f - gdace - Universidade Estadual de Maringá

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f - gdace - Universidade Estadual de Maringá
Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico
Relatório de Pesquisa
PQ 10/2008-Produtividade em Pesquisa PQ - 2008
Nome: Rafael Alves de Souza
CPF: 026.740.709-27
Processo Número: 306310/2008-2
Maringá, 15 de Fevereiro de 2012
1 – Apresentação
O presente relatório tem por objetivo apresentar as atividades desenvolvidas no projeto de
pesquisa intitulado "Análise e Dimensionamento de Elementos em Concreto Estrutural",
registrado sob o número 306310/2008-2 no Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e
Tecnológico. As atividades correspondem à Bolsa de Produtividade de Pesquisa PQ 10/2008 e
abrangem o período de 03/2009 a 02/2012. São apresentados os trabalhos produzidos (artigos
em revistas e anais de eventos, relatórios de pesquisa e estágio), bem como os equipamentos
adquiridos e perspectivas de trabalhos futuros.
2 – Equipamentos Adquiridos
Tendo-se em vista que o presente projeto de pesquisa também foi financiado pela Fundação
Araucária, Pesquisa Básica e Aplicada (Modalidade B, Chamada 14/2008, Convênio 421/2009,
Protocolo 15262), recebendo um montante de R$25.000,00, os seguintes equipamentos foram
adquiridos durante a realização da pesquisa:
•
01 Notebook SONY VAIO VPC F113FX, número de
tombo 124948, com Processador Intel Core i7720QM Quad-Core de 1.6GHz, 6GB (1 de 4GB, 1
de 2GB) de RAM, HD SATA de 500GB e
5.400rpm, Blu-ray ROM com Gravação de DVD
SuperMulti, Placa de Vídeo nVIDIA GeForce
310M, Tela 16:9 Widescreen de 16,4", Webcam e
Microfone Integrados, Bluetooth 2.1+EDR,Wi-Fi
802.11b/g/n
• 01 Livro, intitulado “Concrete Shear in
Earthquake”, editado por T.C.C. HSU e S.T.MAU e
publicado pela Taylor & Francisa Group. O livro
foi cadastrado no Sistemas de Bibliotecas (BCE)
da UEM sob o código de barras número
0000142423. A classificação do livro para
encontrá-lo na BCE é dado por 624.1762, C744,
2010.
•
01 Licença do Software ATENA 3D Egr EN
WR412/1 v.4.2.6, adquirido junto à Cervenka
Consulting, contendo 01 CD, 1 USB Hardlock key
WR412/1, License Agreement, Maintenance
agreement, Set of Manuals: Part 2-1, Part 2-2, Part
4-1, Part 4-2.
•
Prensa hidráulica EMIC com mínimo de 100ton
(1MN) na compressão. Acionamento elétrico, 220
V monofásico, com bomba hidráulica possuindo
válvula para controle de velocidade de aplicação
de carga nos ensaios. Leitura através de indicador
digital com detector de carga de ruptura atingida
e resolução interna de 10 kgf. Estrutura de aço de
alta resistência com duas colunas cilíndricas.
3 – Trabalhos Apresentados em Eventos
1 - Apresentação em formato poster do artigo intitulado "Dimensionamento Automático de
Elementos de Membrana em Concreto Armado utilizando o Modelo Plasticity Truss Model",
durante o 52o Congresso Brasileiro do Concreto, Fortaleza (CE), 2010.
2 - Apresentação em plenária do artigo intitulado "Avaliação do Comportamento Estrutural de
Elementos de Membrana via Análise de Confiabilidade", durante o 53o Congresso Brasileiro do
Concreto, Florianópolis (SC), 2011.
3 - Apresentação em plenária do artigo intitulado "Aplicação do Modified Compression Field
para a Análise de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural", durante o 53o Congresso
Brasileiro do Concreto, Florianópolis (SC), 2011.
4 – Artigos Completos
Completos Publicados em Anais de Eventos
1 - SOUZA, Rafael Alves de ; VANALLI, L. . Analysis of Reinforced Concrete membrane
Elements Using the "Softened Truss Model". In: 32nd Iberian-Latin-American Congress on
Computational Methods in Engineering (CILAMCE 2011), 2011, Ouro Preto. 32nd Iberian-LatinAmerican Congress on Computational Methods in Engineering, 2011.
2 - SOUZA, Rafael Alves de ; PANTOJA, J. C. ; VAZ, L. E. . Avaliação do Comportamento
Estrutural de Elementos de Membrana via Análise de Confiabilidade. In: 53 Congresso
Brasileiro do Concreto, 2011, Florianópolis. 53o Congresso Brasileiro do Concreto, 2011.
3 - SOUZA, Rafael Alves de ; VANALLI, L. . Aplicação do "Modified Compression Field" para a
Análise de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural. In: 53o Congresso Brasileiro do
Concreto, 2011, Florianópolis. 53 Congresso Brasileiro do Concreto. Florianópolis, 2011.
4 - SOUZA, Rafael Alves de. Análise Não-Linear de Elementos de Membrana em Concreto
Estrutural Utilizando ATENA2D. In: VIII Encontro Tecnológico da Engenharia Civil e
Arquitetura (ENTECA 2011). Maringá, 2011.
5 - SOUZA, Rafael Alves de. "Dimensionamento Automático de Elementos de Membrana em
Concreto Armado utilizando o Modelo Plasticity Truss Model", durante o 52o Congresso
Brasileiro do Concreto, Fortaleza (CE), 2010.
ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE MEMBRANE ELEMENTS
USING THE “SOFTENED TRUSS MODEL”
Rafael Alves de Souzaa, Leandro Vanallib
a
b
Departamento de Engenharia Civil, Centro de Tecnologia, Universidade Estadual de Maringá,
Avenida Colombo 5790, 87020-900, Maringá, PR, Brazil, http://www.dec.uem.br
Departamento de Tecnologia, Centro de Tecnologia, Universidade Estadual de Maringá, Avenida
Ângelo Moreira da Fonseca 1800, 87506-370, Umuarama, PR, Brazil, http://www.cau.uem.br
Keywords: Structural Concrete, Membrane Elements, Softened Truss Model, MATLAB.
Abstract. Reinforced concrete members subjected to membrane stresses are very common in
complex structures such as hangars, nuclear power plants, offshore oil platforms and box
beams of large bridges. Although the problem of design of these elements is well addressed,
the same could not be said for the analysis procedures. In this context, this paper aims at
presenting a computational tool especially developed in the MATLAB platform. The proposed
tool is to be applied for the analysis of reinforced concrete membrane elements and it is totally
based on the "Softened Truss Model". Several numerical results have revealed that the created
tool has good reliability, being the programming procedures easier than that required using the
"Modified Compression Field Theory".
1
INTRODUÇÃO
Os elementos de membrana são elementos que estão submetidos apenas a forças normais e
cortantes no seu próprio plano e podem ser utilizados para a modelagem dos mais diversos
tipos de estruturas, conforme ilustra a Fig. 1. A maioria das soluções conhecidas para o
dimensionamento destes elementos foi obtida através da verificação das condições de
equilíbrio e de resistência, conduzindo a um dimensionamento seguro, baseado no Teorema
Inferior da Teoria da Plasticidade. Dentro dessa linha, merecem destaque os trabalhos
publicados por Gupta (Gupta,1984; Gupta, 1986), Nielsen (1984), Fialkow (1991), CEB-FIP
Model Code (1993), Lourenço & Figueiras (1993, 1995) e Regan (1999).
Figura 1 – Estruturas complexas modeladas utilizando elementos de membrana
Apesar do problema de dimensionamento estar bem resolvido, deve-se observar que as
alternativas de solução não são suficientemente difundidas no meio prático. Além disso, o
problema de verificação de elementos de membrana, isto é, a análise do comportamento de
um elemento plano armado de armaduras conhecidas não é um problema trivial como parece
ser a princípio. Collins et al. (1985) relatam que numa competição internacional, com a
participação de 43 líderes mundiais em pesquisa sobre simulações numéricas aplicadas ao
concreto armado, não foi possível prever o comportamento carga versus deslocamento de
painéis retangulares armados com uma margem de erro inferior a 15%.
Ficou evidente que o insucesso das previsões era fortemente dependente das relações
tensão-deformação empregadas, as quais basicamente ignoravam a resistência à tração do
concreto. Com base nos resultados experimentais da competição realizada, Vecchio & Collins
(1986) passaram a considerar a resistência à tração do concreto entre fissuras e desenvolveram
uma teoria que ficou conhecida como “Modified Compression Field Theory”, “Teoria do
Campo Modificado de Compressões” ou simplesmente MCFT.
De acordo com Vecchio & Collins (1986), a análise de um elemento de membrana é
dificultada devido ao fato de que novas fissuras podem ser formadas, fissuras pré-existentes
podem se propagar e até mesmo se fechar, e um sistema estrutural constituído por corpos de
concreto conectados pelas barras das armaduras tende a se formar sob a ação de determinados
carregamentos. Além disso, os corpos de concreto tendem a se unir nas superfícies rugosas
existentes na interface das fissuras, podendo assim transmitir cisalhamento e compressão nos
pontos em contato.
Um modelo que faz frente ao MCFT é o “Softened Truss Model”, “Modelo de Treliça
Flexibilizado” ou simplesmente “STM”. O modelo foi introduzido por Hsu (1993) e trata-se
de um método de análise não-linear que envolve a resolução simultânea de um grande número
de equações, tal qual se observa no MCFT. Outro modelo que vem ganhando força nos
últimos anos é o “Cracked Membrane Model”, proposto por Kaufman & Marti (1998).
Tendo-se em vista a dificuldade do meio prático em obter respostas rápidas e seguras
quanto ao comportamento de elementos de membrana em concreto estrutural, o presente
trabalho tem por objetivo apresentar uma ferramenta computacional desenvolvida na
plataforma MATLAB. O programa MEDEA RC_STM (Membrane Design and Analysis for
Reinforced Concrete Based on the Softened Truss Model”) é capaz de otimizar o processo de
análise dos elementos de membrana em concreto estrutural e sua formulação está fortemente
baseada nos trabalhos desenvolvidos por Hsu (1993).
2
DESCRIÇÃO DO MODELO “SOFTENED TRUSS MODEL”
Conforme mencionado, uma formulação que faz frente ao “Modified Compression Field
Theory” (MCFT) é o “Softened Truss Model” (STM), proposto por Hsu (1993). O “Softened
Truss Model” é uma avanço em relação ao clássico “Mohr Compatibility Truss Model”, uma
vez que há introdução de relações constitutivas não-lineares dos materiais através de
observações experimentais realizadas na Universidade de Houston.
De acordo com Hsu (1993), a relação tensão versus deformação do concreto deve
apresentar duas características fundamentais. A primeira é a relação não-linear entre as
tensões e as deformações. A segunda característica, e talvez a mais importante, é o efeito de
amolecimento do concreto sob compressão, ocasionado pela fissuração na direção
perpendicular à aplicação do carregamento devido a tensões de tração. Dessa maneira, um
coeficiente de amolecimento (“softening coefficient”) deve ser incorporado à relação
constitutiva do concreto.
2.1 Equações de equilíbrio, equações de compatibilidade e equações constitutivas
O “Softened Truss Model” é constituído basicamente por equações de equilíbrio, equações
de compatibilidade e equações constitutivas para o concreto e para o aço. As equações de
equilíbrio são dadas pelas Eqs. (01) a (03):
σ l = σ d cos 2 α + σ r sen 2α + ρ l f l
(1)
σ t = σ d sen 2α + σ r cos 2 α + ρ t f t
(2)
τ lt = (−σ d + σ r ).senα . cos α
(3)
As equações de compatibilidade, por sua vez, são dadas pelas Eqs. (04) a (06):
ε l = ε d cos 2 α + ε r sen 2α
(4)
ε t = ε d sen 2α + ε r cos 2 α
(5)
γ lt = 2.(−ε d + ε r ).senα .cos α
(6)
Para o concreto em compressão, são utilizadas equações constitutivas afetadas pelo
coeficiente de amolecimento (ζ), bem como pela deformação de pico do concreto na
compressão (εo), conforme ilustra a Fig. 2 e as Eqs. (07) a (10):
  ε   ε 2 
σ d = ζ . f ck .2,  d  −  d   para
  ζε o   ζε o  
 εd 

 ≤ 1
 ζε o 
(7)
  ε / ζε − 1  2 
ε 
o
σ d = ζ . f ck .1 −  d
  para  d  > 1
  2 / ζ − 1  
 ζε o 
(8)
ζ =
0,9
1 + 400.ε r
ε o = 0,002
(9)
(10)
Figura 2 – Comportamento do concreto à compressão no “Softened Truss Model”
Para o concreto sujeito à tração, adota-se o comportamento ilustrado na Fig. 3 e assume-se
que a deformação equivalente à fissuração (εr) seja igual a 0,00008. O comportamento do
concreto à tração é dado pelas Eqs. (11) a (14):
σ r = Ec .ε s para ε r ≤ 0,00008
 0,00008 

σ r = f cr .
 εr 
(11)
0,4
para ε r > 0,00008
(12)
f cr = 0,31. f ck ( MPa)
(13)
Ec = 3875. f ck ( MPa)
(14)
Para as armaduras, admite-se um modelo bilinear simplificado ilustrado na Fig. 4 e
representado pelas Eqs. (15) a (18):
f l = Es .ε l para ε l ≤ ε ly
(15)
f l = f ly para ε l > ε ly
(16)
f t = E s .ε t para ε t ≤ ε ty
(17)
f t = f ty para ε t > ε ty
(18)
Figura 3 – Comportamento do concreto à tração no “Softened Truss Model”
fs
fy
−ε y
Es
ε
1
εy
− fy
Figura 4 – Comportamento bilinear do aço no modelo “Softened Truss Model”
Na realidade, Hsu (1993) recomenda para o aço um comportamento mais complexo onde é
definido uma espécie de escoamento aparente propiciado pela interação com o concreto. Na
realidade, o comportamento das armaduras quando circundadas por concreto tende a ser um
pouco mais rígida. No entanto, de maneira a facilitar a implementação do modelo, será
considerado no presente trabalho o comportamento simples e isolado das barras de aço, tendose em vista que os erros cometidos são pequenos.
Ainda de acordo com Hsu (1993), se uma estrutura está sujeita a cargas estáticas e a
deformação da estrutura não é relevante, então pode-se assumir com segurança o
comportamento bilinear simples das barras de aço e que σr = 0. Basicamente, do ponto de
vista de resistência, o erro cometido com a hipótese não-conservadora de comportamento
simples das barras de aço cancela o erro assumido com a hipótese conservadora de que o
concreto não possa absorver tensões de tração. Nesse caso, as deformações tenderão a ser
superestimadas, uma vez que o efeito de enrigecimento das barras devido ao concreto está
sendo negligenciado.
Por outro lado, o uso simultâneo do comportamento bilinear do aço, Eqs. (15) a (18), com
o comportamento do concreto à tração, Eqs. (11) a (14) introduz um erro conceitual. Esse
tratamento conduz a um falso enrijecimento do concreto, reduzindo corretamente as
deformações, mas levando a um acréscimo de resistência que não pode ser garantido. Dessa
maneira, caso não sejam implementadas as curvas de comportamento do aço enrijecidas pela
aderência ao concreto, recomenda-se que seja utilizado σr = 0. No presente trabalho serão
apresentadas soluções utilizando σr = 0 e σr ≠ 0, de maneira a visualizar claramente a
diferença entre as duas hipóteses.
2.2 Solução para o caso de aumento proporcional de carregamento
O estado de tensão descrito pelas tensões σl, σt e τlt , conforme ilustra a Fig. 5, também
pode ser expresso em termos de três variáveis principais de tensão, nomeadamente σ1, S e α2.
Figura 5 – Relação entre as tensões aplicadas e as tensões principais
As variáveis principais são definidas conforme a seguir:
σ1 = Maior tensão principal, sempre positiva e em tração;
S = σ2 / σ1 = Razão entre a menor tensão principal (compressão) e a maior tensão principal
(tração), sendo positiva quando σ2 está em tração e negativa quando σ2 está em compressão;
α2 = Ângulo entre a menor tensão principal (compressão) e o eixo longitudinal.
De acordo com Hsu (1993), quando um elemento está sujeito a um aumento de
carregamento proporcional entre as tensões σl, σt e τlt, a tensão principal σ1 sofre um aumento,
enquanto as variáveis S e α2 permanecem constantes. Dessa maneira, as tensões externas
aplicadas σl, σt e τlt podem ser definidas em função da tensão principal σ1, conforme a seguir:
σ l = ml .σ 1
(19)
σ t = mt .σ 1
(20)
τ lt = mlt .σ 1
(21)
Nas equações anteriores, os coeficientes ml, mt e mlt permanecem constantes enquanto a
tensão principal σ1 aumenta perante carregamentos proporcionais. Conforme se pode observar
pelas Eqs. (19) a (21), os coeficientes ml, mt e mlt são simplesmente as tensões externas
aplicadas normalizadas pela tensão principal σ1. As relações entre os coeficientes anteriores e
as variáveis S e α2 são dadas por:
ml = S . cos 2 α 2 + sen 2α 2
(22)
mt = S .sen 2α 2 + cos 2 α 2
(23)
mlt = (− S + 1).senα 2 . cos α 2
(24)
Conforme pode se observar pelas Eqs. (22) a (23), se as variáveis S e α2 são fornecidas os
coeficientes ml , mt e mlt podem ser imediatamente obtidos. Assim, aplicando as Eqs. (22) a
(24) nas Eqs. (01) a (03), novas equações de equilíbrio em função dos coeficientes ml, mt e mlt
e da tensão principal σ1 podem ser obtidas:
mlσ 1 = σ d cos 2 α + σ r sen 2α + ρ l f l
(25)
mtσ 1 = σ d sen 2α + σ r cos 2 α + ρ t f t
(26)
mltσ 1 = (−σ d + σ r ).senα . cos α
(27)
De acordo com Hsu (1993), o comportamento de um elemento de membrana perante
carregamento proporcional pode ser descrito apenas pela tensão principal σ1. Para se isolar σ1
basta eliminar o ângulo α das Eqs. (25) a (27). Utilizando a relação sen 2α + cos 2 α = 1 e
rearranjando os termos das equações anteriores, tem-se:
− mlσ 1 + σ r + ρ l f l = (−σ d + σ r ). cos 2 α
(28)
− mtσ 1 + σ r + ρ t f l = (−σ d + σ r ).sen 2α
(29)
mltσ 1 = (−σ d + σ r ).senα . cos α
(30)
Multiplicando-se a Eq. (28) pela Eq. (29) obtém-se:
(− mlσ 1 + σ r + ρ l f l ).(− mtσ 1 + σ r + ρ t f t ) = (−σ d + σ r ) 2 .sen 2α . cos 2 α
(31)
Por outro lado, elevando-se a Eq. (30) ao quadrado obtém-se:
(mltσ 1 ) 2 = (−σ d + σ r ) 2 .sen 2α . cos 2 α
(32)
O ângulo α pode ser finalmente eliminado igualando-se os membros do lado esquerdo das
Eqs. (31) e (32):
(− mlσ 1 + σ r + ρ l f l ).(− mtσ 1 + σ r + ρ t f t ) = (mltσ 1 ) 2
(33)
Fazendo-se as multiplicações necessárias na Eq. (33) e reagrupando os termos de maneira
adequada, pode ser obtida uma equação quadrática para σ1, conforme a seguir:
(ml .mt − mlt2 ).σ 12 − [ml .(σ r + ρ t f t ) + mt .(σ r + ρ l f l )].σ 1 +
(σ r + ρ l f l ).(σ r + ρ t f t ) = 0
(34)
Conforme pode-se observar, a Eq. (34) é um tanto quanto extensa. De maneira a simplificála, pode-se assumir as seguintes expressões auxiliares:
A = (ml .mt − mlt2 )
(35)
B = [ml .(σ r + ρ t f t ) + mt .(σ r + ρ l f l )]
(36)
C = (σ r + ρ l f l ).(σ r + ρ t f t )
(37)
Onde a obtenção de σ1 pode ser finalmente calculada por:
σ1 =
1
( B ± B 2 − 4. A.C )
2A
(38)
2.3 Relações complementares de compatibilidade
De maneira a facilitar o procedimento iterativo que será apresentado adiante, convém
definir a deformação εl em função da tensão fl, bem como a deformação εt em função da
tensão ft. A deformação longitudinal εl pode ser exprimida em função da tensão fl eliminandose o ângulo α das Eqs. (25) e (28). Da Eq. (25) pode-se obter:
cos 2 α =
− σ l + σ r + ρl fl
σr −σd
(39)
Inserindo ε r .sen 2α = ε r − ε r . cos 2 α na Eq. (28), tem-se:
cos 2 α =
εl − εr
εr − εd
(40)
Igualando-se a Eq. (39) e a Eq.(40), obtém-se:
εl = εr +
εr − εd
(σ l + σ r − ρ l f l )
σr −σd
(41)
Relembrando que para carregamentos proporcionais σl pode ser descrito em função de ml e
σ1, conforme a Eq. (19), pode-se obter a seguinte expressão:
εl = εr +
εr − εd
(mlσ 1 + σ r − ρ l f l )
σr −σd
(42)
Da mesma maneira, a deformação transversal εt pode ser exprimida em função da tensão ft
eliminando-se o ângulo α das Eqs. (23) e (26). Da Eq. (23) pode-se obter:
sen 2α =
− σ t + σ r + ρt ft
σr −σd
(43)
Inserindo-se ε r . cos 2 α = ε r − ε r .sen 2α na Eq. (26), tem-se:
sen 2α =
− εt + εr
εr − εd
(44)
Igualando-se a Eq. (43) e a Eq. (44), obtém-se:
εt = εr +
εr − εd
(σ t − σ r − ρ t f t )
σr −σd
(45)
Novamente, relembrando que para carregamentos proporcionais σt pode ser descrito em
função de mt e σ1, conforme a Eq. (20), pode-se obter a seguinte expressão:
εt = εr +
εr − εd
(mtσ 1 − σ r − ρ l f l )
σr −σd
(46)
Somando-se a Eq. (04) e a Eq. (05) pode-se ainda obter a deformação εr, conforme a seguir:
ε r = εl + εt − εd
(47)
Finalmente, o ângulo α pode ainda ser obtido a partir da Eq. (04) e da Eq. (05) e possuirá o
seguinte valor:
tan 2 α =
εl − εd
εt − εd
(48)
2.4 Procedimento iterativo
As equações apresentadas anteriormente e que governam o comportamento de elementos
de membrana apresentam 14 incógnitas, sendo 7 incógnitas relacionadas à tensão (σl, σt ,τlt ,
σd, σr, fl, ft), 5 incógnitas relacionadas à deformação (εl, εt, γlt , εd , εr) e duas incógnitas
restantes relacionadas ao ângulo α e ao coeficiente ζ.
Nos casos em que há aumento proporcional das tensões externas aplicadas (σl, σt e τlt)
costuma-se selecionar a variável εd. Uma vez que essa variável varia monotonicamente desde
zero até um valor máximo é possível traçar o comportamento completo da estrutura através do
fluxograma apresentado na Fig. 6.
Figura 6 – Procedimento iterativo para análise de elementos de membrana utilizando o “Softened Truss Model”
proposto por Hsu (1993)
3
DESCRIÇÃO DO PROGRAMA MEDEA RC_STM
De maneira a analisar elementos de membrana em concreto estrutural através do modelo
“Softened Truss Model”, proposto por Hsu (1993), foi implementado no programa MATLAB
o fluxograma apresentado na Fig. 6. Ao programa criado, deu-se o nome de MEDEA
RC_STM (“Membrane Design and Analysis of Reinforced Concrete Elements Using the
Softened Truss Model”).
A Fig. 7 (a) ilustra a tela de entrada do programa MEDEA RC_STM, enquanto a Fig. 7 (b)
ilustra o banco de dados criado para o programa. Dentre as principais potencialidades do
programa estão as funções de salvar e abrir arquivos de entrada e saída de dados,
possibilitando assim que seja constituída uma biblioteca de elementos de membrana
disponibilizados na literatura.
Além do registro dos dados de entrada e saída, o programa possui funções gráficas,
permitindo que sejam gerados os diagramas de comportamento das armaduras para o aumento
das tensões e das deformações. Através dos referidos gráficos pode-se avaliar se a quantidade
de armadura fornecida é adequada para o estado de solicitação imposto para o elemento de
membrana em concreto estrutural.
De maneira geral, o programa descreve de maneira completa o comportamento de um
elemento de membrana em concreto estrutural, calculando as tensões no materiais (aço e
concreto) para diversos passos de carga e ilustrando de maneira gráfica os resultados mais
importantes.
(a)
(b)
Figura 7 – (a) Interface para entrada de dados do programa MEDEA RC_STM e (b) biblioteca de dados
experimentais de elementos de membrana
4
RESULTADOS E DISCUSSÕES
A Fig. 8 ilustra a performance do programa para o Painel PV20 ensaido por Collins et al.
(1985). Como pode-se observar, o programa é capaz de identificar de maneira automática a
máxima tensão de cisalhamento possível de ser suportada pelo elemento em análise, bem
como, as tensões capazes de provocar o escoamento das armaduras.
De maneira geral, a implementação numérica do “Softned Truss Model (STM)” produz
resultados semelhantes àqueles obtidos com a implementação do “Modified Compression
Field Theory (MCFT)”. No entanto, deve-se observar que o processo de implementação do
modelo baseado no STM é muito mais simples do que no caso do MCFT.
Figura 8 – Performance do programa MEDEA RC_STM para o painel PV20 ensaiado por Collins et al (1985)
Do ponto de vista de engenharia, os erros cometidos entre uma análise e outra são bastante
satisfatórios, conforme ilustra a Fig. 9, que apresenta as respostas de comportamento para o
painel PV20 ensaiado por Collins et al. (1985). Em cor azul encontra-se a resposta utilizando
o “Modified Compression Field”, em cor verde o comportamento capturado pelo “Softened
Truss Model” sem considerar a colaboração à tração do concreto e em cor vermelha o
“Softened Truss Model” assumindo que a resistência à tração do concreto colabora na
resistência final da peça.
Figura 9 – Comparação de desempenho entre os modelos “STM” e “MCFT”
Deve-se observar que para a reprodução da Fig. 9, foi criado um programa adicional,
denominado MEDEA RC_STM, cuja formulação é baseada na “Modified Compression Field
Theory” proposta por Vecchio & Collins (1986). Conforme pode-se observar, o modelo com a
implementação do “Modified Compression Field” captura melhor a transição da transferência
das tensões de tração do concreto para o aço. O “Softened Truss Model” consegue capturar os
mesmos níveis finais de resistência, sem no entanto necessitar de uma implementação
numérica muito aprofundada.
A Fig. 10 apresenta os resultados obtidos numericamente em relação aos resultados
experimentais do Painel PV20 ensaiado por Collins et al. (1985). Conforme pode-se observar,
os programas desenvolvidos reproduzem desempenhos que conseguem chegar muito
próximos dos valores experimentais, a despeito da grande complexidade de se reproduzir o
comportamento de elementos de membrana em concreto estrutural.
4,5
4
Tensão de Cisalhamento (MPa)
3,5
3
2,5
2
1,5
1
Experimental
MEDEA RC_STM
MEDEA RC_MCFT
0,5
0
0
2
4
6
8
10
12
Deformação de Cisalhamento (mm/m)
Figura 10 – Comparação entre os resultados numéricos utilizando os programas MEDEA RC e os resultados
experimentais de Collins et al (1985)
Deve-se observar que o programa MEDEA RC_STM é uma alternativa às soluções
fornecidas pelos programas MEMBRANE e WWW. O programa MEMBRANE foi
desenvolvido por Bentz (2000) e sem dúvida alguma é um programa bem mais complexo que
o programa MEDEA RC_STM. Por outro lado, o programa MEDEA RC_STM apresenta
performance e complexidade semelhantes ao programa WWW, desenvolvido por
Hoogenboom & Voskamp (2004) e voltado para a utilização on-line via Internet.
De maneira a comprovar a performance do programa MEDEA RC_STM, a Tabela 1
apresenta um resumo comparativo entre os resultados experimentais de um grande banco de
dados disponível na literatura e os resultados numéricos obtidos utilizando o programa
MEDEA RC_STM. Conforme pode-se observar, foram utilizados os resultados experimentais
obtidos por Collins et al (1985), Bhide & Collins (1989), Vecchio et al (1994) e Pang & Hsu
(1995), com resistência à compressão do concreto variando entre 11,60 a 72,20 MPa. Foram
investigados 58 resultados para fissuração e 70 resultados para ruptura de placas em concreto
armado submetidas a combinações de força normal e força cortante.
Tabela 1 – Resumo dos resultados numéricos comparados aos resultados experimentais de Collins et al (1985),
Bhide & Collins (1989), Vecchio et al (1994) e Pang & Hsu (1995)
Ensaio
fck(MPa)
Collins et al
(1985)
Bhide &
Collins (1989)
Vecchio et al
(1994)
Pang & Hsu
(1995)
Todos os
ensaios
anteriores
11,60 a
34,50
16,40 a
43,40
43,00 a
72,20
41,20 a
45,20
11,60 a
72,20
Fissuração Experimental /
Fissuração Numérica
Desvio
Coeficiente
Média
Padrão
de Variação
(MPa)
Ruptura Experimental / Ruptura
Numérica
Desvio
Coeficiente
Média
Padrão
de Variação
(MPa)
1,41
0,287
0,203
1,10
0,240
0,218
1,29
0,458
0,356
2,07
0,357
0,173
0,83
0,308
0,371
1,18
0,311
0,264
-
-
-
0,93
0,073
0,079
1,58
0,827
0,522
1,38
0,240
0,174
Conforme pode-se observar, no que se refere a fissuração o quociente entre os resultados
experimentais e aqueles verificados numericamente foi de 1,58, com um desvio padrão de
0,827 e um coeficiente de variação de 52,20%. Já para a ruptura, obteve-se um quociente entre
a carga de ruína experimental e a carga de ruptura numérica igual a 1,38, com um desvio
padrão de 0,24 e coeficiente de variação de 17,40%. As Tabelas 2 a 5, procuram apresentar de
maneira detalhada os resultados obtidos.
Tabela 2 – Resultados numéricos comparados aos resultados experimentais de Vecchio et al (1994)
Painel
(A)
PHS1
PHS2
PHS3
PHS4
PHS5
PHS6
PHS7
PHS8
PHS9
PHS10
PA1
PA2
τfissuração,experimental
(MPa)
(B)
2,54
1,94
2,28
2,39
1,62
2,25
2,25
2,15
2,22
2,13
2,19
1,88
τfissuração,numérica
(MPa)
(C)
1,42
3,16
3,04
3,41
2,45
2,66
2,96
3,02
2,94
2,75
2,67
2,35
(B)/(C)
1,79
0,61
0,75
0,70
0,66
0,85
0,76
0,71
0,76
0,77
0,82
0,80
τruina,experimental
(MPa)
(D)
2,95
6,66
8,19
6,91
4,81
9,89
10,26
10,84
9,37
8,58
6,34
6,22
τruina,numérica
(MPa)
(E)
1,39
5,89
8,12
6,63
3,97
7,68
10,19
9,79
8,12
7,88
6,29
6,31
(D)/(E)
2,12
1,13
1,01
1,04
1,21
1,29
1,01
1,11
1,15
1,09
1,01
0,99
Tabela 3 – Resultados numéricos comparados aos resultados experimentais de Pang & Hsu (1995)
Painel
(A)
A1
A2
A3
A4
B1
B2
B3
B4
B5
B6
τfissuração,experimental
(MPa)
(B)
-
τfissuração,numérica
(MPa)
(C)
2,25
2,29
2,37
2,50
2,41
2,45
2,39
2,36
2,41
2,47
(B)/(C)
-
τruina,experimental
(MPa)
(D)
2,27
5,37
7,65
11,31
3,96
6,13
4,35
5,06
7,15
9,14
τruina,numérica
(MPa)
(E)
2,76
5,72
8,26
10,40
3,98
6,87
4,81
5,78
8,16
9,72
(D)/(E)
0,82
0,94
0,93
1,09
0,99
0,89
0,90
0,88
0,88
0,94
Tabela 4 – Resultados numéricos comparados aos resultados experimentais de Collins et al (1985)
Painel
(A)
PV1
PV2
PV3
PV4
PV5
PV6
PV7
PV8
PV9
PV10
PV11
PV12
PV13
PV14
PV16
PV18
PV19
PV20
PV21
PV22
PV23
PV24
PV25
PV26
PV27
PV28
PV29
PV30
τfissuração,experimental
(MPa)
(B)
2,21
1,10
1,66
1,79
1,73
2,00
1,93
1,73
1,38
1,86
1,66
1,73
1,73
1,93
2,07
2,00
2,07
2,21
2,35
2,42
3,73
4,97
4,14
2,00
2,04
1,66
2,21
1,55
τfissuração,numérica
(MPa)
(C)
2,02
0,82
1,48
1,57
1,61
1,79
1,85
1,85
0,91
1,01
1,08
1,02
Erro
1,34
1,29
1,15
1,20
1,95
1,27
1,29
Erro
Erro
Erro
1,34
1,34
1,21
1,61
1,23
(B)/(C)
1,09
1,34
1,12
1,14
1,07
1,12
1,04
0,94
1,52
1,84
1,54
1,70
Erro
1,44
1,60
1,74
1,73
1,13
1,85
1,88
Erro
Erro
Erro
1,49
1,52
1,37
1,37
1,26
τruina,experimental
(MPa)
(D)
>8,02
1,16
3,07
2,89
> 4,24
4,55
> 6,81
> 6,67
> 3,74
3,97
3,56
3,13
2,01
> 5,24
4,12
> 3,04
3,95
4,26
5,03
6,07
8,87
> 7,94
9,12
5,41
6,35
5,80
5,87
> 5,13
τruina,numérica
(MPa)
(E)
7,81
0,82
3,33
2,69
4,80
4,97
7,25
7,61
3,31
3,56
3,83
3,32
Erro
5,24
2,00
2,86
3,56
3,99
4,70
4,99
Erro
Erro
Erro
5,07
5,26
4,68
5,41
4,66
(D)/(E)
1,03
1,41
0,92
1,07
0,88
0,92
0,94
0,88
1,13
1,12
0,93
0,94
Erro
1,00
2,06
1,06
1,11
1,07
1,07
1,22
Erro
Erro
Erro
1,07
1,21
1,24
1,09
1,10
Tabela 5 – Resultados numéricos comparados aos resultados experimentais de Bhide & Collins (1989)
Painel
(A)
PB11
PB12
PB4
PB6
PB7
PB8
PB10
PB15
PB16
PB14
PB17
PB18
PB19
PB20
PB28
PB21
PB22
PB29
PB30
PB31
τfissuração,experimental
(MPa)
(B)
1,19
1,32
0,81
0,85
0,74
0,52
0,31
1,80
0,98
0,78
0,54
1,62
1,23
0,94
0,84
0,73
0,44
0,75
0,74
0,44
τfissuração,numérica
(MPa)
(C)
0,67
0,65
0,53
0,55
0,54
0,51
0,47
0,90
0,82
0,78
0,72
0,82
0,69
0,67
0,68
0,63
0,52
0,84
0,79
0,74
(B)/(C)
1,78
2,03
1,53
1,55
1,37
1,02
0,66
2,00
1,20
1,00
0,75
1,98
1,78
1,40
1,24
1,16
0,85
0,89
0,94
0,59
τruina,experimental
(MPa)
(D)
1,27
1,53
1,16
1,15
0,86
0,79
0,56
1,96
1,45
1,54
1,22
1,70
1,28
1,42
1,53
1,42
1,03
1,49
1,48
1,15
τruina,numérica
(MPa)
(E)
0,60
0,57
0,49
0,50
0,51
0,49
0,41
0,80
0,77
0,75
0,70
0,69
0,61
0,61
0,62
0,60
0,51
0,79
0,76
0,73
(D)/(E)
2,12
2,68
2,37
2,30
1,69
1,61
1,37
2,45
1,88
2,05
1,74
2,46
2,10
2,33
2,47
2,37
2,02
1,89
1,95
1,58
Conforme pode-se observar pela Tabela 1, a fissuração foi melhor capturada para o ensaio
de Collins et al. (1985), que possui resistência à compressão do concreto variando entre 11,60
a 34,50 MPa. Para este caso, o quociente entre a carga de fissuração experimental e a carga de
fissuração teórica foi em média igual a 1,41, com um coeficiente de variação de 20,3%, o
menor entre todos os coeficientes. Esse fato revela que a previsão de fissuração deve ser
melhor formulada no STM, tendo-se em vista que a relação entre a carga de fissuração
experimental foi em média 41% superior àquela reproduzida numericamente.
Por outro lado, a carga de ruptura foi melhor capturada para os ensaios de Pang & Hsu
(1995), com coeficiente de variação de 7,9%. Observa-se nesse caso um quociente médio
entre a carga de ruptura experimental e a carga de ruptura numérica igual a 0,93. Observa-se
que o coeficiente de variação obtido na ruptura para os ensaios de Vecchio et al. (1994) são os
maiores entre todos os outros testados. No entanto, esse valor chega a um valor máximo de
26,4% e ainda pode ser considerado adequado.
Fazendo-se uma análise cuidadosa dos resultados, percebe-se que o modelo “Softened
Truss Model” não teve um desempenho adequado para os paineis ensaiados por Bhide &
Collins (1989). Do ponto de vista experimental, os paineis ensaiados pelos referidos
pesquisadores é diferente dos paineis utilizados nos outros ensaios. Nos painéis de Bhide &
Collins (1989) não há armadura nas duas direções, isto é, a armadura vertical não foi
considerada. Eliminado-se esses resultados e reconhecendo que o modelo tem limitações para
estes casos, pode-se obter uma nova leitura para os resultados numéricos, conforme Tabela 6.
Tabela 6 – Resumo dos resultados numéricos comparados aos resultados experimentais de Collins et al (1984),
Vecchio et al (1994) e Pang & Hsu (1995)
Fissuração Experimental /
Fissuração Numérica
Desvio
Coeficiente
Média
Padrão
de Variação
(MPa)
Ruptura Experimental /
Ruptura Numérica
Desvio
Coeficiente
Média Padrão
de Variação
(MPa)
Ensaio
fck(MPa)
Collins et al
(1984)
Vecchio et
Al (1994)
Pang & Hsu
(1995)
Todos os
ensaios
anteriores
11,60 a
34,50
43,00 a
72,20
41,20 a
45,20
1,41
0,287
0,203
1,10
0,240
0,218
0,83
0,308
0,371
1,18
0,311
0,264
-
-
-
0,93
0,073
0,079
11,60 a
72,20
1,22
0,401
0,329
1,08
0,250
0,230
Conforme pode-se observar, eliminado-se os resultados de Bhide & Collins (1989), o erro
para a carga de fissuração diminui de 58% para 22%. Para o caso da carga de ruína o erro cai
de 38% para 8%, demonstrando que o modelo tem bom desempenho para painéis armados nas
duas direções. Na realidade, por questões normativas, os paineis sempre serão armados nas
duas direções ortogonais, pelo menos com uma armadura mínima. Dessa maneira, pode-se
supor que os ensaios de Hsu & Zhang (1997) não representam uma situação usual na prática.
Na realidade, deve-se observar que as previsões baseadas no “Modified Compression Field”
conseguiram capturar inclusive a possibilidade de ausência de armadura em uma das direções.
No caso do “Softned Truss Model” essa limitação é visível através dos resultados
apresentados.
Tabela 7 – Resumo dos resultados numéricos comparados aos resultados experimentais para diferentes faixas de
variação da resistência à compressão do concreto
Fissuração Experimental /
Fissuração Numérica
fck
(MPa)
11,60 a
20,00
20,00 a
40,00
40,00 a
50,00
50,00 a
72,20
Ruptura Experimental /
Ruptura Numérica
Número
de
Painéis
Média
Desvio
Padrão
Coeficiente
de Variação
Média
Desvio
Padrão
Coeficiente
de Variação
11
1,60
0,252
0,158
1,09
0,095
0,087
13
1,25
0,216
0,173
1,11
0,321
0,288
13
0,82
0,023
0,028
0,96
0,119
0,124
9
0,84
0,361
0,433
1,21
0,349
0,289
De maneira a se investigar o efeito da resistência à compressão do concreto nos resultados
numéricos, procurou-se estudar os coeficientes de variação em função das faixas de
resistência para paineis armados nas duas direções. A Tabela 7 mostra que a fissuração dos
painéis é melhor capturada pelo programa MEDEA RC_STM na faixa de resistência à
compressão do concreto variando entre 40,00 e 50,00 MPa. Para essa faixa de resistência
obtém-se um coeficiente médio entre a carga de fissuração experimental e a téorica igual a
0,82, com um coeficiente de variação de apenas 2,3%. Por outro, observa-se que as respostas
numéricas não serão satisfatórias, do ponto de vista de fissuração, para resistências superiores
a 50 MPa, uma vez que o coeficiente de variação é igual a 43,3%.
No que se refere a previsão numérica da ruína dos painéis ensaiados experimentalmente, a
Tabela 7 revela que as melhores previsões serão para concretos com resistências entre 11,60 e
20 MPa, cujos coeficiente de variação será igual a 8,7% para um quociente entre a carga
experimental e a carga numérica de 1,10. Observa-se que as piores previsões de ruína
concentram-se na faixa entre 50 e 72 MPa, onde o coeficiente de variação chega a 28,9% para
um quociente entre a carga experimental e a carga numérica de 1,21.
5
CONCLUSÕES
A análise de elementos de membrana em concreto estrutural não é uma tarefa trivial como
parece ser a princípio. Apesar do problema de dimensionamento já estar bem equacionado o
mesmo não pode se dizer o mesmo do processo de análise. A obtenção das respostas de
carregamento e deformação de um elemento de membrana cujas armaduras são conhecidas é
um processo moroso e complicado.
Essa dificuldade é provocada pelo comportamento complexo do concreto, tanto à tração
quanto à compressão. Tal comportamento é caracterizado por equações constitutivas nãolineares, resultado do processo de fissuração do material. Além disso, a iteração do concreto
com as armaduras e a possibilidade de transmissão de tensões de tração nas faces das fissuras
acabam por tornar o problema ainda mais complicado.
O desenvolvimento da teoria conhecida por “Modified Compression Field”, proposta por
Vecchio & Collins (1986), ajudou a superar grande parte das dificuldades existentes no
processo de simulação de elementos de membrana. Tal avanço se deu devido ao
reconhecimento de que o concreto quando submetido à tração ainda é capaz de transmitir
tensões residuais nas faces das fissuras. Observou-se ainda que o concreto submetido à
compressão não possui o comportamento usualmente detectado num ensaio de compressão
simples e que o mesmo deve possuir uma equação constitutiva que leve em conta o efeito de
amolecimento devido às tensões transversais de tração.
Com o desenvolvimento da “Modified Compression Field” surgiram teorias alternativas,
como a “Softened Truss Model” proposta por Hsu (1993). A referida teoria também utiliza
equações constitutivas não-lineares para o concreto e reconhece que o concreto quando
submetido à compressão também deve apresentar um certo grau de amolecimento. Apesar das
semelhanças, do ponto de vista computacional observa-se que o “Softened Truss Model”
apresenta maiores facilidades de implementação numérica, principalemente devido ao fato de
não tratar com maior rigor o comportamento na interface das fissuras.
No presente trabalho, procurou-se apresentar a formulação teórica do “Softened Truss
Model”, bem como a implementação do método através do programa MEDEA RC_STM. O
referido programa foi implementado na plataforma MATLAB e possui uma boa performance,
podendo ser utilizado como uma ferramenta versátil para a previsão do comportamento de
elementos de membrana.
As simulações efetuadas com o programa MEDEA RC_STM são bastante favoráveis e
conforme pode-se observar estão a favor da segurança, isto é, de maneira geral o programa
fornece cargas de fissuração e colapso que são ligeiramente inferiores àquelas cargas
verificadas experimentalmente. A performance do programa foi verificada através de uma
série de resultados experimentais disponíveis na literatura e verificou-se que o modelo é
recomendado apenas para painéis armados nas duas direções ortogonais e confeccionados com
concretos com resistência à compressão inferior a 50 MPa.
Deve-se observar que o “Softened Truss Model” original vem sendo melhorado ao longo
dos anos, conforme atestam os trabalhos de Pang & Hsu (1995), Hsu & Zhang (1997), Hsu
(1998) e Zhang & Hsu (1998). No entanto, as evoluções no modelo tornaram o mesmo
complicado do ponto de vista computacional, desmotivando a implementação numérica.
Finalmente, do ponto de vista de engenharia, pode-se assumir que os erros cometidos com
o modelo original ora aqui implementado são extremamente satisfatórios, uma vez que as
limitações a que está submetido o modelo original dificilmente surgirão na prática, ou seja,
utilização de concretos com resistência superior a 50 MPa ou ausência de armadura em uma
das direções ortogonais, uma vez que armaduras mínimas sempre são impostas pelos códigos
normativos.
Agradecimentos
Os autores gostariam de expressar seus profundos agradecimentos ao Cnpq (Conselho
Nacional de Pesquisa) e à Fundação Araucária, pelo incentivo e pelo investimento financeiro
necessários ao desenvolvimento da presente pesquisa.
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"Avaliação do Comportamento Estrutural de Elementos de Membrana
via Análise de Confiabilidade"
“Assessment of Structural Behavior of Concrete Membrane Elements using Reliability
Analysis”
Rafael Alves de Souza (1); João da Costa Pantoja (2); Luiz Eloy Vaz (3)
(1) Professor Adjunto, Universidade Estadual de Maringá, Maringá - PR, Brasil.
(2) Professor Assistente, Universidade Federal Fluminense, Rio de Janeiro - RJ, Brasil.
(3) Professor Adjunto, Universidade Federal Fluminense, Rio de Janeiro - RJ, Brasil.
Endereço para Correspondência:
Avenida Colombo 5790 CEP 87020-900
Maringá, Paraná, Brasil
Tel/Fax: 55-44-3261-4322, e-mail: [email protected]
Resumo
Nos últimos anos, tem-se observado uma sinalização governamental positiva para a construção de novas
usinas nucleares no Brasil, a despeito dos recentes acidentes nucleares ocorridos em países como Japão e
Ucrânia. As usinas nucleares são estruturas complexas, normalmente construídas em concreto estrutural, e
que necessitam de uma avaliação de segurança muito mais rigorosa. A modelagem estrutural de usinas
nucleares em concreto estrutural é normalmente conduzida através do emprego de elementos de
membrana. A NBR6118 (2003), por sua vez, não contempla procedimentos específicos para o
dimensionamento de elementos de membrana e nem fornece parâmetros para a avaliação do nível de
segurança efetivo de usinas nucleares. Dentro desse contexto, o presente trabalho tem por objetivo avaliar
a confiabilidade dos modelos disponíveis atualmente para o dimensionamento elementos de membrana.
Para tanto, aplica-se do Método de Simulação Numérica de Monte Carlo, de maneira a avaliar as incertezas
envolvidas no processo.
Palavra-Chave: Concreto Estrutural, elementos de membrana, confiabilidade e usinas nucleares
Abstract
In the last years, there has been a positive sign of the government for building new nuclear power plants in
Brazil, despite the recent nuclear accidents occurred in countries like Japan and Ukraine. Nuclear power
plants are complex structures, usually built in structural concrete, which require a rigorous assessment of
safety. The structural modeling of nuclear power plants in structural concrete is usually made by using
membrane elements. NBR6118 (2003) does not contain specific procedures for the design of membrane
elements or parameters for assessing the actual level of safety of nuclear power plants. Within this context,
the present paper aims at evaluating the reliability of some available models for the design of membrane
elements. For that, "Monte Carlo Simulation Method" is applied in order to better evaluate the uncertainties
involved in the design.
Keywords: Structural concrete, membrane elements, reliability and nuclear power plants
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1. Introdução
Elementos de membrana são elementos que estão submetidos apenas a forças normais e
forças cortantes no seu próprio plano, conforme ilustra a Figura 1. Tais elementos têm
sido utilizados com frequência para a modelagem de estruturas complexas tais como
hangares, usinas nucleares e estruturas off-shore, entre outros. Tal alternativa é sem
dúvida resultado do grande aumento da capacidade de processamento dos microcomputadores e do avanço significativo das técnicas relacionadas aos métodos
numéricos (Método dos Elementos Finitos, Método dos Elementos de Contorno, etc).
Figura 1 – Estruturas complexas modeladas utilizando elementos de membrana
Observa-se que o dimensionamento de elementos de membrana ainda tem sido objeto de
inúmeros questionamentos, tendo-se em vista a presença de inúmeros modelos, muitas
vezes desenvolvidos sobre a Teoria da Plasticidade, baseando-se apenas em condições
de equilíbrio. Além disso, deve-se observar que as alternativas de solução conhecidas
não são suficientemente difundidas no meio prático, possivelmente devido à falta de um
modelo consensual que também leve em conta condições de compatibilidade de
deformações.
Apesar da problemática anterior e, a despeito dos recentes acidentes nucleares ocorridos
em países como Japão e Ucrânia, tem-se observado uma sinalização governamental
positiva para a construção de novas usinas nucleares no Brasil, nomeadamente a Usina
Nuclear de Angra 3. Deve-se observar que o projeto já havia sido desenvolvido de
maneira conjunta com os projetos de Angra 2 ainda na década de 70, no entanto, o início
das obras de Angra 3 permaneceu paralisado ao longo de todos esses anos.
De acordo com a ELETROBRAS (2011), as usinas nucleares de Angra 1, 2 e 3 operam
com um reator do tipo PWR ("Pressurized Water Reactor"), modelo este utilizado em mais
de 60% das usinas nucleares espalhadas ao redor do mundo. Nesse tipo de usina, os
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reatores nucleares são protegidos internamente por estruturas de contenção executadas
em aço e externamente por edifícios com paredes espessas de concreto estrutural.
Em Angra 1, a estrutura externa de concreto do envoltório de contenção está assentada
diretamente em rocha, a uma profundidade aproximada de 10 m abaixo do nível do mar.
Sua forma é cilíndrica, com tampo em calota esférica e com as seguintes características:
altura de 58 m acima do nível do solo, diâmetro interno de 35 m e espessura de parede
de 75 cm. Em Angra 2, a estrutura de concreto do envoltório de contenção é de forma
cilíndrica com uma cúpula hemisférica, com as seguintes dimensões aproximadas:
diâmetro interno de 60 m, espessura de 60 cm e altura de 60 m.
De acordo com ZÜGEL et alli (1988), o projeto civil de Angra 2 e 3 representou um marco
importante para o desenvolvimento tecnológico do Brasil. Na época de elaboração dos
projetos (década de 70), observou-se pela primeira vez a utilização da técnica CAD
("Computer Aided Design") no desenvolvimento de projetos estruturais. Além disso, a
introdução de análises globais utilizando o Método dos Elementos Finitos e análises
dinâmicas, conforme ilustra a Figura 2, possibilitou a diminuição significativa de
armaduras nas edificações em concreto armado.
Figura 2 - Modelo em elementos finitos utilizado nos edifícios de Angra 2 e 3
(Fonte: (ZÜGEL et alli (1988))
Ainda de acordo com ZÜGEL et alli (1988), os projetos estruturais das estruturas de
concreto armado foram desenvolvidos por engenheiros da Promon Engenharia S. A. e da
Engevix S. A., com consultoria prestada pela empresa alemã Dvckerhoff & Widmann. Na
ocasião, o projeto estrutural em concreto armado das usinas de Angra se constituiu no
maior projeto de engenharia estrutural já realizado no país, tanto em termos de
dificuldade/complexidade quanto de volume de trabalho técnico realizado, medido através
do consumo de horas-homem.
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Deve-se observar que Angra 1 teve sua construção iniciada em 1972 e entrou em
funcionamento em 1982. Por outro lado, Angra 2 começou a ser construída em 1976, teve
sua construção interrompida e começou a funcionar efetivamente em 2000. Angra 3, cujo
projeto é quase idêntico ao projeto de Angra 2, vem enfrentando problemas no que se
refere aos padrões exigidos atualmente pela Agência Internacional de Energia Atômica
(AIEA).
Tendo-se em vista que os projetos originais de Angra 3 datam da década de 70, há
muitos questionamentos, principalmente no meio político, sobre a segurança efetiva da
referida usina nuclear. A princípio, questiona-se que o projeto deveria ter acompanhado a
evolução da engenharia nos últimos 40 anos, inclusive levando em conta uma análise de
segurança probabilística, de maneira a satisfazer o recomendado pela AIEA.
Deve-se observar que a NBR6118 (2003), o código nacional para dimensionamento do
concreto estrutural, não contempla procedimentos específicos para o dimensionamento
de elementos de casca ou membrana e tampouco fornece parâmetros para a avaliação
do nível de segurança probabilístico de estruturas de contenção de reatores nucleares.
Dessa maneira, mesmo com todos os avanços atingidos nos últimos quarenta anos, é
bem provavel que uma possível necessidade de verificação ou redimensionamento de
Angra 3 envolverá novamente grandes desafios.
De maneira a complementar as recomendações contidas em alguns códigos
internacionais, tais como o ACI 349-06 e o ACI 349.3R-02, o presente trabalho tem por
objetivo apresentar procedimentos para verificação de elementos de membrana
considerando uma análise de segurança mais avançada. Para tanto, procura-se
apresentar a análise de elementos de membrana envolvendo conceitos de confiabilidade
estrutural e de análise probabilística, por meio da utilização do método de simulação de
Monte Carlo.
2. Conceitos Básicos de Confiabilidade Estrutural
A presença de incertezas em engenharia é claramente inevitável e a avaliação de dados
num determinado problema é frequentemente incompleta, insuficiente ou normalmente
contêm variabilidade. Além do mais, projetos de engenharia devem lidar com predições
ou estimativas decorrentes de modelos idealizados que envolvem um determinado grau
de desconhecimento relativo às imperfeições do mundo real.
O projeto de estruturas requer a verificação de um certo número de regras resultantes do
conhecimento físico e mecânico, combinado com a experiência dos projetistas e
construtores. Essas regras vêm da necessidade de limitar os efeitos dos carregamentos
na estrutura na forma de tensões e deslocamentos, entre outros. Cada regra representa
um evento elementar e a ocorrência de uma série de eventos leva a um cenário de falha.
As variáveis determinísticas a serem utilizadas no sistema de controle e otimização de
uma determinada estrutura podem ser consideradas como variáveis estocásticas, que por
sua vez afetam o cenário final de falha. O conhecimento dessas variáveis randômicas são
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informações estatísticas cujas realizações são denominadas x. Para uma determinada
regra de projeto, as variáveis randômicas básicas podem ser definidas através de suas
distribuições de probabilidade acrescidas de alguns parâmetros estatísticos.
Dessa maneira, pode-se conceituar a segurança estrutural em análise de confiabilidade
como o estado onde a estrutura é capaz de cumprir plenamente todos os quesitos
operacionais mecânicos e de serviço para o qual foi projetada durante toda sua vida útil.
Para calcular a probabilidade de falha com respeito a um dado cenário de falha, uma
função de estado G(x) deve ser definida com base na condição de correto funcionamento
da estrutura. O limite entre o estado de falha G(x) < 0 e o estado seguro G(x) > 0 é
conhecido como superfície de estado limite G(x) = 0.
Determinada a função de estado G(x), conhecida também como função de estado limite
ou função de desempenho, é possível determinar a probabilidade de falha através da
integração da função densidade de probabilidade conjunta sobre o domínio de falha,
conforme ilustra a Equação (1):
Pf = ∫
G ( x )< 0
f x ( x )dx
Equação (1)
Em geral a integral da Equação (1) não pode ser computada analiticamente. Técnicas
alternativas para sua resolução usualmente envolvem métodos numéricos aproximados,
tais como: métodos de integração numérica, métodos de simulação e métodos de
momentos FORM (First Order Reliability Method) ou SORM (Second Order Reliability
Method). No caso do presente trabalho o método de simulação de Monte Carlo será
utilizado.
3. Método de Simulação de Monte Carlo
Uma maneira de se determinar o efeito da variabilidade das cargas atuantes e das
propriedades dos materiais no comportamento estrutural é a utilização do método de
simulação de Monte Carlo. Com um conjunto conhecido de valores das variáveis de
projeto, o processo de simulação fornece uma medida específica de desempenho ou
resposta para sistema estrutural em análise. Através de repetidas simulações, a
sensibilidade da resposta do sistema a variações dos parâmetros de entrada podem ser
estimada.
Durante o processo de simulação, um conjunto particular de valores das variáveis
aleatórias é gerado de acordo com as correspondentes distribuições de probabilidades e
de alguns parâmetros estatísticos. Após um grande número simulações, um conjunto de
soluções é obtido, sendo cada um correspondente a um diferente conjunto de valores das
variáveis aleatórias.
Uma amostra da simulação de Monte Carlo é similar a uma amostra de observações
experimentais. Portanto, os resultados devem ser tratados estatisticamente. Logo,
métodos estatísticos são empregados para determinar os momentos e os tipos de
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5
distribuição de probabilidade
comportamento do sistema.
das
variáveis
da
resposta,
que
representam
o
A técnica utilizada pelo método de simulação de Monte Carlo consiste em gerar
randomicamente uma série de valores relativos às correspondentes distribuições de
probabilidade e valores estatísticos (média e desvio padrão), para então estimar a
probabilidade de falha do sistema. Numa simulação de Monte Carlo a probabilidade de
falha é estimada pela Equação (2):
Pf =
∫f
x
ΩF
( x )dx = ∫ I ( x ) f x ( x )dx = E [I ( x )]
Rn
Equação (2)
onde E[I(x)] é a expectância matemática da variável randômica I(x). O estimador I(x) pode
ser então definido pela Equação (3):
1 → x ∈ Ω F
I ( x) = 
0 → x ∉ Ω F
Equação (3)
Uma vez que o número de simulações (N) for suficientemente grande, a média empírica
dos valores de I(x) pode ser entendida como um estimador da probabilidade de falha,
conforme ilustra a Equação (4):
N
∑ {I (G (U ) ≤ 0)}
Pf =
j =1
Equação (4)
N
Segundo Beck (2010) o número necessário de simulações a serem para feitas depende
do valor da probabilidade de falha procurada e do nível de confiança adotado para o
problema em estudo k . Assim quanto menor a probabilidade de falha, maior o número de
simulações necessárias para uma mesma variância. Uma regra geral pode ser definida
conforme ilustra a Equação (5):
N=
− ln(1 − k )
Pf
Equação (5)
4. Margem de Segurança Associada ao Índice de Confiabilidade
O problema fundamental de confiabilidade apresentado pela Equação (1) também pode
ser resolvido através da variável margem de segurança (M) na forma:
M = R−S
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Equação (6)
6
Na Equação (6), valores negativos representam a falha da estrutura, enquanto que
valores positivos indicam segurança e o valor nulo à condição de estado limite. Se R e S
são variáveis aleatórias normais, o problema pode ser resolvido analiticamente. Caso haja
independência entre as variáveis, pode-se dizer que:
µM = µR − µS
Equação (7)
σM = σR +σS
Equação (8)
Passando M para espaço normal padrão, tem-se que:
Y=
M − µM
σM
Equação (9)
Assim, é possível avaliar à variável M através da função de distribuição acumulativa
normal padrão. A probabilidade de falha nesse caso fica:

µ   µ 
Pf = P ([ M < 0]) = P  Y ≤ − M   = φ  − M 
σ M   σ M 

Equação (10)
De acordo com Beck (2010), no espaço normalizado, essa medida da probabilidade de
falha corresponde à distância entre a origem da distribuição Y e a região de falha,
denominada índice de confiabilidade (β). Dessa forma, a expressão para cálculo da
probabilidade de falha fica:
 µ 
Pf = φ  − M  = φ [− β ]
 σM 
Equação (11)
Apesar da Equação (11) ser válida apenas para variáveis aleatórias normais, sua relação
com a probabilidade de falha é utilizada de modo generalizado na confiabilidade estrutural
para solução de problemas envolvendo um número qualquer de variáveis aleatórias.
Existe uma série de normativas que estabelecem valores de índice de confiabilidade alvos
dependendo dos riscos e conseqüências envolvidas. No presente trabalho utiliza-se um
valor alvo de 4,7 para os elementos de membrana aplicados a usinas nucleares, conforme
recomendação da JCSS (2001).
5. Dimensionamento de Elementos de Membrana
Existem várias soluções semelhantes bem fundamentadas e documentadas na literatura
para a determinação de armaduras e para a verificação do concreto, principalmente para
o caso de estruturas que apresentam unicamente esforços de membrana. A maioria
destas soluções é bem conhecida e são obtidas através da verificação das condições de
equilíbrio e de resistência, conduzindo a um dimensionamento seguro, baseado no
Teorema Inferior da Teoria da Plasticidade. Merece destaque as publicações de GUPTA
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(1984), NIELSEN (1984), VECCHIO & COLLINS (1986), FIALKOW (1991), LOURENÇO &
FIGUEIRAS (1993, 1995) e REGAN (1999).
Os elementos de membrana correspondem ao caso particular das cascas, em que o
elemento bidimensional está submetido unicamente a forças de membrana. No caso
geral, os elementos de casca estão submetidos aos esforços de membrana, que são
representados por forças normais e tangenciais, e aos esforços de momento, que são
representados pelos momentos fletores e torçores.
No presente trabalho apresenta-se a formulação para elementos de chapa proposta por
LOURENÇO & FIGUEIRAS (1993, 1995) e REGAN (1999). A Figura 3 apresenta um
elemento de chapa de espessura h, submetido a forças de membrana (por unidade de
espessura) designadas por Nx, Ny e Nxy. As forças externas aplicadas são resistidas pelo
somatório das contribuições do concreto e das armaduras e admite-se que a resistência
ao cisalhamento das armaduras seja nula.
Nxy
Ny
Nxy
Nx
Nsy
Nc.sen²θ
Nx
Nxy
Nc.cos²θ
=
θ
Nsx
Nc.senθ.cosθ
Nxy
Nsy
Ny
a)Ações Externas
Nsx
+
b)Forças no Concreto
c)Forças nas Armaduras
Figura 3 - Elemento de concreto armado submetido a estado plano de tensões
De acordo com REGAN (1999), a partir do equilíbrio entre as forças externas aplicadas e
as forças internas apresentadas na Figura 3, podem ser escritas as seguintes equações
para o sistema de eixos adotado:
N x = N sx − N c cos 2 θ
Equação (12)
N y = N sy − N c sen 2θ
Equação (13)
N xy = N c .cos θ sen θ
Equação (14)
Sendo:
N c ≥ − h.f cd
Equação (15)
Em que:
fcd = Resistência de cálculo à compressão do concreto fissurado;
h = Espessura do elemento de chapa.
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Do lado esquerdo das Equações (12) a (14) encontram-se as forças aplicadas e do lado
direito encontram-se as forças internas. A dedução das expressões anteriores é de fácil
demonstração e, substituindo a Equação (14) nas Equações (12) e (13), podem ser
obtidas expressões que determinam as forças atuantes nas armaduras em malha:
N sx = N x + N xy cot θ
Equação (16)
N sy = N y + N xy tan θ
Equação (17)
A taxa total de armaduras é fornecida pela Equação (18):
N sx + N sy = N x + N y + N xy (tan θ + cot θ )
Equação (18)
O valor mínimo da taxa total de armadura corresponde a um valor de θ = 45°, com
tan θ = cot θ = 1, que também proporciona o valor máximo para a força de cisalhamento
Nxy, que deve ser resistida pelo concreto.
Deve-se observar que não foi utilizada uma convenção formal para as forças de
cisalhamento Nxy. Se a direção destas forças é diferente daquela apresentada na Figura
3 o efeito não é de reduzir as armaduras necessárias apresentadas nas Equações (16) e
(17), mas sim modificar a direção de compressão no concreto. Dessa maneira, θ passa a
ser maior que 90° e tanto tan θ quanto cot θ passam a ter valores negativos.
Manipulando as equações apresentadas anteriormente pode-se demonstrar o
aparecimento de quatro casos bem distintos, definidos no item 6.5.3 do CEB-FIP Model
Code 1990 (1993). Esses casos são denominados de Caso 1 (armaduras necessárias nas
direções x e y), Caso 2 (armaduras necessárias apenas na direção y), Caso 3 (armaduras
necessárias apenas na direção x) e Caso 4 (sem a necessidade de armaduras).
De acordo com o CEB-FIP Model Code 1990 (1993), item 6.5.4, o ângulo θ pode ser
escolhido livremente nos Casos 1 e 3, desde que a compressão esteja inclinada de pelo
menos 15o em relação as duas armaduras ortogonais. Deve-se observar que a adoção de
θ = 45° possibilita a utilização das menores quantidades de armaduras. A quantidade de
armaduras por unidade de largura é obtida através da aplicação das Equações (19) e
(20):
Asx =
N sx
f yd
Asy =
N sy
f yd
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Equação (19)
Equação (20)
9
A tensão no concreto é dada pela Equação (21) e de acordo com o CEB-FIP Model Code
1990 (1993) ela deve ser inferior àquelas tensões apresentadas nas Equações (22) e
(23):
fc =
Nc
h
f 

f c ≤ 0 ,60.1 − ck  .f cd = f cd 2 → (Para os Casos 1, 2 e 3)
 250 
f 

f c ≤ K.0,85.1 − ck .f cd = K.f cd 2 → (Para o Caso 4)
 250 
1 + 3,65.α
K=
( 1 + α)2
σ
α= 2
σ1
Equação (21)
Equação (22)
Equação (23)
Equação (24)
Equação (25)
Deve-se observar que para o Caso 4, devido ao estado de compressão biaxial, a
resistência à compressão é aumentada de um fator K, devido ao confinamento do
concreto.
6. Ferramentas Desenvolvidas na Plataforma Matlab
De maneira a se avaliar o comportamento de elementos de membrana em concreto
estrutural, foram especialmente desenvolvidos dois programas computacionais com o
auxílio da plataforma Matlab. O primeiro programa, denominado MEMBRANE_ALFA,
possibilita determinar a quantidade de armaduras necessárias para um elemento de
membrana em concreto estrutural sujeito aos casos de carregamento 1, 2, 3 ou 4, sendo
que sua fundamentação foi apresentada no item 5 do presente trabalho.
Por outro lado, o programa MEMBRANE_BETA é capaz de avaliar o nível de
confiabilidade de elementos de membrana em concreto estrutural cuja armação já seja
conhecida, indicando as probabilidades de falha nas armaduras e no concreto. O
programa MEMBRANE_BETA foi desenvolvido a partir do desenvolvimento teórico
apresentado no item 4 do presente trabalho, contemplando as possibilidades de variação
na resistência das armaduras e no concreto conforme apontado no código modelo
probabilístico JCSS (2001).
Dessa maneira, para uma determinada situação de carregamento, pode-se utilizar o
programa MEMBRANE_ALFA como uma espécie de pré-processador do programa
MEMBRANE_BETA. Deve-se observar que o programa MEMBRANE_ALFA possui
aplicabilidade para os problemas correntes de dimensionamento (nível de segurança
semi-probabilístico), enquanto o programa MEMBRANE_BETA possui potencialidade
para a análise de problemas cujo nível de confiabilidade seja mais rigoroso (nível de
segurança probabilístico).
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Caso o nível de confiabilidade de um elemento investigado não seja satisfatório, pode-se
modificar o nível de armação informado no programa MEMBRANE_BETA, até que se
atinja o nível de segurança desejado. Evidentemente, qualquer modificação necessária no
nível de armação do elemento de membrana deve ser iniciado a partir de um valor inicial,
que sem dúvida alguma é aquele obtido de um dimensionamento semi-probabilístico
utilizando-se o programa MEMBRANE_ALFA.
De maneira a verificar a potencialidade dos programas desenvolvidos, toma-se com
exemplo o painel P27 ensaiado experimentalmente por COLLINS et al (1985), cuja
configuração de ruína é ilustrada em maiores detalhes na Figura 4. O referido painel é
quadrado, possui largura de 89 cm, espessura de 7 cm e foi ensaiado a cisalhamento
puro, conforme ilustra o carregamento em destaque na Figura 4. A armação do painel foi
feita em duas camadas, utilizando-se malhas com espaçamento de armaduras igual a 5
cm e com os eixos das armaduras paralelos aos eixos do painel.
Figura 4 - Configuração de ruína do Painel P27 ensaiado por COLLINS et al (1985)
De acordo com COLLINS et al (1985), o painel P27 foi dimensionado para chegar a ruína
devido à ruptura do concreto antes do escoamento das armaduras nas duas direções. Por
tal motivo, optou-se em utilizar uma quantidade isotrópica de armaduras (ρx = ρy) com
taxa de aço igual a 1,79% (12,52 cm2/m). A resistência média das armaduras ao
escoamento foi de 442 MPa, enquanto a resistência média do concreto à compressão foi
de 20,5 MPa.
As primeiras fissuras do Painel P27 foram registradas para uma tensão de cisalhamento
de 2,04 MPa (142,8 kN/m). Para a tensão de cisalhamento de 6,35 MPa (444,50 kN/m), o
painel chegou à ruína devido à ruptura do concreto, sendo que não verificou-se o
escoamento das armaduras em nenhuma das duas direções ortogonais.
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Utilizando o programa MEMBRANE_ALFA para o dimensionamento das armaduras
considerando coeficientes de segurança unitários, obtém-se os resultados apresentados
na Figura 5. Conforme pode-se observar, para a tensão de ruptura verificada no ensaio
experimental, cuja força membranal corresponde a 444,50 kN/m, a quantidade de
armadura necessária nas duas direções seria igual a 10,06 cm2/m, com uma tensão
máxima no concreto de 12,70 MPa.
Figura 5 - Dimensionamento do Painel P27 ensaiado por Collins com o programa MEMBRANE_ALFA
Conforme pode-se observar, o programa aponta o risco de ruptura do concreto, o que por
sua vez demandaria o aumento da resistência à compressão do concreto ou aumento da
espessura do painel numa situação real de dimensionamento. Como a taxa de armadura
utilizada no painel real foi ainda maior do que aquela efetivamente necessária, o concreto
passou a ser ainda mais solicitado e, consequentemente, ainda mais propenso à ruptura.
Utilizando-se o programa MEMBRANE_BETA para os resultados experimentais obtidos
por Collins et al (1985), pode-se facilmente demonstrar a potencialidade do programa ora
aqui desenvolvido. Uma vez que para a tensão de cisalhamento de 2,04 MPa (142,8
kN/m) foram observadas as primeiras fissuras do painel, procurou-se aplicar o programa
para tal situação de carregamento, conforme ilustra a Figura 6.
Conforme se pode observar, para a carga de fissuração experimental a probabilidade total
de falha é nula, com um coeficiente de confiabilidade beta igual a 8,49. Esse resultado
indica o grande nível de segurança que há para o painel para tal nível de solicitação.
Deve-se observar que na presente simulação utilizou-se 1.000.000 de combinações
possíveis entre as resistências das armaduras e do concreto.
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Figura 6 - Verificação do Painel P27 com o programa MEMBRANE_BETA para carregamento de fissuração
verificado em ensaio experimental
A Figura 7 procura apresentar a aplicação do programa MEMBRANE_BETA para a
situação de ruína, cuja tensão de cisalhamento verificada no ensaio experimental foi de
6,35 MPa (444,50 kN/m). Conforme se pode observar, a probabilidade total de falha do
painel é de 80,36%. A probabilidade de falha do concreto alcança 99,99% enquanto as
armaduras possuem uma probabilidade de falha de apenas 0,00112%.
Figura 7 - Verificação do Painel P27 com o programa MEMBRANE_BETA para carregamento de ruína
verificado em ensaio experimental
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Conforme se pode observar, o coeficiente de confiabilidade beta é nulo, o que por sua vez
indica que a falta de confiabilidade total na segurança do painel. Ou seja, para tal nível de
carregamento, há grande probabilidade de ruína do painel, com ruptura do concreto e
ausência de escoamento das armaduras. Conforme se pode observar, tais resultados
satisfazem o comportamento observado experimentalmente.
Adicionalmente, deve-se observar que o programa MEMBRANE_BETA também foi
aplicado a outros painéis, cujas características encontram-se descritas em maiores
detalhes no trabalho de COLLINS & VECCHIO (1886). Em todas as simulações
efetuadas, observou-se uma grande compatibilidade com os resultados observados
experimentalmente.
7. Conclusões
No presente trabalho procurou-se apresentar uma abordagem de dimensionamento de
elementos de membrana, bem como um procedimento de análise eficiente utilizando o
Método de Simulação de Monte Carlo. Além de fornecer respostas realistas, o presente
procedimento é capaz de apontar o nível de confiabilidade do elemento de membrana
investigado, indicando o mecanismo de falha acompanhado de sua respectiva
probabilidade.
Nas presentes simulações foram consideradas apenas as possibilidades de variação nas
resistências mecânicas do aço e do concreto, com as respectivas distribuições conforme
as recomendações da JCSS (2001). Deve-se observar que para a avaliação de usinas
nucleares, cujo nível de segurança exigido é muito mais rigoroso, deve-se avaliar o
impacto da variação de outras variáveis, objetivando reduzir ao máximo as possibilidades
de falha. A adoção de variáveis randômicas adicionais, além da resistência do aço e do
concreto, poderia ser feita, por exemplo, para as ações, espessura dos painéis,
quantidades de armaduras, cobrimentos, etc.
Conforme se pode observar, o procedimento proposto foi capaz de avaliar com precisão
os resultados experimentais de elementos de membrana ensaiados por COLLINS &
VECCHIO (1886). Como se sabe, através dos ensaios dos referidos painéis pôde ser
fundamentada uma das teorias mais aceitas atualmente para a análise de elementos de
membrana, a "Modified Compression Field Theory". O procedimento ora aqui proposto se
demonstra muito mais fácil de ser implementado computacionalmente e fornece respostas
de ruína ao nível da "Modified Compression Field Theory".
Finalmente, deve-se observar que a união da "Modified Compression Field Theory" com
conceitos probabilísticos, conforme apresentado no presente trabalho, pode fornecer um
procedimento de análise estrutural de elementos de membrana extremamente avançado,
capaz de certificar a segurança de estruturas que não podem falhar, tal qual é o caso das
Usinas de Angra 1, 2 e 3. Implementações numéricas acoplando a "Modified Compression
Field Theory" e o "Método de Monte Carlo" são atividades futuras a serem desenvolvidas
pelos autores do presente trabalho.
ANAIS DO 53º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2011 – 53CBC
14
8. Referências Bibliográficas
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Structures (ACI 349-06) and Commentary". American Concrete Institute, Farmington
Hills, MI, 2006.
ACI Committee 349. "Evaluation of Existing Nuclear Safety-Related Concrete
Structures (ACI 349.3R-02)". American Concrete Institute, Farmington Hills, MI, 2002.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. “NBR 6118 – Projeto de
Estruturas de Concreto - Procedimento”, Rio de Janeiro, 2003.
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São Carlos, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2010.
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Thomas Telford Services Ltd., 1993.
ELETROBRAS. "Critérios de Seguranca Adotados para as usinas Nucleares Angra 1,
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GUPTA, A. K.. “Membrane Reinforcement In Concrete Shells: A Review”. Nuclear
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NIELSEN, M. P.. "Limit Analysis and Concrete Plasticity". Prentice-Hall Series in Civil
Engineering, New Jersey, Englewood Clifs, 1984.
ANAIS DO 53º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2011 – 53CBC
15
REGAN, P.. “Structural Concrete – Textbook
Performance”. Boletim n°2, v.2, CEB-FIB, 1999.
on
Behaviour,
Design
and
VECCHIO, F. J.; COLLINS, M. P.. “The Modified Compression Field Theory for
Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear”. ACI Journal, v.83, n.22, p.219231, 1986.
ZÜGEL, L. C.; DIAZ, B. E.; CUNHA, M. T.. "The Civil Design of the Angra Nuclear
Power Plant, Units 2 & 3". In: 2o Congresso Geral de Energia Nuclear, Rio de Janeiro,
1988.
9. Agradecimentos
Os autores gostariam de expressar seu profundo agradecimento ao Cnpq (Conselho
Nacional de Pesquisa) e à Fundação Araucária pelos investimentos financeiros
necessários ao desenvolvimento da presente pesquisa.
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16
Aplicação do “Modified Compression Field” para a Análise de
Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
The Application of the Modified Compression Field Theory for the Analysis of Reinforced
Concrete Membrane Elements
Rafael Alves de Souza (1); Leandro Vanalli (2)
(1) Professor Doutor, Universidade Estadual de Maringá, Departamento de Engenharia Civil
(2) Professor Doutor, Universidade Estadual de Maringá, Departamento de Tecnologia
Avenida Colombo, 5790 - Bloco C67 - Departamento de Engenharia Civil
CEP 87020-900 - Maringá - Paraná
Resumo
Elementos de concreto armado submetidos a esforços de membrana, isto é, forças normais e forças
cortantes no próprio plano, são bastante comuns na modelagem de estruturas complexas tais como
hangares, usinas nucleares, estruturas off-shore e vigas caixão de grandes pontes. Apesar do problema de
dimensionamento desses elementos já estar bem resolvido, o mesmo não pode ser dito para o caso da
análise de elementos de membrana já armados. Dentro desse panorama, o presente trabalho tem por
objetivo apresentar um software implementado na plataforma Matlab e baseado na teoria desenvolvida por
VECCHIO & COLLINS (1986), isto é, a “Modified Compression Field Theory”. De maneira a certificar a
performance do programa criado, diversos resultados numéricos foram confrontados com resultados
experimentais. Os resultados obtidos revelam que a ferramenta ora desenvolvida possui boa confiabilidade
para analisar o desempenho de elementos de membrana em concreto estrutural.
Palavra-Chave: Concreto Estrutural, Análise Estrutural, Cisalhamento e Elementos de Membrana
Abstract
Reinforced concrete elements subjected to membrane forces, i.e., elements subjected to in-plane shear and
axial stresses are very common for modeling complex structures such as aircraft hangars, nuclear power
plants, offshore oil platforms and long-span bridges. While the design of reinforcement for membrane
elements is well adressed the same can not be said regarding the analysis of performance of this elements.
Into this context, the present paper aims at providing a numerical tool developed in the Matlab platform,
taking into account the formulation proposed by VECCHIO & COLLINS (1986), i.e., "The Modified
Compression Field Theory”. In order to certificate the performance of the proposed tool, extensive numerical
results were compared with experimental results available in the literature. The obtained results revealed that
the proposed tool is very confident for the analysis of reinforced concrete membrane elements.
Keywords: Structural Concrete, Structural Analysis, Shear and Membrane Elements
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1
1. Introdução
Os elementos de membrana são elementos que estão submetidos apenas a forças
normais e de cortantes no próprio plano e podem ser utilizados para a modelagem dos
mais diversos tipos de estruturas, conforme ilustra a Figura 1. A maioria das soluções
conhecidas para o dimensionamento destes elementos foi obtida através da verificação
das condições de equilíbrio e de resistência, conduzindo a um dimensionamento seguro,
baseado no Teorema Inferior da Teoria da Plasticidade. Dentro dessa linha, merecem
destaque as publicações de GUPTA (1984, 1986), NIELSEN (1984), FIALKOW (1991),
CEB-FIP MODEL CODE 1990 (1993), LOURENÇO & FIGUEIRAS (1993, 1995) e REGAN
(1999).
Figura 1 - Estruturas modeladas utilizando elementos de membrana (VECCHIO & COLLINS (1986))
Apesar do problema de dimensionamento estar relativamente resolvido, deve-se observar
que as alternativas de solução não são suficientemente difundidas no meio prático. Além
disso, o problema de verificação de elementos de membrana, isto é, a análise do
comportamento de um elemento plano armado e sujeito a ações no próprio plano não é
um problema trivial como parece ser. COLLINS et al. (1985) relatam que numa
competição internacional, com a participação de 43 lideres mundiais em pesquisa sobre
simulações numéricas aplicadas ao concreto armado, não foi possível prever o
comportamento carga versus deslocamento de painéis retangulares armados com uma
margem de erro inferior a 15%.
Ficou evidente que o insucesso das previsões era fortemente dependente das relações
tensão-deformação empregadas, as quais basicamente ignoravam a resistência à tração
do concreto. Com base nos resultados experimentais da competição realizada, VECCHIO
& COLLINS (1986) desenvolveram a “Modified Compression Field Theory” (MCFT) e
passaram a considerar a resistência à tração do concreto entre fissuras.
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2
De acordo com VECCHIO & COLLINS (1986), a análise de um elemento de membrana é
dificultada devido ao fato de que novas fissuras podem ser formadas, fissuras préexistentes podem se propagar e até mesmo se fechar, e um sistema estrutural constituído
por corpos de concreto conectados pelas barras das armaduras tende a se formar sob a
ação de determinados carregamentos. Além disso, os corpos de concreto tendem a se
unir nas superfícies rugosas existentes na interface das fissuras, podendo assim transmitir
cisalhamento e compressão nos pontos em contato.
Um modelo que faz frente ao MCFT proposto por VECCHIO & COLLINS (1986) é o
“Softened Truss Model” ("Modelo de Treliça Flexibilizado"), proposto por HSU (1993).
Trata-se de um método de análise não-linear de elementos de membrana que envolve a
resolução simultânea de um grande número de equações, tal qual se observa no MCFT.
Na verdade, vários outros métodos também estão disponíveis, mas com exceção dos dois
métodos mencionados anteriormente, nenhum outro consegue ultrapassar a fase
inelástica.
Tendo em vista a dificuldade do meio prático em obter respostas quanto ao
comportamento de elementos de membrana, o presente trabalho tem por objetivo
apresentar o desenvolvimento de uma ferramenta computacional criada na plataforma
MATLAB para a análise dos referidos elementos. Para tanto, foi criado o programa
MEDEA RC_MCFT ("Membrane Design and Analysis for Reinforced Concrete Based on
the Modified Compression Field Theory”), cuja formulação está fortemente baseada nos
trabalhos desenvolvidos por VECCHIO & COLLINS (1986), BENTZ (2000) e
HOOGENBOOM & VOSKAMP (2004).
2. Modified Compression Field Theory
A teoria conhecida como “Modified Compression Field Theory (MCFT)” tem suas origens
no “Diagonal Compression Field Theory (DCFT)” proposta por MITCHELL & COLLINS
(1974), bem como na “Compression Field Theory (CFT)” proposta por COLLINS (1978). A
versão definitiva do MCFT foi publicada por VECCHIO & COLLINS (1986) e desde então
pequenas modificações foram feitas no modelo original, conforme atesta o trabalho de
COLLINS & MITCHELL (1987). Desde a versão final do modelo, vários outros
pesquisadores têm proposto modelos similares, entre eles os modelos propostos por HSU
& ZHANG (1997), ZHANG & HSU (1998) e KAUFMANN & MARTI (1998).
A hipótese mais importante assumida na MCFT é que o concreto fissurado pertencente a
um elemento de concreto armado pode ser tratado como se fosse um novo material com
uma curva própria para o comportamento tensão-deformação. Esse comportamento é
diferente do comportamento tradicional obtido do ensaio de corpos-de-prova cilíndricos
submetidos à compressão e leva em conta o efeito de tensões transversais de tração.
As deformações utilizadas no modelo consistem em deformações médias, isto é, elas
reúnem de maneira acoplada efeitos combinados como deformações locais nas fissuras,
deformações entre fissuras, aderência-escorregamento e escorregamento entre fissuras.
Da mesma maneira, as tensões também são médias, isto é, elas incluem implicitamente
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3
as tensões entre fissuras, tensões nas fissuras, a interface de cisalhamento entre fissuras
e o efeito pino propiciado pelas armaduras. De maneira que o uso de tensões e
deformações médias possam ser consideradas adequadas, o comportamento médio deve
ser medido em distâncias que incluam poucas fissuras.
De acordo com BENTZ (2000), uma verificação explícita deve ser feita de maneira a
penalizar a utilização de relações tensão-deformação médias, garantindo que as tensões
médias são compatíveis com a condição de fissuração do concreto. Esse processo,
denominado de “crack check” é uma etapa crucial no MCFT e nas teorias derivadas a
partir dele. O processo de verificação consiste basicamente na limitação da tensão
principal de tração no concreto a um valor limite, considerando a tensão de tração na
armadura que atravessa a fissura e a habilidade da superfície fissurada transmitir tensões
de cisalhamento.
Figura 2 - Resumo das equações utilizadas no modelo MCFT (Adaptado de BENTZ (2000))
A Figura 2 apresenta-se de maneira reduzida as relações envolvidas no MCFT para o
caso bidimensional, sendo que para maiores informações recomenda-se a leitura na
íntegra dos trabalhos de VECCHIO & COLLINS (1982, 1986). O painel da esquerda
apresenta as equações de equilíbrio baseadas nas equações do Círculo de Mohr para
tensões. O painel intermediário apresenta as condições de deformação, também
resumidas através do Círculo de Mohr. Deve-se observar que no MCFT o ângulo da
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4
tensão principal no concreto é tomado como sendo igual ao ângulo da deformação
principal. O painel da direita ilustra as relações constitutivas para os materiais,
nomeadamente aço e concreto. Finalmente a base de cada painel ilustra as componentes
de verificação localizada na fissura, de maneira que as tensões médias possam ser
transmitidas.
3. Emprego do MCFT Acoplado ao Método da Rigidez Secante
A técnica de solução proposta por VECCHIO & COLLINS (1986) é um tanto quanto
sofisticada e requer o uso de estratégias apropriadas para a implementação numérica.
Dessa maneira, será apresentada na seqüência uma estratégia para implementação do
MCFT, tomando-se proveito de matrizes apropriadas e técnicas numéricas baseadas no
Método da Rigidez Secante. Maiores detalhes da implementação que é aqui apresentada
pode ser encontrada em detalhes nos trabalhos de VECCHIO (1989, 1990), BENTZ
(2000) e HOOGENBOOM & VOSKAMP (2004).
De acordo com BENTZ (2000), uma das maneiras mais eficientes de se obter o estado de
deformação a partir de um estado de tensão conhecido é através do emprego do Método
da Rigidez Secante, onde qualquer curva tensão versus deformação pode ser
representada pela Equação (1). A Figura 3 procura ilustrar a definição de módulo secante
e módulo tangente para o concreto e para barras de aço, de acordo com KRPAN (1974).
σ = Esecante (ε) . ε
Equação (1)
(b)
(a)
Figura 3 – Módulos secante e tangente para (a) concreto e (b) barras de aço (BENTZ (2000))
Basicamente, o vetor das deformações (ε) pode ser relacionado ao vetor das tensões (σ)
através da matriz D, definida como sendo a Matriz de Rigidez Secante e apresentada na
Equação (2). Utilizando-se essa matriz, a solução para qualquer termo desconhecido
pode facilmente encontrada com grande estabilidade. Deve-se observar que a Matriz de
Rigidez Secante é simétrica e totalmente povoada.
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5
[D]{ε} = {σ}
{ε} = {ε x , ε y , γ xy }
{σ} = {f x , f y , v xy }
Equação (2)
Equação (3)
Equação (4)
Basicamente, uma estimativa de deformações é efetuada para um dado estado de
carregamento. A relação é então verificada utilizando-se o método anterior para se
calcular as tensões com o emprego da Matriz de Rigidez Secante. Uma nova estimativa
para o vetor das deformações é então proposta a partir da Matriz de Rigidez Secante. O
procedimento é então repetido até que ocorra a convergência desejada para o nível de
carregamento desejado.
De acordo com SELBY (1993), a Matriz de Rigidez Secante apresentada na Equação (2)
é calculada em função das direções principais e posteriormente rotacionada para o
sistema de eixos cartesiano. A matriz é basicamente constituída por componentes devido
ao concreto [Dc] e devido às armaduras [Ds], conforme ilustra a Equação (5):
[D] = [Dc ] + Σ[Ds ]
Equação (5)
Para a determinação da matriz [Dc] é necessário calcular a mesma nas direções principais
e depois rotacionar a mesma para o sistema cartesiano. Esse procedimento pode ser feito
empregando-se a Equação (6):
[Dc ] = [T]T [Dc ][' T]
Equação (6)
A Matriz de Transformação [T] para o caso bidimensional é composta pelos seguintes
termos descritos nas equações a seguir. Deve-se observar que a Matriz de
Transformação é descrita em função do ângulo theta, que é o ângulo principal de tensão e
deformação para o concreto.
 k12
l12
[T] =  k 22
l 22
2.k1.k 2 2.l1.l 2

k1 = cos(π − θ)


k 2 .l 2 
k1.l 2 + k 2 .l1 
k1.l1
k 2 = −sen (π − θ)
Equação (7)
Equação (8)
Equação (9)
l1 = sen(π − θ)
Equação (10)
l 2 = cos(π − θ)
Equação (11)
A Matriz [Dc]’ é a matriz de rigidez do concreto na direção principal para o caso
bidimensional e é defina pela Equação (12):
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6
[Dc ]
'
E c1 0

