Kapitel 3: Funktionen

Transcrição

Kapitel
3
Funktionen
Die Darstellung von Funktionen und Daten ist eine wichtige Anwendung von MatLab. Sie
wird in diesem Kapitel einen breiten Rahmen einnehmen, da die zugehörigen Fertigkeiten
auch bei der Darstellung von Messdaten, z.B. im Praktikum, hilfreich sind. Da MatLab
kein algebraisches System ist, ist eine Differentiation oder Integration von Funktionen nur
numerisch möglich. Die zugehörigen Verfahren werden im zweiten Teil dieses Kapitels beschrieben. Sie geben gleichzeitig eine Einführung in die Verwendung der if und do Strukturen
in MatLab, wie sie in komplexen Problemen zur Steuerung benötigt werden.
3.1
Darstellung von Funktionen
In diesem einführenden Teil werden wir uns auf Funktionen einer Variablen beschränken,
d.h. Funktionen der Form x(t) oder y = f (x). Die Darstellung von Funktionen von zwei
Variablen, f (x, y), erfolgt ähnlich; sie wird in Abschn. 3.2 genauer dargestellt.
3.1.1
Einfache Plots
Die Erzeugung funktionaler Zusammenhänge und eine sehr einfache Form der Darstellung
haben wir bereits im Zusammenhang mit Abb. 1.2 abgesprochen. Wir können daher kommentarlos mit der Sequenz
>> x=[0:0.01:5]; ←Testbild 1
1
1
berechnete Werte, VORLÄUFIG!
0.8
0.8
0.6
y=exp(x)*sin(10*x)
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8
−0.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x−Achse
5
Abbildung 3.1: Einfacher (links) und beschrifteter (rechts) Funktionsplot
22
4.5
5
3.1. DARSTELLUNG VON FUNKTIONEN
23
Abbildung 3.2: Links: Axes-Property Editor zur interaktiven Erstellung einer Bildbeschriftung; Rechts: einfaches Pull-Down Menü zur Veränderung der Abbildung
>> y=exp(-x).*cos(10.*x); ←>> plot(x,y) ←den im linken Teil von Abb. 3.1 gezeigten Plot der Funktion y = e−x cos(10x) erzeugen.
Dieser Abbildung fehlt allerdings ein wichtiger Bestandteil: die Achsenbeschriftung. Diese
kann interaktiv ergänzt werden, auch können Beschriftungsgrößen, Abstände der Ticks usw.
verändert werden. Dazu kann im Menü des Figure-Fensters unter Edit → Axes Properties
ein Menü geöffnet werden, entsprechend dem im linken Teil von Abb. 3.2 gezeigten. In diesem Menü lassen sich die Achsenbeschriftungen für alle Achsen sowie die Eigenschaften der
Achsen, inklusive des dargestellten Wertebereichs, recht komfortabel einstellen.
Eine noch einfachere Alternative ist im rechten Teil von Abb. 3.2 angedeutet: unter dem
Menüpunkt insert erscheint eine Auswahl von einzufügenden Objekten. Wählt man X Label
aus, so erscheint unterhalb der x-Achse ein kleines weißes Kästchen, in das der Text eingetragen werden kann. Klickt man dieses Kästchen später mit der linken Maustaste an, so erscheint
ein weiteres Menü, mit dessen Hilfe die Eigenschaften der Achsenbeschriftung verändert werden können.
Über die entsprechenden Punkte in diesen Menüs lassen sich auch weitere Eigenschaften
der Abbildung verändern, wie z.B. Farben der Kurven, Symbole, Strichstärke usw.
Das Speichern der Abbildung (inklusive der daran vor genommenen Manipulationen) erfolgt über den Unterpunkte Export im File-Menü. Dort kann auch das Datenformat auswählt
werden, in das die Abbildung exportiert werden soll, z.B. pdf, jpeg, eps oder bmp.
3.1.2
Fine-Tuning
Das interaktive Schönen der Abbildungen erscheint anfangs zwar angenehm, da die einzelnen
Schritte leicht zu kontrollieren sind, erfordert aber umgekehrt viele Einzelschritte und wird
daher leicht unübersichtlich und fehleranfällig, insbesondere, wenn wir für ein Protokoll oder
eine Arbeit viele Abbildungen in einheitlichem Stil erzeugen wollen.
Für eine einfache Beschriftung können wir die folgende Befehlssequenz in ein MatLabSkript einbauen
>> x=[0:0.01:5]; ←c M.-B. Kallenrode
12. Januar 2005
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KAPITEL 3. FUNKTIONEN
-:
-.
none
durchgezogene Linie (default)
gestrichelte Linie
gepunktete Linie
strichpunktierte Linie
keine Linie, nur die Marker an den Punkten
Tabelle 3.1: LineStyles beim Plotten in MatLab
>>
>>
>>
>>
>>
>>
←>>
plot beschrift
y=exp(-x).*cos(10.*x); ←testbild = plot(x,y,’k’); ←xlabel(’x-Achse’,’Fontsize’,16); ←ylabel(’y=exp(x)*sin(10*x)’,’Fontsize’,16); ←title(’Testbild 1’,’Fontsize’,20); ←text(0.5,0.92,’berechnete Werte, VORLÄUFIG!’,’Color’,’red’,’FontWeight’,’bold’,’Fontsize’,14);
saveas(testbild,’Testbild1.pdf’) ←-
und erhalten als Ergebnis den Plot im rechten Teil von Abb. 3.1. Dieses Beispiel findet sich
im m-File plot beschrift.
Kurvenparameter: Farben und Symbole
plot
Die ersten beiden Zeilen des obigen MatLab-Fragments sind bekannt, die dritte Zeile enthält
den normalen Plotbefehl, zusätzlich wird zwischen den Hochkommata ein k als Parameter
übergeben. Dieser Parameter weist MatLab an, die Kurve nicht in blau sondern in schwarz
zu plotten.
Beim Aufruf von plot können verschiedene Parameter übergeben werden, die die Darstellung der Kurve spezifizieren. Dazu gehören auch Strichstärke und Linienart. Der allgemeine
Aufruf von plot beinhaltet daher auch die Größe PropertyName, die zusammen mit einem
sie spezifizierenden Wert angegeben werden muss:
plot(...,’PropertyName’,PropertyValue,...)
Die wichtigsten Eigenschaften sind:
• LineWidth wird als Skalar übergeben, der die Linienstärke in pt angibt; Standardeinstellung ist 0.5pt.
LineStyle
• LineStyle spezifiziert die Art der Linie, als Eingabe werden die in Tabelle 3.1 gegebenen
Zeichen, jeweils in Hochkommata eingeschlossen, akzeptiert:
• zur Markierung der einzelnen Datenpunkte in einem Plot können Marker verwendet werden. Diese Marker können einfach mit der weiter unten gegebene Kurzform Linespec
Linespec
definiert werden, die in einem String die drei Parameter Linientyp, Marker und Farbe
übergibt. Bei der Markierung kann über den PropertyName MarkerSize die Größe des
MarkerSize
Markers eingestellt werden. Wie bei der Linienweite wird sie in Punkten pt angegeben,
die Voreinstellung entspricht einer Größe von 6 pt. Außerdem können die Marker farbig
MarkerEdgeColor dargestellt werden, wobei über den PropertyName MarkerEdgeColor die Farbe für die Umrandung des Markers gewählt werden kann, über den PropertyName MarkerFaceColor die
MarkerFaceColor Farbe innerhalb des Markers.
Für die Marker sind verschiedene Symbole vereinbart, die jeweils durch ein einzelnes Zeichen spezifiziert werden. Die Symbole für die Marker können über den Shortcut Linespec
Linespec
übergeben werden, die Abkürzungen sind in Tabelle 3.2 zusammen gefasst.
• Farben werden über ihre Darstellung im RGB-Code gewählt oder über die Abkürzungen
in der untersten Zeile von Tabelle 3.3.
LineWidth
Eine verküzte Form gibt nicht PropertyName und den dazugehörigen Wert an sondern
enthält alle Zusatzinformationen in einer Zeichenkette:
>> plot(x,y,’-.or’) ←12. Januar 2005
c M.-B. Kallenrode
+
o
*
.
x
s
d
∧
v
>
<
p
h
25
Plus-Zeichen
Kreis
Sternchen (Asterisk)
Punkte
Kreuzchen
Quadrate (square)
Rhomben (diamond)
aufwärts gerichtetes Dreieck
abwärts gerichtetes Dreieck
nach rechts gerichtetes Dreieck
nach links gerichtetes Dreieck
Pentagram (5zackiger Stern)
Hexagram (6zackiger Stern)
Tabelle 3.2: Marker und die zu ihrer Eingabe verwendeten Abkürzungen
FontAngle
FontName
Fontsize
FontWeight
Color
z.B. kursiv
Schrifttype
Größe Schriftsatz in Punkten
z.B. Fettdruck
Textfarbe
normal, italic, oblique
Helvetica
14, 16, ...
light, normal, demi, bold
y, m, c, r, g, b, w, k
Tabelle 3.3: Parameter zur Definition der Achsenbeschriftung und zulässige Werte. Bei der
Farbe können statt der Abkürzungen auch die langen Farbnamen verwendet werden: yellow,
magenta, cyan, red, green, blue, white, black
plottet die y-Werte gegen die x-Werte, wobei die einzelnen Werte mit einer strichpunktierten
Linie (-.) verbunden sind, durch einen Kreis (o) markiert sind und wobei Linie und Marker in
rot (r) dargestellt werden. Anschließend können weitere Spezifikationen (z.B. Markergröße)
über einen PropertyName mit seinem Wert angegeben werden. Auf diese Weise kann auch
die Farbe der Marker gesetzt werden – dann haben Linie und Marker gegebenenfalls unterschiedliche Farben.
