prof h p ostermann
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prof h p ostermann
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung bedinge Wahrscheinlichkeit Laplace-Wahrscheinlichkeit p = 0.356 Zufallsexperiment ??? Randwahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung 1 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Übersicht Wahrscheinlichkeitsrechnung Was ist Wahrscheinlichkeit? Rechenregeln Der Multiplikationssatz Axiomatische Herleitung Unabhängigkeit Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Die Axiome von Kolomogoroff Bedingte Wahrscheinlichkeit Theorem von Bayes 2 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Was ist Wahrscheinlichkeit ... wahrscheinlich wird es morgen regnen ... ... höchstwahrscheinlich komme ich morgen vorbei ... ... mit hoher Wahrscheinlichkeit werde ich zum 1.Vorsitzenden gewählt ... Quantifizierung, ob ein Ereignis eintritt Zufallsexperiment 3 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Was ist Wahrscheinlichkeit Beispiel Herbert D. ist begeisterter Tischtennisspieler, und seit nunmehr zehn Jahren spielt er für seinen Verein in der Kreisliga A. In diesen zehn Jahren hat er insgesamt 20-mal gegen seinen Angstgegner Lothar G. gespielt und dabei 17-mal verloren. Die Wahrscheinlichkeit, dass er beim nächsten Aufeinandertreffen gewinnen wird, beträgt demzufolge 0.15 oder 15%. 4 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Was ist Wahrscheinlichkeit Beispiel Die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Freitag im Standesamt der Stadt Biebelberg drei Brautpaare getraut werden, beträgt 0.20 oder 20%. Denn in den letzten fünf Jahren sind an den insgesamt 250 Freitagen, an denen das Standesamt geöffnet war, an 50 Tagen jeweils drei Brautpaare getraut worden. Beispiel Liegen in einer Urne drei rote und vier schwarze Kugeln, so wird man mit einer Wahrscheinlichkeit von 3/7 oder 42.86% eine rote Kugel ziehen. 5 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Was ist Wahrscheinlichkeit Die Zuordnung einer Wahrscheinlichkeit zu einem zufälligen Ereignis stellt selbstverständlich eine Abstraktion dar, der wir unter folgenden Bedingungen eine Bedeutung beimessen wollen: 1. Es handelt sich um Vorgänge (Versuche), die beliebig oft unter den gleichen Bedingungen ablaufen (oder als beliebig oft wiederholbar gedacht werden können), so dass von einer relativen Häufigkeit gesprochen werden kann, mit der ein bestimmtes Ereignis in einer langen Serie von Versuchen eintritt. 6 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Was ist Wahrscheinlichkeit 2. Stellt man nach jedem dieser Versuche die relative Häufigkeit neu fest, mit der das Ereignis bis dahin insgesamt eingetreten ist, so ergibt sich jedesmal ein etwas anderer Wert; mit wachsender Anzahl der Versuche nähert sich jedoch die relative Häufigkeit einem bestimmten Zahlenwert. Diese Zahl heißt die Wahrscheinlichkeit des zufälligen Ereignisses. 7 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Axiomatische Herleitung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes Anzahl der günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle Jakob Bernoulli Pierre Simon de Laplace Chancen bei Glücksspielen Grundraum/Ereignisraum Ω Einelementige („atomare“) Ereignisse: Elementarereignisse 8 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Vereinigung zweier Ereignisse: Ai ∪ A j Ω Ai Aj 9 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann 3 Wahrscheinlichkeitsrechnung Durchschnitt zweier Ereignisse: Ai ∩ A j Ω Ai Aj 10 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Das Komplement zum Ereignis Ai: Ai Ω A Aii 11 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Zwei