Volatilitätsmodelle in der Praxis

Transcrição

Volatilitätsmodelle in der Praxis
Hans Bühler
Global Quantitative Research, Deutsche Bank AG Global Equities
[email protected]
http://www.dbquant.com
Berlin, May 8th 2003
Deutsche Bank
Global Equities - Global Quantitative Research
Slide 2
Übersicht
n
Die implizite Volatilitätsstruktur
–
n
n
Eigenschaften, Implikationen
Modellierung mit Ein-Faktor-Modellen
–
Dupire, Derman-Kani
–
Eigenschaften und Konsequenzen.
Modellierung mit stochastischer Volatilität
–
Prinzipien, Pricing und Hedging
–
Beispiel: Heston, CGMY
Vergleich verschiedener Modelle
n Zusammenfassung
n
Deutsche Bank
Slide 3
Implied Volatility
n
Die “implizite Volatilität” einer Option wird durch Inversion der
Black&Scholes-Formel berechnet (gegeben Marktpreis,
Discountfaktor und Forward).
n
Das Black&Scholes-Model
dSt = (rt - d t ) St dt + s t St dWt
verwendet eine deterministische Volatilität - demzufolge
müssten alle Optionen mit einer gemeinsamen Laufzeit die
gleiche Volatilität implizieren.
® Dies ist leider nicht der Fall:
Deutsche Bank
Slide 4
Implizite Volatilität - Nikkei 225 am 15.April 2003
50
45
40
35
30
25
20
Mar-10
15
5%
Sep-07
40%
75%
Strike/Spot
Mar-05
110%
145%
180%
Maturity
Jun-03
Deutsche Bank
Slide 5
Der Smile
n
n
Eingenschaften:
–
Die Volatiliät steigt bei fallendem Strike (Optionen sind teurer).
–
Dieser “Smile” läßt bei längerer Laufzeit nach.
–
Seine spezielle Form hängt vom Markt ab.
–
Existiert in ausgeprägter Form seit 1987.
Warum existiert der Smile:
–
Asymmetrie in der Riskobewertung von Preisbewegungen.
–
Historische Korrelation zwischen Volatilität und Preisniveau ist negativ.
–
Puts werden zur Kreditsicherung eingesetzt.
Deutsche Bank
Slide 6
“Pricing with a Smile”
(Dupire Risk Jan 1994)
n
n
Viele exotische Produkte sind Smile-senstiv:
–
Barriers, z.B. “up-and-out” call: 1{sup t £T S t < B } × (S T - K )
–
Convertible Bonds
–
Altiplanos
–
Conditional Trigger Swaps
–
etc.
+
Dies erfordert die Abkehr vom klassischen Black&ScholesModel und den Übergang zu erweiterten Modellen
Deutsche Bank
Slide 7
Modellierung - Anforderungen
n
n
Entwicklung neuer Modelle mit den Zielen
–
den Smile mit einem Model konsistent zu reproduzieren,
–
strukturierte Produkte effizient zu preisen und
–
abzusichern.
Weitergehende Fragen
–
Stabilität des Prozesses über die Zeit (® Rekalibrierung)
–
Implizite dynamik des Prozesses (® Forward-Started Options)
Deutsche Bank
Slide 8
Modellierung - Konzepte
n
n
Ein-Faktor Modelle
–
Dupire: Local volatility
–
Derman, Kani: Implied Trees
Stochastic Volatility
–
Merton: Jump Diffusion
–
Heston: Square-Root process
–
Bates: Heston and Merton zusammen
–
Carr, German, Medan, Yor: VG, CGMY, stochastic time change,...
Deutsche Bank
Slide 9
Ein-Faktor Modelle: Derman Kani - Implied Trees
Optionspreise für alle Strikes und Laufzeiten sind bekannt.
n Stückweise Konstruktion der Übergangswahrscheinlichkeiten
im Baum
