Simulationen zur Black-Scholes Formel - Christians

Seminar
Finanzmathematik
Simulationen zur Black-Scholes Formel
von Christian Schmitz
Übersicht
Zufallszahlen am Computer
Optionspreis als Erwartungswert
Aktienkurse simulieren
Black-Scholes Formel Theorie
Black-Scholes Formel diskret
Exotische Optionen
Zufallszahlen
am Computer
Gleichverteilte
Zufallszahlen
Funktion rnd
Benutzt einen Algorithmus mit Startwert
Für gleichen Startwert immer gleiche
Zahlenfolge
Relativ zufällig mit aktueller Zeit als
Startwert
Weitere Verteilungen
Mittels eines Algorithmus, lässt sich die
Gleichverteilung umformen in:
Quadratische Verteilung
Normalverteilung
Exponentialverteilung
Quadratische Verteilung
Function RandomSquared() As
double
dim d as double
Generiert aus
Gleichverteilung
mittels Algorithmus
die quadratische
Verteilung
d=rnd*rnd
if rnd<0.5 then
Return d
else
Return -d
end if
End Function
Anzeige skaliert von -1 bis 1
Normalverteilung
Generiert aus
Gleichverteilung
mittels Algorithmus
die Normalverteilung
Bei 1000000 Aufrufen
ca. 68% der Werte
betragsmäßig ≤1.
Werte bis ca. 8,45 am
Computer mit double.
Function RandomNormal() As
double
dim w,z,v1,v2 as Double
do
V1 = 2.0 * rnd - 1.0
V2 = 2.0 * rnd - 1.0
w = v1 * v1 + v2 * v2
loop until w < 1.0
z = V1 * sqrt(-2.0 * log(w) / w)
Return z
End Function
Anzeige skaliert von -7 bis 7
Random Walk
Startwert 0
in vielen Durchläufen wird aktueller Wert um
ein kleines Delta verändert
Veränderung mit ±1 oder Normalverteilung
Ergebnis mit Wurzel von n skaliert
(n = Anzahl der Durchläufe)
RandomWalk mit ±1
n Durchgänge
jedesmal v ± 1 je nach
Zufall
Ergebnis skaliert mit
Wurzel von r
Liefert Zahl zwischen
-sqrt(n) und +sqrt(n)
Ergebnis annähernd
Brownsche Bewegung
Function RandomWalk
(n as integer) As double
dim i as integer
dim v as integer
v=0
for i=1 to n
if rnd<0.5 then
v=v+1
else
v=v-1
end if
next
Return v/sqrt(n)
End Function
Random Walk ±1, Anzeige skaliert von -7 bis 7
Demo
Optionspreis als
Erwartungswert
Optionsarten
Call und Put Optionen
Europäische und amerikanische Optionen
Wert der Europäischen Call Option als
Erwartungswert im Martingalmaß beim
Einlösen der Option.
Call Optionswert als
Erwartungswert
Aktie
gestiegen,
Option
im Geld
Start
Aktie
gefallen,
Option
wertlos
mögliche Aktienkurse
Optionspreis als
Erwartungswert
Aktienkurs wird berechnet mit Brownscher
Bewegung oder Normalverteilung.
Wert der Option als Differenz zwischen
Aktienpreis und Basispreis
Durchschnitt der Preise ergeben abgezinst
den Optionspreis.
Optionspreis als
Erwartungswert
Durchläufe
Optionswert
103
3,512381
Durchläufe
Optionswert
103
3,512381
104
3,436795
Durchläufe
Optionswert
103
3,512381
104
3,436795
105
3,456048
Durchläufe
Optionswert
103
3,512381
104
3,436795
105
3,456048
106
3,455998
Durchläufe
Optionswert
103
3,512381
104
3,436795
105
3,456048
106
3,455998
107
3,451847
Theoretisch: 3,452005
Demo
Aktienkurse simulieren
Aktienkurse simulieren
2 Möglichkeiten:
Normalverteile Sprünge
Random Walk
Wir simulieren Aktienkurse für 1 Jahr.
