Resonanzfrequenzen von Helmholtz-Resonatoren

Allgemeines Projektpraktikum
SS 2013, Gruppe C
Resonanzfrequenzen von
Helmholtz-Resonatoren
Klappert, Jonas
Lang, Nicolas
Stopp, Kirsten
Wroblowski, Oliver
23. Juli 2013
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
4
2 Theoretischer Hintergrund
2.1 Helmholtzresonatoren . . . . . . . .
2.1.1 Prinzip . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Mathematische Beschreibung
2.2 Frequenzanalyse . . . . . . . . . . .
2.2.1 Fourier-Transformation . . .
2.2.2 Abtastrate . . . . . . . . . .
2.2.3 Fensterfunktion . . . . . . . .
2.2.4 Umsetzung im Versuch . . . .
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5
5
5
6
9
9
10
11
13
3 Vorversuche
3.1 Auswahl des Resonanzkörpers . . . . . . . . . .
3.2 Gräteliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Untersuchte Parameter . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Düsenform . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Fließgeschwindigkeit . . . . . . . . . . .
3.5.3 Lage des Schlauchs . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Resonazverhalten des Mikrofons . . . .
3.5.5 Abstand Mikrofon zur Flaschenöffnung .
3.5.6 Lufttemperatur am Ort . . . . . . . . .
3.5.7 Bodenkontakt . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.8 Volumen der untersuchten Gefäße . . .
3.5.9 Genauigkeit des Oszilloskops . . . . . .
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26
26
26
26
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31
31
4 Messungen
4.1 Riesling Weinflasche . . . . .
4.1.1 Versuchsdurchführung
4.1.2 Messung . . . . . . . .
4.2 Olivenölflasche . . . . . . . .
4.3 Bottich . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Versuchsdurchführung
4.3.2 Messung . . . . . . . .
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5 Auswertung
5.1 Riesling Weinflasche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Olivenölflasche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Bottich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
35
37
38
6 Variation der Mediumsdichte
6.1 Ziel des Versuchsteils . . .
6.2 Durchführung . . . . . . .
6.3 Messung . . . . . . . . . .
6.4 Auswertung . . . . . . . .
40
40
40
41
43
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7 Fazit
45
8 Anhang
8.1 Rieslingflasche
8.2 Ölflasche . . . .
8.3 Großer Bottich
8.4 Tetrafluorethan
46
46
51
57
70
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1 Einführung
Der Helmholtz-Resonator ist aus dem Alltag wohlbekannt. Das Anblasen von Flaschen oft mit verschiedenen Füllständen - zur Erzeugung von Tönen ist ein häufig durchgeführtes Experiment. Doch das Prinzip dieses von Hermann von Helmholtz im 19. Jahrhundert
entwickelten Resonators ist wenig beachtet. Was genau wird beim Anblasen in Schwingung versetzt? Welche Bedeutung kommt dem Flaschenhals zu? Wovon hängt die Resonanzfrequenz ab? Dieser Versuch soll einige der Details des Helmholtz-Resonators genauer beleuchten. Insbesondere soll eine Reihe verschiedener Gefäße untersucht werden, die
sich in ihrer Größe und der Beschaffenheit des Halses und der Öffnung unterscheiden.
Die experimentellen Befunde werden dann mit der theoretischen Näherung verglichen
und etwaige Abweichungen zu erklären versucht. Das Hauptaugenmerk liegt auf der Bestimmung der Resonanzfrequenz in Abhängigkeit von verschiedenen Füllständen sowie
eventuell auftretender Obertöne. Zusätzlich wird im letzten Teil des Versuchs ein von
Luft verschiedenes Medium in den Resonator gefüllt um über die Messung der Frequenz
Rückschlüsse auf dessen Dichte ziehen zu können. In diesem Versuch soll es hingegen
nicht darum gehen, die in die theoretische Berechnung eingehenden Korrekturfaktoren
neu zu bestimmen.
4
2 Theoretischer Hintergrund
2.1 Helmholtzresonatoren
2.1.1 Prinzip
Helmholtz-Resonatoren sind akustische eindimensionale Feder-Masse Systeme bestehend
aus einem zylindrischen Luftpfropfen und einem angekoppelten Luftvolumen (Abbildung
2.1). Der Luftpfropfen wird als Masse zu Schwingungen angeregt, das Luftvolumen stellt
die Feder dar. Die Resonatoren besitzen eine spezifische Resonanzfrequenz, die nur vom
Luftvolumen des Körpers abhängt. Bekannt ist dieses Phänomen durch den entstehenden
Ton, wenn über einen Flaschenrand geblasen wird und der je nach Flasche eine andere
Tonlage besitzt. Hier zeigt sich auch, dass die Resonanzfrequenz nicht durch eine stehende
Welle hervorgerufen wird, da die Tonhöhe bei gleicher Flaschenhöhe aber ansonsten
unterschiedlicher Geometrie verschieden ist.
Durch den gleichmäßigen Luftstrom beim Anblasen der Flasche wird der Luftpfropfen
aus dem Hals in den Körper gedrückt. Der Druck im Körper steigt an und drückt den
Pfropfen über seine Ruhelage hinaus zurück. Dabei entsteht im Körper ein Unterdruck,
der den Pfropfen wieder zurück zieht - über die Ruheposition hinaus in den Körper.
Damit beginnt der Zyklus von vorne.
Abbildung 2.1: Prinzip eines Helmholtz-Resonators
Benannt sind die Resonatoren nach Hermann von Helmholtz, der diese entwickelte,
um einen einzigen Grundton aus einem Klanggemisch nachzuweisen [Wikipedia 2013c].
In Abbildung 2.2 ist ein solcher Resonator abgebildet, der zusätzlich noch eine kleine
Öffnung besaß, die ins Ohr gehalten wurde. In der Musik wird sich des Prinzips bedient,
um bei Instrumenten die Schwingungen der Saiten zu verstärken und erst so Töne in gut
5
hörbarer Lautstärke zu produzieren. Bekannt sind sie ebenso als Bassreflex-Gehäuse von
Lautsprechern, um das Volumen und den Tiefbass zu vergrößern. Helmholtz-Resonatoren
wird sich aber auch vielfach in der Raumakustik bedient, um im entgegengesetzten Fall
Töne abzudämpfen, beispielsweise bei Lochplatten-Wandverkleidungen. Hier wirken sie
als Schallabsorber vor allem für den tiefen Frequenzbereich [Müller & Möser 2003].
Abbildung 2.2: Helmholtz-Resonator aus Messing [Wikipedia 2013c]
2.1.2 Mathematische Beschreibung
Die Bewegungsgleichung für das Feder-Masse-System lässt sich mit Hilfe des 2. Newtonschen Axioms herleiten:
Fa = m · ẍ = FR
(2.1)
In der Modellvorstellung agiert das Luftvolumen im Hals wie ein Kolben. Die Rückstellkraft bestimmt sich somit zu:
FR = −∆p · AH ,
(2.2)
2 die Fläche des zylindrischen Halses beschreibt (Abbildung 2.3).
wobei AH = πrH
Es wird vorausgesetzt, dass die Druckänderungen so schnell erfolgen, dass kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfinden kann. Dann lässt sich der Druck für adiabatische Zustandsänderungen beschreiben und es gilt für ein ideales Gas mit dem Isenc
tropenexponent κ = cvp :
6
Abbildung 2.3: Prinzipskizze zur Herleitung der Bewegungsgleichung eines HelmholtzResonators
p · V κ = const.
(2.3)
und damit
p0 · V0κ = p1 · V1κ
= (p0 + ∆p) · (V0 − ∆V )κ
(2.4)
Mit Hilfe einer Reihenentwicklung und Abbruch nach dem ersten Glied lässt sich der
Potenzterm umformen zu:
∆V
· κ · V0κ−1
1!
= V0κ (1 − ∆V · κ · V0−1 )
(V0 − ∆V )κ = V0κ −
(2.5)
Aufgelöst nach ∆p und mit ∆V = AH · x nach Abbildung 2.3 ergibt sich unter Vernachlässigung kleiner Änderungen die adiabatische Druckdifferenz zu
∆p =
p0 · κ · ∆V
p 0 · κ · AH · x
=
V0
V0
(2.6)
Die Rückstellkraft ist damit
FR = −
∆p · κ · A2H
·x
V0
(2.7)
und stellt das Federgesetz für das Luftvolumen des Körpers als Dämpfer dar mit der
Federkonstanten k
∆p · κ · A2H
k=
(2.8)
V0
7
Die Masse m des Luftvolumens im Hals ist
m = ρ0 · AH · lH
(2.9)
wodurch sich die Bewegungsgleichung schreiben lässt als
∆p · κ · A2H
·x = 0
V0
∆p · κ · AH
⇔ ρ0 · lH · ẍ +
·x = 0
V0
ρ0 · AH · lH · ẍ +
(2.10)
Die Lösung:Schwingungsgleichung eines freien, ungedämpften, harmonischen Oszillators
x(t) = a · sin(ωt + φ)
(2.11)
mit der Amplitude a, der Kreisfrequenz ω und der Phase der Schwingung. Die Kreisfrequenz berechnet sich zu
s
r
k
p 0 · κ · AH
ω0 =
=
(2.12)
m
ρ0 · lH · V0
Für die Schallgeschwindigkeit c in Luft gilt in guter Näherung
r
r
κ · p0
κ·R·T
c=
=
ρ0
M
(2.13)
√
Da bei gegebener Dichte ρ der Druck p von der Temperatur T abhängt, ist c ∼ T :
je wärmer die Luft, desto schneller der Schall [Gerthsen & Vogel 1993]. Bei konstanter
Temperatur ist p ∼ ρ, weshalb die Schallgeschwindigkeit unabhängig vom Druck ist. Für
eine Temperatur von 20 ◦ C bestimmt sich die Schallgeschwindigkeit zu c = 343 m/s.
