Matemática Aplicada
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Matemática Aplicada
APOSTILA Matemática Aplicada Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR Lauro César Galvão ii Índices 1 SISTEMATIZAÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS...............................................1-1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.3 1.3.1 2 CONJUNTOS NUMÉRICOS................................................................................................................1-1 Conjunto dos números naturais...................................................................................................1-1 Conjunto dos números inteiros....................................................................................................1-1 Conjunto dos números racionais.................................................................................................1-1 Conjunto dos números irracionais..............................................................................................1-3 Conjunto dos números reais.........................................................................................................1-4 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS.......................................................................................................1-4 Noções primitivas...........................................................................................................................1-4 Igualdade de conjuntos.................................................................................................................1-5 Subconjuntos...................................................................................................................................1-5 União de conjuntos........................................................................................................................1-5 Intersecção de conjuntos...............................................................................................................1-6 Diferença de conjuntos..................................................................................................................1-6 INTERVALOS ....................................................................................................................................1-7 Operações com intervalos............................................................................................................1-8 FUNÇÕES ................................................................................................................................... 2-10 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.6.1 3 CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO ........................................................................................2-10 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO................................................................................................................2-11 NOTAÇÃO DE FUNÇÃO..................................................................................................................2-13 DOMÍNIO , CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO.......................................................2-13 FUNÇÃO COMPOSTA......................................................................................................................2-14 FUNÇÃO INVERSA ..........................................................................................................................2-16 Determinação da função inversa.............................................................................................. 2-16 FUNÇÃO POLINOMIAL ...................................................................................................... 3-18 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5 3.3.6 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 4 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O GRAU .............................................................................................3-18 Função linear............................................................................................................................... 3-18 Gráfico de uma função polinomial do 1 o grau....................................................................... 3-18 Determinação de uma função a partir do gráfico................................................................. 3-19 Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1o grau................................ 3-20 Estudo do sinal da função polinomial do 1o grau ................................................................. 3-21 INEQUAÇÕES DO 1O GRAU ............................................................................................................3-22 Resolução de inequações do 1o grau ....................................................................................... 3-23 Sistemas de inequações do 1o grau.......................................................................................... 3-23 Inequação-produto e inequação-quociente ............................................................................ 3-24 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2O GRAU .............................................................................................3-26 Gráfico de uma função quadrática .......................................................................................... 3-26 Concavidade................................................................................................................................. 3-26 Zeros de uma função quadrática.............................................................................................. 3-27 Vértice da parábola .................................................................................................................... 3-27 Gráfico de uma parábola........................................................................................................... 3-28 Estudo do sinal da função quadrática..................................................................................... 3-28 INEQUAÇÕES DO 2O GRAU ............................................................................................................3-29 Resolução de inequações do 2o grau ....................................................................................... 3-29 Sistemas de inequações do 2o grau.......................................................................................... 3-30 Inequação-produto e inequação-quociente ............................................................................ 3-31 FUNÇÃO EXPONENCIAL................................................................................................... 4-34 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.2 4.2.1 4.2.2 4.3 REVISÃO DE POTENCIAÇÃO .........................................................................................................4-34 Potências com expoente natural............................................................................................... 4-34 Potências com expoente inteiro................................................................................................ 4-34 Potências com expoente racional............................................................................................. 4-34 Potências com expoente real..................................................................................................... 4-34 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS...........................................................................................................4-35 Resolução de equações exponenciais...................................................................................... 4-36 Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios............................................. 4-37 FUNÇÃO EXPONENCIAL................................................................................................................4-37 iii 4.3.1 4.3.2 4.4 4.4.1 5 Gráfico da função exponencial no plano cartesiano............................................................ 4-38 Características da função exponencial ................................................................................... 4-39 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS .......................................................................................................4-39 Resolução de inequações exponenciais................................................................................... 4-39 FUNÇÃO LOGARÍTMICA................................................................................................... 5-41 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.6.1 5.7 6 DEFINIÇÃO DE LOGARITMO .........................................................................................................5-41 CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO.................................................................................................5-41 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS..............................................................................................5-42 COLOGARITMO..............................................................................................................................5-42 M UDANÇA DE BASE ......................................................................................................................5-43 FUNÇÃO LOGARÍTMICA................................................................................................................5-44 Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano............................................................. 5-44 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS ......................................................................................................5-45 TRIGONOMETRIA ................................................................................................................ 6-47 6.1 6.2 6.3 6.4 6.4.1 6.4.2 6.4.3 6.5 6.6 6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.6.4 6.7 6.7.1 6.7.2 6.7.3 6.8 6.8.1 6.8.2 6.8.3 6.9 6.9.1 6.9.2 6.9.3 6.10 6.10.1 6.10.2 6.10.3 6.11 6.11.1 6.11.2 6.12 6.12.1 7 TRIÂNGULO RETÂNGULO.............................................................................................................6-47 RELAÇÕES MÉTRICAS NO T RIÂNGULO RETÂNGULO .................................................................6-47 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO .....................................................6-49 CONSEQÜÊNCIAS DAS DEFINIÇÕES.............................................................................................6-50 Ângulos complementares........................................................................................................... 6-51 Divisão.......................................................................................................................................... 6-51 Aplicando o teorema de Pitágoras........................................................................................... 6-51 Â NGULOS NOTÁVEIS.....................................................................................................................6-52 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA OU CICLO TRIGONOMÉTRICO ......................................6-54 Arco de circunferência............................................................................................................... 6-54 Medidas de arcos........................................................................................................................ 6-54 Ciclo trigonométrico................................................................................................................... 6-56 Arcos côngruos............................................................................................................................ 6-57 SENO E COSSENO DE UM ARCO....................................................................................................6-59 Conseqüências............................................................................................................................. 6-59 Função seno e função cosseno.................................................................................................. 6-59 Gráfico das funções seno e cosseno......................................................................................... 6-60 TANGENTE DE UM ARCO ..............................................................................................................6-62 Conseqüências............................................................................................................................. 6-62 Função tangente.......................................................................................................................... 6-62 Gráfico da função tangente....................................................................................................... 6-62 COTANGENTE DE UM ARCO .........................................................................................................6-63 Conseqüências............................................................................................................................. 6-64 Função cotangente...................................................................................................................... 6-64 Gráfico da função cotangente................................................................................................... 6-64 SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO.......................................................................................6-64 Função secante e cossecante..................................................................................................... 6-65 Gráfico da função secante......................................................................................................... 6-65 Gráfico da função cossecante................................................................................................... 6-66 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS...................................................................................................6-67 Usando o teorema de Pitágoras............................................................................................... 6-67 Usando semelhança entre triângulos...................................................................................... 6-68 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS..............................................................................................6-69 Processo para demonstrar identidades................................................................................... 6-69 MATRIZES ................................................................................................................................ 7-72 7.1 7.1.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.3 7.3.1 7.4 7.4.1 7.4.2 CONCEITO DE MATRIZ ..................................................................................................................7-72 Algumas matrizes especiais....................................................................................................... 7-73 M ATRIZ QUADRADA .....................................................................................................................7-73 Matriz identidade........................................................................................................................ 7-73 Matriz diagonal ........................................................................................................................... 7-74 Matriz oposta ............................................................................................................................... 7-74 IGUALDADE DE MATRIZES ...........................................................................................................7-74 Matriz transposta ........................................................................................................................ 7-75 OPERAÇÕES COM MATRIZES........................................................................................................7-75 Adição de matrizes...................................................................................................................... 7-75 Subtração de matrizes................................................................................................................ 7-75 iv 7.4.3 7.4.4 7.4.5 8 Produto de um número real por uma matriz.......................................................................... 7-76 Produto de matrizes.................................................................................................................... 7-77 Matriz inversa.............................................................................................................................. 7-78 DETERMINANTES ................................................................................................................. 8-80 8.1 8.2 8.3 8.3.1 8.4 8.4.1 8.4.2 8.4.3 8.4.4 8.4.5 8.4.6 9 DETERMINANTE DE 1A ORDEM ....................................................................................................8-80 DETERMINANTE DE 2A ORDEM ....................................................................................................8-80 DETERMINANTE DE 3A ORDEM ....................................................................................................8-81 Regra de Sarrus........................................................................................................................... 8-81 DETERMINANTE DE ORDEM MAIOR QUE 3.................................................................................8-82 Menor complementar.................................................................................................................. 8-82 Cofator ou complemento algébrico.......................................................................................... 8-82 Conclusões ................................................................................................................................... 8-83 Teorema de Laplace ................................................................................................................... 8-84 Teorema de Binet ........................................................................................................................ 8-86 Determinante da matriz inversa ............................................................................................... 8-86 SISTEMAS LINEARES .......................................................................................................... 9-88 9.1 9.1.1 9.2 9.2.1 9.3 9.4 9.4.1 9.5 9.6 10 EQUAÇÃO LINEAR .........................................................................................................................9-88 Solução de uma equação linear................................................................................................ 9-88 SISTEMA LINEAR ...........................................................................................................................9-89 Sistemas lineares equivalentes.................................................................................................. 9-90 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ..................................................................................9-91 M ATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR.......................................................................9-91 Forma matricial do sistema linear........................................................................................... 9-91 REGRA DE CRAMER......................................................................................................................9-92 RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR ESCALONAMENTO................................................9-94 GEOMETRIA ..........................................................................................................................10-99 10.1 10.1.1 10.1.2 10.1.3 10.1.4 10.1.5 10.1.6 10.1.7 10.1.8 10.1.9 10.2 10.2.1 10.2.2 10.2.3 10.2.4 10.2.5 10.2.6 10.2.7 10.2.8 10.2.9 11 POLÍGONOS ..................................................................................................................................10-99 Polígonos regulares..................................................................................................................10-99 Área do triângulo......................................................................................................................10-99 Área do paralelogramo..........................................................................................................10-103 Área dos paralelogramos notáveis.......................................................................................10-103 Área do trapézio......................................................................................................................10-104 Área e comprimento de um círculo......................................................................................10-106 Área da coroa circular...........................................................................................................10-106 Área do setor circular............................................................................................................10-107 Área do segmento circular....................................................................................................10-107 GEOMETRIA ESPACIAL............................................................................................................. 10-109 Poliedros...................................................................................................................................10-109 Poliedros regulares.................................................................................................................10-111 Prismas .....................................................................................................................................10-114 Pirâmides..................................................................................................................................10-121 Tronco de pirâmide.................................................................................................................10-123 Cilindros...................................................................................................................................10-128 Cones.........................................................................................................................................10-131 Tronco de cone ........................................................................................................................10-133 Esferas.......................................................................................................................................10-137 GEOMETRIA ANALÍTICA: PONTO E RETAS .......................................................11-143 11.1 11.2 11.2.1 11.3 11.3.1 11.3.2 11.4 11.4.1 11.4.2 11.4.3 11.5 11.5.1 SEGMENTO DE RETA ................................................................................................................ 11-143 SEGMENTO ORIENTADO........................................................................................................... 11-143 Eixo............................................................................................................................................11-143 M EDIDA ALGÉBRICA DE UM SEGMENTO ORIENTADO.......................................................... 11-143 Abscissa de um ponto.............................................................................................................11-144 Ponto médio .............................................................................................................................11-145 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS ......................................................................... 11-145 Distância entre dois pontos...................................................................................................11-147 Área de um triângulo..............................................................................................................11-147 Condição de alinhamento de três pontos............................................................................11-149 ESTUDO DA RETA ..................................................................................................................... 11-150 Equação geral da reta............................................................................................................11-150 v 11.5.2 11.5.3 11.5.4 11.5.5 11.5.6 11.5.7 12 Retas particulares...................................................................................................................11-151 Posições relativas entre duas retas......................................................................................11-153 Coeficiente angular ou declividade de uma reta...............................................................11-154 Equação reduzida da reta......................................................................................................11-156 Equação da reta, dados um ponto e a direção...................................................................11-157 Paralelismo entre retas..........................................................................................................11-157 GEOMETRIA ANALÍTICA: CIRCUNFERÊNCIA..................................................12-158 12.1 EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA ............................................................................................ 