Versuch 19: Fresnelsche Formeln

Versuch 19: Fresnelsche Formeln
Dieser Versuch behandelt die Polarisation von Licht und das Verhältnis der Lichtintensität vom
einfallenden, reflektierten und gebrochenen Strahl. Dieses Verhältnis läßt sich durch die Fresnelschen Formeln beschreiben. Die Aussagen der Fresnelschen Formeln werden für den Fall vernachlässigbarer Lichtabsorption experimentell überprüft.
Vorkenntnisse
Elektromagnetische Wellen - Maxwellsche Gleichungen - Polarisation - Polarisierbarkeit als Folge
der Transversaliät - Brechungsindex - Dielektrizitätskonstanten ε - Permeabilität µ - Snelliussches
Brechungsgesetz - Reflexionsgesetz - Totalreflexion - Grenzwinkel der Totalreflexion - Beziehung
zum Brechungsindex - Methoden zur Bestimmung des Brechungsindexes - Brewster-Winkel Methoden der Polarisierung - Fresnelsche Formeln (Grenzfälle für senkrechte Inzidenz)
Physikalische Grundlagen
Licht als elektromagnetische Welle
Aus den Experimenten der Beugung und Interferenz, der Dispersion und der Reflexion folgt, dass
das Licht eine Welle ist. Ihre Polarisierbarkeit zeigt weiter, dass es sich (in isotropen Medien) um
eine Transversalwelle handeln muss, d. h. die „Auslenkung“ schwingt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Man findet, dasspLicht dieselben Eigenschaften wie Radiowellen, insbesondere dieselbe Geschwindigkeit c0 = 1/(ε0 · µ0 ) im Vakuum besitzt und schließt daraus, dass das Licht
ebenfalls eine elektromagnetische Welle darstellt (Wellenlänge im sichtbaren Bereich 0,38 µm –
0,76 µm, Frequenzbereich ν = c0 /λ ≈ (3, 9 − 7, 9) · 1014 Hz). Sinusförmige Schwankungen der
~ sind gekoppelt mit sinusförmigen Schwankungen der magnetischen
elektrischen Feldstärke E
~ und bewegen sich mit der Geschwindigkeit c0 durch den leeren Raum, bzw. mit
Feldstärke H
√
c = c0 /n, mit n = εr · µr durch den mit Materie erfüllten Raum. (n ist der Brechungsindex,
~ und
εr die relative Dielektrizitätskonstante, und µr die relative Permeabilität.) Dabei stehen E
~
H in jedem Punkt aufeinander senkrecht. Sie sind miteinander über die Maxwell-Gleichungen
verknüpft. Ihre Beträge sind einander proportional:
r
ε ~
~
· |E|
(1)
|H| =
µ
Es genügt daher, zur Charakterisierung der Lichtwelle nur einen dieser Vektoren zu verwenden;
~ gewählt. Der Betrag |E
~ 0 | heißt Amplitude der Lichtwelle. Ihre Intensität ergibt
meist wird E
sich aus dem Poynting-Vektor (Strahlungsflußdichte):
~ = E
~ ×H
~
S
mit Gl. (1) folgt
1
(2)
2
Versuch 19: Fresnelsche Formeln
~ =
|S|
r
ε ~ 2
· |E| .
µ
(3)
~ ist die Intensität:
Der zeitliche Mittelwert von S
I =
=
=
r
Z T
Z T
1
1
ε
~
~ 2 dt
|S|dt = ·
|E|
·
·
T
T
µ 0
0
~ 0 |2 r ε Z T
|E
sin2 (ω · (t − x/v))dt
·
·
T
µ 0
r
1
ε ~ 2
·
· |E0 | .
2
µ
(4)
(5)
(6)
Die Intensität ist also proportional zum Quadrat der Amplitude der Welle.
Linear polarisiertes Licht
Die Transversalität der Welle impliziert ihre Polarisierbarkeit. Hierzu sind folgende Definitionen
üblich:
Linear polarisiertes Licht: Der elektrische Feldvektor der Lichtwelle schwingt in einer Ebene
senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (Strahlrichtung). (Es gibt auch die Möglichkeit, dass
der elektrische Vektor während des Fortschreitens der Lichtwelle seine Richtung kontinu~
ierlich ändert. Läuft z. B. die Spitze des E-Vektors
auf einer elliptisch schraubenförmigen
Bahn um die Ausbreitungsrichtung, so spricht man von elliptisch polarisiertem Licht.)
