Extremwertaufgaben im Mathematikunterricht

Transcrição

Technisch-Naturwissenschaftliche
Fakultät
DIPLOMARBEIT
zur Erlangung des akademischen Grades
Magistra der Naturwissenschaften
im Diplomstudium
LEHRAMT FÜR MATHEMATIK UND MEDIENGESTALTUNG
Eingereicht von:
Stefanie Rittmannsberger
Angefertigt am:
Institut für Didaktik der Mathematik
Beurteilung:
Univ. Prof. DI Mag. Dr. Markus Hohenwarter
Mitwirkung:
Mag. Andreas Lindner
Linz, Juli 2014
Eidesstattliche Erklärung
Ich erkläre an Eides statt, dass ich die vorliegende Diplomarbeit selbstständig und
ohne fremde Hilfe verfasst, andere als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel nicht
benutzt bzw. die wörtlich oder sinngemäß entnommenen Stellen als solche kenntlich
gemacht habe. Die vorliegende Diplomarbeit ist mit dem elektronisch übermittelten
Textdokument identisch.
_____________________________________________________________________
(Ort, Datum)
(Unterschrift)
I
Danksagung
An dieser Stelle möchte ich mich bei Herrn Univ. Prof. DI Mag. Dr. Markus
Hohenwarter und Herrn Mag. Andreas Lindner bedanken, für die Bereitstellung des
Themas und für die Betreuung während meiner Diplomarbeit.
Besonders danken möchte ich meiner Familie, vor allem bei meinen Eltern, die mich
nicht nur finanziell unterstützt haben sondern mir auch emotional beigestanden sind.
Ein besonderer Dank gilt meiner Mutter Brigitte, die in jeder Lebenslage die richtigen
aufbauenden Worte für mich gefunden hat und an meinen Vater Hans, der mir vor
allem während der Diplomarbeit hilfreich zur Seite stand. Auch bei meinen
Geschwistern Barbara und Michael möchte ich mich für die emotionale Unterstützung
bedanken und bei meiner Tante Gabriele für das Korrekturlesen meiner Diplomarbeit.
Ein großer Dank geht auch an Christina Auer und Misha Yudytskiy für die
Unterstützung während meiner gesamten Studienzeit und für das Korrekturlesen der
Diplomarbeit.
Zu guter Letzt möchte ich allen meinen Freunden und Studienkollegen danke sagen,
die mich durch mein Studium begleitet haben und meine Studienzeit unvergesslich
gemacht haben.
II
Kurzfassung
Thema der Diplomarbeit
Zielsetzung
Optimieren zählt zu den wichtigsten Methoden in vielen Anwendungsbereichen. Ziel
dieser
Diplomarbeit
ist
es,
möglichst
realistische
Fragestellungen
für
Extremwertaufgaben zu finden und ein didaktisches Konzept zur Vermittlung von
Extremwertaufgaben unter Nutzung von möglichst realitätsbezogenen Fragestellungen
vorzustellen.
Durchführung
Diese Arbeit gliedert sich in einen Theorie- und in einen Praxisteil. Im Theorieteil wird
zunächst geklärt wie Extremwertaufgaben definiert sind und welche Schwierigkeiten
SchülerInnen beim Lösen solcher Beispiele haben können. Danach wird auf die
Lösungsmöglichkeiten und Strategien zum Lösen realer Problemstellungen näher
eingegangen. Um die Aufgaben zu veranschaulichen, kann der Computereinsatz sehr
hilfreich sein, auf den im letzten Kapitel des Theorieteils näher eingegangen wird.
Im Praxisteil werden die im Theorieteil besprochenen Themen an Beispielen
angewandt und somit für den Unterricht brauchbare Aufgaben vorgestellt.
III
Abstract
Topic of the diploma thesis
Optimization problems in mathematics teaching
Objective of the thesis
Optimization is one of the most important methods in many fields of mathematical
applications. The aim of this thesis is to present examples of extreme value problems
based on real world applications and to present educational concepts for conveying
them to students.
Methods
The thesis is split into two parts: theoretical and practical. In the theoretical part I
define the extreme value problems and discuss the difficulties that might arise for
students when dealing with these types of problems. Consequently, I closely examine
the solution methods and strategies for solving realistic examples of optimization
problems. For convenience, the problems may be illustrated with the help of a
computer, which is presented in more detail at the end of the theoretical part.
In the practical part of this work, I apply topics from theory to practice and present
concrete examples that can be used in a classroom environment.
IV
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung .............................................................................................................. 1
2
Was sind Extremwertaufgaben? ............................................................................ 3
3
Didaktische Aufbereitung von Extremwertaufgaben im Mathematikunterricht ........ 5
4
3.1
Aspekte von Variablen ................................................................................... 5
3.2
Aspekte von Funktionen ................................................................................. 7
Lösungsvielfalt .....................................................................................................12
4.1
Chancen und Gefahren von Lösungsvielfalt ..................................................12
4.2
Elementare Lösungsvarianten von Extremwertaufgaben...............................16
4.2.1
Quadratische Ergänzung und Quadratungleichung ................................16
4.2.2
Mittelungleichung ...................................................................................17
4.2.3
Symmetrisieren ......................................................................................18
4.2.4
Flächenvergleich ....................................................................................18
4.2.5
Dreiecksungleichung ..............................................................................19
4.2.6
Niveaulinien ...........................................................................................20
4.3
5
Extremwertaufgaben mit Realbezug .....................................................................25
5.1
6
Vor- und Nachteile des Lösens mittels Differentialrechnung ..........................23
Modellieren ...................................................................................................25
5.1.1
Der Modellbildungskreislauf ...................................................................27
5.1.2
Modellieren im Mathematikunterricht ......................................................29
5.2
Problemlösen nach Pòlya..............................................................................30
5.3
Fächerübergreifendes Lernen .......................................................................33
Computer im Mathematikunterricht.......................................................................36
6.1
Chancen und Risiken des Computereinsatzes ..............................................36
6.2
Computeralgebrasystem (CAS).....................................................................37
6.3
Tabellenkalkulations-Software (TKS) ............................................................38
6.4
Dynamische Geometrie-Software (DGS) .......................................................39
6.5
Einsatz des Computers bei Extremwertaufgaben ..........................................41
V
7
Praktischer Teil ....................................................................................................44
7.1
Die optimale Konservendose.........................................................................44
7.2
Lampe ...........................................................................................................54
7.3
Zaun..............................................................................................................60
7.4
Läufer............................................................................................................63
7.5
Hotel .............................................................................................................68
7.6
Stau ..............................................................................................................71
7.7
Rettungsschwimmer ......................................................................................74
8
Zusammenfassung ...............................................................................................83
9
Verzeichnisse .......................................................................................................84
9.1
Literaturverzeichnis .......................................................................................84
9.2
Abbildungsverzeichnis:..................................................................................89
10
Anhang .............................................................................................................91
VI
Einleitung
1 Einleitung
Die Optimierung spielt speziell in der Wirtschaft, aber auch in vielen anderen Bereichen
der Arbeitswelt eine wichtige Rolle. Eine gute Möglichkeit einem/r SchülerIn das
Verständnis des Grundprinzips zu vermitteln, sind Extremwertaufgaben. Das Erstellen
eines Bezugs der mathematischen Aufgabe mit der Realität hilft dem/r SchülerIn die
Bedeutung der Mathematik im Alltag zu erkennen und zu verstehen.
Während diverser Nachhilfestunden habe ich die Erfahrung gemacht, dass das Lösen
von Extremwertaufgaben viele Lernende vor Herausforderungen stellt. Neben
Problemen mit dem Umformen und Differenzieren der Funktionen, fallen dabei auch
Schwierigkeiten mit der Mathematisierung der Aufgabenstellung auf. Hierfür benötigen
die SchülerInnen die Kenntnis unterschiedlicher Sätze der Mathematik, die teilweise
schon in der Unterstufe behandelt wurden, wie z.B. den Satz von Pythagoras oder den
Strahlensatz. Des Weiteren ist es natürlich ausschlaggebend, dass das Problem
verstanden wird. Um die Aufgabenstellung nachvollziehen zu können, ist es dabei für
den/die SchülerIn wichtig, die Aspekte der Variablen zu erkennen. Erst durch das
Arbeiten mit NachhilfeschülerInnen, wurde mir bewusst, dass gerade das Bestimmen
von fixen und veränderlichen Variablen Schwierigkeiten bereitet. Aus diesem Grund
möchte ich dieses Thema in dieser Arbeit genauer beleuchten.
Dabei möchte ich mich vor allem auf reale Problemstellungen konzentrieren, da ich es
für sehr wichtig halte den SchülerInnen zu demonstrieren, dass Mathematik nicht
ausschließlich abstrakt sein muss. Außerdem eignet sich der physikalische Hintergrund
vieler Extremwertaufgaben für eine fächerübergreifende Aufarbeitung.
Diese Arbeit unterteile ich in einen Theorie- und einen Praxisteil. Im Theorieteil wird
zunächst die Definition von Extremwertaufgaben geklärt, danach wird auf die
didaktische Aufbereitung mit Fokus auf das Verständnis von Variablen- und
Funktionsaspekte
eingegangen.
Im
Anschluss
behandle
ich
das
Thema
Lösungsvielfalt, da ich es für sinnvoll halte, den SchülerInnen unterschiedliche
Lösungswege für Extremwertprobleme, wie elementare Lösungsvarianten, schon vor
der Einführung der Differenzialrechnung näher zu bringen.
Im
Kapitel
"Extremwertaufgaben
mit
Realbezug"
behandle
ich
Herangehensweisen an Extremwertaufgaben: den Modellbildungskreislauf
zwei
und die
Problemlösestrategie nach Pólya. Um das Themengebiet zu veranschaulichen, eignen
1
Einleitung
sich verschiedene Computerprogramme, die ich im darauffolgenden Kapitel näher
erläutern werden. Im anschließenden Praxisteil werden die Themengebiete des
Theorieteils anhand konkreter Beispiele angewendet.
2
Was sind Extremwertaufgaben?
2 Was sind Extremwertaufgaben?
Uwe-Peter Tietze (2000, S.273) definiert Extremwertaufgaben wie folgt:
"Unter Extremwertaufgaben versteht man Textaufgaben, bei denen eine Größe unter
Beachtung einer Nebenbedingung maximiert bzw. minimiert werden soll. Die Aufgaben
sind in der Regel so geartet, dass man eine Funktion von zwei Veränderlichen unter
Benutzung einer Gleichung für die Nebenbedingung in eine Funktion einer
Veränderlichen umwandelt, für die man dann die Extremstellen bestimmt. Durch den
Vergleich aller lokalen Maximal- bzw. Minimalwerte in dem durch die Aufgabe
gegebenen Gültigkeitsintervalls untereinander und mit den Werten am Rand des
Intervalls gelangt man zu einer Lösung."
Das bedeutet, dass nach Aufstellen einer Funktion einer Veränderlichen, die meist
Zielfunktion oder Hauptbedingung genannt wird, diese auf Extremstellen untersucht
werden
muss.
Einige
Extremwertaufgaben
können
auch
mit
elementaren
Lösungsvarianten (siehe Kapitel 4.2) gelöst werden. Ist das Problem jedoch mit
Differentialrechnung zu lösen, braucht man folgende notwendige und hinreichende
Bedingung. Grundlegende Sätze über Differenzierbarkeit von Funktionen und über den
Ableitungsbegriff werden vorausgesetzt.
Notwendiges Kriterium
Um die lokalen Extremstellen zu bestimmen, benötigt man die notwendige Bedingung,
dass diese nur dort liegen, wo die Tangenten waagrecht verlaufen, das heißt wo die
erste Ableitung Null ist (vgl. Danckwerts&Vogel, 2006, S.138).
"Die Funktion f sei in einer Umgebung von
differenzierbar. Besitzt f an dieser Stelle
notwendigerweise
definiert und an der Stelle
ein lokales Maximum oder Minimum, so ist
" (modifiziert nach Walter, 1997, S.244).
Hinreichendes Kriterium
Die hinreichende Bedingung für lokale Extremstellen lässt sich folgendermaßen
inhaltlich-anschaulich erklären: Es sind jene Punkte, bei denen der Graph sein
Monotonieverhalten ändert.
"Ist f im Intervall
für
(
differenzierbar,
, so hat f an der Stelle
nur für
und
für
,
ein lokales Maximum im strengen Sinn
). Dies trifft insbesondere zu, wenn
existiert und < 0
3
Was sind Extremwertaufgaben?
ist. Entsprechend liegt ein lokales Minimum vor, wenn
für
ist, also insbesondere, wenn
für
und
" (modifiziert nach Walter,
1997, S.300).
Zur Veranschaulichung bietet sich für den Unterricht folgende Grafik von zwei
Funktionen und den dazugehörigen Ableitungen an:
Abbildung 1: Grafen von zwei Funktionen und ihre Ableitungen (modifiziert nach
Danckwerts&Vogel, 2006, S.139)
Wechselt das Vorzeichen von
links von
die Stelle
beim Punkt
und steigt lokal rechts von
von Minus nach Plus, dann fällt f lokal
. Da sich dieses Kriterium jedoch nicht nur auf
beschränkt, sondern man die Umgebung von
betrachten muss, ist das
andere Kriterium, die Überprüfung der zweiten Ableitung, oft besser für den Unterricht
geeignet (vgl. Danckwerts&Vogel,1997, S.139).
Besonders einfach ist die Überprüfung einer Extremstelle, wenn die Ableitung in einem
Intervall nur eine Nullstelle besitzt. Es reicht dann zu zeigen, dass die Randpunkte als
Maximum bzw. Minimum nicht in Frage kommen und die berechnete Nullstelle ist
notwendigerweise das Maximum bzw. Minimum (vgl. Walter, 1997, S.244).
Bei Extremwertaufgaben ist besonders darauf zu achten, dass auch die globalen
Extrema bestimmt und überprüft werden, die am Rand des Definitionsbereichs liegen.
4
Didaktische Aufbereitung von Extremwertaufgaben
3 Didaktische Aufbereitung von
In diesem Kapitel möchte ich mich damit beschäftigen, mit welchen Problemen
SchülerInnen bei Extremwertaufgaben zu kämpfen haben. Natürlich gibt es viele
verschiedene Gründe, wieso es ihnen schwer fällt, solche Aufgaben zu lösen. Einer
davon ist, weil sie nicht immer unterscheiden können, welche Größen der Aufgabe fix,
also fest, sind und welche variieren. In diesem Kapitel möchte ich näher auf diese
Schwierigkeiten und auch eventuelle Lösungsansätze eingehen. Die Aufgaben, die
erwähnt werden, können teilweise auch schon vor dem Kapitel Extremwertaufgaben
durchgeführt werden, zum Beispiel beim Einführen von Funktionen.
3.1 Aspekte von Variablen
Variablen gibt es nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Umgangssprache.
Worte wie "Ding" spielen beispielsweise die Rolle einer Variablen. Früher verwendete
man Wortvariablen, wie zum Beispiel "Tage", obwohl diese Worte nur mehr
stellvertretend
für
eine
Zahl
standen.
Mittlerweile
verwendet
man
im
Mathematikunterricht Buchstabenvariablen und diese werden meistens nicht weiter
definiert. Nach Malle (1993, S.46) gibt es drei Aspekte des Variablenbegriffs:

Gegenstandaspekt: Variable als unbekannte oder nicht näher bestimmte Zahl.

Einsetzungsaspekt: Variable als Platzhalter für Zahlen bzw. Leerstelle, in die
man Zahlen einsetzen darf.

Kalkülaspekt (Rechenaspekt): Variable als bedeutungsloses Zeichen, mit dem
nach bestimmten Regeln operiert werden darf.
Man kann eine Variable nicht auf einen der drei Aspekte reduzieren. Betrachten wir
folgendes Rechengesetz als Beispiel:
Wenn man a, b und c unter dem Gegenstandaspekt betrachtet, dann denkt man an
drei nicht näher bestimmte reelle Zahlen. Setzt man allerdings für a, b und c Zahlen
ein, um das Gesetz zu prüfen, betrachtet man diese Variablen unter dem
Einsetzungsaspekt. Führt man mit a, b und c Umformungen durch oder wendet man
5
Rechengesetze an ihnen an, betrachtet man die Buchstaben als bedeutungslose
Zeichen und daher unter dem Kalkülaspekt.
In Formeln muss man den Variablenbegriff anders auffassen, da es hier um die
Variable als "Veränderliche" geht. Nun kann man nach Malle (1993, S.80) andere
Aspekte des Variablenbegriffs unterscheiden:

Einzelzahlaspekt: Variable als beliebige, aber feste Zahl aus dem betreffenden
Bereich. Dabei wird nur eine Zahl aus dem Bereich repräsentiert.

Bereichsaspekt: Variable als beliebige Zahl aus dem betreffenden Bereich,
wobei jede Zahl des Bereichs repräsentiert wird.
o
Simultanaspekt: Alle Zahlen aus dem betreffenden Bereich werden
gleichzeitig repräsentiert.
o
Veränderlichenaspekt: Alle Zahlen aus dem betreffenden Bereich
werden in zeitlicher Aufeinanderfolge repräsentiert.
Gerade bei Funktionen ist es wichtig, Variablen durch ihre Aspekte zu unterscheiden.
Oft kommen mehrere Variablen in einem Kontext vor, wobei dann einige unter dem
Einzahlaspekt oder Simultanaspekt und einige unter dem Veränderlichenaspekt
betrachtet werden müssen. In der Praxis ist oft nicht von den einzelnen Aspekten der
Variablen die Rede, sondern von Variablen, Konstanten und Parametern. Vor allem
wenn mehrere Variablen in einem Beispiel oder in einer Funktion vorkommen, ist es
wichtig diese Unterscheidungen zu treffen. Die Variablen, die unter dem Einzahlaspekt
betrachtet werden, werden dann meist Parameter genannt und die, die unter dem
Veränderlichenaspekt betrachtet werden, entweder Veränderliche oder ganz einfach
"Variable". Ein weiterer Begriff für Variablen ist die Konstante, die auch unter dem
Einzahlaspekt oder dem Simultanaspekt betrachtet wird. Der Unterschied von
Parameter und Konstante besteht darin, dass sich eine Konstante innerhalb eines
bestimmten Zusammenhangs nicht verändert (vgl. Wikipedia, 2014g).
Eine der Schwierigkeiten bei Extremwertaufgaben ist, zwischen dem Einzelzahlaspekt
und dem Veränderlichenaspekt zu unterscheiden: Welche Variablen sind fix, also
Parameter oder Konstanten, und welche variieren. Am Anfang des Beispiels muss
dem/der SchülerIn klar sein, welche der Größen fix sind, auch wenn keine konkreten
Zahlen gegeben sind.
Oft werden auch Variablen, die Parameter sind, mit Buchstaben bezeichnet, die am
Anfang des Alphabetes stehen (z.B. a, b, c), jedoch Variablen, die unter dem
Veränderlichenaspekt stehen, mit x, y und z. Beispielsweise bei einer allgemeinen
Polynomfunktion dritten Grades:
6
Dies kann für die SchülerInnen sehr hilfreich sein, da sie mit der Zeit wissen, welche
der Variablen sie als Veränderliche sehen müssen und welche als fix. Jedoch kann es
auch zu Problemen führen, wenn sie nicht mehr darüber nachdenken ob die Aufgabe,
wie sie diese lösen sollen, Sinn macht. Natürlich ist es nicht immer der Fall, dass die
Variablen wie eben beschrieben bezeichnet werden.
3.2 Aspekte von Funktionen
Nach Malle (2000, S.8) gibt es nicht nur Aspekte von Variablen die zu beachten sind,
sondern auch zwei Aspekte von Funktionen (

Zuordnung: Jedem x wird genau ein
):
zugeordnet. Die Funktion wird lokal
betrachtet.