12-158 12.1.1 Equação reduzida da circunferência...................................................................................12-158 12.1.2 Equação geral da circunferência.........................................................................................12-159 vi Índices de Figuras [FIG. 1]: [FIG. 2]: [FIG. 3]: [FIG. 4]: [FIG. 5]: [FIG. 6]: [FIG. 7]: [FIG. 8]: [FIG. 9]: [FIG. 10]: [FIG. 11]: [FIG. 12]: [FIG. 13]: [FIG. 14]: [FIG. 15]: [FIG. 16]: [FIG. 17]: [FIG. 18]: [FIG. 19]: [FIG. 20]: [FIG. 21]: [FIG. 22]: [FIG. 23]: [FIG. 24]: [FIG. 25]: [FIG. 26]: [FIG. 27]: [FIG. 28]: [FIG. 29]: [FIG. 30]: [FIG. 31]: [FIG. 32]: [FIG. 33]: [FIG. 34]: [FIG. 35]: [FIG. 36]: [FIG. 37]: [FIG. 38]: [FIG. 39]: [FIG. 40]: [FIG. 41]: [FIG. 42]: [FIG. 43]: [FIG. 44]: [FIG. 45]: [FIG. 46]: [FIG. 47]: [FIG. 48]: [FIG. 49]: [FIG. 50]: [FIG. 51]: [FIG. 52]: [FIG. 53]: [FIG. 54]: [FIG. 55]: [FIG. 56]: [FIG. 57]: [FIG. 58]: RETA REAL R .................................................................................................................................1-4 DIAGRAMA DOS CONJUNTOS A E B ..........................................................................................1-5 DIAGRAMA DOS CONJUNTOS A , B E C (SUBCONJUNTOS)...................................................1-6 DIAGRAMA DOS CONJUNTOS A , B E C (UNIÃO / INTERSECÇÃO / DIFERENÇA). ...............1-7 GRÁFICO DO INTERVALO ]−2,3]....................................................................................................1-7 REPRESENTAÇÃO DA RELAÇÃO POR DIAGRAMA......................................................................2-10 REPRESENTAÇÃO DA RELAÇÃO POR SISTEMA CART ESIANO...................................................2-11 FUNÇÃO COMPOSTA......................................................................................................................2-14 CONCAVIDADE DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA. ......................................................................3-26 VÉRTICE DE PARÁBOLAS (∆>0 PARA AS DUAS). .......................................................................3-27 GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL ( a >1)................................................5-44 GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL (0< a <1). ..........................................5-45 ELEMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO.................................................................................6-47 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO.....................................................6-49 TRIÂNGULO A B C QUE DEFINE AS RAZÕES.........................................................................6-49 TRIÂNGULO A B C , CONSEQÜÊNCIAS DAS DEFINIÇÕES. ....................................................6-51 A RCO DE CIRCUNFERÊNCIA.........................................................................................................6-54 CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO r . ....................................................................................................6-55 QUADRANTES NO CICLO TRIGONOMÉTRICO..............................................................................6-56 M EDIA DE ARCOS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO........................................................................6-56 A RCO α PARA O CONCEITO DE SENO E COSSENO......................................................................6-59 GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO.........................................................................................................6-60 GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO..................................................................................................6-61 A RCO α PARA O CONCEITO DE TANGENTE. ...............................................................................6-62 GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE...............................................................................................6-63 A RCO α PARA O CONCEITO DE COTANGENTE............................................................................6-63 GRÁFICO DA FUNÇÃO COTANGENTE..........................................................................................6-64 A RCO α PARA O CONCEITO DE SECANTE E COSSECANTE.........................................................6-65 GRÁFICO DA FUNÇÃO SECANTE..................................................................................................6-65 GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSECANTE...........................................................................................6-66 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CICLO....................................................................................6-67 FUNÇÕES ADAPTADAS NO CICLO................................................................................................6-67 TRIÂNGULOS SEMELHANTES.......................................................................................................6-67 TABELA DE NOTAS........................................................................................................................7-72 DIAGONAIS DE UMA MATRIZ.......................................................................................................7-73 DETERMINANTE PELA REGRA DE SARRUS.................................................................................8-81 POLÍGONO CONVEXO E POLÍGONO CÔNCAVO . ........................................................................10-99 HEXÁGONO REGULAR: 6 LADOS CONGRUENTES E 6 ÂNGULOS CONGRUENTES. ................10-99 Á REA 1 DO TRI ÂNGULO ........................................................................................................... 10-100 Á REA 2 DO TRIÂNGULO ........................................................................................................... 10-100 Á REA 3 DO TRIÂNGULO ........................................................................................................... 10-101 RAIO DA CIRCUNFERÊNCI A INSCRITA.................................................................................... 10-102 RAIO DA CIRCUNFERÊNCI A CIRCUNSCRITA.......................................................................... 10-102 Á REA DO PARALELOGRAMO................................................................................................... 10-103 RETÂNGULO.............................................................................................................................. 10-103 LOSANGO . ................................................................................................................................. 10-103 QUADRADO............................................................................................................................... 10-104 TRAPÉZIO .................................................................................................................................. 10-104 CÍRCULO.................................................................................................................................... 10-106 COROA CIRCULAR.................................................................................................................... 10-106 SETOR CIRCULAR..................................................................................................................... 10-107 SEGMENTO CIRCULAR............................................................................................................. 10-107 Á REA DO SEGMENTO CIRCULAR QUE NÃO CONTÉM O CENTRO ......................................... 10-108 Á REA DO SEGMENTO CIRCULAR QUE CONTÉM O CENTRO.................................................. 10-108 POLIEDRO.................................................................................................................................. 10-109 POLIEDROS CONVEXOS............................................................................................................ 10-109 POLIEDRO NÃO-CONVEXO...................................................................................................... 10-109 TEOREMA DE EULER................................................................................................................ 10-110 vii [FIG. 59]: [FIG. 60]: [FIG. 61]: [FIG. 62]: [FIG. 63]: [FIG. 64]: [FIG. 65]: [FIG. 66]: [FIG. 67]: [FIG. 68]: [FIG. 69]: [FIG. 70]: [FIG. 71]: [FIG. 72]: [FIG. 73]: [FIG. 74]: [FIG. 75]: [FIG. 76]: [FIG. 77]: [FIG. 78]: [FIG. 79]: [FIG. 80]: [FIG. 81]: [FIG. 82]: [FIG. 83]: [FIG. 84]: [FIG. 85]: [FIG. 86]: [FIG. 87]: [FIG. 88]: [FIG. 89]: [FIG. 90]: [FIG. 91]: [FIG. 92]: [FIG. 93]: [FIG. 94]: [FIG. 95]: [FIG. 96]: [FIG. 97]: [FIG. 98]: [FIG. 99]: [FIG. 100]: [FIG. 101]: [FIG. 102]: [FIG. 103]: [FIG. 104]: [FIG. 105]: [FIG. 106]: [FIG. 107]: [FIG. 108]: [FIG. 109]: [FIG. 110]: [FIG. 111]: [FIG. 112]: [FIG. 113]: [FIG. 114]: [FIG. 115]: TETRAEDRO REGULAR............................................................................................................. 10-112 HEXAEDRO REGULAR.............................................................................................................. 10-112 OCTAEDRO REGULAR.............................................................................................................. 10-112 DODECAEDRO REGULAR......................................................................................................... 10-113 ICOSAEDRO REGULAR.............................................................................................................. 10-113 PRISMAS. ................................................................................................................................... 10-114 PRISMA RETO E PRISMA OBLÍQUO.......................................................................................... 10-115 PRISMA RETO PENTAGONAL E PLANIFICAÇÃO ..................................................................... 10-115 VOLUME DE UM PRISMA.......................................................................................................... 10-119 PIRÂMIDE .................................................................................................................................. 10-121 PIRÂMIDE REGULAR................................................................................................................. 10-121 PIRÂMIDE REGULAR QUADRANGULAR E SUA PLANIFICAÇÃO............................................ 10-122 VOLUME DA PIRÂMIDE............................................................................................................ 10-123 SECÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE .......................................................................... 10-123 TRONCO DE PIRÂMIDE............................................................................................................. 10-124 VOLUME DO TRONCO DE PIRÂMIDE ....................................................................................... 10-124 CILINDROS. ............................................................................................................................... 10-128 CILINDRO CIRCULAR RETO (DE REVOLUÇÃO)...................................................................... 10-128 CILINDRO EQÜILÁTERO........................................................................................................... 10-129 CILINDRO RETO E PLANIFICAÇÃO .......................................................................................... 10-129 VOLUME DO CILINDRO............................................................................................................ 10-130 CONE.......................................................................................................................................... 10-131 CONE REGULAR........................................................................................................................ 10-131 CONE REGULAR........................................................................................................................ 10-132 CONE REGULAR E SUA PLANIFICAÇÃO.................................................................................. 10-132 VOLUME DO CONE . .................................................................................................................. 10-133 SECÇÃO TRANSVERSAL DE UM CONE .................................................................................... 10-133 TRONCO DE CONE ..................................................................................................................... 10-134 PLANIFICAÇÃO DO TRONCO DE CONE.................................................................................... 10-134 VOLUME DO TRONCO DE CONE.............................................................................................. 10-135 ESFERA E SUPERFÍCIE ESFÉRICA. ........................................................................................... 10-137 PLANO TANGENTE A UMA ESFERA......................................................................................... 10-137 SECÇÃO ESFÉRICA.................................................................................................................... 10-138 COROA CIRCULAR.................................................................................................................... 10-138 SÓLIDO REFERENTE À SECÇÃO ESFÉRICA............................................................................. 10-139 CUNHA ESFÉRICA..................................................................................................................... 10-141 SEGMENTO DE RETA................................................................................................................ 11-143 M EDIDA DE UM SEGMENTO DE RETA..................................................................................... 11-143 EIXO OU RETA ORIENTADA..................................................................................................... 11-143 M EDIDA DO SEGMENTO ORIENTADO..................................................................................... 11-144 PONTO MÉDIO........................................................................................................................... 11-145 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS. ........................................................................ 11-146 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS............................................................................................ 11-147 Á REA DE UM TRIÂNGULO........................................................................................................ 11-148 EQUAÇÃO GERAL DA RETA..................................................................................................... 11-150 RETA PARALELA AO EIXO y . ................................................................................................ 11-151 RETA PARALELA AO EIXO x .................................................................................................. 11-152 RETA QUE PASSA PELA ORIGEM (0,0).................................................................................... 11-152 EQUAÇÃO SEGMENTARIA........................................................................................................ 11-152 POSIÇÕES ENTRE DUAS RETAS................................................................................................ 11-153 TANGENTE DE UM ÂNGULO, NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ................................................. 11-154 COEFICIENTE ANGULAR.......................................................................................................... 11-155 OBTENÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR................................................................................ 11-155 EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA............................................................................................... 11-156 RETAS PARALELAS................................................................................................................... 11-157 CIRCUNFERÊNCIA . ................................................................................................................... 12-158 EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA............................................................................................ 12-158 Matemática Aplicada Sistematização dos conjuntos numéricos 1-1 1 Sistematização dos conjuntos numéricos 1.1 Conjuntos numéricos O conceito de números é um dos mais fundamentais e primitivos na Matemática. 1.1.1 Conjunto dos números naturais N ={0, 1, 2, 3, …}; N ∗ ={1, 2, 3, …}. 1.1.2 Conjunto dos números inteiros É a ampliação dos números naturais para que a subtração faça sentido. Z ={…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}; Z ∗ ={…, −3, −2, −1, 1, 2, 3, …}; Z + ={0, 1, 2, 3, …}, (inteiros não negativos); Z − ={…, −3, −2, −1, 0}, Inteiros não positivos). 1.1.3 Conjunto dos números racionais É qualquer fração envolvendo números inteiros. Q ={ x / x = p , p ∈ Z e q ∈ Z ∗} q Todo número racional pode ser representado na forma decimal e podemos ter dois casos: • (a) A representação decimal finita: Exercício 1 3 4 Resolução: 3 = ........................................ 4 Exercício 2 3 5 Resolução: 3 = ........................................ 5 • (b) A representação decimal infinita periódica: Exercício 3 1 3 Resolução: 1 = ........................................ 3 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada 47 Exercício 4 90 Resolução: Sistematização dos conjuntos numéricos 47 = ........................................ 90 Para se obter representações decimais de um número racional p , basta dividir p por q q . As representações da forma (b) são chamadas dízimas periódicas. Reciprocamente, podemos representar um número decimal racional na forma p . q Seja x um número racional. Nos exercícios seguintes, determine x na forma p . q Exercício 5 x =1,25 Resolução: x = ........................................ Exercício 6 x =0,666… Resolução: x = ........................................ Exercício 7 x =0,5222… Resolução: x = ........................................ Exercício 8 1-2 x =0,141414… Resolução: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Sistematização dos conjuntos numéricos x = ........................................ Exercício 9 x =2,171717… Resolução: x = ........................................ Exercício 10 x =0,003777… Resolução: x = ........................................ Exercício 11 x =0, 3515151… Resolução: x = ........................................ 1.1.4 Conjunto dos números irracionais I ={ x / x é um número decimal ilimitado não periódico} • Nos exercícios abaixo, alguns exemplos de números irracionais: Exercício 12 2 Resolução: 2 = ........................................ Exercício 13 π Resolução: π= ........................................ Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro 1-3 Matemática Aplicada Sistematização dos conjuntos numéricos Exercício 14 e Resolução: e = ........................................ 1-4 1.1.5 Conjunto dos números reais R =Q∪I Existe uma correspondência biunívoca entre todos os números reais e os pontos de uma reta. - 3 -4 -3 -2 -1 [Fig. 1]: Reta real 0 1 2 3 4 R. Mostre que Exercício 15 e π 3 2 ∉Q. Resolução: 1.2 Operações com conjuntos 1.2.1 Noções primitivas Conjunto, elemento, pertinência entre elementos e conjunto. Considerando-se os conjuntos A ={ a , b , c }, B ={ m , n } e C =∅ ( C é o conjunto vazio), verifique a pertinência ou não dos elementos abaixo aos conjuntos. Exercício 16 Resolução: • a ........... A; • n ........... A; • h ........... C; • m ........... B; • c ........... C; • b ........... B; • c ........... A. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Sistematização dos conjuntos numéricos 1-5 1.2.2 Igualdade de conjuntos Dois conjuntos A e B são considerados iguais se, e somente se, todo elemento de A pertencer a B e vice-versa. Definição 1 A = B ⇔ ∀ x , ( x ∈ A ⇔ x ∈ B ). Considerando-se os conjuntos A ={ a , b , c }, B ={ m , n }, C =∅, D ={ b , c , a }, E ={} e F ={ n , m , n }, verifique a igualdade ou não dos conjuntos abaixo. Exercício 17 • D ........... A ; • B ........... F; • D ........... A ; • A ........... F ; • C ........... E. 1.2.3 Subconjuntos Um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando qualquer elemento de A também pertence a B . Definição 2 Consideremos os conjuntos A e B , representados também por diagrama: A ={1,3,7} B ={1,2,3,5,6,7,8} B 6 A 1 2 7 [Fig. 2]: Diagrama dos conjuntos 8 3 5 A e B. Note que qualquer elemento de A também pertence a B . Nesse caso, dizemos que A é subconjunto de B . Indica-se: A ⊂ B ; lê-se: A está contido em B . Podemos dizer também que B contém A . Indica-se: B ⊃ A ; lê-se: B contém A . OBS. 1: Se A ⊂ B e B ⊂ A , então A = B . OBS. 2: Os símbolos ⊂, ⊃ e ⊄ são utilizados para relacionar conjuntos. OBS. 3: Para todo conjunto A , tem-se A ⊂ A . OBS. 4: Para todo conjunto A , tem-se ∅⊂ A , onde ∅ representa o conjunto vazio. 1.2.4 União de conjuntos Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro 1-6 Matemática Aplicada Sistematização dos conjuntos numéricos Definição 3 A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B . Designamos a união de A e B por: A ∪ B ; lê-se: A união B . A ∪ B = { x / x ∈ A ou x ∈ B }. 1.2.5 Intersecção de conjuntos A intersecção de dois conjuntos, A e B , é o conjunto formado pelos elementos que são comuns a A e a B , isto é, pelos elementos que pertencem a A e também pertencem a B . Definição 4 Designamos a intersecção de A e B por: A ∩ B ; lê-se: A inter B . A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B }. 1.2.6 Diferença de conjuntos A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que pertencem a A , mas que não pertencem a B . Definição 5 Designamos a diferença de A e B por: A − B ; lê-se: A menos B . A − B = { x / x ∈ A e x ∉ B }. No diagrama seguinte, A , B e C são três conjuntos não vazios. Associe V ou F a cada uma das seguintes sentenças, conforme ela seja verdadeira ou falsa: Exercício 18 B A [Fig. 3]: Diagrama dos conjuntos C A , B e C (subconjuntos). Resolução: • a) A ⊂ B ( ........... ) • b) C ⊂ B ( ........... ) • c) B ⊂ A ( ........... ) • d) A ⊂ C ( ........... ) • e) B ⊄ A ( ........... ) • f) A ⊄ C ( ........... ) • g) B ⊃ A ( ........... ) Exercício 19 Considere o seguinte diagrama: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada 1-7 Sistematização dos conjuntos numéricos A 7 9 1 B 2 3 6 4 8 5 [Fig. 4]: Diagrama dos conjuntos C A , B e C (união / intersecção / diferença). Resolução: • a) A ∪ B = { ...................................................................................... } • b) A ∪ C = { ...................................................................................... } • c) B ∪ C = { ...................................................................................... } • d) A ∪ B ∪ C = { ...................................................................................... } • e) A ∩ B = { ...................................................................................... } • f) A ∩ C = { ...................................................................................... } • g) B ∩ C = { ...................................................................................... } • h) A ∩ B ∩ C = { ...................................................................................... } • i) A − B = { ...................................................................................... } • j) A − C = { ...................................................................................... } • k) B − C = { ...................................................................................... } • l) ( A − B )− C = { ...................................................................................... } 1.3 Intervalos O conjunto dos números naturais, dos números inteiros, dos números racionais e dos números irracionais são subconjuntos dos números reais R . Existem, ainda, outros subconjuntos de R que são determinados por desigualdades. Esses subconjuntos são chamados de intervalos. Conjunto dos números reais maiores que −2 e menores ou iguais a 3: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 [Fig. 5]: Gráfico do intervalo ]−2,3]. Este intervalo contém todos os números reais compreendidos entre os extremos −2 e 3, incluso. A bola vazia indica que o extremo −2 não pertence ao intervalo e a bola que o extremo 3 pertence ao intervalo. Este é um intervalo semi-aberto à esquerda. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) indica Lauro Matemática Aplicada Sistematização dos conjuntos numéricos Representação: { x ∈ R / −2< x ≤3} ou ]−2,3]. Sendo a um número real, pode-se considerar intervalos como o que segue: -2 { x ∈ R / −2< x <+∞} ou ]−2,+∞[ ⇒ OBS. 5: 1.3.1 Operações com intervalos Serão consideradas operações do tipo: união (∪), intersecção (∩) e subtração (−). Exercício 20 Se A ={ x ∈ R / 2< x <5} e B ={ x ∈ R / 3≤ x <8}, determine A ∩ B . Resolução: -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B A∩B A ∩ B = ...................................................................................... . Exercício 21 Se A ={ x ∈ R / −2≤ x ≤0} e B ={ x ∈ R / 2≤ x <3}, determine A ∩ B . Resolução: -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B A∩B A ∩ B = ...................................................................................... . Exercício 22 Se A ={ x ∈ R / −2≤ x ≤3} e B ={ x ∈ R / 1< x ≤4}, determine A ∪ B . Resolução: -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B A∪B A ∪ B = ...................................................................................... . Exercício 23 Se A ={ x ∈ R / −3< x ≤4} e B ={ x ∈ R / 1< x <7}, determine A − B . Resolução: -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B A−B A − B = ...................................................................................... . Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro 1-8 Matemática Aplicada Sistematização dos conjuntos numéricos Exercício 24 Dados A =[2,7], B =[−1,5] e E =[3,9[, calcule: a) A − B ; b) B − A ; c) A − E ; d) E − B . Resolução: -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B E A−B B−A A−E E−B a) A − B = ........................................... ; b) B − A = ........................................... ; c) A − E = ........................................... ; d) E − B = ........................................... . Dados A =[−1,6[, B =]−4,2] e E =]−2,4[, calcule: a) ( B ∪ E )− A ; b) E −( A ∩ B ). -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Exercício 25 A B E B∪ E (B ∪ E) − A A∩ B E − (A ∩ B) a) ( B ∪ E )− A = ........................................... ; b) E −( A ∩ B )= ........................................... . Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro 1-9 Matemática Aplicada Funções 2-10 2 Funções 2.1 Conceito matemático de função Definição 6 Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável independente. Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da variável dependente. Definição 7 Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando a linguagem da teoria dos conjuntos. Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre dois conjuntos. Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B , denomina-se produto cartesiano (indica-se: A × B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B . Definição 8 (Eq.1) A × B ={( x , y )/ x ∈ A e y ∈ B }. Relação: Dados dois conjuntos A e B , dá-se o nome de relação r de A em B a qualquer subconjunto de A × B . Definição 9 (Eq.2) r é relação de A em B ⇔ r ⊂ A × B . Sejam os conjuntos A ={0,1,2,3}, B ={0,2,4,6,8,10} e a relação r de A em B , tal que y =2 x , x ∈ A e y ∈ B . Escrever os elementos dessa relação r . Exercício 26 Resolução: Como x ∈ A : x =0 ⇒ ...................................................................................... ; x =1 ⇒ ...................................................................................... ; x =2 ⇒ ...................................................................................... ; x =3 ⇒ ...................................................................................... . Então, { ...................................................................................... ...................................................................................... }. A r 0 1 2 3 0 B 2 4 6 8 10 [Fig. 6]: Representação da relação por diagrama. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Funções 2-11 y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 x [Fig. 7]: Representação da relação por sistema cartesiano. Podemos observar que, numa relação r de A em B , o conjunto r é formado pelos pares ( x , y ) em que o elemento x ∈ A é associado ao elemento y ∈ B mediante uma lei de associação (no caso, y =2 x ). OBS. 6: 2.2 Definição de função Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B . Essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do conjunto B . Definição 10 Nos exercícios a seguir, verifique se as relações representam função de A em B . Juntifique sua resposta e apresente o diagrama da relação. Dados os conjuntos A ={0,5,15} e B ={0,5,10,15,20,25}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x +5, com x ∈ A e y ∈ B . Exercício 27 Resolução: A 0 5 15 0 B 5 10 15 20 25 x =0 ⇒ ...................................................................................... ; x =5 ⇒ ...................................................................................... ; x =15 ⇒ ...................................................................................... . • Todos os elementos de A • A cada elemento de A ...................................................................................... B. ...................................................................................... ............................................. Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y = x +5 B. ............................................. . Dados os conjuntos A ={−2,0,2,5} e B ={0,2,5,10,20}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x , com x ∈ A e y ∈ B . Exercício 28 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Funções 2-12 Resolução: A B -2 0 2 5 x =0 ⇒ x =2 ⇒ ...................................................................................... ; x =5 ⇒ ...................................................................................... . 0 2 5 10 20 ...................................................................................... ; Neste caso, a relação de A em B ...................................................................................... ............................................. . Dados os conjuntos A ={−3,−1,1,3} e B ={1,3,6,9}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x 2 , com x ∈ A e y ∈ B . Exercício 29 Resolução: A B -3 -1 1 3 1 3 6 9 x =−3 ⇒ ...................................................................................... ; x =−1 ⇒ ...................................................................................... ; x =1 ⇒ ...................................................................................... ; x =3 ⇒ ...................................................................................... . Neste caso, a relação de A em B ...................................................................................... ............................................. . Dados os conjuntos A ={16,81} e B ={−2,2,3}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y 4 = x , com x ∈ A e y ∈ B . Exercício 30 Resolução: A 16 -2 B 2 81 x =16 ⇒ x =81 ⇒ 3 ...................................................................................... ...................................................................................... ; ...................................................................................... ...................................................................................... . Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Neste caso, a relação de A em B 2-13 Funções ...................................................................................... ............................................. . 2.3 Notação de função Quando temos uma função de A em B , podemos representá- la da seguinte forma: f : A → B (lê-se: função de A em B ) x a y (lê-se: a cada valor de x ∈ A associa-se um só valor y ∈ B ) A letra f , em geral, dá o nome às funções, mas podemos ter também a função g , h , etc. Numa função g : R → R , dada pela fórmula y = x 2 −8, podemos também escrever g ( x )= x 2 −8. Neste caso, g ( 2 ) significa o valor de y quando x = 2 , ou g ( 2 )=−6. 2.4 Domínio, contradomínio e imagem de uma função Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por: f : A → B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B ) x a y = f ( x ) (a cada elemento x ∈ A corresponde um único y ∈ B ) O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D . O domínio da função também chamado campo de definição ou campo de existência da função, serve para definir em que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável x . O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD . É no contradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio. Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de y damos o nome de imagem de x pela função f . O conjunto de todos os valores de y que são imagens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que indicaremos por Im . Note que o conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio da mesma. f : A→ B x a y = f (x) D = A , CD = B , Im ={ y ∈ CD / y é correspondente de algum valor de x }. Dados os conjuntos A ={−3,−1,0,2} e B ={−1,0,1,2,3,4}, determinar o conjunto imagem da função f : A → B definida por f ( x )= x +2. Exercício 31 Resolução: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Funções A 2-14 -1 B 0 1 2 3 4 -3 -1 0 2 Im ={ ...................................................................................... } Dada a função f : R → R definida por f ( x )= a x + b , com a , b ∈ R , calcular a e b , sabendo que f (1)=4 e f (−1)=−2. Exercício 32 Resolução: a = .............. e b = .............. ⇒ f ( x )= ............................................. . 2.5 Função composta Tome as funções f : A → B , definida por f ( x )=2 x , e g : B → C , definida por g ( x )= x 2 . Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da função g . f : A → B : a cada x ∈ A associa-se um único y ∈ B , tal que y =2 x . g : B → C : a cada y ∈ B associa-se um único z ∈ C , tal que z = y 2 . Neste caso, podemos considerar uma terceira função, h : A → C , que faz a composição entre as funções f e g : A B f x C g y z h [Fig. 8]: Função composta h : A → C : a cada x ∈ A associa-se um único z ∈ C , tal que z = y 2 = ( 2 x ) 2 =4 x 2 . Essa função h de A em C , dada por h ( x )=4 x 2 , é denominada função composta de g e f . Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Funções 2-15 De um modo geral, para indicar como o elemento z ∈ C é determinado de modo único pelo elemento x ∈ A , escrevemos: z = g ( y )= g ( f ( x )) Notação: A função composta de g e f será indicada por g o f (lê-se: g círculo f ) (Eq.3) ( g o f )( x )= g ( f ( x )) Exercício 33 Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por f ( x )= x +1 e g ( x )=2 x −3. Determine: 2 • a) f ( g ( x )). Resolução: f ( g ( x ))= ............................................. . • b) g ( f ( x )). Resolução: • g ( f ( x ))= ............................................. . c) Os valores de x para que se tenha f ( g ( x ))= g ( f ( x )). Resolução: x = ............................................. . Exercício 34 Sendo f ( x )=3 x −1 e f ( g ( x ))=6 x +8, determine g ( x ). Resolução: g ( x )= ............................................. . Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Funções 2-16 2.6 Função inversa Função bijetora: A função f é denominada BIJETORA, se satisfaz as duas condições abaixo: Definição 11 • 1. O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomínio é correspondente de algum elemento do domínio. • 2. Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio. Definição 12 Diz-se que uma função f possui inversa f −1 se for bijetora. 2.6.1 Determinação da função inversa Caso a função seja bijetora, possuindo portanto inversa, é possível determinar a sua inversa. Para isso “trocamos” a variável x por y na lei que define a função e em seguida “isolamos” o y , obtendo a lei que define a função inversa. É preciso apenas tomar certo cuidado com o domínio da nova função obtida. Exercício 35 Obter a lei da função inversa f −1 da função f dada por y = x +2. Resolução: Logo: f ( x )= ............................................. e f −1 ( x )= ............................................. Construir os gráficos das funções f e f sistema de coordenadas. Exercício 36 −1 do exercício anterior, num mesmo Resolução: x f (x) x f −1 (x) Note que os gráficos das funções f e f −1 são simétricos em relação à reta que contém as bissetrizes do 1o e 3 o quadrantes. 4 3 2 1 y -2 -1 -1 0 1 2 3 4 -2 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) x Lauro Matemática Aplicada Exercício 37 Determinar a função inversa g − 1 da função g ( x )= 3 D= R − . 2 Funções 2-17 x+5 , cujo domínio é 2x −3 Resolução: Logo, g − 1 : ............................................. → ............................................. dada por y = ............................................. é a função inversa procurada. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Função Polinomial 3-18 3 Função Polinomial Função polinomial com uma variável ou simplesmente função polinomial é aquela cuja formulação matemática é expressa por um polinômio. Definição 13 3.1 Função polinomial do 1o grau A função polinomial do 1o grau é a que tem sua representação matemática por um polinômio de grau 1. Representação da função polinomial do 1o grau: f ( x )= a x + b , com a , b ∈ R ( a ≠0). a e b são os coeficientes e x a variável independente. Exercício 38 Em uma função polinomial do 1o grau, y = f ( x ), sabe-se que f (1)=4 e 1 f (−2)=10. Escreva a função f e calcule f − . 2 Resolução: 1 A função é f ( x )= ............................................. e f − = ............ . 2 3.1.1 Função linear Seja a função polinomial do 1o grau f ( x )= a x + b . No caso de b =0, temos f ( x )= a x , e ela recebe o nome especial de função linear. Se, em uma função linear tivermos a =1, teremos f ( x )= x ou y = x , que se dá o nome de função identidade. OBS. 7: 3.1.2 Gráfico de uma função polinomial do 1 o grau Para construir o gráfico de uma função polinomial do 1o grau, atribuímos valores do domínio à variável x e calculamos as respectivas imagens. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Função Polinomial Exercício 39 Construir o gráfico da função real f dada por y =2 x −1. 3-19 Resolução: x Par ordenado ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) y −2 −1 0 1 2 3 5 4 3 2 1 y -2 -1 -1 0 1 2 3 4 -2 -3 -4 -5 x O gráfico da função linear y = a x ( a ≠0) é sempre uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano. Definição 14 O gráfico da função polinomial do 1o grau y = a x + b ( a ≠0) intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, b ). Definição 15 3.1.3 Determinação de uma função a partir do gráfico Nos exercícios abaixo, determine a lei de formação da função f ( x )= a x + b . Exercício 40 Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é: 5 4 3 2 1 y -2 -1 -1 0 1 2 3 4 -2 -3 -4 -5 Resolução: x Sabendo-se que y = a x + b , do gráfico, temos que: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Função Polinomial 3-20 Logo: A função é f ( x )= ............................................. . Exercício 41 Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é: 5 4 3 2 1 y -2 -1 -1 0 1 2 3 4 -2 -3 -4 -5 Resolução: x Sabendo-se que y = a x + b , do gráfico, temos que: Logo: A função é f ( x )= ............................................. . 3.1.4 Crescimento e decrescimento polinomial do 1o grau de uma função Seja f a função polinomial do 1o grau definida por f ( x )= a x + b . Podemos determinar que: • i) A função f é crescente se o coeficiente a >0; • ii) A função f é decrescente se o coeficiente a <0. Construir os gráficos das funções f e g do 1o grau a seguir: i) f ( x )=2 x +1 ii) g ( x )=−2 x +1 Exercício 42 Resolução: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada 5 4 3 2 1 Função Polinomial y 5 4 3 2 1 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 -2 -3 -4 -5 x y -2 -1 -1 0 1 2 3 4 -2 -3 -4 -5 i) Aumentando os valores atribuídos a x , aumentam também os valores correspondentes da imagem f ( x ). 3-21 x ii) Aumentando os valores atribuídos a x , diminuem os valores correspondentes da imagem g ( x ). 3.1.5 Estudo do sinal da função polinomial do 1o grau Estudar o sinal de uma função f significa determinar para que valores de x temos f ( x )>0, f ( x )<0 ou f ( x )=0. Definição 16 3.1.5.1 Zero de uma função polinomial do 1 o grau Denomina-se zero ou raiz da função f ( x )= a x + b o valor de x que anula a função, isto é, torna f ( x )=0. Definição 17 Geometricamente, o zero da função polinomial do 1o grau f ( x )= a x + b , a ≠0, é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x . Definição 18 Dada a lei de formação da função y =−2 x −4, construir o gráfico e determinar os valores reais de x para os quais: a) y =0; b) y >0 e c) y <0. Exercício 43 Resolução: 5 4 3 2 1 y -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 Podemos notar que a função é decrescente, pois a <0. O zero da função é: −2 x −4=0 ⇒ −2 x =4 ⇒ 2 x =−4 ⇒ x =−2. Logo, a reta intercepta o eixo x no ponto de abscissa x =−2. A solução do problema é: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada • a) f ( x )=0 ⇒ {.................................................................................... }; 3-22 Função Polinomial • b) f ( x )>0 ⇒ {.................................................................................... }; • c) f ( x )<0 ⇒ {.................................................................................... }. 3.1.5.2 Quadro de sinais da função polinomial do 1o grau Exercício 44 Preencher o quadro abaixo: Resolução: f ( x )= a x + b , a ≠0 Zero da função: a x + b =0 ⇒ x = .............................................. a >0 b a <0 x a f(x) <0 b f(x ) >0 b a f(x) >0 x f ( x )= 0 ⇒ x x a f(x ) <0 b a x f ( x )= 0 ⇒ x .............................................. f ( x )> 0 ⇒ x .............................................. f ( x )> 0 ⇒ x .............................................. f ( x )< 0 ⇒ x .............................................. f ( x )< 0 ⇒ x .............................................. .............................................. 3.2 Inequações do 1 o grau Denomina-se inequação do 1o grau na variável x toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas: Definição 19 • a x + b ≥0; • a x + b >0; • a x + b ≤0; • a x + b <0. com a , b ∈ R e a ≠0. Exercício 45 Verificar se 4( x −1)− x 2 ≥3 x − x ( x +1) é uma inequação do 1o grau. Resolução: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Função Polinomial 3-23 Logo,................................................................................................................................................................................................. 3.2.1 Resolução de inequações do 1o grau Para se resolver uma inequação do 1o grau, são utilizadas as propriedades das desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S). Definição 20 Resolver a inequação seguinte: 4( x −1)− x 2 ≥3 x − x ( x +1). Represente a solução na reta real. Exercício 46 Resolução: S={.................................................................................... } x Exercício 47 Resolver a inequação seguinte: x −1 4(1 − x ) x 2 − x + > + . Represente a 3 2 4 6 solução na reta real. Resolução: S={.................................................................................... } x 3.2.2 Sistemas de inequações do 1o grau O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema. Definição 21 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Função Polinomial 3-24 Exercício 48 Resolver a inequação −1<2 x −3≤ x . Apresente o conjunto solução S e represente na reta real. Resolução: Na verdade, resolver essa inequação simultânea é equivalente a resolver o sistema: (i) x (ii) x (i) ∩ (ii) x S={....................................................................................................................} 3.2.3 Inequação-produto e inequação-quociente Uma inequação do 2o grau do tipo x 2 +2 x −8≥0 pode ser expressa por um produto de inequações do 1o grau, fatorando o 1o membro da desigualdade: x 2 +2 x −8≥0 ⇒ ( x −2)⋅( x +4)≥0. RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou um inequaçãoquociente, fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais do 1o grau envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de números reais. Definição 22 Exercício 49 Resolução: f(x) = g(x) = h(x) = Resolver a inequação ( x 2 + x −2)⋅(− x +2)≤0. ( x 2 + x −2)⋅(− x +2)≤0 ⇒ ............................................................................................... a 0 ⇒ f(x) = 0 ⇒ x = a 0 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = a 0 ⇒ h(x) = 0 ⇒ x = f (x) g(x) h(x) f (x) g(x ) h(x) S={........................................................................................................................................................} Exercício 50 Resolver a inequação − 3x + 1 ≥0. x−2 Resolução: f(x) = g(x) = ⇒ f(x) = 0 ⇒ ⇒ g(x) = 0 ⇒ x x = = Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) a a 0 0 Lauro Matemática Aplicada Função Polinomial 3-25 f (x) g(x) f (x) g(x) S={.........................................................................................} Exercício 51 Resolução: f(x) = g(x) = h(x) = x2 −9 Resolver a inequação ≤0. x−2 x2 −9 ≤0 ⇒ .............................................................................................. x−2 a 0 ⇒ f(x) = 0 ⇒ x = a 0 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = a 0 ⇒ h(x) = 0 ⇒ x = f (x) g(x) h(x) f (x ) g(x) h(x) S={........................................................................................................................................................} Exercício 52 Determine o domínio da função y = Resolução: ...................................................... f(x) = g(x) = h(x) = x 2 + 2x − 3 . x−5 ⇒ .............................................................................................. f(x) 0 a 0 ⇒ = ⇒ x = a 0 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = a 0 ⇒ h(x) = 0 ⇒ x = f (x) g(x) h(x) f (x ) g(x) h(x) D={........................................................................................................................................................} Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Função Polinomial 3-26 3.3 Função polinomial do 2o grau A função f : R → R dada por f ( x )= a x 2 + b x + c , com a , b e c reais e a ≠0, denomina-se função polinomial do 2o grau ou função quadrática. Os números representados por a , b e c são os coeficientes da função. Note que se a =0 temos uma função do 1o grau ou uma função constante. Definição 23 Considere a função f do 2o grau, em que f (0)=5, f (1)=3 e f (−1)=1. Escreva a lei de formação dessa função e calcule f (5). Exercício 53 Tome f ( x )= a x 2 + b x + c , com a ≠0. f (0) = 5 ⇒ f (1) = 3 ⇒ f (−1) = 1 ⇒ Resolução: A lei de formação da função será f ( x )=................................................................................... f (5)=.......................... 3.3.1 Gráfico de uma função quadrática O gráfico de uma função polinomial do 2o grau ou quadrática é uma curva aberta chamada parábola. Para evitar a determinação de um número muito grande de pontos e obter uma boa representação gráfica, vamos destacar três importantes características do gráfico da função quadrática: (i) (ii) (iii) Concavidade Posição em relação ao eixo x Localização do seu vértice 3.3.2 Concavidade A concavidade de uma parábola que representa uma f ( x )= a x 2 + b x + c do 2o grau depende do sinal do coeficiente a : a >0: concavidade para CIMA função quadrática a <0: concavidade para BAIXO [Fig. 9]: Concavidade de uma função quadrática. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Função Polinomial 3-27 3.3.3 Zeros de uma função quadrática Definição 24 Os zeros ou raízes da função quadrática f ( x )= a x 2 + b x + c são as raízer da equação do 2o grau a x 2 + b x + c =0, ou seja: Raízes: x = − b ± b 2 − 4 ac . 2a Considerando ∆= b 2 −4 a c , pode-se ocorrer três situações: • i) ∆>0 ⇒ as duas raízes são reais e diferentes: x1 = −b+ ∆ −b − ∆ e x2 = . 2a 2a • ii) ∆=0 ⇒ as duas raízes são reais e iguais (raiz dupla): x1 = x 2 =− b . 2a • iii) ∆<0 ⇒ não há raízes reais. Em uma equação do 2o grau a x 2 + b x + c =0, a soma das raízes é S e o b c produto é P tal que: S= x1 + x 2 =− e P= x1 ⋅ x 2 = . a a OBS. 8: Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do 2o grau são as abscissa dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x . Definição 25 3.3.4 Vértice da parábola Considere as parábolas abaixo e observe o vértice V ( xV , yV ) em cada uma: Eixo de simetria y y V( xV , yV ) x1 x1 x2 x x2 x V( xV , yV ) [Fig. 10]: Vértice de parábolas (∆>0 para as duas). Uma forma de se obter o vértice V ( xV , yV ) é: • xV = x1 + x2 , já que o vértice encontra-se no eixo de simetria da parábola; 2 • yV = a xV2 + b xV + c , já que o xV foi obtido acima. Outra forma de se obter o vértice V ( xV , yV ) é aplicando as fórmulas: • xV =− b ∆ e yV =− . 2a 4a Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada 3-28 Função Polinomial 3.3.5 Gráfico de uma parábola Com o conhecimento das principais características de uma parábola, podemos esboçar com mais facilidade o gráfico de uma função quadrática. Construir o gráfico da função y = x 2 +2 x , determinando sua imagem. Exercício 54 Resolução: a ............................. ⇒ concavidade voltada para .............................. 5 4 3 2 1 Zeros da função: Ponto onde a parábola corta o eixo y : Vértice da parábola: y ⇒ (..........,.......... ) -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 -2 xV = -3 -4 -5 ⇒ V (..........,.......... ) yV = 3 4 5 x Im ={ y ∈ R ; ...................................