Mathematik * Jahrgangsstufe 9 * Aufgaben zum Satz des Pythagoras

Mathematik * Jahrgangsstufe 9 * Aufgaben zum Satz des Pythagoras
1. Bestimme den Abstand der beiden Punkte A(-2/3) und B(4/-1).
C
2. Das gleichschenklige Dreieck ABC
hat die Seiten a = b = 8 und c = 4.
a) Berechne die Höhe hc und den
Flächeninhalt des Dreiecks.
b) Berechne die Höhen ha und hb.
a
b
hc
ha
A
3. In der Raute ABCD mit Seitenlänge a = 6
ist die Diagonale [AC] doppelt so lang wie
die Diagonale [BD].
a) Berechne die Länge der beiden Diagonalen.
b) Berechne den Flächeninhalt der Raute.
c) Welchen Abstand d haben die beiden
Seiten [AB] und [CD] voneinander?
4.
B
c
D
C
d
A
a
B
Von einem Holzwürfel mit der
Kantenlänge 10, 0 cm wird ein Stück
abgesägt (vgl. Abbildung).
Berechne den Flächeninhalt der
(schraffierten) Schnittfläche!
x
5. In einem Quadrat der Seitenlänge a sollen vier
gleichschenklige Dreiecke so abgeschnitten
werden, dass ein reguläres Achteck entsteht.
Berechne die Seitenlänge x des Achtecks als
Bruchteil der Länge a.
Wie viel Prozent der Quadratfläche macht die
Fläche des Achtecks aus?
x
x
a
x
a
Mathematik * Klasse 9 * Aufgaben zum Satz des Pythagoras * Lösungen
1.
AB =
(−2 − 4) 2 + (3 − ( −1)) 2 =
36 + 16 =
52 = 2 ⋅ 13
2
c
2. a) a =
+ h c 2 ⇔ h c 2 = 82 − 22 ⇔ h c 2 = 60 ⇔ h c = 2 ⋅ 15
2
1
1
A ABC = ⋅ c ⋅ h c = ⋅ 4 ⋅ 2 15 = 4 15
2
2
2 ⋅ 4 15
1
b) 4 15 = A ABC = ⋅ a ⋅ h a ⇔ h a =
= 15 und h b = h a = 15
2
8
2
3. a) Mit BD = x und AC = 2x gilt:
a =
2
x
2
2
+
2x
2
2
x2
5x 2
144
+ x 2 ⇔ 36 =
⇔ x2 =
⇔
4
4
5
⇔ 62 =
12 12 5
=
= 2, 4 5 und AC = 2 ⋅ BD = 4,8 5
5
5
1
1
b) A ABCD = ⋅ AC ⋅ BD = ⋅ 2, 4 ⋅ 5 ⋅ 4,8 ⋅ 5 = 5,76 ⋅ 5 = 28,8
2
2
28,8
c) 28,8 = A ABCD = AB ⋅ d = 6 ⋅ d
d=
= 4,8
6
BD = x =
4.
AG = GB = EB = AB ⋅ 2 = 10cm ⋅ 2
Das Dreieck EBG ist also gleichseitig.
Die Höhe h in diesem gleichseitigen Dreieck hat die Länge
3
3
h=
⋅ EB =
⋅10cm ⋅ 2 = 5 ⋅ 6 cm
2
2
Für den Flächeninhalt des Dreiecks EBG gilt also:
1
1
A EBG = ⋅ EB ⋅ h = ⋅10cm ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ cm = 50 3 cm 2 ≈ 86,6 cm 2
2
2
5. Es gilt a = y + x + y und x = y ⋅
also a = 2y + y ⋅ 2 = (2 +
y=
a
sowie x =
2+ 2
also x =
x=
2
2+
2
⋅a =
2 ) ⋅ y und damit
y
x
x
x
a⋅ 2
2⋅y =
2+
(
2⋅ 2−
2
4−2
2 2−2
⋅ a = ( 2 − 1) ⋅ a
2
y
2
) ⋅a
und
2
a
x
a
x
( 2 − 1) ⋅ a
2
2
y=
=
= 1−
⋅ a ; es folgt A Achteck = a 2 − 2 ⋅ y 2 = a 2 − 2 ⋅ 1 −
2
2
2
2
1
A Achteck = a 2 − 2 ⋅ (1 − 2 + ) ⋅ a 2 = ( 2 2 − 2 ) a 2 und damit gilt
2
2
A Achteck ( 2 2 − 2) a
=
= 2 2 − 2 ≈ 0,828 = 82,8% .
A Quadrat
a2
2
⋅a2