Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit

Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit
April 2003
Ereignisraum
Baumdiagramm
Zweistufiger Zufallsversuch
Aufgabe 1:
Bei einem Zufallsexperiment werden zwei Münzen, ein Euro und ein 50
Cent Stück, gleichzeitig geworfen. Bei beiden Münzen sind die Seiten
„Kopf“ und „Zahl“ eindeutig zu unterscheiden. Man einigt sich auf
folgende Schreibweise:
K
Kopfseite des Euro
Z
Zahlseite des Euro
k
Kopfseite des 50 Cent Stücks
z
Zahlseite des 50 Cent Stücks
a) Stelle den Ereignisraum (Stichprobenraum) in geeigneter Weise
dar!
b) Zeichne ein Baumdiagramm für diesen Zufallsversuch!
c) Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:
• E1: Beide Münzen zeigen die Zahlseite.
• E2: Die Euro-Münze zeigt die Zahl-, die 50 Cent Münze
die Kopfseite.
• E3: Beide Münzen zeigen gleiche Seiten.
• E4: Beide Münzen zeigen unterschiedliche Seiten.
Lösung:
E = {( K , k );( K , z );( Z , k );( Z , z )}
a.)
b.)
K
0,5
0,5
0,5
0,5
Z
0,5
c.)
0,5
p(E1) = 0,25
p(E2) = 0,25
p(E3) = 0,5
p(E4) = 0,5
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K,k
K,z
Z,k
Z,z
Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit
April 2003
absolute Häufigkeit
relative Häufigkeit
Aufgabe 2:
Mit zwei Würfeln wird gleichzeitig gewürfelt. Würfel 30 mal mit beiden Spielwürfeln und
notiere die Ergebnisse:
Es soll das Ereignis E: „Augensumme liegt im Intervall {6,7,8}“ untersucht werden. Berechne
zu diesem Ereignis die absoluten und relativen Häufigkeiten und trage diese in die Tabelle
ein. (Man sollte zunächst nur würfeln und die Augensumme in die erste Spalte eintragen. Danach wird die
„absolute Häufigkeit“ in jeder Spalte jeweils aufaddiert. Die relative Häufigkeit kann dann berechnet werden.)
Nr.:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
10
11
12
13
14
15
Augensumme Abs.
Rel.
Häufigkeit Häufigkeit
Nr.:
Augensumme Abs.
Rel.
Häufigkeit Häufigkeit
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Die relative Häufigkeit soll in Abhängigkeit vom Stichprobenumfang grafisch dargestellt
werden.
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April 2003
Aufgabe 3:
Es wird mit dem bereitgestellten blauen und roten Würfel gleichzeitig gewürfelt. Liste in der
Tabelle alle Elementarereignisse dieses Zufallsexperiments auf:
Blau Rot Augensumme
Blau Rot Augensumme
Blau Rot Augensumme
Ermittle die Wahrscheinlichkeiten P(En) und relative Häufigkeiten für folgende Ereignisse:
E1 :
E2:
E3:
E4:
E5:
Augensumme größer 9
Augensumme 21
Augensumme gerade
Augensumme größer 18
Augensumme kleiner 20
P(E1) =
P(E2) =
P(E3) =
P(E4) =
P(E5) =
Hr(E1)=
Hr(E2)=
Hr(E3)=
Hr(E4)=
Hr(E5)=
Verschiedene Ereignisse werden nun durch logische Operatoren verknüpft. Ermittle für diese
Verknüpfungen die Wahrscheinlichkeiten:
P(E2 und E3) =
P(E4 oder E5) =
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April 2003
Mehrstufige Zufallsversuche
Verkürztes Baumdiagramm
Additions- und Multiplikationsregel
Aufgabe 4:
Ein Skatspiel besteht aus 32 Karten. Die begehrtesten Karten sind die Buben. Wenn man alle
vier Buben besitzt, so wird man in der Regel auch gewinnen.
