2. VIBRAÇÃO LIVRE

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2. VIBRAÇÃO LIVRE
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE
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2. VIBRAÇÃO LIVRE
Conforme mostrado no capítulo anterior, muitos sistemas dinâmicos podem ser
representados por uma equação diferencial de segunda ordem, linear, com coeficientes
constantes (parâmetros constantes). Estes modelos são denominados modelos de um grau de
liberdade (1GL), pois os sistemas dinâmicos correspondentes têm seus movimentos definidos
por apenas uma coordenada, de translação ou de rotação.
Neste e nos capítulos seguintes serão analisadas as soluções dessa equação diferencial
em função dos parâmetros de massa, de rigidez, de amortecimento e da força externa
excitadora. Inicialmente serão analisadas as soluções da equação homogênea do sistema. Esta
equação corresponde ao modelo matemático quando as funções excitadoras são nulas. Neste
caso, estudam-se as vibrações livres que ocorrem devido a condições iniciais não nulas. Podese retirar um sistema de sua condição de equilíbrio e abandoná-lo a um movimento livre de
duas formas: através de uma posição inicial diferente da posição de equilíbrio ou através de um
impulso como, por exemplo, através de um martelo de impacto que imprime uma velocidade
inicial não nula.
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE
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2.1 - MODELO MATEMÁTICO
Conforme mostrado no capítulo anterior, com a aplicação das leis do movimento e de
hipóteses simplificadoras pode-se mostrar que muitos sistemas mecânicos possuem um modelo
matemático representado por:
mx c x k x
(2.1)
f
onde
m é a massa do modelo;
c é o coeficiente de amortecimento do modelo;
k é o coeficiente de rigidez do modelo;
x
x(t ) é o deslocamento da massa m na direção do movimento;
x
x (t )
x x(t )
f
dx
é a velocidade da massa m na direção do movimento;
dt
d 2x
é a aceleração da massa m na direção do movimento e
dt 2
f (t ) é a força externa aplicada na massa m na direção do movimento.
x
k
m
f
c
Figura 2.1 – Modelo elementar de 1 grau de liberdade.
O estudo da vibração livre é feito a partir da equação (2.1) tornando nula a força
externa aplicada, isto é, com f(t) = 0. Portanto, tem-se
mx c x kx 0
(2.2)
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE
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A equação (2.2) é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem. A solução
geral possui uma das seguintes formas
onde
1
e
2
x
A1e
1t
x
A1e
1t
2t
A2e
A2te
2t
para
1
2
(2.3)
para
1
2
(2.4)
são as raízes equação da característica do problema, dada por
m
2
c
k
(2.5)
0
As constantes de integração A1 e A2 dependem das condições iniciais de posição x (0 ) e de
velocidade x (0 ) . Resolvendo a equação algébrica (2.5), obtêm-se
c
1,2
c 2 4 mk
2m
c
c2 c 2
2m
(2.6)
onde definiu-se o coeficiente de amortecimento crítico c através de
c
(2.7)
2 mk
A partir das raízes dadas por (2.6), são observadas três situações:
i - para um coeficiente de amortecimento c tal que c 2 mk , isto é c
c , obtêm-se
duas raízes complexas e conjugadas dadas por
1,2
c i 4 m k c2
onde
2m
i
1
(2.8)
Neste caso, o sistema é identificado como subamortecido.
ii - para um coeficiente de amortecimento c tal que c 2 mk , isto é c
c , obtêm-se
duas raízes reais e iguais, dadas por
1 ,2
c
2m
k
m
(2.9)
Neste caso, o sistema é identificado como criticamente amortecido. Observa-se que
este é um caso limite para a mudança do tipo das raízes, de complexas para reais.
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE
iii - para um coeficiente de amortecimento c tal que c 2 mk , isto é c
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c , obtêm-se
duas raízes reais distintas dadas por
c
1,2
c2 4 m k
2m
(2.10)
Neste caso, o sistema é identificado como sobreamortecido.
