RESOLUÇÃO - Contato Maceió

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RESOLUÇÃO - Contato Maceió
Professor:
Solon Ramos
Matemática
1. Uma parede retangular cujo comprimento mede o dobro da altura, foi revestida
com azulejos quadrados, inteiros e de mesmo tamanho, sendo que, em todo o
contorno externo, foi feita uma faixa decorativa com 68 peças mais escuras, como
na figura exemplo abaixo.
O número de azulejos mais claros usados no interior da parede foi de:
(A) 260
(B) 246
(C) 268
(D) 312
(E) 220
RESOLUÇÃO:
h
C = 2h
Contorno externo = 68
C + h + C + h - 4 = 68
h-2
2(C + h) – 4 = 68  C + h = 36
Substituindo C = 2h em C + h = 36, temos:
2h + h = 36  h = 12 e C = 24
Portanto, o número de azulejos mais
claros usados no interior da parede foi
de:
C-2
(C – 2).(h – 2) = (24 – 2).(12 – 2) = 22.10 =
220 azulejos
RESPOSTA: (E)
2. Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de
aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura ao lado. Os
suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6
metros de altura.
A altura do suporte em B é, então, de:
(A) 4,2 metros.
(B) 4,5 metros.
(C) 5 metros.
(D) 5,2 metros.
(E) 5,5 metros.
RESOLUÇÃO:
H
D
12m
X
E
4m
A
8m
G
2m
F
4m
B
C
Notamos que os triângulos DEH e DFG são semelhantes, temos:
x
12

 x  1,2m.
2
20
Assim, a altura do suporte em B é:
4  x  4  1, 2  5, 2 m.
RESPOSTA: (D)
3. Para que alguém, com o olho normal, possa distinguir um ponto separado
de outro, é necessário que as imagens desses pontos, que são projetadas
em sua retina, estejam separadas uma da outra a uma distância de 0,005
mm.
Adotando-se um modelo muito simplificado do olho humano no qual ele possa
ser considerado uma esfera cujo diâmetro médio é igual a 15 mm, a maior
distância x, em metros, que dois pontos luminosos, distantes 1 mm um do
outro, podem estar do observador, para que este os perceba separados, é
(A) 1 m
(B) 2 m
(C) 3 m
(D) 4 m
(E) 5 m
RESOLUÇÃO:
1 mm
0,005 mm
15 mm
x
1
x

0, 005
15

x
15
0, 005
fora de escala
 x  3000mm  3m
RESPOSTA: (C)
4. Duas vilas da zona rural de um município localizam-se na mesma margem de um
trecho retilíneo de um rio. Devido a problemas de abastecimento de água, os
moradores fizeram várias reivindicações à prefeitura, solicitando a construção de
uma estação de bombeamento de água para sanar esses problemas. Um desenho
do projeto, proposto pela prefeitura para a construção da estação, está mostrado na
figura a seguir. No projeto, estão destacados:
•
Os pontos R1 e R2, representando os reservatórios de água de cada
vila, e
as distâncias desses reservatórios ao rio.
•
Os pontos A e B, localizados na margem do rio, respectivamente, mais
próximos dos reservatórios R1 e R2.
•
O ponto S, localizado na margem do rio, entre os pontos A e B, onde
deverá ser construída a estação de bombeamento.
Com base nesses dados, para que a estação de bombeamento fique a uma mesma
distância dos dois reservatórios de água das vilas, a distância entre os pontos A e S
deverá ser de:
(A) 3.775 m
RESOLUÇÃO:
(B) 3.825 m
(C) 3.875 m
x
S 4-x B
A
(D) 3.925 m
(E) 3.975 m
1 km
d
R1
4 km
d
Notemos que:
d2 = x 2 + 12
 x2 + 12 = (x – 4)2 + 42 
2
2
2
d = (x - 4) + 4
x2 + 1 = x2 – 8x + 16 + 16 
R2
8x = 31  x = 3,875 km = 3.875 m
RESPOSTA: (C)
5. Para trocar uma lâmpada, José Roberto (BETO NUNES) encostou uma escada na
parede de sua casa, de forma que o topo da escada ficou a uma altura de 4 m.
