Vergleichsarbeiten 2016 8. Jahrgangsstufe (VERA

Transcrição

Vergleichsarbeiten 2016
8. Jahrgangsstufe (VERA-8)
Mathematik – Didaktische Handreichung
Modul C
Didaktischer Aufgabenkommentar
Testheft 2
Inhaltsverzeichnis
Aufgabe 1 Von links wie von rechts ......................................................................................... 2
Aufgabe 2 Fußballtabelle .........................................................................................................4
Aufgabe 3 Mauer aus Zahlen ...................................................................................................7
Aufgabe 4 Null Komma Acht .................................................................................................. 10
Aufgabe 5 Steile Straße .........................................................................................................13
Aufgabe 6 Bistroumfrage........................................................................................................17
Aufgabe 7 Glückssäckchen ....................................................................................................19
Aufgabe 8 Werbemarkt ..........................................................................................................23
Aufgabe 9 Gummibären .........................................................................................................25
Aufgabe 10 Winkelwürfel........................................................................................................27
Aufgabe 11 Würfelturm ..........................................................................................................30
Aufgabe 12 Tankinhalt ...........................................................................................................34
Aufgabe 13 Maßstabsleiste ....................................................................................................36
Aufgabe 14 Ungewöhnlicher Mittelwert .................................................................................. 37
Aufgabe 15 Trapezvariation ...................................................................................................39
Aufgabe 16 Verlauf des Graphen ........................................................................................... 42
Aufgabe 17 Wo liegt C? .........................................................................................................44
Aufgabe 18 Dreiecke ergänzen .............................................................................................. 47
Aufgabe 19 Zwei Kreise .........................................................................................................50
Aufgabe 20 Der Stern.............................................................................................................53
Aufgabe 21 Schokolinsen.......................................................................................................56
Aufgabe 22 Nashorn ..............................................................................................................60
Aufgabe 23 Flächengleich oder nicht? ................................................................................... 63
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1
Aufgabe 1 Von links wie von rechts
Teilaufgabe 1.1
Auswertung
Angabe einer 4-stelligen Palindromzahl:
3883 ODER 8338
UND
RICHTIG
Angabe einer 5-stelligen Palindromzahl:
Beispiel(e)
• 48384
[Anm.: Auf welchen der 5 Stellen der Palindromzahl die vorgegebene "38" steht, ist unerheblich,
z. B. 38183 oder 13831 oder 18381.]
Merkmale
Leitidee
Allgemeine Kompetenzen
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
1. Zahl
Probleme mathematisch lösen (K2)
I
2
Teilaufgabe 1.2
Auswertung
RICHTIG
4. Kästchen wurde angekreuzt
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
1. Zahl
II
5
2
Aufgabenbezogener Kommentar
Die Aufgabe ist der Leitidee Zahl (L1) zuzuordnen, da Schülerinnen und Schüler eine
sinntragende Vorstellung der Palindromzahlen nutzen, um eigenständig eine solche Zahl
darzustellen (siehe hierzu auch die allgemeinen Erläuterungen zur Leitidee Zahl in Modul B).
Bei Teilaufgabe 2 müssen Schülerinnen und Schüler zudem kombinatorische Überlegungen
durchführen, um die Anzahl der möglichen Palindromzahlen zu bestimmen.
In beiden Teilaufgaben wird die Kompetenz Probleme mathematisch lösen (K2) gefordert, da
heuristische Prinzipen, wie etwa systematisches Probieren sowohl zum Auffinden einer
neuen Palindrom-Zahl als auch zum Ermitteln der Anzahl der verschiedenen vierstelligen
Palindromzahlen, angewendet werden müssen.
Während Teilaufgabe 1 nur aus einer einfachen mathematischen Aufgabenstellung besteht,
bei der die naheliegende Strategie „Ausprobieren“ gewählt wird, erfordert die Teilaufgabe 2
eine Lösungsstrategie, bei der systematisch die verschiedenen Möglichkeiten ausprobiert
und ausgezählt werden. Daher ist Teilaufgabe 1 dem Anforderungsbereich I zuzuordnen,
Teilaufgabe 2 hingegen Anforderungsbereich II.
Anregungen für den Unterricht
In der zweiten Teilaufgabe soll ermittelt werden, wie viele Möglichkeiten es für vierstellige
Palindromzahlen gibt. Es geht also um das allgemeine Zählprinzip der Kombinatorik. Da je
zwei Ziffern von insgesamt vier Ziffern identisch sind, handelt es sich um ein zweistufiges
Baumdiagramm. Es muss insbesondere berücksichtigt werden, dass die erste und die letzte
Ziffer keine Null sein darf. Hierfür lassen sich sowohl eine tabellarische Aufstellung (Liste) als
auch eine Baumdiagrammdarstellung nutzen. Damit erhält man für eine der beiden Stufen
neun Verzweigungen, auf der anderen zehn. Es sind also insgesamt 90 Pfade im
Baumdiagramm.
Das allgemeine Zählprinzip sollte zunächst anhand von Realsituationen mit wenigen
Ereignissen durch Listen (Tabellen) oder Pfade in einem Baumdiagramm veranschaulicht
werden. Folgende Fragen können als Anregung dienen:
•
In einer Kantine kann man aus 2 Vorspeisen, 3 Hauptgerichten und 2 Desserts ein
Menü erstellen. Wie viele mögliche verschiedene Menüs ergeben sich daraus?
•
Jan hat für das Fußballtraining 3 Trikots, 2 kurze Hosen und 4 Paar Stutzen zur
Auswahl. Aus wie vielen Outfits kann er für das Fußballtraining wählen?
•
Tina kann im Ferienlager aus den Vormittagsaktivitäten Klettern oder Akrobatik
wählen. Bei den Nachmittagsaktivitäten kann sie zwischen Jonglieren, Nähen und
Zaubern wählen. Wie viele verschiedene unterschiedliche Möglichkeiten bieten sich
ihr im Ferienlager, um ihren Tag zu gestalten?
3
Aufgabe 2 Fußballtabelle
Teilaufgabe 2.1
Auswertung
Angabe aller Möglichkeiten: 0, 1, 2, 3, 4, 6 Punkte
RICHTIG
[Anm.: Die Antwort wird auch als richtig gewertet, wenn die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 6 ohne "Punkte"
genannt werden.]
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
1. Zahl
Mathematisch modellieren (K3)
Mathematisch kommunizieren (K6)
I
3
Teilaufgabe 2.2
Auswertung
Begründung, mit der gezeigt wird, dass nach drei Spielen nicht die Summe von 8 Punkten entstehen kann, wenn eine Mannschaft pro Spiel jeweils 0, 1 oder 3 Punkte erhält.
RICHTIG
Beispiel(e)
• Mit drei Siegen hätte sie bereits mehr als 8 Punkte erhalten. Die Mannschaft müsste also zwei
Spiele gewonnen haben. Dann bleiben für das dritte Spiel noch 2 Punkte übrig. Diese können
in einem Spiel jedoch nicht erreicht werden.
• Bei zwei gewonnenen Spielen erhält die Mannschaft 6 Punkte. Für die zwei noch fehlenden
Punkte benötigt die Mannschaft noch mindestens zwei weitere Spiele, die unentschieden ausgehen müssten. Das sind aber vier statt drei Spiele. Bei einem weiteren Sieg hätte die Mannschaft bereits neun Punkte erreicht.
4
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
1. Zahl
Mathematisch argumentieren (K1)
II
3
Teilaufgabe 2.3
Auswertung
Angabe aller Möglichkeiten: 6, 7, 8 Spiele
RICHTIG
[Anm.: Die Antwort wird auch als richtig gewertet, wenn die Zahlen 6, 7, 8 ohne "Spiele" genannt
werden.]
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
1. Zahl
II
5
Diese Aufgabe wird der Leitidee Zahl (L1) zugeordnet, da in konkreten Situationen
kombinatorische Überlegungen angestellt werden (siehe hierzu auch die allgemeinen
Erläuterungen zur Leitidee Zahl in Modul B).
Zur Bearbeitung aller drei Teilaufgaben ist der Eingangstext jeweils interpretierend zu lesen.
In Teilaufgabe 1 werden dem Text zunächst die relevanten Informationen über die Anzahl
der Spiele, die vom betreffenden Spielausgang abhängige Punktzahl sowie der Hinweis auf
die erforderliche Addition aller erzielten Punkte entnommen (K6). Anschließend ist eine
elementare Strategie zu entwickeln, die sicherstellt, dass alle möglichen Fälle von
Spielausgängen bei zwei Spielen erfasst werden (K2). Zur Lösung aller Teilaufgaben ist eine
Übersetzung zwischen Realität und Mathematik notwendig. Daher erfordern alle
Teilaufgaben Modellierungskompetenzen (K3). Schließlich sind die bei allen denkbaren
Kombinationen von Spielausgängen erreichbaren Punktzahlen zu addieren und
abschließend aufzulisten (K6).
Zur Bearbeitung der Teilaufgaben 2 und 3 sind dem Eingangs- sowie dem Aufgabentext
zunächst ebenfalls die relevanten Informationen zu entnehmen (K6). Die gestellten
(Umkehr-)Fragen können durch systematisches Variieren der beiden gegebenen
Bedingungen (Anzahl der Spiele bzw. Anzahl der insgesamt erzielten Punkte) gelöst werden
(K2). Dabei sind nur einfache Rechnungen auszuführen. Bei Teilaufgabe 2 ist zusätzlich mit
5
Bezug auf die vorangegangenen Variationen explizit zu begründen, dass eine Mannschaft in
drei Spielen nicht acht Punkte erzielt haben kann (K1).
In Teilaufgabe 1 wird ein einfaches Problem mit bekannten – auch experimentellen –
Verfahren gelöst, so dass diese dem Anforderungsbereich I zugeordnet wird. Die Teilaufgaben 2 und 3 können dem Anforderungsbereich II zugeordnet werden, da das Lösen des
gestellten Problems die Anwendung mehrschrittiger heuristischer Strategien erforderlich
macht.
Alle Teilaufgaben der Aufgabe „Fußballtabelle“ zielen auf die allgemeine Kompetenz
Probleme mathematisch lösen (K2) ab. Diese Kompetenz kommt immer dann zum Tragen,
wenn Aufgaben gestellt werden, für deren Bearbeitung Schülerinnen und Schüler nicht auf
ihnen vertraute Verfahren zurückgreifen können. Daher ist mit Verfahren zu rechnen, die
nicht zielführend sind. Im Folgenden wird dies für die einzelnen Teilaufgaben verdeutlicht.
Zu Teilaufgabe 1. Alle Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5 und 6 werden unkritisch als mögliche
Spielstände aufgelistet, wie die nachstehende Schülerlösung zeigt (siehe Abbildung 1).
Dabei wird im Kontext außer Acht gelassen, dass eine Mannschaft nach zwei Spielen nicht
fünf Punkte haben kann. Im Unterricht könnte die Strategie des systematischen Variierens
thematisiert werden, um solche Fehler zu vermeiden.
Abbildung 1: Schülerlösung
Zu Teilaufgabe 2. Nur gleichartige Spielausgänge, z. B. zwei Siege, werden berücksichtigt,
und nicht alle Kombinationen werden - zumindest gedanklich - durch systematisches
Variieren ermittelt.
Zu Teilaufgabe 3. Es wird nicht beachtet, dass alle Möglichkeiten anzugeben sind.
Stattdessen wird wie in der folgenden Schülerlösung z. B. nur ermittelt, dass acht Siege bei
26 Punkten möglich sind (siehe Abbildung 2).
Für Teilaufgabe 3 bieten sich zwei systematische Herangehensweisen an: Man ermittelt
zunächst die minimal mögliche Anzahl an Siegen, um auf 26 Punkte zu kommen. Und
ersetzt dann die Unentschieden schrittweise durch Siege, bis 26 Punkte mit Sicherheit
überschritten werden (systematisches Durcharbeiten von Klein nach Groß). Oder man wählt
den umgekehrten Weg und ermittelt zunächst die maximal mögliche Anzahl an Siegen. Und
ersetzt dann die Siege schrittweise durch Unentschieden (systematisches Durcharbeiten von
Groß nach Klein). Beide Strategien zur Problemlösung können in ähnlichen Situationen
angewendet werden.
6
Im Unterricht bietet es sich an, Methoden des Problemlösens anhand von Beispielen sichtbar
zu machen, um sie anschließend auf einer Meta-Ebene zu systematisieren. Dazu gehören
z. B. heuristische Hilfsmittel wie Tabellen oder Gleichungen.1 Bezogen auf Teilaufgabe 3
könnten die heuristischen Hilfsmittel wie folgt aussehen:
Tabelle:
Siege
Unentschieden
Niederlagen
Gesamtpunktzahl
9
0
5
27
8
2
4
26
7
5
2
26
6
8
0
26
5
9
0
24
Gleichung(en):
s:= Siege; u:= Unentschieden; n:= Niederlagen
s + u + n = 14
3s + u = 26
Aufgabe 3 Mauer aus Zahlen
3⋅7
Teilaufgabe 3.1
1
Bruder, R. & Collet, C. (2011). Problemlösekompetenzen fördern. Berlin: Cornelsen Scriptor.
7
Auswertung
1
RICHTIG
[Anm.: Die Steine der Zahlenmauer müssen nicht ausgefüllt werden. Als richtig ist es auch zu
werten, wenn die Lösung in ein mit x gekennzeichnetes Feld eingetragen wird.]
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
1. Zahl
Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5)
II
2
Teilaufgabe 3.2
Auswertung
4 ODER -4
RICHTIG
[Anm.: Die Steine der Zahlenmauer müssen nicht ausgefüllt werden. Als richtig ist es auch zu
werten, wenn die Lösung in ein mit x gekennzeichnetes Feld eingetragen wird.]
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
1. Zahl
II
2
Weitere Teilaufgabe (nur im Testheft 1)
Auswertung
RICHTIG
FALSCH
Alle anderen fehlerhaften, unvollständigen oder falschen Antworten. Insbesondere, wenn nur zwei
statt drei Steine (richtig) ausgefüllt wurden.
8
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
1. Zahl
I
1a
Die Aufgabe ist der Leitidee Zahl (L1) zugeordnet, da Schülerinnen und Schüler hier durch
Ausprobieren und Ausrechnen zur Lösung gelangen (siehe hierzu auch die allgemeinen
Erläuterungen zur Leitidee Zahl in Modul B). Es handelt sich dabei um eine Strategie des
Abzählens.