=  0 Ec2
0
0

0 

0 
G c12 .
Equação (12)
E c1 = f1 / ε1
Equação (13)
Ec 2 = f 2 / ε2
Equação (14)
G c12 =
E c1.E c 2
E c1 + E c 2
Equação (15)
Uma vez que as armaduras são responsáveis somente pela absorção de força normal, a
matriz [Ds] total para as direções x e y será dada pela Equação (16):
ρ x .E sx
[Ds ] =  0
 0
f
E sx = sx
εx
f sy
E sy =
εy
0
ρ y .E sy
0
0
0
0
Equação (16)
Equação (17)
Equação (18)
4. Descrição do Programa MEDEA RC_MCFT
O programa MEDEA RC_MCFT (“Membrane Design and Analysis of Reinforced Concrete
Using the Modified Compression Field Theory”) foi criado com o objetivo de se tornar uma
ferramenta versátil para a análise de elementos de membrana em concreto estrutural.
Para tanto, procurou-se implementar o MCFT na plataforma MATLAB, através dos
procedimentos descritos por VECCHIO & COLLINS (1986), VECCHIO (1990), BENTZ
(2000) e HOOGENBOOM & VOSKAMP (2004).
A Figura 4 (a) apresenta a tela de entrada do programa MEDEA RC_MCFT. Após a
abertura da tela de entrada do programa, pode-se então dar início à análise de elementos
de membrana em concreto armado. Para tanto, basta acessar o menu “File” e clicar sobre
a opção “New”. Quando do acionamento da opção “New”, será aberta a tela de entrada de
dados ilustrada na Figura 4 (b).
Conforme pode-se observar, o usuário deve fornecer as seguintes informações: diâmetro
das barras longitudinais, porcentagens de armação, módulo de elasticidade das barras,
tensão de escoamento das barras, resistência média do concreto à compressão, diâmetro
máximo do agregado, estado de carregamento do elemento de membrana, número de
passos de carga e fator de carga para obtenção das curvas de comportamento conforme
necessidade do usuário.
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7
(a)
(b)
Figura 4 – (a) Tela de entrada e (b) introdução de dados no programa MEDEA RC_MCFT
Caso o usuário já tenha feito uma análise anterior, os dados podem ser salvos e abertos
novamente acessando o menu “File” e a opção “Open”. Por outro lado, caso o usuário
deseje salvar os dados correntes, basta acessar o menu “File” e posteriormente
selecionar a opção “Save”. A Figura 5 (a) ilustra os dados do Painel PV20 ensaiado por
VECCHIO & COLLINS (1982). Uma vez que os dados foram descritos, os mesmos devem
ser salvos através do menu “File”, opção “Save”. Em seguida, pode-se selecionar o
processamento dos dados através do menu “Process”, opção “MCFT”, conforme ilustrado
na Figura 5 (b).
(b)
(a)
Figura 5 – (a) Descrição dos dados e (b) processamento no programa MEDEA RC_MCFT
Com o acionamento da opção “MCFT” será aberta uma nova tela para que o usuário
escolha o nome do arquivo com os resultados a serem obtidos, conforme ilusta a Figura 6
(a). Imediatamente após a escolha do arquivo de saída, o programa iniciará o
processamento dos dados de entrada, conforme ilustra a Figura 6 (b). Em geral os
processamentos são bastante rápidos para processamentos com até 1000 passos de
carga.
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8
(a)
(b)
Figura 6 – (a) Atribuição do nome arquivo de saída com os resultados processados e processamento
Após o término do processamento, o usuário deve então acionar o menu “Results” e
selecionar a opção “Graphs”, conforme ilustrado na Figura 7 (a). Dessa maneira, o
usuário poderá ter acesso a vários gráficos de desempenho para o elemento de
membrana descrito. Com a seleção da opção “Graphs” será aberta a tela apresentada na
Figura 7 (b). Conforme pode-se observar, são apresentados os seguintes diagramas de
desempenho até a carga de ruptura: tensão de cisalhamento versus deformação de
cisalhamento, tensão de cisalhamento versus abertura de fissura, tensão de cisalhamento
versus tensão normal nas armaduras nas direções x e y.
(a)
(b)
Figura 7 – (a) Escolha da visualização de resultados e (b) gráficos de desempenho gerados
Conforme pode-se observar pela Figura 7 (b), são apresentadas retas horizontais nos
diagramas de tensão de cisalhamento versus deformação de cisalhamento e tensão de
cisalhamento versus abertura de fissura. Essas retas refere-se à tensão de cisalhamento
informada pelo usuário no início do processamento, na tela de entrada de dados. Dessa
maneira, o usuário pode verificar se o estado de tensão descrito é apropriado para o nível
de armação informado, tendo-se em vista a performance completa desde o início do
carregamento até a ruptura.
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9
5. Validação do Programa MEDEA RC_MCFT
De maneira a comprovar a performance do programa MEDEA RC_MCFT foram
investigados 58 resultados experimentais disponíveis para fissuração e 70 resultados
experimentais disponíveis para ruptura de placas em concreto armado submetidas a
combinações de força normal e força cortante. A Tabela 1 procura apresentar um resumo
comparativo entre os resultados experimentais e resultados numéricos obtidos utilizando
o programa MEDEA RC_MCFT, enquanto a Tabela 2 apresenta resultados de maneira
mais detalhada.
Conforme pode-se observar pela Tabela 1, no que se refere a fissuração o quociente
entre os resultados experimentais e aqueles verificados numericamente foi de 1,19, com
um desvio padrão de 0,43 e um coeficiente de variação de 36,18%. Já para a ruptura,
obteve-se um quociente entre a carga de ruína experimental e a carga de ruptura
numérica igual a 1,01, com um desvio padrão de 0,22 e coeficiente de variação de
21,64%.
Tabela 1 – Comparação entre resultados numéricos (MEDEA RC_MCFT) e resultados experimentais
Fissuração Experimental /
Fissuração Numérica
Desvio
Coeficiente
Padrão
de
Média
(MPa)
Variação
Ruptura Experimental / Ruptura
Numérica
Desvio
Coeficiente
Padrão
de
Média
(MPa)
Variação
Ensaio
fck(MPa)
COLLINS et
al. (1985)
BHIDE &
COLLINS
(1989)
VECCHIO et
al. (1994)
PANG &
HSU (1995)
Todos os
ensaios
anteriores
11,60 a
34,50
1,25
0,198
0,159
1,06
0,293
0,277
16,40 a
43,40
1,23
0,531
0,431
0,94
0,168
0,179
1,01
0,585
0,581
1,09
0,097
0,089
-
-
-
0,93
0,064
0,069
1,19
0,432
0,361
1,01
0,219
0,216
43,00 a
72,20
41,20 a
45,20
11,60 a
72,20
Conforme pode-se observar pela Tabela 1, a fissuração foi melhor capturada para o
ensaio de COLLINS et al. (1985), que possui resistência à compressão do concreto
variando entre 11,60 a 34,20 MPa. Para este caso, o quociente entre a carga de
fissuração experimental e a carga de fissuração teórica foi em média igual a 1,25, com um
coeficiente de variação de apenas 15,9%.
Por outro lado, para o ensaio de VECCHIO et al. (1994) obteve-se um coeficiente de
variação bastante alto, indicando que as previsões para este caso são bastante dispersas,
apesar do baixo quociente entre a carga de fissuração experimental e a carga prevista
numericamente (1,01). Esse fato revela que a previsão de fissuração em concretos de
com resistência superior a 40 MPa deve ser melhor formulada no MCFT, tendo-se em
vista que o coeficiente de variação procura revelar a representatividade da média.
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PANG & HSU
(1995)
VECCHIO et al.
(1994)
BHIDE & COLLINS
(1989)
COLLINS et al.
(1985)
Tabela 2 – Comparação entre resultados numéricos (MEDEA_RC MCFT) e resultados experimentais
Painel
(A)
τfissuração,experimental
(MPa) (B)
τfissuração,numérica
(MPa) (C)
(B)/(C)
τruina,experimental
(MPa) (D)
τruina,numérica
(MPa) (E)
(D)/(E)
PV1
PV2
PV3
PV4
PV5
PV6
PV7
PV8
PV9
PV10
PV11
PV12
PV13
PV14
PV16
PV18
PV19
PV20
PV21
PV22
PV23
PV24
PV25
PV26
PV27
PV28
PV29
PV30
PB11
PB12
PB4
PB6
PB7
PB8
PB10
PB15
PB16
PB14
PB17
PB18
PB19
PB20
PB28
PB21
PB22
PB29
PB30
PB31
PHS1
PHS2
PHS3
PHS4
PHS5
PHS6
PHS7
PHS8
PHS9
PHS10
PA1
PA2
A1
A2
A3
A4
B1
B2
B3
B4
B5
B6
2,21
1,10
1,66
1,79
1,73
2,00
1,93
1,73
1,38
1,86
1,66
1,73
1,73
1,93
2,07
2,00
2,07
2,21
2,35
2,42
3,73
4,97
4,14
2,00
2,04
1,66
2,21
1,55
1,19
1,32
0,81
0,85
0,74
0,52
0,31
1,80
0,98
0,78
0,54
1,62
1,23
0,94
0,84
0,73
0,44
0,75
0,74
0,44
2,54
1,94
2,28
2,39
1,62
2,25
2,25
2,15
2,22
2,13
2,19
1,88
-
2,00
1,50
1,70
1,40
1,80
1,90
1,80
1,20
1,30
1,30
1,30
1,50
1,50
1,50
1,60
1,50
1,50
1,50
2,30
5,60
3,40
1,60
1,50
1,20
2,10
1,50
1,70
1,60
0,90
0,90
0,60
0,30
0,10
2,10
0,90
0,70
0,30
1,70
1,00
0,80
0,80
0,60
0,30
1,00
0,70
0,30
0,90
2,70
2,50
2,30
2,00
3,10
3,20
2,50
3,30
2,00
2,40
2,20
-
1,11
1,11
1,05
1,24
1,11
1,02
0,96
1,15
1,43
1,28
1,33
1,29
1,38
1,33
1,29
1,47
1,57
1,61
1,62
0,89
1,22
1,25
1,36
1,38
1,05
1,03
0,70
0,83
0,90
0,94
1,23
1,73
3,10
0,86
1,09
1,11
1,80
0,95
1,23
1,18
1,05
1,22
1,47
0,75
1,06
1,47
2,82
0,72
0,91
1,04
0,81
0,73
0,70
0,86
0,67
1,07
0,91
0,85
-
>8,02
1,16
3,07
2,89
> 4,24
4,55
> 6,81
> 6,67
> 3,74
3,97
3,56
3,13
2,01
> 5,24
4,12
> 3,04
3,95
4,26
5,03
6,07
8,87
> 7,94
9,12
5,41
6,35
5,80
5,87
> 5,13
1,27
1,53
1,16
1,15
0,86
0,79
0,56
1,96
1,45
1,54
1,22
1,70
1,28
1,42
1,53
1,42
1,03
1,49
1,48
1,15
2,95
6,66
8,19
6,91
4,81
9,89
10,26
10,84
9,37
8,58
6,34
6,22
2,27
5,37
7,65
11,31
3,96
6,13
4,35
5,06
7,15
9,14
8,20
0,76
3,10
2,50
4,50
4,70
8,00
9,20
4,10
3,70
3,50
3,60
1,30
6,30
1,85
3,00
3,80
4,30
5,20
6,00
7,20
10,20
7,80
5,80
6,30
5,60
6,20
5,60
1,80
1,60
1,10
1,00
1,10
0,80
0,60
2,80
1,60
1,30
1,30
2,10
2,40
1,60
1,40
1,40
0,90
1,60
1,40
1,10
2,70
5,50
8,30
6,50
3,80
8,10
11,00
10,20
8,60
8,10
6,00
6,00
2,60
5,40
7,90
12,40
3,80
6,50
4,60
5,60
8,60
10,60
0,98
1,53
0,99
1,16
0,94
0,97
0,85
0,73
0,91
1,07
1,02
0,87
1,55
0,83
2,23
1,01
1,04
0,99
0,97
1,01
1,23
0,78
1,17
0,93
1,01
1,04
0,95
0,92
0,71
0,96
1,05
1,15
0,78
0,99
0,93
0,70
0,91
1,18
0,94
0,81
0,53
0,89
1,09
1,01
1,14
0,93
1,06
1,05
1,09
1,21
0,99
1,06
1,27
1,22
0,93
1,06
1,09
1,06
1,06
1,04
0,87
0,99
0,97
0,91
1,04
0,94
0,95
0,90
0,83
0,86
ANAIS DO 53º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2011 – 53CBC
11
A carga de ruptura foi melhor capturada para os ensaios de VECCHIO et al. (1994) e
PANG & HSU (1995), com coeficientes de variação de apenas 8,9 e 6,9%,
respectivamente. Observa-se nesses casos o quociente médio entre a carga de ruptura
experimental e a carga de ruptura numérica com valores médios variando entre 0,93 a
1,09. Interessante notar que os ensaios de VECCHIO et al. (1994) e PANG & HSU (1995)
são aqueles com as maiores resistências à compressão para o concreto, indicando que
no caso de ruína, esse aumento de resistência introduz pouca interferência nas previsões
numéricas, ao contrário do que foi observado nas fissurações. Observa-se que o
coeficiente de variação obtido na ruptura para os ensaios de COLLINS et al. (1985) são
os maiores entre todos os outros testados.
De maneira a se investigar o efeito da resistência à compressão do concreto nos
resultados numéricos, procurou-se estudar os coeficientes de variação em função das
faixas de resistência. A Tabela 2 mostra que a fissuração dos painéis é melhor capturada
pelo programa MEDEA RC_MCFT na faixa de resistência à compressão do concreto
variando entre 11,60 e 20 MPa. Para essa faixa de resistência obtém-se um coeficiente
médio entre a carga de fissuração experimental e a téorica igual a 1,29, com um
coeficiente de variação de 25,4%. Por outro, observa-se que as respostas numéricas não
serão satisfatórias, do ponto de vista de fissuração, para resistências superiores a 20
MPa, uma vez que o coeficiente de variação tenderá a ser superior a 35,1%, podendo
chegar até a 67,3%.
Tabela 2 – Resumo dos resultados para diferentes faixas de resistência à compressão do concreto
fck(MPa)
11,60 a
20,00
20,00 a
40,00
40,00 a
50,00
50,00 a
72,20
Número
de Painéis
Fissuração Experimental / Fissuração
Numérica
Coeficiente
Desvio
de
Média
Padrão
Variação
Ruptura Experimental / Ruptura
Numérica
Coeficiente
Desvio
de
Média
Padrão
Variação
16
1,29
0,254
0,197
1,04
0,174
0,167
26
1,22
0,444
0,363
0,99
0,316
0,319
19
1,09
0,351
0,323
0,98
0,104
0,106
9
1,07
0,673
0,631
1,08
0,103
0,095
No que se refere a previsão numérica da ruína dos painéis ensaiados experimentalmente,
a Tabela 2 surpreendentemente revela que as melhores previsões serão para concretos
com resistências superiores a 40 MPa, cujos coeficientes de variação serão inferiores a
10,6%. A Tabela 2 revela ainda que há uma tendência de cargas de ruínas numéricas
mais precisas conforme se aumenta a resistência à compressão do concreto nos painéis.
Observa-se que as piores previsões de ruína concentram-se na faixa entre 20 e 40 MPa,
onde o coeficiente de variação chega a 31,9%.
ANAIS DO 53º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2011 – 53CBC
12
6. Conclusões
A previsão de comportamento de elementos estruturais utilizando a “Analogia de Treliça”
normalmente conduz a respostas superestimadas em relação à resistência de elementos
estruturais à força cortante e ao momento torçor. Essa dificuldade em prever o
comportamento ao cisalhamento vem desafiando pesquisadores desde o começo do
século XX e até hoje a discussão permanece em aberto, com discussões concentradas
nos últimos anos sobre os elementos de membrana.
Conforme mencionado, a análise de elementos de membrana em concreto estrutural não
é uma tarefa trivial, uma vez que o comportamento do concreto nos painéis tende a ser
diferente daquele comportamento obtido de ensaios à compressão utilizando corpos-deprova cilíndricos. Observa-se que a resistência à compressão em uma direção é reduzida
pela fissuração devido à tração na direção perpendicular. Além disso, apesar da
resistência à tração ser desprezada no dimensionamento de elementos de membrana o
mesmo não pode ser dito para os procedimentos de análise. Dificilmente é possível obter
boas respostas de desempenho se a resistência à tração do concreto é deixada de lado
no modelo constitutivo.
Uma das questões mais importantes para o desenvolvimento de um modelo capaz de
simular o comportamento do concreto se fundamenta na escolha adequada das equações
constitutivas. O concreto armado apresenta um comportamento extremamente complexo,
devido não só aos efeitos relacionados ao concreto (fissuração, amolecimento,
intertravamento entre grãos, resistência entre fissuras, etc), mas também devido a sua
interação com as armaduras (aderência, efeito pino, etc).
Com o desenvolvimento do MCFT, proposto por VECCHIO & COLLINS (1986), pode-se
dar um grande avanço na análise de estruturas de concreto submetidas a esforços de
membrana. A descoberta e a quantificação do efeito de amolecimento das escoras de
concreto comprimido em função de tensões transversais de tração possibilitou um avanço
significativo no entendimento da resistência de peças de concreto estrutural sujeitas à
tensões de cisalhamento (cortante e torçor).
Porém, deve-se chamar atenção para o fato de que a análise manual de elementos de
membrana em concreto armado utilizando o MCFT é bastante maçante e, por isso, requer
o auxílio de métodos computacionais para a otimização do problema. Dessa maneira, o
presente trabalho procurou apresentar de maneira resumida o desenvolvimento da
ferramenta MEDEA RC_MCFT para a análise de elementos de membrana na plataforma
MATLAB. A comparação dos resultados numéricos com resultados experimentais
disponíveis na literatura apontam para a boa performance da ferramenta e do MCFT.
Conforme pode-se observar, o programa MEDEA RC_MCFT possui uma boa
performance e pode ser utilizado como uma ferramenta versátil para a previsão do
comportamento de elementos de membrana. Tendo-se em vista a dificuldade em se obter
os resultados experimentais de outros ensaios, infelizmente só foi possível validar o
programa com os resultados descritos anteriormente. De qualquer forma, as simulações
ANAIS DO 53º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2011 – 53CBC
13
efetuadas com o programa MEDEA RC_MCFT são bastante favoráveis e conforme podese observar estão a favor da segurança, isto é, de maneira geral o programa fornece
cargas de fissuração e colapso que são ligeiramente inferiores àquelas cargas verificadas
experimentalmente.
Finalmente, deve-se observar que melhorias devem ser feitas ao MCFT original proposto
por VECCHIO & COLLINS (1986), de maneira a capturar melhor as cargas de fissuração
(para painéis com concretos de resistência à compressão superiores a 40 MPa) e para
cargas de ruína (para concretos com resistência entre 20 e 40 MPa). Isso pode ser feito
definindo parâmetros multiplicadores de ajuste para as resistências à compressão e
tração do concreto.
7. Referências Bibliográficas
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Estruturas de Concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2003.
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8. Agradecimentos
Os autores gostariam de expressar seu profundo agradecimento ao Cnpq (Conselho
Nacional de Pesquisa) e à Fundação Araucária pelos investimentos financeiros
necessários ao desenvolvimento da presente pesquisa.
ANAIS DO 53º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2011 – 53CBC
16
ENTECA 2011
VIII Encontro Tecnológico da Engenharia Civil e Arquitetura
8 - 10 Novembro 2011
ISSN 1808-3625
ANÁLISE NÃO-LINEAR DE ELEMENTOS DE MEMBRANA EM
CONCRETO ESTRUTURAL UTILIZANDO ATENA2D
Rafael Alves de Souza 1
RESUMO
Elementos de concreto armado submetidos a esforços de membrana, isto é, forças normais e forças
cortantes no próprio plano, são bastante comuns na modelagem de estruturas complexas tais como
hangares, usinas nucleares, estruturas off-shore e vigas caixão de grandes pontes. Apesar do
problema de dimensionamento desses elementos estar bem resolvido, o mesmo não pode ser dito
para o caso da análise de elementos de membrana já armados. Na década de 80, por exemplo,
simulações numéricas conduzidas por 43 líderes mundiais no referido campo de pesquisa não
conseguiram prever o comportamento carga versus deslocamento de painéis retangulares de
concreto armado com uma margem de erro inferior a 15%. Com o desenvolvimento da teoria
conhecida como "Modified Compression Field" verificou-se um grande avanço na modelagem de
estruturas submetidas a cisalhamento, a despeito da falta de consenso quanto à validade de tal
abordagem. Dentro desse contexto, o presente trabalho tem por objetivo comparar resultados
numéricos com resultados experimentais disponíveis na literatura para painéis de concreto sujeitos a
esforços de membrana. Para tanto, utilizou-se as potencialidades de análise não-linear do programa
ATENA2D, que por sua vez engloba todas as características da "Modified Compression Field
Theory".
Palavras-chave: Concreto estrutural. Elementos de membrana. Análise não-linear. Atena2D.
1
Professor Doutor, Universidade Estadual de Maringá (UEM), Programa de Pós-Graduação em Engenharia
Urbana (PEU), [email protected]
1. INTRODUÇÃO
Os elementos de membrana são elementos que estão submetidos apenas a forças normais e
cortantes no seu próprio plano e podem ser utilizados para a modelagem dos mais diversos tipos de
estruturas, conforme ilustra a Figura 1. A maioria das soluções conhecidas para o dimensionamento
destes elementos foi obtida através da verificação das condições de equilíbrio e de resistência,
conduzindo a um dimensionamento seguro, baseado no Teorema Inferior da Teoria da Plasticidade.
Dentro dessa linha, merecem destaque os trabalhos publicados por Gupta (1984, 1986), Nielsen
(1984), Fialkow (1991), CEB-FIP Model Code (1993), Lourenço e Figueiras (1993, 1995) e Regan
(1999).
Figura 1 – Estruturas complexas modeladas utilizando elementos de membrana
Apesar do problema de dimensionamento estar bem resolvido, deve-se observar que as
alternativas de solução não são suficientemente difundidas no meio prático. Além disso, o problema
de verificação de elementos de membrana, isto é, a análise do comportamento de um elemento com
armaduras conhecidas não é um problema trivial como parece ser a princípio. Collins et al. (1985)
relatam que numa competição internacional, com a participação de 43 líderes mundiais em pesquisa
sobre simulações numéricas aplicadas ao concreto armado, não foi possível prever o
comportamento carga versus deslocamento de painéis retangulares armados com uma margem de
erro inferior a 15%.
Ficou evidente que o insucesso das previsões era fortemente dependente das relações tensãodeformação empregadas, as quais basicamente ignoravam a resistência à tração do concreto. Com
base nos resultados experimentais da competição realizada, Vecchio & Collins (1986) passaram a
considerar a resistência à tração do concreto entre fissuras e desenvolveram uma nova teoria que
ficou conhecida como “Modified Compression Field Theory”, “Teoria do Campo Modificado de
Compressões” ou simplesmente "MCFT".
De acordo com Vecchio & Collins (1986), a análise de um elemento de membrana é
dificultada devido ao fato de que novas fissuras podem ser formadas, fissuras pré-existentes podem
se propagar e até mesmo se fechar, e um sistema estrutural constituído por corpos de concreto
conectados pelas barras das armaduras tende a se formar sob a ação de determinados
carregamentos. Além disso, os corpos de concreto tendem a se unir nas superfícies rugosas
existentes na interface das fissuras, podendo assim transmitir cisalhamento e compressão nos pontos
em contato.
Apesar da MCFT não ser uma teoria consensual, a implementação de seus fundamentos em
pacotes de elementos finitos tem levado a resultados que se aproximam muito da realidade física de
problemas envolvendo cisalhamento. Dentro desse contexto, o presente trabalho tem por objetivo
apresentar simulações numéricas em painéis de concreto armado utilizando o programa ATENA2D,
um software comercial que contempla características da referida teoria (redução da resistência à
Anais do VIII Encontro Tecnológico de Engenharia Civil e Arquitetura
2
compressão devido à tensões transversais de tração e resistência ao cisalhamento baseado no
intertravamento dos agregados).
Adicionalmente, deve-se observar que o acesso aos resultados experimentais obtidos para
painéis de concreto submetidos a esforços de membrana não é uma atividade fácil. Dessa maneira,
tendo-se em vista que o trabalho de XIE (2009) apresenta a descrição do ensaio experimental de 6
painéis de concreto armado de maneira bastante completa, o mesmo será utilizado como base para o
desenvolvimento da presente investigação.
2. DIFICULDADES NA SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DE PAINÉIS
Uma questão pouco discutida na literatura específica sobre a simulação computacional de
painéis sujeitos a esforços de membrana concentra-se nas condições de contorno a serem adotadas
nas simulações numéricas.
Tanto nos ensaios clássicos realizados na Universidade de Toronto (década de 80) quanto
nos ensaios realizados na Universidade de Houston (década de 90), os painéis foram colocados com
um ângulo de 45o em relação ao dispositivo de ensaio. Tal dispositivo, denominado "Membrane
Tester", pode combinar a aplicação de forças normais de compressão e de tração, que por sua vez
gera forças indiretas de cisalhamento nas faces dos painéis.
Na realidade, deve ser entendido que os ensaios de painéis procuram simular apenas uma
região de uma peça de concreto armado, como por exemplo, a alma de vigas submetidas a forças
normais e cortantes. Dessa maneira, fazendo-se um paralelo com a análise numérica, um painel de
concreto sujeito a esforços de membrana e ensaiado experimentalmente representa na realidade um
único elemento, isto é, a malha de elementos finitos para simular esse painel deverá ser constituída
por um único elemento finito.
As condições de apoio e de aplicação dos carregamentos deve ser feita de maneira que seja
gerado um estado de tensão uniforme no interior do elemento finito, tal como ocorre no ensaio
experimental. A Figura 2 (a) ilustra a maneira como o ensaio experimental é realizado, enquanto a
Figura 2 (b) ilustra como a simulação computacional pode ser conduzida de maneira a simular o
problema.
(a)
(b)
Figura 2 - (a) Ensaio experimental de elementos de membrana e (b) malha de elementos finitos
e condições de contorno na análise numérica de elementos de membrana
Conforme pode-se observar, o carregamento aplicado nas faces do elemento no caso
experimental pode ser substituído por carregamentos aplicados pontualmente nos nós do elemento
finito utilizado. Adicionalmente, a utilização de apoios simples, afim de evitar movimento de corpor
rígido, permite que o estado de deformação do elemento finito seja idêntica àquela obtida no ensaio
experimental, uma vez que o carregamento é auto-equilibrado. A situação de carregamento ilustrada
na Figura 2 (b), por exemplo, apresenta as reações de apoio indicadas na Figura 3 (a), de maneira
Anais do VIII Encontro Tecnológico de Engenharia Civil e Arquitetura
3
que no ensaio experimental o elemento estará submetido ao estado de carregamento estaticamente
equivalente indicado na Figura 3 (b).
(a)
(b)
Figura 3 - (a) Elemento finito com forças aplicadas nos nós e (b) correspondência com o ensaio
experimental de painéis sujeitos a esforços de membrana
3. DESCRIÇÃO DOS RESULTADOS EXPERIMENTAIS DE REFERÊNCIA
XIE (2009) ensaiou 6 painéis submetidos a diferentes combinações de força axial e força
cortante. A relação entre a força normal aplicada e a força cortante foi o único parâmetro estudado e
a quantidade de armaduras foi escolhida de maneira a simular o comportamento de vigas. A Tabela
1 apresenta um resumo das propriedades dos painéis, bem como os resultados experimentais
obtidos.
Tabela 1 – Resultados experimentais obtidos por XIE (2009)
Painel
PL4
PL1
PL2
PL5
PL3
PL6
Carregamento
(fx/fxy)
-2,8
-2,0
-1,0
0,0
1,0
3,0
φx
(mm)
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
φy
(mm)
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
ρx
(%)
1,649
1,571
1,582
1,575
1,571
1,584
ρy
(%)
0,1934
0,1842
0,1855
0,1847
0,1842
0,1857
fc
(MPa)
43,1
38,5
38,2
38,1
42,0
43,5
εo
(10-3)
2,31
1,89
2,10
1,89
2,27
2,15
fyx
(MPa)
604
604
604
604
604
604
fyy
(MPa)
529
529
529
529
529
529
τfissuração
(MPa)
3,41
3,84
2,36
1,747
1,186
0,754
τruina
(MPa)
4,81
4,31
3,21
3,21
3,04
2,47
Observações: Painéis quadrados de 89 cm de largura e 7 cm de espessura, diâmetro máximo do agregado de
10,0 mm e módulo de elasticidade das armaduras de 200 GPa.
Conforme pode-se observar pela Tabela 1, o painel PL4 apresentou uma relação entre as
forças axiais na direção x e a força cortante numa taxa igual a -2,8. A primeira fissura foi registrada
para uma carga de 3,41 MPa, conforme ilustra a Figura 4 (a), e foi quase paralela à direção de
aplicação da força axial de compressão, com uma abertura em torno de 0,5 mm. Quase ao mesmo
tempo surgiu uma outra fissura paralela à primeira fissura, porém com uma abertura mais reduzida,
em torno de 0,05 mm. Conforme o carregamento foi sendo aumentado não registrou-se o
aparecimento de novas fissuras e a maioria das deformações se concentraram na abertura da
primeira fissura. O painel rompeu para a carga de 4,81 MPa devido à ruptura da armadura
transversal e devido ao escorregamento na fissura, conforme ilustra a Figura 4 (b).
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4
(a)
(b)
Figura 4 - (a) Fissuração inicial e (b) ruptura do painel PL4 ensaiado por XIE (2009)
No painel PL1 a relação entre as forças axiais na direção x e as forças cortantes foi -2,0
sendo que as primeiras fissuras se deram para uma tensão de cisalhamento de 3,84 MPa, conforme
ilustra a Figura 5 (a). As múltiplas fissuras apareceram simultâneamente para um ângulo de
inclinação entre 20 e 30o e possuíam abertura em torno de 0,7 mm. Conforme as forças foram sendo
aumentadas, mais fissuras paralelas foram se desenvolvendo, sempre de maneira distribuída pelo
painel. Para a tensão de cisalhamento de 4,31 MPa o painel finalmente chegou a ruina, tendo-se em
vista a ruptura da armadura transversal e o deslizamento das partes ao longo da fissura crítica, que
ao final do processo teve cerca de 1,7 mm de abertura. A Figura 5 (b) ilustra a ruína do painel PL1.
(a)
(b)
Figura 5 - (a) Fissuração inicial e (b) ruptura do painel PL1 ensaiado por XIE (2009)
No painel PL2 a relação entre as forças axiais na direção x e as forças cortantes foi -1,0. As
primeiras fissuras foram verificadas para uma tensão de cisalhamento de 2,07 MPa, com abertura
em torno de 0,1 mm e inclinação de aproximadamente 50o. Acredita-se que essa fissura tenha sido
provocada por momentos acidentais ao invés dos carregamentos intencionais de membrana.
Conforme as tensões foram sendo aumentadas, uma nova fissura com inclinação de 30o e abertura
de 0,1 mm apareceu para uma tensão de cisalhamento em torno de 2,96 MPa, conforme ilustra a
Figura 6 (a). Conforme o carregamento foi sendo aumentado, novas fissuras paralelas a esta
última foram sendo desenvolvidas. A maior fissura foi registrada para a carga de 2,67 MPa no
centro do painel e a mesma continuou a se abrir até que foi registrada a ruína do painel. O painel
PL2 chegou a ruptura para a tensão de cisalhamento de 3,21 MPa, devido à ruptura da armadura
transversal. A abertura de fissura antes da ruína foi superior a 1,4 mm e a inclinação em torno de
30o. A fissuração no momento da ruína é ilustrada na Figura 6 (b).
Anais do VIII Encontro Tecnológico de Engenharia Civil e Arquitetura
5
(a)
(b)
Figura 6 - (a) Fissuração inicial e (b) ruptura do painel PL2 ensaiado por XIE (2009)
O painel PL5 foi submetido a cisalhamento puro e a primeira fissura foi registrada para a
tensão cisalhante de 1,747 MPa, numa inclinação de 35o e abertura em torno de 0,4 mm. Com o
aumento do carregamento, novas fissuras se desenvolveram, porém com um ângulo em torno de
45o, conforme ilustra a Figura 7 (a). Essas fissuras eram paralelas e acompanhadas de fissuras
secundárias. No final do ensaio as fissuras se uniram de maneira a formar a fissura de ruína ao
cisalhamento, para uma tensão em torno de 3,21 MPa e inclinação de 40o. A ruína, ilustrada na
Figura 7 (b), mais uma vez foi devido à ruptura da armadura transversal, com uma abertura máxima
de fissura em torno de 1,05 mm antes da ruína.
(a)
(b)
Figura 7 - (a) Fissuração inicial e (b) ruptura do painel PL5 ensaiado por XIE (2009)
No painel PL3 a relação entre as forças axiais na direção x e as forças cortantes foi 1,0 e o
painel estava pré-fissurado antes do ensaio, possivelmente devido à fissuras de retração e momentos
acidentais ocorridos durante a instalação. A abertura dessas fissura era de aproximadamente 0,15
mm, para uma inclinação em torno de 45o, conforme ilsutra a Figura 8 (a). Conforme as cargas
foram sendo aplicadas, mais fissuras foram sendo desenvolvidas, sempre para ângulos maiores ou
iguais a 45o. Finalmente, as fissuras se uniram de maneira a formar uma fissura maior que originou
a ruína do painel por cisalhamento. A ruína foi registrada para a tensão de cisalhamento de 3,04
MPa, para uma inclinação de 45o e abertura de 1,1 mm anteriormente à ruptura, conforme ilustra a
Figura 8 (b).
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6
(a)
(b)
Figura 8 - (a) Fissuração inicial e (b) ruptura do painel PL3 ensaiado por XIE (2009)
No painel PL6 a relação entre as forças axiais na direção x e as forças cortantes foi 3,0. As
primeiras fissuras foram verificadas nos primeiros estágios de carregamento e eram praticamente
perpendiculares à direção de aplicação das forças axiais. Conforme o carregamento foi sendo
aumentado, Figura 9 (a), a inclinação das fissuras, que era de 45o, começou a diminuir. Finalmente,
para a tensão cisalhante de 2,47 MPa foi registrada a ruína do painel, Figura 9 (b), devido à ruptura
da armadura transversal. A abertura de fissura previamente à ruína foi superior a 1,0 mm e a
inclinação da fissura principal foi de 45o. Finalmente, a armadura longitudinal estava severamente
solicitada no momento da ruptura.
(a)
(b)
Figura 9 - (a) Fissuração inicial e (b) ruptura do painel PL6 ensaiado por XIE (2009)
4. DESCRIÇÃO DOS MODELOS NUMÉRICOS
Uma vez entendido o processo de definição das condições de contorno e dos mecanismos
envolvidos na fissuração e ruína experimental dos painéis, partiu-se para a construção dos modelos
numéricos no programa ATENA 2D ((Cervenka & Cervenka (2003, 2005)).
XIE (2009) ensaiou numericamente os paineis ora aqui investigados utilizando os softwares
Membrane 2000 (Bentz (2000)) e Vector2 (Wong & Vecchio (2003)). O pesquisador revela que
para os painéis submetidos à compressão, o programa Vector2 forneceu previsões superiores
àquelas obtidas com o programa Membrane 2000. No programa Membrane 2000, quando um painel
está solicitado por tensões de cisalhamento superiores a 3,0 MPa, a carga máxima prevista pósfissuração é menor do que a carga que propiciou as primeiras fissuras, tal como ocorre no ensaio
experimental com deformações controladas. No caso do programa Vector2, a resistência pósfissuração não pode ser obtida quando a mesma é inferior à carga que provocou as primeiras
fissuras, uma vez que a simulação é feita com carregamento controlado.
Anais do VIII Encontro Tecnológico de Engenharia Civil e Arquitetura
7
No caso do programa ATENA2D, a aplicação dos carregamentos foi feita através de
carregamento controlado, de maneira que não foi possível obter cargas de ruptura inferiores às
cargas que propiciaram a fissuração. Dessa maneira, para fins de comparação com os resultados
obtidos experimentalmente e numericamente por XIE (2009), será considerado que a carga de
fissuração dos painéis é a carga máxima que pode ser assumida para os mesmos. A Figura 10 ilustra
a malha de elementos finitos, isto é, o elemento único utilizado para a modelagem dos painéis.
Figura 10 - Elemento finito utilizado no programa ATENA2D para simular os painéis
Conforme pode-se observar pela Figura 10, o elemento finito possui quatro nós, sendo que
os mesmos são utilizados para se definir os carregamentos e as reações de apoio. Observa-se que foi
adotado um apoio de segundo gênero para o nó 1 e um apoio de primeiro gênero para o nó 2. A
Tabela 2 apresenta as coordenadas nodais e suas respectivas restrições, enquanto a Tabela 3
apresenta os carregamentos nodais aplicados para cada situação ensaiada experimentalmente. O
Quadro 1, por sua vez, apresenta as definições utilizadas na definição do modelo constitutivo.
Tabela 2 - Coordenadas nodais definidas no programa ATENA2D
Nó
1
2
3
4
X (m)
0,00
0,89
0,89
0,00
Y (m)
0,00
0,00
0,89
0,89
Vinculação
Restrição em X e Y
Restrição em Y
Livre
Livre
Tabela 3 - Carregamentos nodais definidos no ATENA2D
Nó 2
Nó 3
Nó 4
Fx
Fy
Fx
Fy
Fx
Fy
PL4
-1,9
0,0
-0,9
0,5
1,9
-0,5
PL1
-1,5
0,0
-0,5
0,5
1,5
-0,5
PL2
-1,0
0,0
0,0
0,5
1,0
-0,5
PL5
-0,5
0,0
0,5
0,5
0,5
-0,5
PL3
0,0
0,0
1,0
0,5
0,0
-0,5
PL6
1,0
0,0
2,0
0,5
-1,0
-0,5
Quadro 1 - Definição do modelo constitutivo do programa ATENA2D
Regime
Compressão
Tração
Biaxial
Fissuração
Comportamento
Pre-Peak Response
Post-Peak Response
Critical Compressive Displacement
Tensile Strenght
Tension Stiffening
Tension Softening
Fracture Energy
Tension-Compression Interaction
Crack Model
Anais do VIII Encontro Tecnológico de Engenharia Civil e Arquitetura
Modelo
CEB-FIP 90
Crush Band (van Mier)
0,0005 mm
ft = 0,24.(fc/0,85)2/3
Não considerado
Exponencial
Gf = 0,000025.ft
Linear
Rotating Crack Model
8
5. RESULTADOS OBTIDOS
Após a definição das propriedades dos materiais, das condições de contorno, dos estados de
carregamento e da malha de elementos finitos, partiu-se para a simulação computacional dos painéis
ensaiados por XIE (2009). A Tabela 4 procura apresentar a comparação dos resultados obtidos por
XIE (2009), bem como através de simulações utilizando o programa ATENA2D.
Conforme pode-se observar pela Tabela 4, os programas Vector2 e ATENA não conseguem
obter uma carga de ruína inferior à carga que propiciou a fissuração, uma vez que o carregamento é
controlado. Nesse caso, assume-se que a carga que provocou fissuração é a carga de ruína para os
casos em que não pode ser obtida uma carga superior àquela que provocou a fissuração. Observa-se
que é dificil a obtenção dos resultados após a fissuração, uma vez que o painel deixa de apresentar
tensões uniformes e diferentes valores aparecem nos nós do elemento de malha adotado.
Tabela 4 - Resultados de fissuração e ruína para os painéis ensaiados por XIE (2009)
PL4
vfissuração
fx,fissuração
vúltimo
fx,último
PL1
vfissuração
fx,fissuração
vúltimo
fx,último
PL2
vfissuração
fx,fissuração
vúltimo
fx,último
PL5
vfissuração
fx,fissuração
vúltimo
fx,último
PL3
vfissuração
fx,fissuração
vúltimo
fx,último
PL6
vfissuração
fx,fissuração
vúltimo
fx,último
* Unidades em MPa.
Experimental
3,41
-9,48
4,81
-13,24
Experimental
3,84
-7,69
4,81
-8,66
Experimental
2,36
-2,38
3,21
-3,22
Experimental
1,747
0,00
3,21
0,00
Experimental
1,186
1,180
3,04
3,05
Experimental
0,754
2,35
2,47
7,36
Membrane
5,40
-15,08
4,82
-13,59
Membrane
4,29
-8,55
3,76
-7,56
Membrane
3,09
-3,12
3,09
-3,12
Membrane
2,71
0,00
2,71
0,00
Membrane
2,63
2,61
2,63
2,61
Membrane
2,05
6,16
2,05
6,18
Vector2
6,28
-17,58
6,28
-17,58
Vector2
4,61
-9,22
4,61
-9,22
Vector2
3,19
-3,19
3,19
-3,19
Vector2
2,64
0,00
2,64
0,00
Vector2
2,42
2,40
2,42
2,40
Vector2
2,04
6,18
2,04
6,18
ATENA
4,51
-11,43
4,51
-11,43
ATENA
3,72
-6,66
3,72
-6,66
ATENA
2,81
-2,51
2,81
-2,51
ATENA
1,94
0,00
ATENA
1,34
1,21
1,34
1,21
ATENA
1,90
7,04
Conforme mencionado, o estado de tensão aplicado nos painéis é uniforme até a ocorrência
da fissuração. Após isso, observa-se uma modificação significativa nos níveis de tensão internos ao
elemento de malha. A Figura 11 procura apresentar o estado de tensão de cisalhamento para o
Painel PL4, para passos de carga antes e após a ocorrência da fissuração. Conforme pode-se
observar, a fissuração gera um estado de tensão não-uniforme no elemento finito.
Anais do VIII Encontro Tecnológico de Engenharia Civil e Arquitetura
9
(a)
(b)
Figura 11 - Tensão de cisalhamento no painel PL4 (a) antes da fissuração e (b) após a
fissuração
Para algumas situações foi possível obter a aplicação de carregamentos superiores àqueles
que provocaram a fissuração. No entanto, a interpretação dos resultados é dificultada tendo-se em
vista a grande variação dos valores de tensão nos nós do elemento de malha, conforme ilustra a
Figura 11 (b). Essa situação ilustra o quanto é difícil a interpretação de resultados provenientes de
análises numéricas, especialmente no caso de painéis submetidos a esforços membranais.
6. CONCLUSÕES
A análise numérica de elementos de membrana não é uma tarefa trivial como aparenta ser a
princípio. Devido ao efeito de abrandamento da resistência à compressão do concreto
("compression softening"), bem como pela resistência ao cisalhamento promovida pelo efeito pino
("dowel action") e pelo intertravamento dos agregados ("aggreggate interlocking"), a análise
numérica requer uma fundamentação robusta de maneira a capturar o comportamento de peças
sujeitas ao cisalhamento.
O programa ATENA2D se constitui em um dos softwares mais avançados atualmente para a
simulação de estruturas em concreto estrutural (concreto simples, armado e protendido),
constituindo-se em um verdadeiro laboratório virtual. Tal característica é basicamente decorrente da
implementação de modelos fundamentados na Mecânica da Fratura ("Fracture Mechanics") e na
Teoria Modificada dos Campos de Tensão ("Modified Compression Field Theory").
As análises ora aqui efetuadas demonstraram que o programa ATENA2D é capaz de
capturar com grande precisão o comportamento de painéis de concreto armado sujeitos a esforços
membranais. A dificuldade de obtenção de cargas de ruína após a captura das cargas de fissuração
pode ser justificada na adoção de carregamentos controlados ao invés de deformações controladas,
conforme é usual em ensaios experimentais. Tal dificuldade pode ser superada avaliando-se quais
deformações correspondem aos estados de carregamento por meio de novas simulações.
Finalmente, deve-se relatar as dificuldades para simular computacionalmente o ensaio
experimental, principalmente no que se refere à definição das condições de contorno. A necessidade
de se adotar um único elemento com forças e restrições adequadas aplicadas aos nós não é uma
atividade óbvia em num primeiro momento, necessitando de um estudo muito cuidadoso. Observase que a estratégia ora aqui efetuada levou a uma boa correspondência entre o ensaio experimental e
o ensaio numérico, certificando assim as condições de contorno adotadas.
Anais do VIII Encontro Tecnológico de Engenharia Civil e Arquitetura
10
AGRADECIMENTOS
O autor gostaria de expressar seu profundo agradecimento ao CNPq (Conselho Nacional de
Pesquisa) e à Fundação Araucária pelos investimentos financeiros necessários ao desenvolvimento
da presente pesquisa.
REFERÊNCIAS
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Toronto, Department of Civil Engineering, 2000.
CERVENKA, V.; CERVENKA, J.. “ATENA Program Documentation – Part 2-1: User’s Manual for
ATENA2D”, Prague, República Theca, 2003.
CERVENKA, V.; CERVENKA, J.. “ATENA Program Documentation – Part 2-2: User’s Manual for
ATENA3D”, Prague, República Theca, 2005.
COLLINS, M. P., VECCHIO, F. J., MEHLHORN, G. An international competition to predict the
response of reinforced concrete panels. Canadian Journal of Civil Engineering, v.12, n.03, p.626-644,
1985.
COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. CEB-FIP Model Code 1990. Thomas Telford Services
Ltd, London, 1993.
FIALKOW, M. N. Compatible stress and cracking in reinforced concrete membranes with
multidirectional reinforcement. ACI Structural Journal, v.88, n.4, p. 445-457, 1991.
GUPTA, A. K. Combined membrane and flexural reinforcement in plates and shells. ASCE Journal of
the Structural Division, v.112, n.3, p.550-557, 1986.
GUPTA, A. K. Membrane reinforcement in concrete shells: a review. Nuclear Engineering and Design,
v.82, p.63-75, 1984.
LOURENÇO, P. J. B. B., FIGUEIRAS, J. A. Automatic design of reinforcement in concrete plates and
shells. Engineering Computations, v.10, n.6, p. 519-541, 1993.
LOURENÇO, P. J. B. B., FIGUEIRAS, J. A. Solution for the design of reinforced concrete plates and
shells. Journal of Structural Engineering, v.121, n.5, p.815-823, 1995.
NIELSEN, M. P. Limit analysis and concrete plasticity. Prentice-Hall Series in Civil Engineering, New
Jersey, Englewood Clifs, 1984.
REGAN, P. Structural concrete – textbook on behaviour, design and performance. Boletim n°2, v.2,
1999, CEB-FIB.
VECCHIO, F. J.; COLLINS, M. P. The modified compression field theory for reinforced concrete
elements subjected to shear. ACI Journal, v.83, n.22, p.219-231, 1986.
WONG, P. S.; VECCHIO, F. J.. Vector2 & Formworks User’s Manual, 2003.
XIE, L.. The influence of axial load and prestress on the shear strength of web-shear critical reinforced
concrete elements. Phd Thesis, University of Toronto, 2009.
Anais do VIII Encontro Tecnológico de Engenharia Civil e Arquitetura
11
Dimensionamento Automático de Elementos de Membrana em Concreto
Armado Utilizando o Modelo “Equilibrium Plasticity Truss”
Automatic Design of Reinforced Concrete Membrane Elements Using the “Equilibrium
Plasticity Truss Model”
Rafael Alves de Souza (1)
(1) Professor Doutor, Departamento de Engenharia Civil, Universidade Estadual de Maringá
Av. Colombo, 5790 – Jardim Universitário – Bloco C67 – Sala 219 – Maringá – PR – CEP 87020-900
Resumo
A análise e o dimensionamento de elementos retangulares em concreto estrutural submetidos à ação de
forças cortantes e forças axiais (elementos de membrana) atuantes em seu próprio plano não é tão trivial
como parece a princípio. Além disso, a segurança de construções complexas tais como plataformas offshore, usinas nucleares, paredes de edifícios, silos, coberturas em casca e vigas de grandes pontes
dependem fortemente do correto dimensionamento desses elementos. Dessa maneira, o presente trabalho
tem por objetivo apresentar uma ferramenta computacional de simples utilização, desenvolvida para o
dimensionamento de elementos de membrana em concreto estrutural com base no modelo "Equilibrium
Plasticity Truss".
Palavra-Chave: Elementos de membrana, concreto armado, dimensionamento,
Abstract
Both analysis and design of rectangular elements of reinforced concrete only subjected to the action of shear
and axial forces (membrane elements) is not as straightforward as it can be supposed at a first sight.
Furthermore, the safety of complex structures like offshore platforms, nuclear containments vessels, shear
walls of high-rise buildings, silos, shell roofs and box bridges depend on the correct design of these
elements. Therefore, the present paper aims at presenting a computational tool of simple utilization,
especially developed for design reinforced concrete membrane elements, based on the "Equilibrium
Plasticity Truss Model".
Keywords: Membrane elements, reinforced concrete, design
ANAIS DO 52º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2010 – 52CBCxxxx
1
1 Introdução
O presente trabalho tem por objetivo o dimensionamento automático de elementos
retangulares de concreto armado submetidos no próprio plano a forças normais e de
cisalhamento, isto é, elementos de membrana. Estes elementos podem ser utilizados para
modelar estruturas complexas, conforme ilustra a Figura 1.
Figura 1 – Estruturas idealizadas como sendo um conjunto de elementos de membrana
VECCHIO & COLLINS (1986))
A maioria das soluções conhecidas e utilizadas para o dimensionamento de elementos
de membrana foi obtida através da verificação das condições de equilíbrio e de
resistência, conduzindo a um dimensionamento seguro, baseado no “Teorema Inferior da
Teoria da Plasticidade”. Dentro dessa linha, merecem destaque os trabalhos de GUPTA
(1984, 1986), NIELSEN (1984), FIALKOW (1991), CEB-FIP MODEL CODE 1990 (1993),
LOURENÇO & FIGUEIRAS (1993, 1995) e REGAN (1999).
Apesar do problema de dimensionamento estar bem resolvido, deve-se ressaltar que as
alternativas de solução não são suficientemente conhecidas e difundidas no meio prático.
Além disso, o problema de verificação de elementos de membrana, isto é, a análise do
comportamento de um elemento plano armado e sujeito a ações no próprio plano não é
um problema trivial e requer a resolução simultânea de um grande número de equações.
De acordo com VECCHIO & COLLINS (1986), a análise de um elemento de membrana é
dificultada devido ao fato de que novas fissuras podem ser formadas, fissuras préexistentes podem se propagar e até mesmo se fechar, e um sistema estrutural
constituído por núcleos de concreto conectados pelas barras das armaduras tende a se
formar sob a ação de determinados carregamentos. Além disso, os núcleos de concreto
tendem a se unir nas superfícies rugosas existentes na interface das fissuras, podendo
assim transmitir cisalhamento e compressão nos pontos em contato.
ANAIS DO 52º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2010 – 52CBCxxxx
2
VECCHIO et al (1985) relatam que numa competição internacional, com a participação
de 43 líderes mundiais em pesquisa sobre simulações numéricas aplicadas a painéis de
concreto, não foi possível prever o comportamento carga versus deslocamento com uma
margem de erro inferior a 15%. Os ensaios com painéis de concreto armado ficaram
conhecidos na literatura como “Ensaios de Toronto”.
Ficou evidente que o insucesso das previsões era fortemente dependente das relações
tensão-deformação empregadas, as quais basicamente ignoravam a resistência à tração
do concreto. Com base nos resultados experimentais da competição realizada,
VECCHIO & COLLINS (1986) propuseram o modelo “Modified Compression Field Theory
(MCFT)”, que é basicamente uma versão mais refinada do modelo “Compression Field
Theory (CFT)” ou “Mohr Compatibility Truss”, desenvolvido previamente por COLLINS
(1973).
De maneira resumida, no modelo MCFT passou-se a considerar a resistência à tração do
concreto entre fissuras, fato esse que não era considerado no modelo CFT. Além disso,
verificou-se que o concreto sujeito a tensões de tração na direção perpendicular aos
campos principais de compressão possuía resistência inferior a corpos-de-prova
ensaiados à compressão simples.
Apesar de verificada uma grande evolução na previsão do comportamento dos
elementos de membrana utilizando o MCFT, deve-se observar que essa ainda não é um
modelo consensual. Dessa maneira, há outros modelos que fazem frente ao MCFT, entre
eles, aqueles derivados de resultados experimentais efetuados por PANG & HSU (1995)
e PANG (1991), que ficaram conhecidos na literatura como “Ensaios de Houston”.
Entre os modelos originados dos “Ensaio de Houston” estão o “Rotating-Angle Softened
Truss Model (RA-STM)”, descrito em maiores detalhes em PANG & HSU (1992) e o
“Fixed-Angle Softened Truss Model (FA-STM)”, descrito em PANG & HSU (1996) e HSU
& ZHANG (1997). Esse modelos são conhecidos de maneira genérica como “Softened
Truss Models”.
Apesar de potentes, os modelos abordados anteriormente são incapazes de descrever o
comportamento pós-pico de elementos membranais, tendo-se em vista a hipótese
comumente assumida de que o efeito Poisson pode ser desprezado. Mais recentemente,
HSU & ZHU (2002), baseados nos ensaios de ZHU (2000) sobre o referido efeito
Poisson, propuseram o “Softened Membrane Model (SMM)”, que é capaz de capturar o
comportamento pós-pico de elementos membranais.
Além dos modelos derivados dos Ensaios de Toronto e Houston, há ainda os modelos
conhecidos como “Crack Membrane Model (CMM)” proposto por KAUFMANN & MARTI
(1998) e “Distributed Stress Field Model (DSFM)” proposto por VECCHIO (2000). Devese observar que todos modelos mencionados se constituem em modelos de análise,
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3
sendo que a quantidade de armaduras deve ser previamente conhecida para a
realização de simulações numéricas. Além disso, a implementação numérica dos
modelos é normalmente complexa e sofre com a falta de informações mais efetivas e
detalhadas na literatura disponível.
Quando além dos esforços de membrana existem os esforços decorrentes da Teoria das
Placas Delgadas, isto é, aqueles esforços associados com a flexão do elemento, pode-se
generalizar as soluções citadas anteriormente, tornando a situação de análise ainda mais
complexa, conforme atestam os trabalhos de LOURENÇO (1992), LOURENÇO &
FIGUEIRAS (1993, 1995), CEB-FIP MODEL CODE 1990 (1993), REGAN (1999) e
DELLA BELLA & CIFÚ (2000).
Tendo em vista a dificuldade do meio prático em obter respostas, tanto na análise quanto
no dimensionamento de elementos de membrana, procurou-se desenvolver uma
ferramenta computacional simples para auxiliar o engenheiro de estruturas nas
atividades mencionadas anteriormente.
O programa MEDEA RC (“Membrane Design and Analysis for Reinforced Concrete”) foi
inicialmente desenvolvido utilizando a linguagem Delphy e tem como características
principais as potencialidades de dimensionamento e análise de elementos de membrana
em concreto armado. No presente trabalho, em especial, apresenta-se o módulo de
dimensionamento, baseado no modelo “Equilibrium Plasticity Truss”, descrito em maiores
detalhes em HSU (1993).
A seguir são apresentadas as principais características do módulo de dimensionamento
criado, bem como, um exemplo prático dimensionamento. De maneira geral, observa-se
que o programa desenvolvido conduz a resultados muito confiáveis, otimizando de
maneira significativa o dimensionamento de elementos de membrana em concreto
estrutural.
2 Equações de Equilíbrio
Seja o elemento de concreto apresentado na Figura 2, armado longitudinalmente e
transversalmente e submetido à ação das tensões σl , σt e τlt. As tensões atuantes nas
escoras de concreto são dadas por σlc, σtc e τltc, enquanto que as tensões nas armaduras
distribuídas são dadas por ρlfl e ρtft.
As tensões principais do elemento de membrana em concreto armado são definidas por
σ2 e σ1, conforme os eixos 2-1 da Figura 2. O ângulo entre o eixo 1 e o eixo de referência
l será denotado por α2. As tensões principais para as escoras de concreto são definidas
como sendo σd e σr, baseando-se nos eixos d-r também apresentados na Figura 2. O
ângulo entre d e l é denominado ângulo α.
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4
Figura 2 – Equilíbrio de elemento de membrana em concreto armado
De acordo com HSU (1993), pode-se facilmente demonstrar que o conjunto de tensões
apresentado (σl, σt, τlt e σlc, σtc e τltc) satisfaz as equações de transformação, dadas pelas
Equações (1) a (3).
σ l = σ 2 cos 2 α + σ 1sen 2 α
σ t = σ 2 sen 2 α + σ1cos 2 α
τ lt = (−σ 2 + σ1 )sen α.cos α
(Equação 1)
(Equação 2)
(Equação 3)
Observa-se que o ângulo α2 depende apenas das relações existentes entre σl, σt e τlt.
Quando essas tensões aumentam proporcionalmente, não há mudança do ângulo α2,
que por essa característica passou a ser denominado de “fixed angle”. Por outro lado, o
ângulo α depende das quantidades relativas de armadura nas direções longitudinal e
transversal. Quando quantidades diferentes de armadura são utilizadas, o ângulo α tende
a rotacionar com o aumento do carregamento, sendo dessa maneira conhecido como
“rotating angle”.
Assumindo que as armaduras só podem suportar forças axiais e que o concreto é
responsável pelas forças cortantes e por parte das forças normais, as Equações (4) a (6)
podem ser escritas:
σ l = σ lc + ρ l f l
σ t = σ lc + ρ t f t
τ lt = τ ltc
(Equação 4)
(Equação 5)
(Equação 6)
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5
Uma vez que as tensões no concreto (σlc , σtc e τltc) devem satisfazer ao princípio de
transformação, pode-se representá-las em função das tensões principais σd e σr,
conforme as Equações (7) a (9):
σ lc = σ d cos 2 α + σ r sen 2 α
(Equação 7)
σ tc = σ d sen α + σ r cos α
(Equação 8)
τ lt = (−σ d + σ r )sen α.cos α
(Equação 9)
2
2
Substituindo as Equações (7), (8) e (9) nas Equações (4), (5) e (6), obtém-se as
equações de equilíbrio para um elemento de membrana em concreto armado:
σ l = σ d cos 2 α + σ r sen 2 α + ρ l f l
(Equação 10)
σ t = σ d sen α + σ r cos α + ρ t f t
τ lt = (−σ d + σ r )sen α.cos α
(Equação 11)
2
2
(Equação 12)
O estado de tensão do elemento de membrana em concreto armado, devido à aplicação
das tensões σl, σt e τlt é ilustrado pelo Círculo de Mohr da Figura 3. Nessa figura, pode-se
observar que o ponto A representa a face de referência l, sujeita às tensões σl e τlt,
enquanto o ponto C representa a face de referência t, sujeita às tensões σt e τlt. A tensão
principal σ2 está localizada a uma distância igual a 2.α2 do ponto A, contada no sentido
anti-horário. As tensões longitudinais e transversais nas armaduras são dadas por ρlfl e
ρtft, respectivamente.
Figura 3 – Círculo de Mohr para elemento de membrana em concreto armado
Observa-se que não há Círculo de Mohr para as tensões nas armaduras, uma vez que as
barras longitudinais e transversais não suportam força cortante. Finalmente, o estado de
tensão nas escoras é determinado a partir das equações (σlc = σl - ρlfl) e (σtc = σt - ρtft),
sendo que a tensão principal σd está localizada para um ângulo igual a 2.α contado no
sentido anti-horário a partir do ponto A.
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6
Uma vez que a tensão σr (tensão principal de tração no concreto) é normalmente uma
grandeza muito pequena, a tensão de compressão nas escoras de concreto, σd, pode ser
calculada a partir das tensões σl e σt e a partir das tensões ρlfl e ρtft, conforme ilustra a
Equação (13):
σ d + σ r = σ l + σ t - (ρ l f l + ρ t f t )
(Equação 13)
Adicionalmente, aplicando-se a relação trigonométrica σr. sen2 α = σr - σr.cos2 α nas
Equações (10), (11) e (12), expressões mais apropriadas para a análise de elementos de
membrana podem ser obtidas:
- σ l + ρ l f l + σ r = (−σ d + σ r ).cos 2 α
(Equação 14)
- σ t + ρ t f t + σ r = (−σ d + σ r ).sen α
(Equação 15)
τ lt = (−σ d + σ r ).sen α.cos α
(Equação 16)
2
O termo (-σd + σr ) pode ser ainda isolado na Equação (16) e substituído nas Equações
(14) e (15), de maneira a gerar novas expressões para o dimensionamento de elementos
de membrana em concreto armado.
- σ l + ρ l f l + σ r = τ lt cot α
- σ t + ρ t f t + σ r = τ lt tan α
1
(−σ d + σ r ) = τ lt .
sen α.cos α
(Equação 17)
(Equação 18)
(Equação 19)
3 Equilibrium Plasticity Truss Model
Com trabalhos baseados na “Teoria da Plasticidade”, NIELSEN (1967), LAMPERT &
THURLIMANN (1968) apud HSU (1996) chegaram às equações básicas de equilíbrio
para elementos de membrana sujeitos à força cortante e força normal, isto é, as
Equações (17) a (19).
Posteriormente, ELFEGREN (1972) elucidou a interação entre flexão, força cortante e
momento torçor, sendo que a soma desse trabalho com aqueles mencionados
anteriormente possibilitou a criação de um novo modelo denominado de “Equilibrium
Plasticity Truss Model” ou “Elfgren’s Compression Stress Field Theory”.
O “Equilibrium Plasticity Truss Model” leva em consideração as condições de equilíbrio e
de escoamento das armaduras. As condições de compatibilidade, bem como, as relações
constitutivas dos materiais não são levadas em conta nesse modelo, de maneira que
algumas deficiências podem ser identificadas, conforme a seguir:
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7
•
•
•
O modelo não leva em consideração condições de compatibilidade de
deformações e, dessa maneira, não possibilita a obtenção das deformações de
cisalhamento devidas à força cortante atuantes em um elemento de membrana;
O modelo não possibilita a previsão de deformações no aço ou no concreto, de
maneira que o escoamento das armaduras ou a ruptura das escoras não podem
ser racionalmente encontrados. Esse fato dificulta a obtenção do modo de ruína;
O modelo está focado principalmente na análise e dimensionamento em estado
limite último de Regiões B, isto é, regiões que seguem a Hipótese de Bernoulli de
seções planas com distribuição linear de deformações ao longo da seção
transversal.
Apesar das deficiências mencionadas anteriormente, o “Equilibrium Plasticity Truss” é um
modelo muito simples de ser programado computacionalmente. Graficamente também o
modelo é muito interessante, uma vez que as condições de equilíbrio satisfazem
plenamente as relações do Círculo de Mohr. Além disso, o modelo possibilita uma visão
bastante clara sobre a interação existente entre flexão, força cortante, torção e força axial
atuantes em elementos de concreto armado.
3.1 Dimensionamento Utilizando o Plasticity Truss Model
De acordo com HSU (1993), o dimensionamento das armaduras em elementos de
membrana de concreto armado utilizando o modelo “Equilibrium Plasticity Truss” é
baseado no escoamento das armaduras longitudinais e transversais. Assumindo que
fl = fly e ft = fty , então σl , σt e τlt podem ser denotados por σly , σty e τlty. Levando-se em
consideração o caso em que a resistência à tração do concreto é desprezada (σr = 0), as
equações de equilíbrio (Equações (17) a (19)) podem ser escritas da seguinte maneira:
ρ l f ly = σ ly + τ lty cot α
(Equação 20)
ρ t f ty = σ ty + τ lty tan α
(Equação 21)
(−σ d ) = τ lty .
1
sen α.cos α
(Equação 22)
Somando as Equações (20) e (21) e lembrando que (cot α + tan α = 1 / sen α. cos α),
tem-se a quantidade total de armaduras necessárias nas duas direções, conforme ilustra
a Equação (23):
ρ l f ly + ρ t f ty = σ ly + σ ty + τ lty
1
sen α. cos α
(Equação 23)
Analisando a Equação (23), pode-se constatar que a quantidade mínima total de
armadura será obtida quando da utilização de um ângulo α = 45°. Além disso, HSU
(1993) relata que este é o ângulo para o qual se obtém o melhor controle de fissuração.
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Dimensionar um elemento de membrana em concreto armado assumindo que α = 45°,
implica na obtenção das seguintes expressões, a partir das Equações (20) e (21):
ρ l f ly = σ ly + τ lty
(Equação 24)
ρ t f ty = σ ty + τ lty
(Equação 25)
Se o elemento de membrana estiver submetido a uma tensão de compressão transversal
σty, cujo valor seja maior do que τlty, então a Equação (21) fornecerá ρtfty < 0. Esse não é
um caso de dimensionamento válido e, nesse caso, o melhor a fazer é assumir que ρtfty =
0. Inserindo essa condição na Equação (21), obtém-se um ângulo α > 45°, conforme a
seguir:
tan α =
− σ ty
(Equação 26)
τ lty
Substituindo o ângulo obtido na Equação (26) na Equação (21), obtém-se a quantidade
necessária de armadura longitudinal. Se o resultado da Equação (27) for negativo, então
conclui-se que as armaduras distribuídas não são necessárias nas duas direções
ortogonais.
ρ l f ly = σ ly +
τ2
lty
- σ ly
(Equação 27)
Por outro lado, se o elemento estiver solicitado por uma tensão de compressão
longitudinal σly, cujo valor seja maior do que τlty, então a Equação (20) fornecerá ρlfty < 0.
Esse não é novamente um caso de dimensionamento válido e, portanto, assume-se que
ρlfty = 0. Inserindo essa condição na Equação (20), obtém-se um ângulo α < 45°:
cot α =
− σ ly
(Equação 28)
τ lty
Substituindo o ângulo obtido na Equação (28) na Equação (21), obtém-se a quantidade
necessária de armadura transversal:
ρ t f ty = σ ty +
τ2
lty
- σ ly
(Equação 29)
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Se o resultado da Equação (29) for negativo, então conclui-se que as armaduras
distribuídas não são necessárias nas duas direções ortogonais. Na prática,
evidentemente, uma quantidade mínima de armadura é sempre atribuída, visando
controlar a fissuração decorrente de efeitos como retração e temperatura.
3.2 Dimensionamento Automático Utilizando MEDEA RC
Objetivando a obtenção de respostas rápidas quanto à análise e dimensionamento de
elementos de membrana, concebeu-se o programa MEDEA RC (“Membrane Design and
Analysis for Reinforced Concrete”).
Inicialmente desenvolvido no ambiente Borland Delphy, versão 3.0, o programa MEDEA
RC foi criado de maneira a se constituir numa ferramenta extremamente prática para
engenheiros de estruturas, preocupados com o dimensionamento e análise de regiões
complexas em concreto estrutural que possuam comportamento membranal. A Figura 4
apresenta a interface inicial do programa.
Figura 4 – Tela de entrada do programa MEDEA RC
Selecionando-se a opção “Design” na tela de entrada do programa MEDEA RC,
conforme ilustra a Figura 4, será iniciado o subprograma MEDEA RC_Design, que possui
sua formulação baseada no modelo “Equilibrium Plasticity Truss”. Por outro lado,
selecionando a opção “Analysis” será ativado o módulo MEDEA RC_Analysis, cuja
formulação se baseia no modelo “Mohr Compatibility Truss”.
Conforme pode-se observar pela Figura 5, uma vez selecionada a opção “Design” o
programa possibilitará o dimensionamento das armaduras utilizando dois critérios de
cálculo. A primeira alternativa possibilita determinar a quantidade mínima de armação
(armaduras diferenciadas nas duas direções), enquanto a segunda alternativa prevê o
escoamento simultâneo das armaduras (armaduras iguais nas duas direções). Após a
seleção de um dos métodos de cálculo, o usuário deve então definir as tensões atuantes,
as propriedades dos materiais e a espessura do elemento de membrana.
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Figura 5 – Tela de entrada do subprograma MEDEA RC_Design
Observa-se que a introdução indireta de coeficientes de segurança na presente
formulação é o que diferencia o programa MEDEA RC da formulação clássica do
“Equilibrium Plasticity Truss Model” proposta por HSU (1993). Basicamente, o programa
é alimentado com as tensões atuantes e com as resistências dos materiais com os seus
respectivos valores de cálculo para a quantificação das armaduras.
A ruína de um elemento estrutural em membrana, assim com em outros tipos de
estruturas em concreto estrutural, também deve ser precedida por uma ampla fissuração.
Normalmente isso pode ser conseguido através do fornecimento adequado de uma taxa
mínima de armadura. De acordo com MARTI et alli (1998), através de adaptações na
formulação proposta no EUROCODE 2 (1991), essa taxa fica em torno de 0,3 a 0,5%
para elementos de membrana. Com base nessa informação, o módulo MEDEA
RC_Design considera uma taxa mínima de armadura, para cada uma das duas direções
ortogonais, igual a 0,5%.
Pressionando o botão “Design”, apresentado ao lado direito da tela de entrada da Figura
5, os cálculos de dimensionamento serão iniciados pelo programa. São fornecidos os
seguintes resultados após o processamento dos dados de entrada: caso de
carregamento atuante conforme ações descritas, ângulos principais para as tensões
atuantes no concreto armado e nas escoras de concreto, quantidade necessária de
armadura longitudinal e transversal, quantidade mínima de armadura longitudinal e
transversal, nível de tensão absorvido pelo concreto, tensões principais atuantes no
concreto, nível de tensão nas armaduras e tensões principais finais no elemento de
concreto armado.
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Selecionando a opção “Analysis” no menu inicial do programa MEDEA RC, o módulo de
análise de desempenho de elementos membranais cujas armaduras sejam conhecidas
será ativado. Conforme mencionado, o modelo “Mohr Compatibility Truss” está
implementado no programa e, apesar de se tratar de um modelo simplório, respostas
rápidas para as condições de serviço podem ser obtidas. Com o programa pode-se obter
o nível de tensões nos materiais para um dado carregamento, bem como, o nível de
carregamento capaz de propiciar o escoamento das armaduras.
Atualmente, objetivando contar com um módulo de análise mais poderoso e ao mesmo
tempo dotado de recursos visuais mais eficazes, o programa MEDEA RC está migrando
da plataforma Delphy para a plataforma MATLAB. O modelo “Modified Compression Field
Theory” tem sido implementado no módulo MEDEA RC_Analysis, de maneira que
respostas além das condições de serviços poderão ser obtidas para elementos de
membrana dimensionados com o módulo MEDEA RC_Design. A Figura 6 apresenta a
interface gráfica do programa, sendo que os dados de entrada ilustrados referem-se ao
painel PV1 ensaiado por VECCHIO et alli (1985).
Figura 6 - Tela de entrada do módulo MEDEA RC_Analysis implementado no ambiente MATLAB
A Figura 7 apresenta alguns resultados obtidos com a implementação do modelo
“Modified Compression Field” no módulo MEDEA RC_Analysis. Os resultados
apresentados referem-se à simulação do painel PV1 cujos resultados são apresentados
em maiores detalhes por VECCHIO et alli (1985).
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Figura 7 - Resultados obtidos com o programa MEDEA RC_Analysis para o painel PV1 ensaiado por
VECCHIO et alli (1985)
Conforme pode-se observar, são fornecidos resultados gráficos informando as
deformações de cisalhamento, aberturas de fissuras e tensões nas armaduras em função
da tensão de cisalhamento aplicada no elemento. Além disso, o programa gera um
arquivo de saída de dados contemplando todas as informações das iterações efetuadas.
Adicionalmente ao MCFT, pretende-se implementar futuramente no módulo MEDEA
RC_Analysis, os modelos RA-STM e FA-STM. Dessa maneira, poderão ser
disponibilizadas tanto ferramentas de dimensionamento quanto de análise de elementos
membranais. Em futuros artigos serão abordadas as características de implementação
dos modelos “Mohr Truss Compatibility” e “Modified Compression Field Theory” no
módulo MEDEA RC_Analysis.
3.3 Exemplo de Dimensionamento Utilizando MEDEA RC
Seja um elemento de membrana com espessura h = 12 cm sujeito à ação das tensões
σl,d = 2,13 MPa (tração), σt,d = -2,13 MPa (compressão) e τlt,d = 3,70 MPa, conforme
ilustra a Figura 8. Pede-se dimensionar as armaduras longitudinais e transversais
utilizando o “Plasticity Equilibrium Truss Model”, bem como, calcular as tensões atuantes
nas barras, nas escoras de concreto e no elemento de membrana. Assumir o
escoamento das armaduras nas duas direções (fly,d = fty,d = 435 MPa), adotar mesma
quantidade de armadura nas duas direções (ρl = ρt ) e considerar fcd = 21,42 MPa.
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Figura 8 - Elemento de membrana dimensionado utilizando MEDEA RC_Design
Inicialmente, os parâmetros de entrada devem ser definidos no módulo MEDEA
RC_Design, conforme ilustrado na Figura 5. Em seguida, deve-se optar pela opção
“Minimum Total Steel” ou “Yielding of Both Reinforcement”. No primeiro caso, as
armaduras longitudinais e transversais apresentarão taxas diferentes nas duas direções,
enquanto que no segundo caso as armaduras ortogonais apresentarão taxas iguais. Uma
vez escohido o tipo de dimensionamento, o cálculo das armaduras pode então ser
iniciado pressionando-se o botão “Design”.
Os resultados obtidos para a opção “Yielding of Both Reinforcement” são apresentados
em maiores detalhes na Figura 9 (a). Conforme pode-se observar, a quantidade de
armadura necessária em ambas as direções é de 11,78 cm²/m, sendo essa quantidade
superior à quantidade mínima recomendada de 6,0 cm²/m.
(a)
(b)
Figura 9 - Resultados obtidos no programa MEDEA RC_Design (a) “Yielding of Both Reinforcement” e (b)
“Minimum Total Steel”
14
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Observa-se que para o nível de carregamento imposto, as escoras de concreto possuem
inclinação de 59,96o e nível máximo de tensão na ordem de 8,54 Mpa (compressão). O
dimensionamento pode ser considerado adequado, uma vez que o nível de tensão nas
escoras é muito inferior ao valor limite de 21,42 MPa fornecido como parâmetro de
entrada do programa.
Para o caso de dimensionamento adotando-se a opção “Minimum Total Steel” os
resultados são apresentados na Figura 9 (b). Conforme pode-se observar, a quantidade
de armadura necessária na direção longitudinal é de 16,08 cm²/m, enquanto que na
direção transversal é de apenas 4,33 cm²/m.
Observa-se dessa maneira, que na direção transversal se faz necessária a adoção da
quantidade mínima recomendada de 6,0 cm²/m. Além disso, observa-se que para o nível
de carregamento imposto, as escoras de concreto possuem inclinação de 45,00o
(conforme era esperado) e nível máximo de tensão de compressão na ordem de 7,40
MPa. O dimensionamento pode ser considerado adequado, uma vez que o nível de
tensão nas escoras também é inferior ao valor limite de 21,42 MPa.
Conforme pode-se observar, o módulo MEDEA RC_Design se constitui em uma
ferramenta simples e eficaz para o dimensionamento de elementos de membrana em
concreto armado. A implementação numérica elimina o trabalho oneroso de substituição
manual dos parâmetros nas equações bases de dimensionamento, fornecendo respostas
rápidas que facilitam a tomada de decisão.
Evidentemente, modelos mais complexos que contemplem o “Modified Compression
Field Theory” ou “Softened Truss Model” fornecem respostas mais realistas em relação
ao comportamento de elementos de membrana. No entanto, deve-se observar que para
a utilização das referidas teorias, as quantidades de armaduras devem ser previamente
conhecidas.
Como a atividade do engenheiro de estruturas é na maior parte do tempo de
dimensionamento e não de análise, programas baseados nas referidas teorias podem
levar a um processo de tentativa e erro, inviabilizando a obtenção de respostas rápidas
necessárias no cotidiano de um escritório de cálculo.
Dessa maneira, acredita-se que o módulo MEDEA RC_Design é uma ferramenta
eficiente para a determinação de armaduras em elementos de membrana, eventualmente
constituindo-se em uma espécie de pré-processador para a utilização de teorias mais
refinadas. Uma vez obtidas as armaduras dos elementos de membrana, pode-se então
aplicar programas baseados no “Modified Compression Field” ou no “Softened Truss
Models”, de maneira a comprovar ou refinar as armaduras obtidas num processamento
inicial utilizando o módulo MEDEA RC_Design.
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15
Finalmente, acredita-se que o módulo MEDEA RC_Design possa vir a contribuir de
maneira mais racional para o dimensionamento de elementos de membrana.
Evidentemente, para uma utilização eficaz do módulo desenvolvido, o usuário deve ter
familiaridade com programas baseados no Método dos Elementos Finitos (SOUZA &
BITTENCOURT (2006)), de maneira que as ações atuantes nos elementos de membrana
possam ser adequadamente estimadas.
4 Conclusões
A abordagem manual, no que se refere à análise e o dimensionamento de elementos de
membrana em concreto armado, constitui-se em um trabalho de grande dificuldade.
Porém, com a utilização de recursos computacionais o problema pode ser abordado de
uma maneira mais eficaz, fornecendo assim agilidade para o cálculo de estruturas
complexas.
Apesar do “Modified Compression Field” e do “Softened Truss Model” serem modelos
bastante eficazes para a análise de elementos de membrana, não pode-se dizer o
mesmo para as atividades de dimensionamento, que é a tarefa principal do calculista de
estruturas.
Dessa maneira, objetivando minimizar o processo de tentativa e erro de definição das
armaduras nas teorias referidas anteriormente, procurou-se desenvolver o programa
MEDEA RC, que se constitui em uma ferramenta de excelente eficácia, tanto para
análise quanto para dimensionamento de estruturas.
No caso específico do presente artigo, procurou-se descrever as potencialidades do
módulo MEDEA RC_Design, cuja fundamentação se baseia no modelo “Equilibrium
Plasticity Truss”. No caso de análise de elementos de membrana, o programa conta com
a implementação dos modelos “Mohr Compatibility Truss” e “Modified Compression
Field”.
Assim, caso se queira obter o real comportamento de um elemento de membrana, podese dimensionar o mesmo com o auxílio do programa MEDEA RC_Design e em seguida
verificar o desempenho utilizando o módulo MEDEA RC_Analysis. Os resultados obtidos
vão de encontro com os resultados descritos na literatura e, fundamentalmente, são
atrativos para a utilização no meio prático.
Modelos complementares como o “Rotating-Angle Softened Truss Model (RA-STM)” e o
“Fixed-Angle Softened Truss Model (FA-STM)” também serão implementados no
programa MEDEA RC, de maneira a oferecer outros modelos constitutivos aos usuários.
Finalmente, pretende-se desenvolver um ambiente único para análise e
dimensionamento de elementos de membrana, sendo que a migração para a plataforma
MATLAB se fará necessária, tendo-se em vista as maiores possibilidades de interação
com os usuários.
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Finalmente, espera-se que o presente trabalho possa ao menos gerar discussões iniciais
sobre a análise e dimensionamento de elementos de membrana em concreto estrutural
em futuras revisões do código brasileiro NBR6118 (2003), uma vez que o referido código
não contempla no presente momento nenhuma orientação nesse sentido.
Agradecimentos
O autor gostaria de expressar seu profundo agradecimento ao Cnpq (Conselho Nacional
de Pesquisa) e à Fundação Araucária, pelo incentivo e pelo investimento financeiro
necessários ao desenvolvimento da presente pesquisa.
5 Referências
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. “NBR 6118 – Projeto de
Estruturas de Concreto - Procedimento”, Rio de Janeiro, (2003).
COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. “CEB-FIP Model Code 1990”. London:
Thomas Telford Services Ltd., (1993).
DELLA BELLA, J. C.; CIFÚ, S.. “Critérios para Dimensionamento das Armaduras e
Verificação do Concreto em Estruturas Laminares Submetidas a Solicitações de
Chapa e Placa”. In: Congresso Brasileiro do Concreto, 42., Fortaleza, (2000).
ELFGREN, L.. “Reinforced Concrete Beams Loaded in Combined Torsion, Bending
and Shear”. Publication 71:3, Division of Concrete Structures, Chalmers University of
Technology, Göteborg, Sweden, (1972).
EUROCODE 2. “Design of Concrete Structures, Part 1-1: General Rules and Rules
for Buildings (ENV 1992-1-1)”, Comité Européen de Normalisation, Brussels, Belgium,
(1991).
FIALKOW, M. N.. “Compatible Stress and Cracking in Reinforced Concrete
Membranes with Multidirectional Reinforcement”. ACI Structural Journal, v.88, n. 4,
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GUPTA, A. K.. “Combined Membrane and Flexural Reinforcement in Plates and
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ANAIS DO 52º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2010 – 52CBCxxxx
17
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ANAIS DO 52º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2010 – 52CBCxxxx
18
5 – Artigos Publicados em Revistas Indexadas
1 - SOUZA, Rafael Alves de. Smeared Rotating Crack Model for Reinforced Concrete Membrane
Elements(Discussion). ACI Structural Journal, v. 108, n.03, p. 378-379, 2011.
2 - SOUZA, Rafael Alves de; PANTOJA, João da Costa; VAZ; Luiz Eloy. Distribution of Stirrups
Across Web od Deep Beams (Discussion). ACI Structural Journal, v.108, n.06, p.779-781.
DISCUSSION
Disc. 107-S40/From the July-August 2010 ACI Structural Journal, p. 411
Smeared Rotating Crack Model for Reinforced Concrete Membrane Elements. Paper by Vahid Broujerdian
and Mohammad Taghi Kazemi
Discussion by Rafael Alves de Souza
ACI member, PhD, Associate Professor, State University of Maringá, Maringá, Brazil
The authors have made significant contributions regarding
the analysis of reinforced concrete membrane elements.
Their best contributions are undoubtedly related to the
importance of considering the gradual yielding of steel bars
embedded in concrete and the reinforcement ratio effect in
the panels. As shown in the paper, the reinforcement ratio
can directly affect the maximum attainable compressive
stress and the average cracking strength of concrete. The
introduction of the aforementioned effects could explain
why some other models have presented some deficiencies
for simulating panels containing less than 0.1% reinforcement
in one direction or panels that were uniaxially reinforced.
Despite the quality of their research and their valuable
findings, the discusser found some additional issues that
should be addressed to clarify some topics and enhance the
overall comprehension of this interesting paper.
INTRODUCTION AND RESEARCH SIGNIFICANCE
The authors have proposed a new smeared orthotropic
rotating crack model for simulating reinforced concrete
membrane elements. As mentioned by the authors, the
smeared orthotropic models can be classified into fixed or
rotating crack models. In the fixed crack model, the direction
of the first crack is determined by the direction of the
principal tensile stresses that existed before cracking and this
direction is maintained fixedly with increasing proportional
load. On the other hand, in the rotating crack model, the
direction of the subsequent cracks after the first crack may
rotate due to the changes in the direction of the principal
stresses in the concrete, which in turn are dependent on the
amount of steel in the panels.
Despite the facilities for implementing a rotating crack
model, some researchers argue about the weakness of this
model regarding the contribution of concrete, which in turn
could be quantified using a fixed crack model. In fact, in the
discusser’s opinion, the real load-deformation response of a
membrane element is supposed to lie between the curves
generated by the fixed and rotating crack models. Rotating
crack models are supposed to underestimate strength and
stiffness, whereas the fixed crack model is expected to
overestimate strength and stiffness. Despite the aforementioned
observations, the authors presented very accurate predictions of
load-deformation responses using their rotating crack angle. In
their opinion, have they found an alternative way to include the
contribution of concrete in the rotating crack model?
MATERIAL MODEL
As mentioned by the authors, the behavior of an embedded
steel bar in concrete is different from that of a bare bar, and for
that reason they have proposed a trilinear stress-strain
relationship for a steel bar embedded in concrete. On the other
hand, taking into account that increasing the reinforcement
378
ratio increases both the maximum attainable compressive
stress and its corresponding strain in concrete increases, the
authors have proposed some functions based on the
coefficients α and μ. Both the trilinear stress-strain
relationship and the coefficients α and μ were determined
based on an extensive trial-and-error procedure conducted
with a very small number of panels. Do the authors believe
that trial-and-error procedures with only a small number of
panels are sufficient for describing the complex behavior of
membrane elements? The proposed model presented very
good accuracy, even for panels with less than 0.1%
reinforcement in one direction or panels that were uniaxially
reinforced. The discusser suggests to the authors applying
their model to a broad databank, however, also taking into
account some statistical background. The discusser
understands that there are few curves (load-displacement)
available in the literature, but a broad databank regarding
panel tests can be found in Bentz et al.33 The authors are to be
complimented for the inclusion of some basic concepts of
fracture mechanics in their model to extend their observations
to any panel dimension.
NONLINEAR ANALYSIS PROCEDURE
The described equilibrium and compatibility equations,
along with the proposed constitutive laws, form a system of
nonlinear equations that are suggested to be solved by the
flowchart presented in Fig. 6. The meaning of some of the
procedures and equations in this flowchart, however, are not
very clear. Also, the flowchart only shows how the stress and
strain values can be calculated in the elastic range. Could the
authors better explain Fig. 6 and how the strains are
calculated over the elastic range?
At first glance, the proposed model has facilities for
computational implementation when compared to the
modified compression field theory (MCFT), the softened
truss model (STM), and the disturbed stress field model
(DSFM). Is that assumption correct, or does the proposed
model also demand a great deal of time-consuming work for
its implementation? The discusser has also been working on
the implementation of rotating and fixed crack models for
simulating membrane elements, and this demands a lot of
procedures that are usually not provided in the literature.
It should be noted that there are no comments regarding
the crack widths in the paper. Therefore, crack widths
undoubtedly have a major importance for designers, taking
into account the verifications under service conditions. How
can the authors include the calculation of crack widths in
their model?
VALIDATION OF PROPOSED MODEL
As mentioned previously, the proposed model was
validated using only a few test panels. The main reason for
ACI Structural Journal/May-June 2011
this procedure is found in the limited number of loaddeformation curves available in the literature. The authors
are encouraged to apply their model to the tested panels of
Bentz34 and Xie,35 where it is possible to find relevant
information. Also, to compare their results and certify the
accuracy of their model, they may use some free available tools,
such as Membrane 200034 and WWW.36 The aforementioned
tools are available at http://www.ecf.utoronto.ca/~bentz and
http://mechanics.citg.tudelft.nl/rc, respectively.
CONCLUSIONS
The authors have presented a very interesting paper
concerning the analysis of reinforced concrete membrane
elements. The main advantages of the proposed model
include the consideration of the gradual yielding of steel bars
embedded in concrete and the reinforcement ratio effect in
the panels. The proposed equations, however, were tested
using a trial-and-error procedure with only a few available
test panels. Despite this fact, the obtained results have
demonstrated a good accuracy, including panels containing
less than 0.1% reinforcement in one direction or panels that
were only uniaxially reinforced. Therefore, in situations
where other prevailing smeared crack models suffered from
reduced accuracy, the proposed model has shown a good
performance. The authors are to be complimented for their
work and are encouraged to extend their research to a broad
databank. This way, they could certify the accuracy of their
proposed model.
REFERENCES
33. Bentz, E. C.; Vecchio, F. J.; and Collins, M. P., “Simplified Modified
Compression Field Theory for Calculating Shear Strength of Reinforced
Concrete Elements,” ACI Structural Journal, V. 103, No. 4, July-Aug.
2006, pp. 614-624.
34. Bentz, E. C., “Sectional Analysis of Reinforced Concrete Members,”
PhD thesis, Department of Civil Engineering, University of Toronto,
Toronto, ON, Canada, 2000.
35. Xie, L., “The Influence of Axial Load and Prestress on the Shear
Strength of Web-Shear Critical Reinforced Concrete Elements,” PhD
thesis, Department of Civil Engineering, University of Toronto, Toronto,
ON, Canada, 2009.
36. Hoogenboom, P. C. J., and Voskamp, W., “Performance-Based
Design of Reinforced Concrete Panels on the WWW,” Proceedings of the
Fourteenth International Offshore and Polar Engineering Conference,
Toulon, France, 2004, pp. 276-282.
Disc. 107-S40/From the July-August 2010 ACI Structural Journal, p. 411
Smeared Rotating Crack Model for Reinforced Concrete Membrane Elements. Paper by Vahid Broujerdian
and Mohammad Taghi Kazemi
Discussion by Andor Windisch
ACI member, PhD, Karlsfeld, Germany
The authors promise a smeared rotating crack model that
considers equilibrium, compatibility, and constitutive
material relationships. Examining Eq. (11) in the loading
case of pure shear—that is, fx = fy = 0—we find that the
tensile stress in the reinforcement is equilibrated through the
compressive stress in the concrete. Nevertheless, the
“compatibility requires that the longitudinal bars and the
cracked concrete have the same average longitudinal strain
of εx.” This would mean that the average compressive stress
in concrete belongs to a tensile strain. Please clarify.
Neglecting this quite serious fundamental problem, the
discusser arrives to the next one: a trilinear constitutive relation
of the average stress-strain relationship for steel embedded in
concrete is proposed in Fig. 1(b). The coordinates of the critical
points were found in time-consuming, extensive trial-and-error
procedures. Nevertheless, the test panels of Vecchio and
Collins4 were reinforced with smooth wires, whereas those of
Bhide and Collins32 were reinforced with deformed wires. As
the bond characteristics of these two types of wires must be
quite different, the constitutive relations should be different,
too. Or, similar to the influence of the concrete specifications, it
could have been mentioned that here, too, simplifications have
been made.
The questionable “equilibrium” equations explain why
“studying the available panel test results, it was found that
increasing the reinforcement ratio increases both the maximum
attainable compressive stress and its corresponding strain in
concrete.” This means that the “softening” decreases with the
increasing reinforcement ratio, which contradicts with the
modification factors such as that of Eq. (5). Please clarify.
ACI Structural Journal/May-June 2011
The proposed model was first validated on Panel PV204
loaded in pure shear. Table 1 shows the levels of predicted
response. Comparing the corresponding values, some
interesting deviations between the measured and predicted
values can be detected:
• In the test with increasing shear loading, the stress in
the longitudinal reinforcement fsx was always less than
in the transverse reinforcement fsy. In the prediction, the
opposite is true at each level. Please clarify.
• According to Mohr’s circle of loading, in the case of pure
shear loading, the maximum compressive stress is equal
to the shear stress. Comparing the corresponding υ and
fc2 values, the latter is approximately double the former
value. How is this possible? Please clarify.
• In the test, the failure was introduced at υ = 3.84 MPa
(550 psi) through yielding of the transverse
reinforcement. In the prediction, the transverse
reinforcement never yielded. How was the failure
recognized during the calculation?
• The directions of the principal strains deduced from the
measured strains were—from the beginning of the
loading—approximately 38 degrees; they decreased
after yielding of the transverse steel to 30 degrees. In
the prediction, θ decreases continuously beginning at
45 degrees with increasing loading, whereas angles θ
deduced from the stresses in the test are constant at
45 degrees until the transverse steel begins to yield
and then they decrease to 41 degrees. What caused
the rotation of the principal directions?
The advantages of the proposed model are not evident at
all to this discusser.
379
AUTHORS’ CLOSURE
Closure to discussion by de Souza
The authors wish to thank the discusser for his interesting
questions and valuable comments.
As shown in the paper, using the modified constitutive
laws for steel and concrete is the main reason for better
predicting the response of reinforced concrete panels relative
to other prevailing rotating crack models, such as the
modified compression field theory (MCFT).
The discusser asked about the reason for using only a few
panel test results. As mentioned, all the coefficients of the
proposed constitutive laws were determined based on a trialand-error procedure so that the calculated load-deformation
responses of the test panels had the best correlation with the
experimental results. Thus, the experimental loaddeformation curves of the panels were necessary. This is
why some databanks regarding panel tests33 were not
included in the paper. The discusser is thanked, however, for
suggesting other resources.34-36 It must be noted that, in a
recent research study, while incorporating the proposed
model into a nonlinear finite element procedure, the authors
have shown that their model adequately simulates the
behavior of lightly reinforced shear-critical test beams. The
results will be published soon.
The discusser questioned the trial-and-error method used
in this study instead of other statistical methods. It must be
noted that to perform a nonlinear regression analysis, we
need a model expression that combines unknown parameters
and known variables as a nonlinear function. In other words,
the basic element of a nonlinear regression analysis is an
explicit nonlinear model function. In the considered
problem, however, there is not such an explicit model. Here,
for each set of model variables (specimen properties, loading
ratios, and shear strain) and the selected iterative values for
model parameters (the coefficients of constitutive laws), a
system of nonlinear equations (equilibrium, compatibility,
and constitutive laws) forms that needs a numerical method
to solve and find the corresponding shear stress. Thus, the
practical option in this situation is to calibrate the
constitutive laws using the trial-and-error method.
The discusser asked about the algorithm used to solve the
system of equations governed on the problem of reinforced
concrete membrane elements. As mentioned in the paper, the
flowchart in Fig. 6 is only for calculating the stress and strain
values in the elastic range of steel. As the longitudinal and
transverse reinforcement has a trilinear stress-strain
relationship, there are several cases for setting the problem.
For the sake of brevity, only one case is shown.
The discusser asked about the simplicity of the proposed
model for computational implementation. As seen in the
flowchart in Fig. 6, the computational procedure is very
straightforward to use in the elastic range of the constitutive
relation of steel. Beyond this range, only the boxes of
calculating θ and v in Fig. 6 will be changed. This model can
also be simply incorporated into nonlinear finite element
procedures, as was done by the authors in a recent work.
The discusser also asked about the local crack effects. In
this research, the crack-related problems were considered,
especially for the failure criteria, but the issue was not
included in the paper. This is because the purpose of this
paper was to study the parameters affecting the constitutive
laws. The crack-related problems will be discussed in a
future paper.
AUTHORS’ CLOSURE
Closure to discussion by Windisch
The discusser stated that in the case of pure shear loading,
solving the equilibrium and compatibility equations together
results in a contradiction that the tensile strain in the concrete
in the x-direction is conjoined with the compressive stress in
the same direction. The discusser must note that the direct
constitutive relation between strain and stress in concrete is
in the coordinate system of principal axes and the mentioned
case is not unusual in other coordinate systems. In other
words, strains and stresses must be of the same sign in the
principal coordinate system and not necessarily in other
coordinate systems.
The discusser stated that the bond characteristics of the
wire mesh used by Vecchio and Collins4 and Bhide and
Collins32 are different. It must be noted that the assumption
of the proposed model is that no overall slip occurred
between the concrete and steel. Therefore, the authors
selected the test panels for which the overall bond failure did
not take place.
The discusser asked about Eq. (5). It must be noted that
εc′ in that equation is a negative value. Thus, increasing the
reinforcement ratio that increases the value of εc′ also
increases the value of β.
The discusser also asked a few questions about the
predicted values for Panel PV204:
1. In both the prediction and the test, with increasing shear
loading up to near the peak load, the stress in the longitudinal
reinforcement fsx was always less than the stress in the
transverse reinforcement.
2. It must be noted that when the panel loading case (fx, fy, v)
is in pure shear, the loading case of the concrete body (fcx, fcy, v)
is not in pure shear.
3. According to the test report,4 as predicted by the
presented model, the failure of Panel PV20 was not through
yielding of the transverse reinforcement.
4. The rotation of the principal directions in cracked
concrete during pure shear loading with constant (fx:fy:v) =
(0:0:1) is due to changing the ratio of (fcx, fcy, v).
Disc. 107-S41/From the July-August 2010 ACI Structural Journal, p. 419
Shear-Transfer Strength of Reinforced Concrete. Paper by Khaldoun N. Rahal
Discussion by Emil de Souza Sánchez Filho
Associate Professor at Fluminense Federal University, Rio de Janeiro, Brazil
The author has made a considerable contribution to the
shear-transfer strength of reinforced concrete. The paper
shows a concise method with clear and important conclusions.
380
The author must be congratulated for this work and for his
interesting research. The discusser, however, would like to
address some comments on relevant issues presented in the text:
ACI Structural Journal/May-June 2011
1. The upper limit on shear strength given by Eq. (8)
should be clearly specified. In other words, it should be made
The author has made a considerable contribution to the
shear-transfer strength of reinforced concrete. The paper
shows a concise method with clear and important
conclusions. The author must be congratulated for this work
and for his interesting research. The discusser, however,
would like to address some comments on relevant issues
presented in the text:
1. The upper limit on shear strength given by Eq. (8)
should be clearly specified. In other words, it should be made
clear that 16 MPa (2300 psi) ≤ v ≤ 121 MPa (17,550 psi) or
0.315 ≤ κ ≤ 0.199.
2. In Rahal,25 κ is defined as a maximum allowable
shearing stress, but in the paper, it is defined as an upper
limit on shear strength, where it is obtained by the adjusted
experimental results of reinforced concrete panels for
resistances fc′ ≤ 100 MPa (14,500 psi). These names are
inconsistent, as Eq. (9) shows that this dimensionless
parameter is compared to the geometric ratios of the
transverse and longitudinal reinforcements. The justification
for adopting Eq. (8) as valid, as is the comparison between
data obtained from this expression and the results given by
the modified compression field theory (MCFT) in view of
only seven experimental results of reinforced concrete
panels, the source of which is not mentioned in Rahal.25
3. Equation (11) was obtained by analyzing the test results
of Hofbeck et al.,1 but it was unclear how the author
obtained Eq. (12), as he reports that it is valid for normalstrength concretes, yet fails to show which fc′ values were
used to obtain the 2.8 coefficient of this expression and the
upper limit 7.9 MPa (11,455 psi). It would be interesting to
have Eq. (10) deduced with the data of the other authors listed
in Table 1.
4. The analysis of the results of Nagle and Kuchma8 fails
to show how the geometric ratios ρx and ρy were adjusted to
the inclination α of the reinforcements. What are the
equations for this calculation? Which values of the
geometric ratio ωx are considered to obtain Eq. (15a)?
5. Figure 4 shows that the experimental results of the
precracked specimens are more in line with the results
provided by the simplified model for combined stress
resultants (SMCS). What is the explanation for this fact?
6. In Fig. 5, the results provided by the SMCS do not seem
good for low-level x reinforcement, considering that in this
case, fc′ = 104 MPa (15,080 psi) and α = 25 and 35 degrees.
This would seem to indicate that the method adopted to
adjust the model for inclined reinforcements is inadequate.
What is the plausible explanation for these results?
The discusser believes that it is impossible to check the
theoretical values given in Table 1. Therefore, the discusser
would greatly appreciate if the author could provide some
complementary information about the research. The author
is encouraged to continue his interesting theoretical research.
REFERENCES
25. Rahal, K. N., “Maximum Allowable In-Plane Shear Stresses in
Reinforced Concrete Membrane Elements,” Proceedings of the ACI-KC
Second International Conference on the Design and Sustainability of
Structural Concrete in the Middle East with Emphasis on High-Rise
Buildings, Kuwait, 2007.
AUTHOR’S CLOSURE
The author thanks the discusser for his interest in the
paper. Comments 3 and 4 seem to indicate that the discusser
ACI Structural Journal/May-June 2011
did not have access to Appendix A, which was not printed in
the hard copy of the journal. This Appendix was made
available on the ACI Web site, as indicated in the footnote
on page 422 of the paper.
The author provides the following replies to the
discusser’s six comments:
1. The discusser is concerned about the range of values of
the maximum normalized shear stress κ for the concrete
strengths used in the verification. The range was not
provided because it can be easily obtained from Eq. (8).
2. The paper clearly refers to Reference 18 for details on the
development of the SMCS model in general and Eq. (8) in
particular. The 2007 reference25 was the result of a pioneer
work on the method that was further developed to take the
current form, where κ is based on a database of 16 overreinforced concrete panels. The 2007 conference paper25
clearly mentions that the “maximum allowable” shear stress
refers to the maximum stress that can be resisted before
concrete crushing. The author agrees with the discusser,
however, that the use of the word “allowable” is not quite
consistent with what κ is intended to be.
3. The paper states that Eq. (12) was obtained by substituting
the value of the average concrete strength of the Hofbeck et al.1
specimens into Eq. (11). The details of the individual specimens
are listed in Table A1 of Appendix A, which might not have
been available to the discusser. The average value can be easily
calculated to equal 25.9 MPa (3756 psi). For this value, the
factor 0.55√fc′ is reduced to 2.8.
The discusser was interested in simplifying Eq. (10) for
the other sets of test data in Table 1. This can be easily
achieved by using the same procedure used to obtain Eq. (11)
and (12) once the details of the individual specimens in
Table A1 are available.
4. The discusser asks how the values of ρx and ρy were
adjusted for the inclination α of the clamping reinforcement
in the Nagle and Kuchma8 specimens. Reference 8 reports
not only the reinforcement details but also the adjusted
values (which were adopted as reported). The area of steel
perpendicular to the shear-transfer plane is taken as the total
amount of clamping reinforcement multiplied by cos(α).
The discusser also asks how Eq. (15a) was obtained. This
requires knowledge of the average concrete strength of the
Nagle and Kuchma8 specimens, which can be calculated from
Table A1 to be 104 MPa (15,080 psi). The value of ρx fy – x for
these specimens is 5.85 MPa (848 psi) (refer to Table 1).
Using Eq. (9), ωx is the smaller of ρx fy – x /fc′(= 0.056) and κ(=
0.218), giving 0.056. Substituting this value into Eq. (10)
leads to Eq. (15a).
5. It is well established that precracking reduces the
strength of pushoff specimens.1 The SMCS model was more
accurate in the case of the precracked specimens and
relatively more conservative in the case of the uncracked
specimens, as indicated by the discusser. This could be due
to the conservatism built in the model, which neglects the
beneficial effects of: 1) the additional reinforcement in
excess of the balanced reinforcement; and 2) the
compressive force acting along the x-direction.
6. The author agrees with the discusser that the SMCS
method is relatively less accurate in the Nagle and Kuchma8
tests, and one of the reasons for this could be related to the way
the amount of clamping reinforcement was adjusted for the
inclination. The author believes, however, that two other factors
affected the accuracy. The first is the relatively large scatter in
the experimental results, even within the set of specimens with
381
the same inclination of clamping reinforcement (refer to Fig. 5).
The second is the relatively very high concrete strength.
The discusser expressed interest in further information to
be able to check the results presented in Table 1. This
information is provided in Table A1, as referenced in the
footnote on page 422 of the paper. The author will gladly
supply the discusser with the detailed database upon
request via e-mail at [email protected]
Disc. 107-S43/From the July-August 2010 ACI Structural Journal, p. 434
Strengthening of Flat Slabs against Punching Shear Using Post-Installed Shear Reinforcement. Paper by
Miguel Fernández Ruiz, Aurelio Muttoni, and Jakob Kunz
Discussion by Andor Windisch
ACI member, PhD, Karlsfeld, Germany
The authors apply the critical shear-crack theory for an
innovative method for the strengthening of flat slabs.
Looking at Fig. 3(b), it seems that deformed bars were
certainly used for the shear reinforcement. Please confirm.
The rate of the shear reinforcement is characterized by ρw
(refer to Eq. (2)). Looking at Fig. 8 with the (very
informative) cracking patterns after they are saw cut, the
question arises whether it would be more realistic to take into
account the number of stirrups crossing the failure crack
instead of calculating with the smeared stirrups. As a matter
of fact, in Eq. (7), ΣAswi is defined as the cross-sectional area
of the shear reinforcement; it could be read as a reference to
the number of shear reinforcing bars. Moreover, the
reference to the stress in the shear reinforcement σsi (ψ) in
Eq. (7) and the proposed equation for determining its value
(refer to Eq. (9)) reveals that not all of these can refer to
smeared stirrups.
In eliminating the smeared stirrups, another questionable
parameter could disappear, too: b0, the length of the control
perimeter. In the case of the critical shear-crack theory, this
parameter loses its justification; in the case of the different s0
distances (refer to Fig. 5 and 8), the “control perimeters” are
certainly different, too.
The three different types of flexural reinforcement—hotrolled or cold-worked with different bond characteristics and
two considerably different levels of yield strength and
probably different bond characteristics, too—should be
taken into account when evaluating the test results. The
identical ρ = 1.50% geometrical rates of flexural
reinforcement for Slabs PV1 to PV3 and Slabs PV14 to
PV17 should result in quite different behaviors of the
specimens (the varying concrete strengths diversify these
even further). Hence, the mechanical rate of flexural
reinforcement could be a better parameter.
Comparing the Vtest values of Slabs PV6 to PV8, the deceptive
character of the smeared shear reinforcement ratio ρw can be
perceived. Slab PV8 had half the ρw value of Slabs PV6 and PV7;
nevertheless, the strength was identical.
While discussing the failure patterns of Slabs PV14 and
PV15 with heavy shear reinforcement, the authors refer to
crushing of the compression strut. The following questions/
remarks arise:
• Are the compression strut and the critical shear-crack
model compatible with each other at all?
• The position of the critical shear crack is quite different
in the case of Slab PV14 from Slab PV15. Where is the
compression strut situated in these two cases?
• Slabs PV2 and PV3 have the same ρ values as Slabs PV14
and PV15; nevertheless, even if at dimensioning, flexure
382
and shear are treated independently from one another per
their definitions. The compression zone must also fail
along the critical shear crack at failure.
• The authors explain that the larger strength of Slab PV14
“was due to the fact that anchorages of the shear
reinforcement were placed beyond those of Slab PV15,
leading to more limited stress concentrations in the
compression-critical region.” Please clarify—how does
the “more limited stress concentration in the compressioncritical region” let the shear strength increase? The shapes
of the failure sections of Slabs PV1, PV2, PV7, PV8,
PV14, PV16, PV17, and PV19 shown in Fig. 8 are
identical—where can the “more limited stress
concentrations” be identified?
• The discusser means that the “failure of the compression
strut” is in fact a critical shear crack running quite vertical
around the column, scarcely intersecting the bars of the
shear reinforcement. Increasing s0 (refer to Fig. 5(a)) also
increases the probability of this type of failure.
The authors detect “progressive smearing” of the cracks at
the column region as the amount of shear reinforcement
increases. It is obvious that increasing tensile reinforcement
in any reinforced concrete member in tension decreases the
crack distances—this is never understood as “smearing.”
How do the bond stresses along the different bars of the
shear reinforcement develop/change when successive cracks
do occur with increased loading? Compare the first inclined
bars near the column (for example, in Slabs PV8, PV14, and
PV15). Is a pullout at the upper bond anchorages of the shear
bars possible or was it detected at one of the slabs?
Based on Eq. (1), (9), and (10), the bond length of the
shear reinforcing bars, the opening of the critical shear crack
at the level of the shear reinforcement, and the rotation of the
slab necessary for the yielding of the 16 mm (0.63 in.) shear
reinforcement can be calculated. The necessary bond length
is approximately 100 mm (3.94 in.). The necessary crack
width at the intersection of the shear reinforcement is
approximately 0.25 mm (0.1 in.). Please note that this crack
width is far below the allowable crack widths, as stated in the
serviceability limits. The necessary rotation ψ in the case of
the intersection at a height of 120 mm (4.7 in.) is 0.41%. In
the case of a thicker flat slab, the intersection could be at
approximately 250 mm (10 in.); here, beyond ψ = 0.2%, the
shear reinforcement yields, according to the equations given
by the authors. The courses of the load-rotation curves given
in Fig. 6 and the ψtest values achieved at failure given in
Table 1 fully contradict these calculated values.
It would be interesting to learn how Eq. (7) to (11) were
applied to calculate Vcalc. The accuracy of how the rotation
ACI Structural Journal/May-June 2011
of the slab was determined does not seem to influence the
accuracy of the calculated shear force. Examining the
conjugated Vtest/Vcalc and ψtest/ψcalc values given in Table 1,
it can be detected that there is absolutely no interdependence
between these pairs of values. The trendline’s equation is
( V test ⁄ V calc ) = – 0.0006 ( ψ test ⁄ ψ calc ) + 1.07
with R2 = 2 × 10–5.
This could indicate that the rotation ψ is not a very strong
variable. In the case of Slabs PV3 and PV15, the ψtest/ψcalc
values are significantly greater than 1; nevertheless, the
calculated shear strength is fairly near the measured value.
Please comment.
Equation (13) yields the so-called crushing strength of
compression struts λ ⋅ VR,c, where λ > 1. It is not clear why the
width of the critical shear crack (∝ ψ ⋅ d) should have any
influence on the strength of the “concrete strut” that is situated
between the column and this crack. Furthermore, why does the
crushing strength depend on √fc and not directly on fc, and why
does it depend on the aggregate interlock?
Even if the model assumptions were correct, the influence
of some important parameters—such as slab thickness and
the maximum size of the aggregate—cannot be validated, as
these were not varied for this test series.
Referring to Fig. 9(b), the authors state that “as rotations
increase by addition of shear reinforcement, the concrete
contribution diminishes.” Neither the test results nor the
current view in the field concerning the source of the
concrete shear contribution—that is, the aggregate
interlock—validate this statement: we all agree that
additional shear reinforcement decreases the width of shear
cracks (even that of the critical shear crack). This fact
supports the impression that was already predicted by the
discusser regarding a previous paper6; the rotation of the slab
ψ is definitely not the appropriate fundamental parameter of
the phenomenon.
The coefficient of variation of Vtest/Vcalc is very small
compared to the coefficient of variation of the basic
parameter of the model ψtest/ψcalc, which is quite high.
AUTHORS’ CLOSURE
The authors would like to thank the discusser for his interest
in the paper and in the critical shear crack theory (CSCT).
Detailed replies to his questions are given in the following:
• As shown in Fig. 3(b), deformed bars were used. This is
obvious, as the best bond conditions were sought.
• The shear reinforcement ratio ρw was selected as the
best representative parameter to compare different
reinforcement configurations—not a stepwise function,
such as the one suggested by the discusser.
• The same type of steel (hot-rolled or cold-worked) was
used for the same flexural reinforcement ratio. The
differences in the yield strength were accounted for by
the load-rotation behavior of the specimens according
to Reference 6 (it can be noted that the CSCT is based
on a rational mechanical model and allows the
consideration of such influences).
• The explanation for the measured strength of Slab PV8
is discussed in Fig. 11(c). Failure was governed by
bending strength (yield-line mechanism) and not by
ACI Structural Journal/May-June 2011
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
shear strength. The deformation capacity nevertheless
increased as more shear reinforcement was used (in
accordance with the CSCT predictions).
Details regarding the crushing strength according to the
CSCT can be found in Reference 8.
Significant cracking developed in the region of the
compression strut for Slabs PV14 and PV15 (refer to
Fig. 8).
Slab PV2 failed slightly differently (pullout of
anchorages) and Slab PV3 failed outside the shearreinforced zone. Both failure modes are explained in
depth in the paper.
To install the bars, holes have to be drilled in the
specimens. This disturbs the struts in the soffit (the
compression side of the slab) if the holes are too close.
This explains the behavior of Slab PV15.
In the authors’ opinion, the term “smearing” is correct.
Shear reinforcement is activated on the top of the
specimen only by bond. Measurements on the strains of
the bar (not detailed within the paper) taken at the
HILT-Schaan Laboratory confirmed this.
If the discusser finds a contradiction, he has probably
made a mistake in his calculations (perhaps in the loadrotation curve—the calculations of the discusser are not
detailed and cannot be checked). Please refer to Table 1
for comparisons of ψcalc (a very good agreement was
observed). More comparisons can be found in
Reference 8.
Rotation is indeed a very good variable to calculate
the punching shear strength.6,8 For members with
shear reinforcement, however, it leads to some scatter,
as rotations may increase at failure (especially for
members with large amounts of shear reinforcement,
such as Slabs PV3, PV14, and PV15). This increase in
the deformation capacity is neglected (on the safe side)
with the proposed approach and leads to practically no
difference in the estimate of the strength.
Details regarding the approach for calculating crushing
strength can be found elsewhere.8 The authors have
validated this approach (including size and strain effect)
with a specific test campaign in another paper submitted
to this journal, which is currently under peer review.
The authors respect the discusser’s opinion on the
pertinence of the rotation as a key parameter but do not
share it. It has been validated through extensive
research and detailed measurements.6,8 It is a physical
parameter, clearly explaining how this or any other
shear reinforcement system works and how to design it.
It also leads to an excellent understanding of the
mechanics of members without shear reinforcement
and allows very accurate strength predictions.6 It
accounts for the various mechanical and geometrical
parameters as well as the reinforcing procedure (postinstalling and rotations at the time of prestressing). It
constitutes the current state of knowledge (the design
method included in the first complete draft of the new
Model Code 2010). More refinements can (and
probably will) be included, but for the time being, it is,
in the authors’ opinion, the best physical approach to
the problem.
383
Disc. 107-S48/From the July-August 2010 ACI Structural Journal, p. 476
Compression Splices in Confined Concrete of 40 and 60 MPa (5800 and 5700 psi) Compressive Strengths.
Paper by Sung-Chul Chun, Sung-Ho Lee, and Bohwan Oh
Discussion by Andor Windisch
ACI member, PhD, Karlsfeld, Germany
Based on test data of 48 columns, the authors supplement
their proposed model2 for compression lap splices in
unconfined concrete with the influence of transverse
reinforcement. In the Introduction, they report—among
others—about the “special details” for placing the transverse
reinforcement required by the CEB-FIP MC908 (Fig. 2) and
the updated expression of ACI Committee 4083 for a tension
splice with transverse reinforcement, which includes cmax
and cmin—that is, the maximum and minimum values of
concrete covers. Nevertheless, both—their test specimens
and the proposed design equation—did not consider these
important influencing factors. During the tests they correctly
found that the clear spacing between the bars—one of their
parameters—rarely influences the splice strength.
It is remarkable that the longitudinal reinforcement pattern
of the D29-specimens is not central-symmetric, hence the
intended “concentrical” loading certainly causes a
nonsymmetrical strain distribution in the cross section. This
resulted in the numerous premature failures due to
eccentricity Ec listed in Table 2.
Figures 6(a), 7, and 8(a) reveal several important cognitions:
• The transverse reinforcement index, as defined in Eq. (7),
is irrelevant, as the impact of the transverse reinforcement
placed at the end of the splice is completely different from
that being in the middle of the splice.
• The position of the hoops just at the ends of the splice in
the specimens is not optimum. Here, the sense and
function of the concrete failure at the end of the bar must
be properly understood and considered. In case of splices
in tension, the slip between the reinforcing bar and the
concrete, which is necessary for the development of the
bond stresses, is governed by the crack at the end of the
splice. The incompatibility between the decreasing
strains in the ending reinforcing bar and in the
surrounding concrete in tension is compensated by the
slips. At the end of a compression splice strain,
incompatibility prevails between the concrete in
compression and the reinforcing bar, which ends there.
This strain incompatibility results in the “stresses
developed by end bearing.” The failure mode of the end
bearing is a sliding out of the concrete under the bar’s
end; this reveals the big impact of the side concrete
covers and the relative poor influence of the clear
spacing. This failure mode clarifies the sense of the
reinforcing details of CEB-FIP MC908 shown in Fig. 2;
one transverse bar must be placed outside the splice, and
the rest of the transverse reinforcement is positioned
along the outer third of the splice length and never in the
central third (compare the hoop pattern in the test
specimens and Ktr). The failure of the concrete cover
“below” the bar’s end is considered as the failure of the
splice for understandable aesthetic reasons, although the
splice could resist even higher loads. During the tests, the
authors found the following modes of failure: premature
384
failure due to end failure, partial splitting failure, and
fully splitting failure. Nevertheless, whether sensible/
practical/economical or not, by putting a compressible
“shoe” on the bar’s end, the slips could develop without
splitting the concrete cover; one would come to different
splice lengths and strengths.
For the new design provision, the authors supplement their
proposed model2 for splices in unconfined concrete.
According to this model, the mean strength of the splice is
proportional to the square root of ls/db. This remarkable
proposal results from the endeavor of the authors to consider
all of their previous test results into the regression analysis.
The unconfined test specimens had three relative splice
lengths ls/db: 10, 15, and 20. Beyond ls/db = 10, the splice
strength did not increase practically; hence, the authors
chose the square root function, which increases little by little
beyond ls/db = 10. Instead, they should have omitted to
consider the results of test specimens with ls/db > 10. All the
test specimens with the confined concrete had ls/db = 10
relative splice lengths; thus, the imperfection of the design
provision could not be realized.
The design equation and the reinforcing details proposed
by the authors are questionable and it is suggested that they
be revisited.
AUTHORS’ CLOSURE
The authors thank the discusser for his interest in the paper
and have provided clarifications to the comments raised.
Asymmetric strain distribution in D29-specimens
Due to the limitation of the loading machine, D29specimens were designed, as shown in Fig. 3(b). To prevent
asymmetric strain distribution in the D29-specimen, the
center of the loading machine was aligned to the center of
rigidity of the D29-specimen at the very early stage of the
loading process. In the analysis of the test results, three D29specimens that failed prematurely due to eccentricity were
excluded from the analysis.
Transverse reinforcement and Ktr
The details required by CEB-FIP MC908 do not seem to be
practical for the compression splice in high-strength
concrete because required splice lengths are very short. As
shown in the paper, some specimens having a splice length
of 10db showed splice strengths higher than the design yield
strength of 420 MPa (60.9 ksi). The details of CEB-FIP
MC908 were not used in the tests. Instead, the authors tried
to find the effects of transverse reinforcement evenly placed
within the splice length, which is more realistic. The effects
of high-strength concrete and transverse reinforcement were
evaluated quantitatively in this paper. The authors did not
propose special details for spliced or transverse
reinforcement, but suggested limitations on the strengths of
ACI Structural Journal/May-June 2011
concrete and spliced bars based on the material
characteristics used in the tests.
For compression splices in normal-strength concrete, the
current equation of ACI 318-081 does not have to be amended
because it has been practically verified for a long time.
Considering the fact that hoops are evenly placed in
reinforced concrete columns in practice, recommendations
to determine δ and Ktr in Eq. (9) were provided to yield a
conservative splice in compression.
Square root of ls /db in proposed equation
The basic design equation with the square root of ls/db was
derived in the previous study2 by the authors. The effect of
the splice length was examined with three different formulas
and it was found that the square root of ls/db could most
suitably represent the characteristics of bond in compression
splices in unconfined concrete. An expression using the
square root of ls/db was also proposed in tension splices.19
The authors conducted tests on compression splices with
very short splice lengths of 4db, 7db, and 10db in 80 and
100 MPa (11,600 and 14,500 psi) concrete strengths. Test
ACI Structural Journal/May-June 2011
results are going to be published in an upcoming paper,20
which will clarify the effect of splice length and provide
improved design equations.
Concrete cover and spacing: cmax and cmin
As minutely explained in Reference 2, it is common
practice in reinforced concrete columns that concrete cover
remains the same but the spacing of the main reinforcing bars
varies with sectional design. Two things were found from the
tests described in this paper: 1) the clear spacing of the main
reinforcing bars seemed not contribute to the compression
splice strength; and 2) the ratio of cmax/cmin seemed to not
affect the compression splice strength. Consequently, the
relative value of cmax and cmin of ACI Committee 4083 was
not adopted in the proposed equation.
REFERENCES
19. Canbay, E., and Frosch, R. J., “Bond Strength of Lap-Spliced Bars,”
ACI Structural Journal, V. 12, No. 4, July-Aug. 2005, pp. 605-614.
20. Chun, S.-C.; Lee, S.-H.; and Oh, B., “Compression Splices in HighStrength Concrete of 100 MPa (14,500 psi) and Less,” ACI Structural
Journal. (accepted for publication)
385
discussion
Disc. 108-S09/From the January-February 2011 ACI Structural Journal, p. 80
Empirical Equations for Peak Shear Strength of Low Aspect Ratio Reinforced Concrete Walls
by C. Kerem Gulec and Andrew S. Whittaker
Discussion by Gilbert H. Béguin
ACI member, PhD, Grandson, Switzerland
The derivation of an empirical equation for the peak shear
strength of deep beams is a worthy endeavor; however, the
discusser wishes to call attention to the following:
• In such a deep girder, the distribution of shear stresses is
different from that in a conventional beam (Navier’s theory);
• As shown by Chow et al.,14 Bay,15 and Dischinger,16 in
vertical sections, there is a stress concentration in the
neighborhood of the supports; and
• The width d of the support is a critical parameter.
To illustrate this dependence, the discusser has computed—
within the two-dimensional theory of elasticity—the shear
stresses in a vertical section near the support of a continuous
deep beam on several supports under a uniform load. Various
cases have been examined: 1) hw/lw = 1.0, with d/lw = 1/20,
1/15, and 1/10, respectively; and 2) hw/lw = 1.5, with d/lw =
1/20, 1/15, and 1/10, respectively.
Figures 18 and 20 show the results of the computation. The
thickness of the deep beam and the applied uniform load p
have been taken as 1. It follows that for a real case, the values
on the graphs must be multiplied by the applied pressure p in
kN/m (kip/ft) and divided by the thickness in m (ft) to obtain
a stress expressed in kN/m2 (kip/ft2). The maximum values of
the shear stress as computed are as follows: 1) hw/lw = 1.0 and
tmax = –5.14, –3.92, and –2.85, respectively; and 2) hw/lw =
1.5 and tmax = –4.95, –3.83, and –2.85, respectively.
Parkus17 has studied deep beams on three supports. He
concludes that “the stress distribution in this case is essentially
like that found in a deep girder on infinitely many supports”
(Fig. 19).
The discusser thinks that the large scatter of these data
may be partially due to the differing widths of the supports
in the reported tests.
Fig. 18—Shear stress distribution in deep beam with h/l =
1.0 in vertical section tangent to supporting element.
14. Chow, L.; Conway, H. D.; and Winter, C., “Stresses in Deep Beams,”
Transactions, ASCE, V. 118, 1953, pp. 686-708.
15. Bay, H., “Der Wandartige Träger auf Unendlich Vielen Stützen (The
Deep Girder on Infinitely Many Supports),” Ingenieur-Archiv, V. 3, 1932,
p. 435. (in German)
16. Dischinger, F., “Beitrag zur Theorie der Halbscheibe und des
Wandartigen Balkens (Contribution to the Analysis of the Half-Strip and
of the Wall-Like Beam),” Internationale Vereinigung für Brückenbau und
Hochbau, IABSE, V. 1, 1932, p. 69. (in German)
17. Parkus, H., “Der Wandartige Träger auf 3 Stützen (The Deep Girder
on 3 Supports),” Österreichisches Ingenieur-Archiv, V. 2, 1947, p. 185.
(in German)
Fig. 19—Continuous beam on many supports (notation and
position of section considered).
Fig. 20—Shear stress distribution in deep beam with h/l =
1.5 in vertical section tangent to supporting element.
REFERENCES
776
ACI Structural Journal/November-December 2011
Disc. 108-S09/From the January-February 2011 ACI Structural Journal, p. 80
Empirical Equations for Peak Shear Strength of Low Aspect Ratio Reinforced Concrete Walls
by C. Kerem Gulec and Andrew S. Whittaker
Discussion by Himat Solanki and Sonal Thakkar
ACI member, Sarasota, FL, and Assistant Professor, Nirma University, Ahmedabad, India
The authors have presented an interesting paper on empirical equations for the peak shear strength of low aspect ratio
reinforced concrete (RC) walls; however, the discussers
would like to offer the following comments:
1. The authors mentioned that the aspect ratio was the
most influential parameter, but it appears that they have
not considered the ACI 318-083 recommendation for the
rectangular walls. This means that the area of the wall was
considered the entire width of the wall, where there were no
boundary elements—that is, columns or flanges.
2. Equations (4) and (5) do not include the contribution
of horizontal reinforcements. In fact, the horizontal reinforcement increases the shear strength up to 20%, depending
on the amount of horizontal reinforcement. The authors’
concept appears to be inconsistent with the strut-and-tie
model (STM). Please refer to Fig. 21.
3. The discussers have studied numerous squat walls
with a horizontal reinforcement ratio rh of 0.23 to 1.26%,
P/Aw fc′ of 0 to 0.271, and an effective width of 0.8lw of the
rectangular walls (ACI 318-083 recommendation), as well as
dynamic tests on RC shear walls. Using the aforementioned
assumptions, the discussers have analyzed walls as outlined
in References 5, 6, 18, and 19. Based on the analysis, the
mean value and the coefficient of variation were found to be
1.08 and 0.247, respectively.
REFERENCES
18. Hirosawa, M., “Past Experimental Results on Reinforced Concrete
Shear Walls and Analysis on Them,” Kenchiku Kenkyu Shiryo, No. 6,
Building Research Institute, Ministry of Construction, Tokyo, Japan, 1975,
277 pp. (in Japanese)
19. Mo, Y. L., “Dynamic Tests on Reinforced Concrete Shear Walls,”
National Science Council, Project Report No. 81-0410-E006-521, Taiwan,
1993. (in Chinese)
AUTHORS’ CLOSURE
We thank the discussers and appreciate the opportunity
to respond.
Béguin comments
The authors agree with the comment regarding the
disturbed stress field near the support but note that elasticitybased solutions are not relevant for predicting the peak shear
strength of RC walls.
The boundary conditions for low aspect ratio RC walls
are different from those associated with two-span continuous deep beams, as described by the discusser. Most of the
walls in the database were tested as cantilevers with an upper
loading beam that was free to rotate and a stiff foundation
fixed to a strong floor.
Solanki and Thakkar comments
Three comments were made. The authors’ responses are
listed as follows:
1. The predictive equations of Chapters 11 and 21 of
ACI 318 ignore the effect of boundary elements on the shear
strength of RC walls. The authors investigated the performance of different predictive equations for the peak shear
strength of low aspect ratio rectangular walls and walls
with boundary elements.7,8 A database of 400+ tests was
assembled for the assessment of the predictive equations.
We observed significant scatter in the ACI 318 predictions
of peak shear strength in the 400+ walls and note that the
ACI 318 equations provided a ratio of predicted-to-measured
peak shear strength of approximately 1.0 in the average
sense for rectangular walls7 but considerably underestimated
the peak shear strength of walls with boundary elements.8
2. On the basis of nonlinear regression on the test data,
the authors concluded that the effect of horizontal web
reinforcement on the peak shear strength of low aspect
ratio walls is relatively insignificant, especially when
compared with the contributions from other design parameters. There is experimental evidence to support this observation,18,20-22 but the data are not conclusive. The authors
investigated this observation further by performing a series
of parametric studies using finite element analysis.2 These
studies showed the effect of the horizontal web reinforcement ratio on the peak shear strength of low aspect ratio
walls to be small. These studies were not described in the
paper due to space limitations.
3. The authors’ statistics of the ratio of predicted-tomeasured peak shear strength were presented in Tables 6 and
7 of the paper for rectangular walls and walls with boundary
elements, respectively. For these calculations, databases of
74 rectangular walls and 153 walls with boundary elements
were used. Detailed information on the 400+ wall database
is provided in Reference 2.
REFERENCES
Fig. 21—STM of squat walls.
ACI Structural Journal/November-December 2011
20. Barda, F., “Shear Strength of Low-Rise Walls with Boundary
Elements,” PhD dissertation, Lehigh University, Bethlehem, PA, 1972.
21. Lefas, I. D.; Kotsovos, M. D.; and Ambraseys, N. N., “Behavior
of Reinforced Concrete Structural Walls: Strength, Deformation
Characteristics, and Failure Mechanism,” ACI Structural Journal, V. 87,
No. 1, Jan.-Feb. 1990, pp. 23-31.
22. Maier, J., and Thürlimann, B., “Bruchversuche an Stahlbetonscheiben,”
Institut für Baustatik und Konstruktion, Eidgenössische Technische
Hochschule (ETH) Zürich, Zürich, Switzerland, 1985, 130 pp. (in German)
777
­­Disc. 108-S11/From the January-February 2011 ACI Structural Journal, p. 99
Failure Mode and Ultimate Strength of Precast Concrete Barrier
by Se-Jin Jeon, Myoung-Sung Choi, and Young-Jin Kim
Discussion by Himat Solanki and Anand Mehta
ACI member, Sarasota, FL, and Gandhinagar, Gujarat, India
The authors have presented an interesting paper on the
failure mode and ultimate strength of a precast concrete
barrier; however, the discussers would like to offer the
following comments:
1. Based on the test, the authors considered the loading
height at the center of gravity (CG) of the vehicle in lieu of the
bumper height, which normally plays a major role during the
impact. The height and width of the loading (810 or 1070 mm
[31.89 or 42.13 in.] and 1070 mm [42.13 in.], respectively)
are inconsistent with Table 13.7.2-1 in References 16 and 24.
2. Normally, trucks and/or buses have a low-frequency
of average daily traffic (ADT) volume as compared to
passenger vehicles. Therefore, it is very important to simulate the passenger vehicle-barrier interaction.
3. The authors’ static tests were based on the frontal impact
test; however, Reference 16 suggests using an oblique angle
from 15 to 25 degrees. An oblique angle will result in a
different yield line pattern as compared to frontal tests.
4. The ultimate strength due to static load tests does not
consider the initial stiffness, the stiffness after the impact
of the vehicle, and the impact loading duration time. Based
on the National Highway Transportation Safety Administration’s (NHTSA’s) test study, the ratio of initial stiffness to
the stiffness after the impact would be in the range of 10 or
greater and the impact duration time would be in the range
of 0.085 to 0.100 seconds.
5. The ultimate test values presented in Table 2 are unclear.
Did these values consider the effect of anchorages, as shown
in Fig. 3? The effect of anchorages in precast concrete
barriers is very important and cannot be ignored.25,26
6. The authors’ ultimate strength values are based on the static
test; however, these values do not represent the dynamic effect
that normally happens due to impact. Because the dynamic
magnification factor is greater than 1.0 (in a range of 1.4 to
1.6), the values in Table 2 require some modification.
7. The authors’ yield line pattern for the static frontal test
is not a new development. It can be classified as a cantilever
slab with a partial knife-edge line loading condition. This
condition can be found in many textbooks and published
research papers on the yield line theory.
REFERENCES
24. prEN 1317, “Road Restraint Systems,” European Committee for
Standardization (CEN), Brussels, Belgium. (in press)
25. Bleitgen, K., “Developing and Testing of Precast Concrete Bridge
Barrier Anchorages to Meet the Requirements for PL-2 Barrier Systems
of the Canadian Highway Bridge Design Code,” S. F. Stiemer, ed., MOT/
UBC Report, University of British Columbia, Vancouver, BC, Canada, Nov.
2007, 142 pp.
26. Mancini, G., “Safety Barriers for Highway Bridges,” Structural
Engineering International, No. 1, 1999, pp. 49-53.
AUTHORS’ CLOSURE
The authors would like to thank the discussers for their
interest in the paper and have provided clarifications to the
comments raised as follows:
778
1. Before responding to the comments, the authors would
like the readers to know that the fifth edition of the AASHTO
LRFD Bridge Design Specifications has been published
recently. Although the fourth edition16 was referenced in
the paper, the content related to railings or barriers is the
same in these two editions. First, it should be clarified that
the discussers mentioned Table 13.7.2-1, which is used for a
vehicle crash test, whereas this study referred to the equivalent
design forces of traffic railings presented in Table A13.2-1 to
perform a quasi-static test. No mistake is made in the paper
in terms of incorporating Table A13.2-1 into the test.
By comparing Table A13.2-1 with Table 13.7.2-1, it can
be identified that the main design forces are applied not
at the CG of a vehicle but at somewhere below the CG.
The authors believe that the bumper height of the vehicle
is incorporated into He of Table A13.2-1. On the other
hand, the forces applied at the height of the vehicle’s CG
are used to determine the effective height of a railing to
prevent vehicle rollover, as shown in Fig. CA13.2-1.
The following is a repetition of the loading pattern section
of the paper but is presented for clarification. Because the
load was applied at the top of the barrier, the loading height
was approximately 1320 mm (51.97 in.), which satisfies
the minimum loading heights of Table A13.2-1 for both
test levels (810 and 1070 mm [31.89 and 42.13 in.] for
Test Levels TL-4 and TL-5, respectively) considered in
this study. On the other hand, the lengths of the loading
were 1070 and 2440 mm (42.13 and 96.06 in.) for
Test Levels TL-4 and TL-5, respectively, according to
Table A13.2-1.
The authors are also aware of the prEN 1317 “Road
Restraint Systems”24 the discussers mentioned, where a
variety of performance classes are presented, similar to
the test levels of the AASHTO LRFD specifications.16 It
should be noted, however, that the equivalent design forces
as presented in Table A13.2-1 of the AASHTO LRFD
specifications16 are not provided in prEN 1317. This is why
prEN 1317 is not referenced in the paper.
2. The test levels of railings are selected based on the
types and proportions of the vehicles anticipated on the
road concerned, as stated in Section 13.7.2 of the AASHTO
LRFD specifications16 regarding each test level. Although
passenger vehicles occupy a major portion of the traffic on
most roads, the design forces for railings, which represent
the required strength of the railings, are mainly derived
from heavier vehicles, such as trucks, buses, and tractortrailers. For instance, it can be seen in Table 13.7.2-116 that
a single-unit van truck and van-type tractor-trailer are taken
into account for Test Levels TL-4 and TL-5, respectively,
resulting in the design forces of Table A13.2-1.16
The authors agree that the vehicle-barrier interaction is
an important factor affecting structural adequacy, occupant
risk, and vehicle trajectory. The interaction is accounted for
in the vehicle crash test and computer simulation, and it is
incorporated in an approximate way in the design forces of
ACI Structural Journal/November-December 2011
Table A13.2-1, as stated in Section CA13.2 of the AASHTO
LRFD specifications.16
3. The design forces of Table A13.2-116 may not be
derived by assuming a normal impact, and the crash
angles of approximately 15 to 25 degrees presented in
Table 13.7.2-116 are accounted for. A similar procedure
can be found in a formula proposed by Olson et al. and
presented in NCHRP Report 86,27 which is used to convert
the vehicle crash effect into the equivalent transverse force
applied to a railing. It can be seen that the crash angle is
included in the formula.
The transverse forces of Table A13.2-1 were considered
in the test because they are the dominant factors affecting
the yield line pattern and ultimate strength of the barrier, as
explicitly demonstrated in Section A13.3.1 of the AASHTO
LRFD specifications.16 It should be noted that the longitudinal forces of Table A13.2-1 are not directly related to the
crash angles and are derived from the transverse forces and
the friction coefficient between the barrier and a vehicle.
It can be seen that the friction coefficient is assumed to be
0.333 in Table A13.2-1. In this respect, it should be noted
that the oblique angles do not directly affect the yield line
pattern of a barrier.
4. The authors do not insist that the static test of the barrier
can represent all the aspects and structural behavior anticipated in the real crash of a vehicle. The purpose and usefulness of the static test compared to a final verification through
the vehicle crash test were addressed in the introduction of
the paper. The ratio of the two stiffnesses of a vehicle before
and after the impact and the contact time during the impact
are related to the vehicle crash test and computer simulation.
5. As shown in Fig. 2, the loop splice and mortar filling were
the main tools of this study to ensure a robust joint between
the precast concrete barriers and deck. As was addressed in
the paper, the joint maintained a reasonable integrity up to
the ultimate loads presented in Table 2. Without these types
of anchorage systems, the precast barriers would turn over
or move outward when subjected to a vehicle crash and not
attain a required ultimate load.
6. As has been repeatedly mentioned in response to the
previous comments, the test of this study follows the procedure presented in Table A13.2-1 of the AASHTO LRFD
specifications.16 Although the dynamic magnification factor
is outside of the scope of this study, it should be noted that the
impact velocity of a vehicle is taken into account in deriving
the transverse design forces of Table A13.2-1, as is the case
in the aforementioned formula of NCHRP Report 86.27 This
implies that at least some of the dynamic aspects of a vehicle
crash are accounted for in establishing the equivalent design
forces corresponding to the test levels. The authors believe,
therefore, that reducing the magnitudes of the ultimate loads
of Table 2 in consideration of the dynamic magnification
factor is inconsistent with the usual procedure to determine
the test level of the barrier according to Table A13.2-1.
7. A number of yield line patterns have been proposed for
a variety of structural shapes, boundary conditions, loading
patterns, and so on. The yield line pattern of this study has
been proposed for the barriers that are longitudinally continuous and have a tapered section with some points of slope
discontinuity (as used worldwide), whereas most of the
yield lines that can be found in the previous studies or textbooks deal with a structure with a constant thickness. The
authors believe that the experimental and analytical attempts
to improve the conventional yield line shape presented in
the AASHTO LRFD specifications16 should be considered,
rather than the shape of the yield line itself.
REFERENCES
27. Olson, R. M.; Post, E. R; and McFarland, W. F., “Tentative Service
Requirements for Bridge Rail Systems,” National Cooperative Highway
Research Program (NCHRP) Report 86, Transportation Research Board,
Washington, DC, 1970, 62 pp.
Disc. 108-S12/From the January-February 2011 ACI Structural Journal, p. 108
Distribution of Stirrups across Web of Deep Beams
by Robin Tuchscherer, David Birrcher, Matthew Huizinga, and Oguzhan Bayrak
Discussion by Rafael Alves de Souza, João da Costa Pantoja, and Luiz Eloy Vaz
ACI member, Associate Professor, Universidade Estadual de Maringá, Maringá, Brazil; Assistant Professor, Universidade Federal Fluminense, Rio de Janeiro, Brazil; Associate
Professor, Universidade Federal Fluminense
The authors have presented the results of deep beams
subjected to shear to evaluate the benefit of distributing stirrups across the web. By testing three full-scale deep beams
using a very interesting procedure and adopting the number
of stirrup legs distributed across the web and the amount of
web reinforcement as the primary experimental variables,
the authors were able to obtain a total of six tests. Based
on these tests, the authors have concluded that the addition
of closely spaced stirrups did not significantly improve the
shear capacity or serviceability performance of deep beams
with a shear span-depth ratio (a/d) of 1.84 or 1.85. Despite
the quality of their research, some additional issues should
be discussed to clarify some topics and enhance the entire
comprehension of this interesting paper.
INTRODUCTION
The authors state that the assumptions of a linear-elastic
analysis usually assumed for designing beams are not valid
ACI Structural Journal/November-December 2011
for deep beams; therefore, another analytical method, such
as the strut-and-tie model (STM), must be employed. In fact,
there are other available methods that could be used for this
task, such as stress fields,13 the stringer panel model,14 and
finite element procedures optimized for membrane action
design15 and analysis.16 Strut-and-tie modeling can undoubtedly provide fast solutions for engineers when compared to
the other alternatives.
Unfortunately, the authors do not provide clear information regarding the deep beam behavior and, perhaps for this
reason, some difficulties arise when interpreting their results
based on the STM approach.
A deep beam is a beam with a large depth-thickness
ratio and a short a/d (a/d < 2.0); therefore, its behavior is
completely different from that expected for slender or intermediated beams. Deep beams present two-dimensional
behavior, whereas ordinary beams present one-dimensional
behavior (B-region, beam, or Bernoulli region). Also, the
779
assumption of plane sections is not valid, as the shear deformation cannot be neglected (D-region or disturbed region)
in deep beams.
As stated by the authors, the mechanism of shear transfer
predominantly results from compressive stresses flowing
directly from the load to the support; therefore, the capacity
of a simple deep beam is dependent on the compressive
strength of the concrete in the strut. As the shear transference is mainly made by a concrete strut and a tension tie,
the authors are right in their conclusions regarding vertical
stirrups across the web of deep beams—that is, for deep
beams, the transverse reinforcement is only necessary for
cracking control and for improving deformation capacity. In
the discussers’ opinion, horizontal stirrups distributed across
the web could work better than vertical stirrups, as these can
be more effective for controlling tensile strains in the bottle
struts. What do the authors think about this opinion, taking
into account their experimental experience?
The discussion about one- or two-panel behavior for shear
transference is good, but it should include more significant
details. The authors did not explain, for example, the “arch
effect” that frequently occurs to better explain the shear
transference in deep or slender beams with concentrated
loads near the supports. Because of the “arch effect,” the
tensile force in the longitudinal reinforcement of deep
beams is constantly maintained, as seen in pile caps,
dapped beams, and corbels. This behavior is completely
different for a slender beam, where the tensile force in the
longitudinal reinforcement presents variations along the
beam, whereas the internal level arm is kept constant. This
information would be useful, for example, to better explain
the experimental results section and the conclusion that the
distribution of vertical reinforcement across the web of a
deep beam has a minor influence on the shear capacity.
The authors state that when the a/d exceeds a value of 2,
the mechanism of shear failure is better characterized by a
sectional shear (beam model), as the shear resistance of the
beam is dependent on the cross section and the tensile resistance of the vertical stirrups. The authors are right, but in
fact it is just a simple suggestion of limit value based on
the Saint-Venant’s principle, as it is difficult to propose a
generalization of transition (deep beam behavior to slender
beam behavior). Despite this problem, could the authors
indicate for the assumed transition situation (a/d = 2) which
model would demand more longitudinal reinforcement? In
the discussers’ opinion, for that situation, the effective depth
may overestimate the shear strength and could demand more
flexural reinforcement while using a beam approach.
RESEARCH SIGNIFICANCE
As mentioned by the authors, there is not a consensus as
to whether the spacing of stirrups should be limited across
the web of a deep-beam region. They also mentioned that
past research has examined this matter for beams with an a/d
greater than 2, but similar studies have not been conducted for
deep beams. In the discussers’ opinion, there is no research
on this topic because the vertical stirrups have only had a
minor importance in the shear strength of deep beams17 since
the 1960s. Also, ensuring equilibrium and assuming that the
longitudinal reinforcement will experience yielding before
the crushing of the diagonal concrete struts is a simple
condition for obtaining a collapse load higher than the
design load, as provided by the lower-bound theorem of the
theory of plasticity.18-20 Therefore, in the discussers’ opinion,
780
the web reinforcement applied to D-regions is needed just to
better control the cracking propagation or enhance critical
bottle struts with additional horizontal stirrups.
EXPERIMENTAL PROGRAM AND
EXPERIMENTAL RESULTS
The test setup section explains that the beams were monotonically loaded in approximately 50 kips (220 kN) and
that for each load increment, the maximum width of any
diagonal crack was recorded on both sides of the shear span
under investigation. In the discussers’ opinion, it is a very
large step in a way that would be difficult to understand the
crack width evolution without an abrupt variation. Could the
authors explain how they determined this large load step?
Regarding the strength results section, the authors state
that the failure of each test region was typically preceded
by the crushing of concrete in the nodal region adjacent
to the load plate and, therefore, it was more appropriate to
normalize the shear capacity by the compressive strength of
the concrete than the square root of the compressive strength.
Could the authors better explain this last assertion and how
to analyze the meaning of the last columns in Table 3?
SUMMARY AND CONCLUSIONS
The authors have presented a very interesting paper
concerning the behavior of deep beams and they should be
complimented on their research. Based on the test results,
the authors were able to demonstrate that web reinforcement and the number of stirrups slightly influence the shear
strength of deep beams with an a/d of less than 2. In fact,
the obtained results could already be expected, taking into
account the use of an STM. Taking into account the lack of
experimental results for the deep beams with an a/d of less
than 2, however, the authors had an opportunity to extend
the data bank that is available for deep beams. The authors
are encouraged to research the application of steel fibers and
passive spiral confinement reinforcement for the diagonal
struts, as the authors are concerned about the enhancement
of the shear strength of deep beams.
REFERENCES
13. Fernández, R. M., and Muttoni, A., “On Development of Suitable
Stress Fields for Structural Concrete,” ACI Structural Journal, V. 104,
No. 4, July-Aug. 2007, pp. 495-502.
14. Blaauwendraad, J., and Hoogenboom, P. C. J., “Stringer Panel Model
for Structural Concrete Design,” ACI Structural Journal, V. 93, No. 3, MayJune 1996, pp. 295-305.
15. Kaufmann, W., and Marti, P., “Structural Concrete: Cracked
Membrane Model,” Journal of Structural Engineering, ASCE, V. 124,
No. 12, 1998, pp. 1467-1475.
16. Vecchio, F. J., “Nonlinear Finite Element Analysis of Reinforced
Concrete Membranes,” ACI Structural Journal, V. 86, No. 1, Jan.-Feb.
1989, pp. 26-35.
17. Winemiller, J. R., and Austin, W. J., “Behavior and Design of Deep
Structural Members—Part 2: Tests of Reinforced Concrete Deep Beams
with Web and Compression Reinforcement,” Civil Engineering Studies,
Structural Research Series No. 193, Department of Civil Engineering,
University of Illinois at Urbana-Champaign, Urbana, IL, Aug. 1960, 138 pp.
18. Foster, S. J., and Gilbert, R. I., “Experimental Studies on HighStrength Concrete Deep Beams,” ACI Structural Journal, V. 95, No. 4, JulyAug. 1998, pp. 382-390.
19. Maxwell, B. S., and Breen, J. E., “Experimental Evaluation of Strutand-Tie Model Applied to Deep Beam with Opening,” ACI Structural
Journal, V. 97, No. 1, Jan.-Feb. 2000, pp. 142-149.
20. Matamoros, A. B., and Wong, K. H., “Design of Simply Supported
Deep Beams Using Strut-and-Tie Models,” ACI Structural Journal, V. 100,
No. 6, Nov.-Dec. 2003, pp. 704-712.
ACI Structural Journal/November-December 2011
AUTHORS’ CLOSURE
The authors thank the discussers for their comments and
offer a few comments to close the discussion.
1. The discussers are reminded that, within limited space
available for a technical paper, as the authors, we stated the
objectives for the paper, presented experimental facts that
guided our thinking, and reached conclusions that were based
on experimental evidence and consistent with the objectives.
As such, the authors will only comment on the facts presented
in the subject paper. The authors will not speculate on some
experimental variables that have not been studied.
2. The discussers suggest that horizontal stirrups may be
more effective than vertical stirrups at controlling tensile
strains in bottle-shaped struts. This topic was purposely not
discussed in the subject paper because it is relatively complex
and deserves more attention than permitted by the length
requirements. With that said, the discussers are referred
to the commentary of ACI 318-08,5 Sections R11.7.4 and
R11.7.5, which state that “tests have shown that vertical
shear reinforcement is more effective than horizontal shear
reinforcement.” The authors conducted a database analysis
of previous deep beam shear tests and were able to further
substantiate the aforementioned commentary.4 The authors
refer the discussers to the authors’ research report4 for
further information regarding the effectiveness of reinforcement in deep beams.
3. The specimens presented in this paper were specifically
configured to evaluate the effectiveness of distributing transverse reinforcement across a beam’s web. Again, the authors
refer the discussers to the authors’ research report4 for information with respect to the effectiveness of the reinforcement
ACI Structural Journal/November-December 2011
ratio and the transition region between deep and slender
beam behavior. These topics are complex and nuanced and
deserve much more attention than could be discussed within
the limitations of the subject paper.
4. As spelled out in the paper, the authors are in agreement
with the discussers regarding the effectiveness of shear
reinforcement in deep beams with respect to strength. The
effectiveness of distributing shear reinforcement across the
web of a deep beam, however, is an important topic in view of
the fact that AASHTO LRFD specifications7 (Fig. 4) require
a minimum amount of distribution, and there is a sparse
amount of guidance provided elsewhere. The implications
of stirrup detailing on serviceability are a different issue that
was discussed in the paper.
5. The authors selected a load step equal to 10% of the
expected final load, thereby resulting in at least 10 load increments until failure. Given the variability inherent in crack
measurements, the load increments were deemed sufficient
for determining the overall trends in crack width propagation.
6. Experimental loads that are associated with the tensile
strength of concrete, such as the diagonal cracking load or
the sectional shear (that is, diagonal tension) strength of a
member, are typically normalized by √f c′. Experimental
loads that are associated with the compressive strength of
concrete, such as the ultimate capacity of a deep beam, are
typically normalized by fc′. The authors based the findings
of this study on the experimental results normalized by fc′.
Recognizing that many practitioners are familiar with shear
values normalized by √f c′, however, both types of values
were presented with the results.
781
6 – Artigos Aceitos para Publicação em Revistas Indexadas
1 - SOUZA, Rafael Alves de. Desenvolvimento de uma Ferramenta Computacional para a
Análise de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural. Artigo Aceito para Publicação na
Revista Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingenieria, Barcelona. Artigo no prelo
com previsão de publicação para o primeiro semestre de 2012.
Zimbra : [email protected]
1 de 1
http://correio.uem.br/zimbra/
Zimbra Pacote de colaboração
[email protected]
ID 154 - Carta Ed. Asos
1 Mensagens
ID 154 - Carta Ed. Asos
quinta-feira, 27 de outubro de 2011 13:21:55
De: [email protected]
Para: [email protected]
Ref. Artículo: 154 Title: Desenvolvimento de uma Ferramenta Computacional para a Análise de Elementos de
Membrana em Concreto Estrutural
Estimado Dr. Rafael Alves de Souza
Se ha recibido la evaluación de Su artículo. Para poder consultarla debe acceder a la página web
http://www.cimne.com/rimni mediante:
Login: rafaelas
Password: alvesouza
El artículo queda aprobado para su publicación aunque, como podrá observar, uno de los revisores inc! luye
sugerencias que permitirían mejorarlo en ciertos aspectos. Sin embargo, queda a Su criterio la conveniencia de
introducir o no dichas modificaciones. En el caso de no recibir ninguna notificación al respecto en los próximos días
entenderemos que desea que el artículo se publique en su versión actual e iniciaremos el proceso de impresión.
La publicación del mismo está prevista para el Volumen 28, Nº 4 de 2012. En su momento, Le remitiremos la prueba
de imprenta del artículo para su corrección.
Saludos cordiales.
Xavier Oliver Olivella
Editor RIMNI
[email protected]
-Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
acredita-se estar livre de perigo.
17/02/2012 22:10
“Desenvolvimento de uma Ferramenta Computacional para a Análise
de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural”
Rafael Alves de Souza
Universidade Estadual de Maringá
Departamento de Engenharia Civil, Bloco C67
Avenida Colombo, 5790
CEP 87020-900
Maringá, Paraná, Brasil
Tel/Fax: 55-44-3261-4322, e-mail: [email protected]
Sumário
Elementos de concreto armado submetidos a esforços de membrana, isto é, forças normais e
forças cortantes no próprio plano, são bastante comuns na modelagem de estruturas complexas
tais como hangares, usinas nucleares, estruturas off-shore e vigas caixão de grandes pontes.
Apesar do problema de dimensionamento desses elementos já estar bem resolvido, o mesmo não
pode ser dito para o caso da análise de elementos de membrana já armados. Dentro desse
panorama, o presente trabalho tem por objetivo apresentar um software implementado na
plataforma Matlab e baseado na teoria desenvolvida por VECCHIO & COLLINS (1986), isto é, o
“Modified Compression Field Theory”. De maneira a certificar a performance do programa criado,
diversos resultados numéricos foram confrontados com resultados experimentais. Os resultados
obtidos revelam que a ferramenta ora desenvolvida possui boa confiabilidade para analisar o
desempenho de elementos de membrana em concreto estrutural.
Palavras-chave
Concreto Estrutural, Análise Estrutural, Cisalhamento e Elementos de Membrana.
1
“Developement of a Computational Tool for the Analysis of
Reinforced Concrete Membrane Elements”
Summary
Reinforced concrete elements subjected to membrane forces, i.e., elements subjected to in-plane
shear and axial stresses are very common for modeling complex structures such as aircraft hangars,
nuclear power plants, offshore oil platforms and long-span bridges. While the design of
reinforcement for membrane elements is well adressed the same can not be said regarding the
analysis of performance of this elements. Into this context, the present paper aims at providing a
numerical tool developed in the Matlab platform, taking into account the formulation proposed by
VECCHIO & COLLINS (1986), i.e., the “Modified Compression Field Theory”. In order to certificate
the performance of the proposed tool, extensive numerical results were compared with experimental
results available in the literature. The obtained results revealed that the proposed tool is very
confident for the analysis of reinforced concrete membrane elements.
Keywords
Structural Concrete, Analysis, Shear and Membrane Elements
2
Introdução
Os elementos de membrana são elementos que estão submetidos apenas a forças normais e de
cisalhamento no próprio plano e podem ser utilizados para a modelagem dos mais diversos tipos de
estruturas, conforme ilustra a Figura 1. A maioria das soluções conhecidas para o dimensionamento
destes elementos foi obtida através da verificação das condições de equilíbrio e de resistência,
conduzindo a um dimensionamento seguro, baseado no Teorema Inferior da Teoria da Plasticidade.
Dentro dessa linha, merecem destaque as publicações de GUPTA (1984, 1986), NIELSEN (1984),
FIALKOW (1991), CEB-FIP MODEL CODE 1990 (1993), LOURENÇO & FIGUEIRAS (1993, 1995) e
REGAN (1999).
Figura 1 – Estruturas complexas modeladas utilizando elementos de membrana
(Fonte: VECCHIO & COLLINS (1986))
Apesar do problema de dimensionamento estar num estágio aceitável, deve-se observar que as
alternativas de solução não são suficientemente difundidas no meio prático. Além disso, o problema
de verificação de elementos de membrana, isto é, a análise do comportamento de um elemento
plano armado e sujeito a ações no próprio plano não é um problema trivial como parece ser.
COLLINS et al (1985) relatam que numa competição internacional, com a participação de 43 lideres
mundiais em pesquisa sobre simulações numéricas aplicadas ao concreto armado, não foi possível
prever o comportamento carga versus deslocamento de painéis retangulares armados com uma
margem de erro inferior a 15%.
3
Ficou evidente que o insucesso das previsões era fortemente dependente das relações tensãodeformação empregadas, as quais basicamente ignoravam a resistência à tração do concreto. Com
base nos resultados experimentais da competição realizada, VECCHIO & COLLINS (1986)
desenvolveram a “Modified Compression Field Theory” (MCFT) e passaram a considerar a
resistência à tração do concreto entre fissuras.
De acordo com VECCHIO & COLLINS (1986), a análise de um elemento de membrana é dificultada
devido ao fato de que novas fissuras podem ser formadas, fissuras pré-existentes podem se
propagar e até mesmo se fechar, e um sistema estrutural constituído por corpos de concreto
conectados pelas barras das armaduras tende a se formar sob a ação de determinados
carregamentos. Além disso, os corpos de concreto tendem a se unir nas superfícies rugosas
existentes na interface das fissuras, podendo assim transmitir cisalhamento e compressão nos
pontos em contato.
Um modelo que faz frente ao MCFT proposto por VECCHIO & COLLINS (1986) é o “Softened Truss
Model”, ou Modelo de Treliça Flexibilizado, proposto por HSU (1993). Trata-se de um método de
análise não-linear de elementos de membrana que envolve a resolução simultânea de um grande
número de equações, tal qual se observa no MCFT. Na verdade, vários outros métodos também
estão disponíveis, mas com exceção dos dois métodos mencionados anteriormente, nenhum outro
consegue ultrapassar a fase inelástica.
Quando além dos esforços de membrana (fx, fy e fxy) existem os esforços decorrentes da Teoria das
Placas Delgadas, isto é, aqueles esforços associados com a flexão do elemento (mx, my, mxy),
pode-se generalizar as soluções citadas anteriormente, tornando a situação de análise ainda mais
complexa. Para maiores informações sobre o dimensionamento de armaduras em elementos de
casca recomenda-se a leitura dos trabalhos de GUPTA (1984), LOURENÇO (1992), LOURENÇO &
FIGUEIRAS (1993, 1995), CEB-FIP MODEL CODE 1990 (1993), REGAN (1999), MARTI (1999) e
DELLA BELLA & CIFÚ (2000).
Tendo em vista a dificuldade do meio prático em obter respostas quanto ao comportamento de
elementos de membrana, o presente trabalho tem por objetivo apresentar o desenvolvimento de
uma ferramenta computacional criada na plataforma MATLAB para a análise dos referidos
elementos. Para tanto, foi criado o programa MEDEA RC_MCFT (Membrane Design and Analysis
for Reinforced Concrete Based on the Modified Compression Field Theory”), cuja formulação está
fortemente baseada nos trabalhos desenvolvidos por VECCHIO & COLLINS (1986), BENTZ (2000)
e HOOGENBOOM & VOSKAMP (2004).
4
Modified Compression Field Theory
Breve Apresentação
A teoria conhecida como “Modified Compression Field Theory (MCFT)” tem suas origens no
“Diagonal Compression Field Theory (DCFT)” proposta por MITCHELL & COLLINS (1974), bem
como na “Compression Field Theory (CFT)” proposta por COLLINS (1978). A proposta original do
MCFT foi lançada por VECCHIO & COLLINS (1982) a partir do ensaio de 30 painéis de concreto
armado submetidos a estados uniformes de deformação.
A versão definitiva do MCFT foi publicada por VECCHIO & COLLINS (1986) e desde então apenas
pequenas modificações foram implementadas no modelo original, conforme atesta o trabalho de
COLLINS & MITCHELL (1987). Desde a versão final do modelo, vários outros pesquisadores têm
proposto modelos similares, entre eles os modelos propostos por HSU & ZHANG (1997), ZHANG &
HSU (1998) e KAUFMANN & MARTI (1998).
De acordo com BENTZ (2000), o MCFT é uma teoria geral para o comportamento carga versus
deformação de elementos bidimensionais de concreto armado fissurados submetidos a
cisalhamento. O comportamento do concreto sob compressão e tração é baseado em mais de 250
ensaios em equipamentos especialmente desenvolvidos para tal fim. Máquinas similares também
foram construídas no Japão e nos Estados Unidos, de maneira que foi possível confirmar a
qualidade dos resultados da teoria proposta.
A hipótese mais importante assumida no modelo é que o concreto fissurado pertencente a um
elemento de concreto armado pode ser tratado como se fosse um novo material com uma curva
própria para o comportamento tensão-deformação. Esse comportamento é diferente do
comportamento tradicional obtido do ensaio de corpos-de-prova cilíndricos submetidos à
compressão e leva em conta o efeito de tensões transversais de tração.
As deformações utilizadas no modelo consistem em deformações médias, isto é, elas reunem de
maneira acoplada efeitos combinados como deformações locais nas fissuras, deformações entre
fissuras, aderência-escorregamento e escorregamento entre fissuras. Da mesma maneira, as
tensões também são médias, isto é, elas incluem implicitamente as tensões entre fissuras, tensões
nas fissuras, a interface de cisalhamento entre fissuras e o efeito pino propiciado pelas armaduras.
De maneira que o uso de tensões e deformações médias possam ser consideradas adequadas, o
comportamento médio deve ser medido em distâncias que incluam poucas fissuras.
De acordo com BENTZ (2000), uma verificaçõa explícita deve ser feita de maneira a penalizar a
utilização de relações tensão-deformação médias, garantindo que as tensões médias são
5
compatíveis com a condição de fissuração do concreto. Esse processo, denominado de “crack
check” é uma etapa crucial no MCFT e nas teorias derivadas a partir dele. O processo de
verificação consiste basicamente na limitação da tensão principal de tração no concreto a um valor
limites, considerando a tensão de tração na armadura que atravessa a fissura e a habilidade da
superfície fissurada transmitir tensões de cisalhamento.
Uma vez que o comportamento geral é baseado em relações médias, melhoradas com o processo
de “crack check”, o modelo não requer o cálculo explícito de efeitos complementares como: efeito
pino, tensões de cisalhamento nas fissuras, tensão nas armaduras nas fissuras, deformações
devido ao deslizamento das fissuras e tensões de aderência. Se necessário, os valores
comentados anteriormente podem ser calculados por equações de equilíbrio. A simplicidade que se
tem no modelo, tendo-se em vista a não consideração explícita dos efeitos complexos mencionados
anteriormente é uma das grandes virtudes da teoria proposta por VECCHIO & COLLINS (1986).
A Figura 2 procura apresentar de maneira reduzida as relações envolvidas no MCFT para o caso
bidimensional, sendo que maiores informações recomenda-se a leitura na íntegra dos trabalhos de
VECCHIO & COLLINS (1982, 1986). O painel da esquerda apresenta as equações de equilíbrio
baseadas nas equações do Círculo de Mohr para tensões. O painel intermediário apresenta as
condições de deformação, também resumidas através do Círculo de Mohr. Deve-se observar que
no MCFT o ângulo da tensão principal no concreto é tomado como sendo igual ao ângulo da
deformação principal. O painel da direita ilustra as relações constitutivas para os materiais,
nomeadamente aço e concreto. Finalmente a base de cada painel ilustra as componentes de
verificação localizada na fissura, de maneira que as tensões médias possam ser transmitidas.
Figura 2 – Resumo das equações utilizadas no modelo MCFT
(Adaptado de BENTZ (2000))
6
Descrição do Procedimento de “Crack Check” no MCFT
Apesar do “Modified Compression Field” ter sua formulação bem conhecida e difundida no meio
científico, percebe-se ainda grande dificuldade de implementação numérica do método tendo-se em
vista a pouca divulgação do procedimento conhecido como “Crack Check”, necessário para
assegurar que níveis de tensão médios possam ser resistidos localmente em uma fissura. Dessa
maneira, procura-se apresentar com maior clareza tal procedimento, de maneira que a formulação
baseada no “Modified Compression Field” possa ser implementada com toda sua potencialidade.
De acordo com BENTZ (2000), tornou-se evidente que no passado muitos pesquisadores
implementaram o MCFT sem a devida inclusão do procedimento “crack check”, propiciando dessa
maneira respostas inadequadas e potencialmente perigosas. A importância do procedimento “crack
check” pode ser demonstrada utilizando-se o prisma de concreto armado tracionado da Figura 3.
Figura 3 – Prisma em concreto armado submetido à tração
(Fonte: BENTZ (2000))
A força total atuante no prisma é dada pela Equação (01):
N = Nc + Ns
(01)
Em que:
N = Força axial total;
Nc = Parcela da força total absorvida pelo concreto = f1.Ac;
Ns = Parcela da força total absorvida pelas armaduras = fsx.As = ρ.fsx.Ac;
As relações tensão-deformação para o concreto e para as armaduras podem ser definidas
utilizando-se as equações propostas no MCFT e apresentadas em maiores detalhes na Figura 4.
7
(a)
(b)
Figura 4 – Comportamento médio para (a) concreto e (b) armaduras submetidos à tração
(Fonte: BENTZ (2000))
Uma análise equivocada do problema pode produzir o diagrama tensão versus deformação
apresentado na Figura 5 (a). Este resultado é considerado inadequado, uma vez que as forças
carregadas pelo concreto e pelas armaduras foram somadas ao longo de todo o processo de
deformação do prisma, o que é particularmente incorreto.
(a)
(b)
Figura 5 – (a) Comportamento inadequado de deformação do prisma e (b) diagrama de corpo livre
na fissura para elemento unidimensional (Fonte: BENTZ (2000))
Considere agora o diagrama de corpo livre ilustrado na Figura 5 (b), sendo que pelo lado esquerdo
são consideradas as relações médias utilizadas pelo MCFT e pelo lado direito são consideradas
tensões locais na fissura sem que haja a participação do concreto à tração. Analisando o diagrama
de corpo livre, fica evidente que pelo lado direito a tensão fsx deve ser limitada pela tensão de
escoamento das armaduras e que f1 = 0. A garantia de que a tensão local na fissura não irá superar
a tensão de escoamento do aço é basicamente o procedimento denominado de “crack check” no
MCFT. Utilizando a verificação de “crack check”, pode-se chegar a um diagrama mais realista do
comportamento tensão versus deformação do elemento prismático de concreto armado submetido à
tração, conforme ilustrado na Figura 6.
8
Figura 6 – Comportamento tensão versus deformação de prisma de concreto armado considerando
o procedimento de “crack check” (Fonte: BENTZ (2000))
Dessa maneira, a explanação anterior dá origem ao procedimento de “crack check” para o caso
unidimensional. A dedução de equilíbrio de forças, apresentada na Equação (02) possibilita
estabelecer o procedimento “crack check” para o prisma ilsutrado na Figura 3:
fsx.As + f1.Ac = fsx-crack.As
f1 = ( fsx-crack.As - fsx.As ) / Ac
f1 ≤ (fsx-crack – fsx) .ρ
(02)
Para o caso bidimensional, o procedimento “crack check” se torna um pouco mais complexo.
Primeiramente, uma verificação uniaxial deve ser feita em cada uma das direções das armaduras,
acompanhada de uma verificação adicional objetivando responder se há possibilidade de
transmissão de cisalhamento na interface da fissura.
Basicamente, assume-se que a fissura não pode transmitir nenhuma tensão axial de tração.
Também assume-se que as direções das tensões principais possam rotacionar localmente na fissura
e, dessa maneira, o aparecimento de cisalhamento poderá ocorrer na interface da fissura caso as
condições de equilíbrio conduzam a essa condição. Implicitamente, assume-se que o concreto está
tentando manter a máxima capacidade de resistência à tração quanto possível, sendo que esse
valor máximo obedece a equação constitutiva de “tension stiffening”.
Figura 7 – Diagrama de corpo livre na fissura para elemento bidimensional
(Fonte: BENTZ (2000))
9
Considere agora o diagrama de corpo livre da Figura 7, onde um elemento bidimensional de
concreto armado é analisado na interface fissurada. Deve-se observar que o corte foi feito na
direção do ângulo theta, o mesmo ângulo das fissuras e das direções principais de tensão e
deformação no concreto de acordo com o MCFT.
Conforme pode-se observar pela Figura 7, a tensão principal de compressão no concreto (f2) é
irrelevante para o equilíbrio. As tensões de importância na fissura são basicamente as tensões locais
nas armaduras (fsx-crack e fsy-crack), bem como o cisalhamento em potencial na interface fissurada (vci).
Como há três resultantes de tensão e apenas duas equações de equilíbrio disponíveis o problema
pode apresentar mais de uma solução no que se refere ao equilíbrio na fissura.
O procedimento utilizado no MCFT consiste em assumir que o mecanismo de resistência das
armaduras é mais rígido do que o mecanismo de cisalhamento na fissura, de maneira que o
cisalhamento na fissura é minimizado. A importância dessa hipótese é pequena em comparação a
uma hipótese alternativa que considera que o ângulo das deformações principais é mantido
localmente na fissura. Por outro lado, deve-se lembrar que o ângulo das tensões principais, em
contraste, irá provavelmente rotacionar localmente na fissura quando comparado com a direção
média, devido ao comportamento não-linear das armaduras.
De acordo com BENTZ (2000), a hipótese de se minimizar o cisalhamento na interface da fissura
tem o efeito de usar toda a capacidade portante do aço na direção mais fraca antes que qualquer
tensão de cisalhamento na fissura seja requerido. Uma vez que esse comportamento está
acontecendo apenas localmente na fissura, esse efeito não terá influência na resposta global tensão
versus deformação.
Somando as forças nas direções x e y da Figura 7, pode-se obter as equações que garantem o
procedimento “crack check” para o caso bidimensional. Seguindo os passos indicados, pode-se
garantir que a tensão na fissura não ultrapassará a tensão de escoamento das armaduras nas
direções x e y. Adicionalmente, pode-se garantir que a tensão de cisalhamento na fissura será
menor do que um limite máximo calculado em função da abertura de fissura. O fluxograma de
cálculo é apresentado a seguir:
a) Inicialmente calcula-se a tensão principal de tração (f1a), o máximo cisalhamento possivel na
interface fissurada (vcimax = vci1) e as tensões médias nas armaduras (fsx,fsy);
b) Cálcula-se a reserva de capacidade nas direções x e y para as armaduras (f1cx, f1cy). Basicamente,
f1cx e f1cy são as tensões extras necessárias para que ocorra o escoamento das armaduras nas
direções x e y:
f1cx = ρx (fyx – fsx)
f1cy = ρy (fyy – fsy)
(03)
(04)
Observe que as Equações (03) e (04) constituem o procedimento “crack check”, caso se imponha na
Equação (02) que fsx-crack = fyx = fyy.
10
c) Cálcula-se a condição de escoamento biaxial sem a presença de cisalhamento na fissura (f1b).
Essa verificação garante basicamante que a carga necessária para causar o escoamento biaxial
das armaduras na fissura não será ultrapassada:
f1b = f1cx.cos2θ + f1cy.sen2θ
(05)
d) Cálcula-se a tensão máxima de cisalhamento na fissura para que ocorra o escoamento biaxial
(vci2) das armaduras:
vci2 = f1cx – f1cy . sen2θ. cos2θ
(06)
e) Cálcula-se a máxima tensão de tração permitida para o equilíbrio nas direções x (f1c) e y (f1d):
f1c = f1cx + min (vci1 , vci2) cot θ
f1d= f1cy + min (vci1 , vci2) tan θ
(07)
(08)
f) Seleciona-se o menor valor entre as tensões de tração calculadas:
f1 = min (f1a, f1b, f1c, f1d)
(09)
g) Para o cálculo da tensão de cisalhamento na interface da fissura (vci), deve-se utilizar os
procedimentos descritos na Tabela 1. Deve-se realçar que o cálculo não pode ser feito diretamente
uma vez que há mais incógnitas do que equações disponíveis para o problema.
Tabela 1 – Tensão de cisalhamento máxima na fissura de acordo com BENTZ (2000)
Tensão de
Condição
Significado
Cisalhamento
Escoamento Médio Biaxial
f1cx = 0 e f1cy = 0
vci = 0
f1cx > f1cy e f1cy < f1 Direção x dominante com escoamento da armadura na fissura
vci = (f1 – f1cy).cot θ
f1cx > f1cy e f1cy > f1 Direção y dominante sem escoamento da armadura na fissura
vci = 0
Direção
x
dominante
com
escoamento
da
armadura
na
fissura
f1cx < f1cy e f1cx < f1
vci = (f1cx – f1).tan θ
f1cx > f1cy e f1cx > f1 Direção x dominante sem escoamento da armadura na fissura
vci = 0
h) Finalmente, as tensões nas armaduras na interface fissurada podem ser calculadas, tomando-se
por base a tensão de cisalhamento calculada anteriormente:
fsx-crack= (f1 + vci.cot θ)/ρx + fsx
fsy-crack= (f1 + vci.tan θ)/ρy + fsy
(10)
(11)
Emprego do MCFT Acoplado ao Método da Rigidez Secante
A técnica de solução proposta por VECCHIO & COLLINS (1986) é um tanto quanto sofisticada e
requer o uso de estratégias apropriadas para a implementação numérica. Dessa maneira, será
apresentada na seqüência uma estratégia para implementação do MCFT, tomando-se proveito de
matrizes apropriadas e técnicas numéricas baseadas no Método da Rigidez Secante. Maiores
11
detalhes da implementação que é aqui apresentada pode ser encontrada em detalhes nos trabalhos
de VECCHIO (1989, 1990), BENTZ (2000) e HOOGENBOOM & VOSKAMP (2004).
De acordo com BENTZ (2000), uma das maneiras mais eficientes de se obter o estado de
deformação a partir de um estado de tensão conhecido é através do emprego do Método da Rigidez
Secante, onde qualquer curva tensão versus deformação pode ser representada pela Equação (12).
A Figura 8 procura ilustrar a definição de módulo secante e módulo tangente para o concreto e para
barras de aço, de acordo com KRPAN (1974).
σ = Esecante (ε) . ε
(12)
(a)
(b)
Figura 8 – Módulos secante e tangente para (a) concreto e (b) barras de aço
(Fonte: BENTZ (2000))
Basicamente, o vetor das deformações (ε) pode ser relacionado ao vetor das tensões (σ) através da
matriz D, definida como sendo a Matriz de Rigidez Secante e apresentada na Equação (13).
Utilizando-se essa matriz, a solução para qualquer termo desconhecido pode facilmente encontrada
com grande estabilidade. Deve-se observar que a Matriz de Rigidez Secante é simétrica e
totalmente povoada.
[D]{ε } = {σ }
{ε } = {ε x , ε y , γ xy }
{σ } = {f x , f y , v xy }
(13)
(14)
(15)
Basicamente, uma estimativa de deformações é efetuada para um dado estado de carregamento. A
relação é então verificada utilizando-se o método anterior para se calcular as tensões com o
emprego da Matriz de Rigidez Secante. Uma nova estimativa para o vetor das deformações é então
proposta a partir da Matriz de Rigidez Secante. O procedimento é então repetido até que ocorra a
convergência desejada para o nível de carregamento desejado.
De acordo com SELBY (1993), a Matriz de Rigidez Secante apresentada na Equação (13) é
calculada em função das direções principais e posteriormente rotacionada para o sistema de eixos
cartesiano. A matriz é basicamente constituída por componentes devido ao concreto [Dc] e devido às
armaduras [Ds], conforme ilustra a Equação (16):
12
[D] = [Dc ] + Σ[Ds ]
(16)
Para a determinação da matriz [Dc] é necessário calcular a mesma nas direções principais e depois
rotacionar a mesma para o sistema cartesiano. Esse procedimento pode ser feito empregando-se a
Equação (17):
[Dc ] = [T ]T [Dc ]' [T ]
(17)
A Matriz de Transformação [T] para o caso bidimensional é composta pelos seguintes termos
descritos nas equações a seguir. Deve-se observar que a Matriz de Transformação é descrita em
função do ângulo theta, que é o ângulo principal de tensão e deformação para o concreto.
 k12
l12
[T ] =  k 22
l 22
2.k1 .k 2 2.l1 .l 2

k1 = cos(π − θ )
k 2 = − sen(π − θ )
l1 = sen(π − θ )
l 2 = cos(π − θ )


k 2 .l 2 
k1 .l 2 + k 2 .l1 
k1 .l1
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
A Matriz [Dc]’ é a matriz de rigidez do concreto na direção principal para o caso bidimensional e é
defina pela Equação (23):
[Dc ]
'
 E c1

