1 Zinsrechnung

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1 Zinsrechnung

1 Zinsrechnung
Als Zinsrechnung bezeichnet man alle mathematischen Formeln zur Berechnung der Zinsen, die für die Verleihung eines Geldbetrages innerhalb eines Zeitraumes anfallen. Es
gibt zwei grundsätzliche Ansätze für die Verzinsung. Der Unterschied besteht in der
Behandlung der bereits angefallenen aber noch nicht ausgezahlten Zinsen. Werden die
Zinsen immer nur auf das Anfangskapital bezogen, spricht man von einfacher Verzinsung. Werden die Zinsen dagegen nach einer Zinsperiode genannten Zeit dem zu
verzinsenden Kapital hinzugeschlagen, erhält der Gläubiger Zinsen auch auf die Zinsen,
man spricht von Zinseszinsen. Beide Ansätze können aber auch verknüpft werden,
was mit gemischter Verzinsung bezeichnet wird. Zinsen spielen in der Wertpapieranalyse die zentrale Rolle. Über Zinsen werden erzielte Renditen berechnet und der Wert
zukünftiger Erträge ermittelt.
1.1 Grundbegrie
Schuldner für einen bestimmten als Laufzeit bezeichneten Zeitraum einen Anfangskapital ge-
Bei Geldgeschäften überlässt ein so genannter
Gläubiger
oder Kapitalgeber dem
nannten Betrag. Am Ende der Laufzeit wird vom Schuldner das Anfangskapital getilgt
und zusätzlich der
Die Gesamtsumme
Zinsbetrag als Belohnung für die Überlassung des Geldes bezahlt.
wird als Endkapital bezeichnet. Der Zinsbetrag ist ein bestimmter
Prozentsatz des verliehenen Kapitals. Der auf ein Jahr bezogene Prozentsatz, wofür
die Abkürzung p.a. für lateinisch pro anno gilt, wird als
i = 4%.
Zinssatz i bezeichnet, etwa
Zinsfuÿ genannt. Der
Die reine Zahl, die vor dem Prozentzeichen steht, wird
Zinssatz gibt an, wie viel Prozent des Anfangskapitals nach einem Jahr als Zinsbetrag
fällig sind. Bei Anlage von 1.000 Euro zum Zinssatz von
i = 4%
werden also am Ende
des ersten Jahres 40 Euro als Zinsen gut geschrieben.
Der Gläubiger heiÿt so, weil er glaubt, dass der Schuldner am Ende der Laufzeit das
entliehene Kapital zuzüglich einer
Zinsbetrag
genannten Belohnung tilgen kann. Bei-
de Parteien können natürliche oder juristische Personen wie Banken und Unternehmen
sein. Zwischen Gläubiger und Schuldner besteht ein Schuldverhältnis, das in der Regel vertraglich abgesichert ist. Eine Bank schlieÿt z.B. einen Darlehensvertrag mit dem
Nehmer des Darlehens ab. Typische Geschäfte dieser Art ndet man in den folgenden
Finanzbereichen.

Spareinlagen bei einer Bank, der Kunde ist Gläubiger, die Bank Schuldner.

Darlehen von einer Bank, der Kunde ist Schuldner, die Bank Gläubiger.
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1 Zinsrechnung

Anleihen von Staaten oder Unternehmen. Hier sind die Käufer die Gläubiger und
die Emittenten (Staat, Unternehmen) die Schuldner.
1.2 Wofür gibt es Zins?
Der Zinsbegri ist zentral für alle Bereiche der Finanzen. Zinsen haben etwas anrüchiges,
da der Gläubiger sie scheinbar ohne eigene Arbeit erzielt. Zinsen werden aus vier Gründen
gefordert:
Inationsausgleich.
Der Gläubiger möchte real nach Abzug der Geldentwertung am Ende nicht schlechter als am Anfang da stehen.
Liquiditätsprämie.
Der Gläubiger wird für den zeitweisen Verzicht auf die Verfügbarkeit des verliehenen Geldes belohnt.
Risikoprämie.
Die Unsicherheit des Gläubigers, ob der Schuldner Zinsen und Tilgung zurückzahlen kann, wird ebenfalls mit den Zinsen bezahlt.
Gewinstreben.
Natürlich möchte der Gläubiger durch das Verleihen von Geld auch ein Geschäft
machen, das Geld arbeiten lassen, wie es so schön heiÿt. Zur Arbeit verdammt ist
aber nur der Schuldner, um Kapital und Zinsen leisten zu können.
Inationsausgleich ist ein ehrenwertes Anliegen, die anderen Anliegen stoÿen dagegen
auf wenig Sympathie. Wegen der Risiko- und Zeitabhängigkeit der Zinsen gibt es auch
keinen einheitlichen Zinssatz, sondern für jede Risikoklasse und für jede Zeit einen eigenen. Der Zinssatz ist also eine Funktion
σ ein noch näher zu kennzeichnendes
i(t, σ) monoton in t und σ .
i = i(t, σ),
wobei
t
der Parameter der Zeit und
Maÿ für das Risiko ist. In normalen Zeiten wächst
1.3 Bestimmung des Zinssatzes
Die Höhe des Zinssatzes ist natürlich marktabhängig, berücksichtigt aber auch die Bonität des Schuldners. Nach unseren grundsätzlichen Überlegungen sollte sich der Zinssatz
aus vier Komponenten zusammensetzen:
i = iI + iL + iR + iG ,
wobei jede der einzelnen Zahlen Ination, Liquidität, Risiko und Gewinn berücksichtigt.
Die beiden ersten Komponenten hängen kaum vom Schuldner ab, während die Risikound die Gewinnkomponente ganz stark dessen Situation widerspiegeln. Generell gilt,
2
1.4 Zinsrechnung
dass das Gewinnstreben mit eingegangenem Risiko wächst. Je dringender also Geld
benötigt wird, umso teurer wird es. So muss im Frühjahr 2009 der Bund vertreten durch
den Finanzminister rund 6 Prozent weniger Zinsen zahlen als die krisengeschüttelte
Automobilindustrie. Daimler geriet dadurch in eine so verzweifelte Lage, dass einem
Investor aus dem Nahen Osten rund 10 Prozent des Aktienkapitals für knapp 2 Milliarden
Euro überlassen wurde.
1.4 Zinsrechnung
Als
Zinsrechnung
bezeichnet man alle mathematischen Formeln zur Berechnung der
Zinsen, die für die Verleihung eines Geldbetrages innerhalb eines Zeitraumes anfallen.
Im Verlauf der Zeit wurden zwar viele unterschiedliche Formeln entwickelt, aber immer
werden folgende vier Gröÿen berücksichtigt:

Das Anfangskapital

Der Zinssatz
i,
K0 ,
also die verliehene Geldsumme.
d.h. der Prozentsatz, der den auf das Anfangskapital bezogenen
Zinsbetrag für ein Jahr festlegt.

Die Laufzeit
t,
d.h. den Zeitraum für die Überlassung des Anfangskapitals. Zeiten
werden in der Finanzmathematik immer mit der Einheit Jahr angegeben.

Das Endkapital
Kt , also die am Ende der Laufzeit fällige Geldsumme aus Anfangs-
kapital und Zinsbetrag.
Da der Zinssatz inations- und damit zeitabhängig ist, bleibt er nicht für immer konstant. Die
Zinsbindung
ist die Zeit, wo der Zinssatz unverändert bleibt. Zinssatz und
Zinsbindung werden von Gläubiger und Schuldner je nach Marktbedingungen ausgehandelt.
Wenn Sie also von einem Freund 5.000 Euro bei einem Zinssatz von 2 % für vier Jahre
leihen, sind
K0 = 5.000, i = 2%
und
t = 4.
Nur das Endkapital kennen wir noch nicht.
1.5 Exponentielle Verzinsung
Nach diesen grundsätzlichen Überlegungen soll jetzt eine Formel für die Verzinsung
gewonnen werden. Diese soll von der Form
Kt = K0 f (t)
sein, wobei die Funktion
f (t)
den Wert zum Zeitpunkt
t
eines zum Zeitpunkt
0
verlie-
henen Euros darstellt. Der Wert jedes anderen Anfangskapitals muss dazu proportional
sein. Diese Funktion muss streng monoton wachsend sein und die Bedingung
f (t + s) = f (t)f (s)
(1.1)
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1 Zinsrechnung
erfüllen, denn die Verleihung von
K0
über den Zeitraum
t + s muss zum selben Endwert
K0 über den Zeitraum t und die
K0 f (t) über die weitere Zeitspanne s.
mit i die Zuwachsrate für ein Jahr, so gilt
führen, wie die Verleihung von
anschlieÿende Ausleihe
des Zwischenbetrags
Bezeichnet man
f (1) = 1 + i.
(1.2)
Die einzige Funktion, die beide Gleichungen (1.1) und (1.2) erfüllt, ist durch
f (t) = (1 + i)t
(1.3)
Kt = K0 (1 + i)t .
(1.4)
gegeben. Somit gilt
Denition 1.1.
Verzinsung .
Jede Verzinsung, die nach diesem Gesetz erfolgt, heiÿt
Die Zahl
i
ist der
Zinssatz
und
t
die
Laufzeit.
exponentielle
Der Zinsbetrag
Zt
ist die
Dierenz zwischen End- und Anfangskapital.
Wenn Sie also die 5.000 Euro nicht von einem Freund, sondern von einer Bank zu 2
Prozent für vier Jahre bei exponentieller Verzinsung ausleihen, wird am Ende der Betrag
Kt = 1, 024 · 5.000 = 5.412, 16 e
fällig. Der Zinsbetrag ist 412,16 Euro.
1.6 Stetige Verzinsung
Die Gleichung (1.4) auf Seite 4 lässt sich durch die Exponential- und Logarithmusfunktion wie folgt umschreiben:
Kt = K0 eln(1+i)t .
(1.5)
Setzt man
ĩ = ln(1 + i),
so ergibt sich
Kt = K0 eĩt .
(1.6)
Lässt man die Tilde über dem Zinssatz weg, erhält man eine weitere Form der Verzinsung.
Denition 1.2.
Werden Anfangs- und Endkapital über die Zinsformel
Kt = K0 eit
verknüpft, spricht man von
(1.7)
stetiger Verzinsung .
Diese Form der Verzinsung ist in den USA gebräuchlich, und wird bei Renditerechnungen verwendet. Stetige Verzinsung und exponentielle Verzinsung sind gleichwertig,
was in einem Satz festgehalten werden soll.
4
1.7 Einfache Zinsen
Satz 1.1. Die stetige Verzinsung zum Zinssatz i entspricht der exponentiellen Verzin-
sung zum Zinssatz ei −1. Umgekehrt entspricht der exponentiellen Verzinsung zum Zinssatz i die stetige zum Zinssatz ln(1 + i). Wegen
ei − 1 > i
für i > 0 führt bei gleichem Zinssatz und sonst gleichen Bedingungen die stetige Verzinsung zu einem höheren Endkapital als die exponentielle.
Es sei noch angemerkt, dass in der Literatur der Zinssatz bei exponentieller Verzinsung
konform
und der bei stetiger Verzinsung
kontinuierlich
genannt wird. Die stetige
Verzinsung selbst wird ebenfalls zuweilen als kontinuierlich bezeichnet.
Abschlieÿend ein Beispiel zu den beiden Formen der Verzinsung.
Beispiel 1.1.
1.000.000 Euro zwischen dem
i = 0, 08 mit exponentieller und steti-
Welchen Endwert erreicht ein Kapital von
1.1.2001 und dem 1.1.2006 bei einem Zinssatz von
ger Verzinsung? Wie müsste der Zinssatz der exponentiellen Verzinsung sein, damit sich
derselbe Endwert wie bei der stetigen Verzinsung ergibt?
Das Kapital wird genau fünf Jahre verzinst. Somit ergibt sich bei der exponentiellen
Verzinsung
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)5 = 1.469.328, 08
Euro
und bei der stetigen Verzinsung
Kt = 1.000.000e0,08·5 = 1.491.824, 70
Euro.
Der Endwert von 1.491.824,70 Euro würde bei exponentieller Verzinsung bei einem Zinssatz von
ī = ei − 1 = e0,08 − 1 = 0, 083287068
erreicht.
Bei gleichem Zinssatz ergibt die stetige Verzinsung immer einer höheren Endwert als
die exponentielle Verzinsung.
1.7 Einfache Zinsen
Die Grundformel der exponentiellen Verzinsung (1.4) würde zur Abwicklung aller Zinsgeschäfte genügen. Die Berechnung ist mit modernen Taschenrechnern problemlos möglich, aber in früheren Zeiten nur mit Logarithmentafeln. Daher wurde die Grundformel
linearisiert.
Denition 1.3.
Werden Anfangs- und Endkapital über die Zinsformel
Kt = K0 (1 + it) .
verknüpft, spricht man von
(1.8)
einfacher Verzinsung .
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1 Zinsrechnung
Trägt man
Kt
über der Zeit ab, ergibt sich eine Gerade, deshalb wird diese Form der
Verzinsung auch manchmal
lineare Verzinsung
genannt.
Für private Geldgeschäfte sind nur einfache Zinsen erlaubt, während Finanzunternehmen wie Banken auch alle anderen Verzinsungsarten gestattet sind.
Betrachten wir ein Beispiel mit allen bisher bekannten Zinsformeln.
Beispiel 1.2.
i = 0, 03 mit exponentieller, stetiger
und einfacher Verzinsung? Wie müsste der Zinssatz der stetigen Verzinsung sein, damit
sich derselbe Endwert wie bei der exponentiellen Verzinsung ergibt?
Das Kapital wird genau zwei Jahre verzinst. Somit ergibt sich bei der exponentiellen
Verzinsung
Kt = 1.000.000(1 + 0, 03)2 = 1.060.900, 00
Euro
und bei der stetigen Verzinsung
Kt = 1.000.000e0,03·2 = 1.061.836, 55
Euro.
Bei der einfachen Verzinsung erhält man
Kt = 1.000.000(1 + 0, 03 · 2) = 1.060.000, 00
Euro.
Der Endwert von 1.060.900,00 Euro würde bei stetiger Verzinsung bei einem Zinssatz
von
ĩ = ln(1 + i) = 0, 029558802
erreicht.
Bei allen Beispielen habe ich bisher immer als Einheit der Zeit ein Jahr verwendet.
Das ist so üblich und sei noch einmal festgehalten.
Die Einheit der Zeit ist in der Finanzmathematik in der Regel ein Jahr.
1.8 Einuss der Laufzeit
Ist die Laufzeit geringer als ein Jahr, führt die einfache Verzinsung zu höheren Zinserträgen als die exponentielle Verzinsung. Bei Laufzeiten ab einem Jahr dreht sich das
zunächst langsam und dann mit wachsender Laufzeit immer deutlicher um. Das verdeutlicht die Abbildung 1.1 auf Seite 7, die das erzielte Endkapital einer Anlage von 1.000
Euro zum Zinssatz von 8 Prozent bei einfacher und exponentieller Verzinsung als Funktion der Laufzeit zeigt. Für kleine Zeitabstände ist der Unterschied zwischen den beiden
Formen der Verzinsung gering, daher wird auf dem Geldmarkt, wo die Verleihungszeiten
nicht höher als ein Jahr sind, meistens mit linearen Zinsen gerechnet.
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1.9 Auösungen nach Anfangskapital, Zeit und Zinssatz
Vergleich von linearer und exponentieller Verzinsung
Endkapital
5000
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
Zeit in Jahren
0
0
5
10
15
20
Abbildung 1.1: Vergleich zwischen einfacher (linearer) und exponentieller Verzinsung.
1.9 Auösungen nach Anfangskapital, Zeit und
Zinssatz
Wir haben bis jetzt drei verschiedene Arten der Verzinsung kennengelernt, und zwar die
exponentielle, die stetige und die lineare Verzinsung. Die drei Grundformeln lauten:
Exponentielle Verzinsung:
Stetige Verzinsung:
Einfache Verzinsung:
In jeder Formel sind die vier Gröÿen
Kt , K0 , i
Kt = K0 (1 + i)t ,
(1.9)
it
Kt = K0 e ,
Kt = K0 (1 + it).
und
t
(1.10)
(1.11)
beteiligt. Jede Formel lässt sich
nach einer der vier Gröÿen auösen. Man kann das Ausgangskapital
K0
wie folgt aus
den restlichen Gröÿen berechnen:
K0 = Kt (1 + i)−t ,
(1.12)
K0 = Kt e−it ,
Kt
.
K0 =
1 + it
(1.13)
(1.14)
7
1 Zinsrechnung
Die Auösungen nach
i
folgen jetzt.
1/t
Kt
− 1,
i=
K0
ln(Kt ) − ln(K0 )
i=
,
t
Kt − K0
i=
.
K0 t
Als letztes gebe ich die Auösungen nach
t
(1.15)
(1.16)
(1.17)
an.
ln(Kt ) − ln(K0 )
,
ln(1 + i)
ln(Kt ) − ln(K0 )
,
t=
i
Kt − K0
t=
.
K0 i
t=
(1.18)
(1.19)
(1.20)
1.10 Zinsmethoden
In jeder der drei Zinsformeln gehen der Zinssatz
i
und die Zeit
t
zwischen Ein- und
Auszahlung ein. Die Einheit der Zeit ist ein Jahr. Die Messung der Zeit erfolgt über die
Berechnung der Tage zwischen Anfangs- und Enddatum und anschlieÿender Division
durch die Anzahl der Tage in einem Jahr. Das scheint banal zu sein, aber trotzdem gibt
es viele verschiedene Methoden zur Berechnung von
t,
die ich jetzt vorstellen werde.
Zunächst noch die formale Denition des Begries Zinsmethode.
Denition 1.4.
Jede
Zinstagzählmethode ,
englisch day count convention, legt fest,
wie viel Tage zwischen zwei Daten liegen und welche Zeit
nur die verkürzte Bezeichnung
Zinsmethode
∆t anzurechnen ist. Meist wird
verwendet.
1.10.1 ICMA, ISMA und ISDA
Bei der Beschreibung und Festlegung der Zinsmethoden sind drei internationale Organisationen maÿgeblich beteiligt, deren Abkürzungen auch noch leicht zu verwechseln
sind.

ICMA: International Capital Market Association.
Die International Capital Market Association (ICMA) ist eine Organisation, deren Mitglieder global und lokal tätige Banken, Zentralbanken, Börsen, FondsGesellschaften und Wertpapierhändler sind. Die Regelwerke und Richtlinien von
ICMA werden weltweit beachtet und angewendet. Der Sitz von ICMA ist in Zürich.

ISMA: International Securities Market Association
Die International Securities Market Association (ISMA) ist eine weitere groÿe internationale Organisation, die weltweit beachtete und befolgte Richtlinien und
8
1.10 Zinsmethoden
Empfehlungen für die Wertpapiermärkte entwickelt. Die ISMA wurde 1969 als
Association of International Bond Dealers (AIBD) gegründet, und hat heute fast
500 Mitglieder.

ISDA: International Swaps and Derivatives Association
Die International Swaps and Derivatives Association (ISDA) ist eine Handelsorganisation, die sich vorwiegend mit dem heiÿen Markt für OTC-Derivate befasst.
OTC steht für over the counter und meint Finanzinstrumente, die direkt zwischen den Vertragspartnern abgeschlossen werden, und somit weder standardisiert
sind noch an einer Börse gehandelt werden.
Die Bedeutung dieser Organisationen für die Zinsmethoden wird im folgenden drolligen
Zitat ersichtlich:
The International Capital Markets Association (ICMA) has veried to ISDA that the Day Count Convention formerly known as ACT/ACT (ISMA)
is now known as ACT/ACT (ICMA) and that the two conventions are identical.
Ich beschreibe die Zinsmethoden entsprechend des Internetauftritts von ICMA und übernehme deren Bezeichnungen und Abkürzungen.
1.10.2 Die kalendergenaue Zinsmethode ACT/ACT (ICMA)
Diese Methode wurde also früher ACT/ACT (ISMA) genannt und geistert bis heute
unter dieser Bezeichnung durch die Literatur und das Internet. Die Abkürzung ACT
steht dabei für actual=taggenau. Hier werden im Anfangsjahr die Tage bis zum Jahresende genau gezählt und dabei der erste Tag mitberechnet und das Ergebnis wird
durch die Anzahl der Tage des entsprechenden Jahres geteilt. Dann werden alle ganzen
Jahre dazu gezählt. Abschlieÿend werden im Endjahr wieder die restlichen Tage gezählt,
das Enddatum aber nicht mit einbezogen, und auch diese Zahl durch die Anzahl der
Tage des Endjahrs geteilt. Diese Vorgehensweise berücksichtigt Schaltjahre ohne jede
Einschränkung und ist deshalb die einzige in meinen Augen kalendergenaue Zinsmethode.
Beispiel 1.3.
Betrachten wir die Zeit vom 25.2.2000 bis zum 31.3.2006. Das Anfangsjahr
ist ein Schaltjahr mit 366 Tagen. In diesem Jahr werden alle 311 Tage einschlieÿlich des
25.2. gezählt, das ergibt den Bruch
311/366. Danach folgen fünf ganze Jahre. Im Endjahr
wird der 31.3. nicht gezählt, sodass nur 89 Tage zusammenkommen. Somit ist
t=
Beispiel 1.4.
89
311
+5+
= 6, 093562392.
366
365
In einer anderen Variante dieses Ansatzes wird der erste Tag nicht gezählt,
aber der letzte. Dann wäre bei unveränderten Daten
t=
310
90
+5+
= 6, 093569878.
366
365
Weitere Beispiele folgen später.
9
1 Zinsrechnung
1.10.3 Die Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL)
Diese Zinsmethode wird in einer Excel-Funktion verwendet und in der Beschreibung
act/act genannt, ich werde die Bezeichnung ACT/ACT (EXCEL) verwenden, da ihre
Implementation nicht mit der beschriebenen Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) übereinstimmt. Die Ausgestaltung von Microsoft ist sehr eigenwillig und wird im Netz heiÿ
diskutiert und ist nach meinem Teststand wie folgt.
Zunächst werden die Tage
Die Anzahl der Tage
y
k
zwischen Anfangs- und Endtermin kalendergenau gezählt.
in einem Jahr wird wie folgt berechnet.
1. Liegen Anfangs- und dem Enddatum im gleichen Jahr, ist in einem Schaltjahr
y = 366,
und sonst ist
y = 365.
2. Liegen Anfangs- und Enddatum in verschiedenen Jahren, aber innerhalb einer
y = 366, wenn
ist y = 365.
Dierenz von höchsten einem Jahr, ist
Schalttag, also der 29.2. fällt, sonst
innerhalb des Zeitraums ein
3. Liegt zwischen dem Anfangs- und dem Enddatum mehr als ein Jahr, müssen alle
Jahre, einschlieÿlich der angebrochenen gezählt werden, das ergibt eine Zahl
Dann wird die Gesamtzahl der Schaltjahre gezählt, das ergibt eine Zahl
ist
y = 365 +
Die Zeit
t
Dann
m
.
n
zwischen Anfangs- und Enddatum ist der Bruch
Bemerkung 1.1.
m.
n.
t = k/y .
Wenn Anfangs- und Enddatum innerhalb eines Jahres liegen oder
sich dazwischen kein Schaltjahr bendet, liefern die Zinsmethoden ACT/ACT (EXCEL)
und ACT/ACT /ICMA) das gleiche Ergebnis. Ich werde die Zinsmethoden ACT/ACT
(EXCEL) nur selten in Zinsrechnungen verwenden, erwähne sie aber, weil sie in der
Excel-Arbeitsblattfunktion BRTEILJAHRE implementiert und in der Beschreibung leider act/act genannt wird, obwohl sie nicht mit ACT/ACT (ICMA) übereinstimmt.
1.10.4 Zinsmethoden mit kalendergenauer Tagzählung
Bei den zwei nun folgenden Zinsmethoden werden zunächst die Anzahl der Tage zwischen
dem Anfangs- und dem Enddatum kalendergenau berechnet, wobei das Enddatum nicht
mitgezählt wird. Diese Zahl wird anschlieÿend durch einen Nenner geteilt, der der Anzahl
der Tage in einem Jahr entspricht. Die Anzahl der Tage in einem Jahr wird vereinfacht
entweder auf 360 oder 365 auf 365 Tage gesetzt. Dieser seltsame Ansatz stammt aus
Frankreich und England. Die Bezeichnungen sind ACT/360 bzw. ACT/365.
Eurozinsmethode: ACT/360.
Die Zeit t zwischen Anfangs- und
Enddatum ist der Bruch
t = k/360,
wobei
k
die
Anzahl der kalendergenau gezählten Tage zwischen Anfangs- und Endtermin ist.
Diese Zinsmethode wird auch französisch genannt.
Diese Zinsmethode wird in Deutschland u.a. bei Floating Rate Notes und am
Euromarkt für fast alle Währungen angewandt.
10
1.10 Zinsmethoden
Englische Zinsmethode: ACT/365.
Die Zeit t zwischen Anfangs- und Enddatum
ist der Bruch
t = k/365,
wobei
k
die
Anzahl der kalendergenau gezählten Tage zwischen Anfangs- und Endtermin ist.
Diese in England verbreitete Zinsmethode ist in Deutschland u.a. bei Geldmarktpapieren gebräuchlich.
1.10.5 Beispiele zu ACT/XXX
Die vier Methoden mit kalendergenauer Tagzählung seien jetzt an einigen Beispielen
veranschaulicht.
Beispiel 1.5.
Betrachten wir die Zeit vom 25.3.2000 bis zum 31.10.2000. Bei allen
Methoden muss zunächst die Anzahl der Tage zwischen Anfangs- und Enddatum kalendergenau gezählt werden. Das sind hier 220 Tage. Anfangs- und Enddatum liegen
in einem Jahr, deshalb haben ACT/ACT (ICMA) und ACT/ACT (EXCEL) dasselbe
Ergebnis, nämlich
220/366,
da der Zeitraum innerhalb eines Schaltjahrs liegt. Bei der
Eurozinsmethode muss 220 durch 360 und bei der englischen Methode durch 365 geteilt
werden. Die Werte für
t
sind deshalb wie in der Tabelle.
ACT/ACT (ICMA)
ACT/ACT (EXCEL)
ACT/360
ACT/365
220/366
220/366
220/360
220/365
Beispiel 1.6.
Betrachten wir die Zeit vom 25.3.2001 bis zum 31.10.2001. Das sind wieder
220 Tage. Der Zeitraum liegt innerhalb desselben Jahres, aber nicht in einem Schaltjahr,
somit ergibt sich bei ACT/ACT (ICMA) und ACT/ACT (EXCEL) der Wert
220/365.
Da weder die Eurozins- noch die französische Methode Schaltjahre berücksichtigen, bleiben die Werte wie im vorigen Beispiel. Die Werte für
t
ACT/ACT (ICMA)
ACT/ACT (EXCEL)
ACT/360
ACT/365
220/365
220/36
220/360
220/365
Beispiel 1.7.
Betrachten wir die Zeit vom 25.2.2000 bis zum 25.2.2001. Bei der Zinsme-
thode ACT/ACT (ICMA) muss der Zeitraum in die Anteile der beiden Jahre aufgeteilt
werden. Im Jahr 2000 sind dies 311 Tage, im Jahr 2001 weitere 55, insgesamt 366 Tage,
da der 29.2.2000 zu diesem Zeitraum gehört. Bei der Methode ACT/ACT (EXCEL)
wird diese Zahl durch
y = 366 geteilt, denn der Zeitraum ist genau ein Jahr und enthält
t sind deshalb wie in der Tabelle.
einen Schalttag. Die Werte für
ACT/ACT (ICMA)
ACT/ACT (EXCEL)
ACT/360
ACT/365
311/366 +55/365
366/366
366/360
366/365
Beispiel 1.8.
werden. Im Jahr 2000 sind dies 282 Tage, im Jahr 2001 weitere 55, insgesamt 337 Tage.
Der Zeitraum ist geringer als ein Jahr, hat 337 Tage und enthält keinen Schalttag, somit
ist bei der Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL)
y = 365. Die Werte für t sind deshalb wie
in der Tabelle.
11
1 Zinsrechnung
ACT/ACT (ICMA)
ACT/ACT (EXCEL)
ACT/360
ACT/365
282/366+55/365
337/365
337/360
337/365
Beispiel 1.9.
werden. Im Jahr 2000 sind dies 311 Tage, im Jahr 2001 weitere 56. Der Zeitraum ist
nun gröÿer als ein Jahr und hat 367 Tage. Einschlieÿlich der angebrochenen Jahre sind
zwei Jahre beteiligt, also ist
n = 2.
Da 2000 ein Schaltjahr war, ist
ist bei der Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL)
y = 365 + 1/2.
m=1
und somit
Alle Werte von
t
zeigt die
folgende Tabelle.
ACT/ACT (ICMA)
ACT/ACT (EXCEL)
ACT/360
ACT/365
311/366 +56/365
367/365,5
367/360
367/365
Beispiel 1.10.
Betrachten wir die Zeit vom 25.2.2000 bis zum 31.3.2006. Dieser Zeit-
raum enthält fünf ganze Jahre und die angebrochenen Jahre 2000 und 2006 mit 311 bzw.
89 Tagen. Somit ist bei der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA)
Der Zeitraum enthält 2.226 Tage verteilt auf
n = 7
t = 311/366 + 5 + 89/365.
m = 2 Schaltjah-
Jahre, wovon
re sind, nämlich 2000 und 2004. Somit ist bei der Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL)
y = (365 + 2/7) = 365, 2857143.
Die Werte für
t
ACT/ACT (ICMA)
ACT/ACT (EXCEL)
ACT/360
ACT/365
311/366 + 5 +89/365
2226/(365+2/7)
2226/360
2226/365
1.10.6 Zinsmethoden mit vereinfachter Tagzählung (30E/360
und 30U/360)
Bei diesen Methoden wird vereinfacht angenommen, dass ein Jahr 360 Tage mit 12
Monaten mit je 30 Tagen hat. Daher rührt die Bezeichnung 30/360. Dabei werde ich
folgende Bezeichnungen verwenden:
(D1.M 1.Y 1). Das
und Y 1 = 2000.
(D2.M 2.Y 2).
Y 2 = 2001.
Anfangsdatum
Das Enddatum
t2
t1
etwa der 11.12.2000 mit
etwa der 1.2.2001 mit
D1 = 11, M 1 = 12
D2 = 1, M 2 = 2
und
Daraus folgt für die Anzahl der Tage zwischen beiden Daten:
k = (Y 2 − Y 1)360 + (M 2 − M 1)30 + (D2 − D1)
(D1.M 1.Y 1) und (D2.M 2.Y 2) Anfangs- und Enddatum
und D1 sowie D2 Werte, die von D1 und D2 abhängen. Diese Zahl wird durch 360
geteilt und ergibt den Wert der Zeit t, d.h.
Hier sind wie beschrieben die
t=
k
= (Y 2 − Y 1) + (M 2 − M 1)/12 + (D2 − D1)/360
360
Leider gibt es zwei Versionen zur Berechnung von
12
D1
und
D2.
1.10 Zinsmethoden
Deutsche Zinsmethode:
30E/360
Diese Zinsmethode wird meist 30E/360 genannt. Die beiden Vorschriften zur Berechnung
von
D1
und
D2
sind ganz einfach

