Mecânica dos Fluidos

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Mecânica dos Fluidos - Prof. Nelson Luiz Reyes Marques

Mecânica dos Fluidos
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE FÍSICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE FÍSICA
Prof. Nelson Luiz Reyes Marques
Hidrostática
• Estuda o comportamento dos líquidos em equilíbrio.
• Teorema de STEVIN
• Pressão atmosférica
• Princípio de PASCAL
• Teorema de ARQUIMEDES
Experimento: tensão superficial e mov. browniano
Primórdios da Hidrostática
A hidrostática, estudo do equilíbrio dos líquidos, é inaugurada por
Arquimedes. Diz a lenda que Hierão, rei de Siracusa, desafia
Arquimedes a encontrar uma maneira de verificar sem danificar o
objeto, se era de ouro maciço uma coroa que havia encomendado.
Arquimedes soluciona o problema durante o banho. Percebe que a
quantidade de água deslocada quando entra na banheira é igual ao
volume de seu corpo. Ao descobrir esta relação sai gritando pelas
ruas "Eureka, eureka!" (Achei, achei!). No palácio, mede então a
quantidade de água que transborda de um recipiente cheio quando
nele mergulha sucessivamente o volume de um peso de ouro igual
ao da coroa, o volume de um peso de prata igual ao da coroa e a
própria coroa. Este, sendo intermediário aos outros dois, permite
determinar a proporção de prata que fora misturada ao ouro.
Bom, apesar da ilustração, dizem que o fundador da
matemática aplicada quase nunca tomava banho. Era gênio,
mas também era porco.
Densidade
Consideremos um corpo de massa m e volume V. A
densidade (d) do corpo é definida por:
𝑚
𝑑=
𝑉
No Sistema Internacional a unidade de densidade é :
• kg / m3 (ou kg . m-3)
Na prática são também, usadas:
• g / cm3 (ou g . cm-3)
• e kg / L (ou kg . L-1)
Experimento: mercúrio e água
densidade parafina
Densidade - exemplo
Um corpo em forma de cubo de aresta a = 2,0 m tem massa m = 40 kg.
Qual a densidade do corpo?
Resolução:
O volume do corpo é:
V = a3 = (2,0 m)3 = 8,0 m3
Como a massa é m = 40 kg, a
densidade do corpo é:
d=m
V
d = 40 kg
8,0 m3
d = 5,0 kg/ m3
d = 5,0 kg / m3 = 5,0 kg . m-3
Massa específica
Quando o corpo for maciço (sem partes ocas) e
constituído de um único material, a densidade é
chamada de massa específica do material. Na tabela a
seguir temos as massa específicas de alguns materiais e
as densidade de alguns corpos.
Substância
Massa específica
(g/cm3)
Água
1,0
Ar
0,0013
Mercúrio
13,6
Corpo Humano
1,07
Densidade ou massa específica ?
A diferença entre densidade e massa específica fica