} Imagem: Construir o gráfico da função y =− x 2 +4 x −5, determinando sua imagem. Exercício 55 Resolução: a ............................. ⇒ concavidade voltada para .............................. 5 4 3 2 1 Zeros da função: Ponto onde a parábola corta o eixo y : Vértice da parábola: y ⇒ (..........,.......... ) -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 -2 xV = -3 -4 -5 ⇒ V (..........,.......... ) yV = 3 4 5 x Im ={ y ∈ R ; ...................................} Imagem: 3.3.6 Estudo do sinal da função quadrática Os valores reais de x que tornam a função quadrática positiva, negativa ou nula, podem ser dados considerando-se os casos, relacionados na tabela abaixo. f ( x )= a x 2 + b x + c com ( a , b e c ∈ R e a ≠0) a >0 a <0 x1 x2 x x1 x2 x f ( x )>0 para x < x1 ou x > x 2 f ( x )<0 para x < x1 ou x > x 2 f ( x )<0 para x1 < x < x 2 f ( x )>0 para x1 < x < x 2 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada 3-29 Função Polinomial f ( x )=0 para x = x1 ou x = x 2 f ( x )=0 para x = x1 ou x = x 2 x1 x2 x x1 x2 x f ( x )>0 para x ≠ x1 f ( x )<0 para x ≠ x1 f ( x )<0 ∃/ x real f ( x )>0 ∃/ x real f ( x )=0 para x = x1 = x 2 f ( x )=0 para x = x1 = x 2 x x f ( x )>0 ∀ x real f ( x )<0 ∀ x real f ( x )<0 ∃/ x real f ( x )>0 ∃/ x real f ( x )=0 ∃/ x real f ( x )=0 ∃/ x real 3.4 Inequações do 2 o grau Denomina-se inequação do 2o grau na variável x toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas: Definição 26 • a x 2 + b x + c ≥0; • a x 2 + b x + c >0; • a x 2 + b x + c ≤0; • a x 2 + b x + c <0. com a , b , c ∈ R e a ≠0. 3.4.1 Resolução de inequações do 2o grau Para se resolver uma inequação do 2o grau, são utilizadas as propriedades das desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S). Definição 27 Exercício 56 Resolução: Resolver a inequação x 2 −3 x +2>0. Estudar a variação do sinal da função f ( x )= x 2 −3 x +2. ⇒ Concavidade para................................ a ................. x −3 x +2=0 ∆................. ⇒ 2 .......................................................................... . x x= S=....................................................................................................... Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Exercício 57 Função Polinomial 3-30 Resolver a inequação x 2 −10 x +25≥0. Estudar a variação do sinal da função f ( x )= x 2 −10 x +25. a ................. ⇒ Concavidade para................................ 2 x −10 x +25=0 ∆................. ⇒ .......................................................................... . Resolução: x x= S=....................................................................................................... Exercício 58 Resolver a inequação −2 x 2 +5 x −6>0. Estudar a variação do sinal da função f ( x )=−2 x 2 +5 x −6. a ................. ⇒ Concavidade para................................ 2 −2 x +5 x −6=0 ∆................. ⇒ .......................................................................... . Resolução: x x= S=....................................................................................................... 3.4.2 Sistemas de inequações do 2o grau O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema. Definição 28 Exercício 59 2x2 + 8 ≥ x 2 − 6x Resolver o sistema de inequações . x + 5 < 0 Resolução: (i) ⇒ 2 x 2 +8≥ x 2 −6 x . (ii) ⇒ x +5<0. Resolução de (i): a ................. ⇒ Concavidade para................................ ........................................ ∆................. ⇒ .......................................................................... . x x= x S(i)= ................................................................ . Reta real: Resolução de (ii): S(ii)= .............................................................. . Reta real: Intersecção entre (i) e (ii) ⇒ (i)∩(ii): x (i) x (ii) x (i) ∩ (ii) x S............................................................................................ . Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada 3-31 Função Polinomial Resolver a inequação x −4< x 2 −4≤ x +2. Exercício 60 Resolução: (i) ⇒ x −4< x 2 −4. (ii) ⇒ x 2 −4≤ x +2. Resolução de (i): a ................. ⇒ Concavidade para................................ ........................................ ∆................. ⇒ .......................................................................... . x x= x S(i)= ................................................................ . Reta real: Resolução de (ii): a ................. ⇒ Concavidade para................................ ........................................ ∆................. ⇒ .......................................................................... . x x= S(ii)= ................................................................. Reta real: Intersecção entre (i) e (ii) ⇒ (i)∩(ii): (i) x x (ii) x (i) ∩ (ii) x S............................................................................................ . 3.4.3 Inequação-produto e inequação-quociente RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequaçãoquociente, fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de números reais. Definição 29 Exercício 61 Resolver a inequação ( x 2 −2 x −3)⋅(− x 2 −3 x +4)>0. Resolução: f(x) = x 2 −2 x −3 ⇒ a 2 g(x) = − x −3 x +4 ⇒ a 0 ⇒ ∆= 0 ⇒ ∆= f(x) ⇒ ⇒ x1 x1 e e x2 x2 g(x) x Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) x Lauro Matemática Aplicada 3-32 Função Polinomial f (x ) g(x ) f (x) g(x ) S=.................................................................................................................................................. Exercício 62 Resolver a inequação x2 − 5x + 6 ≥0. x 2 −16 Resolução: f(x) = x 2 −5 x +6 g(x) = − x 2 −16 ⇒ a ⇒ a 0 ⇒ ∆= 0 ⇒ ∆= ⇒ ⇒ x1 x1 f(x) e e x2 x2 g(x) x x f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) S=.................................................................................................................................................. Exercício 63 Determine o domínio da função f ( x )= x 2 − 3x − 10 . x−6 x 2 − 3 x −10 Resolução: f só representa um número real se ............................... x−6 f(x) = x 2 −3 x −10 ⇒ a 0 ⇒ ∆= ⇒ x1 e g(x) = x −6 ⇒ a 0 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x f(x) x2 g(x) x Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) x Lauro Matemática Aplicada Função Polinomial 3-33 f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) D =.................................................................................................................................................. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Função Exponencial 4-34 4 Função Exponencial 4.1 Revisão de potenciação 4.1.1 Potências com expoente natural Sendo a um número real e n um número natural, com n ≥2, definimos: a n = a1⋅ 42 a ⋅ a ⋅43 K⋅ a . (Eq.4) n fatores Para n =1 e n =0 são definidos: (Eq.5) a1 = a . (Eq.6) a 0 =1 ( a ≠0). 4.1.2 Potências com expoente inteiro Se a é um número real não-nulo ( a ≠0) e n um número inteiro e positivo, definimos: a−n = (Eq.7) 1 . an 4.1.3 Potências com expoente racional Se a é um número real positivo e m um número racional, com n inteiro positivo, n definimos: m a n = n am . (Eq.8) 4.1.4 Potências com expoente real Podemos considerar que as potências com expoente real têm significado no conjunto dos números reais. Temos, por exemplo: 10 2 =25,954553519470080977981828375983. 4.1.4.1 Propriedades Para as potências com expoente real são válidas as seguintes propriedades operatórias: • am ⋅ an = am+n . • a m : a n = a m − n ( a ≠0). • ( a m )n = a m ⋅n . • ( a ⋅ b) n = a n ⋅ b n . n n a a • = n ( b ≠0). b b Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Função Exponencial Exercício 64 Dê o resultado mais simples de ( 53 ⋅ 5 6 ): 510 . Resolução: Usando as propriedades, temos: 4-35 ( 53 ⋅ 5 6 ): 510 =............................................................................................................................................... . −2 3 2 1 Calcule o valor da expressão + − 6 0 . 3 2 Exercício 65 Resolução: −2 3 2 1 + − 6 0 =................................................................................................................................................ 3 2 Simplifique Exercício 66 2 x +5 − 2 x+ 2 . 2x Resolução: 2 x +5 − 2 x+ 2 =............................................................................................................................................... . 2x 4 Calcule 8 3 . Exercício 67 Resolução: Determine o valor de 810,7 : 810, 2 . Exercício 68 Resolução: 810,7 : 810, 2 =................................................................................................................................................ Qual o valor de (10 Exercício 69 2 ) 2 : ( 0,1) 5 ? Resolução: (10 2 ) 2 : ( 0,1) 5 =................................................................................................................................................ 4.2 Equações exponenciais Definição 30 Chama-se equação exponencial toda equação que contém incógnita no expoente. Exemplo: • 2 x =16. • 3 x+1 + 3 x− 2 =9. • 3 x−1 =27. • 10⋅ 2 2 x −5⋅ 2 2 x −1=0. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Função Exponencial 4-36 4.2.1 Resolução de equações exponenciais Para resolver uma equação exponencial, devemos transformá-la de modo a obter potências de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação utilizando as definições e propriedades da potenciação. Além disso, usaremos o seguinte fato: Definição 31 Se a >0, a ≠1 e x é a incógnita, a solução da equação a x = a p é x = p . Exercício 70 Resolver a equação 4 x =512. Usando as propriedades das potências, vamos transformar o 1o e 2o membros da equação em potências de mesma base: Resolução: S=.............................................. Uma empresa produziu, num certo ano, 8000 unidades de determinado produto. Projetando um aumento anual de produção de 50%, pergunta-se: Exercício 71 • a) Qual a produção P dessa empresa t anos depois? • b) Após quantos anos a produção anual da empresa será de 40500 unidades? Resolução: • a) Obs: 50%= 50 =0,5 100 • b) Fazendo P=40500, na fórmula anterior, obtemos a equação: Desse modo, a produção anual da empresa será de 40500 unidades após .................. anos. Exercício 72 Determine o conjunto solução da equação 81x+ 2 =1 no universo dos números reais. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Função Exponencial 4-37 Resolução: S=.................................................... . 4.2.2 Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios Para se resolver determinadas equações exponenciais, são necessárias algumas transformações e artifícios. Exercício 73 Resolver a equação 4 x −5⋅ 2 x +4=0. Usando as propriedades da potenciação, vamos fazer uma transformação na equação dada: Resolução: S=........................................... Exercício 74 Determine o conjunto solução da equação 5 x − 5 2− x =24. Resolução: Preparando a equação, temos: S=........................................... 4.3 Função exponencial A função f : R → R dada por f ( x )= a x (com a >0 e a ≠1) é denominada função exponencial de base a . Definição 32 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Função Exponencial 4-38 4.3.1 Gráfico da função exponencial no plano cartesiano Dada a função f : R → R , definida por f ( x )= a x (com a >0 e a ≠1), temos dois casos para traçar seu gráfico: (i) a >1 e (ii) 0< a <1. • (i) a >1. Exercício 75 Traçar o gráfico de f ( x )= 2 x . Resolução: y f ( x )= 2 x x 8 7 6 5 4 3 2 1 −2 −1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x Quanto maior o expoente x , maior é a potência a x , ou seja, se a >1 a função f ( x )= a x é crescente. OBS. 9: • (ii) 0< a <1. x Exercício 76 1 Traçar o gráfico de f ( x )= . 2 Resolução: x −3 −2 −1 0 1 f ( x )= 2 x y 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x Quanto maior o expoente x , menor é a potência a x , ou seja, se 0< a <1 a função f ( x )= a x é decrescente. OBS. 10: Com base no gráfico, podem-se tirar algumas considerações: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Função Exponencial 4-39 4.3.2 Características da função exponencial Seja f : R → R , definida por f ( x )= a x (com a >0 e a ≠1). • Domínio da função f são todos os números reais ⇒ D = R . • Imagem da função f são os números reais positivos ⇒ Im = R+∗ . • A curva da função passa pelo ponto (0,1). • A função é crescente para a base a >1. • A função é decrescente para a base 0< a <1. 4.4 Inequações exponenciais Definição 33 São inequações exponenciais aquelas que aparecem incógnitas no expoente. 4.4.1 Resolução de inequações exponenciais Para resolver inequações exponenciais, devemos observar dois passos importantes: • 1) Redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base; • 2) Verificar a base da exponencial, a >1 ou 0< a <1, aplicando as propriedades abaixo. Caso (i): a >1 Caso (ii): 0< a <1 a m > a n ⇒ m >n a m > a n ⇒ m <n As desigualdades têm mesmo sentido As desigualdades têm sentidos diferentes Exercício 77 Resolva a inequação 2 x >32. Resolução: S=............................................................................... . Exercício 78 Resolva a inequação ( 3 ) 3 x 2 +2 x ≥1. Resolução: S=............................................................................................................... Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Exercício 79 1 Resolva a inequação 2 Função Exponencial x +3 1 < 2 4-40 2 x−7 . Resolução: S=............................................................................................................... Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Função Logarítmica 5-41 5 Função Logarítmica 5.1 Definição de logaritmo Dados dois números reais positivos, a e b , com a ≠1, existe um único número real x de modo que a x = b . Este número x é chamado de logaritmo de b na base a e indicase log a b . Definição 34 Podemos então, escrever: a x = b ⇔ x = log a b (1≠ a >0 e b >0). (Eq.9) Na igualdade x = log a b , temos: • a é a base do logaritmo; • b é o logaritmando ou antilogaritmo; • x é o logaritmo. Calcular o valor de x nos exercícios seguintes: Exercício 80 log 2 32 = x . Resolução: x =................... . Exercício 81 log 4 16 = x . Resolução: x =................... . Exercício 82 log 8 x =1. Resolução: x =................... . Exercício 83 log 3 81 = x . Resolução: x =................... . Exercício 84 log 5 1 = x . Resolução: x =................... . OBS. 11: log b ⇒ significa log 10 b . Quando não se indica a base, fica subentendido que a base é 10. 5.2 Conseqüências da definição Tome 1≠ a >0, b >0 e m um número real qualquer. Da definição de logaritmos, podese verificar que: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada • 1) O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero. Função Logarítmica 5-42 log a 1 =0, pois a 0 =1. • 2) O logaritmo da própria base é igual a 1. log a a =1, pois a 1 = a . • 3) O logaritmo de uma potência da base é igual ao expoente. log a a m = m , pois a m = a m . • 4) O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual devemos elevar a para obter b . a loga b = b , pois a x = b ⇔ x = log a b . 5.3 Propriedades dos logaritmos • 1) Logaritmo de produto log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y (1≠ a >0, x >0 e y >0). • 2) Logaritmo de quociente log a x = log a x − log a y (1≠ a >0, x >0 e y >0). y • 3) Logaritmo de potência log a x m = m ⋅ log a x (1≠ a >0, x >0 e m ∈ R ). 5.4 Cologaritmo Cologaritmo de um número positivo b numa base a (1≠ a >0) é o logaritmo do inverso desse número b na base a . (Eq.10) 1 co log a b = log a ⇒ co log a b =− log a b (1≠ a >0 e b >0). b Exercício 85 Sabendo que log 3= a e log 5= b , calcule os logaritmos abaixo, em função de a e b. • a) log 15 Resolução: • b) log 675 Resolução: • c) log 2 Resolução: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Função Logarítmica 5-43 5.5 Mudança de base As propriedades logarítmicas são válidas para logaritmos numa mesma base, por isso, em muitos casos, é conveniente fazer a conversão de logaritmos de bases diferentes para uma única base. A seguir, será apresentada a fórmula de mudança de base. Seja: log a b = x ⇒ a x = b . Aplicando o logaritmo na base c em ambos os membros, obtemos: log c a x = log c b ⇒ x ⋅ log c a = log c b ⇒ x = log c b , mas x = log a b . log c a Então: (Eq.11) log a b = Exercício 86 log c b (1≠ a >0, 1≠ c >0 e b >0). log c a Sendo log 2=0,3 e log 3=0,4, calcule log 2 6 . Resolução: Exercício 87 Resolva a equação log 2 x + log 4 x + log 16 x =7. Resolução: A condição de existência é x >0. Logo, o conjunto solução é: S={.................. }. Exercício 88 Resolva a equação log 2 ( x +2)+ log 2 ( x −2)=5. Resolução: Condições de existência são: x +2>0 e x −2>0 ⇒ x >−2 e x >2. Então: x >2. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Função Logarítmica 5-44 Logo, o conjunto solução é: S={.................. }. 5.6 Função logarítmica A função exponencial g : R → R+∗ definida por g ( x )= a x (com 1≠ a >0) é bijetora. Nesse caso, podemos determinar a sua função inversa. É a função logarítmica definida abaixo. A função f : R+∗ → R definida por f ( x )= log a x (com 1≠ a >0) é chamada função logarítmica de base a . Definição 35 5.6.1 Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano Como os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, o gráfico da função logarítmica é de imediata construção, uma vez que já vimos o gráfico da função exponencial. Seja f : R+∗ → R , tal que y = log a x e f e f −1 −1 : R → R+∗ , tal que y = a x . Os gráficos de f serão plotados no mesmo plano cartesiano ortogonal. • (i) a >1. y y=x 8 7 6 5 4 3 2 1 y= ax -4 -3 -2 -1 0 y = loga x 1 2 3 4 x [Fig. 11]: Gráfico da função logarítmica e exponencial ( a >1). • (ii) 0< a <1. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Função Logarítmica 5-45 y y=x 8 7 6 5 4 3 2 1 y= ax -4 -3 -2 -1 0 x 1 2 3 4 y = loga x [Fig. 12]: Gráfico da função logarítmica e exponencial (0< a <1). 5.7 Inequações logarítmicas Chamamos de inequação logarítmica toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Exercício 89 Resolva a inequação log 1 ( x −3)≥ log 1 4. 2 2 Resolução: Condição de existência: (i) x (ii) x (i) ∩ (ii) x S={.........................................................................................}. Exercício 90 Resolva a inequação log 4 ( x 2 − x )≥ log 4 (2 x +10). Resolução: A solução da inequação deve satisfazer as três condições: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada (i) Função Logarítmica x (ii) x (iii) x (i) ∩ (ii) ∩ (iii) x 5-46 S={.........................................................................................}. Suponha que o preço de um carro sofra uma desvalorização de 20% ao ano. Depois de quanto tempo, aproximadamente, seu preço cairá para cerca da metade do preço de um carro novo? (Use log 10 2=0,3) Exercício 91 Resolução: p = p 0 (1−0,2) t O preço do carro cairá para a metade do preço do carro novo depois de ................ anos. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Trigonometria 6-47 6 Trigonometria Trigonometria é o ramo da Matemática que tem por objetivo a resolução completa dos triângulos, ou seja, a determinação da medida de seus lados e seus ângulos internos, enriquecendo o estudo da Geometria Plana. Seu significado original: (tri) três, (gonos) ângulo, (metria) medida. 6.1 Triângulo retângulo Triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo interno reto. O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são cha mados de catetos. A c b h m B n a H C [Fig. 13]: Elementos do triângulo retângulo Na figura, temos que: • a = BC é a hipotenusa; • b = AC e c = AB são os catetos; • h = AH é a altura relativa à hipotenusa; • m = BH é a projeção ortogonal do cateto AB sobre a hipotenusa; • n = CH é a projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipotenusa; • Â , B̂ e Ĉ são os ângulos internos. 6.2 Relações métricas no triângulo retângulo Com base na figura anterior, as seguintes relações métricas são válidas: a 2 = b 2 + c 2 (Teorema de Pitágoras) → o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos; h 2 = m ⋅ n → o quadrado da altura é o produto das projeções dos catetos; c 2 = m ⋅ a e b 2 = n ⋅ a → o quadrado do cateto é o produto de sua projeção pela hipotenusa; b ⋅ c = a ⋅ h → o produto dos catetos é o produto da hipotenusa pela altura. Exercício 92 Observando a figura, calcule a , h , m e n . Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Trigonometria 6-48 A c =20 m B b =15 h n C a H Resolução: Logo, a =................... , h =..................., m =................... e n =.................... Exercício 93 Num triângulo retângulo os lados têm medidas x −1, x e x +1. Determine essas medidas. A x B x 1 x 1 C Resolução: Num triângulo qualquer, a medida do maior lado é sempre menor que a soma das medidas dos outros dois, portanto, devemos ter x +1< x + x −1 para que exista o triângulo. Logo: Aplicando o teorema de Pitágoras ao ∆ A B C , temos: Então, x =.................... . As medidas dos lados são ...................., .................... e .................... unidades de comprimento. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Trigonometria 6-49 6.3 Razões trigonométricas no triângulo retângulo Consideremos o ângulo de medida α da figura seguinte, de vértice B e lados BA e BC . C4 C3 C2 C1 C a b α B c A A1 A2 A3 A4 [Fig. 14]: Razões trigonométricas no triângulo retângulo. Os triângulos B A C , B A1 C1 , B A2 C 2 , B A3 C 3 , B A4 C 4 , … são todos semelhantes. Logo, existem razões entre estes triângulos. Iremos nomear estas razões por: k1 , k 2 e k3 . Desenvolvendo as razões, temos: k1 = AC A1C1 A2C 2 A3C 3 A4C 4 = = = = =… BC BC 1 BC 2 BC 3 BC 4 k2 = BA BA1 BA 2 BA 3 BA 4 = = = = =… BC BC 1 BC 2 BC 3 BC 4 k3 = AC A1C1 A2C 2 A3C 3 A4C 4 = = = = =… BA BA1 BA 2 BA3 BA 4 As razões k1 , k 2 e k3 dependem somente da medida do ângulo considerado. Daí, pode-se simplificar a figura anterior a apenas um triângulo A B C seguinte. C a α B [Fig. 15]: Triângulo c b A A B C que define as razões. Estas razões podem ser escritas, considerando-se como base o ângulo α, através da hipotenusa a , o cateto oposto b e o cateto adjacente c : (Eq.12) sen α= k1 = AC b Cateto oposto Cateto oposto = = ⇒ sen α= BC a Hipotenusa Hipotenusa Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Trigonometria BA c Cateto adjacente Cateto adjacente (Eq.13) cos α= k 2 = = = ⇒ cos α= BC a Hipotenusa Hipotenusa (Eq.14) tan α= k3 = Exercício 94 6-50 AC b Cateto oposto Cateto oposto = = ⇒ tan α= BA c Cateto adjacente Cateto adjacente Determine sen B̂ , cos B̂ e tan B̂ no triângulo retângulo A B C . C a =5 B b =3 c =4 A Resolução: sen B̂ =............................... . cos B̂ =............................... . tan B̂ =............................... . Um garoto está empinando pipa, e o fio forma com a horizontal um ângulo de 30 . Calcule a que altura do solo se achará a pipa quando estiver na vertical que passa por uma árvore situada a 300 metros do garoto. Sabe-se que tan 30o =0,57. Exercício 95 o fio h 30o 300 metros Resolução: h =............................. metros. 6.4 Conseqüências das definições Dado o triângulo retângulo abaixo, podemos chegar a algumas conclusões, com base nas definições dadas. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Trigonometria 6-51 C a β α B [Fig. 16]: Triângulo c b A A B C , conseqüências das definições. 6.4.1 Ângulos complementares α+β=90o O seno de um ângulo agudo é igual ao co-seno de seu complemento. (Eq.15) sen α= b b e cos β= ⇒ sen α= cos β. a a (Eq.16) sen β= c c e cos α= ⇒ sen β= cos α. a a A tangente de um ângulo agudo é igual ao inverso da tangente de seu complemento. (Eq.17) tan α= b c 1 e tan β= ⇒ tan α= . c b tan β 6.4.2 Divisão senα = cos α b a c a = b senα = tan α ⇒ tan α= . c cos α 6.4.3 Aplicando o teorema de Pitágoras sen 2α= b2 c2 b2 c2 b2 + c2 2 2 2 2 2 e cos α= ⇒ sen α+ cos α= + ⇒ sen α+ cos α= a2 a2 a2 a2 a2 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo A B C , temos que a 2 = b 2 + c 2 . Logo: b2 + c2 a2 2 2 2 2 sen α+ cos α= ⇒ sen α+ cos α= 2 ⇒ sen 2 α+ cos 2α=1. 2 a a Então: (Eq.18) sen 2α+ cos 2 α=1. Exercício 96 1 Sendo sen 30o = , calcular cos 30o , tan 30o , sen 60o , cos 60o e tan 60o . 2 Resolução: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Exercício 97 6-52 Trigonometria Sendo sen 45o = 2 , calcular cos 45o e tan 45o . 2 Resolução: 6.5 Ângulos notáveis Os valores da tabela seguinte aparecem com freqüência, por isso os ângulos nela contidos são chamados notáveis. 0o 30o 45o 60o 90o sen 0 1 2 2 2 3 2 1 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 tan 0 3 3 1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) 3 ∃/ Lauro 6-53 Matemática Aplicada Trigonometria Exercício 98 (PUC-RS) De um ponto A, no solo, visam-se a base B e o topo C de um bastão colocado verticalmente no alto de uma colina, sob ângulos de 30o e 45o , respectivamente. Se o bastão mede 4 metros de comprimento, a altura da colina, em metros, é igual a: C 4m B h 45o 30o A Resolução: A altura da colina é de .......................................... metros. (UFOP-MG) Um homem deseja determinar a largura de um rio. Então, de um ponto da margem, mede o ângulo de elevação do topo de um poste situado na margem oposta, obtendo 11o . Afastando-se 15 metros, ele obtém o novo ângulo de 9o . Calcule a largura do rio. Tome como base os dados seguintes: tan 9o =0,158 e tan 11o =0,194. Exercício 99 9o y o 11 Rio 15 m x Resolução: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Trigonometria 6-54 A largura do rio é de ................................ metros. 