Die Resonanzfrequenz eines Helmholtz-Resonators ist damit zunächst
r
c
AH
f=
(2.14)
2π V0 · lH
Da jedoch auch noch an beiden Seiten des Halses ein gewisser Luftanteil mitschwingt,
ist eine Vergrößerung der Schwinglänge lH notwendig:
lH,ef f = lH + 2∆lH
(2.15)
Vereinfachend wird dabei angenommen, dass der Anteil auf beiden Seiten gleich ist. Dies
gilt nach Mechel (1994), wenn die Querabmessungen und die Tiefe des Federvolumens
groß sind gegenüber der Querabmessung des Halses und der Zusatzlänge. Beides ist für
die untersuchten Flaschen eingehalten. Damit die Formeln Gültigkeit besitzen, muss die
Wellenlänge groß gegenüber der Halslänge sein. Hier differieren die Literaturangaben
λ
zwischen lH,ef f ≤ 16
und lH,ef f ≤ λ6 . Deutlich wird jedoch, dass für Wellenlängen λ = fc
im Bereich von 1 m für die verwendeten Flaschen bereits ein Grenzbereich erreicht wird.
8
π
4
kc
0,61
≈ 0, 785
0,80
0,82
0,85
Autor
Harold Levine u. Julian Seymour Schwinger 1948
Hermann von Helmholtz 1859
Lord Rayleigh 1894
Lord Rayleigh
Quelle
[Wikipedia 2013b]
[Wikipedia 2013b]
[Cremer & Müeller 1978]
[Wikipedia 2013b]
[Mechel 1994]
Tabelle 2.1: Verschiedene Angaben zur Mündungskorrektur in der Literatur
Die sogenannte Mündungskorrektur wird in Abhängigkeit vom Halsradius formuliert:
∆lH = kc · rH
(2.16)
Der Wert kc ist lediglich empirisch und abhängig von der Form und Ausbildung der
Mündung. In der Folge existieren in der Literatur unterschiedliche Angaben (Auszug
siehe Tabelle 2.1). Vereinzelt wird darauf verwiesen, dass sich der Wert 0,61 auf ein im
Wandende auslaufendes Rohr (geflanschtes Rohr) und 0,85 auf ein überstehendes Rohr
(hervorstehendes Rohr) bezieht (z.B. [Müller & Möser 2003], [Friesecke 2007], [Webster
& Davies 2010]). Eine Kombination ist möglich, dann gilt nach Webster & Davies (2010):
∆lef f = ∆lH + 0, 6 · rH +
8
· rH
3π
(2.17)
Nach Rayleigh kann für kreisförmige Mündungen mit Radius rH in einer ebenen Platte
angesetzt werden [Mechel 1994]:
0, 785 · rH = (
π
8
· rH ) < ∆rH <
· rH = 0, 849 · rH
4
3π
(2.18)
Korrekturfaktoren für weitere Mündungsformen können Mechel (1994) entnommen werden.
Abschließend ergibt sich die Helmholtz-Resonanzfrequenz zu:
s
c
AH
f=
(2.19)
2π V (lH + 2 · kc · rH )
2.2 Frequenzanalyse
2.2.1 Fourier-Transformation
Mit Hilfe einer Fourier-Transformation kann eine beliebige kontinuierliche Signalfunktion durch Überlagerung verschiedener harmonischer Sinus- und Cosinusschwingungen
nachgebildet werden. Sie ist eine Verallgemeinerung der Fourier-Reihen, welche nur auf
periodische Funktionen anwendbar ist. Gleichung 2.20 stellt die Fouriertransformierte
dar.
Z ∞
X(f ) =
x(t)ej2πf t dt
(2.20)
−∞
9
Sie überführt somit ein Signal eindeutig vom Zeitbereich x(t) in den Frequenzbereich
x(f). Liegen keine kontinuierlichen Funktionen sondern nur diskrete Amplitudenwerte
vor (siehe folgendes Kapitel), wird eine diskrete Fouriertransformation (DFT) notwendig. Die Frequenzanalyse wird jeweils nur über ein kurzes Zeitfenster (Analysefenster)
durchgeführt. Da die DFT sehr rechenaufwendig ist, wird anstelle dessen i.d.R. die FFT
- Fast Fourier Transformation - verwendet. Hierbei handelt es sich um einen effizienten
Rechenalgorithmus. Sind für die DFT N 2 Rechenoperationen notwendig, schafft es die
FFT mit N log2 N , wobei N die Anzahl der Abtastwerte bezeichnet.
Für eine Beschreibung der Grundlagen siehe beispielsweise Natke (1992) und Butz
(2005).
2.2.2 Abtastrate
Die von einem Mikrofon gelieferten Messsignale stellen zunächst analoge Signale dar und
sind damit kontinuierlich. Für die Auswertung müssen diese Daten digitalisiert werden
(A/D-Wandlung). Hierfür bedarf es einer Abtastung (=Sampling). Dabei entsteht ein
diskretes Signal.
Eine Abtastung des analogen Signals bedeutet, dass in äquidistanten Zeitabständen
∆ts die Amplitudenwerte gemessen werden. Da die Umsetzung nicht in infinitesimal
kurzer Zeit realisiert werden kann, wird eine Sample-and-Hold Schaltung“verwendet.
”
Hierbei wird der Signalwert im jeweiligen Zeitschritt erfasst und für eine kurze Zeit eingefroren. Dadurch entsteht ein treppenförmiges Signal, wodurch der Verlauf zuverlässig
digitalisiert werden kann. Das Zeitintervall ∆ts wird durch das zu messende Analysefenster T und die Anzahl der Abtastwerte N festgelegt:
∆ts =
T
N −1
(2.21)
Die Abtastrate (Samplingfrequenz) gibt an, wie oft in einer Sekunde das analoge, kontinuierliche Signal gemessen wird:
1
fs =
(2.22)
∆ts
Die Frequenzauflösung wird bei konstanter Abtastrate umso feiner, je länger das Analysefenster ist. Eine hohe Abtastrate bringt hingegen eine schlechte Frequenzauflösung
mit sich.
Entscheidend bei der Abtastrate fs ist, dass diese so gewählt werden muss, dass das
Nyquist-Shannon-Abtasttheorem eingehalten wird:
fs ≥ 2 fm
(2.23)
wobei fm die Frequenz des höchsten spektralen Anteils im Signal darstellt. Bei Verletzung dieser Anforderung tritt der Alias-Effekt“auf, d.h. es werden falsche Frequenzen
”
berechnet (Abbildung 2.4). Zur Vermeidung werden Frequenzanteile, die höher als die
Hälfte der gewählten Abtastrate sind, durch Einsatz eines Tiefpassfilters (Anti-AliasingFilter) entfernt. Dies kann sowohl analog mittels Hardware oder digital mittels Software
erfolgen.
10
Abbildung 2.4: Veranschaulichung des Alias-Effekts. Ein kontinuierliches Ausgangssignal
(schwarze Linie) wird mit einer ungeeigneten Abtastfrequenz, die kleiner
als vom Abtasttheorem gefordert ist, diskretisiert. Aus den erhaltenen
Messwerten (Kreise) entsteht durch Interpolation ein verfälschtes Signal
mit viel zu großer Periode (rote Linie). [Wikipedia 2013a]
Die Bitbreite beschreibt die Amplitudenauflösung der Quantisierung: mit Bitbreite b
können 2b Amplitudenwerte codiert werden.
Zeigt der gemessene Zeitverlauf Schwebungseffekte (Signalamplitude besitzt Nulldurchgänge), so ist für die Betrachtung des Frequenzsprektrums ein schwebungsfreier Zeitbereich auszuwählen.
2.2.3 Fensterfunktion
Die Fouriertransformation ist nur eindeutig, wenn die Länge des Analysefensters mit
einem ganzzahligen Vielfachen der Periodendauer des zu analysierenden Signals übereinstimmt. Ansonsten entstehen Artefakte aufgrund des willkürlichen Beginns und Endes
des Analysefensters (Abbildung 2.5). Dies gilt genauso für Frequenzgemische, die aus einer beliebigen Summe verschiedener harmonischer Schwingungen zusammengesetzt sind.
Dieser Defekt wird als Leakage-Effekt“bezeichnet.
”
Das Analysefenster kann als Rechteckfenster verstanden werden mit einem eigenen
Spektrum. Bei der Faltung der Spektrallinie der Sinusschwingung mit dem Spektrum
des Analysefensters entsteht eine Verbreiterung der Spektrallinie bzw. es entstehen Nebenmaxima. Durch eine Fensterfunktionen wird ein allmählicher Übergang an den Rändern vom Zeitsignal zum Analysebereich erreicht (Abbildung 2.6). Dadurch werden die
Nebenmaxima gestaucht und real existierende Nebenmaxima werden nicht überdeckt.
Durch die Kürzung der effektiven Fensterlänge kommt es jedoch zu einer Verbreiterung
der Hauptmaxima.
Die in Abbildung 2.6 dargestellte Fensterfunktion ist die Funktion nach von Hann.
Sie ist hauptsächlich als Hanning-Fenster bekannt und bildet einen cos2 -Verlauf ab:
11
Abbildung 2.5: Leakage-Effekt [Wikipedia 2013d]
Abbildung 2.6: Einfluss einer Fensterfunktion [Lohninger 2013]
12
f (t) =
cos2
0
πt
T
für − T /2 ≤ t ≤ T /2
sonst
(2.24)
Sie sorgt für eine gute Dämpfung der durch die Analyse entstehenden Nebenmaxima und einen schmalen Hauptpeak, wodurch sie für die vorliegenden Untersuchungen
gut geeignet ist. Für weiterführende Erläuterungen sei auf die bereits zitierte Literatur
verwiesen.
2.2.4 Umsetzung im Versuch
Für die im Versuch benötigte Fouriertransformation wird auf die im verwendeten Oszilloskop Tektronics TDS 1001 B enthaltene FFT-Funktion zurückgegriffen. Die Auflösung
des Oszilloskops beträgt 8 bits und die vorhandene Bandbreite ist mit 40 MHz angegeben. Die eingestellte Abtastfrequenz beträgt überwiegend 1,0 kS/s, lediglich für größere
Füllstände 2,5 kS/s. Hiermit können Frequenzen bis zu 500 Hz bzw. 1250 Hz sicher bestimmt werden. Alle erwarteten Resonanzfrequenzen liegen unterhalb dieser Grenzen.