= 0
 0

0
Ec 2
0
0 

0 
Gc12 .
(23)
E c1 = f 1 / ε 1
(24)
Ec2 = f 2 / ε 2
(25)
Gc12 =
E c1 .E c 2
E c1 + E c 2
(26)
Uma vez que as armaduras são responsáveis somente pela absorção de força normal, a matriz [Ds]
total para as direções x e y será dada pela Equação (27):
(27)
0
0
 ρ x .E sx
[ Ds ] =  0
ρ y .E sy 0
 0
0
0
E sx =
f sx
(28)
εx
13
E sy =
(29)
f sy
εy
Principais Ensaios Experimentais com Elementos de Membrana
A Tabela 2 apresenta uma série de ensaios realizados na Universidade de Toronto por COLLINS et
alli (1985), onde pode-se visualizar as características dos elementos ensaiados e o tipo de
solicitação aplicada. Basicamente foram ensaiados painéis quadrados de concreto armado com 89
cm de largura e 7 cm de espessura, com resistência à compressão variando entre 11 a 31 MPa. Na
maioria dos casos o carregamento foi aplicado monotonicamente até se atingir o esgotamento
(esmagamento do concreto ou ruptura da armadura).
Tabela 2 – Resultados experimentais obtidos por COLLINS et alli (1985)
Painel
Carga
(fxy,fx, fy)
φx
(mm)
φy
(mm)
ρx
(%)
ρy
(%)
fc
(MPa)
εo
(10-3)
fyx
(MPa)
fyy
(MPa)
τfissuração
(MPa)
τruina
(MPa)
PV1
1:0:0
6,35
6,35 1,79 1,68
34,5
2,20
483
483
2,21
>8,02
PV2
1:0:0
2,03
2,03 0,18 0,18
23,5
2,25
428
428
1,10
1,16
PV3
1:0:0
3,30
3,30 0,48 0,48
26,6
2,30
662
662
1,66
3,07
PV4
1:0:0
3,45
3,45 1,06 1,06
26,6
2,50
242
242
1,79
2,89
PV5
1:0:0
5,79
5,79 0,74 0,74
28,3
2,50
621
621
1,73
> 4,24
PV6
1:0:0
6,35
6,35 1,79 1,79
29,8
2,50
266
266
2,00
4,55
PV7
1:0:0
6,35
6,35 1,79 1,79
31,0
2,50
453
453
1,93
> 6,81
PV8
1:0:0
5,44
5,44 2,62 2,62
29,8
2,50
462
462
1,73
> 6,67
PV9
1:0:0
6,35
6,35 1,79 1,79
11,6
2,80
455
455
1,38
> 3,74
PV10
1:0:0
6,35
4,70 1,79 1,00
14,5
2,70
276
276
1,86
3,97
PV11
1:0:0
6,35
5,44 1,79 1,31
15,6
2,60
235
235
1,66
3,56
PV12
1:0:0
6,35
3,18 1,79 0,45
16,0
2,50
469
469
1,73
3,13
PV13
1:0:0
6,35
0,00 1,79 0,00
18,2
2,70
248
0
1,73
2,01
PV14
1:0:0
6,35
6,35 1,79 1,79
20,4
2,23
455
455
1,93
> 5,24
PV15
0:-1:0
4,09
4,09 0,74 0,74
21,7
2,00
255
255
> 19,6
PV16
1:0:0
4,09
4,09 0,74 0,74
21,7
2,00
255
255
2,07
4,12
PV17
0:-1:0
4,09
4,09 0,74 0,74
18,6
2,00
255
255
21,30
PV18
1:0:0
6,35
2,67 1,79 0,32
19,5
2,00
431
412
2,00
> 3,04
PV19
1:0:0
6,35
4,01 1,79 0,71
19,0
2,20
458
299
2,07
3,95
PV20
1:0:0
6,35
4,47 1,79 0,89
19,6
2,15
460
297
2,21
4,26
PV21
1:0:0
6,35
5,41 1,79 1,30
19,5
1,80
458
302
2,35
5,03
PV22
1:0:0
6,35
5,87 1,79 1,52
19,6
1,80
458
420
2,42
6,07
PV23 1:-0,39:-0,39 6,35
6,35 1,79 1,79
20,5
2,00
518
518
3,73
8,87
PV24 1:-0,83:-0,83 6,35
6,35 1,79 1,79
23,8
2,00
492
492
4,97
> 7,94
PV25 1:-0,69:-0,69 6,35
6,35 1,79 1,79
19,2
1,90
466
466
4,14
9,12
PV26
1:0:0
6,35
4,70 1,79 1,01
21,3
1,80
456
463
2,00
5,41
PV27
1:0:0
6,35
6,35 1,79 1,79
20,5
1,90
442
442
2,04
6,35
PV28
1:0,32:0,32
6,35
6,35 1,79 1,79
19,0
1,85
483
483
1,66
5,80
PV29 1:-0,29:-0,29 6,35
4,47 1,79 0,89
21,7
1,80
441
324
2,21
5,87
PV30
1:0:0
6,35
4,70 1,79 1,01
19,1
1,90
437
472
1,55
> 5,13
Observações: Painéis quadrados de 89 cm de largura e 7 cm de espessura, diâmetro máximo do agregado de 6 mm e módulo de
elasticidade das armaduras de 200 GPa.
BHIDE & COLLINS (1989) também ensaiaram elementos de membrana em concreto armado
retangulares com largura de 79 cm e espessura de 7 cm, conforme ilustra a Tabela 3. No entanto,
as armaduras foram dispostas em uma única direção, sendo que na direção transversal a tração foi
resistida exclusivamente pelo concreto.
14
VECCHIO et alli (1994) ensaiaram elementos de membrana com concreto de alta resistência, com
resistência à compressão variando entre 43 a 72 MPa, conforme ilustra a Tabela 4. Novamente
foram ensaiadas placas quadradas com 89 cm de largura e 7 cm de espessura. Basicamente, os
elementos foram submetidos a solicitações monotônicas de cisalhamento puro (PHS1, PHS2,
PHS3, PHS8, PA1, PA2) e combinação cisalhamento-tração (PHS4, PHS5, PHS10) e
cisalhamento-compressão (PHS6, PHS7, PHS9).
Tabela 3 – Resultados experimentais obtidos por BHIDE & COLLINS (1989)
Carga
fc
fyx
fyy
φx
φy
ρx
ρy
εo
τfissuração
τruina
(fxy,fx, fy) (mm) (mm) (%) (%) (MPa) (10-3) (MPa) (MPa)
(MPa)
(MPa)
PB11
1:0:0
6,0
0,0
1,09 0,0 25,90
2,00
433
0,0
1,19
1,27
PB12
1:0:0
6,0
0,0
1,09 0,0 23,10
1,50
433
0,0
1,32
1,53
PB4
1:1:0
6,0
0,0
1,09 0,0 16,40
1,90
423
0,0
0,81
1,16
PB6
1:1:0
6,0
0,0
1,09 0,0 17,70
1,90
425
0,0
0,85
1,15
PB7
1:1,9:0
6,0
0,0
1,09 0,0 20,20
2,20
425
0,0
0,74
0,86
PB8
1:3:0
6,0
0,0
1,09 0,0 20,40
2,00
425
0,0
0,52
0,79
PB10
1:5,9:0
6,0
0,0
1,09 0,0 24,00
1,90
433
0,0
0,31
0,56
PB15
1:0:0
6,0
0,0
2,02 0,0 38,40
3,20
485
0,0
1,80
1,96
PB16
1:2:0
6,0
0,0
2,02 0,0 41,70
3,20
502
0,0
0,98
1,45
PB14
1:3:0
6,0
0,0
2,02 0,0 41,10
2,80
489
0,0
0,78
1,54
PB17
1:5,9:0
6,0
0,0
2,02 0,0 41,60
3,10
502
0,0
0,54
1,22
PB18
1:0:0
6,0
0,0
2,20 0,0 25,30
2,20
402
0,0
1,62
1,70
PB19
1:1:0
6,0
0,0
2,20 0,0 20,00
1,90
411
0,0
1,23
1,28
PB20
1:2:0
6,0
0,0
2,20 0,0 21,70
1,90
424
0,0
0,94
1,42
PB28
1:2:0
6,0
0,0
2,20 0,0 22,70
2,00
426
0,0
0,84
1,53
PB21
1:3,1:0
6,0
0,0
2,20 0,0 21,80
1,80
402
0,0
0,73
1,42
PB22
1:6,1:0
6,0
0,0
2,20 0,0 17,60
2,00
433
0,0
0,44
1,03
PB29
1:2:0
6,0
0,0
2,02 0,0 41,60
2,60
496
0,0
0,75
1,49
PB30
1:3:0
6,0
0,0
2,02 0,0 40,40
2,60
496
0,0
0,74
1,48
PB31
1:5,9:0
6,0
0,0
2,02 0,0 43,40
3,00
496
0,0
0,44
1,15
Observações: Painéis quadrados de 89 cm de largura e 7 cm de espessura, diâmetro máximo do agregado de 9,5 mm e módulo de
elasticidade das armaduras de 200 GPa.
Painel
Tabela 4 – Resultados experimentais obtidos por VECCHIO et alli (1994)
Painel
Carga
(fxy,fx, fy)
φx
(mm)
φy
(mm)
ρx
(%)
ρy
(%)
fc
(MPa)
εo
(10-3)
fyx
(MPa)
fyy
(MPa)
τfissuração
(MPa)
τruina
(MPa)
PHS1
PHS2
PHS3
PHS4
PHS5
PHS6
PHS7
PHS8
PHS9
PHS10
PA1
PA2
1:0:0
1:0:0
1:0:0
1:0,25:0,25
1:0,25:0,25
1:-0,25:-0,25
1:-0,25:-0,25
1:0:0
1:-0,25:-0,25
1:0,25:0,25
1:0:0
1:0:0
8,00
8,00
8,00
8,00
8,00
8,00
8,00
8,00
8,00
8,00
5,72
5,72
5,72
5,72
5,72
5,72
5,72
5,72
5,72
5,72
5,72
5,72
5,72
5,72
3,23
3,23
3,23
3,23
3,23
3,23
3,23
3,23
3,23
3,23
1,65
1,65
0,00
0,41
0,82
0,82
0,41
0,41
0,82
1,24
0,41
1,24
0,82
0,82
72,20
66,10
58,40
68,50
52,10
49,70
53,60
55,90
56,00
51,40
49,90
43,00
2,68
2,48
2,44
2,60
2,58
2,25
2,10
2,17
2,68
2,45
2,09
1,99
606
606
606
606
606
606
606
606
606
606
522
522
521
521
521
521
521
521
521
521
521
521
522
522
2,54
1,94
2,28
2,39
1,62
2,25
2,25
2,15
2,22
2,13
2,19
1,88
2,95
6,66
8,19
6,91
4,81
9,89
10,26
10,84
9,37
8,58
6,34
6,22
Observações: Painéis quadrados de 89 cm de largura e 7 cm de espessura, diâmetro máximo do agregado de 10 mm e
módulo de elasticidade das armaduras de 200 GPa.
15
PANG & HSU (1995) submeteram 10 painéis de concreto armado quadrados com 13,97 cm de
largura e 17,8 cm de espessura a carregamentos de cisalhamento puro, conforme ilustra a Tabela
5. Além dos resultados ora aqui apresentados, que são os mais expressivos na literatura, há ainda
aqueles ensaios conduzidos por outros pesquisadores, tais como YAMAGUCHI et alli (1988),
ANDRE (1987), ZHANG & HSU (1998) e XIE (2009).
Tabela 5 – Resultados experimentais obtidos por PANG & HSU (1995)
fc
fyx
fyy
φx
φy
ρx
ρy
εo
τruina
(MPa)
(MPa)
(MPa)
(mm)
(mm)
(%)
(%)
(10-3)
(MPa)
1:0:0
2,13
A1
10
10
0.596 0.596
42,2
444
444
2,27
1:0:0
2,10
A2
15
15
1.193 1.193
41,2
462
462
5,37
1:0:0
1,94
A3
446
446
7,65
20
20
1.789 1.789
41,6
1:0:0
2,20
A4
25
25
2.982 2.982
42,4
469
469
11,31
1:0:0
2,15
B1
15
10
1.193 0.596
45,2
462
444
3,96
1:0:0
2,35
B2
446
462
6,13
20
15
1,789 1,193
44,0
1:0:0
2,15
B3
20
10
1,789 0,596
44,9
446
444
4,35
1:0:0
2,05
B4
25
10
2,982 0,596
44,7
469
444
5,06
1:0:0
2,20
B5
469
462
7,15
25
15
2,982 1,193
42,8
1:0:0
2,20
25
20
2,982 1,789
42,9
B6
469
446
9,14
Observações: Painéis quadrados de 140 cm de largura e 17,8 cm de espessura, diâmetro máximo do agregado de 19
mm e módulo de elasticidade das armaduras de 210 GPa.
Painel
Carga
(fxy,fx, fy)
Desenvolvimento do Programa MEDEA RC_MCFT
Breve Descrição do Programa
O programa MEDEA RC_MCFT (“Membrane Design and Analysis of Reinforced Concrete Using the
Modified Compression Field Theory”) foi criado com o objetivo de se tornar uma ferramenta versátil
para a análise de elementos de membrana em concreto estrutural. Para tanto, procurou-se
implementar o MCFT na plataforma MATLAB, através dos procedimentos descritos por VECCHIO &
COLLINS (1986), VECCHIO (1990), BENTZ (2000), BENTZ (2003) e HOOGENBOOM &
VOSKAMP (2004). O Anexo A procura apresentar de maneira resumida o fluxograma do programa.
(a)
(b)
Figura 9 – (a) Tela de entrada e (b) introdução de dados no programa MEDEA RC_MCFT
16
A Figura 9 (a) apresenta a tela de entrada do programa MEDEA RC_MCFT. Após a abertura da tela
de entrada do programa, pode-se então dar início à análise de elementos de membrana em
concreto armado. Para tanto, basta acessar o menu “File” e clicar sobre a opção “New”. Quando do
acionamento da opção “New”, será aberta a tela de entrada de dados ilustrada na Figura 9 (b).
Conforme pode-se observar, o usuário deve fornecer as seguintes informações: diâmetro das
barras longitudinais, porcentagens de armação, módulo de elasticidade das barras, tensão de
escoamento das barras, resistência média do concreto à compressão, diâmetro máximo do
agregado, estado de carregamento do elemento de membrana, número de passos de carga e fator
de carga para obtenção das curvas de comportamento conforme necessidade do usuário.
Caso o usuário já tenha feito uma análise anterior, os dados podem ser salvos e abertos
novamente acessando o menu “File” e a opção “Open”. Por outro lado, caso o usuário deseje salvar
os dados correntes, basta acessar o menu “File” e posteriormente selecionar a opção “Save”. A
Figura 10 (a) ilustra os dados do Painel PV20 ensaiado por VECCHIO & COLLINS (1982). Uma vez
que os dados foram descritos, os mesmos devem ser salvos através do menu “File”, opção “Save”.
Em seguida, pode-se selecionar o processamento dos dados através do menu “Process”, opção
“MCFT”, conforme ilustrado na Figura 10 (b).
(a)
(b)
Figura 10 – (a) Descrição dos dados e (b) processamento no programa MEDEA RC_MCFT
Com o acionamento da opção “MCFT” será aberta uma nova tela para que o usuário escolha o
nome do arquivo com os resultados a serem obtidos, conforme ilusta a Figura 11 (a).
Imediatamente após a escolha do arquivo de saída, o programa iniciará o processamento dos
dados de entrada, conforme ilustra a Figura 11 (b). Em geral os processamentos são bastante
rápidos para processamentos com até 1000 passos de carga. Importante relatar que quanto mais
passos de carga forem especificados, melhor será a resposta numérica. Evidentemente, o usuário
17
deve buscar a melhor relação desse parâmetro com o fator de carga, que é utilizado basicamente
para definir os incrementos de carga a serem dados ao elemento de membrana em análise.
(b)
(a)
Figura 11 – (a) Atribuição do nome arquivo de saída com os resultados processados e
processamento
Após o término do processamento, o usuário deve então acionar o menu “Results” e selecionar a
opção “Graphs”, conforme ilustrado na Figura 12 (a). Dessa maneira, o usuário poderá ter acesso a
vários gráficos de desempenho para o elemento de membrana descrito. Com a seleção da opção
“Graphs” será aberta a tela apresentada na Figura 12 (b). Conforme pode-se observar, são
apresentados os seguintes diagramas de desempenho, desde uma carga pequena até a carga de
ruptura: tensão de cisalhamento versus deformação de cisalhamento, tensão de cisalhamento
versus abertura de fissura, tensão de cisalhamento versus tensão normal nas armaduras nas
direções x e y.
(a)
(b)
Figura 11 – (a) Escolha da visualização de resultados e (b) gráficos de desempenho gerados
18
Conforme pode-se observar pela Figura 12 (b), são apresentadas retas horizontais nos diagramas
de tensão de cisalhamento versus deformação de cisalhamento e tensão de cisalhamento versus
abertura de fissura. Essas retas refere-se à tensão de cisalhamento informada pelo usuário no
início do processamento, na tela de entrada de dados. Dessa maneira, o usuário pode verificar se o
estado de tensão descrito é apropriado para o nível de armação informado, tendo-se em vista a
performance completa desde o início do carregamento até a ruptura.
Clicando no menu “Results” e posteriormente na opção “Output File”, o usuário poderá ainda ter
acesso aos resultados dos diversos passos de carga. De maneira geral, observa-se que os
resultados numéricos obtidos utilizando-se o programa MEDEA RC_MCFT possuem boa precisão
quando comparados com os resultados experimentais descritos no item 3 do presente trabalho,
conforme visto a seguir.
Validação do Programa MEDEA RC_MCFT
De maneira a comprovar a performance do programa MEDEA RC_MCFT, a Tabela 6 procura
apresentar uma comparação entre os resultados experimentais descritos no item 3 e os resultados
numéricos obtidos utilizando o programa MEDEA RC_MCFT. Conforme pode-se observar, foram
utilizados os resultados experimentais obtidos por COLLINS et alli (1985), BHIDE & COLLINS
(1989) e VECCHIO et alli (1994), com resistência à compressão do concreto variando entre 11,60 a
72,20 MPa. Foram investigados 58 resultados para fissuração e 70 resultados para ruptura de
placas em concreto armado submetidas a combinações de força normal e força cortante.
Tabela 6 – Resultados numéricos obtidos com o programa MEDEA RC_MCFT e comparados aos
resultados experimentais de COLLINS et alli (1985), BHIDE & COLLINS (1989), VECCHIO et alli
(1994) e PANG & HSU (1995)
COLLINS et alli (1985)
τfissuração,experimental
Painel
(MPa)
(A)
(B)
PV1
2,21
PV2
1,10
PV3
1,66
PV4
1,79
PV5
1,73
PV6
2,00
PV7
1,93
PV8
1,73
PV9
1,38
PV10
1,86
PV11
1,66
PV12
1,73
PV13
1,73
PV14
1,93
PV16
2,07
PV18
2,00
PV19
2,07
τfissuração,numérica
(MPa)
(C)
2,00
1,50
1,70
1,40
1,80
1,90
1,80
1,20
1,30
1,30
1,30
1,50
1,50
1,50
1,60
(B)/(C)
1,11
1,11
1,05
1,24
1,11
1,02
0,96
1,15
1,43
1,28
1,33
1,29
1,38
1,33
1,29
τruina,experimental
(MPa)
(D)
>8,02
1,16
3,07
2,89
> 4,24
4,55
> 6,81
> 6,67
> 3,74
3,97
3,56
3,13
2,01
> 5,24
4,12
> 3,04
3,95
τruina,numérica
(MPa)
(E)
8,20
0,76
3,10
2,50
4,50
4,70
8,00
9,20
4,10
3,70
3,50
3,60
1,30
6,30
1,85
3,00
3,80
(D)/(E)
0,98
1,53
0,99
1,16
0,94
0,97
0,85
0,73
0,91
1,07
1,02
0,87
1,55
0,83
2,23
1,01
1,04
19
PV20
2,21
PV21
2,35
PV22
2,42
PV23
3,73
PV24
4,97
PV25
4,14
PV26
2,00
PV27
2,04
PV28
1,66
PV29
2,21
PV30
1,55
BHIDE & COLLINS (1989)
PB11
1,19
PB12
1,32
PB4
0,81
PB6
0,85
PB7
0,74
PB8
0,52
PB10
0,31
PB15
1,80
PB16
0,98
PB14
0,78
PB17
0,54
PB18
1,62
PB19
1,23
PB20
0,94
PB28
0,84
PB21
0,73
PB22
0,44
PB29
0,75
PB30
0,74
PB31
0,44
VECCHIO et alli (1994)
PHS1
2,54
PHS2
1,94
PHS3
2,28
PHS4
2,39
PHS5
1,62
PHS6
2,25
PHS7
2,25
PHS8
2,15
PHS9
2,22
PHS10
2,13
PA1
2,19
PA2
1,88
PANG & HSU (1995)
A1
A2
A3
A4
B1
B2
B3
B4
B5
B6
-
1,50
1,50
1,50
2,30
5,60
3,40
1,60
1,50
1,20
2,10
1,50
1,47
1,57
1,61
1,62
0,89
1,22
1,25
1,36
1,38
1,05
1,03
4,26
5,03
6,07
8,87
> 7,94
9,12
5,41
6,35
5,80
5,87
> 5,13
4,30
5,20
6,00
7,20
10,20
7,80
5,80
6,30
5,60
6,20
5,60
0,99
0,97
1,01
1,23
0,78
1,17
0,93
1,01
1,04
0,95
0,92
1,70
1,60
0,90
0,90
0,60
0,30
0,10
2,10
0,90
0,70
0,30
1,70
1,00
0,80
0,80
0,60
0,30
1,00
0,70
0,30
0,70
0,83
0,90
0,94
1,23
1,73
3,10
0,86
1,09
1,11
1,80
0,95
1,23
1,18
1,05
1,22
1,47
0,75
1,06
1,47
1,27
1,53
1,16
1,15
0,86
0,79
0,56
1,96
1,45
1,54
1,22
1,70
1,28
1,42
1,53
1,42
1,03
1,49
1,48
1,15
1,80
1,60
1,10
1,00
1,10
0,80
0,60
2,80
1,60
1,30
1,30
2,10
2,40
1,60
1,40
1,40
0,90
1,60
1,40
1,10
0,71
0,96
1,05
1,15
0,78
0,99
0,93
0,70
0,91
1,18
0,94
0,81
0,53
0,89
1,09
1,01
1,14
0,93
1,06
1,05
0,90
2,70
2,50
2,30
2,00
3,10
3,20
2,50
3,30
2,00
2,40
2,20
2,82
0,72
0,91
1,04
0,81
0,73
0,70
0,86
0,67
1,07
0,91
0,85
2,95
6,66
8,19
6,91
4,81
9,89
10,26
10,84
9,37
8,58
6,34
6,22
2,70
5,50
8,30
6,50
3,80
8,10
11,00
10,20
8,60
8,10
6,00
6,00
1,09
1,21
0,99
1,06
1,27
1,22
0,93
1,06
1,09
1,06
1,06
1,04
-
-
2,27
5,37
7,65
11,31
3,96
6,13
4,35
5,06
7,15
9,14
2,60
5,40
7,90
12,40
3,80
6,50
4,60
5,60
8,60
10,60
0,87
0,99
0,97
0,91
1,04
0,94
0,95
0,90
0,83
0,86
A Tabela 7 procura apresentar de maneira resumida os principais resultados numéricos obtidos.
Conforme pode-se observar, no que se refere a fissuração o quociente entre os resultados
experimentais e aqueles verificados numericamente foi de 1,19, com um desvio padrão de 0,43 e
um coeficiente de variação de 36,18%. Já para a ruptura, obteve-se um quociente entre a carga de
20
ruína experimental e a carga de ruptura numérica igual a 1,01, com um desvio padrão de 0,22 e
coeficiente de variação de 21,64%.
Tabela 7 – Resumo dos resultados numéricos obtidos com o programa MEDEA RC_MCFT
comparados aos resultados experimentais de COLLINS et alli (1985), BHIDE & COLLINS (1989),
VECCHIO et alli (1994) e PANG & HSU (1995)
Ensaio
COLLINS et alli
(1985)
BHIDE & COLLINS
(1989)
VECCHIO et alli
(1994)
PANG & HSU
(1995)
Todos os ensaios
anteriores
fck(MPa)
Fissuração Experimental / Fissuração Numérica
Desvio Padrão
Coeficiente de
Média
(MPa)
Variação
Ruptura Experimental / Ruptura Numérica
Desvio Padrão
Coeficiente de
Média
(MPa)
Variação
11,60 a 34,50
1,25
0,198
0,159
1,06
0,293
0,277
16,40 a 43,40
1,23
0,531
0,431
0,94
0,168
0,179
43,00 a 72,20
1,01
0,585
0,581
1,09
0,097
0,089
41,20 a 45,20
-
-
-
0,93
0,064
0,069
11,60 a 72,20
1,19
0,432
0,361
1,01
0,219
0,216
Conforme pode-se observar pela Tabela 7, a fissuração foi melhor capturada para o ensaio de
COLLINS et alli (1985), que possui resistência à compressão do concreto variando entre 11,60 a
34,20 MPa. Para este caso, o quociente entre a carga de fissuração experimental e a carga de
fissuração teórica foi em média igual a 1,25, com um coeficiente de variação de apenas 15,9%.
Por outro lado, para o ensaio de VECCHIO et alli (1994) obteve-se um coeficiente de variação
bastante alto, indicando que as previsões para este caso são bastante dispersas, apesar do baixo
quociente entre a carga de fissuração experimental e a carga prevista numericamente (1,01). Esse
fato revela que a previsão de fissuração em concretos de com resistência superior a 40 MPa deve
ser melhor formulada no MCFT, tendo-se em vista que o coeficiente de variação procura revelar a
representatividade da média.
A carga de ruptura foi melhor capturada para os ensaios de VECCHIO et alli (1994) e PANG & HSU
(1995), com coeficientes de variação de apenas 8,9 e 6,9%, respectivamente. Observa-se nesses
casos o quociente médio entre a carga de ruptura experimental e a carga de ruptura numérica com
valores médios variando entre 0,93 a 1,09. Interessante notar que os ensaios de VECCHIO et alli
(1994) e PANG & HSU (1995) são aqueles com as maiores resistências à compressão para o
concreto, indicando que no caso de ruína, esse aumento de resistência introduz pouca interferência
nas previsões numéricas, ao contrário do que foi observado nas fissurações. Observa-se que o
coeficiente de variação obtido na ruptura para os ensaios de COLLINS et alli (1985) são os maiores
entre todos os outros testados.
De maneira a se investigar o efeito da resistência à compressão do concreto nos resultados
numéricos, procurou-se estudar os coeficientes de variação em função das faixas de resistência. A
21
Tabela 8 mostra que a fissuração dos painéis é melhor capturada pelo programa MEDEA
RC_MCFT na faixa de resistência à compressão do concreto variando entre 11,60 e 20 MPa. Para
essa faixa de resistência obtém-se um coeficiente médio entre a carga de fissuração experimental e
a téorica igual a 1,29, com um coeficiente de variação de 25,4%. Por outro, observa-se que as
respostas numéricas não serão satisfatórias, do ponto de vista de fissuração, para resistências
superiores a 20 MPa, uma vez que o coeficiente de variação tenderá a ser superior a 35,1%,
podendo chegar até a 67,3%.
Tabela 8 – Resumo dos resultados numéricos comparados aos resultados experimentais para
diferentes faixas de variação da resistência à compressão do concreto
fck(MPa)
11,60 a 20,00
20,00 a 40,00
40,00 a 50,00
50,00 a 72,20
Número de
Painéis
16
26
19
9
Fissuração Experimental / Fissuração Numérica
Coeficiente de
Média
Desvio Padrão
Variação
1,29
0,254
0,197
1,22
0,444
0,363
1,09
0,351
0,323
1,07
0,673
0,631
Ruptura Experimental / Ruptura Numérica
Coeficiente de
Desvio Padrão
Variação
1,04
0,174
0,167
0,99
0,316
0,319
0,98
0,104
0,106
1,08
0,103
0,095
Média
No que se refere a previsão numérica da ruína dos painéis ensaiados experimentalmente, a Tabela
8 surpreendentemente revela que as melhores previsões serão para concretos com resistências
superiores a 40 MPa, cujos coeficientes de variação serão inferiores a 10,6%. A Tabela 8 revela
ainda que há uma tendência de cargas de ruínas numéricas mais precisas conforme se aumenta a
resistência à compressão do concreto nos painéis. Observa-se que as piores previsões de ruína
concentram-se na faixa entre 20 e 40 MPa, onde o coeficiente de variação chega a 31,9%.
Conforme pode-se observar, o programa MEDEA RC_MCFT possui uma boa performance e pode
ser utilizado como uma ferramenta versátil para a previsão do comportamento de elementos de
membrana. Tendo-se em vista a dificuldade em se obter os resultados experimentais de outros
ensaios, infelizmente só foi possível validar o programa com os resultados descritos anteriormente.
De qualquer forma, as simulações efetuadas com o programa MEDEA RC_MCFT são bastante
favoráveis e conforme pode-se observar estão a favor da segurança, isto é, de maneira geral o
programa fornece cargas de fissuração e colapso que são ligeiramente inferiores àquelas cargas
verificadas experimentalmente.
Finalmente, deve-se observar que melhorias devem ser feitas ao MCFT original proposto por
VECCHIO & COLLINS (1986), de maneira a capturar melhor as cargas de fissuração (para painéis
com concretos de resistência à compressão superiores a 40 MPa) e para cargas de ruína (para
concretos com resistência entre 20 e 40 MPa). Isso pode ser feito definindo parâmetros
multiplicadores de ajuste para as reistências à compressão e tração do concreto.
22
Conclusões
A previsão de comportamento de elementos estruturais utilizando a “Analogia de Treliça”
normalmente conduz a respostas superestimadas em relação à resistência de elementos estruturais
à força cortante e ao momento torçor. Essa dificuldade em prever o comportamento ao
cisalhamento vem desafiando pesquisadores desde o começo do século XX e até hoje a discussão
permanece em aberto, com discussões concentradas nos últimos anos sobre os elementos de
membrana.
Conforme mencionado, a análise de elementos de membrana em concreto estrutural não é uma
tarefa trivial, uma vez que o comportamento do concreto nos painéis tende a ser diferente daquele
comportamento obtido de ensaios à compressão utilizando corpos-de-prova cilíndricos. Observa-se
que a resistência à compressão em uma direção é reduzida pela fissuração devido à tração na
direção perpendicular. Além disso, apesar da resistência à tração ser desprezada no
dimensionamento de elementos de membrana o mesmo não pode ser dito para os procedimentos
de análise. Dificilmente é possível obter boas respostas de desempenho se a resistência à tração
do concreto é deixada de lado no modelo constitutivo.
Dessa maneira, uma das questões mais importantes para o desenvolvimento de um modelo capaz
de simular o comportamento do concreto se fundamenta na escolha adequada das equações
constitutivas. O concreto armado apresenta um comportamento extremamente complexo, devido
não só aos efeitos relacionados ao concreto (fissuração, amolecimento, intertravamento entre
grãos, resistência entre fissuras, etc), mas também devido a sua interação com as armaduras
(aderência, efeito pino, etc).
Com o desenvolvimento do MCFT, proposto por VECCHIO & COLLINS (1986), pode-se dar um
grande avanço na análise de estruturas de concreto submetidas a esforços de membrana. A
descoberta e a quantificação do efeito de amolecimento das escoras de concreto comprimido em
função de tensões transversais de tração possibilitou um avanço significativo no entendimento da
resistência de peças de concreto estrutural sujeitas à tensões de cisalhamento (cortante e torçor).
Porém, deve-se chamar atenção para o fato de que a análise manual de elementos de membrana
em concreto armado utilizando o MCFT é bastante maçante e, por isso, requer o auxílio de métodos
computacionais para a otimização do problema. Dessa maneira, o presente trabalho procurou
apresentar de maneira resumida o desenvolvimento da ferramenta MEDEA RC_MCFT para a
análise de elementos de membrana na plataforma MATLAB. A comparação dos resultados
numéricos com resultados experimentais disponíveis na literatura apontam para a boa performance
da ferramenta e do MCFT.
23
A despeito dos bons resultados obtidos pelo programa, observa-se que a formulação original do
MCFT necessita de alguns ajustes, de maneira a capturar melhor as cargas de fissuração para com
concretos de resistência à compressão superiores a 40 MPa, bem como obter melhores cargas de
ruína, para concretos de resistência à compressão entre 20 e 40 MPa.
Finalmente, com a disponbilização da ferramenta numérica ora aqui desenvolvida, bem como da
divulgação das nuances embutidas no MCFT (Ver Anexo A), acredita-se que o modelo poderá ser
utilizado com menos dúvidas por outros engenheiros. Deve-se realçar que há falta na literatura de
descrições mais apuradas acerca dos procedimentos de implementação numérica do modelo e
nesse sentido, o presente artigo vem a superar tais dificuldades. Essas características são
fundamentais, uma vez que a NBR6118 (2003) ainda não apresenta maiores informações sobre a
análise e dimensionamento de elementos de membrana em concreto estrutural.
Agradecimentos
O autor gostaria de expressar seu profundo agradecimento ao Cnpq (Conselho Nacional de
Pesquisa) e à Fundação Araucária pelos investimentos financeiros necessários ao desenvolvimento
da presente pesquisa.
Anexo A - Fluxograma do programa MEDEA RC_MCFT
•
Dados de Entrada:
ρx = Taxa de armadura na direção x;
ρy = Taxa de armadura na direção y;
φx = Diâmetro das barras na direção x;
φy = Diâmetro das barras na direção y;
fyx = Tensão de escoamento da armadura na direção x;
fyy = Tensão de escoamento da armadura na direção y;
Esxi = Módulo de elasticidade da armadura na direção x;
Esyi = Módulo de elasticidade da armadura na direção y;
fc = Resistência à compressão do concreto;
φag = Diâmetro máximo do agregado;
fx = Tensão normal aplicada na direção x;
fy = Tensão normal aplicada na direção y;
vxy = Tensão de cisalhamento aplicada;
•
Cálculo das distâncias entre fissuras nas direções x e y:
s mx = (2 / 3).(φ x / 3,6.ρ x )
s my = (2 / 3).(φ y / 3,6.ρ y )
24
•
Cálculo das propriedades do concreto:
ε c ≅ 0,002 (Deformação de Pico do Concreto à Compressão)
f t = 0,33. f c (Resistência à Tração do Concreto)
E c = 2.
ε cr =
•
fc
εc
(Módulo de Elasticidade do Concreto)
ft
(Deformação Limite para Fissuração)
Ec
Inicialização das deformações e tensões principais:
 ε xm  0

  
ε m =  ε ym  = 0
γ  0
 xym   
f1 = 0
f2 = 0
•
Escolha do Vetor das Deformações e das Tensões Principais:
ε x = ε xm
ε y = ε ym
γ xy = γ yxm
f _ 1g = f 1
f _ 2g = f 2
•
Cálculo das Deformações Principais a partir do Círculo de Mohr:
arad =
acen =
e _ 1a
(ε y − ε x ) 2 + γ xy2
2
(Raio do Círculo)
(ε x + ε y )
(Centro do Círculo)
2
= arad + acen (Deformação Principal de Tração)
e _ 2 a = acen − arad (Deformação Principal de Compressão)
•
Determinação do ângulo de inclinação da deformação principal de compressão:
 0,5.γ xy 

 (ε y − ε x ) 
θ a = arc tan 
25
•
Cálculo da Matriz de Rigidez do Concreto nas Direções Principais:
Se f _ 1g ≤ 0,0001 → E c1 = Ec
Se f _ 1g > 0,0001 → E c1 = f _ 1g / ε _ 1a
Se f _ 2 g ≤ 0,0001 → E c 2 = E c
Se f _ 2 g > 0,0001 → E c 2 = f _ 2 g / ε _ 2 a
Gc12 =
E c1 .E c 2
E c1 + E c 2
 E c1
[Dc ] =  0
 0

•
0
Ec 2
0
0 

0 
Gc12 .
Cálculo da Matriz de Rigidez das Armaduras:
E sxi

E sx = min  f yx
ε
 x
 E syi

E sy = min  f yy
ε
 y
 ρ x .E sx
[ Ds ] =  0
 0
•
0
ρ y .E sy
0
0
0
0
Matriz de Transformação, Matriz de Transformação Transposta e Matriz Total de Rigidez:
ψ = 180 − θ a

cosψ 2
[T ] = 
senψ 2
− 2. cosψ 2 .senψ 2

senψ 2
cosψ 2
2. cosψ 2 .senψ 2
cosψ 2 .senψ 2 

− cosψ 2 .senψ 2 
cosψ 2 − senψ 2 
26
[T ]T
 cosψ 2

=  senψ 2
cosψ 2 .senψ 2

senψ 2
cosψ 2
− cosψ 2 .senψ 2
− 2. cosψ 2 .senψ 2 

2. cosψ 2 .senψ 2 
cosψ 2 − senψ 2 
[D] = [T ]T [Dc ] [T ] + [ Ds ]
•
Cálculo das Novas Deformações:
 ε xm 
 fx 



−1 
 ε ym  = [ D]  f y 
γ xym 
v xy 


 
•
Cálculo das Deformações Principais a partir do Circulo de Mohr:
rad =
cen =
2
(ε ym − ε xm ) 2 + γ xym
2
(ε xm + ε ym )
2
e1 = rad + cen
e2 = cen − rad
•
Cálculo do Novo Ângulo Theta:
 0,5.γ xym 

 (ε ym − ε xm ) 
θ = arc tan 
•
Cálculo das Tensões nas Armaduras para o Novo Estado de Deformação:
f sxa = E s .ε x ≤ f yx
f sya = E s .ε y ≤ f yy
•
Cálculo da Tensão de Compressão no Concreto para o Novo Estado de Deformação:
f 2,max,a =
fc
0,8 + 170.ε 1
27
f
f 2,max ≥  2,max, a
 fc
 ε
f 2 = f 2,max .2 2
  ε c
•
 ε2
−
 ε
  c




2



Cálculo da Tensão de Tração no Concreto para o Novo Estado de Deformação:
Se ε 1 < ε cr → f 1a = ε 1 .E c
Se ε 1 ≥ ε cr → f 1a =
•
f cr
1 + 500.ε 1
Aplicação do Procedimento “Crack Check” para Limitar a Tensão Principal de Tração:
s mθ =
1
senθ cosθ
+
s mx
s my
w = ε 1 .s mθ
ν ci ,max,a ≤
0,18. f c
0,31 + 24w/(φ a + 16)
f 1cx = ρ x .( f yx − f sx )
f 1cy = ρ y .( f yy − f sy )
f1b = f1cx . cos 2 θ + f1cy .sen 2θ
ν ci ,max,b ≤ f1cx − f1cy sen 2θ . cos 2 θ
f 1c = f 1cx + min(ν ci ,max,a ,ν ci ,max,b ). tan θ
f 1d = f 1cy + min(ν ci ,max,a ,ν ci ,max,b ). tan θ
f 1 = min( f 1a , f1b , f 1c , f 1d )
•
Resultados Finais de Tensão:
f − f2
rads = 1
2
28
cens =
f x _ new
f1 + f 2
2
= cens − rads. cos 2θ + ρ x . f sx
f y _ new = cens − rads. cos 2θ + ρ y . f sy
v xy _ new = rads.sen2θ
•
Verificação do Critério de Convergência:
 fx 
 
f =  fy 
v xy 
 
 f x _ new 


f new =  f y _ new 
 v xy ,new 


 f x   f x _ new 
  

Se Tol =  f y  −  f y _ new  < 0,00001 → Convergência Obtida (STOP)
v xy   v xy ,new 
  

 f x   f x _ new 
  

Se Tol =  f y  −  f y _ new  > 0,00001 → Efetuar novo loop, assumindo:
v xy   v xy ,new 
  

ε x = ε xm
ε y = ε ym
γ xy = γ yxm
f _ 1g = f 1
f _ 2g = f 2
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32
7 – Artigos Submetidos para Publicação em Revistas Indexadas
1 - SOUZA, Rafael Alves de ; PANTOJA, J. C. ; VAZ, L. E. . Assessment of Structural Behavior of
Concrete Membrane Elements Using Reliability Analysis. IBRACON Structural and Material
Journal. Artigo em fase de avaliação.
8 – Apresentação do Relatório de Pesquisa
Apresenta-se na sequência, o relatório formal da pesquisa desenvolvida durante o perído
mencionado.
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
Análise e Dimensionamento de Elementos de
Membrana em Concreto Estrutural
Prof. Dr. Rafael Alves de Souza
Maringá, Fevereiro de 2012.
"Não basta conquistar a sabedoria, é preciso usá-la"
Cícero
Sumário
Resumo
01
1. Introdução
02
2. Equilíbrio de Elementos de Membrana em Concreto Armado
05
2.1 Formulação de Equilíbrio
05
2.2 Modos de Ruína dos Elementos de Membrana em Concreto Armado
09
3. Equilibrium (Plasticity) Truss Model
10
3.1 Dimensionamento Utilizando o Plasticity Truss Model
11
3.2 Exemplo de Dimensionamento com o Plasticity Truss Model
12
4. Mohr Compatibility Truss Model
16
4.1 Equações de Equilíbrio e de Compatibilidade
16
4.2 Variações do Mohr Compatibility Truss Model
17
4.3 Análise Utilizando o Mohr Compatibility Truss Model
18
4.4 Dimensionamento Utilizando o Mohr Compatibility Truss Model
20
4.5 Exemplo de Análise
21
5. Modified Compression Field Theory
25
5.1. Introdução
26
5.2. Equações de Compatibilidade
26
5.2 Equações de Equilíbrio
28
5.4 Relações Constitutivas
30
5.5 Transmissão de Carregamento Entre Fissuras
32
5.6 Descrição do Procedimento "Crack Check" no MCFT
36
5.7 Emprego do Método Secante Acoplado ao Método da Rigidez
Secante
42
5.8 Descrição do Programa MEMBRANE
44
5.9 Descrição do Programa PRF (Performance of Reinforced Concrete)
48
5.10 Programação do MCFT em Planilha Eletrônica
53
6. Resultados Experimentais de Elementos de Membrana
56
6.1 Efeito Softening
56
6.2 Obtenção da Relação Constitutiva com Abrandamento
57
6.3 Principais Ensaios Realizados
59
7. Desenvolvimento de Programas Computacionais
63
7.1 Descrição do Programa MEDEA RC
63
7.1.1 Exemplo de Dimensionamento Utilizando MEDEA RC_Analysis
66
7.1.2 Exemplo de Análise Utilizando MEDEA RC_Analysis
67
7.1.3 Considerações Sobre o Programa MEDEA RC
70
7.2 Descrição do Programa MEDEA RC_MCFT
71
76
7.2.1 Validação do Programa MEDEA RC_MCFT
7.3 Softened Truss Model (STM)
80
7.3.1 Equações de Equilíbrio e Compatibilidade
80
7.3.2 Equações Constitutivas
81
7.3.3 Solução
Carregamento
para
o
Caso
de
Aumento
Proporciomal
de
83
7.3.4 Equações Complementares de Compatibilidade
85
7.3.5 Procedimento Iterativo de Solução
87
7.3.6 Programa MEDEA RC_STM
88
7.3.7 Validação do Programa MEDEA RC_STM
90
8. Análises Não-Lineares Utilizando ATENA2D
95
8.1 Visão Geral do Programa
95
8.1.1 Modelo Constitutivo SBETA para Concreto
98
8.1.2 Modelos de Fissuração Distribuída
102
8.1.3 Modelagem das Armaduras
103
8.2 Simulação Computacional de Elementos de Membrana
104
8.2.1 Descrição das Principais Dificuldades
104
8.2.2 Descrição dos Resultados Experimentais
106
8.2.3 Descrição das Simulações Computacionais
110
8.2.4 Resultados Obtidos
112
9. Conclusões
115
10. Referências Bibliográficas
116
Anexo A – Código Fonte do programa Performance of Reinforced Concrete
120
Anexo B – Código Fonte do programa MEDEA RC
128
Anexo C - Fluxograma de Implementação do Programa MEDEA RC_MCFT
151
Anexo D - Dimensionamento de Elementos de Membrana
158
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Resumo
A segurança de construções complexas tais como plataformas off-shore, usinas nucleares, edifícios
esbeltos e vigas de grandes pontes dependem basicamente da habilidade do engenheiro em
entender como tais estruturas vão se comportar mediante ações extremas aplicadas pelo meio
ambiente e pelo homem. De maneira a facilitar o processo de entendimento dessas complexas
estruturas, normalmente admite-se que o todo seja formado por um conjunto de elementos simples
cujo comportamento físico seja bem conhecido. Dessa maneira, a interação entre as respostas
obtidas para os diversos elementos isolados pode fornecer uma resposta racional e bastante
precisa para o todo em função da discretização empregada. Dentro desse panorama, o presente
trabalho tem por objetivo analisar o comportamento de elementos retangulares em concreto
estrutural submetidos no seu próprio plano à ação de força cortante e força axial. Apesar desses
elementos, denominados de elementos de membrana, serem utilizados para modelar os mais
complexos tipos de estruturas, essa análise não é tão trivial como aparenta ao princípio para o caso
do concreto estrutural. Visando superar a dificuldade mencionada anteriormente, procura-se
fornecer no presente trabalho, os recursos necessários para a análise e dimensionamento dos
elementos de membrana. Espera-se que o presente trabalho possa contribuir em futuras revisões
da NBR6118 (2003), uma vez que o código brasileiro ainda não contempla informações sobre o
dimensionamento e a verificação de elementos de membrana em concreto estrutural.
Palavras-chave (4 palavras-chave)
Concreto Estrutural, Dimensionamento, Método dos Elementos Finitos e Elementos de Membrana.
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1
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
1. Introdução
O presente trabalho tem como objeto de estudo a resposta de elementos retangulares de concreto
armado submetidos a forças normais e de cisalhamento no plano, isto é, elementos de membrana.
Estes elementos podem ser utilizados para modelar estruturas complexas, conforme ilustra a Figura
1, e dessa maneira métodos de análise e dimensionamento racionais são necessários para
obtenção de respostas confiáveis.
Figura 1 – Estruturas idealizadas como sendo um conjunto de elementos de membrana
(Fonte: VECCHIO & COLLINS (1986))
A maioria das soluções conhecidas e utilizadas para o dimensionamento de elementos de
membrana foi obtida através da verificação das condições de equilíbrio e de resistência,
conduzindo a um dimensionamento seguro, baseado no Teorema Inferior da Teoria da Plasticidade.
Dentro dessa linha, merecem destaque as publicações de GUPTA (1984, 1986), NIELSEN (1984),
FIALKOW (1991), CEB-FIP MODEL CODE 1990 (1993), LOURENÇO & FIGUEIRAS (1993, 1995) e
REGAN (1999).
Apesar do problema de dimensionamento estar bem resolvido, deve-se ressaltar que as alternativas
de solução não são suficientemente conhecidas no meio prático. Além disso, o problema de
verificação de elementos de membrana, isto é, a análise do comportamento de um elemento plano
armado e sujeito a ações no próprio plano não é um problema trivial como parece ser. COLLINS et
al (1985) relatam que numa competição internacional, com a participação de 43 lideres mundiais
em pesquisa sobre simulações numéricas aplicadas ao concreto armado, não foi possível prever o
comportamento carga versus deslocamento de painéis retangulares armados com uma margem de
erro inferior a 15%.
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Ficou evidente que o insucesso das previsões era fortemente dependente das relações tensãodeformação empregadas, as quais basicamente ignoravam a resistência à tração do concreto. Com
base nos resultados experimentais da competição realizada, VECCHIO & COLLINS (1986)
propuseram a Teoria do Campo Modificado de Compressões (“Modified Compression Field
Theory”) e passaram a considerar a resistência à tração do concreto entre fissuras. Apesar de
verificada uma grande evolução na previsão do comportamento dos elementos de membrana,
deve-se observar que mesmo nos dias atuais não se chegou a um consenso sobre o assunto.
De acordo com VECCHIO & COLLINS (1986), a análise de um elemento de membrana é dificultada
devido ao fato de que novas fissuras podem ser formadas, fissuras pré-existentes podem se
propagar e até mesmo se fechar, e um sistema estrutural constituído por corpos de concreto
conectados pelas barras das armaduras tende a se formar sob a ação de determinados
carregamentos. Além disso, os corpos de concreto tendem a se unir nas superfícies rugosas
existentes na interface das fissuras, podendo assim transmitir cisalhamento e compressão nos
pontos em contato.
Um modelo que faz frente ao Campo Modificado das Compressões proposto por VECCHIO &
COLLINS (1986) é o Modelo de Treliça Flexibilizado (“Softened Truss Model”) proposto por HSU
(1993). Trata-se de um método de análise não-linear de elementos de membrana que envolve a
resolução simultânea de um grande número de equações, tal qual se observa no Método do Campo
Modificados das Compressões. Na verdade, vários outros métodos também estão disponíveis, mas
com exceção dos dois métodos mencionados anteriormente, nenhum outro consegue ultrapassar a
fase inelástica dos elementos de membrana.
Quando além dos esforços de membrana (Nx, Ny e Nxy) existem os esforços decorrentes da Teoria
das Placas Delgadas, isto é, aqueles esforços associados com a flexão do elemento (Mx, My, Mxy),
pode-se generalizar as soluções citadas anteriormente, tornando a situação de análise ainda mais
complexa. Para maiores informações sobre o dimensionamento de armaduras em elementos de
casca recomenda-se a leitura dos trabalhos de GUPTA (1984), LOURENÇO (1992), LOURENÇO &
FIGUEIRAS (1993, 1995), CEB-FIP MODEL CODE 1990 (1993), REGAN (1999), MARTI (1999) e
DELLA BELLA & CIFÚ (2000).
Tendo em vista a dificuldade do meio prático em obter respostas, tanto na análise quanto no
dimensionamento de elementos de membrana, o presente trabalho tem como principal objetivo o
desenvolvimento de uma ferramenta computacional simples para auxiliar o engenheiro de
estruturas nas atividades mencionadas anteriormente.
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
O programa MEDEA RC (Membrane Design and Analysis for Reinforced Concrete) foi desenvolvido
utilizando a plataforma MATLAB e tem como características principais as potencialidades de
dimensionamento e análise de elementos de membrana em concreto armado. Para efeito de
dimensionamento, foi incorporado o modelo “Equilibrium “Plasticity” Truss Model”, enquanto que
para o processo de análise foram incorporados os modelos “Mohr Compatibility Truss Model”,
“Modified Compression Field Theory” e “Softened Truss Model”.
A seguir, são apresentadas as principais características dos modelos incorporados, bem como, uma
descrição completa do programa desenvolvido, abordando exemplos práticos de análise e
dimensionamento. De maneira geral, observa-se que o programa desenvolvido conduz a resultados
muito confiáveis, otimizando de maneira muito significativa a investigação de elementos de
membrana em concreto estrutural. Finalmente, o projeto de estruturas complexas com a utilização
do programa MEDEA RC se torna mais facilitado e possibilita uma garantia mais confiável da
verificação da segurança.
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4
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
2. Equilíbrio de Elementos de Membrana em Concreto Armado
2.1 Formulação de Equilíbrio
Seja o elemento de concreto apresentado na Figura 2, armado longitudinalmente e
transversalmente, e submetido à ação das tensões σl , σt e τlt. As tensões atuantes nas escoras de
concreto são dadas por σlc , σtc e τltc, enquanto que as tensões nas armaduras distribuídas são
dadas por ρlfl e ρtft.
Fixed Angle
Rotating Angle
Figura 2 – Equilíbrio de elementos de membrana em concreto armado
As tensões principais do elemento de membrana em concreto armado são definidas pelas tensões
σ1 e σ2, conforme os eixos 1 e 2 da Figura 2. O ângulo entre o eixo 1 e o eixo de referência l é
denotado por α2. O subíndice 2 é definido de maneira a dar ênfase que as medições angulares são
feitas em relação ao eixo 2.
As tensões principais para as escoras de concreto são definidas como sendo σd e σr, baseando-se
nos eixos d e r apresentados na Figura 2. O ângulo entre d e l é denotado como sendo α. O
subíndice d é omitido, simplesmente por uma questão de comodidade.
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5
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Através da mecânica, pode-se facilmente demonstrar que o conjunto de tensões apresentado (σl,
σt , τlt , σlc , σtc e τltc) satisfaz as equações de transformação1, dadas pelas Equações (01) a (03).
σ l = σ 2 cos 2 α 2 + σ1sen 2 α 2
(01)
σ t = σ 2 sen 2 α 2 + σ1cos 2 α 2
(02)
τ lt = ( −σ 2 + σ1 )sen α 2 .cos α 2
(03)
Observa-se que o ângulo α2 depende apenas das relações relativas entre σl, σt e τlt. Quando
essas tensões aumentam proporcionalmente, não há mudança do ângulo α2 e por isso ele é
chamado de “fixed angle”. De maneira contrária, o ângulo α depende das quantidades relativas de
armadura nas direções longitudinal e transversal. Quando quantidades diferentes de armadura são
utilizadas o ângulo α tende a rotacionar com o aumento do carregamento, sendo dessa maneira
conhecido como “rotating angle”.
Assumindo que as armaduras só podem carregar forças axiais e que o concreto é responsável
pelas forças cortantes e por parte das forças normais, as Equações (04) a (06) podem ser escritas:
σ l = σ lc + ρ l f l
(04)
σ t = σ tc + ρ t f t
(05)
τ lt = τ ltc
(06)
Uma vez que as tensões no concreto (σlc , σtc e τltc) devem satisfazer ao princípio de
transformação, pode-se representá-las em função das tensões principais σd e σr , conforme as
Equações (07) a (09):
σ lc = σ d cos 2 α + σ r sen 2 α
(07)
σ tc = σ d sen α + σ r cos α
(08)
τ ltc = ( −σ d + σ r )sen α.cos α
(09)
2
2
Substituindo as Equações (07), (08) e (09) nas Equações (04), (05) e (06) obtém-se as seguintes
equações de equilíbrio para um elemento de membrana em concreto armado:
σ l = σ d cos 2 α + σ r sen 2 α + ρ l f l
(10)
σ t = σ d sen 2 α + σ r cos 2 α + ρ t f t
(11)
τ lt = (−σ d + σ r )sen α.cos α
(12)
1
As equações de transformação de tensão são facilmente encontradas nos livros de resistências de materiais
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
O estado de tensão do elemento de membrana em concreto armado, devido à aplicação σl , σt e τlt,
é ilustrado pelo Círculo de Mohr da Figura 3. Nessa figura, pode-se observar que o ponto A
representa a face de referência l, sujeita às tensões σl e τlt, enquanto o ponto C representa a face
de referência t, sujeita às tensões σt e τlt. A tensão principal σ2 está localizada a uma distância
igual a 2.α2 do ponto A, contada no sentido anti-horário. As tensões longitudinais e transversais nas
armaduras são dadas por ρlfl e ρtft, respectivamente.
Figura 3 – Círculo de Mohr para elemento de membrana em concreto armado
Observa-se que não há Círculo de Mohr para as tensões nas armaduras, uma vez que as barras
são assumidas como não suportando força cortante. Finalmente, o estado de tensão nas escoras é
determinado a partir das equações (σlc = σl - ρlfl) e (σtc = σt - ρtft). A tensão principal σd está
localizada para um ângulo igual a 2.α contado no sentido anti-horário a partir do ponto A.
Uma vez que a tensão σr é normalmente uma grandeza muito pequena, a tensão de compressão
nas escoras de concreto, σd, pode ser calculada a partir das tensões σl e σt e a partir das tensões
ρlfl e ρtft, conforme ilustra a Equação (13):
σ d + σ r = σ l + σ t - (ρ l f l + ρ t f t )
(13)
Adicionalmente, aplicando-se a relação trigonométrica σr. sen2 α = σr - σr.cos2 α nas Equações
(10), (11) e (12), expressões muito apropriadas para a análise de elementos de membrana podem
ser obtidas:
- σ l + ρ l f l + σ r = (−σ d + σ r ).cos 2 α
(14)
- σ t + ρ t f t + σ r = (−σ d + σ r ).sen α
(15)
τ lt = (−σ d + σ r ).sen α.cos α
(16)
2
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
O termo (-σd + σr ) pode ser ainda isolado na Equação (16) e substituído nas Equações (14) e (15),
de maneira a gerar expressões muito propicias ao dimensionamento de elementos de membrana
em concreto armado.
- σ l + ρ l f l + σ r = τ lt cot α
(17)
- σ t + ρ t f t + σ r = τ lt tan α
1
(−σ d + σ r ) = τ lt .
sen α.cos α
(18)
(19)
As equações de equilíbrio também podem ser expressas em termos das relações existentes entre
os ângulos α2, α e um ângulo imaginário αs a ser definido a seguir. Subtraindo a Equação (15) na
Equação (14), obtém-se a Equação (20):
- (σ l − σ t ) = τ lt (cot α − tan α) − (ρ l f l - ρ t f t )
(20)
Dividindo a Equação (20) por 2.τlt obtém-se a Equação (21):
(σ l − σ t ) 1
(ρ f - ρ f )
= (cot α − tan α) + l l t t
− 2τ lt
2
− 2τ lt
(21)
Observa-se que o primeiro termo no lado direito da Equação (21) pode ser associado à seguinte
relação trigonométrica:
1
(cot α − tan α) = cot 2α
2
(22)
Adicionalmente, o termo à esquerda da Equação (20) pode ser associado à Equação (23). Observe
que o ângulo nessa expressão é α2, uma vez que as tensões aplicadas σl, σt e τlt estão atuando
no elemento de membrana em concreto armado como um todo.
(σ l − σ t )
= cot 2α 2
− 2τ lt
(23)
Seja agora a definição de um ângulo imaginário αs para o segundo termo à direita da Equação (20),
conforme ilustra a Equação (24):
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
(ρ l f l - ρ t f t )
= cot 2α s
− 2τ lt
(24)
Substituindo as Equações (22) a (24) na Equação (21), obtém-se a Equação (25). Esta é uma
expressão muito simples relacionando os ângulos α2, α e αs. Deve-se enfatizar que o ângulo αs é
apenas um ângulo imaginário, uma vez que o aço não resiste à tensão de cisalhamento τlt.
cot 2α 2 = cot 2α + cot 2α s
(25)
Deve-se observar que o eixo vertical τ na Figura 3, não possui um significado físico para o caso das
armaduras, de maneira que um Círculo de Mohr não pode ser desenhado. No entanto, a invenção
do ângulo αs oferece uma maneira muito conveniente de checar e entender os diagramas da Figura
3.
2.2 Modos de Ruína dos Elementos de Membrana em Concreto Armado
De acordo com HSU (1993), um elemento de membrana em concreto armado submetido a um
conjunto de forças normais biaxiais e forças cortantes pode ser dimensionado de diferentes
maneiras. Dependendo da espessura atribuída ao elemento, as armaduras podem escoar antes do
esmagamento do concreto e vice-versa. Além disso, a relação entre as quantidades de armadura
distribuída nas duas direções pode influenciar o comportamento do elemento de membrana, de
maneira que os seguintes modos de ruína podem ser identificados:
•
Elementos Subarmados: Tanto a armadura longitudinal quanto a armadura transversal
chegam ao escoamento antes que o concreto chegue à ruína por compressão;
•
Elementos Subarmados na Direção Longitudinal: A armadura longitudinal chega ao
escoamento antes que o concreto chegue à ruína por compressão, sendo que a armadura
transversal não chega ao escoamento;
•
Elementos Subarmados na Direção Transversal: A armadura transversal chega ao
escoamento antes que o concreto chegue à ruína por compressão, sendo que a armadura
longitudinal não chega ao escoamento;
•
Elementos Superarmados: O concreto chega à ruína por compressão antes que as
armaduras escoem em uma das duas direções.
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
3. Equilibrium (Plasticity) Truss Model
Com trabalhos baseados na Teoria da Plasticidade, NIELSEN (1967), LAMPERT & THURLIMANN
(1968, 1969) apud HSU (1993) chegaram às três equações fundamentais de equilíbrio para força
cortante. Posteriormente, ELFEGREN (1972) elucidou a interação entre flexão, força cortante e
momento torçor, sendo que a soma desse trabalho com aqueles mencionados anteriormente
passou a ser conhecido como “Equilibrium (Plasticity) Truss Model”.
De acordo com HSU (1993), o “Equilibrium (Plasticity) Truss Model” foi desenvolvido baseando-se
na Teoria da Plasticidade e leva em consideração as condições de equilíbrio e de escoamento das
armaduras. As condições de compatibilidade, bem como, as relações constitutivas dos materiais
não são levadas em conta nesse modelo, de maneira que algumas deficiências são identificadas,
conforme a seguir:
•
O “Equilibrium (Plasticity) Truss Model” não leva em consideração condições de
compatibilidade de deformações e, dessa maneira, não possibilita a obtenção das
deformações de cisalhamento devidas à força cortante atuantes em um elemento de
membrana;
•
O “Equilibrium (Plasticity) Truss Model” não possibilita a previsão de deformações no aço
ou no concreto, de maneira que o escoamento das armaduras ou a ruptura das escoras
não podem ser racionalmente encontrados. Esse fato dificulta a obtenção do modo de
ruína;
•
O “Equilibrium (Plasticity) Truss Model” está focado principalmente na análise e
dimensionamento em estado limite último de regiões B, isto é, regiões que seguem a
Hipótese de Bernoulli de seções planas com distribuição linear de deformações ao longo da
seção transversal.
Apesar das deficiências mencionadas anteriormente, o “Equilibrium (Plasticity) Truss Model” é um
modelo muito simples de ser programado computacionalmente. Graficamente também o modelo é
muito interessante, uma vez que as condições de equilíbrio satisfazem plenamente as relações do
Círculo de Mohr. Além disso, o modelo possibilita uma visão bastante clara sobre a interação
existente entre flexão, força cortante, torção e força axial atuantes em elementos de concreto
armado.
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
3.1 Dimensionamento Utilizando o Plasticity Truss Model
De acordo com HSU (1993), o dimensionamento das armaduras em elementos de membrana de
concreto armado utilizando o Plasticity Truss Model é baseado no escoamento das armaduras
longitudinais e transversais. Assumindo que fl = fly e ft = fty , então σl , σt e τlt serão denotados por
σly , σty e τlty. Levando-se em consideração o caso em que a resistência à tração no concreto é
desprezada (σr = 0), as três equações de equilíbrio (Equações (17) a (19)) passam a ser:
ρ l f ly = σ ly + τ lty cot α
ρ t f ty = σ ty + τ
(−σ d ) = τ lty .
lty
(26)
(27)
tan α
(28)
1
sen α.cos α
Somando-se as Equações (26) e (27) e lembrando que cot α + tan α = 1 / sen α. cos α, tem-se a
quantidade total de armaduras necessárias nas duas direções, conforme ilustra a Equação (29):
ρ l f ly + ρ t f ty = σ ly + σ ty + τ lty
1
sen α. cos α
(29)
Analisando a Equação (29), pode-se constatar que a quantidade mínima total de armadura será
obtida quando da utilização de um ângulo αd = 45°. Além disso, HSU (1993) relata que este é o
ângulo para o qual se obtém o melhor controle de fissuração. Dimensionar um elemento de
membrana em concreto armado assumindo que α = 45°, implica na obtenção das seguintes
expressões, a partir das Equações (26) e (27):
ρ l f ly = σ ly + τ lty
(30)
ρ t f ty = σ ty + τ lty
(31)
Se o elemento de membrana estiver submetido a uma tensão de compressão transversal σty, cujo
valor seja maior do que τlty, então a Equação (27) fornecerá ρtfty < 0. Esse não é um caso de
dimensionamento válido e, nesse caso, o melhor a fazer é assumir que ρtfty = 0. Inserindo essa
condição na Equação (27), obtém-se um ângulo α > 45°:
tan α =
− σ ty
(32)
τ lty
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Substituindo o ângulo obtido na Equação (32) na Equação (26), obtém-se a quantidade necessária
de armadura longitudinal. Se o resultado da Equação (33) for negativo, então conclui-se que as
armaduras distribuídas não são necessárias nas duas direções ortogonais.
ρ l f ly = σ ly +
τ2
(33)
lty
- σ ly
Por outro lado, se o elemento estiver solicitado por uma tensão de compressão longitudinal σly, cujo
valor seja maior do que τlty, então a Equação (26) fornecerá ρlfty < 0. Esse não é novamente um
caso de dimensionamento válido e, portanto, assume-se que ρlfty = 0. Inserindo essa condição na
Equação (26), obtém-se um ângulo α < 45°:
cot α =
− σ ly
(34)
τ lty
Substituindo o ângulo obtido na Equação (34) na Equação (27), obtém-se a quantidade necessária
de armadura transversal:
ρ t f ty = σ ty +
τ2
(35)
lty
- σ ly
Se o resultado da Equação (35) for negativo, então conclui-se que as armaduras distribuídas não
são necessárias nas duas direções ortogonais. Na prática, evidentemente, uma quantidade mínima
de armadura é sempre atribuída, visando controlar a fissuração decorrente de efeitos como retração
e temperatura.
3.2 Exemplo de Dimensionamento com o Plasticity Truss Model
Seja um elemento de membrana com espessura h = 12 cm sujeito à ação das tensões
σly = 2,13 MPa (tração), σty = -2,13 MPa (compressão) e τlty = 3,70 MPa, conforme ilustra a Figura
4. Pede-se dimensionar as armaduras longitudinais e transversais utilizando o Plasticity Truss
Model, bem como, calcular as tensões atuantes nas barras, nas escoras de concreto e no elemento
de membrana. Assumir o escoamento das armaduras nas duas direções (fly = fty = 500 MPa), adotar
mesma quantidade de armadura nas duas direções (ρl = ρt ) e desprezar a resistência à tração do
concreto (σr = 0).
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Figura 4 – Elemento de membrana em concreto armado sujeito a tensões
Solução:
O ângulo α2 (“fixed angle”) para um elemento de membrana em concreto armado pode ser
calculado diretamente a partir da Equação (23), conforme a seguir:
cot 2α 2 =
(σ l − σ t ) = 2,13 − ( - 2,13)
= −0,57568
− 2τ lt
− 2.3,70
2α 2 = 120 o ou α 2 = 60 o
O Círculo de Mohr para as tensões aplicadas é apresentado na Figura 5, onde o ângulo
2.α2 = 120° é indicado.
Figura 5 – Círculo de Mohr para o elemento de membrana em análise
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
As armaduras longitudinais e transversais podem ser dimensionadas a partir das Equações (36) e
(37).
ρ l f ly = σ ly + τ lty cot α
(36)
ρ t f ty = σ ty + τ lty tan α
(37)
Uma vez que ρlfly = ρtfty então o ângulo α (“rotating angle”) pode ser encontrado igualando-se as
Equações (36) e (37):
σ ly + τ lty cot α = σ ty + τ lty tan α
τ lty (tan α − cot α) = σ ly + σ ty
Levando-se em consideração que (tan α – cot α) = - cot (2α), então o ângulo α pode ser expresso
por:
cot 2α=
(σ ly − σ ty ) = 2,13 − ( - 2,13)
= −0,57568
− 2τ lty
− 2.3,70
2α= 120 o ou α= 60 o
De maneira geral, pode-se observar que o ângulo α2 será igual ao ângulo α sempre que a
armadura em malha for assumida em escoamento e com quantidades iguais nas duas direções
ortogonais. Substituindo o ângulo α nas Equações (36) e (37), obtêm-se as quantidades de
armadura necessárias nas duas direções ortogonais:
ρ l f ly = 2,13 + 3,70.cot (60 o ) = 4,26 MPa = ρ t f ty
ρ = 4,26/500 = 0,00853 = 0,853%
Asl Ast
=
= ρ .h = 0,00853.12 = 10,23 cm ² / m
s
s
A tensão atuante nas escoras de concreto pode ser encontrada pela Equação (28), conforme a
seguir, sendo que os níveis de tensão absorvidos pelo concreto e pelas armaduras são
apresentados na Figura 6.
1
sen α d .cos α d
− 3,70
σd =
= −8,54 MPa
sen 60 o.cos 60 o
(−σ d ) = τ lty .
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(28)
14
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Figura 6 – Tensões absorvidas pelo concreto e pelas armaduras no elemento de membrana
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
4. Mohr Compatibility Truss Model
De acordo com HSU (1993), uma análise rigorosa de elementos de membrana deve satisfazer a
condições de equilíbrio bidimensional, condições de compatibilidade e leis constitutivas biaxiais
para os materiais. No entanto, se equações constitutivas uniaxiais são adotadas e assumidas como
sendo lineares, o equacionamento pode ser profundamente simplificado. Essa teoria simplificada é
denominada de “Mohr Compatibility Truss Model” e pode ser aplicada para cargas superiores as
cargas de serviço e até mesmo para cargas que provocam o escoamento das armaduras.
Caso as equações constitutivas assumidas para os materiais sejam biaxiais e não-lineares, então a
teoria fica mais refinada, sendo que atualmente dois modelos constituem a linha de frente na
análise de elementos de membrana: “Modified Compression Field Theory” e “Softned Truss Model”.
Ambos modelos podem ser utilizados para a análise completa de um elemento de membrana,
abrangendo o estado completo de carregamento, desde o início da aplicação das cargas até a
ruptura.
No presente capítulo, apresenta-se a formulação completa do “Mohr Compatibility Truss Model”,
objetivando uma preparação sólida para a apresentação dos modelos mais refinados comentados
anteriormente.
4.1 Equações de Equilíbrio e de Compatibilidade
Conforme apresentado no capítulo anterior do presente trabalho, as equações básicas de equilíbrio
para um elemento de membrana em concreto armado podem ser representadas pelas Equações
(10) a (12):
σ l = σ d cos 2 α + σ r sen 2 α + ρ l f l
(10)
σ t = σ d sen 2 α + σ r cos 2 α + ρ t f t
(11)
τ lt = (−σ d + σ r )sen α.cos α
(12)
Da mesma maneira, a partir do estudo das condições de deformação em um elemento de
membrana, HSU (1993) obteve equações básicas de compatibilidade de deformações, dadas pelas
Equações (38) a (40):
ε l = ε d cos 2 α + ε r sen 2 α
ε t = ε d sen 2 α + ε r cos 2 α
γ lt = 2.(−ε d + ε r )sen α.cos α
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(38)
(39)
(40)
16
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
4.2 Variações do Mohr Compatibility Truss Model
Basicamente, no “Mohr Compatibility Truss Model” são satisfeitas as condições de equilíbrio e de
compatibilidade, sendo que as relações constitutivas são definidas tomando-se por base a Lei de
Hooke, que assume comportamento elástico-linear para os materiais. Nesse caso, as armaduras
longitudinais e transversais são definidas conforme as relações constitutivas das Equações (41) e
(42):
(41)
fl
Es
f
εt = t
Es
εl =
(42)
A equação constitutiva utilizada para o concreto é definida de maneira bidimensional, sendo
dependente uma função dependente dos valores σr e σd. A partir do nível de tensão de tração a ser
absorvido pelo concreto, três variações do “Mohr Compatibility Truss Model” podem ser obtidas:
“Simple Truss Model”, “Modified Truss Model” e “Uncracked Elastic Elements”.
No caso do “Simple Truss Model”, a resistência à tração é desprezada na análise de elementos de
membrana já fissurados, da mesma maneira que se costuma fazer na análise de elementos de
concreto armado sob ação de flexão. Dessa maneira, a deformação no concreto é tomada como
sendo uma função linear dependente da tensão atuante e do módulo de elasticidade do concreto
empregado, conforme ilustram as Equações (43) e (44):
σr = 0
σ
εd = d
Ec
(43)
(44)
O modelo anterior pode ser refinado, caso a resistência à tração do concreto seja levada em
consideração na análise da seção fissurada. Quando a resistência à tração é assumida como
sendo uma pequena constante, verificada logo após a fissuração do concreto, tem-se o chamado
“Modified Truss Model”. A relação constitutiva para o concreto sob compressão permanece linear,
conforme a Equação (43), e o valor de σr deixa de ser nulo e assume valor constante definido no
intervalo da Equação (45):
σ r = 0,68 a 1,37 MPa
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(45)
17
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
O “Simple Truss Model” e o “Modified Truss Model” são modelos válidos para o estágio em que o
elemento de membrana já experimentou fissuração. Para o caso em que o concreto ainda não
atingiu essa fase, convém-se utilizar o “Uncracked Elastic Elements”, cujas relações constitutivas
são apresentadas a seguir:
1
(σ d − µσ r )
Ec
1
εr =
(σ r − µσ d )
Ec
εd =
(46)
(47)
Onde µ representa o Coeficiente de Poisson, podendo ser assumido como sendo igual a 0,20 para
o caso do concreto.
4.3 Análise Utilizando o Mohr Compatibility Truss Model
Na prática, uma vez que o valor de σr é normalmente fornecido, recai-se em um sistema de 9
equações (Equações (10) a (12), (38) a (42) e (44)) envolvendo 14 variáveis. Essas variáveis
incluem 6 tensões (σl , σt , τlt , σd , fl e ft), 5 deformações (εl , εt , γlt , εr e εd), 2 propriedades da
seção transversal (ρl e ρt) e 1 parâmetro geométrico (α). Dessa maneira, para que as equações
possam ser resolvidas, um número total de 5 variáveis deve ser informado.
Normalmente, através da condução de análises elásticas utilizando o Método dos elementos
Finitos, obtém-se para os elementos de membrana em estudo, os valores das tensões (σl , σt e
τlt). Dessa maneira, apenas duas variáveis adicionais devem ser fornecidas para que o problema
seja totalmente resolvido. Se essas variáveis forem ρl e ρt têm-se então um problema de análise
estrutural. Caso contrário, isto é, se as variáveis fl e ft são fornecidas, passa-se a ter um problema
de dimensionamento estrutural.
O problema de análise de elementos de membrana recai na busca pela maneira mais eficiente de
se resolver as 9 equações, resultantes das condições de equilíbrio, compatibilidade e leis
constitutivas dos materiais. Expressando as equações básicas de equilíbrio (Equações (10) a (12))
de maneira alternativa (Equações (17) a (19)) e levando-se em consideração que σr = 0, as tensões
atuantes nas armaduras e no concreto serão dadas pelas Equações (48) a (50):
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
σ l + τ lt cot α
ρl
σ + τ lt tan α
ft = t
ρt
− τ lt
σd =
sen α.cos α
(48)
fl =
(49)
(50)
Substituindo as Equações (41), (42) e (44) nas equações anteriores, pode-se obter as deformações
nas armaduras longitudinais, transversais e no concreto, conforme ilustram as Equações (51) a
(53):
σ l + τ lt cot α
ρl .E s
σ + τ tan α
ε t = t lt
ρ t .E s
(51)
εl =
εd =
(52)
τ lt
1 