Im Beispiel wurde der Befehl plot(x,y) nicht einfach aufgerufen sondern es wurde ihm
durch phandle = plot(x,y) ein Handle zugewiesen, mit dem die Abbildung eindeutig identifiziert werden kann. Dieser Handle ist z.B. notwendig beim Speichern der Abbildung (letzte
Zeile im Beispiel). Er kann auch verwendet werden, um Eigenschaften der Abbildung wie
Kurven- oder Achsenparameter nachträglich zu verändern.
Achsenparameter: Griechisch-römischer Freistil
Die folgenden drei Zeilen im zum rechten Teil von Abb. 3.1 gehörigen Fragment legen die
Achsen- und Bildbeschriftung fest. Die allgemeine Syntax für den Befehl xlabel ist
xlabel(...,’Textstring’,’PropertName’,PropertyValue,...)
wobei Textstring den in Hochkomma gesetzten Text der Achsenbeschriftung enthält und
PropertyName den Namen für eine bestimmte Eigenschaft der Achsenbeschriftung, im Beispiel für die Schriftgröße. MatLab akzeptiert für die Eigenschaften u.a. die in Tabelle 3.3
gegebenen PropertyNames und PropertyValues, weitere Details können in der Hilfe unter
Text ←- Property List gefunden werden.
Die einfachste Variante von xlabel enthält nur den in Hochkommata gesetzten Text der
Achsenbeschriftung: xlabel(’x-Achse’). Die Achsenbeschrftung erfolgt in schwarz mit einer
Schriftgröße von 10 pt.
Bei der Darstellung physikalischer Größen benötigen wir häufig Sonderzeichen, z.B. π,
griechische Buchstaben, Verknüpfungen wie ± oder Vergleichsoperationen wie ≤. Diese stellt
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xlabel
26
\alpha
\beta
\gamma
\delta
\epsilon
\zeta
\eta
\theta
\vartheta
\iota
\kappa
\lambda
\mu
\nu
\xi
\pi
\rho
\sigma
\varsigma
\tau
\equiv
\Im
\otimes
\cap
\supset
\int
\rfloor
\lfloor
\perp
\wedge
\rceil
\vee
\langle
α
β
γ
δ
ζ
η
θ
ϑ
ι
κ
λ
µ
ν
ξ
π
ρ
σ
ς
τ
≡
=
⊗
∩
⊃
R
c
b
⊥
∧
e
∨
h
\upsilon
\phi
\chi
\psi
\omega
\Gamma
\Delta
\Theta
\Lambda
\Xi
\Pi
\Sigma
\Upsilon
\Phi
\Psi
\Omega
\ forall
\exists
\ni
\cong
\approx
\Re
\oplus
\cup
\subseteq
\in
\lceil
\cdot
\neg
\times
\surd
\varpi
\rangle
υ
φ
χ
ψ
ω
Γ
∆
Θ
Λ
Ξ
Π
Σ
Υ
Φ
Ψ
Ω
∀
∃
3
∼
=
≈
<
⊕
∪
⊆
∈
d
·
¬
×
√
$
i
\sim
\leq
\infty
\clubsuit
\diamondsuit
\heartsuit
\spadesuit
\leftrightarrow
\leftarrow
\uparrow
\rightarrow
\downarrow
\circ
\pm
\geq
\propto
\partial
\bullet
\div
\neq
\aleph
\wp
\oslash
\supseteq
\subset
\o
\nabla
\ldots
\prime
\O
\mid
\copyright
∼
≤
∞
♣
♦
♥
♠
↔
←
↑
→
↓
◦
±
≥
∝
∂
•
÷
6
=
ℵ
℘
⊇
⊂
ø
∇
...
0
Ø
|
c
Tabelle 3.4: Eingabe von Sonderzeichen bei der Beschriftung von Abbildungen
MATLAB in der gleichen Form dar, wie sie bei der Eingabe in LATEX verwendet werden. Die
Symbole sind in Tabelle 3.4 zusammen gefasst.
Text innerhalb der Abbildung
text
Auch innerhalb einer Abbildung kann mit Hilfe der Funktion text Text angegeben werden,
z.B. um Kurven zu beschriften oder besondere Punkte zu markieren. Der Befehl dazu lautet
text(x,y,’String’,’PropertyName’,PropertyValue,...)
saveas
Die Parameter x und y geben die Koordinaten der linken unteren Ecke der Textbox
an, der String ’String’ enthält den Text und über PropertyName kann dessen Darstellung
verändert werden. Die vorletzte Zeile des Beispiels enthält diesen Befehl und erzeugt damit
die warnende Beschriftung innerhalb der Abbildung. Diese Zeile liefert gleichzeitig auch ein
Beispiel für die Anwendung der in Tabelle 3.3 vorgestellten Eigenschaften.
In der letzten Zeile des Beispiels dient der Befehl saveas der Speicherung der Abbildung
in einer Datei: der erste Parameter in der Klammer ist der Handle des Bildes, d.h. dient
der Identifikation der zu speichernden Abbildung, der zweite Parameter übergibt als String
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27
Winkelfunktionen
↓ cos(x)
1
0.8
0.6
y−Achse)
0.4
0.2
← sin(x)
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−6
−4
−2
0
2
4
6
x−Achse
Abbildung 3.3: Zwei Kurven in einer Abbildung, erzeugt mit dem Skript winkelfunktionen
den Namen der Datei, in der die Abbildung gespeichert werden soll.1 Die Dateiendung gibt
gleichzeitig das Format, in dem die Abbildung gespeichert wird, in diesem Fall pdf.
3.1.3
Linear oder Logarithmisch?
Erstrecken sich die Funktionswerte über mehrere Größenordnungen, so ist es sinnvoller, sie
logarithmisch darzustellen. Die MatLab-Funktion plot stellt beide Achsen linear dar, allerdings kann mit Hilfe der Menüs nachträglich interaktiv eine Änderung auf logarithmische
Darstellung vorgenommen werden, z.B. durch Verwendung des Pop-Up Menüs unten im
Axes-Property Editor (vgl. linkes Teilbild in Abb. 3.1).
Eleganter ist natürlich die direkte Wahl einer logarithmischen Darstellung. Dazu wird der
Befehl plot durch semilog ersetzt und wir erhalten eine halblogarithmische Darstellung mit
linearer x und logarithmischer y-Achse. Mit dem Befehl loglog statt plot lässt sich eine
Abbildung erzeugen, in der beide Achsen logarithmisch skaliert sind (doppeltlogarithmischee
Darstellung). Die Syntax beider Befehle entspricht der von plot.
3.1.4
semilog
loglog
Mehrere Kurven in ein Bild
Die Darstellung mehrerer Kurven erfordert die mehrfache Verwendung des Befehls plot.
Da dieser jedoch jedes mal das Fenster erst löscht und dann den Plot neu erstellt, lassen
sich auf diese Weise nicht mehrere Kurven in einer Abbildung darstellen. Abhilfe schafft
der Befehl hold: mit hold on hält MatLab die vorherige Abbildung fest. Jeder folgende
Aufruf von plot zeichnet die Abbildung in den gleichen Rahmen. Auf diese Weise lassen sich
mehrere Funktionen in einer Abbildung darstellen. Am Ende sollte allerdings auch ein hold
off gegeben werden, da MatLab sonst auch alle weiteren folgenden Abbildungen in diese
zeichnen würde.
Abbildung 3.3 zeigt ein Beispiel für eine Abbildung mit zwei Kurven, erzeugt mit dem
Skript winkelfunktionen:
clear
x=[-2*pi:0.01:2*pi];
y1=cos(x);y2=sin(x);
1 Die Umkehrung, das Einlesen einer Abbildung aus einer Datei, erfolgt mit dem Befehl imread. Das
Einlesen von Bildern in MatLab eher für fortgeschrittene Bildbearbeitung von Interesse als für unsere mathematischen Anwendungen, daher wird im Rahmen des Skripts nicht weiter darauf eingegangen. Alle näheren
Informationen finden Sie in der MatLab-Hilfe.
c M.-B. Kallenrode
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hold on
hold off
winkelfunktionen
28
20
8
0
6
−20
4
−40
2
−60
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
y2=−x2*x2+9
y1=x1*x1/10
Plot zweier Funktion in einen Graphen
10
−80
10
x−Achse
Abbildung 3.4: Abbildung mit zwei y-Achsen, erzeugt mit dem MatLab-Skript plot 2yachs
phandle = plot(x,y1,’-k’);
hold on;
plot(x,y2,’-.k’);
axis([-2*pi 2*pi -1.2 1.2]);
xlabel(’x-Achse’,’Fontsize’,16);
ylabel(’y-Achse)’,’Fontsize’,16);
title(’Winkelfunktionen’,’Fontsize’,20);
text(0-0.1,cos(0)+0.04,’\downarrow cos(x)’);
text(0,sin(0),’\leftarrow sin(x)’);
saveas(phandle,’winkelfunktionen.pdf’);
hold off
axis
Neu in diesem MatLab-Fragment sind die bereits besprochenen Befehle hold on und hold
off in den Zeilen 5 und 14, die Verwendung von Funktionen zur Bestimmung der Orte des
Textes in den Zeilen 11 und 12 sowie der Befehl axis, der eine Veränderung der Achsen
erlaubt – in diesem Fall eine Festlegung des dargestellten Bereichs in der Form axis([xmin
xmax ymin ymax]).
