Das Determinantenverfahren (Cramersche Regel)

Das Determinantenverfahren
(Cramersche Regel)
Zunächst für (2x2)-LGS:
Diese haben die allgemeine Form
a1 x1 + b1 x2 = c1
a2 x1 + b2 x2 = c2
mit reellen Zahlen a1, a2, b1, b2, c1, c2. Die erweiterte Koeffizientenmatrix ist dann also:
 a1 b1 c1 


a b c 
2 2
 2
Mit „Turbo-Gauß“ wird daraus
 a1

b1
c1


 0 a b b a a c c a 
1 2
1 2 1 2
1 2

Also ergibt sich für x2 die Gleichung
(a1b2 – b1a2)x2 = a1c2 – c1a2,
das heißt
a c  c1 a 2
x2  1 2
a1b2  b1 a 2
Für x1 ergibt sich also:
a c  c1 a 2
a1 x1 + b1 1 2
= c 1.
a1b2  b1 a 2
Nach einigen Rechenschritten (gut, um Bruchrechnen zu üben!) ergibt sich daraus
c b b c
x1  1 2 1 2 .
a1b2  b1a 2
Der Nenner und die Zähler in diesen Brüchen ergeben sich aber gerade jeweils, wenn man in den
Matrizen
 a1 b1 
 a c1 
 c b1 

 bzw.  1
 bzw.  1

 a 2 b2 
 a2 c2 
 c 2 b2 
wie vom „Turbo-Gauß“-Verfahren bekannt „über Kreuz“ multipliziert. Deswegen macht man folgende
Definition:
Unter der Determinante einer (2x2)-Matrix versteht man den Ausdruck
a b1
 a b1 
 = 1
det  1
= a1b2 – b1 a2,
a 2 b2
 a 2 b2 
also das Produkt der „Hauptdiagonalen“ (von links oben nach rechts unten) minus das Produkt der
„Nebendiagonalen“ (von rechts oben nach links unten).
Damit kann man die Lösungen eines (2x2)-LGS also folgendermaßen berechnen („Cramersche Regel“):
D
D
x1 = 1 und x2 = 2
D
D
mit den Determinanten
 a b1 
 c b1 
 a c1 
 , D1 = det  1
 , D2 = det  1
 .
D = det  1
a
b
c
b
a
c
2
2
2
 2
 2
 2
Für die Determinanten D1 bzw. D2 in den Zählern muss man also in der Koeffizientenmatrix die erste
bzw. die zweite Spalte durch die Konstanten der rechten Seite ersetzen.
Erweiterung auf (3x3)-LGS:
Hier gilt wieder ganz analog: Das LGS
a1 x1 + b1 x2 + c1 x3 = d1
a2 x1 + b2 x2 + c2 x3 = d2
a3 x1 + b3 x2 + c3 x3 = d3
hat die Lösungen
x1 =
D1
;
D
x2 =
D2
;
D
x3 =
D3
D
mit den Determinanten
 a1 b1 c1 
 d1 b1 c1 
 a1 d1 c1 
 a1 b1 d1 








D = det  a 2 b2 c 2  , D1 = det  d 2 b2 c 2  , D2 = det  a 2 d 2 c 2  , D3 = det  a 2 b2 d 2  .
a b c 
d b c 
a d c 
a b d 
3
3
3
3
3
3
3
3
 3
 3
 3
 3
Wieder muss man also für die Determinanten D1 bzw. D2 bzw. D3 in der Koeffizientenmatrix die
jeweilige Spalte durch die Konstanten der rechten Seite ersetzen.
Die Determinante einer (3x3)-Matrix berechnet man dabei folgendermaßen:
 a1 b1 c1 


det  a 2 b2 c 2  = a1 b2 c3 + b1 c2 a3 + c1 a2 b3 – c1 b2 a3 – b1 a2 c3 – a1 c2 b3.
a b c 
3
3
 3
Das kann man sich auf zwei Arten merken:
1) „Entwicklung nach der ersten Zeile“ (Spezialfall des „Laplaceschen Entwicklungssatzes“)
Man multipliziert die Zahlen der ersten Zeile, mit abwechselndem Vorzeichen, mit den
Determinanten der (2x2)-Matrizen, die übrig bleiben, wenn man in der (3x3)-Matrix die erste
Zeile und die jeweils zugehörige Spalte weglässt:
 a1 b1 c1 


 b c2 
 a c2 
 a b2 
 – b1∙det  2
 + c1∙det  2

det  a 2 b2 c 2  = a1∙det  2
 b3 c3 
 a 3 c3 
 a3 b3 
a b c 
3
3
 3
(stattdessen kann man übrigens auch nach einer anderen Zeile oder einer Spalte entwickeln)
2) „Regel von Sarrus“: man schreibt neben den Zahlen der Koeffizientenmatrix die ersten beiden
Spalten noch mal hin, also
a1 b1 c1 a1 b1
a 2 b2 c 2 a 2 b2
a3 b3 c3 a3 b3
Dann rechnet man, wie von (2x2)-Matrizen bekannt, „Hauptdiagonalen minus Nebendiagonalen“
(also die Produkte aus allen Diagonalen von links oben nach rechts unten, minus die Produkte aus
allen Diagonalen von rechts oben nach links unten).
Abschließende Anmerkungen:
1) Die Cramersche Regel gilt für beliebig große quadratische lineare Gleichungssysteme.
2) Für die Determinanten, die man dann für größere Matrizen berechnen muss, kann der Laplacesche
Entwicklungssatz (entsprechend erweitert) benutzt werden; die Regel von Sarrus funktioniert
dagegen nur bei (3x3)-Matrizen.
3) Für das Rechnen „per Hand“ eignet sich die Cramersche Regel schlecht (das Berechnen von
Determinanten ist ziemlich zeitaufwendig), aber
a. Mit dem Computer ist dieses Verfahren recht brauchbar (z. B. kann man in Microsoft
Excel mit dem Befehl „MDET“ Determinanten berechnen).
b. Man kann schnell überprüfen, ob ein LGS überhaupt eine Lösung hat: Ist D = 0, so hat das
LGS entweder unendlich viele Lösungen (wenn auch alle anderen D i = 0 sind), oder keine
Lösung (sobald ein Di ungleich 0 ist).
4) Richtig wichtig werden Determinanten erst bei sogenannten „Eigenwertproblemen“.