Para melhor identificar cada um destes três tipos de sistemas, pode-se definir um
parâmetro adimensional denominado fator de amortecimento, dado pela razão
c
c
c
2 km
Portanto, tem-se
amortecidos e
< 1 para sistemas subamortecidos,
(2.11)
= 1 para sistemas criticamente
> 1 para sistemas sobreamortecidos. Algumas aplicações requerem fatores de
amortecimento menores que um. Em outros casos, particularmente no controle de vibrações,
os sistemas devem ser criticamente amortecidos, ou até mesmo sobreamortecidos.
Deve-se observar também que sistemas compostos de materiais metálicos possuem
fatores de amortecimento muito pequenos, frequentemente menores que 0,1, quando não há
dispositivos especiais (amortecedores) projetados para aumentar este valor. O amortecimento
próprio dos materiais é difícil de ser modelado. Por isso, este parâmetro é obtido usualmente
através de procedimentos experimentais.
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2.2 - SISTEMAS SEM AMORTECIMENTO
Os sistemas não amortecidos são sistemas irreais. Podem ser analisados como um caso
particular dos sistemas subamortecidos para os quais o coeficiente de amortecimento é
admitido nulo, ou seja, c = 0. As raízes da equação característica são complexas conjugadas,
com parte real nula, conforme se vê em (2.8), e são dadas por
k
m
i
1, 2
(2.12)
Sendo as duas raízes distintas, a solução da equação do movimento livre, dada por (2.3), é:
i
k
t
m
x
A1e
x
C1 sen
i
A2 e
k
t
m
(2.13)
ou
k
k
t C2 cos
t
m
m
(2.14)
Impondo que a solução do problema de vibrações livres deva ser real, C1 e C2 devem ser reais
na forma de solução (2.14) e A1 e A2 devem ser complexos conjugados em (2.13).
Define-se então, a partir da solução do problema de vibração livre não amortecido, a
frequência natural,
k
m
n
(2.15)
obtida em rad/s, quando os parâmetros m e k são dados no SI de unidades. Uma unidade
muito usual para a frequência é o Hz ou c/s. Neste caso, indica-se a frequência natural como
fn
n
2
1
2
k
m
(2.16)
O período deste movimento de vibração é dado então por
Tn
2
n
1
fn
(2.17)
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE
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Aplicando as condições iniciais de posição x (0 ) e de velocidade x (0 ) na solução dada
por (2.14) e na correspondente derivada no tempo, obtém-se:
C1
x (0 )
e
C2
(2.18)
x(0)
n
4
3
2
x
u(t)
1
0
-1
-2
-3
-4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
Figura 2.1 - Vibração livre de sistemas não amortecidos.
Aplicando as constantes dadas em (2.18) na solução (2.14), obtém-se
x
x (0 )
sen
n
t
x (0 ) cos
n
t
(2.19)
n
ou
x
A sen( nt
com a amplitude A e a fase
A
2
1
C
C
)
(2.20)
dadas por
2
2
x (0 )
n
e
2
[ x (0 )]2
(2.21)
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE
tan
1
C2
C1
tan
1
x (0 )
x (0 )
n
19
(2.22)
A figura (2.1) ilustra o movimento de vibração livre sem amortecimento. Pode-se
observar nesta figura que o movimento corresponde a um movimento harmônico simples. A
massa oscila na frequência natural
n
. Os zeros da função (2.20) ocorrem em intervalos de
tempos iguais à metade do período de oscilação. Os máximos ocorrem em intervalos de
tempos iguais ao período de oscilação Tn . O mesmo ocorre com os mínimos desta função.