Falls
D1 gleich
min(30, D1).
31 ist, setze
D1 = 30
sonst setze
D1 = D1.
Es gilt also
D1 =

Falls D2 gleich
min(30, D2).
31 ist, setze
D2 = 30
sonst setze
D2 = D2.
Es gilt also
D2 =
Der 31. Kalendertag spielt also keine Rolle und wird wie der 30. behandelt. Endet oder
beginnt der Vertrag im Februar, werden die Tage kalendergenau gezählt, der 28. Februar,
bzw. im Schaltjahr der 29. Februar sind also dann tatsächlich erst der 28. bzw. 29. Tag.
Sobald der Februar aber überschritten ist, zählt auch er wie alle anderen Monate mit
30 Tagen. Diese Methode wird in Deutschland u.a. bei Sparbüchern und Termingeldern
angewandt.
Amerikanische Zinsmethode:
30U/360
Diese Zinsmethode wird meist 30U/360 genannt. Die beiden Vorschriften zur Berechnung
von
D1
und
D2
sind etwas undurchsichtig:

Setze
D1 = 30

Setze
D2 = D2.
falls
D1
der letzte Tag des Monats ist. Sonst sei
Ist aber
D2
gleich 31 und
D1
D1 = D1.
gleich 30, so setze
D2 = 30.
Die erste Bedingung führt nur im Februar zu unterschiedlichen Werten für
D1,
denn
die Amerikaner setzen das Monatsende im Februar auf den Wert 30, die Deutschen aber
nie. Deshalb liegen nach deutscher Rechnung zwischen dem 28.2.2001 und dem 1.3.2001
drei Tage, nach amerikanischer Zählung vergeht aber nur ein Tag.
Für
D2
ergeben sich unterschiedliche Werte, wenn der Tag des Enddatums die 31 ist,
der Tag des Anfangsdatums aber nicht der 30. oder 31. Tag. Also vergehen zinsmäÿig
zwischen dem 1.10.2000 und dem 31.12.2000 in Europa 89 Tage, in Amerika dagegen 90
Tage.
1.10.7 Beispiele zu 30/360
Beispiel 1.11.
D1 = 29
und
Betrachten wir die Zeit vom 29.2.2000 bis zum 31.3.2001. Hier sind
D2 = 31, M1 = 2
deutschem Ansatz ergeben sich
D1 = 30
und
D2 = 30
M2 = 3 sowie Y1 = 2000 und Y2 = 2001. Nach
D1 = 29 und D2 = 30, während man in den USA
und
erhält.
Somit sind nach der Zinsmethode 30E/360
t = (2001 − 2000) + (3 − 2)/12 + (30 − 29)/360 = 391/360
und nach der Zinsmethode 30U/360
t = (2001 − 2000) + (3 − 2)/12 + (30 − 30)/360 = 390/360
13
1 Zinsrechnung
Beispiel 1.12.
D1 = 28
und
Betrachten wir nun die Zeit vom 28.2.2000 bis zum 31.3.2001. Hier sind
D2 = 31, M1 = 2
deutschem Ansatz ergeben sich
D1 = 28
und
D2 = 31
und M2 = 3 sowie Y1 = 2000 und Y2 = 2001. Nach
D1 = 28 und D2 = 30, während man in den USA
erhält. Somit sind nach der Zinsmethode 30E/360
t = (2001 − 2000) + (3 − 2)/12 + (30 − 28)/360 = 392/360
und nach der Zinsmethode 30U/360
t = (2001 − 2000) + (3 − 2)/12 + (31 − 28)/360 = 393/360.
1.10.8 Zinsmethode nach PAngV
In Deutschland ist in der so genannten
Preisangabeverordnung (PAngV)
eine weitere
Zinsmethode vorgeschrieben, die zwar umständlich zu erklären, aber besonders bei regelmäÿigen Zahlungen vorteilhaft ist. Allerdings wird diese Formel niemals zur Berechnung
von Zinsen verwendet, sondern nur zur Berechnung des Eektivzinssatzes eines Kredits
oder der Rendite einer Investition. Die Vorgaben sind wie folgt: Schaltjahre werden nicht
31 Tage werden auf 30 Tage zurückgestutzt, in diesen Mo30. als auch der 31. Tag das Monatsende. Im Februar sind
entsprechend bereits die Tage 28 und 29 das Monatsende und erhalten die Nummer 30.
Dann werden für die Zeitspanne t zwischen zwei Zeitpunkten zunächst die Monate geberücksichtigt. Monate mit
naten sind dann sowohl der
zählt, wobei Monate am Tag des Anfangsdatums beginnen. Für den noch verbleibenden
Rest werden die Tage gezählt als Bruchteil eines Jahres hinzugefügt. Schauen wir einige
Beispiele an.
Beispiel 1.13.
a) Zeit vom 27.4.2000 bis zum bis 28.1.2002.
Hier werden zunächst die 21 Monate vom 27.4.2000 bis zum 26.1.2002 veranschlagt,
dazu kommt noch ein Tag im Zeitraum vom 27.1.2002 bis zum 28.1.2002, da der
letzte Tag selbst nicht mehr zählt. Somit
tP = 21/12 + 1/365 = 1, 752739726.
b) Zeit vom 27.4.2000 bis zum bis 8.6.2002.
Hier werden zunächst die 25 Monate vom 27.4.2000 bis zum 26.5.2002 veranschlagt,
dazu kommen im Mai die vier Tage vom 27.5.2002 bis zum 30.5.2002, da Monatslängen bei PAngV auf 30 Tage festgelegt sind, und noch 7 Tage im Juni 2002, also
tP = 25/12 + 11/365 = 2, 11347032.
c) Zeit vom 28.2.2000 bis zum bis 31.5.2002.
Aus dem 28.2.2000 wird trotz des Schaltjahrs der 30.2.2000, während der 31.5.2002
auf den 30.5.2002 gestutzt wird. So kommt man auf volle 27 Monate, also
tP = 27/12 = 2, 25.
14
1.10 Zinsmethoden
Die deutsche Zinsmethode PAngV ist wie gesehen für die Rechnung mit Papier und
Bleistift ziemlich einfach. Für Excel oder andere Programme wird aber auch eine Formel
benötigt, und die sieht schwieriger aus als die der anderen Zinsmethoden. Man geht wie
folgt vor:
Zunächst wird der Tag von
D1
auf
D1
(
D1 D1 < 31
D1 =
30 D1 = 31
Genauso wird
D2
berechnet. Die Zeit
tP
geändert:
oder
oder
D1 < 28
D1 ≥ 28
und
und
M1 = 2
M1 = 2
(1.21)
nach PAngV ist dann
(
Y 2 − Y 1 + (M 2 − M 1)/12 + (D2 − D1)/365
D2 ≥ D1
tP =
Y 2 − Y 1 + (M 2 − M 1 − 1)/12 + (D2 + 30 − D1)/365 D2 < D1
(1.22)
Ich rechne das schon behandelte Beispiel jetzt noch einmal stur nach dieser algorithmischen Vorschrift.
Beispiel 1.14.
a) Zeit vom 27.4.2000 bis zum bis 28.1.2002.
Hier sind
D1 = D1 = 27
und
D2 = D2 = 28
mit
D2 ≥ D1.
Somit
tP = 2002 − 2000 + (1 − 4)/12 + (28 − 27)/365 = 1, 752739726.
b) Zeit vom 27.4.2000 bis zum bis 8.6.2002.
Hier sind
D1 = D1 = 27
und
D2 = D2 = 8
mit
D2 < D1.
Somit
tP = 2002 − 2000 + (6 − 4 − 1)/12 + (8 + 30 − 27)/365 = 2, 11347032.
c) Zeit vom 28.2.2000 bis zum bis 31.5.2002.
Hier sind
D1 = 30
und
D2 = 30
mit
D2 ≥ D1.
Somit
tP = 2002 − 2000 + (5 − 2)/12 + (30 − 30)/365 = 2, 25.
1.10.9 Abschlieÿende Bemerkungen
Zum Schluss noch einige Anmerkungen zu den Zinsmethoden.
1. Immer wieder gern wird diskutiert, ob der Anfangs- oder Endtag verzinst wird.
Sicher ist nur, dass auf keinem Fall beide Tage eingerechnet werden. Bei Sparbüchern wird in der Regel der letzte Tag und im Wertpapiergeschäft der erste Tag
einer Zinsperiode mit verzinst. Bei allen Zinsmethoden mit fester Anzahl von Jahrestagen ist es egal, ob der Anfangs- oder Endtag gezählt wird. Das trit auf alle
Zinsmethoden auÿer ACT/ACT (ICMA) zu.
15
1 Zinsrechnung
2. Weder die Bezeichnungen noch die tatsächliche Ausgestaltung der Zinsmethoden
ist normiert, daher kann sich hinter 30/360 durchaus 30E/360 oder eine exotische
amerikanische Sonderform verbergen. Selbstverständlich sind auch die mit Ländernamen versehenen Methoden keineswegs auf diese Länder beschränkt, noch werden
in diesen Ländern ausschlieÿlich diese Methoden verwendet. Die deutsche Zinsmethode wird oft auch europäisch genannt, wie an der Bezeichnung 30E/360 zu
erkennen ist.
3. Die Zinsmethode nach PAngV wird niemals zur Berechnung von Zinsen verwendet,
sondern wird nur für die Bestimmung von Rendite und Eektivzinssatz eingesetzt.
1.11 Beispiele mit Zinsrechnung
Wir kennen bis jetzt drei Arten von Verzinsung, die exponentielle, die stetige und die
lineare und fünf Zinsmethoden. Bei gleichem Anfangs- und Enddatum und gleichen
Zinssatz
i führt ein Kapital K0
zu 15 unterschiedlichen Endwerten
Kt . Ich werde das an
zwei Beispielen zeigen.
Beispiel 1.15.
Man berechne den Endwert und den Zinsbetrag bei exponentieller, ste-
1.000.000 Euro, das im Zeitraum vom
von i = 0, 08 angelegt wurde. Man ver-
tiger und linearer Verzinsung für ein Kapital von
12.1.2000 bis zum 31.3.2000 bei einem Zinssatz
wende alle vorgestellten Zinsmethoden, bis auf die nach PAngV.
D2 = 31, M1 = 1 und M2 = 3 sowie Y1 = 2000 und Y2 = 2000.
Nach deutschem Ansatz ergeben sich D1 = 12 und D2 = 30, während man in den USA
D1 = 12 und D2 = 31 erhält.
Hier sind
D1 = 12
und
a) ACT/ACT (ICMA).
Hier müssen die Tage kalendergenau gezählt werden, also im Januar einschlieÿlich des
12.1.2000 20 Tage, 29 im Februar und 30 im März, also kommen 79 Tage zusammen.
Diese Zahl muss durch 366 geteilt werden, da das Jahr ein Schaltjahr ist. Das ergibt
dann bei exponentieller Verzinsung
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)79/366 = 1.016.750, 55 e,
Zt = Kt − K0 = 16.750, 55 e
und bei stetiger Verzinsung
Kt = 1.000.000e0,08·79/366 = 1.017.417, 71 e,
Zt = Kt − K0 = 17.417, 71 e,
sowie bei linearer Verzinsung
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 79/366) = 1.017.267, 76 e,
Zt = Kt − K0 = 17.267, 76 e.
16
b) ACT/360.
Die Tage müssen auch hier kalendergenau gezählt werden, das Jahr aber wird nur
mit 360 Tagen angesetzt. Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)79/360 = 1.017.032, 09 e,
Zt = Kt − K0 = 17.032, 09 e
Kt = 1.000.000e0,08·79/360 = 1.017.710, 56 e,
Zt = Kt − K0 = 17.710, 56 e
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 79/360) = 1.017.555, 56 e,
Zt = Kt − K0 = 17.555, 56 e.
c) ACT/365.
Die Tage müssen auch hier kalendergenau gezählt werden, das Jahr aber wird nur
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)79/365 = 1.016.796, 83 e,
Zt = Kt − K0 = 16.796, 83 e
Kt = 1.000.000e0,08·79/365 = 1.017.465, 84 e,
Zt = Kt − K0 = 17.465, 84 e
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 79/365) = 1.017.315, 07 e,
Zt = Kt − K0 = 17.315, 07 e.
d) 30E/360.
Bei dieser Zinsmethode ist
t=
360 · (2000 − 2000) + 30 · (3 − 1) + (30 − 12)
78
=
360
360
Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)78/360 = 1.016.814, 69 e,
Zt = Kt − K0 = 16.814, 69 e
17
1 Zinsrechnung
Kt = 1.000.000e0,08·78/360 = 1.017.484, 43 e,
Zt = Kt − K0 = 17.484, 43 e
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 78/360) = 1.017.333, 33 e,
Zt = Kt − K0 = 17.333, 33 e.
e) 30U/360.
Bei dieser Zinsmethode ist
t=
360 · (2000 − 2000) + 30 · (3 − 1) + (31 − 12)
79
=
360
360
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)79/360 = 1.017.032, 09 e,
Zt = Kt − K0 = 17.032, 09 e
Kt = 1.000.000e0,08·79/360 = 1.017.710, 56 e,
Zt = Kt − K0 = 17.710, 56 e
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 79/360) = 1.017.555, 56 e,
Zt = Kt − K0 = 17.555, 56 e.
Die Unterschiede sind wegen der kurzen Laufzeit noch eher gering. Unabhängig von der
Zinsmethode ist der Zinsertrag bei stetiger Verzinsung höher als bei einfacher Verzinsung,
diese wiederum führt zu einem höheren Zinsbeitrag als die exponentielle Verzinsung.
Nun betrachten wir ein Beispiel mit langer Laufzeit.
Beispiel 1.16.
Man berechne den Endwert bei exponentieller, stetiger und linearer
1.000.000 Euro, das im Zeitraum vom 1.3.2001
von i = 0, 08 angelegt wurde. Man verwende alle
Verzinsung für ein Kapital von
bis zum
15.11.2008 bei einem Zinssatz
Zinsme-
thoden auÿer PAngV.
a) ACT/ACT (ICMA).
Hier müssen die Tage kalendergenau gezählt werden, also im Jahr 2001 einschlieÿlich
des 1.3.2001 insgesamt 306 Tage und im Jahr 2001 ohne den 31.10.2001 weitere 319
Tage. Dazu kommen 6 volle Jahre. Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)(306/365+6+319/366) = 1.810.069, 20 e
18
Kt = 1.000.000e0,08(306/365+6+319/366) = 1.852.980, 21 e
sowie bei einfacher Verzinsung
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08(306/365 + 6 + 319/366)) = 1.616.795, 27 e.
b) ACT/360
Hier müssen die Tage kalendergenau gezählt werden, das ergibt 2816 Tage, die dann
durch 360 geteilt werden, also
t = 2816/360 = 7, 8222222.
Das ergibt dann bei
exponentieller Verzinsung
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)2816/360 = 1.825.778, 31 e
Kt = 1.000.000e0,08·2816/360) = 1.869.699, 60 e
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 2816/360) = 1.625.777, 78 e.
c) ACT/365
Hier müssen die Tage kalendergenau gezählt werden, das ergibt 2816 Tage, die dann
durch 365 geteilt werden, also
t = 2816/365 = 7, 7150685.
Das ergibt dann bei
exponentieller Verzinsung
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)2816/360 = 1.810.783, 64 e
Kt = 1.000.000e0,08·2816/360) = 1.853.740, 48 e
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 2816/360) = 1.617.205, 48 e.
d) 30E/360 und 30U/360.
Hier sind
D1 = 1 und D2 = 15, M1 = 3 und M2 = 11 sowie Y1 = 2001 und Y2 = 2008.
D1 = 1 und D2 = 15 Bei
Nach deutschem und amerikanischen Ansatz ergeben sich
beiden Zinsmethoden ist somit
t=
360 · (2008 − 2001) + 30 · (11 − 3) + (15 − 1)
2774
=
360
360
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)2774/360 = 1.809.458, 41 e
19
1 Zinsrechnung
Kt = 1.000.000e0,08·2774/360) = 1.852.330, 26 e
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 2774/360) = 1.616.444, 44 e.
Die Laufzeit ist jetzt gröÿer als ein Jahr, daher hat die Wahl der Zinsmethode eine gröÿere Auswirkung auf den Zinsertrag. Unabhängig von der Zinsmethode ist der
Zinsertrag bei einfacher Verzinsung immer deutlich geringer als bei exponentieller. Den
gröÿten Zinsertrag liefert die stetige Verzinsung.
1.12 Zinsmethoden in Excel
1.12.1 Die Excel-Funktion TAGE360
Wegen der groÿen Bedeutung der beiden Zinsmethoden 30E/360 und 30U/360 gibt es in
Excel eine Funktion, die die Zinstage berechnet. Diese Funktion hat drei Parameter, der
erste ist das Anfangsdatum, der zweite das Enddatum und der dritte ist eine logische
Variable mit den Werten WAHR oder FALSCH. Soll nach der Zinsmethode 30E/360
gezählt werden, muss der dritte Parameter den Wert WAHR bekommen, während
für 30U/360 FALSCH zu wählen ist. Steht etwa in der Zelle A1 als Datumswert
29.2.2008 und in der Zelle B1 als Datumswert 12.3.2008, so liefern die Formeln
=TAGE360(A1:B1;WAHR) und =TAGE360(A1:B1;FALSCH) die Werte 13 und
12.
1.12.2 Die Excel-Funktion BRTEILJAHRE
Nun benötigt man meistens die Zeitspanne zwischen zwei Datumsangaben und nicht nur
die Anzahl der Zinstage. Die Entwickler von Excel haben deshalb eine Funktion namens
BRTEILJAHRE geschrieben, welche die Zeitdierenz entsprechend der vorgestellten
Zinsmethoden mit Ausnahme von PAngV und ACT/ACT (ICMA) berechnet. Auch bei
dieser Funktion sind die beiden ersten Parameter das Anfangsdatum und das Enddatum.
Der dritte Parameter legt die Zinsmethode fest. Es sind fünf Werte möglich.

Lässt man den dritten Parameter ganz weg oder 0: 30U/360 (amerikanisch),

1: ACT/ACT (EXCEL),

2: ACT/360 (Eurozins),

3: ACT/365 (Englisch),

4: 30E/360 (Deutsch).
Diese Funktion liefert die nutzlose Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL), aber nicht die international normierte Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) und bleibt auch die in Deutschland häug gebrauchte Zinsmethode nach PAngV schuldig.
20
1.12 Zinsmethoden in Excel
1.12.3 Die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA)
Die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) wurde von den amerikanischen Entwicklern von
Excel nicht berücksichtigt. Ich gebe deshalb in der abgebildeten Tabelle ein Schema zur
Berechnung an.
1
2
3
4
5
6
A
t1
27.04.2000
29.02.2000
28.02.2000
01.10.2002
01.03.2001
B
t2
28.01.2002
08.05.2002
31.05.2002
31.10.2002
15.11.2008
C
k1
249
307
308
30
306
D
y1
366
366
366
365
365
E
n
1
1
1
0
6
F
k1
27
127
150
0
319
G
y2
365
365
365
365
366
H
Formel
249/366+1+27/365
307/366+1+127/365
308/366+1+150/365
30/365+0+0/365
306/365+6+319/366
I
∆t
1,754300
2,186743
2,252489
0,082192
7,709941
Abbildung 1.2: Die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA)
In den Zellen A2 und B2 stehen Anfangs- und Enddatum. In den Zelle C2 bis G2
benden sich die Formeln zur Berechnung von
k1 , y1 , n, k2
und
y2 . Für die Zinsmethode
ACT/ACT (ICMA) müssen die Tage im Anfangsjahr ermittelt werden. Die Formel steht
in der Zelle C2 und lautet
=MIN(B2-A2;DATUM(JAHR(A2)+1;1;1)-A2)
Liegt das Enddatum im selben Jahr wie das Anfangsdatum, vergehen im Anfangsjahr
nur B2
− A2
Tage, sonst aber müssen alle Tage einschlieÿlich des Jahresendes gezählt
werden. Diese Zahl
k1
muss durch die Gesamtzahl
y1
der Tage des ersten Jahrs geteilt
werden
=DATUM(JAHR(A2);12;31)-(DATUM(JAHR(A2)-1;12;31))
In der Zelle E2 steht die Anzahl
n
der ganzen Jahre, also die Formel
=MAX(0;JAHR(B2)-JAHR(A2)-1)
Die Tage des Endjahrs stehen in der Zelle F2 und ergeben sich aus der Formel
=WENN(JAHR(B2)>JAHR(A2);B2-DATUM(JAHR(B2);1;1);0)
Die Tage des letzten Jahres müssen durch die Gesamtzahl der Tage dieses Jahrs geteilt
werden, d.h. durch
=DATUM(JAHR(B2);12;31)-(DATUM(JAHR(B2)-1;12;31))
Die Formel für die Zeitdauer nach ACT/ACT (ICMA) lautet damit
=C2/D2+E2+F2/G2
und steht in Zelle I2. Die drei Formeln lassen sich zu einer einzigen Mammutformel
vereinigen, die ohne Zwischenergebnisse auskommt. Dafür muss in der letzten Formel
jeder Bezug auf C2, D2, E2, F2 und G2 durch die entsprechende Formel ersetzt werden,
was man am besten auÿerhalb von Excel mit einem Editor durchführt. Es ergibt sich
dann folgende Monsteranweisung:
21
1 Zinsrechnung
=WENN(JAHR(B2)-JAHR(A2)=0;
(B2-A2)/(DATUM(JAHR(A2);12;31)-DATUM(JAHR(A2)-1;12;31));
JAHR(B2)-JAHR(A2)-1+
(DATUM(JAHR(A2)+1;1;1)-A2)
/(DATUM(JAHR(A2);12;31)-DATUM(JAHR(A2)-1;12;31))
+(B2-DATUM(JAHR(B2);1;1))
/(DATUM(JAHR(B2);12;31)-DATUM(JAHR(B2)-1;12;31)))
Alle Formeln lassen sich am Ausfüllkästchen bequem nach unten ziehen.
Nur für Excel-Füchse sei bemerkt, dass ich mir auch die in der Zelle H2 stehende
Formel von Excel habe bilden lassen. Diese Formel ist aus der Sicht von Excel eine
Zeichenfolge. Excel erlaubt, zwei Zeichenfolgen durch den Operator & zu verbinden. Die
Formel für die Zelle H2 lautet somit:
=C2&"/"&D2&"+"&E2&"+"&F2&"/"&G2
1.12.4 Die Zinsmethode PAngV
Die deutsche Zinsmethode nach PAngV wurde von den amerikanischen Entwicklern von
Excel nicht berücksichtigt. Ich gebe in der abgebildeten Tabelle ein Schema zur Berechnung an.
1
2
3
4
5
A
t1
27.04.2000
29.02.2000
28.02.2000
01.10.2002
B
t2
28.01.2002
08.05.2002
31.05.2002
31.10.2002
C
D1
27
30
30
1
D
D2
28
8
30
30
E
Formel
2002-2000+(1-4)/12+(28-27)/365
2002-2000+(5-2-1)/12 + (8+30-30)/365
2002-2000+(5-2)/12+(30-30)/365
2002-2002+(10-10)/12+(30-1)/365
F
∆t
1,752740
2,188584
2,250000
0,079452
Abbildung 1.3: Die Zinsmethode PAngV.
In den Zellen A2 und B2 stehen Anfangs- und Enddatum. In den Zelle C2 und D2
benden sich die Formeln zur Berechnung von
D1
bzw.
D2.
=WENN(ODER(TAG(A2)=31;UND(TAG(A2)>27; MONAT(A2)=2));30;TAG(A2)) (*)
=WENN(ODER(TAG(B2)=31;UND(TAG(B2)>27; MONAT(B2)=2));30;TAG(B2)) (**)
In der Zelle E2 steht die Formel zur Berechnung der Zeitdierenz, in der Zelle F2 der
zugehörige Wert.
=WENN(D2>=C2;JAHR(B2)-JAHR(A2)+(MONAT(B2)-MONAT(A2))/12+(D2-C2)/365;
JAHR(B2)-JAHR(A2)+(MONAT(B2)-MONAT(A2)-1)/12+ (D2 +30- C2)/365)
Die drei Formeln lassen sich zu einer einzigen Mammutformel vereinigen. Dafür muss
in der letzten Formel jeder Bezug auf C2 durch die mit (*) markierte Formel ersetzt
werden und jeder Bezug von D2 wird durch die Formel (**) überschrieben. Dann ergibt
sich folgende Monsteranweisung:
22
1.13 Rendite einer verzinsten Anlage
WENN(WENN(ODER(TAG(B2)=31;UND(TAG(B2)>27; MONAT(B2)=2));30;
TAG(B2))>= WENN(ODER(TAG(A2)=31;UND(TAG(A2)>27; MONAT(A2)=2));30;
TAG(A2));JAHR(B2)-JAHR(A2)+(MONAT(B2)-MONAT(A2))/12
+ (WENN(ODER(TAG(B2)=31;UND(TAG(B2)>27;
MONAT(B2)=2));30;TAG(B2)) - WENN(ODER(TAG(A2)=31;
UND(TAG(A2)>27; MONAT(A2)=2));30;TAG(A2))) / 365;
JAHR(B2)-JAHR(A2)+(MONAT(B2)-MONAT(A2)-1)/12
+ (WENN(ODER(TAG(B2)=31;UND(TAG(B2)>27;
MONAT(B2)=2));30;TAG(B2)) + 30 WENN(ODER(TAG(A2)=31;UND(TAG(A2)>27; MONAT(A2)=2));30;TAG(A2)))/365)
Alle Formeln lassen sich am Ausfüllkästchen bequem nach unten ziehen.
Nur für Excel-Füchse sei bemerkt, dass ich mir auch die in der Zelle E2 stehende
Formel von Excel habe bilden lassen. Diese Formel ist aus der Sicht von Excel eine
Zeichenfolge. Excel erlaubt, zwei Zeichenfolgen durch den Operator & zu verbinden. Die
Formel für die Zelle E2 lautet:
= JAHR(B2) & "-" & JAHR(A2) & "+(" & WENN(D2>=C2;
MONAT(B2)&"-" & MONAT(A2)& ")/12+(" & D2& "-" & C2& ")/365";
MONAT(B2)&"-" & MONAT(A2)& "-1)/12 + (" & D2& "+30-" & C2& ")/365")
1.13 Rendite einer verzinsten Anlage
Die verschiedenen Arten der Verzinsung und der Zinsmethoden sind für Laien undurchsichtig, da der angegebene nominale Zinssatz nicht der tatsächlich erzielten Rendite entspricht. Die Berechnung der
Preisangabeverordnung
Rendite
ist in Deutschland innerhalb der bereits erwähnten
(PAngV) geregelt. Es sei angenommen, dass der Anleger einma-
lig am Anfangstermin einen Betrag von
K0
einzahlt, der bis zum Endtermin auf
angewachsen ist. Dann ist die Rendite der Zinssatz
ebenfalls von
K0
auf den Endbetrag
Kt
r̄,
Kt
der bei exponentieller Verzinsung
geführt hätte, wobei die Zeitdierenz zwischen
Anfangs- und Endtermin nach der Zinsmethode der PAngV berechnet wird. Nach Formel
(1.15) auf Seite 8 gilt somit
r̄ =
wobei
tP
Kt
K0
1/tP
− 1,
die Laufzeit nach PAngV ist. Die Rendite wird auch als
(1.23)
konformer Zinssatz
bezeichnet. Die Rendite wird in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben.
Beispiel 1.17.
Eine Bank bietet Ihnen einen so genannten abgezinsten Sparbrief an.
Man legt 1.500 Euro am 31.1.2011 an und erhält 1.600 Euro am 19.7.2012 zurück. Welche Rendite wird erreicht?
Bei Renditerechnungen wird immer die Zinsmethode PAngV eingesetzt. Die Zeit
tP
zwischen den beiden Terminen berechnet sich nach
tP = 2012 − 2011 + (7 − 1 − 1)/12 + (19 + 30 − 30)/365 = 1, 468721461.
23
1 Zinsrechnung
Damit folgt für die Rendite
r̄ =
1.600
1.500
1/1,468721461
− 1 = 0, 044921721 ≈ 4, 49 %.
Hinweis: Sie werden sich wundern, warum ich für die Rendite den Bezeichnung r̄
und nicht ī verwendet habe. Das liegt daran, dass die Rendite kein tatsächlich erhobener
Zinssatz, sondern ein kalkulatorischer Zinssatz ist. Ich werde für reale Zinssätze, die
man als nominal oder nominell bezeichnet, immer den Buchstaben i benutzen und für
kalkulatorische den Buchstaben r.
1.14 Die gemischte Verzinsung
Die exponentielle Verzinsung war zwar in vergangenen Zeiten für nicht ganzzahlige Werte
von
t
schwer zu berechnen, nicht aber für
t = n ∈ N.
Dann gilt nämlich
n
Kn = K0 (1 + i) = K0 (1 + i) · (1 + i) · · · (1 + i)
|
{z
}
(1.24)
n−mal
Diese Form der Verzinsung wird sehr anschaulich
Zinseszinsformel genannt, da sich nach
einem Jahr die angesammelten Zinsen mit verzinsen, während bei linearer Verzinsung die
Zinsen immer nur auf die Anfangsschuld berechnet werden. Das bereits angesammelte
Kapital erhöht sich von Jahr zu Jahr um den Faktor
q = (1 + i) ,
der deshalb
Aufzinsungsfaktor
(1.25)
genannt wird. Die Zinseszinsformel stimmt mit der ex-
ponentiellen Verzinsung für alle ganzzahligen Werte überein, dazwischen liefert sie aber
keinen Wert. Daher kam man auf die Idee, lineare Verzinsung mit Zinseszinsen zu mischen. Dafür wird die Zeitspanne zwischen Anfangs- und Enddatum in drei Teile zerlegt:

Zwischen dem Anfangszeitpunkt und dem Ende des ersten Jahres liege die Zeit tA .

Danach folgen

Im letzten Jahr vergehe dann noch die Zeit
n
volle Jahre.
tE
bis zum Endzeitpunkt
t.
Das Kapital verzinst sich dann wie folgt:
Kt = K0 (1 + itA ) (1 + i)n (1 + itE ) .
Zur Bestimmung der Zeiten
tA
und
tE
(1.26)
wird eine der vorgestellten Zinsmethoden ver-
wendet. Zunächst werden im Anfangs- und Endjahr Tage
Zinsmethode berechnet und dann durch die Gesamttage
k1
y1
und
und
k2
y2
entsprechend der
der jeweiligen Jahr
geteilt. Damit geht die Gleichung (1.26) über in
k2
k1
n
(1 + i) 1 + i
,
Kt = K0 1 + i
y1
y2
Denition 1.5.
Verzinsung .
24
Wird ein Kapital wie geschildert verzinst, spricht man von
(1.27)
gemischter
1.14 Die gemischte Verzinsung
1.14.1 Beispiele zur gemischten Verzinsung
Die beiden Grundformeln (1.26) und (1.27) seien an zwei Beispielen verdeutlicht.
Beispiel 1.18.
i = 0, 05 mit gemischter und expo-
nentieller Verzinsung, wenn die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) verwendet wird? Wie
hoch sind die jeweiligen Renditen?

Exponentielle Verzinsung.
Die Zeitspanne
t
setzt sich aus zwei ganzen Jahren und den unterjährlichen An-
teilen von 2004 und 2007 zusammen. Vom 1.3.2004 bis zum Jahresende vergehen
bei genauer Zählung
k1 = 366 − 31 − 29 = 306 Tage, da wir den 1.3. mit zählen
k2 = 31 + 28 + 31 + 14 = 104 Tage zusammen, denn
wollen. Im Jahr 2007 kommen
der Auszahlungstag wird jetzt nicht mit gezählt. Für die exponentielle Verzinsung
wird die Zeitspanne
t = 306/366 + 2 + 104/365 = 3, 120997081
Kt = 1.000.000 · 1, 05t = 1.164.479, 21
Für die Rendite muss zunächst die Zeit
tP
benötigt.
Euro.
nach PAngV bestimmt werden. Vom
1.3.2004 bis zum 30.3.2007 vergehen 37 Monate, dazu kommen weitere 14 Tage im
April 2007, d.h.
tP = 37/12 + 14/365 = 3, 121689498.
r̄ =
1.164.479, 21
1.000.000
Damit folgt für die Rendite
3,121689498
− 1 = 0, 0499886 ≈ 5, 00 %.
Nach PAngV muss die Rendite in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben
werden, somit ist

r̄ = 5, 00
Prozent.
Gemischte Verzinsung.
y1 = 366 und y2 = 365
306
104
2
Kt = 1.000.000 1 + 0, 05
1, 05 1 + 0, 05
= 1.164.951, 56 Euro.
366
365
Mit den obigen Werten für
k1
und
k2
ergibt sich wegen
Die Rendite berechnet sich somit aus
r̄ =
1.164.951, 56
1.000.000
3,121689498
− 1 = 0, 050125053 ≈ 5, 01 %.
Nach PAngV muss die Rendite in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben
werden, somit ist
Beispiel 1.19.
von
von
r̄ = 5, 01
Prozent.
Man berechne den Endwert bei gemischter Verzinsung für ein Kapital
1.000.000 Euro, das im Zeitraum vom 1.3.2001 bis zum 15.11.2008 bei einem Zinssatz
i = 0, 08 angelegt wurde. Man verwende alle Zinsmethoden.
25
1 Zinsrechnung
a) ACT/ACT (ICMA).
Die Zeitspanne
t
setzt sich aus sechs ganzen Jahren und den unterjährigen Anteilen
von 2001 und 2008 zusammen. Vom 1.3.2001 bis zum Jahresende vergehen bei genauer
Zählung
k1 = 365 − 31 − 28 = 306 Tage,
k2 = 366 − 31 − 16 = 319
2008 kommen
da wir den 1.3. mit zählen wollen. Im Jahr
Tage zusammen, denn der Auszahlungstag
wird jetzt nicht mit gezählt. Somit ergibt sich
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08(306/365)) · 1, 086 · (1 + 0, 08(319/366)) = 1.811.372, 19 e
b) ACT/360).
Bei allen Zinsmethoden ist die Anzahl
zählungen für
k1
und
k2
n
der ganzen Zinsperioden gleich. Die Tag-
unterscheiden sich nicht zwischen den drei verschiedenen
Methoden ACT/XXX, nur die Werte von
y1
und
y2 ,
diese sind bei ACT/360 immer
360. Somit ergibt sich
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08(306/360)) · 1, 086 · (1 + 0, 08(319/360)) = 1.814.922, 97 e
c) ACT/365).
Es müssen nur die Werte für
y1
und
y2
auf 365 verändert werden.
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08(306/365)) · 1, 086 · (1 + 0, 08(319/365)) = 1.811.695, 67 e
d) 30E/360 und 30U/360.
Die Zeitspanne
t
setzt sich aus sechs ganzen Jahren und den unterjährigen Anteilen
von 2001 und 2008 zusammen. Vom 1.3.2001 bis zum Jahresende vergehen der Zinsmethode 30E/360
Jahr 2008 kommen
k1 = 10 · 30 = 300 Tage, da wir den 1.3. mit zählen wollen. Im
k2 = 10 · 30 + 14 = 314 Tage zusammen, denn der Auszahlungstag
wird jetzt nicht mit gezählt. Somit ergibt sich
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08(300/360)) · 1, 086 · (1 + 0, 08(314/360)) = 1.810.776, 41 e
1.15 Unterjährige Verzinsung
Der wesentliche Unterschied zwischen einfacher Verzinsung und Zinseszinsen liegt in der
Behandlung der bereits angesammelten Zinsen. Werden diese nach einem Jahr dem Kapital gut geschrieben und danach mitverzinst, erhöht sich der Endbetrag bei längeren
Laufzeiten beträchtlich. Dieser Eekt kann noch gesteigert werden, wenn die Zinsgutschrift mehrmals im Jahr erfolgt. Man spricht dann von
unterjähriger Verzinsung .
1.15.1 Zinstermin und Zinsperiode
Wir benötigen zunächst zwei neue Begrie.
Denition 1.6.
Der Tag, an dem bei gemischter Verzinsung die Zinsgutschrift dem
Kapital zugeschlagen und danach mitverzinst wird, heiÿt
zwei Zinsterminen wird als
26
Zinsperiode
bezeichnet.
Zinstermin . Der Zeit zwischen
Bis jetzt gab es immer nur einen Zinstermin pro Jahr, und zwar am Jahresende. An den
Zinsterminen werden die angesammelten Zinsen dem Kapital zugeschlagen und danach
mit verzinst. Zwischen zwei Zinsterminen gibt es nur einfache Zinsen. Auf Sparbüchern,
bei Hypothekenverträgen und Sparverträgen sind die Zinstermine immer das Ende eines
Jahres, bei festverzinslichen Wertpapieren ist der erste Zinstermin der Tag der Emission,
z.B. der 5. Mai 1995.
Bei unterjährig verzinslichen Anlagen gibt es mehr als einen Zinstermin im Jahr,
die Zinsperiode ist somit kleiner als ein Jahr. Man bezeichnet mit
m
die Anzahl von
Zinsperioden innerhalb eines Jahres, die Länge einer Zinsperiode ist daher
üblichen Werte für
m
1/m.
Die
stelle ich nun vor.
m = 1.
Die Länge einer Periode ist genau ein Jahr. Dies ist in Deutschland bei festverzinslichen Wertpapieren üblich, wobei die Zinstermine immer genau im Jahresabstand
auf den Tag der Emission folgen, z.B. immer am 5. Mai eines Jahres liegen.
m = 2.
Halbjährliche Zinsperioden sind für Anleihen in Groÿ-Britannien und den USA
weit verbreitet.
m = 4.
Vierteljährliche Zinsperioden sind bei Anleihen selten, werden aber von Bausparkassen und Hypothekenbanken gerne für Hypothekenkredite verwendet.
m = 12.
Monatliche Zinsperioden sind sehr selten.
m = ∞.
Lässt man die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr gegen
Grenzfall die bereits bekannte
∞
gehen, ergibt sich als
stetige Verzinsung . Der Name rührt daher, dass die
Zinsen zu jedem Zeitpunkt sofort dem Kapital zugeschlagen und dann mitverzinst
werden.
1.15.2 Formel der unterjährigen gemischten Verzinsung
Auch bei der unterjährigen gemischten Verzinsung wird ein so genannter nomineller Jahreszinssatz
i
angegeben. Bei
Periodenzinssatz
i/m.
m
Zinsperioden pro Jahr gilt dann für den tatsächlichen
Bis jetzt wurde bei der gemischten Verzinsung immer innerhalb
des angebrochenen Anfangs- und des angebrochenen Endjahres mit einfacher Verzinsung gerechnet, während für alle vollen Jahre die Zinseszinsformel verwendet wurde.
Diese Vorgehensweise wird beibehalten, aber der Zeitraum der einfachen Verzinsung
wird auf die erste bzw. letzte Zinsperiode begrenzt und die Zinseszinsformel erfolgt für
die Anzahl der vollen Zinsperioden, wobei als Zinssatz der tatsächliche Periodenzinssatz
i/m
verwendet wird. Damit ergibt sich die Grundformel der
unterjährigen gemischten
27
1 Zinsrechnung
Verzinsung
wie folgt.
n
i
(1 + itE ) .
Kt = K0 (1 + itA ) 1 +
m
(1.28)
Hier sind
K0
i
das Anfangskapital zum Zeitpunkt
0,
der nominelle Jahreszinssatz,
m
die Anzahl von Zinsperioden pro Jahr,
tA
die Zeit zwischen dem Anfangszeitpunkt und dem ersten Zinstermin,
tE
die Zeit vom letzten Zinstermin bis zum Endzeitpunkt und
n
die Anzahl der vollständigen Zinsperioden.
Auch hier muss wieder eine Zinsmethode gewählt und entschieden werden, ob der
erste oder letzte Tag in die Verzinsung eingeht. Wieder sei verabredet, den ersten Tag
zu zählen. Bei den meisten Zinsmethoden spielt es aber sowieso keine Rolle. Die Zeit
ergibt sich wieder als Bruch der Form
nächsten Zinstermin und
Genauso wird
tE
y1
k1 /y1 . Dabei ist k1
die Anzahl von Tagen bis zum
die Anzahl der Tage im Jahr entsprechend der Zinsmethode.
berechnet. Die Gleichung (1.28) geht dann über in
Kt = K 0
k1
1+i
y1
n i
k2
1+
1+i
,
m
y2
(1.29)
Leider gibt es noch eine weitere Form der Zinsmethode ACT/ACT, welche
(ISMA)
tA
ACT/ACT
genannt wird. Hier gilt
y1 = m · Länge
Genauso wird mit
y2
der ersten angebrochenen Periode.
verfahren. Ist etwa
m = 4, so hat das erste Quartal in gewöhnlichen
Jahren eine Periodenlänge von 90 Tagen, fällt der Anfangszeitpunkt in dieses Quartal,
y1 = 4 · 90 = 360. Das letzte Quartal hat dagegen eine Länge von 92 Tagen, somit
wird y1 = 4 · 92 = 368 falls der Anfangszeitpunkt in dieses Quartal fällt. Bei m = 12
schwankt y1 zwischen 12 · 28 = 336 und 12 · 31 = 372.
ist
Denition 1.7.
Wird ein Kapital wie geschildert verzinst, spricht man von
gemischter Verzinsung .
28
unterjähriger
1.15.3 Beispiele zur unterjährigen gemischten Verzinsung
Die unterjährige gemischte Verzinsung möchte ich an zwei Beispielen verdeutlichen.
Beispiel 1.20.
i = 0, 08 bei vier Zinsterminen pro
Jahr? Man verwende alle vorgestellten Zinsmethoden.
Die Zinsmethoden spielen nur bei den zwei Faktoren der einfachen Verzinsung eine Rolle.
Die Anzahl der vollständigen Perioden ist immer gleich. Da vier Zinstermine vorhanden
sind, gilt
m = 4, also 1 + i/m = 1, 02. Der nächste Zinstermin nach der Einzahlung wird
der 1.4.2001 sein, der letzte Zinstermin vor dem Ende ist der 1.10.2008. Im Jahr 2001
gibt es drei Zinsperioden, dazu kommen sechs volle Jahre und noch die drei Zinsperioden
des Jahres 2008, das ergibt
n = 3 + 6 · 4 + 3 = 30. Dieser Teil der Lösung ist unabhängig
von der Zinsmethode.

ACT/ACT (ICMA).
Bei beiden Methoden werden die Tage in den nicht vollständigen Perioden kalend-
k1 die genauen Tage bis zum ersten Zinstermin nach der
k1 = 31 Tage. Vom letzten Zinstermin vor der Auszahlung,
ergenau gezählt. Hier sind
Einzahlung, das sind
also dem 1.10.2008 bis zum Tag der Auszahlung, also dem 15.11.2008 vergehen
k2 = 31 + 14 = 45 Tage. Bei jeder der beiden Methoden ACT/ACT hat das erste
y1 = 365 und das letzte die Länge y2 = 366. Damit ergibt sich als
Jahr die Länge
Endbetrag somit
45
31
30
1, 02
= 1.841.606, 64
1 + 0, 08
Kt = 1.000.000 1 + 0, 08
365
366

Euro.
ACT/ACT(ISMA).
Bei dieser Zinsmethode müssen die Tage und die Längen der Perioden kalendergenau gezählt werden. Die Zinsperiode vom 1.1.2001 bis zum 31.3.2001 hat die
p1 = 31 + 28 + 31 = 90 Tage, somit ist y1 = 4 · 90 = 360 und somit
tA = 31/360. Die Zinsperiode vom 1.10.2008 bis zum 31.12.2008 hat die Länge
p2 = 31 + 30 + 31 = 92, somit ist y2 = 4 · 92 = 368 und somit tE = 45/368. Der
Länge
Endbetrag wird somit
31
Kt = 1.000.000 1 + 0, 08
360

45
1, 02
1 + 0, 08
= 1.841.681, 76
368
30
Euro.
ACT/360.
Hier werden die Tage
k1
und
k2
31
Kt = 1.000.000 1 + 0, 08
360
durch 360 geteilt:
45
1, 02
1 + 0, 08
= 1.842.078, 25
360
30
Euro.
29
1 Zinsrechnung

ACT/365.
k1 und k2 durch 365 geteilt:
45
31
30
1 + 0, 08
1, 02
= 1.841.655, 79
Kt = 1.000.000 1 + 0, 08
365
365

Euro.
30E/360 und 30U/360.
Bei beiden Methoden vergehen vom 1.3.2001 bis zum 1.4.2001
vom 1.10.2008 bis zum 15.11.2008
k2 = 30 + 14 = 44
k1 = 30
Tage und
Tage. Damit ergibt sich als
Endbetrag
30
44
30
Kt = 1.000.000 1 + 0, 08
1, 02
1 + 0, 08
= 1.841.266, 49
360
360
Beispiel 1.21.
Euro.
1.3.2001 und dem 15.11.2008 bei einem Zinssatz von i = 0, 08 bei zwei Zinsterminen pro
Jahr? Man verwende alle vorgestellten Zinsmethoden.
Die Zinsmethoden spielen nur bei den zwei Faktoren der einfachen Verzinsung eine Rolle. Die Anzahl der vollständigen Perioden ist immer gleich. Da es nur zwei Zinstermine
gibt, gilt
m = 2, also 1 + i/m = 1, 04. Der nächste Zinstermin nach der Einzahlung wird
der 1.7.2001 sein, der letzte Zinstermin vor dem Ende ist der 1.17.2008. Im Jahr 2001
gibt es noch eine vollständige Zinsperiode, dazu kommen sechs volle Jahre und noch eine
Zinsperiode im Jahr 2008, das ergibt
n = 1 + 6 · 2 + 1 = 14.
Dieser Teil der Lösung ist
unabhängig von der Zinsmethode.

ACT/ACT (ICMA) und (EXCEL).
Bei beiden Methoden werden die Tage in den nicht vollständigen Perioden kalen-
k1 die genauen Tage bis zum ersten Zinstermin nach
k1 = 31 + 30 + 31 + 30 = 122 Tage. Vom letzten Zins-
dergenau gezählt. Hier sind
der Einzahlung, das sind
termin vor der Auszahlung, also dem 1.7.2008 bis zum Tag der Auszahlung, also
k2 = 31 + 31 + 30 + 31 + 14 = 137 Tage. Bei jeder der
beiden Methoden ACT/ACT hat das erste Jahr die Länge y1 = 365 und das letzte
die Länge y2 = 366. Damit ergibt sich als Endbetrag somit
137
137
14
1, 04
= 1.831.223, 27 Euro.
1 + 0, 08
Kt = 1.000.000 1 + 0, 08
365
366
dem 15.11.2008 vergehen

ACT/ACT(ISMA).
Bei dieser Zinsmethode müssen die Tage und die Längen der Perioden kalendergenau gezählt werden. Die Zinsperiode vom 1.1.2001 bis zum 1.7.2001 hat die Länge
p1 = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 = 181 Tage, somit ist y1 = 2 · 181 = 362 und somit
tA = 122/362. Die Zinsperiode vom 1.7.2008 bis zum 31.12.2008 hat die Länge
p2 = 31 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 = 184, somit ist y2 = 2 · 184 = 368 und somit
tE = 137/368. Der Endbetrag wird somit
122
137
14
Kt = 1.000.000 1 + 0, 08
1, 04
1 + 0, 08
= 1.831.329, 08 Euro.
362
368
30
1.16 Unterjährige gemischte Verzinsung mit Excel

ACT/360.
k1
und
k2
122
Kt = 1.000.000 1 + 0, 08
360

137
1 + 0, 08
1, 02
= 1.832.773, 34
360
14
Euro.
ACT/365.
k1
und
k2
122
Kt = 1.000.000 1 + 0, 08
365

