Analytisch ermittelte Psi-I-Kennlinie von Geschalteten

Analytisch ermittelte <-I-Kennlinie von Geschalteten Reluktanzmaschinen im Vergleich zu FEM und Messung
Berthold Schinnerl und Dieter Gerling, Institut für Elektrische Antriebstechnik und Aktorik, Universität der Bundeswehr, München, Deutschland
Kurzfassung
Die nichtlineare <-I-Kennlinie (< - magnetische Flussverkettung, I - Strom) ist grundlegend für die Modellierung und den Neuentwurf von Geschalteten Reluktanzmaschinen (SRM – Switched Reluctance Machine). In
diesem Beitrag werden verschieden ermittelte <-I-Kennlinien von zwei reell existierenden Geschalteten Reluktanzmaschinen verglichen. Die Ermittlung der <-I-Kennlinien erfolgte durch analytische Berechnung, Messung
und FEM-Berechnung. Bei diesem Vergleich soll eine Aussage über die Güte der analytischen Berechnung der
<-I-Kennlinie von Geschalteten Reluktanzmaschinen getroffen werden.
1
Einführung
Im Entwurfsprozess und der Entwicklung von Geschalteten Reluktanzmaschinen stützt man sich weitgehend auf rechnergestützte FEM-Berechnungen der
<-I-Kennlinie. Diese haben den Ruf, dass sie sehr genaue Ergebnisse liefern. Der entscheidende Nachteil
hierbei ist, dass die gesamte Berechnung, abhängig
von den durchgeführten Berechnungpunkten, sehr
zeitaufwändig ist. Weiterhin ist entscheidend, ob es
sich bei der FEM-Software um eine 2D oder 3DSoftware handelt. Letztere hat den Vorteil, die jeweilige Maschine dreidimensional zu betrachten und
dementsprechenderweise aussagekräftigere Ergebnisse als die 2D-Berechnung zu liefern, die Anwendung
ist allerdings mit einem höheren Zeitaufwand - im
Vergleich zur 2D- Software – verbunden, welcher in
der höheren Rechenzeit, als auch in der komplexeren
Bedienung begründet ist. Bei der 3D-FEMBerechnung treten neben der langen Rechenzeit vor
allem Probleme bei der Vernetzung der Maschinengeometrie auf. Bei der FEM-Berechnung in diesem
Beitrag handelt es sich um 2D-FEM-Berechnungen.
Der allgemeine Vorteil der analytischen Berechnung
ist, dass man mit den geometrischen Maschinendaten
als Grundlage die <-I-Kennlinie einer Reluktanzmaschine ohne großen Zeitaufwand unter dreidimensionalen Gesichtspunkten berechnen kann. Die analytische Berechnung basiert auf dem Ersatzschaltbild
der magnetischen Widerstände der Geschalteten Reluktanzmaschine und der B-H-Kennlinie des zu verwendenden Eisens. Als Schwachpunkt der Berechnung zeigt sich allgemein der Verlauf der magnetischen Feldlinien im Bereich der unaligned position
(Querfeldstellung) der Maschine, da hierbei der größte Abschnitt der Feldlinien durch die Luft vollzogen
wird und deren Weg, aufgrund des inhomogenen
Luftspaltes in diesem Bereich, basierend jedoch auf
physikalischen Grundsätzen, abgeschätzt wird. Letzt-
lich wird die <-I-Kennlinie treffend mit folgender
Formel [1], [2] analytisch beschrieben:
< i ­ A˜i
°
i
§
®
I sat
° B ˜ i C ˜ ¨¨ 1 E ˜ e
©
¯
i d I sat
·
(1)
¸ i ! I sat
¸
¹
Isat ist der Sättigungsstrom und A,B,C,E die Koeffizienten, die sich aus dem magnetischen Ersatzschaltbild und somit aus den Geometriedaten der Maschine
ergeben. Der Sättigungsstrom und die Koeffizienten
sind Variablen, die abhängig vom Rotorpositionswinkel der Maschine sind.
Ausführlich ist die analytische Beschreibung der <-IKennlinie in [1] und [2] dargestellt.
2
Berechnung der Maschinen
Bei den zu berechnenden und zu untersuchenden Maschinen handelt es sich um zwei Geschaltete Reluktanzmaschinen verschiedener Größe in 12/8 Konfiguration (12 Statorzähne und 8 Rotorzähne). Die Maschinen werden mit SRM 1 und SRM 2 bezeichnet.