Kovariation: Wenn x verändert wird, dann ändert sich auch
und
umgekehrt. Die Funktion wird globaler betrachtet.
Der Ausdruck "Kovariation" kommt von "Ko-Variieren", das heißt es geht darum, dass
sich die beiden Variablen miteinander ändern. Malle (2000, S.8f) versucht die beiden
Aspekte mit Hilfe eines Beispiels zu veranschaulichen.
Abbildung 2: Kovariationsaspekt (Malle, 2000, S.9)
7
Anhand der Abbildung 2 kann man erkennen, dass es möglich ist, sowohl die Tabelle
als auch die Funktion mit den beiden Aspekten in Verbindung zu bringen. Liest man die
Tabelle waagrecht und ordnet somit jedem x ein
zu, sieht man die Funktion unter
dem Zuordnungsaspekt. Beobachtet man jedoch spaltenweise wie sich das
ändert, wenn sich das x ändert, sieht man die Funktion unter dem Kovariationsaspekt.
Dasselbe gilt für den Graphen: Entweder man liest für ein bestimmtes x das
zugeordnete
ab oder man ermittelt wie sich
ändert wenn sich x ändert.
Das Erkennen dieser beiden Aspekte macht den SchülerInnen oft Schwierigkeiten, sie
sind jedoch sehr wichtig um eine Funktion zu verstehen. Der oben angeführte
Veränderlichenaspekt
(siehe
Kapitel
3.1)
bei
Variablen
ist
eng
mit
dem
Kovariationsaspekt bei Funktionen verbunden (vgl. Malle, 2000, S.8).
Man kann schon in der Unterstufe Übungen durchführen, um die SchülerInnen auf den
späteren Umgang mit diesen Aspekten und somit Funktionen vorzubereiten. Eine
Möglichkeit besteht darin, Beispiele im Unterricht zu behandeln, bei denen Variablen
vorkommen die außermathematisch interpretierbar sind.
z.B.:
, also
Weg = Geschwindigkeit * Zeit (vgl. Malle, 1993, S.88).
Nun kann man mit den SchülerInnen diskutieren, wie es sich auf den Weg auswirkt,
wenn die Zeit wächst und die Geschwindigkeit konstant bleibt, das heißt
.
Abbildung 3: Veranschaulichung von
So ist es leichter, den Variablenbegriff mit den dazugehörigen Aspekten und den
Kovariationsaspekt der Funktion zu verstehen und bei Beispielen zu erkennen, welche
Variable sich verändert und welche konstant bleibt. Ein derartiges Beispiel ist sehr gut
8
für den Einstieg in das Kapitel "Funktionen mit mehreren Variablen" geeignet, da es für
die SchülerInnen leicht vorstellbar ist, dass Zeit vergeht. Schwieriger wird es, wenn die
Variablen keine außermathematische Interpretation mehr besitzen.
Um den Kovariationsaspekt den SchülerInnen verständlich zu machen, ist meist sehr
hilfreich, die Funktionen zeichnen zu lassen.
Um das Verständnis der SchülerInnen für die verschiedenen Variablenaspekt zu
vertiefen kann es auch sehr hilfreich sein, mit ihnen Übungen durchzuführen, bei
denen sie nach einer gewissen Variablen ableiten müssen. z.B.:
Für die SchülerInnen ist es nun wichtig zu erkennen, welche der drei Variablen
welchem Aspekt zugeordnet werden. Wenn , wie in diesem Beispiel, von
wird
abhängt,
unter dem Veränderlichenaspekt betrachtet und g und h unter dem
Einzelzahlaspekt. Man kann mit den SchülerInnen besprechen, was passiert, wenn
man
halbiert und wie sich dann
verändert. Man denkt sich beliebige reelle
Zahlen für g und h und hält diese fest, um zu erkennen inwiefern sich
verändert.
Abbildung 4: Darstellung von der Funktionen E(m)
Anhand des Steigungsdreiecks, kann besprochen werden, wie sich die Funktion durch
Halbieren von
geändert hat.
Der nächste Schritt wäre nun, diese Funktion nach
abzuleiten. Oft ist den
SchülerInnen auch nicht klar, wenn mehrere Variablen in einer Funktion vorkommen,
9
nach welcher sie ableiten sollen. Hier sind Vorübungen sehr hilfreich, wie
z.B.:
.
Beispiele dieser Art sind für die SchülerInnen leicht zu lösen, da x die Variable ist, nach
der sie ableiten müssen. Sie sind von sehr vielen Aufgaben daran gewöhnt, dass x die
Veränderliche ist und k die Konstante, somit ist es nichts Ungewöhnliches. Daher
sollte man auch Beispiele durchführen, in denen nicht die Variable x vorkommt, z.B.:
.
Nun sollen sie diese Funktion nach t ableiten. Hier ist es auch hilfreich mit den
SchülerInnen zu besprechen, dass in diesem Fall P die Konstante ist. Als nächsten
Schritt können auch Funktionen besprochen werden, bei denen zwar x als Variable
vorkommt, jedoch die Funktion nicht von x abhängt, wie z.B.:
.
Die SchülerInnen sollen somit lernen, nicht schematisch abzuleiten, sondern zuerst
überlegen, was eine Funktion aussagt und welche Variablen fix und welche
veränderlich sind.
Speziell bei Extremwertaufgaben ist es wichtig, besonders genau darauf zu achten,
dass die SchülerInnen immer auch aufschreiben, von welchen Variablen die Funktion
abhängt, damit sie erkennen welche Variable fest bleibt und welche variiert. Bei den
meisten Aufgaben ist die Funktion zunächst von zwei Variablen abhängig, und nach
Ersetzen einer der Variablen durch die Nebenbedingung, nur mehr von einer. Wenn
die SchülerInnen lernen, immer neu zu überlegen, welche Variablen in der Funktion
welche Rolle spielen, fällt es ihnen leichter zu entscheiden, nach welcher Variablen sie
ableiten müssen.
Als Einstieg für Extremwertaufgaben eignet sich das isoperimetrische Problem für
Rechtecke, das in meiner Arbeit noch öfter als Beispiel angeführt werden wird.
"Satz (isoperimetrisches Problem für Rechtecke): Unter allen umfangsgleichen
Rechtecken hat das Quadrat den größten Inhalt" (Danckwerts, 2006, S.174).
Man kann dieses Problem natürlich auch in eine Frage umwandeln: Welches unter
allen umfangsgleichen Rechtecken hat den größten Inhalt? Um verständlich zu
machen, welche der Größen fix bleibt und welche variiert, kann man einen
zusammengebunden Faden als Hilfe nehmen. So hat man einen festen Umfang und
kann mit den Händen probieren, welche Rechtecke sich damit formen lassen. Damit ist
noch nicht gesichert, dass die SchülerInnen das Problem verstanden haben. Viele
SchülerInnen glauben, dass sich durch die Änderung der Seitenlänge nicht nur der
10
Inhalt, sondern auch der Umfang verändert. Dass alle Rechtecke denselben Umfang
haben, da der Faden eine bestimmte Länge hat, muss erst bewusst gemacht werden.
"Es kommt entscheidend darauf an, sich genau klar zu machen, was fest bleibt und
was variiert" (Danckwerts, 2006, S.175).
Um eine funktionale Sicht des Problems zu erwerben kann man das Problem auch
durch folgende Skizze, von Rechtecken mit einem Umfang von 100, veranschaulichen,
bei der auch Extremfälle mit einbezogen werden (vgl. Bürger&Malle, 2000, S.58).
Abbildung 5: Isoperimetrisches Problem für Rechtecke (Bürger&Malle, 2000, S.58)
Beim Aufstellen der Zielfunktion ist zu beachten, dass immer deutlich aufgeschrieben
wird, von welchen Variablen diese abhängt. Also statt
sollte man
schreiben.
11
Lösungsvielfalt
4 Lösungsvielfalt
In der Praxis werden oft bestimmte Lösungsmethoden vorgegeben, was bewirkt, dass
die SchülerInnen zwar viele Aufgaben richtig lösen können, jedoch nie gelernt haben,
wie man an eine Aufgabe herangehen kann. Wenn man den SchülerInnen die
Möglichkeit gibt, selber Lösungswege zu finden, erreicht man, dass sie sich stärker mit
dem Zugang identifizieren können und auch bereit sind, diesen argumentativ zu
verteidigen. Dabei ist es zunächst auch vollkommen unwichtig, ob der gewählte
Lösungsweg in eine Sackgasse führt oder nicht (vgl. Furdek&Benkeser, 2007, S.40).
Attila Furdek und Matthias Benkeser haben SchülerInnen eine Aufgabe ohne Vorgaben
über die Lösungsmethode berechnen lassen. Auf ihre Ergebnisse werde ich im
praktischen Teil (siehe Kapitel 7.7) eingehen.
4.1 Chancen und Gefahren von Lösungsvielfalt
In den letzten Jahren wurde immer mehr darauf geachtet im Mathematikunterricht
verschiedene Lösungsmöglichkeiten zuzulassen und sogar herauszufordern. Man
könnte sich die Frage stellen, warum es sinnvoll ist, ein und dieselbe Aufgabe auf
unterschiedliche Arten zu lösen. Würde es nicht SchülerInnen und LehrerInnen Zeit
und Energie ersparen, wenn es für jede Aufgaben nur ein bestimmtes Rezept gäbe?
Dem steht entgegen, dass die SchülerInnen im Mathematikunterricht ja mehr als bloße
Rechenmethoden lernen sollen. Der richtige Umgang mit Lösungsvielfalt bietet großes
Potential, Kreativität und Kommunikation zu fördern. Wichtig hierbei ist, dass die
einzelnen Lösungsmöglichkeiten nicht nur nebeneinander stehen bleiben, sondern
thematisiert und diskutiert werden. Laut Daniela Götze und Michael Meyer (2010, S.5f)
werden dadurch verschiedene Kompetenzen angesprochen:
Kommunizieren
Um überhaupt zu erkennen, dass für eine Aufgabe unterschiedliche Lösungswege
möglich sind, müssen die SchülerInnen untereinander oder mit dem/der LehrerIn
kommunizieren. Im besten Fall geschieht dies unter den SchülerInnen. Diese müssen
zunächst herausfinden, inwiefern sich die Lösungswege unterscheiden und ob die
Gedankengänge richtig sind. Somit müssen sie miteinander über mathematische
Inhalte kommunizieren, die Unterschiede herausfinden und thematisieren. Für den/die
12
Lösungsvielfalt
LehrerIn bedeutet das, dass er/sie geeignete Unterrichtsmethoden verwenden muss,
um den SchülerInnen die Möglichkeit zu geben, sich gegenseitig auszutauschen.
Argumentieren
Ist erstmals klar, dass das Beispiel auf unterschiedliche Wege gelöst worden ist, muss
geklärt werden, ob die Lösungen richtig sind. Die SchülerInnen müssen dann nicht nur
argumentieren, wieso sie diesen Weg gewählt haben, sondern auch andere
Lösungswege nachvollziehen und kritisch betrachten. Gemeinsam können dann auch
eventuelle Fehler behoben werden.
Einlassen auf Erarbeitung anderer
Um über die verschiedenen Lösungsmöglichkeiten zu diskutieren, müssen sich die
SchülerInnen aufeinander einlassen. Das bedeutet sie müssen einander zuhören und
aufeinander eingehen. Dies fordert nicht nur mathematische, sondern auch soziale
Kompetenzen.
Die
SchülerInnen
Erarbeitungen
und
Arbeitsweisen
haben
damit
die
kennenzulernen.
Möglichkeit
Dadurch
verschiedene
können
sie
ein
Verständnis erwerben, das über das eigene hinausgeht.
Die Thematisierung verschiedener Lösungsmöglichkeiten im Mathematikunterricht hat
somit großes Potential, wird aber aus Zeitgründen nicht immer eingesetzt werden
können. Für manche Themen aber ist sie unverzichtbar. So werden bei der Einführung
von Rechengesetzen oft verschiedene Lösungsvarianten vorgestellt. Ein Beispiel wäre
das Assoziativgesetz, das durch Blöcke oder Klötze dargestellt werden kann. Bei
solchen Veranschaulichungen ist die Mehrdeutigkeit nicht nur erwünscht, sondern
Voraussetzung.
Jedoch ist es auch wichtig, dass man die Gefahren von Lösungsvielfalt betrachten. Es
sollte nicht zum Mittelpunkt jedes Mathematikunterrichts werden verschiedene
Lösungsmöglichkeiten zu suchen. Es liegt an dem/der LehrerIn, eine gute Balance
zwischen dem Behandeln von Mehrdeutigkeit und dem "Rezept" zu finden.
Natürlich sind auch nicht alle Lösungsmöglichkeiten gleich gut geeignet. Es sollte nicht
dazu kommen, dass sich die SchülerInnen "verpflichtet" fühlen, immer einen anderen
Lösungsweg zu finden als ihre MitschülerInnen. Das Behandeln von unterschiedlichen
Lösungsvarianten ist natürlich auch eine Zeitfrage, denn nicht immer ist im Unterricht
genug Platz, alle Möglichkeiten zu betrachten und zu diskutieren.
13
Lösungsvielfalt
Umgangsmöglichkeiten mit Vielfalt
Laut Daniela Götze und Michael Meyer (2010, S.6ff) muss man folgende vier Punkte
betrachten um die Vorteile von vielfältigen Erarbeitungen nutzen zu können:

Vielfalt vorsehen

Vielfalt aushalten

Vielfalt ausdiskutieren/nutzen

Vielfalt normieren
Vielfalt vorsehen
Die Aufgabe des Lehrers / der Lehrerin besteht darin, die Aufgaben für die
SchülerInnen so auszuwählen, dass auch mehrere Lösungsmöglichkeiten zugelassen
werden. Es gibt hier natürlich Themenbereiche die besser geeignet sind als andere.
Vielfalt aushalten
Wichtig ist es, dass die Lehrkraft alle möglichen Lösungswege zulässt und die
SchülerInnen bei ihrer individuellen Aufgabenbearbeitung nicht bremst. Sie sollen die
Erfahrung machen, dass es in Ordnung ist Fehler zu machen und die Aufgabe des
Lehrers / der Lehrerin ist es Irr- und Umwege zuzulassen.
Lösungswege ausdiskutieren/nutzen
Wenn nun die SchülerInnen ihre Lösungswege gefunden haben, ist es entscheidend,
wie die Lehrperson mit der Fülle an verschiedenen Lösungen umgeht. Die
Lösungsvielzahl bietet jede Menge an Chancen zu argumentieren und zu diskutieren,
jedoch auch andere Denkweisen kennen zu lernen. Hierfür ist es sehr wichtig den
Unterricht entsprechend zu planen und sich genug Zeit zu nehmen das Errechnete zu
besprechen. Für solche Unterrichtsstunden sollte man auch die entsprechende
Methode wählen. Hier gibt es einige Vorschläge:

Gemeinschaftliche Reflexionsphasen
Diese Methode ist die gängigste Möglichkeit, unterschiedliche Lösungsmöglichkeiten
zu reflektieren. Ein/e SchülerIn stellt seine/ihre Lösung der Klasse vor und diese wird
anschließend besprochen und diskutiert. Dies kann sowohl mündlich als auch
schriftlich an der Tafel passieren. Meist ist es besser hierfür die Sitzordnung
aufzuheben und sich mit den SchülerInnen in einen Sessel(halb)kreis zu setzen, damit
nicht die gesamte Kommunikation über die Lehrkraft passiert. Die MitschülerInnen
haben die Aufgabe die Lösung nachzuvollziehen, auf Korrektheit zu überprüfen und mit
14
Lösungsvielfalt
eigenen Worten wiederzugeben. Sie haben dadurch auch die Möglichkeit einen
kürzeren oder auch geschickteren Lösungsweg kennenzulernen.

"Erfinderrunde"
Bei dieser Methode werden Kleingruppen zu je 6 oder 7 SchülerInnen gebildet, die
dann auf einem großen Plakat ihre Überlegungen zu dem Beispiel oder Thema
notieren. Anschließend werden die Plakate in der Klasse aufgehängt und alle
Lösungsmöglichkeiten oder Erarbeitungen besprochen. Es sollen sich möglichst viele
SchülerInnen zu den Ergebnissen äußern und versuchen den Gedankengang des
"Erfinders" nachzuvollziehen. Dieser hat dann zum Schluss die Gelegenheit eventuelle
Fragen zu beantworten oder seine Erarbeitung zu erklären. Diese Methode hat den
Vorteil, dass die SchülerInnen meist mit sehr großer Sorgfalt das Plakat erstellen, da
sonst zum Schluss viele lästige Fragen entstehen können. Des Weiteren hat jede/r
SchülerIn die Möglichkeit, sich in die schriftliche Erarbeitung der anderen
hineinzuversetzen und diese nachzuvollziehen.

