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15. 12. 2005
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Aufgabe G 54
a) Berechnen Sie den Schwerpunkt des Kegels
K = {(x, y, z) ∈ R3 : (1 − z)2 ≥ x2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 1} .
b) Berechnen Sie den Schwerpunkt der Achtelkugel mit Radius R = 1 :
{(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x, y, z ≥ 0} .
Bemerkung: Hier ist die Verwendung von Kugelkoordinaten zwar nicht zwingend, aber
empfehlenswert. Die explizite Berechnung der Funktionaldeterminante sollte zur Übung
zumindest einmal durchgeführt werden.
Aufgabe G 55
a) Es sei K ein Körper der Masse m. Ferner sei g eine Gerade durch den Schwerpunkt von K
und h eine zu g parallele Gerade im Abstand a. Zeigen Sie, dass für die Trägheitsmomente
Mg und Mh von K bezüglich g bzw. h der Satz von Steiner gilt:
Mh = M g + a 2 m .
Hinweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann für g als Drehachse die z-Achse
verwendet werden und die Schwerpunktskoordinaten xS = yS = 0 angenommen werden.
b) Berechnen Sie das Trägheitsmoment einer Kugel mit Radius R und Mittelpunkt M =
(a, 0, 0) bezüglich der z-Achse.
Aufgabe G 56 Gegeben sei der Körper K mit der Parameterdarstellung


cos s + r cos t
x(s, t, r) =  sin s + r sin t  , 0 ≤ s ≤ π, 0 ≤ t ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1 .
2s
Bemerkung: Vergleichen Sie mit Aufgabe G51 und beachten Sie 0 ≤ s ≤ π.
a) Berechnen Sie die Funktionaldeterminante
∂(x, y, z)
und damit das Volumen des Körpers.
∂(s, t, r)
b) Berechnen Sie den Schwerpunkt des Körpers.
c) Der Körper K steht frei auf der xy-Ebene. Er befindet sich genau dann in einer stabilen
Lage, wenn das Schwerpunktlot die Grundfläche von K schneidet. Fällt der Körper K
um?
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05/06 Kahnert/Walk/Götz/Meister/Kolbe/Wipper/Witowski
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Aufgabe G 57
Berechnen Sie das Volumen V des Körpers, der übrigbleibt, wenn aus der Kugel x2 +y 2 +z 2 ≤ 36
die beiden Zylinder y 2 + z 2 ≤ 6y und y 2 + z 2 ≤ −6y herausgebohrt werden.
Hinweis: Aufgabe G27 (Blatt 4) könnte nützlich sein.
Aufgabe G 58 Es sei K ein Körper in R3 , dessen Schwerpunkt sich im Ursprung befindet.
Wir definieren die Integrale
θjk =
ZZZ
xj xk dx1 dx2 dx3 ,
j, k ∈ {1, 2, 3}.
K
a) Gesucht ist das Trägheitsmoment Mg um die Ursprungsgerade g mit dem Richtungsvektor a bei homogener Massenverteilung (mit Dichte ρ = 1), wobei a als Einheitsvektor
angesetzt werden darf. Stellen Sie Mg nur mit Hilfe von a und den Integralen θjk dar.
Hinweis: Finden Sie zunächst eine Darstellung für den quadrierten Abstand eines beliebigen Punktes x zu g.
b) Sei K nun der Quader mit den Eckpunkten (−2, −1, −1), (−2, 1, −1), (−2, −1, 1), (−2, 1, 1),
(2, −1, −1), (2, 1, −1), (2, −1, 1), (2, 1, 1). Berechnen Sie seine Trägheitsmomente Mg und
Mh bezüglich der Geraden
 
2

g : x = λ 1 , λ ∈ R
2
und


3
h : x = µ 0  , µ ∈ R.
−4
Aufgabe V 59 Eine Transformation des ersten Quadranten in sich selbst sei durch
r
√
u
,
y = uv ,
u, v > 0
x=
v
gegeben.
a) Auf welches Gebiet G wird das Rechteck
½
¾
¯
1
2¯
Ĝ := (u, v) ∈ R 1 < u < 4, < v < 1
4
unter der Transformation abgebildet? Skizzieren Sie G und beschreiben Sie die Randkurven von G.
b) Berechnen Sie die Funktionaldeterminante der Transformation T und mit Hilfe des Transformationssatzes für Gebietsintegrale den Flächeninhalt von G.
∂G bezeichne die positiv orientierte Randkurve von G.
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c) Berechnen Sie für das Strömungsfeld
v(x, y) = (3x2 y 2 , −2xy 3 + 3y)T
die Divergenz sowie mit Hilfe des Greenschen Integralsatzes den Fluss von v durch ∂G
von innen nach außen.
d) Berechnen Sie für das Kraftfeld
K(x, y) =
µ
x
y
, 2
2
2
x + y x + y2
¶T
die Rotation und mit Hilfe des Greenschen Integralsatzes das Arbeitsintegral
Hinweis: Bei der Integration könnte die Substitution v = et vorteilhaft sein.
Z
K · dx.
∂G
Aufgabe V 60 Gegeben sei der Kegelmantel
M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 1, z =
p
x2 + y 2 }.
a) Berechnen Sie die Oberfläche von M unter Verwendung von
i) kartesischen Koordinaten
ii) Polarkoordinaten.
b) Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes v(x, y, z) = (x + y, y − x, z 2 )T durch M .
Aufgabe V 61 Gegeben sei der Körper
K = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ x + 2} .
a) Skizzieren Sie grob den Körper K.
b) Beschreiben Sie den Körper in Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z).
c) Berechnen Sie das Volumen von K.
d) Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Gauß den Fluss des Vektorfeldes
v(x, y, z) = (1 , yx2 , zy 2 )T
durch die Oberfläche von K von innen nach außen.
e) Gegeben sei der Oberflächenteil
F = {(x, y, z) ∈ R3 , x2 + y 2 = 4, 0 ≤ z ≤ x + 2} .
(e1) Man gebe die Randkurven von F an.
(e2) Es sei w(x, y, z) = (−y , x , y)T . Man berechne den Fluss von rot w durch F mit
Hilfe des Satzes von Stokes. Hierbei ist der Normalenvektor so zu wählen, dass er
ins Äußere des Zylinders x2 + y 2 = 4 weist.
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