Lernbereich: Kurvenanpassung - Interpolation Strukturierung des

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Lernbereich: Kurvenanpassung - Interpolation
ca. 6 Wochen
Dieser Lernbereich kann als erster in dem Gebiet der Analysis unterrichtet werden, da er die Inhalte der Analysis
aus der Klasse 10 aufgreift und vertieft. U.a. werden Wendepunkte und das Lösen von LGS als neues mathematisches Werkzeug thematisiert.
Wird dieser Lernbereich jedoch mit Kenntnissen der Integralrechnung unterrichtet, dann können die Aufgaben
erweitert gestellt werden (z.B. Landverbrauch beim Vergleich zweier Straßenführungen).
Strukturierung des Lernbereichs
Zunächst werden das Lösen von LGS und der Wendepunkt in vorentlastender Funktion, aber im Kontext behandelt.
A. Hinführung zu linearen Gleichungssystemen (6 Stunden)
Einstieg: EdM, S. 207 (Straßenverbindung)
- lineare, quadratische, kubische Verbindung
- Regression
- LGS aufstellen, erst 3x4, Interpretation der Lösung, unter/überbestimmt
- Gauß-Algorithmus kennen lernen, im 3x4-Fall händisch lösen können, Übertragung auf Technologie
- intuitiver Zugang zu Stetigkeit („sprungfrei“) und Differenzierbarkeit („knickfrei“), keine formale Untersuchung unter Nutzung des Grenzwertes
- abschnittsweise definierte Funktion aufstellen
Aufgaben zum Üben und Vertiefen
- Modellierung der Kinderrutsche (Symmetrie)
- Eigenschaften vorgeben
B. Wendepunkte und ihre Eigenschaften (4 Stunden)
Einstiege: Höhenprofil, größte Steigung – größtes Gefälle / Straße, Rechts/Linkskrümmung, Krümmungswechsel
- innermath. Exkurs: analyt. Untersuchung mit 2. Ableitung (graphisch u. algebraisch)
- Änderungsverhalten im Wendepunkt
- Sattelpunkt
Die Kenntnisse und Verfahren werden bei der Kurvenanpassung genutzt und vertiefend angewendet.
C: Krümmungsruckfreie Übergänge (8 Stunden)
Einstieg: Reflexion der bisherigen Modellierung (sprung- bzw. knickfrei in den Übergangspunkten)
- Fahrradkurs zur Demonstration der ruckartigen Richtungsänderung
- Trassierungen mit linearem Anschluss
- Parallele Schienenstränge, Sattelpunkt im Übergangspunkt
- Fehlvorstellung bedenken: 2. Ableitung ist kein Krümmungsmaß
- ganzrationale Funktionenscharen im Kontext und kontextfrei
D. Biegelinie (6 Stunden)
Einstieg: Bootsrumpf
- Oszillierende Kurve, Modellkritik
- Kubische Splines
- Abgrenzung zu Regression und Interpolation im Sinne der Auswahl eines mathematischen Modells
Lernbereich: Kurvenanpassung – Interpolation
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Mind-Map
Es wird auf die prozessbezogenen Kompetenzen fokussiert:
- mathematisch modellieren
- mit symb., tech. formalen Elementen der Mathematik umgehen
Händische Fertigkeiten
-
Ganzrationale Funktionen ableiten, auch mit einem Scharparameter
LGS der Form 3x4 mit dem Gauß-Algorithmus lösen, wenn Koeffizienten ganzzahlig und vom Betrag kleiner als 10, Lösung ganzzahlig
Wendestellen von ganzrationalen Funktionen 3. Grades bestimmen, auch mit einem Scharparameter
Technologische Fertigkeiten
-
Punkte durch Datenplots darstellen
Regressionsmodelle auswählen
Ableitungsfunktionen grafisch darstellen
Nullstellen, Extrem- und Wendepunkten bestimmen
LGS mit dem Matrix-Kalkül lösen und die Lösungsmatrix interpretieren
Ableitungsfunktionen bestimmen (CAS)
Funktionenscharen algebraisch untersuchen(CAS)
A
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Hinführung zu Linearen Gleichungssystemen
Einstiegsaufgabe
y
Die Siedlungen Eichendorf und Birkenheide sollen
durch ein Straßenstück verbunden werden (eine Einheit entspricht 100 m).
a) Zeichne in die nebenstehende Abbildung eine
passende Straße ein und begründe kurz deine
Lösung.
b) Bestimme die Gleichung einer Funktion, die die
eingezeichnete Straße beschreibt.
Siedlung
Eichendorf
5
(verändert nach EdM SII, S.207, ISBN: 83990)
4
3
2
1
-5
Siedlung
-4
-3
Birkenheide
x
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
Mögliche Lösungen zu a):
Die Schülerinnen und Schüler werden eventuell eine lineare oder quadratische Funktion als Verbindungsstraße
einzeichnen, eventuell auch bereits eine kurvige Straße, die sich an die beiden Stichstraßen knickfrei anschließt.
In einer anschließenden Diskussion der Graphen sollte der "glatte" Anschluss in den beiden Verbindungspunkten diskutiert werden und so neben den Bedingungen g1(x) = f(x) und g2 (x) = f(x) auch die Bedingungen g1´(x)
= f´(x) und g2´(x) = f´(x) erarbeitet werden.
Mögliche Lösung zu b):
Aus der vorangegangenen Diskussion folgt, dass die gesuchte Funktion mindestens dritten Grades sein wird.
Der Ansatz
system:
f(x) = ax3 + bx 2 + cx + d liefert mit f ´(x) = 3ax 2 + 2bx + c
das folgendes Lineare Gleichungs-
f(-1) = - a + b - c + d = 1
f(1) = a + b + c + d = 4
f ´(-1) = 3a - b + c = 1
f ´(1) = 3a + 2b + c = 0
Da die Schülerinnen und Schüler den Gauß Algorithmus nach KC nur kennen lernen und nicht selbst ohne TR
durchführen können sollen, kann hier auf die Entwicklung des Gauß Algorithmus verzichtet werden. Es genügt,
ihn den Schülerinnen und Schülern vorzustellen und plausibel zu machen. Dazu kann folgendes Arbeitsblatt
ausgegeben werden:
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Arbeitsblatt für die Schülerinnen und Schüler:
Notiere die Umformungsschritte, die zur jeweils folgenden Matrix führen.
Formuliere allgemeine Anweisungen zur Umformung der Matrix.
Bestimme mit Hilfe der letzten Matrix die Lösungen des LGS.
a
b
c
d
 −1 1 −1
1 1 1