"Mathekonferenzen"
Bei der Methode der "Mathekonferenzen" tauschen sich die SchülerInnen zunächst mit
anderen SchülerInnen in Kleingruppen aus, bevor sie vor der ganzen Klasse ihre
Lösungsvariante vorstellen. Ein Beispiel hierfür ist das ICH-DU-WIR-Prinzip. Zunächst
bearbeitet jeder für sich eine Aufgabe (ICH). Danach diskutiert man die jeweiligen
Ergebnisse in Kleingruppen oder auch nur mit einem Partner (DU). Anschließend
werden die Ergebnisse mit der ganzen Klasse besprochen (WIR). Der Vorteil dieser
Methode ist, dass unsichere oder schüchterne Schüler damit besser zurecht kommen
und mehr Chancen haben, auch in der Großgruppe zu Wort zu kommen
Lösungsvielfalt normieren
Am Ende einer Aufgabe kommt es natürlich darauf an, dass die Lösung richtig und der
Lösungsweg möglichst ökonomisch ist. Die Vielfalt der Möglichkeiten muss von
dem/der LehrerIn in einer gewissen Art und Weise normiert werden, da es sonst für die
SchülerInnen
schwer
ist,
das
Wesentliche
aus
den
verschiedenen
Lösungsmöglichkeiten herauszugreifen. Jedoch sollte eben am Ende der Stunde nicht
nur der "beste" Lösungsweg vorgetragen werden, sondern es geht auch darum,
gewisse Normen zu etablieren, die für ein weiteres Arbeiten in der Mathematik nützlich
sind.
15
Lösungsvielfalt
4.2 Elementare Lösungsvarianten von Extremwertaufgaben
Die meisten SchülerInnen kennen nur einen Weg, um Extremwertprobleme zu lösen
und dieser ist mit Hilfe der ersten Ableitung. Viele dieser Aufgaben können jedoch auch
mit elementaren Lösungsvarianten gelöst werden, die auch schon vor der Einführung
der
Differentialrechnung
einsetzbar
sind.
Es
ist
daher
wichtig
elementare
Lösungsmethoden im Unterricht von Anfang an miteinzubeziehen (vgl. Dankwerts,
2006, S.179).
Im Folgenden werden nun für den Unterricht geeignete elementare Methoden
wiederum anhand des isoperimetrischen Problems für Rechtecke (siehe auch Kapitel
3.2) gezeigt und anhand der kürzesten Verbindung zwischen Punkt und Geraden.
4.2.1 Quadratische Ergänzung und Quadratungleichung
Die bekannteste elementare Lösungsvariante verwendet die algebraische Methode der
quadratischen Ergänzung. Jedes quadratische Polynom
mit
sich mit quadratischer Ergänzung in folgende Form bringen:
quadratische Ausdruck sicher positiv ist, und bei
lässt
Da der
gleich 0 ist, wird bei dieser
Methode die Existenz und die Eindeutigkeit des Extremums auf rein algebraischem
Weg gesichert (vgl. Vogel, 2010, S.10).
Beim Beispiel des isoperimetrischen Rechtecks bleibt der Umfang U immer fest. Wenn
man nun eine Seitenlänge mit x bezeichnet, entspricht die andere
. Hiermit
kommt man zu einer von x abhängigen Funktion:
Nun will man, dass der Umfang maximal wird, was der Fall ist wenn der letzte
Ausdruck
erhält man
so klein wie möglich ist. Setzt man diesen Ausdruck gleich Null
. Demnach ist die andere Rechteckseite genauso groß und somit ist
das gesuchte Rechteck ein Quadrat. Wichtig bei diesem Beispiel ist wiederum zu
erkennen, dass
fest bleibt und
variiert (vgl. Danckwerts, 2006, S.178).
Ebenso kann man dieses Beispiel mit der Quadratungleichung lösen. Diese besagt:
"Für
Maximum(Minimum)stelle
hat
die
Funktion
und das Maximum (Minimum)
die
" (Schupp, 1992,
S.65).
16
Lösungsvielfalt
In unserem Fall ist
und
, somit ist die Maximumstelle bei
.
4.2.2 Mittelungleichung
Eine weitere Variante, dieses Beispiel ohne Verwendung der Differentialrechnung zu
lösen, ist mit Hilfe der Mittelungleichung:
Für beliebige Zahlen
gilt die Ungleichung
Wenn nun x und y die Rechteckseiten sind, dann ist
ein Viertel des Umfanges, der
fest ist, und xy der Flächeninhalt. Das Gleichheitszeichen gilt genau dann wenn x = y
ist. Somit ist der Flächeninhalt genau dann maximal wenn es ein Quadrat ist (vgl.
Dankwerts, 2006, S.179).
Eine für den Unterricht möglicherweise besser geeignete und zur Mittelungleichung
äquivalente Methode ist die Version mit der konstanten Summe bzw. mit dem
konstanten Produkt. Viele Optimierungsprobleme können gelöst werden indem sie auf
eine der folgenden Standardformen gebracht werden:

Maximales Produkt bei konstanter Summe

Minimale Summe bei konstantem Produkt
In unserem Beispiel soll die Fläche
. Also
maximal werden unter der Bedingung
soll ein Maximum sein. Da die Summe der zwei
Faktoren konstant ist, lässt sich das Problem mit
lösen (vgl.
Humenberger, 2010, S.45).
Im Folgenden gelten diese zwei Sätze, die äquivalent zur Mittelungleichung sind, mit
nichtnegativen Faktoren
(x bzw. y entsprechen der Läge bzw. der Breite des
Rechtecks):
"Satz 1: Es sei
Dann gilt:
Satz 2: Es sei
Dann gilt:
(dem entspricht ein konstanter, halber Rechteckumfang)
[Max. Flächeninhalt
QUADRAT]
(dem entspricht ein konstanter Rechteckflächeninhalt)
[Min. (Halb-)Umfang
QUADRAT]"
(Humenberger, 2010, S.45).
17
Lösungsvielfalt
4.2.3 Symmetrisieren
Einige Extremwertaufgaben kann man durch Symmetrisieren lösen.
"Mit einem Zaun gegebener Länge soll von einem am Wasser gelegenen Grundstück
ein möglichst großes rechteckiges Areal abgegrenzt werden" (Dankwerts, 2006,
S.181).
Dieses Problem lässt sich ohne Differentialrechnung lösen, indem man das Grundstück
an der Uferlinie spiegelt. Somit wird das Grundstück, also auch der Umfang und der
Flächeninhalt, verdoppelt. Die Aufgabe lässt sich nun auf das "Isoperimetrische
Problem für Rechtecke" zurückführen und somit mit einer der zwei oben
beschriebenen Möglichkeiten lösen.
Abbildung 6: Symmetrisieren
Beim Symmetrisieren geht es darum, ein neues Problem auf ein bereits gelöstes
Problem zurückzuführen. Die Lösung liegt dabei sehr nah am Problem und ist
deswegen
einfach
nachzuvollziehen.
"Mehr
noch,
das
Wesen
einer
Extremwertaufgabe wird ins Bewußtsein gerückt: Eine Lösung ist mit dem Nachweis
verbunden, dass sie in der zu optimierenden Größe alle Konkurrenten übertrifft"
(Dankwerts, 2006, S.185).
4.2.4 Flächenvergleich
Hier wird eine Fläche mit der anderen verglichen. Wenn ein direkter Vergleich nicht
möglich ist, kann man eine Hilfsfläche verwenden (vgl. Vogel, 2010, S.8).
Um bei unserem Beispiel zu zeigen, dass unter allen umfangsgleichen Rechtecken das
Quadrat den maximalen Flächeninhalt hat, zeigen wir, dass jedes andere mit dem
Quadrat umfangsgleiche Rechteck einen kleineren Flächeninhalt hat.
18
Lösungsvielfalt
Ein Quadrat Q(a) wird zu einem Rechteck geformt, dessen Umfang gleich groß ist. Es
wird an der einen Seite um x verkürzt und dafür die andere Seite um x verlängert.
Somit erhält man ein Rechteck RE(a-x, a+x). Nun ist zu zeigen, dass die Fläche des
Rechtecks kleiner ist, als die des Quadrats.
Abbildung 7: Flächenvergleich
Beim Übergang von dem Quadrat zu dem Rechteck wird der Streifen mit dem
Flächeninhalt A weggenommen und dafür der Streifen B hinzugefügt. Beide Streifen
haben die Breite x jedoch der Streifen A hat die größere Länge a im Gegensatz zu dem
Streifen B, der nur die Länge a-x hat. Also wird mehr vom Flächeninhalt
weggenommen als hinzugefügt, da A > B. Der Flächeninhalt wurde somit verkleinert
und zwar genau um
(vgl. Humenberger, 2010, S.44).
4.2.5 Dreiecksungleichung
Die Dreiecksungleichung wird oft verwendet um Extremwertaufgaben zu lösen. Diese
besagt:
In einem Dreieck ist die Summe der Länge zweier Seiten immer größer oder gleich der
Länge der dritten Seite:
Ein
bekanntes
Beispiel
für
die
Anwendung
der
Dreiecksungleichung
bei
Optimierungsaufgaben ist der kürzeste Abstand zwischen Punkt und Gerade: Gesucht
ist der Punkt auf der Geraden g der vom Punkt P außerhalb der Geraden den
kürzesten Abstand hat.
19
Lösungsvielfalt
Wenn man den Punkt P an der Geraden g spiegelt, dann gilt:
und
Nun kommt die Dreiecksungleichung zum Einsatz, nach dieser gilt:
.
Setzt man nun die oben erwähnten zwei Bedingungen in die Dreiecksungleichung ein
bekommt man:
und somit
Abbildung 8: Dreiecksungleichung
Somit haben wir mit Hilfe der Dreiecksungleichung gezeigt, dass das Lot der kürzeste
Abstand zwischen Punkt und Gerade ist.
Es wird oft versucht die Dreiecksungleichung bei Extremwertaufgaben anzuwenden, ist
dies nicht möglich wird oftmals ein Hilfsdreieck konstruiert (vgl. Schupp,1992, S.62f).
4.2.6 Niveaulinien
Die SchülerInnen kennen Niveaulinien schon aus anderen Bereichen, wie zum Beispiel
die Höhenlinien in der Geografie.
Wenn wir auf das vorherige Beispiel zurückgreifen, bei dem nach dem kürzesten
Abstand zwischen Punkt und Gerade gefragt wurde, suchen wir nun den
geometrischen Ort aller Punkte mit gleichem Abstand von P. Dies sind Kreise um den
Mittelpunkt P, wobei der Kreis, der die Gerade g in einem Punkt berührt, zur Lösung
führt. Der Berührradius dieses Kreises ist der kürzeste Abstand.
20
Lösungsvielfalt
Abbildung 9: Niveaulinien
Mit Hilfe der Niveaulinien kann man auch das isoperimetrische Problem für Rechtecke
lösen. Jedes zur Auswahl stehende Rechteck wird durch den Punkt (x, y) repräsentiert,
wobei x und y die Seitenlängen des Rechtecks sind. Wenn U der feste Umfang ist,
dann gilt:
21
Lösungsvielfalt
Abbildung 10: Niveaulinien für das isoperimetrische Problem
Die Niveaulinie umfangsgleicher Rechtecke ist eine Strecke, die von dem Punkt
bis zum Punkt
reicht. Auch die flächengleichen Rechtecke werden durch Punkte
(x, y) repräsentiert. Für diese gilt
. Diese sind zu der Geraden
x=y symmetrische Hyperbeln. Diese Hyperbeln sind nun die Niveaulinien der
flächengleichen Rechtecke. Jene Hyperbel die die Gerade in einem Punkt berührt,
repräsentiert die Rechtecke mit dem größten Flächeninhalt. Für diesen Punkt P gilt nun
(vgl. Vogel, 2010, S.10).
22
Lösungsvielfalt
4.3 Vor- und Nachteile des Lösens mittels Differentialrechnung
Es sollte den SchülerInnen klar gemacht werden, dass man nicht nur durch
Differentialrechnung Optimierungsaufgaben lösen kann. Humerberger (2010, S.50)
nennt hierfür folgende Gründe:
Da die Differentialrechnung erst in der 11. Schulstufe durchgenommen wird, kann die
"Methode
" nicht als Leitlinie für Extremwertaufgaben gesehen werden. Viele
der Aufgaben passen besser in andere Bereiche der Mathematik als in die
Differentialrechnung. Auch das isoperimetrische Problem für Rechtecke (siehe Kapitel
3.2) ist in der Elementargeometrie besser aufgehoben. Man kann diese Methode
jedoch auch nicht als Abschluss der Optimierungsaufgaben sehen, da es eher eine
isolierte Einzelmethode ist.
Ein
weiterer
Grund
dafür,
die
elementaren
Methoden
zur
Lösung
von
Optimierungsaufgaben schon in niedrigeren Schulstufen einzusetzen, ist, dass die
meisten SchülerInnen keine Probleme beim Ableiten der Funktion haben, sondern
beim Finden und Aufstellen der Zielfunktion und der Nebenbedingungen. Bei vielen
Extremwertbeispielen braucht man mathematische Sätze, die man schon in der
Unterstufe gelernt hat, an die sich aber viele SchülerInnen nicht mehr gut erinnern
können. Diese Probleme können verhindert oder zumindest reduziert werden, indem
man die Optimierungsaufgaben in jeder Schulstufe wiederkehren lässt.
Dadurch, dass die Optimierungsaufgaben erst so spät in der Schule eingesetzt
werden, nimmt man den SchülerInnen die Chance, sich schon viel früher mit diesem
Thema zu befassen. Gerade das Optimieren ist ständiger Begleiter in unserem Alltag
und auch in der Wirtschaft und daher eine Möglichkeit, den SchülerInnen
nahezubringen wie sich Mathematik in der "realen Welt" nutzen lässt.
Werden Extremwertaufgaben ausschließlich mit Differentialrechnung gelöst, erkennen
viele SchülerInnen nicht den mathematischen Hintergrund. Sie haben Schwierigkeiten
die errechnete Lösung zu begründen und lernen oft nicht das Ergebnis zu hinterfragen.
Günther Malle (2010, S.59) erkennt sehr wohl auch die Einwände von der Behandlung
der Extremwertaufgaben mit Differentialrechnung. Er sieht die Probleme darin, dass
die Aufgaben oft zu stark idealisiert werden und praxisfern sind. Oft reicht es für die
Praxis, wenn man nur ungefähre Werte der Extremstellen erhält, die sich mit Tabellen
leichter berechnen lassen. Jedoch nennt er auch einige Vorteile vom Lösen mit
Differentialrechnung:
23
Lösungsvielfalt
Es
gibt
viele
Extremwertaufgaben,
die
sich
leichter
oder
sogar
nur
mit
Differentialrechnung lösen lassen. Die SchülerInnen können die Macht, die diese Art
der Berechnung hat, erkennen und verstehen, wieso sie Ableitungsregeln und sonstige
Techniken erlernt haben. Es bietet sich für sie eine Möglichkeit, das Erlernte
anzuwenden. Meist ist der Weg zum Ergebnis interessanter als das Ergebnis selbst,
darum sollten sie die einzelnen Schritte dorthin erklären können. Oft ist auch ein
Funktionsplotter nicht hilfreich, zum Beispiel wenn es um allgemeine Funktionstypen
geht, die nicht auf dem Computer dargestellt werden können.
24
Extremwertaufgaben mit Realbezug
5 Extremwertaufgaben mit Realbezug
Es gibt nur wenige gute alltagsnahe Beispiele in der Mathematik und viele davon sind
Optimierungsaufgaben. In diesem Kapitel soll verständlich gemacht werden, wie man
reale Probleme im Mathematikunterricht behandeln kann. Als erstes möchte ich den
Begriff des Modellierens vorstellen und dann mit Hilfe des Modellbildungskreislaufs
erörtern, wie man ein reales Problem behandeln und lösen könnte. Danach werde ich
auf die Problemlösestrategien von Pólya genauer eingehen. Zum Unterschied beim
Modellieren, werden beim Problemlösen nicht nur Probleme aus der Realität
behandelt,
sondern
sie können
auch rein
innermathematischer
Natur
sein.
Anschließend möchte ich noch auf das fächerübergreifende Lernen eingehen. Gerade
wenn man fächerübergreifend in Mathematik und Physik oder Chemie arbeitet, kann
Modellieren sehr hilfreich oder sogar notwendig sein.
5.1 Modellieren
"Modellieren" ist ein Begriff der immer wichtiger wird. Im österreichischen Lehrplan für
die AHS Unterstufe spielt er ebenfalls eine große Rolle. Im Kernbereich des Lehrplans
heißt es: "Die Schülerinnen und Schüler sollen praxisorientierte Aufgaben unter dem
Aspekt der Modellbildung möglichst oft rechnerisch, geometrisch und graphisch
darstellen, lösen und kritisch betrachten können" (BMBF, 2002). Auch in den
Lehrplänen der AHS Oberstufe spielt der Begriff "Modell" eine wichtige Rolle.
Nun stellt sich die Frage, was der Begriff des Modellierens wirklich genau bedeutet und
welche Rolle er im Mathematikunterricht spielen soll. Grundsätzlich ist anzunehmen,
dass Modellierung etwas mit der Beziehung zwischen Mathematik und der realen Welt
zu tun hat. Vielen SchülerInnen und auch Erwachsenen fällt es schwer, Mathematik als
"brauchbar" zu sehen. Natürlich werden einige Bereiche, wie die Grundrechnungsarten
und Stochastik, als sinnvoll erachtet, aber wozu manch andere Gebiete der
