Kostenfunktionen, Durchschnittskosten, Grenzkosten Herleitung der

Kostenfunktionen, Durchschnittskosten, Grenzkosten
Herleitung der Kostenfunktionen:
Kosten zunächst als Faktorpreise w1, w2 gegeben
K = w1x1 + w2x2
Ziel: Kosten als Funktion der Outputmenge y darstellen
K (y)
kurzfristig:
Fixkosten: für fixe Produktionsfaktoren x̄2 : w2x̄2 =
F
variable Kosten: w1x1
Gesamtkosten: K = w1x1 + F
Möchte Outputmenge ȳ produzieren
ȳ = f (x1, x̄2) = f˜ (x1)
→ x1 = f˜−1 (ȳ)
Kosten für Outputmenge ȳ : K = w1f˜−1 (ȳ) + F
ist y variabel, erhalten wir die kurzfristige Kostenfunktion
K (y) = w1f˜−1 (y) + F
1/2
Bsp: y = x1 x2
Durchschnittskosten und Grenzkosten
kurzfristige Kostenfunktion: K (y) = V K (y) + F
Durchschnittskosten (Stückkosten) DK : Kosten pro
K(y)
Outputeinheit y
durchschnittliche variable Kosten DVK:
V K(y)
y
durchschnittliche Fixkosten DF: Fy
Grenzkosten GK: zusätzliche Kosten für eine weitere
Outputeinheit: K 0 (y) = V K 0 (y)
die Grenzkostenkurve schneidet die Durchschnittskostenkurve
in deren Minimum
Bew:
DK:
K(y)
y
im Minimum gilt: DK 0 = 0
Ã
K (y)
y
!0
K 0 (y) y − K (y)
=
=0
2
y
K 0 (y) y−K (y) = 0 → K 0 (y) y = K (y) → K 0 (y) =
K (y)
y
Minimum der Durchschnittskosten= Betriebsoptimum
Minimum der durchschnittlichen variablen Kosten=
Betriebsminimum
langfristig:
keine Fixkosten, alle Produktionsfaktoren sind variabel
Gesamtkosten: K = w1x1 + w2x2
Isokostengerade: alle möglichen Kombinationen von
Faktormengen x1 und x2, die zu den gleichen Gesamtkosten
gekauft werden können
w1
K
x2 =
x1
−
w2 w2
1
Anstieg: Verhältnis der Faktorpreise − w
w2
Interpretation: Subtitutionsverhältnis der Inputfaktoren
Suche jene Kombination von x1 und x2 mit der zu
minimalen Kosten ein bestimmtes Outputniveau ȳ produziert werden kann: Minimalkostenkombination
2 Möglichkeiten:
1. grafisch
2. analytisch
ad (1) Einzeichnen der entsprechenden Isoquante ins
Isokostensystem → Tangentialpunkt der Isoquante an
Isokostengerade ist Punkt mit minimalen Kosten: Anstiege
sind gleich
w1
dx2
=−
dx1
w2
(1)
GRTS = umgekehrten Verhältnis der Faktorpreise
∂y
∂y
w
w1
∂x1
∂x1
1
− ∂y = −
⇒ ∂y =
w2
w2
∂x2
∂x2
(2)
Verhältnis der Grenzprodukte = Verhältnis der Faktorpreise
∂y
∂x1
w1
=
∂y
∂x2
w2
Grenzprodukt pro Kosteneinheit ist bei jedem Faktor
gleich
ad (2) mittels Lagrangeansatz
K = w1x1 + w2x2 → min
s.t. ȳ = f (x1, x2)
liefert bedingte Faktornachfrage (Nachfrage nach Inputfaktoren):
x1 = x1 (w1, w2, ȳ) , x2 = x2 (w1, w2, ȳ)
L = w1x1 + w2x2 − λ (ȳ − f (x1, x2))
notwendige Bed. 1.Ordnung:
∂L
∂f
= w1 − λ
=0
∂x1
∂x1
(3)
∂L
∂f
= w2 − λ
=0
∂x2
∂x2
(4)
∂L
= ȳ − f (x1, x2) = 0
∂λ
aus (3) und (4)
w2
=
λ
=
∂f
∂f
w1
∂x1
(5)
∂x2
bzw (2) :
∂y
w1
∂x1
=
∂y
w2
∂x2
Einsetzen in die NB liefert die bedingte Faktornachfrage
Bsp:y = xa1 x2
K = w1x1 + w2x2 → min
s.t. ȳ = xa1 x2
L = w1x1 + w2x2 − λ (ȳ − xa1 x2)
x1 = ȳ 1/1+a
Ã
w2
a
w1
!1/1+a
, x2 = ȳ 1/1+a
Ã
1 w1
a w2
!a/1+a
Expansionspfad: Gesamtheit aller Minimalkostenkombinationen
1. grafisch: Verbindung der Tangentialpunkte
2. analytisch: x2 = x2 (x1) aus Optimalitätsbed.
Bsp:y = xa1 x2
Herleitung der langfristigen Kostenfunktion aus dem
Expansionspfad:
Wahl der einer bestimmten Produktionsmenge entsprechenden Isoquante, Bestimmung der Kosten über die durch
den Tangentialpunkt verlaufende Kostengerade liefert
K (y)