Bei allen drei Teilaufgaben wird die Kompetenz Probleme mathematisch lösen (K2)
gefordert, da stets heuristische Prinzipien, wie etwa „Vom Ergebnis her rückwärts arbeiten“,
angewandt werden. Dabei wird das Ergebnis stets durch den obersten Baustein der
Zahlenmauer dargestellt. In den Teilaufgaben 1 und 2 rechnen Schülerinnen und Schüler mit
einer Unbekannten und arbeiten (mental) mit Termen und deren Umformungen. Somit
erfordern diese beiden Teilaufgaben die Kompetenz Mit symbolischen, formalen und
technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5).
Die weitere Teilaufgabe erfordert nur das Lösen einer einfachen mathematischen
Aufgabenstellung durch die Identifikation der vorgegebenen Strategie, also das direkte
Anwenden der Formel, und ist somit Anforderungsbereich I zuzuordnen. Die Teilaufgaben 1
und 2 hingegen erfordern eine eigene mehrschrittige Lösungsstrategie.
Alle drei Teilaufgaben zielen auf die Problemlösekompetenzen von Schülerinnen und
Schüler ab. Im Unterricht können anhand der Aufgabe „Mauer aus Zahlen“ verschiedene
Problemlösestrategien verdeutlicht werden. In der weiteren Teilaufgabe und Teilaufgabe 1
gelangen Schülerinnen und Schüler durch systematisches Probieren oder über die
Kombination von Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten zur Lösung. So wird in Teilaufgabe 1
zunächst 2 ⋅ 5 = 10 gerechnet (vorwärts) und dann die Gleichung x ⋅10 = 140 gelöst
(rückwärts). Beide Strategien können an ähnlichen Problemen im Unterricht angewandt und
geübt werden.
In Teilaufgabe 2 können sowohl die oben angeführten heuristischen Strategien, als auch
heuristische Hilfsmittel (wie z. B. Tabellen) genutzt werden. In diesem konkreten Fall könnte
das ein Term bzw. eine Gleichung oder eine Tabelle sein. Eine systematische Darstellung
heuristischer Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien findet sich bei Bruder und Collet2. (siehe
auch Modul B der didaktischen Handreichungen zu VERA8-2012).
2
Bruder, R. & Collet, C. (2011). Problemlösekompetenzen fördern. Berlin: Cornelsen Scriptor
9
Die heuristischen Hilfsmittel sollten im Unterricht als solche gekennzeichnet werden. Im
Folgenden sind sie exemplarisch dargestellt:
Gleichung:
x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = 256
Graph:
Tabelle:
x
x2
x4
1
1
1
2
4
16
3
9
81
4
16
256
Aufgabe 4 Null Komma Acht
Teilaufgabe 4.1
8:
= 0,8
= 0,8
0,8 :
Auswertung
RICHTIG
von oben nach unten:
10 UND 1
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
1. Zahl
I
2
10
Teilaufgabe 4.2
: 8 = 0,8
: 0,8 = 0,8
Auswertung
RICHTIG
von oben nach unten:
6,4 UND 0,64
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
1. Zahl
I
3
Die Aufgabe ist der Leitidee Zahl (L1) zuzuordnen, da Schülerinnen und Schüler zur Lösung
der Aufgabe den Zusammenhang zwischen der Rechenoperation Division und ihrer
Umkehrung Multiplikation nutzen (siehe hierzu auch die allgemeinen Erläuterungen zur
Leitidee Zahl in Modul B). Gleichzeitig rechnen die Schülerinnen und Schüler mit natürlichen
und rationalen Zahlen.
In beiden Teilaufgaben wird die Kompetenz Mit symbolischen, formalen und technischen
Elementen der Mathematik umgehen (K5) gefordert, da konzeptuelle Zusammenhänge zu
den Operationen systematisch genutzt werden. Dabei werden nur einfache mathematische
Werkzeuge genutzt, so dass beide Teilaufgaben dem Anforderungsbereich I zuzuordnen
sind.
Die Beschreibung unterrichtspraktischer Maßnahmen konzentriert sich hier auf den
Variablenbegriff. Zunächst werden Möglichkeiten zur Beschreibung unterschiedlicher
Aspekte des Variablenbegriffs vorgestellt:
Freudenthal3 klassifiziert Variablen nach der Art ihrer Verwendung, bzw. nach der Frage,
wofür eine Variable (in einer Aufgabe) steht. Sie kann (1) wie in dieser Aufgabe als
Unbekannte verwendet werden. Dabei steht die Variable für ein Objekt, das zwar unbekannt
jedoch prinzipiell bestimmbar ist. Eine Variable kann (2) als Unbestimmte verwendet werden.
Dabei steht die Variable für ein unbekanntes Objekt, dessen Bestimmung nicht weiter von
Belang ist. Dies ist z. B. immer dann der Fall, wenn Variablen in einer Aussage auftauchen,
die stets wahr ist, unabhängig davon, welche Zahl für die Variable eingesetzt wird. Eine
Variable kann schließlich (3) als Veränderliche verwendet werden. Dies ist zumeist in
funktionalen Zusammenhängen der Fall, in denen tatsächlich die Zahl variiert, die durch die
Variable repräsentiert wird.
3
Freudenthal, H. (1973). Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Stuttgart:Klett, 256ff
11
Eine andere Unterscheidung von Variablen schlägt Malle4 vor. Er unterscheidet zunächst
Einzelzahl- und Bereichszahlaspekt. Die Variable als (1) Einzelzahl bedeutet, dass man sie
im Sinne Freudenthals als Unbekannte verwendet. Es handelt sich dann um die Repräsentation einer beliebigen, jedoch festen Zahl aus einem bestimmten Bereich (siehe Beispiel 2).
Der (2) Bereichszahlaspekt besagt, dass nicht nur genau eine bestimmte Zahl aus einem
Bereich repräsentiert wird, sondern jede Zahl des Bereichs. Dieser Aspekt tritt in zwei
Varianten auf. Der (2.1) Simultanaspekt tritt dann hervor, wenn alle Zahlen eines Bereichs
gleichzeitig repräsentiert werden; der (2.2) Veränderlichenaspekt tritt dann hervor, wenn alle
Zahlen aus einem bestimmten Bereich nicht simultan repräsentiert, sondern durchlaufen
werden (siehe Beispiel 1).
Schülerinnen und Schülern, die die allgemeine Hochschulreife anstreben, können bereits in
der Sekundarstufe I die verschiedenen Verwendungen bzw. Aspekte des Variablenbegriffs
bewusst gemacht werden. So können z. B. zur Frage „Was ist eine Variable?“ verschiedene
Aufgaben Verwendung finden, in denen die Variable jeweils eine spezifische Rolle spielt.
Einen Mehrwert bietet ein solches Vorgehen, wenn im Laufe der Schulzeit auf die
verschiedenen Verwendungsweisen und Aspekte von Variablen rekurriert werden kann. So
kann beispielsweise der Unterschied zwischen einer Geraden als geometrisches Objekt und
einer Geradengleichung (y = mx + b) auf der einen Seite und einer Geraden als
Funktionsgraph und einer Funktionsgleichung (f(x) = mx + b) auf der anderen Seite anhand
der verschiedenen Verwendungsweisen und Aspekte von Variablen verdeutlicht werden.
Ebenso kann dieser Gedankengang auch in der analytischen Geometrie wieder aufgegriffen
werden, wenn beispielsweise ein Parameter einer Geradengleichung simultan für alle reellen
Zahlen steht (Gerade als geometrisches Objekt) oder veränderlich den Bereich der reellen
Zahlen durchläuft (Bewegung auf einer Geraden).
Beispiel 1:
g: y = 2x - 4 und f(x) = 2x – 4
Wird eine Gerade als Ganzes betrachtet, wie hier die Gerade g, so überwiegt der Simultanaspekt der Variable. x steht dann für einen ganzen Bereich möglicher Werte. In der
Gleichung zur Funktion f wird hingegen nicht ein ganzer Bereich möglicher x-Werte
betrachtet; im Vordergrund steht der Veränderlichenaspekt der Variable.
Beispiel 2:
f(x) = 2x - 4 und 0 = 2x – 4
Wird nach einem bestimmten x-Wert gefragt, wie in diesem Beispiel nach der Nullstelle, so
verschiebt sich der Fokus vom Bereichszahlaspekt auf den Einzelzahlaspekt. Nun kann x
nicht mehr für ganz verschiedene Zahlen stehen, sondern steht stellvertretend für eine
einzige Zahl.
4
Malle, G. (1993). Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Braunschweig: Vieweg, 80
12
Aufgabe 5 Steile Straße
Teilaufgabe 5.1
Auswertung
RICHTIG
eine Zahl aus dem Intervall [32; 33]
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
1. Zahl
Mathematische Darstellungen verwenden (K4)
II
4
Teilaufgabe 5.2
Die steilste Straße der Welt liegt in Neuseeland und heißt „Baldwin Street“. Ein sehr
steiler Abschnitt der Straße überwindet bei einer Horizontalstrecke von 154 m einen
Höhenunterschied von 47 m.
Wie viel Prozent Gefälle hat die Straße auf diesem Abschnitt?
Das Gefälle beträgt ca.
%.
Auswertung
RICHTIG
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
1. Zahl
II
4
13
Teilaufgabe 5.3
Auswertung
45
UND
Lösungsweg, bei dem der Winkel 45 ° berechnet oder argumentativ bzw. zeichnerisch hergeleitet wird.
RICHTIG
Beispiel(e)
• Aus 100 % Höhenunterschied folgt, dass das Dreieck gleichschenklig ist. Daraus folgt
α = 45° .
• Der Schüler zeichnet ein rechtwinkliges Dreieck bei dem An- und Gegenkathete gleich lang
sind und misst den Winkel nach.
•
tan(α ) = 1  α = 45°
[Anm.: Das Beispiel zur Lösung mittels der Tangensfunktion dient nur der Korrektur und ist nicht
Teil der erwarteten Lösung.]
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
1. Zahl
II
5
Die Aufgabe ist der Leitidee Zahl (L1) zuzuordnen, da Schülerinnen und Schüler
Prozentrechnung sachgerecht verwenden (siehe hierzu auch die allgemeinen Erläuterungen
zur Leitidee Zahl).
14
Zunächst werden dem Eingangstext die nötigen Informationen entnommen, insbesondere
die Erläuterung, was x % Gefälle bedeutet.
Auch aus den Aufgabentexten und den Zeichnungen werden die relevanten Informationen
herausgefiltert. Schließlich wird in Teilaufgabe 3 ein Lösungsweg dokumentiert. Dies
erfordert jeweils die Kompetenz Mathematisch kommunizieren (K6).
In Teilaufgabe 1 und 2 wird zwischen außermathematischen Realsituationen (der Straße
zwischen zwei Orten) und mathematischen Begriffen, Resultaten und Methoden
(Höhenunterschied, Prozentrechnung) hinund hergewechselt. Das gegebene Modell (das
Dreieck als Modellierung des Straßenanstiegs) muss verstanden und in einer konkreten
Realsituation angewandt werden. Daher erfordern die ersten beiden Teilaufgaben die
Kompetenz Mathematisch modellieren (K3). Da bei Teilaufgabe 2 zudem Operationen mit
Zahlen und an geometrischen Objekten, nämlich am Dreieck, gefordert sind, wird auch noch
die Kompetenz Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik
umgehen (K5) gefordert. Bei Teilaufgabe 3 wird dann zusätzlich zu den in den vorherigen
Teilaufgaben bereits verwendeten Größen ein Winkel betrachtet. Zur Lösung der Teilaufgabe
müssen Schülerinnen und Schüler einen geeigneten Lösungsweg oder eine geeignete
Lösungsstrategie finden und anwenden. Somit wird die Kompetenz Probleme mathematisch
lösen (K2) gefordert. Dabei wird die heuristische Strategie „Verwenden einer Skizze“ bereits
durch die Abbildung nahegelegt. In allen Teilaufgaben wird eine mathematische Darstellung,
das Steigungsdreieck, verwendet und interpretiert. Somit zielen alle Teilaufgaben auch auf
die Kompetenz ab, mathematische Darstellungen zu verwenden (K4).
Da alle drei Aufgabenteile ein mehrschrittiges Vorgehen erfordern und über einfache
Routineaufgaben hinausgehen, sind die Aufgaben dem Anforderungsbereich II zuzuordnen.
Die Aufgabe „Steile Straße“ zeigt eine Möglichkeit an, wie der mathematische Steigungsbegriff im Unterricht eingeführt werden kann. Dieses Vorgehen bietet sich beispielsweise an,
wenn Graphen linearer Funktionen thematisiert werden. Negative Änderungsraten von
Graphen linearer Funktionen können mithilfe des Straßenschilds „Gefälle“ zunächst als
Gefälle in Prozent interpretiert werden. Im Anschluss daran folgt die Angabe eines Gefälles
als Winkel. Ebenso kann mit positiven Änderungsraten mithilfe des Straßenschilds
„Steigung“ verfahren werden.
Der Begriff der durchschnittlichen Änderungsrate im mathematischen Sinne kann im
Unterricht dann als eine Zusammenfassung dieser beiden Realitätsbezüge (Straßenschild
Gefälle und Straßenschild Steigung) den Schülerinnen und Schülern näher gebracht werden.
Sie können so den mathematischen Begriff der durchschnittlichen Änderungsrate als eine
Zusammenfassung der beiden bereits quantifizierten Eigenschaften von Straßen, Gefälle
und Steigung, verstehen. Weiterhin ist es sinnvoll, an dieser Stelle verschiedene Darstellungen des Steigungsbegriffs nebeneinanderzustellen und hier Vorteile der Darstellung als
Zahl gegenüber der Darstellung als Winkel oder Prozentsatz zu verdeutlichen.
15
Der Realitätsbezug „Straßenschild“ kann so verstanden im Sinne der ersten Winterschen
Grunderfahrung5 genutzt werden. Auf diese Grunderfahrung kann auch zur Differenzierung
zwischen durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate in höheren Klassenstufen
zurückgegriffen werden.
So kann auf einem konkreten Straßenverlauf verwiesen werden, der nicht über eine
einheitliche Steigung bzw. ein einheitliches Gefälle verfügt. Die Fragen lautet dann: Welche
Steigung bzw. welches Gefälle würde ein Straßenschild anzeigen? Welche Steigung lässt
sich auf einen stark eingegrenzten Abschnitt des Streckenverlaufs ermitteln? Ebenso ist es
möglich im Kontext Straßenverkehr eine Geschwindigkeitsmessung für die besagte
Differenzierung zu nutzen.