6.6 Circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico 6.6.1 Arco de circunferência Considerando dois pontos A e B de uma circunferência: B O A B A O [Fig. 17]: Arco de circunferência. Chamamos de arco AB a qualquer uma das partes dessa circunferência, compreendida entre os pontos A e B, o qual indicaremos por AB ou BA. Os pontos A e B são as extremidades do arco AB e pertencem a ele. Quando A≡B, dizemos que uma das partes é o arco nulo e a outra é o arco de uma volta. 6.6.2 Medidas de arcos Definição 36 Grau: um grau (1o ) é o arco unitário que corresponde a 1 da circunferência. 360 Radiano: um radiano (1 rad) é o arco que tem o mesmo comprimento do raio da circunferência que o contém. Definição 37 Conseqüentemente, radiano (1 rad) é o arco unitário que corresponde a 1 da 2π circunferência. Na circunferência abaixo, o raio r tem o mesmo comprimento do arco AB. B r O r A Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Trigonometria 6-55 [Fig. 18]: Circunferência de raio r . m( AB )=m( AO )=1 rad. Por outro lado, a medida do comprimento da circunferência se calcula através da fórmula: C =2π r . Mas, pelo fato de termos considerado o raio r e o arco AB com a mesma medida (1 rad), então: (Eq.19) C =2π rad. Daí pode-se tirar medidas parciais da circunferência em radianos. C =π rad; 2 C π = rad; 4 2 C π = rad. 8 4 Relações entre graus e radianos: arco Exercício 100 grau Radiano 360o 2π rad 180o π rad 90o π rad 2 45o π rad 4 Converter em radianos a medida do arco de 30o . Como sabemos que 180o =π rad, podemos fazer uma regra de três simples diretamente proporcional: Resolução: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Trigonometria 6-56 Logo, 30o correspondem a ................... rad, ou 30o =................... rad. Exercício 101 Converter em graus a medida do arco de 3π rad. 2 De forma semelhante ao exercício anterior, usa-se a relação π rad=180o . Substitui-se no arco dado e efetuam-se as operações: Resolução: Logo, 3π 3π rad correspondem a ....................... , ou rad =........................ 2 2 6.6.3 Ciclo trigonométrico Considere a figura abaixo: y II quadrante I quadrante O r =1 III quadrante x IV quadrante [Fig. 19]: Quadrantes no ciclo trigonométrico. • O centro da circunferência coincide com a origem de um sistema de coordenadas cartesianas; • O raio da circunferência corresponde a uma unidade de medida dos eixos perpendiculares. Ciclo trigonométrico é uma circunferência à qual se associa um sistema de coordenadas ortogonais com origem no centro, tendo como raio a unidade de medida dos eixos. Definição 38 A medida de um arco num ciclo trigonométrico é feita através das seguintes convenções: y O r =1 anti-horário A(1,0) x horário [Fig. 20]: Media de arcos no ciclo trigonométrico. Os arcos trigonométricos têm: • Origem no ponto A (1,0); Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro 6-57 Matemática Aplicada Trigonometria • Medidas algébricas positivas, se marcados no sentido anti- horário, e negativas, se marcados no sentido horário. 6.6.4 Arcos côngruos Os arcos que têm mesma extremidade e diferem apenas pelo número de voltas inteiras são chamados de arcos côngruos. Definição 39 Exercício 102 Com base no arco da figura abaixo, preencher a tabela a seguir: P 60o A P π rad 3 A ou O O Resolução: ARCOS CÔNGRUOS GRAUS RADIANOS 60o =60o +0⋅360o 60o =60o +0⋅360o 420o =60o +1⋅360o −300o =60o −1⋅360o 780o =............................... −1020o =............................... 1860o =............................... −2460o =............................... M M Definição 40 π π = +0⋅2π 3 3 7π =............................... 3 19π =............................... 3 37π =............................... 3 M π π = +0⋅2π 3 3 5π π − = −1⋅2π 3 3 23π − =............................... 3 47π − =............................... 3 M Se um arco mede α graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é: α+ k ⋅360o , com k ∈ Z ( Z são os números inteiros). Definição 41 Se um arco mede α radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é: α+2 k π, com k ∈ Z . 6.6.4.1 Regra para se obter arcos côngruos Seja α um arco dado em graus ou radianos. (Obs: uma volta é 360o ou 2π rad) • Dividir α por uma volta; • Multiplicar o resultado por uma volta; • Se α é negativo, somar e subtrair uma volta. Exercício 103 Obter arcos côngruos a 750o . Resolução: • Dividir α por 360o : 1 30 o 750o × = +2 360 o 360 o Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada • Multiplicar o resultado por 360o : 30o +2×360o . Arcos côngruos a 750o = 30o + k ⋅360o . Exercício 104 Trigonometria 6-58 Obter arcos côngruos a −1050o . Resolução: • Dividir α por 360o : 1 330 o −1050o × = − −2 360 o 360 o • Multiplicar o resultado por 360o : −330o −2×360o . • Somar e subtrair 360o : −330o −2×360o +360o −360o . 30o −3×360o . Arcos côngruos a −1050o = 30o + k ⋅360o . Exercício 105 37π . 6 Obter arcos côngruos a Resolução: • Dividir α por 2π: 37π 1 37 1 × = = +3 6 2π 12 12 • Multiplicar o resultado por 2π: π +3⋅2π. 6 37π π Arcos côngruos a = +2 k π. 6 6 Exercício 106 Obter arcos côngruos a − 47π . 6 Resolução: • Dividir α por 2π: 47π 1 47 11 − × = − = − −3 6 2π 12 12 • Multiplicar o resultado por 2π: 11π − −3⋅2π. 6 • Somar e subtrair 2π: 11π − −3⋅2π+2π−2π. 6 π −4⋅2π. 6 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Arcos côngruos a − Trigonometria 6-59 47π π = +2 k π. 6 6 Um móvel, partindo do ponto A (figura acima), percorreu um arco de 1690o na circunferência trigonométrica. O móvel deu quantas voltas completas e em que quadrante parou? Exercício 107 Resolução: 1690 360 Expressão geral ⇒ 1690o =....................................................................... Número de voltas ⇒ ................. O arco de 1690o tem a mesma extremidade que o arco de ......................... O móvel deu ............ voltas completas no sentido anti-horário. Como ..................o <.................. o<.................. o , o móvel parou no ............. quadrante. 6.7 Seno e cosseno de um arco Tome o arco α dado na figura abaixo: N O P α MA [Fig. 21]: Arco α para o conceito de seno e cosseno. Seno de um arco é a ordenada do ponto P. (Eq.20) sen α= ON = MP . Cosseno de um arco é a abscissa do ponto P. (Eq.21) cos α= OM = NP . 6.7.1 Conseqüências Para qualquer ponto da circunferência, a ordenada e a abscissa nunca são menores que −1 nem maiores que +1. Por isso dizemos que seno e cosseno são números compreendidos entre −1 e +1, o que nos permite concluir: (Eq.22) −1 ≤ sen α ≤ 1 e −1 ≤ cos α ≤ 1 6.7.2 Função seno e função cosseno Função seno é a função que associa a cada arco x ∈ R o número sen x ∈ R , ou y = sen x . Função cosseno é a função que associa a cada arco x ∈ R o número cos x ∈ R , ou y = cos x . Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada 6-60 Trigonometria 6.7.3 Gráfico das funções seno e cosseno Para estudar a função seno ( y = sen x ) e a função cosseno ( y = cos x ) vamos variar x no intervalo [0,2π]. 6.7.3.1 Função seno y = sen x 1 O A y O π π π π 6 4 3 2 π 3π 2 2π x 1 [Fig. 22]: Gráfico da função seno. 6.7.3.2 Conclusões • O domínio da função y = sen x é o conjunto dos números reais, isto é, D = R . • A imagem da função y = sen x é o intervalo [−1,+1], isto é, −1≤ sen x ≤+1. • Toda vez que somamos 2π a um determinado valor de x , a função seno assume o mesmo valor. Como 2π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y = sen x é p =2π. Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o arco x . Quando adicionamos 2 k π ao arco x , obtemos sempre o mesmo valor para o seno, pois a função seno é periódica de período 2π. (Eq.23) sen x = sen ( x +2 k π), k ∈ Z (Inteiros). 6.7.3.3 Seno é função ímpar No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e − x têm imagens simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que as ordenadas desses pontos têm o mesmo valor absoluto, porém, sinais opostos. Então, sen (− x )=− sen x . Quando uma função f é tal que dizemos que f é uma função ímpar. f (− x )=− f ( x ), para todo x do seu domínio, Como sen (− x )=− sen x , para todo x real, podemos afirmar que a função seno é ímpar. 6.7.3.4 Função cosseno y = cos x Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada 1 O 6-61 Trigonometria A O y π π π π 6 4 3 2 π 3π 2 2π x 1 [Fig. 23]: Gráfico da função cosseno. 6.7.3.5 Conclusões • O domínio da função y = cos x é o conjunto dos números reais, isto é, D = R . • A imagem da função y = cos x é o intervalo [−1,+1], isto é, −1≤ cos x ≤+1. • O período da função y = cos x é p =2π. Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o arco x . Quando adicionamos 2 k π ao arco x , obtemos sempre o mesmo valor para o cosseno, pois a função cosseno é periódica de período 2π. cos x = cos ( x +2 k π), k ∈ Z (Inteiros). (Eq.24) 6.7.3.6 Cosseno é função par No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e − x têm imagens simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que esses pontos têm a mesma abscissa. Então, cos (− x )= cos x . Quando uma função f é tal que dizemos que f é uma função par. f (− x )= f ( x ), para todo x do seu domínio, Como cos (− x )= cos x , para todo x real, podemos afirmar que a função cosseno é par. Exercício 108 Construa o gráfico da função y =2 sen x , dando o domínio, a imagem e o período. Resolução: y x sen x 2 sen x 0 π 2 π 3π 2 2π Observando o gráfico, temos: D =................., Im =[.............,.............], e p =.............. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Exercício 109 Trigonometria Construa o gráfico da função y = cos 6-62 x , dando o domínio, a imagem e o 2 período. Resolução: x x y x cos 2 2 0 π 2 π 3π 2 2π Observando o gráfico, temos: D =................., Im =[.............,.............], e p =.............. 6.8 Tangente de um arco Tome o arco α dado na figura abaixo: eixo das tangentes N O P α T A M [Fig. 24]: Arco α para o conceito de tangente. Tangente de um arco é a ordenada do ponto T (segmento AT). (Eq.25) tan α= AT . 6.8.1 Conseqüências • O eixo vertical, suporte de AT , é chamado eixo das tangentes. π • Podemos dizer que tan α só é definida se α∈ R e α≠ + k π ( k ∈ Z ). 2 6.8.2 Função tangente Função tangente é a função que associa a cada arco x ∈ R , com x ≠ número tan x ∈ R , ou y = tan x . π + k π ( k ∈ Z ), o 2 6.8.3 Gráfico da função tangente Para estudar a função tangente ( y = tan x ) vamos variar x no intervalo [0,2π]. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada 6-63 Trigonometria y 1,73 1 0,58 O A O 0,58 1 π π π π 6 4 3 2 π 3π 2 2π x 1,73 [Fig. 25]: Gráfico da função tangente. 6.8.3.1 Conclusões • O domínio da função y = tan x é o conjunto dos números reais x ∈ R , com x ≠ π ( k ∈ Z ), isto é, D ={ x ∈ R / x ≠ + k π, k ∈ Z }. 2 π +k π 2 • A imagem da função y = tan x é o conjunto dos números reais. • Toda vez que somamos k π a um determinado valor de x , a função tangente assume o mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y = tan x é p =π. (Eq.26) tan ( x + k π)= tan x , k ∈ Z . 6.8.3.2 Tangente é uma função ímpar Como tan (− x )=− tan x , para todo x real, com x ≠ π + k π ( k ∈ Z ), podemos afirmar 2 que a função tangente é ímpar. 6.9 Cotangente de um arco Tome o arco α dado na figura abaixo: B N O C eixo das cotangentes P α A M [Fig. 26]: Arco α para o conceito de cotangente. Cotangente de um arco é a abscissa do ponto C (segmento BC). (Eq.27) cot α= BC . Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Trigonometria 6-64 6.9.1 Conseqüências • O eixo horizontal, suporte de BC , é chamado eixo das cotangentes. • Podemos dizer que cot α só é definida se α∈ R e α≠ k π ( k ∈ Z ). 6.9.2 Função cotangente Função cotangente é a função que associa a cada arco x ∈ R , com x ≠ k π ( k ∈ Z ), o número cot x ∈ R , ou y = cot x . 6.9.3 Gráfico da função cotangente Para estudar a função cotangente ( y = cot x ) vamos variar x no intervalo [0,2π]. y 1,73 1 0,58 O A O 0,58 1 π π π π 6 4 3 2 π 3π 2 2π x 1,73 [Fig. 27]: Gráfico da função cotangente. 6.9.3.1 Conclusões • O domínio da função y = cot x é o conjunto dos números reais x ∈ R , com x ≠ k π ( k ∈ Z ), isto é, D ={ x ∈ R / x ≠ k π, k ∈ Z }. • A imagem da função y = cot x é o conjunto dos números reais. • Toda vez que somamos k π a um determinado valor de x , a função cotangente assume o mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y = cot x é p =π. (Eq.28) cot ( x + k π)= cot x , k ∈ Z . 6.9.3.2 Cotangente é uma função ímpar Como cot (− x )=− cot x , para todo x real, com x ≠ k π ( k ∈ Z ), podemos afirmar que a função cotangente é ímpar. 6.10 Secante e cossecante de um arco Tome o arco α dado na figura abaixo: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Trigonometria 6-65 D P N α O MA S [Fig. 28]: Arco α para o conceito de secante e cossecante. Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto P, interceptamos o eixo das abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D. (Eq.29) sec α= OS . (Eq.30) cos sec α= OD . 6.10.1 Função secante e cossecante Função secante é a função que associa a cada arco x ∈ R , com x ≠ número sec x ∈ R , ou y = sec x π + k π ( k ∈ Z ), o 2 Função cossecante é a função que associa a cada arco x ∈ R , com x ≠ k π ( k ∈ Z ), o número cos sec x ∈ R , ou y = cos sec x . 6.10.2 Gráfico da função secante Para estudar a função secante ( y = sec x ) vamos variar x no intervalo [0,2π]. y 2 1,41 1,15 1 O A O π π π 6 4 3 π 2 π 3π 2 2π x 1 1,15 1,41 2 [Fig. 29]: Gráfico da função secante. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada 6.10.2.1 6-66 Trigonometria Conclusões • O domínio da função y = sec x é o conjunto dos números reais x ∈ R , com x ≠ π ( k ∈ Z ), isto é, D ={ x ∈ R / x ≠ + k π, k ∈ Z }. 2 π +k π 2 • A imagem da função y = sec x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou menores ou iguais a −1, isto é, Im ={ y ∈ R / y ≥1 ou y ≤−1}. • Toda vez que somamos 2 k π a um determinado valor de x , a função secante assume o mesmo va lor. Como 2π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y = sec x é p =2π. (Eq.31) sec ( x +2 k π)= sec x , k ∈ Z . 6.10.3 Gráfico da função cossecante Para estudar a função cossecante ( y = cos sec x ) vamos variar x no intervalo [0,2π]. y 2 1,41 1,15 1 O A O π π π 6 4 3 π 2 π 3π 2 2π x 1 1,15 1,41 2 [Fig. 30]: Gráfico da função cossecante. 6.10.3.1 Conclusões • O domínio da função y = cos sec x é o conjunto dos números reais x ∈ R , com x ≠ k π ( k ∈ Z ), isto é, D ={ x ∈ R / x ≠ k π, k ∈ Z }. • A imagem da função y = cos sec x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou menores ou iguais a −1, isto é, Im ={ y ∈ R / y ≥1 ou y ≤−1}. • Toda vez que somamos 2 k π a um determinado valor de x , a função cossecante assume o mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y = cos sec x é p =2π. (Eq.32) cos sec ( x +2 k π)= cos sec x , k ∈ Z . Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Trigonometria 6-67 6.11 Relações trigonométricas Será feito o estudo das relações que existem entre as funções trigonométricas, pois elas têm muitas aplicações na trigonometria e fora dela. Para as deduções das relações, tomaremos como base o ciclo trigonométrico e um ângulo α dado. eixo das tangentes D B C eixo das cotangentes PT N α O MA S [Fig. 31]: Funções trigonométricas no ciclo. Podemos identificar as funções trigonométricas no ciclo, em relação ao ângulo α: sen α= ON ; cos α= OM ; tan α= AT ; cot α= BC ; sec α= OS e cos sec α= OD . Analisando as funções no cic lo e fixando inicialmente o ângulo α, podemos fazer as seguintes mudanças, para facilitar o entendimento das relações trigonométricas: cα s se co α BD sec O F senα tanα α AC E cosα cot α 1 unidade [Fig. 32]: Funções adaptadas no ciclo. Com as novas adaptações, temos as seguintes funções: sen α= AB ; cos α= OA ; tan α= CD ; cot α= OE ; sec α= OD e cos sec α= OF . Daí tiram-se três triângulos semelhantes: ∆ OAB ≡∆ OCD ≡∆ OEF . F O B 1 senα α cosα A 1 O α se c α 1 D co s tanα C α O 2 α sec cotα 1 E 3 [Fig. 33]: Triângulos semelhantes. 6.11.1 Usando o teorema de Pitágoras • sen 2α+ cos 2 α=1; • tan 2α+1= sec 2α; Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada • cot 2α+1= cos sec 2α. Trigonometria 6-68 6.11.2 Usando semelhança entre triângulos Com base na figura acima, tome as seguintes proporções, dadas as razões entre os triângulos: secα 1 1 Razões do triângulo 2 para 1 : = ⇒ sec α= ; 1 cos α cos α tan α senα senα = ⇒ tan α= . 1 cos α cos α cos secα 1 1 Razões do triângulo 3 para 1 : = ⇒ cos sec α= ; 1 senα senα cot α cos α cos α = ⇒ cot α= . 1 senα senα cos secα secα secα Razões do triângulo 3 para 2 : = ⇒ cos sec α= ; 1 tan α tan α cot α 1 1 = ⇒ cot α= . 1 tan α tan α Com base nos três triângulos semelhantes da figura anterior, resolva os exercícios que seguem abaixo: Exercício 110 Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo 1 para 2 . 1 para 3 . 2 para 3 . Resolução: sen α= ; ............................ cos α= . ............................ Exercício 111 Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo Resolução: sen α= ; ............................ cos α= . ............................ Exercício 112 Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo Resolução: sec α= ; ............................ tan α= . ............................ Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Trigonometria 6-69 6.12 Identidades trigonométricas A igualdade sen 2 α+ cos 2α=1 é verdadeira para qualquer α pertencente aos domínios das funções seno e cosseno. Logo, ela é uma identidade trigonométrica. Quando temos uma igualdade, só podemos aceitá- la como identidade após uma prova, ou seja, após uma demonstração. Para fazer uma demonstração desse tipo, podemos nos valer de qualquer das relações dadas acima, que são identidades. 6.12.1 Processo para demonstrar identidades Considerando a igualdade, levaremos todas as funções envolvidas para uma razão equivalente em um dos três triângulos. Depois é só operar ambos os membros e chegar a uma mesma expressão. Nos exercícios seguintes, demonstre que as igualdades são identidades: Exercício 113 tan 2α⋅ sen 2 α= tan 2α− sen 2α F O B 1 senα α cosα A O 1 α se c α 1 D co tanα C α cα s se cotα O 2 1 E 3 Levar do triângulo 2 para 1 : tan 2α⋅ sen 2 α= tan 2α− sen 2α sen2 α sen2 α 2 ⋅ sen α= − sen 2α 2 2 cos α cos α 4 2 sen α sen α − sen2α cos 2 α = cos 2 α cos 2 α sen4 α sen2α( sen2 α) = cos 2 α cos 2 α sen4 α sen4 α = ⇒ C.Q.D. (como queríamos demonstrar). cos 2 α cos 2 α Resolução: Exercício 114 (1+ cot α)2 +(1− cot α)2=2⋅ cos sec 2 α F O B 1 senα α cosα A 1 Resolução: O α se c α 1 α sec co s D tanα C α O 2 Todas as funções já se encontram no triângulo Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) cotα 1 E 3 3 , basta desenvolver: Lauro Matemática Aplicada Exercício 115 Trigonometria 6-70 sec 2α+ cos sec 2 α= sec 2 α⋅ cos sec 2α F O B 1 senα α cosα A α se c α 1 O 1 Resolução: Levar do triângulo Exercício 116 senα cos α =1− cos secα secα D co s tanα C α O cotα 2 3 para 2 α sec 1 E 3 : F O B 1 senα α cosα A α se c α 1 O 1 D co s tanα C α O 2 3 Resolução: Levar dos triângulos Exercício 117 cos secα − senα = cot 3α secα − cos α e 2 α sec cotα 1 E 3 para 1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) : Lauro Matemática Aplicada Trigonometria 6-71 F O B 1 senα α cosα A α se c α 1 O 1 Resolução: Levar dos triângulos D co tanα C α O 2 1 e 2 cα s se cotα 1 E 3 para 3 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) : Lauro Matemática Aplicada Matrizes 7-72 7 Matrizes A tabela a seguir mostra o conceito obtido por sete alunos de matemática aplicada, durante o primeiro semestre. Estes conceitos equivalem a três notas parciais (P-1, P-2 e P-3) mais uma substitutiva (SUB). A média é obtida através da soma dos três mais altos conceitos divididos por três. O aluno será considerado aprovado se a média for maior ou igual a sete. Matemática Aplicada P-1 P-2 P-3 SUB. A.A.S. A.J.T. A.M.O. A.F.L. C.M.B. D.P.S. D.G.D. 4,3 8,0 3,9 4,9 5,7 9,4 4,0 8,6 7,4 5,1 8,3 8,3 10,0 8,6 6,5 8,7 9,0 5,4 4,1 10,0 8,4 5,9 7,2 7,3 7,6 9,9 OBS: Os nomes estão representados pelas inicias, para se preservar o anonimato dos alunos. [Fig. 34]: Tabela de notas. Para saber, por exemplo, que nota o aluno A.M.O. tirou na segunda parcial (P-2), procuramos o valor na 3a linha e na 2a coluna da tabela, que corresponde a 5,1. Pode-se representar esta tabela através de uma matriz, que fica da seguinte forma: 4 ,3 8 ,6 6 ,5 8,0 7 ,4 8,7 3,9 5,1 9,0 4,9 8,3 5,4 5,7 8,3 4,1 9,4 10,0 10,0 4,0 8,6 8, 4 5 ,9 4,3 8,6 6,5 0 ,0 8,0 7, 4 8,7 3,9 5,1 9,0 7 ,2 7 ,3 ou 4,9 8,3 5,4 5,7 8,3 4,1 7 ,6 9 ,9 9,4 10,0 10,0 4,0 8,6 8,4 0 ,0 5,9 0 ,0 7 ,2 7 ,3 . 7 ,6 9,9 0,0 7.1 Conceito de matriz Matrizes são tabelas retangulares utilizadas para organizar dados numéricos. Cada número é chamado de elemento da matriz, as filas horizontais são chamadas linhas e as verticais são chamadas colunas. No exemplo dado, a matriz tem 7 linhas e 4 colunas. Dizemos que essa é uma matriz do tipo 7×4 (lê-se: sete por quatro). De um modo geral, uma matriz A do tipo m × n ( m linhas e n colunas, m , n ∈ N ∗ ) é representada por: a11 a 21 A m× n = a31 M a m1 a12 a22 a32 M am 2 a13 L a1n a 23 L a 2n a33 L a3n M M am 3 L a m n Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada A matriz A também pode ser indicada por A = ai j ( )m × n Matrizes 7-73 ou A =( a i j ) com 1≤ i ≤ m e 1≤ j ≤ n . Exercício 118 ( )2× 3 tal que a i j =2 i + j . Escreva a matriz A = a i j Resolução: Logo, A =.......................................................... 7.1.1 Algumas matrizes especiais 4 0 0 0 0 5 B =(3 2 1), C = , D = 0 0 0 0 . 6 0 0 0 0 7 • B é uma matriz linha 1×3; • C é uma matriz coluna 4×1; • D é uma matriz nula 3×4 e pode ser representada por: D =0 3× 4 . 7.2 Matriz quadrada Uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas. Assim, uma matriz quadrada n × n é chamada de: matriz quadrada de ordem n . − 8 − 9 Exemplo: E = . E é matriz quadrada de ordem 2. 10 11 Numa matriz quadrada, os elementos a i j tais que i = j , formam a diagonal principal. A outra diagonal é chamada de diagonal secundária. Diagonal secundária a11 a21 A= a31 a41 a12 a13 a22 a23 a32 a33 a42 a43 a14 a24 a34 a44 Diagonal principal [Fig. 35]: Diagonais de uma matriz. 7.2.1 Matriz identidade Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Matrizes 7-74 Matriz identidade ou matriz unidade é toda matriz quadrada de ordem n (indicada por I n ) onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais, iguais a zero. 1 0 0 Exemplo: I 3 = 0 1 0 é matriz identidade de ordem 3. 0 0 1 7.2.2 Matriz diagonal Matriz diagonal é toda matriz quadrada de ordem n onde os elementos fora da diagonal principal são nulos. 1 0 1 0 0 − 2 0 0 0 0 0 − 2 Exemplo: As matrizes 0 1 0 , 0 5 0 , e 0 0 0 0 0 0 1 0 0 7 0 0 0 0 0 0 são diagonais. 3 0 0 − 4 7.2.3 Matriz oposta Dada uma matriz A , chamamos de matriz oposta de A (indicamos por − A ) a matriz que é obtida invertendo-se o sinal de cada um de seus elementos. Exercício 119 3 −5 1 Sendo A = 1 − 7 − 1 , determine sua oposta. − 2 4 9 Resolução: − A =................................................... 7.3 Igualdade de matrizes Duas matrizes de mesma ordem são iguais, se, e somente se, os elementos que ocupam a mesma posição são iguais. Exercício 120 Sabendo-se que A e B são matrizes iguais, determine os valores de x e y : 2 7 2 A= e B= 3x − 2 y − 8 1 x + y − 8 Resolução: x =................ e y =................. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Matrizes 7-75 7.3.1 Matriz transposta Dada uma matriz A de ordem m × n , denominamos transposta de A (indicamos por A ) a matriz de ordem n × m obtida trocando-se ordenadamente as linhas de A pelas coluna de A . t 1 4 1 2 3 t Exemplo: Seja A 2×3 = . A sua transposta é: A 3×2 = 2 5 . 4 5 6 3 6 Diz-se que uma matriz A de ordem n é matriz simétrica, se ela é igual a sua transposta At ( A é simétrica, então A = At ). 1 2 3 Exemplo: A = 2 4 5 = At . 3 5 6 7.4 Operações com matrizes 7.4.1 Adição de matrizes Dadas duas matrizes A e B , ambas de ordem m × n , dizemos que a soma da matriz A com a matriz B é a matriz S também de ordem m × n , tal que: (Eq.33) S = A + B ⇔ si j = a i j + bi j , com 1≤ i ≤ m e 1≤ j ≤ n . Exercício 121 − 3 0 2 5 −2 6 Efetuar a soma de A por B , sendo A = e B = . 4 − 7 1 − 1 4 − 3 Resolução: A + B =...................................................... 7.4.2 Subtração de matrizes Dadas duas matrizes A e B , ambas de ordem m × n , dizemos que a diferença entre a matriz A e a matriz B é a soma da matriz A com a oposta de B . A − B = A +(− B ). Exercício 122 − 3 0 2 5 −2 6 Efetuar a subtração ( A − B ), sendo A = e B= . 4 − 7 1 − 1 4 − 3 Resolução: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Matrizes 7-76 7.4.3 Produto de um número real por uma matriz Dada a matriz A de ordem m × n e um número real k , dizemos que o produto de k por A é a matriz B também de ordem m × n , tal que: (Eq.34) B = k ⋅ A ⇔ bi j = k ⋅ a i j , com 1≤ i ≤ m e 1≤ j ≤ n . − 3 0 2 5 −2 6 Dadas as matrizes A = e B= , determine o que se pede 4 − 7 1 − 1 4 − 3 nos exercícios a seguir. Exercício 123 Determine o valor de 5⋅ A . Resolução: 5⋅ A =......................................................................... Exercício 124 Determine 2⋅ A −3⋅ B . Resolução: 2⋅ A −3⋅ B =.................................................................................. Exercício 125 Determine o valor da matriz X , tal que 2 X −4 A +8 B =0. Resolução: X =................................................................................... Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Matrizes 7-77 7.4.4 Produto de matrizes Dadas as matrizes A de ordem m × p e B de ordem p × n , dizemos que o produto de A por B é a matriz C de ordem m × n . ( )m× p , B = (bk j )p× n e C = (ci j )m×n . A = aik OBS. 12: Os elementos ci j da matriz C são obtidos da soma dos produtos dos elementos da iésima linha de A pelos elementos correspondentes da p-ésima coluna de B . C = A B ⇒ ci j = ∑ (ai k ⋅ bk j ), com 1≤ i ≤ m e 1≤ j ≤ n . p (Eq.35) k =1 7.4.4.1 Conclusões • Só podemos multiplicar A por B se o número de colunas de A for igual ao número de linha de B ; • A matriz C , resultante da multiplicação de A por B , tem o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B ; • Então: C m× n = A m× p B p× n . Exercício 126 − 3 4 Determine o produto de A por B , sendo A = −1 − 2 Resolução: C = A B ⇒ ci j = ∑ (ai k ⋅ bk j ). 0 − 7 5 −1 2 1 e B = − 2 4 . 3 0 6 − 3 1 − 1 p k =1 A 4×3 B 3× 2 c11 c12 c 21 c 22 ⇒ C 4× 2 = c31 c32 c41 c 42 c 11=.................................................................................................................................................................................. c 12=.................................................................................................................................................................................. c 21=.................................................................................................................................................................................. c 22=.................................................................................................................................................................................. c 31=.................................................................................................................................................................................. c 32=.................................................................................................................................................................................. c 41=.................................................................................................................................................................................. c 42=.................................................................................................................................................................................. Logo, C =................................................................. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Matrizes 7-78 7.4.5 Matriz inversa Uma matriz quadrada A de ordem n é inversível se existir uma matriz B de ordem n tal que: (Eq.36) A ⋅ B = B ⋅ A = I n , sendo I n a matriz unidade (identidade). A matriz B denomina-se inversa da matriz A e indicamos por A−1 . Então: (Eq.37) A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I n . Exercício 127 2 −1 Determinar a matriz inversa da matriz A = . − 3 4 Resolução: a b −1 Tome A−1 = . Daí, desenvolvendo A ⋅ A = I 2 , temos: c d Logo, temos que: A−1 =........................................... Exercício 128 − 15 − 8 − 3 −1 Sendo A = − 9 − 5 − 2 e B = − 18 , resolva a equação matricial 3 1 5 52 −1 A X =B. Resolução: Não conhecemos a matriz A mas, sabemos que A−1 ⋅ A = I 3 e I 3 ⋅ X = X . Então: A X = B ⇒ multiplicando A−1 a esquerda aos dois membros da equação: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Matrizes 7-79 X =.................................... 1 (FURRN) Sejam as matrizes: A = 3 X e Y , tais que: X + Y = A − 2B 2X + Y = 2A + B Exercício 129 2 2 0 e B = . Determine as matrizes 4 4 1 Resolução: Logo: X =...................................................... e Y =....................................................... Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Determinantes 8-80 8 Determinantes Sendo A uma matriz de ordem n , pertencente ao conjunto das matrizes quadradas de elementos reais, chama-se determinante de A , representado por det A , ao número que se pode obter, operando com os elementos, de acordo com regras específicas. Na seqüência serão dadas algumas regras para cálculo de determinantes. 8.1 Determinante de 1 a ordem Se n =1, então A =[ a11 ]. (Eq.38) det A =| a11 |= a11 . a11 é o determinante da matriz de primeira ordem. Exercício 130 Calcular o determinante da matriz A =[−5]. Resolução: det A =......................................... 8.2 Determinante de 2 a ordem a12 a Se n =2, então A = 11 . O determinante pode ser obtido pela diferença entre o a 21 a22 produto da diagonal principal pela diagonal secundária. (Eq.39) det A = Exercício 131 a11 a12 = a11 ⋅ a 22 − a12 ⋅ a 21 . a21 a 22 1 2 Calcular o determinante da matriz A = . 3 4 Resolução: det A =............................ Exercício 132 Resolver a equação 2 5 x 1 = . x 5 4 x Resolução: S ={............... ,...............}. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Determinantes 8-81 8.3 Determinante de 3 a ordem 8.3.1 Regra de Sarrus SARRUS, cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS (1798 - 1861), foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de 1833. Para se obter o determinante de uma matriz quadrada de 3a ordem, utilizando a regra de Sarrus, pode-se proceder da seguinte forma: a11 a12 Tome a matriz A = a 21 a22 a31 a32 a13 a 23 . a33 • Reescrever a direita da 3a coluna, a 1a e a 2a colunas do determinante; • Efetuar os produtos em diagonal, atribuindo sinais positivos aos resultados à direita e sinais negativos para os resultados à esquerda; • Efetuar a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada. a11 a12 a21 a 22 a13 a23 a11 a12 a21 a22 a31 a33 a31 a32 a32 Trocar os sinais dos produtos Conservar os sinais dos produtos [Fig. 36]: Determinante pela regra de Sarrus. (Eq.40) det A = a11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a13 ⋅ a 21 ⋅ a 32 − a13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 − a11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 − a12 ⋅ a 21 ⋅ a 33 Exercício 133 1 2 3 Calcular o determinante da matriz A = 4 5 6 . 7 8 9 Resolução: det A =...................... Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Determinantes 8-82 1 4 3 Exercício 134 Resolver a equação 2 x 6 =0. 4 0 x Resolução: S ={............... ,...............}. 8.4 Determinante de ordem maior que 3 a11 a12 Considere a matriz A = a 21 a22 a31 a32 a13 a 23 . a33 8.4.1 Menor complementar O menor complementar do elemento a i j da matriz A é o determinante da matriz quadrada que se obtém de A , suprimindo a linha i e a coluna j . Indica-se por Di j . Considerando a matriz A acima, determinar o menor complementar dos elementos a 21 e a 22 . Exercício 135 Resolução: Menor complementar de a 21 : D21 = Menor complementar de a 22 : D22 = 8.4.2 Cofator ou complemento algébrico O cofator de um elemento a i j da matriz A é o produto ( −1)i+ j ⋅ Di j . Indica-se por Ai j . (Eq.41) Ai j = ( −1)i+ j ⋅ Di j Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Determinantes 8-83 Exercício 136 Considerando a matriz A acima, determinar o cofator dos elementos a 21 e a 22 . Resolução: Cofator a 21 : A21 =...................................................................................................................................... Cofator a 22 : A2 2 =...................................................................................................................................... 8.4.3 Conclusões Considere um elemento de posição a i j da matriz A : • Quando i + j é IMPAR, o cofator de a i j é o OPOSTO do menor complementar; • Quando i + j é PAR, o cofator de a i j é IGUAL ao menor complementar. Nos exercícios a seguir, determinar o que se pede em relação à matriz − 1 4 − 3 A = 8 − 5 − 2 . 2 3 1 Exercício 137 Encontre o menor complementar do elemento (−5). Resolução: (−5) encontra-se na posição onde i =............ e j =............, logo, procura-se D........ . Logo: O menor complementar do elemento (−5) é ........................ Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Exercício 138 Encontre o cofator do elemento (−5). Determinantes 8-84 Resolução: (−5) encontra-se na posição onde i =............ e j =............, logo, procura-se A........ . O cofator do elemento (−5) é ....................... . Exercício 139 Encontre o menor complementar do elemento (8). Resolução: (8) encontra-se na posição onde i =............ e j =............ , logo, procura-se D........ . Logo: O menor complementar do elemento (8) é ........................ Exercício 140 Encontre o cofator do elemento (8). Resolução: (8) encontra-se na posição onde i =............ e j =............ , logo, procura-se A........ . O cofator do elemento (8) é ........................ 8.4.4 Teorema de Laplace Tome uma matriz A de ordem n com n ≥2. O determinante da matriz A é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz pelos respectivos cofatores. Calcular o determinante da matriz: 1 0 3 − 2 2 1 4 − 1 A= − 3 0 5 0 − 1 2 1 2 Exercício 141 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Determinantes 8-85 a Resolução: Observando a matriz, verificamos que na 2 coluna e na 3a linha aparecem 2 elementos nulos. Para o cálculo do det A iremos tomar como base a 2a coluna. det A =0⋅ A12 +1⋅ A22 +0⋅ A32 +2⋅ A42 det A = A22 +2⋅ A42 det A =............................ Exercício 142 0 2 3 2 Dada a matriz A = − 5 1 4 −4 3 0 3 1 0 4 , calcule det A . 2 0 Observando a matriz A , verificamos que na 1a linha e na 4a coluna aparecem 2 elementos nulos. Para o cálculo do det A iremos tomar como base a 1a linha. Se for considerada a 4a coluna, o trabalho será equivalente. det A = Resolução: det A =........................... Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Exercício 143 1 x Resolva a equação 1 1 Determinantes 1 x2 2 1 5 0 0 0 8-86 1 1 =0. 1 1 Resolução: x =.................. 8.4.5 Teorema de Binet Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então: (Eq.42) det ( A ⋅ B )= det A ⋅ det B 8.4.6 Determinante da matriz inversa Sendo A uma matriz quadrada inversível de ordem n ( n ≥2), temos: A ⋅ A−1 = I ⇒ det ( A ⋅ A−1 )= det I Como det ( A ⋅ A−1 )= det A ⋅ det A−1 e det I =1, temos que: det A ⋅ det A−1 =1 (Eq.43) det A−1 = Exercício 144 1 , tal que det A ≠0. det A 5 0 − 1 Sendo A = 2 3 4 , calcule o determinante da matriz inversa de A . 1 2 3 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Resolução: det A−1 = Determinantes 8-87 1 det A det A−1 =...................... Exercício 145 senx cos x 0 1 senx cos x 0 0 e sendo 0≤ x ≤2π, calcule x para que Dada a matriz A = senx 1 0 0 0 1 0 0 A seja inversível. Ache também det A−1 . Resolução: Para que A seja inversível, devemos ter det A ≠0. Então, para que A seja inversível devemos ter: Cálculo do det A−1 : ............................................................................................. det A−1 =........................................................ Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Sistemas lineares 9-88 9 Sistemas lineares 9.1 Equação linear Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1 , x 2 , x3 , …, x n , como sendo a equação da forma a1 x1 + a 2 x 2 + a 3 x3 +…+ a n x n = b onde a1 , a 2 , a 3 , …, a n e b são números reais ou complexos. a1 , a 2 , a 3 , …, a n são denominados coeficientes e b , termo independente. Quando o termo independente b for igual a zero, a equação linear denominase: EQUAÇÃO LINEAR HOMOGÊNEA. OBS. 13: Exercício 146 Determinar o que se pede, em relação a equação linear −3 x1 +2 x 2 − x3 =7. Resolução: Coeficientes:..............................................................; Incógnitas: ..................................................................; Termo independente: .......................................... . 9.1.1 Solução de uma equação linear 9.1.1.1 Equação linear com 1 variável Já estamos acostumados a resolver equações lineares de uma incógnita (variá vel), que são as equações de primeiro grau. Exemplo: • 2 x +5=11 • Solução: x =3 ou S ={3}. A solução é única. 9.1.1.2 Equação linear com 2 variáveis Se tivermos uma equação com duas incógnitas (variáveis), a solução não é única, já que podemos ter um número infinito de pares ordenados que satisfazem a equação. Exemplo: • x + y =20 • Solução: x =1 e y =19, par ordenado (1,19); x =2 e y =18, par ordenado (2,18); x =32 e y =−12, par ordenado (32,−12); e assim por diante. Podemos colocar como solução os termos ordenados: (1,19), (2,18), (32,−12), …, ou seja: Existem infinitas soluções. 9.1.1.3 Equação linear com 3 variáveis Como na anterior, podemos ter como exemplo: • 2 x +3 y − z =15 • Solução: (1,2,−7), (3,4,3), … Existem infinitas soluções. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Sistemas lineares 9-89 9.1.1.4 Equação linear com 4 variáveis Sabendo que Si ( i =1,2,3,4) pertence ao conjunto solução S da equação linear x1 −2 x 2 − x3 +3 x 4 =−4, determinar o que se pede nas soluções Si abaixo: Exercício 147 Resolução: S 1 : (................,1,2,3); S 2 : (−4,7,−8, ................); S 3 : (−2, ................ ,5,−1); S 4 : (1,2, ................ ,4). Com o intuito de treinar, faça os três exercícios seguintes baseados no enunciado do exercício anterior. Apenas serão consideradas equações diferentes. Exercício 148 −2 x1 +3 x 2 + x3 −4 x 4 =13. Resolução: S 1 : (................,1,2,3); S 2 : (−4,7,−8, ................); S 3 : (−2, ................ ,5,−1); S 4 : (1,2, ................ ,4). Exercício 149 8 x1 +4 x 2 −9 x3 +11 x 4 =24. Resolução: S 1 : (................,1,2,3); S 2 : (−4,7,−8, ................); S 3 : (−2, ................ ,5,−1); S 4 : (1,2, ................ ,4). Exercício 150 −7 x1 − x 2 +5 x3 −3 x 4 =−28. Resolução: S 1 : (................,1,2,3); S 2 : (−4,7,−8, ................); S 3 : (−2, ................ ,5,−1); S 4 : (1,2, ................ ,4). 9.2 Sistema linear Consideramos sistema linear um conjunto de m equações lineares com n incógnitas ( x1 , x 2 , x3 , …, x n ) que pode ser representado da seguinte forma: a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 + … + a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 + … + a 2n x n = b 2 a 31 x1 + a 32 x 2 + a 33 x3 + … + a3n x n = b 3 M M M M M a m1 x1 + a m 2 x 2 + a m 3 x3 + … + a m n x n = b m Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Sistemas lineares • Os termos a i j ( i =1,2,…, m e j =1,2,…, n ) são denominados coeficientes; 9-90 • Os termos bi ( i =1,2,…, m ) são os termos independentes. • O conjunto ordenado S =(α 1 , α 2 , α3 , …, α n ) será considerado solução do sistema linear se, e somente se, satisfizer simultaneamente todas as m equações lineares. • Se todos os termos independentes das equações são nulos, o sistema linear será dito HOMOGÊNEO. Uma solução para o sistema linear homogêneo é o conjunto ordenado (0,0,0,…,0), chamada solução trivial. Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não trivial. Exemplo de sistema linear homogêneo: 2 x1 − x 2 + 4 x3 = 0 x1 + 3 x 2 − 5 x3 = 0 Solução trivial: (0,0,0) Solução não-trivial: (1,−2,−1) 3 x1 − 2 x 2 + 7 x3 = 0 9.2.1 Sistemas lineares equivalentes Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes se têm o mesmo conjunto solução S. Exercício 151 Calcular a e b , de modo que os sistemas sejam equivalentes: x − y = 1 2x + y = 5 e a x − b y = −1 bx + a y = 2 Resolução: Resolvendo o primeiro sistema, temos: O conjunto solução é S ={(..........,..........)}. Substituindo o conjunto solução S no segundo sistema, temos: Logo: a =.......... e b =........... Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada 9-91 Sistemas lineares 9.3 Classificação de um sistema linear Os sistemas lineares são classificados quanto ao número de soluções da seguinte forma: Sistema linear Possível Impossível Determinado Indeterminado • Sistema linear POSSÍVEL e determinado (SPD): é o sistema que admite uma ÚNICA solução. • Sistema linear POSSÍVEL e indeterminado (SPI): é o sistema que admite INFINITAS soluções. • Sistema linear IMPOSSÍVEL (SI): é o sistema que NÃO ADMITE SOLUÇÃO. 9.4 Matrizes associadas a um sistema linear Considere um sistema linear de m equações com n incógnitas: a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 + … + a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 + … + a 2n x n = b 2 a 31 x1 + a 32 x 2 + a 33 x3 + … + a3n x n = b 3 M M M M M a m1 x1 + a m 2 x 2 + a m 3 x3 + … + a m n x n = b m Podemos associar a ele as seguintes matrizes: Matriz completa do sistema: Matriz incompleta do sistema ou ma triz dos coeficientes: a11 a12 a13 … a1n b1 a 21 a 22 a 23 … a 2n b2 a 31 a 32 a 33 … a3n b3 M M M M M a m1 am2 am3 amn bm … e a11 a12 a13 … a1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a3n M M M a m1 am2 am3 M … amn 9.4.1 Forma matricial do sistema linear Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Sistemas lineares 9-92 O sistema também pode ser escrito em sua forma matricial A ⋅ X = B , onde A é a matriz dos coeficientes, X o vetor coluna das incógnitas e B o vetor coluna dos termos independentes. a11 a12 a13 … a1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a3n M M M a m1 am2 am3 M … amn ⋅ x1 x2 x3 M xn = b1 b2 b3 M bm Notação simplificada: A ⋅ X = B . Se a matriz incompleta do sistema (matriz dos coeficientes) for uma matriz quadrada, o seu determinante det A é dito determinante do sistema. Se det A ≠0, então a matriz A é inversível, isto é, existe A−1 , inversa de A . Daí, podemos multiplicar a equação matricial, à esquerda, por A−1 : A−1 ⋅ A ⋅ X = A−1 ⋅ B I ⋅ X = A−1 ⋅ B X = A−1 ⋅ B Portanto, se det A ≠0, o sistema admite solução única e é possível e determinado (SPD). 9.5 Regra de Cramer Gabriel Cramer, matemático e astrônomo suíço (1704 a 1752). A regra de Cramer é empregada para resolver um sistema linear em que o número de equações é igual ao número de incógnitas. Considere um sistema de 3 equações e 3 incógnitas: a11 x + a12 y + a13 z = b1 a 21 x + a 22 y + a 23 z = b 2 a 31 x + a 32 y + a 33 z = b 3 Consideramos o determinante da matriz dos coeficientes por DA : a11 a12 a13 DA = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Sistemas lineares 9-93 Os determinantes Dx , D y e Dz que se obtêm de DA substituindo, respectivamente, a a 1 coluna (dos coeficientes de x ), a 2a coluna (dos coeficientes de y ) e a 3a coluna (dos coeficientes de z ) pela coluna dos termos independentes. b1 a12 a13 a11 b1 a13 a11 a12 b1 Dx = b 2 a 22 a 23 D y = a 21 b2 a 23 Dz = a 21 a 22 b2 b3 a 32 a 33 a 31 b3 a 33 a 31 a 32 b3 Se DA ≠0, então o sistema é possível e determinado. Os valores das incógnitas são dados por: • x= Dx DA • y= Dy • z= DA Dz DA Portanto, o conjunto solução S é dado por S ={( x , y , z )}, que é: D Dy D z S = x , , . D A DA D A De uma forma geral, um sistema linear de n equações com n incógnitas X =( x1 , x 2 , x3 ,…, x n ), cujo determinante DA da matriz das incógnitas é diferente de zero, é possíve l e determinado. D D D D O conjunto solução desse sistema é S = 1 , 2 , 3 ,…, n , em que Di é o D A D A D A D A determinante que se obtém de DA substituindo a i-ésima coluna (dos coeficientes de xi ) pela coluna dos termos independentes. Exercício 152 Utilizando a regra de Gramer, determinar o conjunto solução S do sistema a seguir. x + 2y − z = 2 2x − y + 3z = 9 3x + 3 y − 2z = 3 Resolução: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Sistemas lineares 9-94 Portanto, o conjunto solução S é dado por S ={( x , y , z )}, que é: S ={(...............,...............,...............)}. 9.6 Resolução de um sistema linear por escalonamento Considere novamente o sistema linear de m equações com n incógnitas: a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 + … + a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 + … + a 2n x n = b 2 a 31 x1 + a 32 x 2 + a 33 x3 + … + a3n x n = b 3 M M M M M a m1 x1 + a m 2 x 2 + a m 3 x3 + … + a m n x n = b m Sua forma matricial é dada por A ⋅ X = B . a11 a12 a13 … a1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a3n M M M a m1 am2 am3 M … amn ⋅ = x1 x2 x3 M xn b1 b2 b3 M bm Considere a matriz completa do sistema ou matriz aumentada do sistema, representada por C : C =[ A : B ]= a11 a12 a13 … a1n b1 a 21 a 22 a 23 … a 2n b2 a 31 a 32 a 33 … a3n b3 M M M M M a m1 am2 am3 amn bm … A solução do sistema linear é dada por: X =( x1 , x 2 , x3 , …, x n ). Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Sistemas lineares 9-95 Caso m > n , bastam n equações linearmente independentes para se resolver o sistema. Caso m < n , o sistema é indeterminado com n − m variáveis livres. Para o escalonamento, vamos considerar um sistema com n equações e n incógnitas. O processo apresentado pode ser desenvolvido de forma análoga para os outros casos. Então, tome um sistema linear A ⋅ X = B de ordem n . Com ( n −1) passos, o sistema linear A ⋅ X = B é transformado num sistema triangular superior equivalente. Tome det A ≠0 como hipótese. A ⋅ X = B ≈ U ⋅ X = D , o que se resolve por substituição. [ A : B ] ≈ [U : D ] a11 a 21 M a m1 a12 L a1n b1 u11 u12 L u1n a 22 L a2n b2 0 u 22 L u2n ≈ M M M M M M am 2 L am n bm 0 0 L u nn d1 d 2 . M dn Seja C0 =[ A : B ] e Ck =[ U : D ] após k conjuntos de operações elementares aplicadas sobre C0 . C0 = (0 ) a11 ( 0) a12 ( 0) a13 … ( 0) a1n b1(0 ) a (210) a (220) a (230) … a (2n0) ) b (0 2 a (310) a (320) a (330) … a (3n0) ) b (0 3 M M M M M a (n01) a (n02) a (n03) a (nn0) ) b (0 n … (0 ) (0 ) • Etapa 1: em C0 , tome L(i 0) , com i =1,2,3,…, n como as linhas de C0 e a11 ( a11 ≠0) como pivô e calculam-se os multiplicadores m(i10) ( i =2,3,…, n ). i =2 ⇒ m(210) = − i =3 ⇒ m(310) = a(210) ; ( 0) a11 ( 0) a31 − ( 0) ; a11 M i = n ⇒ mn(01) = − (0 ) an1 (0 ) . a11 Operações elementares nas linhas L(i 0+1) ( i =1,2,3,…, n ). ) ( 0) i =1 ⇒ L(1 1 ← L1 ; i =2 ⇒ L(12) ← m(210) ∗ L(10) + L(20) ; i =3 ⇒ L(13) ← m(310) ∗ L(10) + L(30) ; M Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Sistemas lineares 9-96 ) i = n ⇒ L(1n ) ← mn(01) ∗ L(10) + L(0 n . Sendo L(1i ) ( i =1,2,3,…, n ) as linhas da matriz B1 . (0 ) ⇒ Anulam-se todos os valores abaixo do pivô a11 . Assim, obtém-se C1 , que é dada por: C1 = (1) a11 (1) a12 (1) a13 … (1) a1n b1(1) 0 (1) a 22 (1) a 23 … (1) a 2n ) b (1 2 0 (1) a 32 (1) a 33 … (1) a 3n ) b (1 3 M M M M M 0 a n(12) a n(13) (1) a nn ) b (1 n … (1) (1) • Etapa 2: Repete-se o processo para o próximo pivô a 22 ( a 22 ≠0), situado na diagonal da ) matriz C1 e calculam-se os multiplicadores mi(12) ( i =3,…, n ). Sendo a (1 22 o pivô em C1 , tome L(1i ) , com i =1,2,3,…, n . (1 ) i =3 ⇒ m32 =− i =4 ⇒ (1) m42 = − (1 ) a32 ; 1) a(22 (1 ) a42 (1 ) ; a22 M i = n ⇒ mn(12) = − (1 ) an 2 (1 ) . a22 Operações elementares nas linhas L(i1+1) ( i =1,2,3,…, n ). ) i =1 ⇒ L(12) ← L(1 1 ; i =2 ⇒ L(22) ← L(12) ; (1 ) i =3 ⇒ L(32) ← m32 ∗ L(12) + L(13) ; M ) (1) (1) (1) i = n ⇒ L(2 n ← mn 2 ∗ L2 + Ln . (1) ⇒ Anulam-se todos os valores abaixo do pivô a 22 . Assim, obtém-se C2 , que é dada por: C2 = ( 2) a11 ( 2) a12 ( 2) a13 … ( 2) a1n b1(2 ) 0 a (222) a (232) … a (2n2) ) b (2 2 0 0 a (332) … a (3n2) ) b (2 3 M M M M M 0 0 a (n23) a (nn2) ) b (2 n … Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Sistemas lineares 9-97 • Etapa 3, etapa 4, …, etapa k =( n −1): Repete-se o processo para os próximos pivôs a (iii−1) ( a (iii−1) ≠0), situado na diagonal da matriz Ci com i =3,4,…,( n −1). Assim, na etapa k , obtém-se a matriz Ck =[ U : D ] que é equivalente à matriz C0 =[ A : B ]. Ck = (k) a11 (k) a12 (k) a13 … a1(nk ) ) b (k 1 0 a (22k ) a (23k ) … a (2kn) b (k2 ) 0 0 (k) a33 … a3( kn) ) b (k 3 M M M M M 0 0 0 a (nnk ) b (kn ) … Resolvendo U ⋅ X = D por substituição retroativa, tem-se X que também é solução para o sistema A ⋅ X = B . Exercício 153 Utilizando o escalonamento, determinar o conjunto solução S do sistema a seguir. 2x + 3 y − z = 0 6 x − 3 y + z = −8 4x + y + 2z = 6 Resolução: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Sistemas lineares 9-98 Portanto, o conjunto solução S é dado por S ={( x , y , z )}, que é: S ={(..............,..............,..............)}. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-99 Matemática Aplicada 10 Geometria 10.1 Polígonos Diz-se que um polígono é convexo se, quaisquer que sejam os pontos x e y do seu interior, o segmento de reta x y está inteiramente contido em seu interior. Definição 42 y x x y [Fig. 37]: Polígono convexo e polígono côncavo. Fica subentendido que toda referencia de polígono de agora em diante, será de polígono convexo, salvo menção contrária. OBS. 14: A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por Si =180 ( n −2). Teorema 1 o A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é igual a 2340o . Quantos lados têm esse polígono? Exercício 154 Resolução: Esse polígono tem ..................... lados. 10.1.1 Polígonos regulares Um polígono é regular se, e somente se: i) todos os seus lados são congruentes; ii) todos os seus ângulos internos são congruentes. Definição 43 α α α α α α [Fig. 38]: Hexágono regular: 6 lados congruentes e 6 ângulos congruentes. 10.1.2 Área do triângulo Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-100 Matemática Aplicada 10.1.2.1 Área de um triângulo em função de um lado e da altura relativa a ele A A b ha B A c hc hb C a B C B C [Fig. 39]: Área 1 do triângulo. S∆ = (Eq.44) S∆ = a ⋅ ha 2 base × altura 2 S∆ = b ⋅ hb 2 S∆ = c ⋅ hc 2 10.1.2.2 Área de um triângulo em função de dois lados e do ângulo compreendido A c B h A b c C a h B B H C [Fig. 40]: Área 2 do triângulo. No triângulo retângulo A B H , temos: sen B̂ = h ⇒ h = c ⋅ sen B̂ . c Substituindo h por c ⋅ sen B̂ na fórmula da área do triângulo A B C , obtemos: S∆ = a⋅h a ⋅ c ⋅ senBˆ ⇒ S∆ = . 