Mathematik nützlich sein können, ist vielen nicht bewusst. Das Problem liegt hier darin,
dass viele nicht sehen, dass hinter sehr vielen technischen Geräten die Mathematik
steht. Sowohl in der Technik, als auch in der Wirtschaft spielt Mathematik eine immer
wichtigere Rolle (vgl. Leuders&Maaß, 2005,S.1).
Wie übersetzt man nun Strukturen und Prozesse der realen Welt in die Sprache der
Mathematik? Das Erkunden von Strukturen und Gesetzmäßigkeiten und das
25
Systematisieren von abstrakten Ideen nimmt einen festen Platz in der Mathematik ein.
Die Aufgabe des/der LehrerIn besteht darin, den SchülerInnen ein vollständiges Bild
der Mathematik zu übermitteln.
Abbildung 11: Modellbilden (Leuders&Maaß, 2005, S.2)
Durch mathematische Modelle hat man nun die Möglichkeit, reale Probleme
darzustellen und im besten Fall zu lösen. "Beim mathematischen Modellieren denkt
man also mit dem Mittel der Mathematik über die reale Welt nach" (Leuders&Maaß,
2005,S.2).
Es
wird
versucht
ein
Modell
für
die
Realsituation
zu
finden.
Notwendigerweise wird das immer eine abstrahierte, vereinfachte Darstellung der
Realität sein. Abbildung 11 soll veranschaulichen, dass man sozusagen zwischen der
Welt und der Mathematik eine Beziehung herstellt.
Modelle können beliebige Formen haben, das kann ein Term, eine Gleichung, ein Bild
oder ein Experiment sein. Welches Modell man schlussendlich nimmt, hängt von dem
zu lösenden Problem ab (vgl. Leuders&Maaß, 2005,S.3).
Im Gegensatz zu eingekleideten Aufgaben oder typischen Textaufgaben wird hier nicht
nur
ein
mathematisches
Problem
in
Alltagssprache
verfasst,
sondern
ist
realitätsbezogen und authentisch. Ein weiterer Unterschied ist, dass es beim
Modellieren meistens der Fall ist, dass nicht alle Angaben gegeben sind. Bei
Textaufgaben wird auch oft schon durch die Fragestellung der Lösungsweg
angedeutet, was bei Modellierungsaufgaben nur selten vorkommt. Der vielleicht
wichtigste Unterschied ist jedoch der, dass die Lösung bei einem mathematischen
Modell hinterfragt werden muss, was bei andern Beispielen meist nicht notwendig ist.
Man muss beurteilen, ob das gewählte Modell auch das richtige für die
Problemstellung ist, um eine zufriedenstellende Lösung zu erhalten (vgl. Zöttl&Reiss,
2010, S.20).
26
Obwohl
inzwischen
klar
ist,
dass
Modellieren
ein
wichtiger
Bereich
im
Mathematikunterricht ist und auch sehr viele Aufgaben dafür entwickelt wurden, gibt es
noch wenig Anregungen dafür, wie man den SchülerInnen den Umgang mit solchen
Problemstellungen lehrt (vgl. Zöttl&Reiss, 2010, S.20).
5.1.1 Der Modellbildungskreislauf
Als Leitlinie, um von einer realen Problemsituation auf ein mathematisches Modell und
so zu einer Lösung des Problems zu kommen, die im Unterricht lösbar ist, hat sich der
"Modellbildungskreislauf" bewährt. Da es viele verschiedene Varianten dieses
Kreislaufs gibt, habe ich hier die Ausführungen von Förster (200, S.121ff) und von
Danckwerts (2006, 196ff) zusammengeführt.
Dieser Kreislauf besteht aus vier Schritten:
1. Die Problemstellung
Hier wird zunächst das reale Problem formuliert. "Hierbei geht es zum einen darum,
möglichst alle Voraussetzungen, Bedingungen und Einflussgrößen, die zu dem
jeweiligen Problem gehören, zu erfassen, und zum anderen, die Situation im Hinblick
auf das Problem zu strukturieren" (Förster, 2000, S121). Um ein Modell zu schaffen,
das lösbar ist, muss die reale Situation vereinfacht oder idealisiert werden. Natürlich
sind Beispiele in den Schulbüchern meist soweit vereinfacht, dass man sie mit
einfacher Schulmathematik lösen kann. Doch das zugrundeliegende Prinzip ist das
selbe und die SchülerInnen können trotzdem erkennen, dass die Extremwertaufgaben
einen praktischen Alltagsbezug haben können. Meist gibt es mehr als eine Möglichkeit,
das Problem zu vereinfachen.
2. Die Modellierung
In diesem Schritt wird das reale Modell in die mathematische Sprache "übersetzt".
Hierbei kann es auch vorkommen, dass ein und dasselbe Realmodell unterschiedlich
mathematisiert wird, indem zum Beispiel andere Vereinfachungen vorgenommen
werden.
3. Innermathematische Lösung
Nun wird das in Schritt 2 erarbeitete mathematische Problem gelöst. Dabei gibt es
prinzipiell zwei Ausgänge, entweder das Problem wird gelöst, oder es ist unlösbar. Ist
Zweiteres der Fall, könnte man zu Schritt 1 zurückkehren und versuchen, das Problem
noch weiter zu vereinfachen, um zumindest für Spezialfälle eine Lösung zu finden.
27
4. Konfrontation mit der Realität
Um das reale Problem wirklich lösen zu können, muss man die mathematische Lösung
interpretieren, das heißt überprüfen, welche Bedeutung die mathematische Lösung für
das reale Modell hat. Des Weiteren geht es auch um die Validierung des Modells. Es
kann sein, dass das mathematische Ergebnis zwar korrekt ist, das reale Problem aber
nicht löst. So kann es vorkommen, dass man zu viele oder die falschen
Vereinfachungen vorgenommen hat und somit die mathematische Lösung nicht der
Lösung des Realmodells entspricht. Ist dies der Fall, springt man zu Schritt 2 zurück
und versucht ein anderes mathematisches Modell zu finden. Es kann vorkommen,
dass dieser Modellkreislauf mehrmals durchlaufen werden muss um eine geeignete
Lösung des Realproblems zu finden.
Abbildung 12: Modellkreislauf (Danckwerts&Malle, 2006, S.197)
Anhand von Abbildung 12 kann man erkennen, dass dieser Modellkreislauf zwei
Grenzlinien besitzt, einerseits die Grenze zwischen der Welt und der Mathematik und
andererseits die Grenze zwischen dem Problem und der Lösung. Da es
wünschenswert ist, mehr realitätsnahe Beispiele in den Mathematikunterricht
einzubauen, muss man den Strategien des Modellierens, des Interpretierens und des
Validierens mehr Bedeutung geben. Demgegenüber tritt das Deduzieren, das heißt der
Vorgang des mathematischen Berechnens, der früher ganz im Zentrum des Unterrichts
gestanden ist, durch die technischen Möglichkeiten von Taschenrechner und
Computer, mehr in den Hintergrund.
28
5.1.2 Modellieren im Mathematikunterricht
Da es sehr wahrscheinlich ist, dass das Modellieren im Unterricht sowohl für die
SchülerInnen als auch für die LehrerInnen ungewohnt ist, bietet es sich an, mit
einfachen Beispielen zu beginnen. Typisch für solche Beispiele sind fehlende oder
überflüssige Angaben.
"Eine Rasenfläche von ca. 300 qm soll mit einem Rasenmäher (Schnittbreite ca. 35
cm) gemäht werden. Wie lange wird das dauern? Was muss dabei geschätzt werden?
Welche Annahmen sind zusätzlich zu treffen?" (Leuders&Maaß, 2005,S.5)
Mittlerweile befinden sich in den Schulbüchern sehr viele anwendungsbezogene
Aufgaben, jedoch leider nur wenige, bei denen die Modellierung nicht schon vorgeben
wird. Solche Beispiele können durch ein paar Änderungen, wie zum Beispiel durch
Verallgemeinern der Aufgabenstellung oder durch Entfernen einer Größe, geöffnet
werden.
Typische Aufgaben für die Modellierung sind "Fermiprobleme", das sind Aufgaben, bei
denen zunächst keine praktischen Daten verfügbar sind und nur eine quantitative
Abschätzung des Problems errechnet wird (Wikipedia, 2014c). Ein Beispiel hierfür ist:
"Wie viele Menschen sind in einem 6 km langen Stau?" (Schule Neuhausen, 2011).
Beispiele dieser Art gibt es schon sehr viele gibt und es wäre auch möglich sie von den
SchülerInnen selbst formulieren zu lassen.
Das Ziel, das man mit dem Integrieren der Modellierungsaufgaben in den Unterricht
erreichen möchte, ist nicht die kurzfristige Motivation, sondern vielmehr ein
angemessenes Bild der Mathematik und Modellierungskompetenzen zu vermitteln.
Dies fordert auch einige Flexibilität von der Lehrkraft. Dadurch, dass die Aufgaben so
offen gestellt werden, kann es sein, dass ein/e SchülerIn eine Lösung erarbeitet, an die
man nicht gedacht hat oder auch, dass sich die SchülerInnen in einem Teilgebiet
besser auskennen als man selbst. Doch davon sollte man sich nicht abschrecken
lassen, da man als LehrerIn auch nicht alles wissen muss (Leuders&Maaß, 2005,S.6f).
29
5.2 Problemlösen nach Pòlya
Pólya beschäftigt sich damit, wie man an ein Problem herangehen kann um es zu
lösen. Grundsätzlich zeichnet eine Problemaufgabe aus, dass man zunächst nicht
wirklich weiß, wie man genau vorgehen soll. Zum Beginn hat man wahrscheinlich
unvollständige Vorstellungen von der Aufgabe. Pòlya (2010, S.18ff) teilt den Prozess
zum Lösen eines Problems in vier Phasen. Zunächst muss man die Aufgabe verstehen
können, um dann einen Plan zu machen, den man durchführt und schlussendlich hält
man Rückschau um die fertige Lösung zu überprüfen und zu diskutieren.
Natürlich ist es möglich, dass man sofort eine Lösung parat hat. Das ist grundsätzlich
auch wünschenswert, jedoch fangen die Schwierigkeiten an, wenn die SchülerInnen
einen Schritt dieses Prozess auslassen und vielleicht noch nicht einmal die Aufgabe
verstanden haben. Viele Fehler der SchülerInnen könnten vermieden werden, wenn sie
jeden Schritt kontrollieren und die Lösung noch einmal hinterfragen. Pólyas Anleitung
ist sozusagen ein Fragenkatalog (die Fragen sind kursiv markiert), der dem/der
ProblemlöserIn mögliche Denkrichtungen aufzeigen soll. Natürlich garantiert das nicht,
dass man dadurch immer zu einer Lösung kommt, aber es hilft beim Finden des
Lösungsansatzes und Fehler zu vermeiden.
Verstehen der Aufgabe
Zunächst ist wichtig, dass der/die SchülerIn die Aufgabe versteht, denn es ist schwer
sie zu lösen, wenn sie nicht verstanden worden ist. Idealerweise sollte der/die
SchülerIn selbst das Bedürfnis haben, die Aufgabe lösen zu wollen. Das ist natürlich
auch abhängig von der Aufgabe, also ob sie spannend und fesselnd ist und von der Art
wie der/die LehrerIn das Problem präsentiert. Um zu überprüfen, ob der/die SchülerIn
alles verstanden hat kann man verlangen, dass er/sie die Aufgabenstellung in eigenen
Worten wieder gibt. Fragen wie: Was ist unbekannt? Was ist gegeben? Wie lautet die
Bedingung? sollte die Lehrkraft auf alle Fälle stellen.
Wenn es möglich ist, sollen die SchülerInnen eine Figur von der Aufgabe zeichnen und
für die Größen passende Bezeichnungen einführen. Eine letzte wichtige Frage in
dieser Phase ist, ob die Bedingung überhaupt erfüllt werden kann, oder ob man sich
eventuell mit einer provisorischen Antwort zufrieden geben muss.
30
Ausdenken eines Plans
Hat man sich erst einmal einem Plan zurechtgelegt, ist man der Lösung der Aufgabe
ein ganzes Stück näher. SchülerInnen können oft sehr lange brauchen, um eine Idee
zu haben. Die Lehrkraft hat die Aufgabe sie dabei so gut wie möglich zu unterstützen
und zwar nicht indem sie ihnen die Lösung demonstriert, sondern indem sie durch
geeignete Fragen versucht, sie auf die richtige Spur zu bringen. Manchmal hilft es
dem/der LehrerIn sich daran zurückzuerinnern, wie man selbst Aufgaben gelöst hat,
um den SchülerInnen helfen zu können.
Die Frage: Kennst Du eine verwandte Aufgabe? kann hierbei eine sehr große Hilfe
sein, doch dadurch, dass man schon so viele Aufgaben gemacht hat, ist es sinnvoll die
Fragestellung ein wenig einzugrenzen: Versuche dich auf eine dir bekannte Aufgabe
zu besinnen, die dieselbe oder eine ähnliche Unbekannte hat! Man kann also nur Teile
der Aufgabe betrachten und versuchen eine Parallele zu einer schon bekannten
Aufgabe zu finden. Falls man eine verwandte Aufgabe findet, ist natürlich die nächste
Frage ob man sie für diese Aufgabe brauchen kann.
Wenn man keine schon gelöste ähnliche Problemstellung findet, kann man versuchen
die Aufgabe umzuschreiben oder einzuschränken. Wenn es nicht möglich ist sie zu
lösen, kann man vielleicht eine ähnliche oder verwandte Aufgabe lösen.
Es könnte passieren, dass man nun bei einer völlig anderen Aufgabe gelandet ist und
weit vom Weg abgekommen ist. Deshalb ist es sinnvoll vor der nächsten Phase noch
einmal zu kontrollieren: Hast du alle Daten benutzt? Hast du die ganze Bedingung
benutzt?
Ausführen des Plans
Das Ausführen des Plans ist meist keine große Schwierigkeit. Das Wichtigste ist, dass
der/die SchülerIn jeden Schritt kontrolliert. Dabei hilft es, wenn die Lehrkraft folgende
Fragen stellt: Kannst du deutlich sehen, dass der Schritt richtig ist? Kannst du auch
beweisen oder begründen, dass dieser Schritt richtig ist?
Rückschau
Meist ist für die SchülerInnen die Aufgabe nach dem Finden der Lösung erledigt und
wird beiseitegelegt. Es gibt jedoch viele Probleme, wo es notwendig ist, die Lösung
noch einmal zu hinterfragen und zu überprüfen. Doch auch wenn das nicht der Fall ist,
hilft die Rückschau die Lösung noch besser zu verstehen oder gegebenenfalls zu
verbessern: Kannst du das Resultat kontrollieren?
31
Auch für zukünftige Berechnungen ist es wichtig zurückzuschauen und die Frage zu
stellen: Kannst du das Resultat oder die Methode der Lösung für irgendeine andere
Aufgabe gebrauchen? Denn wenn man sich diese Frage am Ende jeder Aufgabe stellt,
ist es sehr wahrscheinlich, dass es das nächste Mal leichter sein wird, sich einen Plan
auszudenken. Je mehr verschiedene Lösungen und Lösungsmöglichkeiten man
"gespeichert" hat, desto besser wird man zukünftige Probleme lösen können. Es ist
daher sehr sinnvoll, die SchülerInnen dazu anzuhalten, bei jeder Aufgabe Rückschau
zu halten.
Abbildung 13: Lösungsstrategie (Pólya, 2010, Einband)
32
5.3 Fächerübergreifendes Lernen
Immer wieder wird darüber gesprochen, wie notwendig und sinnvoll es wäre im
Unterricht fächerübergreifend zu arbeiten. Doch was heißt fächerübergreifender
Unterricht überhaupt? Beckmann gibt dafür folgende Definition:
"Fächerübergreifender/fächerverbindender Unterricht bedeutet die (unterrichtliche)
Beschäftigung mit einem (fachbezogenen oder außerfachlichen) Gebiet, indem die
fachlichen Grenzen überschritten werden und andere Fächer einbezogen werden. Die
Beschäftigung geschieht in Kooperation. Das Überschreiten der fachlichen Grenzen
bewirkt eine Berührung mit anderen Fächern. Das Interesse fächerübergreifenden/
fächerverbindenden Unterrichts liegt in der Bereicherung der Fächer" (Beckham,
2003a, S.23 zit. nach Beckham&Fröhlich, 2006, S.2).
Die einfachste Form des fächerübergreifenden Unterrichts besteht darin, andere
Fächer miteinzubeziehen. Viele MathematiklehrerInnen haben als Zweitfach ein
naturwissenschaftliches Fach wie etwa Physik. Für diese ist es leichter, physikalische
Sachverhalte im Mathematikunterricht einzubauen und umgekehrt. Doch natürlich ist
auch ein Austausch mit anderen KollegInnen möglich und wünschenswert (vgl.
Beckham&Fröhlich, 2006, S.2).
Matthias Ludwig (2010, S.164) nennt folgende Gründe, wieso fächerübergreifendes
Lernen im Unterricht einen Platz eingeräumt bekommen sollte:

Im alltäglichen Leben wird ständig von einem verlangt verschiedene Probleme
zu lösen und Wissen anzuwenden. Hier ist meist die Fachzugehörigkeit dieses
Wissens nicht von Bedeutung.

Durch das Anwenden von Wissen in verschiedenen Bereichen bekommt man
ein tieferes Verständnis und findet weitere Anknüpfungspunkte für sein Wissen
und seine Fähigkeiten.

In der Schule sind alle Fächer getrennt voneinander, nicht nur zeitlich durch die
Unterrichtsstunde, sondern auch durch den/der LehrerIn und der/die SchülerIn
lernt
die
Welt
nur
von
einem
Standpunkt
(Fach)
kennen.
Durch
fächerübergreifenden Unterricht kann man das Weltbild der SchülerInnen
enorm erweitern.

Die Wahrscheinlichkeit ist sehr hoch, dass man im späteren Berufsleben mit
Spezialisten aus anderen Bereichen zusammenarbeiten wird. Es ist sehr von
Vorteil, wenn man dann sein Wissen auch auf andere Bereiche projizieren
kann.
33

Das Wissen, das man sich durch fächerübergreifendes Lernen aneignet, stärkt
die Allgemeinbildung und man lernt die Welt auf vielfältige Weise kennen. Auch
andere Fähigkeiten wie Argumentieren, Analysieren und Organisieren werden
gestärkt.
Man kann fächerübergreifendes Lernen von verschiedensten Standpunkten aus
betrachten. Matthias Ludwig (2010, S. 165) führt folgende zwei aus:
Vom ersten Standpunkt, dem "diktatorischen" Standpunkt, aus betrachtet, ist die
Mathematik der Kern der Unterrichtsstunde. Das heißt die Mathematik ist der
Mittelpunkt der Stunde jedoch werden Anwendungen für andere Fächer behandelt.
Vom zweiten Standpunkt, dem "demokratischen" Standpunkt, aus betrachtet, hat die
Mathematik genauso viel Platz in der/den Unterrichtsstunde/n wie das andere Fach /
andere Fächer. Alle Fächer spielen eine gleich große Rolle.
Der diktatorische Standpunkt ist nicht nur bei der Mathematik sondern bei allen
anderen Fächern häufiger anzutreffen. Dies kommt daher, dass die Organisation
leichter ist. Der/die MathematiklehrerIn kann zwar einen Kollegen / eine Kollegin um
Hilfestellung bitten, jedoch steht er/sie alleine vor der Klasse. Anderenfalls muss man
zusammen mit dem Kollegen / der Kollegin den Unterricht planen, was schwieriger und
auch zeitaufwendiger ist. Der Nachteil ist, dass man so nur wenige Anregungen von
den fachfremden KollegInnen bekommt.
Ein fächerübergreifender Unterricht kann in verschiedenstem Ausmaß stattfinden. Es
ist möglich nur ein Beispiel mit fächerübergreifendem Inhalt durchzunehmen oder aber
auch ganze Projekte, zum Beispiel mit mehreren KollegInnen, zu organisieren. Hier
wird der Unterricht zumindest zeitweise gemeinsam stattfinden, wobei auch fachlich
getrennte Phasen notwendig sein können. Es ist wichtig über den Tellerrand
hinauszublicken und sich nicht nur auf seinen eigenen Fachbereich zu konzentrieren
(vgl. Ludwig, 2010, S.165 & Beckham&Fröhich, 2006, S.2).
Der oben beschriebene Modellbildungskreislauf (siehe Kapitel 5.1.1) eignet sich sehr
gut um fächerübergreifend zu arbeiten, da dieser in allen Naturwissenschaften eine
Rolle spielt. Es hat sich gezeigt, dass gerade das fächervernetzte Denken für
SchülerInnen schwierig ist. Doch durch den Modellbildungskreislauf ist dies leichter zu
realisieren, da dieser eine einheitliche, fächerverbindende Vorgehensweise ist (vgl.
Höfer, 2013, S.12).
Natürlich hat man beim fächerübergreifenden Arbeiten auch mit Schwierigkeiten zu
kämpfen. Zunächst ist man von den anderen Lehrkräften abhängig, die auch ihren
34
Beitrag leisten müssen, um den Unterricht erfolgreich gestalten zu können. Oft
scheuen sich LehrerInnen davor Lehrinhalte in ihrer Unterrichtsstunde zu unterrichten
oder auch nur zu erwähnen, in denen sie kein Experte sind. Schwierigkeiten können
auch beim Finden eines geeigneten Themas entstehen, da die diskutierten Inhalte in
beiden Fächern dem Lehrplan entsprechen müssen. Hier kann man jedoch auch auf
alte Lehrinhalte zurückgreifen und die Chance nutzen um diese zu wiederholen.
35
Computer im Mathematikunterricht
6 Computer im Mathematikunterricht
Der Computer ist aus dem Mathematikunterricht nicht mehr wegzudenken.
"Neue Technologien und neue Medien (gemeint ist meist: Computer) bieten für dem
Mathematikunterricht - mehr noch als für die meisten anderen Schulfächer - die
Chance zu einer grundlegenden inhaltlichen und methodischen Reform. Sie
ermöglichen eine Entlastung von Routinearbeiten und bahnen daher exploratives und
kreatives Arbeiten, ebenso wie die Behandlung realistischer Anwendungssituationen
und das Vernetzen von Inhalten" (Leuders, 2010, S.199).
Zunächst möchte ich auf die Chancen und Risiken eingehen, die entstehen können,
wenn man in der Schule mit dem Computer arbeitet. Anschließend möchte ich drei
"Werkzeuge" vorstellen, mit denen man im Mathematikunterricht sehr gut arbeiten
kann. Speziell das Programm GeoGebra wird hier näher betrachtet. Im letzten
Unterkapitel werde ich auf den Technologieeinsatz bei Extremwertaufgaben näher
eingehen, wobei die Anwendung der "Werkzeuge" im praktischen Teil (siehe Kapitel 7)
näher thematisiert wird.
6.1 Chancen und Risiken des Computereinsatzes
Timo
Leuders
(2010,
S.198ff)
nennt
viele
Chancen
und
Risiken
des
Computereinsatzes im Mathematikunterricht, einige davon will ich hier erwähnen:
Einer der größten Vorteile, den der Computer bieten kann, ist die einfache Gestaltung
und Visualisierung. Eine Präsentation ist leicht erstellt und auch das Visualisieren von
Daten ist keine große Herausforderung mehr. Doch sind hierbei auch einige Risiken zu
bedenken. Gerade SchülerInnen wollen oft eine sehr schöne Darstellung oder
Visualisierung gestalten. Hier besteht die Gefahr, dass sie den Inhalt aus dem Auge
verlieren und mehr Zeit in die äußere Form investieren als in den Lehrstoff.
Durch das Einsetzen des Computers wird eine Balance zwischen altem und neuem
Strategiewissen gefordert. Viele Routinearbeiten können nun vom Computer gemacht
werden, doch die Aufgabe der SchülerInnen besteht dann darin, das erhaltene
Ergebnis nicht einfach so hinzunehmen, sondern zu überprüfen ob es richtig sein kann.
Somit müssen sie neue Kontroll- und Validierungsstrategien entwickeln.
36
Dadurch, dass der Computer nahezu "allwissend" scheint, neigt man dazu, Dinge nicht
mehr zu hinterfragen. Timo Leuders (2010, S.210) nennt hier folgendes Beispiel:
Abbildung 14: Veranschaulichung Satz
von Thales (Leuders,2010, S.210)
Wenn man den Scheitelpunkt auf dem Kreis bewegt, beträgt der Winkel immer 90°. Die
SchülerInnen fragen sich, wieso man den Satz von Thales nun noch beweisen müsste,
wenn es doch offensichtlich sei. Es hängt von der didaktischen Gestaltung des
Mathematikunterrichts ab, dieses Problem in den Griff zu bekommen.
6.2 Computeralgebrasystem (CAS)
Ein Computeralgebrasystem (CAS) ist ein Computersystem, mit dem man nicht nur
Aufgaben mit Zahlen lösen kann, wie bei einem Taschenrechner, sondern auch
Aufgaben mit symbolischen Ausdrücken, wie Variablen, Funktionen, Polynomen und
Matrizen (vgl. Wikipedia, 2014a).
Es wird sozusagen der Taschenrechner auf das Rechnen mit Variablen erweitert. Am
Anfang wurden CAS als Bedrohung für den Mathematikunterricht empfunden, da sehr
viele Aufgaben, die in der Schule durchgeführt werden, nun viel schneller mit CAS
erledigt werden können. Dadurch musste man die grundlegende Konzeption des
Mathematikunterrichts neu überdenken (vgl. Elschenbroich, 2010, S.213).
Zwei wichtige Begriffe, die in Verbindung mit CAS auftreten, sind "Whitebox" und
"Blackbox". Die Whitebox-Phase ist die Phase des "verstehenden Lernens", während
die Blackbox-Phase die des "erkennenden und begründenden Anwendens" ist. Diese
zweite Phase wird dann mit dem CAS durchgeführt (vgl. Heugl zit. nach Elschenbroich,
2010, S.214).
37
CAS sind vor allem in der Wirtschaft nicht mehr wegzudenken, da man sich dadurch
jede Menge Zeit ersparen kann. Gerade bei komplizierten Rechnungen, wie
Ableitungen oder Integrationen, kann ein CAS sehr hilfreich sein.
Auch in der Schule, kann man sich viel Zeit ersparen, wenn man ab und zu ein CAS
(siehe zum Beispiel Kapitel 7.4) verwendet. Somit hat man mehr Zeit sich anderen
Bereichen zu widmen. Ein weiterer Vorteil ist, dass die SchülerInnen auf das Leben
nach der Schule vorbereitet werden, da sowohl im Studium also auch bei sehr vielen
Arbeitsstellen mit CAS gearbeitet wird.
In der Schule ist es oft schwer umsetzbar, regelmäßig mit CAS zu arbeiten, da es
meist sehr wenige Computerräume gibt und diese auch nicht immer für den
Mathematikunterricht zur Verfügung stehen. Ein Nachteil des CAS ist, dass es dazu
verleitet, sich nur noch auf den Computer zu verlassen und die Lösung nicht mehr zu
hinterfragen. So kann es passieren, dass man sich vertippt oder falsche Einstellungen
eingibt und somit ein falsches und unlogisches Ergebnis erhält. Wichtig wäre es, dem
Computer nicht mehr zu vertrauen als seinem eigenen logischen Denkvermögen.
Laut Stepancik (2008, S.115) bringt die Verwendung von CAS immer noch einige
Hürden und Schwierigkeiten mit sich:

"Der Umgang mit dem CAS muss eigens erlernt werden und ist
nebenher nicht möglich.

Die Verwendung eines CAS muss über den Einsatz des NumerischGraphischen-Modus hinausgehen.

