , dando o domínio, a imagem e o
período.
Resolução:
y
x
sen x 2 sen x
0
π
2
π
3π
2
2π
Observando o gráfico, temos:
D =................., Im =[.............,.............], e p =..............
Lauro
Exercício 109
Trigonometria
Construa o gráfico da função y = cos
6-62
x
, dando o domínio, a imagem e o
2
período.
Resolução:
x
x
y
x
cos
2
2
0
π
2
π
3π
2
2π
Observando o gráfico, temos:
D =................., Im =[.............,.............], e p =..............
6.8 Tangente de um arco
eixo das tangentes
N
O
P
α
T
A
M
[Fig. 24]: Arco α para o conceito de tangente.
Tangente de um arco é a ordenada do ponto T (segmento AT).
(Eq.25)
tan α= AT .
• O eixo vertical, suporte de AT , é chamado eixo das tangentes.
π
• Podemos dizer que tan α só é definida se α∈ R e α≠ + k π ( k ∈ Z ).
2
6.8.2 Função tangente
Função tangente é a função que associa a cada arco x ∈ R , com x ≠
número tan x ∈ R , ou y = tan x .
π
+ k π ( k ∈ Z ), o
2
6.8.3 Gráfico da função tangente
Para estudar a função tangente ( y = tan x ) vamos variar x no intervalo [0,2π].
Lauro
6-63
Trigonometria
y
1,73
1
0,58
O
A
O
0,58
1
π π π π
6 4 3 2
π
3π
2
2π
x
1,73
[Fig. 25]: Gráfico da função tangente.
6.8.3.1 Conclusões
• O domínio da função y = tan x é o conjunto dos números reais x ∈ R , com x ≠
π
( k ∈ Z ), isto é, D ={ x ∈ R / x ≠ + k π, k ∈ Z }.
2
π
+k π
2
• A imagem da função y = tan x é o conjunto dos números reais.
• Toda vez que somamos k π a um determinado valor de x , a função tangente assume o
mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da
função y = tan x é p =π.
(Eq.26)
tan ( x + k π)= tan x , k ∈ Z .
6.8.3.2 Tangente é uma função ímpar
Como tan (− x )=− tan x , para todo x real, com x ≠
π
+ k π ( k ∈ Z ), podemos afirmar
2
que a função tangente é ímpar.
6.9 Cotangente de um arco
B
N
O
C
eixo das
cotangentes
P
α
A
M
[Fig. 26]: Arco α para o conceito de cotangente.
Cotangente de um arco é a abscissa do ponto C (segmento BC).
(Eq.27)
cot α= BC .
Lauro
Trigonometria
6-64
• O eixo horizontal, suporte de BC , é chamado eixo das cotangentes.
• Podemos dizer que cot α só é definida se α∈ R e α≠ k π ( k ∈ Z ).
6.9.2 Função cotangente
Função cotangente é a função que associa a cada arco x ∈ R , com x ≠ k π ( k ∈ Z ), o
número cot x ∈ R , ou y = cot x .
6.9.3 Gráfico da função cotangente
Para estudar a função cotangente ( y = cot x ) vamos variar x no intervalo [0,2π].
y
1,73
1
0,58
O
A
O
0,58
1
π π π π
6 4 3 2
π
3π
2
2π x
1,73
[Fig. 27]: Gráfico da função cotangente.
6.9.3.1 Conclusões
• O domínio da função y = cot x é o conjunto dos números reais x ∈ R , com x ≠ k π
( k ∈ Z ), isto é, D ={ x ∈ R / x ≠ k π, k ∈ Z }.
• A imagem da função y = cot x é o conjunto dos números reais.
• Toda vez que somamos k π a um determinado valor de x , a função cotangente assume o
função y = cot x é p =π.
(Eq.28)
cot ( x + k π)= cot x , k ∈ Z .
6.9.3.2 Cotangente é uma função ímpar
Como cot (− x )=− cot x , para todo x real, com x ≠ k π ( k ∈ Z ), podemos afirmar que
a função cotangente é ímpar.
6.10 Secante e cossecante de um arco
Lauro
Trigonometria
6-65
D
P
N
α
O
MA S
[Fig. 28]: Arco α para o conceito de secante e cossecante.
Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto P, interceptamos o eixo das
abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D.
(Eq.29)
sec α= OS .
(Eq.30)
cos sec α= OD .
6.10.1 Função secante e cossecante
Função secante é a função que associa a cada arco x ∈ R , com x ≠
número sec x ∈ R , ou y = sec x
π
+ k π ( k ∈ Z ), o
2
Função cossecante é a função que associa a cada arco x ∈ R , com x ≠ k π ( k ∈ Z ), o
número cos sec x ∈ R , ou y = cos sec x .
6.10.2 Gráfico da função secante
Para estudar a função secante ( y = sec x ) vamos variar x no intervalo [0,2π].
y
2
1,41
1,15
1
O
A
O
π π π
6 4 3
π
2
π
3π
2
2π x
1
1,15
1,41
2
[Fig. 29]: Gráfico da função secante.
Lauro
6.10.2.1
6-66
Trigonometria
Conclusões
• O domínio da função y = sec x é o conjunto dos números reais x ∈ R , com x ≠
π
( k ∈ Z ), isto é, D ={ x ∈ R / x ≠ + k π, k ∈ Z }.
2
π
+k π
2
• A imagem da função y = sec x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou
menores ou iguais a −1, isto é, Im ={ y ∈ R / y ≥1 ou y ≤−1}.
• Toda vez que somamos 2 k π a um determinado valor de x , a função secante assume o
mesmo va lor. Como 2π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da
função y = sec x é p =2π.
(Eq.31)
sec ( x +2 k π)= sec x , k ∈ Z .
6.10.3 Gráfico da função cossecante
Para estudar a função cossecante ( y = cos sec x ) vamos variar x no intervalo [0,2π].
y
2
1,41
1,15
1
O
A
O
π π π
6 4 3
π
2
π
3π
2
2π
x
1
1,15
1,41
2
[Fig. 30]: Gráfico da função cossecante.
6.10.3.1
Conclusões
• O domínio da função y = cos sec x é o conjunto dos números reais x ∈ R , com x ≠ k π
( k ∈ Z ), isto é, D ={ x ∈ R / x ≠ k π, k ∈ Z }.
• A imagem da função y = cos sec x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou
menores ou iguais a −1, isto é, Im ={ y ∈ R / y ≥1 ou y ≤−1}.
• Toda vez que somamos 2 k π a um determinado valor de x , a função cossecante assume o
função y = cos sec x é p =2π.
(Eq.32)
cos sec ( x +2 k π)= cos sec x , k ∈ Z .
Lauro
Trigonometria
6-67
6.11 Relações trigonométricas
Será feito o estudo das relações que existem entre as funções trigonométricas, pois elas
têm muitas aplicações na trigonometria e fora dela. Para as deduções das relações, tomaremos
como base o ciclo trigonométrico e um ângulo α dado.
eixo das tangentes
D
B
C
eixo das
cotangentes
PT
N
α
O
MA S
[Fig. 31]: Funções trigonométricas no ciclo.
Podemos identificar as funções trigonométricas no ciclo, em relação ao ângulo α:
sen α= ON ; cos α= OM ; tan α= AT ; cot α= BC ; sec α= OS e cos sec α= OD .
Analisando as funções no cic lo e fixando inicialmente o ângulo α, podemos fazer as
seguintes mudanças, para facilitar o entendimento das relações trigonométricas:
cα
s se
co
α BD
sec
O
F
senα tanα
α
AC
E
cosα
cot α
1
unidade
[Fig. 32]: Funções adaptadas no ciclo.
Com as novas adaptações, temos as seguintes funções:
sen α= AB ; cos α= OA ; tan α= CD ; cot α= OE ; sec α= OD e cos sec α= OF .
Daí tiram-se três triângulos semelhantes:
∆ OAB ≡∆ OCD ≡∆ OEF .
F
O
B
1
senα
α
cosα A
1
O
α
se c
α
1
D
co s
tanα
C
α
O
2
α
sec
cotα
1
E
3
[Fig. 33]: Triângulos semelhantes.
6.11.1 Usando o teorema de Pitágoras
• sen 2α+ cos 2 α=1;
• tan 2α+1= sec 2α;
Lauro
• cot 2α+1= cos sec 2α.
Trigonometria
6-68
6.11.2 Usando semelhança entre triângulos
Com base na figura acima, tome as seguintes proporções, dadas as razões entre os
triângulos:
secα
1
1
Razões do triângulo 2 para 1 :
=
⇒
sec α=
;
1
cos α
cos α
tan α senα
senα
=
⇒
tan α=
.
1
cos α
cos α
cos secα
1
1
=
⇒
cos sec α=
;
1
senα
senα
cot α cos α
cos α
=
⇒
cot α=
.
1
senα
senα
cos secα secα
secα
=
⇒
cos sec α=
;
1
tan α
tan α
cot α
1
1
=
⇒
cot α=
.
1
tan α
tan α
Com base nos três triângulos semelhantes da figura anterior, resolva os exercícios que
seguem abaixo:
Exercício 110
Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo
1
para
2
.
1
para
3
.
2
para
3
.
Resolução:
sen α=
;
............................
cos α=
.
............................
Exercício 111
Resolução:
sen α=
;
............................
cos α=
.
............................
Exercício 112
Resolução:
sec α=
;
............................
tan α=
.
............................
Lauro
Trigonometria
6-69
6.12 Identidades trigonométricas
A igualdade sen 2 α+ cos 2α=1 é verdadeira para qualquer α pertencente aos domínios
das funções seno e cosseno. Logo, ela é uma identidade trigonométrica.
Quando temos uma igualdade, só podemos aceitá- la como identidade após uma prova,
ou seja, após uma demonstração.
Para fazer uma demonstração desse tipo, podemos nos valer de qualquer das relações
dadas acima, que são identidades.
6.12.1 Processo para demonstrar identidades
Considerando a igualdade, levaremos todas as funções envolvidas para uma razão
equivalente em um dos três triângulos. Depois é só operar ambos os membros e chegar a uma
mesma expressão.
Nos exercícios seguintes, demonstre que as igualdades são identidades:
Exercício 113
tan 2α⋅ sen 2 α= tan 2α− sen 2α
F
O
B
1
senα
α
cosα A
O
1
α
se c
α
1
D
co
tanα
C
α
cα
s se
cotα
O
2
1
E
3
Levar do triângulo 2 para 1 :
tan 2α⋅ sen 2 α= tan 2α− sen 2α
sen2 α
sen2 α
2
⋅ sen α=
− sen 2α
2
2
cos α
cos α
4
2
sen α sen α − sen2α cos 2 α
=
cos 2 α
cos 2 α
sen4 α sen2α( sen2 α)
=
cos 2 α
cos 2 α
sen4 α sen4 α
=
⇒ C.Q.D. (como queríamos demonstrar).
cos 2 α cos 2 α
Resolução:
Exercício 114
(1+ cot α)2 +(1− cot α)2=2⋅ cos sec 2 α
F
O
B
1
senα
α
cosα A
1
Resolução:
O
α
se c
α
1
α
sec
co s
D
tanα
C
α
O
2
Todas as funções já se encontram no triângulo
cotα
1
E
3
3
, basta desenvolver:
Lauro
Exercício 115
Trigonometria
6-70
sec 2α+ cos sec 2 α= sec 2 α⋅ cos sec 2α
F
O
B
1
senα
α
cosα A
α
se c
α
1
O
1
Resolução:
Levar do triângulo
Exercício 116
senα
cos α
=1−
cos secα
secα
D
co s
tanα
C
α
O
cotα
2
3
para
2
α
sec
1
E
3
:
F
O
B
1
senα
α
cosα A
α
se c
α
1
O
1
D
co s
tanα
C
α
O
2
3
Resolução:
Levar dos triângulos
Exercício 117
cos secα − senα
= cot 3α
secα − cos α
e
2
α
sec
cotα
1
E
3
para
1
:
Lauro
Trigonometria
6-71
F
O
B
1
senα
α
cosα A
α
se c
α
1
O
1
Resolução:
Levar dos triângulos
D
co
tanα
C
α
O
2
1
e
2
cα
s se
cotα
1
E
3
para
3
:
Lauro
Matrizes
7-72
7 Matrizes
A tabela a seguir mostra o conceito obtido por sete alunos de matemática aplicada,
durante o primeiro semestre. Estes conceitos equivalem a três notas parciais (P-1, P-2 e P-3)
mais uma substitutiva (SUB). A média é obtida através da soma dos três mais altos conceitos
divididos por três. O aluno será considerado aprovado se a média for maior ou igual a sete.
P-1
P-2
P-3
SUB.
A.A.S.
A.J.T.
A.M.O.
A.F.L.
C.M.B.
D.P.S.
D.G.D.
4,3
8,0
3,9
4,9
5,7
9,4
4,0
8,6
7,4
5,1
8,3
8,3
10,0
8,6
6,5
8,7
9,0
5,4
4,1
10,0
8,4
5,9
7,2
7,3
7,6
9,9
OBS:
Os nomes estão
representados
pelas inicias, para
se preservar o
anonimato dos
alunos.
[Fig. 34]: Tabela de notas.
Para saber, por exemplo, que nota o aluno A.M.O. tirou na segunda parcial (P-2),
procuramos o valor na 3a linha e na 2a coluna da tabela, que corresponde a 5,1.
Pode-se representar esta tabela através de uma matriz, que fica da seguinte forma:
 4 ,3 8 ,6 6 ,5

