Der Nabla-Kalkül und die Eigenschaften von Feldern
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Der Nabla-Kalkül und die Eigenschaften von Feldern
Der Nabla-Kalkül und die Eigenschaften von Feldern Eine Feldfunktion f ( ⃗r , t) ordnet jedem Punkt ⃗r , des Raumes zum Zeitpunkt t eine ⃗ ,⃗ ⃗ ] oder ein Tensor physikalische Größe f zu. f kann ein Skalar [T, p, U] , Vektor [ E F ,H ̃ [σ̃ , J ] sein. Von Interesse sind die räumlichen und zeitlichen Eigenschaften solcher Felder; zu deren Charakterisierung kann der Nabla-Operator mit Vorteil verwendet werden. Er ist ein Differentialoperator mit Vektorcharakter und im kartesischen Bezug definiert durch ∇ = ∂ ; ∂ ; ∂ ≡ ex ∂ ey ∂ ez ∂ ∂x ∂ y ∂ z ∂x ∂y ∂z Für krummlinig orthogonale Koordinaten qi Definition: ∇= ei mit Skalenfaktoren gi lautet die allgemeinere ∂ = 1 ∂ , 1 ∂ , 1 ∂ gi ∂ qi g 1 ∂ q1 g 2 ∂ q 2 g 3 ∂ q3 Hinweis: Für kartesische Koordinaten sind alle Skalenfaktoren Eins ! Gradient, Divergenz und Rotation machen als Differentialoperationen Aussagen über die räumlichen Feldeigenschaften. Der Gradient gibt die Änderung eines skalaren Feldes beim Fortschreiten um d ⃗r an; Divergenz und Rotation liefern Aussagen über die Quellen bzw. Wirbel von Vektorfeldern. Merke: grad, div, rot sind historische, aber immer noch gebräuchliche Schreibweisen. Es gilt grad U =∇ U (grad nur anwendbar auf skalare Felder (später auch Vektorfelder: Vektorgradient) ⃗ =∇⋅F ⃗ =q( ⃗r ) mit Quelldichte q(r) (div wirkt auf Vektorfelder) div F ⃗ =∇ × F ⃗ =w rot F ⃗ (⃗r ) mit Wirbeldichte w( r) (rot wirkt auf Vektorfelder) Weitere Definitionen: 2 Laplace-Operator Richtungsableitung 2 2 = ∇⋅∇= ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 ∂x ∂y ∂z ∂U =e⃗s⋅∇ U ( ⃗r ) ∂s Totale Zeitableitung d U ∂U ∂U ∂U ∂U ∂U = ẋ ẏ ż = v⋅∇ U dt ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t mit konvektivem Term ⃗v⋅∇ U Hinweis: Der Nabla-Kalkül erlaubt die Anwendung bekannter Regeln aus der linearen Algebra. Es gilt z.B.: rot grad U =∇ ×∇ U ≡0 (formales Kreuzprodukt aus 2 gleichen Vektoren) ⃗ )≡0 (formales Spatprodukt enthält 2 gleichen Vektoren) div rot ⃗E =∇⋅( ∇× E Gradientenfelder Voraussetzung: U (⃗r ) sei ein skalares Feld (total differenzierbar) Die kompakte Schreibweise für das totale Differential dU =∇ U⋅d ⃗r wird oft als Definitionsgleichung des Gradienten bezeichnet. Merke: Der Gradient ist ein Vektor, der in Richtung des größten Anstieges von U zeigt und gleich dessen Betrag pro Längeneinheit ist. Konservative Kraftfelder und wegunabhängiges Integral Konservative Kraftfelder sind wirbelfrei und lassen sich durch Gradientenbildung aus einem Potential berechnen: Wegen rot grad U ≡0 (Beweis auch mit Satz von Schwarz in kartesischen ⃗ =0 . Dann und nur dann ergeben sich 3 Koordinaten) gilt die notwendige Bedingung rot F ⃗ aus einem skalaren Potential U ! Komponenten des Vektorfeldes F ⃗r Die Umkehrung der Relation ⃗ =−grad U lautet F U =−∫ ⃗ F⋅d ⃗r r⃗0 Für konservative Felder ist das Wegintegral im Raum unabhängig vom Weg zwischen Anfangs- und Endpunkt, denn es gilt: r⃗2 r⃗2 −∫ (−∇ U )⋅d ⃗r =∫ d U =U ( r⃗2)−U ( r⃗1) r⃗1 r1 ⃗ Hinweis: Eine analoge Relation gilt in der Elektrostatik zwischen elektr. Feld und elektr. Potential. Integralsätze Integralsatz von Gauß ∭( ∇⋅⃗B (⃗r )) dV = ∯ V ⃗ B ( ⃗r )⋅d ⃗ S S =∂V Integralsatz von Stokes: ∬ ( ∇× ⃗E (⃗r ))⋅d ⃗A= ∮ A ⃗ ( ⃗r )⋅d ⃗r E C =∂S Rechnen mit dem Nabla-Operator (Beispiele) ∇ r= e⃗r=⃗r / r ; ∇ U (r )=U ´ (r ) e⃗r ; ∇⋅⃗r =3 ; ∇×⃗r =0 ; ∇ (U⋅V )=U ∇ V +V ∇ U Entwicklungssätze für Divergenz und Rotation ∇⋅(φ ⃗ A)=(∇ φ)⋅⃗ A+φ(∇⋅⃗ A) ∇×(φ ⃗ A)=(∇ φ)× ⃗A+φ( ∇× ⃗ A) Weitere Identitäten: ∇⋅( ⃗ A× ⃗ B )= ⃗ B⋅( ∇ × ⃗ A )− ⃗A⋅( ∇× ⃗ B) ⃗ )− ⃗ ∇×( ⃗ A× ⃗ B)= ⃗ A (∇⋅B B (∇⋅⃗A)+( ⃗ B⋅∇ ) ⃗ A−( ⃗ A⋅∇ ) ⃗ B Wichtig ! Die folgende Relation liefert die allgemeine Vorschrift für die Anwendung des Laplace-Operators auf Vektorfelder (nach formaler Anwendung der Regel ‚bac-cab’) ∇×(∇× ⃗ A)=∇ ( ∇⋅⃗A)−Δ ⃗ A → Δ⃗ A=∇ ∇⋅⃗A−∇ ×( ∇ × ⃗A) Beachte: Nur in kartesischen Koordinaten gilt: Δ⃗ A=Δ A x e⃗x +Δ A y e⃗y +Δ Az e⃗z=Δ Ai e⃗i