® Konsistente Bewertung der Optionen auf dem Baum.
n
n
Nachteile:
–
Es können nur Optionen auf den Knoten des Baums berechnet werden
® Neukalibration eventuell notwendig
–
Bei Änderung der numerischen Genaugkeit muß neu kalibriert werden
–
Monte-Carlo Methode per se nicht unterstützt;
generelle Geschwindigkeitsprobleme bei Bäumen mit langen Laufzeiten.
Deutsche Bank
Slide 10
Ein Faktor-Modelle: Dupire´s Local Volatility
n
Eindimensionale Brownsche Bewegung als treibender
Prozess. Die Volatilität hängt vom Spot ab:
dSt = (rt - d t ) St dt + s t ( St ) St dWt
n
Für s existiert nach Dupire eine geschlossene Formel:
2
t
s (S ) =
n
¶ T CT , S + (rT - dT )S × ¶ K CT , S + dT × CT , S
S 2 × ¶ 2K CT , S
Wieder: Alle Call-Preise CT,K seien bekannt.
–
Extrapolation notwendig.
Deutsche Bank
Slide 11
Ein-Faktor Modelle: Dupire
50
50
45
45
40
40
35
35
30
30
25
25
20
20
15
Mar-10
15
Sep-07
5%
40%
75%
Strike/Spot
–
Mar-05
110%
145%
180%
Mar-10
5%
Maturity 40%
Jun-03
Sep-07
75%
Strike/Spot
Mar-05
110%
145%
180%
Maturity
Jun-03
Probleme bei kurzen Laufzeiten.
Deutsche Bank
Slide 12
Ein-Faktor Modelle: Vorteile von Dupire
n
Theoretisch perfekte Randverteilungen ® „schöne“ Lösung.
Vollständiger Markt.
n
Keine Kalibration notwendig, analytische Formel.
n
Konsistente Preise bei Laufzeiten über 6m.
n
Strukturierte Produkte können effizient mit ein-Faktor Finite
Difference Systemen oder Monte-Carlo gepreist werden.
Þ Dupire’s
Modell ist per se gut zur Optionsbewertung geeignet.
Deutsche Bank
Slide 13
Ein-Faktor Modelle: Probleme mit Dupire
n
Technische Probleme:
–
n
Absicherung:
–
n
Extrapolation und Interpolation kann großen Einfluß auf den Preis von
Optionen am Rand der Marktverteilung haben.
Die Volatilitätsstruktur ist nicht lokal von den Optionen abhängig zum Absichern eines Produktes muß eine eine große Anzahl von
Marktinstrumenten investiert werden (der Markt ist nur theoretisch
vollständig).
Forward Started Options:
E
(
ST
St
-K
)
+
Deutsche Bank
Slide 14
Ein-Faktor Modelle: Probleme mit Dupire
n
Inkonsistente Dynamik
Die Volatilitätsstruktur ist nicht stabil über die Zeit.
–
Today implied volatilties
Local volatility implied forward vols
27.5
27.5
25.0
25.0
22.5
22.5
20.0
20.0
5y
1y9m
17.5
70%
1y
90%
110%
3m
130%
1y in 5y
1y in 1y9m
17.5
70%
1y in 1y
90%
110%
1y in 3m
130%
Deutsche Bank
Slide 15
Ein-Faktor Modelle: Local Volatility
50
45
40
35
30
25
20
Mar-10
15
5%
Sep-07
40%
75%
Strike/Spot
Mar-05
110%
145%
180%
Maturity
Jun-03
Deutsche Bank
Slide 16
Ein-Faktor Modelle: Zusammenfassung
n
n
Vorteile
–
Theoretisch “schön”.
–
Ein-Faktor impliziert schnellere numerische Verfahren
–
Am Bewertungstag konsistent.
Nachteile
–
Dynamik nicht korrekt
® Neuberechnung erfordert Hedging der Volatilitätsstruktur
® häufige Investitionen in viele Marktinstrumente notwendig.
–
Fehlerhafte “Forward-Start” Preise.
Deutsche Bank
Slide 17
Stochastische Volatilität: Motivation
n
n