3.1.5
plot 2yachs
Plots mit zwei y-Achsen
Stellt man zwei Funktionen in einer Abbildung dar, so haben nicht zwingend beide die gleiche y-Achse: zum einen, auf Grund unterschiedlicher Wertebereiche, zum anderen, da die
Funktionen unterschiedliche Dinge darstellen, z.B. Weg und Geschwindigkeit oder Bruttosozialprodukt und Geburtenrate.
Das MatLab-Skript plot 2yachs gibt ein Beispiel für die Darstellung von zwei Funktionen mit getrennten y-Achsen in einem Bild; das Ergebnis ist in Abb. 3.4 gezeigt. Ohne
Kommentierung ist die wesentliche Befehlssequenz des Skriptes
x=[-10:0.02:10]; x2 = [-7:0.01:9]; ←y1 = x1.*x1/10; y2 = -x2.*x2 +9; ←[ax,h1,h2] = plotyy(x1,y1,x2,y2); ←title(’Plot zweier Funktion in einen Graphen’,’Fontsize’,20); ←xlabel(’x-Achse’,’Fontsize’,16); ←set(get(ax(1),’Ylabel’),’String’,’y1=x1*x1/10’,’Fontsize’,16); ←set(get(ax(2),’Ylabel’),’String’,’y2=-x2*x2+9’,’Fontsize’,16); ←set(h1,’LineStyle’,’--’); ←12. Januar 2005
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29
set(h2,’LineStyle’,’-.’); ←saveas(h1,’plot2yachs.pdf’) ←In der ersten Zeile wird der x-Wertebereich für die beiden Funktionen fest gelegt – trotz
gemeinsamer x-Achse haben sie unterschiedliche Wertebereiche. Dies kann bei Messdaten,
insbesondere Zeitreihen, häufiger vorkommen: Klimatologen vergleichen z.B. Temperaturen
und den Kohlendioxid-Gehalt der Atmosphäre, wobei erstere bereits seit ca. 1870 zuverlässig
und kontinuierlich gemessen werden, letztere jedoch erst seit ca. 1950.
In der zweiten Zeile werden die beiden Funktionen berechnet, in der dritten geplottet,
wobei der Handle etwas aufwendig ist, da nicht nur für die Abbildung sondern auch für jede
der y-Achsen ein Handle übergeben werden muss, damit diese getrennt verändert werden
können. Diese Änderungen erfolgen jeweils mit den set-Befehlen: der erste bestimmt die
Beschriftung der ersten y-Achse, der zweite die der zweiten. Die beiden anderen set Befehle
bestimmen die Darstellung der Funktionsgraphen.
Weitere Informationen finden sich in der MatLab-Hilfe unter plotyy.
3.1.6
set
plotty
Funktionen in Parameterdarstellung
Funktionen in Parameterdarstellung können in MatLab einfach dargestellt werden. Dazu
wird als erstes der Wertebereich des Parameters definiert und ein Vektor mit Werten dieses
Parameters erzeugt. Zu diesem Vektor werden jeweils die x- und y-Werte bestimmt und
anschließend gegeneinander geplottet.
Beispiel 5 Eine Archimedische Spirale entsteht, wenn sich ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit v entlang eines Strahls nach außen bewegt und dieser Strahl gleichzeitig mit
konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um den Ursprung rotiert. Für den radialen Abstand
r(t) und den Drehwinkel ϕ(t) erhalten wir
r(t) = v t
und
archimedespolar
φ(t) = ω t .
Für eine graphische Darstellung können wir zwei Formen wählen, Polarkoordinaten oder
kartesische Koordinaten. Für die Darstellung in Polarkoordinaten benötigen wir außer der
oben gegebenen Parameterdarstellung nur den Befehl polar für die graphische Darstellung.
Die zugehörige Befehlssequenz ist
polar
archimedeskartesisch
>> v=1; ohm = 1.; t=[0:0.01:20]; ←>> r = v*t; phi = ohm*t; ←>> phandle=polar(phi,r,’k’); ←In der ersten Zeile werden die beiden Parameter v und ohm, d.h. die Geschwindigkeit v
und die Winkelgeschwindigkeit ω vorgegeben. In der zweiten Zeile werden die zugehörigen
Abstände und Drehwinkel berechnet und in der dritten geplottet. Das Ergebnis ist im linken
Teil von Abb. 3.5 gezeigt.
Für die Darstellung in kartesischen Koordinaten müssen wir die Polarkoordinaten erst mit
Hilfe von pol2cart umwandeln und dann als kartesische Koordinaten konventionell mit plot
darstellen:
pol2cart
>> [x,y] = pol2cart(phi,r); ←>> plot(x,y,’k’); ←>> axis equal; ←Das Ergebnis ist im rechten Teil von Abb. 3.5 dargestellt. Der Befehl axis equal bewirkt,
dass beide Achsen gleiche Skalierung haben – sonst wird die Spirale verzerrt dargestellt. 2
3.1.7
Im Vorgriff aus Praktikum: Darstellung von Messdaten
Die Darstellung von Messdaten folgt den gleichen Regeln wie die Darstellung von Funktionen.
Die wesentlichen Unterschiede dürften darin liegen, dass bei den Messdaten nicht unbedingt
eine Linie dargestellt wird sondern die Betonung auf der Darstellung der einzelnen Messpunkte durch Marker liegt und dass die Messdaten möglicherweise in einer externen Datei
liegen, aus der sie erst eingelesen werden müssen.
c M.-B. Kallenrode
12. Januar 2005
axis equal
30
90
20
120
60
15
15
10
150
30
10
5
5
180
0
0
−5
330
210
−10
−15
300
240
270
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
Abbildung 3.5: Archimedische Spirale als Beispiel für eine Funktion in Parameterdarstellung. Links Darstellung in Polarkoordinaten (Skript archimedespolar), rechts Darstellung
in kartesischen Koordinaten (Skript archimedeskartesisch)
10
120
100
9.5
Ort
Temperatur
80
9
60
40
20
8.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
1
Messpunkt #
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Zeit
Abbildung 3.6: Zwei Beispiele für die Darstellung von Messwerten
tempplot
Messdaten liegen in der Regel als eine Matrix vor. Im einfachsten Fall handelt es sich
dabei um einen Spaltenvektor, der eine Reihe von Zahlen enthält. Diese Art von Messdaten
entsteht u.a. bei der Aufnahme einer Zeitserie, d.h. wenn alle 5 min die Temperatur gemessen
und weg geschrieben wird. Als Beispiel dient der Datenfile temp.dat. Seine Darstellung im
linken Teil von Abb. 3.6 erfolgte mit Hilfe des Skripts tempplot:
T=load(’temp.dat’);
tplot=plot(T,’--sr’);
xlabel(’Messpunkt #’,’FontSize’,14); ylabel(’Temperatur’,’FontSize’,14);
saveas(tplot,’tplot.pdf’)
plot
speedplot
Die wesentliche Neuerung ist die Verwendung von plot in der zweiten Zeile: hier wird nur
ein Vektor als Parameter übergeben; die Elemente des Vektors werden gegen ihre Ordnungsnummer aufgetragen.
Daten können auch als mehrspaltige Matrix vorliegen, z.B. bei der Beobachtung einer
Bewegung in einer Datei, die in der ersten Spalte die Zeitpunkte enthält, zu denen gemessen
wurde, und in den folgenden Spalten jeweils die Messungen des Ortes zu diesen Zeiten für
unterschiedliche Messreihen. Ein Beispiel ist in der Datei speed.dat gegeben; die im rechten
Teil von Abb. 3.6 gezeigte Abbildung wurde daraus mit Hilfe des Skripts speedplot erzeugt:
v=load(’speed.dat’);
tplot=plot(v(:,1),v(:,2),’--sr’); hold on;
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c M.-B. Kallenrode
31
plot(v(:,1),v(:,3),’--og’); plot(v(:,1),v(:,4),’-->b’);
for i=1:length(v)
vm(i) = sum(v(i,2:4))/3;
end
plot(v(:,1),vm,’k’,’LineWidth’,2);
xlabel(’Zeit’,’FontSize’,14); ylabel(’Ort’,’FontSize’,14); hold off
saveas(tplot,’splot.pdf’)
In der ersten Zeile wird die Tabelle der Messwerte aus der Datei speed.dat in die Matrix
v eingelesen. In den folgenden Zeilen werden die Spalten 2 bis 4 der Matrix jeweils gegen
die erste Spalte geplottet. Die for-Schleife mittelt über die Spalten 2 bis 4 der Matrix,
d.h. es wird zu jedem Zeitpunkt der Mittelwert der Messungen des Ortes gebildet. Dieses
Information wird anschließend als dicke schwarze Linie in den Plot eingetragen. Der Rest ist
Achsenbeschriftung und Speichern der Abbildung.