Der Kontext „Straßenverkehr“ bietet neben den hier genannten Möglichkeiten viele weitere
Facetten für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht. Im Folgenden seien nur einige
Beispiele für die Sekundarstufe I genannt:
•
Jahnke, Th. (1996). Wie viele Gänge hat ein 21-Gang-Fahrrad?. In Bardy et al,
Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht. Schriftenreihe der
ISTRON-Gruppe. Band 3 (S. 23-29). Franzbecker: Hildesheim
•
Öffentliche Verkehrsmittel, ab Klasse 6: Vernay, R. (1995). Bruchrechnen in der
Straßenbahn und im Intercity, mathematik lehren, 69, 8-11.
•
Radarfalle, ab Klasse 6 (Proportionalität): Maaß, J. (2007). Schülerinnen entwickeln
eine `Radarfalle In Herget et al, Materialien für einen realitätsbezogenen
Mathematikunterricht. Schriftenreihe der ISTRON-Gruppe. Band 10, (S. 91-98).
Franzbecker: Hildesheim
•
Fahrpläne, ab Klasse 8 (Lineare Funktionen): Unterrichtseinheit Eisenbahn. In
Becker et al. (1997), Anwendungsorientierter Mathematikunterricht in der
Sekundarstufe I, (S. 79-95). Klinkhardt: Bad Heilbrunn.
•
„Brückenbau“ in Greefrath, G. (2007) Modellieren lernen mit offenen realitätsnahen
Aufgaben (S. 80-85). Aulis Verlag Deubner: Berlin
•
Jahnke, Th. (1997). Stunden im Stau – eine Modellrechnung. In: Blum et al.
Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht. Schriftenreihe der
ISTRON-Gruppe. Band 4 (S. 70-81). Franzbecker: Hildesheim
•
Die Aufgaben „Fahrrad“, „Benzinkosten“, „Reisekosten“, „Monatskarte“, „Pendler“,
„Straßenbahn“, „Car Check“, „Straßenschild“, „Autobahnschild“, „ICE“, „Neun
Stunden im Stau“, „Autobahnauffahrt“, „Erdgasauto“, „Porsche“ und „Schwarzfahren“
In Maaß, J. (2007). Mathematisches Modellieren. Aufgaben für die Sekundarstufe I.
Cornelsen Scriptor: Berlin.
•
Reale Probleme aus dem Wirklichkeitsbereich „Verkehr und Mobilität“ auf dem
Bildungsserver Südtirols: http://www.blikk.it/angebote/modellmathe (letzter Zugriff
am 22.09.2015).
5
Winter, H. (1996). Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. Mitteilungen der Gesellschaft für
Didaktik der Mathematik, 61, 37- 46.
16
Aufgabe 6 Bistroumfrage
Teilaufgabe 6.1
Auswertung
RICHTIG
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
5. Daten und Zufall
I
2
17
Teilaufgabe 6.2
Auswertung
RICHTIG
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
5. Daten und Zufall
II
3
Diese Aufgabe ist der Leitidee Daten und Zufall (L5) zugeordnet, da von den Schülerinnen
und Schüler gefordert ist, den Ablauf und die Umfrage einer statistischen Erhebung zu
planen.
In beiden Teilaufgaben ist es wichtig, Informationen aus dem jeweiligen Text zu entnehmen,
sodass die Kompetenz Mathematisch kommunizieren (K6) zum Lösen der Aufgabe
abgefragt wird. In Teilaufgabe 2 ist es außerdem notwendig, Teilprozesse des mathematischen Modellierens (K3) zu durchlaufen, da durch das Ankreuzen passender Fragen
Annahmen getroffen werden müssen und somit die Teilkompetenz des Modellierens
Vereinfachen erforderlich ist.
In Teilaufgabe 1 müssen die Informationen in kurzen, leicht verständlichen Texten
identifiziert werden. Daher gehört diese Teilaufgabe in den Anforderungsbereich I.
Teilaufgabe 2 hingegen ist dem Anforderungsbereich II zugeordnet, da für das Auswählen
der passenden Fragen tieferes Verständnis gefordert ist.
In der Aufgabe „Bistroumfrage“ wird angedeutet, wie in der Schule Stochastikunterricht
gebunden an eine konkrete Untersuchung unterrichtet werden kann. Dabei geht es in
Teilaufgabe 1 um die Planung der Untersuchung. In Teilaufgabe 2 soll dann eine geeignete
Frage zum aufgeworfenen Problem gefunden werden. Fragen, die Schülerinnen und Schüler
im Zusammenhang mit eigenen Untersuchungen an die Lehrkraft herantragen, können wie
folgt lauten: Wann ist die Stichprobe einer Grundgesamtheit repräsentativ? Wie müssen
Merkmale definiert sein, damit sie möglichst wenig Interpretationsspielraum enthalten?
Welche Merkmale sollen überhaupt erfasst werden?
18
Auf solche und viele weitere Fragen gehen beispielsweise Eichler und Vogel6 in ihrem Buch
Leitfaden Stochastik ein. Dort finden sich neben den Erläuterungen zu Begriffen und
Verfahren vertiefende Aufgaben, die teilweise auch Schülerinnen und Schüler im Unterricht
gestellt werden können. Auf der Homepage www.leitideedatenundzufall.de stellen die
Autoren zudem Zusatzmaterialien bereit, so z. B. Lösungen zu den im Buch gestellten
Aufgaben oder Datensätze in Tabellen-Dateien, falls man keine eigenen Erhebungen von
Daten durchführen möchte.
Aufgabe 7 Glückssäckchen
Teilaufgabe 7.1
Auswertung
A
UND
RICHTIG
Begründung mit vergleichendem Bezug auf die Anteile weißer Kugeln in den Säckchen, der bei
A am höchsten ist.
Beispiel(e)
• Der Anteil der weißen Kugeln ist bei Beutel A am höchsten, nämlich 50 %, bei B sind es nur 40
% und bei C nur 42,8 %.
6
Eichler, A. & Vogel, M. (2011): Leitfaden Stochastik. Für Studierende und Ausübende des Lehramts.
Wiesbaden: Vieweg+Teubner. Springer Fachmedien
19
• Bei Beutel A sind es genauso viele weiße wie schwarze Kugeln. Bei den beiden anderen
Säckchen sind es mehr schwarze als weiße Kugeln.
• In A sind mehr weiße Kugeln als in B, aber gleich viele schwarze Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist bei A also größer als bei B. In A sind gleich viele weiße Kugeln wie in C,
jedoch weniger schwarze Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist bei A also größer als
bei C.
• (Grenzfall)
A:
3
2
3
, B:
, C:
; ohne Anmerkung zum Vergleich
6
5
7
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
5. Daten und Zufall
II
3
Teilaufgabe 7.2
Auswertung
4
9
RICHTIG
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
5. Daten und Zufall
II
4
Teilaufgabe 7.3
n1 + n2
m
n1 ⋅ n2
m
n1 + n2
2⋅m
n1 ⋅ n2
2⋅m
Auswertung
RICHTIG
20
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
5. Daten und Zufall
III
4
Diese Aufgabe ist der Leitidee Daten und Zufall (L5) zugeordnet, da Schülerinnen und
Schüler Wahrscheinlichkeiten in Zufallsexperimenten bestimmen und beurteilen.
In beiden Teilaufgaben müssen einfache Routineverfahren zur Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit angewandt werden. Daher ist die Kompetenz Mit symbolischen, formalen
und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) erforderlich.
In der Aufgabe muss zudem zwischen der realen Situation des Zufallsexperiments und einer
stochastischen Methode zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit hinund her gewechselt
und somit mathematisch modelliert (K3) werden.
Beide Teilaufgaben gehören in den Anforderungsbereich II, da es sich jeweils um
mehrschrittige Prozesse zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten handelt. Teilaufgabe 3
wird dem Anforderungsbereich III zugeordnet, da Terme zur allgemeinen Berechnung von
Wahrscheinlichkeiten in ähnlich gelagerten Situationen untersucht werden sollen.
Anhand der folgenden Schülerlösungen zur Teilaufgabe 1 der Aufgabe „Glückssäckchen“ in
Abbildung 1 soll illustriert werden, wie die Ergebnisse kompetenzorientiert ausgewertet und
für einen kompetenzorientierten Unterricht nutzbar gemacht werden können. Bei beiden hier
vorgestellten Schülerlösungen lassen sich sowohl Kompetenzen identifizieren, über die der
Schüler bereits verfügt, als auch Kompetenzen, die es weiter auszubauen gilt.
Abbildung 1: Schülerlösung 1
Die Schülerin kreuzt die korrekte Antwort A an und bestimmt ebenso die
Gewinnwahrscheinlichkeit im Säckchen A gemäß der gegeben Situation richtig.
21
Es ist demnach davon auszugehen, dass die Schülerin bezogen auf Modelle zur LaplaceWahrscheinlichkeit über Modellierungskompetenzen (K3) verfügt.
Von der Schülerin werden die Wahrscheinlichkeiten zu Säckchen B und C wie folgt
angegeben: Im Zähler befindet sich die Anzahl an weißen Kugeln. Im Nenner befindet sich
nun jedoch nicht die Gesamtzahl an Kugeln, sondern die Anzahl an schwarzen Kugeln.
Verglichen mit der korrekt angegebenen Wahrscheinlichkeit bei Säckchen A müsste
Säckchen A ihren Angaben gemäß dasjenige mit der geringsten Gewinnwahrscheinlichkeit
sein. Offenbar hat die Schülerin Wahrscheinlichkeiten und Chancenverhältnisse zumindest
beim Aufschreiben verwechselt. Die Kompetenz Mit symbolischen, formalen und technischen
Elementen der Mathematik umgehen (K5) sollte in dieser Hinsicht weiter gefördert werden.
Auch in Schülerlösung 2 zur Teilaufgabe 1 wird deutlich, dass die Schülerin mit den realen
Gegebenheiten korrekt umgehen kann (siehe Abbildung 2). Die Schülerin verfügt bezogen
auf einfache Zufallsexperimente über Modellierungskompetenzen (K3).
In ihrer Begründung argumentiert sie über Chancen, was im Rahmen dieser Aufgabe auch
sinnvoll ist. Sie geht dabei jedoch nicht auf das dritte Glückssäckchen ein und formuliert so
eine unvollständige Argumentation. Die Überprüfung, ob eine Argumentation vollständig ist,
kann als Metastrategie im Unterricht thematisiert werden, um so die Kompetenz
Mathematisch argumentieren (K1) zu fördern.
Im Unterricht könnte Schülerlösung 2 thematisiert werden, um zum einen den Unterschied
zwischen der mathematischen Notation von Chancen und Wahrscheinlichkeiten deutlich zu
machen und zum anderen, um deutlich zu machen, wann eine Argumentation vollständig ist.
22
Aufgabe 8 Werbemarkt
Die folgende Grafik stellt die Gesamtausgaben für Werbung in den Jahren 2010 bis 2015
dar.
25,0
in Mrd. Euro
20,0
15,0
10,0
5,0
0,0
2010
2011
2012
2013
2014
2015
Nimm an, dass sich die Gesamtausgaben für Werbung in den nächsten Jahren
ähnlich weiterentwickeln.
Gib unter dieser Voraussetzung eine Prognose ab, wie hoch die Gesamtausgaben für
Werbung im Jahr 2018 ungefähr sein werden.
Ungefähre Höhe der Gesamtausgaben für Werbung im Jahr 2018:
Mrd. €
Notiere deinen Lösungsweg.
Auswertung
UND
Überlegungen, bei denen die kontinuierliche und fast gleichmäßige Zunahme der Werbeausgaben in den Jahren 2010 bis 2015 auf die folgenden drei Jahre bis 2018 fortgesetzt wird.
RICHTIG
Beispiel(e)
• Die Aufwendungen im Werbebereich sind in 5 Jahren um etwas mehr als 5 Mrd. € gestiegen.
Das sind pro Jahr ungefähr 1 Mrd. €. Im Jahr 2018 werden dann also etwa 25 Mrd. € für Werbung aufgewendet.
• Die Zunahme der Aufwendungen im Werbebereich ist fast linear. Wenn man die Säulenspitzen mit einer Strecke verbindet und diese entsprechend verlängert, kann man die Werbekosten für das Jahr am Diagramm ablesen. Sie betragen im Jahr 2018 etwa 25 Mrd. € .
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
5. Daten und Zufall
III
4
23
Diese Aufgabe ist der Leitidee Daten und Zufall (L5) zugeordnet, da sich die Schülerinnen
und Schüler mit der Interpretation von statistischen Daten auseinandersetzen.
Zunächst muss die gegebene reale Situation modelliert werden (K3). Es muss eine
geeignete Lösungsstrategie entwickelt werden, um den Wert für das Jahr 2018
abzuschätzen. Daher ist auch die Kompetenz Probleme mathematisch lösen (K2)
erforderlich.
Zur Bearbeitung der Aufgabe ist es außerdem notwendig, mit einer statistischen Darstellung
umzugehen (K4).
Die Kompetenz Mathematisch kommunizieren (K6) wird ebenfalls gefordert, da zunächst
Informationen aus der Graphik und dem Text entnommen werden und die Überlegungen
schließlich dargelegt werden müssen.
Schülerinnen und Schüler gehen in beiden Teilaufgaben mit Mathematik technisch um (K5),
indem sie beispielsweise schätzen, Punkte in einem Diagramm ablesen und Geraden
zeichnen. In der Aufgabe werden jedoch vornehmlich andere Kompetenzen fokussiert,
weshalb diese Kompetenz (K5) hier nicht zugeordnet wird.
Die Aufgabe gehört in den Anforderungsbereich III, da es sich bei der Grafik um eine
unvertraute Darstellung handelt und die Schülerinnen und Schüler ihre Überlegungen bzgl.
der Werte für das Jahr 2010 in einem Argumentationsprozess darlegen müssen.