 3 −2 1

3 2 1
1
 −1 1 −1
0 2 0

 0 1 −2

 0 −4 0
1
2
 −1
0

0

0
1
2
0
0
Lösung:
1
0
0
3
0
1
4 
1

0
1
5 
4

1
−1 1 1 
0 2 5 
4 −4 −3 

0 4 11 
d = 2,75, c = 2, b = - 0,75, a = - 0,5
Eine mögliche Umformungsanweisung:
1. Falls nötig, werden die Gleichungen umgeformt, so dass auf der einen Seite des Gleichheitszeichens
die Variablen geordnet nacheinander stehen und auf der anderen Seite alle Zahlen. Sollte in der ersten
Gleichung kein a auftauchen, so wird die erste Gleichung mit einer passenden anderen Gleichung vertauscht. Dann wird die Matrix aufgestellt.
2. Zunächst werden in der 1. Spalte von der 2. Zeile abwärts Nullen hergestellt. Dazu kann man von jeder
Zeile die erste, ein Vielfaches der 1. oder einer anderen Zeile subtrahieren.
3. Danach werden in der 2. Spalte von der 3. Zeile abwärts mit demselben Vorgehen wie unter 2. Nullen
hergestellt.
4. So verfährt mit den anderen Zeilen, bis man eine Dreiecksform erreicht hat, bei der unter der Diagonalen der Koeffizientenmatrix nur Nullen stehen.
5. Durch Rückwärtsrechnen lassen sich die Variablen bestimmen.
(Benennung mit Gauß- Algorithmus)
6. Einfacher wird es, wenn in der Diagonalen nur Einsen stehen.
7. Noch einfacher wird es, wenn oberhalb der Diagonalen der Koeffizientenmatrix nur Nullen stehen.
(Benennung mit erweiterter Gauß-Algorithmus oder Gauß-Jordan-Algorithmus)
Didaktischer Kommentar:
Nach der Bearbeitung dieser ersten Aufgabe haben die Schülerinnen und Schüler eine einfache Modellierung
durchgeführt, die auf ein LGS führte, das sie aber nicht mehr von Hand lösen konnten. Sie haben den GaußAlgorithmus als Lösungsverfahren kennen gelernt, können ihn aber noch nicht mit dem TR durchführen. Dieses
müsste im nachfolgenden Unterricht an passender Stelle erklärt werden.
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I. Einfache Modellierungen ohne Gauß-Algorithmus
1. Eine Skisprungschanze hat eine gerade Anlaufspur, die knickfrei in einen gebogenen Auslauf zum Schanzentisch übergeht, der näherungsweise durch die Funktion
f ( x ) = 0,1⋅ x 2
1≤ x ≤ 6
beschrieben wird (x stehe für die horizontale Entfernung, der Funktionswert für die Höhe, jeweils in Metern).
Bestimme die Gleichung der Geraden, die die Anlaufspur (x>6) beschreibt.
2. (verändert nach EdM SII, S.207, ISBN: 83990)
y
Siedlung
Eichendorf
4
Die Siedlungen Eichendorf und Birkenheide sollen
durch ein Straßenstück verbunden werden
(eine Einheit entspricht 100 m).
Bestimme die Gleichung einer Funktion, die die eingezeichnete Straße beschreibt.
3
2
1
x
-4
-3
-2
Siedlung
Birkenheide
-1
1
-1
-2
3. (EdM Sachsen 11, S. 152, ISBN: 87941)
Eine Rutsche in ein Schwimmbecken soll aus drei Blechteilen hergestellt werden. Das erste Blechteil, von A nach B,
ist waagerecht eben, das dritte, von C nach D, ist auch eben und wird mit einem Anstieg von 150% montiert. Zwischen diesen beiden Blechen soll ein gebogenes Teil knickfrei montiert werden.
Bestimme die Gleichung einer Funktion, die den Verlauf
dieses Bleches modelliert.
2
3
4
5
6
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Modellierungen mit dem Gauß-Algorithmus
1. (LS Gesamtband S II mit CAS, S. 107,
Nr. 2, ISBN: 733120)
Von einer Garage aus soll eine Auffahrt zur Straße angelegt werden.
Der Höhenunterschied beträgt 1 m.
Zwischen A und B ist eine waagerechte Stellfläche geplant. Die Auffahrt soll in B waagerecht beginnen
und in D waagerecht in die Straße
einmünden.
a) Bestimme eine quadratische Funktion, die die Auffahrt modelliert. Erläutere begründet, ob dieses Modell geeignet ist.
b) In den Planungsunterlagen des Architekten findet sich eine Berechnungsmatrix:
 0
 3
 5
 0