~ und dem Vektor der AusbreitungsgeschwinSchwingungsebene: Sie ist die Ebene, die von E
digkeit aufgespannt wird.
~ und dem Vektor der AusbreitungsgeschwinPolarisationsebene: Sie ist die Ebene, die von H
digkeit aufgespannt wird. Sie steht senkrecht zur Schwingungsebene.
Einfallsebene: Sie ist die Ebene, die durch das Lot auf die Grenzfläche mit dem einfallenden
und dem reflektierten Strahl gebildet wird.
Natürliches Licht enthält zugleich alle möglichen Polarisationsrichtungen, es erscheint daher als
nicht polarisiert. Mit Hilfe eines „Polarisationsfilters“ kann man eine bestimmte Polarisationsrichtung herausfiltern.
Liegt die Schwingungsebene des Lichtes im Winkel φ gegenüber der Durchlassrichtung des Polarisationsfilters, so läßt dieser nur die Vektor-Komponente in dieser Durchlassrichtung mit dem
Betrag E1 = |E|·cos φ durch. Daran sieht man, dass beliebig linear polarisiertes Licht sich vektoriell in zwei zueinander senkrecht polarisierte Wellen E1 und E2 mit E2 = |E|·sin φ zerlegen lässt.
(Besteht zwischen diesen Komponenten eine Phasendifferenz, so ergibt sich als Resultierende das
bereits erwähnte elliptisch-polarisierte Licht).
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Brechung und Reflexion
Bekanntlich teilt sich der auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien auftreffende Lichtstrahl
in einen reflektierten und einen gebrochenen Strahl auf. Für die auftretenden Winkel gilt das
Reflexionsgesetz:
(7)
αe = αr
und das Snelliussche Brechungsgesetz:
sin α
c1
n2
=
= n′ =
sin β
c2
n1
αe αa
(8)
c1
c2
β
mit n′ > 1 beim Übergang in das optisch dichtere Medium
(c2 < c1 ) bzw. n′ < 1 im umgekehrten Fall. Es soll nur der
Fall, dass im Medium kein Licht absorbiert wird betrachtet
werden.
Dann gelten für die Amplituden des reflektierten und des gebrochenen Strahls die Fresnelschen
Formeln:
ρ
⊥
=
σ⊥ =
1−n·
sin(α − β)
Er⊥
=−
=
Ee⊥
sin(α + β)
1+n·
Ed⊥
2 · sin β · cos α
2
=
=
⊥
Ee
sin(α + β)
1+n·
k
ρk =
Er
k
Ee
=−
k
σk =
Ee
Er
Ee
Er
α α
β
Ed
Ed
cos β
cos α
cos β
cos α
Ed
k
Ee
=
n−
tan(α − β)
=
tan(α + β)
n+
cos β
cos α
cos β
cos α
cos β
cos α
2
2 · sin β · cos α
=
cos β
sin(α + β) cos(α − β)
n + cos
α
(9)
(10)
(11)
(12)
Die Indizes haben dabei folgende Bedeutung:
e: einfallender, r: reflektierter und
d: durchgehender Strahl
~ schwingt senkrecht zur Einfallsebene,
⊥: E
~
k: E schwingt parallel zur Einfallsebene.
(Diese Formeln sollen nicht auswendig gelernt werden! Man präge sich besser die Kurvenverläufe ein
und überlege sich stattdessen, welche physikalischen
Gesetzmäßigkeiten und Randbedingungen zu ihrer
Herleitung nötig sind! )
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Für einige Anwendungen braucht man häufiger die in den nebenstehenden Diagrammen,
für eine Grenzschicht
dargestellten
Zusammenhänge
zwischen
Reflexionskoeffizienten ρ = |Er /Ee | bzw.
Durchlässigkeitskoeffizienten σ = |Ed /Ee | und
dem Einfallswinkel α.
Spezialfälle der Fresnelschen Formeln
An den Fresnelschen Formeln, oder einfacher an den Diagrammen erkennt man die beiden folgenden wichtige Spezialfälle:
Totalreflexion
Der erste Sonderfall betrifft den Winkel αT in den Diagrammen für den Fall n < 1. Hier tritt das
Licht vom optisch dichteren Medium (c1 ) in das optisch dünnere Medium (c2 > c1 ) über. Man
erkennt bereits am Snelliusschen Brechungsgesetz, dass für die Einfallswinkel ein Grenzwert αT
existiert, für den das Licht gerade noch gebrochen wird. Für größere Einfallswinkel wird alles
Licht reflektiert (Totalreflexion, αT : „Grenzwinkel der Totalreflexion“), es gilt:
sin α
n2
1
=
≈
= n′
sin β
n1
n1
⇒
sin β = n1 · sin α ≤ 1
⇒
sin αT =
1
= n′
n1
Diese Erscheinung wird in den sogenannten Refraktometern (siehe z. B. Bergmann-Schaefer,
Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd. III) zur bequemen Bestimmung des Brechungsindexes
verwendet.