Zur Reduktion der deutlich auftretenden Nebenmaxima wird die Fensterfunktion Hanning ausgewählt.
13
3 Vorversuche
3.1 Auswahl des Resonanzkörpers
Die Auswahl der Resonazkörper wurde auf 3 Flaschen beschränkt. Dabei handelt es
sich um eine handelsübliche Weinflasche mit einem angegebenen Volumen von 1000 ml
und einer handelsüblichen Olivenölflasche mit einem angegebenen Volumen von 750 ml.
Außerdem sollte ein Körper untersucht werden, der von seiner Geometrie nah an der
Form eines idealen Helmholtzresonators liegt, um Vergleichsmöglichkeiten zu schaffen.
Hierfür wurde ein großes Glasgefäß (im Folgenden als Bottich bezeichnet) ausgewählt,
für welches eine eindeutige Trennung von Hals und Körper vorgenommen werden kann.
Darüber hinaus besitzt es ein deutlich größeres Körpervolumen im Vergleich zu dem
Halsvolumen.
3.2 Gräteliste
Gerät
Mikrofon
Oszilloskop
Flowmeter
DMM
Thermoelement
Funktionsgenerator
Kältespray
Waage
Olivenölflasche
Weinflasche
Messbecher
Schieblehre
Glasgefäß
Tabelle 3.1: Geräteliste
Bezeichnung
Leybold Universalmikrofon
Tektronics TDS 1001 B
Vögtlin Typ V200
PeakTech 3335 DDM NO. 08095221 Bj 10/2008
Chromel +, Alumel Hameg HM8030-6
75 Super, CRC Industries Deutschland
KERN und Sohn GmbH, KB10000-1
Casa Morando
Riesling, 2011, trocken, J. Hettinger
Schott Mainz, Janaer Glas
Holex
In den Abbildugen 3.1 und 3.2 sind die verwendeten Geräte sowie Resonatoren dargestellt, eine Geräteliste ist in Tabelle 3.1 wiedergegeben.
14
(a) DMM
(b) Oszilloskop
(c) Messbecher
(d) Flowmeter
Abbildung 3.1: Verwendete Geräte
15
(a) Weinflasche
(b) Olivenöl
(c) Bottich
Abbildung 3.2: Verwendete Resonatoren
16
3.3 Versuchsaufbau
Der zu untersuchende Körper wird mit Hilfe einer Klemme so befestigt, dass er vom
Boden abgehoben werden kann. Über einen Schlauch wird Druckluft auf die Öffnung
des zu untersuchenden Körper geleitet. Zur Messung der Fließgeschwindigkeit wird in
den Verlauf des Schlauchs ein Flowmeter (Druckluftmesser) integriert. Das Schlauchende
wird mit einer Düse ausgestattet. Die Düse im Bezug zum Flaschenhals ist so zu justieren,
dass bei eingeschalteter Druckluft ein hörbarer Ton entsteht. Das Stabmikrofon sollte
dazu mittig über dem Hals des Körpers angebracht sein. Anschließend wird das Mikrofon
an ein Oszilloskop angeschlossen. Abbildung 3.3 zeigt den Aufbau schematisch für den
Versuch mit der Weinflasche.
Abbildung 3.3: Aufbau (hier: mit Weinflasche)
17
3.4 Versuchsdurchführung
Der Druckluftstrahl wird so auf die Flaschenöffnung ausgerichtet, dass ein hörbarer
Ton entsteht. Der Wert des Flowmeters wird abgelesen und für den gesamten Versuch
nicht mehr verändert. Über das Mikrophon wird der entstehende Schalldruck aufgenommen und mittels des Oszilloskops dargestellt. An dem Oszilloskop ist über die Funktion
Math“ eine FFT, mit Fensterfunktion Hanning, einstellbar mit deren Hilfe die Reso”
nanzfrequenz ermittelt wird. Dort kann der Resonanzpeak direkt abgelesen werden, da
die Frequenz im unteren rechten Eck angezeigt wird. Für die Messung der Obertöne
wird die Curserfunktion verwendet, wobei hier anzumerken ist, dass dadurch eine eingeschränkte Genauigkeit bei diesen Messungen vorliegt, die abhängig vom gewählten
Frequenzberech pro Division ist. Es ist bei jeder Messung darauf zu achten, dass auch
das analoge Mikrofonsignal im Zeitbild zu beachten ist, da an dieser ein Übersteuern
bzw. ein Clipping“ (Abschneiden von Ausschlägen, die über den Eingangsbereich hin”
aus gehen) bemerkbar wird. Solch ein Clipping“ führt zu deutlich sichtbaren Obertönten
”
im Frequenzspektrum, welche die Bestimmung der Resonanzfrequenz erschweren.
3.5 Untersuchte Parameter
ˆ Düsenform
ˆ Fließgeschwindigkeit
ˆ Resonanzverhalten des Mikrofons
ˆ Abstand Mikrofon zur Flaschenöffnung
ˆ Lage des Schlauchs: Anströmwinkel & Zielpunkt der Strömung
ˆ Lufttemperatur am Ort
ˆ Bodenkontakt
ˆ Volumen der untersuchten Gefäße
ˆ Genauigkeit des Oszilloskopes
,
3.5.1 Düsenform
Zu Beginn wurde die Abhängigkeit des Signals von der verwendeten Düse untersucht.
Dazu standen eine Kupferdüse, eine Cassy-Düse und das Schlauchende zur Wahl, zu
betrachten in Abbildung 3.4.
Messung und Fazit:
Unter ansonsten gleichen Versuchsbedingungen wurde jede Düse so ausgerichtet, dass ein
18
möglichst lauter Ton auftrat. Als Ergebnis der Messung wurde jeweils ein Bild von der
Sinuswelle sowie des Frequenzspektrums gemacht. In Abb. 3.5 erkennt man den Vergleich
der drei Düsen, wobei zunächst die Kupferdüse, dann die Cassy-Düse und zum Schluss
das Schlauchende dargestellt ist. Aufgrung des großen Rauschens bei dem Schlauchende
und der Cassy-Düse wurde sich für die Kupferdüse entschieden, da hiermit das beste
Signal-Rausch-Verhältnis erreicht werden konnte. Zu bemerken ist ebenfalls, dass bei
dem Schlauchende und der Kupferdüse das Flowmeter einen Wert von 82 au ± 3 au
anzeigte, bei der Cassy-Düse aber nur ein Wert von maximal 25 au ± 3 au erreicht
werden konnte, da sonst das Rauschen das eigentliche Signal überlagerte. Die Variation
der Form der Düse zeigte keinen Einfluss auf die Resonanzfrequenz.
Abbildung 3.4: Kupferdüse, Cassy-Düse und Schlauchende
19
(a) Sinussignal Kupferdüse
(b) Frequenzspektrum Kupferdüse
(c) Sinussignal Cassy-Düse
(d) Frequenzspektrum Cassy-Düse
(e) Sinussignal Schlauchende
(f) Frequenzspektrum Schlauchende
Abbildung 3.5: Vergleich der Signale verschiedener Düsen
20
3.5.2 Fließgeschwindigkeit
Um reproduzierbare Ergebnisse zu liefern, wurde ein Flowmeter über Schläuche direkt
mit der Druckluftquelle verbunden. Es ist zwar eine Skala auf dem Messgerät zu erkennen, jedoch keine Maßeinheit dazu angegeben, weshalb der Durchfluss jeweils in arbitrary
units angegeben wird. Das Signa wurdel zu verschiedenen Durchflusswerten betrachtet.
Dabei konnte festgestellt werden, dass selbst bei kleinen Durchflusswerten von 25 au
ein Resonanzpeak messbar war, das ganze Signal aber extrem anfällig auf Störgeräusche
war, da der Ton sehr leise war. Ebenfalls konnte festgestellt werden, dass bei zu hohem Durchfluss ab 100 au das Rauschen das eigentliche Signal dominierte. Ab einem
Durchfluss von 120 au änderte sich der angeregte Ton zu einem lauten, höherfrequenten Ton, als die eigentliche Resonanzfrequnez, sodass dieser Bereich für die Messung
gemieden wurde. Ein guter Kompromiss lies sich bei 85 au finden, sodass dieser Wert
für die weiteren Versuche gewählt wurde. Ein weiterer Einfluss des Durchflusses auf die
Resonanzfrequnez konnte nicht festgestellt werden.
3.5.3 Lage des Schlauchs
Eine eindeutig einzustellende Schlauchposition für die Düse zu finden war nicht möglich. Es war festzustellen, dass jeder Körper eine andere Einstellung braucht. Da dieser
Bereich sehr klein ist, wurde die Position der Düse so gewählen, dass ein deutlich hörbarer Ton mit möglichst wenig Rauschen entsteht. Eine Variation des Anstrahlwinkels
führte lediglich zu einer Verringerung der Signalamplitude, im Extremfall sogar zum
Verschwinden der Resonanz, jedoch nicht zu einer Frequnezänderung.
3.5.4 Resonazverhalten des Mikrofons
Zur Sicherstellung der Messergebnisse wurde das Resonanzverhalten des Mikrofons aus
dem Datenblatt entnommen, um ausschließen zu können, dass die gemessenen Frequenzen nicht durch Eigenschwingungen im Mikrofon selbst ausgelöst werden. Für einen
Frequenzbereich von 30 Hz bis 20 kHz ist das Mikrofon laut Herstellerangabe geeignet,
sodass bei diesem Versuch keine Resonanzeffekte des Mikrofons zu erwarten sind.
3.5.5 Abstand Mikrofon zur Flaschenöffnung
Nun wurde die Abhängigkeit des Signals vom Abstand zwischen Flaschenöffnung und
Mikrofon betrachtet. Dazu wurde das Mirkofon mittig über der Flaschenöffnung justiert
und der Abstand variiert.
