Expo_u_2 Exponentielles Wachstum und Zerfall

Expo_u_2
Exponentielles Wachstum und Zerfall - Ohne Berechnung der Zeit
1.
Eine Stadt hatte Ende 1988 rund 120 000 Einwohner. Die Bevölkerung wuchs laut Statistik jährlich um 2,5 %.
a. Wie viele Einwohner hat diese Stadt jetzt am Jahresende 2010?
b. Um wie viele Einwohner hat sich diese Stadt vergrößert?
c. Die Bevölkerungszahl einer anderen Stadt ist auf Grund sehr guter wirtschaftlicher Verhältnisse im
gleichen Zeitraum von 140 000 auf 240 000 Einwohner angestiegen. Um wie viel Prozent man die
Einwohnerzahl in dieser Stadt jährlich durchschnittlich zu?
2.
Das kleine Fürstentum Binaco hatte 1960 gerade 870 000 Einwohner. 1980 waren es schon 1 Millionen.
a. Um wie viel Prozent vergrößert sich die Einwohnerzahl jedes Jahr, wenn die jährliche prozentuale
Zunahme stets gleich bleibt?
b. Das noch kleinere Fürstentum Minaco hatte 1960 gerade 426 800 Einwohner. Berechne die
Einwohnerzahl bis 1980 bei einer gleich bleibenden jährlichen Wachstumsrate von 15 %.
c. In einer anderen minaconischen Stadt verlief das Wachstum nicht gleichmäßig. Die Einwohnerzahl
von 500 000 stieg 10 Jahre lang jährlich um 9 %, weiter 10 Jahre jährlich um 6 %. Wie viele
Einwohner hatte diese Stadt nach insgesamt 20 Jahren?
3.
Weltweit wurden 1990 rund 8 Millionen Tonnen Kupfer verbraucht. Der Kupferverbrauch stieg jährlich
um 2,8 %.
a. Wie viel Tonne Kupfer wurden in den Jahren 1991, 1992, 1993, 1994 und 1995 verbraucht?
b. Wie viel Tonnen Kupfer wurden in den 5 Jahren insgesamt verbraucht?
c. Anfang 1990 wurden die Kupferreserven weltweit auf 350 Millionen Tonnen geschätzt. Wie hoch
sind die Kupferreserven Ende 1995 weltweit?
4.
Bei Banken gibt es verschiedene Möglichkeiten Geld anzulegen.
Im Jahre 2005 verfügte Herr Reich zu Beginn des Jahres über 20 000 €. Mit seiner Hausbank vereinbart er
für die nächsten 5 Jahre einen gleich bleibenden Zinssatz von 2,5 %.
a. Über welches Kapital verfügt Herr Reich jeweils am Ende der Jahre 2006, 2007 und 2008?
b. Wie viel Euro Zinsen hat er 2006, 2007 und 2008 gegenüber 2005 erhalten?
c. Warum steigen die Zinsen Jahr für Jahr nicht über denselben Betrag?
d. Wie viel Euro würde Herr Reich gegenüber Zinseszinsen weniger erhalten, wenn er seine Zinsen
zum Jahresende jeweils abheben würde?
5.
Bei „Sparen mit wachsendem Zins“ wird das angelegte Geld im 1. Jahr mit 1,5 % verzinst, im 2. Jahr mit 2%,
im 3. Jahr mit 2,5 %, im 4. Jahr mit 3,5 % und im 5. Jahr mit 5 %. Die anfallenden Zinsen werden jeweils
dem Kapital zugerechnet und dann mitverzinst.
a. Auf welches Endkapital ist ein Startkapital von 8000 € nach 5 Jahren nach dem obigen
Anlagemodell angewachsen?
b. Bei welchem gleich bleibenden Zinssatz würden 8000 € auf 9226 € in 5 Jahren anwachsen?
6.
Anton besitzt zwei Sparbücher A, B. Auf Sparbuch A sind 2100 € zu 1,1 % jährlich, auf Sparbuch B sind
1900 € zu 2,5 % jährlich angelegt. Einzahlungen und Abhebungen erfolgen keine.
a. Berechne das Guthaben auf Sparbuch A und B nach 7 Jahren.
b. Bei welchem Zinssatz würde sich das Guthaben auf Sparbuch A und B in 14 Jahren verdoppeln?
Mache die Proben!
c. Welches Startkapital hatte Birgit vor 7Jahren angelegt, wenn der Zinssatz 2 % und das Endkapital
5743,45 € ?
7. Ein Neuwagen kostet 45 000 €. Im ersten Jahr verliert er 22 % an Wert, im 2. Jahr nochmals 18 %.
Berechne den Wert des Wagens nach dem 1. und 2. Jahr.
8. Jetzt folgt ein Wachstum, das nicht vom Jahresrhythmus abhängt! Man sagt dazu Generationszeit!
Eine Bakterienkultur umfasst anfangs 50 000 Bakterien. Die Anzahl vergrößert sich alle 30 Minuten
(Generationszeit) um 25 %.
a. Wie viele Bakterien sind es nach 4 Stunden?
b. Wie viele Bakterien sind es nach 24 Stunden?
Lösungen:
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8.
a) 206 589
a) q = 1,0069 p % = 0,7 %
a) 8,224 ; 8,454 ; 8,691 ; 8,934 ; 9,185
a) 20 500 ; 21 012,5 ; 21 537,81
a) 9225,92
a) 2267,14 ; 2258,50
a) 35 100
a) 298 023
b) 86588
c) q = 1,0248 p % = 2,48 %
b) 6 985 238
c) 2 119 794
b) 43,488
c) 306,512
b) 500 ; 1012,5 ; 1537,81 c) Zinseszinsen ! d) 37,81
b) q = 1,0289 p % = 2,89 %
b) q = 1,0507 p % = 5,07 % c) ~ 5000
b) 28 782
b) 2 242 078