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TRIGONOMETRIA TRIGONOMETRIA TRIGONOMETRIA TRIGONOMETRIA TRIGONOMETRIA TRIGONOMETRIA TRIGONOMETRIA TRIGONOMETRIA TRIGONOMETRIA ÂNGULOS EM GRAUS E RADIANOS MULTIPLIQUE POR GRAUS TROQUE 180º RADIANOS POR 180º Exercícios sobre Transformações pág. 07 ∙ 180º GRAUS RADIANOS 180º 12º ∙ 180º = 15 Resp. : d Exercícios sobre Transformações ∙ 180º pág. 07 GRAUS RADIANOS 180º 2 5 2∙180º 5 3 4 3∙180º 4 3∙45º 22,5º 8 180º 8 2∙36º 72º 135º 1 rad 57º rad 180º Resp. : b Além de GRAUS e RADIANOS há também os GRADOS GRAUS 90º /2 0º 360º 180º 0 GRADOS 270º RADIANOS 3 /2 100gr 0 200gr 300gr 400gr 2 Ângulo formado pelos ponteiros de um relógio 12 11 10 30º 30º 30º 1 30º 30º 2 30º 9 3 30º 8 30º 30º 30º 30º 30º 7 6 5 4 Para saber o ângulo observe a lógica geométrica 3:00 4:00 12 12 11 1 11 1 30º 10 30º 30º 10 2 30º 30º 9 2 30º 3 9 30º 4 8 5 7 6 90º 4 8 depois de 60 minutos o ponteiro menor se moveu 30º 5 7 6 120º 3 Para saber o ângulo observe a lógica geométrica 3:00 3:30 12 12 11 1 10 11 10 2 9 3 4 8 5 7 6 1 2 3 9 15º 15º 4 8 depois de 30 minutos o ponteiro menor se moveu 15º 5 7 6 Para saber o ângulo observe a lógica geométrica 3:00 3:20 12 12 11 1 10 11 10 2 9 3 4 8 5 7 6 1 2 3 9 10º 4 8 depois de 20 minutos o ponteiro menor se moveu 10º 5 7 6 Para saber o ângulo observe a lógica geométrica 3:00 3:10 12 12 11 1 10 11 10 2 9 3 4 8 5 7 6 1 2 3 9 5º 4 8 depois de 10 minutos o ponteiro menor se moveu 5º 5 7 6 Logo, o valor numérico do ângulo (em graus) de deslocamento do ponteiro menor é sempre a metade do valor numérico do tempo decorrido (em minutos) tempo (minutos) ângulo (graus) 60 30º 40 20º 30 15º 20 15 10º 7,5º 10 5º 2 1º 1 0,5º Exercícios sobre ângulos entre ponteiros pág. 07 12 11 1 30º 10 30º 2 30º + 30º + 30º + 30º + 30º 150º 30º 9 3 30º 8 Resp. : b 4 30º 5 7 6 Exercícios sobre ângulos entre ponteiros pág. 08 22º30’ 30º 12 11 1 10 30º + 30º + 22º30’ 82º30’ 2 30º 9 3 4 8 Resp. : c 5 7 6 Exercícios sobre ângulos entre ponteiros pág. 08 30º 20º 30º 12 11 1 10 30º 2 30º + 30º + 30º + 30º + 30º + 20º 170º 30º 9 3 30º 4 8 Resp. : a 5 7 6 CICLO TRIGONOMÉTRICO /2 2 /3 120º 3 /4 90º +1 /3 60º 135º /4 45º 5 /6 150º 180º 7 /6 30º -1 +1 330º 210º 360º 2 11 /6 225º 5 /4 0º /6 240º 4 /3 315º -1 270º 3 /2 300º 5 /3 7 /4 ÂNGULOS PODEM SER POSITIVOS OU NEGATIVOS -270º 90º 60º + -300º -180º 180º -150º 0º 210º 300º -60º 270º -90º - ÂRCOS CÔNGRUOS 90º 180º -310º -670º -1030º -1390º ... 50º 410º 770º 1130º ... 0º 270º ÂRCOS CÔNGRUOS 90º -310º -670º -1030º -1390º ... 50º 410º 770º 1130º ... 180º 0º 270º número inteiro x = 50º + 360 ∙ k 1ª det. positiva 4ª det. negativa -1390º = 50º + 360 ∙ ( -4 ) 3ª det. negativa -1030º = 50º + 360 ∙ ( -3 ) 2ª det. negativa -670º = 50º + 360 ∙ ( -2 ) 1ª det. negativa -310º = 50º + 360 ∙ ( -1 ) 1ª det. positiva 50º = 50º + 360 ∙ ( 0 ) 2ª det. positiva 410º = 50º + 360 ∙ ( 1 ) 3ª det. positiva 770º = 50º + 360 ∙ ( 2 ) 4ª det. positiva 1130º = 50º + 360 ∙ ( 3 ) COMO SABER A MENOR DETERMINAÇÃO POSITIVA DE UM ÂNGULO, EM GRAUS. EXEMPLO: ENCONTRAR A MENOR DETERMINAÇÃO POSITIVA DO ÂNGULO DE 1850º 1850º 360º 1800º 5 50º 1ª DETERMINAÇÃO POSITIVA VOLTAS COMPLETAS COMO SABER A MENOR DETERMINAÇÃO POSITIVA DE UM ÂNGULO, EM RADIANOS. EXEMPLO: ENCONTRAR A MENOR DETERMINAÇÃO POSITIVA DO ÂNGULO DE 28 3 28 3 6 6 6 6 4 = + + + + 3 3 3 3 3 VOLTAS COMPLETAS 1ª DETERMINAÇÃO POSITIVA SENO E CO-SENO DE UM ÂNGULO NO CICLO TRIGONOMÉTRICO SENO DE UM ÂNGULO sen 0º = 0 90º 180º 0º 270º SENO DE UM ÂNGULO 90º primeiro quadrante positivo 180º 0º 270º SENO DE UM ÂNGULO 90º primeiro quadrante positivo 180º 0º 270º SENO DE UM ÂNGULO 90º primeiro quadrante positivo 180º 0º 270º SENO DE UM ÂNGULO 90º primeiro quadrante positivo 180º 0º 270º SENO DE UM ÂNGULO sen 90º = 1 90º positivo 180º 0º 270º SENO DE UM ÂNGULO 90º segundo quadrante positivo 180º positivo 0º 270º SENO DE UM ÂNGULO 90º segundo quadrante positivo 180º positivo 0º 270º SENO DE UM ÂNGULO 90º segundo