Ein erweiteres Model sollte
–
Konsistent mit (wesentlichen) Marktinstrumenten sein.
–
Effizient berechenbar sein.
–
Ein über die Zeit stabiles Verhalten besitzen und “Forward-Start”
Optionen korrekt bewerten.
–
Bewertung und absicherung strukturierter Produkte erlauben.
Der Benchmark ist Dupire.
Deutsche Bank
Slide 18
Stochastische Volatilität: Konzepte
n
Modelle mit “stochastischer Volatilität” haben eine Dynamik
dSt = (rt - d t ) St dt + s t S t dWt
bei der s selbst ein stochastischer Prozess ist:
ds t = lt dt + z t dWts
n
Andere Varianten verwenden Poissonprozesse.
n
Die Integranden l und x werden typischerweise durch
Modellparameter s=(s1,..,sn) spezifiziert.
–
Modelle i.A. nicht vollständig
® Modellparameter nicht eindeutig und müssen geschätzt werden.
Deutsche Bank
Slide 19
Stochastische Volatilität: Beispiel Hull & White
n
Hull & White (1987): Log-Normal Variance:
ds t2 = qs t2dt + zs t2dWts
–
“Vol of Vol” x: kontrolliert die Variation der Volatilität
–
“Average vol” q: durchschnittliche Volatilität
–
“Correlation” r zwischen den treibenden Brownschen Bewegungen.
–
Die implizite variable “Short vol” s0 ist nicht beobachtbar und wir demnach
wir ein Parameter behandelt.
Deutsche Bank
Slide 20
Stochastische Volatilität: Beispiel Heston
n
Heston hat 1993 die folgende Dynamik vorgeschlagen:
(
)
ds t2 = k q - s t2 dt + zs t dWts
n
–
“Vol of Vol” x: kontrolliert die Variation der Volatilität
–
“Long vol” q: durchschnittliche Langzeitvolatilität
–
“Reversion speed“ k: Drift zur Long Vol.
–
“Correlation” r zwischen den treibenden Brownschen Bewegungen.
–
Die implizite variable “Short vol” s0 ist nicht beobachtbar und wir demnach
wir ein Parameter behandelt.
Sehr populäres Model.
Deutsche Bank
Slide 21
Stochastische Volatilität: Beispiel JumpDiffusion
n
Merton (1987) hat Sprünge im Preisprozess angenommen:
dSt = (rt - dt )St - dt + s tATMSt - dWts + St - dPt
n
–
Der Prozess P ist ein kompensierter Poisson-Prozess mit Intensität l und
(g,d)-normalverteilten unabhängigen Sprüngen.
–
Die impliziten Randverteilung besitzen einen sehr ausgeprägten Smile.
Bates hat dieses Modell mit Heston´s Ansatz kombiniert.
Deutsche Bank
Slide 22
Stochastische Volatilität: Beispiel CGMY
n
Carr, Geman, Medan und Yor (2000): Ein Levy-Prozess mit
charakteristischer Funktion
(
)
fT (v) := exp TC × G(-Y ) ×{(M - iv)Y - M Y + (G + iv)Y - GY }
n
–
C: Skalierung
–
G und M: Rechts- bzw linksseitiger Abfall der Verteilung (symmetrisch bei
Gleichheit)
–
Y: Charakterisierung der Aktivität
Dieses Model wurde aufgrund statistischer Beobachtungen
entwickelt.
Deutsche Bank
Slide 23
Stochastische Volatilität: Konzepte
n
n
PDE für den Einsatz von numerischen Standardmethoden
–
Feynman-Kac für FDs, Euler-Diskretisierung für Monte-Carlo.
–
Dadurch können strukturierte Produkte bewertet werden.
Zur Berechnung Europäischer Optionen kann nach Carr &
Medan (1999) Fourier-Transfomation eingesetzt werden.
–