Die <-I-Kennlinie der jeweiligen Maschine wurde
von der aligned position bis zur unaligned position in
mechanischen
1°
Rotorpositionswinkelschritten
analytisch und mit 2D-FEM-Software berechnet,
sowie gemessen. Die Maße der Maschinen lauten wie
folgt:
SRM 1:
Statoraußendurchmesser - 333mm; Länge - 66mm,
Windungszahl - 14
SRM 2:
Statoraußendurchmesser - 210mm; Länge - 210mm,
Windungszahl - 6.
Bei der Länge handelt es sich um die axiale Länge
von Rotor und Stator. Die erzielten Ergebnisse lassen
sich in Diagrammen abbilden, wobei die magnetische
Flussverkettung < als Funktion des Stromes I dargestellt ist.
2.1
SRM 1
2.1.1
Aligned – Unaligned Position
In Tabelle 2 sind die Werte der unaligned position
(Querfeldstellung) dargestellt. Außerdem sind erneut
die prozentuale Abweichung 'F der Berechnungen
von den Messwerten eingetragen.
Das nachfolgende Diagramm Bild 1 zeigt die Ergebnisse von SRM 1 mit den Werten aus 2D-FEMBerechnung, analytischer Berechnung und Messung.
Tabelle 2 Messwerte, berechnete Werte und prozentuale Abweichung von den Messwerten (unaligned
position)
Bild 1 Grafischer Vergleich von FEM-Berechnung,
analytischer Berechnung und Messung für die Maschine SRM 1
Dabei sind in Bild 1 schwarz die Messwerte eingezeichnet, die analytischen Berechnungswerte gestrichelt und die FEM-Berechnungswerte grau. Deutlich
zu sehen ist in Bild 1, dass im Bereich aligned position sämtliche Werte annähernd deckungsgleich sind. In
der unaligned position ist jedoch ein gravierendes
Auseinanderklaffen von FEM-Werten gegenüber analytischer Berechnung und Messung erkennbar. In Tabelle 1 sind die Werte der aligned position (Längsfeldstellung) mit prozentualer Abweichung 'F dargestellt. In der letzten Zeile der Tabelle ist der
arithmetische Mittelwert der Abweichung zu finden.
2.1.2
Beliebige Rotorposition
Im nachfolgenden Bild 2 ist ein Vergleich der gemessenen Werte mit den analytisch berechneten Werten
und den FEM-Werten dargestellt. Um Aussagen über
die Genauigkeit der <-I-Kennlinienberechnung treffen zu können, muss das Kennlinienfeld bei verschiedenen Rotorpositionswinkeln untersucht werden. Im
Abschnitt 2.1.1 wurde zunächst nur die aligned position – das entspricht einem mechanischen Rotorpositionswinkel von 0° - und die unaligned position (mechanischer Rotorpositionswinkel von 22,5°) untersucht. In diesem Abschnitt werden die beliebig
gewählten Rotorpositionswinkel 4°,10°,14° und 20°
untersucht.
Bild 2 Vergleich der Werte von FEM, Messung und
analytischer Berechnung bei ausgewählten Rotorpositionen
Tabelle 1 Messwerte, berechnete Werte und prozentuale Abweichung von den Messwerten (aligned position)
Betrachtet werden die <-I-Werte bei verschiedenen
Rotorwinkelpositionen. Dies beinhaltet FEM-Werte
und analytisch berechnete Werte. Verglichen werden
diese mit den Messwerten. Der Vergleich wurde bei
vier beliebig gewählten Rotorwinkelpositionen
durchgeführt. In nachfolgender Tabelle 3 folgt nach
dem vorangegangenen grafischen Vergleich die Auflistung der prozentualen Abweichung von den Messwerten.
Die Ergebnisse der Tabelle 3 und Bild 2 zeigen, dass
die FEM-Berechnung bei Winkeln unter 10° eine
durchschnittlich geringere Abweichung von den
Messwerten ergibt, als die analytische Berechnung.
Bei einem Rotorpositionswinkel ab 10° ist allerdings
die Abweichung der analytischen Berechnung von
den Messwerten geringer als die Abweichung der
FEM-Berechnungswerte von den Messwerten.