Enquanto Beto subia os degraus, a base da escada escorregou por 1 m, tocando o
muro paralelo à parede, conforme ilustração abaixo. Refeito do susto, Beto reparou
que, após deslizar, a escada passou a fazer um ângulo de 45º com o piso
horizontal. A distância entre a parede da casa e o muro equivale a
(A) 4 3 + 1 metros.
(B) 3 2 -1 metros.
(C) 4 3 metros.
(D) 3 2 -2 metros.
(E) 3 2 metros
figura 1
RESOLUÇÃO:
4m
figura 2
y
y
x
45°
x-1
x
Na figura 2: y2 = x2 + x2  y = x 2
Na figura 1: y2 = 42 + (x – 1)2  (x 2 )2 = 16 + x2 – 2x + 1
 2x2 = x2 – 2x + 17  x2 + 2x – 17 = 0
Resolvendo a equação temos:
x = 3 2 - 1 ou x = -3 2 - 1 (não convém)
Resposta: x = 3 2 - 1
RESPOSTA: (B)
6. Ernesto Stadtler caminhou 5 km para o norte, 5 km para o leste e 7 km para o
norte, novamente. A que distância Ernesto está do seu ponto de partida?
(A) 5 km
RESOLUÇÃO:
(B) 13 km
(C) 20 km
7 km
(D) 27 km
d
(E) 30 km
12 km
5 km
5 km
5 km
5 km
Logo, teremos:
d2 = 52 + 122  d = 13 km
RESPOSTA: (B)
7. Sabendo-se que o terreno de um dos sítios do professor Giulianno Raposo é
composto de um setor circular, de uma região retangular e de outra triangular, com
as medidas indicadas na figura ao lado, qual a área aproximada do terreno?
(A) 38,28 km2
(B) 45,33 km2
(C) 56,37 km2
(D) 58,78 km2
(E) 60,35 km2
RESOLUÇÃO: A = Aretângulo + Atriângulo + Asetor
A = 7.4 
7.7  .42. 450
2
3600
A = 28 + 24,5 + 2
A = 28 + 24,5 + 6,28
A = 58,78 km2
RESPOSTA: (D)
8. A figura abaixo representa o logotipo que será estampado em 450 camisetas de uma
Olimpíada de Matemática realizada entre os alunos do “Colégio Contato Maceió”. Essa
figura é formada por um círculo de centro O inscrito num triângulo isósceles cuja base BC
mede 24 cm e altura relativa a esse lado mede 16 cm. O círculo será pintado com tinta
cinza e sabe-se que é necessário, exatamente, 1 pote de tinta cinza para pintar 5400 cm2.
Adote  = 3
A
Com base nesses dados, RESOLUÇÃO:
é correto afirmar que o
2
2
2
número
de
potes AC =16 + 12
16 - R
necessários para pintar o AC = 20
20
círculo em todas as
16
D
D
AOD
~
D
ACM
camisetas é igual a
R
O
(A) 9
R = 16 - R 
R=6
R
(B) 10
12
20
(C) 11
B
C
M
(D) 12
A área que será pintada.
12
A = 450..R2 = 450.3.62 = 48600 cm2
Número de potes = 48600
5400 = 9
RESPOSTA: (A)
9. No quintal da casa do professor Giulianno tem-se uma quadra de voleibol, utilizada para
RELEMBRAR a juventude, quando este jogava pela seleção alagoana de vôlei com seu
irmão Christiano, no banco de reserva para lhe substituir quando possível, feito este, para
que a torcida não percebesse que o ídolo, Giulianno, não saira de quadra, pois os irmãos
são gêmeos univitelinos. Observe agora um esboço (figura) desta quadra:
Com base nessa figura, é correto afirmar:
(A) A área de ataque da quadra é 50% da área
de defesa.
(B) As áreas de defesa somam 1/4 da área
total da quadra.
(C) A área da quadra é 176 m2.
(D) A razão entre a área de ataque e a área de
defesa é de 2 para 3.
(E) A diagonal da quadra mede 27 m.