Schnelle und genaue Berechnung von Europäischen Optionen
–
Erweiterbar auf Forward-Start Vanillas.
–
Erfordert die Kenntnis der charakteristischen Funktion von XT:=log(ST/S0):
fT ( z ) := E[eizX T ]
Deutsche Bank
Slide 24
Stochastische Volatilität: Fourier-Pricing
n
Idee:
–
Die charakteristische Funktion y des Callpreises (in Abhängigkeit vom
log-Strike k:=log(K)) wird durch f ausgedrückt:
¥
y T (v) := ò e E[e
ivk
- rT
(e
XT
k
!
- e )]dk = F (fT (L))
-¥
–
Berechnung des Callpreises durch Fourier-Inversion von y :
CT , K (k ) :=
¥
1
2p
- ikv
e
ò y T (v)dv
-¥
Deutsche Bank
Slide 25
Problem:
–
Der Preis eines Calls ist nicht in quadratisch integrierbar:
Call prices with respect to log-Strike
100%
80%
Price/Forward*DF
n
60%
40%
20%
1y
2y
5y
0%
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
log(K/S0)`
Deutsche Bank
Slide 26
Dampened Call prices with respect to log-Strike
50%
Alpha 0.5
Alpha 1
40%
Alpha 1.5
Price/Fwd*DF
n
~
a ×k
Lösung: “Dampen” des Preises CT , k := e CT ,e k
30%
20%
10%
0%
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
log(K/Spot)
Deutsche Bank
Slide 27
n
Fuer jedes Model existiert ein a so daß der “gedampte” CallPreis quadratisch integrierbar ist.
n
Dann gilt für die Fourier-Transformierte des modifizierten
Preises:
y~T (v) := e - rT
n
f|T ( v - (a +1) i)
a 2 + 2av i +a + v (i - v )
Diese kann mit Standardverfahren oder einem FFTAlgorithmus integriert werden. Letzterer kann mehrere Preise
auf einmal berechnen.
Deutsche Bank
Slide 28
Stochastische Volatilität: Parameterschätzung
n
Die vorgestellten Modelle sind allesamt unvollständig.
Demzufolge müssen die Modellparameter in Abhängigkeit von
“wichtigen” Marktpreisen (Pi )i=1,…N geschätzt werden.
n
Diese “Kalibration” bedeutet de facto eine Minimierung von
N
F (s ) = å wi d[ H i (s ), Pi ]
i =1
wobei Hi(s) den Modellpreis der i. Option unter den
Modellparametern s, d eine Metrik und w einen Vector von
Gewichten bezeichnet.
Deutsche Bank
Slide 29
Stochastische Volatilität: Parameterschätzung
n
Daher die Notwendigkeit, Europäische Optionen effizient
preisen zu können.
n
In Verbindung mit FFT-Pricing können mehrer Optionen pro
Maturity auf einmal berechnet werden.
n
Probleme:
–
“Short Vol” ist eigentlich eine Variable
–
Gewichtung hat hohen Einfluß auf das Ergebnis ® saubere Zieldefinition
ist notwendig.
–
Generische Minimierung kann in einem lokalen Minimum enden.
Deutsche Bank
Slide 30
Stochastische Volatilität: Hedging
n
n
Modelle sind nicht vollständig, d.h. Auszahlungen können i.A.
nicht durch Handeln im Stock allein repliziert werden.
–
Mathematisch klar durch die Verwendung weiterer stochastischer
Prozesse.
–
Theoretisch ist die Verwendung einer weiteren Option ausreichend.
Praktisch gesehen ist ein Modell vermutlich nicht perfekt.
–
Zur Absicherungen müssen mehrere liquide Optionen verwendet werden.
–
Die Modellparameter ändern sich mit der Zeit.
Deutsche Bank
Slide 31