Die Kompetenz Mathematische Darstellungen verwenden (K4) ist über den Mathematikunterricht hinaus bedeutsam. Sie wird in zahlreichen Studiengängen vorausgesetzt und
spielt auch in der Lebenswelt vieler Menschen eine bedeutsame Rolle. Man denke an dieser
Stelle an die Vielzahl von Diagrammen, Schaubildern, Graphen und Tabellen, die uns täglich
in Medien, in Aushängen oder in der Arbeitswelt begegnen. All diese Darstellungen sind
auch mathematische Darstellungen, wenngleich sie sehr häufig von den im Mathematikunterricht üblichen Darstellungsweisen abweichen. Der verständige Umgang mit der Vielzahl
von Darstellungen, die Möglichkeit diese zu deuten oder womöglich verfälschende
Darstellungen zu kritisieren beinhaltet die Kompetenz Mathematische Darstellungen
verwenden (K4), wie sie in den Bildungsstandards gefordert wird. Soll Mathematikunterricht
allgemeinbildend sein und sollen Schülerinnen und Schüler zu (bürgerlicher) Mündigkeit
befähigt werden, so gilt es insbesondere diese Kompetenz zu fördern.
In der Aufgabe „Werbemarkt“ wird lediglich verlangt, begründet eine Prognose über künftige
Werbeausgaben abzugeben. In diesem Fall wird die mathematische Darstellung nicht
kritisch hinterfragt. Vielmehr wird davon ausgegangen, dass sich ein Muster, welches sich in
der Darstellung zeigt, auch in kommenden Jahren fortsetzen wird. Die beispielhaften
Antworten aus den Lösungshinweisen belegen das. An dieser Stelle kann man durchaus
vom Induktionsproblem sprechen, das immer dann auftritt, wenn von einer endlichen Anzahl
von Fällen (hier die Ausgaben für Werbung bezogen auf wenige Jahre) auf Ereignisse in der
Zukunft (Aufgaben für Werbung in kommenden Jahren) geschlossen wird.
24
Es muss im Unterricht deutlich werden, dass es sich dabei stets um sehr vage Prognosen
handelt. Anhand der Aufgabe „Werbemarkt“ könnte überlegt werden, welche äußeren, nicht
unbedingt vorhersehbaren Ereignisse die Aufgaben für Werbung beeinflussen können. Zu
nennen wäre beispielweise die Finanz- und Wirtschaftskrise im Jahre 2008. Des Weiteren
kann die Verlässlichkeit der Daten, welche der Darstellung zugrunde liegen, auf Plausibilität
geprüft werden. Es wäre zu bedenken, wie überhaupt weltweite Ausgaben für Werbung
ermittelt werden können oder ob es sich dabei nicht zwangsläufig um grobe Abschätzungen
handeln muss. Ebenso kann die Darstellung Gegenstand kritischer Betrachtung werden. Zu
fragen wäre, welche Ungenauigkeiten sich aus der gegebenen Darstellung ergeben.
Wie eben geschildert, lässt sich eine solche Darstellung kritisch beleuchten. Dies soll als
Anregung dafür dienen, im Mathematikunterricht vermehrt echte Darstellungen und damit
verbundene Aussagen aus Zeitungen und Internetseiten für eine kritische Analyse zu
verwenden.
Aufgabe 9 Gummibären
Teilaufgabe 9.1
Auswertung
1
6
RICHTIG
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
5. Daten und Zufall
I
3
Teilaufgabe 9.2
Auswertung
RICHTIG
25
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
5. Daten und Zufall
II
4
Diese realitätsbezogene Aufgabe gehört zur Leitidee Daten und Zufall (L5), da es hier zum
einen um das Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten von Elementarereignissen (Teilaufgabe 1) und zum anderen um das verständnisorientierte Beschreiben
und Beurteilen von Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen (Teilaufgabe 2) geht.
Bei allen Teilaufgaben muss die beschriebene Situation verstanden werden (K6).
Teilaufgabe 1 erfordert zudem die Berechnung des Anteils einer bestimmten Teilmenge, der
anschließend in Form einer Wahrscheinlichkeit angegeben werden muss (K5). Dazu ist nur
der Umgang mit einem vertrauten und direkt erkennbaren stochastischen Modell notwendig
(K3), was eine Einordnung dieser Teilaufgabe in den Anforderungsbereich I nahelegt. Bei
Teilaufgabe 2 steigt die Anforderung an das Modellieren (K3), da das mathematische
1
Resultat ( 83 ) im Gegensatz zu Teilaufgabe 1 nicht direkt in die Realität übertragen werden
3
kann, sondern hier noch eine angemessene Rundung zu vollziehen ist (K5). Es erscheint
eine Einordnung dieser Teilaufgabe in Anforderungsbereich II sinnvoll.
Beide Teilaufgaben der Aufgabe „Gummibären“ verlangen von Schülerinnen und Schülern
Kompetenzen im Bereich Mathematisch modellieren (K3), Mit symbolischen, formalen und
technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) und Mathematisch
kommunizieren (K6). Bezüglich jeder Kompetenz können bestimmte Schwierigkeiten beim
Lösen der Teilaufgaben auftreten. Dies soll im Folgenden anhand der Analyse von
Schülerlösungen verdeutlicht werden.
Schwierigkeiten bezüglich des mathematischen Modellierens (K3) werden deutlich, wenn
z. B. ein nicht geeignetes Wahrscheinlichkeitsmodell angenommen wird. Dies ist der Fall,
1
angegeben wird. Vermutlich wurde dann
wenn in Teilaufgabe 1 die Wahrscheinlichkeit mit
5
in die Überlegungen lediglich einbezogen, dass fünf verschiedene Farben in einer Tüte sind.
In Teilaufgabe 2 könnte die Fehllösung 20 darauf hinweisen, dass die gegebenen Zahlen
einfach auf irgendeine Weise miteinander verknüpft worden sind (z. B. 1000:(5 ⋅ 10) ), ohne
auf einen sinnhaften Zusammenhang mit dem Aufgabentext zu achten. Es handelt sich um
eine Ausweichstrategie, deren Auftreten hier darauf hinweist, dass die Kompetenz
Mathematisch modellieren (K3) weiter gefördert werden sollte.
Die Kompetenz des mathematischen Kommunizierens (K6) sollte weiter gefördert werden,
1
wenn in Teilaufgabe 1 die Wahrscheinlichkeit mit
angegeben wird. Hier ist zu vermuten,
3
dass die Wahrscheinlichkeit für rote Gummibären angegeben worden ist. Dass jedoch nach
der Wahrscheinlichkeit für Himbeergeschmack gefragt worden ist, wird nicht berücksichtigt.
26
Ist in Teilaufgabe 2 die Zahl 160 angekreuzt, verweist dies auf einen ähnlichen Umstand.
Dieses Resultat ergibt sich, wenn von 1000 Gummibären ausgegangen wird und die
Information, dass 5 Gummibären zusammen 10 g wiegen, unberücksichtigt bleibt.
Aufgabe 10 Winkelwürfel
Teilaufgabe 10.1
Auswertung
1. Kästchen wurde angekreuzt (1. Zeile)
RICHTIG
UND
3. Kästchen wurde angekreuzt (2. Zeile)
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
5. Daten und Zufall
II
2
27
Teilaufgabe 10.2
Auswertung
5 Zahlen, deren Summe 1 ergibt
UND
gleiche Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse "1" und "2" bzw. für "3" und "5"
Beispiel(e)
RICHTIG
Alle anderen Antworten.
Beispiel(e)
FALSCH
[Anm.: Nur die relativen Häufigkeiten werden ermittelt.]
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
5. Daten und Zufall
II
5
28
Die Aufgabe ist der Leitidee Daten und Zufall (L5) zugeordnet, da Schülerinnen und Schüler
Zufallserscheinungen beschreiben und Wahrscheinlichkeiten in Zufallsexperimenten
bestimmen.
In Teilaufgabe 1 müssen die Abbildungen der Würfel verglichen und interpretiert werden,
sodass die Kompetenz Mathematische Darstellungen verwenden (K4) gefordert ist.
Außerdem gehört zu dieser Teilaufgabe die Kompetenz Mathematisch kommunizieren (K6),
da zunächst Informationen aus dem Text über die Art der Winkelwürfel entnommen werden
müssen, um die Aufgabe zu bearbeiten.
Für Teilaufgabe 2 gehen Schülerinnen und Schüler ebenfalls mit mathematischen Darstellungen um (K4), da die Tabelle Informationen enthält, die zur Bearbeitung der Aufgabe
ergänzt werden sollen. Zusätzlich muss eine Strategie entwickelt werden, um die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse zu bestimmen. Aufgrund dieser Strategiefindung
ist die Kompetenz Probleme mathematisch lösen (K2) notwendig. In der Teilaufgabe spielt
außerdem das mathematische Modellieren (K3) eine Rolle, weil Ergebnisse einer realen
Situation mithilfe von Mathematik interpretiert werden. Zur Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten ist zudem die Kompetenz Mit symbolischen, formalen und technischen
Elementen der Mathematik umgehen (K5) wichtig.
Die gesamte Aufgabe ist dem Anforderungsbereich II zugeordnet. Dies ist dadurch
begründet, dass in beiden Teilaufgaben gefordert ist, die entsprechende Darstellungsform
verständig zu interpretieren bzw. zu ergänzen. Teilaufgabe 1 gehört auch deshalb in den
Anforderungsbereich II, weil Informationen aus einem Text selektiert werden müssen und die
Bilder der Winkelwürfel nicht unbedingt einen einfachen Sachverhalt darstellen. Für Teilaufgabe 2 ist das Finden eines Lösungswegs für die Ergänzung der Tabelle notwendig. Dies
rechtfertigt ebenfalls den Anforderungsbereich II, da es sich nicht um eine unmittelbar
naheliegende Strategie handelt (Anforderungsbereich I), sie aber wiederum nicht so komplex
ist, dass man von einem Anforderungsbereich III sprechen kann.
Die für die Aufgabe verwendeten Winkelwürfel erinnern an Riemer und die nach ihm
benannten Riemer-Würfel7. So lässt sich ausgehend von der Aufgabe „Winkelwürfel“ im
Unterricht mit echten Winkelwürfeln ein wie in den Teilaufgaben angedeutetes Unterrichtsvorhaben realisieren. Dieses Unterrichtsvorhaben soll nach Riemer dazu beitragen, dass
Schülerinnen und Schüler einen Wahrscheinlichkeitsbegriff erwerben, der sowohl den
Laplace’schen als auch den frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff umfasst. Riemer
weist darauf hin, dass bei der ausschließlichen Verwendung von völlig symmetrischen
Objekten wie Würfel, Münzen oder Glücksrädern der falsche Eindruck entstehen könnte,
dass sich Wahrscheinlichkeiten stets genau bestimmen ließen (Laplace’sche Wahrscheinlichkeit). Andererseits, bei der Beschränkung auf völlig unsymmetrische Objekte wie
Reißnägel oder Knöpfe, muss die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses stets als relative
Häufigkeit interpretiert werden, mit der es in einer großen Anzahl gleicher, wiederholter,
voneinander unabhängiger Zufallsexperimente eintritt (frequentistische Wahrscheinlichkeit).
7
Riemer, W. (1988). Riemer-Würfel. Spannende und lehrreiche Experimente mit ungewöhnlichen Objekten, Stuttgart: Klett (online: http://www.riemer-koeln.de/mathematik/quader/riemer-wuerfel-klett.pdf )
29
Würde ausschließlich die frequentistische Wahrscheinlichkeit im Unterricht behandelt, so
könnten Schülerinnen und Schüler glauben, dass vor solchen Zufallsexperimenten keine
Aussagen über zu erwartende Wahrscheinlichkeiten sinnvoll getätigt werden können.
Riemer geht davon aus, dass mit seinen teilweise symmetrischen Würfeln beide Vorstellungen entwickelt und vertieft werden können. Die Würfel erlauben es nämlich zum einen,
schon vor jedem Versuch Prognosen über relative Häufigkeiten zu machen. Zum anderen
können im Anschluss daran diese Prognose durch Versuche überprüft werden.
Arbeitet man im Unterricht zudem mit verschiedenen Varianten von Riemer-Würfeln, so
können weitere Hypothesen getestet werden. Solche Hypothesen können wie folgt lauten:
(1) Je größer die Auflagefläche einer Lage desto „wahrscheinlicher“ ist diese Lage. Der
Quotient zweier Wahrscheinlichkeiten ist gleich dem Quotient aus dem Flächeninhalt zweier
Auflageflächen. (2) Je höher der Schwerpunkt desto „unwahrscheinlicher“ ist diese Lage. Der
Quotient zweier Wahrscheinlichkeiten gleicht dem Kehrwert aus dem Quotient der Höhe der
Schwerpunkte. Wie Riemer zeigen konnte, liefert eine Mischung aus beiden Annahmen sehr
gute Voraussagen.
Aufgabe 11 Würfelturm
Teilaufgabe 11.1
Auswertung
RICHTIG
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
3. Raum und Form
I
2
30
Teilaufgabe 11.2
Auswertung
RICHTIG
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
4. Funktionaler Zusammenhang
II
3
Teilaufgabe 11.3
Auswertung
RICHTIG
n⋅4+1
[Anm.: Äquivalente Terme und rekursive Formulierungen (A(n) = A(n - 1) + 4;
A(1) = 5) sind auch als richtig zu werten.]
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
III
3
31
Teilaufgabe 1 ist der Leitidee Raum und Form (L3) zugeordnet, da ein geometrischer Körper
im Raum untersucht wird.
Schülerinnen und Schüler müssen in dieser Aufgabe mit einer räumlichen Darstellung
umgehen, daher ist die Kompetenz Mathematische Darstellungen verwenden (K4)
besonders gefordert. Außerdem ist es zur Bestimmung der Anzahl der Würfelseitenflächen
erforderlich, heuristische Prinzipien zu verwenden wie beispielsweise das systematische
Probieren. Daher ist auch die Kompetenz Probleme mathematisch lösen (K2) erforderlich.
Die erste Teilaufgabe wird dem Anforderungsbereich I zugeordnet, da eine einfache
Aufgabenstellung durch eine naheliegende Strategie gelöst wird.
Die Teilaufgaben 2 und 3 gehören zur Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L4). Es geht in
beiden Teilaufgaben um eine funktionale Beziehung zwischen der Anzahl der gestapelten
Würfel und der Anzahl der sichtbaren Würfelseitenflächen.
Auch in diesen beiden Teilaufgaben ist die Kompetenz Probleme mathematisch lösen (K2)
gefordert, da Lösungsstrategien angewendet werden. In Teilaufgabe 2 müssen Schülerinnen
und Schüler zudem – genau wie in Teilaufgabe 1 – mit einer räumlichen Darstellung umgehen, da die Anzahl der sichtbaren Seitenflächen bestimmt werden soll. Für Teilaufgabe 3
ist es erforderlich, einen allgemeinen Term mit Variablen zu erstellen (K5) und durch das
Erstellen einer solchen Vorschrift die eigenen Überlegungen darzulegen (K6).