 8,0 7 ,4 8,7
 3,9 5,1 9,0

 4,9 8,3 5,4

5,7 8,3 4,1

 9,4 10,0 10,0

 4,0 8,6 8, 4
5 ,9 
 4,3 8,6 6,5


0 ,0 
8,0 7, 4 8,7

 3,9 5,1 9,0
7 ,2


7 ,3  ou  4,9 8,3 5,4

5,7 8,3 4,1
7 ,6


9 ,9 
9,4 10,0 10,0

4,0 8,6 8,4
0 ,0 

5,9 

0 ,0 
7 ,2 

7 ,3  .
7 ,6 

9,9 
0,0
7.1 Conceito de matriz
Matrizes são tabelas retangulares utilizadas para organizar dados numéricos. Cada
número é chamado de elemento da matriz, as filas horizontais são chamadas linhas e as
verticais são chamadas colunas.
No exemplo dado, a matriz tem 7 linhas e 4 colunas. Dizemos que essa é uma matriz
do tipo 7×4 (lê-se: sete por quatro).
De um modo geral, uma matriz A do tipo m × n ( m linhas e n colunas, m , n ∈ N ∗ ) é
representada por:
 a11
a
 21
A m× n =  a31

 M
a m1
a12
a22
a32
M
am 2
a13 L a1n 
a 23 L a 2n 
a33 L a3n 

M
M 
am 3 L a m n 
Lauro
A matriz A também pode ser indicada por A = ai j
( )m × n
Matrizes 7-73
ou A =( a i j ) com 1≤ i ≤ m e
1≤ j ≤ n .
Exercício 118
( )2× 3 tal que a i j =2 i + j .
Escreva a matriz A = a i j
Resolução:
Logo, A =..........................................................
7.1.1 Algumas matrizes especiais
 4
 
 0 0 0 0


 5
B =(3 2 1), C =   , D =  0 0 0 0  .
6
 0 0 0 0
 


 7
• B é uma matriz linha 1×3;
• C é uma matriz coluna 4×1;
• D é uma matriz nula 3×4 e pode ser representada por: D =0 3× 4 .
7.2 Matriz quadrada
Uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas.
Assim, uma matriz quadrada n × n é chamada de: matriz quadrada de ordem n .
− 8 − 9
Exemplo: E = 
 . E é matriz quadrada de ordem 2.
 10 11 
Numa matriz quadrada, os elementos a i j tais que i = j , formam a diagonal principal.
A outra diagonal é chamada de diagonal secundária.
Diagonal secundária
 a11

a21
A= 
 a31

 a41
a12
a13
a22
a23
a32
a33
a42
a43
a14 

a24 
a34 

a44 
Diagonal principal
[Fig. 35]: Diagonais de uma matriz.
7.2.1 Matriz identidade
Lauro
Matrizes 7-74
Matriz identidade ou matriz unidade é toda matriz quadrada de ordem n (indicada por
I n ) onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais, iguais a zero.
1 0 0 
Exemplo: I 3 = 0 1 0  é matriz identidade de ordem 3.
0 0 1 
7.2.2 Matriz diagonal
Matriz diagonal é toda matriz quadrada de ordem n onde os elementos fora da
diagonal principal são nulos.
1 0
1 0 0  − 2 0 0 
0 0  0 − 2
Exemplo: As matrizes 0 1 0  ,  0 5 0  , 
e
0 0  0 0

0 0 1   0 0 7 

0 0
0 0
0 0 
são diagonais.
3 0

0 − 4
7.2.3 Matriz oposta
Dada uma matriz A , chamamos de matriz oposta de A (indicamos por − A ) a matriz
que é obtida invertendo-se o sinal de cada um de seus elementos.
Exercício 119
 3 −5 1 
Sendo A =  1 − 7 − 1 , determine sua oposta.
− 2 4
9 
Resolução:
− A =...................................................
7.3 Igualdade de matrizes
Duas matrizes de mesma ordem são iguais, se, e somente se, os elementos que ocupam
a mesma posição são iguais.
Exercício 120
Sabendo-se que A e B são matrizes iguais, determine os valores de x e y :
 2
7
2
A= 
e B=

3x − 2 y − 8
1
x + y
− 8 
Resolução:
x =................ e y =.................
Lauro
Matrizes
7-75
7.3.1 Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m × n , denominamos transposta de A (indicamos por
A ) a matriz de ordem n × m obtida trocando-se ordenadamente as linhas de A pelas coluna
de A .
t
1 4
1 2 3
t
Exemplo: Seja A 2×3 = 
. A sua transposta é: A 3×2 = 2 5 .

4 5 6
3 6
Diz-se que uma matriz A de ordem n é matriz simétrica, se ela é igual a sua
transposta At ( A é simétrica, então A = At ).
1 2 3
Exemplo: A = 2 4 5 = At .
3 5 6
7.4 Operações com matrizes
7.4.1 Adição de matrizes
Dadas duas matrizes A e B , ambas de ordem m × n , dizemos que a soma da matriz
A com a matriz B é a matriz S também de ordem m × n , tal que:
(Eq.33)
S = A + B ⇔ si j = a i j + bi j , com 1≤ i ≤ m e 1≤ j ≤ n .
Exercício 121
− 3 0 2 
 5 −2 6 
Efetuar a soma de A por B , sendo A = 
e B =

.
 4 − 7 1
− 1 4 − 3
Resolução:
A + B =......................................................
7.4.2 Subtração de matrizes
Dadas duas matrizes A e B , ambas de ordem m × n , dizemos que a diferença entre a
matriz A e a matriz B é a soma da matriz A com a oposta de B .
A − B = A +(− B ).
Exercício 122
− 3 0 2 
 5 −2 6 
Efetuar a subtração ( A − B ), sendo A = 
e B=

.
 4 − 7 1
− 1 4 − 3
Resolução:
Lauro
Matrizes
7-76
7.4.3 Produto de um número real por uma matriz
Dada a matriz A de ordem m × n e um número real k , dizemos que o produto de k
por A é a matriz B também de ordem m × n , tal que:
(Eq.34)
B = k ⋅ A ⇔ bi j = k ⋅ a i j , com 1≤ i ≤ m e 1≤ j ≤ n .
− 3 0 2 
 5 −2 6 
Dadas as matrizes A = 
e B=

 , determine o que se pede
 4 − 7 1
− 1 4 − 3
nos exercícios a seguir.
Exercício 123
Determine o valor de 5⋅ A .
Resolução:
5⋅ A =.........................................................................
Exercício 124
Determine 2⋅ A −3⋅ B .
Resolução:
2⋅ A −3⋅ B =..................................................................................
Exercício 125
Determine o valor da matriz X , tal que 2 X −4 A +8 B =0.
Resolução:
X =...................................................................................
Lauro
Matrizes
7-77
7.4.4 Produto de matrizes
Dadas as matrizes A de ordem m × p e B de ordem p × n , dizemos que o produto de
A por B é a matriz C de ordem m × n .
( )m× p , B = (bk j )p× n e C = (ci j )m×n .
A = aik
OBS. 12:
Os elementos ci j da matriz C são obtidos da soma dos produtos dos elementos da iésima linha de A pelos elementos correspondentes da p-ésima coluna de B .
C = A B ⇒ ci j = ∑ (ai k ⋅ bk j ), com 1≤ i ≤ m e 1≤ j ≤ n .
p
(Eq.35)
k =1
7.4.4.1 Conclusões
• Só podemos multiplicar A por B se o número de colunas de A for igual ao número de
linha de B ;
• A matriz C , resultante da multiplicação de A por B , tem o mesmo número de linhas de
A e o mesmo número de colunas de B ;
• Então: C
m× n =
A
m× p
B
p× n
.
Exercício 126
− 3
4
Determine o produto de A por B , sendo A = 
 −1

− 2
Resolução:
C = A B ⇒ ci j = ∑ (ai k ⋅ bk j ).
0 − 7
 5 −1
2 1 
e B = − 2 4  .

3 0
 6 − 3

1 − 1
p
k =1
A 4×3 B
3× 2
 c11 c12 
c

21 c 22 

⇒ C 4× 2 =
c31 c32 


c41 c 42 
c 11=..................................................................................................................................................................................
c 12=..................................................................................................................................................................................
c 21=..................................................................................................................................................................................
c 22=..................................................................................................................................................................................
c 31=..................................................................................................................................................................................
c 32=..................................................................................................................................................................................
c 41=..................................................................................................................................................................................
c 42=..................................................................................................................................................................................
Logo,
C =.................................................................
Lauro
Matrizes
7-78
7.4.5 Matriz inversa
Uma matriz quadrada A de ordem n é inversível se existir uma matriz B de ordem n
tal que:
(Eq.36)
A ⋅ B = B ⋅ A = I n , sendo I n a matriz unidade (identidade).
A matriz B denomina-se inversa da matriz A e indicamos por A−1 . Então:
(Eq.37)
A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I n .
Exercício 127
 2 −1
Determinar a matriz inversa da matriz A = 
.
− 3 4 
Resolução:
a b 
−1
Tome A−1 = 
 . Daí, desenvolvendo A ⋅ A = I 2 , temos:
c
d


Logo, temos que:
A−1 =...........................................
Exercício 128
− 15 − 8 − 3
 −1 


Sendo A =  − 9 − 5 − 2 e B = − 18 , resolva a equação matricial
3
1 
 5
 52 
−1
A X =B.
Resolução:
Não conhecemos a matriz A mas, sabemos que A−1 ⋅ A = I 3 e I 3 ⋅ X = X .
Então: A X = B ⇒ multiplicando A−1 a esquerda aos dois membros da equação:
Lauro
Matrizes
7-79
X =....................................
1
(FURRN) Sejam as matrizes: A = 
3
X e Y , tais que:
X + Y = A − 2B

 2X +
Y = 2A + B

Exercício 129
2
2 0
e B =

 . Determine as matrizes
4
4 1
Resolução:
Logo:
X =...................................................... e Y =.......................................................
Lauro
Determinantes
8-80
8 Determinantes
Sendo A uma matriz de ordem n , pertencente ao conjunto das matrizes quadradas de
elementos reais, chama-se determinante de A , representado por det A , ao número que se
pode obter, operando com os elementos, de acordo com regras específicas. Na seqüência
serão dadas algumas regras para cálculo de determinantes.
8.1 Determinante de 1 a ordem
Se n =1, então A =[ a11 ].
(Eq.38)
det A =| a11 |= a11 .
a11 é o determinante da matriz de primeira ordem.
Exercício 130
Calcular o determinante da matriz A =[−5].
Resolução:
det A =.........................................
a12 
a
Se n =2, então A =  11
 . O determinante pode ser obtido pela diferença entre o
a 21 a22 
produto da diagonal principal pela diagonal secundária.
(Eq.39)
det A =
Exercício 131
a11 a12
= a11 ⋅ a 22 − a12 ⋅ a 21 .
a21 a 22
1 2
Calcular o determinante da matriz A = 
.
3 4
Resolução:
det A =............................
Exercício 132
Resolver a equação
2 5 x 1
=
.
x 5 4 x
Resolução:
S ={............... ,...............}.
Lauro
Determinantes
8-81
8.3.1 Regra de Sarrus
SARRUS, cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS (1798 - 1861), foi
professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente
escrita no ano de 1833.
Para se obter o determinante de uma matriz quadrada de 3a ordem, utilizando a regra
de Sarrus, pode-se proceder da seguinte forma:
 a11 a12
Tome a matriz A = a 21 a22
a31 a32
a13 
a 23  .
a33 
• Reescrever a direita da 3a coluna, a 1a e a 2a colunas do determinante;
• Efetuar os produtos em diagonal, atribuindo sinais positivos aos resultados à direita e sinais
negativos para os resultados à esquerda;
• Efetuar a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz
dada.
a11 a12
a21 a 22
a13
a23
a11 a12
a21 a22
a31
a33
a31 a32
a32
Trocar os sinais dos produtos
Conservar os sinais dos produtos
[Fig. 36]: Determinante pela regra de Sarrus.
(Eq.40)
det A = a11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a13 ⋅ a 21 ⋅ a 32
− a13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 − a11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 − a12 ⋅ a 21 ⋅ a 33
Exercício 133
1 2 3
Calcular o determinante da matriz A = 4 5 6 .
7 8 9
Resolução:
det A =......................
Lauro
Determinantes
8-82
1 4 3
Exercício 134
Resolver a equação 2 x 6 =0.
4 0 x
Resolução:
S ={............... ,...............}.
8.4 Determinante de ordem maior que 3
 a11 a12
Considere a matriz A = a 21 a22
a31 a32
a13 
a 23  .
a33 
8.4.1 Menor complementar
O menor complementar do elemento a i j da matriz A é o determinante da matriz
quadrada que se obtém de A , suprimindo a linha i e a coluna j .
Indica-se por Di j .
Considerando a matriz A acima, determinar o menor complementar dos
elementos a 21 e a 22 .
Exercício 135
Resolução:
Menor complementar de a 21 :
D21 =
Menor complementar de a 22 :
D22 =
8.4.2 Cofator ou complemento algébrico
O cofator de um elemento a i j da matriz A é o produto ( −1)i+ j ⋅ Di j .
Indica-se por Ai j .
(Eq.41)
Ai j = ( −1)i+ j ⋅ Di j
Lauro
Determinantes 8-83
Exercício 136 Considerando a matriz A acima, determinar o cofator dos elementos a 21 e
a 22 .
Resolução:
Cofator a 21 :
A21 =......................................................................................................................................
Cofator a 22 :
A2 2 =......................................................................................................................................
8.4.3 Conclusões
Considere um elemento de posição a i j da matriz A :
• Quando i + j é IMPAR, o cofator de a i j é o OPOSTO do menor complementar;
• Quando i + j é PAR, o cofator de a i j é IGUAL ao menor complementar.
Nos exercícios a seguir, determinar o que se pede em relação à matriz
− 1 4 − 3