 3 ⋅ 52

0 1 0

5 1 1
1 0 0

2 ⋅ 5 1 0 0 
0
52
0
Leite die Bedingungen her, die dieser Matrix zu Grunde liegen. Ermittle die zugehörige Funktion.
1 x 3 + 0,12 x 2 )
(Zum Vergleich: f ( x ) = 60
c) Für die Auffahrt stehen nun als Modelle die Funktion f aus Teil b) und eine lineare Funktion g, die die
Punkte B und D verbindet zur Diskussion. Untersuche beide Modelle hinsichtlich des Steigungsverhaltens.
d) Zwischen B und C beginnt 1 m vor C ein 70 cm hohes Betonfundament. Untersuche, ob es für die
Auffahrt teilweise abgetragen werden muss.
Diese Aufgabe kann als Grundlage für die Erstellung einer sog. Blütenaufgabe genommen werden.
a) Bestimme eine Funktion zweiten Grades, die die Auffahrt modelliert. Erläutere begründet, ob dieses
Modell geeignet ist.
b) In den Planungsunterlagen des Architekten findet sich eine Berechnungsmatrix:
 0
 3
 5
 0

 3 ⋅ 52

0 1 0

5 1 1
1 0 0

2 ⋅ 5 1 0 0 
0
52
0
Leite die Bedingungen her, die dieser Matrix zu Grunde liegen. Ermittle die zugehörige Funktion.
1 x 3 + 0,12 x 2 )
(Zum Vergleich: f ( x ) = 60
c) Ermittle die zugehörige Funktion in b) und vergleiche mit der in a) bestimmten Funktion.
d) Zwischen B und C beginnt 2 m vor C ein 80 cm hohes Betonfundament. Untersuche, ob es für die
Auffahrt teilweise abgetragen werden muss.
e) Alternativ wird überlegt, die Garageneinfahrt durch zwei Parabeln zu modellieren, wodurch ein
Kurvenzug entsteht, der die obere linke Ecke des Betonfundaments berührt, liegt.
Bestimme die Funktionsgleichungen für die beiden Abschnitte und überprüfe, ob diese als Rampe
geeignet ist.
(Erweiterung: Wie viel muss vom Betonfundament abgetragen werden, sodass die Rampe knickfrei
ist.)
f) Finde eine Funktionsgleichung fünften Grades, sodass die geeignete Auffahrt das Betonfundament
berührt.
g) Vergleiche die Lösungen aus a), c) und f). Beachte dabei den Punkt größter Steigung.
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2. ( LS Gesamtband S II mit CAS, S. 103, Bsp 1, ISBN:
733120)
Für eine Teildisziplin der Skiakrobatik, dem Schanzenspringen, soll eine neue Schanze im Bereich von P(1|1,5)
bis Q(6|3) gebaut werden. Außerdem soll ihr Querschnitt
den Punkt R(0|2) enthalten. Die Abbildung zeigt einen Teil
der Schanze in einem vorgegebenen Koordinatensystem.
Die Einheit 1 entspricht 1 m in der Realität.
Finde eine Funktion f, mit der sich die Schanze zwischen P und Q modellieren lässt.
3. (Mathe Netz Ausgabe N Jahrgangsstufe 11 S.154, ISBN: 123941)
Von einer ganz rationalen Funktion 3. Grades sind die im untenstehenden Koordinatensystem eingezeichneten Punkte bekannt. Bestimme die zugehörige Funktionsgleichung.
y
2
1,5
1
B
0,5
-5,5
-5
-4,5
-4
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1A -0,5
C
0,5
1
-0,5
x
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
D
-1
-1,5
-2
-2,5
mögliche Lösung:
Mit der Funktionsgleichung f(x) = ax3 + bx 2 + cx + d und den gegebenen Punkten ergibt sich das folgende
LGS:
f(-1) = -a + b - c + d = 0
f(0) = d = 1
f(1) = a + b + c + d = 0,5
f(2) = 8a + 4b + 2 c + d = - 0,5
Das LGS kann mit Einsetzen von d = 1 sofort vereinfacht werden und führt auf folgende Matrix
 −1 1 −1 −1 
5
3
31


 1 1 1 −0,5  mit der Lösung: c = 6 , b = - 4 , a = - 12 .
 8 4 2 −1,5 


Aufgabenvariation (-> Überbestimmtheit von Gleichungssystemen):
Von einer ganz rationalen Funktion 3. Grades sind die im untenstehenden Koordinatensystem eingezeichneten Punkte bekannt. Bestimme die zugehörige Funktionsgleichung so, dass B ein Hochpunkt ist.
Mögliche Lösung:
3
2
Mit der Funktionsgleichung f(x) = ax + bx + cx +
rücksichtigung des Hochpunktes das folgende LGS:
d und den gegebenen Punkten ergibt sich unter Be-
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f(-1) = -a + b - c + d = 0
f(0) = d = 1
f(1) = a + b + c + d = 0,5
f(2) = 8a + 4b + 2 c + d = - 0,5
f ´(0) = c = 0
Das LGS kann mit Einsetzen von d = 1 und c = 0 sofort vereinfacht werden und führt auf die Matrix
 −1 1 −1 


 1 1 −0,5  , die zu folgender Matrix vereinfacht werden kann
 8 4 −1,5 


−1 
 −1 1


 0 1 −0, 75  .
0 0
1 

Diese Matrix liefert offensichtlich keine Lösung, was zu einer Diskussion über Überbestimmtheit und Lösbarkeit von Gleichungssystemen führt.
III. Aufgaben zum händischen Gauß-Algorithmus
Löse die folgenden Gleichungssysteme mit Hilfe des Gauß-Algorithmus.
1 2 1 1