2 2 Logo, a área do triângulo A B C em função de dois lados e do ângulo compreendido entre esses dois lados pode ser dada da seguinte forma: (Eq.45) S∆ = a ⋅ b ⋅ senCˆ a ⋅ c ⋅ senBˆ b ⋅ c ⋅ senAˆ , S∆ = ou S∆ = 2 2 2 10.1.2.3 Área de um triângulo em função dos três lados (Fórmula de Herão) A c B b a Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) C Lauro Geometria 10-101 Matemática Aplicada [Fig. 41]: Área 3 do triângulo. (Eq.46) S∆ = p ( p − a )( p − b )( p − c ) onde p é o semi-perímetro do triângulo A B C . Então: p = a +b +c . 2 A dedução desta e outras fórmulas dadas a seguir podem ser encontradas em BEZERRA, Matemática de 2o grau (Volume único), editora scipione. OBS. 15: Exercício 155 Calcule a área do triângulo A B C da figura. A 25 17 B 8 H C Resolução: S∆ =.......................... u.a. Sabendo-se que o triângulo A B C abaixo é eqüilátero de lado l =6, calcular a área do quadrilátero A M N C . Dados: A M =2 e B N =3. Exercício 156 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-102 Matemática Aplicada A 6 4 B M 6 S 60o 3 N 6 C Resolução: S =............................. u.a. 10.1.2.4 Cálculo dos raios das circunferências inscrita e circunscrita num triângulo A c B r r I r b C a [Fig. 42]: Raio da circunferência inscrita. O ponto I é o incentro do triângulo A B C , encontro das bissetrizes. OBS. 16: (Eq.47) S∆ = p ⋅ r , onde p = a +b +c 2 A c R R G B b R a C [Fig. 43]: Raio da circunferência circunscrita. O ponto G é o circuncentro do triângulo A B C , encontro das mediatrizes. OBS. 17: (Eq.48) S∆ = a⋅b⋅c 4R Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-103 Matemática Aplicada 10.1.3 Área do paralelogramo C D A D h1 a B a h2 b C A b [Fig. 44]: Área do paralelogramo. (Eq.49) S p = a ⋅ h 1 ou S p = b ⋅ h 2 10.1.4 Área dos paralelogramos notáveis • Área do retângulo: b a [Fig. 45]: Retângulo. (Eq.50) SR = a ⋅ b • Área do losango: h D l d [Fig. 46]: Losango. (Eq.51) S L = l ⋅ h ou S L = D⋅d 2 • Área do quadrado: a a Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro B Geometria 10-104 Matemática Aplicada [Fig. 47]: Quadrado. (Eq.52) SQ = a ⋅ a = a 2 Calcule as medidas dos lados de um paralelogramo sabendo que suas alturas medem 2 e 3 metros respectivamente e que seu perímetro é igual a 20 metros. Exercício 157 h2 A D b h1 a B C Resolução: Os lados do paralelogramo são: ................ e ................ metros. 10.1.5 Área do trapézio A b D h B a C [Fig. 48]: Trapézio. (Eq.53) ST = (a + b ) ⋅ h 2 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Geometria 10-105 Exercício 158 Na figura abaixo, M e N são os pontos médios dos lados A D e B C do trapézio A B C D . Calcule a área desse trapézio, sabendo que a área do trapézio A B N M é igual a 18. A 5 B 18u.a. x M D N 9 h C Resolução: S ABCD =............................ u.a. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-106 Matemática Aplicada 10.1.6 Área e comprimento de um círculo r O [Fig. 49]: Círculo. • A área de um círculo é dada por SC : (Eq.54) SC =π r 2 • O comprimento de um círculo é dado por C : (Eq.55) C =2π r 10.1.7 Área da coroa circular r O R [Fig. 50]: Coroa circular. (Eq.56) Scoroa =π( R 2 − r 2 ) Na figura abaixo, A B é uma corda da circunferência ma ior tangente à circunferência menor. Calcular a área da coroa circular, sabendo-se que A B =6 cm. Exercício 159 6 A B r O R Resolução: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-107 Matemática Aplicada Scoroa =....................................... u.a. 10.1.8 Área do setor circular B α O r A [Fig. 51]: Setor circular. Setor circular é a intersecção de um círculo qualquer com um ângulo também qualquer que tenha seu vértice no centro do círculo. (Eq.57) S setor = αr 2 , sendo α considerado em radianos. 2 10.1.9 Área do segmento circular Segmento circular é qualquer uma das duas partes em que um círculo fica dividido por uma corda qualquer. [Fig. 52]: Segmento circular. • 1o Caso: O segmento circular não contém o centro do círculo. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-108 Matemática Aplicada B A α O [Fig. 53]: Área do segmento circular que não contém o centro. (Eq.58) S seg = S setor − S ∆AOB • 2o Caso: O segmento circular contém o centro do círculo. B A O α [Fig. 54]: Área do segmento circular que contém o centro. (Eq.59) S seg = S setor + S ∆AOB A B C D é um quadrado de lado 8 metros. Os arcos de circunferência têm centros em A e C . Calcular a área da região indicada no desenho abaixo. Exercício 160 B A 8 S D 8 C Resolução: S =................................................ u.a. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-109 Matemática Aplicada 10.2 Geometria espacial 10.2.1 Poliedros Poliedro é um sólido limitado por polígonos planos, de modo que: • Dois desses polígonos não estão num mesmo plano; • Cada lado de um polígono é comum a dois e somente dois polígonos. E F A D B face vértices C E F A D B aresta C [Fig. 55]: Poliedro. • Os polígonos são as faces do poliedro. • Os lados e os vértices dos polígonos são, respectivamente, arestas e vértices do poliedro. Um poliedro se diz convexo se, em relação a qualquer de suas faces, está todo situado num mesmo semi-espaço determinado pelo plano que contém esta face. Caso contrário, o poliedro é dito não-convexo. G G F E A D E F C B A D B H C [Fig. 56]: Poliedros convexos. K L G H E I J F D A B C [Fig. 57]: Poliedro não-convexo. Nesta última figura, o plano que contém a face FGLI não deixa as demais faces num mesmo semi-espaço. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Geometria 10-110 De acordo com o número de faces, os poliedros convexos possuem nomes especiais. A tabela a seguir mostra alguns deles. No de faces Nome do poliedro 4 tetraedro 5 pentaedro 6 hexaedro 7 heptaedro 8 octaedro 12 dodecaedro 20 icosaedro • Lema de Euler: em toda superfície poliédrica aberta simples, sendo V o número de vértices, A o de arestas e F o de faces, verifica-se a relação: (Eq.60) V−A+F=1 E F A D B F face C E F A D B V vértices C A aresta [Fig. 58]: Teorema de Euler. Teorema de Euler: Em todo poliedro convexo, o número de arestas mais dois é igual à soma do número de faces com o número de vértices. Teorema 2 (Eq.61) A+2=F+V OBS. 18: Aresta: (A≥6), face: (F≥4) e vértice: (V≥4). Exercício 161 Quantas arestas tem um poliedro com 7 faces e 9 vértices? Resolução: São ............... arestas. Exercício 162 Num poliedro existem 8 vértices a menos do que arestas. Qual é o número de faces? Resolução: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Geometria 10-111 São ............... faces. Um poliedro tem 40 arestas e o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces têm esse poliedro? Exercício 163 Resolução: São ............... faces. Um poliedro tem 6 faces triangulares, 4 faces pentagonais e 5 faces quadrangulares. Qual é o número de vértices, arestas e faces? Exercício 164 Resolução: São ............... vértices, ............... arestas e ............... faces. 10.2.2 Poliedros regulares Existem polígonos regulares planos com um número qualquer de lados. Porém, o número de poliedros regulares é limitado em 5. Um poliedro convexo se diz regular quando suas faces são polígonos regulares congruentes entre si, e seus ângulos poliédricos também são congruentes. Os cinco poliedros regulares e suas respectivas planificações: • Tetraedro regular: 4 faces triangulares 4 vértices 6 arestas Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Geometria 10-112 [Fig. 59]: Tetraedro regular. • Hexaedro regular ou cubo: 6 faces quadrangulares 8 vértices 12 arestas [Fig. 60]: Hexaedro regular. • Octaedro regular: 8 faces triangulares 6 vértices 12 arestas [Fig. 61]: Octaedro regular. • Dodecaedro regular: 12 faces pentagonais 20 vértices 30 arestas Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Geometria 10-113 [Fig. 62]: Dodecaedro regular. • Icosaedro regular: 20 faces triangulares 12 vértices 30 arestas [Fig. 63]: Icosaedro regular. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-114 Matemática Aplicada 10.2.3 Prismas Considere a figura abaixo, contendo os dois planos α e β, paralelos entre si. E D A B C β h E A α D B C [Fig. 64]: Prismas. • Denomina-se prisma a reunião de todos os segmentos de reta paralelos à reta DD' , com uma extremidade num ponto do polígono ABCDE e a outra no plano β. 10.2.3.1 Elementos de um prisma • Vértices: são os pontos A , B , C , …, D' e E' . • Bases: são os polígonos ABCDE e A' B' C' D' E ' que estão contidas nos planos paralelos α e β. • Altura: é a distância h dos planos que contêm as bases do prisma. • Arestas das bases: são os lados das bases ( AB , BC , CD , …, D' E ' e E' A' ). • Arestas laterais: são os segmentos que unem os vértices correspondentes das bases ( AA' , BB' , CC' , DD ' e EE' ). • Faces laterais: são os paralelogramos ABB ' A' , BCC'B' , CDD 'C' , DEE ' D' e EAA' E' . As bases do prisma também são consideradas faces. • Diagonal: é o segmento BE ' ou qualquer outro que une dois vértices não pertencentes a uma mesma face. 10.2.3.2 Prisma regular Um prisma é considerado reto se as arestas laterais forem perpendiculares aos planos das bases. Caso contrário, o prisma é oblíquo. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Geometria 10-115 [Fig. 65]: Prisma reto e prisma oblíquo. • Um prisma reto cuja base é um polígono regular é denominado prisma regular. 10.2.3.3 Área da superfície de um prisma Considere o prisma reto pentagonal a seguir com sua representação planificada. [Fig. 66]: Prisma reto pentagonal e planificação. • Área da base ( Sb ): é a ares de um dos polígonos das bases. Ex: área do pentágono. • Área lateral ( Sl ): é a soma das áreas de todas as faces laterais. Ex: 5 vezes S retângulo . • Área total ( S t ): é a soma da área lateral e das áreas das bases. S t = Sl +2 Sb . Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Geometria 10-116 Exercício 165 Calcular a área total de um prisma triangular regular, cuja aresta da base mede 8 metros e cuja altura é igual a 16 metros. 8 8 8 60o 8 8 16 16 8 8 8 8 8 Resolução: S t = ................................................... m2 . Uma fábrica de chocolates, também fabrica a embalagem para um de seus produtos. Esta embalagem é uma caixa de bombons em forma de prisma hexagonal regular. Sabendo que a altura da caixa é de 10 cm e que o lado do polígono da base mede 12 cm, calcule a área de papelão necessária para se construir essa embalagem. Calcule a área total sem considerar o material utilizado para a colagem. Exercício 166 Resolução: Planificação da caixa: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Geometria 10-117 S t = ..................................................... cm2 . Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-118 Matemática Aplicada O governo dos Estados Unidos resolveu pintar um dos prédios conhecido como pentágono. Supondo que o prédio tenha as medidas de acordo com a figura a seguir, calcular a área externa para que se possa fazer a pintura. Considere tan 54o =1,376. Exercício 167 50m 80m 30m Resolução: S t =........................................ m2 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-119 Matemática Aplicada 10.2.3.4 Volume de um prisma O volume de um prisma é igual ao produto da área da base pela altura. h Sb Sb [Fig. 67]: Volume de um prisma. (Eq.62) V p = Sb ⋅ h A aresta da base de um prisma triangular regular mede 6 metros e a altura mede 12 3 metros. Calcular o volume deste prisma. Exercício 168 Resolução: V p =.............................. m3 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Geometria 10-120 Exercício 169 Determine o volume do prisma oblíquo da figura a seguir, sabendo que sua base é um pentágono regular. Caso necessite, considere tan 54o =1,376 e 3 =1,732. 14m o 60 6m Resolução: V p =.............................................. m3 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-121 Matemática Aplicada 10.2.4 Pirâmides Considere a figura abaixo, contendo o plano α, um polígono em α e um ponto V que não pertence a α. V h E A D B α C [Fig. 68]: Pirâmide. • Denomina-se pirâmide a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em V e a outra num ponto qualquer do polígono. 10.2.4.1 Elementos de uma pirâmide • Vértice:é o ponto V . • Base: é o polígono ABCDE que está contido no plano α. • Altura: é a distância h do plano α ao vértice V . • Arestas da base: são os lados do polígono ABCDE . • Arestas laterais: são os segmentos que unem o vértice V a cada vértice da base. • Faces laterais: são os triângulos VAB , VBC , VCD , VDE , VEA . 10.2.4.2 Pirâmide regular Uma pirâmide é regular se, e somente se, sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base. (a) (g) aresta lateral V apótema da pirâmide h apótema (m) da base E A M O B D r (l) lado da base C [Fig. 69]: Pirâmide regular. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-122 Matemática Aplicada • O polígono da base é inscritível numa circunferência de raio OC = r , chamado raio da base. • O apótema da base é o seguimento OM = m , que forma um ângulo reto com AB . • As arestas laterais são congruentes ao segmento AV = a . • As faces laterais são triângulos isósceles congruentes: ∆ABV ∼ ∆BCV ∼…∼ ∆EAV . • O apótema da pirâmide é a altura de uma face (triângulos isósceles) é o segmento MV = g . Com isso, considerando os triângulos retângulos ∆VOM , ∆VMA e ∆OMA , podemos usar o teorema de Pitágoras para obter as seguintes relações: V V V a g a h h g g r E M M m O g h g 2 = h 2 + m2 (Eq.63) 10.2.4.3 A l 2 M m O V A l 2 M A l 2 M (Eq.64) r m O A l 2 M D B O m l a2= g2 + 2 l A l r 2 M m O a V g C 2 (Eq.65) l r 2 = m2 + 2 2 Área da superfície de uma pirâmide Considere a pirâmide quadrangular regular a seguir com sua representação planificada. faces laterais base [Fig. 70]: Pirâmide regular quadrangular e sua planificação. • Área da base ( Sb ): é a área do polígono da base. Ex: área do quadrado. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Geometria 10-123 • Área lateral ( Sl ): é a soma das áreas de todas as faces laterais. Ex: 4 vezes S ∆isósceles . • Área total ( S t ): é a soma da área lateral e da área da base. S t = Sl + Sb . 10.2.4.4 Volume de uma pirâmide O volume de uma pirâmide é igual ao produto da área da base por um terço da altura. h [Fig. 71]: Volume da pirâmide. (Eq.66) V pi = Sb ⋅ h 3 10.2.5 Tronco de pirâmide O plano β, paralelo ao plano α, corta a pirâmide em dois sólidos. A parte de cima é uma pirâmide VA' B' C' D' E' e a parte entre os dois planos é um tronco de pirâmide. V h1 A E B β D C h2 E A α D B C [Fig. 72]: Secção transversal de uma pirâmide. 10.2.5.1 • A razão h1 h2 = Razões no tronco de pirâmide h1 h2 é chamada razão de semelhança em relação à secção transversal. h1 A' B' B' C ' C' D ' D ' E' E ' A' VA' VB' VC' VD' VE' = = = = e = = = = = VA VB VC VD VE h2 AB BC CD DE EA 2 2 S b A' B' 2 h 1 S b h1 • Razão entre as áreas: = = = ⇒ S B AB h2 S B h22 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-124 Matemática Aplicada • Razão entre os volumes: 10.2.5.2 V pi VPI 1 ⋅S ⋅h b 1 3 1⋅ S ⋅h B 2 3 = 3 h12 h1 V pi h 1 = = ⋅ ⇒ = S B ⋅ h2 h22 h2 VPI h 23 S b ⋅ h1 Elementos do tronco de pirâmide Como já estudamos a parte de cima em separado, vamos estudar agora o tronco de pirâmide. base menor ( b) face lateral h = h2 h1 aresta lateral (a) base maior (B) aresta da base(l) [Fig. 73]: Tronco de pirâmide. • São 2 bases: base maior B e base menor b . • Faces laterais: trapézios. • Altura do tronco: h = h2 − h 1 (distância entre as bases). Tronco regular: caso em que a pirâmide geradora do tronco é regular. • As bases são semelhantes. • As faces laterais são trapézios isósceles congruentes. A altura do trapézio é o apótema do tronco. 10.2.5.3 Volume do tronco de pirâmide V h1 A E B D h2 C h E A D B C [Fig. 74]: Volume do tronco de pirâmide. (Eq.67) h V = ⋅[ S B + S B S b + Sb ] 3 Demonstração: Volume do tronco = (volume da pirâmide VABCDE ) − (volume da pirâmide VA' B' C' D' E' ). Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Sb ⋅ h1 S ⋅h V= B 2− . Para simplificar a notação, tome S B = B e Sb = b : 3 3 Geometria 10-125 1 V = ⋅[ B ⋅ h2 − b ⋅ h 1 ]. Sendo h2 = h 1 + h 3 1 V = ⋅[ B ⋅( h 1 + h )− b ⋅ h 1 ] 3 1 V = ⋅[ B h +( B − b )⋅ h 1 ] (i) 3 Cálculo de h 1 em função de h , B e b : Sendo 2 h1 h1 b h1 b b = 2 ⇒ = ⇒ = ⇒ h1 B h2 h2 h1 + h B B B = h1 b +h b h b (ii) B− b Substituindo (ii) em (i): 1 V = ⋅[ B h +( B − b )⋅ h 1 ] 3 1 h b V = ⋅[ B h +( B − b )⋅ ] 3 B− b h b V = ⋅[ B +( B − b )⋅ ], mas, ( B − b )=( B + b )⋅( B − b ) 3 B− b h b V = ⋅[ B +( B + b )⋅( B − b )⋅ ] 3 B− b h V = ⋅[ B +( B + b )⋅ b ] 3 h V = ⋅[ B + Bb + b ]. c.q.d. 3 h1 = Calcular a área total e o volume da pirâmide quadrangular regular, sabendo-se que a aresta lateral mede 6cm e o lado da base 4cm. Exercício 170 faces laterais base Resolução: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Geometria 10-126 ⇒ S t =....................................................... cm2 • Cálculo de h : Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada V pi =.................................................cm3 Geometria 10-127 Em um tronco de pirâmide regular, as bases são quadrados de lado 2cm e 8cm. A aresta lateral do tronco mede 5cm. Calcule a área total e o volume do tronco. Exercício 171 Resolução: S t =.................................. cm2 V =....................................cm3 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-128 Matemática Aplicada 10.2.6 Cilindros Considere a figura abaixo, contendo os dois planos α e β, paralelos entre si. O B r β h O r A α [Fig. 75]: Cilindros. • Denomina-se cilindro a reunião de todos os segmentos de reta paralelos à reta AB , com uma extremidade num ponto do circulo com centro O do plano α e a outra no plano β. 10.2.6.1 Elementos de um cilindro • Bases: são os dois círculos congruentes de raio r . • Altura: é a distância h dos planos que contêm as bases do cilindro. • Eixo: é o segmento OO' que tem por extremidades os centros das bases. • Geratriz: são os segmentos paralelos ao eixo cujas extremidades pertencem às circunferências das bases. 10.2.6.2 Cilindro circular reto Um cilindro se diz reto ou de revolução, quando a geratriz é perpendicular aos planos das bases. O O g h g O r O r [Fig. 76]: Cilindro circular reto (de revolução). Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-129 Matemática Aplicada 10.2.6.3 Cilindro eqüilátero Diz-se que um cilindro reto é eqüilátero quando a altura (geratriz) é duas vezes o raio da base. h 2r r [Fig. 77]: Cilindro eqüilátero. 10.2.6.4 Área da superfície de um cilindro Considere o cilindro reto a seguir com sua representação planificada. O O r O r r C 2π r h O r [Fig. 78]: Cilindro reto e planificação. • Área da base ( Sb ): é a área do círculo de raio r : Sb =π r 2 . • Área lateral ( Sl ): é a área do retângulo de dimensões 2π r e h : Sl =2π r h • Área total ( S t ): é a soma da área lateral e das áreas das bases. S t = Sl +2 Sb ⇒ S t =2π r h +2π r 2 (Eq.68) S t =2π r ( h + r ) Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-130 Matemática Aplicada 10.2.6.5 Volume do cilindro O volume de um cilindro é igual ao produto da área da base pela altura. h Sb [Fig. 79]: Volume do cilindro. (Eq.69) Vci = Sb ⋅ h ⇒ Vci =π r 2 h Em um prédio foi construída uma caixa de água em formato de cilindro eqüilátero de raio 0,8 metros. Foram colocadas três bóias nesta caixa, para diferentes níveis na reserva de água. A 1a bóia encontra-se a um quarto da altura, a 2a encontra-se na metade da altura e a última é para a reserva máxima de água na caixa. Calcule a área total externa sabendo-se que a tampa tem um encaixe perfeito. Qual o volume em cada um dos três níveis da caixa? Exercício 172 Resolução: • Área total: S t =................................................ m2 • Volumes total: Vci =...................................... m3 • 1 do volume: V =......................................... m3 4 • 1 do volume: V =......................................... m3 2 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-131 Matemática Aplicada 10.2.7 Cones Considere a figura abaixo, contendo o plano α, um círculo de raio r em α e um ponto V que não pertence a α. V eixo geratriz h base O A r α [Fig. 80]: Cone. • Denomina-se cone a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em V e a outra num ponto qualquer do círculo. 10.2.7.1 Elementos de um cone • Vértice: é o ponto V . • Base: é o círculo que está contido no plano α. • Altura: é a distância h do plano α ao vértice V . • Eixo: é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base. • Geratriz: é qualquer segmento com uma extremidade no vértice e outra num ponto qualquer da circunferência da base. 10.2.7.2 Cone regular ou de revolução Um cone se diz reto ou de revolução, quando o eixo é perpendicular ao plano da base. V V g g h O r O r [Fig. 81]: Cone regular. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-132 Matemática Aplicada 10.2.7.3 Cone eqüilátero Um cone se diz eqüilátero quando a geratriz g é duas vezes o raio r da base. V g 2r O h r [Fig. 82]: Cone regular. 10.2.7.4 Área da superfície de um cone Considere o cone regular a seguir com sua representação planificada. g V superfície lateral g O g h C 2π r r O r base [Fig. 83]: Cone regular e sua planificação. • Área da base ( Sb ): é a área do círculo de raio r : Sb =π r 2 . • Área lateral ( Sl ): é a área do setor circular de raio g : Sl = 2πr ⋅ g ⇒ Sl =π r g 2 • Área total ( S t ): é a soma da área lateral e da área da base: S t = Sl + Sb ⇒ S t =π r g +π r 2 . (Eq.70) S t =π r ( g + r ) 10.2.7.5 Volume de um cone O volume de um cone é igual ao produto da área da base por um terço da altura. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-133 Matemática Aplicada h O r [Fig. 84]: Volume do cone. (Eq.71) Vco = Sb ⋅ h 1 ⇒ Vco = π r 2 h 3 3 10.2.8 Tronco de cone O plano β, paralelo ao plano α, corta o cone e o divide em dois sólidos. A parte de cima é um cone com raio r1 e a parte entre os dois planos é um tronco de cone. r1 V h1 O g h2 β O α r2 [Fig. 85]: Secção transversal de um cone. 10.2.8.1 Razões no tronco de cone São razões equivalentes às do tronco de pirâmide. • A razão h1 h2 é chamada razão de semelhança em relação à secção transversal: r1 r2 = h1 h2 2 2 Sb h1 S b h1 • Razão entre as áreas: = ⇒ = S B h2 S B h22 3 2 Vco 13 ⋅ Sb ⋅ h1 S b ⋅ h1 h1 h1 Vco h 1 • Razão entre os volumes: = = = ⋅ ⇒ = VCO 13 ⋅ S B ⋅ h2 S B ⋅ h2 h22 h2 VCO h 23 10.2.8.2 Elementos do tronco de cone Como já estudamos a parte de cima em separado, vamos estudar agora o tronco de cone. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-134 Matemática Aplicada base menor (b) r1 geratriz (g) r2 h = h2 h1 base maior (B) [Fig. 86]: Tronco de cone. • São 2 bases: base maior B e base menor b . • Geratriz: g . • Altura do tronco: h = h2 − h 1 (distância entre as bases). Tronco regular: caso em que o cone gerador do tronco é regular. 10.2.8.3 Área do tronco de cone regular r1 base b r1 g C1 2πr1 g r2 h superfície lateral C2 2πr2 r2 base B [Fig. 87]: Planificação do tronco de cone. • A superfície lateral do tronco de cone é equivalente a um trapézio de altura g e bases C1 e C2 . Então, a área da superfície lateral do tronco ( Al ) será: Al = g g ( C1 + C2 ) ⇒ Al = (2π r1 +2π r2 ) 2 2 ⇒ Al =π g ( r1 + r2 ) • A área total do tronco AT : (Eq.72) AT = Al + Sb + S B ⇒ AT =π g ( r1 + r2 )+π r12 +π r22 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-135 Matemática Aplicada 10.2.8.4 Volume do tronco de cone Tomando como base o volume do tronco de pirâmide, desenvolve-se, analogamente, o volume do tronco de cone. V r1 h1 h2 g r2 h [Fig. 88]: Volume do tronco de cone. h V = ⋅[ S B + S B S b + Sb ] 3 h V = ⋅[π r22 + πr22 ⋅ πr12 +π r12 ] 3 h V = ⋅[π r22 +π r1 r2 +π r12 ] 3 (Eq.73) V= πh 2 2 ⋅[ r + r + r r ] 3 1 2 1 2 Para o time vencedor em um campeonato de futebol no bairro, o professor de matemática resolveu oferecer um troféu composto pela junção de dois troncos de cones retos mais um cone reto, como pode ser observado na figura. Com base nos dados abaixo, calcular a área total do troféu (menos seus pés) e seu volume. Exercício 173 • Dados: h1 =12 cm; g1 =13 cm; 5 A razão de r1 para r2 é de ; 13 6 A razão de h1 para h2 é de . 11 g1 g2 FU T EB OL r1 r2 h1 h1 r1 ⇒ DICAS PARA A RESOLUÇÃO: • Cálculo da área, de cima para baixo: A =[área lateral do cone ( A1 )] + [área da coroa circular g3 1o L U GA R ( A2 )] + [área lateral do tronco de cone 1 ( A3 )] + [área lateral do tronco de cone 2 ( A4 )] + [área do círculo ( A5 )] ⇒ A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 r2 h2 • Volume, de cima para baixo: V = [volume do cone ( V1 )] + [volume do tronco de cone 1 ( V2 )] + [volume do tronco de cone 2 ( V 3 )] Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) ⇒ V = V1 +V2 + V 3 Lauro Matemática Aplicada Resolução: h1 =12 cm; g1 =13 cm. Geometria 10-136 r1 =....................... cm; r2 =....................... cm; h2 =....................... cm; g 2 =....................... cm; g 3 =....................... cm. • A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 Logo, A =.................................................................. cm2 • V = V1 + V2 +V 3 Logo, V =....................................................................... cm3 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-137 Matemática Aplicada 10.2.9 Esferas Sejam dados os pontos O , P do espaço e um segmento OP de medida r . P r O [Fig. 89]: Esfera e superfície esférica. ESFERA: o conjunto de todos os pontos do espaço, cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a r , é denominado esfera de centro O e raio r . SUPERFÍCIE ESFÉRICA: o conjunto de todos os pontos do espaço, cujas distâncias ao ponto O são iguais a r , é denominado superfície esférica de centro O e raio r . 