Die dem CAS immanenten Fehler bzw. unklaren Fehlermeldungen
sollten einerseits von den Herstellern reduziert werden, andererseits
den Lehrenden bekannt sein, damit er oder sie gegebenenfalls
entsprechend darauf reagieren kann"
6.3 Tabellenkalkulations-Software (TKS)
Tabellenkalkulations-Software verwendet man zur Verarbeitung von numerischen und
alphanumerischen Daten in Tabellenform. Meist besteht auch die Möglichkeit, diese
Daten grafisch darzustellen (vgl. Wikipedia, 2014f).
Eine TKS dient dazu, Berechnungen in Tabellen, die in Zeilen und Spalten eingeteilt
sind, durchzuführen. Man kann hierfür geeigneten Formeln, die nicht immer neu
eingegeben werden müssen, sondern kopiert werden können, verwenden. Man kann
38
dabei auch auf Werte aus anderen Zellen verweisen. Es gibt zwei Ebenen, sichtbar
sind zunächst nur die numerischen Ergebnisse, doch dahinter liegt die verwendete
Formel. Die bekannteste Tabellenkalkulations-Software ist Excel von Microsoft Office
(vgl. Elschenbroich, 2010, S.219 und Wikipedia, 2014f).
Diese Software wird sehr gerne in Verbindung mit Statistik und Wahrscheinlichkeit
genutzt. Im Vergleich zum CAS ist die TKS meist leichter zu bedienen und auch besser
verfügbar.
Man kann in der Tabellenkalkulation zwischen symbolischer (Formeln), numerischer
(berechneter
Zahlenwert)
und
grafischer
(Diagramme)
Darstellungsweise
unterscheiden, die miteinander verbunden werden (vgl. Elschenbroich, 2010, S.219).
TKS scheint für die MathematikerInnen ein weniger nützliches Werkzeug als CAS und
DGS zu sein und wird fast nur in Zusammenhang mit Stochastik genannt. Große
Datenmengen lassen sich jedoch sehr gut bearbeiten und gerade in Berufsbildenden
Schulen wie HAK ist die TKS ein sehr beliebtes Programm (Stepancik, 2008,S122).
6.4 Dynamische Geometrie-Software (DGS)
Unter dynamischer Geometrie-Software versteht man ein Programm, mit dem man
interaktive
geometrische
Konstruktionen
am
Computer
erzeugen
kann.
Charakteristisch dafür ist der sogenannte "Zugmodus", wobei man mit der Maus am
Bildschirm Punkte verschieben kann und sich alle davon abhängigen Objekte, die auch
eine Spur hinterlassen können, mitbewegen (siehe Kapitel 7). Durch den Zugmodus ist
es möglich, auf dem Bildschirm zwischen "Zeichnung" und "Figur" zu unterscheiden.
Durch eine bestimmte Abfolge von Konstruktionsschritten wird die Figur definiert.
Ändert man durch den Zugmodus einen Punkt, so bleibt die Figur erhalten, jedoch die
Zeichnung, die durch konkrete Werte für die Basisobjekte entsteht, ändert sich. So ist
es auch leicht festzustellen, ob man eine Figur richtig konstruiert hat. Mit Hilfe des
Zugmodus, kann man mit einem abhängigen Punkt, der sich entlang eines Objektes
bewegt, eine Spur zeichnen lassen, die man Ortslinie nennt (vgl. Elschenbroich, 2010,
S.223f und Wikipedia, 2014b).
Im Gegensatz zu Filmen, die oft im Unterricht gezeigt werden oder auch festgelegten
Animationen im Internet, erfordert DGS hohe SchülerInnenaktivität. Die SchülerInnen
können Übungen in ihrem eigenen Tempo durchführen und brauchen auch keine Angst
haben, Fehler zu machen. Nicht nur durch die bildhafte Darstellung wird es einfacher
für SchülerInnen, sich das Gelernte zu merken, sondern auch durch die Bewegung von
39
Objekten. Nun hat man die Möglichkeit funktionale Abhängigkeiten im Zugmodus zu
untersuchen. Zunächst befürchtete man, dass die SchülerInnen durch so viel visuelle
Überzeugungskraft das Interesse an Beweisen verlieren würden, doch mittlerweile
weiß man, dass dies eher die Frage nach den zugrunde liegenden Gesetzmäßigkeiten
stimuliert. Sehr beliebt sind auch die elektronischen und teilweise dynamischen
Arbeitsblätter, die mit Hilfe von DGS gestaltet werden können (vgl. Elschenbroich,
2010, S.224ff).
GeoGebra
Ein Beispiel für eine DGS ist die freie Software GeoGebra, bei der man Objekte nicht
nur geometrisch sondern auch algebraisch darstellen kann. Es gibt also ein
Geometriefenster, indem die Zeichnung oder der Graph abgebildet ist und ein
Algebrafenster. Die Objekte können nicht nur durch Änderung der Gleichung sondern
auch zeichnerisch verändert werden. Außerdem verfügt GeoGebra zusätzlich über ein
integriertes CAS und eine TKS. Somit ist diese Software nicht nur im Bereich der
Geometrie einsetzbar sondern in vielen andern Bereichen der Mathematik (vgl.
Wikipedia, 2014d).
40
6.5 Einsatz des Computers bei Extremwertaufgaben
Im Kapitel 3 habe ich mich damit befasst, welche Schwierigkeiten beim Verstehen von
funktionalen Zusammenhängen entstehen können. Vor allem der Kovariationsaspekt
von Funktionen kann mit Hilfe des Computers leichter verstanden werden. Zum
Beispiel lassen sich zeitabhängige Funktionen sehr gut grafisch darstellen (siehe
Abbildung 1 und Abbildung 2).
Für das Verstehen von Extremwertaufgaben ist es sehr hilfreich die geometrischen
Zusammenhänge dynamisch darzustellen. Als Beispiel kann man hier wieder das
isoperimetrische Problem für Rechtecke betrachten.
Abbildung 15: Dynamische Darstellung des isoperimetrischen Problem für Rechtecke
Diese Abbildung 15 wurde in GeoGebra erstellt. Es wurde unmittelbar von der
geometrischen
Rechteckveranschaulichung
zum
Graphen
des
Seitenlängen-
Flächeninhalt-Zusammenhangs übergegangen. Wenn also die Strecke
Verschiebung
des
Punktes
B
geändert
wird,
dann
ändert
sich
, durch
auch
die
Rechtecksgröße und somit die Flächeninhaltsfunktion. Man kann somit den Extremwert
grafisch bestimmen, ohne die Funktionsgleichung zu kennen. Mit dieser Methode kann
man sehr gut dynamische Arbeitsblätter (siehe Kapitel 7) für den Unterricht gestalten
(vgl. Weigand&Wetz, 2010, S.87).
Natürlich soll das nicht heißen, dass man Extremwertaufgaben nicht mehr rechnerisch
durchführen sollte, jedoch kann es für die SchülerInnen leichter sein, die
Zusammenhänge mit Hilfe der dynamischen Darstellung zu verstehen.
Mit GeoGebra ist es auch möglich, die Zielfunktion und die Nebenbedingung in 3D zu
zeichnen und somit zu veranschaulichen, wie die Schnittkurve der beiden Funktionen
41
aussieht. Die folgende Abbildung 16 veranschaulicht dies für das isoperimetrische
Problem für Rechtecke. Man erkennt, dass die Schnittkurve von der Zielfunktion (rot)
und der Nebenbedingung (blau) eine Parabel ist.
Abbildung 16: Schnitt von Zielfunktion und Nebenbedingung
Bei Extremwertaufgaben hat man durch CAS die Möglichkeit, sich das manuelle
Ableiten zu ersparen. Teilweise kann das sehr nützlich sein, da es viele komplexe
Funktionen gibt, bei denen man sehr viel Zeit braucht, um sie abzuleiten. Jedoch
besteht die Gefahr, dass man nicht mehr nachdenkt, warum man gewisse
Berechnungen durchführt. Gerade beim Bestimmen der zweiten Ableitung ist es oft
notwendig ein CAS zu benutzen, da diese oft sehr schwierig zu berechnen ist. Auch
wenn man sich die komplexen Berechnungen ersparen kann, kommt man nicht darum
herum, die Zielfunktion und die Nebenbedingung aufzustellen. Hier ist ein CAS alleine
keine Hilfe, da es nur die nachfolgenden Berechnungen durchführen kann. Für
Extremwertaufgaben ist CAS eine gute Zeitersparnis, jedoch die SchülerInnen müssen
trotzdem die Angabe richtig in die mathematische Sprache umsetzen und gerade das
ist für viele SchülerInnen sehr schwierig.
Man kann Extremwertaufgaben auch mit Excel lösen, mit Hilfe des Solvers (siehe
Kapitel 7.2). Hier muss man zunächst die Zielfunktion und die Nebenbedingung(en)
selbstständig aufstellen, um den Solver nutzen zu können. Dann kann man den Solver
anwenden, indem man die Zielzeile, die veränderbare(n) Zeile(n) und die
Nebenbedingung(en) eingibt. Hier muss man sich entscheiden, welche Werte man als
fix annimmt und welche als variabel, da, wie der Name schon sagt, in den
veränderbaren Zeilen jene Werte stehen müssen, die variabel sind. Excel probiert so
42
lange Werte aus, bis ein Minimum oder ein Maximum erreicht wird. Man erspart sich
sozusagen das Ableiten der Funktion und sieht diese auch nicht. Den SchülerInnen
sollte jedoch klar gemacht werden, dass es unmöglich ist, Extremwertaufgaben
manuell so zu berechnen, wie es Excel macht, da man nicht jeden Wert ausprobieren
kann.
43
Praktischer Teil
7 Praktischer Teil
Im praktischen Teil meiner Diplomarbeit möchte ich zu den im Theorieteil behandelten
Themen Beispiele anführen. Hier werden nicht bei jedem Beispiel alle im Theorieteil
erwähnten
Aspekte
behandelt.
Jedoch
habe
ich
mich
bemüht,
zu
jedem
Themenbereich eine passende Aufgabenstellung zu finden und somit die Themen des
Theorieteils zu veranschaulichen. Das bedeutet, dass es natürlich auch möglich ist,
den Schwerpunkt bei der Berechnung anderes zu setzen. Zum Verständnis der
Berechnungen werden die Grundlagen der Differentialrechnung (siehe Kapitel 2)
vorausgesetzt.
7.1 Die optimale Konservendose
Eines der bekanntesten Beispiele für Extremwertaufgaben ist die Getränke- oder
Konservendose. (Das dynamische Arbeitsblatt zu dieser Aufgabe findet man unter:
http://tube.geogebra.org/student/m132405).
Welche ist unter allen zylindrischen Dosen gleichen Volumens die optimale Dose?
(Jäger, 1997, S.54)
Dieses Beispiel ist sehr gut geeignet, im Unterricht eine reale Situation zu untersuchen.
Zum Einstieg können die SchülerInnen selbst Konservendosen von zu Hause
mitbringen. Zunächst besteht die Aufgabe darin, das Volumen der Konservendose zu
bestimmen. Es gibt natürlich jede Menge verschiedener Dosen. Eine sehr weit
verbreitete Größe ist die Dose mit 400g Füllmenge, mit den Abmessungen
und
. Da bei den meisten Dosen nur das Füllgewicht und nicht das
Volumen angegeben ist, muss man dieses zusätzlich bestimmen. Dies ist mit Hilfe von
Wasser oder anderen Flüssigkeiten möglich. Man kann somit einfach Wasser in die
leere Dose füllen und damit das Volumen bestimmen, das im Fall einer Linsendose mit
400g Füllgewicht
beträgt.
Die Aufgabe besteht nun daraus, die optimalen Abmessungen einer Konservendose
mit dem Inhalt
zu finden. Um dies durchzuführen, kann man den Modellkreislauf
(siehe Kapitel 5.1.1) zu Hilfe nehmen.
44
Praktischer Teil
1. Die Problemstellung
Diese handelsübliche Konservendose hat ein Volumen von
. Nun stellt sich die
Frage wie die Abmessungen einer solchen Dose sein müssen, um möglichst wenig
Material zu brauchen. Also welche Höhe h und welchen Durchmesser d muss diese
Dose haben, damit der Materialverbrauch minimal ist?
2. Die Modellierung
Um ein mathematisches Modell zu erhalten, werden wir hier Vereinfachungen
vornehmen. Die Dose wird zur geometrischen Form eines Zylinders idealisiert, somit
werden sonstige eventuelle Fragen der Herstellung zunächst nicht berücksichtigt. Also:
Welche Höhe h und welchen Durchmesser d muss ein Zylinder mit dem Volumen
haben, damit die Oberfläche minimal ist?
3. Die innermathematische Lösung:
Wir wollen, dass die Oberfläche minimal wird, deswegen ist unsere Hauptbedingung:
Abbildung 17: Darstellung der Zielfunktion O(r, h)
In der Abbildung 17 stellen wir die Zielfunktion als eine Funktion, die von zwei
Variablen abhängt, da.
45
Praktischer Teil
Da
das
Volumen
unseres
Zylinders
ist,
lautet
unsere
Nebenbedingung:
Durch Einsetzen der Höhe h aus der Nebenbedingung,
, erhält man eine
Funktion, die nun nur mehr von einer Variable r abhängt:
Nun muss der Definitionsbereich von r bestimmt werden. Da ein negativer Radius
keinen physikalischen Sinn ergeben würde, muss
sein. Durch Ableiten der
Funktion O(r) nach r und anschließendes Nullsetzen erhalten wir die Extremstelle:
Zur Überprüfung ob diese Extremstelle ein Minimum oder ein Maximum ist, wird die
zweite Ableitung berechnet:
Wegen
ist
, das heißt das hinreichende Kriterium ist
erfüllt und unser ausgerechnetes r ist der minimale Radius.
Abbildung 18: Darstellung der Funktion O(r)
46
Praktischer Teil
Anhand der Abbildung 18 ist zu erkennen, dass die Funktion bei
ein Minimum
besitzt. Nun muss man noch die zugehörige Höhe berechnen:
An den berechneten Ergebnissen von h und r erkennt man, dass die Höhe gleich groß
ist wie der Durchmesser des Zylinders. Die Oberfläche beträgt
.
4. Konfrontation mit der Realität
Nun hat man für das mathematische Modell eine Lösung gefunden. Jetzt wird
überprüft, ob diese Lösung auch in der Realität ihre Berechtigung hat. Nun findet man
im Supermarkt fast keine Dose die genauso hoch wie breit ist. Auch auf die
ausgewählte Dose treffen diese Abmessungen nicht zu. Es stellt sich die Frage, wieso
die Maße der handelsüblichen Konservendose von unserer optimierten Dose
abweichen. Das bedeutet, man muss zum 2. Schritt der Modellierung zurückkehren
und Verfeinerungen durchführen.
2b. Verfeinerung der Modellierung
Wenn man die Konservendose genauer betrachtet, benötigt man auch Material um
Deckel, Mantel und Boden miteinander zu verbinden. Die Abbildung 19 zeigt den
sogenannten Falz, der bei der Dosenherstellung berücksichtigt werden muss. Hiermit
kommen in der Höhe 1 cm (jeweils 0,5 cm für Deckel und Boden), im Durchmesser 1,5
cm (pro Seite 0,75 cm), und in der Mantellänge 0,2 cm (vernachlässigbar) hinzu
(Angaben nach Dankwerts, 2006, S199).
Abbildung 19: Falz (Danckwerts&Vogel,
2006, S.200)
47
Praktischer Teil
Abbildung 20: Materialverbrauch mit Überständen (Danckwerts&Vogel, 2006, S.200)
Der neu berechnete Materialverbrauch und dadurch auch die neue Hauptbedingung
ist:
Da der zusätzliche Materialverbrauch nichts mit dem Volumen zu tun hat, bleibt die
Nebenbedingung gleich.
3b. Innermathematische Lösung
Durch Ableiten und Nullsetzen kommen wir auf die Lösung
und
.
Unsere Oberfläche beträgt:
4b. Konfrontation mit der Realität
Nun sieht man, dass die Abmessung einer handelsüblichen Konservendose (
,
)
mit
den
Abmessungen
unserer
optimalen
Dose
fast
übereinstimmen.
48
Praktischer Teil
Es gibt jedoch auch Konservendosen im Supermarkt, deren Abmessungen wirklich der
zuerst ausgerechnete optimale Dose entsprechen, die also genauso hoch wie breit
sind.
Durch diesen Modellkreislauf können die SchülerInnen sehr gut nachvollziehen wie
reale Probleme vereinfacht in Extremwertaufgaben verpackt werden können. Meiner
Meinung nach ist es sehr hilfreich, einmal ein Beispiel genau mit diesem Schema im
Unterricht durchzuführen. So kann man den SchülerInnen bewusst machen, dass die
Aufgaben in Büchern nicht immer der realen Situation entsprechen, jedoch soweit
vereinfacht werden, dass sie für die SchülerInnen berechenbar werden.
Oft werden im Unterricht Aufgaben behandelt, bei denen man nur einmal den Kreislauf
durchlaufen muss. In der Mathematik ist dies auch meist ausreichend, doch in den
Naturwissenschaften, kommt es häufig vor, dass das Modell viele Male durchdacht
werden muss.
Gerade dieses Beispiel über die optimale Dose eignet sich sehr gut, um mit den
SchülerInnen einen Modellkreislauf durchzusprechen, bei dem man nach einem
Durchgang noch nicht die optimale Lösung gefunden hat. Beispiele, bei dem man den
Kreislauf einige Male durchlaufen muss, wären nicht so günstig, da man in der Schule
üblicherweise nicht so viel Zeit hat. Hier muss man beim zweiten Durchlauf die
Aufgabenstellung nur sehr wenig verfeinern, um eine realistischere Lösung zu finden,
die sich auch mit den Kenntnissen der SchülerInnen berechnen lässt. Außerdem kann
sich jede/r die Aufgabenstellung gut vorstellen, da eine Konservendose jedem/r
bekannt ist. Ein weiterer Vorteil dieses Beispiels ist, dass man es auch praktisch
überprüfen kann. Man kann jede Dose verwenden, die SchülerInnen zu Hause haben
oder sie auch selbstständig dasselbe Beispiel für eine andere Konservendose
durchrechnen lassen.
Nachdem man die optimalen Abmessung der Dose gefunden hat, könnte man mit
diesem Beispiel abschließen, oder sich noch anderen Faktoren zuwenden. Für den
Hersteller spielen noch ganz andere Dinge eine Rolle, wie das vorgeschriebene
Füllgewicht oder auch die Lagerung von den Dosen. Derartige Faktoren können
ebenfalls noch Einfluss auf die Abmessungen der Konservendosen haben. Es bleibt
dem/der LehrerIn überlassen, wie weit er/sie dieses Beispiel ausführt, jedoch finde ich
es notwendig, dass die zusätzlichen Faktoren, die ein Hersteller beachten muss,
zumindest thematisiert werden.
49
Praktischer Teil
Bis jetzt ist nur der unmittelbare Materialverbrauch der Dose betrachtet worden, jedoch
entsteht bei der Herstellung der Einzelteile, wie Deckel, Boden und Mantel, auch ein
Verschnitt der minimiert werden sollte (folgende Berechnungen wurden modifiziert
nach Jäger,1997, S.55f). Da der Mantel ausgerollt einem Rechteck gleicht, ist dieser
hier zu vernachlässigen, da die Einzelteile aus großen rechteckigen Blechplatten
heraus gestanzt werden und daher nur wenig Material abfällt. Jedoch sollte man den
Verschnitt, der beim Ausstanzen der Ronden (Deckel und Boden) entsteht,
berücksichtigen. Die folgende Abbildung zeigt wie die Ronden aus dem Blech gestanzt
werden können ohne viel Verlust zu machen.
Abbildung 21: Ronden (Jäger, 1997, S.55)
Die Abbildung 21 zeigt, dass zwischen den Ronden ein Platz von je 1,5 mm Breite
entsteht. Man erkennt, dass am oberen und am unteren Ende sehr viel Verschnitt
abfällt, deswegen erhält man eine umso bessere Materialausnutzung je größer die
Anzahl der Ronden pro Spalte ist. Optimal wäre demnach eine unendliche Spalte in
einer Richtung, was jedoch in der Praxis schwer möglich wäre. Nun kann man aber
den Verschnitt nach unten abschätzen, indem man sich den Verschnitt in der Mitte der
Platte ansieht. Die Abbildung 22 zeigt, wie man den Verlust zwischen 4 Ronden
berechnen kann. Mit den Mittelpunkten der vier Ronden wird eine Raute mit der
Seitenlänge d + s gebildet, wobei s die Breite des Stegs zwischen zwei Ronden ist. Die
Raute schneidet jeweils ein Stück der Ronden heraus, sodass sich insgesamt wieder
eine Ronde bilden kann. Den Verschnitt kann man also berechnen, indem man den
Flächeninhalt der Raute berechnet und den Flächeninhalt einer Ronde abzieht.
50
Praktischer Teil
Abbildung 22: : Berechnung des Verschnitts
(Jäger, 1997, S.55)
Diese abgebildete Raute hat die Innenwinkel von
und
. Nun kann man
den Satz des Pythagoras anwenden, um sich die Höhe des gleichseitigen Dreiecks
auszurechnen:
.
Höhe der Raute:
Nun muss der Flächeninhalt der Raute berechnet werden:
Um den Verschnitt berechnen zu können, muss man nun den Flächeninhalt der Ronde
bestimmen:
.
Nun gilt:
Bei unserem Beispiel ist
und
.
Man erhält für die Flächeninhalte:
51
Praktischer Teil
und daher für den Verschnitt:
Dieser Verschnitt ist nur eine untere Schranke, da der Verschnitt am Rand nicht
berücksichtigt worden ist.
Die Berechnungen können mit Hilfe von GeoGebra veranschaulicht werden:
Abbildung 23: Veranschaulichung des Verschnitts bei
Nun kann man mit Hilfe einer dynamischen Visualisierung veranschaulichen, dass der
Verschnitt umso größer wird, je größer die Ronden sind und somit je größer der Boden
bzw. Deckel der Dose ist. In Abbildung 24 erkennt man, dass der Verschnitt bei einer
Verdopplung des Radius ca. dreimal so groß wird. Dies ist ein weiterer Grund, wieso
die Konservendosen nicht genauso groß wie breit sind, sondern etwas höher und dafür
schmäler.
52
Praktischer Teil
53
Praktischer Teil
7.2 Lampe
Das folgende Beispiel wird anhand der Problemlösungsstrategie von Pólya (siehe
Kapitel 5.2) gelöst. (Das dynamische Arbeitsblatt zu dieser Aufgabe findet man unter:
http://tube.geogebra.org/student/m132402).
Eine Lampe mit der Lichtstärke
befindet sich in einer Höhe
über dem Punkt
auf
einem Tisch. Am Rand dieses Tisches liegt ein Buch, das möglichst gut beleuchtet
werden soll. Die Beleuchtungsstärke E in einem Punkt
von
beträgt
des Buches im Abstand
. Bestimme die optimale Lampenhöhe h! (modifiziert
nach Timischl&Kaiser, 2011, S.183)
Verstehen der Aufgabe
Was ist unbekannt: Die Höhe h und somit die Beleuchtungsstärke E.
Was ist gegeben: Der Abstand a, die Lichtstärke I und die Formel Beleuchtungsstärke
im Punkt P.
Wie lautet die Bedingung: Das Buch muss optimal beleuchtet werden.
Zeichne eine Figur und führe die passenden Bezeichnungen ein:
Abbildung 25: Skizze des Beispiels "Lampe"
Ausdenken eines Plans
Kennst du eine verwandte Aufgabe? Kennst du einen Lehrsatz der förderlich sein