A =  8 − 5 − 2 .
 2
3
1 
Exercício 137
Encontre o menor complementar do elemento (−5).
Resolução:
(−5) encontra-se na posição onde i =............ e j =............, logo, procura-se D........ .
Logo:
O menor complementar do elemento (−5) é ........................
Lauro
Exercício 138 Encontre o cofator do elemento (−5).
Determinantes
8-84
Resolução:
(−5) encontra-se na posição onde i =............ e j =............, logo, procura-se A........ .
O cofator do elemento (−5) é ....................... .
Exercício 139
Encontre o menor complementar do elemento (8).
Resolução:
(8) encontra-se na posição onde i =............ e j =............ , logo, procura-se D........ .
Logo:
O menor complementar do elemento (8) é ........................
Exercício 140
Encontre o cofator do elemento (8).
Resolução:
(8) encontra-se na posição onde i =............ e j =............ , logo, procura-se A........ .
O cofator do elemento (8) é ........................
8.4.4 Teorema de Laplace
Tome uma matriz A de ordem n com n ≥2.
O determinante da matriz A é a soma dos produtos dos elementos de uma fila
qualquer (linha ou coluna) da matriz pelos respectivos cofatores.
Calcular o determinante da matriz:
 1 0 3 − 2
 2 1 4 − 1

A= 
− 3 0 5 0 


− 1 2 1 2 
Exercício 141
Lauro
Determinantes 8-85
a
Resolução:
Observando a matriz, verificamos que na 2 coluna e na 3a linha aparecem 2
elementos nulos. Para o cálculo do det A iremos tomar como base a 2a coluna.
det A =0⋅ A12 +1⋅ A22 +0⋅ A32 +2⋅ A42
det A = A22 +2⋅ A42
det A =............................
Exercício 142
0
2
3
2
Dada a matriz A = 
− 5 1

 4 −4
3
0
3
1
0
4
, calcule det A .
2

0
Observando a matriz A , verificamos que na 1a linha e na 4a coluna aparecem 2
elementos nulos. Para o cálculo do det A iremos tomar como base a 1a linha. Se for
considerada a 4a coluna, o trabalho será equivalente.
det A =
Resolução:
det A =...........................
Lauro
Exercício 143
1
x
Resolva a equação
1
1
Determinantes
1
x2
2
1
5
0
0
0
8-86
1
1
=0.
1
1
Resolução:
x =..................
8.4.5 Teorema de Binet
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então:
(Eq.42)
det ( A ⋅ B )= det A ⋅ det B
8.4.6 Determinante da matriz inversa
Sendo A uma matriz quadrada inversível de ordem n ( n ≥2), temos:
A ⋅ A−1 = I ⇒ det ( A ⋅ A−1 )= det I
Como det ( A ⋅ A−1 )= det A ⋅ det A−1 e det I =1, temos que:
det A ⋅ det A−1 =1
(Eq.43)
det A−1 =
Exercício 144
1
, tal que det A ≠0.
det A
5 0 − 1
Sendo A = 2 3 4  , calcule o determinante da matriz inversa de A .
1 2 3 
Lauro
Resolução:
det A−1 =
Determinantes
8-87
1
det A
det A−1 =......................
Exercício 145
senx cos x 0 1
senx cos x 0 0
 e sendo 0≤ x ≤2π, calcule x para que
Dada a matriz A = 
senx
1
0 0


0
1 0
 0
A seja inversível. Ache também det A−1 .
Resolução:
Para que A seja inversível, devemos ter det A ≠0.
Então, para que A seja inversível devemos ter:
Cálculo do det A−1 :
.............................................................................................
det A−1 =........................................................
Lauro
Sistemas lineares
9-88
9 Sistemas lineares
9.1 Equação linear
Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1 , x 2 , x3 , …, x n , como
sendo a equação da forma a1 x1 + a 2 x 2 + a 3 x3 +…+ a n x n = b onde a1 , a 2 , a 3 , …, a n e b são
números reais ou complexos. a1 , a 2 , a 3 , …, a n são denominados coeficientes e b , termo
independente.
Quando o termo independente b for igual a zero, a equação linear denominase: EQUAÇÃO LINEAR HOMOGÊNEA.
OBS. 13:
Exercício 146
Determinar o que se pede, em relação a equação linear −3 x1 +2 x 2 − x3 =7.
Resolução:
Coeficientes:..............................................................;
Incógnitas: ..................................................................;
Termo independente: .......................................... .
9.1.1 Solução de uma equação linear
9.1.1.1 Equação linear com 1 variável
Já estamos acostumados a resolver equações lineares de uma incógnita (variá vel), que
são as equações de primeiro grau. Exemplo:
• 2 x +5=11
• Solução: x =3 ou S ={3}.
A solução é única.
9.1.1.2 Equação linear com 2 variáveis
Se tivermos uma equação com duas incógnitas (variáveis), a solução não é única, já
que podemos ter um número infinito de pares ordenados que satisfazem a equação. Exemplo:
• x + y =20
• Solução: x =1 e y =19, par ordenado (1,19); x =2 e y =18, par ordenado (2,18); x =32 e
y =−12, par ordenado (32,−12); e assim por diante. Podemos colocar como solução os
termos ordenados: (1,19), (2,18), (32,−12), …, ou seja:
Existem infinitas soluções.
Como na anterior, podemos ter como exemplo:
• 2 x +3 y − z =15
• Solução: (1,2,−7), (3,4,3), …
Existem infinitas soluções.
Lauro
Sistemas lineares
9-89
Sabendo que Si ( i =1,2,3,4) pertence ao conjunto solução S da equação linear
x1 −2 x 2 − x3 +3 x 4 =−4, determinar o que se pede nas soluções Si abaixo:
Exercício 147
Resolução:
S 1 : (................,1,2,3);
S 2 : (−4,7,−8, ................);
S 3 : (−2, ................ ,5,−1);
S 4 : (1,2, ................ ,4).
Com o intuito de treinar, faça os três exercícios seguintes baseados no enunciado do
exercício anterior. Apenas serão consideradas equações diferentes.
Exercício 148
−2 x1 +3 x 2 + x3 −4 x 4 =13.
Resolução:
S 1 : (................,1,2,3);
S 2 : (−4,7,−8, ................);
S 3 : (−2, ................ ,5,−1);
S 4 : (1,2, ................ ,4).
Exercício 149
8 x1 +4 x 2 −9 x3 +11 x 4 =24.
Resolução:
S 1 : (................,1,2,3);
S 2 : (−4,7,−8, ................);
S 3 : (−2, ................ ,5,−1);
S 4 : (1,2, ................ ,4).
Exercício 150
−7 x1 − x 2 +5 x3 −3 x 4 =−28.
Resolução:
S 1 : (................,1,2,3);
S 2 : (−4,7,−8, ................);
S 3 : (−2, ................ ,5,−1);
S 4 : (1,2, ................ ,4).
9.2 Sistema linear
Consideramos sistema linear um conjunto de m equações lineares com n incógnitas
( x1 , x 2 , x3 , …, x n ) que pode ser representado da seguinte forma:









a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 + … + a1n x n = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 + … + a 2n x n = b 2
a 31 x1 + a 32 x 2 + a 33 x3 + … + a3n x n = b 3
M
M
M
M
M
a m1 x1 + a m 2 x 2 + a m 3 x3 + … + a m n x n = b m
Lauro
Sistemas lineares
• Os termos a i j ( i =1,2,…, m e j =1,2,…, n ) são denominados coeficientes;
9-90
• Os termos bi ( i =1,2,…, m ) são os termos independentes.
• O conjunto ordenado S =(α 1 , α 2 , α3 , …, α n ) será considerado solução do sistema linear se,
e somente se, satisfizer simultaneamente todas as m equações lineares.
• Se todos os termos independentes das equações são nulos, o sistema linear será dito
HOMOGÊNEO. Uma solução para o sistema linear homogêneo é o conjunto ordenado
(0,0,0,…,0), chamada solução trivial. Se o sistema homogêneo admitir outra solução em
que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não trivial.
Exemplo de sistema linear homogêneo:






2 x1 − x 2 + 4 x3 = 0
x1 + 3 x 2 − 5 x3 = 0
Solução trivial: (0,0,0)
Solução não-trivial: (1,−2,−1)
3 x1 − 2 x 2 + 7 x3 = 0
9.2.1 Sistemas lineares equivalentes
Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes se têm o mesmo conjunto solução
S.
Exercício 151



Calcular a e b , de modo que os sistemas sejam equivalentes:
x − y = 1
2x + y = 5
e



a x − b y = −1
bx + a y = 2
Resolução:
Resolvendo o primeiro sistema, temos:
O conjunto solução é S ={(..........,..........)}.
Substituindo o conjunto solução S no segundo sistema, temos:
Logo:
a =.......... e b =...........
Lauro
9-91
Sistemas lineares
9.3 Classificação de um sistema linear
Os sistemas lineares são classificados quanto ao número de soluções da seguinte
forma:
Sistema linear
Possível
Impossível
Determinado
Indeterminado
• Sistema linear POSSÍVEL e determinado (SPD): é o sistema que admite uma ÚNICA
solução.
• Sistema linear POSSÍVEL e indeterminado (SPI): é o sistema que admite INFINITAS
soluções.
• Sistema linear IMPOSSÍVEL (SI): é o sistema que NÃO ADMITE SOLUÇÃO.
9.4 Matrizes associadas a um sistema linear
Considere um sistema linear de m equações com n incógnitas:









a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 + … + a1n x n = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 + … + a 2n x n = b 2
a 31 x1 + a 32 x 2 + a 33 x3 + … + a3n x n = b 3
M
M
M
M
M
Podemos associar a ele as seguintes matrizes:
Matriz completa do sistema:
Matriz incompleta do sistema ou ma triz dos
coeficientes:











a11
a12
a13
…
a1n
b1
a 21
a 22
a 23
…
a 2n
b2
a 31
a 32
a 33
…
a3n
b3
M
M
M
M
M
a m1
am2
am3
amn
bm
…










 e 










a11
a12
a13
…
a1n
a 21
a 22
a 23
…
a 2n
a 31
a 32
a 33
…
a3n
M
M
M
a m1
am2
am3
M
…
amn











9.4.1 Forma matricial do sistema linear
Lauro
Sistemas lineares 9-92
O sistema também pode ser escrito em sua forma matricial A ⋅ X = B , onde A é a
matriz dos coeficientes, X o vetor coluna das incógnitas e B o vetor coluna dos termos
independentes.











a11
a12
a13
…
a1n
a 21
a 22
a 23
…
a 2n
a 31
a 32
a 33
…
a3n
M
M
M
a m1
am2
am3
M
…
amn










 ⋅ 










x1
x2
x3
M
xn










 = 










b1
b2
b3
M
bm











Notação simplificada: A ⋅ X = B .
Se a matriz incompleta do sistema (matriz dos coeficientes) for uma matriz quadrada,
o seu determinante det A é dito determinante do sistema.
Se det A ≠0, então a matriz A é inversível, isto é, existe A−1 , inversa de A .
Daí, podemos multiplicar a equação matricial, à esquerda, por A−1 :
A−1 ⋅ A ⋅ X = A−1 ⋅ B
I ⋅ X = A−1 ⋅ B
X = A−1 ⋅ B
Portanto, se det A ≠0, o sistema admite solução única e é possível e determinado
(SPD).
9.5 Regra de Cramer
Gabriel Cramer, matemático e astrônomo suíço (1704 a 1752).
A regra de Cramer é empregada para resolver um sistema linear em que o número de
equações é igual ao número de incógnitas.
Considere um sistema de 3 equações e 3 incógnitas:






a11 x + a12 y + a13 z = b1
a 21 x + a 22 y + a 23 z = b 2
a 31 x + a 32 y + a 33 z = b 3
Consideramos o determinante da matriz dos coeficientes por DA :
a11
a12
a13
DA = a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
Lauro
Os determinantes Dx , D y e Dz que se obtêm de DA substituindo, respectivamente, a
a
1 coluna (dos coeficientes de x ), a 2a coluna (dos coeficientes de y ) e a 3a coluna (dos
coeficientes de z ) pela coluna dos termos independentes.
b1
a12
a13
a11
b1
a13
a11
a12
b1
Dx = b 2
a 22
a 23
D y = a 21
b2
a 23
Dz = a 21
a 22
b2
b3
a 32
a 33
a 31
b3
a 33
a 31
a 32
b3
Se DA ≠0, então o sistema é possível e determinado. Os valores das incógnitas são
dados por:
• x=
Dx
DA
• y=
Dy
• z=
DA
Dz
DA
Portanto, o conjunto solução S é dado por S ={( x , y , z )}, que é:
 D Dy D z 
S =  x ,
,
 .
 D A DA D A 
De uma forma geral, um sistema linear de n equações com n incógnitas
X =( x1 , x 2 , x3 ,…, x n ), cujo determinante DA da matriz das incógnitas é diferente de zero, é
possíve l e determinado.
 D D D
D 
O conjunto solução desse sistema é S =  1 , 2 , 3 ,…, n  , em que Di é o
D A 
 D A D A D A
determinante que se obtém de DA substituindo a i-ésima coluna (dos coeficientes de xi ) pela
coluna dos termos independentes.
Exercício 152
Utilizando a regra de Gramer, determinar o conjunto solução S do sistema a
seguir.





x + 2y − z = 2
2x − y + 3z = 9
3x + 3 y − 2z = 3
Resolução:
Lauro
Sistemas lineares
9-94
S ={(...............,...............,...............)}.
9.6 Resolução de um sistema linear por
escalonamento
Considere novamente o sistema linear de m equações com n incógnitas:









a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 + … + a1n x n = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 + … + a 2n x n = b 2
a 31 x1 + a 32 x 2 + a 33 x3 + … + a3n x n = b 3
M
M
M
M
M
Sua forma matricial é dada por A ⋅ X = B .











a11
a12
a13
…
a1n
a 21
a 22
a 23
…
a 2n
a 31
a 32
a 33
…
a3n
M
M
M
a m1
am2
am3
M
…
amn










 ⋅ 




















 = 










x1
x2
x3
M
xn
b1
b2
b3
M
bm











Considere a matriz completa do sistema ou matriz aumentada do sistema, representada
por C :





C =[ A : B ]= 





a11
a12
a13
…
a1n
b1
a 21
a 22
a 23
…
a 2n
b2
a 31
a 32
a 33
…
a3n
b3
M
M
M
M
M
a m1
am2
am3
amn
bm
…











A solução do sistema linear é dada por:
X =( x1 , x 2 , x3 , …, x n ).
Lauro
Caso m > n , bastam n equações linearmente independentes para se resolver o sistema.
Caso m < n , o sistema é indeterminado com n − m variáveis livres.
Para o escalonamento, vamos considerar um sistema com n equações e n incógnitas.
O processo apresentado pode ser desenvolvido de forma análoga para os outros casos.
Então, tome um sistema linear A ⋅ X = B de ordem n . Com ( n −1) passos, o sistema
linear A ⋅ X = B é transformado num sistema triangular superior equivalente. Tome det A ≠0
como hipótese.
A ⋅ X = B ≈ U ⋅ X = D , o que se resolve por substituição.
[ A : B ] ≈ [U : D ]
 a11
a
 21
 M

a m1
a12 L a1n b1  u11 u12 L u1n
a 22 L a2n b2   0 u 22 L u2n
≈
M
M
M  M
M
M
 
am 2 L am n bm   0
0 L u nn
d1 
d 2 
.
M

dn 
Seja C0 =[ A : B ] e Ck =[ U : D ] após k conjuntos de operações elementares aplicadas
sobre C0 .





