Untersuchung des Entgleisungsverhaltens von

Transcrição

Untersuchung des Entgleisungsverhaltens von Güterwagen
mit Mehrkörpersystem (MKS)- Modell
unter Berücksichtigung der COULOMBschen Reibung
der geschichteten Blattfeder
von Diplom-Ingenieur
Eung-Shin Lee
aus Munkyung, Korea
Von der Fakultät V - Verkehrs- und Maschienensysteme
der Technischen Universität Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Ingenieurwissenschaften
- Dr.-Ing. genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
• Vorsitzender: Prof. Dipl.-Ing. Horst Linde
• Berichter: Prof. Dr.-Ing. Markus Hecht
• Berichter: Prof. Dipl.-Ing. Wolfgang Zander
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 11. 03. 2003
Berlin, 2003
D 83
1
Danksagung
Dank sagen möchte ich all denen, die mich zum Schreiben dieser Arbeit inspiriert haben, die mich
bei diesem Tun begleitet haben.
Hier sind als erstes die beiden Gutachter zu nennen, Herr Professor Dr.-Ing. Markus Hecht, der mich
überhaupt erst an die bearbeitete Fragestellung herangefürt hat, mir häufig gern Diskussionspartner
war, an Fertigstellung der vorliegenden Arbeit zu glauben. Herr Professor Dipl.-Ing. Wolfgang Zander, der sich auf meine Nachfrage hin bereit erklärte, als Zweitgutachter zu fungieren. Desweiteren
möchte ich mich bei Herren Professor Dipl.-Ing. Horst Linde für die Übernahme des Vorsitzenders
bei der wissenschaftlichen Aussprache bedanken.
Wesentlich zum Gelingen dieser Arbeit hat auch die Hilfe von Herrn Andreas Schirmer für Entgleisungsversuche und Herrn Arthur Meurer für geschichtete Blattfedern beigetragen, die die notwendigen Daten der Simulation zur Verfügung stellen und mir bei der Auswertung der Messergebnisse zur
Seite standen.
Zum Schluss möchte ich noch meinem grossen Bruder und vielen Freunden für die ausserfachlich
Unterstützung danken. Herrn Klaus Göcken danke ich ganz besonders für das Korrekturlesen des Manuskriptes.
Berlin, im März 2003
2
Formelzeichen und Abkürzung
µg
FT
FN
MB
σ
E
EI
h
P
Gleitreibungsbeiwert
Tangentialkraft zwischen Blättern
Tangentialkraft zwischen Blättern
Biegemoment
Biegespannung
YOUNGscher Modul
Biegsteifigkeit
Dicke eines Balkens
ausgeübte Kraft auf einer Blattfeder
η
D
A0
Verlustfaktor
Verlustenergie
Erregungsamplitude
R
r3 , r4
r5 , r6
r7 , r8
e1 , e2 , e3
eξi , eηi , eζi
Ortsvektor des gesamten Kesselwagens zum Massenmittelpunkt
zum vorderen und hinteren Drehgestell
zum vorderen und hinteren Radsatz im vorderen Drehgestell
zum vorderen und hinteren Radsatz im hinteren Drehgestell
Basisvektor im Inertialsystem
Basisvektor im körperfesten Koordinatensystem
X
Y
Z
I(O)
Zucken (im Inertialsystem)
Querschwingungen (im Inertialsystem)
Tauchen (im Inertialsystem)
Trägheitsmoment um Punkt O
qi
q̇ i
Qi
gij
ui , vi , wi
αi , βi , γi
ϕi , θi , ψ i
verallgemeinerte Koordinate
verallgemeinerte Geschwindigkeit
verallgemeinerte Kraft
Metrik (Massenmatrix)
Verschiebung des Massenmittelpunkts in Richtung x, y, z
KARDANsche Winkel im körperfesten Koordinatensystem
EULERsche Winkel im körperfesten Koordinatensystem
M
M1
M3
M4
M5 , M6 , M7 , M8
Θ1 , Θ2
Θ31 , Θ32 , Θ33
Θ41 , Θ42 , Θ43
Θi1 , Θi2 , Θi3
Masse des gesamten Kesselwagens
Masse des Kessels und Untergestells
Masse des vorderen Drehgestells
Masse des hinteren Drehgestells
Masse der Radsätze
Trägheitsmomente des Kessels und Untergestells
Trägheitsmomente des vorderen Drehgestells
Trägheitsmomente des hinteren Drehgestells
Trägheitsmomente der Radsätze i=5,6,7,8
3
u̇i , v̇i , v̇i
α̇i , β̇i , γ̇i
ϕ̇i , θ̇i , ψ̇i
ω
Ω
V0
Translationsgeschwindigkeit des Massenmittelpunkts
KARDANsche Winkelgeschwindigkeit
EULERsche Winkelgeschwindigkeit
Rad-Drehgeschwindigkeit
Anregungsfrequenz
Fahrgeschwindigkeit
l
ld
a
b
dl
δ
LS
H
SO
r0
rf
g
c
Länge: von Massenmittelpunkt des Drehgestells bis Radsatzachsenwelle
in der Massenmittelpunktsebene des Drehgestells
Länge: von Kessel- und Untergestellmassenmittelpunkt bis Drehgestell
in der Massenmittelpunktsebene des Kessels
Länge: von Massenmittelpunkt bis Messstelle
Länge: von Drehgestellmassenmittelpunkt bis Rad
Länge: von Kessel- und Untergestellmassenmittelebene bis Drehgestell
Differenz der Radsatzachsenabstand und Schwellenabstand
Länge: zwischen der Führung und dem Drehgestellmassenmittelpunkt
Schwellenabstand
Höhe des Massenmittelpunkt von SO
Schienenoberkante
Radius des Radsatzes (Lauffläche)
Radius des Radsatzes (Radkranze)
Gravitationskonstante
Federkonstante
ET
ER
VE
VG
L
Translationsenergie
Rotationsenergie
Elastische Energie
Potentialenergie (unter Schwerkraft)
LAGRANGEsche Funktion
l1
Zusammenfassung
Die geschichtete Blattfeder hat eine statische Hysterese. Nicht nur die Reibungsgröße, sondern
auch die Federrate wird von dieser Hysterese-Eigenschaft beeinflusst. Wegen der statischen Hysterese
der Blattfeder muss die Federrate im Normalbetrieb je nach der Beladung und der Art der Anregung
mit dem bis zu 10-fachen Wert der statischen Federrate eingesetzt werden.
Einige Eigenschaften der Blattfeder lassen sich wie die bekannte viskose Dämpfung behandeln,
aber für besondere Situationen (Vorspannungen bzw. Anregungen) sind gesonderte Berechnungen nötig. Die im Normalbetrieb auftretende stochastische Erregung kann mit bekannten statistischen Methoden behandelt werden.
Beim Entgleisungsversuch hat die Blattfeder eine etwas andere Rolle im Vergleich mit viskoser Dämpfung gespielt. Bei höherer Erregungsfrequenz steigt die Antwort-Amplitude der viskosen
Dämpfung durch die Wegerregung an, bei der Blattfeder hingegen nimmt sie mit der Frequenz ab.
Mit zunehmender Fahrgeschwindigkeit wird die am entgleisten Kesselwagen gemessene Beschleunigung kleiner, aber der Impuls nimmt linear zu. Durch diesen Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Impuls kann man eine Entgleisung bei höherer Fahrgeschwindigkeit zuverlässig erkennen.
abstract
The stacked leaf spring has a static hysteresis. Not only the friction value, but also the spring rate
are influenced by this hysteresis characteristic. Because of the static hysteresis of the leaf spring the
spring rate must be used in normal operation depending upon the loading and the kind of the excitation
with the up to 10-fold value of the static spring rate.
Some characteristics of the leaf spring can be treated like the well-known viscous damping, but
for special situation (preload and/or excitation) particular calculations are necessary. The stochastic
excitation appearing in the normal operation can be treated with well-known statistic methods.
In the derailment test, the leaf spring played something other role in the comparison with viscous
damping. At higher excitation frequencies the answer amplitude rises with increasing excitation for
viscous damping, on the other hand for the leaf spring it decreases with the frequencies.
With increasing driving speed, the acceleration measured at the derailed tank wagon becomes
smaller, but the impact effect increases linearly. Using this correlation between speed and impact
effect one can recognize a derailment reliably at higher driving speed.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
10
2 Theoretische Grundlage
2.1 Mehrkörpersystem (MKS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 MKS-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 LAGRANGEsche Formulierung von MKS . . . . . . . . .
2.1.3 Linearisierte Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Bewegungsform des linearisierten MKS . . . . . . . . . . .
2.2 Reibungsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 COULOMBsche Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Beschreibung der COULOMBschen Reibung für Blattfedern
2.3 Blattfeder (Festigkeitslehre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Begriffsbestimmung und Aufgaben der Federn . . . . . . .
2.3.2 Blattfeder mit veränderlichem Querschnitt . . . . . . . . . .
2.4 Fahrzeugdynamik und Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Fahrzeugdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Computersimulation der Fahrzeugdynamik . . . . . . . . .
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13
13
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16
17
17
19
21
21
22
23
23
26
3 Versuchstechnische Einrichtung
3.1 Entgleisungsversuche . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Die Entgleisungsdetektion mittels Telematik
3.1.3 Versuchsbeschreibung . . . . . . . . . . . .
3.2 Messung der Blattfeder . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Technische Einrichtung . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Beschreibung der Experimente . . . . . . . .
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28
28
28
29
33
33
34
4 Modellbildung und Modellrechnung
4.1 MKS und Trägheitsmomente für Güterwagen
4.1.1 MKS-Modell für einen Güterwagen .
4.1.2 Koordinatensysteme für Kesselwagen
4.1.3 Trägheitsmomente . . . . . . . . . .
4.1.4 Winkelgeschwindigkeit von MKS . .
4.2 Entgleisungsmodell . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Entgleisungsmodell . . . . . . . . . .
4.2.2 Reduktion der Parameter . . . . . . .
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36
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44
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47
1
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INHALTSVERZEICHNIS
4.3
4.4
4.5
2
4.2.3 LAGRANGEsche Funktion und Bewegungsgleichungen für Entgleisung . .
Modellparameter des Versuchsgüterwagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Differentiale Gleichungen für Entgleisung ohne Trockenreibung . . . . . . .
4.3.2 Differentiale Gleichungen für Entgleisung mit Trockenreibung . . . . . . . .
4.3.3 Berechnungsformeln für Messgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geschichtete Blattfeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Balkenbiegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Statische Hysterese der geschichteten Blattfeder . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Algorithmen zur Programmierung für statische Hysterese der geschichteten
Blattfeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Vergleiche mit experimentellen Daten und simulierten Ergebnissen . . . . .
Federeigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Simulationsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Dynamische Eigenschaften der Blattfeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Dynamisches Modell mit Trockenreibung und Federkonstanten . . . . . . .
5 Vergleich der Ergebnisse von Modellrechnung und Messungen
5.1 Technische Daten für Kesselwagen . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Messdaten bei Entgleisungsversuchen . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Leerwagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Beladener Kesselwagen . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Vergleich mit Messdaten und Simulationsergebnissen . . . .
5.3.1 Signalanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Federrate beim Entgleisungsversuch . . . . . . . . .
5.3.3 Wegänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
51
51
53
53
55
55
57
62
65
69
69
71
77
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82
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87
92
6 Diskussion
6.1 Statische Hysterese der geschichteten Blattfeder . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Weitere Eigenschaften der Blattfeder . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Vergleich der Reibungsmodelle für die Trockenreibung der Blattfeder
6.1.3 Grenze der Simulation und Einsatzprobleme der Blattfeder . . . . . .
6.1.4 Vorschlag zur Blattfedermessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Einflüsse der COULOMBschen Reibung bei der Entgleisung . . . . . . . . .
6.2.1 Eigenschaft der Blattfeder bei der Wegerregung . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Änderung der Federkonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Größe der COULOMBschen Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Optimale Anordnung der Sensoren zur Früherkennung der Entgleisung . . . .
6.3.1 Wegänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Zuverlässigkeit der Diagnose bei höherer Fahrgeschwindigkeit . . . . . . . .
6.4.1 Extrapolation für höhere Fahrgeschwindigkeiten . . . . . . . . . . .
6.4.2 Fahrverhalten auf Weichen (Schienenlücken) . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Diagnose aus dem Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.4 Justierung der Sensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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98
98
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102
105
105
105
106
108
109
109
110
112
112
115
115
118
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INHALTSVERZEICHNIS
3
A Algorithmen
128
A.1 Algorithmus 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
A.2 Algorithmus 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
B Federkonstanten und Koeffizienten
B.1 Federkonstanten . . . . . . . . .
B.1.1 Federrate . . . . . . . .
B.1.2 Verlustfaktor . . . . . .
B.2 Komplexe Koeffizienten . . . .
B.2.1 E . . . . . . . . . . . .
B.2.2 G . . . . . . . . . . . .
B.2.3 B . . . . . . . . . . . .
B.2.4 D . . . . . . . . . . . .
B.2.5 F . . . . . . . . . . . .
B.2.6 H . . . . . . . . . . . .
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131
131
131
131
131
131
131
135
135
135
136
C Messdaten des Leerwagens beim Entgleisungsversuch
137
D Messdaten des beladenen Wagens beim Entgleisungsversuch
141
E Schwellenabstand
145
Tabellenverzeichnis
4.1
4.2
4.3
4.4
5.1
5.2
6.1
6.2
Grenzkurven durch Approximation (gebrauchte, trockene Federn) . . . . . . . . . .
Diagonalfederrate (*106 (N/m)) nach Erregungskraft unter verschiedenen Vorspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Äquivalenter Reibungsbeiwert b(∗106 (N s/m)) bei 25 kN Vorspannung unter verschiedenen Erregungskräften und Erregungsfrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . .
Äquivalenter Reibungsbeiwert b(∗106 (N s/m)) bei 100 kN Vorspannung unter verschiedenen Erregungskräften und Erregungsfrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Wegänderung: Vergleich zwischen Simulationswerten und Messdaten an der Stelle S1
Beschleunigung: Vergleich zwischen Simulationswerten und Messdaten an der Stelle
a10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
74
78
78
97
Stochastische Erregungen und Endpositionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Maximale Amplitude der Beschleunigung je nach entgleistem Drehgestell . . . . . . 113
B.1 Federrate der geschichteten Blattfeder nach Vorspannungen und Erregungskräften,
Einheit: (kN/mm) = 106 (N/m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
B.2 Federrate 2 der geschichteten Blattfeder nach Vorspannungen und Erregungskräften,
Einheit: (kN/mm) = 106 (N/m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
B.3 Verlustfaktor η der geschichteten Blattfeder nach Vorspannungen und Erregungskräften 134
E.1 Abstände der Schwellen aus der Gleissperre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4
Abbildungsverzeichnis
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Beispiel für ein MKS-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) COULOMBsches Reibungsmodell, (b) Kraft-Weg-Kennlinie für einzelnes Reibelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kraft-Weg-Kennlinie der COULOMBschen Reibung mit kontinuierlicher Distribution eines Reibelementes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ein am Ende eine Kraft eingreifender Kragbalken mit konstantem und veränderlichem
Querschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufbau einer geschichteten Blattfeder (z.B. 5 Blätter) aus einem trapezförmigen Balken und ein Schema für Proportionalitätsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Grafische Darstellung des Vesuchsgleises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die auf die Schiene geklappte Gleissperre(a), im Vordergrund die Führungsschiene(b)
Klappemechanismus der Gleissperre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lokomotive, Schutzwagen, Versuchswagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abgriffspunkte der Relativbewegungen in Vertikalrichtung zwischen Radsatz und Drehgestellrahmen: S1 , S2 , S3 , S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abgriffspunkte der Relativbewegungen in Quer- und Längsrichtung zwischen Radsatz
und Drehgestellrahmen: S5 , S6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abgriffspunkte der Relativbewegungen in Vertikalrichtung zwischen Drehgestell- und
Fahrzeugrahmen: S8 , S9 , S10 , S11 , (c) S12 , S13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Applikation der Beschleunigungsaufnehmer am Radsatz und am Fahrzeugrahmen:
a1 ∼ a12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Beschleunigungsaufnehmer, (b) eingebauter Mikrowellensensor . . . . . . . . .
Messaufbau für vertikale Federeigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eine eingebaute geschichtete Blattfeder im Güterwagen . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Zeitlicher Verlauf der Federkraft und Durchbiegung; obere Linie: Durchbiegung,
untere Linie: Federkraft, (b) Statische Kraft-Weg-Kennlinie . . . . . . . . . . . . . .
(a) Zeitlicher Verlauf der Kraft und Durchbiegung; obere Linienschar: Durchbiegung,
untere Linienschar: Federkraft, (b) Dynamische Kraft-Weg-Kennlinie . . . . . . . .
29
29
30
30
Kesselwagen und Laufwerk Typ DB 661.1 . . . . . . . . . . . . .
Zwei Winkeländerungsbeschreibungen . . . . . . . . . . . . . . .
Koordination und Ortsvektor für Kesselwagen . . . . . . . . . . .
Wegerregung durch Schwellen und simulierte Sinuskurve . . . . .
Winkelbeschleunigung um einen Massenmittelpunkt . . . . . . .
Ein Schema für Durchbiegungsberechnung mit waagerechter Kraft
36
45
46
47
55
56
5
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17
19
23
23
31
31
32
32
33
33
34
34
35
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
4.28
4.29
4.30
4.31
4.32
4.33
4.34
4.35
4.36
4.37
4.38
4.39
4.40
Experimentelle Untersuchung der Kragbalken (WAHL [22]: S. 183) . . . . . . . . .
Kraftangriff in die vertikale Richtung auf der Blattfeder und entstehend waagerechte
Komponente durch Schaken (KRANZ [10]: S. 16) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Progressivitätsberechnung ohne Reibung; Einfluss der Parameter durch Blattdicke und
Aufhängungswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Antwort-Verzögerung der Blattfeder durch COULOMBsche Reibung, (b) Statische Kraft-Weg-Kennlinie für eine Be- und Entlastungsschleife . . . . . . . . . . .
Ablaufdiagramm für Kraft und Durchbiegung und statische Kraft-Weg-Kennlinie für
das Ablaufdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kraft-Weg-Kennlinie der Blattfeder im Vergleich mit reiner COULOMBschen Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simulationsvorgang der Blattfeder bei Entlastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simulationsvorgang der Blattfeder bei Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergleich der Simulationsergebnisse mit experimentelle Daten 1 (FEDER2R) . . . .
Vergleich der Simulationsergebnisse mit experimentelle Daten 2 (FEDER2L) . . . .
Vergleich der Simulationsergebnisse mit experimentelle Daten 3 (FEDER1R) . . . .
Ablaufdiagramm und dynamische Kraft-Weg-Kennlinie . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergleich der dynamischen Simulationsergebnisse mit experimentellen Daten: 25kN
Vorspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergleich mit dynamischen Simulationsergebnisse mit experimentellen Daten . . . .
Vergleich mit dynamischen Simulationsergebnisse mit experimentellen Daten . . . .
Dynamische Simulationsergebnisse mit beliebiger Erregungskraft . . . . . . . . . .
Simulierte Hysteresekurven bei 25 kN Vorspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hysteresekurven der geschichteten Blattfeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tangentialfederrate der Blattfeder an den Be- und Entlastungskurven . . . . . . . .
Diagonale Federrate für Simulation und kontinuierliche Diagonalfederrate bei verschiedenen Erregungskräften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagonale Federrate unter verschiedenen Vorspannungen und abgeschnittene Federrate bei 15 kN Erregungskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reibungsarbeit und differentielle Reibungsarbeit der Blattfeder nach Erregungsamplituden bei 100 kN Vorspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
„Haften“- und „Gleiten“-Bereiche für eine Hysterese-Schleife . . . . . . . . . . . .
Hysteresekurven bei Amplitudenhalbierungen von oben und unten . . . . . . . . . .
Amplitudenänderung nach Schleifen von oberem und unterem Kehrpunkt . . . . . .
Phasenverschiebung bei Blattfedern und viskoser Dämpfung . . . . . . . . . . . . .
Verlustfaktor η unter verschiedenen Erregungskräften und Erregungskräften, simulierte Hysteresekurven und dazugehörige viskose Approximation . . . . . . . . . . . .
3-dim. grafische Darstellung für äquivalenten Reibungsbeiwert . . . . . . . . . . . .
Schema für Krafterregung mit komplexer Federrate . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergrößerungsfaktor V1 und Phasenverschiebung bei 25kN Vorspannung . . . . . .
Vergrößerungsfaktor V1 und Phasenverschiebung bei 100kN Vorspannung . . . . . .
6
58
58
59
60
60
62
63
63
65
66
66
67
68
68
69
69
70
70
71
71
72
72
73
73
74
75
75
76
76
77
77
78
79
79
4.41 Vergleich: Vergrößerungsfaktor V1 und Phasenverschiebung mit konstanten Federraten und Reibungsbeiwerten bei Krafterregungen (bei viskoser Dämpfung) . . . . . .
4.42 Schema für Wegerregung mit komplexer Federrate . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.43 Vergrößerungsfaktor V2 und Phasenverschiebung bei 25kN Vorspannung bei Wegerregungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.44 Vergrößerungsfaktor V2 und Phasenverschiebung bei 100kN Vorspannung bei Wegerregungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.45 Vergleich: Vergrößerungsfaktor V2 und Phasenverschiebung mit konstanten Federraten und Reibungsbeiwerten bei Wegerregungen (bei viskoser Dämpfung) . . . . . . .
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
5.21
5.22
5.23
5.24
5.25
5.26
5.27
Blockschaltbild des Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wegänderung S1 zwischen vorderem Radsatz und dem Drehgestell (13 km/h, leer),
x-Achse: Zeitverlauf (s), y-Achse: Amplitude (mm) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beschleunigung in vertikaler Richtung a11 (13 km/h, leer), x-Achse: Zeitverlauf (s),
y-Achse: max. Beschleunigung (m/s2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zerstörte Schwellen beim Entgleisungsversuch und dazugehöriges Signal . . . . . .
y = sin(5t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simulation der Signalstörungen durch Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eine Signalstörung durch Rauschen beim Entgleisungsversuch . . . . . . . . . . . .
Signal S1 und Simulationsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Wegänderungen ∆S1 , und ∆S3 zwischen den Radsätzen und dem Drehgestell .
Vergleich mit Simulationswerten und Messdaten an der Stelle S1 , S3 . . . . . . . .
Vergleich zwischen ’mit Reibung’ und ’ohne Reibung’ an der Stelle: S1 bei leerem
Wagen, Rechenschritt: 1km/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messdaten S2 , S4 bei leerem Kesselwagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simulationsergebnis ohne und mit der Trockenreibung bei beladenem Kesselwagen .
Radspuren über zerstörte Schwellen und Wegänderungen des beladenen Kesselwagens bei Fahrgeschwindigkeit V0 = 16(km/h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wegänderungen des beladenen Kesselwagens bei Fahrgeschwindigkeit V0 = 25(km/h)
und 37(km/h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergleich zwischen ’mit Reibung’ und ’ohne Reibung’ an der Stelle: S1 bei beladenem
Wagen; Rechenschritt: 1km/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beschleunigung des Kesselwagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beschleunigung des Kesselwagens an den Stellen a10 , a12 ; V0 = 13 (km/h) . . . . .
Beschleunigung des Leerwagens an der Stelle a4 ; V0 = 13(km/h) . . . . . . . . . .
Beschleunigung des Leerwagens an der Stelle a9 , a11 ; V0 = 13 (km/h) . . . . . . . .
Beschleunigung des Leerwagens an der Stelle a9 , a11 beim Leerwagen; V0 = 26, 38
(km/h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beschleunigung des beladenen Wagens an der Stelle a10 , a12 ; V0 = 16(km/h) . . . .
Beschleunigung des beladenen Wagens an der Stelle a10 , a12 , V0 = 25, 37(km/h) . .
Beschleunigung des beladenen Wagens an der Stelle a9 , a11 , V0 = 16(km/h) . . . . .
Beschleunigung des beladenen Wagens an der Stelle a9 , a11 , V0 = 25, 37(km/h) . . .
Vergleich zwischen ’mit Reibung’ und ’ohne Reibung’ an der Stelle a4 ; Rechenschritt:
1 km/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergleich zwischen ’mit Reibung’ und ’ohne Reibung’ an der Stelle a11 ; Rechenschritt: 1 km/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
80
80
80
81
81
83
84
84
85
85
86
86
87
88
89
89
90
90
91
92
92
93
93
94
94
95
95
95
96
96
96
97
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
8
6.21
6.22
6.23
6.24
6.25
6.26
6.27
6.28
6.29
6.30
6.31
Änderung der Federeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Eine konstante COULOMBsche Reibung und Kennlinien . . . . . . . . . . . . . . . 99
Vergleich mit zwei Modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Tangentialfederrate um den Wendepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Messdaten zur Start–Tangentialfederrate, x-Achse: Amplitude[mm], y-Achse: Kraft[kN]101
Verteilungsfunktion für COULOMBsche Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Vergleiche mit Messdaten nach dem Parameter σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Hysteresekurven unter beliebigen Anordnung des Kraftpaars . . . . . . . . . . . . . 103
Endposition der Blattfeder bei der Kraft 100 kN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Endposition der Blattfeder bei normaler und stochastischer Erregung: 100 kN Vorspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Vergleich der Antwort–Amplitude bei der Wegerregung . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Vergleich der Phasenverschiebung bei der Wegerregung . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Vergleich der statischen Tangentialfederrate und dynamischen Diagonalfederrate . . 107
Definition und Größe nach Erregungsamplituden des Verlustfaktors . . . . . . . . . 108
Seilzugwegaufnehmer an den Stellen S1 und S10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
horizontale Komponente der Beschleunigung an den Stellen a10 und a12 . . . . . . . 110
vertikale Komponente der Beschleunigung an den Stellen a2 und a7 . . . . . . . . . 110
Vergleiche mit a7 und a10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Vergleiche der Beschleunigungen mit a4 für leeren und beladenen Kesselwagen; Rechenschritt: 1 km/h, wenn das hintere Drehgestell entgleist . . . . . . . . . . . . . . 112
Proportionalität der Beschleunigungen zu a4 für leeren und beladenen Kesselwagen;
Rechenschritt: 1 km/h, wenn das hintere Drehgestell entgleist (a2 /a4 , a9 /a4 , a7 /a4 , a11 /a4 , a10 /a4 , a6 /a4 )11
Vergleich mit Messdaten und Simulation für a9 bei 16 km/h . . . . . . . . . . . . . 114
Vergleich mit Messdaten und Extrapolation für a11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Schienenlücken zwischen einer Fügestelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Signale durch Schienenlücken bei verschiedenen Fahrgeschwindigkeiten . . . . . . . 116
Querbewegung an der Stelle S7 und Messdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Sprung über die Gleissperre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Messdaten an der Stelle a4 nach der Fahrgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 117
Schwellenzerstörung durch Räder beim leeren und beladenen Kesselwagen . . . . . 118
Signale für Querbeschleunigung an der Stelle a8 bei beladenem Kesselwagen . . . . 118
Beschleunigung beim Normalbetrieb vor der Entgleisung: V0 = 37 km/h, beladen . . 119
Beschleunigung beim Normalbetrieb direkt vor der Entgleisung: V0 = 37 km/h, beladen 119
C.1
C.2
C.3
C.4
C.5
C.6
C.7
C.8
C.9
C.10
C.11
C.12
Wegänderung an den Stellen S1 , S2 , S3 , S4 ; V0 = 13(km/h), leer . .
Wegänderung an den Stellen S8 , S9 , S10 , S11 ; V0 = 13(km/h), leer .
Beschleunigung an den Stellen a1 , a2 , a3 , a4 ; V0 = 13(km/h), leer .
Beschleunigung an den Stellen a9 , a10 , a11 , a12 ; V0 = 13(km/h), leer
Beschleunigung an den Stellen a9 , a10 , a11 , a12 ; V0 = 26(km/h), leer
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
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137
137
137
138
138
138
138
138
139
139
139
139
9
C.13 Beschleunigung an den Stellen a1 , a2 , a3 , a4 ; V0 = 38(km/h), leer . . . . . . . . 139
C.14 Beschleunigung an den Stellen a5 , a6 , a7 , a8 ; V0 = 38(km/h), leer . . . . . . . . 140
C.15 Beschleunigung an den Stellen a9 , a10 , a11 , a12 ; V0 = 38(km/h), leer . . . . . . . 140
D.1
D.2
D.3
D.4
D.5
D.6
D.7
D.8
D.9
D.10
D.11
D.12
D.13
D.14
D.15
Wegänderung an den Stellen S1 , S2 , S3 , S4 ; V0 = 16(km/h), beladen . .
Wegänderung an den Stellen S8 , S9 , S10 , S11 ; V0 = 16(km/h), beladen .
Beschleunigung an den Stellen a1 , a2 , a3 , a4 ; V0 = 16(km/h), beladen .
Beschleunigung an den Stellen a9 , a10 , a11 , a12 ; V0 = 16(km/h), beladen
.