bem clara quando falamos de objetos ocos. Neste caso a
densidade leva em consideração o volume completo e a
massa específica apenas a parte que contêm substância
Relação entre unidades
As unidades mais usadas para a densidade são kg / m3 e
g / cm3.
Vamos então verificar qual é a relação entre elas.
Sabemos que:
1 m = 102 cm ou 1 cm = 10-2 m
Assim:
1 m3 = 106 cm3 ou 1 cm3 = 10-6 m3
Portanto:
1 kg / m3 = 10-3 g / cm3
ou
1 g / cm3 = 103 kg/m3
Experimento: Cálculo da densidade usando a proveta
Pressão
Suponhamos que sobre uma superfície plana de área A, atuem forças
perpendiculares cuja resultante é 𝐹 .
Definimos a pressão média Pm sobre a superfície por:
F
P
A
No Sistema Internacional, a unidade de pressão é o pascal (Pa):
Pa = 1 pascal = 1 N / m2
Quando a força se distribui uniformemente sobre a superfície , a
pressão é a mesma em todos os pontos e coincide com a pressão
média.
Pressão – exemplo:
Sobre uma mesa está apoiado um bloco de massa m =
3,2 kg e que tem a forma de um cubo de aresta a = 20
cm.
g = 10 m /s2
F = P = m.g = 3,2 kg . 10 m/s2 = 32 N
a = 20 cm = 0,2 m
A = a2 =( 0,2 m)2 = 0,04 m2
𝐹
32 𝑁
𝑁
𝑃= =
= 800 2 (𝑃𝑎)
2
𝐴 0,04 𝑚
𝑚
Pressão – exemplo:
- cama de pregos
Experimento: cama de pregos
O rastro de objetos e animais
http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/pressao/cotidiano/
Pressões no cotidiano:
Qualquer objeto exerce uma pressão sobre a superfície na qual ele
repousa. O rastro deixado pelos pneus de um veículo ou pelas patas
dos animais resulta da pressão exercida sobre o solo. As impressões
digitais resultam da pressão que os dedos exercem sobre os objetos
ao pegá-los.
Pressão no interior de um líquido
𝑚
𝑑 = → 𝑚 = 𝑑. 𝑣
𝑉
𝑉 = 𝐴. ℎ
𝐹 𝑚. 𝑔
𝑑. 𝑣. 𝑔 𝑑. 𝑔. 𝐴. ℎ
𝑃= =
=
=
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝑷 = 𝒅. 𝒈. 𝒉
Pressão no interior de um líquido
Pressão relativa ou efetiva
PLÍQ  d .g .h
Pressão absoluta ou total
PABS  PATM  d .g .h
Princípio de Stevin
Simon Stevin
(1548/49 – 1620))
Consideremos um líquido homogêneo, cuja densidade é d, em
equilíbrio sob a ação da gravidade, sendo
a aceleração da
gravidade. Sendo pA a pressão em um ponto A e pB a pressão em um
ponto B, temos:
P  PB  PA  d .g .h
Consequências do Teorema de Stevin
1°) a pressão aumenta com a profundidade
2°) num mesmo nível as pressões são iguais
3°) a superfície livre de um líquido em equilíbrio é
plana e horizontal
4°) Paradoxo Hidrostático: A força exercida pelo
líquido no fundo de cada recipientes são iguais.
PA  PB  PC
S A  SB  SC