Brewster-Winkel
Beim Einfallswinkel α = αp , dem sog. Brewster-Winkel, wird die parallel zur Einfallsebene
schwingende Komponente Er des reflektierten Lichts gleich Null, d. h. Ee dringt vollständig in
das Medium ein. Fällt also natürliches Licht, das alle Polarisationsrichtungen enthält, unter dem
Brewster-Winkel auf, so findet man in der Reflexion nur Licht, das senkrecht zur Einfallsebene
polarisiert ist, also vollständig polarisiertes Licht. Im durchgehenden Licht fehlt der durch Ed /Ee
nach den Fresnel-Formeln gegebene Teil dieser Komponente, es handelt sich also nur um teilweise
polarisiertes Licht. Nach den Fresnelschen Formeln lautet die Bedingung für αp :
αp + βp = π/2
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oder mit dem Brechungsgesetz: tan αp = n. Für den Fall des Brewster-Winkels stehen also
reflektierter und gebrochener Strahl aufeinander senkrecht. (Die angegebenen Beziehungen sollten
nachvollzogen werden!)
Diese Erscheinung kann z. B. zur Polarisation des Lichts (siehe Anhang Glasplattensatz-Polarisator) oder zur Bestimmung des Brechungsindexes n aus dem Brewster-Winkel genutzt werden.
Eine recht anschauliche Deutung der Brechung und des Brewsterwinkels ergibt sich vom atomistischen Standpunkt aus:
Hier wird die Brechung als Streuung des Lichts an den
Atomen des zweiten Mediums aufgefaßt, wobei die
Atomelektronen dem elektrischen Feld der Lichtwelle
folgen und so zu erzwungenen Schwingungen angeregt
werden. Gleichzeitig strahlen sie wie elektrische Dipole wieder elektromagnetische Wellen ab. Wie vom
Versuch: „Pohlsches Pendel“ her bekannt, tritt eine
Phasenverschiebung zwischen erregender und erregter Schwingung auf, d. h. die Elektronen strahlen das
Licht gegenüber der einfallenden Welle verzögert ab.
Insgesamt ergibt sich so eine geringere Geschwindigkeit der Welle im Medium, also die Brechung.
E
keine
Abstrahlung
Dipol
Hinweis: Auch die Erscheinungen der normalen und der anomalen Dispersion sind in diesem
Bild verständlich: Die erwähnte Phasendifferenz hängt bekanntlich von der Frequenz ab, somit
wird die Fortpflanzungsgeschwindigkeit und damit der Brechungsindex wellenlängenabhängig
(Dispersion). Stimmt die Frequenz der eingestrahlten Welle mit einer Eigenfrequenz der schwingenden Elektronen überein (Resonanz), so wird die Welle maximal absorbiert; es tritt anomale
Dispersion auf.
Experiment
Vorbereitende Aufgaben
Als Anwendung der Fresnelschen Formeln berechne man mit den Gleichungen 9 bis 12 vorbereitend:
1. ρ und σ für senkrechten Lichteinfall auf eine Grenzfläche (Medium n, nLuf t ≈ 1, Betrachtung der Feldstärken, nicht der Intensitäten)
2. ρ und σ oder Transmisions- und Reflexionskoeffizienten (T ∝ σ 2 und R ∝ ρ2 ) für eine
planparallele Glasplatte. (Übergänge an zwei Grenzflächen für senkrechten Lichteinfall.
Hinweis: Reihe bis Unendlich bilden, Konvergenz und Grenzwert der geometrischen Reihe
beachten, R + T = 1).
3. Wann tritt bei einer Reflexion ein Phasensprung um 180◦ auf? (Bei welchem n? Fallunterscheidungen n ≷ 1, Polarisationsrichtung)?
4. Man zeige mit Hilfe der Vektorzerlegung, dass sich nach Reflexion und Brechung einer
beliebig linear polarisierten Welle an einer Grenzschicht wieder eine linear polarisierte Welle
ergibt, deren Schwingungsebene jedoch im allgemeinen gegen die ursprüngliche verdreht ist.