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141
141
142
142
142
142
142
143
143
143
143
143
144
144
E.1 Abstände der Schwellen aus den Gleissperre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Kapitel 1
Einleitung
Es gibt viele Ursachen für das Entgleisen von Güterwagen. Welche Faktoren bei der Entgleisung von
Güterwagen eine besondere Rolle spielen, ist auch heute noch nicht völlig bekannt. Unabhängig von
den Gründen, aus welchen der Güterwagen entgleist, sind die Konsequenzen daraus untragbar, denn
es entsteht nicht nur stets grosser Sachschaden, sondern häufig auch Personenschaden. Besonders das
Entgleisen von Güterwagen, die mit gefährlichen Chemikalien beladen sind, hat verheerende Auswirkungen auf Menschen und Umwelt.
Das Bundesministerium für Verkehr, Bau- und Wohnungswesen (BMVBW) hat die Technische
Universität Berlin beauftragt, Entgleisungsversuche durchzuführen (Projektnummer 96 598/1999).
Die erhebliche Gefahr, die von einer Entgleisung eines Güterwagens ausgeht, kann mit Hilfe des
Einsatzes von Telematik deutlich verringert werden.
Selbst mit modernsten Methoden lässt sich eine Entgleisung – ähnlich wie ein Chaos-Phänomen –
nicht vorhersagen. Unter Einsatz aller verfügbarer Methoden liesse sich sicher der instabile Moment
kurz vor der Entgleisung erkennen, doch wäre dies praktisch nicht durchführbar und dieser Aufwand
auch nicht zu bezahlen. Daher erscheint es vernünftiger, ein Verfahren zur raschen und sicheren Erkennung einer eingetretenen Entgleisung, welches die rasche Einleitung schadensbegrenzender Gegenmaßnahme ermöglicht, zu entwickeln.
Im Rahmen des von Herrn SCHIRMER am FG Schienenfahrzeuge, TU-Berlin betreuten Projektes
wurden folgende Fragen geklärt(HECHT [6]):
• Welche Meßstelle und Meßrichtung am Fahrzeug eignet sich besonderes gut zur Detektion einer
Entgleisung?
• Auf welche Art soll das Beschleunigungssignal von der Telematik bearbeitet werden, um eine
hohe Zuverlässigkeit der Detektion zu erreichen?
10
11
In dieser Arbeit wird die Zuverlässigkeit der Detektion der Entgleisung untersucht.
Mit dem Mehrkörpersystem-Modell werden Messdaten des Entgleisungsversuchs überprüft. Bei
der Überprüfung tritt das Problem der Federkonstanten auf. Nach einigen bisherigen Untersuchungen
([10],[20]) ist bekannt das, dass die dynamische Federrate 1- bis 3-mal so gross wie die statische
Federrate ist. Die geschichtete Blattfeder beim Schienenfahrzeug hat die Eigenschaft der statischen
Hysterese ([9]), daher wurde bisher kein sinnvoller Reibungsbeiwert gefunden. Für die Untersuchung
der Eigenschaft der Blattfeder wurden am FG Schienenfahrzeuge an der TU-Berlin viele gebrauchte
und neue Blattfedern gemessen ([15],[19]). Aus diesen Messungen wird die dynamische Federrate der
geschichteten Blattfeder 3- bis 10-mal gross wie die statische Federrate korrigiert.
In dieser Arbeit werden die Eigenschaften der Blattfeder auf Grund von Messdaten untersucht,
weiterhin werden die Federraten und Reibungsbeiwerte zur Implementierung in die Computer-Simulation
aufbereitet. Mit dem in dieser Arbeit erstellten Reibungsmodell der Blattfeder wird der Entgleisungsversuch interpretiert.
Aufbau der Arbeit
Zur Untersuchung des Einflusses der COULOMBschen Reibung bei der Blattfeder auf den Entgleisungsvorgang werden zunächst zwei verschiedene Teilgebiete bearbeitet: Das MKS-Modell des Kesselwagens und die Hystereseeigenschaft der Blattfeder. Nach Abschluss der Untersuchungen werden
diese Teilergebnisse, wie im unten dargestellten Diagramm gezeigt, zu einem einheitlichen Modell
zusammengefügt.
Trockenreibung
MKS-Modell
Kesselwagen
geschichtete Blattfeder
↓
↓
Vereinfachung der Parameter
Messung & Modellierung
&
.
Entgleisungsversuch
⇓
mathematisches Entgleisungsmodell
mit Trockenreibung der Blattfeder
In Kapitel 2 wird die MKS-Theorie und dazugehörige Beschreibungsmethode eingeführt ([13])
12
und anschließend ein Modell der Trockenreibung entwickelt und dessen Anwendung auf die Blattfeder beschrieben. In Kapitel 3 werden die Messungen und Einrichtungen für beide Versuche beschrieben. Die experimentelle Durchführung erfolgt gemäß dem Bericht von SCHIRMER [18] und MEURER [15]. In Kapitel 4 , dem wichtigsten Teil der Arbeit, wird ein Modell des Entgleisungsvorgangs
erstellt. Außerdem wird das erstellte Modell der Blattfeder mit deren tatsächlichen Eigenschaften
verglichen. In Kapitel 5 werden diese beiden verschiedenen Modelle zur Interpretation des Entgleisungsversuchs miteinander verknüpft und diese Aussagen mit den Messdaten verglichen. In Kapitel
6 werden weitere Einzelheiten zur Modellbildung und stochastische Eigenschaften der Blattfeder diskutiert. Außerdem werden hier die zur Früherkennung der Entgleisung optimalen Einbaustellen für
die Sensoren vorgeschlagen.
Alle in dieser Arbeit benutzten Messdaten und Entgleisungsfotos wurden aus dem Bestand des
FG Schienenfahrzeuge zur Verfügung gestellt.
Kapitel 2
Theoretische Grundlage
2.1 Mehrkörpersystem (MKS)
Das Mehrkörpersystem-Modell (Abkürzung: MKS-Modell) ermöglicht die Darstellung eines dynamischen Systems als punktdynamisches System im n-dimensionalen Konfigurationsraum Kn . Durch
die kinetische Energie des MKS kann eine Metrik im Kn eingeführt werden. Durch die physikalische
Eigenschaft der kinetischen Energie wird die Metrik ein kovarianter Tensor 2. Ordnung und der Konfigurationsraum Kn wird ein n-dimensionaler RIEMANNscher Raum Rn . Alle Konzepte und Sätze
im RIEMANNschen Raum geben für das MKS eine leistungsfähige analytische Methode an. Viele
kompliziertere Systeme können durch MKS wiedergegeben werden.
2.1.1
MKS-Modell
Das in dieser Arbeit behandelten MKS wird verstanden als eine im 3-dimensionalen EUKLIDischen
Raum eingebettete Menge, die aus endlichen vielen starren Körpern besteht. Die Körper sind miteinander physikalisch und/oder geometrisch gekoppelt und ggf. an einem Auflager (Fundament) festgelegt.
Drehfeder
Dämpfer
Starrkörper
Gelenk
Feder
Fundament
Abbildung 2.1: Beispiel für ein MKS-Modell
(Starre) Körper verhalten sich wie eine Punktmasse mit einem zusätzlichen Trägheitsmoment.
Kopplungen behindern den Bewegungszustand der starren Körper und übertragen Kräfte und Drehmomente:
• physikalische Kopplungen werden durch eingeprägte Kräfte/Momente
beschrieben. (Z.B. Federn, Drehfedern, Dämpfer, ...)
13
14
• geometrische Kopplungen werden durch Zwangsbedingungen
beschrieben. (Z.B. Gelenke, Auflager, ...)
Masse und Trägheitsmomente der Kopplungen seien vernachlässigt gegen diejenigen der starren Körper.
2.1.2
LAGRANGEsche Formulierung von MKS
Als Grundlage der Bewegungsbeschreibung dient eine Menge von Größen, welche die Konfiguration
eines (komplizierten) Systems starrer Körper, die sich voneinander unabhängig oder miteinander unter
Zwangsbedingungen bewegen, darstellt. Diese Menge der Größen heißt verallgemeinerte Koordinaten
und Kenntnisse der verallgemeinerten Koordinaten ermöglichen Kenntnisse über die Lage aller starren
Körper des Systems.
Die Bewegung eines holonom-skleronomen MKS mit dem Freiheitsgrad f wird beschrieben durch
die Bewegung der verallgemeinerten Koordinaten q k (k = 1, ..., f ) im Konfigurationsraum Kf . Der
Konfigurationsraum wird metrisiert als ein RIEMANNscher Raum Rf mit einem Metriktensor, der
aus der kinetischen Energie herleitet und positiv-definite symmetrische Eigenschaft besitzt.
In diesem Raum Rf wird die kinetische Energie E eingeführt durch die Metrik (Massenmatrix)
und verallgemeinerte Koordinaten:
1
E = gij q̇ i q̇ j ;
2
gij =
∂2E
∂ q̇ i ∂ q̇ j
(2.1)
(Summationsvereinbarung: treten dieselbe Indizes unten und oben auf, bedeutet das eine Summe von
1 bis f ).
Ein MKS mit N Starrkörpern hat höchstens 6N Freiheitsgrade. (Abkürzung: FHG, 3N -Translations, 3N -Rotationsfreiheitsgrade) Unter M Zwangsbedingungen wird f = 6N − M . Der Zustand des
α-ten Starrkörpers in einem Inertialsystem ist:
Lage : r α = r α (q k ),
dr α
,
Geschwindigkeit : v α =
dt
Sα = Sα (q k ),
dsα
ωα =
.
dt
(2.2)
k = 1, ..., f, α = 1, ..., N , für skleronomes MKS (r α : Ortsvektor, Sα : Rotationsmatrix, dsα : infinitesimaler Rotationsvektor)
Die kinetische Energie E nimmt die Form an:
1
1
E = mα v α · v α + ω α · Θ C
(2.3)
α · ω α.
2
2
Mittels verallgemeinerten Koordinaten wird die kinetische Energie (2.3) für das skleronome MKS:
1
1
1
1
i j
C i j
i j
E = Mij q̇ i q̇ j + ΘC
ij q̇ q̇ = (Mij + Θij )q̇ q̇ ≡ gij q̇ q̇
2
2
2
2
(gij : Massenmatrix (Metriktensor 2. Ordnung im RIEMANNschen Raum))
∂E
d ∂E
( ∂ q̇k ) − ∂q
Die LAGRANGEschen Gleichungen dt
k = Qk erhalten mit (2.1) die Form
gik q̈ i + Γikj q̇ i q̇ j = Qk .
(2.4)
(2.5)
Dabei sind Γikj = 21 (
∂gkj
∂q i
15
ik
+ ∂g
−
∂q j
∂gij
)
∂q k
= Γjki CHRISTOFFEL-Symbole 1. Art. Wenn die Zwangs(V )
(R)
bedingungen holonom sind und verallgemeinerte Kräfte Qk aus Qk = Qk + Qk bestehen, kann
(V )
(V )
man die LAGRANGEsche Funktion L = E − V (V aus Qk ) einführen. Der Anteil Qk sei aus
(R)
einem Potential ableitbar, während Qk den Einfluss der Reibungskraft angibt.
(V )
Qk
=−
∂V
∂q k
oder
(V )
Qk
(R)
Qk
∂V
d ∂V
+
,
k
dt ∂ q̇ k
∂q
∂D
= − k.
∂ q̇
=−
(2.6)
Die Funktion D heißt RAYLEIGHsche Dissipationsfunktion: D = 21 bij q̇ i q̇ j und man kann die Koeffizienten bij durch phänomenologische (empirische) Versuche finden.
Die modifizierten LAGRANGEschen Gleichungen werden
∂L
d ∂L
∂L
∂D
d ∂L
(R)
− k = Qk ⇒
− k + k = 0.
k
k
dt ∂ q̇
∂q
dt ∂ q̇
∂q
∂ q̇
(2.7)
Zur Festlegung der Bewegungsgleichungen müssen nun also zwei skalare Funktionen L und D bekannt sein.
2.1.3
Linearisierte Bewegungsgleichungen
Wenn ein MKS sich unter verallgemeinerten Kräften, die aus einem Potential abgeleitet werden, bewegt und ein Minimum hat und die gesamte Energie des MKS in einer kleinen Umgebung des Minimums beschränkt wird, können Bewegungsgleichungen mit verallgemeinerten Koordinaten linearisiert werden. Die verallgemeinerten Koordinaten enthalten die Zeit nicht explizit und damit sind
zeitabhängige Zwangsbedingungen auszuschließen. Man sagt, das MKS sei im Gleichgewicht, wenn
die auf das MKS wirkenden verallgemeinerten Kräften verschwinden und wenn man setzt die zugehörigen Koordinatenwerte Null:
(V )
Qk
=−
∂V = 0.
∂q k q=0
(2.8)
Das Potential hat einen Extremwert, der im stabilen Fall ein Minimum ist, in einer bestimmten
Konfiguration:V (q)min = V (0) ≡ 0. Eine Gleichgewichtslage wird als stabil bezeichnet, wenn eine
kleine Auslenkung des MKS aus dem Gleichgewicht nur zu einer kleinen gebundenen Bewegung um
die Ruhelage führt. Die Bewegung des MKS in der unmittelbaren Nachbarschaft einer Konfiguration
mit stabilem Gleichgewicht interessiert. Da die Abweichungen vom Gleichgewicht klein sein sollen,
können alle Funktionen in eine TAYLOR-Reihe um das Gleichgewicht entwickelt und die Glieder
höherer Ordnung vernachlässigt werden. Die Metrik gij (q) und das Potential V (q) können um die
Konfiguration q = 0 entwickelt werden.
∂gij (q) qk + · · ·
∂q k q=0
∂V (0) 1 ∂ 2 V (0) k
qi qj + · · ·
V (0) = V (0) +
q
+
∂q k q=0
2 ∂q i ∂q j q=0
gij (q) = gij (0) +
(2.9)
16
V (0) ≡ 0, wenn man den willkürlichen Nullpunkt des Potentials so verschiebt, dass er mit dem
Gleichgewichtspotential zusammenfällt. V (q) hat ein Minimum bei q = 0, damit
∂V (0) q k = 0.
∂q k q =0
Man erhält die niedrigste nicht verschwindende Näherung für E, indem man alle Terme bis auf
den ersten in der Entwicklung von gij (q) streicht. Die LAGRANGEsche Funktion ist als quadratische
Form gegeben:
1
1
L(q, q) = Mij q̇ i q̇ j − Kij q i q j ,
2
2
(2.10)
∂ 2 E(q, q̇) ∂ 2 E(q, q̇)
= gij (0),
≡
∂ q̇ i ∂ q̇ j q =0
∂ q̇ i ∂ q̇ j
∂ 2 V (q) .
Kij =
∂q i ∂q j q =0
(2.11)
wobei
Mij =
Wegen der Definition sind die Kij offensichtlich symmetrisch, d.h. Kij = Kji . Die potentielle
Energie ist Null in der Gleichgewichtslage und größer als Null in verschobener Lage bei q = 0, also ist
die Matrix Kij positiv-definit. Da die einzelnen Terme in (2.10) durch eine Vertauschung der Indizes
nicht beeinflusst werden, müssen die Mij symmetrisch sein und die kinetische Energie ist immer
positiv, daraus folgt die Matrix Mij positiv-definit. Sind die Matrizen Mij , Kij reell, symmetrisch
und positiv definit, so bewegt sich das MKS harmonisch um die Gleichgewichtslage q = 0.
2.1.4
Bewegungsform des linearisierten MKS
Da die LAGRANGE-Funktion die Form (2.10) hat, ist die Bewegungsgleichung des MKS
Mij q̈ i + Kij q i = 0,
oder mit Reibung
Mij q̈ i + bij q̇ i + Kij q i = 0.
(2.12)
Als Ansatz für die Lösung der DGL (2.12) nimmt man an:
q j = cj exp λt.
(2.13)
Wegen exp λt 6= 0 folgt (λ2 Mij + λbij + Kij )cj = 0. Eine nichttriviale Lösung existiert nur dann,
wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet:
det(λ2 Mij + λbij + Kij ) = 0,
(2.14)
d.h.
K11 + λb11 + λ2 M11 K12 + λb12 + λ2 M12 · · ·
K21 + λb21 + λ2 M21 K22 + λb22 + λ2 M22 · · ·
..
..
..
.
.
.
Kf 1 + λbf 1 + λ2 Mf 1 Kf 2 + λbf 2 + λ2 Mf 2 · · ·
K1f + λb1f + λ2 M1f K2f + λb2f + λ2 M2f = 0.
..
.
2
Kf f + λbf f + λ Mf f (2.15)
2.2 Reibungsmodell
17
Diese Determinantenbedingung ist eine algebraische Gleichung f -ten Grades für λ2 , und die Wurzeln der Determinante liefern die Frequenzquadrate, für welche die Gln. (2.13) eine Lösung der Bewegungsgleichungen darstellen. Wegen der Eigenschaft der Massenmatrizen und Steifigkeitsmatrizen
sind die Lösung λ2 von (2.14) positiv. Sie heißen Eigenkreisfrequenzenquadrate. Alle Starrkörper des
MKS bewegen sich gemeinsam mit diesen Frequenzen.
2.2 Reibungsmodell
2.2.1
COULOMBsche Reibung
In der Technik tritt häufig Reibung auf. Man unterscheidet Material- und Gleitdämpfungen. Bei der
Materialdämpfung, z.B. in viskoelastischen Materialien, verursacht eine komplexe Materialstruktur
die Umwandlung von kinetischer und/oder potentieller Energie in Wärme. Im Gegensatz dazu treten
Gleitdämpfungen bei Schub an Gleitflächen der Materialien oder Fügestellen auf, z.B. Trockenreibung
(COULOMBsche Reibung), Lubrikation (viskose Kraft), usw.
Einige Autoren unterscheiden bei der Dämpfung zwei Grenzfälle:
• die dynamische oder viskoelastische Hysterese
• die statische Hysterese.
Die viskoelastische (dynamische) Hysterese ist eine von der Erregungsfrequenz abhängige Dämpfungsart, während die statische Hysterese von der Frequenz der Erregung unabhängig ist. (KOLSCH [9])
Zwei Grundarten der Hysterese unterscheiden sich eindeutig bei dem „Gedächtnis“. Bei der viskoelastischen Hysterese ist das „Gedächtnis“ vernachlässigbar, aber bei der statischen Hysterese zeigt
sich das „Gedächtnis“ fast perfekt. Die statische Hysterese tritt bei gegeneinander bewegten und berührenden metallischen Oberflächen, aber auch innerhalb von Werkstoffen - als plastische Eigenschaft
- auf. Die COULOMBsche Reibung ist eine typische statische Hysterese. Findet eine Relativverschiebung zwischen einander berührenden Oberflächen statt, so interagieren die mikroskopischen Strukturen der Kontaktflächen. Diese Interaktion führt zu einem „Reibung“ genannten makroskopischen
Phänomen.
Die COULOMBsche Reibung ist ein makroskopisches Phänomen, das man noch nicht aus der
Quantenphysik herleiten kann. Man kann sie aber mit einem geeigneten mathematischen Modell nachbilden.
fi
c/N
f*1/N
c/N
f*2/N
f*i/N
-A
F
c/N
f*N/N
x
A
0
x
-f*i/N
(a)
(b)
Abbildung 2.2: (a) COULOMBsches Reibungsmodell, (b) Kraft-Weg-Kennlinie für einzelnes Reibelement
2.2 Reibungsmodell
18
Ausgangspunkt ist ein PRANDTLsches Reibelement (oder JENKINsches Element, oder elastoplastisches Element genannt). Endliche Reibelemente werden einander parallel geschaltet (Abb. 2.2(a)). Das Einzelreibelement hat eine typische elastisch-plastische Eigenschaft (Abb. 2.2-(b)).
Jedes Element hat eine lineare Steifigkeit c/N und gleitet über eine maximale zugelassene Reibkraft fi∗ /N (IWAN [7]). Die Kraft-Weg-Beziehung für ein Reibelement des Systems bei Anfangsbelastung lautet:
fi = cx/N ;
fi =
0 ≤ x ≤ fi∗ /c,
ẋ > 0,
fi∗ /N ;
ẋ > 0,
x≥
fi∗ /c
(2.16)
(2.17)
Wenn sich die Richtung der ausgeübten Kraft nach dem Fließen umkehrt, wird die Beziehung:
cx − (cA − fi∗ )
;
N
∗
f
fi = − i ;
N
fi =
ẋ < 0,
ẋ < 0,
fi∗
≤ x ≤ A,
c
f∗
x≤A−2 i ,
c
A−2
(2.18)
(2.19)
(A: maximale Auslenkung, N : Anzahl aller Elemente).
Die gesamte durch alle Elementen bei Anfangsbelastung ausgeübte Kraft ist
f=
n
X
f∗
i
i=1
N
+ cx
N −n
,
N
(2.20)
(n: Anzahl der Fließ-Elementen).
Der erste Teil in (2.20) ist die gesamte Kraft durch Fließ-Elemente, der zweite ist die Kraft durch
Nicht-Fließ-Elemente.
Wird N sehr groß, kann man die Gleichung (2.20) folgende Form schreiben:
Z ∞
Z cx
∗
∗
∗
ϕ(f ∗ )df ∗ ; ẋ > 0,
(2.21)
f ϕ(f )df + cx
f=
cx
0
Fließkraft:
fr =
(ϕ(f ∗): Distribution des Reibelements),
Entlastung von oberem Umkehrpunkt:
f=
Z
Z
∞
∗
∗
(−f )ϕ(f )df +
0
+ cx
Z
∞
cA
ϕ(f ∗ )df ∗ ,
(2.22)
0
c(A−x)/2
∗
f ∗ ϕ(f ∗ )df ∗ ,
Z
cA
c(A−x)/2
(cx − (cA − f ∗ ))ϕ(f ∗ )df ∗
ẋ < 0, −A ≤ x ≤ A.
(2.23)
Der erste Term der Integration in (2.23) ist die Kraft durch Elemente, die sich nach dem Fliessen
in positive Richtung, danach unter umgekehrter Kraft wieder im Fliesszustand befinden. Der zweite
Term ist die Kraft durch Elemente, die sich nach dem Fliessen in positive Richtung, danach unter umgekehrter Kraft noch nicht im Fliesszustand befinden. Der dritte Term ist die Kraft durch Elemente, die
in positive Richtung nicht fließen und sich unter umgekehrter Kraft immer noch nicht in Fliesszustand
befinden.
2.2 Reibungsmodell
19
f
b
fy
-A
c
a
A
-fy
d
Abbildung 2.3: Kraft-Weg-Kennlinie der COULOMBschen Reibung mit kontinuierlicher Distribution
eines Reibelementes
Belastung von unterm Umkehrpunkt:
Z c(A+x)/2
Z
∗
∗
∗
f=
f ϕ(f )df +
0
+ cx
Z
−∞
−cA
−ϕ(f ∗ )df ∗ ,
cA
c(A+x)/2
(cx − (cA + f ∗ ))ϕ(f ∗ )df ∗
ẋ > 0, −A ≤ x ≤ A.
(2.24)
Man kann eine Verteilungsfunktion ϕ(f ∗ ) sinngemäß wählen. Die einfachste Funktion wäre eine
konstante Zahl. Für jede ausgeübte Kraft zeigt der Zustand des Fliessens der Elemente und der Verteilungsfunktion das „Gedächtnis“ des Systems.
IWAN [8] zeigt auch am Beispiel, dass zwischen statischer Hysterese und Plastizitätstheorie eine
enge Verwandtschaft besteht; Man kann Ersatzmodelle mit Federn und COULOMB-Reibelementen
und Modelle der Plastizitätstheorie, die mit Fließflächen arbeiten, ineinander überführten.
2.2.2
Beschreibung der COULOMBschen Reibung für Blattfedern
Eine geschichtete Blattfeder wird aus Federblättern abnehmender Länge zusammengebaut. Diese Federblätter werden durch die auf den Federbund ausgeübte Kraft gegeneinander gepresst, wodurch
Normalkräfte zwischen den Blättern wirken. Wenn die Blattfeder belastet wird, verschieben sich Federblätter gegeneinander und es treten Tangentialkräfte in Richtung der Federblätter auf.
Mit zunehmender Belastung auf der Feder wachsen gleichzeitig die Normal- und Tangentialkräfte.
Der Zusammenhang zwischen Normalkraft(dFN ) und Tangentialkraft(dFT ) wird beim Gleiten durch
die Beziehung
dFT
= µg
(2.25)
dFN
beschrieben, µg ist der Gleitreibungsbeiwert (SZÁBO [21]).
Für die Dämpfungskraft der geschichteten Blattfeder kann eine Beziehung auf der Grundlage der
COULOMBschen Theorie aufgestellt werden.
F T = µg FN
ds
|ds|
(2.26)
Man kann die Kraft-Weg-Kennlinie der Blattfeder aus dem COULOMBschen Modell herleiten ((2.21)
∼ (2.24)). Dazu wird eine Verteilungsfunktion der Trockenreibung der Blattfeder benötigt. Eine sinnvolle Verteilungsfunktion für ϕ(f ∗ ) ist GAUSSsche Normalverteilung. Nicht nur die GAUSSsche,
sondern beliebige Funktionen können für die Verteilungsfunktion eingesetzt werden.
2.2 Reibungsmodell
20
ϕ(f ∗ ) = √
1
e−
2πσ 2
f ∗ −fr
2σ 2
Z
,
+∞
ϕ(f ∗ )df ∗ = 1
(2.27)
−∞
Belastung von Ursprung
F =
Z
c(x−xm )
∗
∗
∗
f ϕ(f )df + c(x − xm )
0
Z
∞
c(x−xm )
ϕ(f ∗ )df ∗ ≡ F1 + F2 ,
(2.28)
(xm : beliebiger Schleifenmittelpunkt)
c(x−xm )
f ∗ − fr
)df ∗
2
2
2σ
2πσ
0
σ
f2
{c(x − xm ) − fr }2
= √ (exp[− r2 ] − exp[−
])
2σ
2σ 2
2π
fr
c(x − xm ) − fr
fr
√
} − erf {−
}],
+ [erf { √
2
2σ 2
2σ 2
F1 =
Z
f∗ √
F2 = c(x − xm )
Z
1
∞
exp(−
√
1
exp(−
fr2
)df ∗
2σ 2
2πσ 2
1 1
c(x − xm ) − fr
√
= c(x − xm )[ + erf {−
}].
2 2
2σ 2
c(x−xm )
(Fehlerfunktion: erf (x) =
1
2π
Entlastung vom oberen Umkehrpunkt
Fd =
+
Z
Z
c1 (A1 −(x−xm ))/2
0
c 1 A1
c1 (A1 −(x−xm ))/2
Z ∞
+ c1 (x − xm )
Fd3
0
t2
e− 2 dt)
−f ∗ ϕ(f ∗ )df ∗
{c1 (x − xm ) − (c1 A1 − f ∗ )}ϕ(f ∗ )df ∗
c 1 A1
ϕ(f ∗ )df ∗ ≡ Fd1 + Fd2 + Fd3 ,
1
d2
d1
f r1
f r2
f r1
σ1 {exp(− 12 ) − exp(− 12 )} +
{erf ( p 2 ) − erf ( p 2 )},
2π
2
8σ1
2σ1
2 2σ1
2σ1
1
= − c1 (x − xm − A1 )(d3 − d2 )
2
√
√
−d21
(−c1 A1 + f r1 )2
}
−
exp{−
}] − f r1 π(d3 − d2 ),
− 2σ1 [exp{−
2
2
2σ1
8σ1
−c1 A1 + f r1
1 1
p
)},
= c1 (x − xm ){ + erf (
2 2
2σ12
Fd1 =
Fd2
Rx
(2.29)
2.3 Blattfeder (Festigkeitslehre)
21
d1 = −c1 (A1 − x + xm ) + 2f r1 , d2 = erf (
√
1 −c1 A1 + f r1
2 d1
), d3 = erf ( √
)
4 σ1
σ1
2
Belastung vom unteren Umkehrpunkt
Fu =
+
Z
Z
c2 (A2 +(x−xm ))/2
f ∗ ϕ(f ∗ )df ∗
0
c 2 A2
c2 (A2 +(x−xm ))/2
Z ∞
+ c2 (x − xm )
{c2 (x − xm ) − (c2 A2 − f ∗ )}ϕ(f ∗ )df ∗
c 2 A2
ϕ(f ∗ )df ∗ ≡ Fu1 + Fu2 + Fu3 ,
(2.30)
1
u2
u1
f r2
f r2
f r2
σ2 {exp(− 22 ) − exp(− 22 )} +
{erf ( p 2 ) − erf ( p 2 )},
2π
2
8σ2
2σ2
2 2σ2
2σ2
1
= − c2 (x − xm + A2 )(u3 − u2 )
2
√
√
−u21
(−c2 A2 + f r2 )2
}
−
exp{−
}] − f r2 π(u3 − u2 ),
− 2σ2 [exp{−
2
2
2σ2
8σ2
1 1
−c2 A2 + f r2
p
= c2 (x − xm ){ − erf (
)},
2 2
2σ22
Fu1 =
Fu2
Fu3
u1 = −c2 (A2 + x − xm ) − 2f r2 , u2 = erf (
√
2 u1
1 c2 A2 − f r2
), u3 = erf ( √
),
4 σ2
σ2
2
(i.allg. c1 = c2 , σ1 = σ2 , f r1 = f r2 , A1 = A2 ).
Zum besseren Verständnis über statische und dynamische Kraft-Weg-Kennlinien der Blattfedern
braucht man noch einige Voraussetzungen, im nächsten Kapitel 4 werden sie genau untersucht.
2.3.1
Begriffsbestimmung und Aufgaben der Federn
Eine mechanische Feder kann als ein elastischer Körper definiert werden, dessen Hauptaufgabe es
ist, sich unter einer Last zu verbiegen oder zu verdrehen (oder Energie aufzunehmen), und der seine
ursprüngliche Form nach der Entlastung wieder annimmt (WAHL [22]).
Aufgaben der Federn sind:
• Abfangen von Stößen und Schwingungen
• Rückführen von beweglichen Maschinenteilen in ihre Ausgangslage
• Aufspeichern von Energie
• Einstellung einer bestimmten Kraft oder eines bestimmten Drehmoments
• Messen und Regeln von Kräften und Drehmomenten
• Entgleisungssicherheit bei Schienenfahrzeugen
22
• Übertragung von Kräften, usw.
Formen von mechanischen Federn sind:
• Schrauben- Zug- oder Druckfedern
• Schenkelfedern (Gewundene Biegefedern)
• Blattfedern
• Flachfedern
• Spiralfedern (Uhrwerkfedern)
• Tellerfedern
• Drehstabfedern
• Ringfedern, usw.
2.3.2
Blattfeder mit veränderlichem Querschnitt
Ausgangspunkt ist ein eingespannter Balken mit konstantem Querschnitt (Kragbalken). Die maximale
Biegespannung tritt an der Oberfläche des Balkens auf.
σ=
MB
MB h
z =⇒ σmax = ±
EI
EI 2
(2.31)
Ist h konstant, so hängt die Biegespannung von dem Biegemoment und der Biegesteifigkeit ab.
MB = F (x − L),
EI = E
bh3
12
(2.32)
( E: YOUNGscher Modul, b: Breite des Balkens, h: Dicke )
σmax = ±
MB h
12 h
= ±F (x − L)
.
EI 2
Ebh3 2
(2.33)
D.h. die Biegespannung bei x = 0 ist maximal und am Ende des Balkens Null. Man denke an eine
„effektive“ Nutzung des Werkstoffes, der Balken sei rhombisch mit Biegesteifigkeit EI ∼ 1/x , dann
wird die Biegespannung in ganzem Balken konstant.
In der Praxis werden meistens trapezförmige Blattfedern verwendet, da die Dreiecksspitze als
Krafteingriffsstelle ungeeignet ist. Eine andere Querschnittsform ist parabolisch für konstantes Biegemoment auf dem Balken. Beide Blattfedern werden bei Schienenfahrzeugen verwendet. Eine Trapezfeder würde an einem Schienenfahrzeug einen viel zu großen Raum beanspruchen. Daher wird
diese in Streifen geschnitten und diese Federblätter werden übereinandergelegt. Es entsteht eine geschichtete Blattfeder, bei dieser tritt Reibung zwischen den Blättern auf.
Zur einfachen Berechnung wird eine aus 8 Blättern bestehende Blattfeder als Feder mit Blättern
gleicher Länge angenommen.
• A = 2l(8b) − l(8b − b) = 9lb ; Fläche des Trapezblattes,
• a = 2lb ; Fläche des einzelnen Blattes
2.4 Fahrzeugdynamik und Simulation
23
P
P
B
h
L
h
x
z
b(x)
(a) konstanter Querschnitt
L
(b) veränderlicher Querschnitt
Abbildung 2.4: Ein am Ende eine Kraft eingreifender Kragbalken mit konstantem und veränderlichem
Querschnitt
B
P
b0
L
L
P
L1
4b0
b0
4b0
L8 = 2L
2P
(a) Aufbau einer geschichteten Blattfeder
(b) Proportionalitätsberechnung
Abbildung 2.5: Aufbau einer geschichteten Blattfeder (z.B. 5 Blätter) aus einem trapezförmigen Balken und ein Schema für Proportionalitätsberechnung
k 0 = A/a = 4.5 , d.h., die modellierte Blattfeder besteht aus 4.5 derselben Blättern. Bei der realen
Blattfeder sind die kurzen Blätter länger, als sie es bei einer entsprechenden Trapezfeder wären (L1 =
290(mm)), Daher wird der proportionale Faktor k 00 = 5.35.
Weiter besteht die reale geschichtete Blattfeder beim Experiment aus 8 verschiedenen Blättern:
L1 = 290(mm),
L5 = 965(mm),
L2 = 460(mm), L3 = 635(mm),
L6 = L7 = L8 = 1200(mm),
L4 = 795(mm),
Damit ist der proportionalen Faktor:
k = 809400(mm2 )/(1200 × 120(mm2 )) = 5.62.
Die äquivalente Blattfeder hat 5.62 Federblätter mit gleicher Länge.
2.4.1
Fahrzeugdynamik
Ein wichtiges Ziel der Fahrzeugdynamik bei Schienenfahrzeugen ist es, ein möglichst genaues mathematisches Modell zu erstellen, das das mechanische Verhalten des Fahrzeuges auf den Schienen beschreibt. Dabei steht das Rad/Schiene-Kontakt-Problem im Zentrum der Fahrdynamik, insbesondere
24
bei spurgebundenen Fahrzeugen. Man kann die Gesamtheit der Fahrzeugdynamik in drei Komponenten einteilen. (POPP [17])
• Fahrzeugmodell: dynamische und kinematische Eigenschaften der Fahrzeuge unter eingeprägten Kräften, usw.
• Trag- und Führsystemmodell: passive Feder- und Dämpfermodelle für die Verbindung der
Fahrzeugelemente, Kontaktmodelle zwischen Rad und Fahrweg, usw.
• Fahrwegmodell: elastische Fahrwegmodelle, stochastische Erregung des Fahrweges, usw.
Für jede dieser drei Komponenten gibt es geeignete mathematische Modelle. Wenn man die
drei mathematischen Beschreibungen zusammenfügt, ergibt sich ein Modell für Fahrzeug-FahrwegSysteme. Mit den Fahrzeug-Fahrweg-Systemen kann man weitere Beurteilungskriterien einführen,
z.B. Fahrstabilität, Fahrsicherheit, Fahrkomfort, usw.
Fahrzeugmodell
Es gibt verschiedene Beschreibungsmethoden des Fahrzeugmodells.
Kontinuumsmodell: Mit dem Modell kann man Verhältnisse der Festkörper und der Fluide gut beschreiben. Die Analyse der komplizierten Strukturen von Schienenfahrzeugen verursacht allerdings
grosse Schwierigkeiten, da die bei diesem Modell aus den Randbedingungen (der äusseren Gestalt
des Fahrzeuges) hervorgehenden Differentialgleichungen nicht leicht zu einer geschlossenen Lösung
aufzulösen sind. Im dynamischen Fall wird es sehr schwer, zwischen dem Einfluss der Starrkörperbewegungen und der Verzerrung der Fahrzeugelemente, obwohl letzterer vernachlässigbar ist. Sogar
wird die Trennung bei Starrkörperbewegung dominierenden Fahrzeugbewegungen überflüssig.
Modell mit „Finite Element Method“: Mit dem FEM-Modell kann man ohne grossen Aufwand
die meisten Konstruktionsprobleme bei Schienenfahrzeugen lösen. Trotz einiger Probleme bei der
Elementauswahl wird das FEM-Modell heute immer wichtiger, befindet sich aber noch in Entwicklungsphase. Nicht nur durch leistungsfähige Rechner, sondern auch durch zuverlässige kommerzielle
Programme für FEM-Modelle werden diese bei der Fahrzeugdynamik eine zunehmend wichtige Entwurfsmethode.
Mehrkörpersystem-Modell: Wenn Trägheitsmomente oder Massen der Fahrzeugteile erheblich
größer als die Verbindungselemete, z.B. Federn, Dämpfer, usw. sind und kinematische Größen der
Fahrzeuge als Verformungsgrößen dominieren, dann interessieren nur kinematische Größen der Fahrzeuge. Für diesen Fall wird das MKS-Modell sehr effektiv. In dieser Arbeit wird die Fahrzeugdynamik
durch das MKS-Modell analysiert.
Es gibt für das MKS-Modell zwei Lösungsverfahren. Erstens, „NEWTON-EULER-Methode“ ,
die auf Kraft- und Momentum-Bilanzgleichungen, zweitens, „D´ALEMBERT-LAGRANGE-Methode“ ,
die auf Änderung der Energie bei verallgemeinerte Koordinaten basiert. Jedenfalls ergibt sich ein
differentielles Bewegungsgleichungssystem 2. Ordnung oder eine DGL für ein Freiheitsgrad. Eine
Lösungsmethode dieser DGL ist die Darstellung des dynamischen Verhaltens des Fahrzeuges durch
Zustandsgrößen. Diese Methode ist schon bekannt im Bereich Nachrichtentechnik oder Verfahrenstechnik, auch bei Simulationsprogramm-Solvern wie ADAMS/Rail oder MATLAB.
25
Hinweise zur Zustandsraumdarstellung findet man für die Schwingungstechnik bei MÜLLER und
SCHIEHLEN [16]. Die Bewegungsgleichungen eines Fahrzeuges i.allg. lauten
M(y, t)ÿ(t) + k(y, ẏ, t) = q(y, ẏ, t)
(2.34)
Mÿ(t) + (D + G)ẏ(t) + (K + N)y(t) = h(t),
(2.35)
oder in linearisierter Form
wobei h(t) ein Erregervektor ist.
Sei der Zustandsvektor:
xF (t) =
y(t)
,
ẏ(t)
(2.36)
dann werden die linearen Bewegungsgleichungen zu:
ẋF (t) = AF xF (t) + BF uF (t),
dabei ist
AF =
0
E
.
−M−1 (K + N) −M−1 (D + G)
(2.37)
(2.38)
Trag- und Führsystemmodell und Fahrwegmodell
Die Trag- und Führsysteme eines Fahrzeuges werden auch durch lineare DGLn 1. Ordnung beschrieben.(POPP [17])
Tragsysteme:
cf˙ f˙(t) + cf f (t) = cċ ṡ(t) + cs S(t) + cu u(t), f (0) = f0
(2.39)
(f: Kraft, s: Verschiebung)
=⇒
ẋT (t) = AT xT (t) + BT uT (t).
Führsysteme: Für die Kontaktkräfte gilt f k = −F · v k , dann wird die Zustandsgleichung
AL xL (t) + BL uL (t) = 0.
(2.40)
Fahrwegmodell: Es gibt ein starres und ein elastisches Farhwegmodell. Für das starre Modell kann
man mit stochastische Erregung, für das elastische Modell mit Modalschwingungen den Fahrweg nachbilden.
Modell für Fahrzeug-Fahrweg-Systeme
Nach der Aufgabenstellung kann man aus Gesamtsystemen gewünschte Größen untersuchen. Z.B.,
wenn man eine laterale Bewegung interessiert,
−1
ẋF = (AF − BF CF L A−1
L BL CF L )xF − BF CF L AL BL CLW xw ,
(2.41)
xF (0) = xF 0 ,
(2.42)
oder kleine vertikale Schwingungen
  
