Musterlösung: 10. Juli 2014 Grundlagen der Akustik Lösungsansätze

Audiotechnik I
Analoge Audiotechnik: 13. Tutorium
Prof. Dr. Stefan Weinzierl
10.07.2014
Musterlösung: 10. Juli 2014
Grundlagen der Akustik
a) Erläutern Sie den Unterschied zwischen Schallgeschwindigkeit und Schallschnelle.
b) Zwei Schallquellen erzeugen an einem Ort x die Schalldrücke p1 = 0, 01 P a und p2 = 0, 05 P a.
Wie groß sind die einzelnen Schalldruckpegel Lp1 und Lp2 und der Gesamtpegel Lpges ?
c) EIn klassisches Orchester in großer Besetzung erzeugt beim Fortissimo eine akustische Leistung von 10 W . Wir nehmen in idealerweise ein omnidirektionales Abstrahlverhalten für das
Orchester an. Welchen Schalldruckpegel würden Sie in einer Entfernung on 10 m messen?
(Anmerkung: Für die Schallkennimpedanz in Luft können Sie Z0 = 400 kg/m2 s ansetzen.)
d) Für einen fensterlosen Raum mit den Maßen 6 m/5 m/8 m (L/B/H) ist die Nachhallzeit bei
500 Hz zu berechnen. Alle vertikalen Wände sind mit Holz (wood), die Decke mit Gipsstuck(gypsum board) und der Fußboden mit Beton (concrete) ausgekleidet. Alle etwaigen Öffnungen des Raumes seien akustisch dicht verschlossen.
Abbildung 1: Absorptionskoeffizienten verschiedener Baustoffe
Berechnen Sie die Sabinesche Nachhallzeit des Raumes.
e) Auf Welchen Wert ändert sich die Nachhallzeit, wenn 25 % der Wandflächen (Fenster) zum
Außenraum geöffnet wurden.
Lösungsansätze
a) Die Schallgeschwindigkeit ist die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der durch Beschallung hervorgerufenen Druckschwankungen im schallleitenden Medium (z.B. Luft). Sie ist identisch mit der
Geschwindigkeit mit der sich die Schallenergie ausbreitet und ist mediumsspezifisch in Luft
z.B.
r
c0 =
κ·R·T
=
Mmol
s
J
1, 4 · 8, 31447 mol·K
· 293 K
kg
0, 02896 mol
für T = 20 ◦ C = 293 K.
1
= 343, 175
m
s
(1)
Die Schallschnelle ist die Geschwindigkeit mit der die Atome/Moleküle des schallleitenden
Mediums bei Beschallung um ihre Ruhelage Schwingen
v=
dξ
dt
(2)
b) Mit p0 = 2 · 10−5 P a gilt:
p1
1 · 10−2
= 20 · lg
= 20 · lg
= 53, 98 dB
p0
2 · 10−5
p2
5 · 10−2
= 20 · lg
= 20 · lg
= 67, 96 dB
p0
2 · 10−5
Lp1
Lp2
unter der Annahme unkorrelierter Schallquellen gilt:
" 2 #
2
p2
p1
+
= 68, 13 dB
Lp,ges = 10 · lg
p0
p0
alternativ kann die energetische Mittelung auch über die Pegelrechnung erfolgen:
Lp1
Lp2 10
Lp,ges = 10 · lg 10
+ 10 10
(3)
(4)
(5)
(6)
c) Die akustische Leistung beträgt P = 10 W . Aus der Annahme einer omnidirektionalen Abstrahlung folgt, dass für die Hüllfläche eine Kugelfläche mit S = 4πr2 anzusetzen ist. Daraus folgt
für den Schalldruck:
Z
p2
·I dS ∼
(7)
P =
=I ·S =p·v·S = S
ρc
S
s
r
P ·ρ·c
10 W · 400 kg/m2 s
=
= 1, 78 P a
(8)
p=
S
4 · π(10 m)2
Aus diesem berechneten Schalldruck folgt ein Pegel von
1, 78 P a
Lp,10m = 10 lg
= 99 dB
2 · 10−5 P a
(9)
d) Die Sabinesche Nachhallzeit berechnet sich wie folgt:
V
V
= 0, 163 P
A
i αi · Si
6 m·5 m·8 m
T = 0, 163
SW nde · αW nde + SDecke · αDecke + SBoden · αBoden
6 m·5 m·8 m
T = 0, 163
= 1, 99 s
2
176 m · 0, 1 + 30 m2 · 0, 05 + 30 m2 · 0, 02
T = 0, 163
(10)
(11)
(12)
e) Wenn der Anteil der Wandflächen um 25 % reduziert wird, verringert sich die Fläche um 0, 25 ·
176 m2 = 44 m2 . Stattdessen werden 44 m2 mit geöffnetem Fenster (alpha = 1) hinzugefügt.
