Lösung – Gerrit Roth

Lösung zur AVWL –Klausur Sommersemester 2004
Aufgabe 1
a) Zeichnungen siehe Handzeichnungen. Optimaler Preis: p=Grenzkosten=4
Menge im soz. Optimum: x(4)=20-0,5*4=18
b) Gewinn der „Mafiosi“: y*x(z)=y*x(p+y)=y*(20-0,5[p+y])
p=GK=4 (siehe a)
Maximierung über y von pi=y*(20-0,5(4+y)=y*(18-0,5y)
BEO: 18-0,5y-0,5y=0 Ù y=18
Gesamtpreis z=4+18=22
Nachfrage x(22)=20-0,5*22=9.
Die verkaufte Menge ist im Vergleich zum sozialen Optimum um die Hälfte
zurückgegangen, der Preis ist stark von 4 auf 22 gestiegen, so dass die Konsumenten
schlechter gestellt sind.
c) Gleichzeitiger Mengenwettbewerb Æ Cournot-Spiel/Cournot-Nash-GG
Inverse Gesamtnachfrage nach Autos: z(xc, xM)=40-2*(xc+xM)
weiter gilt p=4
Gewinn Cosa Nostra: xc*[z(xc, xM)-p]= xc*[40-2*(xc+xM)-4]= xc*[36-2*(xc+xM)]
Bestimmung der Reaktionsfunktionen:
“Cosa Nostra“ maximiert Gewinn, Menge von „Mafiosi“ gegeben:
GewinnC(xc, xM)= xc * [36-2*(xc+xM)] Æ Max über xC
BEO: 36-2*(xc+xM)-2 xc=0 Ù -4 xc=2xM-36 Ù xc=9-0,5xM
Reaktionsfunktion der „Cosa Nostra“: xc(xM)=9-0,5xM
Da beide identische Bedingungen haben (Symmetrie), bzw. nach analoger Rechnung:
Reaktionsfunktion der „Mafiosi“: xM(xC)=9-0,5xC
Einsetzen in R’fkt d C: xc=9-0,5*(9-0,5xC) Ù 0,75xC=4,5 Ù xc=6
Einsetzen in R’fkt der Mafiosi: xc(6)=10-0,5*6=6 (oder Symmetrie-Argument)
Gesamtpreis: z(12)=40-2*(6+6)=16
Höhe des Bestechungsgeldes: z=p+y Ù y=z-p; p=4 also y=16-4=12
Gesamtmenge x=6+6=12. Gewinn je 6*12=72
Beide Banden verlangen Bestechungsgeld y=12, verkaufen je 6 Autos und machen je
72 Gewinn. Für die Bürger ist die Situation besser als vorher: der Gesamtpreis ist von
22 auf 16 gesunken, die Menge hat sich von 9 auf 12 erhöht.
d) „Cosa Nostra“ hat nun den Gewinn: xc*[z(xc, xM)-(p-2)]
Mit dem sozial optimalen Preis p=4 ergibt sich: Gewinnc= xc*[38-2*(xc+xM)]
Bestimmung der Reaktionsfunktionen:
“Cosa Nostra“ maximiert Gewinn, Menge von „Mafiosi“ gegeben:
GewinnC(xc, xM)= xc * [38-2*(xc+xM)] Æ Max über xC
BEO: 38-2*(xc+xM)-2 xc=0 Ù -4 xc=2xM-38 Ù xc=9,5-0,5xM
Reaktionsfunktion der „Cosa Nostra“: xc(xM)=9,5-0,5xM
Reaktionsfunktion der „Mafiosi“: xM(xC)=9-0,5xC (wie in c)
Einsetzen in R’fkt der C: xc=9,5-0,5*(9-0,5xC) Ù 0,75xc=5 Ùxc=6,67
Einsetzen in R’fkt der M: xM(6,67)=9-0,5*6,67=5,67
Gesamtmenge x=5,67+6,67=12,33
Gesamtpreis z(12,33)=40-2*12,33=15,33
Gewinn Cosa Nostra: 6,67*(38-2*12,33)=88,86
Gewinn Mafiosi: 5,67*(36-2*12,33)=64,20
Bestechungsgeld: y=15,33-4=11,33
Das Bestechungsgeld ist leicht von 12 auf 11,33 gesunken, die Bürger stellen sich also
besser. Cosa Nostra macht einen größeren, die Mafiosi einen kleineren Gewinn.