ẋF
AF
BF CF T
ẋT  = BT CT F
AT
ẋE
0
BE CET

 

xF
0
BT CT W CW E  xT  +  0  wP .
AE
xE
BE CEP
0
2.4.2
26
Computersimulation der Fahrzeugdynamik
Heute ist es nicht mehr vorstellbar, Schienenfahrzeuge ohne Computer zu entwerfen, z.B. mit DesignProgrammen, Berechnungsprogrammen, Darstellungsprogrammen und sogar Simulatonsprogrammen.
Für Schienenfahrzeuge sind mehrere Simulationsprogramme bekannt: ADAMS/Rail, MEDYNA, Nucars, Vampire, SIMPACK, Gensys, usw. Ein effektives Simulationsprogramm ist ein besonders wichtiges Forschungsmittel für Ingenieure. Seit einigen Jahren werden am FG Schienenfahrzeuge an der
TU-Berlin als Untersuchungsmethode die Programme ADAMS/Rail und MEDYNA benutzt. Folgender Artikel über ADAMS/Rail aus den MDI-Webseiten wird hier zitiert1 .
ADAMS/Rail is a specialized virtual prototyping environment that enables you to
completely and accurately model your new railway vehicle designs, then realistically
simulate and visualize the full-motion behavior of these designs without leaving your engineering workstation. With ADAMS/Rail, you can quickly and easily build complete,
parameterized railway vehicle models, defining suspensions, wheelsets, rail-wheel contact, and other vital characteristics. You can then run these models through a battery of
kinematic, static, and dynamic simulations to determine vehicle stability, derailment safety, clearance, track load, passenger comfort, and more.
„How You Benefit from Using ADAMS/Rail“
ADAMS/Rail enables you to work faster and smarter, giving you more time to study
and understand how design changes affect vehicle performance.
ADAMS/Rail enables you to: Explore the performance of your design and refine your
design before building and testing a physical prototype. Analyze design changes much
faster and at a lower cost than physical prototype testing. You can, for example, change
springs with a few mouse clicks instead of waiting for a mechanic to install them before testing your design again. Vary the kinds of analyses faster and more easily than
modifying instrumentation, test fixtures, and test procedures. Work in a more secure environment without the fear of losing data from instrument failure or testing time because
of poor weather conditions. What used to take weeks, months, or even years to physically
model and test can now be done in just hours with ADAMS/Rail. You see how your vehicle prototypes will move and where the potential problems are. You can plot your results
in graphs or view them in high-speed animation. And the results you get are accurate–you
can rely on them to guide you in efficient vehicle design. ADAMS/Rail helps you to reduce development time and cost while improving the quality of your designs. In the past, the
time and expense of physical prototyping made multiple railway vehicle design iterations
impractical. Now, with ADAMS/Rail, you can quickly explore hundreds or thousands of
variations, testing and refining your design in order to optimize its performance.
Simulationsprogramme sind sicher ein effektives Entwicklungsmittel, aber sie haben einige Nachteile: Sie basieren auf abstrahierten, d.h. vereinfachten Funktionsbeschreibungen der einzelnen Komponenten d.h. vor allem der Federn und Dämpfer. Bei extremen Lastfällen stimmen diese Formeln
nicht mehr und die Simulationsergebnisse weichen stark von den tatsächlichen Verhältnissen ab.
Weiterhin gibt es keine absolute Sicherheit vor solchen Programmfehlern, die sich in den meisten Fällen nicht auswirken, daher beim Testen der Software übersehen werden können und sich in
Sonderfällen möglicherweise fatal auswirken.
1
http://www.adams.com/solutions/rail/
27
Daher hat man im Jahr 1997 in Manchester einige Kriterien zum Test der Simulationsprogramme
vereinbart, die sog. „Manchester Benchmark“. KURZECK [11] am FG Schienenfahrzeuge der TUBerlin hat nach diesen Kriterien und weiteren Gesichtspunkten zwei weltweit verbreitete Programme,
nämlich ADAMS/Rail und MEDYNA, untersucht und verglichen. Sein Fazit lautet, dass das Simulationsprogramm MEDYNA besser als ADAMS/Rail ist.
Ein grosser Vorteil der Simulationsprogramme ist die Kostenersparnis während der Entwicklungsphase. So lässt sich nicht jede kleine Variation eines Fahrzeuges während jeder Entwicklungsphase
testen, aber mit den Optimierungstools eines Simulationsprogrammes kann man solche Variationen
prüfen.
Ein weiterer Vorteil ist die Untersuchung fiktiver Situationen wie z.B. Zusammenstösse, Flugzeugabstürze, Explosionen, Kernreaktor und eben auch die Entgleisung von Schienenfahrzeugen, deren
tatsächliche Untersuchung zu aufwendig und zu gefährlich wäre.
Ingenieure möchten mit einem Simulationsprogramm eine fiktive extreme Situation nachbilden,
die wesentlichen Faktoren untersuchen sowie Gegenmaßnahme finden. Leider sind viele Simulationsprogramme nicht für extreme Situationen vorprogrammiert, so dass sie hierfür unbrauchbare Ergebnisse liefern oder angehalten werden. Z.B. wird das Programm „MEDYNA“ gestoppt, wenn der
Rad-Schiene-Kontakt verloren geht.
In dieser Arbeit wird die extreme Situation „Entgleisung“ bei Schienenfahrzeugen untersucht und
mit einem Computer-Algorithmus nachgebildet und mit experimentellen Daten verglichen.
Kapitel 3
Versuchstechnische Einrichtung
3.1 Entgleisungsversuche
3.1.1
Einleitung
Bei einer Entgleisungsdetektion handelt es sich somit um eine passive Sicherheitsmaßnahme1 .
potentielle Schadenausmaß
• Beschädigung des Gleises
• Kollision mit ... Gegenverkehr, Bahnsteigen, Brückenpfeilen, Tunnelportalen.
• Absturz von ... Brücken, Dämmen
Ohne Entgleisungsdetektion dauert es zumeist sehr lange, bis der Lokführer eine Entgleisung in
seinem Zug wahrnehmen und reagieren kann. In dieser Zeit zerstört der entgleiste Wagen oft mehrere Kilometer Gleis und kann das Lichtraumprofil verlassen. Letzteres führt zur Gefährdung von
Personen und an Bahnübergängen und Bahnhöfen. Außerdem läuft der entgleiste Wagen Gefahr, mit
einem Tunnelportal, einem Brückenpfeiler oder gar mit einem entgegenkommenden Zug zu kollidieren. Die möglichen katastrophalen Folgen einer Entgleisung werden noch verheerender, wenn bei dem
havarierenden Fahrzeug ein Gefahrgut austritt, was neben der Gefährdung von Menschen auch eine
Gefährdung der Umwelt darstellt.
Der Schaden, den eine Entgleisung anrichten kann, kann also enorme Ausmaße annehmen. Aus
diesem Grund ist das Risiko, das von einem Gefahrguttransport auf der Schiene ausgeht, trotz einer
relativ geringen Entrittswahrscheinlichkeit erheblich.
3.1.2
Die Entgleisungsdetektion mittels Telematik
Der Begriff Telematik setzt sich aus den Wörtern Telekommunikation und Informatik zusammen.
Die Telematik befasst sich also mit dem Transport und der Verarbeitung von Information. Der Einsatz von Telematik erhöht die passive Sicherheit deutlich, wenn es gelingt, eine Entgleisung sofort
nach ihrem Auftreten zuverlässig zu detektieren, und den Lokführer darüber zu informieren. Dieser
kann schnellstmöglich die Bremsung einleiten, wodurch die oben beschriebenen Schadensszenarien
unwahrscheinlicher werden, das potentielle Schadensausmaß also verringert wird. Dabei misst ein
1
Dieser Abschnitt wurde von dem Bericht 11/00 durch SCHIRMER [18] am FG Schienenfahrzeuge, TU-Berlin zitiert
28
29
Sensor eine geeignete Messgröße und leitet die Signale an eine Telematikbox auf dem Fahrzeug weiter. Diese hat zum einen die Aufgabe, die Daten so aufzubereiten, dass eine Entgleisung durch den
Vergleich mit Referenzwerten sicher erkannt werden kann. Zum anderen muss sie im Falle einer Entgleisung den Lokführer über den Zugbus oder über Funk benachrichtigen.
Zu vermeiden ist dabei unbedingt ein Fehlalarm. Dieser würde hohe Kosten für Betreiber nach
sich ziehen, da die Strecke durch einen unplanmäßig zum Stillstand gebrachten Zug blockiert wird.
Bis überprüft ist, ob es sich wirklich um eine Entgleisung handelt, kann leicht eine Stunde vergehen.
Verspätungen aller nachfolgenden Züge in einer Größenordnung von Stunden wäre die Folge.
3.1.3
Versuchsbeschreibung
Das Versuchsgleis
Die Versuche wurden auf einem Schottergleis mit Holzschwellen der Firma InfraServ GmbH & Co
HOECHST KG, Verkehrstechnik in Frankfurt am Main durchgeführt. Holzschwellen haben gegenüber Betonschwellen den Vorteil, widerstandsfähiger gegen Entgleisungen zu sein. Aufgrund der erheblichen Vorspannung und Sprödheit kommt es bei Betonschwellen eher zum Zerbrechen.
Schienenstoss
Fahrtrichtung
Schienenstoss
100 m
Beschleunigung
5m
Gleissperre
50 m
Beharrung
150 m
Schleppen
Abbildung 3.1: Grafische Darstellung des Vesuchsgleises
Vor dem Versuch sind umfangreiche Arbeiten an dem ca. 300 m langen Gleis durchgeführt worden, um einen reibungslosen Versuchablauf garantieren zu können. Ca. 50m nach den Schienenstößen
ist eine Gleissperre installiert worden, die im Versuch die Entgleisung hervorruft. Bei einer Gleissperre handelt es sich um eine sogenannte Flankenschutzeinrichtung, die z.B. Hauptstrecken schützt. Sie
besteht aus einem Tragwinkel und einem darum drehbaren Entgleisungsschuh, der das auffahrende
Rad zuerst anhebt und dann aus dem Spurkanal ins Gleisbett lenkt.
(a)
(b)
Abbildung 3.2: Die auf die Schiene geklappte Gleissperre(a), im Vordergrund die Führungsschiene(b)
Die Art der Entgleisung spielt für den Versuch keine Rolle, da für die Entgleisungsdetektion nicht
30
die Entgleisung an sich, sondern die Fahrt auf Schotter und Schwelle als Alarm auslösendes Moment
verwendet werden soll. Da nicht der ganze Zug, sondern nur das nachlaufende Drehgestell des letzten
Wagens entgleisen sollte, musste ein Mechanismus entwickelt werden, der die Gleissperre erst nach
dem vorlaufende Drehgestell des Versuchsfahrzeuges auf die Schiene klappen ließ.
(a)
(b)
Abbildung 3.3: Klappemechanismus der Gleissperre
Am häufigsten ist im Betrieb der Fall, dass ein Wagen bzw. ein Drehgestell innerhalb des Zugverbandes entgleist. Dieser Wagen wird durch die Zugkraft, die durch ihn hindurch geleitet wird,
zentriert. Die Räder des entgleisten Drehgestells werden deshalb meistens in der Nähe der Schienen bleiben und auf den Schwellen rollen. Um diesen wahrscheinlichsten Zugstand im Versuch trotz
der Verwendung eines Endwagens als Versuchswagen sicher abbilden zu können, wurde in Höhe
der Gleissperre eine Zwangsschiene von knapp 3m Länge eingebaut, die das entgleiste Drehgestell
auf den richtigen Kurs lenken sollte. Für die Versuche mit dem beladenen Fahrzeug musste diese
Zwangsschiene jedoch auf 12m verlängert werden. Nach der Gleissperre standen weitere 150m Gleis
für den Schleppversuch zur Verfügung.
Das Versuchsfahrzeug
Die Firma EVA Eisenbahn-Verkehrsmittel-Gesellschaft mgH in Düsseldorf stellte zwei vierachsige
Kesselwagen sowie ein Ersatzdrehgestell für die Versuche zur Verfügung. Einer der beiden Kesselwagen fungierte dabei als Versuchswagen, der mit der Messtechnik ausgerüstet wurde, der andere
dagegen als Schutzwagen, der bei den Versuchen zum Schutz der Lokomotive zwischen Lokomotive
und Versuchswagen gehängt wurde.
Abbildung 3.4: Lokomotive, Schutzwagen, Versuchswagen
31
Bei dem Versuchsfahrzeug handelt es sich um einen Mineralöl-Kesselwagen. Das Fahrzeug wiegt
leer 20600 kg und hat ein Fassungsvermögen von 57885 l. Das Drehgestell, das bei den Versuchen
entgleist wurde, ist der Bauart DG-BA 661.1 mit großen Ausschnitten und einer maximal zulässigen
Achslast von 20 t. Der Achsstand beträgt 1800 mm, der Raddurchmesser 920 mm. Das Eigengewicht
liegt bei 4600 kg.
Der Messaufbau
Die TU-Berlin hat insgesamt 26 Messgrößen (Beschleunigen, Relativwege und Fahrgeschwindigkeit)
während der Entgleisung gemessen. Im folgenden soll der Messaufbau ausgehend von den Sensoren
beschrieben werden.
• Die Wege zwischen Radsatz, Drehgestell- und Fahrzeugrahmen sind mit Seilzugwegaufnehmern der Firma ASM GmbH aus Moosinning München, Typ WS10 aufgenommen worden. Bei
diesen Sensoren wird durch die zu messende Bewegung ein Seil von einer unter Federspannung
stehenden Rolle ab- bzw. aufgerollt was wiederum ein Präzisionspotentiometer verstimmt. Eine
Spannung, die sich proportional zur Auslenkung des Seils verhält, stellt das Messsignal dar.
s2
s3
s1
Zugende
s4
Fahrtrichtung
(a)
(b)
Abbildung 3.5: Abgriffspunkte der Relativbewegungen in Vertikalrichtung zwischen Radsatz und
Drehgestellrahmen: S1 , S2 , S3 , S4
Montagebleche
Fahrtrichtung
S7
Zugende
S6
S5
(a)
(b)
Abbildung 3.6: Abgriffspunkte der Relativbewegungen in Quer- und Längsrichtung zwischen Radsatz
und Drehgestellrahmen: S5 , S6
• Neben den Wegen wurden an 12 Stellen des Fahrzeugs Beschleunigungen aufgenommen. Die
Beschleunigungen wurden mit Aufnehmern der Firma Brüdel & Kjaer, Typ 4502 und 4503 ge-
32
S13
S10
Zugende
Fahrtrichtung
S12
S8
Fahrtrichtung
(b) S10
(a)
(c) S12 , S13
Abbildung 3.7: Abgriffspunkte der Relativbewegungen in Vertikalrichtung zwischen Drehgestell- und
Fahrzeugrahmen: S8 , S9 , S10 , S11 , (c) S12 , S13
messen. Es handelt sich hierbei um Aufnehmer, die nach dem piezoelektrischen Prinzip arbeiten
und in einem Frequenzbereich von 1 Hz bis 20 kHz eingesetzt werden können.
Fahrtrichtung
Zugende
a8
a5
a7
a4
a12
a3
a6
Fahrtrichtung
a11
a10
a9
a2
Gerätekasten
a1
a8
a5
a7
a4
a6
a3
a2
a1
(a)
(b)
Abbildung 3.8: Applikation der Beschleunigungsaufnehmer am Radsatz und am Fahrzeugrahmen:
a1 ∼ a12
• Desweiteren wurde ein Mikrowellensensor der Firma Datron-Messtechnik GmbH an eine Trittstufe zur Bremserbühne angebracht, der die Fahrgeschwindigkeit des Versuchsfahrzeuges aufnahm. Im Mikrowellensensor ist eine Planarantenne eingebaut, die eine Radarwelle mit der Frequenz von über 24 GHz aussendet. Gleichzeitig empfängt sie die vom Untergrund reflektierte
Welle. Gemäß dem DOPPLER-Effekt wird aus der Frequenzdifferenz zwischen der ausgesendeten und der empfangenen Welle die Fahrgeschwindigkeit ermittelt.
Entgleisungsversuche mit dem leeren und beladen Fahrzeug
Die Versuche mit einem leeren Fahrzeug (Gesamtgewicht 20.6 t) für die Geschwindigkeiten 15, 25,
35 und 45 km/h (gemessen 13, 26, 38 und 43 km/h) durchgeführt. Für die anderen Versuche wurde
das Fahrzeug mit 58t Wasser gefüllt. Das Fahrzeug wurde danach gewogen und brachte 78.8t auf die
Waage. Die Achslast betrug nun 19.65t. Die gefahrenen Geschwindigkeiten sollten 15, 25 und 35
km/h betragen (gemessen 16, 25 und 37 km/h).
3.2 Messung der Blattfeder
(a)
33
(b)
Abbildung 3.9: (a) Beschleunigungsaufnehmer, (b) eingebauter Mikrowellensensor
3.2.1
Technische Einrichtung
Hydropulser und Datenerfassung
Alle Messungen wurden auf einer Universal - Schwingungsprüfmaschine vom Typ „HUS 40“ der Firma MFL Prüf - und Messsysteme GmbH an der TU-Berlin, Fachgebiet Schienenfahrwege,
durchgeführt. Erste Messungen wurden vom 12. 01. 2001 bis
16.01.2001 durch Herrn Dipl.-Ing. A. SCHIRMER und zweite
Messungen vom 7.03.2001 bis 14.03.2001 durch Herrn cand.-Ing.
A. MEURER, FG Schienenfahrzeuge, durchgeführt.
Es handelt sich um eine Hydropulsmaschine mit zweiseitig hydraulisch beaufschlagten Arbeitskolben und elektrohydraulischer
Regelung. Die Federn werden mit den Schaken in ein angefertigtes
Prüfgestell eingehängt. Gemessen werden die ausgeübte Kraft (Federkraft) und die Durchsenkung (vertikale Federauslenkung). Die
Federkraft wird dazu mittels einer Kraftmessdose aufgenommen,
die zwischen dem Blattfederbund und dem Prüfstempel angebracht
ist. Da die Federauslenkung gleich dem Verfahrweg des Prüfstempels ist, wird das entsprechende Wegsignal von der Steuerung des
Prüfstandes abgegriffen und zur Messung verwendet. Alle Messsignale werden mit einer Abtastraste von 100 Hz aufgenommen. Die Abbildung 3.10: Messaufbau für
Signale werden von einem Messverstärker Typ „µ-musics“ der Fir- vertikale Federeigenschaft
ma imc verstärkt und auf einem Computer gesichert. Die gemessenen Signale werden dann an die Signalanalysesoftware FAMOS übergeben (SCHIRMER [18]),(MEURER [15]). Mit Hilfe von FAMOS
lassen sich die Daten dann editieren. Das Programm ermöglicht es, die Messdaten zu kombinieren.
Geschichtete Blattfeder(Trapez)
Als Messobjekte dienen zur ersten Messung vier gebrauchte Trapezfedern, zur zweiten Messung acht
gebrauchte und vier neue Trapezfedern. Die gebrauchten Federn wurden zwei Drehgestellen der zu
untersuchten Bauart DB 664 entnommen. Die beiden Drehgestelle waren unter einem Güterwagen
unter normalen Betriebsbedingungen im Einsatz. Vor dem Ausbau aus dem Drehgestell wurden die
34
Abbildung 3.11: Eine eingebaute geschichtete Blattfeder im Güterwagen
Federn durchnummeriert. Jede Feder wurde mit einer Ziffer für die Achse und mit „R“ oder „L“ für
rechts und links gekennzeichnet. So entstammt beispielsweise die „FEDER 1R“ der rechten Seite der
ersten Achse des Drehgestells (MEURER [15]).
3.2.2
Beschreibung der Experimente
Untersuchung der statischen Eigenschaft
Die statischen Messungen dienen zunächst zur Ermittelung der statischen Kennlinie der Trapezfedern.
Zur Ermittlung der statischen Kraft-Weg-Kennlinie wird die Blattfeder quasistatisch (2kN/s) mit
einer kontinuierlich steigende Federkraft bis zu einem Maximalwert von 135kN beaufschlagt und
dann wieder entlastet. Diese Belastung berücksichtigt den Zustand maximal zulässiger Beladung des
Güterwagens, der mit 11.25t Radlast etwa 110kN entspricht. Jede Messung wird dreimal wiederholt
(MEURER [15]).
sf
55.13
Fz
59.80
Fz
64.47
69.14
73.81
78.48
83.15
87.82
92.49
97.16
101.83
106.50
111.17
115.84
120.51
-0.90
4.32
9.55
14.77
20.00
25.23
30.45
35.68
40.90
46.13
51.35
56.58
s
(a) Zeitverlauf
61.81
67.03
72.26
77.48
mm
(b) Kraft-Weg-Kennlinie
Abbildung 3.12: (a) Zeitlicher Verlauf der Federkraft und Durchbiegung; obere Linie: Durchbiegung,
untere Linie: Federkraft, (b) Statische Kraft-Weg-Kennlinie
Untersuchung der dynamischen Eigenschaft
Durch die dynamischen Messungen soll abschließend die für die Simulation notwendigen Kennlinie
gewonnen werden. Hierbei ist zu unterscheiden, ob eine Kennlinie auch tatsächlich verschiedenen Belastungsfälle, z.B. eine variierende Belastungsgeschwindigkeit oder verschiedene Belastungszustände, berücksichtigt. Zur Ermittlung der dynamischen Kraft-Weg-Kennlinien wird die im Prüfgestell
35
befindliche Feder durch eine Vorspannung belastet. Danach wird sie durch harmonisch Sinusschwingungen angeregt. Folgende Parameter werden bei der Durchführung des Messprogramms variiert:
Frequenz: 1Hz, 2Hz, 3Hz, 5Hz, 10Hz, 20Hz
Erregungsamplitude: 1kN, 2kN, 5kN, 10kN, 15kN, 20kN, 50kN
Vorspannung: 20kN, 40kN, 60kN, 80kN, 100kN
Zustand: trocken, nass
Höhere Frequenzen (über 50 Hz) sind auf der zur Verfügung stehende Prüfmaschine nicht möglich(MEURER [15]).
sf
Fz
Fz
kN
59.31
50.30
41.28
32.27
23.25
14.24
11:12
11:13
11:14
11:15
11:16
11:17
11:18
11:19
16.1.01
5.22
7.15
8.70
10.25
11.80
13.35
14.91
16.46
18.01
19.56
21.11
22.66
24.21
25.76
(a) Zeitverlauf
27.32
28.87
30.42
31.97
mm
h:m
Abbildung 3.13: (a) Zeitlicher Verlauf der Kraft und Durchbiegung; obere Linienschar: Durchbiegung,
untere Linienschar: Federkraft, (b) Dynamische Kraft-Weg-Kennlinie
Die Größe der Amplitude lässt sich entweder über den Weg oder die Kraft steuern. Üblicherweise
geschieht dies über den Weg. Da dieser Faktor für Ergebnisse ohne Bedeutung ist, wurde bei diesen
Messungen, aus sicherheitstechnischen Überlegungen, eine Steuerung der Kraft bevorzugt.
Kapitel 4
Modellbildung und Modellrechnung
4.1.1
MKS-Modell für einen Güterwagen
Interessiert man sich für kinematische Größen des Schienenfahrzeuges, ist das MKS-Modell gut geeignet. Der bei Entgleisungsversuchen gebrauchte Kesselwagen besteht aus 4 Teilen: Kessel, (Mineralöl), Untergestell und zwei Laufwerke. Ein Laufwerk besteht wieder aus einem Drehgestellrahmen
und zwei Radsätzen. Die Masse der Verbindungselemente zwischen Radsätzen und Drehgestell - geschichtete Blattfedern - ist vernachlässigbar im Vergleich zu den Radsätzen und dem Drehgestell.
Also besteht der Kesselwagen aus 8 Starrkörpern. Die Abbildung 4.1 zeigt den Kesselwagen und das
Laufwerk Typ DB 661.1.
(a) Kesselwagen
(b) Laufwerk
Abbildung 4.1: Kesselwagen und Laufwerk Typ DB 661.1
4.1.2
Koordinatensysteme für Kesselwagen
Koordinatensysteme
Jeder Starrkörper hat 6 Koordinaten, 3-Translationen und 3-Rotationen, daher hat ein Kesselwagen 8
körperfeste Koordinatensysteme und insgesamt 48 Koordinaten. Zur Beschreibung des Schienenfahrzeuges braucht man noch weitere Koordinatensysteme: ein Inertialsystem1 , ein mit dem Fahrzeugen
bewegtes Koordinatensystem, das auf die Fahrwegebene bezogen ist und ein Bahnkoordinatensystem.
Das Bahnkoordinatensystem wird als eine Raumkurve angenommen, sog. das FRENETsche begleitende Dreibein. Aber für die Entgleisungsversuche werden Koordinatensysteme sehr viel einfacher,
da die Versuche auf kurzen geraden Strecken durchgeführt werden.
1
Es gibt eigentlich kein Inertialsystem, und sollte besser ein raumfestes Bezugssystem genannt werden.
36
37
Benennung der Koordinatensysteme
Translatorische Bewegung: Hier wird das Rechtshandsystem zu Koordinatensystemen verwendet.
Die Fahrtrichtung wird als Xi (im Inertialsystem), seitlich als Yi , senkrecht nach oben als Zi bezeichnet. Die körperfesten Koordinatensysteme in den Hauptachsen wurden als griechische Buchstaben ξi ,
ηi , ζi eingezeichnet. Die translatorischen Bewegungen haben in der Fahrzeugdynamik eigene Namen:
X
Zucken
Y
Querschwingungen
Z
Tauchen.
Rotatorische Bewegung: Zur Beschreibung der Rotation braucht man Drehmatrizen aus 3 Drehwinkeln um die Hauptachsen. Von zahlreichen Möglichkeiten zur allgemeinen Drehungen durch 3
Drehwinkel sollen KARDAN-Winkel αi , βi , γi und EULER-Winkel ϕi , θi , ψi verwendet werden.
Die KARDANschen und EULERschen Drehwinkel haben ebenfalls eigene Namen:
αi
Rollen (od. Wanken)
βi
Nicken
γi
Gieren (od. Schleudern)
ϕi
Präzession
θi
Nutation
ψi
Spin.2
Bei kleinen Drehungen lassen sich die KARDANsche Winkel direkt den Rotationsbewegungen
um die körperfesten Achsen zuordnen. Die EULERsche Winkel werden i.allg. für eine Kreiselbewegung z.B. Erderotation, Radsätze verwendet.
1. Translation: körperfeste Koordinatensysteme und Koordinaten
• Wagenkasten(Untergestell, Kessel):
– ξLW , ηLW , ζLW ; leer,
– ξBW , ηBW , ζBW ; beladen
• Vorderes Drehgestell: ξDV , ηDV , ζDV
• Hinteres Drehgestell: ξDH , ηDH , ζDH
• Vorderer Radsatz im vorderen Drehgestell: ξRV 1 , ηRV 1 , ζRV 1
• Hinterer Radsatz im vorderen Drehgestell: ξRV 2 , ηRV 2 , ζRV 2
• Vorderer Radsatz im hinteren Drehgestell: ξRH1 , ηRH1 , ζRH1
• Hinterer Radsatz im hinteren Drehgestell: ξRH2 , ηRH2 , ζRH2
2. Rotation: körperfeste Koordinatensysteme und Koordinaten, EULERsche Winkel für Radsätze,
KARDANsche Winkel für Drehgestelle und Wagenkasten.
EULERsche Winkel:
ϕ → Präzession, θ → Nutation, ψ → Spin
KARDANsche Winkel: α → Rollen ,
β → Nicken,
γ → Gieren
2
In der Physik verwechselt man häufig die Winkel ϕ und ψ.
38
• Wagenkasten(Untergestell, Kessel):
– αLW , βLW , γLW ; leer,
– αBW , βBW , γBW ; beladen
• Vorderes Drehgestell: αDV , βDV , γDV
• Hinteres Drehgestell: αDH , βDH , γDH
• Vorderer Radsatz im vorderen Drehgestell: ϕRV 1 , θRV 1 , ψRV 1
• Hinterer Radsatz im vorderen Drehgestell: ϕRV 2 , θRV 2 , ψRV 2
• Vorderer Radsatz im hinteren Drehgestell: ϕRH1 , θRH1 , ψRH1
• Hinterer Radsatz im hinteren Drehgestell: ϕRH2 , θRH2 , ψRH2
Die Kennzeichnen werden für eine bessere Darstellung in i = 1, ..., 8 umbenannt.
• LW → 1
• BW → 2
• DV → 3
• DH → 4
• RV 1 → 5
• RV 2 → 6
• RH1 → 7
• RH2 → 8
4.1.3
Trägheitsmomente
Zur Herleitung der Bewegungsgleichungen von MKS ist nicht nur die kinematische Beschreibungen,
sondern auch die Bestimmung der dynamischen Einflüsse erforderlich, sog. Trägheitsmomente.
Trägheitstensor
Da sich jede Bewegung eines starren Körpers aus einer Translation und einer Drehung des körperfesten Koordinatensystems um O zusammensetzt, ist die im Inertialsystem gemessene Geschwindigkeit
v I eines körperfesten Punktes P gleich
v I = v O + ω × r,
(4.1)
mit
vO :
ω:
r:
Geschwindigkeit des Ursprungs O im Inertialsystem,
Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers im Inertialsystem,
Ortsvektor von P im körperfesten Koordinatensystem.
Die Translationsgeschwindigkeit v O hängt von der Lage des Bezugspunktes O im starren Körper
ab, hingegen ist die Winkelgeschwindigkeit ω davon unabhängig; sie ist der Drehung des Körpers
eindeutig zugeordnet.(KUYPERS [12])
39
Man nimmt an, dass der starre Körper aus n Massenpunkten mα besteht. Mit GL. (4.1) findet man
T =
n
n
X
X
mα 2
mα
ω × r α )}2
v Iα =
{v O + (ω
2
2
α=1
α=1
n
=
n
X
X mα
M 2
ω × r α )2
v O + (v O × ω ) ·
(ω
mα r α +
2
2
α=1
(4.2)
α=1
P
M = nα=1 mα : Gesamte Masse des Körpers. Der erste Term ist bekanntlich die Translationsenergie
Ttrans , der dritte Term die Rotationsenergie Trot und der mittlere Term eine „wechselseitige“ Energie
Tw . Diese hängt von der Lage des körperfesten Koordinatenursprungs ab. Für dessen Wahl ist es
entscheidend, ob der Starrkörper frei ist oder Zwangsbedingungen einen Punkt des Körpers festlegen.
Ist der starre
PnKörper frei, so wird der Koordinatenursprung O am besten in den Schwerpunkt S gelegt.
Dann ist α=1 mα rα = 0 und die wechselseitige Energie Tw verschwindet:
T = Ttrans + Trot .
Geschrieben wird der zweite Term Trot :
Trot =
n
X
mα
α=1
1
ωi ωj (xαk xαk δij − xαi xαj ) =: Iij ωi ωj ,
2
2
wobei
δij =
1
0
(4.3)
für i = j,
für i 6= j.
P
Iij = nα=1 mα (xαk xαk δij − xαi xαj ) heisst „Trägheitstensor“ 2. Ordnung. Bildet der Starrkörper
ein Kontinuum, so gilt:
ZZZ
Iij =
ρ(x1 , x2 , x3 ){xk xk δij − xi xj } dV,
(4.4)
V
oder symbolisch
I=
ZZZ
ρ(r){r 2 E − r ⊗ r} dV.
(4.5)
V
Trägheitstensor des Kesselwagens
Das in eine CAD-Funktion integrierte Programm ADAMS/Rail berechnet automatisch eine Masse
und ein Trägheitsmoment, wenn man geometrische Form und materielle Eigenschaften eingibt. Aber
für die Entwicklung eines komplizierten Fahrzeugteils ist ein Programm mit eigener CAD-Funktion
nicht gut geeignet, so braucht man ein spezielles CAD-Programm, z.B. AUTOCAD. Heute kann das
Programm ADAMS/Rail eine CAD-Datei importieren und dynamische Eigenschaften berechnen.
Eigenschaften des in dieser Arbeit behandelten Kesselwagens können zur Simulation einfacher
reduziert werden. Mit vereinfachten Fahrzeugteilen kann man ohne Hilfe des Simulationsprogramms
Massen und Trägheitsmomente3 analytisch berechnen.
3
Man kann die Rechnung der Trägheitstensoren im Buch von GOODBODY [4] finden.
40
Kessel: Der Kessel wird nach DIN 26 010 hergestellt. Daten sind:
• Durchmesser: 2500(mm)
• Gesamte Länge: 12300(mm) ( davon 2 × 515(mm) Kesselboden )
• Kesselbodenradius: 2500(mm)
• Wanddicke(Mittelbereich): 5(mm)
• Wanddicke (Kesselboden): 7.5(mm)
• Eigengewicht (inklusive: Drehgestellen und Untergestell): 21800(kg)
• Material: nach DIN 17155 Blech HI , Dichte = 7.85(kg/dm3 ) = 7850(kg/m3 )
• Volumen: 58(m3 ).
Die berechneten Massen betragen:
• mKessel = 4089(kg) ≈ 4.1t
• mU ntergestell = 8.51t
• mLauf werk = 2 × 4.60t.
Mit symbolischer Darstellung ist der Trägheitstensor für den Kessel um Massenmittelpunkt.
a2
a2
l2
(E − eξ1 eξ1 ) + (E − eη1 eη1 ) + (E − eζ1 eζ1 ))
2
2
3
= 5417eξ1 eξ1 + 39405(eη1 eη1 + eζ1 eζ1 )
IZ (OK ) = mZ (
(4.6)
(mZ = 3467(kg), a = 1.25(m), l = 5.135(m)): Kesselzylinder-Mittelbereich,
mb a2
(− sin2 θ − 2 cos θ + 2){(E − eη1 eη1 ) + (E − eζ1 eζ1 )}
6(1 − cos θ)
mb a2
+
(cos2 θ + cos θ + 1){E − eξ1 eξ1 }
3
= 249eξ1 eξ1 + 1819(eη1 eη1 + eζ1 eζ1 )
0
IB (OK
)=
IB (OK ) =
0
IB (OK
)
(4.7)
2
+ mb d (E − eξ1 eξ1 )
= 249eξ1 eξ1 + 5963(eη1 eη1 + eζ1 eζ1 )
(4.8)
(θ = arcsin(1.25/2.5) = 0.524(rad), R = 2.5(m), d = 3.65(m), mb = 311(kg)): Kesselboden, mit
STEINERschem Satz.
Der Trägheitstensor des gesamten Kessels ist
IK (OK ) = IZ (OK ) + 2IB (OK ) = 5915eξ1 eξ1 + 51330(eη1 eη1 + eζ1 eζ1 ).
(4.9)
41
Untergestell: Das Untergestell ist eigentlich leiterförmig, wird aber der Einfachheit halber als Quader mit Hohlraum im mittleren Bereich angenommen.
M 0 02
{a (E − eξ1 eξ1 ) + b02 (E − eη1 eη1 ) + c02 (E − eζ1 eζ1 )}
3
M 00 002
{a (E − eξ1 eξ1 ) + b002 (E − eη1 eη1 ) + c002 (E − eζ1 eζ1 )}
−
3
= 15658eξ1 eξ1 + 193108eη1 eη1 + 208670eζ1 eζ1 .
IU (OU ) =
(4.10)
(M 0 = 87995(kg), M 00 = 79484(kg), a0 = 7.2(m), b0 = 1.497(m), c0 = 0.13(m), a00 = 7.08(m), b00 =
1.375(m), c00 = 0.13(m))
Drehgestell: Man nimmt an, dass das Drehgestell quaderförmig mit effektiver Dicke (Höhe) sei,
ähnlich wie das Untergestell:
ID (OD ) = 833eξ4 eξ4 + 2219eη4 eη4 + 3052eζ4 eζ4
(4.11)
(2a = 3.456(m), 2b = 2.12(m), 2c ≡ 0.0387(m)).
Radsatz: Man kann einen Trägheitstensor für den Radsatz nicht direkt analytisch berechnen. Mit
Hilfe des Computer-Programms ist der berechnete Trägheitstensor des Radsatzes:
IR (OR ) = 665.5(eξ8 eξ8 + eζ8 eζ8 ) + 112.5eη8 eη8
(4.12)
(mR = 373.4(kg):Masse des Rades, mW = 441.2(kg):Masse der Radsatzwelle).
Gesamter Kesselwagen: Der Kesselwagen ist seitlich und ebenso in der Fahrtrichtung symmetrisch, damit liegt ein Massenmittelpunkt im Abschnitt der symmetrischen Ebene. Aber in vertikaler
Richtung muss man den Mittelpunkt rechnerisch bestimmen. Ein Bezugspunkt (oder eine Bezugslinie) sei die Schienenoberkante. Auf diese Linie wird der Massenmittelpunkt (Gewichtsmittelpunkt)
des gesamten Kesselwagens berechnet.
1. Leerkesselwagen: Die Höhe des Massenmittelpunkts von Fahrzeugteilen aus Schienenoberkante:
• Drehgestell: hD = 880(mm), Dicke = 19.4(mm),
• Untergestell: hU = 1060(mm), Dicke = 250(mm),
• Kessel: hK = 2552(mm),
Massen jeder Teile:
• Drehgestell: mD = 4600 − 2 × 1188 = 2224(kg),
• Untergestell: mU = 8511(kg),
• Kessel(leer): mK = 4089(kg).
2mD hD + mU hU + mK hK = (2mD + mU + mK )HL ≡ M · H,
2mD
mU
mK
HL =
hD +
hU +
hK = 1.371(m).
M
M
M
Trägheitstensoren um den Massenmittelpunkt sind
(4.13)
42
• Kessel:
IK (O) = IK (OK ) + mK (hK − HL )2 (E − eζ1 eζ1 )
= 11619eξ1 eξ1 + 57034eη1 eη1 + 51330eζ1 eζ1 ,
(4.14)
• Untergestell:
IU (O) = IU (OU ) + mU (hU − HL )2 (E − eζ1 eζ1 )
= 16481eξ1 eξ1 + 193931eη1 eη1 + 208670eζ1 eζ1 ,
(4.15)
• Drehgestell:
ID (O) = mD (hD − HL )2 (E − eζ1 eζ1 ) + mD l12 (E − eξ1 eξ1 )
= 536eξ1 eξ1 + 37015eη1 eη1 + 36479eζ1 eζ1 ;
2l1 = 8.1(m),
(4.16)
damit wird der gesamte Massenträgheitstensor für die Entgleisung mit zwei Drehgestellen:
ILW (O) = IK (O) + IU (O) + 2ID (O)
= 29171eξ1 eξ1 + 324995eη1 eη1 + 332958eζ1 eζ1 .
(4.17)
2. Beladener Kesselwagen: Bei Entgleisungsversuchen wird Wasser anstatt des Mineralöls eingefüllt. Die Dichte des Wassers ist ρ = 1000(kg/m3 ). Der Trägheitstensor um Massenmittelpunkt
für Wasser ist
• Wasser im Kesselzylinder:
(a − t)2
(a − t)2
l2
(E − eη1 eη1 ) +
(E − eζ1 eζ1 ) + (E − eξ1 eξ1 )}
4
4
3
w
= 42532eξ1 eξ1 + 602136(eη1 eη1 + eζ1 eζ1 ); MZ = 54880(kg), t = 5(mm),
(4.18)
w
Iw
Z (OK ) = MZ {
• Wasser in einem Kesselboden:
0
Iw
B (OB ) = 444eξ1 eξ1 + 22388(eη1 eη1 + eζ1 eζ1 ),
(4.19)
• Gesamtwasser im Kessel:
w
w
0
2
w
Iw
K (OK ) = IZ (OK ) + 2{IB (OB ) + d MB (E − eξ1 eξ1 )}
= 43420eξ1 eξ1 + 646911(eη1 eη1 + eζ1 eζ1 );
MBw = 1336(kg).
(4.20)
Der Massenmittelpunkt mit Wasser (beladener Kesselwagen) ist HG = 2.352(m). Der Trägheitstensor des beladenen Kesselwagens ist ein gesamter Trägheitstensor mit GL.(4.17) und
GL.(4.20).
• Wasser um gemeinsamen Massenmittelpunkt:
2
G
w
w
w
Iw
K (O ) = IK (OK ) + (MZ + 2MB )(HL − HG ) (E − eζ1 eζ1 )
= 45717eξ1 eξ1 + 649028(eη1 eη1 + eζ1 eζ1 ),
(4.21)
43
• Leerwagen um gemeinsamen Massenmittelpunkt:
ILW (OG ) = ILW (O) + (mK + mU + 2mD )(HL − HG )2 (E − eζ1 eζ1 )
= 45588eξ1 eξ1 + 341412eη1 eη1 + 332958eζ1 eζ1 ,
(4.22)
• Beladener Kesselwagen um gemeinsamen Massenmittelpunkt:
G
G
I(OG ) = Iw
K (O ) + ILW (O )
= 91305eξ1 eξ1 + 990620eη1 eη1 + 979870eζ1 eζ1 .
4.1.4
(4.23)
Winkelgeschwindigkeit von MKS
Ein Vorgang der Bestimmung für die Winkelgeschwindigkeit in einem körperfesten oder raumfesten
Koordinatensystem ist sehr kompliziert. Zunächst muss man das körperfeste Koordinatensystem mit
raumfestem Koordinatensystem darstellen. Die detaillierte Drehungsschemata kann man im Buch von
POPP [17], GOLDSTEIN [3] oder im Vorlesungsskript von BRUNK [1, 2] finden.
Das körperfeste Koordinatensystem wird durch EULERsche oder KARDANsche Winkel mit
raumfestem Koordinatensystem dargestellt.
sin ϕ ≡ sϕ,
cos ϕ ≡ cϕ,
(* Abkürzung:
sin α ≡ sα,
cos α ≡ cα,
sin θ ≡ sθ,
cos θ ≡ cθ,
sin β ≡ sβ,
cos β ≡ cβ,
sin ψ ≡ sψ,
cos ψ ≡ cψ,
)
sin γ ≡ sγ,
cos γ ≡ cγ
• Ein körperfestes Koordinatensystem durch EULERsche Winkel (Basisvektor)
eξ = (cϕcψ − sϕcθsψ)e1 + (cϕsψ + sϕcθcψ)e2 + sϕsθe3 ,
eη = (−sϕcψ − cϕcθsψ)e1 + (−sϕsψ + cϕcθcψ)e2 + cϕsθe3 ,
(4.24)
eζ = sθsψe1 − sθcψe2 + cθe3 .
• Ein körperfestes Koordinatensystem durch KARDANsche Winkel (Basisvektor)
eξ = (cγcβ − sβsαsγ)e1 + (cβsγ + sβsαcγ)e2 − sβcαe3 ,
eη = −cαsγe1 + cαcγe2 + sαe3 ,
(4.25)
eζ = (sβcγ + cβsαsγ)e1 + (sβsγ − cβsαcγ)e2 + cβcαe3 .
Die Drehung eines Starrkörpers ist gleichzeitig mit eine Drehung des körperfesten Koordinatensystems, daher kann man die Drehgeschwindigkeit der Basis eines körperfesten Koordinatensystems
nach POISSONscher Relation berechnen:
ėλ = ω × eλ ,
ω = hiq̇ i ,
(4.26)
1
∂eλ
hi = (eλ ×
)
2
∂q i
(4.27)
(q i ist eine verallgemeinerte Koordinate). Durch umfangreiche Berechnungen kann man die Basen
des Drehgeschwindigkeitsvektors hi bestimmen:
4.2 Entgleisungsmodell
44
• Winkelgeschwindigkeit(EULERsche Winkel):
ω = ωλ eλ = q̇ i hi = ψ̇hψ + θ̇hθ + φ̇hφ
ω = (ψ̇sθsϕ + θ̇cϕ)eξ + (ψ̇sθcϕ − θ̇sϕ)eη + (φ̇cθ + ϕ̇)eζ ,
(im körperfesten Koordinatensystem),
(4.28)
• Winkelgeschwindigkeit(KARDANsche Winkel):
ω = ωλ eλ = q̇ i hi = α̇hα + β̇hβ + γ̇hγ
ω = (α̇cγ − β̇cαsγ)e1 + (α̇sγ + β̇cαcγ)e2 + (β̇sα + γ̇)e3 ,
(im raumfesten Koordinatensystem).
(4.29)
4.2.1
Entgleisungsmodell
Kinematische Beschreibung der Entgleisung
Bei den Entgleisungsversuchen wird das hintere Drehgestell entgleist und über die Schwellen gefahren. Die Beschreibung des Entgleisungsvorgangs selbst oder vorangehenden Zustandes wird in dieser
Arbeit nicht behandelt, da es hier darum geht, eine bereits eingetretene Entgleisung zu erkennen und
schnell Gegenmaßnahmen zu finden. So muss möglichst sofort erkannt werden, ob der Güterwagen wirklich entgleist ist oder irgendein Gegenstand, z.B. ein Schienenstoss, eine Weiche usw. beim
Normalbetrieb überfahren wurden. Zunächst dafür braucht man mechanische Entgleisungsmerkmale
durch die „Schwellenerregung“ zu beschreiben.
Koordinatentransformation
Zur Beschreibung der räumlichen Konstellation jedes Starrkörpers werden die körperfeste Koordinatensysteme ins Inertialsystem transformiert. Die Basisvektoren mit KARDANschen Winkeln im
körperfesten Koordinatensystem sind im Inertialsystem:
  
 
eξ1
(cγ1 cβ1 − sβ1 sα1 sγ1 ) (cβ1 sγ1 + sβ1 sα1 cγ1 ) sβ1 cα1
e1
eη1  = 
−cα1 sγ1
cα1 cγ1
sα1  e2  .
(4.30)
eζ1
(sβ1 cγ1 + cβ1 sα1 sγ1 ) (sβ1 sγ1 − cβ1 sα1 cγ1 ) cβ1 cα1
e3
Bei kleinen Winkeländerungen wird GL.(4.30) linearisiert4 ,
  
 
eξ1
1
γ1 −β1
e1
eη1  ≈ −γ1
1
α1  e2  .
eζ1
β1 −α1
1
e3
(4.31)
Die linearisierte Transformationsmatrix in GL.(4.31) ist antisymmetrisch, wie zu erwarten war.
Es gibt zwei Beschreibungen zur Winkeländerung im körperfesten Koordinatensystem.
4
α1 beträgt bei der Entgleisung ∼ 40(mm)/8100(mm)
50(mm)/900(mm) ∼ 1/20(rad) ∼ 2.5(Grad).
∼
1/200(rad)
∼
0.25(Grad). α4 beträgt ∼
45
Absolute Winkel: Aus einem Bezugspunkt im Inertialsystem gemessene Winkel. In diesem Fall wird
die Massenmatrix sehr einfach (eine diagonale Matrix), dagegen wird die Steifigkeitsmatrix sehr
kompliziert. (Abb. (4.2)-(a))
Relative Winkel: Aus einem Bezugspunkt im anderen körperfesten Koordinatensystem gemessene
Winkel, bei MKS-Theorie eine bevorzugte Darstellung. Die Steifigkeitsmatrix wird eine diagonale Matrix. (Abb. (4.2)-(b))
y
y
K2
K2
a2
a2
K1
K1
a1
a1
x
(a) Absolute Winkel
x
(b) Relative Winkel
Abbildung 4.2: Zwei Winkeländerungsbeschreibungen
Die beide Drehgestelle verbinden sich an dem Untergestell durch eine „Führung“ die eine Rolle eines Gelenkes beim MKS spielt. So kann man das Drehgestell-Koordinatensystem durch das
Untergestell-System im Inertialsystem darstellen.