Experimento: nanômetro de tubo aberto
FA  FB  FC
Pressão no fundo do mar
À medida que descemos no mar a
profundidades cada vez maiores,
a pressão da água aumenta. O
aumento da pressão força os
escafandristas a utilizarem roupas
muito especiais. O que acarreta o
aumento da pressão é o aumento
do peso do fluido que está acima
do mergulhador. Quanto maior for
a profundidade tanto maior será o
peso do líquido e, portanto, maior
será a pressão.
Pressão atmosférica
Evangelista Torricelli
(1608- 1647)
O físico e matemático italiano Evangelista Torricelli construiu o
primeiro barômetro que é um aparelho que mede a pressão
atmosférica.
Pressão atmosférica – exp. De Torricelli
Primeiramente ele encheu com mercúrio um tubo de vidro, até
aproximadamente a altura de 1 metro (Fig. 1), e fechou a
extremidade. Em seguida ele virou o tubo e mergulhou sua
extremidade num recipiente contendo mercúrio (Fig. 2). Ao
destampar a extremidade do tubo a coluna baixou um pouco
(Fig.3), ficando com uma altura de aproximadamente 76
centímetros acima da superfície do mercúrio no recipiente.
Na parte superior do tubo formou-se um vácuo quase perfeito. Na
realidade existe ali a formação de uma pequena quantidade de vapor de
mercúrio. No entanto a pressão desse vapor pode ser desprezada.
Assim, no ponto A a pressão é praticamente nula:
𝑃𝐴 ≅ 0
Pela lei de Stevin temos:
PABS  PA  d .g .h  d .g .h
0
Os pontos C e B pertencem ao mesmo líquido e estão no mesmo
nível; assim:
pC = pB
mas a pressão no ponto C é a pressão atmosférica:
temos: patm
pC = patm
= d.g.h
onde d é a densidade do mercúrio e h = 76 cm = 0,76 m
Supondo g = 9,8 m/s2 e sabendo que a densidade do mercúrio é de
13,6 . 103 Kg/m3 , temos:
𝑃𝐴𝑡𝑚
103 𝑘𝑔
= 13,6.
𝑚3
𝑚
9,8 2
𝑠
0,76 𝑚 = 𝟏, 𝟎𝟏𝟑. 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝒎𝟐
Pressão atmosférica – hemisférios de Magdeburgo
Otto Von Guericke e o Vácuo
Experimento dos hemisférios de Magdeburg em 1654.
Leia mais: http://www.revistavitanaturalis.com/artigos/historia-da-ciencia/otto-von-guericke-e-o-vacuo/
Experimento: hemisférios, bomba de vácuo (balão)
Unidades de pressão:
No Sistema Internacional de Unidades a unidade de pressão é o
pascal (Pa):1 Pa = 1 pascal = 1 N/m2
No entanto na prática são usadas outras unidades, inspiradas no
experimento de Torricelli. Uma delas é a atmosfera (atm). Uma
atmosfera é o valor da pressão normal:
1 𝑎𝑡𝑚 = 1,013. 105 𝑃𝑎 ≅ 100.000 𝑃𝑎 (𝑁/𝑚2 )
Outra é o centímetro de mercúrio (cm Hg) que é a pressão exercida
por uma coluna de mercúrio de 1 cm, num local em que a gravidade
tem seu valor normal (9,8 m/s2). Assim:
1 atm = 76 cm de Hg = 760 mm de Hg
A enorme massa de ar existente acima de nós
exerce uma pressão sobre todos os seres
vivos na superfície terrestre.
À medida que subimos uma montanha, a
pressão exercida pelo ar se torna menor, pois o
peso do ar se reduziu (a quantidade ar acima
de nós é menor).
Por isso, a grandes altitudes a pressão é
bastante reduzida, forçando os escaladores de
montanha a tomar precauções.
ALTITUDE
(m)
PRESSÃO
ATMOSFÉRICA
(cm Hg)
0
76
500
72
1.000
67
2.000
60
3.000
53
Como o líquido sobe pelo canudinho?
Ao "chuparmos" o líquido, o que fazemos é diminuir a pressão no
interior de nosso pulmão.
Com isso, a pressão atmosférica fica maior do que a pressão no
interior de nossa boca e desse modo, a pressão atmosférica "empurra"
o líquido pelo canudinho.
Experimento: pipeta, bebedouro, vaso de tântalo
Na água (d=1 g/cm3), a cada 10m de profundidade a
pressão aumenta 1 atm (100.000 N/m2).
𝑃 = 𝑑𝑔ℎ
𝑃𝑎𝑡𝑚
𝑁
𝑔
𝑘𝑔
𝑚
= 100.000 2 ; 𝑑 = 1 3 = 1000 3 ; 𝑔 = 10 2 ; ℎ =?
𝑚
𝑐𝑚
𝑚
𝑠
100.000
100.000 = 1000.10. ℎ → ℎ =
= 10 𝑚
1000
Vasos comunicantes
EXEMPLO:
Os pedreiros, para nivelar
dois pontos em uma obra,
costumam
usar
uma
mangueira
transparente,
cheia de água.
Vasos comunicantes com líquidos imiscíveis
P1  P2
Patm  d1 gh1  Patm  d 2 gh2
d1h1  d 2 h2
Experimento: tubo em U com líquidos imiscíveis