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Versuch 19: Fresnelsche Formeln
Hilfestellungen zur Bearbeitung der oben genannten Aufgaben sind in den meisten gängigen
Lehrbüchern der Physik zu finden. Siehe z. B. D. Meschede, Gerthsen Physik oder W. Demtröder,
Experimentalphysik 2: Elektrizität und Optik.
Versuchsaufbau
Das Versuch ist gemäß der Abbildung aufgebaut. Zur Justierung des Strahlenganges sind folgende
Punkte durchzuführen:
Polarisator
Glasplatte
Lampe 6V
α
γ
Photographisches Objektiv
kurzer Brennweite mit Blende
Linse
langer Brenn180°−γ
α=
weite
2
Photoelement
1. Grundeinstellung
Die Glühwendel der Lampe ist bei zunächst geradlinigem Strahlenverlauf auf das Photoelement
abzubilden. (Im neueren Versuchsaufbau ist der Spalt scharf auf der Linse vor der Photozelle
abzubilden.) Die Lampe L und das Objektiv O sind so anzuordnen, dass die Glasplatte und der
Polarisator von Parallelstrahlen durchsetzt werden. Das Bild der Wendel sollte deutlich kleiner
sein als die Fassung des Photoelements. Die Drehachse der Glasplatte ist möglichst genau derart
einzustellen, dass sie mit der Achse des Nachweissystems zusammenfällt. Man prüfe, ob die
Abbildung der Wendel bei allen Winkeln in der Mitte des Photelements liegt.
2. Auffinden der Polarisationsrichtungen des Polarisators
Für einen von Null verschiedenen Einfallswinkel wird der Ausschlag des Messinstruments auf
ein Minimum eingestellt, indem man den Polarisator dreht (Messung am reflektierten Licht).
Welcher Schwingungsrichtung entspricht diese Polarisationsrichtung?
3. Einstellen des Messgeräts
Mit Hilfe der Blende am Objektiv wird die geeignete maximale Lichtintensität eingestellt. Der
am Messgerät eingestellte Messbereich sollte im Laufe der Messung nicht verändert werden!
4. Prüfung der Linearität der Photozelle
Da im folgenden Intensitäten verglichen werden sollen, muss garantiert sein, dass die Photozelle
in ihrem linearen Bereich arbeitet, sie darf also nicht zu stark belichtet werden. Dies läßt sich
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Versuch 19: Fresnelsche Formeln
leicht prüfen, indem die Blende am Objektiv stufenweise zugezogen wird. Die Blendenstufen an
Photoobjektiven sind derart eingestellt, dass die Apertur und damit die Intensität von Stufe zu
Stufe halbiert wird. Man trage die Messwerte sofort auf Millimeterpapier auf!
Versuchsaufgaben
1. Messung des relativen Intensitätsverlaufes
Nach der Prüfung der Linearität der Photozelle (s. o.) wird der relative Intensitätsverlauf I/I0
im reflektierten und durchgehenden Licht als Funktion des Einfallswinkels α gemessen. (I ist die
Intensität in Skalenteilen des Messinstruments, I0 die Intensität ohne Glasplatte bei α = 90◦ .) Die
Messungen sind für parallel und senkrecht zur Einfallsebene polarisiertes Licht durchzuführen
und graphisch aufzutragen. Man zeichne dabei alle gemessenen und physikalisch festgelegten
Punkte (φ = 0◦ bzw. 90◦ ) in die Diagramme ein.
2. Bestimmung des Brechungsindexes der Glasplatte
Der Brechungsindex der Glasplatte ist auf zwei Arten zu bestimmen:
1. aus dem Brewster-Winkel und
2. aus dem Verhältnis der durchgegangenen zur eingefallenen Lichtintensität bei senkrechtem
Einfall (Übungsaufgabe 2).
3. Messung des Polarisationsgrades
Der Polarisationsgrad
Ik − I⊥ Q= k
⊥
I + I des durchgehenden Lichts bei unpolarisiertem einfallenden Licht soll für α = 0◦ und α = αp
mit Hilfe des jetzt nach der Glasplatte in den Strahlengang gebrachten Analysators untersucht
werden.
Bemerkung: Alle Kurvenverläufe sind zu diskutieren und zu erklären!
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Versuch 19: Fresnelsche Formeln
Anhang
Im folgenden werden Möglichkeiten zur Herstellung von linear polarisiertem Licht vorgestellt.