 
 
eξ3
1
γ3 −β3
eξ1
eη3  = −γ3
1
α3  eη1 
eζ3
β3 −α3
1
eζ1
 


e1
1
γ1 −β1
1
γ3 −β3
1
α1  e2 
1
α3  −γ1
= −γ3
e3
β1 −α1
1
β3 −α3
1
 

e1
1
γ1 + γ3
−(β1 + β3 )
1
α1 + α3  e2  ,
≈ −(γ1 + γ3 )
e3
β1 + β3
−(α1 + α3 )
1
 
 
e1
1
γ1 + γ4
−(β1 + β4 )
eξ4
eη4  ≈ −(γ1 + γ4 )
1
α1 + α4  e2 
e3
β1 + β4
−(α1 + α4 )
1
eζ4

(4.32)
(4.33)
Beschreibung der Massenmittelpunkte Bei Entgleisungsversuchen wird das hintere Drehgestell
entgleist und der Gesamtwagen wird heftig um die vordere Drehgestell-Führung geschüttelt. Der gemeinsame Massenmittelpunkt sei ein Bezugspunkt und mit einem Vektor R im Inertialsystem bezeichnet5 .
Die Vektoren für Massenmittelpunkte sind:
5
Die mit Null bezeichneten Indizes bedeuten Anfangswerte: vi0 , ui0 , wi0 , i = 1, ..., 8 im Inertialsystem.
46
z
z1
x1
r4
r3
R
x
Abbildung 4.3: Koordination und Ortsvektor für Kesselwagen
• der gesamte Kesselwagen:
R = (u10 + u(t))e1 + (v10 + v(t))e2 + (w10 + w(t))e3 ,
u10 ≡ 0,
• das vordere Drehgestell:
• das hintere Drehgestell:
v10 ≡ 0,
(4.34)
w10 ≡ H,
r 3 = R + l1 eξ1 − (b + δ)eζ1 ,
(4.35)
r 4 = R − l1 eξ1 − (b + δ)eζ1 ,
(4.36)
• Radsätze:
r i = (ui0 + ui (t))e1 + (vi0 + vi (t))e2 + (wi0 + wi (t))e3 , i = 5, 6, 7, 8.
(4.37)
Schwellenmodell und Erregungsfunktion
Das entgleiste hintere Drehgestell wird über die Schwellen gefahren. Bei niedriger Geschwindigkeit wird der Kesselwagen durch Radsätze ohne Schwellenübersprünge angeregt. Diese Erregung
ist eine typische Wegerregung in der Schwingungstechnik. Die Abbildung (4.4-(a)) zeigt eine reale
Erregungssituation, ist aber mathematisch nicht einfach. Zunächst kann man die Erregung mit einer
absoluter Sinusfunktion, z.B. h(t) = h0 |sin(ωt)|, nachbilden. Die Funktion stimmt fast mit der Anregung überein, ergibt aber ein kompliziertes Muster harmonischer Funktionen, was den Lösungsansatz
sehr erschwert. Ohne Beeinträchtigung des Ergebnisses kann eine einfache Sinusfunktion (die erste
Harmonische) als Anregungsfunktion trotz kleiner Abweichung verwendet werden.
Die Erregungsfunktionen für die Räder lauten:
h1 (t) = A0 sin(Ωt + φ) + rf ,
für das vordere linke Rad,
(4.38)
h2 (t) = A0 sin(Ωt + φ) + rf ,
für das vordere rechte Rad,
(4.39)
h3 (t) = A0 sin(Ω(t + (3LS − 1.8)/V0 ) + φ) + rf ,
= A0 sin(Ω(t + dl /V0 ) + φ) + rf ,
h4 (t) = A0 sin(Ω(t + d) + φ) + rf ,
h0 = 2A0 ,
für das hintere linke Rad,
für das hintere rechte Rad,
Ω = 2πf = 2πV0 /LS : Anregungsfrequenz, d = dl /V0 .
(4.40)
(4.41)
47
1
Wegerregung
0.8
Radbewegung
Erregungskurve
0.6
0.4
0.2
simulierte
Sinusfunktion
0
Schwelle
(a) Schwellenerregung
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
(b) math. Funktionen: Sinusfunktion
Abbildung 4.4: Wegerregung durch Schwellen und simulierte Sinuskurve
4.2.2
Reduktion der Parameter
Beim Normalbetrieb sind alle Freiheitsgrade der Kesselwagen (ca. 48 Freiheitsgrade) zu berücksichtigen. Bei der Entgleisung dominieren die vertikalen Bewegungen gegenüber längsgerichteten und
seitlichen Schwingungen überwiegend und daher müssen nur die vertikalen Bewegungen berechnet
werden. Auch die geringfügigen Verschiebungen und elastischen Verformungen zwischen dem Untergestell und den beiden Drehgestellen sind hierbei vernachlässigbar.
• Seitliche Richtung: vi ≡ 0, i = 1, ..., 8,
• Fahrtrichtung: ui0 ≡ 0; ui ≡ V0 t, i = 1, ..., 8,
• Rollwinkel: αi ≡ 0, i = 1, ..., 4,
• Gierwinkel: γi ≡ 0, i = 1, ..., 4.
Die Geschwindigkeit in Fahrtrichtung wird von der Lokomotive konstant gehalten und die vertikale Position der Radsatzkoordinaten wird durch die Schwellenerregung beschreiben. Damit verbleiben
nur 4 wesentliche Koordinaten. Selbstverständlich müssen im Entgleisungsmoment, wenn die Räder über die Gleise springen, alle Koordinaten berücksichtigt werden, aber in dieser Arbeit wird die
Schwellenerregung nach bereits eingetretener Entgleisung behandelt. Die Position der Messstellen
(im Kapitel 3) lässt sich einfach durch 4 Koordinaten darstellen.
r S1 = r 4 + leξ4 − aeη4 = R − l1 eξ1 − (b + δ)eζ1 + leξ4 − aeη4
= (u10 + u(t) − l1 − (b + δ)β1 + l + a(γ1 + γ4 ))e1
+ (v10 + v(t) − l1 γ1 + (b + δ)α1 + l(γ1 + γ4 ) − a)e2
+ (w10 + w(t) − (b + δ) + l1 β1 − l(β1 + β4 ) − a(α1 + α4 ))e3 ,
(4.42)
r S2 = r4 + leξ4 + aeη4 ,
(4.43)
r S3 = r4 − leξ4 − aeη4 ,
(4.44)
r S4 = r4 − leξ4 + aeη4 .
(4.45)
4.2.3
48
LAGRANGEsche Funktion und Bewegungsgleichungen für Entgleisung
Man kann die Bewegungsgleichungen für Entgleisungen aus den verallgemeinerten Koordinaten aus
der LAGRANGEschen Funktion herleiten. Die LAGRANGEsche Funktion ist definiert als Differenz
zwischen kinetischer und potentieller Energie L = (ET + ER ) − (VE + VG ).
Kinetische Energie
Die kinetische Energie bei der Entgleisung ist die Translationsenergie des gesamten Kesselwagens
plus Rotationsenergie aller Teile:
1
1
E = ET + ER = gij q̇ i q̇ j = (mα v 2α + ω α · Θ α · ω α ), α = 1, ..., f.
2
2
(4.46)
• Translationsenergie:
1
1
ET = M Ṙ2 = M (V0 2 + ẇ12 ),
Ṙ = V0 e1 + v̇1 (t)e2 + ẇ1 (t)e3 ,
2
2
u̇1 (t) = V0 , v̇1 (t) ≡ 0, γ̇1 ≡ 0, α̇1 ≡ 0,
• Rotationsenergie:
1
1
1
0
ER
= ω1 · Θ C
2 · ω 1 + ω 3 · Θ 32 · ω 3 + ω 4 · Θ 42 · ω 4
2
2
2
1
1 C 2 1
2
2
≈ Θ2 β̇1 + Θ32 β̇3 + Θ42 β̇4
2
2
2
ω 1 ≈ (α̇1 − β1 γ̇1 )eξ1 + (β̇1 + α1 γ̇1 )eη1 + (α̇1 β1 + γ̇1 )eζ1 ≡ β̇1 (t)eη1 ,
(αi ≡ 0,
γi ≡ 0, i = 1, ..., 4;
(4.47)
(4.48)
(4.49)
(4.50)
(4.51)
nach Annahme und Vereinfachung ),
• Radsätze: Die Drehgeschwindigkeit der Räder ausgedrückt durch EULERsche Winkel ist
ω i = (ψ̇i θi sin ϕi + θ̇i cos ϕ)eξi + (ψ̇i θi cos ϕi − θ̇i sin ϕi )eηi + (ψ̇i + ϕ̇i )eζi ,
≈ ϕ̇i (t)eζi ,
i = 5, ..., 8,
(4.52)
so wird die Rotationsenergie des gesamten Kesselwagens
8
X1
1
1
1
2
2
2
ER = ΘC
Θi2 ϕ̇2i .
2 β̇1 + Θ32 β̇3 + Θ42 β̇4 +
2
2
2
2
(4.53)
i=5
Potentielle Energie: Die potentielle Energie des Kesselwagens besteht aus der elastischen Energie
zwischen Radsätzen und dem Drehgestell in den Blattfedern und der Gravitationsenergie durch die
Erdanziehungskraft6 .
6
Die Erregung durch Schwellen ist eine äußere Zwangskraft, so wird die Erregung bei LAGRANGEscher Funktion
eine generalisierte Kraft. Aber die Erregung hat keine generalisierte Koordinaten und Geschwindigkeiten und die Erregung
wirkt durch Radsätze nur auf Blattfedern auf. In diesem Fall kann man die Erregung in potentieller Energie berechnen. Das
Ergebnis ist im Vergleich mit generalisierter Kraft identisch. Für 4 Freiheitsgrade wird eine Bewegungsgleichung durch
generalisierten Kräfte sehr kompliziert.
49
• Elastische Energie aus GL.(4.38) und GL.(4.42):
8
VE =
1 X
c
(∆si )2 ,
2
(4.54)
i=1
∆s1 = w1 (t) + l1 β1 (t) − l(β1 (t) + β4 (t)) − A0 sin(Ωt + φ);
(4.55)
∆s2 = w1 (t) + l1 β1 (t) − l(β1 (t) + β4 (t)) − A0 sin(Ωt + φ);
(4.56)
∆s3 = w1 (t) + l1 β1 (t) + l(β1 (t) + β4 (t)) − A0 sin(Ω(t + d) + φ);
(4.57)
∆s4 = w1 (t) + l1 β1 (t) + l(β1 (t) + β4 (t)) − A0 sin(Ω(t + d) + φ);
(4.58)
∆s5 = w1 (t) − l1 β1 (t) − l(β1 (t) + β3 (t));
(4.59)
∆s6 = w1 (t) − l1 β1 (t) − l(β1 (t) + β3 (t));
(4.60)
∆s7 = w1 (t) − l1 β1 (t) + l(β1 (t) + β3 (t));
(4.61)
∆s8 = w1 (t) − l1 β1 + l(β1 (t) + β3 (t));
(4.62)
das vordere rechte Rad im hinteren Drehgestell,
das vordere linke Rad im hinteren Drehgestell,
das hintere rechte Rad im hinteren Drehgestell,
das hintere linke Rad im hinteren Drehgestell,
das vordere rechte Rad im vorderen Drehgestell,
das vordere linke Rad im vorderen Drehgestell,
das vordere rechte Rad im vorderen Drehgestell,
das vordere linke Rad im vorderen Drehgestell,
so wird die elastische Energie
VE = c(w1 + l1 β1 − l(β1 + β4 ) − A0 sin(Ωt + φ))2
+ c(w1 + l1 β1 + l(β1 + β4 ) − A0 sin(Ω(t + d) + φ))2
+ c(w1 − l1 β1 − l(β1 + β3 ))2 + c(w1 − l1 β1 + l(β1 + β3 ))2 .
(4.63)
• Potentielle Energie:
VG = M1 gw1 + M3 g(w1 − l1 β1 ) + M4 g(w1 + l1 β1 )
+ M7 gA0 sin(Ωt + φ) + M8 gA0 sin(Ω(t + d) + φ)
= M gw1 + M7 gA0 sin(Ωt + φ) + M8 gA0 sin(Ω(t + d) + φ),
(M3 = M4 , M = M1 + M3 + M4 ).
LAGRANGEsche Funktion: Die LAGRANGEsche Funktion definiert wie im Kapitel 2 als
L(q, q̇, t) = E(q, q̇, t) − V (q, q̇, t),
(4.64)
50
wird bei der Entgleisung zu
L = (ET + ER ) − (VE + VG ) = 1/2 · M (V02 + ẇ12 )
X8
2
2
2
+ 1/2 · ΘC
2 β̇1 + 1/2 · Θ32 β̇3 + 1/2 · Θ42 β̇4 +
i=5
− c(w1 + l1 β1 − l(β1 + β4 ) − A0 sin(Ωt + φ))2
1/2 · Θi2 ϕ̇2i
− c(w1 + l1 β1 + l(β1 + β4 ) − A0 sin(Ω(t + d) + φ))2
(4.65)
− c(w1 − l1 β1 − l(β1 + β3 ))2 − c(w1 − l1 β1 + l(β1 + β3 ))2
− {M gw1 + M7 gh0 sin(Ωt + φ) + M8 gh0 sin(Ω(t − d) + φ)}.
Bewegungsgleichungen für Entgleisung: Aus der Funktion (4.65) kann man eine Bewegungsgleichung für eine bestimmte verallgemeinerte Koordinate herleiten. Die Bewegungsgleichung aus der
LAGRANGEschen Funktion ist nach GL.(2.7) 7
d ∂L
∂L
− i = 0.
i
dt ∂ q̇
∂q
w1 :
∂L
= −8cw1 − M g + 2cA0 sin(Ωt + φ) + 2cA0 sin(Ω(t + d) + φ),
∂w1
∂L
d ∂L
= M ẇ1 ,
= M ẅ1 ,
∂ ẇ1
dt ∂ ẇ1
d ∂L
∂L
−
= M ẅ1 (t) + 8cw1 (t)
dt ∂ ẇ1 ∂w1
+ M g − 2cA0 sin(Ωt + φ) − 2cA0 sin(Ω(t + d) + φ) = 0,
(4.66)
(4.67)
β1 :
2
2
2
ΘC
2 β̈1 (t) + 8c(l1 + l )β1 (t) + 4cl (β3 (t) + β4 (t))
− 2cA0 (l1 − l) sin(Ωt + φ) − 2cA0 (l1 + l) sin(Ω(t + d) + φ) = 0,
β3 :
Θ32 β̈3 (t) + 4cl2 (β1 (t) + β3 (t)) = 0,
(4.68)
(4.69)
β4 :
Θ42 β̈4 (t) + 4cl2 (β1 (t) + β4 (t)) + 2clA0 (sin(Ωt + φ) − sin(Ω(t + d) + φ)) = 0.
7
Die Bewegungsgleichung mit generalisierter Kraft ist
∂L
d ∂L
− i = Qi .
dt ∂ q̇ i
∂q
Aber die Erregung wird in potentieller Energie berechnet, so nimmt man diese Bewegungsgleichung an.
(4.70)
4.3 Modellparameter des Versuchsgüterwagen
51
Im vorigen Abschnitt wurde ein Bewegungsgleichungssystem 2. Ordnung aus LAGRANGEscher
Funktion hergeleitet. Dieses Gleichungssystem ist ein gekoppeltes inhomogenes differentielles Gleichungssystem 2. Ordnung. Hier wird die Rolle der Trockenreibung bei Blattfedern als ein Parameter
untersucht.
4.3.1
Differentiale Gleichungen für Entgleisung ohne Trockenreibung
Matrizenschreibweise der Bewegungsgleichung
Als eine effektive Methode kann man eine Matrizenschreibweise einführen. Die DGLn GL.(4.66)∼
GL.(4.70) werden mit Matrizen folgendermaßen einfach dargestellt:
M · q̈ + K · q = U,
q = [w1 , β1 , β3 , β4 ]T ,
(4.71)
hierbei ist der Vektor q ein affiner Vektor im 3-dimensionalen Konfigurationsraum. Die Matrizen M,
K und U sind


1
0
0
0
0 ΘC
0
0 
2 /M
,
M=M
(4.72)
0
0
Θ32 /M
0 
0
0
0
Θ42 /M


1
0
0
0
0 (l12 + l2 ) l2 /2 l2 /2
,
K = 8c 
(4.73)
0
l2 /2
l2 /2
0 
0
l2 /2
0
l2 /2


4cA0 sin(Ωt + φ) + 4cA0 sin(Ω(t + d) + φ) + M g
4cA0 (l1 − l) sin(Ωt + φ) + 4cA0 (l1 + l) sin(Ω(t + d) + φ)
.
(4.74)
U=


0
−4cA0 l sin(Ωt + φ) + 4cA0 l sin(Ω(t + d) + φ)
Inhomogene Lösung des DGL-Systems
Bei andauernder äußerer Erregung werden die homogenen Lösungen vernachlässigbar, da deren Amplituden wegen der Reibung abklingen. Ein Umeichungsterm M g in der Matrix (4.74) ist ebenfalls
vernachlässigbar, da die Größe mit Justierung des Messgerätes als Null eingestellt werden kann. Multipliziert man mit der inversen Matrix M−1 , so ist die Matrizengleichung (4.71)
q̈ + M−1 · K · q = M−1 · U,
(4.75)
mit


1
0
0 0
0 2a1 q a1 a1 

M−1 · K = ω02 
0 a2 a2 0  ,
0 a2
0 a2


k1 sin(Ωt) + k2 cos(Ωt)
k3 sin(Ωt) + k4 cos(Ωt)
.
M−1 · U = ω02 


0
k7 sin(Ωt) + k8 cos(Ωt)
(4.76)
(4.77)
52
Die Abkürzungen sind
a1 =
M l12
,
2ΘC
2
a2 =
M l2
,
2Θ32
p=
l12
,
l2
k1 = (A0 /2)(1 + cos(Ωd)),
q = p + 1,
ω02 =
8c
,
M
k2 = −(A0 /2) sin(Ωd),
k3 = A0 (a1 /l2 )((l1 − l) + (l1 + l) cos(Ωd)),
k4 = −A0 (a1 /l2 )(l1 + l) sin(Ωd),
k7 = A0 (a2 /l)(−1 + cos(Ωd)),
k8 = −A0 (a2 /l) sin(Ωd),
damit wird als Phasenverschiebung φ ≡ 0 eingesetzt. Für die inhomogenen Lösungen kann man
folgende Ansätze wählen.
w1 inh (t) ≡ A sin(Ωt) + B cos(Ωt),
(4.78)
β1 inh (t) ≡ C sin(Ωt) + D cos(Ωt),
(4.79)
β3 inh (t) ≡ E sin(Ωt) + F cos(Ωt),
(4.80)
β4 inh (t) ≡ G sin(Ωt) + H cos(Ωt).
(4.81)
Setzt man diese Ansätze in GL.(4.75) ein, so wird eine Matrizenbeziehung zu
 
 
k1
k2




k3 
2 k4 
MS sin(Ωt) + MC cos(Ωt) = ω02 
sin(Ωt)
+
ω
0
0
 0  cos(Ωt).
k7
k8
Diese GL.(4.82) gilt für zeitlichen Verlauf, daraus folgen

2
0
0
1− Ω
ω02

2
 0
a2
2a1 q − Ω

ω02
MKoef f ≡ 
2
 0
a2
a2 − Ω
ω02

0
a2
0

0



,
0 

2
a2 − Ω
2
ω
a2
Bestimmt werden die Koeffizienten:
k1
,
m1
E=
a2 (m3 k3 − a2 k7 )
,
(−m2 m3 + 2a22 )m3
B=
k2
,
m1
F =
a2 (m3 k4 − a2 k8 )
,
(−m2 m3 + 2a22 )m3
−m3 k3 + a2 k7
,
(−m2 m3 + 2a22 )m3
a2 m3 k3 + (a22 − m2 m3 )k7
G=
(−m2 m3 + 2a22 )m3
C=
und
−m3 k4 + a2 k8
,
(−m2 m3 + 2a22 )m3
a2 m3 k4 + (a22 − m2 m3 )k8
H=
(−m2 m3 + 2a22 )m3
D=
(4.83)
0
   
