Das Noether-Theorem

Das Noether-Theorem
Ausarbeitung zum Vortrag von
Michael Hagemann
am 20.12.2012
im Rahmen des Proseminars
Gruppentheorie in der Quantenmechanik
von Prof. Dr. Jan Louis und Dr. Robert Richter
an der Universität Hamburg
im Wintersemester 2012/2013
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Eigenschaften kontinuierlicher Symmetriegruppen
3. Herleitung des Noether-Theorems
4. Zusammenfassung
5. Quellenverzeichnis
1. Einleitung
Im heutigen Vortrag soll aus den bisherigen Betrachtungen über kontinuierliche
Symmetriegruppen das Noether-Theorem hergeleitet werden. Das NoetherTheorem (formuliert 1918 von Emmy Noether) in seiner klassischen Form
lautet:
Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine
Erhaltungsgröße.
So folgt aus der Invarianz eines physikalischen Systems unter Zeitverschiebung
die Energieerhaltung, sowie aus der Translations-Invarianz die Impulserhaltung
und aus der Rotations-Invarianz die Drehimpulserhaltung.
Bei der Herleitung des Noether-Theorems wird eine kontinuierliche
Symmetriegruppe G eines physikalischen Systems betrachtet. Bei einer solchen
Gruppe ist entweder ganz G oder zumindest ein Teil davon kontinuierlich mit
dem neutralen Element der Gruppe verbunden. Die nachfolgenden
Ausführungen beziehen sich alle auf diesen Teil von G, der eine normale
Untergruppe bildet.
Aus den bisherigen Vorträgen lassen sich für den kontinuierlich mit dem
neutralen Element verbundenen Teil von G fünf Aussagen zusammentragen, aus
denen sich dann das Noether-Theorem ableiten lässt. Zunächst erfolgt die
Auflistung dieser Eigenschaften.
2. Eigenschaften kontinuierlicher Symmetriegruppen
I.
II.
Nach dem Wigner-Theorem existiert für die gegebene Gruppe G mit
den Elementen g (α1,…,αr) eine unitäre Darstellung U (α1,…,αr). Die
Darstellung einer Gruppe, die kontinuierlich mit dem neutralen
Element verbunden ist, kann nicht anti-unitär sein.
Bei den folgenden Aussagen wählt man die α als kanonische
Parameter. Mit der Schreibweise (α1,…,αr) ≡ α ≡ α · nα für fixiertes
nα und variables α erhält man eine aus einem Parameter bestehende
Abelsche Untergruppe. Als weitere Schreibweise führt man nα =
(0,0,…,0,1,0,…,0) ≡ ni ein, mit einer 1 an der i-ten Stelle und 0 sonst.
Die kanonischen Parameter α werden so gewählt, dass die
Gruppenelemente g (α1,…,αr) die folgende Eigenschaft haben:
g (0,0,…,0) = 1
.
Auch die folgenden Eigenschaften III. und IV. folgen aus der Wahl
kanonischer Parameter.
III.
Für kontinuierliche Gruppen mit den Elementen g (α1,…,αr) und einer
unitären Darstellung U (α1,…,αr) existiert ein Satz von Matrizen nach
der folgenden Definition:
o
gi =
∂
g (0,0,...,0)
∂α i
∂
U (0,0,...,0)
∂α i
o
Ui =
,
.
o
Die g i spannen einen linearen Vektorraum der Dimension r auf.
Dieser wird zu einem Ring wenn man als Produkt zweier Elemente des
Vektorraums den Kommutator definiert:
o o
o o
o o
g
,
h
=
g
h
−
h
g


.
o
Dieser Ring ist die Lie-Algebra G (oder auch Lie-Ring) der Gruppe G.
o
o
Die Basis von G ist gegeben durch die g i .
IV.
In der Nähe des neutralen Elements lassen sich die Elemente der
Gruppe G schreiben als
o 
r
g (α1 ,..., α r ) = exp ∑ α k g k 
 k =1

und die unitären Darstellungen der Gruppenelemente als
o 
r
U (α1 ,..., α r ) ≡ exp ∑ α k U k 
 k =1

V.
.
Der Hamiltonoperator und der Streuoperator (die S-Matrix) sind
gleichbleibend bei Transformationen der Symmetriegruppe.
3. Herleitung des Noether-Theorems
Nun kann man mithilfe der eben aufgelisteten Eigenschaften das NoetherTheorem herleiten. Mit I.,III. und IV. lässt sich die unitäre Darstellung des
betrachteten Teils von G in der Nähe des neutralen Elements schreiben als

U (α1 ,..., α r ) = exp 


∑α k U k 
o
.