Teilaufgabe 2 ist dem Anforderungsbereich II zugeordnet, da die räumliche Darstellung der
Würfel ein verständiges Interpretieren erfordert und die Problemstellung, die Tabelle nach
und nach zu ergänzen, mehrschrittig gelöst wird.
In Teilaufgabe 3 muss eine verallgemeinerte Aussage über die Anzahl der sichtbaren
Würfelseitenflächen getroffen werden. Daher ist diese Teilaufgabe dem Anforderungsbereich III zugeordnet.
Um in der Aufgabe „Würfelturm“ den funktionalen Zusammenhang zu erkunden, werden
Schülerinnen und Schüler durch die ersten beiden Teilaufgaben geleitet. In Teilaufgabe 1
wird die Frage nach den sichtbaren Seitenflächen eines Würfelturms bestehend aus zwei
Würfeln anhand einer konkret gegebenen Darstellung beantwortet. In Teilaufgabe 2 wird
ebenso nach einer konkreten Anzahl von sichtbaren Seitenflächen gefragt. Allerdings ist die
Anzahl der sichtbaren Seitenflächen für einen Würfelturm aus zehn Würfeln nicht mehr
mithilfe der gegebenen Darstellung zu ermitteln. In Teilaufgabe 3 wird nun nach einem
allgemeinen Zählprinzip für die Anzahl sichtbarer Seitenflächen gefragt.
Im Unterricht kann der induktive Aufbau der Aufgabe übernommen werden, um ebenfalls
solche oder ähnliche Würfeltürme hinsichtlich eines funktionalen Zusammenhangs zu
thematisieren. Schülerinnen und Schüler können beispielsweise in Kleingruppen mit
gewöhnlichen Spielwürfeln experimentieren und Würfeltürme wie aus dieser Aufgabe oder
Würfeltürme beruhend auf anderen Konstruktionsprinzipien untersuchen (Die Augenzahlen
auf den Würfeln bleiben dabei unberücksichtigt.). Zwei solcher Konstruktionsprinzipien sollen
hier kurz dargestellt werden.
32
Abbildung 1: Liegender Würfelturm
In Abbildung 1 wird ein liegender Würfel-„Turm“ für n = 3, n = 4 und n = 5 gezeigt. Bei
gleichlautender Fragestellung führt das Konstruktionsprinzip dieses Würfelturms zur
Funktionsgleichung A(n)= 3n + 2.
Abbildung 2: Doppelter Würfelturm
In Abbildung 2 wird ein doppelter Würfelturm gezeigt. Auch hier erhält man die
Funktionsgleichung A(n)= 3n + 2, die Funktion ist jedoch nur für gerade n definiert. Im
Unterricht könnte die weiterführende Aufgabe gestellt werden, zu einer bestimmten
Funktionsgleichung ein weiteres Konstruktionsprinzip zu finden, das zu dieser
Funktionsgleichung führt.
33
Aufgabe 12 Tankinhalt
Auswertung
RICHTIG
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
I
5
In dieser Aufgabe müssen sich Schülerinnen und Schüler mit der Mathematisierung eines
realen Kontextes auseinandersetzen. Da es um die Beziehung zwischen dem
Durchschnittsverbrauch und dem aktuellen Tankinhalt eines Autos geht, ist die Aufgabe der
Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L4) zugeordnet.
Schülerinnen und Schüler entnehmen dazu notwendige Informationen aus dem Text und der
Abbildung und zeigen so ihre Kompetenz im Bereich Mathematisch kommunizieren (K6).
Aus den Angaben des Bordcomputers wird ein passendes mathematisches Modell
konstruiert (K3), um die Frage zu beantworten, wie viel Liter Kraftstoff im Tank sind.
Außerdem ist die Kompetenz Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der
Mathematik umgehen (K5) erforderlich, da Operationen mit Zahlen ausgeführt werden
müssen.
Schülerinnen und Schüler benutzen zur Lösung der Aufgabe den vertrauten Dreisatz, somit
ist die Aufgabe dem Anforderungsbereich I zugeordnet.
34
Bei der Bearbeitung der Aufgabe „Tankinhalt“ können Probleme auftreten. Schülerlösung 1
in Abbildung 1 zeigt, wie die restlichen Kilometer durch den durchschnittlichen Verbrauch in
Liter auf 100 Kilometer geteilt werden.
In Schülerlösung 2 hingegen wird die Anzahl an verbleibenden Kilometern mit dem
durchschnittlichen Verbrauch korrekt multipliziert (siehe Abbildung 2). Dabei wird jedoch
außeracht gelassen, dass sich der durchschnittliche Verbrauch auf 100 Kilometer bezieht. Es
hätte demnach entweder der durchschnittliche Verbrauch auf den Verbrauch pro Kilometer
umgerechnet oder die restliche Strecke in die Einheit 100 Kilometer umgerechnet werden
müssen.
Beide Fehllösungen hätten mit geeigneten Validierungsstrategien vermieden oder zumindest
bemerkt werden können. Eine unterrichtliche Förderung kann an dieser Stelle ansetzen. Eine
erste Validierungsstrategie besteht darin, das Ergebnis hinsichtlich seines Realitätsgehalts
zu prüfen. Ein Tank mit einem Fassungsvermögen von 170 Liter wäre für einen PKW bereits
sehr ungewöhnlich. Ein Füllvermögen von 4968 Liter erreichen nicht einmal LKW. Schülerinnen und Schüler, die über ein solches Wissen verfügen, sollten angeregt werden, es bei
der Bearbeitung von Modellierungsaufgaben auch einzusetzen.
Eine zweite Validierungsstrategie besteht darin, die angegebenen Maßeinheiten zu nutzen.
In Schülerlösung 1 müsste sich bei gleicher Rechnung, jedoch korrekter Verwendung der
2
Maßeinheit 100 ⋅ km ergeben. Auch wenn die falschen Maßeinheiten aus der Rechnung
l
verwendet werden, erhält man anschließend die Maßeinheit km , und nicht wie erwartet die
l
Maßeinheit l. In Schülerlösung 2 erhält man beim Rechnen mit den eigentlich zu
verwendenden Maßeinheiten die Maßeinheit l . Rechnet man hingegen mit den
100
tatsächlich verwendeten Maßeinheiten, so erhielte man die Maßeinheit km ⋅ l . So wird durch
diese Validierungsstrategie, bekannt aus dem Physikunterricht, ebenso deutlich, dass die
angegebenen Lösungen nicht stimmen können. Beide Validierungsstrategien sollten im
Unterricht im Nachgang zu dieser Aufgabe thematisiert werden.
35
Aufgabe 13 Maßstabsleiste
Auswertung
RICHTIG
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
II
5
In dieser Aufgabe geht es um eine Zuordnung zwischen mathematischen Größen in Form
der Maßstabrechnung. Daher ist sie der Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L4)
zugeordnet.
Schülerinnen und Schüler müssen mit einer Darstellung aus dem Atlas umgehen (K4) und
diese interpretieren. Um zu beurteilen, welcher Maßstab passend ist, wird von Zentimeter in
Meter umgerechnet und somit eine Operation mit Maßeinheiten ausgeführt (K5).
Die Schülerinnen und Schüler müssen einen mehrschrittigen Lösungsweg bewältigen, da
das Verhältnis zweier Größenangaben als Maßstab interpretiert wird. Daher ist die Aufgabe
dem Anforderungsbereich II zugeordnet.
Im Unterricht könnte die Aufgabe dahingehend vertieft werden, dass eine gegebene Länge
auf einer Landkarte mithilfe der Maßstabsleiste in eine reale Länge umgerechnet wird.
Weiterhin könnten Schülerinnen und Schüler dazu aufgefordert werden, zu einem gegebenen Maßstab eine Maßstabsleiste zu erstellen. Die Aufgabe könnte dahingehend geöffnet
werden, dass weder Maßstabsleiste noch Maßstab zu einer Landkarte (z. B. von Deutschland) angegeben werden und Schülerinnen durch Abschätzungen den verwendeten Maßstab
ermitteln.
36
Aufgabe 14 Ungewöhnlicher Mittelwert
P=
2⋅s + m
3
Teilaufgabe 14.1
Auswertung
RICHTIG
11
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
II
2
Teilaufgabe 14.2
Auswertung
RICHTIG
Grenzfall
• 7 oder 9 für Schüler 2
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
II
4
37
Diese Aufgabe ist der Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L4) zugeordnet, da sich
Schülerinnen und Schüler mit einer Formel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge
auseinandersetzen.
Zur Bearbeitung beider Teilaufgaben müssen Schülerinnen und Schüler dem Aufgabentext
zunächst die benötigten Informationen zur Formel und zu den verwendeten Variablen
entnehmen (K6).
Zur Lösung der Teilaufgabe 2 ist es zusätzlich notwendig, die relevanten Informationen bzw.
gegebenen Werte der Tabelle zu entnehmen (K4) und hierauf aufbauend die jeweils
fehlende Punktzahl zu berechnen. Die Anwendung der Problemlösestrategie „Rückwärtsarbeiten“ – unter Verwendung der angegebenen Formel – liegt hier nahe (K2).
Insbesondere wegen der Anforderungen an das Kommunizieren können beide Teilaufgaben
dem Anforderungsbereich II zugeordnet werden. Bei Teilaufgabe 2 ist diese Einordnung
zusätzlich aufgrund der Nutzung einer Problemlösestrategie in Verbindung mit der
Mehrschrittigkeit des Lösungsweges gerechtfertigt.
In Teilaufgabe 1 müssen Zahlen lediglich in die gegebene Formel eingesetzt werden. Sollte
dies nicht gelingen, kann überprüft werden, ob sinnentnehmendes Lesen, Kopfrechnen oder
der Umgang mit gewichteten Mittelwerten zu fördern ist. In Teilaufgabe 2 können
Umformungsfehler auftreten, die jedoch bei einer geeigneten Validierung an den realen
Gegebenheiten entdeckt werden können. Die folgende Schülerlösung (siehe Abbildung 1)
zeigt Umformungsfehler beim Umgang mit der Tabelle und der Formel und lässt erkennen,
dass die Lösung nicht validiert worden ist. Bei der Ermittlung der bei Schüler 1 fehlenden
Punktzahl wurde nicht reflektiert, dass die Summe der beiden Teilpunktzahlen sogar kleiner
als die Gesamtpunktzahl ist. Bei der Ermittlung der bei Schüler 2 fehlenden Punktzahl
hingegen wurde anscheinend erkannt, dass die Punktzahl im mündlichen Prüfungsteil nicht
negativ sein kann, weshalb das Minuszeichen des Endergebnisses weggelassen worden ist.
38
Abseits von diesen Teilaufgaben, in denen kalkülhaft mit einer gegebenen Formel
umgegangen werden kann, lassen sich weitere Aufgaben im Kontext formulieren, bei denen
Problemlöse- oder Argumentationskompetenzen gefordert werden.
Auch in diesen beiden Aufgaben verwenden Schülerinnen und Schüler eine gegebene und
unveränderte Formel zur Notenvergabe. Dabei bietet es sich an, über eine solche Formel im
Mathematikunterricht zu reflektieren und eventuell Schülerinnen und Schüler selbst einen
Vorschlag in Form einer Formel zur Notenvergabe erstellen zu lassen. In dieser Formel
könnten dann weitere Faktoren zur Notenvergabe berücksichtigt werden. Die entwickelten
Formeln würden dann den anderen Klassenmitgliedern vorgestellt und die eigenen
Entscheidungen begründet dargelegt werden. Auf diese einfache Weise erhielte man ein
echtes Modellierungsproblem, das zudem die Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler
tangiert. Die Möglichkeit, Formeln selbst zu erstellen, die nicht im Vorhinein durch
mathematische Gegebenheiten determiniert sind, zielt auch auf die Überzeugungen von
Schülerinnen und Schüler zur Rolle von Mathematik in der Welt ab. Zumeist erfahren
Schülerinnen und Schüler im Unterricht Mathematik als einen bereits festgelegten
Sachverhalt. Hier aber wird es möglich mit Mathematik auf kreative Weise umzugehen und
z. B. Fragen der Gerechtigkeit in Mathematik zu übersetzen.
Aufgabe 15 Trapezvariation
A=
(a + c ) ⋅ h
2
39
Teilaufgabe 15.1
Auswertung
RICHTIG
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
II
3
Teilaufgabe 15.2
Auswertung
Ja
UND
Begründung (auch anhand eines Beispiels) über die gleichbleibende Summe der Seitenlängen a
und c.
Beispiel(e)
RICHTIG
•
(1 + 2) ⋅ 4
=6
2
;
(2,8 + 0, 2) ⋅ 4
=6
2
• Wenn man die Seitenlängen a und c so verändert, dass deren Summe gleich bleibt, bleibt
auch der Flächeninhalt gleich.
• (Grenzfall)
Man kann sie so verändern, dass es am Ende ein Rechteck wird und somit ist der Flächeninhalt
gleich, da nichts weggenommen oder vergrößert wurde.
• (Grenzfall)
Man kann die Seitenlängen a und c vertauschen.
40
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
III
4
Diese Aufgabe ist der Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L4) zugeordnet, weil sich
Schülerinnen und Schüler mit einer Formel und dem Aspekt Größenänderungen befassen.
Die heuristische Strategie „systematisch probieren“ kann in beiden Teilaufgaben auf die
Formel angewendet werden, um das Problem mathematisch zu lösen (K2). Außerdem
müssen Operationen mit einem Bruchterm ausgeführt werden. Somit spielt auch die
Kompetenz Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik
umgehen (K5) eine Rolle.
Weil in Teilaufgabe 1 zunächst Informationen aus dem Text entnommen werden, müssen die
Schülerinnen und Schüler Mathematisch kommunizieren (K6).
In Teilaufgabe 2 ist zusätzlich die Kompetenz Mathematisch argumentieren (K1) erforderlich,
da eine eigene adäquate mathematische Argumentation entwickelt werden muss.
Teilaufgabe 1 ist in den Anforderungsbereich II eingeordnet, da die Schülerinnen und
Schüler mit einem Term im Kontext umgehen und eine Äußerung zur Veränderung dieses
Terms interpretieren müssen.
In Teilaufgabe 2 muss ein komplexerer Argumentationsprozess entwickelt werden und somit
fällt die Aufgabe in den Anforderungsbereich III.