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE
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2.3 - SISTEMAS SUBAMORTECIDOS
Os sistemas subamortecidos são aqueles para os quais o coeficiente de amortecimento é
dado por c 2 mk , o que corresponde a um fator de amortecimento
< 1. Então as raízes
da equação característica, conforme (2.8), são iguais a
c
k
i
2m
m
1, 2
2
c
2m
(2.23)
Aplicando as definições do fator de amortecimento (2.11) e da frequência natural (2.15) nas
raízes dadas em (2.23), obtém-se
1,2
i
n
(2.24)
d
onde define-se a frequência natural amortecida
d
2
1
n
(2.25)
Assim a solução da equação do movimento livre de sistemas subamortecidos é dada por
x
A1e(
x
e
n
nt
i
d
( A1e
)t
i
A2e(
dt
A2e
n
i
dt
i
d
)t
(2.26)
(2.27)
)
ou com constantes reais C1 e C2, conforme mostrado no item anterior,
x
e
nt
(C1 sen
d
t C2 cos
d
t)
(2.28)
Aplicando as condições iniciais de posição x (0 ) e de velocidade x (0 ) na solução dada
por (2.28) e na sua velocidade, dada pela correspondente derivada no tempo, obtêm-se:
C1
n
x(0 ) + x (0 )
e
C2
x(0)
(2.29)
d
Então a solução (2.28) é igual a
x e
nt
com a amplitude A e a fase
A sen(
dt
dadas por
)
(2.30)
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE
x (0 ) +
A
n
x (0 )
21
2
[ x (0 )]2
(2.31)
d
tan
1
x(0 )
x (0 ) + n x(0 )
d
(2.32)
4
FATOR AMORT
3
0.1
0.2
2
1
u(t)
x
0.5
0
-1
-2
-3
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
Figura 2.2 - Vibração livre de sistemas subamortecidos.
A Figura 2.2 ilustra o movimento para três valores do fator de amortecimento, com as
mesmas condições iniciais. Pode-se observar, nesta figura, que o movimento corresponde ao
chamado movimento harmônico amortecido. A massa oscila com a frequência natural
amortecida
d
, com amplitudes que diminuem exponencialmente a cada ciclo. Os zeros da
função (2.30) ocorrem em intervalos de tempos iguais à metade do “período” de oscilação. Os
máximos ocorrem em intervalos de tempos iguais ao período de oscilação Td . O mesmo
ocorre com os mínimos. Observe que os máximos ou mínimos não são centrados em relação
aos zeros.
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE
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2.4 - SISTEMAS CRITICAMENTE AMORTECIDOS
Os sistemas criticamente amortecidos são aqueles para os quais o coeficiente de
amortecimento é igual ao crítico, ou seja c
amortecimento
c
2 mk , o que corresponde a um fator de
= 1. Então as raízes da equação característica são reais e iguais dadas, a
partir de (2.9), por
c
2m
1 ,2
(2.33)
Usando a definição de fator de amortecimento
c
c
(2.34)
2 mk
obtém-se
2 mk
2m
1, 2
Como neste caso
k
m
(2.35)
n
= 1 , tem-se
1,2
(2.36)
n
Como as raízes são iguais, a solução da equação do movimento livre, conforme (2.4), é
x
A1e
nt
A2 te
nt
(2.37)
Aplicando as condições iniciais de posição x (0 ) e de velocidade x (0 ) na solução dada
por (2.37) e na velocidade, dada pela correspondente derivada no tempo, obtêm-se:
A1
x(0)
e
A2
x (0) + x(0)
n
(2.38)
A Figura 2.3 ilustra o movimento livre para este caso de amortecimento, para
determinadas condições iniciais. Pode-se observar a partir desta figura que este movimento
corresponde a um movimento não oscilatório com decaimento exponencial. A massa se
movimenta a partir da posição inicial em direção à posição de equilíbrio sem realizar
oscilações.
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE
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2.0
FATOR AMORT
1
1.5
u(t)
x
1.0
0.5
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
Figura 2.3 - Vibração livre de sistemas com amortecimento crítico.
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE
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2.5 - SISTEMAS SOBREAMORTECIDOS
Os sistemas sobreamortecidos são aqueles para os quais o coeficiente de
amortecimento é dado por c 2 mk , o que corresponde a um fator de amortecimento
> 1.