E c  sen α.cos α 
(53)
As Equações (48) a (53) ilustram que todas tensões e deformações atuantes nas armaduras e no
concreto são expressas em função de uma única variável desconhecida, α. De acordo com HSU
(1993), essa variável pode ser determinada a partir da equação de compatibilidade da Equação
(54):
tan 2 α =
εl − εd
εt − εd
(54)
Substituindo as deformações da Equação (54) pelos valores fornecidos nas Equações (51) a (53),
pode-se chegar a seguinte expressão:
ρ l (1 + ρ t n).tan 4 α +
σt
σ
ρ l tan 3 α - l ρ t tan α - ρ t (1 + ρ t n) = 0
τ lt
τ lt
(54)
Onde:
n=
(55)
Es
Ec
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19
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
A obtenção do ângulo α a partir da Equação (54) pode ser feita de maneira mais efetiva utilizandose um processo de tentativa e erro. Uma vez que o ângulo α é encontrado, as tensões (σd , fl e ft) e
as deformações (εd , εl e εt) nas escoras de concreto e nas armaduras, podem ser imediatamente
obtidas a partir das Equações (48) a (53). As duas últimas variáveis, γlt e εr, podem ser obtidas a
partir da Equação (40) e da Equação (56) apresentada a seguir:
εr = εl + εt − εd
(56)
4.4 Dimensionamento Utilizando o Mohr Compatibility Truss Model
O problema de análise de elementos de membrana recai na busca pela maneira mais eficiente de
se resolver as 9 equações, resultantes das condições de equilíbrio, compatibilidade e leis
constitutivas dos materiais. Expressando as equações básicas de equilíbrio (Equações (10) a (12))
de maneira alternativa (Equações (17) a (19)), assumindo-se o escoamento das armaduras (fl = fly
e ft = fty )e levando-se em consideração que σr = 0, as taxas de armadura e a tensão de
compressão atuante no concreto serão dadas pelas Equações (57) a (59):
ρl =
σ l + τ lt cot α
f ly
(57)
ρt =
σ t + τ lt tan α
f ty
(58)
σd =
− τ lt
sen α.cos α
(59)
Das relações constitutivas lineares assumidas para o aço e apresentadas anteriormente nas
Equações (41) e (42), tem-se:
εl =
εt =
f ly
(60)
Es
f ty
(61)
Es
Substituindo a Equação (59) na Equação (44), obtém-se:
εd =
1 
− τ lt



E c  sen α.cos α 
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(62)
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Substituindo as deformações obtidas das Equações (60) a (62) na Equação (54) obtém-se:
tan 2 α =
f ly senα . cosα + n.τ lt
(63)
f tysenα . cosα + n.τ lt
4.5 Exemplo de Análise
Seja um elemento de membrana com espessura h = 12 cm sujeito à ação das tensões
σl = 2,13 MPa (tração), σt = -2,13 MPa (compressão) e τlt = 3,70 MPa, conforme ilustra a Figura
7(a). Sabendo-se que o elemento possui taxa de armação longitudinal e transversal igual a 1,033%
(fly = fty = 413,68 MPa), pede-se determinar as condições de tensão e deformação nos materiais
para momento do escoamento das armaduras. Adotar fck = 27,57 MPa, Es = 199.947 MPa, Ec =
24.821 MPa.
Solução:
Primeiramente, o ângulo α (“rotating angle”) deve ser determinado, a partir da utilização da
Equação (54):
ρ l (1 + ρ t n).tan 4 α +
σt
σ
ρ l tan 3 α - l ρ t tan α - ρ t (1 + ρ t n) = 0
τ lt
τ lt
(54)
Levando-se em consideração que n = Es / Ec = 8,06 e que ρl = ρt a Equação (54) pode ser reduzida
para a seguinte expressão:
1,083.tan 4 α − 0,583.tan 3 α - 0,5773.tan α - 1,0833 = 0
A equação anterior pode ser facilmente resolvida através de um processo de tentativa e erro,
conforme ilustra a Tabela 1. Nessa tabela, o valor do ângulo α (primeira coluna) é estimado e os
valores de tan α (segunda coluna), tan3 α (terceira coluna) e tan4 α (quarta coluna) são
imediatamente calculados e substituídos na Equação (54). Se a Equação (54) resultar em zero
então uma solução é obtida, caso contrário um novo valor para o ângulo α testado.
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Tabela 1 – Ângulo α para o exercício proposto utilizando o Mohr Compatibility Truss Model
α (Graus)
tan α
tan3 α
tan4 α
Equação (54)
60,00
1,7321
5,1961
9,0000
4,6668
55,00
1,4281
2,9129
4,1599
0,9170
52,50
1,3032
2,2134
2,8845
0,0113
52,40
1,2985
2,1895
2,8431
-0,0170
52,45
1,3009
2,2014
2,8638
-0,0028
52,46
1,3013
2,2038
2,8678
-0,0001
Conforme pode-se observar pela Tabela 1, após seis ciclos de iteração pode-se chegar a um valor
bastante preciso com a utilização de α = 52,46°. Observe-se que esse ângulo é dobrado quando
representado no Círculo de Mohr, conforme ilustra a Figura 7(d). Para esse ângulo α, as tensões
são calculadas conforme a seguir:
− τ lt
− 3,70
=
= −7,65 MPa
sen α.cos α sen 52,46.cos 52,46
σ + τ cot α 2,13 + 3,70.cot 52,46
f l = l lt
=
= 481,43 MPa > f l y = 413,68 MPa
ρl
0,01033
σ + τ lt tan α − 2,13 + 3,70.tan 52,46
ft = t
=
= 259,91 MPa < f ty = 413,68 MPa
ρt
0,01033
σd =
Conforme pode-se observar, a armadura longitudinal encontra-se em escoamento, enquanto a
armadura transversal ainda se encontra no trecho elástico. No momento do escoamento da
armadura longitudinal, as tensões aplicadas no elemento de membrana devem ser iguais às
tensões iniciais reduzidas por um fator igual a 413,68 / 481,43 = 0,859. Logo, tem-se as tensões no
concreto armado conforme abaixo, representadas no Círculo de Mohr pela Figura 7 (c):
σl = 0,859.2,13 = 1,83 MPa
σt = 0,859.(-2,13) = -1,83 MPa
τlt = 0,859.3,70 = 3,18 MPa
A partir das tensões calculadas anteriormente, pode-se encontrar as tensões nas armaduras e no
concreto, calculadas conforme a seguir e representadas no Círculo de Mohr conforme a Figura 7 (d)
e (e):
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σ l + τ lt cot α 1,83 + 3,18.cot 52,46
=
= 413,68 MPa ≅ f l y = 413,68 MPa
ρl
0,01033
σ + τ lt tan α − 1,83 + 3,18.tan 52,46
ft = t
=
= 223,45 MPa < f ty = 413,68 MPa
ρt
0,01033
ρ l f l = σ l + τ lt cot α = 1,83 + 3,18.cot 52,46 = 4,27 MPa
fl =
ρ t .f t = σ t + τ lt tan α = −1,83 + 3,18.tan 52,46 = 2,30 MPa
σ l - ρ l f l = 1,83 - 4,27 = -2,44 MPa
σ t - ρ t f t = - 1,83 - 2,30 = − 4,13 MPa
− τ lt
− 3,18
σd =
=
= −6,58 MPa
sen α.cos α sen 52,46.cos 52,46
Finalmente, as deformações atuantes na armadura e no concreto, para o instante de escoamento
das armaduras, são calculadas conforme a seguir e representadas no Círculo de Mohr conforme
ilustra a Figura 7 (b):
σ d − 6,58
=
= −0,265x103
E c 24821
f
413,68
εl = l =
= 2,068x103
E s 199947
f
223,45
εt = t =
= 1,117x103
E s 199947
εd =
ε r = ε l + ε t − ε d = 2,068 + 1,117 + 0,265 = 3,45x103
γ lt = 2.( −ε d + ε r ).sen α.cos α = 2.(0,265 + 3,45).sen 52,46.cos 52,46 = 3,58x103
Conforme pode-se observar pela Figura 7, o ângulo α = 52,46° verificado no escoamento das
armaduras longitudinais, será modificado para valores superiores, atingindo um valor máximo
α = 60,00° quando do escoamento das armaduras transversais. Esse ângulo final pode ser
facilmente demonstrado através da utilização do “Plasticity Truss Model”.
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Figura 7 – Elemento de membrana analisado utilizando o Mohr Compatibility Truss Model
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5. Modified Compression Field Theory (MCFT)
Conforme mencionado anteriormente, caso as equações constitutivas assumidas para os materiais
sejam biaxiais e não-lineares, pode-se chegar a uma teoria mais refinada. Um modelo que vem
ganhando grande aceitação nos últimos anos, e que emprega as características não-lineares
mencionadas é o “Modified Compression Field Theory” (MCFT), proposto por VECCHIO &
COLLINS (1986).
Conforme será visto a seguir, esse modelo pode descrever completamente o comportamento de um
elemento de membrana em concreto armado, desde o início do carregamento até a ruptura. Tal
potencialidade é obtida pela adoção de relações constitutivas eficazes para simular o
comportamento do concreto fissurado, abrangendo desde carregamentos biaxiais até estados de
cisalhamento puro. Na seqüência, são apresentadas as principais características do modelo, cuja
fundamentação foi implementada em um programa próprio desenvolvido na plataforma MATLAB.
5.1 Introdução
A teoria conhecida como MCFT tem suas origens na Diagonal Compression Field Theory proposta
por MITCHELL & COLLINS (1974), bem como na Compression Field Theory (CFT) proposta por
COLLINS (1978).
A proposta original do MCFT foi lançada por VECCHIO & COLLINS (1982) a partir do ensaio de 30
painéis de concreto armado submetidos a estados uniformes de deformação. A versão definitiva da
teoria foi publicada por VECCHIO & COLLINS (1986) e desde então apenas pequenas
modificações foram implementadas no modelo original, conforme atesta o trabalho de COLLINS &
MITCHELL (1987). Desde a versão final do modelo, vários outros pesquisadores têm proposto
modelos similares, entre eles os modelos propostos por HSU & ZHANG (1997), ZHANG & HSU
(1998) e KAUFMANN & MARTI (1998).
De acordo com BENTZ (2000), o MCFT é uma teoria geral para o comportamento carga versus
deformação de elementos bidimensionais de concreto armado fissurados submetidos a
cisalhamento. O comportamento do concreto sob compressão e tração é baseado nos ensaios de
Vecchio e foi confirmado através de mais de 250 ensaios em equipamentos especialmente
desenvolvidos para tal fim. Máquinas similares também foram construídas no Japão e nos Estados
Unidos, de maneira que foi possível confirmar a qualidade dos resultados da teoria proposta.
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
A hipótese mais importante assumida no modelo é que o concreto fissurado pertencente a um
elemento de concreto armado pode ser tratado como se fosse um novo material com uma curva
tensão-deformação definida empiricamente. Esse comportamento é diferente do comportamento
tradicional obtido do ensaio de corpos-de-prova cilíndricos submetidos à compressão.
As deformações utilizadas consistem em deformações médias, isto é, elas reunem de maneira
acoplada efeitos combinados como deformações locais nas fissuras, deformações entre fissuras,
aderência-escorregamento e escorregamento entre fissuras. Da mesma maneira, as tensões
também são médias, isto é, elas incluem implicitamente as tensões entre fissuras, tensões nas
fissuras, a interface de cisalhamento entre fissuras e o efeito pino propiciado pelas armaduras. De
maneira que o uso de tensões e deformações médias possam ser consideradas adequadas, o
comportamento médio deve ser medido em distâncias que incluam poucas fissuras.
De acordo com BENTZ (2000), uma verificaçõa explícita deve ser feita de maneira a penalizar a
utilização de relações tensão-deformação médias, garantindo que as tensões médias são
compatíveis com a condição de fissuração do concreto. Esse processo, denominado de “crack
check” é uma etapa crucial no MCFT e nas teorias derivadas a partir dele. O processo de
verificação consiste basicamente na limitação da tensão principal de tração no concreto a um valor
limites, considerando a tensão de tração na armadura que atravessa a fissura e a habilidade da
superfície fissurada transmitir tensões de cisalhamento.
Uma vez que o comportamento geral é baseado em relações médias, melhoradas com o processo
de “crack check”, o modelo não requer o cálculo explícito de efeitos complementares como: efeito
pino, tensões de cisalhamento nas fissuras, tensão nas armaduras nas fissuras, deformações
devido ao deslizamento das fissuras e tensões de aderência. Se necessário, os valores
comentados anteriormente podem ser calculados por equações de equilíbrio. A simplicidade que se
tem no modelo, tendo-se em vista a não consideração explícita dos efeitos complexos mencionados
anteriormente é uma das grandes virtudes da teoria proposta por VECCHIO & COLLINS (1986).
5.2 Equações de Compatibilidade
Conforme VECCHIO & COLLINS (1986), o elemento de membrana apresentado na Figura 8
representa uma pequena região de uma estrutura em concreto armado. Para esse elemento, de
espessura uniforme, admite-se uma malha ortogonal de armaduras cujos eixos são coincidentes
com o sistema cartesiano. As cargas atuantes nas faces dos elementos são constituídas por
tensões normais uniformemente distribuídas (fx e fy) e tensões uniformes de cisalhamento (vxy). As
deformações dos elementos são assumidas de maneira que os eixos permaneçam paralelos e
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
planos, sendo que a deformada é definida pelas duas deformações normais (εx e εy) e pela
deformação de cisalhamento (γxy).
Figura 8 – Elemento de membrana (Fonte: VECCHIO & COLLINS (1986))
De maneira a responder como as tensões (fx , fy e vxy) estão relacionadas com as deformações (εx ,
εy e γxy) as seguintes hipóteses adicionais são consideradas:
•
•
•
•
•
Para cada estado de deformação só existe um único estado de tensão, sendo que casos
com histórico de carregamento não são tratados;
Tensões e deformações podem ser consideradas em termos de valores médios quando
consideradas atuando em regiões suficientemente largas de maneira a conter várias
fissuras;
Concreto e armaduras possuem aderência perfeita nas fronteiras do elemento, ou seja, não
admite-se escorregamento das armaduras;
As armaduras longitudinais e transversais são uniformemente distribuídas ao longo do
elemento.
Tensões e deformações de tração são tratadas como quantidades positivas enquanto
tensões e deformações de compressão são tratadas como quantidades negativas.
Uma vez que assume-se que as armaduras são perfeitamente aderidas ao concreto, existe a
necessidade de que qualquer deformação experimentada pelo concreto seja simultaneamente
experimentada pelas armaduras. Dessa maneira, a deformação da armadura será idêntica à
deformação do concreto adjacente, conforme ilustram as Equações (64) e (65).
ε sx = ε cx = ε x
ε sy = ε cy = ε y
(64)
(65)
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Se as três componentes de deformação εx, εy e γxy são conhecidas (Figura 9 (a)) então as
deformações em qualquer direção podem ser determinadas por geometria ou simplificadamente
com a utilização do Círculo de Mohr para deformações, conforme ilustra a Figura 9 (b). Observar
que o ângulo theta é paralelo às fissuras e segue o campo das tensões principais de compressão
no concreto.
(a)
(b)
Figura 9 – (a) Deformações médias em elemento fissurado e (b) Círculo de Mohr para deformações
médias (Fonte: VECCHIO & COLLINS (1986))
Várias relações importantes podem ser obtidas a partir do Círculo de Mohr para deformações,
conforme ilustram as Equações (66) a (68). Nestas equações ε 1 representa a tensão principal de
tração e ε 2 representa a tensão principal de compressão.
2.(ε x − ε 2 )
tan θ
ε x + ε y = ε1 + ε 2
γ xy =
tan 2 θ =
(66)
(67)
ε x − ε 2 ε1 − ε y ε1 − ε y ε x − ε 2
=
=
=
ε y − ε 2 ε1 − ε x ε y − ε 2 ε1 − ε x
(68)
5.3 Equações de Equilíbrio
As forças aplicadas ao elemento de membrana são resistidas pelo concreto e pelas armaduras,
conforme ilustra o diagrama de corpo livre da Figura 10 e as Equações (69) e (70), a seguir:
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Figura 10 – Diagrama de corpo livre de elemento de membrana em concreto armado
(Fonte: VECCHIO & COLLINS (1986))
∫
∫
A
f x dA = ∫ f cx dAc + ∫ f sx dAs
(69)
f y dA = ∫ f cy dAc + ∫ f sy dAs
(70)
A
Ac
Ac
As
As
Desprezando-se a pequena redução na seção transversal de concreto devido à presença das
armaduras, pode-se chegar às seguintes expressões:
f x = f cx + ρ sx . f sx
f y = f cy + ρ sy . f sy
(71)
(72)
ν xy = ν cx + ρ sx .ν sx
(73)
ν xy = ν cy + ρ sy .ν sy
(74)
Assumindo que ν cx = ν cy = ν cxy , as tensões atuantes no elemento de membrana podem ser
completamente definidas desde que as parcelas f cx , f cy e ν cxy sejam conhecidas. O Círculo de
Mohr para tensões ilustrado na Figura 11 (b) fornece as seguintes equações para o problema:
ν cxy
tan θ c
f cy = f c1 − ν cxy . tan θ c
f c 2 = f c1 − ν cxy .(tan θ c + 1 / tan θ c )
f cx = f c1 −
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(75)
(76)
(77)
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
(a)
(b)
Figura 11 – (a) Tensões médias e principais em elemento fissurado e (b) Círculo de Mohr para
tensões médias (Fonte: VECCHIO & COLLINS (1986))
5.4 Relações Constitutivas
As equações constitutivas são essenciais para se fazer a conexão entre as tensões médias e as
deformações médias tanto para o concreto quanto para as armaduras. Essas relações constitutivas
médias do tipo tensão-deformação podem ser significativamente diferentes daquelas obtidas em
ensaios simples utilizando-se corpos-de-prova cilíndricos. Além disso, as relações tensãodeformação médias para o concreto e para as armaduras não são completamente independentes,
embora isso seja assumido de maneira a manter a simplicidade do modelo.
A tensão normal nas armaduras é assumida como sendo dependente apenas da deformação axial
e adicionalmente assume-se que as armaduras não absorvam cisalhamento, ou seja,
ν sx = ν sy = 0 . A relação constitutiva adotada para as armaduras é baseada em um modelo uniaxial
bilinear, regido pelas Equações (78) e (79):
f sx = E s .ε x ≤ f yx
(78)
(79)
f sy = E s .ε y ≤ f yy
De acordo com BENTZ (2000), o MCFT assume que o comportamento médio das barras de aço
possa ser aproximado pelo comportamento de uma barra de aço simples. Essa é uma excelente
hipótese somente antes da verificação do primeiro escoamento da armadura de maneira localizada
em uma fissura. Isto é devido ao fato de que a armadura tende a escoar em uma fissura devido ao
acréscimo de tensões de tração em regiões de concreto ainda não fissuradas. De acordo com
BENTZ (2000), a tentativa de modelar de maneira adequada do comportamento médio das
armaduras é que leva à complexidade verificada nos outros modelos que fazem frente ao MCFT.
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30
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Em relação ao concreto, assume-se que as direções das tensões principais e das deformações
principais sejam coincidentes, conforme ilustra a Equação (80). VECCHIO & COLLINS (1986)
demonstraram que essas direções não são na verdade coincidentes, porém a simplificação
proposta é bastante razoável e facilita demasiadamente o problema.
θc = θ
(80)
A tensão principal de compressão no concreto ( f c 2 ) é função da deformação principal de
compressão ( ε 2 ), bem como da tensão principal de tração ( ε 1 ). Dessa maneira, elementos de
concreto submetidos a altas deformações de tração na direção normal ao campo das compressões,
tendem a apresentar resposta menos rígida do que corpos-de-prova de concreto cilíndricos
ensaiados em ensaios convencionais de compressão simples. A relação sugerida para o problema
é apresentada na Equação (81):
f c2
 ε
f c'
=
.2 2´
0,8 + 170.ε 1   ε c

 ε2
− ´
 ε
  c




2



(81)
De acordo com BENTZ (2000), no MCFT assume-se que o concreto íntegro sob compressão siga
inicialmente o comportamento típico de uma curva tensão versus deformação tipica de ensaio de
compressão de um corpo-de-prova cilíndrico. A relação tensão-deformação ilustrada na Equação
(81) é uma parábola, que por sua vez é calculada em função da deformação principal de
compressão (ε2) e de tração (ε1). A deformação principal de tração modela a perda de resistência à
compressão quando o concreto se encontra transversalmente fissurado.
A relação entre a tensão média principal de tração no concreto e a deformação média principal de
tração é aproximadamente linear antes da fissuração. Após a fissuração, observa-se valores
decrescentes de f c1 com o acréscimo dos valores de ε 1 . Antes da fissuração ( ε 1 ≤ ε cr ), as
Equações (82 e 83) podem ser utilizadas para modelar o problema:
f c1 = E c .ε 1
E c = 2.
f
ε
(82)
´
c
´
c
(83)
Após a fissuração ( ε 1 > ε cr ), a Equação (84) é sugerida para modelar o problema:
f c1 =
f cr
(84)
1 + 500.ε 1
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31
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
De acordo com BENTZ (2000), no MCFT assume-se que o concreto é capaz de desenvolver toda
sua capacidade de resistência previamente à fissuração. Após a fissuração, as tensões de tração
atuantes no concreto íntegro entre fissuras continuam a enrijecer a resposta do concreto. De
maneira a se modelar a grande dispersão referente ao comportamento pós-fissuração do concreto,
a Equação (84) é assumida. O decréscimo das tensões médias após a fissuração representa a
perda de aderência, formação de novas fissuras e outros mecanismos de dano. Na formulação
original de VECCHIO & COLLINS (1986), o termo ilustrado como
500.ε 1 era dado por
200.ε 1 .
A mudança do coeficiente de 200 para 500 foi sugerida por COLLINS & MITCHELL (1987), após
analisar novos e numerosos resultados experimentais de elementos de membrana.
5.5 Transmissão de Cisalhamento Entre Fissuras
De acordo com VECCHIO & COLLINS (1986), as formulações de tensão e deformação são
descritas em termos de valores médios e não fornecem informações sobre variações locais. Nos
pontos de fissura, as tensões nas armaduras são maiores do que os valores médios, enquanto que
na região entre fissuras elas são menores. A tensão de tração no concreto, por outro lado, será
igual a zero em um ponto fissurado e terá valor maior que a média em regiões contidas entre
fissuras. Essas variações locais são importantes, uma vez que a capacidade última de elementos
carregados biaxialmente pode ser controlada pela capacidade das armaduras transmitirem tração
nos pontos de fissuração.
A Figura 12 compara as tensões médias (Plano 1) com as tensões locais que atuam em uma
fissura (Plano 2). A direção crítica de fissuração é assumida como sendo normal a direção da
deformação principal de tração. Enquanto a tensão de cisalhamento média calculada no Plano 1 é
zero (em termos de tensões médias este é um plano principal), a tensão de cisalhamento local
(Plano 2) pode ser diferente de zero. Essas tensões de cisalhamento, νci podem estar
acompanhadas de pequenas tensões de compressão fci ao longo da fissura.
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32
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Figura 12 – Comparação entre tensões locais na fissura e tensões médias calculadas
Uma vez que as tensões externas aplicadas fx, fy e νxy são fixas, o conjunto de tensões
apresentado na Figura 12 deve ser estaticamente equilibrado. Assumindo uma área unitária tanto
para o Plano 1 quanto para o Plano 2, e tendo-se em vista a necessidade de que as tensões
produzidas nas armaduras sejam iguais nas direções x e y, tem-se:
ρ sx f sx senθ + f ci senθ = ρ sx f sxcr senθ − f ci senθ − ν ci cos θ
ρ sy f sx cos θ + f ci cos θ = ρ sx f sycr cos θ − f ci cos θ − ν ci senθ
(86)
(87)
As Equações (86) e (87) podem ser rearranjadas, conforme a seguir:
ρ sy ( f sycr − f sy ) = f c1 + f ci − ν ci tan θ
ρ sx ( f sxcr − f sx ) = f c1 + f ci − ν ci / tan θ
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(88)
(89)
33
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
O equilíbrio das Equações (88) e (89) pode ser satisfeito sem tensões de cisalhamento e tensões
de compressão na fissura apenas se:
ρ sy ( f sycr − f sy ) = ρ sx ( f sxcr − f sx ) = f c1
(90)
No entanto, as tensões nas armaduras na fissura não podem ultrapassar a tensões de escoamento,
conforme ilustram as Equações (91) e (92):
f sxcr ≤ f yx
(91)
(92)
f sycr ≤ f yy
O cálculo dos termos fsxcr e fsycr define o procedimento denominado como “crack check” no MCFT.
Observe que são definidas duas equações, uma para cada direção de armadura, derivada como
sendo a soma das forças nas direções x e y localmente na fissura. Evidentemente, a tensão limite
nas armaduras em uma fissura deve ser inferior a algum limite, geralmente dado pela tensão de
escoamento das armaduras.
Dessa maneira, se a tensão média calculada em ambas armaduras é alta, pode-se não obter a
satisfação da Equação (90). Nesse caso, o equilíbrio irá requerer tensões de cisalhamento na
fissura. Para a maioria dos concretos, a fissuração irá ocorrer na interface entre a pasta de cimento
e os agregados. As fissuras resultantes podem transmitir cisalhamento por intertravamento dos
agregados, conforme ilustra a Figura 13.
Figura 13 – Transmissão de tensões de cisalhamento ao longo das fissuras devido ao
intertravamento dos agregados (Fonte: VECCHIO & COLLINS (1986))
As relações existentes entre as tensões de cisalhamento ao longo da fissura νci, a abertura de
fissura w e a tensão de compressão na fissura fci foi estudada experimentalmente por WALRAVEN
(1981), que sugere a Equação (93) para quantificação da tensão de cisalhamento:
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
ν ci ≤
(93)
0,18. f c´
0,31 + 24w/(a + 16)
w = ε 1 .sθ
1
sθ =
senθ cosθ
+
s mx
s my
s mx = 1,5.d x
s my = 1,5.d x
(94)
(95)
(96)
(97)
Nas equações anteriores, “a” é a máxima dimensão do agregado em milímetros e as tensões são
dadas em MPa. A abertura média de fissura é dada por “w” e é dada pelo produto entre a
deformação principal de tração (ε1) e o espaçamento diagonal médio entre fissuras (sθ). Os valores
smx e smy são indicadores das características de controle da fissuração nas direções x e y, sendo
que dx e dy representam o afastamento médio entre as barras nas direções x e y, respectivamente.
Assume-se que uma tensão de cisalhamento limite (νci) pode ser transmitida entre as faces de uma
fissura antes que a mesma comece a deslizar. Essa tensão limite de cisalhamento é maior para
concretos mais rígidos e agregados maiores. Com o aumento das aberturas de fissuras verifica-se
um decréscimo na máxima capacidade de transmissão de cisalhamento entre as faces da fissura.
Deve-se observar que a tensão de cisalhamento na interface das fissuras, vci, não é uma tensão
média, mas sim uma tensão localizada.
Lembrando-se que o MCFT calcula a força total de um elemento utilizando tensões médias para um
determinado ângulo theta e levando-se em consideração que a tensão de cisalhamento calculada
na fissura é resistida por uma fissura também imaginada para o referido ângulo theta, é de se
esperar que haja um desvio local no ângulo das tensões principais na fissura se realmente existir
tensões de cisalhamento na referida fissura.
Dessa maneira, quando da checagem das condições de tensão na superfície da fissura, uma
combinação entre tensões de cisalhamento (νci) e tensões normais de compressão (fci) devem ser
determinadas de maneira a satisfazer as Equações (88) a (95). Se devido ao escoamento da
armadura na fissura, uma solução não é possível, então a tensão média principal de compressão
(fc1) deve ser reduzida até que uma solução seja possível.
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35
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
A Figura 14 procura apresentar de maneira reduzida as relações envolvidas no MCFT para o caso
bidimensional. O painel da esquerda apresenta as equações de equilíbrio baseadas nas equações
do Círculo de Mohr para tensões. O painel intermediário apresenta as condições de deformação,
também resumidas através do Círculo de Mohr. Deve-se observar que no MCFT o ângulo da tensão
principal no concreto é tomado como sendo igual ao ângulo da deformação principal. O painel da
direita ilustra as relações constitutivas para os materiais, nomeadamente aço e concreto.
Finalmente a base de cada painel ilustra as componentes de verificação localizada na fissura, de
maneira que as tensões médias possam ser transmitidas.
Figura 14 – Resumo das equações utilizadas no modelo MCFT
(Adaptado de BENTZ (2000))
5.6 Descrição do Procedimento “Crack Check” no MCFT
O procedimento “crack check” representa uma verificação explícita e necessária para assegurar
que níveis de tensão médios possam ser resistidos localmente em uma fissura. De acordo com
BENTZ (2000), tornou-se evidente que no passado muitos pesquisadores implementaram o MCFT
sem a devida inclusão do procedimento “crack check”, propiciando dessa maneira respostas
inadequadas e potencialmente perigosas. A importância do procedimento “crack check” pode ser
demonstrada utilizando-se o prisma de concreto armado tracionado da Figura 15.
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Figura 15 – Prisma em concreto armado submetido à tração
(Fonte: BENTZ (2000))
A força total atuante no prisma é dada pela Equação (98):
N = Nc + Ns
(98)
Em que:
N = Força axial total;
Nc = Parcela da força total absorvida pelo concreto = f1.Ac;
Ns = Parcela da força total absorvida pelas armaduras = fsx.As = ρ.fsx.Ac;
As relações tensão-deformação para o concreto e para as armaduras podem ser definidas
utilizando-se as equações propostas no MCFT e apresentadas em maiores detalhes na Figura 16.
(a)
(b)
Figura 16 – Comportamento médio para (a) concreto e (b) armaduras submetidos à tração
(Fonte: BENTZ (2000))
Uma análise equivocada do problema pode produzir o diagrama tensão versus deformação
apresentado na Figura 17 (a). Este resultado é considerado inadequado, uma vez que as forças
carregadas pelo concreto e pelas armaduras foram somadas ao longo de todo o processo de
deformação do prisma, o que é particularmente incorreto.
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37
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
(b)
(a)
Figura 17 – (a) Comportamento inadequado de deformação do prisma e (b) diagrama de corpo livre
na fissura para elemento unidimensional (Fonte: BENTZ (2000))
Considere agora o diagrama de corpo livre ilustrado na Figura 17 (b), sendo que pelo lado esquerdo
são consideradas as relações médias utilizadas pelo MCFT e pelo lado direito são consideradas
tensões locais na fissura sem que haja a participação do concreto à tração. Analisando o diagrama
de corpo livre, fica evidente que pelo lado direito a tensão fsx deve ser limitada pela tensão de
escoamento das armaduras e que f1 = 0. A garantia de que a tensão local na fissura não irá superar
a tensão de escoamento do aço é basicamente o procedimento denominado de “crack check” no
MCFT. Utilizando a verificação de “crack check”, pode-se chegar a um diagrama mais realista do
comportamento tensão versus deformação do elemento prismático de concreto armado submetido à
tração, conforme ilustrado na Figura 18.
Figura 18 – Comportamento tensão versus deformação de prisma de concreto armado
considerando o procedimento de “crack check” (Fonte: BENTZ (2000))
Dessa maneira, a explanação anterior dá origem ao procedimento de “crack check” para o caso
unidimensional. A dedução de equilíbrio de forças, apresentada na Equação (98) possibilita
estabelecer o procedimento “crack check” para o prisma ilsutrado na Figura 15:
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
fsx.As + f1.Ac = fsx-crack.As
f1 = ( fsx-crack.As - fsx.As ) / Ac
f1 ≤ (fsx-crack – fsx) .ρ
(98)
Para o caso bidimensional, o procedimento “crack check” se torna um pouco mais complexo.
Primeiramente, uma verificação uniaxial deve ser feita em cada uma das direções das armaduras,
acompanhada de uma verificação adicional objetivando responder se há possibilidade de
transmissão de cisalhamento na interface da fissura.
Basicamente, assume-se que a fissura não pode transmitir nenhuma tensão axial de tração.
Também assume-se que as direções das tensões principais possam rotacionar localmente na fissura
e, dessa maneira, o aparecimento de cisalhamento poderá ocorrer na interface da fissura caso as
condições de equilíbrio conduzam a essa condição. Implicitamente, assume-se que o concreto está
tentando manter a máxima capacidade de resistência à tração quanto possível, sendo que esse
valor máximo obedece a equação constitutiva de “tension stiffening”.
Considere agora o diagrama de corpo livre da Figura 19, onde um elemento bidimensional de
concreto armado é analisado na interface fissurada. Deve-se observar que o corte foi feito na
direção do ângulo theta, o mesmo ângulo das fissuras e das direções principais de tensão e
deformação no concreto de acordo com o MCFT.
Figura 19 – Diagrama de corpo livre na fissura para elemento bidimensional
(Fonte: BENTZ (2000))
Conforme pode-se observar pela Figura 19, a tensão principal de compressão no concreto (f2) é
irrelevante para o equilíbrio. As tensões de importância na fissura são basicamente as tensões locais
nas armaduras (fsx-crack e fsy-crack), bem como o cisalhamento em potencial na interface fissurada (vci).
Como há três resultantes de tensão e apenas duas equações de equilíbrio disponíveis o problema
pode apresentar mais de uma solução no que se refere ao equilíbrio na fissura.
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
O procedimento utilizado no MCFT consiste em assumir que o mecanismo de resistência das
armaduras é mais rígido do que o mecanismo de cisalhamento na fissura, de maneira que o
cisalhamento na fissura é minimizado. A importância dessa hipótese é pequena em comparação a
uma hipótese alternativa que considera que o ângulo das deformações principais é mantido
localmente na fissura. Por outro lado, deve-se lembrar que o ângulo das tensões principais, em
contraste, irá provavelmente rotacionar localmente na fissura quando comparado com a direção
média, devido ao comportamento não-linear das armaduras.
De acordo com BENTZ (2000), a hipótese de se minimizar o cisalhamento na interface da fissura
tem o efeito de usar toda a capacidade portante do aço na direção mais fraca antes que qualquer
tensão de cisalhamento na fissura seja requerido. Uma vez que esse comportamento está
acontecendo apenas localmente na fissura, esse efeito não terá influência na resposta global tensão
versus deformação.
Somando as forças nas direções x e y da Figura 19, pode-se obter as equações que garantem o
procedimento “crack check” para o caso bidimensional. Seguindo os passos indicados, pode-se
garantir que a tensão na fissura não ultrapassará a tensão de escoamento das armaduras nas
direções x e y. Adicionalmente, pode-se garantir que a tensão de cisalhamento na fissura será
menor do que um limite máximo calculado em função da abertura de fissura. O fluxograma de
cálculo é apresentado a seguir:
a) Inicialmente calcule a tensão principal de tração (f1a), o máximo cisalhamento possivel na interface
fissurada (vcimax = vci1) e as tensões médias nas armaduras (fsx,fsy);
b) Cálcule a reserva de capacidade nas direções x e y para as armaduras (f1cx, f1cy). Basicamente,
f1cx e f1cy são as tensões extras necessárias para que ocorra o escoamento das armaduras nas
direções x e y:
f1cx = ρx (fyx – fsx)
f1cy = ρy (fyy – fsy)
(99)
(100)
Observe que as Equações (99) e (100) constituem o procedimento “crack check”, caso se imponha
na Equação (98) que fsx-crack = fyx = fyy.
c) Cálcule a condição de escoamento biaxial sem a presença de cisalhamento na fissura (f1b). Essa
verificação garante basicamante que a carga necessária para causar o escoamento biaxial das
armaduras na fissura não será ultrapassada:
f1b = f1cx.cos2θ + f1cy.sen2θ
(101)
d) Cálcule a tensão máxima de cisalhamento na fissura para que ocorra o escoamento biaxial (vci2)
das armaduras:
vci2 = f1cx – f1cy . sen2θ. cos2θ
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(102)
40
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
e) Cálcule a máxima tensão de tração permitida para o equilíbrio nas direções x (f1c) e y (f1d):
f1c = f1cx + min (vci1 , vci2) cot θ
f1d= f1cy + min (vci1 , vci2) tan θ
(103)
(104)
f) Selecione o menor valor entre as tensões de tração calculadas:
f1 = min (f1a, f1b, f1c, f1d)
(105)
g) Para o cálculo da tensão de cisalhamento na interface da fissura (vci), deve-se utilizar os
procedimentos descritos na Tabela 2. Deve-se realçar que o cálculo não pode ser feito diretamente
uma vez que há mais incógnitas do que equações disponíveis para o problema.
Tabela 2 – Tensão de cisalhamento máxima na fissura de acordo com BENTZ (2000)
Tensão de
Condição
Significado
Cisalhamento
f1cx = 0 e f1cy = 0
Escoamento Médio Biaxial
vci = 0
f1cx > f1cy e f1cy < f1
Direção x dominante com escoamento da armadura na
vci = (f1 – f1cy).cot θ
fissura
f1cx > f1cy e f1cy > f1
Direção y dominante sem escoamento da armadura na
vci = 0
fissura
f1cx < f1cy e f1cx < f1
Direção x dominante com escoamento da armadura na
vci = (f1cx – f1).tan θ
fissura
f1cx > f1cy e f1cx > f1
Direção x dominante sem escoamento da armadura na
vci = 0
fissura
h) Finalmente, as tensões nas armaduras na interface fissurada podem ser calculadas, tomando-se
por base a tensão de cisalhamento calculada anteriormente:
fsx-crack= (f1 + vci.cot θ)/ρx + fsx
fsy-crack= (f1 + vci.tan θ)/ρy + fsy
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(106)
(107)
41
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
5.7 Emprego do MCFT Acoplado ao Método da Rigidez Secante
A técnica de solução proposta por VECCHIO & COLLINS (1986) é um tanto quanto sofisticada e
requer o uso de estratégias apropriadas para a implementação numérica. Dessa maneira, será
apresentada na seqüência uma estratégia para implementação do MCFT, tomando-se proveito de
matrizes apropriadas e técnicas numéricas baseadas no Método da Rigidez Secante. Maiores
detalhes da implementação que é aqui apresentada pode ser encontrada em detalhes nos trabalhos
de VECCHIO (1989, 1990), BENTZ (2000) e HOOGENBOOM & VOSKAMP (2004).
De acordo com BENTZ (2000), uma das maneiras mais eficientes de se obter o estado de
deformação a partir de um estado de tensão conhecido é através do emprego do Método da Rigidez
Secante, onde qualquer curva tensão versus deformação pode ser representada pela Equação
(108). A Figura 20 procura ilustrar a definição de módulo secante e módulo tangente para o concreto
e para barras de aço, de acordo com KRPAN (1974).
σ = Esecante (ε) . ε
(108)
(a)
(b)
Figura 20 – Módulos secante e tangente para (a) concreto e (b) barras de aço
(Fonte: BENTZ (2000)
Basicamente, o vetor das deformações (ε) pode ser relacionado ao vetor das tensões (σ) através da
matriz D, definida como sendo a Matriz de Rigidez Secante e apresentada na Equação (109).
Utilizando-se essa matriz, a solução para qualquer termo desconhecido pode facilmente encontrada
com grande estabilidade. Deve-se observar que a Matriz de Rigidez Secante é simétrica e
totalmente povoada.
[D]{ε } = {σ }
{ε } = {ε x , ε y , γ xy }
{σ } = {f x , f y , v xy }
(109)
(110)
(111)
Basicamente, uma estimativa de deformações é efetuada para um dado estado de carregamento. A
relação é então verificada utilizando-se o método anterior para se calcular as tensões com o
emprego da Matriz de Rigidez Secante. Uma nova estimativa para o vetor das deformações é então
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
proposta a partir da Matriz de Rigidez Secante. O procedimento é então repetido até que ocorra a
convergência desejada para o nível de carregamento desejado.
De acordo com SELBY (1993), a Matriz de Rigidez Secante apresentada na Equação (109) é
calculada em função das direções principais e posteriormente rotacionada para o sistema de eixos
cartesiano. A matriz é basicamente constituída por componentes devido ao concreto [Dc] e devido às
armaduras [Ds], conforme ilustra a Equação (112):
[D] = [Dc ] + Σ[Ds ]
(112)
Para a determinação da matriz [Dc] é necessário calcular a mesma nas direções principais e depois
rotacionar a mesma para o sistema cartesiano. Esse procedimento pode ser feito empregando-se a
equação (113):
[Dc ] = [T ]T [Dc ]' [T ]
(113)
A Matriz de Transformação [T] para o caso bidimensional é composta pelos seguintes termos
descritos nas equações a seguir. Deve-se observar que a Matriz de Transformação é descrita em
função do ângulo theta, que é o ângulo principal de tensão e deformação para o concreto.
 k12
l12
[T ] =  k 22
l 22
2.k1 .k 2 2.l1 .l 2

k1 = cos(π − θ )
k 2 = − sen(π − θ )
l1 = sen(π − θ )
l 2 = cos(π − θ )


k 2 .l 2 
k1 .l 2 + k 2 .l1 
k1 .l1
(114)
(115)
(116)
(117)
(118)
A Matriz [Dc]’ é a matriz de rigidez do concreto na direção principal para o caso bidimensional e é
defina pela equação (119):
[Dc ]
'
 E c1

= 0
 0

0
Ec 2
0
0 

0 
Gc12 .
(119)
E c1 = f 1 / ε 1
(120)
Ec 2 = f 2 / ε 2
(121)
Gc12 =
(122)
E c1 .E c 2
E c1 + E c 2
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Uma vez que as armaduras são responsáveis somente pela absorção de força normal, a matriz [Ds]
total para as direções x e y será dada pela Equação (123):
 ρ x .E sx
[ Ds ] =  0
 0
f
E sx = sx
0
ρ y .E sy
0
0
0
0
(123)
(124)
εx
E sy =
(125)
f sy
εy
5.8 Descrição do Programa MEMBRANE
De acordo com BENTZ (2000), o programa MEMBRANE possibilita a análise de elementos de
membrana solicitados por forças no próprio plano (força axial nos eixos x e y e cisalhamento no
plano xy). Como se sabe, os elementos de membrana se constituem em um caso particular dos
elementos de casca e podem ser encontrados nas mais diversas estruturas tais como: paredes,
almas de vigas, vasos de pressão e torres nucleares.
O programa MEMBRANE, que é livremente distribuído na rede mundial de computadores no
endereço http://www.ecf.utoronto.ca/~bentz/m2k.htm, possibilita basicamente três tipos de análise. O
tipo mais simples de análise consiste numa análise de deformações calculada a partir de um estado
de tensão fornecido. O segundo tipo de análise possibilita encontrar as tensões a partir de um
estado de deformação fornecido. Finalmente, o terceiro tipo de análise, que é também o tipo mais
comum, consiste em traçar o estado completo de comportamento carga versus deformação do
elemento, usando para isso os fundamentos do “Modified Compression Field Theory”.
O programa sempre inicia com um exemplo padrão, conforme ilustra a Figura 21. Esse exemplo
procura ilustrar a análise do painel PV20, cuja descrição pode ser encontrada com maiores detalhes
em VECCHIO & COLLINS (1982). Para verificar as características de um painel qualquer definido
no programa basta clicar no ícone “Cross Section” e uma apresentação semelhante aquela
apresentada na Figura 15 deverá aparecer.
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44
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Figura 21 – Tela de abertura do programa MEMBRANE
Observa-se que a tela de entrada do programa procura apresentar os parâmetros de entrada de
uma maneira bastante simples e completa, de maneira a evitar erros em uma definição rápida. Os
parâmetros apresentados na tela de entrada podem ser rapidamente modificados utilizando o menu
“Define”, de maneira que elementos de membrana com diferentes características podem ser
definidos. Após a completa definição das propriedades dos materiais uma análise completa pode ser
efetuada pressionando-se o ícone “MCFT”. Adicionalmente, o programa dispõe de outros métodos
análise, principalmente aqueles propostos por HSU & ZHANG(1997) e HSU (1998).
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45
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Figura 22 – Gráficos gerais do programa MEMBRANE
Como dados de saída o programa disponibiliza uma três série gráficos que ilustram as mais diversas
situações. A primeira série, denominada “General” e ilustrada na Figura 22, procura apresentar
principalmente as relações existentes para a tensão de cisalhamento. A segunda série, ilustrada na
Figura 23, apresenta os diversos Círculos de Mohr. Finalmente, a terceira série ilustrada na Figura
24, apresenta as tensões nas armaduras.
De maneira geral, o programa MEMBRANE é um programa de fácil utilização que conduz a
resultados muito precisos. Esse último fato demonstra que a análise de elementos de membrana
utilizando o “Modified Compression Field Theory” pode tornar uma atividade extremamente
complexa em uma atividade extremamente automática, tomando os benefícios da programação
computacional.
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Figura 23 – Gráficos adicionais do programa MEMBRANE ilustrando Círculos de Mohr
Figura 24 – Gráficos adicionais do programa MEMBRANE ilustrando tensões nas armaduras
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
5.9 Descrição do Programa PRF (Performance of Reinforced Concrete)
De acordo com HOOGENBOOM & VOSKAMP (2004), o programa Performance of Reinforced
Concrete é um aplicativo desenvolvido utilizando a linguagem Java e é livremente distribuído na rede
mundial de computadores no endereço http://www.mechanics.citg.tudelft.nl/rc/index.html.
O programa, cuja tela de apresentação é ilustrada na Figura 25, é capaz de prever com fidelidade o
comportamento estrutural de painéis de concreto armado, restritos à condição de carregamento
monotônico e forças atuantes no próprio plano.
Figura 25 – Tela do programa Performance of Reinforced Concrete
O programa Performance of Reinforced Concrete pode ser utilizado para verificar o desempenho de
regiões críticas de elementos estruturais complexos como paredes de concreto e vigas-parede. No
entanto, antes que o programa possa ser utilizado, as tensões atuantes nas regiões críticas devem
ser quantificadas baseando-se em análises conduzidas em outros programas, cuja formulação
frequentemente é baseada no Método dos Elementos Finitos.
Conforme pode-se observar pela Figura 25, os dados de entrada necessários para os cálculos são
fornecidos pelo lado esquerdo, enquanto os resultados são apresentados pelo lado direito. Os dados
de entrada referem-se basicamente as propriedades de armação do painel, características físicas
dos materiais e ações atuantes. Observa-se que o tamanho máximo do agregado utilizado no
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48
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
concreto é também um fator importante de entrada, uma vez que esta variável afeta a capacidade de
cisalhamento entre as faces das fissuras.
Como saída o programa desenha um painel quadrado de 800 mm de lado com as armaduras
desenhadas em vermelho. Se o concreto encontra-se fissurado devido o nível de carregamento
introduzido, o programa calcula a direção de fissuração, o espaçamento médio e a abertura média
de fissuras, desenhando as mesmas em linhas pretas. Adicionalmente, o programa calcula as
tensões atuantes nas barras horizontais e verticais.
Finalmente, o programa apresenta um gráfico deformação versus carregamento, sendo que para
isso o carregamento aplicado é multiplicado por uma fator de carga que é acrescido desde zero até
a ruptura do painel. Dessa maneira, quando o fator de carga é igual a 1, o carregamento aplicado é
apresentado no gráfico por uma linha verde. A deformação informada no gráfico pode-se referir a
deformação principal de compressão ou de tração, sendo que o valor apresentado refere-se ao
maior valor absoluto registrado na ruína.
Conforme pode-se observar, o programa Performance of Reinforced Concrete é um programa de
fácil utilização e que tem sua metodologia completamente fundamentada na proposta de VECCHIO
& COLLINS (1982). Trata-se de um programa que fornece apenas as respostas de maior interesse
aos profissionais atuantes no meio prático, o que possibilita de maneira prática a análise e
dimensionamento de elementos complexos que não seguem a hipótese de seções planas (“Regiões
D”). No Anexo A, apresenta-se o código fonte do programa, de maneira que a implementação
numérica conduzida por HOOGENBOOM & VOSKAMP (2004) possa ser entendida com maiores
detalhes.
Os dados de entrada necessários para a resolução de elementos de membrana utilizando o MFCT
com o programa PRF são as deformações médias εx, εy e γxy. Essas deformações são consideradas
médias e são normalmente calculadas em uma largura aproximadamente igual à distância entre as
fissuras. Dessa maneira, efeitos localizados que ocorrem nas fissuras acabam sendo distribuídos ao
longo da superfície em análise. Recorrendo às equações básicas do Círculo de Mohr e utilizando as
deformações médias, as deformações principais e a direção principal de deformação podem ser
obtidas conforme a seguir:
1
(ε x + ε y + r )
2
1
ε 2 = (ε x + ε y − r )
2
ε1 =
r=
(ε
− ε y ) + γ xy2
2
x
cos 2 θ =
sen 2θ =
(ε
y
γ xy
+εx)
(126)
(127)
(128)
(129)
r
(130)
r
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Após calculadas as deformações, as tensões atuantes nas armaduras localizadas nas direções x e y
são quantificadas, assumindo-se a relação constitutiva da Figura 26. As tensões calculadas,
conforme ilustram as Equações (131) a (134), são interpretadas como tensões médias ao longo das
barras e não levam em conta o efeito de enrijecimento, ruptura ou flambagem.
fs
fy
−ε y
Es
ε
1
εy
− fy
Figura 26 – Diagrama tensão-deformação para o aço no MCFT
(Fonte: HOOGENBOOM & VOSKAMP (2004))
εy =
(131)
fy
Es
f s (ε ) = f y se ε > ε y
f s (ε ) = E s ε se − ε y ≤ ε ≤ ε y
f s (ε ) = − f y se ε < −ε y
(132)
(133)
(134)
Em seguida, as tensões principais atuantes no concreto são calculadas a partir das Equações (135)
a (141), onde o efeito de coaxialidade é assumido (direção das tensões principais é igual à direção
das deformações principais). O comportamento do concreto sob compressão é modelado pela
equação de uma parábola, sendo que a máxima tensão de compressão fc2,max é reduzida pela
deformação lateral εt, conforme ilustra a Figura 27. O comportamento do concreto à tração é definido
como linear até o momento da fissuração. Mesmo após a fissuração uma tensão média existe no
concreto, devido à existência de material integro entre fissuras.
f c 2, max =
f c´
≤ f c´
0,8 − 170.ε t
(135)
ε c´ = 2
(136)
ε cr
(137)
f c´
Ec
f
= cr
Ec
f c (ε , ε t ) = 0 se ε < 2.ε c´
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(138)
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
(139)
 ε  ε 2 
f c (ε , ε t ) = f c 2,max  2 ´ −  ´   se 2.ε c´ ≤ ε ≤ 0
 εc  εc  


f
f c (ε , ε t ) = cr se 0 ≤ ε ≤ ε cr
(140)
ε cr
f c (ε , ε t ) =
f cr
1 + 500.ε
(141)
se ε > ε cr
ε 'c
fcr
fc
εcr
ε
0.004
0.002
εt = 0.0
f 'c
Figura 27 – Diagrama tensão-deformação para o concreto no MCFT
(Fonte: HOOGENBOOM & VOSKAMP (2004))
Na seqüência, o equilíbrio nas fissuras é verificado e caso seja necessário à tensão fc1 é reduzida. A
checagem das fissuras, que é um tanto quanto complexa, é descrita em maiores detalhes por
BENTZ (2000), HOOGENBOOM & VOSKAMP (2004). As tensões principais no concreto são então
rotacionadas para o sistema original x,y utilizando as Equações (142) a (146).
1
( f c1 + f c 2 )
2
1
b = ( f c1 − f c 2 )
2
f cx = a − b. cos 2 θ
(142)
f cy = a + b. cos θ
(145)
vcxy = b. sin 2 θ
(146)
a=
(143)
(144)
2
Finalmente, as tensões no concreto e na armadura são quantificadas, de maneira que são obtidas
as tensões suportadas pelo elemento de membrana:
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51
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σ x = ρ x f sx . + (1 − ρ x ). f cx
σ y = ρ y f sy . + (1 − ρ y ). f cy
τ xy = vcxy
(147)
(148)
(149)
O modelo descrito anteriormente fornece as tensões σx , σy e τxy a partir das deformações εx , εy e
γxy. De maneira a inverter a situação, ou seja, para se obter as deformações a partir das tensões
impostas, o Método Modificado de Newton-Raphson pode ser empregado, conforme a seguir:
 σ 

ε x 
ε x 
σ x 
 x

 
 

 
−1  

K
=
+
−
σ
σ
ε
ε
y
 y
 y
 y
 

γ xy 
 
τ xy 
 τ xy 

  atual γ xy  anterior


anterior
imposto


(150)

1

 Ec + ρ x Es

K −1 = 
0



0

(151)
0
1
Ec + ρ y Es
0

0 


0 


2 
Ec 
As iterações começam com valores nulos de deformação e continuam até que o critério de
convergência da Equação (152) seja alcançado. Caso 10000 iterações não conduzam a uma
solução que satisfaça ao critério de convergência assume-se que o elemento de membrana tenha
atingido a ruptura. O algoritmo apresentado anteriormente é bastante robusto e muito rápido quando
programado computacionalmente.
σ x 
σ x 
 