a)  2 1 −1 −1
 −1 2 2 1 


1 2 1 1


b)  1 1 − 1 2 
 0 2 1 4


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B. Wendepunkte und ihre Eigenschaften
Einstieg 1 (größte Steigung):
Quad im Härtetest
Quads sind in den letzten Jahren immer beliebter geworden. Ein Hersteller gibt in seiner Betriebsanleitung
an, dass das Quad vom Typ ATV „Hypermax“ Berge
und Hügel bis zu einer Steigung von 39,5° erklimmen
kann.
Ein Automobilclub möchte die Aussage des Herstellers
überprüfen und testet das Quad an einem Hügel, dessen
Höhenprofil
sich
durch
die
Funktion
h( x) = − 101 x 3 + 12 x 2 beschreiben lässt. Dabei entspricht eine Einheit im Koordinatensystem 10m in der
Realität.
a) Stellen Sie zunächst eine Vermutung auf, in
welchem Bereich ein Anfahren problematisch sein könnte.
b) Untersuchen Sie dann, ob ein Quad an jeder
Stelle des Hügels anfahren kann. Dokumentieren Sie Ihre Vorgehensweise.
Möglicher Hilfsimpuls zu b):
- Verweis auf den Graphen der 1. Ableitung
Lösungsskizze:
1. Eingrenzung des problematischen Bereichs zwischen 10m und 25m auf Grund des starken Anstiegs in
diesem Bereich.
2. Identifizierung der 1. Ableitung als die die Steigung beschreibende Funktion.
3. Händische oder technologiegestützte Bestimmung der 1. Ableitung der
Funktion.
4. Graphische Darstellung der 1. Ableitung und der Ursprungsfunktion in einem
Koordinatensystem.
5. Erkennen des Hochpunktes der 1. Ableitung und Identifizierung der Stelle,
an der der Graph der Ursprungsfunktion die maximale Steigung annimmt.
6. Bestimmung des Hochpunktes der 1. Ableitung (händisch oder technologiegestützt)
7. Interpretation und Bewertung der Lösung.
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Einstieg 2 (größte Steigung und größtes Gefälle):
Lawinen: Gefahr aus dem Tal
Wenn in den Bergen der unberührte Tiefschnee lockt, lässt sich mancher Skifahrer dazu verleiten, aus
dem sicheren Skigebiet "auszubrechen". Jedes Jahr lösen auf diese Weise leichtsinnige Wintersportfreunde Lawinen aus, die Todesopfer fordern.
Was Schnee- und Lawinenexperten bisher jedoch nicht
erklären konnten: Selbst wenn Skifahrer in scheinbar sicheren und flacheren Bereichen der Berge bleiben, können sie Hunderte Meter entfernt in Steillagen Lawinen
auslösen - wenn auch nicht "lostreten" im wörtlichen Sinne.
Irgendeine Art von Fernwirkung muss bestehen. Forscher
aus Freiburg und aus Schottland haben nun jedoch ein
physikalisches Modell entwickelt, das das Phänomen der
"Lawinen mit Fernzündung" erklärt. Der "Zünder" ist tatsächlich der Skiläufer im flacheren Hangbereich, dortige
Instabilitäten im Schnee und Eis pflanzen sich fort und
lösen im Steilbereich die todbringenden Schneemassen
aus. (Quelle: Berliner Morgenpost vom 03.12.2008)
In einem Buch über Lawinen findet man die Aussage, dass der Faktor der Hangneigung in direktem Zusammenhang mit Lawinen steht und in Hängen, die steiler als 30° sind ca. 97% aller Lawinenunfälle passieren.
Die nachfolgende Abbildung zeigt einen Hangverlauf in einem Skigebiet und dessen mathematische Modellierung. Das Höhenprofil wird im Bereich x ∈ [0;3] durch die folgende Funktionsgleichung beschrieben:
h(x) = -0 ,1x 4+0 ,6345 x 3-1,03 x 2+1 , wobei eine Einheit im Koordinatensystem 100m in der Realität entspricht.
Prüfen Sie, ob Maßnahmen zur Vermeidung von Lawinenunglücken getroffen werden sollten.
Lösungsskizze:
1. Vorgehensweise analog zum Einstieg „Quad im Härtetest“.
2. Erweiterung um „größtes Gefälle“ (Tiefpunkt der 1. Ableitung)
3. Im Rahmen der Aufgabenstellung Diskussion des auftretenden Hochpunktes der 1. Ableitung als maximales Gefälle des rechten Hanges.
4. Interpretation und Bewertung der Lösung.
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Einstieg Wendestelle (als Änderung des Krümmungsverhaltens)
Das in der Abbildung dargestellte Straßenstück wird durch die Funktionsgleichung
f ( x) = − 541 x 3 + 16 x 2 be-
schrieben.
a) Durchfahren Sie den Abschnitt gedanklich von West nach Ost und ordnen Sie einzelnen Bereichen die
„Lenker- / Lenkradstellung“ zu.
b) Ermitteln Sie die Stelle, an der Sie den Lenker gerade halten. Wenden Sie dazu Ihre Kenntnisse über die
Bestimmung von Extrempunkte an und stellen Sie benutzte Ableitungsfunktionen graphisch dar.
Kommentar:
Einführung des Begriffs „Wendestelle“ für den Übergang einer Links- in eine Rechtskrümmung und umgekehrt.
Vergleich der Graphen der Ursprungsfunktion f und der Ableitungsfunktionen f’ und f’’.
Alternativ zur Vorgabe des Graphen und der Funktionsgleichung können diese von den SuS als Rückgriff auf
den Einstieg LGS durch Interpolation bestimmt werden.
1. Aufgabe (aus EdM 11, S.203; ISBN: 3-507-83931-8):
Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion, die den folgenden Bedingungen genügt:
a) ein Wendepunkt, ein relativer Hochpunkt und ein relativer Tiefpunkt
b) zwei Wendepunkte, zwei Hochpunkte und ein relativer Tiefpunkt
c) ein Wendepunkt, kein Extrempunkt
2. Aufgabe
a) Berechnen Sie die Wendepunkte des Graphen von
f : f ( x) = 13 x 3 − x 2 + 1
4
3
b) Berechnen Sie die Wendepunkte des Graphen von g : g ( x ) = − x + 2 x