Stochastische Volatilität: Hedging
n
Der Preis eines strukturierten Produktes p ist eine Funktion der
Modellparameter, pºp(s).
n
Hedging
–
Alle Produkte, die mit dem Modell bewertet werden, bilden ein Portfolio P.
–
Dieses hat Sensitivitäten ¶ s i P
–
Berechne Vanilla-Portfolio mit den inversen Sensitivitäten, so daß eine
(kleine) Änderung eines Modellparameters den Wert des gesamten
Portfolios “nicht” ändert.
–
Dafür reichen im Prinzip n Optionen, allerdings ist deren Auswahl durch
praktische Beschränkungen erschwert (Marktvolumen, Liquidität,
Investitionssumme usw).
(
)
i =1,K, n
bezüglich der Modellparameter.
Deutsche Bank
Slide 32
Die Auswahl eines geeigneten Modells
n
Die Auswahl eines bestimmten Modells hängt vom Produkt
und vom Markt ab.
n
Wir Kalibrieren einige Modelle:
Kalibration zu 6m, 1y, 1y6m und 2y Optionen in einer StrikeRange von 60% bis 130% Spot (Gewichtung Marktpreis).
n
Vergleich mit Dupire und Markt.
Deutsche Bank
Slide 33
Ergebnis der Kalibration
Implied volatilities 6m
Implied volatilities 2y
30
28
26
26
Volatility
28
24
20
18
18
2y
60
2y %
75
2y %
80
2y %
85
2y %
90
2y %
9
2y 5%
10
2y 0%
10
2y 5%
11
2y 0%
11
2y 5%
12
2y 0%
13
0%
20
6
6m 0%
7
6m 5%
8
6m 0%
8
6m 5%
9
6m 0%
6m 95%
1
6m 00%
1
6m 05%
1
6m 10%
1
6m 15%
1
6m 20%
13
0%
22
Instrument
Market
Local Vol
Heston
CGMY
JumpDiff
HestonJumpDiff
StationaryHeston
24
22
6m
Volatility
30
Instrument
Deutsche Bank
Slide 34
Dichtere Darstellung
Errors in implied volatilities of calibration instruments
7%
6%
Local Vol
Heston
CGMY
JumpDiff
HestonJumpDiff
StationaryHeston
4%
3%
2%
1%
0%
-1%
-2%
-3%
-4%
60
6m %
80
6m %
9
6m 0%
10
6m 0%
11
6m 0%
12
0
1y %
60
1y %
80
1y %
9
1y 0%
10
1y 0%
11
1y 0%
1
1y 20
6m %
1y 60
6m %
1y 80
6m %
1y
6m 90%
1y 10
6m 0%
1y 11
6m 0%
12
0
2y %
60
2y %
80
2y %
9
2y 0%
10
2y 0%
11
2y 0%
12
0%
-5%
6m
Implied volatility / Market - 1
5%
Instrument
Deutsche Bank
Slide 35
Sehr schönes Ergebnis für Heston
HestonJumpDiff implied volatility
35
35
30
30
25
25
20
10y
20
10y
5y
5y
2y9m
15
60%
1y6m
80%
100%
120%
140%
3m
Heston:
q=24.3%, k=1.4, x=21.9%, r=-0.53
Shortvol:
s0=20.7%
2y9m
15
60%
1y6m
80%
100%
120%
140%
3m
Deutsche Bank
Slide 36
…und Heston-JumpDiffusion
35
35
30
30
25
25
20
10y
20
10y
5y
5y
2y9m
15
60%
1y6m
80%
100%
120%
140%
3m
Heston:
q=24.3%, k=1.4, x=21.9%, r=-0.53
Merton:
l=0.06, g=-56,169, d=8.53%
Shortvol:
s0=20.7%
2y9m
15
60%
1y6m
80%
100%
120%
140%
3m
Deutsche Bank
Slide 37
Merton und Heston
n
Einige Modelle, insbesondere das Bates Modell, passen sich
sehr gut an den Markt an.
n
Die Sprünge unterstützen einen ausdrucksvollen Skew bei
kurzen Laufzeiten, wohingegen die „Mean-Reversion“ eine
langfristige Stabilität sichert.
n
Normalerweise wird das einfache Hestonmodel verwendet die praktische Interpretation und das Hedging von Jumps sind
nicht ganz einfach.
Deutsche Bank
Slide 38
Mean-Reversion
Heston volatility paths - an example of mean reversion
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Apr-03
Apr-04
Apr-05
Apr-06
Apr-07
Apr-08
Apr-09
Apr-10
Apr-11
Apr-12
Deutsche Bank
Slide 39
Problem: Forward volatility
35
35
30
30
25
25
20
10y
20
10y
5y
2y9m
15
60%
n
5y
1y6m
80%
100%
120%
140%
3m
2y9m
15
60%
1y6m
80%
100%
120%
140%
3m
Skew bleibt über die Zeit erhalten, wird aber U-förmig ...
Deutsche Bank
Slide 40
Stochastische Volatilität: Zusammenfassung
n
n
Vorteile (Heston und Bates):
–
Gute und flexible Anpassung an die implied Surface
–
Einfacher zu Hedgen
–
Eine Art Skew bleibt erhalten
Nachteile
–
Der Forward-Skew ist U-förmig
sˆ [T1 ,T2 ]
Deutsche Bank
Slide 41
Stochastische Volatilität: Forward Skew
n
Verbesserte Kalibration
–
“Penalty functions”, um bestimmte Skews auszuschließen
u
–
n
Tiefere Kenntnis über die Verteilung notwendig.
Kalibration direkt auf Forward-Started Options
u
Deren Preis ist selbst geschätzt.
u
Selbst bei Erfolg: Verhalten abeits der Eingabeoptionen nicht garantiert.
u
Sonst eine gute Möglichkeit.
Verbesserte Modelle
–
Problem der “ShortVol” lösen
–
Propagative Modelle: In Arbeit ….
Deutsche Bank
Slide 42
Stochastische Volatilität: Forward Skew
n
Stochastic Implied Volatility (Schönbucher 1998, Cont 2002)
–
Wie bei HJM/BGM-Modellen für Zinsraten wird ein Modell für die ganze
Oberfläche entworfen.
u
Wie werden strukturierte Produkte bewertet ?
u
Parameter müssen historisch geschätzt werden (z.B. via PCM).
u
Noch mehr stochastische Faktoren führen zu niedriger Geschwindigkeit.
n
Modelle mit “Erinnerung”
n
® Noch nicht zufriedenstellend gelöst.
Deutsche Bank
Slide 43
References
–
Carr and Madan, 1999: Option valuation using the FFT. J. Comp. Finance 2-4
–
Dupire, 1994: Pricing with a Smile. Risk Magazine 7, 18-20.
–
Derman and Kani, 1994: The volatility smile and its implied tree. Goldman
Sachs Quantitative Strategies Research Notes
–
Hull and White, 1987: The Pricing of Options on Assets with Stochastic
Volatilities. J. of Finance 42, 281-300.
–
Heston, 1993: A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility
with Applications to Bond and Currency Options. Rev. Fin. Studies 6, 327-343
–
Schobel and Zhu, 1998: Stochastic volatility with an Ornstein-Uhlenbeck
process: an extension. Working paper
–
Schönbucher,1998: A market model for stochastic implied volatility (preprint,
from the web)
–
Most of the topics presented are reviewed in:
Equity derivatives: Theory and applications, Wiley 2002
Deutsche Bank

Volatilitätsmodelle in der Praxis

Transcrição

Documentos relacionados

By: Grace Brown and Andrea Ho German Translation by: Tiffany Ho

ISI Far East Equities - Finanz

Details - ZOMA Maschinenhandel

PDF-Datei - Martini

Fact sheet - Meinl Bank

Nordic Equities

03 Komplexe Aufgaben.pptx

Literaturverwaltung mit Zotero

Allianz Interglobal - AT

Pioneer Funds - Global Ecology A EUR ND - ING

Volatility of International Food Prices: Impacts on Resource

Bedienungsanleitung