könnte: Anhand der Skizze erkennt man, dass es sich hier um ein rechtwinkeliges
Dreieck handelt. Wir kennen einige Sätze die in einem rechtwinkeligen Dreieck gelten
54
Praktischer Teil
(Satz von Pythagoras, die Zusammenhänge von Sinus, Kosinus und Tangens mit den
Seiten des Dreiecks, Satz von Thales...). Dadurch, dass das Buch optimal beleuchtet
werden soll, handelt es sich um eine Extremwertaufgabe. Das heißt, die
Beleuchtungsstärke ist unsere Zielfunktion und muss abgeleitet und nullgesetzt werden
um die optimale Höhe zu bestimmen.
Hier ist eine Aufgabe die der deinen verwandt und schon gelöst ist. Kannst du sie
gebrauchen: Wir haben schon viele Unbekannte in einem rechtwinkeligen Dreieck mit
Hilfe der vorherigen Sätze gelöst.
Kannst du ihre Methoden verwenden: Man kann r mit Hilfe des Pythagoras mit den
Seiten a und h ausdrücken und
durch die Seiten h und r.
Hast du alle Daten genutzt: Ja, die Beleuchtungsstärke ist meine Zielfunktion und
kann ich durch h und r bestimmen und r wiederum durch a und h. Die Lichtstärke I ist
eine Konstante.
Ausführen des Plans
Die Zielfunktion
soll auf ein Maximum untersucht werden.
Da die Hauptbedingung in diesem Fall von zwei Variablen abhängt, kann man hier
auch gut thematisieren, welche der Variablen variieren und welche fix bleiben. I ist eine
Konstante die sich im Laufe der Berechnungen nicht ändert. Man kann an diesem
Beispiel gut erklären, welche Variablen in der Hauptbedingung unter dem
Veränderlichen- und welche unter dem Einzelzahlaspekt (siehe Kapitel 3.1) stehen.
Dadurch, dass man eine Konstante und zwei veränderliche Variablen in der
Hauptbedingung hat, braucht man auch zwei Nebenbedingungen, das heißt man muss
zunächst
ersetzen und dann eine der beiden Variablen h oder r. Dadurch, dass in
diesem Beispiel sogar vier Unbekannte vorkommen, ist es eine gute Übung für die
SchülerInnen sich immer neu zu überlegen von welchen Variablen die Hauptbedingung
abhängt.
Es gibt zwei Nebenbedingungen
und
Durch einsetzen der ersten Nebenbedingung erhält man:
55
Praktischer Teil
Durch Einsetzen der zweiten Nebenbedingung erhält man:
Der Nenner kann nie Null werden, da immer gilt:
und 2500 > 0. Die Höhe muss
größer als 0 sein, da die Lampe sonst auf dem Tisch liegt. Diese Funktion ist nun nur
mehr von der Variable h abhängig.
Man kann dieses Beispiel dynamisch veranschaulichen (siehe Kapitel 6.5) um den
SchülerInnen die Problemstellung verständlich zu machen.
Abbildung 26: Dynamische Visualisierung des Beispiels "Lampe"
Gerade die 3D -Darstellung ermöglicht es den SchülerInnen sich das reale Problem gut
vorzustellen. Man kann sowohl in der Grafik 1 (der Abbildung 26), in der der Aufriss zu
sehen ist, als auch in der 3D Ansicht die Höhe der Lampe variieren und somit in der
Grafik 2 (der Abbildung 26) erkennen, wo das Maximum der Funktion liegt. Somit
besteht die Möglichkeit ohne zu rechnen eine ungefähre Lösung des Problems zu
finden. Hiermit wird die Rechnung sehr gut grafisch dargestellt. Wichtig ist, dass die
SchülerInnen den Zusammenhang zwischen den einzelnen Grafiken erkennen und
erklären können.
Um die Extremstellen zu bestimmen muss man nun die Funktion nach h Ableiten und
anschließend Nullsetzen. Da es sich bei I um eine Konstante handelt, muss man sie
nicht berücksichtigen, da sie beim anschließenden Nullsetzen wegfällt.
56
Praktischer Teil
Man erhält für die Extremstelle
und
. Die zweite Lösung liegt
nicht im Definitionsbereich, daher ist unsere Lösung
Da hier die Ableitungen
schwer zu berechnen sind, bietet sich wiederum ein CAS zum Lösen an:
Abbildung 27: Lösung des Beispiels "Lampe" im CAS
Die zweite Ableitung von der Zielfunktion an der Stelle
ist kleiner Null, dass
heißt es handelt sich um ein Maximum.
Rückschau
Kannst du das Resultat oder die Methode für irgendeine andere Aufgabe gebrauchen:
Ich kann mir nun auch bei anderen Situationen die optimale Lampenhöhe ausrechnen,
wie zum Beispiel bei einer Straßenlaterne.
So wie dieses Beispiel gestellt ist, ist es nicht möglich die Beleuchtungsstärke bei
optimaler Höhe der Lampe zu berechnen, da die Lichtstärke nicht gegeben ist.
Hier besteht die Möglichkeit mit den SchülerInnen über die Lichtstärke zu sprechen
und diese auch zum Beispiel für eine Energiesparlampe zu berechnen. Dies ist
natürlich auch fächerübergreifend (siehe Kapitel 5.3) mit Physik möglich.
Die Formel der Beleuchtungsstärke ist
die Lichtstärke, für die gilt:
und wird in Lux (lx) gemessen. I ist
cd (Candela) wobei
der Lichtstrom ist, der bei einer
Energiesparlampe mit 14 Watt ca. 600 lm (Lumen) beträgt. Im Gegensatz zu einer
Glühbirne, die ca. 60 Watt benötigt um 600 Lumen Licht zu erzeugen, braucht die
Energiesparlampe nur etwa ein Fünftel der Energie (Energieportal24, 2014).
ist der
57
Praktischer Teil
Raumwinkel der mit
sr (Steradiant) berechnet wird. A ist die Fläche, die das
Licht erreicht. Da man annimmt, dass eine Energiesparlampe das Licht in alle
Richtungen gleich aussendet, ist A in unserem Fall die Oberfläche einer Kugel. Daher
ist
Die
sr.
Beleuchtungsstärke
ist
meist
durch
den
Cosinus
gegeben,
da
der
Komplementärwinkel gegeben ist. In unserem Fall rechnen wir mit dem Sinus, was
keinen Unterschied macht da
ist.
Nun kann man sich die Beleuchtungsstärke für unser Beispiel berechnen. Zuerst
müssen wir unsere Angaben in Meter umrechnen:
:
Die Normen für Arbeitsplätze geben vor, dass ein Besprechungszimmer eine
Beleuchtungsstärke von 300 Lux haben (vgl. Die Einsparberater, 2014) sollte. Natürlich
hängen in einem Zimmer meist mehr als eine Lampe. Dies würde bedeuten, um das
Zimmer, indem unser Buch auf dem Tisch liegt, normgemäß zu beleuchten müssten
noch weitere drei Lampen im Zimmer angebracht werden.
Eine weitere Möglichkeit besteht darin, das Beispiel in einem TKS zu rechnen, zum
Beispiel in Excel mit Hilfe des Solvers (siehe Kapitel 6.5).
Abbildung 28: Lösung des Beispiels "Lampe" im TKS
58
Praktischer Teil
Bei diesem Tool kann man sehr gut sehen, welche Werte fix und welche variabel sind,
worauf schon die Bezeichnung "Veränderbare Zeile" hinweist. Der Solver berechnet
jedoch nicht die Ableitung der Zielfunktion und setzt diese gleich Null, sondern probiert
so lange Werte aus, bis das Maximum oder das Minimum erreicht ist.
Um Probleme im Variablenverständnis zu üben, ist dieses Tool sehr hilfreich, jedoch
wird der Rechengang nicht thematisiert. Daher ist es sinnvoller dieses Beispiel in
einem CAS zu lösen, da hier der Rechengang klarer ist.
59
Praktischer Teil
7.3 Zaun
"100 m eines Zaunes stehen schon, 200 m sollen so hinzugefügt werden, dass ein
Rechteck möglichst großer Fläche eingezäunt wird" (Danckwerts&Vogel, 2006, S.211).
Diese Aufgabe ist ein verwandtes Problem zum isoperimetrischen Problem für
Rechtecke (siehe Kapitel 3.2). Zunächst muss man die Zielfunktion und die
Nebenbedingung bestimmen, was durch eine Skizze erleichtert werden kann
Abbildung 29: Skizze des Beispiels "Zaun"
Die Zielfunktion ist die maximale Fläche, also
und die Nebenbedingung der Umfang
, daher
.
Abbildung 30: 3d-Visualisierung des Beispiels "Zaun"
60
Praktischer Teil
Mit Hilfe von GeoGebra (siehe Kapitel 6.5), kann man sich diese beiden Funktionen
veranschaulichen. Man sieht in der Abbildung 30, dass sich die zwei Funktionen genau
in einer Parabel schneiden.
Dadurch kommt man auf die Zielfunktion:
Da auf der einen Seite schon 100m stehen, müssen auf der anderen Seite auch
mindestens 100m Zaun aufgestellt werden. Der Definitionsbereich von a ist deswegen
, da nicht mehr als 200m Zaun zu Verfügung stehen. Man erhält für die
erste Ableitung
, durch Nullsetzen kommt man auf die Lösung
.
Die zweite Ableitung ist
. Da diese immer negativ ist, liegt bei
ein Maximum. Das würde bedeuten man muss von dem schon bestehenden
Zaunstück 25 m abreißen. Diese Lösung erfüllt jedoch unsere Aufgabe nicht.
Man muss also das Maximum am Rand des Intervalls suchen.
und
. Das bedeutet das Maximum der Funktion liegt bei
und der Flächeninhalt beträgt
.
In diesem Fall ist das Extremum kein lokales Extremum. Um das globale Extremum zu
bestimmen muss man die Werte am Rand des Intervalls betrachten.
Die Schwierigkeit für die SchülerInnen besteht darin, die Möglichkeit zu bedenken,
dass die Funktion ihr Maximum oder Minimum am Rand des Intervalls hat. Es reicht
nicht, das übliche "Rezept" durchzurechnen und danach die Lösung nicht zu
hinterfragen.
Die SchülerInnen sollten nach dem Aufstellen der Zielfunktion und nach dem Ersetzen
der Variablen durch die Nebenbedingungen den Definitionsbereich bestimmen, um
danach überprüfen zu können ob die errechnete Lösung möglich ist.
Gerade bei Beispielen mit Randextrema kann eine dynamische Visualisierung für die
SchülerInnen sehr hilfreich sein. (Das dynamische Arbeitsblatt zu dieser Aufgabe findet
man unter: http://tube.geogebra.org/student/m132385). Sie können anhand des
Graphs erkennen, wo die Intervallgrenzen liegen und dass das Maximum im
Minusbereich der x-Achse liegt.
61
Praktischer Teil
Abbildung 31: Dynamische Visualisierung des Beispiels "Zaun"
62
Praktischer Teil
7.4 Läufer
Ein Läufer soll in kürzester Zeit von einem Punkt A zu einem Punkt B laufen, wobei er
dazwischen eine Wand berühren muss. Welchen Weg muss er wählen? (modifiziert
nach Timischl&Kaiser, 2011, S.184)
Abbildung 32: Skizze des Beispiels "Läufer"
Das
folgende
Beispiel
soll
veranschaulichen
wie
man
die
elementaren
Lösungsvarianten (siehe Kapitel 4.2) in den Unterricht einbeziehen kann, in dem man
ein einziges Beispiel auf mehrere verschiedenen Arten in der Klasse löst. Im Unterricht
könnte man das Beispiel dazu verwenden, den SchülerInnen die Möglichkeit zu geben,
selbst einen Lösungsweg zu finden. Um dies zu erreichen ist der Zeitpunkt, den man
wählt um den SchülerInnen diese Aufgabe zu geben, wichtig. Wenn man gerade mitten
im Kapitel "Extremwertaufgaben" ist, werden wahrscheinlich viele SchülerInnen das
Beispiel mit Hilfe der ersten Ableitung rechnen.
63
Praktischer Teil
Eine der Möglichkeiten, dieses Beispiel zu lösen, ist das Symmetrisieren. Der Punkt B
wird an der Wand gespiegelt.
Abbildung 33: Skizze Symmetrisieren des Beispiels "Läufer"
Da gilt
und
Dreieckes
und die Hypotenuse des
immer kürzer ist als die Summe der zwei Katheten. Da
ist die Strecke
die kürzeste Verbindung (Die kürzeste Verbindung zwischen
zwei Punkten ist die Gerade).
Demnach muss man eine Gerade durch die Punkte A und B' aufstellen und diese dann
mit der x-Achse schneiden um den Punkt P' und somit x, und somit die Strecken a' und
b' zu ermitteln:
Durch Schneiden mit der x-Achse erhält man den Punkt
. Nun kann man mit
dem Satz des Pythagoras die beiden Strecken a und b ausrechnen.
Bei genaueren Betrachten dieses Beispiels erkennt man, dass der Winkel
Winkel
gleich dem
ist. Dies erinnert an das Verhalten des Lichts bei Reflexion.
"Das Reflexionsgesetz besagt, dass der Ausfallswinkel (auch Reflexionswinkel) genau
so groß wie der Einfallswinkel ist,
" (Wikipedia, 2014e).
64
Praktischer Teil
Anders gesagt, verhält sich das Licht so, dass es von einem fixen Punkt A zu einem
fixen Punkt B einen Weg von minimaler Länge durchläuft.
Abbildung 34: Skizze Reflexion
Wenn der Winkel
gleich groß wie der Winkel
ist, gilt auch, dass
ist.
Aus
folgt
und somit
. Durch den Satz des Pythagoras kann man nun die Strecken a und
b ausrechnen.
Natürlich kann man das Beispiel auch mit der Differentialrechnung lösen.
Die Hauptbedingung ist
, das heißt der Weg soll minimal sein. Man hat
zwei Nebenbedingungen die beide von x abhängen:
und
.
Durch Einsetzen von a und b in die Hauptbedingung erhält man:
65
Praktischer Teil
Der Definitionsbereich von x liegt zwischen 0 und 100. Durch das Ableiten der Funktion
und Nullsetzen folgt:
Abbildung 35: Dynamische Veranschaulichung des Beispiels "Läufer"
(Das
dynamische
Arbeitsblatt
zu
dieser
Aufgabe
findet
man
unter:
http://tube.geogebra.org/student/m132400). Zur Berechnung der ersten und zweiten
Ableitung bietet es sich an, ein CAS (siehe Kapitel 6.2) zu verwenden, da diese sehr
schwer zu berechnen sind.
Abbildung 36: Lösung des Beispiels "Läufer" im CAS
66
Praktischer Teil
Die zweite Ableitung
Nun
müssen
noch
, daher handelt es sich um ein Minimum.
die
Randwerte
. Da
die Nebenbedingungen erhält man
beachtet
werden:
und
ist das der minimale Weg. Durch Einsetzen in
und
.
Der Realbezug in diesem Beispiel ist zwar zu finden, jedoch ist es sehr weitgehend
vereinfacht, denn es wird keine Rücksicht auf die geografischen Gegebenheiten
genommen. Man könnte auch eine Landkarte zu Hilfe nehmen und reale Punkte
suchen, mit denen man das Beispiel rechnen kann um somit der Realität näher zu
kommen. Durch eventuelle Steigungen auf den Strecken, kann man sich auch mit
unterschiedlichen Geschwindigkeiten des Läufers beschäftigen. Hier wäre auch ein
fächerübergreifender Bezug zur Geometrie möglich. Es gibt noch ähnliche Beispiele,
bei denen die Berechnung ähnlich funktioniert. Zum Beispiel: An einer Bahnlinie ist der
Standort eines Bahnhofs so zu wählen, dass die Summe der Entfernungen von A und
B minimal wird.
67
Praktischer Teil
7.5 Hotel
"Ein Wellness-Hotel mit einer Kapazität von 450 Betten verkauft zum aktuellen Preis
520€ pro Wochenende etwa 360 Aufenthalte. Die Gesamtkosten bei x Gästen sind (für
x zwischen 360 und der Kapazitätsgrenze) 300x+28000 pro Wochenende. Eine
Marktanalyse ergibt, dass bei maximal zu erwägender Preissenkung um 60€ etwa 120
Gäste mehr buchen würden. Folglich wird unterstellt, dass im betrachteten Bereich pro
Euro Preissenkung statistisch etwa 2 Gäste mehr kommen. Ermitteln Sie diejenige
Preissenkung, die den maximalen Gesamtgewinn erwarten lässt" (modifiziert nach
matheboard, 2012).
Die Schwierigkeit bei diesem Beispiel besteht darin, die Zielfunktion zu finden. Bei
vielen Extremwertaufgaben geht es darum das Volumen oder die Oberfläche zu
maximieren bzw. minimieren. Meist wird dann die Aufgabe durch eine Skizze
veranschaulicht. Bei diesem Beispiel gibt es nun die Möglichkeit mit einer Tabelle auf
die Zielfunktion zu kommen. Diese Problemstellung zeigt den SchülerInnen, dass es
sich bei Optimierungsaufgaben nicht immer um ein geometrisches Problem handelt.
Bei diesem Beispiel will ich näher auf das Problem eingehen, zu erkennen welche
Größen veränderbar sind und welche fix (siehe Kapitel 3). Die SchülerInnen müssen
erkennen, dass alle veränderlichen Größen von der Preiserhöhung abhängen.
Feste Größen sind: Die Kapazität des Hotels mit 450 Betten.
Variable Größen sind: Der Preis von einem Aufenthalt, in Abhängigkeit davon die
Gäste und die Einnahmen, von denen wiederum die Gesamtkosten und der
Gesamtgewinn abhängen.
Wie man sieht sind hier von einer variablen Größe alle andern variablen Größen
abhängig. Um dies den SchülerInnen verständlich zu machen ist es sinnvoll, dass sie
eine Tabelle aufstellen.
Die folgende Tabelle zeigt wie sich die Aufenthalte und die Einnahmen ändern, wenn
man den Preis immer um einen Euro mehr senkt. Somit kommt man schlussendlich auf
eine allgemeine Formel für die Einnahmen und kann mit deren Hilfe die Zielfunktion,
die den Gesamtgewinn angibt, aufstellen.
68
Praktischer Teil
Abbildung 37: Tabelle zum Beispiel "Hotel"
Zunächst muss man sich überlegen wie weit der Preis maximal gesenkt werden kann,
damit das Hotel nicht überbucht wird. Das heißt, es ist nicht möglich mehr als 450
Aufenthalte zu verkaufen. Daher muss gelten:
. Es muss also die
Preiserhöhung p zwischen 0 und 45 liegen.
Um nun die Zielfunktion, also den Gesamtgewinn, zu bestimmen, muss man nun die
Einnahmen pro Wochenende minus die Kosten für das Hotel pro Wochenende
rechnen.
Vereinfacht:
.
Die erste Möglichkeit dieses Beispiel zu lösen, ist mit der elementaren Lösungsvariante
"Quadratungleichung" (siehe Kapitel 4.2.1), die besagt dass wenn,
Funktion bei
ein Maximum. Dies entspricht bei unserem Beispiel
ist, hat die
. Man
könnte auch die Funktion auf Scheitelpunktform bringen
und somit den Scheitelpunkt sofort ablesen
.
69
Praktischer Teil
Abbildung 38: Graph der Zielfunktion des Beispiels "Hotel"
Eine weitere Möglichkeit das Extremum zu bestimmen ergibt sich ebenfalls durch die
Symmetrie der Parabel. Die x-Koordinate des Scheitelpunkts liegt immer in der Mitte
der x-Koordinaten der zwei Nullstellen. Somit kann man sich die Nullstellen berechnen
und dann den Scheitelpunkt bestimmen. Die Nullstellen sind bei unserem Beispiel
und
. Nun kann man die x-Koordinate des Scheitelpunkts bzw.
das Extremum leicht berechnen:
.
Natürlich kann man dieses Beispiel auch mit Hilfe von Differenzieren lösen. Man
berechnet die erste Ableitung
, setzt sie gleich Null und erhält somit
. Nun muss man noch durch die zweite Ableitung
überprüfen ob
es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.
Bei allen drei Varianten muss man nun noch die Randwerte betrachten. Zuvor wurde
gezeigt, dass p zwischen 0 und 45 liegen muss. Daraus folgt für die Randwerte und
dem berechneten Maximum:
,
und
.
Man erkennt, dass das Maximum von 52000 € Gewinn bei einer Preiserhöhung von 20
€ erreicht wird.
70
Praktischer Teil
7.6 Stau
Gerade Extremwertaufgaben eignen sich sehr gut dafür, fächerübergreifend in Physik
(siehe Kapitel 5.3) zu arbeiten. Ein gutes Beispiel hierfür ist "Das Stauproblem".
"Wann bzw. wodurch entsteht ein Stau auf der Autobahn?"(Ludwig, 2010, S.167)
Als ersten Schritt kann man mit den SchülerInnen besprechen, wie es überhaupt dazu
kommen
kann,
dass
ein
Stau
auf
der
Autobahn
entsteht.
Hier
werden
höchstwahrscheinlich Antworten, wie durch einen Unfall, einer Baustelle oder durch zu
viele Fahrzeuge, kommen. Um das Problem zu vereinfachen kann man es auf das
Grundproblem, zu viele Fahrzeuge zurückführen. Es stellt sich als die Frage, wie viele
Fahrzeuge maximal auf einer Autobahn fahren können. Da es vielen SchülerInnen
schwer fällt, mit Variablen zu rechnen, sollte man ab und zu Beispiele ohne gegebene
Zahlen besprechen. Danach kann die Aufgabe mit konkreten Zahlen durchgerechnet
werden.
Um das Problem leichter lösen zu können, betrachten wir nur eine Spur der Autobahn
und lassen keine Überholvorgänge zu. Das bedeutet, auf der Autobahn gibt es
Kolonnenverkehr und wir wollen wissen wie viele Autos in einer bestimmten Zeit über
diese Autobahn fahren. Nun müssen einige Überlegungen gemacht werden.
Abbildung 39: Skizze des Beispiels "Stau"
bezeichnet die Länge des Staus auf der Autobahn und
den Sicherheitsabstand,
der zwischen den Autos eingehalten werden muss. Natürlich muss auch die Länge der
Autos berücksichtigt werden, die wir mit L bezeichnen.
71
Praktischer Teil
.
Auf dem Stück der Autobahn befinden sich stets n Fahrzeuge mit
Nun stellt
sich die Frage, wie lange ein Auto braucht um dieses Stück zu durchfahren. Dies lässt
sich durch die Formel
berechnen. Mit
die ein Auto braucht um den Weg
bezeichnen wir die Zeit,
mit der Geschwindigkeit v zu durchfahren.
Dadurch, dass die Autos im Kolonnenverkehr fahren, haben sie auch etwa dieselbe
.
Geschwindigkeit v. Das führt auf folgenden Zusammenhang:
Wir wollen nun bestimmen, wie viele Autos maximal das Stück überqueren können,
diese Größe, Anzahl der Fahrzeuge pro Zeiteinheit, nennen wir A. Sie lässt sich
.
folgendermaßen ausdrücken:
Nun muss man den Sicherheitsabstand noch genauer bestimmen. Dieser wird durch
den Anhalteweg bestimmt, der sich aus dem Bremsweg
und dem Reaktionsweg
zusammensetzt, wobei a die Verzögerung des Fahrzeugs entspricht und T die
Reaktionszeit des Fahrers ist.
Nun bekommt man für den Sicherheitsabstand
.
.
Daraus folgt:
.
Unsere Zielfunktion lautet nun
Man kann nun die Funktion auf Extremstellen untersuchen. Für die erste Ableitung
erhält man
. Durch Nullsetzen erhält man für
Die erste Ableitung kann hier wiederum mit einem CAS (siehe Kapitel 6.2) berechnet
werden.
Nun muss noch überprüft werden, ob das ausgerechnete Ergebnis eine vorstellbare
Lösung für unsere reale Problemsituation ist. Dazu muss man zunächst Näherungen
für die Werte a, L und T finden. Für die Verzögerung kann man als näherungsweisen
Mittelwert
verwenden, die Fahrzeuglänge beträgt durchschnittlich
und die Reaktionszeit ca.
.
72
Praktischer Teil