Messung und Fazit:
Es wurden fünf Messungen durchgeführt mit jeweils steigendem Abstand zur Flaschenöffnung. Wie in der Abbildung 3.6 und zu erkennen ist, nimmt die Amplitude mit steigendem Abstand ab. Umgekehrt konnte festgestellt werden, dass das Rauschen größer
wird, je näher sich das Mikrofon an der Düse befindet. Zu erklären ist dies dadurch,
dass das Rauschen auch lauter wahrzunehmen ist. Bestätigt wurde dies durch die eigene
21
Wahrnehmung, dass das Rauschen lauter wird, je näher sich das Ohr dem Flaschenhals
nähert. Es konnte aber kein Einfluss auf die zu untersuchenden Frequenzen festgestellt
werden, sofern der Abstand nicht so groß gewählt wird, dass das Mikrofon den Ton nicht
mehr eindeutig empfängt oder zu nah an der Flaschenöffnung ist und damit den Luftstrom stört und so kein Ton mehr messbar ist. Allerdings sind bei größerem Abstand die
Störungen durch eine gewisse Lautstärke im Raum teilweise deutlicher zu sehen als das
zu messende Signal. Daher wurde als Kompromiss ein Abstand von R = 40 mm ± 2 mm
gewählt.
22
(a) Amplitude bei R = 15 mm ± 2 mm
(b) Amplitude bei R = 26 mm ± 2 mm
(c) Amplitude bei R = 34 mm ± 2 mm
(d) Amplitude bei R = 45 mm ± 2 mm
(e) Amplitude bei R = 57 mm ± 2 mm
Abbildung 3.6: Amplitudenverlauf
Mikrofonabstandes
des
Eingangssignals
23
in
Abhängigkeit
des
3.5.6 Lufttemperatur am Ort
Da in die Berechnung der Resonanzfrequenz die Schallgeschwindigkeit eingeht, welche
proportional zur Temperatur ist, war es wichtig, bei jeder Messung die Temperatur
innerhalb der Flasche zu messen. Dazu wird ein DMM mit Temperaturfühler genutzt.
3.5.7 Bodenkontakt
Da eines der verwendeten Gefäße aufgrund seines Gewichts nicht an einer Aufhängung
befestigt werden konnte, wurde überprüft, ob es einen Einfluss auf die Resonanzfrequenz
hat, wenn das Gefäß den Boden berührt. Die Untersuchung wurde mit der Weinflasche
durchgeführt. In Abbildung 3.7 sind die Resonanzfrequnzen für die Flasche, wenn sie in
einer Aufhängung befestigt ist und wenn diese am Boden steht, dargestellt. Die Resonanzfrequenzen werden in Abbildung 3.7 jeweils in der Ecke unten rechts angezeigt und
unterscheiden sich kaum innerhalb der Fehlertoleranz, da der angezeigte Wert um ca.
0.4 Hz schwankte. Als Ergebnis bleibt festzuhalten, dass Bodenkontakt keinen Einfluss
auf die Resonanzfrequenz eines Gefäßes hat.
(a) Gefäß in der Luft
(b) Gefäß am Boden
Abbildung 3.7: Vergleich Frequenzspektrum Gefäß in der Luft und am Boden
3.5.8 Volumen der untersuchten Gefäße
Um eine möglichst genaue Untersuchung der Volumen der verschiedenen Gefäße zu erreichen, wurde das Volumen über die Masse von Wasser bestimmt. Hierbei bezieht sich
die Messung auf das Volumen ohne Gefäßhals. Dabei wurde ausgenutzt, dass die Dichte
von Wasser bei Raumtemperatur (21°C) ρ = 0.99799g · cm−3 beträgt und somit 100
ml 99.799 g wiegen. Hierbei müssen gegebene Schwankungen der Raumtemperatur anhand einer Fehlerrechnung berücksichtigt werden. Die so bestimmten Volumina für die
einzelnen Gefäße sind in Tabelle 3.2 ersichtlich.
24
Gefäß
Weinflasche
Olivenöl
Bottich
Volumen
1007.97 ml ± 0.21 ml
768.45 ml ± 0.16 ml
9239.89 ml ± 1.94 ml
Tabelle 3.2: Volumina der einzelnen Gefäße
3.5.9 Genauigkeit des Oszilloskops
Um einen systematischen Fehler bei dem Ablesen der Resonanzfrequenz auszuschließen,
wurde ein Frequenzgenerator mit einer eingestellten Frequenz von 100 Hz an das Oszilloskop angeschlossen und die FFT dargestellt. Dabei konnte festgehalten werden, dass
das Oszilloskop exakt die Frequenz anzeigte, die auch am Frequenzgenerator eingestellt
war. Daher ist nur von einem sehr kleinen Fehler auszugehen, der bei der Umrechnung
des Signals in das Frequenzspektrum auftreten kann.
25
4 Messungen
4.1 Riesling Weinflasche
4.1.1 Versuchsdurchführung
Der Aufbau und die Durchführung werden wie in Kapitel 3.4 beschrieben durchgeführt.
Dabei sind folgende Anpassungen vorzunehmen: Zunächst wird die Riesling Weinflasche
schrittweise mit Wasser gefüllt; dies erfolgt in je 30 ml Schritten pro Füllung. Die jeweils
zugegebene Wassermenge wird hierbei mit dem Glaszylinder (Skala in 2 ml Schritten)
abgemessen. Vor jeder Füllung ist die Resonanzfrequenz zu messen. Außerdem werden
die Abmessungen der Weinflasche sowie die Temperatur während der Messung bestimmt.
4.1.2 Messung
Die Messung der Resonanzfrequenz zeigt zusätzlich zwei messbare Obertöne auf (vgl.
Abbildung 4.1). Diese sind in der theoretischen Vorüberlegung nicht vorgesehen, da ein
schwingendes Federpendel nur eine einzige Eigenfrequenz haben kann. Ebenso kann nach
3.5.9 ausgeschlossen werden, dass diese Obertöne durch eine fehlerhafte Messung mit dem
Oszilloskop entstehen.
Die Amplitude der Obertöne nimmt allerdings mit wachsendem Füllvolumen innerhalb
der Flasche stark ab. So kann der zweite Oberton nur bis zu einem Füllstand von 374ml±
2ml beobachtet werden. Der erste Oberton kann hingegen bis zu einem Füllvolumen von
837ml ± 2ml beobachtet werden. Für jeweils höhere Füllstände ist der Resonanzpeak
der Obertöne nicht mehr vom Rauschen zu unterscheiden (siehe Abbildungen 4.2(a) und
4.2(b)).
Gut zu erkennen ist, dass zum Ende der Messung hin der Resonanzpeak breiter wird
(vgl. Abbildung 4.2(c)) und mit dem Oszilloskop so keine genaue Angabe der Resonanzfrequenz möglich ist. Hier wird mit der Cursorfunktion ein mittlerer Wert von
260Hz ± 5Hz für den breiten Peak abgelesen, wodurch dieser mit einem deutlich größeren Fehler versehen ist. Gleichzeitig ist zu beobachten, dass ab diesem Füllstand der
Übergang zwischen Flaschenbauch und Flaschenhals erreicht ist, d.h. die weiteren Messungen würden in einem Bereich erfolgen, der nicht genau eingeordnet werden kann.
Deshlab wird die Messung an dieser Stelle beendet.
26
Abbildung 4.1: Messung der Resonanzfrequenzen bei der Riesling Weinflasche
Des Weiteren wird das Füllvolumen der Flasche, der Fluss der Druckluft, die Umgebungstempertur, der Raidus der Flaschenöffnung sowie die Halslänge der Flasche vermessen. Dabei werden folgende Werte ermittelt:
- V0 = 1007.97ml ± 0.21ml
- F = 83.5au ± 3.0au
- T = 24°C ± 2°C
- RH = 9, 5mm ± 1, 5mm
- lH = 75mm ± 10mm
- D = 42mm ± 2mm
Die Längenmessungen werden mit einer Schieblehre durchgeführt, deren Ablesegenauigkeit mit 0.1mm angegeben ist. Ausschlaggebend für die viel größeren Fehler sind die
systematischen Ungenauigkeiten beim Messen: der Flaschenhals ist kein exakter Zylinder, weshalb Anfang bzw. Ende diese Halses nur abgeschätzt werden können. Ebenso ist
beim Messen des Durchmessers der Flaschenöffnung die Wahl der Halshöhe entscheidend,
27
da der Durchmesser hier leicht mit der Höhe variiert. Beim Messen des Abstandes zwischen Flaschenöffnung und Mikrofon besteht die Schwierigkeit darin, genau mittig über
der Flasche den Abstand zu bestimmen, daher ensteht hier eine geringe Abweichung.
28
(a) Messung bei einem Füllstand von 32ml ± 2ml
(b) Messung bei einem Füllstand von 437ml ± 2ml
(c) Messung bei einem Füllstand von 898ml ± 2ml
Abbildung 4.2: Fourierspektrum der Frequenzmessungl
29
4.2 Olivenölflasche
In diesem Versuchsteil wird eine weitere Glasflasche als Resonanzkörper untersucht. Diesesmal wird eine Olivenölflasche verwendet, deren Flaschenbauch eine rechteckige Grundstruktur hat.
Die Durchführung erfolgt bei der Olivenölflasche analog zur Riesling-Weinflasche. Zunächst wird der Füllstand innerhalb der Olivenölflasche schrittweise um 30ml ± 2ml
erhöht. Dabei wird jedesmal die durch die Druckluft erzeugte Resonanzfrequenz gemessen (siehe Abbildung 4.3. Im Gegensatz zur Riesling Weinflasche kann hierbei der erste
Oberton über die gesamte Messung lang beobachtet werden.
Abbildung 4.3: Messung der Resonanzfrequenzen für verschiedene Füllstanände bei der
Olivenölflasche
Für die charakteristischen Parameter ergeben sich die folgenden Werte:
- V0 = 768.45ml ± 0.16ml
- F = 85.0au ± 3.0au
- T = 25°C ± 2°C
- RH = 10.2mm ± 1.5mm
- lH = 53mm ± 2mm
- D = 35mm ± 2mm
30
4.3 Bottich
4.3.1 Versuchsdurchführung
In diesem Versuchsteil wird der Bottich auf seine Resonanzfrequenzen untersucht. Aufgrund der Größe des Bottichs wurde hier Wasser in 250 ml Schritten eingefüllt und die
Resonanzfrequenz entsprechend, nach Wassereinfüllung, gemessen. Des Weiteren werden die geometrischen Größen des Bottichs sowie die Temperatur am Ort der Messung
festgehalten.