Gerade bei der Darstellung von Messwerten kann es zur Orientierung hilfreich sein, ein
Gitternetz aus waagerechten und senkrechten Linien in der Zeichnung zu haben. Dieses lässt
sich, nach dem Aufruf der Funktion plot, mit Hilfe von grid on ein- und mit Hilfe des
Befehls grid off wieder ausschalten.
3.1.8
grid on
grid off
Ergänzung: fplot statt plot
Zur Darstellung eines gegebenen funktionalen Zusammenhangs kann statt der MatLabFunktion plot die Funktion fplot verwendet werden. Während bei plot die x- und y-Werte
als Vektoren übergegeben werden, akzeptiert fplot als Eingabe die Funktion als String:
>> fplot(’x + sin(x).*cos(x)’,[-2*pi 2*pi],’k’) ←Die weiteren Modifikationen an der Abbildung erfolgen wie bei plot. Die darzustellende
Funktion wird an fplot entweder, wie im Beispiel, als in Hochkommata gesetzter String
übergeben, als Name eines m-Files, in dem die Funktion definiert ist, oder als Handle einer
an anderer Stelle im m-File definierten Funktion.
Eine etwas längere Formulierung des obigen Beispiels weist erst die Funktion und ihre
Grenzen jeweils einer Variablen zu und ruft anschließend fplot auf:
>> fun=’x + sin(x).*cos(x)’; lims=[-2*pi 2*pi]; fplot(fun,lims,’k’) ←Eine andere Möglichkeit, die Funktion an fplot zu übergeben, ist die Verwendung eines
Handles:
>> fhandle = @(x) x+sin(x).*cos(x); fplot(fhandle,[-2*pi 2*pi],’k’) ←Der Parameter hinter dem Klammeraffen @ gibt an, welches (bzw. bei einer Liste welche)
Argumente an die im anschließenden Ausdruck dargestellte Funktion übergeben werden sollen. In diesem Fall ist es ein Parameter. Die Funktion wird bei der Definition des Handles
nicht als String angegeben sondern ohne Hochkommata, so wie wir sie auch direkt in einem
m-File eingeben würden. Genauere Informationen finden sich in der MatLab-Hilfe unter
Anonymous Functions.
In der oben gegebenen Form erzeugt fplot keine Vektoren der x und y-Werte – im
Workspace treten keine zusätzlichen Variablen auf. fplot kann jedoch auch verwendet werden, um anstelle der Abbildung zwei Vektoren X und Y mit den Ordinaten- und Abszissenwerten zu erstellen:
>> [x y] = fplot(’x.*x + 2*x + 4’,[-5 5]); ←Diese können dann mit plot dargestellt werden.
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12. Januar 2005
fplot
32
eval und feval
Die Funktion fplot greift auf die MatLab-Funktion eval zurück, die eine als String oder
über einen Handle gegebene Funktion an verschiedenen Stellen bestimmt:
>> fun=’x + sin(x).*cos(x)’; x=2; eval(fun) ←y =
1.6216
liefert den Funktionswert von y = x + sin x cos x an der Stelle x = 2;
>> fun=’x + sin(x).*cos(x)’; x=[1 2 3 4]; eval(fun) ←y =
1.4546 1.6216 2.8603 4.4947
feval
liefert die Funktionswerte an den im Vektor x spezifizierten Punkten.2
Eng mit eval verwandt ist die universeller verwendbare Funktion feval:
>> fhandle = @(x) x+sin(x).*cos(x); x=2; y=feval(fhandle,x) ←y =
1.6216
Der Vorteil von feval liegt darin, dass feval ein Handle als Argument akzeptiert.
Die Möglichkeit, eine Funktion als String, über einen Handle oder durch Aufruf einer
Datei auszuwerten, hat immer dann Vorteile, wenn die Funktion nicht direkt in den m-File
geschrieben werden kann (z.B. bei einem GUI oder einem Algorithmus, der mehrfach auf
verschiedene Funktionen angewandt werden soll) oder wenn die Funktion innerhalb eines
Programms mehrfach ausgewertet werden muss. Letzteres ist z.B. bei vielen numerischen
Verfahren der Fall.
3.2
Funktionen mehrerer Variablen
Funktionen von mehreren Variablen lassen sich auf Grund der Beschränktheit unserer Wahrnehmung nur in geringem Maße darstellen: für Funktionen in Abhängigkeit von zwei Variablen
kann der Funktionsgraph als eine Fläche im dreidimensionalen Raum dargestellt werden, für
die parametrische Darstellung einer Funktion im 3D kann diese als Bahn dargestellt werden.
3.2.1
meshgrid
mesh
surf
Funktionen als Flächen im 3D
Die Darstellung von Funktionen als Flächen im 3D erfolgt analog zur der von Funktionen
in Abhängigkeit von einer Variablen. Als erstes definieren wir ein Gitter in der xy-Ebene
mit einem vorgegebenen Bereich und Gitterabstand mit Hilfe des Befehls meshgrid. Dies
entspricht der Definition der x-Achse als Vektor bei der Darstellung von Funktionen einer
Variablen. Anschließend wird die Funktion berechnet und mit mesh oder surf dargestellt.
Als Beispiel verwenden wir wieder das Tal
f (x, y) = x2 + y
für den Bereich x ∈ [−2, 2] und y ∈ [0, 4]. Als erstes definieren wir das Grundgitter:
>> [x,y] = meshgrid([-2:0.2:2],[0:0.1:4]); ←-
meshgrid
Die beiden Parameter von meshgrid sind Vektoren, wie wir sie bei der Definition der x-Achse
2 Achten Sie auf das Multiplikationszeichen! fplot arbeitet auch dann vernünftig, wenn bei der Definition
der Funktion ein Multiplikationszeichen * statt der punktweisen Multiplikation .* verwendet wurde. Auch
eval liefert beim ersten Beispiel einen vernünftigen Wert zurück, da die Funktion nur für einen Skalar ausgewertet wird. Beim zweiten Beispiel dagegen wird die Funktion für einen Vektor ausgewertet, so dass es bei
Verwendung von * Probleme bei der Ausführung des Produkts sin(x)*cos(x) gibt und MatLab sich mit der
üblichen Fehlermeldung ??? Error using ==> mtimes; Inner matrix dimensions must agree. verabschiedet.
12. Januar 2005
c M.-B. Kallenrode
eval
3.2. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN
8
8
6
6
4
4
2
2
0
4
0
4
3
2
1
2
0
1
−1
0
33
3
2
1
2
0
1
−2
−1
0
−2
Abbildung 3.7: mesh und surf zur Darstellung von Funktionen als Flächen im 3D
als Vektor verwendet haben. Sind x und y-Bereich identisch, so ist es ausreichend, einen Vektor anzugeben, z.B. meshgrid([-2:0.2:2]). Anschließend berechnen wir die Funktionswerte
>> z=x.∧ 2+y; ←und stellen sie mit Hilfe von
mesh
>> mesh(x,y,z)
als Gitternetz (linkes Teilbild in Abb. 3.7) oder mit Hilfe von
surf
>> surf(x,y,z)
als Oberfläche (rechtes Teilbild in Abb. 3.7) im 3D dar. Achsenbeschriftung und Kurvenparameter werden wie bei normalen Funktionsplots im 2D manipuliert.
Beispiel 6 Mit Hilfe des Skripts sombrero
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
sombrero
[x,y] = meshgrid([-15:1:15]);←r = sqrt(x.*x + y.*y) + eps; ←z = sin(r)./r;←subplot(2,2,1), mesh(x,y,z); ←title(’Mesh’)←subplot(2,2,2), surf(x,y,z); ←title(’Surf’) ←subplot(2,2,3),surf(x,y,z); ←shading interp ←title(’Surf + interpolated Shading’) ←subplot(2,2,4), contour(z,9); ←title(’Contour’) ←-
wurden die verschiedenen in Abb. 3.8 gezeigten Darstellungsformen für eine Funktion von
zwei Variablen erzeugt. Neben den bekannten Formen mesh (links oben) und surf (rechts
oben) findet sich eine Variante von surf im linken unteren Teil. Hier wurde durch den Befehl
shading interp auf eine interpolierende Schattierung umgeschaltet und das normalerweise
bei surf schwarz dargestellte Gitter unterdrückt.
Die Darstellung im rechten unteren Teilbild unterscheidet sich von den anderen, da hier die
Funktion nicht im 3D sondern über Isolinien auf die Ebene projiziert dargestellt wird. Der
zugehörige Befehl ist contour.
2
Verwendet man an Stelle der Befehle mesh und surf die Befehle meshc und surfc, so
werden zusätzlich zu den Gittern bzw. Flächen im 3D auf der xy-Ebene die Isolinien dargestellt.