RESOLUÇÃO:
Área de ataque: 3.9 = 27 m2
Área de defesa: 9.(9 - 3) = 9.6 = 54 m2
Portanto, a área de ataque é 50% da área de defesa.
RESPOSTA: (A)
10. Para estimular a prática de atletismo entre os jovens, o Colégio Contato Maceió
lançou um projeto de construção de ambientes destinados à prática de esportes. O
projeto contempla a construção de uma pista de atletismo com 10 m de largura em
torno de um campo de futebol retangular medindo 100 m x 50 m. A construção será
feita da seguinte maneira: duas partes da pista serão paralelas às laterais do
campo; as outras duas partes estarão, cada uma, entre duas semicircunferências,
conforme a figura a seguir.
A partir desses dados, é correto afirmar que a pista de atletismo terá uma área de:
Use:  = 3,14
(A) 2.184 m2
(B) 3.884 m2
(C) 3.948 m2
(D) 4.284 m2
(E) 4.846 m2
RESOLUÇÃO:
10
100
25
10
100
10
A figura representa as partes da pista organizadas de forma diferente.
Portanto a área total da pista será:
A =  (R2 – r2) + 2.base. altura = 3,14 . (352 – 252) + 2 . 100 . 10
A = 3,14 . 600 + 2000
A = 3884 m2
RESPOSTA: (B)
11. O maior relógio de torre de toda a Europa é o da Igreja St. Peter, na cidade de
Zurique, Suíça, que foi construído durante uma reforma do local, em 1970.
(O Estado de S.Paulo. Adaptado.)
O mostrador desse relógio tem formato circular, e o seu ponteiro dos minutos mede
4,35 m. Considerando   3,1, a distância que a extremidade desse ponteiro
percorre durante 20 minutos é, aproximadamente,
(A) 10 m. RESOLUÇÃO:
(B) 9 m.
(C) 8 m. 20 minutos correspondem a 1/3 da circunferência descrita
(D) 7 m. pelo ponteiro.
(E) 6 m.
Logo, a distância percorrida por sua extremidade será de
2. .r = 2.3,1.4,35 = 8,99 m
3
3
Aproximadamente 9 m.
RESPOSTA: (B)
12. A estrada que liga duas cidades tem 4.396 m de extensão. Quantas voltas
completas dará uma das rodas da bicicleta que vai percorrer essa estrada se o raio
da roda é 0,35 cm?
Considere  = 3,14
(A) 50.000 voltas.
(B) 200.000 voltas.
(C) 100.000 voltas.
(D) 150.000 voltas.
(E) 20.000 voltas.
RESOLUÇÃO:
No de voltas =
4.396 m = 439.600 cm
439600
2 . 0, 3 5
 439600
6 ,2 8 . 0 , 3 5
 200.000
RESPOSTA: (B)
13. Marcelo mora em um edifício que tem a forma de um bloco retangular e, no topo
desse edifício, está instalada uma antena de 20 metros.
Após uma aula de Matemática, cujo tema era Semelhança de Triângulos, Marcelo
resolveu aplicar o que aprendeu para calcular a altura do prédio onde mora. Para
isso, tomou algumas medidas e construiu o seguinte esquema:
• O segmento AC é perpendicular aos
segmentos BF e CE;
• o segmento AB representa a antena;
• o segmento BC representa a altura do prédio;
• ponto D pertence ao segmento CE;
• o ponto F pertence ao segmento AE;
• o ponto B pertence ao segmento AC;
• os segmentos BC e FD são congruentes;
• a medida do segmento BF é 12 m;
• a medida do segmento DE é 36 m.
Assim, Marcelo determinou que a altura do prédio é, em metros,
(A) 45.
(B) 50.
(C) 60.
(D) 65.
(E) 70.
RESOLUÇÃO:
Considerando x a altura do prédio, temos:
D ABF ~ D ACE
A
20
12
B
F
20 =
12
20 + x 12 + 36
20 = 1
20 + x 4
x
x = 60 m
C
D
36
E
12
RESPOSTA: (C)
14. Bem no topo de uma arvore de 10,2 metros de altura, um gavião casaca-de-couro,
no ponto A da figura, observa atentamente um pequeno roedor que subiu na
mesma árvore e parou preocupado no ponto B, bem abaixo do gavião, na mesma
reta vertical em relação ao chão. Junto à árvore, um garoto fixa verticalmente no
chão uma vareta de 14,4 centímetros de comprimento e, usando uma régua,
descobre que a sombra da vareta mede 36 centímetros de comprimento.
