A. N. Danilewsky 31 Fortsetzung von Kapitel 2 2.3 Darstellung von

A. N. Danilewsky
31
Fortsetzung von Kapitel 2
2.3 Darstellung von Körpern.............................................................................................. 32
2.3.1
Othogonale Parallelprojektion.............................................................................. 32
2.3.2
Stereographische Projektion................................................................................. 34
2.3.3
Gnomonische Projektion ...................................................................................... 42
32
Kristallographie I
2.3
Darstellung von Körpern
Kristalle sind dreidimensionale Gebilde. Für die zweidimensionale Darstellung werden
Projektionen verwendet. Während sich für Kristallgitter Parallelprojektionen entlang einer
Hauptachse anbieten, werden für die Darstellung der Morphologie von Kristallen je nach
Zweck unterschiedliche Projektionen verwendet.
2.3.1
Othogonale Parallelprojektion
Verwendung:
zum Zeichnen von Kristallen
Charakteristik:
•
perspektivische
Projektion
mit
Augpunkt
(=
Fluchtpunkt)
im
Unendlichen
(Parallelprojektion)
•
=> gruppenweise Parallelität bleibt erhalten und
Vorgehen für axonometrische Parallelprojektion (Abb. 2.3.1) :
•
Drehung des Achsenkreuzes mit R = Drehung und I = Inklination
•
orthogonale Projektion in Zeichenebene
•
Darstellung nur der Kanten [uvw]
•
Unterschiedliche
Größe
von
Flächen
durch
Parallelverschiebung
(Abstand zum Ursprung 000 des Koordinatensystems = Zentraldistanz)
•
Zusätzliche horizontale Hilfslinie (Horizontlinie) erleichtert Orientierung
Günstige Werte z.B. im kubischen Kristallsystem:
R = tan 1/3 = 18° 26´
und
(sin R : cos R = 1 : 3)
(nach Naumann 1797 – 1873)
I = tan 1/6 = 9° 28´
der
Kanten
A. N. Danilewsky
Abb. 2.3.1: Orthogonale Parallelprojektion
Zur Darstellung der relativen Flächenentwicklung und von Zonenverbänden genügt oft
die zweidimensionale Projektion in bevorzugte Ebenen, z. B. die Basis:
Kopfbild (Abb. 2.3.2)
Abb. 2.3.2: Orthoklas (Projektion Struktur, Kopfbild, Parallelprojektion
33
34
Kristallographie I
Bravaische Regel der Flächenwichtigkeit:
Die relative Wichtigkeit einer morphologischen Begrenzungsfläche ist in erster Näherung
proportional zur Besetzung der Gitterebene mit translatorisch identischen Punkten pro
Flächeneinheit. Z.B. Orthoklas (Abb. 2.3.2): (110), (010), (100), (130).
2.3.2
Stereographische Projektion
Hilfsmittel zur graphischen Lösung kristallographischer Aufgaben
Schematische Kristallprojektion zur
•
Darstellung von Messergebnissen,
•
Kristallberechnung
•
Darstellung morphologisch statistischer Ergebnisse
Keine bildliche Darstellung sondern Reduzierung von Flächen auf Punkte
Vorgehen:
•
Kristall in gedachte Kugel stellen
•
Mittelpunkt des Kristalls=Mittelpunkt der Kugel (Projektions-/ Polkugel, Abb. 2.3.4)
•
Konstruktion der Flächennormalen in Flächenmitten = Schnittpunkt im Mittelpunkt der
Polkugel
•
Schnittpunkte der Flächennormalen mit Polkugel = Flächenpole
•
verbinden der Pole mit dem unteren Augpunkt (Südpol, Nadir, Abb. 2.3.3)
•
Schnittpunkte der Geraden mit der Äquatorebene = Projektion der Flächenpole in die
Äquatorebene (Abb. 2.3.3, Abb. 2.3.5)
Beispiel Bleiglanz PbS: {100}, {110}, {111} in Abb. 2.3.3, 2.3.4, 2.3.5, 2.3.9
A. N. Danilewsky
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Abb. 2.3.4: Kristall im Zentrum der Polkugel
Abb. 2.3.3: Projektion der Pole in Äquatorebene
Abb. 2.3.5: Stereographische Projektion PbS
Pole der Nord-Halbkugel werden meist
als Kreuz oder gefüllter Kreis dargestellt
Pole Südhalbkugel als offener Kreis