Außerdem haben wir in dem Beispiel die Funktion subplot kennen gelernt: sie ermöglicht
es, mehrere Abbildungen auf einem Blatt darzustellen. Die ersten beiden Parameter in
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12. Januar 2005
contour
meshc
surfc
subplot
34
Mesh
Surf
1
1
0
0
−1
20
−1
20
20
0
−20 −20
20
0
0
−20 −20
Surf + interpolated Shading
0
Contour
30
1
20
0
10
−1
20
20
0
−20 −20
0
10
20
30
Abbildung 3.8: Darstellung von Funktionen im 3D
subplot spezifizieren die Zahl der Teilabbildungen pro Spalte bzw. Zeile, die dritte Zahl
entspricht der laufenden Nummer des Feldes, in das der folgende plot-Befehl die Abbildung
platzieren soll.
GUI
plottest popup
ezsurf
ezsurfc
ezmesh
ezmesh
contour
setplot
Zur Darstellung von Funktionen zweier Variablen kann das GUI plottest popup verwendet werden, vgl. Abb. 3.9. Es erlaubt die Eingabe einer Funktion, die Eingabe eines (um
Null symmetrischen) Wertebereichs für die x- und y-Achse sowie über ein Pop-Up Menü die
graphische Darstellung als Oberfläche (ezsurf), als Oberfläche mit zugehöriger Darstellung
der Höhenlinien in der xy-Ebene (ezsurfc), als Gitter (ezmesh), gegebenenfalls ebenfalls mit
Konturen (ezmeshc), oder als einfacher Konturplot (Höhenlinien) in der xy-Ebene (contour).
plottest popup ruft die Funktion setplot auf, die sich im gleichen Verzeichnis befinden
muss.
In diesem GUI werden die Funktionen ezmesh oder ezmeshc statt mesh oder meshc verwendet. Bei mesh und ähnlichen Plotfunktionen haben wir die Funktionswerte erst explizit
ausgerechnet. Das bedeutet, das im MatLab-Skript an einer Stelle diese Funktion wirklich berechnet werden muss.3 Beim GUI wollen wir die Funktion jedoch nicht als Zeile eines MatLab-Skripts eingeben sondern als Zeichenkette, die auch für nicht-MatLab-User
verständlich ist. Genau hier kommen die Plotroutinen mit dem Präfix ez ins Spiel. Ihre Syntax akzeptiert die Eingabe einer Funktion (statt der bereits berechneten Funktionswerte)
und plottet diese routinemäßig im Bereich −2π ≤ x ≤ 2π und −2π ≤ y ≤ 2π. Werden die
3 Dies entspricht dem Unterschied zwischen den Funktionen plot und fplot bei der Darstellung von Funktionen.
12. Januar 2005
c M.-B. Kallenrode
3.2. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN
35
Abbildung 3.9: Screenshot des GUI plottest popup
y/(1 + x2 + y2)
0.5
0
−0.5
5
5
0
0
−5
y
−5
x
Abbildung 3.10: Funktionsplot mit ezmeshc als Einzeiler: ezmeshc(’y/(1 + x∧ 2 +
y∧ 2)’,[-5,5,-2*pi,2*pi])
x und y Bereiche explizit angegeben, wie im GUI möglich, so stellt ezmesh die Funktion in
diesem Bereich dar.
Mit Hilfe der ez-Routinen lassen sich Funktionsdarstellungen als Einzeiler erzeugen. So
liefert die Zeile
>> ezmeshc(’y/(1 + x∧ 2 + y∧ 2)’,[-5,5,-2*pi,2*pi]) ←den in Abb. 3.10 gezeigten 3D-Plot mit den zugehörigen Konturen. Veränderungen von Achsenbeschriftung und -parametern wieder wie bei plot, weitere Informationen in der MatLabHilfe unter ezmeshc.
3.2.2
Funktionen als Linien im 3D
Beispiel 7 Gyriert ein Elektron um eine Magnetfeldlinie, so entsteht eine Bahn im dreidimensionalen Raum. In Parameterform können wir diese Helix in Polarkoordinaten beschreiben als
%(t) = % = const ,
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ϕ(t) = ω t
und
z = vz t .
12. Januar 2005
36
4
3
2
1
0
1
2
1
0
−1
0
−1
Abbildung 3.11: Bahn eines geladenen Teilchens um eine Magnetfeldlinie, dargestellt mit
plot3
Darin ist % der Abstand des Elektrons vom Mittelpunkt seines Gyratioorbits (und damit
von der Feldlinie), ω die Winkelgeschwindigkeit der Gyration um die Feldlinie und vz die
konstante Geschwindigkeit der Translation entlang der Feldlinie.
Zur Darstellung der sich ergebenden Bewegung definieren wir zuerst die Konstanten und
einen Vektor, der den Parameter Zeit enthält:
>> ohm=2.; vz = 0.4; r = 2.; t=[0:0.02:10]; ←Damit berechnen wir zu jedem Zeitpunkt den Aufenthaltsort des Elektrons in Polarkoordinaten mit
>> phi=ohm*t; z = vz*t; ←und wandeln anschließend in kartesische Koordinaten um
>> [X,Y,Z] = pol2cart(phi,r,z); ←plot3
Die kartesischen Koordinaten lassen sich dann mit dem Befehl plot3 darstellen
>> plot3(X,Y,Z,’k’); axis equal; ←der Befehl axis equal wird wieder benötigt, um Verzerrungen zu vermeiden. Das Ergebnis
ist in Abb. 3.11 gezeigt.
2
3.3
Differentialrechnung
MatLab ist kein symbolisches oder algebraisches sondern ein numerisches System. Daher
kann MatLab weder differenzieren noch integrieren in dem Sinne, dass es einen geschlossenen Ausdruck für die Ableitung oder das Integral liefert. MatLab bedient sich jedoch
verschiedener numerischer Verfahren mit deren Hilfe die Steigung einer Funktion in einem
bestimmten Intervall als Wertetabelle bzw. in graphischer Form gegeben werden kann ebenso
wie ein bestimmtes Integral.4
3.3.1
Nullstellen
Eines der einfachsten Merkmale zur Charakterisierung einer Funktion sind deren Nullstellen,
d.h. die Punkte, an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet. Analytisch werden diese durch Nullsetzen der Funktion und auflösen nach x bestimmt. Da MatLab die
4 Es ist nicht ganz korrekt, dass MatLab überhaupt keine algebraischen Rechnungen vornehmen kann. Mit
der Symbolic Math Toolbox als Erweiterung könnte MatLab korrekt symbolisch rechnen. In der normalen
MatLab-Version ist dies nicht allgemein möglich sondern auf Polynome beschränkt, vgl. Anhang ??.
12. Januar 2005
c M.-B. Kallenrode
3.3. DIFFERENTIALRECHNUNG
37
dazu erforderlichen Operationen nicht durchführen kann, werden in MatLab die Nullstellen
numerisch gesucht: in einer Wertetabelle der Funktion wird in der Umgebung eines vorgegebenen Wertes nach einem Vorzeichenwechsel gesucht und dieser zur genaueren Bestimmung
der Nullstelle weiter eingeschachtelt.
Diese Nulltstellensucher erfolgt mit Hilfe der Funktion fzero. Die Argumente sind die
Funktion als String (oder als String in eine Variable geschrieben) sowie ein Wert in dessen
Umgebung oder ein Intervall in dem die Nullstelle gesucht werden soll. Der Befehl
>> x=fzero(’x*x-1’,0.9) ←x =
1
sucht die Nullstelle der Funktion f (x) = x2 − 1 in der Nähe von 0.9 und findet ganz korrekt
die +1. Mit dem Befehl
>> x=fzero(’x*x-1’,[-1.1 0.9]) ←x =
- 1
sucht MATLAB im Intervall von -1.1 bis 0.9 und findet als Nullstelle die -1.
Da die Nullstellensuche über einen Vorzeichenwechsel der Funktionswerte erfolgt, wird
für die Funktion x2 keine Nullstelle gefunden:
>> x=fzero(’x*x’,0.01) ←Exiting fzero: aborting search for an interval containing a sign change
because NaN or Inf function value encountered during search (Function value
at -1.553326e+154 is Inf) Check function or try again with a different
starting value.
x =
NaN
Ebenso scheitert MatLab bei der Nullstellensuche, wenn bei der uns bereits bekannten
Funktion f (x) = x2 − 1 das Intervall so gross gewählt wird, dass es beide Nullstellen enthält:
>> fzero(’x*x-1’,[-1.1 1.1]) ←??? Error using ==> fzero
The function values at the interval endpoints must differ in sign.
Auch hier kann die Funktion natürlich vorher definiert und dann aus fzero aufgerufen
werden:
>> fun=’x*x-1’;lims=[-1.1 0.9];fzero(fun,lims) ←Ein derartiges Verfahren kann z.B. dann sinnvoll sein, wenn man nacheinander mehrere Funktion oder nacheinander mehrere Intervalle bei einer Funktion auf Nullstellen untersuchen
möchte und die verschiedenen Werte von fun bzw. lims mit Hilfe einer Schleife nacheinander
in fzero füttert.
3.3.2
Numerisches Differenzieren
Die Ableitung einer Funktion ist definiert als der Quotient aus der Differenz der Funktionswerte an zwei um ∆x aus einander liegenden Stellen dividiert durch ∆x für den Grenzwert
∆x → 0:
f 0 (x) = lim
∆x→0
f (x) + f (x + ∆x)
.
