Humboldt-Universität zu Berlin Probeklausur Lineare Algebra 1

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Humboldt-Universität zu Berlin Probeklausur Lineare Algebra 1
Humboldt-Universität zu Berlin
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
Institut für Mathematik
Unter den Linden 6, D-10099 Berlin
Prof. Dr. Remke Kloosterman
Dr. Thomas M. Surowiec
Dr. Fares Maalouf
Probeklausur Lineare Algebra 1 (WiSe 12/13)
1. [10 Punkte] Seien

2
A = −1
3

 
 
0 4
4
6
1 −1 ~b1 =  0  ~b2 = −3
3 11
14
11
(a) Bestimmen Sie Rang(A).
(b) Bestimmen Sie Lös(A, ~0), die Lösungsmenge von A~x = ~0.
(c) Bestimmen Sie Lös(A, ~b1 ), die Lösungsmenge von A~x = ~b1 .
(d) Bestimmen Sie Lös(A, ~b2 ), die Lösungsmenge von A~x = ~b2 .
2. [10 Punkte] Es sei P4 der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens
vier. Es sei V = {f ∈ P4 | f (x) = −f (−x)}.
(a) Bestimmen Sie dim P4 .
(b) Welche von 1, x, x2 , x3 , x4 , x2 − x4 , x − 2x3 sind in V ?
(c) Ist V ein Vektorraum? Falls V ein Vektorraum ist, berechnen Sie
dim V .
3. [10 Punkte] Es sei f : R2 → R2 die lineare Abbildung, so dass
1
1
2
6
f
=
und f
=
.
0
−1
2
6
(a) Bestimmen Sie f ((0, 1)T ).
(b) Geben Sie die Matrixdarstellung von f bzgl. der Standardbasis von
R2 an und bestimmen Sie Kern und Bild der Abbildung f .
(c) Bestimmen Sie die Eigenwerten und Eigenvektoren von f .
4. [10 Punkte] Berechnen Sie die

6
−12

 18
−6
Determinante von

1
2
3
3
−3 −4

−17 6
2
19
22 13
5. [10 Punkte] Im R2 wird an der Geraden x1 = x2 gespiegelt und anschließend um 90 Grad gedreht. Welche Matrix beschreibt die Verknüpfung
dieser Abbildungen? Geben Sie einen von Null verschiedenen Vektor an,
der durch diese Verknüpfung von Abbildungen invariant gelassen wird.
6. [10 Punkte]
(a) Bestimmen Sie alle x, y ∈ Z so dass 12x − 26y = 4 gilt.
(b) Berechnen Sie ggT (1012, 15).