Commercial Banking Sommersemester 01 Aufgaben zur 3. Übung

Commercial Banking Sommersemester 01
Aufgaben zur 3. Übung – Kreditportfoliorisiko
Ein Asset-Value-Kreditrisikomodell: „CreditMetrics für Arme“
Sie haben ein Portfolio von 4 Firmenkrediten. Die Firmen haben ein S&P-Rating.
Charakteristika:
Nominal
S&P-Rating
Branche
RecRate der Branche
Jahr
1
2
3
4
5
K1
1000
A
Energie
0.5
100
100
100
100
1000
K2
K3
1000
500
BB
CCC
Bau
Bau
0.3
0.3
Cash Flows
100
60
100
60
100
60
1000
500
K4
2000
AA
Schiffsbau
0.4
180
180
180
180
2000
Die möglichen Unterschiede zwischen dem Rating und dem tatsächlichen Risiko der Kredite
(z.B. aufgrund Besicherung oder Nachrangigkeit) werden ignoriert. Gesucht ist die
Wahrscheinlichkeitsverteilung des Portfoliowertes in 1 Jahr – und damit auch die Verteilung
des Returns. Grundlegendes Vorgehen:
• Entsprechend dem Rating der Kredite verlangt der Kapitalmarkt Risikoprämien. Dies
bestimmt den heutigen Wert des Portfolios.
• Im Laufe eines Jahres ändern sich die Ratings (einschl. Ausfall) gemäß einem bestimmten
Wahrscheinlichkeitsgesetz.
• Der zukünftige Wert jedes Kredits richtet sich nach seinem zukünftigen Rating und der
dann zu erwartenden Risikoprämie
• Die in 1 Jahr erwarteten Risikoprämien bestimmen sich aus den heutigen impliziten
Forwardrates in der jeweiligen Risikoklasse
Verwenden Sie zur Bestimmung des Verteilung der Ratings die (grundlegenden Prinzipien
der) Methodik von CreditMetrics:
1. Werttreiber der Kredite:
N(0,1)-verteilte „Assetrenditen“ für jede Firma
2. Korrelation der Renditen:
perfekte∗ Korrelation innerhalb jeder Branche
bestimmte empir. beobachtete Korrelationen zwischen
Branchen
Bau
Schiffsbau
Energie
0.5
0.5
Bau
1
0.3
3. Assetrenditen bestimmen aber nur das zukünftige Rating;
• Wkt. des sich aus der Assetrendite ergebenden Ratings jeder Firma gleich empirischer
Ratingmigrationswkt. (s. Excel-Sheet; die Rubrik „kein Rating“ wurde eliminiert);
• wird erreicht durch Aufteilung der reellen Achse in Intervalle, denen ein zukünftiges
Rating entspricht;
• Wkt. eines Intervalles gleich der Übergangswkt. in das entspr. Rating.
• Die Intervall-Aufteilung ist für jedes Ausgangs-Rating verschieden!
∗
Das ist eine Vereinfachung
Anleitung für die Berechnung:
(a) Bestimmen Sie aus den Zeroraten (s. Excel-Sheet) die Diskontsätze für alle Jahre und
Ratings
(b) Bestimmen Sie den heutigen Barwert des Portfolios nach DCF
(c) Die erwarteten Diskontsätze in 1 Jahr werden mit den heutigen Forward-Diskontsätzen
gleichgesetzt. Die äquivalenten Forwardraten könnte man auch berechnen, aber die
Forward-Diskontsätze werden benötigt: fw_disc 1,n = disc 0,n / disc 0,1
(d) Bestimmen Sie für jedes mögliche zukünftige Rating jedes Kredites den Barwert in 1 Jahr
auf Basis der Forward-Diskontsätze. Annahme∗ für den Ausfall: Wert =
RecRate*Nominal. Setzen Sie im Überlebensfall die bereits erfolgte Zahlung zu 100% an.
Hinweis: Hier läßt sich die Matrixmultiplikation sehr gut einsetzen!
(e) Bestimmen Sie die Rating-Intervalle aus der Ratingmigrationsmatrix gemäß 3.
Hinweise:
• Man braucht nur den Anfang jedes Intervall zu berechnen; den Anfang des ersten setzt
man auf einen sehr kleinen Wert, etwa –5 Mio.
• Günstiges Vorgehen: Anfang des Intervalls für AA ist N(0,1)-Quantil der Wkt. von
AAA, in Excel mit =STANDNORMINV(...)
• Anfang des Intervalls für A ist N(0,1)-Quantil der Wkt. von AA und AAA usw.
(f) Sie brauchen ein großes Simulationssample eines normalverteilten Zufallsvektors mit
é 1 0,5 0,5ù
é0ù
ê
Erwartung 0 = 0 und Kovarianzmatrix K = êê0,5 1 0,3 . Sie können mit
ê
êë0,5 0,3 1
êë0
=STANDNORMINV(ZUFALLSZAHL())Spaltenvektoren von unabhängigen N(0,1)verteilten Zufallszahlen ziehen. Aus diesen können Sie durch lineare Transformation mit
einer geeigneten Matrix CT die N(0,K)-Vektoren gewinnen. Es muß gelten K = CT C .
Eine Möglichkeit zur Gewinnung von CT ist die CHOLESKY-Zerlegung, einer oberen
Dreiecksmatrix. Links oben beginnend, kann man die Elemente schrittweise eindeutig
bestimmen.
Ziehen Sie also etwa 1000 bis 10000 Dreier-Zeilenvektoren x T aus unabhängigen N(0,1)verteilten Zufallszahlen und generieren Sie die korrelierten Zeilenvektoren
y T durch y T = x T C . Dies sind die simulierten Assetrenditen der Branchen, die in unserem
vereinfachten Modell mit denen der Firmen identifiziert werden. Überprüfen Sie mit der
Excel-Statistikfunktion =KORREL(...) Ihr Ergebnis.
(g) Für jeden Kredit entspricht jede gezogene Rendite einem bestimmten Rating (in t = 1)
(gemäß der dazu bestimmten Intervalle) und damit einem Barwert. Ordnen Sie diesen
Barwert jeder Rendite zu und bestimmen Sie für jede Realisation den Wert des Portfolios.
Hinweis: für jeden Kredit die Intervallanfänge in einer Spalte untereinander, daneben die
zugehörigen Barwerte und Auswertung mit Excel-Funktion =SVERWEIS(...)
(h) Sie haben damit eine empirische Verteilung von Portfoliowerten in t = 1 generiert. Diese
können Sie in unterschiedlicher Weise auswerten:
• Bestimmen Sie den Erwartungswert und daraus den erwarteten Return für die
Einzelkredite und das Portfolio
• Stellen Sie die empirische Verteilung grafisch dar und bestimmen Sie das 5%-VaR
und das 1%-VaR (Hinweis: Funktion QUANTIL(...))
• Reicht eine Samplegröße von 1000 für eine zuverlässige Bestimmung des . . .
• Erwartungswertes;
• 1%-VaR und / oder des 5%-VaR?
∗
eine weitere Vereinfachung; normalerweise wird hier auch zufällig simuliert