4.3.2 Messung
Für den Vergleich mit der Theorie wurden zunächst die benötigten Größen untersucht.
Bei der Wassertemperatur ergab sich ein Wert von T = 21 °C ± 1 °C, wobei eine Dichte
kg
kg
von ρ = 997.77 m
3 ±0.21 m3 angenommen wurde. Dieses Gefäß besitzt an seiner Unterseite
eine Öffnung, welche mit Panzertape verschlossen wurde und als zusätzliches Volumen
für die Schwingung mit berechnet wurde.
- V0 = 9239.89 ml ± 1.94 ml
- F = 85 au ± 3 au
- T = 24 °C ± 1 °C
- RH = 22.4 mm ± 1 mm
- lH = 65 mm ± 3 mm
- D = 13 cm ± 0.5 cm
Bei der Ermittlung des Volumens des Gefäßes wurde so vorgegangen, dass bei jeder Messung das Gewicht der eingefüllten Wassermenge notiert und anschließend unter Ansatz
der Dichte bei der entsprechenden Temperatur das Volumen in ml berechnet worden ist.
Der Ablesefehler der Frequnez ist als sehr gering zu betrachten, da der Test mit dem
Oszilliskop eine sehr genaue Anzeige bestätigte. Durch geringere Schwankungen in der
Resonanzfrequnez wurde dieser auf ± 0.4 Hz abgeschätzt. In Abbildung 4.4 erkennt man
die Messung. Die Bilder zur Messung sind im Anhang ab Abbildung 8.18 sowie Tabelle
8.3 der Messwerte zu finden.
Bei der Messung sind einige Dinge besonders aufgefallen. Es konnte festgestellt werden,
dass ab einem Füllstand von ca. 6000 ml eine Korrektur der Düse vorgenommen werden musste, da es sich zusätzliche Schwingungen in dem Gefäß ausbildeten und zu einer
Schwebung führten, welche in Abb 4.5 ersichtlich ist. Deutlich erkennt man auch die
Verbreiterung des Resonanzpeaks im Vergleich zu einer Messung ohne Schwebung, die
in Abb. 4.6 zu sehen ist.
31
Abbildung 4.4: Messung Bottich
(a) Sinusschwebung
(b) Schwebung Frequnezspektrum
Abbildung 4.5: Beobachtung einer Schwebung bei zunehmendem Füllstand
(a) Sinus ohne Schwebung
(b) Frequenzspektrum ohne Schwebung
Abbildung 4.6: Messung ohne Schwebung
32
Durch die Schwebung war eine größere Schwankung in der gemessenen Resonanzfrequenz
zu erkennen sowie zu hören, was die Differenz in Abbildung 4.5 erklärt. Eine Korrektur
war ab diesem Wert für jede weitere Messung notwendig, da bei größeren Füllständen
der Ton sogar ganz verschwand und die Resonanz nur erreicht werden konnte, wenn die
Düse näher am Hals des Gefäßes befestigt wurde. Bei der Messung zu einem Füllstand
von 7883.59 ml ± 3 ml musste die Düse so justiert werden, dass sich diese schon innerhalb
des Halses befand. Außerdem konnte im Verlauf der Messung festgestellt werden, dass
sich das zur Abdichtung der unteren Öffnung verwendete Panzertape leicht löste und so
tröpfchenweise Wasser austrat. Dieser Verlust des Füllstandes kann jedoch durch seine
geringe Größe vernachlässigt werden. Außerdem konnte aufgrund der GEsamtfüllstnadsmessung am Ende festgestellt werden, dass beabsichtigten 250 ml nur etwa 246.35 ml ±
1.34 ml eingefüllt wurden. Dieser Fehler ist durch optische Effekte am Messzylinder zu
erklären.
33
5 Auswertung
Im Folgenden wird lediglich die gemessene Resonanzfrequenz mit der Theorie verglichen,
da die Berücksichtigung der Obertöne keine weiteren Erkenntnisse liefert.
Die Berechnung der Resonanzfrequenz erfolgt dabei nach Formel 2.19. Dabei kann der
Fehler gemäß der Fehlerfortpflanzung (vgl. 5.2) angegeben werden.
s
s
2
2
πrH
c
∆rH
V0 leff
2πrH V0 leff
s
s
2 2 0.5
2
2
πrH
πrH
c
c
+ −
∆V0 + −
∆leff
4πV0 V0 leff
4πleff V0 leff
δf =
1
2π
2
πrH
2 ∆c +
(5.1)
(5.2)
5.1 Riesling Weinflasche
Berechnet man theoretisch die zu erwartende Resonanzfrequenz und berücksichtigt dabei
die Korrektur der Halslänge, so erhält man folgende Grafik (siehe Abbildung 5.1). Als
Korrektur wurde dabei kC = 0, 2 verwendet, was auf eine korrigierte Halslänge von
lH,ef f = 0, 0788m ± 0, 0004m führt. Der Wert von kC wurde hierbei durch Ausprobieren
ermittelt, da die in Tabelle 2.1 angegebenen Werte keinen sinnvollen Fit ermöglichen.
Dazu wird schrittweise kC von 1, 0 auf 0, 1 reduziert. Dabei ist zu beobachten, dass nur
für kC = 0, 2 Überschneidungen mit den Messwerten auftreten. Bei anderen Werten
liegt die theoretische Vorhersage teilweise unterhalb und oberhalb der Messung ohne
Übereinstimmungen zu liefern.
Gut zu erkennen ist, dass die Messung mit den theoretischen Überlegungen zunächst
gut übereinstimmt; sowohl mit der korrigierten als auch ohne die korriegierte Halslänge.
Die ersten größeren Abweichungen treten zum Ende der Messung auf. Hier fällt bereits
bei der Messung auf, dass die Resonanzpeaks nicht mehr genau bestimmt werden können.
Ebenso befindet man sich hier im Bereich wo Flaschenhals und Flaschenbauch nicht klar
voneinander zu trennen sind. Gleichzeitig nimmt der Fehler der theoretischen Werte zum
Ende der Messung hin stark zu. Die letzten Messwerte liegen damit bereits nicht mehr
im Fehler der theoretischen Erwartung.
Dies deutet darauf hin, dass die theoretische Beschreibung lediglich für den Flaschenbauch zuverlässige Vorhersagen liefert, da für große Füllstände die theoretische
Erwartung einer unendlichen Resonanzfrequenz entgegenstrebt (zu beachten ist hier,
dass durch das nutzbare Volumen innerhalb des Resonanzkörpers geteilt wird und dieses
gegen Null strebt). Dies deckt sich mit der bereits in Kapitel 2.1.2 erwähnten Einschränkung für die Berechnung des Korrekturterms, die besagte, dass das Volumen des Körpers
34
Abbildung 5.1: Vergleich der gemessenen Resonanzfrequenz mit der theoretisch
Berechneten
groß sein muss im Vergleich zum Volumen des Halses; dies ist bei der Weinflasche nur
bedingt erfüllt und trifft insbesondere für hohe Füllstände nicht mehr zu.
Zusammengefasst liefert die Weinflasche zwei Beobachtungen, die in der Theorie nicht
beschrieben werde können: es werden Obertöne beobachtet und der Korrekturwert kC =
0, 2 liegt außerhalb des theoretisch erwarteten Bereiches.
35
5.2 Olivenölflasche
Durch ihre rechteckige Form weist die Olivenölflasche schon einen wesentlich deutlicheren
Übergang zwischen Flaschenbauch und Flaschenhals auf.
Der Vergleich zwischen der theoretischen Erwartung und der Messung zur Olivenölflasche zeigt ein ähnliches Bild, wie bei der Weinflasche (siehe Abbildung 5.2. Hier wird
allerdings der Wert kC = 0, 6 aus Tabelle 2.1 verwendet, um die korrigierte Halslänge
lH, eff = 0, 065m zu berechnen.
Abbildung 5.2: Vergleich von gemessener und berechneter Resonanzfrequenz
Auch hier liegen die theoretischen Werte mit Korrektur und die gemessenen Werte
zunächst nahezu übereinander, wohingegen die Theorie ohne Korrektur weit oberhalb der
Messung liegt. Für höhere Füllstände weichen die theoretisch erwarteten Werte erneut
stark ab und liefern gegenüber der Messung höhere Frequenzen. Ebenso liegen die letzten
Messwerte erneut außerhalb des Fehlerintervalls der theoretische Berechneten.
Der letzte gemessene Wert bei der Ölflasche weicht um 37Hz von der theoretischen
Erwartung ab. Hingegen liegt bei der Weinflasche für den letzten Wert bereits eine
Differenz von 54Hz vor. Dies deutet darauf hin, dass die Ölflasche mit ihrem definierteren
Übergang bereits ein wenig besser durch die Theorie beschrieben werden kann.
Ein weiterer Versuch muss nun zeigen, ob die Obertöne nur durch den nicht genau
definierten Übergang zu stande kommen, da dieses Problem auch bei der Ölflasche noch
nicht vollständig behoben werden kann.