2.2
SRM 2
2.2.1
Aligned – Unaligned Position
Im nachfolgenden Bild 3 sind die berechneten <-IKennlinien, als auch die gemessenen der SRM 2 abgebildet.
Bild 3 Grafischer Vergleich von FEM-Berechnung,
analytischer Berechnung und Messung für die Maschine SRM 2
Anhand von Bild 3 und der folgenden Tabelle 4 kann
man erneut den Unterschied der Berechnungsarten,
analytische Berechnung und FEM-Berechnung, erkennen. In der aligned position der SRM 2 ist die
Abweichung der analytischen Berechnung im Bereich
der Ströme I=0..110A von den Messwerten deutlich
geringer als die Abweichung der FEM-Berechnung
von den Messwerten. Im Bereich von 110A bis 250A
ist die Abweichung der FEM-Berechnung und der analytischen Berechnung von den Messwerten ungefähr gleich groß.
Tabelle 4 Messwerte, berechnete und prozentuale
Abweichung von den Messwerten (Aligned Position)
Tabelle 3 Relative Abweichung bei beliebigen Rotorpositionen
In der unaligned position sieht man erneut, dass die
analytischen Berechnungsergebnisse weniger Abweichung von den gemessenen Werten aufweisen, als die
FEM-Berechnungen. Dies wird in Tabelle 5 deutlich.
Tabelle 5 Messwerte, berechnete und prozentuale
Abweichung von den Messwerten (Unaligned Position)
2.2.2
Beliebige Rotorposition
Nach der Darstellung der Berechnungswerte gegenüber den Messwerten von Maschine SRM 2 in der aligned und unaligned position, folgt nun die Untersuchung bei beliebigen Rotorpositionswinkeln. Die
magnetische Flussverkettung < ist hierbei wieder in
Abhängigkeit vom Strom I in Bild 4 aufgetragen.
Bild 4
Beliebige Rotorposition SRM 2
Erneut ist in Bild 4 die analytische Berechnung gestrichelt, die FEM-Berechnung in grauer Farbe und
die Messung in schwarz dargestellt. In Bild 4 ist ein
Vergleich bei verschiedenen Rotorpositionen grafisch
dargestellt. Es handelt sich dabei um die mechanischen Rotorpositionswinkel 5°,10°,15° und 20°. Auch
diese Winkel wurden beliebig gewählt. In der nachfolgenden Tabelle 6 sind die Abweichungen der
FEM-Werte und der analytischen Berechnungswerte
von den Messwerten prozentual dargestellt. Mit Ausnahme der Rotorwinkelposition 15° ist die Abweichung der analytischen Berechnung von den Messwerten deutlich geringer als die Abweichung der
FEM-Werte von den Messwerten.
Tabelle 6 Relative Abweichung bei beliebigen Rotorpositionen
3
Zusammenfassung und Bewertung
Es wurde die <-I-Kennlinie zweier Geschalteter Reluktanzmaschinen berechnet. Die Berechnung wurde
analytisch und mit 2D-FEM-Software durchgeführt.
Der analytischen Berechnung lag die Theorie der
magnetischen Widerstände zu Grunde. Das Verfahren
zur analytischen Berechnung basiert auf [1],[2],[3],[4]
und [5]. Die aligned position wurde anhand magneti-
scher Widerstände, qualitativ dargestellt in Bild 5, berechnet. Der magnetische Kreis wurde mit Hilfe der
B-H-Kennlinie des verwendeten Eisens berechnet.
die gesamte <-I-Kennlinie berechnet werden. Die Berechnungsergebnisse wurden bereits in Abschnitt 2.1
und 2.2 gezeigt.
Beim Vergleich der Berechnungsarten wurde herausgefunden, dass die analytischen Berechnungsergebnisse größtenteils, gemäß Tabelle 7, geringere Abweichungen von den Messergebnissen aufweisen, als die
mit 2D -FEM berechneten Ergebnisse. Die hohe Abweichung der FEM-Ergebnisse, besonders in der unaligned position, lässt sich dadurch erklären, dass hierbei die Induktivität der Stirnseiten der Maschinen
vernachlässigt werden. Bei der analytischen Berechnung wurde diese berücksichtigt [6].