Beide Teilaufgaben zur Aufgabe „Trapezvariation“ können im Unterricht mithilfe einer
dynamischen Geometriesoftware (DGS) behandelt werden. Dabei können mithilfe eines
Schiebereglers oder mithilfe des Zugmodus Seitenlängen eines Trapezes dynamisch
verändert werden. Veränderungen am Flächeninhalt infolge veränderter Seitenlängen
werden so sofort sichtbar. Als Beispiel für Teilaufgabe 1 soll Abbildung 1 dienen, bei der in
der verwendeten DGS-Datei ein Schieberegler für die Höhe des Trapezes erstellt wurde.
Abbildung 1: Teilaufgabe 1
41
Zur Teilaufgabe 2 (siehe Abbildung 2) wurde eine DGS-Datei erstellt, bei der durch
Schieberegler die Seitenlängen a und c des Trapezes variiert werden können.
Abbildung 2: Teilaufgabe 2
Diese einfachen Beispiele zeigen auf, wie dynamische Geometriesoftware zur
Veranschaulichung funktionaler Zusammenhänge genutzt werden kann.
Umfassend werden die Möglichkeiten dynamischer Geometriesoftware im Buch „Mit
GeoGebra mehr Mathematik verstehen“ von den Herausgebern Rainer Kaenders und
Reinhard Schmidt8 ausgelotet und anhand konkreter unterrichtlicher Beispiele verdeutlicht.
Dabei werden Unterrichtsinhalte der Sekundarstufe I und II betrachtet.
Aufgabe 16 Verlauf des Graphen
Teilaufgabe 16.1
y = 5x − 5
Auswertung
RICHTIG
8
Kaenders, R. & Schmidt, R. (Hrsg.) (2014): Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen. Beispiele für
die Förderung eines tieferen Mathematikverständnisses aus dem GeoGebra Institut Köln/Bonn, Heidelberg: Springer Spektrum.
42
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
I
4
Teilaufgabe 16.2
y = mx + n
Auswertung
RICHTIG
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
III
5
Diese Aufgabe ist der Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L4) zugeordnet, da sich
Schülerinnen und Schüler mit den Eigenschaften des Graphen einer linearen Funktion
auseinandersetzen.
Zur Bearbeitung beider Teilaufgaben ist es erforderlich, mit einer gegebenen mathematischen Darstellung umzugehen (K4), da der Graph einer linearen Funktion auf bestimmte
Eigenschaften geprüft werden soll. Außerdem müssen Schülerinnen und Schüler in dieser
Aufgabe entsprechende Überlegungen in Form von „wahr“ oder „falsch“ anstellen, somit sind
beide Teilaufgaben der Kompetenz Mathematisch kommunizieren (K6) zugeordnet.
Teilaufgabe 1 gehört in den Anforderungsbereich I, da die Schülerinnen und Schüler mit
einer für sie bekannten Standarddarstellung konfrontiert sind und einfache mathematische
Sachverhalte darlegen müssen. Bei Teilaufgabe 2 hingegen muss aufgrund der vorliegenden
allgemeinen Form der Gerade die symbolisch formale Darstellung verstanden und
interpretiert werden. Daher wird diese Teilaufgabe dem Anforderungsbereich III zugeordnet.
43
In beiden Teilaufgaben muss gedanklich der Darstellungswechsel von einer Funktionsgleichung zur Geraden im Koordinatensystem vollzogen werden (K4). Ob dieser Übergang
Schülerinnen und Schülern gelingt, wird mithilfe von zu bewertenden Aussagen überprüft. In
diesem Zusammenhang können die Schülerergebnisse diagnostisch genutzt werden, um
Ansatzpunkte für den weiteren Unterricht z. B. in Differenzierungsphasen zu finden.
In Teilaufgabe 1 ist eine konkrete Gerade durch eine Gleichung gegeben. Die Aussage „Die
Gerade verläuft durch den Koordinatenursprung (0|0).“ prüft, ob Schülerinnen und Schüler
den y-Achsenabschnitt mittels der Geradengleichung identifizieren können und ob sie in der
Lage sind, den y-Wert zu einem gegebenen x-Wert zu berechnen. Die Aussage „Die Gerade
hat eine positive Steigung.“ verlangt, dass Schülerinnen und Schüler die Steigung in der
Geradengleichung identifizieren können. Die letzte Aussage „die Gerade schneidet die xAchse im Punkt (5|0).“ kann von Schülerinnen und Schüler auf verschiedene Weise überprüft
werden. Sie können beispielsweise durch Einsetzen und Ausrechnen zur Erkenntnis
gelangen, dass die Aussage falsch ist. Oder sie folgern aus dem y-Achsenabschnitt -5, dass
nur eine Steigung von 1 den Schnittpunkt mit der x-Achse bei (5|0) liefern würde.
In Teilaufgabe 2 wird nicht mehr eine konkrete Gerade, sondern eine Geradenschar,
gegeben durch eine Funktionsgleichung, betrachtet. So zielt die erste Aussage „Die Gerade
verläuft durch den Koordinatenursprung (0|0).“ darauf ab, dass Schülerinnen und Schüler
den y-Achsenabschnitt mittels der Geradengleichung identifizieren und zusätzlich die
Einschränkung n ≠ 0 deuten können. Auch bei der zweiten Aussage „Die Gerade hat eine
positive Steigung.“ wird neben dem bereits in Teilaufgabe 1 geprüftem Verständnis getestet,
ob die Einschränkung m < 0 korrekt gedeutet wird. Die dritte Aussage „Die Gerade schneidet
die y-Achse im Punkt (0|n).“ fordert von Schülerinnen und Schülern entweder, dass sie den
y-Achsenabschnitt mittels der Geradengleichung identifizieren können oder dass sie durch
Einsetzen des x-Werts 0 in die Geradengleichung die Aussage herleiten bzw. bestätigen.
Aufgabe 17 Wo liegt C?
Teilaufgabe 17.1
44
Auswertung
Passender Punkt C1 eingezeichnet
UND
Angabe der Koordinaten von C1 :
RICHTIG
C1 ( 3 | 1 )
ODER
C1 ( 6 | 7 )
ODER
ein Punkt auf dem Thaleskreis
[Anm.: Die Orientierung des Dreiecks ABC1 muss nicht berücksichtigt werden. Der Hinweis auf
den Thaleskreis dient nur der Korrektur und ist nicht Teil der erwarteten Lösung.]
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
3. Raum und Form
I
3
Teilaufgabe 17.2
45
Auswertung
Passender Punkt C2 , der auf der Geraden mit der Gleichung
y=
1
2
x − 2 liegt.
y
8
A
7
6
5
4
3
RICHTIG
2
B
1
-2 -1-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
x
-2
[Anm.: Toleranz bei x und y um jeweils ± 0,2]
UND
Angabe der Koordinaten von C2
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
3. Raum und Form
II
3
Die Aufgabe ist der Leitidee Raum und Form (L3) zuzuordnen, da Schülerinnen und Schüler
geometrische Figuren im Koordinatensystem darstellen, und dazu auch Sätze der ebenen
Geometrie bei der Konstruktion anwenden müssen.
Beide Teilaufgaben erfordern Kompetenzen im Bereich Mathematische Darstellungen
verwenden (K4), da sowohl mit den gegebenen Darstellungen der Punkte im Koordinatensystem umgegangen als auch eine neue Darstellung eines dritten Punktes erzeugt werden
muss. Dabei soll der Punkt in das System eingezeichnet und seine Koordinaten als Tupel
angegeben werden.
Teilaufgabe 2 erfordert zudem Kompetenzen im Bereich Probleme mathematisch lösen (K2),
da heuristische Strategien, wie etwa das Einzeichnen einer Hilfslinie zwischen Punkt A und
B, angewandt werden.
Teilaufgabe 1 erfordert nur die Anfertigung und Nutzung von Standarddarstellungen
mathematischer Objekte (Punkt im Koordinatensystem und Tupel) und ist daher dem
Anforderungsbereich I zuzuordnen. Teilaufgabe 2 hingegen stellt wegen des mehrschrittigen
Vorgehens erhöhte Anforderungen und ist daher dem Anforderungsbereich II zuzuordnen.
In beiden Teilaufgaben von „Wo liegt C?“ wird nach einer möglichen Lösung gefragt. Auf
diese Frage aufbauend könnte im Unterricht die Frage gestellt werden, wie alle möglichen
Lösungen zu ermitteln sind. In Teilaufgabe 1 führt die Lösung des Problems auf den Satz
46
von Thales. Alle möglichen Lösungen befinden sich demnach auf einer Kreislinie, die durch
A und B verläuft. In Teilaufgabe 2 gelangt man zur Lösung über die Gleichung einer zur
Gerade durch A und B orthogonalen Geraden. Die Teilaufgabe könnte demnach dazu
genutzt werden, um auf das Verhältnis der Änderungsraten zweier Graphen linearer
Funktionen einzugehen, wenn diese orthogonal zueinander verlaufen.
Die didaktische Strategie, von einer speziellen Lösung zur Beschreibung aller Lösungen
fortzuschreiten, kann im Unterricht der Koordinatengeometrie an diversen Stellen
angewendet werden. So kann man z. B. aus der Frage nach einer Gerade, die zu einer
gegebenen Gerade parallel verläuft, die Einführung von Geradenscharen motivieren.
Aufgabe 18 Dreiecke ergänzen
Auswertung
RICHTIG
Zwei dieser drei Lösungen müssen vorhanden sein.
[Anm.: Zeichentoleranz: ± 1 mm]
Grenzfall
• Parallelogramme wurden in das Innere des Dreiecks gezeichnet. Dabei werden mindestens
zwei Seiten des Dreiecks genutzt.
47
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
3. Raum und Form
I
4
Die Aufgabe ist der Leitidee Raum und Form (L3) zuzuordnen, da die Schülerinnen und
Schüler eine geometrische Figur unter Verwendung von Geodreieck oder Lineal konstruieren
und dabei die Beziehung zwischen Dreieck und Parallelogramm nutzen.
Dazu sind Kompetenzen im Bereich Probleme mathematisch lösen (K2) erforderlich, da eine
geeignete Strategie zur Lösung des gestellten Prinzips gefunden werden muss. Dabei helfen
heuristische Prinzipien, etwa das Nutzen der durch das Dreieck vorgegebenen Linien.
Zudem müssen mathematische Darstellungen verwendet werden (K4), da aus der gegebenen Darstellung eine neue mathematische Darstellung, nämlich das Parallelogramm,
entwickelt wird.
Da die Aufgabenstellung mit einer naheliegenden Strategie (dem Nutzen gegebener
Hilfslinien) lösbar ist, ist die Aufgabe dem Anforderungsbereich I zuzuordnen.
Eine wesentliche Hürde zur Lösung der Aufgabe „Dreiecke ergänzen“ besteht darin, Wissen
über Parallelogramme in eine Zeichnung zu übersetzen. Abbildung 1 zeigt beispielsweise
eine (unvollständige) Schülerlösung, bei der auf eine bekannte Visualisierung zur
Flächeninhaltsberechnung bei Parallelogrammen zurückgegriffen wird.
Weiterhin kann die Aufgabe gelöst werden, indem die Eigenschaft der gleichlangen Seiten
von Parallelogrammen strategisch genutzt wird. In Abbildung 2 ist eine Schülerlösung zu
sehen, bei der mit Zirkel und Lineal gearbeitet und nicht auf die Gitternetzlinien zurückgegriffen worden ist. Es wurde dabei ausgenutzt, dass die gegenüberliegenden Seiten im
Parallelogramm gleichlang sind.
48
Die Aufgabe „Dreiecke konstruieren“ kann im Unterricht folglich zum Anlass genommen
werden, um mithilfe von Konstruktionen mit Zirkel und Lineal auf die Eigenschaften von
Figuren gezielt einzugehen. Dazu sollte zunächst die Aufgabe leicht abgeändert werden,
sodass nur noch ein Dreieck ohne Gitternetzlinien zu sehen ist. In einem weiteren Schritt
kann dann im Unterricht die Aufgabe dahingehend erweitert werden, dass auch auf das
Messen von Längen oder von Winkeln verzichtet wird (klassische Konstruktionen mit Zirkel
und Lineal). Die Aufgabe erhält so eine Progression im Schwierigkeitsgrad und es wird
zunehmend die Leitidee Raum und Form (L3) fokussiert, während das Messen (L2) in den
Hintergrund tritt.
Es lassen sich viele weitere Konstruktionsaufgaben finden, die derart aufgebaut werden
können. Die folgende Aufgabe soll als Anregung dienen:
Ergänze das gegebene gleichschenklige Dreieck zu einer Raute (einem Rhombus).
49
Aufgabe 19 Zwei Kreise
r = | AB |
Teilaufgabe 19.1
Auswertung
Aussage
wahr
falsch
Alle Winkel im Dreieck ABH sind gleich groß.
Das Dreieck BFH ist gleichseitig.
RICHTIG
Das Dreieck DFH ist gleichschenklig.
Im Dreieck AHD sind alle drei Winkel unterschiedlich
groß.
Der Winkel
beträgt 60°.
[Anm.: Ein Punkt wird bereits vergeben, wenn 4 der 5 Kreuze richtig gesetzt wurden.]
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
3. Raum und Form
III
3
50
Teilaufgabe 19.2
Auswertung
Ja
UND
Begründung, die auf die gleiche Höhe beider Dreiecke und die dreifache Länge der Grundseite
des Dreiecks DFH im Vergleich zur Grundseite des Dreiecks ABH abzielt.
RICHTIG
Beispiel(e)
• Die beiden Dreiecke haben die gleiche Höhe, aber bei einem Dreieck ist die Grundseite dreimal länger.
•
AABH =
1
⋅ 4,5 ⋅ 5 = 11, 25 FE
2
;
ADFH =
1
⋅ 4,5 ⋅15 = 33, 75 FE
2
Antworten mit fehlender oder unvollständiger Begründung.
Beispiel(e)
FALSCH
• Die drei Grundseiten
Grundseite
DA , AB und BF sind jeweils gleich lang und ergeben zusammen die
DF .
[Anm.: Hier fehlt der Bezug zu den Höhen.]
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
3. Raum und Form
III
5
Die Aufgabe gehört primär zur Leitidee Raum und Form (L3), da diverse Dreiecke auf
begrifflicher Ebene zu analysieren sind. Teilaufgabe 2 enthält zusätzlich Aspekte der Leitidee
Messen (L2), da Flächeninhalte von Dreiecken miteinander verglichen werden.