Beim Skat-Spiel erhält jeder Spieler zunächst 10 Karten. Die zwei übrigen Karten werden
verdeckt in die Mitte gelegt. Dies ist der
Skat, um den „gereizt“ werden muss. Die
Verteilung der Karten ist vom Zufall
abhängig. Beim Spielen ist es wichtig, seine
Chancen abzuschätzen. Es werden folgende
Ereignisse definiert
E1:
Man erhält beim Verteilen einen
Buben
Ein Bube liegt im Skat
E2:
E3:
Zwei Buben liegen im Skat
Berechne die zu den Ereignissen gehörenden
Wahrscheinlichkeiten:
Lösung:
Da man als Spieler 10 Karten erhält, liegt hier ein 10stufiger Zufallsversuch ohne
Zurücklegen statt. Um die Überlegungen zu vereinfachen, geht man davon aus, dass
ein Spieler alle 10 Karten nacheinander bekommt. Man hat also 10 mal die Chance
einen Buben zu bekommen. Dazu passt das folgende verkürzte Baumdiagramm:
4 E
32
28
32
4 E
31
27
31
Seite 4 von 4
4 E
30
26
30
4 E
29
Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit
April 2003
Das Baumdiagramm ist so natürlich noch unvollständig.
Will man nun die Wahrscheinlichkeit berechnen, so erhält man einen Summen Term (10
Summanden), der die zehnmalige Chance einen Buben zu bekommen ausdrückt.
4 28 4 28 ⋅ 27 ⋅ 4 28 ⋅ 27 ⋅ 26 ⋅ 4 28 ⋅ 27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 4
+ ⋅ +
+
+
+.
32 32 31 32 ⋅ 31⋅ 30 32 ⋅ 31 ⋅ 30 ⋅ 29 32 ⋅ 31 ⋅ 30 ⋅ 29 ⋅ 28
28 ⋅ 27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 4
.. +
32 ⋅ 31⋅ 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ 27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23
p( E1 ) =
Nun kann man glücklicher Weise in diesem Summenterm in den Brüchen kürzen. Trotzdem
ist die Berechnung nicht ganz einfach.
p( E1 ) = 0, 7911
Nach den vorherigen Überlegungen lassen sich die anderen beiden Ereignisse schnell
ermitteln.
p( E2 ) =
4 31 4
+ ⋅ = 0, 25
32 32 31
p ( E3 ) =
4 3
⋅ = 0,012096
32 31
Frage einmal einen Skat Spieler, ob er dies Ereignis schon einmal erlebt hat und wie viele
Spiele er wohl schon gemacht hat, bis dieses Ereignis auftrat!
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April 2003
Erwartungswert
Aufgabe 5:
Im Statistischen Jahrbuch für die Bundesrepublik Deutschland sind u.a. sogenannte
Sterbetafeln abgedruckt. Hieraus kann man ablesen, wie viele von 100000
Lebendgeborenen das Alter x erreichen.
Bei den Jahrgängen, die vor und während des 2. Weltkriegs geboren wurden, sind
die kriegsbedingten Sterbefälle nicht berücksichtigt.
x
0
1
2
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
a.)
b.)
c.)
d.)
Sterbefõlle pro
mõnnlich Zeitintervall
100.000
99.301
699
99.243
58
99.141
102
99.041
100
98.940
101
98.562
378
98.024
538
97.478
546
96.771
707
95.774
997
94.362
1.412
92.224
2.138
88.916
3.308
83.773
5.143
75.991
7.782
65.630
10.361
51.896
13.734
35.469
16.427
18.993
16.476
Sterbefõlle pro
weiblich Zeitintervall
100.000
99.453
547
99.399
54
99.326
73
99.249
77
99.176
73
99.015
161
98.838
177
98.627
211
98.317
310
97.844
473
97.093
751
95.949
1.144
94.302
1.647
91.799
2.503
87.858
3.941
81.785
6.073
72.131
9.654
57.615
14.516
37.888
19.727
Vergleiche die Sterberate für Frauen und Männer. Welche allgemeinen
Aussagen kann man über die Sterbewahrscheinlichkeit von Frauen und
Männern treffen?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines neugeborenen Mädchens 20
Jahre alt zu werden?
