Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen
Aufgabe:
Versuche eine Lösung zu den folgenden Zahlenrätseln zu finden:
1.) Verdoppelt man das Quadrat einer Zahl und addiert 2, so erhält man 100.
2.) Addiert man zum Quadrat einer Zahl das Doppelte der Zahl, so erhält man 3.
zu 1.) Umformen in eine Gleichung und Lösung nach den bekannten Verfahren:
2 ⋅ x 2 + 2 = 100 / − 2
2 ⋅ x 2 = 98
/:2
2
x = 49
x1 = 7
/
Reinquadratische Gleichung
x 2 = −7
L = {7 ; − 7}
zu 2.) Umformen in eine Gleichung. Die bekannten Verfahren zum Lösen der Gleichung versagen!
x 2 + 2x = 3
Gemischtquadratische Gleichung
Durch Probieren kann man die beiden Lösungen x1 = 1 und x2 = -3 finden.
Information:
Beide Gleichungen bezeichnet man als quadratische Gleichungen, da mindestens ein x die Hochzahl 2 besitzt.
Man unterscheidet dabei zwischen einer reinquadratischen Gleichung (Aufgabe 1) und einer gemischtquad2
ratischen Gleichung (Aufgabe 2). Bei einer gemischtquadratischen Gleichung enthält die Gleichung außer x
noch ein „normales x“, also ein x ohne eine Hochzahl.
Aufgabe:
Finde bei den folgenden Beispielen heraus, ob es sich um eine rein- oder um eine gemischtquadratische
Gleichung handelt. Versuche dann, die reinquadratischen Gleichungen zu lösen und die Lösungsmenge (L)
zu bestimmen.
1.) x 2 − 4 = 12
2
2.) x − 5x = 0
2
3.) 2x − 10 = 14
2
reinquadratisch
gemischtquadratisch
reinquadratisch
4.) x = 9 − 8x
gemischtquadratisch
5.) 2x 2 − 8 = x 2 − 10
reinquadratisch
2
6.) 3x − 2x + 6 = 33 − 2x
2
7.) ( x − 4) = 25
2
8.) 5 x + 6 = 6
reinquadratisch
gemischtquadratisch
reinquadratisch
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Lösungen für die reinquadratischen Gleichungen:
1.) x 2 − 4 = 12
3.) 2x 2 − 10 = 14
5.) 2x 2 − 8 = x 2 − 10
x 2 = 16
2x 2 = 24
x 2 − 8 = −10
x1 = 4
x 2 = 12
x 2 = −2
x 2 = −4
x1 = 12
L ={
L = {4 ; − 4}
x 2 = − 12
L=
6.) 3x 2 − 2x + 6 = 33 − 2x
{
12 ; − 12
}
}
8.) 5x 2 + 6 = 6
3x 2 + 6 = 33
5x 2 = 0
3x 2 = 27
x2 = 0
x2 = 9
x=0
x1 = 3
L = {0}
x 2 = −3
L = {3 ; − 3}
MERKE:
2
Jede reinquadratische Gleichung lässt sich durch die bekannten Umformungsschritte auf die Form x = a
bringen. Daraus können sich drei Lösungsmöglichkeiten ergeben:
⇒ Ist a > 0, (a ist positiv) dann hat die Gleichung genau 2 Lösungen x1 = a und x 2 = − a
⇒ Ist a = 0, dann hat die Gleichung genau 1 Lösung x = 0
⇒ Ist a < 0, (a ist negativ) dann hat die Gleichung keine Lösung.
Lösungsmöglichkeit für Aufgabe 7.)
(x − 4)2 = 25 /
P1: (9 − 4)2 = 25
x − 4 = 5 ∨ x − 4 = −5 / + 4
x1 = 9 ∨ x 2 = −1
P2 : ( −1 − 4)2 = 25
52 = 25
25 = 25 (w)
( −5)2 = 25
25 = 25 (w )
Sonderfall Produkt gleich 0:
Aufgabe:
Multipliziert man die Differenz einer Zahl und 5 mit der Summe der gleichen Zahl und 3, so erhält man 0.
Übersetzen in eine Gleichung:
(x − 5) ⋅ (x + 3) = 0
Überlegung:
Wann ist ein Produkt gleich 0?
Ein Produkt ist genau dann gleich 0, wenn einer der beiden Faktoren gleich 0 ist!
Das bedeutet für unsere Gleichung:
1.Faktor ⋅
(x − 5)
⋅
2.Faktor
(x + 3) = 0
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Wenn der 1. Faktor 0 sein soll, bedeutet das: (x − 5) = 0 ⇒ x − 5 = 0 ⇒ x = 5
Wenn der 2. Faktor 0 sein soll, bedeutet das: (x + 3) = 0 ⇒ x + 3 = 0 ⇒ x = −3
Die Lösungsmenge dieser Gleichung wäre also: L = {5 ; − 3}
Setzt man wie bei einer Probe die beiden gefundenen Lösungen nacheinander in die Ausgangsgleichung
ein, so erhält man:
P1: x = 5
(5 − 5) ⋅ (5 + 3) = 0
0⋅8 = 0
P2 : x = −3
( −3 − 5) ⋅ ( −3 + 3) = 0
−8 ⋅ 0 = 0
0 = 0 (w)
0 = 0 (w )
MERKE:
Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
Weitere Beispiele dazu:
1.) (x + 8) ⋅ (x − 2) = 0
x+8 = 0∨ x−2 = 0
x1 = −8 ∨ x 2 = 2
L = {−8 ; 2}
2.) (2x − 6) ⋅ (3x + 5) = 0
2x − 6 = 0 ∨ 3x + 5 = 0
2x = 6 ∨ 3x = −5
x1 = 3 ∨ x 2 = −
5
2
= −2
3
3
2

L = 3 ; − 2 
3

1
 2

3.)  x − 7  ⋅  x + 6  = 0
2
 3

1
2
x−7 = 0∨ x+6 = 0
2
3
1
2
x = 7 ∨ x = −6
2
3
x1 = 14 ∨ x 2 = −9
L = {14 ; − 9}
Die quadratische Ergänzung
Bestimme die Lösungsmenge (L) der folgenden quadratischen Gleichungen:
1.) (x − 3)2 = 16 /
( x − 3)
2
= 16
2.) x 2 + 8x + 16 = 49 ⇒ binomische Formel
(x + 4)2 = 49 /
x − 3 = 4 ∨ x − 3 = −4
x1 = 7 ∨ x 2 = −1
x + 4 = 7 ∨ x + 4 = −7
x1 = 3 ∨ x 2 = −11
L = {7 ; −1}
L = {3 ; −11}
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3.) x 2 + 8x = 9
4.) 3x 2 − 3x − 60 = 0 / : 3
x 2 + 8x + 16 = 9 + 16 / quadratische Ergänzung
x 2 − x − 20 = 0 / + 20
(x + 4)2 = 25
x 2 − x = 20 / q.E.
1
1
x 2 − x + = 20 +
4
4
x + 4 = 5 ∨ x + 4 = −5
2
1
1

 x − 2  = 20 4


1 9
1
9
x− = ∨x− =−
2 2
2
2
x1 = 5 ∨ x 2 = −4
x1 = 1 ∨ x 2 = −9
L = {1; −9}
L = {5 ; −4}
Proben zu Aufgabe 4.)
P1: 3x 2 − 3x − 60 = 0
P2 : 3x 2 − 3x − 60 = 0
2
3 ⋅ 52 − 3 ⋅ 5 − 60 = 0
3 ⋅ ( −4 ) − 3 ⋅ ( −4 ) − 60 = 0
3 ⋅ 25 − 15 − 60 = 0
75 − 15 − 60 = 0
0 = 0 (w )
3 ⋅ 16 + 12 − 60 = 0
48 + 12 − 60 = 0
0 = 0 (w)
MERKE:
Die quadratische Ergänzung ist eine Möglichkeit, um eine gemischtquadratische Gleichung zu lösen. Dazu
versucht man, durch eine Ergänzung eine binomische Formel zu erzeugen.
Diese quadratische Ergänzung erhält man, in dem man den Wert vor dem x durch 2 dividiert und dann dieses Ergebnis quadriert.
Dazu muss man zuerst die Gleichung in die Form x 2 + ax = b mit a,b ∈ ℝ bringen.
Weitere Beispiele:
Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung:
1.) x 2 + 14x + 24 = 0
2.) 2x 2 + 10 = −12x
x 2 + 14x = −24
2x 2 + 12x = −10
x 2 + 14x + 49 = −24 + 49
x 2 + 6x = −5
(x + 7)2 = 25
x 2 + 6x + 9 = −5 + 9
x + 7 = 5 ∨ x + 7 = −5
x1 = −2 ∨ x 2 = −12
(x + 3)2 = 4
x + 3 = 2 ∨ x + 3 = −2
L = {−2 ; − 12}
x1 = −1 ∨ x 2 = −5
L = {−1; − 5}
3.) 9x 2 − 14x − 5 = 7x 2 − 10x + 7
2x 2 − 4x = 12
x 2 − 2x = 6
x 2 − 2x + 1 = 6 + 1
(x − 1)2 = 7
x −1= 7 ∨ x −1= − 7
x1 = 7 + 1 ∨ x 2 = − 7 + 1
L=
{
}
7 + 1; − 7 + 1
L ≈ {3,65 ; − 1,65}
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Proben zu Aufgabe 3.)
P1 : 9x 2 − 14x − 5 = 7x 2 − 10x + 7
2
( 7 + 1) − 14 ⋅ ( 7 + 1) − 5 = 7 ⋅ ( 7 + 1)
9 ⋅ ( 7 + 2 7 + 1) − 14 7 − 14 − 5 = 7 ⋅ ( 7 + 2
9⋅
2
(
− 10 ⋅
)
)
7 +1 + 7
2
7 + 1 − 10 7 − 10 + 7
63 + 18 7 + 9 − 14 7 − 19 = 49 + 14 7 + 7 − 10 7 − 3
53 + 4 7 = 53 + 4 7 (w)
P2 : 9 x 2 − 14x − 5 = 7x 2 − 10x + 7
2
(
)
(
9 ⋅ ( 7 − 2 7 + 1) + 14
2
)
(
)
(
7 − 14 − 5 = 7 ⋅ ( 7 − 2 7 + 1) + 10
)
9 ⋅ − 7 + 1 − 14 ⋅ − 7 + 1 − 5 = 7 ⋅ − 7 + 1 − 10 ⋅ − 7 + 1 + 7
2
7 − 10 + 7
63 − 18 7 + 9 + 14 7 − 19 = 49 − 14 7 + 7 + 10 7 − 3
53 − 4 7 = 53 − 4 7 ( w)
Lösungsformel für gemischtquadratische Gleichungen
Entwicklung der Lösungsformel mit Hilfe des Beispiels:
3x 2 + 18x + 24 = 0
/:3
x 2 + 6x + 8 = 0 → Normalform der gemischtquadratischen Gleichung
x 2 + px + q = 0
/− q
2
x + px = −q
/ quadratische Ergänzung
2
2
p
p
x 2 + px +   =   − q
2
 
2
2
/ zurück zur binomischen Formel
2
p

p
x + 2 =  2 −q


 
/ Wurzel ziehen
2
p
p
x+ =   −q
2
2
2
x1 = −
2
p
p
p
p
+   − q oder x 2 = − −   − q
2
2
2
2
x1
2
p
=− ±
2
p
 
2
2
−q
MERKE:
2
Die pq-Formel kann nur angewendet werden, wenn die Gleichung in die Normalform (x ohne Vorzahl, rechte Seite gleich Null) umgewandelt wurde!
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Diese pq-Formel angewendet auf ein Beispiel bedeutet:
x 2 + 6x + 8 = 0
x 2 − 9x + 20 = 0
p=6
q=8
p = −9 q = 20
x1/ 2 = −
p
p
±   −q
2
2
x1/ 2 = −
6
6
±   −8
2
2
2
26
16
=0
x+
9
9
26
16
p=
q=
9
9
x2 +
2
x1/ 2 = −
2
p
p
±   −q
2
2
2
x1/ 2 = −
2
x1/ 2 =
9
9
±   − 20
2
2
p
p
±   −q
2
2
2
x1/ 2 =
13
 13  16
±   −
9
9
 9 
x1/ 2 = −3 ± 32 − 8
x1/ 2 = 4, 5 ± 4,52 − 20
x1/ 2 =
13
169 16
±
−
9
81
9
x1/ 2 = −3 ± 9 − 8
x1/ 2 = 4,5 ± 20,25 − 20
x1/ 2 =
13
169 144
±
−
9
81
81
x1/ 2 = −3 ± 1
x1/ 2 = 4,5 ± 0,25
x1 = −3 + 1 = −2
x1 = 4,5 + 0,5 = 5
x 2 = −3 − 1 = −4
x 2 = 4,5 − 0,5 = 4
L = {−2 ; − 4}
L = {5 ; 4}
13
25
±
9
81
13 5 18
x1 =
+ =
=2
9
9 9
13 5 8
x2 =
− =
9 9 9
 8
L = 2 ; 
 9
x1/ 2 =
Bestimme mit Hilfe der pq-Formel die Lösungsmenge (L) der folgenden Gleichungen:
1.) x 2 − 11x + 24 = 0
p = −11
q = 24
x1 = 8
x2 = 3
L = {8 ;3}
2
p=7
q = −8
y1 = 1
y 2 = −8
L = {1; − 8}
2
3.) z − 20z + 96 = 0
p = −20
q = 96
z1 = 12
z2 = 8
L = {12 ; 8}
4.) x 2 + 48x + 135 = 0
p = 48
q = 135
x1 = −3
x 2 = −45
L = {−3 ; − 45}
p = 107
q = −108
x1 = 1
x 2 = −108
L = {1; − 108}
2.) y + 7y − 8 = 0
2
5.) x + 107x − 108 = 0
Bei längeren Aufgaben muss man durch Umformungsschritte die Gleichung erst in die Normalform bringen:
(x − 6)(x − 5) + (x − 7)(x − 4) = 10
x 2 − 5x − 6x + 30 + x 2 − 4x − 7x + 28 = 10
2x 2 − 22x + 58 = 10
2x 2 − 22x + 48 = 0
x 2 − 11x + 24 = 0 ⇐ Normalform!!!
2
x1/ 2 = −
p
p
±   −q
2
2
11
121 96
−
±
2
4
4
= 5,5 ± 2, 5
x1/ 2 =
x1/ 2
x1 = 8
x2 = 3
L = {8 ; 3}
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Die Diskriminante (D)
Betrachtet man sich die pq-Formel, so stellt man fest, dass die Anzahl der Lösungen (2 Lösungen, 1 Lösung,
2
p
keine Lösung) abhängig ist vom Formelteil   − q . Diesen Teilterm der pq-Formel bezeichnet man als die
2
Diskriminante (Bestimmende).
Für diese Diskriminante D gilt:
2
2
2


p
p
p
 p

L = − +   − q ; − −   − q 
2
2
2
 2

2
 p
L = − 
 2
p
⇒ ist   − q > 0, dann besitzt die Gleichung 2 Lösungen :
2
p
⇒ ist   − q = 0, dann besitzt die Gleichung 1 Lösung :
2
2
p
⇒ ist   − q < 0, dann besitzt die Gleichung keine Lösungen : L = {
2
}
Beispiele:
Wie viele Lösungen besitzen die folgenden Gleichungen jeweils:
x 2 − 36x − 2 = 0
x 2 + 16x + 100 = 0
2
x 2 − 20x + 100 = 0
2
p
D =  −q
2
2
p
D =   −q
2
2
p
D =   −q
2
2
2
 36 
D=
 +2
 2 
 16 
D =   − 100
 2 
 20 
D=
 − 100
 2 
D = 182 + 2
D = 82 − 100
D = 102 − 100
D = 326
D = −36
D=0
D>0
D<0
D=0
2 Lösungen!
Keine Lösung!
1Lösung!
Der Satz von Vieta
Aufgabe:
Notiere 5 Normalformen von gemischtquadratischen Gleichungen, notiere jeweils p und q sowie die beiden
Lösungen x1 und x2 der Gleichung.
Gibt es irgendwelche Zusammenhänge?
x1 ⋅ x 2
=q
x1 + x 2 = p ⋅ ( −1)
Beispiel:
x 2 − 10x + 21 = 0
p = −10
q = 21
x1 = 7
x1 ⋅ x 2 = 7 ⋅ 3 = 21
q = 21
x1 + x 2 = 7 + 3 = 10
p = 10 ⋅ ( −1) ⇔ p = −10
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x2 = 3
Beweise:
x1
+
x2
=
−p
2


− p +  p  − q 
2
 2

 


+
2


− p −  p  − q 
2
 2

 


=
−p
+
−
=
−p
=
−p
=
−p
=
q
=
q
=
q
2
−
2
p
p
+   −q
2
2
p
−
2
+
p
p
−   −q
2
2
p
−
2
−p
x1
x2
i
2


− p +  p  − q 
2
 2

 


( a +
b
)
i
i
2


− p −  p  − q 
2
 2

 


( a
−
b )
2
−
2


 p −q
  2 



p2
4
−
p
2 +q
 
=
q
p2
4
−
p2
+q
4
=
q
=
q
 p
− 2 


2
2
q
Anwendungen:
Gib zu der jeweils vorgegebenen Lösungsmenge eine gemischtquadratische Gleichung in der Normalform
an:
1.) L = {6 ; − 4} ⇒
x1 = 6
x 2 = −4
q = x1 ⋅ x 2
−p = x1 + x 2
q = 6 ⋅ ( −4)
−p = 6 + ( −4)
q = −24
−p = 2
p = −2
x 2 − 2x − 24 = 0
2.) L = {−7 ; − 5} ⇒ x1 = −7
x 2 = −5
q = x1 ⋅ x 2
−p = x1 + x 2
q = ( −7) ⋅ ( −5 )
−p = ( −7) + ( −5)
q = 35
−p = −12
p = 12
x 2 + 12x + 35 = 0
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Quadratische Gleichungen (I)
1.) Löse möglichst mit dem einfachsten Verfahren (Ausklammern, Produkt = 0, reinquadratischer Lösungsweg, gemischtquadratischer Lösungsweg) die folgenden quadratischen Gleichungen:
a.) 3y 2 =
1
3
d.) 4x 2 − (2 − x 2 ) =
b.)
1 2
x
2
1 2
v − 28 = 8
4
c.) 2x(x − 1) = 0
e.) 4x 2 = 8x
f.) x 2 + 6x + 6 = 1
g.) z2 − 13z − 48 = 0
h.) 5 − 3x 2 = − 22
i.) 5x = 6 − 4x 2
j.) (2x − 1)x = 0
k.) (t + 5)2 = 10t + 146
l.) − 0,6x 2 = 6x
m.) (x + 2)(x − 2) = 12
n.) v 2 + 1,2v = 0,45
o.) (3y + 2)2 − 12y − 29 = 0
2.) Vereinfache die folgenden quadratischen Gleichungen und löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung:
a.) 12x 2 + 2x = 9x 2 + 9x − 2
b.) 11y 2 − 7y = 8y 2 + 4y + 20
c.) 10z2 − 120 + 6z = 98z − 3z2 − 24
d.) 5x − 3 − 2x(3x − 4) = 4
e.) 3(5 − 2y) = y(12y − 2) + 10
f.) x(3x − 7) = (x + 2)2 + x − 4
3.) Bestimme jeweils die Variablen p und q und löse dann mit Hilfe der Lösungsformel:
p
x1 = − ±
2
2
a.) x 2 + 8x − 9 = 0
p=
q=
b.) y 2 − y − 20 = 0
p=
q=
2
p=
q=
2
p=
q=
2
p=
q=
p=
q=
c.) z − 13z − 48 = 0
d.) x + 3x + 2 = 0
e.) x + 2x − 8 = 0
2
f.) t − 4t + 3 = 0
p
 
 2
2
−q
4.) Bringe die folgenden Gleichungen zunächst in die Normalform x 2 + px + q = 0 und benutze dann dieLösungsformel:
a.) (x + 1)(2x + 3) = 4x 2 − 22
b.) (2x − 3)2 = (x − 1)(x − 4) + 9x
c.) (3x − 4)2 − (4x − 3)2 + (5x − 2)(5x + 2) = 18(x + 2) + 3
d.) (2y + 6)(17,5 − 2,5y) − (10 + 5y)(2y − 3) = (7y + 20)(4 − 1,4y)
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Quadratische Gleichungen (I) (Lösungen)
zu 1.)
1
3
1
y2 =
9
1
y1 =
3
1
y2 = −
3
1
1
L = ;− 
3
3


a.) 3y 2 =
b.)
1 2
v − 28 = 8
4
1 2
v = 36
4
c.) 2x(x − 1) = 0
2x = 0 ∨ x − 1 = 0
v 2 = 144
x = 0∨ x =1
v1 = 12
L = {0 ; 1}
v 2 = −12
L = {12 ; − 12}
d.) 4x 2 − 2 − x 2 =
(
)
4x 2 − 2 + x 2 =
5x 2 − 2 =
1 2
x
2
e.) 4x 2 = 8x
1 2
x
2
1 2
x
2
4,5x 2 = 2
4
9
2
x1 = = 0,6
3
2
x 2 = − = −0, 6
3
2
2
L = ;− 
3
3


x2 =
g.) z2 − 13z − 48 = 0
f.) x 2 + 6x + 6 = 1
4x 2 − 8x = 0
x 2 + 6x = −5
4x ⋅ ( x − 2) = 0
x 2 + 6x + 9 = −5 + 9
4x = 0 ∨ x − 2 = 0
(x + 3)2 = 4
x = 0∨ x = 2
x + 3 = 2 ∨ x + 3 = −2
L = {0 ; 2}
x = −1 ∨ x = −5
L = {−1; − 5}
h.) 5 − 3x 2 = −22
i.) 5x = 6 − 4x 2
z2 − 13z = 48
−3x 2 = −27
4x 2 + 5x = 6
z2 − 13z + 42,25 = 48 + 42,25
x2 = 9
x 2 + 1,25x = 1,5
(z − 6,5)2 = 90,25
x1 = 3
x 2 + 1,25x + 0,390625 = 1,5 + 0,390625
z − 6,5 = 9,5 ∨ z − 6,5 = −9,5
x 2 = −3
( x + 0,625 )
z1 = 16 ∨ z2 = −3
L = {3 ; − 3}
x + 0,625 = 1,375 ∨ x + 0,625 = −1,375
L = {16 ; − 16}
2
= 1,890625
x1 = 0,75 ∨ x 2 = −2
L = {0, 75 ; − 2}
Seite 10 von 17
j.) (2x − 1) ⋅ x = 0
k.) (t + 5)2 = 10t + 146
l.)
−0,6x 2 = 6x
2x − 1 = 0 ∨ x = 0
t 2 + 10t + 25 = 10t + 146
−0,6x 2 − 6x = 0
2x = 1 ∨ x = 0
t 2 + 25 = 146
0,6x 2 + 6x = 0
x1 = 0,5 ∨ x 2 = 0
t 2 = 121
0,6x ⋅ ( x + 10 ) = 0
L = {0,5 ; 0}
t1 = 11
0,6 x = 0 ∨ x + 10 = 0
t 2 = −11
x = 0 ∨ x = −10
L = {11; − 11}
x1 = 0 ∨ x 2 = −10
L = {0 ; − 10}
m.) (x + 2) ⋅ (x − 2) = 12
n.) v 2 + 1,2v = 0,45
o.) (3y + 2)2 − 12y − 29 = 0
x 2 − 4 = 12
v 2 + 1,2v + 0,36 = 0,45 + 0,36
9y 2 + 12y + 4 − 12y − 29 = 0
x 2 = 16
(v + 0,6)2 = 0,81
9y 2 − 25 = 0
x1 = 4
v + 0,6 = 0,81 ∨ v + 0,6 = −0,81
9y 2 = 25
x 2 = −4
v1 = 0,21 ∨ v = −1,41
L = {4 ; − 4}
L = {0,21; − 1,41}
25
9
5
2
y1 = = 1
3
3
5
2
y 2 = − = −1
3
3
2
 2
L = 1 ; − 1 
3
 3
y2 =
zu 2.)
a.) 12x 2 + 2x = 9x 2 + 9x − 2
b.) 11y 2 − 7y = 8y 2 + 4y + 20
c.) 10z2 − 120 + 6z = 98z − 3z2 − 24
3x 2 − 7x = −2
3y 2 − 11y = 20
13z2 − 92z = 96
7
2
x=−
3
3
49
7
2 49
2
=− +
x − x+
3
3 36
36
y2 −
11
20
y=
3
3
121 20 121
11
2
=
+
y − y+
3
3
36
36
z2 −
x2 −
2
7
25

 x − 6  = 36


7 5
7
5
x− = ∨x− =−
6 6
6
6
1
x1 = 2 ∨ x 2 =
3
 1
L = 2 ; 
 3
2
11 
361

 y − 6  = 36


11 19
11
19
=
∨y−
=−
y−
6
6
6
6
1
y1 = 5 ∨ y 2 = −1
3
1

L = 5 ; −1 
3


Seite 11 von 17
92
96
z=
13
13
2116 96 2116
92
2
=
+
z −
z+
13
13 169
169
2
46 
3364

 z − 13  = 169


46 58
46
58
=
∨z−
=−
z−
13
13
13 13
12
z1 = 8 ∨ z2 = −
13
12 

L = 8 ; − 
13


d.) 5x − 3 − 2x(3x − 4) = 4
c.) x(3x − 7) = (x + 2)2 + x − 4
e.) 3(5 − 2y) = y(12y − 2) + 10
−6x 2 + 13x = 7
12y 2 + 4y = 5
2x 2 − 12x = 0
13
7
x=−
6
6
13
7 169
169
2
=− +
x −
x+
144
6
6 144
1
5
y=
3
12
1
5
1
1
2
=
y − y+
+
36
3
12 36
x 2 − 6x = 0
x2 −
y2 −
x 2 − 6x + 36 = 0 + 36
2
2
16
1

 y − 6  = 36


1
4
1 4
y− = ∨y− = −
6 6
6
6
5
1
y1 = ∨ y 2 = −
6
2
5 1
L =  ;− 
6 2
13 
1

 x − 12  = 144


13
1
13
1
=
∨x−
=−
x−
12 12
12
12
1
x1 = 1 ∨ x 2 = −1
6
1

L = −1 ;1 
6


( x − 6)
2
= 36
x − 6 = 6 ∨ x − 6 = −6
x1 = 12 ∨ x 2 = 0
L = {12 ;0}
zu 3.)
a.) x 2 + 8x − 9 = 0
p=8
q = −9
x1 = 1
x 2 = −9
L = {1; − 9}
b.) y 2 − y − 20 = 0
p = −1
q = −20
y1 = 5
y 2 = −4
L = {5 ; − 4}
c.) z2 − 13z − 48 = 0
p = −13
q = −48
z1 = 16
z 2 = −3
L = {16 ; − 3}
2
p=3
q=2
x1 = −1
x 2 = −2
L = {−1; − 2}
2
e.) x + 2x − 8 = 0
p=2
q = −8
x1 = 2
x 2 = −4
L = {2 ; − 4}
f.) t 2 − 4t + 3 = 0
p = −4
q=3
t1 = 3
t2 = 1
L = {3 ; 1}
d.) x + 3x + 2 = 0
zu 4.)
a.) (x + 1)(2x + 3) = 4x 2 − 22
b.) (2x − 3)2 = (x − 1)(x − 4) + 9x
2x 2 + 3x + 2x + 3 = 4x 2 − 22
4x 2 − 12x + 9 = x 2 − 4x − x + 4 + 9x
−2x 2 + 5x + 25 = 0
3x 2 − 16x + 5 = 0
16
5
x2 −
x+ =0
3
3
x 2 − 2, 5x − 12,5 = 0
2
x1/ 2 = −
p
p
±   −q
2
2
2
x1/ 2 = −
p
p
±   −q
2
2
x1 = 4,95
8
64 5
±
−
3
9 3
8 7
x1/ 2 = ±
3 3
x1 = 5
x 2 = −2,5
x2 =
L = {4,95 ; − 2,5}
 1
L = 5 ; 
 3
x1/ 2 = 1,25 ± 1,5625 + 12, 5
x1/ 2 = 1,25 ± 3, 75
x1/ 2 =
1
3
Seite 12 von 17
c.) (3x − 4)2 − (4x − 3)2 + (5x − 2)(5x + 2) = 18(x + 2) + 3
9x 2 − 24x + 16 − (16x 2 − 24x + 9) + 25x 2 − 4 = 18x + 36 + 3
9x 2 − 24x + 16 − 16x 2 + 24x − 9 + 25x 2 − 4 = 18x + 39
18x 2 + 3 = 18x + 39
18x 2 − 18x − 36 = 0
x2 − x − 2 = 0
2
x1/ 2 = −
p
p
±   −q
2
2
x1/ 2 = 0,5 ± 0, 25 + 2
x1/ 2 = 0,5 ± 1,5
x1 = 2
x 2 = −1
L = {2 ; − 1}
d.) (2y + 6)(17,5 − 2,5y) − (10 + 5y)(2y − 3) = (7y + 20)(4 − 1,4y)
35y − 5y 2 + 105 − 15y − (20y − 30 + 10y 2 − 15y) = 28y − 9,8y 2 + 80 − 28
35y − 5y 2 + 105 − 15y − 20y + 30 − 10y 2 + 15y = −9,8y 2 + 80
−5,2y 2 + 15y + 55 = 0
1 2
y + 15y + 55 = 0
5
26 2
y + 15y + 55 = 0
−
5
75
275
y2 −
y−
=0
26
26
−5
2
x1/ 2 = −
p
p
±   −q
2
2
75
5625 275
±
+
52
2704 26
75 185
x1/ 2 = −
±
52 52
x1 = −5
x1/ 2 = −
x2 = 2
3
26
3 

L =  −5 ; − 2 
26 

Seite 13 von 17
Anwenden von quadratischen Gleichungen
Aufgaben:
1.) Multipliziert man zwei aufeinander folgende natürliche Zahlen miteinander, so erhält man 2756.
Wie heißen die beiden natürlichen Zahlen?
2.) In einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenusenlänge 45 cm ist eine Kathete 9 cm länger als die
andere.
Wie lang sind die beiden Katheten? (Skizze anfertigen!)
zu 1.)
x ⋅ (x + 1) = 2756
x 2 + x = 2756
x 2 + x − 2756 = 0
2
x1/ 2 = −
p
p
±   −q
2
2
x1/ 2 = −0,5 ± 0,25 + 2756
Die beiden Zahlen heißen 52 und 53.
x1/ 2 = −0,5 ± 52, 5
x1 = 52
(x 2 = −53)
L = {2 ; − 1}
zu 2.)
x 2 + (x + 9)2 = 452
x 2 + x 2 + 18x + 81 = 2025
2x 2 + 18x + 81 = 2025
2x 2 + 18x − 1944 = 0
x 2 + 9x − 972 = 0
2
x1/ 2 = −
p
p
±   −q
2
2
Die beiden Katheten sind 27 cm und 36 cm lang.
x1/ 2 = −4,5 ± 20,25 + 972
x1/ 2 = −4,5 ± 31,5
x1 = 27
(x 2 = −36)
L = {2 ; − 1}
Seite 14 von 17
Anwendung quadratischer Gleichungen
Zahlenrätsel:
1.) Die Summe aus einer natürlichen Zahl und ihrer Quadratzahl beträgt 650. Wie heißt die Zahl?
2.) Das Produkt zweier aufeinander folgender ganzer Zahlen ist 240. Wie heißen die ganzen Zahlen? Gib
alle Möglichkeiten an.
3.) Verringert man eine natürliche Zahl um 5 und multipliziert das Ergebnis mit der um 2 vergrößerten Zahl,
so erhält man 408. Wie heißt diese natürliche Zahl?
4.) Die Summe der Quadrate zweier ganzer Zahlen, von denen eine um 12 größer ist als die andere, beträgt 794.
5.) Das Produkt zweier aufeinander folgender ganzer Zahlen ist um 55 größer als deren Summe. Wie heißen diese ganzen Zahlen? Gib alle Möglichkeiten an.
6.) Von zwei natürlichen Zahlen liegt die eine ebenso weit über 100 wie die andere darunter. Das Produkt
beider Zahlen beträgt 9831.
7.) Die Summe zweier natürlichen Zahlen beträgt 43, ihr Produkt 372. Wie heißen die beiden natürlichen
Zahlen?
Lösungen:
L = {13 ; − 25} L = {20 ; − 28} L = {31 ; 12} L = {25 ; − 26} L = {22 ; − 19}
L = {16 ; − 15} L = {8 ; − 7}
L = {13 ; − 13}
Geometrische Aufgaben:
2
1.) Ein Dreieck besitzt einen Flächeninhalt von 36 cm . Die Grundseite ist um 1 cm länger als die zugehörige Höhe. Wie lang sind die Höhe und die Grundseite?
2.) Eine Seite eines Rechtecks ist um 6 cm länger als die andere. Das Rechteck besitzt einen Flächeninhalt
2
von 1216 cm . Wie lang sind die Rechteckseiten?
3.) Bei einem Trapez, dessen eine Grundseite genau so lang ist wie die Höhe und dessen andere Grundsei2
te 15 cm lang ist, beträgt der Flächeninhalt 77 cm . Wie lang sind die Grundseite und die Höhe?
2
4.) Der Umfang eines Rechtecks beträgt 134 cm, der Flächeninhalt 1050 cm . Wie lang sind die Rechteckseiten?
5.) Verlängert man die Seite eines Quadrats um 3 m und verkürzt die andere Seite um 1 m, so entsteht ein
2
Rechteck mit einem Flächeninhalt von 21 m . Welche Seitenlänge besitzt das Quadrat?
6.) In ein Quadrat mit der Seitenlänge 5 cm soll ein gleichseitiges Dreieck gezeichnet werden, so dass alle
Ecken auf den Quadratseiten liegen. Eine Ecke des Dreiecks soll dabei mit einer Ecke des Quadrats identisch sein. Wie lang ist die Dreieckseite? Wie lang ist die Höhe dieses Dreiecks? Welchen Flächeninhalt besitzt dieses Dreieck? Welchen Umfang besitzt dieses Dreieck? Wie hoch ist der Prozentsatz für
die Fläche des Dreiecks in Bezug zur Fläche des Quadrats?
7.) Ein rechteckiger Garten ist 25 m lang und 15 m breit. Um ihn herum führt ein Weg mit gleich bleibender
2
Breite. Dieser Weg beansprucht eine Fläche von 84 m . Wie breit ist dieser Weg?
Lösungen:
L = {42 ; 25}
L = {9 ; − 8} L = {1; − 21} L = {−38 ; 32} L = {1,3 ; 18,7}
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L = {7 ; − 22} L = {4 ; − 6}
Anwendung quadratischer Gleichungen (Lösungen)
Zahlenrätsel:
zu 1.)
zu 2.)
x + x 2 = 650
x ⋅ (x − 1) = 240
2
(x − 5) ⋅ (x + 2) = 408
2
x + x − 650 = 0
x 2 − 3 x − 418 = 0
x − x − 240 = 0
2
x1/ 2 = −
zu 3.)
p
p
±   −q
2
2
2
x1/ 2 = −
p
p
±   −q
2
2
2
x1/ 2 = −
p
p
±   −q
2
2
x1/ 2 = −0,5 ± 0,25 + 650
x1/ 2 = 0,5 ± 0,25 + 240
x1/ 2 = 1,5 ± 2,25 + 418
x1/ 2 = −0,5 ± 25,5
x1/ 2 = 0, 5 ± 15,5
x1/ 2 = 1,5 ± 20, 5
x1 = 25
x1 = 16
x1 = 22
(x 2 = −26)
(x 2 = −15)
(x 2 = −19)
zu 4.)
zu 5.)
x 2 + (x + 12)2 = 794
x ⋅ (x + 1) − 55 = x + (x + 1)
2
x + 12x − 325 = 0
2
p
p
±   −q
2
2
(100 + x) ⋅ (100 − x ) = 9831
10000 − x 2 = 9831
x − x − 56 = 0
2
x1/ 2 = −
zu 6.)
2
x1/ 2 = −
p
p
±   −q
2
2
x 2 = 169
x1/ 2 = −6 ± 36 + 325
x1/ 2 = 0,5 ± 0,25 + 56
x1 = 13
x1/ 2 = −6 ± 19
x1/ 2 = 0, 5 ± 7, 5
(x 2 = −13)
x1 = 13
x1 = 8
(x 2 = −25)
(x 2 = −7)
zu 7.)
1.) x + y = 43 ⇒ x = 43 − y
2.) x ⋅ y = 372
(43 − y) ⋅ y = 372
43y − y 2 = 372
y 2 − 43y + 372 = 0
2
x1/ 2 = −
p
p
±   −q
2
2
x1/ 2 = 21,5 ± 462,25 − 372
x1/ 2 = 21, 5 ± 9,5
x1 = 31
x 2 = 12
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