Mehrfachintegrale

Mehrfachintegrale


M   V
   ( x, y, z)
Masse eines Quaders:
wenn der Quader inhomogen ist:
Vi  xi  yi  zi
M i   ( xi , yi , zi ) xi  yi  zi


N
N
M   M i    ( xi , yi , zi ) xi  yi  zi
i 1
M  lim
N 
i 1
N
  ( x , y , z ) x  y  z    ( x, y, z) dx  dy  dz
i
i 1
i
i
i
i
i
V
Integral der Funktion    ( x, y, z ) über das Volumen V .
Mehrfachintegrale mit konstanten Integrationsgrenzen

Integration mehrfach nacheinander entsprechend bekannter Regeln
 mehrfache Berechnung bestimmter Integrale

Beispiel:
Berechnung der Masse eines Quaders
c
b
a
    ( x, y, z)dxdydz
z 0 y 0 x 0
inneres Integral
mittleres Integral
äußeres Integral
.
.
Rechenanweisung:
1. Berechnung des inneren Integrals
(y,z werden als konstant angenommen)
 Ergebnis - eine Funktion von y und z
2. Berechnung des mittleren Integrals
(z wird als konstant angenommen)
 Ergebnis - eine Funktion von z
3. Berechnung des äußeren Integrals
 Ergebnis - eine Funktion der Grenzen a,b,c
Bei konstanten Integrationsgrenzen kann die Reihenfolge der Integrationen vertauscht werden.
Dr. Hempel / Mathematisch Grundlagen - Mehrfachintegrale
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Beispiel: Masse einer Luftsäule

die Luftsäule habe die Höhe h und die Grundfläche a  b

die Dichte ist   0  ez mit  
0
p0
g
woher das? Dazu etwas Physik:
 wir betrachten die Grundfläche A  a  b
 darüber sei ein Volumen der Dicke dh
 auf das kleine Volumen wirkt von unten die Kraft p  A und von oben ( p  dp)  A
( dp ist hier offensichtlich negativ);
das Volumen selbst wirkt mit seiner Schwerkraft   g  A  dh
 im Gleichgewicht gilt: p  A  ( p  dp)  A    g  A  dh also dp     g  dh
 Die Zustandsgleichung idealer Gase liefert uns
p V  m  R'T ;
p0  V0  m  R 'T ;
p    R'T
p0  0  R'T
mit R' der speziellen Gaskonstante
am Erdboden
p

p

0

;
p0  0
p0

p
dp
  0  g  dh
dp    0  g  dh ;
p0
p
p0
und damit

 wir integrieren von 0 .... h bzw. p0 .... p

ln
und mit


p
  0  g h
p0
p0
p


p0  0
  0e

0
p0
 g h
Zur Berechnung der Masse der Luftsäule integrieren wir
hba
M      0 e  z dx dy dz
000
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h b
1. inneres Integral
h b
M     0e  z x0 dydz   0 ae  z dydz
a
0 0
h
2. mittleres Integral
M   0 a e
0 0
 z
h
y dz  0 abe z dz
b
0
0
h
3. äußeres Integral
M    0 abe
0
0
h
 z

 1
 ab
dz  ab 0  e  z    0 1  e  h
 
0 

Mit wachsendem h wächst die Masse nicht beliebig an, sondern nähert sich einem Grenzwert;
für kleine h steigt die Masse praktisch linear.
Zerlegung eines Mehrfachintegrals in ein Produkt von Integralen

ist der Integrand zerlegbar in ein Produkt:
f ( x, y, z)  g ( x)  h( y)  m( z) ,
lässt sich auch die Integration als Produkt von Integralen auffassen;
die Berechnung erfolgt als Berechnung einfacher Integrale
 f ( x, y, z) dx dy dz   g ( x) dx  h( y) dy  m( z) dz

Beispiele: Berechnung von Volumen, Masse, Trägheitsmoment, Ladungsverteilung

Leider sind die Integrale für solche Berechnungen oft nicht vom Typ mit konstanten Integrationsgrenzen.
Das lässt sich aber in manchen günstigen Fälle durch Transformation in ein anderes Koordinatensystem ändern;
Vereinfachung bringen können
Polarkoordinaten / Zylinderkoordinaten / Kugelkoordinaten