Wie groß ist die Sterbewahrscheinlichkeit eines 70 jährigen Mannes in dem
nächsten Lebensjahrzehnt.
Ein 50 jähriger Mann will eine Lebensversicherung für 15 Jahre abschließen
und ist zum Zeitpunkt des Vertragsabschlusses gesund. Im Todesfall sollen
200 000 Euro ausgezahlt werden. Wie hoch muss die Versicherungsprämie
sein, damit das Risiko der Versicherung abgedeckt ist?
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Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit
April 2003
Lösungen:
Zu a.: Die höhere Lebenserwartung der Frauen wird durch die Sterbetafel eindeutig
belegt.. Alle Erklärungsversuche, die auf eine unterschiedliche Belastung der
Männer im Beruf hinaus laufen erweisen sich als haltlos. Die Sterbehäufigkeit
ist auch bei männlichen Babys zu beobachten. Daher wird man von einer
genetischen Grund ausgehen müssen.
Zu b.: Die Wahrscheinlichkeit wird als das Verhältnis der günstigen zu den
ungünstigen Fällen beschrieben. Die Begriffe „günstig“ und „ungünstig“
passen in diesem Zusammenhang nun überhaupt nicht mehr.
E: ein weibliches Kind wird 20 Jahre alt
547 + 54 + 73 + 77 + 73 + 161
p (¬E ) =
= 0, 00985
100000
Daraus ergibt sich über die Gegenwahrscheinlichkeit p(E):
p( E ) = 1 − p(¬E ) = 0,99015
Zu c: E: Sterbewahrscheinlichkeit eines 70 jährigen Mannes in den nächsten 10
Jahren:
p( E ) =
10.361 + 13.734
= 0,3671
65.630
Zu d: In dem Versicherungszeitraum muss das Sterberisiko abgesichert werden.
Zunächst berechnet man die Sterbewahrscheinlichkeit in den nächsten 15
Jahren.
p( E ) =
2138 + 3308 + 5143
= 0,1148182
92224
Im Todesfall sollen 200.000 Euro ausgeschüttet werden. Man berechnet nun
den Erwartungswert, also das, was die Versicherung für einen so versicherten
durchschnittlich bezahlen muss.
Erwartungswert: 0,11481826 ⋅ 200000 = 22.963, 65 €
Wenn dieses Risiko abgedeckt werden soll, so muss der Erwartungswert
durch die Anzahl der Monate geteilt werden.
22.963, 65 : (15 ⋅12) = 127,57 €
Die Versicherungsprämie müsste also pro Monat 127,57 € betragen.
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April 2003
Verkürztes Baumdiagramm
Gegenwahrscheinlichkeit
Multiplikationsregel
Aufgabe 6:
Das Geburtstags Problem
Eine 25-köpfige GeburtstagsGesellschaft feiert ausgelassen. Die
Gäste verabreden, sich beim nächsten
Geburtstag eines Gastes wieder zu
treffen und gehen davon aus, sich 25
mal im Jahr zu sehen. Doch was
passiert, wenn zwei Gäste an einem
Tag Geburtstag haben? „Das ist doch
vollkommen unwahrscheinlich“ meint
Herr Müller. Frau Zocker sieht das
anders: „Wollen wir um 100 Euro
wetten, dass dies in unserer Gruppe
vorkommt?“
3.7.1963
Wie kommt Frau Zocker zu dieser
Meinung? Weiß sie alle Geburtstage
der Teilnehmer der Feier oder ist sie
eine Spezialistin der
Wahrscheinlichkeits-Rechnung?
a.)
b.)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei 25 Teilnehmern zwei Geburtstage auf
einen gemeinsamen Tag fallen. Das Geburtsjahr braucht allerdings nicht überein
zu stimmen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 der Teilnehmer in einer
Kalenderwoche Geburtstag haben?