T = 1 Jahr für alle Rechnungen
Aktienkurs mit
Normalverteilung
µ = Drift dieser Aktie,
σ = Volatilität dieser Aktie
Aktienkurs mit
Brownscher Bewegung
µ = Drift dieser Aktie,
σ = Volatilität dieser Aktie
Wt = Brownsche Bewegung
Genauigkeit
Diskretisierung bringt einen Verlust an
Genauigkeit
kleinere ∆t für bessere Simulation
Kleine Rundungsfehler des Computers
summieren sich.
Aktienkurs
mit Normalverteilung
n=2000
Aktienkurs
mit Random Walk
n=2000
Aktienkurs
mit Normalverteilung
n=20
Aktienkurs
mit Random Walk
n=20
Demo
Black-Scholes Formel
theoretische Handelsstrategie
Black-Scholes Formel
Formel zur Bestimmung des Optionswertes im
arbitragefreien Markt
Selbstfinanzierende Handelsstrategie für ein
Portfolio
Wert der Option ist der Wert des Portfolios
Black-Scholes Formel
Portofolio enthält Aktien und Geld
Geld wird geliehen um Aktien zu kaufen.
Berechnung, wie viel Geld geliehen wird und
wie viele Aktien erworben werden.
Black-Scholes Formel
Am Anfang der Laufzeit:
keine Aktien
keine Schulden
Geldbetrag = Verkaufserlös der Option
Black-Scholes Formel
Kontinuierlicher Handel:
Berechnung des neuen Anteils an Aktien
und an Schulden.
Änderung des Aktienbestandes
Neuer Schuldenstand durch neuen
Aktienanteil und Änderung Aktienkurs
Neuer Portfoliowert
= Optionswert zu diesem Zeitpunkt
Black-Scholes Formel
Am Ende der Laufzeit:
Verkauf der Aktien
Tilgung der Schulden
Rest ist Optionswert
Black-Scholes Formel
Black-Scholes Formel
Vereinfachung von b durch Abhängigkeit von a.
Black-Scholes Formel
an=log(S/K)+(r+sigma*sigma/2.0)*(TT-t)
at=sigma*sqrt(TT-t)
a=an/at
b=a-sigma*sqrt(TT-t)
FA=Math.NormalVerteilung(a)
FB=Math.NormalVerteilung(b)
Optionspreis=S*FA-K*exp(-r*(TT-t))*FB
Optionspreis
im Laufe der Zeit
Preis der Option als Kurve in Abhängigkeit
zur Zeit und zum Aktienpreis
Konvergiert im Laufe der Zeit
Am Ende 2 Halbgeraden:
0, wenn die Option aus dem Geld ist.
Optionswert, wenn die Option im Geld ist.
Film
Demo
Black-Scholes Formel
diskrete Handelsstrategie als Näherung
Handelsstrategie
Selbstfinanzierung
Berechnung des Aktienanteiles und
Geldanteiles am Portfolio mittels BlackScholes Formel.
Am Ende genügend Geld im Portfolio um
Option auszuzahlen
Handelsstrategie
Endliche Auflösung von T in diskrete
Abstände
In der Simulation ist Δt konstant, in der
realen Welt nicht.
Differenz zwischen theoretischem
Optionswert und erreichtem Portfoliowert
Genauigkeit abhängig vom Δt
Handelsstrategie
Bt = Schuldenstand, F(a) = Aktienanteil
Demo
Exotische Optionen
Look Back Option
Auszahlung ist die Differenz zwischen
höchstem Aktienkurs während der Laufzeit
und Aktienkurs am Ende.
Insbesondere ist die Auszahlung 0, wenn der
höchste Aktienkurs am Ende erreicht wird.
Durchläufe
Optionswert
102
19,80659
Durchläufe
Optionswert
102
19,80659
103
16,05150
Durchläufe
Optionswert
102
19,80659
103
16,05150
104
15,34104
Durchläufe
Optionswert
102
19,80659
103
16,05150
104
15,34104
105
15,65736
Durchläufe
Optionswert
102
19,80659
103
16,05150
104
15,34104
105
15,65736
106
15,59054
Theoretisch: ?
Demo
Welche Option ist das?
Film
Cash or Nothing Option
Auszahlung 0, wenn Aktienpreis unter
Basispreis
Auszahlung 1, wenn Aktienpreis über
Basispreis
Grenzfall je nach Option
(Irrelevant für den Preis vorher)
Demo
Q&A
Ende
Quellen:
Tools for Computational Finance, Second Edition, Rüdiger Seydel