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Mehrfachintegrale mit konstanten Integrationsgrenzen
Beispiel 1: Volumenberechnung am Quader
 hier lässt sich das Integral sehr einfach in ein
Produkt aus einfachen Integralen schreiben
z 2 y 2 x2
z2
y2
x2
z1 y1 x1
z1
y1
x1
V     dx dy dz   dz  dy  dx

mit den konstanten Integrationsgrenzen
 V  ( x 2  x1 )  ( y 2  y1 )  ( z 2  z1 )
Beispiel 2: Volumenberechnung an der Kugel
 das Integral lässt sich nur durch Transformation in
Kugelkoordinaten so gestalten, dass die Integration
mit konstanten Grenzen erfolgt und wir das Integral
aufspalten können
R  2
V     r 2 sin  d d dr 
0 0 0
R

0
0
2
  r 2 dr  sin  d  d
V  2  2
0
R 4 3

R
3
3
3
Beispiel 3: Trägheitsmoment Zylinder (bezüglich geom. Rotationsachse)
 das Integral lässt sich nur durch Transformation in
Zylinderkoordinaten so gestalten, dass die Integration
mit konstanten Grenzen erfolgt und wir das Integral
aufspalten können
J   r 2 dm   r 2   dV    r 2 dV
V
V
V
in Zylinderkoordinaten:
dV  r d dr dz
h R 2

h
R
2
0
0
0
J      r 3 d dr dz    dz  r 3dr  d
0 0 0
J
R   h m  R

2
2
4
2
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Mehrfachintegrale mit nicht konstanten Grenzen
Erläuterung am Beispiel: Flächenberechnung
A   A

A   dA   dx dy

Das Problem besteht in der Berücksichtigung
der begrenzenden Kurven!
f ( x)
- Grenzen für y: y  0
  dx dy
A
y  f (x)
y 0
f ( x) b
- Grenzen für x: x  a
xb
A
  dx dy
y 0 x  a
- Reihenfolge der Abarbeitung nicht mehr beliebig!
- Zuerst Integral mit variabler Grenze lösen
(entspricht Bestimmung der Fläche eines Streifens im Bild)
b
b
a
a
A    f ( x)  0dx   f ( x) dx
- führt auf bestimmtes Integral
Beispiel 2: Fläche zwischen 2 Funktionen


2
2
untere Grenze: y  x
obere Grenze: y  2 x
A
2x
  dx dy
x 0 y  x 2
Integration des Integrals mit variablen Grenzen:
2

x3 
8
A   2 x  x dx   x 2    4  1,333
3 0
3

0
2

2

Übertragung auf den allgemeinen Fall:


Mehrfachintegral muss mindestens für eine Variable feste Grenzen haben.
Mehrfachintegral wird umgeordnet und schrittweise gelöst.
1. Schritt: Variable suchen, die nicht in den Integrationsgrenzen vorkommt
- Integral lösen.
2. Schritt: Prozedur wiederholen ...
letzter Schritt: Lösen des verbliebenen Integrals mit festen Grenzen.
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Beispiel: Schwerpunkt einer Halbkugel
Gesucht ist der Schwerpunkt S ( xs ; y s ; z s ) einer Halbkugel mit konstanter Dichte und einer
begrenzenden Fläche x 2  y 2  z 2  R 2 im Halbraum für z  0 .
Lösung:
Wie leicht zu erkennen müssen aus Gründen der Symmetrie sowohl die x-Koordinate, als auch die yKoordinate des Schwerpunktes bei Null liegen.
Die z-Koordinate des Schwerpunktes muss berechnet werden:
zs 
 z  dm
K
 dm

   z  dxdydz
K
 V

 z  dxdydz
K
V
K
Das Volumen einer Halbkugel mit dem Radius R ist bekannt(?)
2
V  R 3
3
Für die Lösung des Problems bietet sich die Verwendung von Zylinderkoordinaten an.
2
1
zs  
V  0
R2 z2 R

r 0
2 r 2

z
V 0 2
R2 z2
R
  z2
2
z 0z  r  dzdrd  V
0
R
R2  z2
z 0
r 0
  z  r  dzdr 
2
R2  z2

dz 
z
dz   ( zR 2  z 3 )dz 

V 0
2
V 0
R
R
R
z4 
3 R 4 3
  R   

 R
V2
4  0 2R 3 4 8
2
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Gleichfalls geeignet für die Berechnung sind Kugelkoordinaten:
xs  0; ys  0
2  / 2 R
1
zs 
r  cos   r 2  sin  dr d d 



V  0  0 r 0
2

V
2

V

 /2 R
  r  cos  r

2
 sin  dr d 
0 r 0
 /2
 /2
R4
2 R 4  cos 2  
sin

cos

d


 


V 4 
2 0
 0 4

R 4
3
 R
4V 8
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