C0 = 





(0 )
a11
( 0)
a12
( 0)
a13
…
( 0)
a1n
b1(0 )
a (210)
a (220)
a (230)
…
a (2n0)
)
b (0
2
a (310)
a (320)
a (330)
…
a (3n0)
)
b (0
3
M
M
M
M
M
a (n01)
a (n02)
a (n03)
a (nn0)
)
b (0
n
…











(0 )
(0 )
• Etapa 1: em C0 , tome L(i 0) , com i =1,2,3,…, n como as linhas de C0 e a11
( a11
≠0) como
pivô e calculam-se os multiplicadores m(i10) ( i =2,3,…, n ).
i =2 ⇒ m(210) = −
i =3 ⇒
m(310) =
a(210)
;
( 0)
a11
( 0)
a31
− ( 0) ;
a11
M
i = n ⇒ mn(01) = −
(0 )
an1
(0 )
.
a11
Operações elementares nas linhas L(i 0+1) ( i =1,2,3,…, n ).
)
( 0)
i =1 ⇒ L(1
1 ← L1 ;
i =2 ⇒ L(12) ← m(210) ∗ L(10) + L(20) ;
i =3 ⇒ L(13) ← m(310) ∗ L(10) + L(30) ;
M
Lauro
Sistemas lineares
9-96
)
i = n ⇒ L(1n ) ← mn(01) ∗ L(10) + L(0
n .
Sendo L(1i ) ( i =1,2,3,…, n ) as linhas da matriz B1 .
(0 )
⇒ Anulam-se todos os valores abaixo do pivô a11
. Assim, obtém-se C1 , que é dada
por:




C1 = 





(1)
a11
(1)
a12
(1)
a13
…
(1)
a1n
b1(1)
0
(1)
a 22
(1)
a 23
…
(1)
a 2n
)
b (1
2
0
(1)
a 32
(1)
a 33
…
(1)
a 3n
)
b (1
3
M
M
M
M
M
0
a n(12)
a n(13)
(1)
a nn
)
b (1
n
…











(1)
(1)
• Etapa 2: Repete-se o processo para o próximo pivô a 22
( a 22
≠0), situado na diagonal da
)
matriz C1 e calculam-se os multiplicadores mi(12) ( i =3,…, n ). Sendo a (1
22 o pivô em C1 ,
tome L(1i ) , com i =1,2,3,…, n .
(1 )
i =3 ⇒ m32
=−
i =4 ⇒
(1)
m42
=
−
(1 )
a32
;
1)
a(22
(1 )
a42
(1 )
;
a22
M
i = n ⇒ mn(12) = −
(1 )
an 2
(1 )
.
a22
Operações elementares nas linhas L(i1+1) ( i =1,2,3,…, n ).
)
i =1 ⇒ L(12) ← L(1
1 ;
i =2 ⇒ L(22) ← L(12) ;
(1 )
i =3 ⇒ L(32) ← m32
∗ L(12) + L(13) ;
M
)
(1)
(1)
(1)
i = n ⇒ L(2
n ← mn 2 ∗ L2 + Ln .
(1)
⇒ Anulam-se todos os valores abaixo do pivô a 22
. Assim, obtém-se C2 , que é dada
por:




C2 = 





( 2)
a11
( 2)
a12
( 2)
a13
…
( 2)
a1n
b1(2 )
0
a (222)
a (232)
…
a (2n2)
)
b (2
2
0
0
a (332)
…
a (3n2)
)
b (2
3
M
M
M
M
M
0
0
a (n23)
a (nn2)
)
b (2
n
…











Lauro
Sistemas lineares
9-97
• Etapa 3, etapa 4, …, etapa k =( n −1): Repete-se o processo para os próximos pivôs a (iii−1)
( a (iii−1) ≠0), situado na diagonal da matriz Ci com i =3,4,…,( n −1).
Assim, na etapa k , obtém-se a matriz Ck =[ U : D ] que é equivalente à matriz
C0 =[ A : B ].





Ck = 





(k)
a11
(k)
a12
(k)
a13
…
a1(nk )
)
b (k
1
0
a (22k )
a (23k )
…
a (2kn)
b (k2 )
0
0
(k)
a33
…
a3( kn)
)
b (k
3
M
M
M
M
M
0
0
0
a (nnk )
b (kn )
…











Resolvendo U ⋅ X = D por substituição retroativa, tem-se X que também é solução
para o sistema A ⋅ X = B .
Exercício 153
Utilizando o escalonamento, determinar o conjunto solução S do sistema a
seguir.