quadrante positivo 180º positivo 0º 270º SENO DE UM ÂNGULO 90º segundo quadrante positivo 180º positivo 0º 270º SENO DE UM ÂNGULO sen 180º = 0 90º positivo 180º positivo 0º 270º SENO DE UM ÂNGULO 90º positivo 180º positivo 0º negativo terceiro quadrante 270º SENO DE UM ÂNGULO 90º positivo 180º positivo 0º negativo terceiro quadrante 270º SENO DE UM ÂNGULO 90º positivo 180º positivo 0º negativo terceiro quadrante 270º SENO DE UM ÂNGULO 90º positivo 180º positivo 0º negativo terceiro quadrante 270º SENO DE UM ÂNGULO sen 270º = -1 90º positivo 180º positivo 0º negativo 270º SENO DE UM ÂNGULO 90º positivo positivo 180º 0º negativo negativo quarto quadrante 270º SENO DE UM ÂNGULO 90º positivo positivo 180º 0º negativo negativo quarto quadrante 270º SENO DE UM ÂNGULO 90º positivo positivo 180º 0º negativo negativo quarto quadrante 270º SENO DE UM ÂNGULO 90º positivo positivo 180º 0º negativo negativo quarto quadrante 270º SENO DE UM ÂNGULO sen 360º = 0 90º positivo positivo 180º 0º negativo 270º negativo 360º SENO DE UM ÂNGULO 90º segundo quadrante primeiro quadrante 180º 0º terceiro quadrante 360º quarto quadrante 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO cos 0º = 1 90º 180º 0º 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO 90º primeiro quadrante positivo 180º 0º 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO 90º primeiro quadrante positivo 180º 0º 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO 90º primeiro quadrante positivo 180º 0º 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO 90º primeiro quadrante positivo 180º 0º 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO cos 90º = 0 90º positivo 180º 0º 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO 90º segundo quadrante negativo positivo 180º 0º 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO 90º segundo quadrante negativo positivo 180º 0º 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO 90º segundo quadrante negativo positivo 180º 0º 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO 90º segundo quadrante negativo positivo 180º 0º 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO cos 180º = -1 90º negativo positivo 180º 0º 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO 90º negativo positivo 180º 0º negativo terceiro quadrante 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO 90º negativo positivo 180º 0º negativo terceiro quadrante 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO 90º negativo positivo 180º 0º negativo terceiro quadrante 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO 90º negativo positivo 180º 0º negativo terceiro quadrante 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO cos 270º = 0 90º negativo positivo 180º 0º negativo 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO 90º negativo positivo 180º 0º positivo negativo quarto quadrante 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO 90º negativo positivo 180º 0º positivo negativo quarto quadrante 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO 90º negativo positivo 180º 0º positivo negativo quarto quadrante 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO 90º negativo positivo 180º 0º positivo negativo quarto quadrante 270º CO-SENO DE UM ÂNGULO cos 360º = 1 90º negativo positivo 180º 0º positivo negativo 270º 360º CO-SENO DE UM ÂNGULO 90º segundo quadrante primeiro quadrante 180º 0º terceiro quadrante 360º quarto quadrante 270º Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 Resp. : c 450º 360º 900º 360º 360º 1 720º 2 90º 180º sen 450º = sen 90º cos 900º = cos 180º sen 450º = 1 cos 900º = -1 Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 -1 -1 sen x 2m - 1 1 1 3 -3 +1 -1 Resp. : c 2m - 1 3 +1-3 2m 3+1 -2 2m 4 -2 2 m 4 2 -1 m 2 Exercícios sobre seno e co-seno pág. 21 sinal do seno Resp. : c sinal do co-seno Exercícios sobre seno e co-seno 90º pág. 22 180º 0º a b 270º Resp. : e
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