   
k2
B
k1
A
D  k4 
C  k3 
   
  
MS = MKoef f 
E  ≡  0  , MC = MKoef f  F  ≡  0  .
k8
H
k7
G
A=
(4.82)
(4.84)
53
mit Abkürzungen der diagonalen Komponenten
m1 = 1 −
4.3.2
Ω2
,
ω02
m2 = 2a1 q −
Ω2
,
ω02
m3 = a2 −
Ω2
.
ω02
(4.85)
Differentiale Gleichungen für Entgleisung mit Trockenreibung
Im Abschnitt 4.5 wird eine komplexe Federrate der geschichteten Blattfeder eingesetzt werden und
damit das Verhalten der Blattfeder gut geschrieben. Das dynamische Verhalten der Blattfeder ist sehr
kompliziert und weicht von bekannten Beschreibungen ab. In diesem Abschnitt erweitert man die einfache Federrate im vorherigen Abschnitt auf eine komplexe Federrate. Mit der komplexen Federrate
kann man die Koeffizienten A ∼ H korrigieren,
c → c(1 + iη).
Die diagonale Komponente m1 wird
m̃1 = 1 − Ω2 /ω̃02 = 1 −
M Ω2 1
M Ω2 η
M Ω2
= {1 −
}
+
(
)i,
8c(1 + iη)
8c 1 + η 2
8c 1 + η
Ω2 1
ˆ
) + idˆ ≡ d1 + id,
ω02 1 + η 2
Die anderen diagonalen Komponenten sind
m̃1 ≡ (1 −
m̃2 = (2a2 q −
m̃3 = (a3 −
Ω2
) + idˆ
ω02
Ω2
) + idˆ
ω02
Ω2 η
dˆ = 2
.
ω0 1 + η 2
(4.86)
(4.87)
ˆ
≡ d2 + id,
(4.88)
ˆ
≡ d3 + id,
(4.89)
Der „komplexe“ Koeffizient A ist
A=
ˆ
k1
k1 (d1 − id)
k1 d1
−k1 dˆ
=
=
+i
≡ AR + iAI .
m̃1
d21 + dˆ2
d21 + dˆ2
d21 + dˆ2
(4.90)
Der Koeffizient C ist
CZI CN R − CZR CN I
CZR CN R + CZI CN I
CZR + iCZI
+i
=
C=
2
2
2 + C2
CN R + iCN I
CN R + CN I
CN
R
NI
≡ CR + iCI ,
(4.91)
ˆ im
wobei im Nenner CN R = <{CN } = −d2 d3 + dˆ2 + 2a22 und CN I = ={CN } = −(d2 + d3 )d,
ˆ Die anderen komplexen
Zähler CZR = <{CZ } = −d3 k3 + a2 k7 und CZI = ={CZ } = −k3 d.
Koeffizienten sind im Anhang B detailliert aufgeführt.
4.3.3
B = BR + iBI ,
D = DR + iDI ,
E = ER + iEI ,
F = FR + iFI ,
G = GR + iGI ,
H = HR + iHI .
(4.92)
Berechnungsformeln für Messgrößen
Mit diesen Koeffizienten kann man die inhomogenen Lösungen für den Entgleisungsfall bestimmen.
Allerdings sind diese Ergebnisse eine Lösung mit verallgemeinerten Koordinaten. Für Messgrößen
müssen Umrechnungsfaktoren zu dieser Lösung multipliziert werden.
54
Wegänderung
Bei Entgleisungsversuchen werden Wegänderungen an den 13 Stellen gemessen, davon kann man mit
dem Entgleisungsmodell in dieser Arbeit 8 vertikale Richtungen berechnen.
Messstelle S1 , S2 : Zwischen dem vorderen Radsatz und dem Drehgestellrahmen wird eine Wegänderung gemessen. ∆S1 und ∆S2 bezeichnen die Wegänderung des vorderen rechten und linken
Rades im entgleisten hinteren Laufwerk.
∆S1 = w1 (t) + l1 β1 (t) − l(β1 (t) + β4 (t)) − A0 sin(Ωt)
(4.93)
∆S1 = (A sin Ωt + B sin Ωt) + (l1 − l)(C sin Ωt + D cos Ωt) + l(G sin Ωt + H sin Ωt) − A0 sin Ωt
q
(4.94)
= SS21 + CS21 sin(Ωt + φS1 ),
SS1 = A + (l1 − l)C + lG − A0 , CS1 = B + (l1 − l)D + lH,
tan φS1 = SS1 /CS1 .
Messstelle S3 , S4 :
∆S3 = w1 (t) + l1 β1 (t) + l(β1 (t) + β4 (t)) − A0 sin(Ω(t + d))
q
= SS23 + CS23 sin(Ωt + φS3 ),
(4.95)
SS3 = A + (l1 + l)C + lG − A0 cos(Ωd), CS3 = B + (l1 + l)D + lH − A0 sin(Ωd),
tan φS3 = SS3 /CS3
p
∆S8 = (l + 0.828)β4 (t) = (l + 0.828) G2 + H 2 sin(Ωt + φS8 ),
(4.96)
tan φS8 = H/G
∆S10 = −∆S8 .
(4.97)
Beschleunigung
Beim Entgleisungsversuch hat die Lokomotive den entgleisten Kesselwagen mit konstanter Geschwindigkeit gezogen, so dass die Beschleunigung des Wagens auf die Schwellenerregung zurückzuführen
sind. Zur Messung der Beschleunigung des entgleisten Radsatzes wurden ein Beschleunigungsaufnehmer am Radsatz (Kennzeichen a1 ) und 11 Stellen am Kesselwagen eingebaut. Die Beschleunigung
besteht aus zwei Komponenten: einer tangentialen Komponente um den Massenmittelpunkt durch die
Winkeländerung β1 (t), sowie einer vertikalen Komponente von der Richtung w1 (t).
1. Winkelbeschleunigung in tangentialer Richtung
aβ1 = ld β̈1 = −ld Ω2 (C sin(Ωt) + D cos(Ωt)),
(4.98)
aw1 (t) = ẅ1 (t) = −Ω2 (A sin(Ωt) + B cos(Ωt)),
(4.99)
2. In vertikaler Richtung
4.4 Geschichtete Blattfeder
55
Winkelbeschleunigung
Erregung
Abbildung 4.5: Winkelbeschleunigung um einen Massenmittelpunkt
3. Gesamte Beschleunigung: In Richtung der Aufnehmer kann die Winkelbeschleunigung in zwei
Komponenten (horizontal und vertikal) zerlegt werden. Ein Winkel von horizontaler Fahrtrichtung im Gegenuhrzeigersinn sei ϑ.
• horizontal
ah (t) = aβ1 sin ϑ
= −ld Ω2 (C sin(Ωt) + D cos(Ωt)) sin ϑ,
(4.100)
• vertikal
av (t) = aβ1 cos ϑ + aw1 (t)
= −ld Ω2 (C sin(Ωt) + D cos(Ωt)) cos ϑ − Ω2 (A sin(Ωt) + B cos(Ωt))
= (−ld Ω2 C cos ϑ − Ω2 A) sin(Ωt) + (−ld Ω2 D cos ϑ − Ω2 B) cos(Ωt). (4.101)
4.4.1
Balkenbiegung
Hier wird das „Biegelinie-Verfahren“ aus der elementaren Balkentheorie verwendet. Bei der elementaren Balkentheorie nimmt man den Balken als schubstarr und linearisiert an. Ausgehend von den
linearisierten differentialen Gleichungen der elastischen Linie für geraden Balken, wobei konstante
Biegesteifigkeit vorausgesetzt wird (GUMMERT [5]).
Man erhält
My (x)
; EIy∗ = kEIy , k = 5.62
(4.102)
w00 (x) = −
EIy∗
Die ausgeübte Kraft greift in der Mitte des Balkens, d.h. man kann zwei geteilte Koordinatensysteme
einführen.
w(x) und w(x)0 seien an der Stelle x1 = L(x2 = 0) stetig, da es in der Mitte keinen Sprung gibt.
Zwei Biegemomente werden aus Moment-Bilanzgleichungen an beliebigen Stellen hergeleitet.
P
Ph
− x1 + M1 +
w1 (x1 ) = 0
2
2
P
Ph
d 2 w1
M1 = x1 −
w1 = −EIy∗
:
2
2
dx21
x1 − System (linke Hälfte),
(4.103)
56
P
P/2
P/2
Ph/2
Ph/2
(a)
(b)
P/2
P
x2
x1
Ph/2
w1
w,
z
M1
L
(c)
Abbildung 4.6: Ein Schema für Durchbiegungsberechnung mit waagerechter Kraft
Ph
P
w2 (x2 ) = 0
− (L + x2 ) + P x2 + M2 +
2
2
P
Ph
d 2 w2
M2 = − (x2 − L) −
w2 = −EIy∗
: x2 − System (rechte Hälfte). (4.104)
2
2
dx22
Aufgelöst werden beide DGLn (4.103), (4.104) mit inhomogenen Lösungen:
w1 (x1 ) = A sinh(λx1 ) −
P
x1 ,
Ph
(4.105)
P
w2 (x2 ) = B sinh(λx2 ) + C cosh(λx2 ) +
(x2 − L),
Ph
λ=
s
Ph
.
2EIy∗
(4.106)
Man kann mit Randbedingungen die Koeffizienten bestimmen.
• Geometrische Randbedingungen:
w1 (0) = 0, w1 (L) = w2 (0), w2 (L) = 0, w10 (L) = w20 (0),
• Physikalische Randbedingungen:
w100 (0) = 0, w200 (L) = 0.
Daraus erhält man die Koeffizienten als Ergebnisse:
A=
P
1
,
Ph λ cosh(λL)
B=−
P 1
,
Ph λ
C=
P tanh(λL)
.
Ph
λ
(4.107)
Man bestimme die Durchsenkung an der Stelle x1 = L bei 100kN mit physikalischen Konstanten der
Blattfeder,
b
h
L
EIy
k
α
=
=
=
=
=
=
57
120
16
600
210000 (bh2 /12)
5.62,
π/6 ,
w1 (L) =
(mm)
(mm)
(mm)
(N · mm2 ),
: Breite des Blattes,
: Dicke,
: Länge,
P L tanh(λL)
(
− 1) = 68.58(mm).
Ph
λL
(4.108)
Diese Durchsenkung stimmt mit den experimentellen Daten für die statischen Kraft-Weg-Kennlinie
(Mittellinie zwischen Be- und Entlastung) des äquivalenten Modells recht gut überein. Interessiert
man sich für die Progressivität der Blattfeder, so kann man dieses Ergebnis mit dem bei fehlender
horizontaler Kraft (Zugkraft) auftretenden vergleichen:
w1 (x1 ) = −
w2 (x2 ) =
w1 (L) =
P L3 x1 1 x1
(
− 1),
4EIy∗ L 3 L
(4.109)
P L3 1 x2
x2
( ( − 1)2 −
+ 1),
4EIy∗ 3 L
L
(4.110)
P L3
= 74.47(mm).
6EIy∗
(4.111)
Ohne Zugkraft wäre die Durchsenkung also ca. 8% größer, d.h., dieselbe Durchsenkung bei Vorhandensein einer Zugkraft erfordert eine größere Kraft. Dies zeigt, dass die progressive Eigenschaft der
Blattfeder von der Zugkraft durch die Aufhängung an Schaken stammt.
4.4.2
Statische Hysterese der geschichteten Blattfeder
Bisherige progressive Formel
Solange das Verhältnis f /L < 0.2 ist, kann man die elementare Balkentheorie für Blattfedern ohne
Reibung verwenden. (in Abb.4.7, f : Durchsenkung am Ende des Balkens) Bei Experimenten hat man
maximal 135 kN ausgeübt, d.h. f ≈ 70(mm), L = 600(mm), P = 67.5(kN ), f /L = 0.117. Daher
kann die elementare Balkentheorie ohne große Abweichungen benutzt werden.
Die Federblätter werden aus warmgewalztem Flachstahl DIN 4620 oder geripptem Flachstahl DIN
1570 hergestellt und (elliptisch) gekrümmt ( 1. Experiment: gekrümmt, 2. Experiment: flach). Nach
GROSS und KRANZ [10] wird die Progressivität der Blattfeder nach folgender Formel bestimmt (in
Abb.4.8):
1 + 1.3 · tan α0 · s/L
cs =
·c.
(4.112)
1 + 1.3 · tan α0 · p0 /L
Für das Experiment, α0 = π/6, L = 600(mm), s = 68.58(mm), ergibt sich damit:
p0 = 48 (mm)
p0 = 0
(gekrümmt):
(flach):
cs /c = 0.9434 + 0.00118s
cs /c = 1 + 0.001251s
= 1.0243,
= 1.0858.
Aus experimentellen Daten wird eine Mittellinie so erhalten:
Pm = 5.4826 + 1.1319s + 0.002874s2 , (F EDER2L),
• bis 1. Ordnung: Pm = 83.108(kN ) bei s = 68.58(mm)
(4.113)
58
Abbildung 4.7: Experimentelle Untersuchung der Kragbalken (WAHL [22]: S. 183)
• bis 2. Ordnung: Pm = 96.625(kN ) bei s = 68.58(mm)
also ist die Progressivität ca. 16 %. Jedenfalls stimmt die Formel (4.112) bei großer Durchbiegung
mit der theoretischen Herleitung und auch den experimentellen Daten nicht so gut überein, wie die
Autoren gesagt haben.
Theoretische hergeleitete progressive Formel
Die theoretische hergeleitete progressive Formel ist sehr empfindlich gegen Parameteränderungen, da
die Blattlänge in der Formel multipliziert wird.
Abbildung 4.8: Kraftangriff in die vertikale Richtung auf der Blattfeder und entstehend waagerechte
Komponente durch Schaken (KRANZ [10]: S. 16)
59
P L tanh(λL)
(
− 1),
w1 (L) =
Ph
λL
Ph = P/tan α,
λ=
s
Ph
,
2EIy∗
EIy∗ = kEIy = kE(bh3 /12).
α0 = π/2 − α,
Die Progressivität der ursprünglich als linear anzunehmenden Blattfeder wird durch die Schakenaufhängung, und zwar durch den Winkel α0 zwischen der vertikalen und den Schaken bewirkt. Diese
Winkel beeinflusst die Progressivität sehr stark. Untere Simulationsergebnisse zeigen Mittelkennlinie
für α von π/2.4 (unterste Kurve) bis π/4.2 (oberste Kurve), wobei der Nenner in Schritten von 0.2
von 2.4 bis 4.2 erhöht wurde (rote Kurvenschar in Abb.4.9).
Statische Kraft−Weg−Kennlinie der Blattfeder, h = 15 (mm)
Statische Kraft−Weg−Kennlinie der Blattfeder, h = 16 (mm)
140
140
120
120
Mittellinie
Mittellinie
100
80
Kraft P / kN
Kraft P / kN
100
Belastung
60
40
Belastung
60
40
Entlastung
simulierte Mittellinie
Entlastung
20
0
80
simulierte Mittellinie
20
0
10
20
30
40
50
Durchsenkung A / mm
(a) h = 15(mm)
60
70
80
0
0
10
20
30
40
50
Durchsenkung A / mm
60
70
80
(b) h = 16(mm)
Abbildung 4.9: Progressivitätsberechnung ohne Reibung; Einfluss der Parameter durch Blattdicke und
Aufhängungswinkel
Nicht nur der Winkel α, sondern auch Federblattdicke h und äquivalenter Faktor k können eine
große Änderung der Kennlinien bewirken. Untere Diagramme zeigen eine Verschiebung der Kennlinienschar (α = π/2.4 → π/4.2) nach dem Parameter h. Ein geringer Unterschied der Federblattdicke
∆h = 1(mm) kann eine große Änderung der Kennlinie bewirken. Diese Simulationsversuche zeigen: Wenn man genau die Kraft-Weg-Kennlinie nachbilden möchte, sollte man die Kennlinie aus
experimentellen Daten bestimmen. Noch eine Schwierigkeit bei der Simulation liegt darin, dass der
Reibungsbeiwert zwischen den Blättern nicht eindeutig gegen ist, sondern durch Experiment bestimmen werden muss, da er je nach dem Zustand der Blattfeder verschieden ist. Ein Vorschlag für die
Bestimmung der Kennlinie wird im Kapitel 6 gemacht.
Statische Kraft-Weg-Kennlinie der geschichteten Blattfeder (in vertikaler Richtung)
Zur Ermittlung der statischen Kraft-Weg-Kennlinien wird die Blattfeder quasistatisch mit einer kontinuierlich steigenden Kraft bis zu einem Maximalwert 135 kN oder 125 kN beaufschlagt und dann
wieder entlastet.
An diesem Kennliniendiagramm wird deutlich, dass die geschichteten Blattfeder durch die Schichtung der Federblätter übereinander zusätzliche Eigenschaften eines Dämpfers bekommen hat. Die
durch die Be- und Entlastungskurve eingeschlossene Fläche ist ein Maß für in Wärme (teilweise in
Schall) umgewandelte Reibungsenergie.
Das Kennliniendiagramm (Abb.4.10-(b)) zeigt nicht eindeutig, ob die Blattfeder wirklich HystereseEigenschaften (Hysterese: griechisch. „zurückgelegt“) hat. Dafür kann man einige neue Kriterien in
dieser Arbeit festlegen durch Beobachtungen der Hysterese-Kurven:
60
Statische Kraft−Weg−Kennlinie der Blattfeder: FEDER2L
Antwort−Verzoegerung der Blattfeder: FEDER2L (16.JAN.01,10:53:22−10:53:46)
Durchsenkung
Kraft
120
120
100
80
Kraft P / kN
Kraft P / kN, Durchsenkung A / mm
100
60
40
80
Belastung
60
40
Entlastung
20
0
20
25
30
35
Zeitverlauf t / s
40
45
0
0
10
20
(a) Kraft, Durchsenkung
30
40
50
Durchsenkung A / mm
60
70
80
Abbildung 4.10: (a) Antwort-Verzögerung der Blattfeder durch COULOMBsche Reibung, (b) Statische Kraft-Weg-Kennlinie für eine Be- und Entlastungsschleife
• „Die Hysteresekurve hängt nur vom vorgegebenen maximalen (oder minimalen) Umkehrwert
ab“.
• „Es gibt eine einzige Be- und/oder Entlastungskurve unter bestimmter maximalen und/oder
minimalen Kraft bei stationärer Erregung“.
• „Eine Belastungskurve hängt von Belastungsgeschwindigkeit ab, aber dagegen ist eine Entlastungskurve unabhängig von Entlastungsgeschwindigkeit bei instationärer Erregung unter vorgegeben Vorspannungen der Blattfeder“.
• „Es gibt nur zwei maximale Grenzkurven (sog. „Envelopen“) für verschiedene Be- und Entlastungen“.
• „Es gibt prinzipiell keinen Unterschied zwischen statischen und dynamischen Kraft-Weg-Kennlinien,
d.h., die statische Kennlinie ist ein spezieller Fall der dynamischen Kennlinie“.
Diese Ansagen scheinen unklar zu sein, aber das untere aus einigen hunderten Kennlinien gewonnene
Diagramm schafft Klarheit.
sf
Fz
Fz
mm
15
16
14 17
13
2
85
80
75
70
65
9
60
2 15
14
3
50
45
1
12
10
8
35
30
10
18
8
40
16
9
13
55
18
17
3
1
25
20
4
15
7
6 19 5
10
5
5
11
7
0
-5
0
50
100
6
150
200
250
300
350
400
450
19
500
550
0
10
4 11
20
30
40
50
60
s
(a) Ablaufdiagramm
70
80
mm
Abbildung 4.11: Ablaufdiagramm für Kraft und Durchbiegung und statische Kraft-Weg-Kennlinie für
das Ablaufdiagramm
1 : Start - Belastung bis Punkt 2
2 : Umkehrpunkt: 125 kN
61
3 : Entlastung vom oberen Umkehrpunkt 2 bis Ruhepunkt 4
4 : Ruhepunkt bei 20 kN
5 : weiter Entlastung bis 0 kN
6 : Kraft in negative Richtung, für besseren Startzustand
7 : Belastung und Ruhepunkt bei 20 kN
8 : weitere Belastung bis zweiten Umkehrpunkt 9
9 : zweiter (oberen) Umkehrpunkt bei 100 kN
10 : Entlastung bis zum dritten (unteren) Umkehrpunkt 11
11 : dritter (unterer) Umkehrpunkt bei 20 kN
12 : Belastung bis zum Ruhepunkt 13
14 : weitere Belastung bis zum vierten (oberen) Umkehrpunkt 15
15 : oberer Umkehrpunkt bei 125 kN
16 : Entlastung bis zum Ruhepunkt 17
18 : Entlastung bis 0 kN
19 : Ende bei 0 kN
Durch Beobachtungen der Kraft-Weg-Kennlinien kann man folgende Fragen stellen:
• „Warum sieht eine statische Kennlinie im Vergleich mit dynamischer Kennlinie etwas anderes
aus?“
• „Welchen Zusammenhang gibt es zwischen statischen und dynamischen Kennlinien?“
• „Gehorcht die Blattfeder dem COULOMBschen Reibungsgesetz?, gilt für nicht konstante Normalkraft wie bei Blattfedern auch das COULOMBsche Reibungsgesetz?“
• „Ist es möglich, die Blattfeder mit COULOMBschem Reibungsgesetz zu modellieren, damit
die Blattfeder-Hysterese am Computer zu implementieren?“
• „Gibt es eine allgemeine Formel für alle Blattfedern?, kann man mit einer Formel die Verhältnisse der Blattfeder einheitlich beschreiben?“
Die meisten Fragen lassen sich positiv beantworten.
Interpretation der statischen Kraft-Weg-Kennlinie mit Hysterese
Man soll zunächst Situationen der Blattfeder bei Be- und Entlastungen verstehen. Bei relativen Verschiebungen zwischen einander berührenden metallischen Oberflächen der Blattfeder liegt die Hauptursache der Reibung in einer Interaktion der mikroskopischen Struktur der Flächen. Die Änderung
der mikroskopischen Struktur - lokale plastische Deformation - dissipatiert Energie.
Mit langsam ansteigender Normalkraft auf der Blattfeder werden die Tangentialkräfte durch gegeneinander bewegte Kontaktflächen langsam gesteigert. Deshalb liegt eine Kraft-Weg-Kennlinie auf
der oberen maximalen Grenzkurve. Q1 sei der obere Umkehrpunkt. Von diesem Punkt an wird eine
Gegenkraft ausgeübt (genau genommen wird die Entlastung verringert). Im Idealfall hat die Kennlinie die Gestalt der Kurve a vom Punkt Q1 aus, da das plastische Fliessen plötzlich an der unteren
Grenzkurve einsetzen würde. Im allgemeinen tritt aber unter konstanter Normalkraft bei wachsenden Tangentialkräften allmählich plastisches Fliessen entsprechend Kurve b ein. Mit abnehmender
62
P
P3
P1
Q3
Q1
c
b
a
a
c
b
P2
Q2
z2
z1
w
Abbildung 4.12: Kraft-Weg-Kennlinie der Blattfeder im Vergleich mit reiner COULOMBschen Reibung
Normalkraft erfolgt der Übergang in den plastischen Zustand trotz abnehmender Tangentialkräfte entsprechend schneller: Kurve c.
• Kurve a: idealisierte plastische Kennlinie
• Kurve b: reale plastische Kennlinie
• Kurve c: Kennlinie der Blattfeder bei Entlastung
Bei Punkt Q2 wird erneut mit der Belastung begonnen. Da die Normalkraft nach gering ist, ist der
Widerstand gegen Strukturänderungen durch Tangentialkräfte klein und der plastische Zustand wird
schnell erreicht. Wäre die maximale Belastung größer als P1 , würde die Kennlinie deshalb nicht über
Punkt Q1 nach Q3 verlaufen, sondern darunter liegen.
Experimentelle Daten zeigen, dass durch die reine Plastizitätstheorie die Hystereseverhältnisse bei
Blattfedern nicht perfekt beschreiben werde kann, In der Literatur (z.B. POPP [17]) hat man mit exponentiellen Funktionen - einer Variation der Plastizitätstheorie - diese statische Hysterese der Blattfeder
erklärt, jedoch zeigten die experimentellen Daten aus dem Versuch deutliche Abweichungen.
Es ist klar, dass die obere und untere Grenzkurven nur möglich wären, wenn man die Blattfeder
bis ins Unendliche belasten und vom im Unendlichen liegenden Umkehrpunkt entlasten würden.
4.4.3
Algorithmen zur Programmierung für statische Hysterese der geschichteten Blattfeder
Einige Annahmen
Bei veränderlichen Normalkräften wie bei der Blattfeder kann man die reine Plastizitätstheorie des
COULOMBsche Gesetzes nicht verwenden. Praktisch kann man nicht für alle Fälle alle Hysteresekurven der Blattfeder messen. Noch schlimmer ist es, dass meistens nur die auftretenden Kräfte
gegeben sind und man alle Situationen ohne bekannte Durchbiegungen simulieren muss.
In dieser Arbeit wird eine Methode zur Simulation der statischen und dynamischen Eigenschaften
nur mit Hilfe der statischen Kraft-Weg-Kennlinie der Blattfeder vorgeschlagen.
(1) Belastung von Null: die statische Kennlinie liegt immer auf der oberen maximalen
Grenzkurve, d.h. die Belastungskurve stimmt mit oberer maximalen Grenzkurve überein.
(2) Die obere maximale Grenzkurve sei ein Polynom 2. Ordnung, d.h., wegen der Schaken entsteht eine Kurve 2. Ordnung (nicht linear).
(3) Die untere minimale Grenzkurve sei auch ein Polynom 2. Ordnung. Die Kurve sei
63
eine Entlastungskurve vom unendlichen Belastungsumkehrpunkt.
(4) Eine Mittellinie zwischen oberer und unterer Grenzkurve sei die statische idealisierte Kraft-Weg-Kennlinie ohne Reibung.
Entlastungskurve
Eine Entlastungskurve von oberer maximalen Grenzkurve bestehe aus drei Komponenten:
• COULOMBsche Gleitreibung: Kurve a
• Abnehmende Kurve, die von einem Umkehrpunkt abhängt: Kurve b
• Untere minimale Grenzkurve: Kurve c
Beim ersten Schritt wird die Kurve b mit minimaler Grenzkurve c eine Grenzkurve d (Abb.4.13-(a) :
b + c → d). Im zweiten Schritt wird die Entlastungskurve von einem Punkt (z1 , P1 ) e (Abb.4.13-(b):
a + d → e ). Die Kurve b benötigt man wegen der nichtkonstanten Normalkraft (abnehmende Kraft).
P
P
P1
P
P1
P1
fr
a
fr
a
fr
b
fr
fr
c
fr
e
d
z1
z
z1
(a)
z
z1
(b)
z
(c)
Abbildung 4.13: Simulationsvorgang der Blattfeder bei Entlastung
Zweite Belastungskurve
Die zweite Belastungskurve vom Punkt (z2 , P2 ) weicht leicht von der ersten Belastungskurve ab. Dies
wird durch die Strukturänderung bei der Entlastung bewirkt, und führt dazu, dass bei kleinerer Belastung als P1 niemals die obere maximale Grenzkurve erst beim Punkt (z1 , P1 ) erreicht und dann folgt
die Kennlinie dieser Grenzkurve bis zum Punkt (z3 , P3 ) (Abb. 4.14). Beim dynamischen Fall geht die
P
P
P
P1
P1
P1
c'
d'
e'
b'
fr
fr
fr
fr
a'
P2
fr
fr
a'
P2
z1
z2
(a)
z
P2
z1
z2
(b)
z
z1
z2
z
(c)
Abbildung 4.14: Simulationsvorgang der Blattfeder bei Belastung
Belastungskurve nicht durch den Punkt (z1 , P1 ), sondern durch einen leicht darunter liegenden Punkt.
64
Algorithmen für statische und dynamische Hysterese
Diese Algorithmen gelten für statische und dynamische Hysterese-Kurven.
statische und stationäre dynamische Erregung: Es gibt keinen Unterschied zwischen statischen
und dynamischen Kraft-Weg-Kennlinien. Die statische Kennlinie ist ein spezieller Fall der dynamischen Be- und Entlastungskurven. Zunächst braucht man statische maximale Be- und Entlastungsgrenzkurven. Eine Bestimmung der von Null belasteten maximalen Kennlinie ist relative einfach,
indem man aus gemessenen Kräften und Durchbiegungen nach dem Zeitverlauf mit Datenverarbeitungsprogrammen bis 2. Ordnung approximiert.
Für die untere Entlastungsgrenzkurve ist eine Annahme erforderlich, da es praktisch unmöglich
ist, die Entlastung von unendlicher Belastung aus zu beginnen. Die Beobachtung zahlreicher Entlastungskurven mit der maximalen Belastung von 125 oder 135 kN ergab folgende Gemeinsamkeit: In
der unteren Hälfte also zwischen 50 und 0 mm unterscheiden sich die Entlastungskurven kaum. Daher
lässt sich die untere Grenzkurve aus diesen Entlastungskurven approximieren.
Die Programmierung wird mit „Pseudo-Code“ geschrieben. Ein Vorteil davon ist, dass man unabhängig von Programmiersprachen am Computer implementieren kann.
Algorithmus 1: statische Entlastungskurve
Ziel: Suche nach der Entlastungskurve
/* Anfangswert */
GET a0, a1, a2, // statische maximale Grenzkurve durch Approximation
b0, b1, b3, // statische minimale Grenzkurve durch Approximation
F1; // maximale Belastung
xmax = maximal(roots(a0 - F1 + a1* x + a2 x2));
// Durchbiegung bei F1
// Auflösung des Polynoms 2. Ordnung bei Belastung F1
/* Hauptprogramm */
MAIN(){
/* Aufruf einer Funktion */
{xmin, xDown, FDown} = DOWNLOAD(xmax, 0, F1, b0, b1, b2);
//Aufruf eines Unterprogramms
/* Ausgabe */
OUTPUT (xDown, FDown);
// Ergebnisse von Durchbiegung (xDown) gegen Kraft (FDown)
/* Darstellung */
GRAPHICS (xDown, FDown);
// Diagramm von Durchbiegung gegen Kraft
/* Ende */ }
65
/* FUNCTION */
DOWNLOAD(xmax,0, F1,b0,b1,b2){ };
// Unterprogramm für Entlastung
Folgende Algorithmen liegen im Anhang A.
• Algorithmus 2: eine dynamische Hysterese-Schleife, Entlastung von F1 , infolge Belastung von
F2 wieder bis F1
• Algorithmus 3: Unterprogramm für Entlastung
• Algorithmus 4: Unterprogramm für Belastung
dynamische instationäre Erregung: Weiter entwickelt wurde ein instationärer Krafterregungsalgorithmus, mit dem man beliebige hintereinander erregte Kräfte richtig simulieren kann.
4.4.4
Vergleiche mit experimentellen Daten und simulierten Ergebnissen
Statische Kraft-Weg-Kennlinie
Zur genaueren Analyse werden die Kraft-Weg-Kennlinien der gebrauchten drei Federn mit Kennzeichen „FEDER 1R“, „FEDER 2R“ und „FEDER 2L“ unter trockenen Bedingungen betrachtet.
Statische Kraft−Weg−Kennlinie: FEDER2R (16.JAN.01, 15:12:21.16−15:12:51.27)
140
simulierte Entlastungskurve: max. 125.7 kN
max. Belastungsgrenzkurve
min. Entlastungsgrenzkurve
experimentelle Ent− und Belastungsdaten
120
Kraft P / kN
100
80
60
40
20
0
0
10
20
30
40
50
Durchsenkung A / mm
60
70
80
90
Abbildung 4.15: Vergleich der Simulationsergebnisse mit experimentelle Daten 1 (FEDER2R)
In allen Fällen stimmen die simulierten Kennlinien mit den durch Sternchen dargestellten experimentellen Daten sehr gut überein. Die schwarzen dünnen Kurven sind die maximale Be- und minimale
Entlastungskurve, die man aus den experimentellen Daten bestimmen muss. Die dicken blauen und
roten Linien sind mit dem Reibungsmodell aus dieser Arbeit simulierte Kurven.
Man muss zuerst die maximale und die minimale Grenzkurve mit Hilfe der „Methode der kleinsten Fehlerquadrate“ aus den experimentellen Daten bestimmen. Für ein genaues Simulationsergebnis
muss man eine Näherung 2. Ordnung durchführen, für einfache Rechnungen genügt die (lineare) Näherung 1. Ordnung.
Die Grenzkurve hängt von den Federzuständen, z.B. neu, gebraucht, durch Witterung nass, ölgeschmiert usw. ab. In jedem Fall braucht man geeignete Grenzkurven für die Simulation. Mit diesem
Reibungsmodell kann man ohne Messung der Durchbiegung die Kraft-Weg-Kennlinie der Blattfeder
66
Statische Kraft−Weg−Kennlinie: FEDER2L (16.JAN.01, 10:52:28.01−10:53:45.70)
140
simulierte Entlastungskurve 1: max. 127.3 kN
simulierte Entlastungskurve 2: max. 126.3 kN
120
Kraft P / kN
100
80
60
40
20
0
0
10
20
30
40
50
Durchsenkung A / mm
60
70
80
Abbildung 4.16: Vergleich der Simulationsergebnisse mit experimentelle Daten 2 (FEDER2L)
Statische Kraft−Weg−Kennlinie: FEDER1R (15.JAN.01, 16:23:53.65−16:25:43.07)
150
simulierte Entlastungskurve 1: max. 135 kN
simulierte Entlastungskurve 2: max. 125 kN
Kraft P / kN
100
50
0
0
10
20
30
40
50
Durchsenkung A / mm
60
70
80
90
Abbildung 4.17: Vergleich der Simulationsergebnisse mit experimentelle Daten 3 (FEDER1R)
simulieren, Reibungswerte, Federsteifigkeiten, Durchbiegungen usw. Kann man ohne weitere Messungen aus der simulierten Kurve berechnen, jedoch sind diese statischen Kenngrößen für die Fahrdynamik von Schienenfahrzeugen nicht wichtig.
Dynamische Kraft-Weg-Kennlinie (stationär)
Dynamische Be- und Entlastungen der Blattfeder werden als Spezialfall des statischen Falls betrachtet. D.h. die statischen Algorithmen werden ohne Änderung für die Berechnung des dynamischen
Falls verwendet. Hierzu musste vorher die Unabhängigkeit der Blattfedereigenschaften von der Anregungsfrequenz bewiesen werden. KRANZ [10] und MEURER [15] haben diese Zusammenhänge
untersucht. Herr MEURER am FG Schienenfahrzeuge, TU-Berlin hat bei zweitem Experiment zu
Federeigenschaften und Geschwindigkeit (Erregungsfrequenz) die hier analysierten Blattfedern untersucht.
Das Fazit seiner Untersuchungen ist, dass die Federeigenschaften nicht von der Belastungsgeschwindigkeit abhängen. Diese Ergebnisse machen es jetzt leicht, ohne weitere Überlegungen dynamische Hystereseschleifen zu analysieren. Tatsächlich kann man mit den Polynom-Approximationen
diese Unabhängigkeit überprüfen, meist mit positivem Ergebnis (innerhalb des zugelassenen Fehlerbereichs).
Zur Ermittlung der dynamischen Eigenschaften wird die im Prüfgestell befindliche Feder mit
einer den Belastungszustand des Fahrzeugs simulierenden Vorspannung beaufschlagt. Danach wird
Kennzeichen
67
Messzeit & Approximation
15.JAN.2001, 16:23:53.65 - 16:25:43.07
Belastung: F u = 0.003089z 2 + 1.3386z + 7.5669
Entlastung: F d = 0.002992z 2 + 0.8384z + 2.7924
16.JAN.2001, 15:12:21.16 - 15:12:51.27
Belastung: F u = 0.002843z 2 + 1.3187z + 4.0643
Entlastung: F d = 0.003459z 2 + 0.7964z + 0.7497
16.JAN.2001, 10:52:28.01 - 10:53:45.70
Belastung: F u = 0.002884z 2 + 1.3839z + 8.3742
Entlastung: F d = 0.002837z 2 + 0.8816z + 2.5751
FEDER 1R
FEDER 2R
FEDER 2L
Tabelle 4.1: Grenzkurven durch Approximation (gebrauchte, trockene Federn)
sie mit dreieckförmigen Schwingungen angeregt. In der Nähe des oberen und des unteren Umkehrpunktes wird diese Dreieckschwingung verrundet und durch Randeffekte gestört, so dass sie einer
Sinusschwingung gleicht. Das hat keinen Einfluss auf die Federeigenschaften, was sich aus der oben
angeführten Geschwindigkeitsunabhängigkeit indirekt ergibt. Dieser Sachverhalt wird in dieser Arbeit
auch nicht weiter untersucht.
Fz
kN
60
Fz
sf
58
56
54
52
50
48
46
44
42
40
38
36
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
11:12
11:13
11:14
11:15
11:16
11:17
11:18
11:19
16.1.01
11:12
11:13
11:14
11:15
11:16
11:17
11:18
11:19
16.1.01
(a) Kraft
10
5
h:m
10
15
20
25
30
(b) Durchbiegung
35
mm
h:m
(c) Kraft-Weg-Kennlinie
Abbildung 4.18: Ablaufdiagramm und dynamische Kraft-Weg-Kennlinie
Das Diagramm in Abb.4.18-(a) zeigt den Messlauf der erregenden Kraft über die Zeit, in Abb.4.18(b) ist die Durchbiegungsantwort über die Zeit aufgetragen. Die Zeit fungiert hier als Parameter, so
dass aus beiden Diagrammen dynamische Kraft-Weg-Kennlinien (Abb.4.18-(c)) erhalten werden können. Die dichte Kurvenschar in Abb.4.18-(c) zeigt die stationäre Erregung mit verschiedenen Kräften.
Aus dieser Kurvenschar werden einige Hystereseschleifen ausgewählt und mit dem Federmodell berechneten verglichen. Alle simulierten Kurven werden nur mit gegebenen oberen und unteren Kräften
ohne Durchbiegungsdaten berechnet.
Die simulierten Entlastungskurven stimmen meist sehr gut mit den experimentellen Daten überein, aber bei den Belastungskurven gibt es kleine Abweichungen, da man sie ohne Durchbiegung
(Amplitude) nur aus der Kurvengleichung des Federmodells berechnet hat. Eine kleine Durchbiegungsdifferenz verursacht eine relativ große Abweichung von ca. 0.5 mm ∼ 1 mm.
Statische Hysterese der Blattfeder (instationär)
Ein Hauptziel ist es, unter beliebigen Krafterregungen genaue Hysteresekurven zu erstellen. Mit diesem Modell kann man beliebige Situationen problemlos simulieren.
• Gegeben bei der Simulation wird nur eine Kraft-Serie:
68
Dynamische Kraft−Weg−Kennlinie: FEDER 2L, Vorspannung: 25 kN, Freq.: 1 Hz
50
45
simulierte Entlastungskurve
simulierte Belastungskurve
maximale Grenzkurve
minimale Grenzkurve
experimentelle Daten
45
maximale Grenzkurve
minimale Grenzkurve
40
40
35
35
Kraft P / kN
Kraft P / kN
30
30
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
0
0
5
10
Amplitude
15
A / mm
20
0
25
0
5
10
Amplitude
(a) Erregungsamplitude: 20 kN
15
A / mm
20
25
(b) Erregungsamplitude: 15 kN
Abbildung 4.19: Vergleich der dynamischen Simulationsergebnisse mit experimentellen Daten: 25kN
Vorspannung
35
maximale Grenzkurve
minimale Grenzkurve
35
maximale Grenzkurve
minimale Grenzkurve
30
30
25
Kraft P / kN
Kraft P / kN
25
20
20
15
15
10
10
5
5
0
0
2
4
6
8
10
Amplitude
12
A / mm
14
16
18
20
0
0
2
4
6
8
10
Amplitude A / mm
12
14
16
18
Abbildung 4.20: Vergleich der dynamischen Simulationsergebnisse mit experimentellen Daten: 25kN
Vorspannung
P1 = (48.98, 10.78), (49.90, 19.37), (116.97, 17.23), (113.41, 19.67), (109.90, 21.08).
Abb.4.23-(a) zeigt den gemessen Verlauf der erregte Kraft und der Antwort. Daraus lassen sich
die dynamischen Kraft-Weg-Kennlinien, die in Abb.4.23-(b) mit Sternchen versehen sind, gewinnen. In diesem Fall stimmt die Simulation mit dem gemessenen Verlauf gut überein.
• Zweites Beispiel:
P2 = (40.47, 14.80), (40.78, 14.87), (41.23, 14.86), (41.74, 14.39), (42.81, 13.64),
(43.42, 13.53), (43.33, 13.52), (45.18, 16.99), (48.38, 17.40), (51.06, 17.19), (53.97,
17.45).
Im unteren Bereich treten Abweichungen ca. 0.5 mm auf, aber überwiegend besteht sehr gute
Übereinstimmung.
• Letztes Beispiel: Das Federmodell hat viele experimentelle Daten erfolgreich nachgebildet.
Diesmal wird das Modell mit beliebig manipulierten Daten geprüft.
P3 = (60.1, 40.2), (65.1, 34.8), (51.1, 27.6), (69.8, 28.0), (44.6, 24.9).
4.5 Federeigenschaft
69
150
maximale Grenzkurve
minimale Grenzkurve
maximale Grenzkurve
minimale Grenzkurve
140
120
100
Kraft P / kN
Kraft P / kN
100
80
60
50
40
20
0
0
10
20
30
40
Amplitude
50
A / mm
60
70
0
80
0
10
20
30
40
Amplitude
50
A / mm
60
70
80
Abbildung 4.21: Vergleich der dynamischen Simulationsergebnisse mit experimentellen Daten:
100kN Vorspannung
maximale Grenzkurve
minimale Grenzkurve
120
maximale Grenzkurve
minimale Grenzkurve
100
100
80
Kraft P / kN
Kraft P / kN
80
60
60
40
40
20
20
0
0
10
20
30
Amplitude
40
A / mm
50
60
70
0
0
10
20
30
Amplitude
40
A / mm
50
60
Abbildung 4.22: Vergleich der dynamischen Simulationsergebnisse mit experimentellen Daten:
100kN Vorspannung
4.5.1
Simulationsergebnisse
Be- und Entlastungshysterese bei stationärer Erregung
Das in dieser Arbeit erstellte Modell erklärt die Verhältnisse bei der geschichteten Blattfeder bei beliebiger Vorspannung und Erregungskraft, und zwar für einen riesigen Bereich experimentell überprüfter
Fälle. Die unteren Diagramme zeigen simulierte Hysteresekurven unter Vorspannungen von 25 kN
und 100 kN .
Federkonstante
Anders als die statische Federrate, die als fast konstant oder linear angenommen werden kann, ist
die dynamische Federrate nicht eindeutig angebbar, denn sie hängt nicht nur von den vorgegebenen
Vorspannungen, sondern auch von den Erregungskräften ab. Die Nichtlinearität der Federrate an verschiedenen Punkten bewirkt Verwirrung beim richtigen Einsatz zur Simulation. STICHEL [20] hat
für die dynamische Federrate einen 3-mal so großen Wert wie die statischen Federrate angenommen.
70
Hysterese bei instationaere Erregung: FEDER 2L
120
maximale Grenzkurve
sf
Fz
minimale Grenzkurve
100
simulierte Hysterese
*
Kraft P / kN
80
60
40
20
7.06
8.15
9.23
10.32
11.41
12.50
13.59
16.1.01, 11:01
0
0
10
20
30
40
Amplitude A / mm
s
(a) Ablaufdiagramm
50
60
70
(b) Vergleich
Abbildung 4.23: Vergleich mit dynamischen Simulationsergebnisse mit experimentellen Daten
Hysterese bei instationaere Erregung 2: FEDER2L
60
55
maximale Grenzkurve
minimale Grenzkurve
50
45
Kraft P / kN
40
35
30
25
20
15
10
10
12
14
16
18
20
22
Amplitude A / mm
24
26
28
30
32
Abbildung 4.24: Vergleich mit dynamischen Simulationsergebnisse mit experimentellen Daten
Dagegen hat KRANZ [10] in seiner Dissertation die tangentialen Werte der oberen und unteren Umkehrpunkte der Hystereseschleife bestimmt und diese gemittelt. Diese Werte unterschieden sich kaum
von der statischen Federrate.
Die aus der simulierten Hysterese berechneten Federraten sind wie erwartet für jeden Punkt unterschiedlich. Das untere Diagramm zeigt den Verlauf der Tangentialfederrate bei 100 kN Vorspannung
und 33 kN Erregung über die entsprechende Hystereseschleife. Wenn sich die Hysteresekurve an die
maximale oder minimale statische Grenzkurve angenähert, nimmt die Federrate den statischen Wert
an.
Eine diagonale Federrate zwischen einem unteren und oberen Umkehrpunkt der Hysteresekurve
könnte eine Lösung sein. Wie die tangentiale Federrate wird eine diagonale Federrate definiert durch:
c=
dP
∆P
Pmax − Pmin
≡
=
.
dz
∆z
zmax − zmin
(4.114)
Aber die so erhaltene Federrate ist unpraktisch. Zwar kann sie für eine Schleife als konstant betrachtet
werden, aber sie nimmt je nach Erregungskraft unterschiedliche Werten an (a → b → c → d). Für sehr
große Erregungskräfte nähert sie sich selbstverständlich der statischen Federrate an.
Das Diagramm (Abb. 4.30) zeigt simulierte diagonale Federraten für Vorspannungen die von
20 kN schrittweise um 5 kN bis 135 kN erhöht wurden. Der Verlauf dieser Federraten kann mit
71
Tangentiale Federrate bei instationaerer Erregung
12
70
Start
maximale Grenzkurve
65
minimale Grenzkurve
Tangentiale Federrate c / (kN/mm)
55
Kraft P / kN
7
3
Start
60
1
10
50
45
40
35
9
8
8
5
4
6
2
6
4
Ende
30
2
25
Ende
20
20
22
24
26
28
30
32
Amplitude A / mm
34
36
38
40
42
0
22
24
(a) Simulation
26
28
30
32
Amplitude A / mm
34
36
38
40
(b) zugehörige Tangentialfederrate
Abbildung 4.25: Dynamische Simulationsergebnisse mit beliebiger Erregungskraft
Dynamische Kraft−Weg−Kennlinie der geschichteten Blattfeder: FEDER2L
45