d1.h1  d 2 .h2
Princípio de Pascal
Blaise Pascal
(1623- 1662)
O matemático e físico francês Blaise Pascal estabeleceu o
seguinte princípio:
O acréscimo (ou diminuição) de pressão,
produzido em um ponto de um líquido em
equilíbrio, se transmite integralmente para todos
os pontos do líquido.
Experimento: pressão grandeza escalar
Princípio de Pascal
Como aplicação desse princípio temos o mecanismo
hidráulico empregado em elevadores de automóveis
nos postos de gasolina.
 P1 =  P2
F1 F2

S1 S2
Princípio de Pascal – multiplicador de força
Uma força de intensidade F1 aplicada em um pequeno pistão
de área A1, produz uma pressão P que é aplicada no pistão de
área A2, que sustenta o automóvel. Desse modo, aplicando-se
uma força de “pequena” intensidade no pistão menor,
obteremos uma força de ”grande” intensidade no pistão maior.
Experimento: prensa hidráulica
Princípio de Pascal – multiplicador de força
Princípio de Arquimedes
Arquimedes
(298 a.C. - 212 a.C.)
Quando um corpo se encontra imerso num fluido (num líquido, por
exemplo), fica sujeito a uma força vertical, dirigida de baixo para cima,
de valor igual ao peso do volume de fluido que é deslocado pela
presença do corpo. Esta lei, conhecida por Princípio de Arquimedes, já
tem mais de dois mil anos!
A força deve-se à diferença de
pressão exercida na parte de baixo
e na parte de cima do objeto.
Quando um corpo está total ou parcialmente imerso em um fluido em
equilíbrio, este exerce sobre o corpo uma força , denominada
EMPUXO, que tem as seguintes características:
1ª) Sentido oposto ao peso do corpo ;
2ª) Intensidade dada por E = P onde P é o peso do fluido deslocado.
No caso da figura A o volume deslocado é o volume da
região hachurada. No caso da Figura B o volume deslocado
é o próprio volume do corpo. Sendo dF a densidade do
fluido, g a aceleração da gravidade e VF o volume de fluido
deslocado, temos: E = pF = mF . g = (dF . VF) . g
E = dF . V F . g
Experimento: empuxômetro, ludião, submarino
Quando um corpo é colocado totalmente submerso
(imerso) em um líquido, distinguem-se três casos:
1°) peso do corpo maior que o empuxo (P E). O corpo desce com
aceleração constante (dc  dL)
2°) peso do corpo menor que o empuxo (P E). O corpo sobe com
aceleração constante até flutuar na superfície do líquido. Quando o
corpo flutua o peso torna-se igual ao empuxo (P=E e dc dL)
3°) o peso do corpo é igual ao empuxo (P=E). O corpo fica em
equilíbrio, qualquer que seja o ponto em que tenha sido colocado.
(dc=dL)
Princípio de Arquimedes - exemplos
1. Objetos com densidade uniforme flutuam
Objetos com densidade menor do que a do líquido no qual estão
imersos flutuam.
Uma bola de isopor flutua. Se a submergirmos num líquido ela tende a
subir.
Os dois efeitos resultam do empuxo
2. Objetos "ocos" flutuam
Um objeto oco tem mais facilidade de flutuar. Um navio só flutua
porque ele não é todo de ferro. As partes ocas ou vazias do navio
reduzem sua densidade em relação àquela do ferro maciço. Um navio
é tão oco que a sua densidade média é bem menor do que a
densidade da água.
Tigela boiando
Garrafa boiando
3. Facilitando a flutuação
As pessoas têm facilidade para
boiar na água. O mesmo vale
para
os
animais.
Isso
demonstra que a densidade
média dos seres vivos é
praticamente igual à densidade
da água.
Quando você estiver de barriga
para cima na água, inspire uma
certa quantidade de ar a mais.
Você perceberá que o seu
corpo passará a flutuar com
mais facilidade.
3. Facilitando a flutuação
No mar Morto, na Palestina, uma pessoa pode
flutuar facilmente, com parte de seu corpo fora da água.
4. Objetos mais leves que o ar
Os gases também são fluidos. Eles diferem dos líquidos
por possuírem uma densidade menor do que estes. A
Terra é envolta por uma mistura de gases (a atmosfera
terrestre). A Terra está, portanto, envolta por uma
camada de fluido.
Objetos cuja densidade seja menor do que a densidade
da atmosfera tendem a flutuar (dizemos que esses
objetos são mais leves do que o ar). Novamente aqui
isso pode ser explicado pelo princípio de Arquimedes.
Você já deve ter visto os dirigíveis ou balões, que são
grandes objetos (relativamente leves) contendo no seu
interior gases mais leves do que o ar (especialmente
hidrogênio).
A ascensão de um dirigível é facilitada ao inflarmos o
mesmo. Esvaziá-lo facilita a sua descida.
5. Os icebergs
Os icebergs são grandes massas
de água no estado sólido, que se
deslocam seguindo as correntes
marítimas nos oceanos. Em geral, a
ponta do iceberg corresponde a
menos de 10% do volume total do
mesmo.
O gelo tem uma densidade
ligeiramente menor do que a água,
próxima do ponto de fusão da
mesma. Assim, os icebergs flutuam
devido à menor densidade do gelo.

Mecânica dos Fluidos - Prof. Nelson Luiz Reyes Marques

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