e) Die drei Banden befinden sich im Preis-Wettbewerb Æ Bertrand-Wettbewerb. Sollte
eine Bande ein Bestechungsgeld yi>0 setzen, kann sie von den Konkurrenten mit yiepsilon (epsilon beliebig klein) unterboten werden. Dies ist immer möglich, bis alle
drei Banden die gleiche Bestechung verlangen von y=0*. Im Gleichgewicht ist also
z=p+0=4. Dies ist das soziale Optimum. Jede Bande verkauft ein Drittel der sozial
optimalen Menge von 18, d.h. jede Bande verkauft 6 Autos. (* bei kleinster
Währungseinheit =0,01 ist auch „Alle drei setzen y=0,01“ ein GG.)
Aufgabe 2
a) Eine Strategie ist für einen Spieler dominant, wenn sie eine echt höhere Auszahlung
gibt als alle anderen eigenen Strategien, egal welche Strategie der Gegenspieler wählt.
b) Peter hat eine dominante Strategie: Gift.
Tina hat keine dominante Strategie, da sie indifferent zwischen einem und zwei
Bienenstöcken ist, wenn Peter Gift spritz.
Es gibt folglich kein Gleichgewicht in dominanten Strategien.
c) Die zwei Nash-Gleichgewichte lauten (ein Bienenstock, Gift) und
(zwei Bienenstöcke, Gift). Das Gleichgewicht (zwei Bienenstöcke, Gift) sollte eher
gespielt werden, da sich Peter im Vergleich besser stellt, ohne Tina zu schaden.
Eine Allokation ist pareto-effizient, wenn sich keiner besser stellen lässt, ohne einen
anderen schlechter zu stellen. Pareto-effizient sind die Allokationen
(zwei Bienestöcke, Gift) und (zwei Bienenstöcke, kein Gift).
d) Ohne finanziellen Ausgleich lässt sich Peter nicht dazu überzeugen, eine dominante
Strategie zu spielen.
Die Bienenstöcke haben einen positiven externen Effekt auf Peter: sein Gewinn steigt,
wenn zwei aufgestellt werden.
Gift hat einen negativen externen Effekt auf Tina, ihr Gewinn fällt, wenn Gift gespritzt
wird.
e) Tine erhält 30+20=50, Peter erhält 14+15=29.
f) Tinas Verhalten in der ersten Periode hat keinen Einfluss Peters Verhalten in der
zweiten Periode, er wird immer Gift spritzen. Stellt sie in der ersten Periode nur einen
Bienenstock auf (während Peter ja bei seiner Strategie bleibt und kein Gift verspritzt)
so sinkt ihr Gewinn in der Periode von 30 auf 25. In der zweiten Periode ist sie
indifferent zwischen einem und zwei Bienestöcken. Also hat sie keinen Anreiz, von
ihrer Strategie abzuweichen.
Peter spielt in der zweiten Periode seine dominante Strategie Gift. Verspritzt er in der
ersten Periode Gift, so steigt zwar sein Periodengewinn von 14 auf 15, Tina stellt dann
aber in der zweiten Periode nur einen Bienestock auf. Somit erhält Peter in der zweiten
Periode nur 1, insgesamt also 15+1=16, und somit weniger als im Gleichgewicht.
Da beide keinen Anreiz haben, von ihrer Gleichgewichtsstrategie abzuweichen, bilden
die zu prüfenden Strategien ein Nash-Gleichgewicht.
g) Das Gleichgewicht beruht auf der Bestrafung durch das für Peter „schlechte“ NashGleichgewicht der zweiten Periode.
Falls Peter dennoch in der ersten Periode Gift verspritzt, so ist Tina in der zweiten
Periode (in der Peter sicher Gift verspritzt) indifferent zwischen einem und zwei
Bienenstöcken. Deswegen hat sie keinen Anreiz, die Bestrafung nicht durchzuführen.
Das betrachtete Nash-Gleichgewicht ist somit teilspiel-perfekt.