∆x
Numerische Differentiation verwendet den gleichen Quotienten, jedoch ohne den Grenzübergang ∆x → 0. Für die praktische Durchführung des numerischen Verfahrens gibt es
verschiedene Möglichkeiten:
c M.-B. Kallenrode
12. Januar 2005
fzero
38
• Die Vorwärts-Differenz (forward finite difference) δf+ (x) ist der eigentlichen Definition der
Ableitung am ähnlichsten:
f (xo + ∆x) − f (xo )
.
∆x
In ihrer Genauigkeit ist diese Differenz von erster Ordnung: die Genauigkeit hängt von
der zweiten Ableitung der Funktion ab, d.h. von der ersten Ableitung der gesuchten Ableitung. Für stark veränderliche Funktionen ist diese aber relativ groß, so dass die VorwärtsDifferenz in der Nähe starker Veränderungen ungenau wird. Die Ordnung der Genauigkeit
lässt sich durch Taylor-Entwicklung zeigen.
• Die Rückwärts-Differenz (backward finite difference) δf− (x) ist auf ähnliche Weise definiert
δf+ (xo ) =
f (xo ) − f (xo − ∆x)
∆x
und ebenfalls von einer Genauigkeit erster Ordnung.
• Die zentrale Differenz (centered finite difference) δf (x) ist definiert als
δf− (xo ) =
f (xo + ∆x) − f (xo − ∆x)
.
2∆x
Sie hat eine Genauigkeit von zweiter Ordnung und ist daher wesentlich robuster als die
beiden anderen Differenzen-Verfahren.
δf (xo ) =
diff
Ein einfaches Verfahren zur numerischen Differentiation verwendet die MatLab-Funktion
diff, die aus einem n-elementigen Vektor einen (n-1)-elementigen Vektor erzeugt, der die
Differenzen benachbarter Werte enthält:
>> x=[1 2 4 7 11 16 22 29 37]; ←>> dx=diff(x) ←dx =
1 2 3 4 5 6 7 8
Beispiel 8 Die Ableitung der Funktion y = sin(x) ist y 0 = cos(x), die zweite Ableitung
ist y 00 = − sin(x). Mit der folgenden Befehlssequenz soll diese Ableitung numerisch im
Intervall ug bis og bestimmt und mit der analytischen Lösung verglichen werden. Da der
Vektor, der die Werte der Ableitung enthält, um ein Element kürzer ist als der Vektor der
Funktionswerte, müssen wir für die graphische Darstellung drei x-Achsen definieren: x für
die Funktion, xv für die Ableitung und xvv für die zweite Ableitung.
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
winkelableit
ug=0;og=10;deltx=0.1; ←x=[ug:deltx:og];xv=[ug+deltx/2:deltx:og-deltx/2];xvv=[ug+deltx:deltx:og-deltx];←dx=diff(x);dy=diff(sin(x));abl1=dy./dx; ←d2x=diff(xv);d2y=diff(abl1);abl2=d2y./d2x; ←plot(x,sin(x),’k’);hold on;plot(xv,cos(xv),’r’);plot(xvv,-sin(xvv),’g’);←plot(xv,abl1,’vr’);plot(xvv,abl2,’og’); ←xlabel(’x’,’Fontsize’,16); ylabel(’y’,’Fontsize’,16); ←title(’sin(x) und seine Ableitungen (Symbole)’,’Fontsize’,20); ←text(2.2,0.8,’ \leftarrow sin(x)’); text(3*pi/2,0,’ \leftarrow cos(x)’);←text(5.9,-0.8,’-sin(x) \rightarrow’); hold off ←-
Abbildung 3.12 zeigt die Funktion (schwarz) mit ihren beiden analytisch bestimmten Ableitungen (rote bzw. grüne Kurve) sowie die numerisch mit Hilfe der obigen Befehlssequenz
bestimmten Ableitungen (Symbole). Trotz des relativ groben Gitters (anschaulich durch den
Abstand benachbarter Symbole), stimmt selbst die zweite numerische Ableitung sehr gut
mit den analytischen Werten überein. Das Skript winkelableit basiert auf obiger Befehlssequenz.
2
Das von uns in MATLAB verwendete Verfahren ähnelt dem einer zentralen Differenz,
wobei allerdings die Ableitung nur an jedem zweiten Gitterpunkt bestimmt wurde. In der
12. Januar 2005
c M.-B. Kallenrode
3.4. NUMERISCHE INTEGRATION
39
sin(x) und seine Ableitungen (Symbole)
1
← sin(x)
0.8
0.6
0.4
y
0.2
← cos(x)
0
−0.2
−0.4
−0.6
−sin(x) →
−0.8
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
Abbildung 3.12: Funktion y = sin(x) (schwarz) und analytisch bestimmte Ableitungen y 0 =
cos(x) (rote Kurve) bzw. y 00 = − sin(x) (grüne Kurve) sowie zugehörige numerisch bestimmte
Ableitungen (Symbole)
echten zentralen Differenz würden wir Funtkionswerte auch an den Gitterpunkten benötigen,
in denen wir jetzt die Steigung angeben, und würden auch Steigungen in den Gitterpunkten
erhalten, für die wir die Funktionswerte angegeben haben.
3.3.3
Extrema
Neben der Bestimmung von Nullstellen und Ableitungen ist ein Aspekt von Kurvendiskussionen die Bestimmung von Extrema. Diese sind die Punkte mit waagerechter Tangente und
damit die Nullstellen der Ableitung.
MatLab stellt neben fzero für die Nullstellensuche die Funktion fminbnd für die Suche
nach Extrema. Auch hier wird die Funktion als String eingegeben. Als weitere Argumente
werden zwei x-Werte übergeben, die das Intervall definieren, in dem fminbnd das Minimum
sucht:
>> fminbnd(’x*x’,-3,3) ←ans =
1.1102e-016
Das Ergebnis weicht um die interne Rechnergenauigkeit von Null ab. Bei der Verwendung von
fminbnd ist jedoch Vorsicht geboten, da die Funktion das Minimum innerhalb des betrachteten Intervalls bestimmt – was nicht zwingend ein Extremum der Funktion ist. So liefert auch
der Befehl
>> fminbnd(’x*x’,-3,-1) ←ans =
-1.0000
ein Minimum (eben das in dem Intervall), aber keinen Extremwert.
3.4
Numerische Integration
Auch die Integration von Funktionen erfolgt numerisch. MatLab verfügt über fest eingebaute Funktionen, wir können MatLab jedoch auch verwenden, um verschiedene einfachere
Verfahren wie Mittelpunkts- oder Trapezformel zu benutzen. Eine Übersicht über die Codierung derartiger numerischer Verfahren in verschiedenen Programmiersprachen mit etlichen
Beispielen und guten Erläuterungen der Verfahren gibt [1].
c M.-B. Kallenrode
12. Januar 2005
fminbnd
40
Für alle folgenden Beispiele ist die Aufgabe die Bestimmung des bestimmten Integrals
der Funktion f (x) im Intervall von a bis b:
Zb
f (x) dx .
I=
a
Das Interval [a, b] kann in M Schritte der Länge ∆x eingeteilt werden: ∆x = (b − a)/M .
Beispiel 9 Als Beispiel werden wir die Funktion f (x) = 3x2 + 2 im Intervall von 2 bis 4
betrachten, d.h. es ist das Integral
Z4
(3x2 + 2) dx
I=
2
zu bestimmen. Als Referenz für unsere numerischen Verfahren erhalten wir die analytische
Lösung
Z4
4
(3x2 + 2) dx = x3 + 2x
I=
2
= 60 .
2
2
3.4.1
Mittelpunktsformel
Bei Verwendung der Mittelpunktsformel wird das Integral aus Rechtecken der Breite ∆x
zusammengesetzt, die Höhe der Rechtecke wird durch den Funktionswert in der Intervallmitte
gegeben:
M
M
X
X
xk−1 + xk
f
f (xmk ) ∆x =
∆x .
IMP =
2
k=1
k=1
In MatLab können wir dieses Integral auswerten, in dem wir einen Vektor der Intervallmitten erzeugen, den zugehörigen Vektor der Funktionswerte ausrechnen, beide Vektoren
punktweise multiplizieren und die Komponenten des sich dabei ergebenden Vektors addieren:
>> a=2;b=4;M=100;deltx=(b-a)/M; ←>> x=[a+deltx/2:deltx:b-deltx/2]; y=(3*x.*x+2).*deltx; ←>> I = sum(y) ←I =
59.9998
Das Ergebnis ist in guter Übereinstimmung mit dem analytischen Wert aus Beispiel 9. Die
Abhängigkeit der Genauigkeit des numerischen Ergebnisses von der Zahl M der Schritte bzw.
der Schrittweite ∆x ist in folgender Tabelle gegeben:
M
∆x
I
3.4.2
1
2
58
2
1
59.5
5
0.4
59.92
10
0.2
59.98
20
0.1
59.995
50
0.04
59.9992
100
0.02
59.9998
200
0.01
60.0000
500
0.004
60.0000
Trapezformel
Bei der Trapezformel wird das Integral durch Trapeze der Breite ∆x und der durch die
Funktionswerte an den Intervallrändern gegebenen Höhen zusammen gesetzt:
IT =
M
X
1
k=1
2
(f (xk ) + f (xk−1 )) ∆x .