36
5.3 Bottich
Um die effektive Halslänge zu bestimmen wurde Gebrauch von Gleichung 2.15 gemacht,
wobei ein Korrekturfaktor von 0.82 verwendet worden ist und somit zu folgender Halslänge führte: lH,ef f = 101.736 mm ± 3.16 mm. Für die Schallgeschwindigkeit wurde,
nach Ermittlung der Temperatur, folgender Wert ermittelt: c = 345.84 ms ± 0.58 ms . Betrachtet man in Abbildung 5.3 die Messung vergleichend mit den theoretisch berechneten
Werten ohne Korrektur, so fällt erneut auf, dass die theoretischen Werte stets größere
Frequenzen liefern und gegen große Füllstände divergieren. Dies ist auch hier damit zu
erklären, dass zum einen der Nenner nach Gleichung 2.14 bei steigenden Füllständen gegen 0 geht und das theoretische Modell an seine Grenzen stößt sowie eine End-Korrektur
der Resonatorlänge außer Acht gelassen worden ist. Diese Korrektur ist jedoch essentiell,
da der Hals des Gefäßes einen beidseitig offenen Resonator bildet und die dabei entstehende stehende Welle etwas über beide Enden des Halses hinausragt, womit sich effektiv
eine größere Resonatorlänge ergibt. Rechnet man diese Korrektur unter Verwendung von
lH,ef f mit in die Theorie ein, so erkennt man in Abbildung 5.3 eine Übereinstimmung
der Werte innerhalb eines Fehlerintervalls. Auch hierbei wird die Abweichung für größere
Füllstände größer, was damit zu erklären ist, dass der Nenner für große Füllstände gegen
0 geht weiterhin bestehen bleibt. Außerdem bleibt zu erwähnen, dass der Radius, sowie
die Resonatorlänge einen sehr großen Einfluss auf die berechneten Frequenzen haben
und sich somit schon kleinere Messungenauigkeiten auf eine Differenz zwischen Messung
und Theorie von 1 bis 2 Hz auswirken können. Bei der Messung der Resonatorhalslänge
wurde der Fehler etwas größer abgeschätzt, da eine exakte Definition wo der Hals beginnt
und wo er aufhört nicht gegeben war und sich so auf ein mittlerenen Wert geeinigt wurde.
Für den Bottich stellte dabei die Messung der Halsöffnung ein gesondertes Problem dar,
da dort eine Vergrößerung der Glasdicke an der Flaschenöffnung vorlag und die Messung
behinderte.
Das Ereignis, dass sich bei steigendem Füllstand eine stärkere Abhängigkeit von der Düsenposition ergab, um eine klare Resonanz zu erzeugen, legt die Hypothese nahe, dass es
eine gesonderte Abhängigkeit geben muss, die quantitativ nicht bestimmt werden konnte. Qualitativ lässt sich jedoch festhalten, dass bei steigendem Füllstand die Düse näher
an die Halsöffnung, bzw. bei hohen Füllständen in diese eingeführt werden musste um
einen Ton zu erhalten. Justiert man die Düse nicht neu, so traten Effekte wie Schwebung
oder das Verschwinden des Tons auf. Dies lässt darauf schließen, dass mit unveränderter Düsenposition, bei steigendem Füllstand, keine Schwingung für eine klare Resonanz
angeregt werden kann.
37
Abbildung 5.3: Vergleich der gemessenen und berechneten Resonanzfrequnenz in Abhängigkeit der Füllhöhe
38
6 Variation der Mediumsdichte
6.1 Ziel des Versuchsteils
In diesem Versuchsteil soll es darum gehen, den Einfluss der Dichte des schwingenden
Mediums im Resonator auf die Resonanzfrequenz zu untersuchen. Eine Abhängigkeit ist
zu erwarten, da sich mit variierender Dichte die Schallgeschwindigkeit ändert. Es ist jedoch Vorsicht geboten, andere Parameter, insbesondere die Temperatur, beim Einleiten
des Mediums konstant zu halten. Ist die Resonanzfrequenz des Gefäßes unter einer Luftfüllung bekannt, können bei einer abweichenden Füllung durch die Messung der Frequenz
ggf. Rückschlüsse auf die Dichte des Mediums gezogen werden.
6.2 Durchführung
Bei der Auswahl des Mediums wurde beachtet, dass
ˆ es schwerer als Luft ist, da wir eine von Luft verschiedene Dichte wünschen und
die Substanz zudem nicht zu schnell aus dem Resonator entweichen soll,
ˆ es einfach zu beschaffen und ungefährlich im Umgang ist.
Unsere Wahl fiel auf Kältespray auf der Basis von 1,1,1,2-Tetrafluorethan. Dieses wird als
Kühlmittel im Produkt 75 Super von CRC Industries verwendet und war somit vorrätig.
Es weist im gasförmigen Zustand bei 25◦ C eine Dichte von etwa 3.5 mal der Luftdichte auf. Als Resonator wurde die Riesling-Flasche gewählt. Zunächst wurde mit dieser
eine Resonanzmessung mit Luft durchgeführt, um einen Vergleichswert unter möglichst
gleichen Rahmenbedingungen zu erhalten. Hier wurde der schon im vorigen Versuchsteil
bestimmte Wert von 106 ± 1 Hz bestätigt. Danach wurde die Flasche mit Kältespray
aufgefüllt. Dies geschah nach eigenem Ermessen, da es keine umsetzbare Möglichkeit
gab, gesichert festzustellen, wann die Flasche tatsächlich voll ist. Um diese Unsicherheit
abzumildern, wurde in einer zweiten Messreihe die Reproduzierbarkeit der Messung überprüft. Nach Einfüllen des Mediums und Einführen eines Temperaturfühlers wurde die
Flasche zunächst mit Panzertape abgedichtet. Nach Erreichen der Umgebungstemperatur von 24◦ C wurde das Panzertape und der Temperaturfühler entfernt und die Druckluft
aufgedreht. Die Resonanzfrequenz wurde in der Folge zunächst im 10-Sekunden Takt,
nach 2 Minuten im 60-Sekunden Takt aufgenommen. Die Zeitmessung geschah mit einer
herkömmlichen Stoppuhr, die Resonanzfrequenzmessung wie in den vorangegangenen
Versuchsteilen mithilfe der FFT-Anzeige des Oszilloskops. Auf diese Weise kann in den
Messdaten das allmähliche Entweichen des Kältesprays aus der Flasche beziehungsweise
39
die daraus resultierende Änderung der Resonanzfrequenz beobachtet werden. Auf ein
Befüllen der Flasche (mit Wasser) wurde in dieser Messung verzichtet.
6.3 Messung
Bei der Messung fiel auf, dass in den ersten 20 Sekunden keine realistischen Werte gemessen werden konnten, das heißt die Resonanzfrequenz lag zeitweise in Bereichen mehrerer
hundert Hertz und schwankte zudem um etwa 100 Hz. Danach stellte sich bei beiden
Messreihen eine Frequenz von ca. 90 Hz ein, die mit der Zeit immer langsamer anwuchs
(vgl. Abbildung 6.2). Abbildung 6.1 zeigt, dass die Frequenz bei der Messung mit Kältespray wie bei Luft einen wohldefinierten Resonanzpeak aufweist. Das Rauschen ist in
beiden Fällen etwa gleich.
(a) Luft
(b) Tetrafluorethan bei t = 600 sec
Abbildung 6.1: Vergleich des Frequenzspektrums: Luft und Tetrafluorethan
40
(a) Messreihe 1
(b) Messreihe 2
Abbildung 6.2: Änderung der Resonanzfrequenz mit der Zeit
Zu den Rahmenbedingungen sind folgende Werte festzuhalten:
ˆ TUmgebung = 24 ± 2◦ C
kg
◦
ˆ ρTetra = 4.25 m
3 bei 25 C
kg
◦
ˆ ρLuft = 1.204 m
3 bei 25 C
ˆ κTetra = 1.13
41
ˆ κLuft = 1.402
ˆ p0 = 996.34 hpa (Atmosphärendruck Düsseldorf, Quelle: Deutscher Wetterdienst)
ˆ FDruckluft = 85 ± 3 au
ˆ fVergleichsmessung = 106 ± 1 Hz (Messung mit Luft)
ˆ AH = (2.83 ± 0.89) · 10−4 m2
ˆ lH = (75 ± 10) · 10−3 m
ˆ V0 = (1.00797 ± 0.00021) · 10−3 m3
Der Fehler auf die Resonanzfrequenz ist (die ersten zwei Werte ausgenommen) wie bei
den vorangegangenen Messungen auf leichte Schwankungen der Anzeige zurückzuführen.
Die Zeit wird als fehlerfrei angesetzt. Der Fehler der Temperatur ist auf die beschränkte
Präzision des Thermometers zurückzuführen. Darüberhinaus gelten die bereits für die
Rieslingflasche in Teil 5.1 diskutierten Fehler. Die Isentropenexponenten und Dichten
werden als Literaturwerte fehlerfrei angesetzt, ebenso der Atmosphärendruck.
6.4 Auswertung
Die starken Schwankungen in den ersten 20 Sekunden sind eventuell aufgrund von Verwirbelungen im Mündungsbereich durch ein schnelles Entweichen des Gases im Hals der
Flasche zu erklären. Das langsame Entweichen des Tetrafluorethan in der Folge wird
hier nicht weiter betrachtet, da es für die Berechnung unerheblich ist und nur den bestehenden Zusammenhang illustrieren sollte. Zur Auswertung werden daher nur die sich
deckenden Werte der Resonanzfrequenz bei t = 20 sec herangezogen.
Zunächst sei angenommen, dass die Flasche vollständig mit reinem Tetrafluorethan gefüllt ist. In einem idealen Gas berechnet sich die Schallgeschwindigkeit gemäß Gleichung
2.13. Hieraus und aus Gleichung 2.14 folgt:
f ∝c
(6.1)
q
κ1
ρ1
f1
c1
⇒
=
=q
κ
2
f2
c2
(6.2)
ρ2
Daraus folgt für die Bestimmung der Dichte des Tetrafluorethan:
ρTetra =
2
fLuft
κTetra
ρLuft
2
fTetra κLuft
(6.3)
Da die beiden Messungen unter gleichen Rahmenbedingungen durchgeführt wurden, erübrigt sich so die Betrachtung der restlichen Parameter. Für den Fehler folgt gemäß der
gaußschen Fehlerfortpflanzung:
s
2
−2fLuft
κTetra
2 ( 2fLuft · κTetra ρ
2 + ∆f 2
·
δρTetra = ∆fLuft
)
(
ρLuft )2
(6.4)
Luft
Tetra
2
3
κLuft
fTetra κLuft
fTetra
42
Dann ergibt sich mit fTetra = 90 ± 1 Hz für die Dichte desselben der Wert
ρTetra = 1.35 ± 0.04
kg
m3
Vergleicht man den berechneten Wert mit dem Literaturwert, so fällt eine massive
Abweichung auf. Tatsächlich liegt er nur wenig über dem Wert der Luftdichte. Die Annahme, die Flasche enthalte bei t = 20 sec reines Tetrafluorethan ist also offensichtlich
falsch. Nimmt man nun an, dass, wie oben bereits erwähnt, das Gas im Flaschenhals
in den ersten 20 Sekunden entwichen ist, wird die Proportionalität zwischen Frequenz
und Dichte aufgehoben. In Erinnerung daran, dass es sich beim Helmholtzresonator um
ein Feder-Masse-System handelt, werde im Folgenden zwischen dem Tetrafluorethan im
Bauch der Flasche, welches als federndes Volumen fungiert, und Luft im Hals der Flasche,
welche die schwingende Masse darstellt, unterschieden:
s
kTetra
f = 2πω0 = 2π
(6.5)
mLuft
Dabei ist k = p0 · κTetra · A2H /V0 und m = ρLuft · AH · lH . Damit ergibt sich
fTetra = 94, 3 ± 0.4Hz
Der Fehler errechnet sich gemäß
s
1
V0 ρLuft lH
p0 κTetra 2
p0 κTetra AH 2
2 · ( p0 κTetra AH )2 )
δf =
) + δlH
· (δA2H · (
) + δV02 · ( 2
2
2π p0 κTetra AH
V0 ρLuft lH
V0 ρLuft lH
V0 ρLuft lH
Man sieht nun, dass dieser Wert schon recht nah am gemessenen Wert der Resonanzfrequenz von Tetrafluorethan liegt. Die kleine verbleibende Abweichung ist wohl damit
zu erklären, dass sich im Hals der Flasche vermutlich keine reine Luft bzw. im Bauch der
Flasche nicht unbedingt reines Tetrafluorethan befindet, sondern auch hier eine geringfügige Vermischung aufgetreten ist. Festzuhalten ist, dass mit dieser Methode also nicht
die Dichte des eingeleiteten Gases bestimmt werden kann, da dessen Entweichen aus dem
Flaschenhals beim Anstrahlen mit Druckluft kaum verhindert werden kann, wohl aber
der Isentropenexponent, der ein Maß für die Kompressibilität ist und quadratisch von
der Frequenz abhängt, sofern man die Näherung macht, das der Hals mit Luft und der
Bauch mit dem schwereren Gas gefüllt ist.
43
7 Fazit
Der Versuch hat demonstriert, dass ein so einfach anmutender Untersuchungsgegenstand
wie die Erzeugung von Tönen durch das Anblasen von Hohlkörpern durchaus eine hohe
Komplexität besitzt. Die Resonanzmessung mit den drei gewählten Resonatoren zeigte
zudem eine bemerkenswerte Übereinstimmung von Theorie und Experiment. Dabei ist
aber nicht zu vergessen, dass die verwendeten Korrekturfaktoren empirischer Natur sind.
Andernfalls wäre der komplizierte Einfluss des Halses vermutlich nicht zu berechnen.
Dieser wurde auch in den Messergebnissen bei höheren Füllständen deutlich: Hier wurde
die Abweichung von den theoretischen Werten erheblich größer, da Flaschenhals und
-bauch nicht definiert voneinander zu trennen sind.
Die Dichtemessung zeigte dagegen, dass sich der zu Anfang vermutete quadratische
Zusammenhang zwischen Dichte und Frequenz nicht bestätigt, beziehungsweise die nicht
gerechtfertigte Idealisierung verlangt, die komplette Flasche sei mit dem schwereren Gas
gefüllt. Stattdessen offenbarte sich ein einfacher quadratischer Zusammenhang mit dem
Isentropenexponenten, der auf diese Weise auch bestimmt werden kann.
44
8 Anhang
8.1 Rieslingflasche
Füllst. [ml]
0±0
32,00 ± 1
66 ± 3
96 ± 4
128 ± 5
158 ± 6
188 ± 7
220 ± 8
250 ± 9
281 ± 10
311 ± 11
344 ± 12
374 ± 13
406 ± 14
437 ± 15
469 ± 16
499 ± 17
530 ± 18
560 ± 19
590 ± 20
620 ± 21
650 ± 22
681 ± 23
711 ± 24
741 ± 25
773 ± 26
805 ± 27
837 ± 28
867 ± 29
898 ± 30
Tabelle 8.1: Messwerte Riesling
Res. [Hz]
1. OT [Hz] 2. OT [Hz]
105,4 ± 0.2
210 ± 2
316 ±2
106,8 ± 0.2
214 ± 2
322 ± 2
108,7 ± 0.2
218 ± 2
326 ± 2
110,5 ± 0.2
220 ± 2
332 ± 2
112,5 ± 0.2
224 ± 2
338 ± 2
114,5 ± 0.2
230 ± 2
344 ± 2
116,5 ± 0.2
234 ± 2
350 ± 2
118,6 ± 0.2
238 ± 2
356 ± 2
120,9 ± 0.2
242 ± 2
362 ± 2
123,5 ± 0.2
246 ± 2
370 ± 2
126 ± 0.2
252 ± 2
378 ± 2
129 ± 0.2
258 ± 2
388 ± 2
132 ± 0.2
264 ± 2
396 ± 2
135,2 ± 0.2
270 ± 2
138,8 ± 0.2
278 ± 2
142,5 ± 0.2
284 ± 2
146,5 ± 0.2
292 ± 2
150,9 ± 0.2
302 ± 2
155,5 ± 0.2
311 ± 2
160,5 ± 0.2
322 ± 2
166 ± 0.2
332 ± 2
172,2 ± 0.2
344 ± 2
179,4 ± 0.2
360 ± 2
187,6 ± 0.2
376 ± 2
196,2 ± 0.2
392 ± 2
207,2 ± 0.2
414 ± 2
220 ±0.2
440 ± 5
234,8 ± 0.5
470 ± 5
250 ± 5
260 ± 5
45
Weinflasche
Theorie [Hz]
103,994992 ± 10,2939308
105,68613 ± 10,4613967
107,57657 ± 10,6486053
109,331663 ± 10,8224173
111,301828 ± 11,0175364
113,249014 ± 11,2103887
115,302108 ± 11,4137401
117,620057 ± 11,6433376
119,925136 ± 11,8716746
122,455412 ± 12,122337
125,063099 ± 12,3806887
128,133297 ± 12,6848913
131,129944 ± 12,9818383
134,570171 ± 13,3227829
138,175035 ± 13,6800956
142,217792 ± 14,0808805
146,349127 ± 14,4905279
151,020502 ± 14,9538317
155,99539 ±15,447376
161,496708 ± 15,9933293
167,624369 ± 16,6016929
174,507024 ± 17,2853672
182,592223 ± 18,0890346
191,593133 ± 18,9845093
202,071469 ± 20,0281766
215,392224 ± 21,3571705
231,750299 ± 22,9933008
252,508657 ± 25,0777016
278,082 ± 27,6617964
314,846679 ± 31,4194388
(a) FFT 0ml
(b) FFT 32 ml
(c) FFT 66 ml
(d) FFT 96 ml
(e) FFT 128 ml
(f) FFT 158 ml
Abbildung 8.1: Messung Weinflasche 0 ml bis 158 ml
46
(a) FFT 188ml
(b) FFT 220 ml
(c) FFT 250 ml
(d) FFT 281 ml
(e) FFT 311 ml
(f) FFT 344 ml
Abbildung 8.2: Messung Weinflasche 188 ml bis 344 ml
47
(a) FFT 374ml
(b) FFT 406 ml
(c) FFT 437 ml
(d) FFT 469 ml
(e) FFT 499 ml
(f) FFT 530 ml
Abbildung 8.3: Messung Weinflasche 374 ml bis 530 ml
48
(a) FFT 560ml
(b) FFT 590 ml
(c) FFT 620 ml
(d) FFT 650 ml
(e) FFT 681 ml
(f) FFT 711 ml
Abbildung 8.4: Messung Weinflasche 560 ml bis 711 ml
49
(a) FFT 741ml
(b) FFT 773 ml
(c) FFT 805 ml
Abbildung 8.5: Messung Weinflasche 741 ml bis 805 ml
8.2 Ölflasche
50
Füllstand [ml]
0±0
30 ± 1
60 ± 1
90 ± 1
120 ± 1
150 ± 1
180 ± 1
210 ± 1
240 ± 1
270 ± 1
300 ± 1
330 ± 1
360 ± 1
390 ± 1
420 ± 1
450 ± 1
480 ± 1
510 ± 1
540 ± 1
570 ± 1
600 ± 1
630 ± 1
Resonanz
143 ± 2
145 ±2
148 ±2
152 ± 2
155 ± 2
159 ± 2
163 ± 2
167 ± 2
172 ± 2
177 ± 2
182 ± 2
189 ± 2
195 ± 2
203 ± 2
211 ± 2
221 ± 2
231 ± 2
243 ± 2
257 ± 2
274 ± 2
293 ± 2
312 ± 2
1. Oberton [Hz]
285 ± 5
290 ±5
300 ± 5
305 ± 5
315 ± 5