10.2.9.1 Área de uma secção esférica Na figura seguinte, o plano α é tangente à esfera, ou seja, toca a esfera em um único ponto. Com isso, a distância do plano ao centro da esfera é o próprio raio e o mesmo é perpendicular ao plano. P O r r α [Fig. 90]: Plano tangente a uma esfera. Se considerarmos um plano β paralelo ao plano α, a uma distância d do centro O ( d < r ), a intersecção dele com a esfera gera um círculo de raio r1 , como mostra a figura. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-138 Matemática Aplicada P O r r d r1 β α [Fig. 91]: Secção esférica. A área do círculo é S =π r12 . Por Pitágoras temos que r12 = r 2 − d 2 . Calculando a área do círculo em função de r e d , a fórmula fica: S =π( r 2 − d 2 ) Observe que esta mesma fórmula é a área de uma coroa circular de raios r e d . d O r [Fig. 92]: Coroa circular. 10.2.9.2 Volume da esfera Retome a figura referente à secção esférica. A intersecção do plano β, paralelo ao plano α, com a esfera, gera um círculo de raio r1 . Considere agora, um cilindro eqüilátero de raio r com base no plano α. Retire do cilindro dois cones de altura r , mesmo vértice e bases comuns as bases do cilindro. O sólido resultante é conhecido como anticlepsidra. Este sólido também pode ser obtido do deslocamento do plano β até duas vezes o raio da esfera. A secção esférica de β com a esfera é equivalente à coroa circular representada no cilindro. Este deslocamento de β na esfera gera a anticlepsidra no cilindro. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-139 Matemática Aplicada 2r S P O r h 2r r d d r1 r d β α [Fig. 93]: Sólido referente à secção esférica. Como a área do círculo de raio r1 é igual a área da coroa circular de raios r e d , pelo Princípio de Cavalieri1 , a esfera e o sólido possuem o mesmo volume. Com isso, o volume da esfera será: • O volume da esfera ( Ve ) é igual ao volume do cilindro (Vci ) menos duas vezes o volume do cone ( Vco ). Ve = Vci −2 Vco 1 Ve =π r 2 ⋅2 r −2⋅ π r 2 ⋅ r 3 2 Ve =2π r 3 − π r 3 3 Ve = (Eq.74) 10.2.9.3 4 3 πr 3 Área da superfície esférica Suponha um prisma com área da base S e altura h . h S S V . Se diminuirmos h até que h ele fique muito próximo de 0, o prisma fica quase como uma superfície, mas a área continua V sendo S = . h O volume do prisma é V = S ⋅ h , então, para h >0, S = Usando o mesmo princípio para duas esferas concêntricas de raio r e r + h , temos uma região do espaço compreendida entre as duas superfícies esféricas chamada concha esférica. Princípio de Cavalieri: Dois sólidos que têm bases num mesmo plano α e tais que todo plano paralelo a α determina neles secções de mesma área, são sólidos de volumes iguais. 1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Geometria 10-140 Se V é o volume da concha e S é a área da superfície esférica de raio r , ao diminuirmos h até que ele fique muito próximo de 0, a concha fica quase como uma V superfície, ou seja, ≅ S . h O r r h h Cálculo do volume V da concha esférica: 4 4 V = π ( r + h) 3 − π r 3 3 3 4 V = π[ ( r + h) 3 − r 3 ] 3 4 V = π[ r 3 +3 r 2 h +3 r h 2 + h 3 − r 3 ] 3 4 V = π[3 r 2 h +3 r h 2 + h 3 ] 3 4 V = π⋅ h [3 r 2 +3 r h + h 2 ], como h >0, podemos dividir tudo por h : 3 V 4 = π[3 r 2 +3 r h + h 2 ] h 3 Se diminuirmos h até que ele fique muito próximo de 0, os termos 3 r h e h 2 também se V aproximam de zero e se aproxima de S . Logo: h V 4 4 = π[3 r 2 +3 r h + h 2 ] ⇒ S = π[3 r 2 ] ⇒ S =4π r 2 h 3 3 Então, de forma intuitiva, podemos dizer que a área de uma superfície esférica de raio r é dada por: P r O (Eq.75) S =4π r 2 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-141 Matemática Aplicada 10.2.9.4 Volume da cunha esférica Uma cunha esférica é a parte da esfera limitada por um fuso e os dois semicírculos máximos do mesmo fuso. O Q P θ [Fig. 94]: Cunha esférica. Tome θ como sendo o ângulo da cunha esférica e Vcunha seu volume. Usando regra de três: 4 360o ⇒ π r 3 3 θ ⇒ Vcunha 1 4 Vcunha = π r 3 ⋅θ⋅ 3 360 o (Eq.76) Vcunha = πr 3θ ⇒ (θ em graus) 270o (Eq.77) Vcunha = 2r 3 θ ⇒ (θ em radianos) 3 Exercício 174 Considerando uma esfera de raio 9 metros. Calcular: • A área da superfície esférica. Resolução: S =............................... m2 • O volume da esfera. Resolução: Ve =............................... m3 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria 10-142 Matemática Aplicada • O volume da cunha esférica com ângulo θ= π radianos. 6 Resolução: Vcunha =............................... m3 • A área da secção esférica distante 5 metros do centro. Resolução: S =............................... m2 (UnB-DF) Um sorveteiro vende sorvetes em casquinhas de biscoito que têm a forma de cone de 3 cm de diâmetro e 6 cm de profundidade. As casquinhas são totalmente preenchidas de sorvete e, ainda, nelas é superposta uma meia bola de sorvete de mesmo diâmetro do cone. O recipiente onde é armazenado o sorvete tem forma cilíndrica de 18 cm de diâmetro e 5 cm de profundidade. Determine o número de casquinhas que podem ser servidas com o sorvete armazenado em um recipiente cheio. Exercício 175 Resolução: São ............................... casquinhas Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Geometria analítica: ponto e retas 11-143 11 Geometria analítica: ponto e retas 11.1 Segmento de reta Tome uma reta r . Sobre ela, tome dois pontos distintos A e B . Podemos dizer que o segmento de reta AB ou BA são todos os pontos da reta r compreendidos entre A e B . A B r [Fig. 95]: Segmento de reta. Se for considerado uma unidade de medida, podemos medir o comprimento do segmento de reta AB e indicamos por med AB (lê-se: medida do segmento AB ). u ⇒ Unidade de medida: med AB =4 u A B r [Fig. 96]: Medida de um segmento de reta. 11.2 Segmento orientado Considerando o segmento de reta AB , com A ≠ B , podemos associar dois segmentos orientados, um de A para B e outro de B para A . São representados por: A B r AB ⇒ segmento orientado com origem em A e extremidade em B . A B r AB ⇒ segmento orientado com origem em B e extremidade em A . 11.2.1 Eixo Ao atribuirmos um sentido a reta r , dizemos que é uma reta orientada ou eixo. Convencionamos como sentido positivo, o da esquerda para a direita e negativo, o da direita para a esquerda. u ⇒ Segmento unitário O [Fig. 97]: Eixo ou reta orientada. Fixando um ponto O e uma unidade u , podemos medir um segmento orientado AB segundo um eixo dado. 11.3 Medida algébrica de um segmento orientado Dado um segmento orientado AB de um eixo, sua medida algébrica é o número real AB , sendo este positivo ( AB =+med AB ), se estiver no mesmo sentido do eixo e negativo ( AB =−med AB ), caso contrário. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria analítica: ponto e retas 11-144 Matemática Aplicada Determine a medida algébrica dos segmentos orientados AB , CD e EF . u ⇒ Segmento unitário C O D A B F E Exercício 176 Resolução: AB =........................... CD =........................... EF =........................... 11.3.1 Abscissa de um ponto Fixando o ponto O como origem do eixo e um segmento unitário u , chamamos de abscissa de um ponto P sobre o eixo, ao número real x P dado pela medida do segmento orientado OP . x P = OP Considerando o eixo de origem O dado a seguir, calcular as abscissas dos pontos sobre o eixo. C D A O B F E Exercício 177 -3 5 2 -2 -1 1 2 0 1 2 3 7 2 4 5 Resolução: x A =........................... x B =........................... xC =........................... xD =........................... xE =........................... xF =........................... A medida algébrica de um segmento orientado é igual à diferença entre a abscissa da extremidade e a abscissa da origem do segmento. A O B Definição 44 xA xB ou A O xA B xB [Fig. 98]: Medida do segmento orientado. AB ⇒ AB = OB − OA ⇒ AB = x B − x A . ou BA ⇒ AB = OA − OB ⇒ AB = x A − x B . Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria analítica: ponto e retas 11-145 Matemática Aplicada Exercício 178 Determine a medida algébrica dos segmentos orientados AB , CD e EF . C D A O B F E -3 5 2 -2 -1 1 2 0 1 2 3 7 2 4 5 Resolução: AB =............................................. CD =............................................. EF =............................................. 11.3.2 Ponto médio Considerando dois pontos A e B distintos, o ponto médio M é dado de tal forma que AM = MB . Então, sendo x A , x B e xM as abscissas dos pontos A , B e M , temos: A M B xA xM xB [Fig. 99]: Ponto médio. AM = MB xM − x A = x B − xM xM + xM = x A + x B 2 xM = x A + x B (Eq.78) xM = Exercício 179 xA + xB 2 Determine o ponto médio dos segmentos AB , CD e EF . C D A O B F E -3 5 2 -2 -1 1 2 0 1 2 3 7 2 4 5 Resolução: AB ⇒ xM =........................ CD ⇒ xM =........................ EF ⇒ xM =........................ 11.4 Sistema de coordenadas cartesianas Consideremos duas retas perpendiculares, sobre as quais marcamos os números reais, obedecendo às convenções seguintes: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria analítica: ponto e retas 11-146 Matemática Aplicada y 4 3 2 1 O -4 -3 -2 -1 0 -1 1 2 3 4 x -2 -3 -4 [Fig. 100]: Sistema de coordenadas cartesianas. • As retas ortogonais são denominadas eixos. • A unidade geométrica escolhida para representar as unidades algébricas é arbitrária. • A intersecção dos eixos é a origem do sistema. • O eixo horizontal ( O x ) é chamado eixo das abscissas, recebendo valores reais positivos à direita da origem e negativo à esquerda. • O eixo vertical ( O y ) é chamado eixo das ordenadas, recebendo valores reais positivos acima da origem e negativo abaixo. • Os dois eixos determinam o plano cartesiano. • No plano cartesiano, qualquer ponto pode ser determinado univocamente por duas coordenadas. A todo ponto P do plano cartesiano podemos associar uma abscissa x e uma ordenada y , representadas por P ( x , y ). As coordenadas da origem são (0,0). Represente no plano cartesiano as coordenadas dos seguintes pontos: A (−4,3), B (1,−2), C (1,3), D (− 72 ,−2), E (0,0), F ( 52 , 32 ), G (−3,1), H ( 72 ,− 32 ), I (0,− 52 ), J ( 72 ,4), Exercício 180 K (4,−4), L (−2,4), M (−2,−1), N (3,0). 4 y 3 2 1 O -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria analítica: ponto e retas 11-147 Matemática Aplicada 11.4.1 Distância entre dois pontos A distância entre dois pontos cujas ordenadas são iguais é dada pelo valor absoluto ou módulo da diferença entre as suas abscissas. De forma análoga, se as abscissas são iguais, é dado pelo valor absoluto ou módulo da diferença entre as suas ordenadas. Considere dois pontos A ( x A , y A ) e B ( x B , y B ) em um sistema cartesiano ortogonal. yB y B d ( A, B) yA A C xB x xA [Fig. 101]: Distância entre dois pontos. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo d ( A , B ) entre os pontos A e B . ABC , podemos obter a distância d ( A , B )2 = d ( A , C )2 + d ( C , B )2 d ( A , B )2 =( x B − x A )2 +( y B − y A )2 (Eq.79) d ( A , B )= ( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 Exercício 181 Considere os pontos A (−4,3), B (1,−2), C (1,3), D (− 72 ,−2), E (0,0), F ( 52 , 32 ), G (−3,1), H ( 72 ,− 32 ), I (0,− 52 ), J ( 72 ,4), K (4,−4), L (−2,4), M (−2,−1), N (3,0). Calcular as distâncias que se pedem a seguir: Resolução: d ( A , B )=.................................................. d ( C , D )=.................................................. d ( E , F )=.................................................. d ( G , H )=.................................................. d ( I , J )=.................................................. d ( K , L )=.................................................. d ( M , N )=.................................................. d ( B , D )=.................................................. d ( L , M )=.................................................. d ( A , C )=.................................................. d ( B , C )=.................................................. 11.4.2 Área de um triângulo Considere um triângulo de vértices A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) e C ( x3 , y3 ). Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria analítica: ponto e retas 11-148 Matemática Aplicada y3 y C y2 y1 B A M x1 [Fig. 102]: N x3 P x2 x Área de um triângulo. Com base na figura, a área do triângulo ABC pode ser dada da seguinte forma: Área( ABC )=Área( ACNM )+Área( BCNP )−Área( ABPM ) Cálculo da área dos três trapézios: Atrapézio = 1 ⋅(base maior+base menor)⋅altura 2 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) e C ( x3 , y3 ) Área( ACNM )= 1 1 ( y1 + y3 )( x3 − x1 )= ( x3 y1 + x3 y3 − x1 y1 − x1 y3 ) 2 2 Área( BCNP )= 1 1 ( y 2 + y3 )( x 2 − x3 )= ( x 2 y 2 + x 2 y3 − x3 y 2 − x3 y3 ) 2 2 Área( ABPM )= 1 1 ( y1 + y 2 )( x 2 − x1 )= ( x 2 y1 + x 2 y 2 − x1 y1 − x1 y 2 ) 2 2 Voltando à área do triângulo: Área( ABC )=Área( ACNM )+Área( BCNP )−Área( ABPM ) 1 (x y + x y −x y − x y ) 2 3 1 3 3 1 1 1 3 1 1 + ( x 2 y 2 + x 2 y3 − x3 y 2 − x3 y3 )− ( x 2 y1 + x 2 y 2 − x1 y1 − x1 y 2 ) 2 2 Área( ABC )= 1 (x y + x y −x y − x y + x y + x y 2 3 1 3 3 1 1 1 3 2 2 2 3 − x3 y 2 − x3 y3 − x 2 y1 − x 2 y 2 + x1 y1 + x1 y 2 ) Área( ABC )= Área( ABC )= 1 (x y − x y +x y − x y − x y + x y ) 2 3 1 1 3 2 3 3 2 2 1 1 2 Área( ABC )= 1 (x y + x y +x y − x y − x y − x y ) 2 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 3 Área(∆ ABC )= 1 ⋅módulo[ x1 y 2 + x 2 y3 + x3 y1 − x 2 y1 − x3 y 2 − x1 y3 ] 2 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria analítica: ponto e retas 11-149 Matemática Aplicada (Eq.80) Área(∆ ABC )= 1 |( x y + x y + x y − x y − x y − x y )| 2 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 3 Esta área pode ser dada pelo determinante a seguir: (Eq.81) x1 1 S = x2 2 x3 Exercício 182 y1 1 1 x1 y2 1 ou S = 2 y1 y3 1 Considere os pontos x2 x3 x1 y2 y3 y1 A (−4,3), B (1,−2), D (− 72 ,−2), C (1,3), E (0,0), F ( 52 , 32 ), G (−3,1), H ( 72 ,− 32 ), I (0,− 52 ), J ( 72 ,4), K (4,−4), L (−2,4), M (−2,−1), N (3,0). Calcular as áreas que se pedem a seguir: y L J 4 A C 3 2 G F 1 E -4 -3 -2 M 0 -1 1 -1 D -2 I 2 N 3 4x H B -3 -4 K Resolução: Área(∆ ABC )=.................................................. Área(∆ DEF )=.................................................. Área(∆ GHI )=.................................................. Área(∆ JKL )=.................................................. Área(∆ MNA )=.................................................. 11.4.3 Condição de alinhamento de três pontos Três pontos A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) e C ( x3 , y3 ) estão alinhados se é nula a área do triângulo cujos vértices são formados pelos três pontos, isto é, Área(∆ ABC )=0. Então, os pontos A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) e C ( x3 , y3 ) estarão alinhado, ou são colineares se: x1 (Eq.82) x2 x3 y1 1 x1 y2 1 =0 ou y1 y3 1 x2 x3 x1 y2 y3 y1 =0 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Geometria analítica: ponto e retas 11-150 Exercício 183 Verifique se os pontos A (−4,3), B (−3,1), C (−2,−1) estão alinhados. Resolução: Exercício 184 Calcular o valor de y para que os pontos A (− 72 ,−2), B (0, y ), C ( 52 , 32 ) sejam colineares. Resolução: y =.................................................. 11.5 Estudo da reta 11.5.1 Equação geral da reta Considerando a reta r e dois pontos distintos A ( x1 , y1 ) e B ( x 2 , y 2 ) pertencentes a ela, seja P ( x , y ) um ponto qualquer dessa reta. y B y2 P y y1 O [Fig. 103]: r A x1 x x2 x Equação geral da reta. Aplicando a condição de alinhamento de três pontos a A , B e P , obtemos: x x1 x2 x y y1 y2 y =0 ⇒ x y1 + x1 y 2 + x 2 y − x1 y − x 2 y1 − x y 2 =0 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Geometria analítica: ponto e retas 11-151 (Eq.83) ( y 1 − y 2 ) x +( x 2 − x1 ) y +( x1 y2 − x 2 y1 )=0 ⇒ a x + b y + c =0 1 424 3 123 14243 =a =b =c A equação geral de uma reta é dada na forma a x + b y + c =0, sendo que a ≠0 ou b ≠0. Esta é uma equação do 1o grau dom duas variáveis. Exercício 185 Determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos A (−3,2) e B (8,6). y r B 6 A -3 2 O x 8 Resolução: 11.5.2 Retas particulares 11.5.2.1 Reta paralela ao eixo das ordenadas • a x + c =0, onde b =0, a ≠0 e c ≠0. (Caso c =0, a reta é o próprio eixo das ordenadas) y r x x1 O [Fig. 104]: Reta paralela ao eixo c a x y. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria analítica: ponto e retas 11-152 Matemática Aplicada 11.5.2.2 Reta paralela ao eixo das abscissas • b y + c =0, onde a =0, b ≠0 e c ≠0. (Caso c =0, a reta é o próprio eixo das abscissas) y c b y y1 r x O [Fig. 105]: 11.5.2.3 Reta paralela ao eixo x. Reta que passa pela origem • a x + b y =0, onde c =0, a ≠0 e b ≠0. (Caso a =0 ou b =0, a reta representa o eixo das abscissas ou ordenadas, respectivamente) y r O x (0,0) [Fig. 106]: 11.5.2.4 Reta que passa pela origem (0,0). Equação segmentaria Dados dois pontos P ( p ,0) e Q (0, q ) pertencentes aos eixos coordenados, tal que p q ≠0, a equação que passa por estes dois pontos é dada por: r q y Q O [Fig. 107]: P p x Equação segmentaria. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria analítica: ponto e retas 11-153 Matemática Aplicada x p 0 x =0 y 0 q y 0 x + p q +0 y − p y −0− q x =0 p q − p y − q x =0 q x + p y = p q ⇒ ÷( p q ) x y + =1 p q (Eq.84) Notem que os denominadores p e q são a abscissa e a ordenada dos pontos onde r intercepta os eixos x e y , respectivamente. OBS. 19: 11.5.3 Posições relativas entre duas retas Duas retas r e s distintas do plano cartesiano podem ser paralelas ( r ⁄⁄ s ) ou concorrentes ( r × s ). r s r s y y r r s P x [Fig. 108]: s x Posições entre duas retas. Sejam as duas retas dadas por: r ⇒ a1 x + b1 y + c1 =0 s ⇒ a 2 x + b2 y + c2 =0 Caso sejam concorrentes, para se determinar o ponto de intersecção P basta resolver o a x + b1 y + c1 = 0 sistema S dados por: S = 1 . a2 x + b2 y + c 2 = 0 Para determinar se são paralelas ou concorrentes, calcula-se o determinante D do a b1 sistema S que é dado por: D = 1 . a2 b2 • Se D ≠0, as reta são concorrentes; • Se D =0, as reta são paralelas. Dadas as retas r , s e t , determinar a posição relativa que se pede a seguir. Caso sejam concorrentes, determinar o ponto de intersecção. r : 6 x −4 y −2=0 s : 7 x −2 y −13=0 t : 21 x −14 y +49=0 Exercício 186 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Geometria analítica: ponto e retas 11-154 • Posição relativa entre r :6 x −4 y −2=0 e s :7 x −2 y −13=0. Resolução: • Posição relativa entre r :6 x −4 y −2=0 e t :21 x −14 y +49=0. Resolução: • Posição relativa entre s :7 x −2 y −13=0 e t :21 x −14 y +49=0. Resolução: 11.5.4 Coeficiente angular ou declividade de uma reta 11.5.4.1 Tangente de um ângulo Da trigonometria, sabemos que tan α= senα , se α≠0. cos α a Considerando α como ângulo agudo de um triângulo retângulo, temos que: tan α= . b B A [Fig. 109]: c a b C α Tangente de um ângulo, no triângulo retângulo. Ainda sobre tangentes, sabe-se que tangente de um ângulo é igual ao oposto da tangente do ângulo suplementar: tan α=− tan (180o −α). Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria analítica: ponto e retas 11-155 Matemática Aplicada 11.5.4.2 Coeficiente angular Dada uma reta r , seja α a medida do ângulo de inclinação de r em relação ao eixo das abscissas. y y r r α α x x 0o <α<90o y 90o <α<180o y r r α x x α=0o α=90o [Fig. 110]: Coeficiente angular. Coeficiente angular da reta r é o número m definido por: m = tan α, para α≠90o (Eq.85) Dados dois pontos A ( x1 , y1 ) e B ( x 2 , y 2 ) da reta r , m pode ser obtido da seguinte forma: y y2 x1 [Fig. 111]: B y2 180 α a y1 C x x2 A C α b x2 x1 x Obtenção do coeficiente angular. a y −y m = tan α= = 2 1 b x 2 − x1 y − y1 ⇒ m= 2 x 2 − x1 11.5.4.3 y a α b A y1 r r B y −y a m = tan α=− tan (180o −α)=− =− 2 1 b x1 − x 2 y − y1 ⇒ m= 2 x 2 − x1 Coeficiente angular da equação geral da reta Sendo a reta r dada na forma a x + b y + c =0, com b ≠0, tome A ( x1 , y1 ) e B ( x 2 , y 2 ) com A ≠ B e A , B ∈ r . Então, substituindo A e B em r , temos: ax1 ax2 + by1 + c = 0 ⇒ + by 2 + c = 0 ⇒ (ii ) (i) ⇒ Fazendo (ii)−(i): a ⋅( x 2 − x1 )+ b ⋅( y 2 − y1 )=0 ⇒ b ⋅( y 2 − y1 )=− a ⋅( x 2 − x1 ) ⇒ Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) y 2 − y1 a a =− ⇒ m =− . x 2 − x1 b b Lauro Geometria analítica: ponto e retas 11-156 Matemática Aplicada 11.5.5 Equação reduzida da reta Sendo a reta r dada na forma a x + b y + c =0, com b ≠0, tome Q (0, q ) como sua intersecção com o eixo y . Logo, substituindo Q em r temos: c a ⋅0+ b q + c =0 ⇒ b q + c =0 ⇒ b q =− c ⇒ q =− . b Voltando à reta r e isolando y , temos: a c a b y =− a x − c ⇒ y =− ⋅ x − , mas já sabemos que m =− , logo: b b b y =m x+q (Eq.86) y r Q (0, q ) α x [Fig. 112]: Equação reduzida da reta. Dizemos que: • m é o coeficiente angular da reta r ; • q é o coeficiente linear da reta r . Exercício 187 Calcular o coeficiente angular m e linear q de cada reta dada abaixo. • 3 x − y +6=0 Resolução: m =................ q =................ • −2 x +5 y +15=0 Resolução: m =................ q =................ • x 3 =2 y + 2 2 Resolução: m =................ q =................ • − y =8 Resolução: m =................ q =................ Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria analítica: ponto e retas 11-157 Matemática Aplicada 11.5.6 Equação da reta, dados um ponto e a direção y 2 − y1 , se tivermos x 2 − x1 dois pontos distintos da reta r . Se considerarmos o segundo ponto como ponto genérico ( x , y ) da reta, teremos: Sabemos que o coeficiente angular m pode ser dado por m = m= y − y1 ⇒ m ( x − x1 )= y − y1 x − x1 (Eq.87) y − y1 = m ( x − x1 ) Escreva a equação geral da reta que passa pelo ponto (3,−1), tal que sua inclinação seja de 45o . Exercício 188 Resolução: Equação geral da reta: ..................................................................... 11.5.7 Paralelismo entre retas y α r s r s α x [Fig. 113]: Retas paralelas. Duas retas r e s são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais. (Eq.88) r ⁄⁄ s ⇔ mr = ms Dada a reta r de equação 3 x −2 y +6=0, obtenha a equação reduzida da reta s sabendo que P (−4,2)∈ s e r ⁄⁄ s . Determine também o coeficiente linear de s . Exercício 189 Resolução: Equação reduzida de s : .................................................................... . Coeficiente linear de s : q = ................... Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Geometria analítica: circunferência 12-158 Matemática Aplicada 12 Geometria analítica: circunferência Tome um ponto C ( x c , yc ) e um segmento de reta de medida r com origem em C e extremo em P ( x , y ), sendo P dado de forma genérica. y P( x, y ) C r yC O [Fig. 114]: x xC Circunferência. Circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos que distam r de um centro C dado. Definição 45 12.1 Equação da circunferência Retome a circunferência dada acima de centro C ( x c , yc ), raio CP = r e um ponto genérico P ( x , y ) desta circunferência. y P( x , y ) y yC r C D x O [Fig. 115]: xC x Equação da circunferência. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo CPD , temos a equação reduzida da circunferência: 12.1.1 Equação reduzida da circunferência (Eq.89) ( x − x c )2 +( y − yc )2 = r 2 Desenvolvendo as potências e passando todos os termos para o 1o membro, podemos desenvolver a equação geral da circunferência: ( x − x c )2 +( y − yc )2 = r 2 ( x 2 −2 x c x + xc2 )+( y 2 −2 yc y + yc2 )= r 2 ⇒ x 2 + y 2 −2 x c x −2 yc y + xc2 + yc2 − r 2 =0 Fazendo d =−2 x c , e =−2 yc e f = xc2 + yc2 − r 2 , teremos a seguinte equação: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Geometria analítica: circunferência 12-159 12.1.2 Equação geral da circunferência (Eq.90) x 2 + y 2 + d x + e y + f =0 A partir da equação geral, o centro e o raio são obtidos pelas seguintes fórmulas: x c =− d e , yc =− e r = xc2 + y c2 − f 2 2 Dar a equação da forma reduzida e da forma geral da circunferência de centro C (2,−3) que passa pelo ponto P (5,1). Exercício 190 Resolução: • Equação reduzida: • Equação geral: Exercício 191 Obter o centro e o raio da circunferência de equação x 2 + y 2 +2 x −8 y +8=0 Resolução: x c =.................. yc =.................. r =.................. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Geometria analítica: circunferência 12-160 Com base no centro C e raio r dado a seguir, obter a equação geral da circunferência para cada um dos casos. Exercício 192 x 2 + y 2 + d x + e y + f =0 • C (3,−5) e r = 7 2 Resolução: 3 5 • C ( , ) e r =2 2 2 Resolução: 7 9 11 • C( , )e r= 2 2 2 Resolução: • C (1,1) e r =1 Resolução: • C (2,2) e r =2 Resolução: • C (3,3) e r =3 Resolução: • C (4,4) e r =4 Resolução: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro Matemática Aplicada Exercício 193 Geometria analítica: circunferência 12-161 Obter o centro e o raio da circunferência para cada um dos casos a seguir. C ( x c , yc ) e r . • x 2 + y 2 −2 x +3 y −1=0 Resolução: C (.......................,.......................) e r =....................... • 4 x 2 +4 y 2 +5 x +13 y −4=0 Resolução: C (.......................,.......................) e r =....................... • x 2 + y 2 −4 x +2 y −3=0 Resolução: C (.......................,.......................) e r =....................... • x 2 + y 2 +1 x +1 y −1=0 Resolução: C (.......................,.......................) e r =....................... • x 2 + y 2 +2 x +2 y −2=0 Resolução: C (.......................,.......................) e r =....................... • x 2 + y 2 +3 x +3 y +3=0 Resolução: C (.......................,.......................) e r =....................... • x 2 + y 2 +4 x +4 y +4=0 Resolução: C (.......................,.......................) e r =....................... Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro