Análise Modal numérico-experimental de hélices - O GVA

Transcrição

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CENTRO TECNOLÓGICO
COORDENAÇÃO DO COLEGIADO DO CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA
ALAN RAFAEL MENEZES DO VALE
NO - 9802100601
ANÁLISE MODAL NUMÉRICO-EXPERIMENTAL DE HÉLICES NAVAIS
PRODUZIDOS NA REGIÃO AMAZÔNICA
01/2003
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CENTRO TECNOLÓGICO
COORDENAÇÃO DO COLEGIADO DO CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA
NO - 9802100601
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao
Colegiado do Curso de Engenharia Mecânica
para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico
Orientador: Prof. Dr. Newton Sure Seiro
01/2003
NO - 9802100601
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado para
Obtenção do grau de Engenheiro Mecânico pela
Universidade Federal do Pará.
Submetido à banca examinadora do Colegiado
constituída pelos
PROFESSORES:
Prof. Dr. Newton Sure Soeiro
Prof. Msc. Alexandre Mesquita
Prof. Dr. Antonio Jorge Hernandez Fonseca
Julgado em:
______ / ______ / ______
Conceito:
_______________________
01/2003
À minha família e amigos
AGRADECIMENTOS
•
Ao Professor Doutor Newton Sure Soeiro pela orientação, atenção, sugestões e
contribuições para a elaboração deste trabalho.
•
Ao Grupo de Vibrações e Acústica da UFPA, pelo auxílio técnico.
•
À Banca Examinadora, Professores Newton Sure Soeiro, Antonio Jorge Hernandez
Fonseca e Alexandre Mesquita, pela presteza para o julgamento deste trabalho.
•
À empresa ALUNORTE pelo fornecimento de materiais didáticos e peças muito
úteis na confecção deste trabalho.
•
Meus familiares.
•
Aos colegas e amigos de graduação de 1998 pelo auxílio.
•
A Rodrigo Vieira e Rivanilson Mourão, ambos Mestrandos em Engenharia
Mecânica, pelo auxílio na compreensão dos conceitos e aquisição de suprimentos,
tais como computadores e softwares fundamentais na execução dos cálculos
realizados.
•
Ao Laboratório de Metrologia da Universidade Federal do Pará, juntamente com o
técnico Edmundo, pelo ensino do manuseio de instrumentos de medição
importantes na aquisição das coordenadas dos hélices navais.
•
Ao Prof. Carlos Umberto pela cessão temporária de um microcomputador para
execução de cálculos referentes à análise modal experimental.
•
A todas as pessoas que não foram aqui mencionadas, mas, que de alguma forma
deram suas cotas de contribuição para que a execução deste trabalho fosse viável.
SUMÁRIO
OBJETIVO
9
1. INTRODUÇÃO
10
2. TEORIA DE PROPULSORES
12
2.1 Aplicação das Teorias dos Propulsores
13
2.2 Séries Sistemáticas de Hélices
13
2.3 A Utilização de Hélices em Dutos
14
2.4 Cavitação
15
2.5 O Projeto de Hélices por Série Sistemática
17
2.6 Definição da Geometria dos Hélices
18
2.7 Número de Hélices
18
2.8 Diâmetro
19
2.9 Área das Pás
19
2.10 Número de Pás
21
2.11 Espessuras Máximas
22
2.12 Passos
22
2.13 Caimento (Rake) e Assimetria do Contorno das Pás (Skew)
23
2.14 Perfis das Seções das Pás
24
3. OS HÉLICES NAVAIS B9 E NS18
27
4. TEORIA DE ANÁLISE MODAL EM VIGAS
31
5. CONSIDERAÇÕES SOBRE ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL
40
5.1. Representação e propriedades de uma FRF
42
a) Receptância
42
b) Formas Alternativas da FRF
45
5.2 Sistema com 1 Grau de Liberdade (GL) Excitado por Impacto
46
a) Efeito do Truncamento Sobre as FRF’s
49
b) Efeitos da Janela Exponencial sobre a FRF
50
c) Correção do Fator de Amortecimento Obtido a partir da Análise Modal Experimental 52
5.3. Múltiplos Graus de Liberdade
52
a) Modelo Histerético
52
b) Representação Gráfica de FRF MDOF
54
5.4 Métodos de Identificação Modal
62
6. ANÁLISE MODAL NUMÉRICA
65
6.1 Método de Elementos Finitos Aplicado na Resolução de Problemas Numéricos 65
a) Resumo Teórico
65
7. METODOLOGIA
68
7.1. ANALISADOR DE FREQÜÊNCIA UTILIZADO NOS EXPERIMENTOS DE
ANÁLISE MODAL
68
7.2 ENSAIO EXPERIMENTAL PARA DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS
MODAIS DA VIGA BI-APOIADA (TESTE DE IMPACTO)
69
7.2.1 Procedimento Adotado
69
7.2.2 Determinação dos parâmetros utilizados no ensaio
72
MODAIS DOS HÉLICES NS18 E B9 (TESTE DE IMPACTO)
73
73
74
7.4 MODELAGEM COMPUTACIONAL ATRAVÉS DO PROGRAMA ANSYS 6.0
77
7.4.1 Análise Modal Numérica de uma Viga Bi-Apoiada
78
7.4.2 Análise Modal Numérica dos hélices navais NS18 e B9
79
a) Procedimento Numérico
79
a.1) Construção do Modelo
80
a.2) Malhagem do Modelo
82
8. ANÁLISE DOS RESULTADOS
84
8.1 PARA A VIGA BI-APOIADA
84
8.1.1 Dados Experimentais
84
8.1.2 Dados Numéricos
91
8.1.3 Correção Baseada no Ensaio Experimental
93
8.2 PARA O HÉLICE MODELO B9
95
95
a
a) 1 Pá
96
b) 2a Pá
104
113
115
a) 1a Pá
115
a
b) 2 Pá
117
8.3 PARA O HÉLICE MODELO NS18
119
119
a) 1a Pá
119
b) 2a Pá
129
137
140
a) 1a Pá
140
b) 2a Pá
142
9. CONCLUSÃO
145
BIBLIOGRAFIA
147
ANEXOS
149
ANEXO 1
149
ANEXO 2
151
ANEXO 3
161
ANEXO 4
167
Capítulo 1 – Introdução
9
OBJETIVO
Os propulsores navais utilizados pelas embarcações amazônicas de pequeno porte são
fabricados em pequenas oficinas de fundição desta região, as quais utilizam procedimentos
técnicos de fabricação que não são muito rígidos, baseados em experiências passadas de geração
para geração. Isto ocasiona diferenças entre os hélices produzidos e os projetados de acordo com
teorias de propulsores, o que proporciona baixo desempenho e vida útil reduzida quando estes
rotores são postos em funcionamento.
As deficiências dos hélices estão geralmente associadas ao controle de qualidade na
fabricação, que não é rígido o suficiente, permitindo a produção destes com ligas metálicas de
composição química inadequada à sua fabricação e o processo de fundição não controlado da
maneira ideal para fornecer às ligas metálicas a resistência necessária para as exigências no
decorrer da vida útil dos hélices.
Face o exposto, iniciou-se um procedimento para análise modal experimental de dois
hélices navais, através de teste de impacto com martelo. Os resultados deste ensaio foram
comparados aos valores obtidos no teste de análise modal numérica com a utilização do método
de elementos finitos, onde se obteve o modelo modal da geometria do hélice (freqüências de
ressonância, fatores de amortecimento e formas deformadas), com o objetivo de se verificar a
possibilidade de ressonância no funcionamento do hélice, sem a influência do fluido de trabalho
(água) e obter dados comparativos entre os métodos numérico e experimental.
10
1. INTRODUÇÃO
Grande parte dos propulsores navais utilizados por embarcações na Amazônia é fabricada
em oficinas de fundição situadas na região que utilizam técnicas passadas de geração para
geração sem um controle rígido do processo, levando dessa forma, freqüentemente, a hélices
com propriedades mecânicas inferiores a valores aceitáveis durante a utilização do mesmo
(Moreira [1]), tornando-os suscetíveis a solicitações que possam provocar fraturas e
empenamentos com um baixo tempo de uso nas embarcações. Isto gera prejuízos consideráveis
em função do período em que os barcos permanecem parados à espera da reposição do hélice
(Coelho et al [2] e Moreira [1]).
As deficiências dos hélices estão geralmente associadas ao controle de qualidade na
fabricação, que não é rígido o suficiente, permitindo a produção destes rotores com ligas
metálicas de composição química inadequada à sua fabricação e o processo de fundição não
controlado da maneira ideal para fornecer às ligas metálicas a resistência necessária para as
exigências durante o funcionamento dos hélices.
Devido a este e outros problemas, procurou-se verificar a presença de vibrações no hélice
em sua faixa de freqüência de trabalho, para isto, realizou-se a análise modal numérica de dois
propulsores navais muito utilizados na região através do método dos elementos finitos, onde se
obteve o modelo modal da geometria do hélice (constantes modais e freqüências naturais).
Foi também realizada nos propulsores a análise modal experimental, desenvolvida em
laboratório, com o intuito de se validar os resultados numéricos, obtidos via software ANSYS,
versão 6.0 e, caso sejam encontradas diferenças, sugerir meios de tornar os resultados da análise
numérica via método de elementos finitos os mesmos dos valores experimentais.
Ambas as metodologias aplicadas têm o objetivo de verificar se há ocorrência de
ressonância nos hélices em funcionamento. Caso isto seja verificado, deve ser sugerido aos
produtores envolvidos na fabricação do conjunto propulsor das embarcações que alterem a
rotação no eixo dos hélices para que a região de trabalho dos rotores não coincida com a região
de ressonância dos mesmos, ou modifiquem a geometria dos hélices para que suas freqüências
naturais possam se diferenciar da região de trabalho dos mesmos.
As possíveis diferenças encontradas entre os dois métodos aplicados servem de base para
se melhorar a precisão e validar os ensaios computacionais realizados no propulsor.
Para expor este trabalho, inicialmente é feita uma abordagem a respeito da teoria dos
propulsores navais utilizados em embarcações, sendo dado destaque para a descrição das
características principais da geometria de um hélice naval. Em seguida é feita uma revisão da
11
teoria de análise modal experimental desenvolvida em laboratório, dos parâmetros principais
para a realização do teste e com os cuidados que se deve tomar para a execução de um ensaio
correto.
A seguir, é realizada uma revisão bibliográfica a respeito do método dos elementos
finitos, aplicado na discretização de modelos reais (viga e hélices, por exemplo), demonstrando a
teoria em que se baseia os modelos e as equações utilizadas.
Posteriormente, é feita uma descrição da modelagem computacional através do programa
ANSYS, que utiliza o método de elementos finitos para realizar os cálculos da análise modal dos
modelos gerados no computador.
Em seguida é demonstrado o cálculo teórico e numérico para a determinação das formas
modais e freqüências naturais de vibração de uma viga bi-apoiada e numérico para os dois
modelos de hélices navais, sendo posteriormente defrontados estes dados com os valores obtidos
experimentalmente, com o intuito de se verificar se existem diferenças entre estes procedimentos
e os valores de trabalho dos propulsores navais. A utilização da viga nestes testes tem a
finalidade de checar se o sistema de aquisição dos dados experimentais comporta-se de forma
correta de acordo com a teoria, adotando-se como padrão a teoria de vigas. As freqüências de
funcionamento dos hélices navais em regime são defrontadas com os valores obtidos nos ensaios
sendo verificada a possibilidade de ressonância no hélice em regime de funcionamento. Por fim,
são dadas sugestões para minimizar os prováveis desvios nos resultados numéricos e
experimentais.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
12
2. TEORIA DE PROPULSORES
As teorias mais antigas sobre a ação dos hélices seguiram duas linhas independentes de
concepção. Na primeira delas, a teoria do Disco Atuador, a obtenção de empuxo é explicada
pelas alterações de quantidade de movimentos junto ao fluido. Na segunda, a teoria de elementos
de pás, o empuxo é obtido através da análise de forças que atuam em cada uma das seções das
pás e, depois, integrando-as ao longo do raio do hélice.
As teorias do Disco Atuador são baseadas em princípios fundamentais corretos, mas não
fornecem informações sobre a forma do hélice que poderia produzir aquele empuxo calculado.
Nestas teorias, um “disco atuador”, ou algo similar representa um hélice por um número finito de
pás finas, ou seja, praticamente em um disco que absorve potência transforma-a em empuxo,
através de um acréscimo instantâneo de pressão no fluido que passa por ele. A mais importante
conclusão destas teorias é que a eficiência de um hélice ideal tem um limite máximo que é
função do carregamento das pás. Esta eficiência ideal é obtida pelas expressões abaixo:
ηI =
2
1 + 1 + CTH
ηI =
2
1 + 1 + τ .CTH
CTH =
T
1
2
.ρ . A0 .VA
2
e τ=
para hélices convencionais e
(1)
para hélices em dutos, sendo :
(2)
TH
, onde T é o empuxo total e TH é o empuxo fornecido pelo duto. (3)
T
ρ é a densidade específica da água: ρ = γ/g e A0 é a área do disco do hélice: A0 = π.D2/4. Onde γ
é a massa específica da água, em (Kg/m3) e D é o diâmetro do propulsor (em metros). VA é a
velocidade de avanço, dada por: VA = V (1-ω), sendo V, a velocidade da embarcação em m/s e ω
o coeficiente de esteira efetiva, que é zero para as condições de mar aberto. Este coeficiente
relaciona o arrasto da embarcação com a velocidade da mesma.
Por outro lado, as teorias de elementos de pás, por si só, são capazes de prever os efeitos
de alterações geométricas nos hélices, mas apresentam incorretamente a eficiência de um hélice
ideal como sendo igual à unidade.
As diferenças entre os dois grupos de teorias só foram resolvidas com o aparecimento da
Teoria da Circulação, inicialmente criada por Lanchester para a aeronáutica, em 1907, e depois
aplicada a hélices marítimos por Prandtl e por Betz. Esta teoria mostrou a relação entre as
mudanças de quantidade de movimentos mo escoamento com as forças atuando em cada
13
elemento da pá. Como grande vantagem, apresentou formas adequadas para aplicações em
projetos práticos, com grande concordância com resultados experimentais. Ao longo do tempo, e
acompanhando a evolução de ferramentas e capacidades computacionais, foram sendo
desenvolvidas aplicações como a teoria da linha de sustentação e a teoria da superfície de
sustentação.
A teoria da linha de sustentação basicamente modela a pá como uma linha rígida de
vórtices, que possui circulação ao longo do raio do propulsor. A teoria da superfície de
sustentação faz a representação da pá por meio de uma superfície de vórtices, obtendo-se, desta
forma, um modelo tridimensional.
2.1 APLICAÇÃO DAS TEORIAS DOS PROPULSORES
Durante muitos anos, os hélices foram projetados, quase que exclusivamente, utilizando
as curvas de séries sistemáticas. A grande vantagem das séries era proporcionar previsões de
desempenho próximas da realidade, dada a quantidade e qualidade dos dados experimentais
disponíveis. A maior desvantagem da utilização das séries é que grande parte da geometria do
hélice já se encontra definida, não possibilitando uma otimização completa do projeto para cada
caso.
Surgiu, então, a necessidade de se desenvolver métodos baseados na teoria da circulação,
com aplicações práticas ao projeto que permitissem a obtenção da geometria ótima de cada
hélice. Como as diferenças entre as eficiências obtidas por séries e por teoria são geralmente
mínimas, a principal razão para a utilização do projeto teórico é conseguir melhorar o
comportamento com relação à cavitação e às vibrações induzidas.
2.2 SÉRIES SISTEMÁTICAS DE HÉLICES
Uma série sistemática de hélices consiste, basicamente, na fixação de alguns parâmetros
geométricos e na variação de outros, obtendo-se, através de ensaios de água aberta com modelos
em tanques de prova ou túneis de cavitação, as curvas características de cada hélice, ou seja, de
cada uma das combinações geométricas resultantes.
Geralmente, as séries fixam as distribuições de cordas, de espessuras máximas e de
passos, assim como as formas dos perfis das seções das pás e do diâmetro do eixo mais o
reforço. Os parâmetros que variam são número de pás, razão da área expandida e razão
passo/diâmetro.
14
Ao longo dos anos de utilização dos hélices, foram criadas inúmeras séries sistemáticas
para os vários tipos de embarcações, a fim de facilitar o seu projeto e a análise de operação. Há
séries de hélices apropriadas para embarcações mercantes, para navios de guerra, para lanchas
rápidas, etc.
2.3 A UTILIZAÇÃO DE HÉLICES EM DUTOS
Os hélices em dutos representam os melhores tipos de propulsores de embarcações
fluviais de carga, pois apresentam maiores rendimentos nas faixas de operação típicas – baixas
velocidades e altos carregamentos. Outra vantagem do hélice em duto sobre o convencional é
que os dutos apresentam tendência de regularizar o escoamento, resultando em menores
variações de empuxos e de torques durante a operação.
Nos rios amazônicos é freqüente a presença de troncos e detritos em suspensão na água.
Neste contexto, os dutos podem aumentar os problemas de avarias por choques das pás dos
hélices já que há uma concentração de sucção da água e dos corpos nela presentes. Um pequeno
detrito que venha a atingir uma ponta da pá de um hélice sem duto seria empurrado para longe,
resultando em uma avaria única devida ao impacto. Contudo, aquele mesmo detrito poderia
causar um estrago maior chocando-se com as pás de um hélice confinado dentro de um duto.
Os dutos devem ser projetados e construídos adequadamente para não ficarem
ovalizados, durante a instalação ou operação (no caso de toques com o fundo do rio). A distância
entre as pontas dos hélices e as paredes dos dutos deve ser a menor possível, para que não
ocorram perdas significativas de eficiência. Como valor máximo, esta folga deve ser de 0,7% do
diâmetro do hélice. Na Figura 2.1, é mostrado um hélice de uma grande embarcação o qual
utiliza duto.
15
Figura 2.1. Exemplo da utilização de hélices em dutos.
2.4 CAVITAÇÃO
Um dos aspectos mais estudados em propulsores, a cavitação é um fator de limitação ao
projeto de um hélice. Explicado como um fenômeno que ocorre a partir do aparecimento de
regiões das pás com pressões abaixo da pressão de vapor da água (101,3 KPa ou 1 atm), a
cavitação quase sempre traz grandes preocupações aos projetistas, já que pode apresentar efeitos
indesejáveis como a queda de empuxo, erosão das pás e aumento das vibrações induzidas pelo
propulsor.
Uma das formas mais prática de se prever problemas relacionados com cavitação é a
utilização do diagrama de Burril (figura 2.2), baseado em dezenas de ensaios em túneis de
cavitação de hélices de geometrias variadas. O diagrama relaciona o coeficiente de carregamento
CTH em função das pressões presentes nas pás τc e o índice de cavitação relativo à velocidade
resultante na seção a r/R = 0,70 das pás σ0,7R . Tanto τc como σ0,7R levam em conta as
componentes rotacional e axial das velocidades nas pás.
No diagrama de Burril, são apresentadas as definições de seus parâmetros e as equações
aproximadas de suas curvas, que indicam a percentagem da área das pás cobertas por cavitação
no dorso dos hélices. Apesar de ser um método empírico, que apresenta informações quanto ao
comportamento aproximado e médio dos hélices, a pratica tem demonstrado que resultados são
confiáveis.
16
Figura 2.2. Diagrama de Burril para previsão de quantidades de cavitação em pás de hélices.
(Burril e Emerson, 1962, em Padovezi [12])
A utilização do diagrama de Burril apenas possibilita estimar a quantidade de cavitação
nas pás e verificar se há risco de ocorrer queda de empuxo (e de torque) no hélice, resultante da
presença de cavitação excessiva. O diagrama não indica o tipo de cavitação presente nem se há
possibilidade de ocorrer erosão nas pás.
A ocorrência de erosão por cavitação está associada principalmente a um dos três casos
apresentados a seguir:
a) hélices de grandes embarcações marítimas, com altos coeficientes de bloco (CB) e
grandes diâmetros de hélices, resultando em variações significativas da velocidade
resultante em cada pá à medida que ela faz uma rotação de 360º. Nesses casos,
mesmo com pequena área das pás cobertas por cavitação (5%, por exemplo), pode
haver erosão devido à natureza da cavitação, predominantemente de bolhas. As
bolhas se formam e desaparecem através de implosões junto à superfície das pás, por
força da variação periódica e abrupta das velocidades na região do hélice;
b) ocorrência de elevados valores de velocidades de escoamento que levam a pressões
locais muito baixas fazendo com que quaisquer descontinuidades das superfícies das
pás se constituam em pontos preferenciais de implosão de bolhas de cavitação;
17
c) presença de cavitação excessiva nas pás, induzindo turbulência local de caráter
periódico que pode levar à erosão.
As causas de vibrações induzidas por cavitação são muito próximas daquelas que levam à
erosão, basicamente ligadas à não uniformidade do escoamento com cavitação, com variações
abruptas de pressões e velocidades.
Nos casos de hélices de embarcações fluviais, que apresentam diâmetro de rotor
reduzidos e baixas velocidades, a probabilidade de ocorrência de erosão e de vibrações por
cavitação é menor, quando se tomam os cuidados para que a quantidade de cavitação não seja
demasiada. Adotam-se, geralmente, 10% como a porcentagem máxima aceitável de cavitação no
dorso das pás, para que não ocorram problemas de queda de empuxo, de erosão e de vibrações.
A seguir é mostrada a distribuição de ocorrência de cavitação em um hélice naval e sua
ação sobre as pás.
Figura 2.3. Aspecto da ação da cavitação em hélice naval de lancha. (Yanmar, 2000, [22])
2.5 PROJETO DE HÉLICES POR SÉRIE SISTEMÁTICA
O projeto do hélice é a determinação da geometria mais adequada para operar junto ao
casco, em certo número de rotações, consumindo uma potência que deve ser fornecida por um
conjunto motor-redutor, e impulsionando a embarcação (em sua condição de deslocamento de
projeto) em uma determinada velocidade.
No caso de hélices de séries sistemáticas, onde vários parâmetros geométricos já estão
fixados, a definição do hélice é feita através da escolha do diâmetro, do número de pás, do passo
18
e da área das pás. Da interação com o conjunto motor-redutor-eixo deve resultar o número de
rotações de operação e a potência consumida. A condição de deslocamento do casco escolhida
para o projeto e a definição da velocidade desejada completam o quadro.
2.6 DEFINIÇÃO DA GEOMETRIA DOS HÉLICES
Dada a extrema complexidade da operação de embarcações fluviais, a tendência é que a
geometria dos seus hélices tenha algumas características como simetria no contorno das pás,
espessuras maiores que aquelas de séries sistemáticas de propulsores, grande área de pás e
diâmetros reduzidos. Para compensar a restrição de diâmetros, são utilizadas pequenas razões de
redução de rotações dos motores, a fim de resultar em altas rotações nos eixos dos hélices. A
seguir é mostrado um hélice naval com as algumas de suas características principais.
Figura 2.4. Algumas das características geométricas principais de um hélice naval.
2.7 NÚMERO DE HÉLICES
A escolha do número de hélices de uma embarcação tem reflexo direto sobre a geometria
que deverá resultar de um projeto. Isto ocorre porque quanto maior o número de rotores, menor o
carregamento das suas pás, pois haverá maior divisão da produção do empuxo.
O diâmetro requerido dos hélices pode ser diminuído se aumentada a quantidade de
hélices da embarcação, o que leva a uma subdivisão maior da potência disponível em cada eixo.
19
Em embarcações para navegar em águas muito rasas, pode ser conveniente adotar-se até quatro
hélices. Neste caso, a maior quantidade de motores, redutores, eixos e mancais necessários
resultará em custos proporcionalmente maiores.
A adoção de uma embarcação fluvial monohélice não contribui para a segurança da
navegação, já que o desempenho em manobras é pior que os de bihélices e não há confiabilidade
pois qualquer componente avariado do sistema propulsivo (motor, eixo, caixa de redução,
mancais, hélice) põe em risco a embarcação, sem alternativas de operação emergencial. Desta
forma, as embarcações fluviais da região amazônica poderiam adotar dois hélices aumentando a
segurança em detrimento de um aumento dos custos, o que evitaria transtornos durante viagens.
2.8 DIÂMETRO
A eficiência dos hélices tende a crescer com o aumento do diâmetro, porque o
carregamento específico das pás (representado por CTH =
T
0,125.ρ .V A .π .D 2
2
) decresce. A eficiência
ideal de propulsão ηI aumenta com a diminuição de CTH, como mostrado da expressão abaixo:
ηI =
2
1 + 1 + CTH
(4)
O diâmetro de um hélice é limitado pela geometria da região onde vai ser instalado. Tal
região deve ficar totalmente imersa para que não ocorra aeração (recolhimento de ar pelas pás do
hélice). Em embarcações com restrições extremas de calado, pode haver a necessidade de
aplicação em túneis de popa, de modo a permitir hélices com diâmetros superiores ao calado (até
cerca de 10% a mais).
A distância das pontas das pás ao casco deve ter um valor mínimo que garanta que os
esforços variáveis induzidos pelo propulsor não sejam elevados, a pondo de introduzir
intensidades de vibrações indesejadas. Quanto maiores as distâncias das pás ao casco, menores
as possibilidades dos hélices induzir vibrações. Estas distâncias, denominadas claras, são
recomendadas por projetistas e sociedades classificadoras em valores que variam de 8% a 25%
do diâmetro do hélice, dependendo do tipo de embarcação.
2.9 ÁREA DAS PÁS
A área das pás de um hélice tem influência sobre dois aspectos importantes: em princípio,
quanto menor a área das pás, menores as perdas por atrito (arrasto) e maior a eficiência do
20
hélice; por outro lado, quanto menor a área da pá maior a sua suscetibilidade ao fenômeno da
cavitação.
Os projetistas tendem a buscar sempre a utilização da menor área possível das pás, pois a
eficiência tende a decrescer com o aumento da área devido ao fato das perdas por atrito
aumentarem.
Figura 2.5. Perdas de eficiência do hélice em função do carregamento das Pás. (Padovezi, 1997, [12])
As perdas relacionadas com a área das pás são aquelas devidas ao arrasto nas pás, que
apresentam a tendência de diminuir com o aumento de CTH .
Proporcionalmente, a importância das perdas por atrito diminui mais ainda com o
acréscimo de CTH, devido ao fato das perdas axiais crescerem de uma maneira significativa,
fazendo cair drasticamente a eficiência total.
A seguir são apresentados dois modelos de hélices de mesmo diâmetro com área das pás
diferentes, o modelo da esquerda apresenta uma área das pás cerca de 63% menor que o modelo
da direita, exemplificando que um hélice pode ser substituído por outro com parâmetros
modificados a fim de se reduzir as influências da cavitação.
21
Figura 2.6. Aumento da área das pás (redimensionamento) quanto à cavitação. (Geer, 1989 [18])
2.10 NÚMERO DE PÁS
O número de pás de hélices de embarcações fluviais varia geralmente de 3 a 5 sendo mais
comum hélices de 4 pás. Hélices com menores números de pás tendem a ter eficiências um
pouco maiores que aquelas com mais pás. Por outro lado, os hélices com números de pás
menores apresentam níveis de vibrações induzidas significativamente maiores que os hélices de
maior número de pás.
Contudo, o aspecto mais importante ligado à escolha do número de pás de um hélice está
relacionado com a freqüência de excitação de vibrações no casco e no sistema eixo-propulsor. A
freqüência de excitação (f = Z.n, onde Z é o número de pás e n a rotação do propulsor) deve ser
diferente das freqüências de ressonâncias do casco e do sistema de eixos propulsores.
Evidentemente se trata de uma tarefa dificultosa prever as freqüências naturais de partes do
casco e do sistema propulsivo. É comum aplicar-se dados de embarcações semelhantes ou
fórmulas empíricas.
Quando não há problemas de proximidades de freqüências de ressonâncias, há uma tendência
de serem utilizadas quatro pás por duas razões principais:
•
há maior facilidade de construção e balanceamento estático e dinâmico das pás,
•
está entre Z=3 (eficiência um pouco maior) e Z=5 (vibrações induzidas menores).
22
2.11 ESPESSURAS MÁXIMAS
Basicamente, a determinação das espessuras máximas das seções das pás de um hélice
depende do cálculo de resistência estrutural necessária. As sociedades classificadoras indicam
formulações para calcular as espessuras mínimas requeridas que, inclusive, levam em
consideração a probabilidade de fadiga do material.
Na grande maioria dos casos, quando se utilizam materiais apropriados para confecção de
hélices (ligas de cobre-zinco, manganês-bronze e de níquel-alumínio por exemplo) as espessuras
definidas pelas séries sistemáticas são maiores que as espessuras mínimas requeridas pelas
sociedades classificadoras. Quando o material é menos resistente, como é o caso do ferro nodular
fundido (às vezes utilizado por ser mais barato) as espessuras necessárias serão maiores que
aquelas indicadas pela série sistemática, obrigando o projetista a uma adaptação das formas das
seções.
No caso de embarcações que operam em águas onde há grande possibilidade de
ocorrência de choques nas pás de seus hélices, como acontece com algumas embarcações
fluviais, pode haver necessidade de aumento das espessuras para que haja uma resistência
adicional que evite fraturas e deformações das pás durante sua operação.
O aumento de espessuras máximas implica em aumento de razão t/c (espessura/corda)
das seções, alterando a forma dos perfis das seções das pás (distribuições de espessuras ao longo
das cordas). As distribuições de pressões sofrem alterações que podem fazer com que piorem as
condições de cavitação dos perfis mais próximos das pontas das pás. Para compensar o aumento
de espessura, uma solução satisfatória é aumentar as cordas das pás (a área estendida).
2.12 PASSOS
A distribuição de ângulos de passos ao longo do raio está diretamente ligada à
distribuição de circulação e de carregamento das pás. Neste sentido, às vezes, modifica-se a
distribuição de passos para resolver problemas específicos, como por exemplo, aliviar o
carregamento das pontas das pás a fim de se diminuir intensidades de cavitação e,
conseqüentemente de ruído.
No caso de embarcações fluviais, não há muito espaço para modificações nas
distribuições de passos. Recomenda-se seguir formas simplificadas das séries sistemáticas, com
passos constantes ao longo do raio, o que, no mínimo, facilita a construção dos hélices.
23
Figura 2.7. Demonstração do passo de hélices navais.
2.13 CAIMENTO (RAKE) E ASSIMETRIA DO CONTORNO DAS PÁS (SKEW)
O caimento é uma inclinação do eixo das pás no sentido longitudinal da embarcação,
geralmente à ré. Trata-se de uma alternativa para aumentar as distâncias das pontas das pás ao
casco ou para aumentar o diâmetro do hélice a ser instalado em uma determinada popa. Como
inconveniente, introduz momentos que obrigam a adoção de maiores espessuras nas raízes das
pás.
O skew, assimetria do contorno em relação à linha geratriz da pá, apresenta uma grande
contribuição para a redução dos níveis de cavitação intermitente (que pode provocar erosão) e de
vibrações induzidas pelo propulsor em operação em campo não-uniforme de velocidades. O skew
torna mais amena a passagem das pás pelas várias regiões de intensidades diferentes de pressão,
diminuindo as intensidades das flutuações de pressões junto às pás.
Tanto o caimento como a assimetria não introduzem diferenças nas eficiências dos
propulsores em condições de operações normais a vante. Porém, quando em operação à ré, os
hélices com estas assimetrias apresentam certa redução de eficiência quando comparados com
hélices sem caimento e assimetria. Nas embarcações fluviais, onde a operação à ré dos hélices é
freqüente, tem havido uma tendência de se evitar tanto o caimento como a assimetria no projeto
dos hélices.
24
Figura 2.8. Hélice naval com assimetria (à esquerda) e o caimento (à direita). (Geer, 1989 [18])
Figura 2.9. Hélice com caimento a vante (esquerda), nulo (centro) e com caimento à ré (direita).
(Geer, 1989 [18])
2.14 PERFIS DAS SEÇÕES DAS PÁS
Se uma das pás de um hélice naval for cortada perpendicularmente ao raio do propulsor
nesta pá, pode-se obter a seção que deu origem ao formato da pá. Cada seção tem uma forma
cuidadosamente determinada para afetar de forma positiva a performance do propulsor.
As duas formas mais comuns de se construir as seções das pás são a ogiva e a aerofólio.
O formato ogiva caracteriza-se por um lado cortado retilíneo e o outro curvo simetricamente à
superfície de sucção. As arestas de entrada e saída das seções das pás são pontiagudas de acordo
com a corda ou comprimento da seção. A costa do perfil ou área de sucção é constituída de um
25
segmento circular, elíptico ou uma curva senoidal, com a máxima espessura exatamente no meio
da corda ou comprimento da seção.
As seções do tipo aerofólio lembram as tradicionais seções de asa de avião. A superfície
de sucção é arredondada e não pontiaguda, como ocorre no tipo ogiva, e a espessura máxima da
seção ocorre a um terço da corda no lado da aresta de sucção.
Os propulsores navais do tipo hélice trabalham gerando empuxo através da criação de um
diferencial de pressão entre as faces de sucção e pressão, tal como em asas de avião. A superfície
de sucção de um perfil do tipo aerofólio realmente gera muito diferencial de pressão, criando
áreas locais de pressões muito negativas logo após a aresta de entrada da seção, o que leva ao
aparecimento de cavitação. Para se evitar isto, em muitos propulsores são empregados perfis do
tipo ogiva nas pás.
Em muitos propulsores modernos, as seções das pás próximas ao eixo ou raiz eram
construídas no formato do tipo aerofólio. Isto ocorre porque a velocidade do fluxo de água nestas
regiões mais próximas ao eixo é substancialmente menor do que nas seções mais próximas do
raio externo da pá. Assim, as seções das pás mais externas podem seguramente ser construídas
no formato ogiva, sem perda de eficiência e evitando o aparecimento de pressões negativas
locais elevadas que incorram no surgimento de cavitação.
A seguir são mostrados os dois tipos de perfis utilizados nas seções das pás e as
distribuições de pressão no contorno dos perfis.
Figura 2.10. Perfis Ogiva (esquerda) e Combinada (direita). (Geer, 1989 [18])
26
Figura 2.11. Distribuição de espessura nos perfis Ogiva (cima) e Combinada (baixo). (Geer,
1989 [18])
Figura 2.12. Distribuição de pressão nos perfis Ogiva (cima) e Combinada (baixo). (Geer, 1989
[18])
27
3. HÉLICES NAVAIS B9 E NS18
Os hélices navais NS18 e B9 são utilizados na propulsão de pequenas embarcações de
passageiros, típicas da região costeira de cidades e vilarejos populosos como Belém, Icoaraci,
Breves, Santarém, Soure, Bragança, Vigia, dentre outras da região Amazônica. Estas
embarcações, feitas com casco de madeira, possuem dimensões reduzidas (comprimento entre
proa e popa, boca e calado) requerendo hélices navais pequenos para a sua propulsão, pois a
relação entre diâmetro máximo do rotor e o calado da embarcação é de aproximadamente 0,67,
sendo o diâmetro do hélice sempre menor que o calado do barco.
A matéria-prima utilizada na produção destes e de outros propulsores navais foi analisada
com o intuito de serem obtidas as composições químicas das amostras coletadas em oito cidades
do estado do Pará. Estas são representadas pela Tab. (3.1). As propriedades mecânicas do
material são dados de entrada de considerável importância na análise numérica via método dos
elementos finitos. Na Tabela (3.1), nota-se que a maioria das amostras são constituídas de latão,
ou seja, ligas de cobre e zinco (Cu e Zn).
Tabela 3.1 Composições químicas (%) de propulsores navais tipo hélice produzidos na área
metropolitana de Belém e em alguns municípios do Estado do Pará [1].
Amostra
Cu
Zn
Sn
Al
Si
Fe
S
P
Belém 1
81,72
15,02
2,27
-
-
0,79
0,21
Belém 2
81,26
15,35
2,31
-
-
0,84
0,25
Belém 3
77,91
19,92
1,45
-
-
0,59
0,13
Belém 4
77,47
20,50
1,50
-
-
0,48
0,06
Abaeté 1
84,77
12,43
1,41
-
-
0,82
0,58
-
Abaeté 2
59,58
5,15
14,34
1,36
2,54
12,46
1,29
0,87
Breves 1
74,28
16,22
2,70
0,40
0,58
2,29
-
0,13
Breves 2
90,40
3,90
0,78
1,22
1,84
1,67
0,13
0,07
Marabá 1
64,01
32,26
-
0,50
-
-
-
Marabá 2
-
-
-
60,40
37,47
2,12
-
Santarém 1
49,58
28,77
-
0,67
-
1,39
-
Santarém 2
0,34
0,32
-
95,22
-
2,40
-
Vigia 1
88,80
6,00
4,28
-
-
0,54
0,38
Vigia 2
74,29
18,78
1,97
-
0,22
0,83
0,72
Bragança
76,46
15,72
2,38
-
0,52
0,88
1,56
Soure
78,68
13,54
1,26
0,65
1,73
4,16
-
-
28
As características principais dos propulsores B9 e NS18 são apresentadas a seguir, nas
tabelas (3.2) e (3.3), respectivamente:
Tabela 3.2. Características principais do hélice B9
Hélice Tipo B9
Numero de Pás
3
Passo (mm)
278
Diâmetro (mm)
264
Ângulo de Caimento (º)
Peso (g)
Material da liga Metálica
8
1.278,00
Cobre-zinco
29
Tabela 3.3. Características principais do hélice NS18.
Hélice Tipo NS18
Numero de Pás
3
Passo (mm)
278
Diâmetro (mm)
270
Ângulo de Caimento (º)
16
Peso (g)
Material da liga Metálica
1.252,00
cobre-zinco
As propriedades mecânicas dos propulsores navais coletados na região são listadas a
seguir:
30
•
Massa Específica (ρ) – 8000 a 8600 Kg/m3;
•
Módulo de Elasticidade Longitudinal (E) – 75,8 a 103,5 GPa; (Ferreira e Lima [3]);
•
Coeficiente de Poisson (ν) – 0,3 a 0,36
O motor marítimo utilizado para fornecer potência a estes hélices navais é o da Yanmar,
cujas características são apresentadas na tabela (3.4) a seguir.
Tabela 3.4. Características do motor utilizado no sistema propulsivo analisado.
Modelo
NSB18
NSB18R
Motor Diesel, Horizontal a 4 tempos
Tipo
Número de
cilindros
Potência
(NBR6396) Kw(cv)
rpm
Sistema de
combustão
Sistema de
lubrificação
Sistema de
refrigeração (água)
Sistema de partida
Sentido de rotação
Tanque de
combustível (litros)
Peso líquido (kg)
NSB18RE
1
Contínua - 8,8(12,0)/1800-11,0(15,0)/2200
Intermitente - 9,5(13,0)/1800-12,0(16,5)/2200
Antecâmara
Forçada por bomba trocóide
Evaporação
Radiador
Manual
Manual e Elétrica
Anti-horário (visto pelo lado do volante)
16,5
175
25
165
199
Figura 3.1. Motor marítimo constituinte do sistema propulsivo analisado.
31
4. TEORIA DE ANÁLISE MODAL EM VIGAS
Um modelo simples como uma viga bi-apoiada pode também ter extraído de sua estrutura
suas formas modais. Se ensaiado numérica e experimentalmente, pode exemplificar bem quão
estes dois procedimentos se aproximam, demonstrando que a análise modal através dos métodos
adotados pode ser aplicada para o caso dos hélices navais.
Para o estudo da vibração transversal em barras devem ser consideradas as seguintes
hipóteses simplificadoras:
•
A barra tem seção transversal constante;
•
A barra é simétrica em relação ao eixo neutro;
•
As dimensões laterais são pequenas comparadas ao comprimento da barra;
•
EI é constante;
•
Superfícies planas permanecem planas;
•
A inércia rotativa da barra é pequena e pode ser negligenciada;
•
As amplitudes de vibração são pequenas.
As forças infinitesimais de tração (+) e compressão (-) na seção infinitesimal de uma viga
são dadas por:
dF = ± E.ds.
∂τ(x, t )
∂x
(5)
sendo:
τ (x,t): deslocamento longitudinal
x: coordenada de posição
t: tempo
O comprimento do arco dx é dado por:
dx = R.dφ
com:
R: raio de curvatura da linha neutra.
(6)
32
Da mesma maneira, o comprimento de arco de uma seção longitudinal acima da linha
neutra é:
dx + dτ( x, t ) = (R + r )dφ
(7)
De (5) e (6), vem:
dτ( x , t ) r
=
dx
R
(8)
Levando esta equação até a equação (5):
dF = − E.ds.
F = −E
r
R
r
ds
−h / 2
R
h/2
(9)
∫
Sendo b a largura da barra e h a altura, fazendo ds = b.dr , então:
F=−
E h/2
b ∫ r.dr = 0
R −h / 2
(10)
Portanto, não existe força longitudinal atuando na viga. O momento gerado sobre a linha
neutra é:
r
M = ∫ f .dF = −
−r
E r 2
∫ r ds
R −r
(11)
r
como I = ∫ r 2 ds (12) é o momento de inércia da seção transversal da barra, a equação (11) fica:
−r
M=−
EI
R
O raio de curvatura é função da posição e é dado por:
(13)
  ∂y( x , t )  2 
 
1 + 
 ∂x  

R=
∂ 2 y( x , t )
∂x 2
R=
33
3/ 2
1
∂ y( x , t )
∂x 2
2
(14)
onde y(x,t) é o deslocamento transversal. De (13) e (14):
∂ 2 y( x , t )
M = −EI
∂x 2
(15)
Figura 4.1. Elemento de uma viga sujeito a momento fletor e cortante.
Acima, tem-se um elemento da barra sujeito a um momento fletor e cortante. Fazendo a
soma dos momentos:
ΣM = M x − M x +dx − Vx +dx .dx
(16)
Expandindo Mx+dx e Vx+dx em série de Taylor e negligenciando os termos de ordem
superior:
M x +dx = M x +
∂M
dx
∂x
(17)
Vx +dx = Vx +
Σ−
De onde:
∂V
dx
∂x
34
(18)
∂M
∂V 2
dx − Vx dx −
dx
∂x
∂x
Assumindo que o termo de inércia rotativa é muito pequeno e negligenciando os termos
de segunda ordem:
ΣM = −
Vx = −
∂M
dx − Vx dx = 0
∂x
∂M
∂x
(19)
Levando a equação (11) até (12):
V = EI
∂ 3 y( x , t )
∂x 3
(20)
A soma das forças na direção y fornece:
ΣFy = Vx − Vx +dx
ΣFy = −
∂V
dx
∂x
(21)
A 2ª Lei de Newton fornece:
∂ 2 y( x , t )
ΣFy = ρ.S.dx
∂t 2
∂ 4 y( x , t )
∂ 2 y( x , t )
+ ρ.S
=0
E.I
∂x 4
∂t 2
2
como: c L =
(22)
E
I
2
e o raio de giração rk = , a equação (21) pode ser escrita da seguinte forma:
ρ
S
35
4
∂ 2 y( x , t )
2
2 ∂y ( x , t )
+
c
.
r
=0
L
k
∂t 2
∂x 4
(23)
Na solução da equação (23) são necessárias as condições iniciais:
y( x,0) = y 0 ( x )
∂y( x ,0)
= v0
∂t
E as seguintes condições de contorno, que dependem do tipo de fronteira:
Tabela 4.1. Condições de contorno para uma viga, que dependem do tipo de fronteira.
Extremidade
Desenho
Condições de contorno
Engastada
y=0 e
∂y
=0
∂x
Pinada
y=0 e
∂2y
=0
∂x 2
Deslizante
∂2y
∂y
=0
=0 e
∂x 2
∂x
Livre
∂2y
∂3y
=0 e
=0
∂x 2
∂x 3
Elástica
EI
∂3y
∂y ∂ 2 y
=0
kx
c
=
−
−
e
∂x 2
∂x 3
∂t
A solução da equação da onda para vibração transversal é da forma:
y( x, t ) = ψ( x ).T( t )
Levando a equação (24) até a equação (23), obtém-se:
(24)
ψ( x )
36
4
∂ 2 T( t )
2 2 ∂ ψ( x )
+
T
(
t
).
c
r
=0
L k
∂t 2
∂x 4
1 d 4 ψ(x )
1 d 2 T( t )
2 2
= −c L rk
T( t ) dt 2
ψ ( x ) dx 4
Separando as variáveis:
1 d 2 T( t )
= −ω 2
2
T ( t ) dt
2
− c L rk
2
1 d 4 ψ( x )
= −ω 2
4
ψ ( x ) dx
⇒
d 2 T( t )
+ ω2 T ( t ) = 0
2
dt
(25)
⇒
d 4 ψ(x )
ω2
−
ψ( x ) = 0
2 2
dx 4
c L rk
(26)
A solução da equação (25) é:
T( t ) = A. cos ωt + B.sen ωt
Fazendo k b =
que
(27)
ω
, onde c b = c L .rk .ω é a velocidade de propagação da onda de flexão e
cb
ω2
4
= k b , a equação (26) pode ser escrita:
2
c L .rk
d 4 ψ(x )
− k b ψ( x ) = 0
dx 4
(28)
(
4
)
Tomando a solução: ψ ( x ) = C.e sx , a equação (28) fica: s 4 − k b C.e sx = 0 (29), aplicando
4
solução trivial: s 4 = k b . Portanto: s 2 = ± k b
s1 = k b ;
2
s 2 = −k b ;
s 3 = j.k b ;
s 4 = − j.k b
A solução fica:
ψ ( x ) = C1e k b x + C 2 e − k b x + C 3e jk b x + C 4 e − jk b x
(30)
37
Como:
e ± jk b x = cos(k b x ) ± j.sen(k b x )
e ± k b x = cosh(k b x ) ± senh(k b x )
A equação (30) pode ser escrita:
ψ ( x ) = D1 cosh(k b x ) + D 2 senh(k b x ) + D 3 cos(k b x ) + D 4 sen(k b x )
(31)
A solução geral é obtida substituindo as equações (27) e (31) na equação (24):
ψ( x, t ) = [D1 cosh(k b x ) + D 2 senh(k b x ) + D 3 cos(k b x ) + D 4 sen(k b x )](A cos ωt + B sen ωt ) (32)
Os valores de A e B são obtidos através das condições iniciais e os valores de D1, D2, D3
e D4 são obtidos pelas condições de contorno.
Pode-se agora determinar as freqüências e formas modais de vibração transversal livre
que podem existir sobre uma viga que está simplesmente apoiada.
Tomando as condições de contorno:
y(0, t ) = 0
CC-1
y(L, t ) = 0
CC-2
∂2y
∂x 2
∂2y
∂x 2
0
=0
CC-3
L
=0
CC-4
ψ ( x ) = D 1 cosh(k b x ) + D 2 senh(k b x ) + D 3 cos(k b x ) + D 4 sen(k b x )
(33)
∂ 2 ψ(x )
2
= k b [D 1 cosh(k b x ) + D 2 senh(k b x ) − D 3 cos(k b x ) − D 4 sen(k b x )]
2
∂x
(34)
Aplicando as condições de contorno CC-1 e CC-2:
D 1 + D 3 = 0

D 1 − D 3 = 0
38
⇒
D1 = D 3 = 0
Assim, tem-se:
ψ ( x ) = D 2 senh(k b x ) + D 4 cosh(k b x )
∂ 2 ψ( x )
2
= k b [D 2 senh(k b x ) − D 4 sen(k b x )]
2
∂x
Aplicando as duas condições de contorno restantes (em x = L):
D 2 senh(k b L) + D 4 cos(k b L) = 0

D 2 senh(k b L) − D 4 cos(k b L) = 0
Como senh(kbL) ≠ 0 ⇒
⇒
2.D 2 sen(k b L) = 0
D 2 = 0 . Então em razão de D 1 = D 2 = D 3 = 0 , tem-se:
D 4 sen(k b L) = 0 , como D 4 ≠ 0
sen(kbL) = 0
k b L = nπ ; n=1, 2, 3, 4
2
Como c b = c L rk ω n
2
ωn
2
ωn
2
 nπ  2
=   c b (n )
 L
(35)
2
 nπ 
=   c L rk , n=1, 2, 3, ...
 L
As formas modais são dadas por:
(36)
39
ψ n ( x ) = D 4 sen(k b ( n ) x )
com k b ( n ) =
(37)
nπ
, n=1, 2, 3, ..., com as seguintes formas modais:
L
Figura 4.2. Três primeiras formas modais de uma viga em balanço
2
OBS.: Como c L =
ωn =
n 2π2
L2
I
E
2
e rk = :
ρ
S
EI
ρS
⇒
ωn = n 2 π 2
EI
ρSL4
Porém: m = ρ.S.L
ωn = n 2 π 2
EI
mL3
(38)
40
5. CONSIDERAÇÕES SOBRE ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL
Considere uma placa plana, com as bordas livres, sobre a qual foi aplicada, em um de
seus cantos, uma força F, conforme ilustrado na figura (5.1) variando com o tempo de um modo
senoidal. Esta força apresentará um valor de pico constante, mas sua freqüência de oscilação
pode variar, e a resposta da placa devido a esta força será medida com um acelerômetro fixado a
um outro canto da placa.
Figura 5.1. Placa livre excitada por força variável
Figura 5.2. Resposta da placa.
Agora, se for medida a resposta da placa, nota-se que a amplitude de vibração muda
quando se modifica a freqüência de oscilação da força F aplicada, conforme pode ser visualizado
na figura (5.2). Assim, variando a freqüência de oscilação da força, haverá aumentos, como
também diminuições, na amplitude de vibração em pontos diferentes da escala de tempo. Apesar
de se estar aplicando o mesmo pico de força, a sua freqüência de oscilação varia e, assim, a
resposta amplia quando se aplica a força com uma freqüência de oscilação o mais próximo da
freqüência natural da placa (freqüência de ressonância) e alcança um máximo quando a
freqüência de oscilação for igual à freqüência natural da placa.
A figura (5.2), que apresenta dados no domínio do tempo, fornece informações muito
úteis. Entretanto, se forem manuseados os dados que estão no domínio do tempo transformandoos para o domínio da freqüência, usando a transformada de Fourier, pode-se obter a Função
Resposta em Freqüência (FRF), apresentada na figura (5.3). Nesta, existem alguns itens para
serem observados, por exemplo, nota-se que existem picos nesta FRF que ocorrem nas
freqüências naturais do sistema (placa), ou seja, estes picos ocorrem exatamente nas freqüências
que correspondem à parte do diagrama temporal onde foi observado ter um máximo na resposta,
devido à excitação de entrada representada pela força F. Assim, sobrepondo as respostas no
domínio do tempo e da freqüência, conforme se visualiza na figura (5.4), observa-se que existe
uma coincidência entre as posições em que os máximos valores dos dois diagramas ocorrem.
41
Portanto, pode-se usar tanto a resposta no domínio do tempo quanto a no domínio da freqüência
para determinar as freqüências naturais do sistema. Por outro lado, é transparente que a Função
Resposta em Freqüência permite uma avaliação mais direta e, portanto, claramente mais fácil de
se realizar.
Figura 5.3. FRF para a placa.
Figura 5.4. Sobreposição das respostas.
Os padrões de deformação da estrutura assumem uma variedade de formas diferentes
dependendo de qual freqüência é usada para a força de excitação. Para obtê-las, admite-se que se
tenha registrado a resposta através de um acelerômetro que foi movimentado sobre a superfície
da placa e posicionado em 45 pontos sobre a mesma, obtendo-se assim, 45 amplitudes de
resposta para diferentes freqüências de excitação, ou seja, uma curva de resposta associada a
cada um dos 45 pontos posicionados sobre a superfície da placa. Assim, a partir das informações
de amplitude em cada um dos 45 pontos, obtidas em cada uma das freqüências, ver-se-ia um
padrão de deformação diferente da estrutura, relacionado a esta freqüência. A figura (5.5) mostra
os padrões de deformação que resultarão quando a freqüência da excitação coincide com cada
uma das freqüências naturais do sistema. Nesta figura, pode-se ver que na primeira freqüência
natural o padrão de deformação corresponde a uma primeira forma de deformação por flexão da
placa, a qual é mostrada em azul. Quando se observa o que ocorre na segunda freqüência natural,
nota-se que o padrão de deformação da estrutura se modifica, assumindo uma primeira forma de
deformação por torção, a qual é mostrada em vermelho. Assim, para as outras duas freqüências,
que são destacadas na FRF, é possível perceber, ainda, dois outros padrões de deformação, sendo
um referente à segunda forma de deformação por flexão, mostrada em verde, e outro relativo à
segunda forma de deformação por torção, mostrada em marrom. Estes padrões de deformação
são denominados de formas modais da estrutura (na realidade, embora do ponto de vista
puramente matemático isto não esteja correto, para todos os propósitos práticos, estes padrões de
deformação são muito próximos das formas modais da estrutura).
42
Figura 5.5. Formas modais da placa correspondentes a cada freqüência natural. (Peter)
As freqüências naturais e as respectivas formas modais associadas a estas freqüências são
inerentes a cada estrutura que se projeta. Basicamente, elas são características que dependem da
inércia e da rigidez. Estas freqüências devem ser identificadas para se saber como elas podem
afetar a resposta da estrutura quando esta é excitada por uma força qualquer. O entendimento das
formas modais e de como a estrutura vibrará quando excitada ajudará o engenheiro projetista a
projetar melhor a estrutura para aplicações de vibração e ruído. Assim, a análise modal é uma
ferramenta poderosa de auxílio ao projeto de estruturas de automóveis, estruturas de aeronaves,
estruturas civis, estruturas navais, etc.
5.1. REPRESENTAÇÃO E PROPRIEDADES DE UMA FRF
a) Receptância
A Função Resposta em Freqüência definida e discutida anteriormente é somente uma das
possíveis formas de uma FRF e é denominada de Receptância, sendo geralmente denotada por
α(ω) ou α(iω). Esta quantidade complexa descreve completamente a relação entre a resposta em
ter-se de deslocamento e a força de excitação aplicada a um sistema, caracterizando
completamente as suas propriedades dinâmicas.
Sendo a FRF uma função complexa da freqüência, existem três quantidades a serem
levadas em conta, ou seja, parte real, parte imaginária e freqüência, quando se vai traçar um
gráfico da FRF. Assim, uma representação completa de uma FRF em um único gráfico somente
pode ser feita usando um sistema de referência tridimensional, como ilustrado na figura (5.6).
43
Figura 5.6. Representação tridimensional da Receptância. (Maia)
Esta não é a forma mais conveniente de se representar a FRF. Assim, como uma
alternativa, pode-se mostrar a FRF em dois gráficos separados, ou seja, parte real x freqüência e
parte imaginária x freqüência, como mostrado nas figuras (5.7) e (5.8) respectivamente. Nestes
gráficos, ωn = 10 rd/s e cada um deles corresponde a uma projeção, da curva mostrada na figura
(5.6), nos planos Parte Real/freqüência e Parte Imaginária/freqüência, respectivamente. É
interessante notar que a parte real da Receptância α(ω) cruza o eixo das freqüências na
ressonância enquanto, na mesma região, a parte imaginária apresenta um mínimo.
Figura 5.7. Parte real da Receptância (m = 1 kg, K = 100 N/m e c = 0.6 Ns/m).
Figura 5.8. Parte imaginária da Receptância (m = 1 kg, K = 100 N/m e c = 0.6 Ns/m).
44
Se forem tomadas as projeções de α(ω) no plano Real/Imaginário, ou seja, no plano
complexo ou de Argand, o resultado é um laço que contém todas as informações. A
inconveniência deste gráfico é que, normalmente, não se capazes de identificar os valores de
freqüência correspondentes aos pontos da curva. Cada ponto da curva, mostrada na figura (5.9),
que apresenta pontos igualmente espaçados na freqüência, deve ser acompanhado por uma
indicação do valor da freqüência correspondente. Esta representação é conhecida como
Diagrama de Nyquist e tem a particularidade de aumentar a região de ressonância e apresenta o
laço circular somente perto da ressonância (correspondendo a uma mudança de fase da FRF de
180º). Esta característica faz com que o Diagrama de Nyquist seja popular na análise modal.
Figura 5.9 – Diagrama de Nyquist da Receptância (m = 1 kg, K = 100 N/m e c = 0.6 Ns/m).
Atualmente, a forma mais comum de representação de uma FRF é o Diagrama de Bode,
que consiste no conjunto de dois gráficos onde se tem uma curva que representa a magnitude da
FRF versus freqüência e outra representando a fase da FRF versus freqüência, permitindo fácil
interpretação visual da informação contida em α(ω), conforme mostrado na figura (5.10).
Figura 5.10. Magnitude (esquerda) e fase (direita) da Receptância (m = 1 Kg, K = 100 N/m e c = 0.6 Ns/m).
45
b) Formas Alternativas da FRF
As propriedades dinâmicas de um sistema podem ser expressas em termos de qualquer
característica de resposta conveniente e não necessariamente em termos de deslocamento como
foi apresentado no item anterior.
A vibração, geralmente, é medida em termos de movimento e, portanto, a FRF
correspondente pode ser apresentada em termos de deslocamento, velocidade ou aceleração. Esta
relação simples de movimento-força pode também ser descrita em literatura mais antiga não
como a relação movimento/força, mas o seu inverso, isto é, a razão força/movimento. A
nomenclatura usada para identificar as FRF´s pode variar de autor para autor, embora o esforço
atual para a padronização. A terminologia utilizada é a seguinte:
α (ω) =
deslocamen to
força
(Receptância)
(39)
Y ( ω) =
Velocidade
força
(Mobilidade)
(40)
A ( ω) =
aceleração
força
(Acelerância)
(41)
força
= Rigidez
deslocamen to
Dinâmica
(42)
força
= Im pedância
velocidade
Mecânica
(43)
força
= Massa
aceleração
Aparente
(44)
A FRF Acelerância é, também, comumente chamada de Inertância. A normalização
internacional recomenda o uso do termo Acelerância. Contudo, o termo Inertância permanece
sendo largamente usado pela comunidade de análise modal. Finalmente, é importante notar que o
termo Mobilidade é, também, largamente aceito como uma designação geral para qualquer forma
de FRF definida pela relação movimento/força. De forma similar, o termo Impedância Mecânica
é usado para a relação inversa.
Sendo o deslocamento, a velocidade e a aceleração quantidades de respostas relacionadas
matematicamente, pode-se a partir de uma FRF obtida com base em algum dos parâmetros de
movimento, obter-se as outras formas de FRF. Considerando vibração harmônica e tomando a
Mobilidade como a FRF conhecida, as demais podem ser determinadas como segue:
Y(ω) =
46
x& (t )
Xeiωt
= iω iωt = iωα(ω)
F( t )
Fe
(45)
Portanto,
arg .[ Y (ω )] = arg .[α (ω )] +
e
Y ( ω) = ω α ( ω)
π
2
(46)
Para a Acelerância, de forma similar, tem-se:
A ( ω) =
&x&(t )
Xe iωt
= − ω2 iωt = − ω2 α(ω)
F( t )
Fe
(47)
levando a:
e
A(ω) = ω2 α(ω)
arg .[A(ω)] = arg .[α(ω)] + π
(48)
e, ainda,
e
A(ω) = ω Y(ω)
arg .[ A(ω )] = arg .[Y (ω )] +
π
2
(49)
5.2 SISTEMA COM 1 GRAU DE LIBERDADE (GL) EXCITADO POR IMPACTO
A expressão da força em função do tempo para um sistema com 1 grau de liberdade com
amortecimento viscoso sobre o qual é aplicada uma excitação de impacto do tipo meio seno é
dada a seguir:

π
 F0 sen
f (t ) = 
 Ta
0


t 

0 ≤ t ≤ Ta
(50)
t ≥ Ta
Para o primeiro intervalo de aplicação da força, a resposta do sistema dada por:
0 ≤ t ≤ Ta
x (t ) = e −ςω nt { A.sen (ω d t ) + B. cos(ω d t )} + C .sen (ω f t ) − B. cos(ω f t )
(51)
47
t ≥ Ta
x(t ) = e −ςω nt {A.sen(ω d t ) + B. cos(ω d t )}+ e −ςω nt {A.sen[ω d (t − Ta )] + B. cos[ω d (t − Ta )]} (52)
sendo:
A=
[
F0ω f ω f m + cςω n − k
2
]
ω d (k − ω f 2 m) 2 + (cω f 2 ) 2
B=
(k − ω f m) 2 + + (cω f ) 2
2
F0 (k − ω f m)
2
cω f F0
2
C=
(k − ω f m) 2 + + (cω f ) 2
2
2
A Função Resposta em Freqüência do sistema pode ser determinada diretamente a partir
da transformada de Fourier, como:
H (iω ) =
X (iω )
F (iω )
(53)
onde X(iω) e F(iω) são, as transformadas de Fourier de x(t) e f(t), dadas por:
X (iω ) =
∞
∫ x(t ).e
− i ωt
dt
(54)
−∞
F (iω ) =
∞
∫ f (t ).e
− i ωt
dt
(55)
−∞
As equações (54) e (55) são avaliadas quando se dispõe de expressões analíticas para a
força e o deslocamento em função do tempo. Porém, quando são analisados casos reais, não se
possui estas expressões, sendo a análise feita com uma duração finita, que corresponde à
discretização do sinal contínuo de resposta do sistema. Tal fracionamento do sinal possui um
intervalo de tempo T. Sobre este intervalo são adquiridas as amostras dos dados de excitação. A
duração deste intervalo tem grande incidência sobre a transformada de Fourier sendo definida
interativamente pelo operador no momento da escolha da faixa de freqüência de interesse,
denominada SPAN. Definido este intervalo, define-se a duração da coleta de dados através da
expressão abaixo:
T=
N
f anal
=
1
∆f
(56)
onde N é o número de linhas espectrais, que no analisador de freqüência é denominado
resolution lines, fanal é a freqüência de análise e ∆f é a resolução no domínio da freqüência. Da
48
equação (56) chega-se a conclusão que quanto maior o valor de ∆f menor será o tempo de
duração da coleta de dados.
Considerando-se que a aquisição dos dados possui um sinal de tempo finito y(t) a
transformada de Fourier é dada por:
∞
Y (iω , T ) = ∫ Wret (t ). y (t ).e
−iωt
−∞
T
dt = ∫ y (t ).e −iωt dt
(57)
0
sendo
0≤t ≤T
t >T
1
Wret (t ) = 
0
Assumindo que a duração do impacto é pequena (Ta < T), a transformada de Fourier da
força de impacto pode ser dada pela expressão abaixo:
F (iω , Ta ) =
F0ω f
ω f −ω
2
2
[1 + e −iωTa ]
(58)
donde se conclui que o espectro da força não depende de T e neste caso não é afetado pela
duração da janela, ou seja, o sinal de impacto inteiro é capturado. Por outro lado, a transformada
de Fourier da resposta é:
X (iω , T ) =
}
[ −ςωn −i ( ωd +ω ) ]T +(ςωn +iωd )Ta
C1e iθ
− 1 + e[−ςω n −i (ω d +ω ) ]T + e
− e −iωTa +
[− ςω n − i(ω d + ω )]
{
}
[ −ςωn +i ( ωd −ω ) ]T +(ςωn −iωd )Ta
C1e −iθ
+
− 1 + e[−ςω n + (ω d −ω ) ]T + e
− e −iωTa +
[− ςω n + i(ω d − ω )]
{
(59)
[
]
C 2 e iφ
C 2 e − iφ
i (ω f +ω )Ta
i (ω −ω )T
e
+
−1 −
[e f a − 1]
i (ω f + ω )
i (ω f − ω )
com os valores de C1, C2, θ e φ dados por:
49
2
2
1 [ F0ω f (ω f m + cςω n − k )] + (ω d cF0ω f )
C1 =
2
2
ω [(k − ω 2 m) 2 + (cω ) 2 ]
2
{
d
f
 ω f 2 m + cςω n − k 

θ = arctg 


c
ω
d


f
}
C2 =
1
F0
2
2 (k − ω m) 2 + (cω ) 2
f
f
 k − ω f 2m 

φ = arctg 
 cω f 


e é função dos parâmetros do sistema (m, c e k), das características da força (F0 e Ta) e da
duração da coleta (T).
A Função Resposta em Freqüência Real pode ser obtida diretamente dos parâmetros do
sistema de um grau de liberdade, como:
H (iω ) =
1
k
ω n 2 − ω 2 + 2iςωω n
(60)
a) Efeito do Truncamento Sobre as FRF’s
Nos testes de impacto, trunca-se o sinal de resposta quando o mesmo chega a um limite
mínimo de energia, para evitar que o lento decaimento energético do sinal gere uma resposta que
em tempo é demasiada grande, inviabilizando um resultado satisfatório na colheita dos dados.
Para exemplificar este processo de truncamento e seus efeitos, considera-se uma viga bi-apoiada
com um grau de liberdade, na qual aplica-se um pulso de energia de 10 ms com um nível de
força fixado em 1 N e seus parâmetros k, m e c colhidos tais que a freqüência natural e o fator de
amortecimento sejam iguais a 16 Hz e 0,099 respectivamente. A constante de tempo para este
caso é calculada pela expressão abaixo:
τ=
1
ςω n
=
1
≅ 1s
2.π .16.0,099
Na figura (5.11) é mostrado o comportamento da força e da resposta no domínio do tempo.
(61)
50
Figura 5.11. Aspecto da força e resposta no domínio do tempo no teste de impacto em questão
Percebe-se na figura (5.11) que enquanto o sinal da força tem uma curta duração o
contrário acontece com o sinal de deslocamento, que leva um tempo maior para tornar-se nulo,
apresentando um decaimento muito lento, o que torna impraticável a captura dos sinais de
resposta em virtude de tal ordem de grandeza. Então, para acentuar os erros sistemáticos
induzidos no espectro, deve-se reduzir a constante de tempo do sistema. O valor adotado é a
metade do valor inicial, ou seja, T = 0,5 s.
O efeito do truncamento manifesta-se sobre a magnitude da FRF na forma do
aparecimento de lóbulos laterais e um alargamento do pico correspondente à freqüência natural
do sistema com 1 GL, acompanhado por uma diminuição da amplitude da mesma. A fase oscila
em torno do valor teórico concordando bem na freqüência natural, mas apresenta desvios em
torno dela.
Quando é aplicado um tempo de aquisição mais realista, correspondendo a duas vezes a
constante de tempo do sistema de 1 GL (T = 2 s), a freqüência natural do sistema como ocorrido
com uma constante de tempo de meio segundo, tem seu pico alargado, porém bem menos do que
anteriormente. É verificado, também, que na freqüência natural, a correlação é melhorada
significativamente tanto na magnitude quanto na fase.
Se o tempo de captura for aumentado a valores cerca de 6, 8 até 10 vezes a constante de
tempo do sistema, erros percentuais na magnitude de deslocamento são minizados ou até mesmo
anulados.
b) Efeitos da Janela Exponencial sobre a FRF
Quando não é possível estabelecer um tempo de aquisição dos dados maior ou igual a seis
vezes a constante de tempo do sistema, pode-se aplicar uma janela exponencial à resposta do
sistema forçando-a a decair mais rapidamente. Tal janela é definida por:
Wexp
e − at
=
0
51
0≤t≤T
t≥T
onde o valor de a é selecionado pelo operador. Freqüentemente, sua seleção se dá tal que a
vibração seja forçada a decair para B% de sua amplitude inicial e neste caso, a é determinado
por:
a = 2.
ln (10B)
T
(62)
assim, a transformada de Fourier do sinal da resposta é determinada a partir da equação (59),
com a janela retangular trocada pela exponencial.
(63)
Portanto, X(iω,T) pode ser avaliada diretamente da Eq. (63), fazendo-se a seguinte
substituição de variável:
ω = ω - ia
(64)
e, em conseqüência, a FRF estimada, usando a janela exponencial, é determinada da mesma
forma que no caso da janela retangular.
A janela exponencial não deve possuir um decaimento muito elevado, pois o truncamento
forçado leva a uma perda de precisão na extração dos parâmetros nodais e perda de informação
sobre modos próximos levando à perda dos mesmos, pois estes picos não podem ser encarados
como pontos modais devido ao seu baixo deslocamento, podendo ser considerados como falha
na captura dos dados.
Para exemplificar os efeitos deste truncamento elevado, consideram-se duas janelas
exponenciais, uma de 1% e outra de 10%, ou seja, “B”, assume os dois valores citados
anteriormente. Para a janela de 1%, o comportamento da FRF torna-se estável e sem a presença
de lóbulos que dificultam a análise dos pontos modais da estrutura, típicos de janelas
retangulares mal ajustadas, porém trunca demasiadamente o sinal do deslocamento, tornando
imprecisa a extração de modos próximos. Já a janela exponencial com B = 10% apresenta uma
definição maior dos pontos onde existe ressonância, aumentando a definição da FRF e
facilitando a extração dos parâmetros nodais como freqüência natural e ângulo de fase.
52
c) Correção do Fator de Amortecimento Obtido a partir da Análise Modal Experimental
A expressão para a resposta de um sistema com um grau de liberdade, excitado por
impacto é dada a seguir:
X c (t) = X.e− ζ cωn t sen(ωd .t + ϕ)
(65)
onde ζc é o fator de amortecimento e ζcωn a taxa de decaimento. Se a equação (65) é
multiplicada por uma janela exponencial, com taxa de decaimento (a), o resultado desta operação
será escrito como:
X m (t) = X.e(a + ζ cωn t )sen(ωd .t + ϕ)
(66)
Assim, o amortecimento aparente para a resposta representada pela equação (66) pode ser
escrito como:
ζm =
a + ζ cωn
ωn
(67)
da equação (67) o amortecimento verdadeiro pode ser escrito por:
ζc = ζm −
a
ωn
(68)
5.3. MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE
a) Modelo Histerético
Até aqui, foi apresentado o modelo matemático, que descreve o comportamento
dinâmico, de sistemas com um grau de liberdade. Contudo, muitas estruturas e sistemas
mecânicos reais não podem ser modelados como um sistema com um grau de liberdade, em
virtude de que seu comportamento dinâmico, geralmente, necessita de mais do que uma
coordenada para ser completamente descrito.
As estruturas reais são contínuas e constituem sistemas elásticos não homogêneos que
têm um número infinito de graus de liberdade. Portanto, a análise de tais sistemas sempre leva a
53
uma aproximação que consiste em definir o seu comportamento através de um número finito de
graus de liberdade, escolhidos de modo a descrever com precisão suficiente o seu movimento
vibratório.
De um modo geral, as estruturas contínuas são descritas por modelos de massas
concentradas com múltiplos graus de liberdade. Um modelo com múltiplos graus é apresentado
na figura (5.12) para exemplificar esta configuração, que representa um sistema com mecanismo
de dissipação histerético descrito por suas propriedades de massa, rigidez e amortecimento. Um
total de N coordenadas xi (t), com i = 1, 2, ...,N, são requeridas para descrever as posições das N
massas, relativas a sua posição de equilíbrio estático e, neste caso, o sistema é dito ter N graus de
liberdade.
Figura 5.12. Modelo com N graus de liberdade.
Assumindo que sobre cada massa atua uma força harmônica fi (t), com i = 1,2,...,N, todas
de mesma freqüência, pode-se escrever, na forma matricial, o sistema de equações simultâneas
que rege o movimento do modelo apresentado na figura (5.12).
[M]{q”} + 1/ω [D]{q’} + [K]{q} = {f(t)}
(69)
A equação (69) é válida apenas quando o segundo membro for um vetor de forças
harmônicas, todas de mesma freqüência ω. Para se utilizar a equação (69) com outros
harmônicos deve-se escrever a mesma no domínio da freqüência, isto é:
[− ω [M] + i[D] + [K]]{q(ω)} = {F(ω)}
2
(70)
54
b) Representação Gráfica de FRF MDOF
O modelo de resposta de um Sistema com Múltiplos Graus de Liberdade (MDOF)
consiste num conjunto de FRF’s diferentes e que num sistema com N Graus de Liberdade, é
descrito por um modelo modal com N freqüências naturais e N formas modais. Cada FRF pode
ser escrita sob a forma de uma série de termos, cada um destes diz respeito à contribuição de um
modo de vibração à resposta total, como estabelecido pela Eq. (70).
Tendo em mente as características de uma FRF, a título de exemplo, é apresentado o
Diagrama de Bode da Receptância pontual, para um sistema de quatro graus de liberdade sem
amortecimento, usando uma escala linear, conforme mostrado na figura (5.13). Nesta figura, fica
evidente que, em relação à magnitude da receptância, existem quatro picos de amplitude,
correspondendo cada uma a uma das freqüências naturais do sistema. O significado disto é que
se defronta com quatro possibilidades de ressonâncias. Assim, em analogia com o que ocorre
para sistemas de um grau de liberdade, é esperado que, para cada ressonância, exista uma
mudança de fase de 180 graus.
Figura 5.13. Receptância pontual para um sistema com 4 graus de liberdade.
Olhando a figura (5.13) com relação ao ângulo de fase observa-se que existem mais do
que quatro mudanças de fase. Estas não ocorrem somente nas ressonâncias, mas também em
valores intermediários de freqüência, que não têm nenhum comportamento especial aparente
quando se observa o desempenho da magnitude nesta mesma figura. Isto ocorre devido ao fato
de se usar uma escala linear para plotar a magnitude da receptância, a qual esconde o
comportamento de níveis mais baixos. Assim, se ao invés de usar a escala linear fosse usada a
55
escala logarítmica, o resultado seria o gráfico da figura (5.14). Esta operação permite que sejam
observados os detalhes nos níveis de resposta mais baixos, uma vez que a FRF mostra que,
naquelas regiões das freqüências intermediárias, existem alguns picos invertidos, sendo que cada
um deles ocorre entre os picos de ressonâncias. Estes picos invertidos são denominados de antiressonâncias e apresentam um comportamento importante que é uma mudança de fase
justamente como aquelas associadas às ressonâncias.
Figura 5.14. Magnitude da Receptância em escala logarítmica.
Para um sistema sem amortecimento, a anti-ressonância corresponde à ausência de
movimento em todas as coordenadas onde a resposta está sendo considerada. Esta situação pode
ser explicada se for lembrado que a FRF Receptância pode ser representada por uma soma de
termos, sendo que cada um corresponde a um dos modos de vibração do sistema.
A receptância do sistema para N graus de liberdade é dada por:
N
α ks (ω) = ∑
j=1
j
A ks
ω − ω2 + iη j ω2j
2
j
(71)
onde ηj é o fator perda modal e jAks é denominado de constante modal.
Tomando, por exemplo, a Eq. (71) para amortecimento nulo, tem-se:
N
α ks (ω) = ∑
j=1
j
A ks
ω − ω2
2
j
onde a constante modal j A ks é agora uma quantidade real.
(72)
56
O que a equação (72) estabelece é que a Receptância total é a soma das contribuições de
termos de um único grau de liberdade que correspondem a cada um dos modos de vibração. Para
a Receptância Pontual, tem-se:
α kk (ω) =
N
2
A kk
A kk
A kk
+
+
+
L
2
2
2
2
2
ω1 − ω
ω2 − ω
ωN − ω2
1
(73)
Assim, na região de freqüência mais baixa, todos os termos na somatória são positivos e,
em conseqüência, o valor da Receptância é positivo e dominado pelo primeiro modo (j = 1), para
o qual o denominador ω2j − ω2 é menor do que para os outros termos no somatório. Após a
primeira ressonância, ω12 − ω2 torna-se negativo e, portanto, o primeiro termo no somatório
torna-se negativo, enquanto ainda domina a resposta e, como conseqüência, α kk torna-se
negativo. Esta mudança de sinal corresponde a uma mudança de fase de 0° para -180°.
A medida que aproxima-se de ω2, existirá um valor de freqüência para o qual o primeiro
termo no somatório é cancelado pela soma dos demais e, conseqüentemente, uma nova mudança
de sinal de α kk que torna-se positiva. Assim, o ângulo de fase sofre uma nova mudança e torna-se
zero. A freqüência na qual o cancelamento ocorre é a anti-ressonância.
A mesma explicação pode ser usada para os valores maiores de freqüência, levando a
concluir que existe uma anti-ressonância entre cada par de ressonâncias. Este comportamento
particular de uma FRF pontual seja ela uma Receptância, Mobilidade ou Acelerância, é muito
útil como elemento de avaliação da validade de uma FRF medida.
Por outro lado, quando a FRF é de transferência, não se pode mais afirmar que os sinais
das constantes modais sejam sempre positivos e, neste caso, a ocorrência de uma antiressonância entre duas ressonâncias não é certa, como mostrado na figura (5.15). Contudo, podese concluir que se o sinal da constante modal, para dois modos consecutivos é o mesmo, então,
existirá uma anti-ressonância em alguma freqüência entre as freqüências naturais daqueles dois
modos de vibração. Quando não existe uma anti-ressonância, a FRF apenas apresenta um valor
mínimo não nulo.
Uma outra característica importante associada com a anti-ressonância é seu significado
físico quando o foco recai sobre uma FRF pontual. De fato, cada anti-ressonância é uma
freqüência natural do mesmo sistema se a coordenada de movimento sob consideração é fixada.
57
Figura 5.15. Exemplo de uma Receptância de Transferência.
É interessante fazer uma comparação entre as diferentes formas de FRF quando
mostradas em um diagrama de Bode em escala log-log, conforme mostrado na figura (5.16).
Nesta, apresenta-se uma FRF pontual, que corresponde à extremidade livre de uma viga em
balanço, o que permite verificar que a Receptância e a Acelerância fazem um uso pobre do
espaço vertical disponível no quadro gráfico porque elas são, geralmente, mostradas como
curvas que decaem (Receptância) ou crescem (Acelerância). Isto é verdade para estruturas com
placas ou vigas para as quais a mobilidade, sobre uma larga faixa de freqüência, produz um
gráfico aproximadamente nivelado. Como uma conseqüência deste comportamento das FRF’s, o
Diagrama de Bode geralmente é produzido para FRF do tipo mobilidade. Na realidade, cada uma
das três alternativas de FRF (Receptância, Mobilidade ou Acelerância) descreve as mesmas
propriedades e cada uma tem a sua própria vantagem. Em geral, a Receptância é adequada para
trabalhos analíticos enquanto que a Acelerância é usada para plotagem direta de dados medidos,
devido ao fato de ser comum a medição da aceleração e da força.
Figura 5.16. FRF’s pontuais para a extremidade de uma viga em balanço.
58
Agora, tendo como base os sistemas amortecidos, as curvas das FRF’s num digrama de
Bode são muito similares àquelas dos sistemas não amortecidos. A diferença reside no fato de
que na ressonância e na anti-ressonância os picos são menos afilados e os ângulos de fase não
são mais exatamente 0° ou -180°. Isto é mostrado na figura (5.17), onde a Receptância para um
sistema amortecido de quatro graus de liberdade é apresentada. Na figura (5.17) é possível
observar que altos valores de amortecimento podem esconder a existência de uma antiressonância, fazendo com que uma FRF pontual se pareça com uma FRF de transferência.
Figura 5.17. Diagrama de Bode da Receptância com amortecimento histerético.
Exatamente da mesma forma que para os sistemas com um grau de liberdade, é possível
o traçado das curvas correspondentes às partes real e imaginária de uma FRF para sistema com
múltiplos graus de liberdade. A figura (5.18) ilustra este tipo de apresentação, usando o mesmo
exemplo da figura (5.17). O que fica evidente na figura (5.18) é que devido ao uso da escala
linear e ao fato de que, em geral, a amplitude da Receptância decai com o aumento da
freqüência, os modos de freqüências mais altas tendem a não ser mostrados na curva.
59
Figura 5.18. Partes real e imaginária da Receptância da figura 5.17.
De modo a evitar este problema, pode-se traçar várias curvas onde cada uma cobrirá uma
faixa de freqüência, tal que a escala de amplitude em cada curva seja diferente. Uma outra
alternativa é trocar o gráfico da Receptância pelo gráfico da Acelerância, como mostrado na
Figura 5.19. Agora, todos os modos são visíveis.. A razão para este comportamento é que, para o
exemplo de sistema com quatro graus de liberdades usado, os dois últimos modos de vibração
têm amortecimentos altamente não-proporcionais.
Figura 5.19. Partes real e imaginária da Acelerância do sistema da figura 5.17.
Agora, dirige-se às atenções ao Diagrama de Nyquist. O problema de escala que se
encontra quando se traçam as partes real e imaginária da Receptância em função da freqüência
também estará presente, o que dificultará a leitura do Diagrama de Nyquist em toda a faixa de
freqüência de interesse. A solução é usar diagramas de Nyquist separados, ou seja, um para cada
região de freqüência natural. Assim, com o propósito de se identificar as propriedades modais do
sistema, este procedimento deverá ser feito para tirar proveito das características particulares do
60
Diagrama de Nyquist Entretanto, será interessante ter uma representação completa da FRF em
um único diagrama. Para tal, faz-se uso de um exemplo em que as constantes modais têm valores
tais que todos os modos serão visíveis, como mostrado na figura (5.20) onde é apresentada a
Receptância para um sistema de três graus de liberdade com amortecimento proporcional.
Figura 5.20. Diagrama de Nyquist para Receptância (3 GL).
As regiões correspondentes às freqüências naturais dão origem a um círculo. Contudo,
pode ser visto que os círculos não são exatamente centrados com respeito ao eixo imaginário
como no caso de um sistema de um grau de liberdade. Esse fato pode ser explicado se for
reescrita a equação. (71) para um Receptância pontual de um sistema com três graus de
liberdade:
3
α kk (ω) = ∑
r =1
r
1
2
3
A kk
A kk
A kk
A kk
=
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ωr − ω + iηr ωr ω1 − ω + iη1ω1 ω2 − ω + iη2 ω2 ω3 − ω2 + iη3 ω32
(74)
onde as constantes modais r A kk são quantidades reais devido ao fato de que o amortecimento foi
assumido ser proporcional. Agora, considere o primeiro círculo no diagrama da figura (5.20).
Lembrando que cada círculo corresponde a uma região de freqüências próximas à freqüência
natural, então, pode-se representar, aproximadamente, a região próxima à primeira freqüência
natural através da seguinte equação:
α kk (ω) =
1
A kk
+ B kk
ω − ω2 + iη1ω12
2
1
(75)
61
onde Bkk é uma constante complexa que representa a contribuição dos outros modos presentes na
Receptância, que é dominada pelo primeiro modo. O primeiro termo do somatório, no Diagrama
de Nyquist, é representado por um círculo com centro sobre o eixo imaginário, justamente como
a Receptância para um sistema de um grau de liberdade. A única diferença em relação ao sistema
de um grau de liberdade é o fato de que existe um fator de escala real, que altera o diâmetro do
círculo, devido a existência da constante modal
1
A kk no numerador. Assim, a soma da
quantidade complexa B kk produzirá uma translação do círculo, deslocando-o da posição original.
Na figura (5.20), pode ser visto, ainda, que todos os laços de círculo estão situados na
metade inferior do plano complexo. Como explicado acima, a única diferença de um Diagrama
de Nyquist de um sistema de um grau de liberdade é o produto por um fator de escala em cada
termo no somatório. Como a Receptância sob análise é do tipo pontual, as constantes modais são
todas positivas e, portanto, os círculos permanecem na metade inferior do plano complexo.
Uma situação diferente da anterior ocorre se for traçado o diagrama para uma FRF de
transferência. Nesse caso, a constante modal pode ser positiva ou negativa e os sinais opostos
destas quantidades podem fazer com que apareçam um ou mais laços de círculo na metade
superior do plano complexo, como mostrado na Fig. (5.21), onde a Receptância de transferência
do exemplo anterior é mostrada.
Figura 5.21. Diagrama de Nyquist para Receptância de Transferência.
Para o caso em que o amortecimento é não proporcional não é difícil predizer o que
acontecerá. A diferença agora é o fato de que as constantes modais são quantidades complexas,
isto é, elas têm uma magnitude e uma fase. Assim, o deslocamento do círculo e o efeito do fator
de escala permanecem e são devidos, respectivamente, à contribuição dos modos fora da
62
ressonância considerada e da magnitude da constante modal. Por outro lado, em adição aos
efeitos anteriores, os círculos sofrem uma rotação devido às fases das constantes modais, como
ilustrado na figura (5.22).
Figura 5.22. Receptância Pontual com Amortecimento não Proporcional.
5.4 MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO MODAL
Durante os últimos trinta anos muitos pesquisadores dedicaram-se ao desenvolvimento de
técnicas que ajudam a produzir uma identificação razoável das propriedades dinâmicas das
estruturas. Esta dedicação tem dado fruto devido à introdução da Transformada Rápida de
Fourier (FFT – Fast Fourier Transform) e ao desenvolvimento recente de Analisadores de
Espectro potentes de vários canais, computadores e instrumentação em geral que permitem a
aquisição e o tratamento de grandes quantidades de dados.
Hoje em dia, o número de publicações técnicas em Análise Modal Experimental é tal que
a tarefa de classificar os métodos disponíveis de análise representa um grande esforço.
Entretanto, uma boa forma de classificar estes métodos é agrupá-los de acordo com o domínio no
qual os dados são tratados, ou seja: métodos no domínio do tempo e métodos no domínio da
freqüência. Os métodos no domínio da freqüência têm sido largamente usados, mas problemas
associados com resolução em freqüência, vazamento e alta densidade modal estão levando as
pessoas a começarem a olhar os métodos no domínio do tempo como uma alternativa
promissora.
O cálculo da Função Resposta Impulsiva (IRF – Impulse Response Function),
correspondente a uma Função Resposta em Freqüência (FRF), envolve o cálculo da inversa de
FFT, que é uma das características padrão de um Analisador Espectral. Contudo, nesse caso, o
63
vazamento pode ser ainda um problema e, para evitar isso, alguns métodos usam a história da
força e da resposta diretamente. Por outro lado, de um modo geral, os modelos no domínio do
tempo tendem a fornecer melhores resultados quando existe uma larga faixa de freqüência ou um
número grande de modos nos dados, considerando que os modelos no domínio da freqüência
tendem a fornecer os melhores resultados quando a faixa de freqüência de interesse é limitada e
o número de modos é relativamente pequeno.
Os métodos no domínio do tempo e da freqüência podem ser divididos em diretos e
indiretos. O termo indireto significa que a identificação das FRF’s é baseada no modelo modal,
isto é, sobre os seguintes parâmetros: freqüências naturais, razões de amortecimento e constantes
modais. Por outro lado, no método direto a identificação está baseada no modelo espacial, isto é,
sobre a equação matricial do equilíbrio dinâmico, que é a equação primitiva da qual todos os
métodos são deduzidos.
Uma segunda classificação diz respeito ao número de modos que podem ser analisados.
A este respeito podem-se ter as análises de grau de liberdade único (SDOF) e graus de liberdade
múltiplos (MDOF). No domínio do tempo tem-se somente a análise MDOF, enquanto que, no
domínio da freqüência, pode-se ter análises SDOF e MDOF com o método indireto e com o
método direto apenas a análise MDOF.
Geralmente, quando uma estrutura é testada um conjunto de FRF’s é obtido, tendo por
base a coleta de uma série de dados medidos. Estas FRF’s são o resultado de excitar a estrutura
em cada ponto selecionado e de medir a resposta em várias posições ao longo dessa estrutura.
Alguns métodos de análise modal somente podem ser aplicados a uma única FRF de cada vez.
Esses são denominados de métodos de única entrada/única saída (SISO). Outros métodos
permitem que várias FRF’s sejam analisadas simultaneamente, com respostas tomadas em vários
pontos sobre a estrutura, mas usando uma excitação pontual. Esses são denominados de métodos
globais ou métodos de única entrada/múltiplas saídas (SIMO). A filosofia por trás dessa
categoria de métodos é que as freqüências naturais e razões de amortecimento não variam
(teoricamente) de uma FRF para outra (elas são propriedades globais da estrutura) e, assim,
deveria ser possível obter um conjunto único e consistente daquelas propriedades processando
várias FRF’s ao mesmo tempo. Finalmente, existem métodos que podem processar
simultaneamente todas as FRF’s disponíveis obtidas de posições de resposta e excitações várias.
Esses métodos são denominados de polireferência ou múltiplas entradas/múltiplas saídas
(MIMO). Situações de múltiplas entradas/única saída (MISO) são também possíveis, mas são
muito pouco usadas. A figura (5.23) mostra um diagrama com as várias categorias possíveis de
métodos.
64
Figura 5.23. Classificação dos métodos de análise modal. (Maia)
Os métodos utilizados para a extração dos modos de vibração foram o Circle-FIT, o LineFIT, o IDENT e o Global-S para analisar as FRF’s individualmente e o método Global-M para
analisar todas as FRF’s adquiridas durante o ensaio experimental.
65
6. ANÁLISE MODAL NUMÉRICA
6.1 MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS APLICADO NA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS NUMÉRICOS
a) Resumo Teórico
O Método de Elementos Finitos (MEF) é um procedimento numérico para resolver
problemas de mecânica do contínuo com precisão aceitável para engenheiros. É seguramente o
processo que mais tem sido usado para a discretização de meios contínuos. Além disso, pode-se
afirmar também que o MEF é muito utilizado face à analogia física direta que se estabelece, com
o seu emprego, entre o sistema físico real e o modelo simulado computacionalmente.
A análise dinâmica pode ser usada para determinar a resposta no tempo de uma viga
sujeita a uma força transitória, a resposta em regime permanente de uma viga ou eixo submetido
a uma força periódica, ou às freqüências naturais e os modos de vibrações livres. Estas últimas
vibrações são as de principal interesse.
Geralmente, um modelo para análise dinâmica requer algo mais que aquele usado para
análise estática. Para análise de freqüências naturais, um modelo grosseiro dará melhores
resultados para o cálculo das freqüências naturais do que para os modos de vibração. A precisão
destas predições diminui com o aumento na ordem do modo a ser analisado. A razão é que as
formas dos modos tornam-se mais complexas quando suas freqüências naturais aumentam.
Então, embora o mesmo modelo geométrico possa ser utilizado para ambas análises
(estática e dinâmica), um modelo para análise dinâmica deve ter uma discretização em nós e
elementos, de tal maneira que o modelo possa representar precisamente os modos de vibrar, que
freqüentemente são mais complexos que as linhas elásticas estáticas padrões. Uma regra prática
para análise de vigas ou eixos é que o número de elementos na direção modal deve ser no
mínimo duas vezes o número de modos de vibrações de interesse na análise.
Em operação, as propriedades dos volumes gerados são introduzidos no programa. O
computador ordena os pontos nodais no centróide de cada volume e calcula a rigidez e
propriedades de massa para cada um dos elementos.
Um método alternativo é dividir o volume e especificar a massa pontual de cada nó.
Essas massas concentradas são então introduzidas na rotina computacional que calcula a rigidez
da viga. Quando o efeito da rotação da inércia é ignorado, este método pode reduzir o número
graus de liberdade efetivo no modelo sem perda efetiva de na precisão do mesmo. Por exemplo,
66
um modelo com seis massas ou pontos nodais terá erros no cálculo de freqüências em modos,
tais como 0,1% para o primeiro modo de vibração, 0,5% para o segundo e 1,7% para o terceiro
modo.
Na análise estática com elementos finitos, uma matriz de rigidez é gerada e combinada
com um vetor de forças nodais para calcular os deslocamentos nodais. Em notação matricial isto
é dado como:
K11 K12

O


O

O


O

O


K nn












 d1 
f1 
 M
 M
 
 
 M
 M
 
 
 M  =  M
 M
 M
 
 
 M
 M
f 
d 
 n
 n
(76)
ou
K.d = f
(77)
sendo K é a rigidez entre nós, d e f as forças modais.
Na análise dinâmica com elementos finitos, uma matriz massa é também é gerada. Na
formulação da matriz massa, a massa distribuída de cada elemento é ordenada para os nós dos
elementos da mesma maneira como as rigidezes dos elementos entre os nós são ordenadas. As
massas relacionam-se com as forças pelas suas acelerações (segundas derivadas dos
deslocamentos).
M . &d& = f
(78)
sendo que M e a matriz das massas concentradas nos nós.
A equação clássica do movimento,
m&x& + cx& + kx = f
pode ser escrita na forma matricial, desprezando-se o amortecimento, como:
(79)
67
M &d& + K d = f
(80)
As acelerações nos nós, &d& , não são diretamente resolvidas, porém elas podem ser
relacionadas com os deslocamentos para movimento senoidal, onde:
d = d máx .senwt
(81)
Então:
d=
∂ 2d
= −ω 2 . d máx .senwt
∂t 2
(82)
A equação matricial do movimento pode ser descrita como:
− Mω2 d + K d = f
ou
{ − Mω
2
}
+K d =f
(83)
sendo f = 0 para vibrações livres.
Esta nova equação do movimento livre deve ser resolvida em duas etapas. Primeiro, as
freqüências naturais, ω, devem ser encontradas. Haverá tantas freqüências naturais quanto forem
os deslocamentos (linhas ou colunas da matriz). Matematicamente estas freqüências naturais são
conhecidas como autovalores. Segundo, para cada freqüência natural, ou autovalor, existirá um
conjunto de deslocamentos, os quais são conhecidos como modos de vibração ou autovetores.
Os deslocamentos calculados para cada modo são normalizados, de tal maneira que se
tenham valores relativos de amplitudes.
Através do Método dos Elementos Finitos, com auxílio de um sistema CAD (Computer
Aided Design), utilizando-se de um modelo com muitos graus de liberdade, pode-se prever em
fase de projeto as suas freqüências naturais, bem como os modos de vibrar que são mostrados em
vídeo (display) e posteriormente impressos.
A análise de vibrações de sistemas estruturais simples, através de métodos analíticos é
uma excelente maneira de compreender e se familiarizar com o fenômeno real, mas apenas do
ponto de vista acadêmico. Na prática, entretanto, torna-se impossível qualquer tratamento
analítico de estruturas mais complexas, como no caso de um hélice. Neste contexto, o método de
elementos finitos constitui uma excelente alternativa para a solução de problemas dinâmicos que
envolvem um grande número de graus de liberdade (Soeiro et al [5]).
Capítulo 3 – Metodologia
68
7. METODOLOGIA
Em linhas gerais, a análise modal experimental consistiu no ensaio de impacto com o
martelo nas pás dos hélices navais B9 e NS18, sendo que as funções resposta em freqüência
(FRF’s) foram obtidas a partir deste choque, colhidas em um analisador dinâmico de sinais e
processadas em um software próprio de análise de autovalores (freqüências naturais adquiridas
no teste) e autovetores (formas modais dos hélices).
A análise modal também foi realizada numericamente, através da utilização do método de
elementos finitos, no software ANSYS, versão 6.0, disponível no Laboratório de Engenharia
Mecânica da Universidade Federal do Pará. Este procedimento baseia-se na geração
tridimensional dos hélices, através das coordenadas reais colhidas dos rotores, posterior
malhagem e aplicação de uma faixa de freqüência nas estruturas dos propulsores gerados de tal
forma que os mesmos respondam com suas freqüências naturais e formas modais no momento de
ressonância destas freqüências com a excitação simulada pelo software ANSYS.
Os itens a seguir descrevem os equipamentos, softwares e procedimentos utilizados na
concretização das análises modais numérica e experimental.
7.1. ANALISADOR DE FREQÜÊNCIA UTILIZADO NOS EXPERIMENTOS DE
ANÁLISE MODAL
O Analisador Dinâmico de Sinais HP 35665A é um equipamento capaz realizar análises
utilizando a Transformada Rápida de Fourier (FFT) de espectro com um e dois canais dentro de
uma faixa de freqüência que vai de 0,19531 Hz até 102,4 kHz para o modo de um canal e
0,097656 até 51,2 KHz no modo de dois canais.
Figura 7.1. analisador HP 35665A utilizado nos ensaios.
69
O analisador é usado para análise de vibrações e ruídos e faz análises e medições com
maior facilidade que outros medidores (portáteis, por exemplo), pois não necessita de um micro
(PC) para o tratamento destes dados, além de ter uma fonte de corrente ICP em seu interior para
aqueles acelerômetros que a requerem, não necessitando de uma fonte amplificadora auxiliar.
A transformada rápida de Fourier (FFT) é uma implementação da transformada discreta
de Fourier, onde um algoritmo matemático transforma dados do domínio do tempo para o
domínio da freqüência. Antes de o analisador executar o algoritmo FFT, ele trata o sinal de
entrada com um conversor analógico-digital, transformando o sinal contínuo (analógico) para um
sinal discreto (digital).
O analisador FFT tem uma resolução finita que é fixada a partir do numero de pontos ou
linhas. A maioria desses analisadores utiliza o mesmo numero de pontos mostrados independente
da faixa de freqüência. O analisador HP 35665 A tem uma resolução padrão de 400 linhas (401
pontos), podendo ser especificadas outras resoluções como 800, 200 e 100 linhas de resolução.
Porém, para faixas mais limitadas de freqüência, tem-se uma resolução de freqüência mais
refinada. Estas faixas de análise podem ser ajustadas de acordo com a necessidade do
experimento. Quando as medições iniciam em 0 Hz são freqüentemente chamadas de medições
baseband e aquelas que iniciam em freqüências diferentes de 0 Hz são chamadas de zoomed.
Dentre as diversas utilidades do analisador podem ser citadas:
•
Determinação experimental dos parâmetros modais de máquinas e estruturas civis,
tais como grupos geradores, transformadores, equipamentos diversos, Vigas e Pilares
de Edificações, Pontes, etc.
•
Determinação de parâmetros acústicos tais como perda de transmissão em dutos e
coeficiente de absorção de materiais em tubos de impedância.
MODAIS DA VIGA BI-APOIADA (TESTE DE IMPACTO)
Este ensaio tem como objetivo medir diversas Funções Resposta em Freqüência (de
transferência e pontual) da viga (0,0254 x 0,0125 x 0,82 m), que se encontra bi-apoiada. A
bancada utilizada é do tipo Universal da TECQUIPAMENT, modelo TM-16.
70
Capturadas as FRF’s, devem ser extraídos os parâmetros modais da viga em um software
específico, no caso o ICAT. As medições foram realizadas no analisador de freqüência da marca
Hewlett–Packard, de dois canais modelo 35665A, sendo que, no segundo canal, colocou-se o
acelerômetro posicionado em um ponto da viga tal que nenhuma forma modal da mesma seja
atenuada pelo fato do acelerômetro encontrar-se próximo ou em algum ponto nodal. Para isto,
fez-se um desenho da viga com as suas primeiras 32 formas modais superpostas marcando-se os
nós desses modos e definindo os intervalos onde não são encontrados os nós dos modos
adotados. Obtém-se, assim, uma faixa onde será fixado o acelerômetro na viga, que é o sexto da
extremidade para o centro da mesma.
Foram escolhidos 17 pontos de impacto do martelo (conectado ao canal 1) com a barra,
ou seja, no cálculo experimental das formas modais e freqüências naturais da viga, serão
consideradas 16 funções de resposta em freqüência de transferência e uma pontual.
A figura a seguir demonstra a viga dividida em 17 partes onde cada linha transversal
representa um ponto de impacto do martelo com a viga.
Figura 7.2. Definição dos pontos de coleta de dados experimentais da viga que está bi-apoiada.
71
Figura 7.3. Bancada Universal utilizada na análise modal experimental da viga bi-apoiada.
O acelerômetro fixado à viga e aos hélices e o martelo utilizado no impacto estão
representados nas figuras (7.4) e (7.5) respectivamente.
Figura 7.4. Acelerômetro aplicado para aquisição da resposta do sistema.
Figura 7.5. Martelo utilizado no ensaio.
72
O ensaio experimental utiliza a janela exponencial, amortecendo artificialmente o sinal de
resposta, no canal 2. Tal decaimento é calculado pela equação (62) com dos dados colhidos de 4
em 4 Hz para 800 linhas de resolução e uma faixa de aquisição dos dados de 1600 Hz. Esta faixa
é definida pelo decaimento energético do sinal de excitação até o valor de 3 decibéis.
Dependendo da ponta utilizada no martelo, que foi a de neoprene.
O valor do decaimento calculado foi:
a = 2.
ln (10B)
T
com
T=
N
f anal
=
1
∆f
onde B indica o percentual de amortecimento a ser aplicado no sinal de resposta. Quanto maior
este percentual, menor é a aplicação do decaimento na FRF e melhor torna-se o aspecto da
mesma, tornando mais visível os picos de ressonância e a presença de modos próximos, não os
atenuando.
Com N = 800 linhas e fanal = 1600 Hz, logo T = 0,5 s
Para um valor de B igual a 10%, o valor do amortecimento é: a = 216 ms, que foi o valor adotado
no analisador de freqüência para a análise modal experimental da viga.
Os demais parâmetros foram determinados através do comportamento da coerência no
ensaio, são eles:
•
janela de força do canal 1 = 1,41 ms
•
trigger do canal 1 = 10 %
•
delay do canal 2 = 20 ms
73
MODAIS DOS HÉLICES NS18 E B9 (TESTE DE IMPACTO)
Este ensaio tem como objetivo medir diversas Funções Resposta em Freqüência (de
transferência e pontual) dos hélices navais B9 e NS18, cujas condições de contorno foram as
mesmas utilizadas no funcionamento dos rotores nas embarcações, ou seja, com restrição de
rotação do eixo dos rotores em relação ao eixo do motor, o que decorre da utilização das
chavetas nos hélices.
Capturadas as FRF’s, devem ser extraídos os parâmetros modais dos hélices em um
software específico, no caso o ICAT, versão 3.8. As medições foram realizadas no mesmo
analisador de utilizado no ensaio experimental da viga, sendo que, no primeiro canal, colocou-se
o sinal da célula de carga posicionada em um ponto do hélice tal que nenhuma freqüência natural
dos rotores seja atenuada pelo fato do acelerômetro encontrar-se em próximo ou em algum ponto
nodal. Para isto, adotou-se um ponto situado no centro geométrico da nona estação linear (corda)
da pá dos hélices. Este ponto fora adotado, pois quanto mais distante do bojo da pá (raiz ou
eixo), maior será o sinal que o acelerômetro receberá através do impacto do martelo com as pás
dos rotores.
No segundo canal, instalou-se o sinal do acelerômetro para o recebimento dos dados
provenientes do impacto do martelo com os rotores. Foram escolhidos 46 pontos de variação do
impacto do martelo com os hélices, ou seja, para o cálculo experimental das formas modais e
freqüências naturais da viga serão consideradas 45 funções de resposta em freqüência de
transferência e uma pontual.
É importante salientar, que foi tomado um cuidado especial da posição de impacto do
martelo com a viga, de tal forma que ele mantivesse durante o ensaio uma angulação constante
em relação ao acelerômetro, mesmo com a complexa forma helicoidal das pás, evitando-se assim
a aplicação de diversos fatores de correção na análise em virtude de posições e angulações
diferentes do impacto.
A figura a seguir demonstra a divisão dos hélices com uma malha de 46 pontos onde cada
ponto local de impacto do martelo com cada um dos hélices.
74
FRF Pontual
Figura 7.6. Definição dos pontos de coleta de dados experimentais dos hélices navais.
Foram aplicados os mesmos procedimentos do ensaio experimental da viga, utilizando-se
a janela exponencial, amortecendo artificialmente o sinal de resposta, no canal 2, com dos dados
colhidos de 4 em 4 Hz para 800 linhas de resolução e uma faixa de aquisição dos dados de 3200
Hz. Esta faixa é definida pelo decaimento energético do sinal de excitação até o valor de 3
decibéis. A ponta do martelo utilizada foi novamente a de neoprene.
O valor do decaimento calculado foi:
Com N = 800 linhas e fanal = 3200 Hz, logo T = 0,25 s
Para um valor de B igual a 10%, o valor do amortecimento é: a = 108 ms, que foi o valor adotado
no analisador de freqüência para a análise modal experimental dos hélices.
Os demais parâmetros foram determinados através do comportamento da coerência no
ensaio, são eles:
•
janela de força do canal 1 = 732,5 µs
•
trigger do canal 1 = 10 %
•
delay do canal 2 = 40 ms
Obs.: Cuidados adotados durante o ensaio experimental
75
Com o Martelo
-
Range
É a faixa de aquisição do impulso do martelo, definida em Volts RMS (Root
Median Square, ou Raiz da Média Quadrática). Se definida com um valor menor do que
à excitação do martelo, o canal 1 (ao qual o martelo está conectado ao analisador de
freqüência) o mesmo acusará overload, ou sobrecarga e os dados da função resposta em
freqüência não serão colhidos.
-
SPAN
É a faixa de validação dos dados colhidos, obtidos no ensaio de calibração do
martelo utilizado no ensaio experimental. Ela é definida a partir do decaimento energético
no canal 1 o qual conecta o martelo ao analisador de freqüência. Se este decremento no
eixo das ordenadas ultrapassar o valor de 3 decibéis, os valores subseqüentes a este
decaimento serão desprezados e a faixa de análise adotada será do valor zero Hertz, no
eixo das abscissas até onde decremento alcançar o referido valor.
-
Pontas
São instaladas nas extremidades dos martelos, podendo ser variadas para alteração
da qualidade do sinal de excitação do martelo na estrutura. Quanto mais rígida é a ponta
mais instantânea será a variação energética do sinal de excitação, aproximando-se do
delta de Dirac, que é o sinal ideal para este tipo de ensaio.
Alguns aspectos devem ser considerados além da alta taxa de variação do sinal, tal
como a presença repiques e impurezas que levam a coerência do sinal da inertância a
valores muito baixos.
A utilização de pontas de aço permite que o SPAN do sinal seja elevado
possibilitando a captura de freqüências naturais mais altas,. porém, a utilização deste tipo
de ponta gera as impurezas e repiques citados anteriormente devido à natureza plástica do
aço ao impacto, fazendo a ponta do martelo ressaltar diversas vezes durante apenas um
impacto do martelo com a estrutura. Por isso recorre-se à utilização de pontas mais
macias que possuem uma natureza elástica ao impacto, tais como de plásticos e de
76
neoprene, tendo uma proporção de repiques menor durante o impacto do martelo quando
do mesmo choca-se com a estrutura, tornando o sinal da excitação mais limpo, porém
sendo válida uma faixa menor de SPAN, visto que o pulso de energia fornecido pelas
pontas mais macias é mais suave, distanciando-se do delta de Dirac, ideal para este tipo
de ensaio.
Uma comparação das excitações provocadas pelas pontas utilizadas no ensaio
com o delta de Dirac é demonstrado abaixo.
-
Posição
É importante para manter a coerência dos dados colhidos, visto que se deve
manter a posição do martelo e o ponto de impacto durante a aquisição dos dados para se
evitar desvios.
-
Com o Acelerômetro
-
Range
É a faixa de aquisição da resposta do impulso do martelo, capturada pelo
acelerômetro fixado na estrutura, definida em Volts RMS (Root Median Square, ou Raiz
da Média Quadrática). Se definida com um valor menor do que à excitação provocada na
estrutura, o canal 2 (ao qual o acelerômetro está conectado ao analisador de freqüência) o
mesmo acusará overload, ou sobrecarga e os dados da função resposta em freqüência não
serão colhidos.
-
Delay
Ao se impactar o martelo com a estrutura, a mesma reage de maneira que o sinal
de vibração fica difuso, visto que se trata de um ruído branco, ou seja, em diversas faixas
de freqüência, então para que a aquisição do sinal de excitação do martelo pelo
acelerômetro não sofra influencias da faixa difusa pós-impacto, deve-se definir um delay,
ou atraso para que o acelerômetro adquira um sinal estável e por conseqüência de maior
qualidade. Geralmente é definido em milisegundos.
-
77
Trigger
É o dispositivo utilizado pelo analisador para não capturar qualquer sinal aleatório
durante a excitação, sendo definido em percentual no canal 2 do analisador de
freqüência, adquirindo assim, o sinal da excitação que realmente foi provocado pelo
impacto do martelo com a estrutura.
-
Janela de Força
É uma janela retangular especial que é unitária para os primeiros 10 ou 25% dos
pontos dados no domínio do tempo e zero para os remanescentes, sendo utilizada para
truncar a excitação do martelo até um valor pós pico de excitação, garantindo um único
pulso de energia fornecido ao sistema e truncando os sinais aleatórios depois deles, tais
como repiques. É definida em termos percentuais no canal 1 do analisador de freqüência.
-
Coerência
É uma correlação entre o sinal de entrada, no canal 1 (do martelo) e o de saída no
canal 2 (do acelerômetro). Esta relação, assumindo o valor unitário, significa não há
perda de sinal, garantindo a fidedignidade dos valores colhidos. Quando a coerência
tende a zero em curtos intervalos de tempo, pode estar havendo perda de sinal e, para que
o teste seja válido, alguns parâmetros devem ser redefinidos, tais como o delay do canal
2, decaimento exponencial, ou a janela de força do canal 1, evitando-se assim a presença
de repiques e sinais de excitação sujos.
7.4 MODELAGEM COMPUTACIONAL ATRAVÉS DO PROGRAMA ANSYS 6.0
O programa ANSYS realiza diversos tipos de simulações em modelos gerados
computacionalmente. Para que o modelo bi ou tridimensional do objeto em estudo seja
introduzido no programa, para que o mesmo possa realizar a análise solicitada, o usuário deve
seguir uma hierarquia de comandos que em geral governam a criação de modelos numéricos.
Primeiramente, deve ser informado ao programa o número e as coordenadas dos pontos a
serem utilizados na construção do modelo. Em seguida as linhas devem ser criadas unindo os
78
pontos inseridos anteriormente. Após a inserção das linhas, que podem ser retas ou interpoladas,
é necessária a inserção de áreas que a partir das linhas limitarão o modelo geometricamente para
a recepção dos volumes. Sendo o próximo passo a inserção destes volumes para posterior
malhagem da geometria, com elementos tridimensionais, tipo tetraedro ou cubo, por exemplo,
sendo que cada elemento demanda uma quantidade de nós que influenciará na qualidade e
precisão dos cálculos realizados.
Caso o modelo seja bidimensional, a malhagem dar-se-á a partir da linha gerada, sendo
que as propriedades geométricas do modelo, tais como área da seção transversal e momento de
inércia devem ser inseridos para a efetuação dos cálculos.
7.4.1 Análise Modal Numérica de uma Viga Bi-Apoiada
O modelo computacional da viga é simples de ser gerado no software ANSYS 6.0. A viga
é modelada com elemento do tipo BEAM 3, do tipo elástico e bidimensional, contendo 50
elementos.
Inicialmente são inseridos no ANSYS, em fase de pré-processamento, as coordenadas de
cada extremidade da viga, através de dois “keypoints”. Em seguida, unem-se estes pontos através
de uma linha reta. Em seguida é necessário inserir os valores do momento de inércia, área da
seção transversal e altura do perfil da viga. A próxima fase é a de listar as propriedades do
material da viga (aço carbono), as quais são: módulo de elasticidade transversal (E) e coeficiente
de Poisson secundário (γ-NUXY). Também é dado de entrada para os cálculos o tipo de
elemento a ser utilizado (BEAM 3). Os dados de entrada da viga são apresentados na tabela a
seguir.
Tabela 7.1. Dados utilizados na análise modal numérica da viga.
Dados utilizados no cálculo das freqüências naturais da viga
Comprimento (m)
0,813
Altura (m)
0,125
Largura (m)
0,254
2
Área da seção transversal (m )
3,175 x 10-4
Momento de inércia (m4)
4,134 x 10-9
Massa (Kg)
2,01
3
Densidade (Kg/m )
7800
Módulo de elasticidade transversal (MPa)
2,1 x 105
Coeficiente de Poisson secundário
0,3
79
Depois, é realizada a malhagem do modelo, adaptando o número de divisões da malha de
acordo com o ensaio utilizado. Geralmente o número de elementos deve ser superior a menor
variação geométrica da viga, o que proporciona uma resposta mais precisa e melhor
representativa da realidade do fenômeno estudado. O ideal é ir se refinando a malhagem até que
os resultados dos cálculos convirjam para um valor e a resposta gráfica seja algo que ainda
requeira maior densidade de malhas, para uma visualização mais realística do problema físico.
Após esta etapa, são inseridas as condições de contorno de deslocamento nos nós das
extremidades da viga, restringindo dois graus de liberdade (X e Y) para o nó da esquerda e um
grau de liberdade para o nó da direita (Y) sendo a coordenada axial da viga (X) livre.
Ainda em etapa de solução, seleciona-se o método de resolução do problema, que é o de
Block Lanczos, inserindo-se a faixa de freqüência de análise e o número de modos de vibração a
serem extraídos pelo programa. Depois desta etapa, inicia-se o cálculo das freqüências naturais e
formas modais da viga em balanço. A seguir é demonstrado o procedimento de construção da
viga no software ANSYS.
Figura 7.7. Geração do modelo computacional da viga
Após análise realizada no programa ANSYS, as formas modais e as freqüências naturais
da viga são apresentadas no capítulo 4.
7.4.2 Análise Modal Numérica dos hélices navais NS18 e B9
a) Procedimento Numérico
80
a.1) Construção do Modelo
Para criar o modelo, utilizaram-se 10 estações lineares das pás, onde as coordenadas X e
Y dos perfis foram medidas através do software Markgraf, escrito em linguagem Borland C, o
qual obtém as cotas das estações através de suas imagens digitalizadas, na extensão Bitmap
(BMP) e as coordenadas Z foram obtidas com um calibrador traçador de altura de resolução de
0,02 mm apoiado em um desempeno de medição de granito com superfície lapidada.
Figura 7.8. Definição do plano XY de uma pá do hélice no programa Markgraf
A modelagem do hélice foi feita através da inserção das cotas em uma matriz de
coordenadas que é mostrada abaixo [Swanson Analysis Systems, Inc [10]).
- número de perfis
nmax=10
- declaração da matriz das coordenadas
*dim,cox,array,(2*nmax*10)
*dim,coy,array,(2*nmax*10)
*dim,coz,array,(2*nmax*10)
Onde “nmax” é o número de perfis das estações lineares que compõem a pá do propulsor. Os
comandos “dim”, “cox”, “coy” e “coz” são a base das coordenadas nas quais é montada uma
matriz de 200 pontos, agrupados em 20 pontos, sendo que destes, 10 pontos por estação são
destinados ao intradorso ou face de sucção e os outros 10 ao extradorso da pá do hélice ou face
de pressão.
81
Os arquivos escritos contendo as informações utilizadas em linguagem de programação
APDL (Ansys Parametric Design Language) para a construção dos dois modelos de hélices e da
viga bi-apoiada estão disponibilizados nos anexos deste trabalho.
Após a inserção das coordenadas mostradas na figura (7.9), segue-se a seguinte seqüência
de construção de modelos sólidos em computador: construção de splines, que interligam os
pontos criados (figura 7.10), áreas e volumes (figura 7.11). Os volumes gerados (uma pá e um
terço do eixo) são copiados e colados para fechar o modelo. Este processo ocorre num sistema
cilíndrico de coordenadas, sendo que a colagem da parte do hélice é feita duas vezes variando-se
o eixo y de 120 em 120º, fechando o sólido com os três terços gerados.
Figura 7.9. Inserção das coordenadas (à esquerda modelo NS18 e à direita modelo B9).
Figura 7.10. Construção dos splines (à esquerda modelo NS18 e à direita modelo B9).
82
Figura 7.11. Definição de áreas e volumes (à esquerda modelo NS18 e à direita modelo B9).
a.2) Malhagem do Modelo
A adaptação da malha ao modelo deve ser tal que não o deforme e não eleve demais a
rigidez do material do hélice e não seja muito refinada a ponto de comprometer a realização dos
cálculos devido à grande memória alocada para este número elevado de elementos. Outro fator
importante é a convergência dos dados calculados, com este objetivo, refina-se a malha até a um
valor necessário tal que este grau de tendência seja muito elevado a fim de se evitar possíveis
erros em função de uma malhagem pobre.
Os rotores nos quais a malha fora aplicada para análise via método dos elementos finitos,
são mostrados na figura (7.12), onde foram utilizados os elementos tetraédrico (SOLID 92) e o
hexaédrico (SOLID 95), compostos de 10 e 20 nós por elemento, respectivamente (Swanson
Analysis Systems, Inc [10]). A quantidade de elementos para estes dois modelos foi definida
com base nos critérios citados no parágrafo anterior, visto que foram priorizados a convergência
dos resultados e o tempo computacional requerido para a efetuação dos cálculos a partir da teoria
de elementos finitos.
83
Figura 7.12. Malhagem dos modelos contendo 641 elementos e 6013 nós (à esquerda) para o
modelo NS18 e 1089 elementos e 2891 nós para o modelo B9 (à direita).
A técnica de geração dos modelos completos dos hélices navais utilizou-se da simetria
cíclica existente nos rotores, e a partir de um setor básico, composto por um terço do bojo dos
hélices e uma pá, foi o suficiente para a criação dos modelos como um todo. A figura (7.13)
ilustra o setor básico utilizado na criação dos rotores completos mostrados nas figuras (7.12),
acima.
O setor básico utiliza o conceito de diâmetros nodais. Estes definem locais onde os
deslocamentos são nulos em função das formas modais calculadas.
Figura 7.13. Setores básicos utilizados na construção dos modelos apresentados na figura (7.12).
NS18 (esquerda) e B9 (direta).
Com a utilização destes terços de volume se consegue um ganho em tempo de
processamento e ainda pode-se aproveitar, se necessário, a menor requisição de memória para
tornar o modelo mais refinado, tornando-o mais preciso.
Capítulo 4 – Análise dos Resultados
84
8. ANÁLISE DOS RESULTADOS
8.1 PARA A VIGA BI-APOIADA
Foram utilizados alguns métodos de extração de propriedades modais para que houvesse
um bom nível de comparação dos dados com os valores obtidos no ensaio numérico,
observando-se assim a convergência de cada método aplicado, estes métodos foram: Circle-FIT,
Line-FIT, IDENT, Global-S (ambos os quatro métodos utilizados para analisar a FRF pontual) e
o método Global-M, que analisa todas as 17 FRF”s obtidas no ensaio, ou seja uma para cada
ponto de aquisição (impacto do martelo com a viga).
Todos os métodos citados acima estão presentes no programa de análise de FRF”s
MODENT do software ICATS, versão 3.8. Os resultados de cada método são apresentados a
seguir, juntamente com a FRF pontual deste ensaio.
Figura 8.1. Fase e Módulo da FRF pontual da viga-bi-apoiada.
- Método Circle-FIT
Figura 8.2. Primeira freqüência natural pelo método Circle-FIT.
Figura 8.3. Segunda freqüência natural pelo método Circle-FIT.
85
Figura 8.8. Terceira freqüência natural pelo método Circle-FIT.
Figura 8.5. Quarta freqüência natural pelo método Circle-FIT.
Figura 8.6. Quinta freqüência natural pelo método Circle-FIT.
86
- Método Line-FIT
Figura 8.7. Primeira freqüência natural pelo método Line-FIT.
Figura 8.8. Segunda freqüência natural pelo método Line-FIT.
Figura 8.9. Terceira freqüência natural pelo método Line-FIT.
87
Figura 8.10. Quarta freqüência natural pelo método Line-FIT.
Figura 8.11. Quinta freqüência natural pelo método Line-FIT.
- Método IDENT
Figura 8.12. Ajuste da FRF pontual pelo método IDENT.
88
Figura 8.13. Lista modal declarada pelo método IDENT.
- Método Global-S
Figura 8.18. Lista modal da FRF pontual declarada pelo método Global-S.
89
90
- Método Global-M
Figura 8.15. Primeiro (esquerda) e Segundo (direita) modos de vibração pelo método Global-M.
Figura 8.16. Terceiro (esquerda) e Quarto (direita) modos de vibração pelo método Global-M.
91
Figura 8.17. Quinto (esquerda) e Sexto (direita) modos de vibração pelo método Global-M.
Como será verificado a seguir, com a demonstração dos resultados obtidos
numericamente, via software ANSYS, este sexto modo corresponde a uma forma modal de
deslocamento apenas na direção longitudinal da viga, ou seja, no seu eixo X, sendo que a sétima
forma calculada possui com a mesma freqüência da sexta, porém com a configuração típica para
este modo que são os cinco pontos nodais entre ao apoios da viga.
Abaixo são mostrados os dados obtidos na análise modal numérica da viga bi-apoiada
Figura 8.18. Primeiro (esquerda) e segundo (direita) modos de vibração da viga bi-apoiada.
Figura 8.19. Terceiro (esquerda) e quarto (direita) modos de vibração da viga bi-apoiada.
Figura 8.20. Quinto (esquerda) e sexto(*) (direita) modos de vibração da viga bi-apoiada
(*) modo de vibração longitudinal, possuindo a mesma freqüência natural do sétimo modo.
Figura 8.21. Sétimo e oitavo modos de vibração da viga Bi-Apoiada
92
93
Na análise numérica foram feitas hipóteses e adotadas condições de contorno. Porém, no
desenvolver do presente trabalho, fica evidente que foram desconsideradas algumas dessas
hipóteses. Por exemplo, os apoios foram considerados rígidos, o que não ocorreu na análise
experimental, onde os mesmos tiveram comportamento de apoios elásticos.
No ensaio experimental notou-se também que a bancada utilizada não teve um
comportamento tão rígido quanto teoricamente previsto e também houve influência de algumas
vibrações do meio ao seu redor, tais como do ar-condicionado, que excitava claramente as
paredes e o piso da sala.
Abaixo, na tabela (8.1) são apresentados os valores das freqüências naturais, em Hz,
obtidas a partir dos procedimentos numérico, teórico e experimental.
Tabela 8.1. Resultados do cálculo das freqüências naturais, em Hz, da viga bi-apoiada
Resultados
Modo
Teórico
Experimental
Numérico
Circle-FIT* Line-FIT* IDENT* Global-S* Global-M
o
1
o
2
o
3
o
4
o
5
o (longitudinal)
6
7o
o
8
44,50
44,49
44,60
43,69
44,00
44,82
44,23
177,98
177,91
177,10
177,00
178,00
177,48
177,01
400,46
400,11
393,90
393,88
394,00
394,54
394,38
711,92
710,83
690,60
690,42
690,00
690,48
690,58
1112,38
1109,70
1046,90
1047,08
1046,00
1046,25
1047,53
-
1595,70
-
-
-
-
-
1501,83
1595,70
-
-
-
1556,12
1563,67
2180,27
2170,10
-
-
-
-
-
(*) Dados colhidos para a FRF pontual.
As diferenças dos resultados já eram previstas, pois os apoios da bancada na qual foram
realizados os ensaios experimentais não são rígidos, o que ocasionou um modelo amortecido,
proporcionando freqüências naturais experimentais menores que as teóricas.
A diferença entre os valores obtidos pelos métodos teórico e numérico é pequena, apesar
do modelo numérico ser discreto o que ocasionaria um aumento de sua rigidez e maiores
freqüências naturais, porém, neste caso, foram utilizados 50 elementos, o que aproximou as
freqüências naturais às obtidas de uma estrutura contínua.
94
Quanto às formas modais, em geral, não se notou grande diferença, a não ser nos apoios,
que nas formas modais obtidas experimentalmente possuíram um pequeno deslocamento. No
ensaio experimental, não foram obtidos mais do que seis modos de vibração, devido tanto à faixa
de freqüência analisada (região com resultados válidos dentro da faixa), quanto ao fato de terem
sido medidas as FRF´s em 17 pontos da viga, o que acaba dificultando uma boa visualização das
formas deformadas.
O amortecimento obtido pela análise modal experimental, não é o amortecimento da
estrutura, pois devido à utilização de uma janela exponencial é criado um amortecimento
artificial. Para evitar o truncamento do sinal, estes amortecimentos devem ser corrigidos.
A partir das análises dos resultados ficou clara a grande importância, além da eficiência
da análise experimental para obtenção das características modais da viga analisada.
A seguir é apresentado um gráfico onde no eixo das abscissas consta o valor das
freqüências naturais, em Hz, obtidas numericamente e no eixo das ordenadas os valores das
freqüências naturais experimentais, em Hz, advindas do método Global-M.
Figura 8.22. Correlação entre os dados numéricos e experimentais.
As expressões de correção dos dados numéricos a partir dos experimentais são
apresentadas a seguir, onde R2 significa o erro de estimação, sendo que a unidade representa a
curva ajustada passando por todos os pontos:
95
f Num = 0,942 . f Exp + 10,362
R2 = 0,9996
- Método Line-FIT
f Num = 0,9427 . f Exp + 9,8188
R2 = 0,9995
- Método IDENT
f Num = 0,941 . f Exp + 10,616
R2 = 0,9995
- Método Global-S
f Num = 0,9639 . f Exp + 2,7873
R2 = 0,9996
- Método Global-M
f Num = 0,9686 . f Exp + 0,9423
R2 = 0,9993
8.2 PARA O HÉLICE MODELO B9
Foram utilizados os mesmos métodos de extração de propriedades modais dos testes
realizados na viga bi-apoiada, sendo que foram analisadas 46 FRF”s no método Global-M.
A seguir são mostrados os dados obtidos na análise modal experimental do hélice naval
B9.
a) 1a Pá
Figura 8.23. Fase e Módulo da FRF pontual da 1a Pá do Hélice modelo B9.
96
97
Figura 8.29. Sexta freqüência natural pelo método Circle-FIT.
Figura 8.30. Sétima freqüência natural pelo método Circle-FIT.
98
- Método Line-FIT
99
Figura 8.36. Sexta freqüência natural pelo método Line-FIT.
100
Figura 8.37. Sétima freqüência natural pelo método Line-FIT.
- Método IDENT
101
- Método Global-S
Figura 8.40. Lista modal declarada pelo método Global-S
102
103
- Método Global-M
Figura 8.41. Primeira (esquerda) e Segunda (direita) formas modais obtidas no método Global-M
Figura 8.42. Terceira (esquerda) e Quarta (direita) formas modais obtidas no método Global-M
Figura 8.43. Quinta forma modal obtida no método Global-M
b) 2a Pá
Figura 8.48. Fase e Módulo da FRF pontual da 2a Pá do Hélice modelo B9.
104
105
106
- Método Line-FIT
107
108
- Método IDENT
109
- Método Global-S
Figura 8.61. Lista modal declarada pelo método Global-S.
110
111
- Método Global-M
Figura 8.62. Primeira (esquerda) e segunda (direita) formas modais obtidas no método Global-M.
Figura 8.63. Terceira (esquerda) e quarta (direita) formas modais obtidas no método Global-M.
112
Figura 8.68. Quinta (esquerda) e sexta (direita) formas modais obtidas no método Global-M.
Figura 8.65. Sétima forma modal obtida no método Global-M.
113
Figura 8.66. À esquerda, forma deformada (em azul) e, à direita, deslocamento no eixo Z (maior
valor em vermelho) da 1a forma modal.
114
115
a) 1ª pá
obtidas a partir dos procedimentos numérico e experimental para a 1a pá do hélice B9.
Tabela 8.2. Resultados do cálculo das freqüências naturais, em Hz da 1a pá do hélice B9.
Resultados
Modo
Experimental
Numérico
Circle-FIT*
Line-FIT*
IDENT*
Global-S*
Global-M*
376,00
388,00
387,47
387,20
387,52
382,66
1.077,00
462,08
462,42
460,80
456,86
461,76
1.147,00
916,16
914,31
915,20
914,79
-
2.057,00
993,44
992,62
992,00
992,74
992,43
5
2.801,00
1807,04
1806,22
1808,00
1806,44
1806,70
6
3.422,00
2500,48
2500,69
2499,20
2499,96
2504,77
8.754,00
2540,00
2539,78
2540,80
2524,40
-
o
1
o
2
o
3
o
4
o
o
7
As cores das fontes dos modos em vermelho, azul, verde e cinza representam os mesmos
modos numérica e experimentalmente, após análise dos valores da magnitude e da fase da
116
inertância. Sendo que ou modos em preto representam provavelmente modos assimétricos ou
algum tipo de vazamento de sinal na FRF que provocou a captura destes.
freqüências naturais experimentais, em Hz.
Figura 8.73. Correlação entre os dados numéricos e experimentais para a 1a pá do hélice B9.
A expressão de correção dos dados numéricos a partir dos experimentais são apresentadas
a seguir:
f Num = 0,8565 . f Exp + 56,634
R2 = 0,9995
- Método Line-FIT
f Num = 0,8658 . f Exp + 55,723
R2 = 0,9995
117
- Método IDENT
f Num = 0,8657 . f Exp + 55,728
R2 = 0,9995
- Método Global-S
f Num = 0,8655 . f Exp + 56057
R2 = 0,9995
- Método Global-M
f Num = 0,8691 . f Exp + 50,496
R2 = 0,9994
b) 2ª pá
obtidas a partir dos procedimentos numérico e experimental para a 2a pá do hélice B9.
Tabela 8.3. Resultados do cálculo das freqüências naturais, em Hz, da 2a pá do hélice modelo B9.
Resultados
Modo
Experimental
Numérico
Circle-FIT*
Line-FIT*
IDENT*
Global-S*
Global-M*
376,00
391,68
392,99
393,60
394,51
392,83
1.077,00
916,96
917,24
918,40
917,33
916,28
1.147,00
996,48
995,82
995,20
995,72
995,86
2.057,00
1178,88
1175,60
1177,60
1175,66
1174,84
5
2.801,00
1266,40
1265,89
1267,20
1266,16
1265,25
6
3.422,00
1803,20
1802,31
1801,60
1801,98
1798,95
8.754,00
2494,08
2492,85
2492,80
2492,66
2490,32
o
1
o
2
o
3
o
4
o
o
7
As cores das fontes dos modos em vermelho, azul, verde e cinza representam os mesmos
modos numérica e experimentalmente, após análise dos valores da magnitude e da fase da
118
inertância. Sendo que ou modos em preto representam provavelmente modos assimétricos ou
algum tipo de vazamento de sinal na FRF que provocou a captura destes.
freqüências naturais experimentais.
Figura 8.78. Correlação entre os dados numéricos e experimentais para a 2a pá do hélice B9.
apresentadas a seguir:
f Num = 0,861 . f Exp + 62,955
R2 = 0,9995
- Método Line-FIT
f Num = 0,86 . f Exp + 64,051
R2 = 0,9994
119
- Método IDENT
f Num = 0,8598 . f Exp + 64,239
R2 = 0,9994
- Método Global-S
f Num = 0,8594 . f Exp + 65,276
R2 = 0,9994
- Método Global-M
f Num = 0,8587 . f Exp + 64639
R2 = 0,9994
8.3 PARA O HÉLICE MODELO NS18
a) 1a Pá
Figura 8.75. FRF pontual da 1a Pá do Hélice modelo NS18.
120
121
- Método Line-FIT
122
123
124
- Método IDENT
125
- Método Global-S
126
127
- Método Global-M
128
Figura 8.96. Sétima forma modal obtida no método Global-M.
b) 2a Pá
Figura 8.97. FRF pontual da 2a Pá do Hélice modelo NS18.
129
130
131
- Método Line-FIT
132
133
- Método IDENT
134
- Método Global-S
135
136
- Método Global-M
137
Figura 8.116. À esquerda, forma deformada (em azul) e, à direita, deslocamento no eixo Z
(maior valor em vermelho) da 1a forma modal.
138
139
140
a) 1ª pá
Abaixo, na tabela (8.4) são apresentados os valores das freqüências naturais, em
Hz,obtidas a partir dos procedimentos numérico e experimental para a 1a pá do hélice NS18.
Tabela 8.8. Resultados do cálculo das freqüências naturais, em Hz, da 1a pá do hélice NS18.
Resultados
Modo
o
1
o
2
o
3
o
4
o
5
6
o
o
7
Experimental
Numérico
Circle-FIT*
Line-FIT*
IDENT*
Global-S*
Global-M*
261,45
359,04
358,54
358,40
358,60
358,60
843,31
428,96
428,85
428,80
428,66
429,02
1.046,00
788,32
787,92
787,20
787,98
787,85
1.405,00
898,08
898,41
899,20
899,60
897,43
2.381,00
1086,56
1086,47
1088,00
1086,56
1090,26
2.515,00
1556,96
1556,08
1561,60
1560,13
1551,68
3.929,00
2232,64
2232,82
2230,40
2233,39
2220,06
As cores das fontes dos modos em vermelho, azul, verde, cinza e laranja representam os
mesmos modos numérica e experimentalmente, após análise dos valores da magnitude e da fase
da inertância. Sendo que ou modos em preto representam provavelmente modos assimétricos ou
algum tipo de vazamento de sinal na FRF que provocou a captura destes modos.
141
Figura 8.123. Correlação entre os dados numéricos e experimentais para a 1ª pá do hélice NS18.
f Num = 0,8951 . f Exp + 163,89
R2 = 0,9878
- Método Line-FIT
f Num = 0,8952 . f Exp + 163,52
R2 = 0,9879
- Método IDENT
f Num = 0,8944 . f Exp + 165,56
R2 = 0,987
142
- Método Global-S
f Num = 0,8957 . f Exp + 164,19
R2 = 0,9875
- Método Global-M
f Num = 0,8886 . f Exp + 168,57
R2 = 0,9876
b) 2ª pá
Abaixo, na tabela (8.5) são apresentados os valores das freqüências naturais, em
Hz,obtidas a partir dos procedimentos numérico e experimental para a 2a pá do hélice NS18.
Tabela (8.5). Resultados do cálculo das freqüências naturais, em Hz, da 2a pá do hélice NS18.
Resultados
Modo
Experimental
Numérico
Circle-FIT*
Line-FIT*
IDENT*
Global-S*
Global-M*
261,45
360,32
360,54
361,60
360,51
360,51
843,31
430,56
430,70
432,00
431,72
430,47
1.046,00
885,28
885,25
886,40
885,52
883,15
1.405,00
1083,20
1084,13
1084,80
1084,17
1085,62
5
2.381,00
-
-
-
-
-
6
2.515,00
1550,24
1549,77
1548,80
1550,32
1549,81
3.929,00
2232,64
2233,34
2233,60
2233,56
2233,96
o
1
o
2
o
3
o
4
o
o
7
As cores das fontes dos modos em vermelho, azul, verde, cinza e laranja representam os
mesmos modos numérica e experimentalmente, após análise dos valores da magnitude e da fase
da inertância. Sendo que ou modos em preto representam provavelmente modos assimétricos ou
algum tipo de vazamento de sinal na FRF que provocou a captura destes modos.
143
Figura 8.128. Correlação entre os dados numéricos e experimentais para a 2ª pá do hélice NS18.
f Num = 0,896 . f Exp + 158,5
R2 = 0,9884
- Método Line-FIT
f Num = 0,8961 . f Exp + 158,57
R2 = 0,9885
- Método IDENT
f Num = 0,8956 . f Exp + 159,67
R2 = 0,9887
144
- Método Global-S
f Num = 0,8963 . f Exp + 158,64
R2 = 0,9885
- Método Global-M
f Num = 0,8967 . f Exp + 157,96
R2 = 0,9885
Capítulo 5 – Conclusão
145
9. CONCLUSÃO
Como pôde ser visto nos resultados das tabelas (8.2) a (8.5), o valor das primeiras
freqüências naturais (por volta de 300 Hz) são muito superiores às freqüências de trabalho do
propulsor (15,53 Hz), (esta freqüência é calculada através da divisão da rotação do motor pelo
fator de redução do eixo do motor para o eixo do hélice), tanto na análise experimental quanto na
numérica, o que indica que, a possibilidade de ocorrer ressonâncias no conjunto motor-propulsor
é nula.
Outra análise realizada a partir dos resultados foi que, se os propulsores estão com uma
vida útil reduzida, isto se deve ao fato dos mesmos não serem submetidos a um rígido controle
de qualidade no decorrer de sua produção, que vai desde a seleção de matéria-prima, terminando
no transporte e entrega do produto. A especificação inadequada do material constituinte do
propulsor contribui para a anisotropia do mesmo, devido à presença de inclusões e vazios no
hélice. Foi verificado também, que a padronização na produção dos rotores não é levada em
consideração, visto que se adquiriu para os estudos dois hélices modelo NS18, que possuíam
muitas diferenças no que concerne aos perfis de origem e a larguras das pás, sendo que por este
motivo, apenas um rotor fora utilizado nos estudos.
As diferenças verificadas entre os dois tipos de análises realizadas, no que diz respeito
aos valores das freqüências naturais, podem ser justificadas pela impossibilidade do modelo de
elementos finitos considerar a anisotropia e as descontinuidades existentes no objeto de estudo,
que acarretam divergências tanto na rigidez quanto na massa do material, e, portanto, nos valores
de suas freqüências naturais que dependem basicamente destes dois parâmetros.
Outras influências negativas para que houvesse uma proximidade dos valores das
freqüências naturais numéricas e experimentais para os dois hélices se deve ao fato das
geometrias criadas em computador não representarem perfeitamente os modelos reais, devido a
fatores como erros sistemáticos na aquisição das coordenadas, utilizadas na construção dos
modelos. A adaptação das malhas às geometrias também constitui fator importante para justificar
as diferenças encontradas, visto que, as geometrias dos dois hélices navais, pós-malhagem,
apresentaram desvios de forma. Estes desvios, mesmo mínimos, contribuem para atenuar as
diferenças encontradas.
Desvios nas propriedades mecânicas do material constituinte dos hélices (ligas de cobrezinco) também são fator determinante para a geração das diferenças encontradas, visto que, se
houverem diferenças entre o módulo de elasticidade transversal real e o coeficiente de Poisson
Capítulo 5 – Conclusão
146
real dos rotores e os valores utilizados no trabalho, proveniente de publicações anteriores,
acarretam também na contribuição do afastamento dos resultados numéricos dos experimentais.
Nas tabelas (8.2) a (8.5), fica evidente que as freqüências naturais ordenadas pelo método
numérico não coincidem com os valores obtidos pelos métodos aplicados ao procedimento
experimental, isto se deveu ao fato do sinal da inertância estar com algum tipo de interferência,
acarretando no aparecimento de picos de ressonância falsos que posteriormente são capturados
pelo programa ICATS e analisados como freqüências naturais. O motivo da instabilidade do
sinal provavelmente está envolvido com um apoio inadequado dos hélices na bancada de testes
ou com uma janela exponencial inadequada, tornando o sinal menos amortecido do que o
necessário para uma boa captura dos dados.
Os modos citados no parágrafo anterior, caracterizados por serem impurezas no sinal da
inertância, também foram observados no que diz respeito aos seus ângulos de fase, como pode
ser visto nas figuras (8.23), (8.44), (8.75) e (8.97), com base neste parâmetro, foi comprovado
que estes valores não constituem formas modais, pois se percebe a ausência de mudanças
bruscas, nestes ângulos, o que atesta que estes pontos não passam de impurezas detectadas como
freqüências naturais das FRF”s analisadas.
Um dos objetivos deste trabalho foi plenamente cumprido, que é a familiarização com os
conceitos de análise modal numérica e experimental, dificilmente estudados em nível de
graduação, despertando interesse em se buscar novos conhecimentos nesta área e ampliar a
capacidade técnica do engenheiro em se analisar os sistemas mecânicos sob uma ótica mais
dinâmica.
O estudo da análise modal de sistemas dinâmicos está em constante evolução devido ao
fato das ferramentas experimentais e computacionais também evoluírem continuamente. Neste
aspecto, este trabalho não possui um término, pois as constantes evoluções, tais como a
utilização de scanners 3D para uma aquisição mais precisa das coordenadas que dão forma aos
modelos e softwares com placa de aquisição de dados, o que contribui para um salto na
qualidade do sinal adquirido nos procedimentos experimentais, em detrimento do teste realizado
com martelo, contribuem para que a exatidão e convergência dos resultados seja cada vez maior,
possibilitando que se conheça de fato como é o comportamento dinâmico dos hélices navais
amazônicos.
Para futuros trabalhos, baseados neste, sugere-se uma análise modal numérica e
experimental do hélice em condições reais de operação, ou seja, dentro da água. Para tal, será
necessário realizar-se o teste com os hélices dentro da água e, na análise numérica, simular o
hélice dentro de um volume com condições de contorno simulando o mar aberto.
Bibliografia
147
BIBLIOGRAFIA
[1] Moreira, A. L. S., 2000, “Otimização do Projeto de Propulsores Navais do Tipo Hélices
Utilizados por Embarcações nas Condições Amazônicas”, Relatório parcial de atividades do
projeto, UFPA, Pará, Brasil.
[2] Coelho, C.A., Ferreira, E.L.S. e Lima, L.M.B., 1999, “Uma Alternativa para a Produção de
Propulsores Navais Tipo Hélice na Amazônia”, Anais em CD-ROM do XV Congresso
Brasileiro de Engenharia Mecânica, Águas de Lindóia, Brasil.
[3] Ferreira, E. L. S. e Lima, L. M. B., 1999, “Projeto e Produção de Propulsores Navais nas
Microempresas de Fundição do Município de Belém”, (TCC), UFPA, Pará, Brasil, pp 1-33.
[4] Mostruário dos motores Yanmar, 2000.
[5] Soeiro, N.S., Samir N. Y. G. & Bento Coelho J. L., 2000, “Determinação Numérica e
Experimental de uma Caixa de Engrenagem de Uso Veicular, Congresso TecniAcustica,
Madrid, Espanha.
[6] Bran, R. & Souza, Z., 1967, “Máquinas de fluxo (turbinas, bombas e ventiladores)”, Editora
Ao livro técnico S.A., Rio de Janeiro, Brasil, pp l84-198 e pp 249-255.
[7] Comstock, J. P., 1967, “Principles of Naval Architeture”, The Society of Naval Architects
and Marine Engineers, New York USA, pp 373-462.
[8] Macintyre, A. J., 1983, “Máquinas Motrizes Hidráulicas”, Editora Guanabara Dois, Rio de
Janeiro, Brasil, pp 223-246.
[9] Sena, M. J. S., Reynaud, G. & Kueny, J. L., 1999, “Calcul de deformations - contraintes de
roues de machines avec le code ANSYS”, Relatório Interno: Intitut National Polytechnique
de Grenoble, França.
[10] Swanson Analysis Systems Ansys, User’s Manual Theory, Revision 6.0, Inc. 2001.
Bibliografia
148
[11] Swanson Analysis Systems Ansys, User’s Manual Vol. 1 – Procedures, Revision 6.0, Inc.
2001.
[12] Padovezi, C. A., 1997, “Aplicação de Resultados de Escala Real no Projeto de Hélices de
Embarcações Fluviais”, (TCC), Universidade de São Paulo, São Paulo, Brasil, pp 29-55.
www.teses.usp.br/teses/disponiveis/3/3135/tde-18122002-164613/ publico/DissertPadovezi.PDF
[13] do Vale, A.R. M., Lopes, F. A. C. & Soeiro, N. S., 2002, Análise Modal Numérica e
Experimental de Propulsores Navais do Tipo Hélice Produzidos na Amazônia”, Publicado
no Congresso da SAE, São Paulo, Brasil.
[14] Notas de Aula do Curso de Vibrações do Departamento de Engenharia Mecânica da UFPA,
Pará, Brasil, 2001.
[15] Yedo, G., Mourão, R. G. & Vieira., R. J. A, Relatório de Análise Modal Experimental
Utilizando o Analisador Dinâmico de Sinais HP 35665A, UFPA, Pará, Brasil, 2001.
[16] de Almeida, M. T., 1987, “Vibrações Mecânicas para Engenheiros”, Editora Edgard
Blücher, São Paulo, Brasil.
[17] Broch, J. T., 1980, “Mechanical Vibration and Shock Measurements”, Editora Bruel &
Kjaer, Denmark.
[18] Geer, D. “Propeller Handbook”, 1989, Editora Marine Company International, Cambridge.
[19] Apostila do Curso de Análise Modal Experimental, 2001, UFPA, Pará, Brasil.
[20] Manual do Software ICATS, versão 3.8.
[21] Manual do Analisador Dinâmico de Sinais HP 35665A.
[22]Encarte dos Motores Estacionários YANMAR, 2000
Anexos
149
ANEXOS
ANEXO 1
Autovalores e Autovetores
Admita um conjunto de n equações linearmente independentes a n incógnitas.por
questões de conveniência e para facilidade de compreensão, as ilustrações seguintes são
geralmente limitadas a duas equações e duas incógnitas. Considere o sistema de equações:
a 11x1 + a 12 x 2 = y1
a 21x1 + a 22 x 2 = y 2
Estas equações podem ser expressas em notação matricial pela equação
a11 a 12   x1   y1 
a
   =  
 21 a 22   x 2   y 2 
A notação pode ser mais simplificada ainda, ocasionando na expressão
AX=Y
Para a explicação a seguir, a matriz A será do tipo quadrada de ordem n, X e Y são vetores de ngésima ordem.
O problema é encontrar um vetor X (chamado de autovetor, vetor característico, vetor
próprio ou coluna modal) que será transformado pela matriz A em um vetor Y cujas coordenadas
são proporcionais às coordenadas de X, o vetor original, e portanto tem a mesma direção de X no
espaço vetorial. Ou seja, deve ser encontrado um valor X que satisfaça a equação a seguir onde λ
(chamado autovalor, valor característico, número característico ou valor próprio) é um escalar
real, ou complexo que deve também ser determinado.
AX = λX
Anexos
150
Como λ é um escalar, λ X pode ser substituído por meio da identidade (equação abaixo),
onde I é a matriz identidade e X é um vetor.
λX ≡ λIX
A substituição da equação acima pela mostrada anteriormente dá a equação seguinte.
AX ≡ λIX
Reunindo os termos e aplicando a lei distributiva da multiplicação das matrizes, originam a
equação a seguir.
[A -λ I] [X] = 0
A matriz [A -λ I] é chamada de matriz característica da matriz A. ela representa um
sistema de equações lineares homogêneas simultâneas que somente terá solução não trivial (ou
seja, X ≡ 0), somente se o determinante da matriz [A -λ I] for igual a zero.
O cálculo do det [A -λ I] resulta em um polinômio de grau n em λ que é chamado função
característica. Igualando este polinômio a zero, obtém-se a equação característica, cujas raízes
são os autovalores da matriz A.
Anexos
ANEXO 2
Rotinas Escritas Para Geração de modelos 3D dos Hélices Navais Modelos NS18 e B9
Rotina NS18
!UFPA-CT-DEM
!ROTINA DE CONSTRUÇÃO DE PÁS DE HÉLICES NAVAIS ATRAVÉS DE 10 PERFIS
/prep7
!número de perfis
nmax=10
!DECLARAÇÃO DA MATRIZ DE COORDENADAS(200 COORDENADAS)
!LADO SUPERIOR
cox(1)=16.56,17.24,17.90,18.32,18.68,19.00,18.63,17.12,14.31,6.59
cox(11)=30.71,30.71,30.71,30.71,30.71,31.10,31.48,31.87,31.87,31.87
cox(21)=41.85,41.85,42.61,43.00,43.00,43.38,43.77,44.15,44.15,44.53
cox(31)=55.67,56.05,56.44,57.20,57.97,57.97,57.97,58.36,57.97,57.97
cox(41)=71.41,72.18,72.56,72.56,72.94,73.33,73.71,74.48,74.10,74.86
cox(51)=89.07,89.07,89.45,89.45,89.84,90.22,90.22,89.84,89.84,89.84
cox(61)=101.35,101.35,101.74,102.12,102.12,102.51,102.89,102.89,103.27,102.89
cox(71)=115.94,116.71,117.09,117.48,117.48,117.86,118.25,118.25,118.25,118.25
cox(81)=131.11,131.11,131.49,131.49,131.49,131.49,131.49,131.88,132.26,132.26
cox(91)=136.10,141.09,143.78,146.46,147.23,146.46,144.93,141.86,138.79,135.71
coy(1)=-9.31,-7.98,-6.38,-5.05,-3.46,-0.27,3.72,8.24,12.50,17.82
coy(11)=-9.57,-7.45,-5.32,-2.93,0.80,4.79,9.57,14.10,18.35,23.40
coy(21)=-10.90,-7.45,-4.52,-1.33,2.66,7.45,11.70,16.49,22.07,27.13
coy(31)=-13.03,-10.64,-6.91,-1.86,3.72,9.31,13.56,19.41,25.00,30.85
coy(41)=-15.43,-10.11,-5.59,-0.53,4.26,9.57,15.69,21.81,27.66,35.11
coy(51)=-18.35,-12.23,-7.18,-1.60,3.99,10.11,16.49,23.40,30.32,36.97
coy(61)=-19.41,-14.36,-9.04,-3.72,2.39,8.24,14.89,22.34,29.79,36.44
coy(71)=-19.68,-13.03,-6.91,-1.60,3.19,8.78,14.36,19.95,26.33,31.91
coy(81)=-16.76,-13.03,-8.24,-3.99,0.53,4.52,9.04,14.36,19.68,25.00
coy(91)=-14.63,-11.17,-8.24,-2.93,2.39,7.71,12.23,16.80,19.55,22.61
coz(1)=-4.26,-3.68,-4.98,-7.48,-10.68,-15.64,-20.18,-23.74,-27.40,-29.68
coz(11)=-6.00,-9.52,-11.40,-13.58,-15.84,-18.34,-20.88,-23.24,-23.24,-26.66
coz(21)=-4.30,-6.68,-8.66,-10.62,-12.70,-14.96,-17.38,-19.86,-22.34,-24.98
coz(31)=-2.68,-5.24,-6.76,-8.58,-10.52,-12.82,-14.82,-17.18,-19.64,-22.38
coz(41)=0.00,-2.30,-4.22,-6.04,-8.32,-10.04,-12.18,-14.24,-16.68,-19.72
coz(51)=2.26,-0.18,-2.32,-4.26,-6.42,-8.32,-10.24,-12.42,-14.64,-16.84
coz(61)=2.70,1.38,-0.12,-2.38,-4.50,-6.30,-8.26,-10.08,-12.14,-14.18
coz(71)=3.82,3.02,1.52,-0.16,-1.68,-3.56,-5.06,-6.88,-8.72,-10.76
coz(81)=4.00,3.04,2.00,0.62,-0.76,-2.04,-3.20,-4.58,-5.76,-7.12
coz(91)=3.66,2.76,1.64,0.50,-0.48,-2.08,-2.94,-3.88,-5.30,-6.42
151
Anexos
!LADO INFERIOR
cox(101)=16.56,17.24,17.90,18.32,18.68,19.00,18.63,17.12,14.31,6.59
cox(111)=30.71,30.71,30.71,30.71,30.71,31.10,31.48,31.87,31.87,31.87
cox(121)=41.85,41.85,42.61,43.00,43.00,43.38,43.77,44.15,44.15,44.53
cox(131)=55.67,56.05,56.44,57.20,57.97,57.97,57.97,58.36,57.97,57.97
cox(141)=71.41,72.18,72.56,72.56,72.94,73.33,73.71,74.48,74.10,74.86
cox(151)=89.07,89.07,89.45,89.45,89.84,90.22,90.22,89.84,89.84,89.84
cox(161)=101.35,101.35,101.74,102.12,102.12,102.51,102.89,102.89,103.27,102.89
cox(171)=115.94,116.71,117.09,117.48,117.48,117.86,118.25,118.25,118.25,118.25
cox(181)=131.11,131.11,131.49,131.49,131.49,131.49,131.49,131.88,132.26,132.26
cox(191)=136.10,141.09,143.78,146.46,147.23,146.46,144.93,141.86,138.79,135.71
coy(101)=-9.31,-7.98,-6.38,-5.05,-3.46,-0.27,3.72,8.24,12.50,17.82
coy(111)=-9.57,-7.45,-5.32,-2.93,0.80,4.79,9.57,14.10,18.35,23.40
coy(121)=-10.90,-7.45,-4.52,-1.33,2.66,7.45,11.70,16.49,22.07,27.13
coy(131)=-13.03,-10.64,-6.91,-1.86,3.72,9.31,13.56,19.41,25.00,30.85
coy(141)=-15.43,-10.11,-5.59,-0.53,4.26,9.57,15.69,21.81,27.66,35.11
coy(151)=-18.35,-12.23,-7.18,-1.60,3.99,10.11,16.49,23.40,30.32,36.97
coy(161)=-19.41,-14.36,-9.04,-3.72,2.39,8.24,14.89,22.34,29.79,36.44
coy(171)=-19.68,-13.03,-6.91,-1.60,3.19,8.78,14.36,19.95,26.33,31.91
coy(181)=-16.76,-13.03,-8.24,-3.99,0.53,4.52,9.04,14.36,19.68,25.00
coy(191)=-14.63,-11.17,-8.24,-2.93,2.39,7.71,12.23,16.80,19.55,22.61
coz(101)=-6.96,-11.54,-16.50,-19.76,-24.14,-26.98,-29.18,-31.14,-31.94,-31.70
coz(111)=-7.50,-12.00,-15.44,-18.70,-22.24,-24.72,-26.52,-27.82,-28.62,-28.54
coz(121)=-5.74,-10.94,-14.50,-17.82,-20.26,-22.54,-23.98,-25.04,-25.86,-26.00
coz(131)=-4.04,-7.66,-11.48,-14.58,-17.48,-19.42,-20.76,-22.22,-23.22,-23.12
coz(141)=-1.38,-6.98,-9.92,-12.54,-14.62,-16.56,-18.26,-19.60,-20.54,-20.74
coz(151)=0.56,-4.04,-7.18,-9.64,-10.88,-13.94,-15.82,-17.46,-18.36,-18.32
coz(161)=1.72,-2.04,-5.22,-7.52,-9.74,-11.64,-13.44,-15.22,-15.80,-15.82
coz(171)=2.36,-1.92,-4.68,-6.64,-8.16,-9.68,-10.94,-12.04,-12.78,-12.46
coz(181)=1.94,-0.64,-2.48,-4.14,-5.54,-6.60,-7.50,-8.32,-9.02,-9.10
coz(191)=1.12,0.20,-0.76,-2.22,-3.10,-4.14,-5.16,-6.04,-7.00,-8.00
!*********************************************
!mudança de escala (mm para m)
*do,i,1,nmax*10*2
cox(i)=cox(i)*1e-3
coy(i)=coy(i)*1e-3
coz(i)=coz(i)*1e-3
*enddo
!*********************************************
!DEFINIÇÃO DOS PONTOS DE BASE
*do,i,1,nmax*20
k,i,cox(i),coy(i),coz(i)
*enddo
!*********************************************
!CONSTRUÇÃO DOS SPLINES QUE DEFINEM OS PERFIS DAS ESTAÇÕES LINEARES
!face de entrada - frontal
*do,i,1,nmax*10,10
bsplin,i,i+1,i+2,i+3,i+4,i+5
bsplin,i+5,i+6,i+7,i+8,i+9
*enddo
152
Anexos
*do,i,1,nmax*2,2
lcomb,i,i+1
*enddo
!face de saída - costado
*do,i,1,nmax*10,10
bsplin,i+100,i+101,i+102,i+103,i+104,i+105
bsplin,i+105,i+106,i+107,i+108,i+109
*enddo
*do,i,2,18,4
lcomb,i,i+2
*enddo
*do,i,21,29,2
lcomb,i,i+1
*enddo
!*********************************************
!união das extremidades das faces de entrada e saída
*do,i,1,nmax*10,10
l,i,i+100
l,i+9,i+109
*enddo
!*********************************************
!união das extremidades de estação para estação
*do,i,1,nmax*9,10
l,i,i+10
l,i+9,i+19
l,i+100,i+110
l,i+109,i+119
*enddo
!*********************************************
!CONSTRUÇÃO DAS ÁREAS PARA A FORMAÇÃO DOS VOLUMES
*do,i,1,17,2
askin,i,i+2
*enddo
*do,i,1,13,4
askin,i+1,i+5
*enddo
askin,18,21
*do,i,1,7,2
askin,i+20,i+22
*enddo
askin,4,12
askin,12,20
askin,20,24
askin,24,28
153
Anexos
154
askin,28,31
askin,31,33
askin,33,35
askin,35,37
askin,37,39
askin,8,16
askin,16,22
askin,22,26
askin,26,30
askin,30,32
askin,32,34
askin,34,36
askin,36,38
askin,38,40
askin,1,2
askin,3,6
askin,5,10
askin,7,14
askin,9,18
askin,11,21
askin,13,23
askin,15,25
askin,17,27
askin,19,29
!*********************************************
!GERAÇÃO DOS VOLUMES
*do,i,nmax,nmax+8
va,i,i-9,i+27,i+28,i+9,i+18
*enddo
!*********************************************
!MALHAGEM DO MODELO
ET,1,SOLID95
!definição das propriedades físicas e mecânicas do material
MP,EX,1,2.1E11
MP,DENS,1,9000
MP,NUXY,1,0.3
!módulo de elasticidade
!massa específica
!coeficiente de Poisson
!definição da densidade de malhas (divisão das linhas utilizadas na malhagem)
!HORIZONTAL
dh=5
*do,i,1,29,2
lesize,i,,,dh
*enddo
*do,i,2,18,4
lesize,i,,,dh
*enddo
dh1=3
Anexos
*do,i,41,76
lesize,i,,,dh1
*enddo
!VERTICAL
dv=2
*do,i,4,28,4
lesize,i,,,dv
*enddo
*do,i,30,40
lesize,i,,,dv
*enddo
lesize,20,,,dv
lesize,22,,,dv
lesize,26,,,dv
!*********************************************
!construção do eixo
csys,1
vgen,2,1,,,,120
vgen,2,2,,,,120
vgen,2,3,,,,120
vgen,2,4,,,,120
vgen,2,5,,,,120
vgen,2,6,,,,120
vgen,2,7,,,,120
vgen,2,8,,,,120
vgen,2,9,,,,120
vgen,2,10,,,,120
vgen,2,11,,,,120
vgen,2,12,,,,120
vgen,2,13,,,,120
vgen,2,14,,,,120
vgen,2,15,,,,120
vgen,2,16,,,,120
vgen,2,17,,,,120
vgen,2,18,,,,120
vmesh,all
cylind,.0191,.011,0,-.038,0,360
!vadd,all
155
Anexos
Rotina B9
!UFPA-CT-DEM
!ROTINA DE CONSTRUÇÃO DE PÁS DE HÉLICES NAVAIS ATRAVÉS DE 10 PERFIS
/prep7
!número de perfis
nmax=10
!DECLARAÇÃO DA MATRIZ DE COORDENADAS(200 COORDENADAS)
!LADO SUPERIOR
cox(1)=15.63,18.62,19.06,18.32,17.38,16.26,14.41,11.75,7.47,0
cox(11)=29.71,29.71,29.71,29.71,29.71,29.71,29.71,29.71,29.71,29.71
cox(21)=43.29,42.87,42.87,42.87,42.87,42.87,42.87,42.87,42.87,42.44
cox(31)=58.15,58.15,57.72,57.3,57.3,56.87,56.87,56.03,55.6,55.18
cox(41)=70.46,70.03,70.03,69.61,69.61,69.18,69.18,68.76,68.33,67.91
cox(51)=83.61,83.19,82.77,82.34,81.92,81.49,81.07,80.22,79.37,78.95
cox(61)=95.92,95.92,95.5,95.07,94.65,94.23,93.8,93.38,92.95,92.1
cox(71)=108.66,108.66,108.23,108.23,107.81,107.38,106.96,106.96,106.53,105.68
cox(81)=120.54,120.54,120.54,120.54,120.54,120.12,119.69,119.69,119.27,119.27
cox(91)=124.36,127.33,129.88,131.15,131.58,131.15,129.88,128.6,125.63,122.24
coy(1)=-10.98,-4.26,1.2,5.4,7.92,10.02,12.54,15.06,17.58,19.1
coy(11)=-4.62,0.42,4.62,9.24,12.6,15.54,19.74,23.52,26.88,31.08
coy(21)=-7.56,-1.68,3.78,8.4,13.02,17.22,22.68,27.72,33.18,38.64
coy(31)=-10.92,-3.36,3.36,10.08,15.96,22.68,28.56,34.86,40.74,44.94
coy(41)=-13.86,-5.88,1.26,8.4,14.7,21.84,28.56,35.7,42.42,48.3
coy(51)=-17.64,-8.82,-0.84,7.14,15.12,22.26,29.82,36.96,43.26,49.98
coy(61)=-19.74,-10.92,-2.94,5.04,12.18,19.74,26.46,33.6,40.74,49.56
coy(71)=-20.16,-12.18,-4.62,2.52,10.08,17.22,23.94,30.24,37.38,45.36
coy(81)=-15.12,-9.24,-4.2,1.68,7.14,13.02,18.48,23.94,29.4,36.54
coy(91)=-11.76,-7.14,-2.1,3.36,8.82,14.28,19.32,23.94,29.4,33.6
coz(1)=-2.54,-2.56,-4.22,-8.56,-13.82,-18.78,-23.5,-28.96,-32.28,-38.56
coz(11)=-6.54,-8.34,-11.28,-14.9,-18.52,-21.42,-25.12,-28.7,-30.7,-33.38
coz(21)=-4.72,-7.24,-9.86,-12.92,-15.52,-17.9,-20.42,-23.1,-25.62,-28.84
coz(31)=-2.46,-4.88,-8.22,-10.88,-13.68,-16.24,-18.7,-20.84,-22.86,-24.94
coz(41)=-0.32,-2.82,-5.26,-8.34,-10.4,-12.78,-14.82,-16.7,-18.36,-21.02
coz(51)=1.18,-0.4,-3.3,-5.64,-8.06,-10.1,-11.86,-13.38,-14.94,-17.04
coz(61)=3,1.24,-0.92,-3,-5.02,-6.64,-8.02,-9.6,-11.1,-12.9
coz(71)=3.78,2.48,0.92,-0.6,-2.22,-3.68,-4.94,-6.1,-7.6,-9.22
coz(81)=3.8,2.82,1.94,0.8,-0.26,-1.1,-2.06,-3.1,-4.42,-5.2
coz(91)=3.5,3,2.12,1.38,0.74,-0.22,-1,-2.1,-3.22,-4.38
!LADO INFERIOR
cox(101)=15.63,18.62,19.06,18.32,17.38,16.26,14.41,11.75,7.47,0
cox(111)=29.71,29.71,29.71,29.71,29.71,29.71,29.71,29.71,29.71,29.71
cox(121)=43.29,42.87,42.87,42.87,42.87,42.87,42.87,42.87,42.87,42.44
cox(131)=58.15,58.15,57.72,57.3,57.3,56.87,56.87,56.03,55.6,55.18
cox(141)=70.46,70.03,70.03,69.61,69.61,69.18,69.18,68.76,68.33,67.91
cox(151)=83.61,83.19,82.77,82.34,81.92,81.49,81.07,80.22,79.37,78.95
cox(161)=95.92,95.92,95.5,95.07,94.65,94.23,93.8,93.38,92.95,92.1
cox(171)=108.66,108.66,108.23,108.23,107.81,107.38,106.96,106.96,106.53,105.68
156
Anexos
cox(181)=120.54,120.54,120.54,120.54,120.54,120.12,119.69,119.69,119.27,119.27
cox(191)=124.36,127.33,129.88,131.15,131.58,131.15,129.88,128.6,125.63,122.24
coy(101)=-10.98,-4.26,1.2,5.4,7.92,10.02,12.54,15.06,17.58,19.1
coy(111)=-4.62,0.42,4.62,9.24,12.6,15.54,19.74,23.52,26.88,31.08
coy(121)=-7.56,-1.68,3.78,8.4,13.02,17.22,22.68,27.72,33.18,38.64
coy(131)=-10.92,-3.36,3.36,10.08,15.96,22.68,28.56,34.86,40.74,44.94
coy(141)=-13.86,-5.88,1.26,8.4,14.7,21.84,28.56,35.7,42.42,48.3
coy(151)=-17.64,-8.82,-0.84,7.14,15.12,22.26,29.82,36.96,43.26,49.98
coy(161)=-19.74,-10.92,-2.94,5.04,12.18,19.74,26.46,33.6,40.74,49.56
coy(171)=-20.16,-12.18,-4.62,2.52,10.08,17.22,23.94,30.24,37.38,45.36
coy(181)=-15.12,-9.24,-4.2,1.68,7.14,13.02,18.48,23.94,29.4,36.54
coy(191)=-11.76,-7.14,-2.1,3.36,8.82,14.28,19.32,23.94,29.4,33.6
coz(101)=-7.34,-12.88,-18.44,-24.8,-29.28,-33.56,-37.58,-40.36,-41.22,-42.14
coz(111)=-9.06,-14.7,-18.56,-22.7,-26.08,-28.8,-32.12,-34.00,-34.86,-35.84
coz(121)=-7.36,-12.54,-16.7,-20.38,-23.7,-26.92,-29.36,-30.7,-31.72,-31.6
coz(131)=-4.24,-9.88,-13.8,-17.58,-20.76,-23.4,-25.22,-26.76,-27.6,-27.4
coz(141)=-2.7,-7.34,-11.18,-14.82,-18.00,-20.18,-21.92,-23.08,-23.68,-23.6
coz(151)=-0.34,-5.2,-9.3,-12.08,-14.9,-17.1,-18.78,-19.84,-20.42,-20.08
coz(161)=1.12,-3.04,-6.36,-9.08,-11.58,-13.18,-14.42,-15.46,-15.86,-15.88
coz(171)=2.04,-1.62,-4.06,-6.18,-7.74,-9.56,-10.78,-11.58,-12.1,-12.04
coz(181)=1.82,-0.22,-1.84,-3.48,-4.72,-5.96,-6.76,-7.36,-7.96,-8.14
coz(191)=1.2,0.38,-0.32,-0.98,-1.94,-2.92,-3.86,-4.58,-5.94,-6.94
!*********************************************
!mudança de escala (mm para m)
*do,i,1,nmax*10*2
cox(i)=cox(i)*1e-3
coy(i)=coy(i)*1e-3
coz(i)=coz(i)*1e-3
*enddo
!*********************************************
!DEFINIÇÃO DOS PONTOS DE BASE
*do,i,1,nmax*20
k,i,cox(i),coy(i),coz(i)
*enddo
!*********************************************
!CONSTRUÇÃO DOS SPLINES QUE DEFINEM OS PERFIS DAS ESTAÇÕES LINEARES
!face de entrada - frontal
*do,i,1,nmax*10,10
bsplin,i,i+1,i+2,i+3,i+4,i+5
bsplin,i+5,i+6,i+7,i+8,i+9
*enddo
*do,i,1,nmax*2,2
lcomb,i,i+1
*enddo
!face de saída - costado
*do,i,1,nmax*10,10
bsplin,i+100,i+101,i+102,i+103,i+104,i+105
bsplin,i+105,i+106,i+107,i+108,i+109
157
Anexos
*enddo
*do,i,2,18,4
lcomb,i,i+2
*enddo
*do,i,21,29,2
lcomb,i,i+1
*enddo
!*********************************************
!união das extremidades das faces de entrada e saída
*do,i,1,nmax*10,10
l,i,i+100
l,i+9,i+109
*enddo
!*********************************************
!união das extremidades de estação para estação
*do,i,1,nmax*9,10
l,i,i+10
l,i+9,i+19
l,i+100,i+110
l,i+109,i+119
*enddo
!*********************************************
!CONSTRUÇÃO DAS ÁREAS PARA A FORMAÇÃO DOS VOLUMES
*do,i,1,17,2
askin,i,i+2
*enddo
*do,i,1,13,4
askin,i+1,i+5
*enddo
askin,18,21
*do,i,1,7,2
askin,i+20,i+22
*enddo
askin,4,12
askin,12,20
askin,20,24
askin,24,28
askin,28,31
askin,31,33
askin,33,35
askin,35,37
askin,37,39
askin,8,16
askin,16,22
askin,22,26
askin,26,30
askin,30,32
158
Anexos
159
askin,32,34
askin,34,36
askin,36,38
askin,38,40
askin,1,2
askin,3,6
askin,5,10
askin,7,14
askin,9,18
askin,11,21
askin,13,23
askin,15,25
askin,17,27
askin,19,29
!*********************************************
!GERAÇÃO DOS VOLUMES
*do,i,nmax,nmax+8
va,i,i-9,i+27,i+28,i+9,i+18
*enddo
!*********************************************
!MALHAGEM DO MODELO
ET,1,SOLID95
!definição das propriedades físicas e mecânicas do material
MP,EX,1,2.1E11
MP,DENS,1,9000
MP,NUXY,1,0.3
!módulo de elasticidade
!massa específica
!coeficiente de Poisson
!definição da densidade de malhas (divisão das linhas utilizadas na malhagem)
!HORIZONTAL
dh=8
*do,i,1,29,2
lesize,i,,,dh
*enddo
*do,i,2,18,4
lesize,i,,,dh
*enddo
dh1=3
*do,i,41,76
lesize,i,,,dh1
*enddo
!VERTICAL
dv=2
*do,i,4,28,4
lesize,i,,,dv
*enddo
Anexos
*do,i,30,40
lesize,i,,,dv
*enddo
lesize,20,,,dv
lesize,22,,,dv
lesize,26,,,dv
!*********************************************
!construção do eixo
csys,1
vgen,2,1,,,,120
vgen,2,2,,,,120
vgen,2,3,,,,120
vgen,2,4,,,,120
vgen,2,5,,,,120
vgen,2,6,,,,120
vgen,2,7,,,,120
vgen,2,8,,,,120
vgen,2,9,,,,120
vgen,2,10,,,,120
vgen,2,11,,,,120
vgen,2,12,,,,120
vgen,2,13,,,,120
vgen,2,14,,,,120
vgen,2,15,,,,120
vgen,2,16,,,,120
vgen,2,17,,,,120
vgen,2,18,,,,120
vmesh,all
cylind,.0192,.0105,0,-.046,0,360
160
Anexos
161
ANEXO 3
Métodos de Extração Modais no Software ANSYS, Versão 6.0
As equações básicas em uma análise modal constituem um problema de solução de
autovalores, dados pela expressão abaixo:
[K]{φi } = ωi [M]{φi }
2
onde:
[K]
é a matriz de rigidez do sistema;
{φi }
é o vetor da forma modal do modo “i” ou autovetor;
ωi
é a freqüência natural circular do modo “i”, onde ωi é o autovalor e
[M]
é a matriz de massa do sistema.
2
Muitos métodos numéricos são aceitos para resolver a equação acima. O programa
ANSYS, oferece seis métodos.
•
Método do Subespaço
•
Bloco Lanczos
•
Energia Dinâmica
•
Método Reduzido
•
Método Assimétrico
•
Método Amortecido
Os primeiro quatro métodos, o Subespaço, o Bloco Lanczos, a Energia Dinâmica e
Método Reduzido são os mais utilizados.
A tabela abaixo compara estes quatro métodos de extração modais.
Anexos
162
Memória
Método
Requerida
de
(A-Alta,
Aplicação
Solução
M-Média,
B-Baixa)
Espaço em
Disco
Requerido
(A-Alto,
M-Médio,
B-Baixo)
Serve para encontrar alguns modos (cerca de
quarenta) de modelos grandes.
Subespaço É recomendado quando o modelo consiste de um
B
A
M
B
A
B
B
B
sólido bem moldado e elementos do tipo casca.
Trabalha bem quando se possui memória limitada.
Serve para encontrar muitos modos (quarenta ou
mais) de modelos grandes.
Bloco
Lanczos
É recomendado quando o modelo consiste de um
sólido mal moldado e elementos do tipo casca ou a
combinação de elementos do tipo casca e sólidos.
Trabalha mais rápido, porém requer cerca de 50%
a mais de memória do que o método do subespaço.
Serve para encontrar poucos modos (cerca de
vinte) de modelos grandes.
É recomendado quando se quer processamento
rápido de autovalores de modelos com mais de
Energia
100 mil GL.
Dinâmica Em modelos onde a malhagem é grosseira, as
freqüências são aproximadas.
É possível a perda de modos quando freqüências
repetidas existem no modelo.
Encontra todos os modos (modelos com menos de
10 mil GL). Pode ser utilizado para encontrar
Reduzido
alguns modos (cerca de quarenta) de modelos
maiores com a seleção de um GL mestre, mas a
precisão da freqüência depende da seleção deste.
Anexos
163
O Método do Bloco Lanczos
O método de Bloco Lanczos de extração de autovalores é aceitável para problemas de
grandes quantias de nós e simétricos. Tipicamente, este mecanismo de solução é aplicável para o
tipo de problemas solucionáveis pelo método do subespaço, porém, com uma taxa de
convergência mais rápida.
Um bloco denominado algoritmo de Lanczos, é a base teórica do mecanismo de
autosolução. Este método emprega uma estratégia automatizada de troca, combinada com a
checagem da seqüência de Sturm, para extrair o número de autovalores requisitados. A
checagem da seqüência de Sturm também assegura que as freqüências naturais além da faixa de
freqüência de análise, fornecida pelo usuário, sejam encontradas sem perda de modos de
vibração.
O algoritmo do Bloco de Lanczos é uma variação do algoritmo clássico, onde as
recursões do modelo são desenvolvidas usando-se um bloco de vetores ao invés de um simples
vetor. Detalhes teóricos adicionais do método clássico de Lanczos podem ser encontrados em
Rajakumar e Rogers (196).
O uso do método do bloco de lanczos para a resolução de problemas maiores (com cerca
de 100000 graus de liberdade, por exemplo) pode requerer uma quantia de memória
computacional significativa. Um grande número de equações de restrição são geradas
conduzindo a arquivos grandes.
O Método Reduzido
Para o procedimento reduzido, o sistema de equações é primeiramente condensado para
os graus de liberdade livres associados com o grau mestre de liberdade. O conjunto de “n” graus
mestres caracterizam as freqüências naturais de interesse do sistema. Esta técnica preserva a
energia potencial dos modos de baixa freqüência, porém modifica, até certo ponto, a energia
cinética. Esta energia para os modos de baixa freqüência é menos sensível à condensação do que
a energia cinética de modos cujas freqüências possuem valores mais elevados. O numero de
graus mestres de liberdade deve ao menos ser igual ou duas vezes o número de freqüências de
interesse. Esta forma reduzida deve ser expressa por:
Anexos
164
 ^  ^ 
 ^  ^ 
=
K
φ
λ
i  M  φi 
   i 
  
sendo
^
 K 
matriz reduzida de rigidez (conhecida)
^
φi 
 
autovetor (desconhecido)
λi
autovalor (desconhecido)
^ 
 M 
matriz reduzida de massa (conhecido)
Depois, é executada a extração real dos autovalores. A técnica de extração empregada é o HBI
(Householder – Bisection – Inverse Interaction) que consiste em cinco passos (Ansys Help):
a) Transformação de um autoproblema Generalizado para um autoproblema padrão.
b) Reduzir a matriz de autovalores para a forma tridiagonal.
c) Cálculo dos autovalores
d) Cálculo dos autovetores
e) Transformação dos autovetores
O Método do Subespaço
O método do Subespaço usa as técnicas de iterações do subespaço, as quais usam
internamente os algoritmos generalizados de iteração de Jacobi. É um método de alta precisão
porquê usa as matrizes totais de massa e rigidez. Por esta mesma razão, porém, o método do
Subespaço é mais lento do que o método reduzido. Este procedimento é usado tipicamente onde
é requerido um alto grau de precisão dos resultados ou onde não se faz necessária a seleção de
um grau mestre de liberdade.
Quando se faz uma análise modal com um número elevado de condições de contorno,
usa-se o método de iteração do Subespaço ou o método do Bloco Lanczos para a extração das
constantes modais.
Anexos
165
O Método Assimétrico
O método Assimétrico, o qual também utiliza as matrizes totais de massa e rigidez é
utilizado para problemas onde as matrizes de rigidez e massa são assimétricas (por exemplo em
problemas de interação fluido-estrutura). Este método utiliza o algoritmo de Lanczos, que
calcula os autovalores e autovetores complexos se o sistema é não-conservativo. A parte real do
autovalor representa as freqüências naturais e a parte imaginária é a medida da estabilidade do
sistema, um valor negativo significa que o sistema é estável e um valor positivo indica que o
mesmo possui instabilidade. A seqüência de checagem de Sturm não é aceitável para este
método. Então, há a possibilidade de se perder alguns modos se a freqüência de extração superior
assumir valores mais elevados.
O Método Amortecido
É utilizado em problemas onde o amortecimento não pode ser desprezado, tal como
aplicações em rotores dinâmicos. Este método utiliza as matrizes totais de massa e rigidez e a
matriz de amortecimento. O algoritmo aplicado é o Lanczos que calcula autovalores e
autovetores complexos. A seqüência de checagem de Sturm não é aplicável a este método.
Portanto existe a possibilidade de se perderem alguns modos se a freqüência de extração superior
assumir valores mais elevados.
O Método da Energia Dinâmica
Este método internamente utiliza as iterações do subespaço, mas utiliza o solucionador
iterativo PCG. Este procedimento pode ser significativamente mais rápido do que os métodos do
bloco Lanczos e do subespaço, mas não apresenta boa convergência se os elementos não forem
bem modelados, ou se a matriz estiver mal condicionada. Este método é especialmente utilizado
em modelos muito grandes, com cerca de 100 mil graus de liberdade para obter a solução dos
primeiros modos.
Obs.: A seqüência de checagem e Sturm considera um número de pivôs negativos encontrados
durante a triangularização da matriz de rigidez. Este número encontrará uma quantidade de
autovalores que convergem a menos que o modo seja perdido. Neste caso mais vetores de
Anexos
166
iteração são utilizados. Para a seqüência de checagem de Sturm final a troca utilizada é definida
como:
s = λ p + 0,1(λ p +1 − λ p )
onde
λp
= autovalor do último modo requerido
λ p +1
= autovalor do próximo modo computado
Anexos
167
ANEXO 4
Elementos Utilizados nas Análises Modas Numéricas, utilizando o Software ANSYS 6.0
BEAM (Viga) 3 –Elemento do Tipo Viga Elástica
O elemento BEAM (Viga) 3 é do tipo uniaxial, capacidade de adquirir cargas de tração,
compressão e flexão. O elemento tem três graus de liberdade em cada nó, que são as direções
nodais X e Y e a rotação sobre o eixo nodal Z
Figura a.1 Elemento do tipo BEAM 3.
É necessária a inserção de constantes reais, tais como área da seção transversal, altura e
momento de inércia da viga.
As propriedades físicas e mecânicas utilizadas na análise modal são o módulo de
elasticidade longitudinal, densidade e coeficiente de Poisson secundário do material constituinte
do modelo.
SOLID 95 - Sólido Hexaédrico Estrutural com 20 Nós em 3 Dimensões
É uma versão de ordem mais alta do que o Sólido 45 (que possui 8 nós). Pode tolerar
formas irregulares sem muita perda de precisão. Este elemento tem compatibilidade de
deslocamento em chapas e são bem aceitáveis para modelos com limites curvilíneos.
Anexos
168
O Sólido 95 é definido através de 20 nós tendo três graus de liberdade por nó, as quais
são as translações nas direções nodais X, Y e Z. O elemento deve ter alguma orientação espacial
para ser inserido em uma geometria, geralmente esta referência é dada pelo próprio volume
gerado.
Não é necessária a inserção de nenhuma constante real, pois este valor é inerente ao
modelo criado no ANSYS.
As propriedades físicas e mecânicas utilizadas na análise modal são as mesmas utilizadas
no teste da viga com o elemento BEAM 3, ou seja, módulo de elasticidade longitudinal,
densidade e coeficiente de Poisson secundário do material constituinte do modelo.
Figura a.2 Elemento hexaédrico do tipo SOLID 95.
SOLID 92 - Sólido Tetraédrico Estrutural com 10 Nós em 3 Dimensões
O Sólido 92 de forma tetraédrica pode tolerar bem formas irregulares sem muita perda de
precisão
O Sólido 92 é definido através de 10 nós tendo três graus de liberdade por nó, as quais
são as translações nas direções nodais X, Y e Z. O elemento deve ter alguma orientação espacial
Anexos
169
para ser inserido em uma geometria, geralmente esta referência é dada pelo próprio volume
gerado.
Não é necessária a inserção de nenhuma constante real, pois este valor é inerente ao
modelo criado no ANSYS.
As propriedades físicas e mecânicas utilizadas na análise modal são as mesmas utilizadas
no teste da viga com o elemento BEAM 3, ou seja, módulo de elasticidade longitudinal,
densidade e coeficiente de Poisson secundário do material constituinte do modelo.
Figura a.3 Elemento tetraédrico do tipo SOLID 92.

Análise Modal numérico-experimental de hélices - O GVA

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