Exatamente nesse instante ele vê, no chão, a sombra do gavião percorrer 16
metros em linha reta e ficar sobre a sombra do roedor, que não se havia movido de
susto.
Quantos metros o gavião teve de voar para capturar o roedor, se ele voa
verticalmente de A para B?
(A) 6,4 m
(B) 6,6 m
(C) 6,8 m
(D) 7,2 m
(E) 8,0 m
RESOLUÇÃO:
Cálculo da medida da sombra da árvore.
A
B
10,2
0,144
0,36
x
10,2 0,144 x = 25,5 m

x
0,36
Cálculo da distância do gavião ao roedor.
10,2
A
d
Aplicando teorema de Tales, temos:
B
d  16  d = 6,4 m
10,2 25,5
16m
25,5m
RESPOSTA: (A)
15. Ao meio dia, a formiga A está 3 km a oeste da formiga B. A formiga A está se
movendo para o oeste a 3 km/h e a formiga B está se movendo para o norte com a
mesma velocidade.
Qual a distância entre as duas formigas às 14h?
(A)
17 km
(B) 17 km
(C)
51 km
RESOLUÇÃO:
(D)
117 km
(E) 117 km
Cada formiga, em duas horas, percorrerá 6km (ver figura)
2
2
Logo x = 6 + 9
2
x=
117 km
RESPOSTA: (D)
16. Uma corda de 3,9 m de comprimento conecta um ponto na base de um bloco de
madeira a uma polia localizada no alto de uma elevação, conforme o esquema
abaixo. Observe que o ponto mais alto dessa polia está 1,5 m acima do plano em que
esse bloco desliza. Caso a corda seja puxada 1,4 m, na direção indicada abaixo, a
distância x que o bloco deslizará será de:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2,0 m
1,8 m
1,6 m
1,4 m
1,0 m
RESOLUÇÃO:
Destaquemos os triângulos retângulos formados nas situações inicial e final.
Aplicando Pitágoras no primeiro triângulo:
D2 + h2 = L2  D2 + (1,5)2 = (3,9)2  D2 + 2,25 = 15,21  D = 3,6 m
Aplicando Pitágoras no segundo triângulo:
d2 + h2 = c2  d2 + 1,52 = (3,9 – 1,4)2
h = 1,5 m
 d2 = 6,25 – 2,25 = 4
L = 3,9 m
 d = 2 m.
D
Comparando os dois triângulos:
x = D – d = 3,6 – 2
C = (3,9 - 1,4) m
x = 1,6 m.
h = 1,5 m
x
d
RESPOSTA: (C)
17. Uma caixa d'água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e
a laje de uma casa, conforme mostra a figura abaixo.
Supondo que AB = 6m e AC = 1,5m, podem ser armazenados na caixa
(A) 1728 litros de água.
(B) 1440 litros de água.
(C) 1000 litros de água.
(D) 572 litros de água.
(E) 472 litros de água.
RESOLUÇÃO:
DCDE – DCAB
1,5 – x
x  1,5x = 9 – 6x  7,5x = 9  x = 1,2 m
=
1,5
6
Logo: V = (1,2)3= 1,728m3 = 1728dm3 = 1728 L
RESPOSTA: (A)
18. Um tanque na forma de um paralelepípedo reto retângulo tem 6 m de comprimento, 5 m
de largura, 4 m de altura e está vazio. Em determinado instante, uma torneira é aberta e vai
enchendo o tanque de água a uma taxa de 4 m3 por hora até completar a capacidade do
tanque.
A função h(t) da altura da água, em metros, t horas após a abertura da torneira é
(A)
(B)
h(t) = 4 + 4t, t  [0;30] .
h(t) = 4 - 4t, t  [0;120].
2
h(t) =
t, t  [0;30].
15
2
h(t) =
t, t  [0;120].
15
h(t) = 4t, t  [0;60].