 
− σ y 
< 0,000001
σ y 
τ xy 
 
  imposto τ xy  anterior
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(152)
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
5.10 Programação do MCFT em Planilha Eletrônica
BENTZ (2003) propõe a utilização de uma planilha eletrônica programada em Excel para análises
utilizando o MCFT. No entanto, a planilha não está formulada para todas as situações de
carregamento e uma operação muito cuidadosa é necessária para a obtenção de resultados
confiáveis. A planilha em questão foi reformulada em relação à sua versão original e é apresentada
a seguir. Deve-se observar que a planilha é auto explicativa, de maneira que maiores detalhes não
são necessários para o entendimento de seu funcionamento.
Campo Modificado das Compressões
Essa planilha calcula o estado de deformação de um elemento de membrana a partir de um estado de tensão fornecido
Essa planilha foi concebida por Evan Bentz em 22 de Outubro de 1998 e foi por Rafael Alves de Souza em 12 de Junho de 2008
Você é convidado a modificar e utilizar essa planilha como bem entender
Parâmetro
Valor
Unidade
Equação na Planilha
Nome que Define o Parãmetro
1: Parâmetros de Entrada
Porcentagem de aço na direção x
Tensão de escoamento do aço na direção x
Porcentagem de aço na direção y
Tensão de escoamento do aço na direção y
Resistência do concreto à compressão
Tamanho máximo do agregado
Espaçamento de fissuras na direção x
Espaçamento de fissuras na direção y
1,810%
460
0,897%
297
19,6
6
47
44
rhox
fyx
rhoy
fyy
fcp
agg
smx
smy
MPa
MPa
MPa
mm
mm
mm
Variáveis calculadas a partir dos parâmetros de entrada:
Resistência à tração do concreto
1,461 MPa
Módulo de elasticidade do concreto
19,600 GPa
Deformação do concreto na fissuração
0,075 mm/m
=0.33*SQRT(fcp)
=2*fcp/2*1000
=ft/Ec
ft
Ec
ecr
2 Estado de Tensão Definido pelo Usuário
A presente planilha é selecionada em deformações a esquerda e tensões à direita;
a) Entre com as tensões desejadas nas caixas verdes da direita (Ex: Cisalhamento (V) e Axial de Compressão (2.5xV): 0.0 -2.5 1.0 );
b) Pressione Control-Shift-O para inicializar as variáveis;
c) As deformações presentas nas caixas azuis a esquerda representam o estado corrente de deformação;
d) As tensões nas caixas amarelas representam o estado de tensão calculado a partir do estado de deformação do item anterior;
e) Pressionando Control-Shift-L a planilha irá colar nas caixas azuis o estado de deformação em amarelo. Execute esse passo várias vezes;
f) A convergência irá acontecer quando as deformações das caixas azul e amarela forem iguais, bem como as tensões;
g) Retorne ao passo a de maneira a obter o processo completo de deformação do elemento de membrana;
Estado de Deformação
¬x (mm/m) ¬y (mm/m) ¬xy (mm/m)
"velho"
0,0000
0,0000
0,0000
"novo"
0,0000
0,0000
0,1020
Estado de Tensão
Fy
Vxy
0
0
1 MPa: Estado de Tensão Definido
0,006
0,006
0,994 MPa: Estado Calculado com o MCFT
Fx
"velho"
"novo"
Tensões Principais
f_1
f_2
0,000
0,000 MPa:Valor assumido para o próximo passo
1,000
-0,987 MPa: Calculado a partir do MCFT
ex,ey,gxy
fx,fy,gxy
f_1g, f_2g
3 Estado de Deformação
Objetivo : Calcular as deformações principais a partir do Círculo de Mohr
Raio do Círculo de Mohr
0,000 mm/m
Centro do Círculo de Mohr
0,000 mm/m
Deformação Principal de Tração (¬1)
Deformação Principal de Compressão(¬2)
Ângulo Teta
0,000
0,000
0,785
45,0
mm/m
mm/m
radianos
graus
=SQRT((ey-ex)^2+gxy^2)/2
=(ex+ey)/2
arad
acen
=acen+arad
=acen-arad
=ATAN2(ey-ex,gxy)/2
=theta_a*57.3
e_1a
e_2a
theta_a
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4 Solução Utilizando o Método Secante
Objetivo : Calcular as deformações correspondentes as tensões para o próximo passo
Ec1
19,600 GPa
Ec2
19,600 GPa
Gc
9,800 GPa
Esx
200 GPa
Esy
200 GPa
=if(abs(f_2g)<=0.001,E_c,f_1g/e_1a)
=if(abs(f_2g)<=0.001,E_c,f_2g/e_2a)
=EC_1*EC_2/(EC_1+EC_2)
=IF(ex=0,200,min(200*ex,fyx)/ex)
=IF(ey=0,200,min(200*ey,fyy)/ey)
Matriz de Rigidez do Concreto para as Direções Principais
Matriz de Rigidez das Armaduras
19,600
0
0
Dc =
0
19,600
0
0
0
9,800
Matriz de Transformação para o Concreto
Ângulo Psi
T=
0,500
0,500
1,000
2,356 radianos
0,500
0,500
-1,000
Carregamento (Definido pelo Usuário Acima)
0
0
1
Ds
-0,500
0,500
0,000
=
3,62
0
0
0
1,79
0
0
0
0
=PI()-theta_a
=COS(psi)^2
=SIN(psi)^2
=-2*COS(psi)*SIN(psi)
Ec_1
Ec_2
Gc
Esx
Esy
psi
=SIN(psi)^2
=COS(psi)*SIN(psi)
=COS(psi)^2
=-COS(psi)*SIN(psi)
=2*COS(psi)*SIN(psi) =(COS(psi)^2-SIN(psi)^2)
Matriz Total de Rigidez
D-total =
23,220
0,000
0,000
0,000
21,394
0,000
0,000
0,000
9,800
Novo Estado de Deformação Calculado
0,000
exm
Defor =
0,000
=
eym
0,102
gxym
5 Novo Estado de Deformações Principais
Objetivo : Calcular as Deformações Principais a partir do Círculo de Mohr
Raio do Círculo de Mohr
0,051 mm/m
Centro do Círculo de Mohr
0,000 mm/m
Deformação Principal de Tração (¬1)
Deformação Principal de Compressão(¬2)
Ângulo Teta
0,051
-0,051
0,785
45,0
mm/m
mm/m
radianos
graus
=SQRT((eym-exm)^2+gxym^2)/2
=(exm+eym)/2
rad
cen
=cen+rad
=cen-rad
=ATAN2(eym-exm,gxym)/2
=theta*57.3
e_1
e_2
theta
6 Estado de Tensão para o Novo Estado de Deformação Utilizando o MCFT
Objetivo : Calcular as tensões para o novo estado de deformação assumido
Tensões no Aço
Tensão na Direção x a) Elástico
0,0 MPa
b) Limite de Escoamento
0,0 MPa
=200*exm
=MIN(fsxa,fyx)
fsxa
fsx
Tensão na Direção Y a) Elástico
b) Limite de Escoamento
=200*eym
=MIN(fsya,fyy)
fsya
fsy
-24,24 MPa
-19,60 MPa
-0,99 MPa
=-fcp/(0.8+0.17*e_1)
=MAX(f2maxa,-fcp)
=f2max*(-e_2-(e_2/2)^2)
f2maxa
f2max
f_2
1,00 MPa
1,260 MPa
1,000 MPa
=e_1*Ec
=ft/(1+SQRT(0.5*e_1))
=IF(e_1<ecr,E108,E109)
f_1a
=1/(SIN(theta)/smx+COS(theta)/smy)
=smth*e_1/1000
=0.18*SQRT(fcp)/(0.3+24*w/(agg+16))
smth
w
vcimaxa
=rhox*(fyx-fsx)
=rhoy*(fyy-fsy)
=f1cx*COS(theta)^2+f1cy*SIN(theta)^2
=ABS(f1cx-f1cy)/(TAN(theta)+1/TAN(theta))
=f1cx+MIN(vcimaxa,vcimaxb)/TAN(theta)
=f1cy+MIN(vcimaxa,vcimaxb)*TAN(theta)
f1cx
f1cy
f_1b
vcimaxb
f_1c
f_1d
1,000 MPa
=MIN(f_1a,f_1b,f_1c,f_1d)
f_1
Raio do Círculo de Mohr
Centro do Círculo de Mohr
0,994 MPa
0,006 MPa
=(f_1-f_2)/2
=(f_1+f_2)/2
rads
cens
Tensão Axial - Direção X
Tensão Axial - Direção Y
Tensão de Cisalhamento
0,006 MPa
0,006 MPa
0,994 MPa
=cens-rads*COS(theta*2)+rhox*fsx
=cens+rads*COS(theta*2)+rhoy*fsy
=rads*SIN(theta*2)
Tensão Principal de Compressão no Concreto (f2)
Max Tensão Comp a) soften
b) < max
Tensão de Compressão Calculada
Tensão Principal de Tração no Concreto (f1)
a) Não-fissurado
b) Fissurado
c) Selecionado
0,0 MPa
0,0 MPa
Checagem da Fissura para Limitar a Tensão Principal de Tração
Espaçamento de Fissuras
32,1 mm
Abertura de Fissuras
0,002 mm
vci-max
2,641 MPa
f1cx - capacidade de reserva na fissura - X
f1cy - capacidade de reserva na fissura - Y
Crack check 1 : Escoamento Biaxial
Crack check 2a : slip/yield max vci
Crack check 2b : min f1 - X
Crack check 2c : min f1 - Y
Valor final de f1 após checagem da fissura:
8,326
2,664
5,495
2,831
10,967
5,305
MPa
MPa
MPa
MPa
MPa
MPa
Resultados Finais de Tensão
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Para a operação da planinha apresentada anteriormente basta informar os dados iniciais do
elemento de membrana e realizar múltiplas interações até que se obtenha a convergência. Através
do aumento proporcional do carregamento atuante no elemento de membrana pode-se então
encontrar a resposta de deformação completa do elemento estrutural em análise. A Figura X, por
exemplo, apresenta uma comparação entre os resultados obtidos por VECCHIO & COLLINS (1982)
e a planilha ora aqui programada para o painel PV20, demonstrando a grande potencialidade do
procedimento numérico proposto.
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
6. Resultados Experimentais de Elementos de Membrana
6.1 Efeito Softening
De acordo com DIAZ (2007) uma das questões mais importantes para o desenvolvimento de um
modelo capaz de simular o comportamento do concreto se fundamenta na escolha adequada das
equações constitutivas. Conforme mencionado, o concreto armado apresenta um comportamento
resistente extremamente complexo, devido não só ao concreto, mas também pela sua interação
deste com as armaduras. Por este motivo, a maioria dos modelos constitutivos desenvolvidos até o
presente possuem um forte embasamento experimental.
A previsão de comportamento de elementos estruturais utilizando a “Analogia de Treliça”
normalmente conduz a respostas superestimadas em relação à resistência de elementos estruturais
à força cortante e ao momento torçor. Em alguns casos o erro pode até exceder 50%, como é o caso
de algumas paredes de cisalhamento (shear walls). Essa dificuldade em prever o comportamento ao
cisalhamento vem desafiando pesquisadores desde o começo do século XX e até hoje a discussão
permanece em aberto.
De acordo com HSU (1993), as primeiras informações significativas em relação a esse mistério
foram fornecidas por Robinson & Demorieux em 1972. Os referidos pesquisadores perceberam que
um elemento de membrana em concreto armado submetido a tensões de cisalhamento puro é na
realidade o mesmo elemento estrutural submetido a tensões biaxiais de tração e compressão para
um ângulo de 45o.
Imaginando a ação do cisalhamento como um problema bidimensional, Robinson & Demorieux
descobriram que a resistência à compressão em uma direção é reduzida pela fissuração devido à
tração na direção perpendicular. Aplicando esse efeito de abrandamento (“softnening”) para as
escoras de concreto de 8 vigas de seções I ensaiadas experimentalmente, os referidos
pesquisadores foram capazes de explicar o equilíbrio de tensões de acordo com a “Analogia de
Treliça”.
Aparentemente, o erro cometido na aplicação “Analogia de Treliça” até o ano de 1972, estava no
fato de se considerar até então a relação tensão versus deformação do concreto à compressão a
partir dos ensaios clássicos de corpos-de-prova cilíndricos, sem considerar o efeito bidimensional de
abrandamento (“softening”). Infelizmente, tendo-se em vista a dificuldade técnica de se ensaiar
biaxialmente painéis de concreto, os ensaios de Robinson & Demorieux não foram suficientes para
levantar as variáveis que governam o problema do abrandamento.
O efeito de abrandamento só pode ser efetivamente avaliado quando VECCHIO & COLLINS (1981)
desenvolveram uma série de ensaios em um equipamento especial, denominado “shear rig”, que foi
especialmente projetado para o ensaio biaxial de grandes painéis de concreto armado, conforme
ilustra a Figura 8. Baseando-se no ensaio de 17 painéis quadrados de 89 cm de largura e 7 cm de
espessura, os pesquisadores propuseram um coeficiente de abrandamento (“softening coefficient”)
governado pela relação entre a deformação principal de tração e a deformação principal de
compressão.
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Figura 28 – Equipamento “Shear Rig” especialmente desenvolvido para o ensaio de
elementos de membrana em concreto armado (Fonte: XIE (2009))
A descoberta e a quantificação do efeito de abrandamento das escoras de concreto comprimido em
função de tensões transversais de tração possibilitou um avanço significativo no entendimento da
resistência de peças de concreto estrutural sujeitas à tensões de cisalhamento (cortante e torçor).
Atualmente, equipamento semelhantes ao “Shear Rig” inicialmente desenvolvido já podem ser
encontrados no Japão, Estados Unidos e Canadá.
6.2 Obtenção da Relação Constitutiva com Abrandamento
Conforme pode-se observar pela Figura 28, o equipamento “Shear Rig” consiste de um pórtico de
aço com 3 barras rígidas e 37 macacos hidráulicos com 100 kN de capacidade à tração.
Basicamente, os corpos-de-prova são colocados com um ângulo de 45o em relação à direção dos
macacos. Em seguida, os painéis são tracionados ou comprimidos nas direções vertical e horizontal.
Dessa maneira, através da combinação das forças aplicadas nos macacos pode-se obter
combinações de forças de cisalhamento, forças de tração e forças de compressão atuando nos
painéis (fx, fy e νxy). Essas forças são aplicadas incrementalmente e registradas até que se obtenha
a ruína dos painéis.
Figura 29 – Relação constitutiva do concreto à compressão considerando o efeito de
abrandamento (Fonte: VECCHIO & COLLINS (1986))
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57
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
O procedimento descrito anteriormente possibilita a obtenção de uma relação constitutiva para o
concreto à compressão considerando o efeito de abrandamento, conforme ilustra a Figura 29. De
acordo com VECCHIO & COLLINS (1986) e HSU (1993), a obtenção da relação constitutiva do
concreto incluindo o efeito de abrandamento pode ser feita da seguinte maneira:
• Nos ensaios, os valores de tensão aplicados (fx, fy e νxy) são conhecidos e registradas em um
Círculo de Mohr;
• Para cada estágio de carregamento, as deformações médias são medidas em quatro direções
(εx, εy, ε1, ε2), de maneira que um Círculo de Mohr exclusivo para deformações pode ser desenhado.
Na realidade, apenas três deformações seriam necessárias para a obtenção do referido Círculo de
Mohr; a quarta deformação é redundante e visa apenas aumentar a precisão do processo. Do
Círculo de Mohr desenhado para as deformações pode-se obter a deformação principal εd e o
ângulo de inclinação das escoras comprimidas;
• A partir das deformações médias registradas nas armaduras (εx e εy) as tensões médias nas
mesmas armaduras (ρsxfsx e ρsyfsy) podem ser determinadas através das relações constitutivas do
aço. A partir do equilíbrio de tensões nas direções longitudinal e transversal, pode-se obter as
tensões no concreto para as referidas direções: σ1 e σ2. Utilizando-se as tensões σ1 e σ2 , bem
como a tensão νxy , um Círculo de Mohr para as tensões no concreto pode ser desenhado, obtendose inclusive a tensão principal σd;
• A partir da deformação εd e da tensão σd um par de pontos é obtido dentro da relação
constitutiva com abrandamento. Repetindo o procedimento descrito para todos os estágios de carga,
uma relação constitutiva completa incluindo o efeito de abrandamento pode ser obtida.
Figura 30 – Circulos de Mohr para tensões e deformações em elemento de concreto armado
VECCHIO & COLLINS (1986)
Prof. Dr. Rafael Alves de Souza – http://www.gdace.uem.br
58
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
O procedimento anterior basicamente deu início ao MCFT proposto por VECCHIO & COLLINS
(1986). Basicamente, observa-se que a obtenção da relação constitutiva do concreto incluindo o
efeito de abrandamento consiste na divisão adequada das forças a serem resistidas pelo aço e pelo
concreto em um elemento estrutural. A Figura 30, apresenta de maneira simplificada os Círculos de
Mohr descritos no procedimento anterior.
6.3 Principais Ensaios Realizados
A Tabela 3 apresenta uma série de ensaios realizados na Universidade de Toronto por COLLINS et
alli (1985), onde pode-se visualizar as características dos elementos ensaiados e a solicitação
aplicada. Basicamente foram ensaiados painéis quadrados de concreto armado com 89 cm de
largura e 7 cm de espessura, com resistência à compressão variando entre 11 a 31 MPa. Na maioria
dos casos o carregamento foi aplicado monotonicamente até se atingir o esgotamento
(esmagamento do concreto ou ruptura da armadura). No entanto, os elementos PV4, PV5 e PV6
foram submetidos a ciclos de carga e descarga com valores inferiores aqueles capazes de provocar
a ruptura, para posteriormente se aplicar o carregamento de esgotamento.
Tabela 3 – Resultados experimentais obtidos por COLLINS et alli (1985)
Painel
Carga
(fxy,fx, fy)
φx
(mm)
φy
(mm)
ρx
(%)
ρy
(%)
fc
(MPa)
εo
(10-3)
fyx
(MPa)
fyy
(MPa)
τfissuração
(MPa)
τruina
(MPa)
PV1
PV2
PV3
PV4
PV5
PV6
PV7
PV8
PV9
PV10
PV11
PV12
PV13
PV14
PV15
PV16
PV17
PV18
PV19
PV20
PV21
PV22
PV23
PV24
PV25
PV26
PV27
PV28
PV29
PV30
1:0:0
1:0:0
1:0:0
1:0:0
1:0:0
1:0:0
1:0:0
1:0:0
1:0:0
1:0:0
1:0:0
1:0:0
1:0:0
1:0:0
0:-1:0
1:0:0
0:-1:0
1:0:0
1:0:0
1:0:0
1:0:0
1:0:0
1:-0,39:-0,39
1:-0,83:-0,83
1:-0,69:-0,69
1:0:0
1:0:0
1:0,32:0,32
1:-0,29:-0,29
1:0:0
6,35
2,03
3,30
3,45
5,79
6,35
6,35
5,44
6,35
6,35
6,35
6,35
6,35
6,35
4,09
4,09
4,09
6,35
6,35
6,35
6,35
6,35
6,35
6,35
6,35
6,35
6,35
6,35
6,35
6,35
6,35
2,03
3,30
3,45
5,79
6,35
6,35
5,44
6,35
4,70
5,44
3,18
0,00
6,35
4,09
4,09
4,09
2,67
4,01
4,47
5,41
5,87
6,35
6,35
6,35
4,70
6,35
6,35
4,47
4,70
1,79
0,18
0,48
1,06
0,74
1,79
1,79
2,62
1,79
1,79
1,79
1,79
1,79
1,79
0,74
0,74
0,74
1,79
1,79
1,79
1,79
1,79
1,79
1,79
1,79
1,79
1,79
1,79
1,79
1,79
1,68
0,18
0,48
1,06
0,74
1,79
1,79
2,62
1,79
1,00
1,31
0,45
0,00
1,79
0,74
0,74
0,74
0,32
0,71
0,89
1,30
1,52
1,79
1,79
1,79
1,01
1,79
1,79
0,89
1,01
34,5
23,5
26,6
26,6
28,3
29,8
31,0
29,8
11,6
14,5
15,6
16,0
18,2
20,4
21,7
21,7
18,6
19,5
19,0
19,6
19,5
19,6
20,5
23,8
19,2
21,3
20,5
19,0
21,7
19,1
2,20
2,25
2,30
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,80
2,70
2,60
2,50
2,70
2,23
2,00
2,00
2,00
2,00
2,20
2,15
1,80
1,80
2,00
2,00
1,90
1,80
1,90
1,85
1,80
1,90
483
428
662
242
621
266
453
462
455
276
235
469
248
455
255
255
255
431
458
460
458
458
518
492
466
456
442
483
441
437
483
428
662
242
621
266
453
462
455
276
235
469
0
455
255
255
255
412
299
297
302
420
518
492
466
463
442
483
324
472
2,21
1,10
1,66
1,79
1,73
2,00
1,93
1,73
1,38
1,86
1,66
1,73
1,73
1,93
2,07
2,00
2,07
2,21
2,35
2,42
3,73
4,97
4,14
2,00
2,04
1,66
2,21
1,55
>8,02
1,16
3,07
2,89
> 4,24
4,55
> 6,81
> 6,67
> 3,74
3,97
3,56
3,13
2,01
> 5,24
> 19,6
4,12
21,30
> 3,04
3,95
4,26
5,03
6,07
8,87
> 7,94
9,12
5,41
6,35
5,80
5,87
> 5,13
Observações: Painéis quadrados de 89 cm de largura e 7 cm de espessura, diâmetro máximo do agregado de 6
mm e módulo de elasticidade das armaduras de 200 GPa.
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59
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
BHIDE & COLLINS (1989) também ensaiaram elementos de membrana em concreto armado
retangulares com largura de 79 cm e espessura de 7 cm. No entanto, as armaduras foram
dispostas em uma única direção, sendo que na direção transversal a tração é resistida
exclusivamente pelo concreto. As características dos elementos ensaiados são apresentadas na
Tabela 4.
Tabela 4 – Resultados experimentais obtidos por BHIDE & COLLINS (1989)
Painel
Carga
(fxy,fx, fy)
φx
(mm)
φy
(mm)
ρx
(%)
ρy
(%)
fc
(MPa)
εo
(10-3)
fyx
(MPa)
fyy
(MPa)
τfissuração
(MPa)
τruina
(MPa)
PB11
PB12
PB4
PB6
PB7
PB8
PB10
PB15
PB16
PB14
PB17
PB18
PB19
PB20
PB28
PB21
PB22
PB29
PB30
PB31
1:0:0
1:0:0
1:1:0
1:1:0
1:1,9:0
1:3:0
1:5,9:0
1:0:0
1:2:0
1:3:0
1:5,9:0
1:0:0
1:1:0
1:2:0
1:2:0
1:3,1:0
1:6,1:0
1:2:0
1:3:0
1:5,9:0
6,0
6,0
6,0
6,0
6,0
6,0
6,0
6,0
6,0
6,0
6,0
6,0
6,0
6,0
6,0
6,0
6,0
6,0
6,0
6,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
1,09
1,09
1,09
1,09
1,09
1,09
1,09
2,02
2,02
2,02
2,02
2,20
2,20
2,20
2,20
2,20
2,20
2,02
2,02
2,02
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
25,90
23,10
16,40
17,70
20,20
20,40
24,00
38,40
41,70
41,10
41,60
25,30
20,00
21,70
22,70
21,80
17,60
41,60
40,40
43,40
2,00
1,50
1,90
1,90
2,20
2,00
1,90
3,20
3,20
2,80
3,10
2,20
1,90
1,90
2,00
1,80
2,00
2,60
2,60
3,00
433
433
423
425
425
425
433
485
502
489
502
402
411
424
426
402
433
496
496
496
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
1,19
1,32
0,81
0,85
0,74
0,52
0,31
1,80
0,98
0,78
0,54
1,62
1,23
0,94
0,84
0,73
0,44
0,75
0,74
0,44
1,27
1,53
1,16
1,15
0,86
0,79
0,56
1,96
1,45
1,54
1,22
1,70
1,28
1,42
1,53
1,42
1,03
1,49
1,48
1,15
Observações: Painéis quadrados de 89 cm de largura e 7 cm de espessura, diâmetro máximo do agregado de
9,5 mm e módulo de elasticidade das armaduras de 200 GPa.
VECCHIO et alli (1994) ensaiaram elementos de membrana com concreto de alta resistência, com
resistência à compressão variando entre 43 a 72 MPa, conforme ilustra a Tabela 5. Novamente
foram ensaiadas placas quadradas com 89 cm de largura e 7 cm de espessura. Basicamente, os
elementos foram submetidos a solicitações monotônicas de cisalhamento puro (PHS1, PHS2,
PHS3, PHS8, PA1, PA2) e combinação cisalhamento-tração (PHS4, PHS5, PHS10) e
cisalhamento-compressão (PHS6, PHS7, PHS9).
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60
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Tabela 5 – Resultados experimentais obtidos por VECCHIO et alli (1994)
Painel
Carga
(fxy,fx, fy)
φx
(mm)
φy
(mm)
ρx
(%)
ρy
(%)
fc
(MPa)
εo
(10-3)
fyx
(MPa)
fyy
(MPa)
τfissuração
(MPa)
τruina
(MPa)
PHS1
PHS2
PHS3
PHS4
PHS5
PHS6
PHS7
PHS8
PHS9
PHS10
PA1
PA2
1:0:0
1:0:0
1:0:0
1:0,25:0,25
1:0,25:0,25
1:-0,25:-0,25
1:-0,25:-0,25
1:0:0
1:-0,25:-0,25
1:0,25:0,25
1:0:0
1:0:0
8,00
8,00
8,00
8,00
8,00
8,00
8,00
8,00
8,00
8,00
5,72
5,72
5,72
5,72
5,72
5,72
5,72
5,72
5,72
5,72
5,72
5,72
5,72
5,72
3,23
3,23
3,23
3,23
3,23
3,23
3,23
3,23
3,23
3,23
1,65
1,65
0,00
0,41
0,82
0,82
0,41
0,41
0,82
1,24
0,41
1,24
0,82
0,82
72,20
66,10
58,40
68,50
52,10
49,70
53,60
55,90
56,00
51,40
49,90
43,00
2,68
2,48
2,44
2,60
2,58
2,25
2,10
2,17
2,68
2,45
2,09
1,99
606
606
606
606
606
606
606
606
606
606
522
522
521
521
521
521
521
521
521
521
521
521
522
522
2,54
1,94
2,28
2,39
1,62
2,25
2,25
2,15
2,22
2,13
2,19
1,88
2,95
6,66
8,19
6,91
4,81
9,89
10,26
10,84
9,37
8,58
6,34
6,22
Observações: Painéis quadrados de 89 cm de largura e 7 cm de espessura, diâmetro máximo do agregado de
10 mm e módulo de elasticidade das armaduras de 200 GPa.
PANG & HSU (1995) submeteram 10 painéis de concreto armado a carregamentos de
cisalhamento puro e inclusive calcularam as aberturas de fissuras para as cargas de serviço
(metade da carga de ruína). Os painéis eram quadrados com 13,97 cm de largura e possuiam 17,8
cm de espessura. A Tabela 6 apresenta os resultados obtidos dos ensaios experimentais.
Tabela 6 – Resultados experimentais obtidos por PANG & HSU (1995)
fc
fyx
fyy
φx
φy
ρx
ρy
εo
τruina
(MPa)
(MPa)
(MPa)
(mm)
(mm)
(%)
(%)
(10-3)
(MPa)
1:0:0
2,13
A1
10
10
0,596 0,596
42,2
444
444
2,27
1:0:0
2,10
A2
462
462
5,37
15
15
1,193 1,193
41,2
1:0:0
1,94
A3
446
446
7,65
20
20
1,789 1,789
41,6
1:0:0
2,20
A4
25
25
2,982 2,982
42,4
469
469
11,31
1:0:0
2,15
B1
462
444
3,96
15
10
1,193 0,596
45,2
1:0:0
2,35
B2
446
462
6,13
20
15
1,789 1,193
44,0
1:0:0
2,15
B3
20
10
1,789 0,596
44,9
446
444
4,35
1:0:0
2,05
B4
469
444
5,06
25
10
2,982 0,596
44,7
1:0:0
2,20
B5
25
15
2,982 1,193
42,8
469
462
7,15
1:0:0
2,20
B6
469
446
9,14
25
20
2,982 1,789
42,9
Observações: Painéis quadrados de 140 cm de largura e 17,8 cm de espessura, diâmetro máximo do agregado
de 19 mm e módulo de elasticidade das armaduras de 210 GPa.
Painel
Carga
(fxy,fx, fy)
Mais recentemente, XIE (2009) ensaiou 6 painéis submetidos a diferentes combinações de força
axial e força cortante. A relação entre a força normal aplicada e a força cortante foi o único
parâmetro estudado e a quantidade de armaduras foi escolhida de maneira a simular o
comportamento de vigas, isto é, a armadura longitudinal era bem mais expressiva que a armadura
transversal. A Tabela 7 apresenta um resumo dos resultados obtidos.
Prof. Dr. Rafael Alves de Souza – http://www.gdace.uem.br
61
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Tabela 7 – Resultados experimentais obtidos por XIE (2009)
Painel
Carga
(fxy,fx, fy)
φx
(mm)
φy
(mm)
ρx
(%)
ρy
(%)
fc
(MPa)
εo
(10-3)
fyx
(MPa)
fyy
(MPa)
τfissuração
(MPa)
τruina
(MPa)
PL4
PL1
PL2
PL5
PL3
PL6
-2,8:1:0
-2,0:1:0
-1,0:1:0
0:1:0
1:1,0:0
3:1:0
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
1,649
1,571
1,582
1,575
1,571
1,584
0,1934
0,1842
0,1855
0,1847
0,1842
0,1857
43,1
38,5
38,2
38,1
42,0
43,5
2,31
1,89
2,10
1,89
2,27
2,15
604
604
604
604
604
604
529
529
529
529
529
529
3,41
3,84
2,36
1,747
1,186
0,754
4,81
4,31
3,21
3,21
3,04
2,47
Observações: Painéis quadrados de 89 cm de largura e 7 cm de espessura, diâmetro máximo do agregado de
10,0 mm e módulo de elasticidade das armaduras de 200 GPa.
Além dos resultados apresentados, outros ensaios também foram realizados por outros
pesquisadors com o intuito de se obter o comportamento de elementos de concreto armado ao
cisalhamento. Tendo-se em vista o registro apenas dos resultados experimentais mais expressivos,
recomenda-se a leitura dos trabalhos de YAMAGUCHI et alli (1988), ANDRE (1987) e ZHANG &
HSU (1998) para a obtenção de resultados complementares.
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62
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
7. Desenvolvimento de Programas Computacionais
Foi pensando na obtenção de respostas rápidas quanto à análise e dimensionamento de elementos
de membrana que se concebeu o pacote de programas MEDEA RC (Membrane Design and
Analysis for Reinforced Concrete) e MEDEA RC_MCFT (Membrane Design and Analysis for
Reinforced Concrete Using the Modified Compression Field Theory).
Inicialmente, baseando-se nos modelos propostos por HSU (1993), procurou-se implementar
computacionalmente o modelo “Plasticity Truss Model” para atividades de dimensionamento
(Módulo MEDEA RC_Design) e o modelo “Mohr Compatibility Truss Model” para análises
simplificadas de desempenho (MEDEA RC_Analysis) de elementos de membrana em concreto
armado. Deve-se observar que os pacotes MEDEA RC_Analysis e MEDEA RC_Design são
módulos do programa MEDEA RC, referido anteriormente.
Posteriormente, tendo-se em vista a necessidade de uma plataforma de programação mais versátil
e dotada de recursos visuais, procurou-se implementar no ambiente MATLAB, rotinas especificas
para verificação de elementos de membrana baseando-se no MCFT, proposto por VECCHIO &
COLLINS (1982). Através dessa atividade foi possivel obter uma ferramenta mais robusta,
altamente iterativa e com capacitada de respostas gráficas mais efetiva.
7.1 Descrição do Programa MEDEA RC
Totalmente desenvolvido no ambiente Borland Delphy, versão 3.0, o programa MEDEA RC foi
concebido de maneira a se constituir numa ferramenta extremamente prática para engenheiros de
estruturas, preocupados com o dimensionamento e análise de regiões complexas que possuam
comportamento membranal. A Figura 31 ilustra a tela de entrada do programa MEDEAR RC, onde
pode-se escolher entre a opção de análise e dimensionamento de elementos de membrana.
Figura 31 – Tela de entrada do programa MEDEA RC
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63
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Selecionando-se a opção “Design” na tela de entrada do programa MEDEA RC, conforme ilustra a
Figura 31, será iniciado o módulo MEDEA RC_Design. Conforme pode-se observar pela Figura 21,
o programa possibilita o dimensionamento das armaduras utilizando dois critérios de cálculo,
baseados no modelo “Plasticity Truss Model”: quantidade mínima de armação (armaduras
diferenciadas nas duas direções) ou escoamento simultâneo das armaduras (armaduras iguais nas
duas direções). Após a seleção de um dos métodos de cálculo, o usuário deve então definir as
tensões atuantes, a espessura do elemento de membrana, bem como as propriedades dos
materiais.
Figura 32 – Tela de entrada do subprograma MEDEA RC_Design
Selecionando-se a opção “Design” na tela de entrada do programa MEDEA RC, conforme ilustra a
Figura 31, será iniciado o dimensionamento conforme o método selecionado. Conforme pode-se
observar pelo lado esquerdo da Figura 32, desenhos ilustrativos foram definidos no sentido de
orientar o usuário a respeito da convenção de sinais utilizada, do modelo de divisão das ações
entre o concreto e as armaduras e das tensões finais verificadas nos materiais. Observa-se que a
introdução dos conceitos de segurança na presente formulação é o que diferencia o programa
MEDEA RC da formulação clássica proposta por HSU (1993).
São fornecidos os seguintes resultados: caso de carregamento atuante conforme ações descritas,
ângulos principais para as tensões atuantes no concreto armado e nas escoras de concreto,
quantidade longitudinal e transversal de armaduras, quantidade mínima de armadura longitudinal e
transversal, nível de tensão absorvido pelo concreto, tensões principais verificadas no concreto,
nível de tensão nas armaduras e tensões principais finais no elemento de concreto armado.
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64
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Selecionando-se a opção “Analysis” na tela de entrada do programa MEDEA RC, conforme ilustra a
Figura 31, será iniciado subprograma MEDEA RC_Analysis. Conforme pode-se observar pelo lado
esquerdo da Figura 33, novamente desenhos ilustrativos foram definidos no sentido de orientar o
usuário a respeito da convenção de sinais utilizada, do modelo de divisão das ações entre o
concreto e as armaduras e das tensões finais verificadas nos materiais.
Figura 33 – Tela de entrada do subprograma MEDEA RC_Analysis
Conforme pode-se observar pela Figura 33, o programa possibilita a análise de elementos de
membrana utilizando dois critérios de cálculo, ambos baseados no modelo “Mohr Compatibility
Truss Model”: cargas prescritas e escoamento das armaduras. Após a seleção de um dos métodos
de cálculo, o usuário deve então definir as tensões atuantes, a espessura do elemento de
membrana, a porcentagem de armaduras longitudinais e transversais, bem como as propriedades
dos materiais.
Pressionando o botão “Analysis”, apresentado ao lado direito da tela de entrada da Figura 33, a
análise do elemento de membrana será iniciada pelo programa. São fornecidos os seguintes
resultados: caso de carregamento atuante conforme ações descritas, ângulos principais para as
tensões atuantes no concreto armado e nas escoras de concreto, tensões atuantes nas armaduras
para o carregamento definido, tensões principais no concreto, tensões principais no elemento de
concreto armado, deformações principais no concreto e nas armaduras e ações aplicadas capazes
de propiciar o primeiro escoamento de armaduras.
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65
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
7.1.1 Exemplo de Dimensionamento Utilizando MEDEA RC_Design
Seja um elemento de membrana com espessura h = 12 cm sujeito à ação das tensões
σl,d = 2,13 MPa (tração), σt,d = -2,13 MPa (compressão) e τlt,d = 3,70 MPa, conforme ilustra a Figura
34. Pede-se dimensionar as armaduras longitudinais e transversais utilizando o “Plasticity Truss
Model”, bem como, calcular as tensões atuantes nas barras, nas escoras de concreto e no
elemento de membrana. Assumir o escoamento das armaduras nas duas direções (fly,d = fty,d = 435
MPa), adotar mesma quantidade de armadura nas duas direções (ρl = ρt ) e considerar fcd = 21,42
MPa.
Figura 34 – Elemento de membrana dimensionado utilizando MEDEA RC_Design
Para utilização do programa MEDEA RC_Design deve-se então escolher a opção “Yielding of Both
Reinforcement”, uma vez que deseja-se quantidades iguais de armaduras nas duas direções
ortogonais. Em seguida, os parâmetros de entrada são definidos conforme ilustra a Figura 35 e
procede-se ao cálculo do elemento pressionando-se o botão “Design”.
Figura 35 – Definição dos parâmetros no programa MEDEA RC_Design
Os resultados obtidos para o caso em estudo são apresentados em maiores detalhes na Figura 36
(a). Conforme pode-se observar, a quantidade de armadura necessária em ambas as direções é de
11,78 cm²/m, sendo essa quantidade superior à quantidade mínima recomendada de 6,0 cm²/m.
Adicionalmente, observa-se que para o nível de carregamento imposto, as escoras de concreto
possuem inclinação de 59,96o e o nível máximo de tensão na ordem de 8,54 MPa. O
dimensionamento pode ser considerado adequado, uma vez que o nível de tensão nas escoras é
muito inferior ao valor limite de 21,42 MPa.
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66
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
(a)
(b)
Figura 36 – Resultados obtidos no programa MEDEA RC_Design (a) para caso de armaduras
iguais e (b) para o caso de armaduras diferentes
No caso de dimensionamento de armaduras com taxas diferentes nas duas direções ortogonais, os
resultados são apresentados na Figura 36 (b). Conforme pode-se observar, a quantidade de
armadura necessária na direção longitudinal é de 16,08 cm²/m, enquanto que na direção
transversal é de apenas 4,33 cm²/m. Observa-se dessa maneira, que na direção transversal se faz
necessária a adoção da quantidade mínima recomendada de 6,0 cm²/m, uma vez que esse valor é
superior ao valor calculado. Finalmente, observa-se que para o nível de carregamento imposto, as
escoras de concreto possuem inclinação de 45,00o e o nível máximo de tensão na ordem de 7,40
MPa. O dimensionamento pode ser considerado adequado, uma vez que o nível de tensão nas
escoras é muito inferior ao valor limite de 21,42 MPa.
7.1.2 Exemplo de Análise Utilizando MEDEA RC_Analysis
Seja o elemento de membrana com espessura h = 12 cm sujeito à ação das tensões características
σl,k = 1,52 MPa (tração), σt,k = -1,52 MPa (compressão) e τlt,k = 2,64 MPa e dimensionado
anteriormente utilizando o “Plasticity Truss Model”. Sabendo-se que o elemento possui taxa de
armação longitudinal e transversal igual a 0,9814% (flyk = ftyk = 500 MPa), pede-se determinar as
condições de tensão e deformação nos materiais para momento do escoamento das armaduras.
Adotar fck = 30 MPa, Es = 210.000 MPa, Ec = 30.673 MPa.
Para utilização do programa MEDEA RC_Analysis deve-se escolher inicialmente a opção
“Prescribed Loads”, uma vez que admite-se inicialmente que as armaduras não estejam em
escoamento. Caso o carregamento prescrito esteja provocando escoamento, uma tela de aviso tal
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67
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
qual aquela ilustrada na Figura 37, avisa o usuário da necessidade de mudança para a opção de
cálculo “First Yielding of Reinforcement”.
Figura 37 – Tela de aviso do programa MEDEA RC_Analysis para casos de carregamento
provocando escoamento
Uma vez selecionada a opção de análise, o usuário deve então definir os parâmetros de entrada,
de maneira que o programa MEDEA RC_Analysis possa iniciar o processamento. A Figura 38
apresenta os dados de entrada definidos para o problema em análise.
Figura 38 – Dados de entrada no programa MEDEA RC_Analysis para o problema em análise
Após a definição dos dados de entrada, o usuário deve pressionar o botão “Analysis”, sendo que os
resultados apresentados na Figura 39 serão obtidos. Conforme pode-se observar, para o nível de
carregamento definido não há escoamento das armaduras, uma vez que observa-se a tensão
360,91 MPa para a armadura longitudinal e 196,34 MPa para armadura transversal.
Adicionalmente, o nível de tensão de compressão nas escoras de concreto é de apenas 5,47 MPa,
garantindo assim a integridade do concreto. Adicionalmente, observa-se pela Figura 39 os valores
das deformações no concreto e nas armaduras, bem como as tensões principais no elemento de
concreto armado.
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68
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Figura 39 – Resultados obtidos com o programa MEDEA RC_Analysis para o problema em análise
Visando obter o nível de carregamento para o qual ocorrerá o primeiro escoamento das armaduras,
a opção “First Yielding of Reinforcement” é selecionada, e os parâmetros descritos anteriormente
são mantidos. Conforme pode-se observar pela Figura 40, o primeiro registro de escoamento deve
acontecer na armadura longitudinal, pela aplicação de um carregamento proporcional ao
carregamento definido inicialmente, dado pelos valores σl = 2,11 MPa (tração), σt = -2,11 MPa
(compressão) e τlt = 3,66 MPa.
Figura 40 – Investigação do escoamento com o programa MEDEA RC_Analysis
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69
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
7.1.3 Considerações Sobre o Programa MEDEA RC
O programa MEDEA RC se constitui em uma ferramenta muito simples para a análise e
dimensionamento de elementos de membrana. Sendo um programa desenvolvido exclusivamente
pensando em situações práticas, o programa procura fornecer apenas as respostas mais relevantes
para a tomada de decisões do engenheiro de estruturas.
O módulo de dimensionamento constitui-se em uma ferramenta bastante eficaz e elimina todo
trabalho oneroso de substituição manual dos parâmetros nas equações bases de
dimensionamento. O módulo de análise, apesar de limitado, fornece de maneira rápida o nível de
tensão nas escoras e o nível de tensão nas armaduras apontando inclusive a intensidade de
carregamento capaz de provocar escoamento.
Evidentemente, modelos mais complexos baseados no “Modified Compression Field”, e
formalmente implementados em programas computacionais tais como o “Membrane” e o
“Performance of Reinforced Concrete”, podem fornecer respostas mais confiáveis e completas do
que o módulo de análise do programa MEDEA RC. No entanto, deve-se observar que a atividade
do calculista é na maior parte do tempo de dimensionamento e não de análise e, nesse caso, os
programas mencionados deveriam ser utilizados num processo de tentativa e erro, que tornaria
maçante o trabalho do profissional de escritório.
Assim, acredita-se que o desenvolvimento do programa MEDEA RC possa vir a contribuir de
maneira significativa no dimensionamento de elementos de membrana, principalmente de regiões
complexas cujas armaduras vêm sendo quantificadas utilizando o Método das Bielas.
Evidentemente, para a utilização do programa desenvolvido, o usuário deve ter familiaridade com
programas baseados no Método dos Elementos Finitos, de maneira que as ações a serem definidas
para os elementos de membrana possam ser obtidas.
Finalmente, o ANEXO B apresenta o código fonte do programa ora aqui desenvolvido. Conforme
pode-se observar, trata-se de um programa em estágio inicial de desenvolvimento, sendo que
alguns ajustes ainda precisam ser dados de maneira que possa se obter a máxima potencialidade.
Como atividades futuras, pretende-se inserir no programa módulos de análise baseados no
“Modified Compression Field”, de maneira que elementos dimensionados possam ser analisados de
maneira completa.
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70
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
7.2 Descrição do Programa MEDEA RC_MCFT
O programa MEDEA RC_MCFT (Membrane Design and Analysis of Reinforced Concrete Using the
Modified Compression Field Theory) foi criado com o objetivo de se tornar uma ferramenta versátil e
de simples utilização para a análise de elementos de membrana. Procurou-se implementar o MCFT,
baseando-se nas planilhas desenvolvidas por BENTZ (2003), bem como na formulação clássica de
VECCHIO & COLLINS (1986) e VECCHIO (1990). O programa foi totalmente desenvolvido na
plataforma MATLAB e possui propriedades importantes como salvar e abrir arquivos de dados,
possibilitando dessa maneira a construção de um banco de dados de resultados experimentais. A
Figura 41 ilustra a tela de entrada do programa.
Figura 41 – Tela de entrada do programa MEDEA RC_MCFT
Após a abertura da tela de entrada do programa, pode-se então dar início à análise de elementos
de membrana em concreto armado. Para tanto, basta acessar o menu “File” e clicar sobre a opção
“New”. Quando do acionamento da opção “New”, será aberta a tela de entrada de dados ilustrada
na Figura 42. Conforme pode-se observar, o usuário deve fornecer as seguintes informações:
diâmetro das barras longitudinais, porcentagens de armação, módulo de elasticidade das barras,
tensão de escoamento das barras, resistência média do concreto à compressão, diâmetro máximo
do agregado, estado de carregamento do elemento de membrana, número de passos de carga e
fator de carga para obtenção das curvas de comportamento conforme necessidade do usuário.
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71
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Figura 42 – Tela de entrada de dados do programa MEDEA RC_MCFT
Caso o usuário já tenha feito uma análise anterior, os dados podem ser salvos e abertos
novamente acessando o menu “File” e a opção “Open”. Por outro lado, caso o usuário deseje salvar
os dados correntes, basta acessar o menu “File” e posteriormente selecionar a opção “Save”. A
Figura 43 ilustra os dados do Painel PV20 ensaiado por VECCHIO & COLLINS (1982).
Figura 43 – Descrição dos dados do painel PV20 ensaiado por VECCHIO & COLLINS (1982) no
programa MEDEA RC_MCFT
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Uma vez que os dados foram descritos, os mesmos devem ser salvos através do menu “File”,
opção “Save”. Em seguida, pode-se selecionar o processamento dos dados através do menu
“Process”, opção “MCFT”, conforme ilustrado na Figura 44. Com o acionamento da opção “MCFT”
será aberta uma nova tela para que o usuário escolha o nome do arquivo com os resultados a
serem obtidos, conforme ilusta a Figura 45.
Figura 44 – Descrição dos dados do painel PV20 ensaiado por VECCHIO & COLLINS (1982) no
programa MEDEA RC_MCFT
Figura 45 – Abertura de nova tela de diálogo para atribuição do nome do arquivo de saída com os
resultados processados
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73
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Imediatamente após a descrição do arquivo de saída, o programa iniciará o processamento dos
dados de entrada, conforme ilustra a Figura 46. Em geral os processamentos são bastante rápidos
para processamentos com até 100 passos de carga. Importante relatar que quanto mais passos de
carga forem especificados, melhor será a resposta numérica. Evidentemente, o usuário deve buscar
a melhor relação desse parâmetro com o fator de carga, que é utilizado basicamente para definir os
incrementos de carregamento.
Figura 46 – Tela ilustrando o processamento dos dados
Após o término do processamento, o usuário deve então acionar o menu “Results” e selecionar a
opção “Graphs”, conforme ilustrado na Figura 47. Dessa maneira, o usuário poderá ter acesso a
vários gráficos de desempenho para o elemento de membrana descrito. Assim, pode-se escolher
entre terminar o processo ou refiná-lo através de novos processamentos acompanhados da
modificação dos parâmetros “Load Steps” e “Load Factor”
Figura 47 – Tela ilustrando o acesso aos gráficos gerados pelo programa
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Com a seleção da opção “Graphs”será aberta a tela apresentada na Figura 48. Conforme pode-se
observar, são apresentados os seguintes diagramas de desempenho, desde uma carga pequena
até a carga de ruptura: tensão de cisalhamento versus deformação de cisalhamento, tensão de
cisalhamento versus abertura de fissura, tensão de cisalhamento versus tensão normal nas
armaduras nas direções x e y.
Figura 48 – Tela ilustrando os gráficos de desempenho gerados pelo programa
Conforme pode-se observar pela Figura 48, são apresentadas retas horizontais nos diagramas de
tensão de cisalhamento versus deformação de cisalhamento e tensão de cisalhamento versus
abertura de fissura. Essas retas refere-se à tensão de cisalhamento informada pelo usuário no
início do processamento, na tela de entrada de dados. Dessa maneira, o usuário pode verificar se o
estado de tensão descrito é apropriado para o nivel de armação, tendo-se em vista a performance
completa desde o início do carregamento até a ruptura. Clicando no menu “Results”e
posteriormente na opção “Output File”, o usuário poderá encontrar os resultados para os diversos
passos de carga, conforme ilustra a Figura 49.
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75
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Figura 49 – Tela ilustrando os resultados para os diversos passos de carga
Os resultados numéricos obtidos utilizando-se o programa MEDEA RC_MCFT são muito próximos
dos resultados experimentais obtidos por VECCHIO & COLLINS (1982). Adicionalmente, observase um desempenho competitivo da ferramenta proposta quando comparada com os programas
MEMBRANE e PRF. O ANEXO C apresenta o código fonte do programa MEDEA RC_MCFT.
7.2.1 Validação do Programa MEDEA RC_MCFT
De maneira a comprovar a performance do programa MEDEA RC_MCFT, a Tabela 8 apresenta um
comparativo entre os resultados experimentais de um grande banco de dados disponível na
literatura e os resultados numéricos obtidos utilizando o programa MEDEA RC_MCFT. Conforme
pode-se observar, foram utilizados os resultados experimentais obtidos por COLLINS et alli (1985),
BHIDE & COLLINS (1989) e VECCHIO et alli (1994), com resistência à compressão do concreto
variando entre 11,60 a 72,20 MPa. Foram investigados 58 resultados para fissuração e 70
resultados para ruptura de placas em concreto armado submetidas a combinações de força normal
e força cortante.
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Tabela 8 – Resultados numéricos comparados aos resultados experimentais de COLLINS et alli
(1985), BHIDE & COLLINS (1989), VECCHIO et alli (1994) e PANG & HSU (1995)
COLLINS et alli (1985)
Painel
(A)
τfissuração,experimental
(MPa)
(B)
τfissuração,numérica
(MPa)
(C)
(B)/(C)
τruina,experimental
(MPa)
(D)
τruina,numérica
(MPa)
(E)
(D)/(E)
PV1
PV2
PV3
PV4
PV5
PV6
PV7
PV8
PV9
PV10
PV11
PV12
PV13
PV14
PV16
PV18
PV19
PV20
PV21
PV22
PV23
PV24
PV25
PV26
PV27
PV28
PV29
PV30
2,21
1,10
1,66
1,79
1,73
2,00
1,93
1,73
1,38
1,86
1,66
1,73
1,73
1,93
2,07
2,00
2,07
2,21
2,35
2,42
3,73
4,97
4,14
2,00
2,04
1,66
2,21
1,55
2,00
1,50
1,70
1,40
1,80
1,90
1,80
1,20
1,30
1,30
1,30
1,50
1,50
1,50
1,60
1,50
1,50
1,50
2,30
5,60
3,40
1,60
1,50
1,20
2,10
1,50
1,11
1,11
1,05
1,24
1,11
1,02
0,96
1,15
1,43
1,28
1,33
1,29
1,38
1,33
1,29
1,47
1,57
1,61
1,62
0,89
1,22
1,25
1,36
1,38
1,05
1,03
>8,02
1,16
3,07
2,89
> 4,24
4,55
> 6,81
> 6,67
> 3,74
3,97
3,56
3,13
2,01
> 5,24
4,12
> 3,04
3,95
4,26
5,03
6,07
8,87
> 7,94
9,12
5,41
6,35
5,80
5,87
> 5,13
8,20
0,76
3,10
2,50
4,50
4,70
8,00
9,20
4,10
3,70
3,50
3,60
1,30
6,30
1,85
3,00
3,80
4,30
5,20
6,00
7,20
10,20
7,80
5,80
6,30
5,60
6,20
5,60
0,98
1,53
0,99
1,16
0,94
0,97
0,85
0,73
0,91
1,07
1,02
0,87
1,55
0,83
2,23
1,01
1,04
0,99
0,97
1,01
1,23
0,78
1,17
0,93
1,01
1,04
0,95
0,92
1,70
1,60
0,90
0,90
0,60
0,30
0,10
2,10
0,90
0,70
0,30
1,70
1,00
0,80
0,80
0,60
0,30
1,00
0,70
0,30
0,70
0,83
0,90
0,94
1,23
1,73
3,10
0,86
1,09
1,11
1,80
0,95
1,23
1,18
1,05
1,22
1,47
0,75
1,06
1,47
1,27
1,53
1,16
1,15
0,86
0,79
0,56
1,96
1,45
1,54
1,22
1,70
1,28
1,42
1,53
1,42
1,03
1,49
1,48
1,15
1,80
1,60
1,10
1,00
1,10
0,80
0,60
2,80
1,60
1,30
1,30
2,10
2,40
1,60
1,40
1,40
0,90
1,60
1,40
1,10
0,71
0,96
1,05
1,15
0,78
0,99
0,93
0,70
0,91
1,18
0,94
0,81
0,53
0,89
1,09
1,01
1,14
0,93
1,06
1,05
0,90
2,70
2,50
2,30
2,00
3,10
3,20
2,50
3,30
2,00
2,40
2,20
2,82
0,72
0,91
1,04
0,81
0,73
0,70
0,86
0,67
1,07
0,91
0,85
2,95
6,66
8,19
6,91
4,81
9,89
10,26
10,84
9,37
8,58
6,34
6,22
2,70
5,50
8,30
6,50
3,80
8,10
11,00
10,20
8,60
8,10
6,00
6,00
1,09
1,21
0,99
1,06
1,27
1,22
0,93
1,06
1,09
1,06
1,06
1,04
-
-
2,27
5,37
7,65
11,31
3,96
6,13
4,35
5,06
7,15
9,14
2,60
5,40
7,90
12,40
3,80
6,50
4,60
5,60
8,60
10,60
0,87
0,99
0,97
0,91
1,04
0,94
0,95
0,90
0,83
0,86
BHIDE & COLLINS (1989)
PB11
PB12
PB4
PB6
PB7
PB8
PB10
PB15
PB16
PB14
PB17
PB18
PB19
PB20
PB28
PB21
PB22
PB29
PB30
PB31
1,19
1,32
0,81
0,85
0,74
0,52
0,31
1,80
0,98
0,78
0,54
1,62
1,23
0,94
0,84
0,73
0,44
0,75
0,74
0,44
VECCHIO et alli (1994)
PHS1
PHS2
PHS3
PHS4
PHS5
PHS6
PHS7
PHS8
PHS9
PHS10
PA1
PA2
2,54
1,94
2,28
2,39
1,62
2,25
2,25
2,15
2,22
2,13
2,19
1,88
PANG & HSU (1995)
A1
A2
A3
A4
B1
B2
B3
B4
B5
B6
-
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77
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
A Tabela 9 procura apresentar de maneira resumida os principais resultados obtidos. Conforme
pode-se observar, no que se refere a fissuração o quociente entre os resultados experimentais e
aqueles verificados numericamente foi de 1,19, com um desvio padrão de 0,43 e um coeficiente de
variação de 36,18%. Já para a ruptura, obteve-se um quociente entre a carga de ruína experimental
e a carga de ruptura numérica igual a 1,01, com um desvio padrão de 0,21 e coeficiente de
variação de 21,64%.
Tabela 9 – Resumo dos resultados numéricos comparados aos resultados experimentais de
COLLINS et alli (1985), BHIDE & COLLINS (1989), VECCHIO et alli (1994) e PANG & HSU (1995)
Ensaio
COLLINS et alli
(1985)
BHIDE & COLLINS
(1989)
VECCHIO et alli
(1994)
PANG & HSU
(1995)
Todos os ensaios
anteriores
fck(MPa)
Fissuração Experimental / Fissuração Numérica
Desvio Padrão
Coeficiente de
Média
(MPa)
Variação
Ruptura Experimental / Ruptura Numérica
Desvio Padrão
Coeficiente de
Média
(MPa)
Variação
11,60 a 34,50
1,25
0,198
0,159
1,06
0,293
0,277
16,40 a 43,40
1,23
0,531
0,431
0,94
0,168
0,179
43,00 a 72,20
1,01
0,585
0,581
1,09
0,097
0,089
41,20 a 45,20
-
-
-
0,93
0,064
0,069
11,60 a 72,20
1,19
0,432
0,361
1,01
0,219
0,216
Conforme pode-se observar pela Tabela 9, a fissuração foi melhor capturada para o ensaio de
COLLINS et alli (1985), que possui resistência à compressão do concreto variando entre 11,60 a
34,20 MPa. Para este caso, o quociente entre a carga de fissuração experimental e a carga de
fissuração teórica foi em média igual a 1,25, com um coeficiente de variação de apenas 15,9%. Por
outro lado, para o ensaio de VECCHIO et alli (1994) obteve-se um coeficiente de variação bastante
alto, indicando que as previsões para este caso são bastante dispersas, apesar do baixo quociente
entre a carga de fissuração experimental e a carga prevista numericamente (1,01). Esse fato revela
que a previsão de fissuração em concretos de elevada resistência deve ser melhor formulada no
MCFT, tendo-se em vista que o coeficiente de variação procura revelar a representatividade da
média.
Por outro lado, a carga de ruptura foi melhor capturada para os ensaios de VECCHIO et alli (1994)
e PANG & HSU (1995), com coeficientes de variação de 8,9 e 6,9%, respectivamente. Observa-se
nesses casos um quociente médio entre a carga de ruptura experimental e a carga de ruptura
numérica com valores médios variando entre 0,93 a 1,09. Interessante notar que os ensaios de
VECCHIO et alli (1994) e PANG & HSU (1995) são aqueles com as maiores resistências à
compressão para o concreto, indicando que no caso de ruína, esse aumento de resistência introduz
pouca interferência nas previsões numéricas, ao contrário do que foi observado nas fissurações. De
maneira interessante, observa-se que o coeficiente de variação obtido na ruptura para os ensaios
de COLLINS et alli (1985) são os maiores entre todos os outros testados. No entanto, esse valor
chega a um valor máximo de 27,7% e ainda pode ser considerado adequado.
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78
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
De maneira a se investigar o efeito da resistência à compressão do concreto nos resultados
numéricos, procurou-se estudar os coeficientes de variação em função das faixas de resistência. A
Tabela 9 mostra que a fissuração dos painéis é melhor capturada pelo programa MEDEA
RC_MCFT na faixa de resistência à compressão do concreto variando entre 11,60 e 20 MPa. Para
essa faixa de resistência obtém-se um coeficiente médio entre a carga de fissuração experimental e
a téorica igual a 1,29, com um coeficiente de variação de 19,7%. Por outro, observa-se que as
respostas numéricas não serão satisfatórias, do ponto de vista de fissuração, para resistências
superiores a 20 MPa, uma vez que o coeficiente de variação tenderá a ser superior a 32,3%,
podendo chegar até a 63,1%.
Tabela 10 – Resumo dos resultados numéricos comparados aos resultados experimentais para
diferentes faixas de variação da resistência à compressão do concreto
fck(MPa)
11,60 a 20,00
20,00 a 40,00
40,00 a 50,00
50,00 a 72,20
Número de
Painéis
16
26
19
9
Fissuração Experimental / Fissuração Numérica
Coeficiente de
Média
Desvio Padrão
Variação
1,29
0,254
0,197
1,22
0,444
0,363
1,09
0,351
0,323
1,07
0,673
0,631
Ruptura Experimental / Ruptura Numérica
Coeficiente de
Média
Desvio Padrão
Variação
1,04
0,174
0,167
0,99
0,316
0,319
0,98
0,104
0,106
1,08
0,103
0,095
No que se refere a previsão numérica da ruína dos painéis ensaiados experimentalmente, a Tabela
10 surpreendentemente revela que as melhores previsões serão para concretos com resistências
superiores a 40 MPa, cujos coeficientes de variação serão inferiores a 9,5%. A Tabela 10 revela
ainda que há uma tendência de cargas de ruínas numéricas mais precisas conforme se aumenta a
resistência à compressão do concreto nos painéis. Observa-se que as piores previsões de ruína
concentram-se na faixa entre 20 e 40 MPa, onde o coeficiente de variação chega a 31,9%, apesar
do quociente entre a carga experimental e numérica ser igual a 0,99.
Conforme pode-se observar, o programa MEDEA RC_MCFT possui uma boa performance e pode
ser utilizado como uma ferramenta versátil para a previsão do comportamento de elementos de
membrana. Tendo-se em vista a dificuldade em se obter os resultados experimentais de outros
ensaios, infelizmente só foi possível validar o programa com os resultados descritos anteriormente.
De qualquer forma, as simulações efetuadas com o programa MEDEA RC_MCFT são bastante
favoráveis e conforme pode-se observar estão a favor da segurança, isto é, de maneira geral o
programa fornece cargas de fissuração e colapso que são ligeiramente inferiores àquelas cargas
verificadas experimentalmente.
Finalmente, deve-se observar que melhorias devem ser feitas ao MCFT original proposto por
VECCHIO & COLLINS (1986), de maneira a capturar melhor as cargas de fissuração (para painéis
com concretos de resistência à compressão superiores a 40 MPa) e para cargas de ruína (para
concretos com resistência entre 20 e 40 MPa). Isso pode ser feito definindo parâmetros
multiplicadores de ajuste para as reistências à compressão e tração do concreto.
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79
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
7.3 Softened Truss Model (STM)
Conforme mencionado uma formulação que faz frente ao “Modified Compression Field Theory”
(MCFT) é o “Softened Truss Model”, proposto por HSU (1993). O “Softened Truss Model” é uma
avanço em relação ao “Mohr Compatibility Truss Model”, devido a introdução de relações
constitutivas não-lineares dos materiais através de observações experimentais realizadas na
Universidade de Houston.
De acordo com HSU (1993), a relação tensão versus deformação do concreto deve apresentar
duas características. A primeira é a relação não-linear entre as tensões e as deformações. A
segunda característica, e talvez a mais importante, é o efeito de abrandamento no concreto em
compressão, ocasionado pela fissuração na direção perpendicular devido a tensões de tração.
Dessa maneira, um coeficiente de abrandamento (“softening coefficient”) deve ser incorporado à
relação constitutiva do concreto.
De maneira a reproduzir o comportamento de elementos de membrana em concreto armado com o
“Softened Truss Model”, foi especialmente criado o programa MEDEA RC_STM (Membrane Design
and Analysis of Reinforced Concrete Using the Softened Truss Model). A seguir apresentam-se as
equações utilizadas na implementação do modelo na plataforma MATLAB.
7.3.1 Equações de Equilíbrio e Compatibilidade
O “Softened Truss Model” é constituído basicamente por equações de equilíbrio, equações de
compatibilidade e equações constitutivas para o concreto (em tração e compressão) e para o aço.
As equações de equilíbrio são dadas por:
σ l = σ d cos 2 α + σ r sen 2α + ρ l f l
(153)
σ t = σ d sen 2α + σ r cos 2 α + ρ t f t
τ lt = (−σ d + σ r ).senα . cos α
(154)
(155)
As equações de compatibilidade são dadas por:
ε l = ε d cos 2 α + ε r sen 2α
ε t = ε d sen 2α + ε r cos 2 α
γ lt = 2.(−ε d + ε r ).senα . cos α
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(156)
(157)
(158)
80
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
7.3.2 Equações Constitutivas
Para o concreto em compressão, são utilizadas equações constitutivas afetadas pelo coeficiente de
abrandamento (ζ), bem como pela deformação de pico do concreto na compressão (εo), conforme
ilustra a Figura 50 e as equações a seguir:
  ε   ε 2 
ε 
σ d = ζ . f ck .2. d  −  d   para  d  ≤ 1
  ζε o   ζε o  
 ζε o 
  ε / ζε − 1  2 
ε 
o
  para  d  > 1
σ d = ζ . f ck .1 −  d
  2 / ζ − 1  
 ζε o 
0,9
ζ =
1 + 400.ε r
ε o = 0,002
(159)
(160)
(161)
(162)
Figura 50 – Comportamento do concreto em compressão influenciado pelo coeficiente de
abrandamento
Para o concreto sujeito à tração, adota-se o comportamento ilustrado na Figura 51 e assume-se
que a deformação equivalente à fissuração (εr) seja igual a 0,00008. Dessa maneira, as equações
utilizadas na presente formulação são dadas por:
σ r = E c .ε s para ε r ≤ 0,00008
(163)
 0,00008 
 para ε r > 0,00008
 εr 
f cr = 0,31. f ck ( MPa)
(164)
E c = 3875. f ck ( MPa )
(166)
0, 4
σ r = f cr .
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(165)
81
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Figura 51 – Comportamento do concreto à tração no modelo “Softened Truss Model”
Para as armaduras, admite-se um modelo bilinear simplificado ilustrado na Figura 52 e
representado pelas seguintes equações:
f l = E s .ε l para ε l ≤ ε ly
(167)
f l = f ly para ε l > ε ly
(168)
f t = E s .ε t para ε t ≤ ε ty
(169)
f t = f ty para ε t > ε ty
(170)
fs
fy
−ε y
Es
ε
1
εy
− fy
Figura 52 – Comportamento bilinear do aço no modelo “Softened Truss Model”
Na realidade, HSU (1993) recomenda para o aço um comportamento mais complexo onde é
definido uma espécie de escoamento aparente propiciado pela interação com o concreto. Na
realidade, o comportamento das armaduras quando circundadas por concreto tende a ser um
pouco mais rigida. No entanto, de maneira a facilitar a implementação do modelo, será considerado
no presente trabalho o comportamento simples e isolado das barras de aço, tendo-se em vista que
os erros cometidos são pequenos.
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82
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Ainda de acordo com HSU (1993), se uma estrutura está sujeita a cargas estáticas e a deformação
da estrutura não é relevante, então pode-se assumir com segurança o comportamento bilinear
simples das barras de aço e σr = 0. Basicamente, do ponto de vista de resistência, o erro cometido
com a hipótese não-conservadora de comportamento simples das barras de aço cancela o erro
assumido com a hipótese conservadora de que o concreto não possa absorver tensões de tração.
Nesse caso, as deformações tenderão a ser superestimadas, uma vez que o efeito de
enrigecimento das barras devido ao concreto está sendo negligenciado.
Por outro lado, o uso simultâneo do comportamento bilinear do aço (Equações 167 a 170) com o
comportamento do concreto à tração (Equações 163 a 166) introduz um erro conceitual. Esse
tratamento conduz a um falso enrigecimento do concreto, reduzindo corretamente as deformações
mas levando a um acréscimo de resistência que não pode ser garantido. Dessa maneira, caso não
sejam implementadas as curvas de comportamento do aço enrigecidas pela aderência ao concreto,
recomenda-se que seja utilizado σr = 0.
7.3.3 Solução para o Caso de Aumento Proporcional de Carregamento
O estado de tensão descrito pela tensões σl, σt e τlt , conforme ilsutra a Figura 53, também pode
ser expresso em termos de três variaveis principais de tensão, nomeadamente σ1, S e α2.
Figura 53 – Relação entre as tensões aplicadas e as tensões principais
(Fonte: HSU (1993))
Essas variáveis principais são definidas conforme a seguir:
σ1 = Maior tensão principal, sempre positiva e em tração;
S = σ2 / σ1 = Razão entre a menor tensão principal (compressão) e a maior tensão principal
(tração), sendo positiva quando σ2 está em tração e negativa quando σ2 está em compressão;
α2 = Ângulo entre a menor tensão principal (compressão) e o eixo longitudinal.
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83
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
De acordo com HSU (1993), quando um elemento está sujeito a um aumento de carregamento
proporcional entre as tensões σl, σt e τlt , a tensão principal σ1 sofre um aumento, enquanto as
variáveis S e α2 permanecem constantes. Dessa maneira, as tensões externas aplicadas σl, σt e τlt
podem ser definidas em função da tensão principal σ1, conforme a seguir:
σ l = ml .σ 1
σ t = mt .σ 1
τ lt = mlt .σ 1
(171)
(172)
(173)
Nas equações anteriores, os coeficientes ml , mt e mlt permanecem constantes enquanto a tensão
principal σ1 aumenta perante carregamentos proporcionais. Conforme pode-se observar pelas
Equações 171 a 173, os coeficientes ml , mt e mlt são simplesmente as tensões externas aplicadas
normalizadas pela tensão principal σ1. As relações entre os coeficientes anteriores e as variáveis S
e α2 são dadas por:
ml = S . cos 2 α 2 + sen 2α 2
(174)
mt = S .sen 2α 2 + cos 2 α 2
(175)
mlt = (− S + 1).senα 2 . cos α 2
(176)
Conforme pode se observar pelas Equações (174) a (176), se as variáveis S e α2 são fornecidas os
coeficientes ml , mt e mlt podem ser imediatamente obtidos. Assim, aplicando as Equações (171) a
(173) nas Equações (153) a (155), novas equações de equilíbrio em função dos coeficientes ml , mt
e mlt e da tensão principal σ1 podem ser obtidas:
ml σ 1 = σ d cos 2 α + σ r sen 2α + ρ l f l
(177)
mt σ 1 = σ d sen 2α + σ r cos 2 α + ρ t f t
(178)
mlt σ 1 = (−σ d + σ r ).senα . cos α
(179)
De acordo com HSU (1993), o comportamento de um elemento de membrana perante
carregamento proporcional pode ser descrito apenas pela tensão principal σ1. Para se isolar σ1
basta eliminar o ângulo α das Equações (177) a (179). Utilizando a relação sen 2α + cos 2 α = 1 e
rearranjando os termos das equações anteriores, tem-se:
− ml σ 1 + σ r + ρ l f l = (−σ d + σ r ). cos 2 α
(180)
− mt σ 1 + σ r + ρ t f l = (−σ d + σ r ).sen 2α
(181)
mlt σ 1 = (−σ d + σ r ).senα . cos α
(182)
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Multiplicando-se a Equação (180) pela Equação (181) obtém-se:
(−ml σ 1 + σ r + ρ l f l ).(−mt σ 1 + σ r + ρ t f t ) = (−σ d + σ r ) 2 .sen 2α . cos 2 α
(183)
Por outro lado, elevando-se a Equação (182) ao quadrado obtém-se:
(mlt σ 1 ) 2 = (−σ d + σ r ) 2 .sen 2α . cos 2 α
(184)
O ângulo α pode ser finalmente eliminado igualando-se os membros do lado esquerdo das
equações (183) e (184):
(185)
(− ml σ 1 + σ r + ρ l f l ).(− mt σ 1 + σ r + ρ t f t ) = (mlt σ 1 ) 2
Fazendo-se as multiplicações necessárias na Equação (185) e reagrupando os termos de maneira
adequada, pode ser obtida uma equação quadrática para σ1, conforme a seguir:
(ml .mt − mlt2 ).σ 12 − [ml .(σ r + ρ t f t ) + mt .(σ r + ρ l f l )].σ 1 +
(186)
(σ r + ρ l f l ).(σ r + ρ t f t ) = 0
Conforme pode-se observar, a Equação (186) é um tanto quanto extensa. De maneira a simplificar
tal equação, pode-se assumir as seguintes expressões auxiliares:
A = (ml .mt − mlt2 )
(187)
B = [ml .(σ r + ρ t f t ) + mt .(σ r + ρ l f l )]
(188)
C = (σ r + ρ l f l ).(σ r + ρ t f t )
(189)
Onde a obtenção de σ1 pode ser finalmente calculada por:
σ1 =
1
( B ± B 2 − 4. A.C )
2A
(190)
7.3.4 Relações Complementares de Compatibilidade
De maneira a facilitar o procedimento iterativo que será apresentado adiante, convém definir a
deformação εl em função da tensão fl, bem como a deformação εt em função da tensão ft. A
deformação longitudinal εl pode ser exprimida em função da tensão fl eliminando-se o ângulo α das
Equações (153) e (156). Da Equação (153) pode-se obter:
cos 2 α =
− σ l + σ r + ρl fl
σ r −σ d
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(191)
85
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Inserindo ε r .sen 2α = ε r − ε r . cos 2 α na Equação (156), tem-se:
cos 2 α =
εl − εr
εr −εd
(192)
Igualando-se as Equações (191) e (192), obtém-se:
εl = εr +
εr −εd
(σ l + σ r − ρ l f l )
σ r −σ d
(193)
Relembrando que para carregamentos proporcionais σl pode ser descrito em função de ml e σ1,
conforme a Equação (171), pode-se obter a seguinte expressão:
(194)
ε −εd
εl = εr + r
( ml σ 1 + σ r − ρ l f l )
σr −σd
Da mesma maneira, a deformação transversal εt pode ser exprimida em função da tensão ft
eliminando-se o ângulo α das Equações (154) e (157). Da Equação (154) pode-se obter:
sen 2α =
− σ t + σ r + ρt ft
σr −σd
(195)
Inserindo ε r . cos 2 α = ε r − ε r .sen 2α na Equação (157), tem-se:
sen 2α =
−εt + εr
εr −εd
(196)
Igualando-se as Equações (167) e (168), obtém-se:
εt = εr +
εr −εd
(σ t − σ r − ρ t f t )
σ r −σ d
(197)
Novamente, relembrando que para carregamentos proporcionais σt pode ser descrito em função de
mt e σ1, conforme a Equação (172), pode-se obter a seguinte expressão:
(198)
ε −εd
εt = εr + r
( mt σ 1 − σ r − ρ l f l )
σr −σd
Somando-se as Equações (156) e (157) pode-se ainda obter a deformação εr, conforme a seguir:
(199)
εr = εl + εt − εd
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86
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Finalmente, o ângulo α pode ainda ser obtido a partir das Equações (156) e (157) e possuirá o
seguinte valor:
(200)
ε −εd
tan 2 α = l
εt − εd
7.3.5 Procedimento Iterativo de Solução
As equações apresentadas anteriormente e que governam o comportamento de elementos de
membrana apresentam 14 incógnitas, sendo 7 incógnitas relacionadas à tensão (σl, σt ,τlt , σd , σr ,
fl , ft), 5 incógnitas relacionadas à deformação (εl , εt , γlt , εd , εr) e 2 incógnitas restantes
relacionadas ao ângulo α e ao coeficiente ζ.
Figura 54 – Procedimento iterativo para análise de elementos de membrana utilizando o “Softened
Truss Model” proposto por HSU (1993)
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87
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Nos casos em que há aumento proporcional das tensões externas aplicadas (σl, σt e τlt) costumase selecionar a variável εd , uma vez que a mesma varia monotonicamente desde zero até um valor
máximo, possibilitando assim traçar o comportamento completo da estrutura em análise. Para que
se possa resolver o problema de maneira iterativa, há necessidade de assumir os valores de εr e σ1
e num procedimento iterativo procura-se fazer com que os valores assumidos se igualem ao valores
calculados. De maneira a resolver o procedimento iterativo, aplica-se o fluxograma apresentado na
Figura 54.
7.3.6 Programa MEDEA RC_STM
De maneira a analisar elementos de membrana em concreto estrutural através do modelo “Softened
Truss Model”, proposto por HSU (1993), foi implementado no programa MATLAB o fluxograma
apresentado na Figura 54. Ao programa criado, deu-se o nome de MEDEA RC_STM (“Membrane
Design and Analysis of Reinforced Concrete Elements Using the Softened Truss Model”) e as
potencialidades se assemelham àquelas já apresentadas para o programa MEDEA RC_MCFT.
A Figura 55 ilustra a tela de entrada do programa MEDEA RC_STM, sendo que para este modelo
de simulação não é necessário informar o diâmetro das barras longitudinais, o número de passos
de carga e o fator de carga a ser aplicado no procedimento incremental.
Figura 55 – Interface para entrada de dados do programa MEDEA RC_STM
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88
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
A Figura 56 ilustra a performance do programa para o Painel PV20 ensaido por Collins et alli
(1985). Conforme pode-se observar, além de fornecer um arquivo de dados com as respostas do
problema, o programa também fornece graficamente o desempenho de elementos de membrana. É
possível identificar a máxima tensão de cisalhamento possível de ser suportada pelo elemento em
análise, bem como, as tensões capazes de provocar o escoamento das armaduras.
Figura 56 – Resultados gráficos do programa MEDEA RC_STM
De maneira geral, o programa MEDEA RC_STM produz resultados semelhante àqueles obtidos
com o programa MEDEA RC_STM. No entanto, deve-se observar que o processo de
implementação do modelo baseado no “Softened Truss Model” é muito mais simples do que no
caso do “Modified Compression Field”. Do ponto de vista de engenharia, os erros cometidos entre
uma análise e outra são bastante toleráveis, conforme ilustra a Figura 57.
Figura 57 – Comparação entre os programas MEDEA RC_MCFT e MEDEA RC_STM
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89
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Na Figura 57 são apresentadas as respostas de comportamento para o painel PV20 ensaiado por
Collins et alli (1985). Em cor azul encontra-se a resposta utilizando o “Modified Compression Field”,
em cor verde o comportamento capturado pelo “Softened Truss Model” considerando a colaboração
à tração do concreto e em cor vermelho o “Softened Truss Model” assumindo que a resistência à
tração do concreto seja nula.
7.3.7 Validação do Programa MEDEA RC_STM
De maneira a comprovar a performance do programa MEDEA RC_STM, a Tabela 11 apresenta um
comparativo entre os resultados experimentais de um grande banco de dados disponível na
literatura e os resultados numéricos obtidos utilizando o programa MEDEA RC_STM. Conforme
pode-se observar, foram utilizados os resultados experimentais obtidos por COLLINS et alli (1985),
BHIDE & COLLINS (1989) e VECCHIO et alli (1994), com resistência à compressão do concreto
variando entre 11,60 a 72,20 MPa. Foram investigados 58 resultados para fissuração e 70
resultados para ruptura de placas em concreto armado submetidas a combinações de força normal
e força cortante.
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90
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Tabela 11 – Resultados numéricos comparados aos resultados experimentais de COLLINS et alli
(1985), BHIDE & COLLINS (1989), VECCHIO et alli (1994) e PANG & HSU (1995)
COLLINS et alli (1985)
Painel
(A)
τfissuração,experimental
(MPa)
(B)
τfissuração,numérica
(MPa)
(C)
(B)/(C)
τruina,experimental
(MPa)
(D)
τruina,numérica
(MPa)
(E)
(D)/(E)
PV1
PV2
PV3
PV4
PV5
PV6
PV7
PV8
PV9
PV10
PV11
PV12
PV13
PV14
PV16
PV18
PV19
PV20
PV21
PV22
PV23
PV24
PV25
PV26
PV27
PV28
PV29
PV30
2,21
1,10
1,66
1,79
1,73
2,00
1,93
1,73
1,38
1,86
1,66
1,73
1,73
1,93
2,07
2,00
2,07
2,21
2,35
2,42
3,73
4,97
4,14
2,00
2,04
1,66
2,21
1,55
2,02
0,82
1,48
1,57
1,61
1,79
1,85
1,85
0,91
1,01
1,08
1,02
Erro
1,34
1,29
1,15
1,20
1,95
1,27
1,29
Erro
Erro
Erro
1,34
1,34
1,21
1,61
1,23
1,09
1,34
1,12
1,14
1,07
1,12
1,04
0,94
1,52
1,84
1,54
1,70
Erro
1,44
1,60
1,74
1,73
1,13
1,85
1,88
Erro
Erro
Erro
1,49
1,52
1,37
1,37
1,26
>8,02
1,16
3,07
2,89
> 4,24
4,55
> 6,81
> 6,67
> 3,74
3,97
3,56
3,13
2,01
> 5,24
4,12
> 3,04
3,95
4,26
5,03
6,07
8,87
> 7,94
9,12
5,41
6,35
5,80
5,87
> 5,13
7,81
0,82
3,33
2,69
4,80
4,97
7,25
7,61
3,31
3,56
3,83
3,32
Erro
5,24
2,00
2,86
3,56
3,99
4,70
4,99
Erro
Erro
Erro
5,07
5,26
4,68
5,41
4,66
1,03
1,41
0,92
1,07
0,88
0,92
0,94
0,88
1,13
1,12
0,93
0,94
Erro
1,00
2,06
1,06
1,11
1,07
1,07
1,22
Erro
Erro
Erro
1,07
1,21
1,24
1,09
1,10
0,67
0,65
0,53
0,55
0,54
0,51
0,47
0,90
0,82
0,78
0,72
0,82
0,69
0,67
0,68
0,63
0,52
0,84
0,79
0,74
1,78
2,03
1,53
1,55
1,37
1,02
0,66
2,00
1,20
1,00
0,75
1,98
1,78
1,40
1,24
1,16
0,85
0,89
0,94
0,59
1,27
1,53
1,16
1,15
0,86
0,79
0,56
1,96
1,45
1,54
1,22
1,70
1,28
1,42
1,53
1,42
1,03
1,49
1,48
1,15
0,60
0,57
0,49
0,50
0,51
0,49
0,41
0,80
0,77
0,75
0,70
0,69
0,61
0,61
0,62
0,60
0,51
0,79
0,76
0,73
2,12
2,68
2,37
2,30
1,69
1,61
1,37
2,45
1,88
2,05
1,74
2,46
2,10
2,33
2,47
2,37
2,02
1,89
1,95
1,58
1,42
3,16
3,04
3,41
2,45
2,66
2,96
3,02
2,94
2,75
2,67
2,35
1,79
0,61
0,75
0,70
0,66
0,85
0,76
0,71
0,76
0,77
0,82
0,80
2,95
6,66
8,19
6,91
4,81
9,89
10,26
10,84
9,37
8,58
6,34
6,22
1,39
5,89
8,12
6,63
3,97
7,68
10,19
9,79
8,12
7,88
6,29
6,31
2,12
1,13
1,01
1,04
1,21
1,29
1,01
1,11
1,15
1,09
1,01
0,99
2,25
2,29
2,37
2,50
2,41
2,45
2,39
2,36
2,41
2,47
-
2,27
5,37
7,65
11,31
3,96
6,13
4,35
5,06
7,15
9,14
2,76
5,72
8,26
10,40
3,98
6,87
4,81
5,78
8,16
9,72
0,82
0,94
0,93
1,09
0,99
0,89
0,90
0,88
0,88
0,94
BHIDE & COLLINS (1989)
PB11
PB12
PB4
PB6
PB7
PB8
PB10
PB15
PB16
PB14
PB17
PB18
PB19
PB20
PB28
PB21
PB22
PB29
PB30
PB31
1,19
1,32
0,81
0,85
0,74
0,52
0,31
1,80
0,98
0,78
0,54
1,62
1,23
0,94
0,84
0,73
0,44
0,75
0,74
0,44
VECCHIO et alli (1994)
PHS1
PHS2
PHS3
PHS4
PHS5
PHS6
PHS7
PHS8
PHS9
PHS10
PA1
PA2
2,54
1,94
2,28
2,39
1,62
2,25
2,25
2,15
2,22
2,13
2,19
1,88
PANG & HSU (1995)
A1
A2
A3
A4
B1
B2
B3
B4
B5
B6
-
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91
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
A Tabela 12 procura apresentar de maneira resumida os principais resultados obtidos. Conforme
pode-se observar, no que se refere a fissuração o quociente entre os resultados experimentais e
aqueles verificados numericamente foi de 1,58, com um desvio padrão de 0,827 e um coeficiente
de variação de 52,20%. Já para a ruptura, obteve-se um quociente entre a carga de ruína
experimental e a carga de ruptura numérica igual a 1,38, com um desvio padrão de 0,24 e
coeficiente de variação de 17,40%.
Tabela 12 – Resumo dos resultados numéricos comparados aos resultados experimentais de
COLLINS et alli (1985), BHIDE & COLLINS (1989), VECCHIO et alli (1994) e PANG & HSU (1995)
Ensaio
COLLINS et alli
(1985)
BHIDE & COLLINS
(1989)
VECCHIO et alli
(1994)
PANG & HSU
(1995)
Todos os ensaios
anteriores
fck(MPa)
Fissuração Experimental / Fissuração Numérica
Desvio Padrão
Coeficiente de
Média
(MPa)
Variação
Ruptura Experimental / Ruptura Numérica
Desvio Padrão
Coeficiente de
Média
(MPa)
Variação
11,60 a 34,50
1,41
0,287
0,203
1,10
0,240
0,218
16,40 a 43,40
1,29
0,458
0,356
2,07
0,357
0,173
43,00 a 72,20
0,83
0,308
0,371
1,18
0,311
0,264
41,20 a 45,20
-
-
-
0,93
0,073
0,079
11,60 a 72,20
1,58
0,827
0,522
1,38
0,240
0,174
Conforme pode-se observar pela Tabela 12, a fissuração foi melhor capturada para o ensaio de
COLLINS et alli (1985), que possui resistência à compressão do concreto variando entre 11,60 a
34,50 MPa. Para este caso, o quociente entre a carga de fissuração experimental e a carga de
fissuração teórica foi em média igual a 1,41, com um coeficiente de variação de 20,3%, o menor
entre todos os coeficientes. Esse fato revela que a previsão de fissuração deve ser melhor
formulada no STM, tendo-se em vista que a relação entre a carga de fissuração experimental foi em
média 41% superior àquela reproduzida numericamente.
Por outro lado, a carga de ruptura foi melhor capturada para os ensaios de PANG & HSU (1995),
com coeficiente de variação de 7,9%. Observa-se nesse caso um quociente médio entre a carga de
ruptura experimental e a carga de ruptura numérica igual a 0,93. Observa-se que o coeficiente de
variação obtido na ruptura para os ensaios de Vecchio et alli (1994) são os maiores entre todos os
outros testados. No entanto, esse valor chega a um valor máximo de 26,4% e ainda pode ser
considerado adequado.
Fazendo-se uma análise cuidadosa dos resultados, percebe-se que o modelo “Softened Truss
Model” não teve um desempenho adequado para os paineis ensaiados por BHIDE & COLLINS
(1989). Do ponto de vista experimental, os paineis ensaiados pelos referidos pesquisadores é
diferente dos paineis utilizados nos outros ensaios. Nos painéis de BHIDE & COLLINS (1989) não
há armadura nas duas direções, isto é, a armadura vertical não foi considerada. Eliminado-se esses
resultados e reconhecendo que o modelo tem limitações para estes casos pode-se obter uma nova
leitura para os resultados numéricos, conforme ilustra a Tabela 13.
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92
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Tabela 13 – Resumo dos resultados numéricos comparados aos resultados experimentais de
COLLINS et alli (1985), VECCHIO et alli (1994) e PANG & HSU (1995)
Ensaio
COLLINS et alli
(1985)
VECCHIO et alli
(1994)
PANG & HSU
(1995)
Todos os ensaios
anteriores
fck(MPa)
Fissuração Experimental / Fissuração Numérica
Desvio Padrão
Coeficiente de
Média
(MPa)
Variação
Ruptura Experimental / Ruptura Numérica
Desvio Padrão
Coeficiente de
Média
(MPa)
Variação
11,60 a 34,50
1,41
0,287
0,203
1,10
0,240
0,218
43,00 a 72,20
0,83
0,308
0,371
1,18
0,311
0,264
41,20 a 45,20
-
-
-
0,93
0,073
0,079
11,60 a 72,20
1,22
0,401
0,329
1,08
0,250
0,230
Conforme pode-se observar, eliminado-se os resultados de BHIDE & COLLINS (1989), o erro para
a carga de fissuração diminui de 58% para 22%. Para o caso da carga de ruína o erro cai de 38%
para 8%, demonstrando que o modelo tem bom desempenho para painéis armados nas duas
direções. Na realidade, por questões normativas, os paineis sempre serão armados nas duas
direções ortogonais, pelo menos com uma armadura mínima. Dessa maneira, pode-se supor que os
ensaios de BHIDE & COLLINS (1989) não representam uma situação usual na prática. Na
realidade, deve-se observar que as previsões baseadas no “Modified Compression Field”
conseguiram capturar inclusive a possibilidade de ausência de armadura em uma das direções. No
caso do “Softned Truss Model” essa limitação é visível através dos resultados apresentados.
De maneira a se investigar o efeito da resistência à compressão do concreto nos resultados
numéricos, procurou-se estudar os coeficientes de variação em função das faixas de resistência
para paineis armados nas duas direções. A Tabela 14 mostra que a fissuração dos painéis é melhor
capturada pelo programa MEDEA RC_STM na faixa de resistência à compressão do concreto
variando entre 40,00 e 50,00 MPa. Para essa faixa de resistência obtém-se um coeficiente médio
entre a carga de fissuração experimental e a téorica igual a 0,82, com um coeficiente de variação
de apenas 2,3%. Por outro, observa-se que as respostas numéricas não serão satisfatórias, do
ponto de vista de fissuração, para resistências superiores a 50 MPa, uma vez que o coeficiente de
variação é igual a 43,3%.
Tabela 14 – Resumo dos resultados numéricos comparados aos resultados experimentais para
diferentes faixas de variação da resistência à compressão do concreto
fck(MPa)
11,60 a 20,00
20,00 a 40,00
40,00 a 50,00
50,00 a 72,20
Número de
Painéis
11
13
13
9
Fissuração Experimental / Fissuração Numérica
Coeficiente de
Média
Desvio Padrão
Variação
1,60
0,252
0,158
1,25
0,216
0,173
0,82
0,023
0,028
0,84
0,361
0,433
Ruptura Experimental / Ruptura Numérica
Coeficiente de
Média
Desvio Padrão
Variação
1,09
0,095
0,087
1,11
0,321
0,288
0,96
0,119
0,124
1,21
0,349
0,289
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93
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
No que se refere a previsão numérica da ruína dos painéis ensaiados experimentalmente, a Tabela
14 revela que as melhores previsões serão para concretos com resistências entre 11,60 e 20 MPa,
cujos coeficiente de variação será igual a 8,7% para um quociente entre a carga experimental e a
carga numérica de 1,10. Observa-se que as piores previsões de ruína concentram-se na faixa entre
50 e 72 MPa, onde o coeficiente de variação chega a 28,9% para um quociente entre a carga
experimental e a carga numérica de 1,21.
Conforme pode-se observar, o programa MEDEA RC_STM possui uma boa performance e pode
ser utilizado como uma ferramenta versátil para a previsão do comportamento de elementos de
membrana armados nas duas direções ortogonais e confeccionados com concreto com resistência
à compressão até 50 MPa.
Tendo-se em vista a dificuldade em se obter os resultados experimentais de outros ensaios,
infelizmente só foi possível validar o programa com os resultados descritos anteriormente. De
qualquer forma, as simulações efetuadas com o programa MEDEA RC_STM são bastante
favoráveis e conforme pode-se observar estão a favor da segurança, isto é, de maneira geral o