durch 360 geteilt:
durch 365 geteilt:
137
1, 02
1 + 0, 08
= 1.831.369, 14
365
14
Euro.
30E/360 und 30U/360.
Bei beiden Methoden vergehen vom 1.3.2001 bis zum 1.7.2001
vom 1.7.2008 bis zum 15.11.2008
k2 = 4 · 30 + 14 = 134
k1 = 120
Tage und
Tage. Damit ergibt sich
als Endbetrag somit
120
Kt = 1.000.000 1 + 0, 08
360
134
1, 02
1 + 0, 08
= 1.830.795, 04
360
14
Euro.
1.16 Unterjährige gemischte Verzinsung mit Excel
Für die unterjährige gemischte Verzinsung habe ich das auf Seite 32 abgebildete Arbeitsblatt angelegt. Die Zellen B2 bis F2 enthalten die Eingaben. Zur besseren Lesbarkeit
der Formeln habe ich diesen Zellen Namen gegeben, und zwar K0 für die Zelle B2,
AnfDat und EndDat für die Zellen C2 und D2 mit Anfangs- und Enddatum sowie
m für die Zelle F2, wo die Anzahl der Perioden steht. Der Zelle G2 für den Zinssatz
habe ich mit rzins bezeichnet.
Bei unterjähriger Verzinsung muss zunächst der nächste Zinstermin gefunden werden.
Bei
m Zinsperioden hat jede Zinsperiode die Länge 12/m, bei vier Zinsperioden ist etwa
jede Zinsperiode drei Monate lang. Die Anfangstage der Perioden sind dann der 1.1, 1.4,
1.7 und 1.10, die Monatszahl verringert um 1 ist glatt durch die Periodenlänge
12/m
teilbar und der Anfangstag ist der erste dieses Monats. Die beiden Bedingungen lauten
für sich
TAG(AnfDat) = 1
REST(MONAT(AnfDat)-1;12/m) = 0
und müssen durch die UND-Funktion verbunden werden und bilden dann das erste
Argument der WENN-Funktion
=WENN(UND(TAG(AnfDat)=1;REST(MONAT(AnfDat)-1;12/m)=0);AnfDat;XXX)
An die Stelle von XXX kommt die Anweisung für den nächsten Zinstermin, wenn das
Anfangsdatum nicht auf den Periodenanfang fällt. Diese Anweisung ist ziemlich lang:
31
1 Zinsrechnung
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
A
Eingaben
Zinstermin
k1
y1
n
Zinstermin
k2
y2
Kgemischt
Renditen
tP
B
K0
10.000,00
C
D
Anfang
Ende
28.02.2000 12.08.2006
E
i
8,00%
F
m
4
ACT/ACT (ICMA) ACT/360
ACT/365
30E/360
30U/360
01.04.2000 01.04.2000 01.04.2000 01.04.2000 01.04.2000
33
33
33
33
33
366
360
365
360
360
25
25
25
25
25
01.07.2006 01.07.2006 01.07.2006 01.07.2006 01.07.2006
42
42
42
41
41
365
360
365
360
360
16.676,51 16.680,62 16.676,84 16.676,94 16.676,94
8,25%
8,2565%
8,2527%
8,2528%
8,2528%
6,449543379
Abbildung 1.4: Berechnung des Endkapitals bei gemischter unterjähriger Verzinsung.
DATUM(JAHR(AnfDat)+WENN(m-1 < MONAT(AnfDat)*m/12;1;0);
WENN(m-1 <MONAT(AnfDat)*m/12;1;
1+AUFRUNDEN(MONAT(AnfDat)*m/12;0)*12/m);1)
Wird dies anstelle von XXX in die obige WENN-Anweisung eingesetzt, ergibt sich
dann die Formel für den Anfangstermin
=WENN(UND(TAG(AnfDat)=1;REST(MONAT(AnfDat)-1;12/m)=0);AnfDat;
DATUM(JAHR(AnfDat)+WENN(m-1 < MONAT(AnfDat)*m/12;1;0);
WENN(m-1 <MONAT(AnfDat)*m/12;1;
1+AUFRUNDEN(MONAT(AnfDat)*m/12;0)*12/m);1))
Die Formel für den letzten Zinstermin vor dem Enddatum ist wesentlich einfacher:
=DATUM(JAHR(EndDat);1+ABRUNDEN((MONAT(EndDat)-1)*m/12;0)*12/m;1)
In der Zeile 12 benden sich die Formeln der Endbeträge, etwa in der Zelle B12 die
Formel
=K0*(1+rzins*B6/B7)*(1+rzins/m)^B8*(1+rzins*B10/B11)
Die restlichen Formeln dieser Zeile ergeben sich durch Ziehen am Ausfüllkästchen nach
rechts.
32
1.17 Das Excel-Feature Zielwertsuche
1.17 Das Excel-Feature Zielwertsuche
Das Formular berechnet zu den fünf Eingabegröÿen der zweiten Zeile den Endwert. Oft
wird aber auch der Endwert vorgegeben und nach dem Zinssatz gesucht, der zu diesem
Endwert führt. Seien die Werte wie in der Abbildung 1.4 auf Seite 32, nur sei jetzt nach
dem Zinssatz gefragt, der bei der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) zu einem Endbetrag
von 15.000 Euro führt. Klar ist, dass dieser Zinssatz kleiner als 8 Prozent sein muss.
Man kann jetzt etwa versuchsweise 6 Prozent in die Zelle E2 eingeben und erhält den
Endwert 14.688,66, also einen zu kleinen Wert, der Zinssatz muss wieder erhöht werden,
etwa auf 6,5 Prozent, was zu 15.163,10 führt. Mit ein wenig Geduld wird man bald zum
richtigen Wert 6,33 Prozent kommen.
Diese Sucherei ist umständlich, deshalb haben die Entwickler von Excel für solche
Probleme eine Lösung bereit gestellt, die so genannte
Zielwertsuche .
Dafür wird ein
kleiner Dialog benötigt, der in den älteren Versionen von Excel über die Menüfolge
Extras|Zielwertsuche geönet wird. Ab der Version Excel 2007 klicken Sie auf der
Registerkarte Daten in der Gruppe Datentools auf Was wäre wenn Analyse und
wählen dann Zielwertsuche.
Abbildung 1.5: Das Excel-Feature Zielwertsuche
Es önet sich das abgebildete Dialogfeld Zielwertsuche mit seinen drei Eingabefeldern. Die Zielzelle ist die Zelle, die einen bestimmten Wert erhalten soll, das ist hier die
Zelle B12. Der gewünschte Zielwert ist hier 15.000, dieser Zielwert dürfte auch in einer
Zelle stehen, dann müssen Sie diese Zelle angeben. Die veränderbare Zelle ist die Zelle,
die den Wert der Zielzelle bestimmt, das ist hier die Zelle E2 mit dem Zinssatz. Nach
Drücken der Schaltäche OK ermittelt Excel denjenigen Wert von E2, der in der Zelle
B12 zum gewünschten Wert führt, in diesem Fall 6,33 Prozent.
Sie können auch das Enddatum als veränderbare Zelle verwenden und etwa die Frage
stellen, an welchem Datum bei einem Zinssatz von 6,5 Prozent der Endbetrag von 15.000
Euro bei der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) erreicht ist. Excel versucht die Lösung
genau zu ermitteln und gibt neben dem Datum noch eine Tageszeit an, in unserem Fall
12.06.2006 02:10:53. Die Lösung selbst muss aber ein reines Datum sein, daher muss die
Tageszeit gelöscht werden. Der 12.6.2006 liefert dann mit dem Endwert von 14.999,76
Euro die beste Näherung an den gewünschten Endwert von 15.000 Euro.
33
1 Zinsrechnung
1.18 Gestaelte Verzinsung
Bis jetzt war der Zinssatz
i
während der gesamten Zeit der Geldanlage fest. Es gibt
aber Anlageformen mit zeitlich wechselnden Zinssätzen, meistens im jährlichen Abstand
mit steigenden Zinssätzen, um den Kunden langfristig zu binden. Das gilt für Bundesschatzbriefe und vielen Sparbriefe von Banken. Aber auch auf normalen Sparbüchern
wird die Verzinsung von Sparguthaben an die marktüblichen Zinssätze angepasst. Formelmäÿig ist so zu rechnen, als ob am ersten Tag, an dem der neue Zinssatz gilt, das
bisher erzielte Guthaben abgehoben und dann sofort wieder eingezahlt wird. In jedem
Zeitraum mit festen Zinsen wird die ausgewählte Zinsformel verwendet. Das folgende
Beispiel behandelt wechselnde Zinssätze auf einem Sparbuch.
Beispiel 1.22.
Ein Anleger zahlt am 19.3.2002 bei einem Zinssatz von 3 Prozent 1.000
Euro auf ein Sparbuch ein. Die Bank senkt den Zinssatz am 13.11.2004 auf 2 Prozent. Berechnen Sie den Betrag, den der Kunde am 21.4.2006 bei der Auösung seines Sparbuchs
erhält. Verwendet sei die Zinsmethode 30E/360 mit einem Zinstermin am Jahresende.
Man berechne ferner die Rendite
r̄
der Anlage nach der PAngV.
Zunächst wird die Entwicklung der Anlage vom 19.3.2002 bis zum 13.11.2004 bei gemischter Verzinsung mit einem Zinssatz von 3 Prozent ausgerechnet:

Einschlieÿlich des 19.3.2002 gibt es 2002

Dazu kommt das ganze Jahr 2003.

Im Jahr 2004 fallen
k1 = 12 + 9 · 30 = 282
k2 = 12 + 10 · 30 = 312
Zinstage.
Zinstage an, da der 13.11.2004 nicht
mehr zählt.
Somit besteht am 13.11.2004 ein Guthaben von
282
K1 = 1.000 1 + 0, 03 ·
360
312
1, 03 1 + 0, 03 ·
= 1.081, 61
360
Euro.
Vom 13.11.2004 bis zum 21.4.2006 vergehen folgende Zeiträume
k1 = 18 + 30 = 48

Tage vom 13.11.2004 bis 1.1.2005.
Das ganze Jahr 2005.
k2 = 3 · 30 + 20 = 110
Tage vom 1.1.2006 bis zum 21.4.2006, denn der letzte Tag
zählt nicht mehr.
Als Endkapital ergibt sich also 1.112,95 Euro.
Nach PAngV vergeht zwischen dem 19.3.2002 und dem 21.4.2006 die Zeit
tP = 2006 − 2002 + (4 − 3)/12 + (21 − 19)/365 = 4, 088812785,
34
1.19 Bundesschatzbriefe
die Rendite beträgt somit
r̄ =
1.112, 95
1.000
(1/4,088812785)
− 1 = 0, 026517931 %.
Anzugeben wären nach PAngV nur zwei Stellen nach dem Komma, d.h.
r̄ = 2, 65
Pro-
zent.
Beispiel 1.23.
1.000
Euro, das zunächst
i = 0, 04 und dai = 0, 03 bei gemischter Verzinsung
zwischen dem 1.2.2000 und dem 31.12.2002 bei einem Zinssatz von
nach noch bis zum 15.7.2006 bei einem Zinssatz von
angelegt wurde? Der einzige Zinstermin ist jeweils das Jahresende, die Zinsmethode sei
30E/360. Danach berechne man die Rendite.
Vom 1.2.2000 bis zum 1.1.2001 vergehen nach der Zinsmethode 30E/360 insgesamt
k1 = 330 Tage. Danach folgen zwei ganze Jahre. Ab 2004 wechselt der Zinssatz auf 3 Prozent. Der Zeitraum beginnt mit drei vollen Jahren und schlieÿt mit k2 = 180 + 14 = 194
Tagen. Somit gilt
Kt = 1000(1 + 0, 04 · 330/360)(1, 04)2 (1, 03)3 (1 + 0, 03 · 194/360) = 1.245, 04
Nach PAngV vergeht zwischen dem 1.2.2000 und dem 15.7.2006 die Zeit von
tP =
6 + 5/12 + 14/365 = 6, 455023. Somit ergibt sich aus Formel (1.23)
1/6,455023
1.245, 04
− 1 = 3, 45%
r̄ =
1.000
Das bekannteste Beispiel von gestaelter Verzinsung sind die Bundesschatzbriefe. Man
unterscheidet bei den Bundesschatzbriefen zwei Varianten:

Typ A mit sechs Jahren Laufzeit und jährlicher Zinsausschüttung.

Typ B, bei dem Zinsen und Tilgungsleistung erst am Ende der Laufzeit von sieben
Jahren in einer Summe ausgezahlt werden.
Bundesschatzbriefe werden in verschiedenen Ausgaben verkauft. Dabei existiert kein
fester Emissionsrhythmus. Vielmehr werden immer dann neue Bundesschatzbriefe ausgegeben, wenn die Renditen der laufenden Ausgabe nicht mehr den Marktgegebenheiten
entsprechen. Steigen zum Beispiel die Renditen für zehnjährige Bundesanleihen deutlich
an, werden auch die Nominalzinssätze und Renditen der Bundesschatzbriefe angepasst.
Das heiÿt konkret: es wird eine neue Ausgabe mit entsprechend höherer Verzinsung ausgegeben. So heiÿt es launig im Prospekt. Natürlich werden Bundesschatzbriefe immer
dann ausgegeben, wenn unsere ewig klamme Bundesregierung frisches Geld braucht.
35
1 Zinsrechnung
Der Zinssatz und damit die Rendite steigen bei beiden Bundesschatzbrief-Typen über
die Laufzeit hinweg an. In der folgenden Abbildung sind die Konditionen der Anfang
2010 ausgegebenen Bundessschatzbriefe zu sehen.
1
2
3
4
5
6
7
A
1
2
3
4
5
6
7
B
01.03.2010
01.03.2011
01.03.2012
01.03.2013
01.03.2014
01.03.2015
01.03.2016
C
0,25%
1,00%
1,75%
2,75%
3,50%
4,00%
4,00%
D
1,00250
1,01000
1,01750
1,02750
1,03500
1,04000
1,04000
E
1,0025000
1,0125250
1,0302442
1,0585759
1,0956261
1,1394511
1,1850291
F
0,25%
0,62%
1,00%
1,43%
1,84%
2,20%
2,45%
Abbildung 1.6: Konditionen von zwei Bundesschatzbriefen.
Typ A läuft nur sechs Jahre, wobei die Zinsen jährlich immer zum 1.3. ausgeschüttet
werden. Typ B läuft dagegen sieben Jahre und sammelt die Zinsen an, am Ende der
Laufzeit, d.h. am 1.3.2017 erhält der treue Kunde für je 100 Euro Nennwert 118,50
Euro ausgezahlt. Man kann aber zu jedem Zeitpunkt das Papier weiterverkaufen. In der
Spalte C stehen die jährlichen Zinsen i1 , i2 , . . . , i7 die von lächerlichen 0,25 % zwischen
2010 und 2011 auf 4 % zwischen 2015 und 2016 anwachsen. In der Spalte D sind die
jährlichen Aufzinsungsfaktoren
q1 = 1 + i 1 , q2 = 1 + i 2 ,
der Spalte E benden sich die Produkte der
...,
p7 = q1 · q 2 · · · q7 .
q7 = 1 + i7 zu sehen. In
Aufzinsungsfaktoren p1 = q1 , p2 = q1 · q2 ,
...,
Diese Zahlen sind die Werte eines Euro, der bis zum Ende des
jeweiligen Jahres angelegt wird. Die bis dahin erzielten Renditen sind in der Spalte F zu
sehen. Sie ergeben sich aus der Formel
r̄k = (pk )1/k .
1.19.1 Stückzinsen
Bei Bundesschatzbriefen liegen die Zinstermine immer auf dem Tag der Emission, bei
dem betrachteten Beispiel also immer auf dem 1.3. eines Jahres. Als Zinsmethode wird
ACT/ACT (ICMA) verwendet. Wird ein Bundesschatzbrief nicht an einem Zinstermin
erworben, muss der Käufer dem Verkäufer einen Teil der zum nächsten Zinstermin ausgeschütteten Zinsen erstatten, die sogenannten
Stückzinsen .
Das liegt daran, dass der
Bund zum Zinstermin dem dann aktuellen Eigentümer des Bundesschatzbriefes den Zinsertrag der gesamten Zinsperiode ausschüttet; Stückzinsen sind also gerade der Anteil an
diesem Zinsertrag, der beim Kauftermin bereits angefallen war.
Betrachten wir den Bundesschatzbrief vom Typ A und nehmen als Kauftermin den
1.6.2010 an. Der Käufer möchte einen Nennwert von 1.000 Euro erwerben. Zwischen dem
1.3. und dem 1.6. liegen nach ACT/ACT (ICMA) 92 Tage, somit fallen Stückzinsen im
Wert von
Sz = 1000 · 0, 0025 ·
36
92
= 0, 63 Euro
365
an. Der Käufer zahlt somit 1.000,63 Euro und erwirbt den Bundesschatzbrief zum Nennwert von 1.000 Euro. Die bereits vorgeleisteten Zinsen von 63 Cent werden durch die
vollständige Ausschüttung des Zinsertrages von 2,50 Euro am 1.3.2011 ausgeglichen.
Meist wird aber anders vorgegangen. Der Käufer gibt den Anlagebetrag vor, etwa
2.000 Euro. Dieser Betrag setzt sich aus den Stückzinsen und dem Nennwert zusammen.
Sei
B
der Anlagebetrag und
N
der Nennwert sowie
Sz
die Stückzinsen, so gilt
B = N + Sz,
k1
d.h.
Sz = N · i ·
y1
B
N=
,
1 + i · k1/y1
wobei hier
k1
die kalendergenau gezählten Tage zwischen dem letzten Zinstermin und
dem Kaufdatum sind und
y1
die genaue Anzahl von Tagen des entsprechenden Jahres.
In unserem Beispiel erwirbt der Käufer bei einem Anlagebetrag von 2.000 Euro in den
Bundesschatzbrief Typ A von 2010 zum 1.6.2010 einen Nennwert von
N=
2.000
= 1998, 74 Euro.
1 + 0, 0025 · 92/365
Auf diesen Nennwert beziehen sich die folgenden Zinserträge und die Rückerstattung
des Kapitals. Dieser Bundesschatzbrief vom Typ A wird am Jahr 1.3.2016 auslaufen,
der Käufer erhält dann seinen Nennwert von
1998, 74
erstattet und bekommt zusätzlich
vom 1.3.2011 bis zum 1.3.2016 Zinsen auf diesen Nennwert, wobei die Zinssätze in der
Spalte C der auf Seite 36 abgebildeten Excel-Tabelle stehen.
Die Berechnung des Nennwerts ist bei Bundesschatzbriefen vom Typ B etwas anders,
da vor dem Ende der Laufzeit die Zinsen nicht ausgeschüttet sondern gesammelt werden.
Sei angenommen, dass am 13.11.2012 für 4.000 Euro ein Bundesschatzbrief vom Typ B
gekauft wird. Der gesuchte Nennwert
N
hat am 1.3.2012 den Wert
ZW = N · 1, 0025 · 1, 01 = N · 1, 012525.
Zwischen dem 1.3.2012 und dem 13.11.2012 liegen
y1 = 366 Tagen, der Zinssatz
ZW vergröÿert sich somit auf
Schaltjahr mit
Zwischenwert
k1 = 257
Tage, das Jahr 2012 ist ein
des Jahres 2012 beträgt
i = 0, 0175,
der
4.000 = ZW (1 + 0, 0175 · 257/366).
Damit ergibt sich
N=
4.000
= 3902, 56 Euro.
1, 012525(1 + 0, 0175 · 257/366)
Das Beispiel ist nicht ganz wirklichkeitsnah, da der Bund so lange nach der Emission
längst neue Bundesschatzbriefe ausgegeben hat und nun diese und nicht die Vorgänger
verkauft. Bundesschatzbriefe dürfen aber privat veräuÿert werden und da kann die obige
Rechnung einen guten Richtwert liefern.
37
1 Zinsrechnung
1.19.2 Rückgabe und Verkauf von Bundesschatzbriefen
Bundesschatzbriefe dürfen im ersten Jahr nach Ausgabe nicht zurückgegeben werden.
Der Bund sichert sich damit den sehr niedrigen Anfangszinssatz. Nach einem Jahr darf
der jeweilige Inhaber einen Betrag von 5.000 Euro zurückgeben, egal wie lange er oder
sie das Papier schon besitzt. Nach Ablauf von 30 Tagen dürfen weitere 5.000 Euro
zurückgegeben werden, usw. Hat man also 100.000 Euro investiert, benötigt man 600
Tage zur vollständigen Rückgabe eines Bundesschatzbriefes. Man kann die Verfügbarkeit
erhöhen, wenn man die Anlage auf mehrere Konten mit einer Höchstanlage von 5.000
Euro verteilt. Bundesschatzbriefe dürfen aber privat veräuÿert werden. Der Kaufpreis ist
dann natürlich anders als bei der Rückgabe an den Bund frei verhandelbar und richtet
sich nach dem allgemeinen Zinsniveau. Bundesschatzbriefe können wegen ihrer hohen
Sicherheit auch beliehen werden. Der Bank oder einem anderen Gläubiger dient der
Bundesschatzbrief als Sicherheit, der Gläubiger wird aber in der Regel einen höheren
Sollzinssatz verlangen als die Zinssätze des Bundesschatzbriefes.
Auch bei der Rückgabe von Bundesschatzbriefen müssen Stückzinsen berücksichtigt
werden. Sei wieder der bereits vertraute Bundesschatzbrief vom Typ A vom 1.3.2010
betrachtet und angenommen, dass der Inhaber am 19.1.2015 einen Betrag im Nennwert
von 4.000 Euro an den Bund zurückgibt. Sowohl 2014 als auch 2015 sind keine Schaltjahre. Zwischen dem 1.3.2014 und dem 19.1.2015 liegen 324 Tage, der Zinssatz hat die
Höhe von 0,035 erreicht, der Nennwert verzinst sich einfach auf den Wert
RG = 4.000 · (1 + 0, 035 · 324/365) = 4.124, 27 Euro.
Dieser Betrag wird dem Verkäufer gutgeschrieben. Die Stückzinsen im Wert von 124,27
Euro muss der Verkäufer allerdings versteuern.
Nun berechne ich den Rückgabewert bei sonst gleichen Daten für einen Bundesschatzbrief vom Typ B. Der ursprüngliche Nennwert von 4.000 Euro hat bis zum 1.3.2014 auf
den Wert
W = 4.000 · 1, 0025 · 1, 01 · 1, 0175 · 1, 0275 = 4.000 · 1, 0585759 = 4.234, 30 Euro.
erhöht. Dieser Wert wird nun einfach bis zum Kauftermin verzinst und erreicht dann
den Rückgabewert
RG = 4.234, 30(1 + 0, 035 · 324/365) = 4.365, 86 Euro.
Dieser Betrag wird dem Verkäufer gutgeschrieben. Der Rückgabewert ist höher als
beim Typ A, weil anders als beim Typ A zwischenzeitlich keine Zinsgutschriften erfolgten. Die angesammelten Zinsen im Wert von 365,86 Euro muss der Verkäufer versteuern.
1.19.3 Steuerliche Behandlung
Zinserträge müssen versteuert werden. Sie fallen beim Bundesschatzbrief vom Typ A
jährlich an und müssen entsprechend jährlich versteuert werden. Da für Erträge aus
38
Kapitaleinkünften ein Freibetrag von 801 Euro gilt, ist die jährliche Ausschüttung meist
vorteilhaft, zumal bei den derzeitig niedrigen Zinssätzen.
Beim Bundesschatzbrief vom Typ B erhält man sechs Jahre lang keine Zinsen, dafür
am Ende des siebten Jahres alle angesammelten Zinsen einschlieÿlich des eingesetzten
Kapitals auf einen Schlag. Im Beispiel des Bundesschatzbriefes vom Typ B mit Erstausgabe am 1.3.2010 muss bei einer Anlage im Nennwert von 100.000 Euro ein Zinsertrag
von
118.502, 91 − 100.000 = 18.502, 91 Euro
versteuert werden. Diese Art der gesammelten Ausschüttung bietet sich an, wenn man
weiÿ, dass zum Zeitpunkt der Ausschüttung nur geringe andere Einkünfte zu erwarten
sind, etwa bei einem Selbstständigen, der sich ein Jahr Pause von der Arbeit gönnt oder
ganz zu arbeiten aufhört.
39
1 Zinsrechnung
1.20 Zusammenfassung
1.20.1 Zeitmessung
In der Finanzmathematik wird die zeitliche Entwicklung von Guthaben betrachtet. Am
Anfang stehen daher Methoden zur Berechnung der Zeit. Es werden folgende Bezeichnungen verwendet:
Bezeichner
Bedeutung
D1
M1
Y1
D2
M2
Y2
t1 = (D1 , M1 , Y1 )
t2 = (D2 , M2 , Y2 )
N act(t1, t2)
Anfangstag
Anfangsmonat
Anfangsjahr
Endtag
Endmonat
Endjahr
Anfangsdatum
Enddatum
Kalendergenaue Zahl von Tagen zwischen
t1 und t2, wobei immer
der erste Tag zählt und der letzte nicht.
y1
y2
k1
Y1
Anzahl der Tage im Jahr Y 2
Anzahl der Tage im Jahr Y 1 bis zum Jahresende, d.h. k1 =
N act(t1, 1.1.Y 1 + 1)
Anzahl der Tage im Jahr Y 2 vom Jahresanfang bis t2, d.h. k2 =
N act(1.1.Y 2, t2)
die Anzahl der ganzen Jahre zwischen t1 und t2
min(30, D1)
min(30, D2)
30 falls D1 der letzte Tag des Monats ist. Sonst D1/U = D1
D2 wenn D2 < 31 oder D1/U < 30. Sonst D2/U = 30.
Anzahl der Tage im Jahr
k2
n
D1/E
D2/E
D1/U
D2/U
Vereinfachte Tagzählung nach 30E/360 (deutsch) bzw. nach 30U/360 (amerikanisch)
N 360E = (Y 2 − Y 1)360 + (M 2 − M 1)30 + (D2/E − D1/E)
N 360U = (Y 2 − Y 1)360 + (M 2 − M 1)30 + (D2/U − D1/U )
Die Zeit
t
wird damit wie in der folgenden Tabelle berechnet.
ACT/ACT (ICMA)
(
N act/y1
Y2 = Y1
k1/y1 + n + k2/y2 Y2 > Y1
40
ACT/360
ACT/365
30E/360
30U/360
N act/360 N act/365 N 360E/360 N 360U/360
1.20.2 Zeit nach PAngV
Zunächst wird der Tag von
D1
auf
D1
geändert:
(
D1 D1 < 31
D1 =
30 D1 = 31
Genauso wird
D2
berechnet. Die Zeit
tP
oder
oder
D1 < 28
D1 ≥ 28
und
und
M1 = 2
M1 = 2
(1.30)
nach PAngV ist dann
(
Y 2 − Y 1 + (M 2 − M 1)/12 + (D2 − D1)/365
D2 ≥ D1
tP =
Y 2 − Y 1 + (M 2 − M 1 − 1)/12 + (D2 + 30 − D1)/365 D2 < D1
(1.31)
1.20.3 Zinsformeln
Exponentielle Verzinsung:
Stetige Verzinsung:
Einfache Verzinsung:
Gemischte Verzinsung:
Renditeformel:
Kt = K0 (1 + i)t
Kt = K0 eit
Kt = K0 (1
+ it) 1+
Kt = K0 1 + i k1
y1
1/tP
r̄ = (Kt /K0 )
−1
(ExpV)
(SteV)
(EinV)
i n
m
1 + i k2
y2
(GemV)
(RenF)
Hier sind
K0 und Kt das Anfangs- und Endkapital zu den Zeiten 0 und t.
i der nominelle Jahreszinssatz Zinssatz.
t die Laufzeit entsprechend der gewählten Zinsmethode.
tP die Laufzeit nach PAngV.
r̄ die Rendite.
m die Anzahl von Zinsperioden pro Jahr.
k1 die Anzahl von Tagen vom Anfang bis zum ersten Zinstermin.
y1 die Anzahl der Tage im ersten Jahr.
k2 die Anzahl von Tagen vom letzten Zinstermin bis zum Ende.
y2 die Anzahl der Tage im letzten Jahr.
n die Anzahl der vollständigen Zinsperioden.
Dabei müssen die Werte von k1, y1, k2 und y2 gemäÿ der verwendeten Zinsmethode
berechnet werden.
41
1 Zinsrechnung
1.21 Praktikumsaufgaben
Aufgabe 1.
Erstellen Sie die Funktion
LAUFZEIT(Anfdat;Enddat;Basis)
mit
Visual Basic. Hier sind

Anfdat: ist ein Datum, das dem Anfangsdatum entspricht.

Enddat: ist ein Datum, das das Enddatum angibt.