RESOLUÇÃO:
Temos uma função do 1 grau: f(x) = ax + b
(C)
Em 0 hora a altura será:
6.5.h = 0  h = 0, logo b = 0
(D)
Em 1 hora a altura será:
(E)
2
2
6.5.h = 4  h =
Logo teremos: (1; )
15
15
2
2
2
2
f(1) =
 a.1 =
a=
 f(x) =
x
15
15
15
15
Como o volume do paralelepípedo é de 6.5.4 = 120 m3, precisaremos de 30 horas
para enchê-lo, então a função será:
2
f(t) =
· t de 0 a 30 horas,
15
RESPOSTA: (C)
19. Arquimedes, para achar o volume de um objeto de forma irregular, mergulhou-o num
tanque cilíndrico circular reto contendo água. O nível da água subiu 10 cm sem transbordar.
Se o diâmetro do tanque é 20 cm, então o volume do objeto é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
RESOLUÇÃO:
O volume do objeto é o mesmo do líquido deslocado (cilindro) dado por:
2
Vcil
= Ab.h   ·  20  · 10 = 1.000cm3.
 2 
RESPOSTA: (A)
20. Um tipo de descarga de água para vaso sanitário é formado por um cilindro com
altura de 2 m e diâmetro interno de 8 cm.
Então, dos valores abaixo, o mais próximo da capacidade do cilindro é
(A) 7L.
(B) 8L.
(C) 9L.
(D) 10L.
(E) 11L.
RESOLUÇÃO: 1 dm3 = 1L
Se a altura do cilindro mede 2m = 20dm e o diâmetro 8cm = 0,8dm,
então a capacidade do cilindro é dada por:
2
0,8
Vcil = Ab.h =  ·
 20  3,14 0,16  20 = 10,048dm3 @ 10L
2
RESPOSTA: (D)
21. Uma vinícola armazena o vinho produzido em um tanque cilíndrico (reto) com sua
capacidade máxima ocupada. Esse vinho será distribuído igualmente em barris
idênticos também cilíndricos (retos) e vendidos para vários mercados de uma
cidade.
1
Sabe-se que cada mercado receberá 2 barris de vinho, com altura igual a__
5
da altura do tanque e com diâmetro da base igual a 1 do diâmetro da base
4
do tanque. Nessas condições, a quantidade x de mercados que receberão os barris
(com sua capacidade máxima ocupada) é tal que x pertence ao intervalo
(A) 0 < x < 20
RESOLUÇÃO:
(B) 20  x < 40
(C) 40  x < 60 Considerando VT o volume do tanque e VB o volume do barril:
(D) 60  x < 80
2
VT = r · h
VB =
 r 2
  ·
 4
h =  · r2 · h = VT
80
80
5
Portanto, x = 80 barris e 40 mercados.
RESPOSTA: (C)
22. Após t horas do inicio de um vazamento de óleo de um barco em um oceano,
constatou-se ao redor da embarcação a formação de uma mancha com a forma de
um
círculo
cujo
raio
r
varia
com
o
tempo
t
mediante
a função r t  
30
t 0,5
metros. A espessura da mancha ao longo do circulo é

de 0,5 centímetro. Desprezando a área ocupada pelo barco na mancha circular,
podemos afirmar que o volume de óleo que vazou entre os instantes t = 4 horas e t
= 9 horas foi de:
(A) 12,5m3
(B) 15m3
(C) 17,5m3
(D) 20m3
(E) 22,5m3
RESOLUÇÃO:
A mancha de óleo tem a forma de um cilindro circular reto de raio r(t) e 0,5 cm de
altura. Logo, se V(t) indica o volume de óleo, em m3 que vazou até o instante t, t
em horas, segue que
V(t) =  · [r(t)]2 · 0,005
V(t)=  ·
 30 0,5 
t 

 

r(t)
2
· 0,005
0,5cm
V(t)= 4,5t.
Portanto, o volume de óleo que vazou entre os instantes t = 4 e t = 9 horas foi de
V(9) – V(4) = 4,5 · 9 – 4,5 · 4 = 4,5 · (9 – 4) = 22,5m3.