c) Untersuchen Sie den Zusammenhang zwischen dem Grad des Polynoms und der maximal möglichen
Anzahl auftretender Wendepunkte.
d) Zeichnen Sie den Graphen von g und beschreiben Sie, worin sich die Wendepunkte des Graphen von g
aus der Aufgabenstellung b) unterscheiden.
Kommentar zu b) bzw. d):
Hinführung zum Sattelpunkt als Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
3. Aufgabe (aus EdM 11, S. 217 - 218; ISBN: 3-507-83931-8):
Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion dritten Grades, so dass für den Graphen gilt:
Der Graph verläuft durch den Ursprung. Weiterhin ist der Punkt W(2|4) Wendepunkt des Graphen mit der Steigung -3.
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4. Aufgabe (aus EdM SII, S. 141; ISBN: 3-507-83990-8):
Bewerten Sie mit Ihren erworbenen Kenntnissen über Wendepunkte die folgenden Aussagen:
a) „Die Zuwachsraten sinken.“
b) „Der Aufschwung erlahmt.“
c) „Die Talfahrt ist gebremst.“
d) „Eine Trendwende ist eingetreten.“
5. Aufgabe:
Gegeben ist der Graph der 2. Ableitung einer Funktion f. Ermitteln Sie zeichnerisch einen möglichen Graphen
der Funktion f.
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C. Krümmungsruckfreie Übergänge
Übersicht:
1. Aufgabe zum krümmungsruckfreien Übergang mit zwei senkrecht zulaufenden Wegen – Einstieg mit
„Laufauftrag“
2. erste Übungsaufgabe
3. Übungsaufgaben – Modellierung zur Einstiegsaufgabe
4. Übungsaufgabe „Fahrradwege“
5. Übergänge zwischen parallelen Schienen („Sattelpunkt“)
6. Übungsaufgabe: Erweiterung der Aufgabe 4 im Hinblick auf Kurvenscharen (eA)
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1. Einstiegsaufgabe:
Praktikant Erwin möchte den Straßenverlauf zwischen den Punkte A und B aufgrund eines erhöhten Unfallrisikos „entschärfen“ und stellt folgende Lösung vor:
1
f(x) = − x 2 + 2, x ∈[ −4;4]
8
y = − x für x < − 4 und y = x für x > 4
A
B
Chef-Mathematiker Hubert stellt eine weitere
Lösungsfunktion vor:
1 4
3 2 3
x +
x + , x ∈[ −4;4]
512
16
2
y = − x für x < − 4 und y = x für x > 4
g(x) = −
Vergleichen Sie die beiden Lösungsideen unter Zuhilfenahme der Graphen der ersten und zweiten Ableitungsfunktion. Entscheiden Sie sich begründet für eine der beiden Lösungsvorschläge.
Erwins Lösungsvorschlag:
Huberts Lösungsvorschlag:
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Zwischenschritt in der Hinführung zum Thema: „Krümmungsruck“
In Ihrem Schulhof wird mit Kreide die nebenstehende, insgesamt 100m lange Spur aufgezeichnet. Zuerst ist der
Übergang von einer Rechts- in eine Linkskurve durch Aneinandersetzung zweier Kreisbögen realisiert, danach
der Übergang einer Linkskurve in ein gerades Stück durch Ansetzen der Kreistangente.
1. Könnten Sie mit dem Fahrrad genau diese Spur fahren? Überlegen Sie dazu, wie Sie in den einzelnen
Kurvenstücken das Lenkrad halten müssen.
2. Übertragen Sie diesen Sachverhalt auf das obige Problem.
2. Aufgabe:
Zwei gerade zunächst getrennte Fahrradwege sollen durch einen krümmungsruckfreien Weg miteinander verbunden werden. Die beiden Fahrradstücke enden in (-5/3) mit der Steigung -0,5 bzw. in (5/3) mit der Steigung
0,5.
Schreiben Sie die 6 Bedingungen für einen
krümmungsruckfreien Übergang auf, stellen
Sie diese in einem linearen
Gleichungssystem auf und ermitteln Sie
damit die Gleichung der Funktion.
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3. Aufgabe
Zwei Abschnitte der Bundesstraße 437 sollen für eine Verbindung der Ortsteile Diekmannshausen und Süderschweiburg genutzt werden (Der Abstand zwischen zwei Gitterlinien beträgt ungefähr 1,4km).
a) Bestimmen Sie für die Straße eine Funktion, deren Graph eine krümmungsruckfreie Anbindung darstellt.
(Hinweis: Ausschnitt aus dem Plan von Varel. Die B437 ist in Realität verbunden Die tatsächliche Straßenführung kann als Vergleich einbezogen werden.)
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Mögliche Vertiefung für eA-Kurse (ggf. ist dieser Aufgabenteil auch am Abschluss der Trassierung sinnvoll):
b) Zwei Straßenabschnitte werden mit den Strahlen y = −(x + 6) für x ≤ 6 und y = m ⋅ x für x ≥ 0 und m ∈ R beschrieben. In Abhängigkeit von m sollen die beiden Abschnitte krümmungsruckfrei miteinander verbunden werden.
Stellen Sie die Situation in einer Skizze dar. Untersuchen Sie, ob die Straßenverbindung für alle m möglich ist.
(aus: Mathe Open End Teil 1, S.94, ISBN 3-14-11 2811-1)
4. Aufgabe „Fahrradwege“
a) -(x)x Aufgabe
Zwei gerade, zunächst getrennte Fahrradwege
sollen krümmungsruckfrei durch einen bogenförmigen Weg verbunden werden.
In den Planungsunterlagen des Tiefbauamtes
liegt nebenstehende Berechnungsmatrix vor.
Leiten Sie die Bedingungen her, die dieser Matrix
zugrunde liegen. Bestimmen Sie damit die Polynomfunktion, die diese Bedingungen erfüllt.
Zeichnen Sie Ihren Verbindungsweg ein.
b) xx- Aufgabe
Der rechte Fahrradweg wird jetzt durch den para2
belförmigen Weg mit p(x) = − ( x − 6 ) + 4 ersetzt.
Überlegen Sie sich zunächst, welche zwei Bedingungen sich jetzt ändern. Bestimmen Sie die
Gleichung des krümmungsruckfreien Wegs und
zeichnen Sie diesen ein. Vergleichen Sie diesen
Weg mit dem Weg aus a).
 −3125 625 −125 25 −5