Tabelle 7 Vergleich FEM vs analytische Berechnung
Bild 5 Qualitative Abbildung der magnetischen Widerstände in der aligned position
Zur Berechnung der unaligned position wurden die
Magnetfeldlinien mit dem Ersatzschaltbild in Bild 6
berechnet. Auch hier ist nur eine qualitative Darstellung des magnetischen Ersatzschaltbildes zu sehen.
Der Schwerpunkt dieser Veröffentlichung ist vielmehr
auf den Vergleich der Berechnungsergebnisse konzentriert, als auf die Beschreibung der analytischen
Berechnung an sich.
Bild 6 Qualitative Darstellung der magnetischen
Widerstände in der unaligned position
In den Bildern 5 und 6 werden die magnetischen Widerstände der Luft als ungefüllte Rechtecke dargestellt. Die ausgefüllten Rechtecke stellen den magnetischen Widerstand des jeweiligen Eisenabschnittes
dar. Da es sich bei den Reluktanzmaschinen um dreisträngige 12/8- Konfigurationen handelt, muss der
magnetische Kreis in Bild 5 und 6 freilich mit dem
Faktor 4 multipliziert werden, da immer vier Statorzähne gleichzeitig bestromt werden. Anhand der zwei
analytisch berechneten Winkelpositionen gemäß Bild
5 und 6 (aligned position, unaligned position), kann
mit Hilfe der Berechnungsmethoden aus [1] und [2]
Tabelle 7 zeigt durch eine „+“ Markierung auf, dass
die jeweilige Berechnungsart der entsprechenden Maschine geringere Abweichungen von den Messwerten
aufweist, als die mit „-“ gekennzeichnete andere Berechnungsart. Im Falle einer „=“-Markierung weisen
sowohl analytische Berechnung, als auch FEMBerechnung gleich große Abweichungen von den
Messwerten auf. Weiterhin bietet die analytische Berechnung der <-I-Kennlinie den Vorteil, dass sie sehr
schnell durchgeführt werden kann. Die Berechnung
eines gesamten <-I-Kennlinienfeldes per FEMSimulation hingegen dauert nach heutigem Stand der
Technik ungefähr 12 Stunden. Die analytische Berechnung ist nach Erstellung eines generischen Programmes, beispielsweise in MATLAB©, sekundenschnell durchgeführt. Die <-I-Kennlinie zu berechnen
ist essentiell in der Entwicklungs- und Entwurfphase
einer Geschalteten Reluktanzmaschine, da sich anhand ihrer das Drehmoment der Maschine bestimmen
lässt. Mit der analytischen Berechnung hat man somit
die Möglichkeit das Drehmoment sehr schnell zu berechnen und die Geometrie der Maschine hinsichtlich
höheren Drehmomentes durch wiederholte Berechnungen zu optimieren.
4
Literatur
[1] Schinnerl, B.; Gerling, D.: Novel Analytical
Calculation Method for the Non-Linear <-ICharacteristic Of Switched Reluctance Machines
in the Aligned Rotor Position. International
Electric Machines and Drives Conference
IEMDC, Antalya, Turkey, 2007
[2] Schinnerl, B.; Gerling, D.: Novel Analytical
Calculation Method for the Non-Linear <-ICharacteristic Of Switched Reluctance Machines
in Arbitrary Rotor Positions. European Conference on Power Electronics And Applications
EPE, Aalborg, Danmark, 2007
[3] Krishnan, R.: Switched Reluctance Motor
Drives. Industrial Electronics Series, CRC Press,
New York, 2001
[4] Rafajdus, P.; Zrak, I.; Hrabovcová, V.: Analysis
Of The Switched Reluctance Motor (SRM) Parameters. Journal Of Electrical Engineering, Vol.
55, NO. 7-8, pp. 195–200, 2004
[5] Deihimi, A.; Farhangh, S.; Henneberger, G.: A
General Nonlinear Model of Switched Reluctance Motor with Mutual Coupling and Multiphase
Excitation. Electrical Engineering 84 (2002), pp.
143–158, Springer-Verlag, 2002
[6] Schramm, A.: Redundanzkonzepte für Geschaltete Reluktanzantriebe. Dissertation, Forschungsberichte Elektrische Antriebstechnik und
Aktorik, Universität der Bundeswehr München,
Shaker Verlag, 2006