RESPOSTA: (E)
23. A prefeitura de certo município realizou um processo de licitação para a construção
de 100 cisternas de placas de cimento para famílias da zona rural do município. Esse
sistema de armazenamento de água é muito simples, de baixo custo e não poluente.
A empreiteira vencedora estipulou o preço de 40 reais por m2 construído, tomando
por base a área externa da cisterna. O modelo de cisterna pedido no processo tem a
forma de um cilindro com uma cobertura em forma de cone, conforme a figura a
seguir.
Considerando que a construção da base das
cisternas deve estar incluída nos custos, é correto
afirmar que o valor, em reais, a ser gasto pela
prefeitura na construção das 100 cisternas será, no
máximo, de:
Use:  = 3,14
(A) 100.960
(B) 125.600
(C) 140.880
(D) 202.888
(E) 213.520
RESOLUÇÃO:
Área de uma cisterna = Área da sup. lateral do cone + área da
superfície lateral do cilindro + área do círculo.
Área de uma cisterna =  .r.g + 2..r.h + .r2
Área da Cisterna = .2.2,5 + 2. .2.2 + .22
RESPOSTA: (E)
Área da cisterna = 17.m2
Área de 100 cisternas 1700.m2
Valor das cisternas 40.1700.3,14 = 213.520 reais.
24. Um reservatório de água é constituído por uma esfera metálica oca de 4 m de
diâmetro, sustentada por colunas metálicas inclinadas de 60 com o plano
horizontal e soldadas à esfera ao longo do seu círculo equatorial, como mostra o
esquema abaixo.
Sendo 3 @ 1,73, a altura h da esfera em relação ao solo é aproximadamente igual
a:
(A) 2,40 m
(B) 2,80 m
(C) 3,20 m
(D) 3,40 m
(E) 3,60 m
RESOLUÇÃO:
Considere a figura abaixo
Queremos calcular h = PO’ = OO’ – OP.
Temos que O’A = AD = 10 = 5 m
2
2
4
e OB = = 2 m = O’C.
2
Logo, AC = O’A – O’C
= 5 – 2 = 3 m.
Do triângulo ABC, vem que tgBÂC =
3
BC  BC = 3 · tg60°
AC
3 @ 3 · 1,73 = BC = 5,19m.
Logo h = OO’ – OP = BC – OB = 5,19 - 2 = 3,19 @ 3,20m.
RESPOSTA: (C)
25. Um fabricante decidiu produzir luminárias no formato de uma semi-esfera com raio
de 20 cm. A parte interior, onde será alojada a lâmpada, receberá uma pintura
metalizada que custa R$ 40,00 o metro quadrado; já a parte externa da luminária
receberá uma pintura convencional que custa R$ 10,00 o metro quadrado.
Desconsiderando a espessura da luminária e adotando o valor de  = 3,14 o custo,
em reais, da pintura de cada luminária é
(A) 3,14.
(B) 6,28.
(C) 12,56.
RESOLUÇÃO:
(D) 18,84.
(E) 25,12.
0,2 m
Área de cada uma das partes (interna e externa):
A = 4..R2/2 → A = 2.3,14.(0,2)2 = 0,2512
Logo, o valor total será: 0,2512( 40 + 10 ) = R$ 12,56.
RESPOSTA: (C)
26.Para ser aprovada pela FIFA, uma bola de futebol deve passar por vários
testes. Um deles visa garantir a esfericidade da bola: o seu “diâmetro” é
medido em dezesseis pontos diferentes e, então, a média aritmética
desses valores é calculada. Para passar nesse teste, a variação de cada
uma das dezesseis medidas do “diâmetro” da bola com relação à média
deve ser no máximo 1,5%. Nesse teste, as variações medidas na Jabulani,
bola oficial da Copa do Mundo de 2010, não ultrapassaram 1%.
Se o diâmetro de uma bola tem aumento de 1%,
então o seu volume aumenta x %.
Dessa forma, é correto afirmar que
(A) x  [5,6).
(B) x  [2,3).
(C) x = 1.
(D) x  [3,4).
(E) x  [4,5).