320 ± 5
325 ± 5
335 ± 5
345 ± 5
355 ± 5
365 ± 5
380 ± 5
390 ± 5
405 ± 5
425 ± 5
440 ± 5
465 ± 5
485 ± 5
515 ± 5
550 ± 5
585 ± 5
630 ± 5
Theorie [Hz]
139,771125 ± 6,42363406
142,653307 ± 6,55505638
145,721472 ± 6,69488633
148,99652 ± 6,84405996
152,5028 ± 7,00366597
156,268869 ± 7,17497927
160,328477 ± 7,35950397
164,721851 ± 7,55902927
169,497386 ± 7,77570283
174,713907 ± 8,01212866
180,443747 ± 8,27149981
186,777023 ± 8,55778131
193,827677 ± 8,87596783
201,742242 ± 9,23245463
210,7129 ± 9,63558592
220,997554 ± 10,0964904
232,951876 ± 10,6304
247,082776 ± 11,2588204
264,142599 ± 12,013289
285,306615 ± 12,9422997
312,537738 ± 14,1251075
349,427813 ± 15,7022426
Tabelle 8.2: Messwerte Ölflasche
51
(a) FFT 0ml
(b) FFT 30 ml
(c) FFT 60 ml
(d) FFT 90 ml
(e) FFT 120 ml
(f) FFT 150 ml
Abbildung 8.6: Messung Ölflasche 0 ml bis 150 ml
52
(a) FFT 180ml
(b) FFT 210 ml
(c) FFT 240 ml
(d) FFT 270 ml
(e) FFT 300 ml
(f) FFT 330 ml
Abbildung 8.7: Messung Ölflasche 180 ml bis 330 ml
53
(a) FFT 360ml
(b) FFT 390 ml
(c) FFT 420 ml
(d) FFT 450 ml
(e) FFT 480 ml
(f) FFT 510 ml
Abbildung 8.8: Messung Ölflasche 360 ml bis 510 ml
54
(a) FFT 540 ml
(b) FFT 570 ml
(c) FFT 600 ml
(d) FFT 630 ml
Abbildung 8.9: Messung Ölflasche 540 ml bis 630 ml
55
8.3 Großer Bottich
Messung [Hz]
69,8 ± 0,4
70,8 ± 0,4
71,9 ± 0,4
72,9 ± 0,4
73,7 ± 0,4
75,1 ± 0,4
76,3 ± 0,4
77,5 ± 0,4
78,7 ± 0,4
80,1 ± 0,4
81,6 ± 0,4
83 ± 0,4
84,6 ± 0,4
86 ± 0,4
88 ± 0,4
90 ± 0,4
92,1 ± 0,4
93,9 ± 0,4
96,1 ± 0,4
99 ± 0,4
101,8 ± 0,4
105 ± 0,4
107,3 ± 0,4
111,2 ± 0,4
115,1 ± 0,4
119,2 ± 0,4
124 ± 0,4
131 ± 0,4
137,8 ± 0,4
144,9 ± 0,4
153,6 ± 0,4
166 ± 0,4
182 ± 0,4
199,6 ± 0,4
225,6 ± 0,4
264,3 ± 0,4
338,2 ± 0,4
Theorie [Hz]
89,08 ± 4,48
90,30± 4,54
91,58±4,61
92,92±4,67
94,32±4,74
95,78±4,81
97,31±4,89
98,92±4,97
100,60±5,06
102,38±5,23
104,26 ±5,33
106,24±5,44
108,34 ±5,54
110,58±5,66
112,95±5,79
115,49±5,92
118,20±6,06
121,11±6,22
124,25±6,38
127,65±6,56
131,35±6,76
135,38±6,97
139,81±7,21
144,71±7,47
150,15±7,77
156,27±8,10
163,20±8,47
171,14±8,91
180,36±9,42
191,26±10,02
204,40±10,76
220,69±12,94
241,62±11,71
269,91±12,94
311,23±14,67
380,11±17,37
533,12±22,45
Theorie mit Korrektur[Hz]
71,27±3,63
72,24 ±3,67
73,25±3,72
74,30 ±3,77
75,40±3,83
76,56±3,89
77,76±3,96
79,03±4,02
80,35±4,09
81,75±4,16
83,22±4,23
84,78±4,31
86,43±4,40
88,17±4,48
90,03±4,58
92,01±4,68
94,12±4,79
96,39±4,90
98,83±5,02
101,46±5,16
104,32±5,31
107,44±5,46
110,85±5,64
114,60±5,83
118,77±6,04
123,43±6,28
128,68±6,55
134,67±6,85
141,58±7,20
149,67±7,61
159,33±8,10
171,13±8,70
186,03±9,46
205,64±10,46
233,14±11,86
275,77±14,04
355,77± 18,15
Tabelle 8.3: Messwerte großer Bottich
56
Volumen [ml]
0
246,36 ±1,34
492,72±1,34
739,08±1,34
985,44±1,34
1231,81±1,34
1478,17 ±1,34
1724,53±1,34
1970,89±1,34
2217,25±1,34
2463,62±1,34
2709,98±1,34
2956,34±1,34
3202,70±1,34
3449,07±1,34
3695,43±1,34
3941,79±1,34
4188,15±1,34
4434,51±1,34
4680,88±1,34
4927,24 ±1,34
5173,60±1,34
5419,96±1,34
5666,32±1,34
5912,69±1,34
6159,05±1,34
6405,41±1,34
6651,77±1,34
6898,14±1,34
7144,50±1,34
7390,86±1,34
7637,22±1,34
7883,58±1,34
8129,95±1,34
8376,31±1,34
8622,67±1,34
8869,03±1,34
(a) Sinus 0 ml
(b) FFT 0 ml
(c) Sinus 250 ml
(d) FFT 250 ml
(e) Sinus 500 ml
(f) FFT 500 ml
Abbildung 8.10: Messung großer Bottoch 0 ml bis 500 ml
57
(a) Sinus 750 ml
(b) FFT 750 ml
(c) Sinus 1000 ml
(d) FFT 1000 ml
(e) Sinus 1250 ml
(f) FFT 1250 ml
Abbildung 8.11: Messung großer Bottoch 750 ml bis 1250 ml
58
(a) Sinus 1500 ml
(b) FFT 1500 ml
(c) Sinus 1750 ml
(d) FFT 1750 ml
(e) Sinus 2000 ml
(f) FFT 2000 ml
Abbildung 8.12: Messung großer Bottoch 1500 ml bis 2000 ml
59
(a) Sinus 2250 ml
(b) FFT 2250 ml
(c) Sinus 2500 ml
(d) FFT 2500 ml
(e) Sinus 2750 ml
(f) FFT 2750 ml
Abbildung 8.13: Messung großer Bottoch 2250 ml bis 2750 ml
60
(a) Sinus 3000 ml
(b) FFT 3000 ml
(c) Sinus 3250 ml
(d) FFT 3250 ml
(e) Sinus 3500 ml
(f) FFT 3500 ml
Abbildung 8.14: Messung großer Bottoch 3000 ml bis 3500 ml
61
(a) Sinus 3750 ml
(b) FFT 3750 ml
(c) Sinus 4000 ml
(d) FFT 4000 ml
(e) Sinus 4250 ml
(f) FFT 4250 ml
Abbildung 8.15: Messung großer Bottoch 3750 ml bis 4250 ml
62
(a) Sinus 4500 ml
(b) FFT 4500 ml
(c) Sinus 4750 ml
(d) FFT 4750 ml
(e) Sinus 5000 ml
(f) FFT 5000 ml
Abbildung 8.16: Messung großer Bottoch 4500 ml bis 5000 ml
63
(a) Sinus 5250 ml
(b) FFT 5250 ml
(c) Sinus 5500 ml
(d) FFT 5500 ml
(e) Sinus 5750 ml
(f) FFT 5750 ml
Abbildung 8.17: Messung großer Bottoch 5250 ml bis 5750 ml
64
(a) Sinus 6000 ml
(b) FFT 6000 ml
(c) Sinus 6250 ml
(d) FFT 6250 ml
(e) Sinus 6500 ml
(f) FFT 6500 ml
Abbildung 8.18: Messung großer Bottoch 6000 ml bis 6500 ml
65
(a) Sinus 6750 ml
(b) FFT 6750 ml
(c) Sinus 7000 ml
(d) FFT 7000 ml
(e) Sinus 7250 ml
(f) FFT 7250 ml
Abbildung 8.19: Messung großer Bottoch 6750 ml bis 7250 ml
66
(a) Sinus 7500 ml
(b) FFT 7500 ml
(c) Sinus 7750 ml
(d) FFT 7750 ml
(e) Sinus 8000 ml
(f) FFT 8000 ml
Abbildung 8.20: Messung großer Bottoch 7500 ml bis 8000 ml
67
(a) Sinus 8250 ml
(b) FFT 8250 ml
(c) Sinus 8500 ml
(d) FFT 8500 ml
(e) Sinus 8750 ml
(f) FFT 8750 ml
Abbildung 8.21: Messung großer Bottoch 8250 ml bis 8750 ml
68
(a) Sinus 9000 ml
(b) FFT 9000 ml
Abbildung 8.22: Messung großer Bottoch 9000 ml
8.4 Tetrafluorethan
(a) Luft
(b) Tetrafluorethan bei t = 600 sec
Abbildung 8.23: Vergleich FFT: Luft und Tetrafluorethan
69
Zeit [sec]
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
150
180
210
240
300
360
420
480
540
600
Resonanzfrequenz [Hz]
287 ±1
97 ±1
90 ±1
91 ±1
91 ±1
92 ±1
92 ±1
93 ±1
93 ±1
93 ±1
93 ±1
93 ±1
93 ±1
94 ±1
94 ±1
95 ±1
95 ±1
96 ±1
96 ±1
97 ±1
97 ±1
98 ±1
98 ±1
Tabelle 8.4: Messreihe 1 - Tetrafluorethan
70
Zeit [sec]
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
150
180
210
240
300
360
420
480
540
600
Resonanzfrequenz [Hz]
234 ±1
152 ±1
90 ±1
90 ±1
91 ±1
91 ±1
92 ±1
92 ±1
92 ±1
92 ±1
92 ±1
92 ±1
92 ±1
93 ±1
93 ±1
93 ±1
94 ±1
94 ±1
95 ±1
95 ±1
95 ±1
95 ±1
96 ±1
Tabelle 8.5: Messreihe 2 - Tetrafluorethan
71
Literatur
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Teubner Verlag.
Cremer, L. & H. Müeller (1978). Die wissenschaftlichen Grundlagen der Raumakustik, Bd. Geometrische Raumakustik, Volume 2. Auflage. Stuttgart: Hirzel Verlag.
Friesecke, A. (2007). Die Audio-Enzyklopädie, Ein Nachschlagwerk für Tontechniker,
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Gerthsen, C. & H. Vogel (1993). Physik (Gerthsen), Volume 17. Auflage. Berlin:
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Müller, G. & M. Möser (2003). Taschenbuch der technischen Akustik, Volume 3.
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Natke, H.G. (1992). Einführung in Theorie und Praxis der Zeitreihen- und Modalanalyse, Volume 3. Auflage. Braunschweig: Vieweg.
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72