Lösungen:
Zu a:
Man betrachtet das Beispiel als 25 stufigen Zufallsversuch. Nehmen wir an, die
Personen betreten nacheinander die Feier und in einem Jahresplaner werden die
jeweiligen Tage angestrichen, an dem ein Gast Geburtstag hat.
Man berechnet nun die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E, dass keine zwei Gäste
am gleichen Tag Geburtstag haben.
E : Alle Gäste haben an unterschiedlichen Tagen Geburtstag!
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April 2003
E
364 E
365
363 E
365
362 E
365
1
36
5
2
36
5
3
36
5
E
E
E
361 E
365
4
36
5
E
Man kann sich leicht vorstellen, wie sich dieser Vorgang weiter entwickelt. Folgender
Term ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit p(E):
p( E ) =
364 ⋅ 363 ⋅ 362 ⋅ 361 ⋅ 360 ⋅ ....342 ⋅ 341
= 0, 4313
36524
Über die Gegenwahrscheinlichkeit kann nun schnell ermittelt werden, wie
wahrscheinlich es bei dieser Personenzahl ist, dass zwei Gäste an einem Tage
Geburtstag haben:
p(¬E ) = 1 − p( E ) = 1 − 0, 4313 = 0,568
Zu b:
Hier lässt sich das gleiche Baumdiagramm zeichnen. Die Brüche müssen natürlich
verändert werden. Wir haben es mit 52 Wochen im Jahr zu tun. (Maximal können es
auch 53 Wochen sein)
p( E ) =
51⋅ 50 ⋅ 49 ⋅ 48 ⋅ 47 ⋅ ....29 ⋅ 28
= 0, 000932
5224
Daraus ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für
p(¬E ) = 1 − p( E ) = 1 − 0, 000932 = 0,99906
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Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit
April 2003
Ereignisraum
Erwartungswert
Aufgabe 7:
Bei einem Spielautomaten drehen
sich unabhängig voneinander zwei
Scheiben. Jede Scheibe ist in zehn
gleichgroße Felder eingeteilt, die
von 0 bis 9 numeriert sind. Die
folgenden Geldbeträge kann man
gewinnen:
5 Euro
2 Euro
1 Euro
wenn auf beiden
Scheiben eine 9 steht
wenn auf beiden
Scheiben zwei gleich
Ziffern erscheinen
wenn auf genau einer Scheibe die 9 erscheint.
In allen anderen Fällen geht der Einsatz verloren. Wie groß muss der Spieleinsatz
mindestens sein, damit der Spielautomat für den Besitzer Gewinn erbringt?
Lösungen
An dieser Aufgabe kann sinnvoll über die (eindeutige?) sprachliche Formulierung der
Aufgabe nachgedacht werden. Die Gewinne werden von einigen Personen hier ganz
unterschiedlich gesehen.
Zunächst sollte man sich Vorstellungen über den Ereignisraum in diesem Versuch
machen: Wir erhalten 100 unterschiedliche Versuchsergebnisse. Zeigt die erste
Scheibe Null, so kann die zweite Scheibe 10 unterschiedliche Ziffern anzeigen.
S = {(0, 0)(0,1)(0, 2)(0,3)(0, 4)...(0,9)(1,0)..(1,9)(2, 0)..(2,9)...(9,9)}
Daraus ergeben sich die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
1
= 0, 01
100
10
p(2€) =
= 0,1
100
18
p(1€) =
= 0,18
100
p(5€) =
Nun lässt sich der Erwartungswert – der durchschnittliche Gewinn pro Spiel –
errechnen. 0, 01 ⋅ 5€ + 0,1⋅ 2€ + 0,18 ⋅1€ = 0, 43€ Der Einsatz pro Spiel sollte also 50
Cent betragen.