Die Regeln für die numerische Integration in MatLab entsprechen denen bei der Mittelpunktsformel. Dort ist nur die zweite Zeile (Vektor der Punkte, an denen der Funktionswert
zu nehmen ist und Verfahren der Bestimmung der Fläche) zu ersetzen durch
12. Januar 2005
c M.-B. Kallenrode
41
x=[a:deltx:b];
for k=1:M;
y(k)=(3*x(k)*x(k) +2 + 3*x(k+1)*x(k+1) + 2)*deltx/2;
end
und wir erhalten als Ergebnis 60.0004, ebenfalls in guter Übereinstimmung mit dem in Beispiel 9 gefundenen analytischen Wert. Das vollständige Verfahren ist im Skript trapez zusammen gefasst.
Die Abhängigkeit des Ergebnis von der Schrittweite ist in folgender Tabelle gegeben:
M
∆x
I
1
2
64
2
1
61
5
0.4
60.16
10
0.2
60.04
20
0.1
60.01
50
0.04
60.0016
100
0.02
60.0004
200
0.01
60.0001
trapez
500
0.004
60.0000
Im oben gegebenen Beispiel für die Trapezformel ist die Funktion zwei mal im m-File
eingetragen. Hier ist eine alternative Codierung zu empfehlen, bei der die Funktion über
einen Handle definiert und mit feval ausgewertet wird:
feval
x=[a:deltx:b];
fhandle = @(x) 3*x.*x +2;
for k=1:M;
y(k) = (feval(fhandle,x(k))+feval(fhandle,x(k+1)))*deltx/2;
end
Mit dieser Vorübung können wir satt eines Skripts jetzt eine Funktion trapezfunk schreiben, die die Integration gemäß Trapezformel ausführt:
function I = trapezfunk(f,a,b,M)
% Trapezformel
% Eingabe: Funktion f, Grenzen a und b, Zahl der Schritte M
% Ausgabe: Skalar I als Fläche
deltx=(b-a)/M; x=[a:deltx:b];
for k=1:M;
y(k) = (feval(f,x(k))+feval(f,x(k+1)))*deltx/2;
end
I=sum(y);
Diese Funktion kann aus einem Skript oder dem MatLab Befehlsfenster heraus aufgerufen
werden. In beiden Fällen müssen die zu übergebenden Parameter vorher vereinbart werden.
Für den Aufruf aus dem Kommandofenster heraus könnte dies wie folgt aussehen:
>> a=2; b=4; M=100; fun = @(x) 3*x.*x +2;
>> I=trapezfunk(fun,a,b,M)
I =
60
Der Vorteil der Darstellung der Trapezformel als eine Funktion ist offensichtlich: jetzt
müssen Integrationsgrenzen, Schrittzahlen oder die zu integrierende Funktion nicht mehr im
m-File geändert werden sondern nur in der ersten Eingabezeile im Befehlsfenster bzw. falls
die Funktion trapezfunk aus einem m-File aufgerufen wird in diesem.
Auf Grund dieses offensichtlichen Vorteils werden die folgenden numerischen Verfahren
stets als Funktionen und mit Hilfe eines Handles zur Beschreibung der zu integrierenden
mathematischen Funktion eingeführt.
3.4.3
Simpson-Regel
Bei der Simpson-Regel wird der Integrand durch ein Polynom zweiten Grades angenähert. Für
die Teilintegrale werden dazu in einem Intervall ∆x Funktionswerte an den Intervallgrenzen
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12. Januar 2005
trapezfunk
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xk und xk−1 bestimmt sowie in der Intervallmitte xmk . Für das Integral ergibt sich dann
M
ISimpson =
1X
(f (xk−1 ) + 4f (xmk ) + f (xk ))∆x .
6
k=1
simpsonfunk
Für das Integral aus Beispiel 9 lässt sich das Simpson-Verfahren in folgender MatLabFunktion simpsonfunk realisieren:
function I = simpsonfunk(f,a,b,M)
% Simpson-Regel
% Eingabe: Funktion f, Grenzen a und b, Zahl der Schritte M
% Ausgabe: Skalar I als Fläche
deltx=(b-a)/M; x=[a:deltx:b]; xm=[a+deltx/2:deltx:b-deltx/2];
for k=1:M;
y(k) = (feval(f,x(k))+4*feval(f,xm(k))+feval(f,x(k+1)))*deltx/6;
end
I=sum(y);
Der Aufruf erfolgt wie bei trapezfunk; zum Vergleich können auch beide Funktionen aus
einem Skript heraus gestartet werden.
Als Ergebnis für die Standard-Eingabeparameter erhalten wir 60.000. Das Simpson-Verfahren
liefert also bereits für recht kleine Schrittzahlen M bzw. recht große Schrittweiten ∆x bessere
Ergebnisse als die beiden anderen Verfahren, wie aus der folgenden Tabelle zu erkennen ist:
M
∆x
I
3.4.4
quad
1
2
60
2
1
60
5
0.4
60
10
0.2
60
20
0.1
60
50
0.04
60.0000
100
0.02
60.0000
200
0.01
60.0000
500
0.004
60.0000
Adaptives Simpson-Verfahren
Durch geeignete Wahl der Schrittweite kann man mit Hilfe des Simpson-Verfahrens sehr
genaue Ergebnisse für die numerische Integration erzielen. Diese werden, wie bei jedem numerischen Verfahren, mit abnehmender Schrittweite immer besser (sorry, in obigem Beispiel
waren sie leider zu gut). Ein sehr feines Gitter bedeutet jedoch auch eine lange Rechenzeit.
Dieses feine Gitter ist aber nicht erforderlich in den Bereichen, in denen sich eine Funktion
nur schwach ändert: im Extremfall konstanter Intensität in einem Bereich der Funktion reicht
ein einziges Rechteck oder Trapez.
Allgemein muss die Gitterweite um so feiner sein, je stärker sich die Funktion ändert.
Bei Funktionen, die sich in einigen Bereich stark, in anderen kaum verändern, ist daher die
Verwendung eines feinen Gitters über den gesamten Integrationsbereich zwar eine sichere
aber auch eine rechenintensive Methode. Besser wäre die Verwendung eines feinen Gitters
in einigen Bereichen und eines groben Gitters in anderen. Dann kann bei gleicher Rechengenauigkeit Rechenzeit gespart werden. Eine derartige Anpassung des Integrationsverfahrens
an die Funktion ist in MatLab als adpatives Simpson-Verfahren realisiert und wird mit der
Funktion quad aufgerufen.
Das adaptive Simpson-Verfahren angewandt auf unsere Beispielfunktion ist
>> I = quad(f,a,b) ←wobei f wieder die Funktion und a und b die Grenzen geben, in denen diese Funktion integriert
werden soll. Beim Aufruf von quad lässt sich eine Toleranz als weiterer Parameter angeben,
die MatLab anweist, bis zu welcher Genauigkeit die Integration erfolgen soll (und damit
auch, wie zeitintensiv diese sein darf).
Statt der Zuweisung der Funktion zu einer Variablen kann die Funktion auch direkt in
als Parameter beim Funktionsaufruf übergeben werden:
>> I = quad(’3*x.∧ 2+2’,2,4) ←-
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Abbildung 3.13: GUI numint zur numerischen Integration
3.4.5
Weitere MatLab Funktionen
Für die numerische Integration stehen in MatLab abgesehen von den oben gegebenen einfachen ‘Selbstbau-Skripten’ verschiedene Funktionen zur Verfügung:
• quad verwendet ein adaptives Simpson-Verfahren für die numerische Integration.
• quadl verwendet ein adaptives Lobatto-Verfahren.
• dblquad kann für Doppelintegrale verwendet werden. Sie basiert auf einem adaptiven
Simpson-Verfahren, ist also eine Anwendung von quad.
• triplequad hilft bei der numerischen Lösung von Dreifachintegralen, ebenfalls basierend
auf einem adaptiven Simpson-Verfahren.
Die MatLab-Funktionen folgen in ihrer Syntax alle dem bei quad besagten; nähere Informationen bietet die MatLab-Hilfe.
3.4.6
GUI zur numerischen Integration
Die Datei numint enthält ein einfaches GUI zu numerischen Integration von Funktionen, vgl.
Abb. 3.13. Die Eingabeparameter (rechts oben) beschränken sich auf die Funktion, die untere
und obere Grenze sowie die Schrittzahl. Über das Pop-Up Menü können die verschiedenen
bisher diskutierten Verfahren zur numerischen Integration ausgewählt werden. Als Ergebnis
wird im linken Teil der Funktionsgraph im zu untersuchenden Bereich geplottet, der Wert
des sich ergebenden Integrals ist ebenfalls angegeben.
Das GUI besteht aus dem eigentlichen Skript numint, einer Routine setintegration, die
für den Plot und die Zuordnung zu den verschiedenen Integrationsverfahren erforderlich ist,
sowie den Funktionen mittelgui, trapezgui und simpsongui, die jeweils die numerischen
Verfahren ausführen. Diese Funktionen unterscheiden sich von den weiter oben eingeführten
Funktionen nur durch die Art und Weise, in der die mathematische Funktion übergeben wird
(Handle vs. String) und damit wie sie ausgewertet wird (feval vs. eval).