programa fornece cargas de fissuração e colapso que são ligeiramente inferiores àquelas cargas
verificadas experimentalmente. Finalmente, deve-se observar que melhorias devem ser feitas ao
STM original proposto por HSU (1993), de maneira a capturar melhor as cargas de fissuração e a
possibilidade de ausência de uma das armaduras ortogonais.
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94
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
8. Análises Não-Lineares Utilizando ATENA 2D
8.1 Visão Geral do Programa
Atena é um programa computacional de elementos finitos voltado para aplicações acadêmicas e
profissionais em estruturas de concreto simples, concreto armado ou concreto protendido. O
software vem sendo desenvolvido pela Cervenka Consulting, empresa sediada na República
Tcheca e é sem duvida um dos programas mais avançados atualmente para a análise não-linear de
estruturas de concreto.
Existem duas versões do programa, uma versão para análises bidimensionais chamada ATENA2D
e uma versão mais recente utilizada para análises tridimensionais chamada ATENA3D. Através do
site da Cervenka Consulting (http://www.cervenka.cz) é possível fazer o download da versão demo
dos programas, que são limitados a introdução de apenas 100 elementos finitos. A Figura 58
apresenta uma aplicação gerada no programa ATENA2D. Deve-se observar que com recursos
obtidos junto à Fundação Araucária foi possível obter a licença completa da versão 4.2.2.0, a qual
será utilizada no presente trabalho.
Figura 58 – Interface gráfica típica do programa ATENA2D
Além de oferecer a versão demo aos usuários, a Cervenka Consulting disponibiliza uma outra
alternativa ainda mais interessante. Trata-se do acesso remoto (http://www.cervenka.cz/vtls) ao
ambiente VTLS (“Virtual Testing Laboratory Service”), apresentado em maiores detalhes na Figura
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95
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
59. Após o cadastro no site da empresa, pode-se acessar o ambiente VTLS e efetuar análises nãolineares de maneira gratuita nas versões integrais dos programas.
Figura 59 – Ambiente VLTS: possibilidade de análise gratuitas usando o programa ATENA
De acordo com CERVENKA et al (2005), existem diversos modelos constitutivos implementados no
programa ATENA, porém o modelo denominado SBETA pode reproduzir com grande fidelidade o
comportamento do concreto, devido às seguintes características:
•
Comportamento não-linear incluindo “hardening” e “softening”;
•
Fraturamento do concreto à tração baseando-se na Mecânica da Fratura Não-Linear;
•
Inclusão de um critério de ruína biaxial;
•
Redução da resistência à compressão após a fissuração;
•
Inclusão do efeito de “tension stiffening”;
•
Redução da rigidez ao cisalhamento após a fissuração (“variable shear retention”);
•
Disponibilidade de dois modelos de fissuração distribuída: “Fixed Crack Direction” e
“Rotated Crack Direction”.
Prof. Dr. Rafael Alves de Souza – http://www.gdace.uem.br
96
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Basicamente o modelo constitutivo SBETA para concreto envolve a determinação de 20
parâmetros, que podem ser definidos pelo usuário ou de maneira automática através da definição
da resistência à compressão de corpos-de-prova cúbicos (fcu), conforme ilustra a Figura 60. As
equações a seguir apresentam algumas relações automáticas que podem ser assumidas pelo
programa para a resistência à compressão, resistência à tração, módulo de elasticidade e
coeficiente de Poison.
f c = 0,85.f cu
(201)
f t = 0,24.fcu 3
(202)
E c = (6000 − 15,5.f cu ) f cu
(203)
ν = 0,2
(204)
2
Figura 60 – Tela de entrada do programa ATENA para definição das propriedades do concreto
Os parâmetros dos materiais também podem ser definidos levando-se em conta a influência dos
coeficientes de segurança, o que é particularmente importante nos casos de projeto. A maioria dos
códigos define que a carga última de projeto deve ser comparada com a carga última obtida de
análises não-lineares considerando os materiais com resistência característica. Porém, alguns
pesquisadores acreditam que uma análise mais realista consiste em considerar propriedades
médias dos materiais para a análise não-linear.
Na sequência do presente trabalho, serão apresentadas apenas as principais características do
modelo SBETA, implementado no programa ATENA, tendo em vista que esse é o modelo escolhido
para as análises a serem efetuadas no presente trabalho utilizando um software comercial. Para
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97
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
maiores informações sobre os outros modelos implementados no programa ATENA, recomenda-se
a leitura de CERVENKA et al. (2005).
8.1.1 Modelo Constitutivo SBETA para Concreto
A relação tensão-deformação apresentada na Figura 61 (a) é empregada para descrever o
comportamento do concreto sob carregamento monotônico, tanto em compressão quanto em
tração. No diagrama da Figura 61 (a), o ramo ascendente do diagrama em tração é linear, enquanto
o ramo ascendente do diagrama em compressão é a parábola do segundo grau proposta pelo CEBFIP Model Code 1990 (1993). A tensão limite (“peak stress”) do diagrama é determinada através de
um diagrama biaxial de ruína, conforme ilustra a Figura 61 (b), obtido através dos ensaios
experimentais de KUPFER et al (1969).
(a)
(b)
Figura 61 – (a) Diagrama tensão-deformação empregado para concreto no programa ATENA e (b)
critério de ruína bidimensional para determinação das tensões de pico
O comportamento pós-pico do concreto é determinado recorrendo-se a recursos de Mecânica da
Fratura, principalmente através dos conceitos propostos por BAZANT & OH (1983). Para o caso de
pós-pico em tração, o programa disponibiliza o Modelo de Fissura Fictícia (“Fictitious Crack Model”),
que se baseia na abertura de fissura em banda (“crack band width”) e na energia de fraturamento.
De acordo com CERVENKA et al (2005) o pacote SBETA possui cinco tipos de abrandamento à
tração/abertura de fissura implementados: abrandamento exponencial (“exponential crack opening
law”), abrandamento linear (“linear crack opening law”), abrandamento linear baseado em
deformações (“linear softening based on local strain”), SFRC com energia de fraturamento (“steel
fiber reinforced concrete based on fracture energia”) e SFRC baseado em deformações (“steel fiber
reinforcement based on strain”). A Figura 62 (a) apresenta o caso de abrandamento linear
implementado no programa ATENA.
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98
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
(a)
(b)
Figura 62 – (a) Lei de abrandamento linear na tração disponível no programa ATENA e (b)
comprimentos de banda à tração e compressão
Os modelos de abrandamento à tração são baseados em dois parâmetros principais, tratados no
programa como propriedades do material: energia de fraturamento (Gf) e abertura de fissura (w). A
abertura crítica de fissura (wc) é normalmente calculada através de expressões envolvendo a
energia de fraturamento e a resistência à tração, conforme ilustra a Figura 62 (a). A energia de
fraturamento, apesar de poder ser definida pelo usuário, também pode ser calculada
automaticamente pelo próprio programa, conforme a Equação (205).
G F = 0,000025.f t (MN/m)
(205)
A abertura de fissura (w) é calculada através da introdução do comprimento de banda de fissura
(“crack band length”), que tem por objetivo eliminar duas deficiências que podem ocorrer quando da
utilização do modelo com o Método dos Elementos Finitos: efeito de escala (“size effect”) e
dependência de orientação do elemento (“element orientation effect”). O comprimento de banda à
tração (Lt) é a projeção do elemento utilizado na malha de elementos finitos, conforme ilustra a
Figura 62 (b), e serve para reduzir a dependência relacionada com o tamanho do elemento adotado
(“element size effect”). Através desse parâmetro é possível calcular a abertura de fissura dos
elementos da malha de elementos finitos, conforme ilustra a Equação (206).
w = ε cr .γ .L t
(206)
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99
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Deve-se notar que εcr é a deformação devido à abertura de fissura (“crack opening strain”), isto é, a
deformação normal à direção da fissura após a liberação do estado de tensão necessário para abrir
totalmente a fissura. Após a ocorrência desse estado de tensão (“complete stress release”) a fissura
continua se abrindo, porém sem a ocorrência de tensão. Para explicar melhor esse conceito,
tomemos como referência a Figura 63.
Figura 63 – Etapa característica na formação das fissuras
Pela Figura 63 pode-se observar que o processo de fissuração do concreto solicitado à tração pode
ser dividido em três etapas distintas. A primeira etapa do processo, denominada de estágio nãofissurado (“uncracked stage”), predomina até que a máxima tensão de tração do concreto seja
alcançada, iniciando a fissuração. A partir desse momento, tem-se a zona de processo (“process
zone”), com o desenvolvimento da fissura acompanhada de um decréscimo das tensões de tração.
Finalmente, após uma liberação completa das tensões de tração, a fissura continua se abrindo,
porém sem o acompanhamento de tensões de tração (zona fissurada, “cracked zone”).
Deve-se observar que, de maneira a se reduzir o efeito de orientação do elemento adotado
(“element direction effect”) e também possibilitar a utilização de malhas irregulares (“skew
meshes”), foi introduzido na Equação (207) o parâmetro γ, definido a seguir:
γ = 1 + (γ max − 1)
θ
45
(207)
Na Equação (207), γmax é normalmente tomado como sendo igual a 1,5 enquanto que o ângulo θ é
o ângulo mínimo obtido entre os ângulos θ1 e θ2 apresentados na Figura 62 (b). Deve-se observar
que a Equação (207) é basicamente uma interpolação linear entre o fator γ = 1 (para a direção
paralela aos lados do elemento) e γ = γmax (para direções inclinadas em 45o).
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100
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Para o abrandamento à compressão (“strain softening in compression”) o programa utiliza uma reta
linearmente descendente, que pode ser obtida de um modelo baseado em dissipação de energia ou
em um modelo baseado em deformações. De acordo com CERVENKA et al. (2005), o modelo
baseado em dissipação de energia é o “Fictitious Compressive Plane Model”, cuja hipótese principal
é o fato de que a ruína por compressão está localizada em um plano normal à direção das tensões
principais de compressão.
O modelo baseado em dissipação de energia possui as mesmas características do Modelo de
Fissura Fictícia utilizado no caso de tração, ou seja, as leis de abertura de fissura e a energia de
fraturamento são definidas e tratadas como propriedades do material, obtendo-se assim uma
resposta pouco dependente da malha adotada. Conforme comentado anteriormente, esse modelo
encontra sua fundamentação teórica no trabalho de BAZANT & OH (1983).
No caso de compressão, o ponto final da reta de abrandamento é definido através de um parâmetro
conhecido como deslocamento plástico (“plastic displacement, wd), conforme ilustra a Figura 64. De
acordo com CERVENKA et al (1995), o deslocamento plástico é tomado como sendo 0,5 mm para
concreto normal, de maneira que a energia necessária para gerar uma área unitária no plano de
ruína é calculada indiretamente. Esse valor proposto para odeslocamento plástico encontra
justificativa nos trabalhos experimentais conduzidos por Van MIER (1986).
Figura 64 – Comportamento pós-pico para concreto em compressão implementado no programa
ATENA
Dessa maneira, a deformação limite (εd) no diagrama tensão-deformação após o abrandamento do
concreto à compressão é calculada através da Equação (208), que relaciona a deformação de pico
do concreto à compressão (εc), o deslocamento plástico (wd) e o comprimento de banda à
compressão (Lc)
εd = εc +
wd
γ .Lc
(208)
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101
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
8.1.2 Modelos de Fissuração Distribuída
De acordo com CERVENKA et al (2005), dois modelos de fissuração distribuída estão
implementados no programa ATENA: Modelo de Fissuração Fixa (“Fixed Crack Model”) e Modelo
de Fissuração Variável (“Rotated Crack Model”). Nos dois modelos, admite-se que as fissuras são
uniformemente distribuídas no material, através da introdução de ortotropia na relação constitutiva
do material. Adicionalmente, assume-se que as fissuras são formadas quando a tensão principal
em algum ponto ultrapassa o limite de resistência à tração do concreto.
Nos modelos de fissuração distribuída, encontra-se implementada uma rotina para reduzir a
resistência à compressão do concreto após a fissuração na direção paralela à direção das fissuras,
de maneira semelhante àquela proposta por VECCHIO & COLLINS (1986). Adicionalmente, o efeito
de contribuição à tração do concreto entre fissuras (“tension stiffening”) pode ser utilizado, sendo
que a rigidez é disponibilizada para concreto não-fissurado ou fissuras não totalmente abertas
através de um processo de localização de deformações.
No Modelo de Fissuração Fixa (“Fixed Crack Model”) a direção da fissura é dada pela direção da
tensão principal no momento da iniciação da fissura, sendo que para carregamentos posteriores
essa direção é fixa e representa o eixo de ortotropia do material. De acordo com CERVENKA et al.
(2005), as direções principais de tensão e de deformação são coincidentes apenas para o caso de
concreto não-fissurado, devido a hipótese de isotropia. Após a fissuração a hipótese de ortotropia é
assumida, de maneira que o eixo m1 é normal à direção de fissuração e o eixo m2 é paralelo à
direção das fissuras, conforme ilustra a Figura 65.
Figura 65 – Modelo de Fissuração Fixa (“Fixed Crack Model”)
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102
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
No caso geral, os eixos principais de deformação ε1 e ε2 podem rotacionar e não precisam coincidir
com os eixos de ortotropia m1 e m2, Dessa maneira, tensões de cisalhamento serão geradas nas
faces do elemento, conforme ilustra a Error! Reference source not found. 65. As tensões σc1 e
σc2 denotam as tensões normal e paralela ao plano da fissura e, devido a tensão de cisalhamento,
elas não se constituem em tensões principais. Após a fissuração, o modulo de elasticidade
transversal é reduzido de acordo com a proposta de KOLMAR (1986).
No Modelo de Fissuração Variável (“Rotated Crack Model”), mesmo após a fissuração, as direções
das tensões principais continuam coincidindo com as direções das deformações principais e, dessa
maneira, não ocorre cisalhamento no plano da fissura. Se os eixos das deformações principais
rotacionarem durante o carregamento, as direções das fissuras também irão rotacionar. Esse
modelo é baseado nos trabalhos de VECCHIO & COLLINS (1986) e CRISFIELD & WILLS (1989),
sendo que apenas duas tensões normais precisam ser definidas, conforme ilustra a Figura 66.
Figura 66 – Modelo de Fissuração Variável (“Rotated Crack Model”)
De acordo FEENSTRA & BORST (1993), ROTS et al. (1985) e ROTS & BLAAUWENDRAAD (1989)
o “Rotated Crack Model” tende a apresentar cargas de ruína inferiores àquelas obtidas utilizando
com o “Fixed Crack Model”. Além disso, o “Rotated Crack Model” tende a apresentar uma melhor
estabilidade.
8.1.3 Modelagem das Armaduras
De acordo com CERVENKA et al (2005), as armaduras no programa ATENA podem ser modeladas
de duas diferentes maneiras no programa ATENA: armadura discreta (“discrete reinforcement”) e
armadura distribuída (“smeared reinforcement”). A armadura distribuída é normalmente tratada
como uma malha embutida no elemento adotado para o concreto, enquanto a armadura discreta
são elementos simples ou múltiplos. Em ambos os casos, um estado uniaxial de tensão é assumido
e a mesma relação tensão-deformação é aplicada para todos os tipos de armadura.
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
No programa ATENA estão disponíveis as seguintes leis constitutivas para a modelagem das
armaduras: Modelo Linear (“Linear Law”), Modelo Elasto-Plástico Perfeito (“Bilinear Law”), Modelo
Multilinear (“Multilinear Law”) e Modelo cíclico (“Ciclic Reinforcement Model”). Adicionalmente é
possível modelar a aderência das armaduras com o concreto através do modelo especificado pelo
CEB-FIP Model Code 1990 (1993). A Figura 67 apresenta as leis constitutivas do Modelo ElastoPlástico Perfeito e do Modelo Multilinear.
a)
b)
Figura 67 – (a) Modelo elasto-plástico perfeito e (b) Modelo multilinear empregados para
modelagem das armaduras
8.2 Simulação Computacional de Elementos de Membrana
8.2.1 Descrição das Principais Dificuldades
O acesso aos resultados experimentais obtidos para painéis de concreto submetidos a esforços de
membrana não é uma atividade fácil. Dessa maneira, tendo-se em vista que o trabalho de XIE
(2009) apresenta a descrição do ensaio experimental de 6 painéis de concreto armado de maneira
bastante completa, o mesmo será utilizado como base para a realização de simulações
computacionais utilizando programa ATENA. Além disso, XIE (2009) realizou simulações utilizando
os programas MEMBRANE 2000 e Vector2, de maneira que há boa base para comparação dos
resultados.
Uma questão pouco discutida na literatura específica sobre a simulação computacional dos
referidos painéis concentra-se nas condições de contorno a serem adotadas nas simulações
numéricas. Tanto nos ensaios clássicos realizados na Universidade de Toronto quanto nos ensaios
realizados na Universidade de Houston, os painéis são colocados com um ângulo de 45o em
relação ao dispositivo de ensaio. Tal dispositivo, denominado "Membrane Tester", foi especialmente
desenvolvido por Vecchio & Collins (1979) e pode combinar a aplicação de forças normais de
compressão e de tração nas faces dos painéis. Dessa maneira, tendo-se em vista o posicionamento
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
inclinado do elemento no interior do dispositivo, pode-se gerar indiretamente forças cortantes nas
faces dos painéis.
Na realidade, deve ser entendido que os ensaios de painéis procuram simular apenas uma região
de uma peça de concreto armado, como por exemplo, a alma de vigas submetidas a forças normais
e cortantes. Dessa maneira, fazendo-se um paralelo com a análise numérica, um painel de concreto
sujeito a esforços de membrana e ensaiado experimentalmente representa na realidade um único
elemento, isto é, a malha de elementos finitos para simular esse painel deverá ser constituída por
um único elemento finito.
As condições de apoio e de aplicação dos carregamentos deve ser feita de maneira que seja
gerado um estado de tensão uniforme no interior do elemento finito, tal como ocorre no ensaio
experimental. A Figura 68 (a) ilustra a maneira como o ensaio experimental é realizado, enquanto a
Figura 68 (b) ilustra como a simulação computacional pode ser conduzida.
(a)
(b)
Figura 68 - (a) Ensaio experimental de elementos de membrana e (b) malha de elementos finitos no
ensaio computacional de elementos de membrana
Conforme pode-se observar, o carregamento aplicado nas faces do elemento no caso experimental
pode ser substituído por carregamentos aplicados pontualmente nos nós do elemento finito
utilizado. Adicionalmente, a utilização de apoios simples permite que o estado de deformação do
elemento finito seja idêntica àquela obtida no ensaio experimental. A situação de carregamento
ilustrada na Figura 68 (b), por exemplo, apresenta as reações indicada na Figura 69 (a), de maneira
que no ensaio experimental o elemento estará submetido ao estado de carregamento da Figura 69
(b).
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a)
b)
Figura 69 - (a) Elemento finito com forças aplicadas nos nós e (b) correspondência com o ensaio
experimental de placas sujeitas a esforços de membrana
8.2.2 Descrição dos Resultados Experimentais
A Tabela 15 apresenta os principais resultados obtidos para o ensaio experimental, observando que
as propriedades dos materiais já foram descritas na Tabela 7, do item 6.3 do presente trabalho.
Tabela 15 - Resumo dos resultados experimentais obtidos por XIE (2009)
PL4
PL1
PL2
PL5
PL3
PL6
fx/v
-2,8
-2,0
-1,0
0
1,0
3,0
vcr (MPa)
3,41
3,84
2,36
1,747
1,186
0,754
fxcr(MPa)
-9,48
-7,69
-2,38
0
1,18
2,35
vu (MPa)
4,81
4,31
3,21
3,21
3,04
2,47
fxu(MPa)
-13,24
-8,66
-3,22
0
3,05
7,36
Conforme pode-se observar pela Tabela 15, o painel PL4 apresentou uma relação entre as forças
axiais na direção horizontal e a força cortante numa taxa igual a -2,8. De acordo com XIE (2009),
essa era a máxima taxa que poderia ser aplicada pelo equipamento de ensaio, tendo-se em vista a
qualidade do concreto e a quantidade de armaduras utilizadas. A primeira fissura foi registrada para
uma carga de 3,41 MPa, conforme ilustra a Figura 70 (a), e foi quase paralela à direção de
aplicação da força axial de compressão, com uma abertura em torno de 0,5 mm. Quase ao mesmo
tempo surgiu uma outra fissura paralela à primeira fissura, porém com uma abertura mais reduzida,
em torno de 0,05 mm. Conforme o carregamento foi sendo aumentado não registrou-se o
aparecimento de novas fissuras e a maioria das deformações se concentraram na abertura da
primeira fissura. O painel rompeu para a carga de 4,81 MPa devido à ruptura da armadura
transversal e devido ao escorregamento na fissura, conforme ilustra a Figura 70 (b).
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(a)
(b)
Figura 70 - (a) Fissuração inicial e (b) ruptura do painel PL4 ensaiado por XIE (2009)
No painel PL1 a relação entre as forças axiais e as forças cortantes foi -2,0 sendo que as primeiras
fissuras se deram para uma tensão de cisalhamento de 3,84 MPa, conforme ilsutra a Figura 71 (b).
As múltiplas fissuras apareceram simultâneamente para um ângulo de inclinação entre 20 e 30o e
possuiam abertura em torno de 0,7 mm. Conforme as forças foram sendo aumentadas, mais
fissuras paralelas foram se desenvolvendo, sempre de maneira distribuída pelo painel. Para a
tensão de cisalhamento de 4,31 MPa o painel finalmente chegou a ruina, tendo-se em vista a
ruptura da armadura transversal e o deslizamento das partes ao longo da fissura crítica, que ao final
do processo teve cerca de 1,7 mm de abertura. A Figura 71 (b) ilustra a ruína do painel PL1
(a)
(b)
Figura 71 - (a) Fissuração inicial e (b) ruptura do painel PL1 ensaiado por XIE (2009)
No painel PL2 a relação entre as forças axiais e as forças cortantes foi -1,0. As primeiras fissuras
foram verificadas para uma tensão de cisalhamento de 2,07 MPa, com abertura em torno de 0,1
mm e inclinação de aproximadamente 50o. Acredita-se que essa fissura tenha sido provocada por
momentos acidentais ao invés dos carregamentos intencionais de membrana. Conforme as tensões
foram sendo aumentadas, uma nova fissura com inclinação de 30o e abertura de 0,1 mm
apareceu.para uma tensão de cisalhamento em torno de 2,96 MPa, conforme ilsutra a Figura 72 (a).
Conforme o carregamento foi sendo aumentado, novas fissuras paralelas a esta última foram sendo
desenvolvidas. A maior fissura foi registrada para a carga de 2,67 MPa no centro do painel e
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
amesma continuou a se abrir até que foi registrada a ruína do painel. O painel PL2 chegou a
ruptura para a tensão de cisalhamento de 3,21 MPa, devido à ruptura da armadura transversal. A
abertura de fissura antes da ruína foi superior a 1,4 mm e a inclinação em torno de 30o. A
fissuração no momento da ruína é ilustrada na Figura 72 (b).
(a)
(b)
Figura 72 - (a) Fissuração inicial e (b) ruptura do painel PL2 ensaiado por XIE (2009)
O painel PL5 foi submetido a cisalhamento puro e a primeira fissura foi registrada para a tensão
cisalhante de 1,747 MPa, numa inclinação de 35o e abertura em torno de 0,4 mm. Com o aumento
do carregamento, novas fissuras se desenvolveram, porém com um ângulo em torno de 45o,
conforme ilustra a Figura 73 (a). Essas fissuras eram paralelas e acompanhadas de fissuras
secundárias. No final do ensaio as fissuras se uniram de maneira a formar a fissura de ruína ao
cisalhamento, para uma tensão em torno de 3,21 MPa e inclinação de 40o. A ruína, ilustrada na
Figura 73 (b), mais uma vez foi devido à ruptura da armadura transversal, com uma abertua
máxima de fissura em torno de 1,05 mm antes da ruína.
(a)
(b)
Figura 73 - (a) Fissuração inicial e (b) ruptura do painel PL5 ensaiado por XIE (2009)
No painel PL3 a relação entre as forças axiais e as forças cortantes foi 1,0 e o painel estava préfissurado antes do ensaio, possivelmente devido à fissuras de retração e momentos acidentais
ocorridos durante a instalação. A abertura dessas fissura era de aproximadamente 0,15 mm, para
uma inclinação em torno de 45o, conforme ilsutra a Figura 74 (a). Conforme as cargas foram sendo
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
aplicadas, mais fissuras foram sendo desenvolvidas, sempre para ângulos maiores ou iguais a 45o.
Finalmente, as fissuras se uniram de maneira a formar uma fissura maior que originou a ruína do
painel por cisalhamento. A ruína foi registrada para a tensão de cisalhamento de 3,04 MPa, para
uma inclinação de 45o e abertura de 1,1 mm anteriormente à ruptura, conforme ilustra a Figura 74
(b).
(a)
(b)
Figura 74 - (a) Fissuração inicial e (b) ruptura do painel PL3 ensaiado por XIE (2009)
No painel PL6 a relação entre as forças axiais e as forças cortantes foi 3,0. As primeiras fissuras
foram verificadas nos primeiros estágios de carregamento e eram praticamente perpendiculares à
direção de aplicação das forças axiais. Conforme o carregamento foi sendo aumentado, Figura 75
(a), a inclinação das fissuras, que era de 45o, começou a diminuir. Finalmente, para a tensão
cisalhante de 2,47 MPa foi registrada a ruína do painel, Figura 75 (b), devido à ruptura da armadura
transversal. A abertura de fissura previamente à ruína foi superior a 1,0 mm e a inclinação da
fissura principal foi de 45o. Finalmente, a armadura longitudinal estava severamente solicitada no
momento da ruptura.
(a)
(b)
Figura 75 - (a) Fissuração inicial e (b) ruptura do painel PL6 ensaiado por XIE (2009)
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
8.2.3 Descrição das Simulações Computacionais
Uma vez entendido o processo de definição das condições de contorno e dos mecanismos
envolvidos na fissuração e ruína experimental dos painéis, partiu-se para a construção dos modelos
numéricos no programa ATENA 2D. De maneira a se obter alguma orientação quanto a maneira de
simular tais painéis utilizando ferramentas comerciais, procurou-se previamente se aprofundar nas
simulações conduzidas por XIE (2009) e LEE (2009).
De acordo com LEE (2009), na análise numérica de estruturas de concreto é frequentemente difícil
a obtenção do ponto exato de ruína, especialmente se o elemento estrutural apresentar um modo
de colapso dúctil. Essa ambiguidade tem a origem em duas razões prinicipais. Primeiramente, a
magnitude do carregamento máximo é dependente do método de solução numérico adotado. Por
exemplo, em algumas situações em que o Método de Newton-Raphson falha para encontrar a
solução, o Método do Comprimento de Arco pode se apresentar eficaz. Em segundo lugar, no modo
de colapso dúctil o critério de convergência não é normalmente encontrado nos últimos passos de
carga aplicados. Isso ocorre quando uma ruptura localizada ocorre e as tensões que não podem
ser absorvidas por essa parte são redistribuídas para regiões menos deterioradas.
Ainda de acordo com LEE (2009), o primeiro problema pode ser resolvido tomando-se o máximo
nivel de carregamento calculado por qualquer método de solução numérica como sendo a carga de
ruína. Por exemplo, se o Método de Controle de Arco fornece uma carga máxima superior ao
mesmo tempo em que o Método de Newton-Raphson não consegue encontrar uma solução,
assume-se que a maior carga fornecida pelo Método do Comprimento de Arco seja a carga de
ruína.
A segunda questão é um pouco mais complicada, uma vez que envolve questões subjetivas na
seleção da carga de ruína. No entanto, esse tipo de problema é mais pronunciado na análise de
sistemas estruturais no qual a ruína local não está diretamente relacionada com a ruína do sistema.
Uma vez que os painéis pertencem a um determinado domínio ao invés de um sistema estrutural,
esse não é um problema tão grave. Dessa maneira, a carga de ruína pode ser selecionada como o
estágio de carregamento onde não se observa uma mudança significativa nos fatores de
convergência.
XIE (2009) ensaiou numericamente os paineis ora aqui investigados utilizando os softwares
Membrane 2000 e Vector2. O pesquisador revela que para os painéis submetidos à compressão, o
programa Vector 2 fornece previsões superiores àquelas obtidas com o programa Membrane 2000.
No programa Membrane 2000, quando um painel está solicitado por tensões de cisalhamento
superiores a 3,0 MPa, a carga máxima prevista pós-fissuração é menor do que a carga que
propiciou as primeiras fissuras, tal como ocorre no ensaio experimental com deformações
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
controladas. No caso do programa Vector2, a resistência pós-fissuração não pode ser obtida
quando a mesma é inferior a carga que provocou as primeiras fissuras, uma vez que a simulação é
feita com carregamento controlado.
No caso do programa ATENA2D, a ser utilizado na sequência, a aplicação dos carregamentos é
feita através de carregamento controlado, de maneira que não será possível obter cargas de
ruptura inferiores às cargas que propiciaram a fissuração. Dessa maneira, para fins de comparação
com os resultados obtidos experimentalmente e numericamente por XIE (2009), será considerado
que a carga de fissuração dos painéis é a carga máxima que pode ser assumido para os mesmos.
A Figura 76 ilustra a malha de elementos finitos, isto é, o elemento único utilizado para modelar os
painéis.
Figura 76 - Elemento finito utilizado no programa ATENA2D para simular os painéis
Conforme pode-se observar pela Figura 76, o elemento finito possui quatro nós, sendo que os
mesmos são utilizados para se definir os carregamentos e as reações de apoio. Observa-se que foi
adotado um apoio de segundo gênero para o nó 1 e um apoio de primeiro gênero para o nó 2. A
Tabela 16 apresenta as coordenadas nodais e suas respectivas restrições, enquanto a Tabela 17
apresenta os carregamentos nodais aplicados para cada situação ensaiada experimentalmente. A
Tabela 18, por sua vez, apresenta as definições utilizadas na definição do modelo constitutivo.
Tabela 16 - Coordenadas nodais definidas no programa ATENA2D
Nó
X (m)
Y (m)
Vinculação
1
0,00
0,00
Restrição em X e Y
2
0,89
0,00
Restrição em Y
3
0,89
0,89
Livre
4
0,00
0,89
Livre
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Tabela 17 - Carregamentos nodais definidos no ATENA2D
Nó 2
Nó 3
Nó 4
PL4
PL1
PL2
PL5
PL3
PL6
Fx
(kN)
-1,9
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
1,0
Fy
(kN)
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
Fx
(kN)
-0,9
-0,5
0,0
0,5
1,0
2,0
Fy
(kN)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Fx
(kN)
1,9
1,5
1,0
0,5
0,0
-1,0
Fy
(kN)
-0,5
-0,5
-0,5
-0,5
-0,5
-0,5
Tabela 18 - Definição do modelo constitutivo do programa ATENA2D
Regime
Compressão
Comportamento
Modelo
Pre-Peak Response
CEB-FIP 90
Post-Peak Response
Crush Band (van Mier)
Critical Compressive Displacement
0,0005 mm
Tensile Strenght
ft = 0,24.(fc/0,85)2/3
Tension Stiffening
Não considerado
Tension Softening
Exponencial
Fracture Energy
Gf = 0,000025.ft
Biaxial
Tension-Compression Interaction
Linear
Fissuração
Crack Model
Rotating Crack Model
Tração
8.2.4 Resultados Obtidos
Após a definição das propriedades dos materiais, das condições de contorno, dos estados de
carregamento e da malha de elementos finitos, partiu-se para a simulação computacional dos
painéis ensaiados por XIE (2009). A Tabela 19 procura apresentar a comparação dos resultados
obtidos por XIE (2009), bem como através de simulações utilizando os programas ATENA e
MEDEA RC.
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112
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Tabela 19 - Resultados de fissuração e ruína para os painéis ensaiados por XIE (2009)
PL4
Experimental
Membrane
Vector2
ATENA
vfissuração
3,41
5,40
6,28
4,51
fx,fissuração
-9,48
-15,08
-17,58
-11,43
vúltimo
4,81
4,82
6,28
4,51
fx,último
-13,24
-13,59
-17,58
-11,43
PL1
Experimental
Membrane
Vector2
ATENA
vfissuração
3,84
4,29
4,61
3,72
fx,fissuração
-7,69
-8,55
-9,22
-6,66
vúltimo
4,81
3,76
4,61
3,72
fx,último
-8,66
-7,56
-9,22
-6,66
PL2
Experimental
Membrane
Vector2
ATENA
vfissuração
2,36
3,09
3,19
2,81
fx,fissuração
-2,38
-3,12
-3,19
-2,51
vúltimo
3,21
3,09
3,19
2,81
fx,último
-3,22
-3,12
-3,19
-2,51
PL5
Experimental
Membrane
Vector2
ATENA
vfissuração
1,747
2,71
2,64
fx,fissuração
0
0,00
0,00
vúltimo
3,21
2,71
2,64
1,94
fx,último
0
0,00
0,00
0,00
PL3
Experimental
Membrane
Vector2
ATENA
vfissuração
1,186
2,63
2,42
1,34
fx,fissuração
1,180
2,61
2,40
1,21
vúltimo
3,04
2,63
2,42
1,34
fx,último
3,05
2,61
2,40
1,21
PL6
Experimental
Membrane
Vector2
ATENA
vfissuração
0,754
2,05
2,04
fx,fissuração
2,35
6,16
6,18
vúltimo
2,47
2,05
2,04
1,90
fx,último
7,36
6,18
6,18
7,04
* Unidades em MPa.
Conforme pode-se observar pela Tabela 19, os programas Vector2 e ATENA não conseguem obter
uma carga de ruína inferior à carga que propiciou a fissuração, uma vez que o carregamento é
controlado. Nesse caso, assume-se que a carga que provocou fissuração é a carga de ruína para
os casos em que não pode ser obtida uma carga superior àquela que provocou a fissuração.
Observa-se que é dificil tomar os resultados após a fissuração, uma vez que o painel deixa de
apresentar tensões uniformes e diferentes valores aparecem nos nós do elemento de malha
adotado.
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113
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Observa-se que o estado de tensão aplicado nos painéis é uniforme até a ocorrência da fissuração.
Após isso, observa-se uma modificação significativa nos níveis de tensão internos ao elemento de
malha. A Figura 77 procura apresentar o estado de tensão de cisalhamento para o Painel PL4, para
passos de carga antes e após a ocorrência da fissuração. Conforme pode-se observar, a fissuração
gera um estado de tensão não-uniforme no elemento finito.
Figura 77 - Tensão de cisalhamento no painel PL4 (a) antes da fissuração e (b) após a fissuração
Para algumas situações foi possível obter a aplicação de carregamentos superiores àqueles que
provocaram a fissuração. No entanto, a interpretação dos resultados é dificultada tendo-se em vista
a grande variação dos valores de tensão nos nós do elemento de malha, conforme ilustra a Figura
77 (b). Essa situação ilustra o quanto é difícil a interpretação de resultados provenientes de
análises numéricas, especialmente no caso de paineis submetidos a esforços membranais.
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114
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
9. Conclusões
A abordagem manual, no que se refere à análise e o dimensionamento de elementos de membrana
em concreto armado, constitui-se em um trabalho de grande dificuldade. Porém, com a utilização de
recursos computacionais o problema pode ser abordado de uma maneira mais eficaz, fornecendo
assim agilidade para o cálculo de estruturas complexas.
O presente trabalho procurou apresentar teorias clássicas, bem como, teorias mais refinadas que
levam em consideração a não-linearidade física do concreto armado. Para tanto, procurou-se
apresentar a fundamentação teórica do modelo conhecido como Modified Compression Field, que
vem recebendo grande aceitação nas últimas décadas.
Apesar do Modified Compression Field ser um método bastante eficaz para a análise de elementos
de membrana, o mesmo parece não apresentar a mesma eficácia no que se refere ao
dimensionamento, que é a atividade principal do calculista de estruturas complexas. Dessa
maneira, através de formulações clássicas, procurou-se desenvolver o programa MEDEA RC, que
se constitui em uma ferramenta de excelente eficácia. Assim, caso se queira obter o real
comportamento de um elemento de membrana, pode-se dimensionar o mesmo com o auxílio do
programa MEDEA RC e em seguida verificar o desempenho com o programa MEDEA RC_MCFT.
No presente trabalho foi ainda descrito e implementado numericamente o modelo "Softned Truss
Model", como alternativa ao "Modified Compression Field". Apesar do modelo apresentar bom
desempenho, conforme foi observado através do programa MEDEA RC_STM, alguns problemas
devem ser revistos na formulação original. Observa-se que o procedimento numérico proposto por
HSU (1993) não é capaz de simular adequadamente paineis que não apresentem armaduras em
uma das direções.
Conforme se observou ao longo do presente trabalho, a simulação de elementos de membrana em
concreto armado não é tarefa trivial e ainda carece de muitas pesquisas para que se chegue a um
modelo consensual. Simulações adicionais utilizando o programa ATENA, considerado um software
de ponta em análises não-lineares, confirmam a dificuldade em se modelar tais elementos e a
dificuldade de se obter resultados ajustados com a realidade física do problema.
Finalmente, além do desenvolvimente de várias ferramentas computacionais, o presente trabalho
ainda apresentou diversas alternativas para superar o problema de análise e dimensionamento de
elementos de membrana. Dessa maneira, acredita-se que presente trabalho possa contribuir para a
superação das dificuldades de análise e dimensionamento desses elementos, constituindo
preliminarmente como um documento importante para futuras revisões da NBR6118.
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115
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
10. Referências Bibliográficas
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119
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Anexo A – Código Fonte do programa Performance of Reinforced Concrete
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Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
package afs;
import javax.swing.JComponent;
/**
* Titel: Berekening gewapend betonnen panelen via het internet (MCFT
deel)
* Bedrijf: TUDelft
* @auteur W. Voskamp
* @versie 1.0
* In deze class file is gebruik gemaakt van de broncode van het Pascal
programma MCFT van auteur P.C.J. Hoogenboom
* Aangepast op 17 februari 2003 door P.C.J. Hoogenboom
* Aangepast op 1 april 2003 door P.C.J. Hoogenboom
*/
//HOOGENBOOM SCHEURCONTROLE
public class MCFT extends JComponent {
// invoer
public double
ex,
// rek epsilonxx
ey,
// rek epsilonyy
g,
// afschuifrek gammaxy
rx,
// wapeningspercentage in de x-richting mm2/mm2
ry,
// wapeningspercentage in de y-richting mm2/mm2
Ec,
// elasticiteitsmodulus beton, MPa
fc,
// betondruksterkte, MPa (negatief getal)
ft,
// betontreksterkte, MPa
Es,
// elasticiteitsmodulus van wapeningsstaal, MPa
fyx,
// vloeispanning van de wapening in de x-richting, MPa
fyy,
// vloeispanning van de wapening in de y-richting, MPa
dx,
// diameter van wapening in de x-richting, mm
dy,
// diameter van wapening in de y-richting, mm
h,
// paneelhoogte en -breedte, mm
agg;
// grootste diameter van het grind in het beton
(toeslagmateriaal), mm.
// uitvoer
public double
e1,
// grootste hoofdrek
e2,
// kleinste hoofdrek
theta, // scheurhoek, rad
smt1, // scheurafstand in de eerste hoofdrichting, mm
smt2, // scheurafstand in de tweede hoofdrichting, mm
w1,
// scheurwijdte van de scheur loodrecht op de eerste
hoofdrichting, mm
w2,
// scheurwijdte van de scheur loodrecht op de tweede
hoofdrichting, mm
w,
// grootste van w1 en w2, mm
fsxcr, // staalspanning in de x-richting, MPa
fsycr, // staalspanning in de y-richting, MPa
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121
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
sc,
sxt,
syt,
sxyt;
//
//
//
//
betonspanning,
spanning in de
spanning in de
schuifspanning
kleinste van fc1 en fc2, MPa
x-richting van het gewapend beton, MPa
y-richting van het gewapend beton, MPa
in het gewapend beton, MPa
public double[] MCFT(double[] datamcft) {
// invoer
ex = datamcft[0];
ey = datamcft[1];
g
= datamcft[2];
rx = datamcft[3];
ry = datamcft[4];
Ec = datamcft[5];
fc = datamcft[6];
ft = datamcft[7];
Es = datamcft[8];
fyx = datamcft[9];
fyy = datamcft[10];
dx = datamcft[11];
dy = datamcft[12];
h
= datamcft[13];
agg = datamcft[14];
// lokale
double
a,b,r,
cos,
sin,
w,
ecr,
smx,
smy,
fc1,
fc2,
fsx,
fsy,
fc1max,
fc2max,
fsxcrmax,
variabelen
//
//
//
//
//
//
//
//
//
//
//
//
//
//
parameters van de circel van Mohr
cos(2*theta)
sin(2*theta)
scheurwijdte, mm
rek waarbij het beton scheurt
scheurafstand in de x-richting, mm
scheurafstand in de y-richting, mm
gemiddelde betonspanning in de eerste hoofdrichting, MPa
gemiddelde betonspanning in de tweede hoofdrichting, MPa
staalspanning in een scheur, MPa
staalspanning in een scheur, MPa
maximale betonspanning in de eerste hoofdrichting, MPa
maximale betonspanning in de tweede hoofdrichting, MPa
maximale staalspanning in de x-richting in een scheur,
MPa
fsycrmax; // maximale staalspanning in de y-richting in een scheur,
MPa
// hoofdrekrichtingen
a = ey + ex;
b = ey - ex;
r = Math.sqrt(b*b + g*g);
e1 = 0.5*(a + r);
e2 = 0.5*(a - r);
if(r==0.0) {
cos = 1.0;
sin = 0.0;
}
else {
cos = b/r;
sin = g/r;
}
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122
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
if (sin > 0) {
theta = 0.5*Math.acos(cos);
}
else {
theta = Math.PI - 0.5*Math.acos(cos);
}
// scheurwijdten
ecr = ft/Ec;
if(rx == 0.0) {
smx = h;
}
else {
smx = 0.1852*dx/rx;
}
if(smx > h) {
smx = h;
}
if(ry == 0.0) {
smy = h;
}
else {
smy = 0.1852*dy/ry;
}
if(smy > h) {
smy = h;
}
if(e1 > ecr) {
smt1 = 1.0/(Math.abs(Math.sin(theta))/smx +
Math.abs(Math.cos(theta))/smy);
w1 = smt1*e1;
}
else {
w1 = 0.0;
}
if(e2 > ecr) {
smt2 = 1.0/(Math.abs(Math.cos(theta))/smx +
Math.abs(Math.sin(theta))/smy);
w2 = smt2*e2;
}
else {
w2 = 0.0;
}
if(w1 > w2) {
w = w1;
}
else {
w = w2;
}
// materiaalspanningen
fc1 = BetonSpanning(e1,e2);
fc2 = BetonSpanning(e2,e1);
fsx = StaalSpanning(ex,fyx);
fsy = StaalSpanning(ey,fyy);
fsxcr=fsx;
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123
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
fsycr=fsy;
// controle spanningen in scheuren
double[] ControleerScheurUitkomst = new double[3];
if(e1 > ecr) {
ControleerScheurUitkomst = ControleerScheur(w1, theta, fsx, fsy);
fc1max = ControleerScheurUitkomst[0];
fsxcrmax = ControleerScheurUitkomst[1];
fsycrmax = ControleerScheurUitkomst[2];
if (fc1 > fc1max) {
fc1=fc1max;
fsxcr=fsxcrmax;
fsycr=fsycrmax;
}
}
if(e2 > ecr) {
ControleerScheurUitkomst = ControleerScheur(w2, theta+Math.PI/2,
fsx, fsy);
fc2max = ControleerScheurUitkomst[0];
fsxcrmax = ControleerScheurUitkomst[1];
fsycrmax = ControleerScheurUitkomst[2];
if(fc2 > fc2max) {
fc2=fc2max;
if (fsxcrmax>fsxcr) {
fsxcr=fsxcrmax;
}
if (fsycrmax>fsycr) {
fsycr=fsycrmax;
}
}
}
if (fc1 < fc2) {
sc = fc1;
}
else {
sc = fc2;
}
// totale spanningen
a = 0.5*(fc1 + fc2);
b = 0.5*(fc1 - fc2);
sxt = (a-b*cos)*(1.0) + fsx*rx;
syt = (a+b*cos)*(1.0) + fsy*ry;
sxyt = b*sin;
//uitvoer
double[] datamcftuitk = new
double[]{ex,ey,g,e1,theta,fsxcr,fsycr,sc,sxt,syt,sxyt,w,w1,w2,smt1,smt2,e
2};
return datamcftuitk;
}
// berekening van de betonspanning
public double BetonSpanning(double e, double et) {
double f, fc2m, ecr;
if(e < 0.0) {
if(e > -0.004) {
fc2m = fc/(0.8 - 170.0*et);
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124
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
if( (fc2m < fc) || (et < 0.0) ) {
fc2m = fc;
}
f = -fc2m*e*(1000.0+250000.0*e);
}
else {
f = 0.0;
}
}
else {
ecr = ft/Ec;
if(e<=ecr) {
f = Ec*e;
}
else {
f = ft/(1.0 + Math.sqrt(500*e));
}
}
return f;
}
// berekening van de staalspanning
public double StaalSpanning(double e, double fy) {
double f;
f = Es*e;
if(f>fy) {
f = fy;
}
else {
if(f<(-fy)) {
f = -fy;
}
}
return f;
}
// controle van het evenwicht in een scheur
public double[] ControleerScheur(double wControleerScheur, double
thetaControleerScheur, double fsx, double fsy){
// invoer
// fc, w, agg, fsx, fsy, fyx, fyy, rx, ry, theta
// uitvoer
// fc1max
maximale waarde van de gemiddelde betontrekspanning fc1 in
de hoofdrekrichting, MPa
// fsxcrmax staalspanning in de scheur in de x-richting, MPa
// fsycrmax staalspanning in de scheur in de y-richting, PMa
// lokale
double
fsycrmax;
double[]
double[]
double[]
variabelen
vcimax, f1cx, f1cy, vci, fci, sin, cos, fc1max, fsxcrmax,
fc1 = new double[6];
fsxcr = new double[6];
fsycr = new double[6];
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125
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
int
i;
boolean[] ok = new boolean[6];
vcimax=Math.sqrt(-fc)/(0.31+24.0*wControleerScheur/(agg+16.0));
f1cx=rx*(fyx-fsx);
f1cy=ry*(fyy-fsy);
sin=Math.sin(thetaControleerScheur);
cos=Math.cos(thetaControleerScheur);
// Evenwichtssysteem 1
fsxcr[1]=fyx;
fsycr[1]=fyy;
vci=(f1cx-f1cy)*sin*cos;
if (Math.abs(vci)>vcimax)
ok[1]=false;
else {
ok[1]=true;
fci=vcimax*(1.0-Math.sqrt(1.22*(1.0-Math.abs(vci)/vcimax)));
if (fci<0.0) {
fci=0.0;
}
fc1[1]=f1cx*sin*sin+f1cy*cos*cos-fci;
}
// Evenwichtssysteem 2
if ( (ry<0.000001) || (Math.abs(sin*cos)<0.000001) ) {
ok[2]=false;
}
else {
fsxcr[2]=fyx;
fsycr[2]=(f1cx-vcimax/(sin*cos))/ry+fsy;
fc1[2]=f1cx-vcimax*cos/sin-vcimax;
if (fsycr[2]<fyy) {
ok[2]=true;
}
else {
ok[2]=false;
}
}
// Evenwichtssysteem 3
if ( (ry<0.000001) || (Math.abs(sin*cos)<0.000001) ) {
ok[3]=false;
}
else {
fsxcr[3]=fyx;
fsycr[3]=(f1cx+vcimax/(sin*cos))/ry+fsy;
fc1[3]=f1cx+vcimax*cos/sin-vcimax;
if (fsycr[3]<fyy) {
ok[3]=true;
}
else {
ok[3]=false;
}
}
// Evenwichtssysteem 4
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126
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
if ( (rx<0.000001) || (Math.abs(sin*cos)<0.000001) ) {
ok[4]=false;
}
else {
fsxcr[4]=(f1cy+vcimax/(sin*cos))/rx+fsx;
fsycr[4]=fyy;
fc1[4]=f1cy+vcimax*sin/cos-vcimax;
if (fsxcr[4]<fyx) {
ok[4]=true;
}
else {
ok[4]=false;
}
}
// Evenwichtssysteem 5
if ( (rx<0.000001) || (Math.abs(sin*cos)<0.000001) ) {
ok[5]=false;
}
else {
fsxcr[5]=(f1cy-vcimax/(sin*cos))/rx+fsx;
fsycr[5]=fyy;
fc1[5]=f1cy-vcimax*sin/cos-vcimax;
if (fsxcr[5]<fyx) {
ok[5]=true;
}
else {
ok[5]=false;
}
}
// Optimale evenwichtssysteem
fc1max=-0.0000001;
fsxcrmax=fsx;
fsycrmax=fsy;
for (i=1; (i<6); i++) {
if ( (ok[i]) && (fc1[i]>fc1max) ) {
fc1max=fc1[i];
fsxcrmax=fsxcr[i];
fsycrmax=fsycr[i];
}
}
double[] ControleerScheurUitkomst = new
double[]{fc1max,fsxcrmax,fsycrmax};
return ControleerScheurUitkomst;
}// einde van procedure ControleerScheur
public double sx,sy,sxy;
} // einde van class MCFT
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127
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Anexo B – Código Fonte do programa MEDEA RC
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128
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Programa MEDEA RC_Design
unit Entrada;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs,
StdCtrls, SHELLAPI ;
type
TForm1 = class(TForm)
Label2: TLabel;
Label5: TLabel;
Label1: TLabel;
Label3: TLabel;
Label4: TLabel;
Label6: TLabel;
Label7: TLabel;
Label10: TLabel;
Label9: TLabel;
Label11: TLabel;
Label12: TLabel;
Button2: TButton;
Button1: TButton;
Button3: TButton;
Label8: TLabel;
procedure Button2Click(Sender: TObject);
procedure Button3Click(Sender: TObject);
procedure Button1Click(Sender: TObject);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var
Form1: TForm1;
implementation
{$R *.DFM}
procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);
begin
if FileExists('C:\MedeaRC_Analysis.exe') then
ShellExecute(0,'open','C:\MedeaRC_Analysis.exe',nil, nil, SW_NORMAL)
else
Application.MessageBox('It has been not possible finding the file
"MEDEARC_Analysis.exe".' + #13 + 'Please check if the specified path is
right and please try it again.', 'Erro', MB_OK);;
end;
procedure TForm1.Button3Click(Sender: TObject);
begin
close;
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129
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
end;
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
begin
if FileExists('C:\MedeaRC_Design.exe') then
ShellExecute(0,'open','C:\MedeaRC_Design.exe',nil, nil, SW_NORMAL)
else
Application.MessageBox('It has been not possible finding the file
"MEDEARC_Design.exe".' + #13 + 'Please check if the specified path is
right and please try it again.', 'Erro', MB_OK);;
end;
end.
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130
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Programa MEDEA RC_Design
unit Medea;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs,
StdCtrls, ExtCtrls;
type
TForm1 = class(TForm)
grpParameters: TGroupBox;
lblsigmal: TLabel;
Label1: TLabel;
edtSigmax: TEdit;
edtSigmay: TEdit;
edtTalxy: TEdit;
Label2: TLabel;
Label3: TLabel;
Label4: TLabel;
Label5: TLabel;
Label6: TLabel;
Label7: TLabel;
Label8: TLabel;
Label9: TLabel;
Label10: TLabel;
Label11: TLabel;
edtfck: TEdit;
edth: TEdit;
Label12: TLabel;
Label13: TLabel;
Label14: TLabel;
GroupBox1: TGroupBox;
btnCalcula: TButton;
btnFinaliza: TButton;
edtAlfa2: TEdit;
Label15: TLabel;
Label16: TLabel;
edtAlfa: TEdit;
edtrox: TEdit;
Label17: TLabel;
Label18: TLabel;
Label19: TLabel;
Label20: TLabel;
edtroy: TEdit;
Label21: TLabel;
edtAsx: TEdit;
Label22: TLabel;
edtAsy: TEdit;
edtSigmad: TEdit;
Label23: TLabel;
Label24: TLabel;
Label26: TLabel;
Label27: TLabel;
Label28: TLabel;
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131
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Label29: TLabel;
Label30: TLabel;
Label31: TLabel;
edtfyk: TEdit;
RadioGroup1: TRadioGroup;
rbMenorTaxa: TRadioButton;
rbTaxasIguais: TRadioButton;
Label32: TLabel;
lblCaso: TLabel;
Label25: TLabel;
edtsigmar: TEdit;
Label33: TLabel;
Label34: TLabel;
Label35: TLabel;
Label36: TLabel;
Label37: TLabel;
edtsigma1: TEdit;
Label38: TLabel;
Label39: TLabel;
Label40: TLabel;
Label41: TLabel;
edtsigma2: TEdit;
Label42: TLabel;
edtaslmin: TEdit;
Label43: TLabel;
edtastmin: TEdit;
Label44: TLabel;
Label45: TLabel;
Label46: TLabel;
Label48: TLabel;
edtrolfl: TEdit;
Label49: TLabel;
Label50: TLabel;
Label52: TLabel;
Label53: TLabel;
edtrotft: TEdit;
Label54: TLabel;
Label55: TLabel;
Label56: TLabel;
edtsigmalc: TEdit;
Label57: TLabel;
Label58: TLabel;
Label59: TLabel;
edtsigmatc: TEdit;
Label60: TLabel;
btnInform: TButton;
Image1: TImage;
Label47: TLabel;
procedure btnCalculaClick(Sender: TObject);
procedure btnFinalizaClick(Sender: TObject);
procedure btnInformClick(Sender: TObject);
procedure edtSigmaxKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure edtSigmayKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure edtTalxyKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure edtfckKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure edtfykKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure edthKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
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132
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var
{Declaração das Variáveis do Problema}
Form1: TForm1;
intErro: integer;
sigmax, sigmay, talxy, fck, fyk, h, a, b, sigmar, sigma1, sigma2: real;
rox, roxx,roy, asx, asy, sigmad, aslmin, astmin, roxfx, royfy, sigmalc,
sigmatc: real;
alfa2, alfa, alfa2i: extended;
stralfa2, stralfa, strrox, strroy, strasx, strasy, strroxfx,strroyfy,
straslmin, strastmin, strsigmad, strsigmalc, strsigmatc: string;
strsigmar, strsigma1, strsigma2: string;
implementation
uses Information;
{$R *.DFM}
{Procedimento de Cálculo para o Caso I, Armaduras Iguais}
Procedure Armaduras_Iguais_CasoI;
begin
alfa2i := (ArcTan (1/((sigmax - sigmay)/(-2*talxy))))*
180/Pi;
if alfa2i < 0 then
begin
alfa2 := (180 + alfa2i)/2;
alfa := alfa2;
end
else if alfa2i > 0 then
begin
alfa2 := alfa2i/2;
alfa := alfa2;
end;
end;
{Procedimento para o Cálculo de Armaduras pelo Critério Minimo, Caso I}
Procedure Armaduras_Diferentes_CasoI;
begin
alfa2i := (ArcTan (1/((sigmax - sigmay)/(-2*talxy))))*
180/Pi;
if alfa2i < 0 then
begin
alfa2 := (180 + alfa2i)/2;
alfa := 45;
end
else if alfa2i > 0 then
begin
alfa2 := alfa2i/2;
alfa := 45;
end;
end;
{Procedimento de Cálculo para os Casos II, III e IV}
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133
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
procedure Casos_II_III_IV;
begin
alfa2i := (ArcTan (1/((sigmax - sigmay)/(-2*talxy))))* 180/Pi;
if alfa2i < 0 then
begin
alfa2 := (180 + alfa2i)/2;
end
else if alfa2i > 0 then
begin
alfa2 := alfa2i/2;
end;
a:=(sigmax + talxy);
b:=(sigmay + talxy);
{Rotina de cálculo para o Caso II}
if a < 0 then
if b > 0 then
begin
alfa:= (arctan (talxy/(-sigmax)))*180/Pi;
roy:= ((sigmay + ((talxy*talxy)/(-sigmax)))/fyk)*100;
rox:= 0;
asy:= roy*h;
asx:=0;
roxfx:= rox*fyk/100;
royfy:= roy*fyk/100;
aslmin:= (0.5/100)*h*100;
astmin:= (0.5/100)*h*100;
sigmad := -talxy /(sin(alfa*Pi/180)*cos(alfa*Pi/180));
sigmalc:= sigmax - roxfx;
sigmatc:= sigmay - royfy;
end;
{Rotina de cálculo para o Caso III}
if a > 0 then
if b < 0 then
begin
alfa:= (arctan (-sigmay/(talxy)))*180/Pi;
rox:= ((sigmax + ((talxy*talxy)/(-sigmay)))/fyk)*100;
roy:= 0;
asy:= 0;
asx:=rox*h;
roxfx:= rox*fyk/100;
royfy:= roy*fyk/100;
aslmin:= (0.5/100)*h*100;
astmin:= (0.5/100)*h*100;
sigmalc:= sigmax - roxfx;
sigmatc:= sigmay - royfy;
sigmad := -talxy /(sin(alfa*Pi/180)*cos(alfa*Pi/180));
end;
{Rotina de cálculo para o Caso IV}
if a < 0 then
if b < 0 then
begin
alfa:= (arctan (talxy/(-sigmax)))*180/Pi;
roy:= 0;
rox:= 0;
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134
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
roxfx:= rox*fyk/100;
royfy:= roy*fyk/100;
asy:= 0;
asx:=0;
aslmin:= (0.5/100)*h*100;
astmin:= (0.5/100)*h*100;
sigmalc:= sigmax - roxfx;
sigmatc:= sigmay - royfy;
sigmad := -talxy /(sin(alfa*Pi/180)*cos(alfa*Pi/180));
end;
end;
{Procedimento de cálculo para quando pressionada a tecla Calcula}
procedure TForm1.btnCalculaClick(Sender: TObject);
begin
{Atribuição de valores para os parâmetros de entrada}
val (edtSigmax.Text, sigmax, intErro);
val (edtSigmay.Text, sigmay, intErro);
val (edttalxy.Text, talxy, intErro);
val (edtfck.Text, fck, intErro);
val (edtfyk.Text, fyk, intErro);
val (edth.Text, h, intErro);
sigmar:= 0.0;
str(sigmar:7:4, strsigmar);
edtsigmar.Text := strsigmar;
sigma1:= ((sigmax + sigmay)/2) + sqrt(((sigmax - sigmay)/2)*((sigmax
- sigmay)/2) + talxy*talxy);
sigma2:= ((sigmax + sigmay)/2) - sqrt(((sigmax - sigmay)/2)*((sigmax
- sigmay)/2) + talxy*talxy);
str(sigma1:7:4, strsigma1);
edtsigma1.Text := strsigma1;
str(sigma2:7:4, strsigma2);
edtsigma2.Text := strsigma2;
{Rotina para identificação dos casos de solicitação}
if sigmax = 0 then sigmax:= 0.000000001;
if sigmay = 0 then sigmay:= 0.000000001;
if sigmax = sigmay then sigmax := sigmax*1.0000000001;
if talxy = 0 then talxy:= 0.0000000001;
if (sigmax + talxy) > 0 then
if (sigmay + talxy) > 0 then
begin
lblCaso.Caption := 'I (Biaxial Tension, Pure Shear or
Uniaxial Tension)';
end;
if (sigmax + talxy) < 0 then
if (sigmay + talxy) > 0 then
begin
lblCaso.Caption := 'II (Trans. Tension and Long.
Compression)';
end;
if (sigmax + talxy) > 0 then
if (sigmay + talxy) < 0 then
begin
lblCaso.Caption := 'III (Long. Tension and Trans.
Compression)';
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135
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
end;
if (sigmax + talxy) < 0 then
if (sigmay + talxy) < 0 then
begin
lblCaso.Caption := 'IV (Biaxial Compression)';
end;
{Rotina para cálculo de membrana com taxas iguais de armadura}
if rbTaxasIguais.Checked then
BEGIN
if (sigmax + talxy) < 0 then
begin
MessageDlg ('The adopted criteria could not be used. MEDEA RC is
going to design the reinforcements by adopting additional criteria for
load conditions II, III or IV. Null amount of reinforcement can be
obtained for these cases.', mtInformation, [mbOK],0);
Casos_II_III_IV;
str(alfa2:7:4, stralfa2);
str(alfa:7:4, stralfa);
str(rox:7:4, strrox);
str(roy:7:4, strroy);
str(asx:7:4, strasx);
str(asy:7:4, strasy);
str(aslmin:7:4, straslmin);
str(astmin:7:4, strastmin);
str(roxfx:7:4, strroxfx);
str(royfy:7:4, strroyfy);
edtrolfl.Text := strroxfx;
edtrotft.Text := strroyfy;
str(sigmalc:7:4, strsigmalc);
str(sigmatc:7:4, strsigmatc);
edtsigmalc.Text := strsigmalc;
edtsigmatc.Text := strsigmatc;
str(sigmad:7:4, strsigmad);
edtAlfa2.Text := stralfa2;
edtalfa.Text := stralfa;
edtrox.Text := strrox;
edtroy.Text := strroy;
edtasx.Text := strasx;
edtasy.Text := strasy;
edtaslmin.Text:= straslmin;
edtastmin.Text:= straslmin;
edtsigmad.Text:= strsigmad;
end;
if (sigmay + talxy) < 0 then
begin
MessageDlg ('The adopted criteria could not be used. MEDEA RC is
going to design the reinforcements by adopting additional criteria for
load conditions II, III or IV. Null amount of reinforcement can be
obtained for these cases.', mtInformation, [mbOK],0);
Casos_II_III_IV;
str(alfa2:7:4, stralfa2);
str(alfa:7:4, stralfa);
str(rox:7:4, strrox);
str(roy:7:4, strroy);
str(asx:7:4, strasx);
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136
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
str(asy:7:4, strasy);
str(aslmin:7:4, straslmin);
str(astmin:7:4, strastmin);
str(sigmad:7:4, strsigmad);
str(roxfx:7:4, strroxfx);
str(royfy:7:4, strroyfy);
edtrolfl.Text := strroxfx;
edtrotft.Text := strroyfy;
edtAlfa2.Text := stralfa2;
edtalfa.Text := stralfa;
edtrox.Text := strrox;
edtroy.Text := strroy;
edtasx.Text := strasx;
edtasy.Text := strasy;
edtaslmin.Text:= straslmin;
edtastmin.Text:= straslmin;
str(sigmalc:7:4, strsigmalc);
str(sigmatc:7:4, strsigmatc);
edtsigmalc.Text := strsigmalc;
edtsigmatc.Text := strsigmatc;
edtsigmad.Text:= strsigmad;
end;
if (sigmay + talxy) > 0 then
if (sigmax + talxy) > 0 then
begin
Armaduras_Iguais_CasoI;
str (alfa2:7:2, stralfa2);
str (alfa: 7:2, stralfa);
edtAlfa2.Text := stralfa2;
edtAlfa.Text := stralfa;
roxx:= 1/((sin (alfa*Pi/180))/(cos(alfa*Pi/180)));
rox:= ((sigmax + talxy* (roxx))/fyk)*100;
roy:= rox;
str(rox:7:4, strrox);
edtrox.Text := strrox;
edtroy.Text := strrox;
asx:= rox*h;
asy:= asx;
str(asx:7:2, strasx);
str(asy:7:2, strasy);
edtAsx.Text := strasx;
edtAsy.Text := strasy;
roxfx:= rox*fyk/100;
royfy:= roy*fyk/100;
str(roxfx:7:4, strroxfx);
str(royfy:7:4, strroyfy);
edtrolfl.Text := strroxfx;
edtrotft.Text := strroyfy;
sigmalc:= sigmax - roxfx;
sigmatc:= sigmay - royfy;
str(sigmalc:7:4, strsigmalc);
str(sigmatc:7:4, strsigmatc);
edtsigmalc.Text := strsigmalc;
edtsigmatc.Text := strsigmatc;
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137
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
aslmin:= (0.5/100)*h*100;
astmin:= (0.5/100)*h*100;
str(aslmin:7:4, straslmin);
str(astmin:7:4, strastmin);
edtaslmin.Text:= straslmin;
edtastmin.Text:= straslmin;
sigmad := -talxy /(sin(alfa*Pi/180)*cos(alfa*Pi/180));
str(sigmad:7:2, strsigmad);
edtsigmad.Text := strsigmad;
end;
END;
{Rotina para cálculo de membrana com taxas minima, alfa=45, isto
armaduras diferentes}
if rbMenorTaxa.Checked then
BEGIN
if (sigmax + talxy) < 0 then
begin
MessageDlg ('The adopted criteria could not be used. MEDEA RC is
going to design the reinforcements by adopting additional criteria for
load conditions II, III or IV. Null amount of reinforcement can be
obtained for these cases.', mtInformation, [mbOK],0);
Casos_II_III_IV;
aslmin:= (0.5/100)*h*100;
astmin:= (0.5/100)*h*100;
str(aslmin:7:4, straslmin);
str(astmin:7:4, strastmin);
edtaslmin.Text:= straslmin;
edtastmin.Text:= straslmin;
str(alfa2:7:4, stralfa2);
str(alfa:7:4, stralfa);
str(rox:7:4, strrox);
str(roy:7:4, strroy);
str(asx:7:4, strasx);
str(asy:7:4, strasy);
str(roxfx:7:4, strroxfx);
str(royfy:7:4, strroyfy);
edtrolfl.Text := strroxfx;
edtrotft.Text := strroyfy;
str(sigmad:7:4, strsigmad);
edtAlfa2.Text := stralfa2;
edtalfa.Text := stralfa;
edtrox.Text := strrox;
edtroy.Text := strroy;
edtasx.Text := strasx;
edtasy.Text := strasy;
str(sigmalc:7:4, strsigmalc);
str(sigmatc:7:4, strsigmatc);
edtsigmalc.Text := strsigmalc;
edtsigmatc.Text := strsigmatc;
edtsigmad.Text:= strsigmad;
end;
if (sigmay + talxy) < 0 then
begin
MessageDlg ('The adopted criteria could not be used. MEDEA RC is
going to design the reinforcements by adopting additional criteria for
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138
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
load conditions II, III or IV. Null amount of reinforcement can be
obtained for these cases.', mtInformation, [mbOK],0);
Casos_II_III_IV;
aslmin:= (0.5/100)*h*100;
astmin:= (0.5/100)*h*100;
str(aslmin:7:4, straslmin);
str(astmin:7:4, strastmin);
edtaslmin.Text:= straslmin;
edtastmin.Text:= straslmin;
str(alfa2:7:4, stralfa2);
str(alfa:7:4, stralfa);
str(rox:7:4, strrox);
str(roy:7:4, strroy);
str(asx:7:4, strasx);
str(asy:7:4, strasy);
str(roxfx:7:4, strroxfx);
str(royfy:7:4, strroyfy);
edtrolfl.Text := strroxfx;
edtrotft.Text := strroyfy;
str(sigmad:7:4, strsigmad);
edtAlfa2.Text := stralfa2;
edtalfa.Text := stralfa;
edtrox.Text := strrox;
edtroy.Text := strroy;
edtasx.Text := strasx;
edtasy.Text := strasy;
str(sigmalc:7:4, strsigmalc);
str(sigmatc:7:4, strsigmatc);
edtsigmalc.Text := strsigmalc;
edtsigmatc.Text := strsigmatc;
edtsigmad.Text:= strsigmad;
end;
if (sigmay + talxy) > 0 then
if (sigmax + talxy) > 0 then
begin
Armaduras_Diferentes_CasoI;
aslmin:= (0.5/100)*h*100;
astmin:= (0.5/100)*h*100;
str(aslmin:7:4, straslmin);
str(astmin:7:4, strastmin);
edtaslmin.Text:= straslmin;
edtastmin.Text:= straslmin;
str (alfa2:7:2, stralfa2);
str (alfa: 7:2, stralfa);
edtAlfa2.Text := stralfa2;
edtAlfa.Text := stralfa;
rox:= ((sigmax + talxy)/fyk)*100;
roy:= ((sigmay + talxy)/fyk)*100;
str(rox:7:4, strrox);
str(roy:7:4, strroy);
edtrox.Text := strrox;
edtroy.Text := strroy;
roxfx:= rox*fyk/100;
royfy:= roy*fyk/100;
str(roxfx:7:4, strroxfx);
str(royfy:7:4, strroyfy);
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139
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
edtrolfl.Text := strroxfx;
edtrotft.Text := strroyfy;
sigmalc:= sigmax - roxfx;
sigmatc:= sigmay - royfy;
str(sigmalc:7:4, strsigmalc);
str(sigmatc:7:4, strsigmatc);
edtsigmalc.Text := strsigmalc;
edtsigmatc.Text := strsigmatc;
asx:= rox*h;
asy:= roy*h;
str(asx:7:2, strasx);
str (asy:7:2, strasy);
edtAsx.Text := strasx;
edtAsy.Text := strasy;
sigmad := -talxy /(sin(alfa*Pi/180)*cos(alfa*Pi/180));
str(sigmad:7:2, strsigmad);
edtsigmad.Text := strsigmad;
end;
END;
end;
{Procedimento para Sair do programa quando pressionada a tecla Finaliza}
procedure TForm1.btnFinalizaClick(Sender: TObject);
begin
Close;
end;
{Procedimento para chamar o formulário de Informação sobre o programa}
procedure TForm1.btnInformClick(Sender: TObject);
begin
frmInform.show;
end;
{Procedimento para evitar a entrada de valores diferentes de números e
ponto}
procedure TForm1.edtSigmaxKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if (ord(key) <> 8) then
if (ord(key) <> 46) then
if (ord(key) <> 45) then
if (ord(Key) < ord('0')) or (ord(Key) > ord('9')) then
Key:= chr(0);
end;
{Procedimento para evitar a entrada de valores diferentes de números e
ponto}
procedure TForm1.edtSigmayKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if (ord(key) <> 8) then
if (ord(key) <> 46) then
if (ord(key) <> 45) then
if (ord(Key) < ord('0')) or (ord(Key) > ord('9')) then
Key:= chr(0);
end;
{Procedimento para evitar a entrada de valores diferentes de números e
ponto}
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140
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
procedure TForm1.edtTalxyKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if (ord(key) <> 8) then
if (ord(key) <> 46) then
if (ord(Key) < ord('0')) or (ord(Key) > ord('9')) then
Key:= chr(0);
end;
{Procedimento para evitar a entrada de valores diferentes de números e
ponto}
procedure TForm1.edtfckKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if (ord(key) <> 8) then
if (ord(key) <> 46) then
if (ord(Key) < ord('0')) or (ord(Key) > ord('9')) then
Key:= chr(0);
end;
{Procedimento para evitar a entrada de valores diferentes de números e
ponto}
procedure TForm1.edtfykKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if (ord(key) <> 8) then
if (ord(key) <> 46) then
if (ord(Key) < ord('0')) or (ord(Key) > ord('9')) then
Key:= chr(0);
end;
{Procedimento para evitar a entrada de valores diferentes de números e
ponto}
procedure TForm1.edthKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if (ord(key) <> 8) then
if (ord(key) <> 46) then
if (ord(Key) < ord('0')) or (ord(Key) > ord('9')) then
Key:= chr(0);
end;
end.
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141
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Programa MEDEA RC_Analysis
unit Medea;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs,
StdCtrls, ExtCtrls;
type
TForm1 = class(TForm)
grpParameters: TGroupBox;
lblsigmal: TLabel;
Label1: TLabel;
edtSigmax: TEdit;
edtSigmay: TEdit;
edtTalxy: TEdit;
Label2: TLabel;
Label3: TLabel;
Label4: TLabel;
Label5: TLabel;
Label6: TLabel;
Label7: TLabel;
Label8: TLabel;
Label9: TLabel;
Label10: TLabel;
Label11: TLabel;
edtfck: TEdit;
edth: TEdit;
Label12: TLabel;
Label13: TLabel;
Label14: TLabel;
GroupBox1: TGroupBox;
btnCalcula: TButton;
btnFinaliza: TButton;
edtAlfa2: TEdit;
Label15: TLabel;
Label16: TLabel;
edtAlfa: TEdit;
edtSigmad: TEdit;
Label23: TLabel;
Label24: TLabel;
Label26: TLabel;
Label31: TLabel;
edtfyk: TEdit;
Label32: TLabel;
lblCaso: TLabel;
Label25: TLabel;
edter: TEdit;
Label34: TLabel;
Label35: TLabel;
Label36: TLabel;
Label37: TLabel;
edtsigma1: TEdit;
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142
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Label38: TLabel;
Label39: TLabel;
Label40: TLabel;
Label41: TLabel;
edtsigma2: TEdit;
Label48: TLabel;
Label49: TLabel;
Label53: TLabel;
edtft: TEdit;
Label54: TLabel;
Label55: TLabel;
Label56: TLabel;
edtsigmalc: TEdit;
Label57: TLabel;
Label58: TLabel;
Label59: TLabel;
edtsigmatc: TEdit;
Label60: TLabel;
btnInform: TButton;
Image1: TImage;
Label51: TLabel;
edtEc: TEdit;
Label61: TLabel;
Label62: TLabel;
edtEs: TEdit;
Label63: TLabel;
Label64: TLabel;
edtrol: TEdit;
Label66: TLabel;
Label67: TLabel;
Label68: TLabel;
edtrot: TEdit;
Label69: TLabel;
Label70: TLabel;
edtfl: TEdit;
Label17: TLabel;
Label18: TLabel;
edted: TEdit;
Label19: TLabel;
Label20: TLabel;
edtel: TEdit;
Label21: TLabel;
Label22: TLabel;
edtet: TEdit;
edtgamalt: TEdit;
Label27: TLabel;
Label28: TLabel;
Label29: TLabel;
Label30: TLabel;
Label42: TLabel;
Label43: TLabel;
Label44: TLabel;
Label45: TLabel;
Label71: TLabel;
Label72: TLabel;
edtsigmaxesc: TEdit;
edtsigmayesc: TEdit;
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143
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Label46: TLabel;
Label47: TLabel;
Label50: TLabel;
Label52: TLabel;
Label65: TLabel;
Label73: TLabel;
Label74: TLabel;
Label75: TLabel;
edttalxyesc: TEdit;
Label76: TLabel;
Label33: TLabel;
Label77: TLabel;
GroupBox2: TGroupBox;
rdbprescribed: TRadioButton;
rdbyielding: TRadioButton;
edtw: TEdit;
Label78: TLabel;
Label79: TLabel;
procedure btnCalculaClick(Sender: TObject);
procedure btnFinalizaClick(Sender: TObject);
procedure btnInformClick(Sender: TObject);
procedure edtSigmaxKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure edtSigmayKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure edtTalxyKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure edtfckKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure edtfykKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure edthKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var
{Declaração das Variáveis do Problema}
Form1: TForm1;
intErro: integer;
sigmax, sigmay, talxy, fck, fyk, h, a, b, sigma1, sigma2, er, ed, el,
et, gamalt, es, ec, fl, ft, n, i, tolerancia, factor, fesc: real;
rox, roxx,roy, asx, asy, sigmad, aslmin, astmin, roxfx, royfy, sigmalc,
sigmatc, equacao, coefa, coefb, coefc, coefd: real;
alfa2, alfa, alfa2i: extended;
sigmaxesc, sigmayesc, talxyesc: real;
strsigmaxesc, strsigmayesc, strtalxyesc: string;
stralfa2, stralfa, strrox, strroy, strasx, strasy, strrfx,strfy,
straslmin, strastmin, strsigmad, strsigmalc, strsigmatc: string;
strsigmar, strsigma1, strsigma2, stres,strfl, strft, strec, strer,
stred, strel, stret, strgamalt: string;
implementation
uses Information;
{$R *.DFM}
{Procedimento de cálculo para quando pressionada a tecla Analysis}
procedure TForm1.btnCalculaClick(Sender: TObject);
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144
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
begin
{Atribuição de valores para os parâmetros de entrada}
val (edtSigmax.Text, sigmax, intErro);
val (edtSigmay.Text, sigmay, intErro);
val (edttalxy.Text, talxy, intErro);
val (edtfck.Text, fck, intErro);
val (edtfyk.Text, fyk, intErro);
val (edth.Text, h, intErro);
val (edtrol.Text, rox, intErro);
val (edtrot.Text, roy, intErro);
val (edtec.Text, ec, intErro);
val (edtes.Text, es, intErro);
n:= es/ec;
{Rotina para identificação dos casos de solicitação}
if sigmax = 0 then sigmax:= 0.000000001;
if sigmay = 0 then sigmay:= 0.000000001;
if sigmax = sigmay then sigmax := sigmax*1.0000000001;
if talxy = 0 then talxy:= 0.0000000001;
if rox = 0 then rox:= 0.0000000001;
if roy = 0 then roy:= 0.0000000001;
if (sigmax + talxy) > 0 then
if (sigmay + talxy) > 0 then
begin
lblCaso.Caption := 'I (Biaxial Tension, Pure Shear or
Uniaxial Tension)';
end;
if (sigmax + talxy) < 0 then
if (sigmay + talxy) > 0 then
begin
lblCaso.Caption := 'II (Trans. Tension and Long.
Compression)';
end;
if (sigmax + talxy) > 0 then
if (sigmay + talxy) < 0 then
begin
lblCaso.Caption := 'III (Long. Tension and Trans.
Compression)';
end;
if (sigmax + talxy) < 0 then
if (sigmay + talxy) < 0 then
begin
lblCaso.Caption := 'IV (Biaxial Compression)';
end;
{Rotina para o cálculo de alfa2}
alfa2i := (ArcTan (1/((sigmax - sigmay)/(-2*talxy))))*
180/Pi;
if alfa2i < 0 then
begin
alfa2 := (180 + alfa2i)/2;
alfa := alfa2;
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145
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
end
else if alfa2i > 0 then
begin
alfa2 := alfa2i/2;
end;
str (alfa2:7:2, stralfa2);
edtAlfa2.Text := stralfa2;
{Rotina para o cálculo de Alfa}
i:= 0.001;
alfa:= 90;
repeat
alfa:= alfa - i;
coefa:= ((rox/100)*(1 +
(roy/100)*n)*(sin(alfa*Pi/180))*(sin(alfa*Pi/180))*(sin(alfa*Pi/180))*(si
n(alfa*Pi/180)))/((cos(alfa*Pi/180))*(cos(alfa*Pi/180))*(cos(alfa*Pi/180)
)*(cos(alfa*Pi/180)));
coefb:= ((sigmay /
talxy)*(rox/100)*(sin(alfa*Pi/180))*(sin(alfa*Pi/180))*(sin(alfa*Pi/180))
)/((cos(alfa*Pi/180))*(cos(alfa*Pi/180))*(cos(alfa*Pi/180)));
coefc:= (sigmax/talxy)*(roy/100)*((sin(alfa*Pi/180))/(cos(alfa*Pi/180)));
coefd:= - (roy/100)*(1 + (rox/100)*n);
equacao:= coefa + coefb + coefc + coefd;
tolerancia:= 0.00001;
Until tolerancia > abs (equacao);
str (alfa: 7:2, stralfa);
edtAlfa.Text := stralfa;
{ROTINA PARA O CÁLCULO DAS TENSÕES E DAS AÇÕES QUE PROVOCAM O PRIMEIRO
ESCOAMENTO}
if rdbyielding.checked = true then
begin
GroupBox1.Caption := 'Results for the first yielding of the
reinforcement:' ;
fl := ((sigmax) +
talxy*(cos(alfa*Pi/180))/(sin(alfa*pi/180)))/(rox/100);
ft := ((sigmay) +
talxy*(sin(alfa*Pi/180))/(cos(alfa*pi/180)))/(roy/100);
if fl > ft then fesc:= fl;
if ft > fl then fesc:= ft;
factor:= fyk/fesc;
sigmaxesc:= sigmax*factor;
sigmayesc:= sigmay*factor;
talxyesc:= talxy*factor;
str (sigmaxesc: 7:2, strsigmaxesc);
edtsigmaxesc.Text:= strsigmaxesc;
str (sigmayesc: 7:2, strsigmayesc);
edtsigmayesc.Text:= strsigmayesc;
str (talxyesc: 7:2, strtalxyesc);
edttalxyesc.Text:= strtalxyesc;
fl:= factor*fl;
ft:= factor*ft;
str (fl: 7:2, strfl);
edtfl.Text:= strfl;
str (ft: 7:2, strft);
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146
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
edtft.Text:= strft;
{Rotina para o cálculo de SigmaD}
sigmad := factor*(-talxy /(sin(alfa*Pi/180)*cos(alfa*Pi/180)));
str(sigmad:7:2, strsigmad);
edtsigmad.Text := strsigmad;
{Rotina para cálculo da tensão no concreto}
sigmalc:= sigmaxesc - rox*fl/100;
sigmatc:= sigmayesc - roy*ft/100;
str(sigmalc:7:4, strsigmalc);
str(sigmatc:7:4, strsigmatc);
edtsigmalc.Text := strsigmalc;
edtsigmatc.Text := strsigmatc;
{Rotina para cálculo das tensões principais no concreto armado}
sigma1:= ((sigmax + sigmay)/2) + sqrt(((sigmax - sigmay)/2)*((sigmax
- sigmay)/2) + talxy*talxy)*factor;
sigma2:= ((sigmax + sigmay)/2) - sqrt(((sigmax - sigmay)/2)*((sigmax
- sigmay)/2) + talxy*talxy)*factor;
str(sigma1:7:4, strsigma1);
edtsigma1.Text := strsigma1;
str(sigma2:7:4, strsigma2);
edtsigma2.Text := strsigma2;
{Rotina para cálculo das deformações}
ed:= (sigmad/ec)*1000;
el:= (fl/es)*1000;
et:= (ft/es)*1000;
er:= (el + et - ed);
gamalt:= ((-ed + er)*(sin(alfa*Pi/180)*cos(alfa*Pi/180))*2);
str(ed:7:4, stred);
edted.Text := stred;
str(el:7:4, strel);
edtel.Text := strel;
str(et:7:4, stret);
edtet.Text := stret;
str(er:7:4, strer);
edter.Text := strer;
str(gamalt:7:4, strgamalt);
edtgamalt.Text := strgamalt;
end;
{ROTINA PARA CÁLCULO DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES PARA O CASO DE
CARREGAMENTO DEFINIDO}
if rdbprescribed.checked = true then
begin
GroupBox1.Caption := 'Results for the prescribed actions:' ;
fl := ((sigmax) +
talxy*(cos(alfa*Pi/180))/(sin(alfa*pi/180)))/(rox/100);
ft := ((sigmay) +
talxy*(sin(alfa*Pi/180))/(cos(alfa*pi/180)))/(roy/100);
if fl > fyk then MessageDlg ('Longitudinal reinforcement is
yielding for the prescribed loads. Please, select another analysis in
order to obtain the actions wich have provoked yielding. Otherwise,
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147
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
irrealist results will be generated by MEDEA RC.', mtInformation,
[mbOK],0);
if ft > fyk then MessageDlg ('Transversal reinforcement is
yielding for the prescribed loads. Please, select another analysis in
order to obtain the actions wich have provoked yielding. Otherwise,
irrealist results will be generated by MEDEA RC.', mtInformation,
[mbOK],0);
sigmaxesc:= sigmax;
sigmayesc:= sigmay;
talxyesc:= talxy;
str (sigmaxesc: 7:2, strsigmaxesc);
edtsigmaxesc.Text:= strsigmaxesc;
str (sigmayesc: 7:2, strsigmayesc);
edtsigmayesc.Text:= strsigmayesc;
str (talxyesc: 7:2, strtalxyesc);
edttalxyesc.Text:= strtalxyesc;
str (fl: 7:2, strfl);
edtfl.Text:= strfl;
str (ft: 7:2, strft);
edtft.Text:= strft;
{Rotina para o cálculo de SigmaD}
sigmad := (-talxy /(sin(alfa*Pi/180)*cos(alfa*Pi/180)));
str(sigmad:7:2, strsigmad);
edtsigmad.Text := strsigmad;
{Rotina para cálculo da tensão no concreto}
sigmalc:= sigmaxesc - rox*fl/100;
sigmatc:= sigmayesc - roy*ft/100;
str(sigmalc:7:4, strsigmalc);
str(sigmatc:7:4, strsigmatc);
edtsigmalc.Text := strsigmalc;
edtsigmatc.Text := strsigmatc;
{Rotina para cálculo das tensões principais no concreto armado}
sigma1:= ((sigmax + sigmay)/2) + sqrt(((sigmax - sigmay)/2)*((sigmax
- sigmay)/2) + talxy*talxy);
sigma2:= ((sigmax + sigmay)/2) - sqrt(((sigmax - sigmay)/2)*((sigmax
- sigmay)/2) + talxy*talxy);
str(sigma1:7:4, strsigma1);
edtsigma1.Text := strsigma1;
str(sigma2:7:4, strsigma2);
edtsigma2.Text := strsigma2;
{Rotina para cálculo das deformações}
ed:= (sigmad/ec)*1000;
el:= (fl/es)*1000;
et:= (ft/es)*1000;
er:= (el + et - ed);
gamalt:= ((-ed + er)*(sin(alfa*Pi/180)*cos(alfa*Pi/180))*2);
str(ed:7:4, stred);
edted.Text := stred;
str(el:7:4, strel);
edtel.Text := strel;
str(et:7:4, stret);
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148
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
edtet.Text := stret;
str(er:7:4, strer);
edter.Text := strer;
str(gamalt:7:4, strgamalt);
edtgamalt.Text := strgamalt;
end;
end;
procedure TForm1.btnFinalizaClick(Sender: TObject);
begin
Close;
end;
{Procedimento para chamar o formulário de Informação sobre o programa}
procedure TForm1.btnInformClick(Sender: TObject);
begin
frmInform.show;
end;
{Procedimento para evitar a entrada de valores diferentes de números e
ponto}
procedure TForm1.edtSigmaxKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if (ord(key) <> 8) then
if (ord(key) <> 46) then
if (ord(key) <> 45) then
if (ord(Key) < ord('0')) or (ord(Key) > ord('9')) then
Key:= chr(0);
end;
{Procedimento para evitar a entrada de valores diferentes de números e
ponto}
procedure TForm1.edtSigmayKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if (ord(key) <> 8) then
if (ord(key) <> 46) then
if (ord(key) <> 45) then
if (ord(Key) < ord('0')) or (ord(Key) > ord('9')) then
Key:= chr(0);
end;
{Procedimento para evitar a entrada de valores diferentes de números e
ponto}
procedure TForm1.edtTalxyKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if (ord(key) <> 8) then
if (ord(key) <> 46) then
if (ord(Key) < ord('0')) or (ord(Key) > ord('9')) then
Key:= chr(0);
end;
{Procedimento para evitar a entrada de valores diferentes de números e
ponto}
procedure TForm1.edtfckKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if (ord(key) <> 8) then
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149
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
if (ord(key) <> 46) then
if (ord(Key) < ord('0')) or (ord(Key) > ord('9')) then
Key:= chr(0);
end;
{Procedimento para evitar a entrada de valores diferentes de números e
ponto}
procedure TForm1.edtfykKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if (ord(key) <> 8) then
if (ord(key) <> 46) then
if (ord(Key) < ord('0')) or (ord(Key) > ord('9')) then
Key:= chr(0);
end;
{Procedimento para evitar a entrada de valores diferentes de números e
ponto}
procedure TForm1.edthKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if (ord(key) <> 8) then
if (ord(key) <> 46) then
if (ord(Key) < ord('0')) or (ord(Key) > ord('9')) then
Key:= chr(0);
end;
end.
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150
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Anexo C – Fluxograma de Implementação do Programa MEDEA RC_MCFT
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151
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
•
Dados de Entrada:
ρx = Taxa de armadura na direção x;
ρy = Taxa de armadura na direção y;
φx = Diâmetro das barras na direção x;
φy = Diâmetro das barras na direção y;
fyx = Tensão de escoamento da armadura na direção x;
fyy = Tensão de escoamento da armadura na direção y;
Esxi = Módulo de elasticidade da armadura na direção x;
Esyi = Módulo de elasticidade da armadura na direção y;
fc = Resistência à compressão do concreto;
φag = Diâmetro máximo do agregado;
fx = Tensão normal aplicada na direção x;
fy = Tensão normal aplicada na direção y;
vxy = Tensão de cisalhamento aplicada;
•
Cálculo das distâncias entre fissuras nas direções x e y:
s mx = (2 / 3).(φ x / 3,6.ρ x )
s my = (2 / 3).(φ y / 3,6.ρ y )
•
Cálculo das propriedades do concreto:
ε c ≅ 0,002 (Deformação de Pico do Concreto à Compressão)
f t = 0,33. f c (Resistência à Tração do Concreto)
E c = 2.
ε cr =
•
fc
εc
(Módulo de Elasticidade do Concreto)
ft
(Deformação Limite para Fissuração)
Ec
Inicialização das deformações e tensões principais:
 ε xm  0