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April 2003
Kombinatorik
Aufgabe 8:
In einem Korb mit 20 Weihnachtsmänner sind vier beschädigt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei zufälliger Auswahl von 5 Weihnachtsmännern kein beschädigtes
Exemplar zu erhalten?
Lösung
Auch hier kann leicht ein verkürztes Baumdiagramm gezeichnet werden. Das
Ereignis E wird definiert als „einen unbeschädigten Weihnachtsmann ziehen“.
Beim ersten Mal Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit 16/20, beim zweiten Mal 15/19,
usw.. Ich gehe von einem Vorgang ohne Zurücklegen aus.
p( E ) =
16 15 14 13 12 91
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= 0, 2817
20 19 18 17 16 321
Aufgabe 9:
Ein Morsealphabet besteht aus einer Folge von Punkten und Strichen (kurz und Lang).
Wie viele Folgen kann man mit genau 5 (höchstens 5) dieser Symbole aufschreiben?
Lösung
Benutzt man
1
Zeichen, so existieren
2
Möglichkeiten
2
4
3
8
4
16
5
32
Man hat also bei einer Zeichenfolge mit 5 Zeichen (kurz und lang) genau 25
Möglichkeiten, einen Buchstaben zu codieren. Wenn auch Buchstaben mit einer
kürzeren Zeichenfolge codiert werden darf, so kommen die 16 Möglichkeiten für
vierstellige Zeichen, die 8 Möglichkeiten für dreistellige Zeichen usw. hinzu.
Insgesamt ergeben sich dann 62 Möglichkeiten.
Aufgabe 10:
Jeder Personalausweis besitzt eine 10 stellige ID Nummer. Von diesen Ziffern darf die
erste nicht Null sein. Wie viele Bürger können mit solch einer Nummer identifiziert
werden?
Lösung
Für eine 9-stellige Ziffer lässt sich das Ergebnis schnell ermitteln. Es sind dann
109 Möglichkeiten. Nun kommt die erste Ziffer noch hinzu. Für die erste Ziffer sind
aber nur 9 Ziffern erlaubt. Das Ergebnis ist also 9 ⋅109 Möglichkeiten. Das wird für
die Einwohner der Bundesrepublik Deutschland ausreichen.
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Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit
April 2003
Baumdiagramm
Aufgabe 11:
Eine Urne enthält 5 gelbe, 3 blaue und 4 rote Kugeln. Es werden der Urne 5 Kugel
nacheinander (ohne Zurücklegen) entnommen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für
folgende Ereignisse:
a.) E1:
b.) E2:
2 rote Kugeln
5 gelbe Kugeln
Lösung
Zu a.)
Um einen verkürzten Wahrscheinlichkeitsbaum zu zeichnen, definiere man das
Ereignis E: Man ziehe eine Rote Kugel. Hierzu lässt sich folgendes verkürzte
Baumdiagramm zeichnen:
4 E
12
8
12
E
3
11
8
11
E
E
4 E
11
7
11
E
E
3
10
7
E
10
4 E
10
6
10
E
3
9
E
4
9
E
5
9
3
8
E
E
Das Baumdiagramm ist nicht vollständig. Nur die Verzweigungen, die für die
Beantwortung der Frage interessieren, wurden gezeichnet.