2x + 3 y − z = 0
6 x − 3 y + z = −8
4x + y + 2z = 6
Resolução:
Lauro
Sistemas lineares
9-98
S ={(..............,..............,..............)}.
Lauro
Geometria 10-99
10 Geometria
10.1 Polígonos
Diz-se que um polígono é convexo se, quaisquer que sejam os pontos x e y
do seu interior, o segmento de reta x y está inteiramente contido em seu interior.
Definição 42
y
x
x
y
[Fig. 37]: Polígono convexo e polígono côncavo.
Fica subentendido que toda referencia de polígono de agora em diante, será de
polígono convexo, salvo menção contrária.
OBS. 14:
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada
por Si =180 ( n −2).
Teorema 1
o
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é igual a 2340o .
Quantos lados têm esse polígono?
Exercício 154
Resolução:
Esse polígono tem
.....................
lados.
10.1.1 Polígonos regulares
Um polígono é regular se, e somente se: i) todos os seus lados são congruentes;
ii) todos os seus ângulos internos são congruentes.
Definição 43
α
α
α
α
α
α
[Fig. 38]: Hexágono regular: 6 lados congruentes e 6 ângulos congruentes.
10.1.2 Área do triângulo
Lauro
Geometria 10-100
10.1.2.1
Área de um triângulo em função de um lado e da altura relativa a
ele
A
A
b
ha
B
A
c
hc
hb
C
a
B
C
B
C
[Fig. 39]: Área 1 do triângulo.
S∆ =
(Eq.44)
S∆ =
a ⋅ ha
2
base × altura
2
S∆ =
b ⋅ hb
2
S∆ =
c ⋅ hc
2
10.1.2.2
Área de um triângulo em função de dois lados e do ângulo
compreendido
A
c
B
h
A
b
c
C
a
h
B
B
H
C
No triângulo retângulo A B H , temos:
sen B̂ =
h
⇒ h = c ⋅ sen B̂ .
c
Substituindo h por c ⋅ sen B̂ na fórmula da área do triângulo A B C , obtemos:
S∆ =
a⋅h
a ⋅ c ⋅ senBˆ
⇒ S∆ =
.
2
2
Logo, a área do triângulo A B C em função de dois lados e do ângulo compreendido
entre esses dois lados pode ser dada da seguinte forma:
(Eq.45)
S∆ =
a ⋅ b ⋅ senCˆ
a ⋅ c ⋅ senBˆ
b ⋅ c ⋅ senAˆ
, S∆ =
ou S∆ =
2
2
2
10.1.2.3
Área de um triângulo em função dos três lados (Fórmula de
Herão)
A
c
B
b
a
C
Lauro
Geometria 10-101
(Eq.46)
S∆ = p ( p − a )( p − b )( p − c )
onde p é o semi-perímetro do triângulo A B C . Então: p =
a +b +c
.
2
A dedução desta e outras fórmulas dadas a seguir podem ser encontradas em
BEZERRA, Matemática de 2o grau (Volume único), editora scipione.
OBS. 15:
Exercício 155
Calcule a área do triângulo A B C da figura.
A
25
17
B
8
H
C
Resolução:
S∆ =.......................... u.a.
Sabendo-se que o triângulo A B C abaixo é eqüilátero de lado l =6, calcular a
área do quadrilátero A M N C . Dados: A M =2 e B N =3.
Exercício 156
Lauro
Geometria 10-102
A
6
4
B
M
6
S
60o
3 N
6
C
Resolução:
S =............................. u.a.
10.1.2.4
Cálculo dos raios das circunferências inscrita e circunscrita num
triângulo
A
c
B
r r
I
r
b
C
a
[Fig. 42]: Raio da circunferência inscrita.
O ponto I é o incentro do triângulo A B C , encontro das bissetrizes.
OBS. 16:
(Eq.47)
S∆ = p ⋅ r , onde p =
a +b +c
2
A
c
R
R G
B
b
R
a
C
[Fig. 43]: Raio da circunferência circunscrita.
O ponto G é o circuncentro do triângulo A B C , encontro das mediatrizes.
OBS. 17:
(Eq.48)
S∆ =
a⋅b⋅c
4R
Lauro
Geometria 10-103
10.1.3 Área do paralelogramo
C
D
A
D
h1
a
B
a
h2
b
C
A
b
[Fig. 44]: Área do paralelogramo.
(Eq.49)
S p = a ⋅ h 1 ou S p = b ⋅ h 2
10.1.4 Área dos paralelogramos notáveis
• Área do retângulo:
b
a
[Fig. 45]: Retângulo.
(Eq.50)
SR = a ⋅ b
• Área do losango:
h
D
l
d
[Fig. 46]: Losango.
(Eq.51)
S L = l ⋅ h ou S L =
D⋅d
2
• Área do quadrado:
a
a
Lauro
B
Geometria 10-104
[Fig. 47]: Quadrado.
(Eq.52)
SQ = a ⋅ a = a 2
Calcule as medidas dos lados de um paralelogramo sabendo que suas alturas
medem 2 e 3 metros respectivamente e que seu perímetro é igual a 20 metros.
Exercício 157
h2
A
D
b
h1
a
B
C
Resolução:
Os lados do paralelogramo são: ................ e ................ metros.
10.1.5 Área do trapézio
A
b
D
h
B
a
C
[Fig. 48]: Trapézio.
(Eq.53)
ST =
(a + b ) ⋅ h
2
Lauro
Geometria 10-105
Exercício 158 Na figura abaixo, M e N são os pontos médios dos lados A D e B C do
trapézio A B C D . Calcule a área desse trapézio, sabendo que a área do trapézio A B N M
é igual a 18.
A 5
B
18u.a.
x
M
D
N
9
h
C
Resolução:
S ABCD =............................ u.a.
Lauro
Geometria 10-106
10.1.6 Área e comprimento de um círculo
r
O
[Fig. 49]: Círculo.
• A área de um círculo é dada por SC :
(Eq.54)
SC =π r 2
• O comprimento de um círculo é dado por C :
(Eq.55)
C =2π r
10.1.7 Área da coroa circular
r
O
R
[Fig. 50]: Coroa circular.
(Eq.56)
Scoroa =π( R 2 − r 2 )
Na figura abaixo, A B é uma corda da circunferência ma ior tangente à
circunferência menor. Calcular a área da coroa circular, sabendo-se que A B =6 cm.
Exercício 159
6
A
B
r
O
R
Resolução:
Lauro
Geometria 10-107
Scoroa =....................................... u.a.
10.1.8 Área do setor circular
B
α
O
r
A
[Fig. 51]: Setor circular.
Setor circular é a intersecção de um círculo qualquer com um ângulo também qualquer
que tenha seu vértice no centro do círculo.
(Eq.57)
S setor =
αr 2
, sendo α considerado em radianos.
2
10.1.9 Área do segmento circular
Segmento circular é qualquer uma das duas partes em que um círculo fica dividido por
uma corda qualquer.
[Fig. 52]: Segmento circular.
• 1o Caso: O segmento circular não contém o centro do círculo.
Lauro
Geometria 10-108
B
A
α
O
[Fig. 53]: Área do segmento circular que não contém o centro.
(Eq.58)
S seg = S setor − S ∆AOB
• 2o Caso: O segmento circular contém o centro do círculo.
B
A
O
α
[Fig. 54]: Área do segmento circular que contém o centro.
(Eq.59)
S seg = S setor + S ∆AOB
A B C D é um quadrado de lado 8 metros. Os arcos de circunferência têm
centros em A e C . Calcular a área da região indicada no desenho abaixo.
Exercício 160
B
A
8
S
D
8
C
Resolução:
S =................................................ u.a.
Lauro
Geometria 10-109
10.2 Geometria espacial
10.2.1 Poliedros
Poliedro é um sólido limitado por polígonos planos, de modo que:
• Dois desses polígonos não estão num mesmo plano;
• Cada lado de um polígono é comum a dois e somente dois polígonos.
E
F
A
D
B
face
vértices
C
E
F
A
D
B
aresta
C
[Fig. 55]: Poliedro.
• Os polígonos são as faces do poliedro.
• Os lados e os vértices dos polígonos são, respectivamente, arestas e vértices do poliedro.
Um poliedro se diz convexo se, em relação a qualquer de suas faces, está todo situado
num mesmo semi-espaço determinado pelo plano que contém esta face. Caso contrário, o
poliedro é dito não-convexo.
G
G
F
E
A
D
E
F
C
B
A
D
B
H
C
[Fig. 56]: Poliedros convexos.
K
L
G
H
E
I
J
F
D
A
B
C
[Fig. 57]: Poliedro não-convexo.
Nesta última figura, o plano que contém a face FGLI não deixa as demais faces num
mesmo semi-espaço.
Lauro
Geometria 10-110
De acordo com o número de faces, os poliedros convexos possuem nomes especiais. A
tabela a seguir mostra alguns deles.
No de faces Nome do poliedro
4
tetraedro
5
pentaedro
6
hexaedro
7
heptaedro
8
octaedro
12
dodecaedro
20
icosaedro
• Lema de Euler: em toda superfície poliédrica aberta simples, sendo V o número de
vértices, A o de arestas e F o de faces, verifica-se a relação:
(Eq.60)
V−A+F=1
E
F
A
D
B
F
face
C
E
F
A
D
B
V
vértices
C
A
aresta
[Fig. 58]: Teorema de Euler.
Teorema de Euler: Em todo poliedro convexo, o número de arestas mais dois é
igual à soma do número de faces com o número de vértices.
Teorema 2
(Eq.61)
A+2=F+V
OBS. 18:
Aresta: (A≥6), face: (F≥4) e vértice: (V≥4).
Exercício 161
Quantas arestas tem um poliedro com 7 faces e 9 vértices?
Resolução:
São ............... arestas.
Exercício 162
Num poliedro existem 8 vértices a menos do que arestas. Qual é o número de
faces?
Resolução:
Lauro
Geometria 10-111
São ............... faces.
Um poliedro tem 40 arestas e o número de faces é igual ao número de vértices.
Quantas faces têm esse poliedro?
Exercício 163
Resolução:
São ............... faces.
Um poliedro tem 6 faces triangulares, 4 faces pentagonais e 5 faces
quadrangulares. Qual é o número de vértices, arestas e faces?
Exercício 164
Resolução:
São ............... vértices, ............... arestas e ............... faces.
10.2.2 Poliedros regulares
Existem polígonos regulares planos com um número qualquer de lados. Porém, o
número de poliedros regulares é limitado em 5.
Um poliedro convexo se diz regular quando suas faces são polígonos regulares
congruentes entre si, e seus ângulos poliédricos também são congruentes.
Os cinco poliedros regulares e suas respectivas planificações:
• Tetraedro regular:
4 faces triangulares
4 vértices
6 arestas
Lauro
Geometria 10-112
[Fig. 59]: Tetraedro regular.
• Hexaedro regular ou cubo:
6 faces quadrangulares
8 vértices
12 arestas
[Fig. 60]: Hexaedro regular.
• Octaedro regular:
6 vértices
12 arestas
[Fig. 61]: Octaedro regular.
• Dodecaedro regular:
12 faces pentagonais
20 vértices
30 arestas
Lauro
Geometria 10-113
[Fig. 62]: Dodecaedro regular.
• Icosaedro regular:
12 vértices
30 arestas
[Fig. 63]: Icosaedro regular.
Lauro
Geometria 10-114
10.2.3 Prismas
Considere a figura abaixo, contendo os dois planos α e β, paralelos entre si.
E
D
A
B
C
β
h
E
A
α
D
B
C
[Fig. 64]: Prismas.
• Denomina-se prisma a reunião de todos os segmentos de reta paralelos à reta DD' , com
uma extremidade num ponto do polígono ABCDE e a outra no plano β.
10.2.3.1
Elementos de um prisma
• Vértices: são os pontos A , B , C , …, D' e E' .
• Bases: são os polígonos ABCDE e A' B' C' D' E ' que estão contidas nos planos paralelos α
e β.
• Altura: é a distância h dos planos que contêm as bases do prisma.
• Arestas das bases: são os lados das bases ( AB , BC , CD , …, D' E ' e E' A' ).
• Arestas laterais: são os segmentos que unem os vértices correspondentes das bases ( AA' ,
BB' , CC' , DD ' e EE' ).
• Faces laterais: são os paralelogramos ABB ' A' , BCC'B' , CDD 'C' , DEE ' D' e EAA' E' .
As bases do prisma também são consideradas faces.
• Diagonal: é o segmento BE ' ou qualquer outro que une dois vértices não pertencentes a
uma mesma face.
10.2.3.2
Prisma regular
Um prisma é considerado reto se as arestas laterais forem perpendiculares aos planos
das bases. Caso contrário, o prisma é oblíquo.
Lauro
Geometria 10-115
[Fig. 65]: Prisma reto e prisma oblíquo.
• Um prisma reto cuja base é um polígono regular é denominado prisma regular.
10.2.3.3
Área da superfície de um prisma
Considere o prisma reto pentagonal a seguir com sua representação planificada.
[Fig. 66]: Prisma reto pentagonal e planificação.
• Área da base ( Sb ): é a ares de um dos polígonos das bases. Ex: área do pentágono.
• Área lateral ( Sl ): é a soma das áreas de todas as faces laterais. Ex: 5 vezes S retângulo .
• Área total ( S t ): é a soma da área lateral e das áreas das bases. S t = Sl +2 Sb .
Lauro
Geometria 10-116
Exercício 165 Calcular a área total de um prisma triangular regular, cuja aresta da base mede
8 metros e cuja altura é igual a 16 metros.
8
8
8
60o
8
8
16
16
8
8
8
8
8
Resolução:
S t = ................................................... m2 .
Uma fábrica de chocolates, também fabrica a embalagem para um de seus
produtos. Esta embalagem é uma caixa de bombons em forma de prisma hexagonal regular.
Sabendo que a altura da caixa é de 10 cm e que o lado do polígono da base mede 12 cm,
calcule a área de papelão necessária para se construir essa embalagem. Calcule a área total
sem considerar o material utilizado para a colagem.
Exercício 166
Resolução:
Planificação da caixa:
Lauro
Geometria 10-117
S t = ..................................................... cm2 .
Lauro
Geometria 10-118
O governo dos Estados Unidos resolveu pintar um dos prédios conhecido como
pentágono. Supondo que o prédio tenha as medidas de acordo com a figura a seguir, calcular a
área externa para que se possa fazer a pintura. Considere tan 54o =1,376.
Exercício 167
50m
80m
30m
Resolução:
S t =........................................ m2
Lauro
Geometria 10-119
10.2.3.4
Volume de um prisma
O volume de um prisma é igual ao produto da área da base pela altura.
h
Sb
Sb
[Fig. 67]: Volume de um prisma.
(Eq.62)
V p = Sb ⋅ h
A aresta da base de um prisma triangular regular mede 6 metros e a altura
mede 12 3 metros. Calcular o volume deste prisma.
Exercício 168
Resolução:
V p =.............................. m3
Lauro
Geometria 10-120
Exercício 169 Determine o volume do prisma oblíquo da figura a seguir, sabendo que sua
base é um pentágono regular. Caso necessite, considere tan 54o =1,376 e 3 =1,732.
14m
o
60
6m
Resolução:
V p =.............................................. m3
Lauro
Geometria 10-121
10.2.4 Pirâmides
Considere a figura abaixo, contendo o plano α, um polígono em α e um ponto V que
não pertence a α.
V
h
E
A
D
B
α
C
[Fig. 68]: Pirâmide.
• Denomina-se pirâmide a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em V e
a outra num ponto qualquer do polígono.
10.2.4.1
Elementos de uma pirâmide
• Vértice:é o ponto V .
• Base: é o polígono ABCDE que está contido no plano α.
• Altura: é a distância h do plano α ao vértice V .
• Arestas da base: são os lados do polígono ABCDE .
• Arestas laterais: são os segmentos que unem o vértice V a cada vértice da base.
• Faces laterais: são os triângulos VAB , VBC , VCD , VDE , VEA .
10.2.4.2
Pirâmide regular
Uma pirâmide é regular se, e somente se, sua base é um polígono regular e a projeção
ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base.
(a)
(g)
aresta
lateral
V
apótema
da pirâmide
h
apótema
(m)
da base
E
A
M
O
B
D
r
(l)
lado
da base
C
[Fig. 69]: Pirâmide regular.
Lauro
Geometria 10-122
• O polígono da base é inscritível numa circunferência de raio OC = r , chamado raio da
base.
• O apótema da base é o seguimento OM = m , que forma um ângulo reto com AB .
• As arestas laterais são congruentes ao segmento AV = a .
• As faces laterais são triângulos isósceles congruentes: ∆ABV ∼ ∆BCV ∼…∼ ∆EAV .
• O apótema da pirâmide é a altura de uma face (triângulos isósceles) é o segmento MV = g .
Com isso, considerando os triângulos retângulos ∆VOM , ∆VMA e ∆OMA , podemos
usar o teorema de Pitágoras para obter as seguintes relações:
V
V
V
a
g
a
h
h
g
g
r
E
M
M
m
O
g
h
g 2 = h 2 + m2
(Eq.63)
10.2.4.3
A
l
2 M
m O
V
A
l
2 M
A
l
2
M
(Eq.64)
r
m O
A
l
2 M
D
B
O
m
l
a2= g2 + 
2
l
A
l r
2
M m O
a
V
g
C
2
(Eq.65)
l
r 2 = m2 +  
2
2
Área da superfície de uma pirâmide
Considere a pirâmide quadrangular regular a seguir com sua representação planificada.
faces laterais
base
[Fig. 70]: Pirâmide regular quadrangular e sua planificação.
• Área da base ( Sb ): é a área do polígono da base. Ex: área do quadrado.
Lauro
Geometria 10-123
• Área lateral ( Sl ): é a soma das áreas de todas as faces laterais. Ex: 4 vezes S ∆isósceles .
• Área total ( S t ): é a soma da área lateral e da área da base. S t = Sl + Sb .
10.2.4.4
Volume de uma pirâmide
O volume de uma pirâmide é igual ao produto da área da base por um terço da altura.
h