625 125
25 5
 3125
 3125 −500 75
−10 1

3125
500
75
10
1

 −2500 300
−30
2
0

30
2
0
 2500 300
1
1
0
0
0
0
3 

3 
−0,5 

2 
0 

0 
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Lösungshinweise:
a)
p5 (x) = −
9
1 4 3 3 3 2 21
29
x5 −
x +
x +
x −
x−
20000
800
80
16
32
32
b)
p '(5) = 2; p ''(5) = −2
p5 (x) = −
29
1 4 7 3 7 2 41
129
x5 −
x +
x +
x −
x−
20000
160
80
16
32
32
5. Aufgabe
Bei der Besiedlung Nordamerikas spielte die Eisenbahn eine wichtige Rolle. Um eine Eisenbahnstrecke in kürzerer Zeit fertig zu stellen bauen zwei Teams gleichzeitig, das eine Team arbeitet von Westen nach Osten, das
andere von Osten nach Westen. Kurz vor dem geplanten Zusammentreffen der beiden geradlinigen Strecken
stellen die Bauteams eine große Panne fest: auf einer Länge von 10 Meilen weichen die Gleise 2 Meilen voneinander ab. Nach einer Beratung der Bauleitungen kommt Abreißen und Neubauen nicht in Frage, stattdessen soll
ein sog. Übergangsbogen für die Verbindung der Strecken eingebaut werden. Beraten Sie die Bauleitung, indem
Sie mögliche Funktionen für diesen Übergangsbogen vorschlagen. Erstellen Sie eine Dokumentation, in der die
Vor- bzw. Nachteile erläutert werden.
Oststrecke
Weststrecke
2 mls
10 mls
(nach EdM Sek II, S.212, ISBN 978-3-507-83990-8)
19 / 24
6. Aufgabe „beliebig parallel verlaufende Wege“
Diese Aufgabe führt auf Scharkurven. Aufgrund der Komplexität eher für den eA-Kurs gedacht.
Zwei parallel verlaufende Straßen haben
den Abstand k LE voneinander und sind 1
LE voneinander unterbrochen (siehe Skizze).
k
Ermitteln Sie mögliche krümmungsruckfreie Verbindungen der zwei Straßen.
1
Lösungshinweise:
f(x) = ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f
f '(x) = 5ax 4 + 4bx 3 + 3cx 2 + 2dx + e
f ''(x) = 20ax3 + 12bx 2 + 6cx + 2d
f(0) = 0 ⇒ f = 0; f '(0) = 0 ⇒ e = 0; f ''(0) = 0 ⇒ d = 0
f(x) = ax 5 + bx 4 + cx 3
f '(x) = 5ax 4 + 4bx 3 + 3cx 2
f ''(x) = 20ax3 + 12bx 2 + 6cx
f(1) = k ⇒ a + b + c = k bzw. a + b + c − k = 0
f '(1) = 0 ⇒ 5a + 4b + 3c = 0
f ''(1) = 0 ⇒ 20a + 12b + 6c = 0
Damit unterbestimmtes LGS :
 1 1

5 4
 20 12

also : a =
1 −1 0   1 0 0 −6 0 
 

3 0 0  ⇒  0 1 0 15 0 
6 0 0   0 0 1 −10 0 
6k; b = −15k; c = 10k
damit : f(x) = 6k ⋅ x 5 − 15k ⋅ x 4 + 10k ⋅ x 3 = kx 3 6x 2 − 15x + 10
(
)
Zwei Straßen haben den Abstand k
LE voneinander und sind 1 LE voneinander unterbrochen (siehe Skizze). Das rechte Straßenstück vero
laufe im 45 -Winkel zur anderen
Straße.
B
Ermitteln Sie mögliche krümmungsruckfreie Verbindungen der
zwei Straßen.
k
A
1
Lösungshinweise zu b):
f(x) = ax 5 + bx 4 + cx 3
f '(x) = 5ax 4 + 4bx 3 + 3cx 2
f ''(x) = 20ax3 + 12bx 2 + 6cx
f(1) = k ⇒ a + b + c = k bzw. a + b + c − k = 0
f '(1) = 1 ⇒ 5a + 4b + 3c = 1
f ''(1) = 0 ⇒ 20a + 12b + 6c = 0
Damit unterbestimmtes LGS :
 1 1