Basis: gibt an, welche Zinsmethode verwendet wird. Es sind sieben Werte möglich.
Lässt man den dritten Parameter ganz weg oder 0: 30U/360 (amerikanisch),
1: ACT/ACT (EXCEL),
2: ACT/360 (Eurozins),
3: ACT/365 (Englisch),
4: 30E/360 (Deutsch),
5: ACT/ACT (ICMA) ,
6: PAngV.
Diese Funktion stimmt also für die Parameterwerte 0 bis 4 mit der Excel-Funktion
BRTEILJAHRE überein. Im Visual Basic Code werden Arbeitsblattfunktionen mit ihrem
Excel.WorksheetFunction.YearFrac.
englischen Bezeichner aufgerufen, hier
Aufgabe 2.
Erstellen Sie das abgebildete Formular, das für alle besprochene Verzin-
sungsarten und Zinsmethoden bei Eingabe von jeweils vier Werten den fünften berechnet.
Der zu berechnende Wert soll durch ein Optionsfeld auszuwählen sein und optisch wie
abgebildet von den anderen Eingabefeldern abgehoben sein.
Abbildung 1.7: Ein universelles Zinsformular
42
1.22 Aufgaben
1.22 Aufgaben
Aufgabe 1.
Für die folgenden Zeiträume berechne man für alle vorgestellten Zinsme-
thoden die jeweils verstrichene Zeit: 24.8.2000 bis zum 13.3.2004, 30.8.2000 bis zum
31.3.2001, 29.8.2000 bis zum 31.3.2002 und 28.2.2000 bis zum 31.3.2002.
Aufgabe 2.
Man berechne den Endwert und den Zinsbetrag bei exponentieller, stetiger
1.000.000 Euro, das im Zeitraum
Zinssatz von i = 0, 08 angelegt wurde.
und einfacher Verzinsung für ein Kapital von
vom
30.03.2000 bis zum 31.10.2001 bei einem
Man
verwende alle vorgestellten Zinsmethoden, bis auf die nach PAngV und berechne jeweils
auch die Rendite.
Aufgabe 3.
i = 0, 08 angelegt wurde.
27.4.2000 bis zum bis 28.1.2002 bei einem Zinssatz von
vom
Man
auch die Rendite.
Aufgabe 4.
Der Zinssatz
i
bei stetiger Verzinsung sei so, dass aus
eines Monats bei der Zinsmethode 30E/360
a) Welchen Wert hat
101
c) Wie groÿ ist die Rendite
Euro werden.
r̄
1.000
Euro nach zwei Jahren?
nach PAngV?
Eine Freundin verleiht Ihnen 10.000 Euro für vier Monate und verlangt
10.100 Euro zurück. Sie behauptet, ihre Rendite sei nur
Aufgabe 6.
Euro innerhalb
i?
b) Welchen Wert hat ein Anfangskapital von
Aufgabe 5.
100
3
Prozent. Wie sehen Sie das?
Eine Bank bietet einen so genannten abgezinsten Sparbrief wie folgt an:
Der Kunde zahlt einmalig 900 Euro und erhält nach Ablauf von drei Jahren 1.000 Euro
zurück. Wie hoch ist die Rendite?
Aufgabe 7.
Jemand legt bei stetiger Verzinsung zu einem jährlichen Nominalzinssatz
von 8 Prozent vom 1.1.1987 bis zum 1.1.1992 ein Kapital von 1.000 DM an.
a) Warum ist keine Zinsmethode angegeben?
b) Wie hoch ist der Endbetrag?
c) Wie groÿ ist die Rendite nach PAngV?
d) Durch welchen Zinssatz
i würde man mit exponentieller Verzinsung diesen Endbetrag
erreichen?
Aufgabe 8.
von 8 Prozent vom 30.6.1986 bis zum 30.9.1991 ein Kapital von 1.000 DM an, wobei die
Zinsmethode 30E/360 verwendet wird.
43
1 Zinsrechnung
a) Wie hoch ist der Endbetrag?
b) Wie groÿ ist die Rendite nach PAngV?
c) Durch welchen Zinssatz würde man auf einem Sparbuch mit gemischter Verzinsung
diesen Endbetrag erreichen? Rechnen Sie mit der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA)
und einem Zinstermin am Jahresende.
Aufgabe 9.
An welchem Tag ist jeweils bei exponentieller, stetiger und einfacher Ver-
zinsung ein bei einem Zinssatz von 5 Prozent am 13.11.2000 angelegtes Kapital von
1.500 Euro auf 2.000 Euro angewachsen? Die Zinsmethode sei 30E/360. Wie hoch ist
der tatsächliche Endbetrag jeweils?
Aufgabe 10.
Jemand legt auf einem Sparbuch mit gemischter Verzinsung und einem
Zinstermin am Jahresende zu einem jährlichen Zinssatz von 8 Prozent vom 30.6.1986 bis
zum 30.6.1991 ein Kapital von 1.000 DM an.
a) Wie hoch ist der Endbetrag bei der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA)?
c) Welcher Zinssatz
ρ
würde bei stetiger Verzinsung mit der Zinsmethode ACT/ACT
(ICMA) zum selben Endbetrag führen?
Aufgabe 11.
Man berechne das Endkapital bei gemischter Verzinsung für ein Kapital
1.000.000 Euro, das im Zeitraum vom 30.8.2000 bis zum 12.8.2006 bei einem Zinssatz
von i = 0, 08 angelegt wurde. Verwenden Sie die alle Zinsmethoden und rechnen Sie mit
von
einer, zwei und vier Zinsperioden.
Aufgabe 12.
Jemand legt auf ein Bausparkonto zu einem jährlichen Zinssatz von 2
Prozent vom 21.4.1986 bis zum 31.7.1991 ein Kapital von 1.000 DM an. Rechnen Sie
mit vier Zinsperioden und der Zinsmethode 30E/360.
b) Wie groÿ ist die Rendite
r̄
nach PAngV?
c) Welcher Zinssatz würde bei gleicher Zinsmethode aber nur einer Zinsperiode pro Jahr
zum selben Endbetrag führen?
Aufgabe 13.
Ein Betrag von 1.000 Euro wird zwei Jahre zu einem Nominalzinssatz
von 6 Prozent mit monatlicher Zinsperiode angelegt. Man berechne den Kapitalendwert
und die Rendite!
Aufgabe 14.
Ein Bausparer zahlt am 1.1.2000 12.000 Euro auf ein Bausparkonto mit
vier Zinsperioden. Nach genau vier Jahren hat er 12.996,85 Euro auf seinem Konto. Man
berechne den Nominalzinssatz und die Rendite.
44
1.22 Aufgaben
Aufgabe 15.
Herr XY zahlt am 31.3.2000 auf ein besonders günstiges Sparbuch einer
niederländisch-türkischen Bank 8.000 Euro ein und erhält bis zum 30.9.2003 einen Zinssatz von 4 Prozent, von da an bis zum Vertragsende am 31.3.2006 einen Zinssatz von
6 Prozent. Berechnen Sie den Betrag, den der Kunde dann erhält. Verwendet sei die
Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) mit einem Zinstermin am Jahresende. Man berechne
ferner die Rendite
Aufgabe 16.
r̄
Frau XY hatte am 19.3.2000 einen Betrag von 8.000 Euro auf ein Spar-
buch einer Bank mit Sitz auf den Cayman-Inseln eingezahlt, und am 19.3.2005 wieder
abgehoben. Der Sparzins betrug anfänglich 4 und stieg danach auf 6 Prozent. Frau XY
wollte eine Rendite nach deutscher Rechnung von 5 Prozent erzielen. An welchem Tag
musste dafür der Zins gewechselt werden? Die Zinsmethode war ACT/ACT (ICMA).
Aufgabe 17.
Frau XY erwarb am 1.3.2010 einen Bundesschatzbrief des Typs B im
Wert von 4.000 Euro zu den in der Abbildung 1.6 auf Seite 36 gezeigten Konditionen.
Am 13.11.2014 gerät die inzwischen wieder ledige Frau XY in Geldnot und muss den
Bundessschatzbrief an den Bund zurückgeben oder verkaufen.
a) Welchen Rückgabewert hat das Wertpapier?
b) Ein Freund bietet an, den Bundesschatzbrief zu kaufen, wobei der Kaufpreis so sein
soll, dass das Papier eine Rendite von 3 Prozent erzielt, wenn es bis zum Ende der
Laufzeit gehalten wird. Wie hoch wäre dieser Kaufpreis? Wie soll sich die unglückliche
Frau XY entscheiden? Wie ist ihre steuerliche Situation in diesem Fall?
45
2 Barwert und Rendite von
Zahlungsströmen
Zinsen haben zwei Rollen, sie legen fest, wie sich ein heute investiertes Kapital entwickeln wird, das ist die Aufzinsungsfunktion, wofür die bereits vorgestellte Zinsrechnung
entwickelt wurde. Über Kalkulationszinssätze werden aber auch die heutigen Werte von
Zahlungen ermittelt, die erst in Zukunft fällig werden. Der heutige Wert einer erst später
fälligen Zahlung wird als deren Barwert bezeichnet. Der Barwert ist immer geringer als
der in der Zukunft fällige Betrag. Der Abschlag wird umso höher sein, je weiter in der
Zukunft entfernt die Zahlung erfolgt und je höher das Ausfallsrisiko ist. Der Abschlag
wird durch einen der Situation angemessenen Zinssatz berechnet, das ist die Abzinsungsfunktion der Zinsrechnung. Zinsen und Barwert hängen also eng miteinander zusammen.
Während bislang lediglich eine einmalige Kapitalanlage in ihrer Wertentwicklung beobachtet wurde, sollen nun auch mehrfache Zahlungen, so genannte Zahlungsströme betrachtet sein. Renditeberechnungen und Anlageentscheidungen werden dann komplexer
und erfordern neue mathematische Ansätze. Dabei hat sich die Nettobarwertmethode
besonders bewährt, wobei Investitionen bezüglich ihres gegenwärtigen Wertes verglichen
werden. Der Nettobarwert eines Zahlungsstroms ist die Summe seiner mit einem Kalkulationszinssatz
r
ermittelten Einzelbarwerte.
2.1 Konto
Eine Geldanlage wird als
Konto
geführt. Ein Konto erfasst den Wert und die Zeit von
Geschäftsvorfällen in Tabellenform, wobei Zu- und Abgänge auf zwei getrennten Spalten
verbucht werden, die als Soll und Haben bezeichnet werden. Dadurch werden negative
Zahlen vermieden. Zur besseren Übersicht wird nanzmathematisch nur eine Spalte verwendet, d.h. die Habenseite des Kontos besteht dann aus Zahlungen mit positiven und
die Sollseite aus solchen mit negativen Vorzeichen. Ein Konto fängt mit einem Anfangsbestand an, dann folgen zu ebenfalls verbuchten Zeitpunkten Zu- uns Abüsse, die in
ihrer Summe den Endbestand ergeben. In der klassischen Buchführung werden Soll- und
Habenseite getrennt summiert, die Saldo genannte Dierenz und ergibt den Endbetrag.
Die Bilanz eines Unternehmens hat genau wie ein normales Konto zwei Spalten, die
Aktiva und Passiva genannt werden. Die Aktiva bilden die linke Spalte mit der wertmäÿigen Erfassung aller Vermögenswerte des Unternehmens. Die Passiva bilden die rechte
Spalte mit der wertmäÿigen Erfassung aller Verbindlichkeiten des Unternehmens. Der
Saldo ist der letzte Eintrag auf der Passivseite, es ist die Dierenz zwischen der Summe
aller Vermögenswerte und der Summe aller Werte der Verbindlichkeiten.
46
2.2 Der Barwert
2.2 Der Barwert
Die Zinsrechnung ermittelt wie sich ein heute angelegtes Kapital im Laufe der Zeit
entwickeln wird. Man möchte aber auch umgekehrt wissen, welchen Wert eine erst zum
Zeitpunkt
t
fällige Zahlung
C
present value , abgekürzt PV.
heute hat. Man nennt diesen Wert den
Barwert , englisch
Aus dieser Denition des Barwerts geht nicht hervor, wie er zu berechnen ist. Sicher
ist nur, dass für alle Zahlungen in der Zukunft ein Abschlag erfolgt, 10.000 Euro heute
sind wertvoller als 10.000 Euro, die etwa eine Lebensversicherung in einem Jahr bezahlt,
was wiederum wertvoller ist als eine Auszahlung desselben Betrags in zwei Jahren. Die
Bewertung des in einem Jahr fälligen Betrages geschieht über die Überlegung, welcher
heutige Betrag
PV
dann bei einem Zinssatz
r auf 10.000 Euro angewachsen ist, wobei bei
Barwertberechnungen immer exponentielle Verzinsung und zumindest in Deutschland
immer die Zinsmethode PAngV verwendet wird. Damit folgt für den Barwert eines in
einem Jahr ausgezahlten Betrags von 10.000 Euro
P V (1 + r) = 10.000,
10.000
.
PV =
1+r
Damit ist das Problem aber immer noch nicht gelöst, denn es bleibt die Frage, welcher
Zinssatz
r
in die Gleichung einzusetzen ist. Dieser Zinssatz wird sich an den gängigen
Marktzinsen für Bundesanleihen orientieren und je nach Risiko der Zahlung einen Aufschlag erhalten.
Im allgemeinen Fall bezieht sich der Barwert auf einen zum zukünftigen Zeitpunkt
t
C . Der Barwert hängt also von der Höhe des Betrags und dem Zeitpunkt
Fälligkeit ab, er ist deshalb eine Funktion des Paars (C, t). Der Barwert ist eine
fälligen Betrag
seiner
rein kalkulatorische Gröÿe und wird wie folgt berechnet:

Es wird ein Zinssatz
r
gewählt, der dem mit der Zahlung
C
verbundenen Risiko
entspricht.

Der Barwert
P V (r)
ist der Wert, der bei exponentieller Verzinsung zu diesem
Zinssatz von heute an bis zum Zeitpunkt
t
auf
C
anwachsen würde:
P V (r) = (1 + r)−t C.
(2.1)
Dabei wird international die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) und national die
Zinsmethode PAngV benutzt. Der Barwert ist also der mit dem Zinssatz
tierte Wert von
r
diskon-
C.
Der Barwert ist eine Funktion
r 7→ P V (r)
vom Rechnungszinssatz
P V (0) = C,
lim P V (r) = 0
r→∞
r.
Es gilt
(2.2)
(2.3)
Der hier verwendete Zinssatz r ist kein Zinssatz eines tatsächlichen Geldgeschäfts, sondern eine Rechengröÿe. Ich bezeichne kalkulatorische Zinssätze immer mit r.
47
2 Barwert und Rendite von Zahlungsströmen
Beispiel 2.1.
von
1.000.000
Berechnen Sie die Barwerte einer in einem halben Jahr fälligen Zahlung
Euro für die Diskontierungszinssätze von
r = 0, 02
und
r = 0, 08.
P V (0, 02) = 1.000.000 · 1, 02−1/2 = 990.147, 54,
P V (0, 08) = 1.000.000 · 1, 08−1/2 = 962.250, 45
Die beiden Barwerte unterscheiden sich also um rund 28.000 Euro.
2.3 Zahlungsstrom
Ein Anlagekonto wird nanzmathematisch durch einen so genannten Zahlungsstrom
dargestellt. Ein
Zahlungsstrom
ist eine Folge von Zahlungen und den Zeitpunkten ihrer
Verbuchung, also eine Folge von Paaren
(Ci , ti ), wobei Ci der zum Zeitpunkt ti verbuchte
Wert der i-ten Zahlung ist. In der tatsächlichen Kontoführung würde der Zahlungsstrom
in zwei Zahlungsströme aufgeteilt, wobei der eine alle Zahlungen mit positiven und der
andere alle Zahlungen mit negativen Vorzeichen umfasst. Die Zeitpunkte
ti
sind bei
einem Konto Datumswerte wie der 13.11.2000, in der Finanzmathematik oft aber schon
Zahlen, die den Abstand zu einem Ausgangsdatum darstellen, also Zeitspannen.
Bemerkung 2.1.
Bei einem Zahlungsstrom wird immer still schweigend vorausgesetzt,
dass die Folge der Zeiten
ti
aufsteigend in der Form
t0 < t1 < . . . < tn
angeordnet ist.
2.3.1 Beispiel eines Zahlungsstroms
Betrachten wir ein Versicherungsunternehmen, das für Groÿkunden deren betriebliche Altersvorsorge renanziert. Die mathematische Abteilung geht dabei innerhalb der
nächsten drei Jahre von folgenden Zahlungsverpichtungen aus. Bereits nach einem halben Jahr sind 100 Mio. Euro fällig, nach anderthalb weitere 150 Mio. Euro und nach
drei Jahren noch 400 Mio. Euro. Der Zahlungsstrom ist also
C = [(100, 1/2), (150, 3/2), (400, 3)].
Man kann ihn sich in Tabellenform oder auf einem Zeitstrahl veranschaulichen. Alle
Angaben in Mio. Euro.
100
150
400
-
0
1/2
1
3/2
2
5/2
t
3
2.4 Der Barwert eines Zahlungsstroms
Man muss sich wie in dem obigen Beispiel zunächst eine Übersicht über alle Ein- und
Auszahlungen sowie deren Zeitpunkten verschaen. Der Zahlungsstrom wird dann auf
48
2.4 Der Barwert eines Zahlungsstroms
einem Zeitstrahl oder mit einer Tabelle dargestellt. Die Zeitpunkte werden dabei als
Zeitspannen, d.h. als Abstände zu einem Bezugspunkt, dargestellt. Der Barwert des
Zahlungsstroms ist die Summe aller Barwerte. Es wird also ein Kalkulationszinssatz
r
gewählt, mit dem alle Zahlungen diskontiert werden, d.h.
P V (r) =
n
X
(1 + r)−ti Ci .
(2.4)
i=0
In unserem Beispiel ergibt sich in Mio. Euro
P V (r) = 100 (1 + r)−0,5 + 150 (1 + r)−1,5 + 400 (1 + r)−3 .
Die Barwertfunktion ist streng monoton fallend, wenn alle Zahlungen positiv sind. Es
gilt
P V (0) =
n
X
Ck ,
(2.5)
k=0
lim P V (r) = 0
(2.6)
r→∞
Den Graph dieser Funktion sehen Sie in der nächsten Abbildung:
700
600
(
500
P
400
V
300
r
200
)
100
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
Zinssatz r
Abbildung 2.1: Die Barwertfunktion
Das Versicherungsunternehmen muss für die künftigen Zahlungsverpichtungen in der
Passivseite der Bilanz eine Rückstellung ausweisen. Dazu muss ein Wert für
werden. Je nach Gröÿe von
r
r
gewählt
schwankt die Rückstellung dann zwischen 650 Mio. und 0
Mio. Euro. In der Abbildung 2.1 sind noch völlig unrealistische Zinssätze bis 60 Prozent
zu sehen. Der Gesetzgeber schreibt den Versicherungsunternehmen einen Rechnungszinssatz vor, den ich
rz
nennen will und dessen Wert 0,03 sei. Die Rückstellung des
Unternehmens beträgt deshalb in Mio. Euro
P V Z := P V (rz ) = 100 (1, 03)−0,5 + 150 (1, 03)−1,5 + 400 (1, 03)−3 = 608, 08.
49
Wenn das Unternehmen diesen Betrag zurückstellt und ein halbes Jahr zum Rechnungszins bei exponentieller Verzinsung anlegt, verfügt es dann über 617,14 Mio. Euro, wovon
100 Mio. Euro abgehen. Der verbleibende Rest erhöht sich durch die Zinsen bis zum
Zeitpunkt 1,5 auf 532,65 Mio. Euro, wovon die Zahlung über 150 Mio. Euro getragen
wird. Der Rest von 382,65 Mio. Euro erhöht sich in den letzten 1,5 Jahren genau auf die
nun fälligen 400 Mio. Euro.
Der Rechnungszins wird sehr vorsichtig angesetzt und liegt in der Regel unterhalb
des tatsächlich zu erzielenden Marktzinses, den ich mit
rm
bezeichne und dessen Wert 5
Prozent sei. Wenn es dem Versicherungsunternehmen mit Aktivgeschäften gelingt, diesen
Marktzins zu erzielen, wird die tatsächlich benötigte Rückstellung geringer ausfallen,
nämlich
P V M := P V (rm ) = 100 (1, 05)−0,5 + 150 (1, 05)−1,5 + 400 (1, 05)−3 = 582, 54,
d.h. das Versicherungsunternehmen hat eine stille Reserve von 25,54 Mio. Euro, die nach
den drei Jahren auf 29,57 Mio. Euro angewachsen ist, wenn das Versicherungsunternehmen bei Geldanlagen den Marktzins erzielt. Man sieht das auch durch Verfolgung des
Kassenbestandes des Versicherungsunternehmens.
Der zurückgestellte Betrag von 608,08 Mio. Euro wächst in einem halben Jahr bei
exponentieller Verzinsung zum Marktzins auf 623,10 Mio. Euro an, wovon 100 Mio.
Euro abgehen. Der verbleibende Rest erhöht sich durch die Zinsen bis zum Zeitpunkt
1,5 auf 549,25 Mio. Euro, wovon die Zahlung über 150 Mio. Euro getragen wird. Der
Rest wächst bis zum Ende auf 429,57 Mio. Euro, wovon nach Abzug der fälligen 400
Mio. Euro der schon errechnete Überschuss bleibt.
2.5 Äquivalenz von Zahlungsströmen
Der einfache Bankkunde möchte entweder Geld anlegen oder leihen. Die Konditionen
der Banken unterscheiden sich meistens nach Zeitpunkten und der Höhe der Zahlungen.
Bei einer Anlage wird der Kunde zunächst eine Reihe von Einzahlungen leisten und
danach das angesammelte Kapital auf einen Schlag oder als eine Folge von Zahlungen
zurück erhalten. Bei einem Kredit sieht es genau umgekehrt aus, zunächst leiht die Bank
einen Betrag und fordert danach Rückzahlungen. Ähnlich sieht es bei Investitionen eines
Unternehmens aus. Zunächst wird über eine bestimmte Zeitspanne in eine neue Anlage
investiert, was zu Geldabüssen
dann Einnahmen
Ek
Aj