40
35
Statische maximale
obere Grenze
Kraft P0 / kN
30
25
20
Statische minimale
untere Grenze
15
10
5
0
0
5
10
15
Amplitude A0 / mm
20
25
Abbildung 4.26: Simulierte Hysteresekurven bei 25 kN Vorspannung
Polynomen approximiert werden, aber dies liefert keine brauchbare Formel. Daher müssen zur Simulation Algorithmen anstelle einer Formel verwendet werden. Bei der Beobachtung der simulierten
Federraten für 15 kN Erregungskraft fällt auf, dass die Federrate zunächst wie erwartet linear mit der
Vorspannung fällt aber unterhalb von 80 kN fast exponentiell absinkt. In der Tabelle 4.2 liegen einige
dynamischen Federraten der Blattfeder mit COULOMBscher Reibung bei verschiedenen Erregungskräften und Vorspannungen.
4.5.2
Dynamische Eigenschaften der Blattfeder
Reibungsarbeit gegen Erregungskraft und Durchbiegung
Die Trockenreibung zwischen einander berührenden Oberflächen der Blätter verrichtet Reibungsarbeit. Bisherige Kenntnisse lauten, die Reibungsarbeit sei quadratisch proportional zu Durchbiegungen
oder zurückgelegten Wegen:
∆R ∼ ∆z 2 .
(4.115)
72
Simulierte Hysteresen bei Blattfeder, Vorspannung 25 kN
Simulierte Hysteresen bei Blattfeder, Vorspannung 100 kN
35
140
130
30
120
Vorspannung
110
Kraft P0 / kN
Kraft P0 / kN
Vorspannung
25
100
90
20
80
70
15
10
11
12
13
14
15
Amplitude A0 / mm
16
17
18
60
55
19
60
65
70
Amplitude A0 / mm
75
80
(a) Vorspannung 25kN , Anregung um ±0.5kN bis ±9kN (b) Vorspannung 100kN , Anregung um ±2kN bis ±33kN
gesteigert
gesteigert
Abbildung 4.27: Hysteresekurven der geschichteten Blattfeder
Tangentialfederrate der Blattfeder, Vorspannung:100kN, Erregung:33kN
140
15
Belastung
Entlastung
130
120
10
Federrate c / (kN/mm)
Kraft P / kN
110
100
90
5
80
70
60
55
60
65
Amplitude
70
A / mm
75
80
(a) Schleife für Be- und Entlastung
0
58
60
62
64
66
68
70
Amplitude A / mm
72
74
76
78
(b) Tangentialfederrate
Abbildung 4.28: Tangentialfederrate der Blattfeder an den Be- und Entlastungskurven
Aber wegen der verschiedenen Verhältnisse der Blattfeder im Bereich „Haften“ und „Gleiten“ ist diese
Beziehung hier nicht mehr gültig. Die Untersuchung der Verhältnisse liefert die Beziehungen:
∆R ∼ ∆z 2 :
∆R ∼ ∆z
3
:
im Bereich „Haften“,
im Bereich „Gleiten“.
(4.116)
Die quadratische oder kubische Beziehung ist sehr schwach ausgeprägt, d.h. man kann sie daher als
„linear“ approximieren, aber der Übergangsbereich zwischen „Haften“ und „Gleiten“ ist eindeutig
vorhanden.
Die Kurve im Bereich „Gleiten“ (Abb. 4.31-(a)) ist scheinbar eine Gerade, aber die tangentialen Werte ändern sich quadratisch (Abb. 4.31-(b)). Das bedeutet, dass die Reibungsarbeit im Bereich
„Gleiten“ kubisch proportional zur Durchbiegung ist. Es bleibt offen, ob die Reibungsarbeit von der
Verschiebung zwischen den Blättern quadratisch abhängen könnte. (hier bedeutet, Amplitude: Größe
der Erregungskraft, Durchbiegung: gesamte Durchsenkung mit Vorspannung und Erregung, Verschiebung: Größe der verschobenen Länge zwischen Blättern)
Davon ist zu unterscheiden, dass die mit a und b bezeichneten Schleifen im Diagramm (Abb. 4.29)
im Bereich „Haften“ liegen. In einzelnen Fällen kann man auch beide Bereiche unterscheiden (Abb.
4.32), aber in diesem Fall findet man, dass die Reibungsarbeit innerhalb der Schleife im „Gleiten“Bereich liegt.
73
Verschiedene dynamische Federrate in einer Blattfeder nach Erregungen
Diagonale Federrate der Blattfeder, Vorspannung: 100 kN
150
14
d
140
a
c
12
130
b
Diagonalfederrate c / (kN/mm)
120
a
Kraft P / kN
110
100
90
80
10
b
8
6
c
d
70
4
60
50
50
55
60
65
Amplitude
70
A / mm
75
80
2
85
0
10
(a) HOOKEsche Gerade
20
30
Erregungskraft P / kN
40
50
60
(b) Diagonalfederrate
Abbildung 4.29: Diagonale Federrate für Simulation und kontinuierliche Diagonalfederrate bei verschiedenen Erregungskräften
Diagonalfederrate der Blattfeder, Vorspannung: von 20 kN bis 135 kN um 5 kN
Diagonalfederrate bei 15 kN Erregungskraft nach Vorspannung
15
15
Abschnitt: 15kN Erregungskraft
10
135 kN
5
10
5
20 kN
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
(a) Diagonalfederrate
0
20
40
60
80
Vorspannung V / kN
100
120
140
(b) bei 15 kN Vorspannung
Abbildung 4.30: Diagonale Federrate unter verschiedenen Vorspannungen und abgeschnittene Federrate bei 15 kN Erregungskraft
Trotz der Bezeichnung „Haften“ ist wegen der Distribution der COULOMBschen Reibung schon
eine Gleitung zwischen den Blättern vorhanden. Es gibt auch keine explizite allgemeine Formel für
die Abhängigkeit der Reibungsarbeit von den Erregungskräften, so dass man mit Polynomen approximieren oder Algorithmen einfügen muss.
Reibungsarbeiten gegen Erregungsfrequenzen
Theoretisch ist die durch COULOMBsche Reibung bedingte Reibungsarbeit von der Frequenz unabhängig, aber praktisch scheint die Reibungsarbeit mit der Frequenz zu schwanken (MCCONELL [14]).
Diese Schwankung ist meistens auf Messfehler oder instabile Reibungszustände zurückzuführen. Der
Übergang vom elastischen Zustand zum plastischen Fliessen an den Kontaktflächen scheint nicht für
verschiedene Frequenzen einheitlich zu sein.
Nach der vorliegenden Arbeit von MEURER [15] ist die Reibungsarbeit der Blattfeder unabhängig
von der Erregungsfrequenzen.
74
Vorspannung
↓
20(kN)
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
5(kN)
3.98
7.81
8.88
9.45
10.10
10.63
11.10
11.60
12.07
12.45
13.0
13.5
Erregungskraft (kN) →
15
20
25
30
1.88
2.31
1.96 1.74
2.90
2.35 2.04 1.84
3.73
2.81 2.37 2.10
4.93
3.39 2.76 2.39
6.52
4.12 3.21 2.72
7.89
5.09 3.74 3.09
8.94
6.32 4.39 3.52
9.80
7.60 5.18 4.0
10.53 8.70 6.14 4.56
11.23 9.64 7.25 5.21
11.87 10.45 8.35 5.98
10
2.26
3.11
4.65
6.83
8.21
9.15
9.90
10.58
11.16
11.74
12.29
12.84
35
40
45
1.70
1.92
2.15
2.41
2.67
3.01
3.36
3.75
4.18
4.66
1.79
1.99
2.20
2.43
2.68
2.95
3.25
3.57
3.92
1.69
1.86
2.05
2.24
2.45
2.67
2.91
3.17
3.44
Tabelle 4.2: Diagonalfederrate (*106 (N/m)) nach Erregungskraft unter verschiedenen Vorspannungen
Reibungsarbeit der Blattfeder nach Erregungsamplituden: Vorspannung 100 kN
Differentiale Reibungsarbeit der Blattfeder nach Erregungsamplitude: Vorspannung 100 kN
1400
70
1200
60
Haften
Gleiten
Haften
diff. Reibungsarbeit (dD/dz) / (J/m)
Reibungsarbeit D / J
1000
800
600
400
200
0
Gleiten
50
40
30
20
10
0
5
10
15
Amplitude A / mm
20
25
0
0
(a) Reibungsarbeit
5
10
15
Amplitude A / mm
20
25
(b) diff. Reibungsarbeit
Abbildung 4.31: Reibungsarbeit und differentielle Reibungsarbeit der Blattfeder nach Erregungsamplituden bei 100 kN Vorspannung
Komplexe Federkonstante und Phasenverschiebung
Bei der Computersimulation wird aus Gründen der theoretischen Einfachheit die Nachbildung der
Hysterese der Blattfeder durch eine viskose Dämpfung angestrebt. Daher stellt sich sofort die Frage,
ob bei den hier vorliegenden Kraft-Weg-Diagrammen der Durchbiegung die auftretende Hysterese
hinreichend gut durch eine viskose Dämpfung nachgebildet werden kann. Die Antwort lautet überwiegend „Ja“.
Verringert man beispielsweise bei 100 kN Vorspannung die Erregung von ±30 kN (Absolutkraft
von 70 ∼ 130 kN ) auf ±15 kN , so gibt es dafür zwei Wege, nämlich vom oberen (Abb. 4.33-(a))
oder vom unteren Umkehrpunkt (Abb. 4.33-(b)) aus. Nach mehreren Schwingungen (ab ca. 3 Schleifen) nähern sich beide Hysteresen eine stabile Grenzschleife an. Wie obige Diagramme im instabilen
Bereich zeigen, kann man aufeinanderfolgende verschiedene Erregungen nicht als viskose Dämpfung
nachbilden, aber für stationäre Erregungen gibt es keine Probleme.
Bei der Nachbildung der viskosen Dämpfung treten zwei Probleme auf.
75
Schmatisches Diagramm fuer "Haften" und "Gleiten"
140
130
120
"Gleiten"
"Haften"
Kraft P / kN
110
100
90
"Gleiten"
80
"Haften"
70
60
55
60
65
70
Amplitude A / mm
75
80
85
Abbildung 4.32: „Haften“- und „Gleiten“-Bereiche für eine Hysterese-Schleife
Hysterese bei instationaerer Erregung von unterem Kehrpunkt 70 kN
140
130
130
120
120
110
110
Kraft P / kN
Kraft P / kN
Hysterese bei instationaerer Erregung von oberem Kehrpunkt 130 kN
140
100
100
90
90
80
80
70
70
60
60
62
64
66
68
70
72
Amplitude A / mm
(a) von oben
74
76
78
80
60
60
62
64
66
68
70
72
Amplitude A / mm
74
76
78
80
(b) von unten
Abbildung 4.33: Hysteresekurven bei Amplitudenhalbierungen von oben und unten
• Phasenverschiebung: Bei viskoser Dämpfung ist stets eine Phasenverschiebung zwischen Erregung und Antwort vorhanden (Abb. 4.35-(b)), aber es gibt keine Phasenverschiebung an Umkehrpunkten bei der Trockenreibung (Abb. 4.35-(a)).
• Frequenzabhängigkeit: Die viskose Dämpfung hängt von der Geschwindigkeit, bei stationärer
Erregung von der Erregungsfrequenz ab, aber die Trockenreibung ist unabhängig von der Frequenz.
Eine Lösung ist die Einführung der „komplexe Federrate“. Bei sinusförmiger Erregung kann man
die Dämpfung und Federrate so beschreiben (MCCONELL [14]):
bẋ + cx = (c + ibω)A0 eiωt ≡ (c + icη)A0 eiωt .
(4.117)
Der zweite Term cη in (4.117) fungiert hier als Reibungsbeiwert nach Frequenzen bei viskoser Dämpfung, so dass bω ≡ cη wird. Der Verlustfaktor η wird definiert durch:
η = Verlustenergie (Reibungsenergie) / Speicherenergie (Potentialenergie)
D
D
=
=
2πU
πcA20
(4.118)
76
Amplitudenverhalbierung von unterem Kehrpunkt
78
76
76
74
74
72
72
Amplitude A / mm
Amplitude A / mm
Amplitudenverhalbierung von oberem Kehrpunkt
78
70
68
70
68
66
66
64
64
62
62
60
1
2
3
4
5
6
Anzahl der Schleife
7
8
9
10
60
1
2
3
4
(a) von oben
5
6
Anzahl der Schleife
7
8
9
10
(b) von unten
Abbildung 4.34: Amplitudenänderung nach Schleifen von oberem und unterem Kehrpunkt
sf
Fz
Erregungskraft
Weg−Antwort
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
17.443
17.948
18.452
18.957
19.462
19.967
16.1.01, 11:18
s
0
0.2
0.4
(a) Messdaten
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
(b) viskose Dämpfung
Abbildung 4.35: Phasenverschiebung bei Blattfedern und viskoser Dämpfung
(D: Verlustenergie (durch die Schleife eingeschlossene Fläche), A0 : Amplitude). Gegeben seien eine
Kraft-Erregung und Durchbiegungs-Antwort mit:
P = P0 sin ωt
: Kraft-Erregung,
(4.119)
z = A0 sin(ωt + φ)
: Durchbiegung-Antwort,
(4.120)
so wird Verlustenergie eine durch die elliptische Schleife eingeschlossenen Fläche:
D = πP0 A0 sin φ.
(4.121)
Diese Fläche muss mit der Verlustenergie durch Reibung der Blattfeder übereinstimmen.
Eine Beziehung zwischen Erregungskräften und Steifigkeiten und Phasenverschiebung kann man
nicht explizit geben, aber durch Algorithmen berechnen:
φ = arcsin(
D
) : Phasenverschiebung,
πP0 A0
A0 = f (P0 ),
D = f (P0 , A0 ).
(4.122)
(4.123)
(4.124)
Die folgenden Diagramme (Abb. 4.37) zeigen eine 3-dimensionalen grafische Darstellung für äquivalente Reibungsbeiwerte bei 25 kN und 100 kN Vorspannungen.
77
Verlustfaktor eta nach Vorspannungen
Hysterese der Blattfeder und approximierte viskose Daempfung
0.5
140
0.45
130 kN
20 kN
130
0.4
120
110
0.3
Kraft P / kN
Verlustfaktor eta
0.35
0.25
30 kN
0.2
50 kN
40 kN
Vorspannung
100
viskose
Approximation
90
0.15
80
Hysterese
0.1
70
0.05
60
0
0
10
20
30
40
50
60
50
55
60
(a) Verlustfaktor
65
Amplitude
70
A / mm
75
80
85
(b) viskose Approximation
Abbildung 4.36: Verlustfaktor η unter verschiedenen Erregungskräften und Erregungskräften, simulierte Hysteresekurven und dazugehörige viskose Approximation
Aequivalenter Reibungsbeiwert b bei 100 kN Vorspannung
Aequivalenter Reibungsbeiwert b bei 25 kN Vorspannung
0.2
0.1
0
15
2
4
Reibungsbeiwert b*106 / (Ns/m)
0.4
0.3
6
Reibungsbeiwert b*10 / (Ns/m)
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
6
5
8
0
2
3
0
20
10
1
0.05
Erregungsfrequenz f / Hz
4
15
10
10
8
5
9
0
(a) Vorspannung: 25 kN
5
6
7
Erregungsfrequenz
f / Hz
10
(b) Vorspannung: 100 kN
Abbildung 4.37: 3-dim. grafische Darstellung für äquivalenten Reibungsbeiwert
4.5.3
Dynamisches Modell mit Trockenreibung und Federkonstanten
Die Erkenntnisse der Simulation ermöglichen eine effektive Interpretation der Schwingungen bei
mit Blattfedern ausgerüsteten Schienenfahrzeugen. Grob gesagt gibt es bei Schienenfahrzeugen zwei
Möglichkeiten der Schwingungserregung in vertikaler Richtung: Krafterregung und Wegerregung.
Meistens, d.h. im Normalbetrieb stammt diese Erregung aus Gleisunebenheiten und anderen Gleiszuständen. Bei Entgleisungen verursachen Schwellen usw. die Schwingungserregung. Die Übertragung
erfolgt durch die Primärfedern.
Krafterregung
Geht man wie Abschnitt 4.5.2 von komplexer Federsteifigkeit aus, so gilt
mẍ + c∗ x = P0 sin Ωt,
(4.125)
wobei c∗ = c(1 + iη). Analog zu Krafterregung ohne Reibung ist eine spezielle Lösung
xs =
P0
eiΩt
,
m ω 2 (1 + iη) − Ω2
ω 2 = c/m,
(4.126)
Erregungskraft
↓
5 (kN)
10
15
20
78
1 (Hz)
0.2584
0.1589
0.1008
0.0701
Erregungsfrequenz (Hz) →
3
5
10
0.0861 0.0517 0.0258
0.0530 0.0318 0.0159
0.0336 0.0202 0.0101
0.0234 0.0140 0.0070
2
0.1292
0.0795
0.0504
0.0351
15
0.0172
0.0106
0.0067
0.0045
30
0.00861
0.00530
0.00336
0.00234
Tabelle 4.3: Äquivalenter Reibungsbeiwert b(∗106 (N s/m)) bei 25 kN Vorspannung unter verschiedenen Erregungskräften und Erregungsfrequenzen
Erregungskraft
↓
5 (kN)
10
15
20
25
30
35
40
45
1 (Hz)
0.1685
0.2171
0.2819
0.3522
0.3407
0.2900
0.2451
0.2072
0.1767
Erregungsfrequenz (Hz) →
3
5
10
0.0562 0.0337 0.0169
0.0724 0.0434 0.0217
0.0940 0.0564 0.0282
0.1174 0.0704 0.0352
0.1137 0.0681 0.0341
0.0967 0.0580 0.0290
0.0870 0.0490 0.0245
0.0691 0.0414 0.0207
0.0589 0.0353 0.0177
2
0.0843
0.1086
0.1410
0.1761
0.1704
0.1450
0.1226
0.1036
0.0884
15
0.0112
0.0145
0.0188
0.0235
0.0227
0.0193
0.0163
0.0138
0.0118
30
0.00562
0.00724
0.00940
0.01174
0.01136
0.00967
0.00817
0.00691
0.00589
Tabelle 4.4: Äquivalenter Reibungsbeiwert b(∗106 (N s/m)) bei 100 kN Vorspannung unter verschiedenen Erregungskräften und Erregungsfrequenzen
mit Phasenverschiebung ist die Lösung
xs =
wobei r = Ω/ω und tan φ =
η
.
1−r 2
P0 sin(Ωt + φ)
p
,
c
(1 − r2 )2 + η 2
(4.127)
Der Vergrößerungsfaktor ist in diesem Fall
1
V1 = p
(1 − r2 )2 + η 2
(4.128)
p
0)
wird der VerWegen der Abhängigkeit von den Erregungskräften ω ∼ c(P0 ) und η ∼ c(PD(P
0 )·A(P0 )
größerungsfaktor sehr kompliziert, sogar ohne Computer-Hilfe fast unzugänglich. Die unteren Diagramme zeigen einige Simulationsergebnisse.
P0 sin Wt
m
x
c*
Abbildung 4.38: Schema für Krafterregung mit komplexer Federrate
79
Phasenverschiebung bei Krafterregung: 25 kN Vorspannung
Vergroessrungsfaktor der Krafterregung bei 25 kN Vorspannung
3.5
Vergroesserungsfaktor V1
15
10
20
Phasenverschiebung
3
2.5
2
1.5
1
0.5
15
5
0
25
10
20
0
14
10
14
6
4
8
6
5
0
2
10
10
8
12
15
5
12
4
0
(a) Vergrößerungsfaktor
Frequenz f / Hz
2
(b) Phasenverschiebung
Abbildung 4.39: Vergrößerungsfaktor V1 und Phasenverschiebung bei 25kN Vorspannung
Vergroesserungsfaktor der Krafterregung bei 100 kN Vorspannung
Phasenverschiebung bei Krafterregung: 100 kN Vorspannung
3.5
40
10
8
35
6
Phasenverschiebung
3
2.5
2
1.5
1
30
0.5
4
25
2
20
0
14
0
60
15
14
12
40
10
12
10
10
8
Erregungskraft
P / kN
5
6
4
8
4
0
2
6
20
0
Frequenz f / Hz
2
Abbildung 4.40: Vergrößerungsfaktor V1 und Phasenverschiebung bei 100kN Vorspannung
Wenn man bei bestimmter Erregungskraft die Änderung der Vergrößerung mit den Erregungsfrequenzen betrachtet, wird die Beziehung zwischen dem Vergrößerungsfaktor und der Frequenz ähnlich
wie ein bekanntes Diagramm bei viskoser Dämpfung.
Wegerregung
Bei Schienenfahrzeugen treten meistens diese Erregungen durch Gleise oder Schwellen auf,
mẍ + c∗ x = c∗ A0 sin(Ωt), wobei c∗ = c(1 + iη).
(4.129)
Die spezielle Lösung wird
p
(1 − r2 + η 2 )2 + r4 η 2
xs = A0
sin(ωt + φ)
(1 − r2 )2 + η 2
wobei tan φ =
r2 η
,
1−r 2 +η 2
(4.130)
so dass der Vergrößerungsfaktor
V2 =
p
(1 − r2 + η 2 )2 + r4 η 2
(1 − r2 )2 + η 2
ist und ähnlich wie bei der Krafterregungen.
(4.131)
80
Vergroesserungsfaktor bei Krafterregung
Vergroesserungsfaktor bei Krafterregung mit konstanten Federraten und Reibungsbeiwerten
Phasenverschiebung bei Krafterregung
4
3.5
3.5
3
3
25
20
15
10
5
1
Phasenverschiebung
30
2.5
2
1.5
2
1.5
1
0.5
1
0
2.5
0.8
0
0
2.5
2
0.6
0.5
0.5
1.5
2.5
0
0
3
4
3
1
0.2
2
5
1.5
0.4
Reibungsbeiwert b
1
Abstimmung r
0
0.5
1
1.5
Abstimmung
2
2.5
Reibungsbeiwert b
3
2
0.5
1
0
(b) 2-dim. Abschnitt
Frequenz f / Hz
0
(c) Phasenverschiebung
Abbildung 4.41: Vergleich: Vergrößerungsfaktor V1 und Phasenverschiebung mit konstanten Federraten und Reibungsbeiwerten bei Krafterregungen (bei viskoser Dämpfung)
A0 sin Wt
c*
m
x
Abbildung 4.42: Schema für Wegerregung mit komplexer Federrate
Simulationsvorgang
Es gibt zwei Wege zum Einsetzen der Federrate bei Blattfeder für Simulation oder Berechnung. Erstens, benutzt man eine viskose Dämpfung mit einem äquivalenten Reibungsbeiwert b ≡ cη/Ω und
zweitens, eine Strukturdämpfung mit komplexer Federsteifigkeit c∗ = c(1 + iη). In beiden Fällen
erhält man dieselbe spezielle Lösung zur Erregung.
Da es keine explizite Funktion zwischen einer Erregung und dazugehöriger Federsteifigkeit und
dem Verlustfaktor gibt, muss man sie für beliebige Vorlasten bei Schienenfahrzeugen durch ComputerAlgorithmen berücksichtigen. Ggf. kann man für die Beziehung eine approximierte Formel einsetzen,
z.B., Polynome, aber in diesem Fall führt eine kleine Abweichung durch Multiplikation und Division
Vergroesserungsfaktor der Wegerregung bei 25 kN Vorspannung
Phasenverschiebung bei Wegerregung: 25 kN Vorspannung
3.5
3
2.5
Phase
15
10
12
10
5
8
6
0
14
4
12
2
1.5
1
0.5
0
12
10
14
8
12
6
10
8
2
6
4
2
0
Erregungsamplitude A / mm
4
4
2
0
2
10
8
6
0
Abbildung 4.43: Vergrößerungsfaktor V2 und Phasenverschiebung bei 25kN Vorspannung bei Wegerregungen
81
Vergroesserungsfaktor der Wegerregung bei 100 kN Vorspannung
3.5
Phasenverschiebung
3
10
8
6
4
15
2.5
2
1.5
1
0.5
2
0
10
60
0
14
12
14
12
40
5
10
10
8
6
4
8
6
20
4
0
2
Frequenz f / Hz
2
0
Abbildung 4.44: Vergrößerungsfaktor V2 und Phasenverschiebung bei 100kN Vorspannung bei Wegerregungen
Vergroesserungsfaktor bei Wegerregung
Vergroesserungsfaktor bei Wegerregung mit konstanten Federraten und Reibungsbeiwerten
Phasenverschiebung bei Wegerregung
4
3.5
3.5
30
25
20
15
10
3
Phasenverschiebung
3
35
2.5
2
1.5
2.5
2
1.5
1
0.5
1
5
0.8
0
0
1
0
2.5
0.6
0.5
2
0.5
1
0.2
2
Abstimmung r
3
0
4
3
1
Reibungsbeiwert b
2.5
5
1.5
0.4
1.5
0
Reibungsbeiwert b
0
0.5
1
1.5
Abstimmung
2
(b) 2-dim. Abschnitt
2.5
3
2
0.5
1
0
Frequenz f / Hz
0
(c) Phasenverschiebung
Abbildung 4.45: Vergleich: Vergrößerungsfaktor V2 und Phasenverschiebung mit konstanten Federraten und Reibungsbeiwerten bei Wegerregungen (bei viskoser Dämpfung)
in der Formel zu einem großen Rechenfehler. Besser ist es, die Werte mit den angegebenen Formeln
im Blattfedermodell und den gemessenen Parametern zu berechnen.
Kapitel 5
Vergleich der Ergebnisse von
Modellrechnung und Messungen
5.1 Technische Daten für Kesselwagen
Die technische Daten der Kesselwagen bezeichnen die Massen, Trägheitsmomente und Längen aller
Teile.
Masse:
Teil
Kessel
Untergestell
Drehgestell
Radsatz
Wasser
Trägheitsmoment:1
Teil
Kessel
Untergestell
Drehgestell
Radsatz
Wasser
1
Symbol
mK
mU
mD
mR
mW
Zahlenwert
4089
8511
2224
1188
57552
Einheit
kg
kg
kg
kg
kg
Dimension
M
M
M
M
M
Symbol
ΘK11
ΘK22
ΘK33
ΘU11
ΘU22
ΘU33
ΘD11
ΘD22
ΘD33
ΘR11
ΘR22
ΘR33
ΘW11
ΘW22
ΘW33
Zahlenwert
5915
51330
51330
15658
193108
208670
833
2219
3052
666
113
666
43420
646911
646911
Einheit
Dimension
kg m2
M L2
kg m2
M L2
kg m2
M L2
kg m2
M L2
kg m2
M L2
Trägheitsmomente um den eigenen Massenmittelpunkt.
82
5.2 Messdaten bei Entgleisungsversuchen
83
Länge:
Teil
Drehgestell - Messpunkt
Massenmittelpunkt - Drehgestell
Drehgestell - Radsatz
Differenz zw. Schwellenabstand u. Radsatzabstand
Schwellenabstand
Massenmittelpunkt - SO (leer)
MP - SO (beladen)
Radradius(Lauffläche)
Radradius(Radkranze)
Erregungshöhe
Symbol
l
l1
a
dl
LS
HL
HG
rf
r0
2A0
Zahlenwert
0.9
4.05
0.85
0.09
0.63
1.371
2.352
0.46
0.488
0.036
Einheit
m
m
m
m
Dimension
L
L
L
L
m
m
m
m
m
m
L
L
L
L
L
L
Bei dem Entgleisungsversuch wurden ATIS2 MT II-Systeme aus der laufenden Fertigung verwendet,
die zum Zwecke des Versuchs leicht modifiziert wurden. Das ATIS MT II-System dient normalerweise zur Ortung und Verfolgung von Güterwagen. Es besteht aus Funktionsblöcken wie in Abb. 5.1
dargestellt. (SCHIRMER [18])
Antennen und Nachladung
Ortung
Baterien
und
Netzteil
Kommikation
Steuerung
Standartsystem
Erweiterung für Entgleisung
Sensorikinterface
Abbildung 5.1: Blockschaltbild des Systems
5.2.1
Leerwagen
Für leere Kesselwagen werden die Fahrgeschwindigkeit, Wegänderung zwischen Fahrzeugbauteilen
und Beschleunigung am Wagen gemessen.
2
ATIS ist eine Abkürzung von ‚Autarkes Telematik- und InformationsSystem‘
84
Wegänderung
An 13 Stellen wird eine Wegänderung gemessen, daraus werden 8 Wegänderungen in dieser Arbeit
berechnet. Das untere Diagramm zeigt eine Wegänderung an der S1 bezeichneten Stelle nach dem
Zeitverlauf. Weitere Diagramme befinden sich im Anhang C und D. Die vertikale Achse ist eine Erre-
Abbildung 5.2: Wegänderung S1 zwischen vorderem Radsatz und dem Drehgestell (13 km/h, leer),
x-Achse: Zeitverlauf (s), y-Achse: Amplitude (mm)
gungsamplitude zwischen Radsatz und Drehgestellrahmen und beträgt ca. ±33mm. Die waagerechte
Achse ist ein Zeitverlauf mit absolute Skalierung3 .
Beschleunigung
An den 12 Stellen wird eine Beschleunigung gemessen, davon wird an der Stelle von dem vorderen Radsatz die Erregungsbeschleunigung durch Schwellen, werden andere 11 Beschleunigungen am
Kesselwagen gemessen. Das untere Diagramm (Abb. 5.3) zeigt eine Beschleunigung an der a11 bezeichneten Stelle. Weitere Diagramme liegen auch im Anhang C und D.
Abbildung 5.3: Beschleunigung in vertikaler Richtung a11 (13 km/h, leer), x-Achse: Zeitverlauf (s),
y-Achse: max. Beschleunigung (m/s2 )
3
Eine absolute Zeitskalierung bedeutet, dass der Versuchsstart als Null-Sekunde eingestellt wird.
5.3 Vergleich mit Messdaten und Simulationsergebnissen
5.2.2
85
Beladener Kesselwagen
Beim Versuch wird ca. 58 Tonnen Wasser als Last gefüllt. Nach der Entgleisung werden Holzschwellen durch entgleiste Radsätze zerstört, so werden schwache Signale oder Fehler bei Wegänderungsmessungen aufgenommen. Trotzdem werden Signale bei Beschleunigungsmessungen stärker mit der
Fahrgeschwindigkeit.
S2
41.186
41.860
42.533
43.206
43.879
44.552
45.225
45.898
46.571
47.244
47.917
48.590
49.263
49.936
50.609
s
(a) Zerstörte Schwellen
(b) Signal
Abbildung 5.4: Zerstörte Schwellen beim Entgleisungsversuch und dazugehöriges Signal
5.3.1
Signalanalyse
Bei Datenerfassungen wird durch Rauschen, das in Sensoren, BNC-Kabeln oder Verbindungen entsteht, gestört. Der Einfluss dieser Störung hängt von der Einstellung des Messgerätes vor dem Versuch
ab und ist selbst bei Beschleunigungsmessungen nicht völlig beseitigen. Dies muss bei realen Versuchen sorgfältig berücksichtigt werden.
Das untere Simulationsergebnis (Abb. 5.6) veranschaulicht die Signalstörungen durch das Rauschen. Das 1. Diagramm (Abb. 5.5) zeigt das ungestörte Signal mit der Sinusfunktion. In den folgenden Diagrammen wird diesem Signal ein Störsignal mit GAUSSscher Normalverteilung aufgeschaltet.
Der Faktor k gibt die Amplitude dieses Störsignals im Vergleich zur Sinusfunktion an. Je größer dieser
ist, desto stärker ist das Signal gestört.
y = sin (5t)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Abbildung 5.5: y = sin(5t)
Die nächsten Diagramme (Abb. 5.7) zeigen die Verfälschung des Weg- und Beschleunigungssignals an der Stelle S1 und a11 durch das Rauschen.
1.5
1.5
y = sin (5t) + 0.04 randn(5t)
y = sin (5t) + 0.1 randn(5t)
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1.5
86
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−1.5
0
1
2
3
4
(a) k = 0.04
2.5
6
7
8
9
10
9
10
10
y = sin (5t) + 0.4 randn(5t)
y = sin (5t) + 2.0 randn(5t)
2
8
1.5
6
1
4
0.5
2
0
0
−0.5
−2
−1
−4
−1.5
−2
5
(b) k = 0.1
−6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−8
10
0
1
2
3
(c) k = 0.4
4
5
6
7
8
(d) k = 2.0
Abbildung 5.6: Simulation der Signalstörungen durch Rauschen
a11
S1
53.802
53.992
54.181
54.371
54.561
54.750
54.940
55.129
55.319
55.509
55.698
55.888
56.078
56.267
53.005
53.247
53.488
53.729
53.970
54.212
54.453
54.694
54.935
55.177
55.418
(a) S1
55.659
55.900
56.142
s
s
(b) a11
Abbildung 5.7: Eine Signalstörung durch Rauschen beim Entgleisungsversuch
5.3.2
Federrate beim Entgleisungsversuch
Die Erregungsamplitude durch Schwellen beträgt 2A0 = 36(mm). Aber bei der Blattfeder-Messung
ist die Durchsenkung4 unter 25 kN ca. 17(mm). Um die Federrate im überschrittenen Bereich zu
ergänzen, braucht man eine Extrapolation5 . Aus experimentellen Daten und simulierten Ergebnissen
bestimmt man die dynamische Federrate c und den Verlustfaktor η im Entgleisungsbereich:
1.427
106 (N/m) = 1.432 · 106 (N/m),
−0.113
z(mm)
1 − 0.627 e
0.153
=
= 0.1895.
1 − 0.767 e−0.0768 z(mm)
c25kN =
(5.1)
η25kN
(5.2)
Für den beladenen Kesselwagen (äquivalent zu 100 kN Vorspannung beim Blattfeder-Experiment)
betragen die Federrate und der Verlustfaktor: c100kN = 2.4416 · 106 (N/m) und η100kN = 0.3877,
die man aus dem Simulationsprogramm ohne Extrapolation berechnen kann6 .
4
Die Vorspannung 25kN bei der Blattfeder-Messung ist äquivalent zu der Belastung des Leerwagen für die einzelnen
Blattfeder.
5
Man kann einen Spezialfall wie Entgleisung nicht im Labor nachbilden, daher muss man durch Simulation extreme
Werte berechnen.
6
Die Federrate und der Verlustfaktor sind im Anhang B aufgeführt.
5.3.3
87
Wegänderung
In diesem und nächstem Abschnitt werden Messgrößen und Simulationsergebnisse miteinander vergleichen. Für den direkten Vergleich ergeben sich dabei einige Schwierigkeiten, da z.B. die Schwellenabständen nicht konstant7 und die aufgenommenen Signale durch Rauschen gestört sind. Dabei
wird nur der Bereich d in Abb. 5.8 verglichen. Die Vesuchsstrecke ist allerdings veraltet, denn der
unregelmäßige Schwellenabstand ist bei realen Gleisen nicht mehr anzutreffen, so dass die Simulationsergebnisse im Bereich d problemlos auf reale Situationen übertragen werden können.
S1
(a) Entgleisungsvorgang
(b) Übergang
(c) Simulationsbereich
(d) Ideale Erregung
d
s
48.21
49.41
50.61
51.81
53.00
54.20
55.40
56.60
57.79
58.99
60.19
61.38
62.58
63.78
a
b
c
Abbildung 5.8: Signal S1 und Simulationsbereich
Ohne Reibung der Blattfeder
Die simulierte Wegänderung an der Stelle S1 , S3 lautet:
q
∆S1 = SS21 + CS21 sin(Ωt + φS1 ),
q
∆S3 = SS23 + CS23 sin(Ωt + φS3 ),
hierbei
SS1 = A + (l1 − l)C − lG − A0 ,
SS3 = A + (l1 + l)C + lG + A0 cos Ωd,
tan φS1 = SS1 /CS1 ,
CS1 = B + (l1 − l)D − lH,
CS3 = B + (l1 + l)D + lH + A0 sin Ωd,
tan φS3 = SS3 /CS3 .
Das Diagramm Abb.(5.9)-(b) zeigt ein Simulationsergebnis ohne Trockenreibung der Blattfeder
bei dem Leerwagen (Rechenschritt: 1km/h). Die waagerechte Achse ist die Fahrgeschwindigkeit
mit der Einheit km/h (Kilometer pro Stunde) und die vertikale Achse ist eine Antwort-Amplitude
zwischen Radsätzen und dem hinteren Drehgestellrahmen in mm (Milimetern). In diesem Diagramm
sind einige Resonanzen erkennbar. Für die erste Versuchsgeschwindigkeit V0 = 13(km/h) weichen
die Antwort-Amplituden (∆S1 ≈ ±34(mm) und ∆S3 ≈ ±27(mm)) von den Messdaten ab, was auf
die fehlende Trockenreibung zurückzuführen ist.
Mit Reibung der Blattfeder
Um die Rolle der Trockenreibung der geschichteten Blattfeder bei Schienenfahrzeugen zu untersuchen, muss man die komplexe Federrate berechnen. Analog zu viskoser Dämpfung (s. unteren Kasten)
7
Der gemessene Schwellenabstand steht im Anhang E.
88
60
S1
S3
Amplitude A0 / mm
50
s2
Zugende
s4
s3
Ds3
s1
Ds1
S3
40
S1
30
20
10
Fahrtrichtung
0
0
(a) Messstellen S1 , S3
20
40
60
80
Fahrgeschwindigkeit V0 / (km/h)
100
120
(b) Simulationsergebnis ohne Reibung
Abbildung 5.9: Die Wegänderungen ∆S1 , und ∆S3 zwischen den Radsätzen und dem Drehgestell
werden die Antwort-Amplituden ∆S1 und ∆S3 :
∆S1 = ={(A1 + iA2 ) eiΩt } + <{(B1 + iB2 ) eiΩt } = (A1 − B2 ) sin(Ωt) + (A2 + B1 ) cos(Ωt),
(5.3)
∆S3 = ={(A3 + iA4 ) eiΩt } + <{(B3 + iB4 ) eiΩt } = (A3 − B4 ) sin(Ωt) + (A4 + B3 ) cos(Ωt),
(5.4)
hierbei
Erregungsgleichung: mẍ + bẋ + cx = P0 sin(Ωt),
ẍ + b/mẋ + c/mx = P0 /m eiΩt ,
P0 /m
komplexer Ansatz: xs = fˆeiΩt = 2
eiΩt ,
(ω0 − Ω2 ) + iΩb/m
P0 /m
gesuchte Lösung: xs = ={xs } = p 2
sin(Ωt − φ),
(ω0 − Ω2 )2 + Ω2 (b/m)2
Ω(b/m)
tan φ = 2
ω0 − Ω2
komplexe Gleichung:
A1 = AR + (l1 − l)CR − lGR − A0 ,
A2 = AI + (l1 − l)CI − lGI ,
B1 = BR + (l1 − l)DR − lHR ,
B2 = BI + (l1 − l)DI − lHI ,
B3 = BR + (l1 + l)DR + lHR + A0 sin(Ωd),
B4 = BI + (l1 + l)DI + lHI .
A3 = AR + (l1 + l)CR + lGR + A0 cos(Ωd),
A4 = AI + (l1 + l)CI + lGI ,
Leerkesselwagen Das linke Diagramm (a) in Abb. 5.10 zeigt ein Simulationsergebnis mit der Trockenreibung der Blattfeder. Die Trockenreibung („COULOMBsche Reibung“) reduziert die Antwort-Amplitude
89
Messdaten(06.DEZ.99, 10:59:48−10:59:52): S1,S3, V0=13(km/h)
90
S1
S3
80
30
70
60
20
S1
Ampliutde An / mm
Amplitude A0 / mm
S1
S3
40
50
S3
40
10
0
30
−10
20
−20
10
−30
0
0
20
40
60
80
100
120
48
48.5
49
(a) Simulationsergebnis mit Reibung
49.5
50
Zeitverlauf t / s
50.5
51
51.5
52
(b) Messdaten
Abbildung 5.10: Vergleich mit Simulationswerten und Messdaten an der Stelle S1 , S3
eindeutig im Vergleich mit dem Ergebnis ohne Trockenreibung(in Abb. 5.9-(b)). Bei der Versuchsgeschwindigkeit V0 = 13(km/h) erhält man für die Strecken ∆S1 ≈ 80(mm) und für ∆S3 ≈
54(mm)8 , und die Messdaten sind ∆S1 ≈ 76(mm) und ∆S3 ≈ 50(mm). Die simulierte Wegänderung ist geringfügig größer als Messdaten.
An den oberen positiven Spitzen (Verkürzung der Wegstrecke zwischen dem Rad und Drehgestellrahmen) wurde die Amplitude des Antwort-Signals regelmäßig, da das entgleiste Rad zwischen
den Schwellen über den Kies (Schotterstein) gefahren ist. Aber an unteren Spitzen ist das Signal unregelmäßig, da die Blattfeder vermutlich wegen der grossen Amplituden mit dem Drehgestellrahmen
zusammengestoßen ist.
90
S1: mit Reibung
S1: ohne Reibung
80
Amplitude A0 / mm
70
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
Abbildung 5.11: Vergleich zwischen ’mit Reibung’ und ’ohne Reibung’ an der Stelle: S1 bei leerem
Wagen, Rechenschritt: 1km/h
Nach dem Simulationsergebnis sollte die Wegänderungsamplitude zwischen den Rädern und Drehgestellrahmen fast konstant über die Fahrgeschwindigkeit V0 & 60(km/h) sein, d.h. ist die AntwortAmplitude bei schneller Wegerregung nicht größer als Erregungsamplitude. Allerdings weisen die
Amplituden bei V0 = 26(km/h) beträchtliche Abweichungen auf: S1 bzw. S2 ≈ 40 ∼ 55(mm) und
8
Die Amplitude ist bei der Simulation eine absolute Größe, aber die Messstrecke ist eine gesamte Wegänderung, so
multipliziert die Amplitude mit 2.
90
S3 bzw. S4 ≈ 20 ∼ 50(mm) (Simulation: ∆S1 ≈ 50(mm) und ∆S3 ≈ 46(mm)) (in Abb.5.12-(a)).
Oberhalb von 25 km/h treten Stoßeffekte auf, wie Messdaten in Abb.5.12-(b) zeigen. Dieser Effekt
erfordert eine neue Analysemethode.
Messdaten(06.DEZ.99, 12:14:00−12:14:04): S2,S4, V0=26(km/h) bei Leerwagen
Messdaten(06.DEZ.99, 13:02:46−13:02:50): S2,S4, V0=38(km/h) bei Leerwagen
50
60
S2
S4
S2
S4
40
40
30
20
Amplitude An / mm
Amplitude An / mm
20
10
0
0
−20
−10
−40
−20
−30
−60
−40
0
0.5
1
1.5
2
Zeitverlauf t / s
2.5
3
3.5
4
46
(a) Fahrgeschwindigkeit V0 = 26(km/h)
46.5
47
47.5
48
Zeitverlauf t / s
48.5
49
49.5
50
(b) Fahrgeschwindigkeit V0 = 38(km/h)
Abbildung 5.12: Messdaten S2 , S4 bei leerem Kesselwagen
Beladener Kesselwagen Aus dem Blattfedermodell kann man die Federrate und den Verlustfaktor
beim beladenen Kesselwagen berechnen.
A0 = 18(mm);
Erregungsamplitude,
c = 2.4416 · 106 (N/m);
Federrate,
η = 0.3877;
Verlustfaktor
Die Antwort-Amplitude beim beladenen Kesselwagen an der Messstelle S1 , S3 ohne Trockenreibung
zeigt in Abb.5.13-(a) . In diesem Fall tritt Resonanz auch an drei Stellen auf, die jeweils den drei
Variablen w1 , β1 , β3 (oder β4 ) entsprechen. Bei Berücksichtigung der Trockenreibung mit den obigen berechneten Werten reduziert sich die Antwort-Amplitude und verschwindet die Resonanz (in
Abb.5.13-(b)).
50
50
S1
S3
40
40
35
35
30
25
20
25
20
S3
15
10
10
5
5
20
40
60
80
Fahrgeschwindigkeit V0 /(km/h)
(a) ohne Trockenreibung
100
120
S1
30
15
0
0
S1
S3
45
Amplitude A0 / mm
Amplitude A0 / mm
45
0
0
20
40
60
80
100
120
(b) mit Trockenreibung
Abbildung 5.13: Simulationsergebnis ohne und mit der Trockenreibung bei beladenem Kesselwagen
Das Simulationsergebnis für die Fahrgeschwindigkeit V0 = 16(km/h) beträgt für ∆S1 ≈ 50(mm)
und für ∆S3 ≈ 30(mm). Das hintere Drehgestell wird durch die Gleissperre nach rechts zur Fahrtrichtung versetzt. Die rechte vordere und hintere Räder rollen danach an den Schwellen vorbei, so dass
91
hier nur schwache Signale aufgenommen werden(in Abb.5.14-(b)). Die linken Räder dagegen werden
entlang der Führungsschiene über die Schwellen gefahren und angeregt (in Abb.5.14-(c)).
(a) Spuren der Räder
Messdaten(07.DEZ.99, 11:00:17−11:00:21): S1,S3, V0=16(km/h) bei beladenem Wagen
Messdaten(07.DEZ.99, 11:00:17−11:00:21): S2,S4, V0=16(km/h) bei beladenem Wagen
50
30
S1
S3
S2
S4
20
40
10
Amplitude An / mm
Amplitude An / mm
30
20
0
−10
10
−20
0
−10
17
−30
17.5
18
18.5
19
Zeitverlauf t / s
19.5
20
20.5
21
−40
17
17.5
(b) Wegänderung S1 , S3
18
18.5
19
Zeitverlauf t / s
19.5
20
20.5
21
(c) Wegänderung S2 , S4
Abbildung 5.14: Radspuren über zerstörte Schwellen und Wegänderungen des beladenen Kesselwagens bei Fahrgeschwindigkeit V0 = 16(km/h)
Da das vordere Rad (an der Messstelle S2 ) trotz langsamer Fahrgeschwindigkeit auf Grund der
Beladung die Schwellen zerstört hat, sind bei den Meßsignale die unteren Spitzen weggebrochen. Das
hintere Rad wurde wieder durch Schwellen angeregt und die gemessenen Amplitude ca. ∆S4 war mit
38 ∼ 42(mm) geringfügig größer als das Simulationsergebnis.
Für V0 = 25(km/h) betragen die Wegänderungen laut Simulation für ∆S1 ≈ 66(mm) und für
∆S3 ≈ 32(mm). Bei höherer Fahrgeschwindigkeit des beladenen Kesselwagens treten Messfehler
auf, doch Messdaten bleiben für ∆S4 ≈ 30 ∼ 45(mm). Bei V0 = 37(km/h) betragen ∆S1 ≈
44(mm), ∆S3 ≈ 36(mm) und Messdaten zeigen ∆S1 ≈ 45 ∼ 55(mm). Die Simulationsergebnisse
für Wegänderungen stimmen mit den Messdaten im idealen Erregungsbereich überein.
Zustand
leer
beladen
Geschwindigkeit
13 km/h
26
38
16 km/h
25
37
Rechnung(R)
40mm
24
38
25 mm
34
22
Messung(M)
38
28
20
22
f
35
Differenz: D=R-M
2
-4
-15
3
f
-13
Q = D/R*100
5%
17
75
12 %
f
59
Tabelle 5.1: Wegänderung: Vergleich zwischen Simulationswerten und Messdaten an der Stelle S1
Messdaten(07.DEZ.99, 15:02:13−15:02:17): S2, S4 V0=25 (km/h) bei beladenem Wagen
92
Messdaten(07.DEZ.99, 13:00:54−13:00:58): S1, S3 V0=37(km/h) bei beladenem Wagen
100
S2
S4
S1
S3
150
80
100
Amplitude An / mm
Amplitude An / mm
60
40
20
50
0
0
−50
−20
13
13.5
14
14.5
15
15.5
16
16.5
(a) Wegänderung S2 , S4 , V0 = 25(km/h)
17
54
54.5
55
55.5
56
56.5
57
57.5
58
(b) Wegänderung S1 , S3 , V0 = 37(km/h)
Abbildung 5.15: Wegänderungen des beladenen Kesselwagens bei Fahrgeschwindigkeit V0 =
25(km/h) und 37(km/h)
60
S1: mit Reibung
S1: ohne Reibung
Amplitude A0 / mm
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