  
ε m =  ε ym  = 0
γ  0
 xym   
f1 = 0
f2 = 0
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152
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
“Loop Utilizando o Método Secante”
•
Escolha do Vetor das Deformações e das Tensões Principais:
ε x = ε xm
ε y = ε ym
γ xy = γ yxm
f _ 1g = f1
f _ 2g = f 2
•
Cálculo das Deformações Principais a partir do Círculo de Mohr:
arad =
(ε y − ε x ) 2 + γ xy2
2
acen =
e _ 1a
(Raio do Círculo)
(ε x + ε y )
(Centro do Círculo)
2
= arad + acen (Deformação Principal de Tração)
e _ 2 a = acen − arad (Deformação Principal de Compressão)
•
Determinação do ângulo de inclinação da deformação principal de compressão:
 0,5.γ xy 

 (ε y − ε x ) 
θ a = arc tan 
•
Cálculo da Matriz de Rigidez do Concreto nas Direções Principais:
Se f _ 1g ≤ 0,0001 → E c1 = Ec
Se f _ 1g > 0,0001 → E c1 = f _ 1g / ε _ 1a
Se f _ 2 g ≤ 0,0001 → E c 2 = E c
Se f _ 2 g > 0,0001 → E c 2 = f _ 2 g / ε _ 2 a
Gc12 =
 E c1
[Dc ] =  0
 0

E c1 .E c 2
E c1 + E c 2
0
Ec 2
0
0 

0 
Gc12 .
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153
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
•
Cálculo da Matriz de Rigidez das Armaduras:
 E sxi

E sx = min  f yx
 εx

E syi

E sy = min  f yy
ε
 y
 ρ x .E sx
[ Ds ] =  0
 0
•
0
ρ y .E sy
0
0
0
0
Matriz de Transformação, Matriz de Transformação Transposta e Matriz Total de Rigidez:
ψ = 180 − θ a

cosψ 2
[T ] = 
senψ 2
− 2. cosψ 2 .senψ 2

[T ]T
 cosψ 2

=  senψ 2
cosψ 2 .senψ 2

senψ 2
cosψ 2 .senψ 2 

− cosψ 2 .senψ 2 
cosψ 2 − senψ 2 
cosψ 2
2. cosψ 2 .senψ 2
senψ 2
cosψ 2
− cosψ 2 .senψ 2
− 2. cosψ 2 .senψ 2 

2. cosψ 2 .senψ 2 
cosψ 2 − senψ 2 
[D] = [T ]T [Dc ] [T ] + [ Ds ]
•
Cálculo das Novas Deformações:
 ε xm 
 fx 



−1 
 ε ym  = [ D]  f y 
γ xym 
v xy 


 
•
Cálculo das Deformações Principais a partir do Circulo de Mohr:
rad =
2
(ε ym − ε xm ) 2 + γ xym
2
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154
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
(ε xm + ε ym )
cen =
2
e1 = rad + cen
e2 = cen − rad
•
Cálculo do Novo Ângulo Theta:
 0,5.γ xym 

 (ε ym − ε xm ) 
θ = arc tan 
•
Cálculo das Tensões nas Armaduras para o Novo Estado de Deformação:
f sxa = E s .ε x ≤ f yx
f sya = E s .ε y ≤ f yy
•
Cálculo da Tensão de Compressão no Concreto para o Novo Estado de Deformação:
f 2,max,a =
fc
0,8 + 170.ε 1
f
f 2,max ≥  2,max, a
 fc
 ε  ε
f 2 = f 2,max .2 2  −  2
  ε c   ε c
•




2



Cálculo da Tensão de Tração no Concreto para o Novo Estado de Deformação:
Se ε 1 < ε cr → f 1a = ε 1 .E c
Se ε 1 ≥ ε cr → f 1a =
•
f cr
1 + 500.ε 1
Aplicação do Procedimento “Crack Check” para Limitar a Tensão Principal de Tração:
s mθ =
1
senθ cosθ
+
s mx
s my
w = ε 1 .s mθ
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155
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
ν ci ,max,a ≤
0,18. f c
0,31 + 24w/(φ a + 16)
f 1cx = ρ x .( f yx − f sx )
f 1cy = ρ y .( f yy − f sy )
f1b = f1cx . cos 2 θ + f1cy .sen 2θ
ν ci ,max,b ≤ f1cx − f1cy sen 2θ . cos 2 θ
f 1c = f 1cx + min(ν ci ,max,a ,ν ci ,max,b ). tan θ
f 1d = f 1cy + min(ν ci ,max,a ,ν ci ,max,b ). tan θ
f 1 = min( f 1a , f1b , f 1c , f 1d )
•
Resultados Finais de Tensão:
f1 − f 2
2
f + f2
cens = 1
2
= cens − rads. cos 2θ + ρ x . f sx
rads =
f x _ new
f y _ new = cens − rads. cos 2θ + ρ y . f sy
v xy _ new = rads.sen2θ
•
Verificação do Critério de Convergência:
 fx 
 
f =  fy 
v xy 
 
f new
 f x _ new 


=  f y _ new 
 v xy ,new 


 f x   f x _ new 
  

Se Tol =  f y  −  f y _ new  < 0,00001 → Convergência Obtida (STOP)
v xy   v xy ,new 
  

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156
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
 f x   f x _ new 
  

Se Tol =  f y  −  f y _ new  > 0,00001 → Efetuar novo loop, assumindo:
v xy   v xy ,new 
  