[Fig. 71]: Volume da pirâmide.
(Eq.66)
V pi =
Sb ⋅ h
3
10.2.5 Tronco de pirâmide
O plano β, paralelo ao plano α, corta a pirâmide em dois sólidos. A parte de cima é
uma pirâmide VA' B' C' D' E' e a parte entre os dois planos é um tronco de pirâmide.
V
h1
A
E
B
β
D
C
h2
E
A
α
D
B
C
[Fig. 72]: Secção transversal de uma pirâmide.
10.2.5.1
• A razão
h1
h2
=
Razões no tronco de pirâmide
h1
h2
é chamada razão de semelhança em relação à secção transversal.
h1 A' B' B' C ' C' D ' D ' E' E ' A'
VA' VB' VC' VD' VE'
=
=
=
=
e
=
=
=
=
=
VA VB VC VD VE
h2 AB
BC
CD
DE
EA
2
2
S b  A' B'  2  h 1 
S b h1
• Razão entre as áreas:
=
=
 =  ⇒
S B  AB   h2 
S B h22
Lauro
Geometria 10-124
• Razão entre os volumes:
10.2.5.2
V pi
VPI
1 ⋅S ⋅h
b
1
3
1⋅ S ⋅h
B
2
3
=
3
h12 h1
V pi h 1
=
=
⋅
⇒
=
S B ⋅ h2 h22 h2
VPI h 23
S b ⋅ h1
Elementos do tronco de pirâmide
Como já estudamos a parte de cima em separado, vamos estudar agora o tronco de
pirâmide.
base menor ( b)
face lateral
h = h2 h1
aresta lateral (a)
base maior (B)
aresta da base(l)
[Fig. 73]: Tronco de pirâmide.
• São 2 bases: base maior B e base menor b .
• Faces laterais: trapézios.
• Altura do tronco: h = h2 − h 1 (distância entre as bases).
Tronco regular: caso em que a pirâmide geradora do tronco é regular.
• As bases são semelhantes.
• As faces laterais são trapézios isósceles congruentes. A altura do trapézio é o apótema do
tronco.
10.2.5.3
Volume do tronco de pirâmide
V
h1
A
E
B
D
h2
C
h
E
A
D
B
C
[Fig. 74]: Volume do tronco de pirâmide.
(Eq.67)
h
V = ⋅[ S B + S B S b + Sb ]
3
Demonstração:
Volume do tronco = (volume da pirâmide VABCDE ) − (volume da pirâmide VA' B' C' D' E' ).
Lauro
Sb ⋅ h1
S ⋅h
V= B 2−
. Para simplificar a notação, tome S B = B e Sb = b :
3
3
Geometria 10-125
1
V = ⋅[ B ⋅ h2 − b ⋅ h 1 ]. Sendo h2 = h 1 + h
3
1
V = ⋅[ B ⋅( h 1 + h )− b ⋅ h 1 ]
3
1
V = ⋅[ B h +( B − b )⋅ h 1 ] (i)
3
Cálculo de h 1 em função de h , B e b :
Sendo
2
h1
h1
b h1
b
b
= 2 ⇒
=
⇒
=
⇒ h1
B h2
h2
h1 + h
B
B
B = h1 b +h b
h b
(ii)
B− b
Substituindo (ii) em (i):
1
V = ⋅[ B h +( B − b )⋅ h 1 ]
3
1
h b
V = ⋅[ B h +( B − b )⋅
]
3
B− b
h
b
V = ⋅[ B +( B − b )⋅
], mas, ( B − b )=( B + b )⋅( B − b )
3
B− b
h
b
V = ⋅[ B +( B + b )⋅( B − b )⋅
]
3
B− b
h
V = ⋅[ B +( B + b )⋅ b ]
3
h
V = ⋅[ B + Bb + b ]. c.q.d.
3
h1 =
Calcular a área total e o volume da pirâmide quadrangular regular, sabendo-se
que a aresta lateral mede 6cm e o lado da base 4cm.
Exercício 170
faces laterais
base
Resolução:
Lauro
Geometria 10-126
⇒ S t =....................................................... cm2
• Cálculo de h :
Lauro
V pi =.................................................cm3
Geometria 10-127
Em um tronco de pirâmide regular, as bases são quadrados de lado 2cm e 8cm.
A aresta lateral do tronco mede 5cm. Calcule a área total e o volume do tronco.
Exercício 171
Resolução:
S t =.................................. cm2
V =....................................cm3
Lauro
Geometria 10-128
10.2.6 Cilindros
Considere a figura abaixo, contendo os dois planos α e β, paralelos entre si.
O
B
r
β
h
O
r
A
α
[Fig. 75]: Cilindros.
• Denomina-se cilindro a reunião de todos os segmentos de reta paralelos à reta AB , com
uma extremidade num ponto do circulo com centro O do plano α e a outra no plano β.
10.2.6.1
Elementos de um cilindro
• Bases: são os dois círculos congruentes de raio r .
• Altura: é a distância h dos planos que contêm as bases do cilindro.
• Eixo: é o segmento OO' que tem por extremidades os centros das bases.
• Geratriz: são os segmentos paralelos ao eixo cujas extremidades pertencem às
circunferências das bases.
10.2.6.2
Cilindro circular reto
Um cilindro se diz reto ou de revolução, quando a geratriz é perpendicular aos planos
das bases.
O
O
g h
g
O
r
O
r
[Fig. 76]: Cilindro circular reto (de revolução).
Lauro
Geometria 10-129
10.2.6.3
Cilindro eqüilátero
Diz-se que um cilindro reto é eqüilátero quando a altura (geratriz) é duas vezes o raio
da base.
h 2r
r
[Fig. 77]: Cilindro eqüilátero.
10.2.6.4
Área da superfície de um cilindro
Considere o cilindro reto a seguir com sua representação planificada.
O
O
r
O
r
r
C 2π r
h
O
r
[Fig. 78]: Cilindro reto e planificação.
• Área da base ( Sb ): é a área do círculo de raio r : Sb =π r 2 .
• Área lateral ( Sl ): é a área do retângulo de dimensões 2π r e h : Sl =2π r h
• Área total ( S t ): é a soma da área lateral e das áreas das bases.
S t = Sl +2 Sb ⇒ S t =2π r h +2π r 2
(Eq.68)
S t =2π r ( h + r )
Lauro
Geometria 10-130
10.2.6.5
Volume do cilindro
O volume de um cilindro é igual ao produto da área da base pela altura.
h
Sb
[Fig. 79]: Volume do cilindro.
(Eq.69)
Vci = Sb ⋅ h ⇒ Vci =π r 2 h
Em um prédio foi construída uma caixa de água em formato de cilindro
eqüilátero de raio 0,8 metros. Foram colocadas três bóias nesta caixa, para diferentes níveis na
reserva de água. A 1a bóia encontra-se a um quarto da altura, a 2a encontra-se na metade da
altura e a última é para a reserva máxima de água na caixa. Calcule a área total externa
sabendo-se que a tampa tem um encaixe perfeito. Qual o volume em cada um dos três níveis
da caixa?
Exercício 172
Resolução:
• Área total: S t =................................................ m2
• Volumes total: Vci =...................................... m3
•
1
do volume: V =......................................... m3
4
•
1
do volume: V =......................................... m3
2
Lauro
Geometria 10-131
10.2.7 Cones
Considere a figura abaixo, contendo o plano α, um círculo de raio r em α e um ponto
V que não pertence a α.
V
eixo
geratriz
h
base
O
A
r
α
[Fig. 80]: Cone.
• Denomina-se cone a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em V e a
outra num ponto qualquer do círculo.
10.2.7.1
Elementos de um cone
• Vértice: é o ponto V .
• Base: é o círculo que está contido no plano α.
• Altura: é a distância h do plano α ao vértice V .
• Eixo: é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.
• Geratriz: é qualquer segmento com uma extremidade no vértice e outra num ponto
qualquer da circunferência da base.
10.2.7.2
Cone regular ou de revolução
Um cone se diz reto ou de revolução, quando o eixo é perpendicular ao plano da base.
V
V
g
g
h
O
r
O
r
[Fig. 81]: Cone regular.
Lauro
Geometria 10-132
10.2.7.3
Cone eqüilátero
Um cone se diz eqüilátero quando a geratriz g é duas vezes o raio r da base.
V
g 2r
O
h
r
[Fig. 82]: Cone regular.
10.2.7.4
Área da superfície de um cone
Considere o cone regular a seguir com sua representação planificada.
g
V
superfície lateral
g
O
g
h
C 2π r
r
O
r
base
[Fig. 83]: Cone regular e sua planificação.
• Área da base ( Sb ): é a área do círculo de raio r : Sb =π r 2 .
• Área lateral ( Sl ): é a área do setor circular de raio g : Sl =
2πr ⋅ g
⇒ Sl =π r g
2
• Área total ( S t ): é a soma da área lateral e da área da base: S t = Sl + Sb ⇒ S t =π r g +π r 2 .
(Eq.70)
S t =π r ( g + r )
10.2.7.5
Volume de um cone
O volume de um cone é igual ao produto da área da base por um terço da altura.
Lauro
Geometria 10-133
h
O
r
[Fig. 84]: Volume do cone.
(Eq.71)
Vco =
Sb ⋅ h
1
⇒ Vco = π r 2 h
3
3
10.2.8 Tronco de cone
O plano β, paralelo ao plano α, corta o cone e o divide em dois sólidos. A parte de
cima é um cone com raio r1 e a parte entre os dois planos é um tronco de cone.
r1
V
h1
O
g
h2
β
O
α
r2
[Fig. 85]: Secção transversal de um cone.
10.2.8.1
Razões no tronco de cone
São razões equivalentes às do tronco de pirâmide.
• A razão
h1
h2
é chamada razão de semelhança em relação à secção transversal:
r1
r2
=
h1
h2
2
2
Sb  h1 
S b h1
• Razão entre as áreas:
=  ⇒
=
S B  h2 
S B h22
3
2
Vco 13 ⋅ Sb ⋅ h1 S b ⋅ h1 h1 h1
Vco h 1
• Razão entre os volumes:
=
=
=
⋅
⇒
=
VCO 13 ⋅ S B ⋅ h2 S B ⋅ h2 h22 h2
VCO h 23
10.2.8.2
Elementos do tronco de cone
Como já estudamos a parte de cima em separado, vamos estudar agora o tronco de
cone.
Lauro
Geometria 10-134
base menor (b)
r1
geratriz (g)
r2
h = h2 h1
base maior (B)
[Fig. 86]: Tronco de cone.
• São 2 bases: base maior B e base menor b .
• Geratriz: g .
• Altura do tronco: h = h2 − h 1 (distância entre as bases).
Tronco regular: caso em que o cone gerador do tronco é regular.
10.2.8.3
Área do tronco de cone regular
r1
base b
r1
g
C1 2πr1
g
r2
h
superfície lateral
C2 2πr2
r2
base B
[Fig. 87]: Planificação do tronco de cone.
• A superfície lateral do tronco de cone é equivalente a um trapézio de altura g e bases C1 e
C2 . Então, a área da superfície lateral do tronco ( Al ) será:
Al =
g
g
( C1 + C2 ) ⇒ Al = (2π r1 +2π r2 )
2
2
⇒ Al =π g ( r1 + r2 )
• A área total do tronco AT :
(Eq.72)
AT = Al + Sb + S B
⇒ AT =π g ( r1 + r2 )+π r12 +π r22
Lauro
Geometria 10-135
10.2.8.4
Volume do tronco de cone
Tomando como base o volume do tronco de pirâmide, desenvolve-se, analogamente, o
volume do tronco de cone.
V
r1
h1
h2
g
r2
h
[Fig. 88]: Volume do tronco de cone.
h
V = ⋅[ S B + S B S b + Sb ]
3
h
V = ⋅[π r22 + πr22 ⋅ πr12 +π r12 ]
3
h
V = ⋅[π r22 +π r1 r2 +π r12 ]
3
(Eq.73)
V=
πh 2 2
⋅[ r + r + r r ]
3 1 2 1 2
Para o time vencedor em um campeonato de futebol no bairro, o professor de
matemática resolveu oferecer um troféu composto pela junção de dois troncos de cones retos
mais um cone reto, como pode ser observado na figura. Com base nos dados abaixo, calcular
a área total do troféu (menos seus pés) e seu volume.
Exercício 173
• Dados: h1 =12 cm; g1 =13 cm;
5
A razão de r1 para r2 é de
;
13
6
A razão de h1 para h2 é de .
11
g1
g2 FU T EB OL
r1
r2
h1
h1
r1
⇒ DICAS PARA A RESOLUÇÃO:
• Cálculo da área, de cima para baixo:
A =[área lateral do cone ( A1 )] + [área da coroa circular
g3
1o
L U GA R
( A2 )] + [área lateral do tronco de cone 1 ( A3 )]
+ [área lateral do tronco de cone 2 ( A4 )]
+ [área do círculo ( A5 )]
⇒ A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5
r2
h2
• Volume, de cima para baixo:
V = [volume do cone ( V1 )] + [volume do tronco de
cone 1 ( V2 )] + [volume do tronco de cone 2 ( V 3 )]
⇒ V = V1 +V2 + V 3
Lauro
Resolução:
h1 =12 cm; g1 =13 cm.
Geometria 10-136
r1 =....................... cm; r2 =....................... cm; h2 =....................... cm; g 2 =....................... cm; g 3 =....................... cm.
• A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5
Logo, A =.................................................................. cm2
• V = V1 + V2 +V 3
Logo, V =....................................................................... cm3
Lauro
Geometria 10-137
10.2.9 Esferas
Sejam dados os pontos O , P do espaço e um segmento OP de medida r .
P
r
O
[Fig. 89]: Esfera e superfície esférica.
ESFERA: o conjunto de todos os pontos do espaço, cujas distâncias ao ponto O são
menores ou iguais a r , é denominado esfera de centro O e raio r .
SUPERFÍCIE ESFÉRICA: o conjunto de todos os pontos do espaço, cujas distâncias
ao ponto O são iguais a r , é denominado superfície esférica de centro O e raio r .
10.2.9.1
Área de uma secção esférica
Na figura seguinte, o plano α é tangente à esfera, ou seja, toca a esfera em um único
ponto. Com isso, a distância do plano ao centro da esfera é o próprio raio e o mesmo é
perpendicular ao plano.
P
O
r
r
α
[Fig. 90]: Plano tangente a uma esfera.
Se considerarmos um plano β paralelo ao plano α, a uma distância d do centro O
( d < r ), a intersecção dele com a esfera gera um círculo de raio r1 , como mostra a figura.
Lauro
Geometria 10-138
P
O
r
r
d
r1
β
α
[Fig. 91]: Secção esférica.
A área do círculo é S =π r12 .
Por Pitágoras temos que r12 = r 2 − d 2 . Calculando a área do círculo em função de r e
d , a fórmula fica:
S =π( r 2 − d 2 )
Observe que esta mesma fórmula é a área de uma coroa circular de raios r e d .
d
O
r
[Fig. 92]: Coroa circular.
10.2.9.2
Volume da esfera
Retome a figura referente à secção esférica. A intersecção do plano β, paralelo ao
plano α, com a esfera, gera um círculo de raio r1 .
Considere agora, um cilindro eqüilátero de raio r com base no plano α. Retire do
cilindro dois cones de altura r , mesmo vértice e bases comuns as bases do cilindro. O sólido
resultante é conhecido como anticlepsidra.
Este sólido também pode ser obtido do deslocamento do plano β até duas vezes o raio
da esfera. A secção esférica de β com a esfera é equivalente à coroa circular representada no
cilindro. Este deslocamento de β na esfera gera a anticlepsidra no cilindro.
Lauro
Geometria 10-139
2r
S
P
O
r
h 2r
r
d
d
r1
r
d
β
α
[Fig. 93]: Sólido referente à secção esférica.
Como a área do círculo de raio r1 é igual a área da coroa circular de raios r e d , pelo
Princípio de Cavalieri1 , a esfera e o sólido possuem o mesmo volume. Com isso, o volume da
esfera será:
• O volume da esfera ( Ve ) é igual ao volume do cilindro (Vci ) menos duas vezes o volume
do cone ( Vco ).
Ve = Vci −2 Vco
1
Ve =π r 2 ⋅2 r −2⋅ π r 2 ⋅ r
3
2
Ve =2π r 3 − π r 3
3
Ve =
(Eq.74)
10.2.9.3
4 3
πr
3
Área da superfície esférica
Suponha um prisma com área da base S e altura h .
h
S
S
V
. Se diminuirmos h até que
h
ele fique muito próximo de 0, o prisma fica quase como uma superfície, mas a área continua
V
sendo S = .
h
O volume do prisma é V = S ⋅ h , então, para h >0, S =
Usando o mesmo princípio para duas esferas concêntricas de raio r e r + h , temos
uma região do espaço compreendida entre as duas superfícies esféricas chamada concha
esférica.
Princípio de Cavalieri: Dois sólidos que têm bases num mesmo plano α e tais que todo plano paralelo
a α determina neles secções de mesma área, são sólidos de volumes iguais.
1
Lauro
Geometria 10-140
Se V é o volume da concha e S é a área da superfície esférica de raio r , ao
diminuirmos h até que ele fique muito próximo de 0, a concha fica quase como uma
V
superfície, ou seja, ≅ S .
h
O
r r h
h
Cálculo do volume V da concha esférica:
4
4
V = π ( r + h) 3 − π r 3
3
3
4
V = π[ ( r + h) 3 − r 3 ]
3
4
V = π[ r 3 +3 r 2 h +3 r h 2 + h 3 − r 3 ]
3
4
V = π[3 r 2 h +3 r h 2 + h 3 ]
3
4
V = π⋅ h [3 r 2 +3 r h + h 2 ], como h >0, podemos dividir tudo por h :
3
V 4
= π[3 r 2 +3 r h + h 2 ]
h 3
Se diminuirmos h até que ele fique muito próximo de 0, os termos 3 r h e h 2 também se
V
aproximam de zero e
se aproxima de S . Logo:
h
V 4
4
= π[3 r 2 +3 r h + h 2 ] ⇒ S = π[3 r 2 ] ⇒ S =4π r 2
h 3
3
Então, de forma intuitiva, podemos dizer que a área de uma superfície esférica de raio
r é dada por:
P
r
O
(Eq.75)
S =4π r 2
Lauro
Geometria 10-141
10.2.9.4
Volume da cunha esférica
Uma cunha esférica é a parte da esfera limitada por um fuso e os dois semicírculos
máximos do mesmo fuso.
O
Q
P
θ
[Fig. 94]: Cunha esférica.
Tome θ como sendo o ângulo da cunha esférica e Vcunha seu volume.
Usando regra de três:
4
360o ⇒ π r 3
3
θ ⇒ Vcunha
1
4
Vcunha = π r 3 ⋅θ⋅
3
360 o
(Eq.76)
Vcunha =
πr 3θ
⇒ (θ em graus)
270o
(Eq.77)
Vcunha =
2r 3 θ
⇒ (θ em radianos)
3
Exercício 174
Considerando uma esfera de raio 9 metros. Calcular:
• A área da superfície esférica.
Resolução:
S =............................... m2
• O volume da esfera.
Resolução:
Ve =............................... m3
Lauro
Geometria 10-142
• O volume da cunha esférica com ângulo θ=
π
radianos.
6
Resolução:
Vcunha =............................... m3
• A área da secção esférica distante 5 metros do centro.
Resolução:
S =............................... m2
(UnB-DF) Um sorveteiro vende sorvetes em casquinhas de biscoito que têm a
forma de cone de 3 cm de diâmetro e 6 cm de profundidade. As casquinhas são totalmente
preenchidas de sorvete e, ainda, nelas é superposta uma meia bola de sorvete de mesmo
diâmetro do cone. O recipiente onde é armazenado o sorvete tem forma cilíndrica de 18 cm de
diâmetro e 5 cm de profundidade. Determine o número de casquinhas que podem ser servidas
com o sorvete armazenado em um recipiente cheio.
Exercício 175
Resolução:
São ............................... casquinhas
Lauro
Geometria analítica: ponto e retas 11-143
11 Geometria analítica: ponto e retas
11.1 Segmento de reta
Tome uma reta r . Sobre ela, tome dois pontos distintos A e B . Podemos dizer que o
segmento de reta AB ou BA são todos os pontos da reta r compreendidos entre A e B .
A
B
r
[Fig. 95]: Segmento de reta.
Se for considerado uma unidade de medida, podemos medir o comprimento do
segmento de reta AB e indicamos por med AB (lê-se: medida do segmento AB ).
u
⇒ Unidade de medida: med AB =4 u
A
B
r
[Fig. 96]: Medida de um segmento de reta.
11.2 Segmento orientado
Considerando o segmento de reta AB , com A ≠ B , podemos associar dois segmentos
orientados, um de A para B e outro de B para A . São representados por:
A
B
r
AB ⇒ segmento orientado com origem em A e extremidade em B .
A
B
r
AB ⇒ segmento orientado com origem em B e extremidade em A .
11.2.1 Eixo
Ao atribuirmos um sentido a reta r , dizemos que é uma reta orientada ou eixo.
Convencionamos como sentido positivo, o da esquerda para a direita e negativo, o da direita
para a esquerda.
u
⇒ Segmento unitário
O
[Fig. 97]: Eixo ou reta orientada.
Fixando um ponto O e uma unidade u , podemos medir um segmento orientado AB
segundo um eixo dado.
11.3 Medida algébrica de um segmento orientado
Dado um segmento orientado AB de um eixo, sua medida algébrica é o número real
AB , sendo este positivo ( AB =+med AB ), se estiver no mesmo sentido do eixo e negativo
( AB =−med AB ), caso contrário.
Lauro
Determine a medida algébrica dos segmentos orientados AB , CD e EF .
u
⇒ Segmento unitário
C
O D A
B
F
E
Exercício 176
Resolução:
AB =...........................
CD =...........................
EF =...........................
11.3.1 Abscissa de um ponto
Fixando o ponto O como origem do eixo e um segmento unitário u , chamamos de
abscissa de um ponto P sobre o eixo, ao número real x P dado pela medida do segmento
orientado OP .
x P = OP
Considerando o eixo de origem O dado a seguir, calcular as abscissas dos
pontos sobre o eixo.
C
D A O
B
F
E
Exercício 177
-3
5
2
-2
-1
1
2
0
1
2
3
7
2
4
5
Resolução:
x A =...........................
x B =...........................
xC =...........................
xD =...........................
xE =...........................
xF =...........................
A medida algébrica de um segmento orientado é igual à diferença entre a
abscissa da extremidade e a abscissa da origem do segmento.
A
O
B
Definição 44
xA
xB
ou
A
O
xA
B
xB
[Fig. 98]: Medida do segmento orientado.
AB ⇒ AB = OB − OA ⇒ AB = x B − x A .
ou
BA ⇒ AB = OA − OB ⇒ AB = x A − x B .
Lauro
Exercício 178
Determine a medida algébrica dos segmentos orientados AB , CD e EF .
C
D A O
B
F
E
-3
5
2
-2
-1
1
2
0
1
2
3
7
2
4
5
Resolução:
AB =.............................................
CD =.............................................
EF =.............................................
11.3.2 Ponto médio
Considerando dois pontos A e B distintos, o ponto médio M é dado de tal forma que
AM = MB . Então, sendo x A , x B e xM as abscissas dos pontos A , B e M , temos:
A
M
B
xA
xM
xB
[Fig. 99]: Ponto médio.
AM = MB
xM − x A = x B − xM
xM + xM = x A + x B
2 xM = x A + x B
(Eq.78)
xM =
Exercício 179
xA + xB
2
Determine o ponto médio dos segmentos AB , CD e EF .
C
D A O
B
F
E
-3
5
2
-2
-1
1
2
0
1
2
3
7
2
4
5
Resolução:
AB ⇒ xM =........................
CD ⇒ xM =........................
EF ⇒ xM =........................
11.4 Sistema de coordenadas cartesianas
Consideremos duas retas perpendiculares, sobre as quais marcamos os números reais,
obedecendo às convenções seguintes:
Lauro
y
4
3
2
1
O
-4 -3 -2 -1 0
-1
1 2
3
4 x
-2
-3
-4
[Fig. 100]:
Sistema de coordenadas cartesianas.
• As retas ortogonais são denominadas eixos.
• A unidade geométrica escolhida para representar as unidades algébricas é arbitrária.
• A intersecção dos eixos é a origem do sistema.
• O eixo horizontal ( O x ) é chamado eixo das abscissas, recebendo valores reais positivos à
direita da origem e negativo à esquerda.
• O eixo vertical ( O y ) é chamado eixo das ordenadas, recebendo valores reais positivos
acima da origem e negativo abaixo.
• Os dois eixos determinam o plano cartesiano.
• No plano cartesiano, qualquer ponto pode ser determinado univocamente por duas
coordenadas. A todo ponto P do plano cartesiano podemos associar uma abscissa x e
uma ordenada y , representadas por P ( x , y ). As coordenadas da origem são (0,0).
Represente no plano cartesiano as coordenadas dos seguintes pontos: A (−4,3),
B (1,−2), C (1,3), D (− 72 ,−2), E (0,0), F ( 52 , 32 ), G (−3,1), H ( 72 ,− 32 ), I (0,− 52 ), J ( 72 ,4),
Exercício 180
K (4,−4), L (−2,4), M (−2,−1), N (3,0).
4
y
3
2
1
O
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4 x
-1
-2
-3
-4
Lauro
11.4.1 Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos cujas ordenadas são iguais é dada pelo valor absoluto ou
módulo da diferença entre as suas abscissas. De forma análoga, se as abscissas são iguais, é
dado pelo valor absoluto ou módulo da diferença entre as suas ordenadas.
Considere dois pontos A ( x A , y A ) e B ( x B , y B ) em um sistema cartesiano ortogonal.
yB
y
B
d ( A, B)
yA
A
C
xB x
xA
[Fig. 101]:
Distância entre dois pontos.
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo
d ( A , B ) entre os pontos A e B .
ABC , podemos obter a distância
d ( A , B )2 = d ( A , C )2 + d ( C , B )2
d ( A , B )2 =( x B − x A )2 +( y B − y A )2
(Eq.79)
d ( A , B )= ( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2
Exercício 181
Considere os pontos
A (−4,3),
B (1,−2),
C (1,3),
D (− 72 ,−2),
E (0,0),
F ( 52 , 32 ), G (−3,1), H ( 72 ,− 32 ), I (0,− 52 ), J ( 72 ,4), K (4,−4), L (−2,4), M (−2,−1), N (3,0).
Calcular as distâncias que se pedem a seguir:
Resolução:
d ( A , B )=..................................................
d ( C , D )=..................................................
d ( E , F )=..................................................
d ( G , H )=..................................................
d ( I , J )=..................................................
d ( K , L )=..................................................
d ( M , N )=..................................................
d ( B , D )=..................................................
d ( L , M )=..................................................
d ( A , C )=..................................................
d ( B , C )=..................................................
11.4.2 Área de um triângulo
Considere um triângulo de vértices A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) e C ( x3 , y3 ).
Lauro
y3
y
C
y2
y1
B
A
M
x1
[Fig. 102]:
N
x3
P
x2 x
Área de um triângulo.
Com base na figura, a área do triângulo ABC pode ser dada da seguinte forma:
Área( ABC )=Área( ACNM )+Área( BCNP )−Área( ABPM )
Cálculo da área dos três trapézios: Atrapézio =
1
⋅(base maior+base menor)⋅altura
2
A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) e C ( x3 , y3 )
Área( ACNM )=
1
1
( y1 + y3 )( x3 − x1 )= ( x3 y1 + x3 y3 − x1 y1 − x1 y3 )
2
2
Área( BCNP )=
1
1
( y 2 + y3 )( x 2 − x3 )= ( x 2 y 2 + x 2 y3 − x3 y 2 − x3 y3 )
2
2
Área( ABPM )=
1
1
( y1 + y 2 )( x 2 − x1 )= ( x 2 y1 + x 2 y 2 − x1 y1 − x1 y 2 )
2
2
Voltando à área do triângulo:
Área( ABC )=Área( ACNM )+Área( BCNP )−Área( ABPM )
1
(x y + x y −x y − x y )
2 3 1 3 3 1 1 1 3
1
1
+ ( x 2 y 2 + x 2 y3 − x3 y 2 − x3 y3 )− ( x 2 y1 + x 2 y 2 − x1 y1 − x1 y 2 )
2
2
Área( ABC )=
1
(x y + x y −x y − x y + x y + x y
2 3 1 3 3 1 1 1 3 2 2 2 3
− x3 y 2 − x3 y3 − x 2 y1 − x 2 y 2 + x1 y1 + x1 y 2 )
Área( ABC )=
Área( ABC )=
1
(x y − x y +x y − x y − x y + x y )
2 3 1 1 3 2 3 3 2 2 1 1 2
Área( ABC )=
1
(x y + x y +x y − x y − x y − x y )
2 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 3
Área(∆ ABC )=
1
⋅módulo[ x1 y 2 + x 2 y3 + x3 y1 − x 2 y1 − x3 y 2 − x1 y3 ]
2
Lauro
(Eq.80)
Área(∆ ABC )=
1
|( x y + x y + x y − x y − x y − x y )|
2 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 3
Esta área pode ser dada pelo determinante a seguir:
(Eq.81)
x1
1
S = x2
2
x3
Exercício 182
y1 1
1 x1
y2 1 ou S =
2 y1
y3 1
Considere os pontos
x2
x3
x1
y2
y3
y1
A (−4,3),
B (1,−2),
D (− 72 ,−2),
C (1,3),
E (0,0),
F ( 52 , 32 ), G (−3,1), H ( 72 ,− 32 ), I (0,− 52 ), J ( 72 ,4), K (4,−4), L (−2,4), M (−2,−1), N (3,0).
Calcular as áreas que se pedem a seguir:
y
L
J
4
A
C
3
2
G
F
1
E
-4
-3
-2
M
0
-1
1
-1
D
-2
I
2
N
3
4x
H
B
-3
-4
K
Resolução:
Área(∆ ABC )=..................................................
Área(∆ DEF )=..................................................
Área(∆ GHI )=..................................................
Área(∆ JKL )=..................................................
Área(∆ MNA )=..................................................
11.4.3 Condição de alinhamento de três pontos
Três pontos A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) e C ( x3 , y3 ) estão alinhados se é nula a área do
triângulo cujos vértices são formados pelos três pontos, isto é, Área(∆ ABC )=0.
Então, os pontos A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) e C ( x3 , y3 ) estarão alinhado, ou são
colineares se:
x1
(Eq.82)
x2
x3
y1 1
x1
y2 1 =0 ou
y1
y3 1
x2
x3
x1
y2
y3
y1
=0
Lauro
Exercício 183 Verifique se os pontos A (−4,3), B (−3,1), C (−2,−1) estão alinhados.
Resolução:
Exercício 184
Calcular o valor de y para que os pontos A (− 72 ,−2), B (0, y ), C ( 52 , 32 ) sejam
colineares.
Resolução:
y =..................................................
11.5 Estudo da reta
11.5.1 Equação geral da reta
Considerando a reta r e dois pontos distintos A ( x1 , y1 ) e B ( x 2 , y 2 ) pertencentes a
ela, seja P ( x , y ) um ponto qualquer dessa reta.
y
B
y2
P
y
y1
O
[Fig. 103]:
r
A
x1
x
x2 x
Equação geral da reta.
Aplicando a condição de alinhamento de três pontos a A , B e P , obtemos:
x
x1
x2
x
y
y1
y2
y
=0 ⇒ x y1 + x1 y 2 + x 2 y − x1 y − x 2 y1 − x y 2 =0
Lauro
(Eq.83) ( y 1 − y 2 ) x +( x 2 − x1 ) y +( x1 y2 − x 2 y1 )=0 ⇒ a x + b y + c =0
1
424
3
123
14243
=a
=b
=c
A equação geral de uma reta é dada na forma a x + b y + c =0, sendo que a ≠0 ou
b ≠0. Esta é uma equação do 1o grau dom duas variáveis.
Exercício 185
Determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos A (−3,2) e B (8,6).
y
r
B
6
A
-3
2
O
x
8
Resolução:
11.5.2 Retas particulares
11.5.2.1
Reta paralela ao eixo das ordenadas
• a x + c =0, onde b =0, a ≠0 e c ≠0. (Caso c =0, a reta é o próprio eixo das ordenadas)
y
r
x
x1
O
[Fig. 104]:
Reta paralela ao eixo
c
a
x
y.
Lauro
11.5.2.2
Reta paralela ao eixo das abscissas
• b y + c =0, onde a =0, b ≠0 e c ≠0. (Caso c =0, a reta é o próprio eixo das abscissas)
y
c
b
y
y1
r
x
O
[Fig. 105]:
11.5.2.3
Reta paralela ao eixo
x.
Reta que passa pela origem
• a x + b y =0, onde c =0, a ≠0 e b ≠0. (Caso a =0 ou b =0, a reta representa o eixo das
abscissas ou ordenadas, respectivamente)
y
r
O
x
(0,0)
[Fig. 106]:
11.5.2.4
Reta que passa pela origem (0,0).
Equação segmentaria
Dados dois pontos P ( p ,0) e Q (0, q ) pertencentes aos eixos coordenados, tal que
p q ≠0, a equação que passa por estes dois pontos é dada por:
r
q
y
Q
O
[Fig. 107]:
P
p
x
Equação segmentaria.
Lauro
x p 0 x
=0
y 0 q y
0 x + p q +0 y − p y −0− q x =0
p q − p y − q x =0
q x + p y = p q ⇒ ÷( p q )
x y
+ =1
p q
(Eq.84)
Notem que os denominadores p e q são a abscissa e a ordenada dos pontos
onde r intercepta os eixos x e y , respectivamente.
OBS. 19:
11.5.3 Posições relativas entre duas retas
Duas retas r e s distintas do plano cartesiano podem ser paralelas ( r ⁄⁄ s ) ou
concorrentes ( r × s ).
r s
r s
y
y
r
r
s
P
x
[Fig. 108]:
s x
Posições entre duas retas.
Sejam as duas retas dadas por:
r ⇒ a1 x + b1 y + c1 =0
s ⇒ a 2 x + b2 y + c2 =0
Caso sejam concorrentes, para se determinar o ponto de intersecção P basta resolver o
 a x + b1 y + c1 = 0
sistema S dados por: S =  1
.
 a2 x + b2 y + c 2 = 0
Para determinar se são paralelas ou concorrentes, calcula-se o determinante D do
a b1
sistema S que é dado por: D = 1
.
a2 b2
• Se D ≠0, as reta são concorrentes;
• Se D =0, as reta são paralelas.
Dadas as retas r , s e t , determinar a posição relativa que se pede a seguir.
Caso sejam concorrentes, determinar o ponto de intersecção.
r : 6 x −4 y −2=0
s : 7 x −2 y −13=0
t : 21 x −14 y +49=0
Exercício 186
Lauro
• Posição relativa entre r :6 x −4 y −2=0 e s :7 x −2 y −13=0.
Resolução:
• Posição relativa entre r :6 x −4 y −2=0 e t :21 x −14 y +49=0.
Resolução:
• Posição relativa entre s :7 x −2 y −13=0 e t :21 x −14 y +49=0.
Resolução:
11.5.4 Coeficiente angular ou declividade de uma reta
11.5.4.1
Tangente de um ângulo
Da trigonometria, sabemos que tan α=
senα
, se α≠0.
cos α
a
Considerando α como ângulo agudo de um triângulo retângulo, temos que: tan α= .
b
B
A
[Fig. 109]:
c
a
b
C
α
Tangente de um ângulo, no triângulo retângulo.
Ainda sobre tangentes, sabe-se que tangente de um ângulo é igual ao oposto da
tangente do ângulo suplementar: tan α=− tan (180o −α).
Lauro
11.5.4.2
Coeficiente angular
Dada uma reta r , seja α a medida do ângulo de inclinação de r em relação ao eixo
das abscissas.
y
y
r
r
α
α
x
x
0o <α<90o
y
90o <α<180o
y
r
r
α
x
x
α=0o
α=90o
[Fig. 110]:
Coeficiente angular.
Coeficiente angular da reta r é o número m definido por:
m = tan α, para α≠90o
(Eq.85)
Dados dois pontos A ( x1 , y1 ) e B ( x 2 , y 2 ) da reta r , m pode ser obtido da seguinte
forma:
y
y2
x1
[Fig. 111]:
B
y2
180 α
a
y1
C
x
x2
A
C
α
b
x2
x1
x
Obtenção do coeficiente angular.
a y −y
m = tan α= = 2 1
b x 2 − x1
y − y1
⇒ m= 2
x 2 − x1
11.5.4.3
y
a
α
b
A
y1
r
r
B
y −y
a
m = tan α=− tan (180o −α)=− =− 2 1
b
x1 − x 2
y − y1
⇒ m= 2
x 2 − x1
Coeficiente angular da equação geral da reta
Sendo a reta r dada na forma a x + b y + c =0, com b ≠0, tome A ( x1 , y1 ) e
B ( x 2 , y 2 ) com A ≠ B e A , B ∈ r . Então, substituindo A e B em r , temos:
 ax1