Abbildung 5.16: Vergleich zwischen ’mit Reibung’ und ’ohne Reibung’ an der Stelle: S1 bei beladenem Wagen; Rechenschritt: 1km/h
5.3.4
Beschleunigung
Die Beschleunigung an beliebigen Punkten des Kesselwagens kann man mit der Formel (4.100),
(4.101) im Abschnitt4.3.3 berechnet werden, da die Beschleunigung ein mathematisches Feld gebildet wurde. Die Hauptursache dieser Beschleunigung ist die durch Schwellenerregung verursachte Schwingung um den Massenmittelpunkt. Wie die Abb.5.17 zeigt, kann die Beschleunigung nach
eingestellten Messgeräten (Beschleunigungsaufnehmer) in zwei Komponenten zerlegt werden. Eine
Größe der horizontalen Komponente in der Fahrtrichtung hängt nur vom vertikalen Abstand vom
Massenmittelpunkt ab, d.h. die größten Werte treten an der oberen Oberfläche des Kessels auf. Die
Bestimmung der vertikalen Komponente gestaltet sich dagegen schwieriger, da sich hier die vertikale
Komponente der Winkelbeschleunigung um den Massenmittelpunkt und die Translationsbewegung
des Wagens in vertikaler Richtung überlagern. Im vorderen Teil des Wagens - vor dem Massenmittelpunkt - sind diese zwei Komponenten einander entgegengerichtet, während sie im hinteren Teil in
gleicher Richtung wirken. Daher sind die Werte für den vorderen Wagenteil zu subtrahieren und für
den hinteren Teil zu addieren.
93
C
Erregung
Erregung
(a) horizontale Komponente
(b) vertikale Komponente
Abbildung 5.17: Beschleunigung des Kesselwagens
Die Erfassung der Beschleunigungsdaten wird stets durch Rauschen gestört. Bei höherer Fahrgeschwindigkeit übersteigt das Rauschen den Betrag der Beschleunigung. Daher kann man die Größe des Rauschens einen Maßstab wählen, wenn eine Bezugsgröße für das Rauschen bestimmt wird.
Überlegungen dazu finden sich im Bericht von SCHIRMER [18] am FG Schienenfahrzeuge.
Leerwagen
Die horizontale Komponente der Beschleunigung an den Stellen 9 a10 , a12 beträgt a ≈ 5.1(m/s2 ).
Wegen des Rauschens sind die Messdaten nicht eindeutig, aber wahrscheinlich ca. 5(m/s2 ) (in Abb.5.18).
Vor der Bestimmung der Beschleunigung an den Stellen a9 und a11 muss man die TranslationsbeMessdaten(06.DEZ.99,10:59:48−10:59L52):a10, a12, V0=13(km/h) beim Leerwagen
10
10
a10
a12
9
8
max. Beschleunigung a / (m/s2)
8
6
7
Beschleunigung a / (m/s2)
4
6
5
a10, a12
4
3
0
−2
−4
2
−6
1
0
0
2
−8
20
40
60
80
100
120
−10
48
48.5
(a) Simulationsergebnis
49
49.5
50
Zeitverlauf t / s
50.5
51
51.5
52
(b) Messdaten von a10 , a12
Abbildung 5.18: Beschleunigung des Kesselwagens an den Stellen a10 , a12 ; V0 = 13 (km/h)
schleunigung in vertikaler Richtung berechnen. Das Diagramm in Abb.5.19-(a) zeigt die berechnete
Beschleunigung von w1 (t) und (b) zeigt die Messdaten an der Stelle a4 , die unter dem Massenmittelpunkt liegt. Das Simulationsergebnis stimmt mit Messdaten gut überein. An der Stelle a9 (vordere
Kesseloberfläche)wird wegen der gegenläufigen Schwingungsrichtung zwischen der Winkelbeschleunigung und der Translationsbeschleunigung in vertikaler Richtung eine Komponente von anderer abgezogen, dagegen werden sie an der Stelle a11 addiert. Die berechnete Größe an der Stelle a9 beträgt ca. 2(m/s2 ) und an der Stelle a11 ca. 20(m/s2 ), was mit den Messdaten gut übereinstimmt
(in Abb.5.20-(a) und (b)). Die folgende Diagramme (in Abb.5.21) zeigen weitere Messungen, die mit
den Simulationsergebnissen (in Abb.5.20-(a)) gut übereinstimmen. Bei höherer Fahrgeschwindigkeit
9
Detaillierte Messpunkte für die Beschleunigung liegen im Kapitel 3.
Messdaten(06.DEZ.99, 10:59:48−10:59:52): a4, V0=13(km/h)
10
25
20
8
15
7
10
a4
9
6
5
4
3
5
0
−5
−10
2
−15
1
0
0
94
−20
20
40
60
80
100
−25
48
120
48.5
49
49.5
50
Zeitverlauf t / s
50.5
51
51.5
52
(b) Messdaten von a4
Abbildung 5.19: Beschleunigung des Leerwagens an der Stelle a4 ; V0 = 13(km/h)
Messdaten(06.DEZ.99,10:59:48−10:59:52): a9, a11, V0=13(km/h) beim Leerwagen
30
a9
a11
a9
a11
30
20
2
max. Beschleunigung a / (m/s )
25
20
a11
15
10
5
a9
0
−5
10
0
−10
−10
−15
−20
−20
0
20
40
60
80
100
120
48
48.5
49
49.5
50
Zeitverlauf t / s
50.5
51
51.5
52
(b) Messdaten von a9 , a11
Abbildung 5.20: Beschleunigung des Leerwagens an der Stelle a9 , a11 ; V0 = 13 (km/h)
nimmt die Größe der Beschleunigung ab, dagegen steigt das Rauschen an, daher erkennt man die
Größe der Beschleunigung aus den Messdaten nicht mehr gut.
Beladener Kesselwagen
Das Trägheitsmoment ΘC
2 um den Massenmittelpunkt des beladenen Kesselwagens ist größer als beim
C = 990253/324995 ≈ 3.05), daher wird die Beschleunigung kleiner. Das
Leerwagen (k = ΘC
/Θ
B
L
Diagram in Abb.5.22-(a) zeigt ein Simulationsergebnis an den Stellen a10 und a12 ,(b) zeigt Messdaten
bei V0 = 16 (km/h).
Wegen des Rauschens ist die Größe der Beschleunigung schwer zu erkennen, aber die maximale
Amplitude ohne Rauschen-Spitzen scheint a10 ≈ 1 ∼ 2(m/s2 ) zu betragen. Im Simulationsergebnis
kann man den Wert von 1.2(m/s2 ) ablesen. Die folgenden Diagramme in Abb.5.23 zeigen Messdaten
bei der Fahrgeschwindigkeit V0 = 25, bzw. 37 (km/h).
Das Diagram in Abb.5.24-(a) zeigt ein Simulationsergebnis an den Stellen a9 und a11 , (b) die
Messdaten bei V0 = 16 (km/h). a9 = 1.5 (m/s2 ) und a11 = 6.5 (m/s2 ) sind die berechnete Werte,
die mit Messdaten übereinstimmen. Die nächsten Diagramme in Abb.5.25 zeigen Messdaten bei der
Fahrgeschwindigkeit V0 = 25, bzw. 37 (km/h).
95
40
60
a9
a11
30
40
2
Beschleunigung a / (m/s )
20
10
0
−10
20
0
−20
−20
−40
−30
−40
0
0.5
1
1.5
2
Zeitverlauf t / s
2.5
3
3.5
−60
46
4
46.5
(a) Messdaten V0 = 26(km/h)
47
47.5
48
Zeitverlauf t / s
48.5
49
49.5
50
(b) Messdaten V0 = 38(km/h)
Abbildung 5.21: Beschleunigung des Leerwagens an der Stelle a9 , a11 beim Leerwagen; V0 = 26, 38
(km/h)
Messdaten(07.DEZ.99,11:00:17−11:00:21): a10, a12, V0=16(km/h) bei beladenem Wagen
3
a10
a12
6
4
2
2.5
1.5
a10, a12
1
2
0
−2
−4
0.5
−6
0
0
20
40
60
80
100
120
17
17.5
18
18.5
19
Zeitverlauf t / s
19.5
20
20.5
21
(b) Messdaten V0 = 16 (km/h)
(a) Simulation
Abbildung 5.22: Beschleunigung des beladenen Wagens an der Stelle a10 , a12 ; V0 = 16(km/h)
15
a10
a12
6
a10
a12
10
4
2
0
−2
5
0
−5
−4
−10
−6
13
13.5
14
14.5
15
Zeitverlauf t / s
15.5
16
(a) Messdaten V0 = 25 (km/h)
16.5
17
−15
54
54.5
55
55.5
56
Zeitverlauf t / s
56.5
57
57.5
58
Abbildung 5.23: Beschleunigung des beladenen Wagens an der Stelle a10 , a12 , V0 = 25, 37(km/h)
96
Messdaten(07.DEZ.99,11:00:17−11:00:21): a9, a11, V0=16(km/h) beim Kesselwagen
16
20
a9
a11
14
a9
a11
15
2
12
10
10
8
a11
6
4
2
0
a9
5
0
−5
−10
−2
−15
−4
0
20
40
60
80
100
−20
17
120
17.5
18
18.5
19
Zeitverlauf t / s
19.5
20
20.5
21
(a) Simulation
Abbildung 5.24: Beschleunigung des beladenen Wagens an der Stelle a9 , a11 , V0 = 16(km/h)
20
a9
a11
a9
a11
60
15
40
2
10
5
0
−5
20
0
−20
−10
−40
−15
−60
−20
13
13.5
14
14.5
15
Zeitverlauf t / s
15.5
16
16.5
17
54
(a) Messdaten V0 = 25 (km/h)
54.5
55
55.5
56
Zeitverlauf t / s
56.5
57
57.5
58
Abbildung 5.25: Beschleunigung des beladenen Wagens an der Stelle a9 , a11 , V0 = 25, 37(km/h)
40
40
a4: mit Reibung
a4: ohne Reibung
a4: mit Reibung
a4: ohne Reibung
35
2
2
35
30
ohne Reibung
mit Reibung
25
20
15
10
5
0
0
30
25
ohne Reibung
20
15
mit Reibung
10
5
10
20
30
40
(a) leer
50
60
0
0
10
20
30
40
50
60
(b) beladen
Abbildung 5.26: Vergleich zwischen ’mit Reibung’ und ’ohne Reibung’ an der Stelle a4 ; Rechenschritt: 1 km/h
40
97
40
a11: mit Reibung
a11: ohne Reibung
a11: mit Reibung
a11: ohne Reibung
35
2
2
35
30
25
ohne Reibung
20
mit Reibung
15
10
5
30
ohne Reibung
25
20
15
10
5
mit Reibung
0
0
10
20
30
40
50
60
0
0
(a) leer
10
20
30
40
50
60
(b) beladen
Abbildung 5.27: Vergleich zwischen ’mit Reibung’ und ’ohne Reibung’ an der Stelle a11 ; Rechenschritt: 1 km/h
Zustand
leer
beladen
Geschwindigkeit
13 km/h
26
38
16 km/h
25
37
Rechnung(R)
5.2m/s2
3.5
3.2
1.2 m/s2
0.9
1.0
Messung(M)
5.0
3.7
∼3.0
∼1.0
∼1.0
*
Differenz: D=R-M
0.2
-0.2
∼0.2
∼0.2
∼0.1
*
Q = D/R*100
2.0 %
5.7
∼6.3
∼16.6 %
∼-11.1
*
Tabelle 5.2: Beschleunigung: Vergleich zwischen Simulationswerten und Messdaten an der Stelle a10
Kapitel 6
Diskussion
6.1 Statische Hysterese der geschichteten Blattfeder
6.1.1
Weitere Eigenschaften der Blattfeder
Die auf gemessenen Daten der Blattfeder basierende Simulation zeigt eine deutliche Änderung der Eigenschaften um ca. 20 % von Vorspannung. Dieses Phänomen wird auf die Auswirkung der Trockenreibung der Blattfeder zurückgeführt. Die Größe der COULOMBschen Reibung ist ungefähr µN ≈
±0.2N, N = V (V : Vorspannung), d.h. die Größe der Reibung ist ±20% der gegebenen Vorspannung.
Hysterese der Blattfeder bei 100 kN Vorspannung
125
120
115
110
Kraft P / kN
105
100
95
90
85
80
75
70
62
64
66
68
Amplitude A / mm
70
72
74
(a)
Untere Durchsenkung bei 100 kN Vorspannung
Aenderung der Federeigenschaft bei 100 kN Vorspannung
90
120
100
xmax
80
85
60
xmin
Kraft P / kN
100*eta
40
6*c
20
80
100*dc/dP
0
2000*d(eta)/dP
−20
−40
75
62
62.5
63
63.5
64
64.5
65
Amplitude A / mm
65.5
66
66.5
67
−60
(b)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
(c)
Abbildung 6.1: Änderung der Federeigenschaften
Das Diagramm in Abb. 6.1-(a) zeigt einige dynamische Hysterese-Schleifen bei 100 kN Vorspannung und (b) ist eine Vergrößerung um einen Änderungspunkt. Die kleinen Pfeil in (b) zeigen die
untere Amplitude (Entlastung). Im Diagramm (c) werden die Eigenschaften der Blattfeder um den
98
99
Wendepunkt gezeigt. Die untere Amplitude „xmin “ wird trotz der zunehmende Erregungskraft ansteigen und nach dem Wendepunkt absteigen.
Das Verhältnis der verschiedenen Federeigenschaften verändert sich eindeutig um einen Wendepunkt, der auf das Fliessen an der unteren minimalen Grenzkurve zurückgeführt wird. Wenn es kein
plastisches Fliessen gäbe, stiege die untere Amplitude wie obere Amplitude stetig an, und die dynamische diagonale Federrate sei immer konstant unabhängig von den Erregungsamplituden. Die Änderung einiger Federeigenschaften, z.B., Federrate, Verlustfaktor, usw. um den Wendepunkt ist nicht
besonders auffällig, aber die Änderung der differentiellen Eigenschaften sind eindeutig1 (in Abb.6.1(c)).
6.1.2
Vergleich der Reibungsmodelle für die Trockenreibung der Blattfeder
Modellbildung
In zahlreichen Untersuchungen über die Plastizitätstheorie haben viele Wissenschaftler und Ingenieure die Trockenreibung (sog. COULOMBsche Reibung) erforscht. IWAN [8] hat die äquivalente Eigenschaft von Plastizitätstheorie und COULOMBscher Reibung bewiesen. Aber die Untersuchungen
waren meistens auf die Trockenreibung unter konstanter Normalkraft (od. Druckkraft) bezogen.
Das Verhältnis der in dieser Arbeit untersuchten geschichteten Blattfeder wird sehr kompliziert im
Vergleich mit „konstanter“ COULOMBschen Reibung, da die Druckkraft mit der ausgeübten Kraft
nicht konstant ist. In dieser Arbeit wird eine zusätzliche Kraft dafür eingeführt. Diese Kraft wird
nach der zunehmenden (Belastung) oder abnehmenden (Entlastung) Kraft mathematisch als eine höhere Potenz zur Anpassung an die Messdaten gewählt. Die Potenz stimmt für die Entlastung mit
pd = xmax /12 und für die Belastung mit pu = xmin /6 übereingestimmt. Aus welchem Grunde die
zusätzliche Kraft eine solche höhere Potenz hat, wird in dieser Arbeit nicht erklärt.
mg
FR
N
F
mG
F
mH
mG
v
P
A x
b
-mG
-mH
(a)
-A
(b)
a
-mG
(c)
Abbildung 6.2: Eine konstante COULOMBsche Reibung und Kennlinien
Das auf der rauhen Metalloberfläche liegende Objekt in Abb.6.2-(a) bewegt sich plötzlich, wenn
die gezogene Kraft P größer als Haftreibung µH N wird (in Abb. 6.2-(b)), dann ergibt sich eine KraftWeg-Kennlinie die Kurve a in Abb.6.2-(c). Aber tatsächlich bewegt sich das Objekt entlang der Kennlinie b, da an berührenden Oberflächen eine elastische Eigenschaft teilweise mit einem plastischen
Zustand gemischt vorhanden ist und allmählich in den plastischen Zustand übergeht.
Die Diagramme in Abb. 6.3 zeigen eine Differenz zwischen den reinen COULOMBschen Reibung
(„mit exponentieller Funktion“: blaue Linie) und Trockenreibung der geschichteten Blattfeder („das
in dieser Arbeit erstellte Modell“: rote Linie) bei der Entlastung. Das Reibungsmodell zeigt eine
bessere Übereinstimmung mit den Messdaten für die (quasi-) statische Kennlinie und die dynamischen
Kennlinien.
1
Für besseren Vergleich wird der Massstab einiger Eigenschaften stark vergrößert. Von oben: xmax , xmin , 100 · η, 6 · c,
dη
dc
und 2000 dP
100 dP
100
Statik:Vergleich der Reibungsmodelle mit experimentellen Daten(FEDER2L)
130
120
Modell in dieser Arbeit
maximale Grenzkurve
minimale Grenzkurve
exponentielle Funktion
110
exponentielle
Funktion
Kraft P / kN
100
90
80
70
Modell
in dieser Arbeit
60
50
50
55
60
65
Amplitude A / mm
70
75
(a) statisch
140
45
*
*
130
40
120
Kraft P / kN
Kraft P / kN
35
Modell in dieser Arbeit
30
110
100
25
90
20
80
nach dem Modell in dieser Arbeit
15
16
18
20
Amplitude
22
A / mm
24
26
70
66
68
(b) dynamisch: 25 kN Vorsp.
70
72
74
Amplitude
76
A / mm
78
80
82
84
(c) dynamisch: 100 kN Vorsp.
Abbildung 6.3: Vergleich mit zwei Modellen
Parameterbestimmung
Es gibt viele Parameter für die Beschreibung der Kraft-Weg-Kennlinie von Blattfedern. Mit sehr vielen
Parametern kann man die Verhältnisse am genauesten beschreiben, aber praktisch gesehen, reichen 2
∼ 3 Parameter völlig aus.
Tangentialfederrate: Zuallererst braucht man die Tangentialfederrate zum Start, die nur aus Messdaten bestimmt werden kann.
In dieser Arbeit wird der Parameter:Tangentialfederrate aus Messdaten bei kleiner Erregungsamplitude gesucht und danach durch die Interpolation auf gesamten Be- und Entlastungsbereich erweitert. Bei dem Kennzeichen „FEDER2L“ ist die Tangentialfederrate:
k = 0.0785P + 7.36,
P (kN ):Kraft beim Wendepunkt, die bei der 1 kN Erregungskraft unter 25 kN , 50 kN und 100 kN
Vorspannungen bestimmt wird.
Standardabweichung:
Für die Gestalt der Kennlinie zum plastischen Vorgang spielt die Standardf ∗ −fr
abweichung σ als Streuung eine grosse Rolle (ϕ(f ∗ ) = √ 1 2 e− 2σ2 ). Man kann für die Vertei2πσ
lungsfunktion der Trockenreibung eine beliebige Funktion wählen. Das Diagramm in Abb.6.6-(a)
bedeutet, dass ein plastischer Vorgang im gesamten Bereich der Berührungsfläche und gleichmäßig
145
101
100
140
95
135
90
130
85
k
d3
k
120
Kraft P / kN
Kraft P / kN
125
d2
kd1
115
80
75
k
110
u3
70
105
ku2
65
ku1
100
60
95
90
70
75
80
Amplitude
85
55
50
52
54
56
58
60
62
Amplitude A / mm
A / mm
(a) Entlastung
64
66
68
70
(b) Belastung
Abbildung 6.4: Tangentialfederrate um den Wendepunkt
28
104
58
103
27
56
102
54
26
Kraft P / kN
Kraft P / kN
Kraft P / kN
101
25
52
50
100
99
24
48
98
46
23
97
44
22
11
11.5
12
12.5
13
13.5
14
Amplitude A / mm
14.5
15
15.5
16
(a) 25 kN Vorspannung
28
28.5
29
29.5
30
30.5
31
Amplitude A / mm
31.5
32
32.5
33
(b) 50 kN Vorspannung
96
59
59.5
60
60.5
Amplitude A / mm
61
61.5
62
(c) 100 kN Vorspannung
Abbildung 6.5: Messdaten zur Start–Tangentialfederrate, x-Achse: Amplitude[mm], y-Achse:
Kraft[kN]
auftritt. Die Reibungsgröße fr ist der Unterschied zwischen den maximalen statischen und der mittelen Kraft-Weg-Kennlinie (s. Abb. 4.13).
f
f
f
1/Dfr
:
fr -Dfr
fr
fr +Dfr
F
(a)
F
fr
(b)
:
F
fr
(c)
Abbildung 6.6: Verteilungsfunktion für COULOMBsche Reibung
Wenn die GAUSSsche Verteilungsfunktion als eine Verteilungsfunktion gewählt wird, hängt der
Vorgang zum Fliessen von der Standardabweichung ab. In dieser Arbeit wird die Standardabweichung
als ein Parameter gewählt, der von den Vorspannungen und Erregungskräften abhängt. Für kleine
Vorspannung wird die Standardabweichung kleiner (in Abb. 6.6-(b)) und für die große Vorspannung
größer (in Abb. 6.6-(c)).
Für die Blattfeder: Kennzeichnung „FEDER2L“ hat man
σ = (−1.8185
2fr
+ 2.1534)fr ≈ 1.426fr
F dmax
102
bestimmt. Der Parameter σ wurde aus zahlreichen Versuchskurven mit den Messdaten verglichen
und gewählt. Man kann mit einem Package „Parameterbestimmung“ im Programm MATLAB einen
solchen Parameter einfach finden, aber in dieser Arbeit wird das Package nicht benutzt. Die Diagramme in Abb. 6.7 zeigen einen Einfluss der Standardabweichung für die COULOMBsche Reibung der
Blattfeder.
50
50
s = 0.8 fr
s = 0.3 fr
45
40
40
40
35
35
35
30
30
25
25
20
20
15
10
12
14
16
18
Amplitude
20
A / mm
22
24
26
28
Kraft P / kN
45
Kraft P / kN
Kraft P / kN
50
s = 2.3 fr
45
15
10
30
25
20
12
(a) σ = 2.3
14
16
18
Amplitude
20
A / mm
22
24
26
28
15
10
12
14
(b) σ = 0.8
16
18
Amplitude
20
A / mm
22
24
26
28
(c) σ = 0.3
Abbildung 6.7: Vergleiche mit Messdaten nach dem Parameter σ
6.1.3
Grenze der Simulation und Einsatzprobleme der Blattfeder
Simulation der geschichteten Blattfeder
In dieser Arbeit hat man eine Existenz der maximalen und minimalen statischen Grenzkurven angenommen, die nur durch experimentelle Daten bestimmt werden können. Die Grenzkurven fungieren
wie ein Umschlag („Envelope“), in dem die statische Kraft-Weg-Kennlinie und sogar auch dynamische Kennlinien eingeschlossen werden. Aber beim Experiment hat häufig die obere dynamische
Amplitude die Grenzkurve überschritten oder die obere Grenzkurve nicht erreicht. Solche Messergebnisse sind wahrscheinlich auf Messfehler oder falsche Einstellungen (Justierung) des Messgerätes
zurückzuführen, jedenfalls könnte die dynamische obere Amplitude niemals die maximale Grenzkurve überschreiten.
Hysterese–Effekt der Blattfeder zur Simulation
Die Blattfeder2 hat eine statische Hysterese, die von der COULOMBschen Reibung zwischen den sich
berührenden Oberflächen der Blätter herrührt. Wegen der Hystereseeigenschaft wird die Simulation
der Blattfeder sehr kompliziert und eine gewünschte Kraft-Weg-Relation (eine Kurve unter gegebener
Kraftpaar-Serie) nicht eindeutig. Die folgende Simulation mit dem in dieser Arbeit erstellten Modell
zeigt verschiedene Ergebnisse.
• Versuch 1 : (60.1, 40.2)→(65.1, 34.8)→(51.1, 27.6)→ (69.8, 28.0)→(44.6, 24.9)
• Versuch 2 : (60.1, 40.2)→(51.1, 27.6)→(69.8, 28.0)→ (65.1, 34.8)→(44.6, 24.9)
• Versuch 3 : (60.1, 40.2)→(69.8, 28.0)→(51.1, 27.6)→ (65.1, 34.8)→(44.6, 24.9)
Beim Simulationsversuch werden für das erste und das letzte Kraftpaar denselben Wert eingegeben, aber Zwischenkraftpaare werden beliebig eingeordnet. Wie die Diagramme in Abb. 6.8 zeigen,
sind die Hysteresekurven verschieden, aber die Endpositionen für alle drei Fälle fast gleich, da das
letzte Kraftpaar denselben Wert hat. Im nächsten Abschnitt werden beliebige Kräfte stochastisch gegeben und die Endpositionen untersucht. Im Abschnitt 4.5.2 wird ein sich wiederholendes Kraftpaar
2
Die hier genannte Blattfeder bedeutet eine „geschichtete“ Blattfeder bei Schienenfahrzeugen.
75
75
75
70
70
70
65
65
Start
60
65
Start
60
45
55
Kraft P / kN
50
50
45
40
40
35
35
Ende
50
45
40
35
Ende
Ende
30
30
30
25
25
25
20
20
25
30
35
Amplitude A / mm
40
45
Start
60
55
Kraft P / kN
55
Kraft P / kN
103
20
20
25
(a) Versuch 1
30
35
Amplitude A / mm
40
45
20
20
25
(b) Versuch 2
30
35
Amplitude A / mm
40
45
(c) Versuch 3
Abbildung 6.8: Hysteresekurven unter beliebigen Anordnung des Kraftpaars
eingegeben, in diesem Fall existiert eine Grenzschleife, an welche sich der Verlauf nach ca. 3 Durchlaufen annähert.
Diese Hysterese-Eigenschaft der Blattfeder erschwert die Bestimmung einer äquivalenten viskosen Eigenschaft zur Simulation. Beim Normalbetrieb tritt meistens eine Zufallsschwingung auf. Die
Hysterese-Verhältnisse der Blattfeder bei Zufallsschwingungen sollen weiter untersucht werden.
Stochastische Erregung der Blattfeder
Mit dem Modell kann man auch die Zufallsschwingung überprüfen. Wenn eine Erregung mit einer
bestimmten Kraft beendet wurde, kann man eine entsprechende Durchsenkung der Blattfeder nach
dem vorhergehenden Pfad bestimmen. Das Diagramm in Abb. 6.9-(a) zeigt Endpositionen beim Entlastungsprozeß und Belastungsprozeß. Die Start-Kraft ist die vorgespannte Kraft 100 kN , nach ansteigenden Erregungen wird die Endposition bei der Kraft 100 kN stets größer, dagegen beim Belastungsprozeß nach dem Entlastungsprozeß größer und danach kleiner.
Endposition bei stochatischer Erregung: Vorspannung 100 kN
160
78
Entlastung
76
140
74
72
Endwert xend / mm
Kraft P / kN
120
70
100
68
80
66
64
60
Belastung
62
40
40
45
50
55
60
65
70
Amplitude A / mm
(a)
75
80
85
90
60
0
5
10
15
Versuch
20
25
30
(b)
Abbildung 6.9: Endposition der Blattfeder bei der Kraft 100 kN
Die Zufallsschwingung wird als Folge von „Normal“–Erregung im Fall (a) angenommen, so dass
eine Endposition völlig von stochastischen Verläufen abhängt. Zur stochastischen Erregung werden
mit einem Zufallsgenerator beliebige Zahlen erzeugt und danach mit der Standardabweichung (1 · σ:
innerhalb ca. 68%) als eine Zufallserregung multipliziert3 . Viele Versuche zeigen, dass 30 Werte (d.h.
30 stochastische Anregungen) für die Gewinnung einer aussagekräftigen Statistik ausreichen. Daher
3
Durch den Zufallsgenerator erzeugte Zahlen haben eine GAUSSsche Verteilung, damit wird eine Erregung P = 100 +
randn(1) ∗ σ(kN )
Stochastische Erregung
σ = 1(kN )
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
104
Endposition
xE = 59.94 ± 0.30(mm)
60.98±0.54
61.70±0.76
63.02±0.96
63.50±1.38
65.27±1.87
65.46±1.49
66.14±1.70
67.76±2.47
68.19±2.98
69.12±2.14
69.34±2.50
70.90±3.75
70.39±2.93
69.80±3.40
Stoch. Erregung
16(kN )
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Endposition
71.14±3.98(mm)
71.88±5.20
72.65±4.68
69.33±6.68
69.57±6.24
69.58±7.95
71.87±11.4
69.94±9.23
70.25±8.98
73.57±8.90
74.12±8.53
73.86±8.81
72.15±10.2
71.50±10.9
72.89±10.3
Tabelle 6.1: Stochastische Erregungen und Endpositionen
wurden für einen Versuch bei der 100 kN Vorspannung 30 stochastische Erregungskräfte ausgeübt,
danach wird derselbe Vorgang wieder für 30 Fälle versucht und dann statistisch gemittelt.
Das Diagramm in Abb. 6.9-(b) zeigt die Verläufe bei stochastischer Erregung mit σ = 15(kN ).
Die Endposition ist je nach dem Versuch unregelmäßig, aber statistische Werte mit 30 Versuchen
liefern eine eindeutige Beziehung zur „normalen“ Erregung. Das Diagramm in Abb. 6.10-(a) zeigt
Hystereseverläufe bei dynamischer Erregung, vor allen „xmax “ und „xmin “ . Abb. 6.10-(b) zeigt die
Verläufe bei stochastischer Erregung. Die Endpositionen bei stochastischer Erregung streben gegen
min
die gemittelte dynamische Kurve ( xmax +x
).
2
x
max
und x
min
Stochastische Erregung und dynamische Erregung
bei Normalerregungen: 100 kN Vorspannung
85
160
80
140
xmax
x
max
75
stochastische Erregung
Amplitude A / mm
Kraft P / kN
120
100
70
(x
+xmin)/2
max
65
80
60
xmin
60
55
x
min
40
40
45
50
55
60
65
70
Amplitude A / mm
(a) xmin und xmax
75
80
85
90
50
0
5
10
15
20
25
30
35
40
(b) stochastische Endposition
Abbildung 6.10: Endposition der Blattfeder bei normaler und stochastischer Erregung: 100 kN Vorspannung
Die Simulationsergebnisse zeigen das, dass die Blattfeder auch bei stochastischer Erregung ihre
Eigenschaften mit der Trockenreibung behält. Diese Ergebnisse besagen, dass die Blattfeder mit statischer Hysterese durch die COULOMBsche Reibung der Blattfeder auch mit statistischen AnalyseMethoden wie eine viskose Dämpfung behandelt werden kann.
6.2 Einflüsse der COULOMBschen Reibung bei der Entgleisung
6.1.4
105
Vorschlag zur Blattfedermessung
Welche Größen sind für die Simulation oder den praktischen Einsatz der Blattfeder beim Schienenfahrzeug messen? Die Antwort auf diese Frage nach dem in dieser Arbeit erstellten Modell lautet
folgendermaßen:
Bestimmung der Grenzkurven
Ähnlich bei der Bestimmung der statischen Kraft-Weg-Kennlinie muss man Kurvenparameter für die
Belastungskurve finden. Die Belastungskurve ist gerade die gesuchte maximale Grenzkurve. Es gibt
einige Methoden, die Kurvenparameter zu finden. Eine bekannte Methode ist „Curve-Fitting“ durch
die kleinste quadratische Restsumme.
Die maximale obere Grenzkurve ist ein Polynom bis 2. Ordnung: Fu = a0 + a1 z + a2 z 2 . Für
einen Leerwagen (ca. 25 kN Vorspannung pro Feder) genügt ein Polynom 1. Ordnung, aber für einen
voll beladenen Wagen (ca. 100 kN Vorspannung) muss man bis 2. Ordnung berücksichtigen.
Für minimale untere Grenzkurve braucht man einen „Trick“ . Die min. Grenzkurve wird durch
den von unendlicher großen Belastung entlasteten Vorgang bestimmt, aber eine solche unendliche
Belastung ist praktisch nicht möglich. Anstatt von dieser Belastung aus kann man von ca. 135 kN
Belastung entlasten, danach eine untere Hälfte oder 2/3 der Kurve zur Bestimmung der Parameter
verwenden. Die Durchsenkung bei 135 kN Belastung beträgt ca. 80 mm und liefert mit dem Datenbereich 0 ∼ 40 mm oder 0 ∼ 55 mm die dazugehörigen Kräfte. Die min. Grenzkurve ist ebenfalls
ein Polynom 2. Ordnung(s. Tabelle 4.1 im Abschnitt 4.4.4).
Bestimmung der Tangentialfederrate
Für die Tangentialfederrate, die hier zu bestimmen ist, braucht man um den Umkehrpunkt zur Start–
Phase (s. Abb. 6.4). Dafür muss eine kleine Erregung (z.B. ±1 kN oder ±2 kN ) auf die Blattfeder bei
mindestens 3 Vorspannungswerten ausgeübt werden (z.B. 25 kN , 50 kN und 100 kN Vorspannung).
Aus den so bei den gegebenen Vorspannungen erhaltenen Federraten lässt sich die Tangentialfederrate
für den gesamten Bereich interpolieren.
Bestimmung der Verteilungsfunktion
Für das in dieser Arbeit erstellte Modell wird die GAUSSsche Verteilungsfunktion verwendet. Der
Parameter σ bestimmt eine Gestalt der Verteilungsfunktion und der Mittelwert fr ist die Parallelverschiebung vom Ursprung der Kurve. Normalerweise wird mit 2σ ca. 95% der Verteilung erfasst.
Dieser Parameter fungiert als Feinabstimmung mit den Messdaten. Man kann für den Parameter σ ein
kommerzielles Programm mit der Funktion:„Parameterbestimmung“ benutzen.
6.2.1
Eigenschaft der Blattfeder bei der Wegerregung
Die bisher in dieser Arbeit analysierte Blattfeder hat von der bekannten COULOMBschen Reibung
und der viskosen Dämpfung abweichende Eigenschaften. Eine besondere Eigenschaft der Blattfeder
ist ihre statische Hysterese, durch die die Blattfeder von gegebener Vorspannung oder Erregungskraft
abhängige Federraten und Reibungsbeiwerte hat. Wenn man diese nicht konstanten Werten in GL.
(4.131) einsetzt, ergeben sich die Diagramme in Abb. 4.43 und 4.44.
106
Die Blattfeder verhält sich im höheren Erregungsfrequenzbereich bei der Wegerregung im Vergleich zur viskosen Dämpfung stabiler, da sich der Reibungsbeiwert mit Erregungskräften verändert. Die Vergrößerungsfaktor V2 ist gegeben in GL. ( 4.131), aber bei der Blattfeder sind der Reibungsbeiwert und die Federrate nicht konstant über die Erregungskraft, daher muss man die AntwortAmplitude nach der GL. (4.131) bestimmen:
p
(1 − r2 + η 2 )2 + r4 η 2
,
As → 0; r 1,
r = Ω/ω, ω 2 = c/m.
As = A0
(1 − r2 )2 + η 2
Der Vergrößerungsfaktor bei viskoser Dämpfung wird bestimmt zu:
Wegerregung bei viskoser Daempfung: D=0.1
Antwort der Wegerregung bei Vorspannung 25 kN
8
8
7
6
6
Amplitude A / mm
Antwort−Amplitude A / mm
7
5
4
3
5
4
3
2
2
12
1
12
1
10
10
0
0
8
2
4
6
Abstimmung r 8
10
12
14
0
0
6
4
2
(a) viskose Dämpfung
8
2
4
6
6
8
10
4
Erregungsamplitude
A / mm
2
12
14
0
(b) Blattfeder
Abbildung 6.11: Vergleich der Antwort–Amplitude bei der Wegerregung
r2
V2 = p
,
(1 − r2 )2 + 4D2 r2
V2 → 1; r 1.
(6.1)
Die Antwort–Amplitude erhält man durch Multiplikation mit der Erregungsamplitude A0 , diese wird
die Antwort im höheren Frequenzbreich größer nach der Erregungsamplitude (in Abb. 6.11-(a), D ≡
0.1).
Die Phasenverschiebung ist auch unterschiedlich. Bei viskoser Dämpfung findet die Phasenverschiebung an der Stelle: Abstimmung r = 1 statt und nach dem Dämpfungsgrad D (od. Reibungsbeiwert b genannt) ändert sich die Phasenverschiebung langsam mit der Erregungsfrequenz (in Abb.
6.12-(a)), dagegen ist eine Resonanzstelle der Blattfeder von der Erregungsamplitude (d.h. Reibungsgröße) abhängig, so dass die Phasenverschiebung nicht nur an der Stelle: Abstimmung r = 1, sondern
mit dem Verlustfaktor η an verschiedenen Stellen stattfindet (in Abb. 6.12-(b)).
r2 η
,
1 − r2 + η2
2Dr
,
viskose Dämpfung: tan φ =
1 − r2
Blattfeder: tan ψ =
6.2.2
Abstimmung: r =
p
1 + η2 ,
Abstimmung: r = 1.
(6.2)
Änderung der Federkonstante
Bisher hat man bei der Simulation eines Güterwagens, der mit geschichteter Blattfeder ausgerüstet
wird, für die dynamische Federrate eine statische Federrate (ca. c ≈ 1.1 ∼ 1.6·106 (N/m)) eingesetzt.
Phasenverschiebung bei Wegerregung
3.5
3.5
3
3
2.5
2.5
2
Phase
Phasenverschiebung
107
1.5
2
1.5
1
1
0.5
0.5
0
2.5
0
12
2
10
5
1.5
Reibungsbeiwert b
2
0.5
1
0
14
8
4
12
6
3
1
4
Frequenz f / Hz
4
2
0
0
(a) viskose Dämpfung
2
10
8
6
0
(b) Blattfeder
Abbildung 6.12: Vergleich der Phasenverschiebung bei der Wegerregung
statische Tangentialfederrate
Diagonalfederrate der Blattfeder, Vorspannung: von 20 kN bis 135 kN um 5 kN
1.6
15
Abschnitt: 15kN Erregungskraft
1.55
Tangentialfederrate c (kN/mm)
1.5
1.45
1.4
1.35
1.3
1.25
10
135 kN
5
1.2
1.15
20 kN
1.1
0
10
20
30
40
50
Durchsenkung A / mm
(a) statisch
60
70
80
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
(b) dynamisch
Abbildung 6.13: Vergleich der statischen Tangentialfederrate und dynamischen Diagonalfederrate
Tatsächlich war dieser Wert viel geringer als für die dynamische Federrate. Die dynamische Federrate
liegt im Bereich ca. c ≈ 1.5 ∼ 14·106 (N/m), je nach den vorgegebenen Lasten und Erregungskräften
oder –amplituden.
Das Diagramm in Abb. 6.13-(a) zeigt eine statische tangentielle Federrate nach der Durchsenkung.
Diese Federrate wird durch die Ableitung der mittelen statischen Kraft-Weg-Kennlinie gewonnen. Das
andere Diagramm in Abb. 6.13-(b) zeigt verschiedene dynamische Diagonalfederraten. Bei einem Extremfall wie eine Entgleisung des voll beladenen Güterwagens (entspricht 100 kN Vorspannung pro
Feder) beträgt die dynamische Federrate ca. c = 2.44 · 106 (N/m). Für andere Fälle wird die dynamische Federrate größer als dieser Wert (z.B. beim Normalbetrieb: c > 8 · 106 (N/m), angenommene
Anregungsamplitude: A < ±2(mm), entsprechende Erregungskraft: P < ±15(kN )).
Man kann die Frage stellen, wieso es einen Unterschied zwischen den statischen und dynamischen
Federrate der Blattfeder gibt. Diese verschiedenen Federraten werden auf die Hysterese–Eigenschaft
der geschichteten Blattfeder durch COULOMBsche Reibung zurückgeführt. Eine Antwort unter einer gegebenen Erregungskraft oder –amplitude hängt von vorherigen Zustand ab, deshalb wird die
diagonale Federrate bei sich wiederholender Erregung, wie es in dieser Arbeit untersucht wurde, genauer als die Tangentialfederrate. Für beliebige gegebene Erregungen oder Zufallsschwingungen ist
die Federrate weiter zu untersuchen.
6.2.3
108
Größe der COULOMBschen Reibung
Verlustfaktor η
Im Abschnitt 4.5.2 hat man einen Verlustfaktor der Hysterese-Schleife als
η=
D
D
=
2πU
πcA20
definiert. Dieser Faktor ist eine dimensionslose Größe und ein Vergleichsmaß zwischen der gespeicherten Energie durch eine Rückstellkraft und der dissipatierten Energie durch die COULOMBschen
Reibung. Im Diagramm Abb. 6.14 ist der Faktor η für eine Hysteresekurve der Quotient aus der
schraffierten und der dreieckigen Fläche.
Verlustfaktor eta nach Erregungsamplitude unter verschienen Vorspannungen
0.5
20 kN
0.45
130 kN
0.4
100 kN
0.35
0.3
a
DF
eta
70 kN
b
0.25
50 kN
0.2
0.15
0.1
A0
A0
0.05
0
(a) Schema
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
(b) Verlustfaktor
Abbildung 6.14: Definition und Größe nach Erregungsamplituden des Verlustfaktors
Im Vergleich zur viskoser Dämpfung beeinflusst die COULOMBsche Reibung fast alle behandelten Größen. Bei der viskosen Dämpfung ist die Reibung linear proportional oder quadratisch zu der
Geschwindigkeit (oder Erregungsfrequenz), aber der mit b gekennzeichnete Reibungsbeiwert und die
Federrate bleiben immer konstant. Bei der Herstellung kann man diesen Wert zweckmäßig einstellen.
Dagegen bereitet es grosse Probleme, bei der Blattfeder definierte Reibungswerte für verschiedenen
Zustände der Kontaktflächen einzustellen. Wegen der auftretenden Zustandsänderungen sind die dynamischen Eigenschaften der Blattfeder im Verlauf des Einsatzes nicht konstant.
Stabilität
Die veränderliche Parameter (z.B. Reibungsbeiwert oder Verlustfaktoren) in Abhängigkeit von der äußeren Erregung sind eine Schlüsseleigenschaft der Blattfeder. Die COULOMBsche Reibung zwischen
Blättern steigt quadratisch oder kubisch mit der Erregung (Kraft– od. Wegerregung) an, aber nach der
Definition wird der Verlustfaktor bei großer Erregung geringer. Der äquivalente Reibungsbeiwert mit
viskoser Dämpfung hängt dagegen von der Erregungsfrequenz ab (in Abb. 4.37).
Diese variable Eigenschaft der Blattfeder bei großer Erregung ist besser als eine viskose Dämpfung (s. Abschnitt 6.2.1). Allerdings braucht man nach der Entgleisung eine instabile System-Antwort
zur Früherkennung der Entgleisung, so dass sich diese Eigenschaft der Blattfeder hier unvorteilhaft
auswirkt. Bei der Krafterregung ist die System-Antworten für viskose Dämpfung und Blattfeder kaum
zu unterscheiden.
6.3 Optimale Anordnung der Sensoren zur Früherkennung der Entgleisung
109
Meistens ist bei Schienenfahrzeugen eine Wegerregung gegeben, für einen voll beladenen Güterwagen wird die Federrate erheblich vergrößert und damit bei kleiner und/oder großer Wegerregung die System-Antwort kleiner wird (in Abb. 6.11-(b)). Aus diesem Grund wird die Ausrüstung
mit Blattfedern für einen Güterwagen bevorzugt. Weitere Stabilitätseigenschaften der Blattfeder oder
Verhältnisse bei stochastischer Erregung sind zu untersuchen.
6.3.1
Wegänderung
Wegänderungen zwischen Fahrzeugbauteilen wurden mit einem Seilzugwegaufnehmer der Firma
ASM GmbH aus Moosinning bei München Typ WS10 aufgenommen. Zur Messung der Relativbewegung waren einige Aufnehmer für einen bestimmten Meßweg zu kurz um beiden Referenzpunkte
miteinander zu verbinden. In diesem Fall wurden die Seilzüge mit Lüsterklemmen und Drahtseil verlängert.
Seilzugwegaufnehmer haben Nachteile beim praktischen Einsatz; Es mussten Aufnehmer an das
Fahrzeug geschweißt und Seilzüge mussten zum bestimmten Messwegen verlängert werden. Die ver-
(a) S1
(b) S10
Abbildung 6.15: Seilzugwegaufnehmer an den Stellen S1 und S10
längerten Seile wurden leicht von äußeren Störungen beeinflusst. Wenn man Bauteile (z.B. Radsatz
oder Drehgestell) umtauschen musste, mussten die Seilzüge abgenommen und wieder neu eingebaut
und die Anfangswerte neu justiert werden.
Die Wegänderung hängt nur von dem Abstand zwischen den Bauteilen ab, so wird die Wegänderung je nach der Situation oder dem Meßpunkt unterschiedlich. Zur Erkennung einer Entgleisung
braucht man besonders große Wegänderungen, aber tatsächlich kann eine Wegänderung kleiner und
ein Stoß dagegen sehr gross sein. In diesem Fall ist die Wegänderung unvorteilhaft.
6.3.2
110
Beschleunigung
Horizontale Komponente der Beschleunigung
Trotz kleiner Wegänderung zwischen Meßpunkten wird die Beschleunigung an dieser Stelle sehr groß,
wenn diese Änderung innerhalb einer kurzen Zeitspanne stattfindet, daher wäre eine Beschleunigungsmessung eine gute Methode zur Entgleisungserkennung. Die beste Einbaustelle für Beschleunigungsaufnehmer wären am Radsatz oder am Drehgestellrahmen, aber diese Stellen sind für Messgeräte