5 4
 20 12

also : a =
1 −1 0   1 0 0 −6 −3 
 

3 0 1  ⇒  0 1 0 15
7 
6 0 0   0 0 1 −10 −4 
6k − 3; b = −15k + 7; c = 10k − 4
damit :
f(x) = ( 6k − 3 ) ⋅ x 5 + ( −15k + 7 ) ⋅ x 4 + (10k − 4 ) ⋅ x 3
= x3
2
(( 6k − 3 ) x + ( 7 − 15k ) x + (10k − 4 ) )
Erweiterung :
Für welche k sind die Funktionswerte für x ∈ [0;1] negativ ?
7 − 15k
10k − 4
x2 +
x+
= 0 (k ≠ 0,5)
6k − 3
6k − 3
2
1  7 − 15k  10k − 4
1 7 − 15k
x1,2 = − ⋅
±
⋅
 −
4  6k − 3 
6k − 3
2 6k − 3
grafisch ergibt sich : für k < 0,42... ist f(x) < 0.
20 / 24
21 / 24
Die folgende Aufgabe beschäftigt sich kontextfrei mit Funktionenscharen und ist auch für den gA-Kurs gedacht.
7. Aufgabe
Der Graph einer kubischen Funktion f verläuft durch die Punkte A(0|1) und B(2|2). Weiterhin gilt f´(2) = 2 und
f´´(2) = 2.
a) Bestimmen Sie den Funktionsterm.
b) Bestimmen Sie die Funktionenschar fk , wenn gilt: f’’(2) = k, k ∈ R.
c) Untersuchen Sie, wie sich der Verlauf des Graphen in Abhängigkeit von k ändert.
Lösungsskizze:
a)
f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
f ' ( x) = 3ax 2 + 2bx + c
f ' ' ( x) = 6ax + 2b
f ( 0) = 1 ⇒ d = 1
f (2) = 2 ⇒ 8a + 4b + 2c + 1 = 2
f ' (2) = 2 ⇒ 12a + 4b + c = 2
I
II
f ' (2) = 2 ⇒ 12a + 2b = 2
III
Lösen des Linearengleichungssystems (I – III) händisch oder mit Hilfe des CAS liefert:
1
1
1
a= ; b= ; c=− ;
8
4
2
b)
d =1
f ( 0) = 1 ⇒ d = 1
f (2) = 2 ⇒ 8a + 4b + 2c + 1 = 2
I
f ' (2) = 2 ⇒ 12a + 4b + c = 2
II
f ' (2) = 2 ⇒ 12a + 2b = k
III
Lösen des Linearengleichungssystems (I – III) händisch oder mit Hilfe des CAS liefert:
( 4 k − 9)
2k − 5
c=
;
4
2
2 k − 3 3 ( 4 k − 9) 2 2 k − 5
⇒ f k ( x) =
⋅x −
⋅x +
⋅ x +1
8
4
2
a=
2k − 3
;
8
b=−
c)
Für
k=
3
2
liegt eine Parabel vor. Für
II in den IV Quadranten. Ist
gleiche Koeffizient a).
k>
3
2
k<
3
2
ist der führende Koeffizient a < 0 und damit verläuft der Graph vom
so verläuft der Graph entsprechend aus dem III in den I Quadranten. (Ver-
22 / 24
D Einstieg in das Thema „Biegelinien“
1. Aufgabe
Interpolation
Der Spant ist ein tragendes Bauteil zur Verstärkung des Rumpfes bei Booten und Schiffen. Die Spanten sind
zugleich Träger der Beplankung. Durch diese Bauweise wird gegenüber einer massiven Bauweise (wie beispielsweise beim Einbaum) erheblich Gewicht eingespart. Man unterscheidet nach ihrer Ausrichtung zwischen
Querspanten, die quer zu Rumpf und Kiel liegen und Längsspanten, die parallel zum Kiel liegen.
Auf den Spanten werden schmale Bretter (sogenannte Planken) befestigt, die die Außenhaut des Schiffes bilden.
An einer Stelle wird der rechte Querschnitt festgelegt durch die Punkte P1(0|-3),
P2(6|0), P3(8|3) und P4(9|9) (gemessen in der Einheit dm).
a) Interpolation mit einer ganzrationalen Funktion
Ermitteln Sie eine ganzrationale Funktion, deren Graph durch diese Punkte verläuft.
Bewerten Sie Ihr Ergebnis.
b) Spline-Interpolation
Im Schiffsbau wurden früher elastisch biegsame Latten (so genannte Spraklatten, oder Biegelineale oder mit
englischem Begriff splines) verwendet, die durch Gewichte, die an den Interpolationspunkten aufgestellt wurden,
gezwungen, die Interpolationsbedingungen zu erfüllen. Dann entsteht aufgrund der Elastizität des Materials eine
Biegelinie kleinster Gesamtkrümmung.
Mathematisch kann man dies modellieren durch eine abschnittweise Definition der Funktion mithilfe kubischer
Funktionen, zwischen den vorgegebenen Stellen der Punkte, also
s(x )
=
 a x3 + b x2 + c x + d
1
1
1
 1
3
2
 a2 x + b2 x + c2 x + d2