3.4.7
Monte-Carlo Integration
Ein ganz anderes Verfahren zur Integration ist die Monte-Carlo Methode. Monte-Carlo Verfahren basieren auf der Verwendung von Zufallszahlen, d.h. sie unterscheiden sich in ihrem
Ansatz von den bisher betrachteten Verfahren. Diese waren streng deterministisch und damit reproduzierbar, während in Monte-Carlo Verfahren ein Zufallselement ins Spiel kommt.
Monte-Carlo Verfahren finden in allen Bereichen Anwendung, in denen Prozesse formal eher
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numint
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auf der Basis von Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschrieben werden als in Gleichungen mit
genau definierten Parametern.
Ein Beispiel für ein Monte-Carlo Verfahren ist die Bestimmung von π = 3.14159265358979.
Die Zahl π können wir weder als rationale Zahl noch über einen funktionalen Zusammenhang einführen – außer über die Bedeutung von π für die Bestimmung der Fläche oder des
Umfangs eines Kreises. So gibt π z.B. die Fläche eines Einheitskreises. Wenn wir ein numerisches Verfahren zur Bestimmung der Fläche des Einheitskreises anwenden, bestimmen wir
gleichzeitig auch π. Malen wir also einen Einheitskreis auf ein quadratisches Stück Pappe, das
diesen Kreis genau umschreibt. Legen wir das Ganze auf den Boden und lassen aus großer
Höhe Reiskörner auf die Pappe rieseln. Diese treffen statistisch gleichmäßig verteilt auf. Daher sollte sich die Zahl der Reiskörner im Kreis zur Gesamtzahl der Reiskörner so verhalten,
wie die Fläche des Einheitskreises zur Gesamtfläche:
Reisk. in Einheitsk
Einheitskreis
π
=
= .
Reisk. gesamt
Quadrat
4
rand
Durch Auszählen der Reiskörner lässt sich also π bestimmen.
Das Verfahren lässt sich auch in MATLAB anwenden. Dazu benötigen wir Zufallszahlen,
die mit der Funktion rand erzeugen. Wird rand ohne Argument auf gerufen, so erzeugt es
im Intervall (0,1) gleich verteilte Zufallszahlen. Werden Argumente an rand übergeben, so
kann rand z.B. Matrizen aus Zufallszahlen erzeugen:
>> rand(3) ←ans =
0.2028 0.2722
0.1987 0.1988
0.6038 0.0153
0.7468
0.4451
0.9318
oder
>> rand(1,3) ←ans =
0.7095 0.4289
montecarlopi
0.3046
Für die Bestimmung der Fläche des Kreises benötigen wir die folgende Sequenz aus dem
Skript montecarlopi:
n=1000; z=0;
x=2*rand(1,n)-1; y=2*rand(1,n)-1;
r= sqrt(x.*x + y.*y);
for i=1:n
if r(i) <= 1
z = z +1;
end
end
Pi = 4*z/n; str=num2str(Pi,4);label = [’\pi n = ’ str];
plot(x,y,’.r’);hold on;axis equal;
phi=[0:0.1:2*pi];R=1.;[xk,yk]=pol2cart(phi,R); plot(xk,yk,’k’,’Linewidth’,1.5);
text(-0.98,0.92,label,’Fontsize’,14);
xq=[1;-1;-1;1;1];yq=[1;1;-1;-1;1];plot(xq,yq,’k’,’Linewidth’,1.5)
Die erste Zeile definiert die Zahl n der Reiskörner, setzt den Zähler z für die im Kreis gelandeten Reiskörner auf Null. In der folgenden Zeile werden Vektoren der Länge n aus Zufallszahlen im Intervall [-1 1] erzeugt. Diese können wir als die Koordinaten unserer Reiskörner
interpretieren. In der folgenden Zeile wird der Abstand jedes Punktes vom Ursprung bestimmt, in der folgenden Zählschleife wird für jeden Wert überprüft ob er im Kreis liegt und
wenn ja wird der Zähler z um 1 hoch gesetzt. Die folgende Zeile berechnet π und wandelt
die Variable in einen String um, der in der anschließenden Plotroutine benötigt wird. Ein
Beispiel für das so bestimmte π ist in Abb. 3.14 gezeigt.
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1
45
πn = 3.248
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
Abbildung 3.14: Bestimmung von π mit Monte Carlo
Lassen wir das Skript einige Male laufen, so erhalten wir (mit jeweils 1000 Reiskörnern) für
π z.B.: 3.1000, 3.1400, 3.1920, 3.2120, 3.1480, 3.1240, 3.0760, 3.0840, 3.1160, 3.1240, 3.2000,
3.1680, 3.0760, 3.1560. Diese Werte sind eine vernünftige Näherung an π, genauere Ergebnisse
erhalten wir mit einer größeren Zahl von Reiskörnern (jeweils 10000): 3.1324, 3.1560, 3.1672,
3.1408, 3.1520, 3.1232, 3.1604, 3.1400, 3.1452, 3.1268, 3.1308, 3.1592, 3.1468, 3.1408. In beiden
“Versuchsreihen” erhalten wir eine Verteilung der Werte, die um π herum streut, wobei die
Verteilung um so schmaler wird, je größer die Zahl der verwendeten Reiskörner.
Fragen
Frage 10 Informieren Sie sich an Hand der MatLab-Hilfe über die Möglichkeiten, eine mathematische Funkion darzustellen und an eine MatLab-Funktion zu übergeben. Welche Bedeutung hat
ein Handle für eine Funktion?
Frage 11 Welche Möglichkeiten gibt es, der Funktion plot Parameter für die Darstellung der
Kurve (gestrichelt ...) zu übergeben?
Frage 12 Welche Möglichkeiten der Achsenbeschriftung gibt es?
Frage 13 Die MatLab Funktion fplot bietet gegenüber Plot die Möglichkeit, eine mathematische
Funktion direkt als Parameter zu übergeben ohne erst die x und y-Werte als Vektoren zu bestimmen.
Bringen Sie plot bei, ebenfalls die Funktion als Eingabe zu akzeptieren – im Unterschied zu fplot
müssen sie die x-Werte allerdings weiterhin vorgeben.
Frage 14 Bei Plots im 3D werden durch mesh Flächen im Raum, durch plot3 dagegen Linien im
Raum dargestellt. Was bedeuten diese unterschiedlichen Darstellungsformen inhaltlich?
Aufgaben
Aufgabe 9 Schreiben Sie ein Skript zur Darstellung einer Zykloide.
Aufgabe 10 Schreiben Sie ein Skript zur Darstellung der Funktion f (x, y) = cos(x/2) sin(y 2 )
Frage 15 Schreiben Sie ein Skript, mit dem Sie Weg-Zeit- und Geschwindigkeitszeit-Diagramm
einer Bewegung (nehmen Sie irgendwelche Werte an) (a) mit Hilfe von zwei Abbildungen auf einem
Blatt und (b) innerhalb einer Abbildung mit zwei verschiedenen y-Achsen darstellen lassen.
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Aufgabe 11 Schreiben Sie eine MatLab-Funktion, an die aus dem Befehlsfenster oder über ein
Skript verschiedene mathematische Funktionen mit dem Zweck einer einheitlichen graphischen Darstellung übergeben werden können. Probieren Sie verschiedene Möglichkeiten der Übergabe der mathematischen Funktion aus.
Aufgabe 12 Schreiben Sie ein Skript zur Bildung der zweiten Ableitung der Funktion f (x) =
x3 + 2x2 + 9 und stellen Sie Funktion und beide Ableitungen graphisch dar. Vergleichen Sie mit den
analytisch bestimmten Werten.
Aufgabe 13 Schreiben Sie ein Skript zur numerischen Bestimmung des bestimmten Integrals
Z5
(x2 + ex ) dx .
1
Aufgabe 14 Bestimmen Sie Verteilungen für π wie mit montearlopi bestimmt für (a) 1000 und (b)
10000 Reiskörner. Variieren Sie das gegebene Skript derart, dass sie die Bestimmung der Verteilungen
automatisiert kriegen.
Aufgabe 15 Schreiben Sie ein Skript zur Bestimmung des Volumens einer Einheitskugel mit Hilfe
der Monte-Carlo Methode.
Aufgabe 16 Schreiben Sie ein Skript zur Bestimmung des bestimmten Integrals
Zπ
sin x dx
0
mit Hilfe der Monte-Carlo-Methode, stellen Sie die Lösung graphisch dar und vergleichen Sie mit
der analytischen Lösung.
Aufgabe 17 Das folgende MatLab-Fragment zur Bestimmung des Volumens der Einheitskugel
enthält einige Fehler. Finden Sie diese und korrigieren Sie sie:
n=1000;
x=2*rand(1,n)-1; y=2*rand(1:n)-1, z=2*rand(1,n)-1;
r = sqrt(x.*x+y*y+z.*z);
for i=1,n
if r(i) >=1
zaehl = zaehl + 1;
end
end
vol = (n-zaehl)/n
Literaturverzeichnis
[1] Press, W.H., B.P. Flannery, S.A. Teukolsky and W.T. Vetterling, Numerical Recepies in
C, Numerical Recepies in Fortran, Numerical Recepies in C++, Cambridge University
Press; die C und Fortran Versionen sind zum Download unter http://www.nr.com/ zu
finden. 39
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Kapitel 3: Funktionen

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