In Teilaufgabe 1 müssen dem einleitenden Text zunächst wichtige Informationen zur
dargestellten Figur entnommen werden (K6, K4).
51
Um anschließend zu überprüfen, ob die zu dieser Figur formulierten Aussagen korrekt sind,
müssen diese Aussagen zunächst inhaltlich verstanden werden (K6). Dem Verstehen der
mathematischen Begriffe, z. B. „gleichseitig“ oder „gleichschenklig“, kommt hier besondere
Bedeutung zu. Dazu ist es naheliegend, die Figur gedanklich in Teilfiguren zu unterteilen
(K2, K4).
Diese Problemlösestrategie kann auch bei Teilaufgabe 2 angewendet werden; insofern sind
bei deren Bearbeitung dieselben Kompetenzen wie bei Teilaufgabe 1 involviert. So kann
nach einer Unterteilung des Dreiecks DFH in die drei Dreiecke DAH, ABH und BFH sowie
der Betrachtung der jeweiligen Grundseitenlängen und der zugehörigen Höhen Sonjas
Behauptung als richtig ausgewiesen werden (K1). Abschließend ist die Begründung
nachvollziehbar darzulegen (K6).
Beide Teilaufgaben werden dem Anforderungsbereich III zugeordnet, da in beiden
Teilaufgaben Aussagen nicht nur interpretiert, sondern auch bewertet werden.
Beide Aufgaben verlangen von Schülerinnen und Schülern aus einer gegebenen
Konstruktion Merkmale von Dreiecken abzuleiten. Zur korrekten Lösung von Teilaufgabe 1
muss beispielsweise erkannt werden, dass das Dreieck ABH gleichseitig ist, worauf die
Behauptung „Alle Winkel sind gleich groß.“ folgt. Es muss erkannt werden, dass F und H auf
einem Kreis um B liegen und daher das Dreieck BFH gleichschenklig ist. In Teilaufgabe 2
führt die Erkenntnis zur Lösung, dass die Grundseite des Dreiecks DFH dreimal so lang ist
wie die vom Dreieck ABH und sich bei gleicher Höhe ein dreimal so großer Flächeninhalt
ergibt. Die Aufgabe bietet demnach Anlass über die Konstruktionseigenschaften der
Dreiecke ohne Rückgriff auf Maßangaben nachzudenken.
Die Grafik zur Aufgabe wurde mit einer dynamischen Geometriesoftware erstellt. Dies
erlaubt es, auf sehr schnelle und anschauliche Weise geometrische Figuren zu variieren.
Dadurch kann von Schülerinnen und Schülern z. B. untersucht werden, welche Strukturmerkmale der Figur erhalten bleiben, wenn der Radius des Kreises verändert wird. Alternativ
können in der gegebenen Figur weitere Teildreiecke und deren Eigenschaften untersucht
werden, um so Vernetzungen zu anderen Themengebieten, wie z. B. den Winkelsätzen am
Kreis, herzustellen. Dabei eröffnen sich auf natürliche Weise weitere Gelegenheiten für
Argumentationen, etwa um zu begründen, dass die Dreiecke AFH und DBH rechtwinklig
sind.
52
Aufgabe 20 Der Stern
Auswertung
RICHTIG
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
2. Messen
II
2
Die Aufgabe ist der Leitidee Messen (L2) zuzuordnen, da der Flächeninhalt einer Figur
bestimmt werden soll. Dazu muss der gegebenen Figur die Maßangabe von 1 cm pro
Kästchen entnommen und zur weiteren Berechnung verwendet werden.
Das Lösen der Aufgabe erfordert Kompetenzen im Bereich Mathematische Darstellungen
verwenden (K4). Denn die Schülerinnen und Schüler müssen mit der gegebenen mathematischen Darstellung umgehen und ggf. neue Darstellungen erzeugen, um die Frage zu
beantworten. Dazu ist es zudem notwendig, dass sie mit den geometrischen Objekten und
den errechneten Größen Operationen vornehmen, was Kompetenzen im Bereich Mit
symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5)
erfordert.
Die Aufgabe erfordert das verständige Interpretieren und Verändern der gegebenen
Darstellung, sowie die mehrschrittige Anwendung von mathematischen Prozeduren
(beispielsweise Zerlegen, Flächenberechnung, Zusammenfassen) und den Umgang mit
Termen. Daher ist die Aufgabe dem Anforderungsbereich II zuzuordnen.
53
Wurde in der Aufgabe „Der Stern“ die Figur von Schülerinnen und Schülern konkret beschriftet, erhöht sich der diagnostische Wert der Schülerlösung. In Abbildung 1 ist eine Schülerlösung zu sehen, bei der die Teilflächen des Sterns mit Maßzahlen versehen worden sind.
Die angekreuzte Lösung lässt erkennen, dass der Schüler das Prinzip der Flächenberechnung, eine unbekannte Figur in bekannte Figuren zu zerlegen, beherrscht. Er nutzt
dabei die mathematische Darstellung (K4). Zum falschen Ergebnis gelangt der Schüler, weil
er offensichtlich den Flächeninhalt der Dreiecksflächen nicht korrekt bestimmt hat. Sofern der
Schüler versucht hat, die Dreiecksflächeninhalte mittels einer Formel zu berechnen, sollte
die Kompetenz Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik
umgehen (K5) in dieser Hinsicht weiter gefördert werden. Wenn der Schüler versucht hat, die
Dreiecksflächen in der Abbildung mental neu zu organisieren, um so auf den Flächeninhalt
zu schließen, so sollte an dieser Stelle die Kompetenz Mathematische Darstellungen
verwenden (K4) weiter gefördert werden.
Eine Intervention seitens der Lehrkraft könnte sich die vorhandene Kompetenz im Umgang
mit der mathematischen Darstellung zunutze machen, um Kompetenzen im Bereich des
technischen Arbeitens weiter zu fördern. Da der Schüler verstanden hat, dass zur Berechnung des Flächeninhalts einer unbekannten Figur diese in bekannte Figuren zerlegt werden
kann, ist anzunehmen, dass er ebenso versteht, dass eine „unbekannte“ Figur wie das
Dreieck zu einer bekannten Figur wie dem Rechteck erweitert werden kann. Auf diesem
Wege erhält der Schüler die Möglichkeit, die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts
eines Dreiecks argumentativ-anschaulich zu erschließen.
Will man im Unterricht darüber hinaus Strategien zur Berechnung von Flächeninhalten
unbekannter Figuren trainieren, bietet es sich an, die Aufgabe „Der Stern“ durch die folgende
Beispielaufgabe zu ergänzen. Sofern die Seitenlänge der Zacken, die diagonal zu einem
einzelnen Kästchen verlaufen, weder rechnerisch (Satz von Pythagoras) noch durch Messen
(Zeichnung nicht maßstabsgerecht) ermittelt werden kann, besteht eine naheliegende
54
Strategie darin, von der Gesamtfläche des Gitters all solche Flächen abzuziehen, die nicht
zum gegeben Zackenstern gehören.
Auf das Gitterpapier ist ein 8-zackiger Stern gezeichnet.
1 cm
(nicht maßstabsgerecht)
Gib den Flächeninhalt dieses Sterns an.
cm2
Soll der Flächeninhalt hingegen „vorwärts“ berechnet werden, d. h. ohne von der Gesamtfläche Flächeninhalte abzuziehen, so erfordert dies eine komplexere mentale Neuorganisation bei den „kleinen“ Zacken des 8-zackigen Sterns. Im Unterricht kann jedoch auch auf
eine näherungsweise Bestimmung des Flächeninhalts verweisen werden. Schülerinnen und
Schüler würden dann zunächst ganze Quadrate zählen, die zur Figur gehören, und dann
überlegen, wie groß der Flächeninhalt ist, der von Dreiecksflächen nur teilweise ausgefüllt
wird.
Flankierend können in die Bestimmung des Flächeninhalts Überlegungen zur Symmetrie der
Figur aufgenommen werden. Es müsste dann lediglich der Flächeninhalt eines Viertels des
Zacken-Sterns bestimmt werden.
Eine weitere Strategie zur Bestimmung des Flächeninhalts könnte darin bestehen, die Figur
neu und dann maßstabsgerecht zu zeichnen. Ein solches Vorgehen erlaubt es, die Diagonale in einem Kästchen (Grundseite der „kleinen“ Zacken) zu messen. Es muss nicht auf
den Satz von Pythagoras zurückgegriffen werden.
Um Problemlösekompetenzen im Unterricht bezüglich der Flächeninhaltsberechnung zu
fördern, sollten möglichst verschiedene Strategien erarbeitet und systematisiert werden.
55
Aufgabe 21 Schokolinsen
Schätze, wie viele Schokolinsen auf diesem Foto abgebildet sind. Du kannst dafür
eine der abgebildeten Figuren verwenden.
Das Foto zeigt etwa
Schokolinsen.
Beschreibe dein Vorgehen.
Auswertung
UND
Eine Beschreibung, in der auf einen geeigneten Repräsentanten verwiesen wird und aus der die
angegebene Anzahl folgerichtig hervorgeht.
RICHTIG
Beispiel(e)
• Im eingezeichneten Quadrat sind ca. 30 Schokolinsen. Das Quadrat passt ca. 12-mal in das
Foto. Also sind es insgesamt 360 Schokolinsen.
• Im eingezeichneten Rechteck sind ca. 32 Schokolinsen. Das Rechteck passt ca. 15-mal in das
Foto. Also sind es insgesamt 480 Schokolinsen.
• Auf dem Foto sind in der Breite ca. 30 Schokolinsen zu sehen und in der Höhe ca. 20. Also
sind es insgesamt ca. 600 Schokolinsen.
[Anm.: Die Annahmen, dass die Schokolinsen gleichverteilt und nur in der Fläche verteilt sind,
müssen nicht explizit erwähnt werden.]
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
2. Messen
III
3
56
Die Aufgabe ist der Leitidee Messen (L2) zuzuordnen, da mit Hilfe von Vorstellungen über
Repräsentanten (den abgebildeten Figuren) eine Größe (die Anzahl der Schokolinsen auf
dem Foto) geschätzt werden muss. Durch das Auszählen der Linsen innerhalb einer dieser
Figuren entnehmen Schülerinnen und Schüler Maßangaben aus dem Quellenmaterial und
führen damit die Berechnung der Gesamtanzahl der Linsen durch.
Zur Lösung dieser Aufgabe ist die Kompetenz Mathematisch modellieren (K3) erforderlich,
da Schülerinnen und Schüler zwischen der gegebenen Realsituation (den Schokolinsen auf
dem Foto) und den mathematischen Begriffen und Methoden (Zerlegung des Bildes mit einer
geometrischen Figur) hinund herwechseln müssen. Zur Lösung der Aufgabe muss die
gegebene Situation dadurch vereinfacht werden, dass nur ein Teilbereich und nicht das
gesamte Bild ausgezählt wird. Dazu ist es zudem nötig, dass mögliche Modelle (Quadrat,
Dreieck, Rechteck oder Kreis) bezüglich ihrer Tauglichkeit bewertet werden.
Da mit den geometrischen Objekten sowie mit der Anzahl der Linsen in einer der Figuren
Operationen ausgeführt werden müssen (Bestimmen der Anzahl, wie oft eine der Figuren in
das Bild passt, Multiplikation dieser Anzahl mit der Anzahl der Linsen in einer dieser
Figuren), erfordert die Aufgabe zudem auch die Kompetenz Mit Mathematik symbolisch/
formal/technisch umgehen (K5). Außerdem sollen die Schülerinnen und Schüler ihr
Vorgehen beschreiben, somit sind sie dazu aufgefordert, mathematisch zu kommunizieren
(K6). Sie sollen ihre Überlegungen und Resultate schriftlich darlegen und strukturiert
wiedergeben.
Die Aufgabe erfordert eine elaborierte Strategie sowie implizit auch die Reflektion über
verschiedene Lösungswege durch die zweckgerichtete Beurteilung der verschiedenen
Darstellungsformen. Schließlich eignet sich theoretisch jede eingezeichnete Figur zum
Abschätzen, die Schülerinnen und Schüler sollen aber eine Auswahl der Figur treffen, die
ihnen am besten geeignet erscheint. In dieser Aufgabe müssen also mehrere Modelle
gegeneinander abgewogen und das geeignetste ausgewählt werden, es muss der
Teilbereich innerhalb der ausgewählten Figur ausgezählt werden, es muss abgeschätzt
werden, wie oft die ausgewählte Figur in das gesamte Bild passt und dann anhand dieser
Zahlen die Gesamtzahl der Linsen abgeschätzt werden. Aufgrund der Vielzahl an Schritten
in der Modellierung, der Komplexität der zu modellierenden Situation und der Auswahl
(Bewertung) verschiedener möglicher Modelle wird die Aufgabe dem Anforderungsbereich III
zugeordnet.
Anhand der folgenden Schülerlösungen in den Abbildungen 1 und 2 soll illustriert werden,
wie die Ergebnisse zur Aufgabe „Schokolinsen“ ausgewertet und für einen kompetenzorientierten Unterricht nutzbar gemacht werden können. Bei beiden hier vorgestellten
Schülerlösungen lassen sich sowohl Kompetenzen identifizieren, über die der Schüler
bereits verfügt, als auch Kompetenzen, die es weiter auszubauen gilt.
57
Der Schüler kann Grundideen der Flächenberechnung (Zerlegen und Erweitern) auf einen
ihm unbekannten Kontext anwenden. Der Schüler schildert seinen Lösungsweg vollständig
und in ganzen Sätzen. Lediglich die Anzahl der Schokolinsen in den einzelnen Quadraten
wird nicht genannt. Demnach sind Kompetenzen im Bereich des mathematischen
Kommunizierens (K6) nachgewiesen.
Der Schüler zeigt außerdem auf basalem Niveau, dass er mit einfachen Formeln der
Flächenberechnung und den dazugehörigen Grundrechenarten vertraut ist (K5). Weiterhin
lässt die Lösung erkennen, dass der Schüler über Modellierungskompetenzen (K3) verfügt.
So werden z. B. Annahmen bzw. Abschätzungen zur realen Situation auf dem Foto getroffen
– die Anzahl an Schokolinsen wird in der Fläche bestimmt und die Anzahl an Schokolinsen in
einem Quadrat abgezählt. Dann wird ein mathematisches Modell aufgestellt (Zerlegung des
Bildes in Quadrate) und innermathematisch weitergearbeitet.