3
2
 a3 x + b3 x + c3 x + d3
für
für
0≤x<6
6≤x <8
für
8≤x <9
Links und rechts vom betrachteten Intervall [ 0; 9] soll die Funktion s(x) ohne Krümmungsruck geradlinig fortgesetzt werden können.
Erstellen Sie 12 Bedingungen für die Parameter a1, b1, ... c3, und d3. Ermitteln Sie damit den abschnittsweise
definierten Funktionsterm der Funktion s.
-
Aufgabenteil a zeigt, dass eine ganzrationale Funktion hier wenig
geeignet ist, den Bootsrumpf darzustellen (s. Abb.)
Aufgabenteil b entwickelt das Verfahren der Interpolation mit natürlichen kubischen Splines..
23 / 24
Übungsaufgaben
R
50 cm
60 cm
Q
2. Aufgabe
Aus aerodynamischen Gründen ist der Verlauf der Windschutzscheibe eines
Autos besonders wichtig.
Ihr Profil sei durch die drei Punkte P, Q und R festgelegt.
Bestimmen Sie den Verlauf des Profils zwischen den Punkten P und R
P
50 cm
50 cm
a) durch eine ganzrationale Funktion f möglichst niedrigen Grades
(x - -)
b) durch einen kubischen Spline s.
(x x -)
c) Beurteilen Sie, welche der beiden Näherungen das Profil geeigneter darstellt.
(x - -)
(nach LS Analysis Leistungskursgesamtband, S. 114, Aufg. 8, ISBN 73218)
Datenpunkte
oberseite Flugzeugflügel
unterseite Flugzeugflügel
4
2
y
3. Aufgabe
Die Tragfläche eines Flugzeuges soll den rechts abgebildeten Querschnitt aufweisen (Maße in dm). Das obere Profil soll durch die Punkte
O(0|0), P(1|1), Q(4|2) und R(10|0) verlaufen.
0
-2
a) Ermitteln Sie den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion, deren
-4
Graph genau durch diese Punkte verläuft. Bewerten Sie Ihr Ergebnis.
0
2
4
6
8
10
x
(x - -)
b) Passen Sie das Profil in den Intervallen [0; 1], [1; 4] und [4; 10] jeweils durch eine ganzrationale Funktion 3.
Grades an, deren Graphen an den Verbindungsstellen 1und 4 gut zusammenpassen. Vergleichen Sie mit dem
Ergebnis von Teilaufgabe a).
(x x -)
4. Aufgabe
Regression oder Interpolation mit ganzrationalen Funktionen bzw. Splines
Entscheiden Sie sich entweder für das Modell der Regression oder der Interpolation, um den Datenpunkten eine
Funktion anzupassen.
(x - -)
A) Um eine Ortschaft, die an der geraden Straße durch A(0|-6) und B(3|0) liegt, wird eine Umgehungsstraße
gebaut. Diese soll in A und B tangential in die alte Straße münden und durch den Punkt C(2|-4) gehen. (Einheit
1km)
Jahr
1970
1975
1980
1985
1990
1995
1999
2001
2003
B) Die Tabelle stellt die Entwicklung der Anzahl der Tankstellen seit 1970
dar.
C) Zwei Eisenbahngleise verlaufen parallel zueinander und haben einen
Abstand von 5m voneinander. Sie sollen auf einer Länge von 100 m sförmig durch einen Übergangsbogen miteinander verbunden werden.
D) Ein Ferkel hat im Durchschnitt ein Geburtsgewicht von 1,5 kg. Seine
Gewichtszunahme kann man der folgenden Tabelle entnehmen.
Alter in Monaten
Gewicht in kg
0
1
2
3
4
5
6
1,5
9
30
50
67
88
88
zu A: (nach Mathematik Analysis, S. 217, Aufg. 16a, Cornelsen, ISBN 572161)
zu B: (nach EdM SII Gesamtband, S. 218, Aufg. 7, Schroedel, ISBN 83990)
zu C: (nach EdM SII Gesamtband, S. 212, Aufg. 4, Schroedel, ISBN 83990)
zu D: (nach LS Gesamtband Oberstufe mit CAS, S. 105, Aufg. 7, Klett, ISBN 733120)
Anzahl der Tankstellen
46 091
34 804
27 528
19 781
19 317
17 957
16 617
16 324
15 971
24 / 24
5. Aufgabe
Eine neue Straße soll gebaut werden. Aus Landschaftsgründen ist es zwingend notwendig, dass die Trasse
durch die Punkte A(0|0), B(1|1), C(2|3) und D(3|4) verläuft (Kartenmaßstab 1:100.000).
a) Die Funktion f ( x ) = −
1 3 3 2 1
x + x − x stellt eine mögliche Trasse dar. Erläutere Methoden, mit denen man
3
2
6
diese Funktion erhalten könnte.
(x – x)
b) Eine alternative Trasse soll die Punkte durch Spline-Funktionen verbinden. Bestimmen Sie dazu die Koeffizienten der drei Spline-Funktionen
s1( x ) = a1x 3 + b1x 2 + c1x + d1 ,
s2 ( x ) = a 2 x 3 + b 2 x 2 + c 2 x + d2 ,
s3 ( x ) = a3 x 3 + b3 x 2 + c 3 x + d3
mit Hilfe der nachfolgend abgebildeten Matrix.
(x x -)
Ergänzen Sie die Bedingungen 1 bis 12 in der ersten Spalte der abgebildeten Matrix und erläutern Sie in diesem
Zusammenhang das Prinzip von Spline-Funktionen.
(- x x)
Bild der erweiterten Matrix (Nicht ausgefüllte Stellen der Matrix sind Null)
Bedingung
a1
b1
c1
d1
a2 b2
c2
d2
1.
1
2.
1
1
1
1
3.
1
1
1
1
4.
8
4
2
1
5.
6.
7.
3
2
1
-3
-2
-1
8.
12 4
1
9.
6
2
-6
-2
10.
12 2
11.
2
12.
a3
b3
c3
8
27
4
9
2
3
-12
-4
-1
-12
-2
18
2
d3
1
1
0
1
1
3
3
4
0
0
0
0
0
0
c) Beurteilen Sie die beiden Trassenvarianten aus Aufgabenteil a und b. Bestimmen Sie in diesem
Zusammenhang die maximale Abweichung der Trassenvarianten zwischen den Punkten C und D.
(x - -)
(nach mathe >open end< (Teil 1), Seite 68, Westermann, ISBN 112811)
Aufgabe 6
Für ein Logo soll der Umriss eines
Herzens durch Funktionen beschrieben werden.
Ermitteln Sie geeignete Funktionen.
Die SuS sollen eigenständig den Umriss mit abschnittsweise
definierten Funktionen beschreiben und deren Terme mit Hilfe geeigneter Datenpunkte und einem selbst gewählten Verfahren bestimmen.
(- - -)
(- - -)

Lernbereich: Kurvenanpassung - Interpolation Strukturierung des

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