Aufgabe 3
a) Einkommen bei normalem Wetter: wn = p ⋅ q n = 5 ⋅ 45 = 225
Einkommen bei Flut: w f = p ⋅ q f = 5 ⋅ 20 = 100
Erwartungsnutzen: EU = (1 − π ) wn + π w f = 0,8 225 + 0,2 100 = 14
Sicherheitsäquivalent: U ( SE ) = EU
SE = 14 SE = 196
b) Die Versicherung zahlt im Schadensfall D = p ( q n − q f ) = 5( 45 − 25) = 125 und kostet
unabhängig vom Wetter r
c) Einkommen bei normalem Wetter mit Versicherung: wn = p ⋅ qn = 5 ⋅ 45 = 225
Einkommen bei Flut mit Versicherung: w f = p ⋅ q f + D − r = 225 − r
Der Nutzen mit der Versicherung darf nicht kleiner sein als der Erwartungsnutzen
ohne Versicherung: U ( 225 − r ) ≥ EU
225 − r ≥ 14 r ≤ 29
Die Prämie darf maximal 29 betragen
Der Gewinn der Versicherung ist die Prämie minus der Erwarteten Auszahlung:
G = r − π ⋅ D = 29 − 0,2 ⋅ 5 ⋅ ( 45 − 20) = 29 − 25 = 4
d) Faire Prämie =Erwartete Auszahlung
r = (1 − α )π L ⋅ D + α ⋅ π H ⋅ D = 0,8 ⋅ 0,2 ⋅ 25 + 0,2 ⋅ 0,4 ⋅ 25 = 30
Aus b) ist bekannt, dass sich der L Typ zu dieser Prämie nicht versichert (da er
maximal bereit ist 29 zu zahlen. Es versichern sich folglich nur noch H Typen ( α = 1 )
In diesem Fall würde die Versicherung aber einen Verlust machen
G = r − π H ⋅ D = 30 − 0,4 ⋅ 5 ⋅ (25 − 20) = 30 − 50 = −20
Die Versicherung muss die Prämie auf die nun faire Prämie erhöhen:
r = ⋅π H ⋅ D = 0,4 ⋅ 125 = 50
Nun muss noch überprüft werden, ob sich die H Typen zu dieser erhöhten Prämie
überhaupt noch versichern. Der Nutzen mit Versicherung muss also höher sein as der
Erwartungsnutzen ohne Versicherung:
Nutzen mit Versicherung: U H = 225 − 50 = 13,288
v
Erwartungsnutzen ohne Versicherung: EU H = 0,6 225 + 0,4 100 = 13
Da der Nutzen mit Versicherung für ihn höher ist als der Nutzen ohne Versicherung
( U H > EU H ) werden sich die H Typen versichern.
v
Es wird sich also ein Gleichgewicht einstellen in dem sich nur die Hochrisikotypen zu
deren fairen Prämie versichern. Die Niedrigrisiken werden sich nicht Versichern
(Adverse Selektion).
e) Die Versicherung wird einen Vertrag mit Teildeckung zu einer niedrigeren Prämie und
einen Volldeckungsvertrag mit einer höheren Prämie anbieten. Diese Verträge sind so
gewählt, dass ein L Typ den ersten Vertrag und der H Typ den zweiten Vertrag wählt.
(Self Selection). Da der L Typ eine niedrigere Schadenswahrscheinlichkeit hat ist es
eher dazu bereit, auf Einkommen bei Flut zu verzichten um dafür mehr Einkommen
bei gutem Wetter zu haben, als der H Typ.
f) Zustandsabhängiges Einkommen in Abhängigkeit der Plantagengröße x :
Bei gutem Wetter: wn = 10000 − c ⋅ x + p ⋅ q n ⋅ x = 10000 − 110 x + 5 ⋅ 30 x = 10000 + 40 x
Bei Flut: w f = 10000 − c ⋅ x + p ⋅ q f ⋅ x = 10000 − 110 x + 5 ⋅ 20 x = 10000 − 10 x
Erwartungsnutzen:
EU =(1 − π ) ln( wn ) + π ln( w f ) = 0,8 ⋅ ln(10000 + 40 x) + 0,2 ln(10000 − 10 x)
Um die optimale Plantagengröße x * zu finden muss der Erwartungsnuten nach
x abgeleitet werden. Man erhält die Bedingung erster Ordnung.
BEO: 0,8 ⋅
1
1
⋅ 40 + 0,2 ⋅
⋅ (−10) = 0
*
10000 + 40 x
10000 − 10 x *
Umformen ergibt: 32 ⋅ (10000 − 10 x * ) = 2 ⋅ (10000 + 40 x * )
Es folgt: x * = 750 Die optimale Plantagengröße ist somit 750 Hektar.