ε x = ε xm
ε y = ε ym
γ xy = γ yxm
f _ 1g = f1
f _ 2g = f 2
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157
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
Anexo D – Dimensionamento de Elementos de Membrana
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158
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%% Dimensionamento de Elementos Sujeitos ao Estado de Membrana %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%
%
(##### Descrição dos Parâmetros #####)
%
%
%
% Nx = Força normal característica na direção x (kN/m);
% Ny = Força normal característica na direção y (kN/m);
% Nxy = Força de cisalhamento característica (kN/m);
% h = Espessura do painel (m);
% fck = Resistência característica do concreto à compressão (MPa);
% fcd = Resistência de cálculo do concreto à compressão (MPa);
% fyk = Resistência característica das armaduras à tração (MPa);
% fyd = Resistência de cálculo das armaduras à tração (MPa);
% gama_c = Coeficiente de minoração do concreto;
% gama_s = Coeficiente de minoração do aço;
% gama_f = Coeficiente de majoração dos carregamentos;
% Nxx = Força característica na armadura na direção x (kN/m);
% Nyy = Força característica na armadura na direção x (kN/m);
% Nc = Força característica no concreto (kN/m);
% fc_max = Máxima tensão de cálculo suportada pelo concreto (MPa);
% theta = ângulo de inclinação da escora (graus);
% As_x = Armadura necessária na direção x (cm2/m);
% As_y = Armadura necessária na direção y (cm2/m);
% As_min = Armadura mínima necessária (cm2/m);
% Es = Módulo de elasticidade das armaduras (MPa);
% Ec = Módulo de elasticidade do concreto (MPa);
% fcr = Tensão de fissuração do concreto à tração (MPa)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%% Clear screen
clc
clear
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%% Dados de Entrada
Nx = 0.000001;
Ny = 0.000001;
Nxy = 444.50;
h = 0.07;
fck = 20.5;
fyk = 442;
gama_c = 1;
gama_s = 1;
gama_f = 1;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%% Levantamento dos Esforços
% Caso 1
% Asx e Asy Necessários
if Nx >= -abs (Nxy) && Ny >= -abs(Nxy)
Caso = 1;
theta = 45;
Nxx = Nx + abs(Nxy);
Nyy = Ny + abs(Nxy);
Nc = (-2*abs(Nxy));
fc_max = 0.6*(1 - fck/250)*(fck/gama_c);
end
% Caso 2
% Só Asy Necessário
if Nx < -abs (Nxy) && Ny >= ((Nxy)^(2))/(Nx)
Caso = 2;
theta = atand(-Nx/Nxy);
Nxx = 0;
Nyy = (Ny - (((Nxy)^2)/(Nx)));
Nc = (Nx + (((Nxy)^2)/(Nx)));
fc_max = 0.6*(1 - fck/250)*(fck/gama_c);
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159
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
end
% Caso 3
% Só Asx Necessário
if Nx > (((Nxy)^2)/(Ny)) && Ny < -abs (Nxy)
Caso = 3;
theta = atand(-(Nxy/Ny));
Nxx = Nx - (((Nxy)^2)/Ny);
Nyy = 0;
Nc = (Ny + (((Nxy)^2)/(Ny)));
fc_max = 0.6*(1 - fck/250)*(fck/gama_c);
end
% Caso 4
% Asx e Asy Desnecessários
if Nx < -abs (Nxy) && Ny < ((Nxy)^(2))/(Nx)
Caso = 4;
theta = atand(-Nx/Nxy);
Nxx = 0;
Nyy = 0;
Nc1 = ((Nx + Ny)/2)- sqrt(((Nx - Ny)/2)^(2)+ ((Nxy)^(2)));
Nc2 = ((Nx + Ny)/2)+ sqrt(((Nx - Ny)/2)^(2)+ ((Nxy)^(2)));
Nc_list = [Nc1 Nc2];
Nc = min (Nc_list);
a = Nc2/Nc1;
k = (1 + 3.65*a)/((1+a)^2);
fc_max = 0.85*(1 - fck/250)*(fck/gama_c)*k;
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%% Dimensionamento das Armaduras
% Cálculo das Armaduras Mínimas
% Armadura Mínima Convencional
As_min1 = (0.15*h*100);
% Armadura Mínima Segundo Hoogenboom
Es = 210000;
Ec = 5600*(fck)^(1/2);
fcr = 0.33*sqrt(fck);
As_min2 = (((Ec*fcr)/(Ec*(fyk + fcr)- Es*fcr))*100)*h*100;
As_min_list = [As_min1 As_min2];
As_min = max(As_min_list);
% Cálculo das Armaduras Necessárias
fyd = fyk/gama_s;
Asx = (gama_f*Nxx)/(fyd*0.10);
Asy = (gama_f*Nyy)/(fyd*0.10);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%% Tensão Atuante no Concreto CEB-FIP MC90
fc_d = abs((gama_f*Nc*0.001)/h);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%% Impressão dos Resultados
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
('********** DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS DE MEMBRANA *************');
('\n');
('(((Software Desenvolvido por Rafael Souza & João Pantoja, 2011)))');
('\n');
('\n');
('*****************************************************************');
('\n');
('******************* Resumo dos Dados de Entrada *****************');
('\n');
('*****************************************************************');
('\n');
('\n');
('Força Nx (kN/m)= %2.2f \n', Nx);
('Força Ny (kN/m)= %2.2f \n', Ny);
('Força Nxy (kN/m)= %2.2f \n', Nxy);
('Resistência Característica do Concreto à Compressão (MPa)= %2.2f \n', fck);
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160
Análise e Dimensionamento de Elementos de Membrana em Concreto Estrutural
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
if fc_d
fprintf
else
fprintf
end
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
fprintf
('Resistência Característica ao Escoamento das Armaduras (MPa)= %2.2f \n', fyk);
('Coeficiente de Minoração do Concreto = %2.2f \n', gama_c);
('Coeficiente de Minoração do Aço = %2.2f \n', gama_s);
('Coeficiente de Majoração das Ações = %2.2f \n', gama_f);
('\n');
('******************************************************************');
('\n');
('****************** Resultados do Dimensionamento *****************');
('\n');
('******************************************************************');
('\n');
('\n');
('Caso de Carregamento = %2.0f \n', Caso);
('Ângulo Theta (Graus)= %2.2f \n', theta);
('Armadura Calculada na Direção X, Asx(cm2/m)= %2.2f \n', Asx);
('Armadura Mínima na Direção X, As_min_x(cm2/m)= %2.2f \n', As_min);
('Armadura na Direção Y, Asy(cm2/m)= %2.2f \n', Asy);
('Armadura Mínima na Direção Y, As_min(cm2/m)= %2.2f \n', As_min);
('Tensão de Cálculo Atuante no Concreto, fc_d(MPa)= %2.2f \n', fc_d);
('Tensão Limite no Concreto, fc_max(MPa)= %2.2f \n', fc_max);
>= fc_max
('fc_d > fc_max, Risco de Ruptura por Compressão!!!');
('fc_d < fc_max, Não Há Risco de Ruptura por Compressão!!!');
('\n');
('\n');
('*****************************************************************');
('\n');
('\n');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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161
7 – Apresentação de Relatório de Estágios de Pesquisa Internacional
Internacional
Durante a realização da presente pesquisa, observou-se que os elementos de membrana
possuem forte ligação com outras teorias, como por exemplo, o "Stress Field Method" e o
"Stringer and Panel Method". Dessa maneira, foi feita uma missão de investigação internacional
junto as Universidades de Lausanne (Suiça) e Delft (Holanda), tendo-se em vista a excelente
receptividade dos professores Aurélio Muttoni (Escola Politécnica de Lausanne) e Pierre
Hoogemboom (Universidade Tecnológica de Delft).
Deve-se observar que no plano de pesquisa inicial havia a previsão de uma missão para o
Canadá, objetivando obter informações mais aprofundadas a respeito da "Modified
Compression Field Theory". Uma vez que não houve retorno do Prof. Evan Bentz, parceiro
direto de pesquisa do Prof. Collins (desenvolvedor da referida teoria), optou-se pela procura de
parceiros científicos interessados na cooperação a longo prazo. Deve-se observar que também
tendou-se realizar pesquisas junto ao grupo do Prof. Thomas Hsu, na Universidade de
Houston, mas também não houve manifestação quanto à nossa intenção.
As investigações realizadas nas Universidades de Delft e Lausanne foram tão produtivas que
um novo projeto, intitulado " Análise e Dimensionamento Utilizando o "Método dos Campos
de Tensão" e o "Método Corda-Painel" foi encaminhado e aprovado pelo CNPQ. Espera-se que
essa parceria produtiva possa ser mantida ao longo dos próximos anos, de maneira a ampliar
a utilização dos referidos métodos em nosso pais.
“Relatório de Estágios de Pós-Doutorado de Curta Duração
Realizados na École Polytechnique Fédérale de Lausanne
(Suíça) e na Tecnology University of Delft (Holanda)"
Pesquisador: Prof. Dr. Rafael Alves de Souza
Instituição de Vinculação: Universidade Estadual de Maringá
Lausanne e Delft, Julho de 2011
Agradecimentos
Gostaria de agradecer todos os amigos conquistados durante esse período extremamente curto, mas
incrivelmente produtivo nas Universidades de Lausanne (Suíça) e Delf (Holanda). Em especial, meus
sinceros agradecimentos aos seguintes colegas: Prof. Dr. Aurelio Muttoni, Prof. Dr. Miguel Fernandez Ruiz,
Prof. Dr. Daniel Alexander Kuchma, Prof. Dr. Olivier Burdet, Prof. Dr. Pierre Hoogemboom, Prof. Dr. Angelo
Simoni, Eng. Stefano Campana, Eng. Rojas Horna Franco Rodolfo, Enga Galina Argirova, Eng. Thibault
Clément, Eng. Jürgen Einpaul, Eng. Stefan Lips, Eng. Francisco Natário e Eng. Michael Rupf.
Meus agradecimentos especiais à Srta Yvonne Buhel, secretária da EPFL, que tão bem cuidou dos
preparativos para a nossa chegada em Lausanne, em especial pela nossa casa confortável em Ecublens
negociada a tempo em alta temporada junto à Naef Imobilier. Ao Hotel West Cord em Delft, que durante
vários dias no serviu de casa, com um atendimento fora do comum.
Meus sinceros agradecimentos à Universidade Estadual de Maringá, pela liberação durante o período e por
me fornecer todo suporte ao longo dos anos que venho atuando como professor e pesquisador. Meus
agradecimentos aos meus alunos, orientandos de iniciação científica e mestrado, bem como colegas de
trabalho pela paciência e suporte durante meu período de afastamento.
Meus agradecimentos à Fundação Araucária e Cnpq pelo suporte em pesquisa nos últimos três anos. Sem
vosso apoio financeiro seria praticamente impossível estabelecer uma estrutura mínima objetivando
acompanhar os desenvolvimentos de pesquisadores de ponta na modelagem das estruturas de concreto
estrutural sujeitas a descontinuidades.
Meu inestimável reconhecimento à minha família (Nilson, Ângela, Sinho, Vi, Roberto, Luiz, Ana) por todo
suporte, amor e companheirismo. Meu eterno agradecimento à minha amada esposa Daniela, meu bambino
querido Gabriel (4 meses e já feliz na estrada!) e minha "mother in law" Sueli Corazza. Juntos percorremos
inúmeros quilômetros entre Lausanne e Delft, cortamos países completamente diferentes e experimentamos
o sabor de várias línguas, só para que eu pudesse aprender um pouco mais sobre "stress fields" e "stringerpanel". Acima de tudo, ao meu bom amigo lá de cima, sempre me protegendo e proporcionando momentos
inesquecíveis para a minha memória.
2
"Conhecimento real é saber a
extensão da própria ignorância."
(Confúcio)
3
1. Introdução
O presente relatório tem por objetivo apresentar as principais atividades de pós-doutorado de curta duração
desenvolvidas na École Polytechnique Fédérale de Lausanne (Suíça) e na Tecnology University of Delft
(Holanda), durante o mês de Julho de 2011. As presentes investigações foram previstas em projetos de
pesquisa financiados junto à Fundação Araucária e Cnpq, ambos com o título “Análise Não-Linear de
Elementos de Membrana em Concreto Estrutural”.
Na École Polytechnique Fédérale de Lausanne as pesquisas desenvolvidas foram orientadas pelo Prof. Dr.
Aurélio Muttoni, com forte interação junto aos doutores Miguel Fernandez Ruiz, Olivier Burdet, e com o Prof.
Dr. Daniel A. Kuchma (University of Illinois at Urbana-Champaign), que encontrava-se em período sabático
na referida instituição. Basicamente, as atividades concentraram-se na aplicação do Método dos Campos de
Tensões ("Stress Fields"), com o estudo focado em aplicações manuais e computacionais (aprendizado do
programa JCONC), conforme ilustra o documento apresentado no Anexo A.
Procurou-se em especial investigar a aplicação do Método dos Campos de Tensão para o dimensionamento
de elementos de membrana, de maneira que informações mais aprofundadas sobre tal procedimento serão
apresentadas em maior profundidade no presente relatório. Adicionalmente, teve-se a oportunidade de
apresentar a palestra denominada “Collapses of Structures: Learning from Errors”, cujos slides encontram-se
no Anexo B.
Na Technology University of Delft, as atividades foram desenvolvidas sob a orientação do Prof. Dr. Pierre C.
J. Hoogenboom, sendo que as atividades se concentraram na aplicação manual e computacional do Método
Corda-Painel ("Stringer-and-Panel Method"), conforme atesta o documento presente no Anexo C. Em
especial, as atividades ficaram focadas no domínio de um método manual para o cálculo das forças internas
atuantes nas cordas e nos paineis, de maneira que o método possa ter competitividades com outras
alternativas como o "Metódo dos Campos de Tensão" e "Modelos de Escoras e Tirantes". Adicionalmente,
procurou-se entender toda a programação contida no programa SpanCad, de maneira que no futuro possa
ser desenvolvida ferramenta semelhante.
Finalmente, a presente missão científica, apesar de extremamente rápida, possibilitou a interação com
pesquisadores de renome internacional, cujo trabalho encontra-se consolidado através de inúmeros artigos e
livros. O contato direto com os referidos pesquisadores possibilitou a obtenção de informações difíceis de
serem obtidas ou produzidas nos meios mencionados, uma vez que se tratam de técnicas muito específicas
para o dimensionamento de estruturas especiais em concreto armado. Acredita-se que as atividades
iniciadas nesse curto espaço de tempo darão luz a uma parceria científica muito produtiva nos próximos
anos, sendo que proposta de pesquisa será imediatamente encaminhada ao Cnpq no que se refere à
renovação da Bolsa Produtividade em Pesquisa.
As informações ora aqui contidas refletem o período extremamente breve experimentado junto a
pesquisadores de Lausanne e Delft. Para informações mais aprofundadas, favor consultar as referências que
serão aqui indicadas bem como artigos do presente pesquisador a serem publicados no futuro.
4
2. Método dos Campos de Tensão ("Stress Fields Method")
2.1 Introdução
Desde os primeiros cálculos de dimensionamento do concreto estrutural tem-se reconhecido a deficiência do
concreto em absorver tensões de tração. Dessa maneira, desde o princípio tem-se admitido que o concreto
resista exclusivamente à compressão e que armaduras metálicas possam resistir tanto à tração quanto à
compressão.
O modelo referido anteriormente ficou conhecido na literatura como "Modelo de Treliça Clássica" e foi
introduzido por RITTER (1899), sendo posteriormente refinado por MÖRSCH (1908). Dessa maneira,
também pode-se encontrar referências ao "Modelo de Treliça Clássica" como sendo o "Modelo de Treliça de
Ritter & Morsch", de maneira a homenagear os dois pesquisadores alemães.
O "Modelo de Treliça Clássica" foi amplamente estudado durante as décadas de 60 e 70 na Universidade de
Stuttgart e ganhou grande destaque no Brasil a partir dos trabalhos publicados por LEONHARDT & MÖNNIG
(1977 e 1978). Finalmente, nas década de 80 e 90, a generalização do "Modelo de Treliça Clássica" para a
análise de peças sujeitas à descontinuidades ficou conhecida como "Modelo de Escoras e Tirantes" ou
"Método das Bielas", também ocorrendo na Universidade de Stuttgart através dos trabalhos clássicos de
SCHLAICH et al. (1987) e SCHÄFER & SCHLAICH (1991).
Deve-se observar que o "Método das Bielas" desenvolveu-se a partir de equações de equilíbrio, baseandose em esforços internos estimados nas escoras e nos tirantes antes da ocorrência da fissuração do concreto,
isto é, a partir de análises elásticas. Tal alternativa de dimensionamento de estruturas de concreto sujeitas a
descontinuidades ( "Regiões D") usufruiu atualmente de grande destaque em códigos internacionais como o
o CEB-FIP Model Code 1990 (1993), CSA (1994), EHE (1999) e ACI-318 (2005).
Em paralelo ao desenvolvimento do "Método das Bielas" e baseando-se em pesquisas independentes
baseadas na Teoria da Plasticidade, pesquisadores das universidades de Zürich e Coppenhagen
desenvolveram um método alternativo para a análise de estruturas de concreto esturutural sujeito a
descontinuidades, denominado "Método dos Campos de Tensão". Entre os trabalhos pioneiros nessa área,
destacam-se aqueles publicados por DRUCKER (1961), THÜRLIMANN et al (1975 e 1983), NIELSEN et al
(1978) e MARTI (1980).
Atualmente, merecem destaque as publicações de MUTTONI et al (1997), RUIZ & MUTTONI (2007),
KOSTIC (2009) e MUTTONI et al (2011). Adicionalmente, deve-se observar que o método foi adotado pela
norma suíça SIA 262 (2003), tendo-se em vista a grande potencialidade do modelo para o dimensionamento
de regiões especiais.
Na realidade, pode-se afirmar que os modelos de escoras e tirantes resultantes do "Método das Bielas" nada
mais são do que representações discretas (resultantes) dos fluxos de tensão obtidos com o auxílio do
"Método dos Campos de Tensão". Enquanto o "Método das Bielas" considera condições de equilíbrio
5
baseadas em análises elásticas, o "Método do Campo de Tensões" assume o equilíbrio a partir de análises
considerando os materiais com comportamento elasto-plástico.
Observa-se que na realidade, que o "Método das Bielas" e o "Método dos Campos de Tensão" são métodos
complementares e ambos possibilitam ao engenheiro de estruturas excelentes abordagens no que se refere
o dimensionamento de estruturas especiais em concreto estrutural. No entanto, conforme demonstrado por
MUTTONI et al (2008) e SOUZA (2008), a imposição de armaduras mínimas em malha em estruturas do tipo
parede pode ocasionar grande distorção dos modelos de escoras e tirantes concebidos a partir de análises
puramente elástica, fato esse que só pode ser superado através de análise plásticas ou não-lineares.
Dessa maneira, o "Método dos Campos de Tensão" fornece uma abordagem mais genérica e ajustada aos
requisitos práticos necessários na armação das estruturas em concreto armado e protendido, uma vez que
pode levar em conta o fluxo das tensões considerando-se a presença das malhas de armaduras mínimas
normalmente exigidas pelos códigos normativos, bem como o comportamento não-linear dos materiais.
2.2 Fundamentos Básicos do "Método dos Campos de Tensão"
De acordo com PRAGER & HODGE (1951), o Limite Estático (Limite Inferior) da Teoria da Plasticidade pode
ser definido da seguinte maneira:
"Um estado de cargas [Qi] que pertence a um campo de tensões que satisfaça às condições de equilíbrio e
às condições de contorno estáticas, e que ao mesmo tempo não viola a condição de plasticidade pode ser
considerado um limite inferior da carga de ruptura [Qr], ou seja, [Qi] ≤ [Qr]"
Por outro lado, ainda de acordo com PRAGER & HODGE (1951), o Limite Cinemático (Limite Cinemático) da
Teoria da Plasticidade pode ser definido da seguinte maneira:
"Um estado de cargas [Qs] correspondente a um mecanismo lícito que satisfaça as condições de contorno
geométricas e a condição de plasticidade em zonas plásticas corresponde a um limite superior da carga de
ruptura [Qr], ou seja, [Qs] ≥ [Qr]"
Observa-se que o Limite Inferior da Teoria da Plasticidade é muito útil nos casos de dimensionamento,
enquanto o Teorema Superior pode ser extremamente valioso nos casos de verificação. Por exemplo, o
Limite Inferior pode ser reescrito da seguinte maneira, no caso de dimensionamento de peças em concreto
estrutural:
"Um dimensionamento plástico pode ser efetuado ao se escolher um campo de tensões em equilíbrio com as
cargas de dimensionamento, de maneira que as dimensões adotadas para o concreto e quantidade de
armaduras dimensionadas levem a uma resistência superior aos esforços internos".
6
A Figura 1 ilustra o dimensionamento de uma viga continua utilizando tal metodologia e extraída das notas
de aula de RUIZ (2009). Conforme pode-se observar, a viga continua está sujeita a um sistema de cargas
que por sua vez encontra-se em equilíbrio com um campo de tensões escolhido. Em seguida, procura-se
dimensionar o elemento estrutural de maneira que a resistência (linhas em vermelho) seja superior aos
esforços instalados.
Figura 1 - Exemplo de dimensionamento utilizando-se o Limite Inferior da Teoria da Plasticidade
(Fonte: RUIZ (2009))
Por outro lado, a verificação de elementos estruturais em concreto estrutural pode ser feita tanto através do
Limite Inferior ou através dos Limites Combinados (combinação entre o Limite Inferior e o Limite Superior
caso se busque a carga de ruptura exata). Dessa maneira, uma solução exata [Qr] pode ser obtida através
de uma solução combinada entre os limites apresentados anteriormente. Ou seja, a carga exata de ruptura
[Qr] deve estar em equilíbrio com um campo de tensões que satisfaça a condição plástica e forme um
mecanismo lícito, conforme ilustra a Tabela 1.
Tabela 1 - Limite Superior e Inferior da Teoria da Plasticidade
Limite Inferior
Solução Exata
Limite Superior
Equilíbrio
Sim
Sim
Sim
Condição de Plasticidade
Sim
Sim
?
Mecanismo Lícito
?
Sim
Sim
Resultado
[Qi] ≥ [Qr]
[Qr]
[Qs] ≤ [Qr]
Dessa maneira, uma verificação plástica pode ser efetuada através da escolha de um mecanismo lícito.
Assim, o sistemas de cargas exteriores que satisfaz a condição cinemática da plasticidade pode ser
determinado. O mecanismo escolhido será a solução exata segundo a Teoria da Plasticidade caso exista um
campo de tensões em equilíbrio com o sistema de cargas ao mesmo tempo que se respeita a condição de
plasticidade imposta. Caso isso não seja possível, um novo mecanismo deve ser escolhido, até que seja
possível determinar a carga de ruptura exata segundo a Teoria da Plasticidade.
A Figura 2, também extraída das notas de aula de RUIZ (2009) ilustra a busca pela solução exata da carga
de ruptura de uma viga contínua. Conforme pode-se observar, procura-se obter a combinação entre um
mecanismo lícito e a ocorrência de plasticidade em zonas plásticas. Caso as duas situações ocorram em
7
simultâneo, e se verifique ainda o equilíbrio do campo de tensões para as cargas externas, pode-se obter a
carga exata de ruptura segundo a Teoria da Plasticidade.
Figura 2 - Obtenção da carga exata de ruptura segundo os Limites Combinados da Teoria da Plasticidade
(Fonte: RUIZ (2009))
Classicamente, o "Método dos Campos de Tensão" tem sido tradicionalmente baseado no Limite Inferior da
Teoria da Plasticidade, com a adoção de uma lei constitutiva rígido-plástica para o concreto, em contraste
com o comportamento perfeitamente elástico usualmente assumido no "Método das Bielas", conforme ilustra
a Figura 3. A Figura 4, por sua vez, procura ilustrar o comportamento usualmente assumido para as
armaduras.
Figura 3 - Comparação entre o comportamente elástico do concreto assumido para o "Método das Bielas" e
o comportamento rígido-plástico classicamente assumido no "Método dos Campos de Tensão"
(Fonte: RUIZ & MUTTONI (2007))
Figura 4 - Comportamento usualmente assumido para as armaduras no "Método dos Campos de Tensão"
(Fonte: RUIZ (2009))
8
Para a construção de campos de tensão recorre-se a três elementos básicos, muito semelhantes àqueles
usualmente empregados no "Método das Bielas": as escoras, os tirantes e os nós. No entanto, observa-se
que os limites de tensão recomendados para o "Método dos Campos de Tensão" diferem um pouco
daqueles usualmente sugeridos para o "Método das Bielas". Basicamente, procura-se levar em conta o efeito
de tensões transversais de tração na máxima resistência à compressão do concreto, conforme ilustram os
casos apresentados na Figura 5.
Tipo de Solicitação
Concreto confinado
ativamente ou
passivamente e sem
fissuração
Concreto sem fissuração
sujeito à compressão
uniaxial
Concreto fissurado com
deformação lateral imposta
Concreto fissurado com
deformação diagonal
imposta
Tensão efetiva (
f ce )
f cp + 4. σ lateral
Aplicações
•
Compressão triaxial
•
Confinamento lateral
•
Introdução de cargas
concentradas
•
Compressão simples
com armadura de
controle de fissuração
•
Pilares, muros e vigas
em flexão
f cp
0,8. f cp
•
•
Muros
•
Lajes
Vigas com deformação
lateral
•
0,6. f cp
•
•
0,4. f cp
Concreto sem controle de
abertura de fissuras
Teoria da
Plasticidade não é
aplicável
Lajes com torção
Vigas com cortante ou
torção
•
Concreto fissurado com
armadura plastificada nas
duas direções
Muros
Vigas ou muros com
armadura longitudinal
e transversal
plastificadas
•
Elementos com
armadura mínima
insuficiente
•
Punção
Figura 5 - Resistência das escoras para o "Método dos Campos de Tensão"
(Adaptado MUTTONI & RUIZ (2006))
9
As equações a seguir ilustram o máxima nível de tensão permitido nas escoras, a partir da Figura 5:
σ c,max,d ≤ f ce,d
f ce ,d =
Equação (1)
f ce
Equação (2)
γc
Os tirantes são os elementos encarregados de transmitir tração, sendo materializados na estrutura real
mediante o uso de barras passivas ou ativas (protensão). A ancoragem dos tirantes pode ser realizada via
aderência caso se tenha um bom comprimento de ancoragem ou mediante o emprego de placas de
ancoragem, como aquelas ilustradas na Figura 6.
Figura 6 - Emprego de placas metálicas para a ancoragem de tirantes em viga de transição
(Fonte: FILHO (2008))
Para os tirantes, além da capacidade de ancoragem, deve-se ainda verificar se:
σ s ,d ≤ f yd =
f yk
γs
Equação (3)
Os nós são os pontos onde ocorrem a confluência das diferentes escoras e tirantes. Conforme pode-se
observar pela Figura 7, os nós desenvolvidos com o "Método dos Campos de Tensão" se aproximam muito
daqueles propostos com o "Método das Bielas".
Apesar do "Método das Bielas" e do "Método dos Campos de Tensão" apresentarem fortes analogias, devese observar que há também algumas diferenças importantes. Uma vez que um campo de tensões lícito é
proposto, pode-se obter diretamente um modelo de escoras e tirantes, a partir da disposição de diferentes
escoras e tirantes como resultantes de campo de tensão. Dessa maneira, o emprego do "Método dos
Campos de Tensão" se constitui em uma boa guia para a definição de modelos de escoras e tirantes. A
situação contrária, isto é, o estabelecimento de campos de tensões a partir de modelos de escoras e tirantes,
ainda que possível, leva a uma situação bem mais dificil de se realizar, não podendo-se garantir uma
unicidade na solução.
10
Figura 7 - Resistência dos nós para o "Método dos Campos de Tensão" (MUTTONI & RUIZ (2006))
2.3 Breve Metodologia para Obtenção de Campos de Tensão
Os elementos estruturais em concreto estrutural são normalmente constituídos de sistemas estaticamente
indeterminados quando observados internamente. Dessa maneira, no caso de dimensionamento de
estruturas em concreto estrutural, é necessário reconhecer as diferentes formas de transmissão dos
carregamentos, bem como identificar as diferentes resistências dos subsistemas resultantes. Deve-se
observar que os subsistemas a serem definidos não necessitam ainda apresentar a mesma resistência.
Ainda que seja possível estabelecer infinitos subsistemas (infinitas formas de distribuição interna), deve-se
observar que apenas alguns subsistemas garantem um correto comportamento do elemento estrutural tanto
no estado limite de serviço quanto no estado limite último. Adicionalmente, quanto maior for a deformação
unitária de um elemento (subsistema), tanto maior será a quantidade de armadura necessária.
11
A Figura 8 apresenta o desenvolvimento de campos de tensão satisfatórios para uma estrutura complexa a
partir de considerações cinemáticas. Em primeiro lugar se escolhe livremente uma forma possível de
transmissão das cargas aplicadas (Figura 8(a)), bem como a forma provável de deformação do elemento
estrutural para tal subsistema. Para que no cálculo os elementos possam ser considerados como corpos
rígidos, supõe-se que nas zonas armadas as deformações estarão concentradas em fissuras distribuídas de
pequena abertura. De maneira a evitar deformações concentradas (fissuras de grande abertura) são
introduzidos subsistemas adicionais nessas zonas. Esse procedimento vai se repetindo sucessivamente até
que se obtenha um campo de deformações satisfatório com o seu respectivo campo de tensões.
Figura 8 - Exemplo de desenvolvimento de campos de tensão para elemento complexo
(Fonte: KOSTIC (2009))
2.4 Breve Descrição do Programa JCONC
De maneira a simular o comportamento de estruturas em concreto armado e protendido através do "Método
dos Campos de Tensão", foi desenvolvido na École Polytechnique Fédérale de Lausanne o programa
jCONC. Na realidade, o programa é resultado da fusão de outros dois programas, o iMESH (préprocessador) e o iCONC (processador e pós-processador). A seguir são apresentadas algumas
características, sendo que no trabalho de RUIZ & MUTTONI (2007) pode-se obter informações mais
aprofundadas.
Os programas foram totalmente desenvolvidos em código Java, possibilitando assim simulações via Internet
(http://i-concrete.epfl.ch) e acúmulo dos resultados em rede. Adicionalmente, o código-fonte do programa é
aberto e pode ser modificado objetivando atender as necessidades do usuário. De maneira muito breve, as
seguintes características básicas são observadas nos programas:
•
•
•
•
•
•
•
Possibilidade de modelagem bidimensional elástica e não-linear;
Adoção de comportamento elasto-plástico para os materiais;
Resistência à tração do concreto desprezada;
Consideração das deformações transversais de tração em regiões de concreto comprimidas;
Negligência do efeito de engrenamento dos grãos;
Adoção de hipótese de ancoragem perfeita;
Geração automática da malha de elementos finitos com elementos triangulares.
12
Apesar do modelo rígido-plástico ser vastamente assumido na Teoria da Plasticidade para o concreto, RUIZ
& MUTTONI (2007) propõem a adoção de um comportamento elasto-plástico perfeito do concreto, que tem
produzido excelentes resultados.
Conforme pode-se observar pela Figura 9, a partir do campos dos deslocamentos pode-se obter o respectivo
campo das deformações (Figura 9(a) até Figura 9(b)) e as deformações principais (Figura 9(c)). Assumindose que as tensões principais (Figura 9(f)) possuem a mesma direção das deformações principais (Figura
9(c)) pode-se calcular as tensões principais a partir das deformações principais. A curva tensão-deformação
do concreto é considerada elasto-plástica perfeita em compressão, enquanto a resistência à tração é
totalmente desprezada (Figura 9(e)). Adicionalmente, de maneira a levar em consideração o efeito das
deformações transversais na resistência à compressão do concreto, a resistência plástica equivalente é
corrigida por um parâmetro η (εj):
f cp = 3,1. f c2 / 3 .η (ε j )
η (ε j ) =
1
≤ 1,0
1/ 3
0,9 + 30. f c .ε j
Equação (4)
Equação (5)
Figura 9 - Modelagem do concreto utilizando no programa jCONC: (a) deformações, (b) Círculo de Mohr e
deformações principais, (c) direções principais, (d) superfície de ruptura para estado plano de tensão, (e)
comportamento constitutivo real e adotado (elasto-plástico perfeito) para o concreto e (f) direções assumidas
para as tensões principais. (Fonte: RUIZ & MUTTONI (2007))
Observa-se que o ato de desprezar a resistência do concreto à tração implica na necessidade de se
disponibilizar uma quantia mínima de armadura de fissuração, de maneira a se obter um comportamento
adequado para a estrutura. Essa quantia mínima de armadura garante que não ocorrerá ruptura frágil
quando da fissuração, bem como garante que as fissuras serão bem distribuídas pelo elemento ao se atingir
o estado limite de serviço.
Conforme pode-se observar pela Figura 10, as armaduras são modeladas através de uma curva bilinear
elasto-plástica com enrigecimento, sendo que no modelo de elementos finitos utiliza-se um elemento do tipo
"link" para modelar as armaduras.
13
Figura 10 - Modelagem do concreto das armaduras no "Método dos Campos de Tensão"
(Fonte: RUIZ & MUTTONI (2007))
A Figura 11 procura apresentar os campos de tensão obtidos para uma estrutura sujeita a um determinado
posicionamento de armação utilizando o programa jCONC. Conforme pode-se observar os campos de
compressão encontram-se representados em azul, enquanto os campos de tração encontram-se ilustrados
em vermelho.
Figura 11 - Exemplo de campos de tensão obtidos com o programa jCONC
Observou-se que o programa é de fácil aprendizado, conduzindo intuitivamente ao melhor posicionamento
das armaduras para as estruturas em estudo. Com as propriedades dos materiais e as condições de
contorno definidas pode-se partir para uma primeira análise, preferencialmente linear, de maneira a avaliar a
validade do modelo. Deve-se observar que do ponto de vista de definição dos materiais apenas duas
variáveis são necessárias (resistência à compressão do concreto e resistência à tração do aço), o que
diminui consideravelmente o número de variáveis normalmente envolvidas em análises não-lineares.
A partir do fluxo de tensões elásticas, pode-se facilmente adicionar armaduras nas posições necessárias ou
desejadas. Em seguida, uma nova análise é conduzida, dessa vez levando em consideração a nãolinearidade dos materiais. Caso as armaduras tenham sido colocadas em posições adequadas e suficientes,
a convergência poderá ser obtida através da satisfação das condições de equilíbrio. Caso não se obtenha a
convergência ou o erro seja muito grande, novas armaduras devem ser adicionadas, até que se obtenha
uma configuração possivel de equilíbrio para os campos de tensão.
14
O programa oferece excelente performance e pode ser utilizado em conjunto com outras ferramentas, como
por exemplo, os programas CAST e ATENA, caso uma análise mais rigorosa seja necessária. Deve-se ainda
observar que o programa supera uma grande dificuldade encontrada quando utilizando o modelo de escoras
e tirantes. É evidente que o posicionamento das armaduras, preferencialmente colocada na prática na
posição vertical ou horizontal, bem como a imposição de armaduras mínimas nos códigos normativos,
influencia o campo de tensões no interior da estrutura, podendo o mesmo se afastar do campo de tensões
idealizado a partir de uma análise elástica. Esse problema foi discutido anteriormente por SOUZA (2008) e
MUTTONI et al (2008).
Apesar de funcionar de maneira bastante eficiente, observa-se que o programa ainda necessita de alguns
ajustes na interface, bem como algumas melhorias nos arquivos de entrada de dados, principalmente no que
se refere às propriedades dos materiais e números de interações. Após a realização do presente estágio,
pode-se contribuir bastante em sugestões de melhoria do programa jCONC, objetivando deixar a ferramenta
ainda mais interativa com os usuários.
2.5 Aplicação do Método aos Elementos de Membrana
O elemento ilustrado na Figura 12 está sujeito às forças nx, ny e nxy. O dimensionamento requer a
determinação da quantidade de armadura para as direções escolhidas, bem como a determinação da
espessura do elemento de maneira que a resistência do concreto não seja excedida.
Figura 12 - Elemento de membrana em concreto armado sujeito a estado plano de tensões
De acordo com MUTTONI et al (1997), as quantidades totais de armação nas direções α e β são dadas por
Asα e Asβ, respectivamente. De maneira a se obter as quantidades de armadura por unidade de largura
(cm2/m), basta dividir as armaduras totais pelos espaçamentos das barras nas direções α e β, ou seja:
asα = Asα / sα
Equação (6)
asβ = Asβ / sβ
Equação (7)
15
As resultantes nas armaduras (nα = σsα.asα e nβ = σsβ.asβ ), bem como a força resultante no concreto
(nν = σν.t) são calculadas sepradamente para cada caso de carregamento. A Figura 13 apresenta as forças
internas devido à atuação isolada da força externa nx. Conforme pode-se observar, utiliza-se um campo de
tensòes com elementos tracionados em vermelho e comprimidos em azul.
Figura 13 - Equilíbrio do elemento sujeito exclusivamente à força nx
De acordo com MUTTONI et al (1997), as condições de equilíbrio podem ser formuladas de maneira simples
se as seções são colocadas paralelamente à direção das armaduras. Através do ajuste adequado do
elemento em relação à direção das armaduras, as resultantes de tensão podem ser facilmente
determinadas.
De maneira a se deduzir as forças a serem absorvidas em cada uma das direções propostas para as
armaduras, faz-se necessário quantificar as larguras efetivas nas quais são distribuídas as referidas
armaduras. A Figura 14 procura apresentar as larguras de distribuição das armaduras nas direções α e β,
bem como da diagonal de concreto comprimido na direção υ. As Figuras 15, 16 e 17 procuram apresentar as
deduções das larguras ∆β, ∆α e ∆υ, respectivamente.
Figura 14 - Larguras de referência para cálculo das resultantes no elemento de membrana
16
Dedução de ∆β
sen ( β − α ) =
∆β
( ∆y / cos α )
senβ . cos α − cos β .senα =
∆β =
∆β . cos α
∆y
∆y.senβ . cos α − ∆y. cos β .senα
cos α
∆β = ∆y.( senβ − tgα . cos β )
Figura 15 - Cálculo da largura de referência para as armaduras na direção β
Dedução de k
sen (90 − α ) =
∆x. cot β
k
sen 90. cos β − cos 90.senβ =
k=
∆x. cot β
k
∆x. cot β
cos β
Dedução de ∆α
sen ( β − α ) =
sen ( β − α ) =
∆α
k
∆α . cos β
∆x. cot β
senβ . cos α − cos β .senα =
∆α =
∆α . cos β
∆x. cot β
∆x. cot β .senβ . cos α ∆x. cot β . cos β .senα
−
cos β
cos β
∆α = ∆x. cot β .tgβ . cos α − ∆x. cot β .senα
∆α = ∆x.(cos α − cot β .senα )
Figura 16 - Cálculo da largura de referência para as armaduras na direção α
17
Dedução de ∆υ
sen (υ − α ) =
∆υ
∆y / cos α
senυ . cos α − cosυ .senα =
∆υ =
∆υ . cos α
∆y
∆y.senυ . cos α ∆y. cosυ .senα
−
cos α
cos α
∆υ = ∆y.senυ − ∆y. cosυ .tgα
∆υ = ∆y.( senυ − cosυ .tgα )
Figura 17 - Cálculo da largura de referência na direção υ (diagonal de concreto)
As forças resultantes nas armaduras e no concreto, por unidade de largura, para a situação apresentada na
Figura 13, isto é, elemento sujeito unicamente à força externa nx, são apresentadas a seguir:
nα =
nx
tan β . tan υ
.
2
cos α (tan α − tan β ).(tan α − tan υ )
Equação (8)
nβ =
nx
tan α . tan υ
.
2
cos β (tan β − tan α ).(tan β − tan υ )
Equação (9)
nυ =
nx
tan α . tan β
.
2
cos υ (tan υ − tan α ).(tan υ − tan β )
Equação (10)
A Figura 18 procura apresentar a ação exclusiva da força externa ny sobre o elemento de membrana.
Adicionalmente, apresenta-se o modelo de campos de tensões necessário ao equlíbrio do elemento de
membrana.
Figura 18 - Equilíbrio do elemento sujeito exclusivamente à força externa ny
18
As forças resultantes nas armaduras e no concreto, por unidade de largura, para o elemento sujeito
exclusivamente à força externa ny, são apresentadas a seguir:
nα =
nβ =
nυ =
ny
1
cos α (tan α − tan β ).(tan α − tan υ )
2
.
ny
1
cos β (tan β − tan α ).(tan β − tan υ )
.
2
ny
1
cos υ (tan υ − tan α ).(tan υ − tan β )
2
.
Equação (11)
Equação (12)
Equação (13)
Finalmente, a Figura 19 ilustra o equilíbrio do elemento sujeito exclusivamente à ação da força externa nxy.
Figura 19 - Equilíbrio do elemento sujeito exclusivamente à força externa nxy
As forças resultantes nas armaduras e no concreto, por unidade de largura, para o elemento sujeito
exclusivamente à força externa nxy, são apresentadas a seguir:
nα =
tan β + tan υ
cos α (tan α − tan β ).(tan α − tan υ )
Equação (14)
nβ =
tan α + tan υ
cos β (tan β − tan α ).(tan β − tan υ )
Equação (15)
nυ =
tan α + tan β
cos υ (tan υ − tan α ).(tan υ − tan β )
Equação (16)
n xy
2
.
n xy
.
2
n xy
2
.
A resultante das forças pode ser obtida por superposição, a partir da seleção da direção do campo de
compressão. A superposição das equações apresentadas anteriormente, leva às seguintes equações de
dimensionamento:
19
nα =
nβ =
nυ =
n x . tan β . tan υ + n y + n xy .(tan β + tan υ )
cos 2 α .(tan α − tan β ).(tan α − tan υ )
n x . tan α . tan υ + n y + n xy .(tan α + tan υ )
cos 2 β .(tan β − tan α ).(tan β − tan υ )
n x . tan α . tan β + n y + n xy .(tan α + tan β )
cos 2 υ .(tan υ − tan α ).(tan υ − tan β )
Equação (17)
Equação (18)
Equação (19)
Deve-se observar que a escolha de υ é restrita pela condição de que a força de compressão nυ deve ser
negativa, uma vez que o concreto não pode absorver forças de tração. Se nα ou nβ são negativos (força de
compressão nas armaduras), essa força pode ser reduzida até zero variando-se υ. Por outro lado, se nα ou
nβ são positivos uma variação de υ causa redução da força em uma armadura e aumento da força em outra.
Dessa maneira, a ação interna pode ser selecionada a partir de um critério apropriado tal como: menor
quantia de armadura, menor intensidade de compressão no concreto ou comportamento para cargas de
serviço. A quantidade de armaduras nas direções escolhidas, bem como a espessura do elemento de
membrana podem ser obtidas a partir das seguintes condições:
a sα . f y ≥ nα
Equação (20)
a sβ . f y ≥ n β
Equação (21)
t. f ce ≥ − nυ
Equação (22)
20
3. Método Corda-Painel ("Stringer-Panel Method")
3.1 Introdução
O Método Corda-Painel (MCP), assim como o Método dos Elementos Finitos, tem suas raízes no Método
das Forças, que foi sendo substituído gradualmente pelo Método dos Deslocamentos, devido a maior
facilidade de programação deste último.
A primeira aplicação do método foi publicada em 1960, por Argyris e Kelsey, no livro "Energy Theorems and
Structural Analysis", sendo que nessa ocasião os pesquisadores denominaram o método de "boom-panel
system". A Figura 20 ilustra uma aplicação simples do MCP no início do MEF, onde as cordas (“stringers”)
são utilizadas para suportar as forças normais e os painéis (“panels”) são utilizados para transmitir força
cortante.
Figura 20 – Modelo Corda-Painel para asa de avião
(Fonte: BLAAUWENDRAAD & HOOGENBOOM (1996))
Desta maneira, o MCP também é normalmente formulado baseando-se no Método dos Deslocamentos e a
sua implementação computacional pode ser feita com grandes facilidades, utilizando os mesmos conceitos
de análise matricial contidos no MEF.
De acordo com Simone (1998), o MCP vem sendo utilizado pela indústria aeronáutica desde o começo da
década 30 e as primeiras aplicações dentro da engenharia civil se deram com os trabalhos de Lundgren
(“Cilindrical Shells”, 1949), Nielsen (“On the Strength of Reinforced Concrete Discs”, 1971) e Kaern (“The
Stringer Method Applied to Discs with Holes”, 1979).
Rabbat & Collins (1978) apud SIMONE (1998) apresentaram um modelo tridimensional para a análise de
vigas solicitadas genericamente. Neste trabalho, uma viga era modelada através de quatro cordas paralelas
que representavam a armadura longitudinal e por quatro painéis de concreto, conforme ilustra a Figura 21.
Figura 21 - Modelo Corda-Painel para viga de concreto armado
(Fonte: SIMONE (1998))
21
No modelo de Rabbat; Collins (1978) as cordas são responsáveis por absorver os momentos fletores e as
forças normais, enquanto que os painéis de concreto são responsáveis pela absorção das forças cortantes e
dos momentos torçores. Observa-se claramente que o modelo proposto pelos pesquisadores é o que
costuma-se denominar atualmente de “Método Corda-Painel” ou “Stringer-Panel Method”.
De acordo com HOOGENBOOM (1998), um método semelhante foi aplicado em 1979 na Dinamarca, por
Nielsen e outros pesquisadores, para análise de paredes de concreto. O método, denominado de “stringer” é
muito semelhante ao MCP e otimiza a armadura para um certo carregamento, utilizando o Limite Inferior da
Teoria da Plasticidade.
O CEB-FIP Model Code 1990 (1993), nos itens 6.5.1 e 6.5.2, propõe a adoção do método denominado
“Stringer-and-Wall”, ou seja, o MCP para a análise dos esforços internos no estado limite último de estruturas
constituídas por paredes-finas, na falta de um método mais preciso. Em 1999, o método denominado de
"Stringer Method" foi implementado no código dinamarques DS411 (1999), nomeadamente outra referência
ao Método Corda-Painel.
Atualmente, várias pesquisas vêm sendo conduzidas no assunto, principalmente na Universidade da
Dinamarca, na Escola Politécnica de Milão (Itália) e na Universidade de Delft (Holanda), sendo que estas
universidades mantêm um forte intercâmbio de pesquisadores, visando difundir a utilização do Método
Corda-Painel. Observa-se que as pesquisas foram mais fortes no final da década de 90 e parecem ter
adormecido nos anos 00 em diante.
Apesar do adormecimento mencionado anteriormente, algumas pesquisas têm sido focadas principalmente
na expansão do método para o estado tridimensional e para o caso de estruturas bidimensionais com
contornos irregulares, isto é, estruturas bidimensionais que não apresentem ortogonalidade entre as suas
faces. Também tem sido dada bastante importância à implementação computacional do método.
Um programa computacional bastante interessante, já foi inclusive implementado em ambiente CAD
(“Computer Aided Design”), com todas as potencialidades do Método Corda-Painel. Trata-se do programa
SPANCAD, desenvolvido por BLAAUWENDRAAD & HOOGENBOOM (1996), na Universidade de Delft e que
pôde ter os detalhes conhecidos a fundo por ocasião da presente pesquisa de pós-doutorado. Mais adiante
são apresentados detalhes do referido programa.
Dentre as publicações disponíveis sobre o assunto, merecem destaque os trabalhos desenvolvidos por
BLAAUWENDRAAD & HOOGENBOOM (1996), BONTEMPi et al. (1998), SIMONE (1998), HOOGENBOOM
(1998), SIMONE et al. (1999), BIONDINI et al. (1999) e SIMONE & MALERBA (2001).
3.2 Breve Descrição do Método
De acordo com BLAAUWENDRAAD & HOOGENBOOM (1996), o MCP tem grande aplicabilidade em
estruturas de concreto do tipo parede e pode ser considerado como um método intermediário entre o Método
das Bielas e o Método dos Elementos Finitos.
22
O MCP é mais indicado atualmente para estruturas do tipo parede, no entanto, resultados têm demonstrado
que o método também pode ser utilizado com sucesso para vigas e consolos. Observa-se que o MCP é um
método atrativo, depois do MEF e MB, para uma classe específica de problemas estruturais.
Por enquanto, este método alternativo tem sido desenvolvido apenas para geometrias ortogonais, onde as
bordas da estrutura considerada são horizontais e verticais. No entanto, pesquisas têm sido conduzidas
visando expandir a aplicação do método para estruturas bidimensionais com geometria não ortogonal.
A idéia principal do MCP consiste no fato de que uma estrutura bidimensional de concreto pode ser
modelada dentro de um sistema de cordas (“stringers”) e painéis (“panels”) retangulares de concreto,
conforme ilustra a Figura 22. Através da aplicação do método obtém-se um “Modelo Corda-Painel” para
determinada estrutura.
Figura 22 - Estrutura discretizada com Modelo Corda-Painel e detalhe dos elementos
As cordas são utilizadas para a transferência de força normal e podem ser horizontais ou verticais. Desta
maneira, uma corda pode resultar tracionada, comprimida ou tracionada-comprimida em um certo trecho da
estrutura. As cordas são verificadas da mesma maneira como se verificam os elementos utilizados no
Método das Bielas. Por exemplo, se uma corda está sendo comprimida a tensão no concreto deve ser
verificada e, caso ultrapasse a tensão efetiva do material, deve-se prever armaduras para o confinamento da
corda, visando aumentar a resistência à compressão da mesma. Por outro lado, se uma corda estiver sendo
tracionada, despreza-se a resistência do concreto à tração e determina-se a quantidade de armaduras
necessárias para combater a força normal atuante na corda.
Os painéis, por sua vez, são elementos retangulares de concreto que são disponibilizados sempre entre
quatro cordas. Estes elementos devem possuir uma malha ortogonal de armaduras, capaz de absorver a
força cortante desenvolvido no painéis.
De acordo com BLAAUWENDRAAD & HOOGENBOOM (1996), apenas uma força cortante ocorre em um
painel e esta força tem o mesmo valor v por unidade de comprimento em todas as posições do painel. Esta
força cortante v também trabalha na interface entre o painel e as cordas que se localizam em sua borda e,
de acordo com as considerações de equilíbrio, a força normal na corda pode aumentar ou diminuir
linearmente, conforme ilustra a Figura 23.
23
Figura 23 - Comportamento linear das forças normais nas cordas
(Adaptado de BLAAUWENDRAAD & HOOGENBOOM (1996))
Dessa maneira, observa-se que normalmente o MCP introduz armaduras principais na direção de atuação
de cargas e apoios, como também armaduras secundárias, distribuídas em forma de malha nos painéis
idealizados para a estrutura.
O esquema de funcionamento do MCP é semelhante ao MB, sendo que os painéis e as cordas, assim como
as escoras e os tirantes, devem ser colocados em posições estratégicas no interior da estrutura, visando
obter um encaminhamento realista dos esforços.
Uma vez definido um Modelo Corda-Painel para uma determinada estrutura, é feita uma análise linear para a
determinação dos esforços atuantes nas cordas e nos painéis. De posse dos esforços é possível quantificar
as armaduras resistentes e efetuar o detalhamento do elemento estrutural em análise. A Figura 24 apresenta
os esforços obtidos de um Modelo Corda-Painel utilizado para modelar uma viga-parede com um furo na
alma, também investigada por Schäfer & Schlaich (1988) através de um Modelo de Escoras e Tirantes.
Figura 24 - (a) Viga-parede com furo na alma investigada com um Modelo CordaPainel e (b) Esforços obtidos na análise linear do modelo
(Fonte: BLAAUWENDRAAD & HOOGENBOOM (1996))
24
O problema apresentado na Figura 24 também foi investigado por SIMONE et al. (1999), BIONDINI et al.
(1999) e SIMONE & MALERBA (2001). De uma maneira geral, observou-se para este caso isolado que a
utilização do MCP leva a adoção de uma armadura em malha maior do que aquela obtida com o Método das
Escoras e Tirantes, bem como, a uma armadura principal inferior.
3.3 Cálculo Manual Utilizando o Método Corda-Painel
Apesar do Método Corda-Painel estar bem orientado computacionalmente, observa-se que tal alternativa de
análise e dimensionamento não teve o merecido tratamento para a condução de cálculos manuais. Em
nossa opinião, o método parece ser tão atrativo quanto o Método das Bielas para cálculos manuais,
fornecendo respostas rápidas que podem servir de orientação em problemas mais complexos, evitando
assim uma análise cega do ponto de vista computacional.
Nesse sentido, acredita-se que o grande mérito da presente pesquisa de curta duração na Universidade de
Delft é justamente o questionamento e a orientação de como o presente método pode ser conduzido
manualmente. Surpreendentemente, os Prof. Dr. Pierre Hoogemboom e Dr. Angelo Simoni nunca haviam
pensado em tal situação, uma vez que sempre haviam pensado no problema somente pelo ponto de vista
computacional, tentando otimizar os cálculos.
Observa-se que os dinamarqueses vêm aplicando o método há tempos, inclusive com recomendações pela
norma DS411. No entanto, mesmo quando pesquisado o termo "Stringermetoden", nome do método em
dinamarques, apenas algumas poucas referências relativas aos pesquisadores Nielsen e Damkilde, da
Universidade da Dinamarca, puderam ser encontradas.
Apresenta-se no presente relatório algumas estratégias de cálculo manual para o presente método,
fundamentadas a partir dos trabalhos publicados por HAUKSDÓTTIR (2007), JENSEN (2010), NIELSEN &
HOANG (2011).
No endereço web a seguir, (http://it.civil.aau.dk/it/education/sem6_2006/projects/group_c112/), pode-se
encontrar um trabalho prático muito interessante utilizando o Método Corda-Painel. Apesar da dificuldade de
tradução da linguagem original do trabalho (dinamarquês) e da identificação dos autores/título do trabalho,
pode-se entender relativamente bem o desenvolvimento matemático e a rotina de cálculo na determinação
das forças internas em uma peça estrutural, conforme ilustra a Figura 25. Conforme pode-se observar,
apresenta-se a geometria acompanhada das condições de contorno, bem como as forças desenvolvidadas
no interior dos painéis e nas cordas.
No livro de JENSEN (2010) também foi possível encontrar boas passagens ilustrando a aplicação do Modelo
Corda-Painel, porém mais uma vez a barreira de linguagem se faz presente, uma vez que a publicação
também encontra-se em dinamarques. No entanto, o desenvolvimento matemático mais uma vez pode ser
compreendido com certo nível de atenção e conhecimento prévio do método.
25
Figura 25 - Peça modelada com o Método Corda-Painel
(Disponível em http://it.civil.aau.dk/it/education/sem6_2006/projects/group_c112/)
HAUKSDÓTTIR (2007) conduziu um trabalho muito interessante, no qual comparou resultados de
dimensionamento de uma parede estrutural obtidos através dos programas SAP2000 e Etabs e pelo o
Método Corda-Painel. A Figura 26 apresenta a geometria da parede investigada, bem como, o resultado de
armação obtido utilizando o referido método.
26
Figura 26 - Parede estrutural modelada com o Método Corda-Painel
(Fonte: HAUKSDÓTTIR (2007))
De acordo com Hauksdóttir (2007), o método é baseado no Limite Inferior da Teoria da Plasticidade, isto é, a
capacidade de carga esperada de uma estrutura dimensionada com o auxílio de tal método será igual ou
inferior a carga de ruína real. Ainda de acordo com o pesquisador, o método pode ser utilizado em qualquer
material onde a Teoria da Plasticidade seja válida, ou seja, materiais em que as deformações plásticas são
muito menores do que as deformações plásticas numa situação extrema.
Ainda de acordo com HAUKSDÓTTIR (2007), o método vem sendo utilizado há muitos anos nas estruturas
metálicas e, recentemente, vem ganhando espaço no dimensionamento de estruturas em concreto. O
processo basicamente começa imaginando a estrutura situada em um sistema de coordenadas com eixos
horizontais em x e eixos verticais em y. Em seguida, a estrutura é basicamente dividida em cordas
("stringers") paralelas aos eixos x e y, e os pontos onde as cordas se encontram recebem números. Entre as
cordas definidas formam-se áreas retangulares fechadas (painéis) que também são numerados, conforme
ilustra o exemplo apresentado na Figura 27.
Figura 27 - Estratégia de numeração no processo manual do Método Corda-Painel
(Fonte: HAUKSDÓTTIR (2007))
Conforme pode-se observar pela Figura 27, a estrutura foi dividida em nós, cordas e painéis. De maneira
geral, uma corda é difinida como a distância entre dois nós consecutivos. Por outro lado, uma "linha-corda" é
definida por todas as cordas que constituem um segmento. De acordo com o código DS411, a largura da
27
corda não deve ser superior a 20% da menor largura do painel adjacente que forma ângulos retos com a
referida corda.
A ideia é de que as tensões de cisalhamento nos painéis e as forças normais nas cordas podem ser
calculadas considerando apenas condições de equilíbrio. As cargas e as reações são definidos como cargas
concentradas atuantes nos nós ou como tensões de cisalhamento atuantes nas cordas. As cordas absorvem
as tensões axiais e podem estar tracionadas ou comprimidas. Por outro lado, os paineis (retângulos)
absorvem apenas tensões de cisalhamento e as mesmas são consideradas constantes dentro de cada
painel. Devido ao fato da tensão de cisalhamento ser contante dentro dos paineis, a força nas redondezas
das cordas varia linearmente entre os nós.
De acordo com HAUKSDÓTTIR (2007), é melhor calcular a tensão de cisalhamento nos painéis e depois a
força nas cordas. As cordas tracionadas necessitam de aço para absorver tração, de maneira que a
armadura necessária pode ser calculada conforme a seguir:
As ,t =
Ft
f yd
Equação (23)
Uma vez que os cálculos são conduzidos com base na Teoria da Plasticidade, se a corda estiver comprimida
a tensão no concreto não pode ser superior à resistência plástica do concreto, ou seja, ν.fcd = 0,5.fcd, onde ν
é conhecido como fator de eficiência do concreto. Assim, a área das cordas comprimidas pode ser calculada
conforme abaixo:
Ac ,c =
Fc
Fc
=
ν . f cd 0.5. f cd
Equação (24)
Se o concreto não for capaz de absorver toda a tensão de compressão mesmo com o aumento da
espessura, a corda também pode ter uma armadura complementar de confinamento, de maneira a aumentar
a resistência. SIMONE (1998) apresenta meios de se dimensionar a armadura de confinamento longitudinal
e tranvsersal, bem como apresenta um equacionamento bastante útil para o cálculo de aberturas de fissuras
nas cordas.
Nos painéis, a armadura é colocada de maneira paralela e ortogonal ao sistema de coordenadas ou também
às cordas. A armadura nos painéis pode ser obtida conforme abaixo, onde b é a espessura dos painéis:
As =
τ max .b
f yd
Equação (25)
28
Evidentemente, todo esforço direcionado para o dimensionamento de elementos de membrana pelo autor do
presente relatório, também pode ser extremamente útil no dimensionamento dos painéis. Para tanto, faz-se
referência aos trabalhos de SOUZA (2011).
Aparentemente, o Método Corda-Painel foi desenvolvido em 1979 por Nielsen, objetivando o
dimensionamento de paredes estruturais. No entanto, observa-se que o tratamento do referido autor é na
maior parte do tempo focado em um desenvolvimento matemático, deixando para segundo plano as
aplicações práticas. Apresenta-se na sequência, algumas informações recentes obtidas sobre o método,
onde pode-se encontrar algumas breves passagens sobre o cálculo manual.
De acordo com NIELSEN & HOANG (2011), pode-se começar impondo a distribuição da tensão de
cisalhamento nos paineis, de maneira que as forças nas cordas podem ser facilmente determinadas. Tomese, por exemplo, a estrutura apresentada na Figura 28.
Figura 28 - Estrutura discretizada com modelo Corda-Painel
(Fonte: NIELSEN & HOANG (2011))
Se for utilizada uma malha (a x h), pode-se obter a tensão de cisalhamento em cada retângulo, a partir da
transmissão das forças nas cordas verticais. Dessa maneira, a tensão de cisalhamento em cada retângulo
será dada por τ = P/h.t, onde t é a espessura do painel.
A força nas cordas horizontais varia linearmente de P.a/h até zero, indo do centro para as extremidades.
Deve-se observar que a corda superior é de tração, enquanto a corda inferior estará tracionada.
Consequentemente, a estrutura necessitará de armadura discreta na borda inferior e armadura em malha
distribuída nos painéis.
A Figura 29 apresenta uma estrutura sujeita a uma abertura, sendo que a tensão de cisalhamento pode ser
livremente escolhida nas áreas 1 e 2. Dessa maneira, a tensão de cisalhamento na área 3 pode ser
determinada pela projeção vertical. De maneira análoga, se o valor da tensão de cisalhamento é escolhido
para a área 4, a tensão de cisalhamento na área 5 pode ser determinada também por projeção vertical. As
tensões de cisalhamento nas áreas 6 e 7 são determinadas por projeção horizontal, enquanto a tensão de
cisalhamento na área 8 pode ser determinada tanto por projeção horizontal quanto por vertical, deixando
uma equação com equação de controle.
29
Figura 29 - Estrutura com abertura discretizada com modelo Corda-Painel
(Fonte: NIELSEN & HOANG (2011))
A Figura 30 apresenta um dente Gerber modelado com um modelo Corda-Painel. Os valores da tensão de
cisalhamento nas áreas 1 e 2 são estaticamente determinados. Os valores das tensões de cisalhamento nas
áreas 3, 7, 4, 8, 5 e 9 podem ser livremente escolhidos. Dessa maneira, as tensões de cisalhamento nas
áreas 11, 12 e 13 podem ser encontradas via projeção vertical e as tensões nas áreas 6 e 10 via projeção
horizontal. Finalmente, a tensão de cisalhamento na área 14 pode ser encontrada via projeção horizontal ou
vertical, restando assim uma equação de controle.
Figura 30 - Consolo discretizado com modelo Corda-Painel
(Fonte: NIELSEN & HOANG (2011))
Um conjunto estaticamente admissível de tensões de cisalhamento nos painéis é apresentado na Figura 3.
Observa-se a necessidade do detalhamento de uma armadura de suspensão, isto é, da corda vertical que
une as áreas 2, 3, 7 e 11.
30
A Figura 31 apresenta um nó de pórtico sujeito a um momento fletor M que tende a abrir a conexão.
Conforme pode-se observar, o momento fletor é transformado em um sistema de forças estaticamente
equivalentes (binários) atuando nas linhas da malha proposta. É evidente que as tensões de cisalhamento
nas áreas 1 e 3 serão nulas. Por outro lado, através de projeções horizontais ou verticais através da área 2,
pode-se encontrar que τ = M/h1.h2.t. As forças nas cordas decresce linearmente de um valor máximo
absoluto até zero, nas regiões de união com a área 2.
Figura 31 - Nó de pórtico discretizado com modelo Corda-Painel
(Fonte: NIELSEN & HOANG (2011))
A Figura 32 apresenta o problema de reforço de uma região ao redor de uma abertura numa zona sujeita a
cisalhamento. Para uma certa distância da abertura, a tensão de cisalhamento é τ. A abertura tem
dimensões retangulares de a x b, com lados paralelos às seções sujeitas a cisalhamento puro. Imagina-se
que a armadura adicional deva ser determinada pelos comprimentos x e y ilustrados na Figura 32.
Figura 32 - Estrutura com abertura discretizada com modelo Corda-Painel
(Fonte: NIELSEN & HOANG (2011))
31
As tensões de cisalhamento são facilmente determinadas pelas projeções horizontais e verticais, requerendo
que a armadura adicional seja aquela de uma seção com o mesmo comprimento na zona sujeita a
cisalhamento puro. Para este caso, obtém-se valores iguais de cisalhamento nas quatro áreas A. Em
seguida, as áreas B terão o mesmo valor e similarmente para as áreas C.
Se a abertura não é retangular, a solução é ainda aplicável se uma zona retangular sobrepondo a referida
abertura for utilizada. A área entre a abertura e a zona retangular deve ser evidentemente reforçada com
alguma armadura extra. Maiores informações sobre reforço de regiões com abertura utiizando o Método
Corda-Painel podem ser obtidas em Kaern (1979).
Nos exemplos apresentados, o sinal da tensões de cisalhamento são perceptíveis. Em casos mais
complexos, uma convenção para as tensões de cisalhamento pode ser adotada e os cálculos podem ser
conduzidos de maneira sistemática a partir da convenção adotada.
Quando a distribuição das tensões de cisalhamento é estaticamente indeterminada, as tensões de
cisalhamento podem ser escolhidas de maneira a se obter uma armadura total mínima. No que se refere a
cálculos manuais, alguns engenheiros experientes são capazes de chegar a boas soluções com poucas
iterações. Normalmente, o procedimento inicia-se com uma solução que satisfaça o equilíbrio, sendo que
essa solução é modificada até que se obtenha a armadura mais econômica. Atualmente, programas
computacionais capazes de fornecer soluções com armaduras mínimas baseando-se no Método CordaPainel são descritos em DAMKILDE et al (1994).
Conforme pode-se observar, as pesquisas referentes ao Método Corda-Painel são mais analisadas do ponto
de vista computacional do que manual. Porém, durante a presente visita e, reunindo as poucas informações
presentes na literatura, pode-se estabelecer um procedimento prático para o cálculo manual utilizando o
Método Corda-Painel.
Surpreendentemente, a rotina desenvolvida para cálculos manuais se apresentou bastante prática e com
resultados confiáveis, podendo levar a uma obtenção de resultados inclusive mais veloz que o Método das
Escoras e Tirantes. Tal possibilidade é extremamente interessante para os engenheiros envolvidos com
projetos estruturais que ocasionalmente necessitam dimensionar estruturas complexas cujo nivel de forças
internas é desconhecido.
O método manual ora aqui proposto possibilita pelo menos a condução de verificações rápidas, evitando
assim análises cegas normalmente conduzidas em programas computacionais avançados. Dessa maneira, o
engenheiro pode verificar rapidamente os esforços em algumas seções e pode confronatar os resultados
obtidos numericamente com a utilização de ferramentas mais avançadas. Tal procedimento pode dar mais
segurança no dimensionamento de estruturas complexas e pode evitar que novas ruínas, tal como a ocorrida
com a plataforma Sleipner, sejam evitados.
32
Outro ponto interessante do procedimento manual ora aqui proposto está na fortes características de ensino.
Através de exemplos simples, pode-se ilustrar de maneira bastante lógica a analogia como o Método dos
Elementos Finitos é concebido. Adicionalmente, conforme se aumenta o número de cordas e paineis do
modelo, há uma convergência de resultados do método Corda-Painel para o que seria obtido utilizando um
modelo de elementos finitos bidimensional.
Tendo-se em vista o curto espaço de tempo na realização da presente pesquisa, os resultados obtidos
manualmente na Universidade de Delft, bem como os procedimentos necessários para tal rotina serão
compilados futuramente em um artigo científico a ser publicado em parceria com o Prof. Dr. Pierre
Hoogemboom.
3.4 Breve Descrição do Programa SpanCad
O MCP foi implementado por BLAAUWENDRAAD & HOOGENBOOM (1996) no ambiente gráfico do
programa AutoCAD, utilizando as linguagens de programação AutoLISP (pré e pós-processador) e C++
(processador). O programa denominado de SPANCAD (Stringer PANel Computer Aided Design) é livremente
distribuído na Internet (http://www.mechanics.citg.tudelft.nl/spancad/) e ilustrado na Figura 33.
Figura 33 - Interface do programa SpanCad no interior do programa AutoCAD.
O SPANCAD chama a atenção pela sua interatividade com o usuário e também pelo fato de que uma vez
calculada a estrutura esta pode ser imediatamente detalhada utilizando os recursos de desenho e plotagem
disponíveis no ambiente do AutoCAD.
Basicamente, o processo de funcionamento do programa compreende o desenho da geometria da estrutura,
a definição das cordas e dos painéis, a definição das propriedades dos materiais e as condições de
vinculação. Todas essas etapas são simplesmente desenhadas utilizando os recursos do AutoCAD.
33
Após desenhar a estrutura executa-se uma primeira análise elástica, objetivando determinar as forças
atuantes nas cordas e nos painéis. A partir das forças obtidas adicionam-se as armaduras necessárias à
estrutura e executa-se uma análise não-linear, capaz de prever o comportamento da estrutura no estado
limite último.
A partir dos resultados gerados, tais como aberturas de fissuras, deflexões, forças, direções principais de
tensão e carga de ruína, tomam-se as decisões a respeito das armaduras introduzidas. Observa-se que o
cálculo das armaduras não é feito de maneira automática pelo programa.
No programa SPANCAD as cordas e os painéis podem ser investigados de cinco maneiras distintas:
“Linear”, “Cracked”, “Real”, “Strengthening” e “Plastic”. Estes comportamentos para os materiais são
ilustrados na Figura 34 e descritos com maiores detalhes a seguir.
Figura 34 – Modos de comportamento dos materiais disponíveis no SPANCAD
(Fonte: SPANCAD Help (2001))
No modo “Linear”, o concreto e as armaduras são modelados como materiais elástico-lineares. Dessa
maneira, as cordas e os painéis não sofrem fissuração, escoamento, esmagamento ou ruptura. Além disso,
os painéis só carregam cisalhamento em suas faces.
No modo “Cracked” o concreto comprimido tem comportamento elástico-linear e o concreto tracionado é
modelado realisticamente, incluindo fissuração e “tension-stiffening”. A armadura é admitida como sendo
elástico-linear tanto para tração quanto para compressão.
No Modo “Real”, o concreto e o aço são modelados precisamente, de maneira que as cordas e os painéis
representem o seu comportamento verdadeiro, adequado com o comportamento encontrado em ensaios
experimentais.
No modo “Strengthening”, a corda ou o painel apresentam um comportamento no modo “Real” antes da
ruína. No entanto, após a ruptura os elementos se enrijecem o quanto podem, de maneira a suportar as
forças que ainda existem.
Finalmente, no Modo “Plastic” a corda ou o painel também apresentam um comportamento no modo “Real”
antes da ruína. No entanto, após a ruptura os elementos mantêm a capacidade de suporte e passam a
escoar.
34
A Figura 35 procura apresentar os resultados de uma viga-parede simulada com o Modelo Corda-Painel
utilizando o programa SpanCAD. Conforme pode-se observar, o programa é capaz de fornecer os esforços
internos, as deformações, as quantidades de armaduras e as aberturas de fissuras, constituindo-se em uma
excelente ferramenta para a anaálise e dimensionamento de estruturas especiais.
Figura 35 - Viga-parede modelada no programa SpanCAD
Conforme mencionado, o programa SpanCAD conta com todos os benefícios gráficos do programa
AutoCAD. No entanto, durante o estágio realizado na Universidade de Delft, foi possível obter o código-fonte
do programa principal (processador) em linguagem Pascal, conforme apresentado no ANEXO D do presente
relatório.
Uma vez que o referido código foi explicado em minucias durante a visita pelo Prof. Dr. Pierre Hoogemboom,
espera-se no futuro implementar os conceitos do Modelo Corda-Painel em um programa próprio a ser
compilado na plataforma Matlab, a partir do código-fonte obtido. Acredita-se que dessa maneira, os usuários
poderão obter maior independência do plataforma AutoCAD.
35
4. Conclusões
O Método dos Campos de Tensão se apresenta como uma alternativa bastante interessante para a análise e
dimensionamento de estruturas em concreto estrutural sujeitas a descontinuidades. Além disso, pode-se
entender o método como uma ferramenta um pouco mais completa do que o Método das Bielas,
possibilitando ao calculista um tratamento mais genérico e relativamente mais preciso devido a justificativas
que serão descritas adiante.
Na realidade, modelos de escoras e tirantes obtidos a partir da aplicação do Método das Bielas nada mais
são do que as resultantes obtidas de campos de tensão elásticas. Ou seja, a partir dos campos de tensão,
pode-se facilmente obter-se modelos de escoras e tirantes. Por outro lado, observa-se que é dificil definir
campos de tensão a partir de modelos de escoras e tirantes. Tal motivo, é apenas uma das justificativas que
garantem ao Método do Campo das Tensões uma análise mais genérica.
Além disso, os modelos de escoras e tirantes obtidos através do Método das Bielas não levam em
consideração a presença de aramduras mínimas e nem o efeito do posicionamento preferencial das
armaduras nas direções horizontais e verticais. Na realidade, os modelos de escoras e tirantes acabam
sendo ajustados, tendo-se em vista que normalmente os campos de tração conduzem a posicionamentos
inclinados para as armaduras.
Utilizando-se o Método dos Campos de Tensão, pode-se avaliar com maior precisão o efeito das armaduras
mínimas no fluxo interno de tensões. Além disso, o posicionamento das armaduras nas direções
preferenciais, ou seja, nas direções horizontais e verticais, também pode ser melhor avaliado. Ou seja, pelo
Método dos Campos de Tensão leva-se em conta que o posicionamento das armaduras contribua no fluxo
interno de tensões, contribuindo assim para um modelo matemático mais preciso em relação à peça real.
Além disso, questões como deformabilidade e aberturas de fissuras podem ser tratadas de uma maneira
mais eficiente no Método dos Campos de Tensão.
No presente trabalho, teve-se acesso a informações privilegiadas do Método dos Campos de Tensão na
École Polytechnique Fédérale de Lausanne (Suíca), uma vez que orientador do presente estágio, Prof. Dr.
Aurelio Muttoni, realizou seus estudos na Universidade de Zurich, escola onde o método foi inicialmente
proposto na década de 70. Dessa maneira, pode-se obter detalhes sobre a implementação do programa
JConc, utilizado para a simulação de estruturas de concreto utilizando a referida metodologia.
O programa JConc se mostrou uma ferramenta muito eficiente para a simulação de estruturas de concreto
utilizando o Método dos Campos de Tensão. Basicamente, os materiais são considerados com
comportamento elasto-plástico, com a possibilidade de redução da capacidade resistente do concreto à
compressão devido a deformações transversais de tração. O problema é tratado levando-se em
consideração a presença de malha de elementos finitos com elementos sempre triangulares e a armadura é
tratada de maneira discreta. Os resultados obtidos demonstraram que a ferramenta pode ser utilizada com
grande versatilidade tanto para atividades pedagógicas quanto para atividades envolvendo a prática
profissional.
36
Na oportunidade da realização do presente estágio, o Prof. Dr. Daniel Alexander Kuchma (University of
Illinois at Urbana-Champaign) estava em seu período sabático na École Polytechnique Fédérale de
Lausanne, de maneira que foi possível restabelecer uma nova aproximação (o mesmo já havia sido nosso
orientador de pós-doutorado em 2006) com boa perspectiva para novas parceriais.
Para um primeiro momento, ficou combinada a condução de trabalhos futuros envolvendo a análise nãolinear de diversas vigas-parede já ensaiadas experimentalmente na University of Illinois (KUCHMA et al
(2008)). A ideia é comparar os resultados experimentais com resultados numéricos de análises não-lineares
a serem conduzidoas nos programas ATENA, CAST e JCONC. Esse trabalho deve produzir excelente
interação para os próximos três anos, envolvendo pesquisadores da École Polytechnique Fédérale de
Lausanne, University of Illinois at Urbana-Champaign e Universidade Estadual de Maringá.
Uma outra abordagem interessante para a modelagem de estruturas de concreto estrutural sujeitas à
descontinuidades é o Modelo Corda-Painel, cujas minucias puderam ser verificadas em profundidade na
Delft University of Technology (Holanda), junto ao Prof. Dr. Pierre Hoogenboom. Acredita-se que a condução
do presente trabalho de pesquisa ajudou a chamar a atenção para um detalhe que até o momento vinha
tendo pouca atenção: o cálculo manual utilizando o referido método.
Dessa maneira, durante o período em que se ficou na Delft University of Technology, procurou-se dar
prioridade ao entendimento de como o processo poderia ser conduzido manualmente. Dessa maneira, foi
possível estabelecer uma rotina de cálculo que se demonstrou bastante atrativa, conduzindo a resultados
precisos e tão rápidos quanto àqueles obtidos com o Método das Bielas.
Observou-se que o procedimento proposto possui grande potencial didático e pode ilustrar de maneira
bastante eficiente o funcionamento do Método dos Elementos Finitos. Além disso, observa-se que o
procedimento manual, apesar de pouco abordado na literatura, pode dar aos calculistas excelentes
respostas em problemas complexos, evitando assim ruinas como aquelas verificadas com a plataforma
Sleipner.
Por outro lado, após o entendimento completo do procedimento de cálculo manual, procurou-se dominar o
procedimento numérico de cálculo, particularmente através do estudo detalhado do código-fonte do
programa SpanCAD. Na ocasião, o Prof. Dr. Pierre Hoogenboom discorreu sobre a formulação dos
elementos corda e painel, bem como explicou em detalhes o fluxograma de cálculo existente no interior do
programa. Um código-fonte em linguagem Pascal, idêntico àquele implementado no AutoCad para os
cálculos utilizando o programa SpanCAD é apresentado em maiores detalhes no Anexo D do presente
trabalho.
Finalmente, ficou combinada a redação de artigos focados na condução manual do Método Corda-Painel, de
maneira que mais calculistas possam ter acesso a tal procedimento. Ainda, espera-se que futuramente o
código-fonte obtido em linguagem Pascal possa ser implementado na plataforma Matlab, usufruindo assim
de todos os beneficios gráficos e numéricos que a referida ferramenta possui, ganhando-se assim autonomia
da plataforma do AutoCad, normalmente onerosa para estudantes e engenheiros.
37
5. Referências Bibliográficas
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38
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39
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40
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Konstruktion, ETH Zürich, 1983.
41
ANEXO A
42
43
ANEXO B
44
45
ANEXO C
46
47
ANEXO D
48
Matrix method of structural analysis
}
{ Elements: 3D bar, 2D bar, shear panel, quadrilateral shear panel, stringer, tying }
{ No nodes only degrees of freedom
}
{ Pascal
}
{ P.C.J. Hoogenboom, Last update 22 May. 2008
}
const
MaxNrDofs=300; MaxNrStrs=50; MaxNrPanels=40; MaxNrQPanels=8; MaxNrBar3Ds=20; MaxNrBar2Ds=6;
MaxNrForces=10; MaxNrTyings=10; MaxNrFixedDofs=10;
var
FPtr: TextFile;
i:
integer;
t,w,E,G: double;
{input of Kernel}
NrDofs,NrStrs,NrPanels,NrQPanels,NrBar3Ds,NrBar2Ds,
NrForces,NrTyings,NrFixedDofs: integer;
// number of dofs, number
of stringers, etc.
StrDof:
array[1..MaxNrStrs,1..3]of integer;
// dof numbers of a
stringer
StrEA,Strl:
array[1..MaxNrStrs]of double;
// externsional stiffness
and length of a stringer
PanelDof:
array[1..MaxNrPanels,1..4]of integer;
// dof numbers of a panel
PanelGt,Panela,Panelb: array[1..MaxNrPanels]of double;
// shear stiffness, whidth
and length of a panel
QPanelDof:
array[1..MaxNrQPanels,1..4]of integer;
// dof numbers of a
quadrilateral panel
x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4,
// vertex coordinates of a
quadrilateral panel
QPanelGt,QPanelEt:
array[1..MaxNrQPanels]of double;
// extentional Young's
modulus, shear modulus of the quadrilateral panels
Bar3DDof:
array[1..MaxNrBar3Ds,1..6]of integer;
// dof numbers of a Bar3D
Bar3DEA,
// extensional stiffness
Bar3Da,Bar3Db,Bar3Dc: array[1..MaxNrBar3Ds]of double;
// dimensions
Bar2DDof:
array[1..MaxNrBar2Ds,1..4]of integer;
// dof numbers of 2D bars
Bar2DEA,Bar2Da,Bar2Db: array[1..MaxNrBar2Ds]of double;
// extensional stiffness
and dimensions of Bar2D elements
ForceDof:
array[1..MaxNrForces]of integer;
// numbers of dofs at wich
a force is imposed
Force:
array[1..MaxNrForces]of double;
// imposed force
Slave,Master1,Master2: array[1..MaxNrTyings]of integer;
// dof numbers of slave and
two masters. (Tyings that try to make a slave into a master are ignored. However, a master can be
made a slave, therefore, mind the order of the tyings.)
Factor1,Factor2:
array[1..MaxNrTyings]of double;
// factors of the masters
(uSlave=Factor1*uMaster1+Factor2*uMaster2)
FixedDof:
array[1..MaxNrFixedDofs]of integer;
// numbers of dofs at wich
displacement is imposed (Will be ignored if imposed to a slave.)(If multiple displacements are
imposed to one dof only the last will be processed.)
Disp:
array[1..MaxNrFixedDofs]of double;
// imposed displacements
{output of Kernel}
u:
array[1..MaxNrDofs]of double;
StrN1,StrN2:
array[1..MaxNrStrs]of double;
forces in the stringers
PanelTaut:
array[1..MaxNrPanels]of double;
panels
QPanelTaut:
array[1..MaxNrQPanels]of double;
quadrilateral panels
Bar3DN:
array[1..MaxNrBar3Ds]of double;
Bar3Ds
Bar2DN:
array[1..MaxNrBar2Ds]of double;
Bar2Ds
SupportR:
array[1..MaxNrFixedDofs]of double;
dofs for which displacements are imposed
{variables used in Kernel}
D:
array[1..MaxNrQPanels]of double;
quadrilateral panel
Be:
array[1..MaxNrQPanels,1..4]of double;
quadrilateral panel
f:
array[1..MaxNrDofs]of double;
s:
array[1..MaxNrDofs,1..MaxNrDofs]of double;
sR:
array[1..MaxNrFixedDofs,1..MaxNrDofs]of double;
stiffness matrix to insert the fixed dofs
fR:
array[1..MaxNrFixedDofs]of double;
the force vector to insert the fixed dofs
// displacements of dofs
// begin and end axial
// shear stresses in the
// shear stresses in the
// axial forces in the
// axial forces in the
// reaction forces in the
// stiffness of a
// kinematic vector of a
// force vector
// stiffness matrix
// lines removed from the
// elements removed from
49
procedure QPanelStiffness(x1,x2,x3,x4, y1,y2,y3,y4, t,E,G: double; var D,B1,B2,B3,B4: double );
var
c1,c2,c3,c4, s1,s2,s3,s4, r1,r2,r3,r4, k1,k2,k3,k4, l1,l2,l3,l4,
t1,t2,t3,t4, g1,g2,g3,g4, j1,j2,j3,j4, p1,p2,p3,p4, h1,h2,h3,h4,
A,k,s: double;
i,j:
integer;
begin
c1:=x2-x1; c2:=x3-x2; c3:=x4-x3; c4:=x1-x4;
s1:=y2-y1; s2:=y3-y2; s3:=y4-y3; s4:=y1-y4;
r1:=x1*y2-x2*y1; r2:=x2*y3-x3*y2; r3:=x3*y4-x4*y3; r4:=x4*y1-x1*y4;
k1:=c2*(s3*r4-s4*r3)-s2*(c3*r4-c4*r3)+r2*(c3*s4-c4*s3);
k2:=c1*(s3*r4-s4*r3)-s1*(c3*r4-c4*r3)+r1*(c3*s4-c4*s3);
k3:=c1*(s2*r4-s4*r2)-s1*(c2*r4-c4*r2)+r1*(c2*s4-c4*s2);
k4:=c1*(s2*r3-s3*r2)-s1*(c2*r3-c3*r2)+r1*(c2*s3-c3*s2);
if(G>0.0)and(E>0.0)and(k1>0.0)and(k2>0.0)and(k3>0.0)and(k4>0.0)then
begin
l1:=sqrt(c1*c1+s1*s1); l2:=sqrt(c2*c2+s2*s2);
l3:=sqrt(c3*c3+s3*s3); l4:=sqrt(c4*c4+s4*s4);
A:=0.50*(r1+r2+r3+r4);
k:=0.25*(k1+k2+k3+k4);
B1:=-k1/k*l1; B2:= k3/k*l3;
B3:=-k4/k*l4; B4:= k2/k*l2;
t1:=c4-c2; t2:=s4-s2; t3:=c3-c1; t4:=s3-s1;
g1:=(c1*t1+s1*t2)/(s1*t1-c1*t2);
g2:=(t3*c2+t4*s2)/(t4*c2-t3*s2);
g3:=(c3*t1+s3*t2)/(s3*t1-c3*t2);
g4:=(t3*c4+t4*s4)/(t4*c4-t3*s4);
t1:=0.5*(c1*s3-c3*s1); t2:=0.5*(c2*s4-c4*s2);
j1:=A+t2; j2:=A-t1; j3:=A-t2; j4:=A+t1;
t1:=0.5/G; t2:=2.0/E;
p1:=t1+t2*g1*g1; p2:=t1+t2*g2*g2;
p3:=t1+t2*g3*g3; p4:=t1+t2*g4*g4;
h1:=k1/k; h1:=h1*h1;
h2:=k2/k; h2:=h2*h2;
h3:=k3/k; h3:=h3*h3;
h4:=k4/k; h4:=h4*h4;
s:=h1*p1*j1+h2*p2*j2+h3*p3*j3+h4*p4*j4;
D:=2.0*t/s
end
else
begin
B1:=0; B2:=0; B3:=0; B4:=0;
D:=0
end
end;
procedure Kernel();
var
i,j,k,l,kk,ll: integer;
a,b,c,e:
double;
sl:
array[1..6,1..6]of double;
begin
{initialise stiffness matrix}
for i:=1 to NrDofs do
for j:=1 to NrDofs do
s[i,j]:=0;
{assemble stringers}
sl[1,1]:= 4; sl[1,2]:=-6; sl[1,3]:= 2;
sl[2,1]:=-6; sl[2,2]:=12; sl[2,3]:=-6;
sl[3,1]:= 2; sl[3,2]:=-6; sl[3,3]:= 4;
for i:=1 to NrStrs do
begin
c:=StrEA[i]/StrL[i];
for k:=1 to 3 do
begin
kk:=StrDof[i,k];
for l:=1 to 3 do
begin
ll:=StrDof[i,l];
s[kk,ll]:=s[kk,ll]+c*sl[k,l]
end
end
end;
{assemble panels}
for i:=1 to NrPanels do
begin
a:=Panela[i]/Panelb[i];
e:=1/a;
50
c:=PanelGt[i];
sl[1,1]:= a; sl[1,2]:=-a; sl[1,3]:= 1;
sl[2,1]:=-a; sl[2,2]:= a; sl[2,3]:=-1;
sl[3,1]:= 1; sl[3,2]:=-1; sl[3,3]:= e;
sl[4,1]:=-1; sl[4,2]:= 1; sl[4,3]:=-e;
for k:=1 to 4 do
begin
kk:=PanelDof[i,k];
for l:=1 to 4 do
begin
ll:=PanelDof[i,l];
s[kk,ll]:=s[kk,ll]+c*sl[k,l]
end
end
end;
{assemble quadrilateral shear panels}
for i:=1 to NrQpanels do
begin
sl[1,4]:=-1;
sl[2,4]:= 1;
sl[3,4]:=-e;
sl[4,4]:= e;
QPanelStiffness(x1[i],x2[i],x3[i],x4[i],y1[i],y2[i],y3[i],y4[i],1,QPanelEt[i],QPanelGt[i],D[i],Be[i,
1],Be[i,2],Be[i,3],Be[i,4]);
for k:=1 to 4 do
begin
kk:=QPanelDof[i,k];
for l:=1 to 4 do
begin
ll:=QPanelDof[i,l];
s[kk,ll]:=s[kk,ll]+Be[i,k]*D[i]*Be[i,l]
end
end
end;
{assemble Bar3Ds}
for i:=1 to NrBar3Ds do
begin
a:=Bar3Da[i];
b:=Bar3Db[i];
c:=Bar3Dc[i];
e:=sqrt(a*a+b*b+c*c);
e:=Bar3DEA[i]/(e*e*e);
sl[1,1]:= a*a; sl[1,2]:= a*b; sl[1,3]:= a*c; sl[1,4]:=-a*a; sl[1,5]:=-a*b; sl[1,6]:=-a*c;
sl[2,1]:= b*a; sl[2,2]:= c*b; sl[2,3]:= b*c; sl[2,4]:=-b*a; sl[2,5]:=-b*b; sl[2,6]:=-b*c;
sl[3,1]:= c*a; sl[3,2]:= b*b; sl[3,3]:= c*c; sl[3,4]:=-c*a; sl[3,5]:=-c*b; sl[3,6]:=-c*c;
sl[4,1]:=-a*a; sl[4,2]:=-a*b; sl[4,3]:=-a*c; sl[4,4]:= a*a; sl[4,5]:= a*b; sl[4,6]:= a*c;
sl[5,1]:=-b*a; sl[5,2]:=-b*b; sl[5,3]:=-b*c; sl[5,4]:= b*a; sl[5,5]:= b*b; sl[5,6]:= b*c;
sl[6,1]:=-c*a; sl[6,2]:=-c*b; sl[6,3]:=-c*c; sl[6,4]:= c*a; sl[6,5]:= c*b; sl[6,6]:= c*c;
for k:=1 to 6 do
begin
kk:=Bar3DDof[i,k];
for l:=1 to 6 do
begin
ll:=Bar3DDof[i,l];
s[kk,ll]:=s[kk,ll]+e*sl[k,l]
end
end
end;
{assemble Bar2Ds}
for i:=1 to NrBar2Ds do
begin
a:=Bar2Da[i];
b:=Bar2Db[i];
e:=sqrt(a*a+b*b);
e:=Bar2DEA[i]/(e*e*e);
sl[1,1]:= a*a; sl[1,2]:= a*b; sl[1,3]:=-a*a; sl[1,4]:=-a*b;
sl[2,1]:= b*a; sl[2,2]:= b*b; sl[2,3]:=-b*a; sl[2,4]:=-b*b;
sl[3,1]:=-a*a; sl[3,2]:=-a*b; sl[3,3]:= a*a; sl[3,4]:= a*b;
sl[4,1]:=-b*a; sl[4,2]:=-b*b; sl[4,3]:= b*a; sl[4,4]:= b*b;
for k:=1 to 4 do
begin
kk:=Bar2DDof[i,k];
for l:=1 to 4 do
begin
ll:=Bar2DDof[i,l];
s[kk,ll]:=s[kk,ll]+e*sl[k,l]
end
end
end;
{attach a small spring to each dof - trick to prevent bad models from falling over}
for i:=1 to NrDofs do
s[i,i]:=s[i,i]+1e-100;
51
{process imposed forces}
for i:=1 to NrDofs do
f[i]:=0;
for i:=1 to NrForces do
f[ForceDof[i]]:=Force[i];
{process tyings}
for i:=1 to NrTyings do
begin
kk:=Slave[i];
k:=Master1[i];
l:=Master2[i];
if (s[k,k]<>-1)and(s[l,l]<>-1) then
begin
for j:=1 to NrDofs do
begin
s[k,j]:=s[k,j]+Factor1[i]*s[kk,j];
s[l,j]:=s[l,j]+Factor2[i]*s[kk,j];
s[kk,j]:=0
end;
f[k]:=f[k]+Factor1[i]*f[kk];
f[l]:=f[l]+Factor2[i]*f[kk];
f[kk]:=0;
s[kk,kk]:=-1;
s[kk,k]:=Factor1[i];
s[kk,l]:=Factor2[i]
end
end;
{process imposed displacements}
for i:=1 to NrFixedDofs do
begin
k:=FixedDof[i];
for j:=1 to NrDofs do
sR[i,j]:=s[k,j];
fR[i]:=f[k];
if s[i,i]<>-1 then
begin
for j:=1 to NrDofs do
s[k,j]:=0;
s[k,k]:=1;
f[k]:=Disp[i]
end
end;
{sweep matrix}
for i:=1 to NrDofs-1 do
begin
{largest of column}
a:=abs(s[i,i]);kk:=i;
for j:=i+1 to NrDofs do
begin
if abs(s[j,i])>a then
begin
a:=abs(s[j,i]);kk:=j
end
end;
{swap rows}
if kk<>i then
begin
for k:=i to NrDofs do
begin
a:=s[i,k];
s[i,k]:=s[kk,k];
s[kk,k]:=a
end;
a:=f[i];f[i]:=f[kk];f[kk]:=a
end;
{sweep column}
for j:=i+1 to NrDofs do
begin
a:=s[j,i]/s[i,i];
if a<>0.0 then
begin
for k:=i to NrDofs do
s[j,k]:=s[j,k]-a*s[i,k];
f[j]:=f[j]-a*f[i]
end
end
end;
{back substitution}
for i:=NrDofs downto 1 do
52
begin
a:=0.0;
for k:=i+1 to NrDofs do
a:=a+u[k]*s[i,k];
u[i]:=(f[i]-a)/s[i,i]
end;
{stringer forces}
for i:=1 to NrStrs do
begin
StrN1[i]:=StrEA[i]/Strl[i]*(-4*u[StrDof[i,1]]+6*u[StrDof[i,2]]-2*u[StrDof[i,3]]);
StrN2[i]:=StrEA[i]/Strl[i]*( 2*u[StrDof[i,1]]-6*u[StrDof[i,2]]+4*u[StrDof[i,3]])
end;
{panel forces}
for i:=1 to NrPanels do
PanelTaut[i]:=PanelGt[i]*( (u[PanelDof[i,2]]-u[PanelDof[i,1]])/Panelb[i] +(u[PanelDof[i,4]]u[PanelDof[i,3]])/Panela[i] );
{quadrilateral panel forces}
for i:=1 to NrQPanels do
QPanelTaut[i]:=D[i]*( u[QPanelDof[i,1]]*Be[i,1] +u[QPanelDof[i,2]]*Be[i,2]
+u[QPanelDof[i,3]]*Be[i,3] +u[QPanelDof[i,4]]*Be[i,4] );
{Bar3D forces}
for i:=1 to NrBar3Ds do
begin
a:=Bar3Da[i]*Bar3Da[i] +Bar3Db[i]*Bar3Db[i] +Bar3Dc[i]*Bar3Dc[i];
Bar3DN[i]:=Bar3DEA[i]/a*( Bar3Da[i]*(u[Bar3DDof[i,4]]-u[Bar3DDof[i,1]])
+Bar3Db[i]*(u[Bar3DDof[i,5]]-u[Bar3DDof[i,2]]) +Bar3Dc[i]*(u[Bar3DDof[i,6]]-u[Bar3DDof[i,3]]) )
end;
{Bar2D forces}
for i:=1 to NrBar2Ds do
begin
a:=Bar2Da[i]*Bar2Da[i] +Bar2Db[i]*Bar2Db[i];
Bar2DN[i]:=Bar2DEA[i]/a*( Bar2Da[i]*(u[Bar2DDof[i,3]]-u[Bar2DDof[i,1]])
+Bar2Db[i]*(u[Bar2DDof[i,4]]-u[Bar2DDof[i,2]]) )
end;
{support reactions}
for i:=1 to NrFixedDofs do
begin
a:=0;
for j:=1 to NrDofs do
a:=a+u[j]*sR[i,j];
SupportR[i]:=a-fR[i]
end;
end; // of Kernel
begin
NrDofs:=30; NrStrs:=12; NrPanels:=4; NrQPanels:=0; NrBar3Ds:=0; NrBar2Ds:=0; NrForces:=3;
NrTyings:=0; NrFixedDofs:=3;
StrDof[1,1]:=4; StrDof[1,2]:=5; StrDof[1,3]:=6;
StrDof[2,1]:=6; StrDof[2,2]:=7; StrDof[2,3]:=8;
StrDof[3,1]:=12; StrDof[3,2]:=9; StrDof[3,3]:=1;
StrDof[4,1]:=13; StrDof[4,2]:=10; StrDof[4,3]:=2;
StrDof[5,1]:=14; StrDof[5,2]:=11; StrDof[5,3]:=3;
StrDof[6,1]:=15; StrDof[6,2]:=16; StrDof[6,3]:=17;
StrDof[7,1]:=17; StrDof[7,2]:=18; StrDof[7,3]:=19;
StrDof[8,1]:=23; StrDof[8,2]:=20; StrDof[8,3]:=12;
StrDof[9,1]:=24; StrDof[9,2]:=21; StrDof[9,3]:=13;
StrDof[10,1]:=25; StrDof[10,2]:=22; StrDof[10,3]:=14;
StrDof[11,1]:=26; StrDof[11,2]:=27; StrDof[11,3]:=28;
StrDof[12,1]:=28; StrDof[12,2]:=29; StrDof[12,3]:=30;
t:=0.12;
w:=0.020;
E:=3e7;
StrEA[1]:=E*w*t; StrL[1]:=0.5;
StrEA[2]:=E*w*t; StrL[2]:=0.5;
StrEA[3]:=E*w*t; StrL[3]:=0.5;
StrEA[4]:=E*w*t; StrL[4]:=0.5;
StrEA[5]:=E*w*t; StrL[5]:=0.5;
StrEA[6]:=E*w*t; StrL[6]:=0.5;
StrEA[7]:=E*w*t; StrL[7]:=0.5;
StrEA[8]:=E*w*t; StrL[8]:=0.5;
StrEA[9]:=E*w*t; StrL[9]:=0.5;
StrEA[10]:=E*w*t; StrL[10]:=0.5;
StrEA[11]:=E*w*t; StrL[11]:=0.5;
StrEA[12]:=E*w*t; StrL[12]:=0.5;
53
PanelDof[1,1]:=16; PanelDof[1,2]:=5; PanelDof[1,3]:=9; PanelDof[1,4]:=10;
PanelDof[2,1]:=18; PanelDof[2,2]:=7; PanelDof[2,3]:=10; PanelDof[2,4]:=11;
PanelDof[3,1]:=27; PanelDof[3,2]:=16; PanelDof[3,3]:=20; PanelDof[3,4]:=21;
PanelDof[4,1]:=29; PanelDof[4,2]:=18; PanelDof[4,3]:=21; PanelDof[4,4]:=22;
G:=E/2;
PanelGt[1]:=G*t; Panela[1]:=0.5; Panelb[1]:=0.5;
PanelGt[2]:=G*t; Panela[2]:=0.5; Panelb[2]:=0.5;
PanelGt[3]:=G*t; Panela[3]:=0.5; Panelb[3]:=0.5;
PanelGt[4]:=G*t; Panela[4]:=0.5; Panelb[4]:=0.5;
// QPanelDof:
// x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4
// QPanelGt,QPanelEt:
// Bar3DDof:
// Bar3DEA,Bar3DL,
// Bar3DSinAlpha,
// Bar3DCosAlpha,
// Bar3DSinBeta,
// Bar3DCosBeta:
// Bar2DDof[1,1]:=1; Bar2DDof[1,2]:=4 ; Bar2DDof[1,3]:=3 ; Bar2DDof[1,4]:=2;
// Bar2DEA[1]:=2.1e3;
// Bar2Da[1]:=0; Bar2Db[1]:=2;
ForceDof[1]:=1; ForceDof[2]:=2; ForceDof[3]:=3;
Force[1]:=-0.25; Force[2]:=-0.50; Force[3]:=-0.25;
// Slave,Master1,Master2:
// Factor1,Factor2:
FixedDof[1]:=23; FixedDof[2]:=25; FixedDof[3]:=26;
Disp[1]:=0; Disp[2]:=0; Disp[3]:=0.05;
kernel();
// ShowMessage('1 N1='+FloatToStr(StrN1[1])+'
N2='+FloatToStr(StrN2[1]));
// ShowMessage('2 N1='+FloatToStr(StrN1[2])+'
N2='+FloatToStr(StrN2[2]));
// ShowMessage('3 N1='+FloatToStr(StrN1[3])+'
N2='+FloatToStr(StrN2[3]));
// ShowMessage('4 N1='+FloatToStr(StrN1[4])+'
N2='+FloatToStr(StrN2[4]));
// ShowMessage('5 N1='+FloatToStr(StrN1[5])+'
N2='+FloatToStr(StrN2[5]));
// ShowMessage('6 N1='+FloatToStr(StrN1[6])+'
N2='+FloatToStr(StrN2[6]));
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// ShowMessage('11 N1='+FloatToStr(StrN1[11])+' N2='+FloatToStr(StrN2[11]));
// ShowMessage('12 N1='+FloatToStr(StrN1[12])+' N2='+FloatToStr(StrN2[12]));
// ShowMessage('1 taut='+FloatToStr(PanelTaut[1]/t));
// ShowMessage('2 taut='+FloatToStr(PanelTaut[2]/t));
// ShowMessage('3 taut='+FloatToStr(PanelTaut[3]/t));
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ShowMessage(FloatToStr(u[2]));
end;
end.
end;
end.
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