Reflexion und gewöhnliche Brechung
Die Grundlagen dazu wurden oben besprochen: Bei Einfall unter dem Brewsterwinkel ist das von
einer Glasplatte (Brechungsindex n) reflektierte Licht vollständig, das durchgehende teilweise
polarisiert. Zur praktischen Verwendung ist jedoch die reflektierte Komponente zu schwach. Um
die lichtstarke durchgehende Komponenente vollständiger zu polarisieren, läßt man an einem
Glasplattensatz den Vorgang der Reflexion und Brechung unter dem Brewsterwinkel wiederholt
ablaufen. Nach den Fresnelschen Formeln gilt für α = αp , β = 90◦ − α für die 1. Grenzfläche:
k
Ed =
1
· Ee
n2
Ed⊥ =
2
· Ee
1 + n2
Ee = Ee (unpolarisiert)
Damit folgt für den Polarisationsgrad:
(1 + n2 )2 − (2 · n)2
(1 + n2 )2 + (2 · n)2
Q=
Nach der 2. Grenzfläche (1. Platte) ist:
Q1 =
αp
(1 + n2 )4 − (2 · n)4
(1 + n2 )4 + (2 · n)4
und allgemein nach m Platten:
Qm =
(1 + n2 )4m − (2 · n)4m
(1 + n2 )4m + (2 · n)4m
Zum Beispiel ergibt sich für n = 3/2 nach einer Platte Q1 = 0, 16, nach zwei Platten Q2 = 0, 31,
nach 5 Platten Q5 = 0, 66 usw. Q nähert sich mit zunehmender Plattenzahl asymptotisch dem
Wert 1 was vollständiger Polarisation entspricht.
Doppelbrechende Substanzen
Alle nicht amorphen und nicht kubisch kristallinen Substanzen sind optisch anisotrop, d. h.
Licht verschiedener Polarisation pflanzt sich in verschiedenen Kristallrichtungen mit verschieden
Geschwindigkeiten fort (außer in Richtung der „optischen Achse“), wobei nur ganz bestimmte
Schwingungsrichtungen möglich sind. Daher spaltet z. B. beim Kalkspat ein auftreffender Strahl
im Kristall in zwei Lichtstrahlen auf, die senkrecht zueinander polarisiert sind. Der eine wird
~ schwingt senkrecht zur Einfallsebene), der andere, außerordentliche
ordentlicher (o) Strahl (E
~
(e) Strahl (E schwingt parallel zur Einfallsebene) genannt. Wegen ihrer verschiedenen Geschwindigkeiten (verschiedene Brechungsindizes) treten die beiden Strahlen räumlich versetzt wieder
aus.
Beim Nicolschen Prisma wird diese Erscheinung zur Herstellung von linear polarisiertem Licht
benutzt: Durch einen geeigneten Schnitt der Flächen und Zusammenkitten zweier Kristallteile
mit einem Kitt passenden Brechungsindexes erreicht man, dass der e-Strahl (ne > no , ne = nKitt )
ohne Richtungsänderung durch das Prisma hindurchtritt, der o-Strahl dagegen (no < nKitt ) an
der Kittfläche totalreflektiert und von der geschwärzten Seitenfläache absorbiert wird.
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Versuch 19: Fresnelsche Formeln
ordentlicher Strahl
68°
außerordentlicher
Strahl
Richtung d. opt. Achse
Doppelbrechung
Nicole’sches Prisma
Polarisationsfilter
Heute werden vorwiegend Polarisationsfilter benutzt, die künstlich hergestellt sind, indem in einer
Trägerschicht anisotrope Moleküle gleichmäßig orientiert eingelagert werden; etwa indem man
sie vor dem Aushärten der Schicht mit Hilfe starker elektrischer Felder (Kerr-Effekt) einheitlich
ausrichtet. Die Trägerschicht wird so eingefärbt, dass eine der beiden polarisierten Komponenten
absorbiert wird.
Künstliche Doppelbrechung
Auch in normalerweise optisch isotropen Stoffen kann man Doppelbrechung künstlich erzeugen
und so Licht polarisieren z. B.:
(a) durch Spannungsdoppelbrechung
(b) durch elektrische oder magnetische Felder
Dichroismus
Liegt Dichroismus vor, so hat das Material einen für ordentlichen und außerordentlichen Strahl
unterschiedliches Absorptionsvermögen. Wird ein Strahl nahezu vollständig absorbiert, kann man
solche Materilaien zur Polarisation benutzen.