disjunkte Ereignisse Ai und Aj Ω Ai Aj 12 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann 4 Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Differenz der Ereignisse Ai und Aj : Ai \ A j Ω Ai Aj 13 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel Beim einfachen Würfelwurf sind als Ergebnisse die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, und 6 möglich. Der Grundraum Ω ist damit Ω = {1,2,3,4,5,6}. Die Elementarereignisse sind die Zahlen {1},...,{6}. Diese Elementarereignisse sind disjunkt, denn es können nicht zwei Zahlen gleichzeitig auftreten. Ein mögliches zusammengesetztes Ereignis sind die geraden Zahlen ({2,4,6}). Das hierzu komplementäre Ereignis sind die ungeraden Zahlen ({1,3,5}). Die Differenz der beiden Ereignisse „gerade Zahl“ und {2} ist das Ereignis {4,6}. 14 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Axiome von Kolmogoroff Nichtnegativität: Für jedes Ereignis Ai , i = 1, L , ∞, gilt: 0 ≤ P ( Ai ) ≤ 1 Normiertheit: Für den Grundraum Ω gilt: P(Ω) = 1. Additivität: Sind die Ereignisse Ai ( i = 1, L, ∞ ) paarweise disjunkt, so gilt: ∞ ∞ P U Ai = ∑ P ( Ai ) ≤ P(Ω ) = 1 i =1 i =1 ∞ (Hierbei bezeichnet iU =1 vielen Ereignissen.) die Vereinigung von abzählbar unendlich 15 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten 1. Wahrscheinlichkeiten sind niemals negativ, sondern können nur Werte zwischen Null und Eins (oder entsprechend 0 und 100 Prozent) annehmen. 2. Der Grundraum Ω als das sichere Ereignis hat eine Wahrscheinlichkeit von Eins. Dadurch ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion normiert. 3. Werden paarweise disjunkte (unvereinbare) Ereignisse vereinigt und die Wahrscheinlichkeit hiervon betrachtet, so ist dies gleich der Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten und höchstens so groß wie die Wahrscheinlichkeit des Grundraumes Ω. 16 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel Würfelwurf Beim einfachen Würfelwurf beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 zu würfeln jeweils . P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) = 1 6 Für den Grundraum Ω = {1,2,3,4,5,6} gilt P(Ω ) = 1 Für die disjunkten Elementarereignisse gilt P({1}∪ {2}∪ {3}∪ {4}∪ {5} ∪ {6}) = P({1}) + P({2}) + P({3}) + P({4}) + P({5}) + P({6}) = 1 1 1 1 1 1 + + + + + =1 6 6 6 6 6 6 . Die Kolmogoroffschen Axiome sind damit erfüllt. 17 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Regel 1 Sind die Ereignisse Ai und Aj disjunkt, so gilt: ( ) ( ) P Ai ∪ A j = P( Ai ) + P A j Regel 2 Sind die Ereignisse Ai und Aj disjunkt, so gilt: ( ) P Ai ∩ A j = P(∅ ) = 0. Regel 3 Für zwei beliebige Ereignisse Ai und Aj gilt: ( ) ( ) ( P Ai ∪ A j = P( Ai ) + P A j − P Ai ∩ A j ) 18 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann 6 Wahrscheinlichkeitsrechnung Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Regel 4 Für ein beliebiges Ereignis Ai gilt: ( ) ( ) P Ai ∪ Ai = P( Ai ) + P Ai = 1, Regel 5 Für ein beliebiges Ereignis Ai gilt: ( ) P Ai = 1 − P( Ai ) Regel 6 Für zwei beliebige Ereignisse Ai und Aj gilt: ( ) ( P A i \ A j = P( Ai ) − P Ai ∩ A j ) 19 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Regel 7 Regeln von De Morgan Für zwei beliebige Ereignisse Ai und Aj gilt: ( ) ( ) ( ) ( ) P Ai ∪ A j = P Ai ∩ A j P Ai ∩ A j = P Ai ∪ A j 20 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel Würfelwurf Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Wurf eines fairen Würfels, eine gerade Zahl zu erhalten? (Ein fairer Würfel besitzt die Eigenschaft, dass alle Zahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit, nämlich mit 1/6, geworfen werden!) P(Gerade Zahl) = P({2,4,6}) = P({2}) + P({4}) + P({6}) = 1 1 1 3 1 + + = = 6 6 6 6 2 . 21 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel Urne In einer Urne befinden sich zwei rote und drei schwarze Kugeln. Darüber hinaus besitzen eine rote und eine schwarze Kugel ein Loch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit • • • • eine rote Kugel, eine rote Kugel oder eine Kugel mit Loch, eine rote Kugel ohne Loch eine schwarze Kugel mit Loch zu ziehen? 22 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel Urne P(rote Kugel ) = 2 = 0.4 5 P(rote Kugel oder Kugel mit Loch ) = P(rote Kugel ) + P(Kugel mit Loch ) − P(rote Kugel mit Loch ) = 2 2 1 3 + − = = 0.6 5 5 5 5 P(rote Kugel ohne Loch ) = P(rote Kugel ) − P(rote Kugel mit Loch ) = 2 1 1 − = = 0.2 5 5 5 P(schwarze Kugel mit Loch ) = 1 = 0.2 5 23 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit Beispiele • Beeinflussen sich die Ergebnisse beim doppelten Würfelwurf, d.h., beeinflusst das Ergebnis des ersten Wurfes das Ergebnis des zweiten Wurfes? • Beeinflusst die Schulbildung das jährliche Einkommen? • Beeinflusst die Körpergröße das Körpergewicht? 24 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann 8 Wahrscheinlichkeitsrechnung Unabhängigkeit Zwei Ereignisse Ai und Aj aus dem Grundraum Ω heißen (stochastisch) unabhängig, falls gilt: ( ) ( ) P Ai ∩ A j = P( Ai ) ⋅ P A j Die Ereignisse A1, ... ,Am, 2 < m ≤ n, heißen (stochastisch) unabhängig, falls ( ) ( ) ( ) ( ) P Ai1 ∩ Ai2 ∩ L ∩ Aik = P Ai1 ⋅ P Ai2 ⋅ L ⋅ P Aik für alle möglichen Teilstichproben vom Umfang k aus den m ursprünglichen Ereignissen gilt. 25 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Unabhängigkeit Beispiel Würfelwurf Beim doppelten Würfelwurf sind die beiden Ereignisse • • A = „im 1.Wurf eine ‘6’“ B = „im 2.Wurf eine ‘6’“ unabhängig voneinander, denn es ist P ({6,6}) = 1 1 1 = ⋅ = P({6}) ⋅ P({6}) . 36 6 6 26 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Unabhängigkeit Beispiel Würfelwurf Beim einfachen Würfelwurf sind die beiden Ereignisse • • A = „Zahl ist durch zwei ganzzahlig teilbar“, B = „Zahl ist durch fünf ganzzahlig teilbar“ abhängig voneinander, denn es ist P( A) ⋅ P ( B ) = 1 1 1 ⋅ = ≠ 0 = P(∅ ) = P( A ∩ B ) . 2 6 12 27 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung Bedingte Wahrscheinlichkeit ( P Ai A j ) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von Ai gegeben Aj (die bedingte Wahrscheinlichkeit von Ai unter der Bedingung Aj) und ist definiert durch ( ) P(APi(A∩ A) j ) j P Ai A j = 28 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Bedingte Wahrscheinlichkeit Sind Ai und Aj unabhängig, so ist ( ) P(APi(A∩ A) j ) = P( APi )(A⋅ P()A j ) = P( Ai ) j j P Ai A j = 29 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel Würfelwurf Die Wahrscheinlichkeit, beim doppelten Würfelwurf als Augensumme den Wert 12 zu erhalten, beträgt 1/36, denn dazu ist es notwendig, zweimal die „6“ zu erhalten. Die Wahrscheinlichkeit beim doppelten Würfelwurf als Augensumme den Wert 12 zu erhalten unter der Bedingung, daß im 1.Wurf schon einmal die „6“ aufgetreten ist, beträgt 1/6, denn nun ist es nur noch notwendig, auch im zweiten Wurf die „6“ zu erhalten. 30 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann 10 Wahrscheinlichkeitsrechnung Der Multiplikationssatz ( ) P(APi(A∩ A) j ) j P Ai A j = ( ) ( ) ( ) P Ai ∩ A j = P Ai A j ⋅ P A j P( A1 ∩ L ∩ Am ) = P( A1 ) ⋅ P (A2 A1 )⋅ P (A3 A1 ∩ A2 )L P (Am A1 ∩ L ∩ Am −1 ) 31 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel Jugendheim Diskjockey Hubert K. legt im Jugendheim Klingeltown gerne die Beatles auf. Der Heimleiter Heinz-Georg A. macht ihm aber zur Auflage, dass er bei 25 gespielten Platten nur achtmal die Beatles auflegen darf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Heimleiter, wenn er zufällig bei den ersten 25 Liedern die Diskothek dreimal betritt, jedesmal die Beatles hört? 32 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel Jugendheim Sei A1 das Ereignis, dass er zum 1.Mal die Diskothek betritt und die Beatles hört. Die Ereignisse A2 und A3 seien analog definiert. Dann ist B das Ereignis, dass er bei allen drei Besuchen die Beatles hört. Somit gilt: P(B ) = P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P( A1 )⋅ P(A2 A1 )⋅ P(A3 A2 ∩ A1 ) = 8 7 6 ⋅ ⋅ = 0.0243 . 25 24 23 33 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Ω A1 A2 B A3 A5 A4 A6 34 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit n Partition: U Ai = A1 ∪ A2 ∪ L ∪ An = Ω, i =1 B = ( A1 ∩ B ) ∪ ( A2 ∩ B ) ∪ L ∪ ( An ∩ B ) = n U ( Ai ∩ B ) i =1 n n n P(B ) = P U ( Ai ∩ B ) = ∑ P( Ai ∩ B ) = ∑ P (B Ai )P( Ai ) i =1 i =1 i =1 35 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Beispiel Tischtennis Der begeisterte Tischtennisspieler Herbert D. gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.8, wenn er am Abend vor dem Spiel kein Bier trinkt. Er gewinnt nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.3, falls er am Vorabend Bier trinkt. Herbert D. trinkt an 3 Abenden in der Woche Bier. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt er sein nächstes Spiel? 36 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann 12 Wahrscheinlichkeitsrechnung Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Beispiel Tischtennis Sei A1 = „Bier am Vorabend“ und A2 = „kein Bier am Vorabend“ sowie B = „Sieg“. Damit ist P( A1 ) = 3 7 P( A2 ) = 4 7 P (B A1 ) = 0.3 P (B A2 ) = 0.8 P (B ) = P (B A1 )⋅ P ( A1 ) + P (B A2 )⋅ P ( A2 ) 4 3 3 8 4 3 = 0.3 ⋅ + 0.8 ⋅ = ⋅ + ⋅ 7 10 7 10 7 7 9 + 32 41 = = ≈ 0.586 . 70 70 37 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Beispiel Freunde Petra hat zur Zeit drei Freunde (F1, F2, F3), mit denen sie abwechselnd in die Diskothek geht. Sie wird von F1 an drei, von F2 und F3 jeweils an zwei von sieben Tagen begleitet. Während sie von F1 und F2 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.6 mit dem Auto nach Hause gebracht wird, beträgt diese Wahrscheinlichkeit bei F3 sogar 0.9. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Petra an einem x-beliebigen Tag nach Hause gebracht? 38 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Beispiel Freunde Sei H = „wird nach Hause gebracht“, so ergibt sich P (F1 ) = 3 7 P (F2 ) = P (F3 ) = 2 7 P (H F1 ) = P (H F2 ) = 0.6, P (H F3 ) = 0.9 P(H ) = P(H F1 ) ⋅ P(F1 ) + P(H F2 ) ⋅ P(F2 ) + P(H F3 ) ⋅ P(F3 ) 3 2 2 6⋅3+ 6⋅2 + 9⋅2 + 0.6 ⋅ + 0.9 ⋅ = 7 7 7 10 ⋅ 7 18 + 12 + 18 48 = = ≈ 0.686 . 70 70 = 0 .6 ⋅ 39 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann 13 Wahrscheinlichkeitsrechnung Das Theorem von Bayes n U Ai = A1 ∪ A2 ∪ L ∪ An = Ω , i =1 P ( Ai B ) = P (B Ai )⋅ P( Ai ) P( Ai ∩ B ) P (B ∩ Ai ) = = n P(B ) P(B ) ∑ P B Aj ⋅P Aj ( ) ( ) j =1 40 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Das Theorem von Bayes Beispiel Tischtennis Wollen wir bei Herbert D. die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass er am Vorabend Bier getrunken hat, wenn er gerade sein Spiel gewonnen hat, so ist P( A1 B ) = P(B A1 ) ⋅ P( A1 ) P (B ) = 3 10 ⋅ 3 7 9 70 9 = = ≈ 0.22 41 70 41 70 41 41 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann Wahrscheinlichkeitsrechnung Das Theorem von Bayes Beispiel Freunde Möchten wir bestimmen, mit welcher Wahrscheinlichkeit Freund F2 Petra nach Hause gebracht hat, so ergibt sich P(F2 H ) = P(H F2 ) ⋅ P(F2 ) P (H ) = 6 10 ⋅ 2 7 12 70 12 = = = 0.25 48 70 48 70 48 42 Prof. Dr. K. Wolf-Ostermann 14