Die Lösung lässt vermuten, dass der Schüler im Quadrat ca. 46 Schokolinsen gezählt hat. Er
geht davon aus, dass nur sechs Quadrate insgesamt in das rechteckige Foto passen. Diese
Abschätzung weicht stark ab von den realen Gegebenheiten. Das Abschätzen von Größen
und das in einem Kontext sinnvolle Anwenden von Überschlagsrechnungen gehört zur
umfassenderen Modellierungskompetenz. Diese Teilkompetenzen des Modellierungsprozesses sollten demnach gefördert werden. Dass die Lösung stark abweicht von den
realen Gegebenheiten, wäre womöglich aufgefallen, wenn der Schüler am Ende seines
Lösungsweges Rückschau gehalten hätte. Der Teilprozess Validieren des Modellierungsprozesses wird noch nicht genügend beherrscht.
Im Unterricht könnten Abschätzungen und Überschlagsrechnungen mit ähnlichen Aufgaben
(z. B. Fermiaufgaben) behandelt werden. Auch das Erstellen von Tabellen mit Vergleichsgrößen kann in diesem Zusammenhang hilfreich sein. Wichtig ist, dass die hieraus
resultierenden ungenauen Lösungen nicht als weniger mathematisch und damit als weniger
wertvoll erachtet werden.
Der Teilschritt des Validierens kann anhand vergleichbarer Aufgaben erläutert werden. Die
Lehrkraft kann z. B. in einer Plenumsphase diesen Teilschritt explizit einfordern, fremde
Lösungswege können (schriftlich) bewertet und das Validieren in Leistungsüberprüfungen
gefordert werden.
58
Auch der Schüler aus der zweiten Schülerlösung kann Grundideen der Flächenberechnung
(zerlegen und erweitern) auf einen ihm unbekannten Kontext anwenden. Das Ergebnis und
der Lösungsweg lassen erkennen, dass der Schüler über Modellierungskompetenzen
verfügt. So entspricht das Ergebnis sehr gut den realen Gegebenheiten. Die Aufzählung der
Schritte des Lösungswegs lässt erkennen, dass der Schüler insbesondere das Aufstellen
von und Arbeiten mit mathematischen Modellen beherrscht. Die dazu nötigen (basalen)
Rechenschritte und der Umgang mit (basalen) Formeln der Flächenberechnung werden vom
Schüler beherrscht.
Die Dokumentation des Lösungswegs erfolgt allerdings stichpunktartig. Insbesondere lassen
Begriffe wie „messen“, „zählen“ und „ausrechnen“ großen Interpretationsspielraum und
müssten vom Schüler konkretisiert werden. An keiner Stelle werden konkrete Zahlen
genannt. Es sollte daher insbesondere die Kompetenz des mathematischen Kommunizierens (K6) gefördert werden.
Im Unterricht könnte zunächst verstärkt darauf Wert gelegt werden, dass zu konkreten
Aufgaben verschiedene Lösungswege thematisiert werden. Anhand verschiedener
Lösungswege kann z. B. ein Katalog mit Kriterien für die Dokumentation von Lösungswegen
erarbeitet werden. Um isoliert Kommunikationskompetenzen zu fördern, können den
Schülerinnen und Schülern bereits vorgefertigte Lösungswege vorgelegt werden, die dann
anhand des Kriterienkatalogs zu bewerten sind. Weiterhin können Lösungswege gegenübergestellt werden, die sich hinsichtlich der verwendeten mathematischen Darstellungsweise
unterscheiden. So könnten z. B. das Für und Wider einer grafischen Lösung gegenüber einer
rein rechnerischen thematisiert werden. Letztlich sollte sowohl im Bereich der sonstigen
Mitarbeit als auch in schriftlichen Leistungsüberprüfungen die Dokumentation von
Lösungswegen mit in die Benotung einfließen.
59
Aufgabe 22 Nashorn
60
Auswertung
eine Länge aus dem Intervall [75 cm; 110 cm]
UND
Lösungsweg, bei dem aus dem Verhältnis von Schulterhöhe zu horizontalen Längen von der gegebenen Schulterhöhe von 60 cm auf die Gesamtlänge des Nashorn-Babys geschlossen wird.
RICHTIG
Beispiel(e)
• Das Verhältnis von Schulterhöhe zur Länge des Nashorn-Babys ist auf dem Foto etwa 2 zu 3.
Bei einer Schulterhöhe von 60 cm muss das Nashorn-Baby dann etwa 90 cm lang sein.
• Der Rumpf des Nashorn-Babys ist etwa 60 cm lang. Für den Hals und den Kopf müssen ungefähr noch einmal 20 cm (ein Drittel von 60 cm) dazugerechnet werden. Das Nashorn-Baby ist
somit ungefähr 80 cm lang.
• Der Pfeil auf dem Foto ist ungefähr so lang wie zwei meiner Finger breit sind. Die Länge des
Babys auf dem Foto entspricht etwa drei Fingerbreiten. Also ist das Baby etwa 90 cm lang.
• Gegenüberstellung:
Bild
Wirklichkeit
2,5 cm
60 cm
1 cm
24 cm
3,5 cm
84 cm
Das Nashornbaby ist etwa 84 cm lang.
• Vom Po bis zum Hals sind es 60 cm. Somit ist der Kopf 30 cm lang, also das gesamte Nashorn 90 cm.
[Anm.: Wird die Länge der Pfeile nicht von Spitze zu Spitze, sondern nur die Strecke zwischen
den Enden gemessen, ergibt sich eine Länge von ca. 1,7 cm. Wird mit diesem Messfehler folgerichtig weitergerechnet, so kann die Aufgabe als richtig bewertet werden.]
Alle unvollständigen, fehlerhaften oder falschen Antworten.
FALSCH
Beispiel(e)
• Das Nashorn-Baby ist etwa 90 cm lang.
• Das Nashorn-Baby ist etwa 90 cm lang, da anhand des Fotos zu erkennen ist, dass die Schulterhöhe kleiner ist als die Körperlänge des Babys.
• 60 cm abmessen und das Nashorn abmessen.
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
2. Messen
I
4
Die Aufgabe ist der Leitidee Messen (L2) zuzuordnen, da Schülerinnen und Schüler aus dem
Quellenmaterial (dem Foto) Maßangaben, nämlich die Schulterhöhe des Nashornbabys,
entnehmen und damit eine Berechnung einer Länge durchführen.
Es wird zwischen einer Realsituation und mathematischen Begriffen bzw. Resultaten hinund hergewechselt, dazu muss die gegebene Situation verstanden und vereinfacht werden.
Die Aufgabe ist folglich der Kompetenz Mathematisch modellieren (K3) zuzuordnen.
Beispielsweise steht das Nashornbaby auf dem Foto leicht gedreht, die perspektivische
Verzerrung kann bei der Berechnung vernachlässigt werden. Es muss ein geeignetes Modell
zur Bestimmung der Länge des Tieres gewählt werden. Möglich ist etwa, durch die
gegebenen Maße einen Maßstab zu errechnen und dann auf dem Foto die Strecke vom
61
Kopf des Nashornbabys bis zu seinem Hinterteil zu messen und entsprechend umzurechnen. Da dabei Operationen mit den gemessenen und gegebenen Größen sowie, je nach
Lösungsstrategie, mit den Teilstrecken der Körperlänge durchgeführt werden müssen,
erfordert die Aufgabe zudem Kompetenzen im Bereich Mit symbolischen, formalen und
technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5). Außerdem soll der Lösungsweg
schriftlich dargestellt werden, so sind auch Kompetenzen im Bereich Mathematisch
kommunizieren (K6) nötig.
Insgesamt wird allerdings nur eine einfache mathematische Aufgabenstellung durch die
Identifikation einer naheliegenden Strategie (Vergleich der Länge mit der Schulterhöhe)
gelöst, die nur elementare Lösungsverfahren und einfache mathematische Werkzeuge
erfordert. Daher ist die Aufgabe dem Anforderungsbereich I zuzuordnen.
Mit der Aufgabe „Nashorn“ wird angedeutet, wie das Erstellen eines Maßstabs mit den
Proportionen bei Tieren in Verbindung gebracht werden kann. Diese Überlegungen können
auch auf den menschlichen Körper übertragen werden.
In einem Unterrichtsvorhaben können Schülerinnen und Schüler - mit Maßbändern
ausgestattet - Proportionen am eigenen Körper ermitteln und tabellarisch festhalten.
Folgende Proportionen können z. B. in den Blick genommen werden:
Das Verhältnis von …
•
…Länge des Unterschenkel zur Länge des Oberschenkels beträgt ca. 1 : 1,
•
…Körpergröße zur Spannweite der Arme beträgt ca. 1 : 1,
•
…Länge der Beine zur übrigen Körpergröße beträgt ca. 1 : 1,
•
…Länge des Kopfes zur gesamten Körpergröße bei 12 Jährigen beträgt ca. 1 : 7,
•
…Länge von Kopf bis zum Ende der heruntergelassenen Arme zum Rest der Beine
beträgt ca. 9 : 5,
•
…Länge von Kinn bis Nasenunterseite zum Rest der Kopflänge beträgt ca. 1 : 3.
Mithilfe solcher und ähnlicher Proportionen können Schülerinnen und Schüler dann von einer
gemessenen Länge auf andere Längen am Körper schließen und die so ermittelten
Proportionen für zeichnerische Zwecke nutzen. Im Unterricht würde so das Erstellen und
Arbeiten mit Maßstäben als eine lebensnahe Praxis erfahren.
62
Aufgabe 23 Flächengleich oder nicht?
Teilaufgabe 23.1
Auswertung
RICHTIG
20
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
2. Messen
I
4
Teilaufgabe 23.2
In der Abbildung sind zwei Parallelogramme dargestellt.
a
a || b
b
Ist der Flächeninhalt der beiden Parallelogramme gleich groß?
Kreuze an.
Ja
Nein
Begründe deine Antwort.
63
Auswertung
Ja
UND
RICHTIG
Begründung mit Hinweis auf die gleiche Länge von Höhe und Grundseite beider Parallelogramme
Beispiel(e)
• Die Grundseiten und die Höhen der beiden Parallelogramme sind gleich lang.
• Rechnerische Begründung, bei der die Fläche mithilfe gemessener Längen konkret bestimmt
wird.
Merkmale
Leitidee
Anforderungsbereich
Kompetenzstufe
2. Messen
III
5
Beide Teilaufgaben sind der Leitidee Messen (L2) zuzuordnen, da Aussagen über die
Flächeninhalte von Parallelogrammen getroffen werden müssen.
Teilaufgabe 1 erfordert dabei die Operation mit den gegebenen Längenangaben und damit
Kompetenzen im Bereich Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der
Mathematik umgehen (K5). In beiden Teilaufgaben werden mathematische Darstellungen
von Parallelogrammen verwendet (K4). In Teilaufgabe 2 soll eine situationsadäquate
mathematische Argumentation entwickelt werden. Somit werden auch Kompetenzen im
Bereich Mathematisch argumentieren (K1) gefordert.
Während die Teilaufgabe 1 nur elementare Lösungsverfahren und das direkte Anwenden
einer Formel erfordert und daher dem Anforderungsbereich I zuzuordnen ist, muss in
Teilaufgabe 2 eine überschaubare mehrschrittige Argumentation erläutert und entwickelt
werden, weswegen diese Teilaufgabe dem Anforderungsbereich II zuzuordnen ist.
In der ersten Teilaufgabe wird neben den für die Berechnung des Flächeninhalts des
Parallelogramms notwendigen Angaben der Länge der Grundseite und der Länge der Höhe
noch die vernachlässigbare Angabe zur Länge einer weiteren Seite gemacht. Die überflüssige Angabe einer Größe zwingt dazu, aus den gegebenen Angaben die relevanten
Angaben sinnvoll zu entnehmen. Eine weit verbreitete Ausweichstrategie besteht bei solchen
Aufgaben darin, alle gegebenen Zahlen auf irgendeine Weise miteinander zu verrechnen. In
Abbildung 1 ist eine solche Schülerlösung zu sehen. Der Schüler verrechnet vermutlich die
angegebenen Maßzahlen wie folgt: 5 ⋅ 4 ⋅ 4,5 = 90 .
64
Beide Teilaufgaben zielen auf die Bestimmung des Flächeninhalts eines Parallelogramms
ab. In Teilaufgabe 1 kann dies kalkülhaft geschehen. In Teilaufgabe 2 wird hingegen eine
Begründung verlangt, und somit ein verständiger Umgang mit Flächenberechnungen
gefordert. Schülerlösungen zu beiden Aufgaben eignen sich in der Zusammenschau daher
gut dafür, Fehlvorstellungen im Umgang mit Parallelogrammen zu diagnostizieren. Zwar ist
es aus unterrichtspraktischer Sicht erwartbar, dass zumeist Teilaufgabe 1 gelöst werden
kann, Schwierigkeiten hingegen in Teilaufgabe 2 auftreten. Dass dies nicht immer der Fall
sein muss, soll durch folgende Schülerlösung in Abbildung 2 illustriert werden.
65
Schülerlösung 2 ist insofern interessant, als dass es der Schülerin gelingt, in Teilaufgabe 2
eine adäquate Antwort zu geben. Gleichzeitig lässt die von ihr angefertigte Skizze in
Teilaufgabe 1 vermuten, dass sie das Prinzip der Flächeninhaltsberechnung eines
Parallelogramms kennt. Dennoch führt dies nicht zur korrekten Berechnung des
Flächeninhalts in Teilaufgabe 1. Vermutlich hat die Schülerin auf die Formel zur Berechnung
des Flächeninhalts von Dreiecken zurückgegriffen.
Dieser Fehler führt in Teilaufgabe 2, folgerichtig angewendet, dazu, dass trotzdem eine
schlüssige Begründung gegeben werden kann. Eine individuelle Förderung könnte zunächst
hier ansetzen. In einem Gespräch könnte in Erfahrung gebracht werden, ob tatsächlich
fälschlicherweise auf die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken anstelle
von Parallelogrammen zurückgegriffen worden ist. Sodann könnte die Schülerin entlang der
erkennbaren Potenziale, die ihre Schülerlösung sichtbar machen, zur korrekten Berechnung
des Flächeninhalts geleitet werden.
66

Vergleichsarbeiten 2016 8. Jahrgangsstufe (VERA

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