Mit Hilfe dieser Werte kann man nun die maximale Geschwindigkeit berechnen:
. Setzt man nun die maximal Geschwindigkeit in die Funktion
A ein, bekommt man
. Das ist nun die maximale Fahrzeugdichte, also
die maximale Anzahl der Fahrzeuge pro Sekunde. Das heißt in einer Stunde können
ungefähr 1620 Fahrzeuge das Stück der Autobahn durchfahren.
Abbildung 40: Graph der Zielfunktion des Beispiel "Stau"
Die Lösung unseres Beispiel muss nun noch mit der Wirklichkeit verglichen werden,
um zu bestimmen ob sie realistisch ist. In der Zeitschrift "Nature" wurden Daten von
der Universität Stuttgart veröffentlicht, die besagen, dass die maximale Fahrzeugdichte
zwischen
und
liegt (vgl. Ludwig, 2010, S.169). Das heißt unser
Ergebnis stimmt mit der Wirklichkeit sehr gut überein.
Dieses Beispiel wurde nun sehr vereinfacht um es mit den mathematischen
Kenntnissen in der Schule zu lösen. Man könnte auch anhand von diesem Problem
den Modellbildungskreislauf besprechen.
73
Praktischer Teil
7.7 Rettungsschwimmer
Bei dem folgenden Beispiel werden verschiedene Lösungsmöglichkeiten (siehe Kapitel
4) diskutiert. Es eignet sich auch gut für den fächerübergreifenden Unterricht (siehe
Kapitel 5.3) in Physik. (Das dynamische Arbeitsblatt zu dieser Aufgabe findet man
unter: http://tube.geogebra.org/student/m132396).
Die "Baywatch-Aufgabe"
Ein Rettungsschwimmer in einer Entfernung von 30 m von der Küste beobachtet, wie
ein Badegast im hohen Wellengang 50 m vor einer geradlinigen Meeresküste und circa
100 m Luftlinie vom Rettungsschwimmer entfernt in Schwierigkeiten gerät.
Welchen Weg soll der Rettungsschwimmer wählen, um in kürzester Zeit beim
Ertrinkenden zu sein? Dabei weiß er, dass er auf dem Sand durchschnittlich 6 m/s
rasch laufen und im Wasser durchschnittlich 2 m/s rasch schwimmen kann. Berechne
den optimalen Weg (modifiziert nach Brand, 2012, S.222).
Die folgende Abbildung soll den Sachverhalt dieser Aufgabe veranschaulichen. Hier
wird der Rettungsschwimmer durch den Punkt R und der Ertrinkende durch den Punkt
E veranschaulicht.
Abbildung 41: Skizze des Beispiels "Rettungsschwimmer"
74
Praktischer Teil
Abbildung 42: Skizze 2 des Beispiels "Rettungsschwimmer"
Zunächst wird mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet wie weit die Punkte P
und E auseinander liegen:
Nun ist der schnellste Weg gesucht den der Rettungsschwimmer einschlagen kann um
zu dem Ertrinkenden zu gelangen. Er wird nicht zunächst die 30 m zum Ufer laufen,
dann die 60 m entlang am Strand und anschließend 50 m schwimmen. Den
SchülerInnen wird klar sein, dass das nicht der schnellste Weg sein kann. Wichtig ist
bei dieser Aufgabe, dass zwischen dem schnellsten und dem kürzesten Weg
unterschieden wird. Der kürzeste Weg ist natürlich der direkte Weg von R nach E.
Jedoch da der Rettungsschwimmer schneller laufen als schwimmen kann ist dies nicht
der schnellste Weg. Er wird versuchen die Strecke im Wasser zu verkürzen und die
Strecke am Land zu verlängern. Somit ist ein optimaler Punkt Q (siehe Abbildung 43)
gesucht, bei dem der Rettungsschwimmer in das Wasser springen soll.
75
Praktischer Teil
Abbildung 43: Skizze 3 des Beispiels "Rettungsschwimmer"
Nun lässt sich die Aufgabe auf verschiedene Arten rechnen. Zunächst mal mit Hilfe der
Differentialrechnung:
Zunächst
muss
die
Zielfunktion
aufgestellt
werden.
Die
Zeit,
die
der
Rettungsschwimmer braucht um zu dem Ertrinkenden zu gelangen, soll minimal
werden.
Da sich die Zeit mit Hilfe der Geschwindigkeit und dem Weg
berechnen lässt kommen wir mit den Nebenbedingungen
und
auf folgende Zielfunktion:
Durch Nullsetzen der Ableitung kommt man auf die Lösung
. Um zu
bestimmen ob diese Lösung auch wirklich ein Minimum ist, muss man nun noch die 2.
Ableitung überprüfen.
, daraus folgt, dass es ist ein Minimum der Funktion ist.
76
Praktischer Teil
Da die zweite Ableitung für dieses Beispiel sehr schwer zu berechnen ist, kann man
auch mit Hilfe der Randwerte (siehe Kapitel 2) überprüfen, ob die Lösung tatsächlich
ein Minimum der Funktion ist. In diesem Beispiel sind die Randwerte
Daraus folgt
und
und
.
, für den errechneten Wert erhält man
, was auch das Minimum ist.
Das heißt, dass der Rettungsschwimmer
am Land laufen und dann
im Wasser schwimmen muss, dafür braucht er etwas mehr als eine halbe
Minute.
Dieses Beispiel eignet sich auch besonders gut um fächerübergreifend zu arbeiten. Es
wäre eine Zusammenarbeit mit einem Kollegen möglich, der Sport unterrichtet. Um die
durchschnittlichen Geschwindigkeiten am Land und im Wasser festzustellen, kann man
die Zeit im Unterricht messen. Wenn alle SchülerInnen im Sportunterricht 100 m laufen
und
100m
schwimmen
und
die
Zeiten
notiert
werden,
könnte
man
im
Mathematikunterricht damit weiter arbeiten. So kann man auch einen weiteren
Teilbereich der Mathematik ins Spiel bringen, den der Statistik. Nun können mit den
Zeiten der SchülerInnen Mittelwerte berechnet werden und somit das Beispiel noch
realistischer zu gestalten.
Man kann mit diesem Beispiel auch einen fächerübergreifenden Physikunterricht
gestalten. Die Brechung und die Reflexion wird in Physik schon in der Unterstufe
behandelt.
Im
Lehrplan
der
vierten
Klasse
steht
darüber
folgendes:
"Funktionsprinzipien optischer Geräte und deren Grenzen bei der Bilderzeugung
verstehen und Einblicke in die kulturhistorische Bedeutung gewinnen (ebener und
gekrümmter Spiegel; Brechung und Totalreflexion, Fernrohr und Mikroskop)" (BMBF,
2000).
Da Trigonometrie erst in der fünften Klasse auf dem Lehrplan steht (BMBF, 2004),
kann man
die
Chance
nutzen
und
dieses
Beispiel
mit
den
elementaren
Lösungsvarianten (siehe Kapitel 4.2) in der fünften Klasse bearbeiten, um somit die
Begriffe "Brechung" und "Reflexion" zu wiederholen.
Man kann folgende Situation betrachten:
77
Praktischer Teil
Ein Lichtstrahl der vom Punkt R ausgestrahlt wird trifft beim Punkt Q auf die
Wasseroberfläche auf und wird zum Lot abgelenkt, bis dieser beim Punkt E landet.
Abbildung 44: Skizze Lichtstrahl
Wenn der Lichtstrahl, mit dem Einfallswinkel , auf der Wasseroberfläche auftrifft, wird
der gebrochene Strahl mit dem Winkel
zum Punkt E abgelenkt. Diese beiden Winkel
werden zum Lot hin gemessen. Nun kann man zeigen, dass der Weg des Lichtstrahls
so beschaffen ist, dass das Brechungsgesetz von Snellius
diesem Fall sind
und
erfüllt ist. In
die Geschwindigkeiten von dem Lichtstrahl in der Luft und
im Wasser, das Brechungsgesetz gilt jedoch auch bei jeder anderen Materie. Wie stark
der Lichtstrahl abgelenkt wird hängt mit den verschiedenen Geschwindigkeiten
zusammen.
Um bei dem oberen Beispiel zu bleiben, nehmen wir für die Geschwindigkeiten
und
an, die natürlich nicht der Realität entsprechen. Bei der vorigen
Berechnung haben wir für die Ableitung
78
Praktischer Teil
erhalten.
Setzt man diese gleich Null erhält man:
Die beiden Winkel
und
befinden sich beide in rechtwinkelige Dreiecke, deren
Hypotenusen a und b sind. Somit erhält man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:
und
.
Wenn man nun in der obigen Gleichung die Terme durch
und
ersetzt, kommt
man genau auf das Brechungsgesetz:
Den eben erklärten Zusammenhang, kann man natürlich erst nach der "Einführung der
Differentialrechnung" mit den SchülerInnen besprechen.
Diese Aufgabe kann im Physikunterricht noch weiter bearbeitet werden. Zum Beispiel
könnte die Frage behandelt werden, wie schnell das Licht sich in der Luft oder im
Wasser wirklich fortbewegt. Eine interessante Aufgabe wäre:
"Legen Sie eine Münze auf den Boden einer Tasse. Blicken Sie so über den Rand in
die Tasse, dass Sie die Münze gerade nicht sehen können. Füllen Sie dann Wasser in
die Tasse. Was ist zu beobachten?"(Heidorn, 2014)
Abbildung 45: Münze (Heidorn, 2014)
79
Praktischer Teil
Die Münze wird nun sichtbar. Dieses Phänomen hängt auch mit dem Brechungsgesetz
zusammen.
Um dieses Phänomen zu erklären, könnte man eine Münze in ein Glas Wasser legen
und besprechen, wieso man diese mit dem Auge an einer Stelle sieht, wo sie nicht sein
kann. Durch die Brechung des Lichts können Trugbilder entstehen. Da das Gehirn
davon ausgeht, dass sich das Licht geradlinig ausbreitet.
Abbildung 46: Skizze Münze (Heidorn,
2014)
Je flacher man auf die Wasseroberfläche schaut, desto höher scheint der Gegenstand
zu liegen, was auch unser Beispiel mit der Tasse erklärt. Ein weiterer Versuch wäre,
einen Stab senkrecht ins Wasser zu tauchen. Dieser erscheint dann verkürzt, bzw.
wenn man ihn schräg ins Wasser taucht, geknickt. Dies hat den Grund, dass der
Betrachter jeden Punkt unterhalb der Wasseroberfläche angehoben erscheint (vgl.
Heidorn, 2014).
Beide diese Ideen für fächerübergreifendes Lernen haben einen diktatorischen
Standpunkt (siehe Kapitel 5.3). Das heißt die Mathematik bleibt im Mittelpunkt. Zu
diesem Thema wäre es jedoch auch möglich ein Projekt zu starten, das dann unter
dem demokratischen Standpunkt stehen könnte.
Ein mögliches Experiment wäre eine ähnliche Situation wie in der "Baywatch-Aufgabe"
nachzustellen. Entweder die SchülerInnen beobachten sich selbst dabei, welchen Weg
sie wählen würden um zu einem bestimmten Punkt im Wasser zu gelangen, oder man
startet das Experiment mit einem Hund.
Tim Pennings beobachtet seinen Hund Elvis, wie er seinen Ball aus dem Wasser holt
und ihm ist dabei aufgefallen, dass er zunächst ein Stück am Strand läuft und dann
erst ins Wasser springt. Er stellte sich somit die Frage, ob sein Hund den Weg
absichtlich wählt, bei dem er den Ball schnellstmöglich erreicht. Stephan Hußmann und
Timo Leuders (2007, S.23ff) überlegten sich dazu folgendes Experiment:
80
Praktischer Teil
Die SchülerInnen können zunächst überlegen und diskutieren, wie es dazu kommt,
dass der Hund offenbar den schnellsten Weg wählt. Anschließend kann man das
Experiment durchführen. Eventuell lässt sich dies mit einem Wandertag verbinden, bei
dem man bei einem See Versuche starten kann. Mit der Voraussetzung, dass ein Hund
zu Verfügung steht, kann man nun dem Hund immer wieder einen Ball in den See
werfen und die Daten notieren. Natürlich kann man dies den SchülerInnen auch
zuhause selbst machen lassen. Dies kann auch sehr gut fächerübergreifend mit
Geografie
vereinbart
werden.
Zum
Beispiel
mit
dem
Themenbereich
"Landvermessung". Mit den Daten kann man nun in der Schule weiterrechnen. Mit Hilfe
von Statistik kann man den Mittelwert der Geschwindigkeiten berechnen und
rechnerisch eine optimale Lösung bestimmen. Schlussendlich kann man das Ergebnis
mit den experimentellen Ergebnissen vergleichen.
Verschiedene Lösungsmöglichkeiten von SchülerInnen
Attila Furdek und Matthias Benkeser (2007, S.40) haben sich damit beschäftigt welche
Lösungsmöglichkeiten SchülerInnen bei dieser Aufgabe finden, ohne ihnen einen Weg
vorzugeben. In den von ihnen untersuchten zwei Oberstufenkursen entstanden mehr
als zehn verschiedene Ideen. Es wurde die folgende Aufgabe bearbeitet:
Abbildung 47: Aufgabe (Frudek&Benkeser, 2007, S.41)
Die von den SchülerInnen erarbeiteten Lösungen befinden sich im Anhang. Nun gibt es
verschiedene Möglichkeiten, mit diesem Material umzugehen: Man könnte den
SchülerInnen die Aufgabe selbst zu rechnen geben oder man bespricht sie mit der
Klasse. Eine weitere interessante Möglichkeit wäre, die Lernenden dazu aufzufordern,
eventuelle Fehler in den Ausarbeitungen zu suchen. Somit steigt die Motivation sich
mit den Gedankengänge und Rechenwege der MitschülerInnen auseinanderzusetzen.
Auch
typische
Argumentationsstrategien
können
kennengelernt
werden
(vgl.
Frudek&Benkeser, 2007, S.40).
81
Praktischer Teil
Man muss natürlich nicht den SchülerInnen diese Aufgabe zu rechnen geben um
herauszufinden, ob sie dieselben Gedankengänge haben, sondern kann auch die
Kopiervorlage (siehe Anhang) verwenden.
Da in den Ausarbeitungen einige Fehler gemacht wurden, geben Frudek und Benkeser
(2007, S.40) folgende Lösungshinweise:
Marie: Hier wird der kürzeste Weg von A nach
ermittelt und nicht der schnellste.
Laura: Das Ergebnis ist richtig, jedoch fehlt noch eine hinreichende Bedingung für das
Minimum.
Marc: Die Punkte A und B werden hier nicht berücksichtig. Die richtige Lösung ist
Zufall.
Jule: Doppelte Geschwindigkeit bedeutet nicht, dass die Strecke am Land doppelt so
lang sein muss. Daher ist das eine falsche Überlegung.
Fabian: Man kann nicht folgern, dass der Abstand vom Ursprung minimal sein soll.
Julia: Daraus, dass der größere Term bei der Ungleichung
ein Minimum an der Stelle
hat, folgt nicht, dass der kleinerer Term
an
dieser Stelle auch ein Minimum hat (vgl. Furdek&Benkeser, 2007, S.40).
82
Zusammenfassung
8 Zusammenfassung
Das Ziel dieser Arbeit war, gewisse Aspekte bei Extremwertaufgaben näher zu
beleuchten, passende Beispiele zu finden und diese didaktisch aufzubereiten. Durch
die Bearbeitung des Theorieteils hatte ich die Möglichkeit, mich mit den verschiedenen
Lösungsvarianten zu beschäftigen. Dieses Gebiet fand ich sehr interessant, da ich
zuvor nur wenig darüber gehört hatte. Das Arbeiten mit GeoGebra und der
dynamischen Visualisierung hat mir sehr viel Freude bereitet und ist ein tolles
Werkzeug um den SchülerInnen die Aufgabenstellung verständlich zu machen.
Ich habe es mir zur Aufgabe gemacht, anwendungsbezogene Extremwertaufgaben zu
finden, was durchaus manche Schwierigkeiten bereitet hat, da die Aufgaben sehr
vereinfacht werden mussten. Meiner Meinung nach ist es sehr wichtig zu
thematisieren, wie die Aufgaben in der Realität aussehen bzw. aussehen können und
welche Vereinfachungen vorgenommen werden müssen. Wenn man sich einmal näher
mit einem Beispiel beschäftigt hat, erkennt man erst welche Vielfalt an verschiedenen
Lösungswegen möglich sein kann. Ich finde es wichtig, immer wieder LehrerInnen
dazu anzuregen fächerübergreifend zu arbeiten, da in dieser Art des Unterrichtens
sehr viel Potential liegt.
Gerade
die
Differentialrechnung
ist
eines
der
größten
Gebiete
des
Mathematikunterrichts in der Oberstufe und zunächst für SchülerInnen sehr abstrakt.
Extremwertaufgaben können realitätsnah gestaltet werden, deswegen finde ich man
sollte diese Möglichkeit nutzen um den SchülerInnen Anwendungsgebiete der
Mathematik aufzuzeigen.
Um Extremwertaufgaben im Unterricht realitätsnah, fächerübergreifend und auf
verschiedene Weisen zu lösen, muss die Lehrkraft sehr flexibel sein, da man mit
unerwarteten Ideen und Handlungen der SchülerInnen rechnen muss. Die Aufgabe des
Lehrers / der Lehrerin ist auf die Lernenden einzugehen und nicht vor eventuellen
Problemen davonzulaufen. Ich denke, dass alle diese Möglichkeiten zur Behandlung
von Extremwertaufgaben den SchülerInnen helfen können die Mathematik besser zu
verstehen und dass sich die LehrerInnen trauen sollten diese auch einzusetzen.
83
Verzeichnisse
9 Verzeichnisse
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9.2 Abbildungsverzeichnis:
Abbildung 1: Grafen von zwei Funktionen und ihre Ableitungen (modifiziert nach
Danckwerts&Vogel, 2006, S.139) ................................................................................. 4
Abbildung 2: Kovariationsaspekt (Malle, 2000, S.9)...................................................... 7
Abbildung 3: Veranschaulichung von
............................................................ 8
Abbildung 4: Darstellung von der Funktionen E(m) ...................................................... 9
Abbildung 5: Isoperimetrisches Problem für Rechtecke (Bürger&Malle, 2000, S.58) ...11
Abbildung 6: Symmetrisieren .......................................................................................18
Abbildung 7: Flächenvergleich ....................................................................................19
Abbildung 8: Dreiecksungleichung ..............................................................................20
Abbildung 9: Niveaulinien ............................................................................................21
Abbildung 10: Niveaulinien für das isoperimetrische Problem .....................................22
Abbildung 11: Modellbilden (Leuders&Maaß, 2005, S.2) .............................................26
Abbildung 12: Modellkreislauf (Danckwerts&Malle, 2006, S.197) ...............................28
Abbildung 13: Lösungsstrategie (Pólya, 2010, Einband) .............................................32
Abbildung 14: Veranschaulichung Satz von Thales (Leuders,2010, S.210) .................37
Abbildung 15: Dynamische Darstellung des isoperimetrischen Problem für Rechtecke
....................................................................................................................................41
Abbildung 16: Schnitt von Zielfunktion und Nebenbedingung ......................................42
Abbildung 17: Darstellung der Zielfunktion O(r, h) .......................................................45
Abbildung 18: Darstellung der Funktion O(r)................................................................46
Abbildung 19: Falz (Danckwerts&Vogel, 2006, S.200) ................................................47
Abbildung 20: Materialverbrauch mit Überständen (Danckwerts&Vogel, 2006, S.200) 48
Abbildung 21: Ronden (Jäger, 1997, S.55) ..................................................................50
Abbildung 22: : Berechnung des Verschnitts (Jäger, 1997, S.55) ................................51
..............................52
..............................53
Abbildung 25: Skizze des Beispiels "Lampe" ...............................................................54
Abbildung 26: Dynamische Visualisierung des Beispiels "Lampe" ...............................56
Abbildung 27: Lösung des Beispiels "Lampe" im CAS .................................................57
Abbildung 28: Lösung des Beispiels "Lampe" im TKS .................................................58
Abbildung 29: Skizze des Beispiels "Zaun" .................................................................60
Abbildung 30: 3d-Visualisierung des Beispiels "Zaun" .................................................60
Abbildung 31: Dynamische Visualisierung des Beispiels "Zaun"..................................62
Abbildung 32: Skizze des Beispiels "Läufer"................................................................63
Abbildung 33: Skizze Symmetrisieren des Beispiels "Läufer" ......................................64
Abbildung 34: Skizze Reflexion ...................................................................................65
89
Verzeichnisse
Abbildung 35: Dynamische Veranschaulichung des Beispiels "Läufer"........................66
Abbildung 36: Lösung des Beispiels "Läufer" im CAS .................................................66
Abbildung 37: Tabelle zum Beispiel "Hotel" .................................................................69
Abbildung 38: Graph der Zielfunktion des Beispiels "Hotel" .........................................70
Abbildung 39: Skizze des Beispiels "Stau" ..................................................................71
Abbildung 40: Graph der Zielfunktion des Beispiel "Stau"............................................73
Abbildung 41: Skizze des Beispiels "Rettungsschwimmer"..........................................74
Abbildung 42: Skizze 2 des Beispiels "Rettungsschwimmer" .......................................75
Abbildung 43: Skizze 3 des Beispiels "Rettungsschwimmer" .......................................76
Abbildung 44: Skizze Lichtstrahl ..................................................................................78
Abbildung 45: Münze (Heidorn, 2014) .........................................................................79
Abbildung 46: Skizze Münze (Heidorn, 2014) ..............................................................80
Abbildung 47: Aufgabe (Frudek&Benkeser, 2007, S.41) .............................................81
Abbildung 48: Anhang 1 (Frudek&Benkeser, 2007, S.41)............................................91
90
Anhang
10 Anhang
Abbildung 48: Anhang 1 (Frudek&Benkeser, 2007, S.41)
91
Anhang
92
Anhang
93

Extremwertaufgaben im Mathematikunterricht

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