Vorteile:
•
Kreise bleiben als Kreise oder Geraden erhalten
•
Winkeltreue
Wichtige Eigenschaft:
Kreise, deren Mittelpunkt mit dem der Kugel Übereinstimmen, sind als Großkreise
(Meridiane) der geometrische Ort der Pole aller Flächen, die in einer Zone liegen (d.h. ihre
Flächennormalen liegen in einer Ebene), also:
Pole tautozonaler Flächen liegen auf einem Großkreis
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Kristallographie I
Beispiel teragonale Pyramide mit Pedion:
Zusammenhang ρ und ϕ
Abb. 2.3.6: tetragonale Pyramide
Nachteile:
•
Keine Flächentreue (=> Schmidtsches Netz)
•
Verzerrte Wiedergabe von Längen
A. N. Danilewsky
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Hilfsmittel Wulffsches Netz:
Projiziert man das Gradnetz eines Globus
auf dessen Meridianebe 90°, erhält man
Abb. 2.3.7: Wulffsches Netz
das Wulffsche Netz (Abb. 2.3.7)
Längenkreise werden zu Großkreisen
Breitenkreise zu Kleinkreisen,
Ausnahme: Äquator- oder Grundkreis entspricht auch einem Großkreis
Die Flächenpole werde in Polarkoordinaten angegeben:
ρ = Poldistanz:
Winkel zwischen Pol und Nord- bzw. Südpol
ϕ = Azimut:
Winkel auf dem Großkreis von Osten an
Abb. 2.3.8: Flächenpol im Wulffschen Netz
z. B.: P (90°,30°):
ϕ = 90°, ρ =30°
Gezeichnet wird auf drehbarem Pauspapier auf dem Wulffschen Netz
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Kristallographie I
Anwendungen:
•
Unverzerrte Darstellung von Flächen als Punkte
•
Pole von Flächen eines Zonenverbandes lassen sich auf einen Großkreis drehen
•
Drehung zweier Pole auf einen Großkreis erlaubt durch abzählen der Kleinkreise
dazwischen die direkte Winkelangabe der Flächennormalen
•
Vollständige Indizierung aller an einem Kristall auftretenden Flächen in Verbindung mit
Zonengleichung und Komplikationsregel
•
Symmetrieelemente lassen sich bestimmen und eintragen
•
Vektorielle Eigenschaften lassen sich eintragen
Alle Zonenrichtungen können graphisch ermittelt und in eine Parallelprojektion übertragen
werden
Beispiel 1:
•
α-Schwefel (Abb. 2.3.9), Bleiglanz, Flussspat (Abb. 2.3.10), Kalifeldspat (Abb. 2.3.11)
Abb. 2.3.10: α-Schwefel
Abb. 2.3.9: Tracht kubischer Minerale, z. B. Fluorit,
Bleiglanz
A. N. Danilewsky
Abb. 2.3.11: Orthoklas
Tabelle der Pole:
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Kristallographie I
Stereographische Projektion:
Abb. 2.3.12: Fluorit,
Schwefel,
Beispiel 2:
Indizierung eines Topas – Kristalls (Borchardt-Ott S. 46 ff)
Abb. 2.3.13: Topas
Tabelle gemessener Winkel
Orthoklas
A. N. Danilewsky
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Komplikation der Flächen (100) und (010) und Indizierung des Schnittpunktes zweier
Zonenkreise:
Abb. 2.3.14: Indizierung mit Komplikationsregel
Stereographische Projektion Topas:
Abb. 2.3.15: Stereographische Projektion von Topas
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Kristallographie I
Weitere Möglichkeiten:
1. Soll ein Kristall gedreht werden, erfolgt dies durch Parallelverschiebung aller Flächenpole
auf Kleinkreisen => "wälzen" (Abb. 2.3. 16)
Abb. 2.3.16: Beispiel für Wälzen eines Oktaeders
(in nicht korrekter Aufstellung !)
2. Einzeichenen bzw Ermittlung der Symmetrieverhältnisse =>
Kapitel 2.3 "Symmetrieprinzip"
2.3.3
Gnomonische Projektion
Wie bei der Stereographischen Projektion wird der Kristall in den Mittelpunkt einer Kugel
gedacht. Die Projektion erfolgt allerdings auf eine tangierende Ebene (Abb. 2.3.17a).
Vorteil:
Flächenpole tautozonaler Ebenen liegen auf Geraden (Abb. 2.3.17b)
Nachteil:
darstellbarer Teil ist auf ca. 40° begrenzt
Abb. 2.3.17: Gnomonische Projektion