RESOLUÇÃO:
O volume (V) de uma esfera é V = 4R3/3
D1 = 2R1
e
D2 = 2R1 + 1%.2R1  D2 = 1,01.2R1
V1 = 4R13/3
e
V2 = 4R23/3
V2 = 4(1,01R1)3/3 = 4.1,030301.R13/3 = 1,030301.4R13/3
V1
V2 = 1,030301.V1
Logo, houve um aumento de 0,030301 que significa 3,03% = x%
x = 3,03  x  [3,4).
RESPOSTA: (D)
27.A figura abaixo representa a planificação de um tronco de
cone reto com a indicação das medidas dos raios das
circunferências das bases e da geratriz. A medida da altura
desse tronco de cone é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
13 cm
12 cm
11 cm
10 cm
9 cm
O
RESOLUÇÃO:
Considere a figura abaixo.
P
Sabemos que
OP = 6cm, O'Q = 11cm e PQ = 13cm.
Logo, como OP = O'P', segue que
P'Q = O'Q – O'P' = 11 – 6 = 5cm.
Q
O’
P’
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo P'PQ, encontramos
2
2
2
PP’ = PQ – P’Q  PP’ = 132 – 52 =12cm, que é a altura procurada.
RESPOSTA: (B)
28.Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de frutos de açaí. Um típico
exemplar tem forma de um tronco de cone, com diâmetro de base 28 cm,
diâmetro de boca 34 cm e altura 27cm . Podemos afirmar, utilizando , que a
capacidade da rasa, em litros, é aproximadamente
(A) 18 RESOLUÇÃO:
(B) 20
28
O raio da base mede r =
= 14 cm e o raio de boca
(C) 22
2
34
(D) 24
R=
= 17 cm
2
(E) 26
FÓRMULA DO VOLUME DO TRONCO DE CONE: VT = ht.(R2 + Rr + r2)/3
Portanto, como a altura do paneiro mede h = 27cm, segue que a capacidade da
rasa é dada por 
· h · (R2 + R · r + r2) @ 3,14 · 27 · (172 + 17 · 14 + 142)
3
3
= 3,14 · 9 · 723 = 20.431,98cm3 = 20,43198dm3 @ 20L.
RESPOSTA: (B)
29. Uma indústria precisa fabricar 10.000 caixas com as medidas da figura abaixo.
Desprezando as abas, aproximadamente, quantos m2 de papelão serão
necessários para a confecção das caixas?
(A) 0,328 m2
(B) 1120 m2
(C) 112 m2
RESPOSTA: (D)
(D) 3280 m2 RESOLUÇÃO:
(E) 1640 m2
Área total do paralelepípedo: At = 2(ab + ac + bc)
Área de uma caixa em cm2: A = 2.(14.20 + 14.40 + 20.40) = 3280 cm2
Área de uma caixa em m2: A = 0,328 m2
Área total = 0,328 . 10.000 = 3280 m2
30.
O desenho, acima, representa uma caixa de madeira maciça de 0,5 cm de
espessura e dimensões externas iguais a 60 cm, 40 cm e 10 cm, conforme
indicações. Nela será colocada uma mistura líquida de água com álcool, a
uma altura de 8 cm. Como não houve reposição da mistura, ao longo de
um certo período, 1 200 cm³ do líquido evaporaram.
Com base nesta ocorrência, a altura, em cm, da mistura restante na caixa
corresponde a um valor numérico do intervalo de
(A) [ 4,0 ; 5,9].
(B) [ 5,0 ; 5,9].
(C) [6,0 ; 6,9].
(D) [ 7,0 ; 7,6].
(E) [7,6 ; 7,9].
RESOLUÇÃO:
59.39.x = 1200  x = 0,52
Logo a altura será aproximadamente:
8 – 0,52 = 7,48cm
RESPOSTA: (D)
31.A figura mostrada a seguir representa uma embalagem de papelão em
perspectiva, construída pelo processo de corte, vinco e cola.
Determine a quantidade de material para fabricar 500 embalagens,
sabendo que a aresta da base mede 10 cm, a altura mede 30 cm e que
serão necessários 20% a mais de papelão em virtude dos vincos.