 ax2
+
by1
+ c
= 0 ⇒
+ by 2
+ c
= 0 ⇒ (ii )
(i)
⇒ Fazendo (ii)−(i):
a ⋅( x 2 − x1 )+ b ⋅( y 2 − y1 )=0 ⇒ b ⋅( y 2 − y1 )=− a ⋅( x 2 − x1 ) ⇒
y 2 − y1
a
a
=− ⇒ m =− .
x 2 − x1
b
b
Lauro
11.5.5 Equação reduzida da reta
Sendo a reta r dada na forma a x + b y + c =0, com b ≠0, tome Q (0, q ) como sua
intersecção com o eixo y . Logo, substituindo Q em r temos:
c
a ⋅0+ b q + c =0 ⇒ b q + c =0 ⇒ b q =− c ⇒ q =− .
b
Voltando à reta r e isolando y , temos:
a
c
a
b y =− a x − c ⇒ y =− ⋅ x − , mas já sabemos que m =− , logo:
b
b
b
y =m x+q
(Eq.86)
y
r
Q (0, q )
α
x
[Fig. 112]:
Equação reduzida da reta.
Dizemos que:
• m é o coeficiente angular da reta r ;
• q é o coeficiente linear da reta r .
Exercício 187
Calcular o coeficiente angular m e linear q de cada reta dada abaixo.
• 3 x − y +6=0
Resolução:
m =................
q =................
• −2 x +5 y +15=0
Resolução:
m =................
q =................
•
x
3
=2 y +
2
2
Resolução:
m =................
q =................
• − y =8
Resolução:
m =................
q =................
Lauro
11.5.6 Equação da reta, dados um ponto e a direção
y 2 − y1
, se tivermos
x 2 − x1
dois pontos distintos da reta r . Se considerarmos o segundo ponto como ponto genérico
( x , y ) da reta, teremos:
Sabemos que o coeficiente angular m pode ser dado por m =
m=
y − y1
⇒ m ( x − x1 )= y − y1
x − x1
(Eq.87)
y − y1 = m ( x − x1 )
Escreva a equação geral da reta que passa pelo ponto (3,−1), tal que sua
inclinação seja de 45o .
Exercício 188
Resolução:
Equação geral da reta: .....................................................................
11.5.7 Paralelismo entre retas
y
α
r s
r
s
α
x
[Fig. 113]:
Retas paralelas.
Duas retas r e s são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais.
(Eq.88)
r ⁄⁄ s ⇔ mr = ms
Dada a reta r de equação 3 x −2 y +6=0, obtenha a equação reduzida da reta s
sabendo que P (−4,2)∈ s e r ⁄⁄ s . Determine também o coeficiente linear de s .
Exercício 189
Resolução:
Equação reduzida de s :
.................................................................... .
Coeficiente linear de s : q = ...................
Lauro
Geometria analítica: circunferência 12-158
12 Geometria analítica: circunferência
Tome um ponto C ( x c , yc ) e um segmento de reta de medida r com origem em C e
extremo em P ( x , y ), sendo P dado de forma genérica.
y
P( x, y )
C r
yC
O
[Fig. 114]:
x
xC
Circunferência.
Circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos que distam r de um
centro C dado.
Definição 45
12.1 Equação da circunferência
Retome a circunferência dada acima de centro C ( x c , yc ), raio CP = r e um ponto
genérico P ( x , y ) desta circunferência.
y
P( x , y )
y
yC
r
C
D
x
O
[Fig. 115]:
xC
x
Equação da circunferência.
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo CPD , temos a equação reduzida da
circunferência:
12.1.1 Equação reduzida da circunferência
(Eq.89)
( x − x c )2 +( y − yc )2 = r 2
Desenvolvendo as potências e passando todos os termos para o 1o membro, podemos
desenvolver a equação geral da circunferência:
( x − x c )2 +( y − yc )2 = r 2
( x 2 −2 x c x + xc2 )+( y 2 −2 yc y + yc2 )= r 2 ⇒ x 2 + y 2 −2 x c x −2 yc y + xc2 + yc2 − r 2 =0
Fazendo d =−2 x c , e =−2 yc e f = xc2 + yc2 − r 2 , teremos a seguinte equação:
Lauro
12.1.2 Equação geral da circunferência
(Eq.90)
x 2 + y 2 + d x + e y + f =0
A partir da equação geral, o centro e o raio são obtidos pelas seguintes fórmulas:
x c =−
d
e
, yc =− e r = xc2 + y c2 − f
2
2
Dar a equação da forma reduzida e da forma geral da circunferência de centro
C (2,−3) que passa pelo ponto P (5,1).
Exercício 190
Resolução:
• Equação reduzida:
• Equação geral:
Exercício 191
Obter o centro e o raio da circunferência de equação x 2 + y 2 +2 x −8 y +8=0
Resolução:
x c =..................
yc =..................
r =..................
Lauro
Com base no centro C e raio r dado a seguir, obter a equação geral da
circunferência para cada um dos casos.
Exercício 192
x 2 + y 2 + d x + e y + f =0
• C (3,−5) e r =
7
2
Resolução:
3 5
• C ( , ) e r =2
2 2
Resolução:
7 9
11
• C( , )e r=
2 2
2
Resolução:
• C (1,1) e r =1
Resolução:
• C (2,2) e r =2
Resolução:
• C (3,3) e r =3
Resolução:
• C (4,4) e r =4
Resolução:
Lauro
Exercício 193
Obter o centro e o raio da circunferência para cada um dos casos a seguir.
C ( x c , yc ) e r .
• x 2 + y 2 −2 x +3 y −1=0
Resolução:
C (.......................,.......................) e r =.......................
• 4 x 2 +4 y 2 +5 x +13 y −4=0
Resolução:
C (.......................,.......................) e r =.......................
• x 2 + y 2 −4 x +2 y −3=0
Resolução:
C (.......................,.......................) e r =.......................
• x 2 + y 2 +1 x +1 y −1=0
Resolução:
C (.......................,.......................) e r =.......................
• x 2 + y 2 +2 x +2 y −2=0
Resolução:
C (.......................,.......................) e r =.......................
• x 2 + y 2 +3 x +3 y +3=0
Resolução:
C (.......................,.......................) e r =.......................
• x 2 + y 2 +4 x +4 y +4=0
Resolução:
C (.......................,.......................) e r =.......................
Lauro

Matemática Aplicada

Transcrição

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