Neste caso as raízes da equação característica são reais e distintas. A partir da equação (2.10),
estas raízes podem ser escritas como
c
2m
1, 2
c
2m
2
k
m
(2.39)
Usando a definição do coeficiente de amortecimento crítico (2.7) e da frequência natural
(2.15), obtém-se
1, 2
n
(2.40)
h
onde
2
h
1
n
Neste caso, as duas raízes da equação característica são reais, distintas e negativas. A solução
da equação do movimento livre de sistemas sobre-amortecidos é dada, a partir de (2.3), por
x
A1e(
x
e
h )t
n
A2e(
h )t
n
(2.41)
ou
nt
( A1e
ht
A2e
ht
)
(2.42)
onde A1 e A2 são constantes que dependem das condições iniciais. Aplicando as condições
iniciais de posição x (0 ) e de velocidade x (0 ) na solução dada por (2.42) e na velocidade,
dada pela correspondente derivada no tempo, obtém-se:
A1
A2
(
h
n
(
h
n
) x (0 ) + x (0 )
2 h
) x (0 ) x (0 )
2 h
(2.43)
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE
25
Alguns autores preferem escrever esta mesma solução de outra forma
x
e
nt
[ B1senh (
h
t ) B2 cosh(
t )]
(2.44)
x(0)
(2.45)
h
onde
n
B1
x (0 ) + x (0 )
e
B2
h
2.0
FATOR AMORT
2
1.5
u(t)
x
5
1.0
0.5
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
Figura 2.4 - Vibração livre de sistemas sobreamortecidos.
A Figura 2.4 ilustra este movimento para dois valores do fator de amortecimento, com
determinadas condições iniciais. Pode-se observar que este movimento corresponde a um
movimento não oscilatório com decaimento exponencial. A massa se movimenta a partir da
posição inicial em direção à posição de equilíbrio sem realizar oscilações.
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE
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2.6 - DECREMENTO LOGARÍTMICO
Os sistemas subamortecidos, aqueles para os quais o coeficiente de amortecimento é
dado por c 2 mk , o que corresponde a um fator de amortecimento
< 1, possuem uma
característica muito importante: a queda da amplitude depende exclusivamente do fator de
amortecimento. Neste caso, o deslocamento da vibração livre num determinado instante de
tempo t1, obtido de (2.28), é igual a
x1
n t1
e
( A1sen
t
A2 cos
d 1
(2.46)
t)
d 1
e, num instante t2 =t1+Td, onde Td é o período do movimento amortecido, é dado por
x2
n ( t1
e
Td )
[ A1sen
(t1 Td )
d
A2 cos
d
(t1 Td )]
(2.47)
4
x(t)
x1
u1
3
FATOR AMORT
0.05
x2
u2
2
1
0
t1
t2
-1
-2
-3
-4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 2.5 – Decremento logarítmico.
Substituindo o período do movimento amortecido, dado por
Td
2
(2.48)
d
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE
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em (2.47), obtém-se
x2
n ( t1
e
Td )
[ A1sen (
t
d 1
2 )
A2 cos(
t
d 1
2 )]
(2.49)
Dividindo (2.46) por (2.49), obtém-se
x1
x2
n Td
e
(2.50)
Substituindo (2.25) em (2.50), o resultado é igual a
x1
x2
e
1
d Td
2
2
e
1
2
(2.51)
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados de (2.51), tem-se
ln
x1
x2
onde o parâmetro
2
2
1
(2.52)
é chamado decremento logarítmico. Então, rapidamente obtém-se o fator
de amortecimento em função do decremento logarítmico, através de
2
4
2
(2.53)
Pode-se também tomar o deslocamento xn+1 da vibração livre, num instante tn+1=t1+nTd, e
mostrar de forma análoga que
ln
x1
xn 1
n
(2.54)
Logo, o decremento logarítmico pode ser obtido através de
1
x
ln 1
n xn 1
(2.55)

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