Als Wahrscheinlichkeit ergibt sich:
p( E ) =
4 3 8 4 3 8 7 4 3 8 7 6 4 3
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 0, 2626
12 11 12 11 10 12 11 10 9 12 11 10 9 8
Zu b:
In der Urne sind nur 5 gelbe Kugel und man soll auch nur 5 mal ziehen. Hier kann
sofort folgende Wahrscheinlichkeit angegeben werden:
5 4 3 2 1
p(5 rote Kuge ln) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 0, 00126
12 11 10 9 8
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Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit
April 2003
Kombinatorik
Multiplikationsregel
Aufgabe 12:
Beim einfachen Lotto-Glücksspiel werden 6 Zahlen aus 49 Zahlen ausgewählt. 6 Richtige
bedeutet, dass alle getippten Zahlen mit der Lottoziehung übereinstimmen. Die Zahlen
werden zufällige gezogen und dann der Größe nach geordnet. Es müssen nur die
Zahlenwerte übereinstimmen, die Reihenfolge in denen die Zahlen gezogen werden ist
ohne Bedeutung.
a.)
Herr Meier wählt die Zahlen {1,2,3,4,5,6}. Ist seinen Chance, 6 Richtige zu
tippen, genauso groß wie mit anderen (ungeordneten) Zahlen?
b.)
Berechne die Anzahl der möglichen „Ziehungsverläufe“ für eine Lottoziehung.
c.)
Bei einem „Ziehungsverlauf“ werden 6 Zahlen zufällig ausgewählt. Für 6
Zahlen gibt es verschiedene Ziehungsverläufe. (Nehmen wir das Beispiel von
Herrn Meier. Natürlich kann als erstes die Eins, dann die Zwei usw. gezogen
werden. Es kann aber auch sein, dass zuerst die 3 gezogen wurde.) Ermittle die
Anzahl der Ziehungsverläufe für 6 Zahlen!
d.)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit im Lotto 6 Richtige zu tippen.
Lösungen:
Zu a:
Natürlich sind die Chancen 6 Richtige zu ziehen für alle Zahlenkombinationen
gleich. Allerdings werden viele Tipper diese Zahlen gewählt haben und dann ist
die Ausschüttung mager.
Zu b:
Die erste Zahl kann aus 49 Zahlen gezogen werden, dann sind noch 48 Kugeln
im Behälter. Die Anzahl der Ziehungsverläufe ist also:
49 ⋅ 48 ⋅ 47 ⋅ 46 ⋅ 45 ⋅ 44 = 10068347520
Zu c:
Die Anzahl der Zeihungsverläufe ist 6!
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 720
Zu d:
Die Wahrscheinlichkeit 6 Richtige zu Ziehen beträgt
p(6 Richtige) =
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
720
1
=
=
= 0, 0000000715
49 ⋅ 48 ⋅ 47 ⋅ 46 ⋅ 45 ⋅ 44 10068347520 13983816
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Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit
April 2003
Baumdiagramme
Rückwärtsschließen im Baumdiagramm
Drei Schützen A,B und C treffen unabhängig voneinander eine fliegende Tontaube mit den
1 2 1
; ; . Eine Taube fliegt vorbei und die Schützen schießen
Wahrscheinlichkeiten
2 3 4
gleichzeitig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Taube getroffen wird?
Wie wahrscheinlich ist es,
• In 4 Würfen mit einem Würfel (bzw. einem einmaligen Wurf mit 4 Würfeln) mindestens
einmal die Sechs zu erreichen? (Das war lange Zeit eine beliebte Glückspielvariante. Trat
die Sechs auf, hat der Spieler verloren.)
• In 24 Würfen mit 2 Würfeln mindestens einmal eine Doppelsechs zu erzielen?
Wie viele Kinder müssen in einer Familie sein, damit die Wahrscheinlichkeit dafür,
mindestens ein Sonntagskind zu haben, größer als 0,5 ist?
Eine Urne enthält 5 rote, 4 blaue und 3 schwarze Kugeln. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
zieht man in einem griff (also ohne Zurücklegen) drei gleichfarbige Kugeln?