nicht geeignet.
Gut geeignete Stellen der horizontalen Beschleunigungskomponente befinden sich an der oberen
Kesseldachfläche (in Abb. 6.16). Der Wert h ist die Höhe von Massenmittelpunkt für Leerwagen und
h0 für beladene Kesselwagen. Diese horizontalen Komponenten sind phasengleich und haben denselBeschleunigung a10 und a12 (6.DEZ.99,10:59:48−50): leer, V0=13(km/h)
Beschleunigung a10 und a12 (7.DEZ.99,11:00:16−18): beladen, V0=16(km/h)
15
10
a10
a12
a10
a12
8
10
6
a10
a12
2
2
4
5
0
−5
2
0
−2
−4
h
h'
−6
M
M'
−10
−8
−15
48
48.2
48.4
48.6
48.8
Erregung
(a) Stellen a10 ,a12
49
49.2
Zeitverlauf t / s
49.4
49.6
49.8
−10
16
50
16.2
(b) Leerwagen: V0 = 13(km/h)
16.4
16.6
16.8
17
17.2
Zeitverlauf t / s
17.4
17.6
17.8
18
(c) beladen: V0 = 16(km/h)
Abbildung 6.16: horizontale Komponente der Beschleunigung an den Stellen a10 und a12
ben Wert, welcher von der Höhe h bzw. h0 abhängt. Diese Stelle wird beim beladenen Güterwagen
günstiger, da der Massenmittelpunkt (od. Gewichtsmittelpunkt) in diesem Fall tiefer als beim Leerwagen liegt.
Vertikale Komponente der Beschleunigung
Günstige Stellen zur Messung der vertikalen Komponente der Beschleunigung sind die Enden des
Untergestells (in Abb. 6.17). Die Größe der Beschleunigung hängt von dem Abstand zwischen dem
Massenmittelpunkt und der Meßstelle ab, gleichgültig ob ein Güterwagen leer oder beladen ist.
Beschleunigung a7 und a2 (6.DEZ.99,10:59:48−50): Leerwagen, V0=13(km/h)
Beschleunigung a7 und a2 (7.DEZ.99,11:00:16−18): beladen, V0=16(km/h)
50
80
a7
a2
60
30
40
2
40
2
a7
a2
20
10
0
20
0
−20
−10
−40
−20
−60
M
a2
a7
−30
48
Erregung
(a) Stellen a2 ,a7
48.2
48.4
48.6
48.8
49
49.2
Zeitverlauf t / s
49.4
49.6
(b) Leerwagen: V0 = 13(km/h)
49.8
50
−80
16
16.2
16.4
16.6
16.8
17
17.2
Zeitverlauf t / s
17.4
17.6
(c) beladen: V0 = 16(km/h)
Abbildung 6.17: vertikale Komponente der Beschleunigung an den Stellen a2 und a7
17.8
18
111
Diese Stellen am Ende des Untergestells haben einige Vorteile, insbesondere kann man ohne
Schwierigkeiten Sensoren und Messinstrumente einbauen und diese Stellen sind sicherer gegen äußere Störungen als z.B. Kesseloberfläche oder der Drehgestellrahmen. Aber mit nur einem Aufnehmer
sind diese Stellen ungünstig, denn die Beschleunigung aus vertikaler Bewegung und Winkelbewegung
treten an den beiden Stellen gleichzeitig auf. Je nach dem entgleisten Drehgestell wird die Beschleunigungsgröße (als Summe) maximal oder minimal. Beim Entgleisungsversuch hat man absichtlich
das hintere Drehgestell entgleisen gelassen und abgeschleppt, in diesem Fall wird das Signal an der
hinteren Stelle a7 maximal (starke Linien in Abb. 6.17).
Beide Beschleunigungsrichtungen durch die vertikale Bewegung und die Winkelbewegung um
den Massenmittelpunkt werden kompensiert oder verstärkt4 . Im realen Fall kann man nicht erwarten,
dass ein bestimmtes Drehgestell entgleist. Daher müssten an beiden Stellen Beschleunigungsaufnehmer eingebaut werden.
Eine günstige Stelle
Soll eine „effektive(optimale)“ Stelle für nur einen Beschleunigungsaufnehmer gewählt werden, so
ist die Stelle a4 gerade unter dem Massenmittelpunkt am besten. An dieser Stelle tritt nur eine vertikale
Komponente der Beschleunigung auf5 . Die Diagramme in Abb. 6.18 zeigen Vergleiche der Beschleunigungsgröße an der Stelle a4 mit a7 und a10 . An dieser Stelle kann man Beschleunigungsaufnehmer
in drei Richtungen einsetzen (Tabelle 6.2), dann wird diese Stelle eine günstige Stelle, egal ob ein
hinteres oder vorderes Drehgestell entgleist. (Die Diagramme in Abb. 6.20 sind eine Proportionalität
für verschiedene maximalen Beschleunigungen geteilt durch a4 )
Beschleunigung a4 und a7 (6.DEZ.99, 10:59:48−50): leer, V0=13(km/h)
Beschleunigung a4 und a10 (6.DEZ.99, 10:59:48−50): leer, V0=13(km/h)
40
25
a4
a7
a4
a10
20
30
15
10
2
20
10
0
5
0
−5
−10
−10
−15
−20
−20
48
48.2
48.4
48.6
48.8
49
49.2
Zeitverlauf t / s
(a) a4 ⇔ a7
49.4
49.6
49.8
50
−25
48
48.2
48.4
48.6
48.8
49
49.2
Zeitverlauf t / s
49.4
49.6
49.8
50
(b) a4 ⇔ a10
Abbildung 6.18: Vergleiche mit a7 und a10
4
Man kann die Bewegung auch einfach als eine Winkelbewegung um die vordere Führung zwischen dem Untergestell
und vorderen Drehgestell berechnen. In diesem Fall werden die berechnete Beschleunigungen an jeden Stellen mit Messdaten gut übereinstimmen, aber bei den Wegänderungen im entgleisten hinteren Drehgestell treten Fehler auf. Wegen der
Blattfedern im vorderen Drehgestell fungiert die Führung nicht einfach als ein Gelenk für eine Winkelbewegung, sondern
es gibt auch eine vertikale Bewegung durch die Blattfedern im vorderen Drehgestell.
5
Zum Teil eine horizontale Komponente durch eine Winkelbewegung um den Massenmittelpunkt, aber wegen des geringen Abstands ist diese unbedeutend.
6.4 Zuverlässigkeit der Diagnose bei höherer Fahrgeschwindigkeit
20
20
15
2
112
a11
10
a4
5
a10
a6
0
a4
a9
a11
a10
a6
15
10
a11
5
a4
a10
a6
0
a9
−5
0
10
20
30
40
50
a9
−5
0
60
10
(a) leer
20
30
40
50
60
(b) beladen
Abbildung 6.19: Vergleiche der Beschleunigungen mit a4 für leeren und beladenen Kesselwagen;
Rechenschritt: 1 km/h, wenn das hintere Drehgestell entgleist
3
4
Leerwagen
beladener Kesselwagen
a7 / a4
3.5
a11 / a4
3
a7 / a4
a11 / a4
2
Proportionalitaet
Proportionalitaet
2.5
1.5
a2 / a4
a10 / a4
2.5
2
1.5
1
a2 / a4
a9 / a4
1
a9 / a4
0.5
0.5
a6 / a4
0
0
5
a10 / a4
10
15
20
25
30
35
40
0
0
10
(a) leer
20
30
40
a6 / a4
50
60
(b) beladen
Abbildung 6.20: Proportionalität der Beschleunigungen zu a4 für leeren und beladenen Kesselwagen; Rechenschritt: 1 km/h, wenn das hintere Drehgestell entgleist
(a2 /a4 , a9 /a4 , a7 /a4 , a11 /a4 , a10 /a4 , a6 /a4 )
Zur Zeit fahren Güterwagen maximal ca. V0 = 80(km/h), in einigen Ländern hat man die maximale
Geschwindigkeit ca. V0 = 100 ∼ 120(km/h) erprobt. Die maximale Fahrgeschwindigkeit bei Güterwagen ist nicht wichtig als logistische Umstände, aber bei höherer Fahrgeschwindigkeit am beliebigen
Ort sind Maßnahmen gegen Entgleisungen sehr wichtig. In dieser Arbeit hat man nicht untersucht, ob
die Blattfeder eine Stabilität gegen Entgleisung aufweist. Auch Vorhersagemöglichkeiten für Entgleisungen beim Normalbetrieb wurden nicht erforscht, vielmehr mit diesem Modell kann zuverlässig
auch bei höherer Fahrgeschwindigkeit erkannt werden, dass ein Wagen tatsächlich entgleist.
6.4.1
Extrapolation für höhere Fahrgeschwindigkeiten
Durch analytische Auswertung der gemessenen Daten für Fahrgeschwindigkeiten bis 40 km/h kann
man das Entgleisungsverhalten über 60 km/h bis 120 km/h extrapolieren. Wie aus den Tabelle 5.1 und
5.2 ersichtlich, ist eine Beschleunigungsmessung bei höherenr Fahrgeschwindigkeiten relativ zuverlässiger als eine Wegänderungsmessung . Allerdings treten bei der Beschleunigungsmessung folgende
vertikal
horizontal
quer
hinteres Drehgestell entgleist
a7
a10 , a12 : leer
a10 , a12 , a6 : beladen
a8
113
vorderes Drehgestell entgleist
a2
a10 , a12 : leer
a10 , a12 , a6 : beladen
a3
Tabelle 6.2: Maximale Amplitude der Beschleunigung je nach entgleistem Drehgestell
Probleme auf.
• Das analytische Ergebnis zeigt, dass ein - kleiner - Grenzwert für die Beschleunigung existiert.
D.h., ab einer bestimmten Geschwindigkeit (ca. 40 km/h) nimmt die Beschleunigung nicht mehr
zu.
• Der zur Beschleunigungsmessung eingesetzte PIEZO-elektrische Aufnehmer liefert ein mit zunehmender Fahrgeschwindigkeit start ansteigendes Rauschsignal.
• Ein Stosseffekt, der proportional mit der Fahrgeschwindigkeit zunimmt, überwiegt bei höherer
Geschwindigkeit gegenüber der harmonischen Anregung durch die Schwellen.
• Durch die bei höherer Geschwindigkeit auftretenden Radsprünge über die Schwellen sowie die
Zerstörung der Schwellen wird die Anregung unregelmässig und der Maximalwert des Signals
bleibt nicht konstant.
Hierzu hat Herr SCHIRMER am FG Schienenfahrzeuge eine Lösung vorgeschlagen(HECHT[6],
SCHIRMER[19]). Er mittelte den gesamten Signalwert nach der Entgleisung und bestimmte die dazugehörige Standardabweichung. Diese Standardabweichung wird als Funktion der Fahrgeschwidigkeit
angenommen:
σ = σ(V0 ).
(6.3)
Diese Formel enthält allerdings auch die Beschleunigung durch Schwellenerregungen, welche abgetrennt werden muss. Hierzu wird in dieser Arbeit folgende Gleichung verwendet:
a = k1 (V0 , P, M )sin(Ω(V0 )t) + k2 (V0 , P, M )randn(size(t)).
Hier sind:
a : Beschleunigung,
k1 : Koeffizient aus analytischer Berechnung,
k2 : Koeffizient aus Entgleisungsversuchen,
V0 : Fahrgeschwindigkeit,
P : Messstelle,
M : Gewicht des Wagens,
Ω : Erregungsfrequenz,
randn : normierte Zufallsfunktion.
(6.4)
114
Die Standardabweichungen am Messpunkt a9 auf der Kesseloberfläche in vertikaler Richtung
beim beladenen Kesselwagen betragen:
16km/h :7.57(m/s2 ),
25km/h :8.81(m/s2 ),
37km/h :10.1(m/s2 ).
Eine Näherungsgleichung dafür lautet:
σ9 = 0.17V0 + 4.75.
(6.5)
15
15
10
10
Beschleunigung a /(m/s2)
Bei V0 = 16 km/h betragen die Koeffizienten k1 = 1.5 aus der analytischen Berechnung und k2 =
7.47 - 1.5 = 5.97 aus dem Entgleisungsversuch. Es besteht eine gute Übereinstimmung zwischen den
Messdaten und dem Simulationsergebnis.
5
0
−5
−10
−15
0
5
0
−5
−10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−15
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Zeit t / s
(a) Messung
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Zeit t / s
(b) Simulation
Abbildung 6.21: Vergleich mit Messdaten und Simulation für a9 bei 16 km/h
An der Stelle a11 lässt sich σ11 für den beladenen Kesselwagen für V0 = 80 km/h nach folgender
Formel extrapolieren:
σ11 = 0.53V0 + 2.13.
(6.6)
Das Ergebnis lautet:
σ11 = 44.5,
aus der Näherungsformel,
k1 = 3.6,
aus der analytischen Berechnug,
k2 = 40.9
aus den Entgleisungsversuchen.
Das simulierte Signal bei V0 = 80 km/h durch Extrapolation ist eindeutig grösser als gemessenen
Daten bei V0 = 16 km/h. Mit diesem Verfahren lassen sich Entgleisungen bei höherer Fahrgeschwindigkeit zuverlässig erkennen 6 (in Abb. 6.22).
6
Näherungsformel für a4 :
σ4 = 0.276V0 + 11.96
leer,
(6.7)
σ4 = 0.250V0 + 13.90
beladen.
(6.8)
60
40
40
60
2
Beschleunigung a /(m/s )
20
0
−20
−40
−60
0
115
20
0
−20
−40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−60
0
0.02
Zeit t / s
(a) Messung bei 16 km/h
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Zeit t / s
(b) Simulation bei 80 km/h
Abbildung 6.22: Vergleich mit Messdaten und Extrapolation für a11
6.4.2
Fahrverhalten auf Weichen (Schienenlücken)
Nachdem man Beschleunigungsaufnehmer am Güterwagen angebracht hat, steht man vor der wichtigen Aufgabe, eine echte Entgleisungssituation von extremen Normalbetriebsfällen zu unterscheiden. Häufig treten Stöße auf, wenn ein Güterwagen Weichen oder kleine Hindernisse auf der Schienen überfährt. Beim Entgleisungsversuch hat man absichtlich zwischen den Schienenfügestellen eine
Lücke (ca. 5 cm Länge) erzeugt und Signale aus Stößen über diese Lücke mit dem Entgleisungsfall
verglichen (in Abb. 6.23, auch s. Abb. 3.1).
(a) Übersicht 1
(b) Seitensicht 2
Abbildung 6.23: Schienenlücken zwischen einer Fügestelle
Meßergebnisse bei solchen Lücken zeigen einen „eindeutigen“ Unterschied im Vergleich mit dem
Normalbetrieb, aber ggf. gibt es Schwierigkeiten, im Rauschen eine solche Überfahrt zu erkennen.
Die Verhältnisse bei Beschleunigungsaufnehmern sind etwas besser als beim Wegänderungsaufnehmer, bei niedriger Fahrgeschwindigkeit gibt es einen Unterschied zum Rauschen, aber bei höherer
Geschwindigkeiten kann man kaum etwas erkennen. Die Diagramme in Abb. 6.24 zeigen Signale an
der Meßstelle a1 (am vorderen Radsatz im entgleisten Drehgestell) beim beladenen Kesselwagen. Je
nach Größe der Fahrgeschwindigkeit werden die Signale von den Schienenstößen schwächer.
6.4.3
Diagnose aus dem Modell
Es gibt einige Annahmen für das in dieser Arbeit erstellte Entgleisungsmodell. Erstens, werden eine
vertikale Bewegung des Güterwagens und vertikale Erregungen durch Schwellen sowie eine ideale
a1
116
a1
m/s^2
353.5
339.1
324.6
310.2
295.8
281.4
267.0
252.6
Schienenstoss
238.1
223.7
209.3
Schienenstoss
194.9
180.5
166.0
151.6
Entgleisung
137.2
122.8
108.4
94.0
79.5
65.1
50.7
36.3
21.9
7.4
-7.0
-21.4
-35.8
-50.2
Entgleisung
-64.7
-79.1
-93.5
-107.9
-122.3
-136.7
-151.2
-165.6
-180.0
20.50
21.89
23.27
24.65
26.03
27.42
28.80
30.18
31.57
32.95
34.33
35.71
37.10
38.48
39.86
41.25
42.63
5.922
6.739
7.556
8.373
9.189
10.006
10.823
11.640
12.457
13.273
14.090
14.907
15.724
16.540
17.357
s
s
(a) V0 = 16(km/h)
(b) V0 = 37(km/h)
Abbildung 6.24: Signale durch Schienenlücken bei verschiedenen Fahrgeschwindigkeiten
harmonische Erregung durch in konstantem Abstand liegende Schwellen angenommen.
Querbewegung
Im Entgleisungsmoment (ein Rad überrollt die Schienenoberkante) haben alle messbaren Signale
einen extremen Wert, aber diese Zeitspanne ist zu kurz Menschen und auch für Messgeräte, um daraus eine Entgleisung erkennen zu können. Die Querbewegung (z.B. an der Stelle S7 ) ist am größten
im Entgleisungsmoment, nach der Entgleisung (im Schleppbetrieb) wird sie kleiner. Die Diagramme
in Abb. 6.25 zeigen die Querbewegung an der Stelle S7 des Leerwagens bei V0 = 43(km/h). Man
kann außer im Entgleisungsmoment den Normalbetrieb– und den Abschleppbetrieb kaum unterscheiden. Daher ist die Querbewegungsdetektion ungünstig. Die anderen -vertikalen- Bewegungen weisen
deutlichere Unterschiede auf.
S7
mm
44.00
42.43
40.87
39.30
37.74
Entgleisung
36.17
34.61
33.04
31.48
Montagebleche
29.91
28.35
26.78
25.22
Fahrtrichtung
S7
S6
23.65
22.08
20.52
18.95
17.39
15.82
Normalbetrieb
14.26
12.69
11.13
9.56
Abschleppen
8.00
Zugende
6.43
4.87
3.30
1.74
0.17
-1.40
-2.96
-4.53
-6.09
-7.66
-9.22
-10.79
-12.35
-13.92
1.56
3.25
4.94
6.62
8.31
10.00
11.69
13.38
15.07
16.75
18.44
20.13
21.82
23.51
25.19
26.88
28.57
s
(a) S7
(b) Messdaten
Abbildung 6.25: Querbewegung an der Stelle S7 und Messdaten
Ideale Schwellenerregung
Wie im Anhang E erwähnt, war der Schwellenabstand anders als bei realen Schwellen unregelmäßig.
Deshalb wurden die Meßergebnisse nur aus einen „idealen“ Bereich gewählt und mit dem Simulationsergebnis verglichen. Bei höherer Geschwindigkeit werden ein Radsprünge über die Schwellen,
sogar über die Gleissperre beobachtet. Das Photo in Abb. 6.26 zeigt einen Übersprung des hinteren
Rades über die Gleissperre (Leerwagen, V0 = 43(km/h)). Das vordere Rad wurde durch die Gleissperre entgleist und das hintere Rad hat sie übergesprungen und ist nicht entgleist.
Alle Simulationsgrößen hängen von einer Erregungsfrequenz Ω, diese Frequenz wiederum von
einer Fahrgeschwindigkeit ab (Ω = 2πV0 /Ls ). Daher wird Erregungsfrequenz mit höherer Fahrge-
117
Abbildung 6.26: Sprung über die Gleissperre
schwindigkeit größer, aber wenn die Räder über die Schwellen springen, wird die Erregungsfrequenz
nicht mehr größer, da der Schwellenabstand Ls größer wird. Daraus folgt die Antwort-Amplitude
nicht mehr kleiner bei der Simulation (meistens werden die Simulationsgröße kleiner mit der Fahrgeschwindigkeit). Diese Überlegung ist bei höherer Geschwindigkeit des Güterwagens hinfällig, weil
ein Stoßeffekt auftritt, gleichgültig ob die entgleisten Räder über die Schwellen springen oder nicht.
Der Stoßeffekt dominiert bei höherer Fahrgeschwindigkeit. Die Diagramme in Abb. 6.27 zeigen
den zunehmenden Stoßeffekt an der Stelle a4 . Die simulierten Beschleunigungsgrößen werden mit
Geschwindigkeit kleiner, aber das Rauschen durch den Stoßeffekt wird größer. Die Messdaten sagen
nichts darüber aus, ob die Größe ein Rauschen oder ein Stoßeffekt ist. Der Stoßeffekt ist später weiter
zu untersuchen.
Beschleunigung a4: Leerwagen bei V0 = 26 (km/h)
40
30
30
30
20
20
20
10
0
−10
10
0
−10
−20
−20
−30
−30
−40
40
40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Zeitverlauf t / s
1.4
1.6
(a) V0 = 13(km/h)
1.8
2
0
−10
−20
−30
−40
0
10
−40
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Zeitverlauf t / s
1.4
(b) V0 = 26(km/h)
1.6
1.8
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Zeitverlauf t / s
1.4
1.6
1.8
2
(c) V0 = 38(km/h)
Abbildung 6.27: Messdaten an der Stelle a4 nach der Fahrgeschwindigkeit
Zerstörung der Schwellen
Beim voll beladenen Kesselwagen (ca. 75 Tonnen) werden Holzschwellen durch Räder zerstört (in
Abb. 6.28-(b)), dagegen beim Leerwagen nur wenig beschädigt (in Abb. 6.28-(a)). Bei V0 = 43(km/h)
werden die Holzschwellen völlig zerstört und die dazugehörigen Meßsignale sehr schwach und schwankend. Durch den Zerstörungsprozeß der Holzschwellen wird die Stoßenergie verbraucht (absorbiert)
und der Stoßeffekt wird minimiert.
Bei höherer Geschwindigkeit wird die Querbewegung durch ein Schleudern größer, dies zeigen
die Diagramme in Abb. 6.29 anhand der Messdaten für die Querbeschleunigung am Ende des Untergestells an der Stelle a8 (Skalierung: ±50(m/s2 )).
Die vertikale Erregung nach der Entgleisung wird bei höherer Fahrgeschwindigkeit aus vielen
weiteren Gründen (z.B., Schwellenzerstörung, Querschleudern, usw.) schwächer, aber im Vergleich
mit dem Normalbetrieb immer noch deutlich. In vielen Fällen werden Betonschwellen eingesetzt.
(a) leer
118
(b) beladen
Abbildung 6.28: Schwellenzerstörung durch Räder beim leeren und beladenen Kesselwagen
a8
a8
40.891
41.642
42.393
43.145
43.896
44.647
45.399
46.150
46.902
47.653
48.404
49.156
49.907
50.658
51.410
16.20
17.26
18.32
19.38
20.43
21.49
22.55
23.61
24.67
25.73
26.79
27.84
(a) Querschleuderung
(b) V0 = 16(km/h)
28.90
29.96
31.02
s
s
(c) V0 = 37(km/h)
Abbildung 6.29: Signale für Querbeschleunigung an der Stelle a8 bei beladenem Kesselwagen
Wenn die entgleisten Räder über Betonschwellen geschleppt und angeregt worden wären, wären die
Messgrößen und Überlegungen erheblich aussagekräftiger.
6.4.4
Justierung der Sensoren
Die zuverlässige Erkennung einer Entgleisung hängt von der Justierung der Sensoren ab. Die Justierung spielt eine entscheidende Rolle beim praktischen Einsatz. Wenn man vor dem Betrieb einen
Maximalwert der Sensoren falsch eingestellt hat, kann ein Fehlalarm ausgelöst werden. Eine falsche
Justierung wurde für die Beschleunigung in horizontaler Richtung in der Wagenmitte a6 bei Entgleisungsversuchen gefunden.
Die nächsten Diagramme zeigen die Beschleunigung in horizontaler Richtung auf der Oberfläche
des Kessels (links: a10 ) und in der Wagenmitte (rechts, direkt unter dem Untergestell: a6 ) für den
beladenen Kesselwagen bei 37 km/h. In diesem Fall sollte die Beschleunigung nach analytischer Berechnung fast identisch sein. Aber die Messdaten aus der Wagenmitte a6 im Normalbetriebsbereich
vor der Entgleisung sind ca. 5 mal so gross wie bei a10 . Diese falsche Justierung kann einen Fehlalarm
im Normalbetrieb, z.B. über eine Schienenlücke oder Weiche, auslösen (in Abb. 6.31).
5
5
4
4
3
3
2
2
2
1
0
−1
−2
−3
119
1
0
−1
−2
−3
−4
−4
−5
0
100
200
300
400
500
600
700
Anzahl des Abtastens N
800
900
1000
−5
0
100
200
300
400
500
600
700
Anzahl des Abtastens N
(a) a10
800
900
1000
(b) a6
Abbildung 6.30: Beschleunigung beim Normalbetrieb vor der Entgleisung: V0 = 37 km/h, beladen
50
40
50
a10 : 37 km/h, beladen
40
30
30
20
10
0
−10
−20
Entgleisung
20
10
0
−10
−20
−30
−30
−40
−40
−50
0
a6 : 37 km/h, beladen
0.05
0.1
0.15
Zeitverlauf t / s
(a) a10
0.2
0.25
0.3
−50
0
Entgleisung
0.05
0.1
0.15
Zeitverlauf t / s
0.2
0.25
0.3
(b) a6
Abbildung 6.31: Beschleunigung beim Normalbetrieb direkt vor der Entgleisung: V0 = 37 km/h, beladen
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[131] D.A. WELLS: Lagrangian Dynamics:SCHAUM’s Outline of Theory and Problems. McGrawHill Book Company, NY/e.a., 1967.
[132] T. WESTERMANN: Mathematik für Ingenieure mit Maple. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 1997.
Anhang A
Algorithmen
A.1 Algorithmus 2
Unterprogramm für die Entlastung
DOWNLOAD(Fup, Fdown, xmax, Koeffizienten){
GET n;
a0, a1, a2;
b0, b1, b2;
A0;
k2;
fr;
sigma;
//
//
//
//
//
//
//
Potenz für abnehmende Kraft
maximale Grenzkurve aus Koeffizienten
minimale Grenzkurve aus Koeffizienten
(xmin+xmax)/2
Start-Federrate für die Entlastung
Reibungskraft für die Entlastung
Standardabweichung für die Entlastung
/* minimale statische Grenzkurve */
[0, xmax];
y1 = b0 + b1 x + b2 x^2;
/* COULOMBsche Reibung */
y2 = COULOMB_DOWNLOAD(sigma, A0, fr, k2, [0,xmax]);
/* Korrektur für abnehmende Kraft */
y3 = C fr (x/(2A0))^n;
// C:Umeichungsgröße
/* BISECTION-Methode */
y = y1 + y2 + y3 - Fdown;
(a,b);
MaxIt;
L <- y(0); R <- y(xmax);
RelTol <- 10^(-4);
//
//
//
//
//
Such nach Null-Punkt
Intervall: a=0, b=xmax;
max. Iteration
Endwert
zugelassene Genauigkeit
IF (signum(L) == signum(R)) THEN STOP
Xprev <- xmax;
// erster Versuch
FOR k=1 TO MaxIt {
128
A.2 Algorithmus 3
129
DeltaX <- X - Xprev; Y <- y(xtest);
IF (signum(Y) == signum(L))
THEN BEGIN a <- X; L <- Y END;
ELSE BEGIN b <- X; R <- Y END;
Xprev <- X;
|DeltaX| <= RelTol*|X| OR Y==0;
}
/* Ausgabe */
xmin <- Xprev;
x_down(xmin, xmax);
F_down(Fdown, Fup);
}
// gesuchter xmin
// Ausgabe des Intervalls
// Ausgabe der Kraft
/* FUNKTION */
// Unterprogramm
COULOMB_DOWNLOAD(sigma, A0, fr, k2, [0,xmax]){};
A.2 Algorithmus 3
Unterprogramm für die zweite Belastung
UPLOAD(sigma, A0, fr, k2, [0,xmax]){
GET
n;
a0, a1, a2;
b0, b1, b2;
A0;
k2;
fr;
sigma;
/* Bestimmung der maximale Belastung für Hysterese */
F = {F1, F2, F3, ... , Fk, ... , Fn};
// gegebene Kraft-Serie
FMAX = maximum(F)|(i=1..k);
// maximale Kraft bis i-the Kraft
XMAX = solve(a0 + a1 x + a2 x^2 - FMAX);
// Such nach xmax
/* maximale Durchsenkung */
IF (Fup == FMAX){
// i-the Kraft ist maximal
y1 = a0 + a1 x + a2 x^2;
y2 = COULOMB_UPLOAD(sigma, A0, fr, k2, [0,XMAX]);
y3 = C (1/x)^n;
y = y1 + y2 + y3;
/* Ausgabe */
xmax <- XMAX;
x_up(xmin, XMAX);
F_up(Fdown, FMAX);}
ELSE (Fup < FMAX){
A.2 Algorithmus 3
130
y1 = a0 + a1 x + a2 x^2;
y2 = COULOMB_UPLOAD(sigma, A0, fr, k2, [0,XMAX]);
y3 = C (1/x)^n;
y = y1 + y2 + y3 - Fup;
/* BISECTION-Methode */
xmax <- BISECTION(y, [xmin,XMAX]){};
// gesuchter x-Wert durch Bisection
/* Ausgabe */
xmax;
x_up(xmin, xmax);
F_up(Fdown, Fup);
}
}
/* FUNKTION */
COULOMB_UPLOAD(sigma, A0, fr, k2, [0,XMAX]){};
Anhang B
Federkonstanten und Koeffizienten
B.1 Federkonstanten
B.1.1
Federrate
B.1.2
Verlustfaktor
B.2 Komplexe Koeffizienten
Die Koeffizienten im Abschnitt 4.3.2 sind:
B.2.1
E
EZR + iEZI
a2 (m̃3 k3 − a2 k7 )
=
2
EN R + iEN I
(−m̃2 m̃3 + 2a2 )m̃3
EZR EN R + EZI EN I
EZI EN R − EZR EN I
=
+i
,
2
2
2
2
EN
EN
+
E
R
R + EN I
NI
E=
(B.1)
wobei
EN R = <{EN } = (−d2 d3 + dˆ2 + 2a22 )d3 + (d2 + d3 )dˆ2 ,
EN I = ={EN } = (−d2 d3 + dˆ2 + 2a2 )dˆ − (d2 + d3 )d3 dˆ
2
(B.2)
und
EZR = <{EZ } = a2 d3 k3 − a22 k7 ,
ˆ 3.
EZI = ={EZ } = a2 dk
B.2.2
(B.3)
G
GZR + iGZI
a2 m̃3 k3 + (a22 − m̃2 m̃3 )k7
=
GN R + iGN I
(−m̃2 m̃3 + 2a22 )m̃3
GZR GN R + GZI GN I
GZI GN R − GZR GN I
=
+i
,
2
2
GN R + GN I
G2N R + G2N I
G=
131
(B.4)
Erregung
P↓
1.5(kN)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
20(kN)
10.4181
10.097
8.8662
6.1616
3.9802
3.2009
2.8036
2.5593
2.3901
2.2636
2.1624
2.0779
2.0043
1.9381
1.8768
1.819
1.7634
25
10.244
9.9674
9.2261
8.156
6.449
4.5454
3.6249
3.1389
2.8352
2.6242
2.4663
2.3423
2.24
2.153
2.0769
2.0091
1.9476
1.8911
1.8389
1.7905
1.7456
1.7041
132
30
10.1228
9.9299
9.4261
8.7374
7.812
6.5276
4.9932
4.0071
3.4574
3.106
2.8603
2.6754
2.5301
2.4108
2.3106
2.2239
2.1476
2.0796
2.0177
1.9616
1.9098
1.8623
1.8183
1.7778
1.7408
1.7067
1.6755
Vorspannung →
35
40
45
10.1519 10.2272 10.3947
10.0147 10.0819 10.2667
9.5954
9.7659
9.9753
9.0944
9.3775
9.6233
8.4502
8.8797
9.2381
7.6493
8.3012
8.7767
6.5971
7.5757
8.2258
5.332
6.6727
7.5606
4.3491
5.5943
6.7501
3.7555
4.6525
5.8047
3.3667
4.0312
4.9232
3.0904
3.6131
4.2872
2.8826
3.3138
3.8475
2.718
3.0841
3.525
2.5833
2.9023
3.2797
2.4705
2.7544
3.0822
2.3735
2.6293
2.9208
2.288
2.5217
2.7853
2.2126
2.4283
2.6681
2.1448
2.3454
2.5666
2.0833
2.2715
2.4764
2.0272
2.2043
2.3962
1.976
2.1435
2.3241
1.9287
2.0881
2.2585
1.8851
2.0371
2.1987
1.845
1.9901
2.1439
1.808
1.947
2.0935
1.7739
1.907
2.0472
1.7424
1.87
2.0042
1.7133
1.8358
1.9646
1.6866
1.8042
1.9279
1.6618
1.775
1.8936
1.7477
1.8621
1.7226
1.8326
1.6991
1.8052
1.6771
1.7797
1.6567
1.7557
1.7333
1.7124
1.6926
1.674
50
10.4738
10.4133
10.1403
9.8671
9.5437
9.1619
8.7097
8.1958
7.573
6.8337
5.9812
5.1552
4.52
4.0655
3.727
3.4668
3.2562
3.0827
2.9367
2.8118
2.7026
2.6055
2.5195
2.442
2.3718
2.3077
2.2493
2.1954
2.1458
2.0999
2.0577
2.0183
1.9818
1.9476
1.9162
1.8867
1.8592
1.8334
1.8093
1.7866
1.7654
55
10.6363
10.6247
10.3928
10.0973
9.8205
9.5049
9.113
8.6924
8.185
7.6075
6.9199
6.1386
5.363
4.7376
4.2692
3.9184
3.6449
3.4235
3.24
3.0848
2.9515
2.8345
2.7315
2.6399
2.5578
2.483
2.4149
2.3527
2.2954
2.2425
2.1938
2.1488
2.107
2.0681
2.0322
1.9984
1.9671
1.9375
1.9099
1.8843
1.86
60
10.8099
10.7153
10.5991
10.3536
10.1046
9.7971
9.467
9.1113
8.6982
8.2088
7.6502
7.0011
6.2796
5.55
4.9314
4.4598
4.0991
3.8149
3.5829
3.3905
3.228
3.0863
2.9642
2.8551
2.7575
2.6703
2.5917
2.5197
2.4536
2.3934
2.3375
2.2862
2.2385
2.1945
2.1532
2.1152
2.0793
2.0461
2.0146
1.9856
1.958
Tabelle B.1: Federrate der geschichteten Blattfeder nach Vorspannungen und Erregungskräften, Einheit: (kN/mm) = 106 (N/m)
Erregung
P↓
1.5(kN)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
65(kN)
11.0719
10.9057
10.8115
10.5695
10.3654
10.1111
9.8064
9.4799
9.1274
8.7166
8.2411
7.7103
7.0893
6.4067
5.7142
5.1115
4.6365
4.2677
3.9759
3.7351
3.5352
3.3648
3.2176
3.0886
2.9745
2.8725
2.7807
2.6974
2.622
2.5528
2.4895
2.4307
2.3769
2.3266
2.2802
2.2369
2.1964
2.159
2.1238
2.0909
2.06
70
11.2127
11.1744
10.9704
10.7939
10.631
10.3961
10.1271
9.8159
9.5091
9.1508
8.752
8.2828
7.764
7.172
6.5191
5.8587
5.2725
4.8013
4.4261
4.1278
3.8807
3.6734
3.4966
3.3437
3.2098
3.0902
2.9844
2.8883
2.8012
2.7225
2.6496
2.5831
2.5221
2.4652
2.4127
2.3639
2.3189
2.2764
2.2369
2.1998
2.1653
133
75
11.3316
11.3512
11.2002
11.0534
10.8549
10.6354
10.4079
10.1474
9.8708
9.5427
9.1883
8.7912
8.3349
7.8329
7.2555
6.6255
5.9916
5.4211
4.9504
4.575
4.2699
4.0182
3.8064
3.6238
3.4657
3.3258
3.2021
3.0916
2.9923
2.9023
2.8194
2.7443
2.675
2.6109
2.5519
2.4975
2.4464
2.399
2.3547
2.3137
2.2748
Vorspannung →
80
85
90
11.5957 11.7832 12.0992
11.523 11.8326 11.9035
11.4869 11.696 11.9028
11.3204 11.5628 11.7437
11.1066 11.364
11.601
10.9244 11.1929 11.406
10.6771 10.9918 11.2368
10.4669 10.7358 11.0402
10.1904 10.518 10.7906
9.9025 10.2381 10.5762
9.5889
9.9474 10.3002
9.2252
9.6315 10.0119
8.8366
9.2845
9.6752
8.3842
8.8901
9.3306
7.8934
8.4452
8.9367
7.3282
7.9565
8.5043
6.7221
7.4074
8.0097
6.1127
6.8136
7.4725
5.5543
6.2235
6.8977
5.0899
5.6805
6.3206
4.7157
5.2216
5.7907
4.4066
4.8415
5.3364
4.1483
4.532
4.9639
3.9326
4.2719
4.652
3.7443
4.0519
4.3889
3.5826
3.861
4.1655
3.4379
3.6935
3.9713
3.3111
3.5465
3.8004
3.1968
3.4148
3.6502
3.0928
3.2973
3.5155
2.9997
3.1915
3.3951
2.914
3.0946
3.2854
2.8363
3.0063
3.1861
2.7639
2.9255
3.0957
2.6978
2.8511
3.0118
2.6363
2.7824
2.9356
2.5796
2.7193
2.8652
2.5266
2.6604
2.7998
2.4773
2.6054
2.7389
2.4314
2.5544
2.6819
2.3886
2.507
2.6298
95
12.2705
12.2788
12.0832
12.0317
11.8705
11.6588
11.4792
11.3202
11.0911
10.8559
10.6191
10.3553
10.0511
9.7453
9.3849
8.994
8.5476
8.0645
7.542
6.9725
6.4072
5.8913
5.4471
5.0719
4.7628
4.4976
4.2719
4.0749
3.9013
3.7484
3.611
3.4881
3.376
3.2745
3.1819
3.0961
3.018
2.945
2.8781
2.815
2.7568
100
12.5445
12.3295
12.3638
12.2083
12.0712
11.9443
11.7615
11.601
11.4091
11.158
10.9413
10.687
10.4094
10.1188
9.8008
9.4301
9.0464
8.6035
8.1205
7.595
7.0448
6.4879
5.9849
5.5464
5.1769
4.867
4.6
4.3721
4.175
3.9984
3.8428
3.7044
3.5773
3.4642
3.3603
3.2655
3.1776
3.0977
3.0229
2.9535
2.8897
105
12.5931
12.7024
12.5871
12.474
12.3631
12.1731
12.0103
11.8649
11.6806
11.4723
11.2495
11.0189
10.7537
10.4672
10.1689
9.8442
9.4864
9.0946
8.6582
8.1776
7.6508
7.1049
6.5612
6.0696
5.6362
5.2724
4.9619
4.6963
4.4686
4.2687
4.0914
3.9327
3.7915
3.6648
3.549
3.4425
3.3453
3.2563
3.1743
3.0985
3.0281
Tabelle B.2: Federrate 2 der geschichteten Blattfeder nach Vorspannungen und Erregungskräften, Einheit: (kN/mm) = 106 (N/m)
Erregung
P↓
1.5(kN)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
30(kN)
0.0651
0.0714
0.0908
0.1218
0.1697
0.2467
0.3458
0.397
0.4142
0.4172
0.4113
0.4004
0.3874
0.3737
0.3599
0.3466
0.3336
0.3212
0.3092
0.2976
0.2865
0.2756
0.2651
0.255
0.2451
0.2356
0.2269
40
0.0667
0.0719
0.0833
0.099
0.1221
0.1508
0.1907
0.2451
0.3148
0.3727
0.4034
0.4189
0.4255
0.4261
0.4221
0.4151
0.4063
0.3967
0.3865
0.3761
0.3657
0.3553
0.345
0.3349
0.3249
0.3151
0.3054
0.296
0.2868
0.2778
0.2691
0.2605
0.2522
0.2442
0.2364
0.2289
0.2219
134
50
0.0695
0.07
0.0808
0.0913
0.1048
0.122
0.1442
0.1708
0.2058
0.2502
0.3041
0.356
0.3917
0.4132
0.4263
0.4334
0.4364
0.4356
0.432
0.4265
0.4196
0.412
0.4038
0.3952
0.3864
0.3775
0.3686
0.3596
0.3507
0.3419
0.3331
0.3245
0.316
0.3077
0.2996
0.2916
0.2838
0.2762
0.2688
0.2615
0.2545
Vorspannung →
60
70
0.0713 0.0714
0.0747 0.0715
0.0764 0.0797
0.0863 0.0859
0.0961 0.091
0.1097 0.1005
0.1247 0.1121
0.1412 0.1264
0.1617 0.1402
0.1878 0.1574
0.2191 0.1774
0.2576 0.2025
0.302 0.2313
0.3472 0.2657
0.3833 0.3049
0.4079 0.3449
0.4242 0.3791
0.4351 0.4044
0.442 0.4227
0.4455 0.4355
0.446 0.4447
0.4443 0.4509
0.4406 0.4543
0.4357 0.4553
0.4299 0.4543
0.4233 0.4519
0.4161 0.448
0.408 0.4432
0.4009 0.4378
0.393 0.4317
0.385 0.4252
0.377 0.4184
0.3689 0.4114
0.3609 0.4042
0.3529 0.3969
0.345 0.3895
0.3372 0.3821
0.3295 0.3747
0.3219 0.3673
0.3145
0.36
0.3072 0.3528
80
0.0742
0.0767
0.075
0.081
0.0898
0.0964
0.1071
0.1152
0.1274
0.1403
0.1548
0.1726
0.192
0.216
0.2427
0.275
0.3105
0.3465
0.3786
0.4037
0.4221
0.4362
0.4469
0.4543
0.4597
0.4626
0.4638
0.4631
0.4611
0.458
0.4539
0.4491
0.4438
0.4381
0.4319
0.4256
0.419
0.4123
0.4055
0.3986
0.3918
90
0.0707
0.0807
0.0773
0.0832
0.0879
0.0957
0.1017
0.1093
0.1201
0.1284
0.1407
0.1535
0.1696
0.186
0.2057
0.2281
0.2549
0.2849
0.3177
0.3509
0.3806
0.405
0.4235
0.4379
0.4491
0.4575
0.4639
0.4682
0.4707
0.4715
0.4709
0.4691
0.4662
0.4626
0.4583
0.4535
0.4482
0.4426
0.4368
0.4307
0.4245
100
0.0714
0.0824
0.0774
0.0832
0.0878
0.0917
0.0988
0.1044
0.1117
0.1226
0.1312
0.142
0.1542
0.1671
0.1817
0.1997
0.2185
0.2414
0.267
0.2957
0.3263
0.3575
0.385
0.408
0.4263
0.4405
0.4522
0.4611
0.4679
0.4731
0.4765
0.4782
0.4788
0.4779
0.4761
0.4733
0.4699
0.4659
0.4614
0.4565
0.4513
Tabelle B.3: Verlustfaktor η der geschichteten Blattfeder nach Vorspannungen und Erregungskräften
135
wobei
GN R = <{GN } = (−d2 d3 + dˆ2 + 2a22 )d3 + (d2 + d3 )dˆ2 ,
GN I = ={GN } = (−d2 d3 + dˆ2 + 2a2 )dˆ − (d2 + d3 )d3 dˆ
2
(B.5)
und
GZR = <{GZ } = a2 d3 k3 + (a22 − d2 d3 + dˆ2 )k7 ,
ˆ 3 − (d2 + d3 )dk
ˆ 7.
GZI = ={GZ } = a2 dk
B.2.3
B
B=
B.2.4
(B.6)
ˆ
k2
k2 d1
−k2 dˆ
k2 (d1 − id)
= 2
+i 2
≡ BR + iBI .
=
2
m̃1
d1 + d˜2
d1 + d˜2
d1 + d˜2
(B.7)
D
D=
DZR DN R + DZI DN I
DZI DN R − DZR DN I
DZR + iDZI
=
+i
2
2
2
2
DN R + iDN I
DN R + DN I
DN
R + DN I
≡ DR + iDI ,
(B.8)
wobei im Nenner
DN R = <{DN } = −d2 d3 + dˆ2 + 2a22
und
ˆ
DN I = ={DN } = −(d2 + d3 )d,
im Zähler
DZR = <{DZ } = −d3 k4 + a2 k8
und
ˆ
DZI = ={DZ } = −k4 d.
B.2.5
F
FZR + iFZI
a2 (m̃3 k4 − a2 k8 )
=
2
FN R + iFN I
(−m̃2 m̃3 + 2a2 )m̃3
FZI FN R − FZR FN I
FZR FN R + FZI FN I
+i
,
=
2
2
FN R + FN I
FN2 R + FN2 I
F =
(B.9)
wobei
FN R = <{FN } = (−d2 d3 + dˆ2 + 2a22 )d3 + (d2 + d3 )dˆ2 ,
FN I = ={FN } = (−d2 d3 + dˆ2 + 2a2 )dˆ − (d2 + d3 )d3 dˆ
2
(B.10)
und
FZR = <{FZ } = a2 d3 k4 − a22 k8 ,
ˆ 4.
FZI = ={FZ } = a2 dk
(B.11)
B.2.6
136
H
a2 m̃3 k4 + (a22 − m̃2 m̃3 )k8
HZR + iHZI
=
2
HN R + iHN I
(−m̃2 m̃3 + 2a2 )m̃3
HZR HN R + HZI HN I
HZI HN R − HZR HN I
=
+i
,
2
2
2 + H2
HN R + HN I
HN
R
NI
H=
(B.12)
wobei
HN R = <{HN } = (−d2 d3 + dˆ2 + 2a22 )d3 + (d2 + d3 )dˆ2 ,
HN I = ={HN } = (−d2 d3 + dˆ2 + 2a2 )dˆ − (d2 + d3 )d3 dˆ
2
(B.13)
und
HZR = <{HZ } = a2 d3 k4 + (a22 − d2 d3 + dˆ2 )k8 ,
ˆ 4 − (d2 + d3 )dk
ˆ 8.
HZI = ={HZ } = a2 dk
(B.14)
Anhang C
Messdaten des Leerwagens beim
Entgleisungsversuch
S1
48.33
49.39
50.46
51.52
52.58
53.64
54.70
55.76
56.82
57.88
58.94
60.01
61.07
62.13
63.19
48.31
S4
S3
S2
49.34
50.37
51.40
52.42
53.45
54.48
55.51
56.54
57.57
58.60
59.63
60.66
61.69
62.71
48.24
49.36
50.49
51.61
52.73
53.86
54.98
56.11
57.23
58.36
59.48
60.61
61.73
62.85
s
s
(a) S1
63.98
48.29
49.33
50.37
51.41
52.45
53.48
54.52
55.56
56.60
57.64
58.68
59.72
60.76
61.80
s
(b) S2
62.84
s
(c) S3
(d) S4
Abbildung C.1: Wegänderung an den Stellen S1 , S2 , S3 , S4 ; V0 = 13(km/h), leer
S9
S8
48.32
49.46
50.61
51.75
52.89
54.04
55.18
56.33
57.47
58.62
59.76
60.90
62.05
63.19
64.34
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s
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s
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138
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a6
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27.496
s
(c) a11
28.406
s
(d) a12
Anhang D
Messdaten des beladenen Wagens beim
Entgleisungsversuch
S2
S1
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42.535
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S3
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45.898
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41.016
S4
41.785
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44.092
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47.167
47.936
48.705
49.474
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51.011
(a) S1
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20.419
21.293
22.166
23.039
23.913
24.786
25.659
26.533
27.406
28.279
s
s
(b) a6
29.153
s
(c) a7
(d) a8
a9
16.947
a10
17.851
18.755
19.659
20.563
21.467
22.370
23.274
24.178
25.082
25.986
26.889
27.793
28.697
29.601
16.896
17.819
a11
18.742
19.665
20.589
21.512
22.435
23.358
24.281
25.204
27.050
27.973
28.896
29.819
17.024
17.919
18.814
19.709
20.604
21.499
22.394
23.289
24.183
25.078
s
s
(a) a9
26.127
a12
(b) a10
25.973
26.868
27.763
28.658
29.553
16.871
17.782
18.693
19.604
20.515
21.426
22.338
23.249
24.160
25.071
(c) a11
25.982
26.893
27.805
28.716
29.627
s
s
(d) a12
Anhang E
Schwellenabstand
Schwelle aus GS
Abstand (cm)
Schwelle aus GS
Abstand (cm)
Schwelle aus GS
Abstand (cm)
Schwelle aus GS
Abstand (cm)
1.
108
13.
57
25.
63.5
37.
59.5
2.
62.5
14.
62.5
26.
64.5
38.
61.5
3.
65
15.
64
27.
63.5
39.
63.5
4.
61
16.
64
28.
64
40.
64
5.
66.5
17.
64.5
29.
63
41.
63.5
6.
61
18.
63
30.
66
42.
61.5
7.
63.5
19.
65
31.
63
43.
64
8.
62
20.
67
32.
60
44.
62.5
9.
62
21.
61.5
33.
26
45.
63
Tabelle E.1: Abstände der Schwellen aus der Gleissperre
Schwellenabstand aus der Gleissperre
70
65
60
50
s
Abstand L / cm
55
45
40
35
30
25
0
5
10
15
20
25
Schwelle
30
35
40
45
Abbildung E.1: Abstände der Schwellen aus den Gleissperre
145
50
10.
61.5
22.
64
34.
66
46.
63
11.
62.5
23.
63.5
35.
57.5
47.
63.5
12.
63.5
24.
64.5
36.
60.5

Untersuchung des Entgleisungsverhaltens von

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