zu den Zeitpunkten
zu den Zeitpunkten
tj
führt. Der Investition folgen
tk .
Der Vergleich von zwei Zahlungsströmen ist also eine wichtige Aufgabe der Finanzmathematik. Dabei gibt es zwei Ansätze, man vergleicht entweder die Barwerte oder die
Endwerte. Beim Barwertvergleich wählt man einen sinnvollen Kalkulationszinssatz
r und
berechnet die jeweiligen Barwerte. Beim Endwertvergleich wird eine der vorgestellten
Verzinsungsarten gewählt und dann werden die sich nach den Regeln der Zinsrechnung
ergebenden Endwerte verglichen.
Zwei Zahlungsströme sind als gleichwertig anzusehen, wenn sie denselben Barwert
oder denselben Endwert haben. Die formale Denition lautet:
50
2.5 Äquivalenz von Zahlungsströmen
Denition 2.1.
A = (Aj , tj ) und B = (Bk , tk ) zwei Zahlungsströme. Sie heiÿen
äquivalent zum Zinssatz r, wenn sie bezüglich dieses Zinssatzes denselben Barwert haben.
Seien
Ist der Endwert identisch, werden sie
äquivalent zum Endwert
genannt.
Zwei äquivalente Zahlungsströme haben also nach dieser Denition bezüglich des gewählten Zinssatzes denselben Barwert, das heiÿt aber nicht, dass sie auch zu diesem
Zinssatz denselben Endwert haben. Das trit nur zu, wenn die Verzinsung exponentiell
ist.
Satz 2.1. Zwei zum Zinssatz r äquivalente Zahlungsströme A = (Aj , tj ) und B =
(Bk , tk ) haben bei exponentieller Verzinsung auch denselben Endwert. Vergeht zwischen
dem Anfangs- und dem Enddatum die Zeitspanne ∆t, so gilt für den Endwert E∆t eines
Zahlungsstroms
E∆t = (1 + r)∆t P V (r)
Sind alle Zahlungen positiv und die beiden Zahlungsströme nicht identisch, so gibt es
genau einen Zinssatz zu dem sie äquivalent sind. In der Praxis geht man meist umgekehrt
vor. Man legt eine der beiden Zahlungsströme fest, einigt sich auf einen Zinssatz
r
und
erzwingt dann Äquivalenz.
Beispiel 2.2.
Ein treusorgender Vater möchte seinem Sprössling eine unbeschwerte Stu-
dienzeit ermöglichen. Er vereinbart mit seiner Bank Einzahlungen von je 20.000 Euro
sofort, ein halbes Jahr danach und am Ende des ersten Jahres. Die Bank zahlt vom Ende
R.
Wert R
des zweiten bis zum Ende des fünften Jahrs eine Rate
zum Zinssatz
r = 0, 03
äquivalent sein. Welchen
Beide Zahlungsströme sollen
hat der jährliche Scheck des
glücklichen Sohnes?
Zunächst werden die beiden Zahlungsströme angegeben:
A = [(20.000, 0), (20.000, 1/2), (20.000, 1)],
B = [(R, 2), (R, 3), R, 4), R, 5)].
Der Barwert von
A
zum Kalkulationszinssatz
r
ist
P V A(0, 03) = 20.000 1, 03−0 + 1, 03−0.5 + 1, 03−1 = 59.124, 06
Euro.
Der Barwert des zweiten Zahlungsstroms ist
P V B(0, 03) = R 1, 03−2 + 1, 03−3 + 1, 03−4 + 1, 03−5 = 3, 608833401 · R,
also
R = 59.124, 06/3, 608833401 = 16.383, 15
Euro.
Nach Satz 2.1 sind die beiden Zahlungsströme auch zum Endwert bezüglich des Zins-
r = 0, 03 äquivalent, wenn als Verzinsungsart die exponentielle Verzinsung gewählt
Der Endwert beider Zahlungsströme zum Endzeitpunkt ∆t = 5 ist
satzes
wird.
E∆t = (1 + r)5 59.124, 06 = 68.540, 99
Euro.
51
Wird aber gemischte Verzinsung gewählt, sind beide Zahlungsströme nicht äquivalent
zum Endwert, denn die Endwerte unterscheiden sich beim Zinssatz
r = 0, 03 geringfügig.
EA = 20.000 1, 035 + 1, 034 · 1, 015 + 1, 034 = 68.543, 49,
EB = 16.383, 15 1, 033 + 1, 032 + 1, 031 + 1, 03 = 68.540, 99.
Der etwas höhere Endwert des ersten Zahlungsstroms rührt daher, dass bei sonst gleichen Bedingungen die gemischte Verzinsung immer etwas günstiger als die exponentielle
Verzinsung ist.
2.6 Die Nettobarwertfunktion
Bei diesem Beispiel stellt sich die Frage, warum es überhaupt zum Geschäftsabschluss
kam. Der Vater könnte das Geld ja zunächst selber anlegen und dann die erforderlichen
Raten abzweigen. Aus seiner Sicht nimmt ihm die Bank den Aufwand der Geldanlage
ab, er muss sich um nichts kümmern und hätte vielleicht als Amateur nicht einmal eine
Rendite von 3 Prozent erzielt.
Ganz anders wird das bei der Bank gesehen. Hier sind Pros am Werk, die sich zutrauen, das ihnen anvertraute Geld zu einem höheren Zinssatz als 3 Prozent zu vermehren.
Nehmen wir an, die Anlagepros erzielen bei exponentieller Verzinsung einen Zinssatz
von
r = 5
Prozent. Das bedeutet für die Bank einen Gewinn, der
Kapitalwert
Nettobarwert
oder
genannt wird. Diesen werde ich jetzt genau denieren.
Denition 2.2.
Ein Zahlungsstrom
C = (Ck , tk ) heiÿt vollständig , wenn er alle Zahlun-
gen einer Anlage oder Schuld umfasst. Die Einnahmen erhalten dabei ein positives und
die Ausgaben ein negatives Vorzeichen. Der Barwert eines vollständigen Zahlungsstroms
heiÿt
Nettobarwert
und berechnet sich durch
N P V (r) =
n
X
(1 + r)−tk Ck .
(2.7)
k=0
Ich möchte noch darauf hinweisen, dass nur ich die Bezeichnung vollständig für wie in
dieser Denition beschriebene Zahlungsströme verwende. Der Zahlungsstrom von Beispiel 2.2 auf Seite 51 ist vollständig, der Zahlungsstrom der Verpichtungen des Versicherungsunternehmens im Abschnitt 2.3.1 auf Seite 48 ist es nicht, da hier nur die
Ausgaben, nicht aber die zuvor erfolgten Einnahmen zu sehen sind. Ein vollständiger
Zahlungsstrom besteht aus zwei Zahlungsströmen
A = (Aj , tj )
und
E = (Ek , tk ),
wo-
bei der erste Zahlungsstrom die Ausgaben und der zweite die Einnahmen beschreibt.
Die Ausgaben werden im vollständigen Zahlungsstrom dann mit negativen Vorzeichen
verbucht. Die Nettobarwertfunktion kann auch durch die Zahlungsströme der Ausgaben
und Einnahmen ausgedrückt werden:
N P V (r) =
K
X
k=0
52
−tk
(1 + r)
Ek −
J
X
j=0
(1 + r)−tj Aj .
(2.8)
2.6 Die Nettobarwertfunktion
Zur besseren Übersicht werde ich vollständige Zahlungsströme in Tabellenform ausgeben, wobei in der ersten Zeile die Zeiten stehen. Dann folgen die Zahlungsströme der
Ausgaben, Einnahmen und der vollständige Zahlungsstrom. Im Beispiel des fürsorglichen Vaters benden sich die aus der Sicht der Bank vorhandenen Zahlungsströme in
der folgenden Tabelle.
Zeit
Einnahmen
0
1/2
1
20.000
20.000
20.000
20.000
20.000
20.000
Ausgaben
vollständig
2
3
4
5
16.383
16.383
16.383
16.383
-16.383
-16.383
-16.383
-16.383
Für die Nettobarwertfunktion folgt also
N P V (r) = 20.000(1 + (1 + r)−0.5 + (1 + r)−1 )
− 16.383, 15((1 + r)−2 + (1 + r)−3 + (1 + r)−4 + (1 + r)−5 )
Den Graph dieser Funktion zeigt die Abbildung 2.2.
20000
15000
N 10000
P
5000
V
(
r
)
0
0
0,05
0,1
0,15
0,2
-5000
-10000
Zinssatz r
Abbildung 2.2: Die Nettobarwertfunktion aus Sicht der Bank.
Am Graph dieser Funktion lässt sich ablesen, wie der Gewinn der Bank von dem
Zinssatz abhängt, womit die Bank die Einzahlungen des Vaters selber vermehren kann.
Ist der Wiederanlagezinssatz geringer als die mit dem Vater vereinbarten 3 Prozent,
macht die Bank Verluste. Der sogenannte break-even-point tritt genau bei 3 Prozent
ein, die Bank macht weder Verlust noch Gewinn. Gelingt es ihr, die Einlagen mit 5
Prozent zu vermehren, so winkt ein Gewinn von
N P V (0, 05) = 3.238, 15
Euro. Bei 10
Prozent ist der Wert ungefähr 10.000 und bei 20 Prozent fast 20.000 Euro.
Aus der Sicht des Vaters sieht alles spiegelbildlich aus. Hätte er selbst die drei Raten von 20.000 Euro zu 5 Prozent anlegen können, hätte er 3.238,15 Euro gespart und
trotzdem seinen Sohnemann mit den vier Raten von 16.383,15 Euro beglücken können.
53
2.7 Investitionsrechnung
Eine
Investition ist eine mittel- bis langfristige Anlage von Finanzmitteln in Sachanlagen
wie Gebäude und Inneneinrichtungen, Maschinen oder Fahrzeuge mit der Aussicht auf
zukünftige Erträge. Im Rahmen der Finanzmathematik versteht man unter dem Begri
Investition aber auch den Kauf von Wertpapieren. Investitionen in Sachanlagen erscheinen in der Bilanz eines Unternehmens in der Seite der Aktiva, ihre Finanzierung belastet
die Passivseite. Sachgüter haben eine bestimmte Nutzungsdauer und werden in dieser
Zeit steuerlich abgeschrieben, können aber natürlich bei gutem Zustand auch über diese steuerliche Nutzungsdauer hinaus im Unternehmen verwendet werden. Investitionen
in Wertpapiere können nicht abgeschrieben werden, aber die Mittel zur Finanzierung
gelten als Werbungskosten. Investitionsrechnungen sollen die Vor- und Nachteile von Investitionen beleuchten, Vergleiche von Investitionen ermöglichen und dienen damit der
Entscheidungsndung, welche Investition getätigt werden soll.
Finanzmathematisch ist jede Investition mit einem Zahlungsstrom verbunden, der alle mit ihm zusammenhängenden Ein- und Auszahlungen und deren Zeitpunkte erfasst.
Dabei werden neben den Anschaungskosten auch alle Kosten für Reparaturen und Wartungsarbeiten und neben den Erträgen auch der Verkaufspreis am Ende der Nutzungsdauer berücksichtigt. Die
statische Investitionsrechnung vernachlässigt den tatsächlichen
Zeitpunkt der Zahlungen und rechnet diese in Durchschnittsgröÿen um, die in allen Perioden der Nutzungsdauer anfallen. Dieser mathematisch wenig anspruchsvolle Ansatz soll
hier nicht weiter verfolgt werden.
Dynamische Verfahren erfassen den tatsächlichen zeit-
lichen Anfall der Zahlungen, daher bietet sich als Basis der Investitionsentscheidung die
Nettobarwertfunktion an. Die Nettobarwertfunktion wird dann als
Kapitalwertfunktion
Kapitalwert .
bezeichnet, der Nettobarwert bei einem gegebenen Diskontierungssatz heiÿt
2.7.1 Die Kapitalwertmethode
Die
Kapitalwertmethode
erstellt also die hier
Kapitalwertfunktion
genannte Nettobar-
wertfunktion und berechnet für einen bestimmten Kalkulationszinssatz
wert
r
den
Kapital-
genannten Nettobarwert. Es wird also vorausgesetzt, dass der vollständige Zah-
lungsstrom der Investition vorliegt und ein sinnvoller Kalkulationszinssatz gefunden werden kann. Der Kalkulationszinssatz ist der für die betrachtete Investition vorgegebene
Mindestzinssatz. Oft wird auch ein Zinssatz eingesetzt, den alternative Investitionen
erwirtschaften. Weiter wird unterstellt, dass alle mit der Investition verbundenen Zahlungen und deren Zeitpunkte festliegen. Bei Finanzinvestitionen ist dies beim Kauf von
festverzinslichen Wertpapieren wie etwa den Bundesschatzbriefen tatsächlich der Fall,
aber schon der Kauf von Aktien ist schwierig einzuschätzen. Die Zahlungsströme von
Investitionen in Sachgüter sind ähnlich schwer vorherzusehen. Die Zahlungsströme sind
dann eigentlich nur Schätzungen und deshalb umso unsicherer, je weiter die Zahlungen
in der Zukunft liegen.
Wir setzen aber voraus, dass ein sinnvoller Kalkulationszinssatz gefunden wurde und
der Zahlungsstrom festliegt. Dann wird der zum Kalkulationszinssatz gehörige und als
Kapitalwert bezeichnete Nettobarwert berechnet. Ist der Kapitalwert positiv, so ist die
54
2.8 Der interne Zinssatz
Investition günstig im Vergleich zu einer Investition, die als Verzinsung nur den Kalkulationszinssatz hat. Der Kapitalwert ist der Mehrgewinn im Vergleich mit einer Anlage
zum Kalkulationszinssatz. Hat der Kapitalwert den Wert 0, so ist die Investition genauso
günstig wie eine alternative Anlage zum Kalkulationszinssatz. Bei negativem Kapitalwert sind Anlagen zum Kalkulationszinssatz vorteilhafter.
Beim Vergleich alternativer Investitionen ist diejenige mit dem gröÿten Kapitalwert
die relativ beste.
Ich betone noch einmal, dass der Kapitalwert nicht den Gewinn oder Verlust einer
Investition berechnet, sondern einen zusätzlichen Gewinn oder Verlust bezogen auf eine
Anlage zum Kalkulationszinssatz. Bei einem positiven Kapitalwert wird anders gesagt
nicht nur der mit dem Kalkulationszinssatz verbundene Mindestgewinn, sondern noch
ein Zusatzertrag in Höhe des Kapitalwerts erzielt.
Beispiel 2.3.
Für eine neue Fabrikhalle werden im ersten Jahr gleich am Anfang 160.000
Euro und ein halbes Jahr später weitere 100.000 Euro fällig. Am Ende des zweiten Jahres
kann die Fabrikhalle dann für 300.000 Euro verkauft werden. Alternativ können mit anderen Anlagen 7 Prozent Zinsen erwirtschaftet werden. Berechnen Sie den Kapitalwert
der Investition und schätzen damit deren Vorteilhaftigkeit ein.
(Ci , ti ) besteht aus dem Zahlungsstrom (Aj , tj ) der
Zahlungsstrom (Ek , tk ) der Einnahmen. Die Ausgaben werden im
Der vollständige Zahlungsstrom
Ausgaben und dem
vollständigen Zahlungsstrom dann mit negativen Vorzeichen verbucht. Die drei Zahlungsströme benden sich in der folgenden Tabelle
Zeit
Ausgaben
0
1/2
160
100
Einnahmen
vollständig
−160
-100
2
300
300
Die zugehörige Nettobarwertfunktion lautet
N P V (r) = −160.000 − 100.000 (1 + r)−0,5 + 300.000 (1 + r)−2 ,
Der Kapitalwert ist der Nettobarwert dieser Investition und ergibt sich demnach durch
Einsetzen von
r = 0, 07,
woraus sich ein Kapitalwert von 5.357,97 Euro ergibt. Die In-
vestition lohnt sich also und ermöglicht einen zusätzlichen Ertrag von 5.357,97 Euro im
Vergleich zu der alternativen Anlage. Der Graph der bei Investitionen Kapitalwertfunktion genannten Nettobarwertfunktion ist in der Abbildung 2.3 zu sehen.
2.8 Der interne Zinssatz
Die Berechnung des Kapitalwerts ist die beste Methode, um die Rentabilität einer Investition zu berechnen, da der Mehrgewinn bezogen auf Alternativanlagen bestimmt wird.
55
40,00
30,00
20,00
N 10,00
P
0,00
V
(
r -10,00
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
)
Zinssatz r
-20,00
-30,00
-40,00
Abbildung 2.3: Die Nettobarwertfunktion als Kapitalwertfunktion.
Eine weitere Methode zur Einschätzung von Investitionen ist eng damit verwandt, sie
heiÿt Methode des
internen Zinssatz (internal rate of return = IRR ). Bei dieser Methode
r̄
wird einfach der Zinssatz
bestimmt, der für die Nettobarwertfunktion eine Nullstelle
ist. Für einen vollständigen Zahlungsstrom
r̄
(Ci , ti ) ergibt sich somit der interne Zinssatz
als Lösung der Gleichung:
n
X
(1 + r̄)−ti Ci = 0.
(2.9)
i=0
Der Zahlungsstrom wird so eingerichtet, dass eingehende Zahlungen positiv und Ausgaben negativ sind. Werden diese Zahlungsströme wieder
(Aj , tj )
und
(Ek , tk )
genannt,
folgt aus (2.9)
J
X
j=0
(1 + r̄)−tj Aj =
K
X
(1 + r̄)−tk Ek .
(2.10)
k=0
Die interne Zinssatz ist also genau der Zinssatz r̄, bei dem die Zahlungsströme der
Ausgaben und Einnahmen äquivalent sind, also denselben Barwert haben.
r̄ > −1 hat,
wenn die Zahlungen nur einmal das Vorzeichen wechseln, wenn also die ersten k ZahlunEs wird später gezeigt, dass die Gleichung (2.9) genau eine Lösung mit
gen positiv und die restlichen negativ sind oder umgekehrt. Diese Gleichung kann mit
einem geeigneten Iterationsverfahren gelöst werden. Im Beispiel der Fabrikhalle ergibt
sich der interne Zinssatz
r̄
als Lösung einer der beiden gleichwertigen Gleichungen
−160.000 − 100.000(1 + r̄)−0,5 + 300.000(1 + r̄)−2 = 0,
160.000 + 100.000(1 + r̄)−0,5 = 300.000(1 + r̄)−2 .
Das ergibt
r̄ = 8, 23
Prozent. Dies ist genau der Nulldurchgang des Graphen der Netto-
barwertfunktion, wie Sie an Abbildung 2.3 erkennen können.
56
2.9 Nominale und eektive Zahlungsströme
Die Anhänger der Methode des internen Zinssatzes haben eine einfache Entscheidungsndung: Berechne den internen Zinssatz und vergleiche ihn mit den Opportunitätskosten, in unserem Beispiel
7
Prozent. Die Investition ist genau dann lohnend, wenn der
interne Zinssatz die gröÿere der beiden Zahlen ist. Die Nettobarwertmethode hat den
Vorteil, dass man nicht nur weiÿ, ob die Investition lohnend ist, sondern auch die Höhe
des Mehrgewinns kennt.
2.8.1 Rendite und Efektivverzinsung
Der interne Zinssatz eines vollständigen Zahlungsstroms wird bei einer Investition
Rendi-
te r̄ genannt, bei einem Kredit spricht man dagegen von der Eektivverzinsung ref f . Die
Zeitspannen ti werden nach PAngV oder ACT/ACT (ICMA) berechnet. Bei einem Kredit muss in Deutschland der Vomhundertsatz des Eektivzinses auf zwei Dezimalstellen
angegeben werden.
Im Kapitel über Zinsrechnung war uns der Begri der Rendite schon begegnet. In der
einfachen Zinsrechnung bestehen die Zahlungen aus dem zum Zeitpunkt 0 eingesetzten
K0 und dem nach einer der Zinsformeln am Endzeitpunkt berechneten EndKt . Wird als Zinsmethode PAngV verwendet, so ist der zugehörige Zahlungsstrom
[(−K0 , 0), (Kt , tP )], wobei tP die Zeitdauer nach PAngV bezeichnet. Die NettobarwertKapital
wert
funktion dieses Zahlungsstroms lautet
N P V (r) = −K0 + Kt (1 + r)tP .
Die Nullstelle
r̄
(2.11)
dieser Funktion ist die Rendite. Es ergibt sich in Übereinstimmung mit
der Formel (1.23) auf Seite 23
r̄ =
Kt
K0
1/tP
− 1,
(2.12)
In der Finanzmathematik hat man es bei einer Aufgabenstellung oft mit zwei Zahlungsströmen zu tun, einem nominalen und einem eektiven. Bei Darlehen zahlen Banken
Disagio
verringerten Betrag. Andere Bezeichnungen für das Disagio sind Damnum oder Abgeld .
nicht den
Nennwert des Darlehens
aus, sondern nur einen um das so genannte
Das Disagio wirkt wie eine bereits vorweg gezahlte Zinsleistung und senkt damit den
Nominalzinssatz, der sich auf den Nennwert des Darlehens bezieht. Das Disagio kann als
Betrag oder als Prozentsatz angegeben sein. Das Disagio kann auch durch einen Auszahlungskurs bestimmt sein. Werden von einem Darlehen mit Nennwert 100.000 Euro
nur 90.000 Euro ausgezahlt, ist der Auszahlungskurs 90 Prozent, der Disagiosatz 10 Prozent und das Disagio 10.000. Dadurch unterscheiden sich der Nennwert des Darlehens
und die tatsächliche Auszahlung, die Zinsberechnungen und Tilgungsraten richten sich
aber immer am Nennwert der Schuld aus. Daher gibt es einen nominalen Zahlungsstrom
und einen eektiven, der die tatsächlichen Zahlungen erfasst. Der interne Zinssatz wird
57
immer aus dem eektiven Zahlungsstrom ermittelt, daher die Bezeichnung eektiver
Zinssatz bei Darlehen.
Ich stelle die wichtigsten Begrie zusammen:

Der
Auszahlungskurs
gibt an, wie viel Prozent des Nennwerts des Darlehens tat-
sächlich ausgezahlt werden.

Das
Disagio
oder
Abgeld
oder
Damnum
ist die Dierenz zwischen Nominalschuld
und der tatsächlichen Auszahlung.

Der
Disagiosatz
ist der Prozentsatz, der festlegt, welcher Teil des Nennwerts des
Darlehens als Disagio einbehalten wird.

Das
Agio oder Aufgeld
ist ein Betrag, der in der Regel bei Vertragsende zusätzlich
zu leisten ist.
Der nominale Zahlungsstrom wird in der Regel durch eine der vorgestellten Verzinsungsarten bestimmt, wobei alle Zinsberechnungen auf den Nennwert des Darlehens zu
beziehen sind.
Die Zahlen des folgenden Beispiels stammen von [4].
Beispiel 2.4.
Ein Gläubiger gibt am 30.9.85 einen Kredit von nominal 2.000 DM zu 5
Prozent Nominalzins und einem Kurs von 90 Prozent aus. Die Tilgung soll am 31.12.86
gesamtfällig erfolgen. Bis dahin muss der Schuldner einfache Zinsen bei halbjährlichen
Zinsterminen am Jahresende und in der Jahresmitte zahlen. Bestimmen Sie den nominalen und den tatsächlichen Zahlungsstrom. Geben Sie dann die Nettobarwertfunktion
aus Sicht des Gläubigers an. Dieser kalkuliert bei seinen sonstigen Kreditvergaben mit
einem Zinssatz von 12 Prozent. Lohnt sich dieser Kredit für ihn? Wie hoch ist seine
Rendite? Der Schuldner hat ein alternatives Angebot für den Kredit vorliegen, dessen
eektiver Zinssatz 16 Prozent ist. Wie soll er sich entscheiden?
Zunächst muss also der nominale Zahlungsstrom ermittelt werden. Die nominale Schuld
ist 2.000 DM und wird am 30.9.85 ausgezahlt. Der Nominalzinssatz von 5 Prozent bezieht sich auf ein Jahr, halbjährlich sind 2,5 Prozent Zinsen zu zahlen. Am 31.12.85 und
am 30.6.86 sind somit
zu weiteren
50
25 DM bzw. 50 DM einfache Zinsen fällig und am 31.12.86 kommt
DM einfache Zinsen die vollständige Tilgung der nominellen Schuld von
2.000 DM.
Der eektive Zahlungsstrom ist damit fast identisch, nur ieÿen wegen des Auszahlungskurses von 90 Prozent nur 1.800 DM tatsächlich in die Taschen des Schuldners. Die
tatsächlichen Leistungen von Gläubiger und Schuldner sowie die Zeitabstände sind in
folgender Tabelle dargestellt, wobei in der letzten Zeile die beiden Zahlungsströme zu
einem vollständigen Zahlungsstrom aus Sicht des Gläubigers stehen. In der letzten Zeile
steht der nominale Zahlungsstrom.
Da alle Zahlungen mit Datum angegeben sind, müssen die zeitlichen Abstände durch
eine Zinsmethode ermittelt werden, in Deutschland ist dafür PAngV zu verwenden, international die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA).
58
Datum
30.9.85
31.12.85
PAngV
0
0
1.800
0, 25
0, 75
1, 25
92
365
92+181
365
92+365
365
25
25
25
50
50
50
2.050
2.050
2.050
ACT/ACT (ICMA)
Gläubiger
Schuldner
vollständig
-1.800
nominal
-2.000
30.6.86
31.12.86
Die Leistung des Gläubigers besteht hier aus einer einzigen Zahlung, die nominal den
Wert 2.000 und eektiv den Wert 1.800 hat. Die Leistungen des Schuldners, also dessen
Zins- und Tilgungsbeträge, sind nominal und eektiv gleich.
Rechnet man die Zeitspannen nach der Zinsmethode PAngV, erhält man für die Nettobarwertfunktion aus der Sicht des Gläubigers die folgende Funktion:
N P V (r) = −1.800 + 25 (1 + r)−0,25 + 50 (1 + r)−0,75 + 2.050 (1 + r)−1,25 .
Der entsprechende Graph ist in der Abbildung 2.4 zu sehen.
400,00
300,00
200,00
N 100,00
P
0,00
V
(
r -100,00
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
)
-200,00
-300,00
-400,00
Zinssatz r
Abbildung 2.4: Die Nettobarwertfunktion des Beispiels 2.4.
Für
r = 0, 12 ergibt sich ein Nettobarwert von 49, 45 DM. Im Vergleich zu einer Anlage
zu 12 Prozent, ist dies der Mehrgewinn. Wäre umgekehrt der Schuldner nur bereit eektiv
12 Prozent Zinsen zu zahlen, müsste der Investor seinen Auszahlungsbetrag um
49, 45
DM erhöhen.
Die Rendite
r̄
ist die Nullstelle der Nettobarwertfunktion, also gilt die folgende Glei-
chung:
0 = −1.800 + 25 (1 + r̄)−0,25 + 50 (1 + r̄)−0,75 + 2.050 (1 + r̄)−1,25 ,
59
r̄ = 14, 51 Prozent liegt. Aus der Sicht des Schuldners ist dieser Wert
die Eektivverzinsung ref f . Von diesem Wert an wird die Nettobarwertfunktion negativ.
deren Lösung bei
Im Vergleich zu einer Anlage zum Zinssatz von 16 Prozent ergibt sich ein Mindergewinn
von
28, 31
DM. Für den Schuldner, dem nur ein Angebot von 16 Prozent vorliegt, ist
das die Einsparung gegenüber diesem Angebot. Bei sonst gleichen Bedingungen würden
bei einem Eektivzinssatz von 16 Prozent statt der 1.800 DM sogar nur 1.771,69 DM
ausgezahlt werden.
International wird die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) verwendet. Dann lautet die
Nettobarwertfunktion
273
92
457
N P V (r) = −1.800 + 25 (1 + r)− 365 + 50 (1 + r)− 365 + 2.050 (1 + r)− 365 .
Für
r = 0, 12 ergibt sich ein Nettobarwert von 49, 05 Euro. Die Rendite r̄ ist die Nullstelle
der Nettobarwertfunktion, also gilt die folgende Gleichung:
273
92
457
0 = −1.800 + 25 (1 + r̄)− 365 + 50 (1 + r̄)− 365 + 2.050 (1 + r̄)− 365 .
deren Lösung bei
r̄ = 14, 48
ref f .
Prozent liegt. Aus der Sicht des Schuldners ist dieser Wert
die Eektivverzinsung
Der Grund für den horrenden Unterschied zwischen Nominalzinssatz und eektivem
Zinssatz liegt in dem hohen Disagio. Aber auch die halbjährlichen Zinstermine verteuerten dieses Darlehen, wenn auch deutlich geringer. Normale Bankkunden können
das Zusammenspiel von hohem Disagio und scheinbar niedrigen nominalen Zinsen nicht
durchschauen, daher müssen Banken bei Krediten den Eektivzinssatz angeben, um dem
Kunden Vergleiche von Angeboten zu ermöglichen.
2.10 Barwertberechnung mit Excel
Die Berechnung von Barwerten kann mit Excel sehr einfach durchgeführt werden. Sie
tragen zunächst in der ersten Spalte die Daten ein, im Beispiel von eben der 30.9.85, der
31.12.85, der 30.6.86 und der 31.12.86. Direkt daneben werden die Beträge des Zahlungsstroms eingesetzt. In der dritten Spalte werden dann die Zeitdierenzen zum Anfangszeitpunkt aufgelistet. Ich habe hier nach ACT/ACT (ICMA) gerechnet. In der nächsten
−t
Spalte stehen die mit (1 + r)
diskontierten Beträge, wobei der Zinssatz r hier in der
Zelle B1 steht. Die korrekte Formel von Zelle D3 lautet somit
=B3*(1+\$B\$1)\text{\^{}}(-C3)
Diese Formel müssen Sie dann am Ausfüllkästchen nach unten ziehen. Die Summe der
diskontierten Beträge ergibt den Nettobarwert zum Zinssatz
r. Ich habe dafür die Excel-
r = 0, 08
ergab dies einen Nettobar-
Funktion Summe verwendet. Zum Zinssatz von
wert von 133,41 DM.
Excel kann aber mehr. Im Menü Extras gibt es den Menüpunkt Zielwertsuche,
der den abgebildeten kleinen Dialog önet. Sie müssen die Zielzelle angeben, das ist die
60
2.11 Eindeutigkeit der Rendite
Abbildung 2.5: Zielwertsuche mit Excel
Zelle D8 mit dem Nettobarwert und den Zielwert, also 0. Die veränderbare Zelle ist die
Zelle B1 mit dem Zinssatz. Nach der Zielwertsuche steht in dieser Zelle dann die Rendite.
Ab Excel 2007 erreichen Sie die Zielwertsuche durch Klicken der Registerkarte Da-
ten, wo sich in der Gruppe Datentools die Was-wäre-wenn-Analyse mit der
Zielwertsuche bendet.
2.11 Eindeutigkeit der Rendite
Die Berechnung der Rendite entspricht mathematisch der Suche nach der Nullstelle der
N P V (r) =
n
X
(1 + r)−ti Ci
mit
t0 < t1 < . . . < tn .
(2.13)
i=0
Sollte t0 > 0 sein, wird die Nettobarwertfunktion durch den Term (1 + r)−t0 geteilt. Die
so veränderte Funktion hat dieselben Nullstellen wie die Nettobarwertfunktion, ich kann
also t0 = 0 voraussetzen.
Man kann eigentlich nur dann von der Rendite sprechen, wenn die Nettobarwertfunktion nur eine Nullstelle hat, sonst muss man entscheiden, welche Nullstelle die richtige
ist. Ich werde zeigen, dass ökonomisch besonders wichtige Nettobarwertfunktionen nur
eine Nullstelle haben.
Sehr oft besteht ein vollständiger Zahlungsstrom aus einer Folge von zunächst ausschlieÿlich negativen Zahlungen gefolgt von ausschlieÿlich positiven oder umgekehrt,
abhängig davon, ob eine Investition oder ein Kredit vorliegt. In diesem Fall hat der
Zahlungsstrom nur genau einen Vorzeichenwechsel bei den Zahlungen. Die Anzahl der
Vorzeichenwechsel eines Zahlungsstroms beeinussen die Anzahl der möglichen Nullstellen. Es gibt eine von dem französischen Mathematiker und Philosophen Descartes
61
stammende und nach ihm benannte Regel über die Anzahl von Nullstellen von Polynomen.
Satz 2.2. Die Anzahl der positiven Nullstellen eines reellen Polynoms ist gleich der
Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Zahlenfolge der Koezienten oder um eine gerade
Anzahl geringer. Dabei wird jede Nullstelle entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt. Man
beachte, dass 0 keine positive Nullstelle ist.
Als wichtige Folgerung ergibt sich: Wenn ein reelles Polynom nur einen Vorzeichenwechsel hat, dann hat es genau eine einfache positive Nullstelle.
Man beachte, dass ein Vorzeichenwechsel den Übergang von positiv zu negativ oder
umgekehrt meint, die Zahl 0 selbst bedeutet noch keinen Vorzeichenwechsel.
Dieses Ergebnis lässt sich auch auf die Nettobarwertfunktion übertragen. Die Zeiten
ti sind alle rational, somit gibt es einen gemeinsamen Nenner N mit ti = ki /N
0 = k0 < k1 < . . . < kn . Damit hat die Nettobarwertfunktion die Form
N P V (r) =
n
X
und
(1 + r)−ki /N Ci .
i=0
Setzt man
x = (1 + r)−1/N ,
so hat die Nettobarwertfunktion die Form
N P V (x) =
n
X
C i xk i .
i=0
Somit gilt die Vorzeichenregel von Descartes auch für Nettobarwertfunktionen, wenn
−1/N
man x = (1 + r)
betrachtet. Man sieht sofort, dass x für r > −1 positiv ist, also
bedeutet ein einziger Vorzeichenwechsel in der Koezientenfolge genau eine Nullstelle
der Nettobarwertfunktion im Bereich
Gilt zusätzlich
s
X
r > −1.
|Ci | <
i=0
n
X
|Ci |,
(2.14)
i=s+1
s + 1 erfolgt, so liegt die Nullstelle r̄ im Bereich
r > 0, denn N P V (0) und N P V (∞) haben verschiedenes Vorzeichen. Es gibt unter diesen
wobei der Vorzeichenwechsel beim Index
Voraussetzungen also tatsächlich eine eindeutige Rendite. Die Bedingung (2.14) ist bei
allen ökonomisch sinnvollen Investitionen zu fordern, bei denen zunächst nur Ausgaben
erfolgen, die dann zu Rücküssen führen. Die Bedingung besagt nämlich, dass die Summe
der anfänglichen Ausgaben kleiner als die Summe der späteren Erträge ist.
2.12 Näherungsverfahren zur Berechnung der
Rendite
Dieser Abschnitt ist nur für mathematisch interessierte Leser.
62
2.12 Näherungsverfahren zur Berechnung der Rendite
Nullstellen von Funktionen
f :D⊆R→R
müssen in der Regel numerisch gefunden
werden. Das bekannteste Verfahren ist das das Newtonsche Näherungsverfahren. Bei
x0 geraten. Die nächste Näherung
Punkt (x0 , f (x0 )) mit der x-Achse. Die
diesem Verfahren wird zunächst eine erste Näherung
ist der Schnittpunkt der Tangente durch den
Tangentengleichung lautet
y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ).
Der Schnittpunkt durch die x-Achse ergibt sich aus der Bedingung
y = 0 und führt zum
nächsten Näherungswert
x 1 = x0 −
f (x0 )
.
f 0 (x0 )
Fährt man so fort, erhält man die Iterationsvorschrift
xn+1 = xn −
die damit endet, dass sich
xn
und
xn+1
f (xn )
,
f 0 (xn )
nicht mehr bedeutend unterscheiden, etwa in den
ersten 8 Stellen nach dem Komma übereinstimmen.
Wendet man das Newton-Verfahren auf die Nettobarwertfunktion (2.13) an, ergibt
sich die Iterationsvorschrift
(1 + rn )−ti Ci
−ti −1 .
C
·
t
(1
+
r
)
i
i
n
i=1
Pn
rn+1 = rn + Pn
i=0
(2.15)
Das Newton-Verfahren ist nur dann konvergent, wenn der Startwert hinreichend nah
an einer Nullstelle liegt. Es gibt aber auch globale Konvergenzkriterien. Eines davon
beschreibt der folgende Satz.
Satz 2.3. Es sei I = (a, b) ein Intervall mit f (a)f (b) < 0.
(1) Es gelte durchweg f 0 < 0 sowie f 00 > 0 oder umgekehrt durchweg f 0 > 0 sowie
f 00 < 0. Dann gibt es in I genau eine Nullstelle ξ der Funktion f (x). Liegt der
Startwert x0 ∈ I = (a, b) links von der Nullstelle ξ ∈ I , so konvergiert die Folge des
Newton-Verfahren stets streng monoton wachsend gegen ξ .
(2) Es gelte durchweg f 0 > 0 sowie f 00 > 0 oder umgekehrt durchweg f 0 < 0 sowie
f 00 < 0. Dann gibt es in I genau eine Nullstelle ξ der Funktion f (x). Liegt der
Startwert x0 ∈ I = (a, b) rechts von der Nullstelle ξ ∈ I , so konvergiert die Folge
des Newton-Verfahren stets streng monoton fallend gegen ξ .
Es lässt sich zeigen, dass dieser Satz auf jede Nettobarwertfunktion zutrit, wofür die
Bedingung (2.14) gilt.
Satz 2.4. Eine Nettobarwertfunktion hat genau eine positive Nullstelle r̄, wenn es bei
der Folge der Zahlungen nur einen Vorzeichenwechsel gibt und die Bedingung (2.14)
gilt, wobei der Vorzeichenwechsel zwischen Cs und Cs+1 erfolgt. Das Newtonverfahren
konvergiert mit jedem nichtnegativen Startwert r0 < r̄ streng monoton wachsend gegen
r̄.
63
Beweisskizze. Es sei der Einfachheit angenommen, dass die Koezienten
C0
bis
Cs
negativ und die restlichen alle positiv sind. Zunächst folgen aus der Bedingung (2.14)
N P V (0) =
s
X
Ci +
i=1
0
N P V (0) = −
n
X
s
X
Ci · ti −
i=1
N P V 00 (0) =
s
X
Ci > 0
i=s+1
n
X
Ci · ti · (ti + 1) +
i=1
NP V 0
N P V 00
Ci · ti < 0
i=s+1
s
X
Ci · ti · (ti + 1) > 0
i=1
r > 0 nach der Vorzeichenregel von Descartes
ξ von N P V 0 vor der
Nullstelle r̄ läge, wäre N P V (ξ) > 0 und monoton steigend für r > ξ , hätte also gar keine
Nullstelle. Es kann aber auch nicht ξ = r̄ sein, das sonst die Nullstelle nicht einfach wäre.
Genauso zeigt man, dass für eine eventuelle Nullstelle η der zweiten Ableitung η > ξ gilt.
Damit kann man ein b > 0 nden, sodass die Nettobarwertfunktion im Intervall (0, b) die
Sowohl
als auch
können für
nur höchstens eine Nullstelle haben. Wenn die einzige Nullstelle
Voraussetzungen des Satzes (2.3) erfüllt. Das Newtonverfahren (2.15) konvergiert also
r0 < r̄, insbesondere auch für r0 = 0.
Zahlungsstrom [(−1.800, 0), (25, 0, 25), (50, 0, 75), (2.050, 1, 25)]
für jeden Startwert
Der
des Beispiels 2.4
auf Seite 58 erfüllt die genannte Voraussetzung, daher wähle ich als Startwert des New-
r0 = 0. Die nächsten Werte sind 0, 1247002398, 0, 14466744225 sowie
0, 145072750879. Wie der Satz 2.3 sagt, nähern sich die Zwischenwerte der Nullstelle
tonverfahrens
streng monoton wachsend von unten an die Nullstelle.
2.13 Allgemeine Nettobarwertfunktionen
Sobald die Folge der Zahlungen mehrmals das Vorzeichen wechselt, gibt es keine globalen
Konvergenzkriterien, denn die Nettobarwertfunktion kann in diesen Fällen mehr als eine
[(1.000, 0), (−2.150, 1), (1.155, 2)]. Hier
werden am Anfang und am Ende des zweiten Jahres Einnahmen in Höhe von 1.000 Euro
und 1.155 Euro erzielt, während am Ende des ersten Jahres 2.150 Euro abieÿen. Die
Nullstelle haben, wie etwa der Zahlungsstrom
Barwertfunktion lautet
N P V (r) = 1.000 − 2.150(1 + r)−1 + 1.155(1 + r)−2
und hat die Nullstellen
denn aus
N P V (r) = 0
0, 05
0, 01. Das können sie ohne Numerik nachvollziehen,
v = (1 + r)−1 eine quadratische Gleichung für v .
und
folgt mit
In den meisten Anwendungen der Finanzmathematik hat die Nettobarwertfunktion
nur einen Vorzeichenwechsel in der Koezientenfolge. Es gibt aber auch Investitionen
in Betriebsstätten, die neben den anfänglichen Kosten zum Erwerb auch beim Abriss
oder Stilllegung am Ende der Betriebszeit wieder Geldabüsse nach sich ziehen. Man
denke dabei etwa an Atomkraftwerke, wobei deren Inhaber diese Belastungen gerne an
64
2.13 Allgemeine Nettobarwertfunktionen
den Staat weitergeben. Dann hat der Zahlungsstrom mindestens zwei Vorzeichenwechsel.
Ich zeige dies an einem Beispiel.
Beispiel 2.5.
Mister Burns erwirbt ein mit Chemikalien verseuchtes Gelände für zwei
Mio. Dollar. Er lässt das Gelände von einem Bauunternehmer sanieren und bebauen,
wofür er pauschal nach einem Vierteljahr acht Mio. Dollar zahlt. Nach einem Jahr stöÿt
er die entstandene Siedlung für 16 Mio. Dollar ab und rechnet in vier Jahren mit Entschädigungszahlungen von sieben Mio. Dollar. Die Zahlungsströme sehen Sie in einer
Tabelle, alle Angaben in Mio. Dollar.
Zeit
0
1/4
Ausgaben
2
8
7
−8
16
16 −7
Einnahmen
vollständig
−2
1
4
Hier lautet die Nettobarwertfunktion in Mio. Dollar
N P V (r) = −2 − 8 (1 + r)−0,25 + 16 (1 + r)−1 − 7 (1 + r)−4 .
Die Koezientenfolge dieser Nettobarwertfunktion hat zwei Vorzeichenwechsel, es gibt
daher zwei oder keine Nullstellen mit
r > −1.
Die obere Kurve der Abbildung 2.6 ist
der Graph dieser Nettobarwertfunkton, es sind zwei Nullstellen zu erkennen. Zwischen
ungefähr 11 und 53 Prozent ist die Nettobarwertfunktion positiv. Auf die untere Kurve
gehe ich später ein.
0,5
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
N
-0,5
P
V
(
-1
r
)
-1,5
-2
Zinssatz r
Abbildung 2.6: Nettobarwertfunktionen mit zwei bzw. null Nullstellen
Die Nettobarwertfunktion wird erst ab etwa 11 Prozent positiv, Mister Burns ist aber
dank vortreicher Mitarbeiter wie Homer Simpson an Renditen von 20 Prozent gewöhnt.
Er lässt seinen treuen Gehilfen Waylon Smithers den Kapitalwert von 314.019.39 Dollar
65
ausrechnen und geht das Geschäft ein. Nach vier Jahren wird dieser Kapitalwert bei
einer Verzinsung von 20 Prozent auf 651.150,61 Dollar angewachsen sein, das ist der
Mehrverdienst
im Vergleich zum langweiligen Atomkraftwerksgeschäft.
Waylon Smithers rechnet zur Probe auch noch mal anders, alle Angaben in Mio.
Dollar. Der Kaufpreis beträgt 2, die Sanierungskosten in einem Vierteljahr 8, diese mit
20 Prozent abgezinst ergeben die Anschaungskosten von 9,643542338. Dieser Betrag
würde im Kerngeschäft der Kernkraft mit 20 Prozent jährlichem Zugewinn am Ende
des vierten Jahres auf 19,99684939 angewachsen sein. Stattdessen wird in einem Jahr
16 kassiert und zu 20 Prozent ins Atomkraftwerk gesteckt. Nach drei Jahren ist dieser
Betrag dann auf 27,648 angewachsen, wovon 7 abgezogen wird. Die Dierenz zwischen
den verbliebenen 20,648 und 19,99684939 ist dann exakt wieder der Mehrgewinn von
0,65115061.
Die untere Kurve ist der Graph der folgenden Nettobarwertfunktion
N P V (r) = −2, 5 − 8 (1 + r)−0,25 + 16 (1 + r)−1 − 7 (1 + r)−4 .
Sie unterscheidet sich von der Nettobarwertfunktion nur durch die höhere Zahlung am
Anfang. Diese verhindert, dass die Nettobarwertfunktion jemals positiv wird, die Nettobarwertfunktion hat somit keine Nullstelle, eine Investition bei diesem Anschaungspreis
wäre also bei keinem Kalkulationszinssatz lohnend.
Ein
Zahlungsstrom ist eine Folge von Zahlungen und den Zeitpunkten ihrer Verbuchung,
also eine Folge von Paaren
(Ci , ti ),
wobei
Ci
der zum Zeitpunkt
ti
verbuchte Wert der
i-ten Zahlung ist. Ein Zahlungsstrom heiÿt vollständig, wenn er alle Zahlungen einer
(Aj , tj ) und
(Ek , tk ), welche die Ausgaben und Einnahmen beschreiben. Die Ausgaben werden in
(Ci , ti ) mit negativem Vorzeichen geführt. Der interne Zinssatz wird bei Investitionen
Anlage oder Schuld beschreibt. Er besteht dann aus zwei Zahlungsströmen
Barwert:
Barwert eines Zahlungsstroms
Äquivalenz von Zahlungsströmen
Nettobarwert Zahlungsstrom
Interner Zinssatz
Interner Zinssatz
Rendite
r̄
P V (r) = (1 + r)−t C
P
P V (r) = ni=0 (1 + r)−ti Ci
P
PJ
−tk
−tj
Ai = K
Bk
k=0 (1 + r)
j=0 (1 + r)
Pn
−ti
N P V (r) = i=0 (1 + r) Ci
Pn
(1 + r̄)−ti Ci = 0
Pi=0
P
J
−tj
−tk
Ai = K
Ek
j=0 (1 + r̄)
k=0 (1 + r̄)
und bei Darlehen eektiver Zinssatz
ref f
(PV)
(PVS)
(ÄQUI)
(NPV)
(IRR1)
(IRR2)
genannt. Der interne Zinssatz muss
mit numerischen Verfahren berechnet werden.
Die Äquivalenz von Zahlungsströmen bezieht sich auf einen gegebenen Zinssatz
Äquivalenz kann durch Einsetzen überprüft werden.
66
r. Die
2.15 Aufgaben
2.15 Aufgaben
Aufgabe 1.
Eine Händlerin macht die beiden folgenden Angebote zur Finanzierung des
am 31.10.95 fälligen Kaufpreises von 19.000 DM. Man berechne jeweils den Eektivzinssatz nach PAngV.
a) Rückzahlungen von 6.000 DM, 7.000 DM und 8.000 DM am 31.3.96, 31.3.97 und
31.10.99
b) Rückzahlungen von 6.000 DM, 7.000 DM und 8.000 DM am 31.1.96, 31.3.97 und
31.12.99
Aufgabe 2.
Sie können eine Yacht zum Geburtstag Ihres Schatzes auf zwei unterschied-
liche Weisen bezahlen, die in der folgenden Tabelle angezeigt sind:
Datum
1.1.97
1.1.98
1.1.99
Weise 1
Weise 2
10
7
6
1
13
12
Alle Angaben in Millionen Euro. Wie entscheiden Sie sich? Bitte mit nanzmathematischer Begründung!
Aufgabe 3.
Ein Financier aus Palermo verleiht am 15.11.2009 10.000 Euro. In den
folgenden drei Monaten erhält er jeweils zum Monatsanfang 200 Euro Zinsen, dazu an
Weihnachten eine erste Tilgungsrate von 3.000 Euro. Die Zahlung am 1.3.2010 blieb
zunächst aus, doch am 15.3.2010 konnte die Witwe des Schuldners zur Zahlung der
restlichen 7.000 Euro überredet werden. Welchen Nettobarwert hat diese Investition
bei einem Vergleichszinssatz von 20 Prozent? Bestimmen sie danach die Rendite
r̄
der
Investition!
Aufgabe 4.
Beim Kauf einer Waschmaschine im Wert von 1.000 Euro schlägt der Händ-
ler zwei Raten von je 530 Euro zahlbar nach 6 und nach 12 Monaten vor. Bestimmen
Sie die Nettobarwertfunktion und den eektiven Jahreszins des vorgeschlagenen Ratenkaufs. Eine Bank bietet dem Käufer einen Eektivzins von 7 Prozent an. Wie hoch ist
der Barwert dieses Angebots? Welche konstante Rate wäre bei der Bank nach 6 und
nach 12 Monaten jeweils zu zahlen?
Aufgabe 5.
Die weltbekannte Schifahrtslinie Scrap Lines International (SLI) kann ein
Handelsschi für 8 Millionen Dollar kaufen, dessen Betrieb jährlich 1 Million Dollar als
Reingewinn abwirft. Am Ende des 5. und in der Mitte des 10. Jahres werden Reparaturen
für 2 Millionen Dollar fällig. Am Ende des 15. Jahres kann das Schi eine Ladung zu
den Bermudainseln übernehmen, die Versicherung ersetzt 1,5 Millionen Dollar für das
spurlos verschwundene Schi.
a) Wie hoch ist der Nettobarwert der Investition, wenn andere Anlagen von SLI
8
Pro-
zent Zins erwirtschaften?
67
b) Man bestimme die Rendite
r̄
der Investition!
c) Wie viel Nullstellen haben die Nettobarwertfunktion und ihre beiden ersten Ableitungen maximal und wie viel tatsächlich im Bereich
Aufgabe 6.
r > 0?
Ein Portfoliomanager verkündet, dass er in den letzten 10 Jahren durch-
schnittlich 20 Prozent Rendite erzielt hat. Wieso ist diese Aussage nur bedingt wertvoll?
Aufgabe 7.
2x − 3
Zeigen Sie mit Hilfe von Satz 2.2, dass die Funktion
x 7→ f (x) = 0, 5x4 −
nur je eine positive (xp ) und eine negative (xn ) Nullstelle hat. Weisen Sie mit
Satz 2.3 weiterhin nach, dass das Newtonverfahren für jeden Startwert
x0 > xp
streng
monoton fallend gegen die positive Nullstelle konvergiert. Führen Sie dann mit Excel
das Newtonverfahren mit dem Startwert
x0 = 6 solange durch, bis keine Änderung mehr
erzielt wird. Überprüfen Sie nun mit der Zielwertsuche Ihr Ergebnis. Zeichnen Sie danach
[−2, 3] mit Excel als Punkt-Diagramm. Bestimmen
Nullstelle xn mit der Zielwertsuche.
den Graph der Funktion im Intervall
Sie abschlieÿend die negative
68
3 Lösungen
3.1 Aufgaben von Kapitel 1
Aufgabe 1.
Für die folgenden Zeiträume berechne man für alle vorgestellten Zinsme-
thoden die jeweils verstrichene Zeit: 24.8.2000 bis zum 13.3.2004, 30.8.2000 bis zum
31.3.2001, 29.8.2000 bis zum 31.3.2002 und 28.2.2000 bis zum 31.3.2002.
Die Lösungen sind im folgenden Excel-Arbeitsblatt zu nden:
17
18
19
20
21
22
23
24
25
A
PAngV
24.08.2000
(2004-2000)+
(3-8-1)/12+
(13+30-24)/365
30.08.2000
(2001-2000)+
(3-8)/12+
(30-30)/365
29.08.2000
(2002-2000)+
(3-8)/12+
(30-29)/365
28.02.2000
(2002-2000)+
(3-2)/12+
(30-30)/365
Aufgabe 2.
B
ACT/ACT ICMA
13.03.2004
C
D
ACT/ACT EXCEL ACT/360
Nact= 1297
130/366+3+72/366 1297/(365+2/5) 1297/360
31.03.2001
Nact= 213
124/366+0+89/365
31.03.2002
125/366+1+89/365
31.03.2002
308/366+1+89/365
213/365
213/360
Nact= 579
579/(365+1/3)
579/360
Nact= 762
762/(365+1/3)
762/360
E
ACT/365
F
30/360E
G
30/360U
(2004-2000) (2004-2000)
+ (3-8)/12+ + (3-8)/12+
1297/365 (13-24)/360 (13-24)/360
(2001-2000) (2001-2000)
+ (3-8)/12+ + (3-8)/12+
213/365 (30-30)/360 (30-30)/360
(2002-2000) (2002-2000)
+ (3-8)/12+ + (3-8)/12+
579/365 (30-29)/360 (31-29)/360
(2002-2000) (2002-2000)
+ (3-2)/12+ + (3-2)/12+
762/365 (30-28)/360 (31-28)/360
i = 0, 08 angelegt wurde.
30.03.2000 bis zum 31.10.2001 bei einem Zinssatz von
vom
Man
auch die Rendite.
a) PAngV.
Für die eigentliche Verzinsung wird diese Zinsmethode nie verwendet, sie ist aber in
Deutschland zur Berechnung der Rendite zwingend vorgeschrieben. Es ergibt sich
tP = 2001 − 2000 +
10 − 3 30 − 30
+
= 19/12.
12
365
69
3 Lösungen
b) ACT/ACT (ICMA).
Hier müssen die Tage kalendergenau gezählt werden, also im Jahr 2000 einschlieÿlich
des 30.3.2000 insgesamt 277 Tage und im Jahr 2001 ohne den 31.10.2001 weitere 303
Tage. Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)(277/366+303/365) = 1.129.906, 26 e
Zt = Kt − K0 = 129.906, 26 e.
1/tP
Kt
− 1 = 1, 1299062612/19 = 8, 02 %
r̄ =
K0
Kt = 1.000.000e0,08(277/366+303/365) = 1.135.368, 66 e
Zt = Kt − K0 = 135.368, 66 e
1/tP
Kt
r̄ =
− 1 = 1, 1353686612/19 = 8, 35 %
K0
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08(277/366 + 303/365) = 1.126.957, 41 e
Zt = Kt − K0 = 126.957, 41 e
1/tP
Kt
r̄ =
− 1 = 1, 1269574112/19 = 7, 84 %
K0
c) ACT/360.
Die Zinstage müssen auch hier kalendergenau gezählt werden, das Jahr aber wird nur
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)580/360 = 1.132.007, 71 e
Zt = Kt − K0 = 132.007, 71 e.
1/tP
Kt
r̄ =
− 1 = 1, 1320077112/19 = 8, 15 %
K0
Kt = 1.000.000e0,08·580/360 = 1.137.563, 72 e
Zt = Kt − K0 = 137.563, 72 e.
1/tP
Kt
r̄ =
− 1 = 1, 1375637212/19 = 8, 48 %
K0
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 580/360) = 1.128.888, 89 e
Zt = Kt − K0 = 128.888, 89 e
1/tP
Kt
r̄ =
− 1 = 1, 1288888912/19 = 7, 96 %
K0
70
d) ACT/365.
Die Zinstage müssen auch hier kalendergenau gezählt werden, das Jahr aber wird nur
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)580/365 = 1.130.086, 59 e
Zt = Kt − K0 = 130.086, 59 e.
1/tP
Kt
− 1 = 1, 1300865912/19 = 8, 03 %
r̄ =
K0
Kt = 1.000.000e0,08·580/365 = 1.135.557, 01 e
Zt = Kt − K0 = 135.557, 01 e.
1/tP
Kt
r̄ =
− 1 = 1, 1355570112/19 = 8, 36 %
K0
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 580/365) = 1.127.123, 29 e