Es folgt für die Nachhallzeit
T = 0, 163
132
m2
6 m·5 m·8 m
= 0, 66 s
· 0, 1 + 44 m2 · 1 + 30 m2 · 0, 05 + 30 m2 · 0, 02
2
(13)
Mikrofone und Aufnahmeverfahren
Gegeben sei ein elektrostatisches Mikrofon, dessen Kapsel als Druckempfänger wirkt.
a) Skizzieren Sie den Betrags-Frequenzgang der akustisch-mechanischen Übertragungsfunktion in
dB, d.h. das Verhältns von Membranauslenkung x zum einfallenden Schalldruck p und geben
Sie an, wie Knickfrequenzen, an denen sich der Verlauf des Frequenzgangs verändert, mit den
mechanischen Eigenschaften des Mikrofons zusammenhängen.
b) Zeichnen Sie ein Ersatzschaltbild für das mechanisch-elektrische Wandlersystem und skizzieren
Sie den Betragsfrequenzgang des Quotienten von Ausgangsspannung zur Membranschnelle des
Mikrofons in dB.
c) Skizzieren Sie das frequenzabhängige elektroakustische Übertragungsmaß des Mikrofons.
d) Welche idealisierte Richtcharakteristik weist dieses Mikrofon auf?
e) Aufgrund welcher physikalischen Phänomene weicht die tatsächliche Richtcharakteristik von der
idealisierten Form ab? Welcher Art ist die Abweichung?
f) Durch zwei Druckempfänger im Abstand von 50 cm soll ein laufzeitstereofones Aufnahmesystem
realisiert werden. Erläutern Sie die Bedeutung des Aufnahmewinkels für die stereofone Abbildung des Systems. Wie groß ist der Aufnahmewinkel des Systems, wenn für eine Lokalisation
der Phantomschallquelle “ganz außen“ eine Laufzeitdifferenz von 1, 2 ms angenommen wird?
Lösungsansätze
a) Die akustisch mechanische Übertragungsfunktion lautet:
F
F
x
p
x
p
ω0
Abbildung 2: akustisch-mechanische
Auslenkungsempfänger
= (−jω 2 + jωr + s) · x
= p·S
S
=
s − ω 2 m + jωr
(14)
(15)
(16)
S
s
=
(17)
2
1 − ωω2 + jη ωω0
r 0
s
=
m
Übertragungsfunktion
3
(18)
eines
Druck-
und
b) Das Ersatzschalbild stellt einen Serienkreis dar. Mit U0 Polarisationsspannung, R Abschlusswiderstand und UC Spannung am Kondensator.
U = U0 − UC
Q
Q x
UC =
=
1−
C
C0
d
U = U0
mit ωk =
1
.
RC0
x
d
1+
1
jωRC0
= U0
(19)
(20)
x
d
1 − j ωωk
(21)
Die elektrische Schaltung stellt einen Hochpass erster Ordnung dar.
Abbildung 3: Ersatschaltbild eines Kondensatormikrofons
c) Die Gesamtübertragungsfunktion, der elektroakustische Übertragungsfaktor stellt eine Multiplikation der beiden Frequenzgänge (akustisch-mechanisch + elektrisch) dar.
Abbildung 4: Gesamtübertragungsfunktion des Druck-Auslenkungs-Empfänger mit Kondensaotr
Schaltung
d) Druckempfänger weisen eine kugelförmige Richtcharakteristik auf.
e) Folgende Abweichungen führen zu einer zunehmenden Bündelung bei hohen frequenzen:
1. Druckdifferenzen auf der ausgedehnten Membran (Interferenz-Effekt):Bei schrägem Schalleinfall gibt es Auslöschung auf der Membran, weshalb der Ausgangspegel geringer ist.
4
2. Druckstau auf der ausgedehnten Membran(Druckstauu-Effekt): Frontal einfallende Schallwellen deren Wellenlänge kleiner als der Membrandurchmesser ist werden gleichphasig
reflektiert. Dadurch kommt es zu einer Pegelerhöhung um +6 dB ab f=c/d.
3. Beugungseffekte an der Mikrofonkapsel für nicht frontal einfallenden Schall(AbschattungsEffekt): bei hohen Frequenzen stellt das Mikrofon ein Hindernis dar und dämpft daher
diese Einfallsrichtungen.
f) Laufzeitstereofone Mikrofone mit der Mikrofonbasis a erzeugen eine Laufzeitdifferenz ∆t zwischen
rechtem und linkem Mikrofon in Abhängigkeit von der Schalleinfallsrichtung Θ von
∆t =
a · sin(Θ)
c
(22)
. Eine für die Lokalisation “ganz außen“ erforderliche Laufzeitdifferenz von ∆t = 1, 2 mS ergibt
sich für einen Einfallswinkel von
1, 2 · 10−3 ms · 340 m/s
= 56◦ .
(23)
Θ = arcsin
a
Der Aufnahmewinkel beträgt somit Θ · 2 = 112◦
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