Eine Fahrradfabrik bezieht 70 % der benötigten Ketten von einer Zulieferfirma A, die zu 98
% tadellose Ware liefert und 30 % von einer anderen Firma B, bei der im Mittel 4 % zu
beanstanden sind. Nun ist eine zufällig aus dem Lager genommene Kette
a.)
tadellos; mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt sie von Firma A?
b.)
mangelhaft; Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt sie von Firma B?
Oblivimie
In der Bevölkerung sind 2 % „O-Personen“. Das sind Personen, die den Erreger der noch
nicht ausgebrochenen Krankheit „Oblivimie“ im Blut haben.
Bei einem Schnelltest werden 94 % der O-Personen als solche erkannt, aber der Test stuft
auch 8 % der Nicht-O-Personen fälschlicherweise als O-Personen ein.
a.)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erklärt der Test eine ausgesuchte Person als OPerson bzw. als Nicht-O-Person?
b.)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine positiv getestete Person tatsächlich eine OPerson?
c.)
In einem klinischen Versuch werden 83000 Personen mit einem anderen aufwendigen
Testverfahren auf Oblivimie getestet. Die Daten dieser Testreihe bestätigen die in der
Aufgabe gemachten Angaben. Erstellen Sie eine Vier Felder Tafel zu dieser Testreihe.
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Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit
April 2003
BSE Schnelltest
Seit November 2000 muss bei geschlachteten Rindern über
30 Monate ein Schnelltest auf BSE durchgeführt werden.
Frankreich hatte „seinen“ BSE Skandal schon ab Mitte 2000.
Gemäß „Weser Kurier“ vom 12.12.200 teilte die französische Behörde für Verbraucherschutz mit, dass sich nach
Auswertung der bis dahin durchgeführten 15.000 Schnelltests eine Erkrankungsrate von 2 von 1000 Tieren ergeben
habe.
Nehmen wir an, dass diese Daten auch für Deutschland
zutreffen. Nehmen wir weiter an, dass ein Schnelltest mit
98,5 % Wahrscheinlichkeit eine Infektion als solche erkennt (Sensitivität eines Tests) und mit
99,9 % Wahrscheinlichkeit die Nicht- Infektion (Spezifizität des Test) diagnostiziert.
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
Gib ohne zu rechnen eine Einschätzung ab: Sind Positiv-Fehldiagnosen
ungewöhnlich, selten, nicht beachtenswert oder kommen sie häufiger vor?
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Test positiv oder negativ ausfällt!
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Rind mit negativen Testergebnis tatsächlich
erkrankt?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Rind mit negativem Testergebnis
tatsächlich nicht erkrankt?
Welche Folgerungen sind aus den letzten beiden Punkten bezüglich der Frage
„Was leistet ein Schnelltest und was leistet er nicht?“ zu ziehen? Welche
Konsequenzen hat das?
AIDS Test:
Darf man das als mathematisches Problem behandeln? Oder hilft die Mathematik bei der
Einschätzung von Risiken?
Diese Fragen sollte man zunächst für sich beantworten. Die Betrachtung und Behandlung nur
als mathematisches Problem verbietet sich wohl.
Ein AIDS Test ist positiv. Ist Panik angesagt?
Benutzen Sie folgende Abkürzungen
H+
HIV positiv
HHIV negativ
T+
Test positiv
TTest negativ
Man gehe von folgenden Daten aus:
P(H+) = 0,001
P(T+/H+)=0,99
P(T-/H-)=0,98
Ermitteln Sie P(H+/T+) !!
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Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit
April 2003
Vier Felder Tafel
In einem Verein sind 200 Mitglieder, die durch die Tabelle sortiert sind. Eine Person wird
zufällig ausgewählt!
• Wir suchen p(S), p ( S M ) , p ( F ), p ( F S ) . Was fällt auf?
•
Jetzt interessieren noch p ( N ), p ( F N ), ( N ∩ F ) . Was fällt hier auf?
Frauen F
Sportler S
Nichtsportler N
Männer M
51
63
38
48
200
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