Dann wählt man im Raum der kanonischen Parameter die Richtung nk =
(0,…,0,1,0,…,0) und erhält nach II. die Abelsche Untergruppe
 o 
U (α ) = exp  α U k 


.
Nun lässt sich noch sinnvoll eine weitere Überlegung einführen. Man bevorzugt
im Allgemeinen hermitesche Operatoren, da man den intuitiven Umgang mit
o
diesen gewöhnt ist aus der Quantenmechanik. Die Operatoren U k sind jedoch
antihermitesch, was sich wie folgt zeigen lässt:
Für α → 0 kann man die Exponentialdarstellung der unitären Matrizen in eine
Reihe entwickeln und diese nach dem linearen Term abbrechen:
o
U (α ) = 1 + α U k
.
Diese Entwicklung ist nur zulässig für eine Gruppe, die kontinuierlich mit dem
neutralen Element verbunden ist und dementsprechend eine unitäre und keine
anti-unitäre Darstellung besitzt.
Eingesetzt in U (α ) U + (α ) = 1 erhält man:
+
o
o
o
o
o
o
+
+



U (α ) U + (α ) = 1 + α U k  1 + α U k  = 1 + α U k + α U k + O(α ²) ≈ 1 + α U k + α U k = 1



⇒
o
o
U k = −U k
+
q.e.d .
o
.
.
o
o
Daraus folgend lassen sich mittels Bk = − i U k hermitesche Operatoren Bk
definieren.
Damit lauten die unitären Darstellungen der Gruppenelemente
o


U (α ) = exp i α Bk 


o
mit der Reihendarstellung
U (α ) = 1 + iα B k
.
Nun lässt sich V. auch schreiben als
H ′ = U (α ) H U −1 (α ) = H
.
Einsetzen der Reihendarstellung liefert
o


H ′ = U (α ) H U −1 (α ) ≈ 1 + iα Bk  H


o


1
−
i
α
B

k


o
o
o


= H + iα Bk H − iαH Bk + O(α 2 ) ≈ H − iα  H , Bk  = H


,
Damit ergibt sich:
o


H
,
B
k = 0


.
o


S
,
B
k = 0


Auf demselben Wege erhält man:
.
o
Da der hermitesche Operator Bk mit dem Hamiltonoperator kommutiert, ist er
eine Erhaltungsgröße und somit eine Observable. Dasselbe gilt für alle anderen
o
Bi , i = 1,…,r.
o
Diese Aussagen kann man nun auf alle Elemente der Lie-Algebra von B
o
o
erweitern. Da sich die Algebra von U und B nur um einen Faktor i
o
unterscheiden, betrachtet man hier einfach die B . Nun lässt sich jedes Element
dieser Lie-Algebra schreiben als
o
o
α B
= ∑α k B k = α ∑ k k = α B (nα )
α
o
B (α)
.
Somit können also die obigen Betrachtungen für jede beliebe Richtung nα im
o
Raum der kanonischen Paramater wiederholt werden. Damit sind die B (nα ) und
o
die α ⋅ B (nα ) und somit alle Elemente der Lie-Algebra sowohl Observablen als
auch Erhaltungsgrößen.
o
Die Bk (k = 1,…,r) spannen jedoch schon die gesamte Lie-Algebra auf. Um jetzt
zu ermitteln, wie die Kommutator-Relationen der gefundenen Erhaltungsgrößen
aussehen, genügt es also, diese Basis zu betrachten.
o
Die Bk kommutieren nicht alle miteinander. Tatsächlich ist es so, dass die
gesamte Struktur der lokalen Gruppe und ihrer Lie-Algebra gegeben ist durch
o
die Kommutator-Relationen der Bk :
o o 
 Bi , Bk  =
r
o
∑ Cikl Bl
.
l =1
Die Cikl bezeichnet man als Struktur-Konstanten.
Wenn man nun einen Satz {B1,…,Bm} von kommutierenden Operatoren aus der
Lie-Algebra betrachtet, dann kommutieren die Operatoren untereinander und
mit dem Hamiltonoperator. Die zugehörigen quantenmechanischen Zustände
bezeichnet man mit den Quantenzahlen b1,…,bm. So ein Satz kommutierender
Operatoren ist aber wahrscheinlich nicht geeignet, einen realen Quantenzustand
zu beschreiben. Dies kann jedoch möglich sein für bestimmte Funktionen
o
o
 o

o

F  B1 ,..., Br  des Satzes  B1 ,..., Br  .




4. Zusammenfassung
Nach den obigen Ausführungen kann nun das Noether-Theorem vom
gruppentheoretischen Standpunkt aus formuliert werden:
o
o
Die Erzeuger B1 ,..., Br einer Symmetriegruppe (die kontinuierlich mit dem
neutralen Element verbunden ist) sind Erhaltungsgrößen und Observablen,
deren Kommutator-Relationen nur von der Struktur der Gruppe abhängen.
Diese Aussage gilt
Bewegungsgleichungen
auch
eines
insbesondere dann, wenn
physikalischen Systems im
man die
Hamilton-
o
Formalismus schreiben kann und zusätzlich gilt:  H , B  = 0 .


5. Quellenverzeichnis
[1]
M. Chainchian, R. Hagedorn. Symmetries in Quantum Mechanics. IOP
Publishing Ltd 1998.
[2]
H. F. Jones. Groups, Representations and Physics. Taylor & Francis
Group, 2.edition, 1998.