Zt = Kt − K0 = 127.123, 29 e
1/tP
Kt
− 1 = 1, 1271232912/19 = 7, 85 %
r̄ =
K0
e) 30E/360 und 30U/360.
Hier sind
D1 = 30
und
D2 = 31, M1 = 3
und
Y2 = 2001. Nach deutschem und amerikanischen
D2 = 30. Bei beiden Zinsmethoden ist
t=
M2 = 10
Y1 = 2000
sich D1 = 30
sowie
Ansatz ergeben
und
und
360 · (2001 − 2000) + 30 · (10 − 3) + (30 − 30)
570
=
360
360
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08)570/360 = 1.129.590, 28 e
Zt = Kt − K0 = 129.590, 28 e.
1/tP
Kt
r̄ =
− 1 = 1, 1295902812/19 = 8, 00 %
K0
Kt = 1.000.000e0,08·570/360 = 1.135.038, 61 e
Zt = Kt − K0 = 135.038, 61 e.
1/tP
Kt
r̄ =
− 1 = 1, 1350386112/19 = 8, 33 %
K0
71
3 Lösungen
Kt = 1.000.000(1 + 0, 08 · 570/360) = 1.126.666, 67 e
Zt = Kt − K0 = 126.666, 67 e
1/tP
Kt
r̄ =
− 1 = 1, 1266666712/19 = 7, 82 %
K0
Aufgabe 3.
Man berechne den Endwert und den Zinsbetrag bei exponentieller, steti-
1.000.000 Euro, das im Zeitraum vom
Zinssatz von i = 0, 08 angelegt wurde. Man
ger und einfacher Verzinsung für ein Kapital von
27.4.2000 bis zum bis 28.1.2002 bei einem
auch die Rendite.
Die Lösungen sind im folgenden Excel-Arbeitsblatt zu nden:
A
B
C
D
E
F
G
K_0
r
Anfang
Ende
1.000.000,00
8,00%
27.04.2000
28.01.2002
ACT/ACT ICMA ACT/ACT EXCEL
ACT/360
ACT/365
30/360E
30/360U
5
1
2
3
4
0
249/366+1+27/
2002-2000+(12002-2000+(1Laufzeit5 formel
365
641/(365+1/3)
641/360
641/365 4)/12+(28-27)/360 4)/12+(28-27)/360
6 Laufzeit
1,7543005
1,7545620
1,7805556
1,7561644
1,7527778
1,7527778
7 Expon. Verz
1.144.551,42
1.144.574,46 1.146.866,46 1.144.715,62
1.144.417,30
1.144.417,30
8 Stet Verz.
1.150.669,60
1.150.693,68 1.153.089,02 1.150.841,20
1.150.529,44
1.150.529,44
9 Einf. Verz
1.140.344,04
1.140.364,96 1.142.444,44 1.140.493,15
1.140.222,22
1.140.222,22
Zeit nach PAngV: 2002-2000+(1-4)/12+(28-27)/360 = 1,7527397
10
11 Expon. Verz
8,01%
8,01%
8,13%
8,02%
8,00%
8,00%
12 Stet Verz.
8,34%
8,34%
8,47%
8,35%
8,33%
8,33%
13 Einf. Verz
7,78%
7,78%
7,89%
7,79%
7,77%
7,77%
1
2
3
4
Aufgabe 4.
Der Zinssatz
i
bei stetiger Verzinsung sei so, dass aus
eines Monats bei der Zinsmethode 30E/360
a) Welchen Wert hat
101
100
Euro innerhalb
Euro werden.
i?
Ein Monat entspricht
t = 1/12.
Zu lösen ist die Gleichung
i
101 = 100e 12
d.h.
i = 12 ln
101
100
b) Welchen Wert hat ein Anfangskapital von
= 11, 94
1.000
Prozent
Euro nach zwei Jahren?
K2 = 1.000e2i = 1.000e2·0,1194 = 1.269, 73
72
Euro
c) Wie groÿ ist die Rendite
r̄
nach PAngV?
Innerhalb von zwei Jahren werden aus
1.000
Euro
1.269, 73
Euro. Für die Rendite
ergibt sich nach Gleichung (1.23) auf Seite 23
r̄ = (1, 26973)1/2 − 1 = 12, 68
Aufgabe 5.
Prozent.
Eine Freundin verleiht Ihnen 10.000 Euro für vier Monate und verlangt
10.100 Euro zurück. Sie behauptet, ihre Rendite sei nur
3
Prozent. Wie sehen Sie das?
Die Formel (1.23) auf Seite 23 für die Rendite ergibt hier wegen
mit
tP = 1/3
und da-
1/tP = 3
r̄ =
10.100
10.000
3
− 1 = 1, 013 − 1 = 3, 03
Prozent.
Die Freundin hat bei einfacher Verzinsung tatsächlich nur 3 Prozent Zinsen verlangt. Da
unterjährig aber die einfache Verzinsung etwas günstiger für den Gläubiger ist als die
exponentielle Verzinsung, ergibt sich der etwas höhere Wert für die Rendite.
Aufgabe 6.
Eine Bank bietet einen so genannten abgezinsten Sparbrief wie folgt an:
Der Kunde zahlt einmalig 900 Euro und erhält nach Ablauf von drei Jahren 1.000 Euro
zurück. Wie hoch ist die Rendite?
Die Rendite beträgt
r̄ =
Aufgabe 7.
1.000
900
1/3
− 1 = 0, 035744169 ≈= 3, 57 %.
von 8 Prozent vom 1.1.1987 bis zum 1.1.1992 ein Kapital von 1.000 DM an.
a) Warum ist keine Zinsmethode angegeben?
Da Anfangs- und Endtermin am Jahresanfang liegen, ergeben sich bei jeder Zinsmethode genau fünf Jahre als Verzinsungszeitspanne.
b) Wie hoch ist der Endbetrag?
RE = 1.000e0,08·5 = 1491, 82
DM.
c) Wie groÿ ist die Rendite nach PAngV?
Zwischen beiden Terminen liegen genau fünf Jahre. Die Formel (1.23) auf Seite 23
für die Rendite ergibt deshalb
r̄ =
1.491, 82
1.000
1/5
− 1 = 8, 33
Prozent.
73
3 Lösungen
d) Durch welchen Zinssatz
i würde man mit exponentieller Verzinsung diesen Endbetrag
erreichen?
Da es sich um volle Jahre handelt, ist die Auösungsformel (1.15) auf Seite 8 der
exponentiellen Verzinsung identisch mit der Renditeformel, also ergibt sich
8, 33
i = r̄ =
Prozent
Aufgabe 8.
von 8 Prozent vom 30.6.1986 bis zum 30.9.1991 ein Kapital von 1.000 DM an, wobei die
Zinsmethode 30E/360 verwendet wird.
Bei der Zinsmethode 30E/360 ist
t = 5, 25,
für den Endbetrag ergibt sich
RE = 1.000e0,08·5,25 = 1.521, 96
DM.
Zwischen den beiden Terminen liegen nach PAngV genau 5,25 Jahre. Die Rendite
r̄
ist deshalb Lösung der Gleichung:
r̄ =
1.521, 96
1.000
1/5,25
− 1 = 8, 33
Prozent.
c) Durch welchen Zinssatz würde man auf einem Sparbuch mit gemischter Verzinsung
diesen Endbetrag erreichen? Rechnen Sie mit der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA)
und einem Zinstermin am Jahresende.
Bei einer Anlage auf dem Sparbuch zählt der erste Tag, aber nicht der letzte. Im
Anfangsjahr sind daher der 30.6. und die kompletten Monate von Juli bis Dezember
anzusetzen, also
272
1+4·31+2·30 = 185 Tage. Im Endjahr sind dagegen nur 365−93 =
Zinstage vorhanden. Es ergibt sich in DM:
272
185
4
i (1 + i) 1 +
i .
1.521, 96 = 1.000 1 +
365
365
Diese Gleichung muss numerisch gelöst werden, etwa mit der Zielwertsuche von Excel.
Es ergibt sich
Aufgabe 9.
i = 8, 30
Prozent.
An welchem Tag ist jeweils bei exponentieller, stetiger und einfacher Ver-
zinsung ein bei einem Zinssatz von 5 Prozent am 13.11.2000 angelegtes Kapital von
1.500 Euro auf 2.000 Euro angewachsen? Die Zinsmethode sei 30E/360. Wie hoch ist
der tatsächliche Endbetrag jeweils?
In den Zellen H6 bis H8 stehen die Formeln (1.18), (1.19) und (1.20) von Seite 8
für die Auösung nach der Zeit, also z.B. in der Zelle H6 der Wert von
ln(1.500))/ ln(1, 05).
(ln(2.000) −
Es vergehen also immer mehr als fünf Jahre, das Enddatum liegt
nach dem 13.11.2005. Die noch verbliebene Zeit wird mit 365 multipliziert und gibt
die Anzahl der Tage an, die zum 13.11.2005 hinzukommen. Das ergibt die Näherungen
der Spalte J. Es kommen aber auch noch Tage um diese Näherung herum in Betracht,
derjenige, der am nächsten den geforderten Endwert liefert ist der beste. Die Lösungen
stehen in den Spalten K und L.
74
G
5
6 Expon. Verz
7 Stet Verz.
8 Einf. Verz
Aufgabe 10.
H
t
5,896313
5,753641
6,666667
I
(t-5)*365
327,154194
275,079129
608,333333
J
Näherung
06.10.2006
15.08.2006
14.07.2007
K
Exakt
05.10.2006
15.08.2006
13.07.2007
L
Endwert
1.999,82
2.000,19
2000,00
Jemand legt auf einem Sparbuch mit gemischter Verzinsung und einem
Zinstermin am Jahresende zu einem jährlichen Zinssatz von 8 Prozent vom 30.6.1986 bis
zum 30.6.1991 ein Kapital von 1.000 DM an.
a) Wie hoch ist der Endbetrag bei der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA)?
Bei einer Anlage auf dem Sparbuch zählt der erste Tag, aber nicht der letzte. Im
Anfangsjahr sind daher der 30.6 und die kompletten Monate von Juli bis Dezember
anzusetzen, also
180
1+4·31+2·30 = 185 Tage. Im Endjahr sind dagegen nur 365−185 =
Zinstage vorhanden. Es ergibt sich in DM:
180
185
4
0, 08 (1, 08) 1 +
0, 08 = 1.471, 50.
RE = 1.000 1 +
365
365
Zwischen den beiden Terminen liegen nach PAngV genau 5 Jahre. Die Rendite
r̄
ist
deshalb Lösung der Gleichung:
r̄ =
c) Welcher Zinssatz
ρ
1.471, 50
1.000
1/5
− 1 = 8, 03
Prozent.
würde bei stetiger Verzinsung mit der Zinsmethode ACT/ACT
(ICMA) zum selben Endbetrag führen?
Zwischen beiden Terminen liegen bei dieser Zinsmethode genau fünf Jahre. Nach
Formel (1.16) auf Seite 8 gilt für den gesuchten Zinssatz
ρ=
Aufgabe 11.
von
ln(1.471, 50) − ln(1.000)
= 7, 73
5
ρ:
Prozent.
Man berechne das Endkapital bei gemischter Verzinsung für ein Kapital
1.000.000 Euro, das im Zeitraum vom 30.8.2000 bis zum 12.8.2006 bei einem Zinsi = 0, 08 angelegt wurde. Verwenden Sie die alle Zinsmethoden und rechnen Sie
satz von
mit einer, zwei und vier Zinsperioden.
Ich habe das Arbeitsblatt von Abbildung 1.4 auf Seite 32 um die Berechnung der Rendite
erweitert. Eingestellt sind vier Zinsperioden, die Werte für eine und zwei Zinsperioden
stehen darunter.
Aufgabe 12.
Jemand legt auf ein Bausparkonto zu einem jährlichen Zinssatz von 2
Prozent vom 21.4.1986 bis zum 31.7.1991 ein Kapital von 1.000 DM an. Rechnen Sie
mit vier Zinsperioden und der Zinsmethode 30E/360.
75
3 Lösungen
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
B
K0
1.000.000,00
Eingaben
Zinstermin
k1
y1
n
Zinstermin
k2
y2
ngesamt
Kgemischt
Renditen
C
Anfang
30.08.2000
D
Ende
12.08.2006
ACT/ACT (ICMA)
ACT/360
ACT/365
01.10.2000
01.10.2000
01.10.2000
32
32
32
366
360
365
23
23
23
01.07.2006
01.07.2006
01.07.2006
42
42
42
365
360
365
2173
2173
2173
1.602.546,59 1.602.935,16 1.602.577,09
E
r
8,00%
30E/360
30U/360
01.10.2000
01.10.2000
31
31
360
360
23
23
01.07.2006
01.07.2006
41
41
360
360
2142
2142
1.602.228,63 1.602.228,63
Zeit nach PAngV (2006-2000)+ (8-8-1) /12 +(12+30-30)/365
8,2492%
8,2536%
8,2495%
8,2456%
1.582.914,90 1.584.636,01 1.583.029,34
8,0251%
8,0449%
8,0265%
1.595.734,66 1.596.638,73 1.595.850,03
8,1717%
8,1820%
8,1730%
m=1
m=2
F
m
4
5,94954
8,2456%
1.582.937,32 1.582.937,32
8,0254%
8,0254%
1.595.251,55 1.595.251,55
8,1662%
8,1662%
Der nächste Zinstermin beginnt am 1.7.1986, bis dahin vergehen nach der Zinsmethode 30E/360 noch
k1 = 70
Tage. Der letzte Zinstermin vor dem Endtermin ist
der 1.7.1991, dazwischen liegen
vergehen noch
k2 = 90
n = 20
Zinsperioden. Vom 1.7.1991 bis zum Ende
Tage, denn der 31.7.1991 wird auf den 30.7.1991 degradiert
und zählt nicht mit. Der Endwert ist somit
Kt = 1000(1 +
b) Wie groÿ ist die Rendite
0, 02 · 29
0, 02 · 70
)1, 00520 (1 +
) = 1.110, 98 Euro.
360
360
r̄
nach PAngV?
Zwischen dem 21.4.1986 und dem 31.7.1991 verging nach PAngV die Zeit
tP = 1991 − 1986 + (7 − 4)/12 + (30 − 21)/365.
Die Rendite beträgt deshalb
r̄ = (1, 07131)1/5,274657534 − 1 = 2, 0153 %.
c) Welcher Zinssatz würde bei gleicher Zinsmethode aber nur einer Zinsperiode pro Jahr
zum selben Endbetrag führen?
Gesucht ist der Zinssatz
i,
welcher die Gleichung
1.110, 98 = 1000(1 +
76
i · 250
i · 209
)(1 + i)4 (1 +
)
360
360
löst. Durch geschicktes Raten oder mit der Zielwertsuche kommt man schnell auf die
brauchbare Näherung
Aufgabe 13.
i = 2, 0134
Prozent.
Ein Betrag von 1.000 Euro wird zwei Jahre zu einem Nominalzinssatz
von 6 Prozent mit monatlicher Zinsperiode angelegt. Man berechne den Kapitalendwert
und die Rendite!
Hier ist
Kt = 1.000 (1 + 0, 06/12)24 = 1.127, 16
Euro, also
r̄ = (1, 12716)1/2 − 1 = 0, 061677917 ≈ 6, 17 %.
Aufgabe 14.
Ein Bausparer zahlt am 1.1.2000 12.000 Euro auf ein Bausparkonto mit
vier Zinsperioden. Nach genau vier Jahren hat er 12.996,85 Euro auf seinem Konto. Man
berechne den Nominalzinssatz und die Rendite.
Anfangs- und Endtermin liegen auf einem Zinstermin, dazwischen liegen
n = 16 Zinspe-
rioden. Somit gilt für den Nominalzinssatz die Gleichung
12.996, 85 = (1 + i/4)16 = 12.000,
d.h
1/16
i = 4 (12.996, 85/12.000)
− 1 = 0, 02.
Für die Rendite erhält man
r̄ = (12.996, 85/12.000)1/4 − 1 = 0, 020150501
also
r̄ = 2, 02
Aufgabe 15.
Prozent.
Herr XY zahlt am 31.3.2000 auf ein besonders günstiges Sparbuch einer
niederländisch-türkischen Bank 8.000 Euro ein und erhält bis zum 30.9.2003 einen Zinssatz von 4 Prozent, von da an bis zum Vertragsende am 31.3.2006 einen Zinssatz von
6 Prozent. Berechnen Sie den Betrag, den der Kunde dann erhält. Verwendet sei die
Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) mit einem Zinstermin am Jahresende. Man berechne
ferner die Rendite
r̄
Es wird so gerechnet, als werde zunächst vom 31.3.2000 bis zum 30.9.2003 ein Betrag
von 8.000 Euro zum Zinssatz von 4 Prozent angelegt. Das ergibt als Zwischenergebnis
Kz = 8.000(1 +
0, 04 · 272
0, 04 · 276
)1, 042 (1 +
) = 9.179, 51 Euro.
366
365
Dieser Betrag wird jetzt vom 30.9.2003 bis zum Ende mit 6 Prozent verzinst. Daraus
folgt
Kt = 9.179, 51(1 +
0, 06 · 93
0, 06 · 89
)1, 062 (1 +
) = 10.624, 98 Euro.
365
365
77
3 Lösungen
Zwischen dem 31.3.2000 und dem 31.3.2006 liegen nach PAngV genau sechs Jahre, die
Rendite von Herrn XY beträgt deshalb
r̄ = (10.624, 98/8.000)1/6 − 1 = 0, 048430538 .
Da Renditen als Prozentwert mit zwei Nachkommastellen ausgezeichnet werden müssen,
ergibt sich
r̄ = 4, 84
Prozent. An diese Gepogenheiten sind ausländische Geldinstitute
nur gebunden, wenn das Angebot in Deutschland erfolgt.
Aufgabe 16.
Frau XY hatte am 19.3.2000 einen Betrag von 8.000 Euro auf ein Spar-
buch einer Bank mit Sitz auf den Cayman-Inseln eingezahlt, und am 19.3.2005 wieder
abgehoben. Der Sparzins betrug anfänglich 4 und stieg danach auf 6 Prozent. Frau XY
wollte eine Rendite nach deutscher Rechnung von 5 Prozent erzielen. An welchem Tag
musste dafür der Zins gewechselt werden? Die Zinsmethode war ACT/ACT (ICMA).
Die Frauen mit ihren Sonderwünschen. Zwischen dem 19.3.2000 und dem 19.3.2005 liegen nach PAngV genau fünf Jahre. Die Renditeformel
r̄ = (Kt /K0 )1/tP − 1
aufgelöst nach
Kt
ergibt
Kt = K0 (1 + r̄)tP ,
woraus der von Frau XY gewünschte Endbetrag
Kt = 8.000 (1, 05)5 = 10.210, 25 Euro
folgt. Der Zinswechsel muss im Jahr 2002 oder im Jahr 2003 erfolgen. Ich versuche es
mit dem Jahr 2002 und nenne den unbekannten Tag
Kt = K0 (1 +
x
mit
1 ≤ x ≤ 365.
Dann gilt
0, 04 · x
365 − x
0, 06 · 77
0, 04 · 288
)1, 04(1 +
)(1 + 0, 04 ·
)1, 062 (1 +
).
366
365
365
365
x mit der Lösung x = 269, 1599537. Da nur
ich x = 269, also den 27.9.2002. Der tatsächliche
Dies ist eine quadratische Gleichung für
ganze Zahlen in Frage kommen, wähle
Endbetrag ist dann sogar 10.210,35 Euro.
Aufgabe 17.
Frau XY erwarb am 1.3.2010 einen Bundesschatzbrief des Typs B im
Wert von 4.000 Euro zu den in der Abbildung 1.6 auf Seite 36 gezeigten Konditionen.
Am 13.11.2014 gerät die inzwischen wieder ledige Frau XY in Geldnot und muss den
Bundessschatzbrief an den Bund zurückgeben oder verkaufen.
a) Welchen Rückgabewert hat das Wertpapier?
Bis zum 1.3.2014 hat das Papier einen Wert von
4.000·1, 0585759 = 4.234, 30 erreicht.
Zwischen dem 1.3.2014 und dem 13.11.2014 liegen 257 Tage, somit würde der Bund
den folgenden Betrag erstatten
RG = 4.000 · 1, 0585759 · (1 + 0, 035 · 257/365) = 4.338, 65 Euro.
78
b) Ein Freund bietet an, den Bundesschatzbrief zu kaufen, wobei der Kaufpreis so sein
soll, dass das Papier eine Rendite von 3 Prozent erzielt, wenn es bis zum Ende der
Laufzeit gehalten wird. Wie hoch wäre dieser Kaufpreis? Wie soll sich die unglückliche
Frau XY entscheiden? Wie ist ihre steuerliche Situation in diesem Fall?
Das Papier wird spätestens am 1.3.2017 zu einem Wert von
E = 4.000 · 1, 1850291 =
4.740, 12 fällig. Zwischen dem 13.11.2014 und dem 1.3.2017 liegt nach PAngV eine
Zeit vo tP = 2, 299315068. Die Rendite des Freundes wird genau drei Prozent bei
einem Kaufpreis von
K = E · 1, 03−tP = 4.740, 12 · 1, 03−2,299315068 = 4.428, 66 Euro.
Dieses Angebot ist das günstigere, sie muss allerdings den Betrag von 428,66 Euro
bei der Steuererklärung angeben. Sofern die gesamten Zinserträge unterhalb von 801
Euro bleiben, fallen keine Steuern an.
79
3 Lösungen
Aufgabe 1.
Eine Händlerin macht die beiden folgenden Angebote zur Finanzierung des
am 30.10.95 fälligen Kaufpreises von 19.000 DM. Man berechne jeweils den Eektivzinssatz nach PAngV.
a) Rückzahlungen von 6.000 DM, 7.000 DM und 8.000 DM am 31.3.96, 31.3.97 und
31.10.99
b) Rückzahlungen von 6.000 DM, 7.000 DM und 8.000 DM am 31.1.96, 31.3.97 und
31.12.99
Nach PAngV kann hier monatsweise gerechnet werden, da alle Termine auf einen 30.
oder 31. Tag fallen. Der Eektivzinssatz
ref f
ist derjenige Zinssatz, der zu einem Bar-
wert von 0 für den Zahlungsstrom führt. Man zinst also mit exponentieller Verzinsung
auf den 30.10.95 ab und erhält für das 1. Angebot folgende Funktion für die Nettobarwertfunktion in Tausend DM:
N P V (r) = 19 − 6(1 + r)−5/12 − 7(1 + r)−17/12 − 8 (1 + r)−4 ,
deren Nullstelle die Eektivverzinsung
ref f
ist. Die Lösung ist:
ref f = 4, 98
Prozent.
Entsprechend folgt für das 2. Angebot
N P V (r) = 19 − 6(1 + r)−3/12 − 7(1 + r)−17/12 − 8 (1 + r)−(4+1/6)
mit der Nullstelle
Aufgabe 2.
ref f = 4, 97
Prozent, sodass das 2. Angebot etwas günstiger ist.
Sie können eine Yacht zum Geburtstag Ihres Schatzes auf zwei unterschied-
liche Weisen bezahlen, die in der folgenden Tabelle angezeigt sind:
Datum
1.1.97
1.1.98
1.1.99
Weise 1
Weise 2
10
7
6
1
13
12
Alle Angaben in Millionen Euro. Wie entscheiden Sie sich? Bitte mit nanzmathematischer Begründung!
Wir berechnen für jeden Zahlungsstrom den Barwert in Abhängigkeit des jeweiligen
Kalkulationszinssatzes
r
P V 1(q) = 10 + 7q −1 + 6q −2 ,
P V 2(q) = 1 + 13q −1 + 12q −2 ,
q = 1+r
80
r = 0 d.h. q = 1 der erste Barwert geringer ist, P V 1(1) = 23,
q → ∞ wird dagegen P V 1 gröÿer als P V 2. Die beiden Barwerte
Man sieht sofort, dass für
P V 2(1) = 26.
Für
werden bei
10 + 7q −1 + 6q −2 = 1 + 13q −1 + 12q −2 ,
10q 2 + 7q + 6 = 1q 2 + 13q + 12,
−9q 2 + 6q + 6 = 0
√
1
1
7 = 1, 215250437. Somit bleibt die
gleich groÿ. Die einzige positive Lösung ist q = +
3
3
erste Zahlungsweise bis zu einem Kalkulationszinssatz von r = 21, 53 Prozent günstiger,
weswegen man sich für diese Zahlungsweise entscheiden sollte.
Aufgabe 3.
Ein Financier aus Palermo verleiht am 15.11.2009 10.000 Euro. In den
folgenden drei Monaten erhält er jeweils zum Monatsanfang 200 Euro Zinsen, dazu an
Weihnachten eine erste Tilgungsrate von 3.000 Euro. Die Zahlung am 1.3.2010 blieb
zunächst aus, doch am 15.3.2010 konnte die Witwe des Schuldners zur Zahlung der
restlichen 7.000 Euro überredet werden. Welchen Nettobarwert hat diese Investition bei
einem Vergleichszinssatz von 20 Prozent? Bestimmen sie danach die Rendite
r̄
der In-
vestition!
Der Lösungsweg bendet sich im folgenden Excel-Arbeitsblatt.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
r
Zinsmethode
Zeiten
Zahlungen Zeitdifferenz
20,0000%
PAngV 15.11.2009 -10000,00
0
01.12.2009
200,00
16/365
Barwert
Rendite
24.12.2009
3000,00 1/12+9/365
115,06
25,49%
01.01.2010
200,00 1/12+16/365
01.02.2010
200,00 2/12+16/365
15.03.2010
7000,00
4/12
F
Barwert
-10000,00
198,41
2941,51
195,42
192,47
6587,25
115,06
NPV(r)=-10.000+200(1+r)^(-16/365)+3000(1+r)^(-(1/12+9/365))
+200(1+r)^(-(1/12+16/365))+200(1+r)^(-(2/12+16/365))+7000(1+r)^(-4/12)
Aufgabe 4.
Beim Kauf einer Waschmaschine im Wert von 1.000 Euro schlägt der Händ-
ler zwei Raten von je 530 Euro zahlbar nach 6 und nach 12 Monaten vor. Bestimmen
Sie die Nettobarwertfunktion und den eektiven Jahreszins des vorgeschlagenen Ratenkaufs. Eine Bank bietet dem Käufer einen Eektivzins von 7 Prozent an. Wie hoch ist
der Barwert dieses Angebots? Welche konstante Rate wäre bei der Bank nach 6 und
nach 12 Monaten jeweils zu zahlen?
Die Nettobarwertfunktion lautet
N P V (r) = 1.000 − 530(1 + r)−0,5 − 530(1 + r)−1 .
81
3 Lösungen
x = (1 + r)−0,5 ,
Setzt man
so ergibt sich
N P V (x) = 1.000 − 530x − 530x2 .
N P V (x) = 0 sind
p
x1,2 = −0, 5 ± 0, 25 + 1.000/530.
Die Lösungen der Gleichung
Hier kommt nur die positive Lösung
x1 = −0, 5 +
in Betracht. Aus
x = (1 + r)−0,5
p
0, 25 + 1.000/538 = 0, 961777156
folgt
1 + r = x−2 = 1, 0811,
d.h der eektive Zinssatz
beträgt 8,11 %.
Setzt man
r = 0, 07 in die Nettobarwertfunktion ein, ergibt sich ein Wert von -7,70 Euro.
R der Bank
Der Käufer würde also 7,70 Euro sparen, wenn er zur Bank geht. Die Rate
muss die Gleichung
0 = 1.000 − R(1, 07)−0,5 − R(1, 07)−1
erfüllen, d.h.
R = 525, 95.
Aufgabe 5.
Die weltbekannte Schifahrtslinie Scrap Lines International (SLI) kann ein
Handelsschi für 8 Millionen Dollar kaufen, dessen Betrieb jährlich 1 Million Dollar als
Reingewinn abwirft. Am Ende des 5. und in der Mitte des 10. Jahres werden Reparaturen
für 2 Millionen Dollar fällig. Am Ende des 15. Jahres kann das Schi eine Ladung zu
den Bermudainseln übernehmen, die Versicherung ersetzt 1,5 Millionen Dollar für das
spurlos verschwundene Schi.
a) Wie hoch ist der Barwert der Investition, wenn andere Anlagen von SLI 8 Prozent
Zins erwirtschaften?
Der Zahlungsstrom besteht aus der Anfangsinvestition von acht Millionen Dollar und
den beiden Reparaturen, diese Werte müssen negative Vorzeichen erhalten. 15 Jahre
−i
werden 1 Million Dollar erwirtschaftet, die im Jahr i mit 1, 08
abzuzinsen sind.
Dazu kommt die Erstattung der Versicherung. Kalkuliert man mit dem Zinssatz
so bezeichnet
N P V (r) =
n
X
r,
(1 + r)−ti Ci
i=0
den Nettobarwert der Investition. Ist dieser positiv, so ist die Investition protabel.
Hier ist
r=8
Prozent anzusetzen:
N P V (r) = −8 +
15
X
(1 + r)−i − 2 (1 + r)−5 − 2 (1 + r)−9,5 + 1, 5 (1 + r)−15 ,
i=1
1 − (1 + r)−15
− 2 (1 + r)−5 − 2 (1 + r)−9,5 + 1, 5 (1 + r)−15 .
N P V (r) = −8 +
r
82
6
4
2
0
0%
10%
20%
30%
40%
-2
-4
-6
Abbildung 3.1: Nettobarwertfunktion der Schisinvestition.
Für
r = 0, 08
folgt
N P V (0, 08) = −1.291.554, 73
Dollar, die Investition lohnt sich
also nicht. Die Firma würde bei dieser Investition keinen Verlust erleiden, sondern
nur im Vergleich mit einer Anlage zu 8 Prozent den Betrag von 1.291.554,73 Dollar
weniger verdienen.
b) Man bestimme die Rendite
Die gesuchte Rendite
r̄!
r̄ ist die Nullstelle der Nettobarwertfunktion, d.h. es ist folgende
Gleichung zu lösen:
0 = −8 +
woraus sich
1 − (1 + r̄)−15
− 2 (1 + r̄)−5 − 2 (1 + r̄)−9,5 + 1, 5 (1 + r̄)−15 ,
r̄
r̄ = 5, 05
Prozent ergibt
c) Wie viel Nullstellen haben die Nettobarwertfunktion und ihre beiden ersten Ableitungen maximal und wie viel tatsächlich im Bereich
r > 0?
In der Zahlungsfolge gibt es drei Vorzeichenwechsel, somit hat die Nettobarwertfunktion genau drei oder genau eine Nullstelle im Bereich
r > 0. Die Koezientenfolge der
beiden ersten Ableitungen hat dagegen nur zwei Vorzeichenwechsel, also haben beide
zwei oder keine Nullstelle. Wie man sieht, hat die Nettobarwertfunktion eine Nullstelle, die beiden Ableitungen dagegen keine Nullstellen, denn die Nettobarwertfunktion
ist streng monoton fallend und konvex.
Aufgabe 6.
Ein Portfoliomanager verkündet, dass er in den letzten 10 Jahren durch-
schnittlich 20 Prozent Rendite erzielt hat. Wieso ist diese Aussage nur bedingt wertvoll?
Unerfahrene Kunden nehmen an, dass der Wert des Portfolios in den letzten 10 Jahren
10
um den Faktor (1, 2)
= 6, 1917 gestiegen ist. Es gilt aber nur, dass das arithmetische
83
3 Lösungen
Mittel
ra
ra =
r1 + r2 + ... + r10
= 0, 2,
10
also 20 Prozent beträgt. Der tatsächliche Vermögenszuwachs ergibt sich aber aus dem
geometrischen Mittel:
(1 + rg )10 = (1 + r1 )(1 + r2 )...(1 + r10 ).
Wie sich zeigen lässt, gilt
rg ≤ ra ,
wobei Gleichheit nur dann auftritt, wenn alle
r1 = 100
Prozent,
r2 = −50
rk
gleich sind. Das klassische Beispiel
Prozent ergibt
rg = 0,
ra = 25.
Durchschnittlich wurde in den zwei Jahren eine Rendite von 25 Prozent erzielt, aber
kein Wertzuwachs.
Aufgabe 7.
2x − 3
Zeigen Sie mit Hilfe von Satz 2.2, dass die Funktion
x 7→ f (x) = 0, 5x4 −
nur je eine positive (xp ) und eine negative (xn ) Nullstelle hat. Weisen Sie mit
Satz 2.3 weiterhin nach, dass das Newtonverfahren für jeden Startwert
x0 > xp
streng
monoton fallend gegen die positive Nullstelle konvergiert. Führen Sie dann mit Excel
das Newtonverfahren mit dem Startwert
x0 = 6 solange durch, bis keine Änderung mehr
erzielt wird. Überprüfen Sie dann mit der Zielwertsuche Ihr Ergebnis. Zeichnen Sie dann
den Graph der Funktion im Intervall
[−2, 3] mit Excel als Punkt-Diagramm. Bestimmen
xn mit der Zielwertsuche.
Sie abschlieÿend die negative Nullstelle
D
E
F
G
H
I
J
K
L
1 6,000000 4,527907 3,449245 2,689013 2,207435 1,979016 1,926321 1,92371431 1,92370813493177
2 4,527907 3,449245 2,689013 2,207435 1,979016 1,926321 1,923714 1,92370813 1,92370813489718
3
y
4
Positive Nullstelle
15
5
1,92370813489718
y=0,5x^4 -2x -3
10
6
0,00000000000000
7
5
8
Negative Nullstelle
0
x
9
-1,11441214198319
-2
-1
0
1
2
3
-5
10
0,00000000000000
Abbildung 3.2: Graph und Nullstellen von
f (x) = 0, 5x4 − 2x − 3
.
Die Funktion
f
hat nur einen Vorzeichenwechsel bei den Koezienten und somit genau
4
eine positive Nullstelle. Für x < 0 gilt f (x) = g(|x|) = 0, 5|x| + 2|x| − 3 und damit gibt
es nur eine negative Nullstelle, da
g
nach der Vorzeichenregel von Descartes nur genau
eine positive Nullstelle hat. Die Konvergenz der Newtonfolgen mit Startwerten
0
00
folgt aus f (1) < 0 sowie f (x) > 0 und f (x) > 0 im Intervall (1, ∞).
84
x > xp
Literaturverzeichnis
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Kursbuch Geld, Fischer Taschenbuch Verlag, Frankfurt am Main, 1990
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York, 1991.
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Richtig rechnen bei Finanzgeschäften; Kredite, Finanzierungen, Kapi-
talanlagen, Frankfurter Allgemeine Zeitung, Frankfurt am Main, 1988.
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[5] Elton, E. and Gruber, M.,
Zeitschrift
Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, John
Wiley & Sons, 1991,New York
85
Index
Abgeld, 57
TAGE360, 20
Anfangskapital, 1
Aufzinsungsfaktor, 24
Auszahlungskurs, 58
Verzinsung
einfache, 5
exponentielle, 4
Barwert, 47
gemischte, 24
BRTEILJAHRE, 20
lineare, 6
Damnum, 57
Darlehen
Nennwert, 57
Disagio, 57
Eektivverzinsung, 57
Endkapital, 1
Gläubiger, 1
stetige, 4, 27
unterjährige, 26
unterjährige gemischte, 28
Zinseszins, 24
Zahlungsstrom, 48, 66
äquivalent, 51
vollständige, 52
Zielwertsuche, 33
Zinsbetrag, 1
ICMA, 8
Zinsbindung, 3
Investition, 54
Zinseszinsformel, 24
ISDA, 9
Zinsfuÿ, 1
ISMA, 8
Zinsmethode, 8
Kapitalwert, 52, 54
Kapitalwertfunktion, 54
Kapitalwertmethode, 54
Konto, 46
Laufzeit, 1
30E/360, 13
30U/360, 13
ACT/360, 10
ACT/365, 11
ACT/ACT (EXCEL), 10
ACT/ACT (ICMA), 9
ACT/ACT (ISMA), 28
Nettobarwert, 52
Preisangabeverordnung, 23
present value, 47
Rendite, 23, 57
Amerikanische, 13
Deutsche, 13
Englische, 11
Euro-, 10
PAngV, 14
Zinsperiode, 26
Schuldner, 1
Zinsrechnung, 3
Stückzinsen, 36
Zinssatz, 1, 4
86
Index
interner, 56
konformer, 23
Zinstagzählmethode, 8
Zinstermin, 26
87