 3 @ 1,7
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
138,6 m2
123,30 m2
115,5 m2
11.550 m2
1.386 m2
RESOLUÇÃO:
Área total do prisma = AL + 2.Ab
2.6.102. 3
At = 6.10.30 +
4
At  2310 (considerando 3 = 1,7)
30
10
Área do prisma com acréscimo de 20% = 1,2.2310 = 2.772 cm2
Material para 500 embalagens = 500.2772 = 1386000cm2
= 138,6m2
RESPOSTA: (A)
32.Para evitar o desperdício de água potável em sua casa, o Sr. João construiu um
sistema de captação de água de chuva. Essa água será armazenada em uma
cisterna cilíndrica cujas dimensões internas são três metros de altura e dois
metros de diâmetro, conforme esquema na figura.
Volume de um cilindro
V = . r2 . h,
em que r é o raio da base e h é a altura
Adote:  = 3
Poucos dias após o término da construção da cisterna, quando ela ainda
estava totalmente vazia, choveu dois dias seguidos, o que deixou o Sr.
João muito feliz e ele pôde observar que:
•
•
no primeiro dia, o índice pluviométrico foi de 36 mm/m2, o que fez o
nível da água na cisterna atingir a marca de 72 cm;
no segundo dia, o índice foi de 30 mm/m2.
Considere que:
•
não foi retirada água da cisterna nesse período;
•
no interior da cisterna entrou apenas a água da chuva;
•
o índice pluviométrico e a altura da água na cisterna são grandezas
diretamente proporcionais.
Sendo assim, o Sr. João determinou que o volume de água captado e
armazenado na cisterna após esses dois dias de chuva é, em litros,
2m
Lembre que: 1 m3 = 1 000L
(A) 980.
RESOLUÇÃO:
(B) 1 860. 36 -----------72
x = 60cm
(C) 2 100. 30 ----------- x
(D) 3 030.
(E) 3 960.
3 m
Altura total em 2 dias 72 + 60 = 132 cm = 1,32 m
Volume: V =  .22.1,32
V = 3.12.1.32 = 3,96m3 = 3960 L
RESPOSTA: (E)
33.Em um contêiner de 10 m de comprimento, 8 m de largura e 6 m de altura,
podemos facilmente empilhar 12 cilindros de 1 m de raio e 10 m de altura cada,
bastando dispô-los horizontalmente, em três camadas de quatro cilindros cada.
Porém, ao fazê-lo, um certo volume do contêiner sobrará como espaço vazio.
Adotando 3,14 como aproximação para , é correto afirmar que a capacidade
volumétrica desse espaço vazio é:
RESOLUÇÃO:
(A) inferior à capacidade de um
Volume do contêiner = 10.8.6 = 480m3
cilindro.
2.10= 31,40m3
Volume
de
um
cilindro
=
3,14
.1
(B) maior que a capacidade de um
3
12
cilindros
=
12.31,40
=
376,80m
cilindro, mas menor que a capaEspaço vazio = 480 – 376,80 = 103,2m3
cidade de dois cilindros.
(C) maior que a capacidade de dois Volume de 3 cilindros = 3.31,40 = 94,20 m3
cilindros, mas menor que a capacidade de três cilindros.
Volume de 4 cilindros = 4. 31,40 = 125,60 m3
(D) maior que a capacidade de três
94,20 < 103,2 < 125,60
cilindros, mas menor que a capaRESPOSTA: (D)
cidade de quatro cilindros.
(E) maior que a capacidade de quatro
cilindros.
34.Um reservatório tem forma de um cilindro circular reto com duas semi-esferas
acopladas em suas extremidades, conforme representado na figura a seguir.
O diâmetro da base e a altura do cilindro medem, cada um,
4 3
4dm, e o volume de uma esfera de raio r é πr.
3
Dentre as opções a seguir, o valor mais próximo da capacidade do reservatório, em litros, é
(A) 50. RESOLUÇÃO:
(B) 60. V= V(cilindro) + V(esfera)  V = .22.4 + 4 .23
(C) 70.
3
(D) 80. V = 16  + 32   V = 80  (fazendo  = 3)
3
3